Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: I J : Ideal R

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I

Context: P : Ideal R

Context: hP : P.IsMaximal

Context: le : Submodule.colon J (span {x}) ≤ P

Context: a : R

Context: ha : a ∈ J

Context: s : R

Context: hs : s ∈ P.primeCompl

Context: m : R

Context: hm : m ∈ P.primeCompl

Context: eq : s * (m * x) = m * a


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

M.Basis I X ↔ M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: S : Set (Subsemiring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: S : Set (Subsemiring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: x : R

Context: this : Nonempty ↑S


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf_int : Integrable f μ

Integrable (fun ω => ‖∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω‖) μ


Integrable (fun ω => ‖∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω‖) μ


Context:
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P
i : ι

(match Encodable.decode (Encodable.encode i) with | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i) | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈ 𝒟 i


(match some i with | none => sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i) | some i_1 => (𝒟 i_1).above (sequenceOfCofinals p 𝒟 (Encodable.encode i))) ∈ 𝒟 i


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t u v A B : Set E

Balanced 𝕜 s ↔ Metric.closedBall 0 1 • s ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Ici a
y : α
hy : y ∈ Ici a
hxy : x < y


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
p : R[X]
i : ℕ
hi : i ∈ (r • p).support


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
p : R[X]
i : ℕ
hi : ¬r • p.coeff i = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
p : R[X]
i : ℕ
hi : p.coeff i = 0


Context:
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M✝
inst✝⁴ : SetLike B M✝
inst✝³ : SubmonoidClass B M✝
S : B
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

BijOn (fun x => x + d) (Ioo a b) (Ioo (a + d) (b + d))


BijOn (fun x => x + d) (Ioi a ∩ Iio b) (Ioi (a + d) ∩ Iio (b + d))


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

↑(Real.arctan x) = (↑(Real.tan (Real.arctan x))).arctan


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
pk : Prime k
dk : k ∣ n
dkk : ¬k * k ∣ n
o : Option ℕ
H : (n / k).MinSqFacProp o


Context: s : Finset ℕ

Context: m n✝ p n k : ℕ

Context: pk : Prime k

Context: dk : k ∣ n

Context: dkk : ¬k * k ∣ n

Context: o : Option ℕ

Context: H : (n / k).MinSqFacProp o

Context: this : ∀ (p : ℕ), Prime p → p * p ∣ n → k * (p * p) ∣ n


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞

(a / b).toNNReal = a.toNNReal / b.toNNReal


Context:
n m : ℕ
h : m ≤ n


Context:
n : ℕ
x✝ : Decidable (↑n).Dom


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c

inversion c R '' sphere y (dist y c) = insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))


Context:
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ
x : ℝ


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

(AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).orderTop = x.orderTop


(if h : AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x) = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)) = if h : x = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)


(if h : (fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)) = if h : x = 0 then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)


(if h : ∀ (a : Γ), AddOpposite.unop (x.coeff a) = 0 a then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)) = if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = coeff 0 a then ⊤ else ↑(⋯.min ⋯)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E

∃ N K, ContractingWith K FunSpace.next^[N]


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
N : ℕ
hN : (↑v.L * v.tDist) ^ N / ↑N ! < 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
N : ℕ
hN : (↑v.L * v.tDist) ^ N / ↑N ! < 1
this : 0 ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ N / ↑N !


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : OrderClosedTopology α

Context: f g : β → α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : (x : β) → Decidable (f x ≤ g x)

Context: f' g' : β → γ

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hf' : ContinuousOn f' {x | f x ≤ g x}

Context: hg' : ContinuousOn g' {x | g x ≤ f x}

Context: hfg : ∀ (x : β), f x = g x → f' x = g' x

Continuous fun x => if f x ≤ g x then f' x else g' x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : OrderClosedTopology α

Context: f g : β → α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : (x : β) → Decidable (f x ≤ g x)

Context: f' g' : β → γ

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hf' : ContinuousOn f' {x | f x ≤ g x}

Context: hg' : ContinuousOn g' {x | g x ≤ f x}

ContinuousOn f' (closure {x | f x ≤ g x})


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : OrderClosedTopology α

Context: f g : β → α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : (x : β) → Decidable (f x ≤ g x)

Context: f' g' : β → γ

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hf' : ContinuousOn f' {x | f x ≤ g x}

Context: hg' : ContinuousOn g' {x | g x ≤ f x}

closure {x | ¬f x ≤ g x} ⊆ {x | g x ≤ f x}


Context:
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat

ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) (s.take n)


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: h : ValidFor l m r s

Context: n : Nat

Context: this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n { byteIdx := utf8Len [] } = { byteIdx := utf8Len [] + utf8Len (List.take n m) }


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: h : ValidFor l m r s

Context: n : Nat

Context: this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }

ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.startPos + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: h : ValidFor l m r s

Context: n : Nat

ValidFor l (List.take n m) (List.drop n m ++ r) { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: n : Nat

Context: h : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: n : Nat

{ str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) } }.str.data = l ++ List.take n m ++ (List.drop n m ++ r)


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: n : Nat

{ str := { data := l ++ (List.take n m ++ List.drop n m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n (List.take n m ++ List.drop n m)) } }.str.data = l ++ List.take n m ++ (List.drop n m ++ r)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α
j k : n

(diagonal v).updateColumn i (Pi.single i x) j k = diagonal (Function.update v i x) j k


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α
j : n

(diagonal v).updateColumn i (Pi.single i x) j j = diagonal (Function.update v i x) j j


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
v : n → α
i : n
x : α
j k : n
hjk : j ≠ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
e : r ≃r s
x : β
y : α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Nonempty M

Context: inst✝³ : Semigroup M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r

Context: S : Set (Set M) := {N | IsClosed N ∧ N.Nonempty ∧ ∀ m ∈ N, ∀ m' ∈ N, m * m' ∈ N}


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Nonempty M

Context: inst✝³ : Semigroup M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: c : Set (Set M)

Context: hcs : c ⊆ S

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Nonempty M

Context: inst✝³ : Semigroup M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: c : Set (Set M)

Context: hcs : c ⊆ S

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c

Context: m : M

Context: hm : m ∈ ⋂₀ c

Context: m' : M

Context: hm' : m' ∈ ⋂₀ c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β → σ
h : α → γ → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
hh : Primrec₂ h
a : α

(bif (encode (f a)).bodd then Option.map (h a) (decode (encode (f a)).div2) else Option.map (g a) (decode (encode (f a)).div2)) = some (Sum.casesOn (f a) (g a) (h a))


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁✝ t₂✝ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v✝ : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : α → δ → ε

Context: n : β → γ → δ

Context: m₁ : α → β → β'

Context: m₂ : α → γ → γ'

Context: n' : β' → γ' → ε

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' (m₁ a b) (m₂ a c)

Context: s : Set ε

Context: t₁ : Set β'

Context: u₁ : Set α

Context: hu₁ : u₁ ∈ f

Context: v : Set β

Context: hv : v ∈ g

Context: ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁

Context: t₂ : Set γ'

Context: hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s

Context: u₂ : Set α

Context: hu₂ : u₂ ∈ f

Context: w : Set γ

Context: hw : w ∈ h

Context: ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s✝ s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁✝ t₂✝ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v✝ : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : α → δ → ε

Context: n : β → γ → δ

Context: m₁ : α → β → β'

Context: m₂ : α → γ → γ'

Context: n' : β' → γ' → ε

Context: s : Set ε

Context: t₁ : Set β'

Context: u₁ : Set α

Context: hu₁ : u₁ ∈ f

Context: v : Set β

Context: hv : v ∈ g

Context: ht₁ : image2 m₁ u₁ v ⊆ t₁

Context: t₂ : Set γ'

Context: hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s

Context: u₂ : Set α

Context: hu₂ : u₂ ∈ f

Context: w : Set γ

Context: hw : w ∈ h

Context: ht₂ : image2 m₂ u₂ w ⊆ t₂


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
L : E →L[𝕜] F
hf : IntervalIntegrable f μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, L (f x) ∂μ = L (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
p' : α
hp' : Irreducible p'
hp'x : p' ∣ x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
hx : x ≠ 0
h : ¬IsUnit x
p' : α
hp' : Irreducible p'
hp'x : p' ∣ x
p : α
hp : p ∈ normalizedFactors x
right✝ : p' ~ᵤ p


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'

Context: hf : f.Finite

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.Finite

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.Finite

Context: this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this : Algebra R' S' := f'.toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.Finite

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R R' S'


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.Finite

Context: this✝³ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝² : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: this : IsScalarTower R S S'


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.Finite

Context: this✝⁴ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝³ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝² : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝¹ : IsScalarTower R R' S'

Context: this✝ : IsScalarTower R S S'

Context: this : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.Finite

Context: this✝⁵ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝⁴ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝³ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝² : IsScalarTower R R' S'

Context: this✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: this✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'

Context: this : Module.Finite R S


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup α
a b : α


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: π : Prepartition I

Context: f : Box ι → α

Context: g : Box ι → M

∑ y ∈ Finset.image f π.boxes, ∑ J ∈ (π.filter fun J => f J = y).boxes, g J = ∑ J ∈ π.boxes, g J


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
x : ExteriorAlgebra R M
hx : x ∈ ⋀[R]^i M

(liftι R M) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(⋀[R]^i M)) i) ⟨x, hx⟩


(liftι R M) x = (DirectSum.of (fun i => ↥(⋀[R]^i M)) i) ⟨x, hx⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)

(memberSubfamily a 𝒜).card + (nonMemberSubfamily a 𝒜).card = 𝒜.card


(filter (fun s => a ∈ s) 𝒜).card + (filter (fun s => a ∉ s) 𝒜).card = 𝒜.card


Set.InjOn (fun s => s.erase a) ↑(filter (fun s => a ∈ s) 𝒜)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l✝ l' : List α
a : α
l : List α


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : Finite ι
s : (i : ι) → Set (α i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
h : pred a < b

Ico (pred a) b = insert (pred a) (Ico a b)


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E

convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) t


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
ι : Type u_3
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set α

Absorbs G₀ (⋂ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, Absorbs G₀ (s i) t


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α × β → E
hf : Integrable f (μ.prod ν)

∫ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫ (y : β), ∫ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν


∫ (z : β × α), f z.swap ∂ν.prod μ = ∫ (y : β), ∫ (x : α), f (x, y) ∂μ ∂ν


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

‖log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: help : IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: f : ℂ → ℂ := fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z

Context: f' : ℂ → ℂ := fun z => (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: hderiv : ∀ t ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (0 + ↑t * z)) (0 + ↑t * z)


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: hcont : ContinuousOn (fun t => f' (0 + ↑t * z)) (Set.Icc 0 1)


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: H : (fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z) z = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (-(↑t * z)) ^ n * (1 + ↑t * z)⁻¹


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1


Context:
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
ψ : G →* H
x : G


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
x : S

(aeval x) p = ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), p.coeff i • x ^ i


(aeval x) p = ∑ x_1 ∈ range (p.natDegree + 1), (algebraMap R S) (p.coeff x_1) * x ^ x_1


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M

finrank R M = 0 ↔ ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
i : ι

hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (X (some i)) = Polynomial.C (hx.aevalEquiv (X i))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsGreatest s b


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

(W.map f).ΨSq n = Polynomial.map f (W.ΨSq n)


((mapRingHom f) (W.preΨ n) ^ 2 * if Even n then (mapRingHom f) W.Ψ₂Sq else 1) = (mapRingHom f) (W.preΨ n ^ 2 * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P

dist p1 (midpoint ℝ p1 p2) = dist p2 (midpoint ℝ p1 p2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
hb' : Iio b = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : ∀ a' < b, ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a : α
ha : a ∈ Iio b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ

{ ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ (hst : s ≠ t), (s ∆ t).max' ⋯ ∈ t


(∀ (hst : s ≠ t), (s ∆ t).max' ⋯ ∈ t) ∧ { ofColex := s } ≠ { ofColex := t } ↔ ∃ (hst : s ≠ t), (s ∆ t).max' ⋯ ∈ t


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E

(iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x) m = ((iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => fderiv 𝕜 f y) x) (init m)) (m (last n))


(iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f univ x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 f univ y) univ x) (init m)) (m (last n))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.68425, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.68429, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b) (a ≫ φ₂)

(HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map φ₁ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map φ₂


(HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (φ₁ ≫ b) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (a ≫ φ₂)


(HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr φ₁) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr φ₂)


((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₂).mor₃ ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂


(HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a) = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a) ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂


(HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) 1 ⋙ HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂ = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ₁).mor₃ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a) ≫ ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app K₂


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W

cs.lengthParity w = Multiplicative.ofAdd ↑(cs.length w)


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: hω : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)

cs.lengthParity (cs.wordProd ω) = Multiplicative.ofAdd ↑(cs.length (cs.wordProd ω))


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)

∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = I.distortion


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I✝ J✝ I : Box ι

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)

Context: J : Box ι

Context: x✝ : J ≤ I

Context: hJ : ∀ J' ∈ splitCenter J, ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (J'.upper i - J'.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J'.distortion

∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J_1 ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J.distortion


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
z : ι → ℝ
x✝ : z ∈ Box.Icc I

∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J_1 ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J.distortion


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
c : α
H : ∀ (x : ι), f x ≤ c


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : Memℒp X 2 μ
hXint : ∫ (x : Ω), X x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : γ) in s, ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) ∂(κ + η) a = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h_le : κ ≤ κ + η


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
s t : Finset α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ t)
i : α

i ∈ filter (fun i => i ∈ t) s ↔ i ∈ s ∩ t


Context: I : Type u

Context: inst✝³ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ : GradedObject I C

Context: inst✝ : X₁.HasTensor X₂

Context: A : C

Context: j : I

Context: f g : tensorObj X₁ X₂ j ⟶ A

Context: h : ∀ (i₁ i₂ : I) (hi : i₁ + i₂ = j), ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi ≫ f = ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ j hi ≫ g


Context: I : Type u

Context: inst✝³ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ : GradedObject I C

Context: inst✝ : X₁.HasTensor X₂

Context: A : C

Context: j : I

Context: f g : tensorObj X₁ X₂ j ⟶ A

∀ (i : I × I) (hij : (match i with | (i, j) => i + j) = j), (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₁).obj X₂).ιMapObj (fun x => match x with | (i, j) => i + j) i j hij ≫ f = (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X₁).obj X₂).ιMapObj (fun x => match x with | (i, j) => i + j) i j hij ≫ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context:
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ


Context:
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ
hy₁' : ∃ x, ¬(0 < x → -↑x < y ∧ y < ↑x)


Context:
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ
hy₁' : ∃ x, ¬(0 < x → -↑x < y ∧ y < ↑x)
r₁ : ℝ
hy₁'' : ¬(0 < r₁ → -↑r₁ < y ∧ y < ↑r₁)


Context:
x y : ℝ*
hx : x.InfinitePos
hy₁ : ¬y.Infinitesimal
hy₂ : 0 < y
r : ℝ
hy₁' : ∃ x, ¬(0 < x → -↑x < y ∧ y < ↑x)
r₁ : ℝ
hy₁'' : ¬(0 < r₁ → -↑r₁ < y ∧ y < ↑r₁)
hyr : 0 < r₁ ∧ ↑r₁ ≤ y


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonAssocSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝

Context: inst✝ : NonAssocSemiring T

Context: S : Set (Subsemiring R)

Context: Sne : S.Nonempty

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b

(𝓝 1).HasBasis p fun i => {f | ∀ (x : α), toFun f x ∈ b i}


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
x✝¹ : ι
x✝ : α →ᵤ G

(∀ (x : α), toFun x✝ x ∈ b x✝¹) ↔ (1, x✝) ∈ UniformFun.gen α G {x | x.2 / x.1 ∈ b x✝¹}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hsm : MeasurableSet s
hfs : ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≠ ⊤

∫⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ - ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d✝ k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
d : ℕ

(fun a => ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i) 0 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d✝ k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
d : ℕ
a b : Fin n → ℕ

{ toFun := fun a => ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i, map_zero' := ⋯ }.toFun (a + b) = { toFun := fun a => ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i, map_zero' := ⋯ }.toFun a + { toFun := fun a => ∑ i : Fin n, a i * d ^ ↑i, map_zero' := ⋯ }.toFun b


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
k : ℕ


Context: K : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n K

Context: h : ∀ (k : n), ∑ i ∈ Finset.univ.erase k, ‖A i k‖ < ‖A k k‖


Context: K : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n K


Context:
G : Type u
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
j : ι
hj : exponent (M j) = 0


Context: G : Type u

Context: ι : Type u_1

Context: M : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: j : ι

Context: hj : ¬∃ n, 0 < n ∧ ∀ (g : M j), g ^ n = 1

¬∃ n, 0 < n ∧ ∀ (g : (i : ι) → M i), g ^ n = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y

F.map (adj.unit.app X ≫ G.map f) ≫ adj.counit.app Y = f


(F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X)) ≫ (𝟭 D).map f = f


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y
e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X

F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : CoreUnitCounit F G

Context: X : C

Context: Y : D

Context: f : F.obj X ⟶ Y

Context: e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X

Context: t : (fun s => s.app X) (whiskerRight adj.unit F ≫ (F.associator G F).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit) = (fun s => s.app X) (NatTrans.id (𝟭 C ⋙ F))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : CoreUnitCounit F G

Context: X : C

Context: Y : D

Context: f : F.obj X ⟶ Y

Context: e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X

Context: t : F.map (adj.unit.app X) ≫ 𝟙 (F.obj (G.obj (F.obj X))) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : CoreUnitCounit F G

Context: X : C

Context: Y : D

Context: f : F.obj X ⟶ Y

Context: e_4✝ : (𝟭 D).obj (F.obj X) = F.obj X

Context: t : F.map (adj.unit.app X) ≫ adj.counit.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y

adj.unit.app X ≫ G.map (F.map g ≫ adj.counit.app Y) = g


(𝟭 C).map g ≫ adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = g


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y

adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : CoreUnitCounit F G

Context: X : C

Context: Y : D

Context: g : X ⟶ G.obj Y

Context: e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y

Context: t : (fun t => t.app Y) (whiskerLeft G adj.unit ≫ (G.associator F G).inv ≫ whiskerRight adj.counit G) = (fun t => t.app Y) (NatTrans.id (G ⋙ 𝟭 C))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : CoreUnitCounit F G

Context: X : C

Context: Y : D

Context: g : X ⟶ G.obj Y

Context: e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y

Context: t : adj.unit.app (G.obj Y) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj Y))) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : CoreUnitCounit F G

Context: X : C

Context: Y : D

Context: g : X ⟶ G.obj Y

Context: e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y

Context: t : adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜

QuotientAddGroup.mk '' Ioc a (a + p) = univ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℤ → α
hf : Monotone f
n a : ℤ
h1 : f n < f a
h2 : f a < f (n + 1)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝ : Invertible 2
x y : M

LinearMap.IsOrtho (associated Q) x y ↔ Q.IsOrtho x y


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : B ⥤ C ⥤ D
h : uncurry.obj F₁ = uncurry.obj F₂


Context:
c : Char
cs t : List Char
i : Nat

go₂ (c :: cs ++ t) { byteIdx := i } { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } = c :: cs


Context:
c : Char
cs t : List Char
i : Nat

go₂ (cs ++ t) { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size + i } = cs


Context:
c : Char
cs t : List Char
i : Nat

utf8Len cs + c.utf8Size + i = utf8Len cs + (i + c.utf8Size)


Context: op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: hao : a < o

Context: H : IsNormal (op a)

Context: ho : Principal op o

Context: ho' : o.IsLimit


Context: a o : Ordinal.{u}

Context: hao : a < o

Context: H : IsNormal (op a)

Context: ho : Principal op o

Context: ho' : o.IsLimit


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

∑ k ∈ Finset.range n, exp A ^ k = mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹


∑ x ∈ Finset.range n, { toFun := fun f => mk fun n => ↑x ^ n * (coeff A n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } (exp A) = mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n n✝ : ℕ

(coeff A n✝) (∑ x ∈ Finset.range n, { toFun := fun f => mk fun n => ↑x ^ n * (coeff A n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } (exp A)) = (coeff A n✝) (mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Finset α


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

(stoppedValue f fun x => min (σ x) (τ x)) =ᶠ[ae μ] μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]


μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]


∀ᵐ (x : Ω) ∂μ.restrict {x | σ x ≤ τ x}, (μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace]) x = (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) x


∀ᵐ (x : Ω) ∂μ.restrict {x | σ x ≤ τ x}ᶜ, (μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace]) x = (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'

IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module A M

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A M

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module A M'

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: h : IsBaseChange A f

Context: this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module A M

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A M

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module A M'

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: h : IsBaseChange A f

Context: e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module A M

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A M

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module A M'

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: h : IsBaseChange A f

f = ↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommRing A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization S A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module A M

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A M

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module A M'

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: h : IsBaseChange A f

Context: x✝ : M

f x✝ = (↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x✝


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiffAt 𝕜 1 f x ↔ ∃ f', ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f' u ∧ ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : NonUnitalSubalgebra R A

Subalgebra.toSubmodule (adjoin R ↑s) = span R {1} ⊔ s.toSubmodule


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : CharZero k
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s

(b.coord i) (Finset.centroid k s ⇑b) = (↑s.card)⁻¹


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

((liftIsometry 𝕜 E F) f) x = (lift f.toMultilinearMap) x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α

closure E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), cthickening δ E


cthickening 0 E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), cthickening δ E


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x ∈ s₂


Context:
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r


jacobiSym (↑a) b = -jacobiSym (↑a / 2) b


Context: x y : ℂ


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : ι → Sort u_4

Context: s : (i : ι) → Setoid (α i)

Context: p : ((i : ι) → Quotient (s i)) → Prop

Context: f : (i : ι) → Quotient (s i)

Context: h : ∀ (a : (i : ι) → α i), p fun i => ⟦a i⟧


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : ι → Sort u_4

Context: s : (i : ι) → Setoid (α i)

Context: p : ((i : ι) → Quotient (s i)) → Prop

Context: f : (i : ι) → Quotient (s i)


Context: a b c : Ordinal.{u}

a < b ♯ c ↔ (∃ b' < b, a ≤ b' ♯ c) ∨ ∃ c' < c, a ≤ b ♯ c'


Context: a b c : Ordinal.{u}

a < max (b.blsub fun a' x => a' ♯ c) (c.blsub fun b' x => b ♯ b') ↔ (∃ b' < b, a ≤ b' ♯ c) ∨ ∃ c' < c, a ≤ b ♯ c'


Context:
x : ℝ≥0∞
n : ℤ
z : ℝ


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f g : K[X]

Context: hf : Splits i f

Context: hg : Splits i g

Context: this : DecidableEq L := Classical.decEq L

Context: h : ¬map i (f * g) = 0

Context: p : L[X]

Context: hp : Irreducible p

Context: hpf : p ∣ map i (f * g)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)

Context: μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x

∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: this : ∀ (x : α), ∃ R, 0 < R ∧ R ≤ 1 ∧ μ (closedBall x (20 * R)) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤

Context: t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

∃ u_1 ∈ 𝓝[s \ ⋃ a ∈ u, B a] x, μ u_1 = 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: vu : v ⊆ u


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: vu : v ⊆ u

Context: K : ℝ

Context: μK : μ (closedBall x K) < ⊤

Context: hK : ∀ a ∈ u, (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty → B a ⊆ closedBall x K


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: vu : v ⊆ u

Context: K : ℝ

Context: μK : μ (closedBall x K) < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

μ ((s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x)) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: vu : v ⊆ u

Context: K : ℝ

Context: μK : μ (closedBall x K) < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: vu : v ⊆ u

Context: K : ℝ

Context: μK : μ (closedBall x K) < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤

Context: w : Finset ↑v

Context: hw : ∑' (a : { a // a ∉ w }), μ (B ↑↑a) < ε / ↑C


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: vu : v ⊆ u

Context: K : ℝ

Context: μK : μ (closedBall x K) < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤

Context: w : Finset ↑v

Context: M : (s \ ⋃ a ∈ u, B a) ∩ ball x (R x) ⊆ ⋃ a, closedBall (c ↑↑a) (3 * r ↑↑a)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: s : Set α

Context: t : Set ι

Context: C : ℝ≥0

Context: r : ι → ℝ

Context: c : ι → α

Context: B : ι → Set α

Context: ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty

Context: h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)

Context: R : α → ℝ

Context: hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x

Context: hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1

Context: u : Set ι

Context: ut' : u ⊆ t'

Context: u_disj : u.PairwiseDisjoint B

Context: ut : u ⊆ t

Context: u_count : u.Countable

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a

Context: vu : v ⊆ u

Context: K : ℝ

Context: μK : μ (closedBall x K) < ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : 0 < ε

Context: I : ∑' (a : ↑v), μ (B ↑a) < ⊤

Context: w : Finset ↑v

Context: this : Countable ↑v


Context:
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v v' w : U
p : Path u v
p' : Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e


∀ (s : Set E), IsOpen s → IsOpen (⇑e.symm ⁻¹' s)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑e
s : Set E
hs : IsOpen s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃ₛₗ[σ] F
h : Continuous ⇑↑e
s : Set E
hs : IsOpen s


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
hv : Submodule.span R (Set.range v) = ⊤
x✝ : M

x✝ ∈ LinearMap.range (finsuppTotal ι M I v) ↔ x✝ ∈ I • Submodule.span R (Set.range v)


x✝ ∈ LinearMap.range (finsuppTotal ι M I v) ↔ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • v i) = x✝


(∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • v i) = x✝) → x✝ ∈ LinearMap.range (finsuppTotal ι M I v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E

LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f univ x v ↔ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : Set ((i : ι) → α i)

piPremeasure m (univ.pi fun i => eval i '' s) = piPremeasure m s


∏ i : ι, (m i) ((fun a => a i) '' s) = piPremeasure m s


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t

Disjoint (⨆ a ∈ s, LinearMap.range (lsingle a)) (⨆ a ∈ t, LinearMap.range (lsingle a))


Disjoint (⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) (⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a))


(⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ⊥


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
hs : Disjoint s t
i : α

(⨅ a ∈ sᶜ, ker (lapply a)) ⊓ ⨅ a ∈ tᶜ, ker (lapply a) ≤ ker (lapply i)


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂

BilinForm.toMatrix' ((toBilin' M).comp (toLin' P) (toLin' Q)) = BilinForm.toMatrix' (toBilin' (Pᵀ * M * Q))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → P f → P g → P (f + g)

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}

Context: h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g

Context: this : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p μ → P ↑f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}

Context: this✝ : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p μ → P ↑f

Context: this : ∀ (f : ↥(Lp.simpleFunc E p μ)), P ↑↑↑f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}

Context: this✝¹ : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p μ → P ↑f

Context: this✝ : ∀ (f : ↥(Lp.simpleFunc E p μ)), P ↑↑↑f

Context: this : ∀ (f : ↥(Lp E p μ)), P ↑↑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: x : L

Context: hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

(algebraMap K F) ((norm K) (AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).prod


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: x : L

Context: injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: x : L

Context: hx : IsIntegral K x


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
inst✝ : M.RkPos
hB : M.Base B


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
inst✝ : M.RkPos
hB : M.Base ∅


Context: α : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)

Context: h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x

Context: l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out


Context: α : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)

Context: h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x

Context: hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap


Context: α : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)

Context: h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x

Context: hl'₂ : (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod = f


Context: α : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)

Context: h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x


Context: α : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: f : Perm α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)

Context: h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x

sign (↑l).prod = sign (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Bijective e
he₁ : ∀ (x : α), f x = g (e x)


∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ univ), f i = ∏ᶠ (i : β) (_ : i ∈ univ), g i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤

⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c, f⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ


∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: c : E

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp E 2 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: c : E

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h_right : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b

f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a


{x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x} ⊆ f ⁻¹' s


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f g : X → Y

Context: A : Set X

Context: x✝ : X

Context: h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant

Context: s : Set Y

Context: a : X

Context: ha : a ∈ f ⁻¹' s

Context: b : Y

Context: hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b

Context: x : X

Context: hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}


Context: F : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: X : Type u_3

Context: Y : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f g : X → Y

Context: A : Set X

Context: x✝ : X

Context: h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant

Context: s : Set Y

Context: a : X

Context: ha : a ∈ f ⁻¹' s

Context: b : Y

Context: hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b

Context: x : X

Context: this : f x = f a


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i

Context: hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: en_mem_range : en ∈ range (rTensor N (ker G).subtype)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: kn : ↥(ker G) ⊗[R] N

Context: hkn : (rTensor N (ker G).subtype) kn = en


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: ma : Finset (↥(ker G) × N)

Context: hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: ma : Finset (↥(ker G) × N)

∃ a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, a i j • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, a i j • m i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: ma : Finset (↥(ker G) × N)

∃ y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: hm : span R (Set.range m) = ⊤

Context: hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

Context: hG : G = Finsupp.total ι M R m

Context: G_surjective : Surjective ⇑G

Context: en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

Context: ma : Finset (↥(ker G) × N)

(∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • match j with | ⟨(fst, yj), property⟩ => yj) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: a b : α

(dist (fun x => a) fun x => b) = dist a b


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α

(x ∈ if h : p then ∅ else t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h


(¬p ∧ ∀ (h : ¬p), x ∈ t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q

a * b ≤ a ^ p / p.toNNReal + b ^ q / q.toNNReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : One P
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
x a : α

a ∈ mulSupport (update f x 1) ↔ a ∈ mulSupport f \ {x}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n

IsAddFreimanIso m (Iio ↑(k + 1)) (Iio (k + 1)) val


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : Fin (n + 1)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : H
x✝ : x ∈ s


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.37256, u_1} C
P : Karoubi C

P.p = P.p ≫ P.p ≫ { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }.p


Context: m : ℤ


Context: m : ℤ

‖↑↑m‖ = ‖↑m‖


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

x ∈ n.divisorsAntidiagonal ↔ x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0


Context:
n : ℕ
x : ℕ × ℕ


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²

(fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0


Context:
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

∃ i < n, ∃ j < n, (f i).gcd (f j) * n ≤ f i


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

Context: this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

Context: 𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

Context: hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

∀ a ∈ 𝒜 \\ 𝒜, (fun s => ∏ p ∈ s, p) a ∈ Ioo 0 n


Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)

Set.InjOn (fun s => ∏ p ∈ s, p) ↑(𝒜 \\ 𝒜)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
hf : Surjective f
x : 𝕎 β
n : ℕ

(mapFun f (mk p fun n => Classical.choose ⋯)).coeff n = x.coeff n


Context:
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α

traverse f (g <$> x) = traverse (f ∘ g) x


traverse f (traverse (pure ∘ g) x) = traverse (f ∘ g) x


traverse (Comp.mk ∘ map f ∘ pure ∘ g) x = traverse (f ∘ g) x


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A✝ : Rep k G✝

Context: G : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : AddCommGroup A

Context: inst✝ : MulAction G A

Context: f : G × G → A

Context: hf : IsTwoCocycle f

Context: g : G

Context: this : f (g * g⁻¹, g) + f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) + f (g, g⁻¹ * g)


Context: k G✝ : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing k

Context: inst✝³ : Group G✝

Context: A✝ : Rep k G✝

Context: G : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : AddCommGroup A

Context: inst✝ : MulAction G A

Context: f : G × G → A

Context: hf : IsTwoCocycle f

Context: g : G

Context: this : f (1, 1) + f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) + f (g, 1)


Context:
α β : Type u
n : ℕ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

o.oangle y ((o.rotation (o.oangle x y)) x) = 0


-o.oangle ((o.rotation (o.oangle x y)) x) y = 0


Context:
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 4

(n + 4) * (n + 4).centralBinom ≤ 2 * (n + 4) * (n + 4).centralBinom


Context:
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 4

(n + 4) * (n + 4).centralBinom ≤ 2 * ((n + 4) * (n + 4).centralBinom)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: hg : _root_.Embedding g

Context: this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ

Context: this✝³ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝² : BorelSpace β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ

Context: this✝ : BorelSpace γ

AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ ↔ AEStronglyMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: hg : _root_.Embedding g

Context: this✝³ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝² : BorelSpace β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ

Context: this✝ : BorelSpace γ

Context: H : AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: hg : _root_.Embedding g

Context: this✝³ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝² : BorelSpace β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ

Context: this✝ : BorelSpace γ

∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < ‖f‖


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E


x = 0 ∨ y = 0 → ↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
ha : IsOfFinOrder a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a < b


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddSemigroup α
h1 : Periodic f c₁
h2 : Periodic f c₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : R0Space X
x y : X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
a b : Y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
x✝ : X ^ n ∣ f
d : ℕ
hd : d < n
g : R[X]
hgf : f = X ^ n * g


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
a b : R
h : a + b = 1

a • x + b • y = b • y - b • x + (a • x + b • x)


b • y - b • x + (a • x + b • x) = b • (y - x) + x


Context:
q : ℤ[X]
hp : IsUnitTrinomial 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.24322, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : HasShift C A

Context: inst✝³ : HasShift D A

Context: inst✝² : HasShift E A

Context: inst✝¹ : HasShift C B

Context: inst✝ : HasShift D B

Context: a b : A

Context: e₁ : shiftFunctor C a ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D a

Context: e₂ : shiftFunctor C b ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D b

Context: X : C

(isoAdd e₁ e₂).inv.app X = (shiftFunctorAdd D a b).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map (e₁.inv.app X) ≫ e₂.inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β


Context:
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ

Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trList ((n + 1) :: v)) [] c d } (Nat.rec { l := some q₁, var := none, stk := elim (trList ((n + 1) :: v).tail) [] c d } (fun n_1 x => { l := some q₂, var := none, stk := elim (trList (n_1 :: ((n + 1) :: v).tail)) [] c d }) ((n + 1) :: v).headI)


Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum (↑n).succ' ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d } { l := some q₂, var := none, stk := elim ((match ↑n with | Num.zero => [] | Num.pos n => trPosNum n) ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d }


Context:
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
a : PosNum

Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum a.succ ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d } { l := some q₂, var := none, stk := elim (trPosNum a ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d }