Context:
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a


|x| ∈ spectrum ℝ a ∨ -|x| ∈ spectrum ℝ a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M ⧸ S

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M

‖↑x + ↑y‖ ≤ ‖↑x‖ + ‖↑y‖


⨅ a, ‖x + y + ↑a‖ ≤ (⨅ a, ‖x + ↑a‖) + ⨅ a, ‖y + ↑a‖


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M
a b : ↑↑S


‖x + y + ↑(a + b)‖ ≤ ‖x + ↑a‖ + ‖y + ↑b‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s t : LowerSet α
a : α
b✝ : β
f : α ≃o β
b : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: L✝ : C ⥤ D

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: F₁ F₂ : D ⥤ E

Context: τ τ' : F₁ ⟶ F₂

Context: h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: L✝ : C ⥤ D

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: F₁ F₂ : D ⥤ E

Context: τ τ' : F₁ ⟶ F₂

Context: this : L.EssSurj


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: L✝ : C ⥤ D

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_3} E

Context: inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: F₁ F₂ : D ⥤ E

Context: τ τ' : F₁ ⟶ F₂

Context: this : L.EssSurj

Context: Y : D


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s : Set α
h : s₁ ∩ s = s₂ ∩ s


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E

convexJoin 𝕜 {a} (segment 𝕜 b c) = (convexHull 𝕜) {a, b, c}


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X

IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s)) volume 0 X


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
x✝ : ℝ


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X


Context: m n✝ n : ℕ


Context: m n : ℕ


Context:
m n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 1


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
a : α
s : Set α

(∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s) ↔ ∃ i, (i ∈ b ∧ a ∈ i) ∧ i ⊆ s


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : α → F

Context: g : α → G

Context: c : ℝ

Context: hc : c < 0

Context: p : ℝ≥0∞

Context: h : (∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = 0) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] 0 ∧ g =ᶠ[ae μ] 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0


∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ 0


(fun x => ↑‖↑↑f x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype ↑s
inst✝¹ : Fintype ↑t
inst✝ : Fintype ↑(s ∆ t)
a✝ : α

a✝ ∈ (s ∆ t).toFinset ↔ a✝ ∈ s.toFinset ∆ t.toFinset


Context: R : Type u1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: inst✝ : Invertible 2

(QuadraticMap.associated (-Q)).toQuadraticMap = 0 - Q


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 2)
hj₁ : j ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑j + q


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
i : Fin (n + 1)
hj₁ : i.succ ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑i.succ + q


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
i : Fin (n + 1)
hj₁ : i.succ ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑i + 1 + q


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a✝ : Rˣ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

∑' (n : ℕ), term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = 1 / ↑n ^ s


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s 0 = 1 / ↑0 ^ s


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).inv ≫ coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op = limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
x : α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: π : ι ⊕ ι' → Type u_4

Context: m : (i : ι ⊕ ι') → MeasurableSpace (π i)

Context: μ : (i : ι ⊕ ι') → Measure (π i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι ⊕ ι'), SigmaFinite (μ i)

Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π).symm) ((Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i))) = Measure.pi μ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: π : ι ⊕ ι' → Type u_4

Context: μ : (i : ι ⊕ ι') → Measure (π i)

Context: s : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)

Context: x✝ : ∀ (i : ι ⊕ ι'), MeasurableSet (s i)

(Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π).symm) ((Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i)))) (univ.pi s) = ∏ i : ι ⊕ ι', (μ i) (s i)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : Memℒp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : α → G

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hf_meas : StronglyMeasurable f

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: this : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : α → G

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hf_meas : StronglyMeasurable f

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: fs : ℕ → α →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯


Context:
s : String
c : Char


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b : P
hb : b ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b' : R
hb : (Algebra.linearMap R P) b' ∈ I

IsInteger R ((Algebra.linearMap R P) b')


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s

Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, s ≤ span K {v₀}


(∃ v₀, ∀ (v : ↥s), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v₀ ∈ s, ∀ v ∈ s, ∃ r, r • v₀ = v


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
t : Set β
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ f
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ g
ht : m ⁻¹' t = s₁ ∩ s₂


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation

Context: x y : V

o.oangle x y = ↑((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).arg


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: x y : V

o.oangle x y = o.oangle (f.symm (f x)) (f.symm (f y))


Context:
m n✝ i n : ℕ
hi : 2 ≤ i


Context:
m n✝ i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
this : i + n ≤ (i + n)!


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
h : L (fun n => ↑(ζ n)) s = 0


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty

(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : Countable R


lift.{?u.23919, v} #↑{x | IsAlgebraic R x} ≤ ℵ₀


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => (completedHurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1)) * s.Gammaℝ⁻¹) 1


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1)) 1


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven₀ a s - ((if a = 0 then 1 else 0) / s + (1 / (1 - s) + 1 / (s - 1)))) 1


Context: a : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven₀ a s - (if a = 0 then 1 else 0) / s) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α


¬IsUnit b → ((∀ (a_2 b_1 : α), b * ↑a = a_2 * b_1 → IsUnit a_2 ∨ IsUnit b_1) ↔ ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1)


Context:
l l' : List Char
h : l.asString = l'.asString


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A✝ B X X' Y Y' Z : C
inst✝² : Closed A✝
inst✝¹ : Closed B
A : C
inst✝ : Closed A


(conjugateEquiv (ihom.adjunction A) (ihom.adjunction A)) (𝟙 ((tensoringLeft C).obj A)) = 𝟙 (ihom A)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: z₁ : ↥f.domain

Context: z₂ : ↥(f.sup g h).domain

Context: hz : ↑z₁ = ↑z₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: z₁ : ↥f.domain

Context: z₂ : ↥(f.sup g h).domain

Context: hz : ↑z₁ = ↑z₂

↑z₁ + ↑0 = ↑z₂


Context: s : ℂ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
I : FractionalIdeal S P


Context: C : Type u_5

Context: C' : Type ?u.64843

Context: D : Type u_3

Context: D' : Type ?u.64849

Context: H : Type u_4

Context: H' : Type ?u.64855

Context: inst✝⁹ : Category.{u_6, u_5} C

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.64863, ?u.64843} C'

Context: inst✝⁷ : Category.{u_1, u_3} D

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.64871, ?u.64849} D'

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_4} H

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.64879, ?u.64855} H'

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W

Context: inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W

Context: inst✝ : RF''.IsRightDerivedFunctor α'' W

Context: G : D ⥤ H

Context: β : F ⟶ L ⋙ G

G.IsRightDerivedFunctor β W ↔ IsIso (RF.rightDerivedDesc α W G β)


Context: C : Type u_5

Context: C' : Type ?u.64843

Context: D : Type u_3

Context: D' : Type ?u.64849

Context: H : Type u_4

Context: H' : Type ?u.64855

Context: inst✝⁹ : Category.{u_6, u_5} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_1, u_3} D

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_4} H

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W

Context: inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W

Context: G : D ⥤ H

Context: β : F ⟶ L ⋙ G

G.IsLeftKanExtension β ↔ IsIso (RF.rightDerivedDesc α W G β)


Context: C : Type u_5

Context: C' : Type ?u.64843

Context: D : Type u_3

Context: D' : Type ?u.64849

Context: H : Type u_4

Context: H' : Type ?u.64855

Context: inst✝⁹ : Category.{u_6, u_5} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_1, u_3} D

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_4} H

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝³ : L.IsLocalization W

Context: inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W

Context: inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W

Context: G : D ⥤ H

Context: β : F ⟶ L ⋙ G

Context: this : RF.IsLeftKanExtension α


Context:
α : Type u
m : ℕ
f : Fin m → α


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(baseChange W B).toAffine.polynomialY = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomialY


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
g : α →ₛ F

Integrable (↑f) μ → Integrable (↑g) μ → Integrable (↑(f.pair g)) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: val✝ : Multiset α

Context: l : List α

Context: hs : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

Context: f : Equiv.Perm α

f ∈ permsOfFinset { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs } ↔ ∀ {x : α}, f x ≠ x → x ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs }


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
w : f ≠ 0


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t ∈ {s | MeasurableSet s}

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t = ∅ ∨ t = Set.univ


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t = ∅ ∨ t = Set.univ
a : α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
f : F
inst✝ : InfHomClass F α β
hf : Injective ⇑f
x y : α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
f : F
inst✝ : InfHomClass F α β
hf : Injective ⇑f
x y : α
h : f x ≤ f y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C

(BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom ≫ ((ℬ X (tensorObj ℬ Y Z)).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ (tensorObj ℬ Y Z) X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y Z X).hom = (ℬ (ℬ Y X).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ ((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y X Z).hom ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 Y) (BinaryFan.snd (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom))


∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom ≫ ((ℬ X (tensorObj ℬ Y Z)).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ (tensorObj ℬ Y Z) X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y Z X).hom) ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).cone.π.app j = ((ℬ (ℬ Y X).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ ((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y X Z).hom ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 Y) (BinaryFan.snd (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom))) ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).cone.π.app j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : Fin L.length

drop (take (↑i) (map length L)).sum (take (take (↑i + 1) (map length L)).sum L.join) = L.get i


Context:
a b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
c : ℕ
H : a % d = b % d


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2


(fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) ∅


∀ t ∈ p2, (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) t


∀ (t : Set Ω), MeasurableSet t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set Ω), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) (f i)) → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) (⋃ i, f i)


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)

∃ w, ∑ i : ι, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Multiset R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : R
x : Multiset R
IH : trop x.inf = (map trop x).sum

trop (s ::ₘ x).inf = (map trop (s ::ₘ x)).sum


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
x✝ : a ∣ b * ↑u
c : α
Eq : b * ↑u = a * c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
t : R

(C t + p).reverse = C t * X ^ p.natDegree + p.reverse


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n a : A
M : Submodule R A

Set.up {a} • M = map (LinearMap.mulLeft R a) M


Set.up {a} • span R ↑M = map (LinearMap.mulLeft R a) M


span R ((fun x => a * x) '' ↑M) = map (LinearMap.mulLeft R a) M


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
a b : α
hr✝ hr : Symmetric r
s t : Finset α


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivAt f f' x
hy : y = f x


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q : R[X]
h : 0 = 1
p : R[X]


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x✝ : K

x✝ ∈ {x | ∀ v ∉ S, v.valuation x ≤ 1} ↔ x✝ ∈ ↑(⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.toSubring)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N

(f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ₁ : S₁ ⟶ S₂

Context: φ₂ : S₂ ⟶ S₃

Context: h₁ : S₁.RightHomologyData

Context: h₂ : S₂.RightHomologyData

Context: h₃ : S₃.RightHomologyData

Context: γ₁ : RightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂

Context: γ₂ : RightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := rightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

opcyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = opcyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ opcyclesMap' φ₂ h₂ h₃


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ

∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: this : ∀ (x : ↑s), ∃ u, IsOpen u ∧ ↑x ∈ u ∧ IntegrableOn f (u ∩ s) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: u : ↑s → Set X

Context: u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)

Context: xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x

Context: hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: u : ↑s → Set X

Context: u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)

Context: xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: u : ↑s → Set X

Context: u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)

Context: xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i

∀ u_1 ∈ u '' T, IntegrableOn f (u_1 ∩ s) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}

Context: o : Ordinal.{u_5}

Context: H : IsNormal f

Context: p : Set α

Context: p0 : p.Nonempty

Context: g : α → Ordinal.{u_4}

Context: b : Ordinal.{u_4}

Context: H₂ : ∀ (o : Ordinal.{u_4}), b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, g a ≤ o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x

(e.subtypeCongr e.toCompl) x = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)


(sumCompl q) (Sum.map (⇑e) (⇑e.toCompl) ((sumCompl p).symm x)) = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α

(hf.stieltjesFunction a).measure univ = 1


(hf.stieltjesFunction a).measure univ = ENNReal.ofReal (1 - 0)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n : ℚ


Context: n : ℕ

map Prod.swap (antidiagonal n) = antidiagonal n


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y
p : ¬IsIso f ↔ ¬f ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y
p : ¬IsIso f ↔ f = 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: this : StieltjesFunction.id.measure.IsAddLeftInvariant


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: A : StieltjesFunction.id.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped = 1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

volume = 1 • addHaarMeasure (stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: f : End R M

Context: hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: f : End R M

Context: contra : ∀ (μ : R), ¬f.HasEigenvalue μ


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: f : End R M

Context: contra : ∀ (μ : R), ¬f.HasEigenvalue μ

Context: μ : R


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Nontrivial M

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: contra : ∀ (k : ℕ), (f.genEigenspace μ) k = ⊥


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]

((toZModPow n) x).cast = (toZModPow m) x


((toZModPow n) x).cast = ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) x


Context: α : Type u_1

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized

Context: H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'

(l.balanceR x r).size = l.size + r.size + 1


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁_pos : 0 < c₁


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: hc₃' : 0 < 1 - c₃


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: hc₃' : 0 < 1 - c₃

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: hc₃' : 0 < 1 - c₃

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u

Context: hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n

Context: hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n

Context: hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n

Context: hn_pos : 0 < n

∀ (i : α), min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: hc₃' : 0 < 1 - c₃

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n

Context: hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n

Context: hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n

Context: hn_pos : 0 < n

Context: i : α

Context: hrpos_i : 0 < r i n

min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: c₃ : ℝ

Context: hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hc₁_pos : 0 < c₁

Context: hc₃' : 0 < 1 - c₃

Context: n : ℕ

Context: hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n

Context: hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n

Context: hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n

Context: hn_pos : 0 < n

Context: i : α

Context: hrpos_i : 0 < r i n

Context: g_nonneg : 0 ≤ g ↑n


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
a : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
M : α → α
hM : ∀ x ∈ s, x < M x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x
M : α → α
hM : ∀ x ∈ s, x < M x
A : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ Ioi x, Ioo x y ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝[>] x

Context: M : α → α

Context: hM : ∀ x ∈ s, x < M x

Context: y : α → α

Context: hy : ∀ x ∈ s, y x ∈ Ioi x

Context: h'y : ∀ x ∈ s, Ioo x (y x) ⊆ s

Context: B : (s \ interior s).PairwiseDisjoint fun x => Ioo x (y x)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : MonotoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context: s : ℂ

DifferentiableAt ℂ (fun s => (Gamma s)⁻¹) s


Context:
s : ℂ
n : ℕ
hs : -s.re < ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]

Multiset.map (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots ≤ p • f.roots


Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p 1)) ((expand R p) f).roots ≤ p • f.roots


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : Module.Finite R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : SMulCommClass R S N
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : StrongRankCondition S
inst✝ : Module.Free S N

Module.rank S (M →ₗ[R] N) = lift.{w, v} (Module.rank R M) * lift.{v, w} (Module.rank S N)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : CliffordAlgebra Q
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b


Context: n k : ℕ

(n + 1).ascFactorial k = k ! * (n + k).choose k


Context: n k : ℕ

(n + 1).ascFactorial k = (n + k).choose k * k !


Context: n k : ℕ

(n + 1).ascFactorial k * (n + k - k)! = (n + k).choose k * k ! * (n + k - k)!


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : BiheytingAlgebra α
inst✝² : BiheytingAlgebra β
inst✝¹ : BiheytingAlgebra γ
inst✝ : BiheytingAlgebra δ
f f₁ f₂ : BiheytingHom α β
g g₁ g₂ : BiheytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M N : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : Fintype m

Context: inst✝¹ : DecidableEq n✝

Context: inst✝ : Fintype n✝

Context: n : ℕ

Context: p : Fin n → R[X]

Context: h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i

Context: x✝ j : Fin n

Context: h : id j < id x✝


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a b x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμν : μ univ = ν univ

Context: h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a✝ b✝ x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμν : μ univ = ν univ

Context: a b : αᵒᵈ

Context: hab : a < b


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁷ : LinearOrder α✝

Context: inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝

Context: a✝ b✝ x : α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμν : μ univ = ν univ

Context: a b : αᵒᵈ

Context: hab : a < b

μ (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a) = ν (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc b a)


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset γ
f : γ → β

Rel r s (map f t) ↔ Rel (fun a b => r a (f b)) s t


Rel (flip fun a b => flip r (f a) b) s t ↔ Rel (fun a b => r a (f b)) s t


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj

(e.symm.trans e'.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ e'.baseSet) ×ˢ univ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
a b : R ⟶ X✝
X Y Z A : C
g : Y ⟶ Z
a₁ a₂ : A ⟶ Y
h : IsKernelPair g a₁ a₂
f : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)

IsKernelPair (pullback.fst f g) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: R X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: a b : R ⟶ X✝

Context: X Y Z A : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: a₁ a₂ : A ⟶ Y

Context: h : IsKernelPair g a₁ a₂

Context: f : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasPullback f g

Context: inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)

Context: s : PullbackCone (pullback.fst f g) (pullback.fst f g)

(s.fst ≫ pullback.snd f g) ≫ g = (s.snd ≫ pullback.snd f g) ≫ g


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: R X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: a b : R ⟶ X✝

Context: X Y Z A : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: a₁ a₂ : A ⟶ Y

Context: h : IsKernelPair g a₁ a₂

Context: f : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasPullback f g

Context: inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)

(s.fst ≫ pullback.fst f g) ≫ f = h.lift (s.fst ≫ pullback.snd f g) (s.snd ≫ pullback.snd f g) ?refine_1 ≫ a₁ ≫ g


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: R X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: a b : R ⟶ X✝

Context: X Y Z A : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: a₁ a₂ : A ⟶ Y

Context: h : IsKernelPair g a₁ a₂

Context: f : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasPullback f g

Context: inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)

(fun s => pullback.lift (s.fst ≫ pullback.fst f g) (h.lift (s.fst ≫ pullback.snd f g) (s.snd ≫ pullback.snd f g) ⋯) ⋯) s ≫ (PullbackCone.mk (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) ⋯).fst = s.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: R X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: a b : R ⟶ X✝

Context: X Y Z A : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: a₁ a₂ : A ⟶ Y

Context: h : IsKernelPair g a₁ a₂

Context: f : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasPullback f g

Context: inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)

(fun s => pullback.lift (s.fst ≫ pullback.fst f g) (h.lift (s.fst ≫ pullback.snd f g) (s.snd ≫ pullback.snd f g) ⋯) ⋯) s ≫ (PullbackCone.mk (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) ⋯).snd = s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: R X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: a b : R ⟶ X✝

Context: X Y Z A : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: a₁ a₂ : A ⟶ Y

Context: h : IsKernelPair g a₁ a₂

Context: f : X ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasPullback f g

Context: inst✝ : HasPullback f (a₁ ≫ g)

Context: m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) ⋯).pt

Context: hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₁ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) (pullback.map f (a₁ ≫ g) f g (𝟙 X) a₂ (𝟙 Z) ⋯ ⋯) ⋯).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => pullback.lift (s.fst ≫ pullback.fst f g) (h.lift (s.fst ≫ pullback.snd f g) (s.snd ≫ pullback.snd f g) ⋯) ⋯) s


Context:
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR

⟦mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)⟧ = ⟦mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR⟧ + ⟦mk xl xr xL xR * mk zl zr zL zR⟧


(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)).LeftMoves ≃ (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR + mk xl xr xL xR * mk zl zr zL zR).LeftMoves


(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)).RightMoves ≃ (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR + mk xl xr xL xR * mk zl zr zL zR).RightMoves


∀ (i : (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)).LeftMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)).moveLeft i⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR + mk xl xr xL xR * mk zl zr zL zR).moveLeft (?refine_1 i)⟧


∀ (j : (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)).RightMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR + mk zl zr zL zR)).moveRight j⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR + mk xl xr xL xR * mk zl zr zL zR).moveRight (?refine_2 j)⟧


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
j : ι
w : ι → kˣ

AffineIndependent k fun i => (AffineMap.lineMap (p j) (p i)) ↑(w i)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: j : ι

Context: hp : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p j

Context: w : ι → kˣ

LinearIndependent k fun i => (AffineMap.lineMap (p j) (p ↑i)) ↑(w ↑i) -ᵥ (AffineMap.lineMap (p j) (p j)) ↑(w j)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: p : ι → P

Context: j : ι

Context: w : ι → kˣ

LinearIndependent k fun i => ↑(w ↑i) • (p ↑i -ᵥ p j)


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: d : CompositionAsSet n := c.toCompositionAsSet


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: length_eq : d.blocks.length = c.blocks.length


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

∀ i ≤ d.blocks.length, (take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ d.blocks.length

(take i d.blocks).sum = (take i c.blocks).sum


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ d.blocks.length

Context: i_lt : i < d.boundaries.card


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ d.blocks.length

Context: i_lt : i < d.boundaries.card

Context: i_lt' : i < c.boundaries.card


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ d.blocks.length

Context: i_lt : i < d.boundaries.card

Context: i_lt' : i < c.boundaries.card

Context: i_lt'' : i < c.length + 1


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ d.blocks.length

Context: i_lt : i < d.boundaries.card

Context: i_lt' : i < c.boundaries.card

Context: i_lt'' : i < c.length + 1

Context: A : (d.boundaries.orderEmbOfFin ⋯) ⟨i, i_lt⟩ = (c.boundaries.orderEmbOfFin ⋯) ⟨i, i_lt''⟩


Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≤ d.blocks.length

Context: i_lt : i < d.boundaries.card

Context: i_lt' : i < c.boundaries.card

Context: i_lt'' : i < c.length + 1

Context: B : c.sizeUpTo i = ↑(c.boundary ⟨i, i_lt''⟩)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: r r' s✝ : α → α → Prop

Context: inst✝² : Preorder α

Context: a✝ : α

Context: inst✝¹ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hf : Monotone f

Context: hf' : Antitone f

Context: a b : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: r r' s✝ : α → α → Prop

Context: inst✝² : Preorder α

Context: a✝ : α

Context: inst✝¹ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hf : Monotone f

Context: hf' : Antitone f

Context: a b c : α

Context: hac : a ≤ c

Context: hbc : b ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
p : β → Type u_9
f : Sigma p → α
c : α


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a b : ZMod n
h : n ≤ a.val + b.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)

Measurable fun a => (condCDF ρ a).measure


∀ (s : Set ℝ), MeasurableSet s → Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s

Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s


(fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) ∅


∀ t ∈ range Iic, (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) t


∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) t → (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) (f i)) → (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) (⋃ i, f i)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: inst✝ : Fintype ↑s

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: inst✝ : Fintype ↑s

Context: this : Module.rank R ↥(span R s) = #↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 b)
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤
this : a = 0

Tendsto (fun b => a * m b) f (𝓝 (a * b))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∉ Set.range ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s

essSup (s.piecewise f g) μ = max (essSup f (μ.restrict s)) (essSup g (μ.restrict sᶜ))


limsup f (ae μ ⊓ 𝓟 {x | x ∈ s}) ⊔ limsup g (ae μ ⊓ 𝓟 {x | x ∉ s}) = max (limsup f (ae μ ⊓ 𝓟 s)) (limsup g (ae μ ⊓ 𝓟 sᶜ))


Context:
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α
hI : (M.disjointSum N h).Indep I

∃ IM IN, M.Indep IM ∧ N.Indep IN ∧ Disjoint IM IN ∧ I = IM ∪ IN


Context: α : Type u_1

Context: M N : Matroid α

Context: h : Disjoint M.E N.E

Context: I : Set α

Context: hI : M.Indep (I ∩ M.E) ∧ N.Indep (I ∩ N.E) ∧ I ⊆ M.E ∪ N.E


Context: α : Type u_1

Context: M N : Matroid α

Context: h : Disjoint M.E N.E

Context: I : Set α


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M

(closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
a : Submonoid Mᵐᵒᵖ

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
s : Set ↑(sphere 0 1)
r : ↑(Ioi 0)

μ (Subtype.val '' (⇑(homeomorphUnitSphereProd E) ⁻¹' s ×ˢ Iio r)) = μ (Ioo 0 ↑r • Subtype.val '' s)


μ ((fun x => ↑((homeomorphUnitSphereProd E).symm x)) '' s ×ˢ Iio r) = μ ((fun x => SMul.smul ↑x.2 ↑x.1) '' s ×ˢ Iio r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
a : α

image (fun f => f a) (piFinset fun _i => t) = t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
a : α

image (fun f => f a) (piFinset fun _i => ∅) = ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
a : α
ht : t.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l atBot


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : OrderedRing α

Context: l : Filter β

Context: f g : β → α

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: hg : Tendsto g l atBot

Context: this : Tendsto (fun x => f x * (Neg.neg ∘ g) x) l atTop


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
g₁ : Y ⟶ W
inst✝¹ : Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
inst✝ : Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : X ⟶ W
hf : f' ≫ g₂ = f
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{v}

Context: H : ∀ a < lift.{u, v} o, succ a < lift.{u, v} o

Context: a : Ordinal.{v}

Context: h : a < o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a : Ordinal.{max u v}
h : a < lift.{u, v} o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a' : Ordinal.{v}
h : lift.{u, v} a' < lift.{u, v} o


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i i' j : ι
rij : c.Rel i j
rij' : c.Rel i' j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
rij rij' : c.Rel i j


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (cosZeta (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s / s.Gammaℝ)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ

cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 / s.Gammaℝ


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (x - ↑m)


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R


∀ (c_1 : R) (x : M), c • c_1 • x = c_1 • c • x


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c c✝ : R
x✝ : M

c • c✝ • x✝ = c✝ • c • x✝


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
b✝ : Basis ι ℝ E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℝ (ι → ℝ)

volume (fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |(Matrix.of ⇑b).det|


ENNReal.ofReal |(Pi.basisFun ℝ ι).det ⇑b| = ENNReal.ofReal |(Matrix.of ⇑b).transpose.det|


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ ≤ 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆


(trace R M) (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z) = (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z)


(trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z) = (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z))


(trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z)) = (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y))


(trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y)) = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: S : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := Algebra.adjoin R (Set.range (ι R))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: x : FreeAlgebra R X

Context: hx : x ∈ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: X : Type u_2

Context: x : FreeAlgebra R X


Context:
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

Disjoint a.primeFactors b.primeFactors ↔ a.Coprime b


Context: x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a₁ a₂ : α
s : Stream' α

corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) (a₁ :: a₂ :: s) = a₁ :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s


(a₁ :: a₂ :: s).head :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) (a₁ :: a₂ :: s).tail.tail = a₁ :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : DecidableEq β
f✝ g✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
β' : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq β'
inst✝ : DecidableEq γ
f : β → γ
g : α → β
f' : α → β'
g' : β' → γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)

image f (image g s) = image g' (image f' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: ε : ι → 𝕜

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Context: S : Set E

Context: H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: ε : ι → 𝕜

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Context: S : Set E

∀ (i : Set E), i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i → Absorbs 𝕜 (id i) S


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: ε : ι → 𝕜

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Context: S : Set E

Context: H' : ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i) ∧ ¬Absorbs 𝕜 (id i) S


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: ε : ι → 𝕜

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Context: S : Set E

Context: V : Set E

Context: hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVb : Balanced 𝕜 V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: ε : ι → 𝕜

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Context: S : Set E

Context: V : Set E

Context: hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVb : Balanced 𝕜 V

Context: this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: ε : ι → 𝕜

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Context: S : Set E

Context: V : Set E

Context: hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVb : Balanced 𝕜 V

Context: x : ι → ↑S

Context: hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ε x_1 • ↑(x x_1) ∉ V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: ε : ι → 𝕜

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Context: S : Set E

Context: V : Set E

Context: hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVb : Balanced 𝕜 V

Context: x : ι → ↑S


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
a : S


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = opcyclesMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : a * b = c ^ k


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x : (Quotient.out 1).α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X

Presieve.IsSheafFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows


Presieve.IsSeparatedFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows ∧ ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements (Functor.closedSieves J₁) S.arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P

(s.weightedVSubOfPoint p b₁) w +ᵥ b₁ = (s.weightedVSubOfPoint p b₂) w +ᵥ b₂


b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, (w x • (p x -ᵥ b₁) - w x • (p x -ᵥ b₂)) = 0


b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, w x • (b₂ -ᵥ b₁) = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : NullMeasurableSet s (μ.restrict t)
u : Set α
hu : MeasurableSet u

((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
a b : α
h : {a} ≠ {b}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f

Metric.diam (range f) = Metric.diam univ


Metric.diam (f '' univ) = Metric.diam univ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1 : LiftRel R s t
h2 : LiftRel R t u

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) s.destruct u.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: H : Transitive R

Context: s✝ t✝ u✝ : WSeq α

Context: h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝

Context: h2✝ : LiftRel R t✝ u✝

Context: s u t : WSeq α

Context: h1✝ : LiftRel R s t

Context: h2 : LiftRel R t u

Context: h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: H : Transitive R

Context: s✝ t✝ u✝ : WSeq α

Context: h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝

Context: h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝

Context: s u t : WSeq α

Context: h1✝ : LiftRel R s t

Context: h2✝ : LiftRel R t u

Context: h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: H : Transitive R

Context: s✝ t✝ u✝ : WSeq α

Context: h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝

Context: h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝

Context: s u t : WSeq α

Context: h1✝ : LiftRel R s t

Context: h2✝ : LiftRel R t u

Context: a c : Option (α × WSeq α)

Context: ha : a ∈ s.destruct

Context: hc : c ∈ u.destruct

LiftRelO R (fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) a c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: H : Transitive R

Context: s✝ t✝ u✝ : WSeq α

Context: h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝

Context: h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝

Context: s u t : WSeq α

Context: h1✝ : LiftRel R s t

Context: h2✝ : LiftRel R t u

Context: a c : Option (α × WSeq α)

Context: ha : a ∈ s.destruct

Context: hc : c ∈ u.destruct

Context: b : Option (α × WSeq α)

Context: hb : b ∈ t.destruct

Context: t1 : LiftRelO R (LiftRel R) a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → α → Prop

Context: H : Transitive R

Context: s✝ t✝ u✝ : WSeq α

Context: h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝

Context: h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝

Context: s u t : WSeq α

Context: h1✝ : LiftRel R s t

Context: h2✝ : LiftRel R t u

Context: a c : Option (α × WSeq α)

Context: ha : a ∈ s.destruct

Context: hc : c ∈ u.destruct

Context: b : Option (α × WSeq α)

Context: hb : b ∈ t.destruct

Context: t1 : LiftRelO R (LiftRel R) a b

Context: t2 : LiftRelO R (LiftRel R) b c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ


∀ (x : { q' // ↑r < ↑q' }), f a ↑(?refine_1 x) = f a ↑x


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : T2Space β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝³ : OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : T2Space β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝³ : OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
t'_polish : PolishSpace γ
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E

DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: x : E

Context: this : DifferentiableWithinAt 𝕜 ((f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm) s (iso x)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : NonAssocRing α
inst✝ : ContinuousMul α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α

(f₁ ⊓ f₂) ×ˢ g = f₁ ×ˢ g ⊓ f₂ ×ˢ g


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
n : ℕ
h : 0 < n


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
k : ℕ
h : 0 < k + Nat.succ 0

X.basicOpen (f ^ (k + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctor C a).obj X = (shiftFunctor C (a + 0)).obj X


(shiftFunctorAdd C a 0).inv.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ eqToHom ⋯


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : SeparationQuotient α × SeparationQuotient β → γ

UniformContinuous f ↔ UniformContinuous fun p => f (mk p.1, mk p.2)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C

(X ◁ f) ▷ Z = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ f ▷ Z ≫ (α_ X Y' Z).inv


(𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ f ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X Y' Z).inv


(𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z = (((𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X Y' Z).hom) ≫ (α_ X Y' Z).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype ↑s


Context: T : ℝ

Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra = span ℂ (range fourier)


Context: T : ℝ

↑(Submonoid.closure (range fourier)) ⊆ ↑(span ℂ (range fourier))


Context: T : ℝ

↑(Submonoid.closure (range fourier)) ⊆ range fourier


Context: T : ℝ

Context: x : C(AddCircle T, ℂ)

Context: hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))


Context: T : ℝ

Context: x : C(AddCircle T, ℂ)


Context: T : ℝ

Context: x : C(AddCircle T, ℂ)

∀ (x y : C(AddCircle T, ℂ)), x ∈ range fourier → y ∈ range fourier → x * y ∈ range fourier


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : AddTorsor V P

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module R V'

Context: inst✝ : AddTorsor V' P'

Context: s : AffineSubspace R P

Context: x z : P

Context: hx : x ∉ s

Context: hz : z ∈ s

Context: t : R

Context: ht0 : 0 ≤ t

Context: ht1 : t ≤ 1

Context: hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s

Context: hyx : (lineMap x z) t ≠ x

Context: hyz : (lineMap x z) t ≠ z

Context: ht : t ≠ 1

Context: hy' : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ z ∈ s.direction


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
hy' : z -ᵥ x ∈ s.direction


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : One α
s : Finset α
a : α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : One β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
f : F


Context:
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane

HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p


Context:
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0


Context: p : ℂ × ℂ

Context: hp : p.1 ∈ slitPlane

Context: A : p.1 ≠ 0

Context: this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (log x.1 * x.2)


Context: p : ℂ × ℂ

Context: hp : p.1 ∈ slitPlane

Context: A : p.1 ≠ 0

HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) (p.1 ^ p.2 • (p.2 / p.1) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + p.1 ^ p.2 • log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p


Context: p : ℂ × ℂ

Context: hp : p.1 ∈ slitPlane

Context: A : p.1 ≠ 0

HasStrictFDerivAt (fun x => cexp (log x.1 * x.2)) (p.1 ^ p.2 • (p.2 / p.1) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + p.1 ^ p.2 • log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p


Context:
n m : ℕ
a : Fin n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : (multiplicity p (a * b)).Dom

(multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : (multiplicity p (a * b)).Dom

Context: hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : (multiplicity p (a * b)).Dom

Context: hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : (multiplicity p (a * b)).Dom

Context: hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : (multiplicity p (a * b)).Dom

Context: hdiv : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : (multiplicity p (a * b)).Dom

Context: hsucc : ¬p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯ + 1) ∣ a * b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : (multiplicity p (a * b)).Dom

p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b ∧ ¬p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯ + 1) ∣ a * b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
y : Y


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Type u_1
N : ι → LieSubmodule R L M

CompleteLattice.Independent N ↔ CompleteLattice.Independent fun i => ↑(N i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α


Context:
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : a + b = 1


a⁻¹⁻¹ + b⁻¹⁻¹ = 1


Context:
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0

multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k ≤ ↑n


Context: p n k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hkn : k ≤ p ^ n

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: hdisj : Disjoint (filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (p ^ n - k) % p ^ i) (Ico 1 n.succ)) (filter (fun i => p ^ i ∣ k) (Ico 1 n.succ))


Context: p n k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hkn : k ≤ p ^ n

Context: hk0 : k ≠ 0

(filter (fun x => p ^ x ≤ k % p ^ x + (p ^ n - k) % p ^ x ∨ p ^ x ∣ k) (Ico 1 n.succ)).card ≤ n


Context: p n k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hkn : k ≤ p ^ n

Context: hk0 : k ≠ 0

Context: filter_le_Ico : (filter (fun x => p ^ x ≤ k % p ^ x + (p ^ n - k) % p ^ x ∨ p ^ x ∣ k) (Ico 1 n.succ)).card ≤ (Ico 1 n.succ).card


↑n ≤ multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k


multiplicity p (p ^ n) ≤ multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: A : (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] v.limRatioMeas hρ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: A : ρ.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] v.limRatioMeas hρ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: a✝¹ : α

Context: a✝ : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝¹) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ a✝¹))

Context: h'x : ρ.rnDeriv μ a✝¹ = v.limRatioMeas hρ a✝¹

Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝¹) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ a✝¹))


Context: K : Type u_1

Context: hK : NormedField K

Context: h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: Γ₀ : Type u_3

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: val : Valued L Γ₀

Context: hv : v.RankOne

Context: x : L


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toIntLinearMap = g.toIntLinearMap
x : M


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ

(bind₂ f) ((monomial d) 1) = (monomial d) 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: h : Function.Surjective (pseudoApply f)

Context: pbar : Pseudoelement P

Context: hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: h : Function.Surjective (pseudoApply f)

Context: pbar : Pseudoelement P

Context: p : Over P

Context: hp : ⟦p⟧ = pbar


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: h : Function.Surjective (pseudoApply f)

Context: pbar : Pseudoelement P

Context: p : Over P

Context: hp : ⟦p⟧ = pbar

Context: this : ⟦Over.mk (p.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (𝟙 Q)⟧


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: h : Function.Surjective (pseudoApply f)

Context: pbar : Pseudoelement P

Context: p : Over P

Context: hp : ⟦p⟧ = pbar

Context: R : C

Context: x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left

Context: y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left

Context: w✝ : Epi x

Context: ey : Epi y

Context: comm : x ≫ (Over.mk (p.hom ≫ f)).hom = y ≫ (Over.mk (𝟙 Q)).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: h : Function.Surjective (pseudoApply f)

Context: pbar : Pseudoelement P

Context: p : Over P

Context: hp : ⟦p⟧ = pbar

Context: R : C

Context: x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left

Context: y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left

Context: w✝ : Epi x

Context: ey : Epi y


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: P Q : C

Context: f : P ⟶ Q

Context: h : Function.Surjective (pseudoApply f)

Context: pbar : Pseudoelement P

Context: p : Over P

Context: hp : ⟦p⟧ = pbar

Context: R : C

Context: x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left

Context: y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left

Context: w✝ : Epi x

Context: ey : Epi y

Context: comm : x ≫ p.hom ≫ f = y ≫ 𝟙 Q


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

x * y = ↑(abs x * abs y) * (↑(↑x.arg + ↑y.arg).cos + ↑(↑x.arg + ↑y.arg).sin * I)


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

x * y = ↑(abs x) * ↑(abs y) * (cexp (↑x.arg * I) * cexp (↑y.arg * I))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
p a b c d x y : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
h1 : p ∣ a * x + b * y
h2 : p ∣ c * x + d * y


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 1 < t

Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1) = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α

∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ s).toReal


Context:
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p


Context:
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q


Context:
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
hq : q ≤ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H : Subgroup G
a : G
h : a ∈ H.normalCore


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H


∀ (g : G), (∃ x ∈ g • orbit (↥H) a, x ∈ orbit (↥H) a) → g • orbit (↥H) a = orbit (↥H) a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: H : Subgroup G

Context: a : X

Context: hH : stabilizer G a ≤ H

Context: g : G

Context: h₁ h₂ : ↥H

Context: h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: H : Subgroup G

Context: a : X

Context: hH : stabilizer G a ≤ H

Context: g : G

Context: h₁ h₂ : ↥H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: H : Subgroup G

Context: a : X

Context: hH : stabilizer G a ≤ H

Context: g : G

Context: h₁ h₂ : ↥H

↑h₂⁻¹ * g * ↑h₁ ∈ H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: H : Subgroup G

Context: a : X

Context: hH : stabilizer G a ≤ H

Context: g : G

Context: h₁ h₂ : ↥H

g • ↑h₁ • a = ↑h₂ • a


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
hσ : σ.IsCycleOn ↑s
f : ι → α
g : ι → β

(∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i = ∑ k ∈ range s.card, ∑ i ∈ s, f i • g ((σ ^ k) i)


∑ x ∈ s ×ˢ s, f x.1 • g x.2 = ∑ k ∈ range s.card, ∑ i ∈ s, f i • g ((σ ^ k) i)


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P

x ∈ intrinsicClosure 𝕜 s ↔ x ∈ closure s


(∃ y, (∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → y ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty) ∧ ↑y = x) ↔ ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty


(∃ y, (∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → y ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty) ∧ ↑y = x) → ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: x : P

Context: h : ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty

∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → ⟨x, ?h.refine_3⟩ ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty