Context:
x✝ y x : ℝ
h₂ : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
a : 𝕜'
x✝ : 𝕜


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : b ≠ c


(swap a b * swap a c).support = {a, b, c}


∀ x ∈ (swap a b).support ⊔ (swap a c).support, x ∈ {a, b, c}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : b ≠ c
x : α
hx : x ∈ {a, b, c}


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x✝ : L
φ : R
k : ℕ
x : L

MapsTo ⇑(((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) φ) ^ k) ↑N ↑N


MapsTo (⇑((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) φ))^[k] ↑N ↑N


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Fact (∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F

∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R

∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1

∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖

∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0

∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
d : 𝕜
d0 : d ≠ 0
dxlt : ‖d • x‖ < R
ledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖

∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x₀ - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
d : 𝕜
d0 : d ≠ 0
dxlt : ‖d • x‖ < R
ledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖
y : E
hy : y ∈ F
y' : E := d⁻¹ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
d : 𝕜
d0 : d ≠ 0
dxlt : ‖d • x‖ < R
ledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖
y : E
hy : y ∈ F
y' : E := d⁻¹ • y
yy' : y = d • y'


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
x : α
h : (#α).ord = type r


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L : Filter 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → 𝕜 → F

Context: A' : ι → F

Context: h : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (A i) (A' i) x

HasStrictDerivAt (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
ma mb : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hma : Tendsto ma f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0
hmb : Tendsto mb f (𝓝 b)
hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤

Tendsto (fun a => ma a / mb a) f (𝓝 (a / b))


Context:
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n


τ (f ^ n) = ↑m ↔ ∃ x, (f ^ n) x = x + ↑m


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
t : Set M


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : MonoCoprod D

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms

Context: A B : C

Context: c : BinaryCofan A B

Context: h : IsColimit c

Context: c' : BinaryCofan (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.left })) (F.obj ((pair A B).obj { as := WalkingPair.right })) := BinaryCofan.mk (F.map c.inl) (F.map c.inr)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : MonoCoprod D

Context: inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms

Context: A B : C

Context: c : BinaryCofan A B

Context: h : IsColimit c


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝² : MonoCoprod D

Context: inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms

Context: A B : C

Context: c : BinaryCofan A B

Context: h : IsColimit c

∀ (j : Discrete WalkingPair), c.ι.app j ≫ (eqToIso ⋯).hom = (BinaryCofan.mk c.inl c.inr).ι.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h1s : support f ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h1s : support f ⊆ s
h : IntegrableOn f s μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h1s : support f ⊆ s
h : IntegrableOn f s μ
x : α
hx : x ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h1s : support f ⊆ s
h : IntegrableOn f s μ
x : α
hx : f x ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
n : ℕ

∀ (x : ℤ_[p]), x - ↑(x.appr n) ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ (x : ℤ_[p]), ↑p ^ n ∣ x - ↑(x.appr n)

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

↑p ^ (n + 1) ∣ x - (↑(x.appr n) + ↑p ^ n * ↑(toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs)).val)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

↑p ^ (n + 1) ∣ x - ↑(x.appr n) - ↑p ^ n * ↑(toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs)).val


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c

↑p ^ (n + 1) ∣ x - ↑(x.appr n) - ↑p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ ((x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n).natAbs).cast


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c

Context: hc' : c ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c

Context: hc' : c ≠ 0

↑p ^ (n + 1) ∣ ↑p ^ n * c - ↑p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ ((↑p ^ n * c).valuation - ↑n).natAbs).cast


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c

Context: hc' : c ≠ 0

↑p ^ n * ↑p ∣ ↑p ^ n * (c - (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ c.valuation.natAbs).cast)


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c

Context: hc' : c ≠ 0

↑p ∣ c - (toZMod ↑(unitCoeff h) * 0 ^ c.valuation.natAbs).cast


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c

Context: hc' : c ≠ 0

Context: hc0 : c.valuation.natAbs = 0


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x✝ : ℤ_[p]

Context: n : ℕ

Context: x : ℤ_[p]

Context: h : ¬x - ↑(x.appr n) = 0

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : x - ↑(x.appr n) = ↑p ^ n * c

Context: hc' : c ≠ 0

Context: hc0 : c.valuation.natAbs ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hfs : (∏ i ∈ s, (X - C (f i))).Separable

Context: x y : ι

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hfxy : f x = f y


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: x y : ι

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hfxy : f x = f y

Context: hxy : ¬x = y


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: x y : ι

Context: hfs : ((X - C (f y)) ^ 2 * ∏ x ∈ (s.erase x).erase y, (X - C (f x))).Separable

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: hfxy : f x = f y

Context: hxy : ¬x = y


Context:
α : Type u_1
f : α → Char → α
l : List Char
c : Char
m r : List Char
a : α

(if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then let_fun this := ⋯; foldlAux f { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (f a ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l })) else a) = List.foldl f a (c :: m)


(let_fun this := ⋯; foldlAux f { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (f a ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }))) = List.foldl f a (c :: m)


foldlAux f { data := l ++ c :: (m ++ r) } { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } (f a c) = List.foldl f (f a c) m


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U
f : R

((structureSheaf R).presheaf.germ x) ((toOpen R U) f) = (toStalk R ↑x) f


((structureSheaf R).presheaf.germ x) ((toOpen R U) f) = (toOpen R U ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ x) f


Context: q a b c : ℚ


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 2) = (0, n + 2) :: map (Prod.map succ succ) (antidiagonal n) ++ [(n + 2, 0)]


Context: n : ℕ

map (Prod.map id succ) (antidiagonal (n + 1)) ++ [(n + 1 + 1, 0)] = (0, n + 2) :: map (Prod.map succ succ) (antidiagonal n) ++ [(n + 2, 0)]


Context: n : ℕ

map (Prod.map id succ ∘ Prod.map succ id) (antidiagonal n) = map (Prod.map succ succ) (antidiagonal n)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: f : α → β

Context: ha : a ∉ s

Context: comm : (↑(cons a s ha)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

(cons a s ha).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv hinv' : I * I' = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : {I | I.IsMaximal}.Finite
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : ↑I * ↑I' = ↑1
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset
this : DecidableEq (Ideal R)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal R)

Context: this : ∀ M ∈ s, ∃ a ∈ I, ∃ b ∈ I', a * b ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hu : ∀ M ∈ s, u M ∈ ⨅ M' ∈ s.erase M, M'

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: M : Ideal R

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hJM : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') * Submodule.span R {v}) ≤ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: M : Ideal R

Context: hM : M ∈ hf.toFinset


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: M : Ideal R

Context: hM : M ∈ hf.toFinset

Context: this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ c, (algebraMap R A) c = a * b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: M : Ideal R

Context: hM : M ∈ hf.toFinset

Context: hmem : a M * v ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: M : Ideal R

Context: hM : M ∈ hf.toFinset

Context: hmem : ∑ x ∈ s, u x • (a M * b x) ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: M : Ideal R

Context: hM : M ∈ hf.toFinset

Context: hmem : u M • (a M * b M) ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization S A

Context: hS : S ≤ R⁰

Context: hf : {I | I.IsMaximal}.Finite

Context: I I' : FractionalIdeal S A

Context: hinv : ↑I * ↑I' = ↑1

Context: hinv' : I * I' = 1

Context: s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset

Context: this✝ : DecidableEq (Ideal R)

Context: a : Ideal R → A

Context: ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I

Context: b : Ideal R → A

Context: hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'

Context: u : Ideal R → R

Context: hum : ∀ M ∈ s, u M ∉ M

Context: v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M

Context: hv : v ∈ I'

Context: M : Ideal R

Context: hM : M ∈ hf.toFinset

Context: hmem : u M • (a M * b M) + ∑ x ∈ s.erase M, u x • (a M * b x) ∈ IsLocalization.coeSubmodule A M


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: p : ι → Prop

Context: hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)

Context: hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)

Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: p : ι → Prop

Context: hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)

Continuous fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x


Context:
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
b : R


Context:
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
b : R
hb : b = 0


Context:
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
b : R
hb : b ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
hc : c ≠ 0


Context:
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f

Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (fixedPoints f)


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
hf : Surjective f
m : OuterMeasure β
s : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0
d : Ordinal.{u_4}


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : ι → Set α

Tendsto (fun i => μ (Accumulate f i)) atTop (𝓝 (μ (⋃ i, f i)))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f : ι → Set α

Tendsto (fun i => μ (Accumulate f i)) atTop (𝓝 (⨆ i, μ (Accumulate f i)))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric

HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hTx₀ : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖

Context: this : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖

Context: hx₀_ne : x₀ ≠ 0


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G₁✝ G₂✝ : G.Subgraph

Context: a b : V

Context: G₁ G₂ : G.Subgraph

Context: h : (fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁ = (fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G₁✝ G₂✝ : G.Subgraph

Context: a b : V

Context: G₁ G₂ : G.Subgraph

Context: h : ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁).1 = ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂).1 ∧ ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁).2 = ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂).2


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: ho : o ≠ 0

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max v u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

(∃ i, ∃ (hi : i < o), o.nfpBFamily f a ≤ f i hi b) ↔ o.nfpBFamily f a ≤ b


Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o ≠ 0

Context: a : Ordinal.{max v u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

(¬∃ i, ∃ (hi : i < o), o.nfpBFamily f a ≤ f i hi b) ↔ ¬o.nfpBFamily f a ≤ b


Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o ≠ 0

Context: a : Ordinal.{max v u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a) ↔ b < o.nfpBFamily f a


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: x y z a : (i : ι) → α i

Context: hay : a ∉ univ.pi fun i => Ioc (y i) (z i)

Context: hax : x ≤ a

Context: haz : a ≤ z


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : C

Context: W : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop W).index Q).R

(Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).fstTo i) ≫ η.app (op (((unop W).index Q).fstTo i).Y)) ≫ ((unop W).index Q).fst i = (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).sndTo i) ≫ η.app (op (((unop W).index Q).sndTo i).Y)) ≫ ((unop W).index Q).snd i


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : C

Context: W : (J.Cover X)ᵒᵖ

Context: i : ((unop W).index Q).R

Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index P).sndTo i) ≫ ((unop W).index P).snd i ≫ η.app (op i.r.Z) = Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).sndTo i) ≫ P.map i.r.g₂.op ≫ η.app (op i.r.Z)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S

C (C 2) * Y + C (C (map W f).toAffine.a₁ * X + C (map W f).toAffine.a₃) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃))


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' : PartialHomeomorph (↥s) H
he' : e' ∈ atlas H ↥s

(e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e' ∈ G ∧ e'.symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: s : Opens M

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: e' : PartialHomeomorph (↥s) H

Context: he' : e' ∈ atlas H ↥s

Context: x : ↥s

Context: this : e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: s : Opens M

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: e' : PartialHomeomorph (↥s) H

Context: he' : e' ∈ atlas H ↥s

Context: x : ↥s

(e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs ∈ G ∧ ((chartAt H ↑x).subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G


C (C (map W f).toAffine.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * (map W f).toAffine.a₂) * X + C (map W f).toAffine.a₄) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : 0 < a + b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : 0 < a + b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid β

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∉ closure s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : 𝓝[s] x = ⊥


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ

⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: β₂ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: ι' : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ' : ι' → Sort u_8

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f✝ g s t : ι → α

Context: a b : α

Context: f : ℕ → α

Context: k : ℕ

Context: hf : Monotone fun n => ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: β₂ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: ι' : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ' : ι' → Sort u_8

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f✝ g s t : ι → α

Context: a b : α

Context: f : ℕ → α

Context: k : ℕ

⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n + k), f i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : 0 = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: t : ↥P.primeCompl

Context: ht : ↑t * 0 = ↑t * 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P✝ : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P✝

Context: P : Ideal R

Context: hp : P.IsPrime

Context: inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P

Context: t : ↥P.primeCompl

Context: ht : ↑t * 0 = ↑t * 1

Context: htz : ↑t = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Irreducible a

normalizedFactors s.prod = Multiset.map (⇑normalize) s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
hs : ∀ a ∈ 0, Irreducible a

normalizedFactors (Multiset.prod 0) = Multiset.map (⇑normalize) 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : (∀ a ∈ s, Irreducible a) → normalizedFactors s.prod = Multiset.map (⇑normalize) s

Context: hs : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, Irreducible a_1

normalizedFactors (a ::ₘ s).prod = Multiset.map (⇑normalize) (a ::ₘ s)


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group W
inst✝¹ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
G : Type u_5
inst✝ : Group G
f : B → G
hf : M.IsLiftable f
i i' : B

(FreeGroup.lift f) (uncurry M.relation (i, i')) = 1


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω n = 1


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: g : R →+* P

Context: hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring Q

Context: inst✝¹ : Algebra R Q

Context: inst✝ : IsLocalization M Q

Context: f : S →+* Q

Context: hf : f.comp (algebraMap R S) = algebraMap R Q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: g : R →+* P

Context: hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring Q

Context: inst✝¹ : Algebra R Q

Context: inst✝ : IsLocalization M Q

Context: f : S →+* Q

f.comp (algebraMap R S) = (↑(algEquiv M S Q)).comp (algebraMap R S)


Context: x y : ℂ

tan ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (tan x)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g : F (α ::: β) → β

Context: h : Fix F α → β

Context: hyp : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), h (mk x) = g ((TypeVec.id ::: h) <$$> x)

Context: x : Fix F α


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g : F (α ::: β) → β

Context: h : Fix F α → β

Context: x : Fix F α

∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: rec g) <$$> x = (TypeVec.id ::: h) <$$> x → rec g (mk x) = h (mk x)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g : F (α ::: β) → β

Context: h : Fix F α → β

Context: x✝ : Fix F α

Context: x : F (α ::: Fix F α)

Context: hyp' : (TypeVec.id ::: rec g) <$$> x = (TypeVec.id ::: h) <$$> x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : R
n : ℤ

(algebraMap R A) (eval x (U R n)) = eval ((algebraMap R A) x) (U A n)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_3}


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s

∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f g : (i : ι) → α i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α

s ∪ ⋂ i, ⋂ j, t i j = ⋂ i, ⋂ j, s ∪ t i j


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
h : ¬∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
ε : G
ε0 : ε > 0
hε : ∀ g ∈ S, g ∉ Ioo 0 ε


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.21217, u_1} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: S : C

Context: E : PreOneHypercover S

Context: inst✝ : E.HasPullbacks

Context: mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S

Context: mem₁' : ∀ (i₁ i₂ : E.I₀), E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))

Context: i₁ i₂ : E.I₀

Context: W : C

Context: p₁ : W ⟶ E.X i₁

Context: p₂ : W ⟶ E.X i₂

Context: w : p₁ ≫ E.f i₁ = p₂ ≫ E.f i₂


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.21217, u_1} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: S : C

Context: E : PreOneHypercover S

Context: inst✝ : E.HasPullbacks

Context: mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S

Context: i₁ i₂ : E.I₀

Context: W : C

Context: p₁ : W ⟶ E.X i₁

Context: p₂ : W ⟶ E.X i₂

Context: w : p₁ ≫ E.f i₁ = p₂ ≫ E.f i₂

Sieve.pullback (pullback.lift p₁ p₂ w) (E.sieve₁' i₁ i₂) ∈ J.sieves W


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
a : α

a ∈ (ofFinset f s h h').support ↔ a ∈ ↑s ∩ Function.support f


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β

map (fun x => (x, f x)) l = l.zip (map f l)


(map (fun x => x) l).zip (map f l) = l.zip (map f l)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: F : DirectLimit G f ↪[L] P

Context: x✝ : DirectLimit G f

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: x : G i

((fun i => F.comp (of L ι G f i)) j) ((f i j hij) x) = ((fun i => F.comp (of L ι G f i)) i) x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

Context: F : DirectLimit G f ↪[L] P

Context: x✝ : DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: x : G i

F ((of L ι G f i) x) = (lift L ι G f (fun i => F.comp (of L ι G f i)) ⋯) ((of L ι G f i) x)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

Context: F : DirectLimit G f ↪[L] P

Context: x✝ : DirectLimit G f

Context: i : ι

Context: x : G i

F ((of L ι G f i) x) = (F.comp (of L ι G f i)) x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y

IsPathConnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsPathConnected s


IsPathConnected (⇑h.symm '' s) ↔ IsPathConnected s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

Context: x : R

Context: hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

Context: y : R

seminormFromBounded' f (x * y) = seminormFromBounded' f x * seminormFromBounded' f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

Context: hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

Context: y : R

seminormFromBounded' f (x * y) = f x * seminormFromBounded' f y


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: q : R[X]

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun a => eval a q) '' spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f (eval x q)) a = cfc f ((aeval a) q)


Context:
V✝ : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V✝
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


Context: ι✝ : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → ‖F n x‖ ≤ bound x

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → Tendsto (fun n => F n x) l (𝓝 (f x))

Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in a..b, F n x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ))


Context: ι✝ : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → ℝ → E

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F n x‖ ≤ bound x

Context: bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), Tendsto (fun n => F n x) l (𝓝 (f x))

Tendsto (fun n => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, F n x ∂μ) l (𝓝 ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ))


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g g' : G
hg : g ∈ N
hg' : g' ∈ N
hc : IsConj g g'
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N✝ : Type u_5

Context: inst✝ : Group N✝

Context: N : Subgroup G

Context: hn : N.Normal

Context: g : G

Context: hg : g ∈ N

Context: ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤

Context: c : G

Context: hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N

Context: hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)

Context: h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N

Context: hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N✝ : Type u_5

Context: inst✝ : Group N✝

Context: N : Subgroup G

Context: hn : N.Normal

Context: g : G

Context: hg : g ∈ N

Context: ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤

Context: c : G

Context: hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N

Context: hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)

Context: h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N

map (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) ⊤ ≤ normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N✝ : Type u_5

Context: inst✝ : Group N✝

Context: N : Subgroup G

Context: hn : N.Normal

Context: g : G

Context: hg : g ∈ N

Context: ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤

Context: c : G

Context: hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N

Context: hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)

Context: h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N

{⟨g, hg⟩} ⊆ ↑(comap (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) (normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}))


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N✝ : Type u_5

Context: inst✝ : Group N✝

Context: N : Subgroup G

Context: hn : N.Normal

Context: g : G

Context: hg : g ∈ N

Context: ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤

Context: c : G

Context: hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N

Context: hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)

Context: h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N

⟨g, hg⟩ ∈ comap (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) (normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩})


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N✝ : Type u_5

Context: inst✝ : Group N✝

Context: N : Subgroup G

Context: hn : N.Normal

Context: g : G

Context: hg : g ∈ N

Context: ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤

Context: c : G

Context: hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N

Context: hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)

Context: h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N

⟨c * g * c⁻¹, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : I.IsPrime


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : I.IsPrime

(Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ≠ ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : I.IsPrime

∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule → x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : I.IsPrime

Context: x y : A

Context: hx : Homogeneous 𝒜 x

Context: hy : Homogeneous 𝒜 y

Context: hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule

x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : I.IsPrime

Context: x y : A

Context: hx : Homogeneous 𝒜 x

Context: hy : Homogeneous 𝒜 y

Context: H : x ∈ I ∨ y ∈ I


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : I.IsPrime

Context: x y : A

Context: hx : Homogeneous 𝒜 x

Context: hy : Homogeneous 𝒜 y

Context: H : x ∈ I ∨ y ∈ I

x ∈ I → x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : I.IsPrime

Context: x y : A

Context: hx : Homogeneous 𝒜 x

Context: hy : Homogeneous 𝒜 y

Context: H : x ∈ I ∨ y ∈ I

y ∈ I → y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule


Context:
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
hb : b.Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg

({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg


Context:
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg

({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0


(∃ y, y ^ 2 = Units.mk0 a ha) ↔ IsSquare a


Context:
ι : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty ι
f : ι → ℕ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
x y : k

{ toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

(W.variableChange C).c₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * W.c₆


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f

∃ M, eLpNormEssSup ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
hbdd : eLpNormEssSup f μ < ⊤


eLpNormEssSup ({x | (eLpNorm f ⊤ μ + 1).toReal ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0


eLpNormEssSup f (μ.restrict {x | (eLpNorm f ⊤ μ + 1).toReal ≤ ↑‖f x‖₊}) = 0


MeasurableSet {x | (eLpNorm f ⊤ μ + 1).toReal ≤ ↑‖f x‖₊}


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s, w x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s, w x • x = 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x • ↑x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c x : E
hx : x ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

f (c + (a • x + b • y)) = f (a • (c + x) + b • (c + y))


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hcf : HasCompactSupport f₀
hf : ContDiff 𝕜 1 f₀
hg : LocallyIntegrable g₀ μ
x₀ : 𝕜

HasDerivAt (f₀ ⋆[L, μ] g₀) ((deriv f₀ ⋆[L, μ] g₀) x₀) x₀


HasDerivAt (g₀ ⋆[L.flip, μ] f₀) ((g₀ ⋆[L.flip, μ] deriv f₀) x₀) x₀


Context:
m : ℕ
l : List ℕ
i : Fin l.length


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: h : ∀ {ι : Type u} (U : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : f ≤ 𝓟 s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfs : f ≤ 𝓟 s
h : ∀ x ∈ s, ¬ClusterPt x f

∃ ι U, (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, U i ∧ ∀ (t : Finset ι), ¬s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : f ≤ 𝓟 s

Context: h : ∀ (x : ↑s), ∃ i, (↑x ∈ i ∧ IsOpen i) ∧ iᶜ ∈ f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: f : Filter X

Context: hf : f.NeBot

Context: hfs : f ≤ 𝓟 s

Context: U : ↑s → Set X

Context: hUf : ∀ (x : ↑s), (U x)ᶜ ∈ f

Context: t : Finset ↑s

Context: ht : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ

preNormEDS b c d (2 * (↑m + 2) + 1) = (preNormEDS b c d (↑m + 4) * preNormEDS b c d (↑m + 2) ^ 3 * if Even m then b else 1) - preNormEDS b c d (↑m + 1) * preNormEDS b c d (↑m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this : a < ↑⌊a⌋ + 1


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this✝ : a < ↑⌊a⌋ + 1
this : b < ↑⌊b⌋ + 1


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this✝¹ : a < ↑⌊a⌋ + 1
this✝ : b < ↑⌊b⌋ + 1
this : ↑⌊a⌋ = ↑⌊b⌋


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this✝² : a < ↑⌊a⌋ + 1
this✝¹ : b < ↑⌊b⌋ + 1
this✝ : ↑⌊a⌋ = ↑⌊b⌋
this : ↑⌊a⌋ ≤ a


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α✝
inst✝² : FloorRing α✝
z : ℤ
a✝ : α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing α
inst✝ : FloorRing α
a b : α
h : ⌊a⌋ = ⌊b⌋
this✝³ : a < ↑⌊a⌋ + 1
this✝² : b < ↑⌊b⌋ + 1
this✝¹ : ↑⌊a⌋ = ↑⌊b⌋
this✝ : ↑⌊a⌋ ≤ a
this : ↑⌊b⌋ ≤ b


Context:
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
x✝ : a :: l₁ <+~ a :: l₂
l : List α
p : l ~ a :: l₁
s : l <+ a :: l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m : Multiset α
a : α
b : δ a
f : (a' : α) → a' ∈ m → δ a'
δ' : α → Sort u_3
φ : ⦃a' : α⦄ → δ a' → δ' a'
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m

cons m a (φ b) (fun a' ha' => φ (f a' ha')) a' ha' = φ (cons m a b f a' ha')


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)


map Sigma.fst (eraseP (fun s => decide (a = s.fst)) l) = map Sigma.fst (eraseP (fun x => a == x.fst) l)


map Sigma.fst (eraseP (fun s => decide (a = s.fst)) l) = map Sigma.fst (eraseP (fun x => decide (a = x.fst)) l)


(fun s => decide (a = s.fst)) = fun x => decide (a = x.fst)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
x✝ : Sigma β

decide (a = x✝.fst) = decide (a = x✝.fst)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: D₁ : Type u_4

Context: D₂ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.22854, u_3} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_4} D₁

Context: inst✝² : Category.{u_9, u_5} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : C₁ ≌ C₂

Context: E' : D₁ ≌ D₂

Context: inst✝ : CatCommSq E.functor L₁ L₂ E'.functor

Context: hW₁ : W₁ ≤ W₂.isoClosure.inverseImage E.functor

Context: hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: D₁ : Type u_4

Context: D₂ : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.22854, u_3} D

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_4} D₁

Context: inst✝² : Category.{u_9, u_5} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : C₁ ≌ C₂

Context: E' : D₁ ≌ D₂

Context: hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂

Context: this : (E.functor ⋙ L₂).IsLocalization W₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a - b = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a ≤ b


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0


Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ns : List ℕ

Context: IH : ∀ {l : List α}, ns.sum ≤ l.length → map length (l.splitWrtCompositionAux ns) = ns

Context: l : List α

Context: h : n + ns.sum ≤ l.length

map length (l.splitWrtCompositionAux (n :: ns)) = n :: ns


Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ns : List ℕ

Context: l : List α

Context: h : n + ns.sum ≤ l.length

Context: this : n ≤ l.length


Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ns : List ℕ

Context: l : List α

Context: h : n + ns.sum ≤ l.length

Context: this : n ≤ l.length

map length (take n l :: (drop n l).splitWrtCompositionAux ns) = n :: ns


Context: n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ns : List ℕ

Context: l : List α

Context: h : n + ns.sum ≤ l.length

Context: this : n ≤ l.length

(take n l).length :: map length ((drop n l).splitWrtCompositionAux ns) = n :: ns


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_anti : Antitone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = |‖x‖ - ‖y‖|
h1 : ‖x - y‖ ^ 2 = (‖x‖ - ‖y‖) ^ 2


Context: d n : PosNum

↑n / ↑d = ↑(d.divMod n).1 ∧ ↑n % ↑d = ↑(d.divMod n).2


Context: d n : PosNum

↑(d.divMod n).2 + ↑d * ↑(d.divMod n).1 = ↑n ∧ ↑(d.divMod n).2 < ↑d


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] b) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdf : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ f x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ x ∈ Ioo a b, DifferentiableAt ℝ g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: htμ : t.totalVariation ⟂ₘ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: htμ : t.totalVariation ⟂ₘ VectorMeasure.equivMeasure.toFun (VectorMeasure.equivMeasure.invFun μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

Context: htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

Context: htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f : β × γ → E

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)

∫ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f : β × γ → E

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂(η.restrict ht) (a, x) ∂(κ.restrict hs) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f : β × γ → E

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Integrable f ((κ.restrict hs ⊗ₖ η.restrict ht) a)


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
h1 : ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g = fs j
h2 : head arrows ≫ g = f


∀ (j : WidePushoutShape J), (colimit.cocone (WidePushoutShape.wideSpan B objs arrows)).ι.app j ≫ g = (WidePushoutShape.mkCocone f fs w).ι.app j


Context:
R' : Type u'
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra R✝ B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra R✝ C
S✝ : Subalgebra R✝ A✝
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
h : S.toSubring = T.toSubring
x : A


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la lb : β
hab : a ≠ b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Icc a b)


∀ x ∈ Icc a b, ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α

∃ i, ∃ (hi₁ : MeasurableSet i) (hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i) (hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ), s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α := ⋯.choose


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: s : SignedMeasure α

Context: i : Set α := ⋯.choose

Context: hi₁ : MeasurableSet ⋯.choose

Context: hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 ⋯.choose ≤ VectorMeasure.restrict s ⋯.choose

Context: hi₃ : VectorMeasure.restrict s ⋯.chooseᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 ⋯.chooseᶜ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


↑↑(condexpL1 hm μ (f + g)) =ᶠ[ae μ] μ[f|m] + μ[g|m]


↑↑(condexpL1 hm μ f + condexpL1 hm μ g) =ᶠ[ae μ] μ[f|m] + μ[g|m]


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ

(↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
this : ↑((↑u).val.gcd n) = ↑1

(↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹


Context:
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
this : ↑u * (↑u)⁻¹ = 1

(↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹


Context: m n✝ n : ℕ

Context: u : (ZMod n)ˣ

Context: this : ↑u * (↑u)⁻¹ = 1

Context: u' : (ZMod n)ˣ := { val := ↑u, inv := (↑u)⁻¹, val_inv := this, inv_val := ⋯ }

(↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹


Context: m n✝ n : ℕ

Context: u : (ZMod n)ˣ

Context: this : ↑u * (↑u)⁻¹ = 1

Context: h : u = u'

(↑u)⁻¹ = ↑u⁻¹


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
j : ℕ
m : M

(monomial i) r • (single R j) m = (single R (i + j)) (r • m)


r • (⇑(Finsupp.lmapDomain M R Nat.succ))^[i] ((single R j) m) = (single R (i + j)) (r • m)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F

Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Function.Injective ⇑((algebraMap (RatFunc Fq) F).comp (algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
this : S.HasHomology


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κ : ι → ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s

((Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κ n)) a) s = ((Kernel.sum fun m => Kernel.sum fun n => κ n m) a) s


(Measure.sum fun n => Measure.sum fun n_1 => (κ n n_1) a) s = (Measure.sum fun n => Measure.sum fun n_1 => (κ n_1 n) a) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup f
hg : ∀ i' ∈ s, (g i').SupIndep f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
k : ℕ
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]

a₁ * a₂ * (algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k) = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal k, a₁ * (algebraMap R A) (p₁.coeff x.1) * (a₂ * (algebraMap R A) (p₂.coeff x.2))


a₁ * (a₂ * (algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k)) = a₁ * (a₂ * ∑ i ∈ Finset.antidiagonal k, (algebraMap R A) (p₂.coeff i.2) * (algebraMap R A) (p₁.coeff i.1))


(algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k) = ∑ i ∈ Finset.antidiagonal k, (algebraMap R A) (p₂.coeff i.2) * (algebraMap R A) (p₁.coeff i.1)


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: D : I → Type u₂

Context: inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: f f' : A ⥤ ((i : I) → C i)

Context: h : ∀ (i : I), f ⋙ Pi.eval C i = f' ⋙ Pi.eval C i


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: D : I → Type u₂

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: f f' : A ⥤ ((i : I) → C i)

autoParam (∀ (X Y : A) (f_1 : X ⟶ Y), f.map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ f'.map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: D : I → Type u₂

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: f f' : A ⥤ ((i : I) → C i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: s : Set α

Context: a : ↑s

Context: t : Set ↑s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f✝ g✝ : X → Y

Context: f g : (i : ι) → π i


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N
x✝ : N


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0

IsSquare a ↔ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1


Context:
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R

f ≫ toPushforwardStalk f p = (toOpen ↑R ⊤ ≫ (structureSheaf ↑R).presheaf.germ ⟨p, True.intro⟩) ≫ (TopCat.Presheaf.stalkFunctor CommRingCat p).map (Spec.sheafedSpaceMap f).c


f ≫ toPushforwardStalk f p = toOpen ↑R ⊤ ≫ (structureSheaf ↑R).presheaf.germ ⟨p, True.intro⟩ ≫ (TopCat.Presheaf.stalkFunctor CommRingCat p).map (Spec.sheafedSpaceMap f).c


f ≫ toPushforwardStalk f p = toOpen ↑R ⊤ ≫ (Spec.sheafedSpaceMap f).c.app (op ⊤) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.sheafedSpaceMap f).base).obj (Spec.sheafedSpaceObj S).presheaf).germ ⟨p, True.intro⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E

(orthogonalProjection K) x = (K.linearProjOfIsCompl Kᗮ ⋯) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E
this : IsCompl K Kᗮ


(orthogonalProjection K) (↑((K.linearProjOfIsCompl Kᗮ this) x) + ↑((Kᗮ.linearProjOfIsCompl K ⋯) x)) = (K.linearProjOfIsCompl Kᗮ ⋯) x


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u : UniformSpace α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

l.reverse.inits = (map reverse l.tails).reverse


l.reverse.inits = (map reverse (map reverse l.reverse.inits).reverse).reverse


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : Karoubi (ChainComplex C ℕ)
n : ℕ

((((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).preimage (N₁Γ₀.inv ≫ N₂Γ₂ToKaroubiIso.inv)).app X).f.f n = X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


((𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).map X.decompId_i).f.f n ≫ X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = X.p.f n ≫ ((Γ₀.splitting X.X).cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P

intrinsicInterior 𝕜 s ∪ intrinsicFrontier 𝕜 s = intrinsicClosure 𝕜 s


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: S : Set (Set X)

Context: hS : Nonempty ↑S

Context: hSd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊇ x_1) S

Context: hSn : ∀ U ∈ S, U.Nonempty

Context: hSc : ∀ U ∈ S, IsCompact U

Context: hScl : ∀ U ∈ S, IsClosed U


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: S : Set (Set X)

Context: hS : Nonempty ↑S

Context: hSn : ∀ U ∈ S, U.Nonempty

Context: hSc : ∀ U ∈ S, IsCompact U

Context: hScl : ∀ U ∈ S, IsClosed U


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f


∀ (i' : Set X), IsCompact i' → ∃ i, IsCompact i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ i'ᶜ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsCompact t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
r x : ℝ
hr : 0 < r
ε : ℝ
L₁ L₂ : F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε

‖L₁ - L₂‖ ≤ 4 * ε


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α


Computation.pure (Option.map (Prod.fst ∘ fun a => (a, ↑s.tail)) s.head) = Computation.pure s.head


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Zero β

Context: f : α →ₛ β

Context: hf : ∀ (y : β), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Zero β

Context: f : α →ₛ β

μ (⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y}) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Zero β

Context: f : α →ₛ β

Context: y : β

Context: hy : y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Zero β

Context: f : α →ₛ β

Context: y : β

Context: hy : y ∈ f.range ∧ y ≠ 0


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s : Set M

Context: f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s

Context: n : ℕ∞

Context: x₀ : M

Context: g : ι → M → F

Context: hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n (g i) x₀

ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s : Set M

Context: f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s

Context: n : ℕ∞

Context: x₀ : M

Context: g : ι → M → F

Context: i : ι

ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, F) n (fun x => (f i) x • g i x) x₀


Context: a✝ b c d m n a : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α


∀ (b : ℕ), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, b ≤ r i a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b✝ : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b✝ r
i : α
b : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b✝ : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b✝ r

Context: i : α

Context: b : ℕ

Context: this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑b ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b✝ : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b✝ r

Context: i : α

Context: b : ℕ

Context: this : ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑b ≤ ↑(r i x)


Context:
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ

evenOddRec h0 h_even h_odd (2 * n + 1) = h_odd n (evenOddRec h0 h_even h_odd n)


(match false, 0, h0 with | false, i, hi => h_even i hi | true, i, hi => h_odd i hi) = h0 ∨ (n = 0 → true = true)


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b ∧ ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b ∧ ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h1 : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b
h2 : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b
h3 : ¬λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2

Context: h2 : multiplicity λ (S'.a + ↑η * S'.b) < ↑2

Context: h3 : multiplicity λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) < ↑2


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2

Context: h1' : multiplicity.Finite λ (S'.a + S'.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2

Context: h2' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η * S'.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < ↑2

Context: h3' : multiplicity.Finite λ (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b)