Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: this : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∃ r, closedBall x ↑r ⊆ Fᶜ


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ↑ε * ‖y‖


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπp : π.IsPartition

dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • s.indicator (fun x => y) (π.tag J)) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ↑ε * ‖y‖


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπp : π.IsPartition

|(μ (π.filter fun i => π.tag i ∈ s).iUnion).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal| * ‖y‖ ≤ ↑ε * ‖y‖


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπp : π.IsPartition

Context: t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion

|(μ t).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal| ≤ ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: I : Box ι

Context: y : E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤

Context: B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤

Context: F : Set (ι → ℝ)

Context: hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I

Context: hFc : IsClosed F

Context: hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε

Context: U : Set (ι → ℝ)

Context: hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hUt : μ U < ⊤

Context: hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε

Context: rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπp : π.IsPartition

Context: htU : t ⊆ U ∩ ↑I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
b : β
h : ¬s b b

∀ {a b_1 : α}, Prod.Lex r s ({ toFun := fun a => (a, b), inj' := ⋯ } a) ({ toFun := fun a => (a, b), inj' := ⋯ } b_1) ↔ r a b_1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : N₂ ≤ f.range


comap f ⁅I, map f (comap f N₂)⁆ = ⁅I, comap f N₂⁆


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
val✝ : Fintype ↑s


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u

‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g i‖) t


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
i : G

‖g i‖ ≤ ⨆ i, ‖g i‖


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β


∀ ⦃x : G⦄, x • a = a → (x • a) • b = a • b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j✝ : Fin (n + 1)
i j : Fin n

vandermonde (Fin.cons v0 v) i.succ j.succ = Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i.succ j.succ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝² : LinearOrder R

Context: inst✝¹ : LinearOrder S

Context: f : R → S

Context: f_incr : Monotone f

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: cobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F

IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: F : Filter R

Context: inst✝² : LinearOrder R

Context: inst✝¹ : LinearOrder S

Context: f : R → S

Context: f_incr : Monotone f

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: l : R

Context: hl : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α


∀ (a : ℕ), Measurable fun x => mapNatBool α x a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
n : ℕ

MeasurableSet ((fun x => mapNatBool α x n) ⁻¹' {true})


MeasurableSet (natGeneratingSequence α n)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in f, p x → q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, q x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

‖x‖₊ = univ.sup fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: this : univ = image (fun w => ↑w) univ ∪ image (fun w => ↑w) univ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

max (univ.sup fun b => ‖x.1 b‖₊) (univ.sup fun b => ‖x.2 b‖₊) = max (univ.sup ((fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩) ∘ fun w => ↑w)) (univ.sup ((fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩) ∘ fun w => ↑w))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Continuous f

SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), IsClosed (f '' closure {x})


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x✝ y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Continuous f

Context: h : SpecializingMap f

Context: x : X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : NoAccidental t

(graph t).cliqueSet 3 = ⇑toTriangle '' ↑t


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : IsEmpty α
s : Finset α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] F

HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) f' s x ↔ HasFDerivWithinAt f ((↑iso.symm).comp f') s x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂

Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : r₁ ≤ r₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : r₂ ≤ r₁


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ✝ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: μ✝ : Measure α

Context: f : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq : p ≤ q

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: h_le_μ : eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : TopologicalGroup G✝
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x✝ : α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
t t' : TopologicalSpace G
tg : TopologicalGroup G
tg' : TopologicalGroup G
h : 𝓝 1 = 𝓝 1
x : G


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a : Associates α

Context: ha : a ≠ 0

Context: b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

p.count (a * b).factors = p.count a.factors + p.count b.factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: a0 : α

Context: nza : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

p.count (Associates.mk a0 * b).factors = p.count (Associates.mk a0).factors + p.count b.factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: a0 : α

Context: nza : a0 ≠ 0

Context: ha : Associates.mk a0 ≠ 0

Context: b0 : α

Context: nzb : b0 ≠ 0

Context: hb : Associates.mk b0 ≠ 0

p.count (Associates.mk a0 * Associates.mk b0).factors = p.count (Associates.mk a0).factors + p.count (Associates.mk b0).factors


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : MulAction G A
f : A → B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : MulAction G A
x y : G
f : A → B

(fun a => f ((x * y)⁻¹ • a)) = fun a => f (y⁻¹ • x⁻¹ • a)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
x : E
hx : gauge t x ≠ 0

gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ

Context: w : W

Context: F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v

Context: F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v

Context: B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖

HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: w : W

Context: h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: w : W

Context: h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ

Context: h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: w : W

Context: h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ

Context: h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: w : W

Context: h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ

Context: h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ

Context: h4 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, ‖F' w' v‖ ≤ B v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: w : W

Context: h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ

Context: h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ

Context: h5 : Integrable B μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: w : W

Context: h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ

Context: h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ

Context: h5 : Integrable B μ

Context: h6 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, HasFDerivAt (fun x => F x v) (F' w' v) w'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r

DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (Metric.closedBall 0 ↑r) z


DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
hu : IsUnit (1 - z • a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹

Context: z : 𝕜

Context: z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r

Context: hu : IsUnit (1 - z • a)

Context: H₁ : Differentiable 𝕜 fun w => 1 - w • a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: f : R → R

Context: n : ℕ

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f : R → R

Context: n : ℕ

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict fun x => f x ^ n, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) ({ toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ^ n)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L


x ∈ H.normalizer ↔ ∀ (x_1 : ↥H), ⁅↑x_1, x⁆ ∈ H


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddGroup α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddGroup α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: a : α

(if a < 0 then 1 else if 0 < a then -1 else 0) = -if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.s.get? n = none


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A

x ∈ S ↔ x ∈ ⊤


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
s : σ
a : R

C a * X s = (monomial (Finsupp.single s 1)) a


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
hf : LinearIndependent 𝕜 f

∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearIndependent 𝕜 g


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
f : ι → E
hf : LinearIndependent 𝕜 f
val✝ : Fintype ι


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: hf : LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i)) = ⊥

∀ᶠ (g : ι → E) in 𝓝 f, LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: hK : AntilipschitzWith K ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 (∑ i : ι, ‖f i - f i‖))


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: this : Tendsto (fun g => ∑ i : ι, ‖g i - f i‖) (𝓝 f) (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖ < ((fun a => ↑a) K)⁻¹

LinearMap.ker ((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) = ⊥


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹

Function.Injective ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i))


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹

Context: v u : ι → 𝕜

dist ((⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) - ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))) v) ((⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (g i)) - ⇑((LinearMap.lsum 𝕜 (fun x => 𝕜) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (f i))) u) ≤ ↑(∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊) * dist v u


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹

Context: v u : ι → 𝕜

‖∑ x : ι, (v x - u x) • (g x - f x)‖ ≤ ∑ i : ι, ‖g i - f i‖ * ‖v - u‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹

Context: v u : ι → 𝕜

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ Finset.univ

‖(v i - u i) • (g i - f i)‖ ≤ ‖g i - f i‖ * ‖v - u‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹

Context: v u : ι → 𝕜

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ Finset.univ

‖g i - f i‖ * ‖v i - u i‖ ≤ ‖g i - f i‖ * ‖v - u‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Finite ι

Context: f : ι → E

Context: val✝ : Fintype ι

Context: K : ℝ≥0

Context: K0 : K > 0

Context: g : ι → E

Context: hg : ∑ i : ι, ‖g i - f i‖₊ < K⁻¹

Context: v u : ι → 𝕜

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ Finset.univ


Context:
T : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} T
X : T
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : T ⥤ D
X✝ Y✝ : Over X
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map f.left ≫ ((fun Y => mk (F.map Y.hom)) Y✝).hom = ((fun Y => mk (F.map Y.hom)) X✝).hom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: b : β

Context: hb : ∀ᶠ (x : β) in map f l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: b : β

Context: hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f a) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: b : β

Context: b' : β

Context: h : b < b'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: b : β

Context: b' : β

Context: h : b < b'

Context: hb' : ∀ᶠ (a : α) in l, b' ≤ f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: f✝ g : Filter α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : NoMaxOrder β

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: hf : Tendsto f l atTop

Context: b : β

Context: b' : β

Context: h : b < b'

Context: hb' : ∀ᶠ (a : α) in l, b' ≤ f a

Context: this : {x | f x ≤ b} ∩ {x | b' ≤ f x} = ∅


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
h : p.Separable


Splits f p ↔ Splits (RingHom.id K) (map f p)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x : F.obj a
y : G.obj a


Context:
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: g : α → M → N

Context: n₁ n₂ : N

Context: a : α

Context: ha : a ∈ f.support

Context: h : g a (f a) * n₁ = g a (f a) * n₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsSplitMono f
inst✝ : Epi f


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
q : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalSemiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
L : Matrix l m α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i✝ : l
j✝ : o


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

(∏ i ∈ s, f i).vars ⊆ s.biUnion fun i => (f i).vars


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧


∀ (i : ℕ), ↑i < φ.order + ψ.order → (coeff R i) (φ * ψ) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order


∀ x ∈ antidiagonal n, (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) ψ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hi : ¬↑i < φ.order
hj : ¬↑j < ψ.order

(coeff R (i, j).1) φ * (coeff R (i, j).2) ψ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hi : φ.order ≤ ↑i
hj : ψ.order ≤ ↑j


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
hn : ↑n < φ.order + ψ.order
i j : ℕ
hij : (i, j).1 + (i, j).2 = n
hi : φ.order ≤ ↑i
hj : ψ.order ≤ ↑j


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]

(map (algebraMap F E) f).natSepDegree = f.natSepDegree


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

↑(cfcUnits f a hf' hf ha ^ n) = ↑(cfcUnits (fun x => f x ^ n) a ⋯ ⋯ ha)


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hr : r ≠ 0

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hr : r ≠ 0

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id x_1) ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hr : r ≠ 0

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: _hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hr : r ≠ 0

Context: C : ℝ

Context: _hC₀ : 0 < C

Context: n : ℕ

Context: _hn : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

Context: A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c✝ d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
x y c : α


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a₁ b₁ : M
a₂ b₂ : ↥S

f.mk' a₁ a₂ = f.mk' b₁ b₂ ↔ (Localization.r S) (a₁, a₂) (b₁, b₂)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P

∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: x g : G

Context: hx : x ∈ centralizer ↑P

Context: hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P

Context: h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)

Context: h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: x g : G

Context: hx : x ∈ centralizer ↑P

Context: hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P

Context: h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)

Context: h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))

Context: hh : h • (g • P).subtype h2 = P.subtype h1


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: x g : G

Context: hx : x ∈ centralizer ↑P

Context: hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P

Context: h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)

Context: h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))

Context: hh : ((↑h * g) • P).subtype ⋯ = P.subtype h1


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Finite (Sylow p G)

Context: P : Sylow p G

Context: x g : G

Context: hx : x ∈ centralizer ↑P

Context: hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P

Context: h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)

Context: h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f' x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f' x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cofan fun k => X ↑k
hc₂ : IsColimit c₂

Mono (Cofan.IsColimit.desc hc₁ fun i => c.inj (ι i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → β → Bool
hp : Primrec₂ p
a : β
l : List β
n : α

(bif p (id n) a then 0 else (List.findIdx (p n) l).succ) = List.findIdx (p n) (a :: l)


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ed : EDist α

Context: edist_self✝¹ : ∀ (x : α), edist x x = 0

Context: edist_comm✝¹ : ∀ (x y : α), edist x y = edist y x

Context: edist_triangle✝¹ : ∀ (x y z : α), edist x z ≤ edist x y + edist y z

Context: U : UniformSpace α

Context: hU : 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}

Context: ed' : EDist α

Context: edist_self✝ : ∀ (x : α), edist x x = 0

Context: edist_comm✝ : ∀ (x y : α), edist x y = edist y x

Context: edist_triangle✝ : ∀ (x y z : α), edist x z ≤ edist x y + edist y z

Context: U' : UniformSpace α

Context: hU' : 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}

Context: h : toEDist = toEDist


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Group α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : MulAction β α
H : Subgroup α
inst✝ : QuotientAction β H
b : β
q : α ⧸ H


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: p : A.obj (op X)

Context: p' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm p)))

Context: q : A.obj (op X)

Context: q' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm q)))

Context: h : fst ⟨p, p'⟩ = fst ⟨q, q'⟩

Context: h' : F.map (eqToHom ⋯) (snd ⟨q, q'⟩) = snd ⟨p, p'⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: p : A.obj (op X)

Context: p' q' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm p)))

Context: h : fst ⟨p, p'⟩ = fst ⟨p, q'⟩

Context: h' : F.map (eqToHom ⋯) (snd ⟨p, q'⟩) = snd ⟨p, p'⟩


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p : P1
c : k


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.33491, u_1} C

Context: Φ : C ⥤ C

Context: ε : 𝟭 C ⟶ Φ

Context: J : Type u

Context: inst✝² : LinearOrder J

Context: inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : OrderBot J

Context: j : J

Context: iter₁ iter₂ iter₃✝ iter₃ : Iteration ε j

Context: f : iter₁.Hom iter₂

Context: g : iter₂.Hom iter₃

Context: i : J

Context: hi : i < j

(f.natTrans ≫ g.natTrans).app ⟨wellOrderSucc i, ⋯⟩ = (iter₁.isoSucc i hi).hom ≫ whiskerRight ((f.natTrans ≫ g.natTrans).app ⟨i, ⋯⟩) Φ ≫ (iter₃.isoSucc i hi).inv


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁹ : Module R N

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R N

Context: inst✝³ : Module.Finite R N

Context: inst✝² : Module.Free R P

Context: inst✝¹ : Module.Finite R P

Context: inst✝ : IsReduced R

Context: f g : Module.End R M

Context: μ : R

Context: h_comm : Commute f g

Context: n : Module.End R M := g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ

Context: hg : IsNilpotent n

(trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (trace R M) f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁹ : Module R N

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R N

Context: inst✝³ : Module.Finite R N

Context: inst✝² : Module.Free R P

Context: inst✝¹ : Module.Finite R P

Context: inst✝ : IsReduced R

Context: f g : Module.End R M

Context: μ : R

Context: h_comm : Commute f g

Context: hg : (trace R M) (f ∘ₗ n) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁹ : Module R N

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R N

Context: inst✝³ : Module.Finite R N

Context: inst✝² : Module.Free R P

Context: inst✝¹ : Module.Finite R P

Context: inst✝ : IsReduced R

Context: f g : Module.End R M

Context: μ : R

Context: h_comm : Commute f g

Context: hg : (trace R M) (f ∘ₗ n) = 0

Context: hμ : g = (algebraMap R (Module.End R M)) μ + n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁹ : Module R N

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R N

Context: inst✝³ : Module.Finite R N

Context: inst✝² : Module.Free R P

Context: inst✝¹ : Module.Finite R P

Context: inst✝ : IsReduced R

Context: f g : Module.End R M

Context: μ : R

Context: h_comm : Commute f g

Context: hg : (trace R M) (f ∘ₗ n) = 0

Context: this : f ∘ₗ (algebraMap R (M →ₗ[R] M)) μ = μ • f


Context:
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}

c ≤ cof r ↔ ∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S


(∀ b ∈ {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}, c ≤ b) ↔ ∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S


(∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S) → ∀ b ∈ {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}, c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G

(∀ x ∈ s, DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x) ↔ ∀ x ∈ s, DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
a : R


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
inst✝ : Nonempty J
s : Trident f
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : k ≫ s.ι = l ≫ s.ι


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x

Context: this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x

∀ (s_1 : Set Y), IsOpen s_1 → IsOpen (s.piecewise f g ⁻¹' s_1)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x

Context: U : Set Y

Context: hU : IsOpen U


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
hs_finite : μ s ≠ ⊤
ht_finite : μ t ≠ ⊤
h_inter : s ∩ t = ∅
x : F

(weightedSMul μ (s ∪ t)) x = (weightedSMul μ s + weightedSMul μ t) x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
n : ℕ

(p.scaleRoots 0).coeff n = (p.leadingCoeff • X ^ p.natDegree).coeff n


(if p.natDegree ≤ n then p.coeff n else 0) = if n = p.natDegree then p.leadingCoeff else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: n : ℕ

Context: h : 1 < n

Context: this : (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => ‖x‖ ^ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: n : ℕ

Context: h : 1 < n

Context: this : (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => ‖x‖


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Lattice α
inst✝⁶ : Lattice β
inst✝⁵ : Lattice γ
inst✝⁴ : Lattice δ
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder γ
inst✝ : BoundedOrder δ
g : BoundedLatticeHom β γ
f₁ f₂ : BoundedLatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A

Algebra.IsAlgebraic R A ↔ ∀ x ∈ ⊤, IsAlgebraic R x


Context:
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
z : Sym2 α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
z : Sym2 α
a b : α

s(a, b) ∈ xs.sym2 ↔ ∀ y ∈ s(a, b), y ∈ xs


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H K : Subgroup G
S T✝ : Set G
F : Type u_2
inst✝² : Group F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : QuotientAction F H
f : F
T : ↑(leftTransversals ↑H)
q : G ⧸ H

↑((toEquiv ⋯) q) = f • ↑((toEquiv ⋯) (f⁻¹ • q))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)

Context: hc : Continuous f


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: hc : Continuous f

ωSup (approxChain f) = ωSup ((approxChain f).map f)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: hc : Continuous f

ωSup (approxChain f) ≤ ωSup ((approxChain f).map f)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: hc : Continuous f

ωSup ((approxChain f).map f) ≤ ωSup (approxChain f)


Context:
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)


IsOpen (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)


(∀ (i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J), IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U))) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)


∀ (a : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J), IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι a) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(D.ι a).val.base ⁻¹' U)


Context: D : GlueData

Context: U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

Context: i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J

IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)


Context: D : GlueData

Context: U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

IsOpen (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ∘ ⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' U) ↔ IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i ≫ D.isoCarrier.inv) ⁻¹' U)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq (ι → α)
s : Finset α
f : ι → α
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι

s.piDiag ι ⊆ Fintype.piFinset fun x => s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
i✝ : n
j✝ : m

Mᵀ.updateColumn i b i✝ j✝ = (M.updateRow i b)ᵀ i✝ j✝


(if j✝ = i then b i✝ else Mᵀ i✝ j✝) = if j✝ = i then b i✝ else M j✝ i✝


Context:
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)


Context:
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)
this : k < d


Context:
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)
this✝ : k < d
this : d < k + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
inst✝ : OrderTop P
I : Ideal P
h : ⊤ ∈ I
x✝ : P

x✝ ∈ ↑I ↔ x✝ ∈ ↑⊤


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: hm : f.Monic

Context: hs : Splits (RingHom.id F) f

Context: h : f.natSepDegree = 1

Context: h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: hm : f.Monic

Context: hs : Splits (RingHom.id F) f

Context: h : f.natSepDegree = 1

Context: h2 : (f.aroots F).toFinset.card = f.natSepDegree


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: hm : f.Monic

Context: hs : Splits (RingHom.id F) f

Context: h : f.natSepDegree = 1

Context: h2 : Multiset.card f.roots ≠ 0 ∧ ∃ a, f.roots = Multiset.card f.roots • {a}


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: hm : f.Monic

Context: hs : Splits (RingHom.id F) f

Context: h : f.natSepDegree = 1

Context: h2 : Multiset.card f.roots ≠ 0

Context: y : F

Context: h3 : f.roots = Multiset.card f.roots • {y}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x

DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: hg : DifferentiableAt 𝕜 g x

Context: h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
h'f : 0 ≤ f

∫ (x : α), truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ∂Measure.map f μ


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd

(x ^ n).snd = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd


(List.map (fun i => x.fst ^ (n.pred - i + i) •> x.snd) (List.range n)).sum = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S


IsLocalization.mk' T 1 1 • mk m s = mk m s


Context: x : ℝ

Context: h : |x| < 1

Context: n : ℕ

Context: F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)

Context: F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)


Context: x : ℝ

Context: h : |x| < 1

Context: n : ℕ

Context: F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)

Context: A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y


Context: x : ℝ

Context: h : |x| < 1

Context: n : ℕ

Context: F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)

Context: B : ∀ y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|, |F' y| ≤ |x| ^ n / (1 - |x|)


Context: x : ℝ

Context: h : |x| < 1

Context: n : ℕ

Context: F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)

Context: C : ‖F x - F 0‖ ≤ |x| ^ n / (1 - |x|) * ‖x - 0‖


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1

(v.head ::ᵥ v.tail).toList = [(v.head ::ᵥ v.tail).head]


Context:
α β ι : Type u
c : ι → Cardinal.{v}

lift.{w, max v u} (prod c) = prod fun i => lift.{w, v} (c i)


Context:
α β ι : Type u
c : ι → Type v

lift.{w, max v u} (prod fun i => #(c i)) = prod fun i => lift.{w, v} ((fun i => #(c i)) i)


Context:
α β ι : Type u
c : ι → Type v

#(ULift.{w, max u v} ((i : ι) → c i)) = #((i : ι) → ULift.{w, v} (c i))


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
a b : α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ u : Finset α

s₁ ⊆ s₂ → s₁ ⊆ u → s₁ ⊆ s₂ ∩ u


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
x y : ↑s.pt

(fun x j => (s.π.app { as := j }) x) (x + y) = (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) x + (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) y


(fun j => (s.π.app { as := j }) x + (s.π.app { as := j }) y) = (fun j => (s.π.app { as := j }) x) + fun j => (s.π.app { as := j }) y


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
r : R
x : ↑s.pt

{ toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun x


(fun j => r • (s.π.app { as := j }) x) = (RingHom.id R) r • fun j => (s.π.app { as := j }) x


Context:
α : Type u_1
a : α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : BoundedOrder α
x y : ↑(Iic a)

IsCompl x y ↔ Disjoint ↑x ↑y ∧ ↑x ⊔ ↑y = a


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ = (fun j => G.map (A.π.app j)) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝


((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ = G.map (A.π.app X✝ ≫ F.map f✝)


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

G.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).π.app j = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).π.app j


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

(λ_ (F.map f)).hom = F.mapId a ▷ F.map f ≫ F.mapComp (𝟙 a) f ≫ F.map₂ (λ_ f).hom


(F.map₂Iso (λ_ f)).inv = (λ_ (F.map f)).inv ≫ F.mapId a ▷ F.map f ≫ F.mapComp (𝟙 a) f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
f : R

Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M) ↔ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}


(∀ (m : M), ∃ r ∈ Submonoid.powers f, r • m = 0) ↔ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ

iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => 0) s x = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: ps : Set P

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ V

Context: hd : finrank ℝ V = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps

Context: r : P

Context: hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = r


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0


Context:
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
this : sizeOf u.step < sizeOf u


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

(W.map f).φ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.φ n)


C X * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n) ^ 2 - Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n + 1)) * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n - 1)) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C X * W.ψ n ^ 2 - W.ψ (n + 1) * W.ψ (n - 1))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x

WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ⋯.order = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ¬⋯.order = ⊤


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
x : α
y : β

y ∈ ω f ϕ {x} ↔ MapClusterPt y f fun t => ϕ t x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α

s ∈ ⊤ * f → s ∈ ⊤


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s t : Set α
ht : t ∈ f
hs : univ * t ⊆ s


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
f✝¹ : α✝ → β✝
E I✝ s : Set α✝
M✝ : Matroid α✝
N : Matroid β✝
f✝ : α✝ ≃ β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β

(M.mapEquiv f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)


(∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀) ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F

SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
y : F

SameRay ℝ 0 y ↔ 0 = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖0‖⁻¹ • 0 = ‖y‖⁻¹ • y


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
hx : x ≠ 0

SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0 ∨ 0 = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖0‖⁻¹ • 0


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_1

Context: inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ

Context: f : α →o β

Context: g : β →o γ

Context: hfc : ∀ (c : Chain α), f (ωSup c) = ωSup (c.map f)

Context: hgc : ∀ (c : Chain β), g (ωSup c) = ωSup (c.map g)

Context: c✝ : Chain α

g (f (ωSup c✝)) = ωSup (c✝.map (g.comp f))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R


IsRadical 0 ↔ ∀ (x : R) (x_1 : ℕ), 0 ∣ x ^ x_1 → 0 ∣ x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: c : ℝ

Context: h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: c : ℝ

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)

(c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT'


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: c : ℝ

Context: f✝ : ↥(Lp E 1 μ)

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT') f


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
m : ℕ
hm : finrank K V ≤ m

LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: m : ℕ

Context: hm : finrank K V ≤ m

Context: k : ℕ

Context: h_k_le : k ≤ finrank K V

Context: hk : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a

¬¬IsUnit a ∨ ¬∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b


Context: a b : Cardinal.{u}

Context: n m : ℕ

Context: ha : ℵ₀ ≤ a

Context: h : ∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁵ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : CompactSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : M → F

Context: U : Set M

Context: c : M

Context: hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U

Context: hc : IsPreconnected U

Context: ho : IsOpen U

Context: hcU : c ∈ U

Context: hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c

Context: x : M

Context: hx : x ∈ U

Context: H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖

Context: hd' : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) (fun x => f x + f c) U

Context: H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖

‖f x + const M (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖const M (f c) x‖


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α


xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ x :: dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs


xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs


Context:
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i

(Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ ≫ pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯) ≫ pullback.fst f hi = 𝟙 (pullback f hi) ≫ pullback.fst f hi


pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ = 𝟙 (Limits.pullback f i)


(pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.fst f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.fst f i


(pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.snd f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.snd f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
s : Set α
t : Set β
m : α → β

MapsTo (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 t)) ↔ MapsTo m s t


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

(convexHull 𝕜) (s ∪ t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)


(convexHull 𝕜) ((convexHull 𝕜) s ∪ (convexHull 𝕜) t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α

(s ∪ t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
t : Set α
tl : t ∈ l
ht : IntegrableOn g t μ


Context:
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra K S
x : S
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b✝ : n → α
c : m → α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix m n R
i : n
b : m → R
x : m
y : n

A.updateColumn i b x y = (col (Fin 1) b).submatrix id (Function.const n 0) x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f u : ℕ → α
n : ℕ

dist (∑ k ∈ Finset.range n, u k) (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) = ‖u n‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
hs : a ∉ s
ht : a ∉ t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : Composition n
v : Fin n → E
i : Fin c.length

p.removeZero.applyComposition c v i = p.applyComposition c v i


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

GaloisConnection (fun s => zeroLocus 𝒜 s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: ideal_gc : GaloisConnection Ideal.span SetLike.coe


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι' : Sort u_2
ι : Sort u_3
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (α × α)
U : ι → Set α
hbasis : (𝓤 α).HasBasis p V
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (j : ι), IsOpen (U j)
hcover : K ⊆ ⋃ j, U j

∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ K, ∃ j, ball x (V i) ⊆ U j


∀ ⦃s t : Set (α × α)⦄, s ⊆ t → (∀ x ∈ K, ∃ i, ball x t ⊆ U i) → ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x s ⊆ U i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x : M

Context: s : Set (M × M')

Context: p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')

Context: hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj

{ proj := p.proj.2, snd := (mfderivWithin (I.prod I') I' Prod.snd s p.proj) p.snd } = { proj := p.proj.2, snd := p.snd.2 }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x : M

Context: s : Set (M × M')

Context: p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')

{ proj := p.proj.2, snd := (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd } = { proj := p.proj.2, snd := p.snd.2 }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x : M

Context: s : Set (M × M')

Context: p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')

UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: δ₁ : Type u_1

Context: δ₂ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ₂

Context: φ₁ : C(δ₁, α)

Context: φ₂ : C(δ₂, α)

Context: h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁

Context: h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂

Context: h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ

Context: 𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}

Context: 𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}

Context: 𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}

Context: h_image₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖

Context: h_image₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖

Context: h_preimage₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁

Context: h_preimage₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂

inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₁) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₂) inferInstance


Context: α : Type u₁

Context: β : Type u₂

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: K : Set α

Context: V : Set (β × β)

Context: f : C(α, β)

Context: ι : Type u₃

Context: p : Filter ι

Context: F : ι → C(α, β)

Context: δ₁ : Type u_1

Context: δ₂ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ₂

Context: φ₁ : C(δ₁, α)

Context: φ₂ : C(δ₂, α)

Context: h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁

Context: h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂

Context: h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ

Context: 𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}

Context: 𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}

Context: 𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}

Context: h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