Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: Qₚ : Ideal Sₚ

Context: Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal

Context: this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ

comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (LocalRing.maximalIdeal (Localization P.primeCompl))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P

Context: hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl

Context: Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl

Context: Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)

Context: this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)

Context: Qₚ : Ideal Sₚ

Context: Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal

Context: x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S

Context: this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ

Context: Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal

comap ((IsLocalization.map Sₚ (algebraMap R S) ⋯).comp (algebraMap R Rₚ)) Qₚ = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ Y₁ ◁ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv ≫ Y₁ ◁ (β_ Y₂ V₁).hom ▷ V₂ ≫ Y₁ ◁ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ U₁ U₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ U₁).hom ▷ U₂ ≫ X₁ ◁ (α_ U₁ X₂ U₂).hom ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


(((((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (f₁ ⊗ f₂ ⊗ g₁ ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


(α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ ((((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (f₁ ⊗ (f₂ ⊗ g₁) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


(α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (((𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (f₁ ⊗ (g₁ ⊗ f₂) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


(α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (f₁ ⊗ g₁ ⊗ f₂ ⊗ g₂)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


(α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂) = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)


Context:
α : Type u_1
l l' : List α

l <+ l' ↔ ∃ f, ∀ (ix : Fin l.length), l.get ix = l'.get (f ix)


Context:
α : Type u_1
l l' : List α

(∃ f, ∀ (ix : ℕ), l.get? ix = l'.get? (f ix)) ↔ ∃ f, ∀ (ix : Fin l.length), l.get ix = l'.get (f ix)


Context:
α : Type u
a : α
s✝ t s : Set α


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α✝¹ β✝¹ : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index
α✝ β✝ : H.QuotientDiff
β α : ↑(leftTransversals ↑H)

diff (MonoidHom.id ↥H) β α * ((powCoprime hH).symm (diff (MonoidHom.id ↥H) β α))⁻¹ ^ H.index = 1


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.55275, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Epi S.g

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

opcyclesMap S.f i ≫ opcyclesMap S.g i = 0


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Epi S.g

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

Context: this : Epi (S.map (eval C c i)).g

(ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Epi S.g

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

Context: this : Epi (S.map (eval C c i)).g

Context: hj : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (S.map (eval C c i)).g ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.Exact

Context: inst✝³ : Epi S.g

Context: i : ι

Context: inst✝² : S.X₁.HasHomology i

Context: inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i

Context: inst✝ : S.X₃.HasHomology i

Context: this : Epi (S.map (eval C c i)).g

IsColimit (CokernelCofork.ofπ (ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).g ⋯)


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)

Context: hs : Convex ℝ s

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖p x 1‖₊ < K

Context: f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : Convex ℝ s

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖p x 1‖₊ < K

Context: hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : Convex ℝ s

Context: K : ℝ≥0

Context: hK : ‖p x 1‖₊ < K

Context: hcont : ContinuousWithinAt f' s x


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : Convex ℝ s

Context: K : ℝ≥0

Context: hcont : ContinuousWithinAt f' s x

Context: hK : ‖f' x‖₊ < K


Context:
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : Fintype (ZMod n)ˣ

Fintype.card { x // x.val.Coprime n } = φ n


Context:
m : ℕ
inst✝¹ : NeZero (m + 1)
inst✝ : Fintype (ZMod (m + 1))ˣ

Fintype.card { x // x.val.Coprime (m + 1) } = φ (m + 1)


(∑ a : ZMod (m + 1), if a.val.Coprime (m + 1) then 1 else 0) = ∑ i : Fin (m + 1), if (↑i).Coprime (m + 1) then 1 else 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
inst✝ : Fintype ι
f : α → ι → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : α → ι → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: this : ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} = {P | P.IsPrime}


vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} ⊆ vanishingIdeal '' {s | IsIrreducible s}


vanishingIdeal '' {s | IsIrreducible s} ⊆ vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s}


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)
hs : s ∈ {s | IsIrreducible s}

vanishingIdeal s ∈ vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s}


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
ω : Ω

(stoppedValue u π - stoppedValue u τ) ω = (∑ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (i + 1) - u i)) ω


(stoppedValue u π - stoppedValue u τ) ω = (u (π ω) - u 0 - (u (τ ω) - u 0)) ω


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B

opcyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j B).inv = (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv ≫ f


Context: ξ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: n_pos : 0 < n

Context: f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋

∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)


Context: ξ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: n_pos : 0 < n

Context: hn : 0 < ↑n + 1


Context: ξ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: n_pos : 0 < n

Context: hn : 0 < ↑n + 1

Context: hfu : ∀ (m : ℤ), fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1) < ↑n + 1


Context: ξ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: n_pos : 0 < n

Context: hn : 0 < ↑n + 1

∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |(ξ * ↑k - ↑j) * (↑n + 1)| ≤ 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSemiring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : ContinuousStar R

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s : Set R

Context: φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A

Context: h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

(polynomialFunctions s).starClosure ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSemiring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : StarRing R

Context: inst✝³ : ContinuousStar R

Context: inst✝² : Semiring A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s : Set R

Context: φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A

adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X} ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ


Context:
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n : ℕ
i : Fin (ones n).length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
h : Set.EqOn f g ↑s
a✝ : β


(∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), f x = a✝) ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), g x = a✝


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
s : Set E


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : S
he : e ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem e


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h : a ≤ { re := ↑x, im := ↑y }


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h : a ≤ { re := ↑x, im := ↑(y + 1) }


Context:
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h✝ : a ≤ { re := ↑x, im := ↑(y + 1) }
h : ∀ (y : ℕ), SqLe y d (d * y) 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.292784

Context: Bₘ : Type ?u.292787

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

(algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.292784

Context: Bₘ : Type ?u.292787

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝²⁹ : CommRing A

Context: inst✝²⁸ : CommRing B

Context: inst✝²⁷ : Algebra A B

Context: inst✝²⁶ : Field K

Context: inst✝²⁵ : Field L

Context: inst✝²⁴ : Algebra A K

Context: inst✝²³ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²² : Algebra B L

Context: inst✝²¹ : Algebra K L

Context: inst✝²⁰ : Algebra A L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.292784

Context: Bₘ : Type ?u.292787

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁵ : IsDomain A

Context: inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝³ : IsDomain B

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝¹ : Module.Finite A B

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated α

Context: inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α

∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated α

Context: s : Set (ℕ → Bool)

Context: f : α ≃ᵐ ↑s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated α

Context: s : Set (ℕ → Bool)

Context: f : α ≃ᵐ ↑s

Context: this : TopologicalSpace α := induced (⇑f) inferInstance


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t u : Set α✝

Context: α : Type u_5

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated α

Context: s : Set (ℕ → Bool)

Context: f : α ≃ᵐ ↑s

Context: F : α ≃ₜ ↑s := f.toHomeomorphOfInducing ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ

(erase n { toFinsupp := p }).degree ≤ { toFinsupp := p }.degree


(Finsupp.erase n p).support.max ≤ p.support.max


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re ∨ 0 ∉ [[a, b]]
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]

IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 < r.re


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re


AEStronglyMeasurable (fun x => ↑x ^ r) (μ.restrict (Ι a b))


IntervalIntegrable (fun t => ‖↑t ^ r‖) μ a b


∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ

IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
hc : 0 ≤ c


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
hc : c < 0


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J
m : ℕ
h : ⋯.choose m = j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
f : ι → α
h : BddAbove (range f)


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: l : Filter β

Context: f₁ f₂ f₃ : β → α

Context: h₁₂ : Tendsto (fun x => (f₁ x, f₂ x)) l (𝓤 α)

Context: h₂₃ : Tendsto (fun x => (f₂ x, f₃ x)) l (𝓤 α)


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: l : Filter β

Context: f₁ f₂ f₃ : β → α

Context: s : Set (α × α)

Context: hs : s ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b - c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

0 < ⌊a⌋₊ ↔ 1 ≤ a


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))

Integrable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

IntegrableOn (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) s μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s

Context: hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')

Context: this : ∀ᵐ (t : G) ∂μ.restrict s, ‖(L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) t


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s

Context: hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')

Integrable (s.indicator fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) (μ.restrict s)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝² : AddGroup G

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd G

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s

Context: hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')

AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β

_root_.Disjoint (map Embedding.inl s) (map Embedding.inr t)


∀ ⦃a : α ⊕ β⦄, (∃ a_1 ∈ s, Embedding.inl a_1 = a) → ¬∃ a_2 ∈ t, Embedding.inr a_2 = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
hμs : ∀ (i : ι), μs i ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)

Context: f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)

Context: hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)

Context: hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt

Context: wπ : f' ≫ 0 = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)

Context: hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt

Context: wπ : f' ≫ 0 = 0

Context: hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 wπ)


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

(∀ (U_1 : ↑(↑(f ⁻¹ᵁ U)).affineOpens), P (Hom.appLE (f ∣_ U) ⊤ ↑U_1 ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

(∀ (U_1 : ↑(↑(f ⁻¹ᵁ U)).affineOpens), P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑U_1) ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

(∀ (a : ↑X.affineOpens) (b : ↑a ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨a, b⟩)) ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: h : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U

P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩)) ⋯) ↔ P (Hom.appLE f U (↑V) h)


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: V : ↑X.affineOpens

Context: h : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U

Context: this : (affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)) ((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩) = ⟨V, h⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
H : p.degree ≤ ↑n
H1 : p.degree < ↑(n + 1)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M

m ∈ span R (range ⇑b) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: S : Type u_10

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Nontrivial S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: b : Basis ι S M

Context: m : M

Context: h : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: S : Type u_10

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Nontrivial S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: b : Basis ι S M

Context: m : M

((b.repr m).sum fun i a => a • b i) ∈ span R (range ⇑b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: S : Type u_10

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Nontrivial S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: b : Basis ι S M

Context: m : M

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ (b.repr m).support

(fun i a => a • b i) i ((b.repr m) i) ∈ span R (range ⇑b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: S : Type u_10

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Nontrivial S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: b : Basis ι S M

Context: m : M

Context: h✝ : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ (b.repr m).support

Context: w✝ : R

Context: h : (algebraMap R S) w✝ = (b.repr m) i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: S : Type u_10

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Nontrivial S

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Module S M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S M

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: b : Basis ι S M

Context: m : M

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ (b.repr m).support

Context: w✝ : R

Context: h : (algebraMap R S) w✝ = (b.repr m) i


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
a : A

(TensorProduct.assoc R A A A).symm ((LinearMap.lTensor A comul) (comul a)) = (LinearMap.rTensor A comul) (comul a)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
this : Nonempty α

edist ((f ∘ Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s) (variationOnFromTo f s a b)) (f b) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: s✝ : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: this : Nonempty α

Context: cs : Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s (variationOnFromTo f s a b) ∈ s

Context: hc : variationOnFromTo f s a (Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s (variationOnFromTo f s a b)) = variationOnFromTo f s a b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: s✝ : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: this : Nonempty α

Context: hc : variationOnFromTo f s (Function.invFunOn (variationOnFromTo f s a) s (variationOnFromTo f s a b)) b = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : StarRing R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarModule R A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : T2Space B

Context: S : StarSubalgebra R A

Context: φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: h : φ.comp (inclusion ⋯) = ψ.comp (inclusion ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : StarRing R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarModule R A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : T2Space B

Context: S : StarSubalgebra R A

Context: φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : StarRing R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarModule R A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : T2Space B

Context: S : StarSubalgebra R A

Context: φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: this : Dense (range ⇑(inclusion ⋯))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : StarRing R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : Algebra R A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : StarModule R A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : T2Space B

Context: S : StarSubalgebra R A

Context: φ ψ : ↥S.topologicalClosure →⋆ₐ[R] B

Context: hφ : Continuous ⇑φ

Context: hψ : Continuous ⇑ψ

Context: this : Dense (range ⇑(inclusion ⋯))

Context: x : ↥S

φ ((inclusion ⋯) x) = ψ ((inclusion ⋯) x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F

Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x) (𝓝 x) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s
this : ∞ ∉ sᶜ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
h : a * b = 1


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: this : (fun x => f x / g x) = fun x => f x * (g x)⁻¹


Context: f✝ f g : ℝ → ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: hg : GrowsPolynomially g

GrowsPolynomially fun x => f x * (g x)⁻¹


Context: R : Type u

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: n : ℕ

Context: support✝ : Finset ℕ

Context: toFun✝ : ℕ → R

Context: mem_support_toFun✝ : ∀ (a : ℕ), a ∈ support✝ ↔ toFun✝ a ≠ 0

{ toFinsupp := Finsupp.erase n { support := support✝, toFun := toFun✝, mem_support_toFun := mem_support_toFun✝ } } = erase n { toFinsupp := { support := support✝, toFun := toFun✝, mem_support_toFun := mem_support_toFun✝ } }


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R

(algebraMap R T) x = (algebraMap R T) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y


(∃ c, ↑c * (algebraMap R S) x = ↑c * (algebraMap R S) y) → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: x y : R

Context: z : ↥N

Context: eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: x y : R

Context: z : ↥N

Context: z' : R

Context: s : ↥M

Context: eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑(z', s).2 = (algebraMap R S) (z', s).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: x y : R

Context: z : ↥N

Context: z' : R

Context: s : ↥M

Context: eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'

(algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S

(divBy s) (((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) (mk m t)) = mk m t


(↑s • mk m t).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = mk m t


(mk ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s)).1 • m) ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s)).2 * t)).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = mk m t


↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s • mk m (t * s) = mk m t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∉ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context: x✝ : ℕ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

y ∈ {y | s.SOppSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Iio 0) ↑s


s.SOppSide x y ↔ ∃ a < 0, ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)

Context: f : ↥(simpleFunc E p μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop

Context: f : ↥(simpleFunc E p μ)

∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p μ), P (toLp f hf)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop

∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p μ), P (toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_pos : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop

∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (∀ (hf : Memℒp (↑f) p μ), P (toLp f hf)) → (∀ (hf : Memℒp (↑g) p μ), P (toLp g hf)) → ∀ (hf : Memℒp (↑(f + g)) p μ), P (toLp (f + g) hf)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α

filter p s = filter p t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, p a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : t ∈ 𝓝 x

HasFDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝¹⁰ : Ring K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V'
inst✝⁴ : Module K V'
inst✝³ : AddCommGroup V''
inst✝² : Module K V''
inst✝¹ : AddCommGroup V'₁
inst✝ : Module K V'₁
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V'₁


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g


⇑(pullback.fst f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.fst f (𝟙 S)))) ∘ ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯)


⇑(pullback.fst f g) = ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.fst f (𝟙 S))).hom)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] m₂


Context:
a : EReal
h : a ≤ 0


Context:
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x


Context:
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0


Context:
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0


Context:
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
this : a * x⁻¹ < 1


Context:
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
this✝ : a * x⁻¹ < 1
this : a * x⁻¹ * x ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N
R : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : ContinuousConstSMul R M
r : R
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E

eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ eLpNorm f p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
x : α


s.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ≤ ‖f x‖₊


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α


(s ⊆ t ∧ ∃ a ∈ t, a ∉ s) ↔ ∃ a ∉ s, a ∈ t ∧ s ⊆ t


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k : 𝓞 K
hk : S.a + ↑η ^ 2 * S.b = λ ^ 2 * k


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k : 𝓞 K
hk : S.a + ↑η ^ 2 * S.b = λ ^ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: k k' : 𝓞 K

Context: hk : λ * (S.b * (↑η + 1) + λ * k') = λ * (λ * k)

Context: hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
hk : S.b * (↑η + 1) + λ * k' = λ * k


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: k k' : 𝓞 K

Context: hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'

Context: hk : (S.b * (↑η + 1) + λ * k') * -↑η = λ * k * -↑η


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
hk : S.b = λ * k * -↑η + ↑η * λ * k'


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(Y, Z)
g : C(X, Y)
y : Z
hy : f.Homotopic (const Y y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α


image (fun t => univ ∩ t) 𝒜 = univ ↔ 𝒜 = univ


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n✝ n : ℕ+

Context: hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n

Context: g : L ≃+* L

Context: t : Lˣ

Context: ht : t ∈ rootsOfUnity n L

g ↑t = ↑t ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n✝ n : ℕ+

Context: g : L ≃+* L

Context: t : Lˣ

Context: ht : t ∈ rootsOfUnity n L

↑t ^ (toFun n g).val = ↑t ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n✝ n : ℕ+

Context: g : L ≃+* L

Context: t : Lˣ

Context: ht : t ∈ rootsOfUnity n L

(toFun n g).val = (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
hnm : c.Rel (n + 1) n

f.app (op [n]) ≫ hσ' q n (n + 1) hnm = hσ' q n (n + 1) hnm ≫ f.app (op [n + 1])


f.app (op [n]) ≫ hσ q n = hσ q n ≫ f.app (op [n + 1])


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M × N

mulSupport f = (mulSupport fun x => (f x).1) ∪ mulSupport fun x => (f x).2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b d y : α
x : WithBot α


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
h₁ : l₁.length < (a :: b :: l).length
h₂ : l₂.length < (a :: b :: l).length


merge (fun x x_1 => decide (r x x_1)) (mergeSort r l₁) (mergeSort r l₂) ~ a :: b :: l


mergeSort r l₁ ++ mergeSort r l₂ ~ a :: b :: l


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : Filter ι
x₀ : α
p : α × ι → Prop

(∀ᶠ (x : α × ι) in 𝓝 x₀ ×ˢ f, p x) ↔ ∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i)


(∃ i, (0 < i.1 ∧ i.2 ∈ f) ∧ ∀ ⦃x : α × ι⦄, x ∈ ball x₀ i.1 ×ˢ id i.2 → p x) ↔ ∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i)


(∃ a, 0 < a ∧ ∃ x ∈ f, ∀ (x_1 : α), dist x_1 x₀ < a → ∀ y ∈ x, p (x_1, y)) ↔ ∃ ε > 0, ∃ pa, (∀ᶠ (i : ι) in f, pa i) ∧ ∀ {x : α}, dist x x₀ < ε → ∀ {i : ι}, pa i → p (x, i)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G


(∃ y, ∃ (_ : y ∈ H), y ≠ ↑1) ↔ ∃ x ∈ H, x ≠ 1


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible b


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁴ : Module R F

Context: inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝² : (x : B) → Module R (E x)

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: v : F

↑e' (↑e.symm (b, v)) = (b, (coordChangeL R e e' b) v)


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: hx : 1 ≤ x

Context: n : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: x : M

Context: hx : 1 ≤ x

Context: n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ -1

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: H : w ∈ sphere c |R| → -1 ≤ n

Context: hd : ∀ (z : ℂ), z ≠ w ∨ -1 ≤ n → HasDerivAt (fun z => (z - w) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) ((z - w) ^ n) z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ -1

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: H : w ∈ sphere c |R| → -1 ≤ n

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ sphere c |R|


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: d s : Set (α × α)

Context: hd : d ∈ 𝓤 α

Context: cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ d}

Context: t : (p : α × α) → p ∈ s → Set (α × α)

Context: ht : ∀ (p : α × α) (a : p ∈ s), t p a ⊆ cl_d ∧ IsOpen (t p a) ∧ p ∈ t p a

∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ d}


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
I : Ideal R
hI : span R {p} < I


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
a : R
hI : span R {p} < span R {a}


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a b : R
hp : Irreducible (a * b)
hI : span R {a * b} < span R {a}


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a b : R
hp : Irreducible (a * b)
hI : span R {a * b} < span R {a}
hb : IsUnit b


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsStrictOrder ι r
x y : Π₀ (i : ι), α i
hlt : x < y

Pi.Lex r (fun {i} x x_1 => x < x_1) ⇑x ⇑y


∃ i, (∀ (j : ι), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i


Context: β : Type w

Context: α✝ : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: f : α✝ → C

Context: g : β → C

Context: inst✝ : HasCoproduct f

Context: e : β ≃ α✝

Context: iso : (j : β) → g j ≅ f (e j)

Context: this : HasColimit ((Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f)

Context: α : Discrete.functor g ≅ (Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α

Injective (cons x₀ x) ↔ x₀ ∉ Set.range x ∧ Injective x


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x₀ : α
x : Fin n → α
h : Injective (cons x₀ x)


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : Preorder β
f g : α → β


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Invertible 2
m : Type w
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
Q : QuadraticMap R (m → R) R
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i✝ j✝ : n

(Q.comp f).toMatrix' i✝ j✝ = ((LinearMap.toMatrix' f)ᵀ * Q.toMatrix' * LinearMap.toMatrix' f) i✝ j✝


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, Measurable f

Measurable fun x => (map (fun f => f x) s).prod


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddMonoid M
G : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
γ : HomologyMapData φ h₁ h₂

homologyMap' φ h₁ h₂ = (h₁.iso.hom ≫ (homologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op).unop) ≫ h₂.iso.inv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: W : MorphismProperty C

Context: M : Type w'

Context: inst✝⁸ : AddMonoid M

Context: inst✝⁷ : HasShift C M

Context: inst✝⁶ : HasShift D M

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithShift M

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : L.IsLocalization W

Context: inst✝³ : HasShift D M

Context: inst✝² : L.CommShift M

Context: X Y Z T : C

Context: a : M

Context: inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y

Context: inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Y

Context: f : SmallShiftedHom W X Y a

Context: n a' : M

Context: h : a + n = a'

(SmallHom.equiv W L) (f.shift n a' h) = (L.commShiftIso n).hom.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D n).map ((L.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctorAdd' D a n a' h).inv.app (L.obj Y) ≫ (L.commShiftIso a').inv.app Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = 0


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = 0
hb : b = 0


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = 0
hb : b ≠ 0


Context:
a : ℤ
b : ℕ
x✝ : b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
hb : b ≠ 0
h : a.gcd ↑b ≠ 1


Context:
a : ℤ
b : ℕ
x✝ : b ≠ 0 ∧ a.gcd ↑b ≠ 1
hb : NeZero b
h : a.gcd ↑b ≠ 1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂

IsNilpotent R (↥(toEnd R L M).range) M ↔ IsNilpotent R L M


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : Field 𝕜
inst✝¹⁶ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹² : Module 𝕜 M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsCentralScalar R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : tsze R M


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v : ℤ

↑(filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ioc a b)).card = max (⌊(↑b - ↑v) / ↑r⌋ - ⌊(↑a - ↑v) / ↑r⌋) 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : AddCommMonoid S
f : ℕ → R → S
hf : ∀ (i : ℕ), f i 0 = 0
n : ℕ
p : R[X]
hn : p.degree < ↑n
hp : ¬p = 0

∑ i : Fin n, f (↑i) (p.coeff ↑i) = p.sum f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

generateFrom (⋃ n, memPartition t n) ≤ m


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1

Function.Injective ⇑f.linear ↔ Function.Injective ⇑f


Context: k : Type u_1

Context: V1 : Type u_2

Context: P1 : Type u_3

Context: V2 : Type u_4

Context: P2 : Type u_5

Context: V3 : Type u_6

Context: P3 : Type u_7

Context: V4 : Type u_8

Context: P4 : Type u_9

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹⁰ : Module k V1

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V2

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁴ : Module k V3

Context: inst✝³ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝² : AddCommGroup V4

Context: inst✝¹ : Module k V4

Context: inst✝ : AffineSpace V4 P4

Context: f : P1 →ᵃ[k] P2

Context: p : P1

Context: h : ⇑f.linear = ⇑(Equiv.vaddConst (f p)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Equiv.vaddConst p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

Context: h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

Context: h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0

Context: hx₀ : ¬x₀ = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: c : ℝ := -b⁻¹ * a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

Context: h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0

Context: hx₀ : ¬x₀ = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: c : ℝ := -b⁻¹ * a

Context: hc : T x₀ = c • x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

Context: h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0

Context: hx₀ : ¬x₀ = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: c : ℝ := -b⁻¹ * a

Context: hc : T x₀ = c • x₀

Context: this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0

Context: this : (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (T x₀) = (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (c • x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T : F →L[ℝ] F

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : F

Context: a b : ℝ

Context: h₁ : (a, b) ≠ 0

Context: h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0

Context: hx₀ : ¬x₀ = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: c : ℝ := -b⁻¹ * a

Context: hc : T x₀ = c • x₀

Context: this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0

Context: this : ⟪T x₀, x₀⟫_ℝ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)

T.reApplyInnerSelf x₀ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f ≫ g).val.base


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsClosedImmersion g

Context: inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)

Context: h : ClosedEmbedding ⇑(f.val.base ≫ g.val.base)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsClosedImmersion g

Context: inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsClosedImmersion g

Context: inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsClosedImmersion g

Context: inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: f✝ : α → R

Context: r : R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid R

Context: inst✝ : Archimedean R

Context: f : α → ℕ

Context: hr : 0 < r

Context: hf : Tendsto f l atTop


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: f✝ : α → R

Context: r : R

Context: inst✝ : Archimedean R

Context: f : α → ℕ

Context: hr : 0 < r

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: s : R


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: f✝ : α → R

Context: r : R

Context: inst✝ : Archimedean R

Context: f : α → ℕ

Context: hr : 0 < r

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: s : R

Context: n : ℕ

Context: hn : s ≤ n • r


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s

eVariationOn (f ∘ φ) t ≤ eVariationOn f s


∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist ((f ∘ φ) (↑i.2 (i_1 + 1))) ((f ∘ φ) (↑i.2 i_1)) ≤ eVariationOn f s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t

∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ eVariationOn f s


∑ j ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - j + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - j))) ≤ eVariationOn f s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x < (n, ⟨u, ⋯⟩).1


Context:
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁷ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝⁶ : SetLike σ A

Context: inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝⁴ : GradedRing 𝒜

Context: b : A

Context: n✝ i : ι

Context: inst✝³ : Sub ι

Context: inst✝² : OrderedSub ι

Context: inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: n : ι

Context: inst✝ : Decidable (i ≤ n)

Context: a : ↥(𝒜 i)

↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) n) = if i ≤ n then ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) (n - i)) else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K.IsRadical


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
m : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Subsingleton E
f : E → F
x : E


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
k : ℕ
h : G.edist u v = ↑k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f g : C(α, β)

Context: ι : Type u_5

Context: S : ι → Set α

Context: φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)

Context: hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩

Context: hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x

Context: i : ι

Context: a✝ : ↑(S i)

(restrict (S i) (liftCover S φ hφ hS)) a✝ = (φ i) a✝


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b

(b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ


∫ (a_1 : Ω), (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ


0 ≤ᶠ[ae μ] fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)


(fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)) ≤ᶠ[ae μ] ∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : x ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

l.length = l.reduceOption.length + (filter Option.isNone l).length


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞

ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal


(fun x => ε ≤ ↑‖f x‖₊) = fun x => ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
x : α

ε ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


0 ≤ (↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • I).re ∧ (↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • I).im = 0 ↔ SameRay ℝ x y


Context:
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: z₂ : (1 + -(z * I)).arg ≠ π ∧ 1 + -(z * I) ≠ 0


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

(1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: c₁ : -(π / 2) + -(π / 2) < (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg


Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: c₂ : (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg < π / 2 + π / 2


Context:
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y

presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R


Context:
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X


Context:
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X
f : Z ⟶ Y

f ∈ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y ↔ f ∈ R


Context:
a : ℤ
m n : ℕ

a.gcd (↑m * ↑n) ≠ 1 ↔ a.gcd ↑m ≠ 1 ∨ a.gcd ↑n ≠ 1


Context:
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B✝
inst✝⁴ : Algebra A B✝
x✝ : B✝
inst✝³ : Nontrivial B✝
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x


Context:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c


Context:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n


IsVanKampenColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)


IsColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ o✝ : Ordinal.{u}

Context: f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}

Context: a o o' : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}

Context: hg : o.IsFundamentalSequence o' g

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o'


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ o✝ : Ordinal.{u}

Context: a o o' : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: hg : o.IsFundamentalSequence o' g

Context: i : Ordinal.{u}

Context: hi : i < o'


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ o✝ : Ordinal.{u}

Context: a o o' : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: hg : o.IsFundamentalSequence o' g

a.IsFundamentalSequence o' fun i hi => f (g i hi) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ o✝ : Ordinal.{u}

Context: a o o' : Ordinal.{u}

Context: hf : a.IsFundamentalSequence o f

Context: hg : o.IsFundamentalSequence o' g


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
L : List (List α)
c : Composition L.join.length
h : map length L = c.blocks


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp (-a) b = p - toIocMod hp a (-b)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c

dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c

dist (inversion c 0 x) y * dist x c = dist x (inversion c 0 y) * dist y c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c


dist (inversion c R x) (inversion c R (inversion c R y)) * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c


R ^ 2 / (dist x c * (R ^ 2 / dist y c)) * dist x (inversion c R y) * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c
this : dist x c ≠ 0


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}

Independent f ↔ ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι

Disjoint (f i) (sSup (f '' {j | j ≠ i}))


∀ (i_1 : Finset α), ↑i_1 ⊆ f '' {j | j ≠ i} → Disjoint (f i) (i_1.sup id)


Context:
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s✝ : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).hom ≫ (coprod.braiding X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (coprod.braiding X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (coprod.braiding X Z).hom


coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) ≫ coprod.desc coprod.inr coprod.inl ≫ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) = coprod.map (coprod.desc coprod.inr coprod.inl) (𝟙 Z) ≫ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) ≫ coprod.map (𝟙 Y) (coprod.desc coprod.inr coprod.inl)


(α_ X Y Z).inv ≫ (coprod.braiding (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (coprod.braiding Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (coprod.braiding X Z).hom ▷ Y


coprod.desc (coprod.inl ≫ coprod.inl) (coprod.desc (coprod.inr ≫ coprod.inl) coprod.inr) ≫ coprod.desc coprod.inr coprod.inl ≫ coprod.desc (coprod.inl ≫ coprod.inl) (coprod.desc (coprod.inr ≫ coprod.inl) coprod.inr) = coprod.map (𝟙 X) (coprod.desc coprod.inr coprod.inl) ≫ coprod.desc (coprod.inl ≫ coprod.inl) (coprod.desc (coprod.inr ≫ coprod.inl) coprod.inr) ≫ coprod.map (coprod.desc coprod.inr coprod.inl) (𝟙 Y)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : OrthocentricSystem s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p

affineSpan ℝ (Set.range p) = affineSpan ℝ s


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : OrthocentricSystem s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: ha : AffineIndependent ℝ p

Context: t : Triangle ℝ P

Context: left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points

Context: hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: ha : AffineIndependent ℝ p

Context: t : Triangle ℝ P

Context: hs : affineSpan ℝ s = affineSpan ℝ (Set.range t.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: ha : AffineIndependent ℝ p

Context: t : Triangle ℝ P

(affineSpan ℝ (Set.range p)).direction = (affineSpan ℝ s).direction


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: ha : AffineIndependent ℝ p

Context: t : Triangle ℝ P

Context: hfd this : FiniteDimensional ℝ ↥(affineSpan ℝ s).direction


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: p : Fin 3 → P

Context: hps : Set.range p ⊆ s

Context: hpi : Function.Injective p

Context: ha : AffineIndependent ℝ p

Context: t : Triangle ℝ P

finrank ℝ ↥(affineSpan ℝ (Set.range p)).direction = finrank ℝ ↥(affineSpan ℝ s).direction


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder β s

Context: f : r ≼i s

Context: h : ¬∃ b, ∀ (x : β), s x b ↔ ∃ y, f y = x

Context: b x : β

Context: x✝¹ : ∀ (y : β), s y x → Acc s y

Context: IH : ∀ (y : β), s y x → ∃ a, f a = y

Context: hn : ∀ (x_1 : α), ¬f x_1 = x

Context: y : β

Context: x✝ : ∃ y_1, f y_1 = y

Context: a : α

Context: e : f a = y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]

p ∈ RingHom.ker (Polynomial.aeval s).toRingHom ↔ p ∈ Ideal.span {minpoly R s}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ

(coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
h₁ : n < n + 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
h₁ : n < n + 1
h₂ : n < n + 1 + 1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁹ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : DirectSum ι G

Context: H : Submodule.Quotient.mk x = 0

Context: ind i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: y : G i

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Context: x✝ : (DirectSum.lof R ι G i) y - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j hij) y) ∈ {a | ∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, (DirectSum.lof R ι G i) x - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j H) x) = a}

(DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) ((DirectSum.lof R ι G i) y - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j hij) y)) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁹ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x✝² : DirectSum ι G

Context: H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0

Context: ind : ι

Context: x y : DirectSum ι G

Context: x✝¹ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0

Context: x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0

Context: i : ι

Context: hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

Context: hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0

Context: j : ι

Context: hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j

Context: hyj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

(DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) (x + y) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁹ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x✝² : DirectSum ι G

Context: H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0

Context: ind : ι

Context: x y : DirectSum ι G

Context: i : ι

Context: hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

Context: j : ι

Context: hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

(DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) x + (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) y = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁹ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x✝² : DirectSum ι G

Context: H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0

Context: ind : ι

Context: x y : DirectSum ι G

Context: i : ι

Context: hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

Context: j : ι

Context: hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j

Context: k : ι

Context: hik : i ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

(f i k hik) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) x) + (f j k hjk) ((DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) y) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁹ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁴ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: x✝¹ : DirectSum ι G

Context: H : Submodule.Quotient.mk x✝¹ = 0

Context: ind : ι

Context: a : R

Context: x : DirectSum ι G

Context: x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0

Context: i : ι

Context: hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

(DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) (a • x) = 0


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y