Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
s : S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
r : R
x : ↑X

{ toFun := fun x => s • g x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun x => s • g x, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R

(aeval fun o => o.elim (C Polynomial.X) X).comp (aevalTower (Polynomial.aeval (X none)) fun i => X (Option.some i)) = AlgHom.id R (MvPolynomial S₁ R[X])


(aevalTower (Polynomial.aeval (X none)) fun i => X (Option.some i)).comp (aeval fun o => o.elim (C Polynomial.X) X) = AlgHom.id R (MvPolynomial (Option S₁) R)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s₁ s₂ : Finset α

Context: f g : α → β

Context: h₁ : s₁ = s₂

Context: h₂ : ∀ x ∈ s₂, f x = g x

Context: comm : (↑s₁).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

s₁.noncommProd f comm = s₂.noncommProd g ⋯


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

b ∈ a⁻¹ • s ↔ a • b ∈ s


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool


L1.length + L2.length + 2 = L1.length + ((x, b) :: (x, !b) :: L2).length


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι✝ → α
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_3
t : ι → α
ht : Independent t


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e : α ≃ β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s


Context:
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1

∫ (b : Bool), bif b then 1 else 0 ∂(bernoulli p h).toMeasure = p.toReal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
x : α
s t : Set α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X

EquicontinuousWithinAt F univ x₀ ↔ EquicontinuousAt F x₀


Context:
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
x y : M
h : SemiconjBy (↑a) x y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
s : Set α
p : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in f ⊓ 𝓟 s, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in f, x ∈ s ∧ p x


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : y i ≤ x


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : y i ≤ x
H : ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ ↑I ∩ {y | x < y i}
h₃ : y i ≤ x
H : ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : Matrix m n α


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → α


Context:
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : P.toProperty.RespectsIso
X Y X' Y' : Scheme
f : X ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk f'
h : IsAffine Y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y

L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = (α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right) ≫ R'.map (F₂.map φ.right)


L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right ≫ R'.map (F₂.map φ.right)


α.app X.left ≫ (L ⋙ F).map φ.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ (R ⋙ F).map φ.right ≫ β.app Y.right


α.app X.left ≫ F.map (L.map φ.left) ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ F.map (R.map φ.right) ≫ β.app Y.right


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁ ≤ m₂
p : α × ℕ

p ∈ m₁.toEnumFinset → p ∈ m₂.toEnumFinset


Context: m n k : ℕ

m.psub (n + k) = do let __do_lift ← m.psub n __do_lift.psub k


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a x✝¹ : { x // x ∈ s }
x✝ : x✝¹ ∈ s.attach


Context:
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α


lift.{max u v, u} #α = lift.{max v u, u} #α + lift.{u, v} #β'


lift.{v, u} #α + lift.{u, v} #β' = lift.{v, u} #α


Context: α β : Type u

Context: β' : Type v

Context: inst✝ : Infinite α

Context: lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α

Context: e : α ≃ α ⊕ β'

Context: f g : α → β'

Context: h : (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) f = (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) g

Context: a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Surjective (map f)
x : β
y : α
hxy : map f [y] = [x]


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'


(F.map f ≫ colimit.ι F j'') x = (F.map f' ≫ colimit.ι F j'') x'


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P

Context: m : P := midpoint ℝ p1 p2

Context: h : ‖p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)‖ = ‖p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)‖

Context: h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)

Context: h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J

(T.η.app c.pt ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j


c.π.app j ≫ 𝟙 (D.obj j).A = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j


(T.μ.app c.pt ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = (T.map (t.lift (newCone D c)) ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j


(T.toFunctor ⋙ T.toFunctor).map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a = T.map (T.map (c.π.app j)) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r

∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: r : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hnr : ↑n < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: r : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hnr : ↑n < r

Context: hr : 0 < r

∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) < ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: r : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hnr : ↑n < r

Context: hr : 0 < r

IntegrableOn (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) (Ioc 0 1) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: r : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hnr : ↑n < r

Context: hr : 0 < r

IntervalIntegrable (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) volume 0 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: r : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hnr : ↑n < r

Context: hr : 0 < r


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
h : ¬s ≤ s + d


Context: x : ℝ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ 0


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : 0 < x


Context:
n a : ℕ
h' : n * a ≠ 0

n.primeFactorsList <+ (n * a).primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
a✝ a : α
ha : a ∉ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α


Context:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U

∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z


Context:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)


Context:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ closure U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w


Context:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ interior U ∨ w ∈ frontier U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w


Context:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U


Context:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ


Context: E : Type u

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℂ E

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hb : Bornology.IsBounded U

Context: hne : U.Nonempty

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f U

Context: hc : IsCompact (closure U)

Context: w : E

Context: hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w

Context: hwU : w ∈ interior U

Context: this : interior U ≠ univ

Context: z : E

Context: hzU : z ∈ frontier (interior U)

Context: hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z


Context: E : Type u

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝¹ : Nontrivial E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℂ E

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hb : Bornology.IsBounded U

Context: hne : U.Nonempty

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f U

Context: hc : IsCompact (closure U)

Context: w : E

Context: hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w

Context: hwU : w ∈ interior U

Context: this : interior U ≠ univ

Context: z : E

Context: hzU : z ∈ frontier (interior U)

Context: x : E

Context: hx : x ∈ closure U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : ConcreteCategory D
F G : C ⥤ D
φ : F ⟶ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : (forget D).obj (F.obj X)

(φ.app Y) ((F.map f) x) = (G.map f) ((φ.app X) x)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a : G
b : P

(a, b) ∈ SMulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns • ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}


a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a • b = hs.min hns • ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β

mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P

(∀ (f : ℕ →o Submodule R M), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsNoetherian R M


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H✝ : M.LinearDisjoint N
H : M.LinearDisjoint M
inst✝ : Module.Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥M), Commute ↑m ↑n


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H✝ : M.LinearDisjoint N
H : M.LinearDisjoint M
inst✝ : Module.Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ M)), Commute ↑m ↑n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε

Disjoint (closedBall x δ) (ball y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: E : Aᵒᵖ

Context: x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows

Context: hx : x.SieveCompatible

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: K : Pretopology C

(∀ (E : A), Presieve.IsSheaf (Pretopology.toGrothendieck C K) (P ⋙ coyoneda.obj (op E))) ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone (generate R).arrows.cocone.op))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: E : Aᵒᵖ

Context: hx : x.SieveCompatible

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: K : Pretopology C

(∀ (E : A) {X : C}, ∀ R ∈ K.coverings X, IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) R) ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone (generate R).arrows.cocone.op))


Context:
x y : PartENat
n : ℕ
h : x + y = ↑n


Context:
y : PartENat
n x : ℕ
h : ↑x + y = ↑n


Context:
n x y : ℕ
h : ↑x + ↑y = ↑n


Context:
n x y : ℕ
h✝ : ↑x + ↑y = ↑n
h : x + y = n


Context:
n : ℕ
a : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝³ : Countable ι✝
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, StronglyMeasurable (f i)

StronglyMeasurable fun a => ∏ i ∈ s, f i a


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : Y × Z → W
g : X → Y
h : X → Z
x : X
y : Y × Z
hf : ContinuousAt f (g x, h x)
hg : ContinuousAt g x
hh : ContinuousAt h x
e : (g x, h x) = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f

∫⁻ (a : β × γ), ↑‖f a‖₊ ∂(κ ⊗ₖ η) a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ↑‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖₊ ∂κ a < ⊤


∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ↑‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖₊ ∂κ a < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

Context: h1f : StronglyMeasurable f

Context: this : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

Context: h1f : StronglyMeasurable f

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : γ), ↑‖f (a_1, a)‖₊ ∂η (a, a_1)).toReal ∂κ a < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β × γ → E

Context: h1f : StronglyMeasurable f

Context: this✝ : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖

Context: this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ s t : Finset α
a : α
ht : t ∈ s.powerset
h : a ∉ s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Nonempty α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
x : F
m : MeasurableSpace α

setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε

Disjoint (ball x δ) (ball y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < δ + ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
z : E
hxz : dist x z < δ
hzy : dist z y < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
z : E
hxz : dist z x < δ
hzy : dist z y < ε


Context:
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f
x : G


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : CompactSpace G


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a b✝ c b : α


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
e✝ : Perm σ

(rename ⇑e✝) (esymm σ R n) = esymm σ R n


Context:
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'


Context:
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'
this : setOf p ⊆ ↑(range n)


Context: n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: ι : Sort u_13

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Absorbent 𝕜 s

Context: h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: ι : Sort u_13

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Absorbent 𝕜 s

∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: ι : Sort u_13

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Absorbent 𝕜 s

Context: x : E


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: ι : Sort u_13

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Absorbent 𝕜 s

Context: x : E

Context: c : 𝕜

Context: hc₀ : c ≠ 0

Context: hc : c • x ∈ s


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: ι : Sort u_13

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Absorbent 𝕜 s

Context: x : E

Context: c : 𝕜

Context: hc₀ : c ≠ 0

Context: hc : c • x ∈ s

Context: M : ℝ

Context: hM : M ∈ upperBounds (range fun x_1 => (p x_1) (c • x))


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι✝ : Type u_12

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: ι : Sort u_13

Context: p : ι → Seminorm 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : Absorbent 𝕜 s

Context: x : E

Context: c : 𝕜

Context: hc₀ : c ≠ 0

Context: hc : c • x ∈ s

Context: M : ℝ

Context: i : ι


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : a * ↑b⁻¹ = c


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : a = c * ↑b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop

(∀ (i : α), i ≠ ⊥ → P i) ↔ ∀ (i : α), P (succ i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
i : α
hi : i ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
hj : 0 < j


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
hs : ↑s.card * 1 ≤ ↑s'.card
ht : ↑t.card * 1 ≤ ↑t'.card

|↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < 1


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
hs : ↑s.card ≤ ↑s'.card
ht : ↑t.card ≤ ↑t'.card


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R✝
M : Subsemigroup R✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
z : R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0


Context:
a✝ b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a x : Cardinal.{u_1}
b0 : x ≠ 0
b : Cardinal.{u_1}
hab : x = a * b


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
h : ¬I = ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
h : ¬I = ⊤
m : Ideal R
left✝ : m.IsMaximal
hm : I ≤ m


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : RingHom.ker f ≤ I
hf₂ : f.IsIntegral
h : ¬I = ⊤
m : Ideal R
left✝ : m.IsMaximal
hm : I ≤ m
x✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra.IsIntegral R S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal R

Context: hf₁ : RingHom.ker f ≤ I

Context: hf₂ : f.IsIntegral

Context: h : ¬I = ⊤

Context: x✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : Algebra.IsIntegral R S

Context: m' : Ideal S

Context: left✝¹ : m'.IsMaximal

Context: left✝ : (comap (algebraMap R S) m').IsMaximal

Context: hm : I ≤ comap (algebraMap R S) m'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal R

Context: hf₁ : RingHom.ker f ≤ I

Context: hf₂ : f.IsIntegral

Context: h : ¬I = ⊤

Context: x✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : Algebra.IsIntegral R S

Context: m' : Ideal S

Context: left✝¹ : m'.IsMaximal

Context: hm : map (algebraMap R S) I ≤ m'


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
m : z ∈ {z | z ≠ 0}


Context:
q a b c : ℚ
n d : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝ : (cocompact α).IsMeasurablyGenerated

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[cocompact α] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g (cocompact α) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[cocompact α] g

StronglyMeasurableAtFilter f (cocompact α) μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g : α → E
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Memℒp (f i) p μ


Context: I : Type w₀

Context: J✝ : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: J : Type w₁

Context: K : Type w₂

Context: f : K → J

Context: g : J → I

Context: X Y : (i : I) → C i

Context: f' : X ⟶ Y

(({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f' ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) = (fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ fun i => f' (g (f i))


Context: I : Type w₀

Context: J✝ : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: J : Type w₁

Context: K : Type w₂

Context: f : K → J

Context: g : J → I

Context: X Y : (i : I) → C i

Context: f' : X ⟶ Y

Context: x✝ : K

(({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f' ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) x✝ = ((fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ fun i => f' (g (f i))) x✝


Context: I : Type w₀

Context: J✝ : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: J : Type w₁

Context: K : Type w₂

Context: f : K → J

Context: g : J → I

Context: X Y : (i : I) → C i

Context: f' : X ⟶ Y

((fun i => f' (g (f i))) ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) = (fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ ({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f'


Context: I : Type w₀

Context: J✝ : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: J : Type w₁

Context: K : Type w₂

Context: f : K → J

Context: g : J → I

Context: X Y : (i : I) → C i

Context: f' : X ⟶ Y

Context: x✝ : K

((fun i => f' (g (f i))) ≫ fun b => 𝟙 (Y (g (f b)))) x✝ = ((fun b => 𝟙 (X (g (f b)))) ≫ ({ obj := fun f i => f (g i), map := fun {X Y} α i => α (g i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun f_1 i => f_1 (f i), map := fun {X Y} α i => α (f i), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map f') x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

Context: inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.176514 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄

Context: inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.181965 ⟶ X₂) true ≫ f₂)

Context: inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄

Context: inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂ = pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄


Context: K : Type u

Context: inst✝² : CommRing K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: n : ℕ

Context: ih : mk K p (n, 0) = 0

Context: this : R K p (n, 0) (n + 1, (frobenius K p) 0)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+~ l₂
x : α
hx : count x l₁ < count x l₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂

Context: x : α

Context: hx : count x l₁ < count x l₂

∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x :: l₁ → count x_1 (x :: l₁) ≤ count x_1 l₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l₁ l₂ : List α

Context: x : α

Context: hx : count x l₁ < count x l₂

Context: y : α

Context: hy : y ∈ x :: l₁


Context:
ι✝ : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
ι : Type u_1
s : Finset ι
x : ι → A

∏ i ∈ s, span R {x i} = span R {∏ i ∈ s, x i}


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : SFinite ν

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : SFinite μ

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E'

Context: 𝕜 : Type u_8

Context: inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : α → 𝕜

Context: g : β → E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: h : ¬Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)

∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : SFinite ν

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : SFinite μ

Context: E' : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E'

Context: 𝕜 : Type u_8

Context: inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : α → 𝕜

Context: g : β → E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: H : ¬Integrable f μ ∨ ¬Integrable g ν


Context: a b c d : Ordinal.{u}

a ⨳ b ≤ c ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'


Context: a b c d : Ordinal.{u}

¬a ⨳ b ≤ c ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

o.nfpBFamily f a ∈ ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

∀ (i : Ordinal.{u}) (j : i < o), o.nfpBFamily f a ∈ fixedPoints (f i j)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ

xInTermsOfW p R n * C (↑p ^ n) = X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : PolishSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Surjective f
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X

MeasurableSpace.map f (borel X) = borel Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a : α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U


x = ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)


∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection x).arrows f → F.map f.op x = F.map f.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i

F.map i.op x = F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: h : G ≤ G'

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf

Context: U : Cᵒᵖ

Context: x : F.obj U

Context: hx : x ∈ (sheafify J G).obj U

Context: V : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: hi : (G.sieveOfSection x).arrows i

Context: this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: h : G ≤ G'

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf

Context: U : Cᵒᵖ

Context: x : F.obj U

Context: hx : x ∈ (sheafify J G).obj U

Context: V : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: hi : (G.sieveOfSection x).arrows i

F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩) = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG')


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: G G' : Subpresheaf F

Context: h : G ≤ G'

Context: hF : Presieve.IsSheaf J F

Context: hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf

Context: U : Cᵒᵖ

Context: x : F.obj U

Context: hx : x ∈ (sheafify J G).obj U

Context: V : C

Context: i : V ⟶ unop U

Context: hi : (G.sieveOfSection x).arrows i

↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨x, hx⟩)) = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG')


Context:
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hdn : d ∣ n
a : ℕ


Context:
a✝ b c m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
hdn : 0 ∣ n


Context:
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hdn : d ∣ n
a : ℕ
hd : d > 0


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: E : Set α

Context: hE : E.Finite

Context: f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: E : Set α

Context: hE : E.Finite

Context: hf : Function.Injective f


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: E : Set α

Context: hE : E.Finite

Context: hf : Function.Injective f

f '' {M | M.E ⊆ E} ⊆ {b | b ⊆ E} ×ˢ {b | b ⊆ {b | b ⊆ E}}


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: E : Set α

Context: hE✝ : E.Finite

Context: hf : Function.Injective f

Context: M : Matroid α

Context: hE : M.E ⊆ E

f M ∈ {b | b ⊆ E} ×ˢ {b | b ⊆ {b | b ⊆ E}}


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: E : Set α

Context: hE✝ : E.Finite

Context: hf : Function.Injective f

Context: M : Matroid α

Context: hE : M.E ⊆ E

M.E ⊆ E ∧ ∀ (a : Set α), M.Base a → a ⊆ E


Context: x✝ y x : ℝ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁹ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing K

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K

Context: inst✝³ : Algebra ℚ K

Context: inst✝² : NoZeroDivisors K

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: bI : Basis ι ℤ ↥↑I

|(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁹ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing K

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝³ : Algebra ℚ K

Context: inst✝² : NoZeroDivisors K

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: bI : Basis ι ℤ ↥↑I

Context: this : Nontrivial K


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁹ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing K

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝³ : Algebra ℚ K

Context: inst✝² : NoZeroDivisors K

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: bI : Basis ι ℤ ↥↑I

Context: this : Nontrivial K

Context: b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁹ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing K

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝³ : Algebra ℚ K

Context: inst✝² : NoZeroDivisors K

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: bI : Basis ι ℤ ↥↑I

Context: this : Nontrivial K

Context: bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁹ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing K

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝³ : Algebra ℚ K

Context: inst✝² : NoZeroDivisors K

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: bI : Basis ι ℤ ↥↑I

Context: this : Nontrivial K

|((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |↑(b.toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI.num)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁹ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing K

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝³ : Algebra ℚ K

Context: inst✝² : NoZeroDivisors K

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: bI : Basis ι ℤ ↥↑I

Context: this : Nontrivial K

|((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |(algebraMap ℤ ℚ) (b.toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI.num)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁹ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing K

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝³ : Algebra ℚ K

Context: inst✝² : NoZeroDivisors K

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι ℤ R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: bI : Basis ι ℤ ↥↑I

Context: this : Nontrivial K

|((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |(b₀.toMatrix ((algebraMap R K) ↑I.den • Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|


Context:
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

(a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList


Context:
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

(a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList).prod = a * b


Context:
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

∀ p ∈ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList, Prime p


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p 0) 1) ^ p ^ 0 = 1


(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) 1 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


l.reverse.next x ⋯ = l'.reverse.next x ⋯


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q R : C
f : Q ⟶ R
a : P ⟶ Q
h : a ≫ f = 0

pseudoApply f (Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk a)) = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: h : Step (FreeGroup.invRev L₁) (FreeGroup.invRev L₂)


Context:
b : ℂ
x : ℝ

‖cexp (-b * ↑x ^ 2)‖ = rexp (-b.re * x ^ 2)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hf : HasIntegral I l f vol y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝¹ : NormedCommRing A'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A'
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => f y * g y) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => f y * g y) univ x‖ ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P

(Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype n'

Context: b₁ : Basis n R M₁

Context: b₂ : Basis n' R M₂

Context: J J₂ : Matrix n n R

Context: J' : Matrix n' n' R

Context: A : Matrix n' n R

Context: A' : Matrix n n' R

Context: A₁ A₂ : Matrix n n R

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq n'

Context: P : Matrix n n R

Context: h : IsUnit P

Context: h' : IsUnit P.det

Context: u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype n'

Context: b₁ : Basis n R M₁

Context: b₂ : Basis n' R M₂

Context: J J₂ : Matrix n n R

Context: J' : Matrix n' n' R

Context: A : Matrix n' n R

Context: A' : Matrix n n' R

Context: A₁ A₂ : Matrix n n R

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq n'

Context: P : Matrix n n R

Context: h : IsUnit P

Context: h' : IsUnit P.det

Context: v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Fintype n'

Context: b₁ : Basis n R M₁

Context: b₂ : Basis n' R M₂

Context: J J₂ : Matrix n n R

Context: J' : Matrix n' n' R

Context: A : Matrix n' n R

Context: A' : Matrix n n' R

Context: A₁ A₂ : Matrix n n R

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : DecidableEq n'

Context: P : Matrix n n R

Context: h : IsUnit P

Context: h' : IsUnit P.det

Context: x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J

Context: y : Matrix n n R := J * P * A₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
f✝ : ι →₀ α
i✝ : ι
a : α
f : ι →₀ α
i : ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ 0 < r


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℂ

sin x ^ 2 + cos x ^ 2 = cosh (x * I) ^ 2 - sinh (x * I) ^ 2


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M✝ M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: H : ¬M.IsTwoBlockDiagonal

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) = 0

∃ L L', ((List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod).IsTwoBlockDiagonal


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) = 0

Context: H : (¬∀ (i : Fin r) (j : Unit), of (fun i j => M (inl i) (inr j)) i j = 0 i j) ∨ ¬∀ (i : Unit) (j : Fin r), of (fun i j => M (inr i) (inl j)) i j = 0 i j


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
val✝ : Invertible A


Context:
a b c d m n : ℤ
hmn : m ∣ n


Context:
a b c d n : ℤ
hmn : 0 ∣ n


Context:
a b c d m n : ℤ
hmn : m ∣ n
hm : m ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
p p' : Submodule R P
q q' : Submodule R Q
hp : p ≤ p'
hq : q ≤ q'

range (mapIncl p q) ≤ range (mapIncl p' q')


Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q) ≤ Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p' ↑q')


Context:
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℤ
h : x * x = ↑d * y * y


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℤ

Context: h : ↑(x.natAbs * x.natAbs) = ↑(d * y.natAbs * y.natAbs)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n✝ m l n : ℕ
hn : 1 < n


Context: m : Type → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: p : α → m Bool

Context: as : Array α

Context: start stop : Nat

Context: hstart : start ≤ min stop as.size

Context: tru : Prop

Context: fal : Nat → Prop

Context: h0 : fal start

Context: hp : ∀ (i : Fin as.size), ↑i < stop → fal ↑i → SatisfiesM (fun x => bif x then tru else fal (↑i + 1)) (p as[i])

SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal (min stop as.size)) (anyM p as start stop)


Context: m : Type → Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: p : α → m Bool

Context: as : Array α

Context: start stop : Nat

Context: hstart : start ≤ min stop as.size

Context: tru : Prop

Context: fal : Nat → Prop

Context: h0 : fal start

SatisfiesM (fun res => bif res then tru else fal (min stop as.size)) (anyM.loop p as (min stop as.size) ⋯ start)


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
h : Cauchy l


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
h : Cauchy l
this : l.NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter α
h : Cauchy l
this✝ : l.NeBot
this : ↑(Ultrafilter.of l) ≤ l


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
s : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
e : E ≃L[ℝ] Fin (finrank ℝ E) → ℝ


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : dimH s < ↑d


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝³ : EMetricSpace X

Context: inst✝² : EMetricSpace Y

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : BorelSpace X

Context: s : Set X

Context: d : ℝ≥0

Context: h : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d

Context: d' : ℝ≥0

Context: hsd' : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d'

Context: hd'd : ↑d' < ↑d


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝³ : EMetricSpace X

Context: inst✝² : EMetricSpace Y

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : BorelSpace X

Context: s : Set X

Context: d : ℝ≥0

Context: h : ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d < ↑d

Context: d' : ℝ≥0

Context: hd'd : d' < d


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(baseChange W B).toAffine.negPolynomial = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.negPolynomial


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
h : IsChain r univ
a b : α


Context:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
w : ↑s → kˣ
this : s = Set.range Subtype.val

affineSpan k (Set.range fun q => (AffineMap.lineMap p ↑q) ↑(w q)) = affineSpan k (Set.range Subtype.val)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : E

IsPurelyInseparable F ↥F⟮x⟯ ↔ (minpoly F x).natSepDegree = 1


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ s

(↑(fill x m s)).multinomial = n.choose ↑m * (↑s).multinomial


(Multiset.card ↑(fill x m s)).choose (Multiset.count x ↑(fill x m s)) * (Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) ↑(fill x m s)).multinomial = n.choose ↑m * (↑s).multinomial


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s


(Multiset.card ↑(fill x m s)).choose (Multiset.count x ↑(fill x m s)) = n.choose ↑m


(Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) ↑(fill x m s)).multinomial = (↑s).multinomial


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

(image Sym2.mk s.offDiag).card = s.card.choose 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: f : A →+* B

Context: g : B →+* C

Context: hg : (g.comp f).FinitePresentation

Context: hf : f.FiniteType

Context: ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: ins3 : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra

Context: a : A

Context: b : B

Context: c : C


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: f : A →+* B

Context: g : B →+* C

Context: hg : (g.comp f).FinitePresentation

Context: hf : f.FiniteType

Context: ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: a : A

Context: b : B

Context: c : C

(algebraMap B C) ((algebraMap A B) a) * ((algebraMap B C) b * c) = (algebraMap A C) a * ((algebraMap B C) b * c)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L

IsCompl (weightSpaceOf M 0 x) (posFittingCompOf R M x)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν

(fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae μ] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: x : α

Context: hx_eq : rexp (llr μ ν x) = if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

rexp (llr μ ν x) = (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)

Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] b)


Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[<] b) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[<] b)


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
a b : ℝ
hle : a ≤ b
f : X →ᵇ ℝ
hfs : EqOn (⇑f) 0 s
hft : EqOn (⇑f) 1 t
hf01 : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
x : X


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0

s.GammaSeq n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n


s.GammaSeq n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1)


↑n ^ s * s.betaIntegral (↑n + 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, (fun x => ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)) (x / ↑n) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, (fun x => ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)) x


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑(x / ↑n * ↑n) ^ (s - 1) = ↑n • ∫ (x : ℝ) in 0 / ↑n..↑n / ↑n, ↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

∫ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ↑n ^ s * (↑x ^ (s - 1) * (1 - ↑x) ^ ↑n) ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ↑↑n * (↑((1 - x) ^ n) * ↑(x * ↑n) ^ (s - 1)) ∂volume


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioc 0 1


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioc 0 1

Context: hn' : ↑n ≠ 0


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioc 0 1

Context: hn' : ↑n ≠ 0

Context: A : ↑n ^ s = ↑n ^ (s - 1) * ↑n


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ∀ (x : ℝ), x = x / ↑n * ↑n

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ioc 0 1

Context: hn' : ↑n ≠ 0

Context: A : ↑n ^ s = ↑n ^ (s - 1) * ↑n

Context: B : (↑x * ↑n) ^ (s - 1) = ↑x ^ (s - 1) * ↑n ^ (s - 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hfp : Memℒp f p μ


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q


S l R = diagonal (Sum.elim (fun x => 1) fun i => -1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ

Function.Surjective ⇑(lightToProfinite.map (S.proj n))


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ

Function.Surjective ⇑((lightToProfinite.obj S).asLimitCone.π.app ((sequentialFunctor (DiscreteQuotient ↑(lightToProfinite.obj S).toTop)).obj (Opposite.op n)))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b : α
f : ι → α
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E

x ∈ exposedPoints 𝕜 A ↔ IsExposed 𝕜 A {x}


IsExposed 𝕜 A {x} → x ∈ exposedPoints 𝕜 A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A B C : Set E
X : Finset E
x : E
h : IsExposed 𝕜 A {x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: l✝ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A B C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: h : IsExposed 𝕜 A {x}

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hl : {x} = {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: l✝ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A B C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x : E

Context: h : IsExposed 𝕜 A {x}

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hl : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ ∀ x_1 ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}, x_1 = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht : Independent t

Independent t ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup {a | ∃ j, j ≠ i ∧ t j = a})


(∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup (t '' {j | j ≠ i}))) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (t i) (sSup {a | ∃ j, j ≠ i ∧ t j = a})


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
r : Rˣ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: h : ∀ (s : Set X), IsClosed s → s.Nonempty → IsClosed (f '' s)

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: h2s : s = ∅


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: h2s : s.Nonempty


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2


⇑f.linear = (⇑f.linear + fun x => f 0) - fun x => (⇑f.linear + fun x => f 0) 0


Context: p q : ℚ≥0

↑(p / q) = ↑(divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num))


