Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: Y : C

prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ prod.snd = prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ prod.map (CategoryTheory.inv (terminalComparison F)) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F (⊤_ C) Y) ≫ F.map prod.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X Y✝ : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: Y : C

prodComparison F (⊤_ C) Y ≫ prod.map (terminalComparison F) (𝟙 (F.obj Y)) ≫ prod.snd = F.map prod.snd


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X : C

(MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).hom = MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (asIso (terminalComparison F)).inv ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X (𝟙_ C) ≫ F.map (MonoidalCategory.rightUnitor X).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X : C

prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ (MonoidalCategory.rightUnitor (F.obj X)).hom = prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft (F.obj X) (asIso (terminalComparison F)).inv ≫ (fun X Y => (asIso (prodComparison F X Y)).inv) X (𝟙_ C) ≫ F.map (MonoidalCategory.rightUnitor X).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X : C

prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ prod.fst = prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ prod.map (𝟙 (F.obj X)) (CategoryTheory.inv (terminalComparison F)) ≫ CategoryTheory.inv (prodComparison F X (⊤_ C)) ≫ F.map prod.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X✝ Y : C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.241337, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : HasTerminal C

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProducts C

Context: inst✝³ : HasTerminal D

Context: inst✝² : HasBinaryProducts D

Context: inst✝¹ : PreservesLimit (empty C) F

Context: X : C

prodComparison F X (⊤_ C) ≫ prod.map (𝟙 (F.obj X)) (terminalComparison F) ≫ prod.fst = F.map prod.fst


Context:
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α

(M.disjointSum N h).Indep I ↔ M.Indep (I ∩ M.E) ∧ N.Indep (I ∩ N.E) ∧ I ⊆ M.E ∪ N.E


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ

descPochhammer ℤ n = (ascPochhammer ℤ n).comp (X - ↑n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a c✝ d c : α

Context: h : a ≤ a + c


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
x : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ (aeval f).range


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
p : K[X]


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (X : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.obj X)

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F J I).obj X).obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F J I).obj X').obj ((single₀ I).obj Y)).HasMap p

Context: j : J

ιMapBifunctorMapObj F p X ((single₀ I).obj Y) j 0 j ⋯ ≫ (CofanMapObjFun.iso (mapBifunctorRightUnitorCofanIsColimit F Y e p hp X j)).inv = (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).hom ≫ e.hom.app (X j)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : D ⥤ C ⥤ D

Context: Y : C

Context: e : F.flip.obj Y ≅ 𝟭 D

Context: p : J × I → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (j, 0) = j

Context: X X' : GradedObject J D

Context: φ : X ⟶ X'

Context: j : J

Cofan.inj (mapBifunctorRightUnitorCofan F Y e p hp X j) ⟨(j, 0), ⋯⟩ = (F.obj (X j)).map (singleObjApplyIso 0 Y).hom ≫ e.hom.app (X j)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E

setToFun μ T hT (s.indicator fun x_1 => x) = (T s) x


setToFun μ T hT ↑↑(indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (T s) x


(L1.setToL1 hT) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (T s) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
r x : β
hx : x ∈ Iio r
y : β
hy : y ∈ Iio r
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
r x : β
hx : x < r
y : β
hy : y < r
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
ha' : 0 < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤


(fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) 1 ⋯


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Set M
x✝¹ : { x // x ∈ ↑(closure s) }
x : M
hx : x ∈ ↑(closure s)
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
g₁ : M
g₂ : g₁ ∈ closure s
hg₁ : M
hg₂ : hg₁ ∈ closure s

(fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) g₁ g₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) hg₁ hg₂ → (fun y hy => ⟨y, hy⟩ ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)) (g₁ * hg₁) ⋯


Context:
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
uγ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ


Context:
α : Type u_1
c : Set (Set α)
hu : ⋃₀ c = Set.univ
H : c.PairwiseDisjoint id
a : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: Z : M → Type u_9

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)

Context: inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)

Context: inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)

