(∑ x ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, (MultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin j) ℝ) fun j => r * (a ^ x j * p (x j))) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)

((MultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin j) ℝ) fun i => ∑ j ∈ Ico 1 n, r * (a ^ j * p j)) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j


∏ i : Fin j, ∑ j ∈ Ico 1 n, r * (a ^ j * p j) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a

Context: z w : PGame

Context: h : w.IsOption y


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: z w : PGame

Context: h : w.IsOption y


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : r < 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r
y : E
hy : y ∈ interior (closedBall x r)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝¹ : r ≠ 0
hr✝ : 0 < r
y : E
hy : y ∈ interior (closedBall x r)
hr : dist y x < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y : E

Context: hr✝ : dist y x ≠ 0

Context: hr : 0 < dist y x

Context: hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y : E

Context: hr✝ : dist y x ≠ 0

Context: hr : 0 < dist y x

Context: f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y : E

Context: hr✝ : dist y x ≠ 0

Context: hr : 0 < dist y x

Context: f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x

f ⁻¹' closedBall x (dist y x) ⊆ Icc (-1) 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y : E

Context: hr✝ : dist y x ≠ 0

Context: hr : 0 < dist y x

Context: f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ f ⁻¹' closedBall x (dist y x)


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S

(closure (L[[↑A]])).toFun s = ((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯


((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯ ≤ (closure (L[[↑A]])).toFun s


(L.lhomWithConstants ↑A).substructureReduct (((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯) ≤ (L.lhomWithConstants ↑A).substructureReduct ((closure (L[[↑A]])).toFun s)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: inst✝¹ : S.HasLeftHomology

Context: inst✝ : S.HasRightHomology

Context: h : IsIso S.leftRightHomologyComparison

Context: this : IsIso (leftRightHomologyComparison' S.leftHomologyData S.rightHomologyData)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G 0
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

(δ 0 1 z).v p q hpq = z.v p p ⋯ ≫ G.d p q - F.d p q ≫ z.v q q ⋯


Context:
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
h : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
x : Quotient G α


(MulAction.orbit G (Quotient.out' x)).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Preorder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
n✝ m✝ : ℕ
h : n✝.le m✝


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q a : R[X]


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
γ : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q

γ.v p q hpq ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq G ⋯).hom = γ.v p q ⋯


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O

v ↑p < v ((algebraMap O K) x) ↔ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : AddGroup G

AddMonoid.IsTorsionFree G ↔ NoZeroSMulDivisors ℤ G


(∀ (y : ℤ) (x : G), x ≠ 0 → y ≠ 0 → ¬y • x = 0) ↔ ∀ {c : ℤ} {x : G}, c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
h : a ≤ b


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
h : a ≤ b
i : a.toPGame.LeftMoves


(↑(toLeftMovesToPGame.symm i)).toPGame ⧏ b.toPGame


Context:
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ

logb (a * b) c = ((logb a c)⁻¹ + (logb b c)⁻¹)⁻¹


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (α i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

(Measure.pi μ) (Metric.ball x r) = ∏ i : ι, (μ i) (Metric.ball (x i) r)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝² : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝¹ : Preorder R

Context: κ : Type u_8

Context: inst✝ : AddCommMonoid R

Context: r : R → R → Prop

Context: hr : ∀ (v₁ v₂ : α → R), IsBoundedUnder r f v₁ → IsBoundedUnder r f v₂ → IsBoundedUnder r f (v₁ + v₂)

Context: hr₀ : r 0 0

Context: u : κ → α → R

Context: s : Finset κ

Context: h : ∀ k ∈ s, IsBoundedUnder r f (u k)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝² : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝¹ : Preorder R

Context: κ : Type u_8

Context: inst✝ : AddCommMonoid R

Context: r : R → R → Prop

Context: hr₀ : r 0 0

Context: u : κ → α → R

Context: h : ∀ k ∈ ∅, IsBoundedUnder r f (u k)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝² : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝¹ : Preorder R

Context: κ : Type u_8

Context: inst✝ : AddCommMonoid R

Context: r : R → R → Prop

Context: hr₀ : r 0 0

Context: u : κ → α → R

Context: a✝¹ : κ

Context: s✝ : Finset κ

Context: h✝ : a✝¹ ∉ s✝

Context: a✝ : (∀ k ∈ s✝, IsBoundedUnder r f (u k)) → IsBoundedUnder r f (∑ k ∈ s✝, u k)

Context: h : ∀ k ∈ Finset.cons a✝¹ s✝ h✝, IsBoundedUnder r f (u k)

IsBoundedUnder r f (∑ k ∈ Finset.cons a✝¹ s✝ h✝, u k)