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}

∃ f, a.IsFundamentalSequence a.cof.ord f


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof


Context:
α : Type u_1
r✝ : α → α → Prop
a : Ordinal.{u}
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
hf : lsub f = a
hι : #ι = a.cof
r : ι → ι → Prop
wo : IsWellOrder ι r
hr : (#ι).ord = type r


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : lsub f = a

Context: hι : #ι = a.cof

Context: r : ι → ι → Prop

Context: wo : IsWellOrder ι r

Context: hr : (#ι).ord = type r

Context: this : IsWellOrder ι r

Context: r' : ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → ↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i} → Prop := Subrel r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}

Context: hrr' : r' ↪r r := Subrel.relEmbedding r {i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : lsub f = a

Context: hι : #ι = a.cof

Context: r : ι → ι → Prop

Context: wo : IsWellOrder ι r

Context: hr : (#ι).ord = type r

Context: this✝ : IsWellOrder ι r

Context: this : IsWellOrder (↑{i | ∀ (j : ι), r j i → f j < f i}) r'


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : lsub f = a

Context: hι : #ι = a.cof

Context: r : ι → ι → Prop

Context: wo : IsWellOrder ι r

Context: hr : (#ι).ord = type r

Context: this✝ : IsWellOrder ι r


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : lsub f = a

Context: hι : #ι = a.cof

Context: r : ι → ι → Prop

Context: wo : IsWellOrder ι r

Context: hr : (#ι).ord = type r

Context: this✝ : IsWellOrder ι r

Context: i j : Ordinal.{u}

Context: x✝¹ : i < type r'

Context: h : j < type r'

Context: x✝ : i < j


Context: α : Type u_1

Context: r✝ : α → α → Prop

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : lsub f = a

Context: hι : #ι = a.cof

Context: r : ι → ι → Prop

Context: wo : IsWellOrder ι r

Context: hr : (#ι).ord = type r

Context: this✝ : IsWellOrder ι r

a ≤ (type r').blsub fun i x => f ↑(enum r' i x)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type w
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R C
X Y Z : C
r : Rˣ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x

P.g (1 / x) = (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k)) • P.f x


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α

Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R[X]

Context: s✝ : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)) → (∀ x ∈ s, (f x).Separable) → (∏ x ∈ s, f x).Separable

Context: h1 : ∀ x ∈ insert a s, ∀ y ∈ insert a s, x ≠ y → IsCoprime (f x) (f y)

Context: h2 : ∀ x ∈ insert a s, (f x).Separable


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R[X]

Context: s✝ : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: h2 : (f a).Separable ∧ ∀ x ∈ s, (f x).Separable

Context: h1 : ((a ≠ a → IsCoprime (f a) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, a ≠ x → IsCoprime (f a) (f x)) ∧ (∀ x ∈ s, x ≠ a → IsCoprime (f x) (f a)) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → IsCoprime (f x) (f x_2)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: ι : Type u_1

Context: f : ι → R[X]

Context: s✝ : Finset ι

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Represents b A f
h' : Represents b A' f'

((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b) ∘ₗ algEquivMatrix'.symm.toLinearMap) (A * A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f * f')


((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b)) (algEquivMatrix'.symm A * algEquivMatrix'.symm A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f * f')


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : Represents b A f
h' : Represents b A' f'
i✝ : ι

((Fintype.total R R) b) ((algEquivMatrix'.symm A) ((algEquivMatrix'.symm A') (Pi.single i✝ 1))) = f (f' (((Fintype.total R R) b) (Pi.single i✝ 1)))


((Fintype.total R R) b) ((algEquivMatrix'.symm A) ((algEquivMatrix'.symm A') (Pi.single i✝ 1))) = ((Fintype.total R R) b) (A *ᵥ A' *ᵥ Pi.single i✝ 1)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ

Tendsto (fun n => Memℒp.toLp (f n) ⋯) fi (𝓝 (Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
n : ι

eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ = eLpNorm (f n - f_lim) p μ


↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp) =ᶠ[ae μ] f n - f_lim


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: fi : Filter ι

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ p)

Context: f : ι → α → E

Context: f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ

Context: f_lim : α → E

Context: f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ

Context: n : ι

Context: a✝ : α

Context: hx₁ : ↑↑(Memℒp.toLp (f n - f_lim) ⋯) a✝ = (f n - f_lim) a✝

Context: hx₂ : ↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯ - Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp) a✝ = (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) a✝

(↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) a✝ = (f n - f_lim) a✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l

Pairwise (Lex (swap R)) (a :: l).sublists'


Pairwise (Lex (swap R)) l.sublists' ∧ Pairwise (fun a_1 b => Lex (swap R) (a :: a_1) (a :: b)) l.sublists' ∧ ∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b


∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
b : α
l₁ : List α
sl₁ : b :: l₁ <+ l


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)


∀ (b : List (α × Bool)), ¬Step [(x1, !b1), (x2, b2)] b


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x1 : α

Context: b1 : Bool

Context: x2 : α

Context: b2 : Bool

Context: h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)

Context: L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)

Context: x✝ : α

Context: b✝ : Bool

Context: eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝


Context: α : Type u

Context: L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

Context: x1 : α

Context: b1 : Bool

Context: x2 : α

Context: b2 : Bool

Context: h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)

Context: L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)

Context: x✝ : α

Context: b✝ : Bool

Context: eq : L₁✝ = [] ∧ (x✝ = x1 ∧ b✝ = !b1) ∧ (x✝ = x2 ∧ (!b✝) = b2) ∧ L₂✝ = []


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
m : M
hm : m ∈ N₁.normalizer


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
m : M
hm : ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ N₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: hvol : μ univ < ↑n * μ s

Context: A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: hvol : μ univ < ↑n * μ s

Context: B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: hvol : μ univ < ↑n * μ s

Context: B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s

Context: this : μ univ < ∑ m ∈ Finset.range n, μ (f^[m] ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: hvol : μ univ < ↑n * μ s

Context: B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: j : ℕ

Context: hj : j < n

Context: hij : i ≠ j

Context: x : α

Context: hxi : f^[i] x ∈ s

Context: hxj : f^[j] x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: μa : Measure α

Context: μb : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: μd : Measure δ

Context: μ : Measure α

Context: f : α → α

Context: s : Set α

Context: hf : MeasurePreserving f μ μ

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: n : ℕ

Context: hvol : μ univ < ↑n * μ s

Context: B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s

Context: x : α

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: j : ℕ

Context: hj : j < n

Context: hij : i ≠ j

Context: hxi : f^[i] x ∈ s

Context: hxj : f^[j] x ∈ s

Context: hlt : i < j


Context:
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2


Context:
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2

n.descFactorial (k + 1) * (n - (k + 1)) < n ^ (k + 1) * n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = t.card

(fun x => x + t.card) (s \ t).card = (fun x => x + t.card) (t \ s).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ

Context: bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))

Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)

Context: hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), 0 ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

∫⁻ (a : α), b a ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: F✝ : ℕ → α → β

Context: f✝ : α → β

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: F : ℕ → α → β

Context: f : α → β

Context: bound : α → ℝ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf✝ : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
c : ℝ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
hf : ∀ x ∈ s, c ≤ f x
hfint : IntegrableOn (fun x => f x) s μ

c * (μ s).toReal ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


∫ (x : X) in s, c ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

(ρ_ f).inv ▷ g ≫ (α_ f (𝟙 b) g).hom = f ◁ (λ_ g).inv


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


↑((-o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + ↑π


Context:
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
α β : Type u
f : β ⟶ α
s : S.obj (op α)
x : β

eval S β (S.map f.op s) x = eval S α s (f x)


S.map ((↾fun x_1 => x) ≫ f).op s = S.map (↾fun x_1 => f x).op s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Set α
a : α

a ∈ ∏ i : ι, f i ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ (i : ι), g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a


(∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, i ∈ Finset.univ → g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a) ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ (i : ι), g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' v' : V
p : G.Walk u' v'


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: q : ℕ

Context: h : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this : ExpChar E q

∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: q : ℕ

Context: h✝¹ : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range

Context: h✝ : ExpChar F q

Context: this : ExpChar E q

Context: x : K

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: h : (algebraMap F K) y = x ^ q ^ n


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : f' ≤ 0
x : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ

‖cauchyPowerSeries f c (↑R) n‖ * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖


((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * |↑R|⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖


((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * (↑R)⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
hR : ↑R ^ n = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
hR : ↑R ^ n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hq1 : 1 ≤ q
a : α

↑‖(f + g) a‖₊ ≤ ((fun a => ↑‖f a‖₊) + fun a => ↑‖g a‖₊) a


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasDerivAtFilter f f' x L

HasDerivAtFilter (fun y => c • f y) (c • f') x L


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : a < 0
k : ℕ


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
x : F.obj j
hx : x ∈ F.eventualRange j


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : j ⟶ i

Context: x : F.obj j

Context: hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ range (F.map f)

∀ ⦃i_1 : J⦄ (f_1 : i_1 ⟶ i), F.map f x ∈ range (F.map f_1)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : j ⟶ i

Context: x : F.obj j

Context: k : J

Context: f' : k ⟶ i


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : j ⟶ i

Context: x : F.obj j

Context: k : J

Context: f' : k ⟶ i

Context: l : J

Context: g : l ⟶ j

Context: g' : l ⟶ k

Context: he : g ≫ f = g' ≫ f'


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : j ⟶ i

Context: k : J

Context: f' : k ⟶ i

Context: l : J

Context: g : l ⟶ j

Context: g' : l ⟶ k

Context: he : g ≫ f = g' ≫ f'

Context: x : F.obj l

Context: hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), F.map g x ∈ range (F.map f)