g (s1 • y + s2 • y) = g (s1 • y) + g (s2 • y)


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y : ↑Y
r : R
s : S


g (↑f.toMonoidWithZeroHom r • s • y) = g (r • s • y)


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
y1 y2 : ↑Y
s : S

((fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (y1 + y2)) s = ((fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) y1 + (fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) y2) s


g (s • (y1 + y2)) = ({ toFun := fun s => g (s • y1), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } + { toFun := fun s => g (s • y2), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) s


g (s • (y1 + y2)) = { toFun := fun s => g (s • y1), map_add' := ⋯ } s + { toFun := fun s => g (s • y2), map_add' := ⋯ } s


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (restrictScalars f).obj Y ⟶ X
s : S
y : ↑Y
t : S

({ toFun := fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (s • y)) t = ((RingHom.id S) s • { toFun := fun y => { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun y) t


g (t • s • y) = (s • { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) t


g (t • s • y) = { toFun := fun s => g (s • y), map_add' := ⋯ } (t * s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f' f g : α →ₘ[μ] β
hf : f' ≤ f
hg : f' ≤ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f' f g : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑f
hg : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f' f g : α →ₘ[μ] β
hf : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑f
hg : ↑f' ≤ᶠ[ae μ] ↑g
a✝ : α
haf : ↑f' a✝ ≤ ↑f a✝
hag : ↑f' a✝ ≤ ↑g a✝
ha_inf : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝


↑f' a✝ ≤ ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β

image2 f s (⋂ i, ⋂ j, t i j) ⊆ ⋂ i, ⋂ j, image2 f s (t i j)


∀ x ∈ s, ∀ (y : β), (∀ (i : ι) (i_1 : κ i), y ∈ t i i_1) → ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f x y ∈ image2 f s (t i i_1)


Context: θ : Angle

θ - ↑π = θ + ↑π


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ


integral μ (Xp * Yp - Xm * Yp - (Xp * Ym - Xm * Ym)) = integral μ (Xp - Xm) * integral μ (Yp - Ym)


integral μ Xp * integral μ Yp - integral μ Xm * integral μ Yp - (integral μ Xp * integral μ Ym - integral μ Xm * integral μ Ym) = (∫ (a : Ω), Xp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Xm a ∂μ) * (∫ (a : Ω), Yp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Ym a ∂μ)


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
x✝ : NormalWord d

unitsSMul φ (-1) (unitsSMul φ 1 x✝) = x✝


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d


Context: x y : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: b : β


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν

(fun x => rexp (-llr μ ν x)) =ᶠ[ae μ] fun x => (ν.rnDeriv μ x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: x : α

Context: hx : (-llr μ ν) x = llr ν μ x

Context: hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal

rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: x : α

Context: hx : -llr μ ν x = llr ν μ x


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: G : C ⥤ TopCat

Context: X : Type w'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : (Z B : C) → (π : Z ⟶ B) → [inst : EffectiveEpi π] → PreservesLimit (cospan π π) G

Context: hq : ∀ (Z B : C) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(G.map π)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: G : C ⥤ TopCat

Context: X : Type w'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

∀ (X_1 B : C) (π : X_1 ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π] [inst : HasPullback π π], Function.Bijective (MapToEqualizer (yonedaPresheaf G X) π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : Ring S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: A₁ : Type u_8

Context: B₁ : Type u_9

Context: A₂ : Type u_10

Context: B₂ : Type u_11

Context: inst✝⁵ : CommRing A₁

Context: inst✝⁴ : Ring B₁

Context: inst✝³ : CommRing A₂

Context: inst✝² : Ring B₂

Context: inst✝¹ : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)

Context: x✝ : B₁

Context: c : A₁

Context: x : B₂

((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c * x = x * ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : Ring S

Context: inst✝¹³ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹² : Field K

Context: inst✝¹¹ : Field L

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Algebra K L

Context: inst✝⁸ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra K E

Context: A₁ : Type u_8

Context: B₁ : Type u_9

Context: A₂ : Type u_10

Context: B₂ : Type u_11

Context: inst✝⁵ : CommRing A₁

Context: inst✝⁴ : Ring B₁

Context: inst✝³ : CommRing A₂

Context: inst✝² : Ring B₂

Context: inst✝¹ : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: x✝ : B₁

Context: c : A₁

Context: x : B₂

e₂.symm (((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c * x) = e₂.symm (x * ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Nonempty γ
f : γ → α
inst✝ : Finite β
D : Directed r f
g : β → γ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: f✝ g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: f : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: r : α

Context: hr0 : 0 ≤ r

Context: hr1 : r < 1

Context: h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)

IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: f✝ g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: f : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: r : α

Context: hr0 : 0 ≤ r

Context: hr1 : r < 1

Context: har1 : |r| < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: f✝ g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: f : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: r : α

Context: hr0 : 0 ≤ r

Context: hr1 : r < 1

Context: har1 : |r| < 1

Context: m : ℕ

Context: hmn : n.succ ≤ m

abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: f✝ g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: f : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: r : α

Context: hr0 : 0 ≤ r

Context: hr1 : r < 1

Context: har1 : |r| < 1

Context: m : ℕ

Context: hmn : n.succ ≤ m

Context: hr : 0 < r

Context: k : ℕ

Context: hk : m - n.succ = k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: f✝ g : ℕ → β

Context: a : ℕ → α

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: f : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: r : α

Context: hr0 : 0 ≤ r

Context: hr1 : r < 1

Context: har1 : |r| < 1

Context: m : ℕ

Context: hmn : n.succ ≤ m

Context: hr : 0 < r

Context: k : ℕ

Context: hk : m = k + n.succ


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newHead : α
rel : r newHead p.head

((singleton r newHead).append p rel).last = p.last


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r

(s.sup p).ball x ↑r = ⋂ i ∈ s, (p i).ball x ↑r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
h : T.IsFormalAdjoint S
x✝² : ↥S.domain
x✝¹ : ↥T†.domain
hxy : ↑x✝² = ↑x✝¹
x✝ : ↥T.domain

⟪↑S x✝², ↑x✝⟫_𝕜 = ⟪↑x✝¹, ↑T x✝⟫_𝕜


Context:
α : Type u
β : α → Type v
m : Multiset ((a : α) × β a)
l : List ((a : α) × β a)

(keys (Quot.mk Setoid.r l)).Nodup ↔ NodupKeys (Quot.mk Setoid.r l)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : β → α
s : Multiset β
l : List β

filter p (map f (Quot.mk Setoid.r l)) = map f (filter (p ∘ f) (Quot.mk Setoid.r l))


List.map f (List.filter ((fun b => decide (p b)) ∘ f) l) ~ List.map f (List.filter (fun b => decide (p (f b))) l)


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : (i : ι) → s i
u : s i →ₗ[R] t i
j : ι

(update f i u j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (u (x i)) j


Context:
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : α
y : Quotient s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p b < multiplicity p a

multiplicity p (a + b) = multiplicity p b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p b < multiplicity p a

multiplicity p (a + b) ≤ multiplicity p b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p b < multiplicity p a

multiplicity p b ≤ multiplicity p (a + b)


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
r : R
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

(((mk R M N).compr₂ (map (r • f) g)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (r • map f g)) x✝¹) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α


Context:
a n : ℕ
ha : a ∈ n.bitIndices


Context:
a n : ℕ
ha : a ∈ n.bitIndices

2 ^ a ≤ (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: x y : L

Context: m : M

Context: k : ℕ

Context: ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)

Context: hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1

(⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k + 1] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * (k + 1))


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: x y : L

Context: m : M

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1

⁅x, ⁅y, (⇑((toEnd R L M) x) ∘ ⇑((toEnd R L M) y))^[k] m⁆⁆ ∈ ⁅⊤, ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M (2 * k)⁆⁆


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: x y : L

Context: m : M

Context: k : ℕ

Context: hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1

⁅y, (⇑((toEnd R L M) x) ∘ ⇑((toEnd R L M) y))^[k] m⁆ ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M (2 * k)⁆


Context:
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
α' : Type u_6
ι : Type u_7
f : α → α'
l : Line α ι
x : α

(fun x i => ((map f l).idxFun i).getD x) (f x) = f ∘ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
x : R
hxI : x ∈ I
hx : ‖1 - x‖ < 1
u : Rˣ := Units.oneSub (1 - x) hx


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)

Context: p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hn : 2 ∣ n


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hn : 2 ∣ n

Context: key : (p.rootSet ℂ).toFinset.card = (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hn : 2 ∣ n

Context: key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: p_roots1 : 1 ≤ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

Context: p_roots2 : ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card ≤ 3

Context: hn : 2 ∣ n


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hn : 2 ∣ n

((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card = 2


Context: p : ℚ[X]

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hn : 2 ∣ n

Context: k : ℕ

Context: h2 : 1 ≤ 2 * k

Context: h3 : 2 * k ≤ 3


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m α
B : Matrix n m α
hA : A.IsHermitian


Context: cs cs' : List Char

{ data := cs ++ cs' }.next { byteIdx := utf8Len cs } = { byteIdx := utf8Len cs + (cs'.headD default).utf8Size }


Context: cs cs' : List Char

{ byteIdx := utf8Len cs } + cs'.headD default = { byteIdx := utf8Len cs + (cs'.headD default).utf8Size }


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝¹ : H.IsCommutative

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: α β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: hH : H.Normal

Context: g : Gᵐᵒᵖ

Context: this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex

Context: ϕ : ↥H →* ↥H := { toFun := fun h => ⟨(unop g)⁻¹ * ↑h * unop g, ⋯⟩, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }

diff (MonoidHom.id ↥H) (g • α) (g • β) = ⟨(unop g)⁻¹ * ↑(diff (MonoidHom.id ↥H) α β) * unop g, ⋯⟩


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝¹ : H.IsCommutative

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: α β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: hH : H.Normal

Context: g : Gᵐᵒᵖ

Context: x : G ⧸ H

(MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) x))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) x), ⋯⟩ = ϕ ((MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x)))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x)), ⋯⟩)


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
r : R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ

↑z - ↑⌊↑z⌋ = 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
s : Set α
a : α

(∀ (i : Set α), i ∈ b ∧ a ∈ i → (i ∩ s).Nonempty) ↔ ∀ o ∈ b, a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝³ : Monoid β

Context: inst✝² : Monoid γ

Context: inst✝¹ : FunLike F β γ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

Context: comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯

(s.erase a).noncommProd f comm' * f a = s.noncommProd f comm


Context:
x✝ y z x : ℝ
h : x ≠ 0


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E

A = adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: A : E →L[𝕜] F

Context: B : F →L[𝕜] E

Context: h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: A : E →L[𝕜] F

Context: B : F →L[𝕜] E

Context: x : E


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
h : ∀ (g : G), orderOf g ∣ 2
a b : G


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
a b : G
h : ∀ (g : G), g ^ 2 = 1


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
k : R
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

(z₁.comp (k • z₂) h).v p q hpq = (k • z₁.comp z₂ h).v p q hpq


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
hm : Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m

⇑m '' (⇑m ⁻¹' (s * t)) = ⇑m '' (⇑m ⁻¹' s * ⇑m ⁻¹' t)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0

HasDerivWithinAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) s x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : ExteriorAlgebra R M

(liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) v = (g ∘ₗ liftAlternating f) v


(liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) v = g ((liftAlternating f) v)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
r : R
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

(liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) ((algebraMap R (CliffordAlgebra 0)) r) = g ((liftAlternating f) ((algebraMap R (CliffordAlgebra 0)) r))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: N' : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : AddCommGroup N'

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module R N'

Context: g : N →ₗ[R] N'

Context: x y : CliffordAlgebra 0

Context: hx : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) x = g ((liftAlternating f) x)

Context: hy : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) y = g ((liftAlternating f) y)

Context: f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

(liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) (x + y) = g ((liftAlternating f) (x + y))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: N' : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : AddCommGroup N'

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : Module R N'

Context: g : N →ₗ[R] N'

Context: x : CliffordAlgebra 0

Context: m : M

Context: f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

(liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) ((CliffordAlgebra.ι 0) m * x) = g ((liftAlternating f) ((CliffordAlgebra.ι 0) m * x))


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q

(contractLeft d) ((contractLeft d) x) = 0


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

(contractLeft d) ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = 0


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: d d' : Module.Dual R M

Context: x y : CliffordAlgebra Q

Context: hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) x) = 0

Context: hy : (contractLeft d) ((contractLeft d) y) = 0

(contractLeft d) ((contractLeft d) (x + y)) = 0


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: d d' : Module.Dual R M

Context: m : CliffordAlgebra Q

Context: x : M

Context: hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) m) = 0

(contractLeft d) ((contractLeft d) ((ι Q) x * m)) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁷ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁶ : MetricSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : SecondCountableTopology β
inst✝² : HasBesicovitchCovering β
ρ μ : Measure β
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

∀ᵐ (x : β) ∂μ, Tendsto (fun r => ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : HasBesicovitchCovering α

Context: inst✝⁶ : MetricSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology β

Context: inst✝² : HasBesicovitchCovering β

Context: ρ μ : Measure β

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: x : β

Context: hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))

Tendsto (fun r => ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h0 : 0 < a ^ 0


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: this : NumberField K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: this : NumberField K

Context: pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: this : NumberField K

(algebraMap ℤ ℚ) (NumberField.discr K) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: this : NumberField K

Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K pB₁.basis) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: this : NumberField K

Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K pB₁.basis) = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V
this : ℵ₀ ≤ Module.rank K V


lift.{uK, uV} (Module.rank K V) = Module.rank K (V →ₗ[K] K)


Context: R : Type uR

Context: M : Type uM

Context: K : Type uK

Context: V : Type uV

Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R M

Context: inst✝³ : _root_.Finite ι

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)

Context: e : V ≃ₗ[K] Dual K V

Context: this✝ : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

Context: this : lift.{max uK uV, uV} (Module.rank K V) = lift.{uV, max uK uV} (Module.rank K (Dual K V))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz : 0 < z.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz : 0 < z.re

Context: n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz : 0 < z.re

Context: n : ℕ

∃ c < 2, ∃ B, g n =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b C✝ : ℝ

Context: f g✝ : ℂ → E

Context: z✝ : ℂ

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

Context: z : ℂ

Context: hz : 0 < z.re

Context: n : ℕ

Context: y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ

Tendsto (fun i => ∫ (x : γ) in A, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a))


Tendsto (fun i => eLpNorm ((fun i x => κ.densityProcess ν i a x s) i - fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a)) atTop (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
n : ℕ

eLpNorm ((fun x => κ.densityProcess ν n a x s) - Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a) = eLpNorm ((fun i x => κ.densityProcess ν i a x s) n - fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a)


(fun x => κ.densityProcess ν n a x s) - Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a) =ᶠ[ae (ν a)] (fun i x => κ.densityProcess ν i a x s) n - fun x => κ.density ν a x s


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: this✝ : PreservesLimit (parallelPair S.g 0) F

Context: this : PreservesColimit (parallelPair h.f' 0) F


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0

Context: hi : IsLimit ((KernelFork.ofι h.i ⋯).map F)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0

Context: f' : F.obj S.X₁ ⟶ F.obj h.K := hi.lift (KernelFork.ofι (S.map F).f ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0

Context: hf' : f' = F.map h.f'


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.12795, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.12799, u_2} D

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: S S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : h.IsPreservedBy F

Context: wi : F.map h.i ≫ F.map S.g = 0

Context: hf' : f' = F.map h.f'

Context: wπ : f' ≫ F.map h.π = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Colex α

s ≤ t ↔ ↑s.ofColex \ ↑t.ofColex ⊆ ↑(lowerClosure (↑t.ofColex \ ↑s.ofColex))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
x y : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hx : x ≠ []


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
head✝ : α
tail✝ : List α
hx✝ : head✝ :: tail✝ ≠ []
h : head✝ :: tail✝ <+: []
hx : ¬False


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
head✝¹ : α
tail✝¹ : List α
head✝ : α
tail✝ : List α
h : head✝¹ :: tail✝¹ <+: head✝ :: tail✝
hx : ¬False


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, Measurable (F n)

Context: h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) l (𝓝 (f a))

Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Tendsto ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: h : {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x} ∈ l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

Context: h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => Measurable (F n)) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F n a ≤ bound a) x}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

Tendsto (fun n => ((fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) ∘ x) (n + k)) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

∀ (n : ℕ), F (x (n + k)) ≤ᶠ[ae μ] ?intro.refine_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: F : ι → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: x : ℕ → ι

Context: xl : Tendsto x atTop l

Context: hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

Context: k : ℕ

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a))


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ

Context: s t : Set α

Context: hst : s =ᶠ[ae (comap f μ)] t


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s t : Set α

Context: hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s t : Set α

Context: hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0

Context: h_eq_α : {a | ¬s a = t a} = s \ t ∪ t \ s


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s t : Set α

Context: hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0

Context: h_eq_β : {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = f '' s \ f '' t ∪ f '' t \ f '' s


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s t : Set α

Context: hst : (comap f μ) {a | ¬s a = t a} = 0

Context: h_eq_β : {a | ¬(f '' s) a = (f '' t) a} = f '' (s \ t ∪ t \ s)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s t : Set α

Context: hst : (comap f μ) (s \ t ∪ t \ s) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → β
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
h_zero : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤

Integrable (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Ioc a b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : RegularSpace β

Context: f : α → β

Context: a b : α

Context: lb : β

Context: hab : a < b

Context: hf : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

Context: this : ContinuousOn f (Ioo b a) → Tendsto f (𝓝[>] b) (𝓝 lb) → ContinuousOn (extendFrom (Ioo b a) f) (Ico b a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : RegularSpace β

Context: f : α → β

Context: a b : α

Context: lb : β

Context: hab : a < b

Context: hf : ContinuousOn f (Ioo a b)

Context: hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

Context: this : ContinuousOn f (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioo a b) → Tendsto f (𝓝[⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Iio b] b) (𝓝 lb) → ContinuousOn (extendFrom (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioo a b) f) (⇑OrderDual.ofDual ⁻¹' Ioc a b)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

fderiv 𝕜 (fun y => f y + c) x = fderiv 𝕜 f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a = c + b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → β
x✝ : List α

Forall₂ R x✝ (map f []) ↔ Forall₂ (fun a c => R a (f c)) x✝ []


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → β
x✝ : List α
b : γ
u : List γ

Forall₂ R x✝ (map f (b :: u)) ↔ Forall₂ (fun a c => R a (f c)) x✝ (b :: u)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : IsOpenMap f
s : Set β
t : Set ↑(f ⁻¹' s)

IsOpen t → IsOpen (s.restrictPreimage f '' t)


∀ (u : Set α), IsOpen u → Subtype.val ⁻¹' u = t → ∃ v, IsOpen v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = s.restrictPreimage f '' t


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n + 1

Context: ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

Context: ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ

Context: t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ

Context: card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ

Context: card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n

Context: f'' : ↑ι'' → α

Context: hf'' : Function.Injective f''

Context: hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ

Context: card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n

Context: f'' : ↑ι'' → α

Context: hf'' : Function.Injective f''

Context: hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x

Context: f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t


Context: ι : Type u

Context: α : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: t : ι → Finset α

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

Context: hn : Fintype.card ι = n.succ

Context: s : Finset ι

Context: hs : s.Nonempty

Context: hns : s ≠ univ

Context: hus : s.card = (s.biUnion t).card

Context: this : DecidableEq ι

Context: f' : { x // x ∈ s } → α

Context: hf' : Function.Injective f'

Context: ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ

Context: card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n

Context: f'' : ↑ι'' → α

Context: hf'' : Function.Injective f''

Context: hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x

Context: f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R
h : s ⊆ t


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C ⥤ D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C × D
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2 }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2 }.map f ≫ { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2 }.map g


(F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.map g.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map f.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2 = (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2


(F.map f.1).app X✝.2 ≫ ((F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2) ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2 = (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2


Context:
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y

((fun F => { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }) X✝).map f ≫ (fun X => (T.app X.1).app X.2) Y = (fun X => (T.app X.1).app X.2) X ≫ ((fun F => { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }) Y✝).map f


(X✝.map f.1).app X.2 ≫ (X✝.obj Y.1).map f.2 ≫ (T.app Y.1).app Y.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2


(X✝.map f.1).app X.2 ≫ (T.app Y.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2


((T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2) ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕


(∀ (x y : E), ‖f (x / y)‖ = ‖x / y‖) ↔ ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖x‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
a : ℕ →o α
n m : ℕ
h : n ≤ m


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ₁ : S₁ ⟶ S₂

Context: φ₂ : S₂ ⟶ S₃

Context: h₁ : S₁.RightHomologyData

Context: h₂ : S₂.RightHomologyData

Context: h₃ : S₃.RightHomologyData

Context: γ₁ : RightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂

Context: γ₂ : RightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := rightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

rightHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = rightHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' φ₂ h₂ h₃


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocMod hp a (b - m • p) = toIocMod hp a b


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V

G.dist u v = 0 ↔ u = v ∨ ¬G.Reachable u v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite α
f : α → β

Bijective f ↔ Surjective f ∧ Nat.card α = Nat.card β


Context:
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
i : Fin n
j : Fin m


Context:
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α

ofFn f = (ofFn fun i => ofFn fun j => f ⟨m * ↑i + ↑j, ⋯⟩).join


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.22527, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.22527, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.Rel x✝³ x✝²

(fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : AddMonoid A

Context: inst✝³ : HasShift C A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂

Context: a : A

Context: X : C

(natTransLift r (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).hom).app ((functor r).obj X) = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : AddMonoid A

Context: inst✝³ : HasShift C A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: a : A

Context: X : C

(((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).hom.app X = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: r : HomRel C

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : AddMonoid A

Context: inst✝³ : HasShift C A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A

Context: inst✝ : F.CommShift A

Context: a : A

Context: X : C

𝟙 ((lift r F hF).obj ((shiftFunctor (Quotient r) a).obj ((functor r).obj X))) ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ 𝟙 ((lift r F hF).obj ((functor r).obj ((shiftFunctor C a).obj X))) ≫ 𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a).obj X)) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X ≫ (shiftFunctor D a).map (𝟙 (F.obj X)) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor D a).obj ((lift r F hF).obj ((functor r).obj X))) = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M

x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ c, ∑ i : α, c i • v i = x


x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ x_1, ∑ i : α, Finsupp.equivFunOnFinite x_1 i • v i = x


(∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = x) ↔ ∃ x_1, ∑ x : α, x_1 x • v x = x


Context:
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
x : F

x ∈ ⇑f '' openSegment 𝕜 a b ↔ x ∈ openSegment 𝕜 (f a) (f b)


Context:
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)

Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝[>] a)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)
h₁ : Tendsto f l (𝓝 a)
h₂ : ∀ᶠ (i : β) in l, f i ∈ Ioi a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x

DifferentiableAt 𝕜' f x ↔ ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderiv 𝕜 f x


DifferentiableWithinAt 𝕜' f univ x ↔ ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f univ x


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: x✝ : Cᵒᵖ

(J.plusMap (η ≫ γ)).app x✝ = (J.plusMap η ≫ J.plusMap γ).app x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: γ : Q ⟶ R

Context: x✝ : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop x✝))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ (J.plusMap (η ≫ γ)).app x✝ = colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ (J.plusMap η ≫ J.plusMap γ).app x✝


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n

b.flag k.succ = span R {b k} ⊔ b.flag k.castSucc


span R (⇑b '' {i | i.castSucc < k.succ}) = span R {b k} ⊔ span R (⇑b '' {i | i < k})


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E

(uniqueBaseOn I E).Basis J X ↔ J = X ∩ I


J ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I_1 | (uniqueBaseOn I E).Indep I_1 ∧ I_1 ⊆ X} ↔ J = X ∩ I


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
φ : P ⟶ Q

Sheaf.IsLocallySurjective ((presheafToSheaf J A).map φ) ↔ IsLocallySurjective J φ


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℤ

teichmullerFun p (x * y) = teichmullerFun p x * teichmullerFun p y


(map (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ))) (teichmullerFun p (x * y)) = (map (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ))) (teichmullerFun p x * teichmullerFun p y)


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
h : x ∈ Module.annihilator R M


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
h : ∀ (m : M), x • m = 0


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
h : ∀ (m : M), x • m = 0
m : M


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖


‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : InnerProductSpaceable E

Context: y z : E

Context: h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)


Context: α : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : LinearOrder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : R →* M

Context: x y : R


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CokernelCofork f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f₀ f₁ : α → β
g : α → ℝ
hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₀_i : Integrable f₀ μ
hg_i : Integrable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a

∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + g a


∀ (x : α), ‖f₀ x - f₁ x‖ ≤ g x → ‖f₁ x‖ ≤ ‖f₀ x‖ + g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f₀ f₁ : α → β
g : α → ℝ
hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₀_i : Integrable f₀ μ
hg_i : Integrable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a
a : α
ha : ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a

‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + g a


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
n : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R M

Context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R N

Context: hxy : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y

Context: n : ℤ

Submodule.Quotient.mk (n • x) = Submodule.Quotient.mk (n • y)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f f' : α → E

Context: s : Set α

Context: h : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → edist (f x) (f' x) = 0

Context: p : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }

Context: i : ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : Fin 1 → E

(iteratedFDeriv 𝕜 1 f x) m = (fderiv 𝕜 f x) (m 0)


(fderiv 𝕜 f x) (m (last 0)) = (fderiv 𝕜 f x) (m 0)


Context:
n p k : ℕ
hp : Prime p
hk : k ≠ 0


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k →+* K
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : k


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E

affineSpan 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) = affineSpan 𝕜 s


affineSpan 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ≤ affineSpan 𝕜 s


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
a b : E


Context:
R S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FormallyUnramified R S
inst✝ : EssFiniteType R S
s : S

1 ⊗ₜ[R] s * elem R S = s ⊗ₜ[R] 1 * elem R S


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
x✝ : m


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length

(take (i + 1) c.blocks).sum = (take i c.blocks).sum + c.blocks[i]


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : HasFDerivAt f f₀' x
h₁ : HasFDerivAt f f₁' x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : HasFDerivWithinAt f f₀' univ x
h₁ : HasFDerivWithinAt f f₁' univ x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
g : α → γ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith Kf f s
hg : LipschitzOnWith Kg g s
x✝ : α
hx : x✝ ∈ s
y✝ : α
hy : y✝ ∈ s

edist ((fun x => (f x, g x)) x✝) ((fun x => (f x, g x)) y✝) ≤ ↑(max Kf Kg) * edist x✝ y✝


max (edist ((fun x => (f x, g x)) x✝).1 ((fun x => (f x, g x)) y✝).1) (edist ((fun x => (f x, g x)) x✝).2 ((fun x => (f x, g x)) y✝).2) ≤ max (↑Kf * edist x✝ y✝) (↑Kg * edist x✝ y✝)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h0 : P 0

Context: h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x

Context: hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)

Context: hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)

Context: this : DecidableEq α := Classical.decEq α


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h0 : P 0

Context: h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x

Context: P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h0 : P 0

Context: h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x

Context: this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

Context: this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h0 : P 0

Context: h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: this✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h0 : P 0

Context: h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

P (∏ m ∈ (normalizedFactors a).toFinset, id m ^ Multiset.count m (normalizedFactors a))


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h0 : P 0

Context: h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x

Context: ha0 : ¬a = 0

Context: this✝ : Nontrivial α

∀ p ∈ normalizedFactors a, ∀ q ∈ normalizedFactors a, p ∣ q → p = q


Context:
p n : ℕ
hp : Prime p
h : ¬p ∣ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: x : β

Context: h : LeftInverse f g

Context: hf : ContinuousWithinAt f (range g) (g x)

Context: hg : ContinuousAt g x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Sort w
s : ι → Set α
x : Set α


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)


(∃! a, a ∈ (G'.neighborSet v).toFinset) ↔ ∃! w, G'.Adj v w


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
a : F.A
x : F.B a → F.M
i : F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head


∀ (i_1 : ℕ), ((M.mk ⟨a, x⟩).children i).approx i_1 = (x (cast ⋯ i)).approx i_1


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)

Context: inst✝ : Fintype ι


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: this : (fun x => ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x.1, (WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x.2)) = id


Context: x y : ℝ

expMapCircle x = expMapCircle y ↔ ∃ m, x = y + ↑m * (2 * π)


Context: x y : ℝ

(∃ n, ↑x * I = ↑y * I + ↑n * (2 * ↑π * I)) ↔ ∃ m, x = y + ↑m * (2 * π)


Context:
x y : ℝ
n : ℤ

↑x * I = ↑y * I + ↑n * (2 * ↑π * I) ↔ x = y + ↑n * (2 * π)


Context:
x y : ℝ
n : ℤ

↑x = ↑y + ↑n * (2 * ↑π) ↔ x = y + ↑n * (2 * π)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i

Context: s : Finset ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: h : f ≤ g

Context: a : ι

Context: ha : a ∈ f.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i

Context: s : Finset ι

Context: f g : Π₀ (i : ι), α i

Context: h : f ≤ g

Context: a : ι

Context: ha : 0 < f a


Context:
n m : ℕ
z : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hf : IsPeriodicPt f n x
hg : IsPeriodicPt g n x


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂

K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)

K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, c₂.next i₂) i₁₂