Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: A B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : DecidableEq G

ε / 9 * ↑((Fintype.card G + Fintype.card G + Fintype.card G) ^ 2) ≤ ↑(Corners.triangleIndices A).card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: A B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : DecidableEq G

Context: hε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card

ε * ((↑(Fintype.card G) + ↑(Fintype.card G) + ↑(Fintype.card G)) ^ 2 / 9) ≤ ↑A.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: A B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : DecidableEq G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
t u : Finset α
hf : 0 ≤ f
ht : t ∈ 𝒜
ha : a ∉ t


f t ≤ f t + if insert a t ∈ 𝒜 then f (insert a t) else 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
a : β
l : List α
L : List (List α)

foldr f a (l :: L).join = foldr (fun l b => foldr f b l) a (l :: L)


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_8, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_12, u_4} D₁
inst✝¹ : Category.{u_9, u_5} D₂
inst✝ : Category.{u_10, u_6} D₃
H₁ : C₁ ⥤ D₁
L₁ : C₁ ⥤ C₂
R₁ : D₁ ⥤ D₂
H₂ : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare H₁ L₁ R₁ H₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
R₂ : D₂ ⥤ D₃
H₃ : C₃ ⥤ D₃
w'✝ : TwoSquare H₂ L₂ R₂ H₃
E : C₂ ≌ C₃
E' : D₂ ≌ D₃
w' : H₂ ⋙ E'.functor ≅ E.functor ⋙ H₃
L₁₂ : C₁ ⥤ C₃
R₁₂ : D₁ ⥤ D₃
eL : L₁ ⋙ E.functor ≅ L₁₂
eR : R₁ ⋙ E'.functor ≅ R₁₂

(w.vComp' w'.hom eL eR).GuitartExact ↔ w.GuitartExact


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype (Sym2 α)
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet a)

∑ e : Sym2 α, incMatrix R G a e = ↑(G.degree a)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: f : ArithmeticFunction R

Context: hf : f.IsMultiplicative

Context: g : ArithmeticFunction R

Context: hg : g.IsMultiplicative

Context: h : ∀ (p i : ℕ), Nat.Prime p → f (p ^ i) = g (p ^ i)

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬n = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: f : ArithmeticFunction R

Context: hf : f.IsMultiplicative

Context: g : ArithmeticFunction R

Context: hg : g.IsMultiplicative

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬n = 0

(n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)) = n.factorization.prod fun p k => g (p ^ k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b✝ : M
a₁ a₂ : α
b : M


Context:
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l r x✝


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
x✝ : ∀ i < 0, m.IsCaratheodory (s i)

m.IsCaratheodory (⋃ i, ⋃ (_ : i < 0), s i)


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
n : ℕ
h : ∀ i < n + 1, m.IsCaratheodory (s i)

m.IsCaratheodory (⋃ i, ⋃ (_ : i < n + 1), s i)


m.IsCaratheodory ((⋃ k, ⋃ (_ : k < n), s k) ∪ s n)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: s : CostructuredArrow yoneda A

Context: x : F.obj (op s)

op s = op (CostructuredArrow.mk (YonedaCollection.fst (counitForward F s x).val))


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A

2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) = ⁅L (a * a), L b⁆ + ⁅L (b * b), L a⁆


2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = 0


2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = ⁅L (a + b), L ((a + b) * (a + b))⁆


⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L a, L (a * b)⁆ + (⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = ⁅L b, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆)


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ : B ⥤ C
F₂ : D ⥤ E
G : C × E ⥤ H
x✝² x✝¹ : B × D
x₁ : B
x₂ : D
y₁ : B
y₂ : D
x✝ : (x₁, x₂) ⟶ (y₁, y₂)
f₁ : (x₁, x₂).1 ⟶ (y₁, y₂).1
f₂ : (x₁, x₂).2 ⟶ (y₁, y₂).2

G.map (F₁.map f₁, 𝟙 (F₂.obj x₂)) ≫ G.map (𝟙 (F₁.obj y₁), F₂.map f₂) = 𝟙 (G.obj (F₁.obj x₁, F₂.obj x₂)) ≫ G.map (F₁.map f₁, F₂.map f₂) ≫ 𝟙 (G.obj (F₁.obj y₁, F₂.obj y₂))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
a : A
r : R

supDegree D (single a r) = if r = 0 then ⊥ else D a


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p i : Fin (n + 1)
h : i < p
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α
h : ¬Finite a b
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)

∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L ↥(adjoin (↥L) S)) = f


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ

Context: s : E

Context: h : s ∈ S


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ

Context: s : E

Context: h : s ∈ S

Context: this✝¹ : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f }.carrier ↥φ.carrier := (inclusion ⋯).toAlgebra

Context: this✝ : SMul ↥L ↥φ.carrier := Algebra.toSMul

Context: this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ

Context: s : E

Context: h : s ∈ S

Context: this✝² : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f }.carrier ↥φ.carrier := (inclusion ⋯).toAlgebra

Context: this✝¹ : SMul ↥L ↥φ.carrier := Algebra.toSMul

Context: this✝ : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E

Context: this : ∃ y, φ ≤ y ∧ s ∈ y.carrier


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: L : IntermediateField F E

Context: f : ↥L →ₐ[F] K

Context: φ : Lifts F E K

Context: hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ

Context: hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ

Context: s : E

Context: h : s ∈ S

Splits (φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier)) (minpoly (↥L) s)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃

Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃
ab : r a b


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃

Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ∨ Lex r (a :: l₂) (a :: l₃)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃
ab : r b a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b


∀ ⦃i : α⦄, i ∈ P.parts → Disjoint b (id i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
d : α
hd : d ∈ Q.parts
hcd : c ≤ d


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
hd : b ∈ Q.parts
hcd : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hd : b ∈ Q.parts
hcd : c ≤ b
H : ∀ x ∈ P.parts, ¬x ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddBelow s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: s t : Set α

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddBelow s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : Matrix n n α
v : n → α

M = (diagonal v)ᴴ ↔ M = diagonal (star v)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing F


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ₜ (X → α) := Homeomorph.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α


card (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = card m


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
t : Multiset ι
f₁ f₂ : ι → Set α
hf : ∀ i ∈ t, f₁ i ⊆ f₂ i

(Multiset.map f₁ t).prod ⊆ (Multiset.map f₂ t).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f₁ f₂ : ι → Set α
a✝ : List ι
hf : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, f₁ i ⊆ f₂ i

(Multiset.map f₁ ⟦a✝⟧).prod ⊆ (Multiset.map f₂ ⟦a✝⟧).prod


(List.map f₁ a✝).prod ⊆ (List.map f₂ a✝).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G → M
hf : IsMulOneCocycle f


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast

(p.append (singleton r newLast) rel).head = p.head


Context:
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ


∫⁻ (x : α) in univ, μ.rnDeriv ν x ∂ν < ⊤


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i

‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toContinuousLinearMap‖ ≤ ‖g‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i

Context: m : (i : ι) → E i

‖(g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toContinuousLinearMap) m‖ ≤ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G

Context: f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i

Context: m : (i : ι) → E i

‖g‖ * ∏ i : ι, ‖((fun i => ↑((fun i => (f i).toContinuousLinearMap) i)) i) (m i)‖ ≤ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1

Irreducible p ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hp1 : p ≠ 1

Context: h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1

Context: f g : R[X]

Context: hfg : p = f * g


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hp1 : p ≠ 1

Context: f g : R[X]

Context: hfg : p = f * g


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hp1 : p ≠ 1

Context: f g : R[X]

Context: hfg : p = f * g

g * C f.leadingCoeff * (f * C g.leadingCoeff) = p


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

‖fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hxy : x + y ∈ s
hy : y ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s t✝ : Set E

Context: x y : E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hxy : x + y ∈ s

Context: hy : y ≠ 0

Context: t : 𝕜

Context: ht₀ : 0 < t

Context: ht₁ : t < 1

Context: h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s t✝ : Set E

Context: x y : E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hxy : x + y ∈ s

Context: hy : y ≠ 0

Context: t : 𝕜

Context: ht₀ : 0 < t

Context: ht₁ : t < 1


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : MeasurableMul₂ G
inst✝ : MeasurableInv G
μ : Measure α
f g : α → G
hf : AEMeasurable f μ
h : AEMeasurable (f * g) μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c : Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f

IsLUB (Set.range ⇑(c.map { toFun := f, monotone' := ⋯ })) (f (ωSup c))


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


(f ≫ g)ᘁ = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ fᘁ) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom


(ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom


(((((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ)) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv) ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom = (((((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (((((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv) ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom)) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv) ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom


((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = ((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (((((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv) ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom)


(ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom)


(ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ (η_ X Xᘁ ≫ f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ (η_ Y Yᘁ ≫ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom))


η_ Y Yᘁ ≫ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) = η_ X Xᘁ ≫ f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf : Measurable f
hg : Measurable g

IndepFun f g κ μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) κ μ


(∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = (κ a) (f ⁻¹' s) * (κ a) (g ⁻¹' t)) ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) κ μ


