Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s

closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)) = s


s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hAconv : Convex ℝ s

Context: hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hAconv : Convex ℝ s

Context: x : E

Context: hxA : x ∈ s

Context: hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hAconv : Convex ℝ s

Context: x : E

Context: hxA : x ∈ s

Context: l : E →L[ℝ] ℝ

Context: r : ℝ

Context: hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r

Context: hrx : r < l x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hAconv : Convex ℝ s

Context: x : E

Context: hxA : x ∈ s

Context: l : E →L[ℝ] ℝ

Context: r : ℝ

Context: hrx : r < l x

Context: h : IsExposed ℝ s {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hAconv : Convex ℝ s

Context: x : E

Context: hxA : x ∈ s

Context: l : E →L[ℝ] ℝ

Context: r : ℝ

Context: hrx : r < l x

Context: z : E

Context: hzA : z ∈ s

Context: hz : IsMaxOn (⇑l) s z


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: hscomp : IsCompact s

Context: hAconv : Convex ℝ s

Context: x : E

Context: hxA : x ∈ s

Context: l : E →L[ℝ] ℝ

Context: r : ℝ

Context: hrx : r < l x

Context: z : E

Context: hzA : z ∈ s

Context: hz : IsMaxOn (⇑l) s z

Context: y : E

Context: hy : y ∈ extremePoints ℝ {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : closure s = ⊤

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : closure s = ⊤

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: this : ∀ x ∈ closure s, p x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
s : Finset α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
x y : E

‖((p.changeOriginSeriesTerm k l s hs) fun x_1 => x) fun x => y‖₊ ≤ ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l * ‖y‖₊ ^ k


‖((p.changeOriginSeriesTerm k l s hs) fun x_1 => x) fun x => y‖₊ ≤ (‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ * ∏ _i : Fin l, ‖x‖₊) * ∏ _i : Fin k, ‖y‖₊


‖(p.changeOriginSeriesTerm k l s hs) fun x_1 => x‖₊ ≤ ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ * ∏ _i : Fin l, ‖x‖₊


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝² : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
m : M
hm : m ∈ ↑p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

HasMFDerivWithinAt I I' f s x (mfderivWithin I I' f s x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) (mfderivWithin I I' f s x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E

‖x‖ ^ 2 = re (4⁻¹ * (𝓚 ‖x + x‖ * 𝓚 ‖x + x‖ - 𝓚 ‖x - x‖ * 𝓚 ‖x - x‖ + I * 𝓚 ‖I • x + x‖ * 𝓚 ‖I • x + x‖ - I * 𝓚 ‖I • x - x‖ * 𝓚 ‖I • x - x‖))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16
h₂ : ‖x + x‖ = 2 * ‖x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Finite α

Context: f : (i : α) → E i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: inst✝ : Finite α

Context: f : (i : α) → E i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Finite α

Context: f : (i : α) → E i

Context: _h : 0 < p.toReal


Context: u v m n : ℤ


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: S : DiscreteQuotient ↑C.pt.toTop := f.discreteQuotient

Context: ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift

∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift

Context: h✝ : IsEmpty (Quotient S.toSetoid)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift

Context: h✝ : Nonempty (Quotient S.toSetoid)


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : SMul M X
ts : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ ts, ContinuousSMul M X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s t : Set X
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = t


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : f.HasAntitoneBasis s

Context: r : ℕ → ℕ → Prop

Context: hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n

∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : f.HasAntitoneBasis s

Context: r : ℕ → ℕ → Prop

Context: this : ∀ (t : Set ℕ), t.Finite → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : f.HasAntitoneBasis s

Context: r : ℕ → ℕ → Prop

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : ∀ (n m : ℕ), m ∈ φ '' Iio n → m < φ n ∧ r m (φ n)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: s : ℕ → Set α

Context: hs : f.HasAntitoneBasis s

Context: r : ℕ → ℕ → Prop

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : (∀ (x : ℕ) ⦃x_1 : ℕ⦄, x_1 < x → φ x_1 < φ x) ∧ ∀ (x : ℕ) ⦃x_1 : ℕ⦄, x_1 < x → r (φ x_1) (φ x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x : X
f : Filter X
hf : f.NeBot
x✝ : CountableInterFilter f
hfa : f ≤ 𝓟 {x}


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits i f

Context: hf0 : (map i f).degree ≠ 0

Context: this : DecidableEq L := Classical.decEq L

Context: hf0' : map i f = 0


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : Field F

Context: i✝ : K →+* L

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits i✝ f

Context: hf0 : (map i✝ f).degree ≠ 0

Context: hf0' : ¬map i✝ f = 0

Context: g : L[X]

Context: hg : Irreducible g ∧ g ∣ map i✝ f

Context: x : L

Context: hx : g.IsRoot x

Context: i : L[X]

Context: hi : map i✝ f = g * i


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : StructuredArrow S T

(f.homMk' (𝟙 f.right)).right = (eqToHom ⋯).right


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hm : m.Sized

(l.node4L x m y r).size = l.size + m.size + r.size + 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: h : cfcₙ f a = cfcₙ g a

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: h : (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: f✝ g✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: this : { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α

s.Disjoint (ndinsert a t) ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t


a ∉ s ∧ t.Disjoint s ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ : ℝ≥0

Context: hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hst : IsBounded (image2 f s t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hst : ¬IsBounded s ∧ ¬IsBounded t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hst : ¬IsBounded s ∧ ¬IsBounded t

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → β → γ

Context: K₁ : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hst : ¬IsBounded s ∧ ¬IsBounded t

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: this : ¬IsBounded (image2 f s {b})


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
p : Prop


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C


Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: hP : RespectsIso P

Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

Context: inst✝ : IsIso f

Context: H : P (f ≫ g)


Context: hP : RespectsIso P

Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

Context: inst✝ : IsIso f

Context: H : P (f ≫ g)

g = comp (f ≫ g) (asIso f).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α

(type r).brange (bfamilyOfFamily' r f) = range f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α
a : α

a ∈ (type r).brange (bfamilyOfFamily' r f) → a ∈ range f


a ∈ range f → a ∈ (type r).brange (bfamilyOfFamily' r f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u✝ v✝ : α → 𝕜
u v φ : α → R
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u✝ v✝ : α → 𝕜
u v φ : α → R
hφ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c
h : u =ᶠ[l] φ * v
x : α
hx : ‖φ x‖ ≤ c

(fun x a => ‖a‖ ≤ c * ‖v x‖) x ((φ * v) x)


‖φ x‖ * ‖v x‖ ≤ c * ‖v x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β


Context: x : ℝ


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R

min x.orderTop y.orderTop ≤ (x - y).orderTop


min x.orderTop (-y).orderTop ≤ (x + -y).orderTop


Context: x : ℝ

Context: this : Complex.tan (2 * ↑x) = 2 * Complex.tan ↑x / (1 - Complex.tan ↑x ^ 2)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

(unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) Y✝)).one ≫ f.hom.op = (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) X✝)).one


((unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) Y✝)).one ≫ f.hom.op).unop = (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) X✝)).one.unop


(unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) Y✝)).mul ≫ f.hom.op = (f.hom.op ⊗ f.hom.op) ≫ (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) X✝)).mul


((unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) Y✝)).mul ≫ f.hom.op).unop = ((f.hom.op ⊗ f.hom.op) ≫ (unop ((fun A => op (Comon_ToMon_OpOp_obj' C A)) X✝)).mul).unop


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι

Integrable (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) volume


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Context: this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι)) volume volume


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Integrable ((fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ)) ∘ ⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Integrable (fun x => cexp (-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2) + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ)) volume


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Context: v : ι → ℝ

-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm v‖ ^ 2) + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm v⟫_ℝ = -b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c * ↑(w i) * ↑(v i)


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Context: v : ι → ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

