Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: v' : Basis (Fin d) K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)

Context: hv₁ : (domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)).IsOrthoᵢ ⇑v'


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: ih : ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V}, IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hd : finrank K ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) + 1 = d + 1

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: B' : ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] ↥((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) →ₗ[K] K := domRestrict₁₂ B ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B) ((Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B)

Context: b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

IsOrthoᵢ B (Fin.cons x (Subtype.val ∘ ⇑v'))


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: j i : Fin (d + 1)

j ≠ i → (IsOrtho B on Fin.cons x (Subtype.val ∘ ⇑v')) j i


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: j i : Fin (d + 1)

Context: hij : 0 ≠ 0


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: j✝ i : Fin (d + 1)

Context: j : Fin d

Context: hij : j.succ ≠ 0


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: j i✝ : Fin (d + 1)

Context: i : Fin d

Context: hij : 0 ≠ i.succ


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: K : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: hK : Invertible 2

Context: d : ℕ

Context: V : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB₂ : IsSymm B

Context: this : Nontrivial V

Context: hB₁ : B ≠ 0

Context: x : V

Context: hx : ¬IsOrtho B x x

Context: j✝ i✝ : Fin (d + 1)

Context: i j : Fin d

Context: hij : j.succ ≠ i.succ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x✝ y✝ : α

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf α

Context: inst✝ : SemilatticeInf β

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: hxy : x ≤ y


Context: a b c : Ordinal.{u_1}


Context: b c : Ordinal.{u_1}


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0


Context:
b c : Ordinal.{u_1}
a0 : 1 ≠ 0


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
a1 : 1 < a


Context:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y


finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 0 ↔ ¬finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1


Context:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : ¬finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1


Context:
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁵ : Linear 𝕜 C
inst✝⁴ : HasKernels C
X Y : C
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ Y)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : ¬finrank 𝕜 (X ⟶ Y) = 1
this : finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: β : Type u_2

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ≥0∞

Context: hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x

Context: hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε

(𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | edist p.1 p.2 ≤ f x}


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: β : Type u_2

Context: p : β → Prop

Context: f : β → ℝ≥0∞

Context: hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x

Context: s : Set (α × α)

(∃ i, 0 < i ∧ {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | edist p.1 p.2 ≤ f i} ⊆ s


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle

(o.kahler ((o.rotation θ) x)) y = (starRingEnd ℂ) ↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y


↑θ.cos * (o.kahler x) y + ↑θ.sin * (-I * (o.kahler x) y) = (↑θ.cos + ↑θ.sin * -I) * (o.kahler x) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : Semiring α

∀ (v w : Fin 0 → α), circulant v * circulant w = circulant (circulant v *ᵥ w)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ

((X ^ p ^ n - C y) ^ m).roots = (m * p ^ n) • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}


Context:
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n m : ℕ


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β

x.getLeft?.isSome = true ↔ x.isLeft = true


(∃ a, x.getLeft? = some a) ↔ ∃ y, x = inl y


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
x✝ : X × Y
a : X
b : Y

(a, b) ∈ interior (s ×ˢ t) ↔ (a, b) ∈ interior s ×ˢ interior t


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
a✝¹ : α
ha : ¬↑a✝¹ = 0
a✝ : α
hb : ¬↑a✝ = 0

untop' 0 (↑a✝¹ * ↑a✝) = untop' 0 ↑a✝¹ * untop' 0 ↑a✝


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : GrowsPolynomially f

Context: c₁ : ℝ

Context: left✝¹ : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: left✝ : c₂ > 0

Context: h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

(∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≤ 0


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

LiftP p x ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u


(∃ a f, abs (repr x) = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp (abs (repr x)) i, p i u


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: h : IsUniform

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i, p i u

Context: x✝ : Fin2 n

Context: i : (P F).B a x✝


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} n → Type u_1

Context: q : MvQPF F

Context: h : IsUniform

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : F α

Context: p : (i : Fin2 n) → α i → Prop

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a ⟹ α

Context: x✝ : Fin2 n

Context: i : (P F).B a x✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e

Context: hx : x ∈ e.source

UniqueMDiffWithinAt I' (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s x

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: hx : x ∈ e.source

UniqueMDiffWithinAt I' (↑e '' (s ∩ e.source)) (↑e x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ∣ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a c d : Ordinal.{u_4}


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : β ≃ α

(type fun x y => r (f x) (f y)) = type r


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : α → F

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : α → F

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hp' : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : α → F

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hp' : 0 < p.toReal

Context: this : 0 < 1 / p.toReal


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
hab : x * y ∈ H


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f✝ f : α → β
x y : FreeSemigroup α

(fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) (x * y) = (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) x * (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x y : G


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x : G
m : F


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : a ∈ {a | a ∈ l}
b : α
hb : b ∈ {a | a ∈ l}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length


l.formPerm.SameCycle (l.get ⟨indexOf a l, ha⟩) (l.get ⟨indexOf b l, hb⟩)


(l.formPerm ^ (↑(indexOf b l) - ↑(indexOf a l))) (l.get ⟨indexOf a l, ha⟩) = l.get ⟨indexOf b l, hb⟩


l.get ⟨(indexOf a l + indexOf b l) % l.length, ⋯⟩ = l.get ⟨(indexOf b l + indexOf a l) % l.length, ⋯⟩


Context: r s t : ℝ


(polynomialFunctions I).topologicalClosure = ⊤


⊤ ≤ (polynomialFunctions I).topologicalClosure


Context: f : C(↑I, ℝ)

∃ᶠ (x : C(↑I, ℝ)) in nhds f, x ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring


Context: f : C(↑I, ℝ)

∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, bernsteinApproximation x f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring


Context: f : C(↑I, ℝ)

∀ (x : ℕ), bernsteinApproximation x f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring


Context:
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ

bernsteinApproximation n f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring


Context:
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ

bernsteinApproximation n f ∈ (polynomialFunctions I).toSubsemiring


Context:
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ

∀ x ∈ Finset.univ, f (bernstein.z x) • bernstein n ↑x ∈ polynomialFunctions I


Context:
f : C(↑I, ℝ)
n✝ : ℕ
n : Fin (n✝ + 1)

f (bernstein.z n) • bernstein n✝ ↑n ∈ polynomialFunctions I


Context:
f : C(↑I, ℝ)
n✝ : ℕ
n : Fin (n✝ + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop

(powers x hx).hsum - (powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)).hsum = 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M

subtypeDomain p f = 0 ↔ ∀ (x : α), p x → f x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: h✝ : π.IsPartition

Context: hx✝ : x ∈ I

Context: J : Box ι

Context: h : J ∈ π

Context: hx : x ∈ J


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse f g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse f g
x : β
xs : List β


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x✝³ x✝² : α
x✝¹ : ℤ
x✝ : ℕ
h : IsRat (x✝³ * x✝²⁻¹) x✝¹ x✝


Context:
n : ℕ
Hn : n ≠ 0


Context:
n : ℕ
Hn : (Finset.range n).Nonempty


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.nonunits = B.nonunits


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
x : ℕ

x ∈ (normalizeScaleRoots p).support → x ∈ p.support


x ∉ p.support → x ∉ (normalizeScaleRoots p).support


p.coeff x = 0 → ¬p.coeff x = 0 → (if x = p.natDegree then 1 else p.coeff x * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - x)) = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
h : b < a


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n : ℕ
a : M
m : ℕ


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ


Context:
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ S f ε h n x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M

IsLocalDiffeomorphOn I J n f s ↔ ∀ (x : ↑s), IsLocalDiffeomorphAt I J n f ↑x


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasBinaryProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
F : WalkingParallelPair ⥤ C

pullbackFst F = pullback.snd (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left)) (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right))


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)

Context: x y x' y' a : (i : ι) → α i

Context: ha' : a ∉ univ.pi fun i => Ioo (x' i) (y' i)

Context: hxa : x ≤ a

Context: hay : a ≤ y

a ∈ (⋃ i, Icc x (update y i (x' i))) ∪ ⋃ i, Icc (update x i (y' i)) y


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
ha' : ∃ x, ¬(x' x < a x ∧ a x < y' x)


∃ x, (True ∧ a x ≤ x' x ∧ ∀ (j : ι), j ≠ x → True) ∨ (y' x ≤ a x ∧ ∀ (j : ι), j ≠ x → True) ∧ True


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
w : ι
hw : ¬(x' w < a w ∧ a w < y' w)

(True ∧ a w ≤ x' w ∧ ∀ (j : ι), j ≠ w → True) ∨ (y' w ≤ a w ∧ ∀ (j : ι), j ≠ w → True) ∧ True


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ

(Quotient.mk'' y ^ n).val = val (Quotient.mk'' y) ^ n


Localization.mk ↑(y ^ n).num ⟨↑(y ^ n).den, ⋯⟩ = Localization.mk (↑y.num ^ n) (⟨↑y.den, ⋯⟩ ^ n)


Context:
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
v : TProd α l
i : ι
hi : i ∈ l

(TProd.mk l (TProd.elim' h v)).elim hi = v.elim hi


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: l l' : List α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (zipWith swap l l').prod.support

Context: hx' : x ∈ {x | (zipWith swap l l').prod x ≠ x}


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : f ≫ r = 𝟙 A
gr : g ≫ r = 𝟙 A


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: A✝ B✝ : C

Context: f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C

Context: A B : C

Context: f g : A ⟶ B

Context: r : B ⟶ A

Context: fr : f ≫ r = 𝟙 A

Context: gr : g ≫ r = 𝟙 A

Context: this : IsCoreflexivePair f g := IsCoreflexivePair.mk' r fr gr


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s : Set α

Context: hs : s.Nonempty

Context: h's : BddBelow s


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : ¬p i


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g


Context: s : ℂ

completedCosZeta 0 s = completedRiemannZeta s


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace F
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
K✝ : Set E
comp✝ : IsCompact K✝
f✝ : E → F
D : Set E
ε✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillation f x < ε

∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' ball x (ENNReal.ofReal δ)) ≤ ε


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E

Context: K✝ : Set E

Context: comp✝ : IsCompact K✝

Context: f✝ : E → F

Context: D : Set E

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f univ x < ε


Context: E : Type u

Context: F : Type v

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace F

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E

Context: K✝ : Set E

Context: comp✝ : IsCompact K✝

Context: f✝ : E → F

Context: D : Set E

Context: ε✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: K : Set E

Context: comp : IsCompact K

Context: f : E → F

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: x✝ : ℝ

Context: a✝¹ : E

Context: a✝ : a✝¹ ∈ K

ball a✝¹ (ENNReal.ofReal x✝) ∩ univ = ball a✝¹ (ENNReal.ofReal x✝)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

DifferentiableWithinAt 𝕜 f t y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x i) t y


(∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t y) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x i) t y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

∃ l' r', BalancedSz l' r' ∧ (l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l')


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X

(functorPullback (𝟭 C) R).arrows f✝ ↔ R.arrows f✝


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: hp : NeZero p

Context: inst✝ : CharZero R

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ (i : ℕ), ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars = {i}


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: hp : NeZero p

Context: inst✝ : CharZero R

Context: n : ℕ

((range (n + 1)).biUnion fun i => ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars) = range (n + 1)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : DecidableEq R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: hp : NeZero p

Context: inst✝ : CharZero R

Context: n : ℕ

Pairwise (Disjoint on fun i => ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ

(∑ a ∈ s, f a) ^ n = ∑ p ∈ piFinset fun _i => s, ∏ i : Fin n, f (p i)


(∑ a ∈ s, f a) ^ n = ∏ i : Fin n, ∑ j ∈ s, f j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)

Context: hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f✝ f : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α

(TransGen fun x x_1 => x ⩿ x_1) = ReflTransGen fun x x_1 => x ⋖ x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

range (t.restrictPreimage f) = Subtype.val ⁻¹' range f


Context:
m✝ n a✝ b✝ c✝ d a b c m : ℕ
hc : c ≠ 0

c * a ≡ c * b [MOD c * m] → a ≡ b [MOD m]


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S = ↑S.u * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3


λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S = ↑S.u * λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3


(S.a + S.b) * ((S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)) = ↑S.u * (λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3)


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
husv : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s +ᵥ t
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)


Context: α : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P

Context: inst✝³ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝¹ : MetricSpace Q

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: s : Set V

Context: t : Set P

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsCompact t

Context: u : ℕ → P

Context: p : P

Context: hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)

Context: a : ℕ → V

Context: ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s

Context: v : ℕ → P

Context: hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

Context: hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n


Context: α : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P

Context: inst✝³ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝¹ : MetricSpace Q

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: s : Set V

Context: t : Set P

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsCompact t

Context: u : ℕ → P

Context: p : P

Context: hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)

Context: a : ℕ → V

Context: ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s

Context: v : ℕ → P

Context: hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

Context: q : P

Context: hqt : q ∈ t

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_mono : StrictMono φ

Context: hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)


Context: α : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P

Context: inst✝³ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝¹ : MetricSpace Q

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: s : Set V

Context: t : Set P

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsCompact t

Context: u : ℕ → P

Context: p : P

Context: hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)

Context: a : ℕ → V

Context: ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s

Context: v : ℕ → P

Context: hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

Context: q : P

Context: hqt : q ∈ t

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_mono : StrictMono φ

Context: hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a * b⁻¹ = c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = c * b


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
x y : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
x✝ : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)

x✝ ∈ ↑(map toTriangle t) → ∀ ⦃y : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)⦄, y ∈ ↑(map toTriangle t) → x✝ ≠ y → (fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton) x✝ y


∀ (x : α) (x_1 : β) (x_2 : γ), (x, x_1, x_2) ∈ t → toTriangle (x, x_1, x_2) = x✝ → ∀ ⦃y : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)⦄ (x : α) (x_3 : β) (x_4 : γ), (x, x_3, x_4) ∈ t → toTriangle (x, x_3, x_4) = y → ¬x✝ = y → (↑x✝ ∩ ↑y).Subsingleton


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: t : Finset (α × β × γ)

Context: a✝ a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c✝ c' : γ

Context: ε : 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : DecidableEq γ

Context: inst✝ : ExplicitDisjoint t

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: habc : (a, b, c) ∈ t

Context: x : α

Context: y : β

Context: z : γ

Context: hxyz : (x, y, z) ∈ t

Context: h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)

(↑(toTriangle (a, b, c)) ∩ ↑(toTriangle (x, y, z))).Subsingleton


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: t : Finset (α × β × γ)

Context: a✝ a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c✝ c' : γ

Context: ε : 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : DecidableEq γ

Context: inst✝ : ExplicitDisjoint t

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: habc : (a, b, c) ∈ t

Context: x : α

Context: y : β

Context: z : γ

Context: hxyz : (x, y, z) ∈ t

Context: this : (a, b, c) ≠ (x, y, z)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: t : Finset (α × β × γ)

Context: a✝ a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c✝ c' : γ

Context: ε : 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : DecidableEq γ

Context: inst✝ : ExplicitDisjoint t

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: habc : (a, b, c) ∈ t

Context: x : α

Context: y : β

Context: z : γ

Context: hxyz : (x, y, z) ∈ t

Context: this : a = x → b = y → ¬c = z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: t : Finset (α × β × γ)

Context: a✝ a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c✝ c' : γ

Context: ε : 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : DecidableEq β

Context: inst✝¹ : DecidableEq γ

Context: inst✝ : ExplicitDisjoint t

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: habc : (a, b, c) ∈ t

Context: x : α

Context: y : β

Context: z : γ

Context: hxyz : (x, y, z) ∈ t

Context: this : a = x → b = y → ¬c = z

(∀ (a_1 : α), Sum.inl a_1 = Sum.inl a → Sum.inl a_1 = Sum.inl x → (∀ (a_4 : α), Sum.inl a_4 = Sum.inl a → Sum.inl a_4 = Sum.inl x → Sum.inl a_1 = Sum.inl a_4) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → False) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → False) ∧ (∀ (a_1 : β), Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → (∀ (a_4 : α), Sum.inl a_4 = Sum.inl a → Sum.inl a_4 = Sum.inl x → False) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr b_1)) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → (∀ (a_3 : α), Sum.inl a_3 = Sum.inl a → Sum.inl a_3 = Sum.inl x → False) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b_2 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr b_2)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V

Disjoint G₁.edgeSet G₂.edgeSet ↔ Disjoint G₁ G₂


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: b : S

Context: s : α →₀ R

Context: f : α → R → S

b * s.sum f = s.sum fun a c => b * f a c


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: this : ↑f x = 0 ∨ ↑f x = (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
h : ↑f x = 0


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: h : ↑f x = (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x

(↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x ∈ Icc 0 1


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : MonoCoprod C
I : Type u_2
X : I → C
c : Cofan X
h : IsColimit c
i : I
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
ι : Unit → I := fun x => i
hι : Function.Injective ι


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f (s ∪ s') t = image2 f s t ∪ image2 f s' t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α n
f : α → β

b ∈ (map f v).toList ↔ ∃ a ∈ v.toList, f a = b


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2

(quadraticChar F) (-1) = χ₄ ↑(Fintype.card F)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

(if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (Fintype.card F / 2)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: n : ℕ


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: n : ℕ

Context: h₂ : Even n


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Fintype F

Context: inst✝ : DecidableEq F

Context: hF : ringChar F ≠ 2

Context: n : ℕ

Context: h₂ : Odd n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G →L[𝕜] E
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : G
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n

iteratedFDeriv 𝕜 i (f ∘ ⇑g) x = (iteratedFDeriv 𝕜 i f (g x)).compContinuousLinearMap fun x => g


iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) univ x = (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ (g x)).compContinuousLinearMap fun x => g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α

(fun n => ε (b i * ↑n) - ε ↑n) =Θ[atTop] fun n => 1 / log ↑n ^ 2


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: inst✝² : Add R

Context: inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: u v : α → R

Context: U : R

Context: hU : ∀ᶠ (x : R) in map u f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x U

Context: V : R

Context: hV : ∀ᶠ (x : R) in map v f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x V

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (u + v)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: inst✝² : Add R

Context: u v : α → R

Context: U : R

Context: V : R

∀ᶠ (x : R) in map (u + v) f, (fun x x_1 => x ≥ x_1) x (U + V)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: f : Filter α

Context: inst✝⁴ : f.NeBot

Context: R : Type u_7

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: inst✝² : Add R

Context: u v : α → R

Context: U V : R

Context: hU : ∀ᶠ (a : α) in f, u a ≥ U

Context: hV : ∀ᶠ (a : α) in f, v a ≥ V


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: P Q : Cubic R

Context: a b c d a' b' c' d' : R

Context: inst✝ : Semiring R

Context: h0 : P.a ≠ 0 ∨ P.b ≠ 0 ∨ P.c ≠ 0 ∨ P.d ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h0 : P.toPoly = 0


Cubic.a 0 = 0 ∧ Cubic.b 0 = 0 ∧ Cubic.c 0 = 0 ∧ Cubic.d 0 = 0


Context: i j : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b d : α
x y : WithBot α

unbot' d x = unbot' d y ↔ x = y ∨ x = ↑d ∧ y = ⊥ ∨ x = ⊥ ∧ y = ↑d


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
a x b c : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
h : Tendsto Inv.inv (𝓝 1) (𝓝 1)
x : G₀
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
h : Tendsto Inv.inv (𝓝 1) (𝓝 1)
x : G₀
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0


Tendsto ((fun x_1 => x_1 * x⁻¹⁻¹) ∘ Inv.inv ∘ fun x_1 => x * x_1) (𝓝 1) (𝓝 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_neg : ∀ (x : R), f (-x) = f x
x y : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: μa μa' : Measure α

Context: μb μb' : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: e : α ≃ α

Context: he : QuasiMeasurePreserving (⇑e) μ μ

Context: he' : QuasiMeasurePreserving (⇑e.symm) μ μ

Context: k : ℤ

Context: hs : ⇑e '' s =ᵐ[μ] s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: μa μa' : Measure α

Context: μb μb' : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: e : α ≃ α

Context: he : QuasiMeasurePreserving (⇑e) μ μ

Context: k : ℤ

Context: hs : ⇑e '' s =ᵐ[μ] s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: μa μa' : Measure α

Context: μb μb' : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: e : α ≃ α

Context: he : QuasiMeasurePreserving (⇑e) μ μ

Context: hs : ⇑e '' s =ᵐ[μ] s

Context: k : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: e₁ : T₁ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₁

Context: K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: e₂ : T₂ ≅ CochainComplex.mappingCone.triangleh φ₂

Context: a' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K₂

Context: ha' : a' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁

Context: b' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₁ ⟶ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj L₂

Context: hb' : b' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂

∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: a'' : K₁ ⟶ K₂

Context: ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: a'' : K₁ ⟶ K₂

Context: b'' : L₁ ⟶ L₂

Context: hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: a'' : K₁ ⟶ K₂

Context: b'' : L₁ ⟶ L₂

Context: H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: a'' : K₁ ⟶ K₂

Context: b'' : L₁ ⟶ L₂

Context: H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)

Context: γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ CochainComplex.mappingCone.trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: a'' : K₁ ⟶ K₂

Context: b'' : L₁ ⟶ L₂

Context: H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)

Context: comm₂ : T₁.mor₂ ≫ γ.hom₃ = γ.hom₂ ≫ T₂.mor₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.448795, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

Context: K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₁ : K₁ ⟶ L₁

Context: K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ

Context: φ₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: a'' : K₁ ⟶ K₂

Context: b'' : L₁ ⟶ L₂

Context: H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)

Context: comm₃ : T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map γ.hom₁ = γ.hom₃ ≫ T₂.mor₃


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ

esymm σ R n = ∑ t ∈ powersetCard n univ, (monomial (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1)) 1


esymm σ R n = ∑ x ∈ powersetCard n univ, ∏ i ∈ x, (monomial (Finsupp.single i 1)) 1


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 1


Context:
α β γ : Type u
F : Type → Type v
inst✝ : Alternative F
h : Decidable False


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ


VectorMeasure.restrict 0 univ ≤ VectorMeasure.restrict μ.toSignedMeasure univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
x✝ : j ⊆ univ


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
H : Subgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
H : Subgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g
x : G
hx : x ∈ ↑H


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
H : Subgroup G
g : G
hg : ↑H ∈ 𝓝 g
x : G
hx : x ∈ ↑H
hg' : g ∈ H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : ContinuousMul G

Context: H : Subgroup G

Context: g : G

Context: hg : ↑H ∈ 𝓝 g

Context: x : G

Context: hx : x ∈ ↑H

Context: hg' : g ∈ H

Context: this : Filter.Tendsto (fun y => y * (x⁻¹ * g)) (𝓝 x) (𝓝 g)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : n ≤ l.length


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : l.length < n


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Set C
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

x✝ ∈ (full ∅).arrows x✝² x✝¹ ↔ x✝ ∈ ⊥.arrows x✝² x✝¹


Context:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]

a ∈ grade R m ↔ a ∈ LinearMap.range (Finsupp.lsingle m)


(∃ b, a = Finsupp.single m b) ↔ a ∈ LinearMap.range (Finsupp.lsingle m)


∀ (a_1 : R), a = Finsupp.single m a_1 ↔ (Finsupp.lsingle m) a_1 = a


Context:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]
r : R

a = Finsupp.single m r ↔ (Finsupp.lsingle m) r = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.Infinite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
h : ∑' (x : α), s.indicator (⇑p) x = 1
a : α
hap : a ∈ p.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
h : p.support ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
h : (Matrix.fromBlocks A 0 C D).IsSymm
ha : A.IsDiag
hd : D.IsDiag


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a

IntegrableOn (fun x => f (a * x)) (Ioi c) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (a * c)) volume


Integrable ((Ioi c).indicator fun x => f (a * x)) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (a * c)) volume


Integrable ((Ioi c).indicator fun x => f (a * x)) volume ↔ Integrable ((Ioi (a * c)).indicator f) volume


((Ioi c).indicator fun x => f (a * x)) = fun x => (Ioi (a * c)).indicator f (a * x)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ

(Ioi c).indicator (fun x => f (a * x)) x = (Ioi (a * c)).indicator f (a * x)


(Ioi c).indicator (fun x => f (a * x)) x = (Ioi c).indicator (f ∘ HMul.hMul a) x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
this : (f a)⁻¹ * f b = 1


Context: a b n : ℕ

(if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun p k => p ^ ((k + n - 1) / n)) = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ ns i), s j = ⨆ n, s n


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: n : ι


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: n : ι

Context: h : ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = ⨆ (_ : ∃ i, n ∈ ns i), s n


Context: α✝ : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α✝

Context: s : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α✝ Ω

Context: μα : Measure α✝

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsMarkovKernel κ

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: α : Type u_4

Context: p : Set ι → Prop

Context: f : Filter ι

Context: ns : α → Set ι

Context: h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0

Context: h_indep : iIndep s κ μα

Context: hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f

Context: hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

Context: hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a

Context: n : ι

Context: this : Nonempty (∃ i, n ∈ ns i)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra F L

Context: S : Set K

Context: splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

Context: x : K

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra F L

Context: S : Set K

Context: x : K

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: normal : Normal F ↥E


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra F L

Context: S : Set K

Context: x : K

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: normal : Normal F ↥E

Context: this : ∀ x ∈ S, Splits (algebraMap F ↥E) (minpoly F x)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Algebra F L

Context: S : Set K

Context: x : K

Context: hx : x ∈ adjoin F S

Context: normal : Normal F ↥E

Context: φ : ↥(adjoin F S) →ₐ[F] ↥E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : SigmaFinite (Measure.map f μ)
n : ℕ

μ ((fun n => f ⁻¹' spanningSets (Measure.map f μ) n) n) < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : SigmaFinite (Measure.map f μ)

⋃ i, (fun n => f ⁻¹' spanningSets (Measure.map f μ) n) i = univ


Context:
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

(iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra


Context:
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
h✝ : IsEmpty ι


Context:
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ↑ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
s : Set α
left✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hgε : eLpNorm (sᶜ.indicator g) p μ < ↑ε


Context:
α β : BddDistLat
e : ↑α.toDistLat ≃o ↑β.toDistLat
x✝ : (forget BddDistLat).obj α

((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : BddDistLat
e : ↑α.toDistLat ≃o ↑β.toDistLat
x✝ : (forget BddDistLat).obj β

((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ m₁' : M₁

(Q₁.prod Q₂).IsOrtho (m₁, 0) (m₁', 0) ↔ Q₁.IsOrtho m₁ m₁'


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
hab : a ≤ b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
hab : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ

a ^ n = b ^ n ↔ n = 0 ∨ a = b ∨ a = -b ∧ Even n


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H K : Subgroup G

Context: S T : Set G

Context: hST : IsComplement S T

Context: hHT : IsComplement (↑H) T

Context: hSK : IsComplement S ↑K

Context: g : G

Context: h1 : 1 ∈ T

Context: hg : g ∈ S

Context: this : hST.equiv.symm (⟨g, hg⟩, ⟨1, h1⟩) = g


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
z : ℂ

(isometryOfOrthonormal v) z = z.re • v 0 + z.im • v 1


v.repr.symm (orthonormalBasisOneI.repr z) = z.re • v 0 + z.im • v 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)

Submodule.map ((lift Q) ⟨f, cond⟩).toLinearMap (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: y : β

ContinuousAt (update f x y) x ↔ Tendsto f (𝓝[≠] x) (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a✝ b : WithTop α
a : α
ha : a ≠ 0

↑a * ⊤ = Option.bind ⊤ fun b => Option.some (a * b)


⊤ = Option.bind ⊤ fun b => Option.some (a * b)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r

HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
this : y - x ∈ EMetric.ball 0 r


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂


Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X


∀ (x_1 : G), ∀ s ∈ 𝓝 x_1, (fun g => g • x) '' s ∈ 𝓝 (x_1 • x)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: x : X

Context: g : G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 g

Context: this : (fun x_1 => x_1 • x) = (fun x_1 => x_1 • g • x) ∘ fun x => x * g⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: x : X

Context: g : G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 g

(fun x => x * g⁻¹) '' U • {g • x} ∈ 𝓝 (g • x)


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁵ : MulAction G X

Context: inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝³ : BaireSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝ : IsPretransitive G X

Context: x : X

Context: g : G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ 𝓝 g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s✝ t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support ⊆ t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a ≡ b [PMOD z • p]
m : ℤ
hm : b - a = m • z • p


Context:
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
e : f ≅ g

g.hom = e.inv.left ≫ f.hom ≫ e.hom.right


Context: T : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} T

Context: f g : Arrow T

Context: e : f ≅ g

Context: eq : (e.inv ≫ e.hom).right = (𝟙 g).right


Context: T : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} T

Context: f g : Arrow T

Context: e : f ≅ g

Context: eq : e.inv.right ≫ e.hom.right = 𝟙 g.right


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_2
inst✝ : Nonempty ι
X : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis I (X i)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : B * A = 1
g : C * A = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
hf : f =o[l] fun _x => 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ x y : E


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x✝ y : 𝕎 R
m : ℕ
x : 𝕎 R

WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ ∣ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ S.a + S.b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣ (S.a + S.b) * (S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2 + 1 + 1) * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h : λ ^ (3 * S.multiplicity) * λ ∣ λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3

Context: this : 2 ≤ S.multiplicity


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α

Associates.mk a ∣ Associates.mk b ↔ a ∣ b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R

(∀ (a : M) (b : a ∈ N), r • ⟨a, b⟩ = 0 → ⟨a, b⟩ = 0) ↔ ∀ x ∈ N, r • x = 0 → x = 0


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝² : LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory V

Context: H : Grp

Context: X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)

Context: inst✝ : LeftRigidCategory V

Context: h : ↑H


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝² : LargeCategory V

Context: G : MonCat

Context: inst✝¹ : MonoidalCategory V

Context: H : Grp

Context: inst✝ : LeftRigidCategory V

Context: h : ↑H


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}


(if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
y : M


(∃ a ∈ f.support, f a = y) ↔ y ≠ 0 ∧ ∃ x, f x = y


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₃'
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂

∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoidWithOne B
inst✝⁴ : FunLike F ℕ A✝
inst✝³ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝² : AddMonoidWithOne A
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AddMonoidHomClass F A B
f : F
h : f 1 = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoidWithOne B
inst✝⁴ : FunLike F ℕ A✝
inst✝³ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝² : AddMonoidWithOne A
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AddMonoidHomClass F A B
f : F
h : f 1 = 1
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α

a ∈ (List.ofFn f).prod ↔ ∃ l', (List.map (fun x => ↑x.snd) l').prod = a ∧ List.map Sigma.fst l' = List.ofFn f


(∃ f_1, (List.ofFn fun i => ↑(f_1 i)).prod = a) ↔ ∃ x, (List.ofFn fun x_1 => ↑(x x_1).snd).prod = a ∧ (fun x_1 => (x x_1).fst) = f


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: r : R


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : Ring A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: r : R

Context: hp : p 0


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ✝ : M

Context: f : F

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k

Context: n : ℕ

Context: ζ : M

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: hn : n > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ ↑(range n)

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ ↑(range n)

Context: e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ✝ : M

Context: f : F

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k

Context: n : ℕ

Context: ζ : M

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: hn : n > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: j : ℕ

Context: hj : j < n


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ✝ : M

Context: f : F

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k

Context: n : ℕ

Context: ζ : M

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: hn : n > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: j : ℕ

Context: hj : j < n

Context: this : ⋯.unit ^ i = ⋯.unit ^ j


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ✝ : M

Context: f : F

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k

Context: n : ℕ

Context: ζ : M

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

Context: hn : n > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n

Context: j : ℕ

Context: hj : j < n

Context: this : i % orderOf ({ toFun := Units.val, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } ⋯.unit) = j % orderOf ({ toFun := Units.val, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } ⋯.unit)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β
h : f / g =ᶠ[ae μ] 1
x : α
hx : (f / g) x = 1 x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β
h : f =ᶠ[ae μ] g
x : α
hx : f x = g x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R

HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ

AEStronglyMeasurable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R θ)) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))


∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → ‖deriv (circleMap c R) t • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R t)‖ ≤ (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t


∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → Summable fun n => (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t


IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ℕ), (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t) volume 0 (2 * π)


∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → HasSum (fun n => deriv (circleMap c R) t • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R t)) (deriv (circleMap c R) t • (fun z => (z - (c + w))⁻¹ • f z) (circleMap c R t))


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
h : x ≠ y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
h : x ≠ y
f : V →L[R] R
hf : f (x - y) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m✝ : Language α
a b x : List α
l m : Language α


image2 (fun a b => b.reverse ++ a.reverse) l m = image2 (fun a b => a.reverse ++ b.reverse) m l


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'

Context: hf : f.FinitePresentation

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

(IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FinitePresentation

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FinitePresentation

Context: this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this : Algebra R' S' := f'.toAlgebra


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FinitePresentation

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R R' S'


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: this✝³ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝² : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower R R' S'

Context: n : ℕ

Context: g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S

Context: hgsurj : Function.Surjective ⇑g

Context: hgker : (ker g.toRingHom).FG

Context: MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M

Context: this : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: this✝⁴ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝³ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝² : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝¹ : IsScalarTower R R' S'

Context: n : ℕ

Context: g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S

Context: hgsurj : Function.Surjective ⇑g

Context: hgker : (ker g.toRingHom).FG

Context: this✝ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')

Context: this : IsScalarTower R S S'


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: this✝⁵ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝⁴ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝³ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝² : IsScalarTower R R' S'

Context: n : ℕ

Context: g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S

Context: hgsurj : Function.Surjective ⇑g

Context: hgker : (ker g.toRingHom).FG

Context: this✝¹ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')

Context: this✝ : IsScalarTower R S S'

Context: this : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'

Context: g' : MvPolynomial (Fin n) R' →ₐ[R'] S' := IsLocalization.mapₐ M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g

Context: k : ↥(ker g) →ₛₗ[id (MvPolynomial (Fin n) R)] ↥(ker g') := AlgHom.toKerIsLocalization M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: this✝⁶ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝⁵ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: this✝⁴ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: n : ℕ

Context: g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S

Context: hgsurj : Function.Surjective ⇑g

Context: hgker : (ker g.toRingHom).FG

Context: this✝² : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')

Context: this✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: this✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'

Context: this : IsLocalizedModule MX k


Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'

Context: this✝⁷ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝⁶ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯

Context: this✝⁵ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this✝⁴ : IsScalarTower R R' S'

Context: n : ℕ

Context: g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S

Context: hgsurj : Function.Surjective ⇑g

Context: hgker : (ker g.toRingHom).FG

Context: this✝³ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')

Context: this✝² : IsScalarTower R S S'

Context: this✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'

Context: this✝ : IsLocalizedModule MX k

Context: this : Module.Finite (MvPolynomial (Fin n) R) ↥(ker g)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_6
K : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
r : S
x y : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j : n

(circulant v * circulant w) i j = circulant (circulant v *ᵥ w) i j


∑ x : n, v (i - x) * w (x - j) = ∑ x : n, v (i - j - x) * w x


∀ (x : n), v (i - x) * w (x - j) = v (i - j - (Equiv.subRight j) x) * w ((Equiv.subRight j) x)