Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : α →. σ

Context: hk : Partrec k

Context: a : α

Context: x : σ

Context: this : (k a).Dom

Context: h : x ∈ f a

Context: h' : (k a).get this ∈ f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y

Context: k : α →. σ

Context: hk : Partrec k

Context: K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)

Context: a : α

Context: x : σ

Context: this : (k a).Dom

Context: h : x ∈ f a

Context: h' : (k a).get this ∈ g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : α →. σ

Context: hk : Partrec k

Context: a : α

Context: x : σ

Context: this : (k a).Dom

Context: h : x ∈ g a

Context: h' : (k a).get this ∈ f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f g : α →. σ

Context: hf : Partrec f

Context: hg : Partrec g

Context: k : α →. σ

Context: hk : Partrec k

Context: a : α

Context: x : σ

Context: this : (k a).Dom

Context: h : x ∈ g a

Context: h' : (k a).get this ∈ g a


Context:
R✝ : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : CommSemiring S✝
inst✝¹² : Semiring A
inst✝¹¹ : Semiring B
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ A
inst✝⁸ : Algebra R✝ B
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R✝ M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
h : FiniteType R S
inst✝ : IsNoetherianRing R


Context:
R✝ : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : CommSemiring S✝
inst✝¹² : Semiring A
inst✝¹¹ : Semiring B
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ A
inst✝⁸ : Algebra R✝ B
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R✝ M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
h : FiniteType R S
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Finset S
hs : adjoin R ↑s = ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
h₁ : q.leadingCoeff = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

(p * q).degree = ↑(p.natDegree + q.natDegree)


Context:
m : ℕ∞
n : ℕ

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ ↑n


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
Z : C
f : M.X ⟶ Z

M.comul ≫ (M.counit ⊗ f) = f ≫ (λ_ Z).inv


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g✝ g : G
H : Subgroup G


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N


HasDerivAt Gamma (-√π * (γ + 2 * log 2)) (1 / 2)


Context: h_diff : ∀ {s : ℝ}, 0 < s → DifferentiableAt ℝ Gamma s


Context: h_diff' : ∀ {s : ℝ}, 0 < s → DifferentiableAt ℝ (fun s => Gamma (2 * s)) s


deriv Gamma (1 / 2) = -√π * (γ + 2 * log 2)


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : β


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ

vectorsProdEqOne G 1 = {1 ::ᵥ Vector.nil}


∀ (x : Vector G 1), x.head = 1 → x = 1 ::ᵥ Vector.nil


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r

Context: B B' : ℝ → ℝ

Context: ha : f a ≤ B a

Context: hB : ContinuousOn B (Icc a b)

Context: hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x

Context: s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: B B' : ℝ → ℝ

Context: ha : f a ≤ B a

Context: hB : ContinuousOn B (Icc a b)

Context: s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b

Context: A : ContinuousOn (fun x => (f x, B x)) (Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: B B' : ℝ → ℝ

Context: ha : f a ≤ B a

Context: hB : ContinuousOn B (Icc a b)

Context: s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b

Context: this : IsClosed s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: B B' : ℝ → ℝ

Context: ha : f a ≤ B a

Context: hB : ContinuousOn B (Icc a b)

Context: s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b

Context: this : IsClosed s

∀ x ∈ {x | f x ≤ B x} ∩ Ico a b, ∀ y ∈ Ioi x, ({x | f x ≤ B x} ∩ Ioc x y).Nonempty


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a = a) ↔ ∃ b, o.derivBFamily f b = a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a = a) ↔ ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E

dist (a₁ / a₂) (b₁ / b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
o : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric
i : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
j : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves

(PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i < (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ

(finEquivZPowers x hx).symm ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩


(finEquivPowers x hx).symm ((Equiv.Set.ofEq ⋯).symm ⟨x ^ n, ⋯⟩) = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ c d a b : α


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

HasDerivAt GammaIntegral (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) * (↑(Real.log t) * ↑(rexp (-t)))) s


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

HasDerivAt (mellin fun x => ↑(rexp (-x))) (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) * (↑(Real.log t) * ↑(rexp (-t)))) s


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

LocallyIntegrableOn (fun x => ↑(rexp (-x))) (Ioi 0) volume


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

(fun x => ↑(rexp (-x))) =O[atTop] fun x => x ^ (-(s.re + 1))


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re


Context:
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0


Context:
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0

(if x = 0 then if y + z = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * (y + z))) = if x = 0 then if z = 0 then if x = 0 then if y = 0 then 1 * 1 else 0 * 1 else cexp (log x * y) * 1 else if x = 0 then if y = 0 then 1 * 0 else 0 * 0 else cexp (log x * y) * 0 else if x = 0 then if y = 0 then 1 * cexp (log x * z) else 0 * cexp (log x * z) else cexp (log x * y) * cexp (log x * z)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSemiring R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : ContinuousStar R
s : Set R

(polynomialFunctions s).starClosure = adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


Context:
α β : Preord
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget Preord).obj α


Context:
α β : Preord
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget Preord).obj β


Context:
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)


Context: n : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: M : Matrix n n (ZMod p)

Context: h : (M ^ Fintype.card (ZMod p)).trace = M.trace ^ Fintype.card (ZMod p)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂

leftHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -leftHomologyMap' φ h₁ h₂


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
f : p.obj a ⟶ p.obj b
h : p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: φ : a ⟶ b

Context: h : p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e

f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv = (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length

(p.smash q h).toFun (Fin.natAdd p.length i).succ = q.toFun i.succ


(if H : ↑(Fin.natAdd p.length i).succ < p.length then p.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).succ, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).succ - p.length, ⋯⟩) = q.toFun i.succ


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsCoprime (x ^ m) y


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsCoprime (∏ _x ∈ range m, x) y


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : Completion α


IsClosed {x | dist x.1 x.2.2 ≤ dist x.1 x.2.1 + dist x.2.1 x.2.2}


∀ (a b c : α), dist (↑α a) (↑α c) ≤ dist (↑α a) (↑α b) + dist (↑α b) (↑α c)


Context:
R n : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
r : R

{ toFun := fun A => (of fun i j => fst (A i j), of fun i j => snd (A i j)), invFun := fun d => of fun i j => (fst d i j, snd d i j), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R (Matrix n n (DualNumber R))) r) = (algebraMap R (DualNumber (Matrix n n R))) r


(of fun i j => diagonal (fun m => r) i j, of fun i j => 0) = inl (diagonal fun m => r)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i : ι

e.f i = (dNext i) (h.hom + k.hom) + (prevD i) (h.hom + k.hom) + g.f i


(dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + ((dNext i) k.hom + (prevD i) k.hom + g.f i) = (dNext i) h.hom + (dNext i) k.hom + ((prevD i) h.hom + (prevD i) k.hom) + g.f i


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ

(μ.tilted f).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)


(fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x) =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx : μ.rnDeriv μ x = 1

ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: f g : β → α

Context: a✝ b : α

Context: s✝ : Finset β

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Context: ι : Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: t : ι → Set β

Context: a : ι → α

Context: hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)

Context: hf : ∀ i ∈ s, HasProd (f ∘ Subtype.val) (a i)

HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ i ∈ s, a i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: f g : β → α

Context: a✝ b : α

Context: s✝ : Finset β

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Context: ι : Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: t : ι → Set β

Context: a : ι → α

Context: hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)

Context: hf : ∀ i ∈ s, HasProd ((t i).mulIndicator f) (a i)

HasProd ((⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f) (∏ i ∈ s, a i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: f g : β → α

Context: a✝ b : α

Context: s✝ : Finset β

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Context: ι : Type u_5

Context: s : Finset ι

Context: t : ι → Set β

Context: a : ι → α

Context: hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)

HasProd (fun a => ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f a) (∏ i ∈ s, a i)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
n : ℕ
hn : n ≠ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂

dist t.orthocenter ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' ↑{i₁, i₂}))) (circumcenter t)) = circumradius t


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A

IsNilpotent (mulRight R a) ↔ IsNilpotent a


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b : lib R X
h : Rel R X a b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

{a} ○ {b} = if Disjoint a b then {a ⊔ b} else ∅


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
x y : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α

∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) univ ∂ν a = (κ a) univ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ (n + 1) = 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ n = 0 ∨ a = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

M.Coindep X ↔ (∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X) ∧ X ⊆ M.E


X ⊆ M.E → ((∃ B, M.Base B ∧ Disjoint X B) ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E ∧ Disjoint B X)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰

spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: inst✝ : IsFractionRing R₁ K

Context: I J : Ideal R₁

Context: x y : R₁

Context: hy : y ∈ R₁⁰

Context: this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: inst✝ : IsFractionRing R₁ K

Context: I J : Ideal R₁

Context: x y : R₁

Context: hy : y ∈ R₁⁰

Context: y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this

Context: coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: inst✝ : IsFractionRing R₁ K

Context: I J : Ideal R₁

Context: x y : R₁

Context: hy : y ∈ R₁⁰

spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ ↑y' * ↑(Ideal.span {x} * I) = ↑y' * ↑(Ideal.span {y} * J)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: N : ι → Submodule R M

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)

Context: b : (i : ι) → Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)) R ↥(N i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N i)

(trace R M) f = ∑ i : ι, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
a b c d : R
x : R × R

((toLin (Basis.finTwoProd R) (Basis.finTwoProd R)) !![a, b; c, d]) x = (a * x.1 + b * x.2, c * x.1 + d * x.2)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
X : Subobject B
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ mk g

ofMkLE f X h₁ ≫ X.ofLEMk g h₂ = ofMkLEMk f g ⋯


(underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso g).hom = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso g).hom


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : sup f = lsub f


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ

cgf (fun x => c) μ t = log (μ Set.univ).toReal + t * c


log ((μ Set.univ).toReal * rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c


log (μ Set.univ).toReal + log (rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: s : Finset S

Context: f : S → Tropical (WithTop R)

untrop (∑ i ∈ s, f i) = ⨅ i, untrop (f ↑i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : l ≤ 𝓟 S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : S ∈ l


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : S ∈ l

Context: hl_ne : l.NeBot

Context: hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : S ∈ l

Context: hl_ne : l.NeBot

Context: hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s

Context: t : Set α

Context: htS : t ⊆ S

Context: htl : t ∈ l

Context: htU : t ×ˢ t ⊆ U


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : S ∈ l

Context: hl_ne : l.NeBot

Context: hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s

Context: t : Set α

Context: htS : t ⊆ S

Context: htl : t ∈ l

Context: htU : t ×ˢ t ⊆ U

Context: i : ι

Context: hi : t ⊆ s i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: ι : Sort u_1

