Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

g_poly.rootSet (GaloisField p n) = Set.univ


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField p n)) = p ^ n

Context: nat_degree_eq : g_poly.natDegree = p ^ n

∀ (x : GaloisField p n), x ∈ g_poly.rootSet (GaloisField p n)


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

∀ x ∈ ⊤, x ∈ (X ^ p ^ n - X).rootSet (GaloisField p n)


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

∀ x ∈ Algebra.adjoin (ZMod p) ((X ^ p ^ n - X).rootSet (X ^ p ^ n - X).SplittingField), x ∈ (X ^ p ^ n - X).rootSet (GaloisField p n)


Context: p✝ : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)

Context: n✝¹ p : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: g_poly : (ZMod p)[X] := X ^ p ^ n - X

Context: hp : 1 < p

Context: aux : g_poly ≠ 0

∀ x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod p) (GaloisField p n)) ∪ (X ^ p ^ n - X).rootSet (X ^ p ^ n - X).SplittingField), x ∈ (X ^ p ^ n - X).rootSet (GaloisField p n)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝² n✝¹ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))

Context: g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X

Context: hp : 1 < n✝ + 1

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n

Context: nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n

Context: x : GaloisField (n✝ + 1) n

Context: hx : x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)

x ∈ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝² n✝¹ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))

Context: hp : 1 < n✝ + 1

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: x : GaloisField (n✝ + 1) n

∀ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪ (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField, (aeval x) g_poly = 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝² n✝¹ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))

Context: hp : 1 < n✝ + 1

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: x : GaloisField (n✝ + 1) n


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝² n✝¹ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))

Context: hp : 1 < n✝ + 1

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: x : GaloisField (n✝ + 1) n

∀ (x y : GaloisField (n✝ + 1) n), (aeval x) g_poly = 0 → (aeval y) g_poly = 0 → (aeval (x + y)) g_poly = 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝² n✝¹ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))

Context: hp : 1 < n✝ + 1

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: x : GaloisField (n✝ + 1) n

∀ (x : GaloisField (n✝ + 1) n), (aeval x) g_poly = 0 → (aeval (-x)) g_poly = 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: n✝² n✝¹ n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: n✝ : ℕ

Context: h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))

Context: hp : 1 < n✝ + 1

Context: aux : g_poly ≠ 0

Context: x : GaloisField (n✝ + 1) n

∀ (x y : GaloisField (n✝ + 1) n), (aeval x) g_poly = 0 → (aeval y) g_poly = 0 → (aeval (x * y)) g_poly = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N

Context: hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x

Context: n : N

Context: m : M


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 f

(Differentiable 𝕜 fun y => f y + g y) ↔ Differentiable 𝕜 g


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
hcb : c ≤ b
had : a ≤ d

Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 f x

DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s t : Set β

∀ (x : α), x ∈ r.core (s ∩ t) ↔ x ∈ r.core s ∩ r.core t


Context: s : ℝ


Context: s : ℝ

Tendsto (Complex.ofReal' ∘ s.GammaSeq) atTop (𝓝 (Complex.Gamma ↑s))


Context: s : ℝ

Complex.ofReal' ∘ s.GammaSeq = (↑s).GammaSeq


Context:
s : ℝ
n : ℕ

(Complex.ofReal' ∘ s.GammaSeq) n = (↑s).GammaSeq n


Context:
s : ℝ
n : ℕ

↑(↑n ^ s * ↑n ! / ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (s + ↑j)) = ↑n ^ ↑s * ↑n ! / ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (↑s + ↑j)


Context:
s : ℝ
n : ℕ

↑(↑n ^ s) * ↑n ! / ∏ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑s + ↑x) = ↑n ^ ↑s * ↑n ! / ∏ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑s + ↑x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁹ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁷ : Category.{w', u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁶ : HasBinaryProduct A B

Context: inst✝⁵ : HasBinaryProduct A' B'

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝² : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)

Context: inst✝ : IsIso (prodComparison F A B)

inv (prodComparison F A B) ≫ F.map prod.snd = prod.snd


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁸ : AddCommGroup F'
inst✝⁷ : Module 𝕜 F'
inst✝⁶ : TopologicalSpace F'
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝³ : CompleteSpace 𝕜
E' : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'


0 < let A := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv; max (‖↑A.symm‖₊ * ‖↑A‖₊) 1


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
h : m ≤ n


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s

((of R).symm (x • y)).coeff a = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2


∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2 = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hs ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2


