Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t✝ : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h'ts : t ∈ 𝓝 x₀

Context: h't : μ t ≠ ⊤

Context: hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x

Context: hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ

Context: hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)

Context: h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ

Context: hmg : Integrable g μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)

Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q

φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

Context: hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

φ ≫ ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ ((-1) ^ a • X.σ ⟨a, ⋯⟩) ≫ eqToHom ⋯ + (((-1) ^ (a + 1) • X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ eqToHom ⋯) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

∑ i : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (n + 1 + 2), ((-1) ^ ↑x * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ x = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

∀ (j : Fin q), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 2) j))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 2) j))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

∑ i : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ i : Fin (a + 3), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

∀ (j : Fin q), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 3) j)) * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 3) j)) = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

∑ x : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x))) • φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (a + 3), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: Y : C

Context: n a q : ℕ

Context: φ : Y ⟶ X _[n + 1]

Context: v : HigherFacesVanish q φ

Context: hnaq : n = a + q

Context: simplif : ∀ (a b c d e f : Y ⟶ X _[n + 1]), b = f → d + e = 0 → c + a = 0 → a + b + (c + d + e) = f


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : SurjOn (⇑g) s t
b : α
hb : b ∈ s
ha : g b ∈ t

(Subtype.val ∘ ⇑f) (g b) ∈ ⇑(g.extendDomain f) '' (Subtype.val ∘ ⇑f '' s)


Context: z : ℂ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i j : m

(diagonal d).blockDiag k i j = diagonal (fun i => d (i, k)) i j


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i : m

(diagonal d).blockDiag k i i = diagonal (fun i => d (i, k)) i i


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i j : m
hij : i ≠ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
x : α
n : ℕ

spanningSetsIndex μ x = n ↔ x ∈ disjointed (spanningSets μ) n


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w y : W


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A R S : ValuationSubring K

Context: hR : A ≤ R

Context: hS : A ≤ S

Context: h : R ≤ S

Context: x : ↥A

Context: hx : x ∈ A.idealOfLE S hS

Context: c : ¬R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x) < 1


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A R S : ValuationSubring K

Context: hR : A ≤ R

Context: hS : A ≤ S

Context: h : R ≤ S

Context: x : ↥A

Context: hx : x ∈ A.idealOfLE S hS

Context: c : 1 ≤ R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x)


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A R S : ValuationSubring K

Context: hR : A ≤ R

Context: hS : A ≤ S

Context: h : R ≤ S

Context: x : ↥A

Context: hx : x ∈ A.idealOfLE S hS

Context: c : (R.mapOfLE S h) 1 ≤ (R.mapOfLE S h) (R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x))


Context: K : Type u

Context: inst✝ : Field K

Context: A R S : ValuationSubring K

Context: hR : A ≤ R

Context: hS : A ≤ S

Context: h : R ≤ S

Context: x : ↥A

Context: hx : x ∈ A.idealOfLE S hS

Context: c : 1 ≤ S.valuation ↑((A.inclusion R hR) x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ≅ Z


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]


∀ (x : A) (y : R[X]), invFun R A ((toFunAlgHom R A) (x ⊗ₜ[R] y)) = x ⊗ₜ[R] y


∀ (x y : A ⊗[R] R[X]), invFun R A ((toFunAlgHom R A) x) = x → invFun R A ((toFunAlgHom R A) y) = y → invFun R A ((toFunAlgHom R A) (x + y)) = x + y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c : G


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n

p.rightInv i n = -(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞


∀ x ∈ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}, {x | AnalyticAt 𝕜 f x} ∈ 𝓝 x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y : E
r✝ : ℝ≥0∞
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall f p x r


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α

memPartitionSet f n a ∈ memPartition f n


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X

T0Space X ↔ Pairwise fun x y => ¬Inseparable x y


Context: b✝ x y a b : ℝ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

Context: h : IsEmpty ((i : δ) → π i)


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝¹ : DecidableEq δ

Context: s✝ t : Finset δ

Context: f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x✝ y : (i : δ) → π i

Context: i : δ

Context: inst✝ : Fintype δ

Context: s : Finset δ

Context: f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

Context: x : (i : δ) → π i


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K


Context:
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G


Context:
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
x : G


Context:
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
x y : G


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : (M →ₗ[R] P) ⊗[R] (N →ₗ[R] Q)

(homTensorHomEquiv R M N P Q) x = (homTensorHomMap R M N P Q) x


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → (i : α) → E i

Context: this : DecidableEq ι

(∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → (i : α) → E i

Context: this : DecidableEq ι

(∀ i ∈ ∅, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ ∅, f i a) p


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → (i : α) → E i

Context: this : DecidableEq ι

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p) → (∀ i ∈ insert a s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a_3 => ∑ i ∈ insert a s, f i a_3) p


Context:
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0


(ZMod.unitsMap hd).ker ≤ (MulChar.toUnitHom χ).ker


Context:
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
u : (ZMod N)ˣ
hu : u ∈ (ZMod.unitsMap hd).ker


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
inst✝ : Countable α
o : α → Ordinal.{max u_3 u_2}
ho : ∀ (n : α), o n < (aleph 1).ord


Cardinal.lift.{u_3, u_2} #α < (aleph 1).ord.cof


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α) = UniformSpace.comap F (Pi.uniformSpace fun i => α)


UniformSpace.comap F (Pi.uniformSpace fun i => α) ≤ UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α)


comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α)) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))


⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))


∀ i' ∈ 𝓤 α, Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α i' ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: F_eqcont : Equicontinuous F

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: Vsymm : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

Context: Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: F_eqcont : Equicontinuous F

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: Vsymm : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

Context: A : Finset X

Context: Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: F_eqcont : Equicontinuous F

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: V : Set (α × α)

Context: hV : V ∈ 𝓤 α

Context: Vsymm : SymmetricRel V

Context: hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

Context: A : Finset X

Context: Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤

Context: this : ⋂ a ∈ A, {ij | (F ij.1 a, F ij.2 a) ∈ V} ⊆ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

rexp (dist z w / 2) = (dist ↑z ↑w + dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w)) / (2 * √(z.im * w.im))


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: a b c : α


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p

∏ x ∈ (p ^ k).properDivisors, f x = ∏ x ∈ range k, f (p ^ x)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
c : CliffordAlgebra (Q c₁ c₂)

toQuaternion (star c) = star (toQuaternion c)


toQuaternion (involute (reverse c)) = star (toQuaternion c)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: e✝ : Pretrivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: y : F

↑e { proj := b, snd := e.symm b y } = (b, y)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C

M.one.app (M.X.obj X) ≫ M.mul.app X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))


(MonoidalCategory.rightUnitor M.X).hom.app X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))


M.X.map (M.one.app X) ≫ M.mul.app X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))


(MonoidalCategory.leftUnitor M.X).hom.app X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))


M.X.map (M.mul.app X) ≫ M.mul.app X = M.mul.app (M.X.obj X) ≫ M.mul.app X


(whiskerRight M.mul M.X ≫ M.mul).app X = (whiskerLeft M.X M.mul).app X ≫ M.mul.app X


((MonoidalCategory.associator M.X M.X M.X).hom ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft M.X M.mul ≫ M.mul).app X = (whiskerLeft M.X M.mul).app X ≫ M.mul.app X


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g

pushout.inr g f ≫ (pushoutSymmetry f g).inv = pushout.inl f g


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ↑ε


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane

HasDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x


HasDerivAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') x


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
r : ℝ


2⁻¹ • 2 • ↑r = ↑r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
s : Finset ι
μ : ι → Measure α


Context:
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K

(((limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ (HasLimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom) ≫ limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j


(limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ (𝟙 ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G)).app ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j


(limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ 𝟙 ((Prod.swap K J ⋙ G).obj ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k))) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j


(limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) (k, j) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j


(limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) (k, j) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0

minpoly K (root f) = f * C f.leadingCoeff⁻¹


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: g : R[X]

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: g : R[X]

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f ≠ 0

(aeval (root f)) (f * C f.leadingCoeff⁻¹) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: g : R[X]

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f ≠ 0

∀ (q : K[X]), q.Monic → (aeval (root f)) q = 0 → (f * C f.leadingCoeff⁻¹).degree ≤ q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: g : R[X]

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: q : K[X]

Context: q_monic : q.Monic

Context: q_aeval : (aeval (root f)) q = 0

Context: commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f

(f * C f.leadingCoeff⁻¹).degree ≤ q.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: g : R[X]

Context: inst✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: q : K[X]

Context: q_monic : q.Monic

Context: q_aeval : (aeval (root f)) q = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: f : Arrow D

Context: this : L.EssSurj

Context: X : C

Context: eX : L.obj X ≅ f.left

Context: Y : C

Context: eY : L.obj Y ≅ f.right

Context: φ : W.LeftFraction X Y

Context: hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: f : Arrow D

Context: this : L.EssSurj

Context: X : C

Context: eX : L.obj X ≅ f.left

Context: Y : C

Context: eY : L.obj Y ≅ f.right

Context: φ : W.LeftFraction X Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: f : Arrow D

Context: this : L.EssSurj

Context: X : C

Context: eX : L.obj X ≅ f.left

Context: Y : C

Context: eY : L.obj Y ≅ f.right

Context: φ : W.LeftFraction X Y

eX.symm.hom ≫ (L.mapArrow.obj (Arrow.mk φ.f)).hom = f.hom ≫ (eY.symm ≪≫ isoOfHom L W φ.s ⋯).hom


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: f : Arrow D

Context: this : L.EssSurj

Context: X : C

Context: eX : L.obj X ≅ f.left

Context: Y : C

Context: eY : L.obj Y ≅ f.right

Context: φ : W.LeftFraction X Y

eX.inv ≫ L.map φ.f = f.hom ≫ eY.inv ≫ L.map φ.s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t s : Set α
f : Filter α


Context:
x : ONote
inst✝¹ : x.NF
o : ONote
inst✝ : o.NF


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : b < a


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s

Context: hsc : IsLUB s c


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s

Context: hsc : IsLUB s c

Context: hc : c ∈ Icc a b


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s

Context: hsc : IsLUB s c

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: ec : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s

Context: hsc : IsLUB s c

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: ec : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet

Context: heq : c = b


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s

Context: hsc : IsLUB s c

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: ec : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet

Context: hlt : c < b


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s

Context: hsc : IsLUB s c

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: ec : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet

Context: hlt : c < b

Context: d : B

Context: hdcb : d ∈ Ioc c b

Context: hd : Ico c d ⊆ ec.baseSet


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: E : B → Type u_5

Context: inst✝¹ : OrderTopology B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: a b : B

Context: ea : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hea : a ∈ ea.baseSet

Context: hab : a ≤ b

Context: ha : a ∈ s

Context: sne : s.Nonempty

Context: hsb : b ∈ upperBounds s

Context: sbd : BddAbove s

Context: c : B := sSup s

Context: hsc : IsLUB s c

Context: hc : c ∈ Icc a b

Context: ec : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet

Context: hlt : c < b

Context: d : B

Context: hdcb : d ∈ Ioc c b

Context: hd : Ico c d ⊆ ec.baseSet

Context: had : Ico a d ⊆ ec.baseSet


∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] (π / 2), cos x ∈ Ioi 0


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Opens G

Context: hU : (↑U).Nonempty


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Opens G

Context: hU : (↑U).Nonempty

Context: this : (interior ↑U).Nonempty


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Opens G

Context: hU : (↑U).Nonempty

Context: this : (interior ↑U).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: hs : K.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun x => g * x) ⁻¹' ↑U


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Opens G

Context: hU : (↑U).Nonempty

Context: this : (interior ↑U).Nonempty

Context: s : Finset G

(fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ ↑s.card * μ.innerContent U


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Opens G

Context: hU : (↑U).Nonempty

Context: this✝ : (interior ↑U).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: this : ↑K ⊆ ↑(⨆ g ∈ s, (Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U)


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Opens G

Context: hU : (↑U).Nonempty

Context: this✝ : (interior ↑U).Nonempty

Context: s : Finset G

μ.innerContent (⨆ g ∈ s, (Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U) ≤ ↑s.card * μ.innerContent U


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Compacts G

Context: hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0

Context: U : Opens G

Context: hU : (↑U).Nonempty

Context: this✝ : (interior ↑U).Nonempty

Context: s : Finset G

∑ d ∈ s, μ.innerContent ((Opens.comap (Homeomorph.mulLeft d).toContinuousMap) U) ≤ ↑s.card * μ.innerContent U


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommGroup α

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformGroup α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ι → α

Context: s : Set ι := {x | 1 ≤ f x}

Context: h1 : ∀ (x : ↑s), mabs (f ↑x) = f ↑x

Context: h2 : ∀ (x : ↑sᶜ), mabs (f ↑x) = (f ↑x)⁻¹

((Multipliable fun x => f ↑x) ∧ Multipliable fun x => (f ↑x)⁻¹) ↔ Multipliable f


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x : FreeGroup α


(prod.comp (map f)) x = prod ((map f) x)


∀ (x : α), (prod.comp (map f)) (of x) = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R

↑(s ∪ t).card = ↑s.card + ↑t.card - ↑(s ∩ t).card


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
m : M
hm : m ∈ N

(snf.bM.repr ↑⟨m, hm⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨m, hm⟩)) i


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: n : ℕ

Context: N : Submodule R M

Context: snf : SmithNormalForm N ι n

Context: i : Fin n

Context: c : Fin n →₀ R

Context: hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N

(snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩)) i


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: n : ℕ

Context: N : Submodule R M

Context: snf : SmithNormalForm N ι n

Context: i : Fin n

Context: c : Fin n →₀ R

Context: hm✝ : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N

Context: hm : ⟨c.sum fun i t => t • ↑(snf.bN i), hm✝⟩ = c.sum fun i t => t • ⟨↑(snf.bN i), ⋯⟩

(snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm✝⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm✝⟩)) i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f : β × γ → E

Context: t : Set γ

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : IntegrableOn f (univ ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)

∫ (z : β × γ) in univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
t : Set α


Context: x y : ℤ


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S

(f.map hy k) (f.mk' x y) = k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩


(k.toMap.comp g) x = (k.toMap.comp g) ↑y * k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩


k.toMap (g x) = k.toMap (g ↑y) * k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩


k.toMap (g x) = k.mk' (g ↑y * g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context: v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)

Nat.rec 0 (fun y IH => v.tail.head + IH) v.head = v.head * v.tail.head


Context: v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)

Context: n✝ : ℕ

Context: a✝ : Nat.rec 0 (fun y IH => v.tail.head + IH) n✝ = n✝ * v.tail.head

v.tail.head + n✝ * v.tail.head = n✝ * v.tail.head + v.tail.head


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x y : β


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K

ValuationRing R ↔ IsTotal (Ideal R) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : sheafify J P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

Context: h : toSheafify J P ≫ η = toSheafify J P ≫ γ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} A

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: η γ : sheafify J P ⟶ Q

Context: hQ : Presheaf.IsSheaf J Q

sheafifyLift J (toSheafify J P ≫ η) hQ = γ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
g : Y → Z
f : X → Y
hg : IsLocallyConstant g
hf : Continuous f
s : Set Z


Context:
a b✝ c b : ℕ
h : 0 < b
x : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: x✝ : FreeSemigroup α

Context: x : α

Context: y : FreeSemigroup α

Context: hx : ((map f) (of x)).length = (of x).length

Context: hy : ((map f) y).length = y.length

((map f) (of x * y)).length = (of x * y).length


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : o → Matrix m n α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : m × o
j✝ : n × o

(blockDiagonal M).map f i✝ j✝ = blockDiagonal (fun k => (M k).map f) i✝ j✝


f (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = if i✝.2 = j✝.2 then f (M i✝.2 i✝.1 j✝.1) else 0


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
r : M

r ∉ M⁰ ↔ {s | s * r = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), map ϕ.toMonoidHom H = H


H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), comap ϕ.symm.toMonoidHom H = H


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α

s.even.get n.succ = s.get (2 * n).succ.succ


s.tail.tail.get (2 * n) = s.tail.get (2 * n + 1)


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

Integrable (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) volume


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Iio 0) volume ∧ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Iio 0) volume


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

IntegrableOn ((fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) ∘ Neg.neg) (Neg.neg ⁻¹' Iio 0) volume


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

IntegrableOn (fun x => (-x) ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

AEStronglyMeasurable (fun x => (-x) ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (volume.restrict (Ioi 0))


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ‖(-a) ^ s * rexp (-b * a ^ 2)‖ ≤ a ^ s * rexp (-b * a ^ 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
f : Filter α
g h : Set α → Filter β

(f.lift fun x => g x ⊓ h x) = f.lift g ⊓ f.lift h


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : d ≤ c

|↑(projIcc a b h c) - ↑(projIcc a b h d)| ≤ |c - d|


(fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h c) - (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h d) ≤ c - d


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀

x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight M₀) ↔ x ∈ {x | x ≠ 0}


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : ∀ (y : M₀), x = 0 ∨ y = 0 → y = 0


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : x = 0


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
a : R
Q : QuadraticMap R (n → R) R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
_x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F

(∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖1‖ ≤ ‖f x‖) ↔ ∀ (n : ℕ), True → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ∈ Ici ↑n


Context:
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''
φ : V ⥤q V'
φ' : V' ⥤q V''

lift (φ ⋙q of V') ⋙ lift (φ' ⋙q of V'') = lift (φ ⋙q φ' ⋙q of V'')


of V ⋙q (lift (φ ⋙q of V') ⋙ lift (φ' ⋙q of V'')).toPrefunctor = φ ⋙q φ' ⋙q of V''


Context:
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj α

({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: π : α → Type u_5

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: p : Set γ

Context: f f₁ f₂ f₃ : α → β

Context: g✝ g₁ g₂ : β → γ

Context: f' f₁' f₂' : β → α

Context: g' : γ → β

Context: a : α

Context: b : β

Context: x✝ : ∃ t' g, t ⊆ t' ∧ Surjective g ∧ ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)

Context: y : β

Context: hy : y ∈ t

Context: t' : Set β

Context: g : ↑s → ↑t'

Context: htt' : t ⊆ t'

Context: hg : Surjective g

Context: hfg : ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)

Context: x : ↑s

Context: hx : g x = ⟨y, ⋯⟩


Context:
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)

{ obj := fun g => { as := (g.1.as, g.2.as) }, map := fun {x y} p => match x, y, p with | (x₀, x₁), (y₀, y₁), (p₀, p₁) => Path.Homotopic.prod p₀ p₁ }.map (𝟙 (x₀, x₁)) = 𝟙 ({ obj := fun g => { as := (g.1.as, g.2.as) }, map := fun {x y} p => match x, y, p with | (x₀, x₁), (y₀, y₁), (p₀, p₁) => Path.Homotopic.prod p₀ p₁ }.obj (x₀, x₁))


Path.Homotopic.prod (𝟙 x₀) (𝟙 x₁) = 𝟙 { as := (x₀.as, x₁.as) }


Context:
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a


Context:
a✝ b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑0 * a


Context:
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a
hm : m > 0


Context:
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a
hm : m > 0
ha : 0 ≤ a


Context:
a✝ b c d m✝ n : ℤ
m a : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]


p.support.card ≤ (range (p.natDegree + 1)).card


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
x : X

ContinuousAt f ↑x ↔ ContinuousAt (f ∘ some) x


Tendsto (f ∘ some) (𝓝 x) (𝓝 (f ↑x)) ↔ Tendsto (f ∘ some) (𝓝 x) (𝓝 ((f ∘ some) x))


Context: a b c d m n✝ k : ℕ

Context: p q : ℕ → Prop

Context: n : ℕ

Context: motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1

Context: refl : motive n ⋯

Context: le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
i : ι


(if H : i ∈ s then 0 ⟨i, H⟩ else 0) = 0 i


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β' → α → δ

Context: g' : β → β'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a

g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g' '' ↑t) ↑s


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
x : X


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
x : Y


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ

Continuous { toFun := ↑e, invFun := ↑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun


Continuous { toFun := ↑e, invFun := ↑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.invFun


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
h : Integrable (f + g) μ


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hRA : FiniteType R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K


Context: c : ℝ


Context:
c y : ℝ
x✝ : y ∈ Iic 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

(C a * X ^ 2 + C b * X + C c).leadingCoeff = a


Context: z : ℤ


Context:
z : ℤ
hn : z < 0


Context:
z : ℤ
hp : 0 < z


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≠ 0
hd : d ≠ 0

(a * d - b * c) / (c * d) ≤ 0 ↔ a / c ≤ b / d


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: x✝ : α 0

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p : (i : Fin n) → α i.succ

Context: i : Fin n

Context: y✝ : α i.succ

Context: z : α 0

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)

Context: x₀ y₀ : α 0

Context: x y : (i : Fin n) → α i.succ

(∀ (i : Fin n), cons x₀ x i.succ ≤ cons y₀ y i.succ) ↔ x ≤ y


Context:
n' : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n'
inst✝² : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StarRing R
A : M
n : ℕ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] ≤ᶠ[ae μ] f i


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: hp0 : p = 0

Context: hn0 : ¬n = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

Context: hp0 : p = 0

Context: hn0 : ¬n = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hpn0 : p ^ n = 0

Context: h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : 0 ≠ 0

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hpn0 : p ^ n = 0

Context: h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hpn : p ^ n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
x : M

x ∈ ↑(lieSpan R L s) ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N


x ∈ ⋂ s_1 ∈ {N | s ⊆ ↑N}, ↑s_1 ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0


Context: α₁ : Type u_1

Context: α₂ : Type u_2

Context: β₁ : Type u_3

Context: β₂ : Type u_4

Context: γ₁ : Type u_5

Context: γ₂ : Type u_6

Context: f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁

Context: f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂

Context: g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁

Context: g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂

Context: a : α₁ ⊕ α₂

Context: b : β₁ ⊕ β₂

Context: c : γ₁ ⊕ γ₂

Context: hf₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ f₁' a b

Context: hf₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ f₂' a b

Context: hg₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₁ a b ⊆ g₁' a b

Context: hg₂ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₂ a b ⊆ g₂' a b

Context: val✝¹ : α₁

Context: val✝ : β₁

sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inl val✝¹) (inl val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inl val✝¹) (inl val✝)


Context: α₁ : Type u_1

Context: α₂ : Type u_2

Context: β₁ : Type u_3

Context: β₂ : Type u_4

Context: γ₁ : Type u_5

Context: γ₂ : Type u_6

Context: f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁

Context: f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂

Context: g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁

Context: g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂

Context: a : α₁ ⊕ α₂

Context: b : β₁ ⊕ β₂

Context: c : γ₁ ⊕ γ₂

Context: val✝¹ : α₁

Context: val✝ : β₂

sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inl val✝¹) (inr val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inl val✝¹) (inr val✝)


Context: α₁ : Type u_1

Context: α₂ : Type u_2

Context: β₁ : Type u_3

Context: β₂ : Type u_4

Context: γ₁ : Type u_5

Context: γ₂ : Type u_6

Context: f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁

Context: f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂

Context: g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁

Context: g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂

Context: a : α₁ ⊕ α₂

Context: b : β₁ ⊕ β₂

Context: c : γ₁ ⊕ γ₂

Context: val✝¹ : α₂

Context: val✝ : β₁

sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inr val✝¹) (inl val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inr val✝¹) (inl val✝)


Context: α₁ : Type u_1

Context: α₂ : Type u_2

Context: β₁ : Type u_3

Context: β₂ : Type u_4

Context: γ₁ : Type u_5

Context: γ₂ : Type u_6

Context: f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁

Context: f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂

Context: g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁

Context: g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂

Context: a : α₁ ⊕ α₂

Context: b : β₁ ⊕ β₂

Context: c : γ₁ ⊕ γ₂

Context: val✝¹ : α₂

Context: val✝ : β₂

sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inr val✝¹) (inr val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inr val✝¹) (inr val✝)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hy : 0 < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
s : Finset ι
n : ℕ

toMultiset (∑ i ∈ s, single i n) = n • s.val


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup
H : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j

Context: H : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x

(permutations'Aux x s).nthLe k ?intro.intro.refine_1 = (permutations'Aux x s).nthLe (k + 1) ?intro.intro.refine_2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x

(permutations'Aux x s).nthLe k ⋯ = (permutations'Aux x s).nthLe (k + 1) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x

Context: hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (insertNth k x s).length

Context: hn' : n < (insertNth (k + 1) x s).length

(insertNth k x s).nthLe n hn = (insertNth (k + 1) x s).nthLe n hn'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H✝ : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (insertNth k x s).length

Context: H : n < k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H : x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: hk : n < s.length

Context: hk' : s.nthLe n hk = x

Context: hl : (insertNth n x s).length = (insertNth (n + 1) x s).length

Context: hn : n < (insertNth n x s).length

Context: hn' : n < (insertNth (n + 1) x s).length

(insertNth n x s).nthLe n hn = (insertNth (n + 1) x s).nthLe n hn'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a : α

Context: s : List α

Context: x : α

Context: H✝ : x ∈ s

Context: k : ℕ

Context: hk : k < s.length

Context: hk' : s.nthLe k hk = x

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (insertNth k x s).length

Context: H : k < n


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : Monoid A

Context: inst✝⁹ : Monoid B

Context: inst✝⁸ : Monoid C

Context: inst✝⁷ : Monoid D

Context: inst✝⁶ : CommGroup E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace C

Context: inst✝² : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalGroup E

Context: f g : ContinuousMonoidHom A B

Context: h : f.toContinuousMap = g.toContinuousMap


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
j j' : J
f : j ⟶ j'

(((Functor.const J).obj (limit F)).map f ≫ (fun j => { hom := limit.π (F ⋙ forget C) j, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) j').hom = ((fun j => { hom := limit.π (F ⋙ forget C) j, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) j ≫ F.map f).hom


Context:
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: V : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ

Context: hc : IsComplete ↑(iSup V)

Context: this : CompleteSpace ↥(iSup V)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t l l' : Multiset α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ⟦s₁⟧.Disjoint ⟦s₂⟧

⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ = ⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₁⟧


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)

Context: l : List R[A]

(List.map (fun f => f.support.inf degt) l).sum ≤ l.prod.support.inf degt


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: l : List R[A]

Quot.lift (fun l => List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l) ⋯ (Multiset.map degt l.prod.support.val) ≤ List.foldl (fun x x_1 => x + x_1) 0 (List.map (fun f => f.support.inf degt) l)


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: l : List R[A]


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: l : List R[A]

∀ (a b : A), degt (a + b) ≤ degt a + degt b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: hp : PrimrecPred p

Context: f : α → Subtype p

Context: this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: hp : PrimrecPred p

Context: f : α → Subtype p

Context: h : Primrec fun a => ↑(f a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : Primcodable α

Context: inst✝³ : Primcodable β

Context: inst✝² : Primcodable γ

Context: inst✝¹ : Primcodable σ

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: hp : PrimrecPred p

Context: f : α → Subtype p

Context: h : Primrec fun a => ↑(f a)

Context: n : ℕ

encode (Option.map (fun a => ↑(f a)) (decode n)) = encode (Option.map f (decode n))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : ι → Filter α
m : α → β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set β
hs : m ⁻¹' s ∈ iInf f
i : ι
hi : m ⁻¹' s ∈ f i


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

‖fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

‖fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

Context: I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v => ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

∫ (v : V), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) v‖ ∂μ ≤ ∫ (a : V), (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖ ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) a‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

Integrable (fun a => (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

(fun a => ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v => fourierPowSMulRight L f v k) a‖) ≤ᶠ[ae μ] fun a => (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
f : m ≃. n
i✝ : n
j✝ : m

f.symm.toMatrix i✝ j✝ = f.toMatrixᵀ i✝ j✝


(if i✝ ∈ f j✝ then 1 else 0) = of (fun x y => if x ∈ f y then 1 else 0) i✝ j✝


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : DecidableEq J
j : J
X Y : C
f : X ⟶ Y

(single j).map f j ≫ (singleObjApplyIso j Y).hom = (singleObjApplyIso j X).hom ≫ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: hu : ContinuousOn u [[a, b]]

Context: hv : ContinuousOn v [[a, b]]

Context: huu' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Ioi x) x

Context: hvv' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Ioi x) x

Context: hu' : IntervalIntegrable u' volume a b

Context: hv' : IntervalIntegrable v' volume a b

∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = u b * v b - u a * v a - ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: hu : ContinuousOn u [[a, b]]

Context: hv : ContinuousOn v [[a, b]]

Context: hu' : IntervalIntegrable u' volume a b

Context: hv' : IntervalIntegrable v' volume a b

∫ (x : ℝ) in a..b, u x * v' x = ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x - u' x * v x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: hu : ContinuousOn u [[a, b]]

Context: hv : ContinuousOn v [[a, b]]

Context: hu' : IntervalIntegrable u' volume a b

Context: hv' : IntervalIntegrable v' volume a b

IntervalIntegrable (fun x => u' x * v x + u x * v' x) volume a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: hu : ContinuousOn u [[a, b]]

Context: hv : ContinuousOn v [[a, b]]

Context: hu' : IntervalIntegrable u' volume a b

Context: hv' : IntervalIntegrable v' volume a b

IntervalIntegrable (fun x => u' x * v x) volume a b


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
β : Sort u_2
e : α ≃ β
x : β
y : α
H : e.symm x = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
hA : A ≠ 0

∃ t, t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑n * ‖A‖) ^ e


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: A : Matrix α β ℤ

Context: v : β → ℤ

Context: hn : m < n

Context: hm : 0 < m

Context: hA : A ≠ 0

Context: this : ∃ t, t ≠ 0 ∧ A *ᵥ t = 0 ∧ ‖t‖ ≤ (↑n * max 1 ‖A‖) ^ e


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: A : Matrix α β ℤ

Context: v : β → ℤ

Context: hn : m < n

Context: hm : 0 < m

Context: hA : A ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

(s ∩ t).dens + (s ∪ t).dens = s.dens + t.dens


Context:
q : ℚ
n₁ d₁ n₂ d₂ : ℤ

n₁ /. d₁ / (n₂ /. d₂) = n₁ * d₂ /. (d₁ * n₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: s✝ : Set α

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s : Set α

Context: hs : s.OrdConnected

Context: t : Set ↑s

Context: c : ↑s

Context: hct : c ∈ t

Context: B : ↑s

Context: hB : B ∈ upperBounds t


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: s✝ : Set α

Context: s : Set α

Context: hs : s.OrdConnected

Context: t : Set ↑s

Context: c : ↑s

Context: hct : c ∈ t

Context: B : ↑s

Context: hB : B ∈ upperBounds t


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
hn' : 0 < n


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
hn' : 0 < n
ζ : Rˣ
hζ₁ : ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R
hζ₂ : ↑ζ = χ a


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
hn' : 0 < n
ζ : Rˣ
hζ₁ : ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R
hζ₂ : ↑ζ = χ a
hζ' : ↑ζ ^ n = 1


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
ha : a ≠ 0
hn' : 0 < n
ζ : Rˣ
hζ₁ : ζ ∈ rootsOfUnity ⟨n, ⋯⟩ R
hζ₂ : ↑ζ = χ a
hζ' : ↑ζ ^ n = 1
k : ℕ
hk₁ : k < n
hk₂ : μ ^ k = ↑ζ


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5

Context: o : Ordinal.{u_4}

Context: H₁ : C 0

Context: H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (succ o)

Context: H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o

(succ o).limitRecOn H₁ H₂ H₃ = H₂ o (o.limitRecOn H₁ H₂ H₃)


Context: a : ℤ

χ₈' ↑a = χ₄ ↑a * χ₈ ↑a


Context: a : ℤ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
s s' : Set V
v : V


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set α

IsComplete (range Subtype.val) ↔ IsComplete s


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ✝ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b : ι → X
γ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h : Continuous ↿γ


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x y : A

Context: hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)

Context: hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr y) i)

Context: hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)

Context: i : Fin B.dim


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x y : A

Context: i : Fin B.dim

IsIntegral R (∑ k ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, (B.basis.repr ((B.basis.repr x) k.1 • B.basis k.1 * (B.basis.repr y) k.2 • B.basis k.2)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x y : A

Context: i : Fin B.dim

Context: I : Fin B.dim × Fin B.dim

Context: x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ

IsIntegral R ((B.basis.repr ((B.basis.repr x) I.1 • B.basis I.1 * (B.basis.repr y) I.2 • B.basis I.2)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x y : A

Context: i : Fin B.dim

Context: I : Fin B.dim × Fin B.dim

Context: x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ

IsIntegral R ((B.basis.repr y) I.2 * ((B.basis.repr x) I.1 * (B.basis.repr (B.basis I.1 * B.basis I.2)) i))


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x y : A

Context: i : Fin B.dim

Context: I : Fin B.dim × Fin B.dim

Context: x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ

IsIntegral R ((B.basis.repr (B.basis I.1 * B.basis I.2)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Field K

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: inst✝⁶ : Algebra R K

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: B : PowerBasis S A

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: x y : A

Context: i : Fin B.dim

Context: I : Fin B.dim × Fin B.dim

Context: x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ

IsIntegral R ((B.basis.repr (B.gen ^ (↑I.1 + ↑I.2))) i)


Context:
z : ℂ
this : 0 ≤ abs z
x✝ : 0 ≤ z
h₁ : re 0 ≤ z.re
h₂ : im 0 = z.im


Context:
o : ONote
b₁ b₂ : Ordinal.{0}
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
eb b : Ordinal.{0}
h₁ : e.NFBelow eb
h₂ : a.NFBelow e.repr
h₃ : e.repr < b
a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → e.NFBelow b₂
a_ih✝ : e.repr ≤ b₂ → a.NFBelow b₂
bb : b ≤ b₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Subsingleton


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial


_root_.Set.univ = {x | (f.subtypePerm ⋯) x ≠ x}


∀ (x : { x // x ∈ s }), x ∈ {x | (f.subtypePerm ⋯) x ≠ x}


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Ioi x) = Ioo ↑x ⊤


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b✝ b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
k : ℕ
H : (φ.polyCharpoly b).coeff k = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup L

Context: inst✝⁹ : Module R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝⁴ : Fintype ιM

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : DecidableEq ι'

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: b✝ b : Basis ι R L

Context: b' : Basis ι' R L

Context: k : ℕ

Context: H : ↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b (Module.Free.chooseBasis R M).end φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k) = 0

↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b' (Module.Free.chooseBasis R M).end φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k) = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup L

Context: inst✝⁹ : Module R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝⁴ : Fintype ιM

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : DecidableEq ι'

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: b✝ b : Basis ι R L

Context: b' : Basis ι' R L

Context: k : ℕ

Context: B : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M × Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R (Module.End R M) := (Module.Free.chooseBasis R M).end

Context: g : ι → MvPolynomial ι' R := toMvPolynomial b' b id

Context: H : (MvPolynomial.bind₁ g) (↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b B φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k)) = (MvPolynomial.bind₁ g) 0

↑(MvPolynomial.bind₁ (toMvPolynomial b' B φ)) ((charpoly.univ R (Module.Free.ChooseBasisIndex R M)).coeff k) = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup L

Context: inst✝⁹ : Module R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁶ : Fintype ι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι'

Context: inst✝⁴ : Fintype ιM

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : DecidableEq ι'

Context: inst✝¹ : Module.Free R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: b✝ b : Basis ι R L

Context: b' : Basis ι' R L

Context: k : ℕ

Context: this : toMvPolynomial b' B φ = fun i => (MvPolynomial.bind₁ g) (toMvPolynomial b B φ i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

Context: h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r

HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x n r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: n : ℕ

Context: f : E → F

Context: x : E

Context: s : Set E

HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fun z => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries x n r