Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
x : V
i : ι

((B.dualBasis hB b).repr x) i = (B x) (b i)


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : Submodule R M


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U

toOpen R U ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ x = toStalk R ↑x


toOpen R ⊤ ≫ germ (structureSheaf R).val ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = toStalk R ↑x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedRing 𝕝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
inst✝ : SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕜
b : 𝕝
ha : a • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖a‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedRing 𝕝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b✝ : 𝕜
inst✝ : SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
b : 𝕝
ha : 0 • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖0‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedRing 𝕝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
inst✝ : SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕜
b : 𝕝
ha : a • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖a‖
ha₀ : a ≠ 0


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
h : o % b ^ log b o = 0


Context:
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
h : o % b ^ log b o ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f g : Filter α
m : α → β
s : Set α
hsf : s ∈ f
hsg : s ∈ g
hm : InjOn m s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a : G
h : |1| = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a : G
h : |(-1)| = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

{ ofColex := {a} } ≤ { ofColex := {b} } ↔ a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
h : ¬IsBounded s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
t : Set α
x : α
h : ¬IsBounded ∅


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b✝ : ι → M
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥

∃ b' a ab', ∀ (i : ι), ↑(ab' i) = a i • b' i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b✝ : ι → M
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: b✝ : ι → M

Context: S : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Finite ι

Context: b : Basis ι R S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: val✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: bI : Basis (Fin (Fintype.card ι)) R ↥(restrictScalars R I)

Context: f : Fin (Fintype.card ι) ↪ ι

Context: a : Fin (Fintype.card ι) → R

Context: snf : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), ↑(bI i) = a i • bS (f i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: b✝ : ι → M

Context: S : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Finite ι

Context: b : Basis ι R S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: val✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: f : Fin (Fintype.card ι) ↪ ι

Context: a : Fin (Fintype.card ι) → R

Context: e : Fin (Fintype.card ι) ≃ ι := Equiv.ofBijective ⇑f ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: b✝ : ι → M

Context: S : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Finite ι

Context: b : Basis ι R S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: val✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: f : Fin (Fintype.card ι) ↪ ι

Context: a : Fin (Fintype.card ι) → R

Context: fe : ∀ (i : ι), f (e.symm i) = i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0

(f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0


(f =O[l] fun x => ‖c • f' x‖) ↔ f =O[l] f'


(f =O[l] fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) ↔ f =O[l] f'


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂

IsNilpotent R L (M ⧸ N) ↔ ∃ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N


(∃ k, lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥) ↔ ∃ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ

lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥ ↔ lowerCentralSeries R L M k ≤ N


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : ContinuousStar A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : Algebra R B
x : A


range Subtype.val = ↑(elementalStarAlgebra R x)


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: mα : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : AddGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace E

Context: g f : α → E

Context: hg : Measurable g

Context: φ : ℕ → α →ₛ E

Context: hφ : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(φ n) x) atTop (𝓝 (f x))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: mα : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : AddGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace E

Context: g f : α → E

Context: hg : Measurable g

Context: φ : ℕ → α →ₛ E

Context: this : Tendsto (fun n x => ↑(φ n) x + g x) atTop (𝓝 (f + g))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Countable ι

Context: f✝ g✝ : α✝ → β

Context: mα : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: α : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: x✝ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : AddGroup E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace E

Context: g f : α → E

Context: hg : Measurable g

Context: φ : ℕ → α →ₛ E

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ l' : List α

Context: a : α

Context: val✝ : Multiset α

Context: l : List α

Context: hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

Context: a✝ : { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl } ∈ Set.univ

{ val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl } ∈ toFinset '' {l | l.Nodup}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : TopologicalSpace β

Context: f✝ f : α → β

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: this : TopologicalSpace α := induced f t


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.Ring

(g.comp f).toAlgHom x = g.toAlgHom (f.toAlgHom x)


Context:
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝ : Semiring k
f : k[G]

f ∈ Submodule.span k ((fun a => single a 1) '' ↑f.support)


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne α
inst✝ : CharZero α
n✝¹ n✝ : ℕ
h : n✝¹.beq n✝ = false