Context: inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)

Context: inst✝² : FiberBundle F Z

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I

Context: p : TotalSpace F Z

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj

UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: Z : M → Type u_9

Context: inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)

Context: inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)

Context: inst✝² : FiberBundle F Z

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I

Context: p : TotalSpace F Z

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: hp : p ∈ e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: Z : M → Type u_9

Context: inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)

Context: inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)

Context: inst✝² : FiberBundle F Z

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I

Context: p : TotalSpace F Z

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: hp : p ∈ e.source

Context: this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: Z : M → Type u_9

Context: inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)

Context: inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)

Context: inst✝² : FiberBundle F Z

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I

Context: p : TotalSpace F Z

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: hp : p ∈ e.source

UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) (↑e.symm (↑e.toPartialHomeomorph p))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: Z : M → Type u_9

Context: inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)

Context: inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)

Context: inst✝² : FiberBundle F Z

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I

Context: p : TotalSpace F Z

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: hp : p ∈ e.source

e.symm.target ∩ ↑e.symm.symm ⁻¹' s ×ˢ univ ⊆ TotalSpace.proj ⁻¹' s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set M

Context: x : M

Context: F : Type u_8

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: Z : M → Type u_9

Context: inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)

Context: inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)

Context: inst✝² : FiberBundle F Z

Context: inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z

Context: inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I

Context: p : TotalSpace F Z

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

Context: hp : p ∈ e.source

Context: y : TotalSpace F Z

Context: hy : y ∈ e.symm.target

Context: hys : (↑e.symm.symm y).1 ∈ s


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I✝ : Ideal R

Context: f✝ f : R[X]

Context: I : Ideal R

Context: x : R

Context: this : (algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) (C x))

(quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f) ((algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x) = (algebraMap R ((R ⧸ I)[X] ⧸ span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) x


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I✝ : Ideal R

Context: f✝ f : R[X]

Context: I : Ideal R

Context: x : R

(Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (C ((Ideal.Quotient.mk I) x)) = (algebraMap R ((R ⧸ I)[X] ⧸ span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) x


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasInitial C
P : C

desc (𝟙 P) (initial.to P) ≫ inl = 𝟙 (P ⨿ ⊥_ C)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : 1 / a = 1 / b


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

Context: nne : ↑n ≠ 0

Context: this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hz : z ≠ 0

Context: nne : ↑n ≠ 0

Context: this : (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) - ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) = ↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R

(ascPochhammer ℤ 0).smeval r = (ascPochhammer ℕ 0).smeval r


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

(ascPochhammer ℤ (n + 1)).smeval r = (ascPochhammer ℕ (n + 1)).smeval r


(ascPochhammer ℤ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r


(ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r


Context:
r : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 0 ≤ p


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: l l₁✝ l₂ : List (Sigma β)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l₀ l₁ : List (Sigma β)

Context: nd₀ : l₀.NodupKeys

Context: nd₁ : l₁.NodupKeys

Context: h : ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x l₀ ↔ y ∈ dlookup x l₁

Context: x✝ : Sigma β

Context: a : α

Context: b : β a

⟨a, b⟩ ∈ l₀ ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l₁


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0

n.divisors.card = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0

(n.factorization.prod fun p k => (σ 0) (p ^ k)) = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : S = ⊤
x : A


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A

x ∈ S ↔ x ∈ ⊤


Context:
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
R₂ : Type u_2
inst✝¹² : Ring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : Ring R₃
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
M₄ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝³ : AddCommGroup M₄
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x : M


Context:
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b' ≡ c [ZMOD ↑b]
n : ℕ

↑(ofDigits b' (b'.digits n)) ≡ ofDigits c (b'.digits n) [ZMOD ↑b]


ofDigits (↑b') (b'.digits n) ≡ ofDigits c (b'.digits n) [ZMOD ↑b]


Context:
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0


Context:
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite V
ι : Sort u_1
f : ι → G.Finsubgraph


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

HasStrictFDerivAt f f' y ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') y


(∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ((proj i).comp ((↑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜)).comp f')) y) ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') y


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume

Context: w : ℝ

HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: w : ℝ

Context: hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: w : ℝ

Context: L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: w : ℝ

Context: h_int : Integrable (fun v => fourierSMulRight L f v) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: w : ℝ

Context: h_int : Integrable (fun v => 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) v) w) • fourierSMulRight L f v) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: w : ℝ

𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w = (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 volume L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: w : ℝ

𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w = ∫ (x : ℝ), (𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) x) w) • fourierSMulRight L f x) 1 ∂volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: f✝ : V → E

Context: f : ℝ → E

Context: hf : Integrable f volume

Context: w : ℝ

𝓕 (fun x => -2 • ↑π • I • ↑x • f x) w = ∫ (x : ℝ), 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) x) w) • -2 • ↑π • I • x • f x ∂volume


Context:
step s m n : Nat
step0 : 0 < step

range' s m step ⊆ range' s n step ↔ m ≤ n


Context:
step s m n : Nat
step0 : 0 < step
h : range' s m step ⊆ range' s n step
hn : n < m


Context:
step s m n : Nat
step0 : 0 < step
h : range' s m step ⊆ range' s n step
hn : n < m
i : Nat
h' : i < n
e : s + step * n = s + step * i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g

Computable fun a => Option.map (g a) (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
x✝ : α

Option.map (g x✝) (f x✝) = (f x✝).bind fun b => Option.some (g x✝ b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹⁰ : NormalSpace α

Context: inst✝⁹ : R1Space α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : μ.WeaklyRegular

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: this : NormedSpace ℝ E


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M

x ∈ P ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)


x ∈ LinearMap.range (Finsupp.total ι M R (⇑P.subtype ∘ ⇑b)) ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
o : ℕ
p : R[X]
coeff_ne_zero : p.coeff o ≠ 0
h_natDeg_le : p.natDegree ≤ o


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α

Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
h_univ : univ = ⋃ n, Iic (xs n)


Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => Iic (xs n)


Context:
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A


Context:
x : ℂ
y : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

Context: hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

map (alternatingGroup α).subtype ⊤ ≤ map (alternatingGroup α).subtype (normalClosure {⟨f, ⋯⟩})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

alternatingGroup α ≤ closure (⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

{σ | σ.IsThreeCycle} ⊆ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

Context: g : Perm α

Context: h : g ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}

g ∈ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

Context: c : Perm α

Context: h : c * f * c⁻¹ ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}

c * f * c⁻¹ ∈ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

Context: c : Perm α

Context: h : c * f * c⁻¹ ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}

⟨c * f * c⁻¹, ⋯⟩ ∈ Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h5 : 5 ≤ card α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsThreeCycle

Context: c : Perm α

Context: h : c * f * c⁻¹ ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}

∃ a ∈ {⟨f, ⋯⟩}, IsConj a ⟨c * f * c⁻¹, ⋯⟩


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f

IsSeparator (∐ f) ↔ IsSeparating (Set.range f)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: β : Type w

Context: f : β → C

Context: inst✝ : HasCoproduct f

Context: h : IsSeparator (∐ f)

Context: X Y : C

Context: u v : X ⟶ Y

Context: huv : ∀ G ∈ Set.range f, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
h : IsSeparating (Set.range f)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : ∐ f ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
hZ : Z ∈ Set.range f
g : Z ⟶ X


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)

Context: K : IntermediateField F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: H_le : H ≤ (fixedField H).fixingSubgroup


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < min p.radius q.radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r✝ : ℝ≥0

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius

Context: this : (fun x => ‖p x‖ * ↑r ^ x + ‖q x‖ * ↑r ^ x) =O[atTop] fun x => 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r✝ : ℝ≥0

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius

Context: n : ℕ

‖‖(p + q) n‖ * ↑r ^ n‖ ≤ ‖‖p n‖ * ↑r ^ n + ‖q n‖ * ↑r ^ n‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r✝ : ℝ≥0

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < p.radius ∧ ↑r < q.radius

Context: n : ℕ

‖(p + q) n‖ * ‖↑r ^ n‖ ≤ ‖‖p n‖ + ‖q n‖‖ * ‖↑r ^ n‖


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor

Context: inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

Context: s : Cone D

Context: j : J

(s.pt.a ≫ T.map (t.lift (T.forget.mapCone s))) ≫ T.map (c.π.app j) = (t.lift (T.forget.mapCone s) ≫ lambda c t) ≫ T.map (c.π.app j)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J

Context: T : Comonad C

Context: D : J ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: s : Cone D

Context: j : J

s.pt.a ≫ T.map ((T.forget.mapCone s).π.app j) = (T.forget.mapCone s).π.app j ≫ (D.obj j).a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J✝

Context: T : Comonad C

Context: D : J✝ ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: s : Cone D

Context: m : s.pt ⟶ (liftedCone c t).pt

Context: J : ∀ (j : J✝), m ≫ (liftedCone c t).π.app j = s.π.app j

m.f = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D✝ : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝

Context: J✝ : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} J✝

Context: T : Comonad C

Context: D : J✝ ⥤ T.Coalgebra

Context: c : Cone (D ⋙ T.forget)

Context: t : IsLimit c

Context: s : Cone D

Context: m : s.pt ⟶ (liftedCone c t).pt

∀ (j : J✝), m.f ≫ c.π.app j = ((fun s => { f := t.lift (T.forget.mapCone s), h := ⋯ }) s).f ≫ c.π.app j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)

Context: g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A

g.toLinearMap ∘ₗ ι Q = f ↔ g = (lift Q) ⟨f, cond⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A

g.toLinearMap ∘ₗ ι Q = f ↔ (lift Q).symm g = ⟨f, cond⟩


Context:
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ


Context:
n✝ b b' : ℕ
h : b' % b = 1
n : ℕ

ofDigits b' (b'.digits n) ≡ ofDigits 1 (b'.digits n) [MOD b]


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g : G


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G

(of' k G g * (x /ᵒᶠ g) + x %ᵒᶠ g) g' = x g'


(of' k G g * (x /ᵒᶠ g)) g' + (x %ᵒᶠ g) g' = x g'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsWeakLowerModularLattice α
a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z : α
h : IsCompl y z


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

∃ ε > 0, ∃ L R C, IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L R C


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : E → E
t₀ : ℝ
x₀ : E
hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀
L : ℝ≥0
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hlip : LipschitzOnWith L v s
R₁ : ℝ
hR₁ : 0 < R₁
hball : ball x₀ R₁ ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: L : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x₀

Context: hlip : LipschitzOnWith L v s

Context: R₁ : ℝ

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hball : ball x₀ R₁ ⊆ s

Context: R₂ : ℝ

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: hbdd : ∀ {x : E}, dist x x₀ < R₂ → dist ‖v x‖ ‖v x₀‖ < 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: L : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x₀

Context: hlip : LipschitzOnWith L v s

Context: R₁ : ℝ

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hball : ball x₀ R₁ ⊆ s

Context: R₂ : ℝ

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: hbdd' : ∀ x ∈ ball x₀ R₂, ‖v x‖ ≤ 1 + ‖v x₀‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: L : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x₀

Context: hlip : LipschitzOnWith L v s

Context: R₁ : ℝ

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hball : ball x₀ R₁ ⊆ s

Context: R₂ : ℝ

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: ε : ℝ := min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)

Context: hε : ε = min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: L : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x₀

Context: hlip : LipschitzOnWith L v s

Context: R₁ : ℝ

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hball : ball x₀ R₁ ⊆ s

Context: R₂ : ℝ

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: ε : ℝ := min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)

Context: hε : ε = min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)

Context: hε0 : 0 < ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: v : E → E

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : E

Context: hv : ContDiffAt ℝ 1 v x₀

Context: L : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: hs : s ∈ 𝓝 x₀

Context: hlip : LipschitzOnWith L v s

Context: R₁ : ℝ

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hball : ball x₀ R₁ ⊆ s

Context: R₂ : ℝ

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: ε : ℝ := min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)

Context: hε : ε = min R₁ R₂ / 2 / (1 + ‖v x₀‖)

Context: hε0 : 0 < ε

IsPicardLindelof (fun x => v) (t₀ - ε) t₀ (t₀ + ε) x₀ L (min R₁ R₂ / 2) (1 + ‖v x₀‖)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℚ
l : Filter α

Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto (Rat.cast ∘ f) l atTop


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : a ≠ b
ha : e ∈ G.incidenceSet a
hb : e ∈ G.incidenceSet b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9744, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9744, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this : HasZeroObject C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9744, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝ : HasZeroObject C
this : Mono S.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9744, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝¹ : HasZeroObject C
this✝ : Mono S.f
this : Epi S.g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ↪ β
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α

a⁻¹ ∈ s⁻¹ ↔ a ∈ s


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F

MeasurePreserving (⇑b.measurableEquiv) volume volume


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ F

Context: e_3✝ : MeasureSpace.toMeasurableSpace = inst✝¹

volume = map (⇑b.measurableEquiv.symm) volume


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ F

volume = map (⇑b.measurableEquiv.symm) (EuclideanSpace.basisFun ι ℝ).toBasis.addHaar


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ F

volume = ((EuclideanSpace.basisFun ι ℝ).toBasis.map b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv.toLinearEquiv).addHaar


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i : ι
a : 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 ι

⟪single i a, v⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) a * v i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: g : G →L[𝕜] E

Context: A : (m : ℕ) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) F := fun m h => h.compContinuousLinearMap fun x => g

HasFTaylorSeriesUpToOn n (f ∘ ⇑g) (fun x k => (p (g x) k).compContinuousLinearMap fun x => g) (⇑g ⁻¹' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: g : G →L[𝕜] E

Context: hA : ∀ (m : ℕ), IsBoundedLinearMap 𝕜 (A m)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hx : x ∈ l
hy : y ∈ l
h : indexOf x l = indexOf y l


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: x y : α

Context: hx : x ∈ l

Context: hy : y ∈ l

Context: h : indexOf x l = indexOf y l

Context: x_eq_y : l.get ⟨indexOf x l, ⋯⟩ = l.get ⟨indexOf y l, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hx : x ∈ l
hy : y ∈ l
h : indexOf x l = indexOf y l
x_eq_y : x = y


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
c : C

adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (L₂.map (G.map (adj₁.unit.app c))) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)


adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c ≫ (L₁ ⋙ H).map (adj₁.unit.app c)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)


adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ (R₂.map (α.app c) ≫ R₂.map ((L₁ ⋙ H).map (adj₁.unit.app c))) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)


adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c) ≫ R₂.map (H.map (𝟙 (L₁.obj c))) = adj₂.unit.app (G.obj c) ≫ R₂.map (α.app c)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α

(map (fun i => (f i)⁻¹) m).prod = (map f m).prod⁻¹


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
a₂✝ : W.Point
hP : toClass zero = toClass a₂✝


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x✝ y✝ : F
h : W.Nonsingular x✝ y✝
a₂✝ : W.Point
hP : toClass (some h) = toClass a₂✝


toClass (-some h) + toClass (some h) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝ : Fintype ι
f g : ⨁ (i : ι), M i
x✝ : ι


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝ : Fintype ι
c : R
f : ⨁ (i : ι), M i

{ toFun := DFunLike.coe, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id R) c • { toFun := DFunLike.coe, map_add' := ⋯ }.toFun f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hS : IsPreirreducible S
hU : IsOpen U
h : (S ∩ U).Nonempty


