Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: x : P


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a b : M
h : Commute a b


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a b : M
h : Commute a b
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x

HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: c : 𝕜 → F →L[𝕜] G

Context: c' : F →L[𝕜] G

Context: d : 𝕜 → E →L[𝕜] F

Context: d' : E →L[𝕜] F

Context: u : 𝕜 → F

Context: u' : F

Context: hc : HasDerivWithinAt c c' s x

Context: hu : HasDerivWithinAt u u' s x

Context: this : HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (((c x).comp (smulRight 1 u') + (smulRight 1 c').flip (u x)) 1) s x


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
l : List α
a : α
h : a ∈ ⟦l⟧


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal


∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n ≤ upperCentralSeries G (n + 1)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ upperCentralSeries G n
y : G

x * y * x⁻¹ * y⁻¹ ∈ (upperCentralSeriesAux G n).fst


x * (y * x⁻¹ * y⁻¹) ∈ (upperCentralSeriesAux G n).fst


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l✝ l : Filter α

∀ (S : Set (Set α)), #↑S < ℵ₀ → (∀ s ∈ S, s ∈ l) → ⋂₀ S ∈ l


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: n : ℕ

Context: E : Fin n → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : Fin n) → MeasureSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Fin n), SigmaFinite volume

Context: f : (i : Fin n) → E i → 𝕜

∫ (x : (i : Fin n) → E i), ∏ i : Fin n, f i (x i) = ∏ i : Fin n, ∫ (x : E i), f i x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∉ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∉ upperClosure ↑t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∉ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∉ upperClosure ↑t


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₀ C₁ C₂ : Set X

Context: h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩

Context: x : ↑C₀

Context: hx : ↑x ∈ C₁

(piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₁ ⟨↑x, hx⟩


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₀ C₁ C₂ : Set X

Context: h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : ↑C₀

Context: hx : ↑x ∈ C₁

Context: this : (j : ↑C₀) → Decidable (j ∈ Subtype.val ⁻¹' C₁) := fun j => decidable_of_iff (↑j ∈ C₁) ⋯


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: C₀ C₁ C₂ : Set X

Context: h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂

Context: h₁ : IsClosed C₁

Context: h₂ : IsClosed C₂

Context: f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z

Context: f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁

Context: x : ↑C₀

Context: hx : ↑x ∈ C₁

(comap { toFun := C₁.restrictPreimage Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ } f₁) ⟨x, hx⟩ = f₁ ⟨↑x, hx⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁵ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: t : ι → Type u_11

Context: t' : ι → Type u_12

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)

Context: g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i

Context: f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i

Context: φ ψ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i

Context: x✝¹ : (i : ι) → s i

Context: x✝ : (i : ι) → t i

((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (φ + ψ)))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ)) + lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) ψ))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ


IntegrableOn (fun θ => f (const (Fin n → ℝ) c θ)) (Icc 0 fun x => 2 * π) volume


Context: a b c : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
h : IsLeftRegular (abv 1)

(fun x => abv 1 * x) (abv 1) = (fun x => abv 1 * x) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y₁ y₂ : β


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F : C ⥤ C'

Context: H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F

Context: inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F

Context: i : D.J

(D.mapGlueData F).ι i ≫ (D.gluedIso F).inv = F.map (D.ι i)


Context:
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Set α
h2 : #↑s < #α


Context: a b : Int


Context: a b : Int

↑(a - b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den - (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
htu : t ~[l] u
hvw : v ~[l] w

(fun x => t x / v x) ~[l] fun x => u x / w x


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
q✝ : ℚ
v_eq_q✝ : v✝ = ↑q✝
n : ℕ
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α

takeWhile p (takeWhile p l) = takeWhile p l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: I : Set ι

Context: hI : I.Finite

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

𝓝[I.pi s] x = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝[s i] x i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: I : Set ι

Context: hI : I.Finite

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

(⨅ i, comap (eval i) (𝓝 (x i))) ⊓ ⨅ i ∈ I, 𝓟 (eval i ⁻¹' s i) = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i)) ⊓ 𝓟 ((fun x => x i) ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: I : Set ι

Context: hI : I.Finite

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: x : (i : ι) → π i

((⨅ i ∈ I, comap (eval i) (𝓝 (x i))) ⊓ ⨅ i ∈ I, 𝓟 (eval i ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (eval i) (𝓝 (x i)) = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i)) ⊓ 𝓟 ((fun x => x i) ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n


Context: a✝ b c n a : ℕ

Multiset.map (fun x => x % a) (Multiset.Ico n (n + a)) = Multiset.range a


Context: a✝ b c n a : ℕ

Multiset.map (fun x => x % a) (Multiset.Ico n (n + a)) = (image (fun x => x % a) (Finset.Ico n (n + a))).val


Context: a✝ b c n a : ℕ

∀ x ∈ (Finset.Ico n (n + a)).val, ∀ y ∈ (Finset.Ico n (n + a)).val, x % a = y % a → x = y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : f₁ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : f₂ = φ.snd.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯

Context: hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯

Context: hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯

add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ.add.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z✝ : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯

Context: hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯

Context: Z : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Z

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z✝ : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯

Context: hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯

Context: Z : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Z

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)

Context: this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z✝ : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯

Context: hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯

Context: Z : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Z

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)

Context: this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))

