Context: s : ℝ

Complex.Gamma ↑s * Complex.Gamma (1 - ↑s) = ↑π / Complex.sin (↑π * ↑s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)

Context: hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)

v.restrict (⋃ b, f b) ≤ w.restrict (⋃ b, f b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)

Context: val✝ : Encodable β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)

Context: val✝ : Encodable β

v.restrict (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) ≤ w.restrict (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)

Context: val✝ : Encodable β

∀ (n : ℕ), MeasurableSet (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)

Context: val✝ : Encodable β

∀ (n : ℕ), v.restrict (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b) ≤ w.restrict (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}


Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain R

Context: inst✝¹⁰ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁹ : IsDomain S

Context: inst✝⁸ : Finite ι✝

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing F

Context: inst✝⁶ : Algebra F R

Context: inst✝⁵ : Algebra F S

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower F R S

Context: b✝ : Basis ι✝ R S

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R S

Context: inst✝² : Nontrivial F

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})

FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ I) = ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})


Context:
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat

(if { byteIdx := utf8Len l } ≥ { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then n else if h : { data := l ++ c :: m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then n else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length


(if h : { data := l ++ c :: m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then n else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length


(if h : c :: m ++ r = [] then n else { data := l ++ (c :: m ++ r) }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ (c :: m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length


(if h : False then n else { data := l ++ c :: (m ++ r) }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } (n + 1)) = n + (c :: m).length


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (x : α), Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMinOrder α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁

HasProd f (a₁ * (a₂ / a₁)) ↔ HasProd f a₂


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h₁ : 0 < a

Context: h₂ : 0 < b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h₁ : 0 < a

Context: h₂ : 0 < b

Context: h : a - b = a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: ha : AddLECancellable a

Context: h₁ : b < a

Context: h₂ : 0 < b

Context: h : a - b = a


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : Fin 2 → V

LinearIndependent K f ↔ f 1 ≠ 0 ∧ ∀ (a : K), a • f 1 ≠ f 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
n : σ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : Disjoint s t


Context: x y : ℝ≥0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module ℝ W
L : V →ₗ[ℝ] W →ₗ[ℝ] ℝ
μ : Measure V
f : V → E
w : W

VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * (L v) w) * Complex.I) • f v ∂μ


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β


Nonempty (α ≃ Unit) ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s' ×ˢ t' ↔ (x, y) ∈ (s ∩ s') ×ˢ (t ∩ t')


Context:
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}

f a ≤ a ↔ ∃ o, derivFamily (fun x => f) o = a


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

(∑ i ∈ range n, ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)).vars ⊆ univ ×ˢ range n


((range n).biUnion fun i => (↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)).vars) ⊆ univ ×ˢ range n


∀ x ∈ range n, (↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n x : ℕ
hx : x ∈ range n

(↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n


(↑p ^ x).vars ∪ (wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n


(wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
Q : AffineSubspace k P


Q = ⊥ ∨ Q ≠ ⊥


((ofComplex.comp toComplex).toLinearMap ∘ₗ ι Q) 1 = ((AlgHom.id ℝ (CliffordAlgebra Q)).toLinearMap ∘ₗ ι Q) 1


ofComplex (toComplex ((ι Q) 1)) = (ι Q) 1


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f

(((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) ∞ = ∞


τ (fromCoset ⟨x • ↑⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩, ⋯⟩) = ∞


Context:
α : Type u_1
r : Setoid α
a w✝ : α
ha : a ∈ {x | r.Rel x w✝}
x : α

x ∈ {x | r.Rel x w✝} ↔ x ∈ {x | r.Rel x a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι : Type u_5
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
b : ℝ≥0∞
b_ne_top : b ≠ ⊤
xs : ι → ℝ≥0∞
le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

limsup (fun i => (xs i).toReal) F = (limsup xs F).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

Context: aux : ∀ᶠ (i : ι) in F, (xs i).toReal = b.truncateToReal (xs i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

Context: aux' : (limsup xs F).toReal = b.truncateToReal (limsup xs F)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

limsup (fun a => b.truncateToReal (xs a)) F = b.truncateToReal (limsup xs F)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: F : Filter ι

Context: inst✝ : F.NeBot

Context: b : ℝ≥0∞

Context: b_ne_top : b ≠ ⊤

Context: xs : ι → ℝ≥0∞

Context: le_b : ∀ᶠ (i : ι) in F, xs i ≤ b

Context: key : b.truncateToReal (limsup xs F) = limsup (b.truncateToReal ∘ xs) F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : γ

((p.bind f).bind g) b = (p.bind fun a => (f a).bind g) b


Context:
b : ℕ
hb : (b / 2).beq 0 = false


Context: E : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝² : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module ℝ β

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ β

Context: s : Set E

Context: f : ℝ → β

Context: a b : ℝ

Context: a_lt_b : a < b

Context: h_local_min : IsLocalMinOn f (Icc a b) a

Context: h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ Icc a b


Context: E : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : Module ℝ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝² : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module ℝ β

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ β

Context: s : Set E

Context: f : ℝ → β

Context: a b : ℝ

Context: a_lt_b : a < b

Context: h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f

Context: c : ℝ

Context: hc : c ∈ Icc a b


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
hc : a ∈ Icc a b


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
H₂ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, y ∈ Ioc a c


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
H₂ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, y ∈ Ioc a c
y : ℝ
hfy : f a ≤ f y
hy_ac : y ∈ Ioc a c


Context:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
H₂ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, y ∈ Ioc a c
ya yc : ℝ
ya₀ : 0 ≤ ya
yc₀ : 0 < yc
yac : ya + yc = 1
hfy : f a ≤ f (ya * a + yc * c)
hy_ac : ya * a + yc * c ∈ Ioc a c


ya • f a + yc • f a ≤ ya • f a + yc • f c


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : K

(commMap K) ((canonicalEmbedding K) x) = (mixedEmbedding K) x


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : K

(fun w => ((↑w).embedding x).re) = (Pi.ringHom fun w => embedding_of_isReal ⋯) x ∧ (fun w => (↑w).embedding x) = (Pi.ringHom fun w => (↑w).embedding) x


Context:
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0∞


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I

(if ↑t ≤ 1 / 2 then γ.extend (2 * ↑t) else γ'.extend (2 * ↑t - 1)) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α


Context: p : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: k a : ℕ

Context: ha : a ∈ filter p (range (nth p (k + 1)))

a ∈ insert (nth p k) (filter p (range (nth p k)))


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
k a : ℕ
ha : a < nth p (k + 1) ∧ p a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulZeroClass α β
s : Set α
t : Set β
a : α
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
f : α → β
S : Multiset (Multiset α)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hs : IsClosed s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hs : IsClosed s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: hs : IsClosed s

Context: x y : X

Context: hys : y ∈ s

Context: hxy : mk y = mk x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : ↥(pbo f)

Context: z : (forget CommRingCat).obj (CommRingCat.of (A⁰_ f))

(awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) z = (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯ ≫ (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv) z


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: x : ↥(pbo f)

(Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toEquiv ((awayToSection 𝒜 f ≫ (structureSheaf 𝒜).presheaf.germ x) z) = (HomogeneousLocalization.mapId 𝒜 ⋯) z


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: m : (i : Fin n.succ) → Ei i


Context: a : Rat


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
x✝ y : R
n : ℕ
S : Type u_3
inst✝ : MonoidWithZero S
x : S
N : ℕ
hN : x ^ N = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Y

coprod.inl ≫ (pushoutZeroZeroIso X Y).inv = pushout.inl 0 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : X → ℝ
c : Continuous f
ε : ℝ
pos : 0 < ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: w : A.SeparatesPoints

Context: f : X → ℝ

Context: c : Continuous f

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: g : ↥A

Context: b : ‖↑g - { toFun := f, continuous_toFun := c }‖ < ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: w : A.SeparatesPoints

Context: f : X → ℝ

Context: c : Continuous f

Context: ε : ℝ

Context: pos : 0 < ε

Context: g : ↥A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : One β
x : β


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
i : Fin n

(⇑(snf.bM.repr ↑m) ∘ ⇑snf.f) i = (snf.a • ⇑(snf.bN.repr m)) i


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : ZMod (p ^ m)

((truncate hm).comp (zmodEquivTrunc p m).toRingHom) x = (zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) x)


((zmodEquivTrunc p n).toRingHom.comp (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n)))) x = (zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) x)


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G


map (fun y => y) toFilterBasis.filter = toFilterBasis.filter


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α

a * b ~ᵤ c * d → b ~ᵤ d → b ≠ 0 → a ~ᵤ c


b * a ~ᵤ d * c → b ~ᵤ d → b ≠ 0 → a ~ᵤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

(t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : SignedMeasure α

Context: f : α → ℝ

Context: hf : Measurable f

Context: htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: as bs cs : (i : ι) → X i

Context: p : Homotopic.Quotient as bs


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: as bs cs : (i : ι) → X i

Context: a✝ : Path as bs


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

((HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 0 1 2 isoOneCocycles.proof_2 isoOneCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(zeroCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(twoCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH1 A).moduleCatCyclesIso.hom) ≫ ModuleCat.ofHom (oneCocycles A).subtype = iCocycles A 1 ≫ ↑(oneCochainsLequiv A)


(HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 0 1 2 isoOneCocycles.proof_2 isoOneCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(zeroCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(twoCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH1 A).moduleCatCyclesIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (oneCocycles A).subtype = iCocycles A 1 ≫ ↑(oneCochainsLequiv A)


(HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 0 1 2 isoOneCocycles.proof_2 isoOneCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(zeroCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(twoCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH1 A).iCycles = iCocycles A 1 ≫ ↑(oneCochainsLequiv A)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
x y : k

{ toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K

μ K = ⨅ U, ⨅ (_ : K ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U


μ K ≤ ⨅ U, ⨅ (_ : K ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U


⨅ U, ⨅ (_ : K ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U ≤ μ K


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
S T : Subalgebra R A
hS : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑S
hT : Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑T


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ ψ : F
S T : Subalgebra R A
hS : S ≤ equalizer φ ψ
hT : T ≤ equalizer φ ψ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

DifferentiableOn 𝕜 f univ ↔ Differentiable 𝕜 f


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: r s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ

Context: f : r ⟶ s

((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f ≫ (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) s = (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) r ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: f : r ⟶ s

toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f ≫ (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) s = toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ (fun r => X.toΓSpecCApp (unop r)) r ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: f : r ⟶ s

(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f) ≫ X.toΓSpecCApp (unop s) = (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ X.toΓSpecCApp (unop r)) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: f : r ⟶ s

(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen (unop r)) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f) ≫ X.toΓSpecCApp (unop s) = X.toToΓSpecMapBasicOpen (unop r) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: f : r ⟶ s

Context: e_1✝ : (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).obj s) = (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶ X.presheaf.obj (op (X.toΓSpecMapBasicOpen (unop s))))

X.toToΓSpecMapBasicOpen (unop r) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f = X.toToΓSpecMapBasicOpen (unop s)


Context: X : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X))

Context: f : r ⟶ s

X.toToΓSpecMapBasicOpen (unop s) = X.toToΓSpecMapBasicOpen (unop r) ≫ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.𝒪).val).map f


Context:
G : Type u''
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : AddCommGroup M
module_M : Module R M
p p' : Submodule R M
r : R
x y : M
hy : y ∈ p


Context:
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.FinitePresentation
hg : g.FinitePresentation


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂


(List.filter p l₁).length ≤ (List.filter p l₂).length


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
P : Perm α → Prop
f : Perm α

P 1 → (∀ (f : Perm α) (x y : α), x ≠ y → P f → P (swap x y * f)) → P f


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
P : Perm α → Prop
f : Perm α
val✝ : Fintype α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
β : α → Type u_10
ι : Sort u_11
inst✝ : (i : α) → SupSet (β i)
f : ι → (a : α) → β a
a : α


sSup (range ((fun f => f a) ∘ f)) = sSup (range fun i => f i a)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : a :: l₁ ~ l₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : a :: l₁ ~ l₂
this : a ∈ l₂


Context: u v m n✝ n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inl))) (span R (range (u ∘ Sum.inr)))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (span R (range (⇑S.f ∘ v)))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (span R (range ⇑S.f))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂

Context: hm : Mono S.f

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (LinearMap.ker S.g)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 p : P

p ∈ affineSpan k (insert p2 ↑s) ↔ ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p2 -ᵥ p1) +ᵥ p0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
p2 p : P


(∃ y ∈ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}, ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p1) ↔ ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p2 -ᵥ p1) +ᵥ p0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
b : β
l : List (α × β)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s

(fun x => z + x) (a • x + b • y') = a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y'


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

StructureSheaf.toStalk (↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))) ((toSpec 𝒜 f).val.base x) ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x


StructureSheaf.toOpen ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) ⊤ ≫ (Spec.structureSheaf ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))).presheaf.germ ⟨(toSpec 𝒜 f).val.base x, True.intro⟩ ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x


StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫ (Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.germ ⟨(toSpec 𝒜 f).val.base x, True.intro⟩ ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x


StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫ (toSpec 𝒜 f).val.c.app (op ⊤) ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, True.intro⟩ = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x


awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨x, True.intro⟩) = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : SuperpolynomialDecay l k f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ (t₁ ∪ t₂) ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t₁ ∪ s ×ˢ t₂


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι'✝ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι'✝ → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g✝ s✝ t : ι✝ → α
a b : α
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
s : Set ι'

⨆ i ∈ ⇑e.symm '' s, g (e i) = ⨆ i ∈ s, g i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat

x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l.get? i = some x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E1

(E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α : E

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: E1 E2 : IntermediateField K L

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E1

Context: this : (E2 ⊔ E1).toSubalgebra = E2.toSubalgebra ⊔ E1.toSubalgebra


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0

(∀ᵐ (x : α) ∂c • μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hst : s =ᶠ[ae μ] t

∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in t, f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r


(p.scaleRoots r).scaleRoots ↑hr.unit⁻¹ ∣ (q.scaleRoots r).scaleRoots ↑hr.unit⁻¹ → p ∣ q


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)

instUniformSpace σ F 𝔖 = UniformSpace.comap DFunLike.coe (UniformOnFun.uniformSpace E F 𝔖)


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'

Context: m : (i : ι) → E i

Context: x y : G

(fun x => (f x) m) (x + y) = (fun x => (f x) m) x + (fun x => (f x) m) y


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: m : (i : ι) → E i

Context: c : 𝕜

Context: x : G

{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯ }.toFun (c • x) = (RingHom.id 𝕜) c • { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: m : (i : ι) → E i

Context: x : G

‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ ≤ (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) * ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: m : (i : ι) → E i

Context: x : G

‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: inst✝¹² : Fintype ι'

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: x y : E i

Context: x✝ : G

((fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i (x + y))) x✝ = ((fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i x) + (fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i y)) x✝


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹³ : Fintype ι

Context: inst✝¹² : Fintype ι'

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: c : 𝕜

Context: x : E i

Context: x✝ : G

((fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i (c • x))) x✝ = (c • (fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i x)) x✝


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: m : (i : ι) → E i

‖{ toFun := fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: m : (i : ι) → E i

‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
h : W.Equation x y
hΔ : Δ W ≠ 0

Δ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine ≠ 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : G.LocallyFinite
u v : V
n : ℕ
p : G.Walk u v

p ∈ G.finsetWalkLength n u v ↔ p ∈ {p | p.length = n}


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u a : αˣ
b : α


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
p : R[X]
hp : p ∈ degreeLT R n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ

(coeff R (d + n)) (X ^ n * p) = (coeff R d) p


∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (n, d) → (coeff R b.1) (X ^ n) * (coeff R b.2) p = 0


(n, d) ∉ antidiagonal (d + n) → (coeff R (n, d).1) (X ^ n) * (coeff R (n, d).2) p = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R

⊥.jacobson ≤ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal})


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R[X]

Context: j : Ideal R

Context: hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R[X]

Context: j : Ideal R

Context: this : j.IsMaximal


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R[X]

Context: j : Ideal R

Context: this : j.IsMaximal

Context: f : (R ⧸ j)[X]

Context: hf : f ∈ ⊥.jacobson


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R[X]

Context: j : Ideal R

Context: this : j.IsMaximal

Context: f : (R ⧸ j)[X]

Context: hf : f ∈ ⊥.jacobson

Context: r1 : X ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R[X]

Context: j : Ideal R

Context: this : j.IsMaximal

Context: f : (R ⧸ j)[X]

Context: hf : f ∈ ⊥.jacobson

Context: r1 : X ≠ 0

Context: r2 : f * X + 1 = C ((f * X + 1).coeff 0)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R[X]

Context: j : Ideal R

Context: this : j.IsMaximal

Context: f : (R ⧸ j)[X]

Context: hf : f ∈ ⊥.jacobson

Context: r1 : X ≠ 0

Context: r2 : f * X + 1 = C 1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing R

Context: J : Ideal R[X]

Context: j : Ideal R

Context: this : j.IsMaximal

Context: f : (R ⧸ j)[X]

Context: hf : f ∈ ⊥.jacobson

Context: r1 : X ≠ 0

Context: r2 : f * X = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S

x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, mk' S 1 m = x


x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, ↑((toInvSubmonoid M S) m) = x


Context:
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : P.RespectsIso
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ

(coeff R n) (φ₁ * φ₂ * φ₃) = (coeff R n) (φ₁ * (φ₂ * φ₃))


WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Iio ↑⊤ = univ


WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Iio ↑⊤) = univ


Context:
x y : ℝ
hxy : x < y

Icc x y ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y


Context:
x y : ℝ
hxy : x < y

Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y


Context:
x y : ℝ
hxy : x < y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → β

Context: l : β →₀ M

Context: hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → β

Context: l : β →₀ M

{ support := l.support.preimage f ⋯, toFun := fun a => l (f a), mem_support_toFun := ⋯ }.support = ∅ → l.support = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → β

Context: l : β →₀ M

(∀ (a : α), f a ∉ l.support) → ∀ (a : β), a ∉ l.support


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → β

Context: l : β →₀ M

Context: h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support

Context: a : β

Context: ha : a ∈ l.support


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → β

Context: l : β →₀ M

Context: h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support

Context: a : β

Context: ha : a ∈ l.support

Context: b : α

Context: hb : b ∈ f ⁻¹' ↑l.support ∧ f b = a


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalSemiring α
s✝ : Multiset α
a x : α
s : Multiset α
ih : (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
h : ∀ x_1 ∈ x ::ₘ s, a ∣ x_1