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
v : Vector ℕ n.succ

f (ofFn fun i => v.get i.succ) = f v.tail


f (ofFn fun i => v.get i.succ) = f (ofFn v.tail.get)


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
v : Vector ℕ n.succ
i : Fin n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor

Context: inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

∀ (j : J), c.ι.app j ≫ T.η.app c.pt ≫ lambda c t = c.ι.app j ≫ 𝟙 c.pt


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: j : J

c.ι.app j ≫ T.η.app c.pt ≫ lambda c t = c.ι.app j ≫ 𝟙 c.pt


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: j : J


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

T.μ.app c.pt ≫ lambda c t = T.map (lambda c t) ≫ lambda c t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: j : J

(T.mapCocone (T.mapCocone c)).ι.app j ≫ T.μ.app c.pt ≫ lambda c t = (T.mapCocone (T.mapCocone c)).ι.app j ≫ T.map (lambda c t) ≫ lambda c t


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: j : J

T.μ.app ((D ⋙ T.forget).obj j) ≫ (D.obj j).a ≫ c.ι.app j = T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a ≫ c.ι.app j


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

∫⁻ (x : (i : ι) → A i), ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ p


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : Nontrivial ι


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : Nontrivial ι

Context: h0 : 1 < ↑#ι


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : Nontrivial ι

Context: h0 : 1 < ↑#ι

Context: h1 : 0 < ↑#ι - 1

Context: h2 : 0 ≤ 1 / (↑#ι - 1)

Context: h3 : (↑#ι - 1) * (1 / (↑#ι - 1)) ≤ 1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : Nontrivial ι

Context: h0 : 1 < ↑#ι

Context: h1 : 0 < ↑#ι - 1

Context: h2 : 0 ≤ 1 / (↑#ι - 1)

Context: h3 : (↑#ι - 1) * (1 / (↑#ι - 1)) ≤ 1

Context: h4 : p = 1 + 1 / (↑#ι - 1)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp : (↑#ι).IsConjExponent p

Context: f : ((a : ι) → A a) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : Nontrivial ι

Context: h0 : 1 < ↑#ι

Context: h1 : 0 < ↑#ι - 1

Context: h2 : 0 ≤ 1 / (↑#ι - 1)

Context: h3 : (↑#ι - 1) * (1 / (↑#ι - 1)) ≤ 1

Context: h4 : p = 1 + 1 / (↑#ι - 1)

∫⁻ (x : (i : ι) → A i), ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ (1 / (↑#ι - 1)) ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + 1 / (↑#ι - 1))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c

filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico c b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: b : Set (Set α)

Context: bct : b.Countable

Context: hbm : ∀ s ∈ b, MeasurableSet s

Context: hb : ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

∃ m', CountablyGenerated α ∧ SeparatesPoints α ∧ m' ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: b : Set (Set α)

Context: bct : b.Countable

Context: hbm : ∀ s ∈ b, MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: b : Set (Set α)

Context: bct : b.Countable

Context: hbm : ∀ s ∈ b, MeasurableSet s

∀ (x y : α), (∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)) → x = y


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X

(NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α).app X = (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) ≫ (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv


(NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α).app X ≫ (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).hom = (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)


(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) = ((F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex))) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)


(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ 𝟙 ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)


(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (G.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: inst✝³ : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: inst✝ : G.Additive

Context: α : F ⟶ G

Context: X : C

Context: P : ProjectiveResolution X

Context: β : (projectiveResolution X).complex ⟶ P.complex

Context: hβ : (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map β = P.iso.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: inst✝³ : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: inst✝ : G.Additive

Context: α : F ⟶ G

Context: X : C

Context: P : ProjectiveResolution X

(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: inst✝³ : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝² : Abelian D

Context: F G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Additive

Context: inst✝ : G.Additive

Context: α : F ⟶ G

Context: X : C

Context: P : ProjectiveResolution X

(HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app ((projectiveResolutions C).obj X).as ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app (projectiveResolution X).complex ≫ (G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map β)


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pn : p.natDegree < n


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F → α

Context: h : ∀ (x : F (Fix F)), g₁ <$> x = g₂ <$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B

Context: ih : ∀ (a : (P F).B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f a)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f a))


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F → α

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B

g₁ (mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩)) = g₂ (mk (abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩))


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F → α

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B

g₁ <$> abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩ = g₂ <$> abs ⟨a, fun x => ⟦f x⟧⟩


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F → α

Context: x✝ : Fix F

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → WType (P F).B

abs ⟨a, g₁ ∘ fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a, g₂ ∘ fun x => ⟦f x⟧⟩


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : ∀ (x : K), 0 < a * x * x + b * x + c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : a ≠ 0

Context: this : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : a ≠ 0

Context: h' : discrim a b c = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : a ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c

Context: h' : discrim a b c = 0

Context: this : 0 < a * (-b / (2 * a)) * (-b / (2 * a)) + b * (-b / (2 * a)) + c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : a ≠ 0

Context: this✝¹ : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c

Context: h' : discrim a b c = 0

Context: this✝ : 0 < a * (-b / (2 * a)) * (-b / (2 * a)) + b * (-b / (2 * a)) + c

Context: this : a * (-b / (2 * a)) * (-b / (2 * a)) + b * (-b / (2 * a)) + c = 0


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s

(e.subtypeRestr hs).source = Subtype.val ⁻¹' e.source


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: ι : Type u_7

Context: f : α → E

Context: hfi : Integrable f μ

Context: fs : ι → α → E

Context: l : Filter ι

Context: hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i) μ

Context: hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)

Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
a a' : α
h : a ≠ a'
x✝ : M


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
tn : N.Normal
a✝ : G
h : a✝ ∈ N
a : G
hc : a ∈ conjugatesOf a✝


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
tn : N.Normal
a : G
h : a ∈ N
c : G
hc : c * a * c⁻¹ ∈ conjugatesOf a


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
r : R
n : ℕ

(PowerSeries.coeff A n) (__src✝.toFun ((algebraMap R (HahnSeries ℕ A)) r)) = (PowerSeries.coeff A n) ((algebraMap R (PowerSeries A)) r)


Context:
n✝ m n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)

a.castSucc.predAbove b.castSucc = (a.predAbove b).castSucc


Context:
n✝ m n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : a.castSucc < b


Context:
n✝ m n : ℕ
a : Fin n
b : Fin (n + 1)
h : b ≤ a.castSucc


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.39244, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.39248, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.39248, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e

(inl φ).comp ((↑(fst φ)).comp γ he) ⋯ = γ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : IsDomain R

Context: inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁴ : DecidableEq R

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: r X : R

Context: hr : r ≠ 0

Context: hX₁ : normUnit X = 1

Context: hX : Prime X

Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count X (normalizedFactors r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : IsBigOWith c' l f' g'

IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖k₁ x‖ ≤ c * ‖k₂ x‖

Context: h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c' * ‖g' x‖

∀ᶠ (x : α) in l, ‖k₁ x • f' x‖ ≤ c * c' * ‖k₂ x • g' x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: a✝ : α

Context: hx₁ : ‖k₁ a✝‖ ≤ c * ‖k₂ a✝‖

Context: hx₂ : ‖f' a✝‖ ≤ c' * ‖g' a✝‖

‖k₁ a✝ • f' a✝‖ ≤ c * c' * ‖k₂ a✝ • g' a✝‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: a✝ : α

Context: hx₁ : ‖k₁ a✝‖ ≤ c * ‖k₂ a✝‖

Context: hx₂ : ‖f' a✝‖ ≤ c' * ‖g' a✝‖

‖k₁ a✝‖ * ‖f' a✝‖ ≤ c * c' * ‖k₂ a✝ • g' a✝‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: a✝ : α

Context: hx₁ : ‖k₁ a✝‖ ≤ c * ‖k₂ a✝‖

Context: hx₂ : ‖f' a✝‖ ≤ c' * ‖g' a✝‖

c * c' * ‖k₂ a✝ • g' a✝‖ = c * ‖k₂ a✝‖ * (c' * ‖g' a✝‖)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
W X Y Z : C
f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z
inst✝ : IsIso f

𝟙 W = 0 ∨ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst ≠ 0 ∨ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd ≠ 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂

Context: f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z

Context: inst✝ : IsIso f

Context: h : 𝟙 W ≠ 0 ∧ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst = 0 ∧ biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂

Context: f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z

Context: inst✝ : IsIso f

Context: nz : 𝟙 W ≠ 0

Context: a₁ : biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst = 0

Context: a₂ : biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd = 0

Context: x : W ⟶ W := biprod.inl ≫ f ≫ inv f ≫ biprod.fst

Context: h₁ : x = 𝟙 W


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C

Context: X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂

Context: f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⊞ X ⟶ Y ⊞ Z

Context: inst✝ : IsIso f

Context: nz : 𝟙 W ≠ 0

Context: a₁ : biprod.inl ≫ f ≫ biprod.fst = 0

Context: a₂ : biprod.inl ≫ f ≫ biprod.snd = 0

Context: h₁ : x = 𝟙 W

Context: h₀ : x = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : DistribSMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R R
a : S
x : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
h : [].length - 1 < [].length


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
I : Set ι
hI : I.Countable
s : ι → Set α

μ (⋃ i ∈ I, s i) = 0 ↔ ∀ i ∈ I, μ (s i) = 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
I : Set ι
hI : I.Countable
s : ι → Set α
h : ∀ i ∈ I, μ (s i) = 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
I : Set ι
hI : I.Countable
s : ι → Set α
h : ∀ i ∈ I, μ (s i) = 0
x✝ : Countable ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β

b ∈ (p.bindOnSupport f).support ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∈ p.support), b ∈ (f a h).support


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α

M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → Commute (stdBasisMatrix i j 1) M


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝¹ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
x✝ : i ≠ j
r : α
hr : (scalar n) r = M

Commute ((scalar n) r) (stdBasisMatrix i j 1)


r • stdBasisMatrix i j 1 = MulOpposite.op r • stdBasisMatrix i j 1


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0


∃ q, q ≠ 0 ∧ x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q


x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y


f (x, z) + f (t, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist x z + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist t y


↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist t y) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t)


↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) + ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t) = 2 * ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y) * max (dist x z) (dist y t)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M


LinearMap.range (ι Q) ≤ LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨1, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α

(N.comap f).Basis' I X ↔ N.Basis' (f '' I) (f '' X) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ X


N.Basis (f '' I) (f '' X ∩ N.E) → InjOn f I → I ⊆ X → I ⊆ f ⁻¹' N.E


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂

x✝.prev { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len m₁ }


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂


Context:
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r x✝


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0
g : α → ℝ≥0
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0

Context: g : α → ℝ≥0

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable fun x => ↑(f i x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0

Context: g : α → ℝ≥0

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: lim : Tendsto f u (𝓝 g)

Tendsto (fun i x => ↑(f i x)) u (𝓝 fun x => ↑(g x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u✝ : Set α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: f : ι → α → ℝ≥0

Context: g : α → ℝ≥0

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))

∀ (x : α), Tendsto (fun i => ↑(f i x)) u (𝓝 ↑(g x))


Context: Γ₀ : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: h : Nontrivial Γ₀ˣ

Context: f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r


Context: Γ₀ : Type u_1

Context: h : Nontrivial Γ₀ˣ

Context: f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

Context: g : Γ₀ˣ

Context: hg1 : g ≠ 1


Context: Γ₀ : Type u_1

Context: h : Nontrivial Γ₀ˣ

Context: f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

Context: g : Γ₀ˣ

Context: hg1 : g ≠ 1

Context: u : Γ₀ˣ := if g < 1 then g else g⁻¹

Context: hu : u = if g < 1 then g else g⁻¹

Context: hfu : f ↑u < 1


Context: Γ₀ : Type u_1

Context: h : Nontrivial Γ₀ˣ

Context: f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

Context: g : Γ₀ˣ

Context: hg1 : g ≠ 1

Context: u : Γ₀ˣ := if g < 1 then g else g⁻¹

Context: hu : u = if g < 1 then g else g⁻¹

Context: hfu : f ↑u < 1

Context: n : ℕ

Context: hn : f ↑u ^ n < r


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : HasSolidNorm K
m : E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
cs : α
hcs : cs ∈ s
ct : α
hct : ct ∈ t


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
cs : α
hcs : cs ∈ s
ct : α
hct : ct ∈ t
rs : ℝ
hrs : s ⊆ closedBall ct rs


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
cs : α
hcs : cs ∈ s
ct : α
hct : ct ∈ t
rs : ℝ
hrs : s ⊆ closedBall ct rs
rt : ℝ
hrt : t ⊆ closedBall cs rt


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: bs : Bornology.IsBounded s

Context: bt : Bornology.IsBounded t

Context: cs : α

Context: hcs : cs ∈ s

Context: ct : α

Context: hct : ct ∈ t

Context: rs : ℝ

Context: hrs : s ⊆ closedBall ct rs

Context: rt : ℝ

Context: hrt : t ⊆ closedBall cs rt

Context: this : hausdorffEdist s t ≤ ENNReal.ofReal (max rs rt)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (β × β)
hV : Prod.swap ⁻¹' V = V
x y : β


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)

sSup S = conGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y


sSup S = sInf {s | ∀ (x y : M), (∃ c ∈ S, c x y) → s x y}


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x✝ : Con M

x✝ ∈ upperBounds S ↔ x✝ ∈ {s | ∀ (x y : M), (∃ c ∈ S, c x y) → s x y}


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ w x y : K
hxy : x ≤ y
z : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ w x y : K
hxy : re x ≤ re y ∧ im x = im y
z : K

re (z + x) ≤ re (z + y) ∧ im (z + x) = im (z + y)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w x : K


0 ≤ re x ∧ im x = 0 ↔ ∃ s, x = star s * s


(∃ s, x = star s * s) → 0 ≤ re x ∧ im x = 0


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w s : K

0 ≤ re (star s * s) ∧ im (star s * s) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), InvariantBasisNumber (End (s i))

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: i : (⨁ fun a => s (f a)) ≅ ⨁ fun b => s (g b)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: c : ι


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: c : ι

Cardinal.mk ↑(f ⁻¹' {c}) = Cardinal.mk ↑(g ⁻¹' {c})


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: c : ι

Context: val✝ : Fintype α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: c : ι

Context: val✝¹ : Fintype α

Context: val✝ : Fintype β


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β : Type

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Finite β

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: c : ι

Context: val✝¹ : Fintype α

Context: val✝ : Fintype β

Fintype.card ↑(f ⁻¹' {c}) = Fintype.card ↑(g ⁻¹' {c})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α

limsup u f \ a = limsup (fun b => u b \ a) f


(⨅ s ∈ f, ⨆ a ∈ s, u a) ⊓ aᶜ = ⨅ s ∈ f, ⨆ a_1 ∈ s, u a_1 ⊓ aᶜ


⨅ i ∈ f, (⨆ a ∈ i, u a) ⊓ aᶜ = ⨅ s ∈ f, ⨆ a_1 ∈ s, u a_1 ⊓ aᶜ


Context:
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b


Context:
b c : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b


Context:
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
y : β
hy_mem : y ∈ f.range


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
y : β
hy_mem : ∃ y_1, ↑f y_1 = y


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : IsEmpty α
f : α →ₛ β
y : β
x : α
hxy : ↑f x = y


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
β : Type u_5
hα : α → False
f : α →ₛ β
y : β
x : α
hxy : ↑f x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t : Finset α
a b : α
m n : ℕ


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

Splits (RingHom.id (ZMod p)) (X ^ p - X)


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hp : 1 < p


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hp : 1 < p
h1 : (X ^ p - X).roots = univ.val


Context:
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
n✝ p : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hp : 1 < p
h1 : (X ^ p - X).roots = univ.val
h2 : (X ^ p - X).natDegree = p


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝¹ n n✝ : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))

Context: hp : 1 < n✝ + 1

Context: h1 : (X ^ (n✝ + 1) - X).roots = univ.val

Context: h2 : (X ^ (n✝ + 1) - X).natDegree = n✝ + 1

Splits (RingHom.id (ZMod (n✝ + 1))) (X ^ (n✝ + 1) - X)


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp : Pair K

Context: ppredB predB : K

Context: succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp

Context: nth_den_eq : g.dens n = ppredB

Context: succ_nth_den_eq : g.dens (n + 1) = predB

g.dens (n + 2) = gp.b * predB + gp.a * ppredB


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp : Pair K

Context: predB : K

Context: ppredConts : Pair K

Context: nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts

Context: nth_den_eq : g.dens n = ppredConts.b

g.dens (n + 2) = gp.b * predB + gp.a * ppredConts.b


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp : Pair K

Context: ppredConts : Pair K

Context: nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts

Context: nth_den_eq : g.dens n = ppredConts.b

Context: predConts : Pair K

Context: succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = predConts

Context: succ_nth_den_eq : g.dens (n + 1) = predConts.b

g.dens (n + 2) = gp.b * predConts.b + gp.a * ppredConts.b


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s U : Set X

ContinuousOn U.boolIndicator s ↔ IsClopen (Subtype.val ⁻¹' U)


Continuous (s.restrict U.boolIndicator) ↔ Continuous (Subtype.val ⁻¹' U).boolIndicator


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base

Context: l : Y ⟶ X

Context: hl : l ≫ f = g


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n✝ : ℕ
a : M
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy this : span B ↑y = ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring A

Context: inst✝⁵ : CommSemiring B

Context: inst✝⁴ : Semiring C

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra B C

Context: inst✝¹ : Algebra A C

Context: inst✝ : IsScalarTower A B C

Context: x : Finset C

Context: hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤

Context: y : Finset C

Context: hy : span B ↑y = ⊤

Context: this : ∀ (x : C), ∃ f, ∑ i ∈ y, f i • i = x


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring A

Context: inst✝⁵ : CommSemiring B

Context: inst✝⁴ : Semiring C

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra B C

Context: inst✝¹ : Algebra A C

Context: inst✝ : IsScalarTower A B C

Context: x : Finset C

Context: hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤

Context: y : Finset C

Context: hy : span B ↑y = ⊤

Context: f : C → C → B

Context: hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x

Context: s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y

Context: hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring A

Context: inst✝⁵ : CommSemiring B

Context: inst✝⁴ : Semiring C

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra B C

Context: inst✝¹ : Algebra A C

Context: inst✝ : IsScalarTower A B C

Context: x : Finset C

Context: hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤

Context: y : Finset C

Context: hy : span B ↑y = ⊤

Context: f : C → C → B

Context: hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x

Context: s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y

Context: hyy : span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) * span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) ≤ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring A

Context: inst✝⁵ : CommSemiring B

Context: inst✝⁴ : Semiring C

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra B C

Context: inst✝¹ : Algebra A C

Context: inst✝ : IsScalarTower A B C

Context: x : Finset C

Context: hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤

Context: y : Finset C

Context: hy : span B ↑y = ⊤

Context: f : C → C → B

Context: hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x

Context: s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y

span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) = ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring A

Context: inst✝⁵ : CommSemiring B

Context: inst✝⁴ : Semiring C

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra B C

Context: inst✝¹ : Algebra A C

Context: inst✝ : IsScalarTower A B C

Context: x : Finset C

Context: hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤

Context: y : Finset C

Context: hy : span B ↑y = ⊤

Context: f : C → C → B

Context: hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x

Context: s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y

restrictScalars A (span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)) = restrictScalars A ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring A

Context: inst✝⁵ : CommSemiring B

Context: inst✝⁴ : Semiring C

Context: inst✝³ : Algebra A B

Context: inst✝² : Algebra B C

Context: inst✝¹ : Algebra A C

Context: inst✝ : IsScalarTower A B C

Context: x : Finset C

Context: hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤

Context: y : Finset C

Context: hy : span B ↑y = ⊤

Context: f : C → C → B

Context: hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x

Context: s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y

↑(Submonoid.closure ↑x) ⊆ ↑(restrictScalars A (span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

(IsBigOWith c l f'' fun _x => 0) ↔ f'' =ᶠ[l] 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑0 * μ s))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: this : Tendsto (fun ε => ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑c * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

∀ a ∈ Ioi 0, μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑a * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : ε ∈ Ioi 0

μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Set.range (eval C) = Set.range (Sum.elim (fun l => Products.eval C ↑l) fun l => Products.eval C ↑l)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

Context: h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x₀

ContMDiffAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) x₀


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

Context: h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) Set.univ x₀

ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) Set.univ x₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: h't : μ t = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: h't : μ t ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: hn : μ (t \ closedBall 0 ↑n) < ε / 2 * μ t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: L : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: npos : 0 < n

∀ (a : ℝ), μ (s ∩ ({x} + a • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) / μ ({x} + a • t) < ε / 2 → a ∈ Ioi 0 → μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t) < ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: r : ℝ

Context: hr : μ (s ∩ ({x} + r • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) / μ ({x} + r • t) < ε / 2

Context: rpos : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: I : μ (s ∩ ({x} + r • t)) ≤ μ (s ∩ ({x} + r • (t ∩ closedBall 0 ↑n))) + μ ({x} + r • (t \ closedBall 0 ↑n))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r✝ : ℝ
x : E
r : ℝ
y : E

y ∈ (normSeminorm 𝕜 E).ball x r ↔ y ∈ Metric.ball x r


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

F.ε.app ((F.obj n).obj X) = (F.map (ρ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X


F.ε.app ((F.obj n).obj X) = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X)) ≫ (F.map (ρ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X


F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ inv ((F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X) ≫ inv ((F.map (ρ_ n).inv).app X) = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: n : M

Context: X : C

Context: e_1✝ : ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X) ⟶ (𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X)) = ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X) ⟶ (F.obj n).obj X)

F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ inv ((F.μIso n (𝟙_ M)).inv.app X) ≫ inv ((F.map (ρ_ n).inv).app X) = F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R

(ascPochhammer ℕ 0).smeval (-↑0) = (-1) ^ 0 * ↑(Nat.factorial 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

(ascPochhammer ℕ (n + 1)).smeval (-↑(n + 1)) = (-1) ^ (n + 1) * ↑(n + 1).factorial


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
M₀ : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
l : ℕ
hl : 0 ^ l = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
a b : β

∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ a) (extend e f ⊥ z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ b) (extend e f ⊥ z)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
a b : β
ha : ¬∃ i, e i = a


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
b : β
i : ι

∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e i)) (extend e f ⊥ z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ b) (extend e f ⊥ z)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
b : β
i : ι
hb : ¬∃ i, e i = b


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
i j : ι

∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e i)) (extend e f ⊥ z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e j)) (extend e f ⊥ z)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
e : ι → β
f : ι → α
hf : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
he : Injective e
i j k : ι
hi : f i ≤ f k
hj : f j ≤ f k


(fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e i)) (extend e f ⊥ (e k)) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (extend e f ⊥ (e j)) (extend e f ⊥ (e k))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderTop β
inst✝ : OrderTopology β
l : Filter α
f g : α → β
hf : Tendsto f l (𝓝 ⊤)
hg : f ≤ᶠ[l] g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : OrderTop β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: l : Filter α

Context: f g : α → β

Context: hg : f ≤ᶠ[l] g

Context: hf : ∀ i < ⊤, ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ Ioi i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : OrderTop β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: l : Filter α

Context: f g : α → β

Context: hg : f ≤ᶠ[l] g

Context: x : β

Context: hx : x < ⊤


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
x y : (P F).W
h : Wequiv x y


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_3} A

Context: L : C ⥤ D

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddMonoid M

Context: inst✝⁵ : HasShift C M

Context: inst✝⁴ : HasShift D M

Context: inst✝³ : L.CommShift M

Context: inst✝² : G.ShiftSequence M

Context: F' : M → D ⥤ A

Context: e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful

Context: n a a' : M

Context: ha' : n + a = a'

Context: X : C

(F.shiftIso n a a' ha').hom.app (L.obj X) = (F.shift a).map ((L.commShiftIso n).inv.app X) ≫ (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ (e' a').inv.app X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
r : ℝ
hr : 1 < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
p : β → Prop
u : β → α

blimsup u f p = ⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p✝ : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Fin (n + 2) → Type u_1
x : α 0
p : (i : Fin n.succ) → α i.succ


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V


(∀ (a a_1 : Fin n), ↑a % r = ↑a_1 % r ↔ a = a_1) ↔ r = 0 ∨ n ≤ r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
a b : E

Metric.ball a ε - Metric.closedBall b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
i : ι
j : κ
k k' : τ
i' : ι
j' : κ

(toMatrix ((bM.tensorProduct bN).tensorProduct bP) (bM.tensorProduct (bN.tensorProduct bP))) ↑(TensorProduct.assoc R M N P) (i, j, k) ((i', j'), k') = submatrix 1 _root_.id ⇑(Equiv.prodAssoc ι κ τ) (i, j, k) ((i', j'), k')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b < max c d
h₂ : min c d < max a b

Ioo a b ∪ Ioo c d = Ioo (min a c) (max b d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a < d
h₂ : c < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d ≤ c
h₁ : a < c
h₂ : d < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : c ≤ d
h₁ : b < d
h₂ : c < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : d ≤ c
h₁ : b < c
h₂ : d < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X✝ : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
X : Type u_6
M : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
l : Filter X
f g : ι → X → M
hs : ∀ i ∈ s, f i =ᶠ[l] g i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X✝ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝² : CommMonoid M✝

Context: inst✝¹ : ContinuousMul M✝

Context: X : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: s : Finset ι

Context: l : Filter X

Context: f g : ι → X → M

Context: hs : ∀ᶠ (x : X) in l, ∀ i ∈ s, f i x = g i x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X✝ : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝² : CommMonoid M✝

Context: inst✝¹ : ContinuousMul M✝

Context: X : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: s : Finset ι

Context: l : Filter X

Context: f g : ι → X → M

Context: x : X

Context: hx : ∀ i ∈ s, f i x = g i x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f x * (f x)⁻¹) a = cfc 1 a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => (f x)⁻¹ * f x) a = cfc 1 a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
g : α → α
hg : ∀ (x : α), x < g x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k m : ℕ

Context: hm : n ≤ k + m

∑ s : { s // s.card = m }, p.changeOriginSeriesTerm k m ↑s ⋯ = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
i : ι

(e.adjustToOrientation x) i = e i ∨ (e.adjustToOrientation x) i = -e i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝¹ : NeZero 1


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : Ω → β✝

Context: g : Ω → β'

Context: β : Type u_8

Context: m : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : Mul β

Context: inst✝¹ : MeasurableMul₂ β

Context: f : ι → Ω → β

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: hf_indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: i j k : ι

Context: hik : i ≠ k

Context: hjk : j ≠ k

Context: this : IndepFun (fun ω => (f i ω, f j ω)) (f k) κ μ


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: hs : Convex ℝ s

Context: f : E → G

Context: hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y

Context: hcont : ContinuousWithinAt f' s x

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖f' x‖₊ < K