Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

Measurable fun y => map (fun x => (x, y)) μ


∀ (s : Set (α × β)), MeasurableSet s → Measurable fun b => (map (fun x => (x, b)) μ) s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

Measurable fun b => (map (fun x => (x, b)) μ) s


Measurable fun b => μ ((fun x => (x, b)) ⁻¹' s)


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x✝ : (μ.trim ⋯) s < ⊤

0 ≤ ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i] - f i) x ∂μ.trim ⋯


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ

Context: i j : ι

Context: hij : i ≤ j

Context: s : Set Ω

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x✝ : (μ.trim ⋯) s < ⊤

Context: hf : ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: x : ↑C

(LocallyConstant.evalMonoidHom x) (eval C l) = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: x : ↑C

(List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom x)) (List.map (e C) ↑l)).prod = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
hfAB : BijOn (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n

(map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod ↔ s.prod = t.prod


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : HasDistribNeg R
a x y : R
h : SemiconjBy a x y


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.14465

Context: L : Type ?u.14468

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: a✝ : Nontrivial S

Context: this : (minpolyDiv R x * (X - C x)).leadingCoeff = (map (algebraMap R S) (minpoly R x)).leadingCoeff


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.14465

Context: L : Type ?u.14468

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: a✝ : Nontrivial S

Context: this : (minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff = 1


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.14465

Context: L : Type ?u.14468

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: a✝ : Nontrivial S

(minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : α → Finset β

Context: s : Finset α

Context: f : α → Finset β

Context: g : β → Finset γ

Context: h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f

Context: h2 : (↑(s.disjiUnion f h1)).PairwiseDisjoint g

Context: a : { x // x ∈ s }

Context: x✝¹ : a ∈ ↑s.attach

Context: b : { x // x ∈ s }

Context: x✝ : b ∈ ↑s.attach

Context: hab : a ≠ b

Context: x : γ

Context: hxa : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) a

Context: hxb : x ∈ (fun a => (f ↑a).disjiUnion g ⋯) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : α → Finset β

Context: s : Finset α

Context: f : α → Finset β

Context: g : β → Finset γ

Context: h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f

Context: a : { x // x ∈ s }

Context: x✝¹ : a ∈ ↑s.attach

Context: b : { x // x ∈ s }

Context: x✝ : b ∈ ↑s.attach

Context: hab : a ≠ b

Context: x : γ

Context: xa : β

Context: hfa : xa ∈ f ↑a

Context: hga : x ∈ g xa


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : α → Finset β

Context: s : Finset α

Context: f : α → Finset β

Context: g : β → Finset γ

Context: h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f

Context: a : { x // x ∈ s }

Context: x✝¹ : a ∈ ↑s.attach

Context: b : { x // x ∈ s }

Context: x✝ : b ∈ ↑s.attach

Context: hab : a ≠ b

Context: x : γ

Context: xa : β

Context: hfa : xa ∈ f ↑a

Context: hga : x ∈ g xa

Context: xb : β

Context: hfb : xb ∈ f ↑b

Context: hgb : x ∈ g xb


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : α → Finset β

Context: s : Finset α

Context: f : α → Finset β

Context: g : β → Finset γ

Context: h1 : (↑s).PairwiseDisjoint f

Context: a : { x // x ∈ s }

Context: x✝¹ : a ∈ ↑s.attach

Context: b : { x // x ∈ s }

Context: x✝ : b ∈ ↑s.attach

Context: hab : a ≠ b

Context: x : γ

Context: xa : β

Context: hfa : xa ∈ f ↑a

Context: hga : x ∈ g xa

Context: hfb : xa ∈ f ↑b

Context: hgb : x ∈ g xa


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hn : 1 ≤ n


Context: n : ℤ


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S

f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂ ↔ f.toMap (x₁ * ↑y₂) = f.toMap (x₂ * ↑y₁)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)

F.map prod.snd ((fiberBinaryProductEquiv F X Y).symm (x, y)) = y


F.map prod.snd ((PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv (x, y))) = y


((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv ≫ (PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map prod.snd) (x, y) = y


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''

mapMono K i ≫ mapMono K i' = mapMono K (i' ≫ i)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
k : ℕ
hk : Δ.len = Δ'.len + k + 1


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
k : ℕ
hk : Δ.len = Δ'.len + k + 1
k' : ℕ
hk' : Δ'.len = Δ''.len + k' + 1


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i' : Δ'' ⟶ Δ'
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝¹ : Mono i'
inst✝ : Mono i
h₁ : ¬Δ = Δ'
h₂ : ¬Δ' = Δ''
k : ℕ
hk : Δ.len = Δ'.len + k + 1
k' : ℕ
hk' : Δ'.len = Δ''.len + k' + 1
eq : Δ.len = Δ''.len + (k + k' + 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α
n : ℤ


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
nc : ¬IsCyclic α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
nc : ¬Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν

QuasiMeasurePreserving Prod.snd (μ.prod ν) ν


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h2s : ν s = 0


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

sin x * cos (2 * x) + cos x * sin (2 * x) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

sin x * (2 * (1 - sin x ^ 2) - 1) + cos x * (2 * sin x * cos x) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x

Context: h2 : cos x * (2 * sin x * cos x) = 2 * sin x * cos x ^ 2


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1

a • insert 0 (interior A) ⊆ insert 0 (interior A)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
ha : ‖0‖ ≤ 1

0 • insert 0 (interior A) ⊆ insert 0 (interior A)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
h : a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ' : QuasiIso φ'


Context:
a✝ b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a c x✝ : ℕ
dvd : c + 1 ∣ a + 1
dvd2 : a + 1 ∣ x✝


Context:
a✝ b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a c x✝ : ℕ
dvd : c + 1 ∣ a + 1
dvd2 : a + 1 ∣ x✝
a_split : a + 1 ≠ 0


Context:
a✝ b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a c x✝ : ℕ
dvd : c + 1 ∣ a + 1
dvd2 : a + 1 ∣ x✝
a_split : a + 1 ≠ 0
c_split : c + 1 ≠ 0


Context:
a✝ b c✝ d m n k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
a c : ℕ
a_split : a + 1 ≠ 0
c_split : c + 1 ≠ 0
k k2 : ℕ
pr : a + 1 = (c + 1) * k2
k2_nonzero : k2 ≠ 0


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)

∀ {p : α × Bool}, Step (p :: L₁) (p :: L₂) ↔ Step L₁ L₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U✝ s : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: X : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace X

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: A : PseudoMetricSpace X := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X

Context: U : Set X

Context: hU : IsOpen U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ U


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: X : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace X

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: r : ℝ≥0∞

Context: F : ℕ → Set X

Context: F_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)

Context: F_mono : Monotone F

Context: hU : IsOpen (⋃ n, F n)

Context: hr : r < μ (⋃ n, F n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: X : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace X

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: r : ℝ≥0∞

Context: F : ℕ → Set X

Context: F_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)

Context: F_mono : Monotone F

Context: hU : IsOpen (⋃ n, F n)

Context: hr : r < ⨆ i, μ (F i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: X : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace X

Context: inst✝ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: r : ℝ≥0∞

Context: F : ℕ → Set X

Context: F_closed : ∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)

Context: F_mono : Monotone F

Context: hU : IsOpen (⋃ n, F n)

Context: hr : r < ⨆ i, μ (F i)

Context: n : ℕ

Context: hn : r < μ (F n)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x✝ : ↥(skewAdjoint.submodule R A)
x : A
hx : star x = -x

↑((skewAdjointPart R ∘ₗ (skewAdjoint.submodule R A).subtype) ⟨x, hx⟩) = ↑(LinearMap.id ⟨x, hx⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R

vandermonde v = Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i.succ * vandermonde (Fin.tail v) i j


(Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => Fin.tail v i * vandermonde (Fin.tail v) i j) = Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i.succ * vandermonde (Fin.tail v) i j


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
hs : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν✝ : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure β
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(Measure.comap f (μ + ν)) s = (Measure.comap f μ + Measure.comap f ν) s


Context: x y : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Lattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: a✝ : α

Context: a : α


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
i : ℤ
g : G
a : α


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
f : R[X]

f - C f.leadingCoeff * X ^ f.natDegree = f.eraseLead


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ

parallelepiped ⇑b = Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑b = Icc (-1) 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
e : ι ≃ Fin 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F

Context: inst✝ : Module ℝ F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ

Context: e : ι ≃ Fin 1

Context: B : parallelepiped ⇑(b.reindex e) = parallelepiped ⇑b


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝ : Module ℝ F✝

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ

Context: e : ι ≃ Fin 1

Context: F : ℝ → Fin 1 → ℝ := fun t _i => t

Context: A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1

parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc 0 1 ∨ parallelepiped ⇑(b.reindex e) = Icc (-1) 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝ : Module ℝ F✝

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ

Context: e : ι ≃ Fin 1

Context: F : ℝ → Fin 1 → ℝ := fun t _i => t

Context: A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1

Context: H : ⇑(b.reindex e) = fun x => 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : AddCommGroup F✝

Context: inst✝ : Module ℝ F✝

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ

Context: e : ι ≃ Fin 1

Context: F : ℝ → Fin 1 → ℝ := fun t _i => t

Context: A : Icc 0 1 = F '' Icc 0 1

Context: H : ⇑(b.reindex e) = fun x => -1


Context:
x y : ℝ
n : ℕ


Context:
x y : ℝ
n : ℕ

Tendsto (fun x => log x ^ n / id x) atTop (𝓝 0)


Context:
x y : ℝ
n : ℕ

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, id x = 0 → log x ^ n = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : ℕ

Context: cardα : Fintype.card α = p

Context: cardβ : Fintype.card β = q

Context: h0p : 0 < p

Context: hpq : p < q

Context: x : β × (K →+* ℂ) → ℤ

Context: hxl : x ≠ 0

Context: hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0

Context: hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Context: A : ℝ

Context: habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A

Context: Apos : 0 ≤ A

∃ ξ, ξ ≠ 0 ∧ a *ᵥ ξ = 0 ∧ ∀ (l : β), house ↑(ξ l) ≤ NumberField.house.c₁ K * (NumberField.house.c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
l₁ l₂ : List α

map f (foldl List.erase l₁ l₂) = foldl (fun l a => l.erase (f a)) (map f l₁) l₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M

Submodule.comap reverse (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range (ι Q)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
w : F

⟪w, (adjointAux (adjointAux A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

x ⧏ 0 ↔ ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ moveLeft 0 i) ∧ ∀ (j : (moveLeft 0 i).RightMoves), x ⧏ (moveLeft 0 i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0) ∧ ∀ (j' : RightMoves 0), x.moveRight j ⧏ moveRight 0 j') ↔ ∃ j, ∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C


(underlyingIso (𝟙 B)).hom = (underlyingIso (𝟙 B)).hom ≫ 𝟙 B


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian

star (x ⊕ᵥ y) ᵥ* fromBlocks A B Bᴴ D ⬝ᵥ (x ⊕ᵥ y) = star (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) ᵥ* A ⬝ᵥ (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) + star y ᵥ* (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) ⬝ᵥ y


star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* D ⬝ᵥ y) = star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y) + (star y ᵥ* D ⬝ᵥ y - star y ᵥ* (Bᴴ * (A⁻¹ * B)) ⬝ᵥ y)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set ι

¬LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ ∃ f ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) f = 0 ∧ f ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : x ∈ ⋂ r ∈ S ×ˢ T, r.1 ×ˢ r.2

x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
T : Set (Set β)
s₁ : Set α
h₁ : s₁ ∈ S
s₂ : Set β
h₂ : s₂ ∈ T
x : α × β
hx : ∀ i ∈ S ×ˢ T, x ∈ i.1 ×ˢ i.2

x ∈ ⋂₀ S ×ˢ ⋂₀ T


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : ↥(lp E p)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E p)

Context: h : ‖f‖ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E 0)

Context: h : ‖f‖ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: h : ‖f‖ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E p)

Context: h : ‖f‖ = 0

Context: hp : 0 < p.toReal


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K K' : LieSubalgebra R L
h : K ≤ K'

(∃ I, lieIdealSubalgebra R (↥K') I = ofLe h) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K


(∀ (x y : ↥K'), ↑y ∈ K → ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ K) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ K' → y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B

(∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial) → w.GuitartExact


(∀ (X₂ : C₂), (w.structuredArrowDownwards X₂).Initial) → ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: R₃ : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: K₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: V : Type u_9

Context: V₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : Semiring R₂

Context: inst✝⁷ : Semiring R₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹ : Module R₃ M₃

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: τ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: τ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃

Context: f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

Context: h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: R₃ : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: K₂ : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: V : Type u_9

Context: V₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : Semiring R₂

Context: inst✝⁷ : Semiring R₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹ : Module R₃ M₃

Context: τ₁₂ : R →+* R₂

Context: τ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: τ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃

Context: f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

Context: h₁ : f.comp 0 = 0


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0


(weight 1) d ≤ φ.support.sup fun s => ∑ x ∈ s.support, s x


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
h : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support


(d.sum fun i c => c) ≤ φ.support.sup fun s => ∑ x ∈ s.support, s x


Context:
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
hyz : z < y


Context:
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < ↑x
hx1 : ↑x < 1


Context:
y z : ℝ
hyz : z < y
x : ℝ≥0
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : γ → β
l : Filter γ

Tendsto m l (f.lift g) ↔ ∀ s ∈ f, Tendsto m l (g s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄

Disjoint (range (inl R M M₂)) (range (inr R M M₂))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set (Set α)
b : β


(∃ x, (∃ t ∈ s, x ∈ t) ∧ f x = b) ↔ ∃ i ∈ s, ∃ x ∈ i, f x = b


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing K

Context: inst✝⁷ : CommRing L

Context: inst✝⁶ : CommRing M

Context: inst✝⁵ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f✝ : L →+* M

Context: g✝ : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁴ : ExpChar K p

Context: inst✝³ : ExpChar L p

Context: inst✝² : ExpChar M p

Context: inst✝¹ : ExpChar N p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: h : pNilradical M p = ⊥

Context: f g : L →+* M

Context: heq : (fun f => f.comp i) f = (fun f => f.comp i) g

Context: x : L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing K

Context: inst✝⁷ : CommRing L

Context: inst✝⁶ : CommRing M

Context: inst✝⁵ : CommRing N

Context: i : K →+* L

Context: j : K →+* M

Context: k : K →+* N

Context: f✝ : L →+* M

Context: g✝ : L →+* N

Context: p : ℕ

Context: inst✝⁴ : ExpChar K p

Context: inst✝³ : ExpChar L p

Context: inst✝² : ExpChar M p

Context: inst✝¹ : ExpChar N p

Context: inst✝ : IsPRadical i p

Context: h : pNilradical M p = ⊥

Context: f g : L →+* M

Context: x : L

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: hx : i y = x ^ p ^ n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α
x : M
hx : x ≠ 0


(lookup a l).getD 0 = x ↔ x ∈ lookup a l


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
x y : G


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝ : Finite β
f : α → β
H : Injective f


