Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: U : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: hxV : ↑⟨x, hxU⟩ ∈ V

Context: i : V ⟶ unop (op U)

Context: n : ℕ

Context: a b : ↥(𝒜 n)

Context: t : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)

Context: ht : t ∈ unop (op V)

HomogeneousLocalization.val (↑(sectionInBasicOpen 𝒜 x { deg := n, num := a, den := b, den_mem := ⋯ }) ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) ⟨t, ht⟩)) = HomogeneousLocalization.val (↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨t, ht⟩))


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s t : Multiset α


Rel (fun a b => f a = f b) s t ↔ Rel (fun x x_1 => x = x_1) s t


Context:
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n✝ m n : ℕ+


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: φ : ℝ → ℝ

Context: φm : MonotoneOn φ s

Context: hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s 1

Context: hf : HasConstantSpeedOnWith f (φ '' s) 1

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: φ : ℝ → ℝ

Context: φm : MonotoneOn φ s

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: x✝ : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : V

Context: e : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V)) ≃ₗᵢ[ℝ] V := (stdOrthonormalBasis ℝ V).repr.symm

∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : V

∫ (x : EuclideanSpace ℝ (Fin (FiniteDimensional.finrank ℝ V))), cexp (-b * ↑‖e x‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, e x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
a : R

a ∈ Set.center R ↔ AddMonoidHom.mulLeft a = AddMonoidHom.mulRight a ∧ AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) = AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧ AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧ AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulRight a)


((∀ (a_1 : R), a * a_1 = a_1 * a) ∧ (∀ (b c : R), a * (b * c) = a * b * c) ∧ (∀ (a_1 c : R), a_1 * a * c = a_1 * (a * c)) ∧ ∀ (a_1 b : R), a_1 * b * a = a_1 * (b * a)) ↔ AddMonoidHom.mulLeft a = AddMonoidHom.mulRight a ∧ AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) = AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧ AddMonoidHom.mul.comp (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulLeft a) ∧ AddMonoidHom.mul.compr₂ (AddMonoidHom.mulRight a) = AddMonoidHom.mul.compl₂ (AddMonoidHom.mulRight a)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g✝ : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ

Context: hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J

Context: g : ι →ᵇᵃ[↑I] F

Context: H : ℝ≥0 → ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J

∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ ∅, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (McShane.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (McShane.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
s : Set N
f : G ≃* N

normalClosure (⇑f ⁻¹' s) = comap (↑f) (normalClosure s)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
s : Set N
f : G ≃* N
this : ⇑f.toEquiv ⁻¹' s = ⇑f.symm '' s


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq k
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
b₁ b₂ : n
hb : b₁ ≠ b₂
a : m
c : k

(single a b₁).toMatrix * (single b₂ c).toMatrix = 0


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
inst✝ : Epi f


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
inst✝ : Epi f
r : ¬Function.Surjective ⇑f


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
inst✝ : Epi f
b : ↑B
hb : ∀ (a : ↑A), f a ≠ b


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C

K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G ⊤)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X

Sieve.pullback iYX S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj Y⦄, (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑⟨Sieve.pullback (G.map iYX) (Sieve.functorPushforward G S), ⋯⟩)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves Y_1


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: Z : D

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: iZU : Z ⟶ G.obj U

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Context: e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX

Sieve.pullback (iZU ≫ G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves Z


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: Z : D

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: iZU : Z ⟶ G.obj U

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Sieve.pullback iZU (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Z


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: Z : D

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: iZU : Z ⟶ G.obj U

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves (G.obj U)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj U⦄, (Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve iUW)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Y_1


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Context: Z : D

Context: U₁ : C

Context: iU₁U : U₁ ⟶ U

Context: iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁

Context: iU₁W : U₁ ⟶ W

Context: e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

Sieve.pullback (iZU₁ ≫ G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Z


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Context: Z : D

Context: U₁ : C

Context: iU₁U : U₁ ⟶ U

Context: iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁

Context: iU₁W : U₁ ⟶ W

Context: e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

Sieve.pullback iZU₁ (Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)))) ∈ K.sieves Z


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Context: Z : D

Context: U₁ : C

Context: iU₁U : U₁ ⟶ U

Context: iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁

Context: iU₁W : U₁ ⟶ W

Context: e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves (G.obj U₁)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Context: U₁ : C

Context: iU₁U : U₁ ⟶ U

Context: iU₁W : U₁ ⟶ W

Context: e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Context: U₁ : C

Context: iU₁U : U₁ ⟶ U

Context: iU₁W : U₁ ⟶ W

Context: e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

Sieve.functorPushforward G (Sieve.equalizer (iU₁U ≫ iUY ≫ iYX) (iU₁W ≫ iWX)) ≤ Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: iYX : Y ⟶ X

Context: U : C

Context: iUY : U ⟶ Y

Context: W : C

Context: iWX : W ⟶ X

Context: iUW : G.obj U ⟶ G.obj W

Context: hiWX : S.arrows iWX

Context: U₁ : C

Context: iU₁U : U₁ ⟶ U

Context: iU₁W : U₁ ⟶ W

Context: e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

Context: Z : D

Context: U₂ : C

Context: iU₂U₁ : U₂ ⟶ U₁

Context: iZU₂ : Z ⟶ G.obj U₂

Context: e₃ : iU₂U₁ ≫ iU₁U ≫ iUY ≫ iYX = iU₂U₁ ≫ iU₁W ≫ iWX

(Sieve.pullback iYX S).arrows (iU₂U₁ ≫ iU₁U ≫ iUY)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: S' : Sieve X

Context: H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y

S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: S' : Sieve X

∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G S).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: S' : Sieve X

Context: Y : D

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ X

Context: i : Y ⟶ G.obj Z

Context: hg : S.arrows g

Sieve.pullback (i ≫ G.map g) (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: S' : Sieve X

Context: Y : D

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ X

Context: i : Y ⟶ G.obj Z

Context: hg : S.arrows g

Sieve.pullback i (Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')) ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: S' : Sieve X

Context: Y : D

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ X

Context: i : Y ⟶ G.obj Z

Context: hg : S.arrows g

Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves (G.obj Z)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Category.{u, v} A

Context: inst✝² : G.LocallyCoverDense K

Context: inst✝¹ : G.IsLocallyFull K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFaithful K

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: S' : Sieve X

Context: Y : D

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ X

Context: i : Y ⟶ G.obj Z

Context: hg : S.arrows g

Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback g S') ≤ Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y✝ z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : LowerSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y

LowerSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
hfg : ¬f + g = 0

valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hg : ¬g = 0

Context: hfg : ¬f + g = 0

Context: hf : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hfg : ¬f + g = 0

Context: hg : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: hfg : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) (f + g) ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m : ℕ

Context: hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0

Context: k : ℕ

Context: hk : (coeff (ModP K v O hv p) p k) (f + g) ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m n : ℕ

Context: k : ℕ

Context: hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m n k : ℕ

Context: hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m n k : ℕ

Context: hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m n k : ℕ

ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m n k : ℕ

Context: h : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ≤ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: f g : PreTilt K v O hv p

Context: m n k : ℕ

Context: h : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ≤ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s

{ ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons b s hb } ↔ a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a : α
ha hb : a ∉ s

{ ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons a s hb } ↔ a ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
hab : a ≠ b


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι

vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i -ᵥ p i0)


Submodule.span k (range ((fun x => x -ᵥ p i0) ∘ p)) = Submodule.span k (range fun i => p i -ᵥ p i0)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
this : ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : LieRing L

Context: inst✝¹² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : Module K M

Context: inst✝³ : LieModule K L M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝ : IsTriangularizable K L M

Context: this : ⨆ x, weightSpace M ↑((Weight.equivSetOf K L M) x) = ⊤


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: F_obj : C → D

Context: e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)

Context: he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map (f ≫ f') = { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map f ≫ { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map f'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: F_obj : C → D

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

(f ≫ f') ≫ (e Z✝ (F_obj Z✝)) (𝟙 (F_obj Z✝)) = (f ≫ (e Y✝ (F_obj Y✝)) (𝟙 (F_obj Y✝))) ≫ G.map ({ obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map f')


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: F_obj : C → D

Context: X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: f' : Y✝ ⟶ Z✝

(f ≫ f') ≫ (e Z✝ (F_obj Z✝)) (𝟙 (F_obj Z✝)) = f ≫ f' ≫ (e Z✝ (F_obj Z✝)) (𝟙 (F_obj Z✝))


