Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: f✝ g : Filter α

Context: s✝ t : Set α

Context: ι : Type w

Context: f : ι → Set α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: a✝ : i ∉ s

Context: hs : ⨅ i ∈ s, 𝓟 (f i) = 𝓟 (⋂ i ∈ s, f i)

⨅ i_1 ∈ insert i s, 𝓟 (f i_1) = 𝓟 (⋂ i_1 ∈ insert i s, f i_1)


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y : α

limit (pair x y) = Finset.univ.inf (pair x y).obj


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Basis I X
hJI : J ⊆ I
hJ : X ⊆ M.closure J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop

SuperpolynomialDecay l k (f * k) ↔ SuperpolynomialDecay l k f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β

Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[<] a) l


Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Lattice α

Context: h : ∀ (x y z : α), x ⊓ z ⊔ y ⊓ z = (x ⊓ z ⊔ y) ⊓ z

Context: x✝ y z : α

Context: xz : x✝ ≤ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n : ℤ
a : G

a ^ (Int.negSucc 0 + 1) = a ^ Int.negSucc 0 * a


a ^ (Int.negSucc (n + 1) + 1) = a ^ Int.negSucc (n + 1) * a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → E
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ

∑' (g : G), ∫ (x : α) in g • s, f x ∂μ.restrict t = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in t ∩ g • s, f x ∂μ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: inj : ∀ (X : C), Function.Injective ⇑((J.toPlus P).app (op X))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: he2 : ∀ (I : B.Arrow), S.sieve.arrows (e2 I)

Context: h✝ : ∀ (I : B.Arrow), (fun Y f h => ((fun Y f hf => (T { Y := Y, f := f, hf := hf }).sieve) Y f h).arrows) (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: w : Meq P B := meqOfSep P hsep X S s T t ht


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

((J.plusObj P).map I.f.op) (mk w) = ↑s I


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

∀ (I_1 : (T I).Arrow), ((J.plusObj P).map I_1.f.op) (mk (w.pullback I.f)) = ((J.plusObj P).map I_1.f.op) (mk (t I))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

((J.plusObj P).map II.f.op) (mk (w.pullback I.f)) = ((J.plusObj P).map II.f.op) (mk (t I))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

∃ W h1 h2, ((w.pullback I.f).pullback II.f).refine h1 = ((t I).pullback II.f).refine h2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

∃ h1 h2, ((w.pullback I.f).pullback II.f).refine h1 = ((t I).pullback II.f).refine h2


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: e0 : (J.pullback II.f).obj (T I) ⟶ (J.pullback II.f).obj ((J.pullback I.f).obj B) := homOfLE ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

((w.pullback I.f).pullback II.f).refine e0 = ((t I).pullback II.f).refine (𝟙 ((J.pullback II.f).obj (T I)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: IV : ((J.pullback II.f).obj (T I)).Arrow

↑(((w.pullback I.f).pullback II.f).refine e0) IV = ↑(((t I).pullback II.f).refine (𝟙 ((J.pullback II.f).obj (T I)))) IV


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: IA : B.Arrow := { Y := IV.Y, f := (IV.f ≫ II.f) ≫ I.f, hf := ⋯ }


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: IB : S.Arrow := IA.fromMiddle

Context: IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: IB : S.Arrow := IA.fromMiddle

Context: IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle

Context: ID : (T I).Arrow := { Y := IV.Y, f := IV.f ≫ II.f, hf := ⋯ }


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: IB : S.Arrow := IA.fromMiddle

Context: IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle

((J.toPlus P).app (op IV.Y)) (↑(t IB) IC) = ((J.toPlus P).app (op IV.Y)) (↑(t I) ID)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: IB : S.Arrow := IA.fromMiddle

Context: IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle

((J.plusObj P).map IC.f.op) (↑s IB) = ((J.plusObj P).map ID.f.op) (↑s I)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: inst✝³ : PreservesLimits (forget D)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Context: s : Meq (J.plusObj P) S

Context: T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y

Context: t : (I : S.Arrow) → Meq P (T I)

Context: ht : ∀ (I : S.Arrow), ↑s I = mk (t I)