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hS : IsPreirreducible S
hU : IsOpen U
h : (S ∩ U).Nonempty
h' : ¬S ⊆ closure (S ∩ U)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hS : IsPreirreducible S
hU : IsOpen U
h : (S ∩ U).Nonempty
h' : ¬S ⊆ closure (S ∩ U)
x : X
h₁ : x ∈ S
h₂ : x ∈ U
h₃ : x ∈ (closure (S ∩ U))ᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
f : ι' → ι
hf : Function.Injective f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : UniformInducing g

map (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) ≤ 𝓤 β ↔ map (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 α) ≤ 𝓤 γ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : FloorSemiring α
m n : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E

gaugeRescale t u (gaugeRescale s t x) = gaugeRescale s u x


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t

gaugeRescale t u (gaugeRescale s t 0) = gaugeRescale s u 0


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s


{x | (fun δ => ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s δ → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s) x} ∈ 𝓝 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)

Context: εpos : 0 < ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0

∀ a ∈ Iio ⟨ε, ⋯⟩, ∀ (s : Set E) (f : E → E), ApproximatesLinearOn f A s a → μ (f '' s) ≤ ↑m * μ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : δ ∈ Iio ⟨ε, ⋯⟩

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hδ : ↑δ < ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hδ : ↑δ < ε

Context: I : ∀ (x : E) (r : ℝ), x ∈ s → 0 ≤ r → μ (f '' (s ∩ closedBall x r)) ≤ ↑m * μ (closedBall x r)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hδ : ↑δ < ε

Context: J : ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝[>] 0, μ (f '' s) ≤ ↑m * (μ s + a)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hδ : ↑δ < ε

Context: L : Tendsto (fun a => ↑m * (μ s + a)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (↑m * (μ s + 0)))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : E →L[ℝ] E

Context: m : ℝ≥0

Context: hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m

Context: d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: this : Iio ⟨ε, ⋯⟩ ∈ 𝓝 0

Context: δ : ℝ≥0

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: hf : ApproximatesLinearOn f A s δ

Context: hδ : ↑δ < ε

Context: L : Tendsto (fun a => ↑m * (μ s + a)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (↑m * μ s))


Context: a : Rat


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: finrank_K_L : FiniteDimensional.finrank K L = B.dim


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: hf : ∀ (i : ℕ), (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

p ^ n.succ ∣ Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

Context: hr : (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n) = p ^ n.succ * r


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

(algebraMap R K) (Q.coeff 0 ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ n)) = (algebraMap R K) (p ^ n.succ * r)


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

(algebraMap R K) (Q.coeff 0) ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (algebraMap R K) ((minpoly R B.gen).coeff 0) ^ n) = (algebraMap R K) p ^ n.succ * (algebraMap R K) r


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

(algebraMap R K) (Q.coeff 0) ^ n.succ * ((-1) ^ (n.succ * n) * (algebraMap R K) ((minpoly R B.gen).coeff 0) ^ n) = (Algebra.norm K) (Q.coeff 0 • B.gen ^ n)


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

Q.coeff 0 • B.gen ^ n + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, p • Q.coeff x • f (x + n) = p • (z * B.gen ^ n)


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

(Algebra.norm K) (p • (z * B.gen ^ n) - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, p • Q.coeff x • f (x + n)) = (algebraMap R K) p ^ n.succ * (algebraMap R K) r


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

Q.coeff 0 • B.gen ^ n + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, p • Q.coeff x • f (x + n) = (Q.coeff 0 • 1 + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • B.gen ^ x) * B.gen ^ n


Context: R : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type z

Context: p : R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: inst✝⁸ : Field L

Context: inst✝⁷ : Algebra K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R L

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: B : PowerBasis K L

Context: hp : _root_.Prime p

Context: hBint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: Q : R[X]

Context: hQ : (aeval B.gen) Q = p • z

Context: hzint : IsIntegral R z

Context: this : Module.Finite K L := finite B

Context: P : R[X] := minpoly R B.gen

Context: n : ℕ

Context: hn : B.dim = n.succ

Context: deg_R_P : P.natDegree = B.dim

Context: f : ℕ → L

Context: r : R

(Q.coeff 0 • B.gen ^ 0 + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • B.gen ^ x) * B.gen ^ n = (aeval B.gen) Q * B.gen ^ n


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α


|if f x ∈ Set.Ioc (-A) A then f x else 0| ≤ |A|


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝² : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)

Context: a : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X

Context: i j : α

Pi.π (fun ij => F.obj (op (pullback (c.inj ij.1) (c.inj ij.2)))) (i, j) (Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj a) = Pi.π (fun ij => F.obj (op (pullback (c.inj ij.1) (c.inj ij.2)))) (i, j) (Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj a)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: I : C

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: hI : IsInitial I

Context: α : Type

Context: X : α → C

Context: c : Cofan X

Context: hc : IsColimit c

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)

Context: i j : α

F.map (pullback.fst (c.inj i) (c.inj j)).op (Pi.π (fun i => F.obj (op (X i))) i a) = F.map (pullback.snd (c.inj i) (c.inj j)).op (Pi.π (fun i => F.obj (op (X i))) j a)


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context: o : Ordinal.{u_1}

(mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).LeftMoves = (Quotient.out o).α


Context: n p : ℕ

(↑p + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = eval (↑n) (bernoulli p.succ) - _root_.bernoulli p.succ


Context: n p : ℕ

∑ i ∈ range (p + 1), _root_.bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) = ∑ i ∈ range (p.succ + 1), eval (↑n) ((monomial i) (_root_.bernoulli (p.succ - i) * ↑(p.succ.choose i))) - _root_.bernoulli p.succ


Context: n p : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))


(X.toToΓSpecMapBasicOpen r) r = (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ((X.toRingedSpace.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) r)


(X.toToΓSpecMapBasicOpen r) r = (X.toRingedSpace.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op)) r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s


mellin (fun t => f t + g t) s = mellin f s + mellin g s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ ↑(sphere n d k)

x ∈ (fun x => (WithLp.equiv 2 (Fin n → ℝ)).symm (Nat.cast ∘ x)) ⁻¹' Metric.sphere 0 √↑k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n : ℕ
hf : IsPeriodicPt f n x
m : ℕ


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
t : W
ht : t ∈ cs.leftInvSeq ω


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
t : W
ht : t ∈ cs.rightInvSeq ω.reverse


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: f : Arrow C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom

Context: x y : SimplexCategory

Context: g : x ⟶ y

Context: j : Fin (x.len + 1)

f.hom ≫ (fun i => WidePushout.ι (fun x => f.hom) ((SimplexCategory.Hom.toOrderHom g) i)) j = WidePushout.head fun x => f.hom


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms Q
h : P ≤ Q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a a' : α

(erase a f) a' = (f - single a (f a)) a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a a' : α
h : a ≠ a'


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
x : E

x ∈ perfectClosure F E ↔ ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y Z X X' : C
f : X ⟶ X'


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Supermartingale g ℱ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: inst✝¹ : Preorder E

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hg : Supermartingale g ℱ μ


Context:
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
u : ι → UniformSpace γ
f : α → γ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.LeftFraction₂ X Y

φ.fst.map L ⋯ = ψ.fst.map L ⋯ ∧ φ.snd.map L ⋯ = ψ.snd.map L ⋯ ↔ LeftFraction₂Rel φ ψ


LeftFractionRel φ.fst ψ.fst ∧ LeftFractionRel φ.snd ψ.snd ↔ LeftFraction₂Rel φ ψ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
C₁ C₂ : ℝ
k l : ℕ
x f : ℝ
hx : 0 ≤ x
hf : 0 ≤ f
h₁ : f ≤ C₁
h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
C₁ C₂ : ℝ
k l : ℕ
x f : ℝ
hx : 0 ≤ x
hf : 0 ≤ f
h₁ : f ≤ C₁
h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂
this : 0 ≤ C₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝³ : MeasurableSpace D

Context: inst✝² : BorelSpace D

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology D

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ D

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k l : ℕ

Context: x f : ℝ

Context: hx : 0 ≤ x

Context: hf : 0 ≤ f

Context: h₁ : f ≤ C₁

Context: h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂

Context: this✝ : 0 ≤ C₂

Context: this : 2 ^ l * (C₁ + C₂) * (1 + x) ^ (-↑l) = ((1 + x) / 2) ^ (-↑l) * (C₁ + C₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝³ : MeasurableSpace D

Context: inst✝² : BorelSpace D

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology D

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ D

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k l : ℕ

Context: x f : ℝ

Context: hx : 0 ≤ x

Context: hf : 0 ≤ f

Context: h₁ : f ≤ C₁

Context: h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂

Context: this✝ : 0 ≤ C₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝³ : MeasurableSpace D

Context: inst✝² : BorelSpace D

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology D

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ D

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k l : ℕ

Context: x f : ℝ

Context: hx : 0 ≤ x

Context: hf : 0 ≤ f

Context: h₁ : f ≤ C₁

Context: h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂

Context: this✝ : 0 ≤ C₂

Context: h'x : x ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D

Context: inst✝³ : MeasurableSpace D

Context: inst✝² : BorelSpace D

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology D

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ D

Context: C₁ C₂ : ℝ

Context: k l : ℕ

Context: x f : ℝ

Context: hx : 0 ≤ x

Context: hf : 0 ≤ f

Context: h₁ : f ≤ C₁

Context: h₂ : x ^ (k + l) * f ≤ C₂

Context: this✝ : 0 ≤ C₂

Context: h'x : 1 ≤ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
h : a ∈ l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
a : α
h : a ∈ l
this : ∃ a_1, a_1 ∈ l.attach ∧ ↑a_1 = a


Context:
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_lt_one : p < 1


Context:
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_lt_one : p < 1
this : 0 < 1 - p


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
S : Set ↑↑(D.V (i, j))

⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' (⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

Context: eq₁ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

Context: eq₂ : (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k)) = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) '' (⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

⇑(pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ∘ ⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom '' (⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ⁻¹' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

⇑(pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) '' (⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom '' (⇑((PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ≫ pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ⁻¹' S)) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

⇑(pullback.snd ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) '' (⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom '' (⇑(pullback.fst ((forget C).map (D.f i j)) ((forget C).map (D.f i k))) ∘ ⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom ⁻¹' S)) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

⇑((forget C).map (D.f i k)) ⁻¹' (⇑((forget C).map (D.f i j)) '' S) = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base '' S)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: S : Set ↑↑(D.V (i, j))

Epi (PreservesPullback.iso (forget C) (D.f i j) (D.f i k)).hom


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R →+* S
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ

i ∈ p.vars ↔ i ∈ p.support.biUnion Finsupp.support


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: W₀ : Π₀ (i : ι), G i

hV.linearIsometryEquiv.symm (W₀.sum (lp.single 2)) = W₀.sum fun i => ⇑(V i)


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FunLike F A R
inst✝¹ : AlgHomClass F R A R
inst✝ : Nontrivial R
φ : F
a : A


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FunLike F A R
inst✝¹ : AlgHomClass F R A R
inst✝ : Nontrivial R
φ : F
a : A
h : ↑ₐ (φ a) - a ∈ RingHom.ker ↑φ


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Semiring 𝕜

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)

Context: c : 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: b₁ b₂ : β i

nndist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁)) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) = nndist b₁ b₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s : Set X
B : Set (Set X)
hB : IsTopologicalBasis B
x : X

(𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ s ∈ B) closure


Context:
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x✝ : K

x✝ ∈ (valuation A K).integer ↔ x✝ ∈ (algebraMap A K).range


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α


IsUpperSet s ∧ IsOpen s ↔ IsUpperSet s ∧ DirSupInacc s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsScott α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h : IsUpperSet s

Context: h' : DirSupInacc s

Context: d : Set α

Context: d₁ : d.Nonempty

Context: d₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d

Context: x✝ : α

Context: d₃ : IsLUB d x✝

Context: ha : x✝ ∈ s