Context:
R : Type u_1
p m : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hm : ¬p ∣ m
x✝ : 0 < 1

cyclotomic (p ^ 1 * m) R = cyclotomic m R ^ (p ^ 1 - p ^ (1 - 1))


Context:
R : Type u_1
p m : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hm : ¬p ∣ m
a : ℕ
x✝ : 0 < a + 2

cyclotomic (p ^ (a + 2) * m) R = cyclotomic m R ^ (p ^ (a + 2) - p ^ (a + 2 - 1))


Context:
R : Type u_1
p m : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hm : ¬p ∣ m
a : ℕ
x✝ : 0 < a + 2
hdiv : p ∣ p ^ a.succ * m


cyclotomic m R ^ ((p ^ a.succ - p ^ (a.succ - 1)) * p) = cyclotomic m R ^ (p * p ^ (a + 1) - p ^ (a + 2 - 1))


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
hconn : G.Preconnected
u v : V


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ


Gᶜ.IsRegularOfDegree (Fintype.card V - 1 - k)


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y✝ : (i : δ) → π i

Context: i✝ i : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hi : i ∉ s

Context: x : (i : δ) → π i

Context: y : π i

(∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i y) = (∫⋯∫⁻_s, f ∘ fun x => update x i y ∂μ) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
hf : ContinuousAt (⇑f) 1


Context: u : XgcdType

Context: hs : u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y


Context: u : XgcdType

u.y * u.q + u.zp + u.wp + (u.y * u.q + u.zp) * u.wp = u.y * ((u.wp + 1) * u.q) + (u.wp + u.zp + u.wp * u.zp)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: h2s : MapsTo f s e'.source

ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContinuousOn f s ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: he : e ∈ maximalAtlas I M

Context: he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'

Context: hs : s ⊆ e.source

Context: h2s : MapsTo f s e'.source

(∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt I I' n f s x) ↔ ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι'✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι✝ → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: ι : Type u_9

Context: ι' : Type u_10

Context: s : Set ι

Context: f : ι → ι'

Context: g : ι' → A

Context: hs : AlgebraicIndependent R fun x => g (f ↑x)

Context: a✝ : Nontrivial R


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι'✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι✝ → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: ι : Type u_9

Context: ι' : Type u_10

Context: s : Set ι

Context: f : ι → ι'

Context: g : ι' → A

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: this : InjOn f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hg : SuperpolynomialDecay l k g
z : ℕ

Tendsto (fun a => k a ^ z * (f * g) a) l (𝓝 0)


Context:
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)

v ᵥ* ↑γ ∈ gammaSet N (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ))


Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)


Context: N : ℕ

Context: a : Fin 2 → ZMod N

Context: v : Fin 2 → ℤ

Context: hv : v ∈ gammaSet N a

Context: γ : SL(2, ℤ)

Context: this : ∀ (i : Fin 2), (Int.castRingHom (ZMod N)) ((v ᵥ* ↑γ) i) = (⇑(Int.castRingHom (ZMod N)) ∘ v ᵥ* (↑γ).map ⇑(Int.castRingHom (ZMod N))) i


Context: N : ℕ

Context: a : Fin 2 → ZMod N

Context: v : Fin 2 → ℤ

Context: hv : v ∈ gammaSet N a

Context: γ : SL(2, ℤ)

Context: this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i


Context: N : ℕ

Context: a : Fin 2 → ZMod N

Context: v : Fin 2 → ℤ

Context: hv : v ∈ gammaSet N a

Context: γ : SL(2, ℤ)

(fun x => (a ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) x) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)

LinearIndependent R fun ji => (stdBasis R Ms ji.fst) (v ji.fst ji.snd)


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1))) (⨆ i ∈ t, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: j : η

Context: J : Set η

Context: a✝ : J.Finite

Context: hiJ : j ∉ J

Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: j : η

Context: J : Set η

Context: a✝ : J.Finite

Context: hiJ : j ∉ J

Context: h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: j : η

Context: J : Set η

Context: a✝ : J.Finite

Context: hiJ : j ∉ J

Context: h₁ : span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ i ∈ {j}, LinearMap.range (stdBasis R Ms i)


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: j : η

Context: J : Set η

Context: a✝ : J.Finite

Context: hiJ : j ∉ J

Context: h₂ : ⨆ j ∈ J, span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ j ∈ J, LinearMap.range (stdBasis R (fun j => Ms j) j)


Context: R : Type u_1

Context: η : Type u_2

Context: ιs : η → Type u_3

Context: Ms : η → Type u_4

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)

Context: inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)

Context: inst✝ : DecidableEq η

Context: v : (j : η) → ιs j → Ms j

Context: j : η

Context: J : Set η

Context: a✝ : J.Finite

Context: hiJ : j ∉ J

Context: h₃ : Disjoint (fun i => i ∈ {j}) J


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A

Context: f : C(S, R)

Context: h : SpectrumRestricts a ⇑f

Context: h_id : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) = a

(starAlgHom φ h) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A

Context: f : C(S, R)

Context: h : SpectrumRestricts a ⇑f

φ ({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯ }.comp ((ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯ })) = a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²⁰ : Semifield R

Context: inst✝¹⁹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁵ : Semifield S

Context: inst✝¹⁴ : StarRing S

Context: inst✝¹³ : MetricSpace S

Context: inst✝¹² : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹¹ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Ring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra S A

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝² : StarModule R S

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: a : A

Context: φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A

Context: f : C(S, R)

Context: h : SpectrumRestricts a ⇑f

Context: x : ↑(spectrum S a)

({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯ }.comp ((ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯ })) x = (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) x


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : of σ ⋙q Φ = φ

Φ = { obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }


∀ (X : Push σ), Φ.obj X = { obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }.obj X


∀ (X Y : Push σ) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }.map f))


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν

Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)


AEStronglyMeasurable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)


∀ᵐ (x : α) ∂μ, Integrable (fun y => f (x, y).1 • g (x, y).2) ν


Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y).1 • g (x, y).2‖ ∂ν) μ


Context:
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K

(toLin B₁.dualBasis B₂.dualBasis) Mᵀ = Module.Dual.transpose ((toLin B₂ B₁) M)


(LinearMap.toMatrix B₁.dualBasis B₂.dualBasis) ((toLin B₁.dualBasis B₂.dualBasis) Mᵀ) = (LinearMap.toMatrix B₁.dualBasis B₂.dualBasis) (Module.Dual.transpose ((toLin B₂ B₁) M))


Context: q : ℍ

(exp ℝ q).re = exp ℝ q.re * Real.cos ‖q - ↑q.re‖


Context:
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

(bit b ↑n).testBit m.succ = (↑n).testBit m


Context:
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

(↑(Nat.bit b n)).testBit m.succ = (↑n).testBit m


Context:
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

(match bit b -[n+1], m.succ with | ofNat m, n => m.testBit n | -[m+1], n => !m.testBit n) = !n.testBit m


Context:
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

(!(Nat.bit (!b) n).testBit m.succ) = !n.testBit m


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : x ≤ -1


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : 1 ≤ x


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)


‖MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f)‖ ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc f))


Context:
m n : ℕ
_h : 0 < n + 1


Context:
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1


Context:
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1

ack m (ack (m + 1) n₁) < ack m (ack (m + 1) n₂)


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
s₁ s₂ : Set α
hs₁ : IsOpen s₁
hs₂ : IsOpen s₂
h₁ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₁
h₂ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₂

TendstoLocallyUniformlyOn F f p (s₁ ∪ s₂)


TendstoLocallyUniformlyOn F f p (⋃₀ {s₁, s₂})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 b)
hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤

Tendsto (fun b => a / m b) f (𝓝 (a / b))


b⁻¹ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AddCommGroup V'
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Fintype V


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
x : α
y y' : γ

(fun y => (f y, x)) y = (fun y => (f y, x)) y' → y = y'


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
x : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

MeasurableSet ((fun y => (f y, x)) '' s)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)
l : ℕ
hl : ζ ^ (a * l) = 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
a b : ℕ
hn : 0 < a * b
h : IsPrimitiveRoot ζ (a * b)
l : ℕ
hl : ζ ^ (a * l) = 1
ha0 : a ≠ 0


Context:
x : PartENat
y : ℕ
h : x ≤ ↑y


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = ↑ψ


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = -↑ψ


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = -↑ψ
hs : ↑θ = ↑ψ


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑θ = -↑ψ
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
n : ℤ
hn : n • (2 * π) = -π + 0


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
n : ℤ
hn : n * 2 + 1 = 0


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
n : ℤ
hn : n * 2 + 1 = 0
this : (n * 2 + 1) % 2 = 0 % 2


Context:
θ ψ : ℝ
Hcos : cos θ = cos ψ
Hsin : sin θ = sin ψ
hc : ↑π = 0
hs : ↑θ + ↑ψ = ↑π
n : ℤ
hn : n * 2 + 1 = 0
this : 1 % 2 = 0 % 2


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M × ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α

{a, b}.Pairwise r ↔ a ≠ b → r a b ∧ r b a


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝¹ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
P : Finpartition s
t : Finset β

(interedges r s t).card = ∑ a ∈ P.parts, (interedges r a t).card


Context: z τ : ℂ

(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂' z τ) = jacobiTheta₂' ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context: z τ : ℂ

∑' (b : ℤ), -(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂'_term b z τ) = ∑' (n : ℤ), jacobiTheta₂'_term n (-(starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

-(starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂'_term n z τ) = jacobiTheta₂'_term n (-(starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)


Context:
z τ : ℂ
n : ℤ

-(↑2 * ↑π * -I * ↑↑n * cexp (↑2 * ↑π * -I * ↑↑n * (starRingEnd ℂ) z + ↑π * -I * ↑↑n ^ 2 * (starRingEnd ℂ) τ)) = ↑2 * ↑π * I * ↑↑n * cexp (↑2 * ↑π * I * ↑↑n * -(starRingEnd ℂ) z + ↑π * I * ↑↑n ^ 2 * -(starRingEnd ℂ) τ)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.684544, u_1} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i
inst✝ : HasPullback i₁ i₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : MeasurableSet t
f : α × β → E
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ ⊗ₘ κ)

∫ (x : α × β) in s ×ˢ t, f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫ (a : α) in s, ∫ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ


∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫ (a : α) in s, ∫ (b : β) in t, f (a, b) ∂κ a ∂μ


Context:
m n : ℕ
x : ZMod n


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
s t : Set E

IsVonNBounded 𝕜 (s ∪ t) ↔ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t


Context: m✝ n✝ n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
h : EqOn f g (sphere c R)
θ : ℝ
x✝ : θ ∈ [[0, 2 * π]]

deriv (circleMap c R) θ • (fun z => f z) (circleMap c R θ) = deriv (circleMap c R) θ • (fun z => g z) (circleMap c R θ)


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
x✝ : R


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m v : E
h : v ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V
v w : V


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
inst✝ : Fintype V
C : ⊤.Coloring V
v w : V
h : ¬v = w


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₃ p₁ p₂).cos * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x

Context: hg : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n g s x

Context: he : f x ∈ e.baseSet

Context: he' : f x ∈ e'.baseSet

ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x

Context: he : f x ∈ e.baseSet

Context: he' : f x ∈ e'.baseSet

(fun y => e.coordChange e' (f y) (g y)) =ᶠ[𝓝[s] x] fun x => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f x)) (g x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: s : Set M

Context: f : M → B

Context: g : M → F

Context: x : M

Context: hf : ContMDiffWithinAt IM IB n f s x

Context: he : f x ∈ e.baseSet

Context: he' : f x ∈ e'.baseSet

e.coordChange e' (f x) (g x) = ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' (f x)) (g x)


Context: s : ℝ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
this : ⊥.Colorable 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ : P
v₁ v₂ v₃ v : V

∠ (v₁ - v) (v₂ - v) (v₃ - v) = ∠ v₁ v₂ v₃


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

(∏ i ∈ s, f i).degree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).degree


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Collinear ℝ {p₃, p₂, p₃'}
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
hp₃'p₂ : p₃' ≠ p₂

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃'


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M

(LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total M M R id))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
t : Set α
ht : t ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
t : Set α
ht : t ⊆ s
this : Finite ↑s


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α


a ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = (a ⊔ a ⊓ b) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c)


(a ⊔ a ⊓ b) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = (a ⊓ b ⊔ a) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c)


(a ⊓ b ⊔ a) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) = a ⊓ b ⊔ a ⊓ c


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s

∫ (x : α) in s, ↑↑(condexpL1 hm μ f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


∫ (x : α) in s, ↑↑(Integrable.toL1 f hf) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r

eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ENNReal.ofReal r


∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ r ∨ f ω ≤ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ab : a ≤ b

variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Icc a b → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Icc a b → edist (f x) (f y) = 0


Context: n : ℕ

Context: f : Vector ℕ n → ℕ

Context: this : ∀ (f : ℕ → ℕ), Nat.Primrec f → Primrec' fun v => f v.head

Context: hf : Primrec f

Context: i : Vector ℕ n

((fun m => encode (Option.map f (decode m))) (encode i)).pred = f i


Context:
n : ℕ
f✝ : Vector ℕ n → ℕ
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
hxz : x ≠ z

{x, y, z}.infsep = dist x y ⊓ dist x z ⊓ dist y z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
yz : dist z y ≤ ε
xy : dist y x < δ


Context: x y : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
f₁ f₂ : Filter (Filter α)
x : Set α

x ∈ f₁.join ⊔ f₂.join ↔ x ∈ (f₁ ⊔ f₂).join


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsEmpty ι
inst✝ : InfSet α
f : ι → WithTop α


Context:
a b c d a' b' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b


Context:
a b c d a' b' : Ordinal.{u}
ha✝ : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
ha : a' < a


Context:
b c d a' b' : Ordinal.{u}
hb : b' ≤ b
ha : a' ≤ a'


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
g₁ g₂ : N →ₗ[S] Q
e : ∀ (x : M), g₁ (f x) = g₂ (f x)
x : N


∀ (s : S) (n : N), g₁ n = g₂ n → g₁ (s • n) = g₂ (s • n)


∀ (n₁ n₂ : N), g₁ n₁ = g₂ n₁ → g₁ n₂ = g₂ n₂ → g₁ (n₁ + n₂) = g₂ (n₁ + n₂)


Context:
α : Type u_1
I : Type ?u.57896
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsRelPrime x y


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

dist p₂ ((homothety p₁ c) p₂) = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MulAction G β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : SMulCommClass G α β
a : α
b : β

stabilizer G (a⁻¹ • a • b) = stabilizer G b


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F

f (s.noncommProd comm) = (map (⇑f) s).noncommProd ⋯


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute

f (noncommProd ⟦a✝⟧ comm) = (map ⇑f ⟦a✝⟧).noncommProd ⋯


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : ζ⁻¹ ^ l = 1


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData

(S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).inv ≫ S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι = h.ι ≫ h.opcyclesIso.inv


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ

i ∈ p.degrees ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0 ∧ i ∈ d.support


Context:
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : Opens G
hU : μ.outerMeasure ↑U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0

∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure ↑K + ↑ε


Context:
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0

∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ μ.outerMeasure ↑K + ↑ε


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: U : Opens G

Context: hU : μ.innerContent U ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: K : Compacts G

Context: h1K : ↑K ⊆ ↑U

Context: h2K : μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
w : List (α × Bool)


Red (reduce (invRev w)) (invRev (reduce w))


Red (invRev (reduce (invRev w))) (reduce w)


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: w : List (α × Bool)

Context: this : Red (invRev (invRev w)) (invRev (reduce (invRev w)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

s.antidiagonal = map (fun t => (s - t, t)) s.powerset


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α

antidiagonal 0 = map (fun t => (0 - t, t)) (powerset 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : s.antidiagonal = map (fun t => (s - t, t)) s.powerset

(a ::ₘ s).antidiagonal = map (fun t => (a ::ₘ s - t, t)) (a ::ₘ s).powerset


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : CommSemiring A'
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A'
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A'
y x✝ : A'

(aevalTower (Algebra.ofId S A') x✝) X = (aeval x✝) X


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
ι : Type u_7
m : ι → Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f (sum m)
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(map f (sum m)) s = (sum fun i => map f (m i)) s


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
ι : Type u_7
m : ι → Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f (sum m)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
M : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (m i)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n a b : ℕ
f g : R⟦X⟧
ha : n < a
hb : n < b

(coeff R n) (↑(trunc a f) * ↑(trunc b g)) = (coeff R n) (f * g)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β

f ×ˢ g = map (fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f)


Prod.swap <$> (g ×ˢ f) = map (fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
h : x ∈ evenOdd Q 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
l : List α
fι : α → ι
fA : (a : α) → A (fι a)

mk (l.dProdIndex fι) (l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => mk (fι a) (fA a)) l).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
p : β → Prop


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
b₃ : B.Nondegenerate
h : W = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
c d : 𝕜
hc : c ≠ 0

Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop (𝓝 d) ↔ n = 0 ∧ c = d


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: r : R


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: r : R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
g : Y' ⟶ Z'

add W eX eY f₁ f₂ ≫ g = add W eX eZ (f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₂ : X' ⟶ Y'
g : Y' ⟶ Z'
f₁ : L.obj X ⟶ L.obj Y

add W eX eY ((homEquiv eX eY).symm f₁) f₂ ≫ g = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g : Y' ⟶ Z'
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y

add W eX eY ((homEquiv eX eY).symm f₁) ((homEquiv eX eY).symm f₂) ≫ g = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f₁ ≫ g) ((homEquiv eX eY).symm f₂ ≫ g)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z

add W eX eY ((homEquiv eX eY).symm f₁) ((homEquiv eX eY).symm f₂) ≫ (homEquiv eY eZ).symm g = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f₁ ≫ (homEquiv eY eZ).symm g) ((homEquiv eX eY).symm f₂ ≫ (homEquiv eY eZ).symm g)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
ϕ : H →* G
hϕ : Function.Injective ⇑ϕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoDiv hp (a + m • p) b = toIcoDiv hp a b - m


b - (toIcoDiv hp a b - m) • p ∈ Set.Ico (a + m • p) (a + m • p + p)


b - toIcoDiv hp a b • p + m • p ∈ Set.Ico (a + m • p) (a + p + m • p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: h : a * b ≤ a


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s

nodalWeight s v i = (eval (v i) (derivative (nodal s v)))⁻¹


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p q : R[X]
hq : q.Monic
x : S
hx : eval₂ f x q = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Chain' R l₂
h : l₁ <+ l₂


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R l₂
h : l₁ <+ l₂


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : ¬Prime p


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
h : ↥H
g : G

hHT.equiv (↑h * g) = (h * (hHT.equiv g).1, (hHT.equiv g).2)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: hST : IsComplement S T

Context: hHT : IsComplement (↑H) T

Context: hSK : IsComplement S ↑K

Context: h : ↥H

Context: g : G

Context: this : (hHT.equiv (↑h * g)).2 = (hHT.equiv g).2


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Nonempty ((i : ι) → α i)
s t : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ t }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι

Disjoint (cylinder s S) (cylinder t T) ↔ Disjoint ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.1042846
S' : Type ?u.1042849
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.1045280
S'' : Type ?u.1045283
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : P.Cotangent

((map (Hom.id P)) x).val = (LinearMap.id x).val


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.1042846
S' : Type ?u.1042849
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.1045280
S'' : Type ?u.1045283
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker

((map (Hom.id P)) (mk x)).val = (LinearMap.id (mk x)).val


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w₂

Context: M : Type w

Context: M' : Type w₁

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : LieRing L'

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: J✝ : LieIdeal R L'

Context: h : Function.Surjective ⇑f

Context: J : LieIdeal R L' := let __src := Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w₂

Context: M : Type w

Context: M' : Type w₁

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : LieRing L'

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: J✝ : LieIdeal R L'

Context: h : Function.Surjective ⇑f

∃ N, ↑N = Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule


Context:
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᵃ[R] W
h : Continuous f.toFun

⇑{ toAffineMap := f, cont := h } = ⇑{ toAffineMap := f, cont := h }.contLinear + Function.const V ({ toAffineMap := f, cont := h } 0)


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t✝ s₁✝ s₂✝ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s₁ s₂ t : Set E

convexJoin 𝕜 (s₁ ∪ s₂) t = convexJoin 𝕜 s₁ t ∪ convexJoin 𝕜 s₂ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
x : α →₀ M

mapRange (⇑f.symm) hf' (mapRange (⇑f) hf x) = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M ≃ N
hf : f 0 = 0
hf' : f.symm 0 = 0
x : α →₀ N

mapRange (⇑f) hf (mapRange (⇑f.symm) hf' x) = x


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
f : α → β
hi : Injective f


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
a : R
b : B
m d : ℤ

selfZPow x B (m - d) * mk' B a 1 = b ↔ selfZPow x B m * mk' B a 1 = selfZPow x B d * b


selfZPow x B m * mk' B a 1 * selfZPow x B (-d) = b ↔ selfZPow x B m * mk' B a 1 = selfZPow x B d * b


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => x + c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M N : PresheafOfModules R
f : M ⟶ N
s : M.sections
X Y : Cᵒᵖ
g : X ⟶ Y

(N.map g) ((fun X => (Hom.app f X) (↑s X)) X) = (fun X => (Hom.app f X) (↑s X)) Y


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
x : ↥M ⊗[R] ↥N


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid A
s t u : Set M
H K : Submonoid M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.EdgeDisjointTriangles


(G.cliqueSet 3).Pairwise ((fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton) on Finset.map f)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : AddMonoid R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : AddMonoid R
x : R
hx : x ∈ SumSqIn R


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set (α i)
x : (x : ι) → α x

x ∈ eval i ⁻¹' s ↔ x ∈ univ.pi (update (fun i => univ) i s)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : CommRing T

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R T

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R S

Context: inst✝³ : Module.Free R S

Context: inst✝² : Module.Free R T

Context: inst✝¹ : Module.Finite R S

Context: inst✝ : Module.Finite R T

Context: x : S × T

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: f : S × T →ₗ[R] Module.End R S × Module.End R T := (lmul R S).toLinearMap.prodMap (lmul R T).toLinearMap

(trace R (S × T)) x = (trace R S) x.1 + (trace R T) x.2


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : CommRing T

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R T

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R S

Context: inst✝³ : Module.Free R S

Context: inst✝² : Module.Free R T

Context: inst✝¹ : Module.Finite R S

Context: inst✝ : Module.Finite R T

Context: x : S × T

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: this : (lmul R (S × T)).toLinearMap = prodMapLinear R S T S T R ∘ₗ f


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : CommRing T

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R T

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R S

Context: inst✝³ : Module.Free R S

Context: inst✝² : Module.Free R T

Context: inst✝¹ : Module.Finite R S

Context: inst✝ : Module.Finite R T

Context: x : S × T

Context: a✝ : Nontrivial R

(LinearMap.trace R (S × T) ∘ₗ prodMapLinear R S T S T R ∘ₗ f) x = (LinearMap.trace R S ∘ₗ (lmul R S).toLinearMap) x.1 + (LinearMap.trace R T ∘ₗ (lmul R T).toLinearMap) x.2


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


(M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (I_1 : Set α), M.Indep I_1 ∧ I_1 ⊆ X → I ⊆ I_1 → I = I_1) ↔ M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: inst✝² : Add R

Context: inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: u v : α → R

Context: U : R

Context: hU : ∀ᶠ (x : R) in map u f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x U

Context: V : R

Context: hV : ∀ᶠ (x : R) in map v f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x V

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (u + v)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: inst✝² : Add R

Context: u v : α → R

Context: U : R

Context: V : R

∀ᶠ (x : R) in map (u + v) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (U + V)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: inst✝² : Add R

Context: u v : α → R

Context: U V : R

Context: hU : ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≤ U

Context: hV : ∀ᶠ (a : α) in f, v a ≤ V


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

(s₁ ∪ s₂).lcm = GCDMonoid.lcm s₁.lcm s₂.lcm


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b : A

(shiftFunctorAdd' (OppositeShift C A) a b (a + b) ⋯).hom.app X = ((shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
g : G
r : k


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : mk f = ⊥


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)

LinearMap.ker (map R R A B) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range (⇑(Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) ⊔ Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B))) = Submodule.map (Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) (LinearMap.ker (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap A B) ∘ₗ Finsupp.lmapDomain A A ⇑(algebraMap A B)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Submodule.span A (Set.range (⇑(Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1)) = ⊥


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

∀ x ∈ Set.range (⇑(Finsupp.total A (Ω[A⁄R]) A ⇑(D R A)) ∘ fun x => Finsupp.single ((algebraMap R A) x) 1), x = 0


Context:
a b c : ℕ
hac : a.Coprime c
b_dvd_c : b ∣ c


Context:
a b d : ℕ
hac : a.Coprime (d * b)
b_dvd_c : b ∣ d * b


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝³ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝² : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
M' : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M'
inst✝ : MulOneClass N'
f : M →* N
g : M' →* N'

mker (f.prodMap g) = (mker f).prod (mker g)


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
b : Basis ι K L


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) '' Ioo b c = Ioo (a - c) (a - b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hf : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤

(sSup s).toReal = sSup (ENNReal.toReal '' s)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.103744}
h0 : 0 < o
a : (Quotient.out o).α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
h0 : 0 < o
a : (Quotient.out o).α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)
c : E

↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

Context: h_mem_Lp : Memℒp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) 2 μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

Context: h_eq : ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) =ᶠ[ae μ] fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp)) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) (Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑f a⟫_𝕜) ⋯))) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: c : E

AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Memℒp.toLp (fun a => ⟪c, ↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f) a⟫_𝕜) h_mem_Lp)) μ


Context:
p q✝ : ℚ
q : ℚ≥0
hp : 0 ≤ p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset

(g * f⁻¹).cycleType + f.cycleType = g.cycleType - f.cycleType + f.cycleType


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α
hs : s.length = 0
i j : Fin (s.length + 1)


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R


(∀ (x : PrimeSpectrum R), f ∈ x.asIdeal) ↔ ∀ (J : Ideal R), J.IsPrime → f ∈ J


Context:
a b c : Ordinal.{u}
h : c.IsLimit


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype l

Context: inst✝⁶ : Fintype m

Context: inst✝⁵ : Fintype n

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : DecidableEq m

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : CommRing α

Context: A : Matrix m m α

Context: B : Matrix m n α

Context: C : Matrix n m α

Context: D : Matrix n n α

Context: inst✝ : Invertible D

Context: this : fromBlocks A B C D = (fromBlocks D C B A).submatrix ⇑(Equiv.sumComm m n) ⇑(Equiv.sumComm m n)

(fromBlocks A B C D).det = D.det * (A - B * ⅟D * C).det


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M
this : 0 < ↑u * ↑u


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix m n R


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix m n R
x : n → R


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

Context: hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)

(∀ i ∈ sι, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ sι, ∀ j ∈ sι, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ sι, S i) = ∑ i ∈ sι, T (S i)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

(∀ i ∈ ∅, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ ∅, ∀ j ∈ ∅, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ ∅, S i) = ∑ i ∈ ∅, T (S i)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)) → (∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = ∑ i ∈ insert a s, T (S i)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: h : (∀ i ∈ s, μ (S i) ≠ ⊤) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) → T (⋃ i ∈ s, S i) = ∑ i ∈ s, T (S i)

Context: hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤

Context: h_disj : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)

T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = ∑ i ∈ insert a s, T (S i)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤

T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a) + T (⋃ i ∈ s, S i)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤

∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : AddCommMonoid β

Context: T✝ T' T : Set α → β

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: ι : Type u_8

Context: S : ι → Set α

Context: sι : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hps : ∀ i ∈ insert a s, μ (S i) ≠ ⊤

T (⋃ i ∈ insert a s, S i) = T (S a ∪ ⋃ i ∈ s, S i)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0


DifferentiableAt ℂ (fun y => I * sinZeta a y) s


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv' : IntegrableOn (u * v') (Iic a) volume

Context: hu'v : IntegrableOn (u' * v) (Iic a) volume

Context: h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[<] a) (𝓝 a')

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')

∫ (x : ℝ) in Iic a, u x * v' x = a' - b' - ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv' : IntegrableOn (fun i => u i * v' i) (Iic a) volume

Context: hu'v : IntegrableOn (fun i => u' i * v i) (Iic a) volume

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')

∫ (a : ℝ) in Iic a, u a * v' a + u' a * v a ∂volume = a' - b'


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)

Context: this : HasCoproduct X

Context: h : (Pi.lift fun i => F.map (c.inj i).op) = F.map (Pi.lift fun i => (c.inj i).op) ≫ piComparison F fun i => op (X i)

(piComparison F fun x => op (X x)) = F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Pi.lift fun i => F.map (c.inj i).op


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

(piComparison F fun x => op (X x)) = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Pi.lift fun i => (c.inj i).op) ≫ piComparison F fun i => op (X i)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

Context: hh : (Pi.lift fun i => (c.inj i).op) = (productIsProduct fun x => op (X x)).lift c.op


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: this : HasCoproduct X

(piComparison F fun x => op (X x)) = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (hc.desc c).op ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) ≫ piComparison F fun i => op (X i)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G'' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G''

Context: T : Set α → G'' →L[ℝ] G'

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x

Context: f g : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)

Context: hfg : f ≤ g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G'' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G''

Context: T : Set α → G'' →L[ℝ] G'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : ↥(simpleFunc G'' 1 μ)

Context: hfg : 0 ≤ g - f


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U

Context: h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)

Context: hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s

∃ a' h' iDh', U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i) ∧ (∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a' i * h' j = h' i * a' j) ∧ ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh' i).op) s = const R (a' i) (h' i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: fractions_eq : ∀ (i j : ι), IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

((structureSheaf R).val.map ((fun i => eqToHom ⋯ ≫ iDh i) i).op) s = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

((structureSheaf R).val.map (iDh i).op ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) s = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

((structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) (((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s) = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1))) ?refine_3.hv = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

∀ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)), h i ∈ x.asIdeal.primeCompl


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1))) ⋯ = const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i) (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

a i * (fun i => h i ^ (N + 1)) i = (fun i => a i * h i ^ N) i * h i


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

a i * h i ^ (N + 1) = a i * h i ^ N * h i


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: ι : Type u_1

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose

Context: N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ t

a i * (h i ^ N * h i) = a i * h i ^ N * h i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
ι : Sort u_5
f : ι → α


Inv.inv '' range f = range fun i => (f i)⁻¹


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
n : ℕ
k : S

eval k (descPochhammer S (n + 1)) = eval k (descPochhammer S n) * (k - ↑n)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
f : (L ≃ₐ[K] L) → Lˣ
x y : L ≃ₐ[K] L
h : (fun f => ↑f) x = (fun f => ↑f) y
a✝ : L