Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

(s.prod f).totalDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree


(Multiset.map totalDegree (Multiset.map f s.val)).sum ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree


(Multiset.map (totalDegree ∘ f) s.val).sum ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l

‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖ = ‖p (k + l)‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NormedRing A

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝¹ : CompleteSpace A

Context: inst✝ : NormOneClass A

Context: φ : A →ₐ[𝕜] 𝕜

Context: x✝¹ : ℝ

Context: x✝ : x✝¹ ≥ 0

Context: h : ∀ (x : A), ‖φ.toContinuousLinearMap x‖ ≤ x✝¹ * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
s : Set α
t : Set β
hu : ↑u ⊆ image2 f s t

∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ image₂ f s' t'


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f' : α → β → γ

Context: g g' : α → β → γ → δ

Context: s✝ s' : Finset α

Context: t✝ t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: hu : ∃ s', ↑s' ⊆ s ×ˢ t ∧ image (fun x => f x.1 x.2) s' = u


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
s : Set α
t : Set β
u : Finset (α × β)
hu : ↑u ⊆ s ×ˢ t

∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ image (fun x => f x.1 x.2) u ⊆ image₂ f s' t'


Context: R : Type u

Context: inst✝² : NonUnitalRing R

Context: inst✝¹ : PartialOrder R

Context: inst✝ : StarRing R

Context: h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y

Context: h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

Context: x y : R

Context: this : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

x ≤ y ↔ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
ε : ℝ
hs : ε • s ∈ 𝓝 0
hε : 0 < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
ε : ℝ
hs : ε • s ∈ 𝓝 0
hε : 0 < ε
x : E
hx : x ∈ ε • s


Context:
s : String
n : Nat


Context:
a x✝ z x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

(x * y).arg = x.arg + y.arg ↔ x.arg + y.arg ∈ Ioc (-π) π


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M

↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ t) ∩ range ↑I = ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀

r ∉ nonZeroDivisorsRight M₀ ↔ {s | r * s = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

A.det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A 0 j * (A.submatrix Fin.succ j.succAbove).det


∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ).det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A 0 j * (A.submatrix Fin.succ j.succAbove).det


Context:
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ

(-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ).det = (-1) ^ ↑i * A 0 i * (A.submatrix Fin.succ i.succAbove).det


(-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ)ᵀ.det = (-1) ^ ↑i * A 0 i * (A.submatrix Fin.succ i.succAbove).det


Context: n : ℕ

(bit false n).fastFibAux = let p := n.fastFibAux; (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'

(iso S f).symm m = LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2


(iso S f) ((iso S f).symm m) = (iso S f) (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)


m = (iso S f) (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)


m = fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p

((expand R p) f).roots = p • Multiset.map (⇑(frobeniusEquiv R p).symm) f.roots


p • Multiset.map (⇑(frobeniusEquiv R p ^ 1).symm) f.roots = p • Multiset.map (⇑(frobeniusEquiv R p).symm) f.roots


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b x : α

x ∈ ↑(s ∆ t) ↔ x ∈ ↑s ∆ ↑t


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A

ℑ ∘ₗ (selfAdjoint.submodule ℝ A).subtype = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
x✝ : ℕ

x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ico a b ↔ x✝ ∈ Ico ⌈a⌉₊ ⌈b⌉₊


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
h : Dense t

range (deriv f) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))


range (derivWithin f univ) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra ℂ A

Context: inst✝¹ : StarModule ℂ A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal

Context: a : A

IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra ℂ A

Context: inst✝¹ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ σ ℂ a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra ℂ A

Context: inst✝¹ : StarModule ℂ A

Context: a : A

IsStarNormal a ∧ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM → IsSelfAdjoint a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: b : β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: f g : (b : β) → π b

Context: b : β


Context: x y : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) ρ

∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂ρ


∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a r : ℝ

volume (Metric.ball a r) = ofReal (2 * r)


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A a b : C

Context: f : a ⟶ b

Context: U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

(skyscraperPresheaf p₀ a).map i ≫ (fun U => if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) V = (fun U => if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) U ≫ (skyscraperPresheaf p₀ b).map i


Context: X : TopCat

Context: p₀ : ↑X

Context: C : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} C

Context: inst✝ : HasTerminal C

Context: A a b : C

Context: f : a ⟶ b

Context: U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ

Context: i : U ⟶ V

((if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (if p₀ ∈ unop U then a else ⊤_ C)) ≫ if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj V)) = (if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) ≫ if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (if p₀ ∈ unop U then b else ⊤_ C)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)

Context: this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g

UnifTight ((fun x => g) + fun n => f n - g) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ

Context: hg : Memℒp g p μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

(a :: l).sublists' = l.sublists' ++ map (cons a) l.sublists'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F


‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 (Dual 𝕜 E)‖ ≤ 1


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

Context: this : ∀ (a : ↥s) (b : V), (_root_.orthogonalProjection s.direction) b = 0 → (reflection s) ((reflection s) (b +ᵥ ↑a)) = b +ᵥ ↑a


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

(reflection s) ((reflection s) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))) = p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
j k : ι
inst✝ : K.HasHomology j
h : K.d (c.prev j) j = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L

(algebraMap K E) ((norm K) x) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L
hx : IsIntegral K x


(∏ σ : ↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E, σ (adjoin.powerBasis hx).gen) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x


IsSeparable K (adjoin.powerBasis hx).gen


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * yz a1 n


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n + ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * -yz a1 n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ c
H : a ∣ b + c


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.54457, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.54461, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ = isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd' C m n (m + n) ⋯) (F.shift a) ≪≫ (shiftFunctor C m).associator (shiftFunctor C n) (F.shift a) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C m) (F.shiftIso n a a' ha') ≪≫ F.shiftIso m a' a'' ha''


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
h : WEquiv x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
i j : α

(i, j) ∈ (s ∪ t).diag ↔ (i, j) ∈ s.diag ∪ t.diag


Context:
x : ℂ
hx : ¬x = 0

log x⁻¹ = if x.arg = π then -(starRingEnd ℂ) (log x) else -log x


Context:
x : ℂ
hx : ¬x = 0

(if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)) - ↑(Real.log (normSq x)) = if x.arg = π then -(starRingEnd ℂ) (log x) else -log x


Context:
x : ℂ
hx : ¬x = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
s t : Set α
l : Filter α

t ∈ l ⊓ 𝓟 s ↔ l ⊓ 𝓟 s ≤ l ⊓ 𝓟 t


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
Y : Subobject B
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ Y

X.ofLEMk f h₁ ≫ ofMkLE f Y h₂ = X.ofLE Y ⋯


underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = underlying.map ⋯.hom


Context:
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
h : b ⟶ c
inst✝ : IsIso η


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f) + SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc g)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: T : Set α → E →L[ℝ] F

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)

SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f + toSimpleFunc g)


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
h : i ≠ j
c d : R

transvection i j c * transvection i j d = transvection i j (c + d)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E

egauge 𝕜 s (c • x) = ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x


egauge 𝕜 s (c • x) ≤ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
x : E
h : 0 = 0 → s.Nonempty

egauge 𝕜 s (0 • x) ≤ ↑‖0‖₊ * egauge 𝕜 s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E
hc : c ≠ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
hU : IsOpen s

s ∈ 𝓝ˢ t ↔ t ⊆ s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f + g ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f + g ≈ 0
this : 0 ≤ max f.norm g.norm


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm
hcl : f.norm = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm
hcl : f.norm = 0
this : max f.norm g.norm = g.norm


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm
hcl : g.norm = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm
hcl : g.norm = 0
this : max f.norm g.norm = f.norm


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L

(killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (ad R L).range.toSubmodule = killingForm R ↥(ad R L).range


killingForm R ↥↑(ad R L).idealRange = killingForm R ↥(lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)

Context: h₀ : 0 < R₁


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
p : P
hp : p ∈ s
hw : Wbtw R x p y


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

hU.fromSpec ''ᵁ PrimeSpectrum.basicOpen f = X.basicOpen f


hU.fromSpec ''ᵁ hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = X.basicOpen f


⇑hU.fromSpec.val.base '' (⇑hU.fromSpec.val.base ⁻¹' ↑(X.basicOpen f)) = ↑(X.basicOpen f)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : IsEmpty α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
this : Subsingleton (Measure α)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝² : LindelofSpace X
f : Filter X
inst✝¹ : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f


Context:
k : Type u
inst✝¹⁵ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁴ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Field M
inst✝¹⁰ : Algebra K M
inst✝⁹ : IsAlgClosed M
inst✝⁸ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S


Context: k : Type u

Context: inst✝¹⁵ : Field k

Context: K : Type u

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: inst✝¹¹ : Field M

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K M

Context: inst✝⁹ : IsAlgClosed M

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsAlgebraic K L

Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : IsDomain S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S

Context: this : IsDomain R := Function.Injective.isDomain (algebraMap R S) (NoZeroSMulDivisors.algebraMap_injective R S)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t
f : γ → α

(fun a => (f a, b)) ⁻¹' s ×ˢ t = if b ∈ t then f ⁻¹' s else ∅


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: J : Ideal R

Context: H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I

Context: hI : (Ideal.comap (algebraMap R S) I).IsMaximal

Context: s : S ⧸ I

∃ a, (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) a = s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: J : Ideal R

Context: H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I

Context: s : S

∃ a, (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) a = (Ideal.Quotient.mk I) s


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: I : Ideal S

Context: inst✝ : I.IsPrime

Context: J : Ideal R

Context: H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I

Context: r m : R

Context: hm : m ∈ M

∃ a, (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) a = (Ideal.Quotient.mk I) (mk' S r ⟨m, hm⟩)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: f : α → β

Context: l : Filter β

Tendsto f (𝓝[s] a) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h : a ∈ s

Context: f : α → β

Context: l : Filter β

Tendsto (f ∘ Subtype.val) (𝓝 ⟨a, h⟩) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η

∃ n, ∀ (C : (Fin n → α) → κ), ∃ l, IsMono C l


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: η : Type u_7

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Finite κ

Context: inst✝ : Finite η

Context: ι : Type

Context: ιfin : Fintype ι

Context: hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: η : Type u_7

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Finite κ

Context: inst✝ : Finite η

Context: ι : Type

Context: ιfin : Fintype ι

Context: C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ

Context: l : Subspace η α ι

Context: c : κ

Context: cl : ∀ (x : η → α), (fun v => C (v ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm)) (↑l x) = c

Context: e : η

∃ i, (l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) i = Sum.inr e


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: η : Type u_7

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Finite κ

Context: inst✝ : Finite η

Context: ι : Type

Context: ιfin : Fintype ι

Context: C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ

Context: l : Subspace η α ι

Context: c : κ

Context: e : η

Context: i : ι

Context: hi : l.idxFun i = Sum.inr e


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: η : Type u_7

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Finite κ

Context: inst✝ : Finite η

Context: ι : Type

Context: ιfin : Fintype ι

Context: C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ

Context: l : Subspace η α ι

Context: c : κ

Context: e : η

Context: i : ι

Context: hi : l.idxFun i = Sum.inr e

(l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) ((Fintype.equivFin ι) i) = Sum.inr e


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
a b : α✝
inst✝² : CommSemiring α✝
I : Ideal α✝
α : Type u
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : IsDomain α
x y : α


span {y} ≤ span {x} ∧ span {x} ≤ span {y} ↔ x ∣ y ∧ y ∣ x


volume (⋃ p, ⋃ (_ : 2 < p), {x | LiouvilleWith p x}) = 0


volume {x | ∃ i, 2 < i ∧ LiouvilleWith i x} = 0


volume (⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0


∀ (i : ℤ), volume ((fun x => x + ↑i) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0


Context: m : ℤ

volume ((fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0


Context: m : ℤ

volume (⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0


Context:
n : ℕ
hn : 1 ≤ n

volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)} = 0


Context:
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
r : ℝ
hr : 2 + 1 / ↑n = r

volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ r} = 0


Context:
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
r : ℝ
hr : 2 < r


Context:
r : ℝ
hr : 2 < r


Context:
r : ℝ
hr : 2 < r

∑' (i : ℕ), volume {x | ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑i, |x - ↑a / ↑i| < 1 / ↑i ^ r} ≠ ⊤


Context:
r : ℝ
hr : 2 < r

∑' (i : ℕ), volume (⋃ i_1 ∈ Finset.Icc 0 ↑i, ball (↑i_1 / ↑i) (1 / ↑i ^ r)) ≠ ⊤


Context: r : ℝ

Context: hr : 2 < r

Context: B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)


Context: r : ℝ

Context: hr : 2 < r

Context: hB : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), volume (B a b) = ↑(2 / ↑b ^ r)


Context: r : ℝ

Context: hr : 2 < r

Context: this : ∀ (b : ℕ), volume (⋃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, B a b) ≤ ↑(2 * (↑b ^ (1 - r) + ↑b ^ (-r)))


Context: r : ℝ

Context: hr : 2 < r

Summable fun a => 2 * (↑a ^ (1 - r) + ↑a ^ (-r))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p q r : R[X]
n : ℕ

(p * (X - ↑n)).comp q = p.comp q * (q - ↑n)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x < 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x < 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ interior D


Context:
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t

IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume ↔ s.re < -1


Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume


Context: s : ℂ

Context: t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Ioi t) volume


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : LocalRing S
f : R →+* S

IsLocalRingHom f ↔ (PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S) = closedPoint R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : LocalRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: inst✝ : LocalRing S

Context: f : R →+* S

Context: this : IsLocalRingHom f ↔ Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : LocalRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: inst✝ : LocalRing S

Context: f : R →+* S

Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R ↔ ((PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S)).asIdeal = (closedPoint R).asIdeal


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f


∀ (s : Set β), IsOpen s → IsUpperSet (f ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Set β
hs : IsOpen s


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

K.toCycles i j ≫ (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom = (K.sc' i j k).toCycles


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context: α : Type u_1

(Num.ofNat' 0).toZNum = -(Num.ofNat' 0).toZNum


Context: α : Type u_1


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

(Num.ofNat' (n + 1)).toZNumNeg = -(Num.ofNat' (n + 1)).toZNum


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α


I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X} ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E}


{A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E} = {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
I : Set α

I ∈ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E} ↔ I ∈ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X}


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

ContinuousWithinAt f (Ioc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iic b) b


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

IsCoseparator G ↔ (preadditiveYonedaObj G).Faithful


(preadditiveYonedaObj G ⋙ forget₂ (ModuleCat (End G)) AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveYonedaObj G).Faithful


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

∑ c : Composition n, p.compAlongComposition (id 𝕜 E) c = p n


p.compAlongComposition (id 𝕜 E) (Composition.ones n) = p n


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ Composition.ones n → p.compAlongComposition (id 𝕜 E) b = 0


Composition.ones n ∉ Finset.univ → p.compAlongComposition (id 𝕜 E) (Composition.ones n) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: α : Fin 2 → Type u

Context: m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Fin 2), SigmaFinite (μ i)

MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α)) (Measure.pi μ) ((μ 0).prod (μ 1))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: α : Fin 2 → Type u

Context: m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)

Context: s : Set (α 0)

Context: t : Set (α 1)

Context: x✝¹ : MeasurableSet s

Context: x✝ : MeasurableSet t

(Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α)) (Measure.pi μ)) (s ×ˢ t) = (μ 0) s * (μ 1) t


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: α : Fin 2 → Type u

Context: m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)

Context: s : Set (α 0)

Context: t : Set (α 1)

Context: x✝¹ : MeasurableSet s

Context: x✝ : MeasurableSet t

(μ 0) (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim) 0) * (μ 1) (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim) 1) = (μ 0) s * (μ 1) t


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
hp : ¬p = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q
V : Set E
hV : V ∈ p.basisSets
hε : id V ⊆ q.ball 0 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: t : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: hq : Continuous ⇑q

Context: s : Finset ι

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets

Context: hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets

Context: x✝ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets

Context: x✝¹ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup

Context: x✝ : NormedSpace 𝕜 E := NormedSpace.mk ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets

Context: this : Continuous ⇑q


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: q : Seminorm 𝕜 E

Context: s : Finset ι

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets

Context: this : Continuous ⇑q

Context: C : ℝ

Context: C_pos : 0 < C

Context: hC : ∀ (x : E), q x ≤ C * ‖x‖


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: f✝ : Filter α

Context: b : α

Context: v : Filter ι

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: inst✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: inst✝ : Nonempty (Subtype p)

Context: hv : v.HasBasis p s

Context: f : ι → α

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

liminf f v = if ∃ j, s ↑j = ∅ then sSup univ else if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f✝ : Filter α

Context: b : α

Context: v : Filter ι

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: inst✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: inst✝ : Nonempty (Subtype p)

Context: hv : v.HasBasis p s

Context: f : ι → α

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

liminf f v = if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f✝ : Filter α

Context: b : α

Context: v : Filter ι

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: inst✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: inst✝ : Nonempty (Subtype p)

Context: hv : v.HasBasis p s

Context: f : ι → α

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

Context: H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f✝ : Filter α

Context: b : α

Context: v : Filter ι

Context: p : ι' → Prop

Context: s : ι' → Set ι

Context: inst✝¹ : Countable (Subtype p)

Context: inst✝ : Nonempty (Subtype p)

Context: hv : v.HasBasis p s

Context: f : ι → α

Context: H : ¬∃ j, s ↑j = ∅


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
H : m * n = 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L

∫ (a : α), f a * r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) * r


∫ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫ (a : α), f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
h₀ : w i = 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
h₀ : w i ≠ 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
this : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
this : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i : ι
his : i ∈ s
hi : w i ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Sub α
inst✝² : Bot α
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : Bot β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x - y) = f x - f y
h₀ : f ⊥ = ⊥
x✝ : WithTop α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Sub α
inst✝² : Bot α
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : Bot β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x - y) = f x - f y
h₀ : f ⊥ = ⊥
x y : α


Context: p : GHSpace


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: x : M ⊗[R] N

Context: this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: x : M ⊗[R] N

Context: m : M

Context: n : N


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : Module R P

Context: inst✝⁶ : Module R Q

Context: inst✝⁵ : Module R S

Context: inst✝⁴ : Module R T

Context: inst✝³ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝² : Module R'' M

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R R' M

Context: inst✝ : SMulCommClass R R'' M

Context: x✝ : M ⊗[R] N

Context: x y : M ⊗[R] N

Context: ihx : 0 • x = 0

Context: ihy : 0 • y = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
h : map f p ≠ 0

Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (map f p).roots


Multiset.card (Multiset.map (⇑f) p.roots) ≤ Multiset.card (map f p).roots


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

∃ u ∈ 𝓝[insert x (⇑g ⁻¹' s)] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (f ∘ ⇑g) p u


MapsTo (⇑g) (insert x (⇑g ⁻¹' s)) (insert (g x) s)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E

∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: I2 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: x : E

Context: hx : ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)

Context: h'x : ∀ v ∈ s, LineDifferentiableAt ℝ f x v

∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: x : E

Context: L : E →L[ℝ] ℝ := LinearMap.toContinuousLinearMap ((B.constr ℝ) fun i => lineDeriv ℝ f x (B i))

Context: v : E

Context: hv : v ∈ s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: x : E

Context: v : E

Context: hv : v ∈ s

Context: J : L v = lineDeriv ℝ f x v


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)

Context: n : ℕ

Context: f : R[A]

n • f.support.inf degt ≤ (f ^ n).support.inf degt


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: n : ℕ

Context: f : R[A]

OrderDual.ofDual (degt 0) ≤ OrderDual.ofDual 0


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : SemilatticeSup B

Context: inst✝¹⁰ : OrderBot B

Context: inst✝⁹ : SemilatticeInf T

Context: inst✝⁸ : OrderTop T

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddMonoid B

Context: inst✝² : AddMonoid T

Context: degb : A → B

Context: degt : A → T

Context: degt0 : 0 ≤ degt 0

Context: n : ℕ

Context: f : R[A]

Context: a b : A

OrderDual.ofDual (degt (a + b)) ≤ OrderDual.ofDual (degt a + degt b)


Context:
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h0 : f x ∈ slitPlane

HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') s x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : Convex 𝕜 A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A C : Set E
hA : Convex 𝕜 A
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hA : Convex 𝕜 A
hB : B.Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: A C : Set E

Context: hA : Convex 𝕜 A

Context: l : E →L[𝕜] 𝕜

Context: hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}

Context: hB : {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}.Nonempty

Convex 𝕜 {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
l₁ l₁' l₂ l₂' : Filter α
Ixx : α → α → Set α
h : TendstoIxxClass Ixx l₁ l₂
h' : TendstoIxxClass Ixx l₁' l₂'

Tendsto (fun p => Ixx p.1 p.2) ((l₁ ⊓ l₁') ×ˢ (l₁ ⊓ l₁')) (l₂ ⊓ l₂').smallSets


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ x✝ y✝ x' y' a x y : G₀
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ


SemiconjBy a (x ^ Int.negSucc n) (y ^ Int.negSucc n)


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.IsLimit


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
p : R[X]
hs : s.Nonempty
hp : p ∈ Submodule.span R s


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
p : R[X]
hs : s.Nonempty
hp : p ∈ Submodule.span R s
h : ∀ p' ∈ s, p'.degree < p.degree


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

(whiskerRight f { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }).hom = ((isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom M, inv := RightUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ f ≫ (isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom N, inv := RightUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

coequalizer.π (M.actRight ▷ { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ M.X Y.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ M.X ◁ { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft) ≫ (whiskerRight f { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ M.X Y.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ M.X ◁ { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom M, inv := RightUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ f ≫ (isoOfIso { hom := RightUnitorBimod.hom N, inv := RightUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul) (f.hom ▷ Y.X ▷ Y.X) (f.hom ▷ Y.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ≫ RightUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ RightUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ≫ RightUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ RightUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ≫ f.hom ≫ RightUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = (M.actRight ≫ f.hom) ≫ RightUnitorBimod.inv N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = (M.actRight ≫ f.hom) ≫ (ρ_ N.X).inv ≫ N.X ◁ Y.one ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = (((f.hom ▷ Y.X ≫ N.actRight) ≫ (ρ_ N.X).inv) ≫ N.X ◁ Y.one) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (((ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ N.actRight ▷ 𝟙_ C) ≫ N.X ◁ Y.one) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ ((N.X ⊗ Y.X) ◁ Y.one ≫ N.actRight ▷ Y.X) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ (N.X ⊗ Y.X) ◁ Y.one ≫ ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ (((α_ N.X Y.X (𝟙_ C)).hom ≫ N.X ◁ Y.X ◁ Y.one) ≫ N.X ◁ Y.mul) ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y : Mon_ C

Context: M N : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

f.hom ▷ Y.X ≫ colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)) WalkingParallelPair.one = f.hom ▷ Y.X ≫ (ρ_ (N.X ⊗ Y.X)).inv ≫ (α_ N.X Y.X (𝟙_ C)).hom ≫ N.X ◁ (ρ_ Y.X).hom ≫ coequalizer.π (N.actRight ▷ Y.X) ((α_ N.X Y.X Y.X).hom ≫ N.X ◁ Y.mul)


Context:
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
a b : R
k : ℕ


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : (of v).Terminates


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
terminatedAt_n : (of v).TerminatedAt n


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
terminatedAt_n : (of v).TerminatedAt n
m : ℕ
m_geq_n : m ≥ n


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Surjective ⇑(f' ^ n)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Surjective (⇑f' ∘ ⇑(f' ^ n.pred))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤

Context: A s : Set α

Context: s_meas : MeasurableSet s

Context: hs : (μ.restrict A) s ≠ ⊤

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < (μ.restrict A) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: A s : Set α

Context: s_meas : MeasurableSet s

Context: hs : μ (s ∩ A) ≠ ⊤

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < (μ.restrict A) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: p q : Set α → Prop

Context: U s✝ : Set α

Context: ε r✝ : ℝ≥0∞

Context: A s : Set α

Context: s_meas : MeasurableSet s

Context: hs : μ (s ∩ A) ≠ ⊤

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < (μ.restrict A) s

Context: K : Set α

Context: K_subs : K ⊆ toMeasurable μ (s ∩ A) ∩ s

Context: pK : p K

Context: rK : r < μ K


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

[].prod⁻¹ = (List.map Inv.inv [].reverse).prod


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
Xs : List (Matrix n n α)

(A :: Xs).prod⁻¹ = (List.map Inv.inv (A :: Xs).reverse).prod


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData

(S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).hom ≫ h.leftHomologyIso.inv = S.leftHomologyIso.inv


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


⨅ i, (edist x ↑i).toReal = ⨅ y, dist x ↑y


Context:
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
x : R

IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) ↔ IsUnit x


IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x


Context:
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I

∀ {x : R}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x


Context:
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R

∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → ∀ {x : S}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x


∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → (∀ {x : S}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x) → (∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x) → ∀ {x : S}, IsUnit ((Ideal.Quotient.mk J) x) → IsUnit x


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥E

Context: h_basis : E.fixingSubgroup.carrier ∈ galGroupBasis K L


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: E : IntermediateField K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥E

Context: h_nhd : E.fixingSubgroup.carrier ∈ 𝓝 1


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

(∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condexpKernel μ m') a) t1 * ((condexpKernel μ m') a) t2) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ s1 → t2 ∈ s2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: s1 s2 : Set (Set Ω)

Context: hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s

Context: hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: s1 s2 : Set (Set Ω)

Context: hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s

Context: hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs2_eq : ∀ s ∈ s2, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: s1 s2 : Set (Set Ω)

Context: hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s

Context: hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hs12_eq : ∀ s ∈ s1, ∀ t ∈ s2, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (s ∩ t)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']


Context:
n : ℕ
this✝ : ↑n + 1 ≠ 0
this : ↑n + 1 + 1 ≠ 0
h : ↑n + 2 ≠ 0

gosperCatalan (n + 1) (n + 1) - gosperCatalan (n + 1) 0 = ↑(n + 1).centralBinom / (↑n + 2)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r x y : ℝ

dist x.toNNReal y.toNNReal ≤ ↑1 * dist x y


Context:
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝¹³ : Category.{?u.111353, u_3} E
inst✝¹² : Category.{?u.111357, u_4} J
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ D
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
e : F₁ ≅ F₂
G G' : D ⥤ E
τ'' : G ⟶ G'
H : E ⥤ J
A : Type u_5
inst✝¹¹ : AddMonoid A
inst✝¹⁰ : HasShift C A
inst✝⁹ : HasShift D A
inst✝⁸ : HasShift E A
inst✝⁷ : HasShift J A
inst✝⁶ : F₁.CommShift A
inst✝⁵ : F₂.CommShift A
inst✝⁴ : F₃.CommShift A
inst✝³ : G.CommShift A
inst✝² : G'.CommShift A
inst✝¹ : H.CommShift A
inst✝ : CommShift τ A
a : A
X : C

τ.app ((shiftFunctor C a).obj X) = (F₁.commShiftIso a).hom.app X ≫ (shiftFunctor D a).map (τ.app X) ≫ (F₂.commShiftIso a).inv.app X


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : M
hx : x ∈ e.source


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a✝ b✝ x y : R
n✝ m : ℕ
a b : R
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
hb : some b ∈ c
i : ℕ
ha : some a = c i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
hb : some b ∈ c
i : ℕ
ha : c i = some a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : c i = some a
j : ℕ
hb : some b = c j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : c i = some a
j : ℕ
hb : c j = some b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : a ∈ c i
j : ℕ
hb : b ∈ c j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : a ∈ c i
j : ℕ
hb : b ∈ c j
hij : i ≤ j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
c : Chain (Part α)
a b : α
i : ℕ
ha : a ∈ c i
j : ℕ
hb : b ∈ c j
hji : j ≤ i


Context:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
u : ι → Set X
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
us : s ⊆ ⋃ i, u i
uc : ⋃ i, Option.elim' sᶜ u i = univ

∃ v, (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ s ⊆ ⋃ i, v i ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (i : ι), v i ⊆ u i


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: Y : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : ParacompactSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: u : ι → Set X

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: uc : ⋃ i, Option.elim' sᶜ u i = univ

Context: v : Option ι → Set X

Context: vo : ∀ (a : Option ι), IsOpen (v a)

Context: vc : ⋃ i, v i = univ

Context: vf : LocallyFinite v

Context: vu : ∀ (a : Option ι), v a ⊆ Option.elim' sᶜ u a


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: Y : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : ParacompactSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: u : ι → Set X

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: uc : ⋃ i, Option.elim' sᶜ u i = univ

Context: v : Option ι → Set X

Context: vo : ∀ (a : Option ι), IsOpen (v a)

Context: vc : ⋃ i, v i = univ

Context: vf : LocallyFinite v


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S

∃ r m, z = r • ↑((toInvSubmonoid M S) m)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: z : S

Context: r : R

Context: m : ↥M

Context: e : z * (algebraMap R S) ↑(r, m).2 = (algebraMap R S) r


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: z : S

Context: r : R

Context: m : ↥M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing P

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: z : S

Context: r : R

Context: m : ↥M

z = z * ((algebraMap R S) ↑(r, m).2 * ↑((toInvSubmonoid M S) m))


Context:
n i : ℕ
h : i ≤ n
l₁ : ↑i + 1 ≠ 0
l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0

gosperCatalan (n + 1) (i + 1) - gosperCatalan (n + 1) i = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)


Context: n i : ℕ

Context: h : i ≤ n

Context: l₁ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0

Context: h₁ : ↑(i + 1).centralBinom = (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom / (↑i + 1)


Context: n i : ℕ

Context: h : i ≤ n

Context: l₁ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0

Context: h₂ : ↑(n - i + 1).centralBinom = (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)


Context: n i : ℕ

Context: h : i ≤ n

Context: l₁ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0

Context: h₃ : (↑i + 1) * ↑(i + 1).centralBinom = 2 * (2 * ↑i + 1) * ↑i.centralBinom


Context: n i : ℕ

Context: h : i ≤ n

Context: l₁ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0

Context: h₄ : (↑n - ↑i + 1) * ↑(n - i + 1).centralBinom = 2 * (2 * (↑n - ↑i) + 1) * ↑(n - i).centralBinom


Context: n i : ℕ

Context: h : i ≤ n

Context: l₁ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0

↑(i + 1).centralBinom * ↑(n - i).centralBinom * (2 * (↑i + 1) - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) - ↑i.centralBinom * ↑(n + 1 - i).centralBinom * (2 * ↑i - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)


Context: n i : ℕ

Context: h : i ≤ n

Context: l₁ : ↑i + 1 ≠ 0

Context: l₂ : ↑n - ↑i + 1 ≠ 0

↑(i + 1).centralBinom * ↑(n - i).centralBinom * (2 * (↑i + 1) - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) - ↑i.centralBinom * ↑(n - i + 1).centralBinom * (2 * ↑i - (↑n + 1)) / (2 * (↑n + 1) * (↑n + 1 + 1)) = ↑i.centralBinom / (↑i + 1) * ↑(n - i).centralBinom / (↑n - ↑i + 1)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
f : α → β
g : α → List β

map f l ++ l.bind g ~ l.bind fun x => f x :: g x


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} D₁
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
F : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F

Φ.IsRightDerivabilityStructure ↔ TwoSquare.GuitartExact e.hom


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: D₁ : Type u_1

Context: D₂ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} D₁

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: F : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : Φ.HasRightResolutions

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F

Context: this : Φ.IsRightDerivabilityStructure ↔ TwoSquare.GuitartExact (CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: D₁ : Type u_1

Context: D₂ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} D₁

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: F : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : Φ.HasRightResolutions

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F

Context: e' : Φ.functor ⋙ W₂.Q ≅ W₁.Q ⋙ Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q := CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)

Context: E₁ : W₁.Localization ≌ D₁ := uniq W₁.Q L₁ W₁

Context: E₂ : W₂.Localization ≌ D₂ := uniq W₂.Q L₂ W₂

Context: e₁ : W₁.Q ⋙ E₁.functor ≅ L₁ := compUniqFunctor W₁.Q L₁ W₁

Context: e₂ : W₂.Q ⋙ E₂.functor ≅ L₂ := compUniqFunctor W₂.Q L₂ W₂

Context: e'' : (Φ.functor ⋙ W₂.Q) ⋙ E₂.functor ≅ (W₁.Q ⋙ E₁.functor) ⋙ F := Φ.functor.associator W₂.Q E₂.functor ≪≫ isoWhiskerLeft Φ.functor e₂ ≪≫ e ≪≫ isoWhiskerRight e₁.symm F

Context: e''' : Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q ⋙ E₂.functor ≅ E₁.functor ⋙ F := liftNatIso W₁.Q W₁ ((Φ.functor ⋙ W₂.Q) ⋙ E₂.functor) ((W₁.Q ⋙ E₁.functor) ⋙ F) (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q ⋙ E₂.functor) (E₁.functor ⋙ F) e''

TwoSquare.GuitartExact (CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom ↔ TwoSquare.GuitartExact e.hom


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: D₁ : Type u_1

Context: D₂ : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} D₁

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: F : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : Φ.HasRightResolutions

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F

Context: this✝ : Φ.IsRightDerivabilityStructure ↔ TwoSquare.GuitartExact (CatCommSq.iso Φ.functor W₁.Q W₂.Q (Φ.localizedFunctor W₁.Q W₂.Q)).hom

Context: this : TwoSquare.vComp' e'.hom e'''.hom e₁ e₂ = e.hom


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[singleton '' s] E

LowerSemicontinuousAt (fun f => eVariationOn f s) f


∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M

x ∈ torsionBySet R M s ↔ ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
h : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
this : mk f = 0 ↔ (f - 0).LimZero


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁

(b₁.linearMap b₂) ij = (toLin b₁ b₂) ((Matrix.stdBasis R ι₂ ι₁) ij)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : Balanced C

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsSeparating 𝒢

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : Balanced C

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsSeparating 𝒢

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z✝ : C

Context: g h : Z✝ ⟶ X

Context: hgh : g ≫ f = h ≫ f

Context: G : C

Context: hG : G ∈ 𝒢

Context: i : G ⟶ Z✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝ : Balanced C

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsSeparating 𝒢

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z✝ : C

Context: g h : Y ⟶ Z✝

Context: hgh : f ≫ g = f ≫ h


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ✝ : a ⟶ b
inst✝³ : p.IsStronglyCartesian f φ✝
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' : 𝒮
a' : 𝒳
g : R' ⟶ R
ψ ψ' : a' ⟶ a
inst✝¹ : p.IsHomLift g ψ
inst✝ : p.IsHomLift g ψ'
h : ψ ≫ φ = ψ' ≫ φ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ

dist (inversion c R x) c = R ^ 2 / dist x c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
x : P
R : ℝ

dist (inversion x R x) x = R ^ 2 / dist x x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ
hx : x ≠ c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ
hx : x ≠ c
this : dist x c ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α

cthickening (max 0 δ) E = cthickening δ E


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: a : R

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : ¬p = 0


Context: x✝ y x : ℝ≥0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 0
i : Fin 1


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Simplex ℝ P 0

Context: i : Fin 1

Context: h : s.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Simplex ℝ P 0

Context: i : Fin 1

Context: this : Unique (Fin 1)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 0
i : Fin 1
this : Unique (Fin 1)
h : s.circumcenter = s.points default


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq m
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z : E
c : 𝕜


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c₁ c₂ : Computation α
h : c₁ ~ c₂


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n


Function.Injective ⇑(M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M))


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : DecidableEq ιM

Context: b : Basis ι R L

Context: bₘ : Basis ιM R M

Context: ιM' : Type u_8

Context: inst✝¹ : Fintype ιM'

Context: inst✝ : DecidableEq ιM'

Context: bₘ' : Basis ιM' R M

Context: f : Polynomial (MvPolynomial ι R) → Polynomial (MvPolynomial ι R) := Polynomial.map (aeval X).toRingHom

φ.polyCharpolyAux b bₘ = φ.polyCharpolyAux b bₘ'


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : DecidableEq ιM

Context: b : Basis ι R L

Context: bₘ : Basis ιM R M

Context: ιM' : Type u_8

Context: inst✝¹ : Fintype ιM'

Context: inst✝ : DecidableEq ιM'

Context: bₘ' : Basis ιM' R M

Context: hf : Function.Injective f


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : DecidableEq ιM

Context: b : Basis ι R L

Context: bₘ : Basis ιM R M

Context: ιM' : Type u_8

Context: inst✝¹ : Fintype ιM'

Context: inst✝ : DecidableEq ιM'

Context: bₘ' : Basis ιM' R M

Context: hf : Function.Injective f

f (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = f (φ.polyCharpolyAux b bₘ')


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : DecidableEq ιM

Context: b : Basis ι R L

Context: bₘ : Basis ιM R M

Context: ιM' : Type u_8

Context: inst✝¹ : Fintype ιM'

Context: inst✝ : DecidableEq ιM'

Context: bₘ' : Basis ιM' R M

Context: hf : Function.Injective f

Context: _h1 : Module.Finite (MvPolynomial ι R) (TensorProduct R (MvPolynomial ι R) M) := Module.Finite.of_basis (basis (MvPolynomial ι R) bₘ)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹⁰ : Module R L

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : Fintype ι'

Context: inst✝⁵ : Fintype ιM

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι'

Context: inst✝² : DecidableEq ιM

Context: b : Basis ι R L

Context: bₘ : Basis ιM R M

Context: ιM' : Type u_8

Context: inst✝¹ : Fintype ιM'

Context: inst✝ : DecidableEq ιM'

Context: bₘ' : Basis ιM' R M

Context: hf : Function.Injective f

Context: _h2 : Module.Free (MvPolynomial ι R) (TensorProduct R (MvPolynomial ι R) M) := Module.Free.of_basis (basis (MvPolynomial ι R) bₘ)


Context: x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α → γ
g : β → δ
hf : StrictAnti f
hg : StrictAnti g
a b : α × β


a.1 < b.1 ∧ a.2 ≤ b.2 ∨ a.1 ≤ b.1 ∧ a.2 < b.2 → (Prod.map f g b).1 < (Prod.map f g a).1 ∧ (Prod.map f g b).2 ≤ (Prod.map f g a).2 ∨ (Prod.map f g b).1 ≤ (Prod.map f g a).1 ∧ (Prod.map f g b).2 < (Prod.map f g a).2


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ ⟨i, j⟩.fst ⟨i, j⟩.snd

Context: i' : ι

Context: j' : α i'

((single ⟨i, j⟩ x).sigmaCurry i') j' = ((single i (single j x)) i') j'


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ ⟨i, j⟩.fst ⟨i, j⟩.snd

Context: i' : ι

Context: j' : α i'

(single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩ = ((single i (single j x)) i') j'


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ ⟨i, j⟩.fst ⟨i, j⟩.snd

Context: j' : α i

(single ⟨i, j⟩ x) ⟨i, j'⟩ = ((single i (single j x)) i) j'