Context:
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier

IsQuasiSeparated U.carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, U)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x


IsQuasiSeparated ⊥.carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, ⊥)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x


∀ (S : X.Opens), IsCompact S.carrier → ∀ (U : ↑X.affineOpens), (IsQuasiSeparated S.carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x) → IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier → ∀ (f : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ n y, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
ψ : H → G
hφ : Function.RightInverse ψ ⇑φ
x : G ⧸ φ.ker

(kerLift φ) ((mk ∘ ψ) ((kerLift φ) x)) = (kerLift φ) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
inst✝¹³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹² : TopologicalSpace β
inst✝¹¹ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
inst✝⁷ : BorelSpace γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ₂
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁴ : BorelSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace δ
α' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α'
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g sᶜ
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
inst✝¹³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹² : TopologicalSpace β
inst✝¹¹ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
inst✝⁷ : BorelSpace γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ₂
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁴ : BorelSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace δ
α' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α'
inst✝¹ : MeasurableSpace α'
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g sᶜ
hs : MeasurableSet s
t : Set γ
ht : IsOpen t


MeasurableSet (f ⁻¹' t ∩ s ∪ g ⁻¹' t \ s)


Context:
n : ℕ
c : Composition n
h : 0 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β

⇑e ⁻¹' Ioc a b = Ioc (e.symm a) (e.symm b)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).hom ≫ prod.snd ≫ prod.snd = prod.snd


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty

0 < prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := h1K }


0 < index (↑{ carrier := K, isCompact' := h1K }) U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 4 → β

∏ i : Fin 4, f i = f 0 * f 1 * f 2 * f 3


f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (last 3) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p x : 𝕜


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
x✝ : α

x✝ ∈ supp x ↔ x✝ ∈ {u | ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : Mul α

Context: inst✝³ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Context: ha : a₁ ≤ a₂

Context: hb : b₁ ≤ b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : Mul α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Context: ha : a₁ ≤ a₂

Context: hb : b₁ ≤ b₂

Context: h : a₁ < a₂ ∨ b₁ < b₂


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
f : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₃)

(fun f => (f ∘ₗ inl R M M₂, f ∘ₗ inr R M M₂)) ({ toFun := fun f => f.1.coprod f.2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f) = f


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
f : M × M₂ →ₗ[R] M₃

{ toFun := fun f => f.1.coprod f.2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f => (f ∘ₗ inl R M M₂, f ∘ₗ inr R M M₂)) f) = f


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
a b : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₃)
x✝ : M × M₂

((fun f => f.1.coprod f.2) (a + b)) x✝ = ((fun f => f.1.coprod f.2) a + (fun f => f.1.coprod f.2) b) x✝


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁵ : Semiring R
inst✝¹⁴ : Semiring S
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M₄
inst✝³ : Module R M₅
inst✝² : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
inst✝¹ : Module S M₃
inst✝ : SMulCommClass R S M₃
r : S
a : (M →ₗ[R] M₃) × (M₂ →ₗ[R] M₃)
x✝ : M × M₂

((r • a.1).coprod (r • a.2)) x✝ = (r • a.1.coprod a.2) x✝


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)


0 ≤ ↑(finrank ℚ K) ∧ 0 ≤ ‖(basisMatrix K)ᵀ⁻¹‖ ∨ ↑(finrank ℚ K) ≤ 0 ∧ ‖(basisMatrix K)ᵀ⁻¹‖ ≤ 0


0 ≤ ↑(finrank ℚ K) ∧ 0 ≤ ‖(basisMatrix K)ᵀ⁻¹‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp E 1 μ)


Context:
R : Type uR
inst✝⁵ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁴ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝¹ : Semiring T
B : Type uR
inst✝ : CommRing B
r : B → B → Prop
x : B

(ringQuotToIdealQuotient r) ((mkRingHom r) x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r)) x


({ toFun := fun f => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r)) x


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
a : G
ha : a ∈ S


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
hS : S.Nonempty
one_mem : 1 ∈ S ^ card G


Context: a b : ℤ


Context: a b : ℤ

Associated a.natAbs b.natAbs ↔ a.natAbs = b.natAbs


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
b : β
inst✝ : DecidableEq β
a : α

HasProd (Function.update f b a) (a / f b * a₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
b : β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
b' : β

Function.update f b a b' = (if b' = b then a / f b else 1) * f b'


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0

↑(Ideal.span {x}) * (↑(Ideal.span {x}))⁻¹ = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hf : p.Monic
hfd : p.natDegree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hf : p.coeff 0 = 1
hfd : p.natDegree = 0


Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: c : ι → Cardinal.{v}

Context: h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i

Context: h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι


Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: c : ι → Cardinal.{v}

Context: h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i

(prod fun i => lift.{u, v} (c i)) = lift.{v, u} (2 ^ #ι)


Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: c : ι → Cardinal.{v}

Context: h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i

(prod fun i => lift.{u, v} (c i)) ≤ lift.{v, u} (2 ^ #ι)


Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: c : ι → Cardinal.{v}

Context: h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i

lift.{v, u} (2 ^ #ι) ≤ prod fun i => lift.{u, v} (c i)


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: x y : HahnSeries Γ R

(x * y).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff


Context: Γ✝ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝

Context: Γ : Type u_5

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: x y : HahnSeries Γ R

((HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y)).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F

{ obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.obj X)


{ base := (𝟙 X).base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ } = 𝟙 { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }


(eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

(eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Z.base).map (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base).map f.fiber ≫ g.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.base).map { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber }.fiber ≫ { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.fiber


(((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber)) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber = (((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber


((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = ((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber


(eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber


eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map (eqToHom ⋯) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber) ≫ eqToHom ⋯


eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map (eqToHom ⋯) ≫ (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base ≫ α.app Z.base).map f.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯


Context:
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SupSet α
inst✝¹ : SupSet β
inst✝ : sSupHomClass F α β
f : F
g : ι → α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G


Context: x y : ℝ

cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ

(∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: A : Summable fun i => if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: B : (∑ i ∈ Finset.range n, if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b

(∏ x ∈ Ioc a b, f x) * f a = ∏ x ∈ Icc a b, f x


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R

eval₂ f g p = (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ((eval₂Hom (C.comp f) X) p)


eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p✝ q : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: g : σ → S₁

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: h : (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) (eval₂ (C.comp f) X p) = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id S₁) g).comp (C.comp f)) (⇑(eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ∘ X) p


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p✝ q : MvPolynomial σ R

Context: f : R →+* S₁

Context: g : σ → S₁

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: h : eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p) = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id S₁) g).comp (C.comp f)) (eval₂ (RingHom.id S₁) g ∘ X) p


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: z : M

Context: hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)

Context: k : ℕ

Context: f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}

∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: z : M

Context: hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)

Context: k : ℕ

Context: f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: z : M

Context: hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)

Context: k : ℕ

Context: f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1

Context: this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: z : M

Context: hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)

Context: k : ℕ

Context: f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1

Context: a : R

Context: ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDomain R

Context: inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type (max u v)

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: p : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)

Context: dec : (x : M) → Decidable (x = 0)

Context: z : M

Context: hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)

Context: k : ℕ

Context: f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1

Context: a : R

Context: ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z

Submodule.Quotient.mk (f1.choose - a • z) = f 1


Context:
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : M *ᵥ v = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0

Context: a : E

Context: ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: a : E

Context: ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: a : E

Context: ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

∀ (y₁ y₂ : F), (a, y₁) ∈ g → (a, y₂) ∈ g → y₁ = y₂


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: a : E

Context: ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

Context: y₁ y₂ : F

Context: hy₁ : (a, y₁) ∈ g

Context: hy₂ : (a, y₂) ∈ g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: g : Submodule R (E × F)

Context: a : E

Context: ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

Context: y₁ y₂ : F

Context: hy₁ : (a, y₁) ∈ g

Context: hy₂ : (a, y₂) ∈ g

Context: hy : (0, y₁ - y₂) ∈ g


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

Context: h : p ^ (k + 1) = 2


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α

cutMap β (a + b) = cutMap β a + cutMap β b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α
q : ℚ
hq : q ∈ {t | ↑t < a + b}

q ∈ Rat.cast ⁻¹' (cutMap β a + cutMap β b)


cutMap β a + cutMap β b ⊆ Rat.cast '' {t | ↑t < a + b}


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))


(∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))) ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))

Context: I : Ideal R


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

∀ (a : ↥I ⊗[R] M), (rTensor M (Submodule.subtype I)) a = 0 → a = 0


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: x : ↥I ⊗[R] M

Context: hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) x = 0


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: J : Submodule R R

Context: hfg : J.FG

Context: hle : J ≤ I

Context: y : ↥J ⊗[R] M

Context: hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) ((rTensor M (inclusion hle)) y) = 0


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: J : Submodule R R

Context: hfg : J.FG

Context: hle : J ≤ I

Context: y : ↥J ⊗[R] M

Context: hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I ∘ₗ inclusion hle)) y = 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Finset E

Context: P : IntermediateField F E → Prop

Context: base : P ⊥

Context: ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Finset E

Context: P : IntermediateField F E → Prop

Context: base : P ⊥


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Finset E

Context: P : IntermediateField F E → Prop

Context: base : P ⊥

Context: a✝ : E

Context: s✝ : Finset E

Context: ha : a✝ ∈ S

Context: x✝¹ : s✝ ⊆ S

Context: x✝ : a✝ ∉ s✝

Context: h : P (adjoin F ↑s✝)


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n

multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n


Context:
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n
hy : Odd y


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ

multiplicity 2 (x ^ (d + d) - y ^ (d + d)) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(d + d)


multiplicity 2 ((x ^ 2) ^ d - (y ^ 2) ^ d) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(2 * d)


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
hxy4 : 4 ∣ x ^ 2 - y ^ 2


multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑d + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + (multiplicity 2 ↑2 + multiplicity 2 ↑d)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f univ μ
g : X → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

IsPullback ((pullbackRestrictIsoRestrict f U).inv ≫ pullback.snd f U.ι) (f ⁻¹ᵁ U).ι U.ι f


IsPullback ((pullbackRestrictIsoRestrict (𝟙 X ≫ f) U).inv ≫ pullback.snd (𝟙 X ≫ f) U.ι) ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι U.ι (𝟙 X ≫ f)


(pullbackRestrictIsoRestrict (𝟙 X ≫ f) U).inv ≫ pullback.fst f (Y.ofRestrict ⋯) = ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι ≫ 𝟙 X


((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι = ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι ≫ 𝟙 X


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R✝
R' : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar R R'


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: C : AList β → Sort u_1

Context: H0 : C ∅

Context: IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (insert a b l)

Context: c : Sigma β

Context: l : List (Sigma β)

Context: hl : l.NodupKeys

Context: h : c.fst ∉ { entries := l, nodupKeys := hl }

insertRec H0 IH (insert c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl }) = IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl })


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: C : AList β → Sort u_1

Context: H0 : C ∅

Context: c : Sigma β

Context: l : List (Sigma β)

Context: hl : l.NodupKeys

HEq (insertRec H0 IH { entries := c :: l, nodupKeys := ⋯ }) (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl }))


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: C : AList β → Sort u_1

Context: H0 : C ∅

Context: c : Sigma β

Context: l : List (Sigma β)

Context: hl : l.NodupKeys

HEq (⋯.mpr (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := ⋯ } ⋯ (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := ⋯ }))) (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl }))


Context: n : ℕ

Context: P : ℤ[X]

Context: h : map (Int.castRingHom ℂ) P = cyclotomic' n ℂ


Context: n : ℕ

Context: P : ℤ[X]

map (Int.castRingHom ℂ) P = map (Int.castRingHom ℂ) (cyclotomic n ℤ)


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y : β

‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y)‖₊ = ‖y‖₊


Context: y : ℝ


Context:
y : ℝ
x : ℝ≥0∞


Context:
y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : 0 < y


Context: x : ℝ≥0∞


Context:
y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : y < 0


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : ¬p x = true


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)

↑(toSimpleFunc (k • f)) =ᶠ[ae μ] k • ↑(toSimpleFunc f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α

↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑↑(k • f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = (k • ↑↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = (k • ↑(toSimpleFunc f)) a✝


↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = k • ↑(toSimpleFunc f) a✝


Context:
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
f : ι → M

c • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), c • f i


Context:
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → M

0 • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), 0 • f i


Context:
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
f : ι → M
hc : c ≠ 0


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a✝ b✝ : α

Context: s : Set α

Context: a b : α

Context: h : ∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a → c ≤ b


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a✝ b✝ : α

Context: s : Set α

Context: a b : α

sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ a} ≤ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ b}


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
C : Set (Set α)
B : ℕ → Set α
hA : m0 = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h1B : ⋃ i, B i = univ
h2B : ∀ (i : ℕ), B i ∈ C
hμB : ∀ (i : ℕ), μ (B i) ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s \ (SimpleGraph.badVertices G ε s t ∪ SimpleGraph.badVertices G ε s u)

ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∧ (x ∉ s ∨ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * ↑t.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card) ∧ (x ∉ s ∨ (↑(G.edgeDensity s u) - ε) * ↑u.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card)


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∧ x ∉ s ∨ x ∈ s ∧ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * ↑t.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card ∧ (↑(G.edgeDensity s u) - ε) * ↑u.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s ∧ ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card ∧ ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card

Context: hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: this : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε

Context: this : ε ≤ ↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u))


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: this : ε ≤ ↑(↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card))


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hε : 0 ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hε : 0 ≤ ε

ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ε * (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)

Context: dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)

Context: utu : G.IsUniform ε t u

Context: x : α

Context: hε : 0 ≤ ε

ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card = ε * (↑t.card * ε * (↑u.card * ε))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
h : gauge s x < a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
h : gauge s x < a
b : ℝ
hba : b < a
hb : 0 < b
hx : x ∈ b • s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t
hst : _root_.Disjoint (s.erase a) t


a ∉ s.erase a ∧ _root_.Disjoint (s.erase a) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: this : 0 < ‖f x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : α → E

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

Context: u : ℕ → ℝ

Context: left✝ : StrictAnti u

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: this : 0 < ‖f x‖

Context: n : ℕ

Context: hn : u n < ‖f x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x

mapRange f hf (c • v) = c • mapRange f hf v


mapRange (f ∘ fun x => c • x) ?h v = c • mapRange f hf v


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜


⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 - (⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise Commute

noncommFold (fun x x_1 => x * x_1) (↑l) comm 1 = l.prod


List.foldr (fun x x_1 => x * x_1) 1 l = l.prod


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε

Context: x : Y

Context: y z : X

glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inl z)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : Y

Context: y z : X

glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl z).swap ≤ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl y).swap + glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl y).swap (Sum.inl z).swap


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x y : Y

Context: z : X

glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x y : X

Context: z : Y

glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr z)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : Y

Context: y : X

Context: z : Y

glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr z)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : Y

Context: y : X

Context: z : Y

glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inr z).swap ≤ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr x).swap (Sum.inl y).swap + glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl y).swap (Sum.inr z).swap


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝² : MetricSpace X

Context: inst✝¹ : MetricSpace Y

Context: Φ✝ : Z → X

Context: Ψ✝ : Z → Y

Context: ε✝ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty Z

Context: Φ : Z → X

Context: Ψ : Z → Y

Context: ε : ℝ

Context: x : Y

Context: y : X

Context: z : Y

∀ (p q : Z), |dist (Ψ p) (Ψ q) - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * ε


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
t : List α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁

Icc a₁ b₁ ⊆ Icc a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
c : Con M
w x : M
x✝ : c w x


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
x y : R

CompleteOrthogonalIdempotents ![x, y] ↔ IsIdempotentElem x ∧ y = 1 - x


(∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), IsIdempotentElem (![x, y] i)) ∧ (∀ (i j : Fin (Nat.succ 0).succ), i ≠ j → ![x, y] i * ![x, y] j = 0) ∧ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![x, y] i = 1 ↔ IsIdempotentElem x ∧ y = 1 - x


(IsIdempotentElem x ∧ IsIdempotentElem y) ∧ (x * y = 0 ∧ y * x = 0) ∧ x + y = 1 ↔ IsIdempotentElem x ∧ x + y = 1


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

toLex x < toLex (update x i a) ↔ x i < a


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

toLex x < toLex (update x i a) → x i < a


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: i : ι

Context: a : β i

Context: j : ι

Context: hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex x j_1 = toLex (update x i a) j_1

Context: h : x j < update x i a j


Context: ι : Type u_1

Context: β : ι → Type u_2

Context: r : ι → ι → Prop

Context: s : {i : ι} → β i → β i → Prop

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)

Context: x y : (i : ι) → β i

Context: j : ι

Context: a : β j

Context: hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex x j_1 = toLex (update x j a) j_1

Context: h : x j < update x j a j


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A


1 - ∑ k ∈ range 1, ↑(Nat.choose 1 k) / (↑1 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1 / 2


Context:
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β

(reindex ε f).inv ≫ π (f ∘ ⇑ε) b = π f (ε b)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n✝

Context: n m : ℕ

Context: h : n + 1 ≤ m

Context: f g : ComposableArrows C m

Context: app : f.obj' n ⋯ ≅ g.obj' n ⋯

Context: app' : f.obj' (n + 1) h ≅ g.obj' (n + 1) h

Context: w : f.map' n (n + 1) ⋯ h ≫ app'.hom = app.hom ≫ g.map' n (n + 1) ⋯ h

g.map' n (n + 1) ⋯ h ≫ app'.inv = app.inv ≫ f.map' n (n + 1) ⋯ h


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ENNReal.ofReal ((X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2)


↑‖(X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2‖₊ = ENNReal.ofReal ((X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2)


