Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Preorder α
s : Finset α
c : α
hcs : c ∈ s
this : WellFounded LT.lt
m : α
hms : m ∈ s
H : ∀ x ∈ Set.univ, ¬x < ⟨m, hms⟩


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
n : ℕ

(map (algebraMap (↥(Subring.closure ↑p.coeffs)) R) p.restriction).coeff n = p.coeff n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q R : { P // IsLprojection X P }

(↑P + ↑Pᶜ * ↑R) * (↑P + ↑Q * ↑R * ↑Pᶜ) = ↑P + ↑Q * ↑R * ↑Pᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U V : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
hV : V ∈ p.basisSets


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Liftr r x.dest y.dest


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: x y : Cofix F

Context: rxy : r x y

Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: x y : Cofix F

Context: rxy : r x y

Context: a : (P F).A

Context: f₀ f₁ : (P F).B a → Cofix F

Context: dxeq : x.dest = abs ⟨a, f₀⟩

Context: dyeq : y.dest = abs ⟨a, f₁⟩

Context: h' : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: r : Cofix F → Cofix F → Prop

Context: x y : Cofix F

Context: rxy : r x y

Context: a : (P F).A

Context: f₀ f₁ : (P F).B a → Cofix F

Context: dxeq : x.dest = abs ⟨a, f₀⟩

Context: dyeq : y.dest = abs ⟨a, f₁⟩

Context: h' : ∀ (i : (P F).B a), r (f₀ i) (f₁ i)

abs ⟨a, Quot.mk r ∘ f₀⟩ = abs ⟨a, Quot.mk r ∘ f₁⟩


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : v ∈ s.direction
p : P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : v ∈ s.direction
p : P
h : v +ᵥ p ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing M

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : Algebra R L

Context: inst✝ : Algebra R M

Context: x : L

Context: int : IsIntegral R x

Context: h : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x)

Context: f : K →ₐ[R] L


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing M

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : Algebra R L

Context: inst✝ : Algebra R M

Context: x : L

Context: int : IsIntegral R x

Context: f : K →ₐ[R] L

Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R x) ≠ 0 ∧ (aeval x) (minpoly R x) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α ↪ β
s : Finset α
t : Finset β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : μ = 0
this : f =ᶠ[ae μ] 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
r : Set β
hf : BijOn f s t
hrt : r ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
r : Set β
hf : BijOn f s t
hrt : r ⊆ t
x : β
hx : x ∈ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
r : Set β
hf : BijOn f s t
hrt : r ⊆ t
y : α
hy : y ∈ s
hx : f y ∈ r


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: u : ℕ → Set E := fun n => disjointed (spanningSets μ) n

∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)

Context: A : s = ⋃ n, s ∩ u n


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
b : G₀
ha : 0 ∈ s.centralizer


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
ha₀ : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b

Ioc a b ∪ Ioc c d = Ioc (min a c) (max b d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a ≤ d
h₂ : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d ≤ c
h₁ : a ≤ c
h₂ : d ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : c ≤ d
h₁ : b ≤ d
h₂ : c ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : d ≤ c
h₁ : b ≤ c
h₂ : d ≤ a


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f (s ∩ s') (t ∪ t') ⊆ image2 f s t ∪ image2 f s' t'


image2 f (s ∩ s') t ∪ image2 f (s ∩ s') t' ⊆ image2 f s t ∪ image2 f s' t'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |↑f j| < ε
H₂ : |↑g j| < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : -ε < ↑f j ∧ ↑f j < ε
H₂ : -ε < ↑g j ∧ ↑g j < ε


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R

truncateFun n (m • x) = m • truncateFun n x


Context: a b c : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x : α

x ∈ filter p s ∪ filter q s ↔ x ∈ filter (fun x => p x ∨ q x) s


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t

t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) → t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))


μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∪ sᶜ) = 0 → μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : ¬IsUnit ((aeval x) (derivative P))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β

∏ x ∈ s.disjSum t, f x = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)


(∏ x ∈ s, f (Embedding.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Embedding.inr x) = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))


ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))


∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))


(fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1} * ENNReal.ofReal (a ^ (p - 1))) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1} * ENNReal.ofReal (a ^ (p - 1))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}

μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

(fourier n) ↑x = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

Complex.exp (↑2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Codisjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

∀ (x : M), ∃ y ∈ ker (f ^ m), ∃ z ∈ range (f ^ n), y + z = x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

Context: x : M


Context:
a : ℤ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : J(a | p) = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop

(∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x → q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x) → ∀ᶠ (x : α) in ↑f, q x


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : SetLike B M

Context: inst✝ : SubmonoidClass B M

Context: S✝ : B

Context: s S : Submonoid M

Context: ι : Type u_4

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M

Context: comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : SetLike B M

Context: inst✝ : SubmonoidClass B M

Context: S✝ : B

Context: s S : Submonoid M

Context: ι : Type u_4

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M

Context: h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : SetLike B M

Context: inst✝ : SubmonoidClass B M

Context: S✝ : B

Context: s S : Submonoid M

Context: ι : Type u_4

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M

Context: h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S

Context: y : M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
n : ℕ
val✝ : α
h : ↑s n = some val✝


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 1 ≤ x
hy : 1 < y


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 1 ≤ x
hy : 1 < y
h : ∃ n, x < y ^ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U


∀ ⦃s t : Set G⦄, s ⊆ t → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U


∀ ⦃s t : Set G⦄, (∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U) → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, (s ∪ t) * V ⊆ U


∀ x ∈ K, ∃ t ∈ 𝓝[K] x, ∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) ^ 2 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 = FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M

Context: inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N

Context: h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M

Context: inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N

Context: hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M

Context: inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N

Context: a b : M

Context: c : 𝕜

Context: hab : c • a < c • b

Context: hc : 0 < c


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M

Context: inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N

Context: a b : M

Context: c : 𝕜ˣ

Context: hab : ↑c • a < ↑c • b

Context: hc : 0 < ↑c


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M

Context: inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N

Context: a b : M

Context: c : 𝕜ˣ

Context: hab : ↑c • a < ↑c • b

Context: hc : 0 < ↑c

c⁻¹ • c • a < c⁻¹ • c • b


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : ker f = IsSubgroup.trivial G
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
ha : a₁ * a₂⁻¹ = 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

↑‖indicatorConstLp p hs hμs c‖₊ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)


↑(‖c‖₊ * (μ s).toNNReal ^ (1 / p.toReal)) = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M

IsOpen s ↔ ∀ (x : M), IsOpen (↑(chartAt H x) '' ((chartAt H x).source ∩ s))


(∀ (i : M), IsOpen ((chartAt H i).source ∩ s)) ↔ ∀ (x : M), IsOpen (↑(chartAt H x) '' ((chartAt H x).source ∩ s))


Context:
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f

MeasurableEmbedding fun x => (g x.1, f x.2)


Context: α✝ : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝² : MeasurableSpace β'

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ✝

Context: μ μ' : Measure α✝

Context: ν ν' : Measure β✝

Context: τ : Measure γ✝

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: α : Type u_7

Context: β : Type u_8

Context: γ : Type u_9

Context: δ : Type u_10

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: mδ : MeasurableSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : γ → δ

Context: hg : MeasurableEmbedding g

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: h_inj : Injective fun x => (g x.1, f x.2)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type w

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: Y : Opens ↑X

Context: hY : Y = iSup U

Context: X✝ Y✝ : FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

(𝟭 (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)).map f✝ = eqToHom ⋯ ≫ (generateEquivalenceOpensLe_functor' U ?m.36385 ⋙ generateEquivalenceOpensLe_inverse' U ?m.36432).map f✝ ≫ eqToHom ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type w

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: Y : Opens ↑X

Context: hY : Y = iSup U

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

((𝟭 (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)).map f✝).left = (eqToHom ⋯ ≫ (generateEquivalenceOpensLe_functor' U ?m.36385 ⋙ generateEquivalenceOpensLe_inverse' U ?m.36432).map f✝ ≫ eqToHom ⋯).left


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j x : Fin n
y : Fin (n + 1)
h : y ≤ x.castSucc
h' : optParam (y.succAbove x ≠ 0) ⋯


Context:
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

Module.rank K V < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)


Module.rank K V = lift.{u, u} (Module.rank K V)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasShift C S

Context: inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms

Context: X Y : DifferentialObject S C

Context: f : X.obj ≅ Y.obj

Context: hf : X.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom = f.hom ≫ Y.d

Y.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.inv = f.inv ≫ X.d


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasShift C S

Context: X Y : DifferentialObject S C

Context: f : X.obj ≅ Y.obj

autoParam (f.hom ≫ f.inv = 𝟙 X.obj) _auto✝


Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝¹ : HasShift C S

Context: X Y : DifferentialObject S C

Context: f : X.obj ≅ Y.obj

autoParam (f.inv ≫ f.hom = 𝟙 Y.obj) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : s.Countable

∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in ⋃ x ∈ s, {x}, f a ∂μ


∑' (a : ↑s), ∫⁻ (x : α) in {↑a}, f x ∂μ = ∑' (a : ↑s), f ↑a * μ {↑a}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * 0 + b * (0 + 1) = s.card

∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = 0 ∨ x.card = 0 + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ 0) ∧ (filter (fun i => i.card = 0 + 1) Q.parts).card = b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
m_pos : m > 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : ¬(a = 0 ∧ b = 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty

Context: hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty

Context: R : Finpartition (s \ t)

Context: hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1

Context: hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m

Context: hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty

Context: R : Finpartition (s \ t)

∀ x ∈ (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty

Context: R : Finpartition (s \ t)

∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts).biUnion id).card ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty

Context: R : Finpartition (s \ t)

(filter (fun i => i.card = m + 1) (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts).card = b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: t✝ : Finset α

Context: m n✝ : ℕ

Context: m_pos : m > 0

Context: s : Finset α

Context: a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: hs : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hab : 0 < a ∨ 0 < b

Context: n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1

Context: hn : n = if 0 < a then m else m + 1

Context: hn₀ : 0 < n

Context: hn₁ : n ≤ m + 1

Context: hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)

Context: u : Finset α

Context: hu₁ : u ∈ P.parts

Context: hu₂ : m + 1 ≤ u.card

Context: t : Finset α

Context: htu : t ⊆ u

Context: htn : t.card = n

Context: ht : t.Nonempty

Context: R : Finpartition (s \ t)

(if ¬0 < a then insert t (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts) else filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = b


Context: G : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K V : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: t : Finset G

Context: ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, interior ((fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' V)

∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ m → f i' = 1


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ ⟦l⟧ → f i' = 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R✝ : α → β → Prop

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: R : WSeq α → WSeq β → Prop

Context: h1 : R s t

Context: h2 : ∀ {s : WSeq α} {t : WSeq β}, R s t → Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ R) s.destruct t.destruct

Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ (LiftRel R✝)) s.destruct t.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R✝ : α → β → Prop

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: R : WSeq α → WSeq β → Prop

Context: h1 : R s t

∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R✝ R a b → LiftRelO R✝ (LiftRel R✝) a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R✝ : α → β → Prop

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: R : WSeq α → WSeq β → Prop

Context: h1 : R s t

∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), R s t → LiftRel R✝ s t


Context:
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0

normalize (n * ↑a) (d * a) ⋯ = normalize n d d0


normalize (n * ↑a) (d * a) ⋯ = normalize (↑a * n) (a * d) ⋯


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) ≠ i₁₂


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M

lift.{max u w, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ #(L.Term ↑s)


lift.{max u w, w} #↑(range (Term.realize Subtype.val)) ≤ #(L.Term ↑s)


lift.{max u w, w} #↑(range (Term.realize Subtype.val)) ≤ lift.{w, max u w} #(L.Term ↑s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.82138, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

(ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.82138, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.rotate.mor₁) ((F.shift n₀).map T.rotate.mor₂) ⋯ ≅ ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ⋯


Context:
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
t : Cardinal.{max u w}
hf : BddAbove (range f)
w : ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Supermartingale f ℱ μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: a✝¹ : Ω

Context: a✝ : (μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹ ≤ f i a✝¹


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : upcrossings a b f ω ≠ ⊤

¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: hab : a < b

Context: hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: hab : a < b

Context: hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: hab : a < b

Context: h₁ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a

Context: h₂ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: hab : a < b

Context: h₁ : ∀ (a_1 : ℕ), ∃ b ≥ a_1, f b ω < a

Context: h₂ : ∀ (a : ℕ), ∃ b_1 ≥ a, b < f b_1 ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: hab : a < b

Context: h₁ : ∀ (a_1 : ℕ), ∃ b ≥ a_1, f b ω < a

Context: h₂ : ∀ (a : ℕ), ∃ b_1 ≥ a, b < f b_1 ω

¬∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝ : Closed A

uncurry (𝟙 ((ihom A).obj X)) = (ihom.ev A).app X


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


↑⁅I, N⁆ ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ ↑⁅I, N⁆


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G

(haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)

(haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀
h2V₀ : 1 ∈ V₀


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup A
n : ℕ
δ : ℝ
a : A

a ∈ approxOrderOf A n δ ↔ ∃ b, orderOf b = n ∧ a ∈ ball b δ


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : StableUnderBaseChange P

Context: hP' : RespectsIso P

Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : R ⟶ T

Context: H : P g

Context: this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f

Context: this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g


Context: hP : StableUnderBaseChange P

Context: hP' : RespectsIso P

Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : R ⟶ T

Context: H : P g

Context: this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f

Context: this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g

P ({ cocone := CommRingCat.pushoutCocone ↑R ↑S ↑T, isColimit := CommRingCat.pushoutCoconeIsColimit ↑R ↑S ↑T }.cocone.ι.app WalkingSpan.left)


Context: hP : StableUnderBaseChange P

Context: hP' : RespectsIso P

Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : R ⟶ T

Context: H : P g

Context: this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f

Context: this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X

IsSheafFor P R ↔ IsSheafFor P (generate R).arrows


(IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSheafFor P (generate R).arrows


(IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P (generate R).arrows ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t


(IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t


(∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

κ ⊗ₖ η.restrict ht = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯


κ ⊗ₖ η.restrict ht = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G → M
hf : IsMulOneCocycle f
g : G


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoDiv hp a (m • p + b) = m + toIcoDiv hp a b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : (↑η - 1) * λ ∣ (↑η - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b


Context:
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NNNorm 𝕜
inst✝² : Nonempty 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : SMulZeroClass 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
inst✝¹ : Invertible ((ι Q) a)
inst✝ : Invertible (Q a)

(ι Q) a * (ι Q) b * ⅟((ι Q) a) = (ι Q) ((⅟(Q a) * QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) • a - b)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
hx : g x ≠ 0

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / g x) s x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : One N
inst✝² : FunLike F M N
inst✝¹ : Subsingleton M
inst✝ : OneHomClass F M N
f g : F
x : M


Context:
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n

(n / d).factorization = n.factorization - d.factorization


Context:
a b m n✝ p n : ℕ
h : 0 ∣ n

(n / 0).factorization = n.factorization - factorization 0


Context:
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0


Context:
a b m n p d : ℕ
hd : d ≠ 0
h : d ∣ 0

(0 / d).factorization = factorization 0 - d.factorization


Context:
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0


(fun x => x + d.factorization) (n / d).factorization = (fun x => x + d.factorization) (n.factorization - d.factorization)


(n / d).factorization + d.factorization = n.factorization - d.factorization + d.factorization


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: α : Sort u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: iseqv✝¹ : Equivalence r

Context: p : α → α → Prop

Context: iseqv✝ : Equivalence p

Context: Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b

{ r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: α : Sort u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: iseqv✝¹ : Equivalence r

Context: p : α → α → Prop

Context: iseqv✝ : Equivalence p

Context: this : r = p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝¹ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: hne : s.Nonempty

Context: hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝¹ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: hne : s.Nonempty

Context: t : Set α

Context: hts : t ⊆ s

Context: ht : t.Subsingleton

Context: htl : t ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝¹ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: hne : s.Nonempty

Context: hts : ∅ ⊆ s

Context: ht : ∅.Subsingleton

Context: htl : ∅ ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝¹ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : α

Context: hts : {x} ⊆ s

Context: ht : {x}.Subsingleton

Context: htl : {x} ∈ l


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' : C
f : X ⟶ X'

(f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z)) ≫ (α_ X' Y Z).inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ 𝟙 Y) ⊗ 𝟙 Z)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r


Absorbent 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
he : B₂ \ B₁ = ∅


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
hinf : (B₂ \ B₁).encard = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: Base : Set α → Prop

Context: exch✝ : ExchangeProperty Base

Context: B B' B₁ B₂ : Set α

Context: exch : ExchangeProperty Base

Context: hB₁ : Base B₁

Context: hB₂ : Base B₂

Context: e : α

Context: he : e ∈ B₂ \ B₁

Context: hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: Base : Set α → Prop

Context: exch✝ : ExchangeProperty Base

Context: B B' B₁ B₂ : Set α

Context: exch : ExchangeProperty Base

Context: hB₁ : Base B₁

Context: hB₂ : Base B₂

Context: e : α

Context: he : e ∈ B₂ \ B₁

Context: f : α

Context: hf : f ∈ B₁ \ B₂

Context: hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: Base : Set α → Prop

Context: exch✝ : ExchangeProperty Base

Context: B B' B₁ B₂ : Set α

Context: exch : ExchangeProperty Base

Context: hB₁ : Base B₁

Context: hB₂ : Base B₂

Context: e : α

Context: he : e ∈ B₂ \ B₁

Context: f : α

Context: hf : f ∈ B₁ \ B₂

Context: hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))

Context: this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: Base : Set α → Prop

Context: exch✝ : ExchangeProperty Base

Context: B B' B₁ B₂ : Set α

Context: exch : ExchangeProperty Base

Context: hB₁ : Base B₁

Context: hB₂ : Base B₂

Context: e : α

Context: he : e ∈ B₂ \ B₁

Context: f : α

Context: hf : f ∈ B₁ \ B₂

Context: hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))

Context: hencard : (B₁ \ insert f (B₂ \ {e})).encard ≤ (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: Base : Set α → Prop

Context: exch✝ : ExchangeProperty Base

Context: B B' B₁ B₂ : Set α

Context: exch : ExchangeProperty Base

Context: hB₁ : Base B₁

Context: hB₂ : Base B₂

Context: e : α

Context: he : e ∈ B₂ \ B₁

Context: f : α

Context: hf : f ∈ B₁ \ B₂

Context: hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))

Context: hencard : ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: Base : Set α → Prop

Context: exch✝ : ExchangeProperty Base

Context: B B' B₁ B₂ : Set α

Context: exch : ExchangeProperty Base

Context: hB₁ : Base B₁

Context: hB₂ : Base B₂

Context: e : α

Context: he : e ∈ B₂ \ B₁

Context: f : α

Context: hf : f ∈ B₁ \ B₂

Context: hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))

((B₁ \ B₂) \ {f}).encard + 1 ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard + 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : num A x = 0


Context:
R : Type u
M : Type v
S✝ : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Ring S✝
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
S : Submodule R N
hI : (comap f S).IsPrincipal


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c

f ◁ (θ.naturality (g ≫ h)).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapComp g h = f ◁ G.mapComp g h ▷ θ.app c ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom ≫ f ◁ G.map g ◁ (θ.naturality h).hom ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv ≫ f ◁ (θ.naturality g).hom ▷ H.map h ≫ f ◁ (α_ (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommMonoid α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: f✝ g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: α' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α'

Context: inst✝ : TopologicalSpace α'

Context: e : α' → α

Context: hes : Surjective e

Context: h1 : e 1 = 1

Context: f : β → α

Context: g : γ → α'

Context: h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a

Context: hg : ¬Multipliable g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommMonoid α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: f✝ g✝ : β → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: α' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α'

Context: inst✝ : TopologicalSpace α'

Context: e : α' → α

Context: hes : Surjective e

Context: h1 : e 1 = 1

Context: f : β → α

Context: g : γ → α'

Context: hg : ¬Multipliable g

Context: hf : ¬Multipliable f


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A a : C

Context: U : Opens ↑X

(map' p₀ (𝟙 a)).app (op U) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A a : C

Context: U : Opens ↑X

(if h : p₀ ∈ U then eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 a ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj (op U))) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_17

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : E → E'

Context: s : Set E

Context: x : E

ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_16

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_17

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : E → E'

Context: s : Set E

Context: x : E

ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContinuousWithinAt f s x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DivisionCommMonoid β✝
A : Set α
B : Set β✝
f : α → β✝
m n : ℕ
β : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid β
B₁ B₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
h₁ : IsMulFreimanHom n A B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A B₂ f₂
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod

(map (f₁ / f₂) s).prod = (map (f₁ / f₂) t).prod


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ

Context: hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f g : α → E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
t : Set α

t ∈ 𝓝 x ↔ ∃ i, (i ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel i) ∧ ball x i ⊆ t


(fun t => (1 - rexp (-π * t))⁻¹) =O[atTop] fun x => 1


Tendsto (fun x => rexp (-π * x)) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

s.ncard < t.ncard ↔ (s \ t).ncard < (t \ s).ncard


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : c ≤ a % c + b % c
hc0 : 0 < c


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v

p.toSubgraph ≤ ⊤.induce {v_1 | v_1 ∈ p.support}


{v_1 | v_1 ∈ p.support} = p.toSubgraph.verts


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
p' : ℤ
hp' : p + n = p'


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

(mk fun p q hpq => γ.v p (p + n) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (p + n) ⋯).inv).v p q hpq = γ.v p (p + n) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (p + n) ⋯).inv


Context:
n m : ℕ
a b c : Fin n


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℤ

a ^ n • b = b ↔ ↑(minimalPeriod (fun x => a • x) b) ∣ n


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
k : Rˣ
hk : ↑k = p.leadingCoeff


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Epi 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp E p μ) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)

Context: h_closed : IsClosed {f | P f}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp E p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P f}

Context: f : ↥(Lp E p μ)

∀ (a : { x // x ∈ ↑(simpleFunc E p μ) }), P ↑a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp E p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P f}

Context: f : ↥(Lp E p μ)

∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp E p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P f}

Context: f : ↥(Lp E p μ)

∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P ↑(simpleFunc.toLp f hf) → P ↑(simpleFunc.toLp g hg) → P ↑(simpleFunc.toLp f hf + simpleFunc.toLp g hg)


Context: x : ℝ


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f

f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂) = MulActionHom.id N


∀ (x : Y), (f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂)) x = (MulActionHom.id N) x


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : Y

(f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂)) x = (MulActionHom.id N) x


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: hx : x ^ n = 1

Context: hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a✝ b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: hx : x ^ n = 1

Context: a : ℕ

Context: ha : n = orderOf x * a


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a✝ b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: hx : x ^ n = 1

Context: a : ℕ

Context: ha : n = orderOf x * a

Context: h : ¬a = 1


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid G

Context: a✝ b x y : G

Context: n m : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: hx : x ^ n = 1

Context: a : ℕ

Context: ha : n = orderOf x * a

Context: h : ¬a = 1

Context: a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h's : r < μ s

∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : ∃ i, r < (μ.restrict (spanningSets μ i)) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hs : MeasurableSet s

Context: n : ℕ

Context: hn : r < (μ.restrict (spanningSets μ n)) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ spanningSets μ n)


Context:
I : Type u_1
J : Type u_2
K✝ : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Fintype I
inst✝³ : Fintype J
inst✝² : Algebra K R
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
c : K
i✝ j✝ : I × J

__spread✝⁻⁰.toFun ((algebraMap K (Matrix I I (Matrix J J R))) c) i✝ j✝ = (algebraMap K (Matrix (I × J) (I × J) R)) c i✝ j✝


diagonal ((algebraMap K (I → Matrix J J R)) c) i✝.1 j✝.1 i✝.2 j✝.2 = diagonal ((algebraMap K (I × J → R)) c) i✝ j✝


(if i✝.1 = j✝.1 then (fun r => r • diagonal fun x => 1) c else 0) i✝.2 j✝.2 = if i✝ = j✝ then (fun r => r • 1) c else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
f : R[X]

(C a).natDegree + f.natDegree = 0 + f.natDegree


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0

Context: p q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: p q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p

Context: this : Irreducible (q * C q.leadingCoeff⁻¹)


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: p q : k[X]

Context: hq : Irreducible q

Context: a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p

Context: x : k

Context: hx : eval x (q * C q.leadingCoeff⁻¹) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : Fin n → α

Multiset.map f univ.val = ↑(List.ofFn f)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
m p : Associates α
h₁ : m ≠ 0
h₂ : Irreducible p
k : ℕ

p ^ k ≤ m ↔ k ≤ bcount ⟨p, h₂⟩ m.factors


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
m : α
hm : m ≠ 0
h₁ : Associates.mk m ≠ 0

p ^ k ≤ Associates.mk m ↔ k ≤ bcount ⟨p, h₂⟩ (Associates.mk m).factors


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
m : α
hm : m ≠ 0
h₁ : Associates.mk m ≠ 0
this : Nontrivial α


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : TotalSpace F E → X

Context: s : Set B

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)

Context: this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

ContinuousWithinAt f (TotalSpace.proj ⁻¹' s) z


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : TotalSpace F E → X

Context: s : Set B

Context: hs : IsOpen s

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : TotalSpace F E → X

Context: s : Set B

Context: hs : IsOpen s

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : TotalSpace F E → X

Context: s : Set B

Context: hs : IsOpen s

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

IsOpen ((s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : TotalSpace F E → X

Context: s : Set B

Context: hs : IsOpen s

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

↑e z ∈ (s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : TotalSpace F E → X

Context: s : Set B

Context: hs : IsOpen s

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

(↑e z).1 ∈ s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X✝ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : TotalSpace F E → X

Context: s : Set B

Context: hs : IsOpen s

Context: z : TotalSpace F E

Context: hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s

z.proj ∈ s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: A : SpecialLinearGroup n R

Context: hA : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)

Context: i : n


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: A : SpecialLinearGroup n R

Context: i : n

Context: r : R

Context: hr : (scalar n) r = ↑A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
hc : Multiset.card m = n + 1
a : α
h : a ∈ m


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S


Context:
α : Type u
f g : Filter α
s✝ t : Set α
s : Set (Set α)
hfin : s.Finite

⋂₀ s ∈ f ↔ ∀ U ∈ s, U ∈ f


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K✝ : Multifork I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
K : Multifork I

∀ ⦃X Y : WalkingParallelPair⦄ (f : X ⟶ Y), ((Functor.const WalkingParallelPair).obj K.pt).map f ≫ (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) Y = (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) X ≫ (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap).map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

s.encard = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
h : ∃ x_1, s \ {x} = {x_1}
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
h : s \ {x} = {y}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
l : ℕ
r : α
tl : ℕ
zl : ℤ
tr t : α
prl₁ : l = tl
prl₂ : ↑tl = zl
prr : r = tr
prt : smulg zl tr = t


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
x : WithTop α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Integrable f μ

Context: g : α → β

Context: g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ

Context: ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: g : α → β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: g : α → β

Context: h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup γ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β

Context: f : α → 𝕜

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: g : α → β

Context: h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤

Context: hg' : eLpNorm g ⊤ μ ≠ ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hdeg : n < f.natDegree
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
hdeg : f.degree ≤ ↑n


Context:
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

Integrable (fun x => g (x * R)) volume ↔ Integrable g volume


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : affineSpan ℝ s ≠ ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : affineSpan ℝ s = ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : (interior s).Nonempty


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s


∀ (t : Set E), Convex ℝ t → x ∈ interior t → Bornology.IsBounded t → μ (frontier t) = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : Bornology.IsBounded s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s✝ : Set E

Context: hs✝ : Convex ℝ s✝

Context: x : E

Context: hx✝ : x ∈ interior s✝

Context: s : Set E

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hx : x ∈ interior s

Context: hb : μ (interior s) ≠ ⊤

Context: d : ℕ := finrank ℝ E

Context: this : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s✝ : Set E

Context: hs✝ : Convex ℝ s✝

Context: x : E

Context: hx✝ : x ∈ interior s✝

Context: s : Set E

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hx : x ∈ interior s

Context: hb : μ (interior s) ≠ ⊤

Context: d : ℕ := finrank ℝ E

Context: this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)

Context: this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s✝ : Set E

Context: hs✝ : Convex ℝ s✝

Context: x : E

Context: hx✝ : x ∈ interior s✝

Context: s : Set E

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hx : x ∈ interior s

Context: hb : μ (interior s) ≠ ⊤

Context: d : ℕ := finrank ℝ E

Tendsto (fun c => ↑(c ^ d) * μ (interior s)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (μ (interior s)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s✝ : Set E

Context: hs✝ : Convex ℝ s✝

Context: x : E

Context: hx✝ : x ∈ interior s✝

Context: s : Set E

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hx : x ∈ interior s

Context: hb : μ (interior s) ≠ ⊤

Context: d : ℕ := finrank ℝ E

((fun x => x * μ (interior s)) ∘ ENNReal.ofNNReal ∘ fun a => a ^ d) 1 = μ (interior s)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B C✝ A C : Finset α

(A * C).card * ∅.card ≤ (A * ∅).card * (∅ * C).card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ B.powerset.erase ∅

Context: hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑((A * C).card * B.card) ≤ ↑((A * B).card * (B * C).card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑(A * C).card * ↑B.card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑(A * C).card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card / ↑B.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑(A * C).card ≤ ↑(B * A).card / ↑B.card * ↑(B * C).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑(U * (A * C)).card ≤ ↑(B * A).card / ↑B.card * ↑(B * C).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑(U * (A * C)).card ≤ ↑(U * A).card / ↑U.card * ↑(U * C).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑(U * A * C).card ≤ ↑(U * A).card * ↑(U * C).card / ↑U.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: hB : B.Nonempty

Context: hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

Context: U : Finset α

Context: hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B

↑(U * A * C).card * ↑U.card ≤ ↑(U * A).card * ↑(U * C).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s✝ t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
s : Set α
f : α → G

sᶜ.mulIndicator f = f / s.mulIndicator f


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i

X.map (SimplexCategory.δ i.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.castSucc) = X.map (SimplexCategory.σ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0

∃ x, x ∈ {x | ∀ ⦃a : Γ⦄, a ∈ Function.support f → x ≤ a}


n ∈ {x | ∀ ⦃a : Γ⦄, a ∈ Function.support f → x ≤ a}


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
m : Γ
hm : m ∈ Function.support f


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
m : Γ
hm : ¬f m = 0


Context:
s : Set ℝ
h₁ : BddBelow s
h₂ : BddAbove s


Context:
h₁ : BddBelow ∅
h₂ : BddAbove ∅


Context:
s : Set ℝ
h₁ : BddBelow s
h₂ : BddAbove s
hne : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' s' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hs : ∀ (x : 𝕜), h x ∈ s'
hy : y = h x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ

UniformContinuous fun x => f x ^ (n + 1)


UniformContinuous fun x => f x * f x ^ n


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: hI : IsHomogeneous 𝒜 I

Context: I_ne_top : I ≠ ⊤

Context: homogeneous_mem_or_mem : ∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I

Context: x y : A

Context: hxy : x * y ∈ I


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: hI : IsHomogeneous 𝒜 I

Context: I_ne_top : I ≠ ⊤

Context: x y : A

Context: hxy : x * y ∈ I

Context: rid : x ∉ I ∧ y ∉ I


Context:
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j : Fin n.succ

A.adjugate i j = (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det


∑ x : Fin n.succ, (-1) ^ (↑j + ↑x) * Pi.single i 1 x * (A.submatrix j.succAbove x.succAbove).det = (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det


Context:
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j h : Fin n.succ
hjk : h ≠ i

(-1) ^ (↑j + ↑h) * Pi.single i 1 h * (A.submatrix j.succAbove h.succAbove).det = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α ≃ α'
l : α →₀ R

(Finsupp.total α' M' R v') (equivMapDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ ⇑f)) l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

ThreeAPFree ↑(image (⇑(map (2 * d - 1))) (sphere n d k))


ThreeAPFree (⇑(map (2 * d - 1)) '' ↑(sphere n d k))


↑(sphere n d k) + ↑(sphere n d k) ⊆ {x | ∀ (i : Fin n), x i < 2 * d - 1}


Context:
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0
hmn : m ∣ n

filter (fun x => x ∣ m) n.primeFactors = m.primeFactors


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A

↑((selfAdjointPart R) x) + ↑((skewAdjointPart R) x) = x


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: e : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: t : x + 1 = 0


Context:
n p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)


Context:
n p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
h : p % 2 = 1
hf : p = 2


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B

((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B
this : IsDomain A


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing A

Context: inst✝¹² : CommRing B

Context: inst✝¹¹ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : Algebra A K

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁶ : Algebra B L

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra A L

Context: inst✝³ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝² : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: σ : B →ₐ[A] B

Context: x : B

Context: this✝ : IsDomain A

Context: this : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B A⁰) L


Context:
a : Ordinal.{u_1}
h : 1 < a
a0 : 0 < a
b : Ordinal.{u_1}

(fun x => a ^ x) b < (fun x => a ^ x) (succ b)