Context: b o : Ordinal.{u_2}

Context: C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1

Context: ho : o ≠ 0

Context: H0 : C 0

Context: H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ log b o) → C o

b.CNFRec H0 H o = H o ho (b.CNFRec H0 H (o % b ^ log b o))


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y


∀ (x : M), Q (↑(chartAt H (id x)) ∘ id ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂

affineSpan k s = ⊤ ↔ affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤


affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤ → affineSpan k s = ⊤


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
this : s = ⇑e.symm '' (⇑e '' s)


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0

f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F p) g = f


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
HF : CharP F 0

f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F 0) g = f


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
hp : p > 0


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
hp : p > 0
this : IsLocalRingHom ↑(expand F p)


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a ≤ b


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a : Fin l.length
hab : a ≤ a


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a ≤ b
hlt : a < b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝ : Zero M

Context: f g : α →₀ M

Context: x✝ : f.support = g.support ∧ ∀ x ∈ f.support, f x = g x

Context: h₁ : f.support = g.support

Context: h₂ : ∀ x ∈ f.support, f x = g x

Context: a : α


Context:
m n a b c d✝ : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
d : ℕ
hd : a ^ d ≡ b ^ d [ZMOD n]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R


(ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (m * n) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) m * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) n


∀ {m n : ℕ}, ¬m = 0 → ¬n = 0 → m.Coprime n → (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (m * n) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) m * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : x.Coprime y

(ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (x * y) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) x * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : x.Coprime y
hxy₀ : x * y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

edist f g = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ


(if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup (↑↑f - ↑↑g) μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: h : ps ⊆ ↑s

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: n : ℕ

Context: hd : finrank ℝ ↥s.direction = n

Context: hc : Cospherical ps

Context: sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n

Context: hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps

Context: hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP✝ : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP₇ : 7 ≤ P.parts.card

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hε₀ : 0 ≤ ε

Context: hε₁ : ε ≤ 1

↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4 ≤ ↑((increment hP G ε).energy G)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP✝ : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP₇ : 7 ≤ P.parts.card

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hε₀ : 0 ≤ ε

Context: hε₁ : ε ≤ 1

(∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4)) / ↑P.parts.card ^ 2 ≤ (∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card) / ↑P.parts.card ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP✝ : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP₇ : 7 ≤ P.parts.card

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hPG : ¬P.IsUniform G ε

Context: hε₀ : 0 ≤ ε

Context: hε₁ : ε ≤ 1

∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP✝ : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP₇ : 7 ≤ P.parts.card

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hPG : ↑P.parts.offDiag.card * ε < ↑(P.nonUniforms G ε).card

Context: hε₀ : 0 ≤ ε

Context: hε₁ : ε ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP✝ : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: hP₇ : 7 ≤ P.parts.card

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₀ : 0 ≤ ε

Context: hε₁ : ε ≤ 1

↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ↑(P.nonUniforms G ε).card * (ε ^ 4 / 3) - ↑P.parts.offDiag.card * (ε ^ 5 / 25)


Context: n : ℕ


Context: m : ℕ


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
z : α
s : Set α
p : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in 𝓝 z, x ∈ s ∧ p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 z, p x ∧ x ∈ s


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

(∑ a ∈ s, f a).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal


Context: i : (toPGame 1).LeftMoves


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
n : ℕ

map (⇑(Sym2.equivSym α)) xs.sym2 = List.sym 2 xs


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : DecidableEq L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : IsDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ

mk ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K K')) I) = mk I


(QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range) ((Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R))) I) = mk I


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCoequalizer f g
X' Y' Z : C
f' g' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCoequalizer f' g'
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
wf : f ≫ q = p ≫ f'
wg : g ≫ q = p ≫ g'
h : Y' ⟶ Z
wh : f' ≫ h = g' ≫ h

π f g ≫ colimMap (parallelPairHom f g f' g' p q wf wg) ≫ desc h wh = q ≫ h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : γ × β → E
hf : StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable ((fun y => ∫ (x : γ), (fun u => f (u.1, u.2.2)) (x, y) ∂η y) ∘ fun x => (a, x))


StronglyMeasurable fun y => ∫ (x : γ), (fun u => f (u.1, u.2.2)) (x, y) ∂η y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β

StrictConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ StrictConvexOn 𝕜 s f


Context:
v : PrimeMultiset
p : ℕ
h : p ∈ v.toNatMultiset


Context:
v : PrimeMultiset
p : ℕ
h : p ∈ v.toNatMultiset
val✝ : ℕ
hp' : Nat.Prime val✝
left✝ : ⟨val✝, hp'⟩ ∈ v
h_eq : Coe.coe ⟨val✝, hp'⟩ = p


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B

(singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom ≫ opcyclesMap ((single C c j).map f) j = f ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j B).hom


Context:
u v a b c d : ℤ
ha : IsUnit a
hb : IsUnit b
hc : IsUnit c
hd : IsUnit d

a + b = c + d ↔ a = c ∧ b = d ∨ a = d ∧ b = c


Context:
u v a b c d : ℤ
ha : a = 1 ∨ a = -1
hb : b = 1 ∨ b = -1
hc : c = 1 ∨ c = -1
hd : d = 1 ∨ d = -1


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
n : ℕ


(2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ ≠ 0


¬2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ = ⊤


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : CompleteSpace F
hm : m ≤ m0

IsComplete {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}


CompleteSpace ↑{f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ

IsPrimePow n ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n


(∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hq : ∀ (y : ℕ), (fun p => Nat.Prime p ∧ p ∣ n) y → y = p

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n p✝ : R

Context: k p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hq : ∀ (y : ℕ), (fun p => Nat.Prime p ∧ p ∣ 0) y → y = p

Context: hn : p ∣ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: hq : ∀ (y : ℕ), Nat.Prime y → y ∣ n → y = p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0

n.primeFactorsList.Subperm (p ^ n.factorization p).primeFactorsList


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0

∀ x ∈ n.primeFactorsList, List.count x n.primeFactorsList ≤ List.count x (List.replicate (n.factorization p) p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: q : ℕ

Context: hq' : q ∈ n.primeFactorsList

List.count q n.primeFactorsList ≤ List.count q (List.replicate (n.factorization p) p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: q : ℕ

Context: hq' : Nat.Prime q ∧ q ∣ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k n p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hn : p ∣ n

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: hq' : Nat.Prime p ∧ p ∣ n

List.count p n.primeFactorsList ≤ List.count p (List.replicate (n.factorization p) p)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : CompactSpace G
inst✝ : RootableBy G ℤ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
f : G →* G := zpowGroupHom n
hf : Continuous ⇑f
this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommGroup G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : CompactSpace G

Context: inst✝ : RootableBy G ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: f : G →* G := zpowGroupHom n

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure

Context: C : ℝ≥0∞ := ↑((map (⇑f) μ).haarScalarFactor μ)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommGroup G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : CompactSpace G

Context: inst✝ : RootableBy G ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: f : G →* G := zpowGroupHom n

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure

Context: hC : map (⇑f) μ = C • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommGroup G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : CompactSpace G

Context: inst✝ : RootableBy G ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: f : G →* G := zpowGroupHom n

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure

Context: hC : map (⇑f) μ = C • μ

Context: h_univ : (map (⇑f) μ) univ = μ univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommGroup G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : CompactSpace G

Context: inst✝ : RootableBy G ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: f : G →* G := zpowGroupHom n

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure

Context: hC : map (⇑f) μ = C • μ

Context: h_univ : (map (⇑f) μ) univ = μ univ

Context: hμ₀ : μ univ ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommGroup G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : CompactSpace G

Context: inst✝ : RootableBy G ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: f : G →* G := zpowGroupHom n

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: this : (map (⇑f) μ).IsHaarMeasure

Context: hC : map (⇑f) μ = C • μ

Context: h_univ : (map (⇑f) μ) univ = μ univ

Context: hμ₀ : μ univ ≠ 0

Context: hμ₁ : μ univ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M

⇑(single a b) = {a}.indicator fun x => b


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
x✝ : a ∈ s ∧ a ∈ t
h₁ : a ∈ s
h₂ : a ∈ t


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0

multiplicity a b = ↑(count (normalize a) (normalizedFactors b))


multiplicity a b ≤ ↑(count (normalize a) (normalizedFactors b))


↑(count (normalize a) (normalizedFactors b)) ≤ multiplicity a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[>] a) (𝓝 e)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc a b


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc a b

Context: t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc a b

Context: t_diff' : Tendsto (fun x => fderiv ℝ f x) (𝓝[t] a) (𝓝 (smulRight 1 e))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set ℝ

Context: e : E

Context: a : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: f_diff : DifferentiableOn ℝ f s

Context: f_lim : ContinuousWithinAt f s a

Context: hs : s ∈ 𝓝[>] a

Context: b : ℝ

Context: ab : a < b

Context: sab : Ioc a b ⊆ s

Context: t : Set ℝ := Ioo a b

Context: ts : t ⊆ s

Context: t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

Context: t_conv : Convex ℝ t

Context: t_open : IsOpen t

Context: t_closure : closure t = Icc a b

Context: this : HasDerivWithinAt f e (Icc a b) a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r

∃ t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ t, ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => p.partialSum n y) n y) ∈ u


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
this : EMetric.ball 0 ↑r' ∈ 𝓝 x


∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ y ∈ EMetric.ball 0 ↑r', ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => p.partialSum n y) n y) ∈ u


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
h : p i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite

∃ M', ∃ (hM : M' ≤ M₁), Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R M

Context: w✝¹ : Submodule R N

Context: hM : M' ≤ M₁

Context: w✝ : w✝¹ ≤ N₁

Context: hfin : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion w✝)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R M

Context: w✝¹ : Submodule R N

Context: hM : M' ≤ M₁

Context: w✝ : w✝¹ ≤ N₁

Context: hfin : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹

s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM)))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)

Context: hs : s.Finite

Context: M' : Submodule R M

Context: w✝¹ : Submodule R N

Context: hM : M' ≤ M₁

Context: w✝ : w✝¹ ≤ N₁

Context: hfin : Module.Finite R ↥M'

Context: left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N₁) (inclusion hM) ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M') (inclusion w✝)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
hp : Prime p
x✝ : Finite p a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
hp : Prime p
k : ℕ
ha : Finite p a


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Mono 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b

(volume (Icc a b)).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁✝ f₂✝ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f₁ f₂ : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b✝ b : β

b ∈ (map f p).support ↔ b ∈ f '' p.support


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R

CharZero R ∨ ∃ p, Fact (Nat.Prime p) ∧ CharP R p


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
p : ℕ
hchar : CharP R p


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
p : ℕ
hchar : CharP R p
h : Nat.Prime p


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NoZeroDivisors R✝
inst✝³ : Nontrivial R✝
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
hchar : CharP R 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: x✝ : Cᵒᵖ

η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤) = (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) (op ⊤)) ≫ colimMap (J.diagramNatTrans η (unop x✝))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: x✝ : Cᵒᵖ

η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤) = Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagramNatTrans η (unop x✝)).app (op ⊤) ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: x✝ : Cᵒᵖ

(η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤) = (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagramNatTrans η (unop x✝)).app (op ⊤)) ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop x✝)) (op ⊤)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η : P ⟶ Q

Context: x✝ : Cᵒᵖ

η.app x✝ ≫ Multiequalizer.lift (⊤.index Q) (Q.obj (op (unop x✝))) (fun I => Q.map I.f.op) ⋯ = Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op (unop x✝))) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagramNatTrans η (unop x✝)).app (op ⊤)


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: smul_tprod : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (r • (tprod R) f)

Context: add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop

Context: z : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: smul_tprod : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (tprodCoeff R r f)


Context:
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
a : A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : FaithfulSMul A M
p : R[X]

p ∈ annihilator R[X] (AEval R M a) ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)


(∀ (m : AEval R M a), p • m = 0) ↔ (aeval a) p = 0


(∀ (m : M), (aeval a) p • m = 0) ↔ (aeval a) p = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n < m


Context:
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ

Integrable (fun x => cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) volume


Context:
b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
hb' : b ≠ 0


Context: b : ℂ

Context: hb : b.re < 0

Context: c d : ℂ

Context: hb' : b ≠ 0

Context: H : ¬Integrable (fun x => cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d)) volume


