Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤

Continuous fun gf => (compMeasurePreserving ⇑↑gf.2 ⋯) gf.1


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
hp₀ : p ≠ 0


∀ a ∈ ↑(simpleFunc E p ν), Continuous fun y => (compMeasurePreserving ⇑↑(a, y).2 ⋯) (a, y).1


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : R1Space X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : BorelSpace Y
inst✝⁴ : R1Space Y
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ν
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
hp₀ : p ≠ 0
f : ↥(simpleFunc E p ν)

Continuous fun y => (compMeasurePreserving ⇑↑(↑f, y).2 ⋯) (↑f, y).1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
s : Set α
hf : AntilipschitzWith K (s.restrict f)
g : β → α
t : Set β
g_maps : MapsTo g t s
g_inv : RightInvOn g f t
x y : ↑t

edist (t.restrict g x) (t.restrict g y) ≤ ↑K * edist x y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

setToSimpleFunc T (map Neg.neg f) = -setToSimpleFunc T f


∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (-x) = ∑ x ∈ f.range, -(T (↑f ⁻¹' {x})) x


Context: l : ℝ

Context: h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 l)

Tendsto (fun k => ∑ i ∈ range k, (-1) ^ i / (2 * ↑i + 1)) atTop (𝓝 (π / 4))


Context: l : ℝ

Context: abel : Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n / (2 * ↑n + 1) * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)


Context: l : ℝ

Context: m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1


Context: l : ℝ

Context: m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1

Context: q : Tendsto (fun x => x ^ 2) (𝓝[<] 1) (𝓝[<] 1)


Context: l : ℝ

Context: m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1

Context: abel : Tendsto (fun x => ((fun x => ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n / (2 * ↑n + 1) * x ^ n) ∘ fun x => x ^ 2) x * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (l * 1))


Context: l : ℝ

Context: m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1

Context: abel : Tendsto (fun x => ((fun x => ∑' (n : ℕ), (-1) ^ n / (2 * ↑n + 1) * x ^ n) ∘ fun x => x ^ 2) x * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)


Context: l : ℝ

Context: m : 𝓝[<] 1 ≤ 𝓝 1

Context: abel : Tendsto arctan (𝓝[<] 1) (𝓝 l)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
w : ℂ

((cauchyPowerSeries f c R n) fun x => w) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z


(w ^ n • (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • w ^ n • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z


Context:
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (p % 2 = 1)
a : ℕ
ha2✝ : a % 2 = 1
hap : ↑a ≠ 0
ha2 : ↑a = ↑1

↑(filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card - ↑(∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p) = 0


Context: a✝¹ b✝¹ c✝ d m n a✝ b✝ c a b : ℤ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup H
P : Subgroup G


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Sub (α i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: i : ι

Context: a b : α i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)

Context: a b x : (i : ι) → π i

Context: a' b' x' : ι → α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: ha : ∀ (i : ι), a i < x i

Context: hb : ∀ (i : ι), x i < b i


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Finite ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)

Context: a b x : (i : ι) → π i

Context: a' b' x' : ι → α

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: ha : ∀ (i : ι), a i < x i

Context: hb : ∀ (i : ι), x i < b i

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ univ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N k : ℕ
hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N k : ℕ
hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k
ex : ∃ n ≥ N, u k < u n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
N k : ℕ
hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k
ex : ∃ n ≥ N, u k < u n
n : ℕ
hnN : n ≥ N
hnk : u k < u n
hn_min : ∀ m < n, N ≤ m → u m ≤ u k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β

LowerSemicontinuousOn f univ ↔ LowerSemicontinuous f


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hx₁ : abscissaOfAbsConv f < ↑x
hx₂ : ↑x < ↑s.re


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s

Collinear k s ↔ ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀


(∃ v₀, ∀ v ∈ vectorSpan k s, ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ

schnirelmannDensity A ≤ x ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x + ε


(∀ (ε : ℝ), 0 < ε → schnirelmannDensity A < x + ε) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x + ε


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hq : q.natDegree ≠ 0

Function.Surjective ⇑(restrictComp p q hq)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hq : q.natDegree ≠ 0

Context: this : Fact (Splits (algebraMap F (p.comp q).SplittingField) p)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: hq : q.natDegree ≠ 0

Function.Surjective ⇑(let h := ⋯; restrict p (p.comp q).SplittingField)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f✝ : α → β
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι

TendstoUniformly F f p ↔ Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ ⊤) (𝓤 β)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: u : Set E

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: hu : ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: u : Set E

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: hu : ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

Context: s1 : cos ((x + y) / 2 + (x - y) / 2) = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context: x y : ℂ

Context: s2 : cos ((x + y) / 2 - (x - y) / 2) = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context: x y : ℂ

Context: s1 : cos x = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context: x y : ℂ

