Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi hj : i < o

Context: hij : i ≤ i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Symmetric R
s1 s2 : WSeq α
h : Function.swap (LiftRel R) s2 s1


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K₁ K₂ : Multicofork I
f : K₁ ⟶ K₂

K₁.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.zero ≫ f.hom = K₂.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.zero


K₁.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.one ≫ f.hom = K₂.toSigmaCofork.ι.app WalkingParallelPair.one


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: A : μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K} := μ.finiteSpanningSetsInOpen'

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t

Context: main : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t

Context: x : α

Context: hx : ∀ (n : ℕ), ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - (A.set n).indicator (fun x => c) y‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - (A.set n).indicator (fun x => c) x‖₊)

Context: h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a

Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t

Context: x : α

Context: M : ∀ c ∈ t, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ↑‖f x - c‖₊)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

∀ᶠ (x_1 : Set α) in v.filterAt x, (∫⁻ (y : α) in x_1, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ x_1 ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: c : E

Context: ct : c ∈ t

Context: xc : ↑‖f x - c‖₊ < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: c : E

Context: ct : c ∈ t

Context: xc : ↑‖f x - c‖₊ < ε / 2

Context: a : Set α

Context: ha : (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - c‖₊ ∂μ) / μ a < ε / 2

Context: h'a : 0 < μ a

Context: h''a : μ a < ⊤

(∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: h'f : StronglyMeasurable f

Context: t : Set E

Context: t_count : t.Countable

Context: ht : range f ⊆ closure t

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: c : E

Context: ct : c ∈ t

Context: xc : ↑‖f x - c‖₊ < ε / 2

Context: a : Set α

Context: h'a : 0 < μ a

Context: h''a : μ a < ⊤

∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ ≤ ε * μ a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s₁ s₂

∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x = (∏ x ∈ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₂, f x


∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x = (∏ x ∈ s₁ ∪ s₂, f x) * ∏ x ∈ ∅, f x


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R


Context:
a b c : ℝ≥0
h : a ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial S

map f (p /ₘ q) = map f p /ₘ map f q ∧ map f (p %ₘ q) = map f p %ₘ map f q


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: inst✝ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: hq : q.Monic

Context: a✝ : Nontrivial S

Context: this✝ : Nontrivial R

Context: this : map f p /ₘ map f q = map f (p /ₘ q) ∧ map f p %ₘ map f q = map f (p %ₘ q)


Context:
ι : Type u_1
I✝ J I : Box ι
s : Set ι
i : ι

(I.splitCenterBox s).upper i - (I.splitCenterBox s).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U U' : C

((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) (U ⊗ U')).hom = (α_ (X.fst ⊗ Y.fst) U U').inv ≫ ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U).hom ▷ U' ≫ (α_ U (X.fst ⊗ Y.fst) U').hom ≫ U ◁ ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U').hom ≫ (α_ U U' (X.fst ⊗ Y.fst)).inv


(α_ X.fst Y.fst (U ⊗ U')).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β (U ⊗ U')).hom ≫ (α_ X.fst (U ⊗ U') Y.fst).inv ≫ (X.snd.β (U ⊗ U')).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ (U ⊗ U') X.fst Y.fst).hom = (α_ (X.fst ⊗ Y.fst) U U').inv ≫ ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ▷ U' ≫ (α_ U (X.fst ⊗ Y.fst) U').hom ≫ U ◁ ((α_ X.fst Y.fst U').hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ X.fst U' Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U').hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U' X.fst Y.fst).hom) ≫ (α_ U U' (X.fst ⊗ Y.fst)).inv


(α_ X.fst Y.fst (U ⊗ U')).hom ≫ X.fst ◁ ((α_ Y.fst U U').inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ U' ≫ (α_ U Y.fst U').hom ≫ U ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ U U' Y.fst).inv) ≫ (α_ X.fst (U ⊗ U') Y.fst).inv ≫ ((α_ X.fst U U').inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ U' ≫ (α_ U X.fst U').hom ≫ U ◁ (X.snd.β U').hom ≫ (α_ U U' X.fst).inv) ▷ Y.fst ≫ (α_ (U ⊗ U') X.fst Y.fst).hom = (α_ (X.fst ⊗ Y.fst) U U').inv ≫ ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ▷ U' ≫ (α_ U (X.fst ⊗ Y.fst) U').hom ≫ U ◁ ((α_ X.fst Y.fst U').hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ X.fst U' Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U').hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U' X.fst Y.fst).hom) ≫ (α_ U U' (X.fst ⊗ Y.fst)).inv


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U U' : C
f : U ⟶ U'

(X.fst ⊗ Y.fst) ◁ f ≫ ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U').hom = ((fun U => α_ X.fst Y.fst U ≪≫ whiskerLeftIso X.fst (Y.snd.β U) ≪≫ (α_ X.fst U Y.fst).symm ≪≫ whiskerRightIso (X.snd.β U) Y.fst ≪≫ α_ U X.fst Y.fst) U).hom ≫ f ▷ (X.fst ⊗ Y.fst)


(X.fst ⊗ Y.fst) ◁ f ≫ (α_ X.fst Y.fst U').hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U').hom ≫ (α_ X.fst U' Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U').hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U' X.fst Y.fst).hom = ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ≫ f ▷ (X.fst ⊗ Y.fst)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
i✝ j✝ k✝ : ℤ
a✝¹ : (ComplexShape.up ℤ).Rel i✝ j✝
a✝ : (ComplexShape.up ℤ).Rel j✝ k✝

(fun i j => n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n)) i✝ j✝ ≫ (fun i j => n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n)) j✝ k✝ = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
i j : ℤ
hij : ¬(ComplexShape.up ℤ).Rel i j


¬(ComplexShape.up ℤ).Rel (i + n) (j + n)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n : ℤ
X✝ Y✝ : CochainComplex C ℤ
φ : X✝ ⟶ Y✝
i✝ j✝ : ℤ
a✝ : (ComplexShape.up ℤ).Rel i✝ j✝

φ.f (i✝ + n) ≫ (n.negOnePow • Y✝.d (i✝ + n) (j✝ + n)) = (n.negOnePow • X✝.d (i✝ + n) (j✝ + n)) ≫ φ.f (j✝ + n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
h : m ≤ n
hG : G.CliqueFree m
s : Finset α
hs : G.IsNClique n s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
h : m ≤ n
hG : G.CliqueFree m
s : Finset α
hs : G.IsNClique n s
t : Finset α
hts : t ⊆ s
ht : t.card = m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R'

Context: inst✝ : IsDomain R'

Context: χ : MulChar R R'

Context: hχ : χ.IsQuadratic

Context: ψ : AddChar R R'

Context: p n : ℕ

Context: fp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hch : CharP R' p

Context: hp : IsUnit ↑p

Context: hp' : p ≠ 2

Context: hg : gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)

(χ (-1) * ↑(Fintype.card R)) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R'

Context: inst✝ : IsDomain R'

Context: χ : MulChar R R'

Context: hχ : χ.IsQuadratic

Context: ψ : AddChar R R'

Context: p n : ℕ

Context: fp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hch : CharP R' p

Context: hp : IsUnit ↑p

Context: hp' : p ≠ 2

Context: this : gaussSum χ ψ ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R'

Context: inst✝ : IsDomain R'

Context: χ : MulChar R R'

Context: hχ : χ.IsQuadratic

Context: ψ : AddChar R R'

Context: p n : ℕ

Context: fp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hch : CharP R' p

Context: hp : IsUnit ↑p

Context: hp' : p ≠ 2

Context: this : gaussSum χ ψ ≠ 0

(gaussSum χ ψ ^ 2) ^ (p ^ n / 2) = χ (↑p ^ n)


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Fintype R

Context: R' : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R'

Context: inst✝ : IsDomain R'

Context: χ : MulChar R R'

Context: hχ : χ.IsQuadratic

Context: ψ : AddChar R R'

Context: p n : ℕ

Context: fp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hch : CharP R' p

Context: hp : IsUnit ↑p

Context: hp' : p ≠ 2

Context: this : gaussSum χ ψ ≠ 0

(gaussSum χ ψ ^ 2) ^ (p ^ n / 2) * gaussSum χ ψ = χ (↑p ^ n) * gaussSum χ ψ


Context:
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Preorder J

Context: inst✝² : IsDirected J fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Nonempty (F.obj j)


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Preorder J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Nonempty (F.obj j)

Context: h✝ : IsEmpty J


Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Preorder J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Finite (F.obj j)

Context: inst✝ : ∀ (j : Jᵒᵖ), Nonempty (F.obj j)

Context: h✝ : Nonempty J


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
n : ℤ
x : α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} D

Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: H : J ⥤ K ⥤ C

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape J C

Context: k : K

Context: W : C

Context: f g : W ⟶ (limit H).obj k

Context: w : ∀ (j : J), f ≫ (limit.π H j).app k = g ≫ (limit.π H j).app k


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} D

Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: H : J ⥤ K ⥤ C

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape J C

Context: k : K

Context: W : C

Context: f g : W ⟶ (limit H).obj k

f ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation H k).hom = g ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation H k).hom


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq α✝
inst✝⁶ : PartialOrder α✝
inst✝⁵ : BoundedOrder α✝
inst✝⁴ : IsSimpleOrder α✝
α : Type ?u.83175
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
x : α

(fun x => Bool.casesOn x ⊥ ⊤) ((fun x => decide (x = ⊤)) x) = x


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq α✝
inst✝⁶ : PartialOrder α✝
inst✝⁵ : BoundedOrder α✝
inst✝⁴ : IsSimpleOrder α✝
α : Type ?u.83175
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
x : Bool

(fun x => decide (x = ⊤)) ((fun x => Bool.casesOn x ⊥ ⊤) x) = x


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hIE : I ⊆ E


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ C • s.sup p


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕝
inst✝⁹ : Module 𝕝 E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝² : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
this : TopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ s.sup (C • p)


Continuous fun x => (coeFnAddMonoidHom 𝕝 E) (∑ i ∈ s, C • p i) x


Continuous fun x => ∑ c ∈ s, (coeFnAddMonoidHom 𝕝 E) (C • p c) x


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : V ↪ W
inst✝ : Subsingleton V


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

HasFDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖ = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Tendsto (fun x_1 => ‖f x_1 - f x - f' (x_1 - x)‖ / ‖x_1 - x‖) L (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : i.castSucc < p


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : p < i.succ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

Memℒp f 2 μ ↔ Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ 2) μ


Memℒp f 2 μ ↔ Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ 2) 1 μ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
x✝ : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s : Set α

Context: hb : BddAbove s


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
f : G →g G'
hp : (Walk.map f p).IsPath


Context:
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : CauchyFilter α


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : CauchyFilter α

Context: h_ex : ∀ s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α), ∃ y, (f, pureCauchy y) ∈ s


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : CauchyFilter α

((𝓤 (CauchyFilter α)).lift' fun t => range pureCauchy ∩ UniformSpace.ball f t).NeBot


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : CauchyFilter α

Monotone fun t => range pureCauchy ∩ UniformSpace.ball f t


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : CauchyFilter α

Context: s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α)

(range pureCauchy ∩ UniformSpace.ball f s).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : T2Space M₂
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂


∑' (z : ι), f z = e.symm (e (∑' (z : ι), f z))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card


(A * C).card * B⁻¹.card ≤ (A * B⁻¹).card * (B⁻¹ * C).card


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b c d : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: h : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ioc a b → f x = g x

Context: h' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ioc b a → f x = g x

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
h : a.toNNReal ≤ b.toNNReal


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0

(W.preΨ n).coeff ((n.natAbs ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ

(∮ (z : ℂ) in C(c, 0), (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, 0), f z


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c w : ℂ
R : ℝ
hR : R ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : R ≠ 0

Context: this : (circleMap c R ⁻¹' {w}).Countable


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : R ≠ 0

Context: θ : ℝ

Context: hθ : θ ∉ circleMap c R ⁻¹' {w}

Context: _' : θ ∈ Ι 0 (2 * π)

deriv (circleMap c R) θ • (fun z => (z - w)⁻¹ • (z - w) • f z) (circleMap c R θ) = deriv (circleMap c R) θ • (fun z => f z) (circleMap c R θ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : R ≠ 0

Context: θ : ℝ

Context: _' : θ ∈ Ι 0 (2 * π)

Context: hθ : circleMap c R θ ≠ w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f✝ f : α → ℚ → ℝ
a : α

IsRatStieltjesPoint (fun p => f p.2) ((), a) ↔ IsRatStieltjesPoint f a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ
f : α → ℝ
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + dist x y


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: this : ↑((∑ i ∈ s, ((fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i + (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i) ^ p) ^ (1 / p)) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i ^ p) ^ (1 / p))


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: this : (∑ x ∈ s, (|f x| + |g x|) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x ∈ s, |f x| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x ∈ s, |g x| ^ p) ^ (1 / p)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x - y) x).cos * ‖x - y‖ = ‖x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle x (x - y)).cos * ‖x - y‖ = ‖x‖


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
a b : ℤ

shiftFunctorAdd (CochainComplex C ℤ) a b = shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hf : (mulSupport f).Finite
hg : (mulSupport g).Finite

∏ᶠ (i : α), f i * g i = (∏ᶠ (i : α), f i) * ∏ᶠ (i : α), g i


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
inst✝ : Nonempty M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M
inhabited_h : Inhabited M

(∀'liftAt 1 n φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs


(∀ (a : M), φ.Realize v (snoc xs a ∘ castSucc)) ↔ φ.Realize v xs


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i

(∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: ht : t.Finite

Context: hs : LinearIndependent K fun (x : ↑s) => ↑x

Context: hst : s ⊆ ↑(span K t)

Context: this✝ : s ⊆ ↑(span K ↑ht.toFinset)

Context: u : Finset V

Context: _hust : ↑u ⊆ s ∪ ↑ht.toFinset

Context: hsu : s ⊆ ↑u

Context: Eq : u.card = ht.toFinset.card

Context: this : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b✝ c✝ a b c : G


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R
x : ↑(obj' f M)

(LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) x = (𝟙 (obj' f M)) x


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R


Context:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M✝ M : ModuleCat R
x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
y✝ : ↑M

(LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) = x✝ ⊗ₜ[R] y✝


Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M✝ M : ModuleCat R

Context: m s : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑M

Context: ihx : (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) m = m

Context: ihy : (LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) s = s

(LinearMap.baseChange S (𝟙 M)) (m + s) = m + s


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1

a • s.centerMass ws zs + b • t.centerMass wt zt = (s.disjSum t).centerMass (Sum.elim (fun i => a * ws i) fun j => b * wt j) (Sum.elim zs zt)


∑ x ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun x => a • ws x • zs x) (fun x => b • wt x • zt x) x = ∑ i ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun i => a * ws i) (fun j => b * wt j) i • Sum.elim zs zt i


∑ i ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun i => a * ws i) (fun j => b * wt j) i = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
k : ℕ


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂


List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ ~ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : i ≤ τ ω


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F : Sheaf C X

Context: U : Opens ↑X

Context: s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))

Context: h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F : Sheaf C X

Context: U : Opens ↑X

Context: s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U

Context: heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F : Sheaf C X

Context: U : Opens ↑X

Context: s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F : Sheaf C X

Context: U : Opens ↑X

Context: s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))

Context: V : ↥U → Opens ↑X

Context: m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x

Context: i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U

∀ (i : ↥U), (F.val.map (i₁ i).op) s = (F.val.map (i₁ i).op) t


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α✝ : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α✝

Context: a : α✝

Context: f✝ g✝ : α✝ → β✝

Context: inst✝³ : CommMonoid β✝

Context: α : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: s : Set β

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: f : β → α

Context: g : ↑s → α

Context: w : ∀ (x : β) (h : x ∈ s), f x = g ⟨x, h⟩

Context: w' : ∀ x ∉ s, f x = 1


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α✝ : Type u_3

Context: β✝ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α✝

Context: a : α✝

Context: f✝ g✝ : α✝ → β✝

Context: inst✝³ : CommMonoid β✝

Context: α : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: s : Set β

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: f : β → α

Context: g : ↑s → α

Context: w' : ∀ x ∉ s, f x = 1


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F

Context: f : 𝓕

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: f : 𝓕

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: f : 𝓕

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : ∀ s ∈ 𝓝 0, (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s ∈ cocompact E


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: f : 𝓕

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε ∈ cocompact E


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: f : 𝓕

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: r : ℝ

Context: hr : (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: f : 𝓕

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: r : ℝ


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)

Context: c : 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: b₁ b₂ : β i

edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁)) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) = edist b₁ b₂


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
ht : IsOpen t
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s ↔ U ⊆ t


⋃₀ {s_1 | s_1 ∈ B ∧ s_1 ⊆ s} = ⋃₀ {s | s ∈ B ∧ s ⊆ t}


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Finset ι
p : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i), p x) ↔ ∀ i ∈ t, ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s i), p x


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
m : N
x : Y

g (φ (φ' m) • f (g x)) = g (f (φ' m • g x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
x : α
m : M
x✝ : α

equivFunOnFinite (single x m) x✝ = Pi.single x m x✝


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] A'
h : Function.Surjective ⇑(dual f)
a : A
h0 : f a = 0
c : CharacterModule A'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : AddGroup ι

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: inst✝¹ : CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hi : 0 ≤ i

Context: j : ι

MeasurableSet {ω | (fun ω => τ ω + i) ω ≤ j}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : AddGroup ι

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: i : ι

Context: hi : 0 ≤ i

Context: j : ι


Context:
α : Type u_1
b : Bool
n : Num


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ x : α

Context: ht : IsAntichain r t

Context: h : minimals r s ⊆ t

Context: hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ minimals r s, r a b

Context: a : α

Context: ha : a ∈ t

Context: b : α

Context: hb : b ∈ minimals r s

Context: hr : r a b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s


Context: E : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝² : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module ℝ β

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: a : E

Context: a_in_s : a ∈ s

Context: h_localmin : IsLocalMinOn f s a

Context: h_conv : ConvexOn ℝ s f

Context: x : E

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x

Context: hg0 : g 0 = a

Context: hg1 : g 1 = x

Context: hgc : Continuous ⇑g

Context: h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s

Context: fg_local_min_on : IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0


Context: E : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝² : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module ℝ β

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: a : E

Context: a_in_s : a ∈ s

Context: h_localmin : IsLocalMinOn f s a

Context: h_conv : ConvexOn ℝ s f

Context: x : E

Context: x_in_s : x ∈ s

Context: g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x

Context: hg0 : g 0 = a

Context: hg1 : g 1 = x

Context: hgc : Continuous ⇑g

Context: h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s

Context: fg_min_on : IsMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤


∀ (x : ℝ≥0∞), ((fun p => min p.1 p.2) ∘ fun y => (t, y)) x ∈ {a | a ≠ ⊤}


Context:
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul


Context:
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this : toMulOneClass = toMulOneClass


Context: M : Type u

Context: m₁ m₂ : Monoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: this : toMulOneClass = toMulOneClass

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }


Context: M : Type u

Context: m₁ m₂ : Monoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: this✝ : toMulOneClass = toMulOneClass

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: this : Monoid.npow = Monoid.npow


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y

Quot.mk (CompClosure r) f = Quot.mk (CompClosure r) f' ↔ r f f'


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

IsZero (((Ext R C (n + 1)).obj (Opposite.op X)).obj Y)


IsZero (HomologicalComplex.homology ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1))


(HomologicalComplex.sc ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1)).Exact


IsZero (HomologicalComplex.sc ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1)).X₂


IsZero (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))


𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: C : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : Linear R C

Context: inst✝¹ : EnoughProjectives C

Context: X Y : C

Context: inst✝ : Projective X

Context: n : ℕ

Context: x : ((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y

(𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))) x = 0 x


(𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))) 0 = 0 0


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M


g (f.sec (f.toMap x)).1 = g (↑(f.sec (f.toMap x)).2 * x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α

(map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum


(map (fun i => f i + g i) 0).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (antidiagonal 0)).sum


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: s✝ : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: a : ι

Context: s : Multiset ι

Context: ih : (map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum

(map (fun i => f i + g i) (a ::ₘ s)).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (a ::ₘ s).antidiagonal).sum


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a b c d : α


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: A : Continuous fun x => rexp (t * x)

Context: h'X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: A : Continuous fun x => rexp (t * x)

Context: h'Y : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α

IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty ↔ ∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s


(∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s) → IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t u : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α

IsInitSeg (initSeg s) s.card ∧ (initSeg s).Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s


Context:
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S

enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s}) = s


enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s}) ≤ s


s ≤ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s})


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

Any P (node size✝ l x r) ↔ ∃ x_1, Any (Eq x_1) (node size✝ l x r) ∧ P x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β

Integrable g (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Integrable (g ∘ ⇑f) μ


Memℒp g 1 (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Memℒp (g ∘ ⇑f) 1 μ


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : Integrable f μ

Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f : Ω → F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: hm : m ≤ mΩ

Context: hf : Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, ω)) μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
h : _root_.Disjoint s {a}


Context:
m n : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ m * n

↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ n


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v : ℤ

↑(filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ico a b)).card = max (⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑a - ↑v) / ↑r⌉) 0


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G

x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ x✝ ∈ comap (mk' H) (center (G ⧸ H))


x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ ∀ (x : G), ↑x * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑x


∀ (a : G), x✝ * a * x✝⁻¹ * a⁻¹ ∈ H ↔ ↑a * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑a


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ y : G

x✝ * y * x✝⁻¹ * y⁻¹ ∈ H ↔ ↑y * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑y


Context:
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1


∑ k ∈ range n.succ, ↑(((k, n - k).1 + (k, n - k).2).choose (k, n - k).2) / (↑(k, n - k).2 + 1) * bernoulli' (k, n - k).1 = ∑ k ∈ range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n x : ℕ
hx : x ∈ range n.succ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ (μ (closedBall c f.rOut)).toReal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α


IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = s.bind pure ∧ c₂ = s


s.bind pure = s ∨ ∃ s_1, s.bind pure = s_1.bind pure ∧ s = s_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
ha : a ∉ t
hu : insert a t ∈ 𝒜


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f✝ : Y ⟶ X

Context: S✝ R✝ : Sieve X

Context: S : Presieve X

Context: R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → Sieve Y

Context: f : Y ⟶ X

Context: h : S f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f✝ : Y ⟶ X

Context: S✝ R✝ : Sieve X

Context: S : Presieve X

Context: f : Y ⟶ X

Context: h : S f


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
s : Set M
a : M
h : a ∈ Closure s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁


‖f z₁‖ * ‖z‖ ≤ c * ‖z‖


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ

∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: heq : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) a = (μ[g|↑ℱ i]) a


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: g✝ g : Ω → ℝ

Context: x : Ω

Context: hxeq : ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) x = (μ[g|↑ℱ i]) x

Context: hxt : Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))

Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : Set β

(Prod.mk '' s).seq t = ((fun b a => (a, b)) '' t).seq s


((fun x => Prod.swap ∘ x) ∘ Prod.mk '' t).seq s = ((fun b a => (a, b)) '' t).seq s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y

add' W (add' W f₁ f₂) f₃ = add' W f₁ (add' W f₂ f₃)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₃ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
h₃ : f₃ = α.thd.map L ⋯


(LeftFraction₂.mk (α.f + α.f') α.f'' α.s ⋯).add.map L ⋯ = (LeftFraction₂.mk α.f (α.f' + α.f'') α.s ⋯).add.map L ⋯


(LeftFraction.mk (α.f + α.f' + α.f'') α.s ⋯).map L ⋯ = (LeftFraction.mk (α.f + (α.f' + α.f'')) α.s ⋯).map L ⋯


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w


IsSheafFor P (generate (singleton (𝟙 X))).arrows


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: cut : α → Ordering

Context: f : α → α

Context: t : RBSet α cmp

Context: H : ∀ {x : α}, RBNode.find? cut t.val = some x → cmpEq cmp (f x) x


Context: α : Type u_1

Context: cmp : α → α → Ordering

Context: cut : α → Ordering

Context: f : α → α

Context: t : RBSet α cmp

OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp

(∀ {x : α}, RBNode.find? cut t.val = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst


(∀ {x : α}, (zoom cut t.val).fst.root? = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
hd : ¬z.IsDiag
h : a ∈ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
hd : Mem.other h = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
hd : Mem.other h = a
h' : s(a, Mem.other h) = z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this : CompleteSpace E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F


⟪↑(ContinuousLinearMap.adjoint (toContinuousLinearMap ↑(toContinuousLinearMap A))) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑(toContinuousLinearMap A) x⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure s = μ s


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : InjectiveResolution X
Q : InjectiveResolution Y
φ : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
comm : P.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ Q.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

F.map f ≫ Q.toRightDerivedZero' F = P.toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hb : b ≠ 0

Context: hcd : c < d

Context: hd : d ≠ 0

Context: ha : a = 0


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hb : b ≠ 0

Context: hcd : c < d

Context: hd : d ≠ 0

Context: ha : a = 0


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: hab : a ≤ b

Context: hb : b ≠ 0

Context: hcd : c < d

Context: hd : d ≠ 0

Context: ha : ¬a = 0

Context: hc : c = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R[X]
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0

1 < rootMultiplicity t p ↔ (gcd p (derivative p)).IsRoot t


Context: t : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X][Y]

(map W f) ((mk W) x) = (mk (WeierstrassCurve.map W f)) (Polynomial.map (mapRingHom f) x)


eval₂ (AdjoinRoot.of (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.polynomial) (AdjoinRoot.root (WeierstrassCurve.map W f).toAffine.polynomial) (Polynomial.map (mapRingHom f) x) = (mk (WeierstrassCurve.map W f)) (Polynomial.map (mapRingHom f) x)


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : DivisionSemiring α
h : Periodic f c
a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: h : (s.Pairwise fun a b => ¬Disjoint a b) ∧ s ≠ {⊥}

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hab : Disjoint a b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hab : Disjoint a b

Context: this : a = b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hab : b = ⊥

Context: this : a = b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf α

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: s t : Set α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : α

Context: hb : ⊥ ∈ s

Context: hab : b = ⊥

Context: this : a = b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Set α

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddBelow s

Context: ht₀ : t.Nonempty

Context: ht₁ : BddAbove t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
hμ : μ ≠ 0


Context: y : ℝ

WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Iio ↑↑y = Iio y


Context: y : ℝ

WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Iio ↑↑y) = Iio y


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

IsCoprime ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom


IsCoprime (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q)) (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
s : Finset α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: f'int : IntervalIntegrable f' volume a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: g : NormedSpace.Dual ℝ E

g (∫ (y : ℝ) in a..b, f' y) = g (f b - f a)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g✝ φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: g : NormedSpace.Dual ℝ E

∫ (x : ℝ) in a..b, g (f' x) = g (f b) - g (f a)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n

(∏ μ ∈ primitiveRoots n R, (X - C μ)).natDegree = n.totient


∑ i ∈ primitiveRoots n R, (X - C i).natDegree = n.totient


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
z : R
a✝ : z ∈ primitiveRoots n R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s✝ : Set X
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : RegularSpace X

Context: x✝ : X

Context: s✝ : Set X

Context: x : X

Context: s : Set X

Context: h : s ∈ 𝓝 x

Context: h' : RegularSpace X ↔ ∀ (x : X), ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ t ∈ 𝓝 x, IsClosed t ∧ t ⊆ s


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : ℕ


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : t ⊆ s


⋃₀ insert t ↑(hC.diffFinset hs ht) = t ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
inv_hom_id : g ≫ f = 𝟙 Y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanHom n A B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A B₂ f₂
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod

(map (f₁ * f₂) s).prod = (map (f₁ * f₂) t).prod


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P
w : P → k

(affineCombination k s.attach Subtype.val) (w ∘ Subtype.val) = (affineCombination k s id) w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α

∀ᵐ (b : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, b)) atBot (𝓝 0)


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq k
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
a : m
b : n
c : k

(single a b).toMatrix * (single b c).toMatrix = (single a c).toMatrix


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ


(fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose 0 (k + 1)) = (fun x => (k + 1).factorial • x) 0


(k + 1).factorial • multichoose 0 (k + 1) = (k + 1).factorial • 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
a b : α

(∃ a, s = {a} ∧ IsUnit a) ↔ ∃ a, s = {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ

((PartialEquiv.refl α).trans e).source = e.source


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), ¬V i ⊆ W


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this : (⋂ i, V i ∩ Wᶜ).Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this✝ : (⋂ i, V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this : ¬⋂ i, V i ⊆ W


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0

IsBigOWith c l (fun x => (g x)⁻¹) fun x => (f x)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f : α → 𝕜

Context: g : α → 𝕜'

Context: h : IsBigOWith c l f g

Context: h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0

Context: x : α

Context: h₀ : f x = 0 → g x = 0

Context: hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f : α → 𝕜

Context: g : α → 𝕜'

Context: h : IsBigOWith c l f g

Context: x : α

Context: h₀ : f x = 0 → g x = 0

Context: hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Context: hx : f x = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f : α → 𝕜

Context: g : α → 𝕜'

Context: h : IsBigOWith c l f g

Context: x : α

Context: h₀ : f x = 0 → g x = 0

Context: hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Context: hx : f x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > (map (⇑f) μ) A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r
this : IsOpen (⇑f.symm ⁻¹' U)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S


Function.Injective ⇑(M.subtype ∘ₗ ↑M.rTensorOne)


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b

Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ n) atTop atTop


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
hb : 0 < b

Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ 0) atTop atTop


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b
hn : n ≠ 0


Tendsto (fun x => b * (rexp x / x ^ n) + c / x ^ n) atTop atTop


Context:
l m r : List Char
f : Char → Bool

{ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.any f = m.any f


Context:
α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : RBNode α
h : t.Balanced c n

∃ c' n', (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t).Balanced c' n'


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ⇑f
x : V₁

‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C = (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) s) atTop (𝓝 (ρ.fst s))


Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atTop (𝓝 (ρ (s ×ˢ univ)))


Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atTop (𝓝 (ρ (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r q : ℚ
hr_le_q : r ≤ q
x : α × ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite


Context:
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ


Context:
i j k : ℤ
H1 : k ∣ i
H2 : k ∣ j

(i / k).gcd (j / k) = i.gcd j / k.natAbs


Context:
i j k : ℤ
H1 : k ∣ i
H2 : k ∣ j

(i.natAbs / k.natAbs).gcd (j.natAbs / k.natAbs) = i.gcd j / k.natAbs


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ

Icc x y = closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2)


Context:
a : ℤ
b : ℕ
inst✝ : NeZero b

0 ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯ ↔ a.gcd ↑b ≠ 1


Context:
a : ℤ
b : ℕ
inst✝ : NeZero b

(∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ b.primeFactorsList), legendreSym a_1 a = 0) ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ a.natAbs ∧ p ∣ (↑b).natAbs


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
ℱ : Presheaf C X
x : ↑X
U✝ : Opens ↑X
hxU✝ : (𝟙 X) x ∈ U✝

((pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ).germ ⟨(𝟙 X) x, hxU✝⟩ ≫ stalkPushforward C (𝟙 X) ℱ x = ((pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ).germ ⟨(𝟙 X) x, hxU✝⟩ ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom


ℱ.map ((NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (𝟙 X) x).inv).app (op { obj := U✝, property := ⋯ })) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.map (𝟙 X) x).op ⋙ ((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (OpenNhds.map (𝟙 X) x).op = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion ((𝟙 X) x)).op ⋙ (pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom


𝟙 (ℱ.obj ((OpenNhds.inclusion ((𝟙 X) x) ⋙ Opens.map (𝟙 X)).op.obj (op { obj := U✝, property := ⋯ }))) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.map (𝟙 X) x).op ⋙ ((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (OpenNhds.map (𝟙 X) x).op = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion ((𝟙 X) x)).op ⋙ (pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S
this : (0, 1) = 0 ∨ (1, 0) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S
this : 0 = 0 ∧ 1 = 0 ∨ 1 = 0 ∧ 0 = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝ : EnoughProjectives C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: α : ShortComplex.mk (d f) f ⋯ ⟶ ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯ := { τ₁ := π (kernel f), τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₂, τ₃ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }

Context: this✝¹ : Epi α.τ₁

Context: this✝ : IsIso α.τ₂

Context: this : Mono α.τ₃


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝ : EnoughProjectives C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: this✝¹ : Epi α.τ₁

Context: this✝ : IsIso α.τ₂

Context: this : Mono α.τ₃

(ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯).Exact


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝ : EnoughProjectives C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: this✝¹ : Epi α.τ₁

Context: this✝ : IsIso α.τ₂

Context: this : Mono α.τ₃

IsLimit (KernelFork.ofι (ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯).f ⋯)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup G
h : f.ker ≤ H


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arccos (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G

(f * g) x = sum f fun a b => (single a b * g) x


(sum f fun a b => (single a b * g) x) = sum f fun a b => b * g (a⁻¹ * x)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x

f.den • f.val = (algebraMap A (at x)) f.num


IsLocalization.mk' (at x) (f.den * f.num) ⟨f.den, ⋯⟩ = (algebraMap A (at x)) f.num


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)

ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: d : ℝ

Context: hd : 0 < d

Context: hd' : d < b.re


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: d : ℝ

Context: hd : 0 < d

Context: hd' : d < b.re

Context: f_meas : ∀ (c : ℂ), AEStronglyMeasurable (f c) volume


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: d : ℝ

Context: hd : 0 < d

Context: hd' : d < b.re

Context: f_cts : ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun c => f c x) b


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: d : ℝ

Context: hd : 0 < d

Context: hd' : d < b.re

Context: f_le_bd : ∀ᶠ (c : ℂ) in 𝓝 b, ∀ᵐ (x : ℝ), ‖f c x‖ ≤ rexp (-d * x ^ 2)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop

∫ (x : Ω), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

(∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop = (liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop).toReal


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ

Context: f_nn : 0 ≤ f

liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop ≠ ⊤


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddGroup H
s : Set G
inst✝ : Finite ↑s
this : Fintype ↑s


Group.rank ↥(closure ↑s.toFinset) ≤ s.toFinset.card


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : MeasurableMul₂ G
inst✝ : MeasurableInv G
f g : α → G
hf : Measurable f
h : Measurable (f * g)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α


Context:
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric

x < y ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)

edist ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) y) ≤ edist x y


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)

edist x y ≤ edist ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
μ : Measure α

f.lintegral (μ.restrict s) = ∑ y ∈ f.range, y * μ (↑f ⁻¹' {y} ∩ s)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N
P : Submonoid M
h : P.FG
S : Set M
hS : closure S = P
hf : S.Finite

AddSubmonoid.closure (⇑Additive.toMul ⁻¹' S) = toAddSubmonoid P


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : AddMonoid N

Context: P : Submonoid M

Context: h : (toAddSubmonoid P).FG

Context: T : Set (Additive M)

Context: hT : AddSubmonoid.closure T = toAddSubmonoid P

Context: hf : T.Finite

closure (⇑Multiplicative.ofAdd ⁻¹' T) = P


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ

Context: w₁ w₂ : InfinitePlace K

Context: e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)

Context: e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)

Context: f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K := (finSuccEquiv (rank K)).trans ↑((Equiv.optionSubtype w₁).symm e₁.symm)

Context: g : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) := (f.symm.subtypeEquiv ⋯).trans (finSuccAboveEquiv (f.symm w₂)).symm

|(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₁ i))))).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ

Context: w₁ w₂ : InfinitePlace K

Context: e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)

Context: e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)

Context: h_col : |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det| = |↑↑(Equiv.Perm.sign (g.trans e₂.symm)) * (Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ

Context: w₁ w₂ : InfinitePlace K

Context: e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)

Context: e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)

Context: h_col : |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det| = |(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).det|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ

Context: w₁ w₂ : InfinitePlace K

Context: e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)

Context: e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)

|(Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₁ i))))).det| = |((Matrix.of fun i w => ↑(↑w).mult * Real.log (↑w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u (e₂ i))))).submatrix (⇑(g.trans e₂.symm)) id).det|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ

Context: w₁ w₂ : InfinitePlace K

Context: e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)

Context: e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)

Context: h : |((Matrix.of fun i w => ↑(f w).mult * Real.log ((f w) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u i)))).submatrix id (Fin.succAbove 0)).det| = |(↑↑0 - ↑↑(f.symm w₂)).negOnePow • ((Matrix.of fun i w => ↑(f w).mult * Real.log ((f w) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u i)))).submatrix id (f.symm w₂).succAbove).det|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ

Context: w₁ w₂ : InfinitePlace K

Context: e₁ : { w // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)

Context: e₂ : { w // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)

∀ (i : Fin (rank K)), ∑ j : Fin (rank K + 1), Matrix.of (fun i w => ↑(f w).mult * Real.log ((f w) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(u i)))) i j = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Set α
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x ∈ p
inst✝ : Fintype ↑p


Context: b o : Ordinal.{u_1}

foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 (CNF b 0) = 0


Context: b o : Ordinal.{u_1}


Context: b o✝ o : Ordinal.{u_1}

Context: ho : o ≠ 0

Context: IH : foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 (CNF b (o % b ^ log b o)) = o % b ^ log b o

foldr (fun p r => b ^ p.1 * p.2 + r) 0 (CNF b o) = o


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det


A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).adjugate = ↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A


(fun x => Y ^ n.succ * x) (A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).adjugate) = (fun x => Y ^ n.succ * x) (↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A)


Y ^ n.succ * (A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).adjugate) = Y ^ n.succ * (↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A)