Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: f : j ⟶ i

Context: k : J

Context: f' : k ⟶ i

Context: l : J

Context: g : l ⟶ j

Context: g' : l ⟶ k

Context: he : g ≫ f = g' ≫ f'

Context: x : F.obj l

(F.map g' ≫ F.map f') x ∈ range (F.map f')


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i

Context: v : F

(Z.localTriv i).symm b v = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a✝ b✝ a b c : α

mabs ?m.27534 * mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
x : σ
hx : x ∈ (p + q).vars


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
x : σ
hx : x ∈ (p + q).degrees


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0


0 ≤ ↑n ∧ 0 ≤ x + ↑n ∨ ↑n ≤ 0 ∧ x + ↑n ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
h : n < 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < 0 → 0 ≤ x + ↑0
hnx' : 0 < 0 → x + ↑0 ≤ 0

0 ≤ ↑0 ∧ 0 ≤ x + ↑0 ∨ ↑0 ≤ 0 ∧ x + ↑0 ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
h : 0 < n


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ
x : R

↑((supportedEquivMvPolynomial s).symm (C x)) = ↑((algebraMap R ↥(supported R s)) x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
f : A ≃ₐ[R] S
y : S

y ∈ Subalgebra.map (↑f) (integralClosure R A) ↔ y ∈ integralClosure R S


(∃ x ∈ integralClosure R A, ↑f x = y) ↔ y ∈ integralClosure R S


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
hr : IsUnit r


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
hs : μ s⁻¹ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
b : P

((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p b) w - (s₂.weightedVSubOfPoint p b) (-w) = (s.weightedVSubOfPoint p b) w


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊

Context: hp_top : ¬p = ⊤

Context: hp_zero : ¬p = 0

eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f ⊤ μ * eLpNorm g p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f✝ : α → E

Context: g✝ : α → F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hp_top : ¬p = ⊤

Context: hp_zero : ¬p = 0

(∫⁻ (x : α), ↑‖b (f x) (g x)‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s

f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] g ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g


(∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x) ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: f : α → β

Context: inst✝ : Zero β

Context: g : α → β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g

Context: x : α

Context: hx : s.indicator f x = s.indicator g x


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α

a ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α

𝓤 (Completion α) = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ε}


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f✝ : G →g G'
f : ⊤ →g G'
v w : V
h : f v = f w


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f✝ : G →g G'
f : ⊤ →g G'
v w : V
h : v ≠ w


Context:
m n a✝ b✝ c d : ℕ
co : n.Coprime m
a b z : ℕ
hzan : z ≡ a [MOD n]
hzbm : z ≡ b [MOD m]

z ≡ ↑(chineseRemainder co a b) [MOD n * m]


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
h : I = 0
x : P
hx : x ∈ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
h : p a = 1
a' : α
ha' : a' ∈ p.support
ha : a' ∉ {a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : PMF α

Context: a : α

Context: h : p a = 1

Context: a' : α

Context: ha' : a' ∈ p.support

Context: ha : a' ∉ {a}

Context: this : 0 < ∑' (b : α), if b = a then 0 else p b


Context:
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0

∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)


Context: p q : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hq0 : ↑q ≠ 0

Context: hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card


Context: p q : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hq0 : ↑q ≠ 0

Context: hdisj : Disjoint (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)) (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ))


Context: p q : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hq0 : ↑q ≠ 0

Context: hunion : filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) ∪ filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) = Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ


Context: p q : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hq0 : ↑q ≠ 0


Context:
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x


Context: hS : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ x


Context:
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
y : ℝ
hy : y ∈ S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε

Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε) ↔ δ + ε < dist x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)

Context: hxy : δ + ε ≥ dist x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hxy : ε + δ ≥ dist x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z✝ : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hxy : ε + δ ≥ dist x y

Context: z : E

Context: hxz : dist x z ≤ δ

Context: hzy : dist z y ≤ ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y z✝ : E

Context: δ ε : ℝ

Context: hδ : 0 ≤ δ

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: hxy : ε + δ ≥ dist x y

Context: z : E

Context: hxz : dist z x ≤ δ

Context: hzy : dist z y ≤ ε


Context: a x z✝ z : ℂ


Context:
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π


Context:
a x z : ℂ
hπ : 0 < π


Context:
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0


Context: a x z✝ z : ℂ

Context: hπ : 0 < π

Context: hz : z ≠ 0

Context: N : ℤ

Context: hN : z.arg + N • (2 * π) ∈ Ioc (-π) (-π + 2 * π)


Context:
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π


(↑(abs z) * (cos (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) + sin (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) * I)).arg ∈ Ioc (-π) π