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f g : M → N
x y : M

polar (f + g) x y = polar f x y + polar g x y


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ univ

∃ y ∈ frontier s, infDist x sᶜ = dist x y


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ univ
y : E
hys : y ∈ closure sᶜ
hyd : infDist x sᶜ = dist x y


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
hs : s ≠ univ
y : E
hys : y ∈ (interior s)ᶜ
hyd : infDist x sᶜ = dist x y


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} #ι < c


Context:
𝕜 : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E


Context:
𝕜 : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
A : lift.{v, u} 𝔠 ≤ lift.{v, u} #𝕜


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
K' : Type u_3
inst✝ : Field K'
p n : ℕ
hp : 1 < p


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
K' : Type u_3
inst✝ : Field K'
p n : ℕ
hp : 1 < p
h1 : X.degree < (X ^ p).degree


Context:
n : ℕ
h : 2 ≤ n


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
v : ι → α
l : Line α ι'
x : α

(fun x i => ((vertical v l).idxFun i).getD x) x = Sum.elim v ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x)


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
v : ι → α
l : Line α ι'
x : α
i : ι ⊕ ι'

(fun x i => ((vertical v l).idxFun i).getD x) x i = Sum.elim v ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) i


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ

2 ^ Fintype.card α * (𝒜 ∩ ℬ).card ≤ 𝒜.card * ℬ.card


2 ^ Fintype.card α * (ℬ ∩ 𝒜).card ≤ ℬ.card * 𝒜.card


Context:
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C

F.Final ↔ ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)


F.Final → ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)


((∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t) → ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α

Iic (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, Iic (f i j)


Context:
s : ℂ
hs : s ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α

(s \ t).encard + t.encard = (s ∪ t).encard


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

(Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z


(algebraMap K E) ((Algebra.norm K) (ζ - 1)) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝ : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝¹ : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L

Context: this : IsGalois K L := isGalois n K L


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝¹ : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this : IsGalois K L := isGalois n K L

∏ σ : L →ₐ[K] E, σ (ζ - 1) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝¹ : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this : IsGalois K L := isGalois n K L

∏ x : L →ₐ[K] E, -1 * (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝¹ : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this : IsGalois K L := isGalois n K L

∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝¹ : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this : IsGalois K L := isGalois n K L

Context: Hprod : ∏ σ : L →ₐ[K] E, (1 - σ ζ) = eval 1 (cyclotomic' (↑n) E)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : 2 < ↑n

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: this✝² : NeZero ↑↑n

Context: E : Type v := AlgebraicClosure L

Context: z : E

Context: hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L

Context: this✝ : IsGalois K L := isGalois n K L

Context: this : NeZero ↑↑n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
x y : S
d : ℕ
hd : d ≠ 0

y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, f.natDegree < d ∧ y = (aeval x) f


(∃ f, f.degree < ↑d ∧ y = (aeval x) f) ↔ ∃ f, f.natDegree < d ∧ y = (aeval x) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u₁ u₂ : αˣ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid β
y : β
hx : IsOfFinOrder x
h : orderOf y ∣ orderOf x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid β
y : β
hx : 0 < orderOf x
h : orderOf y ∣ orderOf x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝[univ] x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝[univ] x
s : Set X
hsc : s.Countable
hsU : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, f x


Context:
n✝ : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : (a : Prop) → Decidable a

HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0)


HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t - if ∃ n, ↑n = a then 1 else 0)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
y : Q ⊗[R] N

(inverse Q hfg hg) ((lTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T
hg : g ∈ S


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x✝ : m
m✝ : n →₀ ℕ

coeff m✝ (toMvPolynomial 0 x✝) = coeff m✝ (0 x✝)


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
α : Type u
c d : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p : α → Prop
q : β → Prop


Setoid.r (toNat p) (toNat q) ↔ ManyOneEquiv p q


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G

s ∈ fixedBy (Set α) g ↔ ∀ (x : α), g • x ∈ s ↔ x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b c d : α

↑(Ico a b * Icc c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))


Context:
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
n : ℕ
hn : f ^ n = 0


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: a b : ℝ≥0∞

Context: h : a = ⊤ → b = ⊤

Context: h_nnreal : a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ b.toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: a b : ℝ≥0∞

Context: h : a = ⊤ → b = ⊤

Context: hlt : b < a


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: a : ℝ≥0∞

Context: b : ℝ≥0

Context: h : a = ⊤ → ↑b = ⊤

Context: h_nnreal : a ≠ ⊤ → ↑b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ (↑b).toNNReal

Context: hlt : ↑b < a


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞

Context: r p q b a : ℝ≥0

Context: h : ↑a = ⊤ → ↑b = ⊤

Context: h_nnreal : ↑a ≠ ⊤ → ↑b ≠ ⊤ → (↑a).toNNReal ≤ (↑b).toNNReal

Context: hlt : ↑b < ↑a


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i

((map fun i => g i ∘ₗ f i).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map g ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : OfLocalizationSpanTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

Context: hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set S

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: hT✝ : ∀ (r : ↑s), ∃ T x x_1, ∃ (_ : IsLocalization.Away (↑r) T), P ((algebraMap S T).comp f)

Context: r : ↑s

Context: T : Type u

Context: w✝² : CommRing T

Context: w✝¹ : Algebra S T

Context: w✝ : IsLocalization.Away (↑r) T

Context: hT : P ((algebraMap S T).comp f)

P ((algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: s : Set S

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: r : ↑s

Context: T : Type u

Context: w✝² : CommRing T

Context: w✝¹ : Algebra S T

Context: w✝ : IsLocalization.Away (↑r) T

Context: hT : P ((algebraMap S T).comp f)

(algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f = (Localization.algEquiv (Submonoid.powers ↑r) T).symm.toRingEquiv.toRingHom.comp ((algebraMap S T).comp f)


Context:
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : Multiset R

(Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod ∣ p ↔ s ≤ p.roots


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

∡ p₁ s.center p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₂ p₁ s.center


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
this : (Matroid.sigma M).Finitary


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
x : (a : α) → δ a

x ∈ ↑(piFinset t) ↔ x ∈ Set.univ.pi fun a => ↑(t a)


x ∈ ↑(piFinset t) ↔ ∀ (i : α), x i ∈ ↑(t i)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s

IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid G

Context: inst✝ : AddCommMonoid H

Context: A B : Set (G × G)

Context: s : Set G

Context: t : Set H

Context: f : G → H

Context: a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G

Context: hf : IsAddFreimanIso 2 s t f

Context: hAs : A ⊆ s ×ˢ s

Context: hx₁ : x₁ ∈ s

Context: hy₁ : y₁ ∈ s

Context: hx₂ : x₂ ∈ s

Context: hy₂ : y₂ ∈ s

Context: hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid G

Context: inst✝ : AddCommMonoid H

Context: A B : Set (G × G)

Context: s : Set G

Context: t : Set H

Context: f : G → H

Context: a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G

Context: hf : IsAddFreimanIso 2 s t f

Context: hAs : A ⊆ s ×ˢ s

Context: hx₁ : x₁ ∈ s

Context: hy₁ : y₁ ∈ s

Context: hx₂ : x₂ ∈ s

Context: hy₂ : y₂ ∈ s

(f x₁, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₁, f y₂) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₂, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ f x₁ + f y₂ = f x₂ + f y₁ ↔ (x₁, y₁) ∈ A ∧ (x₁, y₂) ∈ A ∧ (x₂, y₁) ∈ A ∧ x₁ + y₂ = x₂ + y₁


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a✝

Context: inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: a : α

a = ⊥ ∨ (∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a) ∨ IsWellOrderLimitElement a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a✝

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: a : α

Context: h₁ : ¬a = ⊥

Context: h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a✝

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: a : α

Context: h₁ : ¬a = ⊥

Context: h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a

Context: b : α

Context: hb : b < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: b : α

Context: h₁ : ¬wellOrderSucc b = ⊥

Context: h₂ : ¬∃ b_1, wellOrderSucc b = wellOrderSucc b_1 ∧ b_1 < wellOrderSucc b

Context: hb : b < wellOrderSucc b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ : α

Context: ha : IsWellOrderLimitElement a✝

Context: inst✝ : OrderBot α

Context: a : α

Context: h₁ : ¬a = ⊥

Context: h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a

Context: b : α

Context: hb : b < a

Context: h₃ : wellOrderSucc b < a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝¹⁰ : Category.{?u.100947, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.100951, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.100955, u_3} E
inst✝⁷ : Category.{?u.100959, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : HasShift D A
inst✝⁴ : HasShift E A
inst✝³ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G G' : D ⥤ E
e : G ≅ G'
inst✝² : G.CommShift A
inst✝¹ : G'.CommShift A
inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C

((F.postcomp G).shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ e.hom.app ((F.functor a).obj X) = (shiftFunctor E n).map (e.hom.app ((F.functor a').obj X)) ≫ ((F.postcomp G').shiftIso n a a' ha').hom.app X


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g✝ : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter α
g : Filter α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Integrable (⇑g) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) μ

∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal 1) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : x ∈ l.prod.support


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : ∀ f ∈ l, x ∉ f.support


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : ∀ f ∈ l, f x = x


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁

S.moduleCatHomologyπ (((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x) = 0 x


((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x ∈ LinearMap.range S.moduleCatToCycles


∃ y, S.moduleCatToCycles y = ((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x✝ : IsUnit 0
a : M₀
a0 : 0 * a = 1
inv_val✝ : a * 0 = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l
this : (μ.restrict v) v < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l
this✝ : (μ.restrict v) v < ⊤
this : μ v ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Ideal R


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x

∫⁻ (a : α) in s, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤


∀ (g : G) (x : α), ↑‖f (g • x)‖₊ = ↑‖f x‖₊


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E

Bornology.IsBounded ((convexHull ℝ) s) ↔ Bornology.IsBounded s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}

∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

Context: ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

Context: S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

Context: S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n

Context: S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

Context: S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n

Context: S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

Context: S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n

Context: S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

Context: S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n

Context: S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: s : ℕ → α

Context: hs : CauchySeq s

Context: hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

Context: S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n

Context: S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: m' n' : ℕ

Context: hm' : (m', n').1 ≥ n

Context: hn' : (m', n').2 ≥ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α

∀ (a b : α), Setoid.r a b = (b * a⁻¹ ∈ s)


Context:
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)


↑↑(t ^ ModularCyclotomicCharacter_aux g n) = ↑(↑t ^ (ModularCyclotomicCharacter_aux g n % ↑(Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))))


Context:
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R✝ N
R : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
simple : IsSimpleModule R M


Context:
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R✝ N
R : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
simple : IsSimpleModule R M
I : Ideal R
max : I.IsMaximal
e : M ≃ₗ[R] R ⧸ I


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α

A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n = 0


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n > 0


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

A'.adjugate.det = A'.det ^ (Fintype.card n - 1)


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

A'.det * A'.adjugate.det = A'.det * A'.det ^ (Fintype.card n - 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 u p


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L


(∀ (x : L), x ∈ F.toSubalgebra ↔ x ∈ E.toSubalgebra) ↔ ∀ (x : L), x ∈ ↑F ↔ x ∈ ↑E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a / b = 1


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
T : Set (Set X)
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
hc : T.Countable
hc' : ∀ t ∈ T, IsClosed t
hU : s ⊆ ⋃₀ T


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v

List.map (fun x => x.toProd.2) p.darts = p.support.tail


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
n : ℕ


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A

span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree)) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝⁷ : CommRing A✝

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ B

Context: f✝ : R✝ →+* S

Context: R : Type u_5

Context: A : Type u_6

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: x : A

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: hfx : (aeval x) f = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hf1 : f ≠ 1

Context: s : A

Context: hs : s ∈ ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))

s ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}))


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R✝

Context: inst✝⁷ : CommRing A✝

Context: inst✝⁶ : Ring B

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ B

Context: f✝ : R✝ →+* S

Context: R : Type u_5

Context: A : Type u_6

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: x : A

Context: f : R[X]

