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∀ (a : M₃ ⊗[R] N₁), (LinearMap.lTensor M₃ g₁) a = 0 → a = 0


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Context: x : M₂ ⊗[R] N₁

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Context: x : M₂ ⊗[R] N₁

Context: y : M₁ ⊗[R] N₂

Context: hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) y = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x


Context: R : Type u_7

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Context: x : M₂ ⊗[R] N₁

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Context: this : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) y = 0


Context: R : Type u_7

Context: S : Type ?u.148131

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Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: M₁ : Type u_1

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Context: inst✝⁸ : Module R M₂

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Context: inst✝⁶ : Module R M₃

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Context: x : M₂ ⊗[R] N₁

Context: z : M₁ ⊗[R] N₁

Context: hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x

Context: this : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0


Context: R : Type u_7

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Context: M₁ : Type u_1

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Context: inst✝ : Module R N₃

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Context: hgsurj : Surjective ⇑g₂

Context: z : M₁ ⊗[R] N₁

Context: this✝ : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0

Context: hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0

Context: this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0

Context: hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)

(LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z) = 0


Context: R : Type u_7

Context: S : Type ?u.148131

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Context: N : Type ?u.148596

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup M

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Context: inst✝¹⁴ : Module R N

Context: P : Type ?u.149736

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup P

Context: inst✝¹² : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: M₁ : Type u_1

Context: M₂ : Type u_2

Context: M₃ : Type u_3

Context: N₁ : Type u_4

Context: N₂ : Type u_5

Context: N₃ : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁴ : Module R N₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝² : Module R N₂

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N₃

Context: inst✝ : Module R N₃

Context: f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃

Context: g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂

Context: g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃

Context: hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂

Context: hfsurj : Surjective ⇑f₂

Context: hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂

Context: hgsurj : Surjective ⇑g₂

Context: z : M₁ ⊗[R] N₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
f : α → β
s : Set α
a b : α
hf : AntitoneOn f [[a, b]]


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Rack R
G : Type u_2
inst✝ : Group G
f : R →◃ Quandle.Conj G
a b c : PreEnvelGroup R

mapAux f ((a.mul b).mul c) = mapAux f (a.mul (b.mul c))


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a : A 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a : A 0
n : ℕ


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
n : ℕ


‖χ ↑n‖ * ‖f n‖ ≤ ‖f n‖


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A

Context: inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝³ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝² : J.HasSheafCompose U

Context: F : Sheaf J A

Context: inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)

Context: f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A

Context: inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝³ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝² : J.HasSheafCompose U

Context: F : Sheaf J A

Context: this : IsIso ((sheafToPresheaf J B).map f)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A

Context: inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝³ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝² : J.HasSheafCompose U

Context: F : Sheaf J A

Context: this✝ : IsIso ((sheafToPresheaf J B).map f)

Context: this : IsIso f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a

g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f


g.lintegral μ = g.lintegral (μ.restrict s)


∑ x ∈ g.range, x * μ (↑g ⁻¹' {x}) = ∑ y ∈ g.range, y * μ (↑g ⁻¹' {y} ∩ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : ¬↑g x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : x ∉ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α

count a l = l.length ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → a = b


(∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → (a_1 == a) = true) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → a = b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → (a_1 == a) = true

Context: b : α

Context: hb : b ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ∀ (b : α), b ∈ l → a = b
b : α
hb : b ∈ l


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
n : ℕ
T : Simplex k V n
hrank : finrank k V = n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α


Context:
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ

Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b i * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume


Integrable (fun v => ∏ x : ι, cexp (-b x * ↑(v x) ^ 2 + c x * ↑(v x))) volume


Context:
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι

Integrable ((fun i v => cexp (-b i * ↑v ^ 2 + c i * ↑v)) i) volume


Context:
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι
x : ℝ

-b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x = -b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x + 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: lfa lga lfb lgb : ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)

Context: h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x

∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: lfa lga lfb lgb : ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)

Context: hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: lfa lga lfb lgb : ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)

Context: hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: lfa lga lfb lgb : ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)

Context: h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: lfa lga lfb lgb : ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)

Context: hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: hgc : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

Context: lfa lga lfb lgb : ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)

Context: c : ℝ

Context: cmem : c ∈ Ioo a b

Context: hc : h' c = 0


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R

(algebraMap R S) r ∈ quasispectrum S a ↔ r ∈ quasispectrum R a


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R

polynomialFunctions s = Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


polynomialFunctions s ≤ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]

↑(toContinuousMapOnAlgHom s) p ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


(toContinuousMapOnAlgHom s) p ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]
r : R

(toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalSemiring R

Context: s : Set R

Context: p f g : R[X]

Context: hf : (toContinuousMapOnAlgHom s) f ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}

Context: hg : (toContinuousMapOnAlgHom s) g ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}

(toContinuousMapOnAlgHom s) (f + g) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalSemiring R

Context: s : Set R

Context: p : R[X]

Context: n : ℕ

Context: r : R

Context: hn : (toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r * X ^ n) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}

(toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r * X ^ (n + 1)) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f✝ g : ι → Set X

Context: π : X → Sort u_6

Context: f : ℕ → (x : X) → π x

Context: U : X → Set X

Context: hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite

∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f✝ g : ι → Set X

Context: π : X → Sort u_6

Context: f : ℕ → (x : X) → π x

Context: U : X → Set X

Context: hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: N : X → ℕ

Context: hN : ∀ (x : X), N x ∈ upperBounds {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f✝ g : ι → Set X

Context: π : X → Sort u_6

Context: f : ℕ → (x : X) → π x

Context: U : X → Set X

Context: hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: N : X → ℕ

Context: hN : ∀ (x : X), ∀ n > N x, ∀ y ∈ U x, f (n + 1) y = f n y


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f✝ g : ι → Set X

Context: π : X → Sort u_6

Context: f : ℕ → (x : X) → π x

Context: U : X → Set X

Context: hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: N : X → ℕ

Context: hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f✝ g : ι → Set X

Context: π : X → Sort u_6

Context: f : ℕ → (x : X) → π x

Context: U : X → Set X

Context: hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: N : X → ℕ

Context: x : X

∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = (fun x => f (N x + 1) x) p.2


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f✝ g : ι → Set X

Context: π : X → Sort u_6

Context: f : ℕ → (x : X) → π x

Context: U : X → Set X

Context: hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: N : X → ℕ

Context: x : X


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f✝ g : ι → Set X

Context: π : X → Sort u_6

Context: f : ℕ → (x : X) → π x

Context: U : X → Set X

Context: hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

Context: N : X → ℕ

Context: x : X

Context: n : ℕ

Context: y : X

Context: hn : N x < n

Context: hy : y ∈ U x


Context:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c


Context:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n


IsUniversalColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)


IsColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass G₀
x y : G₀


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

A.counit.op ▷ op A.X ≫ A.comul.op = (λ_ (op A.X)).hom


op A.X ◁ A.counit.op ≫ A.comul.op = (ρ_ (op A.X)).hom


A.comul.op ▷ op A.X ≫ A.comul.op = (α_ (op A.X) (op A.X) (op A.X)).hom ≫ op A.X ◁ A.comul.op ≫ A.comul.op


(α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.X ◁ A.comul).op ≫ A.comul.op = (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.comul ≫ A.X ◁ A.comul).op


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

IsClosedImmersion f ↔ IsPreimmersion f ∧ IsClosed (Set.range ⇑f.val.base)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W

fourierIntegral e μ L (f ∘ fun v => v + v₀) w = e ((L v₀) w) • fourierIntegral e μ L f w


∫ (v : V), ↑(e (-(L v) w)) • f (v + v₀) ∂μ = ↑(e ((L v₀) w)) • ∫ (v : V), ↑(e (-(L v) w)) • f v ∂μ


∫ (v : V), ↑(e (-(L (v + v₀ - v₀)) w)) • f (v + v₀) ∂μ = ↑(e ((L v₀) w)) • ∫ (v : V), ↑(e (-(L v) w)) • f v ∂μ


∫ (x : V), ↑(e (-(L (x - v₀)) w)) • f x ∂μ = ∫ (a : V), ↑(e ((L v₀) w)) • ↑(e (-(L a) w)) • f a ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
v : V

↑(e (-(L (v - v₀)) w)) • f v = ↑(e ((L v₀) w)) • ↑(e (-(L v) w)) • f v


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x✝ : R
p : R[X]
x : R

eval x p = ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), p.coeff i * x ^ i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
h : IsPreconnected s
hs : s.Nontrivial


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
h : IsPreconnected s
hs : s.Nontrivial
hf : s.Finite


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
h : IsPreconnected s
hs : s.Nontrivial
hf : s.Finite
this : DiscreteTopology ↑s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : ReflectsColimit (span f g) F

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
i : A ≅ underlying.obj X
w : i.hom ≫ X.arrow = f


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Set (StarSubalgebra R A)
x : A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s

Context: ha : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hab : a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α


(∀ (i : Set (Ultrafilter α)), (x ∈ i ∧ i ∈ range fun s => {u | s ∈ u}) → i ∈ ↑u) ↔ ∀ s ∈ x, {v | s ∈ v} ∈ u


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ : α → ℝ
μ : Measure α
f : α → ℝ
x : α

ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) = ↑⟨rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ, ⋯⟩


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true


∀ (i : ℕ), cantorFunctionAux c f i ≤ cantorFunctionAux c g i


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
y : α
xs : List α
w : xs.get? (findIdx p xs) = some y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =o[l] g


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: hl_im : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|

Context: hl : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → (g x).re = 0 → g x = 0

(let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re / 1; this) =ᶠ[l] let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re; this


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

(fun x => abs (f x) ^ (g x).re) =ᶠ[l] fun x => abs (f x) ^ (g x).re


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j✝ k : ι
φ : K ⟶ L
j : ι
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology j
inst✝ : Mono (φ.f j)
hj : ∀ (i : ι), ¬c.Rel i j


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: x✝ : Nonempty (IsColimit (pUnitCocone C))

Context: h : IsColimit (pUnitCocone C)

Context: colimitCocone : ColimitCocone (constPUnitFunctor C) := { cocone := pUnitCocone C, isColimit := h }

Context: this : HasColimit (constPUnitFunctor C)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: h : IsColimit (pUnitCocone C)

Context: this : HasColimit (constPUnitFunctor C)

Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})


Context:
m₁ m₂ n : ℕ
hm1 : m₁ ∈ n.smoothNumbers
hm2 : m₂ ∈ n.smoothNumbers


Context: m₁ m₂ n : ℕ

Context: hm1 : m₁ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)

Context: hm2 : m₂ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)

m₁ * m₂ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal R

I.minimalPrimes = comap (Quotient.mk I) '' minimalPrimes (R ⧸ I)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x y : M
hx : x ∈ H
hy : y ∈ H


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
x : α
xs : List α

foldr f b (xs ++ [x]) = foldr f (f x b) xs


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

f.restrict hf * g.restrict hg = g.restrict hg * f.restrict hf


(g * f).restrict ⋯ = g.restrict hg * f.restrict hf


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : R
p : R[X][Y]
h : Polynomial.evalEval x y p = 0
g : R[X][Y]

(evalEval h) ((mk p) g) = Polynomial.evalEval x y g


Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: a : A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p

Context: q q₁ q₂ : Submodule R[X] (AEval R M a)

Context: hq : (comapSubmodule R M a) q₁ = (comapSubmodule R M a) q₂


Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: a : A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: p : Submodule R M

Context: q q₁ q₂ : Submodule R[X] (AEval R M a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x✝¹ x✝ : α × β

x✝ ∈ (PFun.id α).prodMap (PFun.id β) x✝¹ ↔ x✝ ∈ PFun.id (α × β) x✝¹


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : Mono g
x : Subobject X

(map (f ≫ g)).obj x = (map g).obj ((map f).obj x)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : Mono g
t : MonoOver X

(map (f ≫ g)).obj (Quotient.mk'' t) = (map g).obj ((map f).obj (Quotient.mk'' t))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: b b' : F

Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀


Context:
s : Set ℤ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, b ≤ z
Hinh : ∃ z, z ∈ s
this : s.Nonempty ∧ BddBelow s


↑((Classical.choose ⋯).leastOfBdd ⋯ ⋯) = ↑(b.leastOfBdd Hb Hinh)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : UniformSpace E
inst✝⁴ : T2Space E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : UniformSpace E

Context: inst✝⁴ : T2Space E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : UniformSpace E

Context: inst✝⁴ : T2Space E

Context: inst✝³ : UniformAddGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : UniformEmbedding ⇑e.toEquiv.symm


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α

Context: hab : a ≤ b

Context: hcd : c ≤ d


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: hab : a ≤ b

Context: hcd : c ≤ d


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V


(mk K v.rep ⋯).submodule = Submodule.span K {v.rep}


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M


↑(Nat.card { p // Commute p.1 p.2 }) ≤ ↑(Nat.card M) ^ 2


Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } ≤ Nat.card (M × M)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Memℒp (Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
n : ℕ

eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) ≤ ↑((ν a) univ).toNNReal


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : Zero X

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)

(f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal = (-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : Zero X

Context: f g : C(X, ℝ)₀

↑((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = ↑((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)


Context:
z w : ℍ
r R a : ℝ
y₁ y₂ : ℍ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
a : α

(fun f => ⇑f) (single a 0) = (fun f => ⇑f) 0


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: t : ℕ → Set α

Context: ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: ht_range : generateFrom (Set.range t) = m


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : LinearOrderedField β
a a₁ a₂ : α
b : β
q✝ q : ℚ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
u : Set α
hu : MeasurableSet u

((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s

(Set.sumDiffSubset h).symm x = Sum.inl ⟨↑x, hx⟩


(Set.sumDiffSubset h) ((Set.sumDiffSubset h).symm x) = (Set.sumDiffSubset h) (Sum.inl ⟨↑x, hx⟩)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

(πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l) = eval (π C fun x => ord I x < o₂) l


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

((πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l)).toFun = ⇑(eval (π C fun x => ord I x < o₂) l)


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
r : R

(fun r => r • 1) r = x ↔ (algebraMap R A) r = x


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible

FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend = x


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f

FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend f hf = x f hf


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ

μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ : Set E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: s : ℝ

Context: this : closedBall 0 (r * s) = r • closedBall 0 s


Context:
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b

∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = π * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p + 1)


Context:
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b

∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ 0 * rexp (-b * ‖x‖ ^ p)


Context:
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R

Context: g : R →+* S

Context: x y : 𝕎 R

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]

Context: n : ℕ

((WittVector.map g) (f x y)).coeff n = (f ((WittVector.map g) x) ((WittVector.map g) y)).coeff n


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: g : R →+* S

Context: x y : 𝕎 R

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: n : ℕ

(eval₂Hom (g.comp (algebraMap ℤ R)) fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) (φ n) = (aeval fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2) (φ n)


Context: p : ℕ

Context: R S : Type u

Context: σ : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: g : R →+* S

Context: x y : 𝕎 R

Context: φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ

Context: n : ℕ

(fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) = fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : HasDistribNeg α
a b c : α

(∃ b_1, -b = a * (Equiv.symm (Equiv.neg α)) b_1) ↔ a ∣ b


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w

∀ (n : ℕ), nats.get n = (0 :: map succ nats).get n


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ

nats.get (n✝ + 1) = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ

nats.tail.get n✝ = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
x✝ : α × β × γ

x✝ ∈ ⇑(prodAssoc α β γ).symm ⁻¹' (s ×ˢ t) ×ˢ u ↔ x✝ ∈ s ×ˢ t ×ˢ u


Context:
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d✝ a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ

Rat.divInt (↑a * ↑n) (↑a * ↑d) = Rat.divInt ↑n ↑d


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s1 s2 : WSeq α

Context: t1 t2 : WSeq β

Context: h1 : LiftRel R s1 t1

Context: h2 : LiftRel R s2 t2

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s.destruct t.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s1 s2 : WSeq α

Context: t1 t2 : WSeq β

Context: h1 : LiftRel R s1 t1

Context: h2 : LiftRel R s2 t2

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t

∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s1 s2 : WSeq α

Context: t1 t2 : WSeq β

Context: h1 : LiftRel R s1 t1

Context: h2 : LiftRel R s2 t2

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: b : Option (β × WSeq β)

LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s1 s2 : WSeq α

Context: t1 t2 : WSeq β

Context: h1 : LiftRel R s1 t1

Context: h2 : LiftRel R s2 t2

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h : LiftRel R s t

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: b : Option (β × WSeq β)

∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s1✝ s2 : WSeq α

Context: t1✝ t2 : WSeq β

Context: h1 : LiftRel R s1✝ t1✝

Context: h2 : LiftRel R s2 t2

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t

Context: s1 : WSeq α

Context: t1 : WSeq β

Context: h : LiftRel R s1 t1

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) (s1.append s2).destruct (t1.append t2).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s1✝ s2 : WSeq α

Context: t1✝ t2 : WSeq β

Context: h1 : LiftRel R s1✝ t1✝

Context: h2 : LiftRel R s2 t2

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: s1 : WSeq α

Context: t1 : WSeq β

Context: h : LiftRel R s1 t1

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1, s = s1.append s2 ∧ ∃ x, t = x.append t2 ∧ LiftRel R s1 x) (s1.destruct.bind (destruct_append.aux s2)) (t1.destruct.bind (destruct_append.aux t2))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s1✝ s2 : WSeq α

Context: t1✝ t2 : WSeq β

Context: h1 : LiftRel R s1✝ t1✝

Context: h2 : LiftRel R s2 t2

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: s1 : WSeq α

Context: t1 : WSeq β

Context: h : LiftRel R s1 t1

∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1, s = s1.append s2 ∧ ∃ x, t = x.append t2 ∧ LiftRel R s1 x) (destruct_append.aux s2 a) (destruct_append.aux t2 b)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne

Context: x : Γ₀

Context: hx : (hom v) x = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne

Context: x : Γ₀

Context: hx : (hom v) x = 0

Context: h_lt : 0 < x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne

Context: x : Γ₀

Context: hx : (hom v) x = 0

Context: h_lt : 0 < x

Context: hs : (hom v) 0 < (hom v) x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : Ring R

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: inst✝ : v.RankOne

Context: x : Γ₀

Context: hx : (hom v) x = 0

Context: h_lt : 0 < x

Context: hs : 0 < 0


Context: a : UnitAddCircle

∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel a x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: a : ℝ

∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel (↑a) x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖cosKernel (↑a) x - 1‖ ≤ 2 * (HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 x - if 1 = 0 then 1 else 0)


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖cosKernel (↑a) x - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 x


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

‖cosKernel (↑a) t - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

‖∑' (b : ℕ), 2 * Real.cos (2 * π * a * (↑b + 1)) * rexp (-π * (↑b + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t n


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

∀ (i : ℕ), ‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑i + 1)) * rexp (-π * (↑i + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t i


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: n : ℕ

‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t n


Context: a p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 2 = (cos b * sin b - cos a * sin a + b - a) / 2


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
h : i ≠ j


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : 𝓞 K

Context: w : InfinitePlace K

Context: h₁ : x ≠ 0

Context: h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1

Context: h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : 𝓞 K

Context: w : InfinitePlace K

Context: h₁ : x ≠ 0

∀ (ψ : K →ₐ[ℚ] ℂ), w.embedding.toRatAlgHom ↑x = ψ ↑x → w.embedding.toRatAlgHom = ψ


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : 𝓞 K

Context: w : InfinitePlace K

Context: h₁ : x ≠ 0

∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap ℚ ℂ) (minpoly ℚ x)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α


∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = (Seq.map ret s).join ∧ s2 = s) (Seq.map ret s).join.destruct s.destruct


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Set α
a : α


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

∑ w : InfinitePlace K, w.mult = FiniteDimensional.finrank ℚ K


∑ w : InfinitePlace K, w.mult = ∑ j : InfinitePlace K, ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => mk i = j) Finset.univ, 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R

coeff m (p * X s) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0


(if Finsupp.single s 1 ≤ m then coeff (m - Finsupp.single s 1) p * 1 else 0) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A

(∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ (LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f = LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)


(∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: h2 : IsUnit 2

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: h : ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1

Context: x : M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: h2 : IsUnit 2

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: x : M

Context: h : ∀ (x y : M), f x * f y + f y * f x = (algebraMap R A) (QuadraticMap.polar (⇑Q) x y)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: h2 : IsUnit 2

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: x : M

2 * (f x * f x) = 2 * (algebraMap R A) (Q x)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

derivWithin (fun y => f y - c) s x = derivWithin f s x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : 𝕜 → E

Context: a b : 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b

Context: this : ContinuousWithinAt (fun x => (x - a) • dslope f a x + f a) s b


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g h : G
a : α


Context:
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a) = p


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

isomorphisms Scheme f✝ ↔ (@IsOpenImmersion ⊓ @Surjective) f✝


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b

Nonempty (Path (IsFreeGroupoid.symgen a) (IsFreeGroupoid.symgen b))


FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk (IsFreeGroupoid.symgen b)) * (FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk (IsFreeGroupoid.symgen a)))⁻¹ = 1


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid G

Context: inst✝ : IsFreeGroupoid G

Context: a b : G

Context: p : a ⟶ b

Context: X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))

Context: f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)

Context: F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f

Context: a✝ b✝ : Generators G

Context: e✝ : a✝ ⟶ b✝

F.map (of e✝) = ((Functor.const G).obj ()).map (of e✝)


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid G

Context: inst✝ : IsFreeGroupoid G

Context: a b : G

Context: p : a ⟶ b

Context: a✝ b✝ : Generators G

Context: e✝ : a✝ ⟶ b✝


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid G

Context: inst✝ : IsFreeGroupoid G

Context: a b : G

Context: p : a ⟶ b

Context: a✝ b✝ : Generators G

Context: e✝ : a✝ ⟶ b✝

WeaklyConnectedComponent.mk b✝ = WeaklyConnectedComponent.mk (let_fun this := a✝; this)


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Groupoid G

Context: inst✝ : IsFreeGroupoid G

Context: a b : G

Context: p : a ⟶ b

Context: a✝ b✝ : Generators G

Context: e✝ : a✝ ⟶ b✝

Nonempty (Path b✝ (let_fun this := a✝; this))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A R
m : A

mk ((algebraMap A R) m) 1 = (algebraMap A (Localization M)) m


(algebraMap R (Localization M)) ((algebraMap A R) m) = (algebraMap A (Localization M)) m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι

Context: a b : ℝ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: N : ι

Context: n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hnm : n ≤ m

Monotone fun n => lowerCrossingTime a b f N n ω


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.62699, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'

K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' + K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n

(algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 A


(algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 (toEuclideanLin A)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

IsIso (ModuleCat.ofHom (ofTensorProduct I M))


Epi (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 0 ⋯)


IsIso (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 1 ⋯)


IsIso (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 3 ⋯)


Mono (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 4 ⋯)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b

a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
r : F.M → Sort u_2
f : (x : ↑F F.M) → r (M.mk x)
fst✝ : F.A
snd✝ : F.B fst✝ → F.M

f ⟨match 0, CofixA.intro fst✝ fun i => (snd✝ i).approx 0 with | x, CofixA.intro i a => i, fun i => children { approx := Approx.sMk ⟨fst✝, snd✝⟩, consistent := ⋯ } i⟩ = f ⟨fst✝, snd✝⟩


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C

({ toFun := fun α => whiskerLeft ((R₃ ⋙ R₁) ⋙ G) { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₂.obj X) Z).trans (adj₂.homEquiv X (R₄.obj Z)), unit := adj₂.unit ≫ whiskerLeft L₂ (whiskerRight adj₄.unit R₂) ≫ (L₂.associator (L₄ ⋙ R₄) R₂).inv, counit := (R₄.associator R₂ (L₂ ⋙ L₄)).hom ≫ whiskerLeft R₄ (whiskerRight adj₂.counit L₄) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft (R₃ ⋙ R₁) α) (R₄ ⋙ R₂) ≫ whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₃.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (R₃.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₃.unit R₁) ≫ (L₁.associator (L₃ ⋙ R₃) R₁).inv, counit := (R₃.associator R₁ (L₁ ⋙ L₃)).hom ≫ whiskerLeft R₃ (whiskerRight adj₁.counit L₃) ≫ adj₃.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit (K ⋙ R₄ ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₃.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (R₃.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₃.unit R₁) ≫ (L₁.associator (L₃ ⋙ R₃) R₁).inv, counit := (R₃.associator R₁ (L₁ ⋙ L₃)).hom ≫ whiskerLeft R₃ (whiskerRight adj₁.counit L₃) ≫ adj₃.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit (G ⋙ L₂ ⋙ L₄) ≫ whiskerRight (whiskerLeft (L₁ ⋙ L₃) β) (L₂ ⋙ L₄) ≫ whiskerLeft ((L₁ ⋙ L₃) ⋙ K) { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₂.obj X) Z).trans (adj₂.homEquiv X (R₄.obj Z)), unit := adj₂.unit ≫ whiskerLeft L₂ (whiskerRight adj₄.unit R₂) ≫ (L₂.associator (L₄ ⋙ R₄) R₂).inv, counit := (R₄.associator R₂ (L₂ ⋙ L₄)).hom ≫ whiskerLeft R₄ (whiskerRight adj₂.counit L₄) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (whiskerRight α L₄ ≫ whiskerLeft L₁ β)).app c = (whiskerLeft R₃ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α) ≫ whiskerRight ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₃ ⋙ H) adj₄.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₃ α) R₄ ≫ whiskerRight adj₃.counit (K ⋙ R₄), invFun := fun β => whiskerRight adj₃.unit (H ⋙ L₄) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₃ β) L₄ ≫ whiskerLeft (L₃ ⋙ K) adj₄.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } β) R₂).app c


adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (H.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))


adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ (R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c)))) ≫ R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c)) ≫ H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))


adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ ((R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c)))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))


adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ (L₃ ⋙ K).map (adj₁.counit.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m

IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic m ℚ)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
h : 0 ≠ m

IsCoprime (cyclotomic 0 ℚ) (cyclotomic m ℚ)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hnzero : n > 0
h : n ≠ 0

IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic 0 ℚ)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0
hmzero : m > 0


Context: a : ℝ


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x y : X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : R1Space X
h₂ : R1Space X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
i : Ordinal.{u}
hi : i < o

familyOfBFamily' r ho f (enum r i ⋯) = f i hi


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f s (t ∪ t') = image2 f s t ∪ image2 f s t'


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F

Context: Y₁ Y₂ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y₁

Context: φ : g₁ ⟶ g₂

(CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F).map φ ≫ (fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g)) g₂ = (fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g)) g₁ ≫ ((const (CostructuredArrow L Y₁)).obj (colimit (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F))).map φ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y : D

Context: j : CostructuredArrow L Y

colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj g), naturality := ⋯ } } = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j ≫ 𝟙 (colimit (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y : D

Context: j : CostructuredArrow L Y

colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y : D

Context: j : CostructuredArrow L Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: f' : Y₂ ⟶ Y₃

Context: j : CostructuredArrow L Y₁

colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj g), naturality := ⋯ } } = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f').obj g), naturality := ⋯ } }


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: f' : Y₂ ⟶ Y₃

Context: j : CostructuredArrow L Y₁

colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f').obj ((CostructuredArrow.map f).obj j))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: Y₁ Y₂ Y₃ : D

Context: f : Y₁ ⟶ Y₂

Context: f' : Y₂ ⟶ Y₃

Context: j : CostructuredArrow L Y₁

(CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j = (CostructuredArrow.map f').obj ((CostructuredArrow.map f).obj j)


Context: a✝ b c p q a : ℚ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
x : E


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
π₀ : Prepartition I

(l.toFilteriUnion I π₀).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J : Box ι

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝

Context: l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: π₀ : Prepartition I

Context: this : ∀ (c : ℝ≥0), (l.toFilterDistortioniUnion I c π₀).HasBasis l.RCond fun r => {π | l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}


Context:
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hl₁ : l₁.Nodup


Context: F✝¹ : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: p : K[X]

Context: F✝ : IntermediateField K L

Context: x : L

Context: int : IsIntegral K x

Context: F : IntermediateField K L

Context: h : Splits (algebraMap K ↥F) (minpoly K x)


Context: F✝¹ : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: p : K[X]

Context: F✝ : IntermediateField K L

Context: x : L

Context: int : IsIntegral K x

Context: F : IntermediateField K L


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α

s.Disjoint (t ∪ u) ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : ¬x = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s t : Set X

IsClosed (s ↓∩ t) ↔ s ∩ closure (s ∩ t) ⊆ t


Context:
R✝ : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : Fintype R✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite R


Context:
R✝ : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : Fintype R✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite R
val✝ : Fintype R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop

(∀ s ⊆ range f, p s) ↔ ∀ (s : Set α), p (f '' s)


(∀ s ⊆ range f, p s) ↔ ∀ a ∈ 𝒫 range f, p a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e✝ : β → α
h_e : UniformInducing e✝
h_dense : DenseRange e✝
f✝ : β → γ
h_f : UniformContinuous f✝
inst✝ : CompleteSpace γ
p : α → Prop
e : α → β
f : α → γ
b : β
s : Set α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
he : UniformEmbedding e
hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)
hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b
hs : IsClosed s
hp : ∀ x ∈ s, p x
de : DenseEmbedding e


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e✝ : β → α

Context: h_e : UniformInducing e✝

Context: h_dense : DenseRange e✝

Context: f✝ : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f✝

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: p : α → Prop

Context: e : α → β

Context: f : α → γ

Context: b : β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformContinuous fun x => f ↑x

Context: he : UniformEmbedding e

Context: hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)

Context: hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b

Context: hs : IsClosed s

Context: hp : ∀ x ∈ s, p x

Context: de : DenseEmbedding e

Context: de' : DenseEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e✝ : β → α

Context: h_e : UniformInducing e✝

Context: h_dense : DenseRange e✝

Context: f✝ : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f✝

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: p : α → Prop

Context: e : α → β

Context: f : α → γ

Context: b : β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformContinuous fun x => f ↑x

Context: he : UniformEmbedding e

Context: hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)

Context: hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b

Context: hs : IsClosed s

Context: hp : ∀ x ∈ s, p x

Context: de : DenseEmbedding e

Context: ue' : UniformEmbedding (DenseEmbedding.subtypeEmb p e)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e✝ : β → α

Context: h_e : UniformInducing e✝

Context: h_dense : DenseRange e✝

Context: f✝ : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f✝

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: p : α → Prop

Context: e : α → β

Context: f : α → γ

Context: b : β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformContinuous fun x => f ↑x

Context: he : UniformEmbedding e

Context: hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)

Context: hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b

Context: hs : IsClosed s

Context: hp : ∀ x ∈ s, p x

Context: de : DenseEmbedding e

Context: this : b ∈ closure (e '' {x | p x})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e✝ : β → α

Context: h_e : UniformInducing e✝

Context: h_dense : DenseRange e✝

Context: f✝ : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f✝

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: p : α → Prop

Context: e : α → β

Context: f : α → γ

Context: b : β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformContinuous fun x => f ↑x

Context: he : UniformEmbedding e

Context: hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)

Context: hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b

Context: hs : IsClosed s

Context: hp : ∀ x ∈ s, p x

Context: de : DenseEmbedding e

Context: this : b ∈ closure (e '' {x | p x})

Context: c : γ

Context: hc : Tendsto (fun x => f ↑x) (comap (DenseEmbedding.subtypeEmb p e) (𝓝 ⟨b, this⟩)) (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e✝ : β → α

Context: h_e : UniformInducing e✝

Context: h_dense : DenseRange e✝

Context: f✝ : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f✝

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: p : α → Prop

Context: e : α → β

Context: f : α → γ

Context: b : β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformContinuous fun x => f ↑x

Context: he : UniformEmbedding e

Context: hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)

Context: hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b

Context: hs : IsClosed s

Context: hp : ∀ x ∈ s, p x

Context: de : DenseEmbedding e

Context: this : b ∈ closure (e '' {x | p x})

Context: c : γ

Context: hc : Tendsto (f ∘ Subtype.val) (comap Subtype.val (comap e (𝓝 b))) (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e✝ : β → α

Context: h_e : UniformInducing e✝

Context: h_dense : DenseRange e✝

Context: f✝ : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f✝

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: p : α → Prop

Context: e : α → β

Context: f : α → γ

Context: b : β

Context: s : Set α

Context: hf : UniformContinuous fun x => f ↑x

Context: he : UniformEmbedding e

Context: hd : ∀ (x : β), x ∈ closure (range e)

Context: hb : closure (e '' s) ∈ 𝓝 b

Context: hs : IsClosed s

Context: hp : ∀ x ∈ s, p x

Context: de : DenseEmbedding e

Context: this : b ∈ closure (e '' {x | p x})

Context: c : γ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: x : R

Context: hx : x ∈ σₙ R 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: x : R

Context: hx : x ∈ 0 '' σₙ R 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: s : Set E

Context: g : F →L[𝕜] G

Context: h : AnalyticOn 𝕜 f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: hd : finrank K V = d + 1


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: hd : finrank K V = d + 1

Context: this : Nontrivial V


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: hd : finrank K V = d + 1

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₂ : IsSymm 0


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: hd : finrank K V = d + 1

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: hd : finrank K V = d + 1

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1

Context: hx : ¬IsOrtho B x x


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)