Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V
hx : ∀ n ∈ W, B.IsOrtho n x

x ∈ (range (domRestrict B W)).dualCoannihilator


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : b ≤ a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b : A
P : R[X]
x : A

D ((aeval x) P) = (aeval x) (derivative P) • D x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : CommSemiring B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module B M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a b x : A
a✝ : R

D ((aeval x) (C a✝)) = (aeval x) (derivative (C a✝)) • D x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : CommSemiring B

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : Module B M

Context: inst✝ : Module R M

Context: D D1 D2 : Derivation R A M

Context: r : R

Context: a b x : A

Context: p✝ q✝ : R[X]

Context: a✝¹ : D ((aeval x) p✝) = (aeval x) (derivative p✝) • D x

Context: a✝ : D ((aeval x) q✝) = (aeval x) (derivative q✝) • D x

D ((aeval x) (p✝ + q✝)) = (aeval x) (derivative (p✝ + q✝)) • D x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : CommSemiring B

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : Module A M

Context: inst✝¹ : Module B M

Context: inst✝ : Module R M

Context: D D1 D2 : Derivation R A M

Context: r : R

Context: a b x : A

Context: n✝ : ℕ

Context: a✝¹ : R

Context: a✝ : D ((aeval x) (C a✝¹ * X ^ n✝)) = (aeval x) (derivative (C a✝¹ * X ^ n✝)) • D x

D ((aeval x) (C a✝¹ * X ^ (n✝ + 1))) = (aeval x) (derivative (C a✝¹ * X ^ (n✝ + 1))) • D x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop

(∃ t ⊆ {x | (fun y => p y) x}, IsOpen t ∧ x ∈ t) ↔ ∃ t, (∀ y ∈ t, p y) ∧ IsOpen t ∧ x ∈ t


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
h : SigmaFinite (μ.trim ⋯)


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
h : ¬SigmaFinite (μ.trim ⋯)


Context:
R A : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R A


lift.{u, u} #{ x // IsAlgebraic R x } ≤ max (lift.{u, u} #R) ℵ₀


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: A B : C

uncurry ((expComparison F A).app B) = inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) ≫ F.map ((exp.ev A).app B)


Context:
α : Type u_1
β : ?m.6008
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : IsOpen s


Context: α : Type u_1

Context: β : ?m.6008

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLower α

Context: s : Set α

Context: h : GenerateOpen {t | ∃ a, (Ici a)ᶜ = t} s


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ

dist z w = r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) = sinh (r / 2)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)

Context: i✝ : ι

Context: c : γ

Context: x : β i✝

Context: i : ι

(single i✝ (c • x)) i = (c • single i✝ x) i


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)

Context: i✝ : ι

Context: c : γ

Context: x : β i✝

Context: i : ι

(if h : i✝ = i then ⋯ ▸ (c • x) else 0) = c • if h : i✝ = i then ⋯ ▸ x else 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s : Set X


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s t : Set α

generateFrom (generateSetAlgebra 𝒜) = generateFrom 𝒜


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t s : Set α
ms : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t✝ s : Set α
ms : MeasurableSet s
t : Set α
ht : t ∈ generateSetAlgebra 𝒜


Context:
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
α : Type u_9
inst✝ : DecidableEq α
x : Multiset α

((Finset.range (card x + 1)).sup fun k => powersetCard k x) = x.powerset


((Finset.range (card x + 1)).sup fun k => powersetCard k x) = (range (card x + 1)).bind fun k => powersetCard k x


((Finset.range (card x + 1)).sup fun k => powersetCard k x) = ∑ x_1 ∈ Finset.range (card x + 1), powersetCard x_1 x


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b

(fun x => rexp (-b * x ^ 2)) =o[atTop] fun x => rexp (-x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : α

Context: size✝ : ℕ

Context: l : Ordnode α

Context: y : α

Context: r : Ordnode α

Context: this : cmpLE x y = cmpLE y x

(Ordnode.insert x (node size✝ l y r)).dual = Ordnode.insert x (node size✝ l y r).dual


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : α

Context: size✝ : ℕ

Context: l : Ordnode α

Context: y : α

Context: r : Ordnode α

Context: this : cmpLE x y = cmpLE y x

(match cmpLE x y with | Ordering.lt => (Ordnode.insert x l).balanceL y r | Ordering.eq => node size✝ l x r | Ordering.gt => l.balanceR y (Ordnode.insert x r)).dual = match (cmpLE x y).swap with | Ordering.lt => (Ordnode.insert x r.dual).balanceL y l.dual | Ordering.eq => node size✝ r.dual x l.dual | Ordering.gt => r.dual.balanceR y (Ordnode.insert x l.dual)


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.223578, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L

(HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (triangle φ).mor₃ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (rotateHomotopyEquiv φ).hom = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (inr φ))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : a • ↑s = ↑s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
g : Y → Z
s : Set Z


