Context: c : Code

Context: v : List ℕ

Context: i : Cfg'

Context: h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i

Context: x : TM2.Cfg (fun x => Γ') Λ' (Option Γ')

x ∈ eval (TM2.step tr) (init c v) ↔ x ∈ halt <$> c.eval v


Context: c : Code

Context: v : List ℕ

Context: i : Cfg'

Context: h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i

Context: h₂ : Reaches₁ (TM2.step tr) (init c v) i

x ∈ eval (TM2.step tr) i ↔ x ∈ halt <$> c.eval v


Context: c : Code

Context: v : List ℕ

Context: i : Cfg'

Context: h₁ : TrCfg (stepNormal c Cont.halt v) i

x ∈ eval (TM2.step tr) i ↔ ∃ a ∈ c.eval v, halt a = x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝² : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: δ : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : β × γ → δ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

∀ᵐ (x : β) ∂κ a, AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) (η (a, x))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

(∫⁻ (a : α), ↑‖b (f a) (g a)‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ eLpNorm' f q μ * eLpNorm' g r μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

(∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ * ‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ eLpNorm' f q μ * eLpNorm' g r μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

(∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ r ∂μ) ^ (1 / r)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : Kˣ

spanSingleton R⁰ ↑x * spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹ = 1


spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹ * spanSingleton R⁰ ↑x = 1


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x y : Kˣ

↑({ toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y)) = ↑({ toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun y)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L

↑((fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) 1) = ↑1


Context:
x y : PartENat
hx : Decidable x.Dom
hy : Decidable y.Dom


Context:
x : PartENat
hx : Decidable x.Dom
hy : Decidable ⊤.Dom


Context:
x : PartENat
hx : Decidable x.Dom
n✝ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝).Dom


Context:
n✝ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝).Dom
hx : Decidable ⊤.Dom


Context:
n✝¹ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝¹).Dom
n✝ : ℕ
hx : Decidable (↑n✝).Dom

(↑n✝).toWithTop ≤ (↑n✝¹).toWithTop ↔ ↑n✝ ≤ ↑n✝¹


Context:
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves

((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight i).birthday < max (lsub fun i => (a✝¹ i).birthday) (lsub fun i => (a✝ i).birthday)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I = I


Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) = Associates.mk I


Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0


∀ (p : Associates (Ideal R)), Irreducible p → p.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = p.count (Associates.mk I).factors


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
hv : Irreducible v

v.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = v.count (Associates.mk I).factors


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
hv : Irreducible v
J : Ideal R
hJv : Associates.mk J = v


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
J : Ideal R
hv : Irreducible J
hJv : Associates.mk J = v


(Associates.mk J).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f
hker : (ker f).FG


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X Y : C
g : X ⟶ Y

F'.map g ≫ (fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) Y = (fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) X ≫ F.map g


F'.map (g ≫ (adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app Y) ≫ adj2.counit.app (F.obj Y) = (F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) ≫ F.map g


F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X ≫ (F ⋙ G').map g) ≫ adj2.counit.app (F.obj Y) = (F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) ≫ F.map g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : F' ⟶ F
X Y : D
g : X ⟶ Y

adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (F'.map (G.map g)) ≫ G'.map (f.app (G.obj Y) ≫ adj1.counit.app Y) = (fun X => adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)) X ≫ G'.map g


adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (F'.map (G.map g) ≫ f.app (G.obj Y) ≫ adj1.counit.app Y) = (adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)) ≫ G'.map g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D

((fun f => { app := fun X => adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun f => { app := fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X), naturality := ⋯ }) f)).app X = f.app X


adj1.unit.app (G.obj X) ≫ f.app (F.obj (G.obj X)) ≫ G'.map (adj1.counit.app X) = f.app X


(adj1.unit.app (G.obj X) ≫ G.map (adj1.counit.app X)) ≫ f.app ((𝟭 D).obj X) = f.app X


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M

LieModule.IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, N ≤ ucs k ⊥


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0


¬1 ≤ (n / p ^ n.factorization p).factorization p


¬1 ≤ (n.factorization - (p ^ n.factorization p).factorization) p


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Group G'

