Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
H : μ.restrict s = ν.restrict s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : MeasurableSet t


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s s' t✝ : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: H : ∀ t ⊆ s, MeasurableSet t → μ t = ν t

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
h : ∃! x, ∃! hx, q x hx
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂
h : ∃! x, ∃ hx, q x hx


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : f.IsSemisimple


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p

Context: hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q

∀ p_1 ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) p_1, ∃ q ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) q, IsCompl p_1 q


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p

Context: q : Submodule R ↥p

Context: hq : MapsTo ⇑f ↑(Submodule.map p.subtype q) ↑(Submodule.map p.subtype q)

Context: r : Submodule R M

Context: hr₁ : r ≤ Submodule.comap f r

Context: hr₂ : IsCompl (Submodule.map p.subtype q) r


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: p : Submodule R M

Context: hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p

Context: q : Submodule R ↥p

Context: r : Submodule R M

Context: hr₁ : r ≤ Submodule.comap f r

IsCompl (Submodule.comap p.subtype (Submodule.map p.subtype q)) (Submodule.comap p.subtype r)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Set M

Context: hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x

Context: h : t ⊆ s

Context: hst : s ⊆ ↑(span R t)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Set M

Context: h : t ⊆ s

Context: hst : s ⊆ ↑(span R t)

Context: f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Set M

Context: h : t ⊆ s

Context: hst : s ⊆ ↑(span R t)

Context: h_surj : Surjective ⇑f


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Set M

Context: h : t ⊆ s

Context: hst : s ⊆ ↑(span R t)

Context: h_surj : Surjective ⇑f

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: y : ↑t

Context: hy : f y = ⟨x, hx⟩


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20097, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M✝ : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
M : Sublattice β
e : β ≃o α

map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L = M ↔ L = map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M


↑(map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L) = ↑M ↔ ↑L = ↑(map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ : C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y

f.hom.unop ≫ f.inv.unop = 𝟙 (Opposite.unop Y)


f.inv.unop ≫ f.hom.unop = 𝟙 (Opposite.unop X)


Context:
x y z : ℂ
h₁ : -π < (log x * y).im
h₂ : (log x * y).im ≤ π


(if x = 0 then if y * z = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * (y * z))) = if (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y)) = 0 then if z = 0 then 1 else 0 else cexp (log (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y)) * z)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)

Collinear k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: h : Collinear k s ↔ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DivisionRing k

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: h : Collinear k s ↔ ↑(finrank k ↥(vectorSpan k s)) ≤ 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X

T1Space (SeparationQuotient X) ↔ R0Space X


(∀ ⦃x y : SeparationQuotient X⦄, x ⤳ y → x = y) ↔ Symmetric Specializes


Context:
n : ℕ
e : PartENat


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
Z : ?m.78767
f : X → Y

range (toPullbackDiag f) = pullbackDiagonal f


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hq : ¬IsUnit q
hsep : p.Separable


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p✝ q✝ : ℕ

Context: p q : R[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: hq : 1 < multiplicity q p

Context: h : { Dom := Part.Dom 1 ∧ Part.Dom 1, get := fun x => 2 } ≤ multiplicity q p


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p✝ q✝ : ℕ

Context: p q : R[X]

Context: hsep : p.Separable

Context: hq : 1 < multiplicity q p

Context: h : { Dom := Part.Dom 1, get := fun x => 2 } ≤ multiplicity q p


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: h : ∀ (v w : V) (p q : G.Path v w), p = q

Context: v : V

Context: c : G.Walk v v

Context: hc : c.IsCycle


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: v : V

Context: c : G.Walk v v

Context: hc : c.IsTrail ∧ ¬c = nil ∧ c.support.tail.Nodup


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)

Context: h0 : p 0

Context: h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f

Context: h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)

Context: a : A

Context: ha : p a

∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a ∧ (∀ (f : C(↑(spectrum R a), R)), spectrum R (φ f) = range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(spectrum R a), R)), p (φ f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

ClosedEmbedding ⇑(starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

(starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

∀ (f_1 : C(↑(spectrum R a), R)), spectrum R ((starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) f_1) = range ⇑f_1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: h0 : p 0

Context: a : A

Context: ha : p a

∀ (f_1 : C(↑(spectrum R a), R)), p ((starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) f_1)


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
p : α × β → Prop

(∃ᶠ (x : α × β) in l.curry m, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in l, ∃ᶠ (y : β) in m, p (x, y)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
inst✝ : Nonempty α
h_Union : ⋃ i, s i = univ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Context: e : ↑(F.obj (X ⨿ Y)) ≃ ↑(F.obj X) ⊕ ↑(F.obj Y) := ((PreservesColimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).symm ≪≫ Types.binaryCoproductIso (FintypeCat.incl.obj (F.obj X)) (FintypeCat.incl.obj (F.obj Y))).toEquiv

Nat.card ↑(F.obj (X ⨿ Y)) = Nat.card ↑(F.obj X) + Nat.card ↑(F.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X Y : C

Nat.card ↑(F.obj (X ⨿ Y)) = Nat.card (↑(F.obj X) ⊕ ↑(F.obj Y))


Context:
f : Char → Char
s : String


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y'✝ : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p'✝ : Y✝ ⟶ Y'✝
A B X Y X' Y' : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
p' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk p ≅ Arrow.mk p'
a✝ : HasLiftingProperty i p


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y'✝ : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p'✝ : Y✝ ⟶ Y'✝
A B X Y X' Y' : C
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
p' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk p ≅ Arrow.mk p'
a✝ : HasLiftingProperty i p'


Context: α : Type u_1

Context: N : α → Type u_2

Context: inst✝⁵ : DecidableEq α

Context: M : α → Type u_3

Context: P : α → Type u_4

Context: inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)

Context: inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)

Context: inst✝² : (a : α) → Zero (P a)

Context: inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (M a)

Context: inst✝ : (a : α) → DecidableEq (P a)

Context: F : (a : α) → M a → N a → P a

Context: F0 : ∀ (a : α), F a 0 0 = 0

Context: f₁ f₂ : Π₀ (a : α), M a

Context: g : Π₀ (a : α), N a

Context: hF : ∀ (a : α) (g : N a), Function.Injective fun f => F a f g

Context: a : α

a ∈ (zipWith F F0 f₁ g).neLocus (zipWith F F0 f₂ g) ↔ a ∈ f₁.neLocus f₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x (y * z)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime (y * z) x


Context:
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card G
a : G
ha : ∀ (x : G), x ∈ zpowers a


Context:
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
a : G
ha : ∀ (x : G), x ∈ zpowers a
k_lt_card_G : a ^ k = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
f : M →ₗ[R] P
g₁ g₂ : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

(((mk R M N).compr₂ (map f (g₁ + g₂))) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (map f g₁ + map f g₂)) x✝¹) x✝


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else 1 / 2 * ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t))) ((↑(evenKernel (↑a) t) - ↑(if ↑a = 0 then 1 else 0)) / 2)

HasSum (fun n => s.Gammaℝ / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (mellin (fun t => (↑(evenKernel (↑a) t) - ↑(if ↑a = 0 then 1 else 0)) / 2) (s / 2))


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Summable fun i => ‖1 / 2‖ / |↑i + a| ^ s.re


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℤ

s.Gammaℝ / ↑|↑n + a| ^ s / 2 = s.Gammaℝ * (1 / 2) / ↑|↑n + a| ^ s


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂

K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁', i₂) i₁₂


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)

K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (c₁.next i₁, i₂) i₁₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
S : Set α
hg : UniformInducing g

map (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)) ≤ 𝓤 β ↔ map (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)) ≤ 𝓤 γ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddAbove s

Context: ht₀ : t.Nonempty

Context: ht₁ : BddBelow t


Context:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
x : R

x ∈ ↑⊥ ↔ x = 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty
h✝ : Subsingleton α


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : BoundedOrder α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty
h✝ : Nontrivial α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
M N : PresheafOfModules R
φ : M ⟶ N
x : ↑((evaluation R X).obj M)

((evaluation R X).map φ ≫ restrictionApp f N) x = (restrictionApp f M ≫ (evaluation R Y ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map φ) x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a⁻¹ ∈ s


Context: x : ℂ


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q

(contractRight (b * (ι Q) a)) d = d a • b - (contractRight b) d * (ι Q) a


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hfg : Multipliable fun b => f b / g b
hf : Multipliable f


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
x : 𝕜
hx : 0 < x


Context:
α : Type u
β : α → Type v

#((a : α) × (β a → WType β)) = sum fun a => #(WType β) ^ lift.{u, v} #(β a)


Context:
α : Type u
β : α → Type v

(sum fun i => lift.{v, max u v} #(WType β) ^ lift.{max u v, v} #(β i)) = sum fun a => #(WType β) ^ lift.{u, v} #(β a)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x - y‖ = √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y

Context: hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y

Context: h : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y

Context: h : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M₁₁ : Matrix m m R

Context: M₁₂ : Matrix m n R

Context: M₂₁ : Matrix n m R

Context: M₂₂ M✝ : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : M.charpoly • 1 = M.charmatrix.adjugate * M.charmatrix


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M₁₁ : Matrix m m R

Context: M₁₂ : Matrix m n R

Context: M₂₁ : Matrix n m R

Context: M₂₂ M✝ : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : matPolyEquiv (M.charpoly • 1) = matPolyEquiv (M.charmatrix.adjugate * M.charmatrix)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M₁₁ : Matrix m m R

Context: M₁₂ : Matrix m n R

Context: M₂₁ : Matrix n m R

Context: M₂₂ M✝ : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : matPolyEquiv (M.charpoly • 1) = matPolyEquiv M.charmatrix.adjugate * (X - C M)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M₁₁ : Matrix m m R

Context: M₁₂ : Matrix m n R

Context: M₂₁ : Matrix n m R

Context: M₂₂ M✝ : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : eval M (matPolyEquiv (M.charpoly • 1)) = eval M (matPolyEquiv M.charmatrix.adjugate * (X - C M))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M₁₁ : Matrix m m R

Context: M₁₂ : Matrix m n R

Context: M₂₁ : Matrix n m R

Context: M₂₂ M✝ : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : eval M (matPolyEquiv (M.charpoly • 1)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : Fintype n

Context: M₁₁ : Matrix m m R

Context: M₁₂ : Matrix m n R

Context: M₂₁ : Matrix n m R

Context: M₂₂ M✝ : Matrix n n R

Context: i j : n

Context: M : Matrix n n R

Context: h : eval₂ (algebraMap R (Matrix n n R)) M M.charpoly = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (quasiIso C c).HasLocalization
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : quasiIso C c x✝


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (quasiIso C c).HasLocalization
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : QuasiIso x✝


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E

Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x


(Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this✝ : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable E ↥E⟮x⟯


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this✝² : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
this✝¹ : Algebra.IsSeparable E ↥E⟮x⟯
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥F⟮x⟯
this : Algebra.IsAlgebraic E ↥E⟮x⟯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t
x_lt_top : x < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t
x_lt_top : x < ⊤
obs : min t x ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ pi Set.univ p
x' : (i : ι) → Ms i

invFun p (toFun p (Quotient.mk'' x')) = Quotient.mk'' x'


invFun p (toFun p (Quotient.mk x')) = Quotient.mk x'


(piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) ((quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯) (Quotient.mk x')) = Quotient.mk x'


Context:
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range

(MulEquiv.refl (A ⧸ (zpowGroupHom n).range)) x = (equivQuotientZPowOfEquiv (MulEquiv.refl A) n) x


(MulEquiv.refl (A ⧸ (zpowGroupHom n).range)) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x)) = (equivQuotientZPowOfEquiv (MulEquiv.refl A) n) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : v ∈ Kᗮ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: hl : l.HasBasis p s

Context: hl' : l'.HasBasis p' s'

Context: h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i

Context: h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: t : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: hl : l.HasBasis p s

Context: hl' : l'.HasBasis p' s'


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0


↑(q.num * r.den) / ↑(q.den * r.num) = ↑q.num * ↑r.den / (↑q.den * ↑r.num)


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

(α_ X (𝟙_ C) Y).inv ≫ (ρ_ X).hom ▷ Y = X ◁ (λ_ Y).hom


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R

⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p = {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0}


⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p = {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator}


∀ i ∈ associatedPrimes R M, ↑i ⊆ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator}


{r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator} ⊆ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCommMonoid M
i : α
f : α → M
hf : (mulSupport f).Finite
h : ∀ (j : α), 1 ≤ f j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0
prop : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0
prop : a.x = 1 ∨ a.x = -1


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : ker f = ⊥
p p' : Submodule R M


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n

x = ↑x.valMinAbs ∧ x.valMinAbs * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n


-(↑n * 2) < x.valMinAbs * 2 - y * 2 ∧ x.valMinAbs * 2 - y * 2 < ↑n * 2


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E


o.volumeForm ![x, y] = -o.volumeForm ![y, x]


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsEmpty α

Context: β : α → Type u_5

Context: m : (α : α) → MeasurableSpace (β α)

Context: μ : (a : α) → Measure (β a)


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V

e ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ e ∈ (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}


∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}


∀ (x y : V), (if x = t then if y = t then False else G.Adj s y else if y = t then G.Adj x s else G.Adj x y) ↔ (G.Adj x y ∧ ¬(G.Adj x y ∧ (t = x ∨ t = y)) ∨ s(x, y) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x, y) ∉ {s(t, t)}


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : y✝ = t

False ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t

G.Adj s y✝ ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : y✝ = t

G.Adj x✝ s ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t

G.Adj x✝ y✝ ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : b ≤ a

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : S
b' : R
hb : (algebraMap R S) b' = b


Context:
m : ℤ
n : ℕ

↑m * powHalf (Submonoid.log (Submonoid.pow 2 n)) = ↑m * powHalf n


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g ≫ f = g


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : PresheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Z

Context: hf : IsOpenImmersion f

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

pullback.fst f g ≫ f = pullback.snd f g ≫ g


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n

p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : i.succ ≤ p.rev


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : p.rev ≤ i.castSucc


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
k : Set G
H H' : Subgroup G


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.restrict t).restrict s = (μ.restrict s).restrict t


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hst : s ⊆ t

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

∫⋯∫⁻_t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ


Context: α : Type u

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : DenselyOrdered α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : ExistsMulOfLE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε

Context: x : α

Context: hxb : b < x


Context: α : Type u

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : DenselyOrdered α

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : ExistsMulOfLE α

Context: a b : α

Context: h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε

Context: ε : α

Context: hxb : b < b * ε


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Subsingleton R


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℤ
hpn : IsCoprime n ↑p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ¬↑n = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X


𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t ∧ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ s ↔ s ≤ t ∧ t ≤ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : a * b < b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hst : s ⊆ f ⁻¹' u

HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hst : s ⊆ f ⁻¹' u

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f)) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hst : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: A : HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'

Context: hst : s ⊆ f ⁻¹' u

writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) (↑(extChartAt I x) x) = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : MulPosReflectLT α
h : 0 < b


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

(β_ X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv


(α_ X Y Z).hom ≫ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv


((α_ X Y Z).hom ≫ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom) ≫ (α_ Y Z X).hom = ((α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv) ≫ (α_ Y Z X).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

(μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) = (μ.withDensity f).toSignedMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

↑(μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) i = ↑(μ.withDensity f).toSignedMeasure i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

∫⁻ (x : α) in i, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hfm : AEMeasurable f μ

Context: hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

∫⁻ (x : α) in i, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in Set.univ, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤
x✝ : ℕ


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤
x✝ : ℕ
i : R


Context:
b✝ b : ℂ
c T : ℝ


Context:
b✝ b : ℂ
c T : ℝ

rexp (-((↑b.re + ↑b.im * I) * (↑T + ↑c * I) ^ 2).re) = rexp (-((↑b.re + ↑b.im * I).re * T ^ 2 - 2 * (↑b.re + ↑b.im * I).im * c * T - (↑b.re + ↑b.im * I).re * c ^ 2))


Context:
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: c : Set (ExtensionOf i f)

Context: hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: a : ExtensionOf i f

Context: a_mem : a ∈ c

Context: b : ExtensionOf i f

Context: b_mem : b ∈ c

Context: neq : (fun x => x.toLinearPMap) a ≠ (fun x => x.toLinearPMap) b

(fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun x => x.toLinearPMap) a) ((fun x => x.toLinearPMap) b) ∨ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun x => x.toLinearPMap) b) ((fun x => x.toLinearPMap) a)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s✝ s : Set α
t : Set β

latticeClosure (s ×ˢ t) = latticeClosure s ×ˢ latticeClosure t


supClosure (infClosure (s ×ˢ t)) = supClosure (infClosure s) ×ˢ supClosure (infClosure t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: e✝ : PartialEquiv α β

Context: e'✝ : PartialEquiv β γ

Context: e e' : PartialEquiv α β

Context: h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x

Context: hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x

Context: hs : e.source = e'.source

Context: A : ↑e = ↑e'

Context: B : ↑e.symm = ↑e'.symm


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: e✝ : PartialEquiv α β

Context: e'✝ : PartialEquiv β γ

Context: e e' : PartialEquiv α β

Context: h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x

Context: hs : e.source = e'.source

Context: A : ↑e = ↑e'

Context: B : ↑e.symm = ↑e'.symm

Context: I : ↑e '' e.source = e.target


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: e✝ : PartialEquiv α β

Context: e'✝ : PartialEquiv β γ

Context: e e' : PartialEquiv α β

Context: h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x

Context: hs : e.source = e'.source

Context: A : ↑e = ↑e'

Context: B : ↑e.symm = ↑e'.symm

Context: I : ↑e '' e.source = e.target

Context: I' : ↑e' '' e'.source = e'.target


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: l m : List α

Context: a : α

Context: _H : ∀ (hl : m ≠ []), Chain r ↑m ↔ List.Chain r (m.getLast hl) m

Context: hl✝ : m ++ [a] ≠ []

Chain r ↑(m ++ [a]) ↔ List.Chain r ((m ++ [a]).getLast hl✝) (m ++ [a])


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
S✝ T✝ : Submodule R M
h : S✝ ≤ T✝
S T : Submodule R M
hST : T ≤ S

Nat.card ↥(map T.mkQ S) * Nat.card (M ⧸ S) = Nat.card (M ⧸ T)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: ht : NullMeasurableSet t μ

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0

Context: u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: ht : NullMeasurableSet t μ

Context: u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}

Context: hu : IntegrableOn f u μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: ht : NullMeasurableSet t μ

Context: u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}

Context: hu : IntegrableOn f u μ

Context: v : Set α := toMeasurable μ u

Context: A : IntegrableOn f v μ

Context: B : IntegrableOn f (t \ v) μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Ioo a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iio b) b


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂


∀ (i : ↥H), ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) i) i


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
y : ↥H

⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) y) y


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
y : ↥H
hx : x ∈ weightSpaceOf L (χ₁ y) y


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
y : ↥H
hx : x ∈ weightSpaceOf L (χ₁ y) y
hm : m ∈ weightSpaceOf M (χ₂ y) y


Context:
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0


Context:
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
ha : u.r + ↑u.b * u.q = ↑u.a := rq_eq u


Context: u : XgcdType

Context: hr✝ : u.r ≠ 0

Context: ha : u.r + ↑u.b * u.q = ↑u.a := rq_eq u

Context: hr : u.r - 1 + 1 = u.r := Eq.trans (add_comm (u.r - 1) 1) (add_tsub_cancel_of_le (Nat.pos_of_ne_zero hr✝))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : DecidableEq ι
a x : ι → ℝ

(x ∈ parallelepiped fun i => Pi.single i (a i)) ↔ x ∈ uIcc 0 a


(∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a) ↔ ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
hn' : 2 ≤ l'.length

l.formPerm.Disjoint l'.formPerm ↔ l.Disjoint l'


(∀ (x : α), l.formPerm x = x ∨ l'.formPerm x = x) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l → a ∈ l' → False


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
a_ne_top : a ≠ ⊤

Continuous (uncurry Sub.sub ∘ fun x => (a, x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
a_ne_top : a ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.104963}
a : (Quotient.out (succ o)).α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
a : (Quotient.out (succ o)).α

typein (fun x x_1 => x < x_1) a < succ o


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: hf : Tendsto f l (𝓝 1)

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (Norm.norm ∘ g) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x C

Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: hf : Tendsto f l (𝓝 1)

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε > 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : 0 < δ

Context: hδ : A * C * δ < ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: hf✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : 0 < δ

Context: hδ : A * C * δ < ε

Context: i : α

Context: hf : ‖f i‖ < δ

Context: hg : (Norm.norm ∘ g) i ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : 0 < δ

Context: hδ : A * C * δ < ε

Context: i : α

Context: hf : ‖f i‖ < δ

Context: hg : (Norm.norm ∘ g) i ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : 0 < δ

Context: hδ : A * C * δ < ε

Context: i : α

Context: hf : ‖f i‖ < δ

Context: hg : (Norm.norm ∘ g) i ≤ C

Context: hA : A ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝² : SeminormedGroup E

Context: inst✝¹ : SeminormedGroup F

Context: inst✝ : SeminormedGroup G

Context: s : Set E

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: l : Filter α

Context: op : E → F → G

Context: A : ℝ

Context: C : ℝ

Context: ε : ℝ

Context: ε₀ : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δ₀ : 0 < δ

Context: hδ : A * C * δ < ε

Context: i : α

Context: hf : ‖f i‖ < δ

Context: hg : (Norm.norm ∘ g) i ≤ C

Context: hA : 0 ≤ A


Context:
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₀ : T.mor₃ = 0

Context: inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂

Context: inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃

Context: fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁

Context: total : fst ≫ T.mor₁ + T.mor₂ ≫ inr = 𝟙 T.obj₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₀ : T.mor₃ = 0

Context: inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂

Context: inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃

Context: fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁

Context: this : Mono T.mor₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₀ : T.mor₃ = 0

Context: inr : T.obj₃ ⟶ T.obj₂

Context: inr_snd : inr ≫ T.mor₂ = 𝟙 T.obj₃

Context: fst : T.obj₂ ⟶ T.obj₁

Context: this : Mono T.mor₁

Context: eq : fst ≫ T.mor₁ = 𝟙 T.obj₂ - T.mor₂ ≫ inr


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : (S →₀ S) ⧸ kerTotal R S

(derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential (__src✝.toFun x) = x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S →₀ S

(derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential (__src✝.toFun ((kerTotal R S).mkQ x)) = (kerTotal R S).mkQ x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]

__src✝.toFun ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential x) = x


__src✝.toFun ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ((Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x)) = (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S →₀ S

Context: this : ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x = (kerTotal R S).mkQ x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: x : S →₀ S

Context: this : (derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ((Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x) = (kerTotal R S).mkQ x


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 1

Context: x : X

Context: V : Set G

Context: V_mem : V ∈ 𝓝 1

Context: V_closed : IsClosed V

Context: V_symm : V⁻¹ = V

Context: VU : V * V ⊆ U

Context: s : Set G

Context: s_count : s.Countable

Context: hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ

Context: K : ℕ → Set G := compactCovering G

Context: F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}

Context: n : ℕ

Context: g : G

Context: hg : g ∈ s

Context: hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 1

Context: x : X

Context: V : Set G

Context: V_mem : V ∈ 𝓝 1

Context: V_closed : IsClosed V

Context: V_symm : V⁻¹ = V

Context: VU : V * V ⊆ U

Context: s : Set G

Context: s_count : s.Countable

Context: hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ

Context: K : ℕ → Set G := compactCovering G

Context: n : ℕ

Context: g : G

Context: hg : g ∈ s

Context: I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 1

Context: x : X

Context: V : Set G

Context: V_mem : V ∈ 𝓝 1

Context: V_closed : IsClosed V

Context: V_symm : V⁻¹ = V

Context: VU : V * V ⊆ U

Context: s : Set G

Context: s_count : s.Countable

Context: hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ

Context: K : ℕ → Set G := compactCovering G

Context: n : ℕ

Context: g : G

Context: hg : g ∈ s

Context: I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty

Context: y : X

Context: hy : y ∈ interior (V • {x})


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 1

Context: x : X

Context: V : Set G

Context: V_mem : V ∈ 𝓝 1

Context: V_closed : IsClosed V

Context: V_symm : V⁻¹ = V

Context: VU : V * V ⊆ U

Context: s : Set G

Context: s_count : s.Countable

Context: hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ

Context: K : ℕ → Set G := compactCovering G

Context: n : ℕ

Context: g : G

Context: hg : g ∈ s

Context: I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty

Context: g' : G

Context: hg' : g' ∈ V

Context: hy : g' • x ∈ interior (V • {x})


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 1

Context: x : X

Context: V : Set G

Context: V_mem : V ∈ 𝓝 1

Context: V_closed : IsClosed V

Context: V_symm : V⁻¹ = V

Context: VU : V * V ⊆ U

Context: s : Set G

Context: s_count : s.Countable

Context: hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ

Context: K : ℕ → Set G := compactCovering G

Context: n : ℕ

Context: g : G

Context: hg : g ∈ s

Context: I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty

Context: g' : G

Context: hg' : g' ∈ V

Context: hy : g' • x ∈ interior (V • {x})

Context: J : (g'⁻¹ • V) • {x} ∈ 𝓝 x


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 1

Context: x : X

Context: V : Set G

Context: V_mem : V ∈ 𝓝 1

Context: V_closed : IsClosed V

Context: V_symm : V⁻¹ = V

Context: VU : V * V ⊆ U

Context: s : Set G

Context: s_count : s.Countable

Context: hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ

Context: K : ℕ → Set G := compactCovering G

Context: n : ℕ

Context: g : G

Context: hg : g ∈ s

Context: I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty

Context: g' : G

Context: hg' : g' ∈ V

Context: hy : g' • x ∈ interior (V • {x})

Context: J : (g'⁻¹ • V) • {x} ∈ 𝓝 x

Context: this : (g'⁻¹ • V) • {x} ⊆ U • {x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

a ∈ Ι b c ↔ b < a ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ a ≤ b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n R
x✝¹ : n → R
x✝ : m

Mᵀ.vecMulLinear x✝¹ x✝ = M.mulVecLin x✝¹ x✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DivisionCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'

(ofSet s hs).trans (ofSet s' hs') = ofSet (s ∩ s') ⋯


(ofSet s hs).restr (↑(ofSet s hs) ⁻¹' s') = ofSet (s ∩ s') ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : f ⁻¹' s = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : ∀ (x : α), f x ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae (r • μ)] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


(r • μ).withDensity (ν.rnDeriv (r • μ)) = (r • μ).withDensity (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ)


AEMeasurable (ν.rnDeriv (r • μ)) (r • μ)


AEMeasurable (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ) (r • μ)


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix m n α
h : IsUnit A.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a₁ a₂ : α
b : β
x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z

(Walk.boxProdLeft H b (cons' x y z h w)).ofBoxProdLeft = cons' x y z h w


cons ⋯ (Walk.boxProdLeft H b w).ofBoxProdLeft = cons' x y z h w


G.Adj (x, b).1 ((G.boxProdLeft H b).toHom y).1 ∧ (x, b).2 = ((G.boxProdLeft H b).toHom y).2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n✝ : ℕ
z : ℤ
x✝¹ : a ≡ b [PMOD p]
x✝ : b ≡ c [PMOD p]
m : ℤ
hm : b - a = m • p
n : ℤ
hn : c - b = n • p


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π


∀ ⦃s : Set (G ⧸ Γ)⦄, MeasurableSet s → (map π (μ.restrict 𝓕)) s = 0 → (map π μ) s = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (map π (μ.restrict 𝓕)) s = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (μ.restrict 𝓕) (π ⁻¹' s) = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (π ⁻¹' s ∩ 𝓕) = 0


Context: r : ℝ


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Bool
h : ¬p a = true


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
t : Set E := toMeasurable μ s


Measure.map X ℙ = μ.withDensity (t.indicator ((μ t)⁻¹ • 1))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s t : Seq α

map f (s.append t) = (map f s).append (map f t)


IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f (s.append t) ∧ s2 = (map f s).append (map f t)


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h✝ : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
h : ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
ha : a ∈ maximalIdeal R
hb : b ∈ maximalIdeal R


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
ha : ∃ a_1, a_1 * ϖ = a
hb : ∃ a, a * ϖ = b


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = ϖ * (ϖ * (a * b))


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
h : s ≤ t


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
z : Multiset α
h : s ≤ s + z


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
r : R


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P ⋙ F)) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom) ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R

RingQuot.add r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a + b) }


(match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a }, { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } with | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ (fun x x_1 => x + x_1) ⋯ ⋯ a b }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a + b) }


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : W.CoordinateRing


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: x : W.CoordinateRing

Context: h : ∑ i : Fin 2, (CoordinateRing.basis W).equivFun x i • (CoordinateRing.basis W) i = x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: W : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: x : W.CoordinateRing

Context: h : (CoordinateRing.basis W).equivFun x 0 • 1 + (CoordinateRing.basis W).equivFun x (Fin.succ 0) • (mk W) Y = x


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq (Option α)
s : Finset α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

ContDiffAt 𝕜 (↑(n + 1)) f x ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x


(∃ u ∈ 𝓝[insert x univ] x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x


(∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : FunLike 𝓕 E F
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ≥0
hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖f x‖₊ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ = 1


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : PerfectField K
p : K[X]
h : Irreducible p
q : K[X]
sqf : Squarefree (p * q)
dvd : p ∣ derivative (p * q)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : PerfectField K
p : K[X]
h : Irreducible p
q : K[X]
sqf : Squarefree (p * q)
dvd : p ∣ q


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
h : minpoly A x = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.IsEquivalence
inst✝ : (F ⋙ G).IsEquivalence


((F.asEquivalence.inverse ⋙ F.asEquivalence.functor) ⋙ G).IsEquivalence


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
a : α
f : α → ℝ≥0∞
x✝ : α
h : x✝ ≠ a


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ
hx : x ∈ s


Context:
ε : Type u_1
p : ε → Prop
inst✝ : DecidablePred p
ep ep' : Perm { a // p a }
en en' : Perm { a // ¬p a }
a : ε
h : ¬p a


Context:
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n
z : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen

Context: hd : ∀ ⦃s U : Set α⦄, p s → IsOpen U → p (s \ U)

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ s

Context: h0 : p ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε✝ r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h0 : p ∅

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hεs : ε + ε ≤ μ s

Context: hr : μ s - (ε + ε) < μ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U✝ s✝ : Set α

Context: ε✝ r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h0 : p ∅

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hεs : ε + ε ≤ μ s

Context: hr : μ s - (ε + ε) < μ s

Context: U : Set α

Context: hsU : U ⊇ s

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ s) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U✝ s✝ : Set α

Context: ε✝ r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h0 : p ∅

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hεs : ε + ε ≤ μ s

Context: hr : μ s - (ε + ε) < μ s

Context: U : Set α

Context: hsU : U ⊇ s

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ s) < ε

Context: U' : Set α

Context: hsU' : U' ⊇ U \ s

Context: hU'o : IsOpen U'

Context: hμU' : μ U' < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U✝ s✝ : Set α

Context: ε✝ r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h0 : p ∅

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hεs : ε + ε ≤ μ s

Context: hr : μ s - (ε + ε) < μ s

Context: U : Set α

Context: hsU : U ⊇ s

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ s) < ε

Context: U' : Set α

Context: hU'o : IsOpen U'

Context: hμU' : μ U' < ε

Context: hsU' : U \ U' ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U✝ s✝ : Set α

Context: ε✝ r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: H : μ.InnerRegularWRT p IsOpen

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h0 : p ∅

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hεs : ε + ε ≤ μ s

Context: hr : μ s - (ε + ε) < μ s

Context: U : Set α

Context: hsU : U ⊇ s

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ s) < ε

Context: U' : Set α

Context: hU'o : IsOpen U'

Context: hμU' : μ U' < ε

Context: hsU' : U \ U' ⊆ s

Context: K : Set α

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKc : p K

Context: hKr : μ U < μ K + ε


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
M : ModuleCat R
inst✝ : Subsingleton ↑M
X : ModuleCat R
f : M ⟶ X
x : ↑M


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s : Set X
t : Set Y
x : X
p : X × Y → Prop

(∀ᶠ (q : X × Y) in 𝓝ˢ (s ×ˢ t), p q) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ∃ px, (∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, px x') ∧ ∃ py, (∀ᶠ (y' : Y) in 𝓝 y, py y') ∧ ∀ {x : X}, px x → ∀ {y : Y}, py y → p (x, y)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Ring α
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) ρ

∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂ρ


∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (b : β) in Set.univ, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝ : StrongEpi (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
x✝ : Mono z
u : Q ⟶ X
v : R ⟶ Y
sq : CommSq u g z v


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝ : StrongEpi (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
x✝ : Mono z
u : Q ⟶ X
v : R ⟶ Y
sq : CommSq u g z v
h₀ : (f ≫ u) ≫ z = (f ≫ g) ≫ v


Context:
l m r : List Char
p : Nat

{ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.atEnd { byteIdx := p } = true ↔ p = utf8Len m


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂

Function.Injective ⇑f.dualMap ↔ Function.Surjective ⇑f


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
not_surj : ¬Function.Surjective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑f.dualMap


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
not_surj : range f < ⊤
inj : Function.Injective ⇑f.dualMap


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂
not_surj : range f < ⊤
inj : Function.Injective ⇑f.dualMap
φ : V₂ →ₗ[K] K
φ0 : φ ≠ 0
range_le_ker : range f ≤ ker φ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: φ : W.op.LeftFraction (Opposite.op Y) (Opposite.op X)

Context: eq : f.op = φ.map L.op ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: eq : f.op = φ.map L.op ⋯


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: A B : Finset (G × G)

Context: a b c d x y : G

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : DecidableEq G

Context: hε : ε * ↑(Fintype.card G) ^ 2 ≤ ↑A.card

(graph (Corners.triangleIndices A)).FarFromTriangleFree (ε / 9)