Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝¹ : DivisionRing α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: d₁0 : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: n₂ : ℤ

Context: d₂ : ℕ

Context: d₂0 : d₂ ≠ 0

Context: c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂

Context: d₁a : ↑d₁ ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝¹ : DivisionRing α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: d₁0 : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: n₂ : ℤ

Context: d₂ : ℕ

Context: d₂0 : d₂ ≠ 0

Context: c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂

Context: h : ↑{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = ↑{ num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }

Context: d₁a : ↑d₁ ≠ 0

Context: d₂a : ↑d₂ ≠ 0

{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = { num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑(n₁ /. ↑d₁) = ↑(n₂ /. ↑d₂)
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0
h : ↑n₁ / ↑d₁ = ↑n₂ / ↑d₂


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c d : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq l
d : m → α
e : l → m
he : Function.Injective e
i j : l

(diagonal d).submatrix e e i j = diagonal (d ∘ e) i j


diagonal d (e i) (e j) = diagonal (d ∘ e) i j


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp : p ≠ 0

eval a (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) ≠ 0


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V


∀ (v w : ↑Kᶜ), supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk v) = supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk w) → (induce Kᶜ G).connectedComponentMk v = (induce Kᶜ G).connectedComponentMk w


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: v : V

Context: hv : v ∈ Kᶜ

Context: w : V

Context: hw : w ∈ Kᶜ

Context: h : supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨v, hv⟩) = supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨w, hw⟩)

(induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨v, hv⟩ = (induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨w, hw⟩


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: v : V

Context: hv : v ∈ Kᶜ

Context: w : V

Context: hw : w ∈ Kᶜ

Context: h : ∀ (x : V), (∃ (h : x ∉ K), (induce Kᶜ G).Reachable ⟨x, ⋯⟩ ⟨v, hv⟩) ↔ ∃ (h : x ∉ K), (induce Kᶜ G).Reachable ⟨x, ⋯⟩ ⟨w, hw⟩


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B

(minpoly A x).degree = 1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range


x ∈ (algebraMap A B).range → (minpoly A x).degree = 1


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A

(minpoly A ((algebraMap A B) x)).degree = 1


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A
this : Nontrivial A


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
val✝ : Fintype ι'


∀ (w1 w2 : ι' → k), ∑ i : ι', w1 i = 1 → ∑ i : ι', w2 i = 1 → (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w2 → w1 = w2


Context: ι : Type u₁

Context: k : Type u₂

Context: V : Type u₃

Context: P : Type u₄

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : AffineSpace V P

Context: inst✝⁴ : Ring k

Context: inst✝³ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : Finite ι'

Context: inst✝ : DecidableEq ι'

Context: p : ι' → P

Context: A : Matrix ι ι' k

Context: hA : b.toMatrix p * A = 1

Context: val✝ : Fintype ι'

Context: w₁ w₂ : ι' → k

Context: hw₁ : ∑ i : ι', w₁ i = 1

Context: hw₂ : ∑ i : ι', w₂ i = 1

Context: hweq : (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w₁ = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w₂

Context: hweq' : (fun w => w ᵥ* A) (w₁ ᵥ* b.toMatrix p) = (fun w => w ᵥ* A) (w₂ ᵥ* b.toMatrix p)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s

IsVonNBounded 𝕜 A ↔ ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
hA : ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
hA : ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
V : Set E
hV✝ : V ∈ 𝓝 0
i : ι
hi : q i
hV : s i ⊆ V


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: v : Set E

Context: A : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: u₀ : Set E

Context: hu₀s : u₀ ⊇ v

Context: hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: hu₀_max : ∀ u ⊇ u₀, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = u₀


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
hu₀_finite : u₀.Finite


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: v : Set E

Context: A : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: u₀ : Set E

Context: hu₀s : u₀ ⊇ v

Context: hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥

Context: hu₀_finite : u₀.Finite

Context: u : Finset E := hu₀_finite.toFinset

Context: fu : { x // x ∈ u } ≃ ↑u₀ := hu₀_finite.subtypeEquivToFinset.symm


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: v : Set E

Context: A : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: u₀ : Set E

Context: hu₀s : u₀ ⊇ v

Context: hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

Context: hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥

Context: hu₀_finite : u₀.Finite

Context: u : Finset E := hu₀_finite.toFinset

Context: hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: 𝔸' : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → 𝕜 → 𝔸'

Context: f' : ι → 𝔸'

Context: hf : ∀ i ∈ u, HasDerivWithinAt (f i) (f' i) s x

HasDerivWithinAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) s x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
this : X = (monomial 1) 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: b : B

Continuous (↑e.toPartialHomeomorph ∘ TotalSpace.mk b)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

⟨⅟2, ⋯⟩ • (Q₁.prod Q₂).polarBilin = LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) + LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)


⟨⅟2, ⋯⟩ • LinearMap.compl₁₂ Q₁.polarBilin (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) + ⟨⅟2, ⋯⟩ • LinearMap.compl₁₂ Q₂.polarBilin (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂) = LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) + LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α
M : NFA α σ


{x | ∃ S ∈ M.toεNFA.accept, S ∈ M.evalFrom M.toεNFA.start x} = M.accepts


Context: m✝ n✝ m n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α

M.closure (M.closure X ∪ Y) = M.closure (X ∪ Y)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
this : q.IsPrime


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
p' : Ideal S
h₁ : p'.IsPrime
h₂ : I ≤ p'
h₃ : comap f p' = p
q : Ideal S
hq : q ∈ I.minimalPrimes
hq' : q ≤ p'
this✝ : q.IsPrime
this : comap f q ≤ p


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = (X + (1 - X)) ^ n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), X ^ m * (1 - X) ^ (n - m) * ↑(n.choose m)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)

Context: K : IntermediateField F E

Context: inst✝² : DecidablePred fun x => x ∈ K.fixingSubgroup

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝ : IsGalois F E

Fintype.card ↥K.fixingSubgroup = finrank (↥K) E


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
h✝ : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
h✝ : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : α


Context:
d✝ : ℤ
c d b : ℕ


Context:
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ

Nonnegg c d (-↑(a + 1)) ↑b ↔ SqLe (a + 1) d b c


Context:
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ

Nonnegg c d (Int.negSucc a) ↑b ↔ SqLe (a + 1) d b c


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

∀ (a : List R[X]), (prod ⟦a⟧).natDegree ≤ (Multiset.map natDegree ⟦a⟧).sum


Context:
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0

m ∈ n.properDivisors ↔ ∃ k > 1, n = m * k


Context:
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : m ∈ n.properDivisors


Context:
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0

(∃ k > 1, n = m * k) → m ∈ n.properDivisors


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c : Con M
f : M → N
H : ∀ (x y : M), f (x * y) = f x * f y
h : mulKer f H ≤ c
hf : Surjective f


c.mapGen f = conGen ⇑(c.mapOfSurjective f H h hf)


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⌈a + b⌉ ≤ ⌈a⌉ + ⌈b⌉


a + b ≤ ↑⌈a⌉ + ↑⌈b⌉


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

Odd (∑ i ∈ s, f i) ↔ Odd (filter (fun x => Odd (f x)) s).card


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ
hk : k ≠ 0

PythagoreanTriple (k * x) (k * y) (k * z) ↔ PythagoreanTriple x y z


PythagoreanTriple (k * x) (k * y) (k * z) → PythagoreanTriple x y z


Context: x y z : ℤ

Context: h✝ : PythagoreanTriple x y z

Context: k : ℤ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k * x * (k * x) + k * y * (k * y) = k * z * (k * z)


Context: x y z : ℤ

Context: h✝ : PythagoreanTriple x y z

Context: k : ℤ

Context: hk : k ≠ 0


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α

(countP p) (of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else 1


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
b : ℝ≥0


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

Context: Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume

Context: e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm

∫ (x : ℝ × ℝ) in Set.Icc a b, (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1) = ∑ i : Fin 2, ((∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e b i) x))) - ∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e a i) x)))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

∀ (i : Fin (1 + 1)), ContinuousOn (![f, g] i) (Set.Icc a b)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

Context: x : ℝ × ℝ

Context: hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s

∀ (i : Fin (1 + 1)), HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

∑ i : Fin 2, ((∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e b i) x))) - ∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), ![f, g] i (e.symm (i.insertNth (e a i) x))) = ((∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (b.1, y)) - ∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (a.1, y)) + ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, b.2)) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, a.2))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

Context: this : ∀ (a b : Fin 1 → ℝ) (f : (Fin 1 → ℝ) → E), ∫ (x : Fin 1 → ℝ) in Set.Icc a b, f x = ∫ (x : ℝ) in Set.Icc (a 0) (b 0), f fun x_1 => x


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f g : ℝ × ℝ → E

Context: f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ × ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: s : Set (ℝ × ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)

((∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 0) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 0) 0), ![f, g] 0 (e.symm (Fin.insertNth 0 (e b 0) fun x_1 => x))) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 0) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 0) 0), ![f, g] 0 (e.symm (Fin.insertNth 0 (e a 0) fun x_1 => x))) + ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 1) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 1) 0), ![f, g] 1 (e.symm (Fin.insertNth 1 (e b 1) fun x_1 => x))) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc ((e a ∘ Fin.succAbove 1) 0) ((e b ∘ Fin.succAbove 1) 0), ![f, g] 1 (e.symm (Fin.insertNth 1 (e a 1) fun x_1 => x))) = ((∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (b.1, y)) - ∫ (y : ℝ) in Set.Icc a.2 b.2, f (a.1, y)) + ((∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, b.2)) - ∫ (x : ℝ) in Set.Icc a.1 b.1, g (x, a.2))


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M


(algEquivMatrix (chooseBasis R M)).toLinearEquiv ((aeval f) f.charpoly) = 0


(aeval (↑(algEquivMatrix (chooseBasis R M)) f)) ((toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) f).charpoly = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g✝ : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Add γ
h : Periodic f c
g : AddHom γ α
g_inv : α → γ
hg : RightInverse g_inv ⇑g
x : γ


Context:
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
inst✝¹ : Ring R
α : Type u_3
inst✝ : Group α
a : α


Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : AddGroup A

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: α : Type u_3

Context: inst✝ : Group α

Context: a : α

Context: this : Nat.card ↑(MulAction.orbit (↥(zpowers a)) 1) = Nat.card (ZMod (Function.minimalPeriod (fun x => a • x) 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g✝ : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
inst✝ : CompleteLattice γ
g : sSupHom α γ

g (blimsup u f p) ≤ blimsup (⇑g ∘ u) f p


g (⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b) ≤ ⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), g (u b)


⨅ i ∈ f, g (⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ i), u b) ≤ ⨅ s ∈ f, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), g (u b)


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
a : ℝ

(Summable fun n => rexp (↑n * a)) ↔ a < 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)

Context: B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)

Context: C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 (0 * ‖y‖))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)

Context: C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)

Context: this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y : E

Context: s t : Set E

Context: α : Type u_5

Context: l : Filter α

Context: c : α → 𝕜

Context: d : α → E

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

Context: A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)

Context: D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c d a b : α
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : Prop
f : p → α
hp : ¬p


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]

p.nextCoeff = 0 ↔ p.natDegree = 0 ∨ 0 < p.natDegree ∧ p.coeff (p.natDegree - 1) = 0


¬p.natDegree = 0 → p.coeff (p.natDegree - 1) = 0 ↔ ¬p.natDegree = 0 → ¬p.natDegree = 0 ∧ p.coeff (p.natDegree - 1) = 0


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike G N M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
y : Mˣ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
inst✝ : DecidableEq (δ a)
ht : ∀ (b : α), a ≠ b → (t b).Nonempty


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
inst✝ : DecidableEq (δ a)
ht : ∀ (b : α), a ≠ b → (t b).Nonempty
x : δ a
h : x ∈ t a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r
hs : s.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r
hs : s.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
m n : ℕ
hmn : m < n
h : f m = f n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜


⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + (⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : K[X]

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).intDegree = ↑p.natDegree


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸

HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: hf : IsOpenMap f

Context: finv : β → α

Context: hleft : LeftInverse finv f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: hf : IsOpenMap f

Context: finv : β → α

Context: hleft : LeftInverse finv f


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : ArithmeticFunction M
x : ℕ


∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, ↑ζ x.1 • f x.2 = ∑ i ∈ x.divisors, f i


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hI : (M ↾ R).Basis I X


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : IsCofiltered C

Context: O : Finset C

Context: H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : FinCategory J

Context: F : J ⥤ C


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : L →ₐ[K] L
x : B

(algebraMap B L) (((galRestrictHom A K L B) σ) x) = σ ((algebraMap B L) x)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range (u n), f k = ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]

∀ (p q : R[X]), trunc (toLaurent p) = p → trunc (toLaurent q) = q → trunc (toLaurent (p + q)) = p + q


∀ (n : ℕ) (a : R), trunc (toLaurent ((monomial n) a)) = (monomial n) a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: inst✝ : PreservesLimit (Functor.empty C) G

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X : C

Context: inst✝¹ : HasTerminal C

Context: F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D

Context: this : HasLimit (Functor.empty D)


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M


∀ n ≥ 0, I • (I.stableFiltration N).N n = (I.stableFiltration N).N (n + 1)


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
n : ℕ
a✝ : n ≥ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ : R[X]
N : ℕ
f : R[X]


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

((monomial n) ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n) + erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp


Finsupp.single n ((match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n) + Finsupp.erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: hd : p ∣ a

Context: q : α

Context: hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a

Context: hpq : p ~ᵤ q


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: hd : p ∣ a

Context: q : α

Context: hpq : p ~ᵤ q

∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a), ⟨Associates.mk a_1, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: hd : p ∣ a

Context: q : α

Context: hpq : p ~ᵤ q

∃ (h : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a), ⟨Associates.mk q, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a p : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: hd : p ∣ a

Context: q : α

Context: hpq : p ~ᵤ q

⟨Associates.mk q, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
A : IsOpen (⋃ n, s n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
A : IsOpen (⋃ n, s n)
t'' : TopologicalSpace α
t''_le : t'' ≤ t'
t''_polish : PolishSpace α
h1 : IsClosed (⋃ n, s n)
h2 : IsOpen (⋃ n, s n)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ : IntermediateField K L
S : Subalgebra K L
inv_mem : ∀ x ∈ S, x⁻¹ ∈ S
x✝ : L

x✝ ∈ (S.toIntermediateField inv_mem).toSubalgebra ↔ x✝ ∈ S


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ a : R, ψ (b + a) = ∑ a : R, ψ a


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ x : R, ψ b * ψ x = ∑ a : R, ψ a


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ x : R, ψ b * ψ x = ∑ a : R, ψ a
h₂ : ∑ a : R, ψ a = Finset.univ.sum ⇑ψ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : AddGroup R

Context: inst✝² : Fintype R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R'

Context: inst✝ : IsDomain R'

Context: ψ : AddChar R R'

Context: hψ : ψ ≠ 1

Context: b : R

Context: hb : ψ b ≠ 1

Context: h₁ : ψ b * Finset.univ.sum ⇑ψ = Finset.univ.sum ⇑ψ

Context: h₂ : ∑ a : R, ψ a = Finset.univ.sum ⇑ψ


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
hse : s ⊆ e.source


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ

(Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n


(Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).sum % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).sum % n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
x : Dual R M'

x ∈ ker f.dualMap ↔ x ∈ (range (Dual.eval R M' ∘ₗ f)).dualCoannihilator


Context:
d : ℤ
x : ℤ√d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

Context: inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.158489 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄

Context: inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.163940 ⟶ X₂) true ≫ f₂)

Context: inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄

Context: inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.snd f₃ f₄


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x z : M

Context: f g : M → E'

Context: f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'

Context: hf : HasMFDerivAt I 𝓘(𝕜, E') (-f) z (-f')


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B

LinearMap.range (mapBaseChange R A B) = LinearMap.ker (map R A B B)


LinearMap.range (mapBaseChange R A B) ≤ LinearMap.ker (map R A B B)


LinearMap.ker (map R A B B) ≤ LinearMap.range (mapBaseChange R A B)


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: hs : x ∈ (chartAt H c).source

Context: hd : dist (↑(extChartAt I c) x) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: hs : x ∈ (chartAt H c).source

∀ a ∈ (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rIn, ↑f a = 1 a


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: hs : x ∈ (chartAt H c).source

Context: z : M

Context: hzs : z ∈ (chartAt H c).source

Context: hzd : z ∈ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rIn


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hg : HasDerivAtFilter g g' x L

HasDerivAtFilter (fun y => f y + g y) (f' + g') x L


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
C : ℝ≥0
x : E


↑(s.sup fun i => ⟨((C • p) i) x, ⋯⟩) = C • ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)


C • ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) = ↑(s.sup fun i => ⟨((C • p) i) x, ⋯⟩)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂

(x, y) ∈ map (inl R M M₂) p ↔ (x, y) ∈ p.prod ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDedekindDomain R
inst✝⁴ : Module.Free ℤ R
inst✝³ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I₀ : Ideal R


Context: I : Type u

Context: inst✝⁶ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))

Context: j : I

Context: A : C

Context: f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) j ⟶ A

Context: inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: h : ∀ (i₁ i₂ i₃ i₄ : I) (h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j), ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ f = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝⁶ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: j : I

Context: A : C

Context: inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

∀ (i₁ i₂ : I) (hi : i₁ + i₂ = j), ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂ j hi ≫ f = ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂ j hi ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝⁶ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: j : I

Context: A : C

Context: inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: i₁ i₂₃₄ : I

Context: h' : i₁ + i₂₃₄ = j

ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ f = ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝⁶ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: j : I

Context: A : C

Context: inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: i₁ i₂₃₄ : I

Context: h' : i₁ + i₂₃₄ = j

∀ (i₁_1 i₂ i₃ : I) (h : i₁_1 + i₂ + i₃ = i₂₃₄), X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₁_1 i₂ i₃ i₂₃₄ h ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ f = X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₁_1 i₂ i₃ i₂₃₄ h ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝⁶ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: j : I

Context: A : C

Context: inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: i₁ i₂₃₄ : I

Context: h' : i₁ + i₂₃₄ = j

Context: i₂ i₃ i₄ : I

Context: h'' : i₂ + i₃ + i₄ = i₂₃₄

X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₂ i₃ i₄ i₂₃₄ h'' ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ f = X₁ i₁ ◁ ιTensorObj₃ X₂ X₃ X₄ i₂ i₃ i₄ i₂₃₄ h'' ≫ ιTensorObj X₁ (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄)) i₁ i₂₃₄ j h' ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝⁶ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝³ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝² : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: j : I

Context: A : C

Context: inst✝ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: H : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: i₁ i₂₃₄ : I

Context: h' : i₁ + i₂₃₄ = j

Context: i₂ i₃ i₄ : I

Context: h'' : i₂ + i₃ + i₄ = i₂₃₄

Context: hj : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w : ι → ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)


∑' (i : ι), (fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
w δ' : ι → ℝ≥0
Hpos : ∀ (i : ι), 0 < δ' i
Hsum : ∑' (i : ι), ↑(δ' i) < ε
this : ∀ (i : ι), 0 < max 1 (w i)
i : ι

(fun i => ↑(w i)) i * ↑((fun i => δ' i / max 1 (w i)) i) ≤ ↑(δ' i)


(fun i => ↑(w i)) i * (↑(δ' i) / ↑(max 1 (w i))) ≤ ↑(δ' i)


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

↑↑↑(lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)) =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : E


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (↑q / x) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝕜'

HasDerivWithinAt (fun x => c x / d) (c' / d) s x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c c₁ c₂ c₃ s t : Set α

Context: a b x y : α

Context: h : ¬∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c c₁ c₂ c₃ s t : Set α

Context: a b x y : α

Context: h : ¬(IsChain r s ∧ ∃ x, SuperChain r s x)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f g : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ico (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Icc f g


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)

Context: f g : (i : ι) → α i

(univ.pi fun i => Ico (f i) (g i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Icc (f i) (g i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

Context: this : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hSA : ↑⋯.toSelfAdjoint ∈ selfAdjoint (E →L[ℝ] E) := Subtype.prop (LinearMap.IsSymmetric.restrictScalars (isSymmetric hT)).toSelfAdjoint


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g
f : w.StructuredArrowRightwards g

∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g), f = mk w g X₁ a b comm


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: C₄ : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄

Context: T : C₁ ⥤ C₂

Context: L : C₁ ⥤ C₃

Context: R : C₂ ⥤ C₄

Context: B : C₃ ⥤ C₄

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : C₃

Context: g✝ : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃

Context: X₁ : C₁

Context: a : X₂ ⟶ T.obj X₁

Context: b : L.obj X₁ ⟶ X₃

Context: g : CostructuredArrow L X₃

Context: φ : CostructuredArrow.mk g✝ ⟶ (w.costructuredArrowRightwards X₃).obj g

∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝), StructuredArrow.mk φ = mk w g✝ X₁ a b comm


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: C₄ : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄

Context: T : C₁ ⥤ C₂

Context: L : C₁ ⥤ C₃

Context: R : C₂ ⥤ C₄

Context: B : C₃ ⥤ C₄

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : C₃

Context: g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃

Context: X₁✝ : C₁

Context: a : X₂ ⟶ T.obj X₁✝

Context: b✝ : L.obj X₁✝ ⟶ X₃

Context: comm : R.map a ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b✝ = g

Context: X₁ : C₁

Context: b : L.obj X₁ ⟶ X₃

Context: φ : CostructuredArrow.mk g ⟶ (w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk b)

∃ X₁_1 a b_1, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b_1 = g), StructuredArrow.mk φ = mk w g X₁_1 a b_1 comm


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: C₄ : Type u₄

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄

Context: T : C₁ ⥤ C₂

Context: L : C₁ ⥤ C₃

Context: R : C₂ ⥤ C₄

Context: B : C₃ ⥤ C₄

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : C₃

Context: g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃

Context: X₁✝ : C₁

Context: a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝

Context: b✝ : L.obj X₁✝ ⟶ X₃

Context: comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b✝ = g

Context: X₁ : C₁

Context: b : L.obj X₁ ⟶ X₃

Context: a : (CostructuredArrow.mk g).left ⟶ ((w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk b)).left

Context: ha : R.map a ≫ ((w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk b)).hom = (CostructuredArrow.mk g).hom

∃ X₁_1 a_1 b_1, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b_1 = g), StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk a ha) = mk w g X₁_1 a_1 b_1 comm


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a✝ b c : α
m n : ℕ
a : α
h : m ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion β

Context: f✝ f : α → β

Context: g : pkg.space → pkg'.space

Context: hg : UniformContinuous g

Context: h : ∀ (a : α), pkg'.coe (f a) = g (pkg.coe a)

Context: a : α

pkg.extend (fun x => (g ∘ pkg.coe) x) (pkg.coe a) = (g ∘ pkg.coe) a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t


StarConvex 𝕜 (x + y) ((fun x => x.1 + x.2) '' s ×ˢ t)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
inst✝⁸ : MeasurableSpace ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
inst✝² : MetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
hf_prog : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: h_str_meas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: i : ι

MeasurableSet (stoppedValue u τ ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: i : ι

stoppedValue u τ ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i} = (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i) ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: i : ι

Context: ω : Ω

ω ∈ stoppedValue u τ ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i} ↔ ω ∈ (stoppedValue u fun ω => min (τ ω) i) ⁻¹' t ∩ {ω | τ ω ≤ i}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: i : ι

Context: ω : Ω

τ ω ≤ i → (u (τ ω) ω ∈ t ↔ u (min (τ ω) i) ω ∈ t)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁹ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : OrderTopology ι

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: u : ι → Ω → β

Context: τ : Ω → ι

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝² : MetrizableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hf_prog : ProgMeasurable f u

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: t : Set β

Context: ht : MeasurableSet t

Context: i : ι

Context: ω : Ω

Context: h : τ ω ≤ i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
Z : Set (PrimeSpectrum R)


Context:
x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

rexp (log (x / y)) = rexp (log x - log y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : AddZeroClass N

Context: f : M → N

Context: hf : f 0 = 0

Context: hf' : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y

Context: v₁ v₂ : α →₀ M

Context: x✝ : α

(mapRange f hf (v₁ + v₂)) x✝ = (mapRange f hf v₁ + mapRange f hf v₂) x✝


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : cos x ≠ 0
this : Complex.cos ↑x ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

S₁.homologyπ ≫ homologyMap φ ≫ S₂.homologyι = S₁.iCycles ≫ φ.τ₂ ≫ S₂.pOpcycles


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module k V₁
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝ : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F

E.direction ≤ Submodule.comap φ.linear F.direction


(AffineSubspace.map φ E).direction ≤ F.direction


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : ↥N
n : ℕ

↑(((toEnd R L ↥↑N) x ^ n) y) = ((toEnd R L M) x ^ n) ↑y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

Context: K : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j

Context: R : ι → ι → Prop := fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

Context: P : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, ReflTransGen R i j → ∃ p ⊆ t, i ∈ p ∧ j ∈ p ∧ IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

∀ x ∈ ⋃ n ∈ t, s n, ∀ y ∈ ⋃ n ∈ t, s n, ∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n

∃ t_1 ⊆ ⋃ n ∈ t, s n, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: hxi : x ∈ s i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: hxi : x ∈ s i

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ t

Context: hyj : y ∈ s j


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: π : ι✝ → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: ι : Type u_3

Context: t : Set ι

Context: s : ι → Set α

Context: H : ∀ i ∈ t, IsPreconnected (s i)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ⋃ n ∈ t, s n

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ⋃ n ∈ t, s n

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ t

Context: hxi : x ∈ s i

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ t

Context: hyj : y ∈ s j

Context: p : Set ι

Context: hpt : p ⊆ t

Context: hip : i ∈ p

Context: hjp : j ∈ p

Context: hp : IsPreconnected (⋃ j ∈ p, s j)


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
h : l.idxFun i = Sum.inl a


Context:
α✝ : Type u_1
l : RBNode α✝
v : α✝
r : RBNode α✝
cl : RBColor
n : Nat
hl : l.Balanced cl (n + 1)
hr : RedRed True r n

RedRed (cl = red) (l.balRight v r) (n + 1)


RedRed (cl = red) (r.reverse.balLeft v l.reverse).reverse (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s : Finset α

Context: h : (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.card - 1 < s.card


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

P.coxeterWeight i j = 0 ↔ P.IsOrthogonal i j


P.pairing i j = 0 ∨ P.pairing j i = 0 ↔ P.IsOrthogonal i j


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R

Context: inst✝ : P.IsRootPositive B

Context: i j : ι

Context: h : P.pairing i j = 0 ∨ P.pairing j i = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α

lcm (b * a) (c * a) = lcm b c * normalize a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s
this : s = {p}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

HasSum (fun n => z ^ n / ↑n) (-log (1 - z))


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

HasSum (fun n => - -(z ^ n / ↑n)) (-log (1 - z))


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

HasSum (fun n => -(z ^ n / ↑n)) (log (1 - z))


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ
hn : n > 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

Context: hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)

Context: hx : eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0

W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄)) ≠ 0 ∨ evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) ≠ 0 ∨ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

Context: hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0

eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (eval (C L * (X - C x₁) + C y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)))) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative ((C L * (X - C x₁) + C y₁) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x₁) + C y₁) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

eval (W.addX x₁ x₂ L) (C 2 * (C L * (X - C x₁) + C y₁) * C L + (C W.a₁ * (C L * (X - C x₁) + C y₁) + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * C L) - (C ↑3 * X ^ (3 - 1) + C W.a₂ * (C 2 * X) + C W.a₄)) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : Affine R

Context: x₁ x₂ y₁ L : R

2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) * L + (W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) * L) - (↑3 * W.addX x₁ x₂ L ^ (3 - 1) + W.a₂ * (2 * W.addX x₁ x₂ L) + W.a₄) = 0


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : InitiallySmall J
i : J

∃ j ∈ Set.range (fromInitialModel J).obj, Nonempty (j ⟶ i)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: inst✝ : InitiallySmall J

Context: i : J

Context: f : CostructuredArrow (fromInitialModel J) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnModule Γ' R V
x✝ : Γ'

((of R).symm (0 • x)).coeff x✝ = ((of R).symm 0).coeff x✝


Context:
m✝ : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m✝
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n R
hA : A.PosSemidef
m : Type u_5
inst✝ : Fintype m
B : Matrix m n R


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b✝ : α
f : β → α
b : β
l : List β

Chain R (f b) (map f l) ↔ Chain (fun a b => R (f a) (f b)) b l


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a✝ b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ b

Context: a : α


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : C

(reflectorAdjunction i).unit.app (i.obj ((reflector i).obj X)) = i.map ((reflector i).map ((reflectorAdjunction i).unit.app X))


(reflectorAdjunction i).unit.app (i.obj ((reflector i).obj X)) ≫ i.map ((reflectorAdjunction i).counit.app ((reflector i).obj X)) = i.map ((reflector i).map ((reflectorAdjunction i).unit.app X) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app ((reflector i).obj X))


Context:
m n✝ a✝ b✝ c✝ d a b n c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

u ∈ (s ∪ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊻ t.powerset


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∪ t


(∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∪ b = u) → u ⊆ s ∪ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: s : Set E

Context: x✝ : E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: z x : E

Context: hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: h : a • (fun x => z + x) x + b • (fun x => z + x) y ∈ s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: hp0 : p = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree

Context: this : Nontrivial R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree

Context: this : Nontrivial R

↑(p /ₘ q).natDegree ≤ ↑q.natDegree + ↑(p /ₘ q).natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hq : q.Monic

Context: h : ¬q.degree ≤ p.degree

(if h : q.Monic then (if h_1 : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).1 else 0).degree ≤ p.degree


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A


eval₂ (algebraMap R A) (f X) p = f (p.sum fun n a => C a * X ^ n)


∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = f (∑ n ∈ p.support, C (p.coeff n) * X ^ n)


∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = ∑ x ∈ p.support, f (C (p.coeff x)) * f X ^ x


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R

Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(lTensor M L)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
_hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
n m : ℕ
hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
hnm✝ : n ≤ m
hnm : n < m
h0m : 0 < m
_wf : m - 1 < m
hnm1 : n ≤ m - 1
K : Subgroup G
hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p : ℕ

Context: _hp✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n m : ℕ

Context: hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: hnm✝ : n ≤ m

Context: hnm : n < m

Context: h0m : 0 < m

Context: _wf : m - 1 < m

Context: hnm1 : n ≤ m - 1

Context: K : Subgroup G

Context: hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K

Context: hdvd' : p ^ (m - 1 + 1) ∣ Nat.card G

Context: K' : Subgroup G

Context: hK' : Nat.card ↥K' = p ^ (m - 1 + 1) ∧ K ≤ K'


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
x y : α


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

(genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k = Submodule.comap p.subtype ((f.genEigenspace μ) k)


LinearMap.ker ((LinearMap.restrict f hfp - (algebraMap R (End R ↥p)) μ) ^ k) = LinearMap.ker (((f - (algebraMap R (End R M)) μ) ^ k) ∘ₗ p.subtype)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : Monotone h

(∀ s ∈ f, (𝓟 (h s)).NeBot) ↔ ∀ s ∈ f, (h s).Nonempty


Context:
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source

(∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x


(∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p (↑e.symm (↑e x))) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
y : X
hy : ↑e.symm (↑e y) = y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2


re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖)) / 2


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s✝ t✝ : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: s t : Finset δ

Context: hst : Disjoint s t

∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₂₃ : p₂ = p₃


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
hf : Set.InjOn f (↑s ∪ ↑t)


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1

Function.Surjective ⇑f.linear ↔ Function.Surjective ⇑f


Context: k : Type u_1

Context: V1 : Type u_2

Context: P1 : Type u_3

Context: V2 : Type u_4

Context: P2 : Type u_5

Context: V3 : Type u_6

Context: P3 : Type u_7

Context: V4 : Type u_8

Context: P4 : Type u_9

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹⁰ : Module k V1

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁴ : Module k V3

Context: inst✝³ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝² : AddCommGroup V4

Context: inst✝¹ : Module k V4

Context: inst✝ : AffineSpace V4 P4

Context: f : P1 →ᵃ[k] P2

Context: p : P1

Context: h : ⇑f.linear = ⇑(Equiv.vaddConst (f p)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Equiv.vaddConst p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop

SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ

Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
X : C

isoClosure P X ↔ ∃ Y x, Nonempty (X ≅ Y)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ∈ Icc (x i₀) (y i₀)

((univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) ∪ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)) = univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]

∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: le_b : ¬b.natDegree ≤ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑(A i₁ % b - A i₀ % b).natDegree < ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑(A i₁ % b - A i₀ % b).natDegree < ↑?m.44242


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑?m.44242 ≤ ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊) ≤ ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑(b.natDegree - ⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - -(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑(b.natDegree - ⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - ↑⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq

Context: one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: q_pos : 0 < Fintype.card Fq

Context: q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)

Context: i_ne : i₀ ≠ i₁

Context: h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b

Context: h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0

↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - ↑⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊


Context: this : ¬Summable fun n => (↑n ^ 1)⁻¹


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
n : ℕ
p : ℝ
hn : n ≠ 0


Context: S : SheafOfTypes typesGrothendieckTopology

({ val := (equivYoneda S.val ⋯).hom } ≫ { val := (equivYoneda S.val ⋯).inv }).val = (𝟙 S).val


({ val := (equivYoneda S.val ⋯).inv } ≫ { val := (equivYoneda S.val ⋯).hom }).val = (𝟙 (yoneda'.obj (S.val.obj (op PUnit.{?u.18004 + 1})))).val


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
x : ↥(f.equalizer g)


Context: n : ℕ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂

dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