Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e₁ e₂ : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h₁ : b ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : b ∈ e₂.baseSet

Context: x : F

(b, e₁.coordChange e₂ b x) = ↑e₂ (↑e₁.symm (b, x))


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e₁ e₂ : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h₁ : b ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : b ∈ e₂.baseSet

Context: x : F

(b, e₁.coordChange e₂ b x).1 = (↑e₂ (↑e₁.symm (b, x))).1


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: e₁ e₂ : Trivialization F proj

Context: b : B

Context: h₁ : b ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : b ∈ e₂.baseSet

Context: x : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
f : γ → α

UniformContinuous fun g => ofFun (toFun g ∘ f)


∀ ib ∈ 𝓤 β, ∃ ia ∈ 𝓤 β, ∀ x ∈ UniformFun.gen α β ia, (ofFun (toFun x.1 ∘ f), ofFun (toFun x.2 ∘ f)) ∈ UniformFun.gen γ β ib


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
a : α

_root_.Disjoint a (s.sup f) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → _root_.Disjoint a (f i)


Context: ι : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type ?u.38171

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: s t : Set ((i : ι) → α✝ i)

Context: α : ι → Type u_1

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)


Context: ι : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type ?u.38171

Context: s t : Set ((i : ι) → α✝ i)

Context: α : ι → Type u_1

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
J : Type
inst✝² : Fintype J
f✝ : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f✝
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f g : J → C
h : (j : J) → f j ⟶ g j
j✝¹ j✝ : J

ι f j✝ ≫ map h ≫ π g j✝¹ = ι f j✝ ≫ (∑ j : J, π f j ≫ h j ≫ ι g j) ≫ π g j✝¹


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInverse g f
F : Filter α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I P : Ideal R
hP : P.IsPrime
n : ℕ
h : I ^ n ≤ P
hP0 : ¬P = ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I P : Ideal R
hP : P.IsPrime
n : ℕ
h : P ∣ I ^ n
hP0 : ¬P = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β

f ×ˢ g = ⊥ ↔ f = ⊥ ∨ g = ⊥


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a✝ : Nontrivial R
h : IsField R[X]
this : Field R[X] := h.toField


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝³ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf J D

Context: f : F ⟶ G

Context: m : Mono f.val


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α
s : Multiset α

∀ (a : List α), ⟦a⟧ ∈ powersetCardAux n l ↔ ⟦a⟧ ≤ ↑l ∧ card ⟦a⟧ = n


∀ (a : List α), (∃ a_1, (a_1 <+ l ∧ a_1.length = n) ∧ a_1 ~ a) ↔ (∃ l_1, l_1 ~ a ∧ l_1 <+ l) ∧ a.length = n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ l r : List α

Context: i : ℕ

Context: h1 : l.length - 1 - i < (l.reverseAux r).length

Context: h2 : i < l.length

(l.reverseAux r).get ⟨l.length - 1 - i, h1⟩ = l.get ⟨i, h2⟩


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
p : ι → Prop
t : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hb : (𝓝 x).HasBasis p t
hx : x ∈ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
p : ι → Prop
t : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hb : (𝓝 x).HasBasis p t
hx : x ∈ s
i : ι
hi : p i
hix : t i ∩ s ⊆ {x}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T S : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
hS : S.IsSymmetric
x y : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs ⊆ ys


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u_1

Context: Q : α → Prop

Context: u v : α → Cofix F

Context: h : ∀ (x : α), Q x → ∃ a f f', (u x).dest = abs ⟨a, f⟩ ∧ (v x).dest = abs ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'

Context: x✝¹ : α

Context: Qx : Q x✝¹

Context: R : Cofix F → Cofix F → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'

Context: x y : Cofix F

Context: x✝ : R x y

Context: x' : α

Context: Qx' : Q x'

Context: xeq : x = u x'

Context: yeq : y = v x'

Context: a : (P F).A

Context: f f' : (P F).B a → Cofix F

Context: ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩

Context: vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩

Context: h' : ∀ (i : (P F).B a), ∃ x', Q x' ∧ f i = u x' ∧ f' i = v x'


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u_1

Context: Q : α → Prop

Context: u v : α → Cofix F

Context: x✝¹ : α

Context: Qx : Q x✝¹

Context: x y : Cofix F

Context: x✝ : R x y

Context: x' : α

Context: Qx' : Q x'

Context: xeq : x = u x'

Context: yeq : y = v x'

Context: a : (P F).A

Context: f f' : (P F).B a → Cofix F

Context: ux'eq : (u x').dest = abs ⟨a, f⟩

Context: vx'eq : (v x').dest = abs ⟨a, f'⟩

∃ a f₀ f₁, x.dest = abs ⟨a, f₀⟩ ∧ y.dest = abs ⟨a, f₁⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), R (f₀ i) (f₁ i)


Context:
m : ℕ
n : ℕ∞


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F

∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x = setToSimpleFunc T f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
x : F
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α

∀ b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in ⊤, a ≤ n}, b ≤ ⊥


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : M


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : UniformSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace β
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace γ
f✝ : α → β
inst✝¹ : CompleteSpace γ
inst✝ : T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
a : α

(Completion.extension f ∘ Completion.map g) (↑α a) = Completion.extension (f ∘ g) (↑α a)


Context:
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : V
f : A ⟶ B

(if h : j = j then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else 0) = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ f ≫ (singleObjXSelf c j B).inv


eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ f ≫ (singleObjXSelf c j B).inv


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K

indicator c ∈ restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)


∀ (i : σ), Multiset.count i (∏ n : σ, (1 - (X n - C (c n)) ^ (Fintype.card K - 1))).degrees ≤ Fintype.card K - 1


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
n : σ

Multiset.count n (∏ n : σ, (1 - (X n - C (c n)) ^ (Fintype.card K - 1))).degrees ≤ Fintype.card K - 1


Multiset.count n (∑ s : σ, (Fintype.card K - 1) • {s}) = Fintype.card K - 1


∑ x : σ, (Fintype.card K - 1) * Multiset.count n {x} = Fintype.card K - 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup G
L : List G
n : ℕ
a : G

(L.set n a).prod = L.prod * if hn : n < L.length then (L.get ⟨n, hn⟩)⁻¹ * a else 1


((take n L).prod * if n < L.length then a else 1) * (drop (n + 1) L).prod = L.prod * if hn : n < L.length then (L.get ⟨n, hn⟩)⁻¹ * a else 1


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n : ℕ+

Context: g : L ≃+* L

Context: c : ZMod (Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))

Context: hc : ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ c.val)


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n : ℕ+

Context: g : L ≃+* L

Context: ζ : ↥(rootsOfUnity n L)


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n : ℕ+

Context: g : L ≃+* L

Context: ζ : ↥(rootsOfUnity n L)

Context: hc : g ↑↑ζ = ↑(↑ζ ^ c.val)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroDivisors A

Context: x : A

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroDivisors A

Context: x : A

Context: hx : x ≠ 0

Context: this✝ : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }

Context: this : IsDomain A := NoZeroDivisors.to_isDomain A


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k

p₀ -ᵥ (lineMap p₀ p₁) c = c • (p₀ -ᵥ p₁)


Context: R✝ : Type u_1

Context: R₂✝ : Type u_2

Context: R₃ : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: K₂ : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M₂✝ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: V : Type u_9

Context: V₂ : Type u_10

Context: inst✝¹⁹ : Semiring R✝

Context: inst✝¹⁸ : Semiring R₂✝

Context: inst✝¹⁷ : Semiring R₃

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₃

Context: σ₁₂ : R✝ →+* R₂✝

Context: σ₂₃ : R₂✝ →+* R₃

Context: σ₁₃ : R✝ →+* R₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝¹² : Module R✝ M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R₂✝ M₂✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R₃ M₃

Context: σ₂₁ : R₂✝ →+* R✝

Context: τ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝

Context: τ₂₃ : R₂✝ →+* R₃

Context: τ₁₃ : R✝ →+* R₃

Context: inst✝⁹ : RingHomCompTriple τ₁₂✝ τ₂₃ τ₁₃

Context: F : Type u_11

Context: inst✝⁸ : FunLike F M✝ M₂✝

Context: inst✝⁷ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M✝ M₂✝

Context: R : Type u_12

Context: R₂ : Type u_13

Context: M : Type u_14

Context: M₂ : Type u_15

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Ring R₂

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R₂ M₂

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂

Context: f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

Integrable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ


AEStronglyMeasurable (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ


∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: I : Type u_6

Context: l : I → Filter α

Context: ι : I → Sort u_7

Context: p : (i : I) → ι i → Prop

Context: s : (i : I) → ι i → Set α

Context: S : Set I

Context: hd : S.PairwiseDisjoint l

Context: hS : S.Finite

Context: h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)

∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ S.PairwiseDisjoint fun i => s i (ind i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: I : Type u_6

Context: l : I → Filter α

Context: ι : I → Sort u_7

Context: p : (i : I) → ι i → Prop

Context: s : (i : I) → ι i → Set α

Context: S : Set I

Context: hd✝ : S.PairwiseDisjoint l

Context: hS : S.Finite

Context: t : I → Set α

Context: htl : ∀ (i : I), t i ∈ l i

Context: hd : S.PairwiseDisjoint t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: I : Type u_6

Context: l : I → Filter α

Context: ι : I → Sort u_7

Context: p : (i : I) → ι i → Prop

Context: s : (i : I) → ι i → Set α

Context: S : Set I

Context: hd✝ : S.PairwiseDisjoint l

Context: hS : S.Finite

Context: t : I → Set α

Context: htl : ∀ (i : I), t i ∈ l i

Context: hd : S.PairwiseDisjoint t

Context: ind : (i : I) → ι i

Context: hp : ∀ (i : I), p i (ind i)

Context: ht : ∀ (i : I), s i (ind i) ⊆ t i


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j✝ : J

(biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ biproduct.desc fun j => biproduct.ι f j ▷ X) = biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ ∑ j : J, biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j ≫ biproduct.ι f j ▷ X


Context:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
a₁ a₂ : A i

(ι' R A) ((lof R I A i) a₁) * (ι' R A) ((lof R I A i) a₂) = (ι' R A) ((lof R I A i) (a₁ * a₂))


(ι' R A) ((lof R I A i) a₁) * (ι' R A) ((lof R I A i) a₂) = (RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)) ((tprod R (⨁ (i : I), A i) 2) fun x => match x with | 0 => (lof R I A i) a₁ | 1 => (lof R I A i) a₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: n : ℕ

Context: E : Fin n → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : Fin n) → MeasureSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Fin n), SigmaFinite volume

Context: f : (i : Fin n) → E i → 𝕜

Context: hf : ∀ (i : Fin n), Integrable (f i) volume

Integrable (fun x => ∏ i : Fin n, f i (x i)) volume


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 (r - p x)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : p y ≤ r - p x


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : σ →₀ ℕ
a : R
m : σ →₀ ℕ

(MvPowerSeries.coeff R m) ↑((monomial n) a) = (MvPowerSeries.coeff R m) ((MvPowerSeries.monomial R n) a)


Context:
n : ℕ
m : ℝ
m1 : 1 < m
m0 : 0 < m
mi : 1 / m < 1


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => Complex.sin (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * ↑x)) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: b : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (y * (2 * z))) (Complex.cos (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: c : HasDerivAt (fun x => Complex.sin (↑x * (2 * z)) / (2 * z)) (Complex.cos (↑x * (2 * z)) * (2 * z) / (2 * z)) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: c : HasDerivAt (fun x => Complex.sin (↑x * (2 * z)) / (2 * z)) (Complex.cos (↑x * (2 * z))) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: c : HasDerivAt (fun x => Complex.sin (2 * z * ↑x) / (2 * z)) (Complex.cos (2 * z * ↑x)) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: inst✝ : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

IsSheaf J P ↔ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

(∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))) ↔ ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Nonempty (IsLimit (S.multifork P)) → IsIso (S.toMultiequalizer P)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

IsIso (S.toMultiequalizer P) → Nonempty (IsLimit (S.multifork P))


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R : Sieve X
i : X ⟶ Y
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Z


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R : Sieve X
i : X ⟶ Y
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Z
H : S.arrows (i ≫ f)


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
m n : ℤ


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
m n : ℤ
H : (a ^ m).y < (a ^ n).y


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
m n : ℤ
H : n ≤ m


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

Continuous fun x => expOrderIso.symm ⟨|↑x|, ⋯⟩


Context:
it : Iterator
n : Nat


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) ⁻¹' Icc b c = Icc (a - c) (a - b)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
l : ι → Filter α
hd : Pairwise (Disjoint on l)

∃ s, (∀ (i : ι), s i ∈ l i) ∧ Pairwise (Disjoint on s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: f g : Filter α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: l : ι → Filter α

Context: hd : Pairwise (Disjoint on l)

Context: this : Pairwise fun i j => ∃ s t, Disjoint ↑s ↑t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: f g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: l : ι → Filter α

Context: hd : Pairwise (Disjoint on l)

Context: s : ⦃i : ι⦄ → ⦃j : ι⦄ → { s // s ∈ l i }

Context: t : ⦃i : ι⦄ → ⦃j : ι⦄ → { t // t ∈ l j }

Context: hst : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → Disjoint ↑s ↑t

Context: i : ι


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: δ : Type u_1

Context: ι✝ : Sort x

Context: f g : Filter α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: l : ι → Filter α

Context: hd : Pairwise (Disjoint on l)

Context: i j : ι

Context: hij : i ≠ j


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
z : k


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift B
X : C
a b : B

F.map ((shiftFunctorComm C a b).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorComm D a b).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift B

Context: X : C

Context: a b : B

Context: eq : (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X = (CommShift.isoAdd (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)).hom.app X


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift B

Context: X : C

Context: a b : B

Context: eq : F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift B

Context: X : C

Context: a b : B

F.map ((shiftFunctorComm C a b).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ ((shiftFunctorAdd' D a b (a + b) ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift B

Context: X : C

Context: a b : B

F.map ((shiftFunctorComm C a b).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ ((shiftFunctorAdd' D a b (a + b) ⋯).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X)) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift B

Context: X : C

Context: a b : B

F.map (((shiftFunctorAdd C a b).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C b a (a + b) ⋯).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift B

Context: X : C

Context: a b : B

F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C b a (a + b) ⋯).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁸ : Category.{?u.73697, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : HasShift C A

Context: inst✝⁴ : HasShift D A

Context: inst✝³ : HasShift E A

Context: inst✝² : HasShift C B

Context: inst✝¹ : HasShift D B

Context: inst✝ : F.CommShift B

Context: X : C

Context: a b : B

F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a (a + b) ⋯).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso (a + b)).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' D b a (a + b) ⋯).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app ((shiftFunctor C b).obj X)


Context:
p : Nat.Primes
s : ℂ
hs : 1 < s.re


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a✝ : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
a : AddCircle p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a✝ : 𝕜

Context: inst✝ : Archimedean 𝕜

Context: a : AddCircle p

Context: b : ↑(Ico 0 (0 + p)) := (QuotientAddGroup.equivIcoMod ⋯ 0) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: f✝ : Filter α

Context: b : α

Context: v : Filter ι

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: inst✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: inst✝ : Nonempty (Subtype p)

Context: hv : v.HasBasis p s

Context: f : ι → α

Context: hs : ∀ (j : Subtype p), (s ↑j).Nonempty

Context: j0 : Subtype p

Context: hj0 : BddBelow (range fun i => f ↑i)

Context: m : Set (Subtype p) := {j | BddBelow (range fun i => f ↑i)}

Context: this : ∀ (j : Subtype p), Nonempty ↑(s ↑j)

Context: A : ⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i) = ⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i)

Context: B : ∀ (j : Subtype p), ⋂ i, Iic (f ↑i) = Iic (⨅ i, f ↑i)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)

Context: inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)

finrank R ↥(A ⊔ B) = finrank R ↥A * finrank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)


Context:
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
h : x * x = d * y * y
g : ℕ := x.gcd y
gpos : g > 0


Context:
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
h : x * x = d * y * y
g : ℕ := x.gcd y
gpos : g > 0
m n : ℕ
co : m.Coprime n
hx : x = m * g
hy : y = n * g


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: g : ℕ := x.gcd y

Context: gpos : g > 0

Context: m n : ℕ

Context: h : m * g * (m * g) = d * (n * g) * (n * g)

Context: co : m.Coprime n

Context: hx : x = m * g

Context: hy : y = n * g


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: g : ℕ := x.gcd y

Context: gpos : g > 0

Context: m n : ℕ

Context: co : m.Coprime n

Context: hx : x = m * g

Context: hy : y = n * g

Context: this : m * m = d * (n * n)


Context: d : ℕ

Context: dnsq : Nonsquare d

Context: x y : ℕ

Context: g : ℕ := x.gcd y

Context: gpos : g > 0

Context: m n : ℕ

Context: co : m.Coprime n

Context: hx : x = m * g

Context: hy : y = n * g

Context: this : m * m = d * (n * n)

Context: co2 : (m * m).Coprime (n * n)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N


Context:
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ

logb (a / b) c = ((logb a c)⁻¹ - (logb b c)⁻¹)⁻¹


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p₁ p₂ : P

v₁ +ᵥ p₁ = v₂ +ᵥ p₂ ↔ -v₁ + v₂ = p₁ -ᵥ p₂


Context:
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
h : j ≠ i

Set.range ⇑(asOrderHom ((standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [n])).symm (δ j))) ∪ {i} ≠ Set.univ


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n : ℕ

(coeff A n) ((rescale a) (exp A) * (rescale b) (exp A)) = (coeff A n) ((rescale (a + b)) (exp A))


∑ x ∈ Finset.range n.succ, a ^ x * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑x !) * (b ^ (n - x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑(n - x)!)) = ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), a ^ x * b ^ (n - x) * ↑(n.choose x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


∀ x ∈ Finset.range n.succ, a ^ x * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑x !) * (b ^ (n - x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑(n - x)!)) = a ^ x * b ^ (n - x) * ↑(n.choose x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
a b : A
n x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range n.succ

(algebraMap ℚ A) (1 / ↑x !) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑(n - x)!) = ↑(n.choose x) * (algebraMap ℚ A) (1 / ↑n !)


(algebraMap ℚ A) (1 / ↑x ! * (1 / ↑(n - x)!)) = (algebraMap ℚ A) (↑(n.choose x) * (1 / ↑n !))


1 / (↑x ! * ↑(n - x)!) = ↑(n.choose x) / ↑n !


↑(n.choose x) / ↑n ! = 1 / (↑x ! * ↑(n - x)!)


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π

dist a b * dist c d + dist b c * dist d a = dist a c * dist b d


Context:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: hapc : ∠ a p c = π

Context: hbpd : ∠ b p d = π

Context: h' : Cospherical {a, c, b, d}

Context: hmul : dist a p * dist c p = dist b p * dist d p


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: hapc : ∠ a p c = π

Context: hbpd : ∠ b p d = π

Context: h' : Cospherical {a, c, b, d}

Context: hbp : dist b p ≠ 0


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: hapc : ∠ a p c = π

Context: hbpd : ∠ b p d = π

Context: h' : Cospherical {a, c, b, d}

Context: hbp : dist b p ≠ 0

Context: h₁ : dist c d = dist c p / dist b p * dist a b

Context: h₂ : dist d a = dist a p / dist b p * dist b c


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: hapc : ∠ a p c = π

Context: hbpd : ∠ b p d = π

Context: h' : Cospherical {a, c, b, d}

Context: hbp : dist b p ≠ 0

Context: h₃ : dist d p = dist a p * dist c p / dist b p


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: hapc : ∠ a p c = π

Context: hbpd : ∠ b p d = π

Context: h' : Cospherical {a, c, b, d}

Context: hbp : dist b p ≠ 0

Context: h₄ : ∀ (x y : ℝ), x * (y * x) = x * x * y


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩

Context: Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K x; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hxU : 0 ∈ U

Context: Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K 0, ⋯⟩

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: E : LieSubmodule K (↥U) L := let __src := engel K 0; { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r = finrank K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: χ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K (↥↑E) x' u

Context: ψ : K[X][X] := LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly K Q x' u


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: hi : 0 < r


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card

Context: hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card

Context: α : K

Context: hα : α ∈ s


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card

Context: α : K

Context: hα : α ∈ s

∀ (m : ↥↑E), ∃ n, ((toEnd K ↥U ↥↑E) (α • u + x') ^ n) m = 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card

Context: α : K

Context: hα : α ∈ s

Context: v : ↥U := α • u + x'


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card

Context: α : K

Context: hα : α ∈ s

Context: v : ↥U := α • u + x'

Context: z : L

Context: hz : z ∈ engel K ↑v


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card

Context: α : K

Context: hα : α ∈ s

Context: v : ↥U := α • u + x'

Context: z : L

Context: hz : z ∈ engel K ↑v

Context: z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra K L

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K

Context: U : LieSubalgebra K L

Context: x : L

Context: hxU : x ∈ U

Context: y : L

Context: hyU : y ∈ U

Context: hUle : U ≤ ↑Ex

Context: hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E

Context: hx₀ : x ≠ 0

Context: Q : Type u_2 := L ⧸ E

Context: r : ℕ := finrank K ↥↑E

Context: hr : r < finrank K L

Context: x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩

Context: y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩

Context: u : ↥U := y' - x'

Context: i : ℕ

Context: hi : i < r

Context: hi0 : i ≠ 0

Context: hψ : constantCoeff ψ ≠ 0

Context: s : Finset K

Context: hs : r ≤ s.card

Context: α : K

Context: hα : α ∈ s

Context: v : ↥U := α • u + x'

Context: z : L

Context: hz : z ∈ engel K ↑v

Context: hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0


Context:
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper

x ∉ I ∨ xᶜ ∉ I


Context:
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
h : xᶜ ∈ I → x ∉ I

x ∉ I ∨ xᶜ ∉ I


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


Context: a b m n p : ℕ


Context: b m n p : ℕ


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
a m n p : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a.factorizationLCMRight b ∣ b.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a.factorizationLCMRight b ∣ ∏ x ∈ (a.lcm b).factorization.support, x ^ b.factorization x


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

b.factorization.support ⊆ (a.lcm b).factorization.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

{ ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ s ≠ t ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t → ∃ b ∈ t, b ∉ s ∧ a ≤ b


Context:
L : Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M

(funMap f fun i => ⟦x i⟧) = ⟦funMap f x⟧


Quotient.map (funMap f) ⋯ (Quotient.finChoice fun i => ⟦x i⟧) = ⟦funMap f x⟧


Context: α : Sort u_1

Context: hα : Nonempty α

Context: o : Ordinal.{u_2}

Context: f : α → Ordinal.{u_2}

Context: H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i

Context: b a : Ordinal.{u_2}

Context: h : a < b + o


Context: α : Sort u_1

Context: hα : Nonempty α

Context: o : Ordinal.{u_2}

Context: f : α → Ordinal.{u_2}

Context: b a : Ordinal.{u_2}

Context: h✝ : a < b + o

Context: h : a < b


Context: α : Sort u_1

Context: hα : Nonempty α

Context: o : Ordinal.{u_2}

Context: f : α → Ordinal.{u_2}

Context: b a : Ordinal.{u_2}

Context: h : a < b + o

Context: h' : b ≤ a


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B✝ A B C : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
h : A⁻¹ * B = C


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B✝ A B C : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
h : B = A * C


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : x ≤ z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : y = z ⊔ y \ x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : x ⊔ y \ x = z ⊔ y \ x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M

Injective ⇑(f.domRestrict S) ↔ S ⊓ ker f = ⊥


ker (f.domRestrict S) = ⊥ ↔ S ⊓ ker f = ⊥


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
h : ker (f.domRestrict S) = ⊥


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
h : S ⊓ ker f = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : CompactIccSpace α

Context: inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝¹ : MeasurableNeg α

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hsymm : norm ∘ f =ᶠ[ae μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg

Context: ho : f =O[atTop] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g atTop μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : CompactIccSpace α

Context: inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝¹ : MeasurableNeg α

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[atTop] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : CompactIccSpace α

Context: inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝¹ : MeasurableNeg α

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[atTop] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ

IntegrableOn f (Iic ?m.33104) μ ∧ IntegrableOn f (Ici ?m.33104) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : CompactIccSpace α

Context: inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝¹ : MeasurableNeg α

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[atTop] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ

Context: h_map_neg : Measure.map Neg.neg (μ.restrict (Ici 0)) = μ.restrict (Iic 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : CompactIccSpace α

Context: inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝¹ : MeasurableNeg α

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[atTop] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ

Integrable (f ∘ Neg.neg) (μ.restrict (Ici 0))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : CompactIccSpace α

Context: inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝¹ : MeasurableNeg α

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[atTop] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ

AEStronglyMeasurable (f ∘ Neg.neg) (μ.restrict (Ici 0))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝³ : CompactIccSpace α

Context: inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated

Context: inst✝¹ : MeasurableNeg α

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: ho : f =O[atTop] g

Context: hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

Context: h_int : IntegrableOn f (Ici 0) μ

AEStronglyMeasurable f (Measure.map Neg.neg (μ.restrict (Ici 0)))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : x ∉ closure s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : 𝓝[s] x = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F

Context: g : F →ₗᵢ[𝕜] G

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: i : ℕ

Context: hi : ↑i ≤ n

Context: this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F

Context: g : F →ₗᵢ[𝕜] G

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 n f s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: i : ℕ

Context: hi : ↑i ≤ n

‖g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ι

MeasurableSet {ω | (fun ω => max (τ ω) (π ω)) ω ≤ i}


MeasurableSet ({a | τ a ≤ i} ∩ {a | π a ≤ i})


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s t : Set α
f : α → E
x : α

dist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ‖(s ∆ t).mulIndicator f x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X✝ Y : Set α
M M' : Matroid α
X : Set α

M ↾ X = M' ↾ X ↔ ∀ I ⊆ X, M.Indep I ↔ M'.Indep I


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I✝ J X✝ Y : Set α
M M' : Matroid α
X : Set α
h : M ↾ X = M' ↾ X
I : Set α
hIX : I ⊆ X


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I✝ J X✝ Y : Set α
M M' : Matroid α
X : Set α
h : ∀ I ⊆ X, M.Indep I ↔ M'.Indep I
I : Set α
hI : I ⊆ X


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0
Q : R[X]
hQ : Q ∈ {s | s * P = 0 ∧ s ≠ 0}


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a✝ p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0
Q : R[X]
hQ : Q ∈ {s | s * P = 0 ∧ s ≠ 0}
a : R
ha : a • P = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a✝ p P : R[X]
hP : P ∉ R[X]⁰
h : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • P ≠ 0
Q : R[X]
hQ : Q ∈ {s | s * P = 0 ∧ s ≠ 0}
a : R
ha : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
f : E →SL[σ₁₂] F
a : ℝ
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
x : E
hx : 0 < ‖x‖
ha : 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → β → Bool
l : AssocList α β

findEntryP? p l = List.find? (fun x => match x with | (a, b) => p a b) l.toList


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: p : α → β → Bool

Context: key✝ : α

Context: value✝ : β

Context: tail✝ : AssocList α β

Context: tail_ih✝ : findEntryP? p tail✝ = List.find? (fun x => match x with | (a, b) => p a b) tail✝.toList

(bif p key✝ value✝ then some (key✝, value✝) else findEntryP? p tail✝) = match p key✝ value✝ with | true => some (key✝, value✝) | false => List.find? (fun x => p x.fst x.snd) tail✝.toList


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : s = ∅


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: hg : IsClosed ↑g.graph

Context: this : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: hg : IsClosed ↑g.graph

Context: this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)

Context: φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g

Context: this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: hg : IsClosed ↑g.graph

Context: φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g

Context: this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀

Context: φ : E ≃ₗ[𝕜] ↥g.graph := LinearEquiv.ofLeftInverse this ≪≫ₗ LinearEquiv.ofEq (range φ₀) g.graph ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝

Context: f : E →SL[σ] F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: g : E →ₗ[𝕜] F

Context: hg : IsClosed ↑g.graph

Context: φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g

Context: this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀

Context: ψ : ↥g.graph ≃L[𝕜] E := φ.symm.toContinuousLinearEquivOfContinuous ⋯


Context: θ : Angle


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n


b.flag i.castSucc ⋖ span K {b i} ⊔ b.flag i.castSucc


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀

Context: hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x : X

Context: hx : ∀ (i : ↑A), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ V

Context: hxS : x ∈ S

∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x : X

Context: hx : ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x₀, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x) ∈ V

Context: hxS : x ∈ S

∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ closure A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x₀, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x) ∈ U


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x : X

Context: hxS : x ∈ S

Context: hx : A ⊆ (fun f => (u f x₀, u f x)) ⁻¹' V


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: A : Set Y

Context: u : Y → X → α

Context: S : Set X

Context: x₀ : X

Context: hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)

Context: hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: hVclosed : IsClosed V

Context: hVU : V ⊆ U

Context: x : X

Context: hxS : x ∈ S


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part β
g : α →𝒄 β → Part γ
c : Chain α

((↑f).partBind g.toOrderHom) (ωSup c) = ωSup (c.map ((↑f).partBind g.toOrderHom))


((↑f).partBind ↑g) (ωSup c) = f (ωSup c) >>= g (ωSup c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
e : α ≃ β
x : Sym α n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
e : α ≃ β
x : Sym β n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(∃ r, 0 < r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ∃ r, 0 < r ∧ r • x = y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
hx : x ≠ 0
r : R
hr : 0 < r
hy : r • x ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: P : ℕ → ℕ → Prop

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∃ᶠ (k : ℕ) in atTop, P n k

∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n a : ℕ), ∃ b > a, P n b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ → ℕ
hu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a
hu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)


(StrictMono fun n => Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v) ∧ ∀ (n : ℕ), P n (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}


Context: α✝ β α : Type u


Context: α✝ β α : Type u

¬Quotient.liftOn₂ (#(Set α)) (#α) (fun α β => Nonempty (α ↪ β)) instLE.proof_1


Context:
α✝ β α : Type u
f : Set α → α
hf : Injective f


Context: ι : Type u_1

Context: μ : Type u_2

Context: μ' : Type u_3

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid μ

Context: inst✝¹ : HasAntidiagonal μ

Context: inst✝ : DecidableEq μ

Context: s : Finset ι

Context: a✝ : ι → μ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α

pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

∀ (a : α), (pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe a) = id (pkg'.coe a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: a : α

(pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe a) = id (pkg'.coe a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: pkg : AbstractCompletion α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: pkg' : AbstractCompletion α

Context: a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

Eₘ[s, t] = ∑ a ∈ s * t, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2


(filter (fun x => x.1.1 * x.1.2 = x.2.1 * x.2.2) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card = ∑ x ∈ s * t, (filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)).card


(filter (fun x => x.1.1 * x.1.2 = x.2.1 * x.2.2) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card = ((s * t).disjiUnion (fun x => filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)) ?h).card


(↑(s * t)).PairwiseDisjoint fun x => filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
w : Word M
h : w ≠ empty


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
this : μ n = 0 ∨ μ n = 1 ∨ μ n = -1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Tendsto (fun n => ∫ (x : α), ‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
n : ℕ

∫ (x : α), ‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖ ∂μ = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) n


(∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ).toReal = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) n


AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: a : α

Context: ih : ∀ c ⊆ Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

Context: x : α

Context: hax : a ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: a : α

Context: x : α

Context: hax : a ≤ x

Context: m : α

Context: left✝ : m ∈ Ici a

Context: hxm : x ≤ m

Context: hm : ∀ z ∈ Ici a, m ≤ z → z ≤ m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c✝ : Set α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: a : α

Context: x : α

Context: hax : a ≤ x

Context: c : Set α

Context: hca : c ⊆ Ici a

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: y : α

Context: hy : y ∈ c


Context:
a x z : ℂ
θ : ℝ

(cos ↑θ + sin ↑θ * I).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
f : α → F
hf_zero : f =ᶠ[ae μ] 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E

↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) (↑‖v‖ ^ 2 • w)) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v


∀ w_1 ∈ Submodule.span 𝕜 {v}, ⟪↑‖v‖ ^ 2 • w - ⟪v, w⟫_𝕜 • v, w_1⟫_𝕜 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R


sInf I.minimalPrimes = sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}


sInf I.minimalPrimes ≤ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}


sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ sInf I.minimalPrimes


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
k : ℕ


Context:
k : ℕ
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
n : ℕ

f_int k a t (Int.ofNat n) = f_nat k a t n


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G) = commutatorSet G


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G) ⊆ commutatorSet G


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

commutatorSet G ⊆ ⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A


∀ s ∈ Set.range fun r => ↑(sbo r), IsOpen (ToSpec.toFun f ⁻¹' s)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))

IsOpen (ToSpec.toFun f ⁻¹' (fun r => ↑(sbo r)) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

IsOpen (ToSpec.toFun f ⁻¹' (fun r => ↑(sbo r)) (Quotient.mk'' x))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L
hx : f x = x
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: f' : 𝕜

Context: hf : HasDerivAtFilter f f' x L

Context: hL : Tendsto f L L

Context: hx : f x = x

Context: n : ℕ

Context: this : HasFDerivAtFilter f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) x L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
n : ℕ
h : xs ~ ys
h' : ys.Nodup

take n xs ~ List.filter (fun x => elem x (take n xs)) ys


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
g : β → α
b : β
s : Set α
h₁ : LeftInverse g f
h₂ : Function.RightInverse g f


Context: n : ℕ


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
r : R
i : ℕ
a✝ : Nontrivial R


Context:
P : PFunctor.{u}
α : Type u
a : P.A
f : P.B a → α
x : α


(∀ ⦃p : α → Prop⦄, Liftp p ⟨a, f⟩ → p x) ↔ ∃ y, f y = x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsTrail
h : u ∈ c.support


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
H : X = 0


Context: 𝒪 : Type u

Context: K : Type v

Context: Γ : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing 𝒪

Context: inst✝⁴ : IsDomain 𝒪

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra 𝒪 K

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ

Context: v : Valuation K Γ

Context: hh : v.Integers 𝒪

Context: inst✝ : ValuationRing 𝒪

IsFractionRing 𝒪 K ↔ (∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a) ∧ Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)


Context: 𝒪 : Type u

Context: K : Type v

Context: Γ : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing 𝒪

Context: inst✝⁴ : IsDomain 𝒪

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra 𝒪 K

Context: v : Valuation K Γ

Context: hh : v.Integers 𝒪

Context: inst✝ : ValuationRing 𝒪

Context: h : IsFractionRing 𝒪 K

Context: x : K

∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a


Context: 𝒪 : Type u

Context: K : Type v

Context: Γ : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing 𝒪

Context: inst✝⁴ : IsDomain 𝒪

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra 𝒪 K

Context: v : Valuation K Γ

Context: hh : v.Integers 𝒪

Context: inst✝ : ValuationRing 𝒪

Context: h : (∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a) ∧ Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)


Context: a✝ b✝ c✝ p q a b c : ℚ


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ

levyProkhorovDist μ κ ≤ levyProkhorovDist μ ν + levyProkhorovDist ν κ


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
dμν_finite : levyProkhorovEDist μ ν ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν κ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteMeasure κ
dμκ_finite : levyProkhorovEDist μ κ ≠ ⊤
dμν_finite : levyProkhorovEDist μ ν ≠ ⊤
dνκ_finite : levyProkhorovEDist ν κ ≠ ⊤


levyProkhorovDist μ ν + levyProkhorovDist ν κ = (levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ).toReal


levyProkhorovEDist μ ν + levyProkhorovEDist ν κ ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : RCLike K
z w : K
A : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Module K A
inst✝² : StarModule K A
inst✝¹ : IsScalarTower K A A
inst✝ : SMulCommClass K A A
x y : A
c : K
hxy : c • x < c • y
hc : 0 < c


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : RCLike K
z w : K
A : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Module K A
inst✝² : StarModule K A
inst✝¹ : IsScalarTower K A A
inst✝ : SMulCommClass K A A
x y : A
c : K
hxy : c • x < c • y
hc : 0 < c
this : c⁻¹ • c • x < c⁻¹ • c • y


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2919, u_1} A
S : C
E : PreOneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ E.X i₁
p₂ : W ⟶ E.X i₂
Z Z' : C
g : Z ⟶ W
j : E.I₁ i₁ i₂
h : Z ⟶ E.Y j
fac₁ : g ≫ p₁ = h ≫ E.p₁ j
fac₂ : g ≫ p₂ = h ≫ E.p₂ j
φ : Z' ⟶ Z

∃ j h, (φ ≫ g) ≫ p₁ = h ≫ E.p₁ j ∧ (φ ≫ g) ≫ p₂ = h ≫ E.p₂ j


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a b : α