Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: x✝ : α

Context: hx : x✝ ∈ aeSeqSet hf p

Context: i : ι

Context: x : α

Context: h : x ∈ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}

x ∈ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝¹ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
inst✝ : NoZeroDivisors S


Context:
a b c d m n : ℤ
h : a * b ∣ c


Context:
b c d m n : ℤ
h : 0 * b ∣ c


Context:
a b c d m n : ℤ
h : a * b ∣ c
ha : a ≠ 0


Context: n : ℕ


Context:
L : Language
L' : Language
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v

(Language.mk₂ c f₁ f₂ r₁ r₂).card = lift.{v, u} #c + lift.{v, u} #f₁ + lift.{v, u} #f₂ + lift.{u, v} #r₁ + lift.{u, v} #r₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
s : Set ι
h : InjOn f s

(f '' s).Pairwise r ↔ s.Pairwise (r on f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g✝ : G
x✝ y z : α
s : Set α
g : β →ᵈ γ
f₁ f₂ : α →ᵈ β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K

J / spanSingleton R₁⁰ d = spanSingleton R₁⁰ d⁻¹ * J


J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
h_spand : spanSingleton R₁⁰ d ≠ 0


J / spanSingleton R₁⁰ d ≤ 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J


1 / spanSingleton R₁⁰ d * J ≤ J / spanSingleton R₁⁰ d


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
c d : D
f : c ⟶ d

f ∈ (im φ hφ).arrows c d ↔ ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = c) (hb : φ.obj b = d), f = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
c d : D
f : c ⟶ d
x✝⁴ x✝³ : C
x✝² : x✝⁴ ⟶ x✝³
x✝¹ : φ.obj x✝⁴ = c
x✝ : φ.obj x✝³ = d

f = eqToHom ⋯ ≫ φ.map x✝² ≫ eqToHom x✝ ↔ ∃ (_ : x✝² ∈ ⊤.arrows x✝⁴ x✝³), f = eqToHom ⋯ ≫ φ.map x✝² ≫ eqToHom x✝


Context:
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f : α → β

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: hfm : ∀ (i : ι), AEMeasurable f (μ.restrict (φ i))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f : α → β

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: u : ℕ → ι

Context: hu : Tendsto u atTop l


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f : α → β

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: u : ℕ → ι

Context: hu : Tendsto u atTop l

Context: this : AEMeasurable f (μ.restrict (⋃ i, φ (u i)))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Finset α


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : NeZero p
n : ℕ


((map (Int.castRingHom R)) (W_ ℤ n)).vars ⊆ (W_ ℤ n).vars


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]

(g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound ∈ A


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: A A₀ A₁ A₂ : Algebra F

Context: f : A₀ ⟶ A₁

Context: g : A₁ ⟶ A₂

Context: h : A₀.a ≅ A₁.a

Context: w : autoParam (F.map h.hom ≫ A₁.str = A₀.str ≫ h.hom) _auto✝


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ C

Context: A A₀ A₁ A₂ : Algebra F

Context: f : A₀ ⟶ A₁

Context: g : A₁ ⟶ A₂

Context: h : A₀.a ≅ A₁.a


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.length = G.dist u v


Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : AddCommMonoid R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: mono_of_mem : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, s ∈ 𝓝[t] x → P f s x → P f t x

Context: h : LiftPropWithinAt P g s x

Context: hst : s ∈ 𝓝[t] x


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: hst : s ∈ 𝓝[t] x

Context: h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)

ContinuousWithinAt g t x ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' t) (↑(chartAt H x) x)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: hst : s ∈ 𝓝[t] x

↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' t] ↑(chartAt H x) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
k m n : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
k m n m' n' : α
hm' : m' ∣ m
hn' : n' ∣ n
h : gcd k (m * n) = m' * n'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
k m n m' n' : α
hm' : m' ∣ m
hn' : n' ∣ n
h : gcd k (m * n) = m' * n'
hm'n' : m' * n' ∣ k


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph V
e : V ≃ W
x✝¹ x✝ : W

(SimpleGraph.comap (⇑e.symm.toEmbedding) G).Adj x✝¹ x✝ ↔ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).Adj x✝¹ x✝


Context:
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
x dx y dy : α
h : dy < dx
hx : 0 < dx

Nonempty ↑(Ico x (x + dx) \ Ico y (y + dy))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
x dx y dy : α
h : dy < dx
hx : 0 < dx
h' : x < y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
x dx y dy : α
h : dy < dx
hx : 0 < dx
h' : y ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
a : α
h : a ∈ o
f : α → Part β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h : ae μ ≤ ae ν
s : Set α


(∀ᵐ (a : α) ∂ν, a ∉ s) → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∉ s₁


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A


basicOpen 𝒜 f ⊓ basicOpen 𝒜 g ≤ basicOpen 𝒜 g


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a✝ a : α


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
a : Γ
L R : ListBlank Γ
n : ℕ

(move Dir.left { head := a, left := L, right := R }).nth (↑(n + 1) + 1) = { head := a, left := L, right := R }.nth (↑(n + 1) + 1 - 1)


(move Dir.left { head := a, left := L, right := R }).nth (↑(n + 1) + 1) = { head := a, left := L, right := R }.nth ↑(n + 1)


(ListBlank.cons a R).nth (n + 1) = R.nth n


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : φ.totalDegree < n


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: h : ∀ b ∈ φ.support, (b.sum fun x e => e) < n


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R

Context: n : ℕ

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: d : σ →₀ ℕ

Context: hd : d ∈ φ.support


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

IsClosed (((dualPairing 𝕜 E).flip.flip.polar ∘ ⇑OrderDual.ofDual) ((dualPairing 𝕜 E).flip.polar s))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α
inst✝ : NormOneClass α
l : List α

(map norm l).prod = (fun a => ↑a) (map nnnorm l).prod


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
s : ℂ


mellin P.f (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: step1 : mellin (fun t => P.g (t ^ (-1))) (-s) = |(-1)|⁻¹ • mellin P.g (-s / ↑(-1))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: step1 : mellin (fun t => P.g (1 / t)) (-s) = mellin P.g s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: step2 : mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = mellin (fun t => P.g (1 / t)) (↑P.k - s + -↑P.k)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: step2 : mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = mellin P.g s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: step3 : mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = P.ε • mellin (fun t => ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: step3 : mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s) = P.ε • mellin P.g s

mellin P.f (↑P.k - s) = mellin (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) (↑P.k - s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioi 0

↑t ^ (↑P.k - s - 1) • P.f t = ↑t ^ (↑P.k - s - 1) • (fun t => P.ε • ↑t ^ (-↑P.k) • P.g (1 / t)) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioi 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioi 0

↑t ^ (↑P.k - s - 1) • P.f t = (↑t ^ (↑P.k - s - 1) * (P.ε * ((↑t ^ ↑P.k)⁻¹ * (P.ε⁻¹ * ↑t ^ ↑P.k)))) • P.f t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : StrongFEPair E

Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ Ioi 0

Context: this : ↑t ^ ↑P.k ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x✝ L
hf' : f' ≠ 0
x : 𝕜


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n

m ∈ {x | (fun c => edist (f n) (f c) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)) x}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n

edist (f n) (f m) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n

∑ i ∈ Finset.Ico n m, d i ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: d : ℕ → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n m : ℕ

Context: hnm : m ≥ n

∑ k ∈ Finset.range (m - n), d (n + k) ≤ ∑' (m : ℕ), d (n + m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
h : ¬IsFiniteMeasure μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
h : ¬IsFiniteMeasure μ
h' : ¬μ univ = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hμ : IsFiniteMeasure μ

(fun s => if MeasurableSet s then (μ s).toReal else 0) ∅ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

HasSum (fun i => (fun s => if MeasurableSet s then (μ s).toReal else 0) (f i)) ((fun s => if MeasurableSet s then (μ s).toReal else 0) (⋃ i, f i))


HasSum (fun i => (μ (f i)).toReal) (∑' (i : ℕ), μ (f i)).toReal


HasSum (fun i => (μ (f i)).toReal) (∑' (a : ℕ), (μ (f a)).toReal)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
m m' : OuterMeasure α
s : Set β

((map f) (m ⊔ m')) s = ((map f) m ⊔ (map f) m') s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α


Context: x✝ y✝ z x y : ℝ


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: fv : ∀ {n₁ : ℤ} {d₁ : ℕ} {h₁ : d₁ ≠ 0} {c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁} {n₂ : ℤ} {d₂ : ℕ} {h₂ : d₂ ≠ 0} {c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂}, f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂

Context: f0 : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, d₁ ≠ 0 → d₂ ≠ 0 → f₂ n₁ d₁ n₂ d₂ ≠ 0

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: H : ∀ {n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ}, a * d₁ = n₁ * b → c * d₂ = n₂ * d → f₁ n₁ d₁ n₂ d₂ * f₂ a b c d = f₁ a b c d * f₂ n₁ d₁ n₂ d₂

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ }

f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } (c /. d) = f₁ a b c d /. f₂ a b c d


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁

Context: n₂ : ℤ

Context: d₂ : ℕ

Context: h₂ : d₂ ≠ 0

Context: c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂

Context: hc : c /. d = { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ }

f { num := n₁, den := d₁, den_nz := h₁, reduced := c₁ } { num := n₂, den := d₂, den_nz := h₂, reduced := c₂ } = f₁ a b c d /. f₂ a b c d


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁

Context: n₂ : ℤ

Context: d₂ : ℕ

Context: h₂ : d₂ ≠ 0

Context: c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂

Context: hc : c /. d = n₂ /. ↑d₂


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁

Context: n₂ : ℤ

Context: d₂ : ℕ

Context: h₂ : d₂ ≠ 0

Context: c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂

Context: hc : c /. d = n₂ /. ↑d₂

f₁ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ /. f₂ n₁ (↑d₁) n₂ ↑d₂ = f₁ a b c d /. f₂ a b c d


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁

Context: n₂ : ℤ

Context: d₂ : ℕ

Context: h₂ : d₂ ≠ 0

Context: c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂

Context: hc : c /. d = n₂ /. ↑d₂

Context: d₁0 : ↑d₁ ≠ 0


Context: q : ℚ

Context: f : ℚ → ℚ → ℚ

Context: f₁ f₂ : ℤ → ℤ → ℤ → ℤ → ℤ

Context: a b c d : ℤ

Context: b0 : b ≠ 0

Context: d0 : d ≠ 0

Context: n₁ : ℤ

Context: d₁ : ℕ

Context: h₁ : d₁ ≠ 0

Context: c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁

Context: ha : a /. b = n₁ /. ↑d₁

Context: n₂ : ℤ

Context: d₂ : ℕ

Context: h₂ : d₂ ≠ 0

Context: c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂

Context: hc : c /. d = n₂ /. ↑d₂

Context: d₁0 : ↑d₁ ≠ 0

Context: d₂0 : ↑d₂ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

(s ∩ Icc x y).OrdConnected ↔ Ioo x y ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : (s ∩ Icc x y).OrdConnected
z : α
hz : z ∈ Icc x y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
h : (s ∩ Icc x y).OrdConnected
z : α
hz : z ∈ Icc x y
hxy : x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

A = ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
H : Set ι
x : M
hmem : x ∈ Submodule.span R (e '' H)
i : ι
hi : (ε i) x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: e : ι → M

Context: ε : ι → Dual R M

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: h : DualBases e ε

Context: H : Set ι

Context: i : ι

Context: l : ι →₀ R

Context: supp_l : l ∈ Finsupp.supported R R H

Context: hmem : (Finsupp.total ι M R e) l ∈ Submodule.span R (e '' H)

Context: hi : (ε i) ((Finsupp.total ι M R e) l) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: e : ι → M

Context: ε : ι → Dual R M

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: h : DualBases e ε

Context: H : Set ι

Context: i : ι

Context: l : ι →₀ R

Context: supp_l : l ∈ Finsupp.supported R R H


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ₂

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ₂

Context: inst✝¹ : BorelSpace γ₂

Context: inst✝ : MeasurableSpace δ

Context: f : δ → γ

Context: hf : ∀ (s : Set γ), IsOpen s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y

(orderIsoRpow y hy).symm = orderIsoRpow (1 / y) ⋯


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y

(StrictMono.orderIsoOfRightInverse (fun x => x ^ y) ⋯ (fun x => x ^ (1 / y)) ⋯).symm = StrictMono.orderIsoOfRightInverse (fun x => x ^ (1 / y)) ⋯ (fun x => x ^ y) ⋯


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ℕ → ℕ → R
n : ℕ

∑ ij ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((n + 1).choose ij.1) * f ij.1 ij.2 = ∑ ij ∈ antidiagonal n, ↑(n.choose ij.1) * f ij.1 (ij.2 + 1) + ∑ ij ∈ antidiagonal n, ↑(n.choose ij.2) * f (ij.1 + 1) ij.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Integrable (fun x => y₀) μ
n : ℕ

Integrable (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f 1 μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) 1 μ
n : ℕ

Memℒp (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) 1 μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝¹ y z✝ x z : E
x✝ : z ∈ [x-[𝕜]x]
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 ≤ a
left✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z


Context:
α : Type u_1
n : Nat
a : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (g * f).Separable


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: φ : ι → Type u_4

Context: f : (ι : ι) → φ ι → M

Context: hf : ∀ (i : ι), LinearIndependent R (f i)

LinearIndependent R fun ix => single ix.fst (f ix.fst ix.snd)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: φ : ι → Type u_4

Context: f : (ι : ι) → φ ι → M

∀ (j : ι), LinearIndependent R fun x => single j (f j x)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: φ : ι → Type u_4

Context: f : (ι : ι) → φ ι → M

∀ (i : ι) (t : Set ι), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (Set.range fun x => single i (f i x))) (⨆ i ∈ t, span R (Set.range fun x => single i (f i x)))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommRing A
a : A
n✝ : ℕ

(coeff A n✝) ((rescale a) X) = (coeff A n✝) ((C A) a * X)


(a ^ n✝ * if n✝ = 1 then 1 else 0) = a * if n✝ = 1 then 1 else 0


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v

lift.{v, w} #ι ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)


lift.{v, w} #ι ≤ lift.{w, v} (⨆ ι, #↑↑ι)


lift.{v, w} #ι ≤ lift.{w, v} #↑↑⟨range v, ⋯⟩


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

(o.oangle (y - x) y).sign = -(o.oangle x y).sign


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hmg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: hifg : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hmg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hmg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: s : Set α

Context: hms : MeasurableSet s

∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hmg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: s : Set α

Context: hms : MeasurableSet s

∫⁻ (a : α), g a ∂μ - ∫⁻ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ - ∫⁻ (x : α) in sᶜ, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hmg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: s : Set α

Context: hms : MeasurableSet s


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: p✝ q : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_5

Context: β : α → Type u_4

Context: ne : ∀ (a : α), Nonempty (β a)

Context: p : α → Prop

Context: this : DecidablePred p := Classical.decPred p


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: p✝ q : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_5

Context: β : α → Type u_4

Context: ne : ∀ (a : α), Nonempty (β a)

Context: p : α → Prop

Context: f : (x : Subtype p) → β ↑x

∀ (x : Subtype p), (fun f => restrict p f) (fun x => if h : p x then f ⟨x, h⟩ else ⋯.some) x = f x


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: p✝ q : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_5

Context: β : α → Type u_4

Context: ne : ∀ (a : α), Nonempty (β a)

Context: p : α → Prop

Context: f : (x : Subtype p) → β ↑x

Context: x : α

Context: hx : p x

(fun f => restrict p f) (fun x => if h : p x then f ⟨x, h⟩ else ⋯.some) ⟨x, hx⟩ = f ⟨x, hx⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F E

Context: v : Fin n → F

Context: A : univ = {c | 1 < c.length}.toFinset ∪ {Composition.single n hn}

(p.comp q n) v = ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, (p c.length) (q.applyComposition c v) + (p 1) fun x => (q n) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F E

Context: v : Fin n → F

Context: B : Disjoint {c | 1 < c.length}.toFinset {Composition.single n hn}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F E

Context: v : Fin n → F

Context: C : (p (Composition.single n hn).length) (q.applyComposition (Composition.single n hn) v) = (p 1) fun x => (q n) v


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs₁ : MeasurableSet s
hs₂ : μ s = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
f : γ → β
hs : (image f s).Nonempty
g : β → α

(image f s).sup' hs g = s.sup' ⋯ (g ∘ f)


↑((image f s).sup' hs g) = ↑(s.sup' ⋯ (g ∘ f))


s.sup ((WithBot.some ∘ g) ∘ f) = s.sup (WithBot.some ∘ g ∘ f)


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
s : κ → HomogeneousIdeal 𝒜


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R

∀ {a b : ℕ}, { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := Nat.cast, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ
k : Fin (l.rotate n).length

(l.rotate n).get k = l.get ⟨(↑k + n) % l.length, ⋯⟩


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_le_n : a ≤ n
b_le_n : b ≤ n


Context:
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}


Context:
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1


Context:
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this : p ∣ (m - n) * a


Context:
n m a : ℕ
h : n ≤ m
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this✝ : p ∣ (m - n) * a
this : p ∣ a


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

(s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂} ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)


(∃ r, r • ((affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂) = (s.weightedVSub p) w) ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
s : ↥M


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: W₂ : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: Q₂ : Type u_8

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹⁵ : MetricSpace P

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝¹² : MetricSpace Q

Context: inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂

Context: inst✝⁹ : MetricSpace Q₂

Context: inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂

Context: inst✝⁷ : NormedField R

Context: inst✝⁶ : NormedSpace R V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace R W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R W₂

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂

Context: f : P →ᴬ[R] Q

Context: h₁ : f.contLinear = 0 ↔ f.linear = 0

Context: h₂ : ∀ (q : Q), f = const R P q ↔ f.toAffineMap = AffineMap.const R P q

f.linear = 0 ↔ ∃ q, f.toAffineMap = AffineMap.const R P q


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i

DFinsupp.equivFunOnFintype.symm (Pi.single i m) = (lof R ι M i) m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)


(fun x => f x.2) =ᶠ[ae (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)] fun x => AEStronglyMeasurable.mk f hf x.2


Measure.QuasiMeasurePreserving Prod.snd (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0

(Measure.map Prod.snd (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)) s = 0


(Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) (Prod.snd ⁻¹' s) = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
i : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono i
hi : Isδ₀ i


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
inst✝ : Mono (SimplexCategory.δ j)
hi : Isδ₀ (SimplexCategory.δ j)

SimplexCategory.δ j = SimplexCategory.δ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
inst✝ : Mono (SimplexCategory.δ j)
hi : j = 0


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y

extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: r : R

Context: a : N

Context: ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain

Context: eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y

Context: eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: r : R

Context: a : N

Context: ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain

Context: eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y

Context: eq3 : (extendIdealTo i f h y) (r - snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨(r - snd i x) • y, ⋯⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: r : R

Context: a : N

Context: ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain

Context: eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y

Context: eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: r : R

Context: a : N

Context: ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain

Context: eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y

↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap (fst i x) + (extendIdealTo i f h y) (snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: r : R

Context: a : N

Context: ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain

Context: eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y

↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap (fst i x) + (extendIdealTo i f h y) (snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a + (r • y - snd i x • y), ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)

Context: r : R

Context: a : N

Context: ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain

Context: eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝³ : DecidableEq ι✝
inst✝² : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K V
i : ι

(B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b)) i = b i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝³ : DecidableEq ι✝
inst✝² : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K V
i j : ι

(B ((B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b)) i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j) = (B (b i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
h : IsAdjoinRoot S f
x : S

(lift (algebraMap R S) h.root ⋯ h) x = x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
x y : B
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y

(algebraMap A B) (mk' A (x + y) ⋯) = (algebraMap A B) (mk' A x hx + mk' A y hy)


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀
hb : ℵ₀ ≤ b


Context:
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀
hb : b < ℵ₀


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he' : e' ∈ G'

Context: hfs : ContinuousWithinAt f s x

Context: hxe' : f x ∈ e'.source

Context: h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x

Context: h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' e'.symm.source ∈ 𝓝[s] x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b c a : α

￢⊥ ≤ a ↔ ⊤ ≤ a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.97033, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j

homotopyCofiber.d φ i j ≫ (Cochain.ofHoms (homotopyCofiber.sndX φ)).v j j ⋯ = homotopyCofiber.fstX φ i j hij ≫ φ.f j + (Cochain.ofHoms (homotopyCofiber.sndX φ)).v i i ⋯ ≫ G.d i j


homotopyCofiber.d φ i j ≫ homotopyCofiber.sndX φ j = homotopyCofiber.fstX φ i j hij ≫ φ.f j + homotopyCofiber.sndX φ i ≫ G.d i j


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))

Context: hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a

Context: h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ ν : Measure α✝

Context: α : Type u_5

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: F : α → ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_exists : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 l)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Cᵒᵖ ⥤ A

IsSheaf J P ↔ ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), Nonempty (IsLimit (E.multifork P))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0

n • r ∈ zmultiples p ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p


(∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (a + ↑n) (a + ↑n + 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞

(∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε


(∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
n : ℕ
a : R
p : R[ℕ]

({ toFinsupp := p } * C a).coeff n = { toFinsupp := p }.coeff n * a


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0

0 < (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0


0 ≤ min (orderTop 1) ((single (-x.order)) r * x).orderTop


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: r : R

Context: hr : r * x.leadingCoeff = 1

Context: hx : ¬x = 0

Context: hrz : r ≠ 0

Context: h : 0 = (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ

volume (Icc a b) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)


∏ i : ι, volume (Icc (a i) (b i)) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≤ 0
h : b ≤ a


Context:
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J✝ : Matrix n n R
u : Rˣ
J A : Matrix n n R

A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule (u • J) ↔ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J


Aᵀ * u • J = u • J * -A ↔ Aᵀ * J = J * -A


Context:
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
hxy : mk' K x y = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
hxy : ∃ m, x = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

𝓝 (𝓝 x) = ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 (Iic (𝓟 s))


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Prop
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {True})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Prop
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {True})
x : Prop


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
his : IsGLB (↑s) i


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: i : α

Context: s : Finset α

Context: hs : s.Nonempty

Context: his : (∀ x ∈ ↑s, i ≤ x) ∧ ∀ x ∈ lowerBounds ↑s, x ≤ i


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) → β i

Context: s : Multiset ι

Context: h : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0

Context: i : ι

Context: H : i ∈ { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, h⟩ }.support


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q

(contractRight ((contractRight x) d)) d = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
i✝ x✝ : n

(mulVecLin 1 ∘ₗ single i✝) 1 x✝ = (LinearMap.id ∘ₗ single i✝) 1 x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n * e1 = t1
h2 : n * e2 = t2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
hbdd : BddBelow (range f)


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: hp : Prime ↑p

Context: hp1 : Odd p

Context: hxy : ↑p ∣ x - y

Context: hx : ¬↑p ∣ x

multiplicity (↑p) (x ^ p - y ^ p) = multiplicity (↑p) (x - y) + 1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
m : Fin 2 → E

(iteratedFDeriv 𝕜 2 f z) m = ((fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) z) (m 0)) (m 1)


(((iteratedFDeriv 𝕜 0 (fun y => fderiv 𝕜 (fun y => fderiv 𝕜 f y) y) z) (init (init m))) (init m (last 0))) (m (last 1)) = ((fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) z) (m 0)) (m 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

⇑(chainTop α β) = ↑(chainTopCoeff α β) • α + ⇑β


⇑(chainTop α β) = chainTopCoeff α β • α + ⇑β


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L


adjoin K ((X ^ ↑n - 1).rootSet L) = adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
x : L

x ∈ (X ^ ↑n - 1).rootSet L ↔ x ∈ {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
x : α
hx : f x = f' x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ f c : Perm α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ c.support

Context: hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset

Context: hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ f c : Perm α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ c.support

Context: hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset

Context: hfc2 : Commute c (f * c⁻¹) := Disjoint.commute hfc


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ f c : Perm α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ c.support

Context: hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M

m ∈ sSup S ↔ ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i


(∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i) ↔ ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
x✝ : ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i
s : Finset { a // a ∈ S }
hs : m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i

↑(Finset.map (Function.Embedding.subtype S) s) ⊆ S


m ∈ ⨆ i ∈ Finset.map (Function.Embedding.subtype S) s, i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
x✝ : ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i
s : Finset (Submodule R M)
hsS : ↑s ⊆ S
hs : m ∈ ⨆ i ∈ s, i


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: this : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: i : ↑s

PrimeSpectrum.basicOpen ↑i ∈ ((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).affineOpens


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

⨆ i, ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i) = ⊤


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: i : ↑s

IsAffine ↑(ΓSpec.adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i))


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : Set ↑Γ(X, ⊤)

Context: hs : Ideal.span s = ⊤

Context: i : ↑s

IsIso (Scheme.Hom.app (ΓSpec.adjunction.unit.app X ∣_ ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i)) ⊤)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≪ μ

essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) ν ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ


Context:
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s

∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t


Context:
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p t


Context:
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p t
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ∩ insert x s ⊆ t


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x

Context: hs : Convex ℝ s

Context: t : Set E

Context: hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: hε : Metric.ball x ε ∩ insert x s ⊆ t

Context: hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ insert x s)


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x

Context: hs : Convex ℝ s

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x

Context: hs : Convex ℝ s

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x

Context: hs : Convex ℝ s

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: K : ℝ≥0

Context: t : Set E

Context: hst : t ∈ 𝓝[Metric.ball x ε ∩ s] x

Context: hft : LipschitzOnWith K f t


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x

Context: hs : Convex ℝ s

Context: p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: K : ℝ≥0

Context: t : Set E

Context: hst : t ∈ 𝓝[s] x

Context: hft : LipschitzOnWith K f t


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)

Context: x y : M'

((f fun x_1 => x) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((sᶜ.orderEmbOfFin hl) i)) = (f fun x_1 => x) fun x => y


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: x y : M'

Context: this : ((curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm f) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (f fun x_1 => x) fun x => y


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: x y : M'

Context: this : ((f fun i => x) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((sᶜ.orderEmbOfFin hl) i)) = (f fun i => x) fun x => y


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Fintype σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
h : f.totalDegree < n * Fintype.card σ
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Fintype σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
h : ∀ (i : σ), n ≤ d i


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : Matrix n n R[X]
r : R
i j : n

eval ((scalar n) r) (matPolyEquiv M) i j = eval r (M i j)


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix n₁ n R
A₂ : Matrix n₂ n R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R

fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ * A₁.fromRows A₂ = (B₁₁ * A₁ + B₁₂ * A₂).fromRows (B₂₁ * A₁ + B₂₂ * A₂)


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

eval a (ascPochhammer ℕ b) = (a + b - 1).descFactorial b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: he : MapsTo f s e.source

ContMDiffOn IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s ↔ ContMDiffOn IM IB n (fun x => (f x).proj) s ∧ ContMDiffOn IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e (f x)).2) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B

Context: EM : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_10

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F E

Context: inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E

Context: inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e

Context: inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

Context: f : M → TotalSpace F E

Context: s : Set M

Context: he : MapsTo f s e.source

(∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s x) ↔ ∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) s x ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e (f x)).2) s x


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : FunLike F ℚ≥0 α
inst✝ : RingHomClass F ℚ≥0 α
f : F
q : ℚ≥0


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: g : B →+* C

Context: f : A →+* B

Context: hg : g.FiniteType

Context: hf : f.FiniteType

Context: x✝² : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: x✝¹ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra

Context: x✝ : Algebra B C := g.toAlgebra


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℝ

x ^ y = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y) * cos (y * π)


Context:
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x ≤ 0
y : ℝ
h : ¬x = 0

(↑x ^ ↑y).re = rexp (log x * y) * cos (y * π)


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖f y‖₊


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖f y‖₊
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖y‖₊ < ‖f y‖₊
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0
k : 𝕜
hk₁ : r * ‖f y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊
hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : r < ‖f‖₊
y : E
hy : r * ‖f y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹
hy' : ‖y‖₊ ≠ 0
hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0
k : 𝕜
hk₁ : r * ‖f y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊
hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹
this : ‖σ₁₂ k‖₊ = ‖k‖₊


Context:
R : Type u_1
inst✝²³ : CommSemiring R
R₂ : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝²¹ : CommSemiring R₃
R₄ : Type u_4
inst✝²⁰ : CommSemiring R₄
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
Qₗ' : Type u_13
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝¹² : AddCommMonoid Qₗ
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R₂ N
inst✝⁸ : Module R₃ P
inst✝⁷ : Module R₄ Q
inst✝⁶ : Module R Mₗ
inst✝⁵ : Module R Nₗ
inst✝⁴ : Module R Pₗ
inst✝³ : Module R Qₗ
inst✝² : Module R Qₗ'
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₃ σ₄₃
f : M →ₛₗ[σ₁₃] N →ₛₗ[σ₂₃] P
x✝¹ : M
x✝ : N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
inst✝² : Fintype α
s : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a✝ : α

a✝ ∈ filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ ↔ a✝ ∈ s.toFinset


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x y : WithLp p ((i : ι) → β i)

edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) * edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : Fact (1 ≤ ⊤)

Context: x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)

edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / ⊤).toReal) * edist ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) y)


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: x y : WithLp p ((i : ι) → β i)

Context: h : 1 ≤ p.toReal


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A✝ : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
A : ↥(symplecticGroup l R)

↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : ι → S[X]

(∑ i ∈ s, f i).natDegree ≤ Finset.fold max 0 (natDegree ∘ f) s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T2Space R


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T2Space R
x y : V
hxy : x ≠ y

∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ Disjoint u v


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : SeparatingDual R V
inst✝ : T2Space R
x y : V
hxy : x ≠ y
f : V →L[R] R
hf : f x ≠ f y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

DifferentiableWithinAt 𝕜 f univ x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

n₁ /. d₁ - n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ - n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
g : β → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

∫⁻ (b : β), g b ∂(κ.withDensity f) a = ∫⁻ (b : β), f a b * g b ∂κ a


∫⁻ (a_1 : β), (f a * g) a_1 ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f a b * g b ∂κ a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : E × F → G

Context: h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f

Context: C : ℝ

Context: Cpos : C > 0

Context: hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖f (x, y)‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖

Context: x✝ : E × F

Context: x : E

Context: y : F

‖f (x, y)‖ ≤ ?m.259612 C Cpos hC * ‖‖(x, y).1‖ * ‖(x, y).2‖‖


Context:
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]


Context:
α : Type u_1
n m : Nat
l : List α


Context:
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
m✝ : Nat


Context:
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
m✝¹ m✝ : Nat

dropSlice n m✝.succ l = dropSliceTR.go l m✝ l n #[]


Context:
α : Type u_1
n : Nat
l : List α
m✝ m : Nat

dropSlice n m.succ l = dropSliceTR.go l m l n #[]


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬gcd x y = 0
z : R
hz : y = gcd x y * z


Context:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasCokernel f
inst✝² : HasCokernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasCokernel g
inst✝ : HasCokernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g


G.map (coequalizer.π f 0) ≫ G.map (cokernel.map f g p q hpq) = G.map q ≫ G.map (coequalizer.π g 0)


G.map (coequalizer.π f 0 ≫ cokernel.map f g p q hpq) = G.map (q ≫ coequalizer.π g 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
hl : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.get ⟨k, hk⟩ ∈ l

l.formPerm (l.get ⟨k, hk⟩) = l.get ⟨k, hk⟩ ↔ l.length ≤ 1


(↑⟨k, hk⟩ + 1) % l.length = k ↔ l.length ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝¹ : Zero α

Context: inst✝ : Preorder α


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)

index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V = index K₁.carrier V + index K₂.carrier V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

index K₁.carrier V + index K₂.carrier V ≤ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card

index K₁.carrier V + index K₂.carrier V ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

(Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty) s).card + (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s).card ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

(Finset.filter (fun x => ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty ∨ ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s).card ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Disjoint (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty) s) (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

∀ x ∈ s, ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty → ¬((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h1g₂ : g₂ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h1g₃ : g₃ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V

g₁⁻¹ ∈ K₁.carrier * V⁻¹ ⊓ K₂.carrier * V⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V

∃ x ∈ K₁.carrier, ∃ y, y⁻¹ ∈ V ∧ x * y = g₁⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V

∃ x ∈ K₂.carrier, ∃ y, y⁻¹ ∈ V ∧ x * y = g₁⁻¹


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
_h : v ≠ w

(fun v w => ¬⊥.Adj v w → Fintype.card ↑(⊥.commonNeighbors v w) = 0) v w


filter (fun x => x ∈ ⊥.commonNeighbors v w) univ = ∅


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
_h : v ≠ w
a✝ : V

a✝ ∈ filter (fun x => x ∈ ⊥.commonNeighbors v w) univ ↔ a✝ ∈ ∅


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α

(Icc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card