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
p : Submodule R M
f : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
hf : ∀ (c : M₂), f c ∈ p


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U V : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V

X.presheaf.map i ≫ invApp f (unop V) = invApp f (unop U) ≫ Y.presheaf.map ((opensFunctor f).op.map i)


(X.presheaf.map i ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop V)))) = (X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop U))))) ≫ Y.presheaf.map ((opensFunctor f).op.map i)


X.presheaf.map i ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop U))))) ≫ Y.presheaf.map ((opensFunctor f).op.map i)) ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj (unop V)))


X.presheaf.map (i ≫ eqToHom ⋯) = X.presheaf.map (eqToHom ⋯ ≫ ((Opens.map f.base).map ((opensFunctor f).map i.unop)).op)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y


Context:
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m


Context:
S : LightProfinite
n m : ℕ
h : n ≤ m

Function.Surjective (⇑(S.transitionMapLE h) ∘ ⇑(S.proj m))


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z a : K
h : ‖a‖ ≤ re a


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
x : L

∃ k, ↑(weightSpace M 0) ≤ LinearMap.ker ((toEnd R L M) x ^ k)


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
t : Set A
z : A

z ∈ Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap (↥(toAlgHom R S A).range) A) ∪ t) ↔ z ∈ Subsemiring.closure (Set.range ⇑(algebraMap S A) ∪ t)


Set.range ⇑(algebraMap (↥(toAlgHom R S A).range) A) = Set.range ⇑(algebraMap S A)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂

Context: m : ι → R

Context: this : m = fun i => m i • 1

(MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = f m


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : MultilinearMap R (fun x => R) M₂

Context: m : ι → R

Context: this : m = fun i => m i • 1

(MultilinearMap.mkPiRing R ι (f fun x => 1)) m = (∏ i : ι, m i) • f fun i => 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hx : (x, y).1 ∈ s
hy : (x, y).2 ∈ t

MeasurableSet (s ×ˢ t) ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hx : (x, y).1 ∈ s
hy : (x, y).2 ∈ t
hst : MeasurableSet (s ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : (x, y).1 ∈ s

Context: hy : (x, y).2 ∈ t

Context: hst : MeasurableSet (s ×ˢ t)

Context: this : MeasurableSet ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s ×ˢ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: x : α

Context: y : β

Context: hx : (x, y).1 ∈ s

Context: hy : (x, y).2 ∈ t

Context: hst : MeasurableSet (s ×ˢ t)

Context: this✝ : MeasurableSet ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s ×ˢ t)

Context: this : MeasurableSet (Prod.mk x ⁻¹' s ×ˢ t)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
n : ℕ

spectrum ℂ (a ^ n) = (fun x => x ^ n) '' spectrum ℂ a


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
m : M
p : Submodule R M


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r
hl : Ordered cmp l
hr : Ordered cmp r


Ordered cmp (r.reverse.balLeft v l.reverse).reverse


Context:
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : Algebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
x : 𝕜

x ∈ spectrum 𝕜 f ↔ x ∈ ⇑(algebraMap 𝕜 R) ⁻¹' Set.range ⇑f


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : 0 ≤ x
hx₂ : x ≤ π


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E

Kᗮ = ⊤ ↔ K = ⊥


Kᗮ = ⊤ → K = ⊥


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
h : Kᗮ = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
h : Kᗮ = ⊤
this : K ⊓ Kᗮ = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ map (const α b₂) ↑l


Context: a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length


Context: k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.length).1


Primrec fun p => (fun a n => Nat.casesOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).1 Option.none fun k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) a.length).2 (some 0) (some n.succ) (some (unpair n).1) (some (unpair n).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) n let y ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) n Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair n).1; Nat.casesOn (unpair n).2 (Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair n).1; let m := (unpair n).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a ((ofNat (ℕ × Code) a.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup a (k', (ofNat (ℕ × Code) a.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2


Context: k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1


Context: n : Primrec Prod.snd


Context: n : Primrec Prod.snd

Primrec fun p => (fun p k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2 (some 0) (some p.2.succ) (some (unpair p.2).1) (some (unpair p.2).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) p.2 let y ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair p.2).1; Nat.casesOn (unpair p.2).2 (Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair p.2).1; let m := (unpair p.2).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2


Context: k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1

Context: n : Primrec Prod.snd

Context: k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1


Context: n✝ : Primrec Prod.snd

Context: n : Primrec fun a => a.1.2


Context: n✝ : Primrec Prod.snd

Context: n : Primrec fun a => a.1.2

Context: k' : Primrec Prod.snd


Context: n✝ : Primrec Prod.snd

Context: n : Primrec fun a => a.1.2

Context: k' : Primrec Prod.snd

Context: c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2


Context: n✝ : Primrec Prod.snd

Context: n : Primrec fun a => a.1.2

Context: k' : Primrec Prod.snd

Primrec fun a => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) a.1.1.2 let y ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) a.1.1.2 some (Nat.pair x y)


Context: n✝ : Primrec Prod.snd

Context: n : Primrec fun a => a.1.2

Context: k' : Primrec Prod.snd

Primrec fun a => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) a.1.1.2 Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) x


Context: n✝ : Primrec Prod.snd

Context: n : Primrec fun a => a.1.2

Context: k' : Primrec Prod.snd

Primrec fun a => let z := (unpair a.1.1.2).1; Nat.casesOn (unpair a.1.1.2).2 (Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 (a.1.2, (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) (Nat.pair z (Nat.pair y i))


Context: n✝ : Primrec Prod.snd

Context: n : Primrec fun a => a.1.2

Context: k' : Primrec Prod.snd

Primrec fun a => let z := (unpair a.1.1.2).1; let m := (unpair a.1.1.2).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 (a.1.2, (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).2) (Nat.pair z (m + 1))


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ

a.natAbs < b.natAbs ↔ ↑a.natAbs < ↑b.natAbs


Context: f : ℕ → ℂ

abscissaOfAbsConv (logMul f) = abscissaOfAbsConv f


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℝ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℝ
hs : abscissaOfAbsConv (logMul f) < ↑s


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedCosZeta₀ (-a) s = completedCosZeta₀ a s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E

(q.removeZero.comp p n) v = (q.comp p n) v


∑ x : Composition n, (q.removeZero x.length) (p.applyComposition x v) = ∑ x : Composition n, (q x.length) (p.applyComposition x v)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
c : Composition n
_hc : c ∈ Finset.univ

(q.removeZero c.length) (p.applyComposition c v) = (q c.length) (p.applyComposition c v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5

∀ (v : Fin 0 → α), (circulant v)ᵀ = circulant fun i => v (-i)


Context:
G : Type u''
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : AddCommGroup M
module_M : Module R M
p p' : Submodule R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

whiskerLeftIso (F.map f) (F.mapId b) = (F.mapComp f (𝟙 b)).symm ≪≫ F.map₂Iso (ρ_ f) ≪≫ (ρ_ (F.map f)).symm


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: o : StAct k

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: S : List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse

Context: n : ℕ

Context: IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }

Context: H : n + 1 ≤ S.length

Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: o : StAct k

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: S : List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

Context: H : n + 1 ≤ S.length

{ l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: o : StAct k

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: S : List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

Context: H : n + 1 ≤ S.length

{ l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: o : StAct k

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: S : List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

Context: H : n + 1 ≤ S.length

some (bif (L.nth n k).isNone then TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) else { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }) = some { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: o : StAct k

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: S : List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

Context: H : n + 1 ≤ S.length

some (bif (some (S.reverse.get ⟨n, ?succ⟩)).isNone then TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) else { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }) = some { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: o : StAct k

Context: q : Stmt₂

Context: v : σ

Context: S : List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: n : ℕ

Context: H : n + 1 ≤ S.length


Context:
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁.reverse ++ m₂

∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }


Context:
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁.reverse ++ m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝


Context:
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁.reverse ++ m₂


Context:
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁.reverse ++ m₂) r x✝


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U V : Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target

↑(e.subtypeRestr hV).symm y = (i ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: U V : Opens X

Context: hU : Nonempty ↥U

Context: hV : Nonempty ↥V

Context: hUV : U ≤ V

Context: i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV

Context: y : Y

Context: hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).target

↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y) = i (↑(U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).symm (↑e.symm y))


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: U V : Opens X

Context: hU : Nonempty ↥U

Context: hV : Nonempty ↥V

Context: hUV : U ≤ V

Context: i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV

Context: y : Y

Context: hyV : ↑e.symm y ∈ (V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).target


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: U V : Opens X

Context: hU : Nonempty ↥U

Context: hV : Nonempty ↥V

Context: hUV : U ≤ V

Context: i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV

Context: y : Y

↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y) ∈ (V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).source


Context: X : Type u_1

Context: X' : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Y' : Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: Z' : Type u_6

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z'

Context: e : PartialHomeomorph X Y

Context: s : Opens X

Context: hs : Nonempty ↥s

Context: U V : Opens X

Context: hU : Nonempty ↥U

Context: hV : Nonempty ↥V

Context: hUV : U ≤ V

Context: i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV

Context: y : Y

↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV) (↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y)) = ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV) (i (↑(U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).symm (↑e.symm y)))


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j k : n

A i k * A.adjugate k j = Aᵀ.cramer (Pi.single k (A i k)) j


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f : R[X]
n : WithBot ℕ

f.degree ≤ n ↔ ∀ (m : ℕ), n < ↑m → f.coeff m = 0


Context: x y : EReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set (Set α)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
b : S
e : b * (algebraMap R S) a = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s : ↥M
e : mk' S x s * (algebraMap R S) a = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a : R

