Context: I : Type u

Context: inst✝²⁵ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝²³ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝²² : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝²¹ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝²⁰ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝¹⁸ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: inst✝¹⁷ : (tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁶ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹⁵ : (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁴ : (tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃)).HasTensor X₄

Context: inst✝¹³ : X₁.HasTensor (tensorObj (tensorObj X₂ X₃) X₄)

Context: inst✝¹² : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))

Context: inst✝¹¹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹⁰ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃

Context: inst✝⁹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

Context: inst✝⁸ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (tensorObj X₂ X₃) X₄

Context: inst✝⁷ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (tensorObj X₂ X₃) X₄

Context: inst✝⁶ : X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄

Context: inst✝⁵ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: inst✝⁴ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄

Context: inst✝³ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: inst✝² : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝ : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: j i₁ i₂ i₃ i₄ : I

Context: h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j

ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ tensorHom (𝟙 X₁) (associator X₂ X₃ X₄).inv j ≫ (associator X₁ (tensorObj X₂ X₃) X₄).inv j ≫ tensorHom (associator X₁ X₂ X₃).inv (𝟙 X₄) j = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ (associator X₁ X₂ (tensorObj X₃ X₄)).inv j ≫ (associator (tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).inv j


Context: I : Type u

Context: inst✝²⁵ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝²³ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝²² : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝²¹ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝²⁰ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝⁹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

Context: inst✝⁶ : X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄

Context: inst✝⁵ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: inst✝ : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

Context: j i₁ i₂ i₃ i₄ : I

Context: h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j

(α_ (X₁ i₁) (X₂ i₂) (X₃ i₃ ⊗ X₄ i₄)).inv ≫ (α_ (X₁ i₁ ⊗ X₂ i₂) (X₃ i₃) (X₄ i₄)).inv ≫ ιTensorObj₃' X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ (i₁ + i₂ + i₃) ⋯ ▷ X₄ i₄ ≫ ιTensorObj (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃) X₄ (i₁ + i₂ + i₃) i₄ j ⋯ = ιTensorObj₄ X₁ X₂ X₃ X₄ i₁ i₂ i₃ i₄ j h ≫ (associator X₁ X₂ (tensorObj X₃ X₄)).inv j ≫ (associator (tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).inv j


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : MonoidWithZero S
r : R
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
x✝ : IsNilpotent (f r)
k : ℕ
hk : f r ^ k = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(eqToHom ⋯).app X ≫ (shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = 𝟙 (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).map ((shiftMonoidalFunctor C A).ε.app X)


eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso (𝟙_ (Discrete A)) { as := a }).inv.app X


Context: f✝ f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}


Context:
f✝ f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}


Context:
f✝ f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
l : List Unit

List.foldr (fun x => f) a l ≤ sup fun n => f^[n] a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b✝ : WithBot α
b : α
hb : b ≠ 0

⊥ * ↑b = Option.bind ⊥ fun a => Option.some (a * b)


⊥ = Option.bind ⊥ fun a => Option.some (a * b)


Context:
q a b c : ℚ
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ
hd : ¬d = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.79019, u_1} C
X : PresheafedSpace C

X.presheaf = (Presheaf.pushforward C (X.ofRestrict ⋯).base).obj (X.restrict ⋯).presheaf


X.presheaf = (Presheaf.pushforward C ((Opens.inclusionTopIso ↑X).inv ≫ (X.ofRestrict ⋯).base)).obj X.presheaf


X.presheaf = (Presheaf.pushforward C (𝟙 ↑X)).obj X.presheaf


X.presheaf = (𝟭 (Presheaf C ↑X)).obj X.presheaf


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
U✝ : Opens ↑↑X

X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app U✝).op = (eqToHom ⋯).app (op U✝)


op U✝ = op (⋯.functor.obj ((Opens.map ⊤.inclusion).obj U✝))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n = q

Context: p' : ℤ

Context: hp' : p + n' = p'


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n = q

(mk fun p q hpq => γ.v p (p + n') ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a (p + n') q ⋯).hom).v p q hpq = γ.v p (p + n') ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a (p + n') q ⋯).hom


Context:
x y z : PartENat
hz : z ≠ ⊤


Context: s : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (-1) ^ k / ↑k.factorial

Tendsto (fun n => ↑(numDerangements n) / ↑n.factorial) atTop (𝓝 (Real.exp (-1)))


∀ (n : ℕ), ↑(numDerangements n) / ↑n.factorial = s (n + 1)


Context: n : ℕ

↑(numDerangements n) / ↑n.factorial = s (n + 1)


Context: n : ℕ

↑(∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k))) / ↑n.factorial = s (n + 1)


Context: n : ℕ

(∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n - x))) / ↑n.factorial = s (n + 1)


Context: n : ℕ

∑ i ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ i * ↑((i + 1).ascFactorial (n - i)) / ↑n.factorial = s (n + 1)


Context: n : ℕ

∀ x ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n - x)) / ↑n.factorial = (-1) ^ x / ↑x.factorial


Context: n k : ℕ

Context: hk : k ∈ Finset.range (n + 1)

(-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k)) / ↑n.factorial = (-1) ^ k / ↑k.factorial


Context: n k : ℕ

Context: hk : k ∈ Finset.range (n + 1)