Context: inst✝¹ : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: H K✝ : Subgroup G

Context: k : Set G

Context: K : Set (Subgroup G)

Context: Kne : K.Nonempty

Context: hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: x : G


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Group G'

Context: inst✝¹ : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: H K✝ : Subgroup G

Context: k : Set G

Context: K : Set (Subgroup G)

Context: Kne : K.Nonempty

Context: x : G

Context: this : Nonempty ↑K


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M


Context:
θ : Angle
h : 0 ≤ θ.sign


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : Dense s
t : Finset X


Context: o : Ordinal.{u_1}

let_fun this := ⋯; HEq (nim o).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)


Context: o : Ordinal.{u_1}

let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)


Context:
α : Type u_1
n : ZNum


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥W


(∃ v₀, ∀ (v : ↥W), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ a, (∀ v ∈ W, ∃ r, r • a = v) ∧ a ∈ W


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.14791, u_1} C
P : Karoubi C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)

Context: add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)

Context: mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)

Context: star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ x ∈ s, ∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ (r : R), ∃ (x : (_root_.algebraMap R A) r ∈ adjoin R s), p ⟨(_root_.algebraMap R A) r, x⟩


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ adjoin R s), p ⟨x + y, x_1⟩


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : Semiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: p : ↥(adjoin R s) → Prop

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩

Context: b : A

Context: hb : b ∈ adjoin R s

∀ (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : Star.star x ∈ adjoin R s), p ⟨Star.star x, x_1⟩


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

f ◁ (ρ_ g).hom = (α_ f g (𝟙 c)).inv ≫ (ρ_ (f ≫ g)).hom


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G

RightCosetEquivalence (↑H) g ↑(hHT.equiv g).2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R


Context:
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0

r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))


Context:
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0


Context: z : ℍ

Context: x : Fin 2 → ℤ

Context: hx : x ≠ 0

Context: hn0 : ‖x‖ ≠ 0

Context: h11 : ↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1) = (↑(x 0) / ↑‖x‖ * ↑z + ↑(x 1) / ↑‖x‖) * ↑‖x‖


Context: z : ℍ

Context: x : Fin 2 → ℤ

Context: hx : x ≠ 0

Context: hn0 : ‖x‖ ≠ 0

r z * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) ≤ Complex.abs (↑(x 0) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) * ↑z + ↑(x 1) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)) * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)


Context:
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z : M

ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R

CharZero R ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
p : ℕ := ringChar R


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, (-f) i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, (-f) (i + 1) ω ∂μ


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}

ℵ₀ ≤ a + b ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

x.num * q = p * x.denom ↔ x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ x * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι

(volume ↑I).toReal = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

(o.oangle x (-y)).sign = -(o.oangle x y).sign


Context: a : ℝ

Context: hapos : 0 < a

Context: halimit : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)


Context: a : ℝ

Context: hapos : 0 < a

Context: hπ : π / 2 = a ^ 2 / 2


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜

iteratedDeriv (n + 1) f x = deriv (iteratedDeriv n f) x


iteratedDerivWithin (n + 1) f univ x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f univ) univ x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U
hS : S ∈ (J.over X).sieves U

Sieve.functorPushforward (Over.map f) S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Over X

Context: S : Sieve U.left

Context: hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U

Sieve.functorPushforward (Over.map f) ((Sieve.overEquiv U).symm S) ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Over X

Context: S : Sieve U.left

(Sieve.overEquiv ((Over.map f).obj U)).symm S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Over X

Context: S : Sieve U.left


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
f : Matrix ι ι R


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: f_lim : α → G

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

eLpNorm f_lim ⊤ μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: f_lim : α → G

essSup (fun x => ↑‖f_lim x‖₊) μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: f_lim : α → G

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

(fun x => ↑‖f_lim x‖₊) x = (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: f_lim : α → G

Context: x : α

↑‖f_lim x‖₊ = liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: f_lim : α → G

Context: x : α

Tendsto (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop (𝓝 ↑‖f_lim x‖₊)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: f_lim : α → G

Context: x : α

Tendsto (fun m => ‖f m x‖₊) atTop (𝓝 ‖f_lim x‖₊)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g

Integrable (f + g) μ ↔ Integrable f μ ∧ Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : Integrable (f + g) μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: C : ℝ

Context: hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: C : ℝ

Context: hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C

C ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖↑f i‖)


Context: X : TopCat

Context: U : Opens ↑X

Context: R : Presieve U

Context: hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U


Context: X : TopCat

Context: U : Opens ↑X

Context: R : Presieve U


Context: X : TopCat

Context: U : Opens ↑X

Context: R : Presieve U

Context: x : ↑X

Context: hxU : x ∈ ↑U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff ≠ 0

(∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α

y ∈ s.ordConnectedComponent x ↔ x ∈ s.ordConnectedComponent y


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
g : X' ⟶ Z'

(tensorLeftHomEquiv (X ⊗ X') Y Y' (Z ⊗ Z')).symm ((f ⊗ g) ≫ (α_ Y Z Z').hom) = (α_ Y' X X').inv ≫ ((tensorLeftHomEquiv X Y Y' Z).symm f ⊗ g)


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF

ω ∣ (e.oadd n a).repr → e.repr ≠ 0 ∧ ω ∣ a.repr


Context:
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝¹ : IsLocalAtSource P

Context: X Y U✝ V : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: ι : Sort u_1

Context: U : ι → X.Opens

Context: hU : iSup U = ⊤

Context: H : ∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)

Context: i : (X.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).J

P ((X.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).map i ≫ f)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: R : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Reflective R

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J C

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone ((F ⋙ R) ⋙ monadicLeftAdjoint R) := (monadicLeftAdjoint R).mapCocone (colimit.cocone (F ⋙ R))

Context: this : PreservesColimitsOfShape J (monadicLeftAdjoint R) := PreservesColimitsOfSize.preservesColimitsOfShape

Context: t : IsColimit c := isColimitOfPreserves (monadicLeftAdjoint R) (colimit.isColimit (F ⋙ R))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: J : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} J

Context: R : D ⥤ C

Context: inst✝¹ : Reflective R

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J C

Context: F : J ⥤ D


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : Fintype ↑M.verts
h : M.IsMatching


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: hm : term I ho ∈ ↑↑l


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: hm : term I ho ∈ ↑↑l

Context: this : ord I (↑↑l).head! < Order.succ o


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: hm : term I ho ∈ ↑↑l

Context: this : ord I (↑↑l).head! ≤ o


Context: I : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: inst✝ : Inhabited I

Context: l : ↑(MaxProducts C ho)

Context: hm : term I ho ∈ ↑↑l

Context: this : ord I (↑↑l).head! ≤ o

Context: h : ord I (term I ho) ≤ ord I (↑↑l).head!


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
k : ℕ
x : α


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : y ≤ x


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : x ⧏ y


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : y ⧏ x
h₂ : y ≤ x


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : y ⧏ x
h₂ : x ⧏ y


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
n : ℕ

((toEnd R L M) x ^ n) m ∈ weightSpace M (n • χ₁ + χ₂)


Context:
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val + b.val < n
this : NeZero n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

(ascPochhammer ℕ (n + 0 + 1)).smeval (-↑n) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ

(ascPochhammer ℕ (n + (k + 1) + 1)).smeval (-↑n) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p s
t : Set α


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⨆ i, f i

Context: this : F⟮x⟯ ≤ ⨆ i, f i → ∃ s, F⟮x⟯ ≤ ⨆ i ∈ s, f i


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⨆ i, f i

Context: this : x ∈ ⨆ i, f i → ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ

((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k


((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (0 ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = 0 i ⊗ₜ[R] g k


∀ (f g_1 : ι →₀ M), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (g_1 ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = g_1 i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) ((f + g_1) ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (f + g_1) i ⊗ₜ[R] g k


∀ (a : ι) (b : M), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single a b ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single a b) i ⊗ₜ[R] g k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M

((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] g k


((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] 0)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] 0 k


∀ (f g : κ →₀ N), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] f)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] f k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] (f + g))) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (f + g) k


∀ (a : κ) (b : N), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] Finsupp.single a b)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (Finsupp.single a b) k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M
k' : κ
n : N

((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] Finsupp.single k' n)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (Finsupp.single k' n) k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x val✝ : α
property✝ : val✝ ∈ Icc a b

projIcc a b h ↑⟨val✝, property✝⟩ = ⟨val✝, property✝⟩


Context:
n m : ℕ
a b : Fin m


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: a b : (i : ι) → α i

(Ioc a b).card = ∏ i : ι, (Icc (a i) (b i)).card - 1


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝² : Field E'
inst✝¹ : Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E'
this : Algebra E E' := f.toAlgebra


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝² : Field E'
inst✝¹ : Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E'
this✝ : Algebra E E' := f.toAlgebra
this : IsScalarTower F E E'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁

Context: big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b

Context: s : PullbackCone f₁ f₁

Context: s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯

{ l // l ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst ∧ l ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd ∧ ∀ {m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt}, m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst → m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd → m = l }


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁

Context: big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b

Context: s : PullbackCone f₁ f₁

Context: m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

Context: m₁ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst

Context: m₂ : m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁

Context: big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b

Context: s : PullbackCone f₁ f₁

Context: m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

∀ (j : WalkingCospan), m✝ ≫ (IsPullback.cone big_k).π.app j = (IsPullback.isLimit big_k).lift s' ≫ (IsPullback.cone big_k).π.app j


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁

Context: big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b

Context: s : PullbackCone f₁ f₁

Context: m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

a ≫ f₁ ≫ f₂ = b ≫ f₁ ≫ f₂


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁

Context: big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b

Context: s : PullbackCone f₁ f₁

Context: m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ?refine_1).fst = (IsPullback.isLimit big_k).lift s' ≫ (PullbackCone.mk a b ?refine_1).fst


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁

Context: big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b

Context: s : PullbackCone f₁ f₁

Context: m✝ : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

m✝ ≫ (PullbackCone.mk a b ?refine_1).snd = (IsPullback.isLimit big_k).lift s' ≫ (PullbackCone.mk a b ?refine_1).snd


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hM : IsNilpotent M


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hM : IsNilpotent M
h✝ : IsEmpty n


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hM : IsNilpotent M
h✝ : Nonempty n


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν

∀ (f : α × β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: m : ∀ {α : Type ?u.194755} {β : Type ?u.194754} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set (α × β)⦄, MeasurableSet s → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) (s.indicator fun x => c)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

∀ ⦃f g : α × β → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) f → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) g → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) (f + g)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

∀ ⦃f : ℕ → α × β → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) (f n)) → (fun f => ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ) fun x => ⨆ n, f n x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : φ ≠ 0
hm : IsWeightedHomogeneous w φ m
hn : IsWeightedHomogeneous w φ n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : φ ≠ 0
hm : IsWeightedHomogeneous w φ m
hn : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
m₁ : M i
m₂ : M j
w : Word M

⟨i, m₁⟩ ∈ (of m₂ • w).toList ↔ ¬i = j ∧ ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList ∨ m₁ ≠ 1 ∧ ∃ (hij : i = j), ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList.tail ∨ (∃ m', ⟨j, m'⟩ ∈ w.toList.head? ∧ m₁ = ⋯ ▸ (m₂ * m')) ∨ w.fstIdx ≠ some j ∧ m₁ = ⋯ ▸ m₂


(⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList.tail ∨ (i ≠ j ∧ ∃ (h : w.toList ≠ []), w.toList.head h = ⟨i, m₁⟩) ∨ m₁ ≠ 1 ∧ ∃ (h : j = i), m₁ = h ▸ (let __src := (equivPair j) w; { head := m₂ * if h : ∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = j then ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd else 1, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ }).head) ↔ ¬i = j ∧ ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList ∨ m₁ ≠ 1 ∧ ∃ (hij : i = j), ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList.tail ∨ (∃ m', ⟨j, m'⟩ ∈ w.toList.head? ∧ m₁ = ⋯ ▸ (m₂ * m')) ∨ w.fstIdx ≠ some j ∧ m₁ = ⋯ ▸ m₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : p a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
f✝ f g : α → ℚ → ℝ
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hf : p a → IsRatStieltjesPoint f a
hg : ¬p a → IsRatStieltjesPoint g a
h : ¬p a


Context: x y : ℝ

↑(sin (x + y)) = ↑(sin x * cos y + cos x * sin y)


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq α
M : α → Type u_3
P : α → Type u_4
inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)
inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)
inst✝² : (a : α) → Zero (P a)
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (M a)
f g : Π₀ (a : α), N a
F : (a : α) → N a → M a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 = 0
a : α

a ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) → a ∈ f.neLocus g


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.lim = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.lim = 0
hf : f ≈ const abv f.lim


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.lim = 0
hf : f ≈ const abv 0


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.LimZero


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : f.LimZero
h₁ : f = f - const abv 0


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : (f - const abv 0).LimZero
h₁ : f = f - const abv 0


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
c : ℂ
hc : c ≠ 0

∫ (x : ℝ) in a..b, Complex.exp (c * ↑x) = (Complex.exp (c * ↑b) - Complex.exp (c * ↑a)) / c


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: c : ℂ

Context: hc : c ≠ 0

Context: D : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun y => Complex.exp (c * ↑y) / c) (Complex.exp (c * ↑x)) x


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: c : ℂ

Context: hc : c ≠ 0

Complex.exp (c * ↑b) / c - Complex.exp (c * ↑a) / c = (Complex.exp (c * ↑b) - Complex.exp (c * ↑a)) / c


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: c : ℂ

Context: hc : c ≠ 0

ContinuousOn (fun x => Complex.exp (c * ↑x)) [[a, b]]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n

∫ (x : γ) in u, κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (u ×ˢ s)).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this : IsFiniteKernel κ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
hν : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
u : Set γ
hu : u ∈ countablePartition γ n
this : IsFiniteKernel κ
hu_meas : MeasurableSet u


∫ (x : γ) in u, ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ∂ν a = ((κ a) (u ×ˢ s)).toReal


(∫⁻ (a_1 : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n a_1 ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n a_1) ∂ν a).toReal = ((κ a) (u ×ˢ s)).toReal


AEMeasurable (fun x => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)) ((ν a).restrict u)


∀ᵐ (x : γ) ∂(ν a).restrict u, (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) < ⊤


∫⁻ (a_1 : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n a_1 ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n a_1) ∂ν a = (κ a) (u ×ˢ s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: hν : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: u : Set γ

Context: hu : u ∈ countablePartition γ n

Context: this✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hu_meas : MeasurableSet u

Context: this : ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ∂ν a = ∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u ∂ν a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: hν : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: u : Set γ

Context: hu : u ∈ countablePartition γ n

Context: this✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hu_meas : MeasurableSet u

∫⁻ (x : γ) in u, (κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u ∂ν a = (κ a) (u ×ˢ s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: hν : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: u : Set γ

Context: hu : u ∈ countablePartition γ n

Context: this✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hu_meas : MeasurableSet u

(κ a) (u ×ˢ s) / (ν a) u * (ν a) u = (κ a) (u ×ˢ s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: hν : IsFiniteKernel ν

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: u : Set γ

Context: hu : u ∈ countablePartition γ n

Context: this✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hu_meas : MeasurableSet u

Context: h0 : ¬(ν a) u = 0


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥S


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥⊥


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥⊥
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥⊥


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'

(adj.homEquiv X Y').symm (f ≫ G.map g) = (adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ K : Set (E →L[𝕜] F)
r s ε : ℝ


Context: a : ℕ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: r₀✝ : FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) P

Context: m₀✝ : FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget AddCommGrp) P

Context: hr₀✝ : (r₀✝.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r

Context: hm₀✝ : (m₀✝.map (whiskerRight φ (forget AddCommGrp))).IsAmalgamation m

Context: Y Z : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: g : Z ⟶ Y

Context: r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z))

Context: m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Z))

Context: hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.map f.op) r

Context: hr₀' : (α.app (Opposite.op Z)) r₀' = (R.map (f.op ≫ g.op)) r

Context: hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.map f.op) m

Context: hm₀' : (φ.app (Opposite.op Z)) m₀' = (A.map (f.op ≫ g.op)) m

(φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g.op) (r₀ • m₀)) = (φ.app (Opposite.op Z)) (r₀' • m₀')


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y Z : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: g : Z ⟶ Y

Context: r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z))

Context: m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

(α.app (Opposite.op Z)) ((R₀.map g.op) r₀) = (α.app (Opposite.op Z)) r₀'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: hA : Presheaf.IsSeparated J A

Context: X : C

Context: r : ↑(R.obj (Opposite.op X))

Context: m : ↑(A.obj (Opposite.op X))

Context: P : Presieve X

Context: Y Z : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: g : Z ⟶ Y

Context: r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Z))

Context: m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

(φ.app (Opposite.op Z)) ((M₀.presheaf.map g.op) m₀) = (φ.app (Opposite.op Z)) m₀'


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r

{l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}.PartiallyWellOrderedOn (List.SublistForall₂ r)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : IsEmpty α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsTrans α r
s : Set α
h : s.PartiallyWellOrderedOn r
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α


¬∃ f, IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hf1 : IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} f

Context: hf2 : ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq (List.SublistForall₂ r) List.length {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} n f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []

Context: this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []

Context: this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → r (f (g m)).headI (f (g n)).headI


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []

Context: this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hf' : ¬IsBadSeq (List.SublistForall₂ r) {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s} fun n => if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []

Context: this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

((fun n => if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail) (g 0)).length < (f (g 0)).length


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []

Context: this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hf' : (∀ (n : ℕ), (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail) ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}) → ∃ m n, m < n ∧ List.SublistForall₂ r (if m < g 0 then f m else (f (g (m - g 0))).tail) (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : IsRefl α r

Context: inst✝ : IsTrans α r

Context: s : Set α

Context: h : s.PartiallyWellOrderedOn r

Context: h✝ : Nonempty α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: f : ℕ → List α

Context: hnil : ∀ (n : ℕ), f n ≠ []

Context: this : ∀ (n : ℕ), (f n).headI ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

Context: hmn : List.SublistForall₂ r (if m < g 0 then f m else (f (g (m - g 0))).tail) (if n < g 0 then f n else (f (g (n - g 0))).tail)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime

Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) I = LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)


LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl) = Ideal.map (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) (Ideal.comap (algebraMap R (Localization.AtPrime I)) (LocalRing.maximalIdeal (Localization I.primeCompl)))


Context:
A : Type u_1
A' : Type u_2
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring A'
inst✝⁵ : Algebra ℚ A
inst✝⁴ : Algebra ℚ A'
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring A'
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : Algebra ℚ A'
n : ℕ
f : A →+* A'


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g✝ : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g✝ : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : α → E

Context: hfi : Integrable g μ

Context: hgm : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s

Context: hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (range g ∩ s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g✝ : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : α → E

Context: hfi : Integrable g μ

Context: hgm : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s

Context: G : ℕ → SimpleFunc α E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (range g ∩ s) y₀ h₀


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g✝ : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: this✝² : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝¹ : BorelSpace E

Context: g : α → E

Context: hfi : Integrable g μ

Context: hgm : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s

Context: this : Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (G n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), g x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g✝ : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: this✝² : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝¹ : BorelSpace E

Context: g : α → E

Context: hfi : Integrable g μ

Context: hgm : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s

Context: n : ℕ

∀ i ∈ (G n).range, 0 ≤ (μ (↑(G n) ⁻¹' {i})).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g✝ : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: this✝² : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝¹ : BorelSpace E

Context: g : α → E

Context: hfi : Integrable g μ

Context: hgm : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s

Context: n : ℕ

∑ i ∈ (G n).range, (μ (↑(G n) ⁻¹' {i})).toReal = 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g✝ : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: this✝² : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝¹ : BorelSpace E

Context: g : α → E

Context: hfi : Integrable g μ

Context: hgm : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: this✝ : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s

Context: n : ℕ

∀ i ∈ (G n).range, ↑(ContinuousLinearMap.id ℝ E) i ∈ s


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

o.oangle (-x) y + o.oangle (-y) z + o.oangle (-z) x = ↑π


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

Context: hc : Continuous fun u => u ^ n * (1 - u ^ 2) ^ m

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * m + 1) * cos x ^ n = -∫ (x : ℝ) in b..a, sin x ^ (2 * m + 1) * cos x ^ n


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

-∫ (x : ℝ) in b..a, sin x ^ (2 * m + 1) * cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in b..a, (1 - cos x ^ 2) ^ m * -sin x * cos x ^ n


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

∫ (x : ℝ) in b..a, (sin x * sin x) ^ m * sin x * cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in b..a, (1 - cos x * cos x) ^ m * sin x * cos x ^ n


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

Context: x✝ : ℝ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.28361, u_3} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: Y : C

Context: P : CostructuredArrow L (L.obj Y) → Prop

Context: hP₀ : P (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj Y)))

Context: hP₁ : ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (f : X₁ ⟶ X₂) (φ : L.obj X₂ ⟶ L.obj Y), P (CostructuredArrow.mk φ) → P (CostructuredArrow.mk (L.map f ≫ φ))

Context: hP₂ : ∀ ⦃X₁ X₂ : C⦄ (w : X₁ ⟶ X₂) (hw : W w) (φ : L.obj X₁ ⟶ L.obj Y), P (CostructuredArrow.mk φ) → P (CostructuredArrow.mk ((isoOfHom L W w hw).inv ≫ φ))

Context: g : CostructuredArrow L (L.obj Y)

Context: g' : StructuredArrow (op ((Functor.fromPUnit (L.obj Y)).obj g.right)) L.op := StructuredArrow.mk g.hom.op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a : α
b : β
h : s b (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a a' : α
h : s (f a') (f a)


Context:
a x✝ z x y : ℂ
h₁ : abs x = abs y
h₂ : x.arg = y.arg


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x✝¹ : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hf0 : Summable fun n => f n x₀

Context: x : E

Context: x✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : J ⥤ C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J

(f ⊗ g).app j ≫ (fst F₁' F₂').app j = fst (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ f.app j


(fst F₁ F₂).app j ≫ f.app j = fst (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ f.app j


Context:
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β


Context:
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
b : Set (Set β)
hb : b.Countable
eq : t = generateFrom b


Context: α : Type u

Context: t✝ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: f : α → β

Context: b : Set (Set β)

Context: hb : b.Countable

Context: eq : t = generateFrom b

Context: this : TopologicalSpace α := induced f t


Context: α : Type u

Context: t✝ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: f : α → β

Context: b : Set (Set β)

Context: hb : b.Countable

Context: eq : t = generateFrom b

induced f t = generateFrom (preimage f '' b)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
f : MonoidAlgebra k G

F f = sum f fun a b => b • F (single a 1)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N'⁆


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p y r


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: hmo : f.Monic

Context: hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})

∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i = 0

Context: hmo : f.Monic


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hmo : f.Monic

Context: hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hmo : f.Monic

Context: this : ∀ n < f.natDegree, p ∣ f.coeff n


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hmo : f.Monic

Context: φ : ℕ → R

Context: hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) p * ((algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)

Context: hφ : ∀ n < f.natDegree, f.coeff n = p * φ n


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hmo : f.Monic

Context: φ : ℕ → R

∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = (algebraMap R S) p * (-1 * ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hmo : f.Monic

Context: φ : ℕ → R

-1 * ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i ∈ adjoin R {x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : Opens M
f : M → M'
x : ↥U

LiftPropAt P f ↑x ↔ LiftPropAt P (f ∘ Subtype.val) x


ContinuousWithinAt f univ ↑x ∧ P (↑(chartAt H' (f ↑x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H ↑x).symm) (↑(chartAt H ↑x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H ↑x) ↑x) ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ Subtype.val) univ x ∧ P (↑(chartAt H' ((f ∘ Subtype.val) x)) ∘ (f ∘ Subtype.val) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hs : s.Subsingleton
ht : t.Subsingleton
f : α → β → γ


((fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t).Subsingleton


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E

‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ = ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
U : Opens α
this : TopologicalSpace α := ⊤


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
hM : Finite R M


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
hM : ∃ S, S.Finite ∧ span R S = ⊤


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
S : Set M
hSfin : S.Finite
hSgen : span R S = ⊤


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : Semiring R✝

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁷ : Module R✝ N

Context: R : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: S : Set M

Context: hSfin : S.Finite

Context: hSgen : span R S = ⊤

Context: this : span R S ≤ restrictScalars R (span A S)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

a.re * b.imJ + -1 * a.imI * b.imK + a.imJ * b.re - -1 * a.imK * b.imI = a.re * b.imJ - a.imI * b.imK + a.imJ * b.re + a.imK * b.imI


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: p : α → Prop

Context: f : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hf' : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ range f

Context: hf'' : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: p : α → Prop

Context: f : β → α

Context: hf : Injective f

Context: hf' : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ range f


Context:
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
x y : ℤ


Context:
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
o : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric
i : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

((PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).Numeric


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }
val✝ : Fintype { l // p ∈ l }


Fintype.card { p // p ∈ l } ≤ Fintype.card { l // p ∈ l }


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : ¬I = ⊥


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : J ≤ I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: J : LieIdeal K L

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : J ≤ I

Context: J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: J : LieIdeal K L

Context: h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : J ≤ I

Context: this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I

(invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 (J' ⊓ I) I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: J : LieIdeal K L

Context: h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : J ≤ I

Context: this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : ¬I = ⊥

Context: J : LieIdeal K L

Context: h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I

Context: hJ : IsAtom J

Context: hJI : J ≤ I

Context: this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I

Context: hIJ' : I ≤ J'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → x ∈ t


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g

inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ


∀ (x : Q ⊗[R] N), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g) x = (range (lTensor Q f)).mkQ x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N

(inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

cyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ = cyclesMap' φ h₁ h₂ - cyclesMap' φ' h₁ h₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : Disjoint u v

Context: hsuv : s ⊆ u ∪ v

Context: hs : (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : Disjoint u v

Context: hsuv : s ⊆ u ∪ v

Context: hsu : s ∩ u = ∅


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: hu : IsOpen u

Context: hv : IsOpen v

Context: huv : Disjoint u v

Context: hsuv : s ⊆ u ∪ v

Context: hsu : (s ∩ u).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: t : Set E

Context: hts : t ⊆ s

Context: ht : IsOpen t

Context: xt : x ∈ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

Context: f'symm : f'.NonlinearRightInverse

Context: x : E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x

Context: t : Set E

Context: hts : t ⊆ s

Context: ht : IsOpen t

Context: xt : x ∈ t

Context: this : f '' t ∈ 𝓝 (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f

Set.range ⇑(comap f) = zeroLocus ↑(ker f)


⇑(comap f) '' Set.univ = zeroLocus ↑(ker f)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A
H : f x ∉ Set.Ioc (-A) A


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : orderOf x ∣ n


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p : Submodule K V


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
y : V
hyq : y ∈ q
hyp : y ∉ p


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
c : K
z : V
hz : z ∈ p
hyq : c • x + z ∈ q
hyp : c • x + z ∉ p


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
z : V
hz : z ∈ p
hyq : 0 • x + z ∈ q
hyp : 0 • x + z ∉ p


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
c : K
z : V
hz : z ∈ p
hyq : c • x + z ∈ q
hyp : c • x + z ∉ p
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet (a ⊓ b)) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet a) ∩ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet b)


Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a ∩ birkhoffSet b) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a) ∩ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet b)


Context: u : ℤˣ


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x✝ : M
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
i : Injective ⇑f
p : Submodule R M
x : ↥(map f p)

f ↑((equivMapOfInjective f i p).symm x) = ↑x


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j

(((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ).trans (LinearEquiv.ofLinear (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) (gradedCommAux R ℬ 𝒜) ⋯ ⋯)).trans (TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).symm) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j) b) = (-1) ^ (j * i) • (lof R ι ℬ j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a


(TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).symm ((gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j) b))) = (-1) ^ (j * i) • (lof R ι ℬ j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hj : ¬c.Rel j (c.next j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f g : α → β

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c

Context: hp : ¬p = 0

Context: this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖

eLpNorm (s.indicator (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)