∀ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hs ⋯ a \ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a, x.coeff x_1.1 • ((of R).symm y).coeff x_1.2 = 0


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : Zero R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid V

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: s : Set Γ

Context: hs : s.IsPWO

Context: hxs : x.support ⊆ s

Context: b : Γ × Γ'

Context: hb : b ∈ VAddAntidiagonal hs ⋯ a \ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a

x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : Zero R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid V

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ' R V

Context: a : Γ'

Context: s : Set Γ

Context: hs : s.IsPWO

Context: hxs : x.support ⊆ s

Context: b : Γ × Γ'

Context: hb : (b.1 ∈ s ∧ ((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 +ᵥ b.2 = a) ∧ (((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 +ᵥ b.2 = a → x.coeff b.1 = 0)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.leftOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
j : J

((fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s ≫ (coneOfCoconeLeftOp c).π.app j).unop = (s.π.app j).unop


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F.leftOp

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeLeftOp c).pt

Context: w : ∀ (j : J), m ≫ (coneOfCoconeLeftOp c).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cocone F.leftOp

Context: hc : IsColimit c

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeLeftOp c).pt

Context: j : Jᵒᵖ

(c.ι.app j ≫ m.unop).op = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s).unop).op


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (span f f) F

Context: inst✝ : Epi f

Context: this : IsColimit (PushoutCocone.mk (F.map (𝟙 Y)) (F.map (𝟙 Y)) ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (span f f) F

Context: inst✝ : Epi f

Context: this : IsColimit (PushoutCocone.mk (𝟙 (F.obj Y)) (𝟙 (F.obj Y)) ⋯)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIocMod hp a (b + c) = toIocMod hp (a - c) b + c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F.unop

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F

Context: m : (coconeOfConeUnop c).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeUnop c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => (hc.lift (coneUnopOfCocone s)).op) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F.unop

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F

Context: m : (coconeOfConeUnop c).pt ⟶ s.pt

Context: j : J

(m.unop ≫ c.π.app j).op = (((fun s => (hc.lift (coneUnopOfCocone s)).op) s).unop ≫ c.π.app j).op


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
inst✝ : K.Normal


IsPGroup p ↥(Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' K) (Subgroup.map (QuotientGroup.mk' K) H))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s


(κ a) (Prod.fst ⁻¹' s) = (κ a) {p | p.1 ∈ s}


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s t : α → Prop
hst : s =ᶠ[ae μ] t
p : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x


Context:
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers

∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id


Context:
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l


Context:
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
hl : l ∈ k.smoothNumbers


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
x y : Π₀ (i : ι), β i
s : Set ι
inst✝ : (i : ι) → Decidable (i ∈ s)
x✝ : ι

(x.piecewise y s) x✝ = s.piecewise (⇑x) (⇑y) x✝


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
h : t = ∅


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
h : t.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : CocompactMap α β
s : Set β
hs : IsCompact s
h's : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : CocompactMap α β
s : Set β
hs : IsCompact s
h's : IsClosed s
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : (⇑f ⁻¹' s)ᶜᶜ ⊆ t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E

openSegment 𝕜 x y = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Ioo 0 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1

(AffineMap.lineMap x y) a✝¹ = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atTop


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : OrderedRing α

Context: l : Filter β

Context: f g : β → α

Context: hf : Tendsto f l atBot

Context: hg : Tendsto g l atTop

Context: this : Tendsto (fun x => -f x * g x) l atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜

⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₁.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) y * l₂ i


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N✝ : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝⁴ : Zero M

Context: inst✝³ : Zero M'

Context: inst✝² : CommMonoid N✝

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: N : Type u_16

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α →₀ N

Context: a : α

(f.sum fun x v => if a = x then v else 0) = f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : (mulSupport f).Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f✝ : ι → α
i : ι
f : Bool → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : Zero γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
x : β

(x ∈ support fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • support f


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G

Context: u : ℝ → E

Context: v : ℝ → F

Context: u' : ℝ → E

Context: v' : ℝ → F

Context: m n : G

Context: hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume

Context: hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume

Context: huv : Integrable (fun x => (L (u x)) (v x)) volume

Context: hG : CompleteSpace G


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G

Context: u : ℝ → E

Context: v : ℝ → F

Context: u' : ℝ → E

Context: v' : ℝ → F

Context: m n : G

Context: hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x

Context: hG : CompleteSpace G

Context: I : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G

Context: u : ℝ → E

Context: v : ℝ → F

Context: u' : ℝ → E

Context: v' : ℝ → F

Context: m n : G

Context: hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x

Context: hG : CompleteSpace G

Context: J : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 0)


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves

⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft i < x.moveLeft j


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft i ≈ x.moveLeft j


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft j < x.moveLeft i


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : (m : M) → Decidable (m ≠ 0)
i : ι
m : M
a✝ : ι

(single i m).toFinsupp a✝ = (Finsupp.single i m) a✝


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : CokernelCofork h


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ


∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, 1 x.1 • b x.2 = b x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal


∀ x_1 ∈ x.divisorsAntidiagonal, x_1 ∉ {(1, x)} → 1 x_1.1 • b x_1.2 = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
y : ℕ × ℕ
ymem : y ∈ x.divisorsAntidiagonal
ynmem : y ∉ {(1, x)}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
y : ℕ × ℕ
ymem : y ∈ x.divisorsAntidiagonal
ynmem : y ∉ {(1, x)}
y1ne : y.1 ≠ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)

chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: this : Continuous eval


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: this : Continuous eval

0 ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂ - chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: this : Continuous eval

closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' Ici 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: this : Continuous eval

prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' Ici 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M


UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ range ↑I)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b x : α


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X

Tendsto (fun r => (pre m r) s) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((mkMetric' m) s))


Tendsto ((fun r => (pre m r) s) ∘ Subtype.val) atBot (𝓝 ((mkMetric' m) s))


Tendsto ((fun r => (pre m r) s) ∘ Subtype.val) atBot (𝓝 (⨆ i, (pre m ↑i) s))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → β

⨆ x ∈ insert a s, t x = t a ⊔ ⨆ x ∈ s, t x


Context:
α✝ : Type u_1
l l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝
h : l <+ l₁ ++ a :: l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : α

∑' (x : α), f x = f i + ∑' (x : α), if x = i then 0 else f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i i' : α


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsColimit t.toCocone
j : J
j' : Discrete J

t.toCocone.ι.app j' ≫ t.π j = t.toCocone.ι.app j' ≫ ht.desc (Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then eqToHom ⋯ else 0)


t.toCocone.ι.app j' ≫ t.π j = (Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then eqToHom ⋯ else 0).ι.app j'


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

0 < s.einfsep ↔ ∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y


(¬∀ C > 0, ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < C) ↔ ∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: α : Type u_1

Context: i : ι

Context: x : α → G i

Context: a : α

(f (Structure.Sigma.mk f i (x a)).fst i ⋯) (Structure.Sigma.mk f i (x a)).snd = x a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
a : α

_root_.Disjoint (s.sup f) a ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → _root_.Disjoint (f i) a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') m).leadingCoeff

Context: M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: this : ⊥.IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: this : ⊥.IsMaximal

(comap (algebraMap (R ⧸ P') (Localization M)) (map (algebraMap (R ⧸ P') (Localization M)) ⊥)).IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this : IsDomain (Localization M')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this✝ : IsDomain (Localization M')

Context: this : ⊥.IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this✝ : IsDomain (Localization M')

Context: this : ⊥.IsMaximal

(comap (IsLocalization.map (Localization M') (quotientMap P C ⋯) ⋯) ⊥).IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this✝ : IsDomain (Localization M')

Context: this : ⊥.IsMaximal

(IsLocalization.map (Localization M') (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this✝ : IsDomain (Localization M')

Context: this : ⊥.IsMaximal

Context: isloc : IsLocalization (Submonoid.map φ M) (Localization M')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this : IsDomain (Localization M')

(map (algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')) ⊥).IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this : IsDomain (Localization M')

Context: bot_maximal : ⊥.IsMaximal := (bot_quotient_isMaximal_iff P).mpr hP


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hP'_prime : P'.IsPrime

Context: m : R[X]

Context: hmem_P : m ∈ P

Context: hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0

Context: hm' : m ≠ 0

Context: hp0 : a ≠ 0

Context: hM : 0 ∉ M

Context: hM' : 0 ∉ M'

Context: this : IsDomain (Localization M')

Function.Bijective ⇑(algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M'))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : CommRing R₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R₂ M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: c d : R

Context: x y✝ : M

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: n : ℕ

Context: N : Submodule R M

Context: y : M

Context: b : Basis (Fin n) R ↥N

Context: hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0

Context: hsp : ∀ (z : M), ∃ c, z + c • y ∈ N

⇑(let_fun span_b := ⋯; Basis.mk ⋯ ⋯) = Fin.cons y (Subtype.val ∘ ⇑b)


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : Div γ
f : α → β
g₁ g₂ : α → γ
e₁ e₂ : β → γ

extend f (g₁ / g₂) (e₁ / e₂) = extend f g₁ e₁ / extend f g₂ e₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α

m = map (fun x => x.fst) Finset.univ.val


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝ : PreservesColimit F (forget C)

Context: D : Cocone F

Context: hD : IsColimit D

Context: ff : (j : J) × (forget C).obj (F.obj j) → (forget C).obj D.pt := fun a => (D.ι.app a.fst) a.snd

Context: x : (forget C).obj D.pt

Context: E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D

Context: hE : IsColimit E := isColimitOfPreserves (forget C) hD


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : Category.{r, w} J

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝ : PreservesColimit F (forget C)

Context: D : Cocone F

Context: hD : IsColimit D

Context: x : (forget C).obj D.pt

Context: j : J

Context: y : (F ⋙ forget C).obj j

Context: hy : E.ι.app j y = x


Context: x✝ : ℂ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r : α → α → Prop

Context: a b c d x : α

Context: h✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y

Context: H : ∀ (y : α), r y x → Acc (Relation.TransGen r) y

Context: y : α

Context: hyx : r y x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r : α → α → Prop

Context: a b c d x : α

Context: h✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y

Context: y z : α

Context: hyz : Relation.TransGen r y z

Context: hzx : r z x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Module A M

Context: inst✝⁵ : Module B M

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R B M

Context: inst✝ : SMulCommClass A B M

Context: p : AddSubmonoid M

Context: hA : ∀ (a : A) {m : M}, m ∈ p → a • m ∈ p

Context: hB : ∀ (b : B) {m : M}, m ∈ p → b • m ∈ p

Context: ab : A ⊗[R] B

Context: m : M

Context: x✝ : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier

0 • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Module A M

Context: inst✝⁵ : Module B M

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R B M

Context: inst✝ : SMulCommClass A B M

Context: p : AddSubmonoid M

Context: ab : A ⊗[R] B

Context: m : M

Context: a : A

Context: b : B

Context: hm : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier

a ⊗ₜ[R] b • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Module A M

Context: inst✝⁵ : Module B M

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A M

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R B M

Context: inst✝ : SMulCommClass A B M

Context: p : AddSubmonoid M

Context: ab : A ⊗[R] B

Context: m : M

Context: z w : A ⊗[R] B

Context: hz : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier → z • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier

Context: hw : m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier → w • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier

(z + w) • m ∈ { carrier := ↑p, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
H : ∀ x ∈ s, f x ∈ t

s.card = ∑ a ∈ t, (filter (fun x => f x = a) s).card


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : SMul R L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: inst✝ : MulActionHomClass F R L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥

Context: t : R

Context: x : L


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : SMul R L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: t : R

Context: x : L

Context: contra : ¬μ (t • x) = t • μ x


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : SMul R L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: t : R

Context: x : L

Context: contra : ¬μ (t • x) = t • μ x

Context: g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : SMul R L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: t : R

Context: x : L

Context: contra : ¬μ (t • x) = t • μ x

Context: this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : SMul R L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: t : R

Context: x : L

Context: contra : ¬μ (t • x) = t • μ x

Context: this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)

Disjoint (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (t * μ x)) k) (g (t • x))


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: L : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : SMul R L

Context: inst✝¹ : FunLike F L (End R M)

Context: f : F

Context: μ : L → R

Context: t : R

Context: x : L

Context: contra : ¬μ (t • x) = t • μ x

Context: this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g (t • x)

Disjoint (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (t * μ x)) k) (⨆ k, ((t • f x).genEigenspace (μ (t • x))) k)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α

(s ∪ t).encard + (s ∩ t).encard = s.encard + t.encard


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x

HasGradientWithinAt f (gradientWithin f s x) s x


HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s x) s x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cone F.rightOp

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F

Context: m : (coconeOfConeRightOp c).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeRightOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => (hc.lift (coneRightOpOfCocone s)).unop) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : Jᵒᵖ ⥤ C

Context: c : Cone F.rightOp

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F

Context: m : (coconeOfConeRightOp c).pt ⟶ s.pt

Context: j : J

(m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneRightOpOfCocone s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 1 r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball x r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball x r

pf.partialSum 1 (y - x) = pf.partialSum 1 (x - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball x r


