Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

∀ i ∈ s, Integrable (fun x => a i * ((fderiv ℝ g x) (v i) * f x)) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

Context: A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ

Context: i : ι

Context: _hi : i ∈ s

Context: L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)

Integrable (fun x => a i * ((L ∘ fderiv ℝ g) x * f x)) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

Context: i : ι

Context: _hi : i ∈ s

Context: L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)

Continuous fun x => (L ∘ fderiv ℝ g) x * f x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g✝ : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: a : ι → ℝ

Context: v : ι → E

Context: g : E → ℝ

Context: g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g

Context: g_comp : HasCompactSupport g

Context: i : ι

Context: _hi : i ∈ s

Context: L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)

HasCompactSupport fun x => (L ∘ fderiv ℝ g) x * f x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ

↑(B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: inst✝ : DecidableEq H

Context: f : G →ₙ* H

Context: hf : ∀ ⦃a b c d : G⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d

Context: h : UniqueMul (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0)

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ A

Context: hb : b ∈ B

Context: ab : a * b = a0 * b0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β

StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
hα : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
hα : Nonempty α


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: h : S = ⊤

Context: x : A


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: S : NonUnitalStarSubalgebra R A

Context: h : ∀ (x : A), x ∈ S

Context: x : A

x ∈ S ↔ x ∈ ⊤


Context: β : Type w

Context: α✝ : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: f : α✝ → C

Context: g : β → C

Context: inst✝ : HasProduct f

Context: e : β ≃ α✝

Context: iso : (j : β) → g j ≅ f (e j)

Context: this : HasLimit ((Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f)

Context: α : Discrete.functor g ≅ (Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α

Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose

Context: hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose

Context: hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop

Context: x : ℝ

(f a ∘ qs) x ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℚ → ℝ

Context: hf : IsMeasurableRatCDF f

Context: a : α

Context: qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose

Context: hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop

Context: x : ℝ

↑(hf.stieltjesFunction a) ↑(qs x) ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


⋃ a, {Ici ↑a} = Ici '' (Rat.cast '' univ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

x ∈ ⋃ a, {Ici ↑a} ↔ x ∈ Ici '' (Rat.cast '' univ)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
h_inj : Injective ⇑(algebraMap ℤ (𝓞 K))


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
h_inj : Injective ⇑(algebraMap ℤ (𝓞 K))
hf : IsField (𝓞 K)


Context:
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → E → F

Context: A' : ι → E →L[𝕜] F

Context: h : ∀ i ∈ u, (fun p => A i p.1 - A i p.2 - (A' i) (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2

(fun p => ∑ i ∈ u, A i p.1 - ∑ i ∈ u, A i p.2 - (∑ i ∈ u, A' i) (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: u : Finset ι

Context: A : ι → E → F

Context: A' : ι → E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E × E

∑ i ∈ u, A i x✝.1 - ∑ i ∈ u, A i x✝.2 - (∑ i ∈ u, A' i) (x✝.1 - x✝.2) = ∑ i ∈ u, (A i x✝.1 - A i x✝.2 - (A' i) (x✝.1 - x✝.2))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f g : ι → α
inst✝ : CommSemiring α
a b : α
s : Finset ι

∑ t ∈ s.powerset, a ^ t.card * b ^ (s.card - t.card) = (a + b) ^ s.card


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set EReal

(∃ i, True ∧ Ioi ↑i ⊆ s) ↔ ∃ y, Ioi ↑y ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
I : Ideal R

∃ e, IsIdempotentElem e ∧ I = Ideal.span {e}


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
I J : Ideal R
h : IsCompl I J


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
J : Ideal R
f : Module.End R R
idem : IsIdempotentElem f
h : IsCompl (LinearMap.range f) J

∃ e, IsIdempotentElem e ∧ LinearMap.range f = Ideal.span {e}


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc

HasProd (fun n => f ↑n * f (Int.negSucc n)) m


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
u : Finset ℤ

∃ v, ∀ (v' : Finset ℕ), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f x = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (Int.negSucc b)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: f : ℤ → M

Context: hf : HasProd f m

Context: this : Injective Int.negSucc

Context: u : Finset ℤ

Context: v' : Finset ℕ

Context: hv' : u.preimage Nat.cast ⋯ ∪ u.preimage Int.negSucc ⋯ ⊆ v'

Context: x : ℤ

Context: hx : x ∈ u

x ∈ image Nat.cast v' ∪ image Int.negSucc v'


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: m m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: f : ℤ → M

Context: hf : HasProd f m

Context: this : Injective Int.negSucc

Context: u : Finset ℤ

Context: v' : Finset ℕ

∏ x ∈ image Nat.cast v' ∪ image Int.negSucc v', f x = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (Int.negSucc b)


Context:
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

(expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hdiv : p ∣ 0

(expand R p) (cyclotomic 0 R) = cyclotomic (0 * p) R


Context:
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0


Context:
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n


(expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ) = cyclotomic (n * p) ℤ


cyclotomic (n * p) ℤ ∣ (expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)


((expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)).natDegree ≤ (cyclotomic (n * p) ℤ).natDegree


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α


Context:
n : ℕ
x : ℤ × ℤ

x ∈ box 0 ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = 0


Context:
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ

x ∈ box (n + 1) ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = n + 1


Context:
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ

((-1 ≤ x.1 + ↑n ∧ -1 ≤ x.2 + ↑n) ∧ x.1 ≤ ↑n + 1 ∧ x.2 ≤ ↑n + 1) ∧ (-↑n ≤ x.1 → -↑n ≤ x.2 → x.1 ≤ ↑n → ↑n < x.2) ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = n + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : Nonempty α
hbot : l.NeBot


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R

(rename f) ((monomial d) r) = (monomial (Finsupp.mapDomain f d)) r


((algebraMap R (MvPolynomial τ R)) r * d.prod fun i k => (X ∘ f) i ^ k) = C r * d.prod fun a m => X (f a) ^ m


∀ (b : τ) (m₁ m₂ : ℕ), X b ^ (m₁ + m₂) = X b ^ m₁ * X b ^ m₂


Context: z : ℂ

↑z.im = (z - (starRingEnd ℂ) z) / (2 * I)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M

(span ℕ s).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure s


(span ℕ s).toAddSubmonoid ≤ AddSubmonoid.closure s


span ℕ s ≤ AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s)


s ⊆ ↑(AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ

p.smeval x * x ^ m * x ^ n = p.smeval x * (x ^ m * x ^ n)


Context:
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'

∀ {x y : C(X, Y)}, x.Homotopic y → y.Homotopic x


∀ {x y z : C(X, Y)}, x.Homotopic y → y.Homotopic z → x.Homotopic z


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M

Context: ϕ : M →ₗ[R] R

Context: hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N

Context: inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal

Context: hgen : generator (map ϕ N) = 0


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M

Context: ϕ : M →ₗ[R] R

Context: inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal

Context: hgen : generator (map ϕ N) = 0


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ b : Basis ι R M

Context: N : Submodule R M

Context: ϕ : M →ₗ[R] R

Context: inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal

Context: hgen : generator (map ϕ N) = 0

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

Context: i : ι


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬⊥ < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Finite β
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α

(∃ i, True ∧ ∀ y ∈ Ici i, f y = f i) ↔ ∃ i, ∀ (j : α), i ≤ j → f j = f i


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0

legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)
ha0' : ↑↑a ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : C ⥤ D

Context: T : D

Context: A : CostructuredArrow S T

Context: P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ

Context: f : P ⟶ op A

Context: g : Q ⟶ op A

Context: inst✝¹ : Mono f.unop.left.op

Context: inst✝ : Mono g.unop.left.op

Context: h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op

g.unop.left ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : C ⥤ D

Context: T : D

Context: A : CostructuredArrow S T

Context: P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ

Context: f : P ⟶ op A

Context: g : Q ⟶ op A

Context: inst✝¹ : Mono f.unop.left.op

Context: inst✝ : Mono g.unop.left.op

g.unop.left.op.unop ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v, u₂} D

Context: S : C ⥤ D

Context: T : D

Context: A : CostructuredArrow S T

Context: P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ

Context: f : P ⟶ op A

Context: g : Q ⟶ op A

Context: inst✝¹ : Mono f.unop.left.op

Context: inst✝ : Mono g.unop.left.op

(Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h ≫ g.unop.left.op).unop = f.unop.left


Context: x y : ℝ≥0∞


Context: y : ℝ≥0∞


Context:
x y : ℝ≥0∞
x_real : 0 < x.toReal


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X

Context: Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

Context: h₁₄ : (𝟙 (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C) ◫ natTransPInfty_f (Karoubi C) n).app Y = (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ alternatingFaceMapComplex (Karoubi C) ⋙ HomologicalComplex.eval (Karoubi C) (ComplexShape.down ℕ) n).map Y.decompId_i ≫ (𝟙 (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C) ◫ natTransPInfty_f (Karoubi C) n).app { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } ≫ (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ alternatingFaceMapComplex (Karoubi C) ⋙ HomologicalComplex.eval (Karoubi C) (ComplexShape.down ℕ) n).map Y.decompId_p


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

Context: h₁₄ : (𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ ((𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n])) ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

Context: h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

((KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])).f = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

Context: π : Y₄ ⟶ Y₄ := (toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).map Y.p


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

Context: eq : (π.app (op [n]) ≫ PInfty.f n).f = (PInfty.f n ≫ π.app (op [n])).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : Karoubi (SimplicialObject C)

Context: n : ℕ

Context: Y₂ : SimplicialObject C := Y.X

Context: P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty

Context: P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty

Context: P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty

Context: P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

Context: h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

Context: h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

Context: eq : (π.app (op [n])).f ≫ (PInfty.f n).f = (PInfty.f n).f ≫ (π.app (op [n])).f


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
h : s.Subsingleton
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : 0 < b

(fun z => Real.exp (a.re * Real.log (abs z))) =o[l] fun x => ‖cexp (↑b * x)‖


Tendsto (fun x => b * x.re - a.re * Real.log (abs x)) l atTop


(fun x => a.re * Real.log (abs x)) =o[l] fun x => b * x.re


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : BraidedFunctor C D
X Y : C

F.μ X Y ≫ F.map (β_ X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X


F.μ X Y ≫ inv (F.μ X Y) ≫ (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)

Context: X : Set M


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: X : Set M

Context: m : M

Context: hm : m ∈ restrictScalars R (span A X)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: X : Set M

Context: m✝ : M

Context: hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)

Context: a : A

Context: m : M

Context: hm : m ∈ span R X


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: A : Type w

Context: B : Type u₁

Context: M : Type v₁

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: X : Set M

Context: m✝ : M

Context: hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)

Context: m : M

Context: hm : m ∈ span R X

Context: r : R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

(fun x => x ^ p) =o[atTop] fun x => x ^ q


∀ᶠ (x : 𝕜) in atTop, x ^ q = 0 → x ^ p = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: m n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: m n : ℕ

Context: h : m ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: m n : ℕ

Context: h : n ≤ m


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
P : Karoubi (Karoubi C)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.1672, u_1} C
X✝ Y✝ : Karoubi (Karoubi C)
f : X✝ ⟶ Y✝

f.f.f = ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f.f.f ≫ ((fun P => { X := P.X.X, p := P.p.f, idem := ⋯ }) Y✝).p


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve φ m).arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ 1 m) = (A.val.map f.op) m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m

(A.val.map f.op) (smul α φ 1 m) = (φ.app (Opposite.op Y)) m₀


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

(φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (φ.app (Opposite.op Y)) m₀


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m

HasFiniteFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x (max n m)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n

Context: hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r ∧ HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t✝ : Set α
x : α
δ : ℝ
s t : Set α

thickening δ (s ∪ t) = thickening δ s ∪ thickening δ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : Countable ι
t : ι → TopologicalSpace α
ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α
i₀ : ι
hi₀ : ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → TopologicalSpace α

Context: ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀

Context: u : UniformSpace α

Context: hcomp : CompleteSpace α

Context: hcount : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: htop : UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ i, t i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → TopologicalSpace α

Context: ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀

Context: u : UniformSpace α

Context: hcomp : CompleteSpace α

Context: hcount : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: this : SecondCountableTopology α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → TopologicalSpace α

Context: ht : ∀ (i : ι), PolishSpace α

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : ∀ (i : ι), t i ≤ t i₀

Context: u : UniformSpace α

Context: hcomp : CompleteSpace α

Context: hcount : (𝓤 α).IsCountablyGenerated

Context: this✝ : SecondCountableTopology α

Context: this : T1Space α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
a✝ : PrimeSpectrum R
x✝ : R

x✝ ∈ ((comap (RingHom.id R)) a✝).asIdeal ↔ x✝ ∈ ((ContinuousMap.id (PrimeSpectrum R)) a✝).asIdeal


Context:
Q : Type u_1
inst✝¹ : Quandle Q
G : Type u_2
inst✝ : Group G
x y : Conj G


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.247016, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 3

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a a₁✝ a₂✝ : α

Context: b✝ b₁ b₂ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : SMulPosStrictMono α γ

Context: hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂

Context: smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b

Context: zero : f 0 = 0

Context: b : β

Context: hb : 0 < b

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha : a₁ < a₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: a a₁✝ a₂✝ : α

Context: b✝ b₁ b₂ : β

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Zero α

Context: inst✝⁷ : Preorder α

Context: inst✝⁶ : Zero β

Context: inst✝⁵ : Preorder β

Context: inst✝⁴ : Zero γ

Context: inst✝³ : Preorder γ

Context: inst✝² : SMul α β

Context: inst✝¹ : SMul α γ

Context: f : β → γ

Context: inst✝ : SMulPosStrictMono α γ

Context: b : β

Context: a₁ a₂ : α

Context: ha : a₁ < a₂

Context: smul : α → β → True

Context: zero : True

Context: hb : 0 < f b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
n : ℤ
hn : ¬n = 0
ha : ¬a = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
n : ℤ
hn : ¬n = 0
ha : ¬a = 0
h : n = ↑n.natAbs


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a : K
n : ℤ
hn : ¬n = 0
ha : ¬a = 0
h : n = -↑n.natAbs


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Mul α
a x y : αᵐᵒᵖ

SemiconjBy (unop a) (unop y) (unop x) ↔ SemiconjBy a x y


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

Context: hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P s → s ⊆ t → P t

s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

P s → ((∀ ⦃y : Finset α⦄, P y → y ⊆ s → s = y) ↔ ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x))


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

Context: x✝ : P s

Context: h : ∀ ⦃y : Finset α⦄, P y → y ⊆ s → s = y

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hxs : P (s.erase x)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

Context: x✝ : P s

Context: h : ∀ x ∈ s, ¬P (s.erase x)

Context: t : Finset α

Context: ht : P t

Context: hst : t ⊆ s

Context: x : α

Context: hxs : x ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

Tendsto Int.cast Filter.cofinite (cocompact ℝ)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, ¬p n'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: r : ℚ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: this : ∀ (r : ℚ), ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : α) in s, (preCDF ρ r * 1) x ∂ρ.fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: r : ℚ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

∫⁻ (x : α) in s, 1 x ∂ρ.fst.withDensity (preCDF ρ r) = (ρ.IicSnd ↑r) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: r : ℚ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: h : UniqueMul (map { toFun := op, inj' := ⋯ } B) (map { toFun := op, inj' := ⋯ } A) (op b0) (op a0)

Context: a b : G

Context: aA : a ∈ A

Context: bB : b ∈ B

Context: ab : a * b = a0 * b0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Semiring R
a : Rˣ
b : R


Context:
n : ℕ
x r : ℝ

expNear (n + 1) x r = expNear n x (1 + x / (↑n + 1) * r)


Context:
n : ℕ
x r : ℝ

x ^ n * x * ((↑n.factorial)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹) * r = x ^ n * (↑n.factorial)⁻¹ * (x * (↑n + 1)⁻¹ * r)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: π : α → Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: p : Set γ

Context: f f₁ f₂ f₃ : α → β

Context: g g₁ g₂ : β → γ

Context: f' f₁' f₂' : β → α

Context: g' : γ → β

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : InjOn f s

Context: x✝¹ x✝ : ↑s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s

Context: h' : imageFactorization f s ⟨x, hx⟩ = imageFactorization f s ⟨y, hy⟩


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M

(φ ⇔ ψ).Realize v xs ↔ (φ.Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs)


Context: R : Type u


Context:
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 5
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r


jacobiSym (↑a) b = -jacobiSym (↑a / 2) b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y

(adj.homEquiv X' (F.obj X)) (F.map f) ≫ G.map g = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
t : Set ↑s
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : MeasurableSet t


∀ t ∈ {t | ∃ s', MeasurableSet s' ∧ Subtype.val ⁻¹' s' = t}, (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) t


(fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) ∅


∀ (t : Set ↑s), (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) t → (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set ↑s), (∀ (n : ℕ), (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) (f n)) → (fun t => NullMeasurableSet (Subtype.val '' t) μ) (⋃ i, f i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l₁ ~ l₂
hc : Pairwise Commute l₁


∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₁, ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x


Symmetric fun x y => ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x


∀ x ∈ l₁, ∀ (z : M), z * x * x = z * x * x


Pairwise (fun x y => ∀ (z : M), z * x * y = z * y * x) l₁


Context:
F : Type u_1
inst✝ : NormedField F
n : ℕ
χ : DirichletCharacter F n
a : (ZMod n)ˣ


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
A : Rep k G
f g : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G

(fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)) (f + g) x = ((fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)) f + (fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)) g) x


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
A : Rep k G
r : k
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G

{ toFun := fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g), map_add' := ⋯ }.toFun (r • f) x = ((RingHom.id k) r • { toFun := fun f g => (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g), map_add' := ⋯ }.toFun f) x


Context:
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : Basis n R M
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
hA : IsUnit A.det
x : M

((toLin b b) A⁻¹) ({ toFun := ⇑((toLin b b) A), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x


{ toFun := ⇑((toLin b b) A), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (((toLin b b) A⁻¹) x) = x


Context:
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z₁ z₂ : M

ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁ = ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂ ↔ z₁ = z₂


(ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₁).toMultilinearMap = (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z₂).toMultilinearMap ↔ z₁ = z₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
R : Type u_5
inst✝ : One R
U : Set X
f : LocallyConstant X R
hU : IsClopen U
s : Set R


Context: x✝ y x : ℂ


Context:
x✝ y x : ℂ
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: this : g = (range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict

range (lTensor Q ((range g).subtype ∘ₗ g.rangeRestrict)) = range (lTensor Q (range g).subtype)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

range (lTensor Q (range g).subtype ∘ₗ lTensor Q g.rangeRestrict) = range (lTensor Q (range g).subtype)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: Q : Type u_5

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Module R Q

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Function.Surjective ⇑(lTensor Q g.rangeRestrict)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Epi (app' φ 2 ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂ : R₂.Exact

Context: hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂ : R₂.Exact

Context: hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Epi (app' φ 2 ⋯)

(ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂ : R₂.Exact

Context: hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Epi (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).f


Context:
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ x : Z
ex : x ∈ e.source


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)


(fun x => f x * (C / 2)) ≤ᶠ[l] fun x => f x * g x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F


Nonempty ⋯.LiftStruct ↔ Nonempty sq.LiftStruct


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t✝ s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: v : ℕ → Set α

Context: hv : t ⊆ ⋃ n, v n

Context: h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤

Context: A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t✝ s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: v : ℕ → Set α

Context: hv : t ⊆ ⋃ n, v n

Context: h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤

μ ((if h : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t then h.choose else if h' : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t_1 ∩ u) = μ (t ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose) ∩ s) = μ (t ∩ s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : E →L[𝕜] F

IsSelfAdjoint (S.comp (T.comp (adjoint S)))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F

adjoint (S.comp (T.comp (adjoint S))) = S.comp (T.comp (adjoint S))


(S.comp T).comp (adjoint S) = S.comp (T.comp (adjoint S))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)

ContDiff 𝕜 n Φ ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => Φ x i


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g

∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hg : IntervalIntegrable g μ a b

Context: h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g

Context: H : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ioc a b), f x ≤ g x := Eventually.filter_mono (ae_mono (Measure.restrict_mono Ioc_subset_Icc_self (le_refl μ))) h


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : SFinite ν

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝¹ : MeasurableInv G

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s = 0

Context: hf : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : SFinite ν

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝¹ : MeasurableInv G

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s = 0

(map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod μ)) (s⁻¹ ×ˢ s⁻¹) = 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝³ : SFinite ν

Context: inst✝² : SFinite μ

Context: s✝ : Set G

Context: inst✝¹ : MeasurableInv G

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: s : Set G

Context: hsm : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s = 0

Context: hsm' : MeasurableSet (s⁻¹ ×ˢ s⁻¹)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: h : IsColimit t

Context: W : C

Context: f f' : t.pt ⟶ W

Context: w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: h : IsColimit t

Context: W : C

Context: f f' : t.pt ⟶ W

h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f, naturality := ⋯ } } = h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f', naturality := ⋯ } }


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: h : IsColimit t

Context: W : C

Context: f f' : t.pt ⟶ W

(fun b => t.ι.app b ≫ f) = fun b => t.ι.app b ≫ f'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm R₁ M₁

Context: b : B.IsRefl

Context: W : Submodule R₁ M₁

Context: hW : Disjoint W (B.orthogonal W)

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ W

Context: b₁ : ∀ (n : ↥W), ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) n = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm R₁ M₁

Context: b : B.IsRefl

Context: W : Submodule R₁ M₁

Context: hW : Disjoint W (B.orthogonal W)

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ W


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm R₁ M₁

Context: b : B.IsRefl

Context: W : Submodule R₁ M₁

Context: hW : Disjoint W (B.orthogonal W)

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ W

Context: y : M₁

Context: hy : y ∈ W


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm R₁ M₁

Context: b : B.IsRefl

Context: W : Submodule R₁ M₁

Context: hW : Disjoint W (B.orthogonal W)

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ W

Context: y : M₁

Context: hy : y ∈ W

Context: b₁ : ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
y : M₁
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s

essSup (s.indicator f) μ = essSup f (μ.restrict s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂


MeasurableSet (⋃ b, bif b then s₁ else s₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ : R[X]
N i : ℕ
f : AddMonoidAlgebra R ℕ

(embDomain (revAt N) f) i = f ((revAt N) i)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f

inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g = g ≫ inv f


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'


Context:
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abs' (↑f j - ↑f i) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ i

abs' ((fun n => (starRingEnd ℂ) (↑f n)) j - (fun n => (starRingEnd ℂ) (↑f n)) i) < ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0


0 ≤ 1 - fract x ∧ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z


1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ x y : E

openSegment 𝕜 x y = (fun p => p.1 • x + p.2 • y) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).counit = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).counit


(f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).counit).op = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).counit.op


f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).comul = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).comul ≫ (f.unop.hom.unop ⊗ f.unop.hom.unop)


(f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).comul).op = (((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).comul ≫ (f.unop.hom.unop ⊗ f.unop.hom.unop)).op


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α
h : ⊥ = a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α
h : ⊥ < a


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : μH[↑d] s = ⊤


Context:
u : PrimeMultiset
n : ℕ+


Context: u : PrimeMultiset

Context: n : ℕ+

Context: h : u.prod ∣ n.factorMultiset.prod ↔ u ≤ n.factorMultiset := prod_dvd_iff


Context:
u : PrimeMultiset
n : ℕ+
h : u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx✝ : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y
i : ι
hx : x ∈ s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx✝ : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy✝ : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y
i : ι
hx : x ∈ s i
j : ι
hy : y ∈ s j


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: n : ℤ

Context: h : 1 < |n|

Context: f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x

Context: e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: n : ℤ

Context: h : 1 < |n|

Context: he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: n : ℤ

Context: h : 1 < |n|


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: n : ℤ

Context: h : n - 1 ≠ 0


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: n : ℤ

Context: h : n - 1 ≠ 0

Context: hnx : n • DivisibleBy.div x (n - 1) = x + DivisibleBy.div x (n - 1)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: n : ℤ

Context: h : n - 1 ≠ 0

Context: y : AddCircle T


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: n : ℤ

Context: h : n - 1 ≠ 0

Context: y : AddCircle T

DivisibleBy.div x (n - 1) + (-DivisibleBy.div x (n - 1) + -x + n • y + x) = n • y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
h : a * b ∈ I ^ (n✝ + 1)
hI0 : ¬I = ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {a} * span {b}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {a} * span {b}
ha : ¬I ∣ span {a}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b} * span {a}
ha : ¬I ∣ span {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ∈ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : x ∉ l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvOneMonoid G
a : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f : α → E
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20185, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝²¹ : CommRing R

Context: inst✝²⁰ : CommRing S

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹³ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ✝

Context: inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

traceMatrix Rₘ ⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b) = (algebraMap R Rₘ).mapMatrix (traceMatrix R ⇑b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝²¹ : CommRing R

Context: inst✝²⁰ : CommRing S

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

Context: this : Module.Finite R S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝²¹ : CommRing R

Context: inst✝²⁰ : CommRing S

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

Context: this✝ : Module.Finite R S

Context: this : Module.Free R S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝²¹ : CommRing R

Context: inst✝²⁰ : CommRing S

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

Context: this✝ : Module.Finite R S

Context: this : Module.Free R S

Context: i j : ι

traceMatrix Rₘ (⇑(Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b)) i j = (algebraMap R Rₘ).mapMatrix (traceMatrix R ⇑b) i j


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝²¹ : CommRing R

Context: inst✝²⁰ : CommRing S

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Sₘ✝

Context: inst✝¹⁵ : Algebra S Sₘ✝

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝¹² : Algebra Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra R Sₘ✝

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ✝

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S Sₘ✝

Context: Sₘ : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

Context: this✝ : Module.Finite R S

Context: this : Module.Free R S

Context: i j : ι

(trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) (b i * b j)) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) (b i * b j))


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b⁻¹ * a = c


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasLimitsOfShape J D
H : C ⥤ D
j✝ : J

(H.map (limMap α) ≫ post G H) ≫ π (G ⋙ H) j✝ = (post F H ≫ limMap (whiskerRight α H)) ≫ π (G ⋙ H) j✝


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: M' : Submodule R S

Context: h : M' ≤ M

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: M' : Submodule R S

Context: h : M' ≤ M

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥N

Context: hi : Function.Injective ⇑i


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q✝ p q : MvPolynomial σ R


Context:
X : Scheme
U V : X.Opens
h : U = V
W : (Spec Γ(X, V)).Opens

Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom h).op)) W = eqToHom ⋯


Context: X : Scheme

Context: U V : X.Opens

Context: h : U = V

Context: W : (Spec Γ(X, V)).Opens

Context: this : Scheme.Spec.map (X.presheaf.map (𝟙 (op U))).op = 𝟙 (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U)))


Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: W : (Spec Γ(X, U)).Opens

Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) W = eqToHom ⋯


Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: W : (Spec Γ(X, U)).Opens

Hom.app (𝟙 (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U)))) W ≫ (Scheme.Spec.obj (op Γ(X, U))).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = eqToHom ⋯


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2

W.addX P Q / addZ P Q ^ 2 = W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α

((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) / ↑s.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
f : ι → α

((∑ i ∈ ∅, f i) / ↑∅.card) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ ∅, f i ^ 2) / ↑∅.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
s : Finset ι
f : ι → α
hs : 0 < ↑s.card


(∑ i ∈ s, f i) ^ 2 * ↑s.card ≤ (↑s.card * ∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ↑s.card


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (SimpleGraph V)
G : SimpleGraph V
hG : G ∈ s


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν

Context: hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) x (mul ℝ ℝ) μ

Context: hfgk : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) ((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) ν

((f ⋆[L, ν] g) ⋆[L₂, μ] k) x₀ = (f ⋆[L₃, ν] g ⋆[L₄, μ] k) x₀


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: h_meas : AEStronglyMeasurable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))‖ ∂μ) ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: h3 : Measure.map (fun z => (z.1 - z.2, z.2)) (μ.prod ν) = μ.prod ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Integrable (uncurry fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (μ.prod ν)


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

(∀ᵐ (y : G) ∂ν, Integrable (fun x => uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, y)) μ) ∧ Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, y)‖ ∂μ) ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, y)‖ ∂μ) ν


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: t : G

Context: ht : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖g x‖) (fun x => ‖k x‖) (x₀ - t) (mul ℝ ℝ) μ

‖∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ‖ ≤ ‖L₃‖ * ‖L₄‖ * ((mul ℝ ℝ) ((fun x => ‖f x‖) t)) (((fun x => ‖g x‖) ⋆[mul ℝ ℝ, μ] fun x => ‖k x‖) (x₀ - t))


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: t : G

‖∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ‖ ≤ ∫ (a : G), ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖)) ∂μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝²² : RCLike 𝕜

Context: inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝¹⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝¹⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace F''

Context: k : G → E''

Context: L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'

Context: L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'

Context: L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''

Context: inst✝⁶ : AddGroup G

Context: inst✝⁵ : SFinite μ

Context: inst✝⁴ : SFinite ν

Context: inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant

Context: inst✝² : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant

Context: inst✝ : MeasurableNeg G

Context: x₀ : G

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hk : AEStronglyMeasurable k μ

Context: t : G

∫ (x : G), ‖uncurry (fun x y => (L₃ (f y)) ((L₄ (g x)) (k (x₀ - y - x)))) (x, t)‖ ∂μ ≤ ∫ (a : G), ‖L₃‖ * ‖f t‖ * (‖L₄‖ * (‖g a‖ * ‖k (x₀ - t - a)‖)) ∂μ