Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
hψ : ψ.IsPrimitive
a : ZMod n
h : ψ a = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
x₁ x₂ x₃ : α

toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃ ↔ toIcoMod hp 0 (x₂ - x₁) + toIcoMod hp 0 (x₁ - x₃) ≤ p


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t r : Set α
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)


Context:
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K

((limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ (HasLimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom) ≫ limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k


(limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G ((Prod.braiding K J).functor.obj (k, j)) ≫ (𝟙 ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G)).app (k, j) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k


(limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G ((Prod.braiding K J).functor.obj (k, j)) ≫ 𝟙 (((Prod.braiding K J).functor ⋙ G).obj (k, j)) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k


Context:
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : SequentialSpace X✝
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget Sequential).obj X

({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x


Context:
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : SequentialSpace X✝
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget Sequential).obj Y

({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: H : (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

IsIntegral A (∑ i : ι, b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) i • b i)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

∀ x_1 ∈ Finset.univ, IsIntegral A (b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) x_1 • b x_1)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

IsIntegral A (b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) i • b i)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

IsIntegral A ((algebraMap K L) ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i) * b i)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

(algebraMap A L).IsIntegralElem ((algebraMap K L) ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)).det


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

∀ (i_1 j : ι), IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i_1 j)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

Context: j k : ι

IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) j k)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing A

Context: inst✝¹⁹ : Field K

Context: inst✝¹⁸ : CommRing B

Context: inst✝¹⁷ : Field L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁵ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A B

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: inst✝¹² : Algebra A L

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝⁹ : IsDomain A

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed A

Context: I : Submodule B L

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι K L

Context: hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)

Context: a x : L

Context: ha : a ∈ I

Context: hx : x ∈ Iᵛ

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

Context: j k : ι

IsIntegral A (if k = i then (Algebra.trace K L) (x * a * b j) else traceMatrix K (⇑b) j k)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))

Context: F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)

Context: G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2

HasFDerivAt g (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' x)) x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf'✝ : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter F' G' l (𝓝 x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
ι : Type u_5
κ : Type u_6
f : ι → Y
g : κ → Z
hf : DenseRange f
hg : DenseRange g


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : K

mixedEmbedding.norm ((mixedEmbedding K) a) = 0 ↔ (mixedEmbedding K) a = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I : Set (α ⊕ β)

(M.sum N).Indep I ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)


M.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ∧ N.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittMul p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) * X (1, 0))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0

F.map ((shiftFunctorCompIsoId C a b h).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)


𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a ⋙ shiftFunctor C b).obj X)) = ((F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).hom.app (F.obj X)) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R

{ toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MulZeroOneClass R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : MulZeroOneClass S

Context: inst✝¹ : DecidableEq S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: f : R →*₀ S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x y : WithTop R

Context: this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MulZeroOneClass R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : MulZeroOneClass S

Context: inst✝¹ : DecidableEq S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: f : R →*₀ S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: y : WithTop R

{ toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (0 * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MulZeroOneClass R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : MulZeroOneClass S

Context: inst✝¹ : DecidableEq S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: f : R →*₀ S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x y : WithTop R

Context: hx : x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MulZeroOneClass R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : MulZeroOneClass S

Context: inst✝¹ : DecidableEq S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: f : R →*₀ S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x : WithTop R

Context: hx : x ≠ 0

{ toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * 0) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MulZeroOneClass R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : MulZeroOneClass S

Context: inst✝¹ : DecidableEq S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: f : R →*₀ S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x y : WithTop R

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

a * b ≤ 0 ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p'✝ : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
p' : ι → Prop
s' : ι → Set α
hp : ∀ (i : ι), p i ↔ p' i
hs : ∀ (i : ι), p i → s i = s' i
t : Set α


(∃ i, p i ∧ s i ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ s' i ⊆ t


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : GradedObject β C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : β), f x = g x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : GradedObject β C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : β), f x = g x
x✝ : β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a✝ b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
h : IsEmpty n


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
h✝ : Nonempty n


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Group G'

Context: inst✝¹ : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: H K : Subgroup G

Context: k : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure k → Prop

Context: mem : ∀ (x : G) (h : x ∈ k), p x ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: mul : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k) (y : G) (hy : y ∈ closure k), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k), p x hx → p x⁻¹ ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ closure k


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Group G'

Context: inst✝¹ : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: H K : Subgroup G

Context: k : Set G

Context: p : (x : G) → x ∈ closure k → Prop

Context: mem : ∀ (x : G) (h : x ∈ k), p x ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : G

Context: hx : x ∈ closure k


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ


Context: x a' : ℝ


Context: b✝ : Game

Context: b : PGame

Context: c✝ : Game

Context: c : PGame

Context: h : Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r c

Context: a✝ : Game

Context: a : PGame

Quot.mk Setoid.r b + Quot.mk Setoid.r a ⧏ Quot.mk Setoid.r c + Quot.mk Setoid.r a


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan s.pt X
Q : IsLimit t

t.snd ≫ Q.lift (mk (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }) (𝟙 { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt)) = 𝟙 t.pt


∀ (j : Discrete WalkingPair), (t.snd ≫ Q.lift (mk (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }) (𝟙 { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt))) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ
h : ν₂ ⟂ₘ μ

(ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] ν₁.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite ν₁

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν₂

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: h : ν₂ ⟂ₘ μ

Context: x : α

Context: hx_add : (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ x = (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ) x

Context: hx_zero : ν₂.rnDeriv μ x = 0 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b✝ c✝ a b c : G


Context: x y z : ℂ

sin z = sin ↑z.re * cosh ↑z.im + cos ↑z.re * sinh ↑z.im * I


Context: x y z : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Wbtw R x y z


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Wbtw R z y x


Context:
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {5} ℚ K


↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K / ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K)!)) ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ

Integrable (fun a => ‖f a‖) μ ↔ Integrable f μ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: fs_le_const : ∀ᶠ (i : ι) in L, ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (fs i) ω ≤ c

Context: f : Ω → ℝ≥0

Context: fs_lim : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun i => (fs i) ω) L (𝓝 (f ω))

Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs i) ω) ∂μ) L (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: f : Ω → ℝ≥0

∀ᶠ (n : ι) in L, ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, ↑((fs n) a) ≤ (fun x => ↑c) a


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: fs : ι → Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: c : ℝ≥0

Context: f : Ω → ℝ≥0

∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑((fs n) a)) L (𝓝 ↑(f a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
hwv : w =o[l] v


Context: x y : ℝ

abs { re := x, im := y } ≤ √2 * max |{ re := x, im := y }.re| |{ re := x, im := y }.im|


Context: x y : ℝ


Context: n : ℕ

2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) < π


Context: n : ℕ

Context: this : √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 * 2 ^ (n + 2) < π


Context: n : ℕ

2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) = √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2 * 2 ^ (n + 2)


Context: n : ℕ


Context:
a b q q' : ℤ
h : IsInt (a / -b) q
hq : -q = q'


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G


Context:
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : HasContDiffBump G
inst✝ : CompleteSpace E'
φ : ContDiffBump 0
x₀✝ x₀ : G
hg : ∀ x ∈ ball x₀ φ.rOut, g x = g x₀

(↑φ ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀ = integral μ ↑φ • g x₀


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

Context: inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)

(pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫ fst (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) = fst f g ≫ f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y Z : C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacks C

Context: S T : C

Context: f : X ⟶ T

Context: g : Y ⟶ T

Context: i : T ⟶ S

Context: inst✝³ : HasPullback i i

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)

snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ fst i i = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ fst f g ≫ f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hg : EqOn f g (EMetric.ball x r)
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r

HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (g (x + y))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y : α
inst✝ : Nontrivial β
h : 1 = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ p₃' : P
h₁ : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₁'
h₃ : Sbtw ℝ p₃ p₂ p₃'


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'

(η.naturality (𝟙 a)).hom ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (G.map (𝟙 a)) f).hom ≫ η.app a ◁ G.mapId a ▷ f = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s t : Multiset α