Context: hf : f.Monic

Context: hfx : (aeval x) f = 0

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hf1 : f ≠ 1

Context: r : A

Context: hr : r ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})

r ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
r : A
hr : r ∈ (aeval x).range


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range

(aeval x) p ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))


∑ n ∈ (p %ₘ f).support, eval₂ (algebraMap R A) x (C ((p %ₘ f).coeff n) * X ^ n) ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range
k : ℕ
hkq : k ∈ (p %ₘ f).support

eval₂ (algebraMap R A) x (C ((p %ₘ f).coeff k) * X ^ k) ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))


(p %ₘ f).coeff k • x ^ k ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)
i✝ : ι


Context: x : ℂ

cos x = -1 ↔ ∃ k, ↑π + ↑k * (2 * ↑π) = x


Context: x : ℂ

(∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x - ↑π) ↔ ∃ k, ↑π + ↑k * (2 * ↑π) = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
x : α
m : M

equivFunOnFinite.symm (Pi.single x m) = single x m


Context: a b c : Prop


Context: n b f : ℕ

∀ (n : ℕ) (c : Char) (tl : List Char), (b.toDigitsCore f n (c :: tl)).length = (b.toDigitsCore f n tl).length + 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
x : 𝕎 k
hx : x ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
x : 𝕎 k
hx : x ≠ 0
n : ℕ
b : (𝕎 k)ˣ
hb : x = ↑p ^ n * ↑b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : StrongLT 0 f
hg : StrongLT 0 g


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X : C

(λ_ (F.obj X)).inv ≫ F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X = F.map (λ_ X).inv


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
n : ℕ
hn : ↑n ≠ 0
k : ℕ
this : n ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTop β
f : α ≃o β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ


Context:
X : Type u_1
f : X →₀ ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

x₁ ∈ C ∧ x₂ ∈ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hx₁B : x₁ ∈ B
hx₂B : x₂ ∈ B

x₁ ∈ C ∧ x₂ ∈ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → α →ᵤ[𝔖] β

Continuous f ↔ ∀ s ∈ 𝔖, Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖) ∘ f)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite

∃ N', ∃ (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: w✝¹ : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: w✝ : w✝¹ ≤ M₁

Context: hN : N' ≤ N₁

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹

Context: hfin : Module.Finite R ↥N'

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion w✝) (inclusion hN)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: w✝¹ : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: w✝ : w✝¹ ≤ M₁

Context: hN : N' ≤ N₁

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹

Context: hfin : Module.Finite R ↥N'

s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: w✝¹ : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: w✝ : w✝¹ ≤ M₁

Context: hN : N' ≤ N₁

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹

Context: hfin : Module.Finite R ↥N'

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN) ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N') (inclusion w✝)))


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R


(∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B


(∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) → IsBlock G B


(∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) → ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: B : Set X

Context: hB : ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B

Context: g g' : G

g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: B : Set X

Context: g g' : G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝ : MulAction G X

Context: B : Set X

Context: g g' : G

Disjoint ((g'⁻¹ * g) • B) B → Disjoint (g • B) (g' • B)


Context: α : Type u_1

Context: R : α → α → Prop

Context: s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x

Context: l₁ l₂ : List α

Context: this : ∀ (l₁ l₂ : List α), (∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) → ∀ (x : α), x ∈ l₂ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → R x y

Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ Pairwise R (l₂ ++ l₁)


Context: α : Type u_1

Context: R : α → α → Prop

Context: s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x

Context: l₁ l₂ : List α

(Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a b) ↔ Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₂ → ∀ (b : α), b ∈ l₁ → R a b


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasImage f✝
A B : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : HasImage f
h : A ⟶ underlying.obj X
w : h ≫ X.arrow = f

((imageSubobjectIso f).hom ≫ image.lift (MonoFactorisation.mk (underlying.obj X) X.arrow h ⋯)) ≫ X.arrow = (imageSubobject f).arrow


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp ppred pred : Pair K

Context: succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp

Context: nth_conts_eq : g.conts n = ppred

Context: succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = pred

g.conts (n + 2) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp ppred pred : Pair K

Context: nth_conts_eq : g.contsAux (n + 1) = ppred

Context: succ_nth_conts_eq : g.contsAux (n + 1 + 1) = pred


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α

IsUnit (fromBlocks A 0 C D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4


Context:
X : Type u_1
k : ℤ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
x : X


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
x✝ : DvdNotUnit I J
hI : I ≠ 0
H : Ideal A
hunit : ¬IsUnit H
hmul : J = I * H
h : J = I


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: length_mod_two : cs.length (w * cs.simple i) % 2 = (cs.length w + cs.length (cs.simple i)) % 2


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: length_mod_two : cs.length w % 2 = (cs.length w + 1) % 2


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: even : cs.length w % 2 = 0


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: odd : cs.length w % 2 = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

StrictAntiOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ StrictAntiOn f s


Context:
x x' y y' : ZFSet
H : x.pair y = x'.pair y'


Context: x x' y y' : ZFSet

Context: H : x.pair y = x'.pair y'

Context: ae : ∀ (z : ZFSet), z ∈ x.pair y ↔ z ∈ x'.pair y'


Context: x x' y y' : ZFSet

Context: H : x.pair y = x'.pair y'

Context: ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x'} ∨ z = {x', y'}


Context: x y y' : ZFSet

Context: H : x.pair y = x.pair y'

Context: ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x} ∨ z = {x, y'}

Context: he : x = y → y = y'


Context: x y y' : ZFSet

Context: H : x.pair y = x.pair y'

Context: he : x = y → y = y'

Context: xyx : {x, y} = {x}


Context: x y y' : ZFSet

Context: H : x.pair y = x.pair y'

Context: he : x = y → y = y'

Context: xyy' : {x, y} = {x, y'}


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ aeSeqSet hf p

Context: h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ aeSeqSet hf p

Context: hx' : x ∈ {x | p x fun n => f n x}


Context: p x ε : ℝ

QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε


Context: x ε : ℝ

QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • 0) ε


Context:
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0


Context:
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ

y ∈ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ↔ y ∈ ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε


Context:
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ

|y - x - ↑(round (p⁻¹ * (y - x))) * p| ≤ ε ↔ ∃ i, |y - x - ↑i * p| ≤ ε


Context:
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ
n : ℤ
hn : |y - x - ↑n * p| ≤ ε

|y - x - ↑(round (p⁻¹ * (y - x))) * p| ≤ ε


Context:
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ
n : ℤ
hn : |p⁻¹ * (y - x) - ↑n| ≤ |p⁻¹| * ε

|p⁻¹ * (y - x) - ↑(round (p⁻¹ * (y - x)))| ≤ |p⁻¹| * ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : β → γ
s : Set (α → β)
t : Set α

f '' s.seq t = ((fun x => f ∘ x) '' s).seq t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : Multiset α
xs : List α

(map f ⟦xs⟧).sym2 = map (Sym2.map f) (Multiset.sym2 ⟦xs⟧)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n

addRothNumber (Iio ↑k) ≤ rothNumberNat k


Set.MapsTo Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)


Set.SurjOn Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)


∀ (x : Fin n.succ), ↑x < k → ∃ x_1 < k, ↑x_1 = x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: x y : M × R

Context: f : M × R →ₗ[R] M × R →ₗ[R] CliffordAlgebra Q := ((Algebra.lmul R (CliffordAlgebra Q)).toLinearMap ∘ₗ (ι Q ∘ₗ LinearMap.fst R M R + Algebra.linearMap R (CliffordAlgebra Q) ∘ₗ LinearMap.snd R M R)).compl₂ (ι Q ∘ₗ LinearMap.fst R M R - Algebra.linearMap R (CliffordAlgebra Q) ∘ₗ LinearMap.snd R M R)

((even.lift (Q' Q)) { bilin := f, contract := ⋯, contract_mid := ⋯ }) (((even.ι (Q' Q)).bilin x) y) = ((ι Q) x.1 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) x.2) * ((ι Q) y.1 - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) y.2)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I
hxB : x ∉ B


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e✝ f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I
hxB : x ∉ B
e : α
he : e ∈ B \ B'
hBase : M.Base (insert e (B' \ {x}))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₁ s.center).cos / 2 = s.radius


‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ / (1 / √(1 + (∡ p₂ p₁ s.center).tan ^ 2)) = ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ + (∡ p₂ p₁ s.center).tan • (o.rotation ↑(π / 2)) (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)‖


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1

Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q


(∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q


Context:
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
Hnext : ∀ (n : ℕ), Injective next


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
x : G × N

x ∈ K.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MonoidHom.fst G N) K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ

map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod (dirac 1)) = μ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default
g : ℕ → α
hg : StrictAnti g
hg₀ : g 0 = default


∀ (n : ℤ), (Int.casesOn n f fun n => g (n + 1)) < Int.casesOn (n + 1) f fun n => g (n + 1)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 0)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * 0))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
m : M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: h : MDifferentiableAt I I' f p.proj

tangentMapWithin I I' f s p = tangentMap I I' f p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f univ p.proj


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

tangentMapWithin I I' f s p = tangentMapWithin I I' f univ p


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
z : E
hs : Convex ℝ s


Context:
x y : ℝ
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hle : ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hlt : ∀ i ∈ s, g i < f i


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s t : Set β
ht : MeasurableSet t

((Measure.map f μ).restrict s) t = (Measure.map f (μ.restrict (f ⁻¹' s))) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Tendsto (⇑μ ∘ s) (𝓝[>] a) (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Context: l : ℝ≥0∞

Context: hl : l < μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)

Context: u : ℕ → ι

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)

Context: u : ℕ → ι

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))

Context: B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)

Context: u : ℕ → ι

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ

Context: hn : μ (s (u n)) < L


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝² : OrderTopology ι

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered ι

Context: inst✝ : FirstCountableTopology ι

Context: s : ι → Set α

Context: a : ι

Context: hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)

Context: hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤

Context: L : ℝ≥0∞

Context: hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)

Context: u : ℕ → ι

Context: u_anti : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ

Context: hn : μ (s (u n)) < L

Context: this : Ioc a (u n) ∈ 𝓝[>] a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : δ → β

(fun b => (a, g b)) ⁻¹' s ×ˢ t = if a ∈ s then g ⁻¹' t else ∅


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
h : ¬g.natDegree = p


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: a : K

Context: ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a

Context: this✝ : ¬IsUnit (X ^ p - C a)

Context: g : K[X]

Context: hg : Irreducible g

Context: hg' : g ∣ X ^ p - C a

Context: h : ¬g.natDegree = p

Context: this : Fact (Irreducible g)

Context: key : (Algebra.norm K) (root g) ^ p = a ^ g.natDegree


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: a : K

Context: ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a

Context: this✝¹ : ¬IsUnit (X ^ p - C a)

Context: g : K[X]

Context: hg : Irreducible g

Context: hg' : g ∣ X ^ p - C a

Context: h : ¬g.natDegree = p

Context: this✝ : Fact (Irreducible g)

Context: this : p.Coprime g.natDegree


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ

Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
hp : p = 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
hp : NeZero p


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0


(eval₂Hom f g) (∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p)) = f (constantCoeff p)


(∑ x ∈ p.support, f (coeff x p) * x.prod fun i k => g i ^ k) = f (constantCoeff p)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : constantCoeff p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : ¬constantCoeff p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : constantCoeff p = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p.support

(f (coeff d p) * d.prod fun i k => g i ^ k) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : ¬constantCoeff p = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p.support
hd0 : d ≠ 0


0 ∉ p.support → (f (coeff 0 p) * Finsupp.prod 0 fun i k => g i ^ k) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hG : ↑(G.cliqueFinset 3).card < triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3

∃ G' ≤ G, ∃ x, ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ∧ G'.CliqueFree 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: h : ∀ G' ≤ G, ∀ (x : DecidableRel G'.Adj), ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) → ¬G'.CliqueFree 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

∀ ⦃H : SimpleGraph α⦄ [inst : DecidableRel H.Adj], H ≤ G → H.CliqueFree 3 → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition univ

Context: ε : ℝ

Context: hG✝ : ↑(G.cliqueFinset 3).card < triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3

Context: G' : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G'.Adj

Context: hG : G' ≤ G

Context: hG' : G'.CliqueFree 3

ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α


Context: V : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} V

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms V

Context: inst✝¹ : HasZeroObject V

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex V c

Context: j : ι

Context: A : V

Context: φ : K.X j ⟶ A

Context: hφ : ∀ (i : ι), c.Rel i j → K.d i j ≫ φ = 0

(if hi : j = j then 𝟙 (K.X j) ≫ φ ≫ (singleObjXIsoOfEq c j A j hi).inv else 0) = φ ≫ (singleObjXSelf c j A).inv


Context: V : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} V

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms V

Context: inst✝¹ : HasZeroObject V

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: c : ComplexShape ι

Context: K : HomologicalComplex V c

Context: j : ι

Context: A : V

Context: φ : K.X j ⟶ A

φ ≫ (singleObjXIsoOfEq c j A j ⋯).inv = φ ≫ (singleObjXSelf c j A).inv


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Sub (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)

Context: f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i

Context: i✝ : ι

Context: a b : α i✝

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

∀ (R : ℝ), μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: R : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: R : ℝ

Context: A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: R : ℝ

Context: B : Tendsto (fun ε => ↑ε * μ (closedBall 0 R)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: R : ℝ

∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑c * μ (closedBall 0 R)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0

Context: R : ℝ

∀ a ∈ Ioi 0, μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑a * μ (closedBall 0 R)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: g : G

Context: u : ℤˣ

Context: w : NormalWord d

Context: h1 : w.head ∈ d.set u

Context: h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'

Context: u' : ℤˣ

Context: g' : G

Context: h' : (u', g') ∈ { head := g, toList := (u, w.head) :: w.toList, chain := ⋯ }.toList


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: g : G

Context: u : ℤˣ

Context: w : NormalWord d

Context: h1 : w.head ∈ d.set u

Context: u' : ℤˣ

Context: g' : G

Context: h' : u' = u ∧ g' = w.head ∨ (u', g') ∈ w.toList


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: g : G

Context: u : ℤˣ

Context: w : NormalWord d

Context: h1 : w.head ∈ d.set u

List.Chain' (fun a b => a.2 ∈ toSubgroup A B a.1 → a.1 = b.1) ((u, w.head) :: w.toList)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: g : G

Context: u : ℤˣ

Context: w : NormalWord d

Context: h1 : w.head ∈ d.set u

∀ y ∈ w.toList.head?, (u, w.head).2 ∈ toSubgroup A B (u, w.head).1 → (u, w.head).1 = y.1


Context: m n : ℕ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
m : ℤ


Context:
x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ 0


Context:
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1

(n + 1).choose k.succ * k.succ ! * (n + 1 - k.succ)! = (n + 1)!


Context:
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
hk₁ : k.succ < n + 1


Context:
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
hk₁ : k.succ = n + 1


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α

Disjoint (sSup s) a ↔ ∀ b ∈ s, Disjoint b a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: t : Set β

Context: ht : t.OrdConnected

Context: H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)

Context: K : ∀ n ∈ t, succ n ∈ t → (s n ∩ s (succ n)).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: t : Set β

Context: ht : t.OrdConnected

Context: H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)

Context: h1 : ∀ {i j k : β}, i ∈ t → j ∈ t → k ∈ Ico i j → k ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: t : Set β

Context: ht : t.OrdConnected

Context: H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)

Context: h2 : ∀ {i j k : β}, i ∈ t → j ∈ t → k ∈ Ico i j → succ k ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: t : Set β

Context: ht : t.OrdConnected

Context: H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)

Context: h3 : ∀ {i j k : β}, i ∈ t → j ∈ t → k ∈ Ico i j → (s k ∩ s (succ k)).Nonempty