Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f f' g : α → β
t : Set α
a : α

a ∈ t → s.piecewise f f' a = g a ↔ (a ∈ t ∩ s → f a = g a) ∧ (a ∈ t ∩ sᶜ → f' a = g a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : Preorder α
x : α

⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Accumulate s y = ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y


⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Accumulate s y ⊆ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y


⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), s y ⊆ ⋃ y, ⋃ (_ : y ≤ x), Accumulate s y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

tris.card ≤ G.edgeFinset.card - H.edgeFinset.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

tris.attach.card ≤ (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: hG : (G.edgeFinset \ H.edgeFinset).card < tris.attach.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: this : ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ∈ tris → ∃ x y, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ x ≠ y ∧ s(x, y) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α

Context: hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t

Context: hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t

Context: hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht

Context: fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α

Context: f : { x // x ∈ tris } → Sym2 α := fun t => s(fx ⋯, fy ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α

Context: hf : ∀ x ∈ tris.attach, f x ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α

Context: t₁ : Finset α

Context: ht₁ : t₁ ∈ tris

Context: t₂ : Finset α

Context: ht₂ : t₂ ∈ tris

Context: tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩

Context: t : s(fx ⋯, fy ⋯) = s(fx ⋯, fy ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α

Context: t₁ : Finset α

Context: ht₁ : t₁ ∈ tris

Context: t₂ : Finset α

Context: ht₂ : t₂ ∈ tris

Context: tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩

Context: t : s(fx ⋯, fy ⋯) = s(fx ⋯, fy ⋯)

Context: i : (fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton) t₁ t₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: hHG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

Context: fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α

Context: t₁ : Finset α

Context: ht₁ : t₁ ∈ tris

Context: t₂ : Finset α

Context: ht₂ : t₂ ∈ tris

Context: tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩

Context: t : fx ⋯ = fx ⋯ ∧ fy ⋯ = fy ⋯ ∨ fx ⋯ = fy ⋯ ∧ fy ⋯ = fx ⋯

Context: i : (↑t₁ ∩ ↑t₂).Subsingleton


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : Countable β

Context: s : β → Set α

Context: hm : ∀ (i : β), NullMeasurableSet (s i) μ

Context: hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

Context: f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α) in ⋃ i, s i, f a ∂μ = ∑' (i : β), ∫⁻ (a : α) in s i, f a ∂μ


Context:
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.IsLocal
X Y UX UY : Scheme
inst✝¹ : IsAffine UY
f : X ⟶ Y
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
hf : targetAffineLocally P f


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
r x : M₁
hr : r ∈ M₁⁰


Context:
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
p : R[X]
x : R
P : Ideal R
hP : x ∈ P
n✝ : ℕ
i : n✝ < (p.scaleRoots x).natDegree


Context:
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
p : R[X]
x : R
P : Ideal R
hP : x ∈ P
n✝ : ℕ
i : 0 < p.natDegree - n✝


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J

∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : J ≠ 0

Context: h_subset : {v | ¬↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) = 0} ⊆ {v | v.asIdeal ∣ J} ∪ {v | v.asIdeal ∣ Ideal.span {a}}


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y

(adj.homEquiv X' Y).symm (f ≫ g) = F.map f ≫ (adj.homEquiv X Y).symm g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

Context: h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0

Tendsto (fun m => ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (ν a) (countablePartitionSet n x)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅) / (ν a) (countablePartitionSet n x)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

(κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ ∅) ≠ 0 ∨ (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0


Context:
k : ℕ
x : ℝ

HasDerivAt (fun x => bernoulliFun (k + 1) x / (↑k + 1)) (bernoulliFun k x) x


Context:
k : ℕ
x : ℝ

bernoulliFun k x = ↑(k + 1) * bernoulliFun (k + 1 - 1) x / (↑k + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h✝ : x ∈ l
y : α
h : x ∈ y :: l
hy : x ≠ y
hx : x = (y :: l).getLast ⋯
hl : l.Nodup


