Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommSemiring S

Context: inst✝⁸ : Algebra S R

Context: inst✝⁷ : Module S M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S R M

Context: R' : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : Module R' M'

Context: inst✝² : Algebra R R'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : IsScalarTower R R' M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: q : PolynomialModule R M

Context: i : ℕ

Context: m : M

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: e₁ : (map R' f) (p✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p✝ • (map R' f) ((single R i) m)

Context: e₂ : (map R' f) (q✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') q✝ • (map R' f) ((single R i) m)

(map R' f) ((p✝ + q✝) • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') (p✝ + q✝) • (map R' f) ((single R i) m)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
n✝ : ℕ
a✝ : R

(map R' f) ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') ((monomial n✝) a✝) • (map R' f) ((single R i) m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s


Context: s : ℂ

(fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π


Context: s : ℂ

Context: h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ


Context: s : ℂ

Context: h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ

Context: h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)


Context: s : ℂ

Context: h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)

∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] 1, (Gamma ↑x)⁻¹ * (Gamma (↑x + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑x))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑x - 1) / ↑√π


Context: s : ℂ

Context: h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)

∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 1, (Gamma ↑x)⁻¹ * (Gamma (↑x + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑x))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑x - 1) / ↑√π


Context: s : ℂ

Context: h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

(Gamma ↑t)⁻¹ * (Gamma (↑t + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑t))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑t - 1) / ↑√π


Context:
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R

(∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE R

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h' : 0 = ∑ i ∈ ?m.33436, g (?m.34208 i) ^ 2


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE R

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: h' : 0 < ∑ i ∈ ?m.33436, g (?m.34208 i) ^ 2


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 < ∑ i ∈ s, g i ^ 2


(∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ j ∈ s, f j * g j) ^ 2 + (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ j ∈ s, f j * g j) ^ 2 + (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * ((∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ

((AlternatingFaceMapComplex.obj (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P)).d (n + 1) n).f = P.p.app (op [n + 1]) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj P.X).d (n + 1) n


∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • (SimplicialObject.δ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P) x).f = ∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • P.p.app (op [n + 1]) ≫ P.X.δ x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
h₂ : Continuous f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
h₂ : t₁ ≤ induced f t₃


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X


∀ (J : Set α), M.Indep J → B ⊆ J → J ⊆ X → B = J


Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: B : BilinForm S M

Context: hB : B.Nondegenerate

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: N : Submodule R M

Context: hN : Submodule.span S ↑N = ⊤

Context: x y : ↥(B.dualSubmodule N)

Context: e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y


Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: B : BilinForm S M

Context: hB : B.Nondegenerate

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: N : Submodule R M

Context: hN : Submodule.span S ↑N = ⊤

Context: x y : ↥(B.dualSubmodule N)


Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: B : BilinForm S M

Context: hB : B.Nondegenerate

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: N : Submodule R M

Context: hN : Submodule.span S ↑N = ⊤

Context: x y : ↥(B.dualSubmodule N)

Context: z : M

Context: hz : z ∈ ↑N


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
hpos : 0 < n
hm : m ∣ n
hdiff : m ≠ n

X ^ m - 1 ∣ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
hpos : 0 < n
hdiff : m ≠ n
hm : m ∈ n.properDivisors


X ^ m - 1 ∣ (∏ x ∈ n.properDivisors \ m.divisors, cyclotomic x R) * (X ^ m - 1)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Zero α

Context: s : Finset ι

Context: f : (i : ι) → i ∈ s → α

Context: i✝ : ι

Context: a b : (i : ι) → i ∈ s → α

Context: h : (fun f => indicator s f) a = (fun f => indicator s f) b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Zero α

Context: s : Finset ι

Context: f : (i : ι) → i ∈ s → α

Context: i✝ : ι

Context: a b : (i : ι) → i ∈ s → α

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: F_obj : C → D

Context: e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)

Context: he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g

Context: X' X : C

Context: Y : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : X ⟶ G.obj Y

(e X' Y).symm (f ≫ g) = (leftAdjointOfEquiv e he).map f ≫ (e X Y).symm g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: F_obj : C → D

Context: X' X : C

Context: Y : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : X ⟶ G.obj Y

Context: this : ∀ {X : C} {Y Y' : D} (f : X ⟶ G.obj Y) (g : Y ⟶ Y'), (e X Y').symm (f ≫ G.map g) = (e X Y).symm f ≫ g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: F_obj : C → D

Context: X' X : C

Context: Y : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : X ⟶ G.obj Y

(e X' Y) ((e X' Y).symm (f ≫ g)) = (e X' Y) ((e X' Y).symm ((f ≫ (e X (F_obj X)) (𝟙 (F_obj X))) ≫ G.map ((e X Y).symm g)))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: F_obj : C → D

Context: X' X : C

Context: Y : D

Context: f : X' ⟶ X

Context: g : X ⟶ G.obj Y

f ≫ g = f ≫ (e X (F_obj X)) (𝟙 (F_obj X)) ≫ G.map ((e X Y).symm g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ρ (s ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: this : ρ (s ×ˢ t) = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel) (s ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : β), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) ∂ρ.fst


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × α → Prop
h : ∀ᶠ (i : α × α) in f ×ˢ f, p i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s✝ : Set α

Context: t✝ : Set β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter β

Context: p : α × α → Prop

Context: h : ∀ᶠ (i : α × α) in f ×ˢ f, p i

Context: t : α → Prop

Context: ht : ∀ᶠ (x : α) in f, t x

Context: s : α → Prop

Context: hs : ∀ᶠ (y : α) in f, s y

Context: hst : ∀ {x : α}, t x → ∀ {y : α}, s y → p (x, y)


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : LocallyFiniteOrder α✝
a✝¹ b✝ : α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b a✝ : α

a✝ ∈ filter (fun x => x < b) (Iio a) ↔ a✝ ∈ Iio (min a b)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x : 𝕜


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N : ℕ
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ
a✝ : ℕ

a✝ ∈ (reflect N { toFinsupp := toFinsupp✝ }).support ↔ a✝ ∈ image ⇑(revAt N) { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
s : Set α
hs : SetIndependent s


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℕ

a ^ n • b = b ↔ minimalPeriod (fun x => a • x) b ∣ n


Context: N k : ℕ

(N.smoothNumbersUpTo k).card ≤ 2 ^ k.primesBelow.card * N.sqrt


Context: N k : ℕ

2 ^ k.primesBelow.card * N.sqrt = (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0).card


Context:
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R✝ B
S✝ : Subalgebra R✝ A✝
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A

(algebraMap (↥S) A).rangeS = S.toSubsemiring


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z2‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
a✝ b✝ c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : LT α
a b : WithTop α


Context:
Γ : Type u_1
inst✝⁵ : PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
a₁✝ a₂✝ : HVertexOperator Γ R V W
h : a₁✝.coeff = a₂✝.coeff
v : V
n : Γ

((of R).symm (a₁✝ v)).coeff n = ((of R).symm (a₂✝ v)).coeff n


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v y < v x


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v y < v x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : α → E
f : α → ℝ≥0
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hfg : Integrable (f • g) μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

↑(μ.withDensityᵥ (f • g)) s = ↑((μ.withDensity fun x => ↑(f x)).withDensityᵥ g) s


∫ (x : α) in s, (f • g) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x • g x ∂μ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t


∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ diam (s ∪ t)


∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ diam (s ∪ t)


Context:
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
hB : B ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J


Context:
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : J.IsSkewAdjoint A
hB : J.IsSkewAdjoint B


Context:
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : Aᵀ * J = J * -A
hB : Bᵀ * J = J * -B


Context: a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
x✝ : ℝ

circleTransformDeriv R z w f x✝ = (circleMap z R x✝ - w)⁻¹ • circleTransform R z w f x✝


((2 * ↑π * I)⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * ((circleMap z R x✝ - w) ^ 2)⁻¹) • f (circleMap z R x✝) = ((circleMap z R x✝ - w)⁻¹ * (2 * ↑π * I)⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (circleMap z R x✝ - w)⁻¹) • f (circleMap z R x✝)


((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (-(circleMap z R x✝ * w * 2) + circleMap z R x✝ ^ 2 + w ^ 2)⁻¹ * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝) = ((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (circleMap z R x✝ - w)⁻¹ ^ 2 * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝)


((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (-(circleMap z R x✝ * w * 2) + circleMap z R x✝ ^ 2 + w ^ 2)⁻¹ * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝) = ((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * ((circleMap z R x✝ - w) ^ 2)⁻¹ * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝)


Context: n : ℕ


Context:
x : ℝ*
r : ℝ


Context:
r : ℝ
f : ℕ → ℝ

(ofSeq f).IsSt r ↔ Germ.Tendsto (ofSeq f) (𝓝 r)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

Context: hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a) 0 = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
i : Set α
hi : MeasurableSet i


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
x : M
y : M'


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 1) = map (Prod.map id succ) (antidiagonal n) ++ [(n + 1, 0)]


Context: n : ℕ

map (fun i => (i, n + 1 - i)) (range n) ++ [(n, 1), (n + 1, 0)] = map (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) (range n) ++ [Prod.map id succ (n, 0), (n + 1, 0)]


Context: n : ℕ

map (fun i => (i, n + 1 - i)) (range n) = map (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) (range n)


Context: n : ℕ

∀ a ∈ range n, (a, n + 1 - a) = (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0

(∀ n > 0, n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0

n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n ↔ n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) i = (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1) n


n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1) x.2 ^ μ x.1 = (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) n ↔ n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Set α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7
x : (i : ι) × α i

x ∈ s₁.sigma t₁ \ s₂.sigma t₂ ↔ x ∈ s₁.sigma (t₁ \ t₂) ∪ (s₁ \ s₂).sigma t₁


Context:
n : ℕ
c : Composition n


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Computable c

Context: z : α → σ

Context: hz : Computable z

Context: s : α → σ

Context: hs : Computable s

Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)

Context: CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)

Context: PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)

Context: RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)

Context: F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)

Context: G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

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Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this : Computable G₁


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

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Context: hc : Computable c

Context: z : α → σ

Context: hz : Computable z

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Context: hs : Computable s

Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

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Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this : Computable G₁

Context: G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)


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Context: σ : Type u_2

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Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G


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Context: hl : Computable l

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Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

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Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

G (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).1 (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).2 = some ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a n)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Computable c

Context: z : α → σ

Context: hz : Computable z

Context: s : α → σ

Context: hs : Computable s

Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

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Context: hr : Computable r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))).length = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

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Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (n + 1 + 1 + 1 + 1) = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

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Context: hz : Computable z

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Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

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Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

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Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))


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Context: σ : Type u_2

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Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

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Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

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Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

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Context: s : α → σ

Context: hs : Computable s

Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

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Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

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Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: m2 : (unpair m).2 < n + 4


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Computable c

Context: z : α → σ

Context: hz : Computable z

Context: s : α → σ

Context: hs : Computable s

Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: m2 : (unpair m).2 < n + 4

((Option.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[m]?).bind fun a_1 => (Option.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[(unpair m).1]?).bind fun a_2 => Option.map ((fun s₂ => bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code m, a_1) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂)) ∘ fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[(unpair m).2]?) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Computable c

Context: z : α → σ

Context: hz : Computable z

Context: s : α → σ

Context: hs : Computable s

Context: l : α → σ

Context: hl : Computable l

Context: r : α → σ

Context: hr : Computable r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Computable₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Computable₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Computable₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Computable₂ rf

Context: this✝ : Computable G₁

Context: this : Computable₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: m2 : (unpair m).2 < n + 4

(bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code n.div2.div2, F a (ofNat Code n.div2.div2)) else pc a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else pr a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2))) = F a (ofNat Code (n + 4))


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J : Submodule B L

I ≤ Jᵛ ↔ J ≤ Iᵛ


Context:
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x : α
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹

AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ fun x => f x * g x


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝

Context: inst✝² : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: K Kf Kg : ℝ≥0

Context: f g : α → E

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hf : AntilipschitzWith Kf f

Context: hg : LipschitzWith Kg g

Context: hK : Kg < Kf⁻¹

Context: this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace ⋯


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝

Context: inst✝² : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: K Kf Kg : ℝ≥0

Context: f g : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: hf : AntilipschitzWith Kf f

Context: hg : LipschitzWith Kg g

Context: hK : Kg < Kf⁻¹

Context: x y : α

dist x y ≤ ↑(Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ * dist (f x * g x) (f y * g y)


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝

Context: inst✝² : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: K Kf Kg : ℝ≥0

Context: f g : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: hf : AntilipschitzWith Kf f

Context: hg : LipschitzWith Kg g

Context: hK : Kg < Kf⁻¹

Context: x y : α

dist x y ≤ dist (f x * g x) (f y * g y) / ↑(Kf⁻¹ - Kg)


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝

Context: inst✝² : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: K Kf Kg : ℝ≥0

Context: f g : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: hf : AntilipschitzWith Kf f

Context: hg : LipschitzWith Kg g

Context: hK : Kg < Kf⁻¹

Context: x y : α

dist x y * ↑(Kf⁻¹ - Kg) ≤ dist (f x * g x) (f y * g y)


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝

Context: inst✝² : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: K Kf Kg : ℝ≥0

Context: f g : α → E

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: hf : AntilipschitzWith Kf f

Context: hg : LipschitzWith Kg g

Context: hK : Kg < Kf⁻¹

Context: x y : α

↑Kf⁻¹ * dist x y - ↑Kg * dist x y ≤ dist (f x * g x) (f y * g y)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ

HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) 0 ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: i : ℕ

Context: e_1✝ : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f) = ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))

HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) 0 ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: i : ℕ

Localization.mk ↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) 0 ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ⟨↑{ deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) 0 ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩ = 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: i : ℕ


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

Subtype.val '' range (IccExtend arcsin.proof_2 ⇑sinOrderIso.symm) = Icc (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
b : β
hb : μ (t b) = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
htop : ¬∃ b, μ (t b) = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
inst✝ : Countable β
s t : β → Set α
hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b
h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)
htop : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: s t : β → Set α

Context: hsub : ∀ (b : β), s b ⊆ t b

Context: h_le : ∀ (b : β), μ (t b) ≤ μ (s b)

Context: htop : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤

Context: M : Set α → Set α := toMeasurable μ

Context: H : ∀ (b : β), M (t b) ∩ M (⋃ b, s b) =ᶠ[ae μ] M (t b)


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s

LinearMap.ker (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) = ⊥


LinearMap.ker (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) ≤ ⊥


LinearMap.ker (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x) ≤ LinearMap.ker (((ContinuousLinearMap.fst ℝ E ℝ).comp (ContinuousLinearMap.proj (f.ind x hx))).comp (mfderiv I 𝓘(ℝ, ι → E × ℝ) (⇑f.embeddingPiTangent) x))


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered C
inst✝¹ : HasCoproducts C
inst✝ : HasImages C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, g ≤ f


underlying.obj (sSup s) ⟶ underlying.obj f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤

(μ (t ∩ s)).toReal • 1 = (μ (t ∩ s)).toReal


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A

a ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A ↔ A.valuation ↑a < 1


¬A.valuation ↑a = 1 ↔ A.valuation ↑a < 1


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: this✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology

Context: this : FiberBundle F E := a.toFiberBundle

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas

Trivialization.IsLinear R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas

ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b)) ((a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet)


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) = a.coordChange he he' b


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

↑(Trivialization.coordChangeL R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) v = (a.coordChange he he' b) v


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

Context: h₁ : Trivialization.IsLinear R (a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

Context: h₂ : Trivialization.IsLinear R (a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he')


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

Context: h₁ : Trivialization.IsLinear R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)

Context: h₂ : Trivialization.IsLinear R (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he')


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

(↑(a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') { proj := b, snd := (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).symm b v }).2 = (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁵ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace R F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: a : VectorPrebundle R F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

b ∈ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (EMetric.ball c r)

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hf : DifferentiableOn ℂ f (EMetric.ball c r)

∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: r : ENNReal

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ EMetric.ball c r

Context: f : ℂ → ℂ

Context: n : ℕ

(↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ N' : LieSubmodule R L M


(∀ x ∈ ⊤, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ ∈ N') ↔ N ≤ N'.normalizer


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hms : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
hnt : ¬μ s = ⊤
hns : ¬μ s = 0

pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hms : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
hnt : ¬μ s = ⊤
hns : ¬μ s = 0
this : HasPDF X ℙ μ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hms : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
hnt : ¬μ s = ⊤
hns : ¬μ s = 0
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : IsProbabilityMeasure ℙ


Measure.map X ℙ = μ.withDensity (s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1))


AEMeasurable (s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : x < y i


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : x < y i
H : ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
h₃ : x < y i
H : ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DivisionMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a b : G


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
I : Ideal R
S✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Algebra S✝ R
inst✝⁹ : Module S✝ M
inst✝⁸ : IsScalarTower S✝ R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R' M'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : IsScalarTower R R' M'
S : Type u_6
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra S R
f : PolynomialModule S S
x : R

(aeval x) (equivPolynomial f) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) f)


(aeval x) (equivPolynomial 0) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) 0)


∀ (f g : PolynomialModule S S), (aeval x) (equivPolynomial f) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) f) → (aeval x) (equivPolynomial g) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) g) → (aeval x) (equivPolynomial (f + g)) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) (f + g))


∀ (a : ℕ) (b : S), (aeval x) (equivPolynomial ((single S a) b)) = (eval x) ((map R (Algebra.linearMap S R)) ((single S a) b))


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
r : R
h : f r ∈ map f I
s : R
hsi : s ∈ ↑I
hfsr : f s = f r


Context: x : ℝ

Tendsto (fun n => π * x * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - x ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) atTop (𝓝 (sin (π * x)))


Context: x : ℝ

(fun n => π * x * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - x ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) = Complex.re ∘ fun n => ↑π * ↑x * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - ↑x ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)


Context: x : ℝ

𝓝 (sin (π * x)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * ↑x)).re


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K L
inst✝ : Infinite K


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.143344, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁

((singleMapHomologicalComplex F c j).inv.app X).f j = (singleObjXSelf c j (F.obj X)).hom ≫ F.map (singleObjXSelf c j X).inv


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: ihl : (∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f) → StronglyMeasurable l.prod

Context: hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, StronglyMeasurable f_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: hl : StronglyMeasurable f ∧ ∀ x ∈ l, StronglyMeasurable x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝⁴ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝³ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : Nontrivial L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
hμν : μ ≪ ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: hμν : μ ≪ ν.singularPart μ + μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: hνs : (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) s = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht1 : (ν.singularPart μ) t = 0

Context: ht2 : μ tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht1 : (ν.singularPart μ) t = 0

Context: ht2 : μ tᶜ = 0

μ (s ∩ ?intro.intro.intro ∪ s ∩ ?intro.intro.introᶜ) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: hf : ¬AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : I.Boundaryless

(I.prod J).boundary (M × N) = univ.prod (J.boundary N)


univ.prod (J.boundary N) ∪ ∅.prod univ = univ.prod (J.boundary N)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : I.Boundaryless
this : ∅.prod univ = ∅


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f✝ g✝ f g : α →*o β
h : f.toMonoidHom = g.toMonoidHom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid L
inst✝⁶ : TopologicalSpace L
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
inst✝¹ : T2Space N
inst✝ : ContinuousAdd M
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v₁ t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
v : Set α
hmv : MeasurableSet v
hv₁ : ∀ t ⊆ v, ↑v₂ t = 0
hv₂ : ∀ t ⊆ vᶜ, ↑w t = 0

v₁ + v₂ ⟂ᵥ w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid L
inst✝⁶ : TopologicalSpace L
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
inst✝¹ : T2Space N
inst✝ : ContinuousAdd M
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v₁ t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
v : Set α
hmv : MeasurableSet v
hv₁ : ∀ t ⊆ v, ↑v₂ t = 0
hv₂ : ∀ t ⊆ vᶜ, ↑w t = 0
t : Set α
ht : t ⊆ u ∩ v
x✝ : MeasurableSet t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid L
inst✝⁶ : TopologicalSpace L
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
inst✝¹ : T2Space N
inst✝ : ContinuousAdd M
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v₁ t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
v : Set α
hmv : MeasurableSet v
hv₁ : ∀ t ⊆ v, ↑v₂ t = 0
hv₂ : ∀ t ⊆ vᶜ, ↑w t = 0
t : Set α
ht : t ⊆ (u ∩ v)ᶜ
hmt : MeasurableSet t


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

(Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : p ^ (k - s + 1) = 2


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : p ^ (k - s + 1) = 2

Context: coe_two : ↑2 = 2


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : ↑p ^ (k - s + 1) = 2 ^ 1

Context: coe_two : ↑2 = 2


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: s : ℕ

Context: hs : s ≤ k

Context: hodd : p ≠ 2

Context: coe_two : ↑2 = 2

Context: h : ↑p = 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

{ ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase b } ↔ b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
ha hb : a ∈ s

{ ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase a } ↔ a ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hab : a ≠ b


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : CommRing C
inst✝⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : Fintype ι
b b' : Basis ι ℤ A


⇑b = ⇑b' ᵥ* (b'.toMatrix ⇑b).map ⇑(algebraMap ℤ A)


discr ℤ ⇑b' = (b'.toMatrix ⇑b).det ^ 2 * discr ℤ ⇑b'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
g : β ≃. γ
a : α

(f.trans g) a = none ↔ ∀ (b : β) (c : γ), b ∉ f a ∨ c ∉ g b


(∀ (a_1 : γ), ¬∃ b ∈ f a, a_1 ∈ g b) ↔ ∀ (b : β) (c : γ), b ∈ f a → c ∉ g b


(∀ (a_1 : γ), ∀ b ∈ f a, a_1 ∉ g b) ↔ ∀ (b : β) (c : γ), b ∈ f a → c ∉ g b


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p s ↔ ContinuousOn f s ∧ ∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: H : ContinuousOn f s ∧ ∀ x ∈ s, (p x 0).uncurry0 = f x

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hm : ↑0 ≤ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hm : ↑0 ≤ 0

Context: this : EqOn (fun x => p x 0) (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘ f) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
T : Set (Set β)
hT : T.Nonempty
s : Set α

s ×ˢ ⋂₀ T = ⋂ t ∈ T, s ×ˢ t


⋂ r ∈ {s} ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2 = ⋂ t ∈ T, s ×ˢ t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

‖setToL1 hT‖ ≤ ↑1 * ‖setToL1SCLM α E μ hT‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : ↥(simpleFunc E 1 μ)


↑1 * ‖setToL1SCLM α E μ hT‖ = ‖setToL1SCLM α E μ hT‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β

e.IsImage s t ↔ e.source ∩ ↑e ⁻¹' t = e.source ∩ s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P

(∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬M' < I) ↔ IsNoetherian R M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁷ : Module R M'

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: inst✝³ : TopologicalSpace N

Context: inst✝² : AddCommMonoid N'

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: inst✝ : TopologicalSpace N'

Context: n : ℕ

Context: f✝ g✝ f g : M [⋀^ι]→L[R] N

Context: h : f.toAlternatingMap = g.toAlternatingMap


Context:
z : ℂ
x : ℝ

z / ↑x = { re := z.re / x, im := z.im / x }


Context: a b k✝ m n✝ p n k : ℕ

(n ^ (k + 1)).primeFactors = n.primeFactors


Context: a b k✝ m n p k : ℕ

(0 ^ (k + 1)).primeFactors = primeFactors 0


Context:
a b k✝ m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
n : ℕ
hn : r < ↑n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q

eLpNorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
hq_pos : 0 < q

eLpNorm' (0 • f) q μ = ‖0‖₊ • eLpNorm' f q μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q
hc : c ≠ 0


‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ ≤ eLpNorm' (c • f) q μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F

Context: f : α → F

Context: c : 𝕜

Context: hq_pos : 0 < q

Context: hc : c ≠ 0

Context: this : eLpNorm' (c⁻¹ • c • f) q μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • eLpNorm' (c • f) q μ


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q

IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range


(∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)) ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range

Context: x : E

IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: x : E

Context: hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: x : E

Context: hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1

Context: halg : IsIntegral F x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: x : E

Context: hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1

Context: halg : IsIntegral F x

Context: hsep : IsSeparable F x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar F q

Context: x : E

Context: hdeg : F⟮x⟯ = ⊥

Context: halg : IsIntegral F x

Context: hsep : IsSeparable F x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0

∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] x'


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex


(x.shift n).coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] (x.shift n)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex
i : ℕ
hi : i < n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬p₁ = p₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: f✝ g✝ : Arrow C

Context: inst✝³ : HasImage f✝.hom

Context: inst✝² : HasImage g✝.hom

Context: sq✝ : f✝ ⟶ g✝

Context: f g : Arrow C

Context: inst✝¹ : HasImage f.hom

Context: inst✝ : HasImage g.hom

Context: sq : f ⟶ g

Context: map : image f.hom ⟶ image g.hom

Context: map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝

Context: map' : image f.hom ⟶ image g.hom

Context: map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right

Context: this : map ≫ image.ι g.hom = map' ≫ image.ι g.hom


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S✝

Context: inst✝ : Ring T

Context: S : Set (Subring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S✝

Context: inst✝ : Ring T

Context: S : Set (Subring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: x : R

Context: this : Nonempty ↑S


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

(Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U)) = op U


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e✝ : Sym2 V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet

Context: s : Finset (Sym2 V)

Context: inst✝ : Fintype ↑(G.deleteEdges ↑s).edgeSet

Context: e : Sym2 V

e ∈ (G.deleteEdges ↑s).edgeFinset ↔ e ∈ G.edgeFinset \ s


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : Algebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℂ A

Context: inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A

Context: a : A

Context: f : ℝ → ℝ

Context: ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : Algebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: f : ℝ → ℝ

Context: ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

Context: this : CompactSpace ↑(σ ℂ a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : Algebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: f : ℝ → ℝ

Context: this : CompactSpace ↑(σ ℂ a)

Context: ha : IsSelfAdjoint a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)

DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun f => f i) s' f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)

HasFDerivWithinAt (fun f => f i) ?f' s' f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: s' : Set ((i : ι) → F' i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Context: ha : a₁ ≤ a₂

Context: hb : b₁ ≤ b₂

Context: this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Context: ha : a₁ ≤ a₂

Context: hb : b₁ ≤ b₂

Context: h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁

¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Context: ha✝ : a₁ ≤ a₂

Context: hb : b₁ ≤ b₂

Context: h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁

Context: ha : a₁ < a₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Context: ha : a₁ ≤ a₂

Context: hb✝ : b₁ ≤ b₂

Context: h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁

Context: hb : b₁ < b₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center < s.radius
h : ¬p₁ = p₂


Context: r : ℚ


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ

(x • s).hsum.coeff g = (x * s.hsum).coeff g


∑ᶠ (i : α), ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff ij.1 * (s i).coeff ij.2 = ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff x_1.1 * ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff x_1.2


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
a : α

∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff ij.1 * (s a).coeff ij.2 = ∑ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff b.1 * (s a).coeff b.2


∀ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, (Function.support fun a => (fun i ij => x.coeff ij.1 * (s i).coeff ij.2) a b).Finite


∑ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, ∑ᶠ (a : α), x.coeff b.1 * (s a).coeff b.2 = ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff x_1.1 * ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff x_1.2


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ

(ρ_ Y).inv ≫ Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ (α_ Y X Xᘁ).inv ≫ (f ▷ X ≫ ε_ X Xᘁ) ▷ Xᘁ = 𝟙 Y ⊗≫ (Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ f ▷ (X ⊗ Xᘁ)) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ


𝟙 Y ⊗≫ (Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ f ▷ (X ⊗ Xᘁ)) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ


𝟙 Y ⊗≫ (f ▷ 𝟙_ C ≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ


f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ≫ (λ_ Xᘁ).inv


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → τ
x : τ → R


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → τ
x : τ → R
x✝ : σ


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
h : v i = 0


(Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
c x : E
hx : x ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

f (c + (a • x + b • y)) = f (a • (c + x) + b • (c + y))


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
hFEp : IsSplittingField F E 0


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E

IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field E

Context: inst✝⁷ : Algebra F E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower F K E

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Field E'

Context: inst✝ : Algebra F E'

Context: p : F[X]

Context: hFEp : IsSplittingField F E p

Context: hp : p ≠ 0

Context: x : E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: hx : IsIntegral F x

Context: L : Type u_1 := (p * minpoly F x).SplittingField


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field E

Context: inst✝⁷ : Algebra F E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower F K E

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Field E'

Context: inst✝ : Algebra F E'

Context: p : F[X]

Context: hFEp : IsSplittingField F E p

Context: hp : p ≠ 0

Context: x : E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: hx : IsIntegral F x

Context: hL : Splits (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) p ∧ Splits (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) (minpoly F x)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field E

Context: inst✝⁷ : Algebra F E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower F K E

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Field E'

Context: inst✝ : Algebra F E'

Context: p : F[X]

Context: hFEp : IsSplittingField F E p

Context: hp : p ≠ 0

Context: x : E

Context: this : FiniteDimensional F E

Context: hx : IsIntegral F x

Polynomial.map (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) (p * minpoly F x) ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f'✝ : M →ₗ[R] M'
g g'✝ : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
f' : M' →ₗ[R] M''
g' : M'' →ₗ[R] M'
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
x : M
y : M''


Context: a b : EReal


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z m : ℤ
hm : b - a = m • p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ

pure (IntCast.intCast (n - 1)) ≤ 𝓝[≤] (↑n - 1)


pure (IntCast.intCast (n - 1)) ≤ 𝓝[≤] ↑(n - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)

Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)


Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[>] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α


Context: α✝ β α : Type u


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
p : l₁ ++ l ~ l₂ ++ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α

𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∪ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊔ 𝓝 a ⊓ 𝓟 t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
n : ℤ
h : Even n


Context:
x y : ℝ
h : x ^ 2 ≤ y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
s t : Multiset α
hs : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ ∅
ht : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ ∅

card s = n → card t = n → ((map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α

(∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, f i ≤ ↑s.card * ∑ x ∈ s, f x * f x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
a b : α


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ

bitwise f (bit a m) (bit b n) = bit (f a b) (bitwise f m n)


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ

(bif f false false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x y) (Nat.bit a m) (Nat.bit b n)+1] else ↑(Nat.bitwise f (Nat.bit a m) (Nat.bit b n))) = bit (f a b) (bif f false false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise f m n))


(bif f false true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x !y) (Nat.bit a m) (Nat.bit (!b) n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f x !y) (Nat.bit a m) (Nat.bit (!b) n))) = bit (f a b) (bif f false true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x !y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f x !y) m n))


(bif f true false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit b n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit b n))) = bit (f a b) (bif f true false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) y) m n))


(bif f true true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) !y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit (!b) n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) !y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit (!b) n))) = bit (f a b) (bif f true true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) !y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) !y) m n))


Context:
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove s


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove (toReal '' s)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: H₁ : (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: H₂ : derivative (T R (n + 1)) = ↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: h₁ : T R (n + 2) = 2 * X * T R (n + 1) - T R n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f✝ f : α ≃o β
a✝ : ComplementedLattice α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f✝ f : α ≃o β
a✝ : ComplementedLattice β


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B

factorThruImage g ≫ (imageUnopOp g).inv = (image.ι g.unop).op


Context: n : ℤ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M✝ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝

Context: inst✝³ : Mul M✝

Context: inst✝² : ContinuousMul M✝

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: x₀ : M


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : Semiring R₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q

ker (f.restrict hf) = ker (f.domRestrict p)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
x✝ : E

x✝ ∈ {x | gauge s x < a} ↔ x✝ ∈ ⋃ r ∈ Ioo 0 a, r • s


Context:
k : ℕ
x✝ : k + 2 ≠ 0
m : ℕ := (k + 2).minFac
this : (k + 2) / m < k + 2


Context:
k : ℕ
x✝ : k + 2 ≠ 0
m : ℕ := (k + 2).minFac
this : (k + 2) / m < k + 2
h₁ : (k + 2) / m ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: κ : Cardinal.{max u v}

Context: hκ : (sum fun a => κ ^ lift.{u, v} #(β a)) ≤ κ


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: γ : Type (max u v)

Context: hκ : (sum fun a => #γ ^ lift.{u, v} #(β a)) ≤ #γ


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: γ : Type (max u v)

Context: hκ : (sum fun a => #γ ^ lift.{max u v, v} #(β a)) ≤ #γ


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: γ : Type (max u v)

Context: hκ : (sum fun a => lift.{v, max v u} #γ ^ lift.{max u v, v} #(β a)) ≤ #γ