Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι✝
inst✝⁵ : Fintype ι✝
e : Basis ι✝ R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → A) →ₗ[A] ι → A


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J

⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i) ≤ ⨅ i ∈ J, ker (proj i)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I

comap (stdBasis R φ i) (⨅ i ∈ J, ker (proj i)) = ⊤


∀ ⦃x : φ i⦄, x ∈ ⊤ → ∀ i_1 ∈ J, (proj i_1 ∘ₗ stdBasis R φ i) x = 0


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I
b : φ i
j : ι
hj : j ∈ J


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
j : ι
hj : j ∈ J
hi : j ∈ I
b : φ j


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0

∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = -(s.weightedVSub p₂) w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
x' : β
hx : x' ∈ ↑t
y' : β
hy : y' ∈ ↑t
hne : x' ≠ y'

(Disjoint on fun a => filter (fun x => f x = a) s) x' y'


∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s ∧ f a = x' → ¬(a ∈ s ∧ f a = y')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hp : MeasurableSet p.support

p.toMeasure (s ∩ p.support) = p.toMeasure s


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : Subfield E
HF : Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K
HS : S ⊆ ↑K


Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K ∧ S ⊆ ↑K


Context: m c : ℤ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F

↑(mrange f) = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β

Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ) = μ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
x : α

x ∈ {a | IsAtom a} ↔ x ∈ {a | IsAtom a ∧ a ≤ ⊤}


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

(-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖))


(-o).oangle y (y + x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y + x‖))


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' n'' : ℤ
hn' : n' + a = n
hn'' : n + a = n''

(γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn' = a.negOnePow • (γ.leftShift a n'' hn'').rightShift a n hn''


Context:
a b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
b : ℕ
hb2 : b + 2 > 1


Context:
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y

(⨅ p, dist x (Φ p) + dist z (Ψ p)) + ε ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ε + dist y z


⨅ p, dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + dist y z


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z

0 ∈ lowerBounds (range fun p => dist x (Φ p) + dist z (Ψ p))


dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + dist y z


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

Context: _wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

Context: this : (if hq : q.Monic then ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 else p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < q.degree

(if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p).degree < q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

Context: this : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2.degree < q.degree

(if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2.degree < q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

(C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2).2.degree < q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)

¬q.degree ≤ p.degree → (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p).degree < q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)

¬q.degree ≤ p.degree → (0, p).2.degree < q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)

Context: hp : ¬p ≠ 0


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
x : F α
p : α → Prop


(∃ a f, abs (repr x) = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) ↔ ∀ u ∈ supp (abs (repr x)), p u


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
x : F α
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h' : ∀ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩), p u
i : (P F).B a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hmn : m + 1 ≤ n

ContMDiff I.tangent I'.tangent m (tangentMap I I' f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
hmn : m + 1 ≤ n

ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMap I I' f) univ


tangentMap I I' f = tangentMapWithin I I' f univ


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[≠] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[≠] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[≠] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l

Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

ContinuousAt (↑e.symm) x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e.symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

Context: mem : ↑I x ∈ ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

Context: this : e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x) ∈ contDiffGroupoid ⊤ I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

Context: A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

Context: B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ ↑(e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ chartAt H (↑e.symm x)).source ∩ range ↑I) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

Context: B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑(chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' (chartAt H (↑e.symm x)).source) ∩ range ↑I) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

Context: B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑(chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : H

Context: hx : x ∈ e.target

Context: B : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑(chartAt H (↑e.symm x)) ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I ∩ (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' (chartAt H (↑e.symm x)).source))) (↑I x)

↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' (chartAt H (↑e.symm x)).source) ∈ 𝓝 (↑I x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₀ : StarConvex ℝ 0 s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ a • s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x : E

Context: a : ℝ

Context: hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s

Context: hs₂ : Absorbs ℝ s {x}

Context: hx : x ∉ a • s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x : E

Context: a : ℝ

Context: hs₂ : Absorbs ℝ s {x}

Context: hx : x ∉ a • s

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {x} ⊆ c • s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: a : ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: x : E

Context: hx' : x ∈ s

Context: hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}

Context: hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s

Context: h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x => b • x) x} ⊆ c • s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: a : ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: x : E

Context: hx' : x ∈ s

Context: hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x => b • x) x}

Context: hx : (fun x => b • x) x ∉ a • s

Context: hba : b < a


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

⇑(Pretrivialization.linearMapAt R e b) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n = riemannZeta s


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: hsum : Summable fun n => ‖(riemannZetaSummandHom ⋯) n‖


Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

∑' (b : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) (b + 1) = ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S


(univ ℤ n).coeff (univ ℤ n).natDegree = 1


Context:
θ ψ : Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ


Context:
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p₀ p₁ : P1
c : k

f ((lineMap p₀ p₁) c) = (lineMap (f p₀) (f p₁)) c


Context:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y


Context:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y

lift (F.map f) (F.map g) ≫ (F.mapBiprod X Y).inv = F.map (lift f g)


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: x : M

∀ (n : N) (a : α), 1 • n • a = n • 1 • a


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: x : M

∀ x ∈ s, ∀ (y : M), (∀ (n : N) (a : α), y • n • a = n • y • a) → ∀ (n : N) (a : α), (x * y) • n • a = n • (x * y) • a


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Set.range (sum_to C ho) = GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: h : Set.range (sum_to C ho) = Set.range Subtype.val ∪ Set.range Subtype.val


Context:
N✝ N : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁸ : BorelSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: inst✝⁵ : BorelSpace γ

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ

Context: inst✝ : SecondCountableTopology δ

Context: g : β → γ → δ

Context: hg : Measurable (uncurry g)

Context: f₁ : α →ₘ[μ] β

Context: f₂ : α →ₘ[μ] γ

comp₂Measurable g hg f₁ f₂ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁸ : BorelSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: inst✝⁵ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ

Context: inst✝ : SecondCountableTopology δ

Context: g : β → γ → δ

Context: hg : Measurable (uncurry g)

Context: f₁ : α →ₘ[μ] β

Context: f₂ : α →ₘ[μ] γ

mk (uncurry g ∘ fun x => (↑f₁ x, ↑f₂ x)) ⋯ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω
hcs : μ s = 0


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω
hcs : μ s ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i

update f i '' uIcc a (f i) = uIcc (update f i a) f


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : S.P T.obj₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h : S.P T.obj₁

∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f T.mor₂ h ∈ distinguishedTriangles), S.P X


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z x✝ : R

x✝ ∈ span {x + y * z, y} ↔ x✝ ∈ span {x, y}


(∃ a b, a * (x + y * z) + b * y = x✝) ↔ ∃ a b, a * x + b * y = x✝


Context:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
hu : ⋃ a, s a = univ

∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ s a


Context:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
hu : ⋃ a, s a = univ
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a


Context:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ

∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ e ⁻¹' U a


Context:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i


Context:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i
V : α → Set Y
hVo : ∀ (i : α), IsOpen (V i)
heV : range e ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : α), V i ⊆ U i


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: α✝ : ι✝ → Type u_3

Context: β : ι✝ → Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)

Context: inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: α : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: f g : PiLp ⊤ α


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: α✝ : ι✝ → Type u_3

Context: β : ι✝ → Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: α : ι → Type u_6

Context: f g : PiLp ⊤ α

Context: val✝ : Fintype ι


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: α✝ : ι✝ → Type u_3

Context: β : ι✝ → Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: α : ι → Type u_6

Context: f g : PiLp ⊤ α

Context: val✝ : Fintype ι

Context: M : { r // 0 ≤ r }

Context: hM : ∀ (i : ι), ⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ M


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: α✝ : ι✝ → Type u_3

Context: β : ι✝ → Type u_4

Context: inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝² : Fintype ι✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: α : ι → Type u_6

Context: f g : PiLp ⊤ α

Context: val✝ : Fintype ι

Context: M : { r // 0 ≤ r }

Context: i : ι


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hy : y ∈ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
s : Finset α
inst✝ : Fintype ↑t


Context: I₁ : Type u_1

Context: I₂ : Type u_2

Context: I₁₂ : Type u_3

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: c₁₂ : ComplexShape I₁₂

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂

Context: inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂

Context: inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

c₂.π c₁ c₁₂ (i₂, i₁) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)


Context: x : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n


⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V → False


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: V : ι → Type u_4

Context: hc : Fintype.card ι < n

Context: f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V

Context: v w : Fin n

Context: hn : v ≠ w

Context: he : (Sigma.fst ∘ ⇑f) v = (Sigma.fst ∘ ⇑f) w


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: V : ι → Type u_4

Context: hc : Fintype.card ι < n

Context: f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V

Context: v w : Fin n

Context: hn : (f v).fst ≠ (f w).fst


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : X →ᵇ E


Context:
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝¹ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
f : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter f c
hc : 2 < c
h : g ⊆ f.sets
s : Set α
hs : s ∈ cardinalGenerate g hc


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i

hammingDist x z ≤ hammingDist x y + hammingDist y z


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
hC : 0 ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤

Context: t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤

Context: ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤

Context: ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤

Context: n m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: x : α

x ∈ (fun n => ⋃ i, t (i + n)) m → x ∈ (fun n => ⋃ i, t (i + n)) n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤

Context: ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤

Context: n m : ℕ

Context: hnm : n ≤ m

Context: x : α

(∃ i, x ∈ t (i + m)) → ∃ i, x ∈ t (i + n)


Context:
m n : ℕ
x y : ZMod n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
g : PseudoEpimorphism β γ
f₁ f₂ : PseudoEpimorphism α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F

iteratedDerivWithin n (-f) s x = -iteratedDerivWithin n f s x


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J

biproduct.ι f j ▷ X ≫ (rightDistributor f X).hom = biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j


Context:
c : Char
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor (c :: l) r it


Context: c : Char

Context: l r : List Char

Context: h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }

ValidFor l (c :: r) { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }.prev


Context: c : Char

Context: l r : List Char

Context: this : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l.reverse }


Context: c : Char

Context: l r : List Char

Context: this : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }


Context: c : Char

Context: l r : List Char

ValidFor l (c :: r) { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m m₁ R
A₂ : Matrix m m₂ R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R

A₁.fromColumns A₂ * fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ = (A₁ * B₁₁ + A₂ * B₂₁).fromColumns (A₁ * B₁₂ + A₂ * B₂₂)


Context:
G✝ : PGame
inst✝¹ : G✝.Impartial
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0


Context:
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1


Context:
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : 2 ∣ a.gcd b


Context:
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : 2 ∣ (↑a).gcd ↑b


Context:
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : Even 1


Context:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ : F
x✝ : B

x✝ ∈ ↑(NonUnitalAlgHom.range φ) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x * cos x = (cos a ^ 2 - cos b ^ 2) / 2


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y

(shiftZero A X).hom ≫ f ≫ (shiftZero A Y).inv = (shiftFunctor C 0).map f


(shiftFunctorZero C A).hom.app X ≫ f ≫ (shiftFunctorZero C A).inv.app Y = (shiftFunctor C 0).map f


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: B : Matrix n n 𝕜

Context: hB : B.PosSemidef

Context: hAB : A ^ 2 = B ^ 2

Context: h_ne : ¬A = B

Context: v : n → 𝕜

Context: t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: hv : v ≠ 0

Context: hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v

Context: h_sum : 0 = ↑t * (star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v)


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: B : Matrix n n 𝕜

Context: hB : B.PosSemidef

Context: hAB : A ^ 2 = B ^ 2

Context: h_ne : ¬A = B

Context: v : n → 𝕜

Context: t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: hv : v ≠ 0

Context: hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v

Context: h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: B : Matrix n n 𝕜

Context: hB : B.PosSemidef

Context: hAB : A ^ 2 = B ^ 2

Context: h_ne : ¬A = B

Context: v : n → 𝕜

Context: t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: hv : v ≠ 0

Context: hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v

Context: h_van : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v = 0 ∧ star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: B : Matrix n n 𝕜

