Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) (μ.trim hm)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: i : ι

Context: x : G i

(lift L ι G f g Hg).toFun ⟦Structure.Sigma.mk f i x⟧ = (g i) x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : (x : α) → Decidable ¬p x
f : α → β
this : DecidableEq α

(∏ x ∈ filter p s, f x) * ∏ x ∈ filter (fun x => ¬p x) s, f x = ∏ x ∈ s, f x


Context:
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)

padicValNat p (x ^ n + (y + 1) ^ n) = padicValNat p (x + (y + 1)) + padicValNat p n


↑(padicValNat p (x ^ n + (y + 1) ^ n)) = ↑(padicValNat p (x + (y + 1))) + ↑(padicValNat p n)


multiplicity p (x ^ n + (y + 1) ^ n) = multiplicity p (x + (y + 1)) + multiplicity p n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α

(l ++ [a]).sublists = l.sublists ++ map (fun x => x ++ [a]) l.sublists


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n


(∀ (n : ℕ), p.coeff n = q.coeff n) ↔ ∀ i ≤ n, p.coeff i = q.coeff i


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
i : ℕ
h : i ≤ n → p.coeff i = q.coeff i


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
i : ℕ
h : i ≤ n → p.coeff i = q.coeff i
k : n < i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
f : M ≃ₗ[R] N
v : Ray R M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
f : M ≃ₗ[R] N
g : M
hg : g ≠ 0

(map f) (-rayOfNeZero R g hg) = -(map f) (rayOfNeZero R g hg)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a : Rˣ


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
δ : Type w
a : α
β : Type u
fr : Stream' α → β
ch : fr (cycle [a] ⋯) = fr (const a)

fr (cycle [a] ⋯).tail = fr (const a).tail


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module ℝ A
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝ : SMulCommClass ℝ A A
a : A

QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ∀ x ∈ σₙ ℝ a, 0 ≤ x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
ha : IsOfFinOrder a


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L : C


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: πi' : Box ι → (J : Box ι) → Prepartition J

Context: J : Box ι

(J ∈ π.biUnion fun J => (πi J).biUnion (πi' J)) ↔ J ∈ (π.biUnion πi).biUnion fun J => πi' (π.biUnionIndex πi J) J


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: J : Box ι

(∃ J' ∈ π, ∃ J'_1 ∈ πi J', J ∈ πi' J' J'_1) ↔ ∃ J', (∃ J'_1 ∈ π, J' ∈ πi J'_1) ∧ J ∈ πi' (π.biUnionIndex πi J') J'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x

HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
z : E


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic E K

finSepDegree F E * finSepDegree E K = finSepDegree F K


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)

Context: x y : LocalizedModule S M

Context: a a' : M

Context: b b' : ↥S

lift' S g h (mk a b + mk a' b') = lift' S g h (mk a b) + lift' S g h (mk a' b')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: x y : LocalizedModule S M

Context: a a' : M

Context: b b' : ↥S

↑⋯.unit⁻¹ (g ((a', b').2 • (a, b).1 + (a, b).2 • (a', b').1)) = ↑⋯.unit⁻¹ (g a) + ↑⋯.unit⁻¹ (g a')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: x y : LocalizedModule S M

Context: a a' : M

Context: b b' : ↥S


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StarRing R
a : R
ha : ¬IsUnit a


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H
S : Finset G
hS₀ : S.card = Group.rank G
hS : closure ↑S = ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H
S : Finset G
hS₀ : S.card = Group.rank G
hS : closure ↑S = ⊤
T : Finset ↥H
hT₀ : T.card ≤ H.index * S.card
hT : closure ↑T = ⊤


Context:
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g✝ : α → β
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ

∑ j ∈ t, (filter (fun i => g i = j) s).card = (filter (fun i => g i ∈ t) s).card


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: a b : α

Context: f : α → δ

Context: hf : ContinuousOn f (uIcc a b)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
hf : Continuous f
t : Set Y


closure (f ⁻¹' t) ⊆ closure (f ⁻¹' closure t)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
α : Type u_3
k : ℕ
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype (Sym α k)

Fintype.card (Sym α k) = (Fintype.card α).multichoose k


Fintype.card (Sym α k) = Fintype.card (Sym (Fin (Fintype.card α)) k)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X

IsPathConnected F ↔ PathConnectedSpace ↑F


(F.Nonempty ∧ ∀ x ∈ F, ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y) ↔ PathConnectedSpace ↑F


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
y : X
hy : y ∈ s
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ∈ s


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ∈ s
j : Fin (s.length + 1)
hy : s.toFun j ∈ s

s.toFun i ≤ s.toFun j ∨ s.toFun j ≤ s.toFun i


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
x✝ : α × α
a b : α

(a, b) ∈ Prod.swap '' idRel ↔ (a, b) ∈ idRel


Context:
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : CochainComplex V ℕ
i : ℕ


Context:
α : Type u_1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
t : Set α
ht : t.Nonempty


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ φ' ψ' : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
h' : T.SemanticallyEquivalent φ' ψ'

T.SemanticallyEquivalent (φ ⟹ φ') (ψ ⟹ ψ')


∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), φ.Realize v xs → φ'.Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs → ψ'.Realize v xs


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: hv : Valued K Γ₀


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

∀ (b : hat K), ∃ c, Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 b)) (𝓝 c)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: x₀ : hat K

∃ c, Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x₀)) (𝓝 c)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

∃ c, Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 0)) (𝓝 c)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: x₀ : hat K

Context: h : x₀ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : α → ℕ
p : Poly α
ps : List (Poly α)

(sumsq (p :: ps)) x = 0 ↔ List.Forall (fun a => a x = 0) (p :: ps)


(sumsq (p :: ps)) x = 0 ↔ p x = 0 ∧ (sumsq ps) x = 0


(p * p + sumsq ps) x = 0 ↔ p x = 0 ∧ (sumsq ps) x = 0


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

Context: aux₁ : (fun a => k ≤ a.2) = (fun a => k ≤ a.1) ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).symm

filter (fun a => k ≤ a.2) (antidiagonal n) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }) (antidiagonal (n - k))


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

Context: aux₂ : ∀ (i j : ℕ), (∃ a b, a + b = n - k ∧ b = i ∧ a + k = j) ↔ ∃ a b, a + b = n - k ∧ a = i ∧ b + k = j


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

filter (fun a => k ≤ a.2) (map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (antidiagonal n)) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }) (antidiagonal (n - k))


Context: n k : ℕ

Context: h : k ≤ n

map (({ toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }.prodMap (Embedding.refl ℕ)).trans (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) (antidiagonal (n - k)) = map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := fun x => x + k, inj' := ⋯ }) (antidiagonal (n - k))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : IsSheaf J P
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X


Context: m : ℕ∞


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x : M
y : ↥S

mk x y * (monoidOf S).toMap ↑y = (monoidOf S).toMap x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }

Context: F : A → A

Context: hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1

Context: hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1

Context: hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1

Context: p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: F : A → A

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0

Context: prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: F : A → A

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0

Context: prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)

Context: pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n

Context: Ix : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.1 m = (↑(p (m + 1))).2.1 m

Context: Iy : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.2 m = (↑(p (m + 1))).2.2 m

Context: x : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n

Context: hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n

Context: y : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n

Context: hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n

Context: M : ∀ (n : ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: F : A → A

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0

Context: prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)

Context: pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n

Context: hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n

Context: hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n

Context: u v : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: v_open : IsOpen v

Context: xu : f x ∈ u

Context: yv : g y ∈ v

Context: huv : Disjoint u v


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: F : A → A

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0

Context: prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)

Context: pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n

Context: hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n

Context: hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n

Context: u v : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: v_open : IsOpen v

Context: xu : f x ∈ u

Context: yv : g y ∈ v

Context: huv : Disjoint u v

Context: this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: F : A → A

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0

Context: prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)

Context: pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n

Context: hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n

Context: hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n

Context: u v : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: v_open : IsOpen v

Context: xu : f x ∈ u

Context: yv : g y ∈ v

Context: huv : Disjoint u v

Context: εx : ℝ

Context: εxpos : εx > 0

Context: hεx : ball x εx ⊆ f ⁻¹' u


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: F : A → A

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0

Context: prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)

Context: pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n

Context: hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n

Context: hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n

Context: u v : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: v_open : IsOpen v

Context: xu : f x ∈ u

Context: yv : g y ∈ v

Context: huv : Disjoint u v

Context: εx : ℝ

Context: εxpos : εx > 0

Context: hεx : ball x εx ⊆ f ⁻¹' u

Context: εy : ℝ

Context: εypos : εy > 0

Context: hεy : ball y εy ⊆ g ⁻¹' v


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace α

Context: f g : (ℕ → ℕ) → α

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: h : Disjoint (range f) (range g)

Context: F : A → A

Context: p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0

Context: prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)

Context: pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n

Context: hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n

Context: hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n

Context: u v : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: v_open : IsOpen v

Context: xu : f x ∈ u

Context: yv : g y ∈ v

Context: huv : Disjoint u v

Context: εx : ℝ

Context: εxpos : εx > 0

Context: hεx : ball x εx ⊆ f ⁻¹' u

Context: εy : ℝ

Context: εypos : εy > 0

Context: hεy : ball y εy ⊆ g ⁻¹' v

Context: n : ℕ

Context: hn : (1 / 2) ^ n < min εx εy


Context:
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsIrrefl α r
inst✝ : Subsingleton α


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ

∫ (x : α), truncation f A x ∂μ ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
x : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
N : ModuleCat R

tensorHom (𝟙 M) (𝟙 N) = 𝟙 (of R (↑M ⊗[R] ↑N))


(TensorProduct.mk R ↑M ↑N).compr₂ (tensorHom (𝟙 M) (𝟙 N)) = (TensorProduct.mk R ↑M ↑N).compr₂ (𝟙 (of R (↑M ⊗[R] ↑N)))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
h : φ.order.Dom
n : ℕ

(coeff R n) φ = (coeff R n) (X ^ φ.order.get h * mk fun n => (coeff R (n + φ.order.get h)) φ)


(coeff R n) φ = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => x.1 = φ.order.get h) (antidiagonal n), (coeff R (x.2 + φ.order.get h)) φ


(coeff R n) φ = ∑ x ∈ if φ.order.get h ≤ n then {(φ.order.get h, n - φ.order.get h)} else ∅, (coeff R (x.2 + φ.order.get h)) φ


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ n' a : ℤ

Context: γ : Cocycle K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n' + a = n

δ n (n + 1) ((↑γ).rightUnshift n hn) = 0


Context: d n n' : Int

Context: d' : Nat

Context: z' : d' ≠ 0

Context: c : n'.natAbs.Coprime d'

Context: z : d ≠ 0

Context: h : n /. d = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }


Context: n n' : Int

Context: d' : Nat

Context: z' : d' ≠ 0

Context: c : n'.natAbs.Coprime d'

Context: w✝ : Nat

Context: z : ¬w✝ = 0

Context: h : mkRat n w✝ = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }

∃ m, ¬m = 0 ∧ n = n' * m ∧ ↑w✝ = ↑d' * m


Context: n n' : Int

Context: d' : Nat

Context: z' : d' ≠ 0

Context: c : n'.natAbs.Coprime d'

Context: w✝ : Nat

Context: z : ¬w✝ = 0

Context: h : mkRat (-n) w✝ = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }

∃ m, ¬m = 0 ∧ n = n' * m ∧ -↑w✝ = ↑d' * m


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: b✝ : ℤ

Context: fr✝ : K

Context: stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some { b := b✝, fr := fr✝ }

Context: nth_fr_ne_zero : { b := b✝, fr := fr✝ }.fr ≠ 0

IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of { b := b✝, fr := fr✝ }.fr⁻¹)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: b✝ : ℤ

Context: fr✝ : K


Context:
n : ℤ
h : ¬3 ∣ n


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y

(TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y

Context: a : (P F).A

Context: f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i

Context: dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩

Context: dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩

Context: h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y

Context: a : (P F).A

Context: dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩

Context: dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩

MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ f₀⟩ = MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ f₁⟩


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y

Context: a : (P F).A

Context: dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩

Context: dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩

MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ splitFun (dropFun f₀) (lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ splitFun (dropFun f₁) (lastFun f₁)⟩


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y

Context: a : (P F).A

Context: dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩

Context: dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩

MvQPF.abs ⟨a, splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f₀) (Quot.mk r ∘ lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f₁) (Quot.mk r ∘ lastFun f₁)⟩


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: r : Cofix F α → Cofix F α → Prop

Context: x y : Cofix F α

Context: rxy : r x y

Context: a : (P F).A

Context: dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩

Context: dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩

MvQPF.abs ⟨a, splitFun (dropFun f₀) (Quot.mk r ∘ lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, splitFun (dropFun f₁) (Quot.mk r ∘ lastFun f₁)⟩


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n k : ℕ

Fintype.card (Sym (Fin 0) (k + 1)) = multichoose 0 (k + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ

Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)) = (n + 2).multichoose (k + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ

Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)) = Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) k ⊕ Sym (Fin (n + 1)) (k + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ

Sym (Fin (n + 2)) k ⊕ Sym (Fin (n + 1)) (k + 1) ≃ Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)


Context:
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℂ
hy : y.re ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < 1 + ε ↑n


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ

(o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r⁻¹


Context: n p : ℕ

eval (↑n) (bernoulli p.succ) = _root_.bernoulli p.succ + (↑p + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p


Context: n p : ℕ

eval (↑n) (bernoulli p.succ) - _root_.bernoulli p.succ = (↑p + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
k : ℕ

↑(((AlgebraTensorModule.curry (↑(piEquivOfFintype I fun x => R) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R))) 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j) k = ↑(((AlgebraTensorModule.curry ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)) 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j) k


(if j = i then 1 else 0) = ↑(if j = i then 1 else 0) k


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₁₂ : p₁ = p₂
h₂₃ : p₂ = p₃


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f g : R[X]

derivative (f * g) = derivative f * g + f * derivative g


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E


∑ i : ι, ⟪b i, x⟫_𝕜 • b i = ∑ i : ι, b.repr x i • b i


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: X : C

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝ : SmallCategory K

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: W : J.Cover X

Context: i : W.Arrow

Context: E : Cone (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W))

Context: a b : K

Context: f : a ⟶ b

𝟙 E.pt ≫ E.π.app b ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = (E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i) ≫ (F.map f).app (op i.Y)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: X : C

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝ : SmallCategory K

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: W : J.Cover X

Context: i : W.Arrow

Context: a b : K

Context: f : a ⟶ b

(E.π.app a ≫ (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W)).map f) ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: X : C

Context: K : Type (max v u)

Context: inst✝ : SmallCategory K

Context: F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D

Context: W : J.Cover X

Context: i : W.Arrow

Context: a b : K

Context: f : a ⟶ b

(E.π.app a ≫ Multiequalizer.lift (W.index (F.obj b)) (multiequalizer (W.index (F.obj a))) (fun i => Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
r : R
hr : ∃ x, Irreducible x

Squarefree r ↔ ∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r


Squarefree r ↔ (r = 0 ∧ ¬∃ x, Irreducible x) ∨ Squarefree r


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h : μ ≤ ν


Context:
x : EReal
h : x ≠ ⊥


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

Context: inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄

Context: inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.desc (pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) (pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C

Context: g₁ : Z₁ ⟶ X₁

Context: g₂ : Z₁ ⟶ X₂

Context: g₃ : Z₂ ⟶ X₂

Context: g₄ : Z₂ ⟶ X₃

Context: inst✝³ : HasPushout g₁ g₂

Context: inst✝² : HasPushout g₃ g₄

pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.desc (pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) (pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) ⋯ = pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄


Context: a b : UnitAddCircle

Differentiable ℂ fun s => hurwitzZeta a s - hurwitzZeta b s


Context: a b : UnitAddCircle

Differentiable ℂ fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s + (hurwitzZetaOdd a s - hurwitzZetaOdd b s)


Context: a b : UnitAddCircle


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E

StarConvex 𝕜 0 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: x✝ : x ∈ s

Context: h : ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • 0 + b • x ∈ s

Context: a : 𝕜

Context: ha₀ : 0 ≤ a

Context: ha₁ : a ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: x✝ : x ∈ s

Context: h : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1


Context:
x : ℝ≥0
h : x ≠ 0
y : ℝ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
h : a / d = b / d


Context: z : ℂ


Context: z : ℂ

Context: h1 : cexp (z * I) + cexp (-(z * I)) = cexp (-(z * I)) * (cexp (2 * I * z) + 1)


Context: z : ℂ

Context: h2 : (cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I = cexp (-(z * I)) * (I * (1 - cexp (2 * I * z)))


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property : a ∈ f ⁻¹' {f b}

o.matrixDecomposition (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) (f b) ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩ = 1 ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {f b}
j_property : f a = f b

o.matrixDecomposition (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) (f b) ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩ = 1 ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩


eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b = if ⟨b, ⋯⟩ = ⟨a, j_property✝⟩ then 𝟙 (s (f b)) else 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : SMul M α✝
inst✝⁵ : SMul M β
inst✝⁴ : SMul N α✝
inst✝³ : SMul N β
a✝ : M
x : α✝ × β
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction M α
a : M
c : β


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R

(p /ₘ (X - C a)).leadingCoeff = p.leadingCoeff


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R
hd : p.degree < 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R
hd : 0 < p.degree


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint ℕ → Y

Continuous f ↔ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 (f ∞))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
f : E → F
fa : CPolynomialOn 𝕜 f univ


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SFinite μ
ht_subset : t ⊆ μ.sigmaFiniteSetᶜ


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: ht_subset : t ⊆ μ.sigmaFiniteSetᶜ

Context: this : μ t = (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: ht_subset : t ⊆ μ.sigmaFiniteSetᶜ

(μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = 0 ∨ (μ.restrict μ.sigmaFiniteSetᶜ) t = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p b < multiplicity p a

multiplicity p (a - b) = multiplicity p b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p b < multiplicity p a


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: f : G →* G'

Context: x : Perm (Fin 5) := { toFun := ![1, 2, 0, 3, 4], invFun := ![2, 0, 1, 3, 4], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }

Context: y : Perm (Fin 5) := { toFun := ![3, 4, 2, 0, 1], invFun := ![3, 4, 2, 0, 1], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }

Context: z : Perm (Fin 5) := { toFun := ![0, 3, 2, 1, 4], invFun := ![0, 3, 2, 1, 4], left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }

Context: key : x = z * ⁅x, y * x * y⁻¹⁆ * z⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: f : G →* G'

Context: key : x = z * ⁅x, y * x * y⁻¹⁆ * z⁻¹

Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
hS : n ∈ S

Splits (algebraMap K L) (cyclotomic (↑n) K)


X ^ ↑n - C 1 = cyclotomic (↑n) K * ∏ i ∈ (↑n).properDivisors, cyclotomic i K


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
rs : List R
h : IsRegular M (r :: rs)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₄

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M₄

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: r : R

Context: rs : List R

Context: h : (IsSMulRegular M r ∧ IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) rs) ∧ r • ⊤ ⊔ Ideal.ofList rs • ⊤ < ⊤


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₄

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M₄

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: r : R

Context: rs : List R


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

↑(count (fun x => x ≡ v [MOD r]) b) = ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑0 - ↑v) / ↑r⌉ = ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉ - ⌈-↑(v % r) / ↑r⌉ = ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j✝ : J

(biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j✝ ≫ biproduct.desc fun j => X ◁ biproduct.ι f j) = biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j✝ ≫ ∑ j : J, biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j ≫ X ◁ biproduct.ι f j


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)

↑↑((L + L').compLp f) =ᶠ[ae μ] ↑↑(L.compLp f + L'.compLp f)


(fun a => (L + L') (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(L.compLp f + L'.compLp f)


(fun a => (L + L') (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(L.compLp f) + ↑↑(L'.compLp f)


(fun a => (L + L') (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] fun x => L (↑↑f x) + L' (↑↑f x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
x : α

(L + L') (↑↑f x) = L (↑↑f x) + L' (↑↑f x)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasColimit (parallelPair f 0)
w : cokernel.π f = 0
R✝ : C
g : Y ⟶ R✝
h : f ≫ g = 0


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
k✝ k : ℕ


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

countP p l = l.length ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a = true


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S ^ 2 = 1


Context:
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: IinS : ↑I ∈ S


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: IinS : ↑I ∈ S

Context: chainub : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ S, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: IinS : ↑I ∈ S

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: IinS : ↑I ∈ S

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

a₁ ⊓ a₂ ∈ J → a₁ ∈ J ∨ a₂ ∈ J


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

a₁ ∉ J ∧ a₂ ∉ J → a₁ ⊓ a₂ ∉ J


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha₁ : a₁ ∉ J

Context: ha₂ : a₂ ∉ J

Context: J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁

Context: J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha₁ : a₁ ∉ J

Context: ha₂ : a₂ ∉ J

Context: J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁

Context: J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂

Context: a₁J₁ : a₁ ∈ J₁


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha₁ : a₁ ∉ J

Context: ha₂ : a₂ ∉ J

Context: J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁

Context: J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂

Context: a₁J₁ : a₁ ∈ J₁

Context: a₂J₂ : a₂ ∈ J₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha₁ : a₁ ∉ J

Context: ha₂ : a₂ ∉ J

Context: J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁

Context: J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂

Context: a₁J₁ : a₁ ∈ J₁

Context: a₂J₂ : a₂ ∈ J₂

Context: J₁J : ↑J₁ ≠ Jset


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha₁ : a₁ ∉ J

Context: ha₂ : a₂ ∉ J

Context: J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁

Context: J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂

Context: a₁J₁ : a₁ ∈ J₁

Context: a₂J₂ : a₂ ∈ J₂

Context: J₁J : ↑J₁ ≠ Jset

Context: J₂J : ↑J₂ ≠ Jset


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: JF : Disjoint (↑F) Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha₁ : a₁ ∉ J

Context: ha₂ : a₂ ∉ J

Context: J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁

Context: J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂

Context: a₁J₁ : a₁ ∈ J₁

Context: a₂J₂ : a₂ ∈ J₂

Context: J₁J : ↑J₁ ≠ Jset

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Context: α : Type u_1

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Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

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Context: ha₁a₂ : a₁ ⊓ a₂ ∈ J


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DistribLattice α

Context: inst✝ : BoundedOrder α

Context: F : PFilter α

Context: I : Ideal α

Context: hFI : Disjoint ↑F ↑I

Context: Jset : Set α

Context: Jidl : IsIdeal Jset

Context: IJ : ↑I ≤ Jset

Context: left✝ : ↑I ⊆ Jset

Context: Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset

Context: J : Ideal α := Jidl.toIdeal

Context: IJ' : I ≤ J

Context: Jpr : J.IsProper

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha₁ : a₁ ∉ J

Context: ha₂ : a₂ ∉ J

Context: J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁

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Context: a₁J₁ : a₁ ∈ J₁

Context: a₂J₂ : a₂ ∈ J₂

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Context: J₂J : ↑J₂ ≠ Jset

Context: J₁S : ↑J₁ ∉ S

Context: J₂S : ↑J₂ ∉ S

Context: J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁

Context: J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂

Context: c₁ : α

Context: c₁F : c₁ ∈ ↑F

Context: c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁

Context: c₂ : α

Context: c₂F : c₂ ∈ ↑F

Context: c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂

Context: b₁ : α

Context: b₁J : b₁ ∈ J

Context: cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁

Context: b₂ : α

Context: b₂J : b₂ ∈ J

Context: cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂

Context: b : α := b₁ ⊔ b₂

Context: bJ : b ∈ J

Context: ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂

Context: ba₁a₂F : b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ F

Context: ha₁a₂ : a₁ ⊓ a₂ ∈ J

b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ ↑F ∧ b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ Jset


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
s : Multiset (Multiset α)
t : Multiset (Multiset β)
h : Rel (Rel r) s t


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)

(D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U j) ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } }.π.app (op (WalkingMultispan.left (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } }.π.app (op (WalkingMultispan.left (i, j))) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ ((D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.t i i).c.app ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ invApp (D.f i i) (unop (op ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ ((D.f i i).c.app (op U) ≫ ((D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U))) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ invApp (D.f i i) (unop (op ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U))) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.U i).presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (D.U i).presheaf.map ((opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.U i).presheaf.map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i)))).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C (D.f i j).base).obj (D.V (i, j)).presheaf).map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i)))).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map ((Opens.map (D.f i j).base).op.map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f g : α → β → α

Context: a : α

Context: l : List β

Context: H : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ l → f a b = g a b


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n

Context: a : α

Context: x✝ : ∃ n, a ∈ f n

Context: n : ℕ

Context: h : a ∈ f n


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: a : α

Context: x✝ : ∃ n, a ∈ f n

Context: n : ℕ

Context: h : a ∈ f n

Context: h' : (rfindOpt f).Dom


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: a : α

Context: x✝ : ∃ n, a ∈ f n

Context: n : ℕ

Context: h : a ∈ f n

Context: h' : (rfindOpt f).Dom

Context: k : ℕ

Context: hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: a : α

Context: x✝ : ∃ n, a ∈ f n

Context: n : ℕ

Context: h : a ∈ f n

Context: h' : (rfindOpt f).Dom

Context: k : ℕ

Context: hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k

Context: this : Option.some a = Option.some ((rfindOpt f).get h')


Context: α : Type u_1

Context: f : ℕ → Option α

Context: a : α

Context: x✝ : ∃ n, a ∈ f n

Context: n : ℕ

Context: h : a ∈ f n

Context: h' : (rfindOpt f).Dom

Context: k : ℕ

Context: hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k

Context: this : a = (rfindOpt f).get h'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝² : LinearOrder R

Context: inst✝¹ : LinearOrder S

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: t : R

Context: ht : ∀ (a : R), (∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) t a

Context: tbot : ¬IsBot t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝² : LinearOrder R

Context: inst✝¹ : LinearOrder S

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: t : R

Context: tbot : ¬IsBot t

Context: t' : R

Context: ht' : t' < t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝² : LinearOrder R

Context: inst✝¹ : LinearOrder S

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: t : R

Context: tbot : ¬IsBot t

Context: t' : R

Context: ht' : t' < t

Context: ev : ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => t' ≤ x) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝² : LinearOrder R

Context: inst✝¹ : LinearOrder S

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: t : R

Context: tbot : ¬IsBot t

Context: t' : R

Context: ht' : t' < t

Context: ht : t ≤ t'


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : L


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰


IsIntegral K ((algebraMap S L) x * mk' L 1 s)


(algebraMap K L).IsIntegralElem ((algebraMap S L) x)


(algebraMap K L).IsIntegralElem (mk' L 1 s)


Context:
u v m n✝ : ℤ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
e : s • x = f m


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t κ μα

∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: t : Set Ω

Context: h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: t : Set Ω

Context: a : α

Context: ha : (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: t : Set Ω

Context: a : α

Context: ha : (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t

Context: h0 : ¬(κ a) t = 0

Context: h_top : ¬(κ a) t = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μα : Measure α

Context: μ : Measure Ω

Context: t : Set Ω

Context: a : α

Context: ha : 1 = (κ a) t

Context: h0 : ¬(κ a) t = 0

Context: h_top : ¬(κ a) t = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v✝ : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y z : R

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x : K

Context: h : x ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h) < c
a : α
ha : a ∈ s


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ x, t ↑x ⋯) < c
a : α
ha : a ∈ s


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
h : #↑(⋃ x, t ↑x ⋯) < c
a : α
ha : a ∈ s
this : ∀ (i : ↑s), #↑(t ↑i ⋯) < c


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
h : a = 0 → b = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S

f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S), I ≠ ⊤ → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x


(∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x) ↔ ∀ (I : Ideal S), I ≠ ⊤ → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: H : ∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊤

Context: s : S

∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊤

Context: s : S

Context: M : Ideal S

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hIM : I ≤ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊤

Context: s : S

Context: M : Ideal S

Context: hM : M.IsMaximal

Context: hIM : I ≤ M

Context: x r : R

Context: c : S

Context: hc : c ∉ M

Context: hr : f r ∉ M

Context: e : c * f r * s = c * f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
r : ℝ≥0

(r • s).toJordanDecomposition = r • s.toJordanDecomposition


(r • s).toJordanDecomposition.toSignedMeasure = (r • s.toJordanDecomposition).toSignedMeasure


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t

Context: hg : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t

Context: heq : f t₀ = g t₀


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: heq : f t₀ = g t₀

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h : ∀ y ∈ ball t₀ ε, (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: heq : f t₀ = g t₀

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: heq : f t₀ = g t₀

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h : ∀ y ∈ Ioo (t₀ - ε) (t₀ + ε), (HasDerivAt f (v y (f y)) y ∧ f y ∈ s y) ∧ HasDerivAt g (v y (g y)) y ∧ g y ∈ s y


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

sinZeta (↑x) (2 * ↑k + 1) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 1).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

(-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1))) = (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 1).Gammaℂ * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1


Context: k : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hk : k ≠ 0

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: this : ↑(2 * k + 1)! = (2 * ↑k + 1) * Complex.Gamma (2 * ↑k + 1)


Context: k : ℕ

Context: x : ℝ

Context: hk : k ≠ 0

Context: hx : x ∈ Icc 0 1


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : NullMeasurableSet t (μ.restrict s)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: motive : ℤ → Prop

Context: zero : motive 0

Context: one : motive 1

Context: add_two : ∀ (n : ℕ), motive (↑n + 1) → motive ↑n → motive (↑n + 2)

Context: neg_add_one : ∀ (n : ℕ), motive (-↑n) → motive (-↑n + 1) → motive (-↑n - 1)

Context: n : ℕ

Context: hn : motive (-↑n)

Context: hnm : motive (-↑n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : ↑δ * C < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : C * ↑δ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: C : ℝ≥0∞

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: x : α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: δ0 : δ > 0

Context: hδ : C * ↑δ < ε

Context: y : α

Context: hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedCommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulPosMono S R
inst✝² : IsScalarTower S R M
a : S
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : LinearMapClass F R M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
b : Basis ι S M
c : Basis κ R N
m : M
n : N
i : ι
j : κ

((b.tensorProduct c).repr (m ⊗ₜ[R] n)) (i, j) = (c.repr n) j • (b.repr m) i


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
ha : a ≠ 0
n : ℕ


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIicTopology α

Context: s : Set β

Context: f : β → α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hsc : IsClosed s

Context: x₀ : β

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIicTopology α

Context: s : Set β

Context: f : β → α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hsc : IsClosed s

Context: x₀ : β

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIicTopology α

Context: s : Set β

Context: f : β → α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hsc : IsClosed s

Context: x₀ : β

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIicTopology α

Context: s : Set β

Context: f : β → α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hsc : IsClosed s

Context: x₀ : β

Context: h₀ : x₀ ∈ s

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s

Context: x : β

Context: hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)

Context: hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2

HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (mellin (fun t => (↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2) (s / 2))


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℤ

s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = s.Gammaℝ * c n / ↑|↑n| ^ s


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
x✝¹ x✝ : ↑X

g (1 ⊗ₜ[R] (x✝¹ + x✝)) = g (1 ⊗ₜ[R] x✝¹) + g (1 ⊗ₜ[R] x✝)


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: r : R

Context: x : ↑X

Context: this✝ : Module R S := Module.compHom S f

Context: this : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

g (1 ⊗ₜ[R] (r • x)) = f r • g (1 ⊗ₜ[R] x)


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: r : R

Context: x : ↑X

g ((algebraMap R R) r • 1 ⊗ₜ[R] (RestrictScalars.addEquiv R R ↑X) x) = g (f r • 1 ⊗ₜ[R] x)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
m n : ℕ
x : α

birkhoffSum f g (m + n) x = birkhoffSum f g m x + birkhoffSum f g n (f^[m] x)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊥
contra : m = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M
h : m ≠ 0
r : R
hr : r ∈ torsionOf R M m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
t : Set β
ht : (Measure.map f ν) t = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
t : Set β
ht : ν (f ⁻¹' t) = 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set Y
hs : MeasurableSet s

(Measure.map f μH[d]) s = (μH[d].restrict (range f)) s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
H : x = y


Context:
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r


closedBall 0 1 = ⇑(DilationEquiv.smulTorsor y ⋯).toHomeomorph ⁻¹' closedBall y r


Context:
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E

x ∈ closedBall 0 1 ↔ x ∈ ⇑(DilationEquiv.smulTorsor y ⋯).toHomeomorph ⁻¹' closedBall y r


‖x‖ ≤ 1 ↔ r * ‖x‖ ≤ r


Context:
m n : ℕ
u : ℕˣ


Context: m n : ℕ


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.IdempotentOp gb
h : Semiconj₂ f ga gb
h_inj : Injective f
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
t : ι → Set β


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : o


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl

Context: Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl

Context: Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)

∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: Qₚ : Ideal Sₚ

Context: Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: Qₚ : Ideal Sₚ

Context: Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal

Context: x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)

Context: Qₚ : Ideal Sₚ

Context: Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal

Context: this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: Qₚ : Ideal Sₚ

Context: Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal

Context: this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ

Context: Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: Qₚ : Ideal Sₚ

Context: Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal

Context: this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ

comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = P