Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁹ : Preadditive C

Context: inst✝⁸ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.CommShift ℤ

Context: inst✝² : F.IsTriangulated

Context: inst✝ : IsTriangulated C

Context: Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D

Context: u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂

Context: u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃

Context: u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂

Context: v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: X₁ X₂ X₃ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: w✝⁸ : C

Context: w✝⁷ : X₂ ⟶ w✝⁸

Context: w✝⁶ : w✝⁸ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁷ w✝⁶ ∈ distinguishedTriangles

Context: w✝⁵ : C

Context: w✝⁴ : X₃ ⟶ w✝⁵

Context: w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂

Context: h₂₃' : Triangle.mk g w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles

Context: w✝² : C

Context: w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²

Context: w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₃' : Triangle.mk (f ≫ g) w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι

(F.map f ≫ (additiveObjIsoBiproduct F N).hom) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i = ((additiveObjIsoBiproduct F M).hom ≫ biproduct.matrix fun i j => F.map ((embedding C).map (f i j))) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i


((additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f ≫ F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.desc fun j => F.map ((embedding C).map (f j i))


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι

(biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) j ≫ (additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f ≫ F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) j ≫ biproduct.desc fun j => F.map ((embedding C).map (f j i))


F.map ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = F.map ((embedding C).map (f j i))


((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = (embedding C).map (f j i)


((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit = (embedding C).map (f j i) PUnit.unit PUnit.unit


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
i : Fin xs.length

xs.formPerm (xs.get i) = xs.get ⟨(↑i + 1) % xs.length, ⋯⟩


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
this : IsIso (L.map φ.s) := hL φ.s φ.hs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β

map (fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = map₂ m f g


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X


∀ (i' : Set X), IsCompact i' → ∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ i'ᶜ


Context:
x z : Class
hz : z ∈ x
w : ZFSet
hw : (⋂₀ x) w


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j

(_root_.Disjoint on fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)) i j


∀ ⦃a : (x : ι) × α x⦄, a ∈ map (Embedding.sigmaMk i) (t i) → a ∉ map (Embedding.sigmaMk j) (t j)


∀ ⦃a : (x : ι) × α x⦄, (∃ a_1 ∈ t i, ⟨i, a_1⟩ = a) → ¬∃ a_2 ∈ t j, ⟨j, a_2⟩ = a


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
y : α i
left✝¹ : y ∈ t i
z : α j
left✝ : z ∈ t j
hz' : ⟨j, z⟩ = ⟨i, y⟩


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M α
inst✝² : Mul α
r s : M
x y : α
inst✝¹ : IsScalarTower M α α
inst✝ : SMulCommClass M α α


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β

(interedges r s t).card + (interedges (fun x y => ¬r x y) s t).card = s.card * t.card


Context: A : Finset ℕ


Context: A : Finset ℕ

∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε


Context:
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1

∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε


Context:
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n


↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε


↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ε < ↑⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K

normSq (z - w) = normSq z + normSq w - 2 * re (z * (starRingEnd K) w)


Context:
a b c d m✝ n : ℤ
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s

↑(sSup s) = if ⊤ ∈ (fun a => ↑a) '' s then ⊤ else if BddAbove ((fun a => ↑a) ⁻¹' ((fun a => ↑a) '' s)) then ↑(sSup ((fun a => ↑a) ⁻¹' ((fun a => ↑a) '' s))) else ⊤


Context: x : ℝ

(ENNReal.ofReal x).log = if x ≤ 0 then ⊥ else ↑(Real.log x)


Context: x : ℝ

(if x ≤ 0 then ⊥ else if False then ⊤ else ↑(Real.log (ENNReal.ofReal x).toReal)) = if x ≤ 0 then ⊥ else ↑(Real.log x)


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ
n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
t : F.obj X

coyonedaEquiv.symm (F.map f t) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm t


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
u : coyoneda.obj (op X) ⟶ F

coyonedaEquiv.symm (F.map f (coyonedaEquiv u)) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm (coyonedaEquiv u)


Context: z : ℂ

Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)


Context:
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0


Context:
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0


Tendsto (fun x => z.GammaSeq x * (1 - z).GammaSeq x) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))


Context: z : ℂ

Context: pi_ne : ↑π ≠ 0

Context: hs : ¬sin (↑π * z) = 0

Context: this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))


Context: z : ℂ

Context: pi_ne : ↑π ≠ 0

Context: hs : ¬sin (↑π * z) = 0

Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + 1 - z)) atTop (𝓝 1)


Context: z : ℂ

Context: pi_ne : ↑π ≠ 0

Context: hs : ¬sin (↑π * z) = 0

Tendsto (fun n => 1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2))) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z

HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasStrictDerivAt e e' ↑z

Context: A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasStrictDerivAt e e' ↑z

Context: B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasStrictDerivAt e e' ↑z

Context: C : HasStrictFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasStrictDerivAt e e' ↑z

e'.re = (reCLM.comp ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')).comp ofRealCLM)) 1


Context: e : ℂ → ℂ

Context: e' : ℂ

Context: z : ℝ

Context: h : HasStrictDerivAt e e' ↑z

e'.re = reCLM ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM 1))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] E


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₂

Context: H : finrank K V = finrank K V₂

Context: f : V →ₗ[K] V₂

Context: this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁶ : DivisionRing K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V₂

Context: H : finrank K V = finrank K V₂

Context: f : V →ₗ[K] V₂


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
x : Module.Dual R M ⊗[R] M

(trace R M) ((dualTensorHom R M M) x) = (contractLeft R M) x


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

HasShift.shift.map (eqToHom ⋯) = (pullbackShiftIso C φ 0 0 ⋯).inv


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a a ∈ M
hbc : swap a c ∈ M


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hab' : a ≠ b
hbc : swap b a ∈ M


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b
hac : a ≠ c


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Mono S₁.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Epi S₁.g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
l : Filter α

Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ⊤) ↔ Tendsto f l atTop


(∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : α) in l, ↑x < ↑(f a)) ↔ ∀ (i : ℝ≥0), True → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ Ioi i


Context:
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context:
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0

(↑n.succ + 1 + ↑n.succ).toNat * (↑n.succ + 1 + ↑n.succ).toNat - (↑n + 1 + ↑n).toNat * (↑n + 1 + ↑n).toNat = 8 * (n + 1)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: z w : ℂ

Context: Hd : DifferentiableOn ℝ f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])

Context: Hi : IntegrableOn (fun z => I • (fderiv ℝ f z) 1 - (fderiv ℝ f z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ ∅


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ

IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : SL(2, R)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A g : SL(2, R)
hg : ↑g 0 0 = v 0 ∧ ↑g 0 1 = v 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A g : SL(2, R)
hg : ↑g 0 0 = v 0 ∧ ↑g 0 1 = v 1
this : v = ↑g 0


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f : Filtration ι m
i j : ι


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Precoherent C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Precoherent C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Precoherent C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Presieve.ofArrows Y π ∈ (coherentCoverage C).covering X


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n


s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = 𝟙 (K[X].X n) ≫ PInfty.f n


s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = ∑ j : IndexSet (op [n]), (s.πSummand j ≫ (s.cofan (op [n])).inj j) ≫ PInfty.f n


∀ (x : IndexSet (op [n])), x ≠ IndexSet.id (op [n]) → (s.πSummand x ≫ (s.cofan (op [n])).inj x) ≫ PInfty.f n = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])
hA : ¬A.EqId

(s.πSummand A ≫ (s.cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = 0


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β

↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) + n


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
this : ⇑β' = -n • -⇑α + ⇑β


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : IsOpen s

ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 f y) s


DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 f y) s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : ↑(finrank ℝ E) < d


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x + y = 0

min x.orderTop y.orderTop ≤ (x + y).orderTop


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f : R'[A]


Context:
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
h : Continuous f
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Countable ι
f✝ g : α → β
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Countable ι

Context: f✝ g : α → β

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace α

Context: f : X × Y → α

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α

Context: this✝ : BorelSpace α

Context: this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹⁴ : StarRing A

Context: inst✝¹³ : Module R A

Context: inst✝¹² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁸ : StarRing B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝⁴ : StarModule R B

Context: inst✝³ : FunLike F A B

Context: inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: i : ι

Context: x : ↥(iSup K)

Context: hx : ↑x ∈ K i

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ x = (f i) ⟨↑x, hx⟩


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u
r : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α


Quotient (Submodule.quotientRel ⊥.closure) = (α ⧸ ⊥.closure)


Context:
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p m n : ℕ
hmn : m.Coprime n

Squarefree (m * n) ↔ Squarefree m ∧ Squarefree n


(∀ (x : ℕ), Prime x → ¬x ^ 2 ∣ m * n) ↔ ∀ (x : ℕ), Prime x → ¬x ^ 2 ∣ m ∧ ¬x ^ 2 ∣ n


Context:
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p✝ m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
p : ℕ
hp : Prime p

¬p ^ 2 ∣ m * n ↔ ¬p ^ 2 ∣ m ∧ ¬p ^ 2 ∣ n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0

(toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯) x = ((toStepSucc k n).comp (toStepOfLE k 0 n h)) x


(toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯) x = (toStepSucc k n) ((toStepOfLE k 0 n h) x)


AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 n h x)


AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 (n + 1) ⋯ x = (⇑(toStepSucc k n) ∘ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 n h) x


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ¬∃ j y, t.ι.app j y = x


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F✝ : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : HasColimit F✝

Context: F : J ⥤ Type u

Context: t : Cocone F

Context: h : IsColimit t

Context: x : t.pt

Context: hx : ∀ (x_1 : J) (x_2 : F.obj x_1), ¬t.ι.app x_1 x_2 = x


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: Mf mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: hMf : Mf ≤ mΩ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: T : Set Ω

Context: h_meas_T : MeasurableSet T

Context: h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ

∀ {f : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable f → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: Mf mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: hMf : Mf ≤ mΩ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: T : Set Ω

Context: h_meas_T : MeasurableSet T

Context: h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: Mf mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: hMf : Mf ≤ mΩ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: T : Set Ω

Context: h_meas_T : MeasurableSet T

∀ (c_1 : ℝ≥0∞) ⦃s : Set Ω⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: Mf mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: hMf : Mf ≤ mΩ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: T : Set Ω

Context: h_meas_T : MeasurableSet T

∀ ⦃f g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Measurable f → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), g ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ✝ : MeasurableSpace Ω

Context: μ✝ : Measure Ω

Context: g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: Mf mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: hMf : Mf ≤ mΩ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: T : Set Ω

Context: h_meas_T : MeasurableSet T

∀ ⦃f : ℕ → Ω → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), f n ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f n ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ) → ∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f n x) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f n x) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Fintype α

Context: i : α

Context: m : M


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Fintype α

Context: i : α

Context: m : M


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
a✝ : Nontrivial R
hpos : 0 < ‖↑x⁻¹‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
x : α
xs : List α

foldl f b (xs ++ [x]) = f (foldl f b xs) x


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars q.vars


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars (-q).vars


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S S
inst✝ : SMulCommClass R S S
x y : S
hc : Commute x y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: a' : α

Context: l : List α

Context: this : 𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l) = Filter.map (fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l)

Tendsto (fun p => insertNth (n + 1) p.1 p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l)) (𝓝 (insertNth (n + 1) a (a' :: l)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: a' : α

Context: l : List α

Tendsto ((fun p => insertNth (n + 1) p.1 p.2) ∘ fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (insertNth (n + 1) a (a' :: l)))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a : R
ha : ¬a = 0


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
this : G.chromaticNumber ≠ ⊤


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
this : ∃ n, G.Colorable n


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
m : ℕ
hm : G.Colorable m


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: n : ℕ

Context: h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n

Context: m : ℕ

Context: hm : G.Colorable m

Context: this : sInf {n' | G.Colorable n'} ∈ {n' | G.Colorable n'}


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: C : G.Coloring α

Context: n : ℕ

Context: h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n

Context: m : ℕ

Context: hm : G.Colorable m

Context: this : G.Colorable (sInf {n' | G.Colorable n'})


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α

(⨅ i, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)


⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ range m, μ (t n) = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C

Context: x✝ : ℝ

Context: hx✝ : x✝ ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x✝ < y

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x✝ : ℝ

Context: hx✝ : x✝ ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x✝ < y

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, -C < deriv (fun y => -f y) x


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)

s ∈ 𝓝 (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ s


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂

(sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b).Nonempty ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ (f₁ a₁ b₁).Nonempty) ∨ (∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ ((g₁ a₁ b₂).Nonempty ∨ (g₂ a₁ b₂).Nonempty)) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ (f₂ a₂ b₂).Nonempty


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S

(unitization s).range = StarAlgebra.adjoin R ↑s


StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype s)) = StarAlgebra.adjoin R ↑s


StarAlgebra.adjoin R {x | x ∈ s} = StarAlgebra.adjoin R ↑s


Context:
R✝ : Type u_1
p✝ m n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : ExpChar R✝ p✝
inst✝⁴ : PerfectRing R✝ p✝
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]


¬Irreducible (map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p)


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s


∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, x_1 ∈ Ioi 0 → x + x_1 • y ∈ s


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0


x + t • y ∈ (fun θ => x + θ • y) '' Icc 0 1


Context:
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose ≤ ν.transpose


Context:
μ ν : YoungDiagram
h : μ ≤ ν


Context:
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose.transpose ≤ ν


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n


Context:
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y


Context: θ : Angle


Context:
θ : Angle
h : θ.toReal < 0


Context:
θ : Angle
h : θ.toReal = 0


Context:
θ : Angle
h : 0 < θ.toReal


Context:
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a
hb : IsRegular b


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)

U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ Ideal.span s = ⊤


U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ U = ⨆ f, X.basicOpen ↑f


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
x : ↑Γ(X, U)
h✝ : x ∈ s


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R

f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a


Context:
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C

Injective J ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms


(yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms


Context:
a b c : PartENat
hc : c ≠ ⊤


Context:
a b : PartENat
c : ℕ
hc : ↑c ≠ ⊤


Context:
a b : PartENat
c : ℕ
hc : ↑c ≠ ⊤

∀ (n n_1 : ℕ), ↑n_1 + ↑c = ↑n + ↑c ↔ n_1 = n


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace R F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝¹ : FiberBundle F E

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: z : F

↑e.symm (b, z) = { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace R F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : FiberBundle F E

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: z : F

Context: h : (b, z) ∈ e.target


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace R F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : FiberBundle F E

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: z : F

Context: h : (b, z) ∈ e.target

{ proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z } ∈ e.source


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace R F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : FiberBundle F E

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: z : F

Context: h : (b, z) ∈ e.target

↑e.toPartialHomeomorph (↑e.symm (b, z)) = ↑e.toPartialHomeomorph { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x

(single x r * f).support = image (fun x_1 => x * x_1) f.support


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: inst✝² : Semiring k

Context: inst✝¹ : DecidableEq G

Context: inst✝ : Mul G

Context: f : MonoidAlgebra k G

Context: r : k

Context: hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0

Context: x : G

Context: lx : IsLeftRegular x

Context: y : G

Context: hy : y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: inst✝² : Semiring k

Context: inst✝¹ : DecidableEq G

Context: inst✝ : Mul G

Context: f : MonoidAlgebra k G

Context: r : k

Context: hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0

Context: x : G

Context: lx : IsLeftRegular x

Context: y : G

Context: yf : y ∈ f.support

Context: hy : x * y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support


Context:
l m r : List Char
c : Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕂
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CompleteSpace 𝔸
inst✝¹ : StarRing 𝔸
inst✝ : ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
h : x ∈ skewAdjoint 𝔸


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z

↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' e.baseSet) ∩ e.target = e.target


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A

(baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addY x₁ x₂ y₁ L)


(baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addY (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom y₁) (f.toRingHom L)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Finite ι

Context: q₁ q₂ : P

Context: h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Finite ι

Context: q₁ q₂ : P

Context: val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Finite ι

Context: q₁ q₂ : P

Context: val✝ : Fintype ι

((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₁) = (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
t : ι → Set α
inst✝ : Countable ι
ht : ∀ (i : ι), (t i).Countable
this : ∀ (i : ι), Countable ↑(t i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : Disjoint (Ico x₁ x₂) (Ico y₁ y₂)
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : x₂ ≤ x₁ ∨ x₂ ≤ y₁
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : -1 = 1


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ↑(1 + 1) = 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
t : R
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z

(lineMap x z) t ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 0 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 0 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 0 ≠ z

(lineMap x z) 0 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 1 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 1 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 1 ≠ z

(lineMap x z) 1 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
t : R
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ho : t ∈ Set.Ioo 0 1


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → N
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ '' ↑S

φ (funMap f fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x


funMap f (⇑φ ∘ fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DiscreteTopology α
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α → β
h : ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
s : Set β
x✝ : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hcd : c < d


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

(s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
f : ι → MvPolynomial σ R

(∅.sum f).totalDegree ≤ ∅.sup fun i => (f i).totalDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s✝ : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → MvPolynomial σ R

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hind : (s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree

((Finset.cons a s has).sum f).totalDegree ≤ (Finset.cons a s has).sup fun i => (f i).totalDegree


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : StrongRankCondition R
pb : PowerBasis R S


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M

b.repr.symm (Finsupp.single i c) = b.repr.symm (c • Finsupp.single i 1)


b.repr.symm (c • Finsupp.single i 1) = c • b i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α

p.toOuterMeasure s = 0 ↔ Disjoint p.support s


(∀ (i : α), s.indicator (⇑p) i = 0) ↔ Disjoint p.support s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: a b : α

Context: a' b' : β

Context: h : ∀ {o : Ordering}, o.Compares a b → o.Compares a' b'

Context: o : Ordering

Context: ho : o.Compares a' b'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: a b : α

Context: a' b' : β

Context: o : Ordering

Context: ho : o.Compares a' b'

Context: hab : a < b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: a b : α

Context: a' b' : β

Context: o : Ordering

Context: ho : o.Compares a' b'

Context: hab : a = b ∨ b < a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f : Π₀ (i : ι), α i

(Iio f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card - 1


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q.Monic

p /ₘ q = C q.leadingCoeff⁻¹ * (p /ₘ (q * C q.leadingCoeff⁻¹))


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y Y
α : SmallHom W X Y

(equiv W W.Q) (α.comp (mk W (𝟙 Y))) = (equiv W W.Q) α


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
s : Submodule R M
h : 0 < Module.rank R ↥s
eq : s = ⊥


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
s : Submodule R M
h : 0 < 0
eq : s = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N n : ℕ


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
a b✝ c✝ : M
inst✝ : Mul M
h : IsMulCentral a
b c : M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0


Context: α✝ β α : Type u


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α


↑(List.foldl List.erase l₁ l₂) = foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂


foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂ = ↑(List.foldl List.erase l₁ l₂)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X


Context:
n m d b : ℕ
hd : d ∈ (b + 1 + 1).digits m


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ✝.toInteger - 1})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t✝ : Set α
hf : Injective f
s t : Set α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re

mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
h_re1 : -1 < (s - 1).re


Context: R : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }

Context: a : A

Context: ad : A[ε]

(lift fe) (MulOpposite.op a • ad) = (lift fe) ad * (↑fe).1 a


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P

dist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ dist v v' + dist p p'


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t v w : V

(edge s t).Adj v w ↔ (v = s ∧ w = t ∨ v = t ∧ w = s) ∧ v ≠ w


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ : α
h : a ∣ b
c : α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ

(↑P.parts.offDiag.attach).PairwiseDisjoint (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε)


(↑P.parts.offDiag.attach).Pairwise fun x y => ∀ ⦃a : Finset α × Finset α⦄, a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → ¬(a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s₁ s₂ : Finset α

Context: hs : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach

Context: t₁ t₂ : Finset α

Context: ht : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach

Context: hst : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht⟩

Context: u v : Finset α

Context: huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

Context: huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s₁ s₂ : Finset α

Context: hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2

Context: a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach

Context: t₁ t₂ : Finset α

Context: ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2

Context: a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach

Context: hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩

Context: u v : Finset α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s₁ s₂ : Finset α

Context: hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: t₁ t₂ : Finset α

Context: ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩

Context: u v : Finset α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ (u, v).1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s₁ s₂ : Finset α

Context: hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: t₁ t₂ : Finset α

Context: ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag

Context: hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩

Context: u v : Finset α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ (u, v).1

Context: b : α

Context: hb : b ∈ (u, v).2


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0

Squarefree x ↔ ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: x : R

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: h : ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x

Context: d : R

Context: hd : d * d ∣ x

Context: hdu : ¬IsUnit d


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: x : R

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: d : R

Context: hd : d * d ∣ x

Context: hdu : ¬IsUnit d

Context: hd₀ : d ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero R

Context: inst✝ : WfDvdMonoid R

Context: x : R

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: d : R

Context: hd : d * d ∣ x

Context: hdu : ¬IsUnit d

Context: hd₀ : d ≠ 0

Context: p : R

Context: irr : Irreducible p

Context: dvd : p ∣ d


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ

IsLocalizedModule S (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap ↔ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A S) Aₛ


((∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R Aₛ)) ↑x)) ∧ (∀ (y : Aₛ), ∃ x, x.2 • y = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x.1) ∧ ∀ {x₁ x₂ : A}, (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x₁ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x₂ → ∃ c, c • x₁ = c • x₂) ↔ (∀ (y : ↥(Algebra.algebraMapSubmonoid A S)), IsUnit ((algebraMap A Aₛ) ↑y)) ∧ (∀ (z : Aₛ), ∃ x, z * (algebraMap A Aₛ) ↑x.2 = (algebraMap A Aₛ) x.1) ∧ ∀ {x y : A}, (algebraMap A Aₛ) x = (algebraMap A Aₛ) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y


(∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R Aₛ)) ↑x)) ↔ ∀ (y : ↥(Algebra.algebraMapSubmonoid A S)), IsUnit ((algebraMap A Aₛ) ↑y)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
x✝ : Aₛ

(∃ x, x.2 • x✝ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x.1) ↔ ∃ x, x✝ * (algebraMap A Aₛ) ↑x.2 = (algebraMap A Aₛ) x.1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
x✝¹ x✝ : A

((IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x✝¹ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x✝ → ∃ c, c • x✝¹ = c • x✝) ↔ (algebraMap A Aₛ) x✝¹ = (algebraMap A Aₛ) x✝ → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

variance (fun ω => c * X ω) μ = c ^ 2 * variance X μ


c ^ 2 * (evariance X μ).toReal = c ^ 2 * variance X μ


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
n : ℕ
ih : FP (Stream'.drop n a) ⊆ FP a


FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop n a)) ⊆ FP a


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin


↑2 • Q₁ = ↑2 • Q₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ : E → F✝

Context: f' : F✝

Context: s t : Set E

Context: x v✝ : E

Context: L : E →L[𝕜] F✝

Context: v : E

Context: F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v

Context: hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)

Context: A : HasDerivWithinAt F (0 + 1 • v) (F ⁻¹' s) 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F v (F ⁻¹' s) 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField R
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace R M
inst✝⁴ : NormedSpace R N
inst✝³ : NormedSpace R G
inst✝² : NormedAddCommGroup M'
inst✝¹ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
inst✝ : Nontrivial M'
hf' : IsConformalMap 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField R
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace R M
inst✝⁴ : NormedSpace R N
inst✝³ : NormedSpace R G
inst✝² : NormedAddCommGroup M'
inst✝¹ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
inst✝ : Nontrivial M'
hf' : IsConformalMap 0
a : M'
ha : a ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)

Context: add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)

Context: mul_ι : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q), P x → P (x * (ι Q) m)

Context: x : CliffordAlgebra Q


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: this : x ∈ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : CliffordAlgebra Q → Prop

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: this : x ∈ ⨆ i, LinearMap.range (ι Q) ^ i


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℤ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℕ


Context:
m n k : ℕ+
h : k.Coprime m


Context:
y₁ y₂ : ℕ
h : y₁ ≤ y₂
m₁ m₂ : ℤ
h₂ : m₁ * 2 ^ y₁ = m₂ * 2 ^ y₂


Context:
y₁ : ℕ
m₁ m₂ : ℤ
c : ℕ
h : y₁ ≤ y₁ + c
h₂ : m₁ * 2 ^ y₁ = m₂ * 2 ^ (y₁ + c)

↑m₁ * powHalf (y₁ + c) = ↑m₂ * powHalf y₁


Context:
y₁ : ℕ
m₁ m₂ : ℤ
c : ℕ
h : y₁ ≤ y₁ + c
h₂ : m₁ = m₂ * 2 ^ c ∨ 2 ^ y₁ = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : PolishSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : IsClosed C

Context: hunc : ¬C.Countable

Context: this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α

∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : PolishSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : IsClosed C

Context: hunc : ¬C.Countable

Context: D : Set α

Context: hD : Perfect D

Context: Dnonempty : D.Nonempty

Context: hDC : D ⊆ C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : PolishSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : IsClosed C

Context: hunc : ¬C.Countable

Context: D : Set α

Context: hD : Perfect D

Context: Dnonempty : D.Nonempty

Context: hDC : D ⊆ C

Context: f : (ℕ → Bool) → α

Context: hfD : range f ⊆ D

Context: hf : Continuous f ∧ Function.Injective f


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : l.length ≤ k
l' : List α

(l ++ l').eraseIdx k = l ++ l'.eraseIdx (k - l.length)


l ++ (take (k - l.length) l' ++ drop (k + 1 - l.length) l') = l ++ (take (k - l.length) l' ++ drop (k - l.length + 1) l')


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set ↑s

LipschitzOnWith K (s.restrict f) t ↔ LipschitzOnWith K f (s ∩ Subtype.val '' t)


(∀ (a : α) (b : a ∈ s), ⟨a, b⟩ ∈ t → ∀ (a_2 : α) (b : a_2 ∈ s), ⟨a_2, b⟩ ∈ t → edist (f a) (f a_2) ≤ ↑K * edist a a_2) ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Subtype.val '' t → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Subtype.val '' t → edist (f x) (f y) ≤ ↑K * edist x y


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: pb : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

(c Y) (Sieve.pullback f S) = ⊤ ↔ ((c X) S).arrows f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
c : Con M
l : List ι
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ l, c (f x) (g x)

c (List.map f l).prod (List.map g l).prod


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N

∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N
d : ℕ
s : Fin d → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤


∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E

[x-[𝕜]y] = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Icc 0 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1

(AffineMap.lineMap x y) a✝¹ = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝³ : Ring α
a b : α
F : Type u_1
inst✝² : Ring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α → α

(range fun n => rec x f n) = {x} ∪ range fun n => rec (f 0 x) (f ∘ succ) n


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α → α
x✝ : ℕ

rec (f 0 x) (f ∘ succ) x✝ = ((fun n => rec x f n) ∘ succ) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε


(∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U) ↔ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z

min (firstDiff x y) (firstDiff y z) ≤ firstDiff x z


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: x y z : (n : ℕ) → E n

Context: h : x ≠ z

Context: H : firstDiff x z < min (firstDiff x y) (firstDiff y z)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: x y z : (n : ℕ) → E n

Context: h : x ≠ z

Context: H : firstDiff x z < firstDiff x y ∧ firstDiff x z < firstDiff y z


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: x y z : (n : ℕ) → E n

Context: h : x ≠ z


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ π / 2


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
i : α → Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : (a : α) → Mul (i a)

commProb ((a : α) → i a) = ∏ a : α, commProb (i a)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : ⨁ (i : M), ↥(weightedHomogeneousSubmodule R w i)

(coeLinearMap fun i => weightedHomogeneousSubmodule R w i) x = DFinsupp.sum x fun x x_1 => ↑x_1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: h : Collinear k s

Context: p₁ p₂ p₃ : P

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hp₃ : p₃ ∈ s

Context: hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

Context: hv : vectorSpan k (insert p₁ s) = vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
f : β → α
a : α

(a ∈ s.sup fun b => {f b}) ↔ a ∈ image f s


(∃ v ∈ s, a ∈ {f v}) ↔ ∃ a_1 ∈ s, f a_1 = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
r : β → β → Prop
f : α → β

_root_.Pairwise (r on fun a_1 => f ↑a_1) ↔ _root_.Pairwise (r on fun a => f ↑a) ∧ ∀ b ∈ s, r (f a) (f b) ∧ r (f b) (f a)


(↑s).Pairwise (r on f) → ((∀ b ∈ s, a ≠ b → (r on f) a b ∧ (r on f) b a) ↔ ∀ b ∈ s, r (f a) (f b) ∧ r (f b) (f a))


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLower α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α

Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Ici a)


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝² : Preorder α
s : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : β → α
inst✝ : IsLower α


Context:
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5

IsEmpty (α ⊕' β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i
s : Set X
hs : IsSeqClosed s
i : ι


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this✝ : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i
s : Set X
hs : IsSeqClosed s
i : ι
this : TopologicalSpace X := t i


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
ha : ↑a ≠ 0 ∨ ↑b ≠ ⊤
hb : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ 0
h'a : ¬a = 0
h'b : ¬b = 0


Context: G : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: f : H →ₙ* G

Context: hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset H

Context: A0 : A.Nonempty

Context: B0 : B.Nonempty


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
h : a - ↑⌊a⌋ = b - ↑⌊b⌋


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
z : ℤ
hz : a - b = ↑z


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
w : colimit.ι F j x = colimit.ι F j' x'


Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, x⟩ = Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j', x'⟩


Context: q : ℚ


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

HasFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) t


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

(fun h => exp 𝕂 ((t + h) • x) - exp 𝕂 (t • x) - (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h) =o[𝓝 0] fun h => h


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

(fun h => exp 𝕂 (t • x) * (exp 𝕂 ((0 + h) • x) - exp 𝕂 (0 • x) - (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h)) =ᶠ[𝓝 0] fun h => exp 𝕂 ((t + h) • x) - exp 𝕂 (t • x) - (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: this : Tendsto (fun h => h • x) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: this✝ : Tendsto (fun h => h • x) (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: this : ∀ᶠ (h : 𝕊) in 𝓝 0, h • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: h : 𝕊

Context: hh : h • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

exp 𝕂 (t • x) * (exp 𝕂 ((0 + h) • x) - exp 𝕂 (0 • x) - (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h) = exp 𝕂 ((t + h) • x) - exp 𝕂 (t • x) - (exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x) h


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝕊 : Type u_2

Context: 𝔸 : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁸ : CharZero 𝕂

Context: inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊

Context: inst✝⁶ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸

Context: inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: x : 𝔸

Context: t : 𝕊

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: this✝¹ : Tendsto (fun h => h • x) (𝓝 0) (𝓝 0)

Context: this✝ : ∀ᶠ (h : 𝕊) in 𝓝 0, h • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: h : 𝕊

Context: this : Commute (t • x) (h • x)


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α

s ∈ M.stepSet S a ↔ ∃ t ∈ S, s ∈ M.εClosure (M.step t (some a))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List (α × α)
x y z : α

applyId ((y, z) :: xs) x = if y = x then z else applyId xs x


(if h : y = x then some z else dlookup x (map Prod.toSigma xs)).getD x = if y = x then z else (dlookup x (map Prod.toSigma xs)).getD x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : s.sym n = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
h : ¬(s.sym n).Nonempty


(fun i => (fastGrowing 0)^[i] i) = fun n => 2 * n


Context: i : ℕ


Context: i a b : ℕ


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp2 : p = 2


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x
a b : ZMod p
hab : eval a f + eval b g = 0


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
h : Function.Surjective F.obj
X : C


Context:
P : ℤ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
b b' : ℤ
Hb : ∀ (z : ℤ), P z → b ≤ z
Hb' : ∀ (z : ℤ), P z → b' ≤ z
Hinh : ∃ z, P z
n : ℤ
hn : P n
h2n : ∀ (z : ℤ), P z → n ≤ z
n' : ℤ
hn' : P n'
h2n' : ∀ (z : ℤ), P z → n' ≤ z

↑⟨n, ⋯⟩ = ↑⟨n', ⋯⟩


Context:
a b c : Ordinal.{u}
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
l : Lists' α true


Context:
α : Type u_1
l : Lists' α true

ofList l.toList ⊆ nil → ofList l.toList = nil


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
f : ι → α
a : α

s.sup' hs f ⊓ a = s.sup' hs fun i => f i ⊓ a


(s.sup' hs fun i => a ⊓ f i) = s.sup' hs fun i => f i ⊓ a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
e : E
s : Set X
s_meas : MeasurableSet s

∫ (x : X), s.indicator (fun x => e) x ∂μ = (μ s).toReal • e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g h : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hh : AEStronglyMeasurable h μ

∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (h a) ∂μ + ∫⁻ (a : α), edist (g a) (h a) ∂μ


∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), edist (f a) (h a) + edist (g a) (h a) ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g h : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hh : AEStronglyMeasurable h μ
a : α

edist (f a) (g a) ≤ edist (f a) (h a) + edist (g a) (h a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ

pure (IntCast.intCast (n + 1)) ≤ 𝓝[≥] (↑n + 1)


pure (IntCast.intCast (n + 1)) ≤ 𝓝[≥] ↑(n + 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PartialOrder ι

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

Context: this : {ω | τ ω = i} = {ω | τ ω ≤ i} \ ⋃ j ∈ Set.range τ, ⋃ (_ : j < i), {ω | τ ω ≤ j}

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ ⋃ j ∈ Set.range τ, ⋃ (_ : j < i), {ω | τ ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PartialOrder ι

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

MeasurableSet (⋃ j ∈ Set.range τ, ⋃ (_ : j < i), {ω | τ ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PartialOrder ι

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

Context: j : ι

Context: x✝ : j ∈ Set.range τ

MeasurableSet (⋃ (_ : j < i), {ω | τ ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PartialOrder ι

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

Context: j : ι

Context: x✝ : j ∈ Set.range τ

MeasurableSet (if j < i then {ω | τ ω ≤ j} else ∅)


Context: R : Type u

Context: L₁ : Type v

Context: L₂ : Type w

Context: L₃ : Type w₁

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L₁

Context: inst✝⁴ : LieRing L₂

Context: inst✝³ : LieRing L₃

Context: inst✝² : LieAlgebra R L₁

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝ : LieAlgebra R L₃

Context: f_inv : L₂ → L₁

Context: f : L₁ → L₂

Context: map_add'✝¹ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y

Context: map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x

Context: map_lie'✝¹ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun y⁆

Context: left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun

Context: right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun

Context: g_inv : L₂ → L₁

Context: g : L₁ → L₂

Context: map_add'✝ : ∀ (x y : L₁), g (x + y) = g x + g y

Context: map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : L₁), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x

Context: map_lie'✝ : ∀ {x y : L₁}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun y⁆

Context: left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun

Context: right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun

Context: h : { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ }.toLinearEquiv = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }.toLinearEquiv

{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }


Context: R : Type u

Context: L₁ : Type v

Context: L₂ : Type w

Context: L₃ : Type w₁

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L₁

Context: inst✝⁴ : LieRing L₂

Context: inst✝³ : LieRing L₃

Context: inst✝² : LieAlgebra R L₁

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝ : LieAlgebra R L₃

Context: f_inv : L₂ → L₁

Context: f : L₁ → L₂

Context: g_inv : L₂ → L₁

Context: g : L₁ → L₂

Context: h : f = g ∧ f_inv = g_inv


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: x : PiLp 2 β


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: x : PiLp 2 β


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
c : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : AEMeasurable f μ

essSup (g ∘ f) μ ≤ essSup g (Measure.map f μ)


map (g ∘ f) (ae μ) ≤ map g (ae (Measure.map f μ))


map g (map f (ae μ)) ≤ map g (ae (Measure.map f μ))


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
I : Ideal R
hI₂ : I.IsPrime
hI : I ≠ ⊥


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
n : ℤ
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α → Prop
q : β → Prop

(∃ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x.1 ∧ q x.2) ↔ (∃ᶠ (a : α) in f, p a) ∧ ∃ᶠ (b : β) in g, q b


(f ×ˢ g ⊓ 𝓟 {x | p x.1 ∧ q x.2}).NeBot ↔ (f ×ˢ g ⊓ 𝓟 ({a | p a} ×ˢ {b | q b})).NeBot


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
x✝ : C

e.functor.map (e.unit.app x✝) ≫ 𝟙 (e.functor.obj (e.inverse.obj (e.functor.obj x✝))) ≫ e.counit.app (e.functor.obj x✝) = 𝟙 (e.functor.obj x✝)


e.functor.map (e.unit.app x✝) ≫ e.counit.app (e.functor.obj x✝) = 𝟙 (e.functor.obj x✝)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
x✝ : D

e.unit.app (e.inverse.obj x✝) ≫ 𝟙 (e.inverse.obj (e.functor.obj (e.inverse.obj x✝))) ≫ e.inverse.map (e.counit.app x✝) = 𝟙 (e.inverse.obj x✝)


e.unit.app (e.inverse.obj x✝) ≫ e.inverse.map (e.counit.app x✝) = 𝟙 (e.inverse.obj x✝)


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: hf : Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: n : ℤ

‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ }) f‖ * (volume ↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ }).toReal ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

⋃ i, ↑{ carrier := Icc (↑i) (↑i + 1), isCompact' := ⋯ } = univ


Context:
y : ℝ
h : y < 0


Context:
y : ℝ
h : y < 0

(if 0 = 0 ∧ y < 0 then ⊤ else ↑(NNReal.rpow 0 y)) = ⊤


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
G : V ⥤ W
inst✝ : G.Additive
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι

G.map (C.d i (c.next i) ≫ hom (c.next i) i + hom i (c.prev i) ≫ D.d (c.prev i) i) = G.map (C.d i (c.next i)) ≫ G.map (hom (c.next i) i) + G.map (hom i (c.prev i)) ≫ G.map (D.d (c.prev i) i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X

diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm = fun μ => ↑μ


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
μ : ↑(range diracProba)

(diracProba ∘ ⇑diracProbaEquiv.symm) μ = ↑μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : SFinite μ
s t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (toMeasurable μ s)) t = (μ.restrict s) t


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: s : Set (β × β)

Context: f : α → α → β

Context: hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2

Context: hs : s ∈ 𝓤 β

∃ u ∈ 𝓤 α, ∀ (a b c : α), (a, b) ∈ u → (f a c, f b c) ∈ s


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: s : Set (β × β)

Context: f : α → α → β

Context: hf : Tendsto ((fun x => (f x.1.1 x.1.2, f x.2.1 x.2.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 α) (𝓤 β)

Context: hs : s ∈ 𝓤 β


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: s : Set (β × β)

Context: f : α → α → β

Context: hs : s ∈ 𝓤 β

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: v : Set (α × α)

Context: hv : v ∈ 𝓤 α

Context: huvt : u ×ˢ v ⊆ ((fun x => (f x.1.1 x.1.2, f x.2.1 x.2.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Unit →₀ ℕ
n : ℕ
h : s () = n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s

Nonempty { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: g : S✝ →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S✝

Context: S : Set (NonUnitalSubring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)

(fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν) =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (y : β), AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y) ∂ν