Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}

Context: a : α

IsRatStieltjesPoint f a ↔ ((Monotone (f a) ∧ Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)) ∧ Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)) ∧ ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
m n : PosNum


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G

x✝ ∈ upperCentralSeries G 1 ↔ x✝ ∈ center G


(∀ (y : G), x✝ * y * x✝⁻¹ * y⁻¹ = 1) ↔ ∀ (g : G), g * x✝ = x✝ * g


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ

(p * X ^ n).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + n


(p * X ^ n).natTrailingDegree ≤ p.natTrailingDegree + n


p.natTrailingDegree + n ≤ (p * X ^ n).natTrailingDegree


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hvw : M.Adj v w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
h : Periodic f c
hc : c ≠ 0
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F

(sesqFormOfInner (A x)) y = (sesqFormOfInner x) ((adjoint A) y)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]


Context: n a b : ℕ

Context: ha' : 1 < a

Context: hb' : 1 < b

Context: hab : a.Coprime b

Context: ha : ∑ i ∈ a.divisors, Λ i = Real.log ↑a

Context: hb : ∑ i ∈ b.divisors, Λ i = Real.log ↑b

∑ i ∈ (a * b).divisors, Λ i = Real.log ↑(a * b)


Context: n a b : ℕ

Context: ha' : 1 < a

Context: hb' : 1 < b

Context: hab : a.Coprime b

Context: ha : ∑ a ∈ filter IsPrimePow a.divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑a

Context: hb : ∑ a ∈ filter IsPrimePow b.divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑b

∑ a ∈ filter IsPrimePow (a * b).divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑(a * b)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R✝
inst✝² : CharZero R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharZero R
q n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∉ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
j : ι
hj : j ∈ s


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K

finInsepDegree F ↥⊤ = finInsepDegree F K


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι

¬LinearIndependent R v ↔ ∃ g, ∑ i : ι, g i • v i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R ≃+* R'

Context: j : S ≃+* S'

Context: hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)

lift.{v', v} (Module.rank R S) = lift.{v, v'} (Module.rank R' S')


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R ≃+* R'

Context: j : S ≃+* S'

Context: r : R

Context: x✝ : S


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R ≃+* R'

Context: j : S ≃+* S'

Context: r : R

Context: x✝ : S

Context: this : ((algebraMap R' S').comp i.toRingHom) r = (j.toRingHom.comp (algebraMap R S)) r


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁵ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁴ : Ring R'✝

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: inst✝⁹ : Module R✝ M'

Context: inst✝⁸ : Module R✝ M₁

Context: inst✝⁷ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁶ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S' : Type v'

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R ≃+* R'

Context: j : S ≃+* S'

Context: r : R

Context: x✝ : S

Context: this : (algebraMap R' S') (i r) = j ((algebraMap R S) r)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)

Context: a : A

Context: ha : p a

ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)

Filter.comap (fun x => (↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.1, ↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.2)) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) = 𝓤 C(↑(σₙ R a), R)₀


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)

Context: this : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)

Filter.comap (fun x => (↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.1, ↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.2)) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) = Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp f) fun x => x.comp f) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) ⊓ Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp 0) fun x => x.comp 0) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(Unit, R))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)

Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp 0) fun x => x.comp 0) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(Unit, R)) = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)

Context: this✝ : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance

Context: this : ∀ U ∈ 𝓤 C(Unit, R), (0, 0) ∈ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α


scottHausdorff α ≤ upperSet α ⊔ scottHausdorff α


Context:
α : Type u_1
l : List α
x : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Fintype J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
T U : C
g : (j : J) → T ⟶ f j
h : (j : J) → f j ⟶ U


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E


Context: x y : ℂ

Context: h : ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y * I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2) ∨ (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∃ l, y * I = (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2

tan (x + y * I) = (tan x + tanh y * I) / (1 - tan x * tanh y * I)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableMul G
g : G


Context: E✝ : Type u_1

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E✝

Context: inst✝⁹ : BorelSpace E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E✝

Context: μ✝ : Measure E✝

Context: inst✝⁷ : μ✝.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: s : Set E✝

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: this : ball 0 r = (fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' ball x r


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k

∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (A, j) = (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2


∑ x ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ x_1 : σ, ((-1) ^ x.card * ∏ a ∈ x, X a) * X x_1 ^ (k - x.card) = ∑ i : σ, (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X i ^ a.2


∑ y : σ, ∑ x ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x.card * ∏ a ∈ x, X a) * X y ^ (k - x.card) = ∑ i : σ, (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X i ^ a.2


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ

∑ x_1 ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x_1.card * ∏ a ∈ x_1, X a) * X x ^ (k - x_1.card) = (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X x ^ a.2


∑ x_1 ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x_1.card * ∏ a ∈ x_1, X a) * X x ^ (k - x_1.card) = ∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X x ^ a.2


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ
s : Finset σ
hs : s ∈ powersetCard a.1 univ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition

∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card

Context: hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card

Context: hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card

Context: z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: bij : Function.Bijective z'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: bij : Function.Bijective z'

∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑((Equiv.ofBijective z' bij) a) % P.parts.card = ↑((Equiv.ofBijective z' bij) b) % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: bij : Function.Bijective z'

Context: a b : { x // x ∈ s }

P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑((Equiv.ofBijective z' bij) a) % P.parts.card = ↑((Equiv.ofBijective z' bij) b) % P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

{x | ¬ContinuousAt f x} ⊆ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ∪ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

({x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ∪ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x})ᶜ ⊆ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

{x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}ᶜ ∩ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}ᶜ ⊆ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: hx : x ∈ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}ᶜ

Context: h'x : x ∈ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: hx : ContinuousWithinAt f (Ioi x) x

Context: h'x : ContinuousWithinAt f (Iio x) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set α

∫⁻ (a : α) in s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in g '' s, f b ∂ν


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
m : α
h : ∀ x ∈ s, x = m


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
m : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x = m


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
m : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ a✝, x = m


Context:
α : Type u
β : Type v
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: s : Finset α

Context: f : Perm α

Context: h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: h0 : ∀ y ∈ s, ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), y = (fun i x => f i) x hx


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: s : Finset α

Context: f : Perm α

Context: h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: y2 : α

Context: hy2 : y2 ∈ s

Context: heq : y = (fun i x => f i) y2 hy2


Context: n : ℤ


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
y : ↥(span ℤ (Set.range ⇑b))
x : E

y +ᵥ x ∈ fundamentalDomain b ↔ y = -floor b x


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
K : Set α
hK : IsCompact K
h'K : IsClosed K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 1


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
K : Set α
hK : IsCompact K
h'K : IsClosed K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 1
this : mulTSupport f ⊆ K


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε

Context: S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}

∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)

Context: S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)

Context: S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r

Context: S_antitone : ∀ (r₁ r₂ : ℝ), r₁ ≤ r₂ → S r₂ ⊆ S r₁


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)

Context: S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : K ⊆ S δ


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)

Context: S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : K ⊆ S δ

∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: D : Set E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)

Context: S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : K ⊆ S δ

Context: x : E

Context: xK : x ∈ K

Context: a : ℝ

Context: δa : a > δ

Context: ha : diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε

diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E

(reflection ⊥) x✝ = (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜) x✝


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V' : Type u_3
P' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : MetricSpace P'
inst✝ : NormedAddTorsor V' P'
f : P → P'
h : Isometry f
p₁ p₂ x : P

x ∈ f ⁻¹' ↑(perpBisector (f p₁) (f p₂)) ↔ x ∈ ↑(perpBisector p₁ p₂)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b z : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsLUB (range f) a


Tendsto (rangeFactorization f) atTop atTop


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ

spectrum R (↑u⁻¹ * a * ↑u) = spectrum R a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
x : β
ε : α
ε0 : ε > 0
j : ℕ
x✝ : j ≥ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
s : Set β
hf : UniformCauchySeqOn f l s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (m : ι × ι) in l ×ˢ l, ∀ x ∈ s, ((f / f') m.1 x, (f / f') m.2 x) ∈ u


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
i j : ι

e ((ofEquivFun e) i) j = e (e.symm (update 0 i 1)) j


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: f : PiLp ⊤ β

‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) f‖₊ = ‖f‖₊


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: f : PiLp ⊤ β

⨆ i, ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) f i‖₊ = ⨆ i, ‖f i‖₊


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hpq : p.degree < q.degree
hq : ¬q = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)

Context: cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Function.Injective (⇑f ∘ ⇑(algebraMap R A))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x✝ : A

Context: hx : IsIntegral R x✝


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : A →ₐ[R] B

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: x✝ : A

(∃ y, (algebraMap R A) y = x✝) → IsIntegral R x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n

Iio i.castSucc = map castSuccEmb (Iio i)


map valEmbedding (Iio i.castSucc) = map valEmbedding (map castSuccEmb (Iio i))


Iio ↑i.castSucc = map (castSuccEmb.trans valEmbedding) (Iio i)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

M.Dep (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I \ I


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∈ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : Multipliable f
h : ∀ (b : β), g b = 1 ∨ g b = f b


Context:
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k

Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs


Context: p : ℕ+

Context: k✝ : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : NumberField K

Context: k : ℕ+

Context: hk : 1 < k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k

Context: this : Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})


Context: p : ℕ+

Context: k✝ : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : NumberField K

Context: k : ℕ+

Context: hk : 1 < k

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k

Context: x✝ : Fintype (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) := Fintype.ofFinite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty

toDual (s.max' hs) = (image (⇑toDual) s).min' ⋯


↑(toDual (s.max' hs)) = ↑((image (⇑toDual) s).min' ⋯)


s.inf (WithTop.some ∘ fun x => toDual x) = s.inf ((WithTop.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑toDual)


Context: i : (nim 1).LeftMoves


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z

IsClosedMap f ↔ ∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)


Context: R : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I✝ J K L I : Ideal R

Context: r : R

Context: hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}

Context: hri : r ∉ I.radical

Context: hrm : r ∉ ⊤.radical

Context: him : I ≤ ⊤

Context: hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, ⊤ ≤ z → z = ⊤

Context: this : ∀ x ∉ ⊤, r ∈ (⊤ ⊔ span {x}).radical


Context: R : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I✝ J K L I : Ideal R

Context: r : R

Context: hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}

Context: hri : r ∉ I.radical

Context: hrm : r ∉ ⊤

Context: him : I ≤ ⊤


Context: R : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I✝ J K L I : Ideal R

Context: r : R

Context: hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}

Context: hri : r ∉ I.radical

Context: m : Ideal R

Context: hrm : r ∉ m.radical

Context: him : I ≤ m

Context: hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, m ≤ z → z = m

Context: this : ∀ x ∉ m, r ∈ (m ⊔ span {x}).radical

Context: x y : R

Context: hxym : x * y ∈ m

Context: hxm : x ∉ m

Context: hym : y ∉ m

Context: n : ℕ

Context: hrn : r ^ n ∈ m ⊔ span {x}

Context: p : R

Context: hpm : p ∈ m

Context: q : R

Context: hq : q ∈ span {x}

Context: hpqrn : p + q = r ^ n

Context: c : R

Context: hcxq : c * x = q

Context: k : ℕ

Context: hrk : r ^ k ∈ m ⊔ span {y}

Context: f : R

Context: hfm : f ∈ m

Context: g : R

Context: hg : g ∈ span {y}

Context: hfgrk : f + g = r ^ k

Context: d : R

Context: hdyg : d * y = g


Context: R : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: I✝ J K L I : Ideal R

Context: r : R

Context: hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}

Context: hri : r ∉ I.radical

Context: m : Ideal R

Context: hrm : r ∉ m.radical

Context: him : I ≤ m

Context: x y : R

Context: hxym : x * y ∈ m

Context: hxm : x ∉ m

Context: hym : y ∉ m

Context: n : ℕ

Context: hrn : r ^ n ∈ m ⊔ span {x}

Context: p : R

Context: hpm : p ∈ m

Context: q : R

Context: hq : q ∈ span {x}

Context: hpqrn : p + q = r ^ n

Context: c : R

Context: hcxq : c * x = q

Context: k : ℕ

Context: hrk : r ^ k ∈ m ⊔ span {y}

Context: f : R

Context: hfm : f ∈ m

Context: g : R

Context: hg : g ∈ span {y}

Context: hfgrk : f + g = r ^ k

Context: d : R

Context: hdyg : d * y = g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : LeftInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) s
a : α
ha : a ∈ s

(g₁.extendDomain f) ((g₂.extendDomain f) ((Subtype.val ∘ ⇑f) a)) = (Subtype.val ∘ ⇑f) a


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ

Context: h : IsIntegral ℤ x


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ

(∃ y, (algebraMap (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) y = x) → IsIntegral ℤ x


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : L₁'.toSubmodule = L₂'.toSubmodule


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ↑L₁'.toSubmodule = ↑L₂'.toSubmodule