Rel (flip fun x x_1 => x = x_1) s t ↔ s = t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤

Memℒp (fun x => c) p μ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤


Memℒp (fun x => c) p μ ↔ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁

(toMatrixAlgEquiv v₁) (f ∘ₗ g) = (toMatrixAlgEquiv v₁) f * (toMatrixAlgEquiv v₁) g


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E

⟪T x, y⟫_𝕜 = (⟪T (x + y), x + y⟫_𝕜 - ⟪T (x - y), x - y⟫_𝕜 - I * ⟪T (x + I • y), x + I • y⟫_𝕜 + I * ⟪T (x - I • y), x - I • y⟫_𝕜) / 4


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
h : I = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E
h : I * I = -1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E

x ∈ [y-[𝕜]z] ↔ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x - y = a • (x - y + (z - x))
hzx : z - x = b • (x - y + (z - x))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : x - y = a • (z - y)
hzx : z - x = b • (z - y)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v U : Set α

ConnectedComponents.mk ⁻¹' (ConnectedComponents.mk '' U) = ⋃ x ∈ U, connectedComponent x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G →* N
h : Surjective ⇑f


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G →* N
h : Surjective ⇑f
x : N
a✝ : x ∈ ⊤
y : G
hy : f y = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ L : R

f L ^ 2 + (map W f).toAffine.a₁ * f L - (map W f).toAffine.a₂ - f x₁ - f x₂ = f (L ^ 2 + W.a₁ * L - W.a₂ - x₁ - x₂)


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R ⧸ Ideal.map C I

eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) f) = f


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
f : MvPolynomial σ R

eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f


∀ (a : R), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (C a))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (C a)


∀ (p q : MvPolynomial σ R), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) q)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) q → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p + q))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p + q)


∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p → eval₂ (Ideal.Quotient.lift I ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) ⋯) (fun i => (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (X i)) ((Ideal.Quotient.lift (Ideal.map C I) (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) ⋯) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p * X n))) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) (p * X n)


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R
x r : R

r ∈ colon I (Ideal.span {x}) ↔ r * x ∈ I


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)


Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F E) * Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank E ↥(separableClosure E K)) = Cardinal.lift.{v, w} (Module.rank F ↥(restrictScalars F (separableClosure E K)))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x : M
y : F


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
l : List α
hl : ∀ x ∈ ⟦l⟧, 1 ≤ x
x : α
hx : x ∈ ⟦l⟧


Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x : E

Context: h : x ≠ 0

Context: p : Submodule 𝕜 E := span 𝕜 {x}

Context: f : ↥(span 𝕜 {x}) →L[𝕜] 𝕜 := ↑‖x‖ • coord 𝕜 x h


Context: 𝕜 : Type v

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x : E

Context: h : x ≠ 0

Context: p : Submodule 𝕜 E := span 𝕜 {x}

Context: g : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hg : (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
x : α
n : ℕ

m < replicate (n + 1) x ↔ m ≤ replicate n x


(∃ a, a ::ₘ m ≤ replicate (n + 1) x) ↔ m ≤ replicate n x


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

(dNext k₁) hom + (prevD k₁) hom = C.d k₁ k₀ ≫ hom k₀ k₁


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C

((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom = (Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X)


(((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv = ((Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X)) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv


((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ 𝟙 (((evaluation C D).obj X).obj (cokernel α)) = (Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv


(cokernel.π α).app X ≫ 𝟙 ((cokernel α).obj X) = 𝟙 (G.obj X) ≫ cokernel.π (α.app X) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv


(cokernel.π α).app X = cokernel.π (α.app X) ≫ cokernelComparison α ((evaluation C D).obj X)


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.17195, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.17199, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.17203, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.17207, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17211, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.17215, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 1) = (0, n + 1) :: map (Prod.map succ id) (antidiagonal n)


Context: n : ℕ

(0, n + 1) :: (succ 0, n) :: map ((fun i => (i, n + 1 - i)) ∘ succ ∘ succ) (range n) = (0, n + 1) :: (succ 0, n) :: map (Prod.map succ id ∘ (fun i => (i, n - i)) ∘ succ) (range n)


Context: n : ℕ

map ((fun i => (i, n + 1 - i)) ∘ succ ∘ succ) (range n) = map (Prod.map succ id ∘ (fun i => (i, n - i)) ∘ succ) (range n)


Context:
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T

(locallyRingedSpaceMap (f ≫ g)).val = (locallyRingedSpaceMap g ≫ locallyRingedSpaceMap f).val


Context:
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T

sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f = (locallyRingedSpaceMap g ≫ locallyRingedSpaceMap f).val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n i : ℕ
x : α
l : List α

(n + i, x) ∈ enumFrom n l ↔ l.get? i = some x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z : ℂ

Complex.orientation.rightAngleRotation z = I * z


∀ (v : ℂ), ⟪Complex.orientation.rightAngleRotation z, v⟫_ℝ = ⟪I * z, v⟫_ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z w : ℂ

⟪Complex.orientation.rightAngleRotation z, w⟫_ℝ = ⟪I * z, w⟫_ℝ


(Complex.orientation.areaForm z) w = ⟪I * z, w⟫_ℝ


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃

((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f)) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)) ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map (𝟙 ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj (CochainComplex.mappingCone f))) = (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃ ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)


(quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f)) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f) = (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)


(CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f) = (CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
f : ℕ → G

(CauchySeq fun s => ∏ n ∈ s, f n) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommMonoid M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝¹ : UniformSpace G

Context: inst✝ : UniformGroup G

Context: f : ℕ → G

Context: vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e

Context: e : Set G

Context: he : e ∈ 𝓝 1

∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommMonoid M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝² : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝¹ : UniformSpace G

Context: inst✝ : UniformGroup G

Context: f : ℕ → G

Context: vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e

Context: e : Set G

Context: he : e ∈ 𝓝 1

∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e


Context: u v : ℤ


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i✝ : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: i : δ

Context: hi : i ∉ s

Context: x : (i : δ) → π i

(∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

(∃ o, o ≠ 0 ∧ ∃ f, (∀ (x : Ordinal.{u}) (hx : x < o), f x hx ∈ s) ∧ o.bsup f = a) ↔ ∃ o, ∃ (_ : o ≠ 0), ∃ f, (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) ∧ o.bsup f = a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℕ
h : x < ↑n


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: S : Set β

Context: h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))

Context: h₂ : UniformEquicontinuousOn F S

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

U ∈ map (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S))


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: S : Set β

Context: h₂ : UniformEquicontinuousOn F S

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

(fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U ∈ 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: S : Set β

Context: h₂ : UniformEquicontinuousOn F S

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: S : Set β

Context: h₂ : UniformEquicontinuousOn F S

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

∀ (a : β × β), (∀ (i : ι), (F i a.1, F i a.2) ∈ V) → a ∈ S ×ˢ S → a ∈ (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: S : Set β

Context: h₂ : UniformEquicontinuousOn F S

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x y : β

Context: hxy : ∀ (i : ι), (F i (x, y).1, F i (x, y).2) ∈ V

Context: hxS : (x, y).1 ∈ S

Context: hyS : (x, y).2 ∈ S


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: F : C ⥤ D

Context: S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat

Context: M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)

Context: φ : S ⟶ F.op ⋙ R

Context: φ' : S' ⟶ R

Context: X Y : Dᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: x : ↑(R.obj X)

((relativeDifferentials' φ').map f) (CommRingCat.KaehlerDifferential.d x) = CommRingCat.KaehlerDifferential.d ((R.map f) x)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

(s₁ ∩ s₂) ○ t ⊆ s₁ ○ t ∩ s₂ ○ t


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing A'

Context: inst✝⁷ : CommRing A''

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A'

Context: inst✝⁴ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: K : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : Algebra K A

Context: inst✝ : IsScalarTower R K A

Context: hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)

Context: ai : AlgebraicIndependent K x

Context: this : (aeval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R K)) = (aeval x).toRingHom


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing A'

Context: inst✝⁷ : CommRing A''

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A'

Context: inst✝⁴ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: K : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : Algebra K A

Context: inst✝ : IsScalarTower R K A

Context: hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)

Context: ai : AlgebraicIndependent K x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing A'

Context: inst✝⁷ : CommRing A''

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A'

Context: inst✝⁴ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: K : Type u_9

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : Algebra K A

Context: inst✝ : IsScalarTower R K A

Context: hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)

Context: ai : AlgebraicIndependent K x

Injective (⇑(aeval x).toRingHom ∘ ⇑(MvPolynomial.map (algebraMap R K)))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f : R →+* S
t : Subsemiring S
h : t ≤ f.rangeS


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1


Context:
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ


Context:
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ

∀ (x_1 : ℕ), (1 < x_1 ∧ ∃ a, x ≠ ↑a / ↑x_1 ∧ |x - ↑a / ↑x_1| < 1 / ↑x_1 ^ ⌈p⌉₊) → ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < 1 / ↑x_1 ^ ↑⌈p⌉₊


Context:
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
b : ℕ
_hb : 1 < b
a : ℤ
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ ⌈p⌉₊


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀

(𝓝 0).HasBasis (fun x => True) fun γ => {x | v x < ↑γ}


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
pa : p a = true
x : α
xs l₂ : List α
h : a ∈ x :: xs
h' : ¬p x = true


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Surjective f
g : β → ℝ≥0∞

∑' (y : β), g y = ∑' (y : β), g (f (surjInv hf y))


Context:
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : a.Coprime b


Context:
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : IsCoprime ↑a ↑b


Context:
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α

nhdsAdjoint a f ≤ t ↔ f ≤ (fun t => 𝓝 a) t


nhdsAdjoint a f ≤ t ↔ ∀ (s : Set α), a ∈ s → IsOpen s → s ∈ f


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ


Finsupp.single i 1 ≤ Finsupp.single j 1 ↔ i = j


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Continuous fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
x✝ : i ∈ univ


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Semiring α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: this : (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i * 1 ^ (n - 1 - i)) * x + 1 ^ n = (x + 1) ^ n


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Semiring α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: this : (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Group G

Context: 𝔖✝ : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : UniformSpace G

Context: inst✝ : UniformGroup G

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set G

Context: h : (𝓝 1).HasBasis p b

(𝓝 1).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, (toFun 𝔖) f x ∈ b Si.2}


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Group G

Context: 𝔖✝ : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : UniformSpace G

Context: inst✝ : UniformGroup G

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set G

Context: h : (𝓝 1).HasBasis p b

Context: this : (𝓤 G).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ b i}


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Group G

Context: 𝔖✝ : Set (Set α)

Context: inst✝¹ : UniformSpace G

Context: inst✝ : UniformGroup G

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set G

Context: h : (𝓝 1).HasBasis p b

Context: x✝¹ : Set α × ι

Context: x✝ : α →ᵤ[𝔖] G

(∀ x ∈ x✝¹.1, (toFun 𝔖) x✝ x ∈ b x✝¹.2) ↔ (x✝, 1) ∈ UniformOnFun.gen 𝔖 x✝¹.1 {x | x.1 / x.2 ∈ b x✝¹.2}


Context:
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X : DifferentialObject S C

((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X.d ≫ (shiftComm X.obj 1 n).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X.d ≫ (shiftComm X.obj 1 n).hom) = 0


Context:
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝

((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.d ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f) = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.d ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj


(CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.d ≫ (shiftComm Y✝.obj 1 n).hom = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.d ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj


autoParam ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map (𝟙 X.obj) = 𝟙 ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).obj X.obj)) _auto✝


Context:
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X✝ Y✝ Z✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

autoParam ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map (f.f ≫ g.f) = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.f ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map g.f) _auto✝


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε : ℝ


∀ x ∈ A f L r ε, ∃ ε_1 > 0, ball x ε_1 ⊆ A f L r ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: r ε : ℝ

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: r ε : ℝ

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: r ε : ℝ

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'

Context: this : s ∈ Ioc (r / 2) r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: r ε : ℝ

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'

Context: this : s ∈ Ioc (r / 2) r

Context: x' : E

Context: hx' : x' ∈ ball x (r' - s)

∀ y ∈ ball x' s, ∀ z ∈ ball x' s, ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: r ε : ℝ

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: r'_mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: s : ℝ

Context: s_gt : r / 2 < s

Context: s_lt : s < r'

Context: this : s ∈ Ioc (r / 2) r

Context: x' : E

Context: hx' : x' ∈ ball x (r' - s)

Context: B : ball x' s ⊆ ball x r'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hs : NullMeasurableSet s μ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0


(Multiset.map (⇑normalize) (Classical.choose ⋯)).prod ~ᵤ a


(Multiset.map (⇑normalize) (Classical.choose ⋯)).prod ~ᵤ (Classical.choose ⋯).prod


(Multiset.map (Associates.mk ∘ ⇑normalize) (Classical.choose ⋯)).prod = (Multiset.map Associates.mk (Classical.choose ⋯)).prod


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
x✝ : α

(Associates.mk ∘ ⇑normalize) x✝ = Associates.mk x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ


Context: n✝ n : ℕ

Context: this : Fintype.card (Finset (Fin (n - 1))) = 2 ^ (n - 1)

Fintype.card (CompositionAsSet n) = Fintype.card (Finset (Fin (n - 1)))


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

Context: hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Submonoid.closure s)

0 * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Submonoid.closure s)

0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Submonoid.closure s)

Context: p₁ p₂ : R

Context: ihp₁ : p₁ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

Context: ihp₂ : p₂ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

p₁ * q + p₂ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝¹ : R

Context: h : x✝¹ ∈ closure s

Context: x✝ y : R

Context: hx✝ : x✝ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Submonoid.closure s)

Context: x : R

Context: hx : x * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

Context: f : -x * q = -(x * q)

-(x * q) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

x * 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: q₁ q₂ : R

Context: ihq₁ : x * q₁ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

Context: ihq₂ : x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

x * q₁ + x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: z : R

Context: hz : x * z ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)

Context: f : x * -z = -(x * z)

-(x * z) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Submonoid.closure s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hbc : AddLECancellable (b - c)

Context: h₁ : b ≤ a

Context: h₂ : c ≤ b


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)

ENNReal.ofReal T * (addHaarMeasure ⊤) univ = ENNReal.ofReal T


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)

ENNReal.ofReal T * (addHaarMeasure ⊤) ↑⊤ = ENNReal.ofReal T


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: aA : a0 ∈ A

Context: bB : b0 ∈ B

Context: h : ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = a0 * b0

Context: x1 x2 : G

Context: a✝ : (x1, x2) ∈ A ×ˢ B ∧ (x1, x2).1 * (x1, x2).2 = a0 * b0

Context: J : ∀ (y : G × G), y ∈ A ×ˢ B ∧ y.1 * y.2 = a0 * b0 → y = (x1, x2)

Context: x y : G

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

Context: l : x * y = a0 * b0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: aA : a0 ∈ A

Context: bB : b0 ∈ B

Context: x y : G

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

Context: l : x * y = a0 * b0

Context: a✝ : (a0, b0) ∈ A ×ˢ B ∧ (a0, b0).1 * (a0, b0).2 = a0 * b0

Context: J : ∀ (y : G × G), y ∈ A ×ˢ B ∧ y.1 * y.2 = a0 * b0 → y = (a0, b0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
f : α → β

ContinuousAt f a ↔ ContinuousWithinAt f (Iic a) a ∧ ContinuousWithinAt f (Ici a) a


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
x : ↑X
V : Opens ↑X
hV : x ∈ V

((pullback C f).obj F).germ ⟨x, hV⟩ ≫ stalkPullbackInv C f F x = germToPullbackStalk C f F V ⟨x, hV⟩


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v w : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
h : (a₁, b₁) < (a₂, b₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
a₁ : α
b₁ b₂ : β
h : (a₁, b₁) < (a₁, b₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
h : (a₁, b₁) < (a₂, b₂)
ha : (a₁, b₁).1 < (a₂, b₂).1


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)

Context: hfm : Monotone f

Context: k : ℕ

∑ i ∈ Finset.range (2 * k + 1), (-1) ^ i * f i ≤ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedRing E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : OrderClosedTopology E

Context: l : E

Context: f : ℕ → E

Context: hfm : Monotone f

Context: k : ℕ

Context: hm : Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n + 1), (-1) ^ i * f i


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin (n + 1) → α
i : Fin (n + 1)

vecAlt1 ⋯ (vecAppend ⋯ v v) i = (v ∘ fun n_1 => n_1 + n_1 + 1) i


(if h : ↑i + ↑i + 1 < n + 1 then v ⟨↑i + ↑i + 1, ⋯⟩ else v ⟨↑i + ↑i + 1 - (n + 1), ⋯⟩) = v (i + i + 1)


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

Context: o : Option Γ' := List.casesOn L none fun x x => some Γ'.cons

Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (head main q), var := s, stk := elim (trList L) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trList [L.headI]) [] c d }


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

Option.elim' (elim (trList L) [] c d main = trNat L.headI ∧ trList L.tail = []) (fun a => natEnd a = true ∧ elim (trList L) [] c d main = trNat L.headI ++ a :: trList L.tail) o


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr ((fun x => Λ'.read fun s => (if s = some Γ'.consₗ then id else Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) main) (unrev q)) o)) o (update (update (update (elim (trList L) [] c d) main (trList L.tail)) rev ((trNat L.headI).reverseAux (elim (trList L) [] c d rev))) rev ((fun s => ((fun x => some Γ'.cons) s).iget) o :: update (update (elim (trList L) [] c d) main (trList L.tail)) rev ((trNat L.headI).reverseAux (elim (trList L) [] c d rev)) rev))) { l := some q, var := none, stk := elim (trList [L.headI]) [] c d }


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some ((if o = some Γ'.consₗ then id else Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) main) (unrev q)), var := o, stk := elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trNat L.headI ++ [Γ'.cons]) [] c d }


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some (Λ'.clear (fun x => decide (x = Γ'.consₗ)) main (unrev q)), var := o, stk := elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trNat L.headI ++ [Γ'.cons]) [] c d }


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

∀ x ∈ elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d main, decide (x = Γ'.consₗ) = false


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) { l := some (unrev q), var := none, stk := update (elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d) main [] } { l := some q, var := none, stk := elim (trNat L.headI ++ [Γ'.cons]) [] c d }


Context: q : Λ'

Context: s : Option Γ'

Context: L : List ℕ

Context: c d : List Γ'

elim (trNat L.headI ++ [Γ'.cons]) [] c d = update (update (update (elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d) main []) rev []) main ((update (elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d) main [] rev).reverseAux (update (elim (trList L.tail) ((some Γ'.cons).iget :: (trNat L.headI).reverseAux []) c d) main [] main))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

‖x - y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ ^ 2


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i : V


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : UniformSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

UniformInducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ↔ UniformInducing F


UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) (UniformFun.uniformSpace X α) = inst✝¹ ↔ UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α) = inst✝¹


Context:
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsNat (a ^ nb) ne


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V

G.IsBridge s(v, w) ↔ G.Adj v w ∧ ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges


¬(G \ fromEdgeSet {s(v, w)}).Reachable v w ↔ ∀ (p : G.Walk v w), s(v, w) ∈ p.edges


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ

(s.drop (n + 1)).destruct = s.destruct >>= drop.aux (n + 1)


(s.destruct >>= fun x => tail.aux x >>= drop.aux n) = s.destruct >>= drop.aux (n + 1)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : AddTorsor V P

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module R V'

Context: inst✝ : AddTorsor V' P'

Context: s : AffineSubspace R P

Context: x y z : P

Context: hy : y ∉ s

Context: p₁ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: p₂ : P

Context: hyz : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₂_1)

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
h : y -ᵥ p₂ = 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
h : y = p₂


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

Context: U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace

Context: s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))

IsOpen (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier)


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

IsOpen (⇑(TopCat.homeoOfIso (PreservesCoequalizer.iso (SheafedSpace.forget CommRingCat) f.val g.val)) ∘ ⇑(colimit.ι (parallelPair ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map f.val) ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map g.val)) WalkingParallelPair.one) ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

IsOpen (⇑(colimit.ι (parallelPair ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map f.val) ((SheafedSpace.forget CommRingCat).map g.val)) WalkingParallelPair.one ≫ (PreservesCoequalizer.iso (SheafedSpace.forget CommRingCat) f.val g.val).hom) ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

IsOpen (⇑((SheafedSpace.forget CommRingCat).map (coequalizer.π f.val g.val)) ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

IsOpen (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier))


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso (f ≫ g)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: f : M ↪[L] N

Context: htv : ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → M) (a : N), φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (⇑f ∘ x) (f b))

∀ {n : ℕ} (φ : L.Formula (Fin n)) (x : Fin n → M), φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: f : M ↪[L] N

∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty n) (xs : Fin n → M), φ.Realize (⇑f ∘ default) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize default xs


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E


(𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ (gaugeSeminormFamily 𝕜 E).basisSets) id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s

∃ i' ∈ (gaugeSeminormFamily 𝕜 E).basisSets, id i' ⊆ id s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ (gaugeSeminormFamily 𝕜 E).basisSets

∃ i, (0 ∈ i ∧ IsOpen i ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : Module ℝ E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : ∃ i r, 0 < r ∧ s = (i.sup (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)).ball 0 r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r

0 ∈ (t.sup (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)).ball 0 r ∧ IsOpen ((t.sup (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)).ball 0 r) ∧ Balanced 𝕜 ((t.sup (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)).ball 0 r) ∧ Convex ℝ ((t.sup (gaugeSeminormFamily 𝕜 E)).ball 0 r)


0 ∈ ⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r ∧ IsOpen (⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r) ∧ Balanced 𝕜 (⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r) ∧ Convex ℝ (⋂ i ∈ t, (gaugeSeminormFamily 𝕜 E i).ball 0 r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r
S : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
x✝ : S ∈ t

IsOpen ((gaugeSeminormFamily 𝕜 E S).ball 0 r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r
S : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
x✝ : S ∈ t
hr' : r = ‖↑r‖ * 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
t : Finset (AbsConvexOpenSets 𝕜 E)
r : ℝ
hr : 0 < r
S : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
x✝ : S ∈ t
hr' : r = ‖↑r‖ * 1
hr'' : ↑r ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
i : IsLimit c
Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : Mono g
h : X ⟶ Z
hh : h = f ≫ g
s : KernelFork h


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R

M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
h : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
t : TransvectionStruct n R


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: i j : n

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (stdBasisMatrix i j 1) M

Context: t : TransvectionStruct n R


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: i j : n

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n R

Context: t : TransvectionStruct n R


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: i j : n

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M : Matrix n n R

Context: t : TransvectionStruct n R

stdBasisMatrix t.i t.j t.c = t.c • stdBasisMatrix t.i t.j 1


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
c : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s✝ : Set E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
x : α

x ∈ (s.erase a).erase b ↔ x ∈ (s.erase b).erase a


(x ≠ b ∧ x ≠ a) ∧ x ∈ s ↔ (x ≠ a ∧ x ≠ b) ∧ x ∈ s


Context:
q : ℚ
x y : ℝ

x * y ∉ Set.range Rat.cast → x ∉ Set.range Rat.cast ∨ y ∉ Set.range Rat.cast


Context:
q : ℚ
x y : ℝ

x ∈ Set.range Rat.cast ∧ y ∈ Set.range Rat.cast → x * y ∈ Set.range Rat.cast


Context: q rx ry : ℚ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Group α
n : ℤ
a : α


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: x y : M

Context: x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Context: c : ↥S

Context: h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℕ → M
h : HasProd (fun n => f (n + 1)) m


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : TopologicalSpace P

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither G E'

Context: hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Continuous g


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : TopologicalSpace P

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology G

Context: hbg : BddAbove (range fun x => ‖g x‖)

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: x₀ : G