Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: k : K

Context: q : TM1.Stmt Γ' Λ' σ

Context: v : σ

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: o : StAct k

∃ L', (∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) L' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse) ∧ TM1.stepAux (trStAct q o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) = TM1.stepAux q (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(stWrite v (S k) o).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L')))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsClosedMap g
hf : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsClosed s


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'


MapsTo ⇑f' ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))


Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x) ≤ Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))


tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ ↑(Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: f✝ g : E →SL[σ₁₂] F

Context: h : F →SL[σ₂₃] G

Context: x✝ : E

Context: f : E →SL[σ₁₂] F

Context: M : ℝ≥0

Context: hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖f x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊

Context: x : E

Context: hx : ‖x‖ ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
S₀ : Subalgebra R S
M : Submonoid ↥S₀
left✝ : FiniteType R ↥S₀
right✝ : IsLocalization M S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: S₀ : Subalgebra R S

Context: M : Submonoid ↥S₀

Context: left✝ : FiniteType R ↥S₀

Context: right✝ : IsLocalization M S

Context: this : EssFiniteType (↥S₀) S := of_isLocalization S M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A : Matrix n n α
inst✝⁴ : AddMonoid α
inst✝³ : StarAddMonoid α
inst✝² : AddMonoid β
inst✝¹ : StarAddMonoid β
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α

(diagonal d).IsHermitian ↔ ∀ (i : n), IsSelfAdjoint (d i)


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : Monoid N
s : Set M✝
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a : M


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.re = w.re


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''

(fun _x => c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

(fun _x => 0) =o[l] g'' ↔ 0 = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α✝

Context: s✝ t u v : Finset α✝

Context: a b : α✝

Context: α : Type u_4

Context: p : Finset α → Prop

Context: empty : p ∅

Context: cons : ∀ (a : α) (s : Finset α) (h : a ∉ s), p s → p (Finset.cons a s h)

Context: s : Multiset α

Context: nd : s.Nodup


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a : PosNum


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
b : PosNum


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum

↑(a.bit0.sub' b.bit0) = ↑a.bit0 - ↑b.bit0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : AddGroupWithOne α

Context: a b : PosNum

Context: this : ↑(↑a + -↑b + (↑a + -↑b)) = ↑a + ↑a + (-↑b + -↑b)


↑(a.bit0.sub' b.bit1) = ↑a.bit0 - ↑b.bit1


↑a - ↑b + (↑a - ↑b) - 1 = ↑a.bit0 - ↑b.bit1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : AddGroupWithOne α

Context: a b : PosNum

Context: this : ↑(-↑b + (↑a + (-↑b + -1))) = ↑(↑a + -1 + (-↑b + -↑b))


↑(a.bit1.sub' b.bit0) = ↑a.bit1 - ↑b.bit0


↑a - ↑b + (↑a - ↑b) + 1 = ↑a.bit1 - ↑b.bit0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : AddGroupWithOne α

Context: a b : PosNum

Context: this : ↑(-↑b + (↑a + (-↑b + 1))) = ↑(↑a + 1 + (-↑b + -↑b))


↑(a.bit1.sub' b.bit1) = ↑a.bit1 - ↑b.bit1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : AddGroupWithOne α

Context: a b : PosNum

Context: this : ↑(-↑b + (↑a + -↑b)) = ↑a + (-↑b + -↑b)


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x ∈ n.divisorsAntidiagonal


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R✝
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_6
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R

(Function.Injective fun x => M *ᵥ x) ↔ LinearIndependent R fun i => Mᵀ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝ : LT α
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
h : b j < b i


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K

↑w.mult * Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)) = 0 ↔ w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1


Context: g : SL(2, ℤ)


Context: x✝ y✝ x y : ℕ

Context: h : 0 < x

Context: IH : ∀ (s t s' t' : ℤ), ((y % x).xgcdAux s t x s' t').1 = (y % x).gcd x

Context: s t s' t' : ℤ


Context: x✝ y✝ x y : ℕ

Context: h : 0 < x

Context: s t s' t' : ℤ


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TietzeExtension Y

Context: f : C(X₁, Y)

Context: e' : X₁ ≃ₜ ↑(Set.range e) := Homeomorph.ofEmbedding e ⋯

∃ g, g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y : Type v

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TietzeExtension Y

Context: f : C(X₁, Y)

Context: g : C(X, Y)

Context: hg : restrict (Set.range e) g = f.comp e'.symm.toContinuousMap


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K

Context: inst✝³¹ : Field L

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L

Context: inst✝²⁷ : Algebra K L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : 0 ∉ M

(algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K

Context: inst✝³¹ : Field L

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L

Context: inst✝²⁷ : Algebra K L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this : IsIntegralClosure B A L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A L

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM

Context: this : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝² : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower A Aₘ K


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝³ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝¹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝³ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝¹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝⁴ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝² : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: this : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝⁵ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝⁴ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝³ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝² : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝¹ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: this✝ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower B Bₘ L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝⁶ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝⁵ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝⁴ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝³ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝² : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: this✝¹ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝⁵ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝⁴ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝³ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: this✝² : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝¹ : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this✝ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower Aₘ K L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM

Context: this✝⁶ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝⁵ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝⁴ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: this✝³ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝² : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this✝¹ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower Aₘ K L

Context: this : IsScalarTower Aₘ Bₘ L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝⁷ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝⁶ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝⁵ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯

Context: this✝⁴ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝³ : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this✝² : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra

Context: this✝¹ : IsScalarTower Aₘ K L

Context: this✝ : IsScalarTower Aₘ Bₘ L

Context: this : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝¹⁰ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝⁸ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝⁷ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝⁶ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: this✝⁵ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝⁴ : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this✝³ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra

Context: this✝² : IsScalarTower Aₘ K L

Context: this✝¹ : IsScalarTower Aₘ Bₘ L

Context: this✝ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L

Context: this : FiniteDimensional K L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L

Context: this✝¹⁰ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L

Context: this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝⁷ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K

Context: this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this✝⁴ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra

Context: this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L

Context: this✝² : IsScalarTower Aₘ Bₘ L

Context: this✝¹ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsIntegralClosure Bₘ Aₘ L


Context: A : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁵ : CommRing A

Context: inst✝³⁴ : CommRing B

Context: inst✝³³ : Algebra A B

Context: inst✝³² : Field K✝

Context: inst✝³¹ : Field L✝

Context: inst✝³⁰ : Algebra A K✝

Context: inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝

Context: inst✝²⁸ : Algebra B L✝

Context: inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝

Context: inst✝²⁶ : Algebra A L✝

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝

Context: inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝

Context: inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝

Context: inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝

Context: Aₘ : Type u_5

Context: Bₘ : Type u_6

Context: inst✝²¹ : CommRing Aₘ

Context: inst✝²⁰ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁹ : IsDomain B

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝⁷ : Module.Finite A B

Context: inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝⁵ : IsDomain Aₘ

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ

Context: inst✝³ : IsDomain Bₘ

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ

Context: inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ

Context: x : B

Context: hM : M ≤ A⁰

Context: K : Type u_1 := FractionRing A

Context: L : Type u_4 := FractionRing B

Context: this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L

Context: f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM

Context: this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra

Context: this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K

Context: this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra

Context: this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L

Context: this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L

Context: this✝² : IsScalarTower Aₘ Bₘ L

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsIntegralClosure Bₘ Aₘ L

(algebraMap Aₘ K) ((algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x)) = (algebraMap Aₘ K) ((intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α

(⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M

∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, (μ {a | t ≤ f a}).toReal


∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, (μ {a | t ≤ f a}).toReal


∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M → (μ {a | x ≤ f a}).toReal = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t
obs : μ {a | M < f a} = 0


μ {a | t ≤ f a} = 0 ∨ μ {a | t ≤ f a} = ⊤


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ

m ≤ ↑n ∧ 0 ≤ ↑n ↔ m ≤ ↑n


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
h : b ⟶ c


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂'' (-z) τ = -jacobiTheta₂'' z τ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hbdd' : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(-f) (i + 1) ω - (-f) i ω| ≤ ↑R


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hup : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hdown : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => (-f) n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => (-f) n ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: ω : Ω

Context: hω₁ : BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)

Context: hω₂ : BddAbove (Set.range fun n => (-f) n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => (-f) n ω) atTop (𝓝 c)

BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)


Context:
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Quiver.IsThin C

EssentiallySmall.{w, v, u} C ↔ Small.{w, u} (Skeleton C)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hR : 0 ≤ R

∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = (R ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
h1 : x = y * inverse z


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit z
h1 : x * z = y


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

(fun x => a + x) '' Ico b c = Ico (a + b) (a + c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
h : ¬Multipliable f


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
hS : S.Finite

Absorbs G₀ (⋂₀ S) t ↔ ∀ s ∈ S, Absorbs G₀ s t


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atTop


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v

(closure s ∩ u).Nonempty → (closure s ∩ v).Nonempty → (closure s ∩ (u ∩ v)).Nonempty ↔ (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α

↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a) ∈ {b | ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a')) b}


↑(let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) y) a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) ∈ {b | ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a')) b}


⋯.min {b | ∀ (a_1 : α), r a_1 a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => ⟨⋯.min {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b} ⋯, ⋯⟩) a_1)) b} ⋯ ∈ {b | ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => ⟨⋯.min {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b} ⋯, ⋯⟩) a')) b}


Context:
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]


Context:
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
H : (map f p).Separable


Context:
F : Type u
inst✝³ : Field F
K : Type v
inst✝² : Field K
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : F →+* S
p : F[X]
H : (map f p).Separable
m : Ideal S
hm : m.IsMaximal


Context: F : Type u

Context: inst✝³ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝² : Field K

Context: S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: f : F →+* S

Context: p : F[X]

Context: H : (map f p).Separable

Context: m : Ideal S

Context: hm : m.IsMaximal

Context: this : (map (Ideal.Quotient.mk m) (map f p)).Separable


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
g : X ⟶ X


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω


∀ (x : ProbabilityMeasure Ω), ContinuousAt toLevyProkhorov x


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω


∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
third_ε_pos : 0 < ε / 3

∀ᶠ (x : ProbabilityMeasure Ω) in 𝓝 P, dist x.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: third_ε_pos' : 0 < ENNReal.ofReal (ε / 3)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_mble : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Es n)

Context: Es_bdd : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (Es n)

Context: Es_diam : ∀ (n : ℕ), diam (Es n) ≤ ε / 3

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: Es_disjoint : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: hN : ↑P (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ < ENNReal.ofReal (ε / 3)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Gs : Set (Set Ω) := (fun J => thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j)) '' {J | J ⊆ Iio N}


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Gs_open : ∀ (J : Set ℕ), IsOpen (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ J, Es j))


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: mem_nhds_P : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → {Q | ↑P G < ↑Q G + ENNReal.ofReal (ε / 3)} ∈ 𝓝 P


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: hQ : Q ∈ ⋂ i ∈ Js_finite.toFinset, {Q | ↑P (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ i, Es j)) < ↑Q (thickening (ε / 3) (⋃ j ∈ i, Es j)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)}

dist Q.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov < ε


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: hQ : ∀ i ⊆ Iio N, ↑P (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) < ↑Q (⋃ i_2 ∈ i, thickening (ε / 3) (Es i_2)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

dist Q.toLevyProkhorov P.toLevyProkhorov ≤ 2 * (ε / 3)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

dist P.toLevyProkhorov Q.toLevyProkhorov ≤ 2 * (ε / 3)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B

↑P.toLevyProkhorov B ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B

Context: JB : Set ℕ := {i | B ∩ Es i ≠ ∅ ∧ i ∈ Iio N}

Context: B_subset : B ⊆ (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) ∪ (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B

Context: subset_thickB : ⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i) ⊆ thickening δ B


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B

↑P.toLevyProkhorov (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ↑P.toLevyProkhorov (⋃ j ∈ Iio N, Es j)ᶜ ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B

Context: hQ : ↑P (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) < ↑Q (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ENNReal.ofReal (ε / 3)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B

↑Q (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ENNReal.ofReal (ε / 3) + ENNReal.ofReal (ε / 3) ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B

↑Q (⋃ i ∈ JB, thickening (ε / 3) (Es i)) + ENNReal.ofReal (2 * (ε / 3)) ≤ ↑Q.toLevyProkhorov (thickening δ B) + ENNReal.ofReal δ


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : ε > 0

Context: third_ε_pos : 0 < ε / 3

Context: Es : ℕ → Set Ω

Context: Es_cover : ⋃ n, Es n = univ

Context: N : ℕ

Context: Js_finite : {J | J ⊆ Iio N}.Finite

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: δ : ℝ

Context: B : Set Ω

Context: δ_gt : 2 * (ε / 3) < δ

Context: x✝ : MeasurableSet B


Context:
n : ℕ
c : CompositionAsSet n
j : Fin (n + 1)

j ∈ c.toComposition.boundaries ↔ j ∈ c.boundaries


(∃ a ∈ Finset.univ, c.toComposition.boundary.toEmbedding a = j) ↔ ∃ i < c.boundaries.card, (take i c.blocks).sum = ↑j


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : IsRightCancelMulZero α
x y : α
h : x * y = 0
hy : ¬y = 0


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K

Disjoint (f.genEigenrange μ (finrank K V)) ((f.genEigenspace μ) (finrank K V))


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : Submodule.comap ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ finrank K V) ((f.genEigenspace μ) (finrank K V)) = (f.genEigenspace μ) (finrank K V)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Submodule.map ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ finrank K V) ((f.genEigenspace μ) (finrank K V)) ≤ ⊥


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : ↑(TopCat.of M)
U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheaf IM I M R).presheaf) U ≫ (forgetStalk IM I M R x).inv = (forget CommRingCat).map (colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U)


⇑(colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U) ≫ (forgetStalk IM I M R x).hom = ⇑(colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ (smoothSheafCommRing IM I M R).presheaf) U) ≫ (forgetStalk IM I M R x).hom


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContDiffAt 𝕜 n (uncurry f) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContDiffAt 𝕜 m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

ContDiffAt 𝕜 m (fun x => fderiv 𝕜 (f x) (g x)) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: n : ℕ∞

Context: hg : ContDiffAt 𝕜 m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

ContDiffAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) univ (g x)) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: n : ℕ∞

Context: hg : ContDiffAt 𝕜 m g x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hL : Tendsto h L L'

HasDerivAtFilter (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x L


HasDerivAtFilter (h₂ ∘ h) (h' * h₂') x L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : CommRing α
inst✝² : StarRing α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
hA : A.IsHermitian


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
s : Subgroup G
t : Set (G ⧸ s)

Nat.card ↑(mk ⁻¹' t) = Nat.card ↥s * Nat.card ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
c : Set (Set α)


Context:
f : ℕ → ℂ
s a : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

Context: inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.194255 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄

Context: inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.199706 ⟶ X₂) true ≫ f₂)

Context: inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄

Context: inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).inv ≫ pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ = pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf✝ : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s) x

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y

Context: hx : HasFDerivAt f' f'' x

Context: v w : E


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hx : HasFDerivAt f' f'' x

Context: v w : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : Metric.ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x}


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f✝ : E → F

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] F

Context: f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hx : HasFDerivAt f' f'' x

Context: v w : E

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: A : (interior (Metric.ball x ε)).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: h : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: h : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: S : Set (Set α)

Context: hSc : S.Countable

Context: hSp : ∀ s ∈ S, p s

Context: hS : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-I * τ) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)


Context: z : ℂ

jacobiTheta₂' z 0 = -2 * ↑π / (-I * 0) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / 0)


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I


-I * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)) = -2 * ↑π * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)


-(jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ))) = -jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) + z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ)) * (2 * ↑π * I)


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

∑ k ∈ range (n + 1), ↑((n + 1).choose k) * bernoulli' k = ↑(n + 1)


(↑n + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k = ∑ x ∈ range n, ↑(n.succ.choose x) * bernoulli' x


∑ x ∈ range n, (↑n + 1) * (↑(n.choose x) / (↑n - ↑x + 1)) * bernoulli' x = ∑ x ∈ range n, ↑(n.succ.choose x) * bernoulli' x


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n k : ℕ
hk : k ∈ range n

(↑n + 1) * (↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1)) * bernoulli' k = ↑(n.succ.choose k) * bernoulli' k


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n k : ℕ
hk : k ∈ range n
this : ↑(n - k) + 1 ≠ 0

(↑n + 1) * (↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1)) = ↑(n.succ.choose k)


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)

vanishingIdeal (zeroLocus I) = I.radical


vanishingIdeal (zeroLocus I) = I.jacobson


∀ b ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}, vanishingIdeal (zeroLocus I) ≤ b


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.jacobson
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : w s = 0


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : 1 • w s = 0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
θ : Real.Angle


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype n
a : R
i : n

∑ x : n, Finsupp.single x (if i = x then a else 0) = Finsupp.single i a


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : MulOneClass M

Context: S : Set (Submonoid M)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : LinearOrder M

Context: inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: l : List ι

Context: hl : l ≠ []

Context: f g : ι → M

Context: h : (map f l).prod ≤ (map g l).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : LinearOrder M

Context: l : List ι

Context: hl : l ≠ []

Context: f g : ι → M

Context: h : ∀ x ∈ l, g x < f x


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Cardinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof

Context: hf : ∀ (i : ι), f i < c


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Cardinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hf : ∀ (i : ι), f i < c


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Cardinal.{max u v}

Context: c : Cardinal.{max u v}

Context: hf : ∀ (i : ι), f i < c

Context: i : ι


Context:
p' : ℕ
h : sZMod (p' + 2) (p' + 2 - 2) = 0


Context:
p' : ℕ
h : ↑(s (p' + 2 - 2)) = 0


Context:
p' : ℕ
h : 2 ^ (p' + 2) - 1 ∣ s p'


Context:
p' : ℕ
k : ℤ
h : s p' = (2 ^ (p' + 2) - 1) * k


Context:
p' : ℕ
k : ℤ
h : ↑(s p') = ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: h : ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p' = ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: h : ω ^ 2 ^ p' * (ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p') = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)

Context: t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)

Context: t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ↑k * ω ^ 2 ^ p'

Context: t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p'

Context: t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)

Context: h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p' - 1


Context: p' : ℕ

Context: k : ℤ

Context: t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)

Context: this : 1 ≤ 2 ^ (p' + 2)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hM : Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

↑(lowerClosure s) * t = ↑(lowerClosure (s * t))


t * ↑(lowerClosure s) = ↑(lowerClosure (t * s))


Context:
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y


Context:
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y
f : X → ↑I
f_cont : Continuous f
f_zero : f x = 0
f_one : EqOn f 1 {y}


Context:
T : ℝ
x : AddCircle T


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : IsEmpty ι
v : ι → M

e.det v = (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) v


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{?u.48026, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.48030, u_2} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms D

Context: e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁

Context: e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂

Context: e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃

Context: comm₁₂ : autoParam (e₁.hom ≫ S₂.f = S₁.f ≫ e₂.hom) _auto✝

Context: comm₂₃ : autoParam (e₂.hom ≫ S₂.g = S₁.g ≫ e₃.hom) _auto✝


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{?u.48026, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.48030, u_2} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms D

Context: e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁

Context: e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂

Context: e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
i✝ : m × o
j✝ : n × o


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : a ∆ b = a ⊔ b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint (a ⊓ b) (a ⊔ b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

periodicOrbit f x = Cycle.nil ↔ x ∉ periodicPts f


minimalPeriod f x = 0 ↔ x ∉ periodicPts f


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α

∃ S, MeasurableSet S ∧ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S ∧ VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧ j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : j.posPart S = 0
hS₃ : j.negPart Sᶜ = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S


adjoin R (Subtype.val ⁻¹' {x}) ≤ (toAdjoin R x).range


Context:
x✝¹ y✝¹ z✝ w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ


(if x = 0 then if -y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * -y)) = (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y))⁻¹


Context:
α✝ : Type u_1
M : Matroid α✝
E B I X R J : Set α✝
α : Type u_2


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α

(∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) / ∏ x ∈ s₁ \ s₂, f x = (∏ x ∈ s₂, f x) / ∏ x ∈ s₁, f x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op = 𝟙 (X _[n])


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)

Context: X : C

Context: h : Nonempty (IsInitial X)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory C

Context: X : C

Context: h : Nonempty (IsInitial X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
x : α

(if x ∈ t then (uniformOfFinset s hs) x else 0) = if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: s : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: a : α

Context: t : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s

Context: this : x ∈ s ∧ x ∈ t := Eq.mp Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.138 hx

(if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0) = (↑s.card)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α

∑ _x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s, (↑s.card)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ t) s).card / ↑s.card


Context:
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it


ValidFor (r.reverse ++ l) [] { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len r } }


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

(comap i μ[|s]) t = (comap i μ)[|i ⁻¹' s] t


∀ (s : Set Ω'), MeasurableSet s → MeasurableSet (i '' s)


Context:
m n a b : ℕ
cop : m.Coprime n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a * m + b * n = m * n


Context:
m n b : ℕ
cop : m.Coprime n
hb : b ≠ 0
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
h : n * x * m + b * n = m * n


Context:
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
y : ℕ
hb : m * y ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n


Context:
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : 1 ≤ x ∧ n ≠ 0
y : ℕ
hb : 1 ≤ y ∧ m ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : C(↑(spectrum R a), R)

Context: f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))

Context: hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)

Context: g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)

Context: φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(spectrum R a), R)

Context: g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(spectrum R a), R)

Context: g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)

φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R ((cfcHom ha) f)) (ContinuousMap.id R)) = (cfcHom ha) f


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y

(x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h : IsFundamental a

Context: H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h : IsFundamental a

Context: n : ℤ


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h : IsFundamental a

Context: n : ℤ

Context: hn : 0 ≤ n


Context: d : ℤ

Context: a : Solution₁ d

Context: h : IsFundamental a

Context: n : ℤ

Context: hn : n < 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : SMul α β
inst✝⁶ : SMul α γ
inst✝⁵ : SMul β δ
inst✝⁴ : SMul α δ
inst✝³ : SMul γ δ
inst✝² : IsScalarTower α β δ
inst✝¹ : IsScalarTower α γ δ
inst✝ : SMulCommClass β γ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : IsBasis p s
t : Set α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f : R[X]
n : ℕ

f.degree < ↑n ↔ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f.coeff m = 0


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : Q
h : p₁ ≠ p₂
c₁ c₂ : 𝕜

dist c₁ c₂ ≤ ↑(nndist p₁ p₂)⁻¹ * dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂)


Context:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c


IsPullback (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inr c.inr


mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr


IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

((mulHom A) a) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

((DFinsupp.sumAddHom fun x => (toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) a) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

(DFinsupp.sum a fun x => ⇑(toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

(DFinsupp.sum a fun a b => ((toAddMonoid fun x => ((compHom (of A (a + x))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

(fun a b => ((toAddMonoid fun x => ((compHom (of A (a + x))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

Context: x : ι

(fun b => ((toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

Context: x : ι

(fun b => ((toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip) a') b) = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)

Context: inst✝² : AddMonoid ι

Context: inst✝¹ : GSemiring A

Context: a a' : ⨁ (i : ι), A i

Context: x : ι

(fun b => (DFinsupp.sum a' fun x_1 => ⇑((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip) b) = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)

Context: inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)

Context: h : Function.Injective ⇑(algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P))

Context: x : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)

Context: inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)

Context: x : R

(algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) ((Quotient.mk p) x) = 0 ↔ (Quotient.mk p) x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
l : Multiset α
a : α


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v w : V

Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ G.degree v


Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ Fintype.card ↑(G.neighborSet v)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: p : Submodule K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥p

Context: f : V →ₗ[K] V

Context: h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: h' : Disjoint p (ker f)

Context: x : V

Context: hx : x ∈ comap f p

Context: y : V

Context: hy : y ∈ p

Context: hxy : (f.restrict h) ⟨y, hy⟩ = ⟨f x, hx⟩


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p
y : V
hy : y ∈ p
hxy : f y = f x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
i j : m

(leftMulMatrix b) x i j = (b.repr (x * b j)) i


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : IsClosed s

a ∈ s ↔ ∃ o, ∃ (_ : o ≠ 0), ∃ f, (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) ∧ o.bsup f = a


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S


Context:
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a

↑(n.choose k) ≡ ∏ i ∈ range a, ↑((n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]


↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) ≡ ∏ i ∈ range a, ↑((n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]


Context:
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T) = pretopology T


Context:
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T) ≤ pretopology T


Context:
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

pretopology T ≤ Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T)


Context:
m n✝ n x : ℕ
h : x.Coprime n


Context:
m n✝ n x : ℕ
h : (x % n).gcd n = 1


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
x : PLift α
hx : x ∈ ⋯.toFinset


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
x : PLift α
hx : x ∈ mulSupport (f ∘ PLift.down)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν

∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ Set.univ


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
h : EquicontinuousAt (fun f => ⇑↑f) 1

LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)