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

fundamentalDomain b =ᶠ[ae μ] parallelepiped ⇑b


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s : Finset α

Context: B : Finset (Finset α)

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h : ∀ (a : α), (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n

∑ s ∈ B, s.card = ∑ s ∈ B, (univ ∩ s).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
α : ↥K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: A : WithSeminorms (schwartzSeminormFamily ℝ E F)

WithSeminorms (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: V : Type u_7

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: A : nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily ℝ E F i)) (nhds 0)

nhds 0 = ⨅ i, Filter.comap (⇑(schwartzSeminormFamily 𝕜 E F i)) (nhds 0)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β


↑((μ.prod ν).map Prod.swap) = ↑(ν.prod μ)


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
hU : IsOpen U


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N H : Subgroup G
inst✝ : N.Normal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : One β
s : ι → Set α
hs : Antitone s
f : α → β
a : α

(fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋂ i, s i).mulIndicator f a


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddGroup E
inst✝³ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
x✝ y✝ : E
r✝ : ℝ
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : Seminorm 𝕜 E
x y : ℝ


Context:
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₃ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝ : Zero I₂
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
i₁ : I₁
i₃ : I₃


Context: m n k : ℕ+


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
f g : Filter α

μ.FiniteAtFilter (f ⊓ ae μ) ↔ μ.FiniteAtFilter f


μ.FiniteAtFilter (f ⊓ ae μ) → μ.FiniteAtFilter f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t✝ : Set α
f g : Filter α
t : Set α
ht : t ∈ f
u : Set α
hu : u ∈ ae μ
hμ : μ (t ∩ u) < ⊤


Context:
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0

ofReal |a| • Measure.map (fun x => x * a) volume = volume


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ 0

Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ 0
h : r₁ ≤ r₂


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ 0
h : r₂ ≤ r₁


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝² : DiscreteTopology ↥L
inst✝¹ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝ : Measure.IsAddHaarMeasure μ


μ (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L (Free.chooseBasis ℤ ↥L))) ≠ 0 ∧ μ (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L (Free.chooseBasis ℤ ↥L))) ≠ ⊤


μ (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L (Free.chooseBasis ℤ ↥L))) < ⊤


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : PosMulReflectLT α
h : 0 < a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : M
hx : x ∉ p
hp' : Free R (M ⧸ p)


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
F G : W.Localization ⥤ D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : 𝟙 W.Q ◫ τ₁ = 𝟙 W.Q ◫ τ₂
X : W.Localization


Context: C : Type uC

Context: inst✝¹ : Category.{uC', uC} C

Context: W : MorphismProperty C

Context: D : Type uD

Context: inst✝ : Category.{uD', uD} D

Context: G✝ : C ⥤ D

Context: hG : W.IsInvertedBy G✝

Context: F G : W.Localization ⥤ D

Context: τ₁ τ₂ : F ⟶ G

Context: h : 𝟙 W.Q ◫ τ₁ = 𝟙 W.Q ◫ τ₂

Context: X : W.Localization

Context: eq : (objEquiv W).toFun ((objEquiv W).invFun X) = X


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
F G : W.Localization ⥤ D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : 𝟙 W.Q ◫ τ₁ = 𝟙 W.Q ◫ τ₂
X : W.Localization
eq : W.Q.obj X.as.obj = X


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)

Context: j : J

Context: r : R

colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (mkOfSMul (coconePointSMul F)).smul r = (F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: j : J

Context: r : R

colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (coconePointSMul F) r = (F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

F.map f ≫ (fun j => homMk (colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j) ⋯) j = (fun j => homMk (colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j) ⋯) i ≫ ((Functor.const J).obj (mkOfSMul (coconePointSMul F))).map f


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

(forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map (F.map f ≫ (fun j => homMk (colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j) ⋯) j) = (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map ((fun j => homMk (colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j) ⋯) i ≫ ((Functor.const J).obj (mkOfSMul (coconePointSMul F))).map f)


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

(forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map (F.map f) ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) i ≫ (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map (((Functor.const J).obj (mkOfSMul (coconePointSMul F))).map f)


Context: R : Type w

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: F : J ⥤ ModuleCat R

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

LinearMap.toAddMonoidHom (F.map f) ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) i ≫ LinearMap.toAddMonoidHom (𝟙 (mkOfSMul (coconePointSMul F)))


