Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hg : HasDerivWithinAt g g' Set.univ x
h : 0 < f x

HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) Set.univ x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

↑(𝒜.sup id).card ≤ ↑𝒜.card * ↑s.card * ((↑m + 1) / ↑m)


↑(𝒜.biUnion id).card * ↑m ≤ ↑𝒜.card * (↑m + 1) * ↑s.card


↑(𝒜.biUnion id).card ≤ ↑𝒜.card * (↑m + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s

(Q W).map f ≫ Qinv s hs = homMk (mk f s hs)


homMk (ofHom W f) ≫ homMk (ofInv s hs) = homMk (mk f s hs)


homMk ((ofHom W f).comp₀ (ofInv s hs) (ofHom W (𝟙 (ofHom W f).Y'))) = homMk (mk f s hs)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s s₁ s₂ : Set (Sym2 V)

G.deleteEdges s = G ↔ Disjoint G.edgeSet s


Context: p : ℕ

Nat.rec (unpair p).1 (fun y IH => IH - 1) (unpair p).2 = (unpair p).1 - (unpair p).2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj

↑P.parts.offDiag.card ≤ 1 * ↑P.parts.card ^ 2


↑(P.parts.card * P.parts.card - P.parts.card) ≤ ↑P.parts.card ^ 2


P.parts.card * P.parts.card - P.parts.card ≤ P.parts.card * P.parts.card


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
a b : n → α
x✝ : n

(col ι a * row ι b).diag x✝ = (a * b) x✝


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = -ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ)


ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = ShortComplex.homologyMap (-(shortComplexFunctor C c i).map φ)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : Surjective m

Disjoint (comap m g₁) (comap m g₂) ↔ Disjoint g₁ g₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀

(s.indicator fun i => f i * g i) = fun i => s.indicator f i * s.indicator g i


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι

s.indicator (fun i => f i * g i) x✝ = s.indicator f x✝ * s.indicator g x✝


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι
h✝ : x✝ ∉ s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R


(p.sum fun e a => (RingHom.id R) a * x ^ e) = p.sum fun e a => a * x ^ e


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: ι : Type u_1

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i : ι

Context: x : ↑((forget₂ C Ab).obj (K.X i))

Context: hx : ((forget₂ C Ab).map (K.d i (c.next i))) x = 0

((forget₂ C Ab).map (K.iCycles i)) (K.cyclesMk x (c.next i) ⋯ hx) = x


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝ : RegularSpace X✝

Context: x : X✝

Context: s : Set X✝

Context: X : Type u_3

Context: T : Set (TopologicalSpace X)

Context: h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X

Context: x✝ : TopologicalSpace X := sInf T

Context: this : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)) fun If => ⋂ i, If.snd i


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝ : RegularSpace X✝

Context: x : X✝

Context: s : Set X✝

Context: X : Type u_3

Context: T : Set (TopologicalSpace X)

Context: h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X

Context: x✝ : TopologicalSpace X := sInf T

Context: a : X

Context: If : (I : Set ↑T) × (↑I → Set X)

Context: hIf : If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)

Context: i : ↑If.fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
s : Submonoid M
hs : s ∈ S


Context:
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

padicValNat p (x ^ n - y ^ n) = padicValNat p (x - y) + padicValNat p n


↑(padicValNat p (x ^ n - y ^ n)) = ↑(padicValNat p (x - y)) + ↑(padicValNat p n)


multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]

ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) [[b₁, b₂]] x✝¹


IntervalIntegrable f μ (min a (b₁ ⊓ b₂)) (max a (b₁ ⊔ b₂))


IntervalIntegrable f μ (b₁ ⊓ b₂) (b₁ ⊔ b₂)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: c : Cardinal.{u}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : #ι < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: a : Ordinal.{u}

Context: hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: P X Y Z : C

Context: f : P ⟶ X

Context: g : P ⟶ Y

Context: inst✝² : HasBinaryProduct X Y

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)

Context: inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G

(iso G X Y).inv ≫ G.map prod.fst = prod.fst


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: P X Y Z : C

Context: f : P ⟶ X

Context: g : P ⟶ Y

Context: inst✝² : HasBinaryProduct X Y

Context: inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G

𝟙 (G.obj (X ⨯ Y)) ≫ G.map prod.fst = (iso G X Y).hom ≫ prod.fst


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Mul A
inst✝² : SMulWithZero R A
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A


Context:
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : z ≤ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
Z : D
g g' : G.obj X ⟶ Z

α.hom.app X ≫ g = α.hom.app X ≫ g' ↔ g = g'


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
h : p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν μ : Measure α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α

∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = (μ {a}).toReal • f a


Context:
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝


Context:
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
h : f✝.Separable


Context:
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
hf : Irreducible ((expand K p) g)


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ↪ β
inst✝ : Finite β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (pmap f l h).length

(pmap f l h).get ⟨n, hn⟩ = f (l.get ⟨n, ⋯⟩) ⋯


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M

m ∈ weightSpace M χ ↔ ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
x : E

fderiv 𝕜 (fun x => (↑L).comp (f x)) x = (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderiv 𝕜 f x)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]

(↑f * ↑g).derivativeFun = ↑f * ↑(derivative g) + ↑g * ↑(derivative f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LE β
t c : Lex (α × β)
h : t ≤ c


Context:
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
i j : α
f : α → β

f ∘ ⇑(swap i j) = update (update f j (f i)) i (f j)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A


⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆ + (⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆ + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆)) = ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆)) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆ + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆)) + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆ + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆))


Context: m n✝ n : ℤ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: η : Type u_9

Context: inst✝ : Nonempty η

Context: s : η → Set A

Context: hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: η : Type u_9

Context: inst✝ : Nonempty η

Context: s : η → Set A

Context: hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: t : Set A

Context: ht : t ⊆ ⋃ i, s i

Context: ft : t.Finite


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: η : Type u_9

Context: inst✝ : Nonempty η

Context: s : η → Set A

Context: hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: t : Set A

Context: ht : t ⊆ ⋃ i, s i

Context: ft : t.Finite

Context: I : Set η

Context: fi : I.Finite

Context: hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: η : Type u_9

Context: inst✝ : Nonempty η

Context: s : η → Set A

Context: hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: t : Set A

Context: ht : t ⊆ ⋃ i, s i

Context: ft : t.Finite

Context: I : Set η

Context: fi : I.Finite

Context: hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i

Context: i : η

Context: hi : ∀ i_1 ∈ fi.toFinset, s i_1 ⊆ s i


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
m : M


(∀ (x : α), x ∈ fixedBy α m) ↔ (fun x => m • x) = fun x => 1 • x


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: left✝ : 0 ∉ s

Context: s_top : ⊤ ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: left✝ : 0 ∉ s

Context: s_top : ⊤ ∉ s

Context: I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: left✝ : 0 ∉ s

Context: s_top : ⊤ ∉ s

Context: I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤

∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: left✝ : 0 ∉ s

Context: s_top : ⊤ ∉ s

Context: I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤

Context: p : ℝ≥0

Context: hp : ↑p ∈ s

Context: q : ℝ≥0

Context: hq : ↑q ∈ s

Context: hpq : ↑p < ↑q

∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩

(range f).WellFoundedOn r ↔ WellFounded (r on f)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: h : WellFounded (r on f)

∀ (a : ↑(range f)), Acc (fun a b => r ↑a ↑b) a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: h : WellFounded (r on f)

Context: c : β


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: h : WellFounded (r on f)

Context: c : β

∀ {a : β} {b : ↑(range f)}, r ↑b ↑(f' a) → ∃ c, f' c = b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r r' : α → α → Prop

Context: f : β → α

Context: s t : Set α

Context: x y : α

Context: h : WellFounded (r on f)

Context: c : β

Acc (InvImage (fun a b => r ↑a ↑b) f') c


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b

Context: a : ℝ

Continuous fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: a : ℝ

∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) x


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: a b₀ : ℝ

ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: a b₀ b₁ : ℝ

Context: hb₁ : b₁ < b₀


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: a b₀ b₁ : ℝ

Context: hb₁ : b₁ < b₀

Context: b₂ : ℝ

Context: hb₂ : b₀ < b₂


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: inst✝ : NoAtoms μ

Context: a b₀ b₁ : ℝ

Context: hb₁ : b₁ < b₀

Context: b₂ : ℝ

Context: hb₂ : b₀ < b₂

ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Icc b₁ b₂) b₀


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S

(Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
d_pos : 0 < pb.dim


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : CommRing T

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra K S

Context: inst✝¹ : Algebra K F

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: pb : PowerBasis K S

Context: d_pos : 0 < pb.dim

Context: d_pos' : 0 < (minpoly K pb.gen).natDegree

Context: this : Nonempty (Fin pb.dim)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a
i : ι
hb : ∀ (j : ι), j ≠ i → 1 ≤ f j


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

⨆ i, ∑ a ∈ range i.succ, 2 ^ a * f (2 ^ a) ≤ f 1 + 2 • ∑' (k : ℕ), f k


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

∑ a ∈ range n.succ, 2 ^ a * f (2 ^ a) ≤ f 1 + 2 • ∑ x ∈ Ico 2 (2 ^ n + 1), f x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: X Y : C

Context: h₂ : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.desc 0 f = biprod.snd ≫ f

Context: h₁ : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.desc f 0 = biprod.fst ≫ f

EckmannHilton.IsUnital (fun x x_1 => rightAdd X Y x x_1) 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
H : a < 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
H : 1 < a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M
hxy : x ∈ span R {y}
hyz : y ∈ span R {z}


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M
hxy : {x} ⊆ ↑(span R {y})
hyz : {y} ⊆ ↑(span R {z})


Context:
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b x y z x' y' : S
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: a b : α

Context: h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: a b : α

Context: e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: a b : α

Context: e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g

Ultrafilter.extend g (pure a) = Ultrafilter.extend g (pure b)


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: a b : α

Context: h : EqvGen (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) (pure a) (pure b)

Context: e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: a b : α

Context: e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g

Context: F G : Ultrafilter α

Context: h : EqvGen (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) F G

Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}


∀ (x y_1 : M), (∃ a, a • y = x) → (∃ a, a • y = y_1) → ∃ a, a • y = x + y_1


∀ (a : R) (x : M), (∃ a, a • y = x) → ∃ a_2, a_2 • y = a • x


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
a : R


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₃ : X₂₁ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ h₂₃
t : IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁

h₁₁ ≫ h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₁ ≫ h₂₃


h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₂ ≫ t.desc (h₁₂ ≫ v₁₃) h₂₃ ⋯


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

homologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j

(A.updateColumn i fun k => A k i + A k j).det = A.det


(Aᵀ.updateRow i fun k => A k i + A k j).det = Aᵀ.det


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ q
r : R[X]
hr : q = p * r


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
t : Set α


Context:
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H✝
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H✝ β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
t : Set α
H : ν.restrict t ≪ μ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommRing A

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra A K

Context: inst✝⁸ : Algebra A L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: C : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing C

Context: inst✝⁵ : IsDomain C

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L

Context: inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0

Context: z : L

Context: x : ↥(integralClosure A L)

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: hxy : z * (algebraMap A L) y = ↑x

Context: h : (algebraMap A C) y = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommRing A

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra A K

Context: inst✝⁸ : Algebra A L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: C : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing C

Context: inst✝⁵ : IsDomain C

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L

Context: z : L

Context: x : ↥(integralClosure A L)

Context: y : A

Context: hy : y ≠ 0

Context: hxy : z * (algebraMap A L) y = ↑x

z * (algebraMap C L) ((algebraMap A C) y) = (algebraMap C L) (mk' C ↑x ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommRing A

Context: inst✝¹² : IsDomain A

Context: L : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra A K

Context: inst✝⁸ : Algebra A L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: C : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing C

Context: inst✝⁵ : IsDomain C

Context: inst✝⁴ : Algebra C L

Context: inst✝³ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝² : Algebra A C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L

Context: x y : C

Context: h : (algebraMap C L) x = (algebraMap C L) y


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤


μ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} = 1


{ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} =ᶠ[ae μ] Set.univ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal

{ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} ω = Set.univ ω


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: ω : Ω

Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: ω : Ω

Tendsto (fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal) atTop atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: ω : Ω

Context: htends : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, μ (s (k + 1))) atTop (𝓝 ⊤)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: ω : Ω

Context: htends : ∀ (x : NNReal), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, ↑x < ∑ k ∈ Finset.range a, μ (s (k + 1))


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: ω : Ω

Monotone fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: ι : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: f : ι → Ω → β

Context: i j : ι

Context: s✝ : ι → Set Ω

Context: s : ℕ → Set Ω

Context: hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

Context: hs : iIndepSet s μ

Context: hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤

Context: ω : Ω

¬BddAbove (Set.range fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E


sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ

sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ 0} = 0 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0


0 < InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < o.bsup f


Context:
V : Type u
inst✝ : Quiver V
a✝¹ b c d a x✝ b✝ : V
p : Path a b✝
a✝ : b✝ ⟶ x✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Sort u_4

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Sort u_4

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ι : Sort u_4

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
a b : α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))

centroid ℝ fs s.points = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (centroidWeightsWithCircumcenter fs)


∑ x : Fin (n + 1), (if x ∈ ↑fs then Function.const (Fin (n + 1)) (↑fs.card)⁻¹ x else 0) • (s.points x -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯ = ∑ x : Fin (n + 1), (if x ∈ fs then (↑fs.card)⁻¹ else 0) • (s.points x -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

TendstoUniformlyOn f g atTop (s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < ε_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ

∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f b x) < δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ

Context: n : ι

Context: hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ

Context: n : ι

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∧ (x ∈ s → ∀ (x_1 : ℕ), x ∉ notConvergentSeq f g x_1 (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg x_1))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ

Context: n : ι

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : x ∉ notConvergentSeq f g N (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ

Context: n : ι

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : ¬∃ k ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N, 1 / (↑N + 1) < dist (f k x) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ

Context: n : ι

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : ∀ k ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N, dist (f k x) (g x) ≤ 1 / (↑N + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n✝ : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : 1 / (↑N + 1) < δ

Context: n : ι

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊆ t


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

↑N = ⊤ ↔ N = ⊤


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: B : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: γ : Type u_9

Context: δ : Type u_10

Context: inst✝⁴ : SMul M α

Context: inst✝³ : SMul N α

Context: inst✝² : SMul M β

Context: inst✝¹ : SMul N β

Context: inst✝ : SMulCommClass M N β

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = c • f x

Context: h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c • x) = c • f x

Context: c₁ : M

Context: c₂ : N

Context: x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P

centroid k univ Subtype.val = centroid k s id


(affineCombination k univ Subtype.val) (centroidWeights k univ) = (affineCombination k s.attach Subtype.val) (centroidWeights k s ∘ Subtype.val)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n m : ι

Context: ω : Ω

Context: h : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n m : ι

Context: ω : Ω

Context: h : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n m : ι

Context: ω : Ω

Context: j : ι

Context: hj₁ : j ∈ Set.Icc n m

Context: hj₂ : u j ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n m : ι

Context: ω : Ω

Context: j : ι

Context: hj₁ : j ∈ Set.Icc n m

Context: hj₂ : u j ω ∈ s

Context: this : sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'


(sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod (sFiniteSeq ν p.2 + sFiniteSeq ν' p.2)) = sum fun n => (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2) + (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν' n.2)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
i : ℕ × ℕ

(sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2 + sFiniteSeq ν' i.2) = (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν' i.2)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
i : ℕ × ℕ
s : Set α
t : Set β
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t

((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν' i.2)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1) s * (sFiniteSeq ν i.2 + sFiniteSeq ν' i.2) t


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ∈ Ico 1 (p / 2).succ

↑(↑a * ↑x✝¹).val = (if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * ↑(↑a * ↑x✝¹).valMinAbs.natAbs


↑(↑a * ↑x✝¹).val = (if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then ↑a * ↑x✝¹ else -(↑a * ↑x✝¹)


∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs = (-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: a : ℤ

Context: hap : ↑a ≠ 0

Context: this : (∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 1 else -1) = ∏ x ∈ filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ), -1


(-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs = (-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ↑(p / 2)!


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι

(PiToModule.fromMatrix R b) 0 = (PiToModule.fromEnd R b) 0


Context:
n : ℕ
i : ZMod n


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0


Context: q : ℚ


Context: q : ℚ

(-(q.num /. ↑q.den))⁻¹ = -(q.num /. ↑q.den)⁻¹


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α


∀ (n : ℕ), g⁻¹ ^ n • a = a ↔ g ^ n • a = a


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α
n : ℕ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
ha : Aᴴ.IsDiag


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
f : ι → μ

f ∈ (cons i s hi).piAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).disjiUnion (fun p => map (addRightEmbedding fun t => if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯


(f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t => if t = i then a else 0) a_1 = f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f =O[⊤] g
hg : Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f =O[⊤] g
hg : IntegrableAtFilter g ⊤ μ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.45590, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(F.shift n₀).map T.mor₂ ≫ F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ = 0


Context: u v : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: n : ℕ

Context: i j : ι

Context: s : Set α

Context: ε : ℝ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝² : SemilatticeSup ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hε : 0 < ε

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : μ s ≠ ⊤

s ∩ ⋃ i, notConvergentSeq f g i (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg i) ⊆ s


Context:
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s

lift.{u, v} #↑t ≤ lift.{v, u} #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}


Context:
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x


lift.{v, u} #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t} = lift.{v, u} #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)


lift.{v, u} #↑{x | f ↑x ∈ t} = lift.{v, u} #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ

(⇑derivative)^[k] (X ^ n) = C ↑(n.descFactorial k) * X ^ (n - k)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝² : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

AEMeasurable (fun x => ∑' (i : ι), f i x) μ


AEMeasurable (fun x => (∑' (b : ι), ↑(f b x)).toNNReal) μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 3)) = WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 2 * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 5) - WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) ^ 2 ∧ WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 2) + 1) = (WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 3 * if Even m then 4 ^ 2 else 1) - WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else 4 ^ 2


2 * (↑m + 3) / 2 = (((if Even m then (↑m + 2) / 2 else ↑m + 2) ^ 2 * if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) * if Even m then ↑m + 5 else (↑m + 5) / 2) - ((if Even m then ↑m + 1 else (↑m + 1) / 2) * if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) * (if Even m then (↑m + 4) / 2 else ↑m + 4) ^ 2 ∧ 2 * (↑m + 2) + 1 = ((if Even m then (↑m + 4) / 2 else ↑m + 4) * (if Even m then (↑m + 2) / 2 else ↑m + 2) ^ 3 * if Even m then 16 else 1) - (if Even m then ↑m + 1 else (↑m + 1) / 2) * (if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) ^ 3 * if Even m then 1 else 16


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

(f ⊗ g) ≫ (β_ Y Y').hom = (β_ X X').hom ≫ (g ⊗ f)


(X ◁ g ≫ f ▷ Y') ≫ (β_ Y Y').hom = (β_ X X').hom ≫ g ▷ X ≫ Y' ◁ f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s


∃ a ∈ 𝒜, s ⊆ a


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
α : Type u_1
n : PosNum
this : 0 < ↑n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.217781, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_6
K : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
r : S
x y : M


Context: x✝ y z x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i x✝ : ι

(s ∩ t).indicator 1 x✝ = (s.indicator 1 * t.indicator 1) x✝


(s ∩ t).indicator 1 x✝ = (s ∩ t).indicator (fun j => 1) x✝


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι

(F.map (biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift (F.mapBicone (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i))).π) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i = F.map ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i)


F.map (biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift (F.mapBicone (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i))).π ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i = F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0


F.map ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i)).π i) = F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0


Context:
α : Type u_1
p : α → Option α
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a = none


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v

↑(stereoInvFun hv (stereoToFun v ↑x)) = ↑x


(‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x) + (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: hv : ‖v‖ = 1

Context: x : ↑(sphere 0 1)

Context: hx : ↑x ≠ v

Context: a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x

Context: y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: hv : ‖v‖ = 1

Context: x : ↑(sphere 0 1)

Context: hx : ↑x ≠ v

Context: a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x

Context: split : ↑x = a • v + ↑y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: hv : ‖v‖ = 1

Context: x : ↑(sphere 0 1)

Context: hx : ↑x ≠ v

Context: a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x

Context: split : ↑x = a • v + ↑y

Context: hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: hv : ‖v‖ = 1

Context: x : ↑(sphere 0 1)

Context: hx : ↑x ≠ v

Context: a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x

Context: split : ↑x = a • v + ↑y

Context: hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0

Context: pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: hv : ‖v‖ = 1

Context: x : ↑(sphere 0 1)

Context: hx : ↑x ≠ v

Context: a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x

Context: split : ↑x = a • v + ↑y

Context: hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0

Context: pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2

Context: ha : 1 - a ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v : E

Context: hv : ‖v‖ = 1

Context: x : ↑(sphere 0 1)

Context: hx : ↑x ≠ v

Context: a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x

Context: split : ↑x = a • v + ↑y

Context: hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0

Context: pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2

Context: ha : 1 - a ≠ 0

Context: h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor

Context: inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: s : Cocone D

Context: j : J

T.map (c.ι.app j) ≫ T.map (t.desc (T.forget.mapCocone s)) ≫ s.pt.a = T.map (c.ι.app j) ≫ lambda c t ≫ t.desc (T.forget.mapCocone s)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: D : J ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: s : Cocone D

Context: j : J

T.map ((T.forget.mapCocone s).ι.app j) ≫ s.pt.a = (D.obj j).a ≫ (T.forget.mapCocone s).ι.app j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J✝

Context: D : J✝ ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: s : Cocone D

Context: m : (liftedCocone c t).pt ⟶ s.pt

Context: J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m.f = ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J✝

Context: D : J✝ ⥤ T.Algebra

Context: c : Cocone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsColimit c

Context: s : Cocone D

Context: m : (liftedCocone c t).pt ⟶ s.pt

∀ (j : J✝), c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R

DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ => (DirectSum.mk (fun i => ↥(homogeneousSubmodule σ R i)) (Finset.image Finsupp.degree φ.support)) fun m => ⟨(homogeneousComponent ↑m) φ, ⋯⟩


DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ => (DirectSum.mk (fun i => ↥(homogeneousSubmodule σ R i)) (Finset.image (⇑(weight 1)) φ.support)) fun m => ⟨(homogeneousComponent ↑m) φ, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a < b * c


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : b ≤ a * c⁻¹


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)

orderOf (a i) = 2 * n / (2 * n).gcd i.val


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)

orderOf (a ↑i.val) = 2 * n / (2 * n).gcd i.val


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
a b : α
s : Set β
x : β
hx : x ∈ s

(fun x => (a + b) • x) x ∈ a • s + b • s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f : Filter α
g : Filter β

f ×ˢ g = f.lift fun s => g.lift' fun t => s ×ˢ t


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
x : α
y : β
hx : x ∈ e.source
hy : y ∈ e.target
h : x = ↑e.symm y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
x : α
y : β
hx : x ∈ e.source
hy : y ∈ e.target
h : ↑e x = y


Context:
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C

F.Final ↔ (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t


Context:
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
hF : F.Final


∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z✝ z₀ : ℂ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)

Context: h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁

Context: g : ℂ → E := dslope f c

Context: h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: h : ¬z = c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z✝ z₀ : ℂ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁

Context: g : ℂ → E := dslope f c

Context: h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: h : ¬z = c

Context: h_R₁ : 0 < R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z✝ z₀ : ℂ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁

Context: g : ℂ → E := dslope f c

Context: h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: h : ¬z = c

Context: h_R₁ : 0 < R₁

Context: g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z✝ z₀ : ℂ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁

Context: g : ℂ → E := dslope f c

Context: h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: h : ¬z = c

Context: h_R₁ : 0 < R₁

Context: g_max : IsMaxOn (norm ∘ g) (ball c R₁) z₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z✝ z₀ : ℂ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁

Context: g : ℂ → E := dslope f c

Context: h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: h : ¬z = c

Context: h_R₁ : 0 < R₁

Context: g_diff : DifferentiableOn ℂ g (ball c R₁)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z✝ z₀ : ℂ

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁

Context: g : ℂ → E := dslope f c

Context: h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: h : ¬z = c

Context: h_R₁ : 0 < R₁

Context: this : g z = g z₀


Context:
α : Type u_1
f : SignType → α


Context:
α : Type u_1
f : SignType → α

↑(Finset.image f {0, -1, 1}) = {f zero, f neg, f pos}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ

take (take i (map length L)).sum L.join = (take i L).join


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a


Context:
r : ℝ
z : ℂ
hz : ↑r ≤ z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
n p : ℕ
h : n ≤ p

↑((p - 1).descFactorial n) = (-1) ^ n * ↑n !


Context:
n p : ℕ
h : n ≤ p

↑(∏ i ∈ range n, (p - 1 - i)) = (-1) ^ n * ↑(∏ x ∈ range n, (x + 1))


Context:
n p : ℕ
h : n ≤ p

∏ i ∈ range n, ↑(p - 1 - i) = (-1) ^ n * ∏ i ∈ range n, ↑(i + 1)


Context:
n p : ℕ
h : n ≤ p

∏ i ∈ range n, ↑(p - 1 - i) = (-1) ^ (range n).card * ∏ i ∈ range n, ↑(i + 1)


Context:
n p : ℕ
h : n ≤ p

∏ i ∈ range n, ↑(p - 1 - i) = ∏ a ∈ range n, -1 * ↑(a + 1)


Context:
n p : ℕ
h : n ≤ p

∀ x ∈ range n, ↑(p - 1 - x) = -1 * ↑(x + 1)


Context:
n p : ℕ
h : n ≤ p
x : ℕ
hx : x ∈ range n


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

(pullback f g).topologicalSpace_coe = induced (⇑(prod.lift (pullback.fst f g) (pullback.snd f g))) (X ⨯ Y).topologicalSpace_coe


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
h : a.prod ≤ b.prod


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
h : a.prod ≤ b.prod
this : a.prod.factors ≤ b.prod.factors


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : β → γ
f : α → β
hg : MeasurePreserving g μb μc
hf : MeasurePreserving f μa μb


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a

∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₂ x₁ y) → P124 a


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₁, y, x₂} → P124 a

∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₂, y, x₁} → P124 a


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y} + {x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁} + ({y} + {x₂})) ({x₁} + ({y} + {x₂})) → P124 a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
inst✝ : IsEmpty ι
μ : ι → Measure α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α

(fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: t : L.Term α

Context: h : listDecode ([t].bind listEncode) = [t]


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode t.listEncode = [t]


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a


Context:
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring k✝
inst✝¹¹ : Monoid G
inst✝¹⁰ : Monoid H
A✝ : Type u₃
inst✝⁹ : Semiring A✝
inst✝⁸ : Algebra k✝ A✝
B : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra k✝ B
k : Type u_4
A : Type u_5
G₁ : Type u_6
G₂ : Type u_7
G₃ : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra k A
inst✝² : Monoid G₁
inst✝¹ : Monoid G₂
inst✝ : Monoid G₃
f : G₁ →* G₂
g : G₂ →* G₃
x✝ : MonoidAlgebra A G₁

(mapDomainAlgHom k A (g.comp f)) x✝ = ((mapDomainAlgHom k A g).comp (mapDomainAlgHom k A f)) x✝


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A[X]


∀ (p q : A[X]), (toFunAlgHom R A) (invFun R A p) = p → (toFunAlgHom R A) (invFun R A q) = q → (toFunAlgHom R A) (invFun R A (p + q)) = p + q


∀ (n : ℕ) (a : A), (toFunAlgHom R A) (invFun R A ((monomial n) a)) = (monomial n) a


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
u v : n → α
hM : u = A *ᵥ v


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι✝ → Sort u_7

Context: κ₁ : ι✝ → Sort u_8

Context: κ₂ : ι✝ → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: s t u : Set α

Context: f : α → β

Context: ι : Type u_11

Context: Es : ι → Set α

Context: Es_union : ⋃ i, Es i = univ

Context: Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)

Context: I : Set ι

Context: x : α

x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι✝ → Sort u_7

Context: κ₁ : ι✝ → Sort u_8

Context: κ₂ : ι✝ → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: s t u : Set α

Context: f : α → β

Context: ι : Type u_11

Context: Es : ι → Set α

Context: Es_union : ⋃ i, Es i = univ

Context: I : Set ι

Context: x : α

Context: i : ι

Context: hix : x ∈ Es i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι✝ → Sort u_7

Context: κ₁ : ι✝ → Sort u_8

Context: κ₂ : ι✝ → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: s t u : Set α

Context: f : α → β

Context: ι : Type u_11

Context: Es : ι → Set α

Context: Es_union : ⋃ i, Es i = univ

Context: I : Set ι

Context: x : α

Context: i : ι

Context: hix : x ∈ Es i

Context: obs : ∀ (J : Set ι), x ∈ ⋃ j ∈ J, Es j ↔ i ∈ J


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι✝ → Sort u_7

Context: κ₁ : ι✝ → Sort u_8

Context: κ₂ : ι✝ → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: s t u : Set α

Context: f : α → β

Context: ι : Type u_11

Context: Es : ι → Set α

Context: Es_union : ⋃ i, Es i = univ

Context: I : Set ι

Context: x : α

Context: i : ι

Context: hix : x ∈ Es i

Context: obs' : ∀ (J : Set ι), x ∈ (⋃ j ∈ J, Es j)ᶜ ↔ i ∉ J


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
x : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
α : Type u_7
f : α → α
a : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
f : α → β
h : Continuous f

map (Prod.map f f) (𝓤 α) = map (Prod.map f f) (𝓝ˢ (diagonal α))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β

(reinsertAux data a b).size = data.size.succ


Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) data.val.data) + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Hashable α

Context: data : Buckets α β

Context: a : α

Context: b : β

Context: l₁ l₂ : List (AssocList α β)

Context: h₁ : data.val.data = l₁ ++ data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val] :: l₂

Context: left✝ : l₁.length = (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat

Context: eq : (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data = l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂

Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂)) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) data.val.data) + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : Hashable α

Context: data : Buckets α β

Context: a : α

Context: b : β

Context: l₁ l₂ : List (AssocList α β)

Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₁) + (data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat].toList.length + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₂) + 1) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₁) + (data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat].toList.length + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₂)) + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
h : MeasurableSet (⇑e ⁻¹' s)


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x

Context: x : Unitization R ↥s

Context: hx : f x = 0


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x

Context: r : R

Context: a : ↥s

Context: hx : f (Unitization.inl r + ↑a) = 0


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x

Context: r : R

Context: a : ↥s

Context: hx : (algebraMap R A) r + ↑a = 0


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : SetLike S A

Context: hSA : NonUnitalSubringClass S A

Context: hSRA : SMulMemClass S R A

Context: s : S

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A

Context: f : F

Context: hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x

Context: r : R

Context: a : ↥s

Context: hx : (algebraMap R A) r = -↑a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]

(algebraMap R A) (p.coeff 0) = (aeval 0) p


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedCosZeta (-a) s = completedCosZeta a s


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context: a n k : ℕ


Context: a n k : ℕ

map (fun x => x + k) (bitIndices 1) = [k]


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E


o = (map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b

Tendsto (fun x => rexp (b * x) / x ^ s) atTop atTop


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b

((fun x => x ^ b) ∘ fun x => rexp x / x ^ (s / b)) =ᶠ[atTop] fun x => rexp (b * x) / x ^ s


Context:
s b : ℝ
hb : 0 < b
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x

((fun x => x ^ b) ∘ fun x => rexp x / x ^ (s / b)) x = rexp (b * x) / x ^ s


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q
x : Q
hx : x ∈ ↑s


IsClosed ((fun x_1 => x_1 -ᵥ x) '' ↑s) ↔ IsClosed (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x).toHomeomorph.symm '' ↑s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
h : a < 0

b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁


Context: α : Type u

Context: A : α → PSet

Context: y : PSet

Context: x✝ : y ∈ ⋃₀ mk α A

Context: a : (mk α A).Type

Context: c : ((mk α A).Func a).Type

Context: e : y.Equiv ((A a).Func c)

Context: this : (A a).Func c ∈ mk (A a).Type (A a).Func

(A a).Func c ∈ A (?m.17187 α A y x✝ a c e this)


Context:
α : Type u
A : α → PSet
y : PSet
x✝ : ∃ z ∈ mk α A, y ∈ z
β : Type u
B : β → PSet
a : (mk α A).Type
e : (mk β B).Equiv (A a)
b : (mk β B).Type
yb : y.Equiv ((mk β B).Func b)

y ∈ ⋃₀ mk α A


Context: α : Type u

Context: A : α → PSet

Context: y : PSet

Context: x✝ : ∃ z ∈ mk α A, y ∈ z

Context: β : Type u

Context: B : β → PSet

Context: a : (mk α A).Type

Context: e : (mk β B).Equiv (mk (A a).Type (A a).Func)

Context: b : (mk β B).Type

Context: yb : y.Equiv ((mk β B).Func b)

y ∈ ⋃₀ mk α A


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: hin : n ≤ i

Context: him : i ≤ m

Context: his : u i ω ∈ s

Context: h_exists : ∃ k ∈ Set.Icc n m, u k ω ∈ s


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m : ι

Context: hin : n ≤ i

Context: him : i ≤ m

Context: his : u i ω ∈ s

Context: h_exists : ∃ k ∈ Set.Icc n m, u k ω ∈ s

sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ≤ i


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k✝ : Type u_3
inst✝ : Field k✝
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ k✝
h : (constantCoeff σ k✝) φ₃ ≠ 0
k : φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹

φ₁ * φ₃ = φ₂


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k✝ : Type u_3
inst✝ : Field k✝
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ k✝
h : (constantCoeff σ k✝) φ₃ ≠ 0
k : φ₁ * φ₃ = φ₂

φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α


Context:
p q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p ≠ q


Context:
p✝ q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p✝)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p✝ ≠ q
p : padicValRat p✝ ↑q = 0


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν

∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f x * g y ∂ν ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
i : m
j : n

((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 ᵥ* M) j = M i j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

Context: i : m

Context: j : n

Context: this : ∑ i' : m, (if i = i' then 1 else 0) * M i' j = M i j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

Context: i : m

Context: j : n

Context: x✝ : m

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

(LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 x✝ = if i = x✝ then 1 else 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

Context: i : m

Context: j : n

Context: x✝ : m

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

Context: h : i = x✝


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Semiring R

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: M : Matrix m n R

Context: i : m

Context: j : n

Context: x✝ : m

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

Context: h : ¬i = x✝


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
S : M →₀ N
h : x = S.sum fun m n => m ⊗ₜ[R] n


∑ a ∈ S.support, a ⊗ₜ[R] S a = ∑ i ∈ S.graph, i.1 ⊗ₜ[R] i.2


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: f v : Fin n → R

Context: hf : Function.Injective f

Context: hfv : ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, v i * f j ^ ↑i = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: f v : Fin n → R

Context: hf : Function.Injective f

∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, f j ^ ↑i * v i = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: f v : Fin n → R

Context: hf : Function.Injective f

∀ (j : Fin n), ∑ x : Fin n, v x * f j ^ ↑x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
f : β → α

∏' (x : ↑s), f ↑x = ∏' (x : β), s.mulIndicator f x


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoidWithZero M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoidWithZero N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero P

Context: f : S.LocalizationWithZeroMap N

Context: inst✝ : IsLeftCancelMulZero M

Context: h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x

Context: fl : S.LocalizationMap N := f.toLocalizationMap

Context: g : M →* N := f.toMap

Context: a z w : N

Context: ha : a ≠ 0

Context: hazw : a * z = a * w


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoidWithZero M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoidWithZero N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero P

Context: f : S.LocalizationWithZeroMap N

Context: inst✝ : IsLeftCancelMulZero M

Context: h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x

Context: g : M →* N := f.toMap

Context: a z w : N

Context: ha : a ≠ 0

Context: hazw : a * z = a * w

Context: b : M × ↥S

Context: hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoidWithZero M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoidWithZero N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero P

Context: f : S.LocalizationWithZeroMap N

Context: inst✝ : IsLeftCancelMulZero M

Context: h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x

Context: g : M →* N := f.toMap

Context: a z w : N

Context: ha : a ≠ 0

Context: hazw : a * z = a * w

Context: b : M × ↥S

Context: hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1

Context: x : M × ↥S

Context: hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoidWithZero M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoidWithZero N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero P

Context: f : S.LocalizationWithZeroMap N

Context: inst✝ : IsLeftCancelMulZero M

Context: h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x

Context: g : M →* N := f.toMap

Context: a z w : N

Context: ha : a ≠ 0

Context: hazw : a * z = a * w

Context: b : M × ↥S

Context: hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1

Context: x : M × ↥S

Context: hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1

Context: y : M × ↥S

Context: hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoidWithZero M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoidWithZero N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero P

Context: f : S.LocalizationWithZeroMap N

Context: inst✝ : IsLeftCancelMulZero M

Context: h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x

Context: g : M →* N := f.toMap

Context: a z w : N

Context: ha : a ≠ 0

Context: hazw : a * z = a * w

Context: b : M × ↥S

Context: hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1

Context: x : M × ↥S

Context: hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1

Context: y : M × ↥S

Context: hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1

Context: b1ne0 : b.1 ≠ 0