Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' s x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: hr₀ : 0 < r

Context: A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' s x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: hr₀ : 0 < r

Context: B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r

∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' s x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: hr₀ : 0 < r

Context: C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s \ {x}] x ⊔ 𝓝[{x}] x


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' s x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: hr₀ : 0 < r

Context: C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' s x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: hr₀ : 0 < r

∀ (a : ℝ), ‖(a - x)⁻¹ • (f a - f x)‖ ∈ Iio r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' s x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: hr₀ : 0 < r

∀ (a : ℝ), ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
x : Subobject X


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
f : MonoOver X

(pullback (𝟙 X)).obj (Quotient.mk'' f) = Quotient.mk'' f


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
hx : d x ≠ 0

HasDerivWithinAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) s x


(fun y => c y / d y) = fun y => c y * ((fun y => y⁻¹) ∘ d) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᶠ[ae μ] t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: t : Set α

Context: h : ∀ (n : ℕ), μ (s n \ t) = 0 ∧ μ (t \ s n) = 0

μ (limsup s atTop \ t) = 0 ∧ μ (t \ limsup s atTop) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K


(cyclotomic n ℤ).natDegree ≤ (minpoly ℤ μ).natDegree


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : c ≤ b


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory

(if h : Δ = Δ then eqToHom ⋯ else if h : Isδ₀ (𝟙 Δ) then K.d Δ.len Δ.len else 0) = 𝟙 (K.X Δ.len)


Context:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.radical
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I


Context:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I


Context: x y a b c : ℝ


Context:
x y b c : ℝ
y✝ : CauSeq ℚ abs


Context:
x y c : ℝ
y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs


Context:
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs

mk y✝ + mk y✝² < mk y✝ + mk y✝¹ ↔ mk y✝² < mk y✝¹


Context:
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs

y✝ + y✝² < y✝ + y✝¹ ↔ y✝² < y✝¹


Context:
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs

(y✝ + y✝¹ - (y✝ + y✝²)).Pos ↔ (y✝¹ - y✝²).Pos


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T


Context: x : ℂ


Context: x : ℂ

HasStrictDerivAt sin ((cexp (x * I) + cexp (-x * I)) * 2⁻¹) x


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H

∃ t, ↑t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: D H : Subgroup G

Context: inst✝ : D.FiniteIndex

Context: hD_le_H : D ≤ H

Context: t : Set ↥H

Context: ht : t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ 1 ∈ t


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: D H : Subgroup G

Context: inst✝ : D.FiniteIndex

Context: hD_le_H : D ≤ H

Context: t : Set ↥H

Context: hf : t.Finite


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set (Sigma σ)

IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed (Sigma.mk i ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P

edist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ edist v v' + edist p p'


↑(nndist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p')) ≤ ↑(nndist v v') + ↑(nndist p p')


nndist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ nndist v v' + nndist p p'


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

stdSimplex 𝕜 (Fin 2) = [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]


stdSimplex 𝕜 (Fin 2) ⊆ [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : Fin 2 → 𝕜
hf₀ : ∀ (x : Fin 2), 0 ≤ f x
hf₁ : ∑ x : Fin 2, f x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : Fin 2 → 𝕜
hf₀ : ∀ (x : Fin 2), 0 ≤ f x
hf₁ : f 0 + f 1 = 1


(f 0 • Pi.single 0 1 + f 1 • Pi.single 1 1) 0 = f 0 ∧ (f 0 • Pi.single 0 1 + f 1 • Pi.single 1 1) 1 = f 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R


(∃ x_1 ∈ Set.Icc 0 1, (lineMap 0 1) x_1 = x) ↔ x ∈ Set.Icc 0 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : StarRing α
d : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (range ⇑e)
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(r • { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = r • { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoTopOrder α
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 4


re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖)) / 4


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

range (map f g) = Submodule.span R {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}


Submodule.span R (⇑(map f g) '' {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}) = Submodule.span R {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}


Context: m n : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ


Context:
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₁
inst✝³ : Module.Finite R M₁
inst✝² : Module.Free R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Nontrivial R
B₁ : BilinForm R M₁
B₂ : BilinForm R M₂
x✝³ : M₁
x✝² : M₂
x✝¹ : M₁
x✝ : M₂