Context:
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c

a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' ≤ a ⨳ b ⨳ c ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖1‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ ≤ ‖1‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedRing A

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A

‖1‖ ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
β : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
h : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α

∃ k₀, ∀ (i j : β), k₀ ≤ i → k₀ ≤ j → (u i, u j) ∈ V


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
β : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
h : CauchySeq u
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
this : Nonempty β


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : β → α

Context: h : CauchySeq u

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: this✝ : Nonempty β

Context: this : Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)


Context: α : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: u : β → α

Context: h : CauchySeq u

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: this✝ : Nonempty β

Context: this : Tendsto (Prod.map u u) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (↑n) (↑n + 1))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: a : A

Context: ha : p a

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: φ : C(↑(spectrum R a), R) →⋆ₐ[R] A

Context: hφ₁ : Continuous ⇑φ

Context: hφ₂ : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a

(cfcHom ha) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R))


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
x✝ : X × Y
a : X
b : Y

(a, b) ∈ closure (s ×ˢ t) ↔ (a, b) ∈ closure s ×ˢ closure t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E'✝ : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁵ : Norm E

Context: inst✝¹⁴ : Norm F

Context: inst✝¹³ : Norm G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R'

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'✝

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: E' : ι → Type u_18

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: f : α → (i : ι) → E' i

f =O[l] g' ↔ ∀ (i : ι), (fun x => f x i) =O[l] g'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E'✝ : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁵ : Norm E

Context: inst✝¹⁴ : Norm F

Context: inst✝¹³ : Norm G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R'

Context: inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f✝ : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'✝

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: E' : ι → Type u_18

Context: f : α → (i : ι) → E' i

(∀ᶠ (c : ℝ) in atTop, IsBigOWith c l f g') ↔ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ (i : ι), IsBigOWith x l (fun x => f x i) g'


Context: M : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : SMul M X

Context: inst✝² : ContinuousSMul M X

Context: f✝ : Y → M

Context: g : Y → X

Context: b : Y

Context: s : Set Y

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : SMul N Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace N

Context: f : N → M

Context: hg : Inducing g

Context: hf : Continuous f

Context: hsmul : ∀ {c : N} {x : Y}, g (c • x) = f c • g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β

∏ i : Fin n, f i = (List.map f (List.finRange n)).prod


Context:
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N
a x y : M
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulHomClass F M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : Commute (f x) (f y)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Multiset α

(toFinsupp m).multinomial = (card m).choose (count a m) * (toFinsupp (filter (fun x => a ≠ x) m)).multinomial


toFinsupp (filter (fun x => a ≠ x) m) = (toFinsupp m).update a 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
f : ι → Subgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).index ≠ 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
f : ι → Subgroup G
hf : ∀ (i : ι), (f i).relindex ⊤ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
inst✝ : Fintype ι
μ : F
s : ι → Set α


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
hyp : ∀ (n : ι), IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋃ n, s n
ht2 : t2 ∈ s'


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
hyp : ∀ (n : ι), IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : ∃ i, t1 ∈ s i
ht2 : t2 ∈ s'


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.322180, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i

snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ snd (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₂ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯)


snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ snd (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₂ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ 𝟙 X


Context: S : LightProfinite

Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} J

Context: K : J ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : CreatesLimit K F

Context: c : Cone (K ⋙ F)

Context: t : IsLimit c

Context: n : J

Context: this : (liftedLimitMapsToOriginal t).hom.hom ≫ c.π.app n = F.map ((liftLimit t).π.app n)

(liftedLimitMapsToOriginal t).inv.hom ≫ F.map ((liftLimit t).π.app n) = c.π.app n


Context: S : LightProfinite

Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: J : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} J

Context: K : J ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : CreatesLimit K F

Context: c : Cone (K ⋙ F)

Context: t : IsLimit c

Context: n : J

((liftedLimitMapsToOriginal t).inv ≫ (liftedLimitMapsToOriginal t).hom).hom ≫ c.π.app n = c.π.app n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1


∑ m ∈ Finset.antidiagonal k, k.choose m.1 • (x ^ m.1 * y ^ m.2) = 0


∀ x_1 ∈ Finset.antidiagonal k, k.choose x_1.1 • (x ^ x_1.1 * y ^ x_1.2) = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
m n k : ℕ
hx : x ^ m = 0
hy : y ^ n = 0
h : m + n ≤ k + 1
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal k
hi : ¬m ≤ i


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: Z : FiberBundleCore ι B F

Context: i : ι

Context: b : B

Context: a v : F

Context: h : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j, Z.coordChange i j x v = v

Continuous (let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: Z : FiberBundleCore ι B F

Context: i : ι

Context: b : B

Context: a v : F

Context: x : B

ContinuousAt (let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this) x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: Z : FiberBundleCore ι B F

Context: i : ι

Context: b : B

Context: a v : F

Context: x : B

Context: A : Z.baseSet (Z.indexAt x) ∈ 𝓝 x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: Z : FiberBundleCore ι B F

Context: i : ι

Context: b : B

Context: a v : F

Context: x : B

Context: A : Z.baseSet (Z.indexAt x) ∈ 𝓝 x

(let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this) ⁻¹' (Z.localTrivAt x).source ∈ 𝓝 x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: Z : FiberBundleCore ι B F

Context: i : ι

Context: b : B

Context: a v : F

Context: x : B

Context: A : Z.baseSet (Z.indexAt x) ∈ 𝓝 x

ContinuousAt (↑(Z.localTrivAt x).toPartialHomeomorph ∘ let_fun this := fun x => { proj := x, snd := v }; this) x


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: a b : ℤ

Context: T : Triangle C

((a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₂ = (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₁ ≫ (b.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map (a.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C a).map T.mor₁))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: a b : ℤ

Context: T : Triangle C

((a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₂) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₃ = (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₂ ≫ (b.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map (a.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C a).map T.mor₂))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: a b : ℤ

Context: T : Triangle C

((a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 (a + b)).hom.app T.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₁) = (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₃ ≫ (b.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map (a.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C a).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 a).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj T.obj₁))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: a b : ℤ

Context: T : Triangle C

(a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 (a + b)).hom.app T.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₁) = (b.negOnePow * a.negOnePow) • (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).map T.mor₃) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map ((shiftFunctorComm C 1 a).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj T.obj₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : HasShift C ℤ

Context: a b : ℤ

Context: T : Triangle C

(a + b).negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 (a + b)).hom.app T.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app T.obj₁) = (b.negOnePow * a.negOnePow) • (CategoryTheory.shiftFunctor C (a + b)).map T.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctorAdd' C a b (a + b) ⋯).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C b).map ((shiftFunctorComm C 1 a).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 b).hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor C a).obj T.obj₁)


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


(re z ≤ re w ∧ im z = im w) ∧ z ≠ w ↔ (re z ≤ re w ∧ re z ≠ re w) ∧ im z = im w


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Monoid M
l : List Mᵐᵒᵖ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : Filter α
g₁ g₂ : Filter β

f.prod (g₁ ⊔ g₂) = f.prod g₁ ⊔ f.prod g₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : Nontrivial α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰

mk0 I = (mk0 J)⁻¹ ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑I * ↑J = Ideal.span {x}


(∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑I * ↑J = Ideal.span {x}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I J : ↥(Ideal R)⁰

Context: x✝ : ∃ a, ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}

Context: a : R

Context: ha : ↑I * ↑J = Submodule.span R {a}

Context: this : a = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I J : ↥(Ideal R)⁰

Context: a : R

Context: ha : ↑I * ↑J = ⊥

Context: this : a = 0


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
S : Set (Set α)
H : ∀ s ∈ S, IsOpen s


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : CommSemiring K

Context: i : R →+* K

Context: a b : R

Context: bi : K

Context: N : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: x✝¹ : DenomsClearable a b N f i

Context: x✝ : DenomsClearable a b N g i

Context: Df : R

Context: bf : K

Context: bfu : bf * i b = 1

Context: Hf : i Df = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f)

Context: Dg : R

Context: bg : K

Context: bgu : bg * i b = 1

Context: Hg : i Dg = i b ^ N * eval (i a * bg) (Polynomial.map i g)

i (Df + Dg) = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i (f + g))


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : CommSemiring K

Context: i : R →+* K

Context: a b : R

Context: bi : K

Context: N : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: x✝¹ : DenomsClearable a b N f i

Context: x✝ : DenomsClearable a b N g i

Context: Df : R

Context: bf : K

Context: bfu : bf * i b = 1

Context: Dg : R

Context: bg : K

Context: bgu : bg * i b = 1

i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f) + i b ^ N * eval (i a * bg) (Polynomial.map i g) = i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i f) + i b ^ N * eval (i a * bf) (Polynomial.map i g)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : CommSemiring K

Context: i : R →+* K

Context: a b : R

Context: bi : K

Context: N : ℕ

Context: f g : R[X]

Context: x✝¹ : DenomsClearable a b N f i

Context: x✝ : DenomsClearable a b N g i

Context: Df : R

Context: bf : K

Context: bfu : bf * i b = 1

Context: Dg : R

Context: bg : K

Context: bgu : bg * i b = 1


Context:
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
f : Bool → α


Context:
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → γ
x : Multiset α

Functor.map h <$> traverse g x = traverse (Functor.map h ∘ g) x


∀ (a : List α), Functor.map h <$> traverse g ⟦a⟧ = traverse (Functor.map h ∘ g) ⟦a⟧


Context:
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → γ
x : Multiset α
a✝ : List α

Functor.map h <$> traverse g ⟦a✝⟧ = traverse (Functor.map h ∘ g) ⟦a✝⟧


(Coe.coe ∘ Functor.map h) <$> Traversable.traverse g a✝ = Coe.coe <$> Traversable.traverse (Functor.map h ∘ g) a✝


Coe.coe <$> Functor.map h <$> Traversable.traverse g a✝ = Coe.coe <$> (Functor.map (Functor.map h) ∘ Traversable.traverse g) a✝


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m n : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x

Context: hf' : Integrable f' volume

Context: hf : Integrable f volume

Context: hE : CompleteSpace E


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m n : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hf' : Integrable f' volume

Context: hf : Integrable f volume

Context: hE : CompleteSpace E

Context: A : Tendsto f atBot (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m n : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hf' : Integrable f' volume

Context: hf : Integrable f volume

Context: hE : CompleteSpace E

Context: A : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: B : Tendsto f atTop (𝓝 0)


Context:
x : ℕ
h : (↑x).Dom


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P

Collinear k s ↔ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P

Collinear k ∅ ↔ ∃ p₀ v, ∀ p ∈ ∅, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s


Context:
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A


Context:
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A

x✝ ∈ Compactum.cl A ↔ ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
ha : a ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Set α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiff 𝕜 1 f ↔ ∃ f', Continuous f' ∧ ∀ (x : E), HasFDerivAt f (f' x) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E → E →L[𝕜] F

Continuous x✝ ↔ ContDiff 𝕜 (↑Nat.zero) x✝


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) atTop (𝓝 (f x))


∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Iio 0 → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ Iio 0 → x ≠ y → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • log x + b • log y < log (a • x + b • y)


Context:
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : 0 < -x
hy' : 0 < -y

a • log x + b • log y < log (a • x + b • y)


Context:
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : 0 < -x
hy' : 0 < -y
hxy' : -x ≠ -y


Context:
m✝ n✝ m n : ℕ
nzm : NeZero m
h : m ≤ n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L

(norm K) x = (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : Ring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

Context: this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : Ring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

Context: pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : Ring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

Context: pbx : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : Ring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

∏ k : Fin pbL.dim, ((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K x)).det = ((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K ((algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)))).det ^ finrank (↥K⟮(algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)⟯) L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : Ring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K x)).det ^ pbL.dim = ((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K ((algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)))).det ^ finrank (↥K⟮(algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)⟯) L


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : Ring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

Context: x : L

pbL.dim = finrank (↥K⟮(algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)⟯) L


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

((-o).kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler x) y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
n : ℕ

⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i = ⨆ i, u (i + n)


∀ (i : ℕ), u (i + n) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeMagma α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x x✝ y✝ : FreeMagma α
a✝¹ : f x✝ = g x✝
a✝ : f y✝ = g y✝


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
b : β


map ((fun g => g b) ∘ Prod.mk) f = map (fun a => (a, b)) f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
h : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h₁ : a ≠ b
h₂ : ∀ (x : α), x ≠ a ∧ x ≠ b → f x = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card

Context: h_deg_eq : f.degree = g.degree

Context: hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff

Context: h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: h_deg_le : degree 0 ≤ ↑s.card

Context: h_deg_eq : degree 0 = g.degree

Context: hlc : leadingCoeff 0 = g.leadingCoeff

Context: h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) 0 = eval (v i) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: ι : Type u_2

Context: v : ι → R

Context: s : Finset ι

Context: hvs : Set.InjOn v ↑s

Context: h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card

Context: h_deg_eq : f.degree = g.degree

Context: hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff

Context: hf : f ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Finset α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
x : 𝕎 k
hx : x.coeff 0 ≠ 0
y : kˣ := Units.mk0 (x.coeff 0) hx
hy : x.coeff 0 = ↑y


Context:
α : Type u_1
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

(μ.withDensity f).trim hm = (μ.trim hm).withDensity f


Context:
α : Type u_1
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((μ.withDensity f).trim hm) s = ((μ.trim hm).withDensity f) s


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

Context: hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

Context: t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

Context: hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

Context: t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

Context: hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

∃ s, {p₁, p₂, p₃, p₄} ⊆ Metric.sphere s.center s.radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

Context: hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

{p₁, p₂, p₃, p₄} ⊆ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

Context: hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

p₁ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₃ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₄ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

Context: hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ : P

Context: h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Context: hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

Context: hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₁).center (Affine.Simplex.circumsphere t₁).radius


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂

Context: inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ

(ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂

Context: inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ

μ.withDensity ((ν₁ + ν₂).rnDeriv μ) = μ.withDensity (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂

Context: inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂

Context: inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ

AEMeasurable (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂

Context: inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ

∫⁻ (x : α), (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ x ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a + c < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H

↑s.innerDualCone = ⋂ i, ↑{↑i}.innerDualCone


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 1).HasBasis p s
x : G

(𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | y / x ∈ s i}


(Filter.comap (fun x_1 => x_1 * x⁻¹) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {y | y / x ∈ s i}


(Filter.comap (fun x_1 => x_1 * x⁻¹) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {y | y * x⁻¹ ∈ s i}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: x : α

ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousAt f x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M

Realize (Formula.iAlls f φ) v v' ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)


Realize (Formula.iAlls f φ) v v' = (Formula.iAlls f φ).Realize v


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

X P Q ◁ T.one ≫ actRight P Q = (ρ_ (X P Q)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(tensorRight (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ X P Q ◁ T.one ≫ actRight P Q = (tensorRight (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (ρ_ (X P Q)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ T.one ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

((P.X ⊗ Q.X) ◁ T.one ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(P.X ⊗ Q.X) ◁ T.one ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(((α_ P.X Q.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ T.one) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝¹ : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ P.X Q.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ (ρ_ Q.X).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
n : ℕ

↑(Nat.fib (n + 2)) = ∑ x : Fin 2, ![1, 1] x * ↑(Nat.fib (n + ↑x))


↑(Nat.fib (n + 1) + Nat.fib n) = ∑ x : Fin 2, ![1, 1] x * ↑(Nat.fib (n + ↑x))


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α

filter (Eq b) s = replicate (count b s) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∉ l.dedup

∀ b ∈ pwFilter (fun x x_1 => x ≠ x_1) l, a ≠ b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
s : Set ι
m : M
hm : m ∈ span R (⇑b '' s)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: s : Set ι

Context: l : ι →₀ R

Context: hl : l ∈ Finsupp.supported R R s

Context: hm : (Finsupp.total ι M R ⇑b) l ∈ span R (⇑b '' s)

↑(b.repr ((Finsupp.total ι M R ⇑b) l)).support ⊆ s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hp0 : ¬p = 0

Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (map f p).roots


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
H : ↑n ≤ p.trailingDegree


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

Context: this : ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n id x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

Context: this : ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n (fun x => (id x).proj) x ∧ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) n (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E (id x).proj) (id x_1)).2) x


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t
H : map f t ≤ map f s


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α × β → E
s : Set α
t : Set β
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ.prod ν)

∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂ν ∂μ