Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e : β → α

Context: h_e : UniformInducing e

Context: h_dense : DenseRange e

Context: f : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: d : Set (γ × γ)

Context: hd : d ∈ 𝓤 γ

Context: s : Set (γ × γ)

Context: hs : s ∈ 𝓤 γ

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : t ∈ 𝓤 α

Context: x✝ : α × α

Context: x₁ x₂ : α

Context: hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t

Context: this : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)

Context: m₁ : Set α

Context: hm₁ : m₁ ∈ 𝓝 x₁

Context: m₂ : Set α

Context: hm₂ : m₂ ∈ 𝓝 x₂

Context: hm : m₁ ×ˢ m₂ ⊆ interior t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e : β → α

Context: h_e : UniformInducing e

Context: h_dense : DenseRange e

Context: f : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: d : Set (γ × γ)

Context: hd : d ∈ 𝓤 γ

Context: s : Set (γ × γ)

Context: hs : s ∈ 𝓤 γ

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s

Context: this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β

Context: this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : t ∈ 𝓤 α

Context: ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s

Context: x✝ : α × α

Context: x₁ x₂ : α

Context: hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t

Context: this : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)

Context: m₁ : Set α

Context: hm₁ : m₁ ∈ 𝓝 x₁

Context: m₂ : Set α

Context: hm₂ : m₂ ∈ 𝓝 x₂

Context: hm : m₁ ×ˢ m₂ ⊆ interior t

Context: a : β

Context: ha₁ : a ∈ e ⁻¹' m₁

Context: left✝ : (f a, ⋯.extend f x₁) ∈ s

Context: ha₂ : (⋯.extend f x₁, f a) ∈ s

Context: b : β

Context: hb₁ : b ∈ e ⁻¹' m₂

Context: hb₂ : (f b, ⋯.extend f x₂) ∈ s

Context: right✝ : (⋯.extend f x₂, f b) ∈ s

(x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e : β → α

Context: h_e : UniformInducing e

Context: h_dense : DenseRange e

Context: f : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: d : Set (γ × γ)

Context: hd : d ∈ 𝓤 γ

Context: s : Set (γ × γ)

Context: hs : s ∈ 𝓤 γ

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: this✝² : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β

Context: this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : t ∈ 𝓤 α

Context: x✝ : α × α

Context: x₁ x₂ : α

Context: hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t

Context: this✝ : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)

Context: m₁ : Set α

Context: hm₁ : m₁ ∈ 𝓝 x₁

Context: m₂ : Set α

Context: hm₂ : m₂ ∈ 𝓝 x₂

Context: hm : m₁ ×ˢ m₂ ⊆ interior t

Context: a : β

Context: ha₁ : a ∈ e ⁻¹' m₁

Context: left✝ : (f a, ⋯.extend f x₁) ∈ s

Context: ha₂ : (⋯.extend f x₁, f a) ∈ s

Context: b : β

Context: hb₁ : b ∈ e ⁻¹' m₂

Context: hb₂ : (f b, ⋯.extend f x₂) ∈ s

Context: right✝ : (⋯.extend f x₂, f b) ∈ s

Context: this : Prod.map f f (a, b) ∈ s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s


MeasurableSet (⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' s ∩ Ico 0 1)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ closedBall x r

Context: this : ContinuousWithinAt (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ closedBall x r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ closedBall x r

MapsTo (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) (ball x r)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing R
a b : R


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: b : A

Context: n i : ι

Context: h : ¬i ≤ n

Context: a : ↥(𝒜 i)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ZMod N


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ

(λ_ Y).inv ≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (α_ (ᘁZ) Z Y).hom ≫ ᘁZ ◁ (Z ◁ f ≫ ε_ (ᘁZ) Z) = 𝟙 Y ⊗≫ (η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (ᘁZ ⊗ Z) ◁ f) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z


𝟙 Y ⊗≫ (η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (ᘁZ ⊗ Z) ◁ f) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z


𝟙 Y ⊗≫ (𝟙_ C ◁ f ≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z


f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ≫ (ρ_ ᘁZ).inv


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteLimits C
J : Type
x✝ : Finite J

HasLimitsOfShape (WidePullbackShape J) C


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteLimits C
J : Type
x✝ : Finite J
val✝ : Fintype J


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: m n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ F = n)

Context: o : Orientation ℝ F (Fin n)

Context: A : o.volumeForm.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = 1


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: m n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ F = n)

Context: o : Orientation ℝ F (Fin n)

addHaarMeasure (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = volume


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a))] f

Context: hfi : IntervalIntegrable f μ a b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a))] 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] f

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : b ≤ a
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc b a))] f

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc b a))] 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s


∏ j ∈ s.erase i, eval (v i) (basisDivisor (v i) (v j)) = 1


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i

eval (v i) (basisDivisor (v i) (v j)) = 1


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: x : (b : β) → π b

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: p : (b : β) → π b

p ∈ ball x r ↔ p ∈ Set.univ.pi fun b => ball (x b) r


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r

dist z w = r ↔ dist ↑z ↑w ^ 2 / (4 * z.im * w.im) = sinh (r / 2) ^ 2


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime

Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨↑p, hp⟩) v h) = v


Context: v : Multiset ℕ+

Context: h : ∀ p ∈ v, p.Prime

Context: this : (fun p h => Coe.coe ⟨↑p, h⟩) = fun p x => id p


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

dite P (fun x => a) B ≠ a ↔ ∃ h, a ≠ B h


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : PartialOrder 𝕜

HasDerivWithinAt f f' (Iio x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Iic x) x


Context:
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0

↑(φ n) = ↑n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - (↑p)⁻¹)


Context:
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0


∏ i ∈ n.primeFactors, ↑(i - 1) = ∏ x ∈ n.primeFactors, (1 - (↑x)⁻¹) * ↑x


Context:
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.primeFactors


Context:
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp✝ : p ∈ n.primeFactors
hp : 0 < p


Context:
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp✝ : p ∈ n.primeFactors
hp : 0 < p
hp' : ↑p ≠ 0


Context:
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i

(∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i


(∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ = ∏ i ∈ s, z i ^ (w i / ∑ i ∈ s, w i)


(∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i = ∑ i ∈ s, (w i / ∑ i ∈ s, w i) * z i


∀ i ∈ s, 0 ≤ (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i


∑ i ∈ s, (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i = 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.Disjoint s₂
x✝ : α
y✝ : β x✝

y✝ ∈ dlookup x✝ (s₁ ∪ s₂).entries ↔ y✝ ∈ dlookup x✝ (s₂ ∪ s₁).entries


dlookup x✝ s₁.entries = some y✝ ∨ x✝ ∉ s₁.entries.keys ∧ dlookup x✝ s₂.entries = some y✝ ↔ dlookup x✝ s₂.entries = some y✝ ∨ x✝ ∉ s₂.entries.keys ∧ dlookup x✝ s₁.entries = some y✝


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

f.measure (Ico a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - leftLim (↑f) a)


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b ≤ a


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a < b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s

MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ico (f p.1) (g p.1)}


MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 ≤ a_1} ∩ {a_1 | a_1 < g a.1}})


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E


LinearIndependent 𝕜 ![c + t • y - (c + x), c + s • y - (c + x)]


LinearIndependent 𝕜 ![t • y - x, s • y - x]


LinearIndependent 𝕜 ![-1 • x + t • y, -1 • x + s • y]


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
c : E
hs : -1 * s - t * -1 = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CompleteLattice α
s : Finset α


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
h : s ≠ t


Context: a : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

mk I = mk J ↔ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : DecidableEq L

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝ : IsDomain R

(∃ i, (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) i = (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) J) ↔ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: s : CompleteSublattice (Submodule R M) := (AEval.comapSubmodule R M f).range

f.IsSemisimple ↔ ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: h : ↑s = {p | p ≤ Submodule.comap f p}


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: h : ↑s = {p | p ≤ Submodule.comap f p}

Context: e : Submodule R[X] (AEval R M f) ≃o ↥(AEval.comapSubmodule R M f).range := (AEval.comapSubmodule R M f).toOrderIsoRangeOfInjective ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: i : ι

Context: a : G i

Context: f : ↥(lp G 2)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

(((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) f) 1 0) 0 = (f 0) 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ≥0∞

⇑h '' EMetric.ball x r = EMetric.ball (h x) r


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : f ≫ g = 𝟙 X


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
sq✝ : CommSq f✝ i✝ p✝ g✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g


Nonempty sq.LiftStruct ↔ Nonempty ⋯.LiftStruct


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
adj3 : F'' ⊣ G
x : C

(adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.leftAdjointUniq adj3).hom.app x


(adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom.app x = ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom).app x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
x✝ x y : ℝ
h : x ≤ y
n : ℕ

√(2 + x.sqrtTwoAddSeries n) ≤ √(2 + y.sqrtTwoAddSeries n)


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
this : FiniteDimensional ℝ E


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x✝ : Γ'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : DecidableEq E
v' : ι' → E
h : Orthonormal 𝕜 v'
s : Finset ι'
i : { x // x ∈ s }

↑((OrthonormalBasis.span h s) i) = v' ↑i


Context:
x✝ y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
x : ℝ
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ↑(↑f j) ≤ x


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
h : a * b ≠ ⊤
ha : a ≠ 0


Context:
z : ℝ
h : 0 ≤ z
h0 : 0 = z


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
h : s ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Multiset α

Context: a✝ b✝ : List α

Context: h : Quot.mk Setoid.r a✝ ⊆ Quot.mk Setoid.r b✝

ndunion (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝) = Quot.mk Setoid.r b✝


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : CharZero A
inst✝ : IsAlgClosed A


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t

∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0

Context: t : ℕ → Set E

Context: A : ℕ → E →L[ℝ] E

Context: t_disj : Pairwise (Disjoint on t)

Context: t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

Context: t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n

Context: s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hμf : μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} ≠ 0

μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} ≤ (μ.restrict s) {x | f x = ⊤}


μ ({a | f a = ⊤} ∩ s) ≤ (μ.restrict s) {x | f x = ⊤}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0

(fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: γ : Type u_5

Context: f g : α → γ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs_zero : μ s = 0

Context: h_ss : sᶜ ⊆ {a | (if a ∈ s then f a else g a) = g a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: γ : Type u_5

Context: f g : α → γ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs_zero : μ s = 0

{x | (fun x => (fun x => if x ∈ s then f x else g x) x = g x) x}ᶜ ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: γ : Type u_5

Context: f g : α → γ

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs_zero : μ s = 0

{x | (fun x => (fun x => if x ∈ s then f x else g x) x = g x) x}ᶜ ⊆ sᶜᶜ


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
c : 𝕎 k
hc : c.coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] c


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : PerfectRing k p

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: b : 𝕎 k

Context: hc : ((⇑frobenius)^[m] b).coeff 0 ≠ 0

Context: hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : PerfectRing k p

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: b : 𝕎 k

Context: hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : PerfectRing k p

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: b : 𝕎 k

Context: hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0

Context: this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = ((⇑verschiebung)^[m] ∘ (⇑frobenius)^[m]) b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : PerfectRing k p

Context: a : 𝕎 k

Context: ha : a ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: b : 𝕎 k

Context: hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0

Context: this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)


∀ (i : Finset ι), Measurable fun b => ∑ i ∈ i, f i b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.98000, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f g : W.LeftFraction X Y

f.map (Q W) ⋯ = g.map (Q W) ⋯ ↔ LeftFractionRel f g


(Hom.mk f).map (Q W) ⋯ = (Hom.mk g).map (Q W) ⋯ ↔ LeftFractionRel f g


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : GroupWithZero G₀
f g : ι → G₀

(support fun a => f a / g a) = support f ∩ support g


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G


∀ (x₂ : ↑(shortComplexH0 A).X₂), (shortComplexH0 A).g x₂ = 0 → ∃ x₁, (shortComplexH0 A).f x₁ = x₂


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx : (dZero A) x = 0
g : G


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
v : ι → M'


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: ι : Type u_2

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: ι : Type u_2

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: p : α → Prop

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: hpf : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto f (𝓝[{x | p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))

Context: hpg : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto g (𝓝[{x | ¬p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))

Context: hf : ContinuousOn f {x | p x}

Context: hg : ContinuousOn g {x | ¬p x}

Continuous fun a => if p a then f a else g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: p : α → Prop

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)

Context: hf : ContinuousOn f {x | p x}

Context: hg : ContinuousOn g {x | ¬p x}

ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) univ


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

DifferentiableAt 𝕜 f y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f x i) y


(∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) y) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f x i) y


ContinuousOn tan (Ioo (-(π / 2)) (π / 2))


Context: x : ℝ

x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2) → x ∈ {x | cos x ≠ 0}


Context: x : ℝ


Context:
x : ℝ
hx_gt : -(π / 2) < x
hx_lt : x < π / 2
r : ℤ
hxr_eq : x = (2 * ↑r + 1) * π / 2


Context:
x : ℝ
hx_gt : -(π / 2) < x
hx_lt : x < π / 2
r : ℤ
hxr_eq : x = (2 * ↑r + 1) * π / 2
h : 0 ≤ r


Context:
x : ℝ
hx_gt : -(π / 2) < x
hx_lt : x < π / 2
r : ℤ
hxr_eq : x = (2 * ↑r + 1) * π / 2
h : r < 0


Context: y : ℝ

0 ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤


Context:
y : ℝ
H : 0 < y


0 ^ 0 = if 0 < 0 then 0 else if 0 = 0 then 1 else ⊤


Context:
y : ℝ
H : y < 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞

∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ μ.withDensity g = μ.withDensity f


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hgm : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: hint : ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hgm : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hgm : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

(μ.withDensity g) s = (μ.withDensity f) s


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K

re (z / w) = re z * re w / normSq w + im z * im w / normSq w


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ

schnirelmannDensity A * ↑n ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A

schnirelmannDensity A * ↑0 ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 0)).card


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j

Lagrange.basis {i, j} v i = basisDivisor (v i) (v j)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ

p.closedBall 0 r = ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥


sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C
Z : C
f : Z ⟶ M.X


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
x : S
inst✝ : Invertible x
p : R[X]
hp : p ≠ 0
hp' : (aeval x) p = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M

(b.reindex e).sumCoords x = b.sumCoords x


((Finsupp.mapDomain (⇑e) (b.repr x)).sum fun x => id) = (b.repr x).sum fun x => id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ M, 0 < M ∧ eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: x : α

‖{x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖ ≤ ‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: x : α

{x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖) x ≤ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: x✝ x : α

Context: hx : x ∈ {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: x✝ x : α

Context: hx : max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥
b : M
hb : b ∈ p


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜

lineDeriv 𝕜 f x (c • v) = c • lineDeriv 𝕜 f x v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F

lineDeriv 𝕜 f x (0 • v) = 0 • lineDeriv 𝕜 f x v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : h ≠ 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : f = 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M

⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i) = ⊤


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⟨x, hx⟩ ∈ ⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)


x ∈ map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i))


∀ i ∈ s, map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)) = p i


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
i : ι
hi : i ∈ s

map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)) = p i


Context:
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y


∀ (X_1 : Under Y), (map f ⋙ forget X).obj X_1 = (forget Y).obj X_1


autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Under Y) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map f ⋙ forget X).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (forget Y).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : Nontrivial k
a b : G
h : (of k G) a = (of k G) b


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.50538, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.50590, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
Y : C
f : op X ⟶ op (G.obj Y)
a✝ : ℱ.obj (op X)

(appHom α X ≫ ℱ'.val.map f) a✝ = (ℱ.map f ≫ α.app (op Y)) a✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: C : Levenshtein.Cost α β δ

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ

Context: xs : List α

Context: ys₁ ys₂ : List β

(↑(suffixLevenshtein C xs ys₂)).minimum ≤ ↑(levenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
h : s.Nonempty
x : β


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M


(∃ S, S.Finite ∧ span R S = N) ↔ ∃ n s, span R (range s) = N


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N

⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i = LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p)


⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ≤ LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p)


LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocDiv hp (a + m • p) b = toIocDiv hp a b - m


b - (toIocDiv hp a b - m) • p ∈ Set.Ioc (a + m • p) (a + m • p + p)


b - toIocDiv hp a b • p + m • p ∈ Set.Ioc (a + m • p) (a + p + m • p)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L


Context: n : ℕ∞


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X

S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ S ∈ (F.inducedTopology (regularTopology D)).sieves X


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
this : Preregular C


S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ ∃ Y π, EffectiveEpi π ∧ S.arrows π


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi (f ≫ g)
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : f ≫ g ≫ a = f ≫ g ≫ b


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi (f ≫ g)
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s

EMetric.diam s = ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
h : Bornology.IsBounded ∅

EMetric.diam ∅ = ENNReal.ofReal (sSup ∅ - sInf ∅)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
hne : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
hne : s.Nonempty
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s


ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s) ≤ EMetric.diam s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
p : α
a_assoc : a ~ᵤ p
hp : normalizedFactors a = {p}


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
p : α
a_assoc : a ~ᵤ p
hp : normalizedFactors a = {p}
p_mem : p ∈ normalizedFactors a


Context:
n : ℕ
c : CompositionAsSet n


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
α : Type u_1
f : α → Char → α
s : String
a : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
g : G
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : ∀ (g : G), g ^ n = 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z
this : y -ᵥ x ∈ [0-[ℝ]z -ᵥ x]


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y : PE
hxy : dist x y = r * dist x x
hyz : dist y x = (1 - r) * dist x x
this : y -ᵥ x ∈ [0-[ℝ]x -ᵥ x]


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z
this : y -ᵥ x ∈ [0-[ℝ]z -ᵥ x]
hne : x ≠ z


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.36381, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.36381, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
this : S.HasHomology


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n


b.flag k.castSucc ≤ span R {b k} ⊔ b.flag k.castSucc


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: hv : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_ℝ = 0

|o.volumeForm v| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

Context: hdim : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

Context: b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis hdim v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

Context: hb : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

∏ x : Fin n.succ, |⟪b x, v x⟫_ℝ| = ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

Context: h : ∀ (i : Fin (n + 1)), v i ≠ 0

Context: i : Fin n.succ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

Context: hb✝ : b.toBasis.det v = ∏ i : Fin n.succ, ⟪b i, v i⟫_ℝ

Context: h : ∀ (i : Fin (n + 1)), v i ≠ 0

Context: i : Fin n.succ

Context: hb : b i = ‖v i‖⁻¹ • v i


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this : FiniteDimensional ℝ E

Context: h : ∀ (i : Fin (n + 1)), v i ≠ 0

Context: i : Fin n.succ

Context: hb : b i = ‖v i‖⁻¹ • v i


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R →+* S
x : R
p : R[X]
h : (Polynomial.map f p).IsRoot (f x)
hf : Function.Injective ⇑f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hα : p ∣ Fintype.card α
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
a : α
ha : σ a = a


Context:
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G

(closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {K | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑K}


Context:
ι : Sort u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
a : Subgroup Gᵐᵒᵖ

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {K | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑K}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y ≤ x


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: hs : Bornology.IsBounded s

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : closedBall x ε ⊆ u

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: hR : s ⊆ closedBall 0 R

Context: this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0

Context: r : 𝕜

Context: hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)

Context: y : E

Context: hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: hs : Bornology.IsBounded s

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : closedBall x ε ⊆ u

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: hR : s ⊆ closedBall 0 R

Context: this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0

Context: r : 𝕜

Context: hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)

Context: y : E

Context: z : E

Context: zs : z ∈ s

Context: hz : r • z = -x + y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: hs : Bornology.IsBounded s

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : closedBall x ε ⊆ u

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: hR : s ⊆ closedBall 0 R

Context: this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0

Context: r : 𝕜

Context: hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)

Context: y : E

Context: z : E

Context: zs : z ∈ s

Context: hz : r • z = -x + y

Context: I : ‖r • z‖ ≤ ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: hs : Bornology.IsBounded s

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝 x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : closedBall x ε ⊆ u

Context: R : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: hR : s ⊆ closedBall 0 R

Context: this✝ : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0

Context: r : 𝕜

Context: hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)

Context: y : E

Context: z : E

Context: zs : z ∈ s

Context: hz : r • z = -x + y

Context: I : ‖r • z‖ ≤ ε

Context: this : y = x + r • z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
hb : 1 ≤ b


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ W X X' Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
h : Y ≅ Z

f ≫ g ≫ h.hom = f' ≫ g' ≫ h.hom ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hcx : c ≤ x


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
b : ℝ
a : ℝ≥0


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a x : G

x ∈ ⋃ h, (↑h * a) • ↑K ↔ x ∈ doset a ↑H ↑K


(∃ i, a⁻¹ * (↑i)⁻¹ * x ∈ ↑K) ↔ ∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * a * y


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂

Function.Bijective ⇑f.dualMap ↔ Function.Bijective ⇑f


Context:
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology α

Context: f : Filter β

Context: inst✝ : CountableInterFilter f

Context: u : β → α

Context: hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology α

Context: f : Filter β

Context: inst✝ : CountableInterFilter f

Context: u : β → α

Context: ha : IsTop (limsup u f)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology α

Context: f : Filter β

Context: inst✝ : CountableInterFilter f

Context: u : β → α

Context: ha : ∃ b, limsup u f < b


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: M : Type v

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: inj : Injective R (ULift.{v', v} M)

Context: X Y : Type v

Context: x✝³ : AddCommGroup X

Context: x✝² : AddCommGroup Y

Context: x✝¹ : Module R X

Context: x✝ : Module R Y

Context: f : X →ₗ[R] Y

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: g : X →ₗ[R] M

Context: eX : ULift.{v', v} X ≃ₗ[R] X := ULift.moduleEquiv

Function.Injective ⇑(↑ULift.moduleEquiv.symm ∘ₗ f ∘ₗ ↑eX)


Context: a✝ x✝ y✝ a x y : ℂ


Context: a x✝ y✝ x y : ℂ


Context:
a✝ x✝ y✝ a x y : ℂ
ha : a ≠ 0


Context:
k : ℕ
x : ℝ

HasDerivAt (bernoulliFun k) (↑k * bernoulliFun (k - 1) x) x


Context:
k : ℕ
x : ℝ

↑k * bernoulliFun (k - 1) x = Polynomial.eval x (Polynomial.derivative (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli k)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: v : E

Context: hv : HasEigenvector T (↑μ) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: v : E

Context: hv : HasEigenvector T (↑μ) v

Context: hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: μ : ℝ

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hμ : HasEigenvalue T ↑μ

Context: v : E

Context: hv : HasEigenvector T (↑μ) v

Context: hpos : 0 < ‖v‖ ^ 2

Context: this : RCLike.re ⟪v, T v⟫_𝕜 = μ * ‖v‖ ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix l m R
N : Matrix m n R
x : n → R

(toLin' (M * N)) x = (toLin' M) ((toLin' N) x)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
hB : ∀ (y : M), (B m) y = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v

Context: h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: hB : ∀ (y : M), (B (v.repr.symm vi)) y = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v

Context: h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v

Context: h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
v : Basis n R M
hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v
h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : (B (v.repr.symm vi)) (v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v

Context: h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n

Context: hB : ∑ x ∈ vi.support, (RingHom.id R) (vi x) • (B (v x)) (v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v

Context: h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n

Context: hB : (RingHom.id R) (vi i) • (B (v i)) (v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v

Context: h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n

∀ b ∈ vi.support, b ≠ i → (RingHom.id R) (vi b) • (B (v b)) (v i) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: I I' : R →+* R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M₁

Context: B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁

Context: v : Basis n R M

Context: hO : B.IsOrthoᵢ ⇑v

Context: h : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)

Context: vi : n →₀ R

Context: i : n

i ∉ vi.support → (RingHom.id R) (vi i) • (B (v i)) (v i) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
p : 𝕜[X]
a : A

p ∈ annIdeal 𝕜 a ↔ annIdealGenerator 𝕜 a ∣ p


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set (Set α)
hs : s.Finite
H : ∀ t ∈ s, t.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₃
h₂ : Continuous f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₃
h₂ : coinduced f t₁ ≤ t₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : ℝ
h : y ∈ uIcc x z


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : TotallyBounded s


Context:
n✝ p i n : ℕ
h : 2 ≤ p

n / p ^ i = ofDigits p (List.drop i (p.digits n))


Context:
n✝ p i n : ℕ
h : 2 ≤ p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
hb : 1 ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x✝ : α × β


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
x : G


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

op U = (Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
n : ℕ
x : α

(f ^ (n % orderOf (f.cycleOf x))) x = (f ^ n) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
l : Filter α
p : ι → α → Prop

(∀ᶠ (x : α) in l, ∀ i ∈ I, p i x) ↔ ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (x : α) in l, p i x


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp : IntFractPair K

Context: stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

let g := of v; let B := (g.contsAux (n + 1)).b; let pB := (g.contsAux n).b; v - g.convs n = if ifp.fr = 0 then 0 else (-1) ^ n / (B * (ifp.fr⁻¹ * B + pB))


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp : IntFractPair K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: g_finite_correctness : v = GenContFract.compExactValue pred_conts conts ifp.fr


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp : IntFractPair K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: ifp_fr_eq_zero : ifp.fr = 0


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: ifp : IntFractPair K

Context: g : GenContFract K := of v

Context: conts : Pair K := g.contsAux (n + 1)

Context: pred_conts : Pair K := g.contsAux n

Context: ifp_fr_ne_zero : ifp.fr ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime x (y + x * z)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsRelPrime (y + x * z) x


Context: z w : ℂ

(z / w).im = z.im * w.re / normSq w - z.re * w.im / normSq w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h1 : Antiperiodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂


Context:
a b x y u v : ℕ
ha : ↑a = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2
hb : ↑b = ↑u ^ 2 + ↑v ^ 2


Context:
a b x y u v : ℕ
ha : ↑a = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2
hb : ↑b = ↑u ^ 2 + ↑v ^ 2
r s : ℤ
h : ↑a * ↑b = r ^ 2 + s ^ 2


Context:
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : m → α

‖row ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm v‖


(∑ j : m, ‖row ι v default j‖ ^ 2) ^ (1 / 2) = (∑ i : m, ‖(WithLp.equiv 2 (m → α)).symm v i‖ ^ 2) ^ (1 / 2)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y

Context: i : ι

Context: y : ↥(H i)

(noncommPiCoprod hcomm) (Pi.mulSingle i y) = ↑y


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : x ≠ -1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : x + 1 ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : x + 1 ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
h : x + 1 < 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : x + 1 ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
h : 0 < x + 1


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
t : RBNode α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : HasDistribNeg α
a b c : α

(∃ b_1, b = -a * (Equiv.symm (Equiv.neg α)) b_1) ↔ a ∣ b


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
e : α


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α

‖diagonal v‖₊ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖₊


(∑ x : n × n, ‖diagonal v x.1 x.2‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) = NNReal.sqrt (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖₊ ^ 2)


Context: R : Type u_1

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Fintype l

Context: inst✝⁵ : Fintype m

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : Unique ι

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup α

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: v : n → α

Context: s : Finset (n × n) := Finset.map { toFun := fun i => (i, i), inj' := ⋯ } Finset.univ


Context: R : Type u_1

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Fintype l

Context: inst✝⁵ : Fintype m

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : Unique ι

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup α

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: v : n → α

(∑ x ∈ s, ‖diagonal v x.1 x.2‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) = NNReal.sqrt (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖₊ ^ 2)


Context: R : Type u_1

Context: l : Type u_2

Context: m : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁶ : Fintype l

Context: inst✝⁵ : Fintype m

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : Unique ι

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup α

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: v : n → α

Context: i : n × n

Context: _hi : i ∈ Finset.univ

Context: his : i ∉ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M

Context: inst✝⁴ : Finite M

Context: ι : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : GCDMonoid R

Context: inst✝ : Unique Rˣ

Context: n : ℕ

Context: c : R

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: h : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → IsCoprime (f i) (f j)

Context: hprod : ∏ i ∈ s, f i = c ^ n


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖g x' - g x - (g' x) (x' - x)‖) (𝓝 x) (𝓝 0)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun y => ‖y.2 - x‖⁻¹ * ‖g y.2 - g x - (g' x) (y.2 - x)‖) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: this : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: this✝ : (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (g' x) (a.2 - x))) = ((fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) + fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)

Context: this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)

Tendsto (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (g a.2 - g x - (f a.1 a.2 - f a.1 x))) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)

Tendsto (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f a.1 a.2 - f a.1 x - ((f' a.1 x) a.2 - (f' a.1 x) x))) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: this : 𝓝 0 = 𝓝 (0 + 0 + 0)

Tendsto (fun a => (↑‖a.2 - x‖)⁻¹ • (f' a.1 x - g' x) (a.2 - x)) (l.curry (𝓝 x)) (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
e : F ≃L[𝕜] E

UniqueDiffOn 𝕜 (⇑e ⁻¹' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))).vars ∪ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n
hb : b ≠ 0


Context: n : ℕ


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

(s ∩ cylinder x (longestPrefix x s)).Nonempty


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : longestPrefix x s < shortestPrefixDiff x s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : Nat.find A - 1 < Nat.find A

(s ∩ cylinder x (Nat.find A - 1)).Nonempty


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : Nat.find A - 1 < Nat.find A

Context: y : (n : ℕ) → E n

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : x ∈ cylinder y (Nat.find A - 1)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: A : ∃ n, Disjoint s (cylinder x n)

Context: B : Nat.find A - 1 < Nat.find A

Context: y : (n : ℕ) → E n

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : cylinder x (Nat.find A - 1) = cylinder y (Nat.find A - 1)

cylinder y (Nat.find A - 1) = cylinder x (Nat.find A - 1)


Context:
a k n : ℕ
a_pos : 0 < a

(filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card ≤ φ a * (n / a + 1)


Context:
a k n : ℕ
a_pos : 0 < a

(filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + a * (n / a))))).card ≤ φ a * (n / a + 1)


Context: a k n : ℕ

Context: a_pos : 0 < a

Context: i : ℕ

Context: ih : (filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + a * i)))).card ≤ φ a * (i + 1)

(filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + a * (i + 1))))).card ≤ φ a * (i + 1 + 1)


Context: a k n : ℕ

Context: a_pos : 0 < a

Context: i : ℕ

(filter a.Coprime (Ico k (k + (n % a + (a * i + a))))).card ≤ φ a * i + φ a + φ a


Context: a k n : ℕ

Context: a_pos : 0 < a

Context: i : ℕ

Context: ih : (filter a.Coprime (Ico k (k + n % a + a * i))).card ≤ φ a * (i + 1)

(filter a.Coprime (Ico k (k + n % a + a * i + a))).card ≤ φ a * i + φ a + φ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
hz : 0 < k

(s.orderEmbOfFin h) ⟨k - 1, ⋯⟩ = s.max' ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
h : ↑2 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
h : ↑2 = 0
this : p ∣ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (2 < p)
h : ↑2 = 0
this✝ : p ∣ 2
this : p ≤ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : 2 < p
h : ↑2 = 0
this✝ : p ∣ 2
this : p ≤ 2


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p ∣ q
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree
h₂ : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff
hq : ¬q = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
hpq : p ∣ q
h₂ : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff
hq : ¬q = 0
h₁ : p.natDegree = q.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q p u : R[X]

Context: h₂ : p.leadingCoeff = (p * u).leadingCoeff

Context: hq : ¬p * u = 0

Context: h₁ : p.natDegree = (p * u).natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q p u : R[X]

Context: h₁ : p.natDegree = (p * u).natDegree

Context: hq : p ≠ 0 ∧ u ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q p u : R[X]

Context: h₁ : u.natDegree = 0

Context: hq : p ≠ 0 ∧ u ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p u : R[X]
h₂ : u.coeff 0 = 1
h₁ : u.natDegree = 0
hq : p ≠ 0 ∧ u ≠ 0


Context:
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R✝ → R✝ → Prop
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b : R

RingQuot.sub r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a - b) }


(match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a }, { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } with | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ Sub.sub ⋯ ⋯ a b }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a - b) }


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
x✝ : f.SameCycle x y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => x + c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : ℕ → α → Prop
hp : ∑' (i : ℕ), μ {x | p i x} ≠ ⊤


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M

‖(mk' S) m‖ = sInf ((fun x => ‖m + x‖) '' ↑S)


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u

‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * C) t


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝¹ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
x✝ : t ∈ u

(fun t => ‖(L (f t)) (g (x - t))‖) t ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * C


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : t ∉ u

(fun t => ‖(L (f t)) (g (x - t))‖) t ≤ 0


Context:
m n : ℤ
k : ℕ
k0 : k ≠ 0


Context:
m n : ℤ
k : ℕ
k0 : k ≠ 0
h : m ^ k ∣ n ^ k


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃

∡ p₃ p₂ p₁ = ↑π


Context: f : ℝ → ℝ

∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: eq : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f |x| = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
inst✝ : H.FiniteIndex


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: hG : IsPGroup p G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: n : ℕ

Context: hn : Nat.card (G ⧸ H.normalCore) = p ^ n


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: hG : IsPGroup p G

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ

Context: left✝ : k ≤ n

Context: hk2 : H.index = p ^ k


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ ≫ S.δ ≫ pushout.inr S.L₂.f S.v₂₃.τ₁ = pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ pushout.inl S.L₂.f S.v₂₃.τ₁


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
b : ℝ≥0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Bornology.vonNBornology 𝕜 E = PseudoMetricSpace.toBornology


∀ (s : Set E), Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsBounded s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

Bornology.IsBounded s ↔ Bornology.IsBounded s


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : Semiring R
s : Set R


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : Semiring R
s : Set R
n : ℕ

closure s ^ (n + 1) = closure (s ^ (n + 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: c d : ℝ≥0

Context: hcd : c < d

Context: s : Set α

Context: hc : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ↑c * μ a

Context: hd : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑d * μ a ≤ ρ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: c d : ℝ≥0

Context: hcd : c < d

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: c d : ℝ≥0

Context: hcd : c < d

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: c d : ℝ≥0

Context: hcd : c < d

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: s' : Set α := s ∩ o