Context: h_le : k ≤ n


Context: n k : ℕ

Context: hk : k ∈ Finset.range (n + 1)

Context: h_le : k ≤ n

(-1) ^ k * ↑(n.factorial / k.factorial) / ↑n.factorial = (-1) ^ k / ↑k.factorial


Context: n k : ℕ

Context: hk : k ∈ Finset.range (n + 1)

Context: h_le : k ≤ n

(-1) ^ k * (↑n.factorial / ↑k.factorial) / ↑n.factorial = (-1) ^ k / ↑k.factorial


Context: n k : ℕ

Context: hk : k ∈ Finset.range (n + 1)

Context: h_le : k ≤ n

(-1) ^ k * ↑n.factorial * ↑k.factorial = (-1) ^ k * (↑k.factorial * ↑n.factorial)


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.10594
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

IsSeparatedMap f ↔ ClosedEmbedding (toPullbackDiag f)


IsClosed (Set.range (toPullbackDiag f)) ↔ ClosedEmbedding (toPullbackDiag f)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Nonempty Γ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p

Multiset.map (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots = p • f.roots


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₁.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₁.support
this : a ∉ g₂.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : g₁ a ≠ 0
this : g₂ a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₂.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : a ∈ g₂.support
this : a ∉ g₁.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : DecidableEq α
g₁ g₂ : α →₀ M
h : Disjoint g₁.support g₂.support
a : α
ha✝ : a ∈ g₁.support ∪ g₂.support
ha : g₂ a ≠ 0
this : g₁ a = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝¹ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree ≤ 1
n✝ n : ℕ

p.coeff Nat.zero.succ = (C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0)).coeff Nat.zero.succ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝¹ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree ≤ 1
n✝ n m : ℕ

p.coeff m.succ.succ = (C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0)).coeff m.succ.succ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝¹ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree ≤ 1
n✝ n m : ℕ
this : p.degree < ↑m.succ.succ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
θ : ℝ


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : 0 ^ n ≠ 0


Context:
s : ℂ
X : ℝ
hs : 0 < s.re
hX : 0 ≤ X

IntervalIntegrable (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) volume 0 X


Context:
s : ℂ
X : ℝ
hs : 0 < s.re
hX : 0 ≤ X

IntegrableOn (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) (Ioc 0 X) volume


Context: x y : ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : IsScalarTower ℂ A A
inst✝ : SMulCommClass ℂ A A
a : A

QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM ↔ ∀ x ∈ σₙ ℂ a, x = ↑x.re


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
z : N

f.toMap (f.sec z).1 = f.toMap ↑(f.sec z).2 * z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

TendstoLocallyUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n (y - x)) f atTop (EMetric.ball x r)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: A : ContinuousOn (fun y => y - x) (EMetric.ball x r)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

f = (fun y => f (x + y)) ∘ fun y => y - x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

MapsTo (fun y => y - x) (EMetric.ball x r) (EMetric.ball 0 r)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
h : ω ≤ o


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
s : Finset ι
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
x : E

((s.sup q).comp f) x = (s.sup (q.comp f)) x


↑(s.sup fun i => ⟨(q i) (f x), ⋯⟩) = ↑(s.sup fun i => ⟨(q.comp f i) x, ⋯⟩)


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
v : m → α

‖col ι v‖₊ = ‖v‖₊


(Finset.univ.sup fun i => ∑ j : ι, ‖col ι v i j‖₊) = Finset.univ.sup fun b => ‖v b‖₊


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

↑(upperClosure s) * t = ↑(upperClosure (s * t))


t * ↑(upperClosure s) = ↑(upperClosure (t * s))


Context:
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b


(↑a / ↑b).sqrtTwoAddSeries (n + 1) ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n


(√(2 + ↑a / ↑b)).sqrtTwoAddSeries n ≤ (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n


Context:
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
hb' : 0 < ↑b


Context:
c d a b n : ℕ
z : ℝ
hz : (↑c / ↑d).sqrtTwoAddSeries n ≤ z
hb : 0 < b
hd : 0 < d
h : (2 * b + a) * d ^ 2 ≤ c ^ 2 * b
hb' : 0 < ↑b
hd' : 0 < ↑d


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

(p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

Context: f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F := fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

Context: finsupp : (Function.support f).Finite

Context: hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x) fun x => y)

Context: hfk : ∀ (k : ℕ), HasSum (fun x => f ⟨k, x⟩) ((p.changeOrigin x k) fun x => y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

Context: finsupp : (Function.support f).Finite

Context: hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

Context: finsupp : (Function.support f).Finite

HasSum (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) (p.sum (x + y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝¹ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n✝ ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

Context: finsupp : (Function.support f).Finite

Context: n : ℕ

HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) ((p n) fun x_1 => x + y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝¹ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n✝ ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

Context: finsupp : (Function.support f).Finite

Context: n : ℕ

HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) (∑ s : Finset (Fin n), (p n) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E → F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝¹ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ y✝ : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n✝ : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n✝ ≤ m → p m = 0

Context: x y : E

Context: finsupp : (Function.support f).Finite

Context: n : ℕ

HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) (∑ x_1 : Finset (Fin n), ((p.changeOriginSeriesTerm (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).fst (changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.fst ↑(changeOriginIndexEquiv.symm ⟨n, x_1⟩).snd.snd ⋯) fun x_2 => x) fun x => y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

(I.isoRightDerivedObj F n).inv ≫ (F.rightDerived n).map f = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map φ ≫ (J.isoRightDerivedObj F n).inv


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁹ : DecidableEq ι
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Algebra A B
inst✝¹⁵ : CommRing C
inst✝¹⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : Module.Finite K L
inst✝⁴ : IsAlgClosed E
b✝ : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
b : ι → L
h : ∀ (i : ι), IsIntegral R (b i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : Option β → α
c : α

⨆ o, f o ≤ c ↔ f none ⊔ ⨆ b, f (some b) ≤ c


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f✝ : R →+* S₁

Context: inst✝² : CommSemiring S₂

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : Algebra R S₂

Context: f : S₁ →ₐ[R] S₂

Context: r : R

Context: h₁ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r = C ((algebraMap R S₁) r)

Context: h₂ : (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r = C ((algebraMap R S₂) r)

(↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f✝ : R →+* S₁

Context: inst✝² : CommSemiring S₂

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : Algebra R S₂

Context: f : S₁ →ₐ[R] S₂

Context: r : R

↑↑(map ↑f) ((algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: f✝ : R →+* S₁

Context: inst✝² : CommSemiring S₂

Context: inst✝¹ : Algebra R S₁

Context: inst✝ : Algebra R S₂

Context: f : S₁ →ₐ[R] S₂

Context: r : R

(map ↑f) ((algebraMap R (MvPolynomial σ S₁)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial σ S₂)) r


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b✝ c d : α
h : IsUnit c
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝¹ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I : Set α
M✝ M : Matroid α
X : Set α

(M.restrictSubtype X).map Subtype.val ⋯ = M ↾ X


Context:
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z


Context:
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
x : ℝ≥0
hx : ↑x ≤ 1


Context:
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
x : ℝ≥0
hx : x ≤ 1


Context: x y : PGame

Context: k : (x * y).LeftMoves

Context: P : (x * y).LeftMoves → Prop

Context: hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toLeftMovesMul (Sum.inl (ix, iy)))

Context: hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (jy : y.RightMoves), P (toLeftMovesMul (Sum.inr (jx, jy)))


Context: x y : PGame

Context: k : (x * y).LeftMoves

Context: P : (x * y).LeftMoves → Prop

P (toLeftMovesMul (toLeftMovesMul.symm k))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : AddCommMonoid B
inst✝⁸ : Module R B
inst✝⁷ : AddCommMonoid C
inst✝⁶ : Module R C
inst✝⁵ : AddCommMonoid D
inst✝⁴ : Module R D
inst✝³ : CoalgebraStruct R A
inst✝² : CoalgebraStruct R B
inst✝¹ : CoalgebraStruct R C
inst✝ : CoalgebraStruct R D

map __src✝ __src✝ ∘ₗ comul = comul ∘ₗ __src✝


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝ : MeasurableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
i : ι


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: u v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MeasurableSpace ι

Context: h : ProgMeasurable f u

Context: i : ι

Context: this : u i = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun x => (⟨i, ⋯⟩, x)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: u v : ι → Ω → β

Context: f : Filtration ι m

Context: inst✝ : MeasurableSpace ι

Context: h : ProgMeasurable f u

Context: i : ι

StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun x => (⟨i, ⋯⟩, x))


Context: X Y : Type u

Context: inst✝¹ : Mul X

Context: inst✝ : Mul Y

Context: e : X ≃* Y

Context: x✝ : (forget MagmaCat).obj (MagmaCat.of X)

(e.toMulHom ≫ e.symm.toMulHom) x✝ = (𝟙 (MagmaCat.of X)) x✝


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
l : List α
e : ⟦l⟧ = univ.val


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Finite α

Context: val✝ : Fintype α

Context: l : List α

Context: e : ⟦l⟧ = univ.val

Context: this : univ.val.Nodup ∧ ∀ (x : α), x ∈ univ.val


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N✝ : Type v'
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N✝
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N✝
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Module S N✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R S N✝
p : Submonoid R
inst✝⁶ : IsLocalization p S
f✝ : M →ₗ[R] N✝
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f✝
hp : p ≤ R⁰
N : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₁
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ = W₃.map L₁


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₁
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ = W₃.map L₁
this : (L₁ ⋙ W₂.Q).IsLocalization W₃


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K U V : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection U
inst✝ : HasOrthogonalProjection V
h : U ≤ V
x : E

(orthogonalProjection U) x = (orthogonalProjection U) ↑((orthogonalProjection V) x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

c • closedBall x r = closedBall (c • x) (‖c‖ * r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

0 • closedBall x r = closedBall (0 • x) (‖0‖ * r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K

D (a / b) = b⁻¹ ^ 2 • (b • D a - a • D b)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v : V
H : G.Subgraph


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : M ⊨ T
p : T.CompleteType α


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p
φ : L[[α]].Sentence

(φ ∈ T.typeOf fun a => ↑(L.con a)) ↔ φ ∈ p


((Formula.equivSentence.symm φ).Realize fun a => ↑(L.con a)) ↔ φ ∈ p


↑(ModelType.reduct (L.lhomWithConstants α) (M.subtheoryModel ⋯)) ⊨ φ ↔ ↑M ⊨ φ


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
m n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
hn : n ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x

Context: a_lt_b : a < b

Context: s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x

Context: a_lt_b : a < b

Context: s_closed : IsClosed s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x

Context: a_lt_b : a < b

Context: s_closed : IsClosed s

Context: A : closure (Ioc a b) ⊆ s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x

Context: a_lt_b : a < b

Context: s_closed : IsClosed s

Context: A : Icc a b ⊆ s


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y

Continuous f ↔ Tendsto (fun x => f ↑x) (coclosedCompact X) (𝓝 (f ∞)) ∧ Continuous fun x => f ↑x


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
g : ι' → Cardinal.{v}
hg : BddAbove (range g)

(⨆ i, f i) + ⨆ j, g j = ⨆ i, ⨆ j, f i + g j


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π₁ π₂ : Prepartition I

Context: h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion

Context: this : ∀ J₁ ∈ π₁, ∀ J₂ ∈ π₂, J₁ ≠ J₂ → Disjoint ↑J₁ ↑J₂

(↑(π₁.boxes ∪ π₂.boxes)).Pairwise (Disjoint on Box.toSet)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
hf : Involutive f
m : ℕ


Context: p n : ℕ

max (log 2 n) (padicValNat 2 (n + 1)) = log 2 (n + 1)


Context: p n : ℕ

log 2 (n + 1) ≤ max (log 2 n) (padicValNat 2 (n + 1))


Context: p n : ℕ

log 2 n < log 2 (n + 1) → log 2 (n + 1) ≤ padicValNat 2 (n + 1)


Context:
p n : ℕ
h : log 2 n < log 2 (n + 1)


Context:
p n : ℕ
h : n + 1 = 2 ^ log 2 (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))

∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: F_le_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: F_le_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

∀ (x : α), Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n x‖) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ‖f x‖)) → (∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i x‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound x)) → ENNReal.ofReal ‖f x‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: F_le_bound✝ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)

Context: a : α

Context: tendsto_norm : Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a‖) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ‖f a‖))

Context: F_le_bound : ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)

ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)


Context: q a b c : ℚ


Context: q a b c : ℚ

0 ≤ q.num → q.num ≤ 0 → q.num ≤ 0 ∧ 0 ≤ q.num


Context:
ψ θ : Angle
this : Int.natAbs 2 = 2

2 • ψ = 2 • θ ↔ ψ = θ ∨ ψ = θ + ↑π


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i


Context:
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T✝ : L.Theory
T : Language.empty.Theory
M N : T.ModelType
hM : #↑M = κ
hN : #↑N = κ


Context:
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → ℕ

(Matrix.of fun i j => Polynomial.eval (↑(v i)) (descPochhammer ℤ ↑j)).det = ↑(∏ i : Fin n, (↑i)!) * (Matrix.of fun i j => ↑((v i).choose ↑j)).det


Context:
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
x✝¹ x✝ : Fin n

Polynomial.eval (↑(v x✝¹)) (descPochhammer ℤ ↑x✝) = ↑(↑x✝)! * Matrix.of (fun i j => ↑((v i).choose ↑j)) x✝¹ x✝


↑(∏ i : Fin n, (↑i)!) = ∏ i : Fin n, ↑(↑i)!


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hs : IsLUB s x

Context: hx : ¬IsSuccLimit x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α

Context: x : α

Context: hx : ¬IsSuccLimit x

Context: hs : IsLUB ∅ x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: f : ι → α

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hs : IsLUB s x

Context: hx : ¬IsSuccLimit x

Context: hs' : s.Nonempty


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
x✝ : IsUnit X
g : R[X]
_hfg : (monomial 1) 1 * g = 1
hgf : g * (monomial 1) 1 = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a✝ a : α

Context: h : a ∈ s

Context: this : ∀ (t : Set α), a ∈ t → t.indicator 1 a = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: s : Set α

Context: a✝ a : α

Context: h : a ∈ s


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ

(f ⍟ g) n = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, f p.1 * g p.2


(∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, if x.2 = 0 then 0 else if x.1 = 0 then 0 else f x.1 * g x.2) = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, f p.1 * g p.2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal

(if p.2 = 0 then 0 else if p.1 = 0 then 0 else f p.1 * g p.2) = f p.1 * g p.2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
h₁ : p.1 ≠ 0
h₂ : p.2 ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

homologyMap φ ≫ S₂.homologyι = S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ


S₁.rightHomologyι ≫ opcyclesMap φ = S₁.rightHomologyIso.hom ≫ S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o₁ : Ordinal.{u_4}

Context: o₂ : Ordinal.{u_5}

Context: op : {a : Ordinal.{u_4}} → a < o₁ → {b : Ordinal.{u_5}} → b < o₂ → Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6}

Context: a : Ordinal.{u_4}

Context: b : Ordinal.{u_5}

Context: ha : a < o₁

Context: hb : b < o₂


Context:
a : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
ha : a < ω
b : Ordinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α

∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i).trim s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: m : OuterMeasure α

Context: ι : Sort u_2

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → OuterMeasure α

Context: s : Set α

Context: t : ι → Set α

Context: hst : ∀ (i : ι), s ⊆ t i

Context: ht : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: m : OuterMeasure α

Context: ι : Sort u_2

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → OuterMeasure α

Context: s : Set α

Context: t : ι → Set α

Context: ht : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: hst : s ⊆ ⋂ i, t i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: m : OuterMeasure α

Context: ι : Sort u_2

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → OuterMeasure α

Context: s : Set α

Context: t : ι → Set α

Context: hst : s ⊆ ⋂ i, t i

Context: ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: m : OuterMeasure α

Context: ι : Sort u_2

Context: inst✝ : Countable ι

Context: μ : ι → OuterMeasure α

Context: s : Set α

Context: t : ι → Set α

Context: hst : s ⊆ ⋂ i, t i

Context: ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)

Context: i : ι


Context:
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g


Tendsto (fun x => f.transnumAuxSeq x + g.transnumAuxSeq x) atTop (𝓝 (τ (f * g)))


Context:
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
n : ℕ


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeInf L
inst✝¹ : OrderTop L
inst✝ : ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

(⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set α
inst✝ : UniformSpace α

map (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 ↑s) = 𝓤 α ⊓ 𝓟 (s ×ˢ s)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
x✝ : n


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatio ρ x))


∀ (a : α), (∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 c)) → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatio ρ a))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: hx : ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)

Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatio ρ x))


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0

minpoly K (powerBasis hf).gen = f * C f.leadingCoeff⁻¹


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R

(laurent r) ((laurent s) f) = (laurent (r + s)) f


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
p✝ q✝ : R[X]
hq✝ : q✝ ≠ 0

(laurent r) ((laurent s) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝)) = (laurent (r + s)) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → G

Context: C✝ : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: C : ℝ≥0

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → G

Context: C✝ : ℝ

Context: s : Set E

Context: x y : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: C : ℝ≥0

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → G

Context: C✝ : ℝ

Context: s : Set E

Context: x✝ y✝ : E

Context: f' g' : E → E →L[𝕜] G

Context: φ : E →L[𝕜] G

Context: C : ℝ≥0

Context: bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C

Context: hs : Convex ℝ s

Context: x : E

Context: x_in : x ∈ s

Context: y : E

Context: y_in : y ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : IsOpen s

Context: hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Context: hx : x ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: s : Set 𝕜

Context: hs : IsOpen s

Context: hx : x ∈ s

Context: h1 : s ∈ 𝓝 x

Context: h2 : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c

IsZero ((quotient V c).obj C) ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0)


𝟙 ((quotient V c).obj C) = 0 ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0)


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context: E✝ : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E✝ → G

Context: C✝ : ℝ

Context: s : Set E✝

Context: x y : E✝

Context: f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G

Context: φ : E✝ →L[𝕜] G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E → G

Context: C : ℝ≥0

Context: hf : Differentiable 𝕜 f

Context: bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C

Context: A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E


Context: E✝ : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E✝ → G

Context: C✝ : ℝ

Context: s : Set E✝

Context: x y : E✝

Context: f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G

Context: φ : E✝ →L[𝕜] G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E → G

Context: C : ℝ≥0

Context: hf : Differentiable 𝕜 f

Context: bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

Context: hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝² : IsAffine X

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)


Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝² : IsAffine X

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

P (Scheme.Hom.app ((PreservesPullback.iso AffineScheme.forgetToScheme (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).inv ≫ AffineScheme.forgetToScheme.map (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g))) ⊤)


Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝² : IsAffine X

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

P (Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤)


Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝² : IsAffine X

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

Context: this : ((PreservesPullback.iso AffineScheme.Γ.rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom ≫ pullback.fst (AffineScheme.Γ.rightOp.map (AffineScheme.ofHom f)) (AffineScheme.Γ.rightOp.map (AffineScheme.ofHom g))).unop = (AffineScheme.Γ.rightOp.map (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g))).unop


Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝² : IsAffine X

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

Context: this : (pullback.fst (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤).op (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤).op).unop ≫ (PreservesPullback.iso (AffineScheme.forgetToScheme.op ⋙ Scheme.Γ).rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom.unop = Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤


Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝² : IsAffine X

Context: inst✝¹ : IsAffine Y

Context: inst✝ : IsAffine S

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

P (pushout.inl (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤) (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤))


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : LipschitzOnWith K f s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
s : Finset α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in d..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k n : ℕ

(X ^ k).coeff n = if n = k then 1 else 0


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef


∀ i ∈ Finset.univ, 0 < ↑(⋯.eigenvalues i)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef
i : n
a✝ : i ∈ Finset.univ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra R M

Context: x✝ : L

Context: int✝ : IsIntegral R x✝

Context: h✝ : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x✝)

Context: inst✝³ : Algebra K M

Context: inst✝² : IsScalarTower R K M

Context: x : M

Context: int : IsIntegral R x

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsScalarTower R K L

Context: h : Splits (algebraMap R L) (minpoly R x)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : CommRing M

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : Algebra R M

Context: x✝ : L

Context: int✝ : IsIntegral R x✝

Context: inst✝³ : Algebra K M

Context: inst✝² : IsScalarTower R K M

Context: x : M

Context: int : IsIntegral R x

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsScalarTower R K L

Context: h : Splits ((algebraMap K L).comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℝ≥0∞ → α


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O

ϕ.submoduleImage N = range (ϕ ∘ₗ Submodule.inclusion hNO)


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
r : α
A : Matrix n n α

(r • A).adjugate = r ^ (Fintype.card n - 1) • A.adjugate


(of fun i => (r ^ (Fintype.card n - 1) • Aᵀ.cramer) (Pi.single i 1)) = r ^ (Fintype.card n - 1) • of fun i => Aᵀ.cramer (Pi.single i 1)


Context: p q : ℚ

Context: s t : Set ℚ

Context: a✝ : (𝓝 ∞).IsCountablyGenerated

Context: this : (comap OnePoint.some (𝓝 ∞)).IsCountablyGenerated


Context: p q : ℚ

Context: s t : Set ℚ

Context: a✝ : (𝓝 ∞).IsCountablyGenerated

Context: this : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: S : Set C(X, α)

Context: hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)

Context: hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: S : Set C(X, α)

Context: hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Inducing ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: S : Set C(X, α)

Context: hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun ?m.51400) ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯))


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: S : Set C(X, α)

Context: hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: S : Set C(X, α)

Context: hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

∀ K ∈ ?m.51400, EquicontinuousOn (Subtype.val ∘ ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯)) K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
c : ℝ≥0∞

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle x (x + y)).cos = ‖x‖ / ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)

‖-f‖₊ = ‖f‖₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v : VectorMeasure α M✝
w✝ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
hv₁ : v₁ ≪ᵥ w
hv₂ : v₂ ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: x₀ : β

Context: b : β → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

Context: H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: x₀ : β

Context: b : β → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: x₀ : β

Context: b : β → ℝ

Context: b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)

Context: F : ι → β → α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε


Context: m n : ℕ


Context:
m n : ℕ
s : m.psub n = none


Context:
m n val✝ : ℕ
s : m.psub n = some val✝


Context:
x : ℝ
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
f : E →ₗ[𝕜] β
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝⁸ : E
x✝⁷ : x✝⁸ ∈ s
x✝⁶ : E
x✝⁵ : x✝⁶ ∈ s
x✝⁴ x✝³ : 𝕜
x✝² : 0 ≤ x✝⁴
x✝¹ : 0 ≤ x✝³
x✝ : x✝⁴ + x✝³ = 1

x✝⁴ • f x✝⁸ + x✝³ • f x✝⁶ ≤ f (x✝⁴ • x✝⁸ + x✝³ • x✝⁶)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r

volume (Metric.ball a r) = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)


ofReal (2 * r) ^ Finset.univ.card = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → Bool

l.length = (filter f l).length + (filter (fun x => !f x) l).length


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p s

UniformEquicontinuous F ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


(∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


(∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p

Context: j : J

ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y 0 j j ⋯ ≫ (CofanMapObjFun.iso (mapBifunctorLeftUnitorCofanIsColimit F X e p hp Y j)).inv = (F.map (singleObjApplyIso 0 X).hom).app (Y j) ≫ e.hom.app (Y j)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: j : J

Cofan.inj (mapBifunctorLeftUnitorCofan F X e p hp Y j) ⟨(0, j), ⋯⟩ = (F.map (singleObjApplyIso 0 X).hom).app (Y j) ≫ e.hom.app (Y j)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
a : α
b b' : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
h' : ⟨a, b'⟩ ∈ l


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h h' : ⟨a, b⟩ ∈ l


Context:
x n m : ℕ
hcop : n.Coprime m
h : x.gcd n * x.gcd m = x


Context:
x n m : ℕ
hcop : n.Coprime m
x✝ : x ∣ n * m


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V ∧ ball x V ⊆ s


(∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s) ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V ∧ ball x V ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

s.card ^ 2 * t.card ^ 2 = (filter (fun x => match x with | (a, b) => a * b ∈ s * t) (s ×ˢ t)).card ^ 2


∀ x ∈ s ×ˢ t, match x with | (a, b) => a * b ∈ s * t


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
hx : IsQuasiregular x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
hx : IsQuasiregular x
y : R
hy₁ : y + x + x * y = 0
hy₂ : x + y + y * x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ


μ.withDensity (μ.rnDeriv ν)⁻¹ = μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)


(ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν)⁻¹ = ν


(ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity (μ.rnDeriv ν)⁻¹ = ν


((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity fun x => (μ.rnDeriv ν x)⁻¹) = ν


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α


∀ ⦃x : α⦄, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = x


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁰ : Semiring R₁
inst✝¹⁹ : Semiring R₂
inst✝¹⁸ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M'₁
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝² : Module R₁ M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace R₁
inst✝ : ContinuousSMul R₁ M₂
f f' : M₂


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
hf : UniformInducing f
F : Filter α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : HasFiniteIntegral f μ
x : α


Context: n : ℕ

(n + 1).succ * (n + 1).choose 0 = (n + 1).succ.choose (succ 0) * succ 0


Context: n k : ℕ

(n + 1).succ * (n + 1).choose (k + 1) = (n + 1).succ.choose (k + 1).succ * (k + 1).succ


Context:
m n : ℕ
h : n ≤ m


Context:
m n : ℕ
h : n ≤ m

Even (m - n) ↔ ((Even (m - n) ↔ Even n) ↔ Even n)


Context:
r : ℝ
p : ℝ≥0
ha : 0 ≤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
m : γ → β
l : Filter γ

Tendsto m l (f.lift' h) ↔ ∀ s ∈ f, ∀ᶠ (a : γ) in l, m a ∈ h s


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: S : Set (Submonoid M)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : M


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: S : Set (Submonoid M)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: x : M

Context: this : Nonempty ↑S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ

edist (toL1 f hf) 0 = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ


(if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup f μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : ↑↑X

colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op (α ≫ β).c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op = (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op β.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map β.base (α.base x) ⋙ OpenNhds.inclusion (α.base x)).op) Y.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion (α.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (OpenNhds.map β.base (α.base x)).op) ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (α.base x)).op α.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op


∀ (j : (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op).obj Z.presheaf) j ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op (α ≫ β).c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op).obj Z.presheaf) j ≫ (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op β.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map β.base (α.base x) ⋙ OpenNhds.inclusion (α.base x)).op) Y.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion (α.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (OpenNhds.map β.base (α.base x)).op) ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (α.base x)).op α.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space Y
s t : Set X
f g : X → Y
h : EqOn f g s
hf : ContinuousOn f t
hg : ContinuousOn g t
hst : s ⊆ t
hts : t ⊆ closure s
x : X
hx : x ∈ t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space Y
s t : Set X
f g : X → Y
h : EqOn f g s
hf : ContinuousOn f t
hg : ContinuousOn g t
hst : s ⊆ t
hts : t ⊆ closure s
x : X
hx : x ∈ t
this : (𝓝[s] x).NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α

𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∩ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊓ (𝓝 a ⊓ 𝓟 t)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
h : l₁.length ≤ [].length


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : (a :: l₁).length ≤ (b :: l₂).length

((a :: l₁).zip (b :: l₂)).unzip.1 = a :: l₁


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
x y : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: x y : M

Context: hsrc : x ∈ (chartAt H y).source

mfderiv I I (↑(chartAt H y)) x = tangentCoordChange I x y x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: x y : M

Context: hsrc : x ∈ (chartAt H y).source

Context: this : MDifferentiableAt I I (↑(ChartedSpace.chartAt y)) x


Context:
a b m n p✝ p r i : ℕ
hr : ¬p ∣ r


Context: T : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} T

Context: X✝ X : T

Context: U V : Under X

Context: f g : U ⟶ V

Context: left✝¹ : U.left ⟶ V.left

Context: b : U.right ⟶ V.right

Context: w✝¹ : (Functor.fromPUnit X).map left✝¹ ≫ V.hom = U.hom ≫ (𝟭 T).map b

Context: left✝ : U.left ⟶ V.left

Context: e : U.right ⟶ V.right

Context: w✝ : (Functor.fromPUnit X).map left✝ ≫ V.hom = U.hom ≫ (𝟭 T).map e

Context: h : { left := left✝¹, right := b, w := w✝¹ }.right = { left := left✝, right := e, w := w✝ }.right


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: K✝ : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: K : Set α

Context: hK : IsCompact K

TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: K✝ : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: K : Set α

Context: hK : IsCompact K

TendstoLocallyUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0


Context:
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : s.OrdConnected


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∉ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x : E

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∉ ?m.378525


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x : E

Context: m : ℕ

Context: hm : ?m.378946 ≤ m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝ : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: x : E


Context: a b c : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: seed : ℕ

Context: h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: hs : P seed

Context: hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y

Context: n : ℕ


Context: a b c : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: seed : ℕ

Context: h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: hs : P seed

Context: n : ℕ


Context: a b c : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: seed : ℕ

Context: h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: hs : P seed

Context: n : ℕ

Context: hf : {x | P x}.Finite


Context: a b c : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: seed : ℕ

Context: h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: hs : P seed

Context: n : ℕ

Context: hf : {x | P x}.Finite

Context: m : ℕ

Context: hP : m ∈ {x | P x}

Context: hm : ∀ a' ∈ {x | P x}, id m ≤ id a' → id m = id a'


Context: a b c : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: seed : ℕ

Context: h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: hs : P seed

Context: n : ℕ

Context: hf : {x | P x}.Finite

Context: m : ℕ

Context: hP : m ∈ {x | P x}

Context: y : ℕ

Context: hl : m < y

Context: hy : P y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
ha : a < 0
k : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : ¬[] ∈ l₁ :: l₂ :: L

Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L


(Chain' R l₁ ∧ ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L


(Chain' R l₁ ∧ Chain' R l₂ ∧ (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔ Chain' R l₁ ∧ Chain' R l₂ ∧ (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ x : α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: a : α

Context: x✝ : a ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑(upperClosure s)

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hba : b ≤ a

Context: right✝ : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ ↑(upperClosure s) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a → (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ x : α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: x✝ : b ∈ ↑(upperClosure s)

Context: hba : (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a

Context: c : α

Context: hc : c ∈ s

Context: hcb : c ≤ b


Context: d n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
f : Filter α
F : f.Realizer


(∃ x, ¬(F.F.f x).Nonempty) ↔ ∀ (b : Realizer.bot.σ), ∃ a, F.F.f a ≤ Realizer.bot.F.f b


(∃ x, F.F.f x = ∅) ↔ ∀ (b : Realizer.bot.σ), ∃ a, F.F.f a ≤ Realizer.bot.F.f b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ


(∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∉ t, insert a t = s) ↔ ∃ a ∉ t, insert a t ∈ 𝒜


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

S.Exact ↔ IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯)


Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯) ↔ IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → Option β
s : Multiset α
l : List α

List.filterMap f (List.filter (fun b => decide (p b)) l) = List.filterMap (fun x => if p x then f x else none) l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Irreducible p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
a b : α
hab : q = a * b


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' R'' : 𝒮
a' a'' : 𝒳
f' : R' ⟶ S
f'' : R'' ⟶ S
g : R' ⟶ R
g' : R'' ⟶ R'
H : f' = g ≫ f
H' : f'' = g' ≫ f'
φ' : a' ⟶ b
φ'' : a'' ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f' φ'
inst✝ : p.IsHomLift f'' φ''


map p f' φ' H' φ'' ≫ map p f φ H φ' = map p f φ ⋯ φ''


(map p f' φ' H' φ'' ≫ map p f φ H φ') ≫ φ = φ''


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
inst✝ : HasPullback f g

h.isoPullback.inv ≫ fst = pullback.fst f g


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: f✝ g✝ : ι →₀ α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: f g : ι →₀ α

Context: i : ι

Context: a b : α

Context: f1 f2 : ι →₀ α


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : Module R A

Context: inst✝⁹ : Star A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : Star B

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C

Context: inst✝⁴ : Module R C

Context: inst✝³ : Star C

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S T : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: h : S.toNonUnitalSubalgebra = T.toNonUnitalSubalgebra

Context: x : A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H


∀ (i : ↑s), IsClosed ↑{↑i}.innerDualCone


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : ↑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ H

Context: s t : Set H

Context: x : ↑s

Context: h : ↑{↑x}.innerDualCone = inner ↑x ⁻¹' Ici 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ H

Context: s t : Set H

Context: x : ↑s


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
j : ι

(b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (b.coord j) x


(b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (b.coord j) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b₂) fun i => (b₂.coord i) x)


(b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (Finset.affineCombination k Finset.univ (⇑(b.coord j) ∘ ⇑b₂)) fun i => (b₂.coord i) x


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p r ≤ padicValRat p q


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q

ENNReal.ofReal p = ENNReal.ofReal q ↔ p = q


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d a b : α
p : α → Prop
ha : p a
hb : p b
h : a ≤ b


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d a b : α
p : α → Prop
ha : p a
hb : p b
h : b ≤ a


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
u v : F
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0

addU (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 * addU P Q


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0

diam (cthickening (↑ε) s) ≤ diam s + 2 * ↑ε


EMetric.diam s = ⊤ → EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) = ⊤


2 * ↑ε = ⊤ → EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) = ⊤


(EMetric.diam s).toReal + (2 * ↑ε).toReal = diam s + 2 * ↑ε


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s

∃ δ, 0 < δ ∧ IsCompact (cthickening δ s)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
K : Set α
K_compact : IsCompact K
hK : s ⊆ interior K


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
K : Set α
K_compact : IsCompact K
hK : s ⊆ interior K
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : cthickening δ s ⊆ interior K


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β

map (fun x => (f x, x)) l = (map f l).zip l


(map f l).zip (map (fun x => x) l) = (map f l).zip l


Context: α : Type u_1

Context: p✝ : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p✝

Context: l✝ : List α

Context: a✝ : α

Context: p : α → Bool

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ih : l.any p = true ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a = true

(a :: l).any p = true ↔ ∃ a_1, a_1 ∈ a :: l ∧ p a_1 = true


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : MulPosReflectLE α
a0 : 0 < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
val✝ : Fintype ι


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

(o.oangle (r • y - x) y).sign = -(o.oangle x y).sign


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

num (-g) z / denom (-g) z = num g z / denom g z


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

num (-g) z * denom g z = num g z * denom (-g) z


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E

A = adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: b : Basis ι 𝕜 E

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: h : ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = k


(∃ u, u.card = k ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜) ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
ne_zero : p ≠ 0
aeval_eq : (aeval ↑x) p = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
ne_zero : p ≠ 0
aeval_eq : (aeval x) p = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : ℕ → α
n : ℕ

∏ i : { x // x ∈ range n }, f ↑i = ∏ i ∈ range n, f i


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball x r

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: y : E

Context: hy : y - x ∈ EMetric.ball 0 r

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context:
x : ℝ
hx : x < 0


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0

DiffContOnCl ℂ (fun z => invInterpStrip f z ε) (verticalStrip 0 1)


Differentiable ℂ fun z => invInterpStrip f z ε


Differentiable ℂ fun y => (↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (y - 1)


Differentiable ℂ fun y => (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-y)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

(LinearIndependent K fun o => o.casesOn' x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


LinearIndependent K (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default ≠ 0 ∧ ((((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default ∈ span K (range (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl)) → (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default = 0) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)