Context: ha : a ∈ nonZeroDivisors R

Context: x : R

Context: s : ↥M

Context: e : ∃ c, ↑c * (↑1 * (x * a)) = ↑c * (↑(s * 1) * 0)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommSemiring P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a : R

Context: ha : a ∈ nonZeroDivisors R

Context: x : R

Context: s c : ↥M

Context: e : ↑c * (↑1 * (x * a)) = ↑c * (↑(s * 1) * 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s c : ↥M
e : ↑c * x * a = 0


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i


((addConGen (Eqv R s)).lift (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ⋯) ↑(FreeAddMonoid.of (1, f)) = φ f


(FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) (FreeAddMonoid.of (1, f)) = φ f


(FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]) = φ f


(FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]) = 1 • φ f


(FreeAddMonoid.sumAux.match_1 (fun x => E) (List.map (fun p => p.1 • φ p.2) (FreeAddMonoid.toList ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]))) (fun _ => 0) fun x xs => List.foldl (fun x x_1 => x + x_1) x xs) = 1 • φ f


Context:
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r
ha : a ∉ s

(insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, r a b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module.Flat R M₂
rs : List R
h : IsWeaklyRegular M rs


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Semiring T
inst✝² : FunLike F R✝ S
rcf : RingHomClass F R✝ S
inst✝¹ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f : F
g : G
ι : Type u_3
R : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → Semiring (R i)
φ : (i : ι) → S →+* R i
x : S

x ∈ ker (Pi.ringHom φ) ↔ x ∈ ⨅ i, ker (φ i)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : ↥A.unitGroup

x✝ ∈ A.unitGroupToResidueFieldUnits.ker ↔ x✝ ∈ Subgroup.comap A.unitGroup.subtype A.principalUnitGroup


x✝ ∈ A.unitGroupToResidueFieldUnits.ker ↔ A.unitGroupMulEquiv x✝ ∈ (Units.map ↑(LocalRing.residue ↥A)).ker


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
m : a ∉ s


∀ {t' : Multiset α}, s ≤ t' → a ∈ t' → a ::ₘ s ≤ t'


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
t' : Multiset α
h : s ≤ t'


∀ {l₁ l₂ : List α}, l₁ <+ l₂ → a ∉ ↑l₁ → a ∈ ↑l₂ → a ::ₘ ↑l₁ ≤ ↑l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ t : Multiset α
a : α
t' : Multiset α
h : s✝ ≤ t'
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
m₁ : a ∉ ↑l₁
m₂ : a ∈ ↑l₂

a ::ₘ ↑l₁ ≤ ↑l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ t : Multiset α
a : α
t' : Multiset α
h : s✝ ≤ t'
l₁ : List α
m₁ : a ∉ ↑l₁
r₁ r₂ : List α
s : l₁ <+ r₁ ++ a :: r₂
m₂ : a ∈ ↑(r₁ ++ a :: r₂)


Context:
k : Type u
inst✝⁵ : Field k
G : Grp
inst✝⁴ : IsAlgClosed k
inst✝³ : Fintype ↑G
inst✝² : Invertible ↑(Fintype.card ↑G)
V W : FDRep k ↑G
inst✝¹ : Simple V
inst✝ : Simple W

⅟↑(Fintype.card ↑G) • ∑ g : ↑G, V.character g * W.character g⁻¹ = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0


⅟↑(Fintype.card ↑G) • Finset.univ.sum (of (linHom W.ρ V.ρ)).character = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0


↑(finrank k ↥(invariants (of (linHom W.ρ V.ρ)).ρ)) = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0


↑(finrank k ↥(linHom W.ρ V.ρ).invariants) = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0


↑(finrank k (W ⟶ V)) = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).tan = dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑(numDerangements n) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n - k))

↑(numDerangements (n + 1)) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1 + 1), (-1) ^ k * ↑((k + 1).ascFactorial (n + 1 - k))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

∀ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑n + 1) * ((-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n - x))) = (-1) ^ x * ↑((x + 1).ascFactorial (n + 1 - x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: x : ℕ

Context: hx : x ∈ Finset.range (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: n : ℕ

Context: x : ℕ

Context: hx : x ∈ Finset.range (n + 1)

Context: h_le : x ≤ n


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
inst✝ : Fintype ι
hμ : iIndep m μ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: s t : Set α

Context: a : ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
hbdd : BddAbove (range f)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε

∃ g, (∀ (x : α), ↑(f x) < g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ Integrable (fun x => (g x).toReal) μ ∧ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤) ∧ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ

Context: gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: gm : α → ℝ≥0

Context: gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x

Context: gmcont : UpperSemicontinuous gm

Context: gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ

Context: gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: gm : α → ℝ≥0

Context: gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x

Context: gmcont : UpperSemicontinuous gm

Context: g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: gm : α → ℝ≥0

Context: gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x

Context: gmcont : UpperSemicontinuous gm

Context: ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: gm : α → ℝ≥0

Context: gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x

Context: gmcont : UpperSemicontinuous gm


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩

Context: δpos : 0 < δ

Context: fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal

Context: gp : α → ℝ≥0∞

Context: fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x

Context: gpcont : LowerSemicontinuous gp

Context: gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤

Context: gm : α → ℝ≥0

Context: gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x

Context: gmcont : UpperSemicontinuous gm

∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε


Context:
a b : ℤ
h : a ≤ b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
p : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in l, p x) ↔ (l ⊓ 𝓟 {x | p x}).NeBot


Context: K : Type u

Context: inst✝ : CommRing K

Context: P : Sort v

Context: n : K[X]

Context: d : ↥K[X]⁰

Context: f : K[X] → K[X] → P

Context: H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'

{ toFractionRing := Localization.mk n d }.liftOn f H = f n ↑d


Context: K : Type u

Context: inst✝ : CommRing K

Context: P : Sort v

Context: n : K[X]

Context: d : ↥K[X]⁰

Context: f : K[X] → K[X] → P

Localization.liftOn { toFractionRing := Localization.mk n d }.toFractionRing (fun p q => f p ↑q) ⋯ = f n ↑d


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
_h : φ.order ≠ ψ.order
H : φ.order < ψ.order


(∀ (i : ℕ), ↑i = φ.order → (coeff R i) (φ + ψ) ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < φ.order → (coeff R i) (φ + ψ) = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : range f ∪ {0} ⊆ s

Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn f fmeas s 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
h : N.FG


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
hf : s.Finite
h : ((closure L).toFun s).FG


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: x : α (last n)

Context: p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)

(last n).insertNth x p = snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: x : α (last n)

p = (last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x)


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: x : α (last n)

Context: j : Fin n

p j = (last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: x : α (last n)

Context: j : Fin n

HEq (p j) ((last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j)


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: x : α (last n)

Context: j : Fin n

HEq (p j) (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x j.castSucc)


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: β : Type v

Context: x : α (last n)

Context: j : Fin n

HEq (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x j.castSucc) ((last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : NormedRing E
inst✝² : StarRing E
inst✝¹ : CstarRing E
inst✝ : Nontrivial E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : NormedRing E
inst✝² : StarRing E
inst✝¹ : CstarRing E
inst✝ : Nontrivial E
this : 0 < ‖1‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular

μ A = ⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U


⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U ≤ μ A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r

⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U < r


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜

(⨅ i, ⨅ j, s i j).toIdeal = ⨅ i, ⨅ j, (s i j).toIdeal


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp F 2 μ)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp F 2 μ)
h_two : ENNReal.ofReal 2 = 2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
n : ℕ
_hn : n ≠ 0
hm : 1 ≠ 0
hmn : Coprime 1 n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
hm' : m ≠ 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : { w // w.IsComplex }

Context: h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K f w₀)

∃ a, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ↑a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : { w // w.IsComplex }

Context: w✝ : K

Context: h_mem : w✝ ∈ ↑1

Context: h_nz : w✝ ≠ 0

Context: h_bd : (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w w✝ < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding w✝).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding w✝).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: w₀ : { w // w.IsComplex }

Context: a : 𝓞 K

Context: h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1

Context: h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

Context: h_bd : (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ((algebraMap (𝓞 K) K) a) < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B C : Matrix n n α
i j : n


∑ x : n, A i x * ∑ j_1 : n, B x j_1 * C j_1 j = ∑ x : n, A i x * ∑ x_1 : n, B x x_1 * Cᵀ j x_1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0

∀ (a : DirectLimit G f), (lift G f P g Hg) a = 0 → a = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g : (i : ι) → G i →+ P

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: z : DirectLimit G f

Context: hz : (lift G f P g Hg) z = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →+ P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0

Context: i✝ : ι

Context: g : G i✝

Context: hz : (lift G f P g✝ Hg) ((of G f i✝) g) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →+ P

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: i✝ : ι

Context: g : G i✝

Context: hz : (g✝ i✝) g = 0


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝¹ : X → ↑F X
xs : Path F
a a' : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a'
f✝ : F.B a' → F.M
a✝ : IsPath xs (f✝ i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a', f✝⟩


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
a✝ : IsPath xs (f i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f⟩


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)

{ length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.toFun (↑↑(Fin.natAdd p.length i) + 1) = q.toFun i


Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1)) = q.toFun i


Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1) = Fin.natAdd (p.length + 1) i


↑(Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1)) = ↑(Fin.natAdd (p.length + 1) i)


↑(↑(p.length + ↑i) + 1) = p.length + 1 + ↑i


↑(↑(p.length + ↑i) + 1) = p.length + ↑i + 1


((p.length + ↑i) % (p.length + q.length + 1 + 1) + 1 % ({ length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.length + 1)) % (p.length + q.length + 1 + 1) = p.length + ↑i + 1


p.length + ↑i + 1 < (p.length + q.length + 1).succ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
this : Nontrivial R
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • 0 = w


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
hn : v ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝² : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝¹ : CommMonoid γ

Context: v : Π₀ (i : ι), β i

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: hp : ∀ x ∈ v.support, p x

((subtypeDomain p v).prod fun i b => h (↑i) b) = v.prod h


Context:
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b


Context:
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1


Context:
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1
hkb : k < ↑b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.104131, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p : ℤ

(δ (-1) 0 (inl φ)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (φ ≫ inr φ)).v p p ⋯


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α

f ((Equiv.swap x y) z) = (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z)


f ((Equiv.swap x y) z) = if f z = f x then f y else if f z = f y then f x else f z


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β

ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)


Cardinal.lift.{u, 0} (Module.rank ℝ ℂ) = 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

κ.restrict hs ⊗ₖ η = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯


κ.restrict hs ⊗ₖ η = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι

((insert i s).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w


∑ i_1 ∈ insert i s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) = ∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i)


Context:
p : ℕ → Bool
m : ℕ
pm : p m = true
this : true ∈ ↑p m
n : ℕ
hn : n ∈ rfind ↑p
h : m < n


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : α
x : γ

update f (inl i) x (inl j) = update (f ∘ inl) i x j


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: s : Set X

Context: h : ∀ ⦃x : ℕ → X⦄, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) → ∃ a ∈ s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)

Context: V : Set (X × X)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 X

∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: s : Set X

Context: V : Set (X × X)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 X

Context: h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}

∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ ∀ a ∈ s, ∀ (φ : ℕ → ℕ), StrictMono φ → ¬Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: s : Set X

Context: V : Set (X × X)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 X

Context: u : ℕ → X

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: s : Set X

Context: V : Set (X × X)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 X

Context: u : ℕ → X

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: x : X

Context: x✝ : x ∈ s

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : StrictMono φ

Context: huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝ : UniformSpace X

Context: s : Set X

Context: V : Set (X × X)

Context: V_in : V ∈ 𝓤 X

Context: u : ℕ → X

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: x : X

Context: x✝ : x ∈ s

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : StrictMono φ

Context: huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ (p q : ℕ), p ≥ N → q ≥ N → (u (φ p), u (φ q)) ∈ V


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
h : s.Nonempty


Context:
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
i : σ

(pderiv i) (C a * f) = C a * (pderiv i) f


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) (succFn i)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, succFn i ≤ x) ∧ succFn i ∈ upperBounds (lowerBounds (Set.Ioi i))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hg' : ∀ x ∈ spectrum R a, g x ≠ 0

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f x / g x) a = cfc f a * Ring.inverse (cfc g a)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hg' : ∀ x ∈ spectrum R a, g x ≠ 0

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f x * (g x)⁻¹) a = cfc f a * Ring.inverse (cfc g a)


Context: α : Type u_1

Context: l : List (α → Prop)

Context: H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE


Context: α : Type u_1

Context: l : List (α → Prop)

∀ (j : α → Prop), j ∈ l → ∀ (j_1 : α → Prop), j_1 ∈ l → ((∀ (a : α), j a) ↔ ∀ (a : α), j_1 a)


Context: α : Type u_1

Context: l : List (α → Prop)

Context: p₁ : α → Prop

Context: hp₁ : p₁ ∈ l

Context: p₂ : α → Prop

Context: hp₂ : p₂ ∈ l


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)

Context: I J : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)

Context: h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), x ∈ cylinder I S ↔ x ∈ cylinder J T

Context: hJI : J ⊆ I


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)

Context: I J : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)

Context: hJI : J ⊆ I

Context: h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), (fun i => x ↑i) ∈ S ↔ (fun i => x ↑i) ∈ T


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)

Context: I J : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)

Context: hJI : J ⊆ I

Context: f : (i : { x // x ∈ I }) → α ↑i

f ∈ S ↔ f ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)

Context: I J : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)

Context: hJI : J ⊆ I

Context: f : (i : { x // x ∈ I }) → α ↑i


Context: x y : ℂ

sinh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (sinh x)


Context: x y : ℂ

(starRingEnd ℂ) (cexp x - cexp (-x)) / 2 = (starRingEnd ℂ) (cexp x - cexp (-x)) / (starRingEnd ℂ) 2


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i

δ i ≫ σ j = σ (j.castLT ⋯) ≫ δ (i.pred ⋯)


δ i ≫ σ j = δ (i.pred ⋯).succ ≫ σ (j.castLT ⋯).castSucc


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set α
z : γ

z ∈ (r • s).image t ↔ z ∈ s.image (r.image t)


(∃ x ∈ t, (r • s) x z) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ t, r x_1 x) ∧ s x z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β
fst✝ : α
snd✝ : β

(fst✝¹, snd✝¹) ⋖ (fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹).1 ⋖ (fst✝, snd✝).1 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2 ∨ (fst✝¹, snd✝¹).2 ⋖ (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1


Context:
α : Type u_1
S s : Set α
h_s : s ∈ {S}
t : Set α
h_t : t ∈ {S}
a✝ : (s ∩ t).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

{x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}.Countable


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

{x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ⊆ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : α), x < y → z ≤ f y}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: hx : ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x

∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : α), x < y → z ≤ f y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: m : β

Context: hm : m < f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: u : β

Context: hu : u > f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: u : β

Context: hu : u > f x

Context: v : α

Context: xv : x < v

Context: fvu : f v < u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: u : β

Context: hu : u > f x

Context: v : α

Context: xv : x < v

Context: fvu : f v < u

Context: this : Ioo x v ∈ 𝓝[>] x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y✝ : α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology β

Context: x : α

Context: u : β

Context: hu : u > f x

Context: v : α

Context: xv : x < v

Context: fvu : f v < u

Context: this : Ioo x v ∈ 𝓝[>] x

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Ioo x v


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)
t : Set ι
htc : t.Countable
htu : ⋃ i, U i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: e : PartialEquiv α β

Context: e' : PartialEquiv β γ

Context: ι : Type u_5

Context: αi : ι → Type u_6

Context: βi : ι → Type u_7

Context: γi : ι → Type u_8

Context: ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)

Context: ei' : (i : ι) → PartialEquiv (βi i) (γi i)

(PartialEquiv.pi ei).trans (PartialEquiv.pi ei') = PartialEquiv.pi fun i => (ei i).trans (ei' i)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.Compatible


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.SieveCompatible


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.SieveCompatible
W Z : C
f₁ : W ⟶ Y
f₂ : Z ⟶ W
hf : (Sieve.pullback f S).arrows f₁


Context:
m n p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
hpq : p ≠ q


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (aeval s) p = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hcont : p.content ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hcont : (algebraMap R S) p.content ≠ (algebraMap R S) 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : Ring S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: p : R[X]

Context: s : S

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hcont : (algebraMap R S) p.content ≠ 0


Context:
n✝ m n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactors


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
z : ℤ


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n✝
M : Matrix n✝ n✝ R
hM : M.PosSemidef
n : ℕ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α✝

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u_4

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x y : α i

Context: f g : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

Context: c : ℝ≥0

nndist (i.insertNth x f) (i.insertNth y g) ≤ c ↔ max (nndist x y) (nndist f g) ≤ c


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a : α


comap Inv.inv (comap norm atTop) = comap norm (comap Inv.inv atTop)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R

a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a z w : α
hz : z ≠ 0
hw : w ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Semiring R
a : α
b : R


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X

ClusterPt x (F.lift' closure) ↔ ClusterPt x F


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k ≃+* K
φ : K →+* ℂ
H : IsReal (φ.comp ↑f)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
i : Fin (rank K)

Additive.ofMul ⟦fundSystem K i⟧ = (basisModTorsion K) i


Additive.toMul ((basisModTorsion K) i) = Additive.ofMul.symm ((basisModTorsion K) i)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hle : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: c : KernelFork f

Context: hc : IsLimit c

Context: hf : f = 0

Context: e : c.pt ≅ X := hc.conePointUniqueUpToIso (ofId f hf)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: c : KernelFork f

Context: hc : IsLimit c

Context: hf : f = 0

Context: eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: c : KernelFork f

Context: hc : IsLimit c

Context: hf : f = 0

Context: eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X

Context: this : IsIso (e.inv ≫ Fork.ι c)


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Integrable f ((condexpKernel μ m) ω)


∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Integrable f (((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω)


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i

update (s.piecewise f g) i v = s.piecewise (update f i v) g


s.piecewise (update f i v) (update g i v) = s.piecewise (update f i v) g


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i
j : ι
hj : j ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E'✝ : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁵ : Norm E

Context: inst✝¹⁴ : Norm F

Context: inst✝¹³ : Norm G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R'

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'✝

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: E' : ι → Type u_18

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: f : α → (i : ι) → E' i

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

IsBigOWith C l f g' ↔ ∀ (i : ι), IsBigOWith C l (fun x => f x i) g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E'✝ : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁵ : Norm E

Context: inst✝¹⁴ : Norm F

Context: inst✝¹³ : Norm G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R'

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'✝

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: E' : ι → Type u_18

Context: f : α → (i : ι) → E' i

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

Context: this : ∀ (x : α), 0 ≤ C * ‖g' x‖


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: c : ℂ

Context: R C : ℝ

Context: f : ℂ → F

Context: hR : 0 < R

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)

Context: hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C

Context: e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: c : ℂ

Context: R C : ℝ

Context: f : ℂ → F

Context: hR : 0 < R

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)

Context: hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C

Context: this : HasDerivAt (⇑e ∘ f) (e (deriv f c)) c


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
t' : Set M
h : t'.Finite


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
t : Finset M
h : (↑t).Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
n : ℕ
v : Fin n.succ → M

∏ i ∈ Ioi 0, v i = ∏ j : Fin n, v j.succ


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

∀ (x : HeightOneSpectrum R), ↑x.asIdeal ^ count K x I = ↑x.asIdeal ^ (↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: w : HeightOneSpectrum R

count K w I = ↑((Associates.mk w.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk w.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors)


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
h : p = q


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
h : p ≠ q


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (zipWith f l l').length


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < min l.length l'.length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝² : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝² : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: p : Set α → Prop

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p ∅

Context: hs : ∅ ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: inst✝² : CountableInterFilter l

Context: f g : α → β

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: p : Set α → Prop

Context: s : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s

Context: hs : s ∈ l

Context: hne : s.Nonempty


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℕ

∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 ≡ x [MOD p]


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
hne : f x ≠ g x

DifferentiableAt ℝ (fun y => ‖f y - g y‖) x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ

Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop ↔ n ≠ 0 ∧ 0 < c


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrderedSemifield α

Context: l : Filter β

Context: f : β → α

Context: r c : α

Context: n : ℕ

Context: h : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝ : LinearOrderedSemifield α

Context: l : Filter β

Context: f : β → α

Context: r c : α

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : Filter α
s : Set α
h : f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f

(∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J) → map f (sInf A) = sInf (map f '' A)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DivisionRing α

Context: x✝¹ x✝ : ℕ

Context: num✝ : ℤ

Context: denom✝ : ℕ

Context: inv✝ : Invertible ↑denom✝

Context: eq : ↑(mkRat (↑x✝¹) (10 ^ x✝)) = ↑num✝ * ⅟↑denom✝

OfScientific.ofScientific x✝¹ true x✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝


Context:
i j : ℤ
H : j ∣ i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: f : α → α

Context: x y : ℕ → α

Context: hf : Monotone f

Context: h₀ : x 0 < y 0

Context: hx : ∀ (k : ℕ), k < 0 → x (k + 1) < f (x k)

Context: hy : ∀ (k : ℕ), k < 0 → f (y k) ≤ y (k + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: f : α → α

Context: x y : ℕ → α

Context: hf : Monotone f

Context: h₀ : x 0 < y 0

Context: n✝ : ℕ

Context: hx : ∀ (k : ℕ), k < n✝ + 1 → x (k + 1) < f (x k)

Context: hy : ∀ (k : ℕ), k < n✝ + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g : G
S : Set G
hS : closure S = ⊤

center G = ⨅ g, centralizer ↑(zpowers ↑g)


Context:
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
f : CauSeq K norm
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ‖↑f j - ↑f i‖ < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i

|(fun n => re (↑f n)) j - (fun n => re (↑f n)) i| ≤ ‖↑f j - ↑f i‖


Context:
ι : Type u_1
t : Finset ι
s : ι → ℕ
x : ℕ

(∏ i ∈ t, s i).Coprime x ↔ ∀ i ∈ t, (s i).Coprime x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubsemiring R
x : S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter α

(rmap s (rmap r l)).sets = (rmap (r.comp s) l).sets


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_7
s : ι → Set α
x : α →₀ M

x ∈ supported M R (⋂ i, s i) ↔ x ∈ ⨅ i, supported M R (s i)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Fintype (ConjClasses G)

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier

∑ x : ConjClasses G, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: inst✝² : Fintype (ConjClasses G)

Context: inst✝¹ : Fintype G


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β

M.dest (P F) (corecF g x) = (TypeVec.id ::: corecF g) <$$> repr (g x)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g✝ : ι → α
g : ι → β
b : β
hg : Tendsto g p (𝓝 b)
p' : Filter α

TendstoUniformlyOnFilter (fun n x => g n) (fun x => b) p p'


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
hI : I.FG


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A

σ ((aeval a) p) = (fun k => eval k p) '' σ a


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A
h : p.degree ≤ 0


σ ((aeval a) (C (p.coeff 0))) = (fun k => eval k (C (p.coeff 0))) '' σ a


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F

HasGradientWithinAt f f' univ x ↔ HasGradientAt f f' x


HasFDerivWithinAt f ((toDual 𝕜 F) f') univ x ↔ HasFDerivAt f ((toDual 𝕜 F) f') x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Irreducible p
l : Multiset { a // Irreducible a }

BfactorSetMem ⟨p, hp⟩ ↑l ↔ Mem ⟨p, hp⟩ l


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F

Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F))


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

∀ (a : Fq[X]), (algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) a = 0 → a = 0


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: p : Fq[X]

Context: hp : (algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p = 0


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: p : Fq[X]

Context: hp : ↑((algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p) = 0


Context: Fq F : Type

Context: inst✝⁴ : Field Fq

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra Fq[X] F

Context: inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F

Context: hinj : ∀ (a : Fq[X]), (algebraMap Fq[X] F) a = 0 → a = 0

Context: p : Fq[X]


Context:
α : Type u_1
s t : Set α


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

(𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

∀ (b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

Context: b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst