Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: x : α

Context: h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom

Context: k : ℕ

Context: this : p (k + ↑Upto.zero)

Nat.find h' = k + ↑Upto.zero → (assert (∃ i, (Fix.approx f i x).Dom) fun h => ⋯.fix (fixAux f) Upto.zero x) = Fix.approx f (k + 1) x


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)

Context: x : α

Context: h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom

Context: p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom

Context: k : ℕ

Context: this : p (k + ↑Upto.zero)

Nat.find h' = k + ↑Upto.zero → ⋯.fix (fixAux f) Upto.zero x = Fix.approx f (k + 1) x


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f


Filter.map f (𝓝[≠] x ⊓ F) ≤ 𝓝[≠] f x ⊓ Filter.map f F


Filter.map f (𝓝[≠] x) ⊓ Filter.map f F ≤ 𝓝[≠] f x ⊓ Filter.map f F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
h : 0 < n


Context:
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
a : ℕ


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : SMulCommClass G α β
a : α
b : β


∀ ⦃x : G⦄, x • b = b → a • x • b = a • b


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hg : Memℓp g p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f g : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: hg : Memℓp g p


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities

W₂.Q ⋙ (curry.obj (prodLift F hF)).flip = (prodLift₁ F hF).flip


W₂.Q ⋙ Construction.lift (prodLift₁ F hF).flip ⋯ = (prodLift₁ F hF).flip


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
S T : Set R

Submodule.span R S * Submodule.span R T = Submodule.span R (S * T)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
L : D ⥤ C
R : C ⥤ D
h : L ⊣ R
X Y : D
f g : X ⟶ Y

f ≫ (h.homEquiv Y (coeq (L.map f) (L.map g))) (coeqHom (L.map f) (L.map g)) = g ≫ (h.homEquiv Y (coeq (L.map f) (L.map g))) (coeqHom (L.map f) (L.map g))


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : Ring A

Context: inst✝¹⁰ : PartialOrder A

Context: inst✝⁹ : StarRing A

Context: inst✝⁸ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra ℝ A

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℝ A

Context: inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

Context: f : ℝ≥0 → ℝ≥0

Context: ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝

cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.toNNReal)) a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : Ring A

Context: inst✝¹⁰ : PartialOrder A

Context: inst✝⁹ : StarRing A

Context: inst✝⁸ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra ℝ A

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℝ A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

Context: f : ℝ≥0 → ℝ≥0

Context: ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝

Context: this : CompactSpace ↑(σ ℝ a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : Ring A

Context: inst✝¹⁰ : PartialOrder A

Context: inst✝⁹ : StarRing A

Context: inst✝⁸ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra ℝ A

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℝ A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

Context: f : ℝ≥0 → ℝ≥0

Context: this : CompactSpace ↑(σ ℝ a)

Context: ha : 0 ≤ a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
x y : S
d : ℕ

y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, f.degree < ↑d ∧ y = (aeval x) f


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: x y : S

Context: d : ℕ

Context: this : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: x y : S

Context: d : ℕ

(∃ l, (∀ (x : ℕ), d ≤ x → l x = 0) ∧ ∑ x_1 ∈ l.support, (algebraMap R S) (l x_1) * x ^ x_1 = y) ↔ ∃ q, (∀ (m : ℕ), d ≤ m → q m = 0) ∧ y = ∑ x_1 ∈ q.support, (algebraMap R S) (q x_1) * x ^ x_1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : CommRing B

Context: inst✝² : IsDomain B

Context: inst✝¹ : Algebra A B

Context: K : Type u_6

Context: inst✝ : Field K

Context: x y : S

Context: d : ℕ

(∃ l, (∀ (x : ℕ), d ≤ x → l x = 0) ∧ ∑ x_1 ∈ l.support, (algebraMap R S) (l x_1) * x ^ x_1 = y) ↔ ∃ q, (∀ (m : ℕ), d ≤ m → q m = 0) ∧ ∑ x_1 ∈ q.support, (algebraMap R S) (q x_1) * x ^ x_1 = y


Context:
w x✝ y✝ z✝ z : ℝ
h : 0 < z
x y : ℝ≥0
hxy : x < y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: hc : MeasurableSpace.CountablyGenerated β

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: U : Set β → Set α

Context: hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s

Context: hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)

Context: hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: U : Set β → Set α

Context: hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s

Context: hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)

Context: hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: U : Set β → Set α

Context: hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s

Context: hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)

Context: hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s

Context: hvm : MeasurableSet v


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: U : Set β → Set α

Context: hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s

Context: hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)

Context: hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s

Context: hvm : MeasurableSet v

Context: hvμ : μ v = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: U : Set β → Set α

Context: hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s

Context: hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)

Context: hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s

Context: hvm : MeasurableSet v

Context: hvμ : μ v = 0

Measurable (v.piecewise (fun x => default) f)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: U : Set β → Set α

Context: hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s

Context: hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)

Context: hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s

Context: hvm : MeasurableSet v

Context: hvμ : μ v = 0

Measurable (v.restrict (v.piecewise (fun x => default) f))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f✝ g : α → β

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → β

Context: a✝ : Nontrivial β

Context: inhabited_h : Inhabited β

Context: S : Set (Set β)

Context: hSc : S.Countable

Context: h : NullMeasurable f μ

Context: T : Set β → Set α

Context: hTf : ∀ s ∈ S, T s ⊆ f ⁻¹' s

Context: hTm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (T s)

Context: hTeq : ∀ s ∈ S, T s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: U : Set β → Set α

Context: hUf : ∀ s ∈ S, U s ⊇ f ⁻¹' s

Context: hUm : ∀ s ∈ S, MeasurableSet (U s)

Context: hUeq : ∀ s ∈ S, U s =ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s

Context: v : Set α := ⋃ s ∈ S, U s \ T s

Context: hvm : MeasurableSet v

Context: hvμ : μ v = 0

Measurable (vᶜ.restrict (v.piecewise (fun x => default) f))


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension S A B


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension S A B
s : ℕ+
hs : s ∈ S ∪ {n}


adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ S ∪ {n}, b ^ ↑n_1 = 1} = ⊤


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
ι : Sort u_1
inst✝ : Group G
ts' : ι → TopologicalSpace G
h' : ∀ (i : ι), TopologicalGroup G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
f : α →₀ M

f.support.card = 1 ↔ ∃ a, f a ≠ 0 ∧ f = single a (f a)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: j : L →+* F

Context: f : K[X]

Context: h : Splits (j.comp i) f

Context: lift : (a : F) → a ∈ (map (j.comp i) f).roots → L

Context: lift_eq : ∀ (a : F) (a_1 : a ∈ (map (j.comp i) f).roots), j (lift a a_1) = a


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: j : L →+* F

Context: f : K[X]

Context: h : Splits (j.comp i) f

∃ s, map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: j : L →+* F

Context: f : K[X]

Context: h : Splits (j.comp i) f

map j (map i f) = map j (C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.pmap lift (map (j.comp i) f).roots ⋯)).prod)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: j : L →+* F

Context: f : K[X]

Context: h : Splits (j.comp i) f

C ((j.comp i) f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map (j.comp i) f).roots).prod = map j (C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.pmap lift (map (j.comp i) f).roots ⋯)).prod)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: j : L →+* F

Context: f : K[X]

Context: h : Splits (j.comp i) f

C ((j.comp i) f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map (j.comp i) f).roots).prod = C (j (i f.leadingCoeff)) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map (j.comp i) f).roots).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α

¬ν ≤ μ ↔ ∃ s, μ s < ν s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
x : β
c : Chain α
z : β

((OrderHom.const α) x) (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map ((OrderHom.const α) x)) ≤ z


Function.const α x (ωSup c) ≤ z ↔ ∀ (i : ℕ), (Function.const α x ∘ ⇑c) i ≤ z


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] g


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity f) s = (μ.withDensity g) s


∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0


{x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0}


∀ x ∈ {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x}, x = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝² : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝¹ : PerfectRing R p
inst✝ : DecidableEq R

Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset = f.roots.toFinset


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]

p ∈ lifts f ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ Set.range ⇑f


(∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS) ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ Set.range ⇑f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
x : M

x ∈ ↑(torsion R M) ↔ x ∈ {x | (span R {x}).annihilator ≠ ⊥}


x ∈ ↑(torsion R M) ↔ x ∈ {x | ∃ x_1, (∀ (n : M), (∃ a, a • x = n) → x_1 • n = 0) ∧ x_1 ≠ 0}


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R

Finset.image (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset


Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p 1)) ((expand R p) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset


Context: x : ℂ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M

(trace R (Module.Dual R M)) (Module.Dual.transpose f) = (trace R M) f


Context:
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace


Context:
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U


Context:
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
this : IsDomain ↑Γ(Y, f ''ᵁ U)


Context:
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'


Quiver.Symmetrify.of ⋙q (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ lift φ).toPrefunctor) = φ


Quiver.Symmetrify.of ⋙q (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Quotient.lift redStep (Paths.lift (Quiver.Symmetrify.lift φ)) ⋯).toPrefunctor) = φ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α

(p.filter s h) a = 0 ↔ a ∉ s ∨ a ∉ p.support


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S : WSeq (WSeq α)

S.join.destruct = S.destruct.bind destruct_join.aux


Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => c1 = c2 ∨ ∃ S, c1 = S.join.destruct ∧ c2 = S.destruct.bind destruct_join.aux


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hι : #ι < c.ord.cof

Cardinal.lift.{?u.33596, u_2} #ι < c.ord.cof


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
a : Filter α
c : Filter γ
h : Tendsto (g ∘ f) a c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ

EMetric.diam (Icc a b) = ENNReal.ofReal (b - a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : b < a


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
h : G.Colorable 0
v : V
i : ℕ
hi : i < 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMul ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMul ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
x✝² : x ∈ univ
y : E
x✝¹ : y ∈ univ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
x✝ : a + b = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ

ConformalAt f z ↔ (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0


IsConformalMap (fderiv ℝ f z) ↔ (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0


((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0 ↔ (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0


fderiv ℝ f z ≠ 0 → (((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z))


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0

((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f z


(∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ↔ DifferentiableAt ℂ f z


(∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: z✝ : ℂ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: z : ℂ

Context: h : fderiv ℝ f z ≠ 0

Context: h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: z✝ : ℂ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: z : ℂ

Context: h : fderiv ℝ f z ≠ 0

(∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ ∃ g', restrictScalars ℝ g' = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: z✝ : ℂ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: z : ℂ

Context: h : fderiv ℝ f z ≠ 0

Context: g : ℂ →L[ℂ] ℂ

(fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: z✝ : ℂ

Context: f✝ : ℂ → E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: z : ℂ

Context: h : fderiv ℝ f z ≠ 0

Context: g : ℂ →L[ℂ] ℂ

Context: this : fderiv ℝ (⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z) = ↑conjCLE


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: G : ι → Type u_5

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : (i : ι) → G i

Context: i : ι

Context: v : G i

⟪(V i) v, ∑ j : ι, (V j) (l j)⟫_𝕜 = ⟪v, l i⟫_𝕜


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0

∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c


∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x ∂ENNReal.ofReal |c| • Measure.map (fun x => x * c) volume


∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f (x * c) ∂volume = c⁻¹ • |c| • (∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (a * c) (b * c), f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (b * c) (a * c), f (x * c) ∂volume)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
h : c < 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
h : 0 < c


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]

IsUnit P ↔ IsUnit (eval 0 P) ∧ IsNilpotent (P /ₘ X)


P %ₘ X + X * (P /ₘ X) = C (eval 0 P) + X * (P /ₘ X)


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E
inst✝ : Nontrivial E


LinearIndependent F fun (x : ↑{1}) => ↑x


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹³ : Ring R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: inst✝⁷ : Module R M'

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: F : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing F

Context: inst✝⁴ : Ring E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: inst✝² : StrongRankCondition F

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E

Context: inst✝ : Nontrivial E

Context: this : Nontrivial F := Module.nontrivial F E


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Preorder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β
this : Nonempty α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: u : α → β

