Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x✝ y z x : α

toDual x ∈ (⇑ofDual ⁻¹' s).ordConnectedComponent (toDual x✝) ↔ toDual x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s.ordConnectedComponent x✝


⇑ofDual ⁻¹' [[x✝, x]] ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s ↔ toDual x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s.ordConnectedComponent x✝


Context:
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u

(1 - 2 * ε) * ε ^ 3 * ↑s.card * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u)).card ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card


(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u)).card ≤ (G.cliqueFinset 3).card


∀ a ∈ filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u), (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) a ∈ G.cliqueFinset 3


Set.InjOn (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u))


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t✝ u : Finset α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t✝)

Context: ust : G.IsUniform ε s t✝

Context: hst : Disjoint s t✝

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: usu : G.IsUniform ε s u

Context: hsu : Disjoint s u

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t✝ u)

Context: utu : G.IsUniform ε t✝ u

Context: htu : Disjoint t✝ u

Context: x₁ y₁ z₁ : α

Context: h₁ : (x₁, y₁, z₁) ∈ ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t✝ ×ˢ u))

Context: x₂ y₂ z₂ : α

Context: h₂ : (x₂, y₂, z₂) ∈ ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t✝ ×ˢ u))

Context: t : (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) (x₁, y₁, z₁) = (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) (x₂, y₂, z₂)


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t✝ u : Finset α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t✝)

Context: ust : G.IsUniform ε s t✝

Context: hst : Disjoint s t✝

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: usu : G.IsUniform ε s u

Context: hsu : Disjoint s u

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t✝ u)

Context: utu : G.IsUniform ε t✝ u

Context: htu : Disjoint t✝ u

Context: x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ : α

Context: h₁ : (x₁ ∈ s ∧ y₁ ∈ t✝ ∧ z₁ ∈ u) ∧ G.Adj x₁ y₁ ∧ G.Adj x₁ z₁ ∧ G.Adj y₁ z₁

Context: h₂ : (x₂ ∈ s ∧ y₂ ∈ t✝ ∧ z₂ ∈ u) ∧ G.Adj x₂ y₂ ∧ G.Adj x₂ z₂ ∧ G.Adj y₂ z₂


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1282777) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfcₙ f a ≤ cfcₙ g a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(∀ (x : ↑(σₙ R a)), { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x ≤ { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f

(⋃ i ∈ s, f i) \ ⋃ i ∈ t, f i = ⋃ i ∈ s \ t, f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i
j : ι
hj : j ∈ t
haj : a ∈ f j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β

StrictMono f ↔ ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: this : TransGen CovBy a b → TransGen LT.lt (f a) (f b)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b
this : a < b → f a < f b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f' : F

Context: s t : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: x₀ : E

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f' : F

Context: s t : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: x₀ : E

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f' : F

Context: s t : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: x₀ : E

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: A : Continuous fun t => x₀ + t • v

Context: this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f' : F

Context: s t✝ : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: x₀ : E

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: A : Continuous fun t => x₀ + t • v

Context: t : 𝕜

Context: ht : t ∈ (fun t => x₀ + t • v) ⁻¹' {x | ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖}

‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ : E → F

Context: f' : F

Context: s t✝ : Set E

Context: x v : E

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: f : E → F

Context: x₀ : E

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: A : Continuous fun t => x₀ + t • v

Context: t : 𝕜

Context: ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: ht : t₀ ∈ Ioo a b

Context: hf : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t

Context: hg : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t

Context: heq : f t₀ = g t₀

Context: t' : ℝ

Context: ht' : t' ∈ Ioo a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: ht : t₀ ∈ Ioo a b

Context: heq : f t₀ = g t₀

Context: t' : ℝ

Context: ht' : t' ∈ Ioo a b

Context: h : t' < t₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: ht : t₀ ∈ Ioo a b

Context: heq : f t₀ = g t₀

Context: t' : ℝ

Context: ht' : t' ∈ Ioo a b

Context: h : t₀ ≤ t'


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
Z₁ Z₂ X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂

(Z₁ ⊗ Z₂) ◁ (f₁ ⊗ f₂) ≫ tensor_μ C (Z₁, Z₂) (Y₁, Y₂) = tensor_μ C (Z₁, Z₂) (X₁, X₂) ≫ (Z₁ ◁ f₁ ⊗ Z₂ ◁ f₂)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y


Context:
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : Subsingleton (X ⟶ Y)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : Nontrivial (X ⟶ Y)


Context:
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n


Context:
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑0


Context:
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q

↑((toEven Q) (reverse (involute x))) = reverse ↑((toEven Q) x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g✝ f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] g


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData

(S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).hom = h.cyclesIso.hom ≫ h.π


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)
g : α ≃ β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: f : ↑s ↪ β

Context: h : lift.{max u v, u} #α = lift.{max u v, v} #β

Context: g : α ≃ β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: f : ↑s ↪ β

Context: g : α ≃ β

lift.{max u v, u} #↑s = lift.{max u v, v} #↑(range ⇑f)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: f : ↑s ↪ β

Context: g : α ≃ β


Context:
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β

zipWithLeft' f as bs = zipWithLeft'TR f as bs


Context:
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α

zipWithLeft'TR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = match zipWithLeft' f (head✝ :: tail✝) [] with | (l, r) => (acc.toList ++ l, r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hmn : m + 1 ≤ n

ContDiff 𝕜 m fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n

ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2) univ


ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderivWithin 𝕜 f univ p.1) p.2) (univ ×ˢ univ)


Context:
n : ℕ
c : Char
l : List Char

{ data := l }.IsSuffix (leftpad n c { data := l })


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵢ Y


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
P : ι → α → Prop
x✝ : α

x✝ ∈ ⋂ i, {x | P i x} ↔ x✝ ∈ {x | ∀ (i : ι), P i x}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop

(∀ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) → q


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y Z : C
sXY : BinaryFan X Y
P : IsLimit sXY
sYZ : BinaryFan Y Z
Q : IsLimit sYZ
s : BinaryFan sXY.pt Z
R : IsLimit s
t : Cone (pair X sYZ.pt)

R.lift (BinaryFan.assocInv P t) ≫ Q.lift (BinaryFan.mk (s.fst ≫ sXY.snd) s.snd) = BinaryFan.snd t


∀ (j : Discrete WalkingPair), (R.lift (BinaryFan.assocInv P t) ≫ Q.lift (BinaryFan.mk (s.fst ≫ sXY.snd) s.snd)) ≫ sYZ.π.app j = BinaryFan.snd t ≫ sYZ.π.app j


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ X Y Z : C

Context: sXY : BinaryFan X Y

Context: P : IsLimit sXY

Context: sYZ : BinaryFan Y Z

Context: Q : IsLimit sYZ

Context: s : BinaryFan sXY.pt Z

Context: R : IsLimit s

Context: t : Cone (pair X sYZ.pt)

Context: m : t.pt ⟶ (BinaryFan.assoc Q s).pt

Context: w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ (BinaryFan.assoc Q s).π.app j = t.π.app j

m = (fun t => R.lift (BinaryFan.assocInv P t)) t


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y✝ X Y Z : C

Context: sXY : BinaryFan X Y

Context: P : IsLimit sXY

Context: sYZ : BinaryFan Y Z

Context: Q : IsLimit sYZ

Context: s : BinaryFan sXY.pt Z

Context: R : IsLimit s

Context: t : Cone (pair X sYZ.pt)

Context: m : t.pt ⟶ (BinaryFan.assoc Q s).pt

Context: h : (∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ s.π.app j = (BinaryFan.assocInv P t).π.app j) → m = R.lift (BinaryFan.assocInv P t)


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Nat.card G
this : Fintype G


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Fintype G
hdvd : p ∣ Fintype.card G


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB : B ≤ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB✝ : B ≤ 0
hB : B < 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB✝ : B ≤ 0
hB : B = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

(Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict t)) U


μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s) = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ t)


MeasurableSet (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U)


∀ (g : G), (fun x => g • x) ⁻¹' (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U) = Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
p : M × N

p ∈ (I.prod J).interior (M × N) ↔ p ∈ I.interior M ×ˢ J.interior N


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: N : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' N

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: x : M

Context: y : N

Context: p : M × N

Context: aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₂ ≠ p₃


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
s : ι → Set α
hic : #ι < c


(∀ s_1 ∈ range s, s_1 ∈ l) ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: c : ℕ := Fintype.card α

(filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: c : ℕ := Fintype.card α

Context: hc0 : 0 < c


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: c : ℕ := Fintype.card α

Context: hc0 : 0 < c

0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: c : ℕ := Fintype.card α

Context: hc0 : 0 < c

Context: h0 : ¬0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card


Context: α : Type u

Context: a : α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: d : ℕ

Context: hd : d ∣ Fintype.card α

Context: c : ℕ := Fintype.card α

Context: hc0 : 0 < c

Context: h0 : filter (fun a => orderOf a = d) univ = ∅


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)

(s.pi fun j => t j (update f i a j)) = ({i} ∪ s \ {i}).pi fun j => t j (update f i a j)


(({i} ∪ s \ {i}).pi fun j => t j (update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ (s \ {i}).pi fun j => t j (f j)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
a✝ : HasLiftingProperty i p


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
a✝ : HasLiftingProperty i' p


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
hc : Collinear ℝ (Set.range p)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: hs : Cospherical s

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: hc : ∃ v, ∀ p_1 ∈ Set.range p, ∃ r, p_1 = r • v +ᵥ p 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: hs : Cospherical s

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv : ∀ p_1 ∈ Set.range p, ∃ r, p_1 = r • v +ᵥ p 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: hs : Cospherical s

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

Context: hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

Context: hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r

Context: f : Fin 3 → ℝ

Context: hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0

Context: hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

Context: hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r

Context: f : Fin 3 → ℝ

Context: hf0 : f 0 = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

Context: hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r

Context: f : Fin 3 → ℝ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hfi : Function.Injective f


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

Context: hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r

Context: f : Fin 3 → ℝ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hfi : Function.Injective f

Context: hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: v : V

Context: hv0 : v ≠ 0

Context: c : P

Context: r : ℝ

Context: hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

Context: hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r

Context: f : Fin 3 → ℝ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hfi : Function.Injective f

Context: hfn0 : ∀ (i : Fin 3), i ≠ 0 → f i ≠ 0


Context:
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj α

({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : HeytAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget HeytAlg).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_bot' := ⋯, map_himp' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A

∫ (x : α), truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ∂Measure.map f μ


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n✝ m n : ℕ+


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0

μ.normalize.toFiniteMeasure = μ.mass⁻¹ • μ


μ.normalize.toFiniteMeasure = μ.mass⁻¹ • μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure


μ.normalize.toFiniteMeasure = (μ.mass⁻¹ • μ.mass) • μ.normalize.toFiniteMeasure


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X


Context: a b : ℤ

Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = (b - a).toNat


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

∫ (x : α) in s, (preCDF ρ r x).toReal ∂ρ.fst = ((ρ.IicSnd ↑r) s).toReal


(∫⁻ (a : α) in s, preCDF ρ r a ∂ρ.fst).toReal = ((ρ.IicSnd ↑r) s).toReal


AEMeasurable (preCDF ρ r) (ρ.fst.restrict s)


∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst.restrict s, preCDF ρ r x < ⊤


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0

W'.negAddY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * W'.negY P


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R

a * x * x + b * x + c = 0 ↔ discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R
h : discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b c : R

Context: inst✝¹ : NeZero 2

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: ha : a ≠ 0

Context: x : R

Context: h : b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b c : R

Context: inst✝¹ : NeZero 2

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: ha✝ : a ≠ 0

Context: x : R

Context: ha : 2 * 2 * a ≠ 0


Context: C : Type w

Context: inst✝ : Category.{v, w} C

Context: X Y : Condensed C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h : ∀ (S : CompHausᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S


Context: C : Type w

Context: inst✝ : Category.{v, w} C

Context: X Y : Condensed C

Context: f g : X ⟶ Y


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx✝ : 0 ≤ x
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
hs : IsOpen s


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d

(lift (fun i => MulAction.toEndHom) MulAction.toEndHom ⋯) ((base φ) h) w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }


MulAction.toEndHom h w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }


Context:
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹ : Functor t
inst✝ : LawfulFunctor t
α : Type u
x : t' α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(Lp E p μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K : ℕ

Context: Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation X ↑n

Context: ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ

∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : Ω), (truncation X ↑j ^ 2) a ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X a


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K : ℕ

Context: ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ

Context: Y2 : ∀ (n : ℕ), ∫ (a : Ω), (Y n ^ 2) a = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, x ^ 2 ∂ρ


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
t : Finset β


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Iio x) = Ioo ⊥ ↑x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹³ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹¹ : Preadditive C

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.5817, u_2} D

Context: inst✝⁷ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁶ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive D

Context: inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝³ : Pretriangulated D

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝¹ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: hF : ∀ (T : Triangle C) (hT : T ∈ distinguishedTriangles), ∃ T' e, ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: T' : Triangle C

Context: e : T ≅ T'

Context: h' : ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact

((shortComplexOfDistTriangle T hT).map F).Exact


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u✝ v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'

deriv (fun y => u * v y) x = u * deriv v x


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

x = (x.num * x.den ^ (n - 1)) • (↑x.den)⁻¹ ^ n


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

x = ↑(x.num * x.den ^ (n - 1)) * (↑x.den)⁻¹ ^ n


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

x = ↑x.num * ↑x.den ^ (n - 1) * (↑x.den)⁻¹ ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
x y : P

dist ((pointReflection 𝕜 x) y) y = ‖2‖ * dist x y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

Context: this : DecidableEq m := Classical.decEq m

LinearMap.range M.vecMulLinear = span R (Set.range M)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

span R (Set.range fun x => Pi.single x 1 ᵥ* M) = span R (Set.range M)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

span R (Set.range fun x x_1 => let j := x_1; Pi.single x 1 ⬝ᵥ fun i => M i j) = span R (Set.range M)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsLindelof s
hc₁ : ∀ i ∈ b, IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i ∈ b, c i

∃ b' ⊆ b, b'.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: b : Set ι

Context: c : ι → Set X

Context: hs : IsLindelof s

Context: hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)

Context: hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: b : Set ι

Context: c : ι → Set X

Context: hs : IsLindelof s

Context: hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x

Context: d : Set ↑b

Context: hd : d.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁ a₂ a₃ b✝¹ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R

Context: b✝ b : ℕ

Context: x✝ : 0 < b + 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid M
N : Type u_5
inst✝ : Monoid N
f g : FreeMonoid α →* M
h : ∀ (x : α), f (of x) = g (of x)
l : FreeMonoid α
x : α
xs : FreeMonoid α
hxs : f xs = g xs


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α

(foldl (fun t h => h :: t) [] l).reverse = l


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G

∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), __src✝.toFun (x * y) = __src✝.toFun x * __src✝.toFun y


∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), ↑__src✝ (x * y) = ↑__src✝ x * ↑__src✝ y


∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), __src✝ (x * y) = __src✝ x * __src✝ y


∀ (x y : (MonoidAlgebra k G)ᵐᵒᵖ), __src✝.toAddMonoidHom (x * y) = __src✝.toAddMonoidHom x * __src✝.toAddMonoidHom y


AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom = (AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k

((((((AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂ = (((((((AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂


(opAddEquiv.symm.trans ((mapRange.addEquiv opAddEquiv).trans (Finsupp.domCongr opEquiv))).toAddMonoidHom (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁) * opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) = (opAddEquiv.symm.trans ((mapRange.addEquiv opAddEquiv).trans (Finsupp.domCongr opEquiv))).toAddMonoidHom (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)) * (opAddEquiv.symm.trans ((mapRange.addEquiv opAddEquiv).trans (Finsupp.domCongr opEquiv))).toAddMonoidHom (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))


(Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁) * opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)))) = (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)))) * (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))))


(Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) * unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)))) = (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)))) * (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))))


(Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (single (i₂ * i₁) (r₂ * r₁))) = (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (Finsupp.single i₁ r₁)) * (Finsupp.domCongr opEquiv) ((mapRange.addEquiv opAddEquiv) (Finsupp.single i₂ r₂))


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ


Context: x : ℝ

∀ (k : ℤ), arctan x ≠ (2 * ↑k + 1) * π / 2


Context: x : ℝ

Context: this : ∃ k, arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2


Context:
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2


Context:
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
lb : -(π / 2) < arctan x
ub : arctan x < π / 2


Context:
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
lb : -1 < 2 * ↑k + 1
ub : arctan x < π / 2


Context:
x : ℝ
k : ℤ
h : arctan x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
lb : -1 < 2 * ↑k + 1
ub : 2 * ↑k + 1 < 1


Context: x y c : ℝ


Context:
x✝ y c x : ℝ
hx : 1 < x


Context:
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + ↑a))

∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + ↑(i + 1))


∑ x ∈ Finset.range a, -f (x₀ + ↑(x + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in x₀..x₀ + ↑a, -f x


Context: n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
h : a < 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
k : Fin l.length

l.get k = (l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩


l.get k = l.get ⟨(↑⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩ + n) % l.length, ⋯⟩


↑k = ↑⟨(↑⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩ + n) % l.length, ⋯⟩


↑k = (l.length - n % l.length + ↑k + n) % l.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ
h : s.encard ≤ ↑k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: k : ℕ

Context: x✝ : s.Finite ∧ ∃ n₀, s.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k

Context: left✝ : s.Finite

Context: n₀ : ℕ

Context: hs : s.encard = ↑n₀

Context: hle : n₀ ≤ k


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
b : R
ha : b * 0 ≠ 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M

x ∈ torsionBySet R M {a} ↔ x ∈ torsionBy R M a


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X✝ X : CosimplicialObject C

Context: X₀ : C

Context: f : X₀ ⟶ X.obj [0]

Context: w : ∀ (i : SimplexCategory) (g₁ g₂ : [0] ⟶ i), f ≫ X.map g₁ = f ≫ X.map g₂

Context: i j : SimplexCategory

Context: g : i ⟶ j

𝟙 X₀ ≫ f ≫ X.map ([0].const j 0) = (f ≫ X.map ([0].const i 0)) ≫ X.map g


Context:
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddMonoid τ
inst✝¹ : ContinuousAdd τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
t : τ
ht : Tendsto (fun x => x + t) f f

ω f ϕ.toFun (ϕ.toFun t '' s) ⊆ ω f ϕ.toFun s


ω f (fun t_1 x => ϕ.toFun (t_1 + t) x) s ⊆ ω f ϕ.toFun s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]

∀ (n : ℕ), (p.divX * X + C (p.coeff 0)).coeff n = p.coeff n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0


Context:
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π

(starRingEnd ℂ) x ^ n = (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)


Context:
f fs : Code
k : Cont'

codeSupp (f.cons fs) k = trStmts₁ (trNormal (f.cons fs) k) ∪ codeSupp f (Cont'.cons₁ fs k)


Context:
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j

ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ tensorHom (tensorHom f₁ f₂) f₃ j = ((f₁ i₁ ⊗ f₂ i₂) ⊗ f₃ i₃) ≫ ιTensorObj₃' Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ≥0∞

⇑h '' EMetric.closedBall x r = EMetric.closedBall (h x) r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a b : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)

⟪indicatorConstLp 2 hs hμs 1, f⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


⟪1, ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : Integrable f ρ

∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω), f x ∂ρ


∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω), f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hf : Integrable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ

Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

Context: g : ι →ᵇᵃ[↑I] F

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true

Context: H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε

Context: H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ

Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

Context: g : ι →ᵇᵃ[↑I] F

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true

∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ib


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ

Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

Context: g : ι →ᵇᵃ[↑I] F

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

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Context: ε0 : 0 < ε

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Context: δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'


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Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

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Context: ε' : ℝ

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Context: hεI : B I * ε' < ε / 2

∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (δ c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε


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Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

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Context: s : Set (ι → ℝ)

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Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

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Context: δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

Context: ε0' : 0 < ε / 2

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Context: εs : (ι → ℝ) → ℝ

Context: hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i

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Context: ε'0 : 0 < ε'

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∀ (x : TaggedPrepartition I), (∃ c, l.MemBaseSet I c (δ c) x ∧ x.IsPartition) → integralSum f vol x ∈ Metric.closedBall (g I) ε


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Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

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Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

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Context: ε0' : 0 < ε / 2

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Context: εs : (ι → ℝ) → ℝ

Context: hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i

Context: ε' : ℝ

Context: ε'0 : 0 < ε'

Context: hεI : B I * ε' < ε / 2

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: c : ℝ≥0

Context: hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π

Context: hπp : π.IsPartition

integralSum f vol π ∈ Metric.closedBall (g I) ε


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Context: E : Type v

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Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

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Context: l : IntegrationParams

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Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

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Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

Context: δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

Context: ε0' : 0 < ε / 2

Context: H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι

Context: εs : (ι → ℝ) → ℝ

Context: hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i

Context: ε' : ℝ

Context: ε'0 : 0 < ε'

Context: hεI : B I * ε' < ε / 2

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: c : ℝ≥0

Context: hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (∑ x ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J ∈ s) π.boxes, (vol x) (f (π.tag x)) + ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => π.tag x ∉ s) π.boxes, (vol x) (f (π.tag x))) (∑ x ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J ∈ s) π.boxes, g x + ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => π.tag x ∉ s) π.boxes, g x) ≤ ε / 2 + ε / 2


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g✝ : (ι → ℝ) → E

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Context: y y' : F

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ

Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

Context: g : ι →ᵇᵃ[↑I] F

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

Context: δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

Context: ε0' : 0 < ε / 2

Context: H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι

Context: εs : (ι → ℝ) → ℝ

Context: hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i

Context: ε' : ℝ

Context: ε'0 : 0 < ε'

Context: hεI : B I * ε' < ε / 2

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: c : ℝ≥0

Context: hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (∑ x ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J ∈ s) π.boxes, (vol x) (f (π.tag x))) (∑ x ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J ∈ s) π.boxes, g x) ≤ ε / 2


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ

Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

Context: g : ι →ᵇᵃ[↑I] F

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ₁ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

Context: δ₂ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ℝ → { a // 0 < a }

Context: ε0' : 0 < ε / 2

Context: H0 : 0 < 2 ^ Fintype.card ι

Context: εs : (ι → ℝ) → ℝ

Context: hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i

Context: ε' : ℝ

Context: ε'0 : 0 < ε'

Context: hεI : B I * ε' < ε / 2

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: c : ℝ≥0

Context: hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (∑ x ∈ Finset.filter (fun x => π.tag x ∉ s) π.boxes, (vol x) (f (π.tag x))) (∑ x ∈ Finset.filter (fun x => π.tag x ∉ s) π.boxes, g x) ≤ ε / 2


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
a : A
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NoZeroDivisors R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : R[X]
h : (aeval a) p = 0
h' : p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
a : A
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NoZeroDivisors R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : R[X]
h : (aeval a) p = 0
h' : p ≠ 0
hp : p ∈ nonZeroDivisors R[X]


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
i : Fin n
hl : i.castSucc < a
hu : b < i.succ


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
i : Fin n
hl : ↑i < ↑a
hu : ↑b < ↑i + 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : NonarchimedeanRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : TopologicalSpace S
inst✝ : NonarchimedeanRing S
U : OpenAddSubgroup R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace R

Context: inst✝³ : NonarchimedeanRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace S

Context: inst✝ : NonarchimedeanRing S

Context: U V : OpenAddSubgroup R

Context: H : ↑V ×ˢ ↑V ⊆ (fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' ↑U


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace R

Context: inst✝³ : NonarchimedeanRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace S

Context: inst✝ : NonarchimedeanRing S

Context: U V : OpenAddSubgroup R

↑V * ↑V ⊆ ↑U


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace R

Context: inst✝³ : NonarchimedeanRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace S

Context: inst✝ : NonarchimedeanRing S

Context: U V : OpenAddSubgroup R

Context: v a : R

Context: ha : a ∈ ↑V

Context: b : R

Context: hb : b ∈ ↑V

Context: hv : (fun x x_1 => x * x_1) a b = v


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace R

Context: inst✝³ : NonarchimedeanRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace S

Context: inst✝ : NonarchimedeanRing S

Context: U V : OpenAddSubgroup R

Context: v a : R

Context: ha : a ∈ ↑V

Context: b : R

Context: hb : b ∈ ↑V

Context: hv : (fun x x_1 => x * x_1) a b = v

Context: hy : (a, b) ∈ (fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' ↑U


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace R

Context: inst✝³ : NonarchimedeanRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace S

Context: inst✝ : NonarchimedeanRing S

Context: U V : OpenAddSubgroup R

Context: v a : R

Context: ha : a ∈ ↑V

Context: b : R

Context: hb : b ∈ ↑V

Context: hv : (fun x x_1 => x * x_1) a b = v

Context: hy : v ∈ U


Context:
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'

𝟙 c.pt ≫ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f


c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCones F

Context: Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)

Context: c : Cone (uncurry.obj F)

Context: j : J

Context: k k' : K

Context: f : k ⟶ k'

Context: this : ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (𝟙 j, f) ≫ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (uncurry.obj F).map (𝟙 j, f)


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCones F

Context: Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)

Context: c : Cone (uncurry.obj F)

Context: j : J

Context: k k' : K

Context: f : k ⟶ k'

Context: this : 𝟙 c.pt ≫ c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.map (𝟙 j)).app k ≫ (F.obj j).map f


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCones F

Context: Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)

Context: c : Cone (uncurry.obj F)

Context: j : J

Context: k k' : K

Context: f : k ⟶ k'

Context: this : c.π.app (j, k') = c.π.app (j, k) ≫ (F.obj j).map f


Context:
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCones F
Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)
c : Cone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K

(𝟙 c.pt ≫ (Q j').lift { pt := c.pt, π := { app := fun k => c.π.app (j', k), naturality := ⋯ } }) ≫ (D.obj j').π.app k = ((Q j).lift { pt := c.pt, π := { app := fun k => c.π.app (j, k), naturality := ⋯ } } ≫ (D.map f).hom) ≫ (D.obj j').π.app k


c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCones F

Context: Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)

Context: c : Cone (uncurry.obj F)

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: k : K

Context: this : ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (f, 𝟙 k) ≫ c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (uncurry.obj F).map (f, 𝟙 k)


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCones F

Context: Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)

Context: c : Cone (uncurry.obj F)

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: k : K

Context: this : 𝟙 c.pt ≫ c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k ≫ (F.obj j').map (𝟙 k)


Context: J K : Type v

Context: inst✝² : SmallCategory J

Context: inst✝¹ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: D : DiagramOfCones F

Context: Q : (j : J) → IsLimit (D.obj j)

Context: c : Cone (uncurry.obj F)

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: k : K

Context: this : c.π.app (j', k) = c.π.app (j, k) ≫ (F.map f).app k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
v✝ : Fin 0 → α

(circulant v✝).IsSymm ↔ ∀ (i : Fin 0), v✝ (-i) = v✝ i


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
x✝ : OpensLeCover U

{ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map (𝟙 x✝) = 𝟙 ({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.obj x✝)


({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map (𝟙 x✝)).left = (𝟙 ({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.obj x✝)).left


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
x✝² x✝¹ x✝ : OpensLeCover U
f : x✝² ⟶ x✝¹
g : x✝¹ ⟶ x✝

{ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map (f ≫ g) = { obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map f ≫ { obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map g


({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map (f ≫ g)).left = ({ obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map f ≫ { obj := fun V => { obj := { left := V.obj, right := { as := PUnit.unit }, hom := homOfLE ⋯ }, property := ⋯ }, map := fun {x x_1} g => Over.homMk g ⋯ }.map g).left


Context:
α : Type u_1
b : Bool
n : PosNum


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S


Set.range ⇑B.basis ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R {B.gen}))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B✝ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : IsDomain B✝
inst✝¹ : Algebra A B✝
K : Type u_6
inst✝ : Field K
B : PowerBasis R S
i : Fin B.dim

B.basis i ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R {B.gen}))


B.gen ^ ↑i ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R {B.gen}))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EDist α
x y : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

(↑s).einfsep = s.offDiag.inf (uncurry edist)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


↑φ E.Δ = φ E.Δ


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z a : K
h : ‖a‖ ≤ re a


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
fmeas : AEMeasurable f μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδε : δ < ε

Context: int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδε : δ < ε

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x

Context: gcont : LowerSemicontinuous g

Context: gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ + ↑δ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδε : δ < ε

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x

Context: gcont : LowerSemicontinuous g

Context: gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδε : δ < ε

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x

Context: gcont : LowerSemicontinuous g

Context: gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0

Context: fint : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

Context: fmeas : AEMeasurable f μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ↑ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδε : δ < ε

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: f_lt_g : ∀ (x : α), ↑(f x) < g x

Context: gcont : LowerSemicontinuous g

Context: gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤

Context: g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤

Context: Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H

Group.nilpotencyClass G ≤ Group.nilpotencyClass H + 1


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H
this : Group.IsNilpotent G


Nat.find ⋯ ≤ Group.nilpotencyClass H + 1


lowerCentralSeries G (Group.nilpotencyClass H + 1) = ⊥


Subgroup.map f (lowerCentralSeries G (Group.nilpotencyClass H)) = ⊥


Subgroup.map f (lowerCentralSeries G (Group.nilpotencyClass H)) ≤ ⊥


lowerCentralSeries H (Group.nilpotencyClass H) ≤ ⊥


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝³ : LinearOrder γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderClosedTopology γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g


Context:
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α

DenseRange fun x => ⟦preStoneCechUnit x⟧


Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: this : Function.Surjective t2Quotient.mk


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SupSet α
inst✝¹ : SupSet β
inst✝ : sSupHomClass F α β
f : F
g : (i : ι) → κ i → α

f (⨆ i, ⨆ j, g i j) = ⨆ i, ⨆ j, f (g i j)


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: this : ofReal' ∘ periodizedBernoulli k = AddCircle.liftIco 1 0 (ofReal' ∘ bernoulliFun k)

fourierCoeff (ofReal' ∘ periodizedBernoulli k) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k


Context: k : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: n : ℤ

fourierCoeffOn ⋯ (ofReal' ∘ bernoulliFun k) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
y : L
hy : y ∈ f.rootSet L
hf : f = 0


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
y : L
hy : y ∈ ∅
hf : f = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α

Multiset.filter (fun n => 2 ≤ n) σ.partition.parts = σ.cycleType


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: a : ℕ

Context: h : a ∈ Multiset.replicate (Fintype.card α - σ.support.card) 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: a : ℕ


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
a b : ℝ≥0
h : ↑a < ↑b
q : ℚ
haq : ↑a < ↑q
hqb : ↑q < ↑b
this : 0 ≤ ↑q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)

Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (kerTotal R A ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) = Submodule.restrictScalars A (kerTotal R B)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (kerTotal R A) ⊔ Submodule.span A (Set.range (⇑(Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) = Submodule.map (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) (kerTotal R A) ⊔ Submodule.span A (Set.range fun x => Finsupp.single ((algebraMap R B) x) 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: x✝ : R

Context: a✝ : B

((⇑(Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1) x✝) a✝ = (Finsupp.single ((algebraMap R B) x✝) 1) a✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : Algebra.IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L

∑ σ : F →ₐ[K] E, σ ((algebraMap L F) pb.gen) = finrank L F • ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : Algebra.IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
this : FiniteDimensional L F


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : Algebra.IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
this✝ : FiniteDimensional L F
this : Algebra.IsSeparable L F


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : α → E
a : Filter α

Tendsto (fun e => ‖f e / 1‖) a (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x => ‖f x‖) a (𝓝 0)


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
f✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
inst✝ : Invertible x
N : ℕ
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ N

eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f


(fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) 0


∀ (n : ℕ) (r : R), r ≠ 0 → n ≤ N → (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) (C r * X ^ n)


∀ (f g : R[X]), f.natDegree < g.natDegree → g.natDegree ≤ N → (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) f → (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) g → (fun f => eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = eval₂ i x f) (f + g)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S

D.tensorProductTo (x * y) = (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x


D.tensorProductTo (0 * y) = (TensorProduct.lmul' R) 0 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo 0


∀ (x y_1 : S), D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1 * y) = (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y_1) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y_1)


∀ (x y_1 : S ⊗[R] S), D.tensorProductTo (x * y) = (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo x → D.tensorProductTo (y_1 * y) = (TensorProduct.lmul' R) y_1 • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo y_1 → D.tensorProductTo ((x + y_1) * y) = (TensorProduct.lmul' R) (x + y_1) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x + y_1)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x y : S ⊗[R] S
x₁ x₂ : S

D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)


D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * 0) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo 0 + (TensorProduct.lmul' R) 0 • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)


∀ (x y : S), D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) + (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)


∀ (x y : S ⊗[R] S), D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo x + (TensorProduct.lmul' R) x • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) → D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * y) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo y + (TensorProduct.lmul' R) y • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) → D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * (x + y)) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x + y) + (TensorProduct.lmul' R) (x + y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x✝ y✝ : S ⊗[R] S
x₁ x₂ x y : S

D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂ * x ⊗ₜ[R] y) = (TensorProduct.lmul' R) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) • D.tensorProductTo (x ⊗ₜ[R] y) + (TensorProduct.lmul' R) (x ⊗ₜ[R] y) • D.tensorProductTo (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)


(TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) ((x₁ * x) ⊗ₜ[R] (x₂ * y)) = (x₁ * x₂) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x ⊗ₜ[R] y) + (x * y) • (TensorProduct.lift (↑R ((LinearMap.lsmul S (S →ₗ[R] M)).flip ↑D))) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)


(x₁ * x) • D (x₂ * y) = (x₁ * x₂) • x • D y + (x * y) • x₁ • D x₂


(x₁ * x) • (x₂ • D y + y • D x₂) = (x₁ * x₂) • x • D y + (x * y) • x₁ • D x₂


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddMonoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Context: h : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.closure (of' R M '' S))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddMonoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Multiplicative.ofAdd m ∈ Submonoid.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' S)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddMonoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Context: S' : Submonoid (Multiplicative M) := Submonoid.closure S


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddMonoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Context: h' : Submonoid.map (of R M) S' = Submonoid.closure ((fun x => (of R M) x) '' S)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddMonoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Context: h : of' R M m ∈ span R ↑(Submonoid.map (of R M) S')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
ha : a ≠ 0
hcb : c ∣ b
hc : ¬c = 0


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
a₁ : α
b₁ b₂ : β a₁
x✝ : a₁ = a₁ ∧ HEq b₁ b₂
h₂ : HEq b₁ b₂

⟨a₁, b₁⟩ = ⟨a₁, b₂⟩


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y✝ : M
h : f x = 2
y : M

(preReflection x f) ((preReflection x f) y) = y


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ∀ r > 0, p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕝

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕝 E

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: p : Seminorm 𝕝 E

Context: hp : ∀ r > 0, ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : ι → Set α

Context: hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

Context: hf : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤

Tendsto (fun i => μ (⋂ j ∈ {j | j ≤ i}, f j)) atTop (𝓝 (μ (⋂ i, f i)))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f : ι → Set α

Context: hm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

Context: hf : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤

Tendsto (fun i => μ (⋂ j ∈ {j | j ≤ i}, f j)) atTop (𝓝 (⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)

Context: hm : Antitone s

Context: hf : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤

Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, s n)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)

Context: hm : Antitone s

Context: hf : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤

Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (⨅ i, μ (s i)))