Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' ∅) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty

intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace Q

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

Context: s : Set P

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace Q

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

Context: s : Set P

Context: hs : s.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: this : ⇑φ.toAffineMap ∘ Subtype.val ∘ ⇑f.symm = Subtype.val


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1

SameRay R ((lineMap x z) t -ᵥ x) (z -ᵥ (lineMap x z) t)


SameRay R (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
ht0' : 0 < t
ht1' : t < 1


(1 - t) • (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) = t • (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a : α
h : (f a).isSome = true


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

(K.sc' i j k).pOpcycles ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app K) = K.pOpcycles j


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
e : n ≃ m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L

(algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
hx : IsIntegral K x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing R

Context: inst✝¹⁹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁸ : CommRing T

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra L F

Context: inst✝⁸ : Algebra R F

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝⁶ : Algebra K F

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsAlgClosed E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

Context: hx : IsIntegral K x

Context: pb : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis hx


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing R

Context: inst✝¹⁹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁸ : CommRing T

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra L F

Context: inst✝⁸ : Algebra R F

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝⁶ : Algebra K F

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsAlgClosed E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

Context: hx : IsIntegral K x

(algebraMap K E) ((algebraMap ℕ K) (finrank (↥K⟮x⟯) L)) * ∑ σ : ↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E, σ pb.gen = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝²⁰ : CommRing R

Context: inst✝¹⁹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁸ : CommRing T

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Field L

Context: inst✝¹³ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Field F

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R L

Context: inst✝⁹ : Algebra L F

Context: inst✝⁸ : Algebra R F

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R L F

Context: inst✝⁶ : Algebra K F

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower K L F

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsAlgClosed E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

Context: hx : IsIntegral K x


Context:
α β : Type u
f : ℕ → Cardinal.{u}


Context:
α β : Type u
f : ℕ → Cardinal.{u}

#(Quotient.out (f 0) ⊕ (n : ℕ) × Quotient.out (f (n + 1))) = f 0 + sum fun i => f (i + 1)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset ℕ
n : ℕ
s : Finset ℕ

(∑ i ∈ s, 2 ^ i).bitIndices.toFinset = s


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t μ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
d : ℕ


Context:
n k : ℕ
hk : n + 1 < k + 1


Context:
n k : ℕ
hk : n + 1 < k + 1
hnk : n < k


Context:
n k : ℕ
hk : n + 1 < k + 1
hnk : n < k
hnk1 : n < k + 1


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Fintype n

Context: P : Matrix n n 𝕜 → Prop

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: hMdet : M.det ≠ 0

Context: hdiag : ∀ (D : n → 𝕜), (diagonal D).det ≠ 0 → P (diagonal D)

Context: htransvec : ∀ (t : TransvectionStruct n 𝕜), P t.toMatrix

Context: hmul : ∀ (A B : Matrix n n 𝕜), A.det ≠ 0 → B.det ≠ 0 → P A → P B → P (A * B)

Context: Q : Matrix n n 𝕜 → Prop := fun N => N.det ≠ 0 ∧ P N

Context: this : Q M


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedHurwitzZetaEven a s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - (if a = 0 then 1 else 0) / s - 1 / (1 - s)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

(hurwitzEvenFEPair a).Λ₀ (s / 2) / 2 - (1 / (s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).f₀ / 2 - ((hurwitzEvenFEPair a).ε / (↑(hurwitzEvenFEPair a).k - s / 2)) • (hurwitzEvenFEPair a).g₀ / 2 = completedHurwitzZetaEven₀ a s - (if a = 0 then 1 else 0) / s - 1 / (1 - s)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)

↑(toSimpleFunc (f - g)) =ᶠ[ae μ] ↑(toSimpleFunc f) - ↑(toSimpleFunc g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α

↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑↑↑(f - g) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ → ↑↑(↑f - ↑g) a✝ = (↑↑↑f - ↑↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = (↑(toSimpleFunc f) - ↑(toSimpleFunc g)) a✝


↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc g) a✝ = ↑↑↑g a✝ → ↑(↑↑f - ↑↑g) a✝ = ↑↑↑f a✝ - ↑↑↑g a✝ → ↑(toSimpleFunc (f - g)) a✝ = ↑(toSimpleFunc f) a✝ - ↑(toSimpleFunc g) a✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] univ


Context: a b : String

a.firstDiffPos b = { byteIdx := utf8Len (List.takeWhile₂ (fun x x_1 => decide (x = x_1)) a.data b.data).fst }


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)

(piFinset s).Nonempty ↔ ∀ (a : α), (s a).Nonempty


Context:
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
C : ι → Set α
f : (x : ι) → β → ↑(C x)
hf : ∀ (x : ι), Surjective (f x)
x : α

(x ∈ ⋃ y, range fun x => ↑(f x y)) ↔ x ∈ ⋃ x, C x


(∃ i, x ∈ range fun x => ↑(f x i)) ↔ ∃ i, x ∈ C i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context: p n : ℕ


Context: p : ℕ


Context:
p n : ℕ
hn : n > 0


Context:
n : ℕ
hn : n > 0


Context:
p n : ℕ
hn : n > 0
hp : p ≠ 1


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι

(e.adjustToOrientation x).toBasis.det = e.toBasis.det ∨ (e.adjustToOrientation x).toBasis.det = -e.toBasis.det


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0

∀ (a : DirectLimit G f), (lift R ι G f g Hg) a = 0 → a = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: hz : (lift R ι G f g Hg) z = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0

Context: i✝ : ι

Context: g : G i✝

Context: hz : (lift R ι G f g✝ Hg) ((of R ι G f i✝) g) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i✝ : ι

Context: g : G i✝

Context: hz : (g✝ i✝) g = 0


Context:
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : Ring S
f : R✝ →+* S
I✝ : Type u_3
e : I✝ → R✝
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝³ : Fintype I✝
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
I : Type u_4
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : DecidableEq I
R : I → Type u_5
inst✝ : (i : I) → Ring (R i)

CompleteOrthogonalIdempotents fun x => Pi.single x 1


∀ (i j : I), i ≠ j → Pi.single i 1 * Pi.single j 1 = 0


Context:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
m : M
r : R

(decomposeAux f) (Finsupp.single m r) = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩


r • { toFun := fun m => (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f (Multiplicative.toAdd m))) ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd m) 1, ⋯⟩, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } (Multiplicative.ofAdd m) = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩


(DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)))) (r • ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) 1, ⋯⟩) = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩


GradedMonoid.mk (f (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m))) (r • ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) 1, ⋯⟩) = GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩


↑(GradedMonoid.mk (f (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m))) (r • ⟨Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) 1, ⋯⟩)).snd = ↑(GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩).snd


Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) (r * 1) = ↑(GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩).snd


Finsupp.single (Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd m)) r = ↑(GradedMonoid.mk (f m) ⟨Finsupp.single m r, ⋯⟩).snd


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E

∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ Convex 𝕜 u ∧ Convex 𝕜 v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E

Context: this : UniformAddGroup E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this✝¹ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: this : (comap (fun x => x.2 - x.1) (𝓝 0)).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) fun i => (fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: this : (uniformity E).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Convex 𝕜 s) fun i => (fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: V : Set E

Context: hV : Disjoint (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x ((fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id V)) (⋃ x ∈ t, UniformSpace.ball x ((fun x => x.2 - x.1) ⁻¹' id V))

Context: hV0 : 0 ∈ V

Context: hVopen : IsOpen V

Context: hVconvex : Convex 𝕜 V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: V : Set E

Context: hV0 : 0 ∈ V

Context: hVopen : IsOpen V

Context: hVconvex : Convex 𝕜 V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: V : Set E

Context: hV0 : 0 ∈ V

Context: hVopen : IsOpen V

Context: hVconvex : Convex 𝕜 V

Disjoint (⋃ a ∈ s, (fun x => -a + x) ⁻¹' V) (⋃ a ∈ t, (fun x => -a + x) ⁻¹' V)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: disj : Disjoint s t

Context: hs₁ : Convex 𝕜 s

Context: hs₂ : IsCompact s

Context: ht₁ : Convex 𝕜 t

Context: ht₂ : IsClosed t

Context: this✝ : UniformAddGroup E

Context: V : Set E

Context: hV0 : 0 ∈ V

Context: hVopen : IsOpen V

Context: hVconvex : Convex 𝕜 V

Context: hV : Disjoint (⋃ x ∈ s, (fun x => -x.1 + x.2) ∘ Prod.mk x ⁻¹' id V) (⋃ x ∈ t, (fun x => -x.1 + x.2) ∘ Prod.mk x ⁻¹' id V)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0


⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection K

Context: u v : E

Context: hvm : v ∈ K

Context: hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0

Context: hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection K

Context: u v : E

Context: hvm : v ∈ K

Context: hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0

Context: huo : ⟪u - orthogonalProjectionFn K u, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection K

Context: u v : E

Context: hvm : v ∈ K

Context: hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0

Context: huv : ⟪u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection K

Context: u v : E

Context: hvm : v ∈ K

Context: hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0

Context: houv : ⟪u - v - (u - orthogonalProjectionFn K u), orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
x : OreLocalization S X


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : M
r' : X
s : ↥S


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

F.εIso.inv.app ((F.obj n).obj X) = (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X


𝟙 ((F.obj (𝟙_ M)).obj ((F.obj n).obj X)) = ((F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X) ≫ F.ε.app ((F.obj n).obj X)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : ¬a < b


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
c₁ c₂ : S
ih₁ : c₁ • x ∈ span R (s • t)
ih₂ : c₂ • x ∈ span R (s • t)


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
b : R
c : S
hc : c • x ∈ span R (s • t)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

‖x⋆‖ * ‖x‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : ¬IsUnit a


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : ¬IsUnit a
M : Ideal A
hM : M.IsMaximal
haM : span {a} ≤ M


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β → σ
h : α → γ → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
hh : Computable₂ h
a : α

(bif (encode (f a)).bodd then Option.map (h a) (decode (encode (f a)).div2) else Option.map (g a) (decode (encode (f a)).div2)) = Option.some (Sum.casesOn (f a) (g a) (h a))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hxy : x < y

(fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) x < (fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) y


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ↑(Iic 1)

↑((fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) ((fun x => ((↑x)⁻¹ - 1)⁻¹) x)) = ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F

f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ↑e) =O[𝓝 (↑e.symm b)] (g ∘ ↑e)


(∃ c, IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c (𝓝 (↑e.symm b)) (f ∘ ↑e) (g ∘ ↑e)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : (condCount s) t = 1


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : (condCount s) t = 1
hsf : s.Finite


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t u : Set Ω

Context: h : Measure.count (s ∩ t) * (Measure.count s)⁻¹ = 1

Context: hsf : s.Finite


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t u : Set Ω

Context: hsf : s.Finite

Context: h : Measure.count (s ∩ t) = (Measure.count s)⁻¹⁻¹


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : ⋯.toFinset.card = hsf.toFinset.card


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
r : ℝ


(∃ x_1 ∈ {m | (mk' S) m = x}, ‖x_1‖ < r) ↔ ∃ m, ↑m = x ∧ ‖m‖ < r


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

(∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ Set.univ → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ Set.univ → 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)) ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)


Context:
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q

padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)


Context: p✝ p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r

Context: hlt : padicNorm p r < padicNorm p q

Context: this : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)


Context: p✝ p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r

Context: hlt : padicNorm p r < padicNorm p q

Context: hnge : padicNorm p r ≤ padicNorm p (q + r)


Context: p✝ p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r

Context: hlt : padicNorm p r < padicNorm p q

Context: this✝ : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)

Context: this : padicNorm p q ≤ padicNorm p (q + r)


Context: p✝ p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r

Context: hlt : padicNorm p r < padicNorm p q

padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)


Context: p✝ p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r

Context: hlt : padicNorm p r < padicNorm p q

max (padicNorm p q) (padicNorm p r) ≤ padicNorm p (q + r)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : PartialOrder α
x y : α


Context: m n : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet

χ.conductor ≤ (Classical.choose ⋯).conductor


χ = (changeLevel ⋯) (Classical.choose ⋯)


Context:
x y : ℝ
h : tan x = y
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : a - c < b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
ι' : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < asympBound g a b n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : α → PMF β
g : β → PMF γ
p : PMF α
q : PMF β
f : α → β → PMF γ
b : γ

(p.bind fun a => q.bind (f a)) b = (q.bind fun b => p.bind fun a => f a b) b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0


Context:
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : P n


∃ (h : (find P).Dom), (find P).get h ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∉ s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: x : R

Context: this : TopologicalSpace R := I.adicTopology

(𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: x : R

Context: this✝ : TopologicalSpace R := I.adicTopology

Context: this : (Filter.map (fun y => x + y) (𝓝 0)).HasBasis (fun _n => True) fun i => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ i)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a / 2 < a - b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + b * 2 < a + a


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t

∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i = (interpolate t v) r


(s.sup fun b => ((interpolate (insert b (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v b).degree) < ↑t.card


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t

eval (v i) (∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i) = r i


Context:
a✝ b✝ c p q a b : ℚ
na : ℤ
da : ℕ
ha : da ≠ 0
hared : na.natAbs.Coprime da
nb : ℤ
db : ℕ
hb : db ≠ 0
hbred : nb.natAbs.Coprime db

(if (decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num < 0) && decide (0 ≤ { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num)) = true then true else if { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num = 0 then decide (0 < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num) else if (decide (0 < { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num) && decide ({ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num ≤ 0)) = true then false else decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num * ↑{ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.den < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num * ↑{ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.den)) = false ↔ 0 ≤ { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred } - { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }


(if nb < 0 ∧ 0 ≤ na then False else if nb = 0 then na ≤ 0 else (0 < nb → 0 < na) → na * ↑db ≤ nb * ↑da) ↔ 0 ≤ ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred } - { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }).num


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
h : a ^ 2 < b ^ 2
hb : 0 ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : (a : α) → β a → Type u_3

Context: inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)

Context: c : Chain ((x : (a : α) × β a) → γ x.fst x.snd)

Context: x : α

Context: y : β x

ωSup (c.map (evalOrderHom ⟨x, y⟩)) = ωSup (((c.map (monotoneCurry α β γ)).map (evalOrderHom x)).map (evalOrderHom y))


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: γ : (a : α) → β a → Type u_3

Context: x : α

Context: y : β x

ωSup (c.map (evalOrderHom ⟨x, y⟩)) = ωSup (c.map (((evalOrderHom y).comp (evalOrderHom x)).comp (monotoneCurry α β γ)))


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r ≠ -1

HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 < x


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 > x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure α
s : Set β

IntegrableOn f s (Measure.map e μ) ↔ IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
a✝ : Nontrivial R

Module.rank R ↥(A ⊔ B) ≤ Module.rank R ↥A * Module.rank R ↥B


Module.rank R ↥(A.mulMap B).range ≤ Module.rank R (↥A ⊗[R] ↥B)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
h : l₁.length = l₂.length


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D ⥤ E
Z : D

(F.map e.hom).app Z ≫ (F.map e.inv).app Z = 𝟙 ((F.obj X).obj Z)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

(insert a s).pi t = (t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)


((insert a s).pi t).val = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val


((insert a s).pi t).val.dedup = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
s' : Multiset α
h : s' = a ::ₘ s.val

(s'.pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup


((a ::ₘ s.val).pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup


((t a).val.bind fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup


(fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)) = fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
b : β a

Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val) = (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
h : IsMaxOn (fun a => ‖a‖₊) (σ a) k


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(inv f ⊗ g) ≫ (f ⊗ h) = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : AddCommMonoid M
g : G
f : α →₀ M
a : α


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n


supp (g <$$> abs (repr x)) i = g i '' supp (abs (repr x)) i


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α

supp (g <$$> abs ⟨a, f⟩) i = g i '' supp (abs ⟨a, f⟩) i


supp (abs ⟨a, g ⊚ f⟩) i = g i '' supp (abs ⟨a, f⟩) i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
ϕ : R →+* S
hϕ : Injective ⇑ϕ
hR : CharZero R
a b : ℕ
h : ↑a = ↑b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
a : α


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : x - y ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

Context: A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

Context: B : AEStronglyMeasurable f volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

Context: B : AEStronglyMeasurable f volume

(∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n) fun x => 1) = ∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑v) ^ n • f v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

Context: B : AEStronglyMeasurable f volume

Context: y : ℝ

(𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f y n) fun x => 1) = 𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑y) ^ n • f y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: x : ℝ

Context: B : AEStronglyMeasurable f volume

Context: y : ℝ


Context:
q : ℚ≥0
r : ℝ


Context:
z : ℂ
i j : Fin 2

(leftMulMatrix basisOneI) z i j = !![z.re, -z.im; z.im, z.re] i j


Context:
z : ℂ
i j : Fin 2


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } * { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.toFinsupp * { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P✝ : Ideal S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }

finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P) = ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P * inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P✝ : Ideal S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : p.IsMaximal


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P✝ : Ideal S

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : p.IsMaximal

ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P ≠ 0


Context:
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
p : l.Palindrome


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α

Disjoint (⨆ i, f i) a ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (f i) a


Context:
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²¹ : RCLike 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : CompleteSpace E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁸ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁷ : RCLike 𝕜'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁴ : CompleteSpace E''
inst✝³ : NormedSpace ℝ E''
inst✝² : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F

condexpIndSMul hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndSMul hm hs hμs x


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
x : β
hx : x ∈ f '' derivedSet A


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
x : β
hx : ∃ x_1, AccPt x_1 (𝓟 A) ∧ f x_1 = x


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
y : X
hy1 : AccPt y (𝓟 A)


f y ∈ derivedSet (f '' A) ↔ AccPt (f y) (map f (𝓟 A))


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u✝ v✝ w✝ x y : V

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk v w

Context: h : u ∈ p.support

Context: this : ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).length = p.length


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u✝ v✝ w✝ x y : V

Context: inst✝ : DecidableEq V

Context: u v w : V

Context: p : G.Walk v w

Context: h : u ∈ p.support

Context: this : (p.takeUntil u h).length + (p.dropUntil u h).length = p.length


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R
A : p.natDegree < p.natDegree.succ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p✝ q r : R[X]

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : R →+* S

Context: x✝ : S

Context: g : R →+* S

Context: p : R[X]

Context: x : S

Context: s : R

Context: A : p.natDegree < p.natDegree.succ

Context: B : (s • p).natDegree < p.natDegree.succ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: μ : Measure V

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ

Context: h'f : AEStronglyMeasurable f μ

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

iteratedFDeriv ℝ n (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) w


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
f : P →ᵃ[R] P'
x y : P

⇑f '' affineSegment R x y = affineSegment R (f x) (f y)


(fun x_1 => f ((lineMap x y) x_1)) '' Set.Icc 0 1 = ⇑(f.comp (lineMap x y)) '' Set.Icc 0 1


Context: a b : Cardinal.{u_1}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
i : ℤ

((g * f * g⁻¹) ^ i) x = y ↔ (f ^ i) (g⁻¹ x) = g⁻¹ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
x y : α

x ⩿ y ↔ ReflGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : Odd n
hχ : χ ^ n = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I

(colimitHomIsoLimitYoneda F A).inv ≫ (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A = limit.π (F.op ⋙ yoneda.obj A) (op i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ (f.restrict s).range
h0 : r ≠ 0
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ (f.restrict s).range
h0 : r ≠ 0
hs : ¬MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ SimpleFunc.range 0
h0 : r ≠ 0
hs : ¬MeasurableSet s


Context:
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f ≫ (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom = (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ)


Context:
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n


∑ l ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (l i)) f = 0


∀ x ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (x i)) f = 0


Context:
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : k ∈ (range n).finsuppAntidiag d


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)

Context: hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

(∏ x ∈ range n \ s, (coeff R (k x)) f) * ∏ x ∈ s, (coeff R (k x)) f = 0


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

m + (range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ n


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

m + (range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ m + d.degree


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

(range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

(range n \ s).card ≤ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

(range n \ s).card = (range n \ s).card • 1


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

(∑ x ∈ range n \ s, k x).degree = ∑ x ∈ range n \ s, (k x).degree


Context: σ : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: f : MvPowerSeries σ R

Context: m : ℕ

Context: hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : m + d.degree ≤ n

Context: k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ

Context: hs : s ⊆ range n

Context: hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

∀ x ∈ range n \ s, 1 ≤ (fun x => (k x).degree) x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : f x ≠ 0
hg : g x ≠ 0
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hdg : DifferentiableAt 𝕜 g x

logDeriv (fun z => f z * g z) x = logDeriv f x + logDeriv g x


(deriv f x * g x + f x * deriv g x) / (f x * g x) = deriv f x / f x + deriv g x / g x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
s : Set X
a : X

a ∈ closure s ↔ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 a)


a ∈ seqClosure s ↔ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 a)


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E

‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (fun x => ‖x‖) m).sum


Multiplicative.ofAdd ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ fun x => ‖x‖) m).prod


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
x y : E

(⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) (x * y) ≤ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) x * (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β


∀ (i : α), UniformContinuous fun x => toFun x i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α

UniformContinuous fun x_1 => toFun x_1 x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝³ : EquivLike F α β
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
e : M ≃* N
f : P →* M


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x

(z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
dt : ℝ

IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: hγ : ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

Context: dt : ℝ

∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Metric.ball (t₀ - dt) ε = {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: t : ℝ

t ∈ Metric.ball (t₀ - dt) ε ↔ t ∈ {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0


Context:
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℕ
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
U : Submodule 𝕜 E
V : Set (Submodule 𝕜 E)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n

toUnitHom ((changeLevel ⋯) χ) = toUnitHom χ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop

WellFounded r ↔ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ r' r : α → α → Prop

Context: h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ r' r : α → α → Prop

Context: x : α

Context: hx : ¬Acc r x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ r' r : α → α → Prop

Context: x : α

Context: hx : ¬Acc r x

Context: m : α

Context: hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}

Context: hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m

Context: y : α

Context: hy : r y m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ r' r : α → α → Prop

Context: x : α

Context: hx : ¬Acc r x

Context: m : α

Context: hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}

Context: hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m

Context: y : α

Context: hy : r y m

Context: hy' : ¬Acc r y


Context:
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ

evenOddRec h0 h_even h_odd (2 * n) = h_even n (evenOddRec h0 h_even h_odd n)


(match false, 0, h0 with | false, i, hi => h_even i hi | true, i, hi => h_odd i hi) = h0 ∨ (n = 0 → false = true)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c

range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } = range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂


range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } ⊆ range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂


range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂ ⊆ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ }


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p.mirror = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
v : M₁

v₂.equivFun.symm ((toLin' M) ⇑(v₁.repr v)) = ∑ j : m, (M *ᵥ ⇑(v₁.repr v)) j • v₂ j


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

x ∈ map castEmbedding (filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ioc a b)) ↔ x ∈ filter (fun x => x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]) (Ioc ↑a ↑b)


Context:
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

(∃ a_1, ((a < a_1 ∧ a_1 ≤ b) ∧ a_1 ≡ v [MOD r]) ∧ ↑a_1 = x) ↔ (↑a < x ∧ x ≤ ↑b) ∧ x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a

IsOpen {x | (fun x => toIcoMod hp a x = toIocMod hp a x) x}


IsOpen (⋃ z, Ioo (a + z • p) (a + p + z • p))


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E

∃ α, F⟮α⟯ = K


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E

∃ α, F⟮α⟯ = K


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Finite F

∃ α, F⟮α⟯ = K


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Infinite F

∃ α, F⟮α⟯ = K


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : Finset α

∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = if x = ∅ then 1 else 0


∑ m ∈ range (x.card + 1), x.card.choose m • (-1) ^ m = if x = ∅ then 1 else 0


Context: n : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]

‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: x : ℤ_[p]

Context: this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ 1}

‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ ↑p ∣ x

‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x


Context: x : ℝ


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y

dist (f (x, y)) (f (z, t)) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)


f (x, y) - f (z, t) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) ∧ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)


f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)


f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (z, t) (x, y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_pos : ¬0 < c


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a

f ◁ (θ.naturality (𝟙 a)).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapId a = f ◁ G.mapId a ▷ θ.app a ≫ f ◁ (λ_ (θ.app a)).hom ≫ f ◁ (ρ_ (θ.app a)).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite

s.encard = t.encard ↔ (s \ t).encard = (t \ s).encard


Context:
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Nodup


Context:
α : Type u_1
a✝ : List α
h : Nodup (Quotient.mk'' a✝)

Nontrivial (Quotient.mk'' a✝) ↔ ¬length (Quotient.mk'' a✝) ≤ 1


Context:
α : Type u_1
a✝ : List α
h : a✝.Nodup


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B.flip = ⊥


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s


(l.lift' (Iic ∘ 𝓟)).HasBasis p fun i => Iic (𝓟 (s i))


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α

M.Basis' I X ↔ M.Basis I (M.closure X) ∧ I ⊆ X


M.Basis I (X ∩ M.E) ↔ M.Basis I (M.closure (X ∩ M.E)) ∧ I ⊆ X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
a b : α

AEMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔ AEMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b)) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict (Ioc b a))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
μ ν : Measure α
κ : Kernel α β
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((μ + ν).bind ⇑κ) s = (μ.bind ⇑κ + ν.bind ⇑κ) s


Context:
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α

#(WType (Subfield.Operands s)) ≤ max #↑s ℵ₀


max #↑s ℵ₀ = max (lift.{0, u} #(Fin 6 ⊕ ↑s)) ℵ₀


∀ (a : Fin 6 ⊕ ↑s), Finite (Subfield.Operands s a)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
d : σ →₀ ℕ
r : R
n : ℕ
hn : d.degree = n


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
d : σ →₀ ℕ
r : R
n : ℕ
hn : (weight 1) d = n


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝ : (v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)

M.IsPerfectMatching ↔ ∀ (v : V), M.degree v = 1


Context:
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nontrivial α
a : ℤˣ
h : a = -1
x y : α
hxy : x ≠ y


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)

Context: x : (P F).W α

g₁ (Quot.mk Setoid.r x) = g₂ (Quot.mk Setoid.r x)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: x : (P F).W α

∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), (∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))) → g₁ (Quot.mk Setoid.r ((P F).wMk a f' f)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r ((P F).wMk a f' f))


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

Context: ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))

g₁ ⟦(P F).wMk a f' f⟧ = g₂ ⟦(P F).wMk a f' f⟧


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

g₁ (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩)) = g₂ (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩))


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

(TypeVec.id ::: g₁) <$$> abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

abs ⟨a, (TypeVec.id ::: g₁) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a, (TypeVec.id ::: g₂) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

((TypeVec.id ::: g₁) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧) = (TypeVec.id ::: g₂) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u

Context: g₁ g₂ : Fix F α → β

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

splitFun (TypeVec.id ⊚ f') (g₁ ∘ fun x => ⟦f x⟧) = splitFun (TypeVec.id ⊚ f') (g₂ ∘ fun x => ⟦f x⟧)


Context:
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im

arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
w : m → α
v : n → α
i✝ : m
j✝ : n

vecMulVec w v i✝ j✝ = (col ι w * row ι v) i✝ j✝


Context: n₁ n₂ : Int

Context: d₁ d₂ : Nat

Context: z₁ : d₁ ≠ 0

Context: z₂ : d₂ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: e₁ : normalize n₁ d₁ z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } * normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (n₁ * n₂) (d₁ * d₂) ⋯


Context: n₂ : Int

Context: d₂ : Nat

Context: z₂ : d₂ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝ * g₁ ≠ 0

Context: e₁ : normalize (num✝ * ↑g₁) (den✝ * g₁) z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } * normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (num✝ * ↑g₁ * n₂) (den✝ * g₁ * d₂) ⋯


Context: n₂ : Int

Context: d₂ : Nat

Context: z₂ : d₂ ≠ 0

Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: e₁ : normalize (num✝¹ * ↑g₁) (den✝¹ * g₁) z₁ = { num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ }

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: e₂ : normalize n₂ d₂ z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ } * { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * n₂) (den✝¹ * g₁ * d₂) ⋯


Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₂ : Nat

Context: zg₂ : g₂ ≠ 0

Context: z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0

Context: e₂ : normalize (num✝ * ↑g₂) (den✝ * g₂) z₂ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }

{ num := num✝¹, den := den✝¹, den_nz := den_nz✝¹, reduced := reduced✝¹ } * { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * (num✝ * ↑g₂)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯


Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₂ : Nat

Context: zg₂ : g₂ ≠ 0

Context: z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0

normalize (num✝¹ * num✝) (den✝¹ * den✝) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * (num✝ * ↑g₂)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯


Context: num✝¹ : Int

Context: den✝¹ : Nat

Context: den_nz✝¹ : den✝¹ ≠ 0

Context: reduced✝¹ : num✝¹.natAbs.Coprime den✝¹

Context: g₁ : Nat

Context: zg₁ : g₁ ≠ 0

Context: z₁ : den✝¹ * g₁ ≠ 0

Context: num✝ : Int

Context: den✝ : Nat

Context: den_nz✝ : den✝ ≠ 0

Context: reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝

Context: g₂ : Nat

Context: zg₂ : g₂ ≠ 0

Context: z₂ : den✝ * g₂ ≠ 0

normalize (num✝¹ * num✝ * ↑(g₁ * g₂)) (den✝¹ * den✝ * (g₁ * g₂)) ⋯ = normalize (num✝¹ * ↑g₁ * (num✝ * ↑g₂)) (den✝¹ * g₁ * (den✝ * g₂)) ⋯


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: x y : A

Context: hy : y ∈ elementalStarAlgebra R x

Context: P : (u : A) → u ∈ elementalStarAlgebra R x → Prop

Context: self : P x ⋯

Context: star_self : P (star x) ⋯

Context: algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯

Context: add : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u + v) ⋯

Context: mul : ∀ (u : A) (hu : u ∈ elementalStarAlgebra R x) (v : A) (hv : v ∈ elementalStarAlgebra R x), P u hu → P v hv → P (u * v) ⋯

Context: closure : ∀ (s : Set A) (hs : s ⊆ ↑(elementalStarAlgebra R x)), (∀ (u : A) (hu : u ∈ s), P u ⋯) → ∀ (v : A) (hv : v ∈ _root_.closure s), P v ⋯


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: x y✝ : A

Context: hy✝ : y✝ ∈ elementalStarAlgebra R x

Context: self : P x ⋯

Context: star_self : P (star x) ⋯

Context: y : A

Context: hy : y ∈ ↑(adjoin R {x})


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : StarModule R A

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : StarRing B

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: x y✝ : A

Context: hy✝¹ : y✝ ∈ elementalStarAlgebra R x

Context: self : P x ⋯

Context: star_self : P (star x) ⋯

Context: y : A

Context: hy✝ : y ∈ ↑(adjoin R {x})

Context: hy : y ∈ Algebra.adjoin R ({x} ∪ star {x})


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b✝ c d b : α

b ≤ ⊤ ⇨ a ↔ b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : Set β
x✝ : γ

x✝ ∈ image2 f s t ↔ x✝ ∈ ⋃ i ∈ s, ⋃ j ∈ t, {f i j}


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).leftHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).leftHomologyData (S₂.leftHomologyData.map F) = leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).leftHomologyData (S₁.leftHomologyData.map F) ≫ F.map (leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: c : Set (Lifts F E K)

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i => (↑i).carrier

Context: t' : ↑(insert ⊥ c) → Subalgebra F E := fun i => (t i).toSubalgebra


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: c : Set (Lifts F E K)

Context: hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (insert ⊥ c)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: c : Set (Lifts F E K)

Context: hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: c : Set (Lifts F E K)

Context: hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

Context: i j : ↑(insert ⊥ c)

Context: h : t' i ≤ t' j

(fun i => (↑i).emb) i = ((fun i => (↑i).emb) j).comp (Subalgebra.inclusion h)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: c : Set (Lifts F E K)

Context: hc✝ : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

Context: L : Lifts F E K

Context: hL✝ : L ∈ c

Context: hL : L ∈ insert ⊥ c

Context: x : ↥L.carrier

{ carrier := iSup t, emb := (Subalgebra.iSupLift t' dir (fun i => (↑i).emb) ⋯ (iSup t') ⋯).comp ↑((iSup t).equivOfEq (⨆ i, (t i).toSubalgebra) ⋯) }.emb ((inclusion ⋯) x) = L.emb x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: a✝ b✝ c : α

Context: inst✝³ : Sub α

Context: inst✝² : OrderedSub α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'

Context: H : Function.Surjective ⇑f

Context: x : S'


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: H : Function.Surjective ⇑f

Context: x : S

Context: s : R

Context: hs : s ∈ ↑M

∃ a, (IsLocalization.map S' f ⋯) a = IsLocalization.mk' S' x ⟨f s, ⋯⟩


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: H : Function.Surjective ⇑f

Context: s : R

Context: hs : s ∈ ↑M

Context: y : R

∃ a, (IsLocalization.map S' f ⋯) a = IsLocalization.mk' S' (f y) ⟨f s, ⋯⟩


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: H : Function.Surjective ⇑f

Context: s : R

Context: hs : s ∈ ↑M

Context: y : R

(IsLocalization.map S' f ⋯) (IsLocalization.mk' R' y ⟨s, hs⟩) = IsLocalization.mk' S' (f y) ⟨f s, ⋯⟩


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittZero p n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' g : ℝ → E

Context: fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)

Context: gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Icc a b)

Context: hderiv : EqOn (derivWithin f (Icc a b)) (derivWithin g (Icc a b)) (Ico a b)

Context: hi : f a = g a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' g : ℝ → E

Context: fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)

Context: gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Icc a b)

Context: hi : f a = g a

Context: A : ∀ y ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) y) (Ici y) y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' g : ℝ → E

Context: fdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)

Context: gdiff : DifferentiableOn ℝ g (Icc a b)

Context: hi : f a = g a

Context: B : ∀ y ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (derivWithin g (Icc a b) y) (Ici y) y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0

spanSingleton R₁⁰ x / spanSingleton R₁⁰ x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
d : Associates α
hd : a * c = a * b * d