Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄

2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (1 < ↑n / ↑d) = true


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (1 < ↑n / ↑d) = true
this : 1 < ↑n / ↑d


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.211873}
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℤ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: p p₁ p₂ p₃ : P

Context: h : (p₂ -ᵥ p = p₁ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p = p₃ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p ∈ openSegment ℝ (p₁ -ᵥ p) (p₃ -ᵥ p)) ∧ p₂ ≠ p₁ ∧ p₂ ≠ p₃

Context: hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f

Measurable fun a => (hf.stieltjesFunction a).measure


∀ (s : Set ℝ), MeasurableSet s → Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s

(fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) ∅


∀ t ∈ range Iic, (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) t


∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) t → (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) tᶜ


∀ (f_1 : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) (f_1 i)) → (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) (⋃ i, f_1 i)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0


p₁ -ᵥ p₂ ≠ p₃ -ᵥ p₂


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
b : B
v : F

(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (trivialization B F) (trivialization B F) b) v = (ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F) v


(↑(trivialization B F) (↑(trivialization B F).symm (b, v))).2 = (ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F) v


b ∈ (trivialization B F).baseSet ∩ (trivialization B F).baseSet


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂


↑(map N.incl (comap N.incl N')) = ↑(N ⊓ N')


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.70958, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.70958, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
this : Mono S.g


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β

Tendsto f l₁ l₂ ↔ PTendsto (PFun.res f Set.univ) l₁ l₂


Tendsto f l₁ l₂ ↔ Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 Set.univ) l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

(p.bindOnSupport f).support = ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β

b ∈ (p.bindOnSupport f).support ↔ b ∈ ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support


(∃ x, ¬p x = 0 ∧ ¬(if h : p x = 0 then 0 else (f x h) b) = 0) ↔ ∃ i, ∃ (h : ¬p i = 0), ¬(f i ⋯) b = 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : H

a ∈ Subgroup.map f (stabilizer G s) → a ∈ stabilizer H (⇑f '' s)


∀ (x : G), x • s = s → f x = a → a • ⇑f '' s = ⇑f '' s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : G
ha : a • s = s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)


s ∩ bᶜ ⊆ s ∩ a


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
x : X
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : x ∈ bᶜ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S S₁ S₂ : ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
i : ℕ
hi : autoParam (i + 2 ≤ n) _auto✝

S₂.map' i (i + 1) ⋯ ⋯ ≫ S₂.map' (i + 1) (i + 2) ⋯ hi = 0


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω

levyProkhorovDist μ ν = levyProkhorovDist ν μ


Context:
s : String
p : Char → Bool


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

J.toPlus (J.plusObj P) ≫ η = J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ η = J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : J.sheafify P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

(J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ η = (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2

cs.wordProd (alternatingWord i i' m) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i i' * 2 - m))


(if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m / 2) = (if Even ↑(M.M i i' * 2 - m) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((M.M i i' * 2 - m) / 2)


(if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (↑m / ↑2) = (if Even (↑(M.M i i' * 2) - ↑m) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - ↑m) / ↑2)


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
m' : ℤ

(if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - m') then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - m') / 2)


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ

(if Even (2 * k) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (2 * k / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) / 2)


(if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
x : β

x ∈ (insert a s).biUnion t ↔ x ∈ t a ∪ s.biUnion t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C

eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂0, ‖f x‖₊ ≤ C

eLpNorm f p 0 ≤ C • 0 Set.univ ^ p.toReal⁻¹


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊


eLpNorm (fun x => ↑C) p μ = C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CokernelCofork (f - g)


Context:
α : Type u_1
l : Lists' α true


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y

f ≫ g ≫ e.unit.app Y = f' ≫ g' ≫ e.unit.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
f : α → β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

(Measure.map g (Measure.map f μ)) s = (Measure.map (g ∘ f) μ) s


Context:
α : Type u_1
β : ?m.4523
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α

IsOpen s ↔ GenerateOpen {t | ∃ a, (Ici a)ᶜ = t} s


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F

HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: c : 𝕜 → 𝕜'

Context: c' : 𝕜'

Context: hc : HasStrictDerivAt c c' x

Context: f : F

Context: this : HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Context: h : (of R M) m ∈ span R ↑(closure (⇑(of R M) '' S))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : M

Context: S : Set M

Context: h : (of R M) m ∈ span R ↑(Submonoid.map (of R M) (closure S))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

MDifferentiableOn I I' f univ ↔ MDifferentiable I I' f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

(∀ (x : M), MDifferentiableAt I I' f x) ↔ MDifferentiable I I' f


Context: θ : ℝ

(↑θ).toReal = θ - 2 * π ↔ θ ∈ Set.Ioc π (3 * π)


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: mem1 : ↑x ∈ ↑(supExtensionOfMaxSingleton i f y)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: mem1 : ↑x ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain + ↑(Submodule.span R {y})


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: a : N

Context: a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain

Context: b : N

Context: b_mem : b ∈ Submodule.span R {y}

Context: eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: a : N

Context: b : N

Context: b_mem : ∃ a, a • y = b

Context: eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
f : R

f ∈ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ↔ f ∈ I.radical


(∀ x ∈ zeroLocus ↑I, f ∈ x.asIdeal) ↔ ∀ p ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, f ∈ p


Context:
α : Type u_1
le : α → α → Bool
n r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
h : WF le n (cons r a c s)

WF le 0 (Heap.merge le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap ((Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next))


Context: α : Type u_1

Context: le : α → α → Bool

Context: n r : Nat

Context: a : α

Context: c : HeapNode α

Context: s : Heap α

Context: h : WF le n (cons r a c s)

Context: this : FindMin.WF le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s })


Context: α : Type u_1

Context: le : α → α → Bool

Context: n r : Nat

Context: a : α

Context: c : HeapNode α

Context: s : Heap α

Context: h : WF le n (cons r a c s)

Context: before : Heap α → Heap α

Context: val : α

Context: node : HeapNode α

Context: next : Heap α

Context: rank✝ : Nat

Context: hk : ∀ {s : Heap α}, WF le rank✝ s → WF le 0 ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before s)

Context: ih₁ : HeapNode.WF le { before := before, val := val, node := node, next := next }.val { before := before, val := val, node := node, next := next }.node rank✝

Context: ih₂ : WF le (rank✝ + 1) { before := before, val := val, node := node, next := next }.next

WF le 0 (Heap.merge le { before := before, val := val, node := node, next := next }.node.toHeap ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before { before := before, val := val, node := node, next := next }.next))


Context:
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
p' : Path u' v'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: l : Filter α

Context: f : α → E →WOT[𝕜]F

Context: A : E →WOT[𝕜]F

Context: hmain : (∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))) ↔ ∀ (p : E × NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 (p.2 (A p.1)))

Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: l : Filter α

Context: f : α → E →WOT[𝕜]F

Context: A : E →WOT[𝕜]F

Tendsto (⇑(inducingFn 𝕜 E F) ∘ f) l (𝓝 ((inducingFn 𝕜 E F) A)) ↔ Tendsto (fun a p => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 fun p => p.2 (A p.1))


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ

i ∈ (p.toSubring T hp).support ↔ i ∈ p.support


(p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ p.coeff i = 0


(p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ ↑((p.toSubring T hp).coeff i) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞

a + ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), a + f i


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
q n : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP F q
this : Fact (Nat.Prime q)

((expand F (q ^ n)) f).natSepDegree = f.natSepDegree


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ : α
i j : Fin 2

(!![a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂] * !![b₁₁, b₁₂; b₂₁, b₂₂]) i j = !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂; a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂] i j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
g : β → γ
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

Multiset.map Subtype.val univ.val = (filter p univ).val


(map (Embedding.subtype p) univ).val = (filter p univ).val


Context:
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G

Context: hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q

Context: q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (natAdd a j) = 1

∏ i : Fin (a + b), f i = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)


∏ i : Fin a, f (castAdd b i) = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)


Context:
ι : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N


Context:
ι✝ : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
ι : Type u_2
b : Basis ι R M


Context: ι✝ : Type ?u.54871

Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁶ : LinearOrder ι✝

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: ι : Type u_2

Context: b : Basis ι R M

Context: this : LinearOrder ι := IsWellOrder.linearOrder WellOrderingRel


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
h : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : V₁


Context: x✝ y✝ x y : ℂ

sin (x + y * I) = sin x * cosh y + cos x * sinh y * I


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: f' : 𝕜

Context: hf : HasStrictDerivAt f f' x

Context: hx : f x = x

Context: n : ℕ

Context: this : HasStrictFDerivAt f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
this : u ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: this : IsFiniteKernel κ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: this : IsFiniteKernel κ

Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: this : IsFiniteKernel κ

Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) univ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))


Context:
α : Type u_1
f : α → α
a : α
m n : ℕ

iterate f a (m + n) = iterate f a m ++ iterate f (f^[m] a) n


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsComplex

Context: B : ℝ≥0

Context: hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLT'Factor K) * ↑B

∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < √(1 + ↑B ^ 2)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsComplex

Context: B : ℝ≥0

Context: this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K (fun w => if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ⟨w₀, hw₀⟩)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : InfinitePlace K

Context: hw₀ : w₀.IsComplex

Context: B : ℝ≥0

Context: a : 𝓞 K

Context: h_nz : a ≠ 0

Context: h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑⟨w₀, hw₀⟩ → w ↑a < ↑(if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1)

Context: h_le₀ : |((↑⟨w₀, hw₀⟩).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑⟨w₀, hw₀⟩).embedding ↑a).im| < ↑(if ↑⟨w₀, hw₀⟩ = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ^ 2


Context:
C : Type u_1
D : Type ?u.35289
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.35297, ?u.35289} D
K : Coverage C
X : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
I : PrimeSpectrum R


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : ¬#β ≤ #↑(range f)


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : Infinite β

Context: f : α → Finset β

Context: w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤

Context: k : Infinite ↑(range f)

Context: h : #↑(range f) < #β

Context: u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : Infinite β

Context: f : α → Finset β

Context: w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤

Context: k : Infinite ↑(range f)

Context: h : #↑(range f) < #β

Context: u' : β → ↑(range f) := fun b => ⟨f ⋯.choose, ⋯⟩


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : Infinite β

Context: f : α → Finset β

Context: w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤

Context: k : Infinite ↑(range f)

Context: h : #↑(range f) < #β

Context: v' : ∀ (a : α), u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩} ≤ ↑(f a)


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : Infinite β

Context: f : α → Finset β

Context: w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤

Context: k : Infinite ↑(range f)

Context: h : #↑(range f) < #β

Context: a : α

Context: p : Infinite ↑(u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩})


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : Part α →o Part α
hc : Continuous f
x✝ : Chain (Unit → Part α)

f (Part.ωSup (x✝.map (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))) = Part.ωSup ((x✝.map (toUnitMono f)).map (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))


ωSup (x✝.map (f.comp (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))) = Part.ωSup (x✝.map (f.comp (Pi.evalOrderHom PUnit.unit)))


Context: x y : ℝ*

x.InfinitePos → ¬y.Infinitesimal → y < 0 → (x * y).InfiniteNeg


Context: x y : ℝ*

x.InfinitePos → ¬(-y).Infinitesimal → 0 < -y → (x * -y).InfinitePos


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: α : Type u_1

Context: s : Finset α

Context: f : α → (ι → ℝ) → E

Context: g : α → F

Context: h : ∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)

HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: α : Type u_1

Context: f : α → (ι → ℝ) → E

Context: g : α → F

Context: h : ∀ i ∈ ∅, HasIntegral I l (f i) vol (g i)

HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ ∅, f i x) vol (∑ i ∈ ∅, g i)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: α : Type u_1

Context: f : α → (ι → ℝ) → E

Context: g : α → F

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: ihs : (∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) → HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)

Context: h : ∀ i ∈ insert a s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)

HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ insert a s, f i x) vol (∑ i ∈ insert a s, g i)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: α : Type u_1

Context: f : α → (ι → ℝ) → E

Context: g : α → F

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

HasIntegral I l (fun x => f a x + ∑ i ∈ s, f i x) vol (g a + ∑ i ∈ s, g i)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: α : Type u_1

Context: f : α → (ι → ℝ) → E

Context: g : α → F

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: h : HasIntegral I l (f a) vol (g a) ∧ ∀ x ∈ s, HasIntegral I l (f x) vol (g x)


Context: a b : ℤ

IsCoprime a b ↔ a.natAbs.Coprime b.natAbs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β →ₛ γ
g : α → β
hgm : Measurable g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α

DevosMulRel x y ↔ (x.1 * x.2).card < (y.1 * y.2).card ∨ (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ y.1.card + y.2.card < x.1.card + x.2.card ∨ (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ x.1.card + x.2.card = y.1.card + y.2.card ∧ x.1.card < y.1.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: p : β → β → Prop

Context: a b : α

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (a b : α), r a b → ReflTransGen p (f a) (f b)

Context: hab : ReflTransGen r a b


Context:
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι

f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j


f a - f (∅.piecewise b a) = ∑ i ∈ ∅, f fun j => if j ∈ ∅ → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: a b : (i : ι) → M₁ i

Context: s✝ : Finset ι

Context: k : ι

Context: s : Finset ι

Context: hk : ∀ x ∈ s, k < x

Context: ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j

f a - f ((insert k s).piecewise b a) = ∑ i ∈ insert k s, f fun j => if j ∈ insert k s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: a b : (i : ι) → M₁ i

Context: s✝ : Finset ι

Context: k : ι

Context: s : Finset ι

Context: hk : ∀ x ∈ s, k < x

(f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) + ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) = (f fun j => if j ∈ insert k s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) + ∑ x ∈ s, f fun j => if j ∈ insert k s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁵ : Semiring R

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: a b : (i : ι) → M₁ i

Context: s✝ : Finset ι

Context: k : ι

Context: s : Finset ι

Context: hk : ∀ x ∈ s, k < x

(f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) + ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) = (f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) + ∑ x ∈ s, f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: k✝ : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜

Context: k : ℕ

Context: ih : k ≤ Fintype.card α → ∑ r ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - k) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k))

Context: hk : k + 1 ≤ Fintype.card α

∑ r ∈ range (k + 1 + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - (k + 1)) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: k✝ : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: k : ℕ

Context: hk : k + 1 ≤ Fintype.card α

↑(𝒜 # (Fintype.card α - (k + 1))).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1))) + ∑ x ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - x)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - x)) ≤ ↑(𝒜 # (Fintype.card α - (k + 1))).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1))) + ↑(∂ (falling (Fintype.card α - (k + 1) + 1) 𝒜)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: k✝ : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: k : ℕ

Context: hk : k + 1 ≤ Fintype.card α

↑(𝒜 # (Fintype.card α - k - 1)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k - 1)) + ∑ x ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - x)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - x)) ≤ ↑(𝒜 # (Fintype.card α - k - 1)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k - 1)) + ↑(∂ (falling (Fintype.card α - k) 𝒜)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k - 1))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α


Measurable ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm


∀ t ∈ range (natGeneratingSequence α), MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm ⁻¹' t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ

MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm ⁻¹' natGeneratingSequence α n)


MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) '' natGeneratingSequence α n)


Subtype.val ⁻¹' {y | y n = true} = ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) '' natGeneratingSequence α n


⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' {y | y n = true}) = natGeneratingSequence α n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = (κ a) (s ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: this : (κ a) (s ×ˢ t) = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) (s ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β), (κ.condKernel (a, b)) {c | (b, c) ∈ s ×ˢ t} ∂κ.fst a


Context: a✝¹ a✝ : ℕ

↑a✝¹ + ↑a✝ = 2 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 2 ∨ ↑a✝¹ = 1 ∧ ↑a✝ = 1 ∨ ↑a✝¹ = 2 ∧ ↑a✝ = 0


Context: a : ONote

Context: m : ℕ+

Context: b : ONote

Context: iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence

Context: ihb : b.FundamentalSequenceProp b.fundamentalSequence

(a.oadd m b).FundamentalSequenceProp (match b.fundamentalSequence with | Sum.inr f => Sum.inr fun i => a.oadd m (f i) | Sum.inl (some b') => Sum.inl (some (a.oadd m b')) | Sum.inl none => match a.fundamentalSequence, m.natPred with | Sum.inl none, 0 => Sum.inl (some zero) | Sum.inl none, m.succ => Sum.inl (some (zero.oadd m.succPNat zero)) | Sum.inl (some a'), 0 => Sum.inr fun i => a'.oadd i.succPNat zero | Sum.inl (some a'), m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat (a'.oadd i.succPNat zero) | Sum.inr f, 0 => Sum.inr fun i => (f i).oadd 1 zero | Sum.inr f, m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat ((f i).oadd 1 zero))


Context: a : ONote

Context: m : ℕ+

Context: b : ONote

Context: ihb : b = 0

Context: e : b.fundamentalSequence = Sum.inl none

match match a.fundamentalSequence, m.natPred with | Sum.inl none, 0 => Sum.inl (some zero) | Sum.inl none, m.succ => Sum.inl (some (zero.oadd m.succPNat zero)) | Sum.inl (some a'), 0 => Sum.inr fun i => a'.oadd i.succPNat zero | Sum.inl (some a'), m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat (a'.oadd i.succPNat zero) | Sum.inr f, 0 => Sum.inr fun i => (f i).oadd 1 zero | Sum.inr f, m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat ((f i).oadd 1 zero) with | Sum.inl none => a.oadd m b = 0 | Sum.inl (some a_1) => (a.oadd m b).repr = succ a_1.repr ∧ ((a.oadd m b).NF → a_1.NF) | Sum.inr f => (a.oadd m b).repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), f i < f (i + 1) ∧ f i < a.oadd m b ∧ ((a.oadd m b).NF → (f i).NF)) ∧ ∀ a_1 < (a.oadd m b).repr, ∃ i, a_1 < (f i).repr


Context: a : ONote

Context: m : ℕ+

Context: b : ONote

Context: b' : ONote

Context: ihb : b.repr = succ b'.repr ∧ (b.NF → b'.NF)

Context: e : b.fundamentalSequence = Sum.inl (some b')

(a.oadd m b).repr = succ (a.oadd m b').repr ∧ ((a.oadd m b).NF → (a.oadd m b').NF)


Context: a : ONote

Context: m : ℕ+

Context: b : ONote

Context: f : ℕ → ONote

Context: ihb : b.repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), f i < f (i + 1) ∧ f i < b ∧ (b.NF → (f i).NF)) ∧ ∀ a < b.repr, ∃ i, a < (f i).repr

Context: e : b.fundamentalSequence = Sum.inr f

(a.oadd m b).repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), a.oadd m (f i) < a.oadd m (f (i + 1)) ∧ a.oadd m (f i) < a.oadd m b ∧ ((a.oadd m b).NF → (a.oadd m (f i)).NF)) ∧ ∀ a_1 < (a.oadd m b).repr, ∃ i, a_1 < (a.oadd m (f i)).repr


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module.Free R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
I : LieIdeal R L
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
a : R

f.natDegree + (C a).natDegree = f.natDegree + 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

-(-f) (a • x + b • y) ≤ -(a • (-f) x + b • (-f) y + a * b * φ ‖x - y‖)


Context: X✝ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝

Context: X : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: s : (i : ι) → Set (X i)

Context: h : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)


Context: X✝ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝

Context: X : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (X i)

Context: h : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

a ∈ [[b, c]] ↔ b ≤ a ∧ a ≤ c ∨ c ≤ a ∧ a ≤ b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : T1Space E
hxy : x ≠ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ : Set E
x y : E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : T1Space E
hxy : x ≠ y
f : E →L[ℝ] ℝ
s t : ℝ
hs : ∀ a ∈ {x}, f a < s
st : s < t
ht : ∀ b ∈ {y}, t < f b


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B₁ B₂ : Set α

Context: M₁ M₂ : Matroid α

Context: hE : M₁.E = M₂.E

Context: h : ∀ ⦃B : Set α⦄, B ⊆ M₁.E → (M₁.Base B ↔ M₂.Base B)


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B₁ B₂ : Set α

Context: M₁ M₂ : Matroid α

Context: hE : M₁.E = M₂.E

Context: h' : ∀ (B : Set α), M₁.Base B ↔ M₂.Base B


Context: a x✝ z x : ℂ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
N'₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup N'₂
inst✝² : Module R N'₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : N' →ₗ[R] N'₂
f : MultilinearMap R (fun x => M) N'
x✝ : ι → M

(MultilinearMap.alternatization (g.compMultilinearMap f)) x✝ = (g.compAlternatingMap (MultilinearMap.alternatization f)) x✝


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
h : ofFn f ≠ []
hn : optParam (n - 1 < n) ⋯


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)

Context: inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl

Context: this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this✝ : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: this : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)

Context: inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor

Context: c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := { pt := pullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt), ι := { app := fun j => pullback.lift (Gr.map (c'.ι.app j)) (Gr.map (α'.app j) ≫ c.ι.app j) ⋯, naturality := ⋯ } }

Context: cf : (Cocones.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := { hom := pullback.lift (inv (adj.counit.app c'.pt)) f ⋯ ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).inv, w := ⋯ }


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: this✝³ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝² : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)

Context: this✝¹ : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))

Context: α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))

Context: this✝ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))

Context: this : cf.hom ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫ pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt = 𝟙 ((Cocones.precompose β.hom).obj c').pt


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: this✝³ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: this✝² : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: this✝¹ : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))

Context: hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j

Context: hc'' : ∀ (j : J), α.app j ≫ Gl.map (c.ι.app j) = c'.ι.app j ≫ f

Context: β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor

Context: c'' : Cocone (F' ⋙ Gr) := { pt := pullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt), ι := { app := fun j => pullback.lift (Gr.map (c'.ι.app j)) (Gr.map (α'.app j) ≫ c.ι.app j) ⋯, naturality := ⋯ } }

Context: cf : (Cocones.precompose β.hom).obj c' ⟶ Gl.mapCocone c'' := { hom := pullback.lift (inv (adj.counit.app c'.pt)) f ⋯ ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).inv, w := ⋯ }

Context: this✝ : cf.hom ≫ (PreservesPullback.iso Gl (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)).hom ≫ pullback.fst (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt)) ≫ adj.counit.app c'.pt = 𝟙 ((Cocones.precompose β.hom).obj c').pt

Context: this : IsIso cf


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)

Context: inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl

Context: this✝⁴ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)

Context: α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))

Context: this : IsIso cf

Context: Hc'' : IsColimit c''


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: this : IsIso cf

whiskerRight α' Gr ≫ c.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map (pullback.snd (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: Gl : C ⥤ D

Context: Gr : D ⥤ C

Context: adj : Gl ⊣ Gr

Context: inst✝³ : Gr.Full

Context: inst✝² : Gr.Faithful

Context: F : J ⥤ D

Context: c : Cocone (F ⋙ Gr)

Context: H : IsUniversalColimit c

Context: F' : J ⥤ D

Context: c' : Cocone F'

Context: α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl

Context: f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: hα' : NatTrans.Equifibered α'

Context: this : IsIso cf

∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) ((whiskerRight α' Gr).app j) (pullback.snd (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) (c.ι.app j)


Context: n : ℕ

11 ∣ n ↔ 11 ∣ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum


Context: n : ℕ

Context: t : 11 ∣ n ↔ ↑11 ∣ ofDigits (-1) (digits 10 n)


Context: n : ℕ

Context: t : 11 ∣ n ↔ ↑11 ∣ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: x : ↑↑(Proj.restrict ⋯).toPresheafedSpace

FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x) = x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

∀ (i : ℕ), ∀ x_1 ∈ 𝒜 i, x_1 ∈ (↑(FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x))).asHomogeneousIdeal ↔ x_1 ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: i : ℕ

Context: z : A

Context: hzi : z ∈ 𝒜 i

z ∈ (↑(FromSpec.toFun f_deg hm ((toSpec 𝒜 f) x))).asHomogeneousIdeal ↔ z ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: i : ℕ

Context: z : A

Context: hzi : z ∈ 𝒜 i

HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨z ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ ((toSpec 𝒜 f) x).asIdeal ↔ z ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : DecidableEq R


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : DecidableEq R
a : R
x✝ : a ∈ Finset.univ


↑(Finset.filter IsUnit Finset.univ).card = ↑(Finset.map { toFun := Units.val, inj' := ⋯ } Finset.univ).card


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: ha : a ∈ s

Context: hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: ha : a ∈ s

Context: hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x

∀ x ∈ s ∩ Ico a b, ∀ y ∈ Ioi x, (s ∩ Ioc x y).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: ha : a ∈ s

Context: hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hxab : x ∈ Ico a b

Context: y : α

Context: hyxb : y ∈ Ioi x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: ha : a ∈ s

Context: hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, s ∈ 𝓝[>] x

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s

Context: hxab : x ∈ Ico a b

Context: y : α

Context: hyxb : y ∈ Ioi x

Context: this : s ∩ Ioc x y ∈ 𝓝[>] x


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∃ i, 0 ≤ x.moveLeft i) ∨ ∃ j, moveRight 0 j ≤ x) ↔ ∃ i, 0 ≤ x.moveLeft i


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq G
ha0 : a0 ∈ A
hb0 : b0 ∈ B

UniqueMul A B a0 b0 ↔ (filter (fun p => p.1 * p.2 = a0 * b0) (A ×ˢ B)).card ≤ 1


UniqueMul A B a0 b0 ↔ ∀ {a b : G × G}, (a.1 ∈ A ∧ a.2 ∈ B) ∧ a.1 * a.2 = a0 * b0 → (b.1 ∈ A ∧ b.2 ∈ B) ∧ b.1 * b.2 = a0 * b0 → a = b


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t s : Set A


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V

Fintype.card ↑(G.incidenceSet v) = G.degree v


Fintype.card ↑(G.neighborSet v) = G.degree v


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)

Context: x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows

Context: hx : x.Compatible

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

∃ φ, ∀ {Z : C} (p : Z ⟶ Y) (hp : S.arrows (p ≫ g)), φ ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hx : x.Compatible

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

Context: c : Cone ((Sieve.pullback g S).arrows.diagram.op ⋙ G) := { pt := F.obj (op Y), π := { app := fun x_1 => match x_1 with | op { obj := Z, property := hZ } => F.map Z.hom.op ≫ (x (Z.hom ≫ g) hZ).app (op (Over.mk (𝟙 (unop (op ((𝟭 C).obj Z.left)))))), naturality := ⋯ } }


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hx : x.Compatible

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

∀ {Z : C} (p : Z ⟶ Y) (hp : S.arrows (p ≫ g)), (hG g).lift c ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hx : x.Compatible

Context: Y : C

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: p : Z ⟶ Y

Context: hp : S.arrows (p ≫ g)

(hG g).lift c ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))


Context:
α : Type u_1
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane


Context:
α : Type u_1
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane

ContinuousAt (fun x => ↑(Real.log (Complex.abs x))) x


Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)


Context: h : Tendsto (fun x => log x * x ^ 1) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context: h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x


Tendsto (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)


Tendsto (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) (𝓝[<] 0) (𝓝 (-0))


Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Set.Iio 0


Context: x : ℝ

Context: hx : x < 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ

P.symm.Λ₀ s = P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀


P.symm.Λ s + (1 / s) • P.symm.f₀ + (P.symm.ε / (↑P.symm.k - s)) • P.symm.g₀ = P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p₁ p₂ : P

v₁ +ᵥ p₁ = v₂ +ᵥ p₂ ↔ v₂ - v₁ = p₁ -ᵥ p₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
f : Aut F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)

F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) ((endEquivAutGalois F) ↑((Aut.unitsEndEquivAut F).symm f))).hom a = f.hom.app A a


(↑((Aut.unitsEndEquivAut F).symm f)).app { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }.obj { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }.pt = f.hom.app A a


Context:
s : ℂ
hs : s ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝³ : FiberBundle F E

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: x : B

ContMDiffAt IB (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) ⊤ (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝³ : FiberBundle F E

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: x : B

ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) ⊤ (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E x) { proj := x_1, snd := 0 }).2) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝³ : FiberBundle F E

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: x : B

(fun x_1 => (↑(trivializationAt F E x) { proj := x_1, snd := 0 }).2) =ᶠ[𝓝 x] fun x => 0


Context:
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: a b : ℂ

Context: ha : a ≠ 0

Context: cpow_eq : (fun x => a ^ x) = fun x => cexp (Complex.log a * x)


Context: α : Type u_1

Context: a b : ℂ

Context: ha : a ≠ 0

ContinuousAt (fun x => cexp (Complex.log a * x)) b


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
K : Multifork I

∀ (j : WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo), ((𝟭 (Multifork I)).obj K).π.app j = (Iso.refl ((𝟭 (Multifork I)).obj K).pt).hom ≫ ((I.toPiForkFunctor ⋙ I.ofPiForkFunctor).obj K).π.app j


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

MeasurePreserving (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
x y : G


Context:
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
hχ : χ.IsPrimitive
he : ¬e.IsPrimitive


Context:
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0


Context:
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0
d : ℕ
hd₁ : d ∣ N
hd₂ : d < N
hed : e.mulShift ↑d = 1


Context:
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0
d : ℕ
hd₁ : d ∣ N
hd₂ : d < N
hed : e.mulShift ↑d = 1
this : χ.conductor ≤ d


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle

∀ (x : V), ((-o).rotation θ) x = (o.rotation (-θ)) x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α
H : Subgroup α

∀ (a₁ a₂ : ↥H), (fun q i => quotientSubgroupOfMapOfLE H ⋯ q) (Quotient.mk'' a₁) = (fun q i => quotientSubgroupOfMapOfLE H ⋯ q) (Quotient.mk'' a₂) → Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A

0 = 2 • (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this : Algebra R' S' := f'.toAlgebra


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R R' S'


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

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