Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: θ : Real.Angle

Context: f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation

Context: x : V

f ((o.rotation θ) x) = ↑θ.expMapCircle * f x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: f : Arrow (J ⥤ C)

Context: j : J

data.mapZ { left := f.left.map (𝟙 j), right := f.right.map (𝟙 j), w := ⋯ } = 𝟙 (data.factorizationData (f.hom.app j)).Z


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: f : Arrow (J ⥤ C)

Context: j : J

data.mapZ { left := f.left.map (𝟙 j), right := f.right.map (𝟙 j), w := ⋯ } = data.mapZ (𝟙 (Arrow.mk (f.hom.app j)))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: f : Arrow (J ⥤ C)

Context: X✝ Y✝ Z✝ : J

Context: x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x✝ : Y✝ ⟶ Z✝

data.mapZ { left := f.left.map (x✝¹ ≫ x✝), right := f.right.map (x✝¹ ≫ x✝), w := ⋯ } = data.mapZ { left := f.left.map x✝¹, right := f.right.map x✝¹, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := f.left.map x✝, right := f.right.map x✝, w := ⋯ }


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: f : Arrow (J ⥤ C)

Context: X✝ Y✝ Z✝ : J

Context: x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x✝ : Y✝ ⟶ Z✝

data.mapZ { left := f.left.map (x✝¹ ≫ x✝), right := f.right.map (x✝¹ ≫ x✝), w := ⋯ } = data.mapZ ({ left := f.left.map x✝¹, right := f.right.map x✝¹, w := ⋯ } ≫ { left := f.left.map x✝, right := f.right.map x✝, w := ⋯ })


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: X✝ Y✝ : Arrow (J ⥤ C)

Context: τ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x✝¹ x✝ : J

Context: α : x✝¹ ⟶ x✝

data.mapZ { left := X✝.left.map α, right := X✝.right.map α, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := τ.left.app x✝, right := τ.right.app x✝, w := ⋯ } = data.mapZ { left := τ.left.app x✝¹, right := τ.right.app x✝¹, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := Y✝.left.map α, right := Y✝.right.map α, w := ⋯ }


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: X✝ Y✝ : Arrow (J ⥤ C)

Context: τ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x✝¹ x✝ : J

Context: α : x✝¹ ⟶ x✝

data.mapZ ({ left := X✝.left.map α, right := X✝.right.map α, w := ⋯ } ≫ { left := τ.left.app x✝, right := τ.right.app x✝, w := ⋯ }) = data.mapZ ({ left := τ.left.app x✝¹, right := τ.right.app x✝¹, w := ⋯ } ≫ { left := Y✝.left.map α, right := Y✝.right.map α, w := ⋯ })


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: f : Arrow (J ⥤ C)

Context: j : J

data.mapZ { left := 𝟙 (f.left.obj j), right := 𝟙 (f.right.obj j), w := ⋯ } = 𝟙 (data.factorizationData (f.hom.app j)).Z


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: f : Arrow (J ⥤ C)

Context: j : J

data.mapZ { left := 𝟙 (f.left.obj j), right := 𝟙 (f.right.obj j), w := ⋯ } = data.mapZ (𝟙 (Arrow.mk (f.hom.app j)))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Arrow (J ⥤ C)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: j : J

data.mapZ { left := f.left.app j ≫ g.left.app j, right := f.right.app j ≫ g.right.app j, w := ⋯ } = data.mapZ { left := f.left.app j, right := f.right.app j, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := g.left.app j, right := g.right.app j, w := ⋯ }


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C

Context: W₁ W₂ : MorphismProperty C

Context: J : Type u_2

Context: inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J

Context: X✝ Y✝ Z✝ : Arrow (J ⥤ C)

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: j : J

data.mapZ { left := f.left.app j ≫ g.left.app j, right := f.right.app j ≫ g.right.app j, w := ⋯ } = data.mapZ ({ left := f.left.app j, right := f.right.app j, w := ⋯ } ≫ { left := g.left.app j, right := g.right.app j, w := ⋯ })


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z : ι✝ → E
ι : Type u_8
t : Finset ι
p : ι → E
w : ι → R
hw₂ : ∑ i ∈ t, w i = 1

(affineCombination R t p) w = t.centerMass w p


∑ i ∈ t, w i • (p i -ᵥ 0) = ∑ i ∈ t, w i • p i


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: A B : T.Algebra

Context: h : A.A ≅ B.A

Context: w : autoParam (T.map h.hom ≫ B.a = A.a ≫ h.hom) _auto✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: T : Monad C

Context: A B : T.Algebra

Context: h : A.A ≅ B.A


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R : Sieve X
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
S : Sieve X

pullback (g ≫ f) S = pullback g (pullback f S)


Context:
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ


2 * arsinh (dist (↑a • ↑y₁) (↑a • ↑y₂) / (2 * √(↑a * y₁.im * (↑a * y₂.im)))) = 2 * arsinh (dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im)))


dist (↑a • ↑y₁) (↑a • ↑y₂) / (2 * √(↑a * y₁.im * (↑a * y₂.im))) = dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im))


|↑a| * dist ↑y₁ ↑y₂ / (|↑a| * (2 * √(y₁.im * y₂.im))) = dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im))


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
m n : ℕ
hm : p m
hn : p n
heq : count p m = count p n


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
m n : ℕ
hm : p m
hn : p n
heq : count p m = count p n
h : m ≠ n


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m : ℕ
hkm : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(C x * X ^ k + C y * X ^ m).support = {k, m}


{k, m} ⊆ (C x * X ^ k + C y * X ^ m).support


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: z₁ : ↥g.domain

Context: z₂ : ↥(f.sup g h).domain

Context: hz : ↑z₁ = ↑z₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f g : E →ₗ.[R] F

Context: z₁ : ↥g.domain

Context: z₂ : ↥(f.sup g h).domain

Context: hz : ↑z₁ = ↑z₂

↑0 + ↑z₁ = ↑z₂


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t

∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
t : Set α
Φ : α → β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact ∅
hst : Disjoint ∅ t

∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ ∅, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hst : Disjoint s t

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: h : IsMinOn (fun x => infEdist x ?m.37155) s x


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hst : Disjoint s t

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: this : 0 < infEdist x t


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: hst : Disjoint s t

Context: hne : s.Nonempty

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: this : 0 < infEdist x t

Context: r : ℝ≥0

Context: h₀ : 0 < ↑r

Context: hr : ↑r < infEdist x t


Context:
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α


Context:
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
d : ℕ
h : ↑d ≠ 0
this : Invertible ↑d


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
f : β × α → γ
hf : AEMeasurable f (ν.prod μ)

AEMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : β × α → γ

Context: hf : AEMeasurable f (map Prod.swap (μ.prod ν))


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData

(S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).hom ≫ h.rightHomologyIso.inv = S.rightHomologyIso.inv


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: w : Word G

Context: i : ι

Context: h : H

Context: hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → g ∈ d.set i

Context: hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → g ∈ d.set j


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: w : Word G

Context: i : ι

Context: h : H

Context: hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g

Context: hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: w : Word G

Context: i : ι

Context: h : H

Context: hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Monoid K

Context: inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝² : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: d : Transversal φ

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)

Context: w : Word G

Context: i : ι

Context: h : H

Context: hh1 : ¬h = 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Sigma β
tail✝ : List (Sigma β)
l : List (Sigma β)

(kerase a (s :: tail✝)).kunion (kerase a l) = kerase a ((s :: tail✝).kunion l)


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖


Context:
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 0

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0

Context: A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s


Context: E : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 0

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0

Context: B : ∀ (n : ℕ), #↑(c ^ n • s) = #↑s


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
p : P

A p = if q : Q then B q else if p : P then A p else C p q


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P

(fun q => C np q) = fun q => if p : P then A p else C p q


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P
x✝ : ¬Q


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: h : J ≤ I


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Injective ⇑f


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]

(∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum


(∀ i ∈ 0, (f i).Monic) → (Multiset.map f 0).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) 0).sum


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b : R

Context: m n : ℕ

Context: ι : Type y

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p : R[X]

Context: t✝ : Multiset ι

Context: f : ι → R[X]

Context: a : ι

Context: t : Multiset ι

Context: ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum

Context: ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic

(Multiset.map f (a ::ₘ t)).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) (a ::ₘ t)).sum


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L

K.ι.app (WalkingMultispan.left a) = I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a)


I.multispan.map (WalkingMultispan.Hom.fst a) ≫ K.ι.app (WalkingMultispan.right (I.fstFrom a)) = I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i

Context: R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)

Context: R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)

blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)

Context: R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)

Context: hRp : 0 ≤ R₁


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)

Context: R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)

Context: hRp : 0 ≤ R₁

Context: hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)

Context: R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)

Context: hRp : 0 ≤ R₁

blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)

Context: R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)

Context: hRp : 0 ≤ R₁

Context: hM' : 1 ≤ M


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: p : ℕ → Prop

Context: s : ℕ → Set α

Context: M : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: r₁ r₂ : ℕ → ℝ

Context: hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)

Context: R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)

Context: R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)

Context: hRp : 0 ≤ R₁

Context: hM' : M < 1


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n j : ℕ

Context: h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n j : ℕ

Context: h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n j : ℕ

Context: h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n j : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : Star α

∀ (v : Fin 0 → α), (circulant v)ᴴ = circulant (star fun i => v (-i))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: l : Filter ι

Context: hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: l : Filter ι

TendstoInMeasure μ (fun i => AEStronglyMeasurable.mk (f i) ⋯) l (AEStronglyMeasurable.mk g hg)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: l : Filter ι

Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hp_ne_zero : p ≠ 0

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: l : Filter ι

Context: this : (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) = fun n => eLpNorm (f n - g) p μ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: p✝ : PrimeSpectrum R

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: p : Ideal R

Context: inst✝¹ : p.IsPrime

Context: inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)

∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: p✝ : PrimeSpectrum R

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: p : Ideal R

Context: inst✝¹ : p.IsPrime

Context: this : { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (Module.support R M)ᶜ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: p✝ : PrimeSpectrum R

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: p : Ideal R

Context: inst✝¹ : p.IsPrime

Context: this : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑(Module.annihilator R M)), { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {i})ᶜ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: p✝ : PrimeSpectrum R

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: inst✝² : Module.Finite R M

Context: p : Ideal R

Context: inst✝¹ : p.IsPrime

Context: f : R

Context: hf : f ∈ ↑(Module.annihilator R M)

Context: hf' : { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f

∫ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux

cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : r < 0


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : 0 ≤ r


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : 0 ≤ r
hr₀' : 0 ≤ w.im * Real.sinh r
hzw₀ : 0 < 2 * z.im * w.im


cmp (Real.cosh (dist z w)) (Real.cosh r) = cmp (2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2) ((w.im * Real.sinh r) ^ 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_4}


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m + x)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑↑m + x)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S


Context: S : Set ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: x y f' : ℝ

Context: hfc : StrictConvexOn ℝ S f

Context: hx : x ∈ S

Context: hy : y ∈ S

Context: hxy : x < y

Context: hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y

Context: u : ℝ

Context: hxu : x < u

Context: huy : u < y

Context: hu : u ∈ S

Context: this : (f x - f y) / (x - y) < (f u - f y) / (u - y)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : slope f x y < slope f u y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α


Context:
z✝ w : ℍ
r R : ℝ
z : ℍ


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

S.Exact ↔ LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f


(∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂) ↔ LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
w✝¹ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e w✝¹
w✝ : ℝ≥0∞
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e w✝

HasFPowerSeriesAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) e


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
t : Set Y
ht : IsCompact t
n : Set (X × Y)
hn : IsOpen n
hp : s ×ˢ t ⊆ n

∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ u ×ˢ v ⊆ n


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: t : Set Y

Context: ht : IsCompact t

Context: n : Set (X × Y)

Context: hn : IsOpen n

Context: hp : ∃ i, ((IsOpen i.1 ∧ s ⊆ i.1) ∧ IsOpen i.2 ∧ t ⊆ i.2) ∧ i.1 ×ˢ i.2 ⊆ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'

HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f)) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f))


∀ (a_1 a'_1 : α), HEq a_1 a'_1 → HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a_1) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'_1)


∀ (a_1 a'_1 : α), a_1 = a'_1 → HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a_1) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'_1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α

HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'') (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'')


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂

HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'' ha₂)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
h₁ : a'' ≠ a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a a' : α
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
a'' : α
b : δ a''
h : a'' ≠ a'
ha₁ : a'' ∈ a'' ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a'' ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂

HEq (cons (a' ::ₘ m) a'' b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a'' ::ₘ m) a' b' (cons m a'' b f) a'' ha₂)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a : α
b : δ a
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
a'' : α
h₁ : a'' ≠ a
b' : δ a''
h : a ≠ a''
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a'' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a'' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂

HEq (cons (a'' ::ₘ m) a b (cons m a'' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a'' b' (cons m a b f) a'' ha₂)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
h₁ : a'' ≠ a
h₂ : a'' ≠ a'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜'] F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: g' : E →L[𝕜] F

Context: h : HasFDerivWithinAt f (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f') s x

Context: H : ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f' = g'


Context:
α : Type u_1
s t : Set α


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: μ ν : Measure Ω

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : levyProkhorovEDist μ ν < c

Context: B : Set Ω

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ∈ {ε | ∀ (B : Set Ω), MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε}

Context: lt_c : c' < c


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

WithSeminorms p ↔ t = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace


𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι


Context:
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
y : H

orderOf x = orderOf y ↔ ∀ (n : ℕ), x ^ n = 1 ↔ y ^ n = 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nontrivial


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
x : V

(o.rotation θ₁) ((o.rotation θ₂) x) = (o.rotation (θ₁ + θ₂)) x


(θ₁.cos * θ₂.cos) • x + (θ₁.cos * θ₂.sin) • o.rightAngleRotation x + ((θ₁.sin * θ₂.cos) • o.rightAngleRotation x + -((θ₁.sin * θ₂.sin) • x)) = (θ₁.cos * θ₂.cos) • x - (θ₁.sin * θ₂.sin) • x + ((θ₁.sin * θ₂.cos) • o.rightAngleRotation x + (θ₁.cos * θ₂.sin) • o.rightAngleRotation x)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α

OpensMeasurableSpace α ↔ ∀ (s : Set α), IsOpen s → MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
h : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty

(⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
a : α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
h : a ∈ l₁


eraseP (fun x => a == x) (l₁ ++ l₂) = eraseP (fun x => a == x) l₁ ++ l₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hQ : Q ≠ 0

Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0) ↔ P.degree < Q.degree


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hQ : Q ≠ 0

Context: h : Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂

Valid' (↑(l.findMin' x)) (l.node' x r).eraseMin o₂ ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMin.size + 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: s : ℕ

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂

Context: this : Valid' o₂ (r.dual.node' x l.dual).eraseMax ↑(findMax' x l.dual) ∧ (r.dual.node' x l.dual).size = (r.dual.node' x l.dual).eraseMax.size + 1


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Collinear R {x, y, z}

Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x y z : P

Context: h : ∃ v, ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ x


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x y z : P

Context: v : V

Context: h : ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ x


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x y z : P

Context: v : V

Context: h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = y ∨ p = z → ∃ r, p = r • v +ᵥ x


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x : P

Context: v : V

Context: ty tz : R

Context: h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = ty • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x

Wbtw R x (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (ty • v +ᵥ x)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x : P

Context: v : V

Context: ty tz : R

Context: hy0 : ty < 0


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x : P

Context: v : V

Context: tz : R

Context: h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = 0 • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x

Wbtw R x (0 • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (0 • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (0 • v +ᵥ x)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝³ : LinearOrderedField R

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module R V

Context: inst✝ : AddTorsor V P

Context: x : P

Context: v : V

Context: ty tz : R

Context: hy0 : 0 < ty


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → Finset β
h : (range f).Finite


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : CommSemiring R₂
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R₁ A
inst✝ : Algebra R₂ A
I J : Ideal R
h : I ≤ J
x✝ : R

x✝ ∈ comap (Quotient.mk I) (map (Quotient.mk I) J) ↔ x✝ ∈ J


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
p : PosNum


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: h : ∀ (x : X), f x ~ᵢ g x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: h : ∀ (x : X), f x ~ᵢ g x

Continuous (SeparationQuotient.mk ∘ f) ↔ Continuous (SeparationQuotient.mk ∘ g)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)


Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)

∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T2Space Y

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

Context: 𝒰 : Ultrafilter X

Context: y : Y

Context: h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)

∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T2Space Y

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: 𝒰 : Ultrafilter X

Context: y : Y

Context: h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)

Context: x : X

Context: hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
c : R
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L✝.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L

(L.map φ.f).op ≫ (inv (L.map φ.s)).op = (L.map φ.f).op ≫ inv (L.map φ.s).op


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : ℕ

Context: hp : 0 < p

Context: f : R[X]

Context: hf1 : IsUnit ((expand R p) f)

Context: hf2 : (expand R p) f = C (((expand R p) f).coeff 0)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)
hf2 : (expand R p) f = C (f.coeff 0)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit (f.coeff 0)
hf2 : (expand R p) f = C (f.coeff 0)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit (f.coeff 0)
hf2 : f = C (f.coeff 0)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

C ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)) - (C p + C q * Y) * (C p + C q * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) = W.polynomial * C q ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R

((↑(starRingEnd ℂ)).compAddChar φ) a = φ⁻¹ a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
H : ‖↑⋯.unit‖ = 1


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι✝ : Sort x

Context: κ : ι✝ → Sort u_1

Context: a a₁ a₂ : α

Context: b b₁ b₂ : β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: ι : Sort x

Context: p : ι → Prop

Context: f : (i : ι) → p i → α

Context: hf : ∀ (i : ι) (hi : p i), u (l (f i hi)) = f i hi

l (⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi) = ⨅ i, ⨅ (hi : p i), l (f i hi)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι✝ : Sort x

Context: κ : ι✝ → Sort u_1

Context: a a₁ a₂ : α

Context: b b₁ b₂ : β

Context: l : α → β

Context: u : β → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: gi : GaloisInsertion l u

Context: ι : Sort x

Context: p : ι → Prop

Context: f : (i : ι) → p i → α


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: s : Set K

Context: p : K → Prop

Context: x : K

Context: h : x ∈ closure s

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: one : p 1

Context: add : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x + y)

Context: neg : ∀ (x : K), p x → p (-x)

Context: inv : ∀ (x : K), p x → p x⁻¹

Context: mul : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x * y)


Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝² : DivisionRing K

Context: inst✝¹ : DivisionRing L

Context: inst✝ : DivisionRing M

Context: s : Set K

Context: p : K → Prop

Context: x : K

Context: h : x ∈ closure s

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: one : p 1

Context: neg : ∀ (x : K), p x → p (-x)

Context: inv : ∀ (x : K), p x → p x⁻¹

Context: this : Subfield K := { carrier := p, mul_mem' := ⋯, one_mem' := one, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, neg_mem' := ⋯, inv_mem' := inv }


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
a b : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
a b : α
h : a ≈ b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


a \ (b ⊔ a ⊓ b) ⊔ b \ (a ⊔ a ⊓ b) = a ∆ b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ

(fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[atTop] fun x => x ^ (↑p - ↑q)


∀ (x : 𝕜), 0 < x → (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x

(fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L

I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
h : S = ∅


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
h : S.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree

Tendsto (fun x => |eval x P|) atTop atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
hP : 0 ≤ P.leadingCoeff


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
hP : P.leadingCoeff ≤ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hs : MeasurableSet s

LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (comap Subtype.val μ) ↔ LocallyIntegrableOn f s μ


LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (comap Subtype.val μ) ↔ ∀ (x : { a // a ∈ s }), IntegrableAtFilter f (Filter.map Subtype.val (𝓝 x)) μ


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : IsClopenable s


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : T2Space β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : PolishSpace γ
hs : IsClopenable s
inst✝ : BorelSpace γ
this✝ : MeasurableSpace γ := borel γ


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : T2Space β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : PolishSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
this✝ : MeasurableSpace γ := borel γ
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
t'_polish : PolishSpace γ
left✝ : IsClosed s
s_open : IsOpen s


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace β✝
inst✝ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β✝
β : Type u_4
f : α → β
mα : MeasurableSpace α
μa : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : β → γ

AEStronglyMeasurable (g ∘ f) μa ↔ AEStronglyMeasurable g μb


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
n : ℕ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Measurable fun p => (κ p.1) (countablePartitionSet n p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) (countablePartitionSet n p.2)


Measurable ((fun p => (κ p.1) (↑p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) ↑p.2) ∘ fun p => (p.1, ⟨countablePartitionSet n p.2, ⋯⟩))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: n : ℕ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h1 : Measurable fun p => (κ p.1) (↑p.2 ×ˢ s) / (ν p.1) ↑p.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: n : ℕ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Measurable fun p => ⟨countablePartitionSet n p.2, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: n : ℕ

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Measurable ((fun c => ⟨countablePartitionSet n c, ⋯⟩) ∘ fun p => p.2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < (-q).degree


Context: a b : ℕ+


Context: a b : ℕ+

(Ioc a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Ioc a b)).card


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c

variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c


variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a b + variationOnFromTo f s b c


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : ℕ → R
i : Fin n

TruncatedWittVector.coeff i ((truncate n) { coeff := f }) = TruncatedWittVector.coeff i (TruncatedWittVector.mk p fun k => f ↑k)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
t : ι → Finset α
h : (↑s).PairwiseDisjoint t

∏ x ∈ s.disjiUnion t h, f x = ∏ i ∈ s, ∏ x ∈ t i, f x


∏ x ∈ s.disjiUnion t h, f x = fold (fun x x_1 => x * x_1) (fold (fun x x_1 => x * x_1) 1 (fun i => 1) s) (fun x => f x) (s.disjiUnion t h)


1 = Multiset.foldr (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 (Multiset.map (fun i => 1) s.val)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.58582, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.58586, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.58590, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C

((F.map P.p).f ≫ (F.obj P.X).p) ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
x : E

‖(p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x‖₊ ≤ ∑' (x_1 : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l


‖(p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x‖₊ ≤ (∑' (x : { s // s.card = l }), ‖p (k + l)‖₊) * ∏ _i : Fin l, ‖x‖₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(μ.restrict s).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] s.indicator (μ.rnDeriv ν)


μ.restrict s = (μ.restrict s).singularPart ν + ν.withDensity (s.indicator (μ.rnDeriv ν))


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R

(eval P) W'.polynomialY = 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3


(eval P) (C 2 * X y + C W'.a₁ * X x * X z + C W'.a₃ * X z ^ 3) = 2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
h✝ : Finite G


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
h✝ : Infinite G


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : Filter α
s : Set α
a : α
f f' : Filter α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s


∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G F₁ F₂ : C ⥤ Type w
τ₁ : F ⟶ F₁
τ₂ : F ⟶ F₂
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a : F.obj x✝²

(F.map x✝ ≫ (fun x y => (τ₁.app x y, τ₂.app x y)) x✝¹) a = ((fun x y => (τ₁.app x y, τ₂.app x y)) x✝² ≫ (prod F₁ F₂).map x✝) a


(F₁.map x✝ (τ₁.app x✝² a), F₂.map x✝ (τ₂.app x✝² a)) = (prod F₁ F₂).map x✝ (τ₁.app x✝² a, τ₂.app x✝² a)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X
h : x ∉ c.U


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: h : x ⤳ y

Context: hd : _root_.Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)


Context:
X : TopCat
U : Opens ↑X


Context:
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
i : xr
xR : xr → PGame
j : (xR i).RightMoves

((xR i).moveRight j).Subsequent (mk xl xr xL xR)


Context: f : StieltjesFunction

∀ᵐ (x : ℝ), HasDerivAt (↑f) (f.measure.rnDeriv volume x).toReal x


Context: f : StieltjesFunction

Context: x : ℝ

Context: hx : Tendsto (fun a => f.measure a / volume a) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x))

Context: h'x : f.measure.rnDeriv volume x < ⊤

Context: h''x : ¬leftLim (↑f) x ≠ ↑f x

HasDerivAt (↑f) (f.measure.rnDeriv volume x).toReal x


Context: f : StieltjesFunction

Context: x : ℝ

Context: h'x : f.measure.rnDeriv volume x < ⊤

Context: h''x : ¬leftLim (↑f) x ≠ ↑f x

Context: L1 : Tendsto (fun y => (↑f y - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)


Context: f : StieltjesFunction

Context: x : ℝ

Context: h'x : f.measure.rnDeriv volume x < ⊤

Context: h''x : ¬leftLim (↑f) x ≠ ↑f x

Context: L2 : Tendsto (fun y => (leftLim (↑f) y - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)


Context: f : StieltjesFunction

Context: x : ℝ

Context: h'x : f.measure.rnDeriv volume x < ⊤

Context: h''x : ¬leftLim (↑f) x ≠ ↑f x

Context: L3 : Tendsto (fun y => (leftLim (↑f) (y + 1 * (y - x) ^ 2) - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)

Context: L4 : Tendsto (fun y => (↑f y - ↑f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)


Context: f : StieltjesFunction

Context: x : ℝ

Context: h'x : f.measure.rnDeriv volume x < ⊤

Context: h''x : ¬leftLim (↑f) x ≠ ↑f x

Tendsto (fun b => (↑f b - ↑f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑f b - ↑f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (f.measure.rnDeriv volume x).toReal)


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, rexp x = rexp b - rexp a


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ rexp x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
ts : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
ts : List α
n : ℕ
h : ts.length < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (ts : List α), ts.length < n → ts.permutations ~ ts.permutations'

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: x✝ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'

Context: h : (ts ++ [t]).length < n + 1

(ts ++ [t]).permutations ~ (ts ++ [t]).permutations'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n

Context: IH₂ : ts.reverse.permutations ~ ts.permutations'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n

(map (fun x => x ++ [t]) ts.permutations ++ ts.reverse.permutations.bind fun y => (permutationsAux2 t [] [] y id).2) ~ (ts ++ [t]).permutations'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n

(ts.permutations'.bind fun y => (permutationsAux2 t [] [] y id).2) ++ map (fun x => x ++ [t]) ts.permutations' ~ ([t] ++ ts).permutations'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n

((ts.permutations'.bind fun y => (permutationsAux2 t [] [] y id).2) ++ ts.permutations'.bind fun x => [x ++ [t]]) ~ ts.permutations'.bind (permutations'Aux t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n

(ts.permutations'.bind fun x => (permutationsAux2 t [] [] x id).2 ++ [x ++ [t]]) ~ ts.permutations'.bind (permutations'Aux t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n

(ts.permutations'.bind fun x => (permutationsAux2 t [] [] x id).2 ++ [x ++ [t]]) = ts.permutations'.bind (permutations'Aux t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: h : ts.length < n

(fun x => (permutationsAux2 t [] [] x id).2 ++ [x ++ [t]]) = permutations'Aux t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: ts✝ : List α

Context: h✝ : ts✝.length < n + 1

Context: ts : List α

Context: t : α

Context: x✝¹ : ts.length < n + 1 → ts.permutations ~ ts.permutations'

Context: h : ts.length < n

Context: x✝ : List α

(permutationsAux2 t [] [] x✝ id).2 ++ [x✝ ++ [t]] = permutations'Aux t x✝


Context:
α : Type ?u.51176
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : HasDistribNeg α
x y : SignType

{ toFun := cast, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := cast, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := cast, map_zero' := ⋯ }.toFun y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: hf : Function.RightInverse f QuotientGroup.mk

Context: a : α ⧸ s

Context: b c : α

Context: h : Setoid.r b c

Setoid.r ((fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) b) ((fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) c)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : α ⧸ s

Context: b c : α

Context: h : Setoid.r b c

((fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) b)⁻¹ * (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) c ∈ s.subgroupOf t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : α ⧸ s

Context: b c : α

Context: h : Setoid.r b c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : α ⧸ s

Context: b c : α

Context: h : Setoid.r b c

Context: key : f ↑b = f ↑c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : (α ⧸ t) × ↥t ⧸ s.subgroupOf t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

LeftInverse (fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : α

(fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) ((fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)) (Quotient.mk'' a)) = Quotient.mk'' a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

∀ (fst : α ⧸ t) (snd : ↥t ⧸ s.subgroupOf t), (fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)) ((fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) (fst, snd)) = (fst, snd)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : α

∀ (snd : ↥t ⧸ s.subgroupOf t), (fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)) ((fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) (Quotient.mk'' a, snd)) = (Quotient.mk'' a, snd)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : α

Context: b : ↥t

(fun a => (Quotient.map' id ⋯ a, Quotient.map' (fun g => ⟨(f (Quotient.mk'' g))⁻¹ * g, ⋯⟩) ⋯ a)) ((fun a => Quotient.map' (fun b => f a.1 * ↑b) ⋯ a.2) (Quotient.mk'' a, Quotient.mk'' b)) = (Quotient.mk'' a, Quotient.mk'' b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Group α

Context: s t : Subgroup α

Context: h_le : s ≤ t

Context: f : α ⧸ t → α

Context: a : α

Context: b : ↥t

Context: key : Quotient.mk'' (f (Quotient.mk'' a) * ↑b) = Quotient.mk'' a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


b < a ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ a ≤ b → a < b ∧ b ≤ c ∨ c < b ∧ b ≤ a → a = b


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : IsHomogeneous 𝒜 I


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: h : IsHomogeneous 𝒜 I

IsHomogeneous 𝒜 (InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime})


Context:
A B : CommGrp
f : A ⟶ B


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: hAB : A ⊆ B

Context: h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card

Context: A' : Finset α

Context: hAA' : A' ⊆ A

(A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: hAB : A ⊆ B

Context: hAA' : ∅ ⊆ A

(A * C).card * ∅.card ≤ (∅ * C).card * A.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: hAB : A ⊆ B

Context: A' : Finset α

Context: hAA' : A' ⊆ A

Context: hA' : A'.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: hAB : A ⊆ B

Context: A' : Finset α

Context: hAA' : A' ⊆ A

Context: hA' : A'.Nonempty

Context: hA₀ : 0 < ↑A.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A B C : Finset α

Context: hA : A.Nonempty

Context: hAB : A ⊆ B

Context: A' : Finset α

Context: hAA' : A' ⊆ A

Context: hA' : A'.Nonempty

Context: hA₀ : 0 < ↑A.card

Context: hA₀' : 0 < ↑A'.card


Context: x : CliffordAlgebra Q


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: I : 0 < ε ^ (1 / p)

Context: A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

Context: B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

Context: g : α →ᵇ E

Context: hg : eLpNorm (f - ⇑g) (↑p.toNNReal) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))

Context: g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: I : 0 < ε ^ (1 / p)

Context: A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

Context: B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

Context: g : α →ᵇ E

Context: g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ

Context: hg : eLpNorm (f - ⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: I : 0 < ε ^ (1 / p)

Context: A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

Context: B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

Context: g : α →ᵇ E

Context: g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ

Context: hg : (∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α

Tendsto (fun δ => (thickening δ E).mulIndicator f) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))


∀ (x : α), Tendsto (fun i => (thickening i E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α

Tendsto (fun i => (thickening i E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂✝ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
R : outParam (Type u_17)
M : outParam (Type u_18)
M₂ : outParam (Type u_19)
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
F : Type u_20
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : LinearMapClass F R M M₂
f : F
r : R
x : M


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : Center C

(α_ X Y Z).inv.f = (α_ X.fst Y.fst Z.fst).inv


(α_ X.fst Y.fst Z.fst).hom ≫ (α_ X Y Z).inv.f = 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z).fst


(𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z)).f = 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z).fst


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop

Context: ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯

Context: add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯

Context: ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q 1


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q 1

Context: ιv : CliffordAlgebra Q

∀ (h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1), P ιv ⋯


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q 1

Context: ιv : CliffordAlgebra Q

Context: h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ evenOdd Q 1

Context: ιv : CliffordAlgebra Q

Context: h✝ : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1

Context: h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

(μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet = μ.restrict μ.sigmaFiniteSet


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

((μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet) s = ((μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet) s


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (a : α) in s ∩ μ.sigmaFiniteSet, if μ.densityToFinite a ≠ ⊤ then μ.densityToFinite a else 1 ∂μ.toFinite = ∫⁻ (a : α) in s ∩ μ.sigmaFiniteSet, μ.densityToFinite a ∂μ.toFinite


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∩ μ.sigmaFiniteSet

μ.densityToFinite x = if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∧ ¬μ.densityToFinite x = ⊤


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup G
inst✝ : IsCancelMul G
g x✝ : G

(mulLeftEmbedding g) x✝ = (mulRightEmbedding g) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
v : Vector G n

v.toList.prod⁻¹ ::ᵥ v ∈ vectorsProdEqOne G (n + 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
v : ↑(vectorsProdEqOne G (n + 1))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80198, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80198, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : IsSplitEpi S.g


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
a : Rˣ

(equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a = (equivToUnitHom χ₁) a * (equivToUnitHom χ₂) a


↑((equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a) = ↑((equivToUnitHom χ₁) a * (equivToUnitHom χ₂) a)


↑((equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a) = ↑((equivToUnitHom χ₁) a) * ↑((equivToUnitHom χ₂) a)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N P : Matrix m m R


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: f : G ↪ H

Context: mul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y

UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

o.oangle x z - o.oangle y z = o.oangle x y


Context:
xl xr : Type u
s : Set PGame
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a✝ b c a : α


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₁ : C₁

(adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').unit.app (L₁.obj X₁) = L₁.map (adj.unit.app X₁) ≫ (CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁) ≫ F'.map ((CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommMonoid α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: f✝ g : β✝ → α✝

Context: a✝ b✝ : α✝

Context: s : Finset β✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul α✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: a a' : α

Context: hf : HasProd f a

Context: b : β

Context: x : α

Context: hf' : HasProd (update f b x) a'

Context: this : ∀ (b' : β), (f b' * if b' = b then x else 1) = update f b x b' * if b' = b then f b else 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommMonoid α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: f✝ g : β✝ → α✝

Context: a✝ b✝ : α✝

Context: s : Finset β✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul α✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: a a' : α

Context: hf : HasProd f a

Context: b : β

Context: x : α

Context: hf' : HasProd (update f b x) a'

Context: h : HasProd (fun b_1 => f b_1 * if b_1 = b then x else 1) (a * x)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommMonoid α✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝

Context: f✝ g : β✝ → α✝

Context: a✝ b✝ : α✝

Context: s : Finset β✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul α✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : CommMonoid α

Context: inst✝² : T2Space α

Context: inst✝¹ : ContinuousMul α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : β → α

Context: a a' : α

Context: hf : HasProd f a

Context: b : β

Context: x : α

Context: hf' : HasProd (update f b x) a'

Context: h : HasProd (fun b_1 => update f b x b_1 * if b_1 = b then f b else 1) (a * x)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F


Context:
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : r ∈ ω.tt ![![a, b], ![b, a]]


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: a b : D

Context: mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: hab : a ≠ b

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: r : Fin 2 → D

Context: rin : ∃ a_1 ∈ ω, (fun i => a_1 (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) = r


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: a b : D

Context: mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: hab : a ≠ b

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: r : Fin 2 → D


Context: D : Type u_1

Context: C✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝

Context: m : ℕ

Context: C : Type u_3

Context: inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C

Context: f : (Fin 2 → D) → C

Context: a b : D

Context: mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b

Context: hab : a ≠ b

Context: ω : FractionalOperation D 2

Context: symmega : ω.IsSymmetric

Context: o : (Fin 2 → D) → D

Context: in_omega : o ∈ ω

Context: equ : f ![a, b] = f ![(fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 0, (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 1]

Context: asymm : (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 0 ≠ (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 1


Context:
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t

F_int k (↑a) t = F_nat k a t + F_nat k (1 - a) t


∑' (n : ℤ), f_int k a t n = ∑' (n : ℕ), f_nat k a t n + ∑' (n : ℕ), f_nat k (1 - a) t n


Context:
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℤ

f_int k a t n = Int.rec (f_nat k a t) (f_nat k (1 - a) t) n


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p q r : R[X]
f : A →ₐ[R] B

mapAlgHom f = eval₂AlgHom' (CAlgHom.comp f) X ⋯


∀ (x : A[X]), (mapAlgHom f) x = (eval₂AlgHom' (CAlgHom.comp f) X ⋯) x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none


(match f a with | some b => b :: l | none => lookmap.go f l (#[].push a)) = a :: lookmap.go f l #[]


(match none with | some b => b :: l | none => (#[].push a).toListAppend (lookmap f l)) = a :: lookmap.go f l #[]


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
g : N →* G
hl : LeftInverse ⇑g ⇑f
hr : Function.RightInverse ⇑g ⇑f
H : Subgroup G


Context:
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : l.rotate n = l'.rotate n


Context:
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : l.rotate n = l'.rotate n
hle : l.length = l'.length


Context: α : Type u

Context: n : ℕ

Context: l l' : List α

Context: h : drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l' ++ take (n % l'.length) l'

Context: hle : l.length = l'.length


Context: α : Type u

Context: n : ℕ

Context: l l' : List α

Context: hle : l.length = l'.length

Context: hd : drop (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l'

Context: ht : take (n % l.length) l = take (n % l'.length) l'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length

(l.eraseIdx i).length + 1 = (take i l ++ drop (i + 1) l).length + 1


(take i l ++ drop (i + 1) l).length + 1 = (take i l).length + (drop (i + 1) l).length + 1


(take i l).length + (drop (i + 1) l).length + 1 = i + (drop (i + 1) l).length + 1


i + (drop (i + 1) l).length + 1 = i + (l.length - (i + 1)) + 1


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Context: n : ℕ

‖Polynomial.eval (newton_seq n) F‖ / ‖Polynomial.eval (newton_seq n) (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval (newton_seq n) F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : μ s < ⊤

Context: hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C

‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : (μ.restrict s) univ < ⊤

‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * ((μ.restrict s) univ).toReal


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: C : ℝ

Context: hs : (μ.restrict s) univ < ⊤

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
n : l.Nodup


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
n : ℕ

(X s ^ n).support = {Finsupp.single s n}


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x
hf2 : f ∣ minpoly G F x


Context:
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f g : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : f.Monic
hg : g.Monic
hfg : f * g = minpoly G F x
hf2 : f ∣ minpoly G F x
hg2 : g ∣ minpoly G F x


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: f g : Polynomial ↥(subfield G F)

Context: hf : f.Monic

Context: hg : g.Monic

Context: hfg : f * g = minpoly G F x

Context: hf2 : f ∣ minpoly G F x

Context: hg2 : g ∣ minpoly G F x

Context: this : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x (minpoly G F x) = 0


Context: M : Type u

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : MulSemiringAction M F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction G F

Context: m : M

Context: inst✝ : Fintype G

Context: x : F

Context: f g : Polynomial ↥(subfield G F)

Context: hf : f.Monic

Context: hg : g.Monic

Context: hfg : f * g = minpoly G F x

Context: hf2 : f ∣ minpoly G F x

Context: hg2 : g ∣ minpoly G F x

Context: this : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0 ∨ Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x g = 0


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s
y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ


(fun h => cexp (x + h) - cexp x - h • cexp x) =o[𝓝 0] fun h => h


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
x : ℂ
this : 1 < 2


∀ᶠ (x_1 : ℂ) in 𝓝 0, ‖cexp (x + x_1) - cexp x - x_1 • cexp x‖ ≤ ‖cexp x‖ * ‖x_1 ^ 2‖


∀ a ∈ Metric.ball 0 1, ‖cexp (x + a) - cexp x - a • cexp x‖ ≤ ‖cexp x‖ * ‖a ^ 2‖


∀ (a : ℂ), ‖a‖ < 1 → ‖cexp (x + a) - cexp x - a • cexp x‖ ≤ ‖cexp x‖ * ‖a‖ ^ 2


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β✝ : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
β : ι → Type u_4
i : ι
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)

(univ.pi fun j => t j (update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ {i}ᶜ.pi fun j => t j (f j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ht : μ (s \ t) = 0


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂

inr c₂ ∈ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ↔ (∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g₂ a₁ b₂) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ f₂ a₂ b₂


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R✝
p✝ a✝ b✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : AddMonoidWithOne R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
a b : ℕ
inst✝ : IsRightCancelAdd R
hle : a ≤ b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : NormedRing E
inst✝² : StarRing E
inst✝¹ : CstarRing E
inst✝ : Nontrivial E
U : ↥(unitary E)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α

(p.filter s h) a ≠ 0 ↔ a ∈ s ∧ a ∈ p.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Icc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Icc a₁ a₂)


Icc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Icc a₁ a₂))


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F

MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
this : IsComplete univ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
this : IsComplete univ
x✝ : E

DifferentiableAt 𝕜 f x✝ ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x✝ ∧ fderiv 𝕜 f x✝ ∈ univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
A B : Set α
hB : MeasurableSet B
hAB : Disjoint A B

∫⁻ (a : α) in A ∪ B, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in A, f a ∂μ + ∫⁻ (a : α) in B, f a ∂μ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: t : Set γ

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: g : γ → α

Context: hg : MapsTo g t s

Context: cg : ContinuousOn g t

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: x : γ

Context: hx : x ∈ t

Context: a : Set α

Context: ha : a ∈ 𝓝[s] g x

Context: H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ a, (f y, F n y) ∈ u

∃ t_1 ∈ 𝓝[t] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t_1, ((f ∘ g) y, (fun n => F n ∘ g) n y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: t : Set γ

Context: h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: g : γ → α

Context: hg : MapsTo g t s

Context: cg : ContinuousOn g t

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: x : γ

Context: hx : x ∈ t

Context: a : Set α

Context: ha : a ∈ 𝓝[s] g x

Context: this : g ⁻¹' a ∈ 𝓝[t] x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

WithSeminorms p ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0)


WithSeminorms p ↔ 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : WithSeminorms p

𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: k : K

Context: q : TM1.Stmt Γ' Λ' σ

Context: v : σ

Context: S : (k : K) → List (Γ k)

Context: L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: hL : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse

Context: o : StAct k

let v' := stVar v (S k) o; let Sk' := stWrite v (S k) o; let S' := update S k Sk'; ∃ L', (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S' k)).reverse) ∧ TM1.stepAux (trStAct q o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) = TM1.stepAux q v' ((Tape.move Dir.right)^[(S' k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L')))