Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: y : H

ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: y : H

∀ x_1 ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source), (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) x_1 = id x_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: y : H

Context: z : E

Context: hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)

↑I (e (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm (↑I.symm z))) = z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝² : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: e : M → H

Context: h : OpenEmbedding e

Context: inst✝ : Nonempty M'

Context: e' : M' → H'

Context: h' : OpenEmbedding e'

Context: n : WithTop ℕ

Context: this : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: y : H

Context: z : E


Context:
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace β
f : α → β
inst✝ : T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u✝ : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
u : Finset ι
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hf : ∀ i ∈ u, ContDiff 𝕜 N (f i)
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => ∏ j ∈ u, f j x) x‖ ≤ ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).multinomial * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDeriv 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

condexpIndL1 hm μ s x = condexpIndL1Fin hm hs hμs x


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f

Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)


Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

(𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | dist p.1 p.2 < ε}


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys

Pairwise (fun a_1 b_1 => ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d) l₁


∀ {a_1 b_1 : Sigma β}, a_1.fst ≠ b_1.fst → ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
x y : Sigma β
h : x.fst ≠ y.fst
h_2 : a = x.fst
h_1 : a = y.fst


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ

minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : CommRing L

Context: inst✝¹ : IsDomain L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: σ : L →ₐ[K] L

Context: hσ : IsOfFinOrder σ

Context: this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : CommRing L

Context: inst✝¹ : IsDomain L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: σ : L →ₐ[K] L

Context: hσ : IsOfFinOrder σ

minpoly K σ.toLinearMap = minpoly K ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit).toLinearMap


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : CommRing L

Context: inst✝¹ : IsDomain L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: σ : L →ₐ[K] L

Context: hσ : IsOfFinOrder σ

IsOfFinOrder ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0) → f = 0

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: hfg : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: η : Type u_5

Context: s : η → Set E

Context: hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ (i : η), Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
p : G.Walk u✝ v✝
hnp : ¬p.Nil
u v w : V
huv : G.Adj u v
q : G.Walk v w

(notNilRec (fun {u v w} x q => q) (cons huv q) ⋯).support = (cons huv q).support.tail


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hs : NullMeasurableSet ∅ μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
hs' : s.Nonempty


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : s.Nonempty


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : μ (symmDiff s t) = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ

IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ

γ = (γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Finite α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Infinite α


Context: a : ℕ


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

HasDerivAt (fun x => √x * log x) ((2 + log x) / (2 * √x)) x


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

BijOn (fun x => x + d) (Ici a) (Ici (a + d))


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d x✝ : M
h : x✝ ∈ Ici (a + d)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a + d + c ∈ Ici (a + d)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a ≤ a + c


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
s t : Set X

t ∈ 𝓝ˢ s ↔ ∃ i, (IsOpen i ∧ s ⊆ i) ∧ i ⊆ t


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

M✶.Dep I ↔ (∀ (B : Set α), M.Base B → (I ∩ B).Nonempty) ∧ I ⊆ M.E


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

Context: sx : Simplex ℝ P n

Context: hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

Context: sx : Simplex ℝ P n

Context: hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps

Context: hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: c : P

Context: hc✝ : c ∈ s

Context: r : ℝ

Context: hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

Context: sx : Simplex ℝ P n

Context: hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps

Context: hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range sx.points)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f₁ : ι → κ

Context: f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)

Context: h : Injective f₁

OpenEmbedding (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding (f₂ i)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
h✝ : IsEmpty α


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
h✝ : Nonempty α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E

μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑f.symm| * μ s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E
A : LinearMap.det ↑f ≠ 0


LinearMap.det ↑f.symm = (LinearMap.det ↑f)⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: n m : ℕ

Context: h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a

Context: h_lt : n < m

Context: this : succ (succ^[n] a) = succ^[n + 1] a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: n m : ℕ

Context: h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a

Context: h_lt : n < m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : SuccOrder α

Context: a b : α

Context: n m : ℕ

Context: h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a

Context: h_lt : n < m

Context: h_le : n + 1 ≤ m


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity k R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k
i : ℤ := n % ↑↑k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k
i : ℤ := n % ↑↑k
hi0 : 0 ≤ i


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

Context: inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hab : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ

Context: hf : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hu : Tendsto u lt lb

Context: hv : Tendsto v lt lb

(fun t => ∫ (x : ℝ) in a..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ


Context: n : Nat


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : Filter α
s t : Set α

s ∈ f ⊓ 𝓟 t ↔ tᶜ ∪ s ∈ f


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0


EMetric.ball x ↑ε = EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ↑ε)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_3} E

Context: L₁ : C ⥤ D

Context: L₂ : C ⥤ E

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W

Context: e : L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor ≅ L₂ := Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W

(Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ φ.map L₂ ⋯ ≫ (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).inv.app Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_3} E

Context: L₁ : C ⥤ D

Context: L₂ : C ⥤ E

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W

Context: this : IsIso (L₂.map φ.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_3} E

Context: L₁ : C ⥤ D

Context: L₂ : C ⥤ E

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W

Context: inst✝ : L₂.IsLocalization W

Context: this : IsIso (L₂.map φ.s)

(Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) ≫ (L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor).map φ.s ≫ e.hom.app φ.Y' = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ L₂.map φ.f


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t

(interedges r s t).card = ∑ ab ∈ P.parts ×ˢ Q.parts, (interedges r ab.1 ab.2).card


∑ a ∈ P.parts, (interedges r a t).card = ∑ x ∈ P.parts, ∑ y ∈ Q.parts, (interedges r (x, y).1 (x, y).2).card


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t
x✝ : Finset α

(interedges r x✝ t).card = ∑ y ∈ Q.parts, (interedges r (x✝, y).1 (x✝, y).2).card


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J

(isoProduct f).inv ≫ π f j = lift (Pi.π f) ≫ π f j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
C : ℝ
g : α → E
g' : α → F
h : ‖g x‖ ≤ C * ‖g' x‖

IsBigOWith C (𝓝[insert x s] x) g g' ↔ IsBigOWith C (𝓝[s] x) g g'


Context: s : ℂ

completedRiemannZeta₀ (1 - s) = completedRiemannZeta₀ s


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (k : κ), β (h.symm k)
i : ι


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι

((fun f => mapRange (fun i => ⇑(Equiv.cast ⋯)) ⋯ (comapDomain' ⇑h ⋯ f)) (comapDomain' ⇑h.symm ⋯ f)) i = f i


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (k : κ), β (h.symm k)
k : κ

(comapDomain' ⇑h.symm ⋯ ((fun f => mapRange (fun i => ⇑(Equiv.cast ⋯)) ⋯ (comapDomain' ⇑h ⋯ f)) f)) k = f k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
g' : Q →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

lTensor P g' ∘ₗ map f g = map f (g' ∘ₗ g)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: ι : Type u_3

Context: μs : ι → Measure X

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: f : X →ᵇ E

Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: ι : Type u_3

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ E

Context: v : E

Context: hv : v ∈ Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: ι : Type u_3

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ E

Context: v : E

Context: i : ι

Context: hi : (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i = v

‖(fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i‖ ≤ ‖f‖


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝¹ : HasAffineProperty P Q

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

(∀ (i : 𝒰.J), Q (f ∣_ ↑⟨Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i), ⋯⟩)) ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₂ : ι
a₁ : A
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝ : HasGroupoid M G

Context: s : Opens M

Context: t : Opens H

Context: ht : Nonempty ↥t

Context: e' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: xset : Set (PartialHomeomorph (↥t) H)

Context: he' : e' ∈ xset

Context: x : ↥t

Context: hx : (fun x => {(chartAt H ↑x).subtypeRestr ⋯}) x = xset

∃ x, e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr ht


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R

(cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) (algebraMap₀ s)) = algebraMap₀ (r * s)


(cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) (algebraMap₀ s)) = r • algebraMap₀ s


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
as : List α

findIdxs (fun b => decide (p b)) as = map Prod.fst (indexesValues (fun b => decide (p b)) as)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α

∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible t) ∧ ↑s = ⋃₀ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Closeds α)
hSf : S.Finite
hS : ∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t

∃ S_1, S_1.Finite ∧ (∀ t ∈ S_1, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S_1, IsIrreducible t) ∧ ↑(sSup S) = ⋃₀ S_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Finset (Closeds α)
hS : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible ↑t


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥


LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) = ⊥


LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) ≤ derivedSeries R L k


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : ⇑f ∘ ι R = ⇑g ∘ ι R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : (lift R).symm f = (lift R).symm g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsDetecting 𝒢

Context: X : C

Context: P Q : Subobject X

Context: h₁ : P ≤ Q

Context: h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsDetecting 𝒢

Context: X : C

Context: P Q : Subobject X

Context: h₁ : P ≤ Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsDetecting 𝒢

Context: X : C

Context: P Q : Subobject X

Context: h₁ : P ≤ Q

Context: G : C

Context: hG : G ∈ 𝒢

Context: f : G ⟶ underlying.obj Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsDetecting 𝒢

Context: X : C

Context: P Q : Subobject X

Context: h₁ : P ≤ Q

Context: G : C

Context: hG : G ∈ 𝒢

Context: f : G ⟶ underlying.obj Q

Context: this : P.Factors (f ≫ Q.arrow)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα✝ : α ≠ 0
n : ℕ
hn : n ≤ chainTopCoeff α β
hα : ¬α = 0


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : ι → α

∏ j ∈ t, ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f i = ∏ i ∈ s, f i


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B B' X Y Y' : C
i : A ⟶ B
i' : B ⟶ B'
p : X ⟶ Y
p' : Y ⟶ Y'
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.op Y ⟶ Opposite.op B
g : Opposite.op X ⟶ Opposite.op A
sq : CommSq f p.op i.op g


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F


Context:
N✝ N : ℕ
A : ↥(Gamma0 N)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ


(∀ (a b : α), (∀ s ∈ 𝓤 α, (a, b) ∈ s) → a = b) → ∀ (x : α), ∀ s ∈ 𝓤 α, (x, x) ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α

y ∈ ConnectedComponents.mk ⁻¹' {ConnectedComponents.mk x} ↔ y ∈ connectedComponent x


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Subsingleton G


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : 0 + m • g ∈ Ioc a (a + g)


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : m • g ∈ Ioc a (a + g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
b : β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y'
h : F.obj X' ⟶ Y
k : Y ⟶ Y'
w : F.map f ≫ g = h ≫ k

f ≫ (adj.homEquiv X Y') g = (adj.homEquiv X' Y) h ≫ G.map k


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α →ₛ ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: c : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0

Context: a✝ : Disjoint (Function.support ↑f₁) (Function.support ↑f₂)

Context: h₁ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₁ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε

Context: h₂ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₂ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε

Context: int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(f₁ + f₂) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharP R 2


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: α : Ext X Y n

Context: m : ℕ

Context: β : Ext Y Z m

Context: p : ℕ

Context: h : n + m = p

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C


Context:
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R


(fun x => Nat.factorial 1 • x) (multichoose r 1) = (fun x => Nat.factorial 1 • x) (r ^ 1)


Nat.factorial 1 • multichoose r 1 = Nat.factorial 1 • r ^ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Finite


Context: x y : ℝ

cosh (x + y) = cosh x * cosh y + sinh x * sinh y


Context: x y : ℝ

↑(cosh (x + y)) = ↑(cosh x * cosh y + sinh x * sinh y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiffOn I I' n f univ ↔ ContMDiff I I' n f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = t.encard


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

(↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys))).minimum


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

∀ (a : δ), a ∈ ↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys)) → (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ ↑a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

∀ (a : δ), a ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' (y :: ys)) xs.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

∀ (a : List α), a <:+ xs → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

(List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

(List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C a ys)).minimum


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

(List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails).minimum


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

∀ (a_1 : δ), a_1 ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

Context: a' : List α

Context: suff' : a' <:+ a

(List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a' ys)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

Context: a' : List α

Context: suff' : a' <:+ a

levenshtein C a' ys ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: a : List α

Context: suff : a <:+ xs

Context: a' : List α

Context: suff' : a' <:+ a

∃ a, a <:+ xs ∧ levenshtein C a ys = levenshtein C a' ys


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : R
n : ℕ
ih : span {s} ^ n = span {s ^ n}


Context: R✝ : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: I✝ J K L : Ideal R✝

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: a b : ι

Context: hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime

Context: I : Ideal R

Context: this : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ i ∈ s, I ≤ f i

↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i


Context: R✝ : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: I✝ J K L : Ideal R✝

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: a b : ι

Context: I : Ideal R

Context: aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), I ≤ f x


Context: R✝ : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: I✝ J K L : Ideal R✝

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: a b : ι

Context: I : Ideal R

Context: this aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x ∈ s, I ≤ f x


Context: R✝ : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: I✝ J K L : Ideal R✝

Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → Ideal R

Context: a b : ι

Context: I : Ideal R

Context: x✝ : ∃ i ∈ s, I ≤ f i

Context: i : ι

Context: his : i ∈ s

Context: hi : I ≤ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
A : Fintype ↑∅ := Fintype.ofIsEmpty


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal R

Context: J : Ideal A

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain B

Context: L✝ : Ideal B

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : DecidableEq (Ideal A)

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hJ : J ≠ ⊥

Context: L : Ideal R

Context: hL : L ∈ normalizedFactors I

multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivOfQuotEquiv f hI hJ) ⟨L, hL⟩)) J = multiplicity L I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal R

Context: J : Ideal A

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain B

Context: L✝ : Ideal B

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : DecidableEq (Ideal A)

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hJ : J ≠ ⊥

Context: L : Ideal R

Context: hL : L ∈ normalizedFactors I

multiplicity (↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨↑⟨L, hL⟩, ⋯⟩)) J = multiplicity L I


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : IsDedekindDomain A

Context: I : Ideal R

Context: J : Ideal A

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain B

Context: L✝ : Ideal B

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain R

Context: f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J

Context: inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)

Context: inst✝² : DecidableEq (Ideal A)

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hJ : J ≠ ⊥

Context: L : Ideal R

Context: hL : L ∈ normalizedFactors I

∀ (l l' : { l // l ∣ I }), ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l') ↔ ↑l ∣ ↑l'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

Set.uIcc a c ⊆ Set.uIcc a b ∪ Set.uIcc b c


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsJacobson R


∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α'
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β'
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SFinite ν
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
L : Type u_8
inst✝ : _root_.RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β

∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν


∫ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M

ker (rTensor Q N.mkQ) = range (rTensor Q N.subtype)


Exact ⇑(rTensor Q N.subtype) ⇑(rTensor Q N.mkQ)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R N₁

Context: inst✝³ : Module R N₂

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : Preorder P

Context: inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Q₁ : QuadraticMap R M₁ P

Context: Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

(∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ (Q₁.prod Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R N₁

Context: inst✝³ : Module R N₂

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : Preorder P

Context: Q₁ : QuadraticMap R M₁ P

Context: Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

(∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence

T ⊨ᵇ φ ↔ ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable


(∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ↔ ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: φ : L.Sentence

Context: h : ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType

Context: M : T.ModelType


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ¬↑M ⊨ φ

Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ
ψ : L.Sentence
hψ : ψ ∈ T ∪ {Formula.not φ}
h' : ψ ∈ {Formula.not φ}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : Continuous' f


∀ (s : Set (Scott β)), IsOpen s → IsOpen (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: s : Set (Scott β)

Context: hs : Monotone fun x => x ∈ s

Context: hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }

Context: hf : Monotone f

Context: hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: s : Set (Scott β)

Context: hs : Monotone fun x => x ∈ s

Context: hf : Monotone f

OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := s ∘ f, monotone' := ?intro.intro.hf }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: f : Scott α → Scott β

Context: s : Set (Scott β)

Context: hs : Monotone fun x => x ∈ s

Context: hf : Monotone f


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty

Context: ζ : K

Context: hζ : ζ ∈ primitiveRoots (finrank K L) K

∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: v : L

Context: hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: v : L

Context: hv' : ∀ (n : ℕ), (σ.toLinearMap ^ n) v = ζ ^ n • v


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: v : L

Context: hv' : ∀ (n : ℕ), (σ ^ n) v = ζ ^ n • v


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
e✝ : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
b✝ : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
i✝ j✝ : ι'

(b.reindex e).toMatrix v i✝ j✝ = (b.toMatrix v).submatrix (⇑e.symm) _root_.id i✝ j✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = g ≫ h

Context: inst✝² : HasCoequalizer f g

Context: inst✝¹ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)

Context: inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f g) G

Context: W : D

Context: k : G.obj Y ⟶ W

Context: wk : G.map f ≫ k = G.map g ≫ k

G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ coequalizer.desc k wk = k


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
j✝ : (OpenNhds (f y))ᵒᵖ

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f y))ᵒᵖ (Opens ↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f y)).op).obj ((pushforward C f).obj F)) j✝ ≫ ((pushforward C f).obj F).stalkSpecializes ⋯ ≫ colim.map (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f x).inv) F) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F) (OpenNhds.map f x).op = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f y))ᵒᵖ (Opens ↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f y)).op).obj ((pushforward C f).obj F)) j✝ ≫ (colim.map (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f y).inv) F) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds y)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion y).op).obj F) (OpenNhds.map f y).op) ≫ F.stalkSpecializes h


(whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f x).inv) F).app (op { obj := (unop j✝).obj, property := ⋯ }) ≫ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F) ((OpenNhds.map f x).op.obj (op { obj := (unop j✝).obj, property := ⋯ })) = (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f y).inv) F).app j✝ ≫ (Cocone.whisker (OpenNhds.map f y).op { pt := (stalkFunctor C x).toPrefunctor.1 F, ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } }).ι.app j✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocMod hp a (b + m • p) = toIocMod hp a b


b + m • p - (toIocDiv hp a b • p + m • p) = b - toIocDiv hp a b • p


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R
h✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length

drop (Nat.sum (take i (map length L))) (take (Nat.sum (take (i + 1) (map length L))) L.join) = L[i]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: L : List (List α)

Context: i : ℕ

Context: h : i < L.length

Context: this : take i (map length L) = take i (map length (take (i + 1) L))


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : ι → X
x : X
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 x)
this : TopologicalSpace ι := ⊥
h : DiscreteTopology ι


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : ι → X
x : X
this : TopologicalSpace ι := ⊥
hf : Tendsto f (cocompact ι) (𝓝 x)
h : DiscreteTopology ι


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α

DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝 x = pure x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s t : Set α
h : s ⊆ t
hs : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' s)
u : Set α
hu : MeasurableSet u

MeasurableSet (inclusion h '' (Subtype.val ⁻¹' u))


inclusion h '' (Subtype.val ⁻¹' u) = Subtype.val ⁻¹' u ∩ Subtype.val ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s t : Set α
h : s ⊆ t
hs : MeasurableSet (Subtype.val ⁻¹' s)
u : Set α
hu : MeasurableSet u
x : α
hx : x ∈ t

⟨x, hx⟩ ∈ inclusion h '' (Subtype.val ⁻¹' u) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' u ∩ Subtype.val ⁻¹' s


Context:
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.FiniteType
hg : g.FiniteType


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
v'' : Basis ι'' 𝕜 E''
hv'' : Orthonormal 𝕜 ⇑v''
e' : ι' ≃ ι''
i : ι

((hv.equiv hv' e).trans (hv'.equiv hv'' e')) (v i) = (hv.equiv hv'' (e.trans e')) (v i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
xs : List α
h : x ∈ xs


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hqf : IsField (R ⧸ I)


1 ∉ I ∧ ∀ (J : Ideal R) (x : R), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹⁰ : EMetricSpace X
inst✝⁹ : EMetricSpace Y
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : BorelSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
r✝ : 𝕜
hr : r✝ ≠ 0
s✝ : Set E
r : 𝕜
a✝ : r ≠ 0
s : Set E


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M

FG L M ↔ ∃ S, S.Finite ∧ (closure L).toFun S = ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R

f ∈ vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α →ᵇ 𝕜

⟪(BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f, (BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g⟫_𝕜 = ∫ (x : α), (starRingEnd 𝕜) (f x) * g x ∂μ


(fun a => ⟪↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α →ᵇ 𝕜

Context: hf_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α →ᵇ 𝕜

Context: hg_ae : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᶠ[ae μ] ⇑g


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α →ᵇ 𝕜

Context: a✝ : α

Context: hf : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = f a✝

Context: hg : ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = g a✝

⟪↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝, ↑↑((BoundedContinuousFunction.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (f a✝) * g a✝


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α
h : (swap a b) x ≠ x


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α
h : x ≠ a ∧ x ≠ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: π : α → β

Context: s : Set β

Context: a : α

Context: hs : s ∈ 𝓝 (π a)

Context: this : TopologicalSpace β := TopologicalSpace.coinduced π inst✝

π ⁻¹' s ∈ 𝓝 a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: π : α → β

Context: s : Set β

Context: a : α

Context: hs : s ∈ 𝓝 (π a)

Context: V : Set β

Context: hVs : V ⊆ s

Context: V_op : IsOpen V

Context: mem_V : π a ∈ V

π ⁻¹' s ∈ 𝓝 a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

WfDvdMonoid α → WellFounded fun x x_1 => x < x_1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousAt F x₀


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
t : κ → TopologicalSpace X'
F : ι → X' → α
x₀ : X'
k : κ
hk : EquicontinuousWithinAt F univ x₀


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf L
inst✝ : ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi f


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi f
this : Epi (F.map f ≫ (α.app Y).hom)


G.map f = (α.app X).inv ≫ F.map f ≫ (α.app Y).hom


Context:
E : Type u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Countable


Context:
E : Type u
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s.Countable
H : ¬interior s = ∅


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : (setOf p).Finite
n : ℕ


(filter p (range n)).card ≤ hp.toFinset.card


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : P f

Context: U : ↑Y.affineOpens

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : ∀ (U : ↑Y.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)

Context: U : ↑Y.affineOpens

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
f : Module.End R M
i : ι

((fromEnd R b) f) (Pi.single i 1) = f (b i)


f (((Fintype.total R R) b) (Pi.single i 1)) = f (b i)


((Fintype.total R R) b) (Pi.single i 1) = b i


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hsg : t = generateFrom s
hsi : FiniteInter s


s = (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}


(fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s} ≤ s


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hsg : t = generateFrom s
hsi : FiniteInter s
g : Finset (Set α)
hgs : ↑g ⊆ s


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : RankCondition R

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: f : (α → R) →ₗ[R] β → R

Context: i : Surjective ⇑f

Context: P : (Fin (Fintype.card α) → R) ≃ₗ[R] α → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin α)

Context: Q : (Fin (Fintype.card β) → R) ≃ₗ[R] β → R := LinearEquiv.funCongrLeft R R (Fintype.equivFin β)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ t


Context: a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t x✝¹ x✝ : V


(x✝¹ = s ∧ x✝ = s ∨ x✝¹ = s ∧ x✝ = s) ∧ x✝¹ ≠ x✝ ↔ ⊥.Adj x✝¹ x✝


Context: m n k : ℤ

(m * n).lcm (k * n) = m.lcm k * n.natAbs


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f' : 𝕜 → G
s : Set 𝕜
x✝ y✝ : 𝕜
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : 𝕜), deriv f x = 0
x y z : 𝕜


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F s x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

u₀ ∈ map (fun x_1 => (f x_1, f x)) (𝓝[s] x)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: u₂ : Set (β × β)

Context: h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β

Context: hsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ u₂ → (b, a) ∈ u₂

Context: u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: u₂ : Set (β × β)

Context: h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β

Context: u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁

Context: t : Set α

Context: tx : t ∈ 𝓝[s] x

Context: F : α → β

Context: hFc : ContinuousWithinAt F s x

Context: hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: u₂ : Set (β × β)

Context: h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β

Context: u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁

Context: t : Set α

Context: tx : t ∈ 𝓝[s] x

Context: F : α → β

Context: hFc : ContinuousWithinAt F s x

Context: hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂

Context: A : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (f y, F y) ∈ u₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: u₂ : Set (β × β)

Context: h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β

Context: u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁

Context: t : Set α

Context: tx : t ∈ 𝓝[s] x

Context: F : α → β

Context: hFc : ContinuousWithinAt F s x

Context: hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂

Context: B : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (F y, F x) ∈ u₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: u₂ : Set (β × β)

Context: h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β

Context: u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁

Context: t : Set α

Context: tx : t ∈ 𝓝[s] x

Context: F : α → β

Context: hFc : ContinuousWithinAt F s x

Context: hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂

Context: C : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, (f y, F x) ∈ u₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F✝ : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: hx : x ∈ s

Context: u₀ : Set (β × β)

Context: hu₀ : u₀ ∈ 𝓤 β

Context: u₁ : Set (β × β)

Context: h₁ : u₁ ∈ 𝓤 β

Context: u₁₀ : u₁ ○ u₁ ⊆ u₀

Context: u₂ : Set (β × β)

Context: h₂ : u₂ ∈ 𝓤 β

Context: u₂₁ : u₂ ○ u₂ ⊆ u₁

Context: t : Set α

Context: tx : t ∈ 𝓝[s] x

Context: F : α → β

Context: hFc : ContinuousWithinAt F s x

Context: hF : ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u₂

Context: this : (F x, f x) ∈ u₁


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: r : ι ↪ M

Context: c : ι → Dual R M

Context: hfin : (range ⇑r).Finite

Context: h_two : ∀ (i : ι), (c i) (r i) = 2

Context: h_mapsTo : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (r i) (c i))) (range ⇑r) (range ⇑r)

Context: i j : ι

Context: hij : (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c i) = (span R (range ⇑r)).subtype.dualMap (c j)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: r : ι ↪ M

Context: c : ι → Dual R M

Context: hfin : (range ⇑r).Finite

Context: h_two : ∀ (i : ι), (c i) (r i) = 2

Context: i j : ι


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: x : M

Context: f : Dual R M

Context: y : M

Context: g : Dual R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: r : ι ↪ M

Context: c : ι → Dual R M

Context: hfin : (range ⇑r).Finite

Context: h_two : ∀ (i : ι), (c i) (r i) = 2

Context: i j : ι

Context: k : ι


Context: a b c d m n k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1

Context: of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯

Context: self : motive n ⋯

Context: smn : m + 1 ≤ n

Context: mn : m ≤ n

decreasingInduction of_succ self mn = of_succ m smn (decreasingInduction of_succ self smn)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'

(chartAt H x.1).prod (chartAt H' x.2).toPartialEquiv ≫ I.prod I'.toPartialEquiv = ((chartAt H x.1).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).prod ((chartAt H' x.2).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv)


Context: x : ℝ*

x⁻¹⁻¹.Infinitesimal ∧ 0 < x⁻¹⁻¹ ↔ x.Infinitesimal ∧ 0 < x


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : n ∉ p.support


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n = 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
a b : ℝ≥0
hpq : p ≤ q
hab : a ≤ b


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
a b : ℝ≥0
hpq : p ≤ q
hab : a ≤ b
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E

∀ (r : ℝ), inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y


(fun r => inner_ 𝕜 (↑r • x) y) = fun r => (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y


Continuous fun r => (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
X : ℚ

((fun r => inner_ 𝕜 (↑r • x) y) ∘ Rat.cast) X = ((fun r => (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y) ∘ Rat.cast) X


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁ : p ∈ altitude t i₁
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: i₁ i₂ : Fin 3

Context: p : P

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: i₃ : Fin 3

Context: h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁

Context: h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: ha : ∀ (i : Fin 3), i₃ ≠ i → p ∈ mongePlane t i₃ i


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

‖Polynomial.eval a F‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i : m
k : n
j : m
k' : n

(leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k') = blockDiagonal (fun x_1 => (leftMulMatrix b) x) (i, k) (j, k')


(leftMulMatrix b) (if (i, k).2 = (j, k').2 then (algebraMap S S) x else 0) (i, k).1 (j, k').1 = if (i, k).2 = (j, k').2 then (leftMulMatrix b) x (i, k).1 (j, k').1 else 0


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : finrank K V = 1
x : V
hx : x ≠ 0
y : V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : finrank K V = 1
x : V
hx : x ≠ 0
y : V
this : span K {x} = ⊤


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : finrank K V = 1
x : V
hx : x ≠ 0
y : V
this✝ : span K {x} = ⊤
this : y ∈ span K {x}


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
e : H = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
e : H = ⊥
x : L
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
e : H = ⊥
x : L
hx : x ≠ 0
this : x ∈ H.normalizer


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hc : G.chromaticNumber = ⊤


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hc : G.chromaticNumber ≠ ⊤


Context: a b : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

HasStrictFDerivAt Φ Φ' x ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => Φ x i) ((proj i).comp Φ') x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i