Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
ab : Reaches f a b


Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
ab : Reaches f a b
x✝ : σ
h : x✝ ∈ eval f a


Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
ab : Reaches f a b
x✝ : σ
h : x✝ ∈ eval f b


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L✝ : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hK : K.ExactAt i
L : HomologicalComplex C c
e : K ≅ L


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L✝ : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hK : (K.sc i).Exact
L : HomologicalComplex C c
e : K ≅ L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryProduct X Y

(pullbackZeroZeroIso X Y).hom ≫ prod.fst = pullback.fst 0 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: t : Finset σ × σ

Context: h : t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k

MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k


Context: σ : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: t : Finset σ × σ

Context: h : t.1.card ≤ k ∧ (t.1.card = k → t.2 ∈ t.1)

(MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card ≤ k ∧ ((MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1.card = k → (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).2 ∈ (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairMap σ t).1)


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set Rᵐᵒᵖ

(closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
a : Subring R

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context: x : ℂ


Context: z : ℂ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
g : Set α → Filter β
hg : Monotone g

(𝓝 x).lift g = (𝓤 α).lift fun s => g {y | (y, x) ∈ s}


(𝓤 α).lift (g ∘ preimage fun y => (y, x)) = (𝓤 α).lift fun s => g {y | (y, x) ∈ s}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp (p + a) b = p + toIocMod hp a b


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
n : ℕ
g : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hg : Surjective ⇑g


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : OrzechProperty R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module.Finite R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
n : ℕ
g : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hg : Surjective ⇑g
this : Small.{u, v} M


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : OrzechProperty R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i f : N →ₗ[R] M

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: g : (Fin n → R) →ₗ[R] M

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: this✝¹ : Small.{u, v} M

Context: this✝ : AddCommMonoid (Shrink.{u, v} M) := (equivShrink M).symm.addCommMonoid

Context: this : Module R (Shrink.{u, v} M) := Equiv.module R (equivShrink M).symm

Context: j : Shrink.{u, v} M ≃ₗ[R] M := Equiv.linearEquiv R (equivShrink M).symm


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : OrzechProperty R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i f : N →ₗ[R] M

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: n : ℕ

Context: g : (Fin n → R) →ₗ[R] M

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: this✝² : Small.{u, v} M

Context: this✝¹ : AddCommMonoid (Shrink.{u, v} M) := (equivShrink M).symm.addCommMonoid

Context: this✝ : Module R (Shrink.{u, v} M) := Equiv.module R (equivShrink M).symm

Context: this : Module.Finite R (Shrink.{u, v} M)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : OrzechProperty R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: N : Type w

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : Module R N

Context: i f : N →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: g : (Fin n → R) →ₗ[R] M

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: this✝² : Small.{u, v} M

Context: i' : N →ₗ[R] Shrink.{u, v} M := ↑j.symm ∘ₗ i

Context: hi : Injective ⇑i'

Context: f' : ↥(LinearMap.range i') →ₗ[R] Shrink.{u, v} M := ↑j.symm ∘ₗ f ∘ₗ ↑(LinearEquiv.ofInjective i' hi).symm

Context: hf : Surjective ⇑f'


Context:
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ✝ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j✝ : J
inst✝² : X.HasMap p
inst✝¹ : Y.HasMap p
inst✝ : Z.HasMap p
A : C
j : J
φ : (i : I) → p i = j → (X i ⟶ A)
i : I
hi : p i = j

X.ιMapObj p i j hi ≫ X.descMapObj p φ = φ i hi


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

y ∈ {y | s.SSameSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ioi 0) ↑s


s.SSameSide x y ↔ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
c n : ℕ
x a : α
n' : ℕ
a' : α
h₁ : c * n = n'
h₂ : smul c a = a'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω), f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
I : Ideal R
f : R ≃+* S


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
hc : ¬IsConnected X
hi : IsInitial X → False

∃ Y v, (IsInitial Y → False) ∧ Mono v ∧ ¬IsIso v


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: hi : IsInitial X → False

Context: hc : ∀ (Y : C) (v : Y ⟶ X), (IsInitial Y → False) → Mono v → IsIso v


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
this : 0 < φ ‖x - y‖


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

∃ g, ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)) (f (g n))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: h1 : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f (g m)) (f (g n))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: r' : β → β → Prop

Context: f✝ : α → β

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: h2 : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
hf : UniformInducing f


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: g : ↥(lp E q)

(Summable fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: g : ↥(lp E q)

Context: hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: g : ↥(lp E q)

Context: hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖

Context: hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: g : ↥(lp E q)

