Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: q : ℕ

Context: x y : L

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hx : IsPrimitiveRoot x 0

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (Nat.lcm 0 q) K)

φ (Nat.lcm 0 q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)

Context: hppos : p > 0

φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hppos : p > 0

Context: hy : IsPrimitiveRoot y 0

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm 0) K)

φ (p.lcm 0) ≤ FiniteDimensional.finrank K L


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hppos : p > 0

Context: hqpos : q > 0


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hppos : p > 0

Context: hqpos : q > 0

Context: z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)

Context: k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hppos : p > 0

Context: hqpos : q > 0

Context: this : IsPrimitiveRoot z ↑k


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hppos : p > 0

Context: hqpos : q > 0

Context: this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k

Context: this : IsCyclotomicExtension {k} K ↥(adjoin K {z})


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hppos : p > 0

Context: hqpos : q > 0

Context: this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k

φ (p.lcm q) = FiniteDimensional.finrank K ↥(Subalgebra.toSubmodule (adjoin K {z}))


Context: p✝ n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁹ : CommRing A

Context: inst✝⁸ : CommRing B

Context: inst✝⁷ : Algebra A B

Context: inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : CommRing L

Context: inst✝³ : IsDomain L

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L

Context: ζ : L

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: p q : ℕ

Context: x y : L

Context: hx : IsPrimitiveRoot x p

Context: hy : IsPrimitiveRoot y q

Context: hppos : p > 0

Context: hqpos : q > 0

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑k) K)

Context: this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum fun n => (κ.seq n).map f hf) a) s = ((κ.map f hf) a) s


∑' (i : ℕ), (((κ.seq i).map f hf) a) s = ∑' (i : ℕ), ((κ.seq i) a) (f ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤

edist x (efixedPoint f hf x hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c : G


Context:
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (α × α)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E

∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: L : E ≃L[𝕜] F

Context: φ : X → E

Context: this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: L : E ≃L[𝕜] F

Context: φ : X → E

Context: left✝ : CompleteSpace E

Context: right✝ : CompleteSpace F


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: L : E ≃L[𝕜] F

Context: φ : X → E

Context: left✝ : ¬CompleteSpace E

Context: right✝ : ¬CompleteSpace F


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context: K : Type uK

Context: V : Type uV

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : Module K V

Context: inst✝⁶ : Free K V

Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsReflexive R M

Context: e : M ≃ₗ[R] N

Context: ed : Dual R (Dual R N) ≃ₗ[R] Dual R (Dual R M) := e.symm.dualMap.dualMap


Context: K : Type uK

Context: V : Type uV

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : Module K V

Context: inst✝⁶ : Free K V

Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsReflexive R M

Context: e : M ≃ₗ[R] N

Context: this : Dual.eval R N = ↑ed.symm ∘ₗ Dual.eval R M ∘ₗ ↑e.symm


Context: K : Type uK

Context: V : Type uV

Context: inst✝⁹ : CommRing K

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : Module K V

Context: inst✝⁶ : Free K V

Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: inst✝ : IsReflexive R M

Context: e : M ≃ₗ[R] N


Context:
α : Type u
l l' : List α
x : α


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s : Set V

(induce s G).Connected ↔ (⊤.induce s).Connected


Context:
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N
a x y : M
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulHomClass F M N
h : SemiconjBy a x y
f : F


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.101505
inst✝ : MulAction R X
r : R
s t : ↥S


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H


I.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' s = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
h : IsUnit A ↔ IsUnit B


Context: m a b c d : ℤ

Context: h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m

Context: this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0

Context: f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]


Context: m a b c d : ℤ

Context: f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]

Context: i : Fin 4

Context: hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f ((swap i 0) 2)) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 3)) ^ 2 = 0


Context: m a b c d : ℤ

Context: f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]

Context: i : Fin 4

Context: σ : Perm (Fin 4) := swap i 0

Context: hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0


Context: m a b c d : ℤ

Context: f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]

Context: i : Fin 4

Context: σ : Perm (Fin 4) := swap i 0

Context: x : ℤ

Context: hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x


Context: m a b c d : ℤ

Context: f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]

Context: i : Fin 4

Context: σ : Perm (Fin 4) := swap i 0

Context: x : ℤ

Context: hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x

Context: y : ℤ

Context: hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y


Context: m a b c d : ℤ

Context: this✝ : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0

Context: f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]

Context: i : Fin 4

Context: σ : Perm (Fin 4) := swap i 0

Context: x : ℤ

Context: hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x

Context: y : ℤ

Context: hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y

Context: this : ∑ x : Fin 4, f (σ x) ^ 2 = ∑ x : Fin 4, f x ^ 2


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ s.tail.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: T : s.tail.head.Terminates

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: h : a ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: T : s.tail.head.Terminates

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: s' : WSeq α

Context: h1 : s' ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct

Context: right✝ : a ∈ s'.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: s : WSeq α

Context: T : s.tail.head.Terminates

Context: a : Option (α × WSeq α)

Context: s' : WSeq α

Context: h1 : s' ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct

Context: right✝ : a ∈ s'.destruct


Context:
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K

Context: inst✝⁶ : HasSolidNorm K

Context: inst✝⁵ : FloorRing K

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace K E

Context: inst✝² : FiniteDimensional K E

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥L

Context: hs : IsZlattice K L

Context: s : Set E

Context: h_incl : s ⊆ ↑L

Context: h_span : span K s = span K ↑L

Context: h_lind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K

Context: inst✝⁶ : HasSolidNorm K

Context: inst✝⁵ : FloorRing K

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace K E

Context: inst✝² : FiniteDimensional K E

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥L

Context: hs : IsZlattice K L

Context: s : Set E

Context: h_incl : s ⊆ ↑L

Context: h_span : span K s = span K ↑L

(map (span ℤ s).mkQ (AddSubgroup.toIntSubmodule L)).FG


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K

Context: inst✝⁶ : HasSolidNorm K

Context: inst✝⁵ : FloorRing K

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace K E

Context: inst✝² : FiniteDimensional K E

Context: inst✝¹ : ProperSpace E

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : DiscreteTopology ↥L

Context: hs : IsZlattice K L

Context: s : Set E

Context: h_incl : s ⊆ ↑L

Context: h_span : span K s = span K ↑L

(AddSubgroup.toIntSubmodule L ⊓ LinearMap.ker (span ℤ s).mkQ).FG


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ○ t ⊆ s


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t
ht : t ⊆ t


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t
ht : t ⊆ t
hw : w ⊆ w


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ

‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ ≤ |∫ (x : ℝ) in a..b, ‖f x‖ ∂μ|


‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ ≤ ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, ‖f x‖ ∂μ‖


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H.toLieSubmodule


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H


∀ (x_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) x_1 ^ k) x = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: y : ↥H

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: y : ↥H

Context: k : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: y : ↥H

Context: k : ℕ

Context: f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y

Context: g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: y : ↥H

Context: k : ℕ

Context: hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: y : ↥H

Context: k : ℕ

Context: hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f

Context: h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ ∈ lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: y : ↥H

Context: k : ℕ

Context: hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f

Context: h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


b ⊓ c ≤ a ∧ a ≤ b ⊔ c → a ⊓ c ≤ b ∧ b ≤ a ⊔ c → a = b


Context:
α : Type u_1
m : Num
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
m : PosNum


Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n

Context: m : PosNum


Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: m : PosNum

Context: hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m


Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m


Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m

Context: m : PosNum

↑(m.shiftr n) = ↑(pos m.bit1) >>> (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m

Context: m : PosNum

↑(m.shiftr n) = ↑(pos m.bit0) >>> (n + 1)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
h' : x ⊔ z \ x ≤ x ⊔ y


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y

(∀ (x : Set Y), IsOpen xᶜ → IsOpen (f ⁻¹' xᶜ)) ↔ ∀ (s : Set Y), IsClosed s → IsClosed (f ⁻¹' s)


Context:
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat

EqualizerCondition (yonedaPresheaf compHausToTop ↑X)


∀ (Z B : CompHaus) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
Z B : CompHaus
π : Z ⟶ B
he : EffectiveEpi π


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
Z B : CompHaus
π : Z ⟶ B
he : Function.Surjective ⇑π


(fun i => (fastGrowing 1)^[i] i) = fun n => 2 ^ n * n


Context: i : ℕ


Context: i a b : ℕ


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
h : s₁.Disjoint s₃
h' : s₂.Disjoint s₃
h'' : s₁ ∪ s₃ = s₂ ∪ s₃


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

Context: hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < max C 1 / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: C : ℝ

∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < max C 1 / ↑x_1 ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m✝ : ℤ

Context: n✝ : ℕ

Context: C : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hle : 1 ≤ n

Context: m : ℤ

Context: hne : x ≠ ↑m / ↑n

Context: hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context:
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i * y ^ (n - i) = x ^ n + y * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)


∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - i) = ∑ x_1 ∈ range n, x ^ x_1 * y ^ (n - 1 - x_1 + 1)


Context:
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n i : ℕ
hi : i ∈ range n


Context:
α : Type u_1
s : Set α


Context:
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : SemilatticeSup α
s : α → Set β
t : α → Set γ
hs : Monotone s
ht : Monotone t
z : β
w : γ

(z, w) ∈ ⋃ x, s x ×ˢ t x ↔ (z, w) ∈ (⋃ x, s x) ×ˢ ⋃ x, t x


(∀ (x : α), z ∈ s x → w ∈ t x → (∃ i, z ∈ s i) ∧ ∃ i, w ∈ t i) ∧ ∀ (x : α), z ∈ s x → ∀ (x : α), w ∈ t x → ∃ i, z ∈ s i ∧ w ∈ t i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: δ✝ : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)

Context: δ : ι → Type u_6

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

Context: h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ

𝓤 (α →ᵤ β) = 𝓤 (α →ᵤ β)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: δ✝ : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)

Context: δ : ι → Type u_6

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

𝓤 (α →ᵤ β) = ⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: δ✝ : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)

Context: δ : ι → Type u_6

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β)) ≤ 𝓤 (α →ᵤ β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x✝¹ : α

Context: p : Filter ι

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: δ✝ : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)

Context: δ : ι → Type u_6

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

Context: I : Set ι

Context: I_finite : I.Finite

Context: I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ

Context: U : Set (β × β)

Context: hU : U ∈ 𝓤 β

Context: x✝ : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)

Context: x : α

Context: f g : α →ᵤ β

Context: hfg : (f, g) ∈ ⋂ i, Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (δ ↑i) β (⟨I, fun x => U⟩.snd i)

(toFun (f, g).1 x, toFun (f, g).2 x) ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: δ✝ : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)

Context: δ : ι → Type u_6

Context: φ : (i : ι) → δ i → α

Context: I : Set ι

Context: I_finite : I.Finite

Context: I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ

Context: U : Set (β × β)

Context: hU : U ∈ 𝓤 β

Context: x✝ : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)

Context: f g : α →ᵤ β

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ I

Context: y : δ i

(toFun (f, g).1 (φ i y), toFun (f, g).2 (φ i y)) ∈ U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤

(𝓝 x).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : 0 ≠ ⊤

(𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (0 - ε) (0 + ε)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
x0 : 0 < x


Context:
k k' : Cont
v : List ℕ

(k.then k').eval v = k.eval v >>= k'.eval


Context: k' : Cont

Context: a✝¹ : Code

Context: a✝ : Cont

Context: k_ih : ∀ {v : List ℕ}, (a✝.then k').eval v = a✝.eval v >>= k'.eval

Context: v : List ℕ

a✝¹.eval v >>= (a✝.then k').eval = a✝¹.eval v >>= fun x => a✝.eval x >>= k'.eval


Context: k' : Cont

Context: a✝¹ : Code

Context: a✝ : Cont

Context: v : List ℕ

(if v.headI = 0 then a✝.eval v.tail >>= k'.eval else a✝¹.fix.eval v.tail >>= (a✝.then k').eval) = (if v.headI = 0 then a✝.eval v.tail else a✝¹.fix.eval v.tail >>= a✝.eval) >>= k'.eval


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0


Context:
n m : ℕ
i j : Fin n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α


(ENNReal.ofReal (dist x y)).toReal = dist x y


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this : Complex.abs ↑x ≤ 1


Context: x : ℝ

Context: hx : |x| ≤ 1

Context: this✝ : Complex.abs ↑x ≤ 1

Context: this : Complex.abs (cexp ↑x - 1 - ↑x) ≤ Complex.abs ↑x ^ 2


Context:
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this✝ : Complex.abs ↑x ≤ 1
this : |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

l.reverse.tails = (map reverse l.inits).reverse


l.reverse.tails = (map reverse (map reverse l.reverse.tails).reverse).reverse


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: l : ι → Filter α

Context: s : ι → ι' → Set α

Context: p : ι → ι' → Prop

Context: hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)

Context: h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l

Context: t : Set α

t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.1 i.2 ∧ s i.1 i.2 ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : Type u_7

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: l : ι → Filter α

Context: s : ι → ι' → Set α

Context: p : ι → ι' → Prop

Context: h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l

Context: t : Set α


Context: n d : ℤ

(n /. d).den = if d = 0 then 1 else d.natAbs / n.gcd d


Context: n d : ℤ

Context: this : ∀ (m : ℕ), (↑m + 1).natAbs = m + 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = 0

Context: inst✝⁵ : HasKernel f

Context: inst✝⁴ : HasKernel (G.map f)

Context: inst✝³ : PreservesLimit (parallelPair f 0) G

Context: X' Y' : C

Context: g : X' ⟶ Y'

Context: inst✝² : HasKernel g

Context: inst✝¹ : HasKernel (G.map g)

Context: inst✝ : PreservesLimit (parallelPair g 0) G

Context: p : X ⟶ X'

Context: q : Y ⟶ Y'

Context: hpq : f ≫ q = p ≫ g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = 0

Context: inst✝⁵ : HasKernel f

Context: inst✝⁴ : HasKernel (G.map f)

Context: X' Y' : C

Context: g : X' ⟶ Y'

Context: inst✝² : HasKernel g

Context: inst✝¹ : HasKernel (G.map g)

Context: p : X ⟶ X'

Context: q : Y ⟶ Y'

Context: hpq : f ≫ q = p ≫ g

kernel.map (G.map f) (G.map g) (G.map p) (G.map q) ⋯ ≫ (PreservesKernel.iso G g).inv = (PreservesKernel.iso G f).inv ≫ G.map (kernel.map f g p q hpq)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t
h : t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ ∈ s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y * z + x) y


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
s : Set α
t : Set β
x✝ : sᶜ ∉ l ∧ tᶜ ∉ m
hs : sᶜ ∉ l
ht : tᶜ ∉ m


∃ᶠ (x : α) in l, ∃ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
h : b ≠ a

dslope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → α
g : α → Set β

⋃ x, ⋃ y, ⋃ (_ : f y = x), g x = ⋃ y, g (f y)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
x : M
hx : x ∉ p


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
x : M
hx : x ∉ p
f : Dual R M
hf : f x ≠ 0
hf' : map f p = ⊥


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n

(ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n) = toZModPow m


RingHom.ker ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) = RingHom.ker (toZModPow m)


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]

x ∈ RingHom.ker ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) ↔ x ∈ RingHom.ker (toZModPow m)


((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) x = 0 ↔ (toZModPow m) x = 0


((toZModPow n) x).cast = 0 ↔ (toZModPow m) x = 0


({ toFun := fun x => ↑(x.appr n), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x).cast = 0 ↔ { toFun := fun x => ↑(x.appr m), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x = 0


(↑(x.appr n)).cast = 0 ↔ ↑(x.appr m) = 0


↑(x.appr n) - ↑(x.appr n) ∈ Ideal.span {↑p ^ m}


↑(x.appr n) - ↑(x.appr m) ∈ Ideal.span {↑p ^ m}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s

∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y


Context:
n : ℕ
x✝ x : ℤ × ℤ


Context:
n : ℕ
x✝ x : ℤ × ℤ

(fun n => x ∈ box n) (max x.1.natAbs x.2.natAbs) ∧ ∀ (y : ℕ), (fun n => x ∈ box n) y → y = max x.1.natAbs x.2.natAbs


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hm : m ≠ 0


Disjoint (filter (fun x => x.card = m) (equitabilise h).parts) (filter (fun x => x.card = m + 1) (equitabilise h).parts)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤
hab : a ≤ b


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤
hab : b < a


Context:
a c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < 0 → 0 < a → c ≠ ⊤
hab : 0 < a


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < b → b < a → c ≠ ⊤
hab : b < a
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hgk : IsBigOWith c' l g k
hc : 0 ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hfg : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Context: hgk : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖g x‖ ≤ c' * ‖k x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hc : 0 ≤ c

Context: x : α

Context: hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Context: hx' : ‖g x‖ ≤ c' * ‖k x‖


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f i
i✝ : I
a a' : α → γ
b b' : β → γ
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : One γ
i : β
c : γ

Sum.elim 1 (Pi.mulSingle i c) = Pi.mulSingle (inr i) c


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Disjoint (Ioc a₁ a₂) (Ioc b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁


Context: ι : Sort u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

Context: h : Disjoint (Ico (toDual a₂) (toDual a₁)) (Ico (toDual b₂) (toDual b₁)) ↔ min (toDual a₁) (toDual b₁) ≤ max (toDual a₂) (toDual b₂)


Context:
a b m n p : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p

(f.prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = f


Context:
a b m n p : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : ∀ x ∈ f.support, x ^ f x ≠ 0


∑ x ∈ f.support, (x ^ f x).factorization = f


∑ x ∈ f.support, (x ^ f x).factorization = f.sum single


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : Unique Mˣ

Context: inst✝ : Unique Nˣ

Context: m : M

Context: n : N

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'

Context: x : Associates M

Context: hx : x ∈ Set.Iic (Associates.mk m)

associatesEquivOfUniqueUnits ↑⟨x, hx⟩ ∣ m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : Unique Mˣ

Context: inst✝ : Unique Nˣ

Context: m : M

Context: n : N

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: x : Associates M

Context: hx : x ∈ Set.Iic (Associates.mk m)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : Unique Mˣ

Context: inst✝ : Unique Nˣ

Context: m : M

Context: n : N

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: x : Associates N

Context: hx : x ∈ Set.Iic (Associates.mk n)

associatesEquivOfUniqueUnits ↑⟨x, hx⟩ ∣ n


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : Unique Mˣ

Context: inst✝ : Unique Nˣ

Context: m : M

Context: n : N

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: x : Associates N

Context: hx : x ∈ Set.Iic (Associates.mk n)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : Unique Mˣ

Context: inst✝ : Unique Nˣ

Context: m : M

Context: n : N

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: x✝ : ↑(Set.Iic (Associates.mk m))

Context: l : Associates M

Context: hl : l ∈ Set.Iic (Associates.mk m)

(fun l => ⟨Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩) ((fun l => ⟨Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩) ⟨l, hl⟩) = ⟨l, hl⟩


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : Unique Mˣ

Context: inst✝ : Unique Nˣ

Context: m : M

Context: n : N

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: x✝ : ↑(Set.Iic (Associates.mk n))

Context: l : Associates N

Context: hl : l ∈ Set.Iic (Associates.mk n)

(fun l => ⟨Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩) ((fun l => ⟨Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩) ⟨l, hl⟩) = ⟨l, hl⟩


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝¹ : Unique Mˣ

Context: inst✝ : Unique Nˣ

Context: m : M

Context: n : N

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: a : Associates M

Context: ha : a ∈ Set.Iic (Associates.mk m)

Context: b : Associates M

Context: hb : b ∈ Set.Iic (Associates.mk m)

{ toFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, invFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨a, ha⟩ ≤ { toFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, invFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨b, hb⟩ ↔ ⟨a, ha⟩ ≤ ⟨b, hb⟩


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x y : α

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: f : α ≃ Subtype p

Context: a : α

Context: ha : g a ≠ a

Context: ha' : ∀ ⦃y : α⦄, g y ≠ y → g.SameCycle a y

Context: b : β

Context: hb : (g.extendDomain f) b ≠ b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x y : α

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: f : α ≃ Subtype p

Context: a : α

Context: ha : g a ≠ a

Context: b : β

Context: hb : (g.extendDomain f) b ≠ b

Context: h : b = ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x y : α

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: f : α ≃ Subtype p

Context: a : α

Context: ha : g a ≠ a

Context: b : β

Context: hb✝ : (g.extendDomain f) b ≠ b

Context: hb : (g.extendDomain f) ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩)) ≠ ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))

Context: h : b = ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))

(g.extendDomain f).SameCycle ↑(f a) ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α

Context: x y : α

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: f : α ≃ Subtype p

Context: a : α

Context: ha : g a ≠ a

Context: b : β

Context: hb✝ : (g.extendDomain f) b ≠ b

Context: h : b = ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))

Context: hb : g (f.symm ⟨b, ⋯⟩) ≠ f.symm ⟨b, ⋯⟩


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X : Cᵒᵖ

Context: r₀ : ↑(R₀.obj X)

Context: m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj X)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.op.mapArrow.EssSurj


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions

Context: f : Arrow D

Context: this : L.op.mapArrow.EssSurj

Context: g : Arrow Cᵒᵖ

Context: e : L.op.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f.hom.op


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
h : ∑ u ∈ {s}, m u ≤ m t


Context:
A✝ : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A✝
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A✝ B
x✝ : B
A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R

minpoly K x ∣ map (algebraMap A K) (minpoly A x)


(Polynomial.aeval x) (map (algebraMap A K) (minpoly A x)) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

(𝓝 ⊥).HasBasis (fun x => True) fun x => Iio ↑x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : ⊥ < x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : ⊥ < x
y : ℚ
hxy : ↑↑y < x


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
this : λ ^ 4 ∣ S'.c ^ 3


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: hm : multiplicity.Finite λ S'.c

Context: this : λ ^ 4 ∣ S'.c ^ 3

Context: hm1 : ↑((multiplicity λ (S'.c ^ 3)).get ⋯) = multiplicity λ (S'.c ^ 3)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: hm : multiplicity.Finite λ S'.c

Context: this : 4 ≤ 3 * (multiplicity λ S'.c).get hm


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X✝ Y✝ X'✝ Y'✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : X'✝ ⟶ Y'✝
j✝ : J

((limMap f ⊗ limMap g) ≫ limit.lift (Y✝ ⊗ Y'✝) { pt := limit Y✝ ⊗ limit Y'✝, π := { app := fun j => limit.π Y✝ j ⊗ limit.π Y'✝ j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (Y✝ ⊗ Y'✝) j✝ = (limit.lift (X✝ ⊗ X'✝) { pt := limit X✝ ⊗ limit X'✝, π := { app := fun j => limit.π X✝ j ⊗ limit.π X'✝ j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (f ⊗ g)) ≫ limit.π (Y✝ ⊗ Y'✝) j✝


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

((limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ limit.lift ((X ⊗ Y) ⊗ Z) { pt := limit (X ⊗ Y) ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (α_ X Y Z).hom) ≫ limit.π (X ⊗ Y ⊗ Z) j = ((α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.lift (X ⊗ Y ⊗ Z) { pt := limit X ⊗ limit (Y ⊗ Z), π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (X ⊗ Y ⊗ Z) j


(limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ limit.π Z j) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)


(limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ ((limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (𝟙 (X.obj j ⊗ Y.obj j) ⊗ limit.π Z j)) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)


(((limit.π X j ⊗ limit.π Y j) ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (𝟙 (X.obj j ⊗ Y.obj j) ⊗ limit.π Z j)) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)


((limit.π X j ⊗ limit.π Y j) ⊗ limit.π Z j) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)


(α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)


(α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 ((Y ⊗ Z).obj j))


(α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 ((Y ⊗ Z).obj j))


(α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (Y.obj j ⊗ Z.obj j))


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

(λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ limit.lift (𝟙_ (J ⥤ C) ⊗ X) { pt := limit (𝟙_ (J ⥤ C)) ⊗ limit X, π := { app := fun j => limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ limit.π X j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (λ_ X).hom) ≫ limit.π X j


(λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ limit.π X j) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom


(λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ ((limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ limit.π X j)) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom


(λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (𝟙_ C) ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ limit.π X j)) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom


(λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j


(ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ limit.lift (X ⊗ 𝟙_ (J ⥤ C)) { pt := limit X ⊗ limit (𝟙_ (J ⥤ C)), π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (ρ_ X).hom) ≫ limit.π X j


(ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom


(ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ ((𝟙 (limit X) ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom


(ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (limit X) ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom


(ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: D : I → Type u₂

Context: inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)

Context: F✝ G✝ : (i : I) → C i ⥤ D i

Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.104939, u_1} E

Context: F G : E ⥤ ((i : I) → C i)

Context: τ : (i : I) → F ⋙ Pi.eval C i ⟶ G ⋙ Pi.eval C i

Context: x✝¹ x✝ : E

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: i : I

(F.map f ≫ (fun X i => (τ i).app X) x✝) i = ((fun X i => (τ i).app X) x✝¹ ≫ G.map f) i


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
v w : V


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
a : ℤ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
s : Set β

map f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) = μb.restrict s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R

(if h0 : p = 0 then 0 else Nat.find ⋯) = Nat.find ⋯


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R


Context:
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝²² : DecidableEq ι

Context: inst✝²¹ : CommRing A

Context: inst✝²⁰ : CommRing B✝

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A B✝

Context: inst✝¹⁸ : CommRing C

Context: inst✝¹⁷ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra K E

Context: inst✝⁸ : Module.Finite K L

Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: R : Type z

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

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Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: B : PowerBasis K L

Context: hint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hz : IsIntegral R z

Context: hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝²² : DecidableEq ι

Context: inst✝²¹ : CommRing A

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Context: inst✝¹⁸ : CommRing C

Context: inst✝¹⁷ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra K E

Context: inst✝⁸ : Module.Finite K L

Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: R : Type z

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

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Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: B : PowerBasis K L

Context: hint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hz : IsIntegral R z

Context: H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝²² : DecidableEq ι

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Context: inst✝¹⁷ : Algebra A C

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Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Field E

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Context: inst✝⁹ : Algebra K E

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Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: R : Type z

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Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

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Context: inst✝ : IsFractionRing R K

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Context: hint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hz : IsIntegral R z

Context: cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)


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Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

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Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

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Context: R : Type z

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Context: inst✝⁴ : Algebra R L

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Context: hint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hz : IsIntegral R z

∀ (i : Fin B.dim), ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

Context: C : Type z

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Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

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Context: inst✝¹² : Field L

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Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

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Context: R : Type z

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Context: z : L

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((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

Context: C : Type z

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Context: inst✝²² : DecidableEq ι

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Context: inst✝¹⁷ : Algebra A C

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Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

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Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

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Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

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Context: pb : PowerBasis K L

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Context: inst✝⁵ : Algebra R K

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Context: z : L

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Context: i : Fin B.dim


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

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Context: inst✝²² : DecidableEq ι

Context: inst✝²¹ : CommRing A

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Context: inst✝¹⁷ : Algebra A C

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Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

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Context: inst✝¹¹ : Field E

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Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

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Context: z : L

Context: hz : IsIntegral R z

Context: i : Fin B.dim

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Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

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Context: cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝²² : DecidableEq ι

Context: inst✝²¹ : CommRing A

Context: inst✝²⁰ : CommRing B✝

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A B✝

Context: inst✝¹⁸ : CommRing C

Context: inst✝¹⁷ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra K E

Context: inst✝⁸ : Module.Finite K L

Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: R : Type z

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: B : PowerBasis K L

Context: hint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hz : IsIntegral R z

Context: i : Fin B.dim

∑ σ : Equiv.Perm (Fin B.dim), Equiv.Perm.sign σ • ∏ i_1 : Fin B.dim, (traceMatrix K ⇑B.basis).updateColumn i (fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) (σ i_1) i_1 ∈ ⊥


Context: A : Type u

Context: B✝ : Type v

Context: C : Type z

Context: ι : Type w

Context: inst✝²² : DecidableEq ι

Context: inst✝²¹ : CommRing A

Context: inst✝²⁰ : CommRing B✝

Context: inst✝¹⁹ : Algebra A B✝

Context: inst✝¹⁸ : CommRing C

Context: inst✝¹⁷ : Algebra A C

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: E : Type z

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : Field E

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra K E

Context: inst✝⁸ : Module.Finite K L

Context: inst✝⁷ : IsAlgClosed E

Context: b : ι → L

Context: pb : PowerBasis K L

Context: R : Type z

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : Algebra R L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: B : PowerBasis K L

Context: hint : IsIntegral R B.gen

Context: z : L

Context: hz : IsIntegral R z

Context: i : Fin B.dim

Context: σ : Equiv.Perm (Fin B.dim)

Context: x✝¹ : σ ∈ univ

Context: j : Fin B.dim

Context: x✝ : j ∈ univ

(traceMatrix K ⇑B.basis).updateColumn i (fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) (σ j) j ∈ ⊥


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R


(match { toFinsupp := Finsupp.single n a } with | { toFinsupp := p } => p.support) ⊆ {n}


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α

(R.formula₂ t₁ t₂).Realize v ↔ RelMap R ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂]


(RelMap R fun i => Term.realize v (![t₁, t₂] i)) = RelMap R ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂]


Term.realize v (![t₁, t₂] 0) = ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂] 0


∀ (i : Fin 1), Term.realize v (![t₁, t₂] i.succ) = ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂] i.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d < c
h : c ≤ b ∨ d ≤ b


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → ℝ≥0∞

∫⁻ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * g (f x) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : ↑s), g (s.restrict f a) ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * g (f x) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : ↑s), (g ∘ f) ↑a ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * (g ∘ f) x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : E) in s, ((fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) * g ∘ f) a ∂μ = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * (g ∘ f) x ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → ℝ≥0∞

∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| < ⊤


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : InjOn f s

Context: g : E → ℝ≥0∞

AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) (μ.restrict s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝² : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : β × γ → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

(fun x => ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x)) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => ∫ (y : γ), AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R

(opRingEquiv R) (op ((monomial n) r)) = (monomial n) (op r)


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

toStalk (↑(unop (op (Γ.obj (op X))))) (X.toΓSpecSheafedSpace.base x) ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x


(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x


(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x


(toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ X.toΓSpecSheafedSpace.c.app (op (basicOpen 1)) ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x


(X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩


(X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩ ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecBase X.presheaf ↑⟨x, ⋯⟩


X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩


((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).map ⋯.hom.op ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
ι₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : Finite ι₃
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
b₃ : Basis ι₃ R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₃

toMvPolynomial b₁ b₃ (g ∘ₗ f) i = (bind₁ (toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (toMvPolynomial b₂ b₃ g i)


(bind₁ ((toMatrix b₁ b₂) f).toMvPolynomial) (((toMatrix b₂ b₃) g).toMvPolynomial i) = (bind₁ (toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (((toMatrix b₂ b₃) g).toMvPolynomial i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X : C

Context: φ : { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)

Context: Y : Over (unop (op X))

({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (𝟙 (op X)) φ).app (op Y) = (𝟙 ({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)) φ).app (op Y)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝ : Category.{v', u'} A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: X Y Z : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: g : Z ⟶ Y

Context: W : Over (unop (op Z))

({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op f ≫ op g) φ).app (op W) = (({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op f) ≫ { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op g)) φ).app (op W)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ≠ 0


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x

expOrderIso.symm ⟨|x|, ⋯⟩ = expOrderIso.symm ⟨x, hx⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: n : ℕ

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: P : ProjectiveResolution X

Context: Q : ProjectiveResolution Y

Context: g : P.complex ⟶ Q.complex

Context: w : g ≫ Q.π = P.π ≫ (ChainComplex.single₀ C).map f

(F.leftDerived n).map f = (P.isoLeftDerivedObj F n).hom ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map g ≫ (Q.isoLeftDerivedObj F n).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝³ : Abelian C

Context: inst✝² : HasProjectiveResolutions C

Context: inst✝¹ : Abelian D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.Additive

Context: n : ℕ

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: P : ProjectiveResolution X

Context: Q : ProjectiveResolution Y

Context: g : P.complex ⟶ Q.complex


Context:
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : s₂ ⊆ s₁


Context:
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t

∃ S, (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: s₀ : Set α

Context: hp : p s₀

Context: t : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t

Context: S : Set (Set α)

Context: hSne : S.Nonempty

Context: hSc : S.Countable

Context: hS : (∀ s ∈ S, p s) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: s₀ : Set α

Context: hp : p s₀

Context: t : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t

Context: S : ℕ → Set α

Context: hSne : (range S).Nonempty

Context: hSc : (range S).Countable

Context: hS : (∀ s ∈ range S, p s) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ range S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y


Context: α : Type u_1

Context: p : Set α → Prop

Context: s₀ : Set α

Context: hp : p s₀

Context: t : Set α

Context: inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t

Context: S : ℕ → Set α

Context: hSne : (range S).Nonempty

Context: hSc : (range S).Countable

(∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : ContinuousMul α
x : α
l : List α
ih : Tendsto prod (𝓝 l) (𝓝 l.prod)

Tendsto prod (𝓝 (x :: l)) (𝓝 (x :: l).prod)


Tendsto (fun p => p.1 * p.2.prod) (𝓝 x ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (x * l.prod))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Context: x : α

Context: l : List α

Context: ih : Tendsto prod (𝓝 l) (𝓝 l.prod)

Context: this : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (x, l.prod)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : Monoid α

Context: inst✝ : ContinuousMul α

Context: x : α

Context: l : List α

Context: ih : Tendsto prod (𝓝 l) (𝓝 l.prod)

Context: this : Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 x ×ˢ 𝓝 l.prod) (𝓝 ((x, l.prod).1 * (x, l.prod).2))


Context: x y : EReal


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N✝ N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M'
m✝ : M'

m✝ ∈ map e.toLieModuleHom (comap e.toLieModuleHom N) ↔ m✝ ∈ N


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittSub p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) - X (1, 0))


Context:
α : Type u_1
f : Bool → α


Context: y : EReal


Context:
y : EReal
y_bot : y = ⊥


Context:
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y


Context:
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y
y_top : y = ⊤


Context:
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y
y_ntop : y < ⊤


Context:
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y
y_ntop : y < ⊤

(ENNReal.ofReal (Real.exp y.toReal)).log = y


Context:
y : EReal
y_nbot : ⊥ < y
y_ntop : y < ⊤
exp_y_pos : ¬Real.exp y.toReal ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e : PartialEquiv α β
s : Set α
h : e.source ⊆ s


Context:
l m r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l m r s
n : Nat

ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r (s.drop n)


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: h : ValidFor l m r s

Context: n : Nat

Context: this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n { byteIdx := utf8Len [] } = { byteIdx := utf8Len [] + utf8Len (List.take n m) }


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: h : ValidFor l m r s

Context: n : Nat

Context: this : { str := s.str, startPos := s.startPos, stopPos := s.stopPos }.nextn n 0 = { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: h : ValidFor l m r s

Context: n : Nat

ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r { str := s.str, startPos := s.startPos + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }, stopPos := s.stopPos }


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: h : ValidFor l m r s

Context: n : Nat

ValidFor (l ++ List.take n m) (List.drop n m) r { str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: n : Nat

Context: h : ValidFor l (List.take n m ++ List.drop n m) r s


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: n : Nat

{ str := { data := l ++ (m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.stopPos.byteIdx = utf8Len (l ++ List.take n m) + utf8Len (List.drop n m)


Context: l m r : List Char

Context: s : Substring

Context: n : Nat

{ str := { data := l ++ (List.take n m ++ List.drop n m ++ r) }, startPos := { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len (List.take n (List.take n m ++ List.drop n m)) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.take n m ++ List.drop n m) } }.stopPos.byteIdx = utf8Len (l ++ List.take n m) + utf8Len (List.drop n m)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ∈ s


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
x✝ : V

((o.rotation θ₁).trans (o.rotation θ₂)) x✝ = (o.rotation (θ₂ + θ₁)) x✝


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: f : Ω → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop

∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ℕ → Measure Ω

Context: f : Ω → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: f_nn : 0 ≤ f

∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, (μs i) {a | t < f a}) atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
ν : Measure α

AEStronglyMeasurable f (μ + ν) ↔ AEStronglyMeasurable f μ ∧ AEStronglyMeasurable f ν


AEStronglyMeasurable f (bif true then μ else ν) ∧ AEStronglyMeasurable f (bif false then μ else ν) ↔ AEStronglyMeasurable f μ ∧ AEStronglyMeasurable f ν


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: restrict : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P f → P (f ∣_ U)

Context: of_sSup_eq_top : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

P f → ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)

∀ (i : 𝒰.J), P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f)

∫⁻ (bc : β × γ), f bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), f b c ∂η (a, b) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h : ∀ (a : β × γ), ⨆ n, ↑(F n) a = Function.uncurry f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, ↑(F n) (a, b) = f a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

∫⁻ (bc : β × γ), ⨆ n, ↑(F n) (bc.1, bc.2) ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

⨆ n, ∫⁻ (a : β × γ), ↑(F n) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

Context: this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)

⨆ n, ∫⁻ (a : β × γ), ↑(F n) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

Context: h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑f' (b, c) ∂η (a, b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

⨆ n, ∫⁻ (a : β × γ), ↑(F n) a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ⨆ n, ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

∀ (n : ℕ), Measurable fun b => ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: f : β → γ → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_mono : Monotone F

Monotone fun n b => ∫⁻ (c : γ), ↑(F n) (b, c) ∂η (a, b)