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 1
t : L.Term α

(R.formula₁ t).Realize v ↔ RelMap R ![Term.realize v t]


(RelMap R fun i => Term.realize v (![t] i)) = RelMap R ![Term.realize v t]


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 1
t : L.Term α
x✝ : Fin 1

Term.realize v (![t] x✝) = ![Term.realize v t] x✝


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : HasTerminal C
P Q : C
f : P ⟶ Q


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
x : α
h : IsLUB s x


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A


Context:
α : Type u
x : Tree α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s


Context: z : ℂ


Context:
b : Ordinal.{u_1}
h : ¬1 < b
x : Ordinal.{u_1}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p : R[X]

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: H : p = 0


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α

Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ a :: l₁ = b :: l₂ ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₁)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
ab : r a b


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ l₂ : List α

Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ∨ a :: l₁ = a :: l₂ ∨ Lex r (a :: l₂) (a :: l₁)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
ab : r b a


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: M✝ L M N : ModuleCat R

Context: f : L ⟶ M

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: g : underlying.obj (imageSubobject f) ⟶ N

Context: inst✝ : HasCokernel g

Context: y : ↑N

Context: l : ↑L

(cokernel.π g) (y + g ((factorThruImageSubobject f) l)) = (cokernel.π g) y


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: M✝ L M N : ModuleCat R

Context: f : L ⟶ M

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: inst✝ : HasCokernel g

Context: y : ↑N

Context: l : ↑L

(cokernel.π g) (g ((factorThruImageSubobject f) l)) = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: M✝ L M N : ModuleCat R

Context: f : L ⟶ M

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: inst✝ : HasCokernel g

Context: y : ↑N

Context: l : ↑L

(⇑(cokernel.π g) ∘ ⇑g ∘ ⇑(factorThruImageSubobject f)) l = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: M✝ L M N : ModuleCat R

Context: f : L ⟶ M

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: inst✝ : HasCokernel g

Context: y : ↑N

Context: l : ↑L

(factorThruImageSubobject f ≫ g ≫ cokernel.π g) l = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: M✝ L M N : ModuleCat R

Context: f : L ⟶ M

Context: inst✝¹ : HasImage f

Context: inst✝ : HasCokernel g

Context: y : ↑N

Context: l : ↑L


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: S : Submonoid R

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] N'

Context: σ : Finset M

Context: hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤

Context: τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)

Context: hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val)

Context: π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ σ } M R Subtype.val


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_4

Context: N' : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: S : Submonoid R

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: g : M →ₗ[R] N'

Context: σ : Finset M

Context: hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤

Context: τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)

Context: hπ : Function.Surjective ⇑π


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁷ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace T
inst✝⁵ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : DistribMulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
s : Set α
c : G₀
hc : c ≠ 0

c • s ∈ 𝓝 0 ↔ s ∈ 𝓝 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : LinearWeights R L M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
h : χ.IsZero
x✝ : L


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t : Set A
f : A →ₐ[R] B
s : Set A

(fun x => x) '' s ⊆ (Subalgebra.comap f (adjoin R (⇑f '' s))).carrier


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
a : α
f : α → β

{a}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R

(-A).det = (-1) ^ Fintype.card n • A.det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁵ : OrderTop α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeSup β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

a ∈ lowerClosure ↑(s ∪ t) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s ∨ a ∈ lowerClosure ↑t


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z✝ : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : HasPullbacks C
ι : Type u_1
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X

(ofArrows (fun i => pullback (g i) f) fun i => pullback.snd (g i) f) = pullbackArrows f (ofArrows Z g)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z✝ : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : HasPullbacks C
ι : Type u_1
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
T : C


Context: b x✝ y x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : t ∈ 𝓝[s] a


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp F p μ)

f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ ↔ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}


Context:
u : Level
e' r : ℤ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n n' : ℕ
inst : CharP α n
e : α
he : IsInt e e'
hn : IsNat n n'
h₂ : IsInt (e' % ↑n') r


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11729, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
a : α

(∀ ⦃b : α⦄, b ≤ a → a ∈ s → b ∈ s) ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b < a → a ∈ s → b ∈ s


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

μ.withDensity (f + g) = μ.withDensity f + μ.withDensity g


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
x : ↑(fundamentalDomain b)

(quotientEquiv b).symm x = Submodule.Quotient.mk ↑x


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : 0 < p.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Type u_2
f : ι → Filter α

(⨅ i, f i).sets = ⋃ t, (⨅ i ∈ t, f i).sets


Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun t => ⨅ i ∈ t, f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b : Ordinal.{u_4}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
v' : Basis ι' 𝕜 E'
hv' : Orthonormal 𝕜 ⇑v'
e : ι ≃ ι'
i : ι'

(hv.equiv hv' e) ((hv.equiv hv' e).symm (v' i)) = (hv.equiv hv' e) ((hv'.equiv hv e.symm) (v' i))


Context:
s : String
p : Char → Bool


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑a ≤ ↑b


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑b ≤ ↑a


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
α β : K


‖(canonicalEmbedding K) α * (canonicalEmbedding K) β‖ ≤ ‖(canonicalEmbedding K) α‖ * ‖(canonicalEmbedding K) β‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

a • f.symm x + b • f.symm y ≤ f.symm (a • x + b • y)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'


a • x' + b • y' ≤ f.symm (a • f x' + b • f y')


f (a • x' + b • y') ≤ a • f x' + b • f y'


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
ε : ℝ
hε : ε > 0


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ g, ∫⁻ (x : α), ↑‖f x - g x‖₊ ∂μ ≤ ε ∧ Integrable (⇑g) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf : Memℒp f 1 μ

∃ g, eLpNorm (fun x => f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) 1 μ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S


∀ (k : ℕ), Commute ((C.comp f) (q.coeff k)) X


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
this : DecidableEq M

((toMatrix b b) f).det = LinearMap.det f


((toMatrix b b) f).det = ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange) f).det


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
inst✝¹ : RingHomSurjective τ₂₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
hf : range f = ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
s : ι → Set X


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: x₁ x₂ x₃ : α

Context: h✝ : toIcoMod hp x₁ x₂ ≤ toIocMod hp x₁ x₃

Context: x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂

Context: x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃

Context: h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: x₁ x₂ x₃ : α

Context: x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂

Context: x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃

Context: h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'

Context: h₂₁ : x₂' < x₁ + p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: x₁ x₂ x₃ : α

Context: x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂

Context: x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃

Context: h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'

Context: h₂₁ : x₂' < x₁ + p

Context: h₃₂ : x₃' - p < x₂'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: x₁ x₂ x₃ : α

Context: x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂

Context: x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃

Context: h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'

Context: h₂₁ : x₂' < x₁ + p

Context: h₃₂ : x₃' - p < x₂'

Context: h₃₁ : x₃' ≤ x₁ + p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: x₁ x₂ x₃ : α

Context: x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂

Context: x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃

Context: h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'

Context: h₂₁ : x₂' < x₁ + p

Context: h₃₂ : x₃' - p < x₂'

Context: h₁₃ : x₁ + p < x₃'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: x₁ x₂ x₃ : α

Context: x₂' : α := toIcoMod hp x₁ x₂

Context: x₃' : α := toIcoMod hp x₂' x₃

Context: h : x₂' ≤ toIocMod hp x₁ x₃'

Context: h₂₁ : x₂' < x₁ + p

Context: h₃₂ : x₃' - p < x₂'

Context: h₁₃ : x₁ + p < x₃'

Context: hIoc₁₃ : toIocMod hp x₁ x₃' = x₃' - p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α

range l.get? = insert none (some '' {x | x ∈ l})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α

range l.get? = insert none (range (some ∘ l.get))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n : ℕ

l.get? n ∈ insert none (range (some ∘ l.get))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff

(IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: hφ' : φ.comp (Quotient.mk P') = (Quotient.mk P).comp C

Context: p : Sₘ

(IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegralElem p


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: p : Sₘ

Context: p' q : R[X] ⧸ P

Context: hq : q ∈ M'

Context: hp : p * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) ↑(p', ⟨q, hq⟩).2 = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) (p', ⟨q, hq⟩).1


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: p : Sₘ

Context: p' q : R[X] ⧸ P

Context: hq : q ∈ M'

φ'.IsIntegralElem ((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p')


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: p : Sₘ

Context: p' q : R[X] ⧸ P

Context: hq : q ∈ M'

Context: hp : p * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) q = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: p : Sₘ

Context: p' q : R[X] ⧸ P

Context: hq : q ∈ M'

∀ x ∈ ⇑((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ).comp (Quotient.mk P)) '' insert X {p | p.degree ≤ 0}, φ'.IsIntegralElem x


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: P : Ideal R[X]

Context: pX : R[X]

Context: hpX : pX ∈ P

Context: inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: p : Sₘ

Context: p' q : R[X] ⧸ P

Context: hq : q ∈ M'

(algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p' ∈ Subring.closure (⇑((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ).comp (Quotient.mk P)) '' insert X {p | p.degree ≤ 0})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
i : α


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : 𝕎 R
n : ℕ

((map ↑(_root_.frobeniusEquiv R p).symm) (frobenius f)).coeff n = f.coeff n


((map ↑(_root_.frobeniusEquiv R p).symm) ((map (_root_.frobenius R p)) f)).coeff n = f.coeff n


(frobenius ((map ↑(_root_.frobeniusEquiv R p).symm) f)).coeff n = f.coeff n


((map (_root_.frobenius R p)) ((map ↑(_root_.frobeniusEquiv R p).symm) f)).coeff n = f.coeff n


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ Q y * P z ^ 3


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B

homologyMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjHomologySelfIso c j B).hom = (singleObjHomologySelfIso c j A).hom ≫ f


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hf_int : Integrable f μ

μ[f|m ⊓ mΩ] =ᶠ[ae μ] fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hf_int : Integrable f μ
hX : Measurable id


μ[f|m ⊓ mΩ] =ᶠ[ae μ] fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condDistrib id id μ) (id ω)


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: f : Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: hX : Measurable id

Context: h : μ[f|MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)] =ᶠ[ae μ] fun a => ∫ (y : Ω), f y ∂(condDistrib id id μ) (id a)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
A : {x} ⊆ s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
A : {x} ⊆ s
B : IsClosed (s \ {x})


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
A : {x} ⊆ s
B : IsClosed (s \ {x})
C : (s \ {x})ᶜ ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 x
hsf : s.Finite
A : {x} ⊆ s
B : IsClosed (s \ {x})
C : (s \ {x})ᶜ ∈ 𝓝 x
D : {x} ∈ 𝓝 x


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
M : Matroid α
X : Set α

∃ I, M.Basis I (X ∩ M.E) ∧ M.Basis I (M.closure X)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
M : Matroid α
X I : Set α
hI : M.Basis I (X ∩ M.E)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
M : Matroid α
X I : Set α
hI : M.Basis I (X ∩ M.E)
hI' : M.Basis I (M.closure (X ∩ M.E))


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
M : Matroid α
X I : Set α
hI : M.Basis I (X ∩ M.E)
hI' : M.Basis I (M.closure X)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x✝ : X

(h.trans h.symm) x✝ = (Homeomorph.refl X) x✝


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝³ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hca : c ≤ a

Context: h : a - b < a - c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hca : c ≤ a

Context: h : a - c + c - b < a - c


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
f' : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g' : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : Injective ⇑f
g₁ g₂ : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
x : M₁


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W

z₁.map L ⋯ ≫ z₂.map L ⋯ = (z₁.comp₀ z₂ z₃).map L ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
this : IsIso (L.map z₂.s)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
this✝ : IsIso (L.map z₂.s)
this : IsIso (L.map z₃.s)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
this✝¹ : IsIso (L.map z₂.s)
this✝ : IsIso (L.map z₃.s)
this : IsIso (L.map (z₂.s ≫ z₃.s))


z₁.map L ⋯ ≫ z₂.map L ⋯ = (mk (z₁.f ≫ z₃.f) (z₂.s ≫ z₃.s) ⋯).map L ⋯


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
μ_mass : μ.mass = 0


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝⁵ : IsTrans α r

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: f✝ : γ → α

Context: inst✝³ : Finite β

Context: inst✝² : Nonempty α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1

Context: f : β → α


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝⁵ : IsTrans α r

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: f✝ : γ → α

Context: inst✝³ : Finite β

Context: inst✝² : Nonempty α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: f : β → α

Context: M : α

Context: hM : ∀ (i : β), M ≤ f i


Context:
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
a : ℕ
ha : ∀ j < a, ¬p j
b : ℕ
property✝ : ∀ j < b, ¬p j


Context:
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
n0 : 0 < n


IsLeftRegular (a ^ n.pred * a) → IsLeftRegular a


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix p p 𝕜

Context: e : p ≃ n

Context: L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D₀ : n → 𝕜

Context: h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀

(List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀)).prod * M * (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀')).prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix p p 𝕜

Context: e : p ≃ n

Context: L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D₀ : n → 𝕜

Context: this : M = (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix p p 𝕜

Context: e : p ≃ n

Context: L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D₀ : n → 𝕜

(List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀)).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M) * (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀')).prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix p p 𝕜

Context: e : p ≃ n

Context: L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D₀ : n → 𝕜

(reindex e.symm e.symm) (List.map toMatrix L₀).prod * (reindex e.symm e.symm) ((reindex e e) M) * (reindex e.symm e.symm) (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix p p 𝕜

Context: e : p ≃ n

Context: L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D₀ : n → 𝕜

(reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) (diagonal D₀) = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G

f ∈ Submodule.span k (⇑(of k G) '' ↑f.support)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : ∀ (A B : C), ∃ c x, Mono c.inl
A B : C
c' : BinaryCofan A B
hc' : IsColimit c'
c : BinaryCofan A B
hc₁ : IsColimit c
hc₂ : Mono c.inl


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B


Context: x : ℝ


Context: A : Type u₁

Context: B : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A

Context: inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B

Context: inst✝⁵ : HasEqualizers A

Context: inst✝⁴ : HasImages A

Context: inst✝³ : StrongEpiCategory B

Context: inst✝² : HasImages B

Context: L : A ⥤ B

Context: inst✝¹ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PreservesLimit (cospan f g) L

Context: inst✝ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → PreservesColimit (span f g) L

Context: X Y : A

Context: f : X ⟶ Y

(iso L f).hom ≫ L.map (image.ι f) = image.ι (L.map f)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Odd


Context:
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hca : c ∣ b


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α✝ α : E

Context: q : F[X]

Context: q_irred : Irreducible q

Context: q_aeval : (aeval α) q = 0

Context: hα : IsSolvableByRad F α

Context: this : IsSolvable (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Gal


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α✝ α : E

Context: q : F[X]

Context: q_irred : Irreducible q

Context: q_aeval : (aeval α) q = 0

Context: hα : IsSolvableByRad F α


Context:
R✝ : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : Semiring R₂✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂✝ M₂
τ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝
inst✝⁷ : RingHomSurjective τ₁₂✝
F : Type u_8
inst✝⁶ : FunLike F M M₂
inst✝⁵ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M M₂
R : Type u_9
R₂ : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring R₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
ι : Type u_11
s : Set ι
hs : s.Nonempty
p : ι → Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : LinearMap.range f = ⨆ i ∈ s, p i


⨆ i ∈ s, comap (LinearMap.range f).subtype (p i) = ⊤


Context:
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
a b : α

(x :: y :: l ++ [a, b]).formPerm = (x :: y :: l ++ [a]).formPerm * swap a b


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

LinearIndependent ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o)) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(smaller C o)) => ↑p


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

LinearIndependent (ι := ↑(range (π C fun x => ord I x < o))) ℤ ((fun p => ↑p) ∘ (range_equiv_smaller C o).toFun) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(smaller C o)) => ↑p


Context: α : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: xs : Vector α n

Context: σ₁ : Type

Context: β : Type u_1

Context: σ₂ : Type

Context: f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β

Context: f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β

Context: s₁ : σ₁

Context: s₂ : σ₂

Context: R : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: h₀ : R s₁ s₂

Context: hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2

(mapAccumr f₁ xs s₁).2 = (mapAccumr f₂ xs s₂).2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

∃ y, dist x y = b * dist x z ∧ dist y z = a * dist x z


dist x (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z


dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z


dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) (1 • z) = a * dist x z


Context: m : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: r : α → α → Prop

Context: S : Set (Set α)

Context: hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S

Context: h : ∀ x ∈ S, DirectedOn r x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: r : α → α → Prop

Context: S : Set (Set α)

Context: h : ∀ x ∈ S, DirectedOn r x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
h : xs <+ ys


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M

DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M

Context: hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M

Context: hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M

Context: hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M

Context: x : R

Context: H : x ∈ ↑⊤.annihilator

Context: hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisors R)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
h : b = 0 → a = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: A C : Set E

Context: X : Finset E

Context: x✝ x : E

Context: w✝ : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, w✝ y ≤ w✝ x}

Context: hx : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, w✝ y ≤ w✝ x}


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i j : Discrete ι

Context: h : i ≠ j

Context: U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)

x ∈ ↑((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base).obj ((Opens.map (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base).obj (⋯.functor.obj U))) ↔ x ∈ ↑⊥


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i j : Discrete ι

Context: h : i ≠ j

Context: U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

x ∉ ↑((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base).obj ((Opens.map (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base).obj (⋯.functor.obj U)))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i j : Discrete ι

Context: h : i ≠ j

Context: U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: eq : (colimit.ι F i).base y = (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base x)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i j : Discrete ι

Context: h : i ≠ j

Context: U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: eq : (preservesColimitIso (forget C) F ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor ≪≫ TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom ((colimit.ι F i).base y) = (preservesColimitIso (forget C) F ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor ≪≫ TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom ((preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base x))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i j : Discrete ι

Context: h : i ≠ j

Context: U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: eq : ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι F i).base y) = ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j ≫ (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv).base x)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: i j : Discrete ι

Context: h : i ≠ j

Context: U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: eq : ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι F i).base y) = ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((forgetToPresheafedSpace.map (colimit.ι F j)).base x)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: as✝¹ : ι

Context: U : Opens ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: as✝ : ι

Context: x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj { as := as✝ })

Context: h : { as := as✝¹ } ≠ { as := as✝ }

Context: eq : ((forget C).map (colimit.ι F { as := as✝¹ }) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) y = ((forget C).map (colimit.ι F { as := as✝ }) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) x


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: ι : Type v

Context: F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: as✝¹ : ι

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: as✝ : ι

Context: h : { as := as✝¹ } ≠ { as := as✝ }

Context: eq : (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝¹ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) as✝¹) y = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) as✝) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : TangentBundle I H

↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : TangentBundle I H

↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: m : List I

Context: hm : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) m

Context: h : ⟨m, hm⟩ ∈ {m | m < nil}


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc✝ : Cospherical ps

Context: r : ℝ

Context: c : P

Context: hc : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x

HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: G : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: c : 𝕜 → F →L[𝕜] G

Context: c' : F →L[𝕜] G

Context: d : 𝕜 → E →L[𝕜] F

Context: d' : E →L[𝕜] F

Context: u : 𝕜 → F

Context: u' : F

Context: hc : HasStrictDerivAt c c' x

Context: hd : HasStrictDerivAt d d' x

Context: this : HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) ((((compL 𝕜 E F G) (c x)).comp (smulRight 1 d') + ((compL 𝕜 E F G).flip (d x)).comp (smulRight 1 c')) 1) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: h : b ≤ a


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
h : x ^ Fintype.card (ZMod p) = x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring β
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring γ
g✝ : β →ₙ+* γ
f : α →ₙ+* β
g : β →ₙ+* γ
f₁ f₂ : α →ₙ+* β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α


Context:
z : ℂ
hz : z ≠ 0
w : ℂ

abs (z ^ w) = abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
h : 0 ∈ Set.Ioo 0 1


Context: m n : ℤ


Context: m n : ℕ

↑(Nat.bitwise (fun x y => !x && y) m n) = -[m+1].land (ofNat n)


Context: m n : ℕ


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Continuous (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

↑(comp₂ g hg f₁ f₂) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)


↑(mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: m : WithBot ℕ

Context: p : R[X]

Context: h_deg_le : p.degree ≤ m

Context: coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 m) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p : R[X]

Context: h_deg_le : p.degree ≤ ⊥

Context: coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 ⊥) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: m : WithBot ℕ

Context: p : R[X]

Context: h_deg_le : p.degree ≤ m

Context: hh : m ≠ ⊥


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦(P F).wMk a f' f⟧


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

Context: this : mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦wrepr ((P F).wMk a f' f)⟧


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

Setoid.r (wrepr ((P F).wMk a f' f)) ((P F).wMk a f' f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: σ : Subalgebra R S

Context: hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ

Context: τ : Set T

Context: t : T

Context: ht : t ∈ adjoin S τ

∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • t ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: σ : Subalgebra R S

Context: τ : Set T

Context: t : T

Context: ht : t ∈ adjoin S τ

∀ x ∈ τ, ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: σ : Subalgebra R S

Context: τ : Set T

Context: t : T

Context: ht : t ∈ adjoin S τ

∀ (r : S), ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (algebraMap S T) r ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: σ : Subalgebra R S

Context: τ : Set T

Context: t : T

Context: ht : t ∈ adjoin S τ

∀ (x y : T), (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (x + y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : CommRing T

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: σ : Subalgebra R S

Context: τ : Set T

Context: t : T

Context: ht : t ∈ adjoin S τ

∀ (x y : T), (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)
K : Set α
hxK : K ∈ 𝓝 x
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace α

Context: inst✝³ : UniformSpace β

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace α

Context: inst✝¹ : CompactSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : α → β → γ

Context: x : α

Context: U : Set α

Context: hxU : U ∈ 𝓝 x

Context: h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)

Context: K : Set α

Context: hxK : K ∈ 𝓝 x

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hK : IsCompact K

Context: this : UniformContinuousOn (↿f) (K ×ˢ univ)


Context:
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf : ContDiff 𝕂 1 f
x : E'


Context:
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf✝ : ContDiff 𝕂 1 f
x : E'
K : ℝ≥0
t : Set E'
ht : t ∈ 𝓝 ?m.51584
hf : LipschitzOnWith K f t


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re

L (fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L 1) s / L 1 s


Context:
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
x✝ : n ≠ 0

↑(Λ n) = ((fun n => 1 ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : A ⊗[R] Matrix n n R

invFun R A n ((toFunAlgHom R A n) M) = M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs₁ : IsChain r s
hs₂ : ¬IsMaxChain r s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c c₁ c₂ c₃ s t : Set α

Context: a b x y : α

Context: hs₁ : IsChain r s

Context: hs₂ : IsChain r s → ∃ x, IsChain r x ∧ s ⊆ x ∧ ¬s = x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: c c₁ c₂ c₃ s t✝ : Set α

Context: a b x y : α

Context: hs₁ : IsChain r s

Context: t : Set α

Context: ht : IsChain r t

Context: hst : s ⊆ t ∧ ¬s = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c d x a b : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
x : n → R

x ∈ LinearMap.ker (Aᴴ * A).mulVecLin ↔ x ∈ LinearMap.ker A.mulVecLin


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace H

Context: this : ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact s ∧ s ⊆ (chartAt H x).target) fun s => ↑(chartAt H x).symm '' s


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace H

∀ (x : M) (i : Set H), i ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact i ∧ i ⊆ (chartAt H x).target → IsCompact (↑(chartAt H x).symm '' i)


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : LocallyCompactSpace H

Context: x : M

Context: s : Set H

Context: left✝ : s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x)

Context: h₂ : IsCompact s

Context: h₃ : s ⊆ (chartAt H x).target


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : G → E
f'✝ g'✝ : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f g : ℝ → E
f' g' : E
x : ℝ

HasDerivAt f f' x → HasDerivAt g g' x → HasDerivAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α

Finset.subtype p s = ∅ ↔ ∀ (x : α), p x → x ∉ s


Context:
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
g : N →ₗ[R'] P


∀ (m : M), (map (g ∘ₗ f)) (inr m) = ((map g).comp (map f)) (inr m)


Context:
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr

(ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω


Context:
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF


Context:
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ (e.oadd n a).repr


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

(ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

∀ b' < ω, (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b' ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

(ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

Context: this : (e.oadd n a).repr < ω ^ succ e.repr


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

Context: this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

(ω ^ succ e.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

ω ^ (succ e.repr * b) ≤ ω ^ (e.repr * ω)


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h✝ : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

Context: h : ω ≤ e.repr


Context: e a : ONote

Context: Ne : e.NF

Context: Na : a.NF

Context: e0 : e.repr ≠ 0

Context: n : ℕ+

Context: h✝ : a.repr < ω ^ e.repr

Context: No : (e.oadd n a).NF

Context: b : Ordinal.{0}

Context: l : b < ω

Context: h : e.repr < ω


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι

aeSeqSet hf p ⊆ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}


{x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}ᶜ ⊆ toMeasurable μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