Context: s2 : cos y = cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
g : γ → α
t₂ : TopologicalSpace β
t₁ : TopologicalSpace γ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q
p' q' : ℤ
hp' : p' = p + a
hq' : q' = q + a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
x : E


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : AddMonoidWithOne R
inst✝¹ : SetLike S R
s : S
inst✝ : AddSubmonoidWithOneClass S R
n : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : E → ι → ℝ
s : Set E
hf : LipschitzOnWith C f s

∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : E → ι → ℝ

Context: s : Set E

Context: hf : LipschitzOnWith C f s

Context: A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : E → ι → ℝ

Context: s : Set E

Context: hf : LipschitzOnWith C f s

Context: this : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f✝ g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : E → ι → ℝ

Context: s : Set E

Context: hf : LipschitzOnWith C f s

Context: x : E

Context: hx : ∀ (i : ι), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x

Context: xs : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s✝ : Set α

Context: f : ι → α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: hs : BddAbove s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s : Set α

Context: f : ι → α

Context: a : α

Context: hs : BddAbove ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s✝ : Set α

Context: f : ι → α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: hs : BddAbove s

Context: hne : s.Nonempty


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
head✝ : Sigma β
l : List (Sigma β)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: v' : Valuation K Γ'₀


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: v' : Valuation K Γ'₀


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h✝ : β → G γ
f : β → γ
x : t β
g : α → G β
h : β → γ
x✝ : t α

traverse (map h ∘ g) x✝ = (map (map h) ∘ traverse g) x✝


Context:
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
t : ℕ
hl : m * m < t * t
hr : t * t < (m + 1) * (m + 1)


Context:
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
t : ℕ
hl : m * m < t * t
hr : t * t < (m + 1) * (m + 1)
h1 : m < t


Context:
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
t : ℕ
hl : m * m < t * t
hr : t * t < (m + 1) * (m + 1)
h1 : m < t
h2 : t < m + 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : ¬Integrable f μ

∫ (x : α), f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: f✝ g : α → E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → E

Context: hf : ¬Integrable f μ

Context: h : Integrable (fun x => f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: f✝ g : α → E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α → E

Context: hf : ¬Integrable f μ

f = (fun x => f x - ⨍ (a : α), f a ∂μ) + fun x => ⨍ (a : α), f a ∂μ


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

W.Ψ (2 * (↑m + 2) + 1) = W.Ψ (↑m + 4) * W.Ψ (↑m + 2) ^ 3 - W.Ψ (↑m + 1) * W.Ψ (↑m + 3) ^ 3 + W.toAffine.polynomial * (16 * W.toAffine.polynomial - 8 * W.ψ₂ ^ 2) * C (if Even m then W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 else -W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3)


(C (W.preΨ' (2 * (m + 2) + 1)) * if Even (2 * (m + 2) + 1) then W.ψ₂ else 1) = (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even (m + 4) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even (m + 2) then W.ψ₂ else 1) ^ 3 - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even (m + 1) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) ^ 3 + W.toAffine.polynomial * (16 * W.toAffine.polynomial - 8 * W.ψ₂ ^ 2) * C (if Even m then W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 else -W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3)


C ((W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 * if Even m then W.Ψ₂Sq ^ 2 else 1) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else W.Ψ₂Sq ^ 2) * 1 = (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) ^ 3 - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) ^ 3 + W.toAffine.polynomial * (16 * W.toAffine.polynomial - 8 * W.ψ₂ ^ 2) * C (if Even m then W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 else -W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: C : ℝ≥0

‖f‖₊ ≤ C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: c : 𝕜

Context: f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G

Context: m : (i : ι) → E i

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝² : NormedField 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G

Context: inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

Context: C : ℝ≥0

↑‖f‖₊ ≤ ↑C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ↑‖f m‖₊ ≤ ↑(C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length


↑(map (Finset.card ∘ support) [l.attach.formPerm]) = {l.length}


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0

⟪a, x⟫_ℝ • (innerₛₗ ℝ) a + (o.areaForm a) x • o.areaForm a = ‖a‖ ^ 2 • (innerₛₗ ℝ) x


∀ (i : Fin 2), (⟪a, x⟫_ℝ • (innerₛₗ ℝ) a + (o.areaForm a) x • o.areaForm a) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i) = (‖a‖ ^ 2 • (innerₛₗ ℝ) x) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Function.Injective f
ht : t ⊆ range f


Context:
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this : Encodable ↑s


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝² : Encodable ↑s

Context: this✝¹ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this✝ : DiscreteTopology ↑s

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Context: this : ∀ (UV : ↑s), ∃ f, EqOn (⇑f) 0 (↑UV).1 ∧ EqOn (⇑f) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 (ε UV)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Context: f : ↑s → C(X, ℝ)

Context: hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1

Context: hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ

Context: hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Context: f : ↑s → C(X, ℝ)

Context: hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Context: f : ↑s → C(X, ℝ)

Context: F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Context: f : ↑s → C(X, ℝ)

Context: hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: B : Set (Set X)

Context: hBc : B.Countable

Context: hB : IsTopologicalBasis B

Context: this✝¹ : Encodable ↑s

Context: this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥

Context: this : DiscreteTopology ↑s

Context: ε : ↑s → ℝ

Context: ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1

Context: hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Context: f : ↑s → C(X, ℝ)

Context: x : X


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f

∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, c * f ↑n ≤ f u


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: c : ℝ

Context: hc_mem : c > 0

Context: hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, c * f x ≤ f u


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Measurable f
hg : Measurable g

IndepFun f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) μ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: f g : A ⟶ X φ i

Context: h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij

Context: h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: f g : A ⟶ X φ i

Context: h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i

Context: this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: f g : A ⟶ X φ i

Context: h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i

f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom = g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: f g : A ⟶ X φ i

Context: h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i

(f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.fst = (g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.fst


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: F G K : HomologicalComplex C c

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ

Context: inst✝ : DecidableRel c.Rel

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: A : C

Context: f g : A ⟶ X φ i

Context: h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i

(f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.snd = (g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.snd


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Fintype α
t : Finset β
hαt : Fintype.card α = t.card
s : Set α
f : α → β
hfst : MapsTo f s ↑t
hfs : InjOn f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α


⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ decode₂ β i), f j = ⨆ b, f b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hne : I ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: I : FractionalIdeal A⁰ K

Context: hne : I ≠ 0

Context: a : A

Context: J : Ideal A

Context: ha : a ≠ 0

Context: hJ : I = spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: I : FractionalIdeal A⁰ K

Context: hne : I ≠ 0

Context: a : A

Context: J : Ideal A

Context: ha : a ≠ 0

I * (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a) * (↑J)⁻¹) = 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: a : A

Context: J : Ideal A

Context: ha : a ≠ 0

Context: hne : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J ≠ 0

spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J * (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a) * (↑J)⁻¹) = 1


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra A K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing A K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain A

Context: a : A

Context: J : Ideal A

Context: ha : a ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U : Set M

Context: hU : IsOpen U

Context: hSig : IsSigmaCompact U

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U μ

Context: h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U : Set M

Context: hU : IsOpen U

Context: hSig : IsSigmaCompact U

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U μ

Context: meas_U : MeasurableSet U


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U : Set M

Context: hU : IsOpen U

Context: hSig : IsSigmaCompact U

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U μ

Context: meas_U : MeasurableSet U

∀ᵐ (x : ↑U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }

∀ᵐ (x : ↥U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: this : SigmaCompactSpace ↥U


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: this : SigmaCompactSpace ↥U

LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: this : SigmaCompactSpace ↥U

Context: g : ↥U → ℝ

Context: g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g

Context: g_supp : HasCompactSupport g

∫ (x : ↥U), g x • f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: this : SigmaCompactSpace ↥U

Context: g : ↥U → ℝ

Context: g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g

Context: g_supp : HasCompactSupport g

Context: h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: this : SigmaCompactSpace ↥U

Context: g : ↥U → ℝ

Context: g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g

Context: g_supp : HasCompactSupport g

Context: h : ∫ (x : M) in ↑U, Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: this : SigmaCompactSpace ↥U

Context: g : ↥U → ℝ

Context: g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g

Context: g_supp : HasCompactSupport g

Context: x : M

Context: hx : x ∉ ↑U

Function.extend Subtype.val g 0 x • f x = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: U✝ : Set M

Context: hU : IsOpen U✝

Context: hSig : IsSigmaCompact U✝

Context: hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ

Context: meas_U : MeasurableSet U✝

Context: this : SigmaCompactSpace ↥U

Context: g : ↥U → ℝ

Context: g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g

Context: g_supp : HasCompactSupport g

Context: x : M

Context: hx : x ∉ ↑U


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂

∀ {ι : Type u_1} [inst : _root_.Finite ι] (W : ι → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)


∀ {α β : Type u_1}, α ≃ β → (∀ (W : α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)) → ∀ (W : β → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)


∀ (W : PEmpty.{u_1 + 1} → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)


∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α], (∀ (W : α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)) → ∀ (W : Option α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
t : Set β
ht : t ∈ f
hts : m ⁻¹' t ⊆ sᶜ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
t : Set β
ht : t ∈ f
hts : m ⁻¹' t ⊆ sᶜ
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : m x ∈ t


Context: n : ℕ+


Context: m n k : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.cycles
h : f₁ ≫ S.iCycles = f₂ ≫ S.iCycles


Context: P : TopCat → Prop

Context: α : Type w

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: X : α → CompHausLike P

Context: inst✝ : HasExplicitFiniteCoproduct X

Context: a : α

Context: x y : (forget (CompHausLike P)).obj (X a)

Context: hxy : (ι X a) x = (ι X a) y


Context: α β✝ γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (Option α ⊕ β)

Context: pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v

Context: x : ℕ

Context: hx : x ::ₒ v ∈ S

Context: t : β → ℕ

Context: ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0

(Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ x ::ₒ t) = 0


Context: α β✝ γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (Option α ⊕ β)

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v

Context: x : ℕ

Context: hx : x ::ₒ v ∈ S

Context: t : β → ℕ

Context: ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0

p ((v ⊗ x ::ₒ t) ∘ (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some)) = 0


Context: α β✝ γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (Option α ⊕ β)

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v

Context: x : ℕ

Context: hx : x ::ₒ v ∈ S

Context: t : β → ℕ

Context: ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0


Context: α β✝ γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (Option α ⊕ β)

Context: v : α → ℕ

Context: x✝ : ∃ t, (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0

Context: t : Option β → ℕ

Context: ht : (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0


Context: α β✝ γ : Type u

Context: S✝ S' : Set (α → ℕ)

Context: S : Set (Option α → ℕ)

Context: β : Type u

Context: p : Poly (Option α ⊕ β)

Context: v : α → ℕ

Context: t : Option β → ℕ

Context: ht : p ((v ⊗ t) ∘ (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some)) = 0


Context:
x : ℝ
h : x < -1

2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) - π


Context:
x : ℝ
h : x < -1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: l : List α

Context: H : ∀ a ∈ l, p a

Context: hf : ∀ (a : α) (ha : p a) (b : α) (hb : p b), f a ha = f b hb → a = b

Context: h : l.Nodup


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: p : α → Prop

Context: f : (a : α) → p a → β

Context: l : List α

Context: H : ∀ a ∈ l, p a

Context: h : l.Nodup


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs✝ : s.Finite
ht✝ : t.Finite
inst✝ : DecidableEq α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
h : (s ∆ t).Finite
a✝ : α

a✝ ∈ h.toFinset ↔ a✝ ∈ hs.toFinset ∆ ht.toFinset


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
hp : ¬map i p = 0

(map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: hsplit : Splits i p

Context: hp : ¬map i p = 0

Context: q : L[X]

Context: he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p

Context: hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree

Context: hr : q.roots = 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: hp : ¬map i p = 0

Context: q : L[X]

Context: hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)

Context: hr : q.roots = 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: q : L[X]

Context: hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0

Context: hr : q.roots = 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: q : L[X]

Context: hr : q.roots = 0

Context: hq : q ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: q : L[X]

Context: hr : q.roots = 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: h : ¬q.natDegree = 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: q : L[X]

Context: hr : q.roots = 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: h : ¬q.natDegree = 0

Context: h' : (map (RingHom.id L) q).natDegree ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: q : L[X]

Context: hr : q.roots = 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: h : ¬q.natDegree = 0

Context: this : (map (RingHom.id L) q).roots ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: p : K[X]

Context: i : K →+* L

Context: q : L[X]

Context: hr : q.roots = 0

Context: hq : q ≠ 0

Context: h : ¬q.natDegree = 0

map (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q) ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : n < l.length


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
h : M ≅[L] N


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup F

Context: f : ℕ → E

Context: g : ℕ → ℝ

Context: hg : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i

Context: hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup F

Context: f : ℕ → E

Context: g : ℕ → ℝ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, f i) (∑ i ∈ range N, f i) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup F

Context: f : ℕ → E

Context: g : ℕ → ℝ

Context: hg✝ : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i

Context: hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: hg : ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, g i) (∑ i ∈ range N, g i) < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

dist (∑ i ∈ range n, f i) (∑ i ∈ range N, f i) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup F

Context: f : ℕ → E

Context: g : ℕ → ℝ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hg : dist (∑ i ∈ range n, g i) (∑ i ∈ range N, g i) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup F

Context: f : ℕ → E

Context: g : ℕ → ℝ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hg : ‖∑ k ∈ Ico N n, g k‖ < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H


ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) (↑I x)) ∘ ↑I ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)


↑I ∘ ↑I.symm =ᶠ[nhdsWithin (↑I x) (range ↑I)] id


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
X : CostructuredArrow S T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ


(fun a => ↑‖f a‖₊) =ᶠ[ae μ] fun a => ENNReal.ofReal (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
x : α
hx : 0 x ≤ f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
h₂ : μ t ≤ μ s
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤
h₂ : μ t = μ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
hsm : MeasurableSet s
h₂ : μ t = μ s
ht : μ s ≠ ⊤


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: a : A

Context: this : spectralRadius ℂ ((gelfandTransform ℂ A) (star a * a)) = spectralRadius ℂ (star a * a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: a : A

Context: this : ↑‖star ((gelfandTransform ℂ A) a) * (gelfandTransform ℂ A) a‖₊ = ↑‖star a * a‖₊


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedCommRing A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : CompleteSpace A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : CstarRing A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: a : A

Context: this : ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖₊ ^ 2 = ‖a‖₊ ^ 2


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), x.appr n < p ^ n
x : ℤ_[p]


(if h : x - ↑(x.appr n) = 0 then x.appr n else x.appr n + p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff ⋯) * 0 ^ match (x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n with | Int.ofNat m => m | Int.negSucc m => m.succ).val) < p ^ (n + 1)


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), x.appr n < p ^ n
x : ℤ_[p]
hp : p ^ n < p ^ (n + 1)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁

∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁

Context: φ : T₁ ⟶ T₂ := completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ e.hom.left e.hom.right ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁

Context: this✝ : IsIso φ.hom₁

Context: this : IsIso φ.hom₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁

Context: this✝¹ : IsIso φ.hom₁

Context: this✝ : IsIso φ.hom₂

Context: this : IsIso φ.hom₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁

Context: this✝² : IsIso φ.hom₁

Context: this✝¹ : IsIso φ.hom₂

Context: this✝ : IsIso φ.hom₃

Context: this : IsIso φ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformly F f p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
y : Set β

∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a' a ↔ s (f a') (f a))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝¹ : AddCommMonoidWithOne α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset ι

↑(filter p s).card = ∑ a ∈ s, if p a then 1 else 0


Context:
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α β γ : TypeVec.{u} n
f : α ⟹ β
g : β ⟹ γ
x : F α


abs ((g ⊚ f) <$$> repr x) = abs (g <$$> f <$$> repr x)


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ≥0
hx : x ∈ s


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ


ContinuousOn (fun c => ↑c ^ (r + 1) / (r + 1)) [[0, c]]


∀ x ∈ Set.Ioo (min 0 c) (max 0 c), HasDerivWithinAt (fun c => ↑c ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) (Set.Ioi x) x


IntervalIntegrable (fun y => ↑y ^ r) MeasureTheory.volume 0 c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
a b c : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α

DecompositionMonoid (Associates α) ↔ DecompositionMonoid α


Context:
q : ℚ
r : ℝ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive C

Context: inst✝⁸ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁶ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁵ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁴ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝³ : L.EssSurj

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: X : D

contractibleTriangle X ∈ L.essImageDistTriang


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁹ : Preadditive C

Context: inst✝⁸ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁶ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁵ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁴ : L.CommShift ℤ

Context: inst✝³ : L.EssSurj

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms D

Context: inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms

Context: X : D

contractibleTriangle X ≅ L.mapTriangle.obj (contractibleTriangle (L.objPreimage X))


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᶠ[ae volume] g
hg_int : Integrable g volume


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
m : X


Context:
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k


((colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k


G.map (𝟙 j, 𝟙 k) ≫ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k


𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k


Context:
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []

signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []
this : f = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E

Metric.ball a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J : Submodule B L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
x y : α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
u : UniformSpace α
h : (𝓤 α).HasBasis p s

u = ⊥ ↔ ∃ i, p i ∧ Pairwise fun x y => (x, y) ∉ s i


Context: x y : ℝ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' X : Cᵒᵖ
Y : Dᵒᵖ
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.op.obj Y

((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X')) (g.unop ≫ f.unop)).op = (F.map f.unop).op ≫ ((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X)) g.unop).op


(h.unit.app (Opposite.unop Y) ≫ F.map (g.unop ≫ f.unop)).op = (F.map f.unop).op ≫ (h.unit.app (Opposite.unop Y) ≫ F.map g.unop).op


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' : Cᵒᵖ
X Y : Dᵒᵖ
f : F.op.obj X' ⟶ X
g : X ⟶ Y

((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X')).symm (g.unop ≫ f.unop)).op = ((h.homEquiv (Opposite.unop X) (Opposite.unop X')).symm f.unop).op ≫ (G.map g.unop).op


(G.map (g.unop ≫ f.unop) ≫ h.counit.app (Opposite.unop X')).op = (G.map f.unop ≫ h.counit.app (Opposite.unop X')).op ≫ (G.map g.unop).op


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

(K.sc' i j k).homologyπ ≫ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).inv = (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.homologyπ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hg : Monotone g
s : Set β

(∃ i ∈ f, ∃ x ∈ g i, id x ⊆ s) ↔ ∃ t ∈ f, s ∈ g t


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4583, u_3} D
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : C₁ ⥤ D₂
G' : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : Lifting L₁ W₁ G G'
F : C₂ ⥤ D₁
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝ : Lifting L₂ W₂ F F'
α : G ⋙ F' ≅ L₁
β : F ⋙ G' ≅ L₂
X : C₂

(liftNatTrans L₂ W₂ (F ⋙ G') L₂ (F' ⋙ G') (𝟭 D₂) β.hom).app (L₂.obj X) = (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X


(Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X ≫ (Lifting.iso L₂ W₂ L₂ (𝟭 D₂)).inv.app X = (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X


G'.map ((Lifting.iso' W₂).hom.app X) ≫ β.hom.app X ≫ 𝟙 (L₂.obj X) = G'.map ((Lifting.iso' W₂).hom.app X) ≫ β.hom.app X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

map (Embedding.subtype p) (Ico a b) = Ico ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ico ↑a ↑b)) = Ico ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Ico ↑a ↑b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: p : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b : Subtype p

Context: x : α

Context: hx : ↑a ≤ x ∧ x < ↑b


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
r : R

(expand R p) ((monomial q) r) = (monomial (q * p)) r


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A B : Matrix n n α

Context: g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1

Context: f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix

Context: f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M

(A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A B : Matrix n n α

Context: f'_adj : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M).adjugate = M.adjugate


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A B : Matrix n n α

Context: f'_g_mul : ∀ (M N : Matrix n n α), f' (g M * g N) = M * N


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A B : Matrix n n α

Context: hu : ∀ (M : Matrix n n α), IsRegular (g M).det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
f✝ : ℝ → ℝ
x✝ f' : ℝ
s : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
h₁ : DifferentiableAt ℝ f x
h₂ : f x ≠ 0


deriv (log ∘ f) x = deriv (fun x => log (f x)) x


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
t : RBNode α

any p t = true ↔ Any (fun x => p x = true) t


Context: xl xr : Type u_1

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: x✝⁵ : ∀ (y : PGame), (invImage (fun x => x) instWellFoundedRelation).1 y (mk xl xr xL xR) → Subsingleton y.Short

Context: a b : (mk xl xr xL xR).Short

Context: α β : Type u_1

Context: L : α → PGame

Context: R : β → PGame

Context: x✝⁴ : ∀ (y : PGame), (invImage (fun x => x) instWellFoundedRelation).1 y (mk α β L R) → Subsingleton y.Short

Context: h✝³ : mk xl xr xL xR = mk α β L R

Context: α_eq✝¹ : xl = α

Context: L✝² : xl → PGame

Context: inst✝³ : Fintype xl

Context: β_eq✝¹ : xr = β

Context: R✝² : xr → PGame

Context: inst✝² : Fintype xr

Context: a_eq✝³ : HEq xL L✝²

Context: x✝³ : (i : xl) → (xL i).Short

Context: a_eq✝² : HEq xR R✝²

Context: x✝² : (j : xr) → (xR j).Short

Context: h✝² : HEq a (Short.mk x✝³ x✝²)

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: L✝¹ : α✝ → PGame

Context: R✝¹ : β✝ → PGame

Context: h✝¹ : mk xl xr xL xR = mk α✝ β✝ L✝¹ R✝¹

Context: α_eq✝ : xl = α✝

Context: L✝ : xl → PGame

Context: inst✝¹ : Fintype xl

Context: β_eq✝ : xr = β✝

Context: R✝ : xr → PGame

Context: inst✝ : Fintype xr

Context: a_eq✝¹ : HEq xL L✝

Context: x✝¹ : (i : xl) → (xL i).Short

Context: a_eq✝ : HEq xR R✝

Context: x✝ : (j : xr) → (xR j).Short

Context: h✝ : HEq b (Short.mk x✝¹ x✝)

Context: x : xl

(invImage (fun x => x) instWellFoundedRelation).1 (xL x) (mk α β L R)


Context: xl xr : Type u_1

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: a b : (mk xl xr xL xR).Short

Context: α β : Type u_1

Context: L : α → PGame

Context: R : β → PGame

Context: h✝³ : mk xl xr xL xR = mk α β L R

Context: α_eq✝¹ : xl = α

Context: L✝² : xl → PGame

Context: inst✝³ : Fintype xl

Context: β_eq✝¹ : xr = β

Context: R✝² : xr → PGame

Context: inst✝² : Fintype xr

Context: a_eq✝³ : HEq xL L✝²

Context: x✝³ : (i : xl) → (xL i).Short

Context: a_eq✝² : HEq xR R✝²

Context: x✝² : (j : xr) → (xR j).Short

Context: h✝² : HEq a (Short.mk x✝³ x✝²)

Context: α✝ β✝ : Type u_1

Context: L✝¹ : α✝ → PGame

Context: R✝¹ : β✝ → PGame

Context: h✝¹ : mk xl xr xL xR = mk α✝ β✝ L✝¹ R✝¹

Context: α_eq✝ : xl = α✝

Context: L✝ : xl → PGame

Context: inst✝¹ : Fintype xl

Context: β_eq✝ : xr = β✝

Context: R✝ : xr → PGame

Context: inst✝ : Fintype xr

Context: a_eq✝¹ : HEq xL L✝

Context: x✝¹ : (i : xl) → (xL i).Short

Context: a_eq✝ : HEq xR R✝

Context: x✝ : (j : xr) → (xR j).Short

Context: h✝ : HEq b (Short.mk x✝¹ x✝)

Context: x : xr

(invImage (fun x => x) instWellFoundedRelation).1 (xR x) (mk α β L R)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R

ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat = (λ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv


ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit = (ρ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv


ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul = ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ≫ (α_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).hom


ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul = ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ X.toModuleCat ≫ (α_ X.toModuleCat X.toModuleCat X.toModuleCat).hom


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b


Context:
V : Type
G : SimpleGraph V
inst✝² : G.LocallyFinite
inst✝¹ : Fact G.Preconnected
inst✝ : Infinite V


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n✝ n : σ →₀ ℕ
hnn : n ≠ 0
a : R
m : σ →₀ ℕ

MvPolynomial.coeff m ((trunc R n) ((C σ R) a)) = MvPolynomial.coeff m (MvPolynomial.C a)


Context:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g


Context:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p✝ : γ → δ → Prop
r p : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
hst : Rel r s t
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, r a b → p a b


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M''
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
a b : R
x y : M✝
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
inst✝⁶ : CommRing K
inst✝⁵ : Semiring M
inst✝⁴ : Algebra K M
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K L


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
a : α
ha : Tendsto (seq hf U_mem) atTop (𝓝 a)
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
m : ℕ
hm : U m ⊆ s

∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (a, y) ∈ s ∧ y ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: hf : Cauchy f

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: a : α

Context: ha : Tendsto (seq hf U_mem) atTop (𝓝 a)

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: m : ℕ

Context: hm : U m ⊆ s

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ b ≥ n, seq hf U_mem b ∈ {y | (a, y) ∈ U m}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: hf : Cauchy f

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: a : α

Context: ha : Tendsto (seq hf U_mem) atTop (𝓝 a)

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: m : ℕ

Context: hm : U m ⊆ s

Context: n : ℕ

setSeq hf U_mem (max m n) ×ˢ setSeq hf U_mem (max m n) ⊆ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: f : Filter α

Context: hf : Cauchy f

Context: U : ℕ → Set (α × α)

Context: U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α

Context: U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s

Context: a : α

Context: ha : Tendsto (seq hf U_mem) atTop (𝓝 a)

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α

Context: m : ℕ

Context: hm : U m ⊆ s

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1

(1 - ε / 10) * ↑(G.nonuniformWitness ε U V).card ≤ ↑((star hP G ε hU V).biUnion id).card


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hP₁ : 0 < P.parts.card


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: x✝ : FamilyOfElements (G✝.op ⋙ ℱ✝.val) T✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: c : Cone (cospan g₁ g₂ ⋙ G) := (Cones.postcompose (diagramIsoCospan (cospan g₁ g₂ ⋙ G)).inv).obj (PullbackCone.mk f₁ f₂ e)

Context: c' : Cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G) := IsCofiltered.cone (c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G)

ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: eq₁ : f₁ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: eq₂ : f₂ = (c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

ℱ.val.map ((c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app left).right) ≫ eqToHom ⋯).op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map ((c'.pt.hom ≫ G.map (c'.π.app right).right) ≫ eqToHom ⋯).op (x g₂ hg₂)


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

ℱ.val.map c'.pt.hom.op (ℱ.val.map (G.map (c'.π.app left).right).op (eqToHom ⋯ (x g₁ hg₁))) = ℱ.val.map c'.pt.hom.op (ℱ.val.map (G.map (c'.π.app right).right).op (eqToHom ⋯ (x g₂ hg₂)))


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

ℱ.val.map (G.map (c'.π.app left).right).op (eqToHom ⋯ (x g₁ hg₁)) = ℱ.val.map (G.map (c'.π.app right).right).op (eqToHom ⋯ (x g₂ hg₂))


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: left_eq✝ : (((Functor.const WalkingCospan).obj c'.pt).map Hom.inl).left ≫ (c'.π.app one).left = (c'.π.app left).left ≫ ((c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G).map Hom.inl).left

Context: e₁ : (((Functor.const WalkingCospan).obj c'.pt).map Hom.inl).right ≫ (c'.π.app one).right = (c'.π.app left).right ≫ ((c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G).map Hom.inl).right


Context: C✝ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C✝

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: F : C✝ ⥤ D✝

Context: A : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C✝

Context: K✝ : GrothendieckTopology D✝

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G✝ : C✝ ⥤ D✝

Context: hG : CompatiblePreserving K✝ G✝

Context: ℱ✝ : SheafOfTypes K✝

Context: Z✝ : C✝

Context: T✝ : Presieve Z✝

Context: h : x✝.Compatible

Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : RepresentablyFlat G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: hx : x.Compatible

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: X : D

Context: f₁ : X ⟶ G.obj Y₁

Context: f₂ : X ⟶ G.obj Y₂

Context: g₁ : Y₁ ⟶ Z

Context: g₂ : Y₂ ⟶ Z

Context: hg₁ : T g₁

Context: hg₂ : T g₂

Context: e : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂

Context: left_eq✝¹ : (((Functor.const WalkingCospan).obj c'.pt).map Hom.inl).left ≫ (c'.π.app one).left = (c'.π.app left).left ≫ ((c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G).map Hom.inl).left

Context: left_eq✝ : (((Functor.const WalkingCospan).obj c'.pt).map Hom.inr).left ≫ (c'.π.app one).left = (c'.π.app right).left ≫ ((c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G).map Hom.inr).left

Context: e₂ : (((Functor.const WalkingCospan).obj c'.pt).map Hom.inr).right ≫ (c'.π.app one).right = (c'.π.app right).right ≫ ((c.toStructuredArrow ⋙ StructuredArrow.pre c.pt (cospan g₁ g₂) G).map Hom.inr).right


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∉ s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) → m' i → α
i : o
k : m' i
j : o
k' : m' j

blockDiagonal' (fun k => diagonal (d k)) ⟨i, k⟩ ⟨j, k'⟩ = diagonal (fun ik => d ik.fst ik.snd) ⟨i, k⟩ ⟨j, k'⟩


(if h : i = j then of (fun i_1 j => if i_1 = j then d i i_1 else 0) k (cast ⋯ k') else 0) = of (fun i j => if i = j then d i.fst i.snd else 0) ⟨i, k⟩ ⟨j, k'⟩


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) → m' i → α
i : o
k k' : m' i

(if h : i = i then of (fun i_1 j => if i_1 = j then d i i_1 else 0) k (cast ⋯ k') else 0) = of (fun i j => if i = j then d i.fst i.snd else 0) ⟨i, k⟩ ⟨i, k'⟩


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) → m' i → α
i : o
k : m' i
j : o
k' : m' j
hij : i ≠ j


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A


Context: Ω : Type u_1

Context: Ω' : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSpace Ω'

Context: ν : ProbabilityMeasure Ω

Context: f : Ω → Ω'

Context: f_aemble : AEMeasurable f ↑ν

Context: A : Set Ω'

Context: A_mble : MeasurableSet A

Context: this : ↑(ν.map f_aemble) A = ↑ν (f ⁻¹' A)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : f ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : f ≈ 0
hg : f * g ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf✝ : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hf : f * g ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0

padicNorm p (↑(f * g) (stationaryPoint hfg)) = padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) * padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))


padicNorm p (↑(f * g) (max (stationaryPoint hfg) (max ?neg.v2✝ ?neg.v3✝))) = padicNorm p (↑f (max ?neg.v1✝ (max (stationaryPoint hf) ?neg.v3✝))) * padicNorm p (↑g (max ?neg.v1✝ (max ?neg.v2✝ (stationaryPoint hg))))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source

map (↑(f.extend I).symm) (𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y) = 𝓝 y


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
A B : T.Algebra
f : A ⟶ B
inst✝ : IsIso f.f


Context: E✝ : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ g : E✝ → G

Context: C : ℝ

Context: s : Set E✝

Context: x✝ y✝ : E✝

Context: f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G

Context: φ : E✝ →L[𝕜] G

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E → G

Context: hf : Differentiable 𝕜 f

Context: hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = 0

Context: x y : E

Context: A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E


Context:
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑n * π = x
hn0 : n % 2 = 0


Context:
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑n * π = x
hn1 : n % 2 = 1


Context:
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑(n / 2) * (2 * π) + π = x
hn1 : n % 2 = 1


Context:
x : ℝ
n : ℤ
h : -1 = 1
hn : ↑(n / 2) * (2 * π) + π = x
hn1 : n % 2 = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g✝ : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T2Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x

Context: hg : ContinuousAt g b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g✝ : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T2Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: hg : ContinuousAt g b

Context: s : Set γ

Context: hs : s ∈ 𝓝 (g b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g✝ : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T2Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: hg : ContinuousAt g b

Context: s : Set γ

Context: hs : s ∈ 𝓝 (g b)

∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)


∀ (x : β), s (g x) → ∀ (a : α), i a = x → g (i a) ∈ s


StrictConcaveOn ℝ (Icc (-(π / 2)) (π / 2)) cos


Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior (Icc (-(π / 2)) (π / 2))


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)


Context: u v m n : ℤ