φ₀.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z✝ : C

Context: φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯

Context: hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯

Context: Z : C

Context: t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z

Context: t₂ : φ.Y' ⟶ Z

Context: hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂

Context: hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂

Context: hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂

Context: ht : W (φ₀.s ≫ t₁)

Context: this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))

φ₀.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ.s ≫ t₂)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: W₀ : Π₀ (i : ι), G i

↑(W₀.sum fun a b => hV.linearIsometryEquiv ((V a) b)) = ⇑W₀


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: W₀ : Π₀ (i : ι), G i

↑(hV.linearIsometryEquiv (W₀.sum fun a => ⇑(V a))) = ⇑W₀


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: W₀ : Π₀ (i : ι), G i

↑(hV.linearIsometryEquiv (hV.linearIsometryEquiv.symm (W₀.sum (lp.single 2)))) = ⇑W₀


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: W₀ : Π₀ (i : ι), G i


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: W₀ : Π₀ (i : ι), G i

Context: i : ι


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommSemiring L
inst✝¹ : Nontrivial L
inst✝ : Algebra K L


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : Group G

Context: f : Fin (n + 1) → G

Context: x✝ : Fin (n + 1)

Context: x : Fin n

Context: hx : (f 0 • partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) x.castSucc = f x.castSucc

(f 0 • partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) x.succ = f x.succ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_3

Context: inst✝ : Group G

Context: f : Fin (n + 1) → G

Context: x✝ : Fin (n + 1)

Context: x : Fin n

Context: hx : f 0 * partialProd (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) x.castSucc = f x.castSucc

f 0 * partialProd (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) x.succ = f x.succ


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X A : C
inst✝ : IsConnected A
h : Nonempty ↑(F.obj X)
f : X ⟶ A
Z : C
u v : A ⟶ Z
huv : f ≫ u = f ≫ v


(fun f_1 => F.map f_1 (F.map f (Classical.arbitrary ↑(F.obj X)))) u = (fun f_1 => F.map f_1 (F.map f (Classical.arbitrary ↑(F.obj X)))) v


Context:
R : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
B : Type w₃
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
σ : Type u_1
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f

Function.Surjective ⇑(TensorProduct.map (AlgHom.id R B) f)


Function.Surjective ⇑(AlgHom.id R B).toLinearMap


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r : R

Squarefree r ↔ ∀ (x : R), multiplicity x r ≤ 1 ∨ IsUnit x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R

a * a ∣ r → IsUnit a ↔ multiplicity a r ≤ 1 ∨ IsUnit a


↑2 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r


2 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r


1 + 1 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a✝ b c a : α


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: inst✝ : AddCommMonoid P

Context: g : N →+ P

Context: f : α → M →+ N

Context: a : α

liftAddHom.symm (g.comp (liftAddHom f)) a = g.comp (f a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
h : A ∈ ↑(∂⁺ 𝒜)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
hA : A ∈ 𝒜
i : α
hi : i ∉ A
h : insert i A ∈ ↑(∂⁺ 𝒜)


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℤ


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s
t : Set α
hts : t ⊆ ↑s
ht : t.Nonempty
ht' : IsClosed t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s
t : Closeds α
hts : ↑t ⊆ ↑s
ht : (↑t).Nonempty


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
hab : ¬a = b
hbc : ¬b = c

((b - a) / (c - a)) • slope f a b + ((c - b) / (c - a)) • slope f b c = slope f a c


((c - b) / (c - a)) • slope f b c + ((b - a) / (c - a)) • slope f a b = slope f a c


Context: p n : ℕ

padicValNat p n = 0 ↔ p = 1 ∨ n = 0 ∨ ¬p ∣ n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜


∀ (i : ι), ↑((toDualMap 𝕜 E) x) (b i) = ↑((toDualMap 𝕜 E) y) (b i)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι

↑((toDualMap 𝕜 E) x) (b i) = ↑((toDualMap 𝕜 E) y) (b i)


((toDualMap 𝕜 E) x) (b i) = ((toDualMap 𝕜 E) y) (b i)


(starRingEnd 𝕜) ⟪b i, x⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) ⟪b i, y⟫_𝕜


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommSemiring S

Context: inst✝⁸ : Algebra S R

Context: inst✝⁷ : Module S M

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S R M

Context: R₁ : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : CommRing R₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_6

Context: K : Type u_7

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: D✝ : BilinForm R M

Context: D₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: B D : BilinForm R M

Context: h : (fun B x y => (B x) y) B = (fun B x y => (B x) y) D

Context: x y : M


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: C : WSeq α → Prop

Context: a : α

Context: s : WSeq α

Context: M : a ∈ s

Context: h1 : ∀ (b : α) (s' : WSeq α), a = b ∨ C s' → C (cons b s')

Context: h2 : ∀ (s : WSeq α), C s → C s.think


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: C : WSeq α → Prop

Context: a : α

Context: s : WSeq α

Context: M : a ∈ s

Context: h2 : ∀ (s : WSeq α), C s → C s.think

∀ (b : Option α) (s' : Seq (Option α)), some a = b ∨ C s' → C (Seq.cons b s')


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : DivisionRing K

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁶ : Module K V'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁴ : Module K V₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₃

Context: inst✝ : Module K V₃

Context: db : V₂ →ₗ[K] V

Context: eb : V₃ →ₗ[K] V

Context: cd : V₁ →ₗ[K] V₂

Context: ce : V₁ →ₗ[K] V₃

Context: hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb

Context: hgd : ker cd = ⊥

Context: eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce

Context: eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e

Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V₂ + Module.rank K V₃


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : DivisionRing K

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁶ : Module K V'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁴ : Module K V₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₃

Context: inst✝ : Module K V₃

Context: db : V₂ →ₗ[K] V

Context: eb : V₃ →ₗ[K] V

Context: cd : V₁ →ₗ[K] V₂

Context: ce : V₁ →ₗ[K] V₃

Context: hgd : ker cd = ⊥

Context: eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce

Context: hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : DivisionRing K

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁶ : Module K V'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁴ : Module K V₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₃

Context: inst✝ : Module K V₃

Context: db : V₂ →ₗ[K] V

Context: eb : V₃ →ₗ[K] V

Context: cd : V₁ →ₗ[K] V₂

Context: ce : V₁ →ₗ[K] V₃

Context: hgd : ker cd = ⊥

Context: eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce

Context: hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)

Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V + Module.rank K ↥(ker (db.coprod eb))


Context: K R : Type u

Context: V V₁ V₂ V₃ : Type v

Context: V' V'₁ : Type v'

Context: V'' : Type v''

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : DivisionRing K

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁶ : Module K V'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁴ : Module K V₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝² : Module K V₂

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₃

Context: inst✝ : Module K V₃

Context: db : V₂ →ₗ[K] V

Context: eb : V₃ →ₗ[K] V

Context: cd : V₁ →ₗ[K] V₂

Context: ce : V₁ →ₗ[K] V₃

Context: hgd : ker cd = ⊥

Context: eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce

Context: hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)

Module.rank K V₁ = Module.rank K ↥(ker (db.coprod eb))


Context:
a b c b' c' : ℕ
h1 : a.pow b' = c'
hb : 2 * b' = b
hc : c' * c' = c


Int.ofNat a ^ b' * Int.ofNat a ^ b' = Int.ofNat (a.pow b' * a.pow b')


Context: m n✝ : ℕ

Context: C : ℕ → Sort u

Context: H₁ H₂ : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (bit b n)

Context: h : (fun H n => n.bitCasesOn H) H₁ = (fun H n => n.bitCasesOn H) H₂

Context: b : Bool

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂

∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₃ ≠ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X✝ Y✝ : C
S✝ : Sieve X✝
R : Presieve X✝
J✝ J₂ : GrothendieckTopology C
Ps : Set (Cᵒᵖ ⥤ Type v)
J : GrothendieckTopology C
hJ : ∀ P ∈ Ps, Presieve.IsSheaf J P
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
hP : P ∈ Ps
Y : C
f : Y ⟶ X

Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows


Context: x y : ℝ


Context: r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R S : RegularExpression α

map g (map f (R + S)) = map (g ∘ f) (R + S)


map g (map f (R.comp S)) = map (g ∘ f) (R.comp S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R : RegularExpression α

map g (map f R.star) = map (g ∘ f) R.star


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a a₁✝ a₂✝ : α

Context: b✝ b₁ b₂ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : SMulPosReflectLE α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: zero : f 0 = 0

Context: b : β

Context: hb : 0 < b

Context: a₁ a₂ : α

Context: h : a₁ • b ≤ a₂ • b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
b : β
a₁ a₂ : α
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 < f b
h : a₁ • f b ≤ a₂ • f b


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

(w * cs.simple i * w⁻¹)⁻¹ = w * cs.simple i * w⁻¹


Context: R : Type uR

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: S : Type uS

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: T : Type uT

Context: A : Type uA

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: r✝ : R → R → Prop

Context: inst✝ : Semiring T

Context: r : R → R → Prop

Context: f g : RingQuot r →+* T

Context: w : f.comp (mkRingHom r) = g.comp (mkRingHom r)

Context: x : RingQuot r


Context: R : Type uR

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: S : Type uS

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: T : Type uT

Context: A : Type uA

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: r✝ : R → R → Prop

Context: inst✝ : Semiring T

Context: r : R → R → Prop

Context: f g : RingQuot r →+* T

Context: x : R

f ((mkRingHom r) x) = g ((mkRingHom r) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
o : Part α
h : p → o.Dom
a : α


(∃ (h_1 : p), o.get ⋯ = a) ↔ p ∧ ∃ (h : o.Dom), o.get h = a


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cone F

Context: X : C

Context: h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones

Context: s : Cone F

{ pt := s.pt, π := h.hom.app (op s.pt) { down := (h.inv.app (op s.pt) s.π).down } } = s


Context:
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0

∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → E

Context: p δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ ≠ 0

Context: this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → E

Context: p δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ ≠ 0

Context: this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → E

Context: p δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ ≠ 0

Context: η : ℝ≥0∞

Context: hη : LpAddConst p * (η + η) < δ

Context: ηpos : 0 < η


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: p δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ ≠ 0

Context: η : ℝ≥0∞

Context: hη : LpAddConst p * (η + η) < δ

Context: ηpos : 0 < η

Context: f g : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: Hf : eLpNorm f p μ ≤ η

Context: Hg : eLpNorm g p μ ≤ η


Context: σ✝ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝

Context: m n✝¹ : ℕ

Context: R : Type u_5

Context: σ : Type u_6

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: F✝ G✝ : MvPolynomial σ R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Infinite R

Context: F G : MvPolynomial σ R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hG : G.IsHomogeneous n

Context: h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G


Context: σ✝ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R✝ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝

Context: m n✝¹ : ℕ

Context: R : Type u_5

Context: σ : Type u_6

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: F✝ G✝ : MvPolynomial σ R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Infinite R

Context: F G : MvPolynomial σ R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hG : G.IsHomogeneous n


Context: this : Fact (0 < 2 * π)


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsOpenImmersion f

Context: H : P g


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsOpenImmersion f

Context: H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)

∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsOpenImmersion f

Context: U : ↑Z.affineOpens

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U

Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsOpenImmersion f

Context: U : ↑Z.affineOpens

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U

Context: this : IsIso (Scheme.Hom.appLE f (f ''ᵁ ↑V) ↑V ⋯)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : IsOpenImmersion f

Context: U : ↑Z.affineOpens

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U

Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (f ''ᵁ ↑V) ⋯)


Context:
α : Type u_1
s : Cycle α
x y : α
hxy : x ≠ y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context:
α : Type u_1
x y : α
hxy : x ≠ y
l : List α
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r l
hy : y ∈ Quot.mk Setoid.r l


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
this : 0 ≤ (‖x‖ - 1) ^ 2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

↑(upperClosure (s * t)) = ↑(upperClosure s * upperClosure t)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x y : 𝔸

Context: hxy : Commute x y

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x y : 𝔸

Context: hxy : Commute x y

(fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (x + y) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x y : 𝔸

Context: hxy : Commute x y

∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • (x + y) ^ n = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x y : 𝔸

Context: hxy : Commute x y

∑' (x_1 : ℕ), ∑ x_2 ∈ Finset.antidiagonal x_1, (↑x_1 !)⁻¹ • x_1.choose x_2.1 • (x ^ x_2.1 * y ^ x_2.2) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x y : 𝔸

Context: hxy : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: kl : ℕ × ℕ

Context: hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n

(↑n !)⁻¹ • n.choose kl.1 • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2) = (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x y : 𝔸

Context: hxy : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: kl : ℕ × ℕ

Context: hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝⁵ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔹

Context: inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x y : 𝔸

Context: hxy : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: kl : ℕ × ℕ

Context: hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n

Context: this : ↑n ! ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α

liminf u f \ a = liminf (fun b => u b \ a) f


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty

IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
s : ℕ+
hs : s ∈ S


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ

p.toList ((p ^ k) x) = (p.toList x).rotate k


(p.toList ((p ^ k) x)).length = ((p.toList x).rotate k).length


∀ (n : ℕ) (h₁ : n < (p.toList ((p ^ k) x)).length) (h₂ : n < ((p.toList x).rotate k).length), (p.toList ((p ^ k) x)).nthLe n h₁ = ((p.toList x).rotate k).nthLe n h₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : b = c / a


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: f : X → Y

Context: hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: f : X → Y


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝² : EMetricSpace X

Context: inst✝¹ : EMetricSpace Y

Context: C K r : ℝ≥0

Context: f✝ : X → Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SecondCountableTopology X

Context: f : X → Y

Context: x : X

Context: x✝ : x ∈ univ

∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, LipschitzOnWith C f t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
x : R

0 < rootMultiplicity x p ↔ p ≠ 0 ∧ p.IsRoot x


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: P : Sylow p G

Context: hdvd : p ^ n ∣ (↑P).index * Nat.card ↥↑P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P

(affineCombination k (s \ s₂) p) w -ᵥ (affineCombination k s₂ p) (-w) = (s.weightedVSub p) w


((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w - (s₂.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) (-w) = (s.weightedVSub p) w


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖


re (⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜‖


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n


Context:
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1

Context: ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

Units.mk0 ‖eval (↑q) (cyclotomic n ℂ)‖₊ ⋯ < Units.mk0 (q + 1).toNNReal ⋯ ^ φ n


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ < Units.mk0 (q + 1).toNNReal ⋯ ^ φ n


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

Units.mk0 (q + 1).toNNReal ⋯ ^ φ n = ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, ?convert_3 i


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

{ x // x ∈ primitiveRoots n ℂ } → NNRealˣ


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

∀ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ ≤ ?convert_3 i


Context: n : ℕ

Context: q : ℝ

Context: hn' : 3 ≤ n

Context: hq' : 1 < q

Context: hn : 0 < n

Context: hq : 0 < q

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

∃ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ < ?convert_3 i


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q ≠ 0

(p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i✝ : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: i : δ

Context: hi : i ∈ s

Context: x : (i : δ) → π i

(∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), (∫⋯∫⁻_s.erase i, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0

ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0
a_neg : a < 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0
a_pos : a > 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α

𝓟 s ≤ 𝓟 t ↔ s ⊆ t


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f


Context:
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt


Context: n : ℕ

Context: f : Vector ℕ n → ℕ

Context: hf : Primrec' f

Context: s : Primrec' fun v => (f v).sqrt

Context: fss : Primrec' fun v => f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt


Context: n : ℕ

Context: f : Vector ℕ n → ℕ

Context: hf : Primrec' f

Context: s : Primrec' fun v => (f v).sqrt

Context: v : Vector ℕ n

(if f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt < (f v).sqrt then f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt else (f v).sqrt) = (unpair (f v)).1


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: fp : Finpartition univ := h.finpartition


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: l : fp.parts.card < min univ.card r


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: x y : V

Context: hn : x ≠ y

Context: he : fp.part x = fp.part y


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: x y : V

Context: hn : x ≠ y

Context: he : fp.part x = fp.part y

∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: x y : V

Context: hn : x ≠ y

Context: he : fp.part x = fp.part y

Context: cf : G.CliqueFree r


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: x y : V

Context: hn : x ≠ y

Context: he : fp.part x = fp.part y

Context: cf : G.CliqueFree r

G.edgeFinset.card < (G ⊔ edge x y).edgeFinset.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: x y : V

Context: hn : x ≠ y

Context: he : fp.part x = fp.part y

Context: cf : G.CliqueFree r

(G ⊔ edge x y).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card.succ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

mfderivWithin I I id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
huv : G.edist u v = ⊤


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
huv : G.edist u v ≠ ⊤


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(f.inv ⊗ g) ≫ (f.hom ⊗ h) = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
K : Set α
hKs : K ⊆ s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hμK : μ (s \ K) < ε / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ε / 2 ≠ 0
K : Set α
hKs : K ⊆ s
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hμK : μ (s \ K) < ε / 2
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : μ U < μ K + ε / 2


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
m : CoprodI M

∀ (w : Word M), (m • w).prod = m * w.prod


Context:
p q : ℚ
s t : Set ℚ
H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated


Context: p q : ℚ

Context: s t : Set ℚ

Context: H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated

Context: x : ℕ → ℚ

Context: hx : Tendsto x atTop (cocompact ℚ ⊓ 𝓝 0)


Context: p q : ℚ

Context: s t : Set ℚ

Context: H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated

Context: x : ℕ → ℚ

Context: hx : Tendsto x atTop (cocompact ℚ) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 0)


Context:
p q : ℚ
s t : Set ℚ
H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated
x : ℕ → ℚ
hxc : Tendsto x atTop (cocompact ℚ)
hx0 : Tendsto x atTop (𝓝 0)


Context:
p q : ℚ
s t : Set ℚ
H : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated
x : ℕ → ℚ
hxc : Tendsto x atTop (cocompact ℚ)
hx0 : Tendsto x atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x n ∉ insert 0 (range x)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
f✝ : R[X]
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring S
i : R →+* S
x : S
inst✝ : Invertible x
N : ℕ
f : R[X]
hf : f.natDegree ≤ N

eval₂ i (⅟x) (reflect N f) = 0 ↔ eval₂ i x f = 0


eval₂ i (⅟x) (reflect N f) = 0 ↔ eval₂ i (⅟x) (reflect N f) * x ^ N = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: t : Set α

Context: a b : α

Context: s : Finset α

Context: h : (↑s).Nonempty


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜

dist ((lineMap p₁ p₂) c) p₁ = ‖c‖ * dist p₁ p₂


Context: x : ℝ

HasStrictDerivAt arctan (1 / (1 + x ^ 2)) x


Context:
x : ℝ
A : cos (arctan x) ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Set ↥(maximalIdeal R)

Submodule.span (ResidueField R) (⇑(maximalIdeal R).toCotangent '' s) = ⊤ ↔ Submodule.span R s = ⊤


Submodule.span R (⇑(maximalIdeal R).toCotangent '' s) = Submodule.restrictScalars R ⊤ ↔ Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent (Submodule.span R s) = ⊤


Function.Surjective ⇑(algebraMap R (ResidueField R))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : SupSet α
inst✝² : SupSet β
inst✝¹ : SupSet γ
inst✝ : SupSet δ
g : sSupHom β γ
f₁ f₂ : sSupHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
p' : ℤ
hp' : p' + n = q


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
hp' : p + a + n = q

(mk fun p q hpq => (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) q ⋯).v p q hpq = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) q hp'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β


Context: n : Int

Context: d : Nat

Context: z : d ≠ 0

Context: n' : Int

Context: d' : Nat

Context: z' : d' ≠ 0

Context: c : n'.natAbs.Coprime d'

Context: h : normalize n d z = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }


Context: n : Int

Context: d : Nat

Context: z : d ≠ 0

Context: n' : Int

Context: d' : Nat

Context: z' : d' ≠ 0

Context: c : n'.natAbs.Coprime d'

Context: this : ∃ d_1, d_1 ≠ 0 ∧ n = (normalize n d z).num * ↑d_1 ∧ d = (normalize n d z).den * d_1


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞


Context:
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f g : (a : α) → β a
a : α
b : β a


Context:
s t : ℝ
ht : 0 < t

IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume ↔ s < -1


Context: s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume


Context:
s t : ℝ
ht : 0 < t
h : -1 ≤ s

¬IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume


Context: s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : -1 ≤ s

Context: H : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi t) volume


Context: s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : -1 ≤ s

Context: H' : IntegrableOn (fun x => x ^ s) (Ioi (max 1 t)) volume


Context: s t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : -1 ≤ s

Context: this : IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ioi (max 1 t)) volume


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
R : Type u_1
r : R
s : ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a : α

Context: ha : Finite a a

Context: x✝ : a ^ (1 + 1) ∣ a

Context: b : α

Context: hb : a = a ^ (1 + 1) * b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: a : α

Context: ha : Finite a a

Context: x✝ : a ^ (1 + 1) ∣ a

Context: b : α

Context: hb : 1 = 1 * (a * 1 * b)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : CompleteSpace E
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 ℂ E
a : 𝕜
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), a • f z) = a • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : ↑F F.M
n : ℕ
i : F.B x.fst

Agree ((x.snd i).approx n) ((x.snd i).approx (n + 1))


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
x : ℕ

x ∈ nth p '' Set.Iio hf.toFinset.card ↔ x ∈ Set.range ⇑(hf.toFinset.orderEmbOfFin ⋯)


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite

Set.range ⇑(hf.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) = setOf p


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x✝¹ : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))

Context: x✝ : ↑(MaxProducts C ho)

Context: a : Products I

Context: ha : a ∈ GoodProducts (π C fun x => ord I x < o)

Context: b : Products I

Context: hb : b ∈ MaxProducts C ho

Context: hab : a = b


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x✝ : ↑(MaxProducts C ho)

Context: a : Products I

Context: b : Products I

Context: hb : a ∈ MaxProducts C ho

Context: hab : a = b


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x✝ : ↑(MaxProducts C ho)

Context: a : Products I

Context: b : Products I

Context: hb : a ∈ MaxProducts C ho

Context: hab : a = b

Context: ha' : ord I (term I ho) < o


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ u s t : Set α
h : s ⊆ t
h_surj : Surjective (inclusion h)


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ u s t : Set α
h : s ⊆ t
h_surj : Surjective (inclusion h)
x : α
hx : x ∈ t


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ u s t : Set α
h : s ⊆ t
h_surj : Surjective (inclusion h)
x : α
hx : x ∈ t
y : ↑s
hy : inclusion h y = ⟨x, hx⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E

x ∈ toCone s hs ↔ ∃ c, 0 < c ∧ c • x ∈ s


(∃ c, 0 < c ∧ ∃ y ∈ s, c • y = x) → ∃ c, 0 < c ∧ c • x ∈ s


(∃ c, 0 < c ∧ c • x ∈ s) → ∃ c, 0 < c ∧ ∃ y ∈ s, c • y = x


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ
r : ℝ
h : HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ
r : ℝ
h : HasSum f r


Context: R : Type u₁

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP R p

Context: f : Ring.Perfection R p

Context: n m✝ m : ℕ

Context: ih : (coeff R p (n + m)) ((⇑(frobenius (Ring.Perfection R p) p))^[m] f) = (coeff R p n) f

(coeff R p (n + m.succ)) ((⇑(frobenius (Ring.Perfection R p) p))^[m.succ] f) = (coeff R p n) f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: β : Sort u_1

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F G : C ⥤ D

Context: h_obj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X

Context: h_map : autoParam (∀ (X Y : C) (f : X ⟶ Y), F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
f : F →ₗ[𝕜] 𝕜
g : E →ₗ[𝕜] F
x✝ : E

(f.toSeminorm.comp g) x✝ = (f ∘ₗ g).toSeminorm x✝


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'

↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x


↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) ((toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹² : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E''

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : E'

Context: h_comp : ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) ((toSpanSingleton ℝ x).compLp (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] ↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹² : CompleteSpace E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: E'' : Type u_8

Context: 𝕜' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E''

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E''

Context: hm : m ≤ m0

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: x : E'

↑↑((toSpanSingleton ℝ x).compLp ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s t : Set γ
ha : IsGreatest s a
hb : IsGreatest t b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Ord α
inst✝² : Ord β
inst✝¹ : TransOrd α
inst✝ : TransOrd β


TransCmp (compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd))


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ

↑(↑x✝).expMapCircle = ↑(↑x✝).cos + ↑(↑x✝).sin * I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
inst✝ : Fintype ι
μ : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α

IsBigOWith (‖c‖ / ‖c'‖) l (fun _x => c) fun _x => c'


∀ᶠ (x : α) in l, ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖


∀ (a : α), a ∈ {x | (fun x => ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖) x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α

x ∈ {x | (fun x => ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖) x}


Context:
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω → E

average (↑μ) f = ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ.normalize


∫ (x : Ω), f x ∂(↑μ univ)⁻¹ • ↑μ = ∫ (ω : Ω), f ω ∂μ.mass⁻¹ • ↑μ


(↑μ univ)⁻¹ = ↑ENNReal.ofNNRealHom.toMonoidWithZeroHom μ.mass⁻¹


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂

(fun i => ((toMatrix b₁ b₂) 0).toMvPolynomial i) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 g

(Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y) ↔ Differentiable 𝕜 f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 g
h : Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R

finrank R ↥(LinearMap.range (Aᴴ * A).mulVecLin) = finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)


(fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range (Aᴴ * A).mulVecLin)) = (fun x => x + finrank R ↥(LinearMap.ker A.mulVecLin)) (finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
hno : s.Nodup


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : C r = 0


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
h : IsUnit (C r)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
a b : MvPolynomial σ R
hd : C r ∣ a * b


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: r : R

Context: hr : Prime r

Context: s : Finset σ

Context: a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

Context: hd : C r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'

C r ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ C r ∣ (rename Subtype.val) b'


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: r : R

Context: hr : Prime r

Context: s : Finset σ

Context: a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

Context: hd : (algebraMap R (MvPolynomial σ R)) r ∣ (rename Subtype.val) a' * (rename Subtype.val) b'


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: r : R

Context: hr : Prime r

Context: s : Finset σ

Context: a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

Context: this : (algebraMap R (MvPolynomial { x // x ∈ s } R)) r ∣ a' * b'


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: r : R

Context: hr : Prime r

Context: s : Finset σ

Context: a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

(rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) a' ∨ (rename Subtype.val) (C r) ∣ (rename Subtype.val) b'


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: r : R

Context: hr : Prime r

Context: s : Finset σ

Context: a' b' : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

Context: f : MvPolynomial { x // x ∈ s } R →+* MvPolynomial σ R := (rename Subtype.val).toRingHom


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1

Context: H2 : delta * r.size < l.size

Context: H3 : 2 * l.size ≤ 9 * r.size + 5 ∨ l.size ≤ 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1

Context: H2 : delta * r.size < l.size


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H1 : ¬l.size + r.size ≤ 1

Context: H2 : delta * r.size < l.size

2 * l.dual.size ≤ 9 * r.dual.size + 5 ∨ l.dual.size ≤ 3


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
f : α → β → γ
hs : s.Finite
ht : t.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
f : α → β → γ
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this : Finite ↑s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
f : α → β → γ
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this✝ : Finite ↑s
this : Finite ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s


Measurable fun a => ∑' (n : ℕ), κ.compProdFun (η.seq n) a s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hs : MeasurableSet s
n : ℕ

Measurable fun a => κ.compProdFun (η.seq n) a s


Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: hs : MeasurableSet s

Context: n : ℕ

Context: h_meas : Measurable (Function.uncurry fun a b => ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s})


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
m : Fin 1 → E

(iteratedFDerivWithin 𝕜 1 f s x) m = (fderivWithin 𝕜 f s x) (m 0)


(((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)) (m 0)) (tail m) = (fderivWithin 𝕜 f s x) (m 0)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U


Context: ι✝ : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ι : Type u_4

Context: S : Set ι

Context: hS : S.Countable

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α

Context: h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi

⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h


Context: ι✝ : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ι : Type u_4

Context: S : Set ι

Context: hS : S.Countable

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α


Context: ι✝ : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ι : Type u_4

Context: S : Set ι

Context: hS : S.Countable

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α

Context: this : Encodable ↑S


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n

(M.updateRow i b).map f i✝ j✝ = (M.map f).updateRow i (f ∘ b) i✝ j✝


f (if i✝ = i then b j✝ else M i✝ j✝) = if i✝ = i then (f ∘ b) j✝ else f (M i✝ j✝)


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

(1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 1 = M.trace


Context:
X✝ : CondensedSet
X : TopCat


Context:
X✝ : CondensedSet
X : TopCat

Continuous ((fun x => x.toFun PUnit.unit) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X.toCondensedSet)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.27949, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.27953, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C

(F.shiftIso 0 a a ⋯).inv.app X = (shiftFunctorZero D A).inv.app ((F.functor a).toPrefunctor.1 X)


(isoWhiskerLeft (F.functor a) (shiftFunctorZero D A)).inv.app X = (shiftFunctorZero D A).inv.app ((F.functor a).toPrefunctor.1 X)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.24226, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.symm.Rel i j

(fun i => (f.unop.f i).op) i ≫ ((fun X => (unop X).op) Y✝).d i j = ((fun X => (unop X).op) X✝).d i j ≫ (fun i => (f.unop.f i).op) j


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f

lift.{v, u} (Module.rank R M) = lift.{u, v} (Module.rank R M') + lift.{v, u} (Module.rank R ↥(LinearMap.ker f))


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜

QuotientAddGroup.mk '' Ico a (a + p) = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hab : a ≠ b
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x


Context:
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f✝ : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f✝
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction 1 f


Context:
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f✝ : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f✝
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction 1 f
a : ℕ
ha : hf.degree * 1 ^ a = f.natDegree


Context: α : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: γ γ₁ γ₂ : Γ₀

Context: l : Filter α

Context: f : α → Γ₀

Context: s : Set Γ₀

IsClosed s ↔ 0 ∈ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ s ⊆ Ici γ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
β : OreLocalization S X → Prop
c : ∀ (r : X) (s : ↥S), β (r /ₒ s)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α

(x, y) ∈ filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y ∧ ¬(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x y) (A ×ˢ A) → (x, y) ∈ ((P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x => match x with | (U, V) => U ×ˢ V) ∪ P.parts.biUnion offDiag ∪ (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x => match x with | (U, V) => G.interedges U V


x ∈ A → y ∈ A → G.Adj x y → (G.Adj x y → ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4) → (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v : Finset α

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ A

Context: h : G.Adj x y

Context: h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4

(∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v : Finset α

Context: x y : α

Context: hx✝ : x ∈ A

Context: hy : y ∈ A

Context: h : G.Adj x y

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hx : x ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v : Finset α

Context: x y : α

Context: hx✝ : x ∈ A

Context: hy✝ : y ∈ A

Context: h : G.Adj x y

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hx : x ∈ U

Context: V : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hy : y ∈ V


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v : Finset α

Context: x y : α

Context: hx✝ : x ∈ A

Context: hy✝ : y ∈ A

Context: h : G.Adj x y

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hx : x ∈ U

Context: hV : U ∈ P.parts

Context: hy : y ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: A : Finset α

Context: P : Finpartition A

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε δ : 𝕜

Context: u v : Finset α

Context: x y : α

Context: hx✝ : x ∈ A

Context: hy✝ : y ∈ A

Context: h : G.Adj x y

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hx : x ∈ U

Context: V : Finset α

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hy : y ∈ V

Context: hUV : U ≠ V


Context:
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c


Context: c✝ : Cardinal.{u_1}

Context: h : ℵ₀ ≤ c✝

Context: c : Cardinal.{u_1}

Context: x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y

Context: α : Type u_1

Context: IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y

Context: ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧


Context: c✝ : Cardinal.{u_1}

Context: h : ℵ₀ ≤ c✝

Context: c : Cardinal.{u_1}

Context: α : Type u_1

Context: IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y

Context: ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: e : (#α).ord = type r

⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧


Context: c✝ : Cardinal.{u_1}

Context: h : ℵ₀ ≤ c✝

Context: c : Cardinal.{u_1}

Context: α : Type u_1

Context: IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y

Context: ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: e : (#α).ord = type r

Context: this✝ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r

Context: this : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2

Context: f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }

Context: s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)

⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧


Context: c✝ : Cardinal.{u_1}

Context: h : ℵ₀ ≤ c✝

Context: c : Cardinal.{u_1}

Context: α : Type u_1

Context: IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y

Context: ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: e : (#α).ord = type r

Context: this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r

Context: this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1

Context: g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2

Context: this : IsWellOrder (α × α) s

⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧


Context: c✝ : Cardinal.{u_1}

Context: h : ℵ₀ ≤ c✝

Context: c : Cardinal.{u_1}

Context: α : Type u_1

Context: IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y

Context: ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: e : (#α).ord = type r

Context: g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2

Context: this : IsWellOrder (α × α) s


Context: c✝ : Cardinal.{u_1}

Context: h✝ : ℵ₀ ≤ c✝

Context: c : Cardinal.{u_1}

Context: α : Type u_1

Context: IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y

Context: ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: e : (#α).ord = type r

Context: g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2

Context: this : IsWellOrder (α × α) s

Context: o : Ordinal.{u_1}

Context: h : o < type s


Context: c✝ : Cardinal.{u_1}

Context: h✝ : ℵ₀ ≤ c✝

Context: c : Cardinal.{u_1}

Context: α : Type u_1

Context: IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y

Context: ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

Context: r : α → α → Prop

Context: wo : IsWellOrder α r

Context: e : (#α).ord = type r

Context: g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2

Context: this : IsWellOrder (α × α) s

Context: p : α × α

Context: h : typein s p < type s


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsStronglyCartesian f φ


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a✝ b✝ : 𝒳

Context: φ : a✝ ⟶ b✝

Context: R S : 𝒮

Context: a b : 𝒳

Context: inst✝ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a✝ b✝ : 𝒳

Context: φ : a✝ ⟶ b✝

Context: R S : 𝒮

Context: a b : 𝒳


Context: 𝒮 : Type u₁

Context: 𝒳 : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳

Context: p : 𝒳 ⥤ 𝒮

Context: a✝ b✝ : 𝒳

Context: φ : a✝ ⟶ b✝

Context: R S : 𝒮

Context: a b : 𝒳

𝟙 a✝ ≫ φ = φ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite

∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R ↥M₁

Context: N' : Submodule R ↥N₁

Context: left✝¹ : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥N'

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R ↥M₁

Context: N' : Submodule R ↥N₁

Context: left✝¹ : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥N'

Context: hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R ↥M₁

Context: N' : Submodule R ↥N₁

Context: left✝¹ : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥N'

Context: hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁

Context: hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R ↥M₁

Context: N' : Submodule R ↥N₁

Context: left✝¹ : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥N'

Context: hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁

Context: hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁

s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R ↥M₁

Context: N' : Submodule R ↥N₁

Context: left✝¹ : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥N'

Context: hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁

Context: hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN) ∘ₗ map (M₁.subtype.submoduleMap M') (N₁.subtype.submoduleMap N')))


Context:
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ

x ∈ map valEmbedding (Ioi a) ↔ x ∈ Ioc (↑a) (n - 1)


Context:
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ

(∃ a_1, a < a_1 ∧ valEmbedding a_1 = x) ↔ ↑a < x ∧ x ≤ n - 1


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: inst✝ : FormallyUnramified R S


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝ : FormallyUnramified R S

Context: this : FormallyUnramified S Sₘ


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: inst✝⁸ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝ : FormallyUnramified R S

Context: this✝ : FormallyUnramified S Sₘ

Context: this : FormallyUnramified R Sₘ


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R

Context: f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁

Context: s : S

Context: i : Fin n

TruncatedWittVector.coeff i ((truncate n) (liftFun f s)) = TruncatedWittVector.coeff i ((f n) s)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: s : S

Context: i : Fin n

TruncatedWittVector.coeff (Fin.last ↑i) ((f (↑i + 1)) s) = TruncatedWittVector.coeff i ((f n) s)