Context:
x : ℂ
hx : cos x = 0

Tendsto (fun x => abs (tan x)) (𝓝[≠] x) atTop


Context:
x : ℂ
hx : cos x = 0

Tendsto (fun x => ‖sin x‖ / ‖cos x‖) (𝓝[≠] x) atTop


Context:
x : ℂ
hx : cos x = 0
A : sin x ≠ 0


Context:
x : ℂ
hx : cos x = 0
A : sin x ≠ 0
B : Tendsto cos (𝓝[≠] x) (𝓝[≠] 0)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite τ

map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) ((μ.prod ν).prod τ) = μ.prod (ν.prod τ)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite τ

Context: this : (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod ((sFiniteSeq ν p.2.1).prod (sFiniteSeq τ p.2.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite τ

(sum fun i => map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2))) = sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1.1).prod ((sFiniteSeq ν p.1.2).prod (sFiniteSeq τ p.2))


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite τ

Context: i : (ℕ × ℕ) × ℕ

map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2)) = (sFiniteSeq μ i.1.1).prod ((sFiniteSeq ν i.1.2).prod (sFiniteSeq τ i.2))


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite τ

Context: i : (ℕ × ℕ) × ℕ

∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, ∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, (map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1.1) s * ((sFiniteSeq ν i.1.2).prod (sFiniteSeq τ i.2)) t


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite τ

Context: i : (ℕ × ℕ) × ℕ

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ {s | MeasurableSet s}

Context: t : Set β

Context: ht : t ∈ {s | MeasurableSet s}

Context: u : Set γ

Context: hu : u ∈ {t | MeasurableSet t}

(map (⇑MeasurableEquiv.prodAssoc) (((sFiniteSeq μ i.1.1).prod (sFiniteSeq ν i.1.2)).prod (sFiniteSeq τ i.2))) (s ×ˢ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) t u) = (sFiniteSeq μ i.1.1) s * ((sFiniteSeq ν i.1.2).prod (sFiniteSeq τ i.2)) ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) t u)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : SFinite ν

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite τ

Context: i : (ℕ × ℕ) × ℕ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: u : Set γ

Context: hu : MeasurableSet u


Context:
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
d : Dioph S
H : ∀ (v : α → ℕ), v ∈ S ↔ v ∈ S'


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

Context: eq : ∀ (a : α), ↑(toSimpleFunc f).posPart a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0

↑(toSimpleFunc (posPart f)) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f).posPart


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

Context: ae_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

Context: a : α

Context: h : ↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = max (↑(toSimpleFunc f) a) 0

↑(toSimpleFunc (posPart f)) a = ↑(toSimpleFunc f).posPart a


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'


↑2 ^ lift.{v, u} #α = 2 ^ lift.{v, u} #α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

diam {x, y, z} = max (max (edist x y) (edist x z)) (edist y z)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0
h : p.leadingCoeff = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
hp : ¬p = 0
h : p.leadingCoeff = 0
this : p = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: x : ↥((Quotient.mk I).comp C).range

Context: hx : C x ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I

Context: i : R →+* ↥((Quotient.mk I).comp C).range := ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: x : ↥((Quotient.mk I).comp C).range

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: x : R[X] ⧸ I

Context: hx' : x ∈ ((Quotient.mk I).comp C).range

Context: hx : C ⟨x, hx'⟩ ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: y : R

Context: hx' : ((Quotient.mk I).comp C) y ∈ ((Quotient.mk I).comp C).range

Context: hx : C ⟨((Quotient.mk I).comp C) y, hx'⟩ ∈ map (mapRingHom ((Quotient.mk I).comp C).rangeRestrict) I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hi' : RingHom.ker (mapRingHom i) ≤ I

Context: y : R


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
inst✝ : DecidableEq τ
h : Injective f

((rename f) p).support = Finset.image (Finsupp.mapDomain f) p.support


support (Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f) p) = Finset.image (Finsupp.mapDomain f) p.support


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ

(N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P)).f.f n = (𝟙 (N₂.obj P)).f.f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: P : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: eq₁ : (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P)).f.f n = PInfty.f n ≫ P.p.app (op [n]) ≫ ((Γ₀.splitting (N₂.obj P).X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: P : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: eq₂ : ((Γ₀.splitting (N₂.obj P).X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) ≫ (N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P)).f.f n = PInfty.f n ≫ P.p.app (op [n])


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)
h : f ∘ ⇑σ ≠ f ∘ ⇑(sort f)


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: f : Fin n → α

Context: σ : Equiv.Perm (Fin n)

Context: h : ∀ (i j : Fin n), i < j → (f ∘ ⇑σ) i ≤ (f ∘ ⇑σ) j


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Z ⟶ Y
g : Z ⟶ X
H : f ≫ α.inv = g


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B

(singleObjCyclesSelfIso c j A).inv ≫ cyclesMap ((single C c j).map f) j = f ≫ (singleObjCyclesSelfIso c j B).inv


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

x.swap ∈ n.divisorsAntidiagonal ↔ x ∈ n.divisorsAntidiagonal


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
s s' : Set V


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
A B : Under X
f : A ⟶ B


Context: T : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} T

Context: X : T

Context: A B : Under X

Context: f : A ⟶ B

Context: this : (Functor.fromPUnit X).map f.left ≫ B.hom = A.hom ≫ (𝟭 T).map f.right


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIcoMod hp a (b + c) = toIcoMod hp (a - c) b + c


Context: α✝ : Type u

Context: inst✝⁵ : Group α✝

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α✝

Context: inst✝³ : CovariantClass α✝ α✝ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ c : α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context: α✝ : Type u

Context: inst✝⁵ : Group α✝

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α✝

Context: a✝ b✝ c : α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a b : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
h : F.map f a = F.map g b

((Types.pullbackIsoPullback (F.map f) (F.map g)).inv ≫ (PreservesPullback.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) f g).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map (pullback.fst f g)) ⟨(a, b), h⟩ = a


Context:
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

Context: A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

Context: Z : μ' univ = μ'.haarScalarFactor μ • μ univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

Context: Z : 1 = μ'.haarScalarFactor μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a

∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⨅ b, ∫⁻ (a_1 : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) ↑↑b) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

∀ (b : { r' // x < ↑r' }), ∫⁻ (a_1 : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) ↑↑b) ∂ν a ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun r b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

Context: q : { r' // x < ↑r' }

Measurable fun b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑q)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⨅ b, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑↑b) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

(κ a) (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑↑i) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

∀ (i : { r' // x < ↑r' }), MeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0

Context: h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun b => s ×ˢ Iic ↑↑b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : lcm a b = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : lcm a b = 0
this : Associated (a * b) 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommMonoid G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a✝ b✝ : G
hg₁ : a✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
hg₂ : b✝ ∈ {g | ∃ n, orderOf g = p ^ n}
m : ℕ
hm : a✝ ^ p ^ m = 1
n : ℕ
hn : b✝ ^ p ^ n = 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
a : R
p : Module.Dual R M × M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
p q : Module.Dual R M × M

(p + q).1 (p + q).2 = p.1 p.2 + q.1 q.2 + ((LinearMap.dualProd R M) p) q


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction

s.SSameSide x (v +ᵥ y) ↔ s.SSameSide x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : s ≪ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h : s.toJordanDecomposition.posPart ≪ μ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart ≪ μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h : s.totalVariation ≪ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x + 1 - 1)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f

Context: y : ℝ

Context: hy₁ : ↑x + 1 < ↑y

Context: hy₂ : ↑y < abscissaOfAbsConv f


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f : α → β
x : α
y : FreeSemigroup α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : x ∈ closure s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: inst✝ : T0Space α

Context: V₀ : Set (α × α)

Context: V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α

Context: s : Set α

Context: hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀

Context: V₁ : Set (α × α)

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α

Context: V₁_symm : SymmetricRel V₁

Context: h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

Context: x : α

Context: hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: inst✝ : T0Space α

Context: V₀ : Set (α × α)

Context: V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α

Context: s : Set α

Context: hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀

Context: V₁ : Set (α × α)

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α

Context: V₁_symm : SymmetricRel V₁

Context: h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

Context: x : α

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ball x V₁

Context: hy' : y ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: inst✝ : T0Space α

Context: V₀ : Set (α × α)

Context: V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α

Context: s : Set α

Context: hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀

Context: V₁ : Set (α × α)

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α

Context: V₁_symm : SymmetricRel V₁

Context: h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

Context: x : α

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ball x V₁

Context: hy' : y ∈ s

∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → SymmetricRel V → (x, y) ∈ V


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: inst✝ : T0Space α

Context: V₀ : Set (α × α)

Context: V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α

Context: s : Set α

Context: hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀

Context: V₁ : Set (α × α)

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α

Context: V₁_symm : SymmetricRel V₁

Context: h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

Context: x : α

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ball x V₁

Context: hy' : y ∈ s

Context: V : Set (α × α)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 α

Context: a✝ : SymmetricRel V


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: inst✝ : T0Space α

Context: V₀ : Set (α × α)

Context: V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α

Context: s : Set α

Context: hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀

Context: V₁ : Set (α × α)

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α

Context: V₁_symm : SymmetricRel V₁

Context: h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

Context: x : α

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ball x V₁

Context: hy' : y ∈ s

Context: V : Set (α × α)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 α

Context: a✝ : SymmetricRel V

Context: z : α

Context: hz : z ∈ ball x (V₁ ∩ V)

Context: hz' : z ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: inst✝ : T0Space α

Context: V₀ : Set (α × α)

Context: V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α

Context: s : Set α

Context: hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀

Context: V₁ : Set (α × α)

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α

Context: V₁_symm : SymmetricRel V₁

Context: h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

Context: x : α

Context: V : Set (α × α)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 α

Context: a✝ : SymmetricRel V

Context: z : α

Context: hz : z ∈ ball x (V₁ ∩ V)

Context: hz' : z ∈ s

Context: hy : z ∈ ball x V₁

Context: hy' : z ∈ s


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : PseudoMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ


Context:
a b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
b c : ℕ


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
ha : a > 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : PowerSeries R
n : ℕ

((ofPowerSeries ℤ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
R : Presieve X
S : Sieve X
ss : R ≤ S.arrows
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
g : Z ⟶ X
hg : R g


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : PrimeSpectrum R


zeroLocus ↑x.asIdeal ⊆ {x} ↔ x.asIdeal.IsMaximal


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z z' z1 : ℤ_[p]

Context: hz' : z' = z - z1

Context: hz1 : ‖z1‖ = ‖Polynomial.eval z F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖

Context: n : ℕ

Context: hz : ih_gen n z


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: z z' z1 : ℤ_[p]

Context: hz' : z' = z - z1

Context: n : ℕ

Context: hz : ih_gen n z

‖Polynomial.eval z F‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobson R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
hx : 0 ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
h0 : x ≠ 0


Context:
m✝ n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : m.castSucc < i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ


{i | i < k}.encard = (↑(Finset.range k)).encard


Context: l m r : List Char

{ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.bsize = utf8Len m


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
k : Type u_2
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : IsConj φ σ
x : K


Context:
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}
h : b ≤ nfp f a


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: hxr : ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n = ↑m

Context: hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: hxr : ↑({ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n) = ↑m


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: c1 : ↑↑D ≠ 0


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: c1 : ↑↑D ≠ 0

Context: c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n

Context: c1 : ↑↑D ≠ 0

Context: c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n

Context: c1 : ↑↑D ≠ 0

Context: c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0

Context: hdivn : ↑D ^ n ∣ N ^ n


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: D : ℕ

Context: P : D ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime D

Context: hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n

Context: c1 : ↑↑D ≠ 0

Context: c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0

Context: hdivn : D ∣ N.natAbs


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: P : 1 ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime 1

Context: hxr : m * ↑1 ^ n = N ^ n

Context: hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑y

Context: c1 : ↑↑1 ≠ 0

Context: c2 : ↑↑1 ^ n ≠ 0

Context: hdivn : 1 ∣ N.natAbs


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hnpos : 0 < n

Context: N : ℤ

Context: P : 1 ≠ 0

Context: C : N.natAbs.Coprime 1

Context: hxr : m * ↑1 ^ n = N ^ n

Context: c1 : ↑↑1 ≠ 0

Context: c2 : ↑↑1 ^ n ≠ 0

Context: hdivn : 1 ∣ N.natAbs

↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑N


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : MulSemiringAction M R
m : M

HSMul.hSMul m = map (MulSemiringAction.toRingHom M R m)


DistribMulAction.toAddMonoidHom R[X] m = (mapRingHom (MulSemiringAction.toRingHom M R m)).toAddMonoidHom


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : MulSemiringAction M R
m : M
n : ℕ
r : R

m • (monomial n) r = map (MulSemiringAction.toRingHom M R m) ((monomial n) r)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F

(f' =o[l] fun _x => 1) ↔ Tendsto f' l (𝓝 0)


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : m → 𝔸


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ✝
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mα : MeasurableSpace α
f : γ → α
μ : Measure γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → β

AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ) ↔ AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ


AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μ → AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ✝
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mα : MeasurableSpace α
f : γ → α
μ : Measure γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → β
g₁ : γ → β
hgm₁ : StronglyMeasurable g₁
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₁

AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ✝
f✝ g✝ : α → β
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mα : MeasurableSpace α
f : γ → α
μ : Measure γ
hf : MeasurableEmbedding f
g g₂ : α → β
hgm₂ : StronglyMeasurable g₂
hgm₁ : StronglyMeasurable (g₂ ∘ f)
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₂ ∘ f


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L

φ.IsNilRegular x ↔ (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : IntermediateField F E

Context: t : Finset E

Context: ht : Algebra.adjoin F ↑t = S.toSubalgebra


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: this : CharP R (ringChar R) := (Classical.choose_spec (CharP.exists_unique R)).left


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: Q : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: f : R[T;T⁻¹]

Context: Qf : ∀ {f : R[X]} {n : ℕ}, Q (toLaurent f * T (-↑n))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: Q : R[T;T⁻¹] → Prop

Context: f : R[T;T⁻¹]

Context: n : ℕ

Context: f' : R[X]

Context: hf : toLaurent f' = f * T ↑n


Context:
m n k : ℕ
h : k < m
hk : optParam (k < m + n) ⋯
hnk : optParam (n + k < n + m) ⋯


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : EqOn f₁ f s
hx : f₁ x = f x

(fderivWithin 𝕜 f₁ s x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

Embedding f ↔ ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)


Inducing f ∧ Function.Injective f ↔ ∀ (i : ι), Inducing ((U i).carrier.restrictPreimage f) ∧ Function.Injective ((U i).carrier.restrictPreimage f)


Inducing f ∧ Function.Injective f ↔ (∀ (x : ι), Inducing ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧ ∀ (x : ι), Function.Injective ((U x).carrier.restrictPreimage f)


Inducing f ↔ ∀ (x : ι), Inducing ((U x).carrier.restrictPreimage f)


Function.Injective f ↔ ∀ (x : ι), Function.Injective ((U x).carrier.restrictPreimage f)


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x✝ : List α
s : σ
a✝ : α
S : Set σ
x : List α
a : α

M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x y : 𝔸
h : Commute x y


Commute x ((fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) y)


Context: α : Type u_1

Context: P : α → Prop

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized

Context: H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'

All P (l.balanceR x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ f ∈ t, f.Monic
a✝ : Nontrivial R

t.prod.natDegree = (Multiset.map natDegree t).sum


(Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod ≠ 0


(Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod = 1


Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t = replicate (Multiset.card t) 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g s : ι → Set X
hs : LocallyFinite s
hs' : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
x : X

∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, {i | y ∈ s i} ⊆ {i | x ∈ s i}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g s : ι → Set X
hs : LocallyFinite s
hs' : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
x y : X
hy : y ∈ ⋂ i, ⋂ (_ : x ∉ s i), (s i)ᶜ
i : ι
hi : i ∈ {i | y ∈ s i}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g s : ι → Set X
hs : LocallyFinite s
hs' : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
x y : X
i : ι
hi : i ∈ {i | y ∈ s i}
hy : ∀ (i : ι), x ∉ s i → y ∉ s i


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f

(isoRestrict f).inv ≫ f = Y.ofRestrict ⋯


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K


Context:
x y z t : EReal
h1 : x < y
h2 : z < t


Context:
y z t : EReal
h2 : z < t
h1 : ⊥ < y


Context:
x y z t : EReal
h1 : x < y
h2 : z < t
hx : x ≠ ⊥


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : DecidableEq δ'

Context: e : δ' → δ

Context: he : Injective e

Context: s : Finset δ'

Context: f : ((i : δ') → π (e i)) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: x : (i : δ) → π i

Context: h : Measurable fun x => (fun {x_1} => x) ∘' e

(∫⋯∫⁻_Finset.image e s, f ∘ fun x => (fun {x_1} => x) ∘' e ∂μ) x = (∫⋯∫⁻_s, f ∂(fun {x} => μ) ∘' e) ((fun {x_1} => x) ∘' e)


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c a : α
u : αˣ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
ht : x.IsAmalgamation t
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : (generate R).arrows f

P.map f.op t = P.map ⋯.choose.op (x ⋯.choose ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hKU : closure K ⊆ ⋃ i, U i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hKU : closure K ⊆ ⋃ i, U i
t : Finset ι✝
ht : K ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context: θ : Angle


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : SFinite μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = (⊤ • μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

(μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = ⊤ * (μ.toFinite.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (a : α) in t ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ, μ.densityToFinite a ∂μ.toFinite = ⊤ * μ.toFinite (t ∩ μ.sigmaFiniteSetᶜ)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


0 < re z ∧ im z = 0 ↔ ∃ x > 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
b a✝ : β

a✝ ∈ filter (fun a => b ≠ a) s ↔ a✝ ∈ s.erase b


a✝ ∈ s ∧ ¬b = a✝ ↔ ¬a✝ = b ∧ a✝ ∈ s


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
g : G
s : Set G

g ∈ centralizer s ↔ ∀ h ∈ s, h * g * h⁻¹ * g⁻¹ = 1


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑∅ < affineSpan k ↑t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hs' : s.Nonempty
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑∅


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this : Nonempty { x // x ∈ s }


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s t : Finset V

Context: hs : AffineIndependent k Subtype.val

Context: hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht' : t.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }

Context: this : Nonempty ↑↑t

Context: dir_lt : (affineSpan k ↑s).direction < (affineSpan k ↑t).direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s t : Finset V

Context: hs : AffineIndependent k Subtype.val

Context: hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht' : t.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }

Context: this : Nonempty ↑↑t

Context: dir_lt : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) < vectorSpan k (Set.range Subtype.val)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s t : Finset V

Context: hs : AffineIndependent k Subtype.val

Context: hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht' : t.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }

Context: this : Nonempty ↑↑t

Context: finrank_lt : finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1 < finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s t : Finset V

Context: hs : AffineIndependent k Subtype.val

Context: hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t

Context: hs' : s.Nonempty

Context: ht' : t.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }

Context: this : Nonempty ↑↑t

Context: finrank_lt : Fintype.card { x // x ∈ s } < finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
b₁ b₂ : β
a : α
ha : a ∈ s
h : f a * b₁ = f a * b₂

(∏ a ∈ s, f a) * b₁ = (∏ a ∈ s, f a) * b₂


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a✝ b✝ : α
h : G.IsClique s
f : α ↪ β
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : f a ≠ f b


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : Nontrivial R
x : R
hx : IsRegular x


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : Ring 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : p ≠ 0


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: Y : Scheme

Context: f₁ f₂ : X ⟶ Y

Context: h : ∀ (x : 𝒰.J), 𝒰.map x ≫ f₁ = 𝒰.map x ≫ f₂


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: Y : Scheme

Context: f₁ f₂ : X ⟶ Y


Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: Y : Scheme

Context: f₁ f₂ : X ⟶ Y

∀ (b : 𝒰.gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π 𝒰.gluedCover.diagram b ≫ 𝒰.fromGlued ≫ f₁ = Multicoequalizer.π 𝒰.gluedCover.diagram b ≫ 𝒰.fromGlued ≫ f₂


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
α : Type u_3
d : α → α → ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeSup α
s✝ t : Set α
a b : α
s : ι → α

a ≤ iSup s ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), s i ≤ b) → a ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
l : List α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l a✝ : List α

l ∈ lists ⟦a✝⟧ ↔ ⟦a✝⟧ = ⟦l⟧


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: π : α → Type u_5

Context: δ : α → Sort u_6

Context: s : Set α

Context: f g : (i : α) → δ i

Context: inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: j : α

Context: inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)

(insert j s).piecewise f g = update (s.piecewise f g) j (f j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: π : α → Type u_5

Context: δ : α → Sort u_6

Context: s : Set α

Context: f g : (i : α) → δ i

Context: inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: j : α

(fun i => if i = j ∨ i ∈ s then f i else g i) = update (fun i => if i ∈ s then f i else g i) j (f j)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α


Context:
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
b : Basis ι S M

B.dualSubmodule (B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : e ∉ I

M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E \ M.closure I ∨ e ∈ I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: S : Set (Set α)

Context: h : SeparatesPoints α

Context: this : MeasurableSpace α := generateFrom S

Context: x y : α

Context: hxy : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: S : Set (Set α)

Context: h : SeparatesPoints α

Context: x y : α

Context: hxy : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: t : Finset ι

Context: ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) x ≠ 0 → j ∈ t

f.toPOUFun i x = (f i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - (f j) x)


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: t : Finset ι

Context: j : ι

Context: hj : 1 - (f j) x ≠ 1

WellOrderingRel j i ↔ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: i : ι

Context: x : X

Context: t : Finset ι

Context: j : ι

Context: hj : ¬(f j) x = 0


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']


(∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s | MeasurableSet s} → t2 ∈ {s | MeasurableSet s} → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']


∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, MeasurableSet s


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
z : k
hz : (X ^ n - C x).IsRoot z


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
z : k
hz : z ^ n - x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
hsc : autoParam sᶜ.Finite _auto✝


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α


∀ (c_1 : β), ⊤ (ωSup c) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map ⊤) ≤ c_1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α
z : β


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝ : RCLike 𝕜

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: this : ∀ (x : α), ‖RCLike.re (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝ : RCLike 𝕜

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Memℒp f p μ

AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι N R v) l = 0 → l = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0

Context: a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0

Context: ha : a = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0

Context: ha : a = 0

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0

Context: ha : a = 0

Context: i : ι

(fun c => c • v i) (l i) = (fun c => c • v i) (0 i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0

Context: ha : a = 0

Context: i : ι

Context: this : l i • v i = ↑(a i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: M : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N

Context: p : ι → Submodule R N

Context: hp : Independent p

Context: v : ι → N

Context: hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i

Context: hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0

Context: ha : a = 0

Context: i : ι

Context: this : l i = 0 ∨ v i = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: h : abv.IsAdmissible

Context: A : Fin (h.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R

Context: e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι

∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : ι), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: h✝ : abv.IsAdmissible

Context: A : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R

Context: i₀ i₁ : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ

Context: ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ∀ (k : Fin (Fintype.card ι)), ↑(abv (A i₁ (e.symm k) % b - A i₀ (e.symm k) % b)) < abv b • ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : EuclideanDomain R

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : R

Context: hb : b ≠ 0

Context: h✝ : abv.IsAdmissible

Context: ne : i₀ ≠ i₁

Context: k : ι

↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

(vanishingIdeal (t ∪ t')).toIdeal = (vanishingIdeal t ⊓ vanishingIdeal t').toIdeal


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n : ℕ


↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑n ≤ x.valuation


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m
this : p ^ n ≤ p ^ k ↔ n ≤ k


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ

(Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →* F

Context: h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1

Context: s : Finset ℕ

Context: hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →* F

Context: h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1

Context: s : Finset ℕ

Context: H₁ : ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n) = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →* F

Context: h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1

Context: s : Finset ℕ

Context: H₂ : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖


Context:
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i j : ι
h : i ≠ j
x : E i
y : E j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : Disjoint a b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S✝ : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S✝
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
S : Submodule R M
S' : Submodule R M₂

↑(Submodule.map (f.coprod g) (S.prod S')) = ↑(Submodule.map f S ⊔ Submodule.map g S')


(fun a => f a.1 + g a.2) '' ↑(S.prod S') = ⇑f '' ↑S + ⇑g '' ↑S'


(fun a => f a.1 + g a.2) '' ↑(S.prod S') = Set.image2 (fun a b => f a + g b) ↑S ↑S'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : (aeval x) P = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommRing A


Context: x✝ y x : ℝ


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)

Context: x : DirectSum ι G

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

(DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) x = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) x)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: x : DirectSum ι G

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

(DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.sum x DFinsupp.single) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.sum x DFinsupp.single))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: x : DirectSum ι G

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

(DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (∑ i ∈ DFinsupp.support x, DFinsupp.single i (x i)) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (∑ i ∈ DFinsupp.support x, DFinsupp.single i (x i)))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: x : DirectSum ι G

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

∑ x_1 ∈ DFinsupp.support x, (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.single x_1 (x x_1)) = ∑ x_1 ∈ DFinsupp.support x, (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.single x_1 (x x_1)))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: x : DirectSum ι G

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

Context: k : ι

Context: hk : k ∈ DFinsupp.support x

(DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.single k (x k)) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.single k (x k)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : InjOn fa s
hf : InjOn f (fa '' s)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
H : fb (f x) = fb (f y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : InjOn fa s
hf : InjOn f (fa '' s)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
H : f (fa x) = f (fa y)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: f : α → Multiset β

Context: b : β

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α

count b (s.sup f) = s.sup fun a => count b (f a)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: f : α → Multiset β

Context: b : β

count b (∅.sup f) = ∅.sup fun a => count b (f a)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: f : α → Multiset β

Context: b : β

∀ ⦃a : α⦄ {s : Finset α}, a ∉ s → (count b (s.sup f) = s.sup fun a => count b (f a)) → count b ((insert a s).sup f) = (insert a s).sup fun a => count b (f a)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : frobeniusRotation p ha₁ ha₂ = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
r s t r' s' t' : R
h : r ≠ 0

(if _hr : r = 0 then (r', s', t') else let q := r' / r; let_fun x := ⋯; xgcdAux (r' % r) (s' - q * s) (t' - q * t) r s t) = xgcdAux (r' % r) (s' - r' / r * s) (t' - r' / r * t) r s t


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁷ : Zero α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Zero γ
inst✝⁴ : One α
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
hf₃ : f 1 1 = 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: s : Set ι

Context: f : ι → α

Context: h : ∀ i ∈ s, ComplementedLattice ↑(Iic (f i))

Context: h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: s : Set ι

Context: f : ι → α

Context: h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: s : Set ι

Context: f : ι → α

Context: h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤

Context: t : (i : ι) → i ∈ s → Set α

Context: ht : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), f i = sSup (t i a)

Context: ht' : ∀ (i : ι) (a : i ∈ s), ∀ a_1 ∈ t i a, IsAtom a_1

Context: u : Set α := ⋃ i, ⋃ (hi : i ∈ s), t i hi

Context: hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: inst✝¹ : IsModularLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: s : Set ι

Context: f : ι → α

Context: h' : ⨆ i ∈ s, f i = ⊤

Context: t : (i : ι) → i ∈ s → Set α

Context: hu₁ : u ⊆ {a | IsAtom a}

Context: hu₂ : sSup u = ⨆ i ∈ s, f i


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedCommRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜₂ E₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
c : 𝕜₂
x✝ : E

(p.comp (c • f)) x✝ = (‖c‖₊ • p.comp f) x✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a✝ x : M
xs : List M
i : ℕ
a : M

((x :: xs).set (i + 1) a).prod = ((take (i + 1) (x :: xs)).prod * if i + 1 < (x :: xs).length then a else 1) * (drop (i + 1 + 1) (x :: xs)).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
x✝¹ : ℕ
x✝ : M

([].set x✝¹ x✝).prod = ((take x✝¹ []).prod * if x✝¹ < [].length then x✝ else 1) * (drop (x✝¹ + 1) []).prod


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α

s ∈ f * ⊤ → s ∈ ⊤


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s t : Set α
ht : t ∈ f
hs : t * univ ⊆ s


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hp : CharP R p
p_ne_zero : p ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hp : CharP R p
p_ne_zero : p ≠ 0
h : Nat.Prime p


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hp : CharP R p
p_ne_zero : p ≠ 0
h : p = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0

Context: hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Context: H : NumberField.house.ξ K x = 0

Context: l : β

Context: r : K →+* ℂ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: H : ∀ (a : β), NumberField.house.ξ K x a = 0 a

Context: l : β

Context: r : K →+* ℂ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: l : β

Context: r : K →+* ℂ

Context: hblin : LinearIndependent ℤ ⇑(NumberField.house.newBasis K)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: l : β

Context: r : K →+* ℂ

Context: hblin : ∀ (g : (K →+* ℂ) → ℤ), ∑ x : K →+* ℂ, ↑(g x) * (NumberField.house.newBasis K) x = 0 → ∀ (i : K →+* ℂ), g i = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: x✝ : TangentSpace I x

(_root_.mfderivWithin I I' f s x) x✝ = f' x✝


Context:
s : ℝ
hs : s ≠ 0

(Complex.Gamma ↑(s + 1)).re = s * (Complex.Gamma ↑s).re


Context:
s : ℝ
hs : s ≠ 0


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α

Context: a b c d : α

(∃ x, b = a * x ∧ a ≠ b) ↔ ∃ c, c > 1 ∧ b = a * c


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α

Context: a b c d : α


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommMonoid α

Context: a b c✝ d : α

Context: c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
x y : γ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a✝ : ℕ

a✝ ∈ f.integralNormalization.support → a✝ ∈ f.support


Context:
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1)

i.succ.succAbove (i.cycleRange j) = (swap 0 i.succ) j.succ


Context:
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1)
hlt : j < i


Context:
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1)
heq : j = i


Context:
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1)
hgt : i < j


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: x : L

Context: y : M

y ∈ __spread✝⁻⁰.carrier → ⁅x, y⁆ ∈ __spread✝⁻⁰.carrier


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: x : L

Context: y : M

(∀ n ∈ N, (Φ n) y = 0) → ∀ n ∈ N, (Φ n) ⁅x, y⁆ = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: x : L

Context: y : M

Context: H : ∀ n ∈ N, (Φ n) y = 0

Context: a : M

Context: ha : a ∈ N


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R


∀ ⦃x : N⦄, x ∈ comap fₗ qₗ → x ∈ comap (c • fₗ) qₗ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
m : N
h : fₗ m ∈ qₗ

c • fₗ m ∈ qₗ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
a b : R[X]
h : minpoly R x ∣ a * b
h' : ¬minpoly R x ∣ a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
a b : R[X]
h : (Polynomial.aeval x) (a * b) = 0
h' : ¬(Polynomial.aeval x) a = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: a b : R[X]

Context: h : (Polynomial.aeval x) a * (Polynomial.aeval x) b = 0

Context: h' : ¬(Polynomial.aeval x) a = 0


Context: x y : ℤ[i]

toComplex x / toComplex y - toComplex (x / y) = ↑(toComplex x / toComplex y).re - ↑(toComplex (x / y)).re + (↑(toComplex x / toComplex y).im - ↑(toComplex (x / y)).im) * I


Context: x y : ℤ[i]

normSq (↑(toComplex x / toComplex y).re - ↑(toComplex (x / y)).re + (↑(toComplex x / toComplex y).im - ↑(toComplex (x / y)).im) * I) ≤ normSq (1 / 2 + 1 / 2 * I)


Context:
x y : ℤ[i]
this : |2⁻¹| = 2⁻¹


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : DecidableEq ιM
bₘ : Basis ιM R M

φ.polyCharpoly b = Polynomial.map (↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM)


Context:
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤ index K₁.carrier V + index K₂.carrier V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h1s : K₁.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V

Context: t : Finset G

Context: h1t : K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2t : t.card = index K₂.carrier V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index K₂.carrier V

index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤ s.card + t.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index K₂.carrier V

index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V ≤ (s ∪ t).card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index K₂.carrier V

(s ∪ t).card ∈ Finset.card '' {t | K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index K₂.carrier V

s ∪ t ∈ {t | K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K₁.carrier V

Context: t : Finset G

Context: h2t : t.card = index K₂.carrier V

K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s ∪ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume

Context: x : ℝ

deriv (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
n : ℕ
ih : (p * X ^ n).reverse = p.reverse


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: n : ℕ

Context: h : ∃ a, (a.IsCycle ∧ ∀ a_1 ∈ a.support, a a_1 = σ a_1) ∧ a.support.card = n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ w✝ : Perm α
hc : w✝.IsCycle