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α

(s.append t).append u = s.append (t.append u)


IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s t u, s1 = (s.append t).append u ∧ s2 = s.append (t.append u)


∃ s_1 t_1 u_1, (s.append t).append u = (s_1.append t_1).append u_1 ∧ s.append (t.append u) = s_1.append (t_1.append u_1)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x : M₃

x ∈ range (f.coprod g) ↔ x ∈ range f ⊔ range g


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

h.right.homologyIso = h.left.homologyIso ≪≫ h.iso


h.iso = h.left.homologyIso.symm ≪≫ h.right.homologyIso


h.iso.hom = h.left.homologyIso.inv ≫ h.right.homologyIso.hom


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜 ⊆ ℬ
x✝ : Finset α


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b

Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: b c : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hb : 0 ≠ b

Context: H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: b c : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hb : 0 ≠ b

Context: h : 0 < b


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: b c : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hb : 0 ≠ b

Context: h : 0 > b


Context: a b : ℕ+


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b

a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
w : f ≠ 0


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t)


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun x => ↑(rexp (-π * (↑x + a) ^ 2 * t))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : ∀ (n : ℤ), ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

HasSum (fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term x (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤

ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr_ne_top : r ≠ ⊤

Context: h : ν.rnDeriv (r.toNNReal • μ) =ᶠ[ae μ] r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ : α

Context: a b c : α

Context: ha : a < 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a b✝ : α

Context: b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ : α

Context: a b c : α

Context: ha : 1 < a


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : UniformSpace α✝
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : DiscreteTopology α
inst✝ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α
x✝ : UniformSpace α := ⊥


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)

∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: X : ℂ

Context: HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: X : ℂ

Context: y : ℝ

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball x ε'

‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: X : ℂ

Context: y : ℝ

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball x ε'

Context: y1 : ℝ

Context: hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)

Context: hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: X : ℂ

Context: y : ℝ

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball x ε'

Context: y1 : ℝ

Context: hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)

Context: hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: X : ℂ

Context: y : ℝ

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball x ε'

Context: y1 : ℝ

Context: hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)

Context: hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: HX2 : ∀ (x : ℂ), abs (x - z) = R → abs (f x) ≤ abs (f X)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: X : ℂ

Context: y : ℝ

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball x ε'

Context: y1 : ℝ

Context: hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)

Context: hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: this : abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(v, y1), ⋯⟩) * abs (f (circleMap z R y1)) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩) * abs (f X)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R✝ : ℝ

Context: z✝ w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hR : 0 < R

Context: z x : ℂ

Context: f : ℂ → ℂ

Context: hx : x ∈ ball z R

Context: hf : ContinuousOn f (sphere z R)

Context: r : ℝ

Context: hr : r < R

Context: hrx : x ∈ ball z r

Context: ε' : ℝ

Context: hε' : ε' > 0

Context: H : ball x ε' ⊆ ball z r

Context: a : ℂ

Context: b : ℝ

Context: ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r

Context: hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]

Context: X : ℂ

Context: y : ℝ

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball x ε'

Context: y1 : ℝ

Context: hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)

Context: hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]

‖circleTransformDeriv R z v f y1‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)


Context:
z : ℂ
x✝ : ∃ r, z = ↑r
h : ℝ
e : z = ↑h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
s' t : Set α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : i ∈ ↑(indicator s f).support


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : (indicator s f) i ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : (indicator s f) i ≠ 0
h : i ∉ ↑s


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S

(Polynomial.map f P).natDegree = P.natDegree


(Polynomial.map f P).coeff P.natDegree ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β
x✝ : α × β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s.biUnion fun a => image (fun b => (a, b)) t


Context:
I : Type u
X : I → TopCat

piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) = 𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))


Context:
I : Type u
X : I → TopCat

∀ (X_1 : (i : I) → ↑(π.obj (X i))), (piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X)).obj X_1 = (𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))).obj X_1


Context:
I : Type u
X : I → TopCat

∀ (X_1 Y : (i : I) → ↑(π.obj (X i))) (f : X_1 ⟶ Y), (piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X)).map f = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))).map f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯


Context:
I : Type u
X : I → TopCat

CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X = 𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))


Context:
I : Type u
X : I → TopCat

autoParam (∀ (X_1 Y : ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))) (f : X_1 ⟶ Y), (CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X).map f = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))).map f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
I : Type u
X : I → TopCat