‖(X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2‖₊ = ((X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2).toNNReal


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)
f : α → β
h : ∀ a ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' a)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P ⊤
t₁ t₂ : P.obj (op X)
h₁ : x.IsAmalgamation t₁
h₂ : x.IsAmalgamation t₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: x : FamilyOfElements P ⊤

Context: t₁ t₂ : P.obj (op X)

Context: h₁ : x.IsAmalgamation t₁

Context: h₂ : x.IsAmalgamation t₂

Context: q₁ : P.map (𝟙 X).op t₁ = x (𝟙 X) trivial


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: x : FamilyOfElements P ⊤

Context: t₁ t₂ : P.obj (op X)

Context: h₁ : x.IsAmalgamation t₁

Context: h₂ : x.IsAmalgamation t₂

Context: q₂ : P.map (𝟙 X).op t₂ = x (𝟙 X) trivial


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P ⊤
t₁ t₂ : P.obj (op X)
h₁ : x.IsAmalgamation t₁
h₂ : x.IsAmalgamation t₂
q₁ : t₁ = x (𝟙 X) trivial
q₂ : t₂ = x (𝟙 X) trivial


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F


Function.Injective ⇑f ↔ ∀ (x : R), x ∈ ⇑f ⁻¹' {0} ↔ x ∈ ↑⊥


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 2 = (sin a * cos a - sin b * cos b + b - a) / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b : α
inst✝ : LE α
a : α

⊤ ≤ ↑a ↔ ↑a = ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ

{ ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ w ∈ t \ s, filter (fun x => w < x) s = filter (fun x => w < x) t


(∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a) ↔ ∃ w ∈ t, w ∉ s ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ p : ℕ
f : R →+* S
q : R[X]
hp : ¬p = 0
n✝ : ℕ

(map f ((expand R p) q)).coeff n✝ = ((expand S p) (map f q)).coeff n✝


f (if p ∣ n✝ then q.coeff (n✝ / p) else 0) = if p ∣ n✝ then (map f q).coeff (n✝ / p) else 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
hab : a ≠ b
h : ¬G.Adj a b

incMatrix R G a e * incMatrix R G b e = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.support.card = 3
h0 : ¬σ.cycleType = 0
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType
h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0
m : ℕ
hm : m ∈ σ.cycleType.erase n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: h0 : ¬σ.cycleType = 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n ∈ σ.cycleType

Context: h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0

Context: m : ℕ

Context: h : n + (m + ((σ.cycleType.erase n).erase m).sum) = 3

Context: hm : m ∈ σ.cycleType.erase n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: h0 : ¬σ.cycleType = 0

Context: n : ℕ

Context: hn : n ∈ σ.cycleType

Context: h1 : ¬σ.cycleType.erase n = 0

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∈ σ.cycleType.erase n

Context: this : ∀ {k : ℕ}, 2 ≤ m → 2 ≤ n → n + (m + k) = 3 → False


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
s✝ : Finset (ι × ℝ)
a : ι × ℝ
s : Finset (ι × ℝ)
x✝ : a ∉ s
hs : (splitMany I s).IsPartition


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z


∃ p₀ v, ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
p : P
hp : p ∈ {x, y, z}


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
p : P
hp : p = x ∨ p = y ∨ p = z


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x✝ : E
a b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : A ∈ 𝓝 0
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
f : ⊤ ↪g G


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
p q : R[X]
x : S

(p - q).smeval x = p.smeval x - q.smeval x


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesColimit (span f g) F
s : IsPushout f g h i

IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)


((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone s.cocone)).pt ≅ ⋯.cocone.pt


((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone s.cocone)).ι.app WalkingCospan.left ≫ ?refine_1.hom = ⋯.cocone.ι.app WalkingCospan.left


((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone s.cocone)).ι.app WalkingCospan.right ≫ ?refine_1.hom = ⋯.cocone.ι.app WalkingCospan.right


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex

(transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup A

Context: ϕ : ↥H →* A

Context: T : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: p : ℕ

Context: P : Sylow p G

Context: hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : Finite (Sylow p G)

Context: inst✝ : (↑P).FiniteIndex

Context: hf : Function.Bijective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup A

Context: ϕ : ↥H →* A

Context: T : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: p : ℕ

Context: P : Sylow p G

Context: hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : Finite (Sylow p G)

Context: inst✝ : (↑P).FiniteIndex

Context: hf : Function.Injective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P) ∧ map (transferSylow P hP) ↑P = ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup A

Context: ϕ : ↥H →* A

Context: T : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: p : ℕ

Context: P : Sylow p G

Context: hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : Finite (Sylow p G)

Context: inst✝ : (↑P).FiniteIndex

Context: this : Function.Surjective ⇑(transferSylow P hP)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup A

Context: ϕ : ↥H →* A

Context: T : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: p : ℕ

Context: P : Sylow p G

Context: hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P

Context: inst✝² : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : Finite (Sylow p G)

Context: inst✝ : (↑P).FiniteIndex

Context: hf : (transferSylow P hP).ker ⊓ ↑P = ⊥ ∧ ↑(transferSylow P hP).ker * ↑↑P = Set.univ


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
T : L.Theory


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g✝ f g : α → E
h : f =ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: h_ae_forall_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: x : α

Context: hx_tendsto : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: hxf_eq : ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x

Context: hxg_eq : g x = AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x

Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: x : α

Context: n : ℕ

AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
n : ℕ
f : V →ₗ[K] V'

↑n ≤ f.rank ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑↑s) => f ↑x


(∃ s, (∃ t, ↑t = s ∧ t.card = n) ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x) ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑↑s) => f ↑x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ

⌈a + ↑n⌉₊ ≤ b ↔ ⌈a⌉₊ + n ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : n ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : b < n


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
f : V₀ ⟶ V₁
inst✝ : IsIso f.f

V₁.str ≫ F.map (inv f.f) = inv f.f ≫ V₀.str


V₀.str ≫ F.map f.f ≫ F.map (inv f.f) = V₀.str


Context:
a b c : ℕ
h1 : a.pow b = c


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (h.unit.app X)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : L.map f = L.map g


(h.homEquiv X (L.obj Y)).symm (f ≫ h.unit.app Y) = (h.homEquiv X (L.obj Y)).symm (g ≫ h.unit.app Y)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
i : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν✝ ν₁ ν₂ μ ν : Measure α
h_ac : μ ≪ ν
h_ms : μ ⟂ₘ ν


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
hx : x ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology

(S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ S.leftHomologyIso.inv = S.leftHomologyπ


Context: F✝ : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field F✝

Context: inst✝¹⁰ : Field E✝

Context: inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝

Context: inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝

Context: F : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional F E

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable F E

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : Algebra F A

Context: hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)

Context: α : E

F⟮α⟯ = ⊤ ↔ Function.Injective fun φ => φ α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y


∀ {y : { x // x ∈ U }}, y ∈ Subtype.val ⁻¹' W → JoinedIn (Subtype.val ⁻¹' W) ⟨x, ⋯⟩ y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y
y : X
hyU : y ∈ U
hyW : ⟨y, hyU⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' W

JoinedIn (Subtype.val ⁻¹' W) ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, hyU⟩


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: p : A → A → Prop

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: hb : b ∈ adjoin R s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)

Context: Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x

Context: Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)

Context: Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y

Context: Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)

Context: Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y

Context: Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: p : A → A → Prop

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: hb : b ∈ adjoin R s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring S

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Semiring B

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R B

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: s t : Set A

Context: p : A → A → Prop

Context: a b : A

Context: ha : a ∈ adjoin R s

Context: hb : b ∈ adjoin R s

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y

Context: r : R


Context: m n k : ℕ


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty

∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ¬closure S ≤ stabilizer G T

∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ∀ σ ∈ S, ∀ a ∈ T, σ • a ∈ T


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ∀ σ ∈ S, ∀ a ∈ T, σ • a ∈ T
σ : G
hσ : σ ∈ S


∀ (x : α), σ⁻¹ • x ∈ T ↔ x ∈ T


Context: A B : Grp

Context: f : A ⟶ B

Context: b b' : ↑B

Context: x : X'

Context: y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))

fromCoset ⟨(b * b') • ↑y, ⋯⟩ = fromCoset ⟨b • ↑⟨b' • ↑y, ⋯⟩, ⋯⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
h : Associated p q
u : R[X]ˣ
hu : p * ↑u = q


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
h : b ∈ ball a r


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x y : A
w : s x y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ a :: b :: l, 1 < x
x✝ : a :: b :: l ≠ []


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Group G

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁹ : BorelSpace G

Context: inst✝⁸ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁷ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁶ : Γ.Normal

Context: inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝² : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Context: x : G ⧸ Γ

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Group G

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁹ : BorelSpace G

Context: inst✝⁸ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁷ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁶ : Γ.Normal

Context: inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝² : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: x : G ⧸ Γ

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: x₁ : G

Context: h : ⟦x₁⟧ = x


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Group G

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁹ : BorelSpace G

Context: inst✝⁸ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁷ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁶ : Γ.Normal

Context: inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝² : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: x : G ⧸ Γ

Context: A : Set (G ⧸ Γ)

Context: hA : MeasurableSet A

Context: x₁ : G

Context: h : ⟦x₁⟧ = x

(map (fun x_1 => x * x_1) μ) A = μ ((fun x => x₁ • x) ⁻¹' A)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => c + x) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b✝ : n → α
c : m → α
inst✝ : Subsingleton m
A : Matrix m n R
i : m
b : n → R
x : m
y : n

A.updateRow i b x y = (row (Fin 1) b).submatrix (Function.const m 0) id x y


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ b : P

∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = (∑ i ∈ s, w i) • (p₁ -ᵥ b) - (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α β γ : ↥(solvableByRad F E)
hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯
hα : P α
hβ : P β
p : F[X] := minpoly F α
q : F[X] := minpoly F β


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α✝ : E

Context: α β γ : ↥(solvableByRad F E)

Context: hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯

Context: hα : P α

Context: hβ : P β

Context: p : F[X] := minpoly F α

Context: q : F[X] := minpoly F β

Context: hpq : Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F α) ∧ Splits (algebraMap F (p * q).SplittingField) (minpoly F β)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α✝ : E

Context: α β γ : ↥(solvableByRad F E)

Context: hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯

Context: hα : P α

Context: hβ : P β

Context: p : F[X] := minpoly F α

Context: q : F[X] := minpoly F β

Context: f : ↥F⟮α, β⟯ →ₐ[F] (p * q).SplittingField := Classical.choice ⋯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α✝ : E

Context: α β γ : ↥(solvableByRad F E)

Context: hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯

Context: hα : P α

Context: hβ : P β

Context: p : F[X] := minpoly F α

Context: q : F[X] := minpoly F β

Context: key : minpoly F γ = minpoly F (f ⟨γ, hγ⟩)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: α✝ : E

Context: α β γ : ↥(solvableByRad F E)

Context: hγ : γ ∈ F⟮α, β⟯

Context: hα : P α

Context: hβ : P β

Context: p : F[X] := minpoly F α

Context: q : F[X] := minpoly F β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α
h : a < b


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
d : τ →₀ ℕ
h : coeff d ((rename f) φ) ≠ 0

∃ u, Finsupp.mapDomain f u = d ∧ coeff u φ ≠ 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f : σ → τ

Context: φ : MvPolynomial σ R

Context: d : τ →₀ ℕ

Context: h : ∀ (u : σ →₀ ℕ), Finsupp.mapDomain f u = d → coeff u φ = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: p : S[X]

Context: b : ↥M

Context: hb : ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i

Context: i : ℕ

(Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p)).coeff i = (↑b • p).coeff i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: p : S[X]

Context: b : ↥M

Context: i : ℕ

(algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
p : Finset α
hp : p ∈ ↑P.parts


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
p : Finset α
hp : p ∈ ↑P.parts
x : α
hx : x ∈ p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
p : Finset α
hp : p ∈ ↑P.parts
x : α
hx : x ∈ p
hx' : x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
h : 0 ∈ interior A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α
t : ℝ

stieltjesFunctionAux f a t = ⨅ r, f a ↑r


Context:
α : Type u_1
I B X : Set α
Indep : Set α → Prop
M : Matroid α
h : ∀ (I : Set α), M.Indep I ↔ Indep I


Context: α : Type u_1

Context: I B X E : Set α

Context: M : Matroid α

Context: hM : ∃ M_1, E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I


Context: α : Type u_1

Context: I B X E : Set α

Context: M : Matroid α

∀ ⦃I J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → M.Indep I


Context: α : Type u_1

Context: I B X E : Set α

Context: M : Matroid α

∀ ⦃I B : Set α⦄, M.Indep I → I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I} → B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I} → ∃ x ∈ B \ I, M.Indep (insert x I)


Context: α : Type u_1

Context: I B X : Set α

Context: M : Matroid α

Context: hM : ∃ M_1, M.E = M_1.E ∧ ∀ (I : Set α), M_1.Indep I ↔ M.Indep I

∀ X ⊆ M.E, ExistsMaximalSubsetProperty M.Indep X


Context: α : Type u_1

Context: I B X : Set α

Context: M : Matroid α


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : X → M'
e : PartialHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x

P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f' ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g✝ g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: g : X → M'

Context: e : PartialHomeomorph X H

Context: x : X

Context: s : Set X

Context: xe : x ∈ e.source

Context: hf : f ∈ maximalAtlas M' G'

Context: xf : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f.source

Context: hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'

Context: xf' : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f'.source

Context: hgs : ContinuousWithinAt g s (↑e.symm (↑e x))


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e✝ e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g✝ g' : M → M'

Context: s✝ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: g : X → M'

Context: e : PartialHomeomorph X H

Context: x : X

Context: s : Set X

Context: xe : x ∈ e.source

Context: hf : f ∈ maximalAtlas M' G'

Context: xf : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f.source

Context: hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'

Context: xf' : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f'.source

ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context:
R : Type u_1
k : ℕ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_int : Integrable X μ

centralMoment X 1 μ = (1 - (μ Set.univ).toReal) * ∫ (x : Ω), X x ∂μ


∫ (x : Ω), X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ ∂μ = (1 - (μ Set.univ).toReal) * ∫ (x : Ω), X x ∂μ


∫ (a : Ω), X a ∂μ - ∫ (a : Ω), ∫ (x : Ω), X x ∂μ ∂μ = (1 - (μ Set.univ).toReal) * ∫ (x : Ω), X x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F

HasFDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n k : ℕ


(fun x => k.factorial • x) (choose (↑n) k) = (fun x => k.factorial • x) ↑(n.choose k)


k.factorial • choose (↑n) k = k.factorial • ↑(n.choose k)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: h_aJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J

count K v I = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁J₁ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁)⁻¹ * ↑J₁


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0

Context: h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0

Context: h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: h_J_ne_zero : J ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0

Context: h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: h_J_ne_zero : J ≠ 0

Context: h_a₁' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a₁) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0

Context: h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: h_J_ne_zero : J ≠ 0

Context: h_a' : spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0

Context: h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: h_J_ne_zero : J ≠ 0

Context: hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_aJ : ↑(J₁ * Ideal.span {a}) = ↑(J * Ideal.span {a₁})

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0

Context: h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: h_J_ne_zero : J ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: a₁ : R := choose ⋯

Context: J₁ : Ideal R := choose ⋯

Context: h_a₁_ne_zero : a₁ ≠ 0

Context: h_J₁_ne_zero : J₁ ≠ 0

Context: h_a_ne_zero : Ideal.span {a} ≠ 0

Context: h_J_ne_zero : J ≠ 0

Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯}) ≠ 0


Context:
m n : ℕ
i : Fin n.succ

↑((finRotate n.succ) i) = if i = Fin.last n then 0 else ↑i + 1


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε

↑((P.nonUniforms G ε).biUnion fun x => match x with | (U, V) => U ×ˢ V).card < 4 * ε * ↑A.card ^ 2


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal


∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal


(fun a => (μ {a_1 | a < f a_1}).toReal) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => (μ {a_1 | a ≤ f a_1}).toReal


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}

(μ {a | t < f a}).toReal = (μ {a | t ≤ f a}).toReal


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{w, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A B

Context: inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : B ⟶ B'

Context: inst✝¹ : IsIso (coprodComparison F A B)

Context: inst✝ : IsIso (coprodComparison F A' B')

inv (coprodComparison F A B) ≫ coprod.map (F.map f) (F.map g) = F.map (coprod.map f g) ≫ inv (coprodComparison F A' B')


Context:
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(↑s, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t

∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ restrict s g = f


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y✝ : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝¹ : TietzeExtension Y✝

Context: Y : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : C(↑s, Y)

Context: t : Set Y

Context: hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t

Context: ht : TietzeExtension ↑t

Context: g : C(X, ↑t)

Context: hg : restrict s g = { toFun := Set.codRestrict (⇑f) t hf, continuous_toFun := ⋯ }


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
i : ℕ

(take i []).prod * (drop i []).prod = [].prod


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
n : ℕ

(h :: take n t).prod * (drop n t).prod = (h :: t).prod


Context: cf cg : Code

encode cf < encode (cf.pair cg) ∧ encode cg < encode (cf.pair cg)


Context: cf cg : Code

cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4


Context: cf cg : Code

Context: this : 1 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * 2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode


Context: cf cg : Code

Context: this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)


Context: cf cg : Code

Context: this✝ : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)

Context: this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x✝¹ x✝ : M

(sInf S) x✝¹ x✝ ↔ sInf (DFunLike.coe '' S) x✝¹ x✝


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

BijOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), BijOn (⇑(f ^ n)) s s


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

BijOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), BijOn (⇑f)^[n] s s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
v : α → R


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g

F.map₂ η.hom ≫ F.map₂ η.inv = 𝟙 (F.map f)


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hg : Memℒp g 1 μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α