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: S : Set α := ⋃ i, s i

Context: l : Filter α

Context: hl : Cauchy l

Context: hls : S ∈ l

Context: hl_ne : l.NeBot

Context: hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s

Context: t : Set α

Context: htS : t ⊆ S

Context: htl : t ∈ l

Context: htU : t ×ˢ t ⊆ U

Context: i : ι

Context: hi : t ⊆ s i

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s i

Context: hlx : l ≤ 𝓝 x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.110262}
x : ↑(Iio o)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o a : Ordinal.{?u.110262}
property✝¹ : a ∈ Iio o
b : Ordinal.{?u.110262}
property✝ : b ∈ Iio o

{ toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨a, property✝¹⟩ ≤ { toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨b, property✝⟩ ↔ ⟨a, property✝¹⟩ ≤ ⟨b, property✝⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b✝ : α
a b : WithTop α


(∃ a_1, WithTop.toDual a = ↑(toDual a_1) ∧ WithTop.toDual b < ↑(toDual a_1)) ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x✝¹ : Finmap β
x✝ : α

lookup x✝ (keysLookupEquiv.symm (keysLookupEquiv x✝¹)) = (↑(keysLookupEquiv x✝¹)).2 x✝


Context:
α : Type u_1
L : List (List α)


Context:
α : Type u_1
L : List (List α)

L.sections = bif L.any isEmpty then [] else (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data


Context:
α : Type u_1
L : List (List α)
e : L.any isEmpty = false

L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

Context: IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data

((foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind fun s => map (fun a => a :: s) l) = (Array.foldl (fun acc' l' => foldl (fun acc' a => acc'.push (a :: l')) acc' l) #[] (foldr sectionsTR.go #[[]] L) 0).data


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

((foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind fun s => map (fun a => a :: s) l) = #[].data ++ (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind ?h.h.false.cons.G


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: L : List (List α)


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

∀ (acc : Array (List α)) (a : List α), (foldl (fun acc' a_1 => acc'.push (a_1 :: a)) acc l).data = acc.data ++ ?h.h.false.cons.G a


Context: α : Type u_1

Context: l : List α

Context: L : List (List α)

Context: acc✝ : Array (List α)

Context: a✝ : List α

(foldl (fun acc' a => acc'.push (a :: a✝)) acc✝ l).data = acc✝.data ++ map (fun a => a :: a✝) l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
sym : Symmetric r
h : Irreflexive r

∀ {z : Sym2 α}, z ∈ fromRel sym → ¬z.IsDiag


∀ (x y : α), s(x, y) ∈ fromRel sym → ¬s(x, y).IsDiag


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set (Subsemigroup M)

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : M


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : MonoidalFunctor V W
G : MonCat


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ : Finset α

Context: u✝ v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: u : α

Context: s : Finset α

filter (fun x => compress u u x ∈ s) s ∪ filter (fun x => x ∉ s) (image (compress u u) s) = s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s✝ : Finset α

Context: u✝ v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: u : α

Context: s : Finset α

filter (fun x => compress u u x ∈ s) s = s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s✝ : Finset α

Context: u✝ v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: u : α

Context: s : Finset α

filter (fun x => x ∉ s) (image (compress u u) s) = ∅


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₁ p₁'
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hp₁'p₂ : ¬p₁' = p₂

∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(Lp E p μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
m : M
a✝ : ι

((basisAux A b) (a ⊗ₜ[R] m)) a✝ = (a • Finsupp.mapRange ⇑(algebraMap R A) ⋯ (b.repr m)) a✝


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : LinearOrderedCommRing S

Context: n : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: A : ι → Matrix n n R

Context: abv : AbsoluteValue R S

Context: x : S

Context: hx : ∀ (k : ι) (i j : n), abv (A k i j) ≤ x

Context: i j : n

abv ((∑ k ∈ s, A k) i j) = abv (∑ k ∈ s, A k i j)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.111951, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.111955, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃

inr φ₁ ≫ map φ₁ φ₂ a b comm = b ≫ inr φ₂


(triangle φ₁).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a = map φ₁ φ₂ a b comm ≫ (triangle φ₂).mor₃


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: hf : Measurable f


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: hf : Measurable f

Measurable (uncurry fun x y => f (updateFinset x s y))


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: hf : Measurable f

Measurable fun a => updateFinset a.1 s a.2


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: hf : Measurable f

∀ (a : δ), Measurable fun x => updateFinset x.1 s x.2 a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
t : Set α
a b : α
s : Finset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((sum μ).withDensity f) s = (sum fun n => (μ n).withDensity f) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ


⇑(LinearEquiv.refl R (⨂[R]^i M)) = _root_.cast ⋯


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0


Context:
n i : Nat
h : i < (list n).length


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
x : FirstObj P S.arrows

((firstObjEqFamily P S.arrows).hom x).Compatible ↔ firstMap P S x = secondMap P S x


((firstObjEqFamily P S.arrows).hom x).SieveCompatible ↔ firstMap P S x = secondMap P S x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : Function.End α
h : LocallyLipschitz f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : Function.End α
h : LocallyLipschitz f
n : ℕ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
i : n

v ⬝ᵥ (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 = v i


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: x : β

Context: h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

limsup u f ≤ x ↔ ∀ y > x, ∀ᶠ (a : α) in f, u a < y


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: x : β

Context: h : ∀ y > x, ∀ᶠ (a : α) in f, u a < y


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : ℕ
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E p μ)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Sigma β)
l' : List (Sigma β)
hl : [] = l'

(foldr (fun x => kinsert x.fst x.snd) l' l).NodupKeys


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Sigma β)
l' : List (Sigma β)
hl : [] = l'
this : l'.NodupKeys


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: f : ↥(twoCocycles A)

Context: g : G

Context: this : ↑f (g * g⁻¹, g) + ↑f (g, g⁻¹) = (A.ρ g) (↑f (g⁻¹, g)) + ↑f (g, g⁻¹ * g)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: f : ↥(twoCocycles A)

Context: g : G

Context: this : ↑f (1, 1) + ↑f (g, g⁻¹) = (A.ρ g) (↑f (g⁻¹, g)) + ↑f (g, 1)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
r : R
f : R[X]
s : R


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: F : D ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝¹ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: hF : ∀ (j : D), Presheaf.IsSheaf J (F.obj j).presheaf

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape D AddCommGrp

Context: G : D ⥤ Sheaf J AddCommGrp := { obj := fun j => { val := (F.obj j).presheaf, cond := ⋯ }, map := fun {X Y} φ => { val := (toPresheaf R).map (F.map φ) }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
hI : I ⊆ M.E
hX : X ⊆ M.E

(M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X) ↔ M.Basis I X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: h : (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: I' : Set α

Context: hI' : M.Indep I'

Context: hII' : f '' I = f '' I'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: I' : Set α

Context: hI' : M.Indep I'

Context: hII' : I = I'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: hI' : M.Indep I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: hI' : M.Indep I

Context: hss : I ⊆ X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: hI' : M.Indep I

Context: hss : I ⊆ X

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: hI' : M.Indep I

Context: hss : I ⊆ X

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X

Context: hIJ' : f '' I = f '' J


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f✝ : α → β

Context: E I✝ s : Set α

Context: M : Matroid α

Context: N : Matroid β

Context: I X : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : InjOn f M.E

Context: hI : I ⊆ M.E

Context: hX : X ⊆ M.E

Context: hI' : M.Indep I

Context: hss : I ⊆ X

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Indep J

Context: hIJ : I ⊆ J

Context: hJX : J ⊆ X

Context: hIJ' : I = J


Context: a x✝ z x : ℂ

↑(abs x) * (cos ↑x.arg + sin ↑x.arg * I) = x


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (constantCoeff σ R) φ = ↑u


φ.invOfUnit u ∈ nonZeroDivisors (MvPowerSeries σ R)


(constantCoeff σ R) (φ.invOfUnit u) ∈ nonZeroDivisors R


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: h : ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L

Context: x : E

IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: hx : IsIntegral F x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: hx : IsIntegral F x

Context: x✝ : IsSeparable F x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: h✝ : ∀ (L : IntermediateField F E), FiniteDimensional F ↥L → IsPurelyInseparable F ↥L

Context: x : E

Context: hx : IsIntegral F x

Context: x✝ : IsSeparable F x

Context: y : F

Context: h : (algebraMap F ↥F⟮x⟯) y = AdjoinSimple.gen F x


Context:
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.IsIntegral
hg : g.IsIntegral


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'
S : Set β

UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), UniformEquicontinuousOn F S


UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S ↔ ∀ (k : κ), UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S


Tendsto (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2)) (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)) (𝓤 (ι →ᵤ α')) ↔ ∀ (k : κ), Tendsto (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2)) (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)) (𝓤 (ι →ᵤ α'))


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
k : K
x✝ : ?m.169717

(?m.169723.repr (fract (Basis.singleton ι K) k)) x✝ = (?m.169723.repr (Int.fract k)) x✝


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Group G
V : FDRep k G
g h : G

V.character (h * g * h⁻¹) = V.character g


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i✝ : ℕ
x✝ : Fin i✝ → M

(((toDirectSum.comp ofDirectSum).toLinearMap ∘ₗ DirectSum.lof R ℕ (fun i => ⨂[R]^i M) i✝).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) x✝ = (((AlgHom.id R (⨁ (n : ℕ), ⨂[R]^n M)).toLinearMap ∘ₗ DirectSum.lof R ℕ (fun i => ⨂[R]^i M) i✝).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) x✝


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: f : G →g G'

Context: hinj : Injective ⇑f

Context: u v : V

Context: p : G.Walk u v

Context: hp : p.IsPath

Context: p' : G.Walk u v

Context: hp' : p'.IsPath

Context: h : Path.map f hinj ⟨p, hp⟩ = Path.map f hinj ⟨p', hp'⟩


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
p' : G.Walk u v
hp' : p'.IsPath
h : Walk.map f p = Walk.map f p'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Stream' α


Stream'.map some (a :: s) = some a :: Stream'.map some s


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F

a ∈ closure s ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ s, ‖a / b‖ < ε


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M R
x y : M

(((associatedHom S) B.toQuadraticMap) x) y = ⅟2 • ((B x) y + (B y) x)


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hc : c ∈ Icc a b


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: this : f c ∈ f '' Icc a b


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : DenselyOrdered α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a b c : α

Context: h : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: this : f c ∈ Icc (sInf (f '' Icc a b)) (sSup (f '' Icc a b))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X

RTendsto' r l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.preimage s ∈ l


(∀ s ∈ 𝓝 x, r.preimage s ∈ l) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.preimage s ∈ l


∀ (s t : Set X), s ⊆ t → r.preimage s ⊆ r.preimage t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)

Tendsto F l (𝓝 f) ↔ ∀ (K : Set X), IsCompact K → Tendsto (fun i => restrict K (F i)) l (𝓝 (restrict K f))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

(∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p


Context: a✝ b m n p a : ℕ

Context: h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ 0 / p ^ (factorization 0) p


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: hb0 : b ≠ 0


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: pa : Prime a

Context: pb : Prime b


Context: a✝ b✝ m n p a b : ℕ

Context: hb0 : b ≠ 0

Context: pa : Prime a

Context: pb : Prime b

Context: hab : ¬a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t : ι → α

Context: ht✝ : Independent t

Context: ht : Independent (Subtype.val ∘ rangeFactorization t)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
s : Set X
x : X
hx : x ∈ closure s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : FrechetUrysohnSpace Y

Context: f : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: hx : ∃ x_1, (∀ (n : ℕ), x_1 n ∈ f '' s) ∧ Tendsto x_1 atTop (𝓝 (f x))


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
i : J

{ obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map (𝟙 i) = 𝟙 ({ obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.obj i)


(fun x => ⟨𝟙 (F.obj i) ↑x, ⋯⟩) = 𝟙 ↑(F.eventualRange i)


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝) = { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map x✝


(fun x => ⟨(F.map x✝¹ ≫ F.map x✝) ↑x, ⋯⟩) = (fun x => ⟨F.map x✝¹ ↑x, ⋯⟩) ≫ fun x => ⟨F.map x✝ ↑x, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a✝ : α

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → ℕ

Context: a : β

Context: x✝³ : ι

Context: x✝² : Finset ι

Context: x✝¹ : x✝³ ∉ x✝²

Context: x✝ : ∏ i ∈ x✝², a ^ f i = a ^ ∑ i ∈ x✝², f i

∏ i ∈ cons x✝³ x✝² x✝¹, a ^ f i = a ^ ∑ i ∈ cons x✝³ x✝² x✝¹, f i


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
H : ∀ (x : α), x ∉ Quot.mk Setoid.r l


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x y : ring.Term α
v : α → R

Term.realize v (x + y) = Term.realize v x + Term.realize v y


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : orderOf x = 0
n m : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S✝ T : α → α → Prop

Context: a : α

Context: l✝ l : List α

Context: hl : Pairwise R l

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x

Context: S : β → β → Prop

Context: hS : ∀ ⦃x : α⦄ (hx : p x) ⦃y : α⦄ (hy : p y), R x y → S (f x hx) (f y hy)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R S✝ T : α → α → Prop

Context: a : α

Context: l✝ l : List α

Context: hl : Pairwise R l

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x

Context: S : β → β → Prop

∀ {a b : α}, a ∈ l → b ∈ l → R a b → ∀ (h₁ : p a) (h₂ : p b), S (f a h₁) (f b h₂)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S✝ : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
S : Submonoid M


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ

HasProd (fun n => f (n + k)) g ↔ HasProd f (g * ∏ i ∈ range k, f i)


HasProd (fun n => f (n + k)) g ↔ HasProd (fun x => f ↑x) g


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ

map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod (ν + ρ)) = map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ν) + map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ρ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α

s ∩ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ∩ t i j


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i : Fin n
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α

append as (snoc bs b) = snoc (append as bs) b


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
i : Fin (n + (m + 1))

append as (snoc bs b) i = snoc (append as bs) b i


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
i : ℕ
isLt : i < n + (m + 1)

append as (snoc bs b) ⟨i, isLt⟩ = snoc (append as bs) b ⟨i, isLt⟩


(if h : i < n then as ⟨i, ⋯⟩ else if h_1 : i - n < m then bs ⟨i - n, ⋯⟩ else b) = if h : i < n + m then if h_1 : i < n then as ⟨i, ⋯⟩ else bs ⟨i - n, ⋯⟩ else b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Integrable (fun x => κ.density ν a x s) (ν a)


Memℒp (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a)


eLpNorm (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a) < ⊤


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
c : ℂ
f : ℂ → F
R : ℝ≥0
hR : 0 < ↑R
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c ↑R)

deriv f c = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - c) ^ (-2) • f z


((cauchyPowerSeries f c (↑R) 1) fun x => 1) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - c) ^ (-2) • f z


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ C₃ : ℝ
h : C₃ = C₂ * C₁
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: h : t ∈ 𝓝 x

ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

(map W' f).toJacobian.polynomialY = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialY


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {ζ}


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ (cyclotomic (↑n) A).rootSet B


Context:
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ {ζ}


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n


Context: b : ℕ


Context: b n : ℕ


Context:
b n : ℕ
hb : b ≤ 1


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Finite m
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : DecidableEq M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₂
k : m
i : n

(toMatrix v₁.reindexRange v₂.reindexRange) f ⟨v₂ k, ⋯⟩ ⟨v₁ i, ⋯⟩ = (toMatrix v₁ v₂) f k i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


((a ⊔ b) ⊓ b ⇨ a) ⊓ ((a ⊔ b) ⊓ a ⇨ b) = a ⇔ b


Context:
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y


Context:
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h


∀ (y_1 : X), (fun x => f x = y) y_1 → y_1 = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') PUnit.unit


Context:
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
x' : X
hx' : f x' = y

(fun x => x') = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy')


(fun x => x') ≫ (Fork.ofι f w).ι = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') ≫ (Fork.ofι f w).ι


((fun x => x') ≫ (Fork.ofι f w).ι) PUnit.unit = (↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') ≫ (Fork.ofι f w).ι) PUnit.unit


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
h : i ≠ j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α

(Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : b - c + c < b


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryBiproducts C
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : PreservesBinaryBiproducts F
X Y : C
f g : X ⟶ Y


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f g : α → β
m m' : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : StronglyMeasurable f
h_mono : m' ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f g : α → β

Context: m m' : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: h_mono : m' ≤ m

Context: f_approx : ℕ → α →ₛ β := fun n => { toFun := ↑(hf.approx n), measurableSet_fiber' := ⋯, finite_range' := ⋯ }


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α

(fun x => a * x) '' t = (fun x => a⁻¹ * x) ⁻¹' t


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : MulAction A M

Context: inst✝ : SMul R M

Context: h : ∀ (r : R) (x : M), (algebraMap R A) r • x = r • x

Context: r : R

Context: a : A

Context: x : M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'

Submonoid.map (RingEquiv.refl R).toMonoidHom S = S


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
x : E

fderiv 𝕜 (⇑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L) ∘ f) x = (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderiv 𝕜 f x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0

ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ μ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1
h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0
H : Integrable f μ
g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0
g_int : Integrable g μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: f✝ : X → ℝ

Context: s✝ : Set X

Context: f : X → ℝ

Context: s : Set X

Context: hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1

Context: h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0

Context: H : Integrable f μ

Context: g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0

Context: g_int : Integrable g μ

Context: this : ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), g x ∂μ)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: f✝ : X → ℝ

Context: s✝ : Set X

Context: f : X → ℝ

Context: s : Set X

Context: hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1

Context: h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0

Context: H : Integrable f μ

Context: g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0

Context: g_int : Integrable g μ

ENNReal.ofReal (∫ (x : X), g x ∂μ) ≤ μ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: f✝ : X → ℝ

Context: s✝ : Set X

Context: f : X → ℝ

Context: s : Set X

Context: hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1

Context: h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0

Context: H : Integrable f μ

Context: g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0

Context: g_int : Integrable g μ

∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal (g x) ∂μ ≤ μ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: f✝ : X → ℝ

Context: s✝ : Set X

Context: f : X → ℝ

Context: s : Set X

Context: hs : ∀ x ∈ s, f x ≤ 1

Context: h's : ∀ x ∈ sᶜ, f x ≤ 0

Context: H : Integrable f μ

Context: g : X → ℝ := fun x => max (f x) 0

Context: g_int : Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝ : Fintype V
v : V


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
h : F.eventualRange k = range (F.map g)

F.eventualRange k = range (F.map (f ≫ g))


F.eventualRange k ⊆ range (F.map (f ≫ g))


range (F.map (f ≫ g)) ⊆ F.eventualRange k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : LinearOrderedField k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop

f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : LinearOrderedField k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop

∀ {a : R}, a ≠ 0 → f (C a * X).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) (C a * X))) l atTop


∀ {p : R[X]}, 0 < p.degree → (f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop) → f (p * X).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) (p * X))) l atTop


∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → (f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop) → f (p + C a).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x => abv (eval₂ f (z x) (p + C a))) l atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

↑↑((condexpInd G hm μ s) x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)


↑↑((condexpInd G hm μ s) x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: r : R


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y


Continuous (Function.uncurry fun x y => x.uncurry y)


Continuous ((Function.uncurry fun x y => x.uncurry y) ∘ ⇑(Homeomorph.prodAssoc C(X, C(Y, Z)) X Y))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ a b : α

a ⊓ b ⊓ ￢(a ⊓ b) = a ⊓ ￢a ⊓ b ⊔ a ⊓ (b ⊓ ￢b)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N P Q : Bimod Y Z

Context: f : N ⟶ P

Context: g : P ⟶ Q

(M.whiskerLeft (f ≫ g)).hom = (M.whiskerLeft f ≫ M.whiskerLeft g).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N P Q : Bimod Y Z

Context: f : N ⟶ P

Context: g : P ⟶ Q

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft (f ≫ g)).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft f ≫ M.whiskerLeft g).hom


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
hab : b < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
i : ι
a✝ : i ∈ {i | t i ≠ ⊥}
j : ι
hj : t j ≠ ⊥
h : t i = t j
contra : j ≠ i


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
s : Finset L
this : DecidableEq L

∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, IsIntegral A (y • x)


∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ ∅, IsIntegral A (y • x)


∀ ⦃a : L⦄ {s : Finset L}, a ∉ s → (∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, IsIntegral A (y • x)) → ∃ y, y ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ insert a s, IsIntegral A (y • x)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
h₁ : s ≤ u
h₂ : t ≤ u


Context:
α : Type u_1
I : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DivisionRing k

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module k V

Context: inst✝² : AffineSpace V P

Context: inst✝¹ : DecidableEq P

Context: p : ι → P

Context: hi : AffineIndependent k p

Context: s : Finset ι

Context: sp : AffineSubspace k P

Context: inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction

Context: hle : affineSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sp

Context: hc : s.card = finrank k ↥sp.direction + 1


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DivisionRing k

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module k V

Context: inst✝² : AffineSpace V P

Context: inst✝¹ : DecidableEq P

Context: p : ι → P

Context: hi : AffineIndependent k p

Context: s : Finset ι

Context: sp : AffineSubspace k P

Context: hn : s.Nonempty


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DivisionRing k

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module k V

Context: inst✝² : AffineSpace V P

Context: inst✝¹ : DecidableEq P

Context: p : ι → P

Context: hi : AffineIndependent k p

Context: s : Finset ι

Context: sp : AffineSubspace k P

Context: hn : s.Nonempty

(affineSpan k ↑(Finset.image p s)).direction = sp.direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DivisionRing k

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module k V

Context: inst✝² : AffineSpace V P

Context: inst✝¹ : DecidableEq P

Context: p : ι → P

Context: hi : AffineIndependent k p

Context: s : Finset ι

Context: sp : AffineSubspace k P

Context: hn : s.Nonempty

Context: hd : (affineSpan k ↑(Finset.image p s)).direction ≤ sp.direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DivisionRing k

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module k V

Context: inst✝² : AffineSpace V P

Context: inst✝¹ : DecidableEq P

Context: p : ι → P

Context: hi : AffineIndependent k p

Context: s : Finset ι

Context: sp : AffineSubspace k P

Context: hn : s.Nonempty

Context: hd : vectorSpan k ↑(Finset.image p s) ≤ sp.direction

vectorSpan k ↑(Finset.image p s) = sp.direction


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)

HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • fourier i) f


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : C(AddCircle T, ℂ)

Context: h : Summable (fourierCoeff ⇑f)

Context: sum_L2 : HasSum (fun i => fourierCoeff (↑↑((toLp 2 haarAddCircle ℂ) f)) i • fourierLp 2 i) ((toLp 2 haarAddCircle ℂ) f)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : C(AddCircle T, ℂ)

Context: h : Summable (fourierCoeff ⇑f)

Context: sum_L2 : HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • fourierLp 2 i) ((toLp 2 haarAddCircle ℂ) f)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : C(AddCircle T, ℂ)

Context: h : Summable (fourierCoeff ⇑f)

Summable fun a => ‖fourierCoeff (⇑f) a • fourier a‖


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: f : C(AddCircle T, ℂ)

Context: h : Summable (fourierCoeff ⇑f)


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
s✝ t : Set A
inst✝ : DecidableEq A
α : Type u_1
s : Finset α
f : { x // x ∈ s } → Finset A

adjoin R ↑(s.attach.biUnion f) = ⨆ x, adjoin R ↑(f x)


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
x✝ : Box ι

x✝ ∈ π ∧ x ∈ x✝ ↔ ∃ (_ : x✝ ∈ π.toPrepartition), x ∈ ↑x✝


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R

truncateFun n (x - y) = truncateFun n x - truncateFun n y


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N✝ : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N✝
N : Type u_4
inst✝ : Monoid N
f : (i : ι) → M i →* N

MonoidHom.mrange (lift f) = ⨆ i, MonoidHom.mrange (f i)


⨆ i, Submonoid.closure (range fun b => (f ⟨i, b⟩.fst) ⟨i, b⟩.snd) = ⨆ i, MonoidHom.mrange (f i)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: n : ℕ

Context: R : L.Relations n

Context: x : Fin n → Σˣ f

Context: i j : ι

Context: hi : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))

Context: hj : j ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : j ≤ k

RelMap R (unify f x i hi) = RelMap R (unify f x j hj)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

(p • 1 + q • (mk W) Y) * (mk W) Y = (q * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) • 1 + (p - q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)) • (mk W) Y


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: p q : R[X]

Context: Y_sq : (mk W) Y ^ 2 = (mk W) (C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: p q : R[X]


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1

Context: r : R

Context: n : ℕ

(lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

Context: hk : ∀ n_1 ≥ k, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n_1)‖ < ↑p ^ (-↑n)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

Context: this : ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k))‖ ≤ ↑p ^ (-↑n)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

Context: this : limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k)) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

limNthHom f_compat r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

↑(nthHom f r (max n k)) - ↑((f n) r).val + (limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r (max n k))) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

↑(nthHom f r (max n k)) - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

↑p ^ n ∣ ↑(nthHom f r (max n k)) - ↑((f n) r).val


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

↑p ^ n = (Int.castRingHom ℤ_[p]) (↑p ^ n)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: n k : ℕ

↑(nthHom f r (max n k)) - ↑((f n) r).val = (Int.castRingHom ℤ_[p]) (nthHom f r (max n k) - nthHom f r n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: h : ∀ (i : (Quotient.out o).α), o.familyOfBFamily f i ≤ a

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) ≤ a


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜


Context:
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
inst✝ : Infinite R


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

Context: homeo : ↑C.pt ≃ₜ ↑(limitConeInfi F).pt := homeoOfIso (hC.conePointUniqueUpToIso (limitConeInfiIsLimit F))

C.pt.str = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

induced (⇑homeo) (limitConeInfi F).pt.topologicalSpace_coe = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

induced (⇑homeo) (⨅ j, induced ((Types.limitCone (F ⋙ forget TopCat)).π.app j) (F.obj j).str) = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: C : Cone F

Context: hC : IsLimit C

⨅ i, induced ((Types.limitCone (F ⋙ forget TopCat)).π.app i ∘ ⇑homeo) (F.obj i).str = ⨅ j, induced (⇑(C.π.app j)) (F.obj j).str


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)


(ι →₀ R) →ₗ[R] ↑w →₀ R


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : n → α

‖row ι v‖₊ = ‖v‖₊


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
φ : (single₀ V).obj X ⟶ C


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : { f // f ≫ C.d 0 1 = 0 }
i : ℕ
hi : (ComplexShape.up ℕ).Rel 0 i


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : CochainComplex V ℕ
X : V
f : { f // f ≫ C.d 0 1 = 0 }
hi : (ComplexShape.up ℕ).Rel 0 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s
this : s = {p}


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
p : P
h₂ : univ.Subsingleton
hp : p ∈ s
this : s = {p}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hs : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hs : s.Infinite


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : CommSemiring A

Context: inst✝⁴ : CommSemiring B

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R A B

Context: x : σ → A

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: h : Function.Injective ⇑(algebraMap A B)

(aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = 0 ↔ (aeval x) p = 0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 ≤ x
hx1 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
hyz : z ≤ y


Context:
y z : ℝ
n : ℕ
hz : 0 ≤ z
hyz : z ≤ y
hx0 : 0 ≤ 0
hx1 : 0 ≤ 1


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 ≤ x
hx1 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z
hyz : z ≤ y
hx0' : 0 < x


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α₁ : Sort u_1
β₁ : Sort u_2
γ₁ : Sort u_3
α₂ : Sort u_4
β₂ : Sort u_5
γ₂ : Sort u_6
ea : α₁ ≃ α₂
eb : β₁ ≃ β₂
ec : γ₁ ≃ γ₂
f : α₁ → β₁
g : β₁ → γ₁
x✝ : α₂

(ea.arrowCongr ec) (g ∘ f) x✝ = ((eb.arrowCongr ec) g ∘ (ea.arrowCongr eb) f) x✝


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
x y : M

Pi.prod (⇑f) (⇑g) (x + y) = Pi.prod (⇑f) (⇑g) x + Pi.prod (⇑f) (⇑g) y


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
c : R
x : M

{ toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_add' := ⋯ }.toFun (c • x) = (RingHom.id R) c • { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring α
x : ↑(Icc 0 1)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

(homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h = (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app (mappingCone S.f) ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app S.X₁


(homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁ = HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁)


yoneda.map ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁) = yoneda.map (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: x : A ⟶ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₀).obj (mappingCone S.f)

(yoneda.map ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ (Triangle.mk ((quotient C (up ℤ)).map S.f) ((quotient C (up ℤ)).map (inr S.f)) ((quotient C (up ℤ)).map (triangle S.f).mor₃ ≫ ((quotient C (up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app S.X₁)) n₀ n₁ h ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁)).app (Opposite.op A) x = (yoneda.map (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁))).app (Opposite.op A) x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

x ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).inv.app (mappingCone S.f) ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app (mappingCone S.f) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app S.X₁ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).hom.app S.X₁ = x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h ≫ 𝟙 (S.X₁.homology n₁)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

x ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ 𝟙 ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) n₁).obj S.X₁) = x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

x ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = x ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

(mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (x' ≫ (descShortComplex S).f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: a : A' ⟶ S.X₁.X n₁

Context: b : A' ⟶ S.X₂.X n₀

Context: hab : x' = a ≫ (inl S.f).v n₁ n₀ ⋯ + b ≫ (inr S.f).f n₀


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: hx' : π ≫ x = (mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀

Context: a : A' ⟶ S.X₁.X n₁

Context: b : A' ⟶ S.X₂.X n₀

Context: w : a ≫ S.X₁.d n₁ (n₁ + 1) = 0 ∧ a ≫ S.f.f n₁ + b ≫ S.X₂.d n₀ n₁ = 0

(mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (x' ≫ (descShortComplex S).f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: a : A' ⟶ S.X₁.X n₁

Context: b : A' ⟶ S.X₂.X n₀

(mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = HomologicalComplex.liftCycles S.X₃ (b ≫ S.g.f n₀) n₁ ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₃ n₀ ≫ hS.δ n₀ n₁ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: a : A' ⟶ S.X₁.X n₁

Context: b : A' ⟶ S.X₂.X n₀

(mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap (triangle S.f).mor₃ n₀ n₁ ⋯ = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: a : A' ⟶ S.X₁.X n₁

Context: b : A' ⟶ S.X₂.X n₀

(mappingCone S.f).liftCycles x' n₁ ⋯ w✝ ≫ (mappingCone S.f).homologyπ n₀ ≫ HomologicalComplex.homologyMap (triangle S.f).mor₃ n₀ ≫ ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso 1 n₀ n₁ ⋯).hom.app S.X₁ = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: a : A' ⟶ S.X₁.X n₁

Context: b : A' ⟶ S.X₂.X n₀

HomologicalComplex.liftCycles S.X₁ ((x' ≫ (triangle S.f).mor₃.f n₀) ≫ (S.X₁.shiftFunctorObjXIso 1 n₀ n₁ ⋯).hom) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₁ n₁ ≫ 𝟙 (((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shift n₁).obj S.X₁) = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: hS : S.ShortExact

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: A : C

Context: A' : C

Context: π : A' ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π

Context: x' : A' ⟶ (mappingCone S.f).X n₀

Context: w✝ : x' ≫ (mappingCone S.f).d n₀ n₁ = 0

Context: a : A' ⟶ S.X₁.X n₁

Context: b : A' ⟶ S.X₂.X n₀

HomologicalComplex.liftCycles S.X₁ ((x' ≫ (triangle S.f).mor₃.f n₀) ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq S.X₁ ⋯).hom) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ HomologicalComplex.homologyπ S.X₁ n₁ ≫ 𝟙 (HomologicalComplex.homology S.X₁ n₁) = S.X₁.liftCycles (-a) (n₁ + 1) ⋯ ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ n₁


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: i j : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: hj : j < o

Context: hij : i ≤ j


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: i j : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o

Context: hj : j < o

Context: hij✝ : i ≤ j

Context: hij : i < j