Context: hB : B.PosSemidef

Context: hAB : A ^ 2 = B ^ 2

Context: h_ne : ¬A = B

Context: v : n → 𝕜

Context: t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: hv : v ≠ 0

Context: hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v

Context: aux : star v ⬝ᵥ (A - B) *ᵥ v = 0


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: B : Matrix n n 𝕜

Context: hB : B.PosSemidef

Context: hAB : A ^ 2 = B ^ 2

Context: h_ne : ¬A = B

Context: v : n → 𝕜

Context: t : ℝ

Context: ht : t ≠ 0

Context: hv : v ≠ 0

Context: hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v

Context: aux : ↑t * star v ⬝ᵥ v = ↑t * 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
s : Set N
hs : IsSubmonoid s


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
s : Set N
hs : IsSubmonoid s
a b : M
ha : f a ∈ s
hb : f b ∈ s


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: hη : τ₀ = τ₁ hF hG η

Context: Y : B

eB.inverse.map (F.map (𝟙 (G.obj Y) ≫ eA.unitIso.hom.app (G.obj Y) ≫ eA.inverse.map (hG.inv.app Y) ≫ 𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))))) ≫ (equivalence₂ eB hF).counitIso.hom.app Y = (equivalenceCounitIso η).hom.app Y


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: hη : τ₀ = τ₁ hF hG η

Context: Y : B

eB.inverse.map (F.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y))) ≫ eB.inverse.map (F.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y))) ≫ eB.inverse.map (hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y)))) ≫ eB.inverse.map (e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y)))) ≫ eB.inverse.map (e'.counitIso.hom.app (eB.functor.obj Y)) ≫ eB.unitIso.inv.app Y = eB.inverse.map (η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: hη : τ₀ = τ₁ hF hG η

Context: Y : B

eB.inverse.map (F.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ F.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y)) ≫ hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (hG.hom.app Y) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y = eB.inverse.map (η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: hη : τ₀ = τ₁ hF hG η

Context: Y : B

hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y))) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y))) ≫ e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (hG.hom.app Y) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: hη : τ₀ = τ₁ hF hG η

Context: Y : B

hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ eA.counit.app (eA.functor.obj (G.obj Y)) ≫ 𝟙 ((G ⋙ eA.functor).obj Y)) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: η : G ⋙ F ≅ eB.functor

Context: hη : τ₀ = τ₁ hF hG η

Context: Y : B

hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ eA.counit.app (eA.functor.obj (G.obj Y)) ≫ 𝟙 (eA.functor.obj (G.obj Y))) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j : n

toMatrix' f i j = f (fun j' => if j' = j then 1 else 0) i


f ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i = f (fun j' => if j' = j then 1 else 0) i


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j j' : n
h : ¬j' = j


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : orderOf g = 2


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : orderOf g = 2
key : φ g = g


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : 1 = 2
key : φ g = g


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
x y : M₁


Context:
N✝ N : ℕ
x : SL(2, ℤ)
HA : x ∈ Gamma1 N


Context: N✝ N : ℕ

Context: x : SL(2, ℤ)

Context: HA : ↑(↑x 0 0) = 1 ∧ ↑(↑x 1 1) = 1 ∧ ↑(↑x 1 0) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f : Filter α

Context: m : α → ℝ≥0∞

Context: a : ℝ≥0∞

Context: h : Tendsto (fun x => (m x)⁻¹) f (𝓝 a⁻¹)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
y : F


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ


↑((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) ((fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) x)) = ↑x


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx : x ∈ sphere 0 1
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0

(fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx⟩, ⟨r, hr⟩)) = (⟨x, hx⟩, ⟨r, hr⟩)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx✝ : x ∈ sphere 0 1
hx : ‖x‖ = 1
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0

(fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr⟩)) = (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr⟩)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx✝ : x ∈ sphere 0 1
hx : ‖x‖ = 1
r : ℝ
hr✝ : r ∈ Ioi 0
hr : 0 < r

(fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr✝⟩)) = (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr✝⟩)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

Continuous { toFun := fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩), invFun := fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun


Continuous { toFun := fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩), invFun := fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.invFun


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s

(descPochhammer ℤ k).smeval (r + s) = ∑ ij ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose ij.1) * ((descPochhammer ℤ ij.1).smeval r * (descPochhammer ℤ ij.2).smeval s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: c : F

Context: h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c + f y) s


Context: n m k : ℕ


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y z w : α


Context:
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → LT (β i)
i : ι
inst✝ : NoMaxOrder (β i)
a : Lex ((i : ι) → β i)


Context:
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → LT (β i)
i : ι
inst✝ : NoMaxOrder (β i)
a : Lex ((i : ι) → β i)
b : β i
hb : a i < b


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : CompleteSpace β
f : α → β
h : Isometry f
x y : Completion α
x✝¹ x✝ : α

dist (Completion.extension f (↑α x✝¹)) (Completion.extension f (↑α x✝)) = dist (↑α x✝¹) (↑α x✝)


Context: α✝ : Type u_1

Context: l₁ l₂ l₁✝ l₂✝ : List α✝

Context: a : α✝

Context: s : l₁✝ <+ l₂✝

Context: h : (a :: l₁✝).length = (a :: l₂✝).length


Context:
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ
h : a₁ % ↑b = a₂ % ↑b


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

↑p ^ n * wittMul p n + wittPolyProdRemainder p n = wittPolyProd p n


↑p ^ n * wittMul p n + wittPolyProdRemainder p n = ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)


wittPolyProdRemainder p n + ↑p ^ n * wittMul p n = ∑ x ∈ range n, ↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x) + ↑p ^ n * wittMul p n


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
W X Y Z : C

(ℬ (ℬ W (ℬ X Y).cone.pt).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X Y).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W (tensorObj ℬ X Y) Z).hom ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 W) (BinaryFan.snd (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom)) = (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ (tensorObj ℬ W X) Y Z).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X (tensorObj ℬ Y Z)).hom


∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ (ℬ W (ℬ X Y).cone.pt).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X Y).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W (tensorObj ℬ X Y) Z).hom ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 W) (BinaryFan.snd (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom))) ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).cone.π.app j = ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ (tensorObj ℬ W X) Y Z).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X (tensorObj ℬ Y Z)).hom) ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).cone.π.app j


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝¹ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p✝ p q : S[X]
hp : ∃ a, map f a = p
hq : ∃ a, map f a = q
p' : R[X]
hp' : map f p' = p
q' : R[X]
hq' : map f q' = q


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : S[X]
n : ℕ
s : S
r : R
hr : f r = s


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩

Context: g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩

Context: hfg : f' = (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩

P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩

∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : (μ.trim hm) s < ⊤), (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩

∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p (μ.trim hm)) (hg : Memℒp g p (μ.trim hm)), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf) → (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp g hg) → (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hm : m ≤ m0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : ↥(Lp F p μ) → Prop

Context: h_closed : IsClosed {f | P ↑f}

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩

IsClosed {f | (fun g => P ↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g)) f}


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra k A
inst✝ : Monoid G
r : k

(↑↑__src✝).toFun ((algebraMap k A) r) = (algebraMap k (MonoidAlgebra A G)) r


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra k A
inst✝ : Monoid G
r : k
x✝ : G

((↑↑__src✝).toFun ((algebraMap k A) r)) x✝ = ((algebraMap k (MonoidAlgebra A G)) r) x✝


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Splits (algebraMap K (SplittingFieldAux n f)) f) n

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f.natDegree = n.succ

Splits (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f.natDegree = n.succ

Splits (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) ((X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : ¬(s.Nonempty ∧ t.Nonempty)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : s = ∅ ∨ t = ∅


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
hXY : X ⊆ Y
hJY : M.Basis J Y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
hXY : X ⊆ Y
hJY : (M ↾ Y).Base J


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c d a b : G₀


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b✝ c d b : G₀


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c d a b : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X Y X' Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

(F.map f ⊗ F.map g) ≫ F.μ Y Y' = F.μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
m : M →ₗ[R] P
n : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

(((TensorProduct.mk R M N).compr₂ ((((TensorProduct.mk R (M →ₗ[R] P) (N →ₗ[R] Q)).compr₂ ↑(homTensorHomEquiv R M N P Q)) m) n)) x✝¹) x✝ = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ ((((TensorProduct.mk R (M →ₗ[R] P) (N →ₗ[R] Q)).compr₂ (homTensorHomMap R M N P Q)) m) n)) x✝¹) x✝


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
t : RBNode α

all p t = true ↔ All (fun x => p x = true) t


Context:
a b : ℝ
ha : a ≤ 0
z : ℂ
hz : |z.im| ≤ b
hb : b ≤ π / 2

abs (cexp (↑a * (cexp z + cexp (-z)))) ≤ rexp (a * Real.cos b * rexp |z.re|)


a * ((rexp z.re + rexp (-z.re)) * Real.cos |z.im|) ≤ a * (rexp |z.re| * Real.cos b)


Context: a b : ℝ

Context: ha : a ≤ 0

Context: z : ℂ

Context: hz : |z.im| ≤ b

Context: hb : b ≤ π / 2

Context: this : rexp |z.re| ≤ rexp z.re + rexp (-z.re)


Context: a b : ℝ

Context: ha : a ≤ 0

Context: z : ℂ

Context: hz : |z.im| ≤ b

Context: hb : b ≤ π / 2


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B

∃ V ∈ 𝓤 α, Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
this : Bᶜ ∈ 𝓝ˢ A


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K A B : Set α

Context: hA : IsCompact A

Context: hB : IsClosed B

Context: h : Disjoint A B

Context: this : ∃ i ∈ 𝓤 α, ⋃ x ∈ A, ball x (id i) ⊆ Bᶜ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ⊆ U


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ⊆ U
x : α

x ∈ ⋃ x ∈ A, ball x V → x ∉ ⋃ x ∈ B, ball x V


(∃ i, ∃ (_ : i ∈ A), x ∈ ball i V) → ¬∃ i, ∃ (_ : i ∈ B), x ∈ ball i V


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ⊆ U
x a : α
ha : a ∈ A
hxa : x ∈ ball a V
b : α
hb : b ∈ B
hxb : x ∈ ball b V


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hUAB : ⋃ x ∈ A, ball x (id U) ⊆ Bᶜ
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ⊆ U
x a : α
ha : a ∈ A
hxa : a ∈ ball x V
b : α
hb : b ∈ B
hxb : b ∈ ball x V


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M

Subsingleton (Submodule R M) ↔ Subsingleton (AddSubmonoid M)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: f : MultilinearMap R M M₂

Context: m : (i : Fin n) → M i.castSucc

Context: c : R

Context: x : M (last n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = c • ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b : Multiset { a // Irreducible a }

(↑a + ↑b).prod = FactorSet.prod ↑a * FactorSet.prod ↑b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E

∀ (s : Set (C(α, β) × C(α, β))), s ∈ uniformity C(α, β) ↔ ∃ t ∈ uniformity (α →ᵇ β), ∀ (x y : C(α, β)), ((equivBoundedOfCompact α β) x, (equivBoundedOfCompact α β) y) ∈ t → (x, y) ∈ s


∀ (s : Set (C(α, β) × C(α, β))), (∃ i, (IsCompact i.1 ∧ ∃ i_1, 0 < i_1 ∧ {p | dist p.1 p.2 ≤ i_1} ⊆ i.2) ∧ {fg | ∀ x ∈ i.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ i.2} ⊆ s) ↔ ∃ t, (∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 ≤ i} ⊆ t) ∧ ∀ (x y : C(α, β)), ((equivBoundedOfCompact α β) x, (equivBoundedOfCompact α β) y) ∈ t → (x, y) ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ t, IsOpen t ∧ x ∈ t ∧ ContinuousOn f (s ∩ t)

Context: x : α

Context: xs : x ∈ s

Context: t : Set α

Context: open_t : IsOpen t

Context: xt : x ∈ t

Context: ct : ContinuousOn f (s ∩ t)

Context: this : ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n✝ : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n✝
inst✝¹ : Fintype p
n : ℕ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

M 0 0 + ∑ i : Fin n, (M.submatrix Fin.succ Fin.succ).diag i = ∑ i : Fin n.succ, M.diag i


M 0 0 + ∑ i : Fin n, (M.submatrix Fin.succ Fin.succ).diag i = ∑ i : Option (Fin n), M.diag ((finSuccEquiv n).symm i)


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g✝ : K[X]
hfg : map i (f * g✝) ≠ 0
h : Splits i (f * g✝)
g : L[X]
hgi : Irreducible g
hg : g ∣ map i f


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g✝ : K[X]
hfg : map i (f * g✝) ≠ 0
h : Splits i (f * g✝)
g : L[X]
hgi : Irreducible g
hg : g ∣ map i g✝


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R

finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1 ↔ IsPrincipal (maximalIdeal R)


(∃ x, ⊤ = span (ResidueField R) {(maximalIdeal R).toCotangent x}) ↔ ∃ a, maximalIdeal R = span R {a}


(∃ x, span R {(Submodule.subtype (maximalIdeal R)) x} = maximalIdeal R) ↔ ∃ a, span R {a} = maximalIdeal R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a < b


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m₁ m₂ : M
a : α
h₁ : a ∈ fixedBy α m₁
h₂ : a ∈ fixedBy α m₂


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

#↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


∀ (x : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y x → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀) → #↑(generateMeasurableRec s x) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: A : ℵ₀ ≤ aleph 1


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: A : ℵ₀ ≤ aleph 1

Context: B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: A : ℵ₀ ≤ aleph 1

Context: B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: A : ℵ₀ ≤ aleph 1

Context: B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: J : #↑(⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: A : ℵ₀ ≤ aleph 1

Context: B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

#↑((s ∪ {∅} ∪ compl '' ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context: α : Type u

Context: s : Set (Set α)

Context: i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

Context: A : ℵ₀ ≤ aleph 1

Context: B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

Context: C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

#↑(range fun f => ⋃ n, ↑(f n)) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0


(dual A K I)⁻¹ = (fun J => J * (dual A K I)⁻¹) ((fun x => I * x) I⁻¹)


I = (fun J => J * (dual A K I)⁻¹) ((fun x => I * x) (dual A K I))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial

d ≤ s.infsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ dist x y


Context: n : ℕ


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor f


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan X s.pt
Q : IsLimit t

t.fst ≫ Q.lift (mk (𝟙 X) (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } })) = 𝟙 t.pt


∀ (j : Discrete WalkingPair), (t.fst ≫ Q.lift (mk (𝟙 X) (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }))) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
H : G.Subgraph
c : H.coe.ConnectedComponent
hw : w ∈ H.verts
hadj : H.Adj v w
w✝ : ↑H.verts
h : w✝ ∈ ↑c ∧ ↑w✝ = v


⟨w, hw⟩ ∈ ↑(H.coe.connectedComponentMk w✝) ∧ ↑⟨w, hw⟩ = w


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α


(ENNReal.toNNReal ∘ thickenedIndicatorAux δ E) x ≤ 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: hdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, derivWithin f (Icc a b) x = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: hdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)

Context: H : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f

f.SurjectiveOnStalks ↔ Function.Surjective ⇑f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
hc : c ∉ LocalRing.maximalIdeal S
hr : f r ∉ LocalRing.maximalIdeal S
e : c * f r * x = c * f y


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
e : c * f r * x = c * f y
hc : IsUnit c
hr : IsUnit (f r)


(fun x => f r * x) (f (↑⋯.unit⁻¹ * y)) = (fun x => f r * x) x


(fun x => c * x) ((fun x => f r * x) (f (↑⋯.unit⁻¹ * y))) = (fun x => c * x) ((fun x => f r * x) x)


Context:
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

f ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure


Context:
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : β

b ∈ (p.bind f).support ↔ ∃ a ∈ p.support, b ∈ (f a).support


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
P : R[X]
r : R

eval r ((expand R p) P) = eval (r ^ p) P


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: p✝ q p : ℕ

Context: P : R[X]

Context: r : R

Context: f g : R[X]

Context: hf : eval r ((expand R p) f) = eval (r ^ p) f

Context: hg : eval r ((expand R p) g) = eval (r ^ p) g

eval r ((expand R p) (f + g)) = eval (r ^ p) (f + g)


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace M
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M β
inst✝⁵ : MeasurableSMul M β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure α
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : MeasurableSMul G β
c : G
h : Measurable fun x => c • f x


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : J ⊔ I = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
x : β
f : Fin n → β

∏ i : Fin n.succ, cons x f i = x * ∏ i : Fin n, f i


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u

(λ_ ((free R).obj X)).hom = (ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom


(TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom = (TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)


((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1


∀ (a : X), ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X

((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x


(((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1


∀ (a : X), ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) a = ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) a


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: X : Type u

Context: x x' : X

Context: q : X →₀ R := (λ_ (of R (X →₀ R))).hom (1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1)

q x' = (Finsupp.mapDomain (λ_ X).hom ((finsuppTensorFinsupp' R (𝟙_ (Type u)) X) (Finsupp.single PUnit.unit 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1))) x'


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

s.points i = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i)


s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i) = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i)


(affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i) = s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i)


∀ i2 ∈ univ, i2 ≠ pointIndex i → pointWeightsWithCircumcenter i i2 = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
l : Filter Z
x : X

Tendsto (g ∘ f) (𝓝 x) l ↔ Tendsto g (𝓝 (f x)) l


map g (𝓝 (f x)) ≤ l ↔ Tendsto g (𝓝 (f x)) l


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α

↑(s.sup' H f) = s.sup (WithBot.some ∘ f)


Context: k : ℕ

Context: a : ℝ

Context: ha : a ≤ 1

Context: t : ℝ

Context: n : ℕ

Context: this : ↑(Int.negSucc n) + a = -(↑n + (1 - a))

f_int k a t (Int.negSucc n) = f_nat k (1 - a) t n


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f f' : α.drop ⟹ α'.drop
g g' : α.last → α'.last
H : splitFun f g = splitFun f' g'


dropFun (splitFun f' g') = f' ∧ lastFun (splitFun f' g') = g'


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
s : Set X
hs : MeasurableSet s

(∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
a b : M
inst✝ : Unique Mˣ
x : M
x✝ : IsUnit x
u : Mˣ
hu : ↑u = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b


Context: S : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹¹ : Module R A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R A A

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring B

Context: inst✝⁷ : Algebra S B

Context: inst✝⁶ : Algebra S R

Context: inst✝⁵ : DistribMulAction S A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower S R A

Context: C : Type u_5

Context: inst✝³ : Semiring C

Context: inst✝² : Algebra R C

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) B

Context: inst✝ : AlgHomClass F S (Unitization R A) B

Context: φ ψ : F

Context: h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a

Context: h' : ∀ (r : R), φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)


Context: S : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹¹ : Module R A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R A A

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring B

Context: inst✝⁷ : Algebra S B

Context: inst✝⁶ : Algebra S R

Context: inst✝⁵ : DistribMulAction S A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower S R A

Context: C : Type u_5

Context: inst✝³ : Semiring C

Context: inst✝² : Algebra R C

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) B

Context: φ ψ : F

Context: h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a

Context: x : Unitization R A


Context: S : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹¹ : Module R A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R A A

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring B

Context: inst✝⁷ : Algebra S B

Context: inst✝⁶ : Algebra S R

Context: inst✝⁵ : DistribMulAction S A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower S R A

Context: C : Type u_5

Context: inst✝³ : Semiring C

Context: inst✝² : Algebra R C

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) B

Context: φ ψ : F

Context: h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a

Context: r✝ : R

Context: a✝ : A


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι

(proj 𝒜 i) ((decompose 𝒜).symm a) = (decompose 𝒜).symm ((of (fun i => ↥(𝒜 i)) i) (a i))


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r

∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r