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝ : Finite β
f : α → β
H : Injective f
n : ℕ
e : β ≃ Fin n


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: v : PartialRefinement u s

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier

Context: I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: v : PartialRefinement u s

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier

Context: C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: v : PartialRefinement u s

Context: hs : IsClosed s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier

Context: vi : Set X

Context: ovi : IsOpen vi

Context: hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi

Context: cvi : closure vi ⊆ v.toFun i


Context: q : ℚ

Irrational √↑q ↔ Rat.sqrt q * Rat.sqrt q ≠ q ∧ 0 ≤ q


Context: q : ℚ

¬IsSquare q ∧ 0 ≤ q ↔ (¬∃ q_1, q_1 * q_1 = q) ∧ 0 ≤ q


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : LinearOrder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : LinearOrder M

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
x✝¹ x✝ : V


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : μ s < μ t

∃ x ∈ t, ∃ y ∈ t, ∃ g, g ≠ 1 ∧ g • x = y


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : Group H

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : MulAction H β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝² : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: htm : NullMeasurableSet t μ

Context: ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : Group H

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : MulAction H β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝² : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: htm : NullMeasurableSet t μ

Context: g₁ g₂ : G

Context: hne : g₁ ≠ g₂


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : Group H

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : MulAction H β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝² : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: htm : NullMeasurableSet t μ

Context: g₁ g₂ : G

Context: hne : g₁ ≠ g₂

∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g₁ • t → a ∉ g₂ • t


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : Group H

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : MulAction H β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ

Context: inst✝² : Countable G

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: htm : NullMeasurableSet t μ

Context: g₁ g₂ : G

Context: hne : g₁ ≠ g₂

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: hxy : g₂ • y = g₁ • x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : J⁻¹ * I ≤ J⁻¹ * J


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : ∃ I_1, ↑I_1 = J⁻¹ * I


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Countable α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ✝
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s

(map f p).toMeasure s = p.toMeasure (f ⁻¹' s)


(map f p).toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure (f ⁻¹' s)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂


Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L

covolume L volume = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|


|(Matrix.of ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)).det| = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
x✝ : ι

(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑b) x✝


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : ¬IsUnit p
h : 0 ≥ p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : C (p.coeff 0) ≠ 0
hp : ¬IsUnit (C (p.coeff 0))
h : 0 ≥ p.degree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ s

a ≤ sup fun x => ↑((equivShrink ↑s).symm x)


a = ↑((equivShrink ↑s).symm ((equivShrink ↑s) ⟨a, ha⟩))


Context:
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M

(map f) ((ιMulti R n) m) = (ιMulti R n) (⇑f ∘ m)


(List.map (⇑(map f)) (List.ofFn fun i => (ι R) (m i))).prod = (List.ofFn fun i => (ι R) ((⇑f ∘ m) i)).prod


Context:
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ

(Seq.seq (f <$> a) fun x => b) = (fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b


((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a


((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq ((fun b a => (a, b)) <$> b) fun x => a) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
i : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f ζ ^ l = 1


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f (ζ ^ l) = f 1


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

dist (↑(extChartAt I c) c) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} ‖f‖


IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}


IsClosed ({a | 0 ≤ a} ∩ ⋂ i, {x | ‖f i‖ ≤ x * ‖i‖})


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)

l₁'.length ≤ (a :: l).length ∧ l₂'.length ≤ (a :: l).length


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
fst_eq✝ : a :: l₂ = l₁'
snd_eq✝ : l₁ = l₂'


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
h : (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)
h₁ : l₁.length ≤ l.length
h₂ : l₂.length ≤ l.length

(a :: l₂).length ≤ (a :: l).length ∧ l₁.length ≤ (a :: l).length


Context:
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a x y : G

SemiconjBy a⁻¹ x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a y x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β

Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s ≤ f (cons a s ha)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0

Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X : C

𝟙 X ≫ 𝟙 X = 𝟙 X


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

f = ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f ≫ ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) Y✝).p


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x

DifferentiableWithinAt 𝕜 f (s ∩ t) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsSymm α r


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : T2Space M✝
v✝ : VectorMeasure α M✝
f : ℕ → Set α
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hε : ε ≤ 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : ι → Type u_3
m : (i : ι) → α i → β i

map (fun k i => m i (k i)) (Filter.coprodᵢ f) ≤ Filter.coprodᵢ fun i => map (m i) (f i)


∀ (x : Set ((i : ι) → β i)), (∀ (i : ι), ∃ t₁, m i ⁻¹' t₁ ∈ f i ∧ eval i ⁻¹' t₁ ⊆ x) → ∀ (i : ι), ∃ t₁ ∈ f i, eval i ⁻¹' t₁ ⊆ (fun k i => m i (k i)) ⁻¹' x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N

Context: hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n

Context: a✝ : Nontrivial R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Finset ↥(M ⊓ N)

Context: h : LinearIndependent R fun i => ↑i


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Finset ↥(M ⊓ N)

Context: h : LinearIndependent R fun i => ↑i

Context: hs : ¬s.card ≤ 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Finset ↥(M ⊓ N)

Context: h : LinearIndependent R fun i => ↑i

Context: hs : Nontrivial { x // x ∈ s }


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: s : Finset ↥(M ⊓ N)

Context: h : LinearIndependent R fun i => ↑i

Context: hs : Nontrivial { x // x ∈ s }

Context: a b : { x // x ∈ s }

Context: hab : a ≠ b


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context: b : Ordinal.{u_1}

Context: IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k

Context: a : Ordinal.{u_1}


Context: b : Ordinal.{u_1}

Context: a : Ordinal.{u_1}

Context: h : a < b


Context: a : Ordinal.{u_1}

Context: IH : ∀ k < 0, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k

Context: h : a < 0


Context: a c : Ordinal.{u_1}

Context: IH : ∀ k < succ c, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k

Context: h : a < succ c


Context: b : Ordinal.{u_1}

Context: a : Ordinal.{u_1}

Context: h : a < b

Context: hb : b.IsLimit


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalCommSemiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
B : Matrix m o α
x : n → α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L

(traceForm K L M) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))


∑ c : Weight K L M, (finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑c) • (Weight.toLinear K L M c).smulRight (Weight.toLinear K L M c)) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
χ : Weight K L M
x✝ : χ ∈ Finset.univ

(finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))


↑(finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ)) • χ x • Weight.toLinear K L M χ ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜✝ : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜✝
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜✝ E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜✝ E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
𝕜 : Type u_8
inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜
n : Type u_9
inst✝ : Fintype n
x : EuclideanSpace 𝕜 n


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N

b ≤ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: j : ℕ

Context: hj₁ : j ∈ Set.Icc (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) (upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω)

Context: hj₂ : f j ω ∈ Set.Ici b


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0) → f = 0

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: hfg : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
s : Cone D
j : J

(T.map (t.lift (T.forget.mapCone s)) ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = (s.pt.a ≫ t.lift (T.forget.mapCone s)) ≫ c.π.app j


T.map (T.forget.map (s.π.app j)) ≫ (D.obj j).a = s.pt.a ≫ T.forget.map (s.π.app j)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} J✝

Context: D : J✝ ⥤ T.Algebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: s : Cone D

Context: m : s.pt ⟶ (liftedCone D c t).pt

Context: J : ∀ (j : J✝), m ≫ (liftedCone D c t).π.app j = s.π.app j

m.f = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} J✝

Context: D : J✝ ⥤ T.Algebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: s : Cone D

Context: m : s.pt ⟶ (liftedCone D c t).pt

∀ (j : J✝), m.f ≫ c.π.app j = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f ≫ c.π.app j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} J✝

Context: D : J✝ ⥤ T.Algebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: s : Cone D

Context: m : s.pt ⟶ (liftedCone D c t).pt

Context: j : J✝

m.f ≫ c.π.app j = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f ≫ c.π.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ : Filter α
f : α × α → β
x : Filter α
y : Filter β

Tendsto f (x ×ˢ x) y ↔ ∀ W ∈ y, ∃ U ∈ x, ∀ (x x' : α), x ∈ U → x' ∈ U → f (x, x') ∈ W


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
x : F (Fix F)


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
x : F (Fix F)
this : recF g ∘ fixToW = rec g


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
x : F (Fix F)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a → Fix F
h : repr x = ⟨a, f⟩

recF g (PFunctor.W.mk ((P F).map fixToW ⟨a, f⟩)) = g (rec g <$> x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Lattice α
a b c a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)


Ici a₁ ∩ Iic b₁ ∩ (Ici a₂ ∩ Iic b₂) = Ici a₁ ∩ Ici a₂ ∩ (Iic b₁ ∩ Iic b₂)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : Unique ι
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : α default

x✝ ∈ uniqueElim ⁻¹' univ.pi t ↔ x✝ ∈ t default


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
s : σ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s✝.destruct t✝.destruct

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) s t

Context: h : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) s.destruct t.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: b : Option (β × WSeq β)

LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct) a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s✝ : WSeq α

Context: t✝ : WSeq β

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: b : Option (β × WSeq β)

∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → LiftRel R s t ∨ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
n : ℕ
a : α


((Finset.range n).sup fun c => ↑(if hs : MeasurableSet {a | ennrealRatEmbed c ≤ f a} then piecewise {a | ennrealRatEmbed c ≤ f a} hs (const α (ennrealRatEmbed c)) 0 else 0) a) < ⊤


∀ b ∈ Finset.range n, ↑(if hs : MeasurableSet {a | ennrealRatEmbed b ≤ f a} then piecewise {a | ennrealRatEmbed b ≤ f a} hs (const α (ennrealRatEmbed b)) 0 else 0) a < ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
i : ι


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
i : ι
this : TopologicalAddGroup E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤


eLpNorm' f p.toReal μ ≤ c • eLpNorm' g p.toReal μ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
z : K

spanSingleton R₁⁰ z * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {(sec R₁⁰ z).1} * I = Ideal.span {↑(sec R₁⁰ z).2} * J


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ

((expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).fst = (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hcd : c < d


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b : α
s : Finset α
x : α
h : x ∈ t


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: 𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

Tendsto (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ℱ (𝓝 ((UniformOnFun.ofFun 𝔖) f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: 𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: 𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖

Context: ℱ : Filter ι

Context: f : X → α

Context: φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ₜ (X → α) := Homeomorph.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)


Context: A : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B

Context: T : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T

Context: A' : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: T' : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.20583, u_1} A'

Context: inst✝¹ : Category.{?u.20587, u_2} B'

Context: inst✝ : Category.{?u.20591, u_3} T'

Context: L : A ⥤ T

Context: R : B ⥤ T

Context: L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T

Context: R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T

Context: X Y : Comma L₁ R₁

Context: l : X.left ≅ Y.left

Context: r : X.right ≅ Y.right

Context: h : autoParam (L₁.map l.hom ≫ Y.hom = X.hom ≫ R₁.map r.hom) _auto✝

L₁.map l.inv ≫ X.hom = Y.hom ≫ R₁.map r.inv


Context: A : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B

Context: T : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T

Context: A' : Type u_1

Context: B' : Type u_2

Context: T' : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.20583, u_1} A'

Context: inst✝¹ : Category.{?u.20587, u_2} B'

Context: inst✝ : Category.{?u.20591, u_3} T'

Context: L : A ⥤ T

Context: R : B ⥤ T

Context: L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T

Context: R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T

Context: X Y : Comma L₁ R₁

Context: l : X.left ≅ Y.left

Context: r : X.right ≅ Y.right


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r

(⇑(IsometryEquiv.vaddConst c) ∘ fun x => r • x) '' ball 0 1 = ball c r


ball ((IsometryEquiv.vaddConst c) 0) ‖r‖ = ball c r


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
a b : G
ha : ∀ (n : G), n ∈ s ↔ a * n * a⁻¹ ∈ s
hb : ∀ (n : G), n ∈ s ↔ b * n * b⁻¹ ∈ s
n : G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
a : G
ha : ∀ (n : G), n ∈ s ↔ a * n * a⁻¹ ∈ s
n : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CommGroup β
s : Set α
t u : Finset α
d : ℕ
a : α

¬MulDissociated s ↔ ∃ t u, ↑t ⊆ s ∧ ↑u ⊆ s ∧ Disjoint t u ∧ t ≠ u ∧ ∏ a ∈ t, a = ∏ a ∈ u, a


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a ≤ b
h : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : α →o α

Context: x : α

Context: a b : Ordinal.{u}

Context: h_init : x ≤ f x

Context: h_ab : a ≤ b

Context: h : f (lfpApprox f x a) = lfpApprox f x a


Context:
n : ℕ
n2 : 2 < n


Context: n2 : 2 < 2 ^ 0

4 ∣ 2 ^ 0 ∨ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 2 ^ 0 ∧ Odd p


Context: n2 : 2 < 2 ^ (0 + 1)

4 ∣ 2 ^ (0 + 1) ∨ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 2 ^ (0 + 1) ∧ Odd p


Context:
k : ℕ
n2 : 2 < 2 ^ (k + 1 + 1)

4 ∣ 2 ^ (k + 1 + 1) ∨ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 2 ^ (k + 1 + 1) ∧ Odd p


Context:
n : ℕ
n2 : 2 < n
p : ℕ
hp : Prime p
hdvd : p ∣ n
hodd : Odd p


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
x y : α

(count x) (of y) = Pi.mulSingle x (Multiplicative.ofAdd 1) y


Context:
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ


Context:
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι
this : (-b i).re < 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
x : α
v : m → α
x✝ : m

(v ᵥ* diagonal fun x_1 => x) x✝ = (MulOpposite.op x • v) x✝


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a ≤ b
c : R


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: a b : R

Context: hab : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), b = a + p

Context: c : R

∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star c * b * c = star c * a * c + p


Context: R : Type u

Context: inst✝³ : NonUnitalSemiring R

Context: inst✝² : PartialOrder R

Context: inst✝¹ : StarRing R

Context: inst✝ : StarOrderedRing R

Context: a c p : R

Context: hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

∃ p_1 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star c * (a + p) * c = star c * a * c + p_1


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a c p : R
hp : 0 ≤ p

∃ p_1, 0 ≤ p_1 ∧ star c * (a + p) * c = star c * a * c + p_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
b₁ b₂ : β

op (Multiset.fold op b₁ (Multiset.map f (s₁ ∪ s₂).val)) (Multiset.fold op b₂ (Multiset.map f (s₁ ∩ s₂).val)) = op (Multiset.fold op b₂ (Multiset.map f s₁.val)) (Multiset.fold op b₁ (Multiset.map f s₂.val))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : One β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : ∀ a ∈ frontier s, f a = 1

Context: hf : Continuous f


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]y] ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a b : α
s t u : Multiset α


Context:
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → R
x : M

(∑ᶠ (i : ι), f i) • x = ∑ᶠ (i : ι), f i • x


Context:
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → R

(∑ᶠ (i : ι), f i) • 0 = ∑ᶠ (i : ι), f i • 0


Context:
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → R
x : M
hx : x ≠ 0


Context:
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝¹⁸ : CommSemiring S
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring R'
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Algebra S R
inst✝¹³ : Algebra S R'
inst✝¹² : Module S M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : IsScalarTower S R M
inst✝⁷ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : Module R' M
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' M
inst✝³ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra R' A


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V

∃ f g, X.basicOpen f = X.basicOpen g ∧ x ∈ X.basicOpen f


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V
f : ↑Γ(X, U)
hf₁ : X.basicOpen f ≤ V
hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
hV : IsAffineOpen V
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U ⊓ V
f : ↑Γ(X, U)
hf₁ : X.basicOpen f ≤ V
hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f
g : ↑Γ(X, V)
hg₁ : X.basicOpen g ≤ X.basicOpen f
hg₂ : ↑⟨x, hf₂⟩ ∈ X.basicOpen g


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f✝ : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ U ⊓ V

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: hf₁ : X.basicOpen f ≤ V

Context: hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f

Context: g : ↑Γ(X, V)

Context: hg₁ : X.basicOpen g ≤ X.basicOpen f

Context: hg₂ : ↑⟨x, hf₂⟩ ∈ X.basicOpen g

Context: f' : ↑Γ(X, U)

Context: hf' : X.basicOpen f' = X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE hf₁).op) g)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f✝ : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: hV : IsAffineOpen V

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hx : x ∈ U ⊓ V

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: hf₁ : X.basicOpen f ≤ V

Context: hf₂ : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ X.basicOpen f

Context: g : ↑Γ(X, V)

Context: hg₁ : X.basicOpen g ≤ X.basicOpen f

Context: hg₂ : ↑⟨x, hf₂⟩ ∈ X.basicOpen g

Context: f' : ↑Γ(X, U)

Context: hf' : X.basicOpen f' = X.toRingedSpace.basicOpen g


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup R

Context: norm : R → 𝕜

Context: norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x

Context: norm_mul_le : ∀ (x y : R), norm (x * y) ≤ norm x * norm y

Context: nhds_basis : (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => {x | norm x < ε}


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup R

Context: norm : R → 𝕜

Context: norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x

Context: h0 : ∀ (f : R → R), ∀ c ≥ 0, (∀ (x : R), norm (f x) ≤ c * norm x) → Tendsto f (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup R

Context: norm : R → 𝕜

Context: norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x

Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup R

Context: norm : R → 𝕜

Context: norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x

∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x₀ * x) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: R : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup R

Context: norm : R → 𝕜

Context: norm_nonneg : ∀ (x : R), 0 ≤ norm x

∀ (x₀ : R), Tendsto (fun x => x * x₀) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α

(⨆ i, ⨆ j, f i j).compl = ⨆ i, ⨆ j, (f i j).compl


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u t s s' : Set α


Context:
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
h0 : n = n.minFac * 0


Context:
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
h1 : n = n.minFac * 1


Context:
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
h1 : n = n.minFac


Context:
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : n < 2
h1 : n = n.minFac


Context:
n✝ n : ℕ
pos : 0 < n
np : ¬Prime n
x : ℕ
hx : n = n.minFac * (x + 2)

n.minFac ≤ n.minFac * (x + 2) / n.minFac


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q

Context: e_1✝ : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) = HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)

1 = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * m, num := ⟨(proj 𝒜 m) f ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ m, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q

1 = Localization.mk ↑{ deg := m * m, num := ⟨(proj 𝒜 m) f ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ m, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ⟨↑{ deg := m * m, num := ⟨(proj 𝒜 m) f ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ m, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.den, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q

1 = Localization.mk (↑(((decompose 𝒜) f) m) ^ m) ⟨f ^ m, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: rid : f ∈ asIdeal f_deg hm q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b = a⁻¹ * c


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
p : (ι → ℝ) → Box ι → Prop
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

(∀ J ∈ π.biUnionTagged πi, p ((π.biUnionTagged πi).tag J) J) ↔ ∀ J ∈ π, ∀ J' ∈ πi J, p ((πi J).tag J') J'


(∀ (J : Box ι), (∃ J' ∈ π, J ∈ πi J') → p ((π.biUnionTagged πi).tag J) J) ↔ ∀ J ∈ π, ∀ J' ∈ πi J, p ((πi J).tag J') J'


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C


s \ ⋃₀ ↑I ⊆ s


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬AEMeasurable f μ


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: g'neg : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≤ 0

Context: hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝ : Group G
a b : G

(fun b => b * a) ((fun b => b / a) b) = b


(fun b => b / a) ((fun b => b * a) b) = b


Context: n : ℕ

(fun x => rexp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) =O[𝓝 0] fun x => x ^ n


Context: n : ℕ

Context: this : ((fun x => Complex.exp x - ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i / ↑i !) ∘ Complex.ofReal') =O[𝓝 0] ((fun x => x ^ n) ∘ Complex.ofReal')


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁

Context: T' : Triangle C

Context: φ : (j : J) → T' ⟶ T j

T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ (Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ : Triangle C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: T' : Triangle C

Context: φ : (j : J) → T' ⟶ T j

(T'.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => (φ j).hom₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) = (Pi.lift fun j => (φ j).hom₃) ≫ Pi.map fun j => (T j).mor₃


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
P : Submodule ℕ M
x✝ : P.FG
S : Finset M
hS : span ℕ ↑S = P

AddSubmonoid.closure ↑S = P.toAddSubmonoid


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Semiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: P : Submodule ℕ M

Context: x✝ : P.FG

Context: S : Finset M

Context: hS : AddSubmonoid.closure ↑S = P.toAddSubmonoid


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V


Context:
α✝ : Type u_1
G✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace G✝
inst✝³ : MeasurableInv G✝
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G✝
μ : Measure α
G : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableInv G
f : α → G
h : AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ


f^[n] (f^[minimalPeriod f x] x) = f^[n] x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M


(⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i j : Set α
s : SignedMeasure α

∃ i, MeasurableSet i ∧ restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: hf₂ : Tendsto f atTop (nhds (sInf s.measureOfNegatives))

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB : ∀ (n : ℕ), B n ∈ {B | MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B} ∧ ↑s (B n) = f n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: hB₂ : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A

Context: hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A

Context: hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A

Context: hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A

Context: hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A

Context: hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives

∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ Aᶜ → ↑0 j ≤ ↑s j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A

Context: hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A

Context: hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives

Context: C : Set α

Context: a✝ : MeasurableSet C

Context: hC₁ : C ⊆ Aᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A

Context: hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A

Context: hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives

Context: C : Set α

Context: a✝ : MeasurableSet C

Context: hC₁ : C ⊆ Aᶜ

Context: hC₂ : ↑s C < ↑0 C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A

Context: hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A

Context: hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives

Context: C : Set α

Context: a✝ : MeasurableSet C

Context: hC₁ : C ⊆ Aᶜ

Context: hC₂ : ↑s C < ↑0 C

Context: D : Set α

Context: hD₁ : MeasurableSet D

Context: hD : D ⊆ C

Context: hD₂ : restrict s D ≤ restrict 0 D

Context: hD₃ : ↑s D < 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: s✝ : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: s : SignedMeasure α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: left✝ : Antitone f

Context: B : ℕ → Set α

Context: hB₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)

Context: A : Set α := ⋃ n, B n

Context: hA : A = ⋃ n, B n

Context: hA₁ : MeasurableSet A

Context: hA₂ : restrict s A ≤ restrict 0 A

Context: hA₃ : ↑s A = sInf s.measureOfNegatives

Context: C : Set α

Context: a✝ : MeasurableSet C

Context: hC₁ : C ⊆ Aᶜ

Context: hC₂ : ↑s C < ↑0 C

Context: D : Set α

Context: hD₁ : MeasurableSet D

Context: hD : D ⊆ C

Context: hD₂ : restrict s D ≤ restrict 0 D

Context: hD₃ : ↑s D < 0

Context: this : ↑s (A ∪ D) < sInf s.measureOfNegatives


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹

(starRingEnd 𝕜) (4⁻¹ * (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ - I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖)) = 4⁻¹ * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


4⁻¹ * (starRingEnd 𝕜) (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ - I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) = 4⁻¹ * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)


(starRingEnd 𝕜) (𝓚 ‖y + x‖ * 𝓚 ‖y + x‖ - 𝓚 ‖y - x‖ * 𝓚 ‖y - x‖ + I * 𝓚 ‖I • y + x‖ * 𝓚 ‖I • y + x‖ - I * 𝓚 ‖I • y - x‖ * 𝓚 ‖I • y - x‖) = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖


↑‖y + x‖ * ↑‖y + x‖ - ↑‖y - x‖ * ↑‖y - x‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖


↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ - -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h4 : (starRingEnd 𝕜) 4⁻¹ = 4⁻¹
hI : ¬I = 0
this : ‖I‖ = 1
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖


↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ - -I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖ + -I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖ = 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f g : Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

Context: h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂

∀ x ∈ f.support ∪ g.support, x ∉ f.support → h x (f x) = 1


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f g : Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

Context: f_eq : ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, h i (f i) = f.prod h

∀ x ∈ f.support ∪ g.support, x ∉ g.support → h x (g x) = 1


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f g : Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

Context: g_eq : ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, h i (g i) = g.prod h

∀ x ∈ f.support ∪ g.support, x ∉ (f + g).support → h x ((f + g) x) = 1


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: f g : Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

∏ i ∈ f.support ∪ g.support, h i ((f + g) i) = (∏ i ∈ f.support ∪ g.support, h i (f i)) * ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, h i (g i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A

∫⁻ (x : γ) in A, ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (A ×ˢ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ


ENNReal.ofReal (∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a) = (κ a) (A ×ˢ s)


Integrable (fun x => κ.density ν a x s) ((ν a).restrict A)


0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict A)] fun x => κ.density ν a x s


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: hf : IsCompactOperator ⇑f

Context: this : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: hf : IsCompactOperator ⇑f

Context: this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂

Context: this : UniformAddGroup M₂


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: hf : IsCompactOperator ⇑f

Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 (f 0)