Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y Y' : ModuleCat S

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: z : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)

((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y Y' : ModuleCat S

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

Context: m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f

((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') 0 = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) 0


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y Y' : ModuleCat S

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))

Context: y : ↑((restrictScalars f).obj Y)

((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') (s' ⊗ₜ[R] y) = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) (s' ⊗ₜ[R] y)


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: Y Y' : ModuleCat S

Context: g : Y ⟶ Y'

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: z₁ z₂ : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)

Context: ih₁ : ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z₁ = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z₁

Context: ih₂ : ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z₂ = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z₂

((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') (z₁ + z₂) = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) (z₁ + z₂)


Context:
s : String
p : Pos
h : Pos.Valid s p
h₂ : p < s.endPos


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂dirac a = if a ∈ s then f a else 0


(∫⁻ (x : α), f x ∂if a ∈ s then dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a

IntegrableOn (fun x => f (x * a)) (Ioi c) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (c * a)) volume


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a * (b / c) ≤ d
hc : 0 < c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a * b / c ≤ d
hc : 0 < c


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f

⇑(algebraMap R S) '' spectrum R a = spectrum S a


⇑(algebraMap R S) '' spectrum R a ⊆ spectrum S a


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
s : S
hs : s ∈ spectrum S a

f s ∈ spectrum R a ∧ (algebraMap R S) (f s) = s


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a x✝ : α

a < x✝ ↔ ¬x✝ ≤ a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
w x y z : M
h1 : c w x
h2 : c y z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
f : α → F
c : ℝ≥0∞

eLpNorm' f p (c • μ) = c ^ (1 / p) * eLpNorm' f p μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : One P
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
x : α
y : M
hy : y ≠ 1
a : α

a ∈ mulSupport (update f x y) ↔ a ∈ insert x (mulSupport f)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : (↑t).Nonempty

∃ u, Nat.card ↑u * Nat.card ↑↑t ≤ Nat.card ↑(↑s * ↑t) ∧ ↑s ⊆ u * ↑t / ↑t ∧ u.Finite


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α

(v.set i a).toList.prod = v.toList.prod * (v.get i)⁻¹ * a


(v.toList.prod * if hn : ↑i < v.toList.length then (v.toList.get ⟨↑i, hn⟩)⁻¹ * a else 1) = v.toList.prod * (v.get i)⁻¹ * a


Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C

Context: D : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D

Context: E : Type u₄

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E

Context: H : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} H

Context: F : C × D ⥤ E

Context: fst✝² : C

Context: snd✝² : D

Context: fst✝¹ : C

Context: snd✝¹ : D

Context: fst✝ : (fst✝², snd✝²).1 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).1

Context: snd✝ : (fst✝², snd✝²).2 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).2

(F.map (fst✝, 𝟙 snd✝²) ≫ F.map (𝟙 fst✝¹, snd✝)) ≫ 𝟙 (F.obj (fst✝¹, snd✝¹)) = 𝟙 (F.obj (fst✝², snd✝²)) ≫ F.map (fst✝, snd✝)


Context: B : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B

Context: C : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C

Context: D : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D

Context: E : Type u₄

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E

Context: H : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} H

Context: F : C × D ⥤ E

Context: fst✝² : C

Context: snd✝² : D

Context: fst✝¹ : C

Context: snd✝¹ : D

F.map ((fst✝, 𝟙 snd✝²) ≫ (𝟙 fst✝¹, snd✝)) ≫ 𝟙 (F.obj (fst✝¹, snd✝¹)) = 𝟙 (F.obj (fst✝², snd✝²)) ≫ F.map (fst✝, snd✝)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g

setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g

Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g

Context: x y : E

Context: hxy : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0

Context: x y : E

Context: hxy : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0

Context: x y : E

Context: hxy : x ≠ y

Context: z : α

z ∈ ↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y} → z ∈ {a | ¬↑f a = ↑g a}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0

Context: x y : E

Context: hxy : x ≠ y

Context: z : α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: h✝ : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0

Context: x y : E

Context: hxy : x ≠ y

Context: z : α

Context: h : ↑f z = x ∧ ↑g z = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a b : α


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s

∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: a : R

Context: ha : a ∈ ↑M

Context: e : ⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: a : R

Context: ha : a ∈ ↑M

⟨a, ha⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)


Context:
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i

(a ++ b).extract i j = b.extract (i - a.size) (j - a.size)


((a ++ b).extract i j).size = (b.extract (i - a.size) (j - a.size)).size


∀ (i_1 : Nat) (hi₁ : i_1 < ((a ++ b).extract i j).size) (hi₂ : i_1 < (b.extract (i - a.size) (j - a.size)).size), ((a ++ b).extract i j)[i_1] = (b.extract (i - a.size) (j - a.size))[i_1]


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

(-a).val + a.val ≡ n - a.val + a.val [MOD n]


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R

(p.scaleRoots s).natDegree = p.natDegree


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • s, f x ∂ν


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : (i : ι) → G i →* K
k : H →* K
hf : ∀ (i : ι), (f i).comp (φ i) = k
i : ι
g : G i

((con φ).lift (Coprod.lift (CoprodI.lift f) k) ⋯) (((con φ).mk'.comp (inl.comp CoprodI.of)) g) = (f i) g


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k

¬∃ l ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ, (Finsupp.total (MonicIrreducible k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (evalXSelf k)) l = 1


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k

Context: left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ

Context: hv : (toSplittingField k v.support) ((Finsupp.total (MonicIrreducible k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (evalXSelf k)) v) = (toSplittingField k v.support) 1


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: hv : 0 = 1


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: hv : ∑ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 1

∀ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 0


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: j : MonicIrreducible k

Context: hj : j ∈ v.support

(toSplittingField k v.support) (v j • evalXSelf k j) = 0


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
x : S₁

(optionEquivLeft R S₁) (X (Option.some x)) = Polynomial.C (X x)


Context:
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
dvd : p ∣ b

padicValNat p (b / p) = padicValNat p b - 1


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (x : α) in s, (f * g) x ∂μ


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hπi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition

integralSum f vol (π.biUnionPrepartition πi) = integralSum f vol π


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hπi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes

∑ J' ∈ (πi J).boxes, (vol J') (f ((π.biUnionPrepartition πi).tag J')) = (vol J) (f (π.tag J))


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasKernels V
i j : ι
r : c.Rel i j

kernelSubobject (C.dFrom i) = kernelSubobject (C.d i j)


kernelSubobject (C.d i j ≫ (C.xNextIso r).inv) = kernelSubobject (C.d i j)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f

(isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯ = f


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ

(((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) X.presheaf).app x = f.c.app x


(((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).c ≫ 𝟙 ((Opens.map ((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).base).op ⋙ X.presheaf)).app x = f.c.app x


f.c.app x ≫ X.presheaf.map ((Opens.map f.base).op.map (⋯.adjunction.counit.app (unop x)).op ≫ (eqToIso ⋯).hom) = f.c.app x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε δ : ℝ

Context: h : ε ≤ δ

Context: x r' : ℝ

Context: r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → F

Context: K : Set F

Context: L : F

Context: r ε δ : ℝ

Context: h : ε ≤ δ

Context: x r' : ℝ

Context: r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Icc x (x + r')

Context: z : ℝ

Context: hz : z ∈ Icc x (x + r')


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2

Disjoint ↑(affineSpan k (p '' s1)) ↑(affineSpan k (p '' s2))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s1))
hp0s2 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s2))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s1))
hp0s2 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s2))
i : ι
hi : i ∈ s1 ∩ s2


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'

lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)


lift.{v, v'} (⨆ ι, #↑↑ι) ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)


⨆ i, lift.{v, v'} #↑↑i ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)


∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), lift.{v, v'} #↑↑i ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: s : Set ↥(LinearMap.range f)

Context: li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

lift.{v, v'} #↑↑⟨s, li⟩ ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: s : Set ↥(LinearMap.range f)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: U : C

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ J.sieves U

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows

Context: hx : x.Compatible

Context: S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)

Context: W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C

Context: i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi

Context: i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U

Context: hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)

Context: h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), (fun Y f h => ((fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)) Y f h).arrows) (W V i hi) (i₂ V i hi) ⋯ (i₁ V i hi)

Context: h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: U : C

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ J.sieves U

Context: hx : x.Compatible

Context: h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: U : C

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ J.sieves U

Context: hx : x.Compatible

Context: x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)

Context: H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: U : C

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ J.sieves U

Context: hx : x.Compatible

Context: this : x''.Compatible


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: U : C

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ J.sieves U

Context: hx : x.Compatible

Context: this : x''.Compatible

Context: t : F.obj (op U)

Context: ht : x''.IsAmalgamation t

Context: ht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => x''.IsAmalgamation t) y → y = t


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: U : C

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ J.sieves U

Context: hx : x.Compatible

Context: this : x''.Compatible

Context: t : F.obj (op U)

Context: ht : x''.IsAmalgamation t


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: U : C

Context: S : Sieve U

Context: hS : S ∈ J.sieves U

Context: hx : x.Compatible

Context: this : x''.Compatible

Context: t : F.obj (op U)

Context: ht : x''.IsAmalgamation t

(Sieve.bind S.arrows fun V i hi => G.sieveOfSection ↑(x i hi)) ≤ G.sieveOfSection t


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

0 ≤ if IsPrimePow n then Real.log ↑n.minFac else 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α

Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)


Tendsto ((fun y => (y, a)) ∘ u) f (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: E : EllipticCurve R

Context: A : Type v

Context: inst✝ : CommRing A

Context: φ✝ φ : R →+* A

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x✝¹ x✝ : EllipticCurve R

Context: h : (fun E => E.map φ) x✝¹ = (fun E => E.map φ) x✝

Context: h1 : x✝¹.map φ = x✝.map φ

Context: h2 : (Units.map ↑φ) x✝¹.Δ' = (Units.map ↑φ) x✝.Δ'


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: E : EllipticCurve R

Context: A : Type v

Context: inst✝ : CommRing A

Context: φ✝ φ : R →+* A

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x✝¹ x✝ : EllipticCurve R

Context: h1 : x✝¹.map φ = x✝.map φ

Context: h2 : ↑φ ↑x✝¹.Δ' = ↑φ ↑x✝.Δ'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i

x ∈ extremePoints 𝕜 (univ.pi s) ↔ x ∈ univ.pi fun i => extremePoints 𝕜 (s i)


((∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧ ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x) ↔ (∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧ ∀ (x_1 : ι), ∀ x₁ ∈ s x_1, ∀ x₂ ∈ s x_1, x x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x x_1 ∧ x₂ = x x_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)

Context: A B : Set E

Context: x✝ : E

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

Context: hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i

Context: h : ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x

Context: i : ι

∀ x₁ ∈ s i, ∀ x₂ ∈ s i, x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x i ∧ x₂ = x i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)

Context: A B : Set E

Context: x✝ : E

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

Context: hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i

Context: h : ∀ (x_1 : ι), ∀ x₁ ∈ s x_1, ∀ x₂ ∈ s x_1, x x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x x_1 ∧ x₂ = x x_1

∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E
h : dist x y ≠ 0

dist ((smulTorsor c hk) x) ((smulTorsor c hk) y) = ↑‖k‖₊ * dist x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
h : pred a ≤ b

Icc (pred a) b = insert (pred a) (Icc a b)


Context: ι✝ : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι✝ → M

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : AddCommGroup M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: ι : Type u_8

Context: s : Set ι

Context: f : ι → M

Context: hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => f ↑x

LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => ↑x


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.35500, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.35504, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.35508, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ K₁' : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: f : K₁ ⟶ K₁'

Context: K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: i₁✝ i₁'✝ : I₁

Context: i₂✝ : I₂

Context: a✝ : c₁.Rel i₁✝ i₁'✝

(F.map (f.f i₁✝)).app (K₂.X i₂✝) ≫ (F.map (K₁'.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝) = (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝) ≫ (F.map (f.f i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E

∃ f, f ↑v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc v.tMin v.tMax, HasDerivWithinAt f (v.toFun t (f t)) (Icc v.tMin v.tMax) t


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
f : v.FunSpace
hf : f.next = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Icc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Icc b₁ b₂)


Icc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Icc b₁ b₂))


Context:
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)


Context:
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V


lift.{u, v} #ι < lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} #ι


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
x : ↑I

(γ.truncate t t) x = ((refl (γ.extend t)).cast ⋯ ⋯) x


(γ.truncate t t) x = (refl (γ.extend t)) x


γ.extend (if (if ↑x ≤ t then t else ↑x) ≤ t then if ↑x ≤ t then t else ↑x else t) = γ.extend t


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))

Context: h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: V_eq_supr_U : V = iSup U


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: V_eq_supr_U : V = iSup U

(F.val.map (eqToHom ⋯).op) s = (F.val.map (eqToHom ⋯).op) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: V_eq_supr_U : V = iSup U

∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) s) = (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) t)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: V_eq_supr_U : V = iSup U

Context: i : ι

(F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) s) = (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) t)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: V : Opens ↑X

Context: iUV : (i : ι) → U i ⟶ V

Context: hcover : V ≤ iSup U

Context: V_eq_supr_U : V = iSup U

Context: i : ι

(F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (leSupr U i).op)) s = (F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (leSupr U i).op)) t


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y

Context: N' : Submodule R S

Context: hN : N' ≤ N

Context: hFG : Module.Finite R ↥N'

Context: h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y

Context: N' : Submodule R S

Context: hN : N' ≤ N

Context: hFG : N'.FG


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: x y : ↥M ⊗[R] ↥N

Context: hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y

Context: N' : Submodule R S

Context: hN : N' ≤ N

Context: hFG : N'.FG

Context: x' : ↥M ⊗[R] ↥N'

Context: hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x

Context: y' : ↥M ⊗[R] ↥N'

Context: hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y


Context:
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

variance (c • X) μ = c ^ 2 • variance X μ


variance (c • X) μ = variance ((algebraMap A ℝ) c • X) μ


c ^ 2 • variance X μ = (algebraMap A ℝ) c ^ 2 * variance X μ


Context:
n✝ p q m n : ℕ
hp : Prime p
hq : Prime q
h : p ^ (m + 1) = q ^ (n + 1)


Context:
n✝ p q m n : ℕ
hp : Prime p
hq : Prime q
h : p ^ (m + 1) = q ^ (n + 1)
H : p = q


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : Nontrivial α
s : Finset ι
f : ι → α


Context: G : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: α✝ : Type w

Context: s : Set α✝

Context: M : Type uM

Context: N : Type uN

Context: α : Type uα

Context: β : Type uβ

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace M

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace N

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : SMul M α

Context: inst✝² : SMul M β

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul M β

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ

Context: f : α → β

Context: hsmul : ∀ (m : M) (a : α), f (m • a) = m • f a

Context: hf : Measurable f

Context: m : M

Context: S : Set β

Context: hS : MeasurableSet S

μ (f ⁻¹' ((fun x => m • x) ⁻¹' S)) = μ ((fun x => m • f x) ⁻¹' S)


Context: G : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: α✝ : Type w

Context: s : Set α✝

Context: M : Type uM

Context: N : Type uN

Context: α : Type uα

Context: β : Type uβ

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace M

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace N

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : SMul M α

Context: inst✝² : SMul M β

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul M β

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: m : M

Context: S : Set β

Context: hS : MeasurableSet S

μ ((fun x => f (m • x)) ⁻¹' S) = μ ((fun x => m • x) ⁻¹' (f ⁻¹' S))


Context: G : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: α✝ : Type w

Context: s : Set α✝

Context: M : Type uM

Context: N : Type uN

Context: α : Type uα

Context: β : Type uβ

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace M

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace N

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : SMul M α

Context: inst✝² : SMul M β

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul M β

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: m : M

Context: S : Set β

Context: hS : MeasurableSet S

μ ((fun x => m • x) ⁻¹' (f ⁻¹' S)) = μ (f ⁻¹' S)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t


∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ diam (s ∪ t)


∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ diam (s ∪ t)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi f
h : f ≫ g = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi f
h✝ : f ≫ g = 0
h : g = 0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle x (y - x)).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsPeriodicPt f n x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x y : PrimeSpectrum R


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a✝ : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P : R[X]


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P f g : R[X]
hf : (aeval ↑x) f = ↑((aeval x) f)
hg : (aeval ↑x) g = ↑((aeval x) g)

(aeval ↑x) (f + g) = ↑((aeval x) (f + g))


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P : R[X]
n : ℕ
r : R

(aeval ↑x) ((monomial n) r) = ↑((aeval x) ((monomial n) r))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ filter p (s₁ ∪ s₂) ↔ x✝ ∈ filter p s₁ ∪ filter p s₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

y ∈ {y | s.WSameSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ici 0) ↑s


s.WSameSide x y ↔ ∃ a, 0 ≤ a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) 0 ≫ Q.fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F ≫ F.map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l₂ : List α
a : α
l₁ : List α
IH : (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup

(a :: l₁ ++ l₂).dedup = a :: l₁ ∪ l₂.dedup


(a :: l₁ ++ l₂).dedup = List.insert a (l₁ ∪ l₂.dedup)


(a :: (l₁ ++ l₂)).dedup = List.insert a (l₁ ++ l₂).dedup


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
x : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
h : s.prod = t.prod
hmn : 0 ≤ n
hs : card s = 0
ht : card t = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
hm : m > 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
hm : ∃ a, a ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ s


(map f (s + replicate (n - m) a)).prod = (map f (t + replicate (n - m) a)).prod


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ A


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ s + replicate (n - m) a✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ t + replicate (n - m) a✝


(s + replicate (n - m) a).prod = (t + replicate (n - m) a).prod


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }

((rootSystem H).toLin ((rootSystem H).root α)) ((rootSystem H).coroot β) ∈ ↑(AddSubgroup.zmultiples 1)


Context:
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤


⨅ i, I ^ i • ⊤ ≤ ⊥


Context:
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤


Context:
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x


Context:
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x
this : IsUnit (1 - ↑r)


Context:
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N✝
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M✝
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
M : Type u_7
B : Type u_8
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
N : B
ζ : ↥N

IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k


(↑ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), ↑ζ ^ l = 1 → k ∣ l) ↔ ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → k ∣ l