Context: B : J.Cover X := S.bind T

Context: Z : B.Arrow → C

Context: e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I

Context: e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X

Context: a✝ : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f

Context: I : S.Arrow

Context: II : (T I).Arrow

Context: IB : S.Arrow := IA.fromMiddle

Context: IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle

Context: IR : S.Relation := { fst := { Y := IB.Y, f := IB.f, hf := ⋯ }, snd := { Y := I.Y, f := I.f, hf := ⋯ }, r := { Z := IA.Y, g₁ := IA.toMiddleHom, g₂ := IV.f ≫ II.f, w := ⋯ } }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
s₁ s₂ : Finset α
h : s₁ ⊆ s₂


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
s : Stream'.Seq (Pair K)
terminatedAt_n : s.get? n = none


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
δ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology δ
f : α ↪ δ
h : δ →ᵇ β
g₁ g₂ : α →ᵇ β

dist (extend f g₁ h) (extend f g₂ h) = dist g₁ g₂


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

h₁.homologyIso.hom ≫ rightHomologyMap' φ h₁ h₂ = homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N i : ℕ
h : N < i


Context: J : Type u

Context: inst✝⁴ : SmallCategory J

Context: F✝ : J ⥤ TopCat

Context: F : J ⥤ TopCat

Context: inst✝³ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: inst✝² : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F.obj j)

Context: inst✝¹ : ∀ (j : J), CompactSpace ↑(F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : J), T2Space ↑(F.obj j)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : 2 ≤ n
h : m ≤ m / n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x


sInf {a | μ {x | a < f x} = 0} ≤ sInf {a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0}


{a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0} ⊆ {a | μ {x | a < f x} = 0}


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : μ ({x | a < f x} ∩ s) = 0


∀ (g : G), g • {x | a < f x} = {x | a < f x}


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (γ : G) (x : α), f (γ • x) = f x
a : ℝ≥0∞
ha : μ ({x | a < f x} ∩ s) = 0
γ : G
x : α

x ∈ γ • {x | a < f x} ↔ x ∈ {x | a < f x}


γ⁻¹ • x ∈ {x | a < f x} ↔ x ∈ {x | a < f x}


Context:
n a p k : ℕ
pp : Prime p
h₁ : ¬a ∣ p ^ k
h₂ : a ∣ p ^ (k + 1)


Context:
n p k : ℕ
pp : Prime p
l : ℕ
h : l ≤ k + 1
h₁ : ¬p ^ l ∣ p ^ k
h₂ : p ^ l ∣ p ^ (k + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p q : α × β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝

(s ∪ t).chainHeight = s.chainHeight + ↑a✝


(s ∪ t).chainHeight ≤ s.chainHeight + ↑a✝


s.chainHeight + ↑a✝ ≤ (s ∪ t).chainHeight


∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ (s ∪ t).subchain, l.length + a✝ ≤ l'.length + 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
a✝ : ℕ
h : t.chainHeight = ↑a✝
l : List α
hl : l ∈ s.subchain

∃ l' ∈ (s ∪ t).subchain, l.length + a✝ ≤ l'.length + 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
l : List α
hl : l ∈ s.subchain
l' : List α
hl' : l' ∈ t.subchain
h : t.chainHeight = ↑l'.length

∃ l'_1 ∈ (s ∪ t).subchain, l.length + l'.length ≤ l'_1.length + 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
l : List α
hl : l ∈ s.subchain
l' : List α
hl' : l' ∈ t.subchain
h : t.chainHeight = ↑l'.length
x : α
hx : x ∈ l.getLast?
y : α
hy : y ∈ l'.head?


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a < b
l : List α
hl : l ∈ s.subchain
l' : List α
hl' : l' ∈ t.subchain
h : t.chainHeight = ↑l'.length
i : α
hi : i ∈ l ++ l'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
x✝ : Option α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : Mul α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
x : R
v w : m → α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β✝
β : Type u_6
i : Finset β
f : β → Multiset α
a : Multiset α

a.Disjoint (i.sum f) ↔ ∀ b ∈ i, a.Disjoint (f b)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
b : β
x y : α

edist ((fun x => b) x) ((fun x => b) y) ≤ ↑0 * edist x y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
hfc : Continuous f
s : Set Y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
ι : Type u_3
s : Finset ι
I : ι → FractionalIdeal R⁰ K
hS : ∀ i ∈ s, I i ≠ 0

count K v (∏ i ∈ s, I i) = ∑ i ∈ s, count K v (I i)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
ι : Type u_3
I : ι → FractionalIdeal R⁰ K
hS : ∀ i ∈ ∅, I i ≠ 0

count K v (∏ i ∈ ∅, I i) = ∑ i ∈ ∅, count K v (I i)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: ι : Type u_3

Context: I : ι → FractionalIdeal R⁰ K

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: hrec : (∀ i ∈ s, I i ≠ 0) → count K v (∏ i ∈ s, I i) = ∑ i ∈ s, count K v (I i)

Context: hS : ∀ i_1 ∈ insert i s, I i_1 ≠ 0

count K v (∏ i ∈ insert i s, I i) = ∑ i ∈ insert i s, count K v (I i)


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a b : G


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a b x✝ : G


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : ↑n ≠ -1


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ * A = 1
right✝ : A * A⁻¹ = 1


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ = 0


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Fintype Mˣ
χ : MulChar M R
a✝ : Mˣ


Context: a c : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: c : Set (Set E)

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c

Context: hc : ∀ ⦃A : Set E⦄, A ∈ c → Convex 𝕜 A


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: c : Set (Set E)

Context: hc : ∀ ⦃A : Set E⦄, A ∈ c → Convex 𝕜 A


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : NormalSpace α

Context: inst✝¹⁰ : R1Space α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℝ 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : NormalSpace α

Context: inst✝¹⁰ : R1Space α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℝ 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

range ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) ⊆ range ⇑(toLp p μ 𝕜)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : NormalSpace α

Context: inst✝¹⁰ : R1Space α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℝ 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompactSpace α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜) f ∈ range ⇑(toLp p μ 𝕜)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i

(affineCombination k s p₁) w₁ = (affineCombination k s p₂) w₂


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
J : Finset ι
f : (i : ι) → α i

f ∈ cylinder I S ↔ f ∈ cylinder (I ∪ J) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : NonAssocSemiring S
inst✝² : NonAssocSemiring R'
inst✝¹ : NonAssocSemiring S'
inst✝ : Subsingleton S
fst✝ : R
snd✝ : S

(fun x => (x, 0)) (fst✝, snd✝).1 = (fst✝, snd✝)


Context: z : ℍ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : BijOn f s ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: neg : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s), p x hx → p (-x) ⋯

Context: mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s

∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x + y ∈ closure s), p (x + y) x_1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Ring T

Context: s : Set R

Context: p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: a : R

Context: ha : a ∈ closure s

∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x * y ∈ closure s), p (x * y) x_1


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2

(quadraticChar F) (-2) = χ₈' ↑(Fintype.card F)


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ

(if a = true then 2 * x + 1 else 2 * x) % 2 = if a = true then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x y : FreeAlgebra R M
h : Rel R M x y

((FreeAlgebra.lift R) ⇑f) x = ((FreeAlgebra.lift R) ⇑f) y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A

(fun F => F.toLinearMap ∘ₗ ι R) ((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) f) = f


(fun F => F.toLinearMap ∘ₗ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) f) = f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x : M

((fun F => F.toLinearMap ∘ₗ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) f)) x = f x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
x : M

(⇑(((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) ((fun F => F.toLinearMap ∘ₗ ι R) F)).comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x = (⇑(F.comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x


(⇑(((⇑(RingQuot.liftAlgHom R) ∘ fun f => ⟨(FreeAlgebra.lift R) ⇑f, ⋯⟩) ((fun F => F.toLinearMap ∘ₗ { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) F)).comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x = (⇑(F.comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : ¬1 = 0
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
A : Matrix m n α

‖fun i => (WithLp.equiv 1 (n → α)).symm (A i)‖ = ↑(Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖A i j‖₊)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

(Matrix.fromBlocks A B Bᴴ D).IsHermitian ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
hBAB : (Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian


A.IsHermitian ∧ Bᴴ = Bᴴ ∧ Bᴴᴴ = B ∧ D.IsHermitian ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: R' : Type v

Context: inst✝ : CommMonoid R'

Context: ψ : AddChar R R'

Context: hψ : ψ.IsPrimitive

Context: a b : R

Context: h : ψ.mulShift a * ψ.mulShift (-b) = ψ.mulShift b * ψ.mulShift (-b)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
R' : Type v
inst✝ : CommMonoid R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
a b : R
h : ψ.mulShift (a + -b) = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m

IsLocalization ((toSpec 𝒜 f).val.base x).asIdeal.primeCompl (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : ↥(pbo f)

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: this : Algebra (A⁰_ f) (AtPrime 𝒜 (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal) := (mapId 𝒜 ⋯).toAlgebra


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
h₀ : ¬R = 0

CircleIntegrable f c R ↔ IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) volume 0 (2 * π)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h₀ : ¬R = 0

Context: h : IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) volume 0 (2 * π)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h₀ : ¬R = 0

Context: h : IntegrableOn (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume

IntegrableOn (fun θ => f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h₀ : ¬R = 0

AEStronglyMeasurable (fun θ => f (circleMap c R θ)) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: h₀ : ¬R = 0

∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ι 0 (2 * π)), ‖f (circleMap c R a)‖ ≤ |R|⁻¹ * ‖(circleMap 0 R a * I) • f (circleMap c R a)‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d < b


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s

LSeries (f - g) s = LSeries f s - LSeries g s


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h : 0 < f x

HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) s x


f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x) = ((g x * f x ^ (g x - 1)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 f' + (f x ^ g x * Real.log (f x)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 g') 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

Context: hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p μ

↑(toSimpleFunc (toLp f hfi)) =ᶠ[ae μ] ↑f


AEEqFun.mk ↑(toSimpleFunc (toLp f hfi)) ?m.235803 = AEEqFun.mk ↑f ?m.235804


AEStronglyMeasurable (↑(toSimpleFunc (toLp f hfi))) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
h : a < b


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: r : R → R → Prop

Context: inst✝ : StarRing R

Context: hr : ∀ (a b : R), r a b → r (Star.star a) (Star.star b)

Context: a b : R

Context: h : Rel r a b


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ

ContinuousOn (fun w => (circleMap z R w.2 - w.1)⁻¹ ^ 2) (closedBall z r ×ˢ univ)


ContinuousOn (fun w => (1 / (circleMap z R w.2 - w.1)) ^ 2) (closedBall z r ×ˢ univ)


ContinuousOn (fun x => circleMap z R x.2 - x.1) (closedBall z r ×ˢ univ)


∀ x ∈ closedBall z r ×ˢ univ, circleMap z R x.2 - x.1 ≠ 0


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R

M * (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) (B ∘ₗ toLin' Mᵀ)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
p : β → Prop
μ : Measure α

(∀ᵐ (x : β) ∂Measure.map f μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).support = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support


(match { toFinsupp := -toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support) = match { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
h : x ∈ a • S


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
h : a⁻¹ • x ∈ S


Context:
n : ℤ
z τ : ℂ

‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ = rexp (-π * ↑n ^ 2 * τ.im - 2 * π * ↑n * z.im)


Context:
n : ℤ
z τ : ℂ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: this✝ : (f * g - 0).LimZero

Context: hlz : (f * g).LimZero

Context: hf' : ¬f.LimZero

Context: hg' : ¬g.LimZero

Context: a1 : α

Context: ha1 : a1 > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)

Context: a2 : α

Context: ha2 : a2 > 0

Context: N2 : ℕ

Context: hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)

Context: this : 0 < a1 * a2

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2

Context: i : ℕ := max N (max N1 N2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: this✝ : (f * g - 0).LimZero

Context: hlz : (f * g).LimZero

Context: hf' : ¬f.LimZero

Context: hg' : ¬g.LimZero

Context: a1 : α

Context: ha1 : a1 > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)

Context: a2 : α

Context: ha2 : a2 > 0

Context: N2 : ℕ

Context: hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)

Context: this : 0 < a1 * a2

Context: N : ℕ

Context: i : ℕ := max N (max N1 N2)

Context: hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: this✝ : (f * g - 0).LimZero

Context: hlz : (f * g).LimZero

Context: hf' : ¬f.LimZero

Context: hg' : ¬g.LimZero

Context: a1 : α

Context: ha1 : a1 > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)

Context: a2 : α

Context: ha2 : a2 > 0

Context: N2 : ℕ

Context: hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)

Context: this : 0 < a1 * a2

Context: N : ℕ

Context: i : ℕ := max N (max N1 N2)

Context: hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2

Context: hN1' : a1 ≤ abv (↑f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f ≈ 0

Context: hg : ¬g ≈ 0

Context: this✝ : (f * g - 0).LimZero

Context: hlz : (f * g).LimZero

Context: hf' : ¬f.LimZero

Context: hg' : ¬g.LimZero

Context: a1 : α

Context: ha1 : a1 > 0

Context: N1 : ℕ

Context: hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)

Context: a2 : α

Context: ha2 : a2 > 0

Context: N2 : ℕ

Context: hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)

Context: this : 0 < a1 * a2

Context: N : ℕ

Context: i : ℕ := max N (max N1 N2)

Context: hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2

Context: hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)

Context: hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)


Context:
m n✝ : ℕ
i : Fin (n✝ + 1 + 1)


Context: m n✝ : ℕ

(finRotate (n✝ + 1 + 1)) (Fin.last (n✝ + 1)) = Fin.last (n✝ + 1) + 1


Context:
m n✝ : ℕ
i : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : i < Fin.last (n✝ + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y : P

spanSingleton S x * spanSingleton S y = spanSingleton S (x * y)


(fun I => ↑I) (spanSingleton S x * spanSingleton S y) = (fun I => ↑I) (spanSingleton S (x * y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: b : ι

∀ a < b, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b : ι

∀ (x : ι), (∀ y < x, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0) → ∀ a < x, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f x⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 - ∑ x ∈ Iio b, ⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f x⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 - ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f a‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f a⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

∀ b_1 ∈ Iio b, b_1 ≠ a → ⟪gramSchmidt 𝕜 f b_1, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f b_1‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b_1⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ Iio b

Context: hia : i ≠ a

⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ Iio b

Context: hia : i ≠ a

(⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f b⟫_𝕜 = 0 ∨ ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) = 0) ∨ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ Iio b

Context: hia : i ≠ a

⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ Iio b

Context: hia : i ≠ a

Context: hia₁ : i < a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: b✝ b : ι

Context: a : ι

Context: h₀ : a < b

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ Iio b

Context: hia : i ≠ a

Context: hia₂ : a < i


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
S : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal S
x a : R

x = a • generator S ↔ x = generator S * a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β

s ×ˢ t = ⋃ b ∈ t, (fun a => (a, b)) '' s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
l : Dual R M
i : ι


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J✝ X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
I : Set α
hI : M.Basis I (X ∪ Y) ∧ I ∩ Y = J


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c

inversion c R x ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ dist x y = dist y c ∧ x ≠ c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ x

inversion x R x ∈ perpBisector x (inversion x R y) ↔ dist x y = dist y x ∧ x ≠ x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
hx : x ≠ c


¬{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → x ≤ a}.Nonempty


{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → x ≤ a} = ∅


Context: x✝ : ℝ

x✝ ∈ {x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → x ≤ a} ↔ x✝ ∈ ∅


Context: h : HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2) 1


Context: h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))


Context: this : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2 / Gammaℝ 1))


Context: this : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))


Context: this✝ : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))

Context: this : {z | 0 < z.re} ∈ 𝓝 1


Context: this : {z | 0 < z.re} ∈ 𝓝 1


Context: this : {z | 0 < z.re} ∈ 𝓝 1

Context: a : ℂ

Context: ha : 0 < a.re

Context: a✝ : a ∈ {1}ᶜ


Context:
r : ℝ
n : ℕ


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A

minpoly A ((algebraMap A B) a) = X - C a


(Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) (X - C a) = 0


∀ (q : A[X]), q.degree < (X - C a).degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0


∀ (q : A[X]), q.degree < (X - C a).degree → ¬q = 0 → (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.degree < (X - C a).degree
h0 : ¬q = 0

(Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬q = 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬C (q.coeff 0) = 0

(Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) (C (q.coeff 0)) ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hAB : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card

Context: n : ℕ

↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: B C : Finset α

Context: n : ℕ

Context: hAB : ∀ A' ⊆ ∅, (∅ * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * ∅.card

↑(∅ * B ^ n).card ≤ (↑(∅ * B).card / ↑∅.card) ^ n * ↑∅.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: n : ℕ

Context: hA : A.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: n : ℕ

Context: ih : ↑(A * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card

↑(A * B ^ (n + 1)).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (n + 1) * ↑A.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: n : ℕ

↑((A * B * B ^ n).card * A.card) ≤ ↑(A * B).card * ((↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: n : ℕ

↑((A * B).card * (A * B ^ n).card) ≤ ↑(A * B).card * ((↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: n : ℕ

↑(A * B).card * ↑(A * B ^ n).card ≤ ↑(A * B).card * ((↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card)


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h : j < i
t : Set α
ht : t ∈ generateMeasurableRec s j

tᶜ ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x ≤ y


generate (range Ici) = generate (Ici '' s)


generate (range Ici) ≤ generate (Ici '' s)


generate (Ici '' s) ≤ generate (range Ici)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E✝

Context: inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K

Context: E : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: f : E →ₗᵢ[𝕜] E'

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection (Submodule.map f.toLinearMap p)

Context: x : E

f ↑((orthogonalProjection p) x) = ↑((orthogonalProjection (Submodule.map f.toLinearMap p)) (f x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E✝

Context: inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K

Context: E : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: f : E →ₗᵢ[𝕜] E'

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p

Context: x : E

f ↑((orthogonalProjection p) x) ∈ Submodule.map f.toLinearMap p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E✝

Context: inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K

Context: E : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: f : E →ₗᵢ[𝕜] E'

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p

Context: x : E

Context: y : E'

Context: hy : y ∈ Submodule.map f.toLinearMap p

⟪f x - f ↑((orthogonalProjection p) x), y⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E✝

Context: inst✝⁶ : HasOrthogonalProjection K

Context: E : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: f : E →ₗᵢ[𝕜] E'

Context: p : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝¹ : HasOrthogonalProjection p

Context: x x' : E

Context: hx' : x' ∈ ↑p

⟪f x - f ↑((orthogonalProjection p) x), f x'⟫_𝕜 = 0


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

∫⁻ (x : α) in s, ↑‖g x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: hunif : ¬G.IsUniform ε U V

4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: hunif : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: hunif : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹

Context: hε : 0 ≤ 1 - ε / 10


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUV : U ≠ V

Context: hunif : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹

Context: hε : 0 ≤ 1 - ε / 10

Context: hε₀ : 0 < ε


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addRightEmbedding c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)


⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Icc a b = Set.Icc (a + c) (b + c)


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
g : X → Y
h : f =ᶠ[𝓝 x] g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

3 / 4 * ε ≤ |(∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card) - (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ P.parts.card|


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

3 / 4 * ε ≤ |(∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card) - (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)|


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: p : ℝ := (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card)

Context: q : ℝ := (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (4 ^ P.parts.card * 4 ^ P.parts.card)

Context: r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))

Context: s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)

Context: hrs : |r - s| ≤ ε / 5


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)

Context: hrs : |r - s| ≤ ε / 5

Context: hst : ε ≤ |s - t|


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)

Context: hrs : |r - s| ≤ ε / 5

Context: hst : ε ≤ |s - t|

Context: hpr : |p - r| ≤ ε ^ 5 / 49


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)

Context: hrs : |r - s| ≤ ε / 5

Context: hst : ε ≤ |s - t|

Context: hpr : |p - r| ≤ ε ^ 5 / 49

Context: hqt : |q - t| ≤ ε ^ 5 / 49


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)

Context: hrs : |r - s| ≤ ε / 5

Context: hst : ε ≤ |s - t|

Context: hpr : |p - r| ≤ ε ^ 5 / 49

Context: hqt : |q - t| ≤ ε ^ 5 / 49

Context: hε' : ε ^ 5 ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)

Context: hrs : r - s ≤ ε / 5 ∧ s - r ≤ ε / 5

Context: hst : ε ≤ |s - t|

Context: hpr : p - r ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ r - p ≤ ε ^ 5 / 49

Context: hqt : q - t ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ t - q ≤ ε ^ 5 / 49

Context: hε' : ε ^ 5 ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)

Context: hrs : r - s ≤ ε / 5 ∧ s - r ≤ ε / 5

Context: hst : ε ≤ s - t ∨ ε ≤ -(s - t)

Context: hε' : ε ^ 5 ≤ ε


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R


Context:
y : ℝ
h : 0 < y


Context:
y : ℝ
h : 0 < y

(if 0 = 0 ∧ y < 0 then ⊤ else ↑(NNReal.rpow 0 y)) = some 0


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ

AEStronglyMeasurable (ProbabilityTheory.truncation f A) μ


AEStronglyMeasurable ((Set.Ioc (-A) A).indicator id) (Measure.map f μ)


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : BaireSpace X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : Set X

Context: hs : IsGδ s

Context: hd : Dense s

Context: f : ι → Set X

Context: hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, f i

Context: g : ι → Set X := fun i => (frontier (f i))ᶜ


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : BaireSpace X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : Set X

Context: hs : IsGδ s

Context: hd : Dense s

Context: f : ι → Set X

Context: hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, f i

Context: hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : BaireSpace X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : Set X

Context: hs : IsGδ s

Context: hd : Dense s

Context: f : ι → Set X

Context: hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, f i

Context: hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)

Context: hgd : Dense (⋂ i, g i)


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : BaireSpace X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : Set X

Context: hs : IsGδ s

Context: hd : Dense s

Context: f : ι → Set X

Context: hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, f i

Context: hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)

Context: hgd : Dense (⋂ i, g i)

Context: x : X

Context: hxs : x ∈ s

Context: hxg : x ∈ ⋂ i, g i


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : BaireSpace X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : Set X

Context: hs : IsGδ s

Context: hd : Dense s

Context: f : ι → Set X

Context: hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, f i

Context: hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)

Context: hgd : Dense (⋂ i, g i)

Context: x : X

Context: hxs : x ∈ s

Context: hxg : ∀ (i : ι), x ∈ g i


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : BaireSpace X

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : Set X

Context: hs : IsGδ s

Context: hd : Dense s

Context: f : ι → Set X

Context: hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, f i

Context: hgo : ∀ (i : ι), IsOpen (g i)

Context: hgd : Dense (⋂ i, g i)

Context: x : X

Context: hxs : x ∈ s

Context: hxg : ∀ (i : ι), x ∈ g i

Context: i : ι

Context: hi : x ∈ f i


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
m : M

m ∈ fixingSubgroup M sᶜ ↔ (fixedBy α m)ᶜ ⊆ s


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
inst✝ : W.IsCompatibleWithShift A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A


W ((shiftFunctor C a).map f) ↔ W.inverseImage (shiftFunctor C a) f


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Type u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: T : Set α

Context: hT : T ⊆ iUnion S

Context: hT' : T = iUnion S

Context: t : Set β

Context: x : ↑T

x ∈ iUnionLift S f hf T hT ⁻¹' t ↔ x ∈ inclusion hT ⁻¹' ⋃ i, inclusion ⋯ '' (f i ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_3

Context: β : Type u_2

Context: S : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(S i) → β

Context: T : Set α

Context: hT : T ⊆ iUnion S

Context: hT' : T = iUnion S

Context: t : Set β

Context: x : ↑T

iUnionLift S f hf T hT x ∈ t ↔ ∃ i x_1, f i x_1 ∈ t ∧ inclusion ⋯ x_1 = inclusion hT x


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ


Context:
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : Algebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LieRing L

Context: inst✝³ : LieAlgebra R L

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : LieRingModule L M

Context: Φ : LinearMap.BilinForm R M

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: y : M

y ∈ orthogonal Φ hΦ_inv N ↔ ∀ x ∈ N, (Φ x) y = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
Y₁ Y₂ Y₃ : CochainComplex C ℤ
f' : Y₁ ⟶ Y₂
g' : Y₂ ⟶ Y₃
φ : mk₂ f g ⟶ mk₂ f' g'
n : ℤ

(map g g' (φ.app 1) (φ.app 2) ⋯ ≫ (mappingConeCompTriangle f' g').mor₃).f n = ((mappingConeCompTriangle f g).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (map f f' (φ.app 0) (φ.app 1) ⋯)).f n


Context:
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j : J
inst✝³ : X.HasMap p
inst✝² : Y.HasMap p
inst✝¹ : Z.HasMap p
c : X.CofanMapObjFun p j
hc : IsColimit c
inst✝ : X.HasMap p
i : I
hi : p i = j

Cofan.inj c ⟨i, hi⟩ ≫ (iso hc).hom = X.ιMapObj p i j hi


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (r (A n))) ∧ (s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hf' : ∀ x ∈ ∅, HasFDerivWithinAt f (f' x) ∅ x

∃ t A, (∀ (n : ℕ), IsClosed (t n)) ∧ ∅ ⊆ ⋃ n, t n ∧ (∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (∅ ∩ t n) (r (A n))) ∧ (∅.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ ∅, A n = f' y)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: hT : ⋃ x ∈ T, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x)) = ⋃ x, ball (f' ↑x) ↑(r (f' ↑x))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: M : ℕ → ↑T → Set E := fun n z => {x | x ∈ s ∧ ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n), ‖f y - f x - (f' ↑↑z) (y - x)‖ ≤ ↑(r (f' ↑↑z)) * ‖y - x‖}


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: closure_M_subset : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T), s ∩ closure (M n z) ⊆ M n z


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: K : ℕ → ↑T → ℕ → Set E := fun n z p => closure (M n z) ∩ closedBall (d p) (u n / 3)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: K_approx : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), ApproximatesLinearOn f (f' ↑↑z) (s ∩ K n z p) (r (f' ↑↑z))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: K_closed : ∀ (n : ℕ) (z : ↑T) (p : ℕ), IsClosed (K n z p)


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F✝

Context: f : E → F✝

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F✝

Context: r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ

Context: hF : Function.Surjective F


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F✝

Context: f : E → F✝

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F✝

Context: r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ

Context: hF : Function.Surjective F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F✝

Context: f : E → F✝

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F✝

Context: r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ

Context: hF : Function.Surjective F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: z : ↑T

Context: hnz : x ∈ M n z


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F✝

Context: f : E → F✝

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F✝

Context: r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ

Context: hF : Function.Surjective F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: z : ↑T

Context: hnz : x ∈ M n z

Context: p : ℕ

Context: hp : x ∈ closedBall (d p) (u n / 3)


Context: E : Type u_1

Context: F✝ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F✝

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology F✝

Context: f : E → F✝

Context: s : Set E

Context: f' : E → E →L[ℝ] F✝

Context: r : (E →L[ℝ] F✝) → ℝ≥0

Context: rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F✝), r A ≠ 0

Context: hs : s.Nonempty

Context: T : Set ↑s

Context: T_count : T.Countable

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ n z, x ∈ M n z

Context: d : ℕ → E

Context: hd : DenseRange d

Context: F : ℕ → ℕ × ↑T × ℕ

Context: hF : Function.Surjective F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: z : ↑T

Context: hnz : x ∈ M n z

Context: p : ℕ

Context: hp : x ∈ closedBall (d p) (u n / 3)

Context: q : ℕ

Context: hq : F q = (n, z, p)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
a : M₀
l : List M₀
h : 0 ∈ a :: l


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
a : M₀
l : List M₀
h : 0 ∈ a :: l
ha : 0 = a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
a : M₀
l : List M₀
h : 0 ∈ a :: l
hl : 0 ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ

Context: hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)

Context: s : Set α

Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α) in s, f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝² : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_6

Context: f : α → G

Context: hfi : Integrable f μ

Context: F : ι → α → G

Context: l : Filter ι

Context: s : Set α

Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)