Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y✝ Z : C

Context: z₁ : W.LeftFraction X Y✝

Context: z₂ : W.LeftFraction Y✝ Z

Context: z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'

Context: h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f

Context: h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f

Context: z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'

Context: fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f

Context: Y : C

Context: t : z₄.Y' ⟶ Y

Context: ht : W t

Context: fac' : (z₃.f ≫ z₄.f) ≫ t = (z₃'.f ≫ z₄.s) ≫ t


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y✝ Z : C

Context: z₁ : W.LeftFraction X Y✝

Context: z₂ : W.LeftFraction Y✝ Z

Context: z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'

Context: h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f

Context: h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f

Context: z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'

Context: fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f

Context: eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s

Context: Y : C

Context: t : z₄.Y' ⟶ Y

Context: ht : W t

Context: fac' : z₃.f ≫ z₄.f ≫ t = z₃'.f ≫ z₄.s ≫ t

LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.6235) (N : Type ?u.6234) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: y : α

Context: hya : a < y

Context: hyb : y ≤ b

Context: z : α

Context: hzc : c ≤ z

Context: hzd : z < d

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioo (a * c) (b * d)


Context: k : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing k

Context: G : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: V : Type v

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module k V

Context: inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type w

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : Module k W

Context: inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W

Context: π : W →ₗ[k] V

Context: i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: h : ∀ (v : V), π (i v) = v

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: v : V


Context: k : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing k

Context: G : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: V : Type v

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module k V

Context: inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type w

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : Module k W

Context: inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: π : W →ₗ[k] V

Context: i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: h : ∀ (v : V), π (i v) = v

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: v : V

⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) (i v) = v


Context: k : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing k

Context: G : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: V : Type v

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module k V

Context: inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V

Context: W : Type w

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : Module k W

Context: inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W

Context: π : W →ₗ[k] V

Context: i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W

Context: h : ∀ (v : V), π (i v) = v

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: v : V


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).sin = ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

‖y‖ / ((-o).oangle x (x - y)).sin = ‖x - y‖


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t : R
h' : s • x = t • y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M

(algEquiv M S).symm (mk' S x y) = mk x y


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p : P1
v : V1
c : k


Context:
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
H : ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)


Context:
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
H : ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
i : 𝒰.J

P (((fun i => Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i)) i).ι ≫ f)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y Z : C

Context: g h : ((⨁ f) ⊗ X) ⊗ Y ⟶ Z

Context: w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ▷ Y ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ▷ Y ≫ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y Z : C

Context: g h : ((⨁ f) ⊗ X) ⊗ Y ⟶ Z

(α_ (⨁ f) X Y).inv ≫ g = (α_ (⨁ f) X Y).inv ≫ h


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R

IsCoprime x (y * z) ↔ IsCoprime x y ∧ IsCoprime x z


Context:
xl xr : Type u
s : Set PGame
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ

(Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).prod % n = (∏ i ∈ s, f i % n) % n


(Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).prod % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).prod % n


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: x : X

Context: y : Y

Filter.map (Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y)) = 𝓝 (mk x, mk y)


Context:
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
beq1 beq2 : α → α → Bool
h : ∀ (x y : α), (x == y) = (x == y)


Context:
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
beq1 beq2 : α → α → Bool
h : ∀ (x y : α), (x == y) = (x == y)
x y : α


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T : Type ?u.37168
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
s : T

(aeval (Sum.elim Q.val (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val))) ((fun x => Finsupp.sum (Q.σ x) fun n r => (rename Sum.inr) (P.σ r) * (monomial (Finsupp.mapDomain Sum.inl n)) 1) s) = s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P✝ : Generators R S

Context: T : Type ?u.37168

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: Q : Generators S T

Context: P : Generators R S

Context: s : T

Context: this : ∀ (x : P.Ring), (aeval (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val)) x = (algebraMap S T) ((aeval P.val) x)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P✝ : Generators R S

Context: T : Type ?u.37168

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: Q : Generators S T

Context: P : Generators R S

Context: s : T

(aeval (Sum.elim Q.val (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val))) ((fun x => Finsupp.sum (Q.σ x) fun n r => (rename Sum.inr) (P.σ r) * (monomial (Finsupp.mapDomain Sum.inl n)) 1) s) = (aeval Q.val) (Finsupp.sum (Q.σ s) AddMonoidAlgebra.single)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
J J₂ : GrothendieckTopology C
hJ : Subcanonical J
X : C

Presheaf.IsSheaf J (CategoryTheory.yoneda.obj X)


Presieve.IsSheaf J (CategoryTheory.yoneda.obj X)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.244988, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : Cochain F L m'
β' : Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p

(liftCochain φ α β h).comp (descCochain φ α' β' h') hp = α.comp α' ⋯ + β.comp β' ⋯


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : X → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: hf : ∀ x ∈ s, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x} ∈ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : X → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: t : ℕ → Finset X

Context: ht : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, x ∈ compactCovering X n ∩ s

Context: hsub : ∀ (n : ℕ), compactCovering X n ∩ s ⊆ ⋃ x ∈ t n, {x_1 | x_1 ∈ s → x_1 ∈ f x}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : X → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: t : ℕ → Finset X

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : X → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: t : ℕ → Finset X

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ compactCovering X n


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t✝ : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : X → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: t : ℕ → Finset X

Context: x : X

Context: hx : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ compactCovering X n

Context: y : X

Context: hyt : y ∈ t n

Context: hyf : x ∈ s → x ∈ f y


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

closedBall x δ / {y} = closedBall (x / y) δ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a - x) ⁻¹' Ico b c = Ioc (a - c) (a - b)


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : s.Nonempty


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ).op = 𝟙 (X _[n])


Context:
n : ℤ
d : ℕ


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring k
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Module k V
ρ : Representation k G V
H : Type u_4
inst✝ : MulAction G H
g : G
f : H →₀ k
h : H

(((ofMulAction k G H) g) f) h = f (g⁻¹ • h)


(((ofMulAction k G H) g) f) (g • g⁻¹ • h) = f (g⁻¹ • h)


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring k
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Module k V
ρ : Representation k G V
H : Type u_4
inst✝ : MulAction G H
g : G
f : H →₀ k
h : H
h' : H := g⁻¹ • h
hg : Function.Injective fun x => g • x

(((ofMulAction k G H) g) f) (g • h') = f h'


Context:
x✝ y✝ x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : a = ↑b⁻¹ * c


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : ↑b * a = c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
i : ι

⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : FreeCommRing α
s✝ t : Set α
i✝ : ℤ
s : Set α
i : ℕ
hi : (↑↑i).IsSupported s


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x y : FreeCommRing α
s✝ t : Set α
i✝ : ℤ
s : Set α
i : ℕ
hi : (↑(-↑i)).IsSupported s


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

DifferentiableOn 𝕜 f t ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => f x i) t


(∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => f x i) t


Context:
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α

(∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ

Context: x✝ : α


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: x✝ : α

∀ (c : M), c • closure (orbit M x✝) ⊆ closure (orbit M x✝)


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: x✝ : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0

W'.Nonsingular P ↔ W'.Equation P ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W'.a₁ * P x * P y ≠ 0)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.37783, u_2} D
F : C ⥤ Cat
G : C ⥤ Cat


∀ (X : Grothendieck F), (map (𝟙 F)).obj X = (𝟙 (Cat.of (Grothendieck F))).obj X


autoParam (∀ (X Y : Grothendieck F) (f : X ⟶ Y), (map (𝟙 F)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟙 (Cat.of (Grothendieck F))).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
x y : V → α

x ⬝ᵥ adjMatrix α G *ᵥ y = ∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then x i * y j else 0


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M × N →ₗ[R] M
i : Injective ⇑f
n : ℕ

Submodule.map (((f.tunnel' i n).fst.subtype ∘ₗ ↑(f.tunnel' i n).snd.symm) ∘ₗ f) (Submodule.snd R M N) ≤ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) n)


Submodule.map (f.tunnel' i n).fst.subtype (Submodule.map (↑(f.tunnel' i n).snd.symm) (Submodule.map f (Submodule.snd R M N))) ≤ OrderDual.ofDual ((f.tunnel i) n)


Context:
V : Type u₁
inst✝¹ : Quiver V
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
Φ : Paths V ⥤ C


∀ (X : Paths V), Φ.obj X = (lift (of ⋙q Φ.toPrefunctor)).obj X


autoParam (∀ (X Y : Paths V) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = eqToHom ⋯ ≫ (lift (of ⋙q Φ.toPrefunctor)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν


∀ (s : Set (α × β)), MeasurableSet s → Measurable fun b => (map (Prod.mk b) ν) s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

Measurable fun b => (map (Prod.mk b) ν) s


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

QuasiIsoAt f i ↔ IsIso (homologyMap f i)


IsIso (ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map f)) ↔ IsIso (homologyMap f i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
inst✝ : IsEmpty α
f : α → β
la : Filter α
lb : Filter β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
b : α
s : Finset α
a✝ : b ∉ s
ih : ∀ {a : α}, s.max = ↑a → a ∈ s

∀ {a : α}, (insert b s).max = ↑a → a ∈ insert b s


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesLimit (cospan h i) F
s : IsPullback f g h i

IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)


((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone s.cone)).pt ≅ ⋯.cone.pt


((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone s.cone)).π.app WalkingCospan.left = ?refine_1.hom ≫ ⋯.cone.π.app WalkingCospan.left


((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone s.cone)).π.app WalkingCospan.right = ?refine_1.hom ≫ ⋯.cone.π.app WalkingCospan.right


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsOpenMap f


Context:
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{?u.88315, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
a : R

a • φ₁.τ₁ = S₁.f ≫ (a • h.h₁) + a • h.h₀ + a • φ₂.τ₁


a • (S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁) = S₁.f ≫ (a • h.h₁) + a • h.h₀ + a • φ₂.τ₁


a • φ₁.τ₂ = S₁.g ≫ (a • h.h₂) + (a • h.h₁) ≫ S₂.f + a • φ₂.τ₂


a • (S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂) = S₁.g ≫ (a • h.h₂) + (a • h.h₁) ≫ S₂.f + a • φ₂.τ₂


a • φ₁.τ₃ = a • h.h₃ + (a • h.h₂) ≫ S₂.g + a • φ₂.τ₃


a • (h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃) = a • h.h₃ + (a • h.h₂) ≫ S₂.g + a • φ₂.τ₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop

(∀ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s i → q x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ

normEDS b c d (2 * (↑m + 3)) * b = normEDS b c d (↑m + 2) ^ 2 * normEDS b c d (↑m + 3) * normEDS b c d (↑m + 5) - normEDS b c d (↑m + 1) * normEDS b c d (↑m + 3) * normEDS b c d (↑m + 4) ^ 2


(preNormEDS' (b ^ 4) c d (2 * (m + 3)) * if Even (2 * (m + 3)) then b else 1) * b = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even (m + 2) then b else 1) ^ 2 * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even (m + 3) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 5) * if Even (m + 5) then b else 1) - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even (m + 1) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even (m + 3) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even (m + 4) then b else 1) ^ 2


(preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 5) - preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) ^ 2) * b * b = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even m then b else 1) ^ 2 * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 5) * if Even m then 1 else b) - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even m then b else 1) ^ 2


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemigroup R
inst✝ : StarMul R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : N → N'

Context: r : Set N

Context: y : N

Context: hf : ContMDiffAt I I' n f x

Context: hg : ContMDiffAt J J' n g y

ContMDiffAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) (x, y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : N → N'

Context: r : Set N

Context: y : N

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x

Context: hg : ContMDiffWithinAt J J' n g univ y

ContMDiffWithinAt (I.prod J) (I'.prod J') n (Prod.map f g) univ (x, y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : N → N'

Context: r : Set N

Context: y : N

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x

Context: hg : ContMDiffWithinAt J J' n g univ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : IsBasis p s

h.filter = generate {U | ∃ i, p i ∧ s i = U}


Context:
n m : ℕ
a b c : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set β

kernImage f (f ⁻¹' s) = s ↔ (range f)ᶜ ⊆ s


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ

⟪r₂ • x, r₁ • (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A

(Ideal.Quotient.mk I) ↑(d x) + (algebraMap A (B ⧸ I)) x = (algebraMap A (B ⧸ I)) x


Context:
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group G'✝
inst✝⁶ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁵ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Group N
inst✝³ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
G' : Type u_8
N' : Type u_9
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : Group N'
f : G →* N
g : G' →* N'


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
s : Finset A
hs : span R ↑s = ⊤
t : Finset M
ht : span A ↑t = ⊤

span R (image2 (fun x x_1 => x • x_1) ↑s ↑t) = ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

((-o).areaForm x) y = ((-o.areaForm) x) y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Finset α


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Quot.mk Setoid.r I = ((QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range).comp (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ)) I


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Quot.mk Setoid.r I = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range) ((MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) I)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ✝

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f✝ f'✝ : α → β → γ✝

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u✝ u' : Finset γ✝

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ✝

Context: γ : Type u_14

Context: u : Finset γ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f' : α → ε' → ε

Context: g' : β → γ → ε'

Context: h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)

image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u = image2 f' (↑s) (image2 g' ↑t ↑u)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → G.Subgraph

(⨅ i, f i).Adj a b ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b


(∀ G' ∈ Set.range fun i => f i, G'.Adj a b) ↔ ∀ (i : ι), (f i).Adj a b


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p

volume {x | ∑ i : ι, |x i| ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0

Context: nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: x✝ : ι → ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

↑(card ι) / p + 1 = ↑(finrank ℝ (ι → ℝ)) / p + 1


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l

IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

s.card ≤ 1 ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b


(∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CharZero 𝕜
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r

HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y) (f (x + y))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CharZero 𝕜
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
n : ℕ

((↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y) = (p n) fun x => y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Monoid α

Context: inst✝⁴ : Monoid β

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : MonoidHomClass F α β

Context: f : F

Context: a b : α

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Monoid α

Context: inst✝⁴ : Monoid β

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : MonoidHomClass F α β

Context: f : F

Context: a b : α

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
a : α
m : Multiset α

FreeAbelianGroup.of (Multiplicative.ofAdd (a ::ₘ m)) = of a * FreeAbelianGroup.of (Multiplicative.ofAdd m)


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p

eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ = ⊥


eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ ≤ ⊥


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: p : Submodule R M

Context: hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: μ : R

Context: hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p

Context: x : ↥p

Context: hx : x ∈ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s1 s2 : Computation α
f : α → β
h1 : s1 ~ s2


LiftRel (fun x x_1 => x = x_1) (map f s1) (map f s2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ

f.toContinuousMap.comp f.symm.toContinuousMap = ContinuousMap.id β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

‖x + y‖ * ‖x + y‖ + ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = 2 * (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)


re ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 + re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = 2 * (re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜)


re (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜 + (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜)) = re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜 + (re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
a : α
f : α →₀ M


Context: K : Type u_1

Context: Γ : K → Type u_2

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: k : K

Context: S : List (Γ k)

Context: n : ℕ

Context: hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse


Context: K : Type u_1

Context: Γ : K → Type u_2

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: k : K

Context: S : List (Γ k)

Context: n : ℕ

(Option.map some (S.reverse.get? n)).iget = S.reverse.get? n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico (max a c) b


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β

Injective (s.piecewise f g) ↔ InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∉ s, f x ≠ g y


(InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ sᶜ, s.piecewise f g x ≠ s.piecewise f g y) ↔ InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∉ s, f x ≠ g y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ sᶜ

s.piecewise f g x ≠ s.piecewise f g y ↔ f x ≠ g y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p q : TM

p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).source ↔ p.proj ∈ (chartAt H q.proj).source


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 1


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝² : CommMonoid α

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ ⟦l⟧ → a' = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: this : DecidableEq L

Context: s : Finset L

Context: b : Basis { x // x ∈ s } K L

Context: hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: this : DecidableEq L

Context: s : Finset L

Context: b : Basis { x // x ∈ s } K L

Context: b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: this✝ : DecidableEq L

Context: s : Finset L

Context: b : Basis { x // x ∈ s } K L

Context: this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: this✝ : DecidableEq L

Context: s : Finset L

Context: b : Basis { x // x ∈ s } K L

Context: f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: this✝ : DecidableEq L

Context: s : Finset L

Context: b : Basis { x // x ∈ s } K L


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: this✝ : DecidableEq L

Context: s : Finset L

Context: b : Basis { x // x ∈ s } K L

LinearMap.ker (↑A (Algebra.linearMap C L)) = ⊥


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: q : ℚ


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: q : ℚ

Context: x : β

Context: h : x ∈ cutMap β ↑q


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: q : ℚ

Context: w : β

Context: h : w < ↑q


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: i j k : ι

Context: hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: i j k : ι

0 < ↑(Fintype.card ι).factorial * (↑(Fintype.card ι) * (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯) ^ Fintype.card ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: i j k : ι

0 < (↑(Fintype.card ι) * (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯) ^ Fintype.card ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: i j k : ι

0 < (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : IsDomain S

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : Field L

Context: inst✝⁹ : Algebra R K

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: i j k : ι

abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k) ∈ Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

derivWithin (fun y => -f y) s x = -derivWithin f s x


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q

(reverse ∘ₗ involute.toLinearMap) x = (involute.toLinearMap ∘ₗ reverse) x


reverse (involute x) = involute (reverse x)


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
i : R
hi : i ∈ I

((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) i = 0


Context:
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* S

(fun f => π.comp f) ((fun f => (↑m.equiv.symm).comp ((Perfection.lift p R S) f)) f) = f


(Perfection.coeff S p 0).comp ((Perfection.lift p R S) f) = f


Context:
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* P

(fun f => (↑m.equiv.symm).comp ((Perfection.lift p R S) f)) ((fun f => π.comp f) f) = f


Context:
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝ : M


Context:
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝¹ x✝ : M


Context: h : Decidable (Dom 1)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α


∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a f' f) ((P F).wMk a f' f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g ⋯ ∈ Lp G p μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑g

∃ f', 0 ≤ f' ∧ ↑↑↑⟨⟨AEEqFun.mk ↑g ⋯, hp⟩, ⋯⟩ =ᶠ[ae μ] ↑f'


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c

inversion c R x ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ dist x y = dist y c


R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hx' : dist x c ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hx' : dist x c ≠ 0
hy' : dist y c ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


I * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, x⟫_𝕜) / 2 = ↑0


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹³ : Ring R

Context: inst✝¹² : StrongRankCondition R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Free R M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁷ : Module R M'

Context: inst✝⁶ : Free R M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Free R M₁

Context: W : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup W

Context: inst✝¹ : Module R W

Context: inst✝ : Free R W

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hVW : Module.rank R M = n • Module.rank R W


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsIso 0


Context:
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsNat (a ^ Int.negOfNat nb) ne


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: t : ι → Set α

Context: ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i

Context: htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝ : Countable ι

Context: s : ι → Set α

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: t : ι → Set α

Context: ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i

Context: htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i

Context: u : ι → Set α

Context: hum : ∀ (i : ι), MeasurableSet (u i)

Context: hu₀ : ∀ (i : ι), μ (u i) = 0

Context: hud : Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ u i)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G

Nat.card G ∣ Monoid.exponent G ^ Group.rank G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤


Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : Group.FG G

Context: S : Finset G

Context: hS1 : S.card = Group.rank G

Context: hS2 : closure ↑S = ⊤

Context: f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : Group.FG G

Context: S : Finset G

Context: hS1 : S.card = Group.rank G

Context: hS2 : closure ↑S = ⊤

Context: hf : Function.Surjective ⇑f


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : Group.FG G

Context: S : Finset G

Context: hS1 : S.card = Group.rank G

Context: hS2 : closure ↑S = ⊤

Context: hf : Nat.card G ∣ Nat.card ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : Group.FG G

Context: S : Finset G

Context: hS1 : S.card = Group.rank G

Context: hS2 : closure ↑S = ⊤

Context: hf : Nat.card G ∣ ∏ a : { x // x ∈ S }, Nat.card ↥(zpowers ↑a)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : Group.FG G

Context: S : Finset G

Context: hS1 : S.card = Group.rank G

Context: hS2 : closure ↑S = ⊤

Context: g : { x // x ∈ S }

Context: x✝ : g ∈ Finset.univ

Nat.card ↥(zpowers ↑g) ∣ Monoid.exponent G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : Group.FG G

Context: S : Finset G

Context: hS1 : S.card = Group.rank G

Context: hS2 : closure ↑S = ⊤

Context: g : { x // x ∈ S }

Context: x✝ : g ∈ Finset.univ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β

image2 f (↑s) (↑t ∪ ↑t') = image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s ↑t'


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R

-f y - (map W f).toAffine.a₁ * f x - (map W f).toAffine.a₃ = f (-y - W.a₁ * x - W.a₃)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₁.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₂.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₁.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₂.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₁.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₂.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'

Context: wπ : f' ≫ h.π = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h : S₁.LeftHomologyData

Context: inst✝² : Epi φ.τ₁

Context: inst✝¹ : IsIso φ.τ₂

Context: inst✝ : Mono φ.τ₃

Context: i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂

Context: wi : i ≫ S₂.g = 0

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)

Context: hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'

Context: wπ : f' ≫ h.π = 0

Context: hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ h.π wπ)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s

((interpolate s v) r).degree ≤ ↑(s.card - 1)


(s.sup fun b => (C (r b) * Lagrange.basis s v b).degree) ≤ ↑(s.card - 1)


∀ b ∈ s, (C (r b) * Lagrange.basis s v b).degree ≤ ↑(s.card - 1)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
i : ι
hi : i ∈ s

(C (r i) * Lagrange.basis s v i).degree ≤ ↑(s.card - 1)


(C (r i)).degree + ↑(s.card - 1) ≤ ↑(s.card - 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a✝ b a : α


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E

parallelepiped v = (convexHull ℝ) (∑ i : ι, {0, v i})


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
s : Set G
sm : MeasurableSet s
hνs : ν s = 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝² : MeasurableInv G

Context: inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: hν : ν ≠ 0

Context: s : Set G

Context: sm : MeasurableSet s

Context: hνs : ν s = 0

Context: h1 : μ s * ∫⁻ (y : G), 1 y ∂ν = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * 1 x⁻¹ ∂μ


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
s : Set G
sm : MeasurableSet s
hνs : ν s = 0
h1 : μ s = 0


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45742, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.45746, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd C m n).hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ (↑P).index


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: P : Sylow p G

Context: inst✝ : (↑P).Normal

Context: fP : (↑P).FiniteIndex

Context: h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)

Context: x : G ⧸ ↑P

Context: hx : orderOf x = p

Context: h : IsPGroup p ↥(zpowers x)

Context: Q : Subgroup G := comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: P : Sylow p G

Context: inst✝ : (↑P).Normal

Context: fP : (↑P).FiniteIndex

Context: h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)

Context: x : G ⧸ ↑P

Context: hx : orderOf x = p

Context: h : IsPGroup p ↥(zpowers x)

Context: hQ : IsPGroup p ↥Q


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: P : Sylow p G

Context: inst✝ : (↑P).Normal

Context: fP : (↑P).FiniteIndex

Context: h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)

Context: x : G ⧸ ↑P

Context: hx : orderOf x = p

Context: h : IsPGroup p ↥(zpowers x)

Context: hQ : IsPGroup p ↥Q

Context: hp : ¬x = 1


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: P : Sylow p G

Context: inst✝ : (↑P).Normal

Context: fP : (↑P).FiniteIndex

Context: h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)

Context: x : G ⧸ ↑P

Context: hx : orderOf x = p

Context: h : IsPGroup p ↥(zpowers x)

Context: hQ : IsPGroup p ↥Q

Context: hp : ↑P < comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : IsUnit (r • ↑ₐ s - a)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a b : α
h : a = b * ↑c⁻¹


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a b : α
h : a * ↑c = b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: q : PMF β

Context: f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ

(p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) = q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: q : PMF β

∀ (x : γ), (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) x = (q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: q : PMF β

Context: c : γ

(p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) c = (q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb) c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: q : PMF β

Context: c : γ

(∑' (a : α) (i : β), p a * if h : p a = 0 then 0 else q i * if h : q i = 0 then 0 else (f a ⋯ i h) c) = ∑' (a : β) (i : α), q a * if h : q a = 0 then 0 else p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h a ⋯) c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: q : PMF β

Context: c : γ

Context: b : β

Context: a : α

(p a * if h : p a = 0 then 0 else q b * if h : q b = 0 then 0 else (f a ⋯ b h) c) = q b * if h : q b = 0 then 0 else p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h b ⋯) c


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g

pushout.inl g f ≫ (pushoutSymmetry f g).inv = pushout.inr f g


Context: x y : ℂ

tanh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (tanh x)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c : Con M


sInf {s | ∀ (x y : M), c x y → s x y} ≤ c


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl

const R f g U hu₁ * const R g f U hu₂ = 1


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R

comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x = x


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R
i : σ

comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x i = x i


Context: a b c : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a


sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} = sInf (a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s})


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ

r ∈ {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} ↔ r ∈ a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}


r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s ↔ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S


((toMatrix b b) ((lmul R S) s)).det = ((toMatrix b b) (mulLeft R s)).det


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
x✝¹ : IsWellOrder α r
β : Type v
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s

lift.{u, v} (type r) ≤ lift.{u, v} (type s) ↔ type r ≤ type s


lift.{max v u, v} (type r) ≤ lift.{max v u, v} (type s) ↔ type r ≤ type s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f


⨆ i, ⨆ (_ : i > 0), (comap f) (boundedBy (extend fun s x => m (diam s))) = ⨆ r, ⨆ (_ : r > 0), boundedBy (extend fun s x => m (diam s))


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
ε : ℝ≥0∞
hε : id ε > 0

(comap f) (boundedBy (extend fun s x => m (diam s))) = boundedBy (extend fun s x => m (diam s))


(boundedBy fun s => extend (fun s x => m (diam s)) (f '' s)) = boundedBy (extend fun s x => m (diam s))


Monotone m → Monotone fun s => extend (fun s x => m (diam s)) ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f g : F
h : f 1 = g 1
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.Nontrivial

∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.einfsep = edist x y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I

integralSum (f + g) vol π = integralSum f vol π + integralSum g vol π


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M
g✝ : Mˣ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
s : Set E
hs : IsOpen s

IsOpen ((chartAt H x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)


IsOpen ((extChartAt I x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

Context: H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀

∃ a b, (a, b) ≠ 0 ∧ a • x₀ + b • T x₀ = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

Context: h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

(InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (a • x₀ + b • T x₀) = (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

(InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (a • x₀) + (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (b • T x₀) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

a • (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) x₀ + b • (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (T x₀) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

a • (innerSL ℝ) x₀ + b • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

(fun x => 2 • x) (a • (innerSL ℝ) x₀ + b • (innerSL ℝ) (T x₀)) = (fun x => 2 • x) 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖


re (⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜‖


Context: β : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: b : β

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)

Context: i j : β

Context: w : ¬i + b = j

(fun i j => if h : i + b = j then X.d i ≫ X.objEqToHom ⋯ else 0) i j = 0


Context: β : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: b : β

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X Y : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)

Context: f : X ⟶ Y

Context: i : β

(f.f i ≫ if h : i + b = i + b then Y.d i ≫ Y.objEqToHom ⋯ else 0) = (if h : i + b = i + b then X.d i ≫ X.objEqToHom ⋯ else 0) ≫ f.f (i + b)


Context: β : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: b : β

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: f : X ⟶ Y

Context: i : β

f.f i ≫ Y.d i ≫ Y.objEqToHom ⋯ = X.d i ≫ f.f (i + 1 • b) ≫ Y.objEqToHom ⋯


Context: β : Type u_1

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: b : β

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: f : X ⟶ Y

Context: i : β

Context: this : f.f i ≫ Y.d i = X.d i ≫ f.f ((fun b_1 => b_1 + { as := 1 }.as • b) i)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

inst✝ = TopologicalSpace.induced (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) (UniformOnFun.topologicalSpace X α 𝔖) ↔ inst✝ = TopologicalSpace.induced ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) Pi.topologicalSpace


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

inst✝ = UniformSpace.toTopologicalSpace ↔ inst✝ = UniformSpace.toTopologicalSpace


Context:
D : Type u_1
inst✝² : Finite D
inst✝¹ : Ring D
inst✝ : IsDomain D


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.121680, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

cyclesMap e.hom ≫ cyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.cycles


cyclesMap e.inv ≫ cyclesMap e.hom = 𝟙 S₂.cycles


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : ClassGroup R → Prop

Context: h : ∀ (I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ), P (mk I)

Context: x : ClassGroup R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: P : ClassGroup R → Prop

Context: x : ClassGroup R

Context: this : I = (Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)).toMulEquiv) ((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K).toMulEquiv) I)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
h : IsTorsionFree α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology

h.opcyclesIso.hom ≫ h.descQ k hk = S.descOpcycles k hk


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d

ReducedWord.prod φ w.toReducedWord • empty = w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))


μ.bind join = μ.bind fun a => (id a).bind id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))
ν : Measure (Measure α)


Context: a b : ℕ+


Context: a b : ℕ+

(Ico a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Ico a b)).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(p.toMeasure.restrict p.support) s = p.toMeasure s


p.toMeasure (s ∩ p.support) = p.toMeasure s


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y

(H.hom.c ≫ Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) = (𝟙 Y.presheaf).app (op U)


H.hom.c.app (op U) ≫ (Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) = (𝟙 Y.presheaf).app (op U)


(Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) ≫ H.hom.c.app (op U) = (𝟙 ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf)).app (op U)


(Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))


H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: H : X ≅ Y

Context: U : Opens ↑↑Y

Context: eq₁ : (H.hom ≫ H.inv).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) = (𝟙 X).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: H : X ≅ Y

Context: U : Opens ↑↑Y

Context: eq₂ : Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (𝟙 Y))).obj U)) = H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (H.inv ≫ H.hom))).obj U)) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: H : X ≅ Y

Context: U : Opens ↑↑Y

Context: eq₁ : H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map H.inv.base).obj (unop (op ((Opens.map H.hom.base).obj U))))) = eqToHom ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C

Context: X Y : PresheafedSpace C

Context: H : X ≅ Y

Context: U : Opens ↑↑Y

Context: eq₂ : eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (𝟙 Y))).obj U)) = H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (H.inv ≫ H.hom))).obj U)) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : Subsingleton L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: _h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : Subsingleton L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Mul α
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f✝ f : α →ₙ* β
x : AssocQuotient α


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥S


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m = n✝
n : ℕ

m ∣ n ↔ n✝ ∣ n


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : Zero M

Context: inst✝¹ : Zero M'

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: y : α

Context: g : α → M → N

Context: hyf : y ∈ f.support

g y (f y) * (erase y f).prod g = f.prod g


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
s : S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ y✝ : ↑X