Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
s t : Set P1
f : P1 →ᵃ[k] P2
v : V2

v ∈ ⇑f '' s -ᵥ ⇑f '' t ↔ v ∈ ⇑f.linear '' (s -ᵥ t)


(∃ a ∈ s, ∃ a_1 ∈ t, f.linear (a -ᵥ a_1) = v) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ s, ∃ y ∈ t, x_1 -ᵥ y = x) ∧ f.linear x = v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
f : α → β

ContinuousAt f a ↔ ContinuousWithinAt f (Iio a) a ∧ ContinuousWithinAt f (Ioi a) a


Context: n✝ p n : ℕ

(p - 1) * ∑ i ∈ range (log p n).succ, n / p ^ i.succ = n - (p.digits n).sum


Context:
n✝ p n : ℕ
h : 1 < p


Context: n✝ n : ℕ

(1 - 1) * ∑ i ∈ range (log 1 n).succ, n / 1 ^ i.succ = n - (digits 1 n).sum


Context:
n✝ p n : ℕ
h : p < 1


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R

x ∈ a⁻¹ • S ↔ a • x ∈ S


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j✝ : n
b : n → α
c✝ : m → α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : o
c : l → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n

(A.submatrix ⇑e ⇑f).updateColumn j c = (A.updateColumn (f j) fun i => c (e.symm i)).submatrix ⇑e ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u_4}
h : o.IsLimit
a : Ordinal.{u_5}


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ

((monomial n) r * p).smeval x = r • (x ^ n * p.smeval x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: a b y : α

Context: hya : y ∈ Ici a

Context: z : α

Context: hzb : z ∈ Ici b

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ici (a * b)


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f✝ : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
p : (i : ι) → t i

(congr f).symm ((tprod R) p) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i).symm (p i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.9430) (N : Type ?u.9429) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: y : α

Context: hya : y ∈ Iic a

Context: z : α

Context: hzb : z ∈ Iio b

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iio (a * b)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}
h₃ : p₃ ∈ affineSpan k {p₄, p₅}


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P

(isoSheafify J hP).inv = sheafifyLift J (𝟙 P) hP


toSheafify J P ≫ (isoSheafify J hP).inv = 𝟙 P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)

topologicalSpace α β 𝔖 = ⨅ s ∈ 𝔖, TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) β)


⨅ i ∈ 𝔖, UniformSpace.toTopologicalSpace = ⨅ s ∈ 𝔖, TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.topologicalSpace (↑s) β)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α

Context: h : b < a * b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E

↑((p.linearProjOfIsCompl (ker f) ⋯) x) = ↑(f x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
this : x ∈ p ⊔ ker f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : ↥p
y : ↥(ker f)
this : ↑x + ↑y ∈ p ⊔ ker f

↑((p.linearProjOfIsCompl (ker f) ⋯) (↑x + ↑y)) = ↑(f (↑x + ↑y))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α

(of fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) = diagonal fun i => v (Sum.inr i)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α
i j : m

of (fun i j => diagonal v (Sum.inr i) (Sum.inr j)) i j = diagonal (fun i => v (Sum.inr i)) i j


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))

Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Tendsto (fun n => (L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 (fs n) ⋯)) atTop (𝓝 ((L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f f_int)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Tendsto (fun n => Integrable.toL1 (fs n) ⋯) atTop (𝓝 (Integrable.toL1 f f_int))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Tendsto (fun e => ‖Integrable.toL1 (fs e) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int‖) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: lintegral_norm_tendsto_zero : Tendsto (fun n => (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: n : ℕ

‖Integrable.toL1 (fs n) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int‖ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: n : ℕ

(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: n : ℕ

∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: n : ℕ

(fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) ⋯ - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊) =ᶠ[ae μ] fun a => ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: n : ℕ

(fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) ⋯) a‖₊) =ᶠ[ae μ] fun a => ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: n : ℕ

Context: x : α

Context: hx : ↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) ⋯) x = (fs n - f) x

(fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) ⋯) a‖₊) x = (fun a => ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g : α → E

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: fs : ℕ → α → E

Context: f : α → E

Context: bound : α → ℝ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ

Context: fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ

Context: f_int : Integrable f μ

Context: n : ℕ

Context: x : α

↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) ⋯) x‖₊ = ENNReal.ofReal ‖fs n x - f x‖


Context:
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : Set ↑↑X.toPresheafedSpace

IsCompact U ∧ IsOpen U ↔ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, ↑↑i


Context:
n : ℕ
h : 0 < n


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
y : R
x : A₁
h : (algebraMap R A₂) y = e x


Context:
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I

(cexp (-z.arctan * I) - cexp (z.arctan * I)) * I / 2 / ((cexp (z.arctan * I) + cexp (-z.arctan * I)) / 2) = z


Context:
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I


Context:
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I
z₁ : 1 + z * I ≠ 0


Context:
z : ℂ
h₁ : z ≠ I
h₂ : z ≠ -I
z₁ : 1 + z * I ≠ 0
z₂ : 1 - z * I ≠ 0


Context: z : ℂ

Context: h₁ : z ≠ I

Context: h₂ : z ≠ -I

Context: z₁ : 1 + z * I ≠ 0

Context: z₂ : 1 - z * I ≠ 0

Context: key : cexp (2 * (z.arctan * I)) = (1 + z * I) / (1 - z * I)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

p ∈ support R M ↔ ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal


(∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0) ↔ ∃ m, (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E

x ∈ ⇑p ⁻¹' Metric.ball 0 r ↔ x ∈ {x | p x < r}


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Continuous' g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀

Context: ht : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x₀ s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀

Context: hmn : m + 1 ≤ n

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

Context: this : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ m → ContDiffWithinAt 𝕜 (↑k) (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m✝ n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: f : E → F → G

Context: g : E → F

Context: t : Set F

Context: n : ℕ∞

Context: hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀

Context: m : ℕ

Context: hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) g s x₀

Context: hmn : ↑m + 1 ≤ n

Context: this : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ ↑m → ContDiffWithinAt 𝕜 (↑k) (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀

ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) (fun x => fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)


Context:
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
B : Set α
hB : (M.disjointSum N h).Base B

∃ BM BN, M.Base BM ∧ N.Base BN ∧ Disjoint BM BN ∧ B = BM ∪ BN


Context: α : Type u_1

Context: M N : Matroid α

Context: h : Disjoint M.E N.E

Context: B : Set α

Context: hB : M.Base (B ∩ M.E) ∧ N.Base (B ∩ N.E) ∧ B ⊆ M.E ∪ N.E


Context: α : Type u_1

Context: M N : Matroid α

Context: h : Disjoint M.E N.E

Context: B : Set α


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
x✝¹ x✝ : ↑S.objs
s : C
hs : s ∈ S.objs
t : C
ht : t ∈ S.objs

(inclusion h).obj ⟨s, hs⟩ = (inclusion h).obj ⟨t, ht⟩ → ⟨s, hs⟩ = ⟨t, ht⟩


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : AffineTargetMorphismProperty.IsLocal fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty @QuasiCompact


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

AffineTargetMorphismProperty.StableUnderBaseChange fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), CompactSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace → CompactSpace ↑↑(pullback f g).toPresheafedSpace


Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: this✝¹ : AffineTargetMorphismProperty.IsLocal fun X x x_1 x => CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty @QuasiCompact

Context: X Y S : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine S

Context: inst✝ : IsAffine X

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: h : CompactSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace

Context: 𝒰 : (pullback f g).OpenCover := Scheme.Pullback.openCoverOfRight Y.affineCover.finiteSubcover f g

Context: this✝ : Finite 𝒰.J

Context: this : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace

CompactSpace ↑↑(pullback f g).toPresheafedSpace


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β

∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)

Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: l : List ι

Context: f : M → N → P

Context: hf : ∀ (a b : M) (c d : N), f (a * b) (c * d) = f a c * f b d

Context: hf' : f 1 1 = 1

Context: f₁ : ι → M

Context: f₂ : ι → N

(map (fun i => f (f₁ i) (f₂ i)) l).prod = f (map f₁ l).prod (map f₂ l).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: l : List ι

Context: f : M → N → P

Context: hf' : f 1 1 = 1

Context: f₁ : ι → M

Context: f₂ : ι → N

foldl (fun x y => x * f (f₁ y) (f₂ y)) 1 l = f (foldl (fun x y => x * f₁ y) 1 l) (foldl (fun x y => x * f₂ y) 1 l)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l✝ l₁ l₂ : List M

Context: a : M

Context: l : List ι

Context: f : M → N → P

Context: hf' : f 1 1 = 1

Context: f₁ : ι → M

Context: f₂ : ι → N

∀ (a : M) (b : N) (i : ι), f (a * f₁ i) (b * f₂ i) = f a b * f (f₁ i) (f₂ i)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3

univ.encard = PartENat.withTopEquiv (PartENat.card α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTop α
a : α


Context: z τ : ℂ

jacobiTheta₂' (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ z τ)


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: this : ∀ (n : ℤ), jacobiTheta₂'_term n (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂'_term (n + 1) z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂_term (n + 1) z τ)


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * ∑' (c : ℤ), (jacobiTheta₂'_term ((Equiv.subRight 1) c + 1) z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂_term ((Equiv.subRight 1) c + 1) z τ) = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * (jacobiTheta₂' z τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ z τ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}

Context: a : Ordinal.{max u_5 u_4}

Context: ha : a < o.bmex f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: a : Ordinal.{max u_5 u_4}

Context: ha : a < o.bmex f

Context: i : (Quotient.out o).α

Context: hi : o.familyOfBFamily f i = a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


(starRingEnd 𝕜) (-1) * ⟪x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α

(s.mulIndicator f = fun x => 1) ↔ Disjoint (mulSupport f) s


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

pellZd a1 (m - n) = pellZd a1 m * star (pellZd a1 n)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: m n : ℕ

Context: h : n ≤ m

Context: t : pellZd a1 (n + (m - n)) = pellZd a1 n * pellZd a1 (m - n) := pellZd_add a1 n (m - n)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: m n : ℕ

Context: h : n ≤ m

Context: t : pellZd a1 m = pellZd a1 n * pellZd a1 (m - n)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

Context: x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

(normAtPlace w) (x + y) ≤ (normAtPlace w) x + (normAtPlace w) y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

(if hw : w.IsReal then ‖(x + y).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(x + y).2 ⟨w, ⋯⟩‖) ≤ (if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖) + if hw : w.IsReal then ‖y.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖y.2 ⟨w, ⋯⟩‖


Context:
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n

(cramer 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j = (1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j


Context:
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

(l.balRight v r).reverse = r.reverse.balLeft v l.reverse


(l.balRight v r).reverse = (r.reverse.balLeft v l.reverse).reverse.reverse


Context: n✝ b m n : ℕ

ofDigits b (b.digits n ++ b.digits m) = n + b ^ (b.digits n).length * m


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
maybe_empty : ¬Nonempty Ω


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
maybe_empty : ¬Nonempty Ω
zero : ↑μ univ = 0


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
maybe_empty : ¬Nonempty Ω
zero : 1 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂

InjOn f (s₁ ∪ s₂) ↔ InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)


(InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y) → InjOn f (s₁ ∪ s₂)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
G : ModuleCat R
x y : Over G
P : ModuleCat R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom

LinearMap.range x.hom = LinearMap.range y.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: G : ModuleCat R

Context: x y : Over G

Context: P : ModuleCat R

Context: p : P ⟶ x.left

Context: q : P ⟶ y.left

Context: hp : Epi p

Context: hq : Epi q

Context: H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom

Context: a : ↑((Functor.fromPUnit G).obj x.right)

Context: ha : a ∈ LinearMap.range x.hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: G : ModuleCat R

Context: x y : Over G

Context: P : ModuleCat R

Context: p : P ⟶ x.left

Context: q : P ⟶ y.left

Context: hp : Epi p

Context: hq : Epi q

Context: H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom

Context: ha : a ∈ LinearMap.range y.hom


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
hn : n ≤ Fintype.card α
h𝒜 : Set.Sized n ↑𝒜ᶜˢ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
hn : n ≤ Fintype.card α
h𝒜 : Set.Sized (Fintype.card α - n) ↑𝒜


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
f : X → Z
inst✝ : CountablySeparated ↑(range f)
hf : Measurable f
hr : MeasurableSet (range f)
s : Set Z

MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ range f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)


ENNReal.ofReal (∫ (x : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x)) ↑q ∂ν a) = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)


Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ((ν a).restrict s)


0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict s)] fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable
a b : Set X
ha : (a, b).1 ∈ S
hb : (a, b).2 ∈ T


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f


∃ I, ∃ (_ : Injective I), ∃ f_1, ∃ (w : f_1 ≫ f = 0), Nonempty (ShortComplex.mk f_1 f w).Splitting


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: hu : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: hu : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: hu : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ

Context: p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: hu : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: hu : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: inst✝¹ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: u : Filter ι

Context: hu : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: v : ℕ → ι

Context: hv : Tendsto v atTop u

Context: x : α

Tendsto (fun i => aeSeq h'f p i x) atTop (𝓝 (aeSeqLim x))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
x : S
z : R

(map Q g hy) (z • x) = g z • (map Q g hy) x


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
e : α ↪ α


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k


max (lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) (lsub fun i => i.elim.birthday) = o


(lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) = o


(lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)


Context:
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k
x : (Quotient.out o).α

(typein (fun x x_1 => x < x_1) x).toPGame.birthday = typein (fun x x_1 => x < x_1) x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: a b : X

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: hmono : MonotoneOn f ∅

Context: ha : IsLeast ∅ a

Context: hb : IsGreatest ∅ b

Context: hs : μ ∅ ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet ∅


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h✝ : s.Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h✝ : s.Nonempty

Context: hbelow : BddBelow (f '' s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h✝ : s.Nonempty

Context: hbelow : BddBelow (f '' s)

Context: habove : BddAbove (f '' s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h✝ : s.Nonempty

Context: hbelow : BddBelow (f '' s)

Context: habove : BddAbove (f '' s)

Context: this : IsBounded (f '' s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h✝ : s.Nonempty

Context: hbelow : BddBelow (f '' s)

Context: habove : BddAbove (f '' s)

Context: this : IsBounded (f '' s)

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ f '' s, ‖x‖ ≤ C


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁵ : BorelSpace X

Context: inst✝² : OrderTopology X

Context: inst✝¹ : OrderTopology E

Context: inst✝ : SecondCountableTopology E

Context: hmono : MonotoneOn f s

Context: a b : X

Context: ha : IsLeast s a

Context: hb : IsGreatest s b

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: h✝ : s.Nonempty

Context: hbelow : BddBelow (f '' s)

Context: habove : BddAbove (f '' s)

Context: this : IsBounded (f '' s)

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ x ∈ f '' s, ‖x‖ ≤ C

Context: A : IntegrableOn (fun x => C) s μ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
ha : 0 ≤ a
hbc : b ≤ c

(fun x => a * x) '' Icc b c = Icc (a * b) (a * c)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε

∃ i, 0 < i ∧ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ {p | edist p.1 p.2 < ε}


Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < (↑K)⁻¹ * ε} ⊆ {p | edist p.1 p.2 < ε}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: hf : AntilipschitzWith K f

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: h₀ : 0 < ε

Context: x : α × α

Context: hx : x ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < (↑K)⁻¹ * ε}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: hf : AntilipschitzWith K f

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: h₀ : 0 < ε

Context: x : α × α

Context: hx : x ∈ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < ε / ↑K}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: hf : AntilipschitzWith K f

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: h₀ : 0 < ε

Context: x : α × α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α


Context:
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p


Context:
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 ≤ -1
hs' : -1 ≠ 0


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 1 + p * s ≤ 0


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1


rexp (log (1 + p * s)) < rexp (log (1 + s) * p)


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s < 0


Context:
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp : 1 < p
hp' : 0 < p
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s > 0


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
x : L i
y : L j

⁅(of L i) x, (of L j) y⁆ = if hij : i = j then (of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x y : L i

⁅(of L i) x, (of L i) y⁆ = if hij : i = i then (of L i) ⁅x, Eq.recOn ⋯ y⁆ else 0


Context:
R : Type u
ι : Type v
inst✝³ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝¹ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
x : L i
y : L j
hij : i ≠ j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a✝ b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: x : Set α

Context: hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))

Context: y : Set β

Context: a : α

a ∈ x ∩ f ⁻¹' minimals s (f '' x ∩ y) ↔ a ∈ minimals r (x ∩ f ⁻¹' y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a✝ b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: x : Set α

Context: y : Set β

Context: a : α

(a ∈ x ∧ ((∃ x_1 ∈ x, f x_1 = f a) ∧ f a ∈ y) ∧ ∀ a_1 ∈ x, f a_1 ∈ y → s (f a_1) (f a) → s (f a) (f a_1)) ↔ (a ∈ x ∧ f a ∈ y) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ x → f b ∈ y → r b a → r a b


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

hurwitzZetaOdd (-a) s = -hurwitzZetaOdd a s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
key : Continuous fun x => (t, x)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
h : x ∉ closure E

∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x✝ y : α

Context: s t : Set α

Context: Φ : α → β

Context: x : α

Context: E : Set α

Context: h : ∃ r, 0 ≤ r ∧ 0 < ENNReal.ofReal r ∧ ENNReal.ofReal r < infEdist x E


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
ε : ℝ
left✝ : 0 ≤ ε
ε_pos : 0 < ENNReal.ofReal ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ f'✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ f'✝
g : b✝ ⟶ c✝

(G.mapComp (F.map f✝) (F.map g) ≫ G.map₂ (F.mapComp f✝ g)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (η ▷ g)) = G.map₂ (F.map₂ η) ▷ G.map (F.map g) ≫ G.mapComp (F.map f'✝) (F.map g) ≫ G.map₂ (F.mapComp f'✝ g)


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
x✝¹ x✝ : b✝ ⟶ c✝
η : x✝¹ ⟶ x✝

(G.mapComp (F.map f) (F.map x✝¹) ≫ G.map₂ (F.mapComp f x✝¹)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (f ◁ η)) = G.map (F.map f) ◁ G.map₂ (F.map₂ η) ≫ G.mapComp (F.map f) (F.map x✝) ≫ G.map₂ (F.mapComp f x✝)


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝

(G.mapComp (F.map f) (F.map g) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g)) ▷ G.map (F.map h) ≫ (G.mapComp (F.map (f ≫ g)) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom) = (α_ (G.map (F.map f)) (G.map (F.map g)) (G.map (F.map h))).hom ≫ G.map (F.map f) ◁ (G.mapComp (F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp g h)) ≫ G.mapComp (F.map f) (F.map (g ≫ h)) ≫ G.map₂ (F.mapComp f (g ≫ h))


(G.mapComp (F.map f) (F.map g) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g)) ▷ G.map (F.map h) ≫ (G.mapComp (F.map (f ≫ g)) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom) = (G.mapComp (F.map f) (F.map g) ▷ G.map (F.map h) ≫ G.mapComp (F.map f ≫ F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ G.map₂ (F.map f ◁ F.mapComp g h)) ≫ G.map₂ (F.mapComp f (g ≫ h))


(G.mapComp (F.map f) (F.map g) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g)) ▷ G.map (F.map h) ≫ (G.mapComp (F.map (f ≫ g)) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom) = G.mapComp (F.map f) (F.map g) ▷ G.map (F.map h) ≫ G.mapComp (F.map f ≫ F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom)


(G.mapComp (F.map f) (F.map g) ▷ G.map (F.map h) ≫ G.mapComp (F.map f ≫ F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h)) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom) = G.mapComp (F.map f) (F.map g) ▷ G.map (F.map h) ≫ G.mapComp (F.map f ≫ F.map g) (F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp f g ▷ F.map h) ≫ G.map₂ (F.mapComp (f ≫ g) h) ≫ G.map₂ (F.map₂ (α_ f g h).hom)


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
F✝ : LaxFunctor B C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : LaxFunctor B C
G : LaxFunctor C D
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝

G.map₂ (F.map₂ (λ_ f).inv) = (λ_ (G.map (F.map f))).inv ≫ (G.mapId (F.obj a✝) ≫ G.map₂ (F.mapId a✝)) ▷ G.map (F.map f) ≫ G.mapComp (F.map (𝟙 a✝)) (F.map f) ≫ G.map₂ (F.mapComp (𝟙 a✝) f)


G.map₂ (F.map₂ (ρ_ f).inv) = (ρ_ (G.map (F.map f))).inv ≫ G.map (F.map f) ◁ (G.mapId (F.obj b✝) ≫ G.map₂ (F.mapId b✝)) ≫ G.mapComp (F.map f) (F.map (𝟙 b✝)) ≫ G.map₂ (F.mapComp f (𝟙 b✝))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : LocalRing R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Nontrivial S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
hf : Function.Surjective ⇑f
a b : R
hab : IsUnit (f a + f b)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : LocalRing R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Nontrivial S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
hf : Function.Surjective ⇑f
a b : R
hab : IsUnit (f (a + b))


Context:
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M


Context:
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ : M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
hx : x ∈ tsupport ↑f


Context:
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x✝ : M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
hx : x ∈ tsupport ↑f
this : x ∈ (chartAt H c).source


ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, ℝ) ⊤ (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B

(imageUnopOp g).hom ≫ image.ι g = (factorThruImage g.unop).op


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

K.pOpcycles j ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K) = (K.sc' i j k).pOpcycles


((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K).τ₂ ≫ (K.sc' i j k).pOpcycles = (K.sc' i j k).pOpcycles


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x
this : (f.cycleOf x) x ≠ x
y : α
h : (f.cycleOf x) y ≠ y
hxy : f.SameCycle x y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x
this : (f.cycleOf x) x ≠ x
y : α
h : (f.cycleOf x) y ≠ y
hxy : ¬f.SameCycle x y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : f x ≠ x
this : (f.cycleOf x) x ≠ x
y : α
h : y ≠ y
hxy : ¬f.SameCycle x y


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V) = ↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V))


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

(mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) = (mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)))


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)), ((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis i) = ((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis i)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j) = ((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j)) 1 = (((mk K (Module.Dual K V) K).compr₂ (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j)) 1


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1) = (↑(TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.rid K (Module.Dual K V))) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ((LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1))) = (TensorProduct.lid K (Module.Dual K V)).symm ((TensorProduct.rid K (Module.Dual K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1))


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ((LinearMap.lTensor (Module.Dual K V) (coevaluation K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] 1))) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i)) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (TensorProduct.assoc K (Module.Dual K V) V (Module.Dual K V)).symm ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x)) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) (((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j) ((Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), if x = j then 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x else 0) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: V : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

(if j ∈ Finset.univ then 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j else 0) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
hs : s.Nonempty


∏ i ∈ s, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: a : Stream' M

Context: s : Finset ℕ

Context: ih : ∀ t ⊂ s, ∀ (hs : t.Nonempty), ∏ i ∈ t, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (t.min' hs) a)

Context: hs : s.Nonempty


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: a : Stream' M

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : s.Nonempty

(Stream'.drop (s.min' hs) a).head * ∏ x ∈ s.erase (s.min' hs), a.get x ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: a : Stream' M

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : s.Nonempty

Context: h : s.erase (s.min' hs) = ∅


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: a : Stream' M

Context: s : Finset ℕ

Context: hs : s.Nonempty

Context: h : (s.erase (s.min' hs)).Nonempty


Context: a x✝ z x : ℂ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E

c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' sphere a r ↔ c ∈ sphere (a / b) r


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Splits (algebraMap F E) f

f.natSepDegree = (f.aroots E).toFinset.card


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj Q.complex) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj Q.complex) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n


(HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r


Context:
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x ε : ℝ
hx : 0 ≤ x
hε : 0 < ε
h : 0 < x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : M
r : R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EM : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'

Context: M : Type u

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: N G A A' R : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : ChartedSpace H R

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : SmoothRing I R

Context: x : M

Context: y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x

∃ a, (eval IM I M R x) a = smoothSheaf.eval IM I R x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: EM : Type u_2

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'

Context: M : Type u

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace HM M

Context: N G A A' R : Type u

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : ChartedSpace H R

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : SmoothRing I R

Context: x : M

(eval IM I M R x) ((forgetStalk IM I M R x).inv y) = smoothSheaf.eval IM I R x y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : p x = true

rdropWhile p (l ++ [x]) = rdropWhile p l


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M


Context:
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y a x : G


Context:
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.333125, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.333132, u_2} D
inst✝ : HasInitial C
ι : Type u_3
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsVanKampenColimit c
i j : Discrete ι
hi : i ≠ j

IsPullback (initial.to (F.obj i)) (initial.to (F.obj j)) (c.ι.app i) (c.ι.app j)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
x✝¹ : M
x✝ : M₁


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a < 2
hb : b < 2
h₂ : succ 1 = 2


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
h₂ : succ 1 = 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x✝ y✝ z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
x✝ : G

x✝ ∈ ↑(A ⊓ B) * ↑C ↔ x✝ ∈ ↑A ∩ (↑B * ↑C)


(∃ x, (x ∈ ↑A ∧ x ∈ ↑B) ∧ ∃ y ∈ ↑C, x * y = x✝) ↔ x✝ ∈ ↑A ∧ ∃ x ∈ ↑B, ∃ y ∈ ↑C, x * y = x✝


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A✝
s : Set G
A B C : Subgroup G
h : C ≤ A
y : G
hy : y ∈ ↑B
z : G
hz : z ∈ ↑C
hyz : y * z ∈ ↑A


Context: X : LocallyRingedSpace


Context: X : LocallyRingedSpace

∀ s ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), IsOpen (X.toΓSpecFun ⁻¹' s)


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))

IsOpen (X.toΓSpecFun ⁻¹' (fun r => ↑(basicOpen r)) r)


Context:
α : Type u
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : Subsingleton αˣ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: f✝ : Arrow C

Context: inst✝² : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f✝.left (fun x => f✝.right) fun x => f✝.hom

Context: f g : Arrow C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout g.left (fun x => g.right) fun x => g.hom

Context: F : f ⟶ g

Context: n : SimplexCategory

Context: i : Fin (n.len + 1)

f.hom ≫ (fun i => F.right ≫ WidePushout.ι (fun x => g.hom) i) i = F.left ≫ WidePushout.head fun x => g.hom


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n : ℕ

Context: x : idx × ℕ

Context: hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n : ℕ

Context: x : idx × ℕ


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n : ℕ

Context: x : idx × ℕ

Context: k : ℕ

Context: hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars

Context: hx' : x ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n : ℕ

Context: x : idx × ℕ

Context: k : ℕ

Context: hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars

Context: i : idx

Context: hx'' : x ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars

Context: i : idx

Context: j : ℕ

Context: hj : j ∈ (W_ ℚ k).vars

Context: hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars

Context: hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars

Context: hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n k : ℕ

Context: hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars

Context: i : idx

Context: j : ℕ

Context: hj : j < k + 1


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n k : ℕ

Context: i : idx

Context: j : ℕ

Context: hj : j < k + 1

Context: hk : k ∈ Finset.range (n + 1)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Fintype idx

Context: Φ : MvPolynomial idx ℚ

Context: n k : ℕ

Context: i : idx

Context: j : ℕ

Context: hj : j < k + 1

Context: hk : k < n + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : (μ.trim hm) s = 0

(μ.trim hm) (toMeasurable (μ.trim hm) s) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u_4}


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E


IsIntegral F (gen F α) ↔ IsIntegral F ((algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (gen F α))


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure


Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F

Context: hAB : (inducingFn 𝕜 E F) A = (inducingFn 𝕜 E F) B


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: A B : E →WOT[𝕜]F

∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)


Context:
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type ?u.36861
N : Type ?u.36864
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
x y : M

{ toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun y


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context:
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
hn : (fun x => a * x)^[n] 0 ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α

modifyNthTail g n (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (g ∘ f) n l


modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g 0 (f l)) n l = modifyNthTail (g ∘ f) n l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤

Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤

Context: hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤

Context: ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤)


Context:
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Lat).obj α

({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Lat).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
c d : ℝ
hcd : c ≤ d

(fun t => rexp (-d * t)) =O[atTop] fun t => rexp (-c * t)


Context:
c d : ℝ
hcd : c ≤ d

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖rexp (-d * x)‖ ≤ rexp (-c * x)


Context:
c d : ℝ
hcd : c ≤ d
t : ℝ
ht : 0 < t


Context: θ₁ θ₂ : Angle

(θ₁ + θ₂).cos = θ₁.cos * θ₂.cos - θ₁.sin * θ₂.sin


Context:
θ₁ : Angle
x✝ : ℝ

(θ₁ + ↑x✝).cos = θ₁.cos * (↑x✝).cos - θ₁.sin * (↑x✝).sin


Context: x✝¹ x✝ : ℝ

(↑x✝ + ↑x✝¹).cos = (↑x✝).cos * (↑x✝¹).cos - (↑x✝).sin * (↑x✝¹).sin


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p -ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂


Context:
x y : EReal
h1 : x ≠ ⊥ ∨ y ≠ ⊥
h2 : x ≠ ⊤ ∨ y ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
f : MonoidAlgebra R M


span R (⇑(of R M) '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (⇑(of R M) '' ↑f.support))


⇑(of R M) '' ↑f.support ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (⇑(of R M) '' ↑f.support)))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s


Context:
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : Submodule R M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set β
c : γ
f : β × γ → α

∏' (x : ↑(s ×ˢ {c})), f ↑x = ∏' (b : ↑s), f (↑b, c)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t

𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (t ∩ s) ⊔ 𝓟 tᶜ


𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓟 tᶜ


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₁ * y₂⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ ↔ ⟦y₁ * x₂⟧ + ⟦y₂ * x₁⟧ < ⟦y₁ * x₁⟧ + ⟦y₂ * x₂⟧


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : α → Type u_6

Context: inst✝¹ : (x : α) → CommMonoid (π x)

Context: inst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)

Context: f : ι → (x : α) → π x

Context: g : (x : α) → π x

HasProd f g ↔ ∀ (x : α), HasProd (fun i => f i x) (g x)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k < n.succ, Measurable (f k)


∀ n_1 ∈ range (n + 1), Measurable (f n_1)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁸ : DivInvMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
c : G
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x

ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x / c) s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N
hf : f 0 = 0
a : α
b : M
a' : α

(mapRange f hf (single a b)) a' = (single a (f b)) a'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] univ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
xs : x ∈ interior s
sU : s ⊆ U


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H

Context: x : H

Context: U : Set H

Context: memU : x ∈ U

Context: hU : IsOpen U

Context: s : Set H

Context: comp : IsCompact s

Context: xs : x ∈ interior s

Context: sU : s ⊆ U

Context: u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s