Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

Real.sin (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ

map (fun x => x.1 * x.2) ((dirac 1).prod μ) = μ


map ((fun x => x.1 * x.2) ∘ Prod.mk 1) μ = μ


Context: b n : ℕ


Context:
b n : ℕ
hb : b ≤ 1


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : n < b


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : b ≤ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
i : ℕ
a : R
x : E
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f

iteratedFDeriv 𝕜 i (a • f) x = a • iteratedFDeriv 𝕜 i f x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
i : ℕ
a : R
x : E
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f univ

iteratedFDerivWithin 𝕜 i (a • f) univ x = a • iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f✝ : ι → α
R : Type u_1
inst✝ : CompleteLinearOrder R
f : ι → R
no_least_elem : ⨅ i, f i ∉ range f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓝[s] x)


TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ pa, (∀ᶠ (x : ι) in p, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, pb y) ∧ ∀ {x : ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (f y, F x y) ∈ u


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R

(φ.polyCharpoly b).natDegree = finrank R M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
H : SeparatedNhds (f '' s) (f '' t)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ


Context:
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0


Context:
x y : ℝ
α : Type u_1
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ ∅, f x ≠ 0


Context: x y : ℝ

Context: α : Type u_1

Context: f : α → ℝ

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: ih : (∀ x ∈ s, f x ≠ 0) → log (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, log (f i)

Context: hf : ∀ x ∈ Finset.cons a s ha, f x ≠ 0

log (∏ i ∈ Finset.cons a s ha, f i) = ∑ i ∈ Finset.cons a s ha, log (f i)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M

⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ = weightSpace M 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: k : ℕ

Context: hk : weightSpace M 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: k : ℕ

LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarModule R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : StarRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: a : A

Context: inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B

Context: inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B

Context: inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩

Context: this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarModule R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : StarRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: a : A

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩

Context: x : ↥(adjoin R {a})

φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarModule R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : StarRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: a : A

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩

Context: x : ↥(adjoin R {a})

∀ (x : A) (h : x ∈ {a}), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ⟨x, ⋯⟩) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ⟨x, ⋯⟩)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarModule R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : StarRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: a : A

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩

Context: x : ↥(adjoin R {a})

∀ (r : R), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ((algebraMap R ↥(adjoin R {a})) r)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ((algebraMap R ↥(adjoin R {a})) r))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarModule R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : StarRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: a : A

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩

Context: x : ↥(adjoin R {a})

∀ (x y : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x + y)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x + y))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarModule R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : StarRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: a : A

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩

Context: x : ↥(adjoin R {a})

∀ (x y : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x * y)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x * y))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : StarRing A

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarModule R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : Semiring B

Context: inst✝⁵ : StarRing B

Context: inst✝⁴ : Algebra R B

Context: inst✝³ : T2Space B

Context: F : Type u_4

Context: a : A

Context: φ ψ : F

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩

Context: x : ↥(adjoin R {a})

∀ (x : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (star x)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (star x))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
b : Associates α

∀ (a_1 : α), a ∣ Associates.out ⟦a_1⟧ ↔ Associates.mk a ≤ ⟦a_1⟧


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ↑U


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t
h : ¬x = y


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t
h : ¬x = y
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hxu : x ∈ u
hyv : y ∈ v
hs : s ⊆ u ∪ v
huv : Disjoint u v


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G

(A.leftRegularHomEquiv.symm x).hom (Finsupp.single g 1) = (A.ρ g) x


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0

a / c + b / c ≤ a / c + b / c + if c ≤ a % c + b % c then 1 else 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : PosMulReflectLT α
a0 : 0 < a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H✝ : IsCoprime x y
a b : R
H : a * x + b * y = 1


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: x✝¹ : α

Context: x✝ : γ

κ.rnDeriv η x✝¹ x✝ = ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) x✝¹ x✝) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) x✝¹ x✝)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

a / b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = 0 ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
h : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α

x ∈ {x | (p * q) x ≠ x} → x ∈ {x | p x ≠ x} ∪ {x | q x ≠ x}


Context:
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Nonempty ι


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: i : ι

Context: h✝ : i ∈ univ


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

(cauSeqIm f).lim = (↑(cauSeqRe f).lim + ↑(cauSeqIm f).lim * I).im


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : A.card ≤ 1
hB1 : B.card ≤ 1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: hA : A.Nonempty

Context: hB : B.Nonempty

Context: hA1 : ∀ {a b : G}, a ∈ A → b ∈ A → a = b

Context: hB1 : ∀ {a b : G}, a ∈ B → b ∈ B → a = b


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₁ : ¬p₂ = p₁
hp₃ : ¬p₂ = p₃
hs : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V

((of R).symm (x • y)).support ⊆ x.support +ᵥ ((of R).symm y).support


∀ x_1 ∈ ((of R).symm (x • y)).support, x_1 ∈ {a | (VAddAntidiagonal ?m.199459 ?m.199460 a).Nonempty}


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : x ∈ ((of R).symm (x✝ • y)).support

x ∈ {a | (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a).Nonempty}


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : MulZeroClass R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x✝ : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ' R V

Context: x : Γ'

Context: hx : x ∉ {a | (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a).Nonempty}


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ x = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
u : Multiset ι
x : ι → 𝔸'
l : List ι

HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map x ⟦l⟧).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map x (Multiset.erase ⟦l⟧ i)).prod • proj i) ⟦l⟧).sum x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

((toFinsupp s).sum fun x => id) = card s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X

MapClusterPt x F u ↔ ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s


(∀ {p : X → Prop}, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x) → ∃ᶠ (a : ι) in F, p (u a)) ↔ ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

a • (f + g) x + b • (f + g) y + a * b * (φ + ψ) ‖x - y‖ ≤ (f + g) (a • x + b • y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : ¬MeasurableSet s
x : G


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a

(insert a b (singleton a b')).entries = (singleton a b).entries


Context: a x z✝ z : ℂ


Context: a x z : ℂ


Context:
a x z✝ z : ℂ
h₀ : z ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
σ : α → Type u_8
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)

(l₁.sigma l₂).length = (map (fun a => (l₂ a).length) l₁).sum


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasProjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f

(projectiveResolutions C).map f ≫ Q.iso.hom = P.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map φ


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.342, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2
h✝ : Nontrivial R


Context:
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.4270
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U

φ.symmetrify.star u = ⇑(Quiver.symmetrifyStar (φ.obj u)).symm ∘ Sum.map (φ.star u) (φ.costar u) ∘ ⇑(Quiver.symmetrifyStar u)


⇑(Quiver.symmetrifyStar (φ.obj u)) ∘ φ.symmetrify.star u = Sum.map (φ.star u) (φ.costar u) ∘ ⇑(Quiver.symmetrifyStar u)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
x : M

x ∈ (closure L).toFun s ↔ ∃ t, Term.realize Subtype.val t = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α

EventuallyConst f atTop ↔ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m


(∃ i, ∀ (j : ℕ), i ≤ j → f j = f i) ↔ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
n : ℕ
h : ∀ (j : ℕ), n ≤ j → f j = f n
m : ℕ
hm : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
n : ℕ
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
m : ℕ
hm : n ≤ m


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
a : R
ha : ¬IsUnit a

(↑{ toFun := fun a => f (χ a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0


Context:
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⟦x.mulOption y i j⟧ = ⟦y.mulOption x j i⟧


⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft j⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x⟧ + ⟦y * x.moveLeft i⟧ - ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧


⟦x * y.moveLeft j⟧ + ⟦x.moveLeft i * y⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x⟧ + ⟦y * x.moveLeft i⟧ - ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧


⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : StrictOrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a a₁ a₂ : α
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
m : ι → MeasurableSpace Ω
h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ _mΩ
h_indep : iIndep m κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T


IsPiSystem (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S)


IsPiSystem (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) T)


IndepSets (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S) (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) T) κ μ


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω

LipschitzWith μ.mass fun f => μ.testAgainstNN f


∀ (x y : Ω →ᵇ ℝ≥0), dist (μ.testAgainstNN x) (μ.testAgainstNN y) ≤ ↑μ.mass * dist x y


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0

dist (μ.testAgainstNN f₁) (μ.testAgainstNN f₂) ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂


|↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂)| ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂


-(↑μ.mass * dist f₁ f₂) ≤ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂) ∧ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂) ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
n : ℕ


(algebraMap R S) x ^ n = (mk' S x y * (algebraMap R S) ↑y) ^ n


Context: x : ℤ[i]


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r


(∀ i ∈ p.basisSets, Absorbs 𝕜 (id i) s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: s : Set E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: h : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

Context: s' : Set E

Context: hs' : s' ∈ p.basisSets


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: s : Set E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: s' : Set E

Context: hs'✝ : s' ∈ p.basisSets

Context: I : Finset ι

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: s : Set E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: s' : Set E

Context: hs'✝ : s' ∈ p.basisSets

Context: I : Finset ι

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r

Context: r' : ℝ

Context: left✝ : r' > 0

Context: h' : ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: s : Set E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: s' : Set E

Context: hs'✝ : s' ∈ p.basisSets

Context: I : Finset ι

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r

Context: r' : ℝ

Context: left✝ : r' > 0

Context: h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: s : Set E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: s' : Set E

Context: hs'✝ : s' ∈ p.basisSets

Context: I : Finset ι

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hs' : s' = (I.sup p).ball 0 r

Context: r' : ℝ

Context: left✝ : r' > 0

Context: h' : ∀ x ∈ s, x ∈ (I.sup p).ball 0 r'

Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 r) ((I.sup p).ball 0 r')


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (⋃ i, s i)) t = ∑' (i : ι), (μ.restrict (s i)) t


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

μ (⋃ i, t ∩ s i) = ∑' (i : ι), μ (t ∩ s i)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : ι → Set E

Context: s : Finset ι

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card

Context: h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)

Context: h_inter : ∀ I ⊆ s, I.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : ι → Set E

Context: s : Finset ι

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card

Context: h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)

∀ I ⊆ s, I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂ i ∈ I, F i).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : ι → Set E

Context: s : Finset ι

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card

Context: h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)

Context: I : Finset ι

Context: hI_ss : I ⊆ s

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : ι → Set E

Context: s : Finset ι

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card

Context: h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)

Context: I : Finset ι

Context: hI_ss : I ⊆ s

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Finset ι

Context: hI_ss_J : I ⊆ J

Context: hJ_ss : J ⊆ s

Context: hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : ι → Set E

Context: s : Finset ι

Context: h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ s.card

Context: h_convex : ∀ i ∈ s, Convex 𝕜 (F i)

Context: I : Finset ι

Context: hI_ss : I ⊆ s

Context: hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

Context: J : Finset ι

Context: hI_ss_J : I ⊆ J

Context: hJ_ss : J ⊆ s

Context: hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1

(⋂ x ∈ fun a => a ∈ J.val, F x).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x✝ : Set α

x✝ ∈ l ↔ ∃ i, (∃ i_1, p i_1 ∧ s i_1 = i) ∧ id i ⊆ x✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f✝ g✝ : ι → M
s t : Finset ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i

∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ s, g i ↔ ∀ i ∈ s, f i = g i


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁴ : Preadditive C₂

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: K₁ : CochainComplex C₁ ℤ

Context: K₂ : CochainComplex C₂ ℤ

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝² : F.Additive

Context: inst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F

(HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F x).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂)).totalShift₁Iso x).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) x).map (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₂Iso y).hom) = (x * y).negOnePow • (HomologicalComplex₂.total.map (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁)).obj K₂).totalShift₂Iso y).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).map (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₁Iso x).hom) ≫ (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app (K₁.mapBifunctor K₂ F)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁴ : Preadditive C₂

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: K₁ : CochainComplex C₁ ℤ

Context: K₂ : CochainComplex C₂ ℤ

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝² : F.Additive

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F

HomologicalComplex₂.total.map (((K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F x).hom ≫ (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ D x).map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom) ≫ (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁₂CommIso D x y).hom.app (((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂)) (ComplexShape.up ℤ) ≫ (((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ D x).obj (((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂)).totalShift₂Iso y).hom ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex D (ComplexShape.up ℤ)) y).map ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₁Iso x).hom ≫ (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).total (ComplexShape.up ℤ)) = HomologicalComplex₂.total.map ((((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom ≫ (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ D y).map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom) (ComplexShape.up ℤ) ≫ (((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ D x).obj (((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂)).totalShift₂Iso y).hom ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).map ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₁Iso x).hom ≫ (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app (K₁.mapBifunctor K₂ F)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁴ : Preadditive C₂

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: K₁ : CochainComplex C₁ ℤ

Context: K₂ : CochainComplex C₂ ℤ

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝² : F.Additive

Context: x y : ℤ

Context: inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F

Context: a b : ℤ

(𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y)))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) = 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y)))


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
i : I

(RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)) ((ι R) ((DirectSum.lof R I A i) 1)) = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊥), 𝓟 (Iio a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : R1Space α

(∃ K, IsCompact K ∧ ∀ x ∉ K, f x = 1) ↔ HasCompactMulSupport f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂

g ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))


g ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))


g ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))


((h ≫ coeqHom g h) ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))


Context:
x y : ℝ
h : 0 < x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hαβ : s.IsPWO

Context: a : α

Context: f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2

Context: h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})

(f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})).IsPWO


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hαβ : s.IsPWO

Context: a : α

MonotoneOn f (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hαβ : s.IsPWO

Context: a : α

Context: b : Lex (α × β)

Context: hb : b ∈ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a}

Context: c : Lex (α × β)

Context: hc : c ∈ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a}

Context: hbc : b ≤ c


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hαβ : s.IsPWO

Context: a : α

Context: b c : Lex (α × β)

Context: hbc : b ≤ c

Context: hb : (ofLex b).1 = a

Context: hc : (ofLex c).1 = a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hαβ : s.IsPWO

Context: a : α

Context: b c : Lex (α × β)

Context: hbc : b ≤ c

Context: hb : (ofLex b).1 = a

Context: hc : (ofLex c).1 = a

Context: this : (ofLex b).1 < (ofLex c).1 ∨ (ofLex b).1 = (ofLex c).1 ∧ f b ≤ f c


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X : Set α
M : Matroid α
I J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hJB : Disjoint J B
hIJ : I ⊆ J


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}

Context: hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}

∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: hB' : M.Base (M.E \ X)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X

Context: hI : ¬M.Base (M.E \ I)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X

Context: hI : ¬M.Base (M.E \ I)

Context: B'' : Set α

Context: hB'' : M.Base B''

Context: hB''₁ : B' \ I ⊆ B''

Context: hB''₂ : B'' ⊆ B' \ I ∪ B


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X

Context: hI : ¬M.Base (M.E \ I)

Context: B'' : Set α

Context: hB'' : M.Base B''

Context: hB''₁ : B' \ I ⊆ B''

Context: hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X

Context: hI : ¬M.Base (M.E \ I)

Context: B'' : Set α

Context: hB'' : M.Base B''

Context: hB''₁ : B' \ I ⊆ B''

Context: hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ

Context: hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X

Context: hI : ¬M.Base (M.E \ I)

Context: B'' : Set α

Context: hB'' : M.Base B''

Context: hB''₁ : B' \ I ⊆ B''

Context: hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ

Context: hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E

Context: e : α

Context: heI : e ∉ I

Context: heB'' : e ∉ B''

Context: heE : e ∈ M.E


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X

Context: hI : ¬M.Base (M.E \ I)

Context: B'' : Set α

Context: hB'' : M.Base B''

Context: hB''₁ : B' \ I ⊆ B''

Context: hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ

Context: hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E

Context: e : α

Context: heI : e ∉ I

Context: heB'' : e ∉ B''

Context: heE : e ∈ M.E

e ∈ X \ I ∧ (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert e I)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: I✝ B✝ X✝ : Set α

Context: M : Matroid α

Context: I X : Set α

Context: hIE : I ⊆ M.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : Disjoint I B

Context: hXE : X ⊆ M.E

Context: B' : Set α := M.E \ X

Context: hB' : M.Base B'

Context: hX : B' = M.E \ X

Context: hI : ¬M.Base (M.E \ I)

Context: B'' : Set α

Context: hB'' : M.Base B''

Context: hB''₁ : B' \ I ⊆ B''

Context: hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ

Context: hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E

Context: e : α

Context: heI : e ∉ I

Context: heB'' : e ∉ B''

Context: heE : e ∈ M.E

e ∈ X ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint (insert e I) B


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X

(maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B


(fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (X \ B' ∩ M.E)


∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (X \ B' ∩ M.E) b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b (X \ B' ∩ M.E)


∀ ⦃b : Set α⦄, b ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x → Disjoint b x → I' ⊆ b → b ⊆ X → X \ B' ∩ M.E ⊆ b → b ⊆ X \ B' ∧ b ⊆ M.E


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X \ B' ∩ M.E ⊆ J


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'
B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∩ X ∪ B' \ X ∪ B''


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'
B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B' \ X


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'
B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B' \ X
this : B₁ = B'


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X
hne : ¬Disjoint J B₁


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X
hne : ¬Disjoint J B₁
e : α
heJ : e ∈ J
heB' : e ∈ B₁


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B X : Set α
M : Matroid α

∀ (I : Set α), (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I → I ⊆ M.E


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf'' : ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x < 0

∀ x ∈ interior (interior D), deriv (deriv f) x < 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Surjective ⇑f

LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) = lowerCentralSeries R L M₂ k


lowerCentralSeries R L M₂ k ≤ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k)


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)

Context: i : ℕ

(approxChain f) i ≤ f ((approxChain f) i)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}

a ≤ o.cof ↔ ∀ {ι : Type u} (f : ι → Ordinal.{u}), lsub f = o → a ≤ #ι


a ≤ sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a} ↔ ∀ {ι : Type u} (f : ι → Ordinal.{u}), lsub f = o → a ≤ #ι


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁰ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace 𝕜
inst✝⁸ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁷ : ProperSpace 𝕜
inst✝⁶ : CompactIccSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E


closure ((fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1) = (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' closure (Ioo 0 1)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂

dist t.orthocenter ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' {i₁, i₂}))) (circumcenter t)) = circumradius t


(-∑ i₁_1 : PointsWithCircumcenterIndex 2, ∑ i₂_1 : PointsWithCircumcenterIndex 2, (mongePointWeightsWithCircumcenter 0 - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) i₁_1 * (mongePointWeightsWithCircumcenter 0 - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) i₂_1 * (dist (pointsWithCircumcenter t i₁_1) (pointsWithCircumcenter t i₂_1) * dist (pointsWithCircumcenter t i₁_1) (pointsWithCircumcenter t i₂_1))) / 2 = circumradius t * circumradius t


-(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ
i₃ : Fin 3
hi₃ : univ \ {i₁, i₂} = {i₃}
hi₃₁ : i₃ ≠ i₁
hi₃₂ : i₃ ≠ i₂


-(∑ x ∈ {i₃}, ((↑(0 + 1))⁻¹ - if i₃ = i₁ ∨ i₃ = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + ∑ x ∈ {i₁, i₂}, ((↑(0 + 1))⁻¹ - if i₃ = i₁ ∨ i₃ = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if i₃ = i₁ ∨ i₃ = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)) + ∑ x ∈ {i₁, i₂}, (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x ∈ {i₃}, (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + ∑ x ∈ {i₁, i₂}, (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h✝ : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ
i₃ : Fin 3
hi₃ : univ \ {i₁, i₂} = {i₃}
hi₃₁ : i₃ ≠ i₁
hi₃₂ : i₃ ≠ i₂
h : ¬(i₃ = i₁ ∨ i₃ = i₂)

-(∑ x ∈ {i₃}, ((↑(0 + 1))⁻¹ - 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + ∑ x ∈ {i₁, i₂}, ((↑(0 + 1))⁻¹ - 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex i₃)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)) + ∑ x ∈ {i₁, i₂}, (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x ∈ {i₃}, (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + ∑ x ∈ {i₁, i₂}, (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t


-((-2 + 1) * (circumradius t * circumradius t)) = circumradius t * circumradius t


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
m : M

((fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (x + y)) m = ((fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x + (fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) y) m


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
t : R
x : L
m : M

({ toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (t • x)) m = ((RingHom.id R) t • { toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun x) m


({ toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆) m = ⁅{ toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆ m


Context: m n✝ a n : ℕ


Context:
n : ℕ
m : ℝ
hm : 2 ≤ m


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x✝ : X
y : Y
h : e.IsImage s t
x : X
hx : x ∈ e.source


Context:
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : 1 ≤ t
x : X


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: f : G ⧸ H → G

Context: hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q

Context: q₁ q₂ : G ⧸ H

Context: h : (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₁, ⋯⟩ = (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₂, ⋯⟩

⟨f q₁, ⋯⟩ = ⟨f q₂, ⋯⟩


Context:
α : Type u_2
β : α → Type u_1
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (β a)


(l₁.bind fun a => map (Sigma.mk a) (l₂ a)) = (foldl (fun acc a => foldl (fun acc b => acc.push ⟨a, b⟩) acc (l₂ a)) #[] l₁).data


(l₁.bind fun a => map (Sigma.mk a) (l₂ a)) = #[].data ++ l₁.bind ?h.h.h.h.G


∀ (acc : Array ((a : α) × β a)) (a : α), (foldl (fun acc b => acc.push ⟨a, b⟩) acc (l₂ a)).data = acc.data ++ ?h.h.h.h.G a


Context:
α : Type u_2
β : α → Type u_1
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (β a)
acc✝ : Array ((a : α) × β a)
a✝ : α

(foldl (fun acc b => acc.push ⟨a✝, b⟩) acc✝ (l₂ a✝)).data = acc✝.data ++ map (Sigma.mk a✝) (l₂ a✝)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype ι
s : Finset κ
g : ι → κ → α

∑ f ∈ piFinset fun x => s, ∏ i : ι, g i (f i) = ∏ i : ι, ∑ j ∈ s, g i j


Context: m n : ℕ

Context: hd : m ∣ n

Context: hs : IsSquare (-1)

Context: f : ZMod n →+* ZMod m := castHom hd (ZMod m)


Context: m n : ℕ

Context: hd : m ∣ n

Context: hs : IsSquare (-1)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
d : G.Dart
h : d ∈ p.darts


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: x✝ : S ⧸ P

Context: x : S

Context: y✝ : S ⧸ P

Context: y : S

Context: h : (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) (Quotient.mk'' x) = (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) (Quotient.mk'' y)


Context: R : Type u

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Context: S : Type v

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Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

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Context: hi : i < e

Context: a : S

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Context: x✝ : S ⧸ P

Context: x : S

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Context: y : S

Context: Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)


Context: R : Type u

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Context: y : S

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Context: h : ∃ y_1, ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) y_1) = (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)


Context: R : Type u

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Context: z : S

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Context: h : ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨Quot.mk Setoid.r z, hz⟩) = (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)


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Context: x : S

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Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: z : S

Context: hz✝ : Quot.mk Setoid.r z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))

Context: hz : z ∈ P ^ (i + 1)

Context: h : ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨Quot.mk Setoid.r z, hz✝⟩) = (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)


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Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: z : S

Context: hz : z ∈ P ^ (i + 1)

Context: h : z - a * (x - y) ∈ P ^ e


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionMonoid α


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume

∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)


Context: E : Type u

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Context: E : Type u

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Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

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Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

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Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

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Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: inst✝ : CompleteSpace E

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Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: hs : s.Countable

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Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: hI_tendsto : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Tendsto (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).upper i) x_1) i) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).lower i) x_1) i)) atTop (𝓝 (∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))

Context: hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

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Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

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Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

∀ (i : Fin (n + 1)) (c : ℕ → ℝ) (d : ℝ), (∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) → Tendsto c atTop (𝓝 d) → Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))

Context: HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x

Context: HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume

Context: HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth (c x) x_1) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

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Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))

Context: hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

Context: Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume

Context: H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : dist (c k) d < δ

dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))

Context: HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x

Context: HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume

Context: HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: k : ℕ

Context: hk : dist (c k) d < δ

Context: Hsub : Box.Icc ((J k).face i) ⊆ Box.Icc (I.face i)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))

Context: hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))

Context: hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))

Context: hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I

Context: i : Fin (n + 1)

Context: c : ℕ → ℝ

Context: d : ℝ

Context: hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

Context: hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)

Context: hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

Context: Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: δpos : δ > 0

Context: hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)

Context: k : ℕ

Context: hk : dist (c k) d < δ

‖∫ (a : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d a) i - f (i.insertNth (c k) a) i ∂volume‖ ≤ ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S

(p * q).smeval x = p.smeval x * q.smeval x


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
f : ⊤ ↪g G


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.201719}
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α

lift.{v, u} #↑(⋃ i, f i) ≤ lift.{u, v} #ι * ⨆ i, lift.{v, u} #↑(f i)


(sum fun i => #↑(f i)) = sum fun i => lift.{v, u} #↑(f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∈ s


Context:
m n : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ m * n


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
f : X → Y
h : Continuous f
t : ↑I

((γ.trans γ').map h) t = ((γ.map h).trans (γ'.map h)) t


f (if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩) = if h_1 : ↑t ≤ 1 / 2 then (γ.map h) ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else (γ'.map h) ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
x a : α
l : List α
h : x ∈ (a :: l).head?


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
x a : α
l : List α
h : a = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α

(∃ s, G.IsNClique 3 s) ↔ ∃ u w, w.IsCycle ∧ w.length = 3


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a b : M
h : a * b = 1


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a b : M
h : b * a = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
x✝ : 𝒜.Nonempty
t : Finset α
ht : t ⊆ ∅
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V

(dualAnnihilator W).dualCoannihilator = W


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V

v ∉ W → v ∉ (dualAnnihilator W).dualCoannihilator


v ∉ W → ¬∀ (φ : Module.Dual K V), (∀ w ∈ W, φ w = 0) → φ v = 0


(¬∀ (φ : Module.Dual K (V ⧸ W)), φ (Submodule.Quotient.mk v) = 0) → ¬∀ (φ : Module.Dual K V), (∀ w ∈ W, φ w = 0) → φ v = 0


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: W : Subspace K V

Context: v : V

Context: x✝ : ∃ φ, φ (Submodule.Quotient.mk v) ≠ 0

Context: φ : Module.Dual K (V ⧸ W)

Context: hφ : φ (Submodule.Quotient.mk v) ≠ 0

Context: w : V

Context: hw : w ∈ W


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x y : ↥K

(inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α

s ∈ f ↔ f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f

(f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f = MulActionHom.id M


∀ (x : X), ((f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f) x = (MulActionHom.id M) x


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : X

((f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f) x = (MulActionHom.id M) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsGLB s a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α

(xs ++ ys).enum = xs.enum ++ enumFrom xs.length ys


Context: x : ℝ

WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ici ↑↑x = Ici x


Context: x : ℝ

WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ici ↑↑x) = Ici x


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯

(s.erase a).noncommProd comm' * a = s.noncommProd comm


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s.erase a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute

Context: hb : a ∈ s.erase a