Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ⟦f⟧ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : G.CliqueFree n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : ¬H.CliqueFree n


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s t : Set (PrimeSpectrum R)
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t

s ⊂ t ↔ vanishingIdeal t < vanishingIdeal s


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

(bind₁ fun n => (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)) (wittPolynomial p ℚ n) = wittPolynomial p ℚ (n + 1)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

iCondIndepSets m' hm' (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']


(∀ (s_1 : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s_1, f i ∈ {s i}) → μ[(⋂ i ∈ s_1, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s_1, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']


∀ (i : ι), ∀ s_1 ∈ {s i}, MeasurableSet s_1


Context: α : Type u_1

Context: m₁ m₂ : OuterMeasure α

Context: s : Set α

Context: x✝ : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: hs₁ : s ∈ (fun m => {t | MeasurableSet t}) m₁.caratheodory

Context: hs₂ : s ∈ (fun m => {t | MeasurableSet t}) m₂.caratheodory

(m₁ + m₂) t = (m₁ + m₂) (t ∩ s) + (m₁ + m₂) (t \ s)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
hG : IsZero G


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
hG : IsZero G
e : F ≅ G := hF.iso hG


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β

z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x✝ : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
x : α

x ∈ filter (fun x => x < c) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico a c


Context:
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝² : AddCommMonoid A

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid B

Context: inst✝ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

(∑ x ∈ s, f x).sum t = ∑ x ∈ s, (f x).sum t


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : IsPushout f g inl inr
inst✝ : HasPushout f g

inr ≫ h.isoPushout.hom = pushout.inr f g


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁

dualAnnihilator (W ⊓ W') = dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'


dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

LinearMap.range F.dualMap ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: φ : Dual K V₁

φ ∈ LinearMap.range F.dualMap → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: φ : Dual K V₁

(∃ y, F.dualMap y = φ) → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')

F.dualMap x ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')

∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap x


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: a : Dual K (V₁ ⧸ W)

Context: b : Dual K (V₁ ⧸ W')

∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) (a, b))


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: b : Dual K (V₁ ⧸ W')

Context: a' : ↥(dualAnnihilator W)

∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', b))


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: a' : ↥(dualAnnihilator W)

Context: b' : ↥(dualAnnihilator W')

∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))


Context: K : Type uK

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: W W' : Subspace K V₁

Context: this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

Context: a' : ↥(dualAnnihilator W)

Context: b' : ↥(dualAnnihilator W')

↑a' + ↑b' = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint (s ∪ t) u ↔ _root_.Disjoint s u ∧ _root_.Disjoint t u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ↔ x✝ ∈ s₂ ∩ s₁


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : f i = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β
x : α


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.771514) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: r : R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: r : R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α

(κ.withDensity f) a = (κ a).withDensity (f a)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: f : G → E

Context: hf₁ : Integrable f μ

Context: hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))

∫ (x : G), f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: f : G → E

Context: hf₁ : Integrable f μ

∑' (γ : ↥Γ.op), ∫ (x : G) in 𝓕, f (γ • x) ∂μ = ∫ (x : G) in 𝓕, ∑' (γ : ↥Γ.op), f (γ • x) ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: f : G → E

Context: hf₁ : Integrable f μ

∀ (i : ↥Γ.op), AEStronglyMeasurable (fun x => f (i • x)) (μ.restrict 𝓕)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: f : G → E

Context: hf₁ : Integrable f μ

∑' (i : ↥Γ.op), ∫⁻ (a : G) in 𝓕, ↑‖f (i • a)‖₊ ∂μ ≠ ⊤


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
x✝ : ↑(G.neighborSet v)
w : V
hw : w ∈ G.neighborSet v

(fun e => ⟨G.otherVertexOfIncident ⋯, ⋯⟩) ((fun w => ⟨s(v, ↑w), ⋯⟩) ⟨w, hw⟩) = ⟨w, hw⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y


f ▷ 𝟙_ C = (f ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ Y).hom) ≫ (ρ_ Y).inv


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

Real.cos (angle x (x + y)) = ‖x‖ / ‖x + y‖


‖x‖ ≤ ‖x + y‖


‖x‖ * ‖x‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ


ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ ENNReal.ofReal δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂

f₁.lift g₁ ×ˢ f₂.lift g₂ = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => g₁ s ×ˢ g₂ t


(f₁.lift fun s => (g₁ s).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => (g₁ s).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t


(fun s => (g₁ s).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun s => f₂.lift fun t => (g₁ s).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁

((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = f₂.lift fun t => (g₁ x).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t


((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = (g₁ x).lift fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1


(fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
y : Set β₁

((f₂.lift g₂).lift' fun t => y ×ˢ t) = f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t => y ×ˢ t


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
s : Subsemigroup N
x : M × N

x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (MulHom.snd M N) s


Context:
α : Type u
l l' : List α
β : Type u_1
l₁ : List α
f : α → β
n : ℕ

List.map f l₁ ~r List.map f (l₁.rotate n)


List.map f l₁ ~r (List.map f l₁).rotate n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp a b • p - b = -toIcoMod hp a b


Context: ι α β : Type u

Context: c : Cardinal.{u}

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CardinalInterFilter l c

Context: S : Set ι

Context: hS : #↑S < c

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α

Context: h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi

⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h


Context: ι α β : Type u

Context: c : Cardinal.{u}

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CardinalInterFilter l c

Context: S : Set ι

Context: hS : #↑S < c

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝¹ a✝ : α
z a : ℤ

a ≤ ⌊a✝ + ↑z⌋ ↔ a ≤ ⌊a✝⌋ + z


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ ψ : AddChar A M

Context: hψ : Surjective ⇑ψ

Context: f g : M →* N

Context: h : (fun f => f.compAddChar ψ) f = (fun f => f.compAddChar ψ) g


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ ψ : AddChar A M

Context: hψ : Surjective ⇑ψ

Context: f g : M →* N

Context: h : ⇑((fun f => f.compAddChar ψ) f) = ⇑((fun f => f.compAddChar ψ) g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x a : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
n : Type w
B : BilinForm K V
v : n → V
hv₁ : B.iIsOrtho v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E

HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x ↔ HasFDerivAt f f' x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L


(φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b') ≠ 0


¬(φ.polyCharpoly b').coeff (φ.nilRankAux b') = 0


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
x' : X
hx' : ↑e.symm (↑e x') = x'
h : ↑e x' = ↑e x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: e : C ≌ D

Context: X Y : D

Context: f f' : X ⟶ e.functor.obj (e.inverse.obj Y)

f ≫ e.counit.app Y = f' ≫ e.counit.app Y ↔ f = f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s

_root_.Disjoint (insert a s) (t.erase a) ↔ _root_.Disjoint s t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
h : l.length = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
h : l.length = 1
n : ℕ
h₁ : n < l.length
h₂ : n < [l.nthLe 0 ⋯].length

l.get ⟨n, h₁⟩ = [l.nthLe 0 ⋯].get ⟨n, h₂⟩


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal ≤ I

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Context: i : ι

Context: hi : (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I

∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Context: i : ι

ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ ENNReal.ofReal I


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r

Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ Tendsto f l atBot


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
z : K
x y : A
hy : y ∈ nonZeroDivisors A
h : mk' K x ⟨y, hy⟩ = z

(algebraMap A K) x / (algebraMap A K) y = z


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G


(g ⋆[L.flip, μ] f) x = ∫ (t : G), (L (f (x - t))) (g t) ∂μ


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u_2}


Context:
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSemiring A

Continuous ⇑(algebraMap R A) ↔ Continuous fun p => p.1 • p.2


Context:
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSemiring A
h : Continuous ⇑(algebraMap R A)


Continuous fun p => (algebraMap R A) p.1 * p.2


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)

Context: hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i

Context: i j : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hcard : 3 ≤ #(H i)

Context: hheadtail : i ≠ j


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: i j : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hcard : 3 ≤ #(H i)

Context: hheadtail : i ≠ j

Context: h : H i

Context: hn1 : h ≠ 1

Context: hnh : h ≠ w.head⁻¹


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: i j : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hcard : 3 ≤ #(H i)

Context: hheadtail : i ≠ j

Context: h : H i

Context: hn1 : h ≠ 1

Context: hnh : h ≠ w.head⁻¹

Context: hnot1 : h * w.head ≠ 1


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: i j : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hcard : 3 ≤ #(H i)

Context: hheadtail : i ≠ j

Context: h : H i

Context: hn1 : h ≠ 1

Context: hnh : h ≠ w.head⁻¹

Context: hnot1 : h * w.head ≠ 1

Context: w' : NeWord H i i := (w.mulHead h hnot1).append ⋯ (NeWord.singleton h⁻¹ ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: N : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: hnontriv : Nontrivial ι

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : Group G

Context: H : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)

Context: f : (i : ι) → H i →* G

Context: hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)

Context: α : Type u_6

Context: inst✝ : MulAction G α

Context: X : ι → Set α

Context: hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty

Context: i j : ι

Context: w : NeWord H i j

Context: hcard : 3 ≤ #(H i)

Context: hheadtail : i ≠ j

Context: h : H i

Context: hn1 : h ≠ 1

Context: hnh : h ≠ w.head⁻¹

Context: hnot1 : h * w.head ≠ 1

Context: hw' : (lift f) w'.prod ≠ 1


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor

Context: X : A

(equivalence₁ hF).unitIso.hom.app X ≫ (equivalence₁ hF).inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)) = (equivalence₂UnitIso eB hF).hom.app X


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: X : A

eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (e'.unitIso.hom.app (eA.functor.obj X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.hom.app X)) ≫ (equivalence₁ hF).inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (e'.unitIso.hom.app (eA.functor.obj X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.hom.app X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)))


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
B : IsBounded K


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
B : IsBounded K
this : IsCompact K


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
h : a / b ≤ c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
h : a ≤ c * b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
inst✝ : SigmaFinite ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ν s < ⊤

∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 x ∂ν


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x y : F
n : ℕ
hx : x ≠ 0

(C x * (X - C y) ^ n).natSepDegree = if n = 0 then 0 else 1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x
hffx : f (f x) ≠ x


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α✝
x✝ y✝ : α✝
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x
hffx : f (f x) ≠ x
y : α
hy : (swap x (f x) * f) y ≠ y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : Module R✝ N

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: v✝ : Basis ι R✝ M✝

Context: R : Type u_9

Context: M : Type u_10

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticMap R M R

Context: v : Basis ι R M

Context: hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v

Context: w : ι → R

(Q.basisRepr v) w = (weightedSumSquares R fun i => Q (v i)) w


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : Module R✝ N

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: v✝ : Basis ι R✝ M✝

Context: R : Type u_9

Context: M : Type u_10

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticMap R M R

Context: v : Basis ι R M

Context: w : ι → R

∑ x : ι, (((associatedHom R) Q) (∑ i : ι, w i • v i)) (w x • v x) = ∑ i : ι, Q (v i) • (w i * w i)


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : Module R✝ N

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: v✝ : Basis ι R✝ M✝

Context: R : Type u_9

Context: M : Type u_10

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticMap R M R

Context: v : Basis ι R M

Context: w : ι → R

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ univ

(((associatedHom R) Q) (∑ i : ι, w i • v i)) (w j • v j) = Q (v j) • (w j * w j)


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : Module R✝ N

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: v✝ : Basis ι R✝ M✝

Context: R : Type u_9

Context: M : Type u_10

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticMap R M R

Context: v : Basis ι R M

Context: w : ι → R

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ univ

(((associatedHom R) Q) (w j • v j)) (w j • v j) = (((associatedHom R) Q) (v j)) (v j) • (w j * w j)


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : Module R✝ N

Context: ι : Type u_8

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: v✝ : Basis ι R✝ M✝

Context: R : Type u_9

Context: M : Type u_10

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticMap R M R

Context: v : Basis ι R M

Context: w : ι → R

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ univ

∀ b ∈ univ, b ≠ j → (((associatedHom R) Q) (w b • v b)) (w j • v j) = 0


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : NormedCommRing α
inst✝ : NormOneClass α
s : Finset ι
f : ι → α

∏ i ∈ s, ‖f i‖ = (fun a => ↑a) (∏ i ∈ s, ‖f i‖₊)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A


1 - ∑ k ∈ range 2, ↑(Nat.choose 2 k) / (↑2 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1 / 6


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝¹ : Encodable ι

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

(map (TProd.elim' ⋯) (Measure.tprod (sortedUniv ι) μ)) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.Additive
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝² : G.Additive
inst✝¹ : (F ⋙ G).Additive
inst✝ : G.Faithful
x✝¹ x✝ : C
f₁ f₂ : x✝¹ ⟶ x✝

G.map (F.map (f₁ + f₂)) = G.map (F.map f₁ + F.map f₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α

⋃ i ∈ Ico m n, Ioc (f i) (f (succ i)) = Ioc (f m) (f n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
hnm : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
hmn : m ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β

HasProd (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasProd (s.mulIndicator f) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α


Context:
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj α


Context:
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : adicCompletion K v

x ∉ adicCompletionIntegers K v ↔ 1 < Valued.v x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : ¬W.Nonsingular P


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α

(boundedBy m) s = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: m_empty : m ∅ = 0

Context: s : Set α

Context: this : (fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) = m


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E
k : 𝕜
hk : k ∈ spectrum 𝕜 ↑u


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: fs gs : ℕ → α → F'

Context: f g : α → F'

Context: hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))

Context: hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: bound_fs : α → ℝ

Context: h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ

Context: bound_gs : α → ℝ

Context: h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ

Context: hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x

Context: hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x

Context: hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: fs gs : ℕ → α → F'

Context: f g : α → F'

Context: bound_fs : α → ℝ

Context: h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ

Context: bound_gs : α → ℝ

Context: h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

↑↑(condexpL1 hm μ g) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: fs gs : ℕ → α → F'

Context: f g : α → F'

Context: bound_fs : α → ℝ

Context: h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ

Context: bound_gs : α → ℝ

Context: h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: fs gs : ℕ → α → F'

Context: f g : α → F'

Context: bound_fs : α → ℝ

Context: h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ

Context: bound_gs : α → ℝ

Context: h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hn_eq : ∀ (n : ℕ), condexpL1 hm μ (gs n) = condexpL1 hm μ (fs n)


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: fs gs : ℕ → α → F'

Context: f g : α → F'

Context: bound_fs : α → ℝ

Context: h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ

Context: bound_gs : α → ℝ

Context: h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hcond_fs : Tendsto (fun n => condexpL1 hm μ (fs n)) atTop (𝓝 (condexpL1 hm μ f))


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: fs gs : ℕ → α → F'

Context: f g : α → F'

Context: bound_fs : α → ℝ

Context: h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ

Context: bound_gs : α → ℝ

Context: h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hcond_gs : Tendsto (fun n => condexpL1 hm μ (gs n)) atTop (𝓝 (condexpL1 hm μ g))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i : ι
inst✝ : Nontrivial M₀


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

(↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: h₁ : derivative (T R (n + 2)) = derivative (X * T R (n + 1) - (1 - X ^ 2) * U R n)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: h₁ : ↑(n + 2) * U R (n + 2 - 1) = 1 * T R (n + 1) + X * (↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)) - ((0 - ↑2 * X ^ (2 - 1)) * U R n + (1 - X ^ 2) * derivative (U R n))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℤ

Context: h₂ : T R (n + 1) = U R (n + 1) - X * U R (n + 1 - 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
χ : DirichletCharacter R 1
x✝ : ℕ

χ ↑x✝ = 1 x✝


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: hx : x ≤ 1

Context: n : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: x : M

Context: hx : x ≤ 1

Context: n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ
hu : ∀ (N : ℕ), u N > N
hu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ
hu : ∀ (N : ℕ), u N > N
hu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)
n : ℕ


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α

HasCompactMulSupport f ↔ IsCompact (closure (mulSupport f))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n

term n 1 = log (↑n + 1) - log ↑n - 1 / (↑n + 1)


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
hv : ∀ x ∈ uIcc (↑n) (↑n + 1), 0 < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α

a ∈ sᶜ ↔ a ∉ s


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
h : m ≤ m + k


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0

p ^ m ∣ x.appr (m + k) + p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val - x.appr m


p ^ m ∣ p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val + (x.appr (m + k) - x.appr m)


p ^ m ∣ p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

Context: hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤

Context: s : ι → Set α := fun i => ⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j

Context: iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i

μ (⋂ i, f i) = ⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

Context: hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤

Context: iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i

Context: ms : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α✝

Context: α : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

Context: hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤

Context: iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i

Context: ms : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s

Context: hfin' : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : Preorder β

Context: s✝ t : Set α

Context: a✝ b : α

Context: inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1

Context: s : Set α

Context: a : α


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: y : E b

(Pretrivialization.symmₗ R e b) ((Pretrivialization.linearMapAt R e b) y) = y


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: y : E b

(Pretrivialization.symmₗ R e b) (↑(linearEquivAt R e b hb) y) = y


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctor C (a + 0)).obj X = (shiftFunctor C a).obj X


(shiftFunctorAdd C a 0).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α

‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊


(Finset.univ.sup fun i => ∑ x : n, ‖∑ j : m, A i j * B j x‖₊) ≤ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : m, ‖A i j‖₊) * Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖B i j‖₊


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Monoid M

Context: S : Finset (MonoidAlgebra R M)

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

Context: this : DecidableEq M := Classical.decEq M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Monoid M

Context: S : Finset (MonoidAlgebra R M)

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

adjoin R (⇑(of R M) '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Monoid M

Context: S : Finset (MonoidAlgebra R M)

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

Context: this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M

Context: this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Monoid M

Context: S : Finset (MonoidAlgebra R M)

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

adjoin R (⇑(of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s✝ : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subgroup G
hs : s.topologicalClosure = ⊤

(Subgroup.map f s).topologicalClosure = ⊤


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s✝ : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subgroup G
hs : ↑s.topologicalClosure = ↑⊤

↑(Subgroup.map f s).topologicalClosure = ↑⊤


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s✝ : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subgroup G
hs : Dense ↑s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: h : ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊤ → CharZero (R ⧸ I)

Context: p : ℕ

Context: p_pos : p > 0

Context: hp_mixedChar : MixedCharZero R p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: p_pos : p > 0

Context: hp_mixedChar : MixedCharZero R p

Context: I : Ideal R

Context: hI_ne_top : I ≠ ⊤

Context: hI_p : CharP (R ⧸ I) p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p : ℕ

Context: p_pos : p > 0

Context: hp_mixedChar : MixedCharZero R p

Context: I : Ideal R

Context: hI_ne_top : I ≠ ⊤

Context: hI_p : CharP (R ⧸ I) p

Context: hI_zero : CharP (R ⧸ I) 0


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : DecidableEq σ
n : σ →₀ ℕ
a : R
φ : MvPowerSeries σ R

inv.aux a φ n = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (inv.aux a φ) else 0


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
n : σ →₀ ℕ
a : R
φ : MvPowerSeries σ R


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.29669, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.29676, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.29683, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a : M
ha : a = 0
d : M
h : ShiftedHom Z T d


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.29676, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.29683, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
d : M
h : ShiftedHom Z T d

(mk₀ 0 ⋯ f).comp ((mk₀ 0 ⋯ g).comp h ⋯) ⋯ = (mk₀ 0 ⋯ (f ≫ g)).comp h ⋯


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

HasFTaylorSeriesUpTo (↑(n + 1)) f p ↔ (∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x) ∧ (∀ (x : E), HasFDerivAt (fun y => p y 0) (p x 1).curryLeft x) ∧ HasFTaylorSeriesUpTo (↑n) (fun x => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) fun x => (p x).shift


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hs_mem : t ∈ hC.diffFinset hs ht


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
ι : Sort u_1
S : ι → Subalgebra R A
x : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ : α
s : Finset α
a b : α


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁸ : BorelSpace G

Context: inst✝⁷ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁶ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁵ : Γ.Normal

Context: inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : ν.IsMulRightInvariant

Context: K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤

Context: c : ℝ≥0∞ := ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)

QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν (c • haarMeasure K)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁸ : BorelSpace G

Context: inst✝⁷ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁶ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁵ : Γ.Normal

Context: inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : ν.IsMulRightInvariant

Context: K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤

Context: c_ne_top : c ≠ ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁸ : BorelSpace G

Context: inst✝⁷ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁶ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁵ : Γ.Normal

Context: inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ✝ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : ν.IsMulRightInvariant

Context: K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤

Context: c_ne_top : c ≠ ⊤

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ) := c • haarMeasure K


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁸ : BorelSpace G

Context: inst✝⁷ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁶ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁵ : Γ.Normal

Context: inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ✝ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : ν.IsMulRightInvariant

Context: K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤

Context: c_ne_top : c ≠ ⊤

Context: hμK : μ ↑K = c


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁸ : BorelSpace G

Context: inst✝⁷ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁶ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁵ : Γ.Normal

Context: inst✝⁴ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ✝ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝² : SigmaFinite ν

Context: inst✝¹ : ν.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : ν.IsMulRightInvariant

Context: K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν

Context: h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ⊤

Context: c_ne_top : c ≠ ⊤

Context: hμK : μ ↑K = c

Context: this : SigmaFinite μ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : Mon_ (C ⥤ C)
f : X✝ ⟶ Y
X : C

(ofMon X✝).η.app X ≫ __src✝.app X = (ofMon Y).η.app X


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Mon_ (C ⥤ C)
f : X ⟶ Y
Z : C

(ofMon X).μ.app Z ≫ __src✝.app Z = ((ofMon X).map (__src✝.app Z) ≫ __src✝.app ((ofMon Y).obj Z)) ≫ (ofMon Y).μ.app Z


(MonoidalCategory.tensorHom f.hom f.hom ≫ Y.mul).app Z = ((ofMon X).map (__src✝.app Z) ≫ __src✝.app ((ofMon Y).obj Z)) ≫ (ofMon Y).μ.app Z


(f.hom.app (X.X.obj Z) ≫ Y.X.map (f.hom.app Z)) ≫ Y.mul.app Z = ((ofMon X).map (f.hom.app Z) ≫ f.hom.app (Y.X.obj Z)) ≫ Y.mul.app Z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
ms : Set (MeasurableSpace α)
s : Set α

GenerateMeasurable (⋃₀ ((fun m => {t | MeasurableSet t}) '' ms)) s ↔ GenerateMeasurable {s | ∃ m ∈ ms, MeasurableSet s} s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x z : Z

Context: hz : z ∈ e.source

𝓝 z = comap proj (𝓝 (proj z)) ⊓ comap (Prod.snd ∘ ↑e) (𝓝 (↑e z).2)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: x z : Z

Context: hz : z ∈ e.source

Context: l : Filter Z

l ≤ 𝓝 z ↔ l ≤ comap proj (𝓝 (proj z)) ⊓ comap (Prod.snd ∘ ↑e) (𝓝 (↑e z).2)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: x z : Z

Context: hz : z ∈ e.source

Context: l : Filter Z

l ≤ 𝓝 z ↔ Tendsto proj l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (Prod.snd ∘ ↑e) l (𝓝 (↑e z).2)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
y : α
h : ∀ x ∈ s, Commute y x


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
y : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, Commute y x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
v : ι → M

e.det (⇑f ∘ v) = LinearMap.det f * e.det v


Context: a b c : ℕ


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ s₄ : AList β
p₁₂ : s₁.entries ~ s₂.entries
p₃₄ : s₃.entries ~ s₄.entries


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞

∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ 0 ∉ s ∧ ⊤ ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ s : Set ℝ≥0∞

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: hs : (∀ (x : ℝ≥0∞), IsBot x → x ∉ s) ∧ ∀ (x : ℝ≥0∞), IsTop x → x ∉ s


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a✝ b : R✝
n✝¹ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
n : ℕ
a : R
n✝ : ℕ

(p.update n a).coeff n✝ = (p + C (a - p.coeff n) * X ^ n).coeff n✝


(if n✝ = n then a else p.coeff n✝) = p.coeff n✝ + if n✝ = n then a - p.coeff n else 0


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: W : C

Context: g h : image f ⟶ W

Context: inst✝ : HasLimit (parallelPair g h)

Context: w : factorThruImage f ≫ g = factorThruImage f ≫ h

Context: q : equalizer g h ⟶ image f := equalizer.ι g h

Context: e' : X ⟶ equalizer g h := equalizer.lift (factorThruImage f) w


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: W : C

Context: g h : image f ⟶ W

Context: inst✝ : HasLimit (parallelPair g h)

Context: F' : MonoFactorisation f := MonoFactorisation.mk (equalizer g h) (q ≫ ι f) e' ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: W : C

Context: g h : image f ⟶ W

Context: inst✝ : HasLimit (parallelPair g h)

Context: v : image f ⟶ F'.I := lift F'


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: W : C

Context: g h : image f ⟶ W

Context: inst✝ : HasLimit (parallelPair g h)

Context: v : image f ⟶ F'.I := lift F'

Context: t₀ : v ≫ q ≫ ι f = ι f


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: W : C

Context: g h : image f ⟶ W

Context: inst✝ : HasLimit (parallelPair g h)

Context: v : image f ⟶ F'.I := lift F'

Context: t₀ : v ≫ q ≫ ι f = ι f

Context: t : v ≫ q = 𝟙 (image f)


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃

a₁ + a₂₃ = a₁₂₃


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C

(shiftFunctorAdd' C (a₁ + a₂) a₃ (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).hom.app X) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor C a₃).obj ((shiftFunctor C a₂).obj ((shiftFunctor C a₁).obj X))) = (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ (a₂ + a₃) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)


(shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)


(shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = ((eqToHom ⋯).app X ≫ (shiftFunctorAdd C a₁ (a₂ + a₃)).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)


(shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = (eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorAdd C a₁ (a₂ + a₃)).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)


((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ + a₂ } { as := a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₃ }).map (((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ }).inv.app X) = (eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)


((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ + a₂ } { as := a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μ (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₁ } { as := a₂ }) { as := a₃ }).app X ≫ eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₂ } { as := a₃ })).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X) = (eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)


eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₂ } { as := a₃ })).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X) = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x y : M

polar (⇑Q) (a • x) y = a • polar (⇑Q) x y


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : IsInt a (Int.negOfNat b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α

(const α c).lintegral (μ.restrict s) = c * μ s


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_Indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) → Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) → Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α


∀ (b' : β), b' ≠ b → Pi.mulSingle b a b' = 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)
a : α
ha : ∀ b ≥ a, b ∈ f ⁻¹' Ioi M


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle Cᵒᵖ

T ∈ distinguishedTriangles C ↔ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : 1 = 0


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

↑(catalan n) = ↑n.centralBinom / (↑n + 1)


↑(catalan 0) = ↑(Nat.centralBinom 0) / (↑0 + 1)


Context: d : ℕ

Context: hd : ∀ m ≤ d, ↑(catalan m) = ↑m.centralBinom / (↑m + 1)

↑(catalan d.succ) = ↑d.succ.centralBinom / (↑d.succ + 1)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq β
c : α

(s₁ ∪ s₂).sup f ≤ c ↔ s₁.sup f ⊔ s₂.sup f ≤ c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1

x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y


x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Finset X
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: f : Arrow C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom

Context: S : SplitEpi f.hom

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 1)

WidePullback.lift (WidePullback.base fun x => f.hom) (fun i => if x : i = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.pred x)) ⋯ ≫ WidePullback.π (fun x => f.hom) i.succ = WidePullback.π (fun x => f.hom) i


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: f : Arrow C

Context: S : SplitEpi f.hom

Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 1)

(if x : i.succ = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.succ.pred x)) = WidePullback.π (fun x => f.hom) i


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ


(map f (cons l.head l.tail)).head = f.f l.head


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a : MvPolynomial σ R
n : ℕ


(∏ _k ∈ Finset.range n, a).totalDegree ≤ ∑ _k ∈ Finset.range n, a.totalDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a : MvPolynomial σ R
n : ℕ
x✝¹ x✝ : σ →₀ ℕ

((x✝¹ + x✝).sum fun x e => e) = (x✝¹.sum fun x e => e) + x✝.sum fun x e => e


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M

(IsInternal fun i => A ↑i) ↔ IsInternal A


(CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i) ∧ ⨆ i, A ↑i = ⊤ ↔ CompleteLattice.Independent A ∧ iSup A = ⊤


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v w : V
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C


∀ (c d : C), (S.disconnect.arrows c d).Nonempty → c = d


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : s.Finite

(convexHull R) s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ hs.toFinset, w y = 1 ∧ hs.toFinset.centerMass w id = x}


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R

basicOpen f ≤ basicOpen g ↔ f ∈ (Ideal.span {g}).radical


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ

a ∈ s ^ n ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: f : ℕ → ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, |f i|) atTop (𝓝 r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: f : ℕ → ℝ

Context: r : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: f : ℕ → ℝ

Context: r : ℝ

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖) atTop (𝓝 r)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q

((γ.rightShift a n' hn').rightUnshift n hn').v p q hpq = γ.v p q hpq


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) =ᶠ[ae μ] ↑(-toSimpleFunc f).posPart


∀ (a : α), ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(toSimpleFunc (-f)).posPart a → ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a → ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(-toSimpleFunc f).posPart a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G✝ : Type u_4
inst✝¹² : Mul G✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H G✝
inst✝⁹ : SmoothMul I G✝
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M
g✝ h✝ : G✝
G : Type u_8
inst✝³ : Semigroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ChartedSpace H G
inst✝ : SmoothMul I G
g h x✝ : G

(𝑹 I (g * h)) x✝ = ((𝑹 I h).comp (𝑹 I g)) x✝


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp : 0 ≠ ⊤

∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
η : ℝ≥0
hη_pos : 0 < η
hη_le : ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal) ≤ ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
η : ℝ≥0
hη_pos : 0 < η
hη_le : ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal) ≤ ε
s : Set α
hs : μ s ≤ ↑η

eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε


↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x

⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: l₁ l₂ : List Nat

Nat.sum (l₁ ++ l₂) = Nat.sum l₁ + Nat.sum l₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f✝ : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : ι → Y
l : Filter ι
y : Y
hg : Inducing g

Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (g ∘ f) l (𝓝 (g y))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)

eval 1 (cyclotomic (p ^ (k + 1)) R) = ↑p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Finite β
f : α → β


Context:
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 1 → ∃ U ∈ 𝓝 1, x ∉ U


Context:
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 1 → ∃ U ∈ 𝓝 1, x ∉ U
x y : G
hspec : x ⤳ y
hne : ¬x = y


Context:
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 1 → ∃ U ∈ 𝓝 1, x ∉ U
x y : G
hspec : x ⤳ y
hne : ¬x = y
U : Set G
hU₁ : U ∈ 𝓝 1
hU : x * y⁻¹ ∉ U


Context: q : ℚ


Context: q : ℚ

0 < q.num ∨ 0 = q.num → ¬q = 0 → q.num < 0 ∨ q = 0 → 0 < q.num ∨ 0 = q.num


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ

⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i = AddMonoidHom.mrange ((sumAddHom fun i => (S i).subtype).comp (filterAddMonoidHom (fun i => ↥(S i)) p))


⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ≤ AddMonoidHom.mrange ((sumAddHom fun i => (S i).subtype).comp (filterAddMonoidHom (fun i => ↥(S i)) p))


AddMonoidHom.mrange ((sumAddHom fun i => (S i).subtype).comp (filterAddMonoidHom (fun i => ↥(S i)) p)) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: enc0 : enc default = Vector.replicate n false

Context: L R : ListBlank Γ

trTape enc0 (Tape.mk' L R) = trTape' enc0 L R


Context:
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : DistribMulAction M E
inst✝ : Bornology M
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
h₁ : Absorbs M s₁ t₁
h₂ : Absorbs M s₂ t₂


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasCoequalizer f g

Context: inst✝ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)

Context: Z : C

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = g ≫ h


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasCoequalizer f g

Context: Z : C

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = g ≫ h

coequalizerComparison f g G ≫ G.map (coequalizer.desc h w) = coequalizer.desc (G.map h) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasCoequalizer f g

Context: Z : C

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = g ≫ h

coequalizer.π (G.map f) (G.map g) ≫ coequalizerComparison f g G ≫ G.map (coequalizer.desc h w) = coequalizer.π (G.map f) (G.map g) ≫ coequalizer.desc (G.map h) ⋯


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n := zeta_spec n K L

Context: hμ : ∀ (t : (ZMod ↑n)ˣ), IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑t).val) ↑n := fun t => IsPrimitiveRoot.pow_of_coprime hζ (↑t).val (ZMod.val_coe_unit_coprime t)

Context: t : (ZMod ↑n)ˣ

minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: t : (ZMod ↑n)ˣ

Context: this : NeZero ↑↑n


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: t : (ZMod ↑n)ˣ

Context: this : NeZero ↑↑n

minpoly K (zeta n K L) = minpoly K (zeta n K L ^ (↑t).val)


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: t : (ZMod ↑n)ˣ

Context: this : NeZero ↑↑n

Context: hr : cyclotomic (↑n) K = minpoly K (zeta n K L ^ (↑t).val)


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: f : L ≃ₐ[K] L

(fun t => (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) ((↑__src✝).toFun f) = f


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: f : L ≃ₐ[K] L

(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯ = f


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: f : L ≃ₐ[K] L

↑((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) = ↑f


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: f : L ≃ₐ[K] L

↑((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = ↑f (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: f : L ≃ₐ[K] L

((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = f (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: f : L ≃ₐ[K] L

(IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen = f (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

(↑__src✝).toFun ((fun t => (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) x) = x


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

(IsPrimitiveRoot.autToPow K ⋯) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) = x


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: pf✝ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑x).val) ↑n

Context: h : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝).gen

(IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K pf✝) h) = x


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: key : zeta n K L ^ (↑((IsPrimitiveRoot.autToPow K hζ) ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h))).val = ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L)


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen


Context: n : ℕ+

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: L : Type u_2

Context: μ : L

Context: inst✝³ : CommRing L

Context: inst✝² : IsDomain L

Context: hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)

Context: x : (ZMod ↑n)ˣ

Context: this : ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) h) (zeta n K L) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).gen