Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }

Context: ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ ↑x

Context: hxb : ↑x ≤ b


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ

Context: x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }

Context: ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ ↑x

Context: hxb : ↑x ≤ b

(s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x ⊆ [[a, b]]


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }

Context: ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ ↑x

Context: hxb : ↑x ≤ b

Context: y : α

Context: hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }

Context: ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ ↑x

Context: hxb : ↑x ≤ b

Context: y : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }

Context: ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ ↑x

Context: hxb : ↑x ≤ b

Context: y : α

Context: sol1 : y < a → False


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α✝

Context: s✝ t✝ : Set α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: a : α

Context: has : a ∈ s

Context: b : α

Context: hbt : b ∈ t

Context: hab : a ≤ b

Context: x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }

Context: ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ

Context: hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ

Context: hax : a ≤ ↑x

Context: hxb : ↑x ≤ b

Context: y : α

Context: sol1 : y < a → False

Context: sol2 : b < y → False


Context: p q : ℚ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α

borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l u, l < u ∧ Ioc l u = S}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => a + x) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ
h : a < 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ
h : 0 < a


Context:
E : ℕ → Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Encodable ι
F : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
i : ι
h : dist x y < (1 / 2) ^ encode i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: k l : ℕ

Context: h : k + l ≠ Fintype.card ι

Context: x✝¹ : { s // s.card = l }

Context: x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm k l ↑x✝¹ ⋯ = 0


Context: l : List Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: z : G

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 ι z‖ = ‖z‖


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra L A
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower K L A
L_alg : Algebra.IsAlgebraic K L
A_alg : Algebra.IsAlgebraic L A


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra L A
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower K L A
L_alg : Algebra.IsIntegral K L
A_alg : Algebra.IsIntegral L A


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2 ∧ |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: H₁ : |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2

Context: H₂ : |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2

abs' (↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j) < ε


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

|(↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j).re| + |(↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j).im| < ε


Context: f : CauSeq ℂ ⇑abs'

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| < ε / 2 ∧ |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: H₁ : |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| < ε / 2

Context: H₂ : |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2

Context: this : |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| + |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2 + ε / 2

|(↑f j).re - (cauSeqRe f).lim| + |(↑f j).im - (cauSeqIm f).lim| < ε


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Antitone g


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p

Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r


(∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: s : Set E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r

Context: I : Finset ι

Context: hI : ¬I.Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : TopologicalSpace E

Context: s : Set E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: I : Finset ι

Context: hI : ¬I.Nonempty


Context:
r p : ℝ≥0
h : 1 ≤ r * p


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

IsIso f ↔ IsIso f.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)


((Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base) ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)) ↔ IsIso f.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)


Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base → IsIso f.val.base


IsIso f.val.base → Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝³ : ProperSpace α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a z : α

Context: r : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (closedBall a r)

Context: hz : z ∈ closedBall a r

Context: hf1 : ∀ z' ∈ sphere a r, f z < f z'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝³ : ProperSpace α

Context: x : α

Context: r✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: a z : α

Context: r : ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (closedBall a r)

Context: hz : z ∈ closedBall a r

Context: hf1 : ∀ z' ∈ closedBall a r \ ball a r, f z < f z'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)

Context: ν : (i : ι) → Measure (β i)

Context: f : (i : ι) → α i → β i

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)

Context: hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)

Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ) = Measure.pi ν


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: β : ι → Type u_4

Context: ν : (i : ι) → Measure (β i)

Context: f : (i : ι) → α i → β i

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)

Context: this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: β : ι → Type u_4

Context: ν : (i : ι) → Measure (β i)

Context: f : (i : ι) → α i → β i

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)

Context: this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (β i)

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

(Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ)) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (ν i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: β : ι → Type u_4

Context: ν : (i : ι) → Measure (β i)

Context: f : (i : ι) → α i → β i

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)

Context: this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (β i)

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

∏ i : ι, (μ i) (f i ⁻¹' s i) = ∏ i : ι, (ν i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: β : ι → Type u_4

Context: ν : (i : ι) → Measure (β i)

Context: f : (i : ι) → α i → β i

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)

Context: this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: s : (i : ι) → Set (β i)

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Integrable (u n) μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) 1 μ


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
f : E ≃ₗ[K] F
x : F

x ∈ ⇑f '' fundamentalDomain b ↔ x ∈ fundamentalDomain (b.map f)


x ∈ ⇑f '' fundamentalDomain b ↔ x ∈ ⇑f.toEquiv '' fundamentalDomain b


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α


Context: m k : ℕ+

↑(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).1 = if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context: a : Ordinal.{u_1}

(sup fun n => (fun x => a + x)^[n] 0) = sup fun n => a * ↑n


Context: a : Ordinal.{u_1}

(fun n => (fun x => a + x)^[n] 0) = fun n => a * ↑n


Context:
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R


↑(if h : Finite (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I) then Fintype.card (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I) else 0) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: hq : Finite (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I)

Context: this : Fintype (R ⧸ I) := Fintype.ofFinite (R ⧸ I)

↑(Fintype.card (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I)) = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
σ : Aut X

(f ≫ g) ≫ ((autMap g ∘ autMap f) σ).hom = σ.hom ≫ f ≫ g


(f ≫ (autMap f σ).hom) ≫ g = σ.hom ≫ f ≫ g


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
A : ι → Submodule R M
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

(coeLinearMap A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x


(DFinsupp.sumAddHom fun i => (A i).subtype.toAddMonoidHom) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x


(DFinsupp.sum x fun x => ⇑(A x).subtype.toAddMonoidHom) = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g ↔ IsBigOWith c l f' g


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

∑ i ∈ s, f i • g i < ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ↔ ¬AntivaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a r : ℝ

0 < r ∧ x ∈ r • s ↔ r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.21579, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z : W.LeftFraction X Y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f✝ f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x

𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x


f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝[s] x


Context:
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13, u_1} A
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts F
hF : EqualizerCondition F

IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) F


Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f 1 μ


Context:
H✝ : Type u
H'✝ : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
H : Type u_5
H' : Type u_6
α : Type u_7
f : H → α

(range fun p => (f p.1, p.2)) = range f ×ˢ univ


(range fun p => (f p.1, p.2)) = range fun p => (f p.1, p.2)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α

(l₁ ++ l₂).sublists = do let x ← l₂.sublists map (fun x_1 => x_1 ++ x) l₁.sublists


foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) (foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) [[]] l₂) l₁ = do let x ← foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) [[]] l₂ map (fun x_1 => x_1 ++ x) (foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) [[]] l₁)


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : i.castSucc < p


Context:
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : p < i.succ


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: f : ↥A

Context: p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

Context: mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: f : ↥A

Context: p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

Context: frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: f : ↥A

Context: p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

∃ᶠ (x : C(X, ℝ)) in nhds (p.comp (↑f).attachBound), x ∈ ↑A.toSubsemiring


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: f : ↥A

Context: p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

∀ x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring, (compRightContinuousMap ℝ (↑f).attachBound) x ∈ ↑A.toSubsemiring


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: f : ↥A

Context: p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

Context: g : ℝ[X]

(compRightContinuousMap ℝ (↑f).attachBound) (↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)) g) ∈ ↑A.toSubsemiring


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)

Context: f : ↥A

Context: p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

Context: g : ℝ[X]

(g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound ∈ A.toSubsemiring


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m (f^[n] x)
r : ℕ
hr : r > 0
hr' : IsPeriodicPt f r x


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B

w.GuitartExact ↔ ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: p : ℝ

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: f_lim : α → G

Context: h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

∫⁻ (a : α), ↑‖f_lim a‖₊ ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: p : ℝ

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: f_lim : α → G

Context: a : α

Context: ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))

(fun a => ↑‖f_lim a‖₊ ^ p) a = (fun a => liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop) a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: p : ℝ

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: f_lim : α → G

Context: a : α

↑‖f_lim a‖₊ ^ p = liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: p : ℝ

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: f_lim : α → G

Context: a : α

Tendsto (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop (𝓝 (↑‖f_lim a‖₊ ^ p))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: p : ℝ

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: f_lim : α → G

Context: a : α

Tendsto (fun a_1 => ‖f a_1 a‖₊ ^ p) atTop (𝓝 (‖f_lim a‖₊ ^ p))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: f : ι → α → G

Context: p : ℝ

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: f_lim : α → G

Context: a : α

Tendsto (fun a_1 => ‖f a_1 a‖₊) atTop (𝓝 ‖f_lim a‖₊)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
y : Y
hy : f.Homotopic (const X y)


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S
r : F
hr : r ∈ Ring.closure S
s : F
hs : s ∈ Ring.closure S


Context:
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : AccPt x (𝓟 (closure C))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: C : Set α

Context: inst✝ : T1Space α

Context: h : Perfect (closure C)

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: H : ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ closure C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: C : Set α

Context: inst✝ : T1Space α

Context: h : Perfect (closure C)

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

Context: this : ∀ (y : α), y ≠ x ∧ y ∈ closure C → ∃ᶠ (z : α) in 𝓝 y, z ≠ x ∧ z ∈ C


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: C : Set α

Context: inst✝ : T1Space α

Context: h : Perfect (closure C)

Context: x : α

Context: xC : x ∈ C

∃ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : α) in 𝓝 x', x'' ≠ x ∧ x'' ∈ C


Context: ι : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: N : ι → Submodule R✝ M

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: R : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: N₁ : ι → Submodule R M₁

Context: h₁ : IsInternal N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: N₂ : ι → Submodule R M₂

Context: h₂ : IsInternal N₂

Context: κ₁ : ι → Type u_7

Context: κ₂ : ι → Type u_8

Context: inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)

Context: b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)

Context: f : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)

Context: i : ι

Context: snd✝¹ : κ₂ i

Context: j : ι

Context: snd✝ : κ₁ j

(toMatrix (h₁.collectedBasis b₁) (h₂.collectedBasis b₂)) f ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩ = Matrix.blockDiagonal' (fun i => (toMatrix (b₁ i) (b₂ i)) (f.restrict ⋯)) ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩


Context: ι : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: N : ι → Submodule R✝ M

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: R : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: N₁ : ι → Submodule R M₁

Context: h₁ : IsInternal N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: N₂ : ι → Submodule R M₂

Context: h₂ : IsInternal N₂

Context: κ₁ : ι → Type u_7

Context: κ₂ : ι → Type u_8

Context: inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)

Context: b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)

Context: f : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: i : ι

Context: snd✝¹ : κ₂ i

Context: j : ι

Context: snd✝ : κ₁ j

((h₂.collectedBasis b₂).repr (f ((h₁.collectedBasis b₁) ⟨j, snd✝⟩))) ⟨i, snd✝¹⟩ = if h : i = j then ((b₂ i).repr ((f.restrict ⋯) ((b₁ i) (cast ⋯ snd✝)))) snd✝¹ else 0


Context: ι : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: N : ι → Submodule R✝ M

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: R : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: N₁ : ι → Submodule R M₁

Context: h₁ : IsInternal N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: N₂ : ι → Submodule R M₂

Context: h₂ : IsInternal N₂

Context: κ₁ : ι → Type u_7

Context: κ₂ : ι → Type u_8

Context: inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)

Context: b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)

Context: f : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: i : ι

Context: snd✝¹ : κ₂ i

Context: snd✝ : κ₁ i

((h₂.collectedBasis b₂).repr (f ((h₁.collectedBasis b₁) ⟨i, snd✝⟩))) ⟨i, snd✝¹⟩ = if h : i = i then ((b₂ i).repr ((f.restrict ⋯) ((b₁ i) (cast ⋯ snd✝)))) snd✝¹ else 0


Context: ι : Type u_1

Context: R✝ : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹² : CommRing R✝

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R✝ M

Context: N : ι → Submodule R✝ M

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: h : IsInternal N

Context: R : Type u_4

Context: M₁ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: N₁ : ι → Submodule R M₁

Context: h₁ : IsInternal N₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: N₂ : ι → Submodule R M₂

Context: h₂ : IsInternal N₂

Context: κ₁ : ι → Type u_7

Context: κ₂ : ι → Type u_8

Context: inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)

Context: b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)

Context: f : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: i : ι

Context: snd✝¹ : κ₂ i

Context: j : ι

Context: snd✝ : κ₁ j

Context: hij : i ≠ j


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E

x✝ ∈ (p.comp f).closedBall x r ↔ x✝ ∈ ⇑f ⁻¹' p.closedBall (f x) r


Context:
f : ℕ → ℂ
h : f 1 = 1


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ

fourierCoeff (liftIco T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n


(1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f x


∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f x


∫ (x : ℝ) in Ioc a (a + T), (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc a (a + T), (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume


∫ (t : ℝ) in Ioo a (a + T), (fourier (-n)) ↑t • liftIco T a f ↑t ∂volume = ∫ (t : ℝ) in Ioo a (a + T), (fourier (-n)) ↑t • f t ∂volume


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a (a + T)

(fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : v ∈ s.direction
p : P
hp : p ∈ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
p : P
hp : p ∈ s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
hv : v = p1 -ᵥ p2


p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s ↔ 1 • (p1 -ᵥ p2) +ᵥ p ∈ s.carrier


p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s ↔ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s.carrier


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)


mk' (centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points) (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range s.points) = mk' (centroid ℝ {i₂, i₁}ᶜ s.points) (Submodule.span ℝ {s.points i₂ -ᵥ s.points i₁})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range s.points)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₀ n₁ n₂ : ℤ
z : Cochain F G n₀
h₁₂ : n₁ + 1 = n₂
h₀₁ : n₀ + 1 = n₁
p q : ℤ
hpq : p + n₂ = q


Context:
α✝ : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
s : Set α✝
α : Type u_2
U : Set α
h : IsOpen U


Context:
α✝ : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
s : Set α✝
α : Type u_2


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ

μ[f|m] =ᶠ[ae μ] ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf))


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
x : α

↑↑(condexpL1 hm μ f) x = ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf)) x


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f g : R[X]
I : Ideal R

(quotEquivQuotMap f I) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) g)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2

‖Real.log (abs z)‖ ≤ 1 * ‖Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)‖


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
z : ℂ
hz : 1 ≤ z.re
h2 : 0 < √2
hz' : 1 ≤ abs z
hm₀ : 0 < max z.re |z.im|


Real.log (abs z) ≤ ‖Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)‖


Real.log (abs z) ≤ Real.log √2 + Real.log (max z.re |z.im|)


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ

∀ᶠ (x : ℂ) in l, ↑n * ‖Real.log (max x.re |x.im|)‖ ≤ ‖x.re‖


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
z : ℂ
hre : ↑n * ‖Real.log z.re‖ ≤ ‖z.re‖
him : |z.im| ^ n ≤ Real.exp z.re
h₁ : 1 < z.re

↑n * ‖Real.log (max z.re |z.im|)‖ ≤ ‖z.re‖


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
z : ℂ
hre : ↑n * ‖Real.log z.re‖ ≤ ‖z.re‖
him : |z.im| ^ n ≤ Real.exp z.re
h₁ : 1 < z.re
hle : |z.im| ≤ z.re


Context:
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
z : ℂ
hre : ↑n * ‖Real.log z.re‖ ≤ ‖z.re‖
him : |z.im| ^ n ≤ Real.exp z.re
h₁ : 1 < z.re
hle : z.re ≤ |z.im|


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: p : β × γ → Prop

Context: hp : MeasurableSet {x | p x}

Context: h : ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, ∀ᵐ (c : γ) ∂η (a, b), p (b, c)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: p : β × γ → Prop

Context: hp : MeasurableSet {x | p x}

Context: h : (κ a) {a_1 | ¬(η (a, a_1)) {a | ¬p (a_1, a)} = 0} = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: p : β × γ → Prop

Context: hp : MeasurableSet {x | p x}

(fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' {a | ¬p a})) =ᶠ[ae (κ a)] 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: p : β × γ → Prop

Context: hp : MeasurableSet {x | p x}


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x : (i : ι) → β i


∀ ⦃x_1 : ι⦄, x_1 ∈ univ → ¬x x_1 ≠ x x_1


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
t : TopologicalSpace 𝕜
h₁ : TopologicalAddGroup 𝕜
h₂ : ContinuousSMul 𝕜 𝕜
h₃ : T2Space 𝕜


Context:
m n✝ a✝ b✝ c✝ d a b n c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
t : Set α := {x | d < f x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
t : Set α := {x | d < f x}
A : 0 < (μ.restrict t) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
t : Set α := {x | d < f x}
A : 0 < (μ.restrict t) t
B : 0 < (μ.restrict s) t


d ≤ sInf {a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: f✝ : α → ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hsf : Function.support f ⊆ s

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c < essSup f μ

Context: d : ℝ≥0∞

Context: cd : c < d

Context: hd : d < essSup f μ

Context: t : Set α := {x | d < f x}

Context: A : 0 < (μ.restrict t) t

Context: B : 0 < (μ.restrict s) t

Context: b : ℝ≥0∞

Context: hb : b ∈ {a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : Function.support f ⊆ s
c : ℝ≥0∞
hc : c < essSup f μ
d : ℝ≥0∞
cd : c < d
hd : d < essSup f μ
t : Set α := {x | d < f x}
A : 0 < (μ.restrict t) t
B : 0 < (μ.restrict s) t
b : ℝ≥0∞
hb : b < d

b ∉ {a | (μ.restrict s) {x | a < f x} = 0}


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set α
hs : s.Finite
h : sᶜ.Finite


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
this : (I * ↑x).im ≤ 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
this : (I * ↑x).im ≤ 0
a' : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : s.Countable
s_dense : Dense s


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : s.Countable
s_dense : Dense s
u : ℕ → α
hu : s ⊆ range u


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : cons y s ≠ 0


Context:
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : cons y s ≠ 0
h' : y = 0
c : s = 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

hausdorffEdist (closure s) t = hausdorffEdist s t


hausdorffEdist (closure s) t ≤ hausdorffEdist s t


hausdorffEdist s t ≤ hausdorffEdist (closure s) t


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)

Context: i j : J

Context: f g : i ⟶ j

Context: k : J

Context: φ : k ⟶ i

Context: hφ : φ ≫ f = φ ≫ g

(fun g => g ∘ F.map φ) (F.map f) = (fun g => g ∘ F.map φ) (F.map g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
hμ : ∀ s ∈ S, μ s < ⊤
hU : ⋃₀ S = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable
hμ✝ : ∀ s ∈ S, μ s < ⊤
hU : ⋃₀ S = univ
s : ℕ → Set α
hμ : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
hs : ⋃ n, s n = univ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
h : ↥H


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: α : ↥H → K

Context: x : L

Context: h : ↥H

Context: hx : x ∈ ((ad K L) ↑h).maxGenEigenspace (α h)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : ↥H → K
x : L
h : ↥H
hx : ((ad K L) ↑h) x = α h • x


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 < b


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 2 ≤ b


Context:
F : Type u_1
K✝¹ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝¹
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝¹
inst✝¹ : Algebra F L
K✝ K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
K : IntermediateField F L

Normal F ↥K ↔ ∀ (σ : L →ₐ[F] L), map σ K ≤ K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: u : Set H

Context: f : H → H'

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

ContDiffWithinAtProp I I' n f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' n f (s ∩ u) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

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↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I] ↑I (↑e x)


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↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑I.symm = (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) ∘ ↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm


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Context: N' : Type u_16

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Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'

Context: hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hx : f x ∈ e'.source

↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ⊆ ↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')


Context: x : ℝ

deriv^[2] (fun x => √x * log x) x = -log x / (4 * √x ^ 3)


Context: x : ℝ

deriv (fun x => (2 + log x) / (2 * √x)) x = -log x / (4 * √x ^ 3)


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ s


Context: a b : ℕ+

(a.xgcd b).wp + (a.xgcd b).x + 1 = (a.xgcd b).wp + 1 + (a.xgcd b).x


Context:
m n a b c d : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.181396, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + 1 = p₃

(liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (↑(fst φ)).v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ p₃ ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν

(map f μ).singularPart (map f ν) = map f (μ.singularPart ν)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: h_add : map f μ = map f (μ.singularPart ν) + (map f ν).withDensity ((map f μ).rnDeriv (map f ν))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
h : B.orthogonal W = ⊤


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
h : B.orthogonal W = ⊤
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a c : α
d : αˣ


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n

∃ f, s = ⇑f ⁻¹' {1} ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
h's : IsGδ s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
U : ℕ → Set X
U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : s = ⋂ n, U n
m : Set X
m_comp : IsCompact m
sm : s ⊆ interior m
mt : m ⊆ tᶜ


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: A : ∀ (n : ℕ), ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: fm : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 0 (U n ∩ interior m)ᶜ

Context: _hf : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport ⇑(f n)

Context: f_range : ∀ (n : ℕ) (x : X), (f n) x ∈ Icc 0 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: g : X → ℝ := fun x => ∑' (n : ℕ), u n * (f n) x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : RegularSpace X

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : IsGδ s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: U : ℕ → Set X

Context: U_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hU : s = ⋂ n, U n

Context: m : Set X

Context: m_comp : IsCompact m

Context: sm : s ⊆ interior m

Context: mt : m ⊆ tᶜ

Context: f : ℕ → C(X, ℝ)

Context: fs : ∀ (n : ℕ), EqOn (⇑(f n)) 1 s

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < u i

Context: u_sum : Summable u

Context: hu : ∑' (i : ℕ), u i = 1

Context: hgmc : EqOn g 0 mᶜ