∀ (X_1 : ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))), (CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X).obj X_1 = (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))).obj X_1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
this : Nontrivial R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: hp : p ≠ 0

Context: this✝ : Nontrivial R

Context: this : p.leadingCoeff * X.leadingCoeff ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: hp : p ≠ 0

Context: this✝ : Nontrivial R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : X → E
f' : X → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf

(∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
m n : Num


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³² : CommRing A

Context: inst✝³¹ : CommRing B

Context: inst✝³⁰ : Algebra A B

Context: inst✝²⁹ : Field K

Context: inst✝²⁸ : Field L

Context: inst✝²⁷ : Algebra A K

Context: inst✝²⁶ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁵ : Algebra B L

Context: inst✝²⁴ : Algebra K L

Context: inst✝²³ : Algebra A L

Context: inst✝²² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.571927

Context: Bₘ : Type ?u.571930

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁷ : IsDomain A

Context: inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝³ : Module.Finite A B

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: inst✝ : Module.Free A B

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³² : CommRing A

Context: inst✝³¹ : CommRing B

Context: inst✝³⁰ : Algebra A B

Context: inst✝²⁹ : Field K

Context: inst✝²⁸ : Field L

Context: inst✝²⁷ : Algebra A K

Context: inst✝²⁶ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁵ : Algebra B L

Context: inst✝²⁴ : Algebra K L

Context: inst✝²³ : Algebra A L

Context: inst✝²² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.571927

Context: Bₘ : Type ?u.571930

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁷ : IsDomain A

Context: inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝³ : Module.Finite A B

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Module.Free A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³² : CommRing A

Context: inst✝³¹ : CommRing B

Context: inst✝³⁰ : Algebra A B

Context: inst✝²⁹ : Field K

Context: inst✝²⁸ : Field L

Context: inst✝²⁷ : Algebra A K

Context: inst✝²⁶ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁵ : Algebra B L

Context: inst✝²⁴ : Algebra K L

Context: inst✝²³ : Algebra A L

Context: inst✝²² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.571927

Context: Bₘ : Type ?u.571930

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁷ : IsDomain A

Context: inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁵ : IsDomain B

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝³ : Module.Finite A B

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Module.Free A B

Context: x : B

(algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) ((norm A) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: U V : Submodule 𝕜 F

Context: h : Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F

Context: U V : Submodule 𝕜 F

Context: hf : ∀ (p : Submodule 𝕜 F), Submodule.map f.toLinearIsometry (Submodule.comap f p) = p


Context: a b c x : ℕ

x ∈ Ico a.succ b ↔ x ∈ (Ico a b).erase a


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
h : ∀ (a : α), IsAtom a → a ≤ x → a ≤ y


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
h : ∀ (a : α), IsAtom a → a ≤ x → a ≤ y
this : x ⊓ yᶜ = ⊥


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const


{ toFun := fun t => ⟨({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }.comp p.toContinuousMap).uncurry.curry t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } = p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : SupSet α
inst✝ : SupSet β
f : ι → α × β


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field F

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: s t : Finset ι

Context: i j : ι

Context: v r r' : ι → F

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: hrr' : (interpolate s v) r = (interpolate s v) r'

Context: x✝ : ι

Context: hi : x✝ ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)

Disjoint G (fromEdgeSet s) ↔ Disjoint G.edgeSet s


Disjoint G (fromEdgeSet s) ↔ Disjoint G.edgeSet (s \ {e | e.IsDiag} ∪ s ∩ {e | e.IsDiag})


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atBot


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ comap f (map f H)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x : G
hx : ∃ x_1 ∈ H, f x_1 = f x


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x y : G
hy : y ∈ H
hy' : f y = f x


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f g : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x a b : α
l : List α

(a :: b :: l).reverse.formPerm = (a :: b :: l).formPerm⁻¹


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ

↑(nndist ((starRingEnd ℂ) z) z) = ↑(2 * Real.nnabs z.im)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∈ upperClosure ↑t

(s ⊻ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a ⊔ t.truncatedInf a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∈ upperClosure ↑t

((filter (fun x => x ≤ a) s ⊻ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∈ upperClosure ↑t

((image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t)).inf' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∈ upperClosure ↑t

(filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ ((fun x => id x) ∘ Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2


Context: p : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹¹ : BorelSpace α✝
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁹ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁸ : BorelSpace β✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : TopologicalSpace β
hβ : BorelSpace β
e : α → β
h'e : MeasurableEmbedding e
h''e : Inducing e


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace α✝

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β✝

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝⁸ : BorelSpace β✝

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : BorelSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: α : Type u_6

Context: β : Type u_7

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hβ : BorelSpace β

Context: e : α → β

Context: h'e : MeasurableEmbedding e

Context: h''e : Inducing e

Context: this : MeasurableSpace.comap e (borel β) = inst✝³


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β

Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β


Context:
n : ℕ
c : CompositionAsSet n


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : R
s : ↥x.asIdeal.primeCompl

(toStalk R x) f = (toStalk R x) ↑s * ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) (const R f (↑s) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑s) ⋯)


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

commutator G = Subgroup.normalClosure (commutatorSet G)


Context: q : ℚ


Context: q : ℚ

q.num /. ↑q.den * (↑q.den /. 1) = q.num /. 1


Context:
q : ℚ
this : ↑q.den ≠ 0


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A

(adjoin R s).toSubmodule = span R ↑(Subsemigroup.closure s)


(adjoin R s).toSubmodule ≤ span R ↑(Subsemigroup.closure s)


span R ↑(Subsemigroup.closure s) ≤ (adjoin R s).toSubmodule


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: t : ℕ

Context: ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: t : ℕ

Context: this : t ≤ G.degree v


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

p ^ (a * b).factorization p = p ^ a.factorization p * p ^ b.factorization p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i✝ j : Set α

Context: hs : VectorMeasure.restrict 0 univ ≤ VectorMeasure.restrict s univ

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

↑(s.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ hs).toSignedMeasure i = ↑s i


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)


LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g ↔ LinearMap.ker S.g = LinearMap.range S.f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ


𝟙 K[X] - (P q + P q ≫ Hσ q) = 𝟙 K[X] - P q - P q ≫ Hσ q


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s a : ℂ

mellin (fun t => f t / a) s = mellin f s / a


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(l.balanceR x r).dual = r.dual.balanceL x l.dual


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : IsClosedMap f
s : Set β
t : Set ↑(f ⁻¹' s)

IsClosed t → IsClosed (s.restrictPreimage f '' t)


∀ (u : Set α), IsClosed u → Subtype.val ⁻¹' u = t → ∃ v, IsClosed v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = s.restrictPreimage f '' t


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ

∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : 𝓢(E, F)

Context: k n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f.toFun x‖ ≤ C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E

Metric.closedBall a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E


Context:
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U

∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}


∀ (j : J), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis ((fun j => {W | IsClopen W}) j)


∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), ∀ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, ⇑((F ⋙ toTopCat).map f) ⁻¹' V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) i


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}

Context: h : U = ⋃₀ S


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: this : ∃ t, U ⊆ ⋃ i ∈ t, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: G : Finset ↑S

Context: hG : U ⊆ ⋃ i ∈ G, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: G : Finset ↑S

Context: j0 : J

Context: hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ Finset.image j G → Nonempty (j0 ⟶ X)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: U : Set ↑C.pt.toTop

Context: hC : IsLimit C

Context: hU : IsClopen U

Context: S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)

Context: h : U = ⋃₀ S

Context: j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

Context: G : Finset ↑S

Context: j0 : J

Context: f : (s : ↑S) → s ∈ G → (j0 ⟶ j s) := fun s hs => ⋯.some


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : ¬p = 0
a✝ : Nontrivial R


p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)


Subtype.val <$> abs ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩ = x


abs ((P F).map Subtype.val ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

Summable fun n => ↑|n| ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑n))


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

(fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑n))) =O[atTop] fun n => ↑n ^ k * rexp (-1 * ↑n)


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

(fun x => rexp (-π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x))) =O[atTop] fun x => rexp (-1 * ↑x)


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

Tendsto ((fun x => -π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x)) - fun x => -1 * ↑x) atTop atBot


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

Tendsto (fun x => -(-π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x) - -1 * ↑x)) atTop atTop


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

Tendsto (fun n => ↑n * (π * T * ↑n - (2 * π * S + 1))) atTop atTop


Context:
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

Tendsto (fun n => π * T * ↑n) atTop atTop


Context:
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
c : ℕ
hc : n = p ^ pow * c


Context:
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
c : ℕ
hc : n = p ^ pow * c
this : 0 < c


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

rightHomologyMap φ ≫ h₂.rightHomologyIso.hom = h₁.rightHomologyIso.hom ≫ γ.φH


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y

map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {x.1}] x) = 𝓝 x.2


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: x : X × Y

Context: s : Set Y

Context: hs : s ∈ map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {x.1}] x)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: s : Set Y

Context: x : X

Context: y : Y

Context: hs : s ∈ map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1}] (x, y))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: s : Set Y

Context: x : X

Context: y : Y

Context: hs : ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1} → x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' s}


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: s : Set Y

Context: x : X

Context: y : Y

Context: u : Set X

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: v : Set Y

Context: hv : v ∈ 𝓝 y

Context: H : u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1} → x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' s}


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : ∀ x_1 ∈ u, ∀ y ∈ v, x_1 = x → y ∈ s


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ


Context:
m n✝ n : ℕ
x : ZMod (n + 1)


Context: n : ℕ

(∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q n)


(∃ x y, 0 = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q 0)


Context:
n : ℕ
hn₀ : n > 0


Context:
n : ℕ
hn₀ : n > 0

(∃ a b, n = a ^ 2 * b ∧ IsSquare (-1)) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q n)


Context: x y : ℤ[i]

(toComplex (x / y)).re = ↑(round (toComplex x / toComplex y).re)


Context: x y : ℤ[i]

(toComplex { re := round ↑(↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round (↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }).re = ↑(round (toComplex x / toComplex y).re)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
v : ι → M
i₁ i₂ : ι
heq : v i₁ = v i₂
hne : i₁ ≠ i₂


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M

(LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ ∀ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total M M R id) l = 0 → l = 0


Context: a b c : ℕ


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite

Context: j i : J

Context: hi : i ⟶ j

Context: hf : (range (F.map hi)).Finite

∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map g)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝¹ j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i✝¹)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j i✝ : J

Context: hi : i✝ ⟶ j

Context: hf : (range (F.map hi)).Finite

Context: m : Finset (F.obj j)

Context: hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: hm : ↑m = range (F.map f)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝¹ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝¹)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j i✝ : J

Context: hi : i✝ ⟶ j

Context: hf : (range (F.map hi)).Finite

Context: m : Finset (F.obj j)

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: hm : ↑m = range (F.map f)

Context: k : J

Context: g : k ⟶ j

∀ a ∈ range fun f => range (F.map f.snd), a ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩ → (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩ ≤ a


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝¹ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝¹)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j i✝ : J

Context: hi : i✝ ⟶ j

Context: hf : (range (F.map hi)).Finite

Context: m : Finset (F.obj j)

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: hm : ↑m = range (F.map f)

Context: k : J

Context: g : k ⟶ j

Context: k' : J

Context: g' : k' ⟶ j

Context: hl : (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩

(fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝¹ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝¹)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j i✝ : J

Context: hi : i✝ ⟶ j

Context: hf : (range (F.map hi)).Finite

Context: m : Finset (F.obj j)

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: hm : ↑m = range (F.map f)

Context: k : J

Context: g : k ⟶ j

Context: k' : J

Context: g' : k' ⟶ j

¬(fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ < (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝¹ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝¹)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j i✝ : J

Context: hi : i✝ ⟶ j

Context: hf : (range (F.map hi)).Finite

Context: m : Finset (F.obj j)

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: hm : ↑m = range (F.map f)

Context: k : J

Context: g : k ⟶ j

Context: k' : J

Context: g' : k' ⟶ j

Context: this : ¬⋯.toFinset < m


Context:
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → CompHaus
a : α
x y : (forget CompHaus).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0

IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: frac : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: x : R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I

Context: hx : ¬x = 0

Context: h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0

Context: h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: frac : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: x : R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG

Context: hx : ¬x = 0

Context: h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0

∀ J ≤ spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I, (↑J).FG


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: frac : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: x : R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG

Context: hx : ¬x = 0

Context: h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0

Context: J : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hJ : J ≤ spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: frac : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: x : R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG

Context: hx : ¬x = 0

Context: h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0

Context: J : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: frac : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: x : R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG

Context: hx : ¬x = 0

Context: h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0

Context: J : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: s : Finset K

Context: hs : span R₁ ↑s = ↑(J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: R₁ : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R₁

