Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)

Context: a' : α

Context: x' : E

Context: ha'x' : (a', x') ∈ u ×ˢ ball x (t - t')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε

Context: this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)

Context: a' : α

Context: x' : E

Context: ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)

Context: a' : α

Context: x' : E

Context: ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'

Context: y : E

Context: hy : dist y (a', x').2 < t'

Context: z : E

Context: hz : dist z (a', x').2 < t'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)

Context: a' : α

Context: x' : E

Context: ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'

Context: y : E

Context: hy : dist y (a', x').2 < t'

Context: z : E

Context: hz : dist z (a', x').2 < t'

Context: dyx : dist y x ≤ t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: r s : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: a : α

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: Irr' : r / 2 < r'

Context: Ir'r : r' ≤ r

Context: ha : Continuous (f a)

Context: t : ℝ

Context: hrt : r / 2 < t

Context: htr' : t < r'

Context: t' : ℝ

Context: hrt' : r / 2 < t'

Context: ht't : t' < t

Context: b : ℝ

Context: b_lt : b < s * r

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: hε : b + 2 * ε < s * r

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: au : a ∈ u

Context: this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)

Context: a' : α

Context: x' : E

Context: ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'

Context: y : E

Context: hy : dist y (a', x').2 < t'

Context: z : E

Context: hz : dist z (a', x').2 < t'

Context: dyx : dist y x ≤ t

Context: dzx : dist z x ≤ t


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : (Icc a b).Subsingleton


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a < b


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v : V
d : G.Dart

d ∈ filter (fun d => d.toProd.1 = v) univ ↔ d ∈ image (G.dartOfNeighborSet v) univ


d.toProd.1 = v ↔ ∃ x, ∃ (h : x ∈ G.neighborSet v), G.dartOfNeighborSet v ⟨x, h⟩ = d


Context:
α : Type u_1
l : List α
this : DecidableEq α

(powersetAux l).revzip ~ (powersetAux' l).revzip


List.map (fun x => (x, ↑l - x)) (powersetAux l) ~ List.map (fun x => (x, ↑l - x)) (powersetAux' l)


Context: a s : ℝ

(Summable fun n => 1 / |↑n + a| ^ s) ↔ 1 < s


Context: a s : ℝ

∀ (b c : ℝ), (Summable fun n => 1 / |↑n + b| ^ s) → Summable fun n => 1 / |↑n + c| ^ s


Context:
a s b c : ℝ
h : Summable fun n => 1 / |↑n + b| ^ s

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 1 / |↑x + b| ^ s = 0 → 1 / |↑x + c| ^ s = 0


Tendsto ((fun n => 1 / |↑n + c| ^ s) / fun n => 1 / |↑n + b| ^ s) atTop (𝓝 1)


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hm : m ≠ 0

LiouvilleWith p (x * ↑m) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α

gcd (b * a) (c * a) = gcd b c * normalize a


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this✝ : Module.Finite R (n → R)
this : Module.Free R (n → R)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: H : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H

Context: c' : E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H

Context: hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

Context: hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x

Context: u : (i : ι) → M i

Context: m : E

(fderivWithin 𝕜 (fun y => (c y) u) s x) m = ((fderivWithin 𝕜 c s x) m) u


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : Bornology.IsBounded (range u)

Context: hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)

Context: h's : MeasurableSet s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : Bornology.IsBounded (range u)

Context: h's : MeasurableSet s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : Bornology.IsBounded (range u)

Context: h's : MeasurableSet s

Context: R : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : Bornology.IsBounded (range u)

Context: h's : MeasurableSet s

Context: R : ℝ

Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s ∩ closedBall 0 R)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: s : Set E

Context: u : ℕ → E

Context: hu : Bornology.IsBounded (range u)

Context: h's : MeasurableSet s

Context: R : ℝ

Context: n : ℕ


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℂ
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)

fourierCoeffOn hab (c • f) n = c • fourierCoeffOn hab f n


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f
this : Mono (f ≫ e.hom.right)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: Hs : StrictMono (enumOrd s)


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: Hs : StrictMono (enumOrd s)

Context: h : IsNormal (enumOrd s)

Context: ι : Type u

Context: hι : Nonempty ι

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : ∀ (i : ι), f i ∈ s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a✝ : Ordinal.{u}

Context: Hs : StrictMono (enumOrd s)

Context: h : IsClosed s

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ha : a.IsLimit

Context: o : Ordinal.{u}

Context: H : ∀ b < a, enumOrd s b ≤ o


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: i : ι

Context: a : G i

Context: f : ↥(lp G 2)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: i : ι

Context: a : G i

Context: f : ↥(lp G 2)

HasSum (fun i_1 => ⟪↑(lp.single 2 i a) i_1, ↑f i_1⟫_𝕜) ⟪a, ↑f i⟫_𝕜


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: i : ι

Context: a : G i

Context: f : ↥(lp G 2)

(fun i_1 => ⟪↑(lp.single 2 i a) i_1, ↑f i_1⟫_𝕜) = fun b' => if b' = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: i : ι

Context: a : G i

Context: f : ↥(lp G 2)

Context: j : ι

⟪↑(lp.single 2 i a) j, ↑f j⟫_𝕜 = if j = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: i : ι

Context: a : G i

Context: f : ↥(lp G 2)

Context: j : ι

⟪if h : j = i then ⋯ ▸ a else 0, ↑f j⟫_𝕜 = if j = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
this : Fact (Nat.Prime 2)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
v w : F

((innerₗ F).flip v) w = ((innerₗ F) v) w


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderTop α
a b c : α

Codisjoint (a ⊓ b) c ↔ Codisjoint a c ∧ Codisjoint b c


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: β : Type u_10

Context: inst✝⁵ : DivisionSemiring α

Context: inst✝⁴ : NeZero 2

Context: inst✝³ : Lattice β

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module α β

Context: inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x y : β


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: β : Type u_10

Context: inst✝⁵ : DivisionSemiring α

Context: inst✝⁴ : NeZero 2

Context: inst✝³ : Lattice β

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module α β

Context: x y : β

Context: this : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯


Context: x : ℤ[i]


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: inst : optParam (Fintype (Sym2 α)) Sym2.instFintype

Context: a✝ : Sym2 α


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Fintype β

Context: f : Perm α

Context: g : Perm β

Context: i : (x : α) → f x ≠ x → β

Context: h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)

Context: hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂

Context: hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y

Context: x : { x // f x ≠ x }


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : Fintype β

Context: f : Perm α

Context: g : Perm β

Context: i : (x : α) → f x ≠ x → β

Context: x : { x // f x ≠ x }

Context: this : f (f ↑x) ≠ f ↑x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → Option β

Context: s' s t : Finset α

Context: f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'

Context: h : s ⊆ t

filterMap f s f_inj ⊆ filterMap f t f_inj


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → Option β

Context: s' s t : Finset α

Context: h : s.val ≤ t.val

(filterMap f s f_inj).val ≤ (filterMap f t f_inj).val


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Countable α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s


∑' (x : α), s.indicator (⇑μ.toPMF) x = ∑' (x : α), s.indicator (fun x => μ {x}) x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S✝ : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M
x : M


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: inst✝ : R.hasPullbacks

Context: fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }

Context: a✝ : P.obj (op X)

(((Pi.lift fun f => P.map (↑f.snd).op) ≫ Pi.lift fun fg => Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) fg.1 ≫ P.map (pullback.fst ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) ≫ Pi.π (fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) fg) a✝ = (((Pi.lift fun f => P.map (↑f.snd).op) ≫ Pi.lift fun fg => Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) fg.2 ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) ≫ Pi.π (fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) fg) a✝


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: inst✝ : R.hasPullbacks

Context: a✝ : P.obj (op X)

(P.map (↑fg.1.snd).op ≫ P.map (pullback.fst ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝ = (P.map (↑fg.2.snd).op ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: inst✝ : R.hasPullbacks

Context: a✝ : P.obj (op X)

Context: this : HasPullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)

Context: X : C

Context: R : Presieve X

Context: S : Sieve X

Context: inst✝ : R.hasPullbacks

Context: a✝ : P.obj (op X)

Context: this : HasPullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd

P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd ≫ ↑fg.2.snd).op a✝ = (P.map (↑fg.2.snd).op ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α

l₁ ~ l₂ ↔ ∀ (a : α), count a l₁ = count a l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
H : ∀ (a : α), count a l₁ = count a l₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i j : I

Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle j (x j))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i : I

Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle i (x i))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i j : I
hij : i ≠ j


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ

A.det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det


A.det = (-1) ^ ↑i * ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i : Fin n.succ

Context: this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i : Fin n.succ

(-1) ^ ↑i * (↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det) = (-1) ^ ↑i * ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i : Fin n.succ

↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det = ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i : Fin n.succ

∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id 0 j * ((A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id).submatrix Fin.succ j.succAbove).det = ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i : Fin n.succ

Context: j : Fin n.succ

Context: x✝ : j ∈ univ

(-1) ^ ↑j * A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id 0 j * ((A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id).submatrix Fin.succ j.succAbove).det = (-1) ^ ↑j * (A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det)


Context: m : Type u_1

Context: n✝ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n✝

Context: inst✝³ : Fintype n✝

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: R : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

Context: i : Fin n.succ

Context: j : Fin n.succ

Context: x✝ : j ∈ univ

(-1) ^ ↑j * (A (i.cycleRange⁻¹ 0) j * (A.submatrix (fun x => i.cycleRange⁻¹ x.succ) j.succAbove).det) = (-1) ^ ↑j * (A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
x : L

Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpoly b) = charpoly (φ x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : LE α
x : α
z : β


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1


x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M


Context: x y : ZFSet


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹² : Semiring R

Context: inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m m' : (i : ι) → M₁ i

f (m + m') = ∑ s : Finset ι, f (s.piecewise m m')


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hI : I ≠ 0


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ⟨a, splitFun f' (recF g ∘ f)⟩)


g (abs ⟨a, splitFun f' fun i => (P F).wRec (fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) (f i)⟩) = g (abs ⟨a, splitFun f' (((P F).wRec fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) ∘ f)⟩)


Context: I : Type u_1

Context: J : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} C

Context: X Y Z : GradedObject I C

Context: φ : X ⟶ Y

Context: e✝ : X ≅ Y

Context: ψ : Y ⟶ Z

Context: p✝ : I → J

Context: j✝ : J

Context: e : X ≅ Y

Context: p : I → J

Context: inst✝ : X.HasMap p

Context: j : J

Context: α : Discrete.functor (X.mapObjFun p j) ≅ Discrete.functor (Y.mapObjFun p j)


Context: a b : Int


Context: a b : Int

↑(a + b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den + (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α

x ∈ g⁻¹ • s ↔ x ∈ s


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
gxs : g • x ∈ s


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g⁻¹
x : α
gxs : g • x ∈ s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
y r s g : R
h : ¬g = 0
hs : y = gcd (g * r) y * s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ

o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0

o.oangle x (x + 0 • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan 0)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop

Function.swap (LiftRelO R C) = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
x : Option (β × WSeq β)
y : Option (α × WSeq α)

Function.swap (LiftRelO R C) x y = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C) x y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Basis B' (I ∪ B)
hIB' : I ⊆ B'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

(rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData).op = leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.rightHomologyData.op S₂.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.leftHomologyData S₁.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.leftHomologyData S₁.rightHomologyData.op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M✝ N✝ : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i


∀ x ∈ univ, (fun j => M i j) x * (fun j_1 => N j_1 j) x = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : C ⥤ Type v₁
f : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
g : X ⟶ Y

(f.app X ≫ F.map g) (𝟙 X) = f.app Y (g ≫ 𝟙 Y)


((coyoneda.obj (op X)).map g ≫ f.app Y) (𝟙 X) = f.app Y (g ≫ 𝟙 Y)


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1

schnirelmannDensity {n | n % m = 1} = (↑m)⁻¹


Context: hm : 0 ≠ 1

schnirelmannDensity {n | n % 0 = 1} = (↑0)⁻¹


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0

↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 m)).card / ↑m ≤ (↑m)⁻¹


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0

(↑m)⁻¹ ≤ schnirelmannDensity {n | n % m = 1}


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0

∀ (n : ℕ), 0 < n → (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 n)).card / ↑n


Context:
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n

(↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 n)).card / ↑n


(↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card / ↑n


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 1

Context: hm' : m > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 1

Context: hm' : m > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

↑n / ↑m ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 1

Context: hm' : m > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

↑n / ↑m ≤ ↑(image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m))).card


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 1

Context: hm' : m > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n


Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 1

Context: hm' : m > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: a b : ℕ

(fun x => x * m + 1) a = (fun x => x * m + 1) b → a = b


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} E

Context: F : C₁ × C₂ ⥤ E

Context: F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E

Context: h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} E

Context: F : C₁ × C₂ ⥤ E


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} E

Context: F : C₁ × C₂ ⥤ E

W₁.Q ⋙ curry.obj F₁ = W₁.Q ⋙ curry.obj F₂


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} E

Context: F : C₁ × C₂ ⥤ E

(W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip = (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} E

Context: F : C₁ × C₂ ⥤ E

W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip = W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} E

Context: F : C₁ × C₂ ⥤ E

(W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: D₁ : Type u₃

Context: D₂ : Type u₄

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: E : Type u₅

Context: inst✝ : Category.{v₅, u₅} E

Context: F : C₁ × C₂ ⥤ E

uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : SequentialSpace X
h₂ : SequentialSpace X


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: H : LocalizationPreserves P

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

Context: hf : P f


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: H : LocalizationPreserves P

Context: r : R

Context: inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'

Context: inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'

Context: hf : P f

Context: this : IsLocalization (Submonoid.map f (Submonoid.powers r)) S'


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
a : M
l₁ : List M
b : M
l₂ : List M
h : (a :: l₁).prod = (b :: l₂).prod
hl₁ : ∀ p ∈ a :: l₁, Prime p
hl₂ : ∀ p ∈ b :: l₂, Prime p


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α

BddBelow s ∧ BddAbove s ↔ ∃ a b, s ⊆ Icc a b


Context:
p : ℕ
pp : Fact (Nat.Prime p)
a r : ℤ
hr : IsInt (jacobiSym a p) r


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E

‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)


MvFunctor.f' rr n α ⊚ MvFunctor.g' rr n α = TypeVec.id


∀ (u : F fun i => { p_1 // ofRepeat (α.RelLast' rr i (prod.mk i p_1.1 p_1.2)) }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (fun i t => (↑t).1) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = y


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

↑(μ.withDensityᵥ f) s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ∫ (x : α) in s, f x ∂μ else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f₁ f₂ f₃ : ArithmeticFunction R
x✝ : ℕ

((f₁.pmul f₂).pmul f₃) x✝ = (f₁.pmul (f₂.pmul f₃)) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: s : Set M

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: s : Set M

Context: hf : ¬s.Finite

(fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: s : Set M

Context: hf : ¬s.Finite

Context: f : ℕ ↪ ↑s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: s : Set M

Context: hf : ¬s.Finite

Context: f : ℕ ↪ ↑s

Context: this : ∀ (n : ℕ), Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | n ≤ m} ⊆ s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: s : Set M

Context: hf : ¬s.Finite

Context: f : ℕ ↪ ↑s

Context: this✝ : ∀ (n : ℕ), Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | n ≤ m} ⊆ s

Context: this : ∀ (a b : ℕ), a ≤ b ↔ span R (Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | b ≤ m}) ≤ span R (Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | a ≤ m})


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₀ ⟶ X₁

Context: d₁ : X₁ ⟶ X₂

Context: s : d₀ ≫ d₁ = 0

Context: succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0

(if 1 = 0 + 1 then d₀ ≫ 𝟙 X₁ else 0) = d₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν


(μ.singularPart ν) h_sing.nullSet + (μ.singularPart ν) h_sing.nullSetᶜ = 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g

(pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.fst f g = pullback.snd g f


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ


(∑ x ∈ range (n + 1), if single x (p ^ (n - x)) = 0 then ↑p ^ x else 0) = 0


∀ x ∈ range (n + 1), (if single x (p ^ (n - x)) = 0 then ↑p ^ x else 0) = 0


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n i : ℕ
a✝ : i ∈ range (n + 1)

(if single i (p ^ (n - i)) = 0 then ↑p ^ i else 0) = 0


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget D)
inst✝ : IsLocallyInjective φ


∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.val.app X)


Context: R : CommRingCatᵒᵖ

locallyRingedSpaceMap (𝟙 (unop R)) = 𝟙 (locallyRingedSpaceObj (unop R))


Context:
X✝ Y✝ Z✝ : CommRingCatᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

locallyRingedSpaceMap (g.unop ≫ f.unop) = locallyRingedSpaceMap f.unop ≫ locallyRingedSpaceMap g.unop


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M


c ⊔ d = sInf {s | ∀ (x y : M), c x y ∨ d x y → s x y}


{x | c ≤ x ∧ d ≤ x} = {s | ∀ (x y : M), c x y ∨ d x y → s x y}


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
h : tᶜ * closure {1} = tᶜ


Context:
a b c d a' b' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b


a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < sInf {c | ∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'} ♯ a' ⨳ b'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

∀ u ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, IsOpen u


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
v : Set ℝ
hav : a ∈ v
hv : IsOpen v
l u : ℝ
hl : l < a
hu : a < u
h : Ioo l u ⊆ v
q : ℚ
hlq : l < ↑q
hqa : ↑q < a
p : ℚ
hap : a < ↑p
hpu : ↑p < u

Ioo ↑q ↑p ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}


∃ i i_1, ∃ (_ : i < i_1), Ioo ↑q ↑p ∈ {Ioo ↑i ↑i_1}


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

f ∈ s.dfinsupp t ↔ f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i


(∃ a ∈ s.pi t, { toFun := fun f => DFinsupp.mk s fun i => f ↑i ⋯, inj' := ⋯ } a = f) → f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i


(f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i) → ∃ a ∈ s.pi t, { toFun := fun f => DFinsupp.mk s fun i => f ↑i ⋯, inj' := ⋯ } a = f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hx : x ∈ K.vertices
hs : s ∈ K.faces


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hx : x ∈ K.vertices
hs : s ∈ K.faces
h : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s


Context:
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

Disjoint (G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t) (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s))


∀ a ∈ G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t, ∀ b ∈ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s), a ≠ b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: e : Sym2 V

Context: he : e ∈ G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t

∀ b ∈ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s), e ≠ b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: e : Sym2 V

Context: this : t ∉ e


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : x ∈ [y-[𝕜]z]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: x y z : E

Context: h : x ∈ (fun θ => y + θ • (z - y)) '' Icc 0 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
y z : E
θ : 𝕜
hθ₀ : 0 ≤ θ
hθ₁ : θ ≤ 1

SameRay 𝕜 ((fun θ => y + θ • (z - y)) θ - y) (z - (fun θ => y + θ • (z - y)) θ)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : a ∈ (x + y).support


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : x.coeff a + y.coeff a ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : x.coeff a = 0 ∧ y.coeff a = 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}


Context: x : WithBot ℕ


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
b : CliffordAlgebra Q

(contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * b) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * (contractLeft d) b


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : Fintype o

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: A : Matrix m m R

Context: B : Matrix m n R

Context: hA : IsUnit A.det

Context: b : Basis m R (m → R) := Pi.basisFun R m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : Fintype o

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: A : Matrix m m R

Context: B : Matrix m n R

Context: hA : IsUnit ((LinearMap.toMatrix b b) A.mulVecLin).det


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : Fintype o

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: A : Matrix m m R

Context: B : Matrix m n R

Context: hAB : (A * B).mulVecLin = ↑(LinearEquiv.ofIsUnitDet hA) ∘ₗ B.mulVecLin


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)

Context: hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

(fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

∃ c, ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖q ↑(r i x) - q (b i * ↑x)‖ ≤ c * ‖deriv q ↑x * (↑(r i x) - b i * ↑x)‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖q ↑(r i x) - q (b i * ↑x)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑x * (↑(r i x) - b i * ↑x)‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)

Context: h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)

Context: h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n

Context: h_n_pos : 0 < n

Context: h_bn : 1 < b' * ↑n

‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: n : ℕ

Context: h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n

Context: h_n_pos : 0 < n

Context: h_bn : 1 < b' * ↑n

‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑n‖ * ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: n : ℕ

Context: h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n

Context: h_n_pos : 0 < n

Context: h_bn : 1 < b' * ↑n

Context: z : ℝ

Context: hz : z ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: q : ℝ → ℝ

Context: i : α

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: hb_lt_one : b' < 1

Context: hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: n : ℕ

Context: h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n

Context: h_n_pos : 0 < n

Context: h_bn : 1 < b' * ↑n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
l : List (Option α)

(some x :: l).reduceOption = x :: l.reduceOption


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
hl : l.HasBasis (fun x => True) b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ blimsup u l p

∃ f, ∀ (i : ι), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p✝ : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a : α

Context: l : Filter β

Context: b : ι → Set β

Context: hl : l.HasBasis (fun x => True) b

Context: u : β → Set α

Context: p : β → Prop

Context: x : α

Context: hx : x ∈ blimsup u l p

Context: f : ↑{i | True} → β

Context: hf : ∀ (i : ↑{i | True}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α

∀ {S : WSeq (WSeq α)}, a ∈ S.join → ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α

∀ (ss : WSeq α), a ∈ ss → ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss

∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: ss✝ : WSeq α

Context: h : a ∈ ss✝

Context: b : α

Context: ss : WSeq α

Context: o : a = b ∨ ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s

Context: s : WSeq α

Context: S : WSeq (WSeq α)

s.append S.join = cons b ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: ss✝ : WSeq α

Context: h : a ∈ ss✝

Context: ss : WSeq α

Context: IH : ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s

Context: s : WSeq α

Context: S : WSeq (WSeq α)

s.append S.join = ss.think → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
hp : (x, y) ∈ {p | p ≠ (⊤, ⊤)}

ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p | p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
hp : ¬(x = ⊤ ∧ y = ⊤)


Context:
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
κ : ι → Type u_6
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : ((i : ι) → i ∈ univ → κ i) → β

∏ x ∈ univ.pi t, f x = ∏ x ∈ Fintype.piFinset t, f fun a x_1 => x a


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

Even (∑ i ∈ s, f i) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

(Even (∑ x ∈ filter (fun x => Even (f x)) s, f x) ↔ Even (∑ x ∈ filter (fun x => ¬Even (f x)) s, f x)) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

Even (∑ x ∈ filter (fun x => ¬Even (f x)) s, f x) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

(∑ a ∈ s, if ¬Even (f a) then f a % 2 else 0) % 2 = 0 ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

(∑ x ∈ s, if Odd (f x) then 1 else 0) % 2 = 0 ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 s ∧ f ≤ 𝓟 t


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 s ∧ f ≤ 𝓟 t
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 s ∧ f ≤ 𝓟 t
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f
hxt : x ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : ℕ → E''

(∃ C, ∀ (x : ℕ), ‖f x‖ ≤ C * ‖1‖) ↔ ∃ C, ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C


Context: b n : ℕ


Context:
b n : ℕ
hb : b ≤ 1


Context:
b n : ℕ
hb : 1 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α

(uniformOfFintype α).toOuterMeasure s = ↑(Fintype.card ↑s) / ↑(Fintype.card α)


↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ).card / ↑Finset.univ.card = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ).card / ↑(Fintype.card α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set (Set α)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₁'

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₂ p₁' p₁

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₁' p₁ p₂

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

s.ncard ≤ 1 ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b


(∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b


Context:
n : Type u_1
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : (toMatrix' Q).PosDef


(LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap ((LinearMap.toMatrix₂' ℝ).invFun ((↑(LinearMap.toMatrix₂' ℝ)).toFun ((associatedHom ℝ) Q)))).PosDef


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I I' : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis' I R
hI' : M.Basis' I' R

∃ x ∈ I' \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I I' : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
hI' : M.Basis I' (R ∩ M.E)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hI' : M.Basis (B' ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))

Context: h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J✝ X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))

Context: J : Set α

Context: hJ : M.Basis J (B ∩ (R ∩ M.E))

Context: hIJ : I ⊆ J


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))

Context: hJ : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (B ∩ (R ∩ M.E))

Context: hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))

Context: hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)

Context: hIJ' : I ⊂ B ∩ (R ∩ M.E)


Context: α : Type u_1

Context: M✝ : Matroid α

Context: R✝ I✝ J X Y : Set α

Context: M : Matroid α

Context: R I : Set α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIY : I ⊆ R

Context: hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: B : Set α

Context: hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

Context: hB : M.Base B

Context: hIB : I ⊆ B

Context: hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

Context: hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))

Context: hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)

Context: hIJ' : I ⊂ B ∩ (R ∩ M.E)

Context: e : α

Context: he : e ∈ B ∩ (R ∩ M.E) ∧ e ∉ I


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A

(maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}).Nonempty


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
J : Set α
hJ : M.Basis' J A
hIJ : I ⊆ J


J ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}


∀ ⦃y : Set α⦄, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) y ∧ I ⊆ y ∧ y ⊆ A → J ⊆ y → J = y


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

cfc f a = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K

‖(canonicalEmbedding K) x‖₊ = Finset.univ.sup fun φ => ‖φ x‖₊


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: hR : Presheaf.IsSheaf J R

J.plusMap η ≫ J.plusLift γ hR = J.plusLift (η ≫ γ) hR


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: hR : Presheaf.IsSheaf J R

J.toPlus P ≫ J.plusMap η ≫ J.plusLift γ hR = η ≫ γ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ
hx : 0 < x

ENNReal.ofReal x⁻¹ = (ENNReal.ofReal x)⁻¹


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

Y ⊆ M.closure X ↔ ∀ (F : Set α), M.Flat F → X ⊆ F → Y ⊆ F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
Hf✝ : Monotone f
a✝ : α
s : Set α
Hf : Monotone f
a : α
ha : a ∈ upperBounds s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)

sSup S = ringConGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y


sSup S = sInf {s | ∀ (x y : R), (∃ c ∈ S, c x y) → s x y}


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
x✝ : RingCon R

x✝ ∈ upperBounds S ↔ x✝ ∈ {s | ∀ (x y : R), (∃ c ∈ S, c x y) → s x y}


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

(M.whiskerLeft (𝟙 N)).hom = (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft (𝟙 N)).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ 𝟙 N.X) (M.X ◁ 𝟙 N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M : Bimod X Y

Context: N : Bimod Y Z

colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
f : Module.End R M

f ∈ B.skewAdjointSubmodule ↔ B.IsSkewAdjoint f


f ∈ B.skewAdjointSubmodule ↔ (-B).IsAdjointPair B f f


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
b : α
h : IsSuccLimit (succ b)


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ : J
g : X✝ ⟶ Y✝
x : F.obj X✝
h : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{?u.10050, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: X✝ Y✝ : J

Context: g : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : F.obj X✝

Context: h : ∀ (i_1 : X✝ ⟶ i), x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s

∀ (i_1 : Y✝ ⟶ i), F.map g x ∈ F.map i_1 ⁻¹' s


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{?u.10050, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: X✝ Y✝ : J

Context: g : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : F.obj X✝

Context: f : Y✝ ⟶ i


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{?u.10050, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: X✝ Y✝ : J

Context: g : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : F.obj X✝

Context: f : Y✝ ⟶ i

F.map f (F.map g x) ∈ s ↔ x ∈ F.map (g ≫ f) ⁻¹' s


Context: J : Type u

Context: inst✝ : Category.{?u.10050, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i j k : J

Context: s : Set (F.obj i)

Context: X✝ Y✝ : J

Context: g : X✝ ⟶ Y✝

Context: x : F.obj X✝

Context: f : Y✝ ⟶ i

F.map f (F.map g x) ∈ s ↔ x ∈ (F.map g ≫ F.map f) ⁻¹' s


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
j : J

{ obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map (𝟙 j) = 𝟙 ({ obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.obj j)


(fun x => ⟨𝟙 (F.obj j) ↑x, ⋯⟩) = 𝟙 ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s)


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{?u.10050, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
X✝ Y✝ Z✝ : J
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map (f ≫ g) = { obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => ↑(⋂ f, F.map f ⁻¹' s), map := fun {X Y} g => MapsTo.restrict (F.map g) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) (⋂ f, F.map f ⁻¹' s) ⋯ }.map g


(fun x => ⟨(F.map f ≫ F.map g) ↑x, ⋯⟩) = (fun x => ⟨F.map f ↑x, ⋯⟩) ≫ fun x => ⟨F.map g ↑x, ⋯⟩


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X

𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t ↔ s ⊆ t


𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t → s ⊆ t


(∀ x ∈ 𝓝ˢ t, x ∈ 𝓝ˢ s) → s ⊆ t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
x : X
hx : x ∈ s
h : {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ t → {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
x : X
hx : x ∈ s
h : x ∉ t → x ∉ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X
x : X
hx : x ∈ s
h : x ∉ t → x ∉ s
hxt : x ∉ t


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
f : G →* H
emb : OpenEmbedding ⇑f
U : Set H
hU : U ∈ 𝓝 1

⇑f ⁻¹' U ∈ 𝓝 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)

Function.Surjective ⇑(mapBaseChange R A B)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : CommRing S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: inst✝¹⁰ : Module S M

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S M

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing A

Context: inst✝⁷ : CommRing B

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: inst✝⁴ : Algebra A B

Context: inst✝³ : Algebra S B

Context: inst✝² : IsScalarTower R A B

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S B

Context: inst✝ : SMulCommClass S A B

Context: this : Subsingleton (Ω[B⁄A])


Context: a b c : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: h✝ h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: k seed : ℕ

Context: hk : 1 < k

Context: hs : P seed.succ

Context: hm : ∀ (x : ℕ), seed < x → P x → P (k * x)

Context: n x✝ : ℕ

Context: hl : seed.succ ≤ x✝

Context: hP✝ : P x✝


Context: a b c : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: h✝ h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n

Context: k seed : ℕ

Context: hk : 1 < k

Context: hs : P seed.succ

Context: n x✝ : ℕ

Context: hl : seed.succ ≤ x✝

Context: hP✝ : P x✝


Context:
l : List ℕ
a m n : ℕ


Context:
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ


Context:
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ

Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) ((n + 1).greatestFib :: ((n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).zeckendorf ++ [0]))


Context: l : List ℕ

Context: a✝ m n✝ n a : ℕ

Context: ha : a ∈ ((n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).zeckendorf ++ [0]).head?


Context: l : List ℕ

Context: a✝ m n✝ n a : ℕ

Context: h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib = 0


Context: l : List ℕ

Context: a✝ m n✝ n a : ℕ

Context: h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib > 0


Context: l : List ℕ

Context: a✝ m n✝ n a : ℕ

Context: ha : (n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).greatestFib = a

Context: h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib > 0


Context:
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ
h : n + 1 - fib (n + 1).greatestFib > 0

(n + 1 - fib (n + 1).greatestFib).greatestFib + 2 ≤ (n + 1).greatestFib


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂


Context:
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F ↥K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: f : ι → α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f : ι → α

(∀ b < ⊤, ∃ i, b < ↑(f i)) ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ range f, x < y


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

evalEval x y (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆)


Context: X✝ Y✝ Z✝ : Stonean

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝

Context: X Y Z W : Stonean

Context: f : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hi : OpenEmbedding ⇑i

Context: a b : W ⟶ (cone f hi).pt

Context: z : (forget Stonean).obj W

Context: hfst : (a ≫ fst f hi) z = (b ≫ fst f hi) z


Context: X✝ Y✝ Z✝ : Stonean

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝

Context: X Y Z W : Stonean

Context: f : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hi : OpenEmbedding ⇑i

Context: a b : W ⟶ (cone f hi).pt

Context: z : (forget Stonean).obj W


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0


Context:
n : ℕ
c : Composition n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r

∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r'✝ : ℝ≥0∞

Context: r' : ℝ≥0

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : ↑r' < r

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

Context: n : ℕ

Context: yr' : ‖y‖ < ↑r'

Context: this : 0 ≤ a


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝¹ : P.IsPrime
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝¹ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: Q' : Ideal (S ⧸ I)

Context: Q'_prime : Q'.IsPrime

Context: hQ' : comap (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R S) I) (S ⧸ I)) Q' = map (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝¹ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: Q' : Ideal (S ⧸ I)

Context: Q'_prime : Q'.IsPrime

comap (algebraMap R S) (comap (Quotient.mk I) Q') = P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝¹ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: Q' : Ideal (S ⧸ I)

Context: Q'_prime : Q'.IsPrime

comap ((Quotient.mk I).comp (algebraMap R S)) Q' = P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝¹ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: Q' : Ideal (S ⧸ I)

Context: Q'_prime : Q'.IsPrime

comap ((Quotient.mk I).comp (algebraMap R S)) Q' = comap (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) (comap (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R S) I) (S ⧸ I)) Q')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I✝ J : Ideal S

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral R S

Context: P : Ideal R

Context: inst✝¹ : P.IsPrime

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

Context: Q' : Ideal (S ⧸ I)

Context: Q'_prime : Q'.IsPrime

comap (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) (map (Quotient.mk (comap (algebraMap R S) I)) P) = P


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

hurwitzZetaOdd (↑x) (-(2 * ↑k)) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k + 1 ≠ -↑n


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
h1 : ∀ (n : ℕ), 2 * ↑k + 1 ≠ -↑n
h3 : (2 * ↑k + 1).Gammaℂ ≠ 0


Complex.sin (↑π * (2 * ↑k + 1) / 2) * (-1) ^ (k + 1) / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1))) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree

(Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = p


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

(Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝¹³ : Category.{?u.106857, u_3} E
inst✝¹² : Category.{?u.106861, u_4} J
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ D
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
e : F₁ ≅ F₂
G G' : D ⥤ E
τ'' : G ⟶ G'
H : E ⥤ J
A : Type u_5
inst✝¹¹ : AddMonoid A
inst✝¹⁰ : HasShift C A
inst✝⁹ : HasShift D A
inst✝⁸ : HasShift E A
inst✝⁷ : HasShift J A
inst✝⁶ : F₁.CommShift A
inst✝⁵ : F₂.CommShift A
inst✝⁴ : F₃.CommShift A
inst✝³ : G.CommShift A
inst✝² : G'.CommShift A
inst✝¹ : H.CommShift A
inst✝ : CommShift τ A
a : A
X : C

(shiftFunctor D a).map (τ.app X) = (F₁.commShiftIso a).inv.app X ≫ τ.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (F₂.commShiftIso a).hom.app X


Context:
α : Type u_1
r : Setoid α
x y : α
x✝ : ∃ c ∈ r.classes, x ∈ c ∧ y ∈ c
z : α
hx : x ∈ {x | r.Rel x z}
hy : y ∈ {x | r.Rel x z}


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c✝ d✝ : C
p : d✝ ⟶ c✝
γ : c✝ ⟶ c✝
hs : γ ∈ S.arrows c✝ c✝


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ

((fun x => rexp (f x)) =Θ[l] fun x => rexp (g x)) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |f x - g x|


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace X

Context: hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)

Context: x : X

Context: a✝ : x ∈ s

Context: t : Set X

Context: ht_mem : t ∈ 𝓝 x

Context: ht_int : IntegrableOn f t (μ.restrict s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace X

Context: hf : LocallyIntegrable f (μ.restrict s)

Context: x : X

Context: a✝ : x ∈ s

Context: t : Set X

Context: ht_mem : t ∈ 𝓝 x

Context: u : Set X

Context: hu_sub : u ⊆ t

Context: hu_o : IsOpen u

Context: hu_mem : x ∈ u


Context:
n m : ℕ
i j : Fin n


(fun a => sup fun n => (HMul.hMul 0)^[n] a) = id


Context:
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
a✝ : (HMul.hMul 0)^[n] a ≤ id a


(HMul.hMul 0 ∘ (HMul.hMul 0)^[n]) a ≤ id a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : ι → Set β

image2 f s (⋂ i, t i) ⊆ ⋂ i, image2 f s (t i)


∀ x ∈ s, ∀ (y : β), (∀ (i : ι), y ∈ t i) → ∀ (i : ι), f x y ∈ image2 f s (t i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 < (z - y) / (z - x)
hb : 0 < (y - x) / (z - x)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: c : Ordinal.{max u v}

Context: ho : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c.cof

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c

Context: h : o.blsub f = c


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α


∀ {d : α}, a ≤ d → max b c ≤ d → max (max a b) c ≤ d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
g : α →ₛ γ
b : β
c : γ

↑(f.pair g) ⁻¹' {(b, c)} = ↑f ⁻¹' {b} ∩ ↑g ⁻¹' {c}


↑(f.pair g) ⁻¹' {b} ×ˢ {c} = ↑f ⁻¹' {b} ∩ ↑g ⁻¹' {c}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E

ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ x ∈ s, x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})