Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : s.topologicalClosure = ⊤

(Submodule.map (↑f) s).topologicalClosure = ⊤


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : ↑s.topologicalClosure = ↑⊤

↑(Submodule.map (↑f) s).topologicalClosure = ↑⊤


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : Dense ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α

(⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝¹ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ c : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set ι

Context: this : aeval (x ∘ Subtype.val) = (aeval x).comp (rename Subtype.val)

AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val) ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval x) p = 0 → p = 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s : Set ι

Context: this✝ : aeval (x ∘ Subtype.val) = (aeval x).comp (rename Subtype.val)

Context: this : ∀ (p : MvPolynomial (↑s) R), (rename Subtype.val) p = 0 ↔ p = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ t + μ s


Context: a b : ℤ

(EuclideanDomain.gcd a b).natAbs = a.gcd b


Context: a b : ℤ

↑(EuclideanDomain.gcd a b).natAbs ∣ ↑(a.gcd b)


Context: a b : ℤ

↑(a.gcd b) ∣ ↑(EuclideanDomain.gcd a b).natAbs


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Finite R M

finrank R M = Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: ns : List ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i < (l.splitWrtCompositionAux ns).length

(l.splitWrtCompositionAux ns).get ⟨i, hi⟩ = drop (take i ns).sum (take (take (i + 1) ns).sum l)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
ι : Type u_2
xs : ι → α
xs_dense : DenseRange xs
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α


Context:
G : Type u
inst✝¹ : CancelCommMonoid G
inst✝ : Fintype G

exponent G = (Finset.image orderOf Finset.univ).max' ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card


(A * C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card


Context:
R : Type u_1
S : Type ?u.122514
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.122979
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.124119
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M

Subsingleton (k ⊗[R] M) ↔ Subsingleton M


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
inst✝ : IsDomain R₁
M : Matrix ι ι R₁

((toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft ↔ M.det ≠ 0


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

(n.ceilRoot a).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

(if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n


Context:
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)

((a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

Context: h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ (a.factorization ⌈/⌉ n).support


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

Context: h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)

Context: p : ℕ

Context: this : Prime p ∧ p ∣ a ∧ ¬a = 0


Context:
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
hn : l ≠ []
i j : ℕ
h : l.rotate i = l.rotate j


Context: α : Type u

Context: l : List α

Context: hl : l.Nodup

Context: hn : l ≠ []

Context: i j : ℕ

Context: h : l.rotate (i % l.length) = l.rotate (j % l.length)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

Context: h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂

∫ (x : D), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ∂μ ≤ (2 ^ μ.integrablePower * ∫ (x : D), (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower) ∂μ) * (C₁ + C₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

∫ (x : D), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ∂μ ≤ ∫ (a : D), 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂) ∂μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

Integrable (fun a => 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)) μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

(fun a => ‖a‖ ^ k * ‖f a‖) ≤ᶠ[ae μ] fun a => 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace D

Context: inst✝³ : BorelSpace D

Context: inst✝² : SecondCountableTopology D

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D

Context: μ : Measure D

Context: inst✝ : μ.HasTemperateGrowth

Context: f : D → E

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k : ℕ

Context: hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁

Context: v : D

‖v‖ ^ k * ‖f v‖ ≤ 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖v‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)


Context:
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)

Context: hn : 2 < n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : 1 < n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : 1 < n

Context: this : ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R = ∑ i ∈ range n, X ^ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : 1 < n

Context: this : eval x (∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R) = eval x (∑ i ∈ range n, X ^ i)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : 1 < n

Context: this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : 1 < n

Context: h : 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : 1 < n

Context: h : 0 = ∑ i ∈ range n, x ^ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommRing R

Context: x : R

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 < n

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : 1 < n

Context: h : ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: φ : G →* H

Context: hφ : Function.Surjective ⇑φ

Context: inst✝ : Finite G

Context: q : Group.IsNilpotent ↥(frattini G) ↔ ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p ↥(frattini G)), (↑P).Normal


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: φ : G →* H

Context: hφ : Function.Surjective ⇑φ

Context: inst✝ : Finite G

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: P : Sylow p ↥(frattini G)

Context: frattini_argument : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer ⊔ frattini G = ⊤


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: φ : G →* H

Context: hφ : Function.Surjective ⇑φ

Context: inst✝ : Finite G

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: P : Sylow p ↥(frattini G)

Context: normalizer_P : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer = ⊤


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Group H

Context: φ : G →* H

Context: hφ : Function.Surjective ⇑φ

Context: inst✝ : Finite G

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: P : Sylow p ↥(frattini G)

Context: P_normal_in_G : (map (frattini G).subtype ↑P).Normal


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
h : x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
h : y ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u : Multiset α
a b : α
t : Multiset α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ t✝¹ u : Multiset α

Context: a✝ b : α

Context: t✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: t : Multiset α

Context: IH : ∀ (s : Multiset α), s - t + t ∩ s = s

Context: s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → G

‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → G
le_ae : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ ‖f a‖


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n

A ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₃ ↔ J.IsAdjointPair J₃ A A


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i✝ : ι

Context: g✝ : G i✝

Context: w : NormalWord d

Context: hmw : w.fstIdx ≠ some i✝

Context: hgr : g✝ ∉ (φ i✝).range

Context: n : ↑↑(φ i✝).range × ↑(d.set i✝) := ⋯.equiv (g✝ * (φ i✝) w.head)

Context: w' : Word G := Word.cons (↑n.2) w.toWord hmw ⋯

Context: i : ι

Context: g : G i

Context: hg : ⟨i, g⟩ ∈ w'.toList


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: i✝ : ι

Context: g✝ : G i✝

Context: w : NormalWord d

Context: hmw : w.fstIdx ≠ some i✝

Context: hgr : g✝ ∉ (φ i✝).range

Context: i : ι

Context: g : G i

Context: hg : i = i✝ ∧ HEq g ↑n.2 ∨ ⟨i, g⟩ ∈ w.toList


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
d : σ →₀ ℕ
r : R

constantCoeff ((monomial d) r) = if d = 0 then r else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞

ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑I.symm) (range ↑I)


ContinuousOn (↑I.symm) (range ↑I) ∧ ∀ (x : E) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑I.symm ∘ ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).symm) ((extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).symm ⁻¹' (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : E
y : H

ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑I.symm ∘ ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).symm) ((extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) x).symm ⁻¹' (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))


ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I)


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

sinh x * cosh x + cosh x * sinh x = 2 * sinh x * cosh x


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace 𝕜
β : Type u_4
inst✝ : UniformSpace β
f : β → Matrix m n 𝕜

UniformContinuous f ↔ ∀ (i : m) (j : n), UniformContinuous fun x => f x i j


(∀ (i : m) (i_1 : n), Filter.Tendsto ((fun a => (a.1 i i_1, a.2 i i_1)) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) (𝓤 𝕜)) ↔ ∀ (i : m) (j : n), Filter.Tendsto (fun x => (f x.1 i j, f x.2 i j)) (𝓤 β) (𝓤 𝕜)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I J : Ideal R
h : I ≤ J
x : R
hx : x ∈ I.jacobson


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: I✝ I J : Ideal R

Context: h : I ≤ J

Context: x : R

Context: hx : ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I_1

∀ ⦃I : Ideal R⦄, I ∈ {J_1 | J ≤ J_1 ∧ J_1.IsMaximal} → x ∈ I


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X

closure (⋃ i ∈ s, f i) = ⋃ i ∈ s, closure (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u =O[l] 0


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α
l : List (Perm α)
h1 : 1 ∉ l
h2 : List.Pairwise Disjoint l


∀ {a b : Perm α}, a ∈ l → b ∈ l → a.Disjoint b → a ≠ b


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α
l : List (Perm α)
h1 : 1 ∉ l
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
a✝ h_mem : σ ∈ l
h_disjoint : σ.Disjoint σ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → γ → δ
n : β → γ

map₂ m f (map n g) = map₂ (fun a b => m a (n b)) f g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne

Context: x : Γ₀

Context: h : x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b✝ : α
s : Finset β
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α

HasProd (fun b' => if b' = b then a else 1) a


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (x - ↑n) ↔ LiouvilleWith p x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) (f i j hij x) = (g i) x

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: F : DirectLimit G f →+* P

Context: x✝ : DirectLimit G f

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: x : G i

((fun i => F.comp (of G f i)) j) (f i j hij x) = ((fun i => F.comp (of G f i)) i) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: F : DirectLimit G f →+* P

Context: x : DirectLimit G f

F x = (lift G f P (fun i => F.comp (of G f i)) ⋯) x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: F : DirectLimit G f →+* P

Context: x : DirectLimit G f

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: g : (i : ι) → G i →+* P

Context: F : DirectLimit G f →+* P

Context: x : DirectLimit G f

Context: h✝ : Nonempty ι


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
n : ℕ
hn : n ≤ chainBotCoeff α β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₁ : 0 < a
h₂ : a < 1


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

IsIso (forgetToSheafedSpace.map (pullback.snd f g))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

IsIso (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.map (forgetToSheafedSpace.map (pullback.snd f g)))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

IsIso ((PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace) f g).hom ≫ pullback.snd ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace).map g))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : ↥f.domain


∃ a b, (∃ (h : a ∈ f.domain), ↑f ⟨a, ⋯⟩ = b) ∧ b = ↑f x ∧ a = ↑x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α

M.closure (M.closure X ∪ M.closure Y) = M.closure (X ∪ Y)


M.closure (⋃ i, M.closure (bif i then X else Y)) = M.closure (⋃ b, bif b then M.closure X else M.closure Y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1


Context: a b c d m n✝ k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1

Context: refl : motive n ⋯

Context: le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯

leRec refl le_succ_of_le ⋯ = le_succ_of_le ⋯ refl


Context:
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddBelow S


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a c : M
b d : ↥S


(∃ u v, u • c = v • a ∧ ↑u * ↑d = v * ↑b) ↔ Setoid.r (a, b) (c, d)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
f : End K V
inst✝ : PerfectField K

∃ n ∈ adjoin K {f}, ∃ s ∈ adjoin K {f}, IsNilpotent n ∧ s.IsSemisimple ∧ f = n + s


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
f : End K V
inst✝ : PerfectField K
g : K[X]
k : ℕ
sep : Squarefree g
nil : minpoly K f ∣ g ^ k


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
f : End K V
inst✝ : PerfectField K
g : K[X]
k : ℕ
sep : g.Separable
nil : minpoly K f ∣ g ^ k


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
A B : Set (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
f : ι → Set (Finset α)

Sized r (⋃ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Sized r (f i)


(∀ ⦃x : Finset α⦄ (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → x.card = r) ↔ ∀ (i : ι) ⦃x : Finset α⦄, x ∈ f i → x.card = r


Context:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : NonUnitalSubring S
x : R × S

x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R

(eval P) W'.polynomialZ = W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5)


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 1) = (n + 1, 0) ::ₘ map (Prod.map id Nat.succ) (antidiagonal n)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w


Context:
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
p : Submodule (MonoidAlgebra k G) V


Context:
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
p : Submodule (MonoidAlgebra k G) V
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] ↥p
hf : f ∘ₗ p.subtype = LinearMap.id


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
hs : (𝓓 a 𝒜).Shatters s
u : Finset α
hu : u ∈ 𝓓 a 𝒜
ht : s ∩ u ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: hs : (𝓓 a 𝒜).Shatters s

Context: u : Finset α

Context: hu : u ∈ 𝒜 ∧ u.erase a ∈ 𝒜 ∨ u ∉ 𝒜 ∧ insert a u ∈ 𝒜

Context: ht : s ∩ u ⊆ s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
A : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
inst✝¹ : HasShift D A
inst✝ : F.CommShift A
this : G.CommShift A := ofIso e A
a : A

(iso a).hom ≫ whiskerRight e.hom (shiftFunctor D a) = whiskerLeft (shiftFunctor C a) e.hom ≫ whiskerLeft (shiftFunctor C a) e.inv ≫ (iso a).hom ≫ whiskerRight e.hom (shiftFunctor D a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α


(∀ (a_1 a_2 : α), a ∣ a_1 * a_2 → ∃ x x_1, x ∣ a_1 ∧ x_1 ∣ a_2 ∧ Associates.mk a = Associates.mk (x * x_1)) ↔ ∀ ⦃b c : α⦄, a ∣ b * c → ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
j : ι
hij : c.Rel j (c.next j)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g


Context: x✝ y z x : ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : C

Injective J ↔ (yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms


(coyoneda.obj (op (op J))).PreservesEpimorphisms ↔ (yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms


Context:
α : Type u_1
n : Num


Context:
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1

abs (cexp x - 1) = abs (cexp x - ∑ m ∈ range 1, x ^ m / ↑m.factorial)


Context:
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1

abs x ^ 1 * (↑(Nat.succ 1) * (↑(Nat.factorial 1) * ↑1)⁻¹) = 2 * abs x


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R
m x : M
hx : x ∈ I • span R {m}
m1 m2 : M
x✝¹ : ∃ y ∈ I, y • m = m1
x✝ : ∃ y ∈ I, y • m = m2
y1 : R
hyi1 : y1 ∈ I
hy1 : y1 • m = m1
y2 : R
hyi2 : y2 ∈ I
hy2 : y2 • m = m2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a b : EReal

Context: h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)

Context: this : (fun p => p.1 * p.2) = (fun x => -x) ∘ (fun p => p.1 * p.2) ∘ fun p => (-p.1, p.2)

ContinuousAt ((fun x => -x) ∘ (fun p => p.1 * p.2) ∘ fun p => (-p.1, p.2)) (-a, b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a b : EReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

count a l.dedup = if a ∈ l then 1 else 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p1 p2 : P

Context: hp1 : p1 ∈ s

dist p1 p2 * dist p1 p2 = dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p2) * dist p1 ↑((orthogonalProjection s) p2) + dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p2) * dist p2 ↑((orthogonalProjection s) p2)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p1 p2 : P

Context: hp1 : p1 ∈ s

⟪p1 -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p2), ↑((orthogonalProjection s) p2) -ᵥ p2⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
x : ℝ≥0∞

∑ r ∈ f.range, x * r * μ (↑f ⁻¹' {r}) = x * ∑ r ∈ f.range, r * μ (↑f ⁻¹' {r})


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁹ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁸ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁷ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝⁶ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace Ω
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : BoundedSMul R ℝ≥0
μ : FiniteMeasure Ω
c : R
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

μ.testAgainstNN (c • f) = c • μ.testAgainstNN f


∫⁻ (ω : Ω), c • ↑(f ω) ∂↑μ = c • ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ


∫⁻ (ω : Ω), c • 1 * ↑(f ω) ∂↑μ = c • 1 * ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ


Context: s : String


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)

Context: hR₂ : R₂.Exact

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)

Context: ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)

Context: hR₂ : R₂.Exact

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)

(mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0

Context: hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)

Context: hR₂ : R₂.Exact

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)

(ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact


Context: α : Type u_1

Context: M₀ : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: M₀' : Type u_4

Context: G₀' : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝ : GroupWithZero G₀

Context: a b c g h✝ x : G₀

Context: h : x ≠ 0

Context: y y' : G₀

Context: w : (fun y => x * y) y = (fun y => x * y) y'


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower S R N
inst✝² : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
N' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : N' →ₗ[R] M
x✝¹ x✝ : N'

(((associatedHom S) (Q.comp f)) x✝¹) x✝ = ((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom S) Q) f f) x✝¹) x✝


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
i j : K
F : J ⥤ K ⥤ C
f : i ⟶ j

(limitObjIsoLimitCompEvaluation F i).inv ≫ (limit F).map f = limMap (whiskerLeft F ((evaluation K C).map f)) ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation F j).inv


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α

Associated (gcd (a * b) (a * c)) (a * gcd b c)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
b c : α

Associated (gcd (0 * b) (0 * c)) (0 * gcd b c)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α
eq : gcd (a * b) (a * c) = a * d


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hn : n ≠ 0
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ


Context: a b c d m✝ n k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1

Context: refl : motive n ⋯

Context: le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯

Context: m : ℕ

Context: h1 : n ≤ m

Context: h2 : n + 1 ≤ m

leRec (le_succ_of_le ⋯ refl) (fun k h ih => le_succ_of_le ⋯ ih) h2 = leRec refl le_succ_of_le h1


Context:
f : Code
k : Cont'

contSupp (Cont'.fix f k) = codeSupp f (Cont'.fix f k)


Context:
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥


∀ (x : ↥U), (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0


Context:
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
x : ↥U

(X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0


Context:
R : Type u_1
inst✝²³ : CommSemiring R
R₂ : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝²¹ : CommSemiring R₃
R₄ : Type u_4
inst✝²⁰ : CommSemiring R₄
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
Qₗ' : Type u_13
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝¹² : AddCommMonoid Qₗ
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R₂ N
inst✝⁸ : Module R₃ P
inst✝⁷ : Module R₄ Q
inst✝⁶ : Module R Mₗ
inst✝⁵ : Module R Nₗ
inst✝⁴ : Module R Pₗ
inst✝³ : Module R Qₗ
inst✝² : Module R Qₗ'
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₃ σ₄₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₃] N →ₛₗ[σ₂₃] P
f : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
x✝¹ : Mₗ
x✝ : Nₗ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r s)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r s)

(formPerm (Quot.mk Setoid.r s) h).support = toFinset (Quot.mk Setoid.r s)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
x✝ : α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r [x✝])
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r [x✝])


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P

(pointReflection R (midpoint R x y)) y = x


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit (a * ↑u)
v : Mˣ
hv : ↑v = a * ↑u


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit (a * ↑u)
v : Mˣ
hv : ↑v = a * ↑u
this : IsUnit (a * ↑u * ↑u⁻¹)


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.87545, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.87549, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'

(F.shiftIso n a' a ⋯).hom.app X ≫ F.shiftMap f a a' ha' = (F.shift a').map ((shiftFunctor C n).map f ≫ (shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).hom.app Y)


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
hnm' : m + n = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : Monoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : Monoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a : G
n : ℕ


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r s : R


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last n
j : Fin n


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < n


Context:
i : Fin (2 + 1)
j : Fin 2
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < 2


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < n
hn : 2 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (α → β)
t : Set α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α


(s.Nonempty ∧ ∀ (b : Set α), b ≠ ∅ → b ≤ s → s ≤ b) → ∃ x, s = {x}


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ (b : Set α), b ≠ ∅ → b ≤ s → s ≤ b

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : DivInvMonoid G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
l : Filter α
x : G₀
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
y : G₀

Tendsto (fun a => f a / y) l (𝓝 (x / y))


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s✝ : Set β
c : G
s : Set α
hs : Dense s


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s✝ : Set β
c : G
s : Set α
hs : closure s = univ


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : IsLieAbelian L


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : ⊥ = ⊤


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R

(eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p


∀ (a : R), (eval x) (eval₂ f g (C a)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (C a)


∀ (p q : MvPolynomial σ R), (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p → (eval x) (eval₂ f g q) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) q → (eval x) (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (p + q)


∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p → (eval x) (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (p * X n)


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₀ ⟶ X₁

Context: d₁ : X₁ ⟶ X₂

Context: s : d₀ ≫ d₁ = 0

Context: succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0

Context: succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₀ ⟶ X₁) → (X₂ : V) ×' (d : X₁ ⟶ X₂) ×' f ≫ d = 0

(if 1 = 0 + 1 then d₀ ≫ 𝟙 X₁ else 0) = d₀


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a
x : α
hf : f x ≤ f a
hgf : g x ≤ f x


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b x✝ : α

¬(x✝ ∈ s → x✝ ∉ t) ↔ x✝ ∈ s ∧ x✝ ∈ t


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: e : B ≃ B'

Context: M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M

Set.range (uncurry M'.relation) = Set.range (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e)


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: e : B ≃ B'

Set.range (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e) = Set.range (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation)


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: e : B ≃ B'

uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e = ⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: e : B ≃ B'

Context: i i' : B

(uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e) (i, i') = (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation) (i, i')


Context: B : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: e : B ≃ B'

Set.range (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation) = ⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) '' M.relationsSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E

‖a * b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)

Context: s : Finset ι

Context: c : γ

Context: x : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: i : ι


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)

Context: s : Finset ι

Context: c : γ

Context: x : (i : ↑↑s) → β ↑i

Context: i : ι

(if H : i ∈ s then (c • x) ⟨i, H⟩ else 0) = c • if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
s t : σ

(coeff R (single t 1)) (X s) = if t = s then 1 else 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F

(pderiv x) (X y ^ 2 + C W'.a₁ * X x * X y * X z + C W'.a₃ * X y * X z ^ 3 - (X x ^ 3 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X x * X z ^ 4 + C W'.a₆ * X z ^ 6)) = C W'.a₁ * X y * X z - (C 3 * X x ^ 2 + C (2 * W'.a₂) * X x * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X z ^ 4)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∉ s → f x = 0

∫ (x : X), f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


∫ (x : X) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : a = g⁻¹ • b


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : g • a = b


Context: m n : ℤ


Context: m n : ℕ

Nat.bitwise (fun x y => !xor x !y) m n = Nat.bitwise xor m n


Context: m n : ℕ

Nat.bitwise (fun x y => !xor (!x) y) m n = Nat.bitwise xor m n


Context: m n : ℕ

↑(Nat.bitwise (fun x y => xor (!x) !y) m n) = ↑(Nat.bitwise xor m n)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : Monad C
X Y Z : Kleisli T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

T.map (f ≫ T.map g ≫ T.μ.app Z) ≫ T.μ.app Z = { obj := fun X => T.obj X, map := fun {x Y} f => T.map f ≫ T.μ.app Y }.map f ≫ { obj := fun X => T.obj X, map := fun {x Y} f => T.map f ≫ T.μ.app Y }.map g


T.map f ≫ T.map (T.map g) ≫ T.map (T.μ.app Z) ≫ T.μ.app Z = T.map f ≫ T.μ.app Y ≫ T.map g ≫ T.μ.app Z


T.map f ≫ T.map (T.map g) ≫ T.μ.app (T.obj Z) ≫ T.μ.app Z = T.map f ≫ (T.toFunctor ⋙ T.toFunctor).map g ≫ T.μ.app (T.obj Z) ≫ T.μ.app Z


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : Disjoint f.domain g.domain
x : ↥f.domain
y : ↥g.domain
hxy : ↑x = ↑y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: h : ∀ x ∈ f.domain, x ∈ g.domain → x = 0

Context: x : ↥f.domain

Context: y : ↥g.domain

Context: hxy : ↑x = ↑y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: x : ↥f.domain

Context: y : ↥g.domain

Context: hxy : ↑x = ↑y

Context: hy : y = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: x : ↥f.domain

Context: y : ↥g.domain

Context: hxy : ↑x = ↑y

Context: hy : y = 0

Context: hx : x = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
x : R
inst✝ : Away x S
s : S

s * (algebraMap R S) (x ^ (sec x s).2) = (algebraMap R S) (sec x s).1


s * (algebraMap R S) (x ^ Exists.choose ⋯) = s * (algebraMap R S) ↑(IsLocalization.sec (Submonoid.powers x) s).2


x ^ Exists.choose ⋯ = ↑(IsLocalization.sec (Submonoid.powers x) s).2


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
s : Set A
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ ↑(adjoin R s)
x y : A
hx : D1 x = D2 x
hy : D1 y = D2 y


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : E

x ∈ perfectClosure F E ↔ (minpoly F x).natSepDegree = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N O n o : ℕ
hn : n ≤ N
ho : o ≤ O

(revAt (N + O)) (n + o) = (revAt N) n + (revAt O) o


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
O n o : ℕ
ho : o ≤ O
n' : ℕ
hn : n ≤ n + n'

(revAt (n + n' + O)) (n + o) = (revAt (n + n')) n + (revAt O) o


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n o n' : ℕ
hn : n ≤ n + n'
o' : ℕ
ho : o ≤ o + o'


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
t : Finset α

t ∈ (insert a s).powerset ↔ t ∈ s.powerset ∪ image (insert a) s.powerset


t.erase a ⊆ s ↔ t ⊆ s ∨ ∃ a_1 ⊆ s, insert a a_1 = t


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)


∀ {ι_1 : Type u} (U : ι_1 → Set X), (∀ (i : ι_1), IsOpen (U i)) → ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i

∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ t, U i_1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)
i : Type u
U : i → Set X
hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)
hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i
hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: s : Set ι

Context: f : ι → Set X

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)

Context: i : Type u

Context: U : i → Set X

Context: hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)

Context: hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i

Context: hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i

Context: iSets : ∀ i_1 ∈ s, ∃ r, r.Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r, U i_2


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: s : Set ι

Context: f : ι → Set X

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)

Context: i : Type u

Context: U : i → Set X

Context: hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)

Context: hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i

Context: hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i

Context: r : ι → Set i

Context: hr : ∀ i_1 ∈ s, (r i_1).Countable ∧ f i_1 ⊆ ⋃ i_2 ∈ r i_1, U i_2


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: s : Set ι

Context: f : ι → Set X

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, IsLindelof (f i)

Context: i : Type u

Context: U : i → Set X

Context: hU : ∀ (i : i), IsOpen (U i)

Context: hUcover : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i, U i

Context: hiU : ∀ i_1 ∈ s, f i_1 ⊆ ⋃ i, U i

Context: r : ι → Set i

(⋃ i_1 ∈ s, r i_1).Countable ∧ ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i_1 ∈ ⋃ i_2 ∈ s, r i_2, U i_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
f : α → β
a : α
x : β


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X


derivedSet (derivedSet (closure A)) ⊆ derivedSet (closure A)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
inst✝ : Nontrivial R
x : ↥(span R (range v))

Span.repr R (range v) x = Finsupp.equivMapDomain (Equiv.ofInjective v ⋯) (hv.repr x)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : ↥(span R (range v))

Context: p : Finsupp.equivMapDomain (Equiv.ofInjective v ⋯).symm (Span.repr R (range v) x) = hv.repr x


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
this : 2 ≤ 2 * p - 2


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
this✝ : 2 ≤ 2 * p - 2
this : 2 + p ≤ 2 * p


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
AB_dvd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1
this✝¹ : 2 ≤ 2 * p - 2
this✝ : 2 + p ≤ 2 * p
this : p ≤ 2 * p - 2


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E →SL[σ₁₂] F
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ⇑f
x : E

‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖


Context:
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Monoid.FG ↥M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Monoid.FG ↥M
this : Monoid.FG ↥(invSubmonoid M S)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Monoid.FG ↥M
this : (invSubmonoid M S).FG


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing P

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : Monoid.FG ↥M

Context: s : Finset S

Context: hs : Submonoid.closure ↑s = invSubmonoid M S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing P

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : Monoid.FG ↥M

Context: s : Finset S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing P

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : Monoid.FG ↥M

Context: s : Finset S

Context: x : S

x ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R ↑s))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing P

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : Monoid.FG ↥M

Context: s : Finset S

Context: x : S


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α

(diagonal v).updateRow i (Pi.single i x) = diagonal (Function.update v i x)


Context: x y : ℂ

(cexp x).re = Real.exp x.re * Real.cos x.im


Context: x y : ℂ

(cexp ↑x.re * (cos ↑x.im + sin ↑x.im * I)).re = Real.exp x.re * Real.cos x.im


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
f : R →+* S
M : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊥
hN' : N.FG
x : A
hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: M : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M

Context: N : Submodule R M

Context: hN : N ≠ ⊥

Context: hN' : N.FG

Context: x : A

Context: hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N

Context: A' : Subalgebra R A := { carrier := {x | ∀ n ∈ N, x • n ∈ N}, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: f✝ : R →+* S

Context: M : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M

Context: N : Submodule R M

Context: hN : N ≠ ⊥

Context: hN' : N.FG

Context: x : A

Context: hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N

Context: f : ↥A' →ₐ[R] Module.End R ↥N := AlgHom.ofLinearMap { toFun := fun x => (DistribMulAction.toLinearMap R M x).restrict ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⋯ ⋯


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: f✝ : R →+* S

Context: M : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M

Context: N : Submodule R M

Context: hN : N ≠ ⊥

Context: hN' : N.FG

Context: x : A

Context: hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N

Context: a : M

Context: ha₁ : a ∈ N

Context: ha₂ : a ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: f✝ : R →+* S

Context: M : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M

Context: N : Submodule R M

Context: hN : N ≠ ⊥

Context: hN' : N.FG

Context: x : A

Context: hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N

Context: a : M

Context: ha₁ : a ∈ N

Context: ha₂ : a ≠ 0

Context: this : Function.Injective ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Ring B

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: f✝ : R →+* S

Context: M : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A M

Context: N : Submodule R M

Context: hN : N ≠ ⊥

Context: hN' : N.FG

Context: x : A

Context: hx : ∀ n ∈ N, x • n ∈ N

Context: a : M

Context: ha₁ : a ∈ N

Context: ha₂ : a ≠ 0

Context: this✝ : Function.Injective ⇑f

Context: this : Module.Finite R ↥N


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀

Context: hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ : Module.Dual ℝ (ι → ℝ)

Context: Λ₀ : ℝ

Context: h0 : (Λ, Λ₀) ≠ 0

Context: hsum : ∀ (x : E), Λ ((ContinuousLinearMap.pi f') x) + Λ₀ • φ' x = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f✝ : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f'✝ : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → E → ℝ

Context: f' : ι → E →L[ℝ] ℝ

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ₀ : ℝ

Context: Λ : ι → ℝ

Context: h0 : ((LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ).symm Λ, Λ₀) ≠ 0

Context: hsum : ∀ (x : E), ((LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ).symm Λ) ((ContinuousLinearMap.pi f') x) + Λ₀ • φ' x = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℤ
a : R

(C a * T n).degree = if a = 0 then ⊥ else ↑n


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α

Chain R a (l ++ [b]) ↔ Forall₂ R (a :: l) (l ++ [b])


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : ↥(Lp E p μ)

dist f g = (eLpNorm (↑↑f - ↑↑g) p μ).toReal


(eLpNorm (↑↑(f - g)) p μ).toReal = (eLpNorm (↑↑f - ↑↑g) p μ).toReal


eLpNorm (↑↑(f - g)) p μ = eLpNorm (↑↑f - ↑↑g) p μ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
x✝ : χ.FactorsThrough 1
w✝ : 1 ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R 1
hχ₀ : χ = (changeLevel w✝) χ₀


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
P : ProjectiveResolution Y
Q : ProjectiveResolution Z

liftFOne f P Q ≫ Q.complex.d 1 0 = P.complex.d 1 0 ≫ liftFZero f P Q


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: n : ℕ

Context: c : CompositionAsSet n

Context: i : ℕ

Context: IH : ∀ (h : i < c.boundaries.card), (take i c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i, h⟩)

Context: h : i + 1 < c.boundaries.card

(take (i + 1) c.blocks).sum = ↑(c.boundary ⟨i + 1, h⟩)


Context: n : ℕ

Context: c : CompositionAsSet n

Context: i : ℕ

Context: h : i + 1 < c.boundaries.card

Context: A : i < c.blocks.length


Context: n : ℕ

Context: c : CompositionAsSet n

Context: i : ℕ

Context: h : i + 1 < c.boundaries.card

Context: A : i < c.blocks.length

Context: B : i < c.boundaries.card


Context: n : ℕ

Context: c : CompositionAsSet n

Context: i : ℕ

Context: h : i + 1 < c.boundaries.card

Context: A : i < c.blocks.length

Context: B : i < c.boundaries.card

↑(c.boundary ⟨i, B⟩) + c.blocks[i] = ↑(c.boundary ⟨i + 1, h⟩)


Context:
x : Cardinal.{u_1}
n : ℕ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E


Context:
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ

DifferentiableOn ℂ (eisSummand k a ∘ ↑ofComplex) {z | 0 < z.im}


Context:
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ

∀ x ∈ {z | 0 < z.im}, (eisSummand k a ∘ ↑ofComplex) x = (↑(a 0) * x + ↑(a 1)) ^ (-k)


Context:
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
z : ℍ

(eisSummand k a ∘ ↑ofComplex) ↑z = (↑(a 0) * ↑z + ↑(a 1)) ^ (-k)


Context:
m n : ℕ+
k l : ℕ
h : m.Coprime n


Context:
m n : ℕ+
k l : ℕ
h : (↑m).Coprime ↑n


Context: m : ℕ


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
a : α

a ∈ h • fixedBy α g ↔ a ∈ fixedBy α (h * g * h⁻¹)


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x : ℕ
x✝ : ∃ n, n * n = x
n : ℕ
hn : n * n = x


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
hr : Symmetric r
x : α × α

x.swap ∈ interedges r s t ↔ x ∈ interedges r t s


x.swap.1 ∈ s ∧ x.swap.2 ∈ t ∧ r x.swap.2 x.swap.1 ↔ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s ∧ r x.1 x.2


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: hlim : ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: lnonneg : 0 ≤ l


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: lnonneg : 0 ≤ l

Context: A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: lnonneg : 0 ≤ l

Context: B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: lnonneg : 0 ≤ l

Context: d : ℝ

Context: hd : d < l


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: lnonneg : 0 ≤ l

Context: d : ℝ

Context: hd : d > l


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
i : Fin n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a c d : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
h : torsionBySet R M s = ⊤
x : M


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M


Context: D : GlueData

Context: i : D.J

Context: a : ↑(D.U i)

Context: j : D.J

Context: b : ↑(D.U j)

Context: k : D.J

Context: c : ↑(D.U k)

Context: x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))

Context: e₁ : (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd

Context: e₂ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x) = ⟨j, b⟩.snd

Context: y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))

Context: e₃ : (D.f ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y = ⟨j, b⟩.snd

Context: e₄ : (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) ((D.t ⟨j, b⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) y) = ⟨k, c⟩.snd


Context: D : GlueData

Context: i : D.J

Context: a : ↑(D.U i)

Context: j : D.J

Context: b : ↑(D.U j)

Context: k : D.J

Context: c : ↑(D.U k)

Context: x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))

Context: y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))

Context: z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k)) := (pullbackIsoProdSubtype (D.f j i) (D.f j k)).inv ⟨((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨j, b⟩.fst) x, y), ⋯⟩


Context: D : GlueData

Context: i : D.J

Context: a : ↑(D.U i)

Context: j : D.J

Context: b : ↑(D.U j)

Context: k : D.J

Context: c : ↑(D.U k)

Context: x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))

Context: y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))

Context: eq₁ : (D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z) = x


Context: D : GlueData

Context: i : D.J

Context: a : ↑(D.U i)

Context: j : D.J

Context: b : ↑(D.U j)

Context: k : D.J

Context: c : ↑(D.U k)

Context: x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))

Context: y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))

Context: eq₂ : (pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z = y


Context: D : GlueData

Context: i : D.J

Context: a : ↑(D.U i)

Context: j : D.J

Context: b : ↑(D.U j)

Context: k : D.J

Context: c : ↑(D.U k)

Context: x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))

Context: y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))

Context: z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))

∃ x, (D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) x = ⟨i, a⟩.snd ∧ (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) x) = ⟨k, c⟩.snd


Context: D : GlueData

Context: i : D.J

Context: a : ↑(D.U i)

Context: j : D.J

Context: b : ↑(D.U j)

Context: k : D.J

Context: c : ↑(D.U k)

Context: x : ↑(D.V (⟨i, a⟩.fst, ⟨j, b⟩.fst))

Context: y : ↑(D.V (⟨j, b⟩.fst, ⟨k, c⟩.fst))

Context: z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))

(D.f ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z)) = ⟨i, a⟩.snd ∧ (D.f ⟨k, c⟩.fst ⟨i, a⟩.fst) ((D.t ⟨i, a⟩.fst ⟨k, c⟩.fst) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z))) = ⟨k, c⟩.snd


Context: D : GlueData

Context: i j k : D.J

Context: z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))

Context: e₂ : (D.f j i) ((D.t i j) ((D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z))) = (D.f j k) ((pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z)

(D.f i k) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z)) = (D.f i j) ((D.t j i) ((pullback.fst (D.f j i) (D.f j k)) z)) ∧ (D.f k i) ((D.t i k) ((pullback.fst (D.f i k) (D.f i j)) ((D.t' j i k) z))) = (D.f k j) ((D.t j k) ((pullback.snd (D.f j i) (D.f j k)) z))


Context: D : GlueData

Context: i j k : D.J

Context: z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))

Context: h₁ : D.t' j i k ≫ pullback.fst (D.f i k) (D.f i j) ≫ D.f i k = pullback.fst (D.f j i) (D.f j k) ≫ D.t j i ≫ D.f i j


Context: D : GlueData

Context: i j k : D.J

Context: z : ↑(pullback (D.f j i) (D.f j k))

Context: h₂ : D.t' j i k ≫ pullback.fst (D.f i k) (D.f i j) ≫ D.t i k ≫ D.f k i = pullback.snd (D.f j i) (D.f j k) ≫ D.t j k ≫ D.f k j


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ : AffineSubspace k P
v₁₂ v₂₃ : V

map (↑(constVAdd k P v₂₃)) (map (↑(constVAdd k P v₁₂)) s₁) = map (↑(constVAdd k P (v₂₃ + v₁₂))) s₁


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
e' : β → γ
b : β
hb : ¬∃ a, f a = b


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α✝
a : α✝
g f✝ : α✝ → M
α : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
f : ℕ → α
n m : ℕ
hnm : n ≤ m

(∏ k ∈ range m, f k) / ∏ k ∈ range n, f k = ∏ k ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range m), f k


∏ k ∈ Ico n m, f k = ∏ k ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range m), f k


Ico n m = filter (fun k => n ≤ k) (range m)


∀ (a : ℕ), a ∈ Ico n m ↔ a ∈ filter (fun k => n ≤ k) (range m)


∀ (a : ℕ), n ≤ a ∧ a < m ↔ a < m ∧ n ≤ a


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : Dual R M


Context: R : Type uR

Context: M : Type uM

Context: K : Type uK

Context: V : Type uV

Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R M

Context: inst✝ : _root_.Finite ι

Context: f : Dual R M

Context: lin_comb : ι →₀ R := Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun i => f (b i)


Context: R : Type uR

Context: M : Type uM

Context: K : Type uK

Context: V : Type uV

Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R M

Context: inst✝ : _root_.Finite ι

Context: f : Dual R M

Context: i : ι

(b.toDual ((Finsupp.total ι M R ⇑b) lin_comb)) (b i) = f (b i)


Context: R : Type uR

Context: M : Type uM

Context: K : Type uK

Context: V : Type uV

Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R M

Context: inst✝ : _root_.Finite ι

Context: f : Dual R M

Context: i : ι


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasZeroObject D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v ≠ 0

(of v).s.get? 0 = some { a := 1, b := ↑⌊(fract v)⁻¹⌋ }


(match some (IntFractPair.of (IntFractPair.of v).fr⁻¹), some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b } with | none, x => none | some a, f => f a) = some { a := 1, b := ↑⌊(fract v)⁻¹⌋ }


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ K₂.carrier

↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type (max u_2 u_3)
f : ι → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: φ : C(↑(σₙ R a), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A

Context: hφ₁ : Continuous ⇑φ

Context: hφ₂ : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = a

(cfcₙHom ha) { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R a) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ }


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), ∀ a ∈ B, g • a ∈ B → g • B = B


(∀ (g : G), g • B ∩ B ≠ ∅ → g • B = B) ↔ ∀ (g : G), ∀ a ∈ B, g • a ∈ B → g • B = B


(∀ (g : G) (x : X), g⁻¹ • x ∈ B → x ∈ B → g • B = B) ↔ ∀ (g : G), ∀ a ∈ B, g • a ∈ B → g • B = B


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M


iSup (evenOdd Q) = ⨆ i, LinearMap.range (ι Q) ^ i


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
ha : a ≠ 0


Context: p✝ : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: p j : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : ℕ → ℚ

Context: S : Finset ℕ

Context: hS : S.Nonempty

Context: hF : ∀ i ∈ S, padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)

Context: hn1 : ∀ (i : ℕ), 0 < F i

padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ S, F i)


Context: p✝ : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: p j : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : ℕ → ℚ

Context: S : Finset ℕ

Context: hn1 : ∀ (i : ℕ), 0 < F i

Context: k : ℕ

Context: hF : ∀ i ∈ {k}, padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)

padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ {k}, F i)


Context: p✝ : ℕ

Context: hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: p j : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : ℕ → ℚ

Context: S : Finset ℕ

Context: hn1 : ∀ (i : ℕ), 0 < F i

Context: s : ℕ

Context: S' : Finset ℕ

Context: Hnot : s ∉ S'

Context: Hne : S'.Nonempty

Context: Hind : (∀ i ∈ S', padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)) → padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ S', F i)

Context: hF : ∀ i ∈ Finset.cons s S' Hnot, padicValRat p (F j) < padicValRat p (F i)

padicValRat p (F j) < padicValRat p (∑ i ∈ Finset.cons s S' Hnot, F i)


Context: α : Type u_1

Context: l : List (α → Prop)

Context: H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE


Context: α : Type u_1

Context: l : List (α → Prop)

∀ (j : α → Prop), j ∈ l → ∀ (j_1 : α → Prop), j_1 ∈ l → ((∃ a, j a) ↔ ∃ a, j_1 a)


Context: α : Type u_1

Context: l : List (α → Prop)

Context: p₁ : α → Prop

Context: hp₁ : p₁ ∈ l

Context: p₂ : α → Prop

Context: hp₂ : p₂ ∈ l


Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Sort u_2

Context: s : Finset ι

Context: f g : (i : ι) → π i

Context: inst✝² : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: j : ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Decidable (i ∈ insert j s)

(insert j s).piecewise f g = update (s.piecewise f g) j (f j)


Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Sort u_2

Context: s : Finset ι

Context: f g : (i : ι) → π i

Context: inst✝² : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: j : ι

(↑(insert j s)).piecewise f g = (insert j ↑s).piecewise f g


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ

MeasurePreserving (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume volume


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)


Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = volume


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume) (univ.pi s) = ∏ i : ι, volume (s i)


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)


∫⁻ (a : ι → ℝ), (univ.pi s).indicator 1 a ∂Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = ∫⁻ (a : ι → ℝ), (univ.pi s).indicator 1 a ∂Measure.pi fun i => volume


(∫⁻ (a : ι → ℝ), (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) a) ∂Measure.pi fun x => volume) = ∫⁻ (a : ι → ℝ), (univ.pi s).indicator 1 a ∂Measure.pi fun i => volume


(∫⋯∫⁻_{t.i}, fun a => (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) a) ∂fun x => volume) = ∫⋯∫⁻_{t.i}, (univ.pi s).indicator 1 ∂fun x => volume


(fun x => ∫⁻ (xᵢ : ℝ), (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) (Function.update x t.i xᵢ))) = fun x => ∫⁻ (xᵢ : ℝ), (univ.pi s).indicator 1 (Function.update x t.i xᵢ)


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
t : TransvectionStruct ι ℝ
ht : Measurable ⇑(toLin' t.toMatrix)
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h2s : MeasurableSet (univ.pi s)
x : ι → ℝ

∫⁻ (xᵢ : ℝ), (univ.pi s).indicator 1 ((toLin' t.toMatrix) (Function.update x t.i xᵢ)) = ∫⁻ (xᵢ : ℝ), (univ.pi s).indicator 1 (Function.update x t.i xᵢ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α

∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1


(κ.fst a) {a_1 | ¬κ.densityProcess κ.fst n a a_1 univ = 1} = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: this : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

(κ.fst a) {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: this✝ : {x | ¬κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1} ⊆ {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0}

Context: this : {x | (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0} ⊆ ⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

(κ.fst a) (⋃ u ∈ countablePartition γ n, ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

∑' (p : ↑(countablePartition γ n)), (κ.fst a) (⋃ (_ : (κ.fst a) ↑p = 0), ↑p) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

(countablePartition γ n).PairwiseDisjoint fun u => ⋃ (_ : (κ.fst a) u = 0), u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

∀ b ∈ countablePartition γ n, MeasurableSet (⋃ (_ : (κ.fst a) b = 0), b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0

Context: hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Context: A : ℝ

Context: habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A

Context: Apos : 0 ≤ A

‖NumberField.house.asiegel K a‖ ≤ NumberField.house.c₂ K * A


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: Apos : 0 ≤ A

∀ (i : α × (K →+* ℂ)) (j : β × (K →+* ℂ)), ‖NumberField.house.asiegel K a i j‖ ≤ NumberField.house.c₂ K * A


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: Apos : 0 ≤ A


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hs : IsLindelof (f '' s)
F : Filter X
F_ne_bot : F.NeBot
x✝ : CountableInterFilter F
F_le : F ≤ 𝓟 s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hs : IsLindelof (f '' s)
F : Filter X
F_ne_bot : F.NeBot
x✝ : CountableInterFilter F
F_le : F ≤ 𝓟 s
x : X
x_in : x ∈ s
hx : ClusterPt (f x) (map f F)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∉ closure s

ContinuousAt (fun x => (infDist x s)⁻¹) x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∉ closure ∅

ContinuousAt (fun x => (infDist x ∅)⁻¹) x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : x ∉ closure s
hs : s.Nonempty


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q

p = 0 ∧ q = 0 ∨ p = 0 ∧ q = ⊤ ∨ p = 0 ∧ 0 < q.toReal ∨ p = ⊤ ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ q = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 0 < q.toReal ∧ p.toReal ≤ q.toReal