Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0

Context: b : ℕ → Set E

Context: bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)

Context: bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => _root_.id (b i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)

Context: h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0

Context: b : ℕ → Set E

Context: bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i

Context: bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: h : ¬∀ (ib : Set F), ib ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜' ib → ∃ ia, ia ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∈ _root_.id ib


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: h : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → ∃ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∉ _root_.id V

Context: hV : V ∈ 𝓝 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: h : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → ∃ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∉ V

Context: hV : V ∈ 𝓝 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑n • u n) atTop (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: h_bounded : IsVonNBounded 𝕜 (Set.range fun n => ↑n • u n)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: h' : ∀ (c : 𝕜'), r ≤ ‖c‖ → (⇑f '' Set.range fun n => ↑n • u n) ⊆ c • V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : r < ↑n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : r < ↑n

Context: h1 : r ≤ ‖↑n‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : r < ↑n

Context: h1 : r ≤ ‖↑n‖

Context: hn' : 0 < ‖↑n‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : r < ↑n

Context: h1 : r ≤ ‖↑n‖

Context: hn' : ¬n = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : UniformSpace E

Context: inst✝⁹ : UniformAddGroup E

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : UniformSpace F

Context: inst✝⁶ : FirstCountableTopology E

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝² : RCLike 𝕜'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: f : E →ₛₗ[σ] F

Context: b : ℕ → Set E

Context: V : Set F

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: u : ℕ → E

Context: hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : r < ↑n

Context: h1 : r ≤ ‖↑n‖

Context: hn' : ¬n = 0

Context: h'' : f (u n) ∈ V


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f✝ f : X → Y
hf : Continuous f
U Z : Set Y
hU : IsOpen U
hZ : IsClosed Z


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
Y : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
h : n ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k : ℕ
h : k.succ ≠ 0


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞

(fun x => c • x) ⁻¹' ball x r = ball (c⁻¹ • x) r


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
s : AddSubmonoid M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a✝ : α

Context: d : ℕ → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n

Context: hd : Summable d

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a✝ : α

Context: d : ℕ → ℝ

Context: hd : Summable d

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n

dist (f n) (f m) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a✝ : α

Context: d : ℕ → ℝ

Context: hd : Summable d

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n

∑ i ∈ Ico n m, d i ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a✝ : α

Context: d : ℕ → ℝ

Context: hd : Summable d

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n

∑ k ∈ range (m - n), d (n + k) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: a✝ : α

Context: d : ℕ → ℝ

Context: hd : Summable d

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base

Set.range ⇑(lift f g H').val.base = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: this : IsIso (pullback.snd f g)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: this : IsIso (pullback.snd f g)

Set.range ⇑(inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g).val.base = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: this✝ : IsIso (pullback.snd f g)

Context: this : (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom ≫ pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g) = (pullback.fst f g).val.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: this✝ : IsIso (pullback.snd f g)

Set.range (⇑(pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g)) ∘ ⇑((inv (pullback.snd f g)).val.base ≫ (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom)) = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: this✝ : IsIso (pullback.snd f g)

Set.range ⇑(pullback.fst ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map f) ((forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).map g)) = ⇑f.val.base ⁻¹' Set.range ⇑g.val.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: this✝ : IsIso (pullback.snd f g)

Function.Surjective ⇑((inv (pullback.snd f g)).val.base ≫ (PreservesPullback.iso (forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat) f g).hom)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: ha : a < 0

Context: hb : b < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β


Context: r : ℝ


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasColimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
k : K

colimit.ι G k ≫ (isoOfEquivalence e w).inv = G.map (e.counitInv.app k) ≫ w.hom.app (e.inverse.obj k) ≫ colimit.ι F (e.inverse.obj k)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

affineSpan k {p₁, p₂} ∥ affineSpan k {p₃, p₄} ↔ vectorSpan k {p₁, p₂} = vectorSpan k {p₃, p₄}


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.366230
S'' : Type ?u.366233
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x✝ : P.vars
m✝ : P'.vars →₀ ℕ

coeff m✝ (((Hom.id P').comp f).val x✝) = coeff m✝ (f.val x✝)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β

image2 f (↑s ∪ ↑s') (↑t ∩ ↑t') ⊆ image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s' ↑t'


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
H : Subgroup G
h : G
hh : h ∈ H
this : {x | x ∈ H} = ↑H


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
w : Set M
x : ↥(span R w)

(Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) (repr R w x) = ↑x


(Finsupp.total (↑w) M R Subtype.val) ⋯.choose = ↑x


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hP : W'.Equation P

Context: hQ : W'.Equation Q

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3 = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hP : W'.Equation P

Context: hQ : W'.Equation Q

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y = W'.negY P


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : U ≤ V
u : ↑↑X.toPresheafedSpace
hu : u ∈ ↑U


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
k : α
inst✝ : Invertible k
h : IsUnit A.det


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : MeasurableSet s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : MeasurableSet s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂

∀ (i : MeasurableSet s₂), extend m s₁ ≤ m s₂ i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : MeasurableSet s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂

Context: h₂ : MeasurableSet s₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : MeasurableSet s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂

Context: h₂ : MeasurableSet s₂

Context: this : extend m (s₁ ∪ s₂ \ s₁) = extend m s₁ + extend m (s₂ \ s₁)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: m0 : m ∅ ⋯ = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : MeasurableSet s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂

Context: h₂ : MeasurableSet s₂

Context: this : extend m s₂ = extend m s₁ + extend m (s₂ \ s₁)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n : ℕ


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: P : RatFunc K → Prop

Context: x : FractionRing K[X]

Context: f : ∀ (p q : K[X]), q ≠ 0 → P (RatFunc.mk p q)

Context: x✝ : K[X] × ↥K[X]⁰

Context: p : K[X]

Context: q : ↥K[X]⁰

P { toFractionRing := Localization.mk (p, q).1 (p, q).2 }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hab : b₁ ≤ b₂
hcd : a ≤ d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ : α
a d : β
hcd : a ≤ d
b₂ : α
hab : b₁ ≤ b₁ + b₂

b₁ • d + (b₁ + b₂) • a ≤ b₁ • a + (b₁ + b₂) • d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ ≤ b₁ + b₂
d : β
hcd : a ≤ a + d

b₁ • (a + d) + (b₁ + b₂) • a ≤ b₁ • a + (b₁ + b₂) • (a + d)


b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d ≤ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : 0 ≤ b₂
d : β
hcd : 0 ≤ d


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 r

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m

Context: N : ℕ

Context: hN : N ∉ Finset.range m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 r

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m

Context: N : ℕ

Context: hN : m ≤ N


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0
v : V →L[R] R
vy : v y = 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0
v : V →L[R] R
vy : v y = 1
vx : v x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
u : V →L[R] R
ux : u x = 1
uy : u y = 0
v : V →L[R] R
vy : v y = 1
vx : v x = 0


Context: a b m n p : ℕ

((a.lcm b).factorization.prod fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then p ^ n else 1).Coprime ((a.lcm b).factorization.prod fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then 1 else p ^ n)


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: hp : p ∈ (a.lcm b).factorization.support

Context: q : ℕ

Context: hq : q ∈ (a.lcm b).factorization.support

((fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then p ^ n else 1) p ((a.lcm b).factorization p)).Coprime ((fun p n => if b.factorization p ≤ a.factorization p then 1 else p ^ n) q ((a.lcm b).factorization q))


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: q : ℕ

Context: h : b.factorization p ≤ a.factorization p

Context: h' : b.factorization q ≤ a.factorization q

(p ^ (a.lcm b).factorization p).Coprime 1


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: q : ℕ

Context: h' : ¬b.factorization q ≤ a.factorization q

(p ^ (a.lcm b).factorization p).Coprime (q ^ (a.lcm b).factorization q)


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: q : ℕ

Context: h : ¬b.factorization p ≤ a.factorization p

Context: h✝ : b.factorization q ≤ a.factorization q


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: q : ℕ

Context: h✝ : ¬b.factorization q ≤ a.factorization q

Coprime 1 (q ^ (a.lcm b).factorization q)


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: q : ℕ


Context: a b m n p✝ p : ℕ

Context: q : ℕ

Context: h' : p = q


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → E

Context: hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ

Context: hF_sum : Summable fun i => ∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ

Context: hE : CompleteSpace E

HasSum (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), ∑' (i : ι), F i a ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → E

Context: hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ

Context: hE : CompleteSpace E

HasSum (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∑' (i : ι), ∫ (a : α), F i a ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → E

Context: hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ

Context: hE : CompleteSpace E

∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → E

Context: hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ

Context: hE : CompleteSpace E

Context: this : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖F i a‖₊ ∂μ = ↑‖∫ (a : α), ‖F i a‖ ∂μ‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → E

Context: hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ

Context: hE : CompleteSpace E

↑(∑' (x : ι), ‖∫ (a : α), ‖F x a‖ ∂μ‖₊) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → E

Context: hF_int : ∀ (i : ι), Integrable (F i) μ

Context: hE : CompleteSpace E

Summable fun x => ‖∫ (a : α), ‖F x a‖ ∂μ‖₊


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) ⁻¹' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
h : f ≤ᶠ[ae μ] g
A : CompleteSpace ℝ

(if h : True then if hf : Integrable (fun a => f a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0 else 0) ≤ if h : True then if hf : Integrable (fun a => g a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => g a) hf) else 0 else 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → F
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤


Context:
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
F : Type u_3
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra K F
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K F
inst✝⁵ : FiniteDimensional K F
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : Algebra F L
inst✝² : Algebra.IsSeparable F L
inst✝¹ : FiniteDimensional F L
inst✝ : IsScalarTower K F L
x : 𝓞 L


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: this : U R (0 + 2) = 2 * X * U R (0 + 1) - U R 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
this : U R 2 = 2 * X * (2 * X) - 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
la : IsLeftRegular 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
la : IsLeftRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : ↑s), f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd

Context: e : R

Context: h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e

HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x) (inl e + inr (e • x.snd))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : Field 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : Ring R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : Algebra 𝕜 R

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : TopologicalRing R

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup M

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R M

Context: inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M

Context: x : tsze R M

Context: e : R

Context: this : HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).fst) e


Context:
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
K : Compacts G

(fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ μ.outerMeasure ↑K


(fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ⨅ t, ⨅ (ht : IsOpen t), ⨅ (_ : ↑K ⊆ t), μ.innerContent { carrier := t, is_open' := ht }


∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄, (∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)) → IsOpen (⋃ i, f i)


∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)), μ.innerContent { carrier := ⋃ i, f i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := f i, is_open' := ⋯ }


∀ ⦃s₁ s₂ : Set G⦄ (hs₁ : IsOpen s₁) (hs₂ : IsOpen s₂), s₁ ⊆ s₂ → μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ } ≤ μ.innerContent { carrier := s₂, is_open' := hs₂ }


Context:
s : Set ℕ
h : s.Nonempty


Context:
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : b < 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂

map (e.toIsometry.comp e.symm.toIsometry) = AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q₂)


e.toIsometry.comp e.symm.toIsometry = QuadraticMap.Isometry.id Q₂


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
m : M₂

(e.toIsometry.comp e.symm.toIsometry) m = (QuadraticMap.Isometry.id Q₂) m


map (e.symm.toIsometry.comp e.toIsometry) = AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q₁)


e.symm.toIsometry.comp e.toIsometry = QuadraticMap.Isometry.id Q₁


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
m : M₁

(e.symm.toIsometry.comp e.toIsometry) m = (QuadraticMap.Isometry.id Q₁) m


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: pb : PowerBasis K S

Context: h_sep : IsSeparable K pb.gen

Context: h_splits : Splits (algebraMap K L) (minpoly K pb.gen)

Context: x✝ : Fintype (S →ₐ[K] L) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: pb : PowerBasis K S

Context: h_sep : IsSeparable K pb.gen


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PartialOrder ι
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PartialOrder ι

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

Context: this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PartialOrder ι

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_countable : (Set.range τ).Countable

Context: i : ι

MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})


Context:
α : Type u
l l' l✝ : List α
n m : ℕ

l✝.rotate (n + m) = (l✝.rotate n).rotate m


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α

cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : max 0 δ < ε), thickening ε E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)

Context: hB : ∃ c < π / (b - a), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a ≤ z.im

Context: hzb : z.im ≤ b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo a b)

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a → ‖f z‖ ≤ C

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hza : a = z.im ∨ a < z.im

Context: hzb : z.im = b ∨ z.im < b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C

Context: hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))

Context: hB : ∃ c < π / (a + b - (a - b)), ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))

Context: hab : a - b < a + b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hB : ∃ c < π / 2 / b, ∃ B, f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: hO : f =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: aff : ℂ → ℂ := fun w => ↑d * (w - ↑a * I)

Context: g : ℝ → ℂ → ℂ := fun ε w => cexp (↑ε * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε ∈ Iio 0

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → Complex.abs (g ε w) ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → Complex.abs (g ε w) ≤ 1

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: R : ℝ

Context: hzR : |z.re| < R

Context: hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: R : ℝ

Context: hzR : |z.re| < R

Context: hR₀ : 0 < R

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hd : d < π / 2 / b

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: R : ℝ

Context: hzR : |z.re| < R

Context: hR₀ : 0 < R

Context: hgd : Differentiable ℂ (g ε)

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: R : ℝ

Context: hzR : |z.re| < R

Context: hR₀ : 0 < R

Context: hgd : Differentiable ℂ (g ε)

Context: hd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))

‖g ε z • f z‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: R : ℝ

Context: hzR : |z.re| < R

Context: hR₀ : 0 < R

Context: hgd : Differentiable ℂ (g ε)

Context: w : ℂ

Context: hw : w ∈ frontier (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))

‖g ε w • f w‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: a b : ℝ

Context: hza : a - b < z.im

Context: hzb : z.im < a + b

Context: hab : a - b < a + b

Context: hb : 0 < b

Context: hπb : 0 < π / 2 / b

Context: c : ℝ

Context: hc : c < π / 2 / b

Context: B : ℝ

Context: d : ℝ

Context: hcd : c < d

Context: hd₀ : 0 < d

Context: hb' : d * b < π / 2

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε < 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : δ < 0

Context: R : ℝ

Context: hzR : |z.re| < R

Context: hR₀ : 0 < R

Context: hgd : Differentiable ℂ (g ε)

z ∈ closure (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
b✝ : Basis ι R S
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S

(trace R S) s = ((leftMulMatrix b) s).trace


((toMatrix b b) ((lmul R S) s)).trace = ((toMatrix b b) (mulLeft R s)).trace


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
p : ι × ℝ

splitMany I (insert p s) = splitMany I s ⊓ split I p.1 p.2


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ ⊤
n : ℕ
hn : b / a < ↑n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c a' b' c' : P

Context: r : ℝ

Context: h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c

Context: hab : dist a' b' = r * dist a b

Context: hcb : dist c' b' = r * dist c b

Context: h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f

Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) (cocompact V) (𝓝 0)


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0

∀ᶠ (x : V) in cocompact V, ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • f v‖ < ε


∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v‖ < ε


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

‖∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • (f v - f (v + i w))‖ < 2 * ε


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

∫ (a : V), ‖𝐞 (-⟪a, w⟫_ℝ) • (f a - f (a + i w))‖ < 2 * ε


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ < 2 * ε


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

Context: bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

Context: bdA2 : ‖∫ (x : V) in A, ‖f x - f (x + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

AEStronglyMeasurable (fun x => ‖f x - f (x + i w)‖) (volume.restrict A)


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

Context: this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹

Context: bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : volume A ≤ ↑B

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf1 : Continuous f

Context: hf2 : HasCompactSupport f

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: R : ℝ

Context: hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0

Context: A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}

Context: mA : MeasurableSet A

Context: B : ℝ≥0

Context: hB_pos : 0 < B

Context: hB_vol : (volume A).toReal ≤ (↑B).toReal

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : δ > 0

Context: w : V

Context: hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖

Context: hw_ne : w ≠ 0

Context: hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Context: this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J

ι f j ≫ (isoCoproduct f).hom = ι f j ≫ desc (Sigma.ι f)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : AddTorsor G P
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : PreconnectedSpace G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ContinuousVAdd G P


Set.univ = ⇑(Equiv.vaddConst (Classical.arbitrary P)) '' Set.univ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1


∀ (x : E), (∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ a • i • s) → ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ a • r • s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ (a • r) • s


Context:
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝

HasSum (fun n => rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ n / ↑n !) 1


Context:
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝

HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r * 1)


Context:
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝

HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r)


Context: r✝ : ℝ≥0

Context: r : ℝ := ↑r✝

Context: this : (fun i => rexp r * (rexp (-r) * r ^ i / ↑i !)) = fun i => r ^ i / ↑i !


Context: r✝ : ℝ≥0

Context: r : ℝ := ↑r✝

HasSum (fun i => r ^ i / ↑i !) (NormedSpace.exp ℝ r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x y : α

(y :: l).formPerm x = y ↔ (y :: l).formPerm x = (y :: l).formPerm ((y :: l).getLast ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: X Y : Mon_ C

Context: P Q : Bimod X Y

Context: f : P.X ≅ Q.X

Context: f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft

Context: f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight

Q.actLeft ≫ f.inv = X.X ◁ f.inv ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: X Y : Mon_ C

Context: P Q : Bimod X Y

Context: f : P.X ≅ Q.X

Q.actRight ≫ f.inv = f.inv ▷ Y.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: X Y : Mon_ C

Context: P Q : Bimod X Y

Context: f : P.X ≅ Q.X


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u}


Context:
α β : Type
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
v : Fin2 n → ℕ

((f v ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ v ∈ {v | (f v :: v) ∈ S}


Context:
l r✝ : List Char
it : Iterator
n : Nat
a : Char
r : List Char
h : ValidFor l (a :: r) it
hn : n + 1 ≤ (a :: r).length

ValidFor ((List.take (n + 1) (a :: r)).reverse ++ l) (List.drop (n + 1) (a :: r)) (it.next.nextn n)


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module S N

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R S N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module S Q

Context: inst✝¹ : Module R Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R S Q

Context: g : M →ₗ[R] Q

Context: x : M

Context: hF : ∀ (s : S) (m : M), (h.lift g) (s • f m) = s • g m


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'

e.permCongr (Equiv.refl α') = Equiv.refl β'


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
h : map f I = ⊤


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : m → Matrix n n 𝔸

exp 𝕂 (blockDiagonal v) = blockDiagonal (exp 𝕂 v)


Context:
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : DivInvMonoid G✝
a✝ b : G✝
G : Type u_2
inst✝ : SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ


Context: i j k : ℤ

(i * j).gcd (k * j) = i.gcd k * j.natAbs


Context: i j k : ℤ

(i.natAbs * j.natAbs).gcd (k.natAbs * j.natAbs) = i.natAbs.gcd k.natAbs * j.natAbs


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : R
a : ⨂[R]^n M

(cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a (algebraMap₀ r)) = r • a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c✝ c : R
hc : c ≠ 0
li : M' →ₗᵢ[R] N

Injective ⇑(c • li.toContinuousLinearMap)


Context:
b : Bool
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤

Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = ⊤


Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = Submodule.span F ↑(MonoidHom.mrange (powMonoidHom (q ^ n)))


Set.range (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n)) ⊆ ↑(Submodule.span F (Set.range (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) ∘ v)))


DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.univ ⊆ ↑(Submodule.span F (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.range v))


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
this : ExpChar E q


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : G → E
f'✝ g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f : ℝ → F
f' : F
x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x

HasDerivAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥S


Context:
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B


Context: A B : NonemptyFinLinOrd

Context: f : A ⟶ B

Context: a✝ : Mono f

Context: a₁ a₂ : ↑A

Context: h : f a₁ = f a₂

Context: X : NonemptyFinLinOrd := of (ULift.{u, 0} (Fin 1))

Context: g₁ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₁, monotone' := ⋯ }

Context: g₂ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₂, monotone' := ⋯ }

Context: eq : g₁ ≫ f = g₂ ≫ f


Context: A B : NonemptyFinLinOrd

Context: f : A ⟶ B

Context: a✝ : Mono f

Context: a₁ a₂ : ↑A

Context: h : f a₁ = f a₂

Context: eq : g₁ = g₂


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasStrictDerivAt f f' x


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulMono α γ
a : α
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
hb : f b₁ ≤ f b₂


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ

LowerSemicontinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, f x ≤ liminf f (𝓝[s] x)


Context:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

IsPullback (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })) (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inl c.inr


mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr


IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
hx : x ≠ 0


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ


(fun z => Real.exp z.re) = fun z => Real.exp z.re ^ 1


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

(leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.left S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁) ≫ leftHomologyMap' φ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.left S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData h₂


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ≅ Y
g g' : Y ⟶ Z


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a : α
x : Quotient G α


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a a✝ : α

a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' a✝


a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Setoid.r a a✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : Nat.Prime (orderOf σ)

Context: h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ

Context: n : ℕ

Context: hn : σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : Nat.Prime (orderOf σ)

Context: n : ℕ

Context: h2 : n = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f


LeftInverse ⇑(funLeft R M g) ⇑(funLeft R M f)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
x : n → M


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a x✝ : α

a ≤ x✝ ↔ ¬x✝ < a


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

↑p ^ (n + 1) * wittMul p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1))


wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C


Context:
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
inst✝ : IsIso f

Scheme.Spec.map (inv f).op = inv (Scheme.Spec.map f.op)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
la : Filter α
lb : Filter β

sᶜ ∈ la.coprod lb ↔ (Prod.fst '' s)ᶜ ∈ la ∧ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ lb


Context: a b : ℝ

Context: n k : ℕ

Context: ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)


Context: a b : ℝ

Context: n k : ℕ


Context:
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : v ᵥ* M = 0
w : m → A


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ↑C

‖f‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹ * ↑C


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: C : ℝ≥0

Context: hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ↑C

Context: this : ‖f‖₊ ≤ measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P


(∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (pi Q).Anisotropic ↔ ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n


Nat.card ↥(Subgroup.map H.subtype H') = p ^ n


Nat.card ↥(Subgroup.map H.subtype H') = Nat.card ↥H'


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝ : Group G

Context: n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: h : IsPGroup p G

Context: H : Subgroup G

Context: hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H

Context: H' : Subgroup ↥H

Context: H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n

Context: e : ↥H' ≃* ↥(Subgroup.map H.subtype H') := H'.equivMapOfInjective H.subtype ⋯


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ τ : Perm α

Context: f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }

Context: hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ τ : Perm α

f.extendSubtype * σ * f.extendSubtype⁻¹ = τ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ τ : Perm α

f.extendSubtype * σ = τ * f.extendSubtype


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ τ : Perm α

Context: x : α

(f.extendSubtype * σ) x = (τ * f.extendSubtype) x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ τ : Perm α

Context: x : α

f.extendSubtype (σ x) = τ (f.extendSubtype x)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h✝ : x✝ ∈ closure s
x : R
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure s)
l : List R
hl : ∀ y ∈ l, y ∈ s
h : l.prod = x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: x✝¹ : R

Context: h : x✝¹ ∈ closure s

Context: x : R

Context: x✝ : (fun x => ∃ L, (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x) x

Context: L : List (List R)

Context: hL : (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x

∀ (head : List R) (tail : List (List R)), (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) tail)).sum = -(List.map List.prod tail).sum → (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) (head :: tail))).sum = -(List.map List.prod (head :: tail)).sum


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R

(map (fun t => X - C t) s).prod = ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j))


(map (fun x => X + C (-x)) s).prod = ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j))


(map (fun x => X + C (-x)) s).prod = (map (fun r => X + C r) (map (fun t => -t) s)).prod


∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)) = ∑ j ∈ Finset.range (card (map (fun t => -t) s) + 1), C ((map (fun t => -t) s).esymm j) * X ^ (card (map (fun t => -t) s) - j)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∃ f', HasFDerivAt f f' x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
s t : Set E

span 𝕜 s ⟂ span 𝕜 t ↔ ∀ ⦃u : E⦄, u ∈ s → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ t → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module R M
n : ℤ
b : M

((smulAddHom R M).flip b).comp (castAddHom R) = (smulAddHom ℤ M).flip b


(((smulAddHom R M).flip b).comp (castAddHom R)) 1 = ((smulAddHom ℤ M).flip b) 1


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: n : ℕ

Context: ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n + 1] t ⊆ s


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: n : ℕ

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: t : Set (α × α)

Context: htU : t ∈ 𝓤 α

Context: hts : t ○ t ⊆ s


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: n : ℕ

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: t : Set (α × α)

Context: htU : t ∈ 𝓤 α

Context: hts : t ○ t ⊆ s

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ⊆ t ∧ (fun x => U ○ x)^[n] U ⊆ t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V


v ∈ (fun x => p -ᵥ x) '' ↑s ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p -ᵥ p2


Context: x y : ℂ


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
m : Multiset M
comm : {x | x ∈ m}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ m, x ∈ S


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
l : List M
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x ∈ S


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: f : H →* G

Context: hf : IsPGroup p ↥f.ker

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: h_exists : ∀ (P : Sylow p H), ∃ Q, comap f ↑Q = ↑P := fun P => exists_comap_eq_of_ker_isPGroup P hf

Context: g : Sylow p H → Sylow p G := fun P => Classical.choose ⋯

Context: hg : ∀ (P : Sylow p H), comap f ↑(g P) = ↑P

Context: P Q : Sylow p H

Context: h : g P = g Q


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : Group N

Context: H₁ H₂ : Subgroup G

Context: h : Disjoint H₁ H₂

Context: x y : ↥H₁ × ↥H₂

Context: hxy : (fun g => ↑g.1 * ↑g.2) x = (fun g => ↑g.1 * ↑g.2) y


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : Group N

Context: H₁ H₂ : Subgroup G

Context: h : Disjoint H₁ H₂

Context: x y : ↥H₁ × ↥H₂

Context: hxy : (↑y.1)⁻¹ * ↑x.1 * (↑x.2 * (↑y.2)⁻¹) = 1


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : Group N

Context: H₁ H₂ : Subgroup G

Context: h : Disjoint H₁ H₂

Context: x y : ↥H₁ × ↥H₂

Context: hxy : ↑(y.1⁻¹ * x.1) = 1 ∧ ↑(x.2 * y.2⁻¹) = 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : ∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s

(𝓝 y).HasBasis (fun t => t ∈ b ∧ x ∈ t) fun t => t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : ∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s
x✝ : Set X

x✝ ∈ b ∧ x ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ b ∧ y ∈ x✝


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: hd : p.degree = q.degree

Context: hp0 : p ≠ 0

Context: hlc : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff

Context: hp : (monomial p.natDegree) p.leadingCoeff + erase p.natDegree p = p

Context: hq : (monomial q.natDegree) q.leadingCoeff + erase q.natDegree q = q

Context: hd' : p.natDegree = q.natDegree

Context: hq0 : q ≠ 0

(p - q).degree = (erase q.natDegree p + -erase q.natDegree q).degree


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α

x ≤ y ↔ ReflTransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedRing A

Context: inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: inst✝ : IsStarNormal a

Context: S : StarSubalgebra ℂ A

Context: x : A

Context: φ : ↑(characterSpace ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y z : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
y z : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y z : Ordinal.{u_4}
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M

z ∈ span R {x, y} ↔ ∃ a b, a • x + b • y = z


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ 𝒜, a ∉ t
ht : 𝒜.Shatters t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ 𝒜, a ∉ t
ht : 𝒜.Shatters t
u : Finset α
hu : u ∈ 𝒜
htu : t ⊆ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

Context: this : (fun x x_1 => x + x_1) (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) = (fun x x_1 => x + x_1) p p

toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

Context: this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (c - b) + (toIocMod hp 0 (b - a) + toIocMod hp 0 (b - c)) = p + p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

Context: this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) + (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) = 2 • p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

Context: this : min (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) ≤ p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

Context: this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ toIocMod hp 0 (b - c)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c✝ : α

Context: n : ℤ

Context: a b c : α

toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ toIocMod hp 0 (b - a)