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hl : l.Nodup

Context: h✝ : (y :: l).getLast ⋯ ∈ l

Context: h : (y :: l).getLast ⋯ ∈ y :: l

Context: hy : (y :: l).getLast ⋯ ≠ y

Context: H : (y :: l).getLast ⋯ ∈ (y :: l).dropLast


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hl : l.Nodup

Context: h✝ : (y :: l).getLast ⋯ ∈ l

Context: h : (y :: l).getLast ⋯ ∈ y :: l

Context: hy : (y :: l).getLast ⋯ ≠ y

Context: hk : 0 < (y :: l).dropLast.length

Context: hk' : (y :: l).dropLast.get ⟨0, hk⟩ = (y :: l).getLast ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: y : α

Context: hl : l.Nodup

Context: h✝ : (y :: l).getLast ⋯ ∈ l

Context: h : (y :: l).getLast ⋯ ∈ y :: l

Context: hy : (y :: l).getLast ⋯ ≠ y

Context: k : ℕ

Context: hk : k + 1 < (y :: l).dropLast.length

Context: hk' : (y :: l).dropLast.get ⟨k + 1, hk⟩ = (y :: l).getLast ⋯


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S)


IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → E → F

Context: s : Finset ι

Context: h : ∀ i ∈ s, ContDiff 𝕜 n fun x => f i x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → E → F

Context: s : Finset ι

Context: h : ∀ i ∈ s, ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f i x) univ

ContDiffOn 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) univ


Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]

I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial (Polynomial.map (Quotient.mk I) f) = (Quotient.mk (map C I)) f


I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm (I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial (Polynomial.map (Quotient.mk I) f)) = I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm ((Quotient.mk (map C I)) f)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: s : ℕ

Context: hs : ¬s = 0

Context: c₁ : Fin (s + 1) → Associates M

Context: hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m

Context: hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m

Context: hc₁' : StrictMono c₁

Context: hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i

↑(d ⟨c₁ 1, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: s : ℕ

Context: hs : ¬s = 0

Context: c₁ : Fin (s + 1) → Associates M

Context: hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m

Context: hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m

Context: hc₁' : StrictMono c₁

Context: c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: s : ℕ

Context: hs : ¬s = 0

Context: c₁ : Fin (s + 1) → Associates M

Context: hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m

Context: hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m

Context: hc₁' : StrictMono c₁

Context: c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: s : ℕ

Context: hs : ¬s = 0

Context: c₁ : Fin (s + 1) → Associates M

Context: hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m

Context: hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m

Context: hc₁' : StrictMono c₁

Context: t u : Fin (s + 1)

Context: h : t < u


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: s : ℕ

Context: hs : ¬s = 0

Context: c₁ : Fin (s + 1) → Associates M

Context: hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m

Context: hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m

Context: hc₁' : StrictMono c₁

Context: r : Associates N

Context: hr : r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: s : ℕ

Context: hs : ¬s = 0

Context: c₁ : Fin (s + 1) → Associates M

Context: hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m

Context: hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m

Context: hc₁' : StrictMono c₁

Context: r : Associates N

(∃ i, r = c₂ i) → r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: s : ℕ

Context: hs : ¬s = 0

Context: c₁ : Fin (s + 1) → Associates M

Context: hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m

Context: hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m

Context: hc₁' : StrictMono c₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : 0 ≤ ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Even a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

(o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

(o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #(Quotient.out o).α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
S : Set (Set α)

generateFrom (insert ∅ S) = generateFrom S


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)

A.Definable L s ↔ ∃ φ, s = {v | φ.Realize (Sum.elim Subtype.val v)}


(∃ b, s = setOf (Formula.Realize (BoundedFormula.constantsVarsEquiv.symm b))) ↔ ∃ φ, s = {v | φ.Realize (Sum.elim Subtype.val v)}


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M

x✝ ∈ setOf (Formula.Realize (BoundedFormula.constantsVarsEquiv.symm φ)) ↔ x✝ ∈ {v | Formula.Realize φ (Sum.elim Subtype.val v)}


(BoundedFormula.mapTermRel (fun n => ⇑Term.constantsVarsEquivLeft.symm) (fun n => ⇑(Equiv.sumEmpty (L.Relations n) (Sequence₂ PEmpty.{1} PEmpty.{1} PEmpty.{1} n)).symm) (fun x => id) φ).Realize x✝ default ↔ φ.Realize (Sum.elim Subtype.val x✝) default


∀ (n : ℕ) (t : L.Term ((↑A ⊕ α) ⊕ Fin n)) (xs : Fin n → M), Term.realize (Sum.elim x✝ xs) (Term.constantsVarsEquivLeft.symm t) = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs) t


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M
n✝ : ℕ
t✝ : L.Term ((↑A ⊕ α) ⊕ Fin n✝)
xs✝ : Fin n✝ → M

Term.realize (Sum.elim x✝ xs✝) (Term.constantsVarsEquivLeft.symm t✝) = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs✝) t✝


Term.realize (Sum.elim (fun a => ↑a) (Sum.elim x✝ xs✝) ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc (↑A) α (Fin n✝))) t✝ = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs✝) t✝


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s


IsConnected ((fun x_1 => x_1.1 • (x -ᵥ p) +ᵥ x_1.2) '' Set.Iio 0 ×ˢ ↑s)


Context:
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j : J
inst✝³ : X.HasMap p
inst✝² : Y.HasMap p
inst✝¹ : Z.HasMap p
c : X.CofanMapObjFun p j
hc : IsColimit c
inst✝ : X.HasMap p
i : I
hi : p i = j

X.ιMapObj p i j hi ≫ (iso hc).inv = Cofan.inj c ⟨i, hi⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
x✝¹ : Fin 0 → α → σ
x✝ : ∀ (i : Fin 0), Computable (x✝¹ i)

Computable fun a => List.ofFn fun i => x✝¹ i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α → σ

Context: hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Computable (f i)

Computable fun a => List.ofFn fun i => f i a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → α → σ

Computable fun a => f 0 a :: List.ofFn fun i => f i.succ a


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : m < n
i : Nat

(take m (l.set n a))[i]? = (take m l)[i]?


(if i < m then (l.set n a)[i]? else none) = if i < m then l[i]? else none


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b


∀ (s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)) (m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt), (∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j) → m = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f₂

Context: small_k : IsKernelPair f₁ a b

Context: s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)

Context: m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

Context: hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j

m = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f₂

Context: small_k : IsKernelPair f₁ a b

Context: s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)

Context: m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (IsPullback.cone small_k).π.app j = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).π.app j


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f₂

Context: small_k : IsKernelPair f₁ a b

Context: s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)

Context: m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

m ≫ (IsPullback.cone small_k).fst = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).fst


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: R X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: a b : R ⟶ X

Context: f₁ : X ⟶ Y

Context: f₂ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f₂

Context: small_k : IsKernelPair f₁ a b

Context: s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)

Context: m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt

m ≫ (IsPullback.cone small_k).snd = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).snd


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
h : b.IsLimit


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

(gaussianReal μ v) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, gaussianPDFReal μ v x)


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

∫⁻ (x : ℝ) in s, gaussianPDF μ v x = ∫⁻ (x : ℝ) in s, ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

Integrable (gaussianPDFReal μ v) (ℙ.restrict s)


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

0 ≤ᶠ[ae (ℙ.restrict s)] gaussianPDFReal μ v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: ht : y ∈ closure t

Context: v : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop

Context: hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)

(LinearMap.inl 𝕜 E F) v ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: ht : y ∈ closure t

Context: v : E

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', y + d' ∈ t ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α


(∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x • ↑s ↔ x_1 ∈ y • ↑s) ↔ x⁻¹ * y ∈ s


(∀ (x_1 : α), x⁻¹ * x_1 ∈ s ↔ y⁻¹ * x_1 ∈ s) ↔ x⁻¹ * y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ balancedCoreAux 𝕜 s


Context:
a : UnitAddCircle
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
head✝ : α
l : List α


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hf' : ∃ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)

Context: hx_pos : 0 < x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 < x

Context: x₀ : ℝ

Context: hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1

Context: hx₀ : f x₀ = 0


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 < x

Context: x₀ : ℝ

Context: hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1

Context: hx₀ : f x₀ = 0

Context: x₀_pos : 0 < x₀


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 < x

Context: x₀ : ℝ

Context: hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1

Context: hx₀ : f x₀ = 0

Context: x₀_pos : 0 < x₀

Context: hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 0 < x

Context: x₀ : ℝ

Context: hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1

Context: hx₀ : f x₀ = 0

Context: x₀_pos : 0 < x₀

2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊ - 1) * x₀ ≤ x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

ContinuousOn p.sum (EMetric.ball ?m.404882 ⊤)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop

(∀ᶠ (x : α × α) in atTop, p x) ↔ ∃ a, ∀ k ≥ a, ∀ l ≥ a, p (k, l)


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : b ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: this : ((pure a).thinkN n).Results a (0 + n)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
x✝ : G

x✝ ∈ ↑A * ↑(B ⊓ C) ↔ x✝ ∈ ↑A * ↑B ∩ ↑C


(∃ x ∈ ↑A, ∃ y, (y ∈ ↑B ∧ y ∈ ↑C) ∧ x * y = x✝) ↔ (∃ x ∈ ↑A, ∃ y ∈ ↑B, x * y = x✝) ∧ x✝ ∈ ↑C


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : A ≤ C
y : G
hy : y ∈ ↑A
z : G
hz : z ∈ ↑B
hyz : y * z ∈ ↑C


Context:
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
x y z : α
f : z ⟶ x
g : z ⟶ y

colimit (span f g) = Finset.univ.sup (span f g).obj


Context:
m n : ℕ∞
x✝ : ℕ


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : DecidableEq G
a b : MonoidAlgebra k G


(sum a fun a₁ b₁ => sum b fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)).support ⊆ a.support * b.support


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (hurwitzZetaOdd (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ

↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 / (s + 1).Gammaℝ


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ
this : 0 < (s + 1).re


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p

ENNReal.ofReal (p * q) = ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal q


Context:
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : Cardinal.{v}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N✝ N : Matroid β

∀ I ⊆ (N.comap id).E, (N.comap id).Indep I ↔ N.Indep I


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g


∀ (i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J), P ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

Context: i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J

P ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

Context: e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

Context: this : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

P (pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

Q (pullback.fst (S.affineCover.map i) g)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

Context: this✝ : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: hP' : Q.StableUnderBaseChange

Context: X Y S : Scheme

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: H : P g

Q (pullback.snd g (S.affineCover.map i))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
head : α
tail : List α
a : α
h : head :: tail ≠ []

count a (head :: tail).tail = count a (head :: tail) - if a = (head :: tail).head h then 1 else 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Context: A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Pairwise (Disjoint on fun n => {c ^ n • x} + ↑s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

(Disjoint on fun n => {c ^ n • x} + ↑s) m n


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

∀ ⦃a : E⦄, -(c ^ m • x) + a ∈ s → -(c ^ n • x) + a ∉ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

Context: y : E

Context: hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s

Context: hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Context: A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

Context: y : E

Context: hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s

Context: hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s

Context: A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

Context: y : E

Context: hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s

Context: hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s

Context: A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s

Context: H : c ^ n - c ^ m ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Submodule ℝ E

Context: hs : s ≠ ⊤

Context: x : E

Context: hx : x ∉ s

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: cone : c < 1

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≠ n

Context: y : E

Context: hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s

Context: hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s

Context: A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s

Context: H : c ^ n - c ^ m ≠ 0

Context: this : x ∈ s


Context: x : ℂ


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

∀ (x : SimplexCategoryᵒᵖ), σ₁.app x = σ₂.app x


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: m : ℕ

Context: f : Λ[n + 1, i] _[m]


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: m : ℕ

Context: f : Λ[n + 1, i] _[m]

Context: f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]

Context: hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: m : ℕ

Context: f : Λ[n + 1, i] _[m]

Context: f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]

Context: j : Fin (n + 2)

Context: hji : ¬j = i

Context: hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: m : ℕ

Context: f : Λ[n + 1, i] _[m]

Context: f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]

Context: j : Fin (n + 2)

Context: hji : ¬j = i

Context: H : f = Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op (face i j hji)


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: m : ℕ

Context: f : Λ[n + 1, i] _[m]

Context: f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]

Context: j : Fin (n + 2)

Context: hji : ¬j = i

Context: H₁ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₁.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₁.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)


Context: n : ℕ

Context: i : Fin (n + 2)

Context: S : SSet

Context: σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S

Context: m : ℕ

Context: f : Λ[n + 1, i] _[m]

Context: f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]

Context: j : Fin (n + 2)

Context: hji : ¬j = i

Context: H₂ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₂.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₂.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]

x - (toZMod x).cast ∈ maximalIdeal ℤ_[p]


Context: r : ℚ

Context: p' : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))

Context: x : ℤ_[0 + p' + 1]


Context: r : ℚ

Context: p' : ℕ

Context: x : ℤ_[0 + p' + 1]


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

IsOpenImmersion x✝ ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f) x✝


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤


Context: m n a b c d : ℤ


Context:
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < 1


Context:
h1 : 0 ≤ 0
h2 : 0 < 1


Context:
x : ℝ
h1✝ : 0 ≤ x
h2 : x < 1
h1 : 0 < x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊

{K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}

Context: hK₁ : {w | w.IsReal}.Nonempty

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

∃ x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) f).roots.toFinset, ↑⟨K, hK₀⟩ = ℚ⟮x⟯


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₁ : {w | w.IsReal}.Nonempty

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

∃ x, (∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) i).roots.toFinset) ∧ K = ℚ⟮x⟯


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

Context: this : NumberField ↥K

Context: w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩

Context: hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}

minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLTFactor ↥K) * ↑B


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

Context: this✝ : NumberField ↥K

Context: w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩

Context: hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}

Context: this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K✝

Context: inst✝² : NumberField K✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K✝| ≤ ↑N

Context: D : ℕ := rankOfDiscrBdd N

Context: B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N

Context: x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }

Context: K : IntermediateField ℚ A

Context: hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K

Context: hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N

Context: this✝ : NumberField ↥K

Context: w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩

Context: hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}

Context: this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K

minkowskiBound (↥K) 1 = (fun x => x * minkowskiBound (↥↑⟨K, hK₀⟩) 1) ↑1


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0


(f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card ≤ (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens

Scheme.Hom.app f U ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


(Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (ΓIso f U).inv) ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

(↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ


Context: a x z : ℂ

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: θ : ℝ

Context: hi : toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ ∈ Ioc (-π) π


Context: a x z : ℂ

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: θ : ℝ

cos ↑θ + sin ↑θ * I = cos ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) + sin ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) * I


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

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Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

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Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

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Context: l : Filter ι

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Context: hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ

Context: h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))

Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))


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∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

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Context: μ : Measure α

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Context: f : α → E

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Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l

Context: k : ℕ

Context: h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}


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Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

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Context: f : α → E

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Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

Tendsto (fun n => ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) (n + k)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

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Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

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Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: ι : Type u_7

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: fs : ι → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs (x (n + k))) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

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Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

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Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: ι : Type u_7

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

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Context: f : α → E

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Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs (x (n + k)) a‖ ≤ bound a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: ι : Type u_7

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: fs : ι → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a))


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℤ


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
a✝ : ℕ


Context:
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1


Context:
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2


Context:
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x * y


∀ (x' y' : ℕ), x' ≠ 1 → y' ≠ 1 → x' * y' = p ^ 2 → p ∣ x' → x' = p ∧ y' = p


Context:
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a


Context:
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p


Context:
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p
ha1 : a = 1


Context:
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p
hap : a = p


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : R
hy : y ∈ ↑N

IsUnit ((algebraMap S T) ↑⟨(algebraMap R S) y, ⋯⟩)


(algebraMap S T) ↑⟨(algebraMap R S) y, ⋯⟩ = (algebraMap R T) ↑⟨y, hy⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : T

∃ x, y * (algebraMap S T) ↑x.2 = (algebraMap S T) x.1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: y : T

Context: x : R

Context: s : ↥N

Context: e : y * (algebraMap R T) ↑(x, s).2 = (algebraMap R T) (x, s).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: y : T

Context: x : R

Context: s : ↥N

y * (algebraMap S T) ↑((algebraMap R S) x, ⟨(algebraMap R S) ↑s, ⋯⟩).2 = (algebraMap S T) ((algebraMap R S) x, ⟨(algebraMap R S) ↑s, ⋯⟩).1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S

(algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ c, ↑c * x₁ = ↑c * x₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: x₁ x₂ : S

Context: y₁ : R

Context: s₁ : ↥M

Context: e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑(y₁, s₁).2 = (algebraMap R S) (y₁, s₁).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: x₁ x₂ : S

Context: y₁ : R

Context: s₁ : ↥M

Context: y₂ : R

Context: s₂ : ↥M

Context: e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑(y₂, s₂).2 = (algebraMap R S) (y₂, s₂).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: x₁ x₂ : S

Context: y₁ : R

Context: s₁ : ↥M

Context: y₂ : R

Context: s₂ : ↥M

(algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ a, (algebraMap R S) ↑a * x₁ = (algebraMap R S) ↑a * x₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: x₁ x₂ : S

Context: y₁ : R

Context: s₁ : ↥M

Context: e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁

Context: y₂ : R

Context: s₂ : ↥M

Context: e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: x₁ x₂ : S

Context: y₁ : R

Context: s₁ : ↥M

Context: y₂ : R

Context: s₂ : ↥M

(algebraMap R T) (y₁ * ↑s₂) = (algebraMap R T) (y₂ * ↑s₁) → ∃ a, (algebraMap R S) (↑a * (y₁ * ↑s₂)) = (algebraMap R S) (↑a * (y₂ * ↑s₁))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: h : M ≤ N

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: inst✝² : IsLocalization N T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: x₁ x₂ : S

Context: y₁ : R

Context: s₁ : ↥M

Context: y₂ : R

Context: s₂ : ↥M

(∃ c, ↑c * (y₁ * ↑s₂) = ↑c * (y₂ * ↑s₁)) → ∃ a c, ↑c * (↑a * (y₁ * ↑s₂)) = ↑c * (↑a * (y₂ * ↑s₁))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: hs : x ∈ closure s

Context: w : F

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → F

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop

Context: hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)

(LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: x y✝ : E

Context: s t✝ : Set E

Context: t : Set F

Context: y : F

Context: hs : x ∈ closure s

Context: w : F

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → F

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₂
l₁ : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
hf : ConcaveOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: x y z : E

Context: hf : ConcaveOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) {x, y}) f

Context: hz : z ∈ (convexHull 𝕜) {x, y}


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: ζ : K

Context: hζ' : ζ ∈ primitiveRoots n K

(autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) σ • α = σ α


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: ζ : K

Context: hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: ζ : K

Context: hα : α ∈ Multiset.map (fun x => (algebraMap K L) ζ ^ x * rootOfSplitsXPowSubC hn a L) (Multiset.range n)

Context: hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: ζ : K

Context: hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: hα : ∃ a_1 < n, (algebraMap K L) ζ ^ a_1 * rootOfSplitsXPowSubC hn a L = α


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: ζ : K

Context: hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: i : ℕ

Context: left✝ : i < n

(autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) σ • ((algebraMap K L) ζ ^ i * rootOfSplitsXPowSubC hn a L) = σ ((algebraMap K L) ζ ^ i * rootOfSplitsXPowSubC hn a L)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: σ : L ≃ₐ[K] L

Context: ζ : K

Context: hζ'✝ : ζ ∈ primitiveRoots n K

Context: hζ' : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: i : ℕ

Context: left✝ : i < n

(autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) σ • ζ ^ i • rootOfSplitsXPowSubC hn a L = ζ ^ i • (autEquivRootsOfUnity hζ hn H L) σ • rootOfSplitsXPowSubC hn a L


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
as : AssocList α β


as.toList = (List.foldl (fun d x => d.push (x.fst, x.snd)) #[] as.toList).data


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a b : R[X]
e : a * p + b * q = 1
s : R := ↑hr.unit⁻¹

IsCoprime (p.scaleRoots r) (q.scaleRoots r)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Field K

Context: p q : R[X]

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: a b : R[X]

Context: e : a * p + b * q = 1

Context: s : R := ↑hr.unit⁻¹

Context: this : (a * p).natDegree = (b * q).natDegree


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Field K

Context: p q : R[X]

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: a b : R[X]

Context: e : a * p + b * q = 1

Context: s : R := ↑hr.unit⁻¹

∃ b, s ^ (a * p).natDegree • s ^ (a.natDegree + p.natDegree - (a * p).natDegree) • a.scaleRoots r * p.scaleRoots r + b * q.scaleRoots r = 1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝³ : Semiring S

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Field K

Context: p q : R[X]

Context: r : R

Context: hr : IsUnit r

Context: a b : R[X]

Context: e : a * p + b * q = 1

Context: s : R := ↑hr.unit⁻¹

s ^ (a * p).natDegree • s ^ (a.natDegree + p.natDegree - (a * p).natDegree) • a.scaleRoots r * p.scaleRoots r + s ^ (a * p).natDegree • s ^ (b.natDegree + q.natDegree - (b * q).natDegree) • b.scaleRoots r * q.scaleRoots r = 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ

spectrum R (↑u * a * ↑u⁻¹) = spectrum R a


∀ (b : A) (v : Aˣ), spectrum R (↑v * b * ↑v⁻¹) ⊆ spectrum R b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a✝ : A
u✝ : Aˣ
a : A
u : Aˣ
μ : R
hμ : μ ∈ spectrum R (↑u * a * ↑u⁻¹)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: a✝ : A

Context: u✝ : Aˣ

Context: a : A

Context: u : Aˣ

Context: μ : R

Context: hμ : ¬IsUnit ((algebraMap R A) μ - ↑u * a * ↑u⁻¹)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a✝ : A
u✝ : Aˣ
a : A
u : Aˣ
μ : R
hμ : IsUnit ((algebraMap R A) μ - a)

IsUnit ((algebraMap R A) μ - ↑u * a * ↑u⁻¹)


Context:
n : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod n)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
g : Dual R N
q : Q

prodMap 0 ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)) = (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((g ∘ₗ snd R M N) ⊗ₜ[R] (inr R P Q) q)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
p : X → Prop


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: p : X → Prop

Context: a : X

Context: ha : a ∈ {x | ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[≠] x, p y}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: p : X → Prop

Context: a : X

Context: b : X

Context: hb : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[{a}ᶜ] b, p x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: p : X → Prop

Context: a : X

Context: hb : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[≠] a, p x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : T1Space X

Context: p : X → Prop

Context: a : X

Context: b : X

Context: hb : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[{a}ᶜ] b, p x

Context: h : a ≠ b


Context:
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ


(↑n + a) ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t) ≤ g_nat k a t n


Context:
k : ℕ
a t : ℝ
ha : 0 ≤ a
ht : 0 < t
n : ℕ
u : ↑n ≤ ↑n ^ 2


Context:
𝕜✝ : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : LocallyCompactSpace E


Context:
𝕜✝ : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
r : ℝ
rpos : 0 < r
hr : IsCompact (closedBall 0 r)


Context:
𝕜✝ : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : LocallyCompactSpace E
r : ℝ
rpos : 0 < r
hr : IsCompact (closedBall 0 r)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖


Context: 𝕜✝ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝

Context: E✝ : Type v

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝

Context: F : Type w

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: hr : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: hC : ∀ (n : ℕ), IsCompact (closedBall 0 (‖c‖ ^ n * r))


Context: 𝕜✝ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜✝

Context: E✝ : Type v

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ E✝

Context: F : Type w

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : Module 𝕜✝ F'

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜✝ F'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜✝

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace E

Context: r : ℝ

Context: rpos : 0 < r

Context: hr : IsCompact (closedBall 0 r)

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: hTop : Tendsto (fun n => ‖c‖ ^ n * r) atTop atTop


Context:
S : Finset Λ'
k : Cont'
H₁ : contSupp k ⊆ S


Context:
S : Finset Λ'
k : Cont'
H₁ : contSupp k ⊆ S
W : ∀ {q : Λ'}, q ∈ trStmts₁ q


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : E
h : SameRay ℝ x y


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)
hab : b ≤ a


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)
hab : 0 ≤ a - b


Context: n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

Context: ih : digits 2 n = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) n.bits

digits 2 (bit b n) = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) (bit b n).bits


Context: n✝ : ℕ

Context: b : Bool

Context: n : ℕ

Context: h : n ≠ 0

digits 2 (bit b n) = List.map (fun b => bif b then 1 else 0) (b :: n.bits)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: ha : a ∈ s

Context: hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, ∀ y ∈ Ioi x, (s ∩ Ioc x y).Nonempty

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Icc a b


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: a b : α

Context: s : Set α

Context: hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)

Context: ha : a ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Icc a b

Context: this : IsClosed (s ∩ Icc a y)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
x : Unitization 𝕜 A

‖x‖ = ‖x.fst‖ ⊔ ‖(algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd‖


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s

Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ s))


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SizeOf α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ~ l₂


Context: x : ℤ[i]

toComplex x = { re := ↑x.re, im := ↑x.im }


Context: r : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p ≠ 0

rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n) = rootMultiplicity a p + n


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h2 : p * (X - C a) ^ n ≠ 0


rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n) ≤ rootMultiplicity a p + n


rootMultiplicity a p + n ≤ rootMultiplicity a (p * (X - C a) ^ n)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α →ᵤ β
f : α →ᵤ β

Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (⇑toFun ∘ F) (toFun f) p


(∀ i ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (x : ι) in p, F x ∈ {g | (f, g) ∈ UniformFun.gen α β i}) ↔ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : α), (toFun f x, (⇑toFun ∘ F) n x) ∈ u


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X✝ Y P : C
f : Z ⟶ X✝
g : Z ⟶ Y
inl : X✝ ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
s : Cocone (span 0 (𝟙 X))

∀ (j : WalkingSpan), (PushoutCocone.mk 0 0 ⋯).ι.app j ≫ (fun s => 0) s = s.ι.app j


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Context: X : C

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tangentMap I I.tangent (zeroSection E (TangentSpace I)) { proj := x, snd := v } = { proj := { proj := { proj := x, snd := v }.proj, snd := 0 }, snd := ({ proj := x, snd := v }.snd, 0) }


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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f f₁ : M → M'

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Context: m n : ℕ∞

Context: x : M

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Context: B : (fderivWithin 𝕜 (fun x' => (x', 0)) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) v = (v, 0)