Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R✝

Context: r✝ : R✝

Context: f✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: r : R


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R✝

Context: r✝ : R✝

Context: f✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: r : R

Context: h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R✝

Context: r✝ : R✝

Context: f✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R[X]

Context: r : R

Context: k : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R

(X ^ p - C y).roots = p • {(frobeniusEquiv R p).symm y}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: p n : ℕ

Context: inst✝¹ : ExpChar R p

Context: f : R[X]

Context: inst✝ : PerfectRing R p

Context: y : R

Context: H : (X ^ p ^ 1 - C y).roots = p ^ 1 • {(iterateFrobeniusEquiv R p 1).symm y}


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
ha : a ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r


AEStronglyMeasurable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
x : E


Context:
a x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a

Context: hs' : ∀ x ∈ s, 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a

∫⁻ (b : γ) in s, ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * κ.rnDeriv η a b ∂(κ + η) a = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: s : Set γ

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a

Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1

Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(fixedPoints f) [MOD p]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Function.End α

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hf : f ^ p ^ n = 1

Context: σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Function.End α

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hf : f ^ p ^ n = 1

Context: hσ : σ ^ p ^ n = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Function.End α

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hf : f ^ p ^ n = 1

Context: hσ : σ ^ p ^ n = 1

Fintype.card ↑(fixedPoints f) = (support σ)ᶜ.card


Context:
x : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I

Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I


Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) ≤ I


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: hM : Disjoint ↑M ↑I

Context: a : R

Context: ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: hM : Disjoint ↑M ↑I

Context: a : R

Context: b : ↥I

Context: s : ↥M

Context: h : (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) ↑(b, s).2 = (algebraMap R S) ↑(b, s).1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: hM : Disjoint ↑M ↑I

Context: a : R

Context: b : ↥I

Context: s : ↥M

Context: h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: hM : Disjoint ↑M ↑I

Context: a : R

Context: b : ↥I

Context: s : ↥M

Context: c : ↥M

Context: hc : ↑c * (↑s * a) = ↑c * ↑b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal R

Context: hI : I.IsPrime

Context: hM : Disjoint ↑M ↑I

Context: a : R

Context: b : ↥I

Context: s : ↥M

Context: c : ↥M

Context: hc : ↑c * (↑s * a) = ↑c * ↑b

Context: this : ↑c * ↑s * a ∈ I


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : v ≠ 0

Context: h : ∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x) = 1


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: hv : v ≠ 0

Context: h : ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x) = ENNReal.ofReal 1


Context:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this : UniformInducing (const ι)


IsComplete (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x i = x i_1})


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : ι✝ → Type u

Context: U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: ι : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: u : ι → UniformSpace X

Context: hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X

Context: a✝ : Nontrivial X

Context: t : TopologicalSpace X

Context: ht : T2Space X

Context: hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t

Context: this✝ : UniformInducing (const ι)

Context: this : Pi.topologicalSpace ≤ Pi.topologicalSpace


Context: ι✝ : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : ι✝ → Type u

Context: U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: ι : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: u : ι → UniformSpace X

Context: hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X

Context: a✝ : Nontrivial X

Context: t : TopologicalSpace X

Context: ht : T2Space X

Context: hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t

Context: this✝ : UniformInducing (const ι)

IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x i = x i_1})


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
k n : ℕ

(coeff R n) ((C R) x * X ^ k) = if n = k then x else 0


Context: c : Cardinal.{u}


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: gp_n : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

Context: nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: gp_n : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_n

Context: ifp_n_b_eq_gp_n_b : ↑ifp_n.b = gp_n.b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: gp_n : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

Context: ifp_n : IntFractPair K

Context: ifp_n_b_eq_gp_n_b : ↑ifp_n.b = gp_n.b


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j / r + ↑j / s


Context: r s : ℝ

Context: hrs : r.IsConjExponent s

Context: j✝ k✝ j k m : ℤ

Context: h₁₁ : ↑k < ↑j / r

Context: h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1

Context: h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s

Context: h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1

Context: h₃ : ↑k + ↑m < ↑j / r + ↑j / s

Context: h₄ : (↑j + 1) / r + (↑j + 1) / s < ↑k + 1 + (↑m + 1)


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j
h₄ : ↑j + 1 < ↑k + 1 + (↑m + 1)


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j
h₄ : ↑j < ↑k + ↑m + ↑1


Context:
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : k + m < j
h₄ : j ≤ k + m


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E


{N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}.Nonempty


∀ b ∈ {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}, b ≤ 5 ^ finrank ℝ E


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
x : L

x ∈ (lieIdealSubalgebra R L (killingCompl R L ⊤)).toSubmodule ↔ x ∈ LinearMap.ker (killingForm R L)


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Field A

Context: inst✝¹ : Ring B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree

Context: hx : IsIntegral A x


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Field A

Context: inst✝¹ : Ring B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: hx : IsIntegral A x


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Field A

Context: inst✝¹ : Ring B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: hx : IsIntegral A x

Context: hnz : ¬minpoly A x - p = 0


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Field A

Context: inst✝¹ : Ring B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: hx : IsIntegral A x

Context: hnz : ¬minpoly A x - p = 0

(minpoly A x - p).degree < (minpoly A x).degree


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝² : Field A

Context: inst✝¹ : Ring B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: x : B

Context: p : A[X]

Context: pmonic : p.Monic

Context: hp : (Polynomial.aeval x) p = 0

Context: hx : IsIntegral A x

Context: hnz : ¬minpoly A x - p = 0

(minpoly A x).leadingCoeff = p.leadingCoeff


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y


(pointReflection R x) x ≠ (pointReflection R x) y


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
x✝ : k⟦X⟧

x✝ ∈ RingHom.ker (constantCoeff k) ↔ x✝ ∈ maximalIdeal k⟦X⟧


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
x : TruncatedWittVector p n₃ R

((truncate h1).comp (truncate h2)) x = (truncate ⋯) x


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.75369, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

cosZeta (↑x) (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

∑' (b : ℕ), ↑(Real.cos (2 * π * x * ↑b)) / ↑b ^ (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u a : αˣ


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ : AddChar A M

Context: f : M →* N

Context: hf : Injective ⇑f

Context: ψ χ : AddChar B M

Context: h : (fun ψ => f.compAddChar ψ) ψ = (fun ψ => f.compAddChar ψ) χ


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ : AddChar A M

Context: f : M →* N

Context: hf : Injective ⇑f

Context: ψ χ : AddChar B M

Context: h : ⇑((fun ψ => f.compAddChar ψ) ψ) = ⇑((fun ψ => f.compAddChar ψ) χ)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : SemilatticeInf β
hf : AntitoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
t : Finset β
e : α ≃ β
hst : ∀ (i : α), i ∈ s ↔ e i ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : a ∉ t


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a ≠ 1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : a < 1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : 1 < a


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
x : n → R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E


Context:
α : Type u_1
l : List α
a : α


Context:
α : Type u_1
l : List α
a : α
x✝ : [a] <+~ l
s : List α
hla : s ~ [a]
h : s <+ l


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Mul β


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A

x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x})


x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x}) → x ∈ extremePoints 𝕜 A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : Convex 𝕜 (A \ {x})


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : Convex 𝕜 (A \ {x})
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E

Context: A B : Set E

Context: x : E

Context: hA : Convex 𝕜 A

Context: hxA : x ∈ A

Context: hAx : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ A \ {x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ A \ {x} → [x_1-[𝕜]y] ⊆ A \ {x}

Context: x₁ : E

Context: hx₁ : x₁ ∈ A

Context: x₂ : E

Context: hx₂ : x₂ ∈ A

Context: hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E

Context: A B : Set E

Context: x : E

Context: hA : Convex 𝕜 A

Context: hxA : x ∈ A

Context: x₁ : E

Context: hx₁ : x₁ ∈ A

Context: x₂ : E

Context: hx₂ : x₂ ∈ A

Context: hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]

Context: h : x₁ ≠ x ∧ x₂ ≠ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α

s.WellFoundedOn r ↔ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Nonempty ((fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s) ↔ ∃ x, ∀ (n : ℕ), x n ∈ s


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y✝ : (i : δ) → π i

Context: i✝ i : δ

Context: hi : i ∈ s

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x : (i : δ) → π i

Context: y : π i

(∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i y) = (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y✝ : (i : δ) → π i

Context: i✝ i : δ

Context: hi : i ∈ s

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x : (i : δ) → π i

Context: y : π i


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y✝ : (i : δ) → π i

Context: i✝ i : δ

Context: hi : i ∈ s

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x : (i : δ) → π i

Context: y : π i

Context: j : δ

Context: hj : j ∉ s

Context: this : j ≠ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0

Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
hr' : 1 < |r|⁻¹


Tendsto (fun x => ‖↑x ^ k * r ^ x‖) atTop (𝓝 0)


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hab : Commute a b


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s

s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂))


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s

y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f m : Dual R M₁

m ∈ range (dualMap f) ↔ m ∈ Submodule.span R {f}


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
x : Finset α
h0 : x.Nonempty


Context:
a b : ℤ
hb0 : 0 < b
h : a.natAbs.Coprime b.natAbs


Context:
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x

∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x


Context:
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Finite


Context:
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Infinite


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.den = 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: f : NumDenSameDeg 𝒜 x

Context: h : f.den = 0

Context: this : Subsingleton (HomogeneousLocalization 𝒜 x)


Context: re✝¹ im✝¹ re✝ im✝ : ℤ

toComplex { re := re✝¹, im := im✝¹ } = toComplex { re := re✝, im := im✝ } ↔ { re := re✝¹, im := im✝¹ } = { re := re✝, im := im✝ }


Context:
x y : ℝ
a : Cauchy abs

(Real.neg { cauchy := a }).cauchy = -{ cauchy := a }.cauchy


Context:
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
ε : ℝ
pos : 0 < ε

∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε


Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: f' : C(↑(Set.Icc a b), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }


Context: a b✝ : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }

Context: p : ℝ[X]

Context: b : ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f'‖ < ε

∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε


Context: a b✝ : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: p : ℝ[X]

∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε


Context: a b✝ : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: p : ℝ[X]

Context: b : ∀ (x : ↑(Set.Icc a b✝)), ‖(p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f') x‖ < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ord α
inst✝ : Ord β

compare = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ord α
inst✝ : Ord β
a b : α × β

compare a b = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd) a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
hf0 : tsum f ≠ 0
hf : tsum f ≠ ⊤
a : α

a ∈ (normalize f hf0 hf).support ↔ a ∈ Function.support f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
h : 0 < ⌊a⌋₊
ha : a ≤ 0


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : a < 0


Context:
α : Type u_1
b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < 0 * b


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : 0 < a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ a ∈ s, (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

∑ t ∈ B, (s ∩ t).card ≤ ∑ x ∈ s, (filter (fun x_1 => x ∈ x_1) B).card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

(∑ x ∈ B, ∑ a ∈ s, if a ∈ x then 1 else 0) ≤ ∑ x ∈ s, ∑ a ∈ B, if x ∈ a then 1 else 0


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K

x ∈ (mapToFractionRing K S B hS).range ↔ ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹


(∃ a s, ∃ (hs : s ∈ S), x = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩) ↔ ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S

(algebraMap A K) x✝² * ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = IsLocalization.mk' K x✝² ⟨x✝¹, ⋯⟩


((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = ↑((IsUnit.liftRight ((IsLocalization.toLocalizationMap A⁰ K).toMap.restrict A⁰) ⋯) ⟨x✝¹, ⋯⟩)⁻¹


((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = (↑((IsUnit.liftRight ((IsLocalization.toLocalizationMap A⁰ K).toMap.restrict A⁰) ⋯) ⟨x✝¹, ⋯⟩))⁻¹


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F

setToSimpleFunc T (piecewise s hs (const α x) (const α 0)) = (T s) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet ∅

setToSimpleFunc T (piecewise ∅ hs (const α x) (const α 0)) = (T ∅) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty


∑ x_1 ∈ (piecewise s hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet Set.univ
hs_empty : Set.univ.Nonempty

∑ x_1 ∈ (piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T Set.univ) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ


∑ x_1 ∈ {x, 0}, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0


(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x})) x + ∑ x_1 ∈ {0}, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x


(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x})) x = (T s) x


↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x} = s


s.indicator (Function.const α x) ⁻¹' {x} = s


Context:
y z : ℝ
hyz : y < z
x : ℝ≥0
hx : 1 < ↑x


Context:
y z : ℝ
hyz : y < z
x : ℝ≥0
hx : 1 < x


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

(s ∪ t).dens + (s ∩ t).dens = s.dens + t.dens


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

(a :: l).sublists'.length = 2 ^ (a :: l).length


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g 0))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Context: I : Integrable φ μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Context: I : Integrable φ μ

∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, ∀ (x : F), 0 ≤ i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Context: I : Integrable φ μ

∀ (u : Set F), IsOpen u → 0 ∈ u → TendstoUniformlyOn (fun i x => i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) 0 atTop uᶜ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Context: I : Integrable φ μ

Tendsto (fun i => ∫ (x : F) in closedBall 0 1, i ^ finrank ℝ F * φ (i • x) ∂μ) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : BorelSpace α

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: g✝ : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ✝ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝² : MeasurableSpace F

Context: inst✝¹ : BorelSpace F

Context: μ : Measure F

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: φ : F → ℝ

Context: hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x

Context: h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1

Context: g : F → E

Context: hg : Integrable g μ

Context: h'g : ContinuousAt g 0

Context: I : Integrable φ μ

∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun x => i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) μ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
x : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
xy : IsCompl x y


(∃ a, IsAtom a ∧ a ≤ y) → ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
α : Type u_5
β : Type u_6
f : X → α
g : α → β
h : IsLocallyConstant (g ∘ f)
inj : Function.Injective g
s : Set α


IsOpen ((fun x => g (f x)) ⁻¹' (g '' s))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : ∀ (b : Pseudoelement S.X₂), pseudoApply S.g b = 0 → ∃ a, pseudoApply S.f a = b


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: this : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: ha : pseudoApply S.f a' = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha : pseudoApply S.f ⟦a⟧ = Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'

Context: Z : C

Context: r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left

Context: q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left

Context: w✝ : Epi r

Context: eq : Epi q

Context: comm : r ≫ ((fun g => app S.f g) a).hom = q ≫ (Over.mk (kernel.ι S.g)).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'

Context: Z : C

Context: r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left

Context: q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left

Context: w✝ : Epi r

Context: eq : Epi q

Context: z : Z ⟶ pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)

Context: left✝ : z ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = r ≫ a.hom ≫ Abelian.factorThruImage S.f

Context: hz₂ : z ≫ pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) = q


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'

Context: Z : C

Context: r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left

Context: q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left

Context: w✝ : Epi r

Context: eq : Epi q

Context: j : pullback (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) ⟶ kernel S.g := pullback.snd (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'

Context: Z : C

Context: r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left

Context: q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left

Context: w✝ : Epi r

Context: eq : Epi q

Context: pe : Epi j


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: this✝ : pseudoApply S.g (Quot.mk (PseudoEqual S.X₂) (Over.mk (kernel.ι S.g))) = 0

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'

Context: Z : C

Context: r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left

Context: q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left

Context: w✝ : Epi r

Context: eq : Epi q

Context: pe : Epi j

Context: this : IsIso j


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: a' : Pseudoelement S.X₁

Context: a : Over S.X₁

Context: ha' : ⟦a⟧ = a'

Context: Z : C

Context: r : Z ⟶ ((fun g => app S.f g) a).left

Context: q : Z ⟶ (Over.mk (kernel.ι S.g)).left

Context: w✝ : Epi r

Context: eq : Epi q

Context: pe : Epi j

Context: this : IsIso j

((asIso j).inv ≫ pullback.fst (kernel.ι (cokernel.π S.f)) (kernel.ι S.g) ≫ kernel.ι (cokernel.π S.f)) ≫ cokernel.π S.f = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)

Context: a : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a) ↔ ∃ b, derivFamily (o.familyOfBFamily f) b = a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi a ≤ a) ↔ ∀ (i : (Quotient.out o).α), o.familyOfBFamily f i a ≤ a


Context: o : Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{max u v}

∀ (i : (Quotient.out o).α), IsNormal (o.familyOfBFamily f i)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N

(f - g₁).neLocus (f - g₂) = g₁.neLocus g₂


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : α' → β → δ

Context: g' : α → α'

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b

g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g' '' ↑s) ↑t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ : Finset α
a : α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
f : F


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α

finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = (minpoly F α).natSepDegree


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: α : E

Context: halg : IsAlgebraic F α

Context: this : finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = Nat.card { x // x ∈ (minpoly F α).aroots (AlgebraicClosure ↥F⟮α⟯) }


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: α : E

Context: halg : IsAlgebraic F α

Fintype.card { x // x ∈ (minpoly F α).aroots (AlgebraicClosure ↥F⟮α⟯) } = Fintype.card { x // x ∈ ((minpoly F α).aroots (AlgebraicClosure ↥F⟮α⟯)).toFinset }


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s : Multiset α
a : α

∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (s.sup ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a) → ((a_1 ::ₘ s).sup ≤ a ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, b ≤ a)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: x : Ei 0

Context: m : (i : Fin n) → Ei i.succ

‖f‖ * ∏ i : Fin (n + 1), ‖Fin.cons x m i‖ = ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: x : Ei 0

Context: m : (i : Fin n) → Ei i.succ

‖f‖ * (‖Fin.cons x m 0‖ * ∏ i : Fin n, ‖Fin.cons x m i.succ‖) = ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
x : R
this : DecidableEq ι

(norm R) ((algebraMap R S) x) = x ^ Fintype.card ι


((toMatrix b b) ((lsmul R R S) x)).det = x ^ Fintype.card ι


(toMatrix b b) ((lsmul R R S) x) = diagonal fun x_1 => x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ

Chebyshev.T R ↑n = C ⅟2 * (dickson 1 1 n).comp (2 * X)


Chebyshev.T R ↑n = C ⅟2 * (↑2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * (2 * X)))


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : α → E

Context: hf : Continuous f

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : α → E

Context: hf : Continuous f

Context: a : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hf : f =O[l] g
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hf : f =O[l] g
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hf✝ : f =O[l] g

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hg✝ : IntegrableAtFilter g l μ

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: s : Set α

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hfg : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)

Context: hg : IntegrableOn g s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hf✝ : f =O[l] g

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hg✝ : IntegrableAtFilter g l μ

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: s : Set α

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hfg : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: hg : IntegrableOn g s μ

∀ᵐ (a : α) ∂μ.restrict s, ‖f a‖ ≤ ‖C * ‖g a‖‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: a b : α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated

Context: hf✝ : f =O[l] g

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ

Context: hg✝ : IntegrableAtFilter g l μ

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: s : Set α

Context: hsl : s ∈ l

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hfg : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C * ‖g x‖

Context: hg : IntegrableOn g s μ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

‖f x‖ ≤ ‖C * ‖g x‖‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊


∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ * ↑‖x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊


Measurable fun a => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
x✝ : Fin (n + 1)

x✝ ∈ ↑(Iio (last n)) ↔ x✝ ∈ ↑(map castSuccEmb univ)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
inst✝ : Fintype ι
h : iIndepSets π μ
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ π i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

∫ (a : α), (f a).toReal ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ).toReal


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: this : Encodable ι

(Measure.pi μ) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x

Context: f' : α → ℝ≥0∞

Context: hf'm : Measurable f'

Context: hle : f' ≤ f

Context: hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x

Context: f' : α → ℝ≥0∞

Context: hf'm : Measurable f'

Context: hle : f' ≤ f

∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x

Context: f' : α → ℝ≥0∞

Context: hf'm : Measurable f'

Context: hle : f' ≤ f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s : Set α

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x

Context: f' : α → ℝ≥0∞

Context: hf'm : Measurable f'

Context: hle : f' ≤ f

NullMeasurableSet {x | f' x ≤ g x} (μ.restrict s)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : StarRing R

Context: inst✝¹⁰ : MetricSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁸ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : Module R A

Context: inst✝³ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝² : SMulCommClass R A A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => -x) '' σₙ R a)) _auto✝

Context: h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → α
g : α → Set β

⋂ x, ⋂ y, ⋂ (_ : f y = x), g x = ⋂ y, g (f y)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

(C b * X + C c).degree < (C a * X ^ 2).degree


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
R₁ : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R₁ S
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : S
b : Basis ι R₁ S
w : ι → S
i✝ j✝ : ι

b.toMatrix (x • w) i✝ j✝ = ((Algebra.leftMulMatrix b) x * b.toMatrix w) i✝ j✝


((Algebra.leftMulMatrix b) x *ᵥ ⇑(b.repr (w j✝))) i✝ = ((Algebra.leftMulMatrix b) x * b.toMatrix w) i✝ j✝


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (ker f) (ker g)


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (ker f) (ker g)
x : V
hx : f x = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: hg : UnifIntegrable g p μ

Context: hp : 1 ≤ p


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ≤ I.lower i


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h✝ : I.lower i < x


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W✝ W : Subspace K V
x : Module.Dual K ↥W


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (y : F), ContDiff 𝕜 n fun x => (f x) y


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R

(∀ i ∈ Finset.univ, v i * star (v i) = 0) ↔ v = 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
h : LipschitzWith C f


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
h : LipschitzOnWith C f univ


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommSemigroup G
inst✝¹ : Add H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

W.φ 3 = C X * C W.Ψ₃ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: val✝¹ : α →ₘ[μ] E

Context: property✝¹ : val✝¹ ∈ Lp E p μ

Context: val✝ : α →ₘ[μ] E

Context: property✝ : val✝ ∈ Lp E p μ

Context: h : ↑↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ =ᶠ[ae μ] ↑↑⟨val✝, property✝⟩


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: val✝¹ : α →ₘ[μ] E

Context: property✝¹ : val✝¹ ∈ Lp E p μ

Context: val✝ : α →ₘ[μ] E

Context: property✝ : val✝ ∈ Lp E p μ


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nonempty n
M : Matrix n n R

M.trace = -M.charpoly.coeff (Fintype.card n - 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Ioc a b = Ico (b / c) (a / c)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq

(imageSubobjectIso (Arrow.mk f).hom).hom ≫ image.map sq = imageSubobjectMap sq ≫ (imageSubobjectIso g).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mul α
a b : α


Context:
α : Type u
n : ℕ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle

(o.kahler ((o.rotation θ) x)) y = ↑(-θ).expMapCircle * (o.kahler x) y


Context:
p n k : ℕ
p_large : n < p ^ 2


Context:
p k : ℕ
p_large : 0 < p ^ 2


Context:
p n k : ℕ
p_large : n < p ^ 2
hn0 : n ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A

Context: inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C

Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.110647, u_1} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A

Context: inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F

Context: inst✝³ : G.IsCoverDense J

Context: inst✝² : G.IsContinuous K J

Context: inst✝¹ : G.Full

Context: inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : P ⟶ Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: e : C ≌ D

Context: G : D ⥤ C

Context: A : Type u₃

Context: inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A

Context: inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C

Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.110647, u_1} B

Context: F : A ⥤ B

Context: inst✝³ : G.IsCoverDense J

Context: inst✝² : G.IsContinuous K J

Context: inst✝¹ : G.Full

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : P ⟶ Q

K.W (whiskerLeft G.op f) ↔ K.W.inverseImage ((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ζ : Type u_6

Context: r✝ : α → β → Prop

Context: p : β → γ → Prop

Context: q : γ → δ → Prop

Context: r : α → Prop → Prop

Context: this : (fun x x_1 => x ↔ x_1) = fun x x_1 => x = x_1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄

2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}

Context: hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁

Context: hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄

Context: hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁

Context: hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄

Context: s : Sphere P

Context: hs : {p₁, p₂, p₃, p₄} ⊆ Metric.sphere s.center s.radius

2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
s : Sphere P
hs : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ p₃ ∈ s ∧ p₄ ∈ s

2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α

limsup s atTop = {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}


{ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop} = {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α
ω : α

ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop} ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}


Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X


⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : {x} ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
x✝ : ℕ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z✝ : ι → E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1

a • s.centerMass w₁ z + b • s.centerMass w₂ z = s.centerMass (fun i => a * w₁ i + b * w₂ i) z


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z✝ : ι → E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
hw : ∑ i ∈ s, (a * w₁ i + b * w₂ i) = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α


b - -⌊(a + p - b) / p⌋ • p ∈ Set.Ioc a (a + p)


a < b + ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p ∧ 0 ≤ a + p - b - ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i : ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i : ι
this : ‖v i‖ ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h : a ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h : a ≤ c


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : IsEmpty ι


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: c : Cardinal.{v}

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: h0 : c ≠ 0

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: c : Cardinal.{v}

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: h0 : c ≠ 0

Context: hf : BddAbove (range f)


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: c : Cardinal.{v}

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: h0 : c ≠ 0

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: c : Cardinal.{v}

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: h0 : c ≠ 0

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)

Context: hs : ⨆ i, f i < ℵ₀


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: c : Cardinal.{v}

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: h0 : c ≠ 0

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)

Context: hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: c : Cardinal.{v}

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: h0 : c ≠ 0

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)

Context: hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i

⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i * c ∧ c ≤ ⨆ i, f i * c


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: c : Cardinal.{v}

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: h0 : c ≠ 0

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)

Context: hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i

Context: i : ι

Context: hi : 1 < f i


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y


𝟙_ C ◁ f = (𝟙_ C ◁ f ≫ (λ_ Y).hom) ≫ (λ_ Y).inv


Context:
α : Type u_1
f✝ : Filter α
β : Type u_2
inst✝¹ : Countable β
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
g : Filter β
u : α → β → ℝ≥0∞

∀ᶠ (a : α) in f, ∀ (b : β), u a b ≤ limsup (fun a' => u a' b) f


∀ (i : β), ∀ᶠ (x : α) in f, u x i ≤ limsup (fun a' => u a' i) f


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : MulOneClass M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : AddZeroClass A

Context: t : Set A

Context: S : Submonoid M

Context: s : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ closure s


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : MulOneClass M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : AddZeroClass A

Context: t : Set A

Context: S : Submonoid M

Context: s : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ closure s


Context:
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : m * n = 0


Context:
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this : NeZero (m * n)


Context:
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this✝ : NeZero (m * n)
this : NeZero m


Context:
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this✝¹ : NeZero (m * n)
this✝ : NeZero m
this : NeZero n


Fintype.card (ZMod (m * n))ˣ = Fintype.card (ZMod m)ˣ * Fintype.card (ZMod n)ˣ


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v

u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v + 1 - 1)) - v * (↑x ^ (u + 1 - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = F 1 - F 0


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: hF0 : F 0 = 0


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: hF0 : F 0 = 0

Context: hF1 : F 1 = 0


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: int_ev : (u * ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1) = 0

Context: hF0 : F 0 = 0

Context: hF1 : F 1 = 0


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = 0

Context: hF0 : F 0 = 0

Context: hF1 : F 1 = 0

IntervalIntegrable (fun y => u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v)) volume 0 1


Context: u v : ℂ

Context: hu : 0 < u.re

Context: hv : 0 < v.re

Context: hu' : 0 < (u + 1).re

Context: hv' : 0 < (v + 1).re

Context: hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)

Context: hF0 : F 0 = 0

Context: hF1 : F 1 = 0

IntervalIntegrable (fun y => v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1))) volume 0 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom


(a.bind fun y => map (fun x => y ∩ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ∩ b.get ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
_l : List α

count a (filter p (Quot.mk Setoid.r _l)) = count a (Quot.mk Setoid.r _l)


List.count a (List.filter (fun b => decide (p b)) _l) = List.count a _l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
x₀ : E'
m : ℕ
h : 1 < m

(fun x => ‖x - x₀‖ ^ m) =o[𝓝 x₀] fun x => x - x₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞

(f + g).lintegral μ = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}))


∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 + x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}))


∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})


∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) = (map Prod.fst (f.pair g)).lintegral μ + (map Prod.snd (f.pair g)).lintegral μ


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → IntermediateField F E

Context: h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⨆ i, f i

∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⨆ i, f i

Context: i : ι

f i ≤ ⨆ i, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⨆ i, f i

Context: i : ι

Context: x1 : E

Context: hx1 : x1 ∈ f i

x1 ∈ ⨆ i, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⨆ i, f i

Context: i : ι

Context: x1 : E

Context: hx1 : x1 ∈ f i

adjoin F ((minpoly F x1).rootSet E) ≤ adjoin F ((minpoly F ⟨i, ⟨x1, hx1⟩⟩.snd).rootSet E)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: ι : Type u_3

Context: f : ι → IntermediateField F E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ ⨆ i, f i

Context: i : ι

Context: x1 : E

Context: hx1 : x1 ∈ f i


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
not_field : ¬IsField R
h : M = ⊥
_h1 : ⊥ ≠ ⊤
h2 : ∀ (b : Ideal R), ⊥ < b → b = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
not_field : ¬IsField R
h : M = ⊥
_h1 : ⊥ ≠ ⊤
h2 : ∀ (b : Ideal R), ⊥ < b → b = ⊤
I : Ideal R
hIbot : ⊥ < I
hItop : I < ⊤


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C


Context:
w x y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y

(orderIsoRpow y hy).symm = orderIsoRpow (1 / y) ⋯


Context:
w x y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y

(StrictMono.orderIsoOfRightInverse (fun x => x ^ y) ⋯ (fun x => x ^ (1 / y)) ⋯).symm = StrictMono.orderIsoOfRightInverse (fun x => x ^ (1 / y)) ⋯ (fun x => x ^ y) ⋯


Context: n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
hf : 0 ≤ f
hts : t = insert a s
ht : t ∈ 𝒜


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
f : Fin 0 → α


Context:
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0

‖(↑‖x‖)⁻¹ • x‖ = 1


Context: n : ℕ

↑(Nat.fib (n + 1)) - φ * ↑(Nat.fib n) = ψ ^ n


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
nz : √5 ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α = 0


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r


Context:
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
this : IsWellOrder α r


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0


‖x‖ ^ 2 + 2 * (‖x‖ * ‖y‖) + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N

((liftLie R L M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n


Context:
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
n : ℕ
f : MulRingNorm R


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E

φ (o.rightAngleRotation x) = o.rightAngleRotation (φ x)


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β

s ⊆ ⇑e.symm '' t ↔ ⇑e.symm.symm '' s ⊆ t


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f

S.map (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow.unop ≫ S.map (Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).inv.unop ≫ (unop P).hom = A.hom


S.map ((Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).inv ≫ (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow).unop ≫ (unop P).hom = A.hom


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T


(p.toSubring T hp).coeff p.natDegree = 1 ↔ ↑((p.toSubring T hp).coeff p.natDegree) = 1


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f ρ

(∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst ↔ Integrable f ρ


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : α × Ω → F

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : α × Ω → F

(∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst ↔ Integrable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-1) 1


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module S✝ M
inst✝⁴ : SMul S✝ R
inst✝³ : IsScalarTower S✝ R M
p q : Submodule R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝² : Ring R'
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R' M'
S T : Submodule R' M'
s t : M'
hs : s ∈ S
ht : t ∈ T


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace B

Context: e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet)

Context: L : F₁ →SL[σ] F₂

Context: v : F₁

((continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂' b) L) v = (↑(continuousLinearMap σ e₁' e₂') { proj := b, snd := (continuousLinearMap σ e₁ e₂).symm b L }).2 v


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'

Context: b : B

Context: L : F₁ →SL[σ] F₂

Context: v : F₁

(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b) (L ((Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b) v)) = (Trivialization.linearMapAt 𝕜₂ e₂' b) (e₂.symm b (L ((Trivialization.linearMapAt 𝕜₁ e₁ b) (e₁'.symm b v))))


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: iσ : RingHomIsometric σ

Context: B : Type u_3

Context: F₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁

Context: E₁ : B → Type u_5

Context: inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)

Context: inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)

Context: F₂ : Type u_6

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂

Context: E₂ : B → Type u_7

Context: inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)

Context: inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂

Context: inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁

Context: inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'

Context: b : B

Context: L : F₁ →SL[σ] F₂

Context: v : F₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a < b
hc : 0 < c


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K

∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R

(M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n - 1)


(∑ x ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ i : n, M.charmatrix (x i) i + ↑↑(Equiv.Perm.sign (Equiv.refl n)) * ∏ i : n, M.charmatrix ((Equiv.refl n) i) i - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑(Fintype.card n - 1)


(∑ x ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ i : n, M.charmatrix (x i) i).degree < ↑(Fintype.card n - 1)


∑ x ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ i : n, M.charmatrix (x i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)


∀ c ∈ univ.erase (Equiv.refl n), ↑↑(Equiv.Perm.sign c) * ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)

↑↑(Equiv.Perm.sign c) * ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)


↑↑(Equiv.Perm.sign c) • ∏ i : n, M.charmatrix (c i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)


∏ i : n, M.charmatrix (c i) i ∈ degreeLT R (Fintype.card n - 1)


(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).degree < ↑(Fintype.card n - 1)


↑(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).natDegree < ↑(Fintype.card n - 1)


(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).natDegree < Fintype.card n - 1


(∏ i : n, M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ (filter (fun x => c x = x) univ).card


∑ i : n, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ (filter (fun x => c x = x) univ).card


∑ i : n, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ ∑ x ∈ filter (fun x => c x = x) univ, 1


∑ i : n, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ ∑ a : n, if c a = a then 1 else 0


∀ i ∈ univ, (M.charmatrix (c i) i).natDegree ≤ if c i = i then 1 else 0


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
c : n ≃ n
hc : c ∈ univ.erase (Equiv.refl n)
i✝ : n
a✝ : i✝ ∈ univ

(M.charmatrix (c i✝) i✝).natDegree ≤ if c i✝ = i✝ then 1 else 0


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
f : M ≃[L] N
n : N


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Finite m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
b : Basis l R M₁
b' : Basis l R M₂
i j : l

(toMatrix b' b) (↑(b'.equiv b (Equiv.refl l))) i j = 1 i j


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hn : n ≠ 2
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
hn : n ≠ 2
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p

((expand R (p ^ n)) f).roots = p ^ n • Multiset.map (⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm) f.roots


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x + y) y).sin * ‖x + y‖ = ‖x‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle y (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖x‖


((-o).oangle y (y + x)).sin * ‖y + x‖ = ‖x‖


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N

(f.lift hg) z * g ↑(f.sec z).2 = g (f.sec z).1