Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ ≠ 0


Context: z : ℍ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
u : α → β
hu : UniformInducing u
x : X

EquicontinuousWithinAt F S x ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x


Context:
a : ℚ
tr : Transcendental ℚ ↑a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: f : α → Option β

Context: s' s t : Finset α

Context: f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'

Context: x✝ : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
a : X
U : Set X
haU : U ∈ 𝓝 a
hfin : {i | (f i ∩ U).Nonempty}.Finite


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallyInjective J (φ ≫ ψ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial β
f : α → β
hf : Surjective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial β
f : α → β
hf : Surjective f
x y : β
h : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c d : Ordinal.{u_4}


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K

{ toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun y


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
v : HeightOneSpectrum R

{ toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) v = ({ toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun y) v


↑((x + y) v) = ((fun v => ↑(x v)) + fun v => ↑(y v)) v


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s✝ t✝ : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v

|(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hu₀ : 0 < u - ⌊ξ⌋ * v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v < v


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hu₀ : 0 < u - ⌊ξ⌋ * v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v < v
hξ₀ : 0 < fract ξ


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u' = ↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hξ₀ : 0 < fract ξ

Context: u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₀ : 0 < u'

Context: huv : u' < v

Context: hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v

Context: Hu : 0 < ↑u'

Context: Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1

Context: Hv : 0 < ↑v

Context: Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ

Context: h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hξ₀ : 0 < fract ξ

Context: u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₀ : 0 < u'

Context: huv : u' < v

Context: hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v

Context: Hu : 0 < ↑u'

Context: Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1

Context: Hv : 0 < ↑v

Context: Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ

Context: h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hξ₀ : 0 < fract ξ

Context: u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₀ : 0 < u'

Context: huv : u' < v

Context: hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v

Context: Hu : 0 < ↑u'

Context: Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1

Context: Hv : 0 < ↑v

Context: Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ

Context: H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hξ₀ : 0 < fract ξ

Context: u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₀ : 0 < u'

Context: huv : u' < v

Context: hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v

Context: Hu : 0 < ↑u'

Context: Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1

Context: Hv : 0 < ↑v

Context: Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ

Context: help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hξ₀ : 0 < fract ξ

Context: u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₀ : 0 < u'

Context: huv : u' < v

Context: hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v

Context: Hu : 0 < ↑u'

Context: Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1

Context: Hv : 0 < ↑v

Context: Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ

Context: help₂ : ∀ {a b c d : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → d ≠ 0 → (b * c)⁻¹ * (b / d / a) = (d * c * a)⁻¹


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.21569
L : Type ?u.21572
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x

eval x (minpolyDiv R x) = (aeval x) (derivative (minpoly R x))


eval x (minpolyDiv R x) = eval x (derivative (minpolyDiv R x * (X - C x)))


Context:
y z : ℝ
x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
h'x : ↑x ≠ ⊤
this : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ

(ascPochhammer ℕ k).smeval (-r) = (-1) ^ k * (descPochhammer ℤ k).smeval r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ map (const α b₂) l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ replicate l.length b₂


Context:
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε


↑(↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card / (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card)) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε


↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card / (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε


↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card ≤ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card)


↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card ≤ ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : NonAssocSemiring β
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix n m R
v : n → R
i : m


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
v : ι →₀ R

(v.sum fun i vi => b.repr.symm (Finsupp.single i vi)) = (Finsupp.total ι M R ⇑b) v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g : α → β
inst✝¹ : SMul 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f' : α → β
h_f'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'


Context:
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y

(x / y).toNNReal = x.toNNReal / y.toNNReal


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: l : List α

Context: h : ∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]

Context: i : ℕ

Context: hi : i < l.length

Context: j : ℕ

Context: hj : j < l.length

Context: hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨j, hj⟩


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: l : List α

Context: i : ℕ

Context: hi : i < l.length

Context: j : ℕ

Context: hj : j < l.length

Context: hij : i < j


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: l : List α

Context: i : ℕ

Context: hi hj : i < l.length

Context: hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨i, hj⟩


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: l : List α

Context: i : ℕ

Context: hi : i < l.length

Context: j : ℕ

Context: hj : j < l.length

Context: hji : j < i


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ


Context:
q✝ q : ℚ
n : ℕ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ

dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) * dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) = ‖p1 -ᵥ p2 + (r1 - r2) • v‖ * ‖p1 -ᵥ p2 + (r1 - r2) • v‖


‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖(r1 - r2) • v‖ * ‖(r1 - r2) • v‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * |r1 - r2| * ‖v‖ * ‖v‖


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C

(X.tensorObj Y).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.braiding X.src Y.src).hom (prod.braiding X.tgt Y.tgt).hom)).obj (Y.tensorObj X).rel


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasurePreserving (⇑e) μb μc

MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc ↔ MeasurePreserving g μa μb


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasurePreserving (⇑e) μb μc
hg : MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc


Context:
p q : Prop
α : Sort u_1
s : α → Prop

¬p ∧ q ∨ ¬¬p ∧ ¬q ↔ p ∧ ¬q ∨ ¬p ∧ q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : ℕ
a : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this : HasZeroObject C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝ : HasZeroObject C
this : Mono S.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝¹ : HasZeroObject C
this✝ : Mono S.f
this : Epi S.g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
r : β


Convex 𝕜 ({x | x ∈ s ∧ f x ≤ r} ∩ {x | x ∈ s ∧ g x ≤ r})


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)

automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x


∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β

automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)


Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: R✝ : Type u_7

Context: R₂ : Type u_8

Context: M✝ : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : T2Space M

Context: R : Type u_12

Context: inst✝⁴ : DivisionRing R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R M

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : MulAction α β

Context: f : β → M

Context: g : Quotient (orbitRel α β) → R

Context: x : Quotient (orbitRel α β)

Context: b : β

Context: π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: R✝ : Type u_7

Context: R₂ : Type u_8

Context: M✝ : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : T2Space M

Context: R : Type u_12

Context: inst✝⁴ : DivisionRing R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R M

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : MulAction α β

Context: f : β → M

Context: g : Quotient (orbitRel α β) → R

Context: x : Quotient (orbitRel α β)

Context: b : β

Context: H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: R✝ : Type u_7

Context: R₂ : Type u_8

Context: M✝ : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: M : Type u_11

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : T2Space M

Context: R : Type u_12

Context: inst✝⁴ : DivisionRing R

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul R M

Context: inst✝¹ : Group α

Context: inst✝ : MulAction α β

Context: f : β → M

Context: g : Quotient (orbitRel α β) → R

Context: x : Quotient (orbitRel α β)

Context: b : β

Context: H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b

∑' (a : α), g (π b) • f (a • b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a • b)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Rack R

Context: x y : R

Context: h : (op x ◃ op x) ◃⁻¹ op y = op x ◃⁻¹ op y


Context:
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x' ≤ x


Context: x x' : PGame

Context: x_num : x.Numeric

Context: x'_num : x'.Numeric

Context: h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), x' < x.moveRight j


Context: x' : PGame

Context: x'_num : x'.Numeric

Context: xl xr : Type u_1

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : (mk xl xr xL xR).RightMoves), x' < (mk xl xr xL xR).moveRight j

Context: x_num : match mk xl xr xL xR with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric

match (mk xl xr xL xR).insertLeft x' with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric


Context: x' : PGame

Context: x'_num : x'.Numeric

Context: xl xr : Type u_1

Context: xL : xl → PGame

Context: xR : xr → PGame

Context: x_num : (∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j) ∧ (∀ (i : xl), (xL i).Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric

((∀ (a : xl) (j : xr), xL a < xR j) ∧ ∀ (j : xr), x' < xR j) ∧ ((∀ (a : xl), (xL a).Numeric) ∧ x'.Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → F
u : Fˣ

toAffine W ((fun m => m • Q) u) = toAffine W Q


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
v w : V

(fromEdgeSet (s ∪ t)).Adj v w ↔ (fromEdgeSet s ⊔ fromEdgeSet t).Adj v w


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂


Context:
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet

Hereditarily p x ↔ p x ∧ ∀ y ∈ x, Hereditarily p y


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : LinearOrderedField R
x : V → R

(((toLinearMap₂' R) (lapMatrix R G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j


Context:
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hn : Squarefree n


Context:
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l

↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: a s : ι → ℕ

Context: l l' : List ι

Context: hl : l.Perm l'

Context: hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0

Context: co : List.Pairwise (Coprime on s) l

Context: z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: a s : ι → ℕ

Context: l l' : List ι

Context: hl : l.Perm l'

Context: hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0

Context: co : List.Pairwise (Coprime on s) l

Context: hlp : (List.map s l).prod = (List.map s l').prod


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
n : ℕ

↑(∑ x ∈ s, f x) ^ (n + 1) / ↑s.card ^ n ≤ ↑(∑ x ∈ s, f x ^ (n + 1))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
h : Lifting L W F F'
X : C

(liftNatTrans L W F F F' F' (𝟙 F)).app (L.obj X) = (𝟙 F').app (L.obj X)


𝟙 ((L ⋙ F').obj X) = 𝟙 (F'.obj (L.obj X))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥


Context:
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G


∀ q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList, q = p


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
g : G
hg : orderOf g = q


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
g : G
hg : orderOf g = q
k : ℕ
hk : orderOf g = p ^ k


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Ring S
r : S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: h : x ≤ y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁵ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: inst✝¹ : Nonempty γ

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hab : Icc a b ⊆ s ∪ t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ Icc a b ∩ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ Icc a b ∩ t

Context: h : y ≤ x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
x : { x // x ∈ filter p s }


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: f : (x : α) → p x → β

Context: g : (x : α) → ¬p x → β

Context: x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β

(∏ x ∈ s, if hx : p x then f x hx else g x hx) = (∏ x ∈ (filter p s).attach, f ↑x ⋯) * ∏ x ∈ (filter (fun x => ¬p x) s).attach, g ↑x ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ

x ^ m * x ^ n * p.smeval x = x ^ m * (x ^ n * p.smeval x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context:
a b : ℝ≥0
h : a < b


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
p : α
hp : p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α


Context:
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
h : b ∈ l₂

b :: l₁.bagInter (l₂.erase b) <+ b :: l₁


Context:
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬b ∈ l₂


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Injective f

((rename f) p).degrees = Multiset.map f p.degrees


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.degree < P.degree

Context: hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0

Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.degree < P.degree

Context: hQ : Q ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.natDegree < P.natDegree

Context: hQ : Q ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.natDegree < P.natDegree

Context: hQ : Q ≠ 0

Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atBot


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.natDegree < P.natDegree

Context: hQ : Q ≠ 0

Tendsto (fun x => x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ separableClosure F E
x : ↥L


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)


Context: a : ℤ

Context: b p : ℕ

Context: hp : p ∈ b.primeFactorsList

Context: h₁✝ h₂ : Nat.Prime p

Context: this : Fact (Nat.Prime p) := { out := h₂ }

legendreSym p a = legendreSym p (a % ↑b)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

Context: inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hab : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ

Context: hf : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 c)

Context: hu : Tendsto u lt la

Context: hv : Tendsto v lt la

(fun t => ∫ (x : ℝ) in v t..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
A : Set E
hA : MeasurableSet A


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R M
x✝ : N

x✝ ∈ (map e.flip p).dualCoannihilator ↔ x✝ ∈ map e.symm p.dualAnnihilator


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : I ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))

Context: f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

((colimitCoyonedaHomIsoLimit' D F).hom ≫ limit.π (D ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : I ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)

Context: f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

((colimitHomIsoLimitYoneda' (D.op ⋙ coyoneda) F).hom ≫ limit.π ((D.op ⋙ coyoneda).rightOp ⋙ yoneda.obj F) i ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : I ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)

Context: f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

((coyoneda.map (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).op).app F ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : I ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)

Context: f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

Equiv.ulift.symm (coyonedaEquiv (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i) ≫ f)) = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C

Context: I : Type v₁

Context: inst✝² : Category.{v₂, v₁} I

Context: D : I ⥤ C

Context: F : C ⥤ Type u₂

Context: inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)

Context: f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F

Context: i : I

Equiv.ulift.symm (f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i)))) = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b✝ : α
f : β → α
a b : β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R

[DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝² : IsNoetherianRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬IsField R

Context: this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝² : IsNoetherianRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬IsField R

[DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝² : IsNoetherianRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬IsField R

Context: this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1

Context: this : maximalIdeal R ≠ ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝² : IsNoetherianRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬IsField R

Context: this : maximalIdeal R ≠ ⊥

DiscreteValuationRing R ↔ IsPrincipalIdealRing R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra R K

Context: inst✝³ : IsFractionRing R K

Context: inst✝² : IsNoetherianRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ¬IsField R

Context: this : maximalIdeal R ≠ ⊥

(∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) ↔ ∀ (P : Ideal R), P ≠ ⊥ → P.IsPrime → P = maximalIdeal R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: s : Set β

s ∈ (iInf f).lift g → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: s : Set β

Context: H : ∀ t ∈ iInf f, ⨅ i, (f i).lift g ≤ g t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: f✝ f₁ f₂ : Filter α

Context: g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: f : ι → Filter α

Context: g : Set α → Filter β

Context: s : Set β

∀ x ∈ iInf f, s ∈ g x → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]


SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.225789}
α : Type u_1
P Q : Set α

#↑(P ∪ Q) ≤ ℵ₀ ↔ #↑P ≤ ℵ₀ ∧ #↑Q ≤ ℵ₀


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : R[X]
inst✝ : Semiring S
hq : q.Monic
p₁ p₂ : R[X]
a✝ : Nontrivial R
f : R[X]
sub_eq : p₁ - p₂ = q * f


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K

MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a


Context:
α : Type u_1
l : List α
a : α


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: s : Set R


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n i : ℕ
x : α
l : List α

(i, x) ∈ enumFrom n l ↔ n ≤ i ∧ l.get? (i - n) = some x


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : 0 ≤ φ


Context: x : ℝ

DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Iic x) x ↔ x ≠ 1


Context: x : ℝ

Context: h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Iic x) x


Context: x : ℝ

Context: h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Neg.neg '' Ici (-x)) (- -x)


Context: x : ℝ

Context: this : DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => -(arcsin ∘ Neg.neg) y) (Ici (-x)) (-x)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Ring 𝕜
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι

(basisFun p 𝕜 ι) i = (WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Pi.single i 1)


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ

p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: hq : 0 < q - 1


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: hq : 0 < q - 1

Context: S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: hq : 0 < q - 1

Context: hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: hq : 0 < q - 1

Context: F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))

Context: hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: hq : 0 < q - 1

Context: key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: hq : 0 < q - 1

F.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype K

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : DecidableEq σ

Context: inst✝¹ : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝ : CharP K p

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: hq : 0 < q - 1

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ s

(1 - f i ^ (q - 1)).totalDegree ≤ (q - 1) * (f i).totalDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
n : ℕ
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : IsOpenMap (s.restrict f)

Context: finv : β → α

Context: hleft : LeftInvOn finv f s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : IsOpenMap (s.restrict f)

Context: finv : β → α

Context: hleft : LeftInvOn finv f s

Context: t : Set α

Context: ht : IsOpen t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: h : IsOpenMap (s.restrict f)

Context: finv : β → α

Context: hleft : LeftInvOn finv f s

Context: t : Set α

Context: ht : IsOpen t

finv ⁻¹' t ∩ f '' s = f '' (t ∩ s) ∩ f '' s


Context:
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ

Set.range ⇑(asOrderHom (standardSimplex.const (n + 2) k m)) ∪ {i} ≠ Set.univ


Context:
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
h : univ ⊆ {i, k}


Context:
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
h : univ ⊆ {i, k}
this : univ.card ≤ 2


Context:
n : ℕ
i k : Fin (n + 3)
m : SimplexCategoryᵒᵖ
h : univ ⊆ {i, k}
this : n + 3 ≤ 2


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

arccos (⟪-x, -y⟫_ℝ / (‖-x‖ * ‖-y‖)) = arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y


∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] y, slope f x y ≤ slope f y c


∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 y, x_1 ∈ Iio y → (f x - f y) / (x - y) ≤ (f x_1 - f y) / (x_1 - y)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
t : ℝ
ht : x < t
ht' : t < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
a : Fin n.succ → ℕ


Context:
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
𝒵 : BasedCategory 𝒮
F : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
G : 𝒴 ⥤ᵇ 𝒵


Context:
J : Type
inst✝⁴ : Finite J
K : Type
inst✝³ : Finite K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
x✝¹ : J
x✝ : K


Context:
s : ℕ
h : s ≠ 0


Context:
s : ℕ
h : s.succ ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : DistribMulAction R A
r : R
a : A


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f g : α →₀ M

Context: h : α → M → N

Context: h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 1

Context: h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
r : R


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.58544, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.58548, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] univ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0


(constFormalMultilinearSeries 𝕜 E 0).radius = ⊤


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q : R[X]

Context: P : R[X] → Prop

Context: p : R[X]

Context: h0 : 0 < p.degree

Context: hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)

Context: hX : ∀ {p : R[X]}, 0 < p.degree → P p → P (p * X)

Context: hadd : ∀ {p : R[X]} {a : R}, 0 < p.degree → P p → P (p + C a)

Context: h : 0 < degree 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q : R[X]

Context: P : R[X] → Prop

Context: p : R[X]

Context: h0 : 0 < p.degree

Context: hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)

Context: h : 0 < ⊥


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝¹ q : R[X]

Context: P : R[X] → Prop

Context: p✝ : R[X]

Context: h0✝ : 0 < p✝.degree

Context: hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)

Context: p : R[X]

Context: a : R

Context: heq0 : p.coeff 0 = 0

Context: x✝ : a ≠ 0

Context: ih : 0 < p.degree → P p

Context: h0 : 0 < (p + C a).degree

Context: h : 0 ≥ p.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝¹ q : R[X]

Context: P : R[X] → Prop

Context: p✝ : R[X]

Context: h0✝ : 0 < p✝.degree

Context: hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)

Context: p : R[X]

Context: x✝ : p ≠ 0

Context: ih : 0 < p.degree → P p

Context: h0' : 0 < (p * X).degree

Context: h0 : ¬0 < p.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝¹ q : R[X]

Context: P : R[X] → Prop

Context: p✝ : R[X]

Context: h0✝ : 0 < p✝.degree

Context: hC : ∀ {a : R}, a ≠ 0 → P (C a * X)

Context: p : R[X]

Context: x✝ : p ≠ 0

Context: ih : 0 < p.degree → P p

Context: h0' : 0 < (C (p.coeff 0) * X).degree

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Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology G

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E'

Context: ι : Type u_1

Context: g : ι → G → E'

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : G

Context: z₀ : E'

Context: φ : ι → G → ℝ

Context: k : ι → G

Context: hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h2ε : 0 < ε / 3

Context: p : ι → Prop

Context: hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: i : ι

Context: hpi : p i

Context: hki : dist (k i) x₀ < δ / 2

Context: hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)

Context: hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x

Context: hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1

Context: hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ

Context: hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3

Context: h1 : ∀ x' ∈ ball (k i) (δ / 2), dist (g i x') (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopology G

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝³ : SFinite μ

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E'

Context: ι : Type u_1

Context: g : ι → G → E'

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : G

Context: z₀ : E'

Context: φ : ι → G → ℝ

Context: k : ι → G

Context: hk : Tendsto k l (𝓝 x₀)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: h2ε : 0 < ε / 3

Context: p : ι → Prop

Context: hp : ∀ᶠ (i : ι) in l, p i

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: i : ι

Context: hpi : p i

Context: hki : dist (k i) x₀ < δ / 2

Context: hφi : support (φ i) ⊆ ball 0 (δ / 2)

Context: hnφi : ∀ (x : G), 0 ≤ φ i x

Context: hiφi : ∫ (x : G), φ i x ∂μ = 1

Context: hmgi : AEStronglyMeasurable (g i) μ

Context: hgi : dist (g i (k i)) z₀ < ε / 3

Context: this : dist ((φ i ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g i) (k i)) (g i (k i)) ≤ ε / 3 + ε / 3


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iio ⊤) = Ioi x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: ha : IsLUB s a

Context: a' : α

Context: ha' : a' ∈ s

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a, ¬(fun x => x ∈ s) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: s : Set α

Context: a' : α

Context: ha' : a' ∈ s

Context: ha : IsLUB s a'

Context: h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[≤] a', ¬(fun x => x ∈ s) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: ha : IsLUB s a

Context: a' : α

Context: ha' : a' ∈ s

Context: ha'a : a' < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β

lowerClosure (⇑f '' s) = (LowerSet.map f) (lowerClosure s)


lowerClosure (⇑f '' s) = (LowerSet.map f.symm).symm (lowerClosure s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
f : α ≃o β
x✝ : β

x✝ ∈ ↑(lowerClosure (⇑f '' s)) ↔ x✝ ∈ ↑((LowerSet.map f.symm).symm (lowerClosure s))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: hpow : 0 < measureUnivNNReal μ ^ (1 / p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: heLpNorm₁ : ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: heLpNorm₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: ht₂ : TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: ht₂ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: ht₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε.toReal / (3 * ↑(measureUnivNNReal μ) ^ (1 / p.toReal))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

eLpNorm (t.indicator (f n - g) + tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

eLpNorm (t.indicator (f n - g)) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

eLpNorm (t.indicator (f n) + -t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n + -g)) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ + eLpNorm (-t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n + -g)) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hnf : eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hng : eLpNorm (t.indicator g) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hlt : eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: this : ENNReal.ofReal (ε.toReal / 3) = ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: hnf : eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ ≤ ε / 3

Context: hng : eLpNorm (t.indicator g) p μ ≤ ε / 3

Context: hlt : eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hg' : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε > 0

Context: h : ε < ⊤

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: hε' : 0 < ε.toReal / 3

Context: hdivp : 0 ≤ 1 / p.toReal

Context: δ₁ : ℝ

Context: hδ₁ : 0 < δ₁

Context: δ₂ : ℝ

Context: hδ₂ : 0 < δ₂

Context: t : Set α

Context: htm : MeasurableSet t

Context: ht₁ : μ t ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

eLpNorm (t.indicator (f n)) p μ + eLpNorm (t.indicator g) p μ + eLpNorm (tᶜ.indicator (f n - g)) p μ ≤ ε / 3 + ε / 3 + ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a : α

Context: h : sign a = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a : α

Context: h : sign a = 1

Context: hn : ¬0 < a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a : α

Context: h : (if a < 0 then -1 else 0) = 1

Context: hn : ¬0 < a


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : Ei 0 →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.succ) G

Context: m : (i : Fin n.succ) → Ei i

‖f‖ * (‖m 0‖ * ∏ i : Fin n, ‖tail m i‖) = ‖f‖ * ∏ i : Fin n.succ, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: m : (i : Fin n.succ) → Ei i

‖f‖ * (‖m 0‖ * ∏ i : Fin n, ‖tail m i‖) = ‖f‖ * (‖m 0‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i.succ‖)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hs : IsClosed s

Context: this : fderiv 𝕜 f ⁻¹' s = {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableAt 𝕜 f x} ∩ {_x | 0 ∈ s}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hs : IsClosed s

MeasurableSet ({x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableAt 𝕜 f x} ∩ {_x | 0 ∈ s})


Context:
a b : ℕ+
h : a < b


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
a : ↑(Y.presheaf.obj (op V))

(residueFieldMap f ↑x) ((Y.evaluation ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) a) = (X.evaluation x) ((f.val.c.app (op V)) a)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
H : (i : η) → Subgroup (f i)
x : (i : η) → f i

x ∈ pi ∅ H ↔ x ∈ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: inst✝ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: h_inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R P)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
F : Presheaf C X
x : ↑X


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f
F : Presheaf C X
x : ↑X
this : (⋯.functorNhds x).Initial


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : OpenEmbedding ⇑f

Context: F : Presheaf C X

Context: x : ↑X

Context: this : (⋯.functorNhds x).Initial

Context: e_3✝ : ((pushforward C f).obj F).stalk (f x) = colimit ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ (pushforward C f).obj F)

Context: e_4✝ : F.stalk x = colim.obj (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F)

stalkPushforward C f F x = ((Functor.Final.colimitIso (⋯.functorNhds x).op ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ (pushforward C f).obj F)).symm ≪≫ colim.mapIso ?convert_2).hom


(⋯.functorNhds x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ (pushforward C f).obj F ≅ ((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F