Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: n : ℕ

Tendsto (fun j => μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: h : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: h : Nonempty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: n : ℕ

Context: h : Nonempty ι

Tendsto (fun j => μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j)) atTop (𝓝 (μ (⋂ i, s ∩ notConvergentSeq f g n i)))


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
eq_one : exponent G = 1
a b : G


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
h : Subsingleton G


Context:
θ : ℂ
hθ : cos θ ≠ 0


Context:
θ : ℂ
hθ : cos θ ≠ 0

(∃ k, θ = ↑k * ↑π) ∨ False ↔ ∃ k, ↑k * ↑π = θ


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R

eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M) = M.map (eval r)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α


(⨆ i, μ i.down).trim = ⨆ i, (μ i.down).trim


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α

(⨆ i, μ i.down).trim s = (⨆ i, (μ i.down).trim) s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: m : OuterMeasure α

Context: ι : Sort u_2

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → OuterMeasure α

Context: s t : Set α

Context: left✝¹ : s ⊆ t

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: hμt : ∀ (i : Option (PLift ι)), (Option.elim' (⨆ i, μ i.down) (μ ∘ PLift.down) i) t = (Option.elim' (⨆ i, μ i.down) (μ ∘ PLift.down) i).trim s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: m : OuterMeasure α

Context: ι : Sort u_2

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → OuterMeasure α

Context: s t : Set α

Context: left✝¹ : s ⊆ t

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: hμt : (⨆ i, μ i.down) t = (⨆ i, μ i.down).trim s ∧ ∀ (x : PLift ι), ((μ ∘ PLift.down) x) t = ((μ ∘ PLift.down) x).trim s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: m : OuterMeasure α

Context: ι : Sort u_2

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → OuterMeasure α

Context: s t : Set α

Context: left✝¹ : s ⊆ t

Context: left✝ : MeasurableSet t

⨆ i, (μ i.down) t = ⨆ i, (μ i.down).trim s


Context:
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℤ
hmn : m.natAbs.Coprime n.natAbs
h : a ≡ b [ZMOD m] ∧ a ≡ b [ZMOD n]


Context:
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℤ
hmn : m.natAbs.Coprime n.natAbs
h : m ∣ b - a ∧ n ∣ b - a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R
n : ℕ

(C a * X ^ n).toFinsupp = Finsupp.single n a


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l

s ∈ 𝓝ˢ K ×ˢ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs✝ : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l
t t' : Set X
ht : t ⊆ t'
hs : s ∈ 𝓝ˢ t' ×ˢ l

s ∈ 𝓝ˢ t ×ˢ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l
t t' : Set X
ht : s ∈ 𝓝ˢ t ×ˢ l
ht' : s ∈ 𝓝ˢ t' ×ˢ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t K : Set X
l : Filter Y
s : Set (X × Y)
hK : IsCompact K
hs : ∀ x ∈ K, s ∈ 𝓝 x ×ˢ l
x : X
hx : x ∈ K


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: X' Y' Z' : D

Context: eX : L.obj X ≅ X'

Context: eY : L.obj Y ≅ Y'

Context: eZ : L.obj Z ≅ Z'

Context: X'' Y'' : C

Context: eX' : L.obj X'' ≅ X'

Context: eY' : L.obj Y'' ≅ Y'

Context: f₁ f₂ : X' ⟶ Y'

Context: h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: X' Y' Z' : D

Context: eX : L.obj X ≅ X'

Context: eY : L.obj Y ≅ Y'

Context: eZ : L.obj Z ≅ Z'

Context: X'' Y'' : C

Context: eX' : L.obj X'' ≅ X'

Context: eY' : L.obj Y'' ≅ Y'

Context: f₁ f₂ : X' ⟶ Y'

Context: h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ ≫ 𝟙 Y' = add W eX' eY' (f₁ ≫ 𝟙 Y') (f₂ ≫ 𝟙 Y')


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: X' Y' Z' : D

Context: eX : L.obj X ≅ X'

Context: eY : L.obj Y ≅ Y'

Context: eZ : L.obj Z ≅ Z'

Context: X'' Y'' : C

Context: eX' : L.obj X'' ≅ X'

Context: eY' : L.obj Y'' ≅ Y'

Context: f₁ f₂ : X' ⟶ Y'

Context: h₁ : add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY f₁ f₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: X' Y' Z' : D