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : ¬p a


Context:
α : Type u_1
γ : Sort u_2
β : Type u_3
u u' : α → γ
v v' : β → γ

Sum.elim u v = Sum.elim u' v' ↔ u = u' ∧ v = v'


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
i : ι
f : γ →+ β i
x : γ

(fromAddMonoid ((of (fun i => γ →+ β i) i) f)) x = (of β i) (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a✝ : α

(toFinsupp (s ∪ t)) a✝ = (toFinsupp s ⊔ toFinsupp t) a✝


Context:
xl xr : Type u
y z : PGame
h : y ⧏ z
x : PGame
this : z + x ≤ y + x → z ≤ y


Context:
xl xr : Type u
y z : PGame
h : ¬z ≤ y
x : PGame
this : z + x ≤ y + x → z ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
α : Type u_4
s : Finset α
f : α → AdicCompletion I M
n : ℕ


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x : ↥A.unitGroup

↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ A.unitGroupMulEquiv x ∈ (Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)).ker


↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ ↑((Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)) (A.unitGroupMulEquiv x)) = ↑1


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: x : ↥A.unitGroup

Context: π : ↥A →+* ↥A ⧸ LocalRing.maximalIdeal ↥A := Ideal.Quotient.mk (LocalRing.maximalIdeal ↥A)

↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ π ↑(A.unitGroupMulEquiv x) = 1


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A : ValuationSubring K

Context: x : ↥A.unitGroup

↑x ∈ A.principalUnitGroup ↔ A.valuation ↑(↑(A.unitGroupMulEquiv x) - 1) < 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
a : α

a ∈ upperBounds (closure s) ↔ a ∈ upperBounds s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : TopologicalAddGroup α
n : ℤ


Tendsto fract (𝓝[<] ↑n) (𝓝 (↑n - (↑n - 1)))


Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋) (𝓝[<] ↑n) (𝓝 (↑n - 1))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hfu : UniformIntegrable f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hfu : UniformIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hfu : UniformIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hfu : UniformIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hgunif : UniformIntegrable g p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hfu : UniformIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hgunif : UniformIntegrable g p μ

Context: C : ℝ≥0

Context: hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hfu : UniformIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hgunif : UniformIntegrable g p μ

Context: C : ℝ≥0

Context: i : ι

{x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) =ᶠ[ae μ] {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: hp : p ≠ 0

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hfu : UniformIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hgunif : UniformIntegrable g p μ

Context: C : ℝ≥0

Context: i : ι

Context: x : α

Context: hx : f i x = Exists.choose ⋯ x

{x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x = {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
H : ∀ (a : α) (b : β), R a b → S a b
l₁ : List α
l₂ : List β
h : Forall₂ R l₁ l₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s✝ : Set E

Context: x✝ y✝ : E

Context: a✝ b✝ : 𝕜

Context: ι : Sort u_6

Context: s : ι → Set E

Context: hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⋃ i, s i

Context: y : E

Context: hy : y ∈ ⋃ i, s i

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s✝ : Set E

Context: x✝ y✝ : E

Context: a✝ b✝ : 𝕜

Context: ι : Sort u_6

Context: s : ι → Set E

Context: hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)

Context: x : E

Context: hx : ∃ i, x ∈ s i

Context: y : E

Context: hy : ∃ i, y ∈ s i

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : SMul 𝕜 E

Context: inst✝ : SMul 𝕜 F

Context: s✝ : Set E

Context: x✝ y✝ : E

Context: a✝ b✝ : 𝕜

Context: ι : Sort u_6

Context: s : ι → Set E

Context: hs : ∀ ⦃i : ι⦄, StrictConvex 𝕜 (s i)

Context: x y : E

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: i : ι

Context: hx : x ∈ s i

Context: j : ι

Context: hy : y ∈ s j

Context: k : ι

Context: hik : s i ⊆ s k

Context: hjk : s j ⊆ s k


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ⟂ₘ μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: A : ∀ ε > 0, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑ε * μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

∀ (a : α), (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, ρ a < ↑(u n) * μ a) → (∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt a, 0 < μ a) → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: x : α

Context: hx : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a < ↑(u n) * μ a

Context: h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a

Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: x : α

Context: z : ℝ≥0∞

Context: hz : z > 0

∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: x : α

Context: z : ℝ≥0∞

Context: hz : z > 0

Context: w : ℝ≥0

Context: w_pos : 0 < ↑w

Context: w_lt : ↑w < z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: x : α

Context: z : ℝ≥0∞

Context: hz : z > 0

Context: w : ℝ≥0

Context: w_pos : 0 < ↑w

Context: w_lt : ↑w < z

Context: n : ℕ

Context: hn : u n < w


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: x : α

Context: z : ℝ≥0∞

Context: hz : z > 0

Context: w : ℝ≥0

Context: w_pos : 0 < ↑w

Context: w_lt : ↑w < z

Context: n : ℕ

Context: hn : u n < w

∀ (a : Set α), ρ a < ↑(u n) * μ a → 0 < μ a → μ a < ⊤ → ρ a / μ a < z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ⟂ₘ μ

Context: u : ℕ → ℝ≥0

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: x : α

Context: z : ℝ≥0∞

Context: hz : z > 0

Context: w : ℝ≥0

Context: w_pos : 0 < ↑w

Context: w_lt : ↑w < z

Context: n : ℕ

Context: hn : u n < w

Context: a : Set α

Context: ha : ρ a < ↑(u n) * μ a

Context: μa_pos : 0 < μ a

Context: μa_lt_top : μ a < ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α

IntegrableAtFilter f ⊤ μ ↔ Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f ⊤ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
s : Set α
hsf : s ∈ ⊤
hs : IntegrableOn f s μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0

(r • j).negPart = (-r).toNNReal • j.posPart


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
hpos : 0 < n
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0


x ∈ closure s ∧ x ∉ interior s ↔ x ∈ frontier s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
a b : α
hab : a < b

a ⋖ h.min (Set.Ioc a b) ⋯ ∧ h.min (Set.Ioc a b) ⋯ ≤ b


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hmem : h.min (Set.Ioc a b) ⋯ ∈ Set.Ioc a b


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: D₁ : Type u_4

Context: D₂ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝² : Category.{?u.10794, u_4} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{?u.10798, u_5} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : C₁ ≌ C₂

Context: hW₁ : W₁ ≤ W₂.isoClosure.inverseImage E.functor

Context: hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂

Context: inst✝ : L₁.IsLocalization W₁

Context: iso : E.functor ⋙ L₂ ≅ L₁


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: D₁ : Type u_4

Context: D₂ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝² : Category.{?u.10794, u_4} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{?u.10798, u_5} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : C₁ ≌ C₂

Context: hW₂ : W₂.IsInvertedBy L₂

Context: inst✝ : L₁.IsLocalization W₁

Context: iso : E.functor ⋙ L₂ ≅ L₁

Context: h : W₁.IsInvertedBy (E.functor ⋙ W₂.Q)


Context:
p n : ℕ
hp : Prime p
hn : n ∈ p.smoothNumbers


Context: p n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hn : n ∈ factoredNumbers (Finset.range p)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ

f.symm.toContinuousMap.comp f.toContinuousMap = ContinuousMap.id α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
heX : e ∈ X
h : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧

(coeff R n) (inv.aux a φ) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (inv.aux a φ) else 0


(if single () n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0


(if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0

(∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0


∀ a ∈ antidiagonal n, (match a with | (a, b) => (single () a, single () b)) ∈ antidiagonal (single () n)


∀ a ∈ antidiagonal (single () n), (match a with | (f, g) => (f (), g ())) ∈ antidiagonal n


∀ a ∈ antidiagonal n, (match match a with | (a, b) => (single () a, single () b) with | (f, g) => (f (), g ())) = a


∀ a ∈ antidiagonal (single () n), (match match a with | (f, g) => (f (), g ()) with | (a, b) => (single () a, single () b)) = a


∀ a_1 ∈ antidiagonal n, (if a_1.2 < n then (coeff R a_1.1) φ * (coeff R a_1.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).1) φ * (MvPowerSeries.coeff R (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L μ
hfg' : ConvolutionExists f' g L μ
x : G


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: a b : ↥(M ⊓ N)

Context: hc : Commute ↑a ↑b

Context: h : LinearIndependent R ![a, b]

Context: n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: a b : ↥(M ⊓ N)

Context: hc : Commute ↑a ↑b

Context: h : LinearIndependent R ![a, b]

Context: hn : LinearIndependent R n


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: a b : ↥(M ⊓ N)

Context: hc : Commute ↑a ↑b

Context: h : LinearIndependent R ![a, b]

Context: hn : LinearIndependent R n

Context: this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: a b : ↥(M ⊓ N)

Context: hc : Commute ↑a ↑b

Context: h : LinearIndependent R ![a, b]

Context: hn : LinearIndependent R n

Context: m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: a b : ↥(M ⊓ N)

Context: hc : Commute ↑a ↑b

Context: h : LinearIndependent R ![a, b]

Context: hn : LinearIndependent R n

Context: hm : (M.mulRightMap n) m = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: a b : ↥(M ⊓ N)

Context: hc : Commute ↑a ↑b

Context: h : LinearIndependent R ![a, b]

Context: hn : LinearIndependent R n

Context: hm : m = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: a b : ↥(M ⊓ N)

Context: hc : Commute ↑a ↑b

Context: h : LinearIndependent R ![a, b]

Context: hn : LinearIndependent R n

Context: hm : b = 0 ∧ a = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F


Function.Injective ⇑↑(IsCyclotomicExtension.algEquiv (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ (CyclotomicField (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ) ℂ)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F
nn : ℕ+ := (primitiveChar F ℂ ⋯).n


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
hf : HasDerivAtFilter f f' x L

HasDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
x y : E


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

(ρ_ (F.map f)).hom = F.map f ◁ F.mapId b ≫ F.mapComp f (𝟙 b) ≫ F.map₂ (ρ_ f).hom


(F.map₂Iso (ρ_ f)).inv = (ρ_ (F.map f)).inv ≫ F.map f ◁ F.mapId b ≫ F.mapComp f (𝟙 b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
A : (e.trans e.symm).source = e.source


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
A : (e.trans e.symm).source = e.source
x : α
hx : x ∈ (e.trans e.symm).source

↑(e.trans e.symm) x = ↑(ofSet e.source) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α

∃ u, IsOpen u ∧ μ.everywherePosSubset s = s \ u


∀ x ∈ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}, {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w
A : w ⊆ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w
A : w ⊆ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}
B : w ∈ 𝓝 x


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
hm : IsPrimal 0


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
h0 : m ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
h0 : m ≠ 0
b c : α
h : m * n ∣ b * c

∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ m * n = a₁ * a₂


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
h : a₁ * a₂ * n ∣ a₁ * b * (a₂ * c)

∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * n = a₁_1 * a₂_1


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
h : n ∣ b * c


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
a₁' a₂' : α
h₁ : a₁' ∣ b
h₂ : a₂' ∣ c
hn : IsPrimal (a₁' * a₂')
h : a₁' * a₂' ∣ b * c

∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * (a₁' * a₂') = a₁_1 * a₂_1


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
p : MvPolynomial σ R


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : s ≠ 1

riemannZeta (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.cos (↑π * s / 2) * riemannZeta s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : IsEmpty ι


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : Nonempty ι


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι


LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Ring k

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: V₂ : Type u_5

Context: P₂ : Type u_6

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module k V₂

Context: inst✝ : AffineSpace V₂ P₂

Context: p : ι → P

Context: f : P →ᵃ[k] P₂

Context: i : ι

Context: hai : LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: h₁ : π₁.IsPartition

Context: h₂ : π₂.IsPartition


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: E : Type u_5

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: ι : Type u_6

Context: f : ι → α → E

Context: j : ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hℒp : Memℒp (f j) p μ

Context: hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i

Context: hgℒp : Memℒp (g j) p μ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L

Context: f : X →ᵇ ℝ

Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥

Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

Context: obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

Context: bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

Context: bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) _auto✝


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace X

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure X

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: hL : L.NeBot

autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) _auto✝


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ω : Ω

(condexpKernel μ m) ω = (condDistrib id id μ) (id ω)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω

Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))


Tendsto (toFiniteMeasure ∘ μs) F (𝓝 μ.toFiniteMeasure) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))


(∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toFiniteMeasure ∘ μs) i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ.toFiniteMeasure))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V

finrank K V = 1 ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
A : ↥(so' p q R)

↑((soIndefiniteEquiv p q R hi) A) = (Pso p q R i)⁻¹ * ↑A * Pso p q R i


↑((skewAdjointMatricesLieSubalgebraEquiv (indefiniteDiagonal p q R) (Pso p q R i) (invertiblePso p q R hi)) A) = (Pso p q R i)⁻¹ * ↑A * Pso p q R i


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.114338}
ho : 0 < o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
a b : α
s : α → Set β


Context:
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A

∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG


Context: R : Type w₁

Context: A : Type w₂

Context: B : Type w₃

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : CommRing B

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: I : Ideal A

Context: h : I.FG

Context: inst✝ : FinitePresentation R A

Context: n : ℕ

Context: f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A

Context: hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommRing S
w x y z : S


C w * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z) = C w * X ^ 3 + C w * -(C x + C y + C z) * X ^ 2 + C w * (C x * C y + C x * C z + C y * C z) * X + C w * -(C x * C y * C z)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsLowerSet sᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α

(ofMultiset s hs).toOuterMeasure t = (∑' (x : α), ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s))) / ↑(Multiset.card s)


∑' (x : α), t.indicator (⇑(ofMultiset s hs)) x = ∑' (i : α), ↑(Multiset.count i (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s)) * (↑(Multiset.card s))⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
x : α

t.indicator (⇑(ofMultiset s hs)) x = ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s)) * (↑(Multiset.card s))⁻¹


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

map₂ m (f₁ ⊔ f₂) g = map₂ m f₁ g ⊔ map₂ m f₂ g


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R

((s • M).updateColumn j u).det = s ^ (Fintype.card n - 1) * (M.updateColumn j u).det


s ^ (Fintype.card n - 1) * (Mᵀ.updateRow j u).det = s ^ (Fintype.card n - 1) * (M.updateColumn j u).det


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x


Context:
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x : S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P


(p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)) → Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)


(AffineMap.lineMap p₁ p₃) (1 / (1 - r)) = p₂


Context:
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0

HasDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x


Context:
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0

HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) Set.univ x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

(∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥


(∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
s : Set γ
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X✝, U✝)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
r : ↑Γ(Y, U)

Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r) (X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) ⋯ = IsLocalization.Away.map (↑Γ(Y, Y.basicOpen r)) (↑Γ(X, X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r))) (Scheme.Hom.appLE f U V e) r


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: U✝ : X✝.Opens

Context: hU✝ : IsAffineOpen U✝

Context: f✝ : ↑Γ(X✝, U✝)

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

Context: r : ↑Γ(Y, U)

Context: this : IsLocalization.Away r ↑Γ(Y, Y.basicOpen r) := isLocalization_basicOpen hU r


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: U✝ : X✝.Opens

Context: hU✝ : IsAffineOpen U✝

Context: f✝ : ↑Γ(X✝, U✝)

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

Context: r : ↑Γ(Y, U)

Context: this✝ : IsLocalization.Away r ↑Γ(Y, Y.basicOpen r) := isLocalization_basicOpen hU r

Context: this : IsLocalization.Away ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r) ↑Γ(X, X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) := isLocalization_basicOpen hV ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: U✝ : X✝.Opens

Context: hU✝ : IsAffineOpen U✝

Context: f✝ : ↑Γ(X✝, U✝)

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Y.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

Context: r : ↑Γ(Y, U)

RingHom.comp (Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r) (X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r)) ⋯) (algebraMap ↑Γ(Y, U) ↑Γ(Y, Y.basicOpen r)) = (IsLocalization.Away.map (↑Γ(Y, Y.basicOpen r)) (↑Γ(X, X.basicOpen ((Scheme.Hom.appLE f U V e) r))) (Scheme.Hom.appLE f U V e) r).comp (algebraMap ↑Γ(Y, U) ↑Γ(Y, Y.basicOpen r))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t : Set α
l : List α
a : α
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, x < y ↔ f x < f y
s : Set α


∀ l ∈ (f '' s).subchain, ∃ l' ∈ s.subchain, l.length = l'.length


∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ (f '' s).subchain, l.length = l'.length


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℤ

stdAddChar ↑j = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hn : n < f.natDegree
i : ℕ

h.coeff (h.root ^ n) i = Pi.single n 1 i


(if hi : i < f.natDegree then (h.basis.repr (h.root ^ n)) ⟨i, hi⟩ else 0) = Pi.single n 1 i


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

IsUnramified k w ↔ w.IsReal ∨ (w.comap (algebraMap k K)).IsComplex


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ

(let_fun h5 := ⋯; preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 3) * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 5) - preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 1) * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 3) * preNormEDS' b c d ((2 * m + 1) / 2 + 4) ^ 2) = preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2


preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 3) * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 1) * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 3) * preNormEDS' b c d (m + 1 / 2 + 4) ^ 2 = preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Finset E


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
hφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