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(spectrum R a), R)

(cfcHom ha) f = cfc (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(spectrum R a), R)

Context: h : ⇑f = (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(spectrum R a), R)

Context: hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (spectrum R a)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: g : R → R

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(spectrum R a), R)

(cfcHom ha) f = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g), continuous_toFun := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁
m₂ : M₂

(ofProd Q₁ Q₂) ((ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, m₂)) = (ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 + 1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂


(((GradedTensorProduct.includeLeft (evenOdd Q₁) (evenOdd Q₂)).toLinearMap ∘ₗ (evenOdd Q₁ 1).subtype ∘ₗ LinearMap.codRestrict (evenOdd Q₁ 1) (ι Q₁) ⋯).coprod ((GradedTensorProduct.includeRight (evenOdd Q₁) (evenOdd Q₂)).toLinearMap ∘ₗ (evenOdd Q₂ 1).subtype ∘ₗ LinearMap.codRestrict (evenOdd Q₂ 1) (ι Q₂) ⋯)) (m₁, m₂) = (ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 + 1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂


Context:
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
g : Cardinal.{v} → Cardinal.{max v w}


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 0)
b₂ : B

a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X

Subsingleton (OreLocalization S R) ↔ 0 ∈ S


(∃ u v, u • 1 = v • 0 ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑1) ↔ 0 ∈ S


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
hp : p % 4 ≠ 3


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
v : Basis ι' R M
i : ι'

((toLin v e) (e.toMatrix ⇑v)) (v i) = LinearMap.id (v i)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
v : Basis ι' R M
i : ι'
val✝ : Fintype ι


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R


∑ i_1 ∈ vi.support, (B (v i)) (vi i_1 • v i_1) = 0


∀ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
hij : i ≠ j


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : CommSemigroup α
v w : m → α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
hab : a ≤ b

IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ico a b) μ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

Context: x : 𝓞 K

Context: hx : x ≠ 0

∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: x : 𝓞 K

Context: hx : x ≠ 0

Context: hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: x : 𝓞 K

Context: hx : x ≠ 0

Context: hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w₁ : InfinitePlace K

Context: B : ℕ

Context: x : 𝓞 K

Context: hx : x ≠ 0

Context: hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0

Context: w✝ : InfinitePlace K

Context: a✝ : w✝ ≠ w₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (S₁.map F).homologyData.left (S₂.map F).homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).homologyData.left (S₂.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).leftHomologyData (S₂.homologyData.left.map F) = (leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).homologyData.left (S₁.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).leftHomologyData (S₁.homologyData.left.map F)) ≫ F.map (leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: p q : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hq : Irreducible q

Context: u v : Rˣ

Context: m n : ℕ

Context: h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n

Context: key : Associated (Multiset.replicate m p).prod (Multiset.replicate n q).prod


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: p q : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hq : Irreducible q

Context: u v : Rˣ

Context: m n : ℕ

Context: h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n

Context: this : Multiset.card (Multiset.replicate m p) = Multiset.card (Multiset.replicate n q)


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : ℕ → ℕ
hf : Bijective f
u : ℕ → α


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : ℕ → ℕ
hf : Bijective f
u : ℕ → α
H : CauchySeq (u ∘ f)


Context:
b : ℝ
hb : 1 < b


Context:
b : ℝ
hb : 1 < b

Tendsto (fun x => rexp (log b * x)) atBot (𝓝 0)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.16903
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

IsLocallyInjective f ↔ OpenEmbedding (toPullbackDiag f)


IsOpen (Set.range (toPullbackDiag f)) ↔ OpenEmbedding (toPullbackDiag f)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: I✝ J✝ : Finset ι

Context: hP : IsProjectiveMeasureFamily P

Context: I J : Finset ι


ContinuousOn (fun x => sin x / cos x) {x | cos x ≠ 0}


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : F

(Trivialization.symmL R (Z.localTriv i) b) v = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : F

cast ⋯ (↑(Z.localTriv i).symm (b, v)).snd = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : F


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β

(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ t)


(sum fun p => ((sFiniteSeq μ p.1).restrict s).prod ((sFiniteSeq ν p.2).restrict t)) = sum fun i => ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)).restrict (s ×ˢ t)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
i : ℕ × ℕ

((sFiniteSeq μ i.1).restrict s).prod ((sFiniteSeq ν i.2).restrict t) = ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)).restrict (s ×ˢ t)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
i : ℕ × ℕ
s' : Set α
t' : Set β
hs' : MeasurableSet s'
ht' : MeasurableSet t'

(((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)).restrict (s ×ˢ t)) (s' ×ˢ t') = ((sFiniteSeq μ i.1).restrict s) s' * ((sFiniteSeq ν i.2).restrict t) t'


Context: R✝ : Type u

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R✝

Context: I✝ J K L : Ideal R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I : ι → ℕ

Context: hI : Pairwise fun i j => (I i).Coprime (I j)

⨅ i, span {↑(I i)} = span {↑(∏ i : ι, I i)}


Context: R✝ : Type u

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R✝

Context: I✝ J K L : Ideal R✝

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I : ι → ℕ

∀ (i j : ι), i ≠ j → IsCoprime ↑(I i) ↑(I j)


Context: x y : ℝ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: A✝ : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A✝

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: E : A

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : IsSheaf J P

Context: S : J.Cover X

Context: x : (I : S.Arrow) → E ⟶ P.obj (op I.Y)

Context: hx : ∀ ⦃I₁ I₂ : S.Arrow⦄ (r : I₁.Relation I₂), x I₁ ≫ P.map r.g₁.op = x I₂ ≫ P.map r.g₂.op

Context: I : S.Arrow

hP.amalgamate S x hx ≫ P.map I.f.op = x I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁷ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e✝ e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (↑e.symm) e.target


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB (fun x => (↑e.symm x).proj) e.target ∧ SmoothOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) (fun x => (↑e (↑e.symm x)).2) e.target


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²² : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁸ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : FiberBundle F E

Context: inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝³ : SmoothVectorBundle F E IB

Context: inst✝² : MemTrivializationAtlas e✝

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e'

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e

Context: x : B × F

Context: hx : x ∈ e.target


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryProducts C
A : (prodComonad X).Coalgebra

(((𝟭 (prodComonad X).Coalgebra).obj A).a ≫ (prodComonad X).map (Iso.refl ((𝟭 (prodComonad X).Coalgebra).obj A).A).hom) ≫ prod.snd = ((Iso.refl ((𝟭 (prodComonad X).Coalgebra).obj A).A).hom ≫ ((coalgebraToOver X ⋙ overToCoalgebra X).obj A).a) ≫ prod.snd


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

(o.kahler (o.rightAngleRotation x)) y = -Complex.I * (o.kahler x) y


↑((o.areaForm x) y) + -↑⟪x, y⟫_ℝ * Complex.I = -Complex.I * (↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I)


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝¹ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s✝ : Finset α

Context: t : α → Finset β

Context: this : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ s, (t a).card

((insert a s).biUnion t).card ≤ (t a).card + (s.biUnion t).card


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝¹ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s✝ : Finset α

Context: t : α → Finset β

Context: this : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

(t a ∪ s.biUnion t).card ≤ (t a).card + (s.biUnion t).card


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝¹ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s✝ : Finset α

Context: t : α → Finset β

Context: this : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

(t a).card + (s.biUnion t).card ≤ ∑ a ∈ insert a s, (t a).card


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝¹ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s✝ : Finset α

Context: t : α → Finset β

Context: this : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: has : a ∉ s

(t a).card + (s.biUnion t).card ≤ (t a).card + ∑ x ∈ s, (t x).card


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve α r).arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ r 0) = (A.val.map f.op) 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r

(A.val.map f.op) (smul α φ r 0) = (A.val.map f.op) 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g

(map f μa).prod (map g μc) = map (Prod.map f g) (μa.prod μc)


(sum fun p => (map f (sFiniteSeq μa p.1)).prod (map g (sFiniteSeq μc p.2))) = sum fun i => map (Prod.map f g) ((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2))


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
i : ℕ × ℕ

(map f (sFiniteSeq μa i.1)).prod (map g (sFiniteSeq μc i.2)) = map (Prod.map f g) ((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2))


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
δ : Type u_7
inst✝² : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
μa : Measure α
μc : Measure γ
inst✝¹ : SFinite μa
inst✝ : SFinite μc
hf : Measurable f
hg : Measurable g
i : ℕ × ℕ
s : Set β
t : Set δ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

(map (Prod.map f g) ((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2))) (s ×ˢ t) = (map f (sFiniteSeq μa i.1)) s * (map g (sFiniteSeq μc i.2)) t


((sFiniteSeq μa i.1).prod (sFiniteSeq μc i.2)) (Prod.map f g ⁻¹' s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μa i.1) (f ⁻¹' s) * (sFiniteSeq μc i.2) (g ⁻¹' t)


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : F (Fix F)


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
x✝ : F (Fix F)
x : Fix F


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
x✝ : N

x✝ ∈ map f H.normalizer → x✝ ∈ (map f H).normalizer


∀ (x : G), (∀ (h : G), h ∈ H ↔ x * h * x⁻¹ ∈ H) → f x = x✝ → ∀ (h : N), (∃ x ∈ H, f x = h) ↔ ∃ x ∈ H, f x = x✝ * h * x✝⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ : OuterMeasure α

m₁.trim = m₂.trim ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m₁ s = m₂ s


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r✝ x y z : R
a b c : ℍ[R]
r : R
q : ℍ[R]


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0

Context: ε : ι → ℝ

Context: C : ℝ

Context: hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: c : ι → 𝕜

Context: hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖

Context: hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖

Context: m : (i : ι) → E i

Context: hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: ε : ι → ℝ

Context: C : ℝ

Context: hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: c : ι → 𝕜

Context: hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖

Context: m : (i : ι) → E i

Context: hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0

Context: δ : ι → 𝕜

Context: hδ0 : ∀ (i : ι), δ i ≠ 0

Context: hδm_lt : ∀ (i : ι), ‖δ i • m i‖ < ε i

Context: hle_δm : ∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖δ i • m i‖

Context: a✝ : ∀ (i : ι), ‖δ i‖⁻¹ ≤ (ε i)⁻¹ * ‖c i‖ * ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: ε : ι → ℝ

Context: C : ℝ

Context: hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i

Context: c : ι → 𝕜

Context: hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖

Context: m : (i : ι) → E i

Context: hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0

Context: δ : ι → 𝕜

Context: hδ0✝ : ∀ (i : ι), δ i ≠ 0

Context: hδm_lt : ∀ (i : ι), ‖δ i • m i‖ < ε i

Context: hδ0 : 0 < ∏ i : ι, ‖δ i‖


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
x✝ : α × α
a : α
h : Disjoint s t
x : α × α

x ∈ (s ∪ t).offDiag ↔ x ∈ s.offDiag ∪ t.offDiag ∪ s ×ˢ t ∪ t ×ˢ s


(x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2 ↔ ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s


Context: a x✝ z x y : ℂ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.11614) (N : Type ?u.11613) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: y : α

Context: hya : y ∈ Ioi a

Context: z : α

Context: hzb : z ∈ Ici b

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioi (a * b)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0
h : 1 < ↑p


‖x‖ ≤ ↑p ^ 0


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: ι : Sort u_1

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → Subfield K

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : K

Context: s : Subfield K := let __spread.0 := (⨆ i, (S i).toSubring).copy (⋃ i, ↑(S i).toSubring) ⋯; { toSubring := __spread.0, inv_mem' := ⋯ }


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: ι : Sort u_1

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → Subfield K

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : K

Context: this : iSup S = s


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
z : G


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m

¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator fun n => 1 / ↑n)


¬Summable fun n => {n | ↑n = k}.indicator (fun n => 1 / ↑n) (n + 1)


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 0

Context: k : ZMod m

Context: this : NeZero m

Context: h : ∀ (n : ℕ), {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n = if ↑n = k - 1 then 1 / (↑n + 1) else 0


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 0

Context: k : ZMod m

Context: this : NeZero m

¬Summable fun n => {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 0

Context: k : ZMod m

Context: this : NeZero m


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : (mk' S) n = (mk' S) m
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : -m + n ∈ S
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α

(∀ {x y : α}, ⊤ x y → s.Rel x y) ↔ ∀ (x y : α), s.Rel x y


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
h : c ≤ ↑n


Context:
α β : Type u
n c : ℕ
h : ↑c ≤ ↑n


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f✝ : M →* P
g : N →* P
f : M × N →* P
x : M × N

((f.comp (inl M N)).coprod (f.comp (inr M N))) x = f x


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Group M
S : Submonoid M
x : ↥S.leftInv


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : ℝ


Context:
a b : ℕ+
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0


deriv (fun z => 1 / log z) x = -x⁻¹ / log x ^ 2


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))

∃! r, IsNilpotent (x - r) ∧ (aeval r) P = 0


∃! r, IsNilpotent (r - x) ∧ (aeval r) P = 0


∃ x_1, IsNilpotent (x_1 - x) ∧ (aeval x_1) P = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: P : R[X]

Context: x : S

Context: h : IsNilpotent ((aeval x) P)

Context: h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))

Context: r₁ r₂ : S

Context: x✝¹ : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ (aeval r₁) P = 0

Context: x✝ : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ (aeval r₂) P = 0

Context: hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)

Context: hr₁' : (aeval r₁) P = 0

Context: hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)

Context: hr₂' : (aeval r₂) P = 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Ordinal.{u_2}
hc : ℵ₀ < c.cof
hf : ∀ i < c, f i < c
a : Ordinal.{u_2}


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Ioi a)) (𝓟 (Iio a⁻¹))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ sᶜ = 0

(fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : s ∈ ae μ


∀ a ∈ s, (if a ∈ s then f a else g a) = f a


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0

↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0

Context: this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0

Context: this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = μ'.haarScalarFactor μ • ∫ (x : G), f x ∂μ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι✝
inst✝⁸ : CommSemiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ N
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
w : ι → R

((piEquiv ι R M) v) w = ∑ i : ι, w i • v i


∑ x : ι, ((Pi.basisFun R ι).repr w) x • v x = ∑ i : ι, w i • v i


Context: a b : Prop


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → α

Context: hf : ContractingWith K f

Context: x y : α

Context: this : dist x y ≤ dist x (f x) + dist y (f y) + ↑K * dist x y

dist x y ≤ (dist x (f x) + dist y (f y)) / (1 - ↑K)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
p : A
hp : p ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t


∀ (x y_1 : S), x • y ∈ span R (s • t) → y_1 • y ∈ span R (s • t) → (x + y_1) • y ∈ span R (s • t)


∀ (a : R) (x : S), x • y ∈ span R (s • t) → (a • x) • y ∈ span R (s • t)


Context:
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω


Context:
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : a = 0


Context:
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a


nfp (fun x => a * x) 1 ≤ nfp (fun x => a * x) b


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
hS : J₁.IsClosed S
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : J₁.Covers (Sieve.pullback f S) g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l

l.next (l.get k) hx = l'.next (l.get k) ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n

l.next (l.get k) hx = (l.rotate n).next (l.get k) ⋯


l.get ⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).next (l.get k) ⋯


l.get ⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).next ((l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩) ⋯


(l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).get ⟨(↑⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩ + 1) % (l.rotate n).length, ⋯⟩


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0


Context:
θ ψ : Angle
h : θ.toReal = ψ.toReal


Context:
ψ : Angle
x✝ : ℝ
h : (↑x✝).toReal = ψ.toReal


Context:
x✝¹ x✝ : ℝ
h : (↑x✝¹).toReal = (↑x✝).toReal


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V
p : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpV : p ∈ V.carrier

p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}

∃ u ⊆ t, u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: hu : ∀ v ∈ T, u ⊆ v → v = u


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: hu : ∀ v ∈ T, u ⊆ v → v = u

Context: a : ι

Context: hat : a ∈ t

∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: a : ι

Context: hat : a ∈ t

Context: hu : ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → τ * δ b < δ a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: a : ι

Context: hat : a ∈ t

Context: a_disj : ∀ c ∈ u, Disjoint (B a) (B c)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: a : ι

Context: hat : a ∈ t

Context: a_disj : ∀ c ∈ u, Disjoint (B a) (B c)

Context: A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}

Context: Anonempty : A.Nonempty

Context: m : ℝ := sSup (δ '' A)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: a : ι

Context: hat : a ∈ t

Context: a_disj : ∀ c ∈ u, Disjoint (B a) (B c)

Context: Anonempty : A.Nonempty

Context: m : ℝ := sSup (δ '' A)

Context: bddA : BddAbove (δ '' A)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: Anonempty : A.Nonempty

Context: m : ℝ := sSup (δ '' A)

Context: bddA : BddAbove (δ '' A)

Context: a' : ι

Context: a'A : a' ∈ A

Context: ha' : m / τ ≤ δ a'


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: Anonempty : A.Nonempty

Context: m : ℝ := sSup (δ '' A)

Context: bddA : BddAbove (δ '' A)

Context: a' : ι

Context: a'A : a' ∈ A

Context: ha' : m / τ ≤ δ a'

Context: a'_ne_u : a' ∉ u


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: B : ι → Set α

Context: t : Set ι

Context: δ : ι → ℝ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a

Context: R : ℝ

Context: δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R

Context: hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty

Context: u : Set ι

Context: uT : u ∈ T

Context: Anonempty : A.Nonempty

Context: m : ℝ := sSup (δ '' A)

Context: bddA : BddAbove (δ '' A)

Context: a' : ι

Context: a'A : a' ∈ A

Context: ha' : m / τ ≤ δ a'

Context: a'_ne_u : a' ∉ u

∀ a ∈ t, ∀ b ∈ insert a' u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ insert a' u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a✝ a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → β → β
a : α
h : ∀ (b : β), f a b = b
t : Set β


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


B = ∅ → B ⊆ ∅ → B = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(μ.withDensityᵥ (f + g)) i = ↑(μ.withDensityᵥ f + μ.withDensityᵥ g) i


∫ (x : α) in i, (f + g) x ∂μ = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ + ∫ (x : α) in i, g x ∂μ


∫ (x : α) in i, f x + g x ∂μ = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ + ∫ (x : α) in i, g x ∂μ