((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry ↑(tensorDistribEquiv R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²)) x✝¹) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (tensorDistrib R R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²)) x✝¹) x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
hv : v ≠ 0
r : R
hr : r ≠ 0


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)

LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: this : Algebra.IsSeparable F ↥E'


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: this : Algebra.IsSeparable F ↥E'

Context: v' : ι → ↥E' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: q n : ℕ

Context: hF : ExpChar F q

Context: ι : Type u_1

Context: v : ι → E

Context: hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)

Context: h : LinearIndependent F v

Context: this : Algebra.IsSeparable F ↥E'

Context: v' : ι → ↥E' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩

Context: h' : LinearIndependent F v'


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: x : B

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsDomain B

Context: hx : IsIntegral A x

Context: f g : A[X]

Context: hf : f.Monic

Context: hg : g.Monic

Context: he : f * g = minpoly A x

Context: h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g

Context: heval : (Polynomial.aeval x) (f * g) = (Polynomial.aeval x) (minpoly A x)


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : Algebra A B

Context: x : B

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsDomain B

Context: hx : IsIntegral A x

Context: f g : A[X]

Context: hf : f.Monic

Context: hg : g.Monic

Context: he : f * g = minpoly A x

Context: h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g

Context: heval : (Polynomial.aeval x) f = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) g = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = ∫ (θ : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

ShortComplex.cyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K) ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Context: y : I → Bool

Context: hy : y ∈ C

Context: i : I

↑(ProjRestricts C ⋯ ⟨Proj J y, ⋯⟩) i = ↑(id ⟨Proj J y, ⋯⟩) i


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Monoid G
a : G
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop

∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in l, x_1 ∈ Metric.ball x (r i)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
y : α

∀ᶠ (i : ι) in l, y ∈ Metric.ball x (r i)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : FinitaryExtensive D

Context: inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C

Context: inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F

Context: inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : FinitaryExtensive D

Context: inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C

Context: X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁹ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : FinitaryExtensive D

Context: inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C

Context: X Y : C

Context: c : BinaryCofan X Y

Context: hc : IsColimit c

Context: this : (i : Discrete WalkingPair) → (Z : C) → (f : Z ⟶ X ⨿ Y) → PreservesLimit (cospan f ((BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr).ι.app i)) F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), f a =ᶠ[ae (κ a)] g a
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝

((κ.withDensity f) a) s✝ = ((κ.withDensity g) a) s✝


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X
this : X ⊆ M.E


Context:
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : AddMonoid A

Context: inst✝³ : HasShift C A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂

Context: a : A

Context: X : C

(natTransLift r (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).inv).app ((functor r).obj X) = (F.commShiftIso a).inv.app X ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).hom.app X)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : AddMonoid A

Context: inst✝³ : HasShift C A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: a : A

Context: X : C

(((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).inv.app X = (F.commShiftIso a).inv.app X ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).hom.app X)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : AddMonoid A

Context: inst✝³ : HasShift C A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: a : A

Context: X : C

(((((𝟙 ((shiftFunctor D a).obj ((lift r F hF).obj ((functor r).obj X))) ≫ (shiftFunctor D a).map (𝟙 (F.obj X))) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ 𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a).obj X))) ≫ 𝟙 ((lift r F hF).obj ((functor r).obj ((shiftFunctor C a).obj X)))) ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).hom.app X)) ≫ 𝟙 ((lift r F hF).obj ((shiftFunctor (Quotient r) a).obj ((functor r).obj X))) = (F.commShiftIso a).inv.app X ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).hom.app X)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
a : Pseudoelement P
x : Over P

Over.mk (x.hom ≫ f ≫ g) ≈ Over.mk ((Over.mk (x.hom ≫ f)).hom ≫ g)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} A
inst✝² : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝¹ : J.PreservesSheafification F
inst✝ : HasWeakSheafify J B
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂
hf : J.W f

IsIso ((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight f F))


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜

HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Tendsto (slope f x) (𝓝[s \ {x}] x) (𝓝 f')


HasDerivAtFilter f f' x (𝓝 x ⊓ 𝓟 s) ↔ Tendsto (slope f x) (𝓝 x ⊓ 𝓟 s ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 f')


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I


Context:
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
h : ∀ (j₁ j₂ : J), Zigzag j₁ j₂


∀ {α : Type u₁} (F : J → α), (∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂) → ∀ (j j' : J), F j = F j'


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: fn : 𝒰.J → ℕ

Context: hfn : ∀ (i : 𝒰.J), (Hom.app (𝒰.map i) U) s ^ fn i = 0

Context: this : Fintype 𝒰.J

Context: N : ℕ := Finset.univ.sup fn


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: fn : 𝒰.J → ℕ

Context: this : Fintype 𝒰.J

Context: N : ℕ := Finset.univ.sup fn

Context: hfnleN : ∀ (i : 𝒰.J), fn i ≤ N


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: fn : 𝒰.J → ℕ

Context: this : Fintype 𝒰.J

Context: N : ℕ := Finset.univ.sup fn

Context: hfnleN : ∀ (i : 𝒰.J), fn i ≤ N

∀ (i : ?h.𝒰.J), (Hom.app (?h.𝒰.map i) U) (s ^ N) = 0


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: s : ↑Γ(X, U)

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: inst✝ : Finite 𝒰.J

Context: fn : 𝒰.J → ℕ

Context: this : Fintype 𝒰.J

Context: N : ℕ := Finset.univ.sup fn

Context: hfnleN : ∀ (i : 𝒰.J), fn i ≤ N

Context: i : ?h.𝒰.J


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
i : ℕ

(p.scaleRoots s).coeff i = p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a

∃ b c, a ∈ Icc b c ∧ Icc b c ∈ 𝓝 a ∧ Icc b c ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
b : α
hba : b ≤ a
hb_nhds : Icc b a ∈ 𝓝[≤] a
hbs : Icc b a ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
b : α
hba : b ≤ a
hb_nhds : Icc b a ∈ 𝓝[≤] a
hbs : Icc b a ⊆ s
c : α
hac : a ≤ c
hc_nhds : Icc a c ∈ 𝓝[≥] a
hcs : Icc a c ⊆ s


Icc b a ∪ Icc a c ∈ 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[≥] a ∧ Icc b a ∪ Icc a c ⊆ s


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q

legendreSym q ↑p * legendreSym p ↑q = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2))


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1
hq₁ : q % 2 = 1


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
hpq : p ≠ q
hp₁ : p % 2 = 1
hq₁ : q % 2 = 1
hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2


Context: p q : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime q)

Context: hp : p ≠ 2

Context: hq : q ≠ 2

Context: hpq : p ≠ q

Context: hp₁ : p % 2 = 1

Context: hq₁ : q % 2 = 1

Context: hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2

Context: h : (quadraticChar (ZMod p)) ↑q = (quadraticChar (ZMod q)) (↑(χ₄ ↑(Fintype.card (ZMod p))) * ↑(Fintype.card (ZMod p)))


Context: p q : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime q)

Context: hp : p ≠ 2

Context: hq : q ≠ 2

Context: hpq : p ≠ q

Context: hp₁ : p % 2 = 1

Context: hq₁ : q % 2 = 1

Context: hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2

Context: h : (quadraticChar (ZMod p)) ↑q = (quadraticChar (ZMod q)) (↑(χ₄ ↑p) * ↑p)


Context: p q : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime q)

Context: hp : p ≠ 2

Context: hq : q ≠ 2

Context: hpq : p ≠ q

Context: hp₁ : p % 2 = 1

Context: hq₁ : q % 2 = 1

Context: hq₂ : ringChar (ZMod q) ≠ 2

Context: nc : ∀ (n r : ℕ), ↑↑n = ↑n

Context: nc' : ↑((-1) ^ (p / 2)) = (-1) ^ (p / 2)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

∃ γ, range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: p' : ℕ → X := fun k => if h : k < n + 1 then p ⟨k, h⟩ else p ⟨0, ⋯⟩


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p' 0) (p' n)

Context: hγ : (∀ i ≤ n, p' i ∈ range ⇑γ) ∧ range ⇑γ ⊆ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p' 0) (p' n)

Context: hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p' 0) (p' n)

Context: hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k

range ⇑(γ.cast ⋯ ⋯) ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑(γ.cast ⋯ ⋯)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p' 0) (p' n)

Context: hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k

range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p' 0) (p' n)

Context: hpp' : ∀ k < n + 1, p ↑k = p' k

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n + 1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²² : Semifield R

Context: inst✝²¹ : StarRing R

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁷ : Field S

Context: inst✝¹⁶ : StarRing S

Context: inst✝¹⁵ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹³ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : Module S A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A

Context: f : C(S, R)

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: h_id : φ (ContinuousMapZero.id ⋯) = a

(nonUnitalStarAlgHom φ h) (ContinuousMapZero.id ⋯) = a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²² : Semifield R

Context: inst✝²¹ : StarRing R

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁷ : Field S

Context: inst✝¹⁶ : StarRing S

Context: inst✝¹⁵ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹³ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : Module S A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A

Context: f : C(S, R)

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: h_id : φ (ContinuousMapZero.id ⋯) = a

φ ({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }.comp ((ContinuousMapZero.id ⋯).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })) = a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²² : Semifield R

Context: inst✝²¹ : StarRing R

Context: inst✝²⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁷ : Field S

Context: inst✝¹⁶ : StarRing S

Context: inst✝¹⁵ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalRing S

Context: inst✝¹³ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : Module S A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower S A A

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass S A A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A

Context: f : C(S, R)

Context: h : QuasispectrumRestricts a ⇑f

Context: h_id : φ (ContinuousMapZero.id ⋯) = a

Context: x : ↑(σₙ S a)

({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }.comp ((ContinuousMapZero.id ⋯).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })) x = (ContinuousMapZero.id ⋯) x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
g : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso g
f : Y ⟶ X
h : g ≫ f = 𝟙 X


Context: a : Rat


Context:
K : Type u_1
L : Type ?u.614660
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q

(algEquivOfAssociated hp hpq) (root p) = root q


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: f✝ g : α → β

Context: s✝¹ : Finset α

Context: t✝ : Finset β

Context: a✝ : α

Context: b c : β

Context: inst✝ : DecidableEq γ

Context: s✝ : Finset α

Context: t : α → Finset β

Context: f : β → γ

Context: this : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: x✝ : a ∉ s

Context: ih : image f (s.biUnion t) = s.biUnion fun a => image f (t a)

image f ((insert a s).biUnion t) = (insert a s).biUnion fun a => image f (t a)


Context: C : Type u

Context: 𝒞 : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)

Context: inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))

Context: π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst

Context: π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd

Context: e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)


Context: C : Type u

Context: 𝒞 : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)

Context: π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst

Context: π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd

equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ≫ π₂ ≫ g = (e ≫ π₂) ≫ g


Context: C : Type u

Context: 𝒞 : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)

Context: π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst

Context: π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd

Context: s : PullbackCone f g

prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₁ ≫ f = prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₂ ≫ g


Context: C : Type u

Context: 𝒞 : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)

Context: π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst

Context: π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd

Context: s : PullbackCone f g

(BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.left } ≫ f = (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.right } ≫ g


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.102730, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.102737, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.102744, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.102796, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val

({ val := (presheafIso i).hom } ≫ { val := (presheafIso i).inv }).val = (𝟙 ℱ).val


({ val := (presheafIso i).inv } ≫ { val := (presheafIso i).hom }).val = (𝟙 ℱ').val


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'


factorThruImage f ≫ ι f = factorThruImage f ≫ (eqToIso h).hom ≫ ι f'


factorThruImage f ≫ ι f = factorThruImage f ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image f') (ι f') (factorThruImage f') ⋯) ≫ ι f'


Context:
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 1 ≤ log x


Context:
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 1 ≤ log x
hx₀ : 0 ≤ log x


Context:
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* K
hf : Function.Injective ⇑f
r s : S
hr : eval₂ f (f r / f s) p = 0
hs : s ∈ nonZeroDivisors S


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)

(Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x))) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x) = f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)


Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x) = f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: U : Opens ↑X✝.toTopCat

Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Y

Context: V : Opens ↑Y.toTopCat

Context: x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)

Context: a : (forget CommRingCat).obj (Y.presheaf.obj (op V))

(Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x)) a = (f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) a


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: U : Opens ↑X✝.toTopCat

Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Y

Context: V : Opens ↑Y.toTopCat

Context: x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)

(LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x)) ((LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x))) ((Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) a)) = (X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) ((f.val.c.app (op V)) a)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: U : Opens ↑X✝.toTopCat

Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Y

Context: V : Opens ↑Y.toTopCat

Context: x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)

(LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) ((X.presheaf.germ ⟨↑x, ⋯⟩) ((f.val.c.app (op V)) a)) = (X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) ((f.val.c.app (op V)) a)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s


∃ y ∈ s, infDist x (s ∩ closedBall x (dist z x)) = dist x y


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: s t✝ u : Set α

Context: x✝ y : α

Context: Φ : α → β

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: h : IsClosed s

Context: x z : α

Context: hz : z ∈ s

Context: t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: s t✝ u : Set α

Context: x✝ y : α

Context: Φ : α → β

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: h : IsClosed s

Context: x z : α

Context: hz : z ∈ s

Context: htc : IsCompact t


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: s t✝ u : Set α

Context: x✝ y : α

Context: Φ : α → β

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: h : IsClosed s

Context: x z : α

Context: hz : z ∈ s

Context: htc : IsCompact t

Context: htne : t.Nonempty


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: s t✝ u : Set α

Context: x✝ y✝ : α

Context: Φ : α → β

Context: inst✝ : ProperSpace α

Context: h : IsClosed s

Context: x z : α

Context: hz : z ∈ s

Context: htc : IsCompact t

Context: htne : t.Nonempty

Context: y : α

Context: hyd : infDist x t = dist x y

Context: hys : y ∈ s


Context: p q : ℚ≥0


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S


Context: α : Type u_1

Context: rels : Set (FreeGroup α)

Context: this : of = ⇑(QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)) ∘ FreeGroup.of


Context: α : Type u_1

Context: rels : Set (FreeGroup α)

(QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)).range = ⊤


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, IsOpen (s a)


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
c : ℝ
hf : Martingale f ℱ μ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
c : ℝ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
c : ℝ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
x : Ω
hx : (μ[f j|↑ℱ i]) x = f i x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Ici a)
l : Filter β

Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop


Context:
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ Fin.last n
x : { x // x ≠ p }

(finSuccAboveEquiv p).symm x = (p.castLT ⋯).predAbove ↑x


some ((finSuccAboveEquiv p).symm x) = some ((p.castLT ⋯).predAbove ↑x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝ : M


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M

(a + b) * (x✝¹ * x✝) = (a + b) * x✝¹ * x✝


x✝¹ * (a + b) * x✝ = x✝¹ * ((a + b) * x✝)


x✝¹ * x✝ * (a + b) = x✝¹ * (x✝ * (a + b))


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K

Disjoint (Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding.latticeBasis K))) (LinearMap.ker (commMap K))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding.latticeBasis K))

Context: h_zero : (commMap K) x = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: h_zero : (commMap K) x = 0

Context: h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: h_zero : (commMap K) x = 0

Context: φ : K →+* ℂ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i : 𝒰.J


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

t 𝒰 f g i i ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

t 𝒰 f g i i ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i) = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
i : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : One β

Context: l : Filter α

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 1

Context: s t : Set α

Context: h : s.mulIndicator f =ᶠ[l] t.mulIndicator f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝ : One β

Context: l : Filter α

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 1

Context: s t : Set α

Context: this : ∀ {s : Set α}, Function.mulSupport (s.mulIndicator f) =ᶠ[l] s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤

Context: hp_zero : ¬p = 0

Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp : 0 < p.toReal

Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal) ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : β) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a‖₊ ^ p.toReal) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousAt f x

∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: r : ℝ

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: k : Set β

Context: f : β → α

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f univ x


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO


Context:
p : ℕ
q : ℚ
hq : ¬q = 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

(AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).leadingCoeff = AddOpposite.unop x.leadingCoeff


(if h : AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x) = 0 then 0 else (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).coeff (⋯.min ⋯)) = AddOpposite.unop (if h : x = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))


(if h : (fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = 0 then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : x = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))


(if h : ∀ (a : Γ), AddOpposite.unop (x.coeff a) = 0 a then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = coeff 0 a then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))


(if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = 0 then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0

s.secondInter p (r • v) = s.secondInter p v


(-2 * (r * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / r / r / ⟪v, v⟫_ℝ * r) • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p


Context:
F✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommMonoid β
s : Multiset ι
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
g : ι → α

(map (fun i => f (g i)) s).prod = f (map g s).prod


map (fun i => f (g i)) s = map (⇑f) (map g s)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: hJ : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) = ↑J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: ha : ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = ↑(Ideal.span {a})


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)) * ∏ᶠ (x : HeightOneSpectrum R), (↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)) * ∏ᶠ (x : HeightOneSpectrum R), ↑x.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = ∏ᶠ (i : HeightOneSpectrum R), ↑i.asIdeal ^ ↑((Associates.mk i.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) * ↑i.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk i.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

∀ (x : HeightOneSpectrum R), ↑x.asIdeal ^ (↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = ↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) * ↑x.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v✝ : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: v : HeightOneSpectrum R

↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)) = ↑v.asIdeal ^ ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) * ↑v.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors))


Context: cf : Code


Context: cf : Code

cf.encodeCode < 2 * (2 * cf.encodeCode + 1) + 1 + 4


Context: cf : Code

Context: this : 1 * cf.encodeCode ≤ 2 * 2 * cf.encodeCode


Context: cf : Code

Context: this : cf.encodeCode ≤ 2 * (2 * cf.encodeCode)


Context: cf : Code

2 * (2 * cf.encodeCode) ≤ 2 * (2 * cf.encodeCode + 1) + 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: i : ι

Context: f : G →L[𝕜] G'

Context: this : Unique ι := uniqueOfSubsingleton i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L

∃ c, 0 < c ∧ c < ⊤ ∧ map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this : ProperSpace E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝ : ProperSpace E
this : FiniteDimensional 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝¹ : ProperSpace E
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace F
S : Submodule 𝕜 E := ker L
T : Submodule 𝕜 E
hT : IsCompl S T


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M : (↥S × ↥T) ≃ₗ[𝕜] E := S.prodEquivOfIsCompl T hT


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: I : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'

Context: A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: I✝ : Function.Bijective ⇑(L.domRestrict T)

Context: L' : ↥T ≃ₗ[𝕜] F := LinearEquiv.ofBijective (L.domRestrict T) I✝

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'

Context: A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm

Context: I : map (⇑L) μ = map (⇑L') (map (⇑P) (map (⇑M.symm) μ))

Context: μS : Measure ↥S := addHaar

Context: μT : Measure ↥T := addHaar


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'

Context: A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm

Context: μS : Measure ↥S := addHaar

Context: μT : Measure ↥T := addHaar

Context: c₀ : ℝ≥0∞

Context: c₀_pos : c₀ ≠ 0

Context: c₀_fin : c₀ ≠ ⊤

Context: h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'

Context: A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm

Context: μS : Measure ↥S := addHaar

Context: μT : Measure ↥T := addHaar

Context: c₀ : ℝ≥0∞

Context: c₀_pos : c₀ ≠ 0

Context: c₀_fin : c₀ ≠ ⊤

Context: h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT

Context: J : map (⇑P) (μS.prod μT) = μS univ • μT


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'

Context: A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm

Context: μS : Measure ↥S := addHaar

Context: μT : Measure ↥T := addHaar

Context: c₀ : ℝ≥0∞

Context: c₀_pos : c₀ ≠ 0

Context: c₀_fin : c₀ ≠ ⊤

Context: h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT

Context: c₁ : ℝ≥0∞

Context: c₁_pos : c₁ ≠ 0

Context: c₁_fin : c₁ ≠ ⊤

Context: h₁ : map (⇑L') μT = c₁ • ν


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'

Context: A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm

Context: μS : Measure ↥S := addHaar

Context: μT : Measure ↥T := addHaar

Context: c₀ : ℝ≥0∞

Context: c₀_pos : c₀ ≠ 0

Context: c₀_fin : c₀ ≠ ⊤

Context: h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT

Context: c₁ : ℝ≥0∞

Context: c₁_pos : c₁ ≠ 0

Context: c₁_fin : c₁ ≠ ⊤

Context: h₁ : map (⇑L') μT = c₁ • ν

map (⇑L) μ = (c₀ * c₁ * addHaar univ) • ν


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁸ : BorelSpace E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace F

Context: inst✝⁴ : BorelSpace F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →ₗ[𝕜] F

Context: μ : Measure E

Context: ν : Measure F

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: h : Function.Surjective ⇑L

Context: this✝¹ : ProperSpace E

Context: this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace F

Context: S : Submodule 𝕜 E := ker L

Context: T : Submodule 𝕜 E

Context: hT : IsCompl S T

Context: M_cont : Continuous ⇑M.symm

Context: P : ↥S × ↥T →ₗ[𝕜] ↥T := snd 𝕜 ↥S ↥T

Context: P_cont : Continuous ⇑P

Context: L'_cont : Continuous ⇑L'

Context: A : L = ↑L' ∘ₗ P ∘ₗ ↑M.symm

Context: μS : Measure ↥S := addHaar

Context: μT : Measure ↥T := addHaar

Context: c₀ : ℝ≥0∞

Context: c₀_pos : c₀ ≠ 0

Context: c₀_fin : c₀ ≠ ⊤

Context: h₀ : map (⇑M.symm) μ = c₀ • μS.prod μT

Context: c₁ : ℝ≥0∞

Context: c₁_pos : c₁ ≠ 0

Context: c₁_fin : c₁ ≠ ⊤

Context: h₁ : map (⇑L') μT = c₁ • ν

(c₀ * μS univ * c₁) • ν = (c₀ * c₁ * addHaar univ) • ν


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddZeroClass E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : DistribSMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
ht : IsVonNBounded 𝕜 t
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : AddZeroClass E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : DistribSMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
ht : IsVonNBounded 𝕜 t
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set E
hVo : IsOpen V
hV : 0 ∈ V
hVU : V + V ⊆ U


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Y ≅ 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : Y ≅ 0
h : f = f ≫ i.hom ≫ 𝟙 0 ≫ i.inv


Context: u v m n : ℤ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C

IsFiltered C ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F.op ⋙ yoneda.obj X))


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C

(∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cocone F)) ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F.op ⋙ yoneda.obj X))


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : s ⊆ e.source


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : ↑‖x‖₊ < p.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hx : ↑‖x‖₊ < p.radius
n : ℕ

‖p n‖ * ∏ i : Fin n, ‖x‖ = ‖p n‖ * ↑‖x‖₊ ^ n


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
T : Tape Γ
n : ℕ


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

∃ f, (∀ (x : ↑s), f ↑x = x) ∧ Surjective f ∧ Continuous f


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n

Context: f_cont : Continuous f

Context: hs : IsClosed (range f)

Context: hne : (range f).Nonempty

Context: fs : ∀ x ∈ range f, f x = x

∃ f_1, (∀ (x : ↑(range f)), f_1 ↑x = x) ∧ Surjective f_1 ∧ Continuous f_1


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n

Context: f_cont : Continuous f

Context: hs : IsClosed (range f)

Context: hne : (range f).Nonempty

Context: fs : ∀ x ∈ range f, f x = x

Context: A : ∀ (x : ↑(range f)), rangeFactorization f ↑x = x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∉ upperClosure ↑t

(s ∪ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : ∀ x ∈ t, ¬x ≤ a


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
α : Type u
β : Type v
e : α ≃ β


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A

⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ = ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)


⁅L a, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ = ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 0 → ℂ) → E
c : Fin 0 → ℂ
R : Fin 0 → ℝ

(∯ (x : Fin 0 → ℂ) in T(c, R), f x) = f c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u : β → α

Context: h : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≠ ⊥ → (p x ↔ q x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u : β → α

sInf {a | ∀ᶠ (x : β) in f, p x → u x ≤ a} = sInf {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → u x ≤ a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u : β → α

Context: a : α

a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, p x → u x ≤ a} ↔ a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → u x ≤ a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u : β → α

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : u b ≠ ⊥ → (p b ↔ q b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u : β → α

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : u b ≠ ⊥ → (p b ↔ q b)

Context: hu : u b = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u : β → α

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : u b ≠ ⊥ → (p b ↔ q b)

Context: hu : u b ≠ ⊥


Context:
σ : Type u
R : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Nonempty σ
inst✝ : Nontrivial R

max (lift.{v, u} #(σ →₀ ℕ)) (lift.{u, v} #R) = max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²¹ : Semiring R₁
inst✝²⁰ : Semiring R₂
inst✝¹⁹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹² : TopologicalSpace M₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R₁ M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M'₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝³ : Module R₁ M₂
inst✝² : TopologicalSpace R₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₁ M₂
inst✝ : ContinuousMul R₁
x : M₂
c : R₁

((smulRight 1 x).comp (smulRight 1 c)) 1 = (smulRight 1 (c • x)) 1


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Injective ⇑f


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Injective ⇑f
h : Wbtw R (f x) (f y) (f z)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
r : S
hr : r ∈ I
p : R[X]
hp : eval₂ f r p ∈ I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: r : S

Context: hr : r ∈ I

Context: p : R[X]

Context: hp : eval₂ f r p.divX * r + f (p.coeff 0) ∈ I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: r : S

Context: hr : r ∈ I

Context: p : R[X]


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Infinite α
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ (a : α), f a ∈ t
ht : t.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Infinite α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f univ t
ht : t.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Infinite α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f univ t
ht : t.Finite
a b : α
h : a < b ∧ f a = f b


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.30268, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C

Context: u₁₂ : X₁ ⟶ X₂

Context: u₂₃ : X₂ ⟶ X₃

Context: u₁₃ : X₁ ⟶ X₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂

Context: h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃

u₁₃ ≫ 𝟙 X₃ = u₁₂ ≫ u₂₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.30268, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C

Context: u₁₂ : X₁ ⟶ X₂

Context: u₂₃ : X₂ ⟶ X₃

Context: u₁₃ : X₁ ⟶ X₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂

Context: v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃

v₁₃ ≫ h.m₃ = 𝟙 X₃ ≫ v₂₃


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K

(mixedEmbedding K) x ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))


∑ x_1 : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), (mixedEmbedding K) (((integralBasis K).repr x) x_1 • (integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))


∑ x_1 : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K), ((integralBasis K).repr x) x_1 • (mixedEmbedding K) ((integralBasis K) x_1) ∈ Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
x✝ : i ∈ univ

(mixedEmbedding K) ((integralBasis K) i) ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)


(latticeBasis K) i ∈ Set.range ⇑(latticeBasis K)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F.rightOp

Context: m : s.pt ⟶ (coneRightOpOfCocone c).pt

Context: w : ∀ (j : J), m ≫ (coneRightOpOfCocone c).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => (hc.desc (coconeOfConeRightOp s)).op) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F.rightOp

Context: m : s.pt ⟶ (coneRightOpOfCocone c).pt

Context: j : Jᵒᵖ

(c.ι.app j ≫ m.unop).op = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeRightOp s)).op) s).unop).op


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
n : ℕ
s : Set X
h : IsPathConnected s
p : Fin (n + 1) → X
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

∃ γ t, (∀ (t : ↑I), γ t ∈ s) ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p 0) (p ↑n)

Context: hγ : range ⇑γ ⊆ s ∧ ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p 0) (p ↑n)

Context: h₁ : range ⇑γ ⊆ s

Context: h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ range ⇑γ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p 0) (p ↑n)

Context: h₁ : range ⇑γ ⊆ s

Context: h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∃ y, γ y = p i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: x y z : X

Context: ι : Type u_3

Context: F : Set X

Context: n : ℕ

Context: s : Set X

Context: h : IsPathConnected s

Context: p : Fin (n + 1) → X

Context: hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), p i ∈ s

Context: γ : Path (p 0) (p ↑n)

Context: h₁ : ∀ (y : ↑I), γ y ∈ s


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.233813}


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.233813}

(∃ t, ↑t = univ ∧ ∃ x y, x ≠ y ∧ t = {x, y}) ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ {x, y} = univ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: hg : (g.comp f).SurjectiveOnStalks

Context: I : Ideal T

Context: hI : I.IsPrime

Context: this : Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap (g.comp f) I) I (g.comp f) ⋯)

Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap g I) I g ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: hg : (g.comp f).SurjectiveOnStalks

Context: I : Ideal T

Context: hI : I.IsPrime

Context: this : Function.Surjective (⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap g I) I g ⋯) ∘ ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap (g.comp f) I) (Ideal.comap g I) f ⋯))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
hb : b₁ < b₂
ha : a < 0


Context:
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ


Context: ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ

Context: h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)

↑(assocRight ⟨is, h⟩).take = ↑(take ⟨is, h⟩).take


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : R
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s

((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (c • f) s x) fun x => 1) = c • (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1


((c • iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1) = c • (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1