Antitone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Antitone f


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
q : ι → Prop
hl : l.HasBasis q b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ blimsup u l p

∃ f, ∀ (i : ↑{i | q i}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p✝ : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a : α

Context: l : Filter β

Context: b : ι → Set β

Context: q : ι → Prop

Context: hl : l.HasBasis q b

Context: u : β → Set α

Context: p : β → Prop

Context: x : α

Context: hx : x ∈ ⨅ s ∈ l, ⨆ b, ⨆ (_ : p b ∧ b ∈ s), u b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p✝ : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a : α

Context: l : Filter β

Context: b : ι → Set β

Context: q : ι → Prop

Context: hl : l.HasBasis q b

Context: u : β → Set α

Context: p : β → Prop

Context: x : α

Context: hx : ∀ i ∈ l, ∃ i_2, (p i_2 ∧ i_2 ∈ i) ∧ x ∈ u i_2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p✝ : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a : α

Context: l : Filter β

Context: b : ι → Set β

Context: q : ι → Prop

Context: hl : l.HasBasis q b

Context: u : β → Set α

Context: p : β → Prop

Context: x : α

Context: g : (i : Set β) → i ∈ l → β

Context: hg : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), p (g i i_1) ∧ g i i_1 ∈ i

Context: hg' : ∀ (i : Set β) (i_1 : i ∈ l), x ∈ u (g i i_1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p✝ : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a : α

Context: l : Filter β

Context: b : ι → Set β

Context: q : ι → Prop

Context: hl : l.HasBasis q b

Context: u : β → Set α

Context: p : β → Prop

Context: x : α

Context: g : (i : Set β) → i ∈ l → β

Context: i : ↑{i | q i}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p✝ : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a : α

Context: l : Filter β

Context: b : ι → Set β

Context: q : ι → Prop

Context: hl : l.HasBasis q b

Context: u : β → Set α

Context: p : β → Prop

Context: x : α

Context: g : (i : Set β) → i ∈ l → β

Context: i : ↑{i | q i}

p ((fun i => g (b ↑i) ⋯) i) ∧ (fun i => g (b ↑i) ⋯) i ∈ b ↑i


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

[a ≡ b [PMOD p], ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b, toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b].TFAE


[toIcoMod hp a b = a, ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b, toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b].TFAE


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀

↑m + ↑n < ℵ₀


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
k : Set X
hk : IsCompact k

∃ u, IsOpen u ∧ k ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ


∃ u, IsOpen u ∧ ∅ ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ


∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ


∀ ⦃s t : Set X⦄, (∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → (∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ) → ∃ u, IsOpen u ∧ s ∪ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ


∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ u, IsOpen u ∧ t ⊆ u ∧ IntegrableOn f u μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
this : {x | 0 ≤ x} = negPart ⁻¹' {0}


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a✝ : A
f✝ : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h✝ : SpectrumRestricts a✝ f✝
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b

Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S b)


Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : NonAssocRing R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ
h_pos : 0 < k


Context: K : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Fintype K

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Fintype σ

Context: inst✝³ : DecidableEq σ

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : CharP K p

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ι → MvPolynomial σ K

Context: h : ∑ i : ι, (f i).totalDegree < Fintype.card σ

p ∣ Fintype.card { x // ∀ (i : ι), (eval x) (f i) = 0 }


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
d d' : G.Dart

d' ∈ filter (fun d' => d'.edge = d.edge) univ ↔ d' ∈ {d, d.symm}


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = 0

Context: inst✝² : HasCokernel f

Context: inst✝¹ : HasCokernel (G.map f)

Context: inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f 0) G


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = 0

Context: inst✝² : HasCokernel f

Context: inst✝¹ : HasCokernel (G.map f)

cokernel.π (G.map f) ≫ (iso G f).inv = cokernel.π (G.map f) ≫ cokernelComparison f G


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : Zero α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : BorelSpace α

Context: f : X × Y → α

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : Zero α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : BorelSpace α

Context: f : X × Y → α

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : Zero α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : BorelSpace α

Context: f : X × Y → α

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: this✝ : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, ∀ (x : X × Y), dist (f x) (↑g x) < u n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : Zero α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : BorelSpace α

Context: f : X × Y → α

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: g : ℕ → SimpleFunc (X × Y) α

Context: hg : ∀ (n : ℕ) (x : X × Y), dist (f x) (↑(g n) x) < u n


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: X : Type u_7

Context: Y : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : Zero α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : BorelSpace α

Context: f : X × Y → α

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: g : ℕ → SimpleFunc (X × Y) α

Context: A : ∀ (x : X × Y), Tendsto (fun n => ↑(g n) x) atTop (𝓝 (f x))


Context:
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

Irrational (x * ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x


Context:
a b c d m n k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
k x y : ℕ
h : x ≤ y / k


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀✝ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁✝ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StrictConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

Context: this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StrictConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

(∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) → g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StrictConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

Context: t : Set α

Context: hm : MeasurableSet t

Context: h₀ : μ t ≠ 0

Context: h₀' : μ tᶜ ≠ 0

Context: hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ

g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StrictConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

Context: t : Set α

Context: hm : MeasurableSet t

Context: h₀ : μ t ≠ 0

Context: h₀' : μ tᶜ ≠ 0

Context: a b : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ = ⨍ (x : α), (f x, (g ∘ f) x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StrictConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

Context: t : Set α

Context: hm : MeasurableSet t

Context: h₀ : μ t ≠ 0

Context: h₀' : μ tᶜ ≠ 0

Context: a b : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, (g ∘ f) x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (g ∘ f) x ∂μ = ⨍ (x : α), (g ∘ f) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StrictConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

Context: t : Set α

Context: hm : MeasurableSet t

Context: h₀ : μ t ≠ 0

Context: h₀' : μ tᶜ ≠ 0

Context: a b : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ = ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StrictConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

Context: t : Set α

Context: hm : MeasurableSet t

Context: h₀ : μ t ≠ 0

Context: h₀' : μ tᶜ ≠ 0

Context: a b : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

g (a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) < a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ


Context: x y : EReal


Context: p : Nat.Primes

(↑p).factorMultiset = PrimeMultiset.ofPrime p


Context: p : Nat.Primes

factorMultisetEquiv.symm (↑p).factorMultiset = factorMultisetEquiv.symm (PrimeMultiset.ofPrime p)


Context: p : Nat.Primes

(↑p).factorMultiset.prod = (PrimeMultiset.ofPrime p).prod


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B

(image.ι g.unop).op ≫ (imageUnopOp g).hom = factorThruImage g


(((((kernel.lift (cokernel.π g.unop) (cokernel.π (cokernel.π g.unop).op).unop ⋯ ≫ (Abelian.imageIsoImage g.unop).hom) ≫ image.ι g.unop).op ≫ (cokernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ cokernel.desc ((cokernelUnopOp g).hom ≫ kernel.ι g ≫ eqToHom ⋯) (cokernel.π (kernel.ι g ≫ eqToHom ⋯)) ⋯) ≫ cokernel.desc (kernel.ι g ≫ eqToHom ⋯) (inv (eqToHom ⋯) ≫ cokernel.π (kernel.ι g)) ⋯) ≫ cokernel.desc (kernel.ι g) (factorThruImage g) ⋯ = factorThruImage g


inv (eqToHom ⋯) ≫ factorThruImage g = factorThruImage g


inv (𝟙 A) ≫ factorThruImage g = factorThruImage g


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ

descPochhammer R (n + 1) = descPochhammer R n * (X - ↑n)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ

descPochhammer ℤ (n + 1) = descPochhammer ℤ n * (X - ↑n)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
a : β
hfa : a ∈ t
b : β
hfb : b ∈ t
c : β
hfc : c ∈ t
habc : a * c = b * b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
b : β
hfb : b ∈ t
c : β
hfc : c ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
habc : f a * c = b * b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
c : β
hfc : c ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
b : α
hb : b ∈ s
hfb : f b ∈ t
habc : f a * c = f b * f b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
b : α
hb : b ∈ s
hfb : f b ∈ t
c : α
hc : c ∈ s
hfc : f c ∈ t
habc : f a * f c = f b * f b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hab : a ∣ b
h : b / a = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : MvPolynomial σ R


(p.support.sup fun s => toMultiset s) = p.degrees


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
a : α

∏ᶠ (_ : a ∈ s), f a = s.mulIndicator f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: op : α → α → α

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha : Std.Associative op

Context: f g : β → α

Context: u₁ u₂ : α

Context: s : Multiset β

Context: a : β

Context: b : Multiset β

Context: h : fold op (op u₁ u₂) (map (fun x => op (f x) (g x)) b) = op (fold op u₁ (map f b)) (fold op u₂ (map g b))

fold op (op u₁ u₂) (map (fun x => op (f x) (g x)) (a ::ₘ b)) = op (fold op u₁ (map f (a ::ₘ b))) (fold op u₂ (map g (a ::ₘ b)))


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ


¬s.Nonempty ∨ ¬t.Nonempty ↔ s = ∅ ∨ t = ∅


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1140245) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(∀ (x : ↑(σₙ R a)), 0 x ≤ { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

(∀ (a_1 : R) (b : a_1 ∈ σₙ R a), 0 ⟨a_1, b⟩ ≤ f a_1) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x


Context:
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: h : ∀ (J : Type w) {𝒥 : SmallCategory J}, FinCategory J → HasLimitsOfShape J C

Context: J : Type

Context: hJ : SmallCategory J

Context: hhJ : FinCategory J

Context: this : HasLimitsOfShape (ULiftHom (ULift.{w, 0} J)) C

Context: l : J ≌ ULiftHom (ULift.{?u.1062, 0} J)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: m p : Associates α

Context: h0 : m ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: a✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: m p : Associates α

Context: h0 : m ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: a✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: m p : Associates α

Context: h0 : m ≠ 0

Context: hp : Irreducible p

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: h : 0 < p.count m.factors


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: h✝ : I ≤ ⊥.jacobson

Context: a : R

Context: h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)

Context: this : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: h✝ : I ≤ ⊥.jacobson

Context: a : R

Context: h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)

Context: y : R ⧸ ⊥.jacobson

Context: h1 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a * y = 1

Context: h2 : y * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: h✝ : I ≤ ⊥.jacobson

Context: a : R

Context: h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)

Context: y : R

Context: h1 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) y = 1

Context: h2 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) y * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: h✝ : I ≤ ⊥.jacobson

Context: a : R

Context: h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)

Context: y : R

Context: h1 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((a * y - 1) * y_1 + 1)

Context: h2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: h✝ : I ≤ ⊥.jacobson

Context: a : R

Context: h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)

Context: y : R

Context: h1 : IsUnit ((a * y - 1) * 1 + 1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: h✝ : I ≤ ⊥.jacobson

Context: a : R

Context: h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)

Context: y : R

Context: h1 : IsUnit a ∧ IsUnit y


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)

Context: inst✝ : Monoid H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hn : Nonempty ι

Context: f g : PushoutI φ →* K

Context: h : ∀ (i : ι), f.comp (of i) = g.comp (of i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
h : ∀ j ∈ u, ContDiffOn 𝕜 (↑i) (f j) s

iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) s x = ∑ j ∈ u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f j) s x


Context:
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s✝ : Set M

Context: f✝ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s✝

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set E

Context: f : SmoothPartitionOfUnity ι 𝓘(ℝ, E) E s

Context: x₀ : E

Context: g : ι → E → F

Context: hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContDiffAt ℝ n (g i) x₀

ContDiffAt ℝ n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: s✝ : Set M

Context: f✝ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s✝

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set E

Context: x₀ : E

Context: g : ι → E → F

Context: hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (g i) x₀

ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
m : Type u_8
n : Type u_9
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n 𝕜
i j : m

⟪(WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (A i), (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (B j)⟫_𝕜 = (B * Aᴴ) j i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ

∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ↑(∏ i ∈ range k, (n - i))


∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hkn : k ≤ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hnk : n < k


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R

¬(X - C a) ^ (rootMultiplicity a p + 1) ∣ p


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b ≤ a


Context:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a < b


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : x ∈ (fun g => g • s) a
hxb : x ∈ (fun g => g • s) b


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : a⁻¹ • x ∈ s
hxb : b⁻¹ • x ∈ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℤ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P

finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1


finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑(affineSpan k s))) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1


finrank k ↥(affineSpan k s).direction ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
s : S
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N

(finsuppLeft R M N ι) (s • t) = s • (finsuppLeft R M N ι) t


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = if n + 1 = 0 then 1 else 0


∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ

Context: h₂ : ↑n + 1 ≠ 0

Context: h₃ : (1 + n).choose n = n + 1

Context: H : ∑ k ∈ antidiagonal n.succ, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ

Context: h₂ : ↑n + 1 ≠ 0

Context: h₃ : (1 + n).choose n = n + 1

Context: H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ

Context: h₂ : ↑n + 1 ≠ 0

Context: h₃ : (1 + n).choose n = n + 1


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ

Context: h₂ : ↑n + 1 ≠ 0

Context: h₃ : (1 + n).choose n = n + 1

∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


0 ≤ re z ∧ im z = 0 ↔ ∃ x ≥ 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G

∀ (n : ℕ), (∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) → ∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥


∀ (n : ℕ), (∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥) → ∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ d * a.y ^ 2


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ -1


Context: n : ℕ

(bit true n).fastFibAux = let p := n.fastFibAux; (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))


Context: n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

IsIso (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

Context: this : IsIso (J.toPlus P)


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: P : R[X]

Context: hunit : IsUnit (P.coeff 0)

Context: hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P

Context: P : R[X]

Context: hunit : IsUnit (P.coeff 0)

Context: h : P.natDegree = k


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: P : R[X]

Context: hunit : IsUnit (P.coeff 0)

Context: h : P.natDegree = k

Context: hdeg : P.natDegree = 0


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: P : R[X]

Context: hunit : IsUnit (P.coeff 0)

Context: h : P.natDegree = k

Context: hdeg : ¬P.natDegree = 0


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: P : R[X]

Context: hunit : IsUnit (P.coeff 0)

Context: h : P.natDegree = k

Context: hdeg : ¬P.natDegree = 0

Context: P₁ : R[X] := P.eraseLead

Context: hP₁ : P₁ = P.eraseLead


Context: R : Type u_1

Context: r : R

Context: inst✝ : CommRing R

Context: k : ℕ

Context: P : R[X]

Context: hunit : IsUnit (P.coeff 0)

Context: h : P.natDegree = k

Context: hdeg : ¬P.natDegree = 0

Context: P₁ : R[X] := P.eraseLead

Context: hP₁ : P₁ = P.eraseLead

Context: hdeg₂ : P.eraseLead.natDegree < P.natDegree


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]

∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : X' ⟶ Y'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'

f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y

(homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ : L.obj Y ⟶ L.obj Z

(homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z

(homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eY eZ).symm g₂) = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₂)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology

(S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ S.fromOpcycles = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

𝓝 x = ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 s


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C

∀ (x y : A), (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y


Context:
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y z : Tropical R

x + y = z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x


min (untrop x) (untrop y) = untrop z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E

(𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (ball x)


(Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph) (𝓝 (toEuclidean.toHomeomorph x))).HasBasis (fun r => 0 < r) (ball x)


Context: ι : Type u₁

Context: k : Type u₂

Context: V : Type u₃

Context: P : Type u₄

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : AffineSpace V P

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional k V

Context: h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1


Context: ι : Type u₁

Context: k : Type u₂

Context: V : Type u₃

Context: P : Type u₄

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : AffineSpace V P

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional k V

Context: s : Set P

Context: b : AffineBasis (↑s) k P

Context: hb : ⇑b = Subtype.val


Context: ι : Type u₁

Context: k : Type u₂

Context: V : Type u₃

Context: P : Type u₄

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : AffineSpace V P

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : Module k V

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional k V

Context: s : Finset P

Context: b : AffineBasis (↑↑s) k P

Context: hb : ⇑b = Subtype.val


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : DecidableEq ((i : ι) × α i)
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
x : ι
y : α x

⟨x, y⟩ ∈ s.sigma t ↔ ⟨x, y⟩ ∈ s.biUnion fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S s : Subsemigroup M
x : M × N

x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MulHom.fst M N) s


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0

∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x) = 1


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0

(∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)).toReal = 1


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: h : v ≠ 0

Context: hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: h : v ≠ 0

Context: hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s


eval (v i) (C (r i) * Lagrange.basis s v i) + ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (C (r x) * Lagrange.basis s v x) = r i


∑ x ∈ s.erase i, r x * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j✝ : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i

r j * eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)

Context: r : R

Context: m : LocalizedModule S M

Context: a : M

Context: b : ↥S

r • lift' S g h (mk a b) = lift' S g h (r • mk a b)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A

Context: inst✝⁵ : Module A M'

Context: inst✝⁴ : IsLocalization S A

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g✝ g : M →ₗ[R] M''

Context: r : R

Context: m : LocalizedModule S M

Context: a : M

Context: b : ↥S

r • ↑⋯.unit⁻¹ (g a) = ↑⋯.unit⁻¹ (g (r • a))


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : Set P₂

comap (↑f) (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f : Filter α

Context: u : α → ℝ≥0∞

Context: a : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a✝ b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f : Filter α

Context: u : α → ℝ≥0∞

Context: a : ℝ≥0∞

Tendsto u f (⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 (Icc (a - ε) (a + ε)))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: q : Submodule R M

Context: m : M

Context: hm : m ∈ q

Context: p : R[X]

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: a : A

Context: hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: q : Submodule R M

Context: m : M

Context: hm : m ∈ q

Context: p : R[X]

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: a : A

Context: f₁ f₂ : R[X]

Context: h₁ : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) f₁

Context: h₂ : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) f₂

(fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (f₁ + f₂)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a✝ b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: q : Submodule R M

Context: m : M

Context: hm : m ∈ q

Context: p : R[X]

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: a : A

Context: n : ℕ

Context: t : R

Context: hmq : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (C t * X ^ n)

(fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (C t * X ^ (n + 1))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

convexBodySumFun (-x) = convexBodySumFun x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

(𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => Ioo (a - ε) (a + ε)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a x✝ : α

Ioo (a - x✝) (a + x✝) = {b | |b - a| < x✝}


Context: x y : ℕ

x.gcd y = if x = 0 then y else (y % x).gcd x


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Function.Injective ⇑(ModuleCat.ofHom (πs C o))


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: S : Finset Λ

Context: ss : Supports M S

Context: l₁ : Λ

Context: v : σ

Context: T : Tape Γ

Context: c' : Cfg₁

Context: h₁ : c' ∈ step M { l := some l₁, var := v, Tape := T }

Context: h₂ : { l := some l₁, var := v, Tape := T }.l ∈ Finset.insertNone S


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : Λ → Stmt₁

Context: S : Finset Λ

Context: ss : Supports M S

Context: l₁ : Λ

Context: v : σ

Context: T : Tape Γ

Context: c' : Cfg₁

Context: h₂ : SupportsStmt S (M l₁)


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : Tape Γ
c' : Cfg₁
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
h₁ : stepAux (M l₁) v T = c'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Zero N
f : α ↪ β
v : α →₀ M
a : β
h : a ∉ Set.range ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Preorder α

Context: inst✝⁷ : Add α

Context: inst✝⁶ : Sub α

Context: inst✝⁵ : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Preorder R

Context: inst✝² : Sub R

Context: inst✝¹ : OrderedSub R

Context: inst✝ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t a b : Set α
f : α → β
h : a ⊆ b


∀ (x : β), (∃ x_1 ∈ a, f x_1 = x) → ∃ x_1 ∈ b, f x_1 = x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

(x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)


Context:
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : Applicative G
α β γ : Type u
g : α → β
f : β → G γ
x : σ ⊕ α

Sum.traverse f (g <$> x) = Sum.traverse (f ∘ g) x


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
α : Type u_1
b : PosNum


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G

∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})


Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f (φ x) ∂μ))


(fun n => SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) = fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ

SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) = SimpleFunc.integral μ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i)


∑ x ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range, (μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range, (μ (↑(approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ⁻¹' {x})).toReal • x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: φ : α → β

Context: hφ : Measurable φ

Context: f : β → G

Context: hfm : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: i : ℕ

Context: y : G

Context: x✝ : y ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range

Context: hy : y ∉ ((approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).comp φ hφ).range

(μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y})).toReal • y = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: φ : α → β

Context: hφ : Measurable φ

Context: f : β → G

Context: hfm : StronglyMeasurable f

Context: hG : CompleteSpace G

Context: hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G

Context: this✝ : BorelSpace G

Context: this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

Context: i : ℕ

Context: y : G

Context: hy : ↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y} = ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V

(∀ (x : V), ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ) ↔ S = T


(∀ (x : V), ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ) ↔ ∀ (x : V), ⟪(S - T) x, x⟫_ℂ = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V
x : V

⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ ↔ ⟪(S - T) x, x⟫_ℂ = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
s : X → Set X
hc : ∀ (x : X), IsCompact (s x)
hmem : ∀ (x : X), s x ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
s : X → Set X
hc : ∀ (x : X), IsCompact (s x)
hmem : ∀ (x : X), s x ∈ 𝓝 x
I : Finset X
hIK : K ⊆ ⋃ x ∈ I, interior (s x)


⋃ x ∈ I, interior (s x) ⊆ interior (⋃ x ∈ I, s x)


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
hn : n ≠ 1


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A

Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s).toSubalgebra = span R ↑(Submonoid.closure (s ∪ star s))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
hker : (RingHom.ker f.toRingHom).FG


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ (1 / 2) ^ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α

∫⁻ (a : α) in s ∪ t, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ + ∫⁻ (a : α) in t, f a ∂μ


∫⁻ (a : α) in s ∪ t, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂(μ.restrict s + μ.restrict t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 1 ≤ p
hμs : μ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: f✝ g : α → E✝

Context: s✝ t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμ_restrict_univ : (μ.restrict s) univ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝

Context: f✝ g : α → E✝

Context: s✝ t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hμ_finite : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)


Context:
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n m : ℕ
neq : p ≠ q


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}


∀ (U_1 : Opens G), μ.outerMeasure (↑U_1 ∩ U) + μ.outerMeasure (↑U_1 \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U_1


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G

μ.outerMeasure (↑U' ∩ U) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


μ.innerContent { carrier := ↑U' ∩ U, is_open' := ⋯ } + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


(⨆ x, ↑(μ.toFun ↑x)) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }


⨆ b, ↑(μ.toFun ↑b) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


∀ (i : { i // ↑i ⊆ ↑U' ∩ U }), ↑(μ.toFun ↑i) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context:
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
S : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
U : Set G
hU : U ∈ {s | IsOpen s}
U' : Opens G
this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }
L : Compacts G
hL : ↑L ⊆ ↑U' ∩ U

↑(μ.toFun ↑⟨L, hL⟩) + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∩ U

Context: L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∩ U

(fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.outerMeasure (↑U' \ U) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

(fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.outerMeasure (↑U' \ ↑L') ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

(fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + μ.innerContent { carrier := ↑U' \ ↑L', is_open' := ⋯ } ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

↑(μ.toFun L') + ⨆ x, ↑(μ.toFun ↑x) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }