Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
hf : LinearMap.range f = ⊤

LinearMap.range (f.domRestrict S) = ⊤ ↔ S ⊔ LinearMap.ker f = ⊤


LinearMap.range (f.domRestrict S) = LinearMap.range f ↔ S ⊔ LinearMap.ker f = ⊤


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤

Context: n : ℕ

Context: hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥

Context: hk' : I.lcs M k = ⊥


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥

Context: hk' : I.lcs M k = ⊥

∀ (l : ℕ), lowerCentralSeries R L M (l * n) ≤ I.lcs M l


Context: m n k : ℤ

(m * n).lcm (m * k) = m.natAbs * n.lcm k


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
g h : G

(orbitRel (ConjAct G) G).Rel g h = IsConj g h


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)

Context: s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)

IsOpen s ↔ IsOpen (Prod.map mk mk ⁻¹' s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)

Context: hs : IsOpen (Prod.map mk mk ⁻¹' s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x✝¹ y✝ z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hsurj : Surjective (Prod.map mk mk)

Context: hs : IsOpen (Prod.map mk mk ⁻¹' s)

Context: x✝ : X × Y

Context: x : X

Context: y : Y

Context: h : Prod.map mk mk (x, y) ∈ s


Context: k : ℕ

derivative (bernoulli (k + 1)) = (↑k + 1) * bernoulli k


Context: k : ℕ

∑ x ∈ range (k + 1 + 1), (monomial (k - x)) (_root_.bernoulli x * ↑((k + 1).choose x) * ↑(k + 1 - x)) = (↑k + 1) * ∑ i ∈ range (k + 1), (monomial (k - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(k.choose i))


Context: k : ℕ

∑ x ∈ range (k + 1), (monomial (k - x)) (_root_.bernoulli x * ↑((k + 1).choose x) * ↑(k + 1 - x)) = ∑ i ∈ range (k + 1), (↑k + 1) * (monomial (k - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(k.choose i))


Context:
k m : ℕ
x✝ : m ∈ range (k + 1)

(monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑((k + 1).choose m) * ↑(k + 1 - m)) = (↑k + 1) * (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑(k.choose m))


Context:
k m : ℕ
x✝ : m ∈ range (k + 1)

(monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑((k + 1).choose m) * ↑(k + 1 - m)) = (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑(k.choose m) * ↑(k + 1))


Context:
k m : ℕ
x✝ : m ∈ range (k + 1)

(monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑((k + 1).choose m * (k + 1 - m))) = (monomial (k - m)) (_root_.bernoulli m * ↑(k.choose m * (k + 1)))


Context:
k m : ℕ
x✝ : m ∈ range (k + 1)

(k + 1).choose m * (k + 1 - m) = k.choose m * (k + 1)


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h : LiftRel r s x y


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
r : R


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2

¬IsSuccLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMax b ∧ succ b = a


(∃ b, b ⋖ a) ↔ ∃ b, ¬IsMax b ∧ succ b = a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
b✝ : α
C : α → Sort u_2
b : α
h : ¬IsMax b


Context:
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame

(-mk xl xr xL xR).birthday = (mk xl xr xL xR).birthday


max (lsub fun i => ((-mk xl xr xL xR).moveRight i).birthday) (lsub fun i => ((-mk xl xr xL xR).moveLeft i).birthday) = max (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR).moveLeft i).birthday) (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR).moveRight i).birthday)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing K
a b : K
A : Type u_4
inst✝ : DivisionRing A
m : ℚ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α

Ico a b ∩ Ico c d = Ico (max a c) (min b d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
hf : Injective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : InjOn f₁ s₁
h₂ : InjOn f₂ s₂
x : α₁ × α₂
hx : x ∈ s₁ ×ˢ s₂
y : α₁ × α₂
hy : y ∈ s₁ ×ˢ s₂

(fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) x = (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) y → x = y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : ι → Function.End α

Context: K : ι → ℝ≥0

Context: h : ∀ (i : ι), LipschitzWith (K i) (f i)

LipschitzWith (List.map K []).prod (List.map f []).prod


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : ι → Function.End α

Context: K : ι → ℝ≥0

Context: i : ι

Context: l : List ι

LipschitzWith (List.map K (i :: l)).prod (List.map f (i :: l)).prod


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K✝ : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ≥0∞

Context: f : ι → Function.End α

Context: K : ι → ℝ≥0

Context: i : ι

Context: l : List ι

LipschitzWith (K i * (List.map K l).prod) (f i * (List.map f l).prod)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x z : M

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹ : NormedCommRing F'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'

Context: p q : M → F'

Context: p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'

Context: hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'

Context: hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'

HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') (p * q) s z (p z • q' + q z • p')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x z : M

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹ : NormedCommRing F'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'

Context: p q : M → F'

Context: p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x z : M

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹ : NormedCommRing F'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'

Context: p q : M → F'

Context: p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'

Context: x✝ : TangentSpace I z


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

Context: U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace

Context: s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))

⇑(coequalizer.π f.val g.val).base ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier) = (imageBasicOpen f g U s).carrier


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

⇑f.val.base ≫ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base = ⇑g.val.base ≫ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

IsColimit (Cofork.ofπ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base ?e)


Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f g : X ⟶ Y

⇑f.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier = ⇑g.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
a : Rˣ

χ ↑a * gaussSum χ (ψ.mulShift ↑a) = gaussSum χ ψ


∑ i : R, χ ↑a * (χ i * ψ (↑a * i)) = ∑ a : R, χ a * ψ a


∑ x : R, χ (↑a * x) * ψ (↑a * x) = ∑ a : R, χ a * ψ a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
x : R
m n : ℕ
h : (x ^ m) ^ n = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁✝ : S₁.HomologyData

Context: h₂✝ : S₂.HomologyData

Context: h₁ : S₁.RightHomologyData

Context: h₂ : S₂.RightHomologyData

Context: γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

Context: inst✝¹ : S₁.HasHomology

Context: inst✝ : S₂.HasHomology

Context: γ' : HomologyMapData φ S₁.homologyData S₂.homologyData

leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = ((S₁.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.right S₁.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.rightHomologyData h₁) ≫ γ.φH ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData S₂.homologyData.right ≫ S₂.homologyData.iso.inv


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
inst✝ : Category.{?u.30898, u_2} E
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 < x
y z : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 0 < t
x : E

t ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r) ↔ ‖x‖ ≤ t ^ (-r⁻¹) - 1


t ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r) ↔ 1 + ‖x‖ ≤ t ^ (-r)⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G

Context: hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q

Context: q₁ q₂ : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)

Context: h : (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₁, ⋯⟩ = (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₂, ⋯⟩

⟨f q₁, ⋯⟩ = ⟨f q₂, ⋯⟩


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p✝ q✝ p q : ℚ≥0
h : p < q


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'


x ∈ map g ↑I ↔ ∃ x' ∈ I, (algebraMap R P') x' = x


Context:
a b : ℤ
r : ℕ
h : IsNat (a % -b) r


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}

Context: this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s

baseChange A ⁅I, N⁆ = ⁅baseChange A I, baseChange A N⁆


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: N : LieSubmodule R L M

Submodule.span A s = Submodule.span A {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: N : LieSubmodule R L M

s ⊆ {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: N : LieSubmodule R L M

{m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m} ⊆ ↑(Submodule.span A s)


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
r : R
N : Submodule R M


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: r : R

Context: N : Submodule R M

Context: this : span R (⋃ t ∈ N, {r • t}) = r • N


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: I J : Ideal R

Context: N✝ P : Submodule R M

Context: S : Set R

Context: T : Set M

Context: r : R

Context: N : Submodule R M

span R (⋃ s ∈ {r}, ⋃ t ∈ ↑N, {s • t}) = r • N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
ha : a ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
h : t.Valid


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u : ι → UniformSpace γ

UniformFun.filter α γ (𝓤 γ) = 𝓤 (α →ᵤ γ)


UniformFun.filter α γ (⨅ i, 𝓤 γ) = ⨅ i, 𝓤 (α →ᵤ γ)


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
h₁ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K F
w : InfinitePlace K


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
h₁ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K F
w : InfinitePlace F

InfinitePlace.IsUnramified k ((fun x => x.comap (algebraMap K F)) w)


Context: m n : ℤ


Context: m n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
A : (coprodMonad X).Algebra

coprod.inr ≫ (coprodMonad X).map (Iso.refl ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).A).hom ≫ ((algebraToUnder X ⋙ underToAlgebra X).obj A).a = coprod.inr ≫ ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).a ≫ (Iso.refl ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).A).hom


Context:
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : A → A → Prop
k : S
a b : A
h : Rel r a b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
x : E
hx : x ∈ U
H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖
H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖

‖f x + Function.const E (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖Function.const E (f c) x‖


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

(PInfty.f n ≫ (PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ (PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = PInfty.f n


(PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = PInfty.f n


((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))


∀ (A : Splitting.IndexSet (op [n])), (((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
A : Splitting.IndexSet (op [n])

(((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))


𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: b b' : F

Trivialization.symmL 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: b b' : F

b' ∈ (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b).baseSet


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated

MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 c)}


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

MeasurableSet {x | Cauchy (map (fun n => f n x) l)}


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: this✝ : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

Context: this : ∀ (x : β), (map (fun x_1 => f x_1 x) l ×ˢ map (fun x_1 => f x_1 x) l).HasAntitoneBasis fun n => ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n) ×ˢ ((fun x_1 => f x_1 x) '' u n)

MeasurableSet {x | (map (fun n => f n x) l).NeBot ∧ map (fun n => f n x) l ×ˢ map (fun n => f n x) l ≤ uniformity γ}


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

MeasurableSet (⋂ i, ⋂ (_ : True), {x | ∃ i_2, True ∧ ((fun n => f n x) '' u i_2) ×ˢ ((fun n => f n x) '' u i_2) ⊆ {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑i + 1)}})


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

Context: K : ℕ

Context: x✝ : K ∈ fun i => True

MeasurableSet {x | ∃ i, True ∧ ((fun n => f n x) '' u i) ×ˢ ((fun n => f n x) '' u i) ⊆ {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑K + 1)}}


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

Context: K : ℕ

Context: x✝ : K ∈ fun i => True

MeasurableSet (⋃ i, {x | ((fun n => f n x) '' u i) ×ˢ ((fun n => f n x) '' u i) ⊆ {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑K + 1)}})


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

Context: K : ℕ

Context: x✝ : K ∈ fun i => True

Context: N : ℕ

MeasurableSet {x | ((fun n => f n x) '' u N) ×ˢ ((fun n => f n x) '' u N) ⊆ {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑K + 1)}}


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝³ : PolishSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: hγ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hl : l.NeBot

Context: u : ℕ → Set ι

Context: hu : l.HasAntitoneBasis u

Context: K : ℕ

Context: x✝ : K ∈ fun i => True

Context: N : ℕ

MeasurableSet (⋂ i ∈ u N, ⋂ i_1 ∈ u N, {x | (i, i_1) ∈ (fun p => (f p.1 x, f p.2 x)) ⁻¹' {p | dist p.1 p.2 < 1 / (↑K + 1)}})


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q✝ r q : ℚ≥0
a : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
c : ℝ≥0∞


c ^ (1 / 1).toReal • eLpNorm f 1 μ = c * eLpNorm f 1 μ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n : ℕ

x ∈ Ideal.span {↑p ^ n} ↔ ↑n ≤ x.valuation


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommSemiring α
A : Matrix n n α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : a ≤ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a


Context:
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c


Context:
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c = 0


Context:
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0


Context:
a✝ a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
h : c ≤ b


Context:
a✝ a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
h : c ≤ b
habc : a ≤ b * c


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
hE : CompleteSpace E

∀ (f : α × β → E), Integrable f (μ.prod ν) → ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ


∀ (c : E) ⦃s : Set (α × β)⦄, MeasurableSet s → (μ.prod ν) s < ⊤ → ∫ (z : α × β), s.indicator (fun x => c) z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), s.indicator (fun x => c) (x, y) ∂ν ∂μ


∀ ⦃f g : α × β → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f (μ.prod ν) → Integrable g (μ.prod ν) → ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ → ∫ (z : α × β), g z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ → ∫ (z : α × β), (f + g) z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), (f + g) (x, y) ∂ν ∂μ


IsClosed {f | ∫ (z : α × β), ↑↑f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ}


∀ ⦃f g : α × β → E⦄, f =ᶠ[ae (μ.prod ν)] g → Integrable f (μ.prod ν) → ∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ → ∫ (z : α × β), g z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α), ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F d)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

(unop X✝).hom.op ≫ (F.map f.unop.left).op = (unop Y✝).hom.op


((unop Y✝).hom ≫ 𝟙 d).op = (unop Y✝).hom.op


Context:
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
m n : ℕ
hn : 0 < n
h : m.gcd n = 1


addOrderOf ↑(↑m / ↑n * p) = m.gcd n * addOrderOf ↑(↑m / ↑n * p)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
x : E
h : x ≠ 0
hx : 0 < ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜

Context: inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁

Context: inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁

Context: x : E

Context: h : x ≠ 0

Context: hx : 0 < ‖x‖

Context: this : Nontrivial ↥(Submodule.span 𝕜 {x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) univ ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ univ)


∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (⋃ r, Iic ↑r) ∂ν a = (κ a) (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h_dir : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => Iic ↑q


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h_dir_prod : Directed (fun x y => x ⊆ y) fun q => s ×ˢ Iic ↑q


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ⨆ i, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic ↑i) ∂ν a = ⨆ i, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

⨆ b, ∫⁻ (a_1 : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, a_1)) (Iic ↑b) ∂ν a = ⨆ i, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

∀ (b : ℚ), AEMeasurable (fun b_1 => ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b_1)) (Iic ↑b)) ((ν a).restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → StieltjesFunction

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun i b => ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic ↑i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : s ∈ 𝓝 x

HasFDerivWithinAt f f' s x ↔ HasFDerivAt f f' x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a✝ : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t
a : α
ha : a ∈ (⇑toDual ∘ SetLike.coe) s

a ∈ (⇑toDual ∘ SetLike.coe) (s.sdiff t ⊓ upperClosure t)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
a b : α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : DecidableEq α
f : α → β
inj : Injective f
inst✝ : Decidable (a < b)

compare (f a) (f b) = compareOfLessAndEq a b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: a b : α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: inj : Injective f

Context: inst✝ : Decidable (a < b)

Context: h : compare (f a) (f b) = compareOfLessAndEq (f a) (f b)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
b : β
bs : Multiset β

Rel r as (b ::ₘ bs) ↔ ∃ a as', r a b ∧ Rel r as' bs ∧ as = a ::ₘ as'


(∃ b_1 bs', flip r b b_1 ∧ Rel (flip r) bs bs' ∧ as = b_1 ::ₘ bs') ↔ ∃ a as', r a b ∧ Rel r as' bs ∧ as = a ::ₘ as'


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
b : β
bs : Multiset β
a : α
as' : Multiset α

flip r b a ∧ Rel (flip r) bs as' ∧ as = a ::ₘ as' ↔ r a b ∧ Rel r as' bs ∧ as = a ::ₘ as'


Context:
α✝ : Type u_1
l : List α✝
a : α✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ actLeft P Q = (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

((α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B

(HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.up ℕ) 0 A).hom ≫ f ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.up ℕ) 0 B).inv = f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α

y ∈ p.toList x ↔ p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support


(∃ a < (p.cycleOf x).support.card, (p ^ a) x = y) ↔ p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ measurableLE μ ν
hg : g ∈ measurableLE μ ν


(fun a => max (f a) (g a)) ∈ measurableLE μ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : f ∈ measurableLE μ ν
hg : g ∈ measurableLE μ ν
A : Set α
hA : MeasurableSet A

∫⁻ (x : α) in A, (fun a => max (f a) (g a)) x ∂μ ≤ ν A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : f ∈ measurableLE μ ν

Context: hg : g ∈ measurableLE μ ν

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

Context: h₁ : MeasurableSet (A ∩ {a | f a ≤ g a})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : f ∈ measurableLE μ ν

Context: hg : g ∈ measurableLE μ ν

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

Context: h₂ : MeasurableSet (A ∩ {a | g a < f a})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : f ∈ measurableLE μ ν

Context: hg : g ∈ measurableLE μ ν

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

∫⁻ (x : α) in A ∩ {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in A ∩ {x | g x < f x}, f x ∂μ ≤ ν A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : f ∈ measurableLE μ ν

Context: hg : g ∈ measurableLE μ ν

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

ν (A ∩ {a | f a ≤ g a}) + ν (A ∩ {a | g a < f a}) = ν A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : f ∈ measurableLE μ ν

Context: hg : g ∈ measurableLE μ ν

Context: A : Set α

Context: hA : MeasurableSet A

ν (A ∩ {a | f a ≤ g a}) + ν (A \ {a | f a ≤ g a}) = ν A


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
y : S


y • single ((algebraMap R S) x) 1 ∈ kerTotal R S


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s

(s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝 a


(s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≤] a ∧ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α

(CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e


(∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D

L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (R.map (L.map (h.unit.app (R.obj X)))) = L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (h.unit.app (R.obj (L.obj (R.obj X))))


L.map (h.unit.app (R.obj X) ≫ R.map (L.map (h.unit.app (R.obj X)))) = L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (h.unit.app (R.obj (L.obj (R.obj X))))


L.map (h.unit.app (R.obj X)) ≫ L.map (R.map (h.counit.app X)) = 𝟙 (L.obj (R.obj X))


L.map (h.unit.app (R.obj X) ≫ R.map (h.counit.app X)) = 𝟙 (L.obj (R.obj X))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: h : Presheaf.IsLocallySurjective (coherentTopology C) f

Context: U✝ : C

Context: y : (forget (Type w)).obj (G.obj (op U✝))

Presheaf.imageSieve f y ∈ (regularTopology C).sieves U✝


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: h : Presheaf.imageSieve f y ∈ (coherentTopology C).sieves U✝


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: h : ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

Context: h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f y).arrows (π a)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

∃ Y π, EffectiveEpi π ∧ (Presheaf.imageSieve f y).arrows π


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

Context: x : (a : α) → F.obj (op (Z a)) := fun a => Exists.choose ⋯

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: i' : ((a : α) → F.obj (op (Z a))) ≅ F.obj (op (∐ Z)) := (Types.productIso fun a => F.obj (op (Z a))).symm ≪≫ (PreservesProduct.iso F fun a => op (Z a)).symm ≪≫ F.mapIso (opCoproductIsoProduct Z).symm

Context: this : PreservesLimitsOfShape (Discrete α)ᵒᵖ G

(f.app (op (∐ Z))) (i'.hom x) = (G.map (Sigma.desc π).op) y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

∀ (j : (Discrete α)ᵒᵖ), ((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app j) ((f.app (op (∐ Z))) (i'.hom x)) = ((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app j) ((G.map (Sigma.desc π).op) y)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app (op { as := a })) ((f.app (op (∐ Z))) (i'.hom x)) = ((G.mapCone (Cocone.op (Cofan.mk (∐ Z) (Sigma.ι Z)))).π.app (op { as := a })) ((G.map (Sigma.desc π).op) y)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

(f.app (op (Z a))) ((F.map (Sigma.ι Z a).op) (F.map (opCoproductIsoProduct Z).inv ((PreservesProduct.iso F fun a => op (Z a)).inv ((Types.productIso fun a => F.obj (op (Z a))).inv x)))) = (G.map (Sigma.ι Z a).op) ((G.map (Sigma.desc π).op) y)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.24208, u_2} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : Preregular C

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: U✝ : C

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ U✝

Context: h : EffectiveEpiFamily Z π

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: this✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete α)ᵒᵖ G

Context: a : α

Context: this : f.app (op (Z a)) (x a) = G.map (π a).op y


Context:
p : ℕ
x✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
p : ℕ
h✝ : CharP α p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Field α
p : ℕ
h✝ : CharP α p
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Field α

Context: p : ℕ

Context: h✝ : CharP α p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : Algebra (ZMod p) α := ZMod.algebra α p

Context: b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) α } (ZMod p) α := IsNoetherian.finsetBasis (ZMod p) α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Field α

Context: p : ℕ

Context: h✝ : CharP α p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Field α

Context: p : ℕ

Context: h✝ : CharP α p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

‖{ x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex (ZMod p) α }‖ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Field α

Context: p : ℕ

Context: h✝ : CharP α p

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

FiniteDimensional.finrank (ZMod p) α ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : α → ℝ≥0∞
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

∫⁻ (x : α) in ⋃ i, s i, f x ∂μ = ⨆ i, ∫⁻ (x : α) in s i, f x ∂μ


Context:
x✝¹ : Substring
h✝ : x✝¹.Valid
x✝ : Nat
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝¹

(x✝¹.take x✝).toString.data = List.take x✝ x✝¹.toString.data


Context:
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r


Context:
b✝ x y : ℝ
b : ℕ
r : ℝ
hb : 1 < b
hr✝ : 0 ≤ r
hr : 0 < r
hb1' : 1 < ↑b


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : Fˣ
ha : (quadraticChar F) ↑a = -1


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : Fˣ
ha : (quadraticChar F) ↑a = -1
hχ : quadraticChar F = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: k : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: rpos : 0 < r

Context: f : E → E := fun y => x + (r * ‖y‖⁻¹) • y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: rpos : 0 < r

Context: A : ContinuousOn f {0}ᶜ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: rpos : 0 < r

Context: A : ContinuousOn f {0}ᶜ

Context: B : IsPathConnected {0}ᶜ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: rpos : 0 < r

Context: A : ContinuousOn f {0}ᶜ

Context: B : IsPathConnected {0}ᶜ

Context: C : IsPathConnected (f '' {0}ᶜ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ t = μ u
htu : t ⊆ u
ht_ne_top : μ u ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ s t u : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : μ t = μ u

Context: htu : t ⊆ u

Context: ht_ne_top : μ u ≠ ⊤

Context: A : μ (u ∩ s) + μ (u \ s) ≤ μ (t ∩ s) + μ (u \ s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ s t u : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : μ t = μ u

Context: htu : t ⊆ u

Context: ht_ne_top : μ u ≠ ⊤

Context: B : μ (u \ s) ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hM_pos : 0 ≤ M

Context: hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hM_pos : 0 ≤ M

∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hM_pos : 0 ≤ M

(fun x => ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hM_pos : 0 ≤ M

Context: x : α

Context: hx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x

↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ = ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊


Context: x : ℝ


Context:
x : ℝ
i : ℕ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s

Context: hI : I =ᶠ[ae volume] ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))

Context: G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u

volume s = addOrderOf u • volume (s ∩ I)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s

Context: this : Fintype ↥G


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s I : Set (AddCircle T)

Context: u x : AddCircle T

Context: hu : IsOfFinAddOrder u

Context: hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s

Context: this : Fintype ↥G

Context: hsG : ∀ (g : ↥G), g +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_nonpos : p ≤ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_pos : 0 < p


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_pos : 0 < p
hq_pos : 0 < q


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv

Measure.map (fun x => x + y) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

(Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v)) s' = (gaussianReal (μ + y) v) s'


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', |1| * gaussianPDFReal μ v (e x)) = (gaussianReal (μ + y) v) s'


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal μ v (e x)) = (gaussianReal (μ + y) v) s'


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: y : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal μ v (e x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal (μ + y) v x)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsSMulRegular M 0
a b : M


Context:
α β : Type u
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'

(leftShiftAddEquiv K L n a n' hn') 0 = 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X : C


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: η : F ⟶ A

Context: X : C

Context: p : YonedaCollection (restrictedYonedaObj η) X

((unitBackward η X ∘ unitForward η X) p).fst = (id p).fst


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: η : F ⟶ A

Context: X : C

OverArrows.val ((restrictedYonedaObj η).map (eqToHom ⋯) (id p).snd) = OverArrows.val ((unitBackward η X ∘ unitForward η X) p).snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s

liminf f v = sSup (⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i))


sSup {a | ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : ι⦄, x ∈ s i → a ≤ f x} = sSup (⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
x : α

x ∈ {a | ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : ι⦄, x ∈ s i → a ≤ f x} ↔ x ∈ ⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ

‖cauchyPowerSeries f c R n‖ = (2 * π)⁻¹ * ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖


(2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖deriv (circleMap c R) θ • (circleMap c R θ - c)⁻¹ ^ n • (circleMap c R θ - c)⁻¹ • f (circleMap c R θ)‖ = (2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖)))


(2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖))) ≤ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R θ)‖) * |R|⁻¹ ^ n


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
n : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
hR : R ≠ 0


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

(M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

∀ k ≤ r, (M * (List.take k (listTransvecRow M)).prod) (inr ()) (inl i) = if k ≤ ↑i then M (inr ()) (inl i) else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g

UniformEquicontinuous (birkhoffAverage 𝕜 f g)


Context:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∀ᶠ (xy : X × X) in 𝓤 X, ∀ (i : ℕ), (birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.1, birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace X

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : X → X

Context: g l : X → E

Context: hf : LipschitzWith 1 f

Context: hg : UniformContinuous g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ₀ : 0 < δ

Context: hδε : ∀ (x y : X), (x, y) ∈ {p | edist p.1 p.2 ≤ δ} → (g x, g y) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace X

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : X → X

Context: g l : X → E

Context: hf : LipschitzWith 1 f

Context: hg : UniformContinuous g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ₀ : 0 < δ

Context: x y : X

Context: h : edist x y < δ

Context: n : ℕ

(birkhoffAverage 𝕜 f g n (x, y).1, birkhoffAverage 𝕜 f g n (x, y).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set (Set β)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
hwi : w i = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
hwi : w i ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A : C
X✝ Y✝ : MonoOver A
k : X✝ ⟶ Y✝
g : MonoOver A

pullback.lift (pullback.fst g.arrow X✝.arrow) (pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ k.left) ⋯ ≫ pullback.snd g.arrow Y✝.arrow ≫ Y✝.arrow = pullback.snd g.arrow X✝.arrow ≫ X✝.arrow


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.18537
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ

Memℒp (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ


eLpNorm (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ < ⊤


eLpNorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: fmeas : Measurable f

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ

Context: n : ℕ

Context: hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p μ

Context: this : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ‖↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N
H : x ∈ Set.range f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: x✝ y z : E

Context: hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → 𝕜
p✝ : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
α : Type
t : Finset α
w : α → 𝕜
p : α → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → 𝕜
p✝ : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
α : Type
t : Finset α
w : α → 𝕜
p : α → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
i : α
hit : i ∈ t
Hi : f (t.centerMass w p) ≤ f (p i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ✝ : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: P : γ → Set γ → Prop

Context: h : ∀ (t : Set γ), t.Finite → ∃ c, P c t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ✝ : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: P : γ → Set γ → Prop

Context: this : Nonempty γ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ✝ : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: P : γ → Set γ → Prop

Context: this : Nonempty γ

Context: c : Set γ → γ

Context: hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ✝ : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: P : γ → Set γ → Prop

Context: this : Nonempty γ

Context: c : Set γ → γ

Context: f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ✝ : Type x

Context: γ : Type u_1

Context: P : γ → Set γ → Prop

Context: this : Nonempty γ

Context: c : Set γ → γ

Context: u : ℕ → γ := fun n => n.strongRecOn' f

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ

g.TerminatedAt n ↔ g.partDens.get? n = none


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ

(Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n


(Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).sum % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).sum % n


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ

ContDiff ℝ k fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n


ContDiff ℝ k fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)


ContDiff ℝ k fun y => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L y)) (f y)


ContDiff ℝ k fun x => (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : BijOn e s t
he₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ t), g j


∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), g (e j)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).darts


x ∈ (p.takeUntil u h).darts ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).darts


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n α
i j : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α


SurjOn f (Ioi a ∪ {a}) (Ioi (f a) ∪ {f a})


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane

HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → f x = 0 x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → f x = 0 x
x : α
hx : x ∈ sᶜ → f x = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

∀ (s : ℕ → Set α), extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: f : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: f : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

m (⋃ n, disjointed f n) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: f : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

∑' (i : ℕ), m (disjointed f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: f : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

Context: i : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: f : ℕ → Set α

Context: h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

Context: i : ℕ

extend m (disjointed f i) ≤ extend m (f i)


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
A B : ↥(unitaryGroup n α)


toLin' A ∘ₗ toLin' B = ↑(toGL A * toGL B)


Context: x y z : ℝ


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} D₁
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
F : D₁ ⥤ D₂
h : Φ.IsRightDerivabilityStructure
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
hb : b ∈ f.fix a
ha' : Sum.inr a' ∈ f a


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)

HasSum (fun n => (p.prod q n) fun x => y) (f (e + y), g (e + y))


HasSum (fun n => ((p n) fun x => y, (q n) fun x => y)) (f (e + y), g (e + y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F

Context: h : ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F

Context: x : E

Context: h : ∀ (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)


Context:
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
a : 𝒳.obj


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝³ : Zero M

Context: inst✝² : Zero M'

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α →₀ M

Context: a : α

Context: b : α → M → N

(∏ a_1 ∈ f.support, if a = a_1 then b a_1 (f a_1) else 1) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝓢(V, E)
x : V

((fourierTransformCLE 𝕜).symm f) x = 𝓕⁻ (⇑f) x


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_5
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
a₀ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖

Filter.Tendsto a p (𝓝 a₀) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x x_1 => (a x) x_1) (⇑a₀) p s


(∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖) ∘ (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) ∘ a) ((UniformOnFun.toFun 𝔖) ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) a₀)) p s) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x x_1 => (a x) x_1) (⇑a₀) p s


Context: n✝ : ℕ

Context: c✝ : Composition n✝

Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: n' : ℕ

Context: c' : Composition n'

Context: H : ⟨n, c⟩.snd.blocks = ⟨n', c'⟩.snd.blocks


Context: n✝ : ℕ

Context: c✝ : Composition n✝

Context: n : ℕ

Context: c : Composition n

Context: n' : ℕ

Context: c' : Composition n'

Context: this : n = n'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n


Multiset.card (toMultiset m) < Multiset.card (toMultiset n)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

corec id tail s.tail = s.tail :: corec id tail s.tail.tail


id s.tail :: corec id tail s.tail.tail = s.tail :: corec id tail s.tail.tail


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: hf : ContMDiffAt I I' n f x

Context: hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R
x✝¹ x✝ : R[X]

X - C r ∣ x✝¹ * x✝ → X - C r ∣ x✝¹ ∨ X - C r ∣ x✝


eval r x✝¹ = 0 ∨ eval r x✝ = 0 → eval r x✝¹ = 0 ∨ eval r x✝ = 0


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s (cosZeta (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s 0 = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑0)) / ↑0 ^ s


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) * (g j - g i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map g (comap g (𝓝 d)) ≤ 𝓝 d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: d : δ

Context: a : α

Context: di : DenseInducing i

Context: H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))

Context: comm : h ∘ g = i ∘ f

Context: lim1 : map h (map g (comap g (𝓝 d))) ≤ map h (𝓝 d)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: d : δ

Context: a : α

Context: di : DenseInducing i

Context: H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))

Context: comm : h ∘ g = i ∘ f

Context: lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: d : δ

Context: a : α

Context: di : DenseInducing i

Context: H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))

Context: comm : h ∘ g = i ∘ f

Context: lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ comap i (𝓝 (i a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: d : δ

Context: a : α

Context: di : DenseInducing i

Context: H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))

Context: comm : h ∘ g = i ∘ f

Context: lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ 𝓝 a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hfi : Integrable f μ

0 < ∫ (x : α), f x ∂μ ↔ 0 < μ (Function.support f)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⟪x + y, x + y⟫_𝕜 + ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = 2 * (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜)


⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜 + (⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = 2 * (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜)


Context:
R✝ : Type u
inst✝² : Semiring R✝
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : CharZero R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ArithmeticFunction R


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' F
k n : ℕ
c : 𝕜
f : 𝓢(E, F)

SchwartzMap.seminormAux k n (c • f) ≤ ‖c‖ * SchwartzMap.seminormAux k n f


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' F
k n : ℕ
c : 𝕜
f : 𝓢(E, F)
x : E

‖c‖ * ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ ‖c‖ * SchwartzMap.seminormAux k n f