Context: a x z✝ z : ℂ

Context: hπ : 0 < π

Context: hz : z ≠ 0

Context: N : ℤ

Context: hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π

Context: this : (↑(abs z) * (cos ↑(z.arg + ↑N * (2 * π)) + sin ↑(z.arg + ↑N * (2 * π)) * I)).arg = z.arg + ↑N * (2 * π)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
β' : Type u_6
f : β → γ
g : α → β
f' : α → β'
g' : β' → γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)


Context:
l m₂ r m₁ : List Char
s : Substring
h : ValidFor l (m₁.reverse ++ m₂) r s
n : Nat

s.prevn n (s.prev { byteIdx := utf8Len m₁ }) = { byteIdx := utf8Len (List.drop (n + 1) m₁) }


Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : Tendsto f atTop atBot

Context: r : ℝ

Context: hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ b

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ r - 1

Context: hi' : ∀ (a : ℕ), r - 1 < f a → a < i


Context: f : ℕ → ℝ

Context: hf : Tendsto f atTop atBot

Context: r : ℝ

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ r - 1

Context: hi' : ∀ (a : ℕ), r - 1 < f a → a < i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: s : SimpContFract K

Context: n : ℕ

Context: hyp : n = 0 ∨ ¬(↑s).TerminatedAt (n - 1)

((↑s).contsAux n).a * ((↑s).contsAux (n + 1)).b - ((↑s).contsAux n).b * ((↑s).contsAux (n + 1)).a = (-1) ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hl : la.HasBasis pa sa
i j : ι
hi : pa i
hj : pa j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
h : i ≠ j
s : Set (α j)
x : α i

x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' (Sigma.mk j '' s) ↔ x ∈ ∅


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : ReflectsColimit (span f f) F

Context: inst✝ : Epi (F.map f)

Context: this : IsColimit (PushoutCocone.mk (𝟙 (F.obj Y)) (𝟙 (F.obj Y)) ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : ReflectsColimit (span f f) F

Context: inst✝ : Epi (F.map f)

Context: this : IsColimit (PushoutCocone.mk (F.map (𝟙 Y)) (F.map (𝟙 Y)) ⋯)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p

∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : ¬Irreducible ↑p

Context: hpu : ¬IsUnit ↑p

Context: hab : ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b

Context: a b : ℤ[i]

Context: hpab : ↑p = a * b

Context: hau : ¬IsUnit a

Context: hbu : ¬IsUnit b

(norm a).natAbs * (norm b).natAbs = p ^ 2


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : ¬Irreducible ↑p

Context: hpu : ¬IsUnit ↑p

Context: a b : ℤ[i]

Context: hpab : ↑p = a * b

Context: hau : ¬IsUnit a

Context: hbu : ¬IsUnit b

↑((norm a).natAbs * (norm b).natAbs) = norm (a * b)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hpi : ¬Irreducible ↑p

Context: hpu : ¬IsUnit ↑p

Context: a b : ℤ[i]

Context: hpab : ↑p = a * b

Context: hau : ¬IsUnit a

Context: hbu : ¬IsUnit b

Context: hnap : (norm a).natAbs = p


Context:
n✝ n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
x✝ : ℕ
k : ℕ := x✝
i : ℕ
e : x✝ = 2 * i + 3
a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ∣ n → x✝ ≤ m
h : ¬n < k * k

Nat.minFacProp n (if n < x✝ * x✝ then n else if x✝ ∣ n then x✝ else n.minFacAux (x✝ + 2))


Context:
n✝ n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
x✝ : ℕ
k : ℕ := x✝
i : ℕ
e : x✝ = 2 * i + 3
a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ∣ n → x✝ ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n

p.succAbove i.rev = (p.rev.succAbove i).rev


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}

∀ (hr : o < type r) (hs : o < type s), f (enum r o hr) = enum s o hs


∀ (α_1 : Type u) (r_1 : α_1 → α_1 → Prop) [inst : IsWellOrder α_1 r_1] (hr : type r_1 < type r) (hs : type r_1 < type s), f (enum r (type r_1) hr) = enum s (type r_1) hs


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ✝ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ✝ → γ✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
γ : Type u
t : γ → γ → Prop
wo : IsWellOrder γ t
g : t ≺i r
h : t ≺i s

f (enum r (type t) ⋯) = enum s (type t) ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a✝ a : ℕ → E


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A B : C
f : A ⟶ B

∀ {X Y : Subobject B}, X.Factors f ∧ Y.Factors f → (X ⊓ Y).Factors f


∀ (a₁ a₂ : MonoOver B), Factors (Quotient.mk'' a₁) f ∧ Factors (Quotient.mk'' a₂) f → (Quotient.mk'' a₁ ⊓ Quotient.mk'' a₂).Factors f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : AdicCompletion I M → Prop

Context: x : AdicCompletion I M

Context: h : ∀ (f : AdicCauchySequence I M), p ((mk I M) f)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : AdicCompletion I M → Prop

Context: f : AdicCauchySequence I M


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R

(iterateFrobenius R p (m * n)) x = (⇑(iterateFrobenius R p m))^[n] x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

(eval r) ((comp p) q) = (eval (Polynomial.eval r p)) q


(eval r ∘ₗ comp p) q = (eval (Polynomial.eval r p)) q


(eval r ∘ₗ comp p) 0 = (eval (Polynomial.eval r p)) 0


∀ (f g : PolynomialModule R M), (eval r ∘ₗ comp p) f = (eval (Polynomial.eval r p)) f → (eval r ∘ₗ comp p) g = (eval (Polynomial.eval r p)) g → (eval r ∘ₗ comp p) (f + g) = (eval (Polynomial.eval r p)) (f + g)


∀ (a : ℕ) (b : M), (eval r ∘ₗ comp p) ((single R a) b) = (eval (Polynomial.eval r p)) ((single R a) b)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ


(∃ xs, (List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ (List.map (fun ij => ∼((var ∘ Sum.inr) ij.1 =' (var ∘ Sum.inr) ij.2)) (List.filter (fun ij => decide (ij.1 ≠ ij.2)) (List.finRange n ×ˢ List.finRange n)))).Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)


(∃ xs, ∀ φ ∈ List.map (fun ij => ∼((var ∘ Sum.inr) ij.1 =' (var ∘ Sum.inr) ij.2)) (List.filter (fun ij => decide (ij.1 ≠ ij.2)) (List.finRange n ×ˢ List.finRange n)), φ.Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)


(∃ xs, ∀ (φ : L.BoundedFormula Empty n) (x x_1 : Fin n), (decide ¬x = x_1) = true → ∼(var (Sum.inr x) =' var (Sum.inr x_1)) = φ → φ.Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Even b


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℕ

a ^ (n % minimalPeriod (fun x => a • x) b) • b = a ^ n • b


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
s : Set G.Subgraph
G' : G.Subgraph
hG' : G' ∈ s


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ

↑x ≤ 0 ↔ x ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t

(Ico s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s✝ t✝ : Set α
f✝ g✝ : α → G
a : α
g : G → β
hg : ∀ (x : G), g x⁻¹ = g x
s t : Set α
f : α → G
x : α

g ((s ∆ t).mulIndicator f x) = g (s.mulIndicator f x / t.mulIndicator f x)


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : j ⟶ i
f' : j' ⟶ i
K : C
G : K ⟶ j
G' : K ⟶ j'
h✝ : True
k : C
e : k ⟶ K
he : e ≫ G ≫ f = e ≫ G' ≫ f'


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
t : Finset α
f : α → Finset β

Disjoint s (t.biUnion f) ↔ ∀ i ∈ t, Disjoint s (f i)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : Integrable f μ


Context:
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d

(↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (a + b) = (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a + (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun b


↑a.re + ↑b.re + (↑a.im + ↑b.im) * ↑r = ↑a.re + ↑a.im * ↑r + (↑b.re + ↑b.im * ↑r)


Context: R : Type

Context: inst✝ : CommRing R

Context: d : ℤ

Context: r : { r // r * r = ↑d }

Context: a b : ℤ√d

Context: this : (↑a.re + ↑a.im * ↑r) * (↑b.re + ↑b.im * ↑r) = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * (↑r * ↑r)

{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun (a * b) = { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun a * { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun b


Context: R : Type

Context: inst✝ : CommRing R

Context: d : ℤ

Context: r : { r // r * r = ↑d }

Context: a b : ℤ√d

↑a.re * ↑b.re + ↑d * ↑a.im * ↑b.im + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * ↑d


Context:
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
f : ℤ√d →+* R


(fun r => { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }) ((fun f => ⟨f sqrtd, ⋯⟩) f) = f


((fun r => { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }) ((fun f => ⟨f sqrtd, ⋯⟩) f)) sqrtd = f sqrtd


Context:
l m✝ n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : AddCommMonoid α
m : ℕ
a b : Fin m → α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
y : ↥M
w z₁ z₂ : P

w * ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).restrict M) h) y)⁻¹ + z₁ = z₂ ↔ w + g ↑y * z₁ = g ↑y * z₂


w + ((↑g).restrict M) y * z₁ = ((↑g).restrict M) y * z₂ ↔ w + g ↑y * z₁ = g ↑y * z₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

μ.withDensityᵥ (f - g) = μ.withDensityᵥ f - μ.withDensityᵥ g


Context: m n a b : ℕ


Context:
α : Sort u_1
A : Sort u_2
B : Sort u_3
inst✝¹ : Unique A
inst✝ : Unique B
f : A → B


∃ g, Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype

(convexHull R) s = ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex R ↑s


(convexHull R) s = (convexHull R) (range (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) ∘ fun i j => if i = j then 1 else 0))


s = range fun x => (∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x = j then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
x✝ : ↑s

((∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x✝ = j then 1 else 0) = ↑x✝


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x


μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x

Context: hf_eq : ∀ (i : ι), f i =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk (f i) ⋯


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x

Context: hf_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i a = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M

Function.Injective ⇑(quotientInfToSupQuotient p p')


ker (subToSupQuotient p p') ≤ comap p.subtype (p ⊓ p')


comap (inclusion ⋯) (comap (p ⊔ p').subtype p') ≤ comap p.subtype (p ⊓ p')


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U

adjoint (orthogonalProjection U) = U.subtypeL


Context: ι : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLattice G

Context: inst✝¹ : CovariantClass G G (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → G

Context: hf : BddBelow (range f)

Context: a : G


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M

(fun x => 0) ({ toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun m) = m


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Semiring R✝

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M✝

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁴ : Module R✝ N

Context: R : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : Subsingleton R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: m : M

Context: this : Subsingleton M := Module.subsingleton R M


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : ι →₀ R

{ toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun x => 0) f) = f


Context:
p : ℕ
w : 1 < p

sZMod p (p - 2) = 0 ↔ sMod p (p - 2) = 0


Context:
p : ℕ
w : 1 < p

↑(sMod p (p - 2)) = 0 ↔ sMod p (p - 2) = 0


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : M →* N

Context: hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1

Context: g : α → M

Context: hg : ¬(mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite

f (∏ᶠ (i : α), g i) = ∏ᶠ (i : α), f (g i)


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : M →* N

Context: hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1

Context: g : α → M

¬(mulSupport ((fun i => f (g i)) ∘ PLift.down)).Finite


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : M →* N

Context: hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1

Context: g : α → M

¬(mulSupport ((fun i => g i) ∘ PLift.down)).Finite


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R

(optionEquivLeft R S₁) (X none) = Polynomial.X


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α

∃! x, b + (Equiv.addRight 1) x • a ∈ Ioc c (c + a)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

(↑(quotKerTotalEquiv R S).symm).compDer (D R S) = derivationQuotKerTotal R S


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s t : Multiset α


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

↑((orthogonalProjection s) ↑((orthogonalProjection s) p)) = ↑((orthogonalProjection s) p)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : HasGroupoid M' G'

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: hf : f ∈ maximalAtlas M' G'

Context: h : LiftPropOn P g s

Context: y : H

Context: hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ g ⁻¹' f.source)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : HasGroupoid M' G'

Context: he : e ∈ maximalAtlas M G

Context: hf : f ∈ maximalAtlas M' G'

Context: h : LiftPropOn P g s

Context: y : H


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset κ
i : ι
x : κ
hx : x ∈ s

∏ j ∈ univ.erase i, s.card = s.card ^ (card ι - 1)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : M → Prop

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, p i

Context: hp : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, C x

Context: h0 : C 0

Context: hadd : ∀ (x y : M), C x → C y → C (x + y)


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : M → Prop

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid

Context: hp : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, C x

Context: h0 : C 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2

∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: n : ℕ

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: n : ℕ

Context: i : α

Context: h₁ : 0 ≤ b i


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a : α i
ha : a ∈ s i

(filter (fun f => f i = a) (piFinset s)).card = ∏ j ∈ univ.erase i, (s j).card


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.1345, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra S A
r : R

(algebraMap R (A ⊗[R] B)) r = 1 ⊗ₜ[R] (algebraMap R B) r


Context:
k : ℕ
IH : multichoose 1 k = 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Module S M
r : R
s : S
x : M

(addEquiv R S M).symm ((r • s) • x) = r • (addEquiv R S M).symm (s • x)


(addEquiv R S M).symm ((algebraMap R S) r • s • x) = r • (addEquiv R S M).symm (s • x)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 ≤ a
h₁ : a < 1
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R →₀ ℤ

count K v (exps.prod fun x x_1 => ↑x.asIdeal ^ x_1) = exps v


∑ i ∈ exps.support, count K v (↑i.asIdeal ^ exps i) = exps v


∀ i ∈ exps.support, ↑i.asIdeal ^ exps i ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : (comap m g).NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : comap m g ≠ ⊥


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : g = ⊥


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

Context: hc : Continuous fun u => u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * cos x ^ (2 * n + 1) = ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * (1 - sin x ^ 2) ^ n * cos x


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * ((cos x * cos x) ^ n * cos x) = ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * ((1 - sin x * sin x) ^ n * cos x)


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

Context: x✝ : ℝ


Context: a b : ℝ

Context: n✝ m n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ m * (1 - sin x ^ 2) ^ n * cos x = ∫ (u : ℝ) in sin a..sin b, u ^ m * (1 - u ^ 2) ^ n


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a : M
b c : ↥S


Context:
m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i : Fin m


Context:
m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i : Fin m
h₁ : a i < Nat.supOfSeq a


Context: m : ℕ

Context: a : Fin m → ℕ

Context: i : Fin m

Context: h₁ : a i < Nat.supOfSeq a

Context: h₂ : Nat.supOfSeq a ≤ (↑i + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : ℕ → Set X
hs : ∀ (n : ℕ), IsMeagre (s n)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
n : PosNum


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s


Memℒp (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) p μ


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
i : ι
x✝ : i ∈ s
ω : ι
hω : ω ∈ Set.range τ


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card α = p


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card α = p
g : α
hg : g ≠ 1


Context:
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
w✝ : ℕ
hm : n * w✝ ≠ 0


Context:
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
w✝ : ℕ
hm : n ≠ 0 ∧ w✝ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F

setToSimpleFunc (T + T') f = setToSimpleFunc T f + setToSimpleFunc T' f


∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x


∑ x ∈ f.range, (⇑(T (↑f ⁻¹' {x})) + ⇑(T' (↑f ⁻¹' {x}))) x = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x ∈ f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: h : ∀ (x : α), (connectedComponent x).Subsingleton

Context: s : Set α

Context: s_sub : s ⊆ univ

Context: hs : IsPreconnected s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: s_sub : ∅ ⊆ univ

Context: hs : IsPreconnected ∅


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v : Set α

Context: s : Set α

Context: s_sub : s ⊆ univ

Context: hs : IsPreconnected s

Context: x : α

Context: x_in : x ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
hb : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

∃ f, StrictMono f ∧ ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < b n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : ℕ → α

Context: hu : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (u m) (u n) < ε

Context: b : ℕ → ℝ

Context: hb : ∀ (n : ℕ), 0 < b n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : Nonempty β

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : ℕ → α

Context: b : ℕ → ℝ

Context: hb : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

Context: hu' : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ≥ n, dist (u m) (u n) < b k


Context:
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hus : u ⊆ s
hut : u ⊆ t

{ ofColex := s \ u } ≤ { ofColex := t \ u } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι → 𝕜
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s

⟪∑ i ∈ s, l i • v i, v i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (l i)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp E 2 μ)


(eLpNorm (↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f)) 2 μ).toReal ≤ (eLpNorm (↑↑f) 2 μ).toReal


eLpNorm (↑↑↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f)) 2 μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C

DominatedFinMeasAdditive μ T (c.toReal * C)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: hcμs : c • μ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: hcμs : c * μ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: hcμs : c * μ s ≠ ⊤

Context: hT : FinMeasAdditive (c • μ) T ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c * μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (c.toReal * (μ s).toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup β

Context: T T' : Set α → β

Context: C C' : ℝ

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc_ne_top : c ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

Context: hcμs : c * μ s ≠ ⊤

C * (c.toReal * (μ s).toReal) = c.toReal * C * (μ s).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α

(∀ (n : ℕ), μ (s ∩ spanningSets μ n) = 0) ↔ μ s = 0


(∀ (n : ℕ), μ (s ∩ spanningSets μ n) = 0) ↔ μ (⋃ n, s ∩ spanningSets μ n) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : r ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g''✝ : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : ℕ → E
g'' : ℕ → E''
h : f =O[atTop] g''


Context: a b : Cardinal.{u_1}


Context: b : Cardinal.{u_1}


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0


Context:
a : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
ha : ℵ₀ ≤ a


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
ha : a < ℵ₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : Part α


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ
hr : 0 < r
A : Matrix m n α

‖A‖ < r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ < r


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set α
tfin : t.Finite
h : t ⊆ ⋃ i, s i
I : Set ι
Ifin : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
x : α


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f g : α → β

Context: comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)

Context: comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)

Context: comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ↑s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ↑s

Context: h : x ≠ y


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f g : α → β

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ↑s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ ↑s

Context: h : x ≠ y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
this : Countable ↑S


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g : ArithmeticFunction R
h : ArithmeticFunction M
n : ℕ


∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal.sigma fun a => a.1.divisorsAntidiagonal, f x.snd.1 • g x.snd.2 • h x.fst.2 = ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal.sigma fun a => a.2.divisorsAntidiagonal, f x.fst.1 • g x.snd.1 • h x.snd.2


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true

∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁✝ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
π₁ : Prepartition I
hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion
hc : π₁.distortion ≤ c


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I

Context: l l₁ l₂ : IntegrationParams

Context: hπ : l.MemBaseSet I c r π

Context: p : Box ι → Prop

Context: hD : l.bDistortion = true

Context: π₁ : Prepartition I

Context: hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion

Context: hc : π₁.distortion ≤ c

Context: π₂ : TaggedPrepartition I := π.filter fun J => ¬p J


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: π π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I

Context: l l₁ l₂ : IntegrationParams

Context: hπ : l.MemBaseSet I c r π

Context: p : Box ι → Prop

Context: hD : l.bDistortion = true

Context: π₁ : Prepartition I

Context: hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion

Context: hc : π₁.distortion ≤ c

Context: this : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)

Context: μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)

Context: μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝

Context: associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝

Context: left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝

Context: right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: X' : C

{ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X' ≫ μ Y✝ X' = μ X✝ X' ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (f ▷ X')


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)

Context: X✝ Y✝ X' : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

{ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X' ◁ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f ≫ μ X' Y✝ = μ X' X✝ ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (X' ◁ f)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)

Context: X Y Z : C

μ X Y ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Z ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (α_ X Y Z).hom = (α_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X) ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Y) ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Z)).hom ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ◁ μ Y Z ≫ μ X (Y ⊗ Z)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)

Context: X : C

(λ_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X)).hom = ε ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (λ_ X).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : MonoidalCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)

Context: X : C

(ρ_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X)).hom = { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ◁ ε ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (ρ_ X).hom


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A : C

Context: U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

Context: h : p₀ ∈ unop V

(if p₀ ∈ unop U then A else ⊤_ C) = if p₀ ∈ unop V then A else ⊤_ C


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) (κ a)

∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (b : β) in Set.univ, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
k : Set α
h : mulSupport f ⊆ k

range f = f '' k ∨ range f = insert 1 (f '' k)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ

Context: hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ

Context: hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(f - g)) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : ↥(Lp E' p μ)

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hfg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(f - g)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ


Context: x : ℝ


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det

Context: c : Fin n → R

Context: hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j

Context: M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)

Context: hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)

Context: hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → update c k 0 i = 0


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M' i.succ j = N i.succ j + update c k 0 i * M' i.castSucc j


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

Context: i : Fin n

Context: j : Fin n.succ

M' i.succ j = N i.succ j + update c k 0 i * M' i.castSucc j


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

Context: i : Fin n

Context: j : Fin n.succ

M' i.succ j = N i.succ j + (if i = k then 0 else c i) * M' i.castSucc j


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

Context: i : Fin n

Context: j : Fin n.succ

Context: hik : ¬i = k

M' i.succ j = N i.succ j + c i * M' i.castSucc j


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

Context: i : Fin n

Context: j : Fin n.succ

Context: hik : ¬i = k

N i.succ j + c i * M i.castSucc j = N i.succ j + c i * M.updateRow k.succ (N k.succ) i.castSucc j


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k✝ : Fin (n + 1)

Context: k : Fin n

Context: c : Fin n → R

Context: h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j

Context: k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ

Context: M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc

Context: i : Fin n

Context: j : Fin n.succ

Context: hik : ¬i = k

Context: hik2 : ¬k < i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝¹³ : StarRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁸ : Ring A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SMul S R

Context: inst✝³ : ContinuousConstSMul S R

Context: inst✝² : SMulZeroClass S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower S R A

Context: inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)

Context: s : S

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β

∏ i : Fin (n + 1), f i = (∏ i : Fin n, f i.castSucc) * f (last n)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.189232, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'

δ n m (α.comp (inl φ) ⋯ + β.comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) = -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β + α.comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯


α.comp ((Cochain.ofHom φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) ⋯ + -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ = -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + ((δ n m β).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ + α.comp ((Cochain.ofHom φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : 0 < b


Context: α : Type u_1


Context: α : Type u_1

(match (motive := Bool → Num → Num) true with | true => Num.bit1 | false => Num.bit0) 0 = 1


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.FiniteIndex
g : G


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

Eₘ[univ, t] = Fintype.card α * t.card ^ 2


(filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (univ ×ˢ t ×ˢ t).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)

(filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (image f (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)

Context: a : (α × α) × α × α

a ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t) ↔ a ∈ image f (univ ×ˢ t ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)

Context: a : (α × α) × α × α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s t : Finset α

Context: this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)

Context: b c d : α

Context: hcd : c ∈ t ∧ d ∈ t


Context:
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens


Context:
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen (f ''ᵁ U)

Set.range ⇑(X.ofRestrict ⋯ ≫ f).val.base = Set.range ⇑(Y.ofRestrict ⋯).val.base


IsIso (IsOpenImmersion.isoOfRangeEq (X.ofRestrict ⋯ ≫ f) (Y.ofRestrict ⋯) ?refine_1).hom


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f'✝ : M →ₗ[R] M₁
g g'✝ : M₁ →ₗ[R] M
f' : M₁ →ₗ[R] M₂
g' : M₂ →ₗ[R] M₁
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
x✝¹ : M
x✝ : M₂

(B'' ((f' ∘ₗ f) x✝¹)) x✝ = (B x✝¹) ((g ∘ₗ g') x✝)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G


Inseparable ((Homeomorph.mulRight y⁻¹) x) ((Homeomorph.mulRight y⁻¹) y) ↔ Inseparable (x / y) 1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Sort u_2

Context: ι' : Sort u_3

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: Ixx : α → α → Set α

Context: p : α → α → Prop

Context: Hne : ∀ {a b : α}, (Ixx a b).Nonempty → p a b

Context: Hi : ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Ixx a₁ b₁ ∩ Ixx a₂ b₂ = Ixx (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)

Context: s t : Set α

Context: l₁ : α

Context: hls₁ : l₁ ∈ s

Context: u₁ : α

Context: hut₁ : u₁ ∈ t

Context: left✝¹ : p l₁ u₁

Context: l₂ : α

Context: hls₂ : l₂ ∈ s

Context: u₂ : α

Context: hut₂ : u₂ ∈ t

Context: left✝ : p l₂ u₂

(Ixx (max l₁ l₂) (min u₁ u₂)).Nonempty → Ixx (max l₁ l₂) (min u₁ u₂) ∈ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, p l u ∧ Ixx l u = S}


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α

x ≤ y ↔ TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
h : TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M

Realize (Formula.iExs f φ) v v' ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Realize (Formula.iExs f φ) v v' = (Formula.iExs f φ).Realize v


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
w : IsIso f → False


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
m M N : ℕ
i : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)

i ∈ compPartialSumSource m M N ↔ (m ≤ i.fst ∧ i.fst < M) ∧ ∀ (a : Fin i.fst), 1 ≤ i.snd a ∧ i.snd a < N


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ 𝓒 u v s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a

compress u v a ∈ s ∧ compress u v (compress u v a) ∈ s ∨ compress u v a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = compress u v a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

compress u v a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ compress u v a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = compress u v a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M


Context:
K✝ : Type uK
inst✝⁸ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K✝ V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K (Dual K V)
inst✝ : FiniteDimensional K V

Submodule.map (Dual.eval K V) (Submodule.dualCoannihilator W) = Submodule.dualAnnihilator W


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 < f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
v : ι → M
i j : ι
i_ne_j : i ≠ j
hv : v i = v j

(∑ σ : Perm ι, Perm.sign σ • domDomCongr σ m) v = 0


∑ a : Perm ι, (Perm.sign a • domDomCongr a m) v = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
ha : ¬a = 0


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: a : Cardinal.{u}

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i

Context: h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) = a


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: a : Cardinal.{u}

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) = a


Context:
x : ℝ
lx : Liouville x
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
ef0 : (aeval x) f = 0


Context: x : ℝ

Context: lx : Liouville x

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: ef0 : eval x (map (algebraMap ℤ ℝ) f) = 0


Context: x : ℝ

Context: lx : Liouville x

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: hA : 0 < A

Context: h : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|x - ↑a / (↑b + 1)| * A)


Context: x : ℝ

Context: lx : Liouville x

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: hA : 0 < A

Context: r : ℕ

Context: hn : A < (1 + 1) ^ r


Context: x : ℝ

Context: lx : Liouville x

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: hA : 0 < A

Context: r : ℕ

Context: hn : A < (1 + 1) ^ r

Context: a b : ℤ

Context: b1 : 1 < b

Context: a1 : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (r + f.natDegree)


Context: x : ℝ

Context: lx : Liouville x

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: hA : 0 < A

Context: r : ℕ

Context: hn : A < (1 + 1) ^ r

Context: a b : ℤ

Context: b1 : 1 < b

Context: b0 : 0 < ↑b


Context: x : ℝ

Context: lx : Liouville x

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: hA : 0 < A

Context: r : ℕ

Context: hn : A < (1 + 1) ^ r

Context: a b : ℤ

Context: b1 : 1 < b

Context: b0 : 0 < ↑b

↑b ^ f.natDegree * |x - ↑a / ↑b| < ↑b ^ f.natDegree * |x - ↑a / ↑b|


Context: x : ℝ

Context: lx : Liouville x

Context: f : ℤ[X]

Context: f0 : f ≠ 0

Context: A : ℝ

Context: hA : 0 < A

Context: r : ℕ

Context: hn : A < (1 + 1) ^ r

Context: a b : ℤ

Context: b1 : 1 < b

Context: a1 : ↑b ^ r * (↑b ^ f.natDegree * |x - ↑a / ↑b|) < 1

Context: b0 : 0 < ↑b


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N

Independent p ↔ ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0


(∀ (i : ι), ∀ x ∈ p i, ∀ (x_1 : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i x_1) = x → x = 0) ↔ ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
i : ι

(∀ (x : ↥(p i)) (x_1 : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i x_1) = ↑x → ↑x = 0) ↔ ∀ (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

(monomial s) a = C a * s.prod fun n e => X n ^ e


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: m : ℕ

Context: hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x

Context: n : ℕ

Context: hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (m + n) • (f • g) z) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: g : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: m : ℕ

Context: n : ℕ

Context: z : 𝕜

(z - x) ^ (m + n) • (f • g) z = ((z - x) ^ m • f z) • (z - x) ^ n • g z


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α

(∏ x ∈ Iio a, f x) * f a = ∏ x ∈ Iic a, f x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
h : (p + q).natDegree ≤ n


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m✝ n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n
h : (p + q).natDegree ≤ n
m : ℕ
hm : n < m


Context:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Nontrivial R
x y : R[X]
h : x * 0 + y * derivative 0 = 1


Context: z : ℂ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R

W'.Nonsingular P ↔ W'.Equation P ∧ (W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) ≠ 0 ∨ 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 ≠ 0 ∨ W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 - (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) ≠ 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) ↑i) a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hX : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (X i) ℙ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: A : ∀ (i : ℝ), StronglyMeasurable ((Set.Ioc (-i) i).indicator id)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation (X n) ↑n

Context: S : ℕ → Ω → ℝ := fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

∀ᵐ (ω : Ω), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (range ⌊c ^ n⌋₊).sum Y a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

Context: u_mono : Monotone u


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

Context: u_mono : Monotone u

Context: I1 : ∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * variance (Y j) ℙ ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X 0 a


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

Context: u_mono : Monotone u

Context: C : ℝ := c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 * (2 * ∫ (a : Ω), X 0 a)

Context: I2 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, (↑(u i) ^ 2)⁻¹ * variance (S (u i)) ℙ ≤ C

Context: I3 : ∀ (N : ℕ), ∑ i ∈ range N, ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} ≤ ENNReal.ofReal (ε⁻¹ ^ 2 * C)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

Context: u_mono : Monotone u

Context: I4 : ∑' (i : ℕ), ℙ {ω | ↑(u i) * ε ≤ |S (u i) ω - ∫ (a : Ω), S (u i) a|} < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

Context: u_mono : Monotone u

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬↑(u n) * ε ≤ |S (u n) ω - ∫ (a : Ω), S (u n) a|

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ∫ (a : Ω), (range ⌊c ^ n⌋₊).sum Y a| < ε * ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

Context: u_mono : Monotone u

Context: ω : Ω

Context: hω : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |∑ c ∈ range (u n), Y c ω - ∫ (a : Ω), ∑ c ∈ range (u n), Y c a| < ε * ↑(u n)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: c_pos : 0 < c

Context: hS : S = fun n => ∑ i ∈ range n, Y i

Context: u : ℕ → ℕ := fun n => ⌊c ^ n⌋₊

Context: u_mono : Monotone u

Context: ω : Ω

Context: x✝¹ : ℕ

Context: x✝ : Ω

(range ⌊c ^ x✝¹⌋₊).sum Y x✝ = ∑ c ∈ range (u x✝¹), Y c x✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P

Context: I : Finset ι


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Group M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
hb : b ∈ S.centralizer


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hf' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Iic t) t

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hg' : ∀ t ∈ Ioc a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Iic t) t

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

Context: hv' : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (Neg.neg ∘ v (-t)) (s (-t))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

Context: hmt1 : MapsTo Neg.neg (Icc (-b) (-a)) (Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

Context: hmt2 : MapsTo Neg.neg (Ico (-b) (-a)) (Ioc a b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

Context: hmt3 : ∀ (t : ℝ), MapsTo Neg.neg (Ici t) (Iic (-t))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: v : ℝ → E → E

Context: s : ℝ → Set E

Context: K : ℝ≥0

Context: f g f' g' : ℝ → E

Context: a b t₀ εf εg δ : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfs : ∀ t ∈ Ioc a b, f t ∈ s t

Context: hg : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hgs : ∀ t ∈ Ioc a b, g t ∈ s t

Context: hb : f b = g b

EqOn (f ∘ Neg.neg) (g ∘ Neg.neg) (Icc (-b) (-a))