Context: h : Tendsto u atTop atTop

Context: a : α

Context: b : β

Context: this✝ : Nonempty α

Context: this : ∀ᶠ (x : α) in atTop, a ≤ x ∧ b ≤ u x


Context: z✝ w✝ : ℍ

Context: r✝ R : ℝ

Context: z : ℍ

Context: r : ℝ

Context: w : ℂ

Context: h : dist w ↑(z.center r) ≤ z.im * Real.sinh r

dist (↑(z.center r)) w ≤ z.im * Real.sinh r


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b a : α


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β

{x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: r : Set (β × β)

Context: s : Set α

Context: hs : IsCompact s

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a

Context: hr : r ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : SymmetricRel t

Context: htr : t ○ t ⊆ r

Context: U : (a : α) → a ∈ s → Set α

Context: hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a

Context: T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)

Context: hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α

Context: hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: r : Set (β × β)

Context: s : Set α

Context: hs : IsCompact s

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a

Context: hr : r ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : SymmetricRel t

Context: htr : t ○ t ⊆ r

Context: U : (a : α) → a ∈ s → Set α

Context: T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)

Context: fs : Finset ↑s

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: r : Set (β × β)

Context: s : Set α

Context: hs : IsCompact s

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a

Context: hr : r ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : SymmetricRel t

Context: htr : t ○ t ⊆ r

Context: U : (a : α) → a ∈ s → Set α

Context: T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)

Context: fs : Finset ↑s

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯

⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯ ⊆ {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: r : Set (β × β)

Context: s : Set α

Context: hs : IsCompact s

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a

Context: hr : r ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : SymmetricRel t

Context: htr : t ○ t ⊆ r

Context: U : (a : α) → a ∈ s → Set α

Context: T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)

Context: fs : Finset ↑s

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯

Context: a₁ a₂ : α

Context: h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯

Context: h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: r : Set (β × β)

Context: s : Set α

Context: hs : IsCompact s

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a

Context: hr : r ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : SymmetricRel t

Context: htr : t ○ t ⊆ r

Context: U : (a : α) → a ∈ s → Set α

Context: T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)

Context: fs : Finset ↑s

Context: hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯

Context: a₁ a₂ : α

Context: h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯

Context: h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s

Context: a : ↑s

Context: ha : a ∈ fs

Context: haU : (a₁, a₂).1 ∈ U ↑a ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x' : Dual 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖

Context: c_zero : ¬c = 0

Context: eq : ∀ (z : E), ‖c⁻¹ • x' z‖ = ‖c⁻¹‖ * ‖x' z‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x' : Dual 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖

Context: c_zero : ¬c = 0

Context: le : ∀ z ∈ s, ‖c⁻¹ • x' z‖ ≤ ‖c⁻¹‖ * ‖c‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x' : Dual 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖

Context: c_zero : ¬c = 0

Context: cancel : ‖c⁻¹‖ * ‖c‖ = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
h : b ∈ closedBall a r


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R

RingQuot.mul r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a * b) }


(match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a }, { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } with | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ ⋯ a b }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a * b) }


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
x y : n → R₂

∑ i : n, ∑ j : n, x i • y j • M i j = ∑ i : n, ∑ j : n, x i * M i j * y j


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
h : x ^ n.gcd (card G) = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
h : x ^ n.gcd (card G) = 1
m : ℕ
hm : n = n.gcd (card G) * m


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hqr : q + r ≠ 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hval : padicValRat p q < padicValRat p r


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
x y : R
h : Commute x y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
hx : nilpotencyClass x = 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
hx : nilpotencyClass x = 1
this : IsNilpotent x


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
B : Bicone F
j j' : J
h : j ≠ j'


Context:
X : RingedSpace
U V : (Opens ↑↑X.toPresheafedSpace)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst✝ : IsIso i
f : ↑(X.presheaf.obj U)

X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) = X.basicOpen f


X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f) ≤ X.basicOpen f


X.basicOpen f ≤ X.basicOpen ((X.presheaf.map i) f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < a • b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < a • b
ha : a < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < 0 • b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < a • b
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hC : 0 ≤ C

‖setToFun μ T hT f‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖


‖(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖


Context:
p : ℕ
hp : p ≠ 0
i : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y Z : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: f g : MonoOver X

Context: h : f.obj.left ≅ g.obj.left

Context: w : autoParam (h.hom ≫ g.arrow = f.arrow) _auto✝


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S = 0

λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω

Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))


(∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N


Bijective ⇑(↑p.toDualRight.symm.dualMap ∘ₗ ↑p.toDualLeft)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Set.range ⇑(D S B) ⊆ ↑(LinearMap.range (map R S A B))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: y : A

(D S B) ((algebraMap A B) y) ∈ ↑(LinearMap.range (map R S A B))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: y : A

(map R S A B) ((D R A) y) ∈ ↑(LinearMap.range (map R S A B))


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : b ≤ a

Context: hc : c ≤ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d✝ : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulMono α

Context: h : b ≤ a

Context: hc : c ≤ 0

Context: d : α

Context: hcd : 0 = c + d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: S✝ : Set α

Context: hS : IsIrreducible S✝

Context: hS' : IsClosed S✝

Context: hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)

Context: x : β

Context: hx : IsGenericPoint x (closure (f '' S✝))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: x : β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (f '' (f ⁻¹' T))

Context: hx : IsGenericPoint x (closure (f '' (f ⁻¹' T)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: x : β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: hx : IsGenericPoint x (closure (T ∩ range f))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: x : β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: hxT : x ∈ T


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: y : α

Context: hx : IsGenericPoint (f y) (closure (T ∩ range f))

Context: hxT : f y ∈ T


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: y : α

Context: hxT : f y ∈ T


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: y : α

Context: hxT : f y ∈ T

f '' (f ⁻¹' closure (T ∩ range f)) = f '' (f ⁻¹' T)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: y : α

Context: hxT : f y ∈ T

Context: z : β

z ∈ f '' (f ⁻¹' closure (T ∩ range f)) ↔ z ∈ f '' (f ⁻¹' T)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: inst✝ : QuasiSober β

Context: T : Set β

Context: hT : IsClosed T

Context: hS : IsIrreducible (f ⁻¹' T)

Context: hS' : IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: hS'' : IsIrreducible (T ∩ range f)

Context: y : α

Context: hxT : f y ∈ T

Context: z : β

z ∈ range f → (z ∈ closure (T ∩ range f) ↔ z ∈ T)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

Context: m : ℕ

Context: hm : m < MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i

¬MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
m : ℕ
hm : m < Nat.find ⋯


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f✝ f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

‖{ toFun := mapL, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f‖ ≤ 1 * ∏ i : ι, ‖f i‖


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f✝ f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

‖{ toFun := mapL, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } f‖ ≤ ∏ i : ι, ‖f i‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

‖newton_seq (n + 0) - newton_seq n‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n k : ℕ


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n k : ℕ

Context: this : 2 ^ n ≤ 2 ^ (n + k)

‖newton_seq (n + (k + 1)) - newton_seq n‖ = ‖newton_seq (n + k + 1) - newton_seq n‖


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n k : ℕ

Context: this : 2 ^ n ≤ 2 ^ (n + k)

‖newton_seq (n + k + 1) - newton_seq n‖ = ‖newton_seq (n + k + 1) - newton_seq (n + k) + (newton_seq (n + k) - newton_seq n)‖


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ

a✝ ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n.succ) ↔ a✝ ∈ n.divisors


Context:
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ


Context:
X : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring M
inst✝ : Module M X
P : { P // IsLprojection X P }
Q : M


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

Context: h2 : ∀ (t : G), dist ((L (f t)) (g (x₀ - t))) ((L (f t)) z₀) ≤ ‖L (f t)‖ * ε

dist ((f ⋆[L, μ] g) x₀) (∫ (t : G), (L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

dist (∫ (t : G), (L (f t)) (g (x₀ - t)) ∂μ) (∫ (t : G), (L (f t)) z₀ ∂μ) ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

Context: h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε

‖∫ (t : G), (L (f t)) (g (x₀ - t)) ∂μ - ∫ (t : G), (L (f t)) z₀ ∂μ‖ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

‖∫ (a : G), (L (f a)) (g (x₀ - a)) - (L (f a)) z₀ ∂μ‖ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

∫ (x : G), ‖L (f x)‖ * ε ∂μ ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

(∫ (a : G), ‖L (f a)‖ ∂μ) * ε ≤ (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

∫ (a : G), ‖L (f a)‖ ∂μ ≤ ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

Context: h3 : ∀ (t : G), ‖L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: R ε : ℝ

Context: z₀ : E'

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hif : Integrable f μ

Context: hf : support f ⊆ ball 0 R

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

Context: hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ

Context: h3 : ∀ (t : G), ‖L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖

∫ (a : G), ‖L‖ * ‖f a‖ ∂μ = ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ


Context:
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
S : LightProfiniteᵒᵖ
x : X.val.obj S

∀ (i : (T : LightProfinite) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => LightCondSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩


Context:
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
x✝² x✝¹ : LightProfiniteᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²

(X.val.map x✝ ≫ (fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝¹) a✝ = ((fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝² ≫ X.toTopCat.toLightCondSet.val.map x✝) a✝


{ toFun := fun s => X.val.map (x✝ ≫ (LightProfinite.const (Opposite.unop x✝¹) s).op) a✝, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop x✝²) s).op a✝, continuous_toFun := ⋯ }.comp x✝.unop


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context: q a b c : ℚ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
s : Finset α
f : α → Set β
x : α
h : x ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Field K

Context: I J : Ideal R

Context: h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Field K

Context: I J : Ideal R


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Field K

Context: I J : Ideal R

Context: hIJ : ¬I ⊔ J = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Field K

Context: I J : Ideal R

Context: hIJ✝ : ¬I ⊔ J = ⊤

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hIJ : I ⊔ J ≤ P


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Fintype ↥⊥


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

(algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen))


∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2 = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen))


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq β

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup α

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : FunLike F α β

Context: inst✝¹ : SupHomClass F α β

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α

Context: a✝ b c : α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

filter (fun x => x ≤ a) (s ⊻ t) = filter (fun x => x ≤ a) s ⊻ filter (fun x => x ≤ a) t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β

(comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
hα : IsEmpty α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
hα : Nonempty α


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α
x✝ : ℍ

((c • 1) • f) (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k) = ((c • 1) • f ∣[k]A) x✝


c • 1 * f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k) = c • 1 * (f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddAbove s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: s t : Set α

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddAbove s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : m → R

(toLin' M) ({ toFun := ⇑(toLin' M'), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : n → R


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ

xInTermsOfW p R n = (X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n)


Context: n✝ n : ℕ

n.primeFactors = filter Prime n.divisors


Context: n : ℕ

primeFactors 0 = filter Prime (divisors 0)


Context:
n✝ n : ℕ
hn : n > 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥

LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LieRing L

Context: inst✝ : LieAlgebra R L

Context: h : LieAlgebra.center R L = ⊥

Context: D : LieDerivation R L L

Context: hD : D ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L)

Context: x : L


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LieRing L

Context: inst✝ : LieAlgebra R L

Context: h : LieAlgebra.center R L = ⊥

Context: D : LieDerivation R L L

Context: x : L

Context: this : (ad R L) (D x) = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LieRing L

Context: inst✝ : LieAlgebra R L

Context: h : LieAlgebra.center R L = ⊥

Context: D : LieDerivation R L L

Context: x : L

Context: this : D x = 0


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
f : ℝ → ℝ
g : ℝ → ℝ≥0∞
hg : pdf X ℙ volume =ᶠ[ae volume] g
hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤

∫⁻ (a : ℝ), ↑‖f a * (pdf X ℙ volume a).toReal‖₊ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ≥0∞

Context: hg : pdf X ℙ volume =ᶠ[ae volume] g

Context: hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤

Context: this : (fun x => ↑‖f x‖₊ * g x) =ᶠ[ae volume] fun x => ↑‖f x * (pdf X ℙ volume x).toReal‖₊


Context:
α : Type u
l l' : List α

l ~r l' ↔ l' ∈ map l.rotate (range (l.length + 1))


Context:
α : Type u
l l' : List α

(∃ n ≤ l.length, l.rotate n = l') ↔ ∃ a < l.length + 1, l.rotate a = l'


Context:
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : x₁.IsOption (-x)
h₂ : x₂.IsOption (-x)
hy : y' = y ∨ y'.IsOption y


Context:
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : (-x₁).IsOption x
h₂ : (-x₂).IsOption x
hy : y' = y ∨ y'.IsOption y


Context:
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α
h : s ≤ a ::ₘ t
m : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α
h : a ::ₘ s.erase a ≤ a ::ₘ t
m : a ∈ s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : DecidableEq m
d : o → m → α
i : m
k : o
j : m
k' : o

blockDiagonal (fun k => diagonal (d k)) (i, k) (j, k') = diagonal (fun ik => d ik.2 ik.1) (i, k) (j, k')


(if k = k' ∧ i = j then d k i else 0) = if i = j ∧ k = k' then d k i else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : InjOn f s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: motive : List α → Sort u_2

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: nil : motive []

Context: append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])

reverseRecOn (xs ++ [x]) nil append_singleton = append_singleton xs x (reverseRecOn xs nil append_singleton)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: motive : List α → Sort u_2

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: nil : motive []

∀ (ys : List α) (h : xs.reverse.reverse = ys), reverseRecOn (xs ++ [x]) nil append_singleton = cast ⋯ (append_singleton ys x (reverseRecOn ys nil append_singleton))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: motive : List α → Sort u_2

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: nil : motive []

Context: ys : List α

Context: hy : xs.reverse.reverse = ys

Context: head✝ : α

Context: tail✝ : List α

Context: heq✝ : (xs ++ [x]).reverse = head✝ :: tail✝

cast ⋯ (append_singleton tail✝.reverse head✝ (reverseRecOn tail✝.reverse nil append_singleton)) = cast ⋯ (append_singleton ys x (reverseRecOn ys nil append_singleton))


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)


∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1

∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U


∀ (t : Finset α), Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯) → ∏ b ∈ t, f b ∈ U


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
i : α
hi : i ∈ t


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K
g : X → ↑unitInterval
g_cont : Continuous g
gx_zero : g x = 0
g_one_on_K : EqOn g 1 K


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: K : Set X

Context: K_closed : IsClosed K

Context: x : X

Context: x_notin_K : x ∉ K

Context: g : X → ↑unitInterval

Context: g_cont : Continuous g

Context: gx_zero : g x = 0

Context: g_one_on_K : EqOn g 1 K

Context: g_bdd : ∀ (x y : X), dist (↑(g x)).toNNReal (↑(g y)).toNNReal ≤ 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompletelyRegularSpace X

Context: K : Set X

Context: K_closed : IsClosed K

Context: x : X

Context: x_notin_K : x ∉ K

Context: g : X → ↑unitInterval

Context: g_cont : Continuous g

Context: gx_zero : g x = 0

Context: g_one_on_K : EqOn g 1 K

Context: g' : X →ᵇ ℝ≥0 := mkOfBound { toFun := fun x => (↑(g x)).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ } 1 g_bdd


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
h : P.IsPrime


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
h : P.IsPrime
I J : Ideal A
hIJ : P ∣ I * J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : ¬r₁ = 0

(fun n => ↑n ^ k * r₁ ^ n) =o[atTop] fun n => r₂ ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : 0 < ‖r₁‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r₁ : R

Context: r₂ : ℝ

Context: h : ‖r₁‖ < r₂

Context: h0 : 0 < ‖r₁‖

Context: A : (fun n => ↑n ^ k) =o[atTop] fun n => (r₂ / ‖r₁‖) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : NormedRing R

Context: k : ℕ

Context: r₁ : R

Context: r₂ : ℝ

Context: h : ‖r₁‖ < r₂

Context: h0 : 0 < ‖r₁‖

(fun n => r₁ ^ n) =O[atTop] fun n => ‖r₁‖ ^ n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R

(∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)) ↔ ∀ (x : R), x ≠ 0 → IsUnit x


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x✝ : Nontrivial R

Context: h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x✝ : Nontrivial R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : R

Context: hyx : y * x = 1


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x✝ : Nontrivial R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : R

Context: hyx : y * x = 1

Context: hy : y ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x✝ : Nontrivial R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : R

Context: hyx : y * x = 1

Context: hy : y ≠ 0

Context: z : R

Context: hzy : z * y = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℤ
x✝ : (f ^ n).SameCycle x y
m : ℤ
h : ((f ^ n) ^ m) x = y


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : z ≤ x


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
m : M
s : ↥S
h : (m, s).2 • x = f (m, s).1


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
m : M
s : ↥S
h : ⋯.unit⁻¹ • f (m, s).1 = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset α


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R

f.maxGenEigenspace μ = (f.genEigenspace μ) (f.maxGenEigenspaceIndex μ)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
f : End R M
μ : R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_zero : μ s = 0
x : F


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
hf : LocallyIntegrable f₀ μ
hcg : HasCompactSupport g₀
hg : ContDiff 𝕜 1 g₀
x₀ : 𝕜

HasDerivAt (f₀ ⋆[L, μ] g₀) ((f₀ ⋆[L, μ] deriv g₀) x₀) x₀


(f₀ ⋆[L, μ] deriv g₀) x₀ = ((f₀ ⋆[precompR 𝕜 L, μ] fderiv 𝕜 g₀) x₀) 1


(f₀ ⋆[L, μ] deriv g₀) x₀ = (f₀ ⋆[L, μ] fun a => (fderiv 𝕜 g₀ a) 1) x₀


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ m < n, m ∈ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ m).vars ⊆ range (m + 1)

n ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars ∧ (xInTermsOfW p ℚ n).vars ⊆ range (n + 1)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

n ∈ {n} ∪ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars ∧ {n} ∪ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars ⊆ {n} ∪ range n


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Disjoint (X n).vars (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: i : ℕ

i ∈ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars → i ∈ range n


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

n ∉ (∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)).vars


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝² : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
this : ∃ x, x ∈ p


Context:
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
M : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
S : Finset M
inst✝ : Finite κ
C : M → κ

∃ a > 0, ∃ b c, ∀ s ∈ S, C (a • s + b) = c


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: hι : ∀ (C : (ι → { x // x ∈ S }) → κ), ∃ l, Line.IsMono C l


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: l : Line { x // x ∈ S } ι

Context: c : κ

Context: hl : ∀ (x : { x // x ∈ S }), (fun v => C (∑ i : ι, ↑(v i))) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c

Context: s : Finset ι := Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ

Context: hs : s = Finset.filter (fun i => l.idxFun i = none) Finset.univ


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: l : Line { x // x ∈ S } ι

Context: c : κ


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: l : Line { x // x ∈ S } ι

Context: c : κ

Context: i : ι


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: l : Line { x // x ∈ S } ι

Context: c : κ

∀ s_1 ∈ S, C (s.card • s_1 + ∑ i ∈ sᶜ, (Option.map (?m.43407 i) (l.idxFun i)).getD 0) = c


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: l : Line { x // x ∈ S } ι

Context: c : κ

Context: x : M

Context: xs : x ∈ S

s.card • x + ∑ i ∈ sᶜ, (Option.map (fun m => ↑m) (l.idxFun i)).getD 0 = ∑ i : ι, ↑((fun x i => (l.idxFun i).getD x) ⟨x, xs⟩ i)


Context: η : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: S : Finset M

Context: inst✝ : Finite κ

Context: C : M → κ

Context: ι : Type

Context: _inst : Fintype ι

Context: l : Line { x // x ∈ S } ι

Context: c : κ

Context: x : M

Context: xs : x ∈ S

s.card • x + ∑ i ∈ sᶜ, (Option.map (fun m => ↑m) (l.idxFun i)).getD 0 = ∑ i ∈ s, ↑((fun x i => (l.idxFun i).getD x) ⟨x, xs⟩ i) + ∑ i ∈ sᶜ, ↑((fun x i => (l.idxFun i).getD x) ⟨x, xs⟩ i)


Context:
n : ℕ
h : 2 ≤ n


Context:
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m

(finRotate (2 + m)).support = Finset.univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

HasMFDerivAt (I.prod I') I Prod.fst x (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt (I.prod I') I x Prod.fst) (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)) (range ↑(I.prod I')) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

Context: this : ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x, (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x✝ : M

Context: x : M × M'

(↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x) = (↑(extChartAt (I.prod I') x) x).1


Context:
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xy : SqLe x c y d
zw : SqLe z c w d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
f : β → α
s : Set β

(∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ f '' s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ f '' s → dist x y ≤ C) ↔ ∃ C, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ C


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₄ : p₄ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄

2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