Context: eX : L.obj X ≅ X'

Context: eY : L.obj Y ≅ Y'

Context: eZ : L.obj Z ≅ Z'

Context: X'' Y'' : C

Context: eX' : L.obj X'' ≅ X'

Context: eY' : L.obj Y'' ≅ Y'

Context: f₁ f₂ : X' ⟶ Y'

Context: h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ρ

∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ


∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
m : β → γ
hh : Monotone h

f.lift (map m ∘ 𝓟 ∘ h) = f.lift' (image m ∘ h)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Matroid α

Context: F X Y : Set α

Context: e : α

Context: M : Matroid α

Context: Xs Ys : ι → Set α

Context: A : Set ι

Context: h : ∀ i ∈ A, M.closure (Xs i) = M.closure (Ys i)

M.closure (⋃ i ∈ A, Xs i) = M.closure (⋃ i ∈ A, Ys i)


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

IsTopologicalBasis {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

∀ u ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}, IsOpen u


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

∀ (a : ↑↑X.toPresheafedSpace) (u : Set ↑↑X.toPresheafedSpace), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z a : ℤ

a ≤ ⌊↑z⌋ ↔ a ≤ z


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: e : M ≃+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

Context: h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), e (r • x) = s • e x) as bs

IsWeaklyRegular M as ↔ IsWeaklyRegular M₂ bs


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: e : M ≃+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

(∀ (i : Fin as.length), IsSMulRegular (M ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑i) as) • ⊤) (as.get i)) ↔ ∀ (i : Fin bs.length), IsSMulRegular (M₂ ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑i) bs) • ⊤) (bs.get i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: e : M ≃+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

Context: e' : (i : ℕ) → M ⧸ Ideal.ofList (List.take i as) • ⊤ ≃+ M₂ ⧸ Ideal.ofList (List.take i bs) • ⊤ := fun i => QuotientAddGroup.congr (Ideal.ofList (List.take i as) • ⊤).toAddSubgroup (Ideal.ofList (List.take i bs) • ⊤).toAddSubgroup e ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module S M₂

Context: σ : R →+* S

Context: σ' : S →+* R

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝ : RingHomInvPair σ' σ

Context: e : M ≃+ M₂

Context: as : List R

Context: bs : List S

Context: x✝ : Fin as.length

∀ (x : M ⧸ Ideal.ofList (List.take (↑x✝) as) • ⊤), (e' ↑x✝).toEquiv (as.get x✝ • x) = bs.get ((finCongr ⋯) x✝) • (e' ↑x✝).toEquiv x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j ≤ i

↑(i.cycleRange j) = if j = i then 0 else ↑j + 1


Context:
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j ≤ i

↑(if j = i then 0 else j + 1) = if j = i then 0 else ↑j + 1


Context:
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j ≤ i
h' : ¬j = i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: y₀ : M'

mfderiv I (I.prod I') (fun x => (x, y₀)) x₀ = ContinuousLinearMap.inl 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: y₀ : M'

(mfderiv I I id x₀).prod (mfderiv I I' (fun x => y₀) x₀) = ContinuousLinearMap.inl 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)


Context: a : Ordinal.{u}

∀ (b : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a + x) b = a * ω + b


Context: a : Ordinal.{u}

deriv (fun x => a + x) 0 = a * ω + 0 ∧ ∀ (a_1 : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a + x) a_1 = a * ω + a_1 → deriv (fun x => a + x) (succ a_1) = a * ω + succ a_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hs : MeasurableSet s
hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in sᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ - ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G


Context:
α : Sort u_1
x y z : α
h : x = y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: s : Multiset { a // Irreducible a }


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i j : m
k k' : n
h : k ≠ k'

(leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k') = 0


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
x : E

AnalyticWithinAt 𝕜 f univ x ↔ AnalyticAt 𝕜 f x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s

ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderiv 𝕜 f y) s


DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderiv 𝕜 f y) s


Context:
m : ℤ
n k : ℕ

↑m * 2 ^ n * powHalf (n + k) = ↑m * powHalf k


Context:
m : ℤ
n k : ℕ

↑m * (2 ^ n * powHalf (n + k)) = ↑m * powHalf k


Context:
m : ℤ
n k : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x : M


(∀ (i : ι), x ∈ ↑(p i)) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
x : α

(fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = -(fun x => f (a • x)) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g

∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ


⨆ n, (eapprox f n).lintegral (Measure.map g μ) = ⨆ n, (eapprox (f ∘ g) n).lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ

(eapprox f n).lintegral (Measure.map g μ) = (eapprox (f ∘ g) n).lintegral μ


eapprox (f ∘ g) n = (eapprox f n).comp g hg


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ
x : α

↑(eapprox (f ∘ g) n) x = ↑((eapprox f n).comp g hg) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : Continuous f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : ContinuousOn f univ


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ closure U


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ frontier U ∨ z ∈ U


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hU : Bornology.IsBounded U

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C

Context: z : E

Context: hz : z ∈ U

Context: w : E

Context: hne : w ≠ z

Context: e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)

Context: hde : Differentiable ℂ e

Context: hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e

Context: hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)

Context: h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U

Context: ζ : ℂ

Context: hζU : ζ ∈ frontier (e ⁻¹' U)

Context: hζ : IsMaxOn (norm ∘ f ∘ e) (closure (e ⁻¹' U)) ζ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs✝ : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E

↑↑(indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c + indicatorConstLp p ht hμt c)


((s ∪ t).indicator fun x => c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c) + ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt c)


((s ∪ t).indicator fun x => c) =ᶠ[ae μ] fun x => s.indicator (fun x => c) x + t.indicator (fun x => c) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.einfsep < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.einfsep < ⊤
w✝¹ : α
hx : w✝¹ ∈ s
w✝ : α
hy : w✝ ∈ s
hxy : w✝¹ ≠ w✝
right✝ : edist w✝¹ w✝ < ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]

((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree

Context: hdpq : (p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)).degree ≤ p.degree + q.degree + 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree

Context: hdq : (q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = 2 • q.degree + 3


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree

(p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

f '' s = t ↔ SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t


f '' s = t → SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

SurjOn f s (f '' s) ∧ MapsTo f s (f '' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f : ℕ →+ β
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Semifield R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a✝ : A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: a : Aˣ

Context: n : ℤ

Context: ha : autoParam (p ↑a) _auto✝


Context:
f : Bool → Bool → Bool
n : ℕ

(if n = 0 then if f false true = true then 0 else 0 else if 0 = 0 then if f true false = true then n else 0 else let n' := n / 2; let m' := 0 / 2; let b₁ := n % 2 = 1; let b₂ := 0 % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = if f true false = true then n else 0


Context:
f : Bool → Bool → Bool
n : ℕ

n = 0 → 0 = if f true false = true then n else 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i

∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : conjugatesOf a = conjugatesOf b


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : conjugatesOf a = conjugatesOf b
ha : b ∈ conjugatesOf b


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
ι : Type v
b : Basis ι R M


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
ι : Type v
b : Basis ι R M
this : _root_.Finite ι


Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : Field L

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra F L

Context: inst✝² : IsScalarTower F K L

Context: f g : F[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: hg : g ≠ 0

Context: inst✝¹ : IsSplittingField F K f

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (Polynomial.map (algebraMap F K) g)

Algebra.adjoin F ((f * g).rootSet L) = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : StrictMonoOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : StrictMonoOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : StrictMonoOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a

Context: has : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : StrictMonoOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a

Context: has : a ∈ s

Context: b : β

Context: hb : b < f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : OrderTopology α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h_mono : StrictMonoOn f s

Context: hs : s ∈ 𝓝[≥] a

Context: ha : a ∈ Ici a

Context: has : a ∈ s

Context: b : β

Context: hb : b > f a


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v (y - x) < v x


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v (y - x) < v x

Context: this : v (y - x + x) = max (v (y - x)) (v x)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v (y - x) < v x

Context: this : v (y - x + x) = v x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
hg : g.NeBot
s : Set β
hs : s ∈ g


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q

ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : p ≤ q


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p


ENNReal.ofReal (p - q) + ENNReal.ofReal q = ENNReal.ofReal p


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R

WittVector.ghostFun (x + y) = WittVector.ghostFun x + WittVector.ghostFun y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card


∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
x : α
hx : x ∈ ↑σ.support

↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)


↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ x, ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨x, hx⟩)))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ τ : Perm α

Context: hσ : σ.IsCycle

Context: hτ : τ.IsCycle

Context: h : σ.support.card = τ.support.card

Context: n : ℕ

Context: hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support

↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ ((σ ^ n) (Classical.choose hσ)), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨(σ ^ n) (Classical.choose hσ), hx⟩)))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ τ : Perm α

Context: hσ : σ.IsCycle

Context: hτ : τ.IsCycle

Context: h : σ.support.card = τ.support.card

Context: n : ℕ

↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ ((σ ^ n) (Classical.choose hσ)), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ τ : Perm α

Context: hσ : σ.IsCycle

Context: hτ : τ.IsCycle

Context: h : σ.support.card = τ.support.card

Context: n : ℕ

↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨(σ ^ (n + 1)) (Classical.choose hσ), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ τ : Perm α

Context: hσ : σ.IsCycle

Context: hτ : τ.IsCycle

Context: h : σ.support.card = τ.support.card

Context: n : ℕ

↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ (n + 1), ⋯⟩)) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ τ : Perm α

Context: hσ : σ.IsCycle

Context: hτ : τ.IsCycle

Context: h : σ.support.card = τ.support.card

Context: n : ℕ

↑⟨(τ ^ (n + 1)) (Classical.choose hτ), ⋯⟩ = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ⟨τ ^ n, ⋯⟩)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ τ : Perm α

Context: hσ : σ.IsCycle

Context: hτ : τ.IsCycle

Context: h : σ.support.card = τ.support.card

Context: n : ℕ

τ ((τ ^ n) (Classical.choose hτ)) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ⟨τ ^ n, ⋯⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K s : Set γ
hK : IsCompact K
hs : MeasurableSet s
hKs : K ⊆ s


Context: x : ℝ


Context:
x : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
x : ℝ
h : x ≤ 0


Context:
q : ℚ
x y : ℝ

x + y ∉ Set.range Rat.cast → x ∉ Set.range Rat.cast ∨ y ∉ Set.range Rat.cast


Context:
q : ℚ
x y : ℝ

x ∈ Set.range Rat.cast ∧ y ∈ Set.range Rat.cast → x + y ∈ Set.range Rat.cast


Context: q rx ry : ℚ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ

⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x) / (b - a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hyp : f ∈ fiber none


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hyp : ∃ F ∈ derangements (Option α), F none = none ∧ removeNone F = f


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f✝ g✝ : X → Y

Context: f g : (i : ι) → π i


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: h : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α

Context: h_splits : Splits (algebraMap F K) (minpoly F α)

Fintype.card (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] K) = (minpoly F α).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: h : IsIntegral F α

Context: h_sep : IsSeparable F α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)
V : Set X
hVo : IsOpen V
hKV : K ⊆ V
W : Set X
hVW : Disjoint V W
hW : IsOpen W
hUW : Uᶜ ⊆ W


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: x : Lifts F E K

Context: s : E

Context: h1 : IsIntegral F s

Context: h2 : Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)

Splits (x.emb.comp (algebraMap F ↥x.carrier)) (minpoly F s)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: x y : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x y : α

Context: xy : ¬x ≤ y

Context: yx : ¬y ≤ x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsAtom c → c ≤ a → c ≤ b


sSup {a_1 | IsAtom a_1 ∧ a_1 ≤ a} ≤ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ b}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
s t : Set α
a : α
h1 : s ∈ 𝓝 a
h2 : t ∈ 𝓝[s] a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
s t : Set α
a : α
h1 : s ∈ 𝓝 a
h2 : t ∈ 𝓝[s] a
w✝ : Set α
Hw : w✝ ∈ 𝓝 a
hw : w✝ ∩ s ⊆ t


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}

nilpotencyClass x = k + 1 ↔ x ^ (k + 1) = 0 ∧ x ^ k ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: x y : R

Context: inst✝ : MonoidWithZero R

Context: k : ℕ

Context: s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}

Context: this : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a b : α
s : Finset α


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

(enumFrom n l).unzip = (range' n l.length, l)


Context:
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist a✝ b✝ < ε


Context:
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist b✝ a✝ < ε


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : IsAbsoluteValue norm
inst✝ : ProperSpace R
p : R[X]
hp0 : ¬0 < p.degree

∀ (y : R), ‖eval (p.coeff 0) p‖ ≤ ‖eval y p‖


∀ (y : R), ‖eval ((C (p.coeff 0)).coeff 0) (C (p.coeff 0))‖ ≤ ‖eval y (C (p.coeff 0))‖


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a✝ b c : α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α


Context: a : ℕ


Context:
α : Type u_1
a b c : ZNum


Context:
α : Type u_1
a b c : ZNum

↑a ≤ ↑b → ↑c + ↑a ≤ ↑c + ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν✝ : Measure α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: g : β →ₛ ℝ≥0∞

Context: ν : Measure β

Context: H : ∀ (y : ℝ≥0∞), μ (↑f ⁻¹' {y}) = ν (↑g ⁻¹' {y})

∑ x ∈ f.range, x * μ (↑f ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ g.range, x * μ (↑f ⁻¹' {x})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν✝ : Measure α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: g : β →ₛ ℝ≥0∞

Context: ν : Measure β

∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ g.range


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν✝ : Measure α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: g : β →ₛ ℝ≥0∞

Context: ν : Measure β

Context: x✝ : α

Context: a✝¹ : ↑f x✝ ≠ 0

Context: a✝ : ν (↑g ⁻¹' {↑f x✝}) ≠ 0


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₁ C₂ : Set X

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: h : C₁ ∪ C₂ = univ

Context: f : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: g : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : X

Context: hx : x ∈ C₂

(piecewise h₁ h₂ h f g hfg) x = g ⟨x, hx⟩


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₁ C₂ : Set X

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: h : C₁ ∪ C₂ = univ

Context: f : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: g : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : X

Context: hx : x ∈ C₂

(if hi : x ∈ C₁ then f ⟨x, hi⟩ else g ⟨x, ⋯⟩) = g ⟨x, hx⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a : α
ha : 1 < a


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: i j : ℕ

Context: e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: i j : ℕ

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length

l₂ = l₁ ++ List.replicate (i - j) default


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: i j : ℕ

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length

l₁ ++ List.replicate i default = l₁ ++ List.replicate (i - j) default ++ List.replicate j default


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: i j : ℕ

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l₁ l₂ : List Γ

Context: i j : ℕ

Context: h : l₁.length ≤ l₂.length

Context: e : (l₁ ++ List.replicate i default).length = (l₂ ++ List.replicate j default).length


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
h : l₁.length ≤ l₂.length
e : l₁.length + i = l₂.length + j


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallyUnramified R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

∀ [_RB : Algebra R B], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp


∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp


∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → (∀ [_RB : Algebra R S], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) → (∀ [_RB : Algebra R (S ⧸ I)], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)).comp) → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R J).comp


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp (a - p) b = toIocDiv hp a b + 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
hf : IsOpenMap (⇑h ∘ f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E

ContDiffAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (e.symm x) ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x


ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (?m.434150 ⁻¹' univ) (e.symm x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

(((κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) a) s = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : γ) in s, ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal ∂(κ + η) a = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

∫⁻ (b : γ) in s, ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a b) ∂(κ + η) a = (κ a) s


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t

Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup (t '' {j | j ≠ i}))


Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (⨆ a ∈ {j | j ≠ i}, t a)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: _i : FiniteDimensional R M

Context: x₁ x₂ : Orientation R M ι

Context: h : Fintype.card ι = finrank R M

Context: e : Basis ι R M

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: orientation_neg_neg : ∀ (f : Basis ι R M), - -f.orientation = f.orientation


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: f : P ⟶ Q

Context: X : C

Context: p : yoneda.obj X ⟶ P

yonedaEquiv (p ≫ presheafHom φ P ≫ whiskerLeft F.op (G.map f)) = yonedaEquiv (p ≫ f ≫ presheafHom φ Q)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: f : P ⟶ Q

Context: X : C

Context: p : yoneda.obj X ⟶ P

(G.map f).app (F.op.obj (Opposite.op X)) ((G.map p).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))) = (G.map f).app (Opposite.op (F.obj X)) ((G.map p).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X))))))


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 2)
y : G × G × G

(A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) - x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) - x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + ∑ j : Fin 3, (-1) ^ (↑j + 1) • x (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y)))


(A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) - x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) - x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + ((-1) ^ (↑0 + 1) • x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (-1) ^ (↑1 + 1) • x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (-1) ^ (↑2 + 1) • x (Fin.contractNth 2 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))))


(A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) + (-x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + (x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) + -x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)))) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + (-x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + -x (Fin.contractNth 2 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y)))))


Context: k : ℕ


Context:
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

deriv (deriv fun x => x * log x) x = x⁻¹


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 x, deriv (fun x => x * log x) y = log y + 1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a < b


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₁ ⟶ L₂
βα : β ≫ α = 𝟙 L₁

(conjugateEquiv adj₁ adj₂) α ≫ (conjugateEquiv adj₂ adj₁) β = 𝟙 R₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α × β → σ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

(S.mapHomologyIso' F).hom = (S.mapHomologyIso F).hom


((S.homologyData.right.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.right.homologyIso.symm).hom = ((S.homologyData.left.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.left.homologyIso.symm).hom


(((S.map F).homologyData.iso.hom ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).rightHomologyData (S.map F).homologyData.right).inv) ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).rightHomologyData (S.homologyData.right.map F)).hom) ≫ F.map ((rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData S.homologyData.right).inv ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData S.homologyData.right).hom ≫ S.homologyData.iso.inv) = ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).leftHomologyData (S.map F).homologyData.left).inv ≫ (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).leftHomologyData (S.homologyData.left.map F)).hom) ≫ F.map ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData S.homologyData.left).inv ≫ (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData S.homologyData.left).hom)


(S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁✝ : S.LeftHomologyData

Context: h₂✝ : S.RightHomologyData

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms

Context: hl : S.LeftHomologyData

Context: hr : S.RightHomologyData

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝² : S.HasHomology

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S

Context: inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

Context: γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁✝ : S.LeftHomologyData

Context: h₂✝ : S.RightHomologyData

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms

Context: hl : S.LeftHomologyData

Context: hr : S.RightHomologyData

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝² : S.HasHomology

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S

Context: inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

Context: eq : γ.left.φH ≫ (S.homologyData.map F).iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ γ.right.φH


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁✝ : S.LeftHomologyData

Context: h₂✝ : S.RightHomologyData

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms

Context: hl : S.LeftHomologyData

Context: hr : S.RightHomologyData

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝² : S.HasHomology

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S

Context: inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

Context: eq : leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.map F).left ≫ (S.homologyData.map F).iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.map F).right


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁✝ : S.LeftHomologyData

Context: h₂✝ : S.RightHomologyData

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms

Context: hl : S.LeftHomologyData

Context: hr : S.RightHomologyData

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝² : S.HasHomology

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S

Context: inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

Context: eq : leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F)


Context:
n : ℕ
n_big : 4 ≤ n


Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom

Context: n_big : 4 ≤ n


Context: n : ℕ

Context: n_big : 4 ≤ n

Context: hn : n < 4


Context: IH : ∀ m < 4, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom

Context: n_big : 4 ≤ 4


Context: n : ℕ

Context: n_big : 4 ≤ n

Context: hn : 4 < n


Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n + 1, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom

Context: n_big : 4 ≤ n + 1

Context: hn : 4 < n + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
L'' : Filter E
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L''
hL : Tendsto f L'' L'
hy : y = f x

HasFDerivAtFilter (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x L''


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
frechet : F →L[𝕜] 𝕜

HasFDerivAt f frechet x ↔ HasGradientAt f ((toDual 𝕜 F).symm frechet) x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: h1 : 1 = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤
s : Set P
hst : s ⊆ t
h_tot : affineSpan k s = affineSpan k t
h_ind : AffineIndependent k Subtype.val


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s

s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


(x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₂_1)) ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ

a ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range k)


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ

a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ a_1 < k, p ^ a_1 = a


Context: n p : ℕ

Context: pp : Prime p

Context: k a : ℕ

Context: this : a ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), a = p ^ j


Context: n p : ℕ

Context: pp : Prime p

Context: k a : ℕ

Context: this : a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), a = p ^ j


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n

s.circumcenter = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n)


s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n)


(affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n) = s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex


∀ i2 ∈ univ, i2 ≠ circumcenterIndex → circumcenterWeightsWithCircumcenter n i2 = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α

y ∈ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r ↔ y ∈ EMetric.ball x r


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p q : ℤ

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: y : M

Context: hy : y ∈ ⨆ x, weightSpace M (↑x • α + χ)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
k : { k // k ∈ Ioo p q }
z : M
hz : z ∈ weightSpace M (↑k • α + χ)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: α χ : ↥H → R

Context: p q : ℤ

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H

Context: hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: y z₁ z₂ : M

Context: hx✝ : z₁ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)

Context: hy✝ : z₂ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)

Context: hz₁ : ⁅x, z₁⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

Context: hz₂ : ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q

⁅x, z₁ + z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
s : ℕ → Set α
h1s : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
h2s : ⋃ n, s n = univ
t : ℕ → Set β
h1t : ∀ (n : ℕ), t n ∈ D
h2t : ⋃ n, t n = univ

IsCountablySpanning (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)


⋃ n, (fun n => s (Nat.unpair n).1 ×ˢ t (Nat.unpair n).2) n = univ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
K : Type u_4
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K

IsIntegrallyClosed R ↔ ∀ {x : K}, IsIntegral R x → ∃ y, (algebraMap R K) y = x


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ

i ∈ ((finSuccEquiv R n) f).support ↔ i ∈ Finset.image (fun m => m 0) f.support


(∃ a, (((finSuccEquiv R n) f).coeff i) a ≠ 0 a) ↔ ∃ a ∈ f.support, a 0 = i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18
f27 : φ 27 = 27


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

Context: hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj

(toAddMonoid f) ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = 1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

∀ (x y : ⨁ (i : ι), A i), { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun y


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f) = (AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

Context: xi : ι

Context: xv : A xi

((AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv = (((AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

Context: xi : ι

Context: xv : A xi

Context: yi : ι

Context: yv : A yi

((((AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv).comp (of A yi)) yv = (((((AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv).comp (of A yi)) yv


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

Context: xi : ι

Context: xv : A xi

Context: yi : ι

Context: yv : A yi

(toAddMonoid f) ((of A xi) xv * (of A yi) yv) = (toAddMonoid f) ((of A xi) xv) * (toAddMonoid f) ((of A yi) yv)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : (i : ι) → A i →+ R

Context: hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1

Context: xi : ι

Context: xv : A xi

Context: yi : ι

Context: yv : A yi

(f (xi + yi)) (GradedMonoid.GMul.mul xv yv) = (f xi) xv * (f yi) yv


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k

p₁ -ᵥ (lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • (p₁ -ᵥ p₀)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m n : ℤ

↑n ≤ 0 ↔ n ≤ 0


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 1
t : L.Term α
v : α → M

(funMap f fun i => realize v (![t] i)) = funMap f ![realize v t]


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 1
t : L.Term α
v : α → M
i : Fin 1


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.34757, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.34761, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.34765, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.34769, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.34773, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.34777, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
α : F ⟶ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃

((F.obj (X₁ i₁)).map (φ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((α.app (X₁ i₁)).app (Y₂ i₂)).app (X₃ i₃) = ((α.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F'.obj (X₁ i₁)).map (φ i₂)).app (X₃ i₃)


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.34757, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.34761, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.34765, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.34769, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.34773, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.34777, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
α : F ⟶ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃

((F.map (φ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((α.app (Y₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) = ((α.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F'.map (φ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a + x) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (b - a) (c - a)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
l : Filter ((i : ι) → α i)
inst✝ : l.NeBot

Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (map (eval i) l)


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
x : ℂ
f' : E
h : HasStrictDerivAt f f' x

HasStrictFDerivAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') x


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i

update f i '' Icc a (f i) = Icc (update f i a) f


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : ℝ ≃ᵐ ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x

Context: hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) volume

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x

(Measure.map (⇑f.symm) (volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : ℝ ≃ᵐ ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x

Context: f' : ℝ → ℝ

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x)).det| * g (f x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))


Context:
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
A : ∀ (x : β), ¬x ∈ ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α

a * b = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0


(if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b) = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0


Context:
u v : ℤ
hu : IsUnit u


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)

∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α × β → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)

Context: A : ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : α × β), AEMeasurable.mk f hf z ∂μ.prod ν


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α × β → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)

Context: B : ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂ν ∂μ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens


f ⁻¹ᵁ V = (Opens.map f.val.base).obj ((Opens.map g.val.base).obj (g ''ᵁ V))


↑V = ↑((Opens.map g.val.base).obj (g ''ᵁ V))


Context:
α✝¹ : Type u_1
G : Type u_2
α✝ : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α✝
f✝ g✝ : α✝ → G
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_4
E : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
hm : m ≤ m0
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g


Context:
r : ℝ
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁵ : Semifield K
inst✝⁴ : Semifield K₂
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
h : a ≠ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i : Set α
hs : s.totalVariation i = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i : Set α

Context: hs : s.toJordanDecomposition.posPart i = 0 ∧ s.toJordanDecomposition.negPart i = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i : Set α

((if MeasurableSet i then (s.toJordanDecomposition.posPart i).toReal else 0) - if MeasurableSet i then (s.toJordanDecomposition.negPart i).toReal else 0) = 0


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : a * b ∣ c


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
b c : R
h : 0 * b ∣ c


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : a * b ∣ c
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
ha : a ≠ 0
d : R


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ

((homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app ((quotient C (up ℤ)).obj K) = (homologyFunctor C (up ℤ) a).map (((quotient C (up ℤ)).commShiftIso n).inv.app K) ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a).hom.app ((shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K) ≫ ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app K ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a').inv.app K


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps

vectorSpan k (insert p ps) = vectorSpan k ps


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)

s.mongePoint = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (mongePointWeightsWithCircumcenter n)


(affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) ((↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1)) • (centroidWeightsWithCircumcenter univ - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (mongePointWeightsWithCircumcenter n)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2)

((↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1)) • (centroidWeightsWithCircumcenter univ - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) i = mongePointWeightsWithCircumcenter n i


↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * (centroidWeightsWithCircumcenter univ i - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i = mongePointWeightsWithCircumcenter n i


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0
a✝ : Fin (n + 2 + 1)

↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 1) * ((if a✝ ∈ univ then (↑univ.card)⁻¹ else 0) - 0) + 0 = (↑(n + 1))⁻¹


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
T : Set (TopologicalSpace α)
t₂ : TopologicalSpace β


Context:
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
k m n : ℕ
x : M


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤
x : B
hx : x ∈ ⊤


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : G.LocallyFinite
n : ℕ
u v : V
p : G.Walk u v

p ∈ {p | p.length = n}.toFinset ↔ p ∈ G.finsetWalkLength n u v


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : IsClosed s
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

∃ ι c r r', (∀ (i : ι), c i ∈ s ∧ 0 < r i ∧ r i < r' i ∧ r' i < R (c i)) ∧ (LocallyFinite fun i => ball (c i) (r' i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c : ι → α

Context: x : α

Context: r : ℝ

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: this : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r ∧ r < R x) fun r => ball x r


Context: α : Type u

Context: ι✝ : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c✝ : ι✝ → α

Context: x : α

Context: r : ℝ

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: ι : Type u

Context: c : ι → α

Context: r' : ι → ℝ

Context: hr' : ∀ (a : ι), c a ∈ s ∧ 0 < r' a ∧ r' a < R (c a)

Context: hsub' : s ⊆ ⋃ a, ball (c a) (r' a)

Context: hfin : LocallyFinite fun a => ball (c a) (r' a)


Context: α : Type u

Context: ι✝ : Type v

Context: inst✝¹ : MetricSpace α

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: c✝ : ι✝ → α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: ι : Type u

Context: c : ι → α

Context: r' : ι → ℝ

Context: hsub' : s ⊆ ⋃ a, ball (c a) (r' a)

Context: r : ι → ℝ

Context: hsub : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

Context: hlt : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (r' i)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsLowerSet s


IsLowerSet s ∧ DirSupClosed s ↔ DirSupClosed s


Context: a b : ℕ+

Fintype.card ↑(Set.uIcc a b) = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : Unique Mˣ

Context: inst✝² : Unique Nˣ

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : Unique Mˣ

Context: inst✝² : Unique Nˣ

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Prime ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : Unique Mˣ

Context: inst✝² : Unique Nˣ

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: this : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : Unique Mˣ

Context: inst✝² : Unique Nˣ

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Prime ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : Unique Mˣ

Context: inst✝² : Unique Nˣ

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: this✝ : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)

Context: this : DecidableEq (Associates M) := Classical.decEq (Associates M)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : Unique Mˣ

Context: inst✝² : Unique Nˣ

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

associatesEquivOfUniqueUnits.symm p ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : Unique Mˣ

Context: inst✝² : Unique Nˣ

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: q : Associates M

Context: hq : q ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)

Context: hq' : Associated (Associates.mk p) q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
o₁ o₂ : Option α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
o₁ o₂ : Option α
p : o₁.toList ~ o₂.toList


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
x : ℝ*
h0 : ¬x = 0
h1 : ¬x.Infinitesimal
h2 : ¬x.Infinite