Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: x : ↑(F.obj X)

Context: ι : Type

Context: f : ι → C

Context: g : (i : ι) → f i ⟶ X

Context: hl : IsColimit (Cofan.mk X g)

Context: hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)

Context: he : Finite ι

Context: this : Fintype ι

Context: s : Cocone (Discrete.functor f ⋙ F) := F.mapCocone (Cofan.mk X g)

Context: s' : IsColimit s := isColimitOfPreserves F hl


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: x : ↑(F.obj X)

Context: ι : Type

Context: f : ι → C

Context: g : (i : ι) → f i ⟶ X

Context: hl : IsColimit (Cofan.mk X g)

Context: hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)

Context: he : Finite ι

Context: this : Fintype ι

Context: j : ι

Context: z : (forget FintypeCat).obj ((Discrete.functor f ⋙ F).obj { as := j })

Context: h : (s.ι.app { as := j }) z = x

∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: x : ↑(F.obj X)

Context: ι : Type

Context: f : ι → C

Context: g : (i : ι) → f i ⟶ X

Context: hl : IsColimit (Cofan.mk X g)

Context: hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)

Context: he : Finite ι

Context: this : Fintype ι

Context: j : ι

Context: h : (s.ι.app { as := j }) z = x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α


∀ (a_1 : α), a_1 ∈ ndinsert a s ↔ a_1 ∈ a ::ₘ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
a : α
f : ℕ → ℕ
hf : StrictMono f
m n : ℕ


Context:
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0

HasStrictDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x


HasStrictDerivAt (fun y => Real.log (f y)) ((f x)⁻¹ * f') x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c

(opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv


((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop


∀ (j : Discrete α), ((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop ≫ f.π.app j = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop ≫ f.π.app j


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α

((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop ≫ f.proj j = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop ≫ f.π.app { as := j }


(opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv.unop ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom.unop ≫ f.proj j = f'.π.app { as := j }


((opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv.unop ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom.unop ≫ f.proj j).op = (f'.π.app { as := j }).op


c.inj j ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (f'.π.app { as := j }).op


((f'.proj j).op ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).hom) ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (f'.π.app { as := j }).op


(f'.proj j).op = (f'.π.app { as := j }).op


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

(Ico f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg ↔ ↑(x / y).arg = 0


Context:
x y : ℂ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C

(cokernel.π (kernel.ι (α.app X)) ≫ coimageImageComparison (α.app X)) ≫ kernel.ι (cokernel.π (α.app X)) = (cokernel.π (kernel.ι (α.app X)) ≫ (cokernel.desc (kernel.ι (α.app X)) (𝟙 (F.obj X) ≫ cokernel.π ((kernel.ι α).app X)) ⋯ ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) (kernel.ι α)).inv) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ (PreservesKernel.iso ((evaluation C D).obj X) (cokernel.π α)).hom ≫ kernel.map ((cokernel.π α).app X) (cokernel.π (α.app X)) (𝟙 (G.obj X)) (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom ⋯) ≫ kernel.ι (cokernel.π (α.app X))


α.app X = cokernel.π ((kernel.ι α).app X) ≫ cokernelComparison (kernel.ι α) ((evaluation C D).obj X) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ kernelComparison (cokernel.π α) ((evaluation C D).obj X) ≫ kernel.ι ((cokernel.π α).app X)


α.app X = ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π (kernel.ι α)) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ ((evaluation C D).obj X).map (kernel.ι (cokernel.π α))


(coimage.π α ≫ coimageImageComparison α ≫ image.ι α).app X = ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π (kernel.ι α)) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ ((evaluation C D).obj X).map (kernel.ι (cokernel.π α))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ

Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ

Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0

Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0

Context: h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0

∃ i, (κ a) ((fun m => univ ×ˢ seq m) i) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: hκν : κ.fst ≤ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: this : IsFiniteKernel κ

Context: h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0

0 = (κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι

Context: a b : ℝ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: N : ι

Context: n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hnm : n ≤ m

Monotone fun n => upperCrossingTime a b f N n ω


Context:
a b k m n p : ℕ
hmn : m ∣ n
hn : n ≠ 0


Context:
a b k m n p : ℕ
hmn : m ∣ n
hn : n ≠ 0

∀ ⦃x : ℕ⦄, Prime x → x ∣ m → m ≠ 0 → Prime x ∧ x ∣ n ∧ n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddGroup α
inst✝² : SeminormedAddGroup β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : BoundedSMul α β
r : α
x : β

‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f x = f y
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
B : Set α
hB : M.Base B
hJB : J ⊆ B


Context:
p a b✝ : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ
cpm : p.Coprime m
b : ℕ
dvd : m ∣ b


Context:
x : ℝ
h0x : 0 ≤ x
hxp✝ : x ≤ π / 2
h✝ : 0 < x
hxp : x = π / 2


Context:
x : ℝ
h0x : 0 ≤ x
hxp : x ≤ π / 2
hx0 : 0 = x
x✝ : x < π / 2 ∨ x = π / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
e : α ≃ β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t u : Set α

u ∈ 𝓟 s ⊔ 𝓟 t ↔ u ∈ 𝓟 (s ∪ t)


Context:
ξ q : ℚ
h : |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2

q.den ≤ ξ.den ∧ ⌈ξ * ↑q.den⌉ - 1 ≤ q.num ∧ q.num ≤ ⌊ξ * ↑q.den⌋ + 1


Context:
ξ q : ℚ
h : |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2
hq₀ : 0 < ↑q.den


Context:
ξ q : ℚ
hq₀ : 0 < ↑q.den
h : |ξ * ↑q.den - ↑q.num| < 1 / ↑q.den


Context:
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
H : b ∣ a


Context:
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
H : b ∣ a
h : b.natAbs = 0


Context:
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
H : b ∣ a
h : b.natAbs > 0


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
r : α → α → Prop
x✝¹ : IsWellOrder α r
β : Type u_4
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s

type r + type s = 0 ↔ type r = 0 ∧ type s = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝 a)


a = ((fun p => max p.1 p.2) ∘ fun y => (a, y)) a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.7193, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂

S₁.Exact ∧ Mono S₁.f ↔ S₂.Exact ∧ Mono S₂.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.7193, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
this : Mono S₁.f ↔ Mono S₂.f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Countable
hd : s.Pairwise (AEDisjoint μ on f)
h : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ
this : Encodable ↑s

μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑' (p : ↑s), μ (f ↑p)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E

c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' closedBall a r ↔ c ∈ closedBall (a / b) r


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)

r ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc) ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ)


Context: α : Type u_1

Context: r : Rel α α

Context: β : Type u_2

Context: s : Rel β β

Context: p q : RelSeries r

Context: connect : r p.last q.head

Context: i : Fin (p.length + q.length + 1)

Context: hi : i < Fin.castLE ⋯ (Fin.last p.length)


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head

r ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE ⋯ (Fin.last p.length)).castSucc) ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE ⋯ (Fin.last p.length)).succ)


Context: α : Type u_1

Context: r : Rel α α

Context: β : Type u_2

Context: s : Rel β β

Context: p q : RelSeries r

Context: connect : r p.last q.head

Context: i : Fin (p.length + q.length + 1)

Context: hi : Fin.castLE ⋯ (Fin.last p.length) < i


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
hn : n ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.119316, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

rightHomologyMap e.hom ≫ rightHomologyMap e.inv = 𝟙 S₁.rightHomology


rightHomologyMap e.inv ≫ rightHomologyMap e.hom = 𝟙 S₂.rightHomology


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
this : IsCoprime f (derivative (f * g))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f g : R[X]

Context: h : (f * g).Separable

Context: this : IsCoprime f (derivative f * g + f * derivative g)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f : R[X]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
a : R

(if single () m = single () n then a else 0) = if m = n then a else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
A : Matrix m n 𝕜
B : Matrix n l 𝕜

‖A * B‖ ≤ ‖A‖ * ‖B‖


‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) (A * B)‖ ≤ ‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) A‖ * ‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) B‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype l

Context: inst✝ : DecidableEq l

Context: A : Matrix m n 𝕜

Context: B : Matrix n l 𝕜

Context: this : ‖((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) A).comp ((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) B)‖ ≤ ‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) A‖ * ‖(toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) B‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : Fintype m

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype l

Context: inst✝ : DecidableEq l

Context: A : Matrix m n 𝕜

Context: B : Matrix n l 𝕜

Context: x : EuclideanSpace 𝕜 l

((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) (A * B)) x = (((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) A).comp ((toEuclideanLin ≪≫ₗ toContinuousLinearMap) B)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₂ ≤ b₁
x : α

x ∈ Ioc a₁ b₁ ∩ Ioo a₂ b₂ ↔ x ∈ Ioo (max a₁ a₂) b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint (insert a s) t ↔ a ∉ t ∧ _root_.Disjoint s t


Context:
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Field R
d : n → R
μ : R

μ ∈ spectrum R (diagonal d) ↔ μ ∈ Set.range d


HasEigenvalue ((toLinAlgEquiv (Pi.basisFun R n)) (diagonal d)) μ ↔ μ ∈ Set.range d


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α

Pairwise R (filter (fun b => decide (p b)) l) ↔ Pairwise (fun x y => p x → p y → R x y) l


Pairwise (fun a a' => ∀ (b : α), b ∈ Option.guard (fun x => decide (p x) = true) a → ∀ (b' : α), b' ∈ Option.guard (fun x => decide (p x) = true) a' → R b b') l ↔ Pairwise (fun x y => p x → p y → R x y) l


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c


Context:
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

Summable fun n => ‖(dirichletSummandHom χ ⋯) n‖


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : τ → σ
hfi : Injective f
hf : ↑p.vars ⊆ range f

((rename f).comp (aeval fun i => Option.elim' 0 X (partialInv f i)).toRingHom) p = (RingHom.id (MvPolynomial σ R)) p


((rename f).comp (aeval fun i => Option.elim' 0 X (partialInv f i)).toRingHom).comp C = (RingHom.id (MvPolynomial σ R)).comp C


∀ i ∈ p.vars, i ∈ p.vars → ((rename f).comp (aeval fun i => Option.elim' 0 X (partialInv f i)).toRingHom) (X i) = (RingHom.id (MvPolynomial σ R)) (X i)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
r : X
s : ↥S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
a2 : 2 ≤ a


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsSepClosed E

separableClosure F E = ⊥ ↔ IsSepClosed F


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsSepClosed E
h : separableClosure F E = ⊥
p : F[X]
x✝ : p.Monic
hirr : Irreducible p
hsep : p.Separable


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsSepClosed E
h : separableClosure F E = ⊥
p : F[X]
x✝ : p.Monic
hirr : Irreducible p
hsep : p.Separable
x : E
hx : (aeval x) p = 0


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : IsSepClosed E

Context: h : separableClosure F E = ⊥

Context: p : F[X]

Context: x✝ : p.Monic

Context: hirr : Irreducible p

Context: hsep : p.Separable

Context: x : F

Context: hx : (aeval ((Algebra.ofId F E).toRingHom x)) p = 0


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
h✝ : s ≤ t
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+ l₂


List.map ofList (sublistsLen n l₁) <+~ List.map ofList (sublistsLen n l₂)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : E →L[𝕜] G

HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) f' (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt f (f'.comp ↑iso.symm) s (iso x)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
S : Set R[M]
hS : adjoin R S = ⊤

adjoin R (of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤


of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support = ⋃ f ∈ S, of' R M '' ↑f.support


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
s : ↥S

IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑s)


Function.Bijective ⇑((algebraMap R (Module.End R M')) ↑s)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
x : M''


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
x : M''
p : M × ↥S
h : p.2 • e.symm x = f p.1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
x₁✝ x₂✝ : M
h : (↑e ∘ₗ f) x₁✝ = (↑e ∘ₗ f) x₂✝

∃ c, c • x₁✝ = c • x₂✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
e : M' ≃ₗ[R] M''
hf : IsLocalizedModule S f
x₁✝ x₂✝ : M
h : f x₁✝ = f x₂✝

∃ c, c • x₁✝ = c • x₂✝


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c u u₁ u₂ : αˣ
h : ↑u₁ = ↑u₂

↑u₁ * ↑u₂⁻¹ = 1


Context:
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset ℤ
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s

∃ t ≤ s, Multiset.card t = n ∧ ↑n ∣ t.sum


Context:
ι : Type u_1
n : ℕ
s✝ : Finset ι
s : Multiset ℤ
hs : 2 * n - 1 ≤ Multiset.card s
t : Finset (ℤ × ℕ)
hts : t ⊆ s.toEnumFinset
ht : t.card = n ∧ ↑n ∣ ∑ i ∈ t, i.1


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
φ ψ : MvPolynomial σ R


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α

(circulant fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) = 1


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
n : ℕ


(circulant fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) = circulant (Pi.single 0 1)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
n : ℕ
j j✝ : Fin (n + 1)

circulant (fun i => if ↑i = 0 then 1 else 0) j j✝ = circulant (Pi.single 0 1) j j✝


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F

J.PreservesSheafification F ↔ IsIso (sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂)


(∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), IsIso (G₂.map (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F))) ↔ ∀ (X : Cᵒᵖ ⥤ A), IsIso ((sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app X)


∀ (a : Cᵒᵖ ⥤ A), IsIso (G₂.map (whiskerRight (adj₁.unit.app a) F)) ↔ IsIso ((sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app a)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A

IsIso (G₂.map (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F)) ↔ IsIso ((sheafComposeNatTrans J F adj₁ adj₂).app P)


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : LinearOrder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : M

Context: h : a * b < c ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i

Context: Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)

Context: Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)

Context: Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j

blimsup Y₁ atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup Y₂ atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

∀ (i : ℕ), μ (blimsup Y₁ atTop p \ Z i) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ W

Context: hd' : ∀ {ι : Type ?u.7325} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), d ∈ Y₁ (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ Ici i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf : (∀ (x : ℕ), d ∈ Y₁ (f x)) ∧ (∀ (x : ℕ), p (f x)) ∧ ∀ (x : ℕ), f x ∈ Ici x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₀ : ∀ (j : ℕ), d ∈ cthickening (r₁ (f j)) (s (f j))

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))

Context: C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : 0 < C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd' : ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : 0 < C

∃ η < 1, ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑η


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : 0 < C

∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: b : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (M * r₁ (f j))

Context: B : ℕ → Set α := fun j => closedBall (w j) (r₁ (f j))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: h₃ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, Disjoint (b j) (W ∩ B j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: h₄ : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hj₀ : Disjoint (b j) (W ∩ B j) ∧ μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)

μ (W ∩ closedBall (w j) (r₁ (f j))) / μ (closedBall (w j) (r₁ (f j))) ≤ ↑(1 - C⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hB : μ (B j) = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hB : μ (B j) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤

Context: hj₁ : Disjoint (b j) (W ∩ B j)

Context: hj₂ : μ (B j) ≤ ↑C * μ (b j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤

Context: hj₁ : Disjoint (b j) (W ∩ B j)

Context: hj₂ : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≤ μ (b j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤

Context: hj₁ : Disjoint (b j) (W ∩ B j)

Context: hj₂ : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≤ μ (b j)

Context: hj₃ : ↑C⁻¹ * μ (B j) + μ (W ∩ B j) ≤ μ (B j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed (s i)

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hrp : 0 ≤ r₁

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hM' : M < 1

Context: Y₁ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₁ i) (s i)

Context: Y₂ : ℕ → Set α := fun i => cthickening (r₂ i) (s i)

Context: Z : ℕ → Set α := fun i => ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j

Context: i : ℕ

Context: W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i

Context: contra : ¬μ W = 0

Context: d : α

Context: hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p

Context: f : ℕ → ℕ

Context: hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)

Context: hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j

Context: hf₃ : Tendsto f atTop atTop

Context: hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)

Context: w : ℕ → α

Context: hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)

Context: hC : C ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j

Context: h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j

Context: j : ℕ

Context: hB : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≠ ⊤

Context: hj₁ : Disjoint (b j) (W ∩ B j)

Context: hj₂ : ↑C⁻¹ * μ (B j) ≤ μ (b j)

Context: hj₃ : ↑C⁻¹ * μ (B j) + μ (W ∩ B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j) ≤ μ (B j) - ↑C⁻¹ * μ (B j)


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n

∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: l : Filter ι

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: h : ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
x : ℕ → ι
hx_tendsto : Tendsto x atTop l
hx_freq : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: l : Filter ι

Context: p : ι → Prop

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: x : ℕ → ι

Context: hx_tendsto : Tendsto x atTop l

Context: hx_freq : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)

Context: n_to_n : ℕ → ℕ

Context: h_tendsto : Tendsto (fun n => x (n_to_n n)) atTop l

Context: h_freq : ∀ (n : ℕ), p (x (n_to_n n))


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v

(induce {v_1 | v_1 ∈ p.support} G).Connected


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ


IsLowerSet (⋂ ε_1, ⋂ (_ : max 0 ε < ε_1), thickening ε_1 s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a a₁✝ a₂✝ : α

Context: b✝ b₁ b₂ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : SMulPosReflectLT α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: zero : f 0 = 0

Context: b : β

Context: hb : 0 ≤ b

Context: a₁ a₂ : α

Context: h : a₁ • b < a₂ • b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
b : β
a₁ a₂ : α
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 ≤ f b
h : a₁ • f b < a₂ • f b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ
y : ℝ
hf₀ : ∀ (n : α), 0 ≤ f n
hy : HasSum f y

HasSum (fun x => (f x).toNNReal) y.toNNReal


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ
hf₀ : ∀ (n : α), 0 ≤ f n
y : ℝ≥0
hy : HasSum f ↑y

HasSum (fun x => (f x).toNNReal) (↑y).toNNReal


Context:
α : Type u_1
y : ℝ≥0
f : α → ℝ≥0
hy : HasSum (fun i => ↑(f i)) ↑y

HasSum (fun x => ((fun i => ↑(f i)) x).toNNReal) (↑y).toNNReal


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T


Submonoid.map (h.symm.toMonoidHom.comp h.toMonoidHom) M = Submonoid.map (MonoidHom.id R) M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
h : R ≃+* P
H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T
x✝ : R

(h.symm.toMonoidHom.comp h.toMonoidHom) x✝ = (MonoidHom.id R) x✝


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: g : R →+* P

Context: hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring Q

Context: hy : M ≤ Submonoid.comap g T

Context: inst✝¹ : Algebra P Q

Context: inst✝ : IsLocalization T Q

Context: h : R ≃+* P

Context: H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T

Context: H' : Submonoid.map h.symm.toMonoidHom T = M

Context: x : S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: g : R →+* P

Context: hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring Q

Context: hy : M ≤ Submonoid.comap g T

Context: inst✝¹ : Algebra P Q

Context: inst✝ : IsLocalization T Q

Context: h : R ≃+* P

Context: H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T

Context: x : S

∀ (x : R), (RingHom.id S) ((algebraMap R S) x) = (algebraMap R S) (((↑h.symm).comp ↑h) x)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: g : R →+* P

Context: hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring Q

Context: hy : M ≤ Submonoid.comap g T

Context: inst✝¹ : Algebra P Q

Context: inst✝ : IsLocalization T Q

Context: h : R ≃+* P

Context: H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T

Context: x : Q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring P

Context: inst✝³ : IsLocalization M S

Context: g : R →+* P

Context: hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)

Context: T : Submonoid P

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring Q

Context: hy : M ≤ Submonoid.comap g T

Context: inst✝¹ : Algebra P Q

Context: inst✝ : IsLocalization T Q

Context: h : R ≃+* P

Context: H : Submonoid.map h.toMonoidHom M = T

Context: x : Q

∀ (x : P), (RingHom.id Q) ((algebraMap P Q) x) = (algebraMap P Q) (((↑h).comp ↑h.symm) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
as : List α


∀ (a : List α), ∀ s ∈ traverse 𝓝 a, ∀ᶠ (y : List α) in traverse 𝓝 a, s ∈ traverse 𝓝 y


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing P

Context: Rₘ✝ : Type u_4

Context: Sₘ✝ : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R✝ Rₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization M✝ Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : Algebra S✝ Sₘ✝

Context: inst✝⁸ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S✝ M✝) Sₘ✝

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: x : S

Context: p : R[X]

Context: hf : eval₂ f x p = 0

Context: M : Submonoid R

Context: hM : p.leadingCoeff ∈ M

Context: Rₘ : Type u_8

Context: Sₘ : Type u_9

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) Sₘ

Context: triv : ¬1 = 0

(IsLocalization.map Sₘ f ⋯).IsIntegralElem ((algebraMap S Sₘ) x)


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing P

Context: Rₘ✝ : Type u_4

Context: Sₘ✝ : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R✝ Rₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization M✝ Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : Algebra S✝ Sₘ✝

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: x : S

Context: p : R[X]

Context: hf : eval₂ f x p = 0

Context: M : Submonoid R

Context: hM : p.leadingCoeff ∈ M

Context: Rₘ : Type u_8

Context: Sₘ : Type u_9

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: triv : ¬1 = 0

Context: this : Nontrivial Rₘ


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R✝ S✝

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing P

Context: Rₘ✝ : Type u_4

Context: Sₘ✝ : Type u_5

Context: inst✝¹³ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝¹² : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R✝ Rₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalization M✝ Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : Algebra S✝ Sₘ✝

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: x : S

Context: p : R[X]

Context: hf : eval₂ f x p = 0

Context: M : Submonoid R

Context: hM : p.leadingCoeff ∈ M

Context: Rₘ : Type u_8

Context: Sₘ : Type u_9

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: triv : ¬1 = 0

Context: this : Nontrivial Rₘ

Context: b : Rₘ

Context: hb : (algebraMap R Rₘ) ↑⟨p.leadingCoeff, hM⟩ * b = 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Lattice (α i)

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: x✝ : ι

x✝ ∈ (↑((f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support))ᶜ ↔ x✝ ∈ (↑(f.support ∪ g.support))ᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
xs : List α
ys : List β

(suffixLevenshtein C xs ys).val.length = xs.length + 1


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizationMonoid R

Context: this : ↑(normUnit X) = C ↑(normUnit X.leadingCoeff)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α × α → β


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
x : ⨂[R] (i : ι), s i

(fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x


∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (r • (tprod R) f)) = r • (tprod R) f


∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x → (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y) = y → (fun r => r • (tprod R) isEmptyElim) ({ toFun := ⇑(lift (constOfIsEmpty R s 1)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (x + y)) = x + y


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝ : IsEmpty ι
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i

(lift (constOfIsEmpty R s 1)) (r • x) = (RingHom.id R) r • (lift (constOfIsEmpty R s 1)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : Set β


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a : R

(if a0 : 0 = 0 then a else let_fun x := ⋯; gcd (a % 0) 0) = a


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) p μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s


Memℒp ({a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) p μ


Memℒp ({a | n ≤ τ a}.indicator (u n)) p μ


Memℒp (∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) p μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
c c' : Chain α
f : α →o β
g✝ : β →o γ
g : α →o β
h : f ≤ g
i : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝²⁴ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²³ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²² : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²¹ : AddMonoid A
inst✝²⁰ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddMonoid B
inst✝¹⁸ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝¹⁷ : AddMonoid B₁
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid C
inst✝¹⁴ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹³ : AddGroup A'
inst✝¹² : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹¹ : AddGroup B'
inst✝¹⁰ : DistribMulAction N B'
R : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_11
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_12
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_13
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction N S'
T : Type u_14
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction P T
f : R →ₑ+*[φ] S
x : R

(f.comp (MulSemiringActionHom.id M)) x = f x


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u_1

Context: Q : β → Prop

Context: u v : β → Cofix F α

Context: h : ∀ (x : β), Q x → ∃ a f' f₀ f₁, (u x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₀⟩ ∧ (v x).dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₁⟩ ∧ ∀ (i : (P F).last.B a), ∃ x', Q x' ∧ f₀ i = u x' ∧ f₁ i = v x'

Context: x✝¹ : β

Context: Qx : Q x✝¹

Context: R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun w z => ∃ x', Q x' ∧ w = u x' ∧ z = v x'

Context: x y : Cofix F α

Context: x✝ : R x y

Context: x' : β

Context: Qx' : Q x'

Context: xeq : x = u x'

Context: yeq : y = v x'

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f₀ f₁ : (P F).last.B a → Cofix F α

Context: ux'eq : (u x').dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₀⟩

Context: vx'eq : (v x').dest = MvQPF.abs ⟨a, (P F).appendContents f' f₁⟩

Context: h' : ∀ (i : (P F).last.B a), ∃ x', Q x' ∧ f₀ i = u x' ∧ f₁ i = v x'

LiftR (fun {i} => α.RelLast R) x.dest y.dest


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u_1

Context: Q : β → Prop

Context: u v : β → Cofix F α

Context: x✝¹ : β

Context: Qx : Q x✝¹

Context: x y : Cofix F α

Context: x✝ : R x y

Context: x' : β

Context: Qx' : Q x'

Context: xeq : x = u x'

Context: yeq : y = v x'

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f₀ f₁ : (P F).last.B a → Cofix F α

∃ a f₀ f₁, x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩ ∧ y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast R (f₀ i j) (f₁ i j)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: β : Type u_1

Context: Q : β → Prop

Context: u v : β → Cofix F α

Context: x✝¹ : β

Context: Qx : Q x✝¹

Context: x y : Cofix F α

Context: x✝ : R x y

Context: x' : β

Context: Qx' : Q x'

Context: xeq : x = u x'

Context: yeq : y = v x'

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f₀ f₁ : (P F).last.B a → Cofix F α

∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast R ((P F).appendContents f' f₀ i j) ((P F).appendContents f' f₁ i j)


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
x y : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
a : α

Tendsto f (comap e (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 * cos x = (sin b ^ 3 - sin a ^ 3) / 3


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 * cos x ^ (2 * 0 + 1) = ∫ (u : ℝ) in sin a..sin b, u ^ 2 * (1 - u ^ 2) ^ 0


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
i : K →+* L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
P : K[X]
hmo : P.Monic
hP : Splits (algebraMap K L) P
r : L
hr : r ∈ P.aroots L

(aeval r) (derivative P) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
i : K →+* L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
P : K[X]
hP : Splits (algebraMap K L) P
r : L
hr : r ∈ P.aroots L
hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : DecidableEq L

Context: P : K[X]

Context: r : L

Context: hr : r ∈ P.aroots L

Context: hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic

Context: hP : Splits (RingHom.id L) (map (algebraMap K L) P)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : DecidableEq L

Context: P : K[X]

Context: r : L

Context: hr : r ∈ P.aroots L

Context: hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic

eval r (derivative (map (algebraMap K L) P)) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : Algebra R L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : DecidableEq L

Context: P : K[X]

Context: r : L

Context: hr : r ∈ P.aroots L

Context: hmo : (map (algebraMap K L) P).Monic

eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (map (algebraMap K L) P).roots).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) ((P.aroots L).erase r)).prod


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s


∀ (x : PrimeSpectrum R), x ∉ zeroLocus s


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
x : PrimeSpectrum R
hx : x ∈ zeroLocus s


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
x : PrimeSpectrum R
hx : s ⊆ ↑x.asIdeal


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
x : PrimeSpectrum R
hx : s ⊆ ↑x.asIdeal
x_prime : x.asIdeal.IsPrime


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
h : 1 ∈ s
x : PrimeSpectrum R
hx : s ⊆ ↑x.asIdeal
x_prime : x.asIdeal.IsPrime
eq_top : x.asIdeal = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h_le : f ≤ᶠ[ae μ] g
h : ∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ g x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: h_le : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: h : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

Context: h_le : f ≤ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : Finite α

Context: f : α → β

Context: e : α ≃ β

Context: this : Injective (⇑e.symm ∘ f) ↔ Surjective (⇑e.symm ∘ f)

Context: hinj : Injective f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : Finite α

Context: f : α → β

Context: e : α ≃ β

Context: hsurj : Surjective f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x

HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: h_bound : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x

Context: h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F✝ : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound✝ : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ H

Context: μ : Measure ℝ

Context: F : H → ℝ → E

Context: F' : H → ℝ → H →L[ℝ] E

Context: a b : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Set.Ioc b a))

Context: hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : WfDvdMonoid α

Context: a✝ a i : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hi : Irreducible i

Context: ih : a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a

Context: x✝ : i * a ≠ 0

Context: s : Multiset α

Context: hs : (∀ b ∈ s, Irreducible b) ∧ s.prod ~ᵤ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : WfDvdMonoid α

Context: a✝ a i : α

Context: ha0 : a ≠ 0

Context: hi : Irreducible i

Context: x✝ : i * a ≠ 0

Context: s : Multiset α


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₂' →ₗ[R] M₂

(toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ f) = (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂' b₂) f


((toMatrix b₁ b₁) id)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂' b₂) f = (toMatrix₂ b₁ b₂) (B ∘ₗ id) * (toMatrix b₂' b₂) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : Basis ι 𝕜 E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : Basis ι 𝕜 E

Context: this : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : Basis ι 𝕜 E

Context: this✝ : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)

Context: this : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (⇑b '' Set.Iio j)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: i j : ι

Context: hij : i < j

Context: b : Basis ι 𝕜 E

Context: this✝¹ : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)

Context: this✝ : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (⇑b '' Set.Iio j)

Context: this : ↑(b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)).support ⊆ Set.Iio j


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α


Context:
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget CompleteLat).obj α

({ toFun := ⇑e, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget CompleteLat).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ

count p (a + b) = count (fun k => p (k + b)) a + count p b


count (fun k => p (b + k)) a + count p b = count (fun k => p (k + b)) a + count p b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : PseudoMetricSpace Y
inst✝¹ : EquivLike F X Y
inst✝ : DilationEquivClass F X Y
e : F


Context: α : Type u_1

Context: s✝ t : Multiset (Multiset α)

Context: a : Multiset α

Context: s : Multiset (Multiset α)

Context: ih : (s + t).Sections = s.Sections.bind fun m => map (fun x => m + x) t.Sections

(a ::ₘ s + t).Sections = (a ::ₘ s).Sections.bind fun m => map (fun x => m + x) t.Sections


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: α : Ext X Y n

Context: m : ℕ

Context: β : Ext Y Z m

Context: p : ℕ

Context: h : n + m = p

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q


φ ≫ ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ hσ' q n (n + 1) ⋯ + hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) = 0


φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : a < b

Context: h₂ : b < a


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hq : ↑q.num ≠ 0

↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ

circleMap c R '' Ioc 0 (2 * π) = sphere c |R|


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: X₁ X₂ : Type u

Context: g₁ : Ring X₁

Context: g₂ : Ring X₂

Context: m₁ : Algebra R X₁

Context: m₂ : Algebra R X₂

Context: e : X₁ ≃ₐ[R] X₂

Context: x : (forget (AlgebraCat R)).obj (AlgebraCat.of R X₁)

(↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 (AlgebraCat.of R X₁)) x


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: X₁ X₂ : Type u

Context: g₁ : Ring X₁

Context: g₂ : Ring X₂

Context: m₁ : Algebra R X₁

Context: m₂ : Algebra R X₂

Context: e : X₁ ≃ₐ[R] X₂

Context: x : (forget (AlgebraCat R)).obj (AlgebraCat.of R X₂)

(↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 (AlgebraCat.of R X₂)) x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.81832, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

(↑(fst φ)).v p q hpq ≫ (inl φ).v q p ⋯ + (snd φ).v p p ⋯ ≫ (inr φ).f p = 𝟙 ((mappingCone φ).X p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)

Context: IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []

Context: l : List α

Context: p : l ~ is ++ t :: ts

(∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ (t :: ts).permutationsAux is


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: l : List α

Context: p : l ~ is ++ t :: ts

(∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: l : List α

Context: p : l ~ is ++ t :: ts

Context: is' : List α

Context: p' : is' ~ t :: is

Context: e : l = is' ++ ts


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: l : List α

Context: p : l ~ is ++ t :: ts

Context: m : l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)


Context: a : Code × ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
q : Stmt₂


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : DecidableRel R
f : β → α
x : β
xs : List β

pwFilter R (map f (x :: xs)) = map f (pwFilter (fun x y => R (f x) (f y)) (x :: xs))


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring α

Context: inst✝² : Semiring β

Context: inst✝¹ : Algebra R α

Context: inst✝ : Algebra R β

Context: r : R

Context: f : α → β

Context: hf : f 0 = 0

Context: hf₂ : f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r

((algebraMap R (Matrix n n α)) r).map f = (algebraMap R (Matrix n n β)) r


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring α

Context: inst✝² : Semiring β

Context: inst✝¹ : Algebra R α

Context: inst✝ : Algebra R β

Context: r : R

Context: f : α → β

Context: hf : f 0 = 0

(diagonal fun m => f ((algebraMap R (n → α)) r m)) = diagonal ((algebraMap R (n → β)) r)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring α

Context: inst✝² : Semiring β

Context: inst✝¹ : Algebra R α

Context: inst✝ : Algebra R β

Context: r : R

Context: f : α → β

Context: hf : f 0 = 0

n → f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

IsPeriodicPt f m x → IsPeriodicPt f n x → IsPeriodicPt f (m.gcd n) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : IsPeriodicPt f 0 x
hn : IsPeriodicPt f n x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f fa : α → α

Context: fb : β → β

Context: x y : α

Context: m✝ n✝ m n : ℕ

Context: x✝ : 0 < m

Context: ih : IsPeriodicPt f (n % m) x → IsPeriodicPt f m x → IsPeriodicPt f ((n % m).gcd m) x

Context: hm : IsPeriodicPt f m x

Context: hn : IsPeriodicPt f n x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : Cᵒᵖ

e.functor.op.map ((NatIso.op e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.op e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.op.obj X) = 𝟙 (e.functor.op.obj X)


(e.functor.op.map ((NatIso.op e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.op e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.op.obj X)).unop = (𝟙 (e.functor.op.obj X)).unop


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : LeftHomologyMapData φ' h₁ h₂

leftHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ + leftHomologyMap' φ' h₁ h₂


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Semiring k

Context: inst✝³ : Mul G

Context: inst✝² : Semiring R

Context: g_hom : Type u_3

Context: inst✝¹ : FunLike g_hom G R

Context: inst✝ : MulHomClass g_hom G R

Context: f : k →+* R

Context: g : g_hom

Context: a b : MonoidAlgebra k G

Context: h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)

(liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) a * (liftNC ↑f ⇑g) b


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Semiring k

Context: inst✝³ : Mul G

Context: inst✝² : Semiring R

Context: g_hom : Type u_3

Context: inst✝¹ : FunLike g_hom G R

Context: inst✝ : MulHomClass g_hom G R

Context: f : k →+* R

Context: g : g_hom

Context: a b : MonoidAlgebra k G

(liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (sum a single) * (liftNC ↑f ⇑g) (sum b single)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Semiring k

Context: inst✝³ : Mul G

Context: inst✝² : Semiring R

Context: g_hom : Type u_3

Context: inst✝¹ : FunLike g_hom G R

Context: inst✝ : MulHomClass g_hom G R

Context: f : k →+* R

Context: g : g_hom

Context: a b : MonoidAlgebra k G

(sum a fun a b_1 => sum b fun a_1 b => ↑f (b_1 * b) * g (a * a_1)) = sum a fun a c => sum b fun a_1 c_1 => ↑f c * g a * (↑f c_1 * g a_1)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Semiring k

Context: inst✝³ : Mul G

Context: inst✝² : Semiring R

Context: g_hom : Type u_3

Context: inst✝¹ : FunLike g_hom G R

Context: inst✝ : MulHomClass g_hom G R

Context: f : k →+* R

Context: g : g_hom

Context: a b : MonoidAlgebra k G

Context: y : G

Context: hy : y ∈ a.support

Context: x : G

Context: _hx : x ∈ b.support

(fun a_1 b => ↑f (a y * b) * g (y * a_1)) x (b x) = (fun a_1 c => ↑f (a y) * g y * (↑f c * g a_1)) x (b x)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : (aeval f) p = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: p : K[X]

Context: hp : Squarefree p

Context: hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: p : K[X]

Context: hp : Squarefree p

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: p : K[X]

Context: hp : Squarefree p

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}

Context: this : IsReduced R


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: p : K[X]

Context: hp : Squarefree p

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}

Context: this✝ : IsReduced R

Context: this : FiniteDimensional K R


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: p : K[X]

Context: hp : Squarefree p

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}

Context: this✝¹ : IsReduced R

Context: this✝ : FiniteDimensional K R

Context: this : IsArtinianRing R


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: p : K[X]

Context: hp : Squarefree p

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}

Context: this✝² : IsReduced R

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K R

Context: this✝ : IsArtinianRing R

Context: this : IsSemisimpleRing R


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R✝

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R✝ M

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Module K M

Context: f g : End K M

Context: p : K[X]

Context: hp : Squarefree p

Context: R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}

Context: this✝³ : IsReduced R

Context: this✝² : FiniteDimensional K R

Context: this✝¹ : IsArtinianRing R

Context: this✝ : IsSemisimpleRing R

Context: this : Module R (AEval' f) := hpf.module

Context: e : AEval' f →ₛₗ[Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {p})] AEval' f := let __src := AddMonoidHom.id (AEval' f); { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ w₃ p₁ p₂ p₃ : ℝ≥0

w₁ + w₂ + w₃ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n = q

((x • γ).shift a).v p q hpq = (x • γ.shift a).v p q hpq


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)

Context: x : α

Context: h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom

Context: p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom

Part.fix f x = Fix.approx f (Nat.find h').succ x


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: x : α

Context: h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom

Context: this : p (Nat.find h')