(α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j ≫ fst (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j) = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom ≫ fst (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j)


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J

(α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j ≫ snd (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j) = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom ≫ snd (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

eval₂ f (z * f p.leadingCoeff) p.integralNormalization = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i


∑ n ∈ p.support, f (p.integralNormalization.coeff n) * (z * f p.leadingCoeff) ^ n = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i


∑ x ∈ p.support, f (p.integralNormalization.coeff x) * (f p.leadingCoeff ^ x * z ^ x) = ∑ x ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑x) * (f p.leadingCoeff ^ ↑x * z ^ ↑x)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hp : ¬p = 0

∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)) * z ^ ↑i


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hp : ¬p = 0
one_le_deg : 1 ≤ p.natDegree


∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)) * z ^ ↑i = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f z p


f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i) * z ^ ↑i = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * z ^ n


∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i) * z ^ ↑i = ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * z ^ n


f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f z p = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23741, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.23745, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

F.map ψ.φK ≫ (h₂.map F).i = (h₁.map F).i ≫ (F.mapShortComplex.map φ).τ₂


(h₁.map F).f' ≫ F.map ψ.φK = (F.mapShortComplex.map φ).τ₁ ≫ (h₂.map F).f'


(h₁.map F).π ≫ F.map ψ.φH = F.map ψ.φK ≫ (h₂.map F).π


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s

(intrinsicInterior ℝ s).Nonempty → s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hs : Convex ℝ ∅
h : intrinsicInterior ℝ ∅ ≠ ∅


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' v' : V
p : G.Walk u' v'


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q✝ f g q r : R[X]

Context: hg : g.Monic

Context: h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)

Context: h₂ : (r - f %ₘ g).degree = (g * (q - f /ₘ g)).degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q✝ f g q r : R[X]

Context: hg : g.Monic

Context: h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)

Context: h₄ : (r - f %ₘ g).degree < g.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q✝ f g q r : R[X]

Context: hg : g.Monic

Context: h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)

Context: h₄ : (r - f %ₘ g).degree < g.degree

Context: h₅ : q - f /ₘ g = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
φ : R →+* S

(map φ P).toPoly = Polynomial.map φ P.toPoly


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
ε : ℝ
ε0 : ε > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
b : α
hb0 : 0 < ‖b‖
hbε : ‖b‖ < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α

Tendsto (fun p => p.1 :: p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: l))


(Filter.map (fun a b => (a, b).1 :: (a, b).2) (𝓝 a)).seq (𝓝 l) ≤ Seq.seq (cons <$> 𝓝 a) fun x => 𝓝 l


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing R
a b : R


Context:
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

(l.balance2 v r).reverse = r.reverse.balance1 v l.reverse


(l.balance2 v r).reverse = (r.reverse.balance1 v l.reverse).reverse.reverse


(l.balance2 v r).reverse = (l.reverse.reverse.balance2 v r.reverse.reverse).reverse


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : ℕ × α
n : ℕ
l : List α
h : x ∈ enumFrom n l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
l : List α
i : Fin (enumFrom n l).length
h : (enumFrom n l).get i ∈ enumFrom n l


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.225052, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber φ

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: α : Cocycle K F 1

Context: β : Cochain K G 0

Context: eq : δ 0 1 β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + 1 = q

(lift φ α β eq).f p = (↑α).v p q hpq ≫ (inl φ).v q p ⋯ + β.v p p ⋯ ≫ (inr φ).f p


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
f : P ⟶ Q
h : x.IsAmalgamation t
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : R g

(f.app (op X) ≫ Q.map g.op) t = f.app (op Y) (x g hg)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b : β
inst✝ : DecidableEq α

↑(pimage f (s ∪ t)) = ↑(pimage f s ∪ pimage f t)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: X : C

Context: P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop

Context: hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))

Context: hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))

Context: hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))

Context: g : StructuredArrow (L.obj X) L

Context: P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := fun g => P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) g)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: X : C

Context: P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop

Context: g : StructuredArrow (L.obj X) L

P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) ((structuredArrowEquiv W W.Q L).symm g))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: X : C

Context: P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop

Context: g : StructuredArrow (L.obj X) L


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: X : C

Context: P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop

Context: g : StructuredArrow (L.obj X) L

∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁), P' (StructuredArrow.mk φ) → P' (StructuredArrow.mk (φ ≫ W.Q.map f))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.12961, u_3} D'

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: X : C

Context: P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop

Context: g : StructuredArrow (L.obj X) L

∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂), P' (StructuredArrow.mk φ) → P' (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t : Set α
ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
hℬ : IsSetAlgebra ℬ
s : Set α
hs : s ∈ generateSetAlgebra 𝒜


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝³ : EMetricSpace X

Context: inst✝² : EMetricSpace Y

Context: m✝ : Set X → ℝ≥0∞

Context: r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : OuterMeasure X

Context: s : Set X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace X

Context: m : Set X → ℝ≥0∞

Context: hcl : ∀ (s : Set X), m (closure s) = m s

Context: r : ℝ≥0∞


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝³ : EMetricSpace X

Context: inst✝² : EMetricSpace Y

Context: m✝ : Set X → ℝ≥0∞

Context: r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : OuterMeasure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace X

Context: m : Set X → ℝ≥0∞

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : Set X

Context: hs : diam s ≤ r


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝³ : EMetricSpace X

Context: inst✝² : EMetricSpace Y

Context: m✝ : Set X → ℝ≥0∞

Context: r✝ : ℝ≥0∞

Context: μ : OuterMeasure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace X

Context: m : Set X → ℝ≥0∞

Context: r : ℝ≥0∞

Context: s : Set X

Context: hs : diam s ≤ r

⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), (pre m r) t ≤ m s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → ℝ≥0∞

limsup (fun x => liminf (fun n => f n x) atTop) (ae μ) ≤ liminf (fun n => limsup (fun x => f n x) (ae μ)) atTop


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: h : Presheaf.IsLocallySurjective (extensiveTopology C) f

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: h : Presheaf.imageSieve f x ∈ (extensiveTopology C).sieves X


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: h : ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π)) ∧ ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: h' : ∀ (a : α), (Presheaf.imageSieve f x).arrows (π a)

Context: y : (a : α) → F.obj (op (Y a)) := fun a => Exists.choose ⋯

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: ht : IsLimit (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone := (Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).isLimit

Context: ht' : IsLimit (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))) := (Functor.Initial.isLimitWhiskerEquiv (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π))).symm h.some.op

Context: i : ((a : α) → F.obj (op (Y a))) ≅ F.obj (op X) := ht.conePointsIsoOfNatIso (isLimitOfPreserves F ht') (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as))))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

∀ (j : Discrete α), ((G.mapCone (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π)))).π.app j) (f.app (op X) (i.hom y)) = ((G.mapCone (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π)))).π.app j) x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

((G.mapCone (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π)))).π.app { as := a }) (f.app (op X) (i.hom y)) = ((G.mapCone (Cone.whisker (Discrete.opposite α).inverse (Cocone.op (Cofan.mk X π)))).π.app { as := a }) x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

(G.map (π a).op) (f.app (op X) (i.hom y)) = (G.map (π a).op) x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

Context: this : f.app (op (Y a)) (y a) = G.map (π a).op x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

(G.map (π a).op) (f.app (op X) (i.hom y)) = G.map (π a).op x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

(f.app (op (Y a))) ((F.map (π a).op) (i.hom y)) = f.app (op (Y a)) (y a)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2869, u_2} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : FinitaryPreExtensive C

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F

Context: inst✝ : PreservesFiniteProducts G

Context: X : C

Context: x : G.obj (op X)

Context: α : Type

Context: w✝ : Finite α

Context: Y : α → C

Context: π : (a : α) → Y a ⟶ X

Context: h : Nonempty (IsColimit (Cofan.mk X π))

Context: x✝ : Fintype α := Fintype.ofFinite α

Context: a : α

((Types.productLimitCone fun a => F.obj (op (Y a))).cone.π.app { as := a } ≫ (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (F.obj (op (Y x.as)))).hom.app { as := a }) y = y a


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : K[X]

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).num = p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: C : Type u_1

Context: g : (a : P.A) → P.drop.B a ⟹ α → (P.last.B a → P.W α) → (P.last.B a → C) → C

Context: a : P.A

Context: f' : P.drop.B a ⟹ α

Context: f : P.last.B a → P.W α

P.wpRec (fun a f h h' => g a (P.wPathDestLeft h) (fun i => ⟨f i, P.wPathDestRight h i⟩) h') (WType.mk a fun i => (f i).fst) (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd) = g a f' f fun i => P.wRec g (f i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: C : Type u_1

Context: a : P.A

Context: f' : P.drop.B a ⟹ α

Context: f : P.last.B a → P.W α

(g a (P.wPathDestLeft (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd)) (fun i => ⟨(f i).fst, P.wPathDestRight (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd) i⟩) fun i => P.wpRec (fun a f h h' => g a (P.wPathDestLeft h) (fun i => ⟨f i, P.wPathDestRight h i⟩) h') (f i).fst (P.wPathDestRight (P.wPathCasesOn f' fun i => (f i).snd) i)) = g a f' f fun i => P.wRec g (f i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: C : Type u_1

Context: a : P.A

Context: f' : P.drop.B a ⟹ α

Context: f : P.last.B a → P.W α

(g a f' (fun i => ⟨(f i).fst, (f i).snd⟩) fun i => P.wpRec (fun a f h h' => g a (P.wPathDestLeft h) (fun i => ⟨f i, P.wPathDestRight h i⟩) h') (f i).fst (f i).snd) = g a f' f fun i => P.wRec g (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
f : α →₀ M

f.support.card = 1 ↔ ∃ a b, b ≠ 0 ∧ f = single a b


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
hk : 0 < k
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
ξ : Rˣ
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity ⟨k, hk⟩ R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
hk : 0 < k
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
ξ : Rˣ
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity ⟨k, hk⟩ R
hζ' : IsPrimitiveRoot ⋯.unit ↑⟨k, hk⟩


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ
hk : 0 < k
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
ξ : Rˣ
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity ⟨k, hk⟩ R
hζ' : IsPrimitiveRoot ⋯.unit ↑⟨k, hk⟩
i : ℕ
hi₁ : i < ↑⟨k, hk⟩
hi₂ : ⋯.unit ^ i = ξ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
S : ι → Set α

(fun f => ∏ i : ι, f i) '' univ.pi S = ∏ i : ι, S i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
h₂ : 1 < s.card


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
h₂ : 1 < s.card
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a ≠ b


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π


∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁸ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁷ : AddGroup ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : MeasurableSingletonClass ι

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝ : MeasurableSub₂ ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

Context: this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}

MeasurableSet ({ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁸ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁷ : AddGroup ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : MeasurableSingletonClass ι

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝ : MeasurableSub₂ ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι

MeasurableSet {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁸ : LinearOrder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: inst✝⁷ : AddGroup ι

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : BorelSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : MeasurableSingletonClass ι

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝ : MeasurableSub₂ ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: hπ : IsStoppingTime f π

Context: j : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f g : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

(fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P

(mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N)) = (lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)


((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N) = ((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : Module.Dual R M
m : M
g : Module.Dual R N
n : N

((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N))) f) m)) g) n = ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N))) f) m)) g) n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
μ : Measure α
f : α → β

AEMeasurable f (μ.restrict s) ↔ AEMeasurable (f ∘ Subtype.val) (Measure.comap Subtype.val μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁴ : OrderTop α

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : SemilatticeSup β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a✝ b✝ b a : α

(if h : a ≤ b then (filter (fun b => a ≤ b) {b}).sup' ⋯ fun x => x else ⊤) = if a ≤ b then b else ⊤


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

F.map f ≫ (fun X => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₂ = (fun X => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₁ ≫ (L ⋙ L.pointwiseLeftKanExtension F).map f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁) ≫ L.map f))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (L.map f))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: φ : CostructuredArrow.mk (L.map f) ⟶ CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂)) := CostructuredArrow.homMk f ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: this : ∀ (t : Set β), IsOpen (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

(∀ (s_1 : Set β), IsOpen s_1 → IsOpen (s.restrict f ⁻¹' s_1)) ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Infinite
k : ℕ
this : Infinite ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Infinite
this : Infinite ↑s
t' : Finset ↑s


Context: a b c d m✝ n✝ k✝ : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n m k : ℕ

Context: motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1

Context: refl : motive n ⋯

Context: le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯

Context: hnm : n ≤ m

Context: hmk : m ≤ k

leRec refl le_succ_of_le ⋯ = leRec (leRec refl (fun x h => le_succ_of_le h) hnm) (fun x h => le_succ_of_le ⋯) hmk


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
b : F

b ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ b ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
a : E

f a ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ f a ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: L : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹ : EquivLike L E F

Context: inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F

Context: f : L

Context: s : Set E

Context: a : E

Context: this : ∀ (x y : E), ⇑f '' openSegment 𝕜 x y = openSegment 𝕜 (f x) (f y)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β

∀ (x y : α), infEdist x s ≤ infEdist y s + 1 * edist x y


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

(map W' f).toJacobian.polynomialZ = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialZ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : n → α
i✝ j✝ : n

(diagonal d).map f i✝ j✝ = diagonal (fun m => f (d m)) i✝ j✝


f (if i✝ = j✝ then d i✝ else 0) = if i✝ = j✝ then f (d i✝) else 0


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a * b < ℵ₀ ↔ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀


Context: X Y : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Γ.map f.op)


Context: X Y : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: f : X ⟶ Y

IsClosedImmersion (Spec.map (Scheme.Γ.map f.op))


Context: X Y : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y

Context: f : X ⟶ Y


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {1} A B
x : B


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
head✝ : α
tail✝ : List α

[].isPerm (head✝ :: tail✝) = true ↔ [] ~ head✝ :: tail✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α

(a :: l₁).isPerm l₂ = true ↔ a :: l₁ ~ l₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Transitive r


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y

∀ (f₁ : Subobject Y), (map g).obj (f₁ ⊓ f₂) = (map g).obj f₁ ⊓ (map g).obj f₂


∀ (a : MonoOver Y), (map g).obj (Quotient.mk'' a ⊓ f₂) = (map g).obj (Quotient.mk'' a) ⊓ (map g).obj f₂


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y

(map g).obj (Quotient.mk'' f₁ ⊓ f₂) = (map g).obj (Quotient.mk'' f₁) ⊓ (map g).obj f₂


(map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂) = (map ((MonoOver.map g).obj f₁).arrow).obj ((pullback ((MonoOver.map g).obj f₁).arrow).obj ((map g).obj f₂))


(map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂) = (map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback (f₁.arrow ≫ g)).obj ((map g).obj f₂))


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: n : ℕ

Context: F : L.Functions n

Context: x : Fin n → Σˣ f

Context: i j : ι

Context: hi : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))

Context: hj : j ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : j ≤ k

(f i k ik) (funMap F (unify f x i hi)) = (f j k jk) (funMap F (unify f x j hj))


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L

φ.nilRank ≤ (charpoly (φ x)).natTrailingDegree


(φ.polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹² : Module R L

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : Fintype ι'

Context: inst✝⁷ : Fintype ιM

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: b : Basis ι R L

Context: inst✝² : Module.Finite R L

Context: inst✝¹ : Module.Free R L

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : L

Context: h : (MvPolynomial.eval ⇑((chooseBasis R L).repr x)) ((φ.polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree) = (MvPolynomial.eval ⇑((chooseBasis R L).repr x)) 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹² : Module R L

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : Fintype ι'

Context: inst✝⁷ : Fintype ιM

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: b : Basis ι R L

Context: inst✝² : Module.Finite R L

Context: inst✝¹ : Module.Free R L

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : L

Context: h : (charpoly (φ x)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹² : Module R L

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: inst✝⁸ : Fintype ι'

Context: inst✝⁷ : Fintype ιM

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: b : Basis ι R L

Context: inst✝² : Module.Finite R L

Context: inst✝¹ : Module.Free R L

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: x : L


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source

(f.extend I).target ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y


↑(f.extend I) '' (f.extend I).source ∈ map (↑(f.extend I)) (𝓝 y)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
h : IsAdjoinRootMonic S f
hirr : Irreducible f
q : R[X]
hq : f = minpoly R h.root * q


Context:
x : Prop
p : x = x → Prop
h : ∀ (he : x ↔ x), p ⋯


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : dist (f a) (g a) ≤ δ

∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : dist (f a) (g a) ≤ δ

Context: f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : dist (f a) (g a) ≤ δ

Context: g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : dist (f a) (g a) ≤ δ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Icc a b

dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t

Context: ha : dist (f a) (g a) ≤ δ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Icc a b

Context: this : dist (f t) (g t) ≤ gronwallBound δ (↑K) (0 + 0) (t - a)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : range m ∈ f


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x : σ → ↥S
p : MvPolynomial σ R

(aeval fun i => ↑(x i)) p = ↑((aeval x) p)


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

All P (l.node4R x m y r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P m ∧ P y ∧ All P r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
hf_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_bound : ∀ (n : ℕ), f n ≤ᶠ[ae μ] g
h_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤

⨅ n, ∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ


∀ (n : ℕ), Measurable fun a => ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a


Antitone fun n a => ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a


∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ 0), f i a ∂μ ≠ ⊤


∫⁻ (a : α), ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ = ∫⁻ (a : α), limsup (fun n => f n a) atTop ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)

LinearMap.range hV.linearIsometry.toLinearMap = (⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)

LinearMap.range hV.linearIsometry.toLinearMap ≤ (⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)

(⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure ≤ LinearMap.range hV.linearIsometry.toLinearMap


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
E : Epi f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
E : Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
v : V
n : ℕ

‖fourierPowSMulRight L f v n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * ‖v‖ ^ n * ‖f v‖


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
v : V
n : ℕ
m : Fin n → W

‖(fourierPowSMulRight L f v n) m‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * ‖v‖ ^ n * ‖f v‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
I : C
hI : IsInitial I
h : ∀ (X : C), Mono (hI.to X)
I' X : C
hI' : IsInitial I'


Mono ((hI'.uniqueUpToIso hI).hom ≫ hI.to X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α


(condCDF ρ a).measure univ = ENNReal.ofReal (1 - 0)


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : EquivLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgEquivClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgEquivClass F ℂ A B
φ : F
a : A

‖a‖₊ ≤ ‖φ a‖₊


Context:
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c


Context: a : ℝ

Context: ha : a < -1

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x


Context: a : ℝ

Context: ha : a < -1

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ht : Tendsto (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1)))


Context: a : ℝ

Context: ha : a < -1

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasCoproduct f


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasCoproduct f
val✝ : Fintype J


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
t : ℂ
ht : t ∈ S


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
t : ℂ
ht : 1 - t.re < ↑n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
x : E
hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
y : E
hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : SMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f

Context: r : β

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}

Context: y : E

Context: hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 ≤ a

Context: hb : 0 ≤ b

Context: hab : a + b = 1

Context: h : a • x + b • y ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 ≤ max (f x) (f y)}


Context:
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric

x < y ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' < y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x < (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i < y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j < y.moveRight j'


((∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x ⧏ (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j ⧏ y.moveRight j') ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' < y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x < (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i < y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j < y.moveRight j'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0
x : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c d : α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context: q : ℚ


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: i j : ℕ

Context: h : i ≤ j

Context: f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: i j : ℕ

Context: h : i ≤ j


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : NonAssocSemiring R

Context: f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)

Context: r : R

Context: i j : ℕ

Context: h : i ≤ j

↑↑((f j) r).val - ↑↑((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))) ((f j) r)).val = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q

((γ.leftShift a n' hn').leftUnshift n hn').v p q hpq = γ.v p q hpq


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P

Context: h₁₂₄₅ : affineSpan ℝ {p₁, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₄, p₅}

Context: h₃₂₆₅ : affineSpan ℝ {p₃, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₆, p₅}

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G

(setoid ↑H ↑⊥).Rel a b ↔ (QuotientGroup.rightRel H).Rel a b


(∃ a_1 ∈ H, ∃ b_1 ∈ ⊥, b = a_1 * a * b_1) ↔ b * a⁻¹ ∈ H


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' (s \ {p}))


Submodule.span k (insert (p -ᵥ p) ((fun x => x -ᵥ p) '' (s \ {p}))) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' (s \ {p}))


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)

(((whiskeringLeft (SimplicialObject C) (Karoubi (SimplicialObject C)) (Karoubi (SimplicialObject C))).obj (toKaroubi (SimplicialObject C))).preimage (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans)).app P = (N₂ ⋙ Γ₂).map P.decompId_i ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans).app P.X ≫ P.decompId_p


Context: ι α β : Type u

Context: c : Cardinal.{u}

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CardinalInterFilter l c

Context: S : Set ι

Context: hS : #↑S < c

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α

Context: h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi

⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h


Context: ι α β : Type u

Context: c : Cardinal.{u}

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CardinalInterFilter l c

Context: S : Set ι

Context: hS : #↑S < c

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m n : ℕ
h : m < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p

(fun x => x ^ (m + p)) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m


(fun x => x ^ m * x ^ p) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m * 1 ^ p


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

ContMDiff I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf')


Continuous (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') ∧ ∀ (y : ↑(sphere 0 1)), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y).source)


∀ (y : ↑(sphere 0 1)), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y).source)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)

ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ

Context: H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ

Context: H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ

Context: H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ

Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source = Set.univ ∩ f ⁻¹' ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ

Context: H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ

Context: x : M

x ∈ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source ↔ x ∈ Set.univ ∩ f ⁻¹' ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ

Context: H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ

Context: x : M

Context: hfxv : f x = -↑v ↔ ⟪f x, -↑v⟫_ℝ = 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: m : ℕ∞

Context: f : M → E

Context: hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f

Context: hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ

Context: H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ

Context: x : M

Context: hfxv : f x = -↑v ↔ ⟪f x, -↑v⟫_ℝ = 1

x ∈ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (stereographic' n (-v)).source ∩ Set.univ ↔ x ∈ Set.univ ∩ ({a | ¬⟪-↑v, f a⟫_ℝ = 1} ∩ Set.univ)


Context:
c d : ℝ≥0∞
r p q a b : ℝ≥0


Context: C : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_4} D

Context: F : C ⥤ D

Context: H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂

Context: F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D

Context: h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂


Context: C : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_4} D

Context: F : C ⥤ D

Context: F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D

Context: h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂


Context: C : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_4} D

Context: F : C ⥤ D

Context: F₁ F₂ : Quotient r ⥤ D

Context: h : functor r ⋙ F₁ = functor r ⋙ F₂

∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → (functor r ⋙ F₂).map f₁ = (functor r ⋙ F₂).map f₂


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n > 0


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₂
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R

eval₂ φ g ((map f) p) = eval₂ (φ.comp f) g p


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

(coclosedLindelof X).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsLindelof s) compl


(⨅ s, ⨅ (_ : IsClosed s ∧ IsLindelof s), 𝓟 sᶜ).HasBasis (fun s => IsClosed s ∧ IsLindelof s) compl


∀ (i : Set X), IsClosed i ∧ IsLindelof i → ∀ (j : Set X), IsClosed j ∧ IsLindelof j → ∃ k, (IsClosed k ∧ IsLindelof k) ∧ kᶜ ⊆ iᶜ ∧ kᶜ ⊆ jᶜ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s : Set X
hs₁ : IsClosed s
hs₂ : IsLindelof s
t : Set X
ht₁ : IsClosed t
ht₂ : IsLindelof t

∃ k, (IsClosed k ∧ IsLindelof k) ∧ kᶜ ⊆ sᶜ ∧ kᶜ ⊆ tᶜ


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p q : α → Prop
inst✝¹ : Functor m
inst✝ : LawfulFunctor m
x✝ : m α
h✝ : SatisfiesM p x✝
H : ∀ {a : α}, p a → q a
x : m { a // p a }
h : Subtype.val <$> x = x✝

Subtype.val <$> (fun x => match x with | ⟨a, h⟩ => ⟨a, ⋯⟩) <$> x = x✝


(Subtype.val ∘ fun x => match x with | ⟨a, h⟩ => ⟨a, ⋯⟩) <$> x = Subtype.val <$> x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : AddMonoid R
S1 S2 : R
p1 : isSumSq S1
p2 : isSumSq S2


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s : Set α
t : Set β
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
v : Finset β
hv : v.Nonempty
hvt : ↑v ⊆ t

(u.sup' hu id, v.sup' hv id) ∈ supClosure (s ×ˢ t)


↑(u ×ˢ v) ⊆ s ×ˢ t


(u ×ˢ v).sup' ⋯ id = (u.sup' hu id, v.sup' hv id)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context: m n : ℕ+


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ


∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f


⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f * g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ.withDensity f


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g

∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ g), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ.withDensity f


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g


∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ⨆ (_ : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g), ∫⁻ (a : α), (fun x => (f x)⁻¹ * i x) a ∂μ.withDensity f


∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (fun x => (f x)⁻¹ * i x) a ∂μ.withDensity f


∫⁻ (a : α), i a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), (f * fun a => (f a)⁻¹ * i a) a ∂μ


∀ᵐ (a : α) ∂μ, i a ≤ (f * fun a => (f a)⁻¹ * i a) a


∀ (a : α), f a < ⊤ → i a ≤ (f * fun a => (f a)⁻¹ * i a) a


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
x : α
h'x : f x < ⊤


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
x : α
h'x : f x < ⊤
hx : f x = 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
f_meas : Measurable f
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g i : α → ℝ≥0∞
i_meas : Measurable i
hi : i ≤ f * g
A : (fun x => (f x)⁻¹ * i x) ≤ g
x : α
h'x : f x < ⊤
hx : f x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
m : ↥M


HSMul.hSMul m = HMul.hMul ((algebraMap R S) ↑m)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
m : ↥M
x✝ : S


m • x✝ = ↑m • x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun n => κ.densityProcess ν n a x s) atTop (𝓝 (Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a) x))


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

↑φ = 0 ↔ φ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: C : α → Sort u_7

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: b : β

Context: a : α

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: fa : Sum.inl b ∈ f a

Context: hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final

Context: hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀

(fixInduction h fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) = hbase a fa


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: C : α → Sort u_7

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: b : β

Context: a : α

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: fa : Sum.inl b ∈ f a

Sum.casesOn (motive := fun x => (f a).get ⋯ = x → C a) ((f a).get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hbase a fa


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: C : α → Sort u_7

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: b : β

Context: a : α

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: fa : Sum.inl b ∈ f a

(fun x e => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a).get ⋯ = x → C a) x (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hbase a fa) (Sum.inl b) ⋯


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : MeasureSpace α
s✝ t s : Set α
hs : MeasurableSet s

Measure.map Subtype.val volume = volume.restrict s


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: u : Set V

Context: c : (⊤.deleteVerts u).coe.ConnectedComponent

Context: hM : M.IsPerfectMatching

Context: codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: u : Set V

Context: hM : M.IsPerfectMatching

Context: codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)

Context: h : ∀ w ∈ u, ∀ (v : ↑(⊤.deleteVerts u).verts), M.Adj (↑v) w → v ∉ c.supp


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: u : Set V

Context: hM : M.IsPerfectMatching

Context: codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)

Context: hMmatch : (M.induce (Subtype.val '' c.supp)).IsMatching


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: u : Set V

Context: hM : M.IsPerfectMatching

Context: codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: u : Set V

Context: hM : M.IsPerfectMatching

Context: codd : Odd (Nat.card ↑c.supp)

Context: this : Fintype ↑(M.induce (Subtype.val '' c.supp)).verts


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e✝ e : Pretrivialization F TotalSpace.proj


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x✝ : e' ∈ a.pretrivializationAtlas


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: x✝ : e' ∈ a.pretrivializationAtlas

Subtype.val ⁻¹' e.target = e'.setSymm ⁻¹' e.source


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: a : FiberPrebundle F E

Context: x✝ : e' ∈ a.pretrivializationAtlas

Context: x : B × F

Context: hx : x ∈ e'.target

⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' e.target ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ e'.setSymm ⁻¹' e.source


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: this : fixedPoints (↥↑P) (Sylow p G) = {P}


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: this✝ : fixedPoints (↥↑P) (Sylow p G) = {P}

Context: this : Nat.card ↑(fixedPoints (↥↑P) (Sylow p G)) = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : C
f f' : X ⟶ Y

f ≫ e.unit.app Y = f' ≫ e.unit.app Y ↔ f = f'


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
β : Type u_4
s : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β s

WellFounded s ↔ ∀ (b : β), WellFounded (Subrel s {b' | s b' b})


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: β : Type u_4

Context: s : β → β → Prop

Context: inst✝ : IsTrans β s

Context: wf : ∀ (b : β), WellFounded (Subrel s {b' | s b' b})

Context: b b' : β

Context: hb' : s b' b


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: β : Type u_4

Context: s : β → β → Prop

Context: inst✝ : IsTrans β s

Context: b b' : β

Context: hb' : s b' b

Context: f : Subrel s {b_1 | s b_1 b} ≺i s := PrincipalSeg.ofElement s b


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: β : Type u_4

Context: s : β → β → Prop

Context: inst✝ : IsTrans β s

Context: b : β

Context: b' : ↑{b_1 | s b_1 b}

Context: hb' : s (f.toRelEmbedding b') b


Context:
m : ℕ
n : ℕ∞

↑m ≤ ↑n ↔ ↑m ≤ n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
h : ∀ p > 0, ¬MixedCharZero R p
I : Ideal R
hI_ne_top : I ≠ ⊤


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.3297, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.3304, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.3311, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M
α : ShiftedHom X Y a₁
β : ShiftedHom Y Z a₂
γ : ShiftedHom Z T a₃
h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂
h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃
h : a₃ + a₂ + a₁ = a


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.3304, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.3311, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M
α : ShiftedHom X Y a₁
β : ShiftedHom Y Z a₂
γ : ShiftedHom Z T a₃
h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂
h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃
h : a₃ + a₂ + a₁ = a

(α.comp β h₁₂).comp γ ⋯ = α.comp (β.comp γ h₂₃) ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n✝ n : ℕ

(box (n + 1)).disjUnion (Icc (-↑n) ↑n) ⋯ = Icc (-↑n.succ) ↑n.succ


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
h : ⊤.FG
s : Finset A
hs : span R ↑s = ⊤

toSubmodule (Algebra.adjoin R ↑s) = toSubmodule ⊤


↑s ⊆ ↑(toSubmodule (Algebra.adjoin R ↑s))


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ

↑(I.splitUpper i x) = ↑I ∩ {y | x < y i}


(univ.pi fun i_1 => Ioc (update I.lower i (max x (I.lower i)) i_1) (I.upper i_1)) = ↑I ∩ {y | x < y i}


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ

(y ∈ univ.pi fun i_1 => Ioc (update I.lower i (max x (I.lower i)) i_1) (I.upper i_1)) ↔ y ∈ ↑I ∩ {y | x < y i}


(x < y i ∧ (∀ (b : ι), I.lower b < y b) ∧ ∀ (x : ι), y x ≤ I.upper x) ↔ ((∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ ∀ (x : ι), y x ≤ I.upper x) ∧ x < y i


Context: m n : ℕ


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : FunLike 𝓕 E F
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
𝕜' : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' F
c : 𝕜'
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E

‖(c • f) x✝‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x✝‖


‖c‖ * ‖f x✝‖ ≤ ‖c‖ * (‖f‖ * ‖x✝‖)


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
h' : Epi f.val.base


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ (minpoly R B.gen).coeff 0


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: this : Module.Finite K L


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: this : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: this : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ adjoin R {B.gen}

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L

Context: x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hz : p • z ∈ (aeval B.gen).range

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L

Context: Q₁ : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen).toRingHom Q₁ = p • z

Context: Q : R[X] := Q₁ %ₘ P

Context: hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L

Context: Q₁ : R[X]

Context: Q : R[X] := Q₁ %ₘ P

Context: hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L

Context: Q₁ : R[X]

Context: Q : R[X] := Q₁ %ₘ P

Context: hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hQzero : ¬Q = 0


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L

Context: Q₁ : R[X]

Context: Q : R[X] := Q₁ %ₘ P

Context: hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hQzero : ¬Q = 0

Context: i : ℕ

i ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff i


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L

Context: Q₁ : R[X]

Context: Q : R[X] := Q₁ %ₘ P

Context: hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hQzero : ¬Q = 0

0 ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff 0


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this✝ : Module.Finite K L

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0

Context: hP : P = minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: this : NoZeroSMulDivisors R L

Context: Q₁ : R[X]

Context: Q : R[X] := Q₁ %ₘ P

Context: hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hQzero : ¬Q = 0

Context: j : ℕ

Context: hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m

j.succ ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff j.succ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
y : E
ε : ℝ
a : E


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: inst✝ : H.IsGenerating

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: T : A

Context: x y : T ⟶ P.obj (Opposite.op X)

Context: h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), S.arrows f → x ≫ P.map f.op = y ≫ P.map f.op


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: H : J.OneHypercoverFamily

Context: inst✝ : H.IsGenerating

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J.sieves X

Context: T : A

Context: x y : T ⟶ P.obj (Opposite.op X)

Context: E : J.OneHypercover X

Context: hE : H E

Context: le : E.sieve₀ ≤ S


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctorAdd' C 0 a a ⋯).inv.app X = (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f 0 = f p
hc : ContinuousOn f (Icc 0 p)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ

eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq✝ : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q
hpq : p < q


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq✝ : p ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0_lt : 0 < q
hpq_eq : ¬p = q
hpq : p < q
g : α → ℝ≥0∞ := fun x => 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq✝ : p ≤ q

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hq0_lt : 0 < q

Context: hpq_eq : ¬p = q

Context: hpq : p < q

Context: g : α → ℝ≥0∞ := fun x => 1

Context: h_rw : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * g a) ^ p ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq✝ : p ≤ q

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hq0_lt : 0 < q

Context: hpq_eq : ¬p = q

Context: hpq : p < q

Context: g : α → ℝ≥0∞ := fun x => 1

Context: r : ℝ := p * q / (q - p)

(∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * g a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)