Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α


Context:
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n


Context:
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
h : 0 = ∏ k ∈ Finset.range n, (m - ↑k)


Context:
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
h : ∃ a ∈ Finset.range n, m - ↑a = 0


Context:
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
a : ℕ
ha : a ∈ Finset.range n
h : m - ↑a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b✝ : α
f : β → α
a b : β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : One α
f : Filter α
s : Set α
inst✝² : One β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
φ : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : Multiset α
d : l.Nodup


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜

HasStrictDerivAt (⇑(lineMap a b)) (b - a) x


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
a : α
ha₁ : a ∈ t₁
ha₂ : a ∈ t₂


Context:
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Submonoid G
x : ↥H


(∃ n, 0 < n ∧ ↑x ^ n = 1) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'

F.map (f, 𝟙 Y) ≫ F.map (𝟙 X', g) = F.map (f, g)


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : B ⥤ C ⥤ D
h : F₁.flip = F₂.flip


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
j : Fin (b.blocksFun i)

((a.blocks.splitWrtComposition b).get ⟨↑⟨↑i, ⋯⟩, ⋯⟩).get ⟨↑j, ⋯⟩ = a.blocks.get ⟨↑((Fin.natAddOrderEmb (b.sizeUpTo ↑i)).toEmbedding j), ⋯⟩


a.blocks.get ⟨↑⟨b.sizeUpTo ↑⟨↑⟨↑i, ⋯⟩, ⋯⟩ + ↑⟨↑⟨↑j, ⋯⟩, ⋯⟩, ⋯⟩, ⋯⟩ = a.blocks.get ⟨↑((Fin.natAddOrderEmb (b.sizeUpTo ↑i)).toEmbedding j), ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h_B : ∃ N, B N ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: h_B : B N ≤ ε

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: h_B : B N ≤ ε

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: h_sub : eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ liminf (fun m => eLpNorm (f n - f m) p μ) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: h_B : B N ≤ ε

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

liminf (fun m => eLpNorm (f n - f m) p μ) atTop ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: h_B : B N ≤ ε

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, eLpNorm (f n - f b) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: f : ℕ → α → E

Context: f_lim : α → E

Context: B : ℕ → ℝ≥0∞

Context: hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: h_B : B N ≤ ε

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: N1 : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g✝ : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
Y : Type u_5
x✝ : MeasurableSpace Y
f : X → Y
hf : MeasurableEmbedding f
g : Y → E
s : Set Y

∫ (y : Y) in s, g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : X) in f ⁻¹' s, g (f x) ∂μ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype I

Context: e : I → R

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents fun x => 1 - e x

Function.Bijective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {e i}))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R →+* S

Context: I : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype I

Context: e' : I → R

Context: h : Function.Bijective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {e' i}))

Context: he : CompleteOrthogonalIdempotents fun x => 1 - e' x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : LeftHomologyMapData φ' h₁ h₂

cyclesMap' (φ + φ') h₁ h₂ = cyclesMap' φ h₁ h₂ + cyclesMap' φ' h₁ h₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2

Submodule.map reverse (evenOdd Q n) = evenOdd Q n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕂

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝕂

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝕂).radius


Context:
C✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.4955, u_1} C✝
inst✝⁴ : MonoidalCategory C✝
inst✝³ : BraidedCategory C✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y W Z : C

(tensor_μ C (X, W) (Y, Z)).op = tensor_μ Cᵒᵖ (op X, op Y) (op W, op Z)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x : α


∀ b ∈ {x}, r b (enum r (succ (typein r x)) ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (type r).IsLimit
x b : α
hb : b ∈ {x}


r (enum r (typein r x) ⋯) (enum r (succ (typein r x)) ⋯)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f✝ : R →+* S
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hx : eval₂ (algebraMap R A) x f = 0


eval₂ (algebraMap R B) ((algebraMap A B) x) f = 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCircuit
h : u ∈ c.support


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S
a : M
ha : a ∈ A


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: S : L.Substructure M

Context: A s : Set M

Context: h : A ⊆ ↑S

Context: a : M

Context: ha : a ∈ A

Context: a' : L[[↑A]].Constants := Sum.inr ⟨a, ha⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : E'' → F''
x₀ : E''
n : ℕ
h : f =O[𝓝 x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : n ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f : E'' → F''

Context: x₀ : E''

Context: n : ℕ

Context: h : f =O[𝓝[univ] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n

Context: hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E

x✝ ∈ (p.comp f).ball x r ↔ x✝ ∈ ⇑f ⁻¹' p.ball (f x) r


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝³ : Module.Free R S
inst✝² : Module.Free R T
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Finite R T
p : S × T

(trace R (S × T)) p = ((trace R S).coprod (trace R T)) p


Context: P : TopCat → Prop

Context: X✝ : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝² : CompactSpace X✝

Context: inst✝¹ : T2Space X✝

Context: inst✝ : HasProp P X✝

Context: X Y : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ Y

Context: bij : Function.Bijective ⇑f

Context: E : (forget (CompHausLike P)).obj X ≃ (forget (CompHausLike P)).obj Y := Equiv.ofBijective (⇑f) bij


Context: P : TopCat → Prop

Context: X✝ : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝² : CompactSpace X✝

Context: inst✝¹ : T2Space X✝

Context: inst✝ : HasProp P X✝

Context: X Y : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ Y

Context: bij : Function.Bijective ⇑f

Context: hE : Continuous ⇑E.symm


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a✝ b✝ c✝ d✝ : α

Context: m n : ℕ

Context: a b c d : α

Context: hb : b ≠ 0

Context: hd : d ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.117978, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

leftHomologyMap e.hom ≫ leftHomologyMap e.inv = 𝟙 S₁.leftHomology


leftHomologyMap e.inv ≫ leftHomologyMap e.hom = 𝟙 S₂.leftHomology


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x : E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: f : β → α → β

Context: H : RightCommutative f

Context: x : β

Context: q : α → Prop

Context: p : β → Prop

Context: s : Multiset α

Context: hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f b a)

Context: px : p x

Context: q_s : ∀ a ∈ s, q a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: f : β → α → β

Context: H : RightCommutative f

Context: x : β

Context: q : α → Prop

Context: p : β → Prop

Context: s : Multiset α

Context: px : p x

Context: q_s : ∀ a ∈ s, q a


Context:
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint a b
hsup : Disjoint (a ⊔ b) c


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Ico x y) = Ico ↑x ↑y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: hf'_nonpos : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: this : SemilatticeSup Nat.Primes := Nat.Subtype.semilatticeSup Irreducible

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: u : Nat.Primes → 𝕊 := fun p => ↑(↑1 / ↑↑p * T)

(∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬addWellApproximable 𝕊 δ x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, addWellApproximable 𝕊 δ x


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: hu₀ : ∀ (p : Nat.Primes), addOrderOf (u p) = ↑p


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: hu : Tendsto (addOrderOf ∘ u) atTop atTop


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: X : ℕ → Set 𝕊 := fun n => approxAddOrderOf 𝕊 n (δ n)

Context: A : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ ¬p ∣ n

Context: B : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ∣ n ∧ ¬p * p ∣ n

Context: C : ℕ → Set 𝕊 := fun p => blimsup X atTop fun n => 0 < n ∧ p ^ 2 ∣ n

(∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, ¬E x) ∨ ∀ᵐ (x : 𝕊) ∂μ, E x


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)

Context: hE₀ : NullMeasurableSet E μ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)

Context: hE₀ : NullMeasurableSet E μ

Context: hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)

Context: hE₀ : NullMeasurableSet E μ

Context: hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p

Context: hE₂ : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∧ B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ → E =ᶠ[ae μ] C ↑p


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)

Context: hE₀ : NullMeasurableSet E μ

Context: hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p

Context: hA : ∀ (p : Nat.Primes), A ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ A ↑p =ᶠ[ae μ] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)

Context: hE₀ : NullMeasurableSet E μ

Context: hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p

Context: hB : ∀ (p : Nat.Primes), B ↑p =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ B ↑p =ᶠ[ae μ] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)

Context: hE₀ : NullMeasurableSet E μ

Context: hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p

E =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ E =ᶠ[ae volume] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: δ : ℕ → ℝ

Context: hδ : Tendsto δ atTop (𝓝 0)

Context: μ : Measure 𝕊 := volume

Context: E : Set 𝕊 := addWellApproximable 𝕊 δ

Context: hA₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (A p)

Context: hB₀ : ∀ (p : ℕ), MeasurableSet (B p)

Context: hE₀ : NullMeasurableSet E μ

Context: hE₁ : ∀ (p : ℕ), E = A p ∪ B p ∪ C p

Context: hC : ∀ (p : Nat.Primes), u p +ᵥ C ↑p = C ↑p


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G


∀ (n : ℕ), (∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥) → lowerCentralSeries G n = ⊥


∀ (n : ℕ), lowerCentralSeries G n = ⊥ → ∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥


Context:
X : Type u_1
x✝ : X

(toFreeAbelianGroup.comp toFinsupp) (of x✝) = (AddMonoidHom.id (FreeAbelianGroup X)) (of x✝)


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

swap i j • σ = σ → (summand a b σ) v = 0


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (summand a b (Quotient.mk'' σ)) v = 0


swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0


Context: ιa : Type u_1

Context: ιb : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ιa

Context: inst✝⁹ : Fintype ιb

Context: R' : Type u_3

Context: Mᵢ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁶ : Module R' N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝⁴ : Module R' N₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ

Context: inst✝² : Module R' Mᵢ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ιa

Context: inst✝ : DecidableEq ιb

Context: a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁

Context: b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂

Context: σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb

Context: v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ

Context: i j : ιa ⊕ ιb

Context: hv : v i = v j

Context: hij : i ≠ j

Context: σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

Context: hσ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ

(Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

∀ (val val_1 : ιa), v (σ (Sum.inl val)) = v (σ (Sum.inl val_1)) → σ (Sum.inl val) ≠ σ (Sum.inl val_1) → swap (σ (Sum.inl val)) (σ (Sum.inl val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0


∀ (val : ιa) (val_1 : ιb), v (σ (Sum.inl val)) = v (σ (Sum.inr val_1)) → σ (Sum.inl val) ≠ σ (Sum.inr val_1) → swap (σ (Sum.inl val)) (σ (Sum.inr val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0


∀ (val : ιb) (val_1 : ιa), v (σ (Sum.inr val)) = v (σ (Sum.inl val_1)) → σ (Sum.inr val) ≠ σ (Sum.inl val_1) → swap (σ (Sum.inr val)) (σ (Sum.inl val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0


∀ (val val_1 : ιb), v (σ (Sum.inr val)) = v (σ (Sum.inr val_1)) → σ (Sum.inr val) ≠ σ (Sum.inr val_1) → swap (σ (Sum.inr val)) (σ (Sum.inr val_1)) • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ → (Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) = 0


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u_1
inst✝ : (constantsOn α).Structure M
a : α
x : Fin 0 → M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α


map (map l.get) (finRange l.length).sublists ~ map (map l.get) (finRange l.length).sublists'


(finRange l.length).sublists ~ (finRange l.length).sublists'


∀ (a : List (Fin l.length)), a ∈ (finRange l.length).sublists ↔ a ∈ (finRange l.length).sublists'


Context: n : ℕ

∀ {a : ℕ}, (∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ n → a ≤ p) → List.Chain (fun x x_1 => x ≤ x_1) a n.primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidablePred SupIrred
a : α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝

(map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app = ((mapComp (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (mapComp f✝ g✝).hom (map h✝) ≫ (Bicategory.associator (map f✝) (map g✝) (map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (map f✝) (mapComp g✝ h✝).inv ≫ (mapComp f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝
X : WithTerminal ↑a✝

(map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app X = ((mapComp (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (mapComp f✝ g✝).hom (map h✝) ≫ (Bicategory.associator (map f✝) (map g✝) (map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (map f✝) (mapComp g✝ h✝).inv ≫ (mapComp f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app X


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f g₁ g₂ : R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl

const R g₁ g₂ U hu₂ * const R f g₁ U hu₁ = const R f g₂ U hu₂


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: S : Finset Λ

Context: ss : Supports M S

Context: l₁ : Λ

Context: v : σ

Context: T : (k : K) → List (Γ k)

Context: c' : Cfg₂

Context: h₁ : c' ∈ step M { l := some l₁, var := v, stk := T }

Context: h₂ : { l := some l₁, var := v, stk := T }.l ∈ Finset.insertNone S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: S : Finset Λ

Context: ss : Supports M S

Context: l₁ : Λ

Context: v : σ

Context: T : (k : K) → List (Γ k)

Context: c' : Cfg₂

Context: h₂ : SupportsStmt S (M l₁)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : (k : K) → List (Γ k)
c' : Cfg₂
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
h₁ : stepAux (M l₁) v T = c'


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : Rᵐᵒᵖ
n : ℕ

(opRingEquiv R).symm (C r * X ^ n) = op (C (unop r) * X ^ n)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

(β_ X Y).hom ▷ Z ⊗≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ⊗≫ (β_ Y Z).hom ▷ X = 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z) ⊗≫ (X ◁ (β_ Y Z).hom ⊗≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ⊗≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ⊗≫ 𝟙 ((Z ⊗ Y) ⊗ X)


((α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ⊗≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ⊗≫ (β_ Y Z).hom ▷ X) ≫ (α_ Z Y X).hom = ((α_ X Y Z).inv ≫ 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z) ⊗≫ (X ◁ (β_ Y Z).hom ⊗≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ⊗≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ⊗≫ 𝟙 ((Z ⊗ Y) ⊗ X)) ≫ (α_ Z Y X).hom


((α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ⊗≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ⊗≫ (β_ Y Z).hom ▷ X) ≫ (α_ Z Y X).hom = (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom


((α_ X Y Z).inv ≫ 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z) ⊗≫ (X ◁ (β_ Y Z).hom ⊗≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ⊗≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ⊗≫ 𝟙 ((Z ⊗ Y) ⊗ X)) ≫ (α_ Z Y X).hom = X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : B
y : Ω[A⁄R]

(mapBaseChange R A B) (x ⊗ₜ[A] y) = x • (map R R A B) y


x • (mapBaseChange R A B) (1 ⊗ₜ[A] y) = x • (map R R A B) y


(mapBaseChange R A B) (1 ⊗ₜ[A] y) = (map R R A B) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : (a₁, b) < c
h₂ : c < (a₂, b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : (a₁, b) < c
h₂ : c < (a₂, b)
this : c.2 = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : a₁ < c.1
h₂ : c.1 < a₂
this : c.2 = b


Context:
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m


Context:
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m

∀ (x : ℕ), x.Coprime n → ∃ k, (x + k * n).Coprime m


Context: n m : ℕ

Context: hm : NeZero m

Context: h : n ∣ m

Context: x : ℕ

Context: hx : x.Coprime n

Context: ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors


Context: n m : ℕ

Context: hm : NeZero m

Context: h : n ∣ m

Context: x : ℕ

Context: hx : x.Coprime n


Context: n m : ℕ

Context: hm : NeZero m

Context: h : n ∣ m

Context: x : ℕ

Context: hx : x.Coprime n

∀ (k : ℕ), Nat.Prime k → k ∣ x + ps.prod id * n → ¬k ∣ m


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g₁ g₂ : G

(hSK.equiv g₁).1 = (hSK.equiv g₂).1 ↔ LeftCosetEquivalence (↑K) g₁ g₂


(hSK.equiv g₁).1 = (hSK.equiv g₂).1 ↔ g₁⁻¹ * g₂ ∈ K


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y

f.c.app (op U) ≫ invApp f ((Opens.map f.base).obj U) = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


(f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))) = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.c.app (op U) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : F →ₛₗᵢ[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
x : E

‖(f.toContinuousLinearMap.comp g) x‖ = ‖g x‖


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: hgi : IntegrableOn g k volume


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: hgi : IntegrableOn g k volume

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k

Context: hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z

Context: hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k

Context: hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

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Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

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Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

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Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hsub : [[c, d]] ⊆ k

Context: hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

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Context: inst✝² : CompleteSpace E

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Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hsub : [[c, d]] ⊆ k

Context: hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hsub : [[c, d]] ⊆ k

Context: hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hsub : [[c, d]] ⊆ k

Context: hsub' : Ι c d ⊆ k


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hsub : [[c, d]] ⊆ k

Context: hsub' : Ι c d ⊆ k

Context: hfi : IntervalIntegrable (deriv f) volume c d


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: g : ℝ → F

Context: k : Set ℝ

Context: l : Filter ℝ

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l

Context: hl : k ∈ l

Context: hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop

Context: hfg : deriv f =O[l] g

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 ≤ C

Context: s : Set ℝ

Context: hsl : s ∈ l

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ s

Context: d : ℝ

Context: hd : d ∈ s

Context: hsub : [[c, d]] ⊆ k

Context: hsub' : Ι c d ⊆ k

‖f d‖ - ‖f c‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖


Context:
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b


Context:
t : ℝ
ht : 0 < t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: r C : ℝ≥0∞

Context: hr : r < 1

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: r C : ℝ≥0∞

Context: hr : r < 1

Context: hC : C ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α


(if fract x < 1 / 2 then ⌊x⌋ else ⌈x⌉) = ⌊x + 1 / 2⌋


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : fract x < 1 / 2


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : 1 / 2 ≤ fract x


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
ht : TopologicalSpace α
h : PolishSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Iio a ⊆ Iio b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Iio a ⊆ Iio b
ab : ¬a ≤ b


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : Set (Set α)
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ t ∈ c, IsOpen t
hc₂ : s ⊆ ⋃₀ c


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : Set (Set α)
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ t ∈ c, IsOpen t
hc₂ : s ⊆ ⋃ i, ↑i


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 ℂ E
a : 𝕜
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ

(∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), a • f x) = a • ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: hs : s ∈ (if hUcard : U.card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card) then equitabilise ⋯ else equitabilise ⋯).parts


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'

Context: hK' : K' ≤ K.normalizer


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'

Context: hK' : K' ≤ K.normalizer

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule (↥K') M

Context: _i4 : LieModule R (↥K') M

Context: h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'

Context: hK' : K' ≤ K.normalizer

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule (↥K') M

Context: _i4 : LieModule R (↥K') M

Context: I : LieIdeal R ↥K'

Context: hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'

Context: hK' : K' ≤ K.normalizer

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule (↥K') M

Context: _i4 : LieModule R (↥K') M

Context: I : LieIdeal R ↥K'

Context: hI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'

Context: hK' : K' ≤ K.normalizer

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule (↥K') M

Context: _i4 : LieModule R (↥K') M

Context: I : LieIdeal R ↥K'

Context: e : ↥K ≃ₗ⁅R⁆ ↥↑I


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: K : LieSubalgebra R L

Context: hK₁ : IsEngelian R ↥K

Context: hK₂ : K < K.normalizer

Context: x : L

Context: hx₁ : x ∈ K.normalizer

Context: hx₂ : x ∉ K

Context: hxK' : x ∈ K'

Context: hKK' : K ≤ K'

Context: hK' : K' ≤ K.normalizer

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule (↥K') M

Context: _i4 : LieModule R (↥K') M

Context: I : LieIdeal R ↥K'

Context: e : ↥K ≃ₗ⁅R⁆ ↥↑I

Context: hI₃ : IsEngelian R ↥↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
D : Set β

(M.mapEquiv f).Dep D ↔ M.Dep (⇑f.symm '' D)


(∃ D₀, M.Dep D₀ ∧ D = ⇑f '' D₀) ↔ M.Dep (⇑f.symm '' D)


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l φ


(fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Ioi a)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l φ
i : ι
hbi : a ≤ b i

∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Ioi a) = ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ


∫ (x : ℝ) in Ioi a ∩ φ i, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc a (b i), f x ∂μ


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β

(∀ (j i : ℕ), (c₀ i) (c₁ j) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid F

Context: inst✝⁴ : Module R F

Context: inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝² : (x : B) → Module R (E x)

Context: e e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet

Context: y : F

(coordChangeL R e e' b) y = (↑e' (↑e.symm (b, y))).2


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a b✝ c b : α


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε

↑((P.sparsePairs G ε).biUnion fun x => match x with | (U, V) => G.interedges U V).card ≤ ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2


∑ UV ∈ P.sparsePairs G ε, ↑(G.interedges UV.1 UV.2).card ≤ ∑ UV ∈ P.sparsePairs G ε, ε * (↑UV.1.card * ↑UV.2.card)


∑ i ∈ P.parts.offDiag, ↑i.1.card * ↑i.2.card ≤ (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2


∑ x ∈ P.parts.offDiag, x.1.card * x.2.card ≤ (A.card + P.parts.card) ^ 2


∀ x ∈ P.parts.offDiag, (fun i => i.1.card * i.2.card) x ≤ (A.card / P.parts.card + 1) ^ 2


P.parts.offDiag.card • (A.card / P.parts.card + 1) ^ 2 ≤ (P.parts.card * (A.card / P.parts.card) + P.parts.card) ^ 2


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
p : Submodule R M
q : Submodule R N
r : Submodule R P
hpq : p ≤ comap f q
hqr : q ≤ comap g r

Exact ⇑(p.mapQ q f hpq) ⇑(q.mapQ r g hqr) ↔ range g ⊓ r ≤ map g q


comap q.mkQ (ker (q.mapQ r g hqr)) = comap q.mkQ (range (p.mapQ q f hpq)) ↔ range g ⊓ r ≤ map g q


comap q.mkQ (ker (q.liftQ (r.mkQ ∘ₗ g) ⋯)) = comap q.mkQ (range (p.liftQ (q.mkQ ∘ₗ f) ⋯)) ↔ range g ⊓ r ≤ map g q


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A


⇑g ∘ ι R = f ↔ { toFun := FreeAlgebra.liftAux R, invFun := fun F => ⇑F ∘ ι R, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm g = f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f ∈ g.cycleFactorsFinset


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ f g : Perm α

Context: h : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsClosed s


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsClosed s

∀ (i_1 : ι), IsClosed (Sigma.mk i_1 ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsClosed s

Context: j : ι

IsClosed (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk i '' s))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: j : ι

Context: s : Set (σ j)

Context: hs : IsClosed s

IsClosed (Sigma.mk j ⁻¹' (Sigma.mk j '' s))


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: i : ι

Context: s : Set (σ i)

Context: hs : IsClosed s

Context: j : ι

Context: hne : j ≠ i


Context:
α✝ : Sort ?u.57203
inst✝ : DecidableEq α✝
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n ≤ l.length


Context:
E : Type u_1
p : ℝ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hp : 0 < p

μ (Metric.ball 0 1) = ENNReal.ofReal ((∫ (x : E), Real.exp (-‖x‖ ^ p) ∂μ) / Real.Gamma (↑(finrank ℝ E) / p + 1))


Context:
E : Type u_1
p : ℝ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hp : 0 < p
hE : Subsingleton E


Context:
E : Type u_1
p : ℝ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hp : 0 < p
hE : Nontrivial E


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

(F.obj n).map (F.ε.app X) = (F.map (λ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso (𝟙_ M) n).inv.app X


(F.obj n).map (F.ε.app X) = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X)) ≫ (F.map (λ_ n).inv).app X ≫ (F.μIso (𝟙_ M) n).inv.app X


(F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ inv ((F.μIso (𝟙_ M) n).inv.app X) ≫ inv ((F.map (λ_ n).inv).app X) = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: n : M

Context: X : C

Context: e_1✝ : ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) ⟶ (F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X)) = ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) ⟶ (F.obj n).obj X)

Context: e_5✝ : (F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X) = (F.obj n).obj X

inv ((F.μIso (𝟙_ M) n).inv.app X) = (F.μ (𝟙_ M) n).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: n : M

Context: X : C

inv ((F.map (λ_ n).inv).app X) = (F.map (λ_ n).hom).app X


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
f : (AlgebraicClosureAux k)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
f : (AlgebraicClosureAux k)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
this : ∃ n p, map (ofStep k n) p = f


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : (map (ofStep k n) p).Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : p.Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : p.Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)
this : Irreducible p


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
p : (Step k n)[X]
hfm : p.Monic
hfi : Irreducible (map (ofStep k n) p)
this : Irreducible p
x : Step k (n + 1)
hx : eval₂ (toStepSucc k n) x p = 0


eval ((ofStep k (n + 1)) x) (map (ofStep k n) p) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s✝ : Set M
x : M
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f s


∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ EqOn f (↑e) e.source


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

∃ f, (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
this : IsSymm E fun x y => 1 ≤ ‖x - y‖


∀ (s : Finset E), (∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ R) → ∃ y, ‖y‖ ≤ R ∧ ∀ x ∈ s, 1 ≤ ‖x - y‖


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
this : IsSymm E fun x y => 1 ≤ ‖x - y‖
s : Finset E


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
m n : ℕ

(s.get? m).Terminates → (s.get? m).Terminates


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: m n m' : ℕ

Context: a✝ : m.le m'

Context: IH : (s.get? m').Terminates → (s.get? m).Terminates

(s.get? m'.succ).Terminates → (s.get? m).Terminates


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x y : M

y ∈ span R {x} ↔ y ∈ range (toSpanSingleton R M x)


y ∈ span R {x} ↔ ∃ y_1, (toSpanSingleton R M x) y_1 = y


Context: k m : ℕ+


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})


∀ (j : J) (x : K.obj j), lc.ι.app j { down := x } ∈ Set.univ ↔ c.ι.app j x ∈ ⋃ x, descSet hc {x}


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
j : J
x : K.obj j

lc.ι.app j { down := x } ∈ Set.univ ↔ c.ι.app j x ∈ ⋃ x, descSet hc {x}


c.ι.app j x ∈ descSet hc {lc.ι.app j { down := x }}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F

x✝ ∈ extremePoints 𝕜 (s ×ˢ t) ↔ x✝ ∈ extremePoints 𝕜 s ×ˢ extremePoints 𝕜 t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)

Context: A B : Set E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x✝ : E × F

Context: hx : x✝ ∈ s ×ˢ t

Context: h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝

(∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ s → x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1) ∧ ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup F

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)

Context: A B : Set E

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: t : Set F

Context: x✝ : E × F

Context: hx : x✝ ∈ s ×ˢ t

Context: h : (∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ s → x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1) ∧ ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2

∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : OrderTop β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Codisjoint a b


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
he : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝

e ∉ M.closure I ↔ M.Indep (insert e I) ∧ e ∉ I


¬(¬M.Indep (insert e I) ∨ e ∈ I) ↔ M.Indep (insert e I) ∧ e ∉ I


Context:
α : Type u_1
l : Array (Array α)

(foldl (fun x x_1 => x ++ x_1) #[] l 0).data = (List.map data l.data).join


Context:
α : Type u_1
l : Array (Array α)

(List.foldl (fun x x_1 => x ++ x_1) #[] l.data).data = (List.map data l.data).join


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
r : R
hv : v ≠ 0
hr : r ≠ 0


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
n : N.Normal
s : Set G
s_op : IsOpen s


IsOpen (⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
h : (mulSupport f).Finite


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
l : List α
acc : Array α

go f l acc = acc.toListAppend (lookmap f l)


Context:
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
a b : Fin m


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'

Context: C : ℝ≥0 := max π₀.distortion π₀.compl.distortion


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'

Context: this : ∀ J ∈ π₀, ∃ πi, πi.IsPartition ∧ dist (integralSum f vol πi) (integral J l f vol) ≤ δ' ∧ l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) πi


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition

Context: hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'

Context: hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition

Context: this : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition

Context: hU' : π.iUnion = (π₀.biUnionTagged πi).iUnion


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition

Context: this✝ : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)

Context: this : dist (integralSum f vol π) (integralSum f vol (π₀.biUnionTagged πi)) ≤ ε + δ'


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: h : Integrable I l f vol

Context: h0 : 0 < ε

Context: π₀ : Prepartition I

Context: hU : π.iUnion = π₀.iUnion

Context: δ : ℝ

Context: δ0 : 0 < δ

Context: δ' : ℝ := δ / (↑π₀.boxes.card + 1)

Context: H0 : 0 < ↑π₀.boxes.card + 1

Context: δ'0 : 0 < δ'

Context: πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

Context: hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition

Context: this : dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integralSum f vol (πi J)) ≤ ε + δ'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
ts : ι' → TopologicalSpace M
h' : ∀ (i : ι'), ContinuousMul M


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: n : γ → δ

Context: m' : α' → β' → δ

Context: n₁ : α → α'

Context: n₂ : β → β'

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ a) (n₂ b)

map n (map₂ m f g) = map₂ m' (map n₁ f) (map n₂ g)


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : PseudoMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ω ≤ o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Lattice α
a b c a₁ a₂ b₁ b₂ : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.61855, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ✝ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: h₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hg₁ : S₁.g = 0

Context: c₁ : CokernelCofork S₁.f

Context: hc₁ : IsColimit c₁

Context: hg₂ : S₂.g = 0

Context: c₂ : CokernelCofork S₂.f

Context: hc₂ : IsColimit c₂

Context: f : c₁.pt ⟶ c₂.pt

Context: comm : φ.τ₂ ≫ Cofork.π c₂ = Cofork.π c₁ ≫ f

(LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S₁ hg₁ c₁ hc₁).f' ≫ φ.τ₂ = φ.τ₁ ≫ (LeftHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S₂ hg₂ c₂ hc₂).f'


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : Module α β
a : α
s : Set α
t : Set β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
a : α
ha : IsAtom a
haS : a ≤ sSup S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
hT : ∅ ⊆ S
ha : IsAtom (sSup ∅)
haS : sSup ∅ ≤ sSup S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T : Set α
hT : T ⊆ S
ha : IsAtom (sSup T)
haS : sSup T ≤ sSup S
a : α
haT : a ∈ T
this : a ≤ sSup T


Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: inst✝³ : T2Space M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: g : M → G

Context: hg : SmoothOn I 𝓘(ℝ, G) g (chartAt H c).source


Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x✝ : M

Context: inst✝³ : T2Space M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: g : M → G

Context: x : M

Context: hx : x ∈ tsupport fun x => ↑f x • g x

ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, G) ⊤ (fun x => ↑f x • g x) x


Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x✝ : M

Context: inst✝³ : T2Space M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: g : M → G

Context: x : M

Context: hx : x ∈ tsupport fun x => ↑f x • g x

Context: this : x ∈ (chartAt H c).source


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

(∀ᵐ (a : β) ∂Measure.map X μ, Integrable (fun ω => f (a, ω)) ((condDistrib Y X μ) a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂(condDistrib Y X μ) a) (Measure.map X μ) ↔ Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4689, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.4693, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X : Grothendieck F

(F.map (𝟙 X.base)).obj X.fiber = X.fiber


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : MultispanIndex C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct I.left

Context: inst✝ : HasCoproduct I.right

Context: K₁ K₂ : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: a✝ : I.L

(Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.left a✝) ≫ f.hom = (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.left a✝)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : MultispanIndex C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct I.left

Context: inst✝ : HasCoproduct I.right

Context: f : K₁ ⟶ K₂

Context: a✝ : I.R

(Multicofork.ofSigmaCofork I K₁).ι.app (WalkingMultispan.right a✝) ≫ f.hom = (Multicofork.ofSigmaCofork I K₂).ι.app (WalkingMultispan.right a✝)


Context:
c : Char
cs : List Char
i : Pos

{ data := c :: cs }.get (i + c) = { data := cs }.get i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
s : Set α
t : Set β


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V


finrank K ↥(Submodule.span K {v.rep}) = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Lattice α
f g : ι →₀ α
x✝ : ι

x✝ ∈ (↑((f ⊓ g).support ∪ (f ⊔ g).support))ᶜ ↔ x✝ ∈ (↑(f.support ∪ g.support))ᶜ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t

finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K ↥s + finrank K ↥t


finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hm : Surjective m


Context: m✝ n m n✝ : ℕ

Context: a✝ : (m + n✝).bodd = bxor m.bodd n✝.bodd

(m + (n✝ + 1)).bodd = bxor m.bodd (n✝ + 1).bodd


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: g' : Z ⟶ W

Context: inst✝² : HasPushout f g

Context: inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'

Context: inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')

pushout.inr f g ≫ pushout.inl (pushout.inr f g) g' ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').hom = g' ≫ pushout.inr f (g ≫ g')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
this : a + a = a + a + (a + a)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f : (i : ι) → α i → β i

(range fun g i => f i (g i)) = univ.pi fun i => range (f i)


(range fun g i => f i (g i)) ⊆ univ.pi fun i => range (f i)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f : (i : ι) → α i → β i
x : (i : ι) → β i
hx : x ∈ univ.pi fun i => range (f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : α

x✝ ∈ filter (fun a => p a ∧ q a) s ↔ x✝ ∈ filter p s ∩ filter q s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α


Context:
α β : SemilatSupCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatSupCat).obj α

({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : SemilatSupCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatSupCat).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
n : ℕ
hn : 0 < ↑n


Context:
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
x : α i
p : Prop


Context:
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ


Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: x : ℕ

Context: ih : ∀ m < x, ∀ {y : ℕ}, m ≤ b ^ y ↔ clog b m ≤ y

Context: y : ℕ


Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: x : ℕ

Context: n✝ : ℕ


Context: b : ℕ

Context: hb : 1 < b

Context: x : ℕ

Context: n✝ : ℕ

Context: b_pos : 0 < b


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ

⇑(S.transitionMap n) ∘ ⇑(S.proj (n + 1)) = ⇑(S.proj n)


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ

⇑(S.transitionMap n) ∘ ⇑(S.proj (n + 1)) = ⇑(S.proj (n + 1) ≫ S.diagram.map (Opposite.op (homOfLE ⋯)))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

eLpNorm (f + g) p μ ≤ eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp1_real : 1 ≤ p.toReal


eLpNorm' (f + g) p.toReal μ ≤ eLpNorm' f p.toReal μ + eLpNorm' g p.toReal μ


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hs : s ⊆ support ↑f

↑(extChartAt I c) '' s = closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : s ⊆ (extChartAt I c).source ∧ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hse : s ⊆ (extChartAt I c).source

Context: hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hse : s ⊆ (extChartAt I c).source

↑(extChartAt I c) '' s ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s


Context: E : Type uE

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: c : M

Context: f : SmoothBumpFunction I c

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hse : s ⊆ (extChartAt I c).source

closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s ⊆ ↑(extChartAt I c) '' s


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x : G


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hf : Continuous ↿f


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: hf : Continuous ↿f

Context: hK : IsCompact ∅


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hf : Continuous ↿f

Context: h0K : K.Nonempty


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hf : Continuous ↿f

Context: h0K : K.Nonempty

∀ (x : γ), ContinuousAt (fun x => sSup (f x '' K)) x


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hf : Continuous ↿f

Context: h0K : K.Nonempty

Context: x : γ

ContinuousAt (fun x => sSup (f x '' K)) x


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hf : Continuous ↿f

Context: h0K : K.Nonempty

Context: x : γ

Context: y : β

Context: hyK : y ∈ K

Context: h2y : sSup ((fun y => f x y) '' K) = f x y

Context: hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hf : Continuous ↿f

Context: h0K : K.Nonempty

Context: x : γ

Context: y : β

Context: hyK : y ∈ K

Context: hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y

(∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < sSup (f b '' K)) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, sSup (f b '' K) < a'


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: f : γ → β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: hf : Continuous ↿f

Context: h0K : K.Nonempty

Context: x : γ

Context: y : β

Context: hyK : y ∈ K

Context: hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y

Context: this : (∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < f b y) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, f b y < a'


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Subsingleton E


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Nontrivial E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x