Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: l l₁ : Filter α

Context: l₂ : Filter β

Context: f g : α → β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ l₂

Context: x : α

Context: hp₀ : p x → x ∈ f ⁻¹' s

Context: hp₁ : ¬p x → x ∈ g ⁻¹' s

x ∈ (fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι : Sort x

Context: l l₁ : Filter α

Context: l₂ : Filter β

Context: f g : α → β

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)

Context: h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁

Context: h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ l₂

Context: x : α

Context: hp₀ : p x → x ∈ f ⁻¹' s

Context: hp₁ : ¬p x → x ∈ g ⁻¹' s


Context:
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)


Context:
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

x * y.moveLeft j = x * (- -y).moveLeft (toLeftMovesNeg (toRightMovesNeg j))


y.moveLeft j = (- -y).moveLeft (toLeftMovesNeg (toRightMovesNeg j))


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
m i : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a✝ b✝ a b : α


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F


(Differentiable 𝕜 fun x => c) ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 (fun x => c) y


ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 (fun x => c) y


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

Disjoint a (⨆ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint a (f i)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : Topology.IsLowerSet β
f : α → β


Monotone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Continuous f


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B

cs.leftInvSeq ω.reverse = (cs.rightInvSeq ω).reverse


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι

f (s.piecewise a v) - f (s.piecewise b v) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j


(∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι

(if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) = if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Field K

Context: p : S[X]

Context: f : S →+* A

Context: a : A

Context: s : S

Context: hsa : Commute (f s) a

Context: hf : ∀ (s₁ s₂ : S), Commute (f s₁) (f s₂)

eval₂ f (f s * a) (p.scaleRoots s) = f s ^ p.natDegree * eval₂ f a p


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: f : Filtration ℕ m

Context: i n : ι

Context: ω : Ω

Context: hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s

hitting u s ⊥ n ω ≤ i ↔ ∃ j ≤ i, u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: f : Filtration ℕ m

Context: i n : ι

Context: ω : Ω

Context: hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s

Context: hi : i < n


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: f : Filtration ℕ m

Context: i n : ι

Context: ω : Ω

Context: hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s

Context: hi : n ≤ i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
a : R


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R

Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∈ S, r • m = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : IsLocalRingHom f
a : Sˣ
b : R
hb : f b = ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ

martingalePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])


∑ i ∈ Finset.range n, (process s (i + 1) - process s i - μ[process s (i + 1) - process s i|↑ℱ i]) = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n k : ℕ
x✝ : k ∈ Finset.range n

process s (k + 1) - process s k - μ[process s (k + 1) - process s k|↑ℱ k] = (s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : H


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : H

ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : H

Context: this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : H

Context: y : E

Context: hy : y ∈ range ↑I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J


Context:
α✝ β✝ : Type u
a✝ : Cardinal.{u_1}
α : Type u_1
b✝ : Cardinal.{u_1}
β : Type u_1
c✝ : Cardinal.{u_1}
γ : Type u_1
hα : Quot.mk Setoid.r α ≠ 0
e : β ↪ γ

Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r β ≤ Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r γ


Context:
α✝ β✝ : Type u
a✝ : Cardinal.{u_1}
α : Type u_1
b✝ : Cardinal.{u_1}
β : Type u_1
c✝ : Cardinal.{u_1}
γ : Type u_1
hα : Quot.mk Setoid.r α ≠ 0
e : β ↪ γ
a : α


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α

SigmaFinite (μ.trim ⋯) ↔ IsFiniteMeasure μ


IsFiniteMeasure (μ.trim ⋯) ↔ IsFiniteMeasure μ


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsFiniteMeasure (μ.trim ⋯)
h_univ : (μ.trim ⋯) Set.univ < ⊤


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsFiniteMeasure μ
h_univ : μ Set.univ < ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E

HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: s : Set G

Context: x : G

Context: f' : G →L[𝕜] E

Context: H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: s : Set G

Context: x : G

Context: f' : G →L[𝕜] E

Context: A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: s : Set G

Context: x : G

Context: f' : G →L[𝕜] E

Context: A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f

Context: B : f' = (↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: s : Set G

Context: x : G

Context: f' : G →L[𝕜] E

Context: A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f

HasFDerivWithinAt (⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f) ((↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')) s x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp0 : 0 < p.degree
h : p = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(fun n => 1 / log n) =o[atTop] fun x => 1


Tendsto (fun x => 1 / log x / 1) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun x => (log x)⁻¹) atTop (𝓝 0)


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
f : β → E
μ : Measure α
s : Set β

IntegrableOn f s (Measure.map (⇑e) μ) ↔ IntegrableOn (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : NoMinOrder α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: this : ⇑ofDual ⁻¹' s ∈ 𝓝[>] toDual a ↔ ∃ u ∈ Ioi (toDual a), Ioc (toDual a) u ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s


Context:
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ

dist (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯) (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯) = dist y₁ y₂


Context:
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ

dist (log (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯).im) (log (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯).im) = dist y₁ y₂


Context:
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ

(mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯).re = (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯).re


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R

Context: f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁

Context: g : S →+* 𝕎 R

Context: g_compat : ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp g = f k

Context: x : S


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: g : S →+* 𝕎 R

Context: x : S

∀ (i : ℕ), (lift f f_compat) x - g x ∈ RingHom.ker (truncate i)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: g : S →+* 𝕎 R

Context: x : S

Context: i : ℕ

(lift f f_compat) x - g x ∈ RingHom.ker (truncate i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: BR : RingFilterBasis R

Context: B : ι → Submodule R M

Context: hB : BR.SubmodulesBasis B

Context: x✝ : TopologicalSpace R := BR.topology

Context: this : TopologicalSpace R := BR.topology

Context: m : M

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: BR : RingFilterBasis R

Context: B : ι → Submodule R M

Context: hB : BR.SubmodulesBasis B

Context: x✝ : TopologicalSpace R := BR.topology

Context: m : M

Context: i : ι

Context: V : Set R

Context: V_in : V ∈ BR

Context: hV : V ⊆ (fun x => x • m) ⁻¹' ↑(B i)


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.53917, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasLeftResolutions
X₂ : D₂


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.53917, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasLeftResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₂ : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂

Context: inst✝² : Category.{?u.53917, u_4} H

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: inst✝ : Φ.HasLeftResolutions

Context: X₂ : D₂

Context: this : L₂.EssSurj

Context: L : Φ.LeftResolution (L₂.objPreimage X₂)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: g✝ : S →+* T

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: I : Ideal S

Context: g : R →+* R ⧸ Ideal.comap f I := Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap f I)

(Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral ↔ ((Ideal.Quotient.mk I).comp f).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: g✝ : S →+* T

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: I : Ideal S

Context: this : (Ideal.quotientMap I f ⋯).comp g = (Ideal.Quotient.mk I).comp f


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: g✝ : S →+* T

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: I : Ideal S

Context: h : (Ideal.quotientMap I f ⋯).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: g✝ : S →+* T

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: I : Ideal S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsLowerSet s
f : α ≃o β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: r r' s✝ : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : PartialOrder β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hf : MonotoneOn f s

Context: hf' : AntitoneOn f s

Context: hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: c : α

Context: hc : c ∈ s

Context: hac : a ≤ c

Context: hbc : b ≤ c


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
ha : Absorbent ℝ s
h : gauge s x ≤ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
ha : Absorbent ℝ s
h : gauge s x ≤ 1
this : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] 1, r • x ∈ s


Tendsto (fun x_1 => x_1 • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (0 < a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ a)


0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
this : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
this✝ : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
this : b ≤ 0 ∨ 0 ≤ b


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J J' : FractionalIdeal S P
h : J ≤ J'

(fun J => J * I) J ≤ (fun J => J * I) J'


⟨↑J * ↑I, ⋯⟩ ≤ ⟨↑J' * ↑I, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R

(p /ₘ (X - C a)).coeff n = p.coeff (n + 1) + a * (p /ₘ (X - C a)).coeff (n + 1)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic
q : R[X] := p /ₘ (X - C a)

q.coeff n = p.coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)


q.coeff n = (p %ₘ (X - C a) + (X - C a) * (p /ₘ (X - C a))).coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝¹ b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p : R[X]

Context: a : R

Context: n : ℕ

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: this✝ : (X - C a).Monic

Context: q : R[X] := p /ₘ (X - C a)

Context: this : (p %ₘ (X - C a)).degree < ↑(n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s

IsQuasiSeparated s ↔ QuasiSeparatedSpace ↑s


IsQuasiSeparated s ↔ IsQuasiSeparated Set.univ


Context:
x✝ x : ℝ
hx : x = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f' : X' ⟶ Z'

Context: g' : Y' ⟶ Z'

Context: f'' : X'' ⟶ Z''

Context: g'' : Y'' ⟶ Z''

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: j₁ : X' ⟶ X''

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: j₂ : Y' ⟶ Y''

Context: i₃ : Z ⟶ Z'

Context: j₃ : Z' ⟶ Z''

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback f' g'

Context: inst✝ : HasPullback f'' g''

Context: e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'

Context: e₃ : f' ≫ j₃ = j₁ ≫ f''

Context: e₄ : g' ≫ j₃ = j₂ ≫ g''


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f' : X' ⟶ Z'

Context: g' : Y' ⟶ Z'

Context: f'' : X'' ⟶ Z''

Context: g'' : Y'' ⟶ Z''

Context: i₁ : X ⟶ X'

Context: j₁ : X' ⟶ X''

Context: i₂ : Y ⟶ Y'

Context: j₂ : Y' ⟶ Y''

Context: i₃ : Z ⟶ Z'

Context: j₃ : Z' ⟶ Z''

Context: inst✝² : HasPullback f g

Context: inst✝¹ : HasPullback f' g'

Context: inst✝ : HasPullback f'' g''

Context: e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'

Context: e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'

Context: e₃ : f' ≫ j₃ = j₁ ≫ f''

Context: e₄ : g' ≫ j₃ = j₂ ≫ g''


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k

NumberField.InfinitePlace.NrRealPlaces K = 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : w.IsReal


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: ζ : K

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 < k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: x✝ : { w // w.IsReal }

Context: w : NumberField.InfinitePlace K

Context: hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: ζ : K

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 < k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: x✝ : { w // w.IsReal }

Context: w : NumberField.InfinitePlace K

Context: f : K →+* ℂ := w.embedding


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: ζ : K

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 < k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: x✝ : { w // w.IsReal }

Context: w : NumberField.InfinitePlace K

Context: f : K →+* ℂ := w.embedding

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: ζ : K

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 < k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: x✝ : { w // w.IsReal }

Context: w : NumberField.InfinitePlace K

Context: f : K →+* ℂ := w.embedding

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k

Context: him : (f ζ).im = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: ζ : K

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 < k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: x✝ : { w // w.IsReal }

Context: w : NumberField.InfinitePlace K

Context: f : K →+* ℂ := w.embedding

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k

Context: him : (f ζ).im = 0

Context: hre : (f ζ).re = 1 ∨ (f ζ).re = -1


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.36857, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M

x ∈ I • span R (Set.range f) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)

∀ x ∈ ⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ Set.range f, {a • b}, ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x


∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = 0


∀ (x y : M), (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = y) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x + y


∀ (a : R) (x : M), (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → ∃ a_2, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a_2 i ∈ I), (a_2.sum fun i c => c • f i) = a • x


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.31133
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
u : Finset α
n : ℕ
hn : n < u.card


Context:
K : Type ?u.600034
L : Type ?u.600037
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

closedBall x δ * {y} = closedBall (x * y) δ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α


∀ (p q : R[X]), ((aeval f) p) x = eval (f x) p → ((aeval f) q) x = eval (f x) q → ((aeval f) (p + q)) x = eval (f x) (p + q)


∀ (n : ℕ) (a : R), ((aeval f) ((monomial n) a)) x = eval (f x) ((monomial n) a)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsReal

Context: B : ℝ≥0

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsReal

Context: B : ℝ≥0

Context: this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsReal

Context: B : ℝ≥0

Context: a : 𝓞 K

Context: h_nz : a ≠ 0

Context: h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(if w = w₀ then B else 1)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsReal

Context: B : ℝ≥0

Context: a : 𝓞 K

Context: h_nz : a ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsReal

Context: B : ℝ≥0

Context: a : 𝓞 K

Context: h_nz : a ≠ 0

Context: w : InfinitePlace K


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : Mul α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : SMulCommClass R α α
x : R
v w : m → α


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp F p μ)

f ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ ↔ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s


(∃ a, s = {a}) → ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b


(∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) → ∃ a, s = {a}


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: a : α

Context: x : γ

κ.rnDeriv η a x = ⊤ ↔ (a, x) ∈ κ.mutuallySingularSet η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: a : α

Context: x : γ

1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x → 0 < κ.rnDerivAux (κ + η) a x


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : Multiset (α →₀ M)

Context: h : α → M → N

Context: h₀ : ∀ (a : α), h a 0 = 0

Context: h₁ : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂

Context: a : α →₀ M

Context: s : Multiset (α →₀ M)

Context: ih : s.sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) s).sum

(a ::ₘ s).sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) (a ::ₘ s)).sum


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < ↑r

dist f g = ↑r ↔ (∃ i, dist (f i) (g i) = ↑r) ∧ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ ↑r


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) (midpoint 𝕜 p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / ‖2‖


‖midpoint 𝕜 (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖


‖p₁ -ᵥ p₃ + (p₂ -ᵥ p₄)‖ / ‖2‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
s : Set β
l : Filter α
t : Set β

t ∈ map f (l ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' s)) ↔ t ∈ map f l ⊓ 𝓟 s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι

FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = ((Algebra.norm F[X]) f).natDegree


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥


FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i).natDegree


∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = ∑ i : ι, (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
i : ι

FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖(id V) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id V‖


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical

IsIrreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I.IsPrime


(zeroLocus ↑I).Nonempty ∧ IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I ≠ ⊤ ∧ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I


IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
s s' : σ
n n' : ℕ

coeff (Finsupp.single s' n') (X s ^ n) = if s = s' ∧ n = n' ∨ n = 0 ∧ n' = 0 then 1 else 0


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: N : ι

Context: hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Adapted f u

Context: n : ι

MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: N : ι

Context: hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Adapted f u

Context: n : ι

Context: h₁ : {x | hitting u s (τ x) N x ≤ n} = (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: N : ι

Context: hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Adapted f u

Context: n : ι

Context: h₂ : ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n} = ∅


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : Filtration ι m

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: N : ι

Context: hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : Adapted f u

Context: n : ι

MeasurableSet (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n})


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R


x ∈ (selfAdjoint R).carrier ↔ star x = x


Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{v, v} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} D

Context: F : C ⥤ D

Context: I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}

Context: d : D


Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{v, v} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: this : Nonempty (StructuredArrow d F)


Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{v, v} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: this : Nonempty (StructuredArrow d F)

∀ (j₁ j₂ : StructuredArrow d F), Zigzag j₁ j₂


Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{v, v} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: this : Nonempty (StructuredArrow d F)

Context: X₁ : C

Context: f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁

Context: X₂ : C

Context: f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂

Context: y₁ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₁ f₁

Context: y₂ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₂ f₂

Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }


Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{v, v} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: this : Nonempty (StructuredArrow d F)

Context: X₁ : C

Context: X₂ : C

Context: e : y₁ = y₂


Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{v, v} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: this : Nonempty (StructuredArrow d F)

Context: X₁ : C

Context: X₂ : C

Context: e : y₁ = y₂

Context: t : EqvGen (Types.Quot.Rel (F ⋙ coyoneda.obj (op d))) ⟨X₁, f₁⟩ ⟨X₂, f₂⟩


Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{v, v} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: this : Nonempty (StructuredArrow d F)

Context: X₁ : C

Context: X₂ : C


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q

IsTensorProduct (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M))).flip ((mk R S M) 1)))


↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M))).flip ((mk R S M) 1)) = mk R S M


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
p : Submodule R₁ M₁
x✝¹ x✝ : ↥p

((B.domRestrict₁₂ p p) x✝¹) x✝ = 0 → ((B.domRestrict₁₂ p p) x✝) x✝¹ = 0


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α

Finset.univ.inf (f ∘ ⇑discreteEquiv.toEmbedding) = Fintype.elems.inf f


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x : m α
h : ∀ (a : α), p a

Subtype.val <$> (fun a => ⟨a, ⋯⟩) <$> x = x


Context:
α : Type u_1
m n : ℕ
a : α
v : Vector3 α n


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated

(∃ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)


(¬∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬p (x n)) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ¬∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ¬p (x x_1)


(∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬p (x n)) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ¬∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ¬p (x x_1)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)


∀ (ϕ : G ≃* G), Subgroup.map ϕ.toMonoidHom ↑P = ↑P


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)
Φ : G ≃* G


Context: d : ℤ

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: h : IsFundamental a₁

Context: a : Solution₁ d

Context: hax : 1 < a.x

Context: hay : 0 < a.y

Context: H : d * (a₁.y ^ 2 - a.y ^ 2) = a₁.x ^ 2 - a.x ^ 2


Context: d : ℤ

Context: a₁ : Solution₁ d

Context: h : IsFundamental a₁

Context: a : Solution₁ d

Context: hax : 1 < a.x

Context: hay : 0 < a.y


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
l' : Type u_5
m' : Type u_6
n' : Type u_7
o' : Type u_8
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''

⇑(reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ∘ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) = ⇑(reindexLinearEquiv R A (e₁.trans e₁') (e₂.trans e₂'))


⇑(reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ∘ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) = ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂ ≪≫ₗ reindexLinearEquiv R A e₁' e₂')


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ

Metric.closedBall 0 r₁ • p.closedBall 0 r₂ ⊆ p.closedBall 0 (r₁ * r₂)


∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b ≤ r₁ * r₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂


Context: z : ℂ


Context: q : ℍ

Context: hq : q.re = 0

Context: c s : ℝ

Context: hc : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) c

Context: hs : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) s

HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)


Context: q : ℍ

Context: hq : q.re = 0

Context: c s : ℝ

Context: hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c


Context: q : ℍ

Context: hq : q.re = 0

Context: c s : ℝ

Context: hs : HasSum (fun z => ((-1) ^ z * ‖q‖ ^ (2 * z + 1) / ↑(2 * z + 1)! / ‖q‖) • q) ((s / ‖q‖) • q)


Context: q : ℍ

Context: hq : q.re = 0

Context: c s : ℝ

HasSum (fun k => (expSeries ℝ ℍ (2 * k)) fun x => q) ↑c


Context: q : ℍ

Context: hq : q.re = 0

Context: c s : ℝ

HasSum (fun k => (expSeries ℝ ℍ (2 * k + 1)) fun x => q) ((s / ‖q‖) • q)


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
n : ℕ
x y : Holor α ds
hx : CPRankMax 0 x
hy : CPRankMax n y


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
m n : ℕ
y x₁ x₂ : Holor α ds
hx₁ : x₁.CPRankMax1
hx₂ : CPRankMax m x₂
hy : CPRankMax n y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ closure s
y : α
hy : y ∈ closure s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ closure s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ closure s

Context: this : edist x y ∈ closure (Iic (diam s))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι

(s.attach.SupIndep fun a => f ↑a) ↔ s.SupIndep f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
h : s.attach.SupIndep fun a => f ↑a
t : Finset ι
ht : t ⊆ s
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∉ t


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
H : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x y : α
y0 : 0 < y
n : ℕ
h : x / y < ↑n


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b : B
a : F
p : Z.TotalSpace

↑(Z.localTrivAt p.proj) p = (p.proj, p.snd)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l

∃ l₁ l₂, ¬a ∈ l₁ ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l.erase a = l₁ ++ l₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : LawfulBEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : a ∈ l

Context: w✝ : α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: h₁ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬(a == b) = true

Context: e : (a == w✝) = true

Context: h₂ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: h₃ : eraseP (BEq.beq a) l = l₁ ++ l₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : LawfulBEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : a ∈ l

Context: w✝ : α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: e : (a == w✝) = true

Context: h₂ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂

Context: h₃ : eraseP (BEq.beq a) l = l₁ ++ l₂

∃ l₁ l₂, ¬a ∈ l₁ ∧ l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ eraseP (fun x => a == x) l = l₁ ++ l₂


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: n : ℕ

∑ k ∈ Ico 1 (2 ^ n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ k)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: n x✝ : ℕ

Context: a✝ : x✝ ∈ range n


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


StronglyMeasurable (if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → ℝ

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → ℝ

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, 0 x ≤ f x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → ℝ

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: t_meas : MeasurableSet t

Context: t_lt_top : μ t < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → ℝ

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: t_meas : MeasurableSet t

Context: t_lt_top : μ t < ⊤

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : α → ℝ

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: t_meas : MeasurableSet t

Context: t_lt_top : μ t < ⊤

Context: s : Set α

Context: s_meas : MeasurableSet s

Context: a✝ : μ (s ∩ t) < ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ : P
v v₁ v₂ v₃ : V

∠ (v - v₁) (v - v₂) (v - v₃) = ∠ v₁ v₂ v₃


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F


Context:
α : Type u
l : List α


Context:
X Y Z : RelCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : X
z : Z


Context:
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : GSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : GAlgebra R A
inst✝ : Algebra R B
i j : ι
a : A i
r : R
x : A j

{ toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : GSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : GAlgebra R A
inst✝ : Algebra R B
i j : ι
r : R
x : A i
y : A j

({ toFun := fun a => { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) y = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun a => { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun x) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M✝
v v₁ v₂ : α →₀ M✝
M : Type u_13
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α ≃ β
l : α →₀ M
x : β

(equivMapDomain f l) x = (mapDomain (⇑f) l) x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: ι : Type u_3

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝⁷ : Preadditive C

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : CategoryWithHomology C

Context: inst✝⁴ : CategoryWithHomology D

Context: inst✝³ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: inst✝² : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: inst✝ : F.PreservesHomology

(HomologicalComplex.quasiIso C c).IsInvertedBy (F.mapHomologicalComplex c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Q)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
x✝ : s.Nodup ∧ t.Nodup
h₁ : s.Nodup
h₂ : t.Nodup
a : α


Context:
x✝ y z x : ℝ
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.41028, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
h : G.CliqueFree n
v w : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: v w : α

Context: h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)

Context: f : Fin (n + 1) ↪ α

Context: ha : ∀ {a b : Fin (n + 1)}, (G ⊔ edge v w).Adj (f a) (f b) ↔ ⊤.Adj a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: v w : α

Context: h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)

Context: f : Fin (n + 1) ↪ α

Context: ha : ∀ {a b : Fin (n + 1)}, (G ⊔ edge v w).Adj (f a) (f b) ↔ ¬a = b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: v w : α

Context: h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)

Context: f : Fin (n + 1) ↪ α


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)

((if hi : c.Rel i (c.next i) then (XIsoBiprod φ i (c.next i) hi).hom ≫ biprod.snd else (XIso φ i hi).hom) ≫ if hi : c.Rel i (c.next i) then biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ i (c.next i) hi).inv else (XIso φ i hi).inv) = 𝟙 (X φ i)


Context: a n : ℕ

(filter a.Coprime (Ico n (n + a))).card = φ a


Context: a n : ℕ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeInf T
inst✝¹ : Add T
inst✝ : OrderTop T
D : A → T
s : R[A]
hs : s.support.Nonempty

s.support.inf (WithTop.some ∘ D) = ↑(s.support.inf D)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝¹ : Zero α

Context: inst✝ : Preorder α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a b c x : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β

MeasurableSet (⇑e '' s) ↔ MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type u_2
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Perm α

(g.extendDomain f).cycleType = g.cycleType


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E
γ : Type u_7
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α × β → γ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)

∀ᵐ (x : α) ∂μ, AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) ν


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ✝

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ✝

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: γ : Type u_7

Context: inst✝¹ : SFinite ν

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)

Context: x : α

Context: hx : ∀ᵐ (y : β) ∂ν, f (x, y) = AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y)

AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{v}

toPartENat (lift.{u, v} c) = toPartENat c


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : IsIso (homologyMap φ)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ'))


Context: C : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: φ' : S₂ ⟶ S₃

Context: hφ : IsIso (homologyMap φ)

Context: hφφ' : IsIso (homologyMap φ ≫ homologyMap φ')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g✝ : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β

(f₁ ⊔ f₂).prod g = f₁.prod g ⊔ f₂.prod g


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C

↑f.completion.ker = closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range


↑f.completion.ker ≤ closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0

hatg ∈ closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range


∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε

∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker


‖hatg - (toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g - g', mem_ker⟩‖ < ε


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
this : ‖f g‖ ≤ ‖f‖ * δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ di : DenseInducing i
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ di : DenseInducing i
s : Set α
H : Dense (i '' s)
x : α


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : RegularSpace X
h₂ : RegularSpace X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a✝ b : α
f : α → β
a : α

(map f (char a)).matches' = (Language.map f) (char a).matches'


(Language.map f) (char a).matches' = (map f (char a)).matches'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α

(map f (R + S)).matches' = (Language.map f) (R + S).matches'


(Language.map f) R.matches' + (Language.map f) S.matches' = (Language.map f) (R.matches' + S.matches')


(map f (R.comp S)).matches' = (Language.map f) (R.comp S).matches'


(Language.map f) R.matches' * (Language.map f) S.matches' = (Language.map f) (R.comp S).matches'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R : RegularExpression α

((Language.map f) R.matches')∗ = (Language.map f) R.matches'∗


⨆ i, (Language.map f) R.matches' ^ i = (Language.map f) (⨆ i, R.matches' ^ i)


⨆ i, (Language.map f) (R.matches' ^ i) = (Language.map f) (⨆ i, R.matches' ^ i)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t✝ u t : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
n : ℕ

IsPeriodicPt (fun x => m • x) n a ↔ m ^ n • a = a


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Tendsto f l (𝓝 0) ↔ ∀ (γ₀ : Γ₀), γ₀ ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x < γ₀


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ u v : Set α
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α

AEDisjoint μ s (⋃ i, t i) ↔ ∀ (i : ι), AEDisjoint μ s (t i)


Context:
n : ℕ
x : PartENat


Context:
n : ℕ
x : PartENat

(∀ (hy : x.Dom), (↑n).get ⋯ ≤ x.get hy) ↔ ∀ (h : x.Dom), n ≤ x.get h


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

W'.negAddY (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.negAddY P Q


Context:
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N

(fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (p + q)) = (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p) + (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i q)


Context:
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq


Context:
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N
this✝ : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
this : DecidableEq ι₂ := ⋯.decidableEq


Context:
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N

(fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (c • p)) = c • (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p)


Context:
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq


Context:
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N
this✝ : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
this : DecidableEq ι₂ := ⋯.decidableEq


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

(ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁷ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁶ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory D

Context: inst✝³ : BraidedCategory D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory E

Context: inst✝ : BraidedCategory E

Context: X₁ X₂ : C

Context: this : (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv = (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁷ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁶ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory D

Context: inst✝³ : BraidedCategory D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory E

Context: inst✝ : BraidedCategory E

Context: X₁ X₂ : C

(ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom) ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)


(ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ ((X₁ ◁ (λ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom) ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Subsingleton R
p : MvPolynomial σ R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
a✝ : α

↑(map norm f.posPart) a✝ = ↑f.posPart a✝


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x₀


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: u : α → β

Context: hu : UniformInducing u

Context: this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: F : ι → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: u : α → β

Context: hu : UniformInducing u

ContinuousWithinAt ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀ ↔ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) S x₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c i ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c i ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))

Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: ω : Ω


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: ω : Ω

∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: a x z✝ z : ℂ


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 ≤ z.re


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : 0 ≤ z.im


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im < 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α


(∃ x, ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ x, x ∈ t


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
H : 0 = ⟨x, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
H : x = 0


Context:
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Finite η
inst✝ : DecidableEq η
i : η

(basisFun R η) i = (stdBasis R (fun x => R) i) 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
v : V
hv : v ∈ W
hv' : v ∈ B.orthogonal W


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.37850, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C

IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F


IsSheaf (Coverage.toGrothendieck C (extensiveCoverage C ⊔ regularCoverage C)) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ

‖(canonicalEmbedding K) x‖ ≤ r ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

Ioc a b ∪ Ioc b c ∪ Ioc c a = Ioc (min a (min b c)) (max a (max b c))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemiring G
a : G
ha₀ : 0 ≤ a
ha✝ : IsOfFinOrder a
n : ℕ
hn : 0 < n
ha : a ^ n = 1


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n

Context: m a : ℤ

Context: γ' : Cochain L ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj M) m

Context: nm : ℤ

Context: hnm : n + m = nm

Context: nm' : ℤ

Context: hnm' : nm + a = nm'

Context: m' : ℤ

Context: hm' : m + a = m'

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + nm' = q

((γ.comp γ' hnm).rightUnshift nm' hnm').v p q hpq = (γ.comp (γ'.rightUnshift m' hm') ⋯).v p q hpq


Context: f : ℝ → ℝ

Context: p : ℕ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: p : ℕ

Context: hf : GrowsPolynomially f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂

Continuous ↿fun t => (γ₁ t).trans (γ₂ t)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι✝ : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: a b c : ι → X

Context: γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)

Context: h₁ : Continuous ↿γ₁

Context: γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)

Context: h₂ : Continuous ↿γ₂

Context: h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι✝ : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: a b c : ι → X

Context: γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)

Context: h₁ : Continuous ↿γ₁

Context: γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)

Context: h₂ : Continuous ↿γ₂

Context: h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι✝ : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: a b c : ι → X

Context: γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)

Context: h₁ : Continuous ↿γ₁

Context: γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)

Context: h₂ : Continuous ↿γ₂

Continuous fun p => { toFun := fun x => if ↑x ≤ 1 / 2 then (γ₁ p.1).extend (2 * ↑x) else (γ₂ p.1).extend (2 * ↑x - 1), continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } p.2


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι✝ : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: a b c : ι → X

Context: γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)

Context: h₁ : Continuous ↿γ₁

Context: γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)

Context: h₂ : Continuous ↿γ₂

Continuous fun p => (γ₁ p.1).extend (2 * ↑p.2)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι✝ : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: a b c : ι → X

Context: γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)

Context: h₁ : Continuous ↿γ₁

Context: γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)

Context: h₂ : Continuous ↿γ₂

Continuous fun p => (γ₂ p.1).extend (2 * ↑p.2 - 1)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι✝ : Type u_3

Context: γ : Path x y

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: a b c : ι → X

Context: γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)

Context: h₁ : Continuous ↿γ₁

Context: γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)

Context: h₂ : Continuous ↿γ₂


-π < π ∧ π ≤ π


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP A p