Context: hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖

Context: hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖

Context: hf₂ : HasSum (fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: g : ↥(lp E q)

Context: hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖

Context: hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖

Context: hg₂ : HasSum (fun i => ‖↑g i‖ ^ q.toReal) (‖g‖ ^ q.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: g : ↥(lp E q)

Context: hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖

Context: hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖

Context: C : ℝ

Context: hC' : C ≤ ‖f‖ * ‖g‖

Context: hC : HasSum (fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q✝ : ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hpq : p.toReal.IsConjExponent q.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: g : ↥(lp E q)

Context: hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖

Context: hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖

Context: C : ℝ

Context: hC' : ∑' (b : α), ‖↑f b‖ * ‖↑g b‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖


Context:
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist a✝ b✝ < ε


Context:
n m : ℕ
h : n < m


Context:
n m : ℕ
h : n < m

[n] ++ Ico n.succ m = n :: Ico (n + 1) m


Context:
K : Type u_1
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : T1Space 𝕜
inst✝¹ : Ring 𝕜
inst✝ : NoZeroDivisors 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hsq : EqOn (f ^ 2) 1 S
this : DiscreteTopology ↑{1, -1}


Context:
K : Type u_1
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : T1Space 𝕜
inst✝¹ : Ring 𝕜
inst✝ : NoZeroDivisors 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hsq : EqOn (f ^ 2) 1 S
this : DiscreteTopology ↑{1, -1}
hmaps : MapsTo f S {1, -1}


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

(W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: cp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ n → (p ^ m).coeff (m * n) = p.coeff n ^ m := fun {m n} {p} => coeff_pow_of_natDegree_le


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : ℝ
hr : 1 < r

(fun n => ↑n ^ k) =o[atTop] fun n => r ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: this : Tendsto (fun x => x ^ k) (𝓝[>] 1) (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: r' : ℝ

Context: hr' : r' ^ k < r

Context: h1 : 1 < r'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: r' : ℝ

Context: hr' : r' ^ k < r

Context: h1 : 1 < r'

Context: h0 : 0 ≤ r'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: r' : ℝ

Context: hr' : r' ^ k < r

Context: h1 : 1 < r'

Context: h0 : 0 ≤ r'

(fun n => ↑n ^ k) =O[atTop] fun n => (r' ^ k) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: r' : ℝ

Context: hr' : r' ^ k < r

Context: h1 : 1 < r'

Context: h0 : 0 ≤ r'

(fun n => ↑n ^ k) =O[atTop] fun n => (r' ^ n) ^ k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: r' : ℝ

Context: hr' : r' ^ k < r

Context: h1 : 1 < r'

Context: h0 : 0 ≤ r'

∀ (n : ℕ), ‖↑n‖ ≤ (r' - 1)⁻¹ * ‖1‖ * ‖r' ^ n‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: r' : ℝ

Context: hr' : r' ^ k < r

Context: h1 : 1 < r'

Context: h0 : 0 ≤ r'

Context: n : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : ∀ (i : ι), (S.map (eval C c i)).Exact


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: hS : ∀ (i : ι), IsZero (S.map (eval C c i)).homology


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → ℝ≥0
sf sg : ℝ≥0
i : α
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
hi : f i < g i
hf : HasSum f sf
hg : HasSum g sg
A : ∀ (a : α), ↑(f a) ≤ ↑(g a)
this : ↑sf < ↑sg


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.39934, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this✝ : PreservesFiniteLimits (forget₂ C Ab)

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

Context: eq : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ ≫ D.δ) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map (D.φ₁ ≫ D.v₂₃.τ₁) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

Context: eq₁ : (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

Context: eq₂ : (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

Context: eq₁ : (forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₂

Context: eq₂ : (forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

Context: eq : (forget C).map D.δ ((forget C).map (pullback.snd D.L₁.g D.v₀₁.τ₃) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)) = (forget C).map D.v₂₃.τ₁ ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

Context: eq : (forget C).map D.δ x₃ = (forget C).map D.v₂₃.τ₁ ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

(forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = x₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

(forget C).map D.L₂.f ((forget C).map D.φ₁ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂)) = (forget C).map D.L₂.f x₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

(forget C).map D.φ₂ (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map D.L₂.f x₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

(forget C).map (pullback.fst D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ ≫ D.v₁₂.τ₂) (Concrete.pullbackMk D.L₁.g D.v₀₁.τ₃ x₂ x₃ h₂) = (forget C).map D.L₂.f x₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: D : SnakeInput C

Context: x₃ : (forget C).obj D.L₀.X₃

Context: x₂ : (forget C).obj D.L₁.X₂

Context: x₁ : (forget C).obj D.L₂.X₁

Context: h₂ : D.L₁.g x₂ = D.v₀₁.τ₃ x₃

Context: h₁ : D.L₂.f x₁ = D.v₁₂.τ₂ x₂

Context: this : PreservesFiniteLimits (forget C)

(forget C).map D.v₁₂.τ₂ x₂ = (forget C).map D.L₂.f x₁


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
g : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α), g x ∂μ.tilted f = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * g x ∂μ


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : TopCat

Context: f : X ⟶ Y

Context: F : TopCat.Presheaf C Y

Context: hf : IsOpenMap ⇑f

Context: U : Opens ↑X

Context: S : Sieve U

Context: hU : S ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U

Context: x : ↑X

Context: hx : x ∈ ↑U

Context: V : Opens ↑X

Context: i : V ⟶ U

Context: hV : S.arrows i

Context: hxV : x ∈ V

∃ U_1 f_1, (Sieve.functorPushforward hf.functor S).arrows f_1 ∧ f x ∈ U_1


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context: x : ℂ


Context: x : ℂ

HasStrictDerivAt cosh ((cexp x - cexp (-x)) * 2⁻¹) x


Context: x : ℂ

(cexp x - cexp (-x)) * 2⁻¹ = (cexp x + cexp (-id x) * -1) * 2⁻¹


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j : n


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j


∀ (i_1 : n), 0ᵀ.updateColumn j (Pi.single i 1) i_1 j' = 0


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Nontrivial n
i j j' : n
hj' : j' ≠ j
j'' : n

0ᵀ.updateColumn j (Pi.single i 1) j'' j' = 0


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
x✝ y x : ℝ
this : 0 < π


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₁
h₁ : q₁ ∈ stmts₁ q₂

some q₂ ∈ stmts M S → some q₁ ∈ stmts M S


∀ x ∈ S, q₂ ∈ stmts₁ (M x) → ∃ a ∈ S, q₁ ∈ stmts₁ (M a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set α
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hs : s ⊆ ⋃ i, U i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : NoetherianSpace α

Context: s : Set α

Context: ι✝ : Type u_1

Context: U : ι✝ → Set α

Context: hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)

Context: hs : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: t : Finset ι✝

Context: ht : ↑{ carrier := ⋃ i, U i, is_open' := ⋯ } ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ
k : Filter δ


comap ((Prod.fst ∘ Prod.fst) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) f ⊓ comap ((Prod.snd ∘ Prod.fst) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) g ⊓ (comap ((Prod.fst ∘ Prod.snd) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) h ⊓ comap ((Prod.snd ∘ Prod.snd) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) k) = comap (Prod.fst ∘ Prod.fst) f ⊓ comap (Prod.snd ∘ Prod.fst) h ⊓ (comap (Prod.fst ∘ Prod.snd) g ⊓ comap (Prod.snd ∘ Prod.snd) k)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q a : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p * q ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0


Context:
k m n : ℕ+
h : m.Coprime n


Context:
k m n : ℕ+
h : (↑m).Coprime ↑n


Context:
k m n : ℕ+
h : (↑m).Coprime ↑n

(↑k).gcd (↑m * ↑n) = (↑k).gcd ↑m * (↑k).gcd ↑n


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : eval₂ i b (X ^ n - C a) = 0


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Field F✝
E✝ : Type u_2
inst✝³ : Field E✝
inst✝² : Algebra F✝ E✝
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = C (i (X ^ n - C a).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs' : Multiset.card s = n


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs' : Multiset.card s = n

Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i (X ^ n - 1).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (fun c => c / b) s)).prod


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs' : Multiset.card s = n

Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs' : Multiset.card s = n

Context: C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs' : Multiset.card s = n

Context: C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1

Context: key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs' : Multiset.card s = n

Context: C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1

Context: key2 : ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) = fun c => C b * (X - C (c / b))


Context: F✝ : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F✝

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E✝

Context: inst✝² : Algebra F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : Field E

Context: i : F →+* E

Context: n : ℕ

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : Splits i (X ^ n - C a)

Context: ha' : i a ≠ 0

Context: hn : ¬n = 0

Context: hn' : 0 < n

Context: hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0

Context: b : E

Context: hb : b ^ n = i a

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hs' : Multiset.card s = n

Context: C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1

(Multiset.map (fun c => X - C (c / b)) s).prod = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
this : ↑i = ↑↑i

h.zmodEquivZPowers ↑i = Additive.ofMul ⟨ζ ^ i, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β


mk ↑f ⋯ = Quotient.mk'' (Quotient.out' f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α →ₘ[μ] β

Context: g : { f // AEStronglyMeasurable f μ } := Quotient.out' f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α →ₘ[μ] β

Context: this : g = ⟨↑g, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ι → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal


∀ᵐ (x : β) ∂ν a, x ∈ s → ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x)) ↑q = (fun b => f (a, b) q) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: y : M'

Context: hs : s ⊆ (extChartAt I x).source

Context: h2s : MapsTo f s (extChartAt I' y).source

ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

Context: y : M'

Context: hs : s ⊆ (chartAt H x).source

Context: h2s : MapsTo f s (chartAt H' y).source


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Finset ℕ

∀ (f : R[X]), f.support = s → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R

∀ (f : R[X]), f.support = ∅ → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding ∅


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R

∀ ⦃a : ℕ⦄ {s : Finset ℕ}, a ∉ s → (∀ (f : R[X]), f.support = s → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding s) → ∀ (f : R[X]), f.support = insert a s → (toLaurent f).support = Finset.map Nat.castEmbedding (insert a s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝ : Preorder α
f : Filter β
u : β → α
b : α
hb : b ∈ lowerBounds (range u)


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x : M

torsionOf R M x = Ideal.span {p ^ Nat.find ⋯}


Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) = Associates.mk p ^ Nat.find ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: x : M

Context: prop : (fun n => p ^ n • x = 0) = fun n => Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) ∣ Associates.mk p ^ n


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: x : M

Context: this : ∃ n, p ^ n • x = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: x : M

Context: this : ∃ n, Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) ∣ Associates.mk p ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a✝ b : α
hι : Nonempty ι
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ

minimalPeriod f x.1 ∣ minimalPeriod (Prod.map f g) x


minimalPeriod f x.1 ∣ (minimalPeriod f x.1).lcm (minimalPeriod g x.2)


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
y : α
hy : (image f s).max = ↑y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
x : β
hx : x ∈ s
hy : (image f s).max = ↑(f x)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
h : c ≤ a


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
H : a % b = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
i : ℕ
s : Stream' α
n✝ : ℕ

(drop i s).tail.get n✝ = (drop (i + 1) s).get n✝


Context:
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp

cmp x y = Ordering.gt ↔ cmp y x = Ordering.lt


cmp y x = Ordering.gt.swap ↔ cmp y x = Ordering.lt


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i
i : ι


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
y✝ : N → ↑I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : (a : α) → DecidablePred (Associated a)

Context: s : Multiset α

Context: n : α

Context: h : ∀ a ∈ s, Prime a

Context: div : ∀ a ∈ s, a ∣ n

Context: uniq : ∀ (a : α), countP (Associated a) s ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: n : α

Context: h : ∀ a ∈ 0, Prime a

Context: div : ∀ a ∈ 0, a ∣ n

Context: uniq : ∀ (a : α), countP (Associated a) 0 ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: induct : ∀ (n : α), (∀ a ∈ s, Prime a) → (∀ a ∈ s, a ∣ n) → (∀ (a : α), countP (Associated a) s ≤ 1) → s.prod ∣ n

Context: n : α

Context: h : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, Prime a_1

Context: div : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, a_1 ∣ n

Context: uniq : ∀ (a_1 : α), countP (Associated a_1) (a ::ₘ s) ≤ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
c : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R M

Context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R N

Context: hxy : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y

Context: c : R

Submodule.Quotient.mk (c • x) = Submodule.Quotient.mk (c • y)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
iR : DecidableEq R
p : R[X]
ip0 : Decidable (p = 0)

p.roots = if h : p = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ip0 : Decidable (p = 0)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

IsConnected (univ.pi s) ↔ ∀ (i : ι), IsConnected (s i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

(univ.pi s).Nonempty → (IsPreconnected (univ.pi s) ↔ ∀ (x : ι), IsPreconnected (s x))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: hne : (univ.pi s).Nonempty

Context: hc : IsPreconnected (univ.pi s)

Context: i : ι


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: hne : (univ.pi s).Nonempty

Context: hc : IsPreconnected (univ.pi s)

Context: i : ι

IsPreconnected ((fun f => f i) '' univ.pi s)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₂ p₃ p₁).sin * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W

fourierIntegral e μ L (r • f) w = (r • fourierIntegral e μ L f) w


∫ (v : V), e (-(L v) w) • r • f v ∂μ = ∫ (a : V), r • e (-(L a) w) • f a ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
v : V

e (-(L v) w) • r • f v = r • e (-(L v) w) • f v


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber


Context:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2


Context: α : Type u_1

Context: G : SimpleGraph α

Context: u : α

Context: p : G.Walk u u

Context: hOdd : Odd p.length

Context: h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber

Context: h' : G.chromaticNumber ≤ 2

Context: c : G.Coloring (Fin 2) := Nonempty.some ⋯


Context: α : Type u_1

Context: G : SimpleGraph α

Context: u : α

Context: p : G.Walk u u

Context: hOdd : Odd p.length

Context: h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber

Context: h' : G.chromaticNumber ≤ 2

Context: c' : G.Coloring Bool := (G.recolorOfEquiv finTwoEquiv) c


Context: α : Type u_1

Context: G : SimpleGraph α

Context: u : α

Context: p : G.Walk u u

Context: hOdd : Odd p.length

Context: h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber

Context: h' : G.chromaticNumber ≤ 2

Context: this : ¬c' u = true ↔ c' u = true


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoBotOrder α
a : α


Context: k : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing k

Context: G : Type u

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: V : Type v

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : Module k V

Context: inst✝⁵ : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type w

Context: inst✝³ : AddCommGroup W

Context: inst✝² : Module k W

Context: inst✝¹ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: inst✝ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W

Context: π : W →ₗ[k] V

Context: i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: h : ∀ (v : V), π (i v) = v

Context: g : G

Context: v : V


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b x : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x✝ : P'

x✝ ∈ (canonicalEquiv S P P') ↑I ↔ x✝ ∈ ↑I


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p


Context: hp : Fact (Nat.Prime 2)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 - -1 = ↑p * k


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
hk₀ : 0 < k


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hodd : Odd p

Context: a b : ℕ

Context: ha : a ≤ p / 2

Context: hb : b ≤ p / 2

Context: hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]

Context: k : ℕ

Context: hk₀ : 0 < ↑k

Context: hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hodd : Odd p

Context: a b : ℕ

Context: ha : a ≤ p / 2

Context: hb : b ≤ p / 2

Context: hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]

Context: k : ℕ

Context: hk₀ : 0 < ↑k


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
h e f : L
isSl2 : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)

Context: hx' : ¬x = 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

Context: this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : CharZero K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : IsKilling K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)

Context: hx' : ¬x = 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

Context: μ : ℕ

Context: hμ : (chainTop (⇑α) β) (coroot α) = ↑μ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : AddMonoid β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ


(map (fun p => p.1 + p.2) (f.pair g)).FinMeasSupp μ


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝² : MetricSpace α✝
x : ℕ → α✝
a b : α✝
α : Type u
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : SeparableSpace α


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝² : MetricSpace α✝
x : ℕ → α✝
a b : α✝
α : Type u
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : SeparableSpace α
h : univ = ∅


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝² : MetricSpace α✝
x : ℕ → α✝
a b : α✝
α : Type u
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : SeparableSpace α
h : univ.Nonempty


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t

Context: hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R

Context: h' : rootMultiplicity t p ≤ n


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R

Context: h' : rootMultiplicity t p ≤ n

Context: hroot : ((⇑derivative)^[rootMultiplicity t p] p).IsRoot t


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R

Context: h' : rootMultiplicity t p ≤ n

Context: hroot : (rootMultiplicity t p).factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R

Context: h' : rootMultiplicity t p ≤ n

Context: q : R

Context: hq : ↑n.factorial = ↑(rootMultiplicity t p).factorial * q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: h' : rootMultiplicity t p ≤ n

Context: q : R

Context: hnzd : ↑(rootMultiplicity t p).factorial ∈ nonZeroDivisors R ∧ q ∈ nonZeroDivisors R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : R[X]

Context: t : R

Context: n : ℕ

Context: h : p ≠ 0

Context: h' : rootMultiplicity t p ≤ n

Context: hroot : eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0

Context: q : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α

a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a


a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a


Context:
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 0 < a
d : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
T : TopologicalSpace α
f : β → α
hf : Surjective f
a : β


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝ : GaloisCategory C
X : C

∃ ι, ∃ (x : Finite ι), ∃ f x, ∀ (i : ι), IsConnected (f i)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝ : GaloisCategory C
X : C
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
hf : Finite ι


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField α
inst✝⁴ : LinearOrderedField β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField α
inst✝⁴ : LinearOrderedField β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
H : f 2 = 2


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0
hfi : Integrable (fun x => ↑(f x)) μ

∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), ↑(f a) ∂μ)


∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ = ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ).toReal


∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤ ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ↑(f x)) μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α

∏ i : ι, ∑ j ∈ t i, f i j = ∑ x ∈ piFinset t, ∏ i : ι, f i (x i)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜


‖x • 1‖ = ‖x‖ * ‖1‖


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0

(Summable fun i => f i / a) ↔ Summable f


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
s : Finset α
t : Finset β

⇑{ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } '' ↑t ×ˢ ↑s = ↑s ×ˢ ↑t


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → Measure β
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : DecidableRel LT.lt

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x

Context: lt_trans : ∀ {x y z : α}, x < y → y < z → x < z

Context: lt_antisymm : ∀ {x y : α}, ¬x < y → ¬y < x → x = y

Context: this : OrientedCmp fun x x_1 => compareOfLessAndEq x x_1

Context: x y z : α

Context: yx : compareOfLessAndEq x y ≠ Ordering.gt

Context: zy : compareOfLessAndEq y z ≠ Ordering.gt


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : DecidableRel LT.lt

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: lt_irrefl : ∀ (x : α), ¬x < x

Context: x y z : α

Context: yx : ¬y < x

Context: zy : ¬z < y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
π : α✝ → Type u_5
δ : α✝ → Sort u_6
s✝ : Set α✝
f g : (i : α✝) → δ i
inst✝¹ : (j : α✝) → Decidable (j ∈ s✝)
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
s : Set ι
t t' : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : (x : ι) → Decidable (x ∈ s)

univ.pi (s.piecewise t t') = s.pi t ∩ sᶜ.pi t'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f g : Multiplicative ℕ →* α
h : f (ofAdd 1) = g (ofAdd 1)
n : Multiplicative ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E

((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).1 = 0 ↔ x ∈ q


((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).1 = 0 ↔ (p.prodEquivOfIsCompl q h) ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x) ∈ q


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) '' Icc b c = Icc (b - a) (c - a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
ι : Type u_6
s : Finset ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ s, f i ~ᵤ g i


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j

X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ j.succ) = X.map (SimplexCategory.δ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
he : e ≈ e'
s : Set β

e.source ∩ ↑e ⁻¹' s = e'.source ∩ ↑e' ⁻¹' s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi (f ≫ g)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
hj : j ∈ s


∃ a ∈ s.erase i, eval (v j) (basisDivisor (v i) (v a)) = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R

(3 * X ^ 4 + C W.b₂ * X ^ 3 + 3 * C W.b₄ * X ^ 2 + 3 * C W.b₆ * X + C W.b₈).natDegree ≤ 4


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
M : ModuleCat R
inst✝ : Flat R ↑M
C : ShortComplex (ModuleCat R)
hC : C.Exact


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
M : ModuleCat R
inst✝ : Flat R ↑M
C : ShortComplex (ModuleCat R)
hC : Function.Exact ⇑C.f ⇑C.g

Function.Exact ⇑(C.map (tensorRight M)).f ⇑(C.map (tensorRight M)).g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝


((κ a✝¹).withDensity (0 a✝¹)) s✝ = (0 a✝¹) s✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: f : (i : ℕ) → i < n → α

Context: hf : ∀ a ∈ s, ∃ i, ∃ (h : i < n), f i h = a

Context: hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s

Context: f_inj : ∀ (i j : ℕ) (hi : i < n) (hj : j < n), f i hi = f j hj → i = j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: f : (i : ℕ) → i < n → α

Context: hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s

Context: f' : Fin n → α := fun i => f ↑i ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: f : (i : ℕ) → i < n → α

Context: hf' : ∀ (i : ℕ) (h : i < n), f i h ∈ s

Context: f' : Fin n → α := fun i => f ↑i ⋯

Context: x : α


Context:
R : Type u
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
k l m n : ℕ
u v : R
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0

C u * X ^ k + C v * X ^ l = C u * X ^ m + C v * X ^ n ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n


Finsupp.single k u + Finsupp.single l v = Finsupp.single m u + Finsupp.single n v ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ : Set α
p q : ℝ≥0∞
f : α → E
hfq : Memℒp f q μ
s : Set α
hf : ∀ x ∉ s, f x = 0
hs : μ s ≠ ⊤
hpq : p ≤ q


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q✝ : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : E

Context: f✝ : α → E

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ

Context: s✝ : Set α

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hfq : Memℒp f q μ

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hpq : p ≤ q

Context: this : (toMeasurable μ s).indicator f = f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q✝ : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : E

Context: f✝ : α → E

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ

Context: s✝ : Set α

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hfq : Memℒp f q (μ.restrict (toMeasurable μ s))

Context: hf : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hpq : p ≤ q

Memℒp f p (μ.restrict (toMeasurable μ s))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q✝ : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c : E

Context: f✝ : α → E

Context: hf✝ : AEStronglyMeasurable f✝ μ

Context: s✝ : Set α

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∉ s, f x = 0

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hpq : p ≤ q

Context: this✝ : (toMeasurable μ s).indicator f = f

Context: this : Fact (μ (toMeasurable μ s) < ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
h : OpenEmbedding f
s : Set α

IsQuasiSeparated s ↔ IsQuasiSeparated (f '' s)


IsQuasiSeparated (f '' s) → IsQuasiSeparated s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
h : OpenEmbedding f
s : Set α
H : IsQuasiSeparated (f '' s)
U V : Set α
hU : U ⊆ s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Countable ι'
s : ι' → Set X
T : ι' → Set (Set X)
hTo : ∀ (i : ι'), ∀ t ∈ T i, IsOpen t
hTc : ∀ (i : ι'), (T i).Countable
hTs : ∀ (i : ι'), s i = ⋂₀ T i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : Countable ι'

Context: T : ι' → Set (Set X)

Context: hTo : ∀ (i : ι'), ∀ t ∈ T i, IsOpen t

Context: hTc : ∀ (i : ι'), (T i).Countable

Context: hTs : ∀ (i : ι'), (fun i => ⋂₀ T i) i = ⋂₀ T i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : Countable ι'

Context: T : ι' → Set (Set X)

Context: hTo : ∀ (i : ι'), ∀ t ∈ T i, IsOpen t

Context: hTc : ∀ (i : ι'), (T i).Countable


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hf_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ε

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n

Context: hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: F : Fin N → α → β := fun n => f ↑n

Context: hF : ∀ (n : Fin N), Memℒp (F n) p μ

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδpos₁ : 0 < δ₁

Context: hδ₁ : ∀ (i : Fin N) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (F i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Nonempty X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : MeasurableSpace.CountablySeparated X

Context: f : α → α

Context: g : α → X

Context: h : PreErgodic f μ

Context: hgm : Measurable g

Context: hg_eq : g ∘ f = g

Context: U : Set X

Context: hU : MeasurableSet U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

mα.prod (↑(countableFiltration γ) n) ≤ Prod.instMeasurableSpace


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = π


‖x‖ ^ 2 - 2 * -(‖x‖ * ‖y‖) + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

(o.oangle x (r • x - y)).sign = -(o.oangle x y).sign


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Multiset (Tropical R)

∀ (a : List (Tropical R)), untrop (prod ⟦a⟧) = (map untrop ⟦a⟧).sum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v

(fun x => (u x)⁻¹) ~[l] fun x => (v x)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : NormedField β

Context: t u v w : α → β

Context: l : Filter α

Context: huv : ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), u =ᶠ[l] φ * v

∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), (fun x => (u x)⁻¹) =ᶠ[l] φ * fun x => (v x)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
φ : α → β
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
h : u =ᶠ[l] φ * v


∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1⁻¹)), (fun x => (u x)⁻¹) =ᶠ[l] φ * fun x => (v x)⁻¹


(fun x => (u x)⁻¹) =ᶠ[l] (fun x => (φ x)⁻¹) * fun x => (v x)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
φ : α → β
hφ : Tendsto φ l (𝓝 1)
h : u =ᶠ[l] φ * v
x✝ : α

((fun x => (φ x)⁻¹) * fun x => (v x)⁻¹) x✝ = ((φ * v) x✝)⁻¹


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
H : f.natDegree = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
H : f.natDegree = 0
x : F
hf : C x = f


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
f : F[X]
h : Irreducible f
H : f.natDegree = 0
x : F
hf : C x = f
hx : ¬x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
l : List α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0


Tendsto (fun c => x + c • y) (𝓝[≠] 0) (𝓝[≠] x)


Tendsto (fun c => x + c • y) (𝓝 0) (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : Finite ι'

Context: h : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = h i

Context: h2C : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)

generateFrom (univ.pi '' univ.pi C) = MeasurableSpace.pi


Context:
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤


↑a ∈ Subtype.val '' ↑(Subfield.rangeOfWType s)


↑a ∈ map (closure s).subtype (Subfield.rangeOfWType s)


Context:
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a✝ : ↥(closure s)
x✝ : a✝ ∈ ⊤
a : α
ha : a ∈ s

a ∈ ↑(map (closure s).subtype (Subfield.rangeOfWType s))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R

truncateFun n (x * y) = truncateFun n x * truncateFun n y


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ derivedSeries R L 1


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LieRing L

Context: inst✝ : LieAlgebra R L

Context: χ : LieCharacter R L

Context: x : L

Context: h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LieRing L

Context: inst✝ : LieAlgebra R L

Context: χ : LieCharacter R L

Context: x : L

∀ x ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}, χ x = 0


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LieRing L

Context: inst✝ : LieAlgebra R L

Context: χ : LieCharacter R L

Context: x : L


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LieRing L

Context: inst✝ : LieAlgebra R L

Context: χ : LieCharacter R L

Context: x : L

∀ (x y : L), χ x = 0 → χ y = 0 → χ (x + y) = 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z✝ : ι → E
s : Set E
x : E
inst✝ : Fintype ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hz : ∀ (i : ι), z i ∈ s
hx : ∑ i : ι, w i • z i = x


Finset.univ.centerMass w z ∈ (convexHull R) s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

(f.pdiv g) (m * n) = (f.pdiv g) m * (f.pdiv g) n


f m * f n * ((g m)⁻¹ * (g n)⁻¹) = f m * (g m)⁻¹ * (f n * (g n)⁻¹)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q : ℚ≥0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ univ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f 0
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae 0] f

ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂0) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂0) / 0 univ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hμ : μ ≠ 0


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E

L ≤ perfectClosure F E ↔ IsPurelyInseparable F ↥L


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ perfectClosure F E
x : ↥L

∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F ↥L).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: L : IntermediateField F E

Context: h : L ≤ perfectClosure F E

Context: x : ↥L

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: hy : (algebraMap F E) y = ↑x ^ ringExpChar F ^ n


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ

Measure.map (fun ω => c * X ω) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Measure.map ((fun ω => c * ω) ∘ X) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
y : R
hxy : I ⊔ span {y * x + 1} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {y * x + 1}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : r * (y * x + 1) = q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: I : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : ∀ (y : R), ∃ z, z * y * x + z - 1 ∈ I

Context: M : Ideal R

Context: x✝ : M ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}

Context: him : I ≤ M

Context: hm : M.IsMaximal

Context: hxm : x ∉ M

Context: y i : R

Context: hi : i ∈ M

Context: df : y * x + i = 1

Context: z : R

Context: hz : z * -y * x + z - 1 ∈ I


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Ring S

Context: I : Ideal R

Context: x : R

Context: M : Ideal R

Context: x✝ : M ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}

Context: him : I ≤ M

Context: hm : M.IsMaximal

Context: hxm : x ∉ M

Context: y i : R

Context: hi : i ∈ M

Context: df : y * x + i = 1

Context: z : R

Context: hz : z * -y * x + z - 1 ∈ I


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞

eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ


eLpNorm' f p.toReal (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ


c ^ (1 / p.toReal) * eLpNorm' f p.toReal μ = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0

o.oangle (x - r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = ↑(Real.arctan r)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0

Context: hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0

o.oangle (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) + x) x = ↑(Real.arctan r)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0

o.oangle (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) + r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) (r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) = ↑(Real.arctan r)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ V

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x : V

Context: h : x ≠ 0

Context: r : ℝ

Context: hr : ¬r = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)

Context: p : Set ι

Context: x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = ((fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) (p, x₁, x₂)) j

Context: hs : s i (x i) (((fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) (p, x₁, x₂)) i)

∃ a', InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd a' (p, x₁, x₂) ∧ (fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) a' = x


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : (i : ι) → α i → α i → Prop

Context: p : Set ι

Context: x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j

Context: hs : s i (x i) (if i ∈ p then x₁ i else x₂ i)


Context:
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'


∀ (X : V), (of ⋙q lift φ).obj X = φ.obj X


∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of ⋙q lift φ).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

(trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

Context: h✝ : Subsingleton R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

Context: h✝ : Nontrivial R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S

Context: this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: a : S

Context: h✝ : Nontrivial R

((algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((leftMulMatrix b) a)).trace = (algebraMap R Rₘ) ((leftMulMatrix b) a).trace


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0


HasFiniteIntegral (NNReal.toReal ∘ ⇑f) μ


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x y : A


(∃ x_1, ((multiplesHom A) x) x_1 = y) ↔ ∃ n, n • x = y


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ i ∈ b, IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i ∈ b, c i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: b : Set ι

Context: c : ι → Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)

Context: hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: b : Set ι

Context: c : ι → Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x

Context: d : Finset ↑b

Context: hd : s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i