∀ (U : Set G), IsOpen U → (fun t => t • closure {1} = t) U


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hs : MeasurableSet s

∀ (t : Set G), MeasurableSet t → (fun t => t • closure {1} = t) t → (fun t => t • closure {1} = t) tᶜ


∀ (f : ℕ → Set G), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => t • closure {1} = t) (f i)) → (fun t => t • closure {1} = t) (⋃ i, f i)


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Nonempty M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ

Context: h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Nonempty M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M

Context: S : L.ElementarySubstructure M

Context: left✝ : ∅ ⊆ ↑S

Context: hS : lift.{w, w'} #↥S = lift.{w', w} κ


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Nonempty M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M

Context: S : L.ElementarySubstructure M

Context: left✝ : ∅ ⊆ ↑S

Context: hS : lift.{w, w'} #↥S = lift.{w', w} κ

Context: this : Small.{w, w'} ↥S


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: M : Type w'

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : Nonempty M

Context: κ : Cardinal.{w}

Context: h1 : ℵ₀ ≤ κ

Context: h3 : lift.{w', w} κ ≤ lift.{w, w'} #M

Context: S : L.ElementarySubstructure M

Context: left✝ : ∅ ⊆ ↑S

Context: hS : lift.{w, w'} #↥S = lift.{w', w} κ

Context: this : Small.{w, w'} ↥S

lift.{w', w} #↑(Equiv.bundledInduced L (equivShrink ↥S)) = lift.{w, w'} #↥S


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_5
E : α → Type u_4

IsEmpty (Sigma E) ↔ ∀ (a : α), IsEmpty (E a)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I) • f w


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: c w : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{u_1}


Context:
α : Type u
c : Cardinal.{u_1}

↑(toENat c) = PartENat.withTopEquiv.symm ⊤ ↔ PartENat.withTopEquiv.symm (toENat c) = PartENat.withTopEquiv.symm ⊤


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: t : Triangle ℝ P

Context: p : P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)

Context: t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p

Context: h₁ : t'p i₁ = t.points i₁

Context: h₂ : t'p i₂ = p


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: t : Triangle ℝ P

Context: p : P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁ : t'p i₁ = t.points i₁

Context: h₂ : t'p i₂ = p

Context: h₃ : t'p i₃ = t.points i₃


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: t : Triangle ℝ P

Context: p : P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁ : t'p i₁ = t.points i₁

Context: h₂ : t'p i₂ = p

Context: h₃ : t'p i₃ = t.points i₃

Context: ha : AffineIndependent ℝ t'p


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: t : Triangle ℝ P

Context: p : P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁ : t'p i₁ = t.points i₁

Context: h₂ : t'p i₂ = p

Context: h₃ : t'p i₃ = t.points i₃

Context: ha : AffineIndependent ℝ t'p

Context: t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }

Context: h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁

Context: h₂' : t'.points i₂ = p

Context: h₃' : t'.points i₃ = t.points i₃

Context: h' : 2 • ∡ (t'.points i₁) (t'.points i₂) (t'.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: t : Triangle ℝ P

Context: p : P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h₁ : t'p i₁ = t.points i₁

Context: h₂ : t'p i₂ = p

Context: h₃ : t'p i₃ = t.points i₃

Context: ha : AffineIndependent ℝ t'p

Context: h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁

Context: h₂' : t'.points i₂ = p

Context: h₃' : t'.points i₃ = t.points i₃


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2

W.addXYZ P Q = addZ P Q • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (addZ P Q ^ n)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : Subsingleton M
x✝ : Ideal R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α

u 0 ⊔ ⨆ i, u (i + 1) = ⨆ x ∈ {0} ∪ range Nat.succ, u x


⨆ x ∈ {0} ∪ range Nat.succ, u x = ⨆ i, u i


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G✝
inst✝¹ : Group G✝
s✝ : Set G✝
G : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
s t : Set G
x : G

x ∈ closure (s ∪ t) ↔ ∃ y ∈ closure s, ∃ z ∈ closure t, y * z = x


(∃ y, (∃ y_1 ∈ Monoid.Closure s, ∃ z ∈ Monoid.Closure t, y_1 * z = y) ∧ ∃ z, (∃ y ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' s), ∃ z_1 ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' t), y * z_1 = z) ∧ y * z = x) ↔ ∃ y, (∃ y_1 ∈ Monoid.Closure s, ∃ z ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' s), y_1 * z = y) ∧ ∃ z, (∃ y ∈ Monoid.Closure t, ∃ z_1 ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' t), y * z_1 = z) ∧ y * z = x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

W.dblX P / W.dblZ P ^ 2 = W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
hfin : FiniteDimensional F ↥F⟮α⟯


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
hfin : FiniteDimensional F ↥⊤


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f

((𝓤 α).lift fun s => f (s ○ s)) = ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ s).lift f


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingRight


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S : IntermediateField K L
x✝ : L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α


(∃ l ∈ s.subchain, l.length = 1) ↔ s.Nonempty


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

(whiskerRight (J.plusMap η) F ≫ (J.plusCompIso F Q).hom).app X = ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight η F)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

∀ (j : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ), (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ (whiskerRight (J.plusMap η) F ≫ (J.plusCompIso F Q).hom).app X = (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight η F)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ F.map (colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app X ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (whiskerRight η F) (unop X))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ F.map (colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W ≫ colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W ≫ colimit.desc (J.diagram P (unop X)) ((Cocones.precompose (J.diagramNatTrans η (unop X))).obj (colimit.cocone (J.diagram Q (unop X))))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (((Cocones.precompose (J.diagramNatTrans η (unop X))).obj (colimit.cocone (J.diagram Q (unop X)))).ι.app W) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

(F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

∀ (a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L), (F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L

(F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: X : Cᵒᵖ

Context: W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L

F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index Q) a) = F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) a) ≫ F.map (η.app (op a.Y))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S

((optionEquivLeft R (n × n)).symm (univ R n)).IsHomogeneous (Fintype.card n)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1


(∑ x : Equiv.Perm n, ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ x_1 : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if x x_1 = x_1 then Polynomial.X else 0) - X (some (x x_1, x_1)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)


∀ i ∈ Finset.univ, (↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n

(↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)


(∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (∑ i : n, 1)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.803, u_1} C

Context: Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: A : IndexSet Δ

Context: Δ₁ : SimplexCategoryᵒᵖ

Context: α₁ : unop Δ ⟶ unop Δ₁

Context: hα₁ : Epi α₁

Context: α₂ : unop Δ ⟶ unop Δ₁

Context: hα₂ : Epi α₂

Context: h₂ : e ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ ≫ eqToHom ⋯ = e ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩

⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ = ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.803, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
Δ₁ : SimplexCategoryᵒᵖ
α₁ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₁ : Epi α₁
α₂ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₂ : Epi α₂
h₂ : α₁ = α₂

⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ = ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S

(productMap f g).range = f.range ⊔ g.range


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

(derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S) = (kerTotal R S).mkQ


∀ (a b : S), ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b𝖣a


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a b : S

((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b𝖣a


((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b • 1𝖣a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
m k : ℤ

2 * T R m * T R k = T R (m + k) + T R (m - k)


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v : V

(filter (fun d => d.toProd.1 = v) univ).card = G.degree v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
x✝ : E

f x✝ - f x - f' (x✝ - x) + (g x✝ - g x - g' (x✝ - x)) = f x✝ + g x✝ - (f x + g x) - (f' + g') (x✝ - x)


f x✝ - f x - (f' x✝ - f' x) + (g x✝ - g x - (g' x✝ - g' x)) = f x✝ + g x✝ - (f x + g x) - (f' x✝ + g' x✝ - (f' x + g' x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Monoid α

Context: inst✝⁴ : Monoid β

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : EquivLike F α β

Context: inst✝ : MulEquivClass F α β

Context: f : F

Context: a b : α

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Monoid α

Context: inst✝⁴ : Monoid β

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : EquivLike F α β

Context: inst✝ : MulEquivClass F α β

Context: f : F

Context: a b : α

Context: n : ℕ


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
x✝² : SimpleGraph V
x✝¹ x✝ : V

((Equiv.refl V).simpleGraph x✝²).Adj x✝¹ x✝ ↔ ((Equiv.refl (SimpleGraph V)) x✝²).Adj x✝¹ x✝


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α

(countP p) (of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0


(if p x = (true = true) then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0


(if p x then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s₁ ×ˢ t₁ ∩ s₂ ×ˢ t₂ ↔ (x, y) ∈ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂)


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : CharZero R
h : P.root i = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : Field K
a b c : K
hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
s : Set M
x : M

UniqueMDiffWithinAt I s x ↔ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x).target) (↑(extChartAt I x) x)


𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x).target] ↑(extChartAt I x) x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : GroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hab : Commute a b
hmn : m.Coprime n

a ^ m = b ^ n ↔ ∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m


Context:
α : Type u_1
inst✝ : GroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hab : Commute a b
hmn : m.Coprime n
h : a ^ m = b ^ n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: i : ι


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ

(s.sup' H p).ball e r = s.inf' H fun i => (p i).ball e r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
a : α
k : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField k
x : k
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
h' : M ⊆ K

ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C = ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) (ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C)


ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C = ConnectedComponent.map (induceHom (Hom.id.comp Hom.id) ⋯) C


Context:
a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ
a : ℝ≥0∞
h : 0 ≤ c

(ENNReal.ofReal c * a).toReal = c * a.toReal


Context: x y : ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
x : G
i : ℕ

‖iteratedFDeriv 𝕜 i (f ∘ ⇑g) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f (g x)‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ (g x)‖


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: ι : Type u_1

Context: n : Basis ι R ↥N

Context: H : LinearMap.ker (M.mulRightMap ⇑n) = ⊥

Context: this : AddCommGroup (ι →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : image.ι f = 0


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Mul M
x : M
hx : x ∈ S


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: ι : Sort ?u.161801

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R N

Context: l : M →ₗ[R] N

Context: hl : Function.Surjective ⇑l

Context: inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)

Context: s : Finset M

Context: hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

Context: π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val

(LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: ι : Sort ?u.161801

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R N

Context: l : M →ₗ[R] N

Context: hl : Function.Surjective ⇑l

Context: s : Finset M

Context: hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

Context: H : Function.Surjective ⇑π


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: ι : Sort ?u.161801

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R N

Context: l : M →ₗ[R] N

Context: hl : Function.Surjective ⇑l

Context: s : Finset M

Context: hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

Context: H : Function.Surjective ⇑π

Context: inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: ι : Sort ?u.161801

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R N

Context: l : M →ₗ[R] N

Context: hl : Function.Surjective ⇑l

Context: s : Finset M

Context: hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

Context: H : Function.Surjective ⇑π

Context: this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance

Context: f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯

Context: e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: ι : Sort ?u.161801

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R N

Context: l : M →ₗ[R] N

Context: hl : Function.Surjective ⇑l

Context: s : Finset M

Context: hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

Context: H : Function.Surjective ⇑π

Context: hf : Function.Surjective ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: ι : Sort ?u.161801

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R N

Context: l : M →ₗ[R] N

Context: hl : Function.Surjective ⇑l

Context: s : Finset M

Context: hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

Context: H : Function.Surjective ⇑π

Context: this✝ : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: ι : Sort ?u.161801

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: inst✝¹ : FinitePresentation R N

Context: l : M →ₗ[R] N

Context: hl : Function.Surjective ⇑l

Context: s : Finset M

Context: hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

Context: H : Function.Surjective ⇑π

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

(Submodule.map (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype (LinearMap.ker f)).FG


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a n : ℕ
h : a.AtLeastTwo


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I


{r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ⊆ ↑I


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
i : ι
x : ↥I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Nonempty α
f : α →₀ M

f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ a, f = single a (f a)


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
x✝³ : α → α → Prop
x✝² : IsWellOrder α x✝³
β : Type u_4
x✝¹ : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β x✝¹

type x✝³ * type x✝¹ = 0 ↔ type x✝³ = 0 ∨ type x✝¹ = 0


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Ring k

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁸ : Module k V1

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: h : ∀ (i : ι), f.comp (LinearMap.single i).toAffineMap = g.comp (LinearMap.single i).toAffineMap


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Ring k

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹² : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁸ : Module k V1

Context: inst✝⁷ : Module k V2

Context: inst✝⁶ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝² : Finite ι

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: i : ι

Context: x : φv i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E

(iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) (fun x => c) s x) m = 0 m


((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 (fun x => c) s y) s x) (init m)) (m (last n)) = 0 m


((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => 0) s x) (init m)) (m (last n)) = 0 m


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h : affineSpan k s = ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g✝ : C(X, Z)
h✝ : FactorsThrough ⇑g✝ ⇑f
g : C(Y, Z)
x✝¹ x✝ : X
h : f x✝¹ = f x✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g✝ : C(X, Z)
h : FactorsThrough ⇑g✝ ⇑f
g : C(Y, Z)
a : Y

((fun g => hf.lift ↑g ⋯) ((fun g => ⟨g.comp f, ⋯⟩) g)) a = g a


Context: x✝ y z x : ℝ


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ

Tendsto (fun n => (⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd x)))^[n + 1] 0 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p q : P

dist ((Equiv.pointReflection p) q) q = ‖2‖ * dist p q


Context: x y r r' : ℕ

∀ {s t s' t' : ℤ}, Nat.P x y (r, s, t) → Nat.P x y (r', s', t') → Nat.P x y (r.xgcdAux s t r' s' t')


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → β → α → m β
b : β
as : List α

foldlIdxM f b as = List.foldlM (fun b p => f p.1 b p.2) b as.enum


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant


(ae μ)⁻¹⁻¹ ≤ (ae μ)⁻¹


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M

φ.Realize (⇑f ∘ v) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize v xs


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
h : x ≠ y


Context: x y : ℝ≥0


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A✝ : Type v
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R A✝
S T : Set A✝
M N P Q : Submodule R A✝
m n : A✝
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Algebra B C
inst✝ : IsScalarTower A B C
I J : Submodule B C

restrictScalars A (I * J) = restrictScalars A I * restrictScalars A J


restrictScalars A (I * J) ≤ restrictScalars A I * restrictScalars A J


restrictScalars A I * restrictScalars A J ≤ restrictScalars A (I * J)


Context: a : UnitAddCircle


Context: a' : ℝ


Context: a' : ℝ

ContinuousOn (fun x => ↑(evenKernel (↑a') x)) (Ioi 0)


Context: a' : ℝ

ContinuousOn (fun x => cexp (-↑π * ↑a' ^ 2 * ↑x) * jacobiTheta₂ (↑a' * I * ↑x) (I * ↑x)) (Ioi 0)


Context:
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

Continuous fun x => cexp (-↑π * ↑a' ^ 2 * ↑x)


Context:
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂ (↑a' * I * ↑x) (I * ↑x)) x


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
t : Multiset ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i

(Multiset.map g t).prod ∈ (Multiset.map f t).prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : ι → Set α
g : ι → α
a✝ : List ι
hg : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, g i ∈ f i

(Multiset.map g ⟦a✝⟧).prod ∈ (Multiset.map f ⟦a✝⟧).prod


(List.map g a✝).prod ∈ (List.map f a✝).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : f.NeBot


map (Prod.snd ∘ fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f) = g


Context:
P : Type u_1
inst✝ : DistribLattice P
I J : Ideal P
x i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J
hx : x ≤ i ⊔ j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

Context: h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

Context: h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

∫⁻ (a : α), (⨆ n, aeSeq hf p n) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

Context: h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

∫⁻ (a : α), ⨆ i, aeSeq hf p i a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

Context: h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

⨆ n, ∫⁻ (a : α), aeSeq hf p n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x

Context: h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

Context: n : ℕ

∫⁻ (a : α), aeSeq hf p n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R

A.rank = finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range Aᵀ))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalRing R
J : Ideal R
h : IsAdic J
n : ℕ
hn : 0 < n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace R

Context: inst✝ : TopologicalRing R

Context: J : Ideal R

Context: h : (∀ (n : ℕ), IsOpen ↑(J ^ n)) ∧ ∀ s ∈ 𝓝 0, ∃ n, ↑(J ^ n) ⊆ s

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
a : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
h : Semiconj f ga gb
h' : Semiconj f ga' gb'
x : α


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
hne : c ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0


p₃ -ᵥ p₂ ≠ 0


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: L : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜) := List.ofFn fun i => { i := inl i, j := inr (), hij := ⋯, c := -M (inl i) (inr ()) / M (inr ()) (inr ()) }

Context: L' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜) := List.ofFn fun i => { i := inr (), j := inl i, hij := ⋯, c := -M (inr ()) (inl i) / M (inr ()) (inr ()) }

Context: A : List.map toMatrix L = listTransvecCol M

Context: B : List.map toMatrix L' = listTransvecRow M

((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod).IsTwoBlockDiagonal


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: this : ∀ (hfd : (X ^ n - C a).degree ≠ 0), eval₂ (algebraMap K L) (rootOfSplits (algebraMap K L) ⋯ hfd) (X ^ n - C a) = 0


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

Context: this : ∀ (hfd : (X ^ n - C a).degree ≠ 0), rootOfSplits (algebraMap K L) ⋯ hfd ^ n = (algebraMap K L) a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞

Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0) ↔ r < 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: r : ℝ≥0∞

Context: h : Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: r : ℝ≥0

Context: h : Tendsto (fun n => ↑r ^ n) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: r : ℝ≥0

Context: h : Tendsto (fun n => ↑r ^ n) atTop (𝓝 ↑0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (HPow.hPow r) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, ‖f x‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: h_meas_nonpos_f : MeasurableSet {x | f x ≤ 0}


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfi : IntegrableOn f s μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g s μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E ⊤)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E ⊤)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: a : α

Context: this : Tendsto (fun k => ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E ⊤)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: C : ℝ

Context: F : ι → ↥(lp E ⊤)

Context: hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C

Context: f : (a : α) → E a

Context: a : α

Context: k : ι

Context: hCFk : ‖F k‖ ≤ C


Context: n : ℕ

n * n.succ.ascFactorial 0 = (n + 0) * n.ascFactorial 0


Context: n k : ℕ

n * n.succ.ascFactorial (k + 1) = (n + (k + 1)) * n.ascFactorial (k + 1)


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule.toAddSubmonoid


AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ≤ F.submodule.toAddSubmonoid


F.submodule.toAddSubmonoid ≤ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: P' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : AddGroup M

Context: inst✝⁷ : AddGroup N

Context: inst✝⁶ : AddGroup P

Context: f : M →+ N

Context: g : N →+ P

Context: X₁ : Type u_8

Context: X₂ : Type u_9

Context: X₃ : Type u_10

Context: Y₁ : Type u_11

Context: Y₂ : Type u_12

Context: Y₃ : Type u_13

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid X₃

Context: inst✝² : AddCommMonoid Y₁

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂

Context: inst✝ : AddCommMonoid Y₃

Context: e₁ : X₁ ≃+ Y₁

Context: e₂ : X₂ ≃+ Y₂

Context: e₃ : X₃ ≃+ Y₃

Context: f₁₂ : X₁ →+ X₂

Context: f₂₃ : X₂ →+ X₃

Context: g₁₂ : Y₁ →+ Y₂

Context: g₂₃ : Y₂ →+ Y₃

Context: comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂

Context: comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃

Context: H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃

Context: h₁₂ : ∀ (x : X₁), (g₁₂.comp ↑e₁) x = ((↑e₂).comp f₁₂) x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: P' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : AddGroup M

Context: inst✝⁷ : AddGroup N

Context: inst✝⁶ : AddGroup P

Context: f : M →+ N

Context: g : N →+ P

Context: X₁ : Type u_8

Context: X₂ : Type u_9

Context: X₃ : Type u_10

Context: Y₁ : Type u_11

Context: Y₂ : Type u_12

Context: Y₃ : Type u_13

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid X₃

Context: inst✝² : AddCommMonoid Y₁

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂

Context: inst✝ : AddCommMonoid Y₃

Context: e₁ : X₁ ≃+ Y₁

Context: e₂ : X₂ ≃+ Y₂

Context: e₃ : X₃ ≃+ Y₃

Context: f₁₂ : X₁ →+ X₂

Context: f₂₃ : X₂ →+ X₃

Context: g₁₂ : Y₁ →+ Y₂

Context: g₂₃ : Y₂ →+ Y₃

Context: comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂

Context: comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃

Context: H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃

Context: h₂₃ : ∀ (x : X₂), (g₂₃.comp ↑e₂) x = ((↑e₃).comp f₂₃) x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: P' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : AddGroup M

Context: inst✝⁷ : AddGroup N

Context: inst✝⁶ : AddGroup P

Context: f : M →+ N

Context: g : N →+ P

Context: X₁ : Type u_8

Context: X₂ : Type u_9

Context: X₃ : Type u_10

Context: Y₁ : Type u_11

Context: Y₂ : Type u_12

Context: Y₃ : Type u_13

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid X₃

Context: inst✝² : AddCommMonoid Y₁

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂

Context: inst✝ : AddCommMonoid Y₃

Context: e₁ : X₁ ≃+ Y₁

Context: e₂ : X₂ ≃+ Y₂

Context: e₃ : X₃ ≃+ Y₃

Context: f₁₂ : X₁ →+ X₂

Context: f₂₃ : X₂ →+ X₃

Context: g₁₂ : Y₁ →+ Y₂

Context: g₂₃ : Y₂ →+ Y₃

Context: comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂

Context: comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃

Context: H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃

Context: h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)

Context: h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: P' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : AddGroup M

Context: inst✝⁷ : AddGroup N

Context: inst✝⁶ : AddGroup P

Context: f : M →+ N

Context: g : N →+ P

Context: X₁ : Type u_8

Context: X₂ : Type u_9

Context: X₃ : Type u_10

Context: Y₁ : Type u_11

Context: Y₂ : Type u_12

Context: Y₃ : Type u_13

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid X₃

Context: inst✝² : AddCommMonoid Y₁

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂

Context: inst✝ : AddCommMonoid Y₃

Context: e₁ : X₁ ≃+ Y₁

Context: e₂ : X₂ ≃+ Y₂

Context: e₃ : X₃ ≃+ Y₃

Context: f₁₂ : X₁ →+ X₂

Context: f₂₃ : X₂ →+ X₃

Context: g₁₂ : Y₁ →+ Y₂

Context: g₂₃ : Y₂ →+ Y₃

Context: comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂

Context: comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃

Context: H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃

⇑g₂₃ ∘ ⇑g₁₂ = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: P' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : AddGroup M

Context: inst✝⁷ : AddGroup N

Context: inst✝⁶ : AddGroup P

Context: f : M →+ N

Context: g : N →+ P

Context: X₁ : Type u_8

Context: X₂ : Type u_9

Context: X₃ : Type u_10

Context: Y₁ : Type u_11

Context: Y₂ : Type u_12

Context: Y₃ : Type u_13

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid X₃

Context: inst✝² : AddCommMonoid Y₁

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂

Context: inst✝ : AddCommMonoid Y₃

Context: e₁ : X₁ ≃+ Y₁

Context: e₂ : X₂ ≃+ Y₂

Context: e₃ : X₃ ≃+ Y₃

Context: f₁₂ : X₁ →+ X₂

Context: f₂₃ : X₂ →+ X₃

Context: g₁₂ : Y₁ →+ Y₂

Context: g₂₃ : Y₂ →+ Y₃

Context: comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂

Context: comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃

Context: H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃

∀ (y : Y₂), g₂₃ y = 0 → y ∈ Set.range ⇑g₁₂


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E 2 μ)
hg : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ

⟪f, g⟫_𝕜 = ⟪↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f), g⟫_𝕜


⟪f - ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) f), g⟫_𝕜 = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t : Finset α
a b : α
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

‖f‖ = SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc f))


∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal • ‖x‖


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ

z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ‖f z - 1‖ = ‖z - 1‖


Context:
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ‖f z - 1‖ ^ 2 = ‖z - 1‖ ^ 2


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : normSq (f z - 1) = normSq (z - 1)


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : (f z - 1) * (starRingEnd ℂ) (f z - 1) = (z - 1) * (starRingEnd ℂ) (z - 1)


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : (f z - 1) * ((starRingEnd ℂ) (f z) - (starRingEnd ℂ) 1) = (z - 1) * ((starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) 1)


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : f z * (starRingEnd ℂ) (f z) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = z * (starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = z * (starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : (starRingEnd ℂ) (f z) + (f z - 1) = (starRingEnd ℂ) z + (z - 1)


Context: f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ

Context: h : f 1 = 1

Context: z : ℂ

Context: this : (starRingEnd ℂ) (f z) + f z = (starRingEnd ℂ) z + z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ


⨆ x, ((↑x).restrict s).lintegral μ ≤ ⨆ x, (↑x).lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a

∃ i', ((↑⟨φ, hφ⟩).restrict s).lintegral μ ≤ (↑i').lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a
x : α

↑(φ.restrict s) x ≤ (fun a => s.indicator f a) x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: α : Ext X Y n

Context: m : ℕ

Context: β₁ β₂ : Ext Y Z m

Context: p : ℕ

Context: h : n + m = p

Context: this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

(α.comp (β₁ + β₂) h).hom = (α.comp β₁ h + α.comp β₂ h).hom


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: a : E i

Context: j : α

Context: hij : j ≠ i


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

Context: h : IsEmpty ((i : δ) → π i)


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

Context: x : (i : δ) → π i


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Group G✝

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: f : α → G✝

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

Context: hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Group G✝

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: f : α → G✝

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: x₀ : G


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
n : ℕ

(coeff R m) (X s ^ n) = if m = single s n then 1 else 0


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
p n : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)

MeasurableSet {p | LineDifferentiableAt 𝕜 f p.1 p.2}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: this : Continuous (Function.uncurry g)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: this : Continuous (Function.uncurry g)

Context: M_meas : MeasurableSet {q | DifferentiableAt 𝕜 (g q.1) q.2}


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.22043, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

J.toPlus P ≫ J.plusMap η ≫ (J.isoToPlus Q hQ).inv = η


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

(J.toPlus P ≫ J.plusMap η) ≫ (J.isoToPlus Q hQ).inv = η


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

J.toPlus P ≫ J.plusMap η = η ≫ (J.isoToPlus Q hQ).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

J.toPlus P ≫ J.plusMap η = η ≫ J.toPlus Q


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ g.cycleType


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm (Fin 5)
h : 3 ∈ (c * g').cycleType
hd : c.Disjoint g'
left✝ : c.IsCycle
h3 : c.support.card = 3
n : ℕ
hn : n ∈ g'.cycleType


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
f : γ → β → α
a : γ → α
s : Finset γ

(∀ i ∈ s, HasProd (f i) (a i)) → HasProd (fun b => ∏ i ∈ s, f i b) (∏ i ∈ s, a i)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E

eLpNormEssSup (f + g) μ ≤ eLpNormEssSup f μ + eLpNormEssSup g μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
x : α

(fun x => ↑‖(f + g) x‖₊) x ≤ ((fun x => ↑‖f x‖₊) + fun x => ↑‖g x‖₊) x


‖f x + g x‖₊ ≤ ‖f x‖₊ + ‖g x‖₊


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R

(coeff R (m + n)) ((monomial R m) a * φ) = a * (coeff R n) φ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.37071, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
q n : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : NoAccidental t
x✝ : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)

x✝ ∈ (graph t).cliqueSet 3 ↔ x✝ ∈ ⇑toTriangle '' ↑t


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x✝ y x : α

Context: hx : f x ≠ x

Context: h : ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x✝ y✝ x : α

Context: hx : f x ≠ x

Context: y : α

Context: hy : (g * f * g⁻¹) y ≠ y


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f g : Perm α

Context: x✝ y✝ x : α

Context: hx : f x ≠ x

Context: y : α

Context: hy : (g * f * g⁻¹) y ≠ y

(g * f * g⁻¹).SameCycle (g x) (g (g⁻¹ y))


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]

x ∈ RingHom.ker toZMod ↔ x ∈ maximalIdeal ℤ_[p]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c
a x : α


Context:
xl xr : Type u
x : PGame


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y

IsPreconnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsPreconnected s


Context:
x✝ y x : ℝ
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ filter p s, f x


∏ x ∈ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p s), f x = ∏ x ∈ filter p s, f x


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
μ_fin : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
f_bdd : ∃ c, ∀ (x : α), f x ≤ ↑c


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

⇑(Trivialization.linearMapAt R e b) = fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
b₁ b₂ : P

(s.weightedVSubOfPoint p b₁) w = (s.weightedVSubOfPoint p b₂) w


(s.weightedVSubOfPoint p b₁) w - (s.weightedVSubOfPoint p b₂) w = 0


∑ x ∈ s, (w x • (p x -ᵥ b₁) - w x • (p x -ᵥ b₂)) = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: W : C

Context: g : W ⟶ Y

Context: i : S.Arrow

Context: h : G.obj W ⟶ i.Y

Context: w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f

(GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback f ↑S), ⋯⟩).arrows g


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: W : C

Context: g : W ⟶ Y

Context: i : S.Arrow

Context: h : G.obj W ⟶ i.Y

Context: w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f

s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } ≫ α.app (op W) = s.ι i ≫ R.map h.op ≫ α.app (op W)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: W : C

Context: g : W ⟶ Y

Context: i : S.Arrow

Context: h : G.obj W ⟶ i.Y

Context: w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f

s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } ≫ α.app (op W) = (s.ι i ≫ R.map h.op) ≫ α.app (op W)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: W : C

Context: g : W ⟶ Y

Context: i : S.Arrow

Context: h : G.obj W ⟶ i.Y

Context: w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f

s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } = s.ι i ≫ R.map h.op


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: W : C

Context: g : W ⟶ Y

Context: i : S.Arrow

Context: h : G.obj W ⟶ i.Y

Context: w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f

Context: r : S.Relation := { fst := { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }, snd := i, r := { Z := { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.Y, g₁ := 𝟙 { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.Y, g₂ := h, w := ⋯ } }


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f
this : x ∈ t


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ✝.IsMulLeftInvariant
s : Set G
μ : Measure G


μ (s * closure {1}) ≤ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), μ t


∀ (i : Set G), s ⊆ i → MeasurableSet i → μ (s * closure {1}) ≤ μ i


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ✝ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ✝.IsMulLeftInvariant
s : Set G
μ : Measure G
t : Set G
kt : s ⊆ t
t_meas : MeasurableSet t


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : CharP R p
h : ↑p = 0


Context:
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'

Equicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), Equicontinuous F


Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ↔ ∀ (k : κ), Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this✝ : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0

⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖ * (o.oangle x y).cos


⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖ * (((o.kahler x) y).re / (‖x‖ * ‖y‖))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Sbtw ℝ p₃ p₂ p₃'
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂

∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃' + ↑π


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K

(filter (IsUnramified k) univ).card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ).card * finrank k K


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : NumberField K

Context: inst✝⁵ : Algebra k K

Context: inst✝⁴ : Algebra k F

Context: inst✝³ : Algebra K F

Context: inst✝² : IsScalarTower k K F

Context: σ : K ≃ₐ[k] K

Context: w : InfinitePlace K

Context: inst✝¹ : NumberField k

Context: inst✝ : IsGalois k K

Context: this : Module.Finite k K := Module.Finite.of_restrictScalars_finite ℚ k K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N✝ : Matroid β
E B I : Set α
N : Matroid β
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_zero : c ≠ 0


∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun x => x * c⁻¹) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
c_ne_zero : c ≠ 0
x : ℝ≥0∞


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : α


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
dvd : n ∣ orderOf x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : s.OrdConnected


(interior ↑(upperClosure s) ∩ interior ↑(lowerClosure s)).OrdConnected


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
hn : G ‖ 0


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
hn : ∃ i, 0 ≤ G.moveLeft i


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
i : G.LeftMoves
hi : 0 ≤ G.moveLeft i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: μ : Measure γ

Context: μ' : Measure δ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ'

Context: X : γ → α

Context: X' : δ → α

Context: Y : γ → β

Context: Y' : δ → β

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: h_ident : IdentDistrib (fun ω => (X ω, Y ω)) (fun ω => (X' ω, Y' ω)) μ μ'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: μ : Measure γ

Context: μ' : Measure δ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ'

Context: X : γ → α

Context: X' : δ → α

Context: Y : γ → β

Context: Y' : δ → β

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

(Measure.map X μ).prod (Measure.map Y μ) = (Measure.map X' μ').prod (Measure.map Y' μ')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: μ : Measure γ

Context: μ' : Measure δ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ'

Context: X : γ → α

Context: X' : δ → α

Context: Y : γ → β

Context: Y' : δ → β

Context: h_indep : IndepFun X Y μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

∃ M, 0 < M ∧ ∀ (x : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F × ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G), ‖x.1.prod x.2‖ ≤ M * ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F × ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

∀ (m : (i : ι) → E i), ‖(p.1.prod p.2) m‖ ≤ ‖p‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: m : (i : ι) → E i

‖(p.1.prod p.2) m‖ ≤ ‖p‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: m : (i : ι) → E i

‖(p.1 m, p.2 m).1‖ ≤ ‖p‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖ ∧ ‖(p.1 m, p.2 m).2‖ ≤ ‖p‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
s : Set (Set α)
hs : s.Countable
h : ∀ t ∈ s, NullMeasurableSet t μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R

((toBasicOpen R f).comp (algebraMap R (Localization.Away f))) g = (toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen f)) g