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R₁ K

Context: frac : IsFractionRing R₁ K

Context: inst✝ : IsDomain R₁

Context: x : R₁

Context: I : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG

Context: hx : ¬x = 0

Context: h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0

Context: J : FractionalIdeal R₁⁰ K

Context: s : Finset K

span R₁ ↑(s * {((algebraMap R₁ K) x)⁻¹}) = ↑J


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p


(Differentiable ℝ fun x => ‖x‖ ^ p) ∧ Continuous (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p)


∀ (x : E), ContinuousAt (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p) x


Context:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

hA.cfcAux (ContinuousMap.restrict (spectrum ℝ A) (ContinuousMap.id ℝ)) = A


hA.cfcAux (ContinuousMap.restrict (spectrum ℝ A) (ContinuousMap.id ℝ)) = ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R
n : ℕ

((ofPowerSeries Γ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x


Context:
α : Type u_1
t : Ordnode α
h : t.Sized


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β

(map (⇑f) μ).InnerRegular ↔ μ.InnerRegular


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).InnerRegular


Context:
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ


Context:
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

∀ (n : ℕ), (coeff S n) ((1 - X) * mk 1) = (coeff S n) 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a✝ : α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β → γ → α
a : α

(s.sup fun b => t.sup (f b)) ≤ a ↔ (t.sup fun c => s.sup fun b => f b c) ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
h : ∀ (n : ℕ), take n s₁ = take n s₂


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + -I * ↑(-↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s + -I * ↑(Int.sign 0) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

(cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s = -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : StrictMono u

∑' (k : ℕ), f k ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : StrictMono u

⨆ i, ∑ a ∈ range (u i), f a ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : StrictMono u

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : StrictMono u

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(u (k + 1) - u k)


Context: u : ℕ → ℕ

Context: f : ℕ → ℝ≥0∞

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : StrictMono u

Context: n : ℕ

∑ x ∈ range n, ↑(u (x + 1) - u x) * f (u x) ≤ ∑' (k : ℕ), ↑(u (k + 1) - u k) * f (u k)


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0
E_nullbdry' : ↑μ (frontier E) = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: μ : ProbabilityMeasure Ω

Context: μs : ι → ProbabilityMeasure Ω

Context: μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)

Context: E : Set Ω

Context: E_nullbdry : μ (frontier E) = 0

Context: E_nullbdry' : ↑μ (frontier E) = 0

Context: key : Tendsto (fun i => ↑(μs i) E) L (𝓝 (↑μ E))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = ⟪c -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ


⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0 ↔ 2⁻¹ * ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α

IsBigOWith c (𝓟 s) f g ↔ ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁹ : Preadditive C

Context: inst✝⁸ : Preadditive D

Context: inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.CommShift ℤ

Context: inst✝² : F.IsTriangulated

Context: inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj

Context: inst✝ : IsTriangulated C

Context: Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D

Context: u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂

Context: u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃

Context: u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂

Context: h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: α : ComposableArrows C 2

Context: e : (F.mapComposableArrows 2).obj α ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁹ : Preadditive C

Context: inst✝⁸ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.CommShift ℤ

Context: inst✝² : F.IsTriangulated

Context: inst✝ : IsTriangulated C

Context: Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D

Context: u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂

Context: u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃

Context: u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂

Context: v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: X₁ X₂ X₃ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁹ : Preadditive C

Context: inst✝⁸ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.CommShift ℤ

Context: inst✝² : F.IsTriangulated

Context: inst✝ : IsTriangulated C

Context: Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D

Context: u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂

Context: u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃

Context: u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂

Context: v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: X₁ X₂ X₃ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: w✝² : C

Context: w✝¹ : X₂ ⟶ w✝²

Context: w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₂' : Triangle.mk f w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁹ : Preadditive C

Context: inst✝⁸ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.CommShift ℤ

Context: inst✝² : F.IsTriangulated

Context: inst✝ : IsTriangulated C

Context: Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D

Context: u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂

Context: u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃

Context: u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃

Context: comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃

Context: v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂

Context: w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃

Context: w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂

Context: v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃

Context: w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁

Context: X₁ X₂ X₃ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: w✝⁵ : C

Context: w✝⁴ : X₂ ⟶ w✝⁵

Context: w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles

Context: w✝² : C

Context: w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²

Context: w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂

Context: h₂₃' : Triangle.mk g w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles