Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
F : C ⥤ D
hF : CoverPreserving J K F
G : D ⥤ A
hG : CoverPreserving K L G
U✝ : C
S✝ : Sieve U✝
hS : S✝ ∈ J.sieves U✝

Sieve.functorPushforward (F ⋙ G) S✝ ∈ L.sieves ((F ⋙ G).obj U✝)


Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPushforward F S✝) ∈ L.sieves ((F ⋙ G).obj U✝)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α


∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian

Fintype.card ↑{v | Odd (G.degree v)} = 0 ∨ Fintype.card ↑{v | Odd (G.degree v)} = 2


{v | Odd (G.degree v)}.toFinset.card = 0 ∨ {v | Odd (G.degree v)}.toFinset.card = 2


{v | Odd (G.degree v)}.toFinset = Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hI : I.IsPrimary

Context: hJ : J.IsPrime

Context: x : R ⧸ I

Context: e : J = (Submodule.span R {x}).annihilator


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hI : I.IsPrimary

Context: hJ : J.IsPrime

Context: x : R ⧸ I

Context: this : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hI : I.IsPrimary

Context: hJ : J.IsPrime

Context: x : R

Context: e : J = (Submodule.span R {(Ideal.Quotient.mkₐ R I) x}).annihilator

Context: this : (Ideal.Quotient.mkₐ R I) x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hI : I.IsPrimary
hJ : J.IsPrime
x : R
this : (Ideal.Quotient.mkₐ R I) x ≠ 0
e : ∀ {y : R}, y ∈ J ↔ x * y ∈ I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

z \ (x \ y) ⊓ z \ (y \ x) = (z \ x ⊔ z ⊓ x ⊓ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x)


(z \ x ⊔ z ⊓ y ⊓ x) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x) = z \ x ⊓ z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ = (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 - ‖x + z‖ * ‖x + z‖


‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ + ‖x + z‖ * ‖x + z‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpaceable E

Context: x y z : E

Context: h₀ : ‖x + y - z + (x + z)‖ * ‖x + y - z + (x + z)‖ + ‖x + y - z - (x + z)‖ * ‖x + y - z - (x + z)‖ = 2 * (‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ + ‖x + z‖ * ‖x + z‖)


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context:
K : Type ?u.590273
L : Type ?u.590276
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hpq : q ∣ p


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E


Multiplicative.ofAdd ‖∏ i ∈ s, f i‖ ≤ ∏ i ∈ s, Multiplicative.ofAdd ‖f i‖


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
x y : E

(⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) (x * y) ≤ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) x * (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) y


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V


sInf (Set.range fun x => ↑x.reverse.length) = G.edist v u


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
x : G

x ∈ ⋃ q, quotToDoset H K q ↔ x ∈ Set.univ


∃ i, ∃ x_1 ∈ H, ∃ y ∈ K, x = x_1 * Quotient.out' i * y


∃ x_1 ∈ H, ∃ y ∈ K, x = x_1 * Quotient.out' (mk H K x) * y


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: x h k : G

Context: h3 : h ∈ H

Context: h4 : k ∈ K

Context: h5 : Quotient.out' (mk H K x) = h * x * k


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: x h k : G

Context: h3 : h ∈ H

Context: h4 : k ∈ K

x = h⁻¹ * Quotient.out' (mk H K x) * k⁻¹


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h0 : q ≠ 0
hl : q.degree < p.degree
hcontra : p ∣ q


Context:
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
h : m ≤ n

(contDiffPregroupoid n I).groupoid ≤ (contDiffPregroupoid m I).groupoid


∀ (f : H → H) (s : Set H), (contDiffPregroupoid n I).property f s → (contDiffPregroupoid m I).property f s


Context: m n : ℕ∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace M

Context: h : m ≤ n

Context: f : H → H

Context: s : Set H

Context: hfs : (contDiffPregroupoid n I).property f s


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
z : ℤ
A : Matrix m m 𝔸


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n✝ : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : DecidableEq n✝
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
s : Set R
x : PrimeSpectrum S

x ∈ (fun y => { asIdeal := Ideal.comap f y.asIdeal, isPrime := ⋯ }) ⁻¹' zeroLocus s ↔ x ∈ zeroLocus (⇑f '' s)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
A₀_inv : A₀ ^ 2 = 1
A₁_inv : A₁ ^ 2 = 1
B₀_inv : B₀ ^ 2 = 1
B₁_inv : B₁ ^ 2 = 1

(2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁) * (2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁) = 4 * (2 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), ⨅ i, ⨅ h, f i h a ∂μ ≤ ⨅ i, ⨅ h, ∫⁻ (a : α), f i h a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
a : α


Context:
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ p.castSucc

p.castSucc.succAbove (p.predAbove i) = i


Context:
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h✝ : i ≠ p.castSucc
h : i < p.castSucc


Context:
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
h✝ : i ≠ p.castSucc
h : p.castSucc < i


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
hf : IsMulOneCocycle f


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
hf : IsMulOneCocycle f
z : L
hz : aux f z ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ

Context: hf : IsMulOneCocycle f

Context: z : L

Context: hz : aux f z ≠ 0

Context: this : aux f z = ∑ h : L ≃ₐ[K] L, ↑(f h) * h z


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ

Context: hf : IsMulOneCocycle f

Context: z : L

Context: hz : aux f z ≠ 0

∀ (g : L ≃ₐ[K] L), g • (Units.mk0 (aux f z) hz)⁻¹ / (Units.mk0 (aux f z) hz)⁻¹ = f g


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ

Context: hf : IsMulOneCocycle f

Context: z : L

Context: hz : aux f z ≠ 0

Context: g : L ≃ₐ[K] L

g • (Units.mk0 (aux f z) hz)⁻¹ / (Units.mk0 (aux f z) hz)⁻¹ = f g


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ

Context: z : L

Context: hz : aux f z ≠ 0

Context: g : L ≃ₐ[K] L

Context: hf : ∀ (g h : L ≃ₐ[K] L), ↑(f (g * h)) = g ↑(f h) * ↑(f g)

∑ h : L ≃ₐ[K] L, ↑(f h) * h z = g (∑ h : L ≃ₐ[K] L, ↑(f h) * h z) * ↑(f g)


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ

Context: z : L

Context: hz : aux f z ≠ 0

Context: g : L ≃ₐ[K] L

∑ h : L ≃ₐ[K] L, ↑(f h) * h z = ∑ x : L ≃ₐ[K] L, ↑(f (g * x)) * g (x z)


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b c a : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ¬ClusterPt y l


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : X → Y

Context: y : Y

Context: hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)

Context: hfc : Continuous f

Context: l : Filter Y

Context: hne : l.NeBot

Context: hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))

Context: hy : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ 𝓝 y), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ l), Disjoint x x_1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsCompact K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsCompact K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y✝ : Y
hf : Tendsto f (cocompact X) (𝓝 y✝)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
hle : l ≤ 𝓟 (insert y✝ (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y✝
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsCompact K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
y : Y
hy : y ∈ f '' K
hyl : ClusterPt y l

∃ x ∈ insert y✝ (range f), ClusterPt x l


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: R : α → α → Prop

Context: f : β → Option α

Context: l : List β

Context: _S : β → β → Prop := fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b'

Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ f a → ∀ (b' : α), b' ∈ f a' → R b b') l


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: R : α → α → Prop

Context: f : β → Option α

Context: l : List β

Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: R : α → α → Prop

Context: f : β → Option α

Context: a : β

Context: l : List β

Context: IH : Pairwise R (filterMap f l) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') l

Pairwise R (filterMap f (a :: l)) ↔ Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), f a = some b → ∀ (b' : α), f a' = some b' → R b b') (a :: l)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
s : Set E
hs : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

∃ w ⊇ s, Orthonormal 𝕜 Subtype.val ∧ ∀ u ⊇ w, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set E

Context: hs : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: this : ∃ m ∈ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, s ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, m ⊆ a → a = m


∀ c ⊆ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {b | Orthonormal 𝕜 Subtype.val}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsCompact s

(∀ a ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] a, μ t = 0) → μ s = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
x : V
hx : ∀ (n : V), (B.flip x) n = 0


(Module.evalEquiv K V) x = (Module.evalEquiv K V) 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
x : V
hx : ∀ (n : V), (B.flip x) n = 0
f : Module.Dual K V

((Module.evalEquiv K V) x) f = ((Module.evalEquiv K V) 0) f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
x : V
hx : ∀ (n : V), (B.flip x) n = 0
y : V

((Module.evalEquiv K V) x) ((B.toDual hB) y) = ((Module.evalEquiv K V) 0) ((B.toDual hB) y)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD U]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD U]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R M

Context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R N

Context: hxy₁ : Submodule.Quotient.mk x₁ = Submodule.Quotient.mk y₁

Context: hxy₂ : Submodule.Quotient.mk x₂ = Submodule.Quotient.mk y₂

Submodule.Quotient.mk (x₁ - x₂) = Submodule.Quotient.mk (y₁ - y₂)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

(λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ ((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁷ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁶ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory D

Context: inst✝³ : BraidedCategory D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory E

Context: inst✝ : BraidedCategory E

Context: X₁ X₂ : C

Context: this : (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv = 𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁷ : MonoidalCategory C

Context: inst✝⁶ : BraidedCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory D

Context: inst✝³ : BraidedCategory D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory E

Context: inst✝ : BraidedCategory E

Context: X₁ X₂ : C

(λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)


(λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = ((𝟙_ C ◁ (ρ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f


∀ {I : Ideal S}, I.IsPrime → ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime

∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ p = sInf M


(∀ J ∈ map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal}, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ p = sInf (map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal})


p = sInf (map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal})


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
this : p = map f (comap f p).jacobson


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

Context: h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) atTop (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : Ω), f x ∂↑μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

∫ (x : Ω), f x ∂↑μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

∀ (G : Set Ω), IsOpen G → ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G

Context: h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop

Context: aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop

↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G

Context: obs : ↑(μ G) ≤ ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G

Context: obs : ↑μ G ≤ liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G

Context: x✝ : ℕ

↑(μs x✝) G = (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) x✝


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] f


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] f

Context: H : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ioc a b), 0 x ≤ f x := ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset Ioc_subset_Icc_self hf


Context:
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k

Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})


Fintype (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})


Context:
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
h : Ideal.span {hζ.toInteger - 1} = ⊥


Context:
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
h : hζ.toInteger = 1


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : LinearOrder α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : LinearOrder α
x y : α
hxy : x ≠ y


Context:
x : ℂ
hx : x = 0


Context:
x : ℂ
hx : ¬x = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β

(∀ᵐ (x : α) ∂μ, c ≤ f x) ↔ ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0


μ {a | ¬c ≤ f a} = 0 ↔ ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c
u : ℕ → β
left✝ : StrictMono u
u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : FirstCountableTopology β

Context: f : α → β

Context: c : β

Context: hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0

Context: H : IsLUB (Set.Iio c) c

Context: h : ∃ b, b < c

Context: u : ℕ → β

Context: left✝ : StrictMono u

Context: u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c)

Context: h_Union : {x | f x < c} = ⋃ n, {x | f x ≤ u n}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : FirstCountableTopology β

Context: f : α → β

Context: c : β

Context: hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0

Context: H : IsLUB (Set.Iio c) c

Context: h : ∃ b, b < c

Context: u : ℕ → β

Context: left✝ : StrictMono u

Context: u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

(∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
hq : 1 / q * p = p - 1


Context:
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)

↑(Multiplicative.ofAdd (RatFunc.intDegree 1)) = 1


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v x✝ y✝ : V
he : s(x✝, y✝) ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ s(x✝, y✝)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v y✝ : V
he : s(v, y✝) ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ s(v, y✝)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v x✝ : V
he : s(x✝, v) ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ s(x✝, v)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
f : α ↪o β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
a₁ a₂ : α
h : Disjoint (f a₁) (f a₂)
x : α
h₁ : x ≤ a₁
h₂ : x ≤ a₂


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
f : α ↪o β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
a₁ a₂ : α
h : Disjoint (f a₁) (f a₂)
x : α
h₁ : f x ≤ f a₁
h₂ : f x ≤ f a₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ η : Kernel α β
μ : Measure β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

(dirac () ⊗ₘ Kernel.const Unit μ).snd = μ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0

Measure.map (fun x => a * x) volume = ofReal |a⁻¹| • volume


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ

¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ici a) volume


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: a : ℝ

Context: A : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt (fun x => Real.log x) x⁻¹ x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: a : ℝ

Context: B : Tendsto (fun x => ‖Real.log x‖) atTop atTop


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).inv ≫ prod.fst ≫ prod.fst = prod.fst


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

hurwitzZeta (↑x) (-↑k) = -1 / (↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (k + 1)))


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
n : ℕ
hk : 2 * n ≠ 0

hurwitzZeta (↑x) (-↑(2 * n)) = -1 / (↑(2 * n) + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * n + 1)))


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
n : ℕ
hk : 2 * n + 1 ≠ 0

hurwitzZeta (↑x) (-↑(2 * n + 1)) = -1 / (↑(2 * n + 1) + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * n + 1 + 1)))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W

cs.length (w₁ * w₂) % 2 = (cs.length w₁ + cs.length w₂) % 2


↑(cs.length (w₁ * w₂)) = ↑(cs.length w₁) + ↑(cs.length w₂)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: l : Filter α

Context: f g : α → 𝕜

Context: C : 𝕜

Context: hC : C < 0

Context: hf : Tendsto f l atBot

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 C)

Context: this : Tendsto (fun x => (Neg.neg ∘ f) x * g x) l atBot


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : AddAction Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
b : Γ'

((of R).symm ((x * y) • z)).coeff b = ((of R).symm (x • y • z)).coeff b


∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b, (x * y).coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b, x.coeff ij.1 • ((of R).symm (y • z)).coeff ij.2


∑ x_1 ∈ (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.1, (x.coeff x_1.snd.1 * y.coeff x_1.snd.2) • ((of R).symm z).coeff x_1.fst.2 = ∑ x_1 ∈ (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a.2, x.coeff x_1.fst.1 • y.coeff x_1.snd.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.snd.2


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜

Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'

Context: s : Set α

Context: f : α → E'

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')

Context: A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv

∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ EqOn f g s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜

Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'

Context: s : Set α

Context: f : α → E'

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜

Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'

Context: s : Set α

Context: f : α → E'

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A

Context: L : LipschitzOnWith (‖↑A‖₊ * K) (⇑A ∘ f) s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜

Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'

Context: s : Set α

Context: f : α → E'

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A

Context: g : α → ι → ℝ

Context: hg : LipschitzWith (‖↑A‖₊ * K) g

Context: gs : EqOn (⇑A ∘ f) g s


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
g : τ → α
p : MvPolynomial σ R

(rename g) (eval₂ C (X ∘ f) p) = (rename (g ∘ f)) p


(eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g)) (eval₂ C (X ∘ f) p) = (eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g ∘ f)) p


eval₂ ((eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g)).comp C) (⇑(eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g)) ∘ X ∘ f) p = (eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) (X ∘ g ∘ f)) p


eval₂ ((eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) fun x => X (g x)).comp C) (fun x => X (g (f x))) p = (eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) fun x => X (g (f x))) p


(eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) fun x => X (g x)).comp C = algebraMap R (MvPolynomial α R)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
g : τ → α
p : MvPolynomial σ R
x✝ : R

((eval₂Hom (algebraMap R (MvPolynomial α R)) fun x => X (g x)).comp C) x✝ = (algebraMap R (MvPolynomial α R)) x✝


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho

Context: hlc : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (term I ho :: ↑l.Tail)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : Products I

Context: hl : ↑l ≠ []

Context: hlh : (↑l).head! = term I ho


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C

(singleObjHomologySelfIso c j A).hom ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom = ((single C c j).obj A).homologyι j


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Nonsingular x y ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Nonsingular 0 0


Context:
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)

(F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = (ι f) x


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
u : Mˣ
n : ℕ


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
u : Mˣ
k : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S

(unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S
this : SMulMemClass S ℕ R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ κ : Kernel α β
h : IsSFiniteKernel κ
a : α

(Measure.sum fun n => (κ.seq n) a) = κ a


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι
h_ne : i ≠ j


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f✝ : Perm α
inst✝ : DecidablePred p
a : α
f : Perm (Subtype p)
x : α
h : p x


Context:
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f✝ : Perm α
inst✝ : DecidablePred p
a : α
f : Perm (Subtype p)
x : α
h : ¬p x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P

affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂ ↔ vectorSpan k s₁ = vectorSpan k s₂ ∧ (s₁ = ∅ ↔ s₂ = ∅)


affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂ ↔ (affineSpan k s₁).direction = (affineSpan k s₂).direction ∧ (affineSpan k s₁ = ⊥ ↔ affineSpan k s₂ = ⊥)


Context:
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)

∑ x ∈ Finset.Ico a b, f ↑x ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x


∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, -f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, -f ↑x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: A B : C

F.map ((exp.coev A).app B) ≫ (expComparison F A).app (A ⨯ B) = (exp.coev (F.obj A)).app (F.obj B) ≫ (exp (F.obj A)).map (inv (prodComparison F A B))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A B : C

Context: e_1✝ : (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj (A ⨯ B)) = (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj ((prod.functor.obj A).obj B))

Context: e_4✝ : (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))

Context: e_5✝ : (F.obj A ⟹ F.obj (A ⨯ B)) = (F.obj A ⟹ (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B))

Context: e_6✝ : (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))

Context: e_7✝ : F.obj (A ⨯ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B)

inv (prodComparison F A B) = (prodComparisonNatIso F A).inv.app ((𝟭 C).obj B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: A B : C

prodComparison F A B ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv.app ((𝟭 C).obj B) = 𝟙 (F.obj (A ⨯ B))


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x : List α


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
x : α
p : Fin n → α

i.insertNth x p ∘ rev = i.rev.insertNth x (p ∘ rev)


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
x✝ : α
p : Fin n → α
x : Fin (n + 1)

(i.insertNth x✝ p ∘ rev) x = i.rev.insertNth x✝ (p ∘ rev) x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f✝ g✝ : ι →₀ α
i✝ : ι
a : α
f g : ι →₀ α
i : ι

i ∈ f.support ∪ g.support ↔ (fun i => Icc (f i) (g i)) i ≠ 0


f i = 0 ∧ g i = 0 ↔ (fun i => Icc (f i) (g i)) i = 0


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b

dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b p q : P

Context: hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)

Context: hq : dist a q = dist b q

Context: m : P := midpoint ℝ a b

Context: h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p

Context: h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q

Context: h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q

Context: h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b p q : P

Context: hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)

Context: hq : dist a q = dist b q

Context: m : P := midpoint ℝ a b

Context: h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p

Context: h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q

Context: h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q

‖a -ᵥ p‖ * ‖b -ᵥ p‖ = |‖b -ᵥ q‖ ^ 2 - ‖p -ᵥ q‖ ^ 2|


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b p q : P

Context: hq : dist a q = dist b q

Context: m : P := midpoint ℝ a b

Context: hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ m -ᵥ p + (m -ᵥ a) = k • (m -ᵥ p - (m -ᵥ a))

Context: h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p

Context: h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q

Context: h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q

‖m -ᵥ p - (m -ᵥ a)‖ * ‖m -ᵥ p + (m -ᵥ a)‖ = |‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖ ^ 2 - ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ p)‖ ^ 2|


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b p q : P

Context: m : P := midpoint ℝ a b

Context: hq : ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ a)‖ = ‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖

Context: h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p

Context: h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q

Context: h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source

map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
c : Chain α
z : β

(f ⊓ g) (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map (f ⊓ g)) ≤ z


(∀ (x x_1 : ℕ), f (c x_1) ≤ z ∨ g (c x) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), f (c i) ≤ z ∨ g (c i) ≤ z


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f✝ : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
h : UniformContinuous₂ f
x : α


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
P : SL(2, R) → Prop
a b c d : R
hdet : a * d - b * c = 1


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: P : SL(2, R) → Prop

Context: h : ∀ (a b c d : R) (hdet : a * d - b * c = 1), P ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩

Context: m : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R

Context: hm : m.det = 1


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: P : SL(2, R) → Prop

Context: m : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R

Context: hm : m.det = 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P

(pointReflection (midpoint R x y)) x = y


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R

eval (x + y) f = ((f.sum fun e a => a * x ^ e) + f.sum fun e a => a * ↑e * x ^ (e - 1) * y) + f.sum fun e a => a * ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2


(f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)) = ((f.sum fun e a => a * x ^ e) + f.sum fun e a => a * ↑e * x ^ (e - 1) * y) + f.sum fun e a => a * ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ

∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hg : g ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ


Context: V : Type u

Context: x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }

Context: v w : V

(fun v w => ↑x v w = true) v w → (fun v w => ↑x v w = true) w v


Context: V : Type u

Context: v : V


Context: V : Type u

Context: adj : V → V → Bool

Context: property✝¹ : (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true

Context: adj' : V → V → Bool

Context: property✝ : (∀ (x y : V), adj' x y = adj' y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj' x x = true

Context: h : (fun v w => adj v w = true) = fun v w => adj' v w = true


Context: V : Type u

Context: adj : V → V → Bool

Context: adj' : V → V → Bool

Context: v w : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set α
t : TopologicalSpace α
t_le : t ≤ inst✝
t_polish : PolishSpace α
h : IsClosed s
h' : IsOpen s


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝⁴ : Closed A
inst✝³ : Closed B
A₁ A₂ A₃ : C
inst✝² : Closed A₁
inst✝¹ : Closed A₂
inst✝ : Closed A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯

∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: x y : F

Context: hneq : x ≠ y

Context: heq : f x = f y

∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: x y : F

Context: hneq : x ≠ y

Context: heq : f x = f y

F⟮α, β⟯ = F⟮α + x • β⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: x y : F

Context: hneq : x ≠ y

Context: heq : f x = f y

F⟮α, β⟯ ≤ F⟮α + x • β⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Infinite F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: ϕ : F →+* E

Context: α β : E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Finite (IntermediateField F E)

Context: x y : F

Context: hneq : x ≠ y

Context: heq : f x = f y

F⟮α + x • β⟯ ≤ F⟮α, β⟯


Context: q : ℍ

normSq (exp ℝ q) = normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im))


Context: q : ℍ

normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)) = exp ℝ q.re ^ 2 * normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)


Context: q : ℍ

normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2


Context:
q : ℍ
hv : ‖q.im‖ = 0


Context:
q : ℍ
hv : ‖q.im‖ ≠ 0


Context: q : ℍ

exp ℝ q.re ^ 2 * (Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2) = exp ℝ q.re ^ 2


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)

Context: n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: n : ℕ

(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: h : (fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)

Context: n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : ((fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = (fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s t✝ : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : x + y ∈ s

Context: t : 𝕜

Context: ht : t ∈ Icc 0 1

Context: h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s t✝ : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x y : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : x + y ∈ s

Context: t : 𝕜

Context: ht : t ∈ Icc 0 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤

∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h_eq_inner : ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, ↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f)⟫_𝕜


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: b : ↑B

Context: hb : b ∉ MonoidHom.range f

Context: b' : ↑B := b

Context: r : b' • ↑(MonoidHom.range f) = ↑(MonoidHom.range f)


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: b : ↑B

Context: hb : b ∉ MonoidHom.range f

Context: b' : ↑B := b

Context: r : b' • ↑(MonoidHom.range f) = 1 • ↑(MonoidHom.range f)


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
b' : ↑B := b
r : b'⁻¹ ∈ MonoidHom.range f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ι →₀ α

Context: a✝ : ι

a✝ ∈ (f ⊓ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∩ g.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ι →₀ α

Context: a✝ : ι

¬f a✝ ⊓ g a✝ = 0 ↔ ¬f a✝ = 0 ∧ ¬g a✝ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E

HasLineDerivAt 𝕜 (⇑f) (polar (⇑f) a b) a b


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝 a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝 a) l


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

Context: h : ∀ i ∈ l, HasFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x

HasFDerivAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod • (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

HasFDerivAt (fun x => (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.finRange l.length)).prod) (∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: l : List ι

Context: x : E

(∑ i : Fin l.length, (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.take (↑i) (List.finRange l.length))).prod • (proj i).smulRight (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.drop (↑i).succ (List.finRange l.length))).prod).comp (ContinuousLinearMap.pi fun i => f' (l.get i)) = ∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0

a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
h₁ : a ^ (Fintype.card F - 1) = 1


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : Fintype F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: h₁ : a ^ (Fintype.card F / 2) * a ^ (Fintype.card F / 2) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α

s.OrdConnected ↔ ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: κ : ι → Sort u_5

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: h : ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: κ : ι → Sort u_5

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s t : Set α

Context: x : α

(↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s)).OrdConnected


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa

Tendsto f la lb ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ MapsTo f (sa i) t


(∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ sa i ⊆ f ⁻¹' t) ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ MapsTo f (sa i) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∈ upperClosure ↑t

(s ∪ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a ⊓ t.truncatedInf a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r a✝)

(formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h).IsCycle


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a b : R
h : Commute a b


Context:
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝ : Fintype ↑G'.edgeSet


{ x // x ∈ G.edgeFinset } ≃ { x // x ∈ G'.edgeFinset }


{ x // x ∈ G.edgeSet } ≃ { x // x ∈ G'.edgeSet }


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0

∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: w : V

Context: hw : w ≠ 0

Context: hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2

Context: this : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: w : V

Context: hw : w ≠ 0

Context: hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2

∫ (v : V), (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: w : V

Context: hw : w ≠ 0

Context: hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2

Context: this✝ : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)

Context: this : ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x + i w, w⟫_ℝ) • f (x + i w)) = ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace V

Context: inst✝³ : BorelSpace V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: w : V

Context: hw : w ≠ 0

Context: hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2

∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
ht : t ≠ 0


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hc : ContinuousAt f c


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: hc : ContinuousAt f c

Context: R : ℝ

Context: hR0 : 0 < R

Context: hRs : closedBall c R ∩ {c}ᶜ ⊆ {x | (fun z => DifferentiableAt ℂ f z) x}


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: hc : ContinuousAt f c

Context: R : ℝ≥0

Context: hR0 : 0 < ↑R

Context: hRs : closedBall c ↑R ∩ {c}ᶜ ⊆ {x | (fun z => DifferentiableAt ℂ f z) x}


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ≥0

Context: hR0 : 0 < ↑R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)


Context: m n : ℤ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2

W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) / (P z * Q z * addZ P Q)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

(↑‖a‖₊)⁻¹ ≤ radius fun n => ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) (a ^ n)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (↑‖a‖₊)⁻¹
n : ℕ

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) (a ^ n)‖₊ * r ^ n ≤ max 1 ‖1‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
y : 𝕜
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (↑‖a‖₊)⁻¹
norm_lt : ‖y • a‖ < 1

HasSum (fun n => (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) (a ^ n)) fun x => y) (Ring.inverse (1 - (0 + y) • a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g : C(X, Z)
h : FactorsThrough ⇑g ⇑f
a✝ : X


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
ιₘ : Type u_6
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : Nontrivial R
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : Algebra R A
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : Module.Finite R L
inst✝¹⁰ : Module.Free R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ιₘ
inst✝ : DecidableEq ιₘ
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιₘ R M
x : L

rank R L = ((↑(ad R L)).polyCharpoly b).natTrailingDegree


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BaireSpace X
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set X
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
hU : ⋃ i, f i = univ


Context:
p : ℕ
hp : Prime p


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
this : p = p - 2 + 2


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
this : p = p - 2 + 2

p.minFac :: (p / p.minFac).primeFactorsList = [p]


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : p = p - 2 + 2
this : p.minFac = p


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Nonsingular x₁ y₁
h₂ : W.Nonsingular x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

ClassGroup.mk (XYIdeal' h₁) * ClassGroup.mk (XYIdeal' h₂) = ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯)


ClassGroup.mk (XYIdeal' h₁ * XYIdeal' h₂) = ClassGroup.mk (XYIdeal' ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
f' : β → α
h : Semiconj f ga gb
hf₁ : LeftInverse f' f
hf₂ : RightInverse f' f
x : β


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

(mk W) (C (W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) = -(XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))


(AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X - C x₁)) * (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X - C x₂)) * (AdjoinRoot.mk W.polynomial) (C (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))) = XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π✝ : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
π : ι → Set (Set Ω)
μ : Measure Ω

iIndepSets π μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
hu : ∃ u, a < u
hl : ∃ l, l < a

𝓝 a = ⨅ l, ⨅ (_ : l < a), ⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Ioo l u)


(⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) = (⨅ i, ⨅ (_ : i < a), 𝓟 (Ioi i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : a < i), 𝓟 (Iio i)


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ

(σ ↑a)⁻¹ = σ ↑a⁻¹


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
k : 𝕜
hk : k ∈ (σ ↑a)⁻¹


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : Aˣ
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ↑a⁻¹

k ∈ (σ ↑a)⁻¹


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
inst✝ : T2Space R
I : Ideal C(X, R)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: s : Finset β

Context: inst✝ : (x : β) → Decidable (x ∈ Set.range f)

Context: hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑s)

↑(image f (s.preimage f hf)) = ↑(filter (fun x => x ∈ Set.range f) s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: γ : Type x

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: s : Finset β

Context: hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑s)

{x | x ∈ ↑s ∧ x ∈ Set.range f} = {x | x ∈ s ∧ x ∈ Set.range f}


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
hf : X - C a ∣ f /ₘ (X - C a)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Field R

Context: p q : R[X]

Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: a : K

Context: hf : X - C a ∣ f /ₘ (X - C a)

Context: key : f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s : Set α

EMetric.diam (range ⇑f) = ↑(ratio f) * EMetric.diam univ


EMetric.diam (⇑f '' univ) = ↑(ratio f) * EMetric.diam univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s

ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → IsOpen (s ∩ f ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : IsOpen s

(∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s) ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → IsOpen (s ∩ f ⁻¹' t)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
n : ℕ

(iterate f a).tail.get n = (iterate f (f a)).get n


(iterate f a).get (n + 1) = (iterate f (f a)).get n


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X

s.ordConnectedComponent a ∈ 𝓝 a ↔ s ∈ 𝓝 a


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
h : s ∈ 𝓝 a


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b✝ c✝ : X
s t : Set X
h : s ∈ 𝓝 a
b c : X
ha : a ∈ Icc b c
ha' : Icc b c ∈ 𝓝 a
hs : Icc b c ⊆ s


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E


S ≤ ↑⊥ ↔ S ⊆ ↑⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
x : α × β

x ∈ interedges r s t ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ r x.1 x.2


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: k : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: k : ℕ

(map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ k)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

Context: k : ℕ

(map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) k


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

(fun k => (map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k)) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

∀ (n : ℕ), (bind₁ fun k => (map (Int.castRingHom ℚ)) (φ k)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ

∀ (n : ℕ), (bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n

(map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ)).Separable


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝² : IsDomain K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: hdvd : map (Int.castRingHom (ZMod p)) (minpoly ℤ μ) ∣ X ^ n - 1


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝² : IsDomain K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝² : IsDomain K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: hzero : ↑n = 0


Context:
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b

Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n m : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred

((affineCombination k (Finset.subtype pred s) fun i => p ↑i) fun i => w ↑i) = (affineCombination k (filter pred s) p) w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x

map (Embedding.subtype p) (Ici a) = Ici ↑a


map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ici ↑a)) = Ici ↑a


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)

Context: x : E

Context: m : x ∈ s

Context: u : Set E

Context: ou : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: fu : AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: m : x ∈ s

Context: u : Set E

Context: ou : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: fu : AnalyticWithinOn 𝕜 f (s ∩ u)

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: ru : Metric.ball x r ⊆ u


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X

∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, ∀ (i : ι), p.2 ∈ K i → closedBall p.2 p.1 ⊆ U i


∀ (i : ι), x ∈ K i → ∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, closedBall p.2 p.1 ⊆ U i


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
i : ι
hi : x ∈ K i

∀ᶠ (p : ℝ≥0∞ × X) in 𝓝 0 ×ˢ 𝓝 x, closedBall p.2 p.1 ⊆ U i


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
i : ι
hi : x ∈ K i
R : ℝ≥0∞
hR₀ : 0 < R
hR : closedBall x R ⊆ U i


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
i : ι
hi : x ∈ K i
R : ℝ≥0∞
hR₀ : 0 < R
hR : closedBall x R ⊆ U i
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 < ↑r
hrR : ↑r < R


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: x : X

Context: i : ι

Context: hi : x ∈ K i

Context: R : ℝ≥0∞

Context: hR₀ : 0 < R

Context: hR : closedBall x R ⊆ U i

Context: r : ℝ≥0

Context: hr₀ : 0 < ↑r

Context: hrR : ↑r < R

Context: p : ℝ≥0∞ × X

Context: hp : p ∈ {x | x < ↑r} ×ˢ closedBall x (R - ↑r)

Context: z : X

Context: hz : z ∈ closedBall p.2 p.1


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : EMetricSpace X

Context: K U : ι → Set X

Context: hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)

Context: hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i

Context: hfin : LocallyFinite K

Context: x : X

Context: i : ι

Context: hi : x ∈ K i

Context: R : ℝ≥0∞

Context: hR₀ : 0 < R

Context: hR : closedBall x R ⊆ U i

Context: r : ℝ≥0

Context: hr₀ : 0 < ↑r

Context: hrR : ↑r < R

Context: p : ℝ≥0∞ × X

Context: z : X

Context: hz : z ∈ closedBall p.2 p.1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκ : IsSFiniteKernel κ

κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n => κ ⊗ₖ η.seq n


(Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) = Kernel.sum fun n => κ ⊗ₖ η.seq n


(Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) = Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun n_1 => κ.seq n_1 ⊗ₖ η.seq n


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L I J P : Ideal R
hp : P.IsPrime


(∀ r ∈ I, ∀ s ∈ J, r * s ∈ P) ↔ J ≤ P ∨ I ≤ P


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalSemiring R
v : m → R
A : Matrix m n R
w : n → R


∑ x : m, ∑ i : n, v x * (A x i * w i) = ∑ x : n, ∑ x_1 : m, v x_1 * (A x_1 x * w x)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.cycles

f₁ = f₂ ↔ f₁ ≫ S.iCycles = f₂ ≫ S.iCycles


Context: θ : Angle

2 • θ ≠ 0 ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α

(f =O[𝓝[≠] a] fun x => 1) ↔ f =O[𝓝 a] fun x => 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
h : f =O[𝓝[≠] a] fun x => 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁶ : Norm E

Context: inst✝¹⁵ : Norm F

Context: inst✝¹⁴ : Norm G

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁷ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁵ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝² : One F

Context: inst✝¹ : NormOneClass F

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a : α

Context: h : ∃ b, ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c


∀ᶠ (a_1 : α) in 𝓝 a, ‖f a_1‖ ≤ max c ‖f a‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c
b : α
hb : b ∈ {a}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁶ : Norm E
inst✝¹⁵ : Norm F
inst✝¹⁴ : Norm G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : SeminormedRing R
inst✝⁶ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁵ : SeminormedRing R'
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
c : ℝ
b : α
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] b, ‖f a‖ ≤ c
hb : b ∈ {b}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c