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence

N ⊨ φ ↔ M ⊨ φ


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : N ⊨ φ


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : ¬M ⊨ φ


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : M ⊨ Formula.not φ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoidWithZero M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero P

Context: p : Type u_4

Context: f : M → ↥S → p

Context: H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d


Context:
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
j : (mk xl xr xL xR).RightMoves


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))

sequence (Comp.mk <$> x) = Comp.mk (sequence <$> sequence x)


traverse Comp.mk x = Comp.mk (traverse id <$> traverse id x)


traverse Comp.mk x = traverse (Comp.mk ∘ map id ∘ id) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)

(cons (a, s) S).join = cons a (s.append S.join)


IsBisimulation fun s1 s2 => s1 = s2 ∨ ∃ a s S, s1 = (cons (a, s) S).join ∧ s2 = cons a (s.append S.join)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: a : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯

Context: add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯

Context: star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: a : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: x : A

Context: hx : x ∈ s ∪ Star.star s


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

Context: p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop

Context: a : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯

Context: zero : p 0 ⋯

Context: x : A

Context: hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s

Context: hx : x ∈ s ∨ Star.star x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α

⨅ i, ⨅ (_ : True), sSup (u '' Ici i) = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i


⨅ i, ⨆ a ∈ Ici i, u a = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i


Context:
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ (S f ε h n x)ᶜ


Context:
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : δ f ε h ≤ dist k/ₙ x


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

op ((1 - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i) = op (1 - x ^ n)


Context:
K : Type u_1
v : K
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ

(of v).convs (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (Int.fract v)⁻¹).convs n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
X : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
F : Set X
x : X
hxF : x ∈ closure F


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : R
u : s i →ₗ[R] t i
x : (i : ι) → s i

((map (update f i (c • u))).compMultilinearMap (tprod R)) x = ((c • map (update f i u)).compMultilinearMap (tprod R)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f


Measurable fun μ => ⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
i : ℝ≥0∞
x✝ : i ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range

Measurable fun μ => i * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})


Measurable fun μ => μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: i : IsIso (expComparison F A)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: i : IsIso ((conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (frobeniusMorphism F h A))


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ

a = 0 ∨ padicValInt p a ≤ padicValInt p a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
p : ℕ → Prop

(∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p n) ↔ {n | p n}.Infinite


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ht : t ∈ P.parts
hat : a ∈ t


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E

Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (Module.rank ℝ E) = Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)


2 * Cardinal.lift.{0, u_1} (Module.rank ℂ E) = Cardinal.lift.{0, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝ : Preorder ι
x : α

x ∈ notConvergentSeq f g n j ↔ ∃ k ≥ j, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r


∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ∃ x, ∃ (_ : x * r = 0), ¬x = 0


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r x : R
h : x * r = 0
h' : ¬x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'


f.symm (a • f x' + b • f y') ≤ a • x' + b • y'


a • f x' + b • f y' ≤ f (a • x' + b • y')


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v


Context:
n : PosNum
d : ZNum


Context:
n : PosNum
d : ZNum

↑(↑(Num.pos n) % (↑d).natAbs) = ↑↑n % ↑d


Context:
n : PosNum
d : ZNum

↑d.abs - ↑(n.pred' % d.abs).succ = ↑(neg n) % ↑d


Context:
n : PosNum
d : ZNum

subNatNat (↑d).natAbs (↑n.pred' % (↑d).natAbs + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) % ↑d


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

(h₁.map F).p ≫ F.map ψ.φQ = (F.mapShortComplex.map φ).τ₂ ≫ (h₂.map F).p


F.map ψ.φQ ≫ (h₂.map F).g' = (h₁.map F).g' ≫ (F.mapShortComplex.map φ).τ₃


F.map ψ.φH ≫ (h₂.map F).ι = (h₁.map F).ι ≫ F.map ψ.φQ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: ι : Type u_2

Context: φ : ι → ContDiffBump c

Context: l : Filter ι

Context: hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)

Tendsto (fun i => support fun x => (φ i).normed μ x) l (𝓝 c).smallSets


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: ι : Type u_2

Context: φ : ι → ContDiffBump c

Context: l : Filter ι

Context: hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: ι : Type u_2

Context: φ : ι → ContDiffBump c

Context: l : Filter ι

∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ι) in l, (support fun x_1 => (φ x).normed μ x_1) ∈ 𝒫 ball c i


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: ι : Type u_2

Context: φ : ι → ContDiffBump c

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: hi : (φ i).rOut < ε

(support fun x => (φ i).normed μ x) ∈ 𝒫 ball c ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : HasContDiffBump E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: c : E

Context: f : ContDiffBump c

Context: x : E

Context: n : ℕ∞

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

Context: ι : Type u_2

Context: φ : ι → ContDiffBump c

Context: l : Filter ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: i : ι

Context: hi : (φ i).rOut < ε


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: h : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) f.graph


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: h : ∃ y ∈ f.graph, (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: fst✝ : E

Context: snd✝ : F

Context: hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph

Context: h : (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: M : Type u_5

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : DistribMulAction M F

Context: inst✝ : SMulCommClass R M F

Context: y : M

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: x_fst : E

Context: x_snd : F

Context: fst✝ : E

Context: snd✝ : F

Context: hx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2

Context: h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd

∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2


↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2


↑y = (fst✝, -snd✝).1 ∧ ↑(-f) y = (fst✝, -snd✝).2


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

Context: hs : s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a ∈ s, p a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s t : Multiset α

Context: a : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: hs : 0 ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a ∈ 0, p a


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: s✝ t : Multiset α

Context: a✝ : α

Context: m : Multiset ι

Context: f g : ι → α

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → p s.prod

Context: hs : a ::ₘ s ≠ ∅

Context: p_s : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hps : ∀ x ∈ s, p x


Context:
α✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R✝ : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R✝ P
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : α × β →₀ M
x : α
y : β

(((finsuppProdLEquiv R) f) x) y = f (x, y)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
x : ℝ

((toKernel f hf) p) (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(f p) x)


ENNReal.ofReal (↑(f p) x - 0) = ENNReal.ofReal (↑(f p) x)


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J

{ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ Cat

Context: X✝ Y : limit (F ⋙ objects)

Context: X : J

Context: f : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X

{ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) f = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X) f


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ Cat

Context: X✝ Y : limit (F ⋙ objects)

Context: X : J

Context: this : Category.{v, v} (objects.obj (F.obj X)) := inferInstance


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z

{ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (f ≫ g) = { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map g


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ Cat

Context: X Y : limit (F ⋙ objects)

Context: x✝¹ x✝ Z : J

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: g : x✝ ⟶ Z

Context: h : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj x✝¹

{ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (f ≫ g) h = ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map g) h


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ Cat

Context: X Y : limit (F ⋙ objects)

Context: x✝¹ x✝ Z : J

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: g : x✝ ⟶ Z

Context: this : Category.{v, v} (objects.obj (F.obj Z)) := inferInstance


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : ℤ
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S

(algebraMap (Localization S) (LocalizedModule S A)) (Localization.mk a s) = mk ((algebraMap R A) a) s


(algebraMap (Localization S) (LocalizedModule S A)) (IsLocalization.mk' (Localization S) a s) = mk ((algebraMap R A) a) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

OpenEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)


Embedding f ∧ IsOpen (range f) ↔ ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f) ∧ IsOpen (range ((U i).carrier.restrictPreimage f))


Embedding f ∧ IsOpen (range f) ↔ (∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧ ∀ (x : ι), IsOpen (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))


Embedding f ↔ ∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)


IsOpen (range f) ↔ ∀ (x : ι), IsOpen (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
m : ↥M


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
H : p ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Finset α

s * t = 1 ↔ ∃ a b, s = {a} ∧ t = {b} ∧ a * b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i

a ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h = ⨆ i, ⨆ (h : p i), a ⊔ f i h


Context: t t' : Type u → Type u

Context: eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α

Context: inst✝⁶ : Traversable t

Context: inst✝⁵ : LawfulTraversable t

Context: F G : Type u → Type u

Context: inst✝⁴ : Applicative F

Context: inst✝³ : Applicative G

Context: inst✝² : LawfulApplicative F

Context: inst✝¹ : LawfulApplicative G

Context: η : ApplicativeTransformation F G

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝ : Traversable t'

Context: h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f

Context: h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f

Context: h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f

Context: α✝ : Type u

Context: x✝ : t' α✝


Context: t t' : Type u → Type u

Context: eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α

Context: inst✝¹⁰ : Traversable t

Context: inst✝⁹ : LawfulTraversable t

Context: F G : Type u → Type u

Context: inst✝⁸ : Applicative F

Context: inst✝⁷ : Applicative G

Context: inst✝⁶ : LawfulApplicative F

Context: inst✝⁵ : LawfulApplicative G

Context: η : ApplicativeTransformation F G

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝⁴ : Traversable t'

Context: F✝ G✝ : Type u → Type u

Context: inst✝³ : Applicative F✝

Context: inst✝² : Applicative G✝

Context: inst✝¹ : LawfulApplicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative G✝

Context: α✝ β✝ γ✝ : Type u

Context: x✝² : β✝ → F✝ γ✝

Context: x✝¹ : α✝ → G✝ β✝

Context: x✝ : t' α✝

traverse (Comp.mk ∘ map x✝² ∘ x✝¹) x✝ = Comp.mk (traverse x✝² <$> traverse x✝¹ x✝)


Context: t t' : Type u → Type u

Context: eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α

Context: inst✝¹⁰ : Traversable t

Context: inst✝⁹ : LawfulTraversable t

Context: F G : Type u → Type u

Context: inst✝⁸ : Applicative F

Context: inst✝⁷ : Applicative G

Context: inst✝⁶ : LawfulApplicative F

Context: inst✝⁵ : LawfulApplicative G

Context: η : ApplicativeTransformation F G

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝⁴ : Traversable t'

Context: F✝ G✝ : Type u → Type u

Context: inst✝³ : Applicative F✝

Context: inst✝² : Applicative G✝

Context: inst✝¹ : LawfulApplicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative G✝

Context: α✝ β✝ γ✝ : Type u

Context: x✝² : β✝ → F✝ γ✝

Context: x✝¹ : α✝ → G✝ β✝

Context: x✝ : t' α✝

Comp.mk (Equiv.traverse eqv x✝² <$> Equiv.traverse eqv x✝¹ x✝) = Comp.mk (Equiv.traverse eqv x✝² <$> traverse x✝¹ x✝)


Context: t t' : Type u → Type u

Context: eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α

Context: inst✝⁶ : Traversable t

Context: inst✝⁵ : LawfulTraversable t

Context: F G : Type u → Type u

Context: inst✝⁴ : Applicative F

Context: inst✝³ : Applicative G

Context: inst✝² : LawfulApplicative F

Context: inst✝¹ : LawfulApplicative G

Context: η : ApplicativeTransformation F G

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝ : Traversable t'

Context: α✝ β✝ : Type u

Context: x✝¹ : α✝ → β✝

Context: x✝ : t' α✝

traverse (pure ∘ x✝¹) x✝ = id.mk (x✝¹ <$> x✝)


Context: t t' : Type u → Type u

Context: eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α

Context: inst✝⁶ : Traversable t

Context: inst✝⁵ : LawfulTraversable t

Context: F G : Type u → Type u

Context: inst✝⁴ : Applicative F

Context: inst✝³ : Applicative G

Context: inst✝² : LawfulApplicative F

Context: inst✝¹ : LawfulApplicative G

Context: η : ApplicativeTransformation F G

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝ : Traversable t'

Context: α✝ β✝ : Type u

Context: x✝¹ : α✝ → β✝

Context: x✝ : t' α✝

pure (Equiv.map eqv x✝¹ x✝) = id.mk (Equiv.map eqv x✝¹ x✝)


Context: t t' : Type u → Type u

Context: eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α

Context: inst✝¹⁰ : Traversable t

Context: inst✝⁹ : LawfulTraversable t

Context: F G : Type u → Type u

Context: inst✝⁸ : Applicative F

Context: inst✝⁷ : Applicative G

Context: inst✝⁶ : LawfulApplicative F

Context: inst✝⁵ : LawfulApplicative G

Context: η : ApplicativeTransformation F G

Context: α β γ : Type u

Context: inst✝⁴ : Traversable t'

Context: F✝ G✝ : Type u → Type u

Context: inst✝³ : Applicative F✝

Context: inst✝² : Applicative G✝

Context: inst✝¹ : LawfulApplicative F✝

Context: inst✝ : LawfulApplicative G✝

Context: x✝⁴ : ApplicativeTransformation F✝ G✝

Context: x✝³ x✝² : Type u

Context: x✝¹ : x✝³ → F✝ x✝²

Context: x✝ : t' x✝³

(fun {α} => x✝⁴.app α) (traverse x✝¹ x✝) = traverse ((fun {α} => x✝⁴.app α) ∘ x✝¹) x✝


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: y : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

Context: d : x * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑(y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) (y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).1


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: y : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

(y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

Context: y : ↑Γ(X, U)

Context: n : ℕ

(X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
s : Finset ι
f : ι → G₀
h : ∏ i ∈ s, f i ≠ 0

mk0 (∏ i ∈ s, f i) h = ∏ i ∈ s.attach, mk0 (f ↑i) ⋯


Context: z : ℍ

↑π * (↑π * ↑z).cot = ↑π * I - 2 * ↑π * I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ n


Context: z : ℍ

Context: h1 : ↑π * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z)))) = -↑π * I * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) * (1 / (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z))))


Context: z : ℍ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h₁ : b = ⊤ → a ≠ 0
h₂ : a = ⊤ → b ≠ 0


a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤


a ≠ ⊤ ∨ b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : ¬b = c

swap a b * swap a c ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * ‖(1 + ↑t * z)⁻¹‖) MeasureTheory.volume 0 1


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : ContinuousOn (fun t => (1 + t • z)⁻¹) (Set.Icc 0 1)


Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : ‖z‖ < 1

Context: this : ContinuousOn (fun t => (1 + t • z)⁻¹) (Set.uIcc 0 1)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

g (∫ (x : α), f x ∂μ) ≤ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : Multipliable fun b => (f b)⁻¹


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
β : α → Type u_3
f : (x : α) × β x → ℝ≥0

(Summable fun i => ↑(f i)) ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => (fun i => ↑(f i)) ⟨x, y⟩) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), (fun i => ↑(f i)) ⟨x, y⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ c * b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 ≤ c
hb : 0 ≤ 0
h : a ≤ c * 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ c * b
hb' : 0 < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s


{x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y} = s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ y : E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsClosed s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ y : E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: hs₁ : Convex ℝ s

Context: hs₂ : IsClosed s

Context: x : E

Context: h : x ∉ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ t : Set E

Context: x✝ y : E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: hs₁ : Convex ℝ s✝

Context: hs₂ : IsClosed s✝

Context: x : E

Context: hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s✝, i x ≤ i y}

Context: h : x ∉ s✝

Context: l : E →L[ℝ] ℝ

Context: s : ℝ

Context: hlA : ∀ a ∈ s✝, l a < s

Context: hl : s < l x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝² : Module ℝ E

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ t : Set E

Context: x✝ y✝ : E

Context: inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: hs₁ : Convex ℝ s✝

Context: hs₂ : IsClosed s✝

Context: x : E

Context: h : x ∉ s✝

Context: l : E →L[ℝ] ℝ

Context: s : ℝ

Context: hlA : ∀ a ∈ s✝, l a < s

Context: hl : s < l x

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s✝

Context: hxy : l x ≤ l y


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C


Context:
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K

convs'Aux s (n + 2) = convs'Aux (squashSeq s n) (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: hf : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 c)

Context: φ : β → γ := di.extend f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

∀ V' ∈ 𝓝 (φ b), IsClosed V' → φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝 b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

Context: V' : Set γ

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V₁ : Set β := {x | Tendsto f (comap i (𝓝 x)) (𝓝 (φ x))}

φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝 b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

Context: V' : Set γ

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b

φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝 b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

Context: V' : Set γ

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b

Context: V₂ : Set β

Context: V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b

Context: V₂_op : IsOpen V₂

Context: hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'

φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝 b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

Context: V' : Set γ

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b

Context: V₂ : Set β

Context: V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b

Context: V₂_op : IsOpen V₂

Context: hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'

∀ x ∈ V₁ ∩ V₂, φ x ∈ V'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

Context: V' : Set γ

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b

Context: V₂ : Set β

Context: V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b

Context: V₂_op : IsOpen V₂

Context: hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'

Context: x : β

Context: x_in₁ : x ∈ V₁

Context: x_in₂ : x ∈ V₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

Context: V' : Set γ

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b

Context: V₂ : Set β

Context: V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b

Context: V₂_op : IsOpen V₂

Context: hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'

Context: x : β

Context: x_in₁ : x ∈ V₁

Context: x_in₂ : x ∈ V₂

Context: hV₂x : V₂ ∈ 𝓝 x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: i : α → β

Context: di✝ : DenseInducing i

Context: inst✝² : TopologicalSpace δ

Context: f✝ : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : T3Space γ

Context: b : β

Context: f : α → γ

Context: di : DenseInducing i

Context: φ : β → γ := di.extend f

Context: this : ∀ (b : β), (comap i (𝓝 b)).NeBot

Context: V' : Set γ

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ b)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 b

Context: V₂ : Set β

Context: V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 b

Context: V₂_op : IsOpen V₂

Context: hV₂ : ∀ x ∈ i ⁻¹' V₂, f x ∈ V'

Context: x : β

Context: x_in₁ : x ∈ V₁

Context: x_in₂ : x ∈ V₂

Context: hV₂x : V₂ ∈ 𝓝 x

V₂ ∈ 𝓝 x ∧ i ⁻¹' V₂ ⊆ {x | (fun x => f x ∈ V') x}


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
hb : b ∈ doset a ↑H ↑K


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a h : G
hh : h ∈ ↑H
k : G
hk : k ∈ ↑K
hb : h * a * k ∈ doset a ↑H ↑K


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : V

(ofBaseChange A Q) ((toBaseChange A Q) ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] x))) = (ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : t ⊆ s
hs : 𝒜.Shatters s
v : Finset α
hv : v ∈ 𝒜
hu : s ∩ v ⊆ t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : f < 1


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: x : ((coyoneda ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ A (Type ?u.72492)).obj ℱ).obj X).obj U

f.unop ≫ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x = appHom (homOver α (unop Y)) (unop U) (f.unop ≫ x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Sieve.coverByImage G (unop U) ∈ K.sieves (unop U)