Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology A

Context: G : C ⥤ D

Context: hG : CompatiblePreserving K G

Context: ℱ : SheafOfTypes K

Context: Z : C

Context: T : Presieve Z

Context: x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T

Context: h : x.Compatible

Context: Z₁ Z₂ W : D

Context: g₁ : W ⟶ Z₁

Context: g₂ : W ⟶ Z₂

Context: X₁ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Z

Context: h₁ : Z₁ ⟶ G.obj X₁

Context: hf₁ : T f₁

Context: X₂ : C

Context: f₂ : X₂ ⟶ Z

Context: h₂ : Z₂ ⟶ G.obj X₂

Context: hf₂ : T f₂

(g₁ ≫ h₁) ≫ G.map f₁ = (g₂ ≫ h₂) ≫ G.map f₂


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e₁ e₂ : Basis ι R M

SameRay R e₁.det e₂.det ↔ SameRay R (e₁.det ⇑e₂ • e₂.det) e₂.det


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
inst✝ : StrongRankCondition R


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: x✝ : P

(reflection s).symm x✝ = (reflection s) x✝


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: x✝ : P

(reflection s) ((reflection s).symm x✝) = (reflection s) ((reflection s) x✝)


Context: θ : Angle


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{v}

lift.{max v w, u} a = lift.{max u w, v} b ↔ lift.{v, u} a = lift.{u, v} b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x✝ : ℕ

Disjoint (closure ((fun x => univ) x✝)) ∅


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
hr : r < 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x => 0 * f x) l atTop ↔ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atTop ∨ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atBot


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
hr : 0 < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: c : 𝕝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕝 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: hs : StrictConvex 𝕜 s

Context: c : 𝕝

Context: hc : c ≠ 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Continuous fun f i => if ord I i = o then true else f i


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

∀ (i : I), Continuous fun a => if ord I i = o then true else a i


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: i : I

Continuous fun a => if ord I i = o then true else a i


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: i : I


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o o' : Ordinal.{max u v}

Context: f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}

Context: hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

Context: g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}

Context: hg : o'.blsub g = o

(o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯) = o.bsup f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o o' : Ordinal.{max u v}

Context: hg : o'.blsub g = o

Context: i : Ordinal.{max u v}

Context: hi : i < o'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o o' : Ordinal.{max u v}

Context: hg : o'.blsub g = o

Context: i : Ordinal.{max u v}

Context: hi : i < o

f i hi ≤ o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)


(eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ).toReal ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)


eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))


↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) = ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
inst✝ : PerfectField K
f : L[X]
hf : Irreducible f


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
inst✝ : PerfectField K
f : L[X]
hf : Irreducible f
w✝ : K[X]
left✝ : w✝.Monic
hi : Irreducible w✝
h : f ∣ map (algebraMap K L) w✝


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
σ : Perm n
M : Matrix n n R

(M.submatrix id ⇑σ).det = ↑↑(sign σ) * M.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β
this : Nonempty β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β
this✝ : Nonempty β
this : ∀ (m : β), f m ≤ g n


Context:
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
hb : 1 ≤ ↑r * ↑b


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : Zero M

Context: l✝ : List M

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => l✝.getD x 0 ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : AddMonoid R

Context: l : List R

∀ [inst : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0], l.toFinsupp = (map (fun nr => Finsupp.single nr.1 nr.2) l.enum).sum


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : Codisjoint a b


Context:
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : α → m β
f : β → γ

f <$> (x >>= g) = do let a ← x f <$> g a


(do let x ← x let a ← g x pure (f a)) = do let a ← x f <$> g a


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y z : R

x ◃⁻¹ y ◃⁻¹ z = (x ◃⁻¹ y) ◃⁻¹ x ◃⁻¹ z


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y z : R

(x ◃ x ◃⁻¹ y) ◃ x ◃ x ◃⁻¹ y ◃⁻¹ z = z


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ edgeDensity r s₁ t₁


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
hst : ↑s₂.card * ↑t₂.card ≠ 0


↑(interedges r s₂ t₂).card / (↑s₁.card * ↑t₁.card) ≤ ↑(interedges r s₁ t₁).card / (↑s₁.card * ↑t₁.card)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N
hf : f 0 = 0
x✝ : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y : α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R


HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) (2 * ↑π * I)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hR : 0 < R

Context: H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hR : 0 < R

Context: this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hR : 0 < R

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hR : 0 < R

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

∀ z ∈ sphere c R, (z - c)⁻¹ ^ n * (z - c)⁻¹ = (z - c) ^ (-↑n - 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c w : ℂ

Context: R : ℝ

Context: hw : w ∈ ball c R

Context: hR : 0 < R

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: z : ℂ

Context: hz✝ : z ∈ sphere c R


Context:
x y z✝ : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
z : ℝ


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.fst f (𝒰.map x)) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))))


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ {x_1 | ∃ y, (forgetToTop.map f) x_1 = (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) y}


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso forgetToTop f (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))).hom


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : DistribMulAction R S
inst✝ : IsScalarTower R S S
M : Matrix n m S
b : R
v : n → S
i : m


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕝
b : 𝕜
h : ‖a‖ ≤ ‖b‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b : 𝕜
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕝
h : ‖a‖ ≤ ‖0‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕝
b : 𝕜
h : ‖a‖ ≤ ‖b‖
hb : b ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: m n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.724724
S' : Type ?u.724727
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.727158
S'' : Type ?u.727161
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
r : R
x : P.Cotangent


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s : Set ℝ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ slitPlane

HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) s x


Context:
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K


↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K / ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K)!)) ^ 2


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f

f '' quasispectrum S a = quasispectrum R a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H✝ : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : MulOneClass N

Context: f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N

Context: H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H✝ : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : MulOneClass N

Context: f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N

Context: this : MonoidHom.toAdditive'' f = MonoidHom.toAdditive'' g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H✝ : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : MulOneClass N

Context: f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N

Context: x✝ : Multiplicative (α →₀ M)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H✝ : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : AddZeroClass M

Context: inst✝ : MulOneClass N

Context: f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N

Context: this : ∀ (x : α →₀ M), (MonoidHom.toAdditive'' f) x = (MonoidHom.toAdditive'' g) x

Context: x✝ : Multiplicative (α →₀ M)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context: a b m n p : ℕ


Context: b m n p : ℕ


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
a m n p : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a.factorizationLCMLeft b ∣ a.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a.factorizationLCMLeft b ∣ ∏ x ∈ (a.lcm b).factorization.support, x ^ a.factorization x


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

a.factorization.support ⊆ (a.lcm b).factorization.support


Context:
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, i ^ 0 = 1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

Context: h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

Context: B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

Context: S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

Context: S'' : ∑' (a : ι), ↑⟨∫ (x : X) in s a, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩ = ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : X → E

Context: s : ι → Set X

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ

Context: S'' : ∑' (a : ι), ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s a, ‖f x‖ ∂μ) = ENNReal.ofReal ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ‖f x‖ ∂μ, ⋯⟩)


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]
a✝ : X

((g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound) a✝ = ↑((Polynomial.aeval f) g) a✝


Polynomial.eval (↑((↑f).attachBound a✝)) g = Polynomial.eval (↑f a✝) g


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝¹ : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝ : Fintype V

G.edgeFinset.card ≤ (Fintype.card V).choose 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤


∀ {S : Set α}, IsIrreducible S → IsClosed S → ∃ x, IsGenericPoint x S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this : QuasiSober ↑U

Context: H : IsPreirreducible (Subtype.val ⁻¹' t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this✝ : QuasiSober ↑U

Context: H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

Context: this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' closure t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this✝ : QuasiSober ↑U

Context: H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

Context: this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this✝ : QuasiSober ↑U

Context: H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this✝ : QuasiSober ↑U

Context: H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

t ≤ closure (Subtype.val '' closure (Subtype.val ⁻¹' t))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this✝ : QuasiSober ↑U

Context: H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

t ∩ ↑⟨U, hU⟩ ⊆ Subtype.val '' closure (Subtype.val ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: S : Set (Set α)

Context: hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s

Context: hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s

Context: hS'' : ⋃₀ S = ⊤

Context: t : Set α

Context: h : IsIrreducible t

Context: h' : IsClosed t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ t

Context: U : Set α

Context: hU : U ∈ S

Context: hU' : x ∈ U

Context: this✝ : QuasiSober ↑U

Context: H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' t) ⊆ Subtype.val '' closure (Subtype.val ⁻¹' t)


Context:
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))

X.toΓSpecSheafedSpace.c.app (op (basicOpen r)) = X.toΓSpecCApp r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = lsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f < lsub f


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hqd0 : q.natDegree ≠ 0

(p.comp q).coeff (p.natDegree * q.natDegree) = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree


(p.sum fun a b => (C b * q ^ a).coeff (p.natDegree * q.natDegree)) = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree


∀ b ∈ p.support, b ≠ p.natDegree → (fun a b => (C b * q ^ a).coeff (p.natDegree * q.natDegree)) b (p.coeff b) = 0


p.natDegree ∉ p.support → (fun a b => (C b * q ^ a).coeff (p.natDegree * q.natDegree)) p.natDegree (p.coeff p.natDegree) = 0


(fun a b => (C b * q ^ a).coeff (p.natDegree * q.natDegree)) p.natDegree (p.coeff p.natDegree) = p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ^ p.natDegree


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n

‖iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0

↑f.Unit_of_divided_by_X_pow_order = divided_by_X_pow_order hf


Context: n : ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ+
f : Mˣ →* Nˣ
k : ℕ+
ζ : Mˣ
h : ζ ∈ ↑(rootsOfUnity k M)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0

⟪(s₁.weightedVSub p₁) w₁, (s₂.weightedVSub p₂) w₂⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (dist (p₁ i₁) (p₂ i₂) * dist (p₁ i₁) (p₂ i₂))) / 2


(-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (‖p₁ i₁ -ᵥ Classical.choice ⋯ - (p₂ i₂ -ᵥ Classical.choice ⋯)‖ * ‖p₁ i₁ -ᵥ Classical.choice ⋯ - (p₂ i₂ -ᵥ Classical.choice ⋯)‖)) / 2 = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (dist (p₁ i₁) (p₂ i₂) * dist (p₁ i₁) (p₂ i₂))) / 2


(-∑ x ∈ s₁, ∑ x_1 ∈ s₂, w₁ x * w₂ x_1 * (‖p₁ x -ᵥ p₂ x_1‖ * ‖p₁ x -ᵥ p₂ x_1‖)) / 2 = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (dist (p₁ i₁) (p₂ i₂) * dist (p₁ i₁) (p₂ i₂))) / 2


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
l : List (ι →₀ M)
x : ι

x ∈ foldr (fun x x_1 => x.support ⊔ x_1) ∅ l ↔ ∃ f ∈ l, x ∈ f.support


x ∈ foldr (fun x x_1 => x.support ∪ x_1) ∅ l ↔ ∃ f ∈ l, f x ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Monoid α
n✝ n : ℕ
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : β × γ → δ

Context: g : α → β

Context: h : α → γ

Context: x : α

Context: s : Set α

Context: y : β × γ

Context: hf : ContinuousAt f (g x, h x)

Context: hg : ContinuousWithinAt g s x

Context: hh : ContinuousWithinAt h s x

Context: e : (g x, h x) = y

ContinuousWithinAt (fun x => f (g x, h x)) s x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: x : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X true

Context: y : MvPolynomial Bool R := MvPolynomial.X false

∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν = n • X


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: pderiv_true_x : (pderiv true) x = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: pderiv_true_x : (pderiv true) x = 1

Context: pderiv_true_y : (pderiv true) y = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
c : α
hc : c ∈ (a :: b :: l).getLast?


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
c : α
hc : c ∈ (b :: l).getLast?


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
s : Finset α
p : (a : β) → a ∈ map f s → Prop
h : ∀ (x : α) (H : x ∈ s), p (f x) ⋯
x : β
hx : x ∈ map f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
s : Finset α
p : (a : β) → a ∈ map f s → Prop
h : ∀ (x : α) (H : x ∈ s), p (f x) ⋯
y : α
hy : y ∈ s
hx : f y ∈ map f s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β

comap m (g₁ ⊔ g₂) = comap m g₁ ⊔ comap m g₂


Context: u v m n : ℤ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

(∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ Set.univ → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ Set.univ → f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j) ↔ ∀ (i j : ι), f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: hf : f.LimZero

Context: hg : g.LimZero

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / 2 ∧ abv (↑g j) < ε / 2

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: H₁ : abv (↑f j) < ε / 2

Context: H₂ : abv (↑g j) < ε / 2


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N

Context: h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Substructure.map f.toHom ((closure L).toFun (⇑f ⁻¹' ↑t)) = Substructure.map f.toHom s


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ ↑t


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ ↑t

Context: h' : x ∈ ↑((closure L).toFun ↑t)


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: f : M ↪[L] N

Context: s : L.Substructure M

Context: t : Finset N

Context: hf : Function.Injective ⇑f.toHom

Context: x : N

Context: hx : x ∈ ↑t

Context: h' : x ∈ ↑(Substructure.map f.toHom s)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))

Context: B : D

(comparisonAdjunction adj).counit.app B = colimit.desc (parallelPair (F.map (G.map (adj.counit.app B))) (adj.counit.app (F.obj (G.obj B)))) (counitCofork adj B)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: F : C ⥤ D

Context: adj : F ⊣ G

Context: B : D

coequalizer.π (F.map ((comparison adj).obj B).a) (adj.counit.app (F.obj ((comparison adj).obj B).A)) ≫ (comparisonAdjunction adj).counit.app B = coequalizer.π (F.map ((comparison adj).obj B).a) (adj.counit.app (F.obj ((comparison adj).obj B).A)) ≫ colimit.desc (parallelPair (F.map (G.map (adj.counit.app B))) (adj.counit.app (F.obj (G.obj B)))) (counitCofork adj B)


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤


OuterMeasure.ofFunction (c • fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) ⋯ = OuterMeasure.ofFunction (fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), (c • m) s) ⋯


Context:
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α

(c • fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) s = ⨆ (_ : s.Nonempty), (c • m) s


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M ≃+ M₁

Context: hi : Bijective ⇑i

Context: hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
f : α → β → α
xs : t β
x : α

foldl f x xs = List.foldl f x (toList xs)


foldl f x xs = unop ((Foldl.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs))) x


Context:
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
a : Fin (n + 2) → α


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝² : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n : ℕ
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E

(iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x) m = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x) m


((iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => fderiv 𝕜 f y) x) (init m)) (m (last n)) = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x) m


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
h : AffineIndependent k fun p => ↑p

∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
h : AffineIndependent k fun p => ↑p

∃ t, ∅ ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : UniformSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ UniformInducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: inst✝ : UniformSpace ι

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

UniformSpace.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = inst✝ ↔ UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = inst✝


Context:
α β : FinPartOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget FinPartOrd).obj α


Context:
α β : FinPartOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget FinPartOrd).obj β


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ

Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atBot ↔ n ≠ 0 ∧ c < 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E

∫ (a : ℝ) in t..t + T, f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
sym : B.IsSymm
b : Basis ι K V
i j : ι

(B (b i)) ((B.dualBasis hB b) j) = if i = j then 1 else 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: x : (b : β) → π b

Context: r : ℝ

Context: hr : r ≤ 0

ball x r = Set.univ.pi fun b => ball (x b) r


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0

∑ d ∈ n.divisors, d = ∏ p ∈ n.primeFactors, ∑ k ∈ range (n.factorization p + 1), p ^ k


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0

(n.factorization.prod fun p k => (σ 1) (p ^ k)) = ∏ p ∈ n.primeFactors, ∑ k ∈ range (n.factorization p + 1), p ^ k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s t : Set M
h : s ⊆ t


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsPerfectMatching
c : G.ConnectedComponent


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s

Balanced ℝ s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : -1 ≤ a ∧ a ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)

Context: hg : Continuous (Function.uncurry g)


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : b ≠ 0


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : SMul M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
inst✝¹ : ContinuousSMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : SMul M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
inst✝¹ : ContinuousSMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
b : Bool


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: ns : ℕ → ℕ

Context: hns : Tendsto ns atTop atTop

∃ ms, Tendsto (fun n => eLpNorm (f (ns (ms n)) - g) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hg : Memℒp g p μ

Context: hui : UnifIntegrable f p μ

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: ns : ℕ → ℕ

Context: hns : Tendsto ns atTop atTop

Context: ms : ℕ → ℕ

Context: left✝ : StrictMono ms

Context: hms' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns (ms i)) x) atTop (𝓝 (g x))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β


(∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁) → ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
this : s.length - 1 + 1 = s.length


IsMaximal (s.toFun ⟨s.length.pred, ⋯⟩) (s.toFun (Fin.last s.length))


Fin.last s.length = ⟨s.length - 1, ⋯⟩.succ


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : NormOneClass A

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : NormOneClass A

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : NormOneClass A

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: x : F × E

Context: hv : x ∈ Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph

Context: hv' : x.1 = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

Context: x : F × E

Context: hv' : x.1 = 0

Context: hv : ∃ a b, (∃ (h : a ∈ f.domain), ↑f ⟨a, ⋯⟩ = b) ∧ (b, a) = x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: f : E →ₗ.[R] F

Context: hf : ∀ (m : ↥f.domain), f.toFun m = 0 → m = 0

Context: a : E

Context: b : F

Context: ha : a ∈ f.domain

Context: h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0

Context: hv' : b = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
hf : ⟨a, ha⟩ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
hf : a = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}

f ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

(f.sum fun n a => C a * X ^ n) ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ f.support

(fun n a => C a * X ^ n) n (f.coeff n) ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ f.support

C (f.coeff n) * X ^ n ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ f.support

Context: this : C (f.coeff n) ∈ p


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ f.support

Context: this✝ : C (f.coeff n) ∈ p

Context: this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ f.support

Context: this✝ : C (f.coeff n) ∈ p

C (f.coeff n) * X ^ n = (monomial n) 1 • C (f.coeff n)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type x

Context: k : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: m n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ q r f : R[X]

Context: I : Ideal R[X]

Context: n : ℕ

Context: _hn : n ∈ f.support

Context: this✝ : C (f.coeff n) ∈ p

C (f.coeff n) * X ^ n = (monomial n) (f.coeff n)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : IsCoseparator G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: G : C

Context: hG : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0) → f = 0

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: hfg : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(fun n => f (↑a n)) m ≡ (fun n => f (↑a n)) n [SMOD I ^ m • ⊤]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup T

Context: inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n

Context: hm : Submodule.map f (I ^ m • ⊤) ≤ I ^ m • ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup T

Context: inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: a : AdicCauchySequence I M

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m ≤ n

(fun n => f (↑a n)) m ≡ (fun n => f (↑a n)) n [SMOD Submodule.map f (I ^ m • ⊤)]


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
s : Set α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
s : Set α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
hs : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : b * a = 1


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: f : A →+* B

Context: g : B →+* C

Context: hf : f.FiniteType

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: x✝¹ : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: x✝ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H

IsSeparator (G ⨿ H) ↔ IsSeparating {G, H}


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: G H : C

Context: inst✝ : HasBinaryCoproduct G H

Context: h : IsSeparator (G ⨿ H)

Context: X Y : C

Context: u v : X ⟶ Y

Context: huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : G ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
hZ : Z ∈ {G, H}
g : Z ⟶ X


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E

↑‖⟪x, x⟫_𝕜‖ = ⟪x, x⟫_𝕜


Context: d x y : ℤ

IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } ∈ unitary (ℤ√d)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: m : ℝ

Context: h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re


Context: f : ℕ → ℂ

Context: m : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖


∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x ⊓ 𝓟 s, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ≠ f x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖

Context: A : (fun z => z - x) =O[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : HasFDerivWithinAt f f' s x

Context: hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖

Context: this : (fun z => f z - f x) ~[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : SMulCommClass R α α
M : Matrix m n α
a : R
N : Matrix n l α
i✝ : m
j✝ : l


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: η : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Zero N

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : η i →₀ N) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) × η i →₀ N

Context: a✝ : ι

a✝ ∈ (sigmaFinsuppEquivDFinsupp f).support ↔ a✝ ∈ f.splitSupport


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: η : ι → Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Zero N

Context: f : (i : ι) × η i →₀ N

Context: a✝ : ι

(sigmaFinsuppEquivDFinsupp f) a✝ ≠ 0 ↔ a✝ ∈ f.splitSupport


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0
i j : ℕ


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: X : C

Context: this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i

(shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X) = (i 0).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0

(x + y).intDegree ≤ max x.intDegree y.intDegree


(x.num * y.denom + x.denom * y.num).natDegree ≤ max (x.num * y.denom).natDegree (x.denom * y.num).natDegree


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hf : DifferentiableOn 𝕜 f s

Context: h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hf : DifferentiableOn 𝕜 f s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

∃ u ∈ 𝓝[s] x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x


Context: q : ℍ


Context:
a n : ℕ
a0 : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : BEq α
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

a ∈ limsup s 𝓕 ↔ ∃ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i


Context:
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω


Context:
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω
n : ℕ
e : a = ↑n


Context:
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R

ϕ p = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p


Context:
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ


ϕ (∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p)) = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p


∑ x ∈ p.support, ϕ ((monomial x) (coeff x p)) = ∑ d ∈ p.support, (ϕ.comp C) (coeff d p) * ∏ i : σ, ϕ (X i) ^ d i


Context:
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
x✝ : σ →₀ ℕ

ϕ ((monomial x✝) (coeff x✝ p)) = (ϕ.comp C) (coeff x✝ p) * ∏ i : σ, ϕ (X i) ^ x✝ i


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g ≫ π arrows j = fs j
h2 : g ≫ base arrows = f


∀ (j : WidePullbackShape J), g ≫ (limit.cone (WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows)).π.app j = (WidePullbackShape.mkCone f fs w).π.app j


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hr : G.Reachable u v


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hr : G.Reachable u v
p : G.Walk u v
h : p.length = G.dist u v


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
cp : IsCoprime a b
h : a * b = c ^ n


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
h : a * b = c ^ n
x y : R
hxy : x * a + y * b = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop

Context: mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯

Context: zero : C 0 ⋯

Context: add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, p i


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop

Context: zero : C 0 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, p i


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝¹ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop

Context: zero : C 0 ⋯

Context: x✝ : M

Context: hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, p i

Context: i : ι

Context: x : M

Context: hx : x ∈ p i

(fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) x


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop

Context: zero : C 0 ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ i, p i

(fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) 0


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M₂ : Type u_5

Context: V : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: x✝¹ : M

Context: p✝ p' : Submodule R M

Context: inst✝⁴ : Semiring R₂

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : FunLike F M M₂

Context: inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂

Context: s t : Set M

Context: ι : Sort u_9

Context: p : ι → Submodule R M

Context: C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop

Context: zero : C 0 ⋯

Context: x✝ : M

Context: hx : x✝ ∈ ⨆ i, p i

Context: x y : M

(fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) x → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) y → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) (x + y)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
a✝ : α
Hf : MonotoneOn f t
Hst : s ⊆ t
a : α
ha : a ∈ upperBounds s ∩ t


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'

comap f s.topologicalClosure = (comap f s).topologicalClosure


↑(comap f s.topologicalClosure) = ↑(comap f s).topologicalClosure


↑(comap f s.topologicalClosure) = closure ↑(comap f s)


⇑f ⁻¹' ↑s.topologicalClosure = closure (⇑f ⁻¹' ↑s)


⇑f' ⁻¹' ↑s.topologicalClosure = closure (⇑f' ⁻¹' ↑s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
v : α →₀ M
c : R
h : α → M →ₗ[R] M₂

((c • v).sum fun a => ⇑(h a)) = c • v.sum fun a => ⇑(h a)


(v.sum fun i c_1 => (h i) (c • c_1)) = v.sum fun a b => c • (h a) b


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : NeZero ↑↑n


(cyclotomic (↑n) B).IsRoot (zeta n A B) ↔ (aeval (zeta n A B)) (cyclotomic (↑n) A) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set E
hs : Balanced 𝕜 s
ht : Balanced 𝕜 t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsGLB s b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
s : Set α
ha✝ : 0 ≤ a
hs : IsGLB s b
ha : 0 < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
b c d e : α
m n : ℤ
s : Set α
hs : IsGLB s b
ha : 0 ≤ 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False

Context: x y z : α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : ¬(x = y ∨ y = z ∨ x = z)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : x < y

Context: h₂ : y < z

Context: h₃ : x < z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : x < y

Context: h₂ : y < z

Context: h₃ : z < x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : x < y

Context: h₂ : z < y

Context: h₃ : x < z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : x < y

Context: h₂ : z < y

Context: h₃ : z < x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : y < x

Context: h₂ : y < z

Context: h₃ : x < z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : y < x

Context: h₂ : y < z

Context: h₃ : z < x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : y < x

Context: h₂ : z < y

Context: h₃ : x < z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: x y z : α

Context: hne : x ≠ y ∧ y ≠ z ∧ x ≠ z

Context: h₁ : y < x

Context: h₂ : z < y

Context: h₃ : z < x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : InnerProductSpace ℝ G
f : G ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
x y : G

⟪x, y⟫_ℝ = ((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).re


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary = diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues)


toEuclideanLin (star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary) = toEuclideanLin (diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues))


∀ (i : n), (toEuclideanLin (star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary)) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i) = (toEuclideanLin (diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues))) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n

(toEuclideanLin (star ↑hA.eigenvectorUnitary * A * ↑hA.eigenvectorUnitary)) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i) = (toEuclideanLin (diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues))) ((EuclideanSpace.basisFun n 𝕜).toBasis i)


↑(hA.eigenvalues i) • EuclideanSpace.single i 1 = EuclideanSpace.single i ↑(hA.eigenvalues i)


∀ (i_1 : n), (↑(hA.eigenvalues i) • EuclideanSpace.single i 1) i_1 = EuclideanSpace.single i (↑(hA.eigenvalues i)) i_1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i j : n

(↑(hA.eigenvalues i) • EuclideanSpace.single i 1) j = EuclideanSpace.single i (↑(hA.eigenvalues i)) j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f g : α → β

Context: s s₁ : Set α

Context: h : ContinuousOn f s

Context: h' : EqOn g f s₁

Context: h₁ : s₁ ⊆ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f g : α → β

Context: s s₁ : Set α

Context: h : ContinuousOn f s

Context: h' : EqOn g f s₁

Context: h₁ : s₁ ⊆ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s₁

Context: A : ContinuousWithinAt f s₁ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f g : α → β

Context: s s₁ : Set α

Context: h : ContinuousOn f s

Context: h' : EqOn g f s₁

Context: h₁ : s₁ ⊆ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s₁

Context: A : Tendsto f (𝓝[s₁] x) (𝓝 (g x))


Context:
a b : EReal
h₁ : b ≠ ⊥
h₂ : b ≠ ⊤
h₃ : b ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
hc : HasDerivAt c c' x

HasDerivAt (fun y => c y ^ n) (↑n * c x ^ (n - 1) * c') x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x

HasDerivWithinAt (fun y => c y ^ n) (↑n * c x ^ (n - 1) * c') univ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
f : α → α
l₁ l₂ : List α
x✝ : l₂ ≠ []

modifyLast f (l₁ ++ l₂) = l₁ ++ modifyLast f l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j i : Fin n


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}


Context:
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a % n = b % n


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
hinj : Injective ⇑f


Context:
k n m : Nat
H : k.Coprime n


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n


(A.updateRow i (Pi.single j 1)).det = (A.updateColumn j (Pi.single i 1)).det


∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i_1 : n, A.updateRow i (Pi.single j 1) (σ i_1) i_1 = ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i_1 : n, A.updateColumn j (Pi.single i 1) (σ i_1) i_1


∀ x ∈ univ, ↑↑(sign x) * ∏ i_1 : n, A.updateRow i (Pi.single j 1) (x i_1) i_1 = ↑↑(sign x) * ∏ i_1 : n, A.updateColumn j (Pi.single i 1) (x i_1) i_1


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a✝ b : WithBot α
a : α
ha : a ≠ 0

↑a * ⊥ = Option.bind ⊥ fun b => Option.some (a * b)


⊥ = Option.bind ⊥ fun b => Option.some (a * b)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α

(u, v) ∈ P.nonUniforms G ε ↔ u ∈ P.parts ∧ v ∈ P.parts ∧ u ≠ v ∧ ¬G.IsUniform ε u v


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
y : G

μ ((fun x => x * y) ⁻¹' s) = 0 ↔ μ ((fun x => y⁻¹ * x) ⁻¹' s⁻¹)⁻¹ = 0


μ ((fun x => y⁻¹ * x) ⁻¹' s⁻¹)⁻¹ = 0 ↔ μ s = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingHomClass F α β
f : F
a b : α


Context:
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁶ : FunLike F α β
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : OrderHomClass F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊤), 𝓟 (Ioi a)


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α m
v : α → M
h' : m ≤ m
xs : Fin m → M

(castLE h' φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ Fin.cast ⋯)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: i : SigmaFinite ν

Context: i' : HasFundamentalDomain G α ν

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: i : SigmaFinite ν

Context: i' : HasFundamentalDomain G α ν

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: i : SigmaFinite ν

Context: i' : HasFundamentalDomain G α ν

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: A : ℕ → Set α

Context: hA_meas : ∀ (i : ℕ), A i ∈ {s | MeasurableSet s}

Context: hA : ∀ (i : ℕ), ν (A i) < ⊤

Context: hA' : ⋃ i, A i = univ


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: ν : Measure α

Context: inst✝⁴ : Countable G

Context: inst✝³ : MeasurableSpace G

Context: inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: i : SigmaFinite ν

Context: i' : HasFundamentalDomain G α ν

Context: μ : Measure (Quotient α_mod_G)

Context: A : ℕ → Set α

Context: hA_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (A i)

Context: hA : ∀ (i : ℕ), ν (A i) < ⊤

Context: hA' : ⋃ i, A i = univ


Context:
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame

(mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric ↔ (∀ (i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i < (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j) ∧ (∀ (i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).Numeric) ∧ ∀ (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j).Numeric


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (range ⇑e)
a : α


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk✝ : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
nk : ¬n % k = 0


Context:
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk✝ : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
nk : ¬n.minFac ∣ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: x : β

Context: f : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae μ) f) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: x : β

Context: f : α → β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology β

Context: inst✝ : OrderTopology β


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : b ≤ a


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom = h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH


Context: n a✝ : ℕ

a✝ ∈ image Prod.fst n.divisorsAntidiagonal ↔ a✝ ∈ n.divisors


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)


Context:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
n : ℕ
hn : q = ξ.convergent n


Context:
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y


Context:
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y

∀ (x : X.A) (g : Ultrafilter X.A), ↑g ≤ 𝓝 x → Tendsto f.f (↑g) (𝓝 (f.f x))


Context:
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
Z : C


∀ (n : ℕ), ↑(Nat.fib n) = (φ ^ n - ψ ^ n) / √5


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

∀ (f : ℕ →o Submodule R R), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)

Context: suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}

Context: minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: N : ℕ := S.sup minN


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: N : ℕ := S.sup minN

Context: hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: N : ℕ := S.sup minN

Context: n : ℕ

Context: hn : N ≤ n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: N : ℕ := S.sup minN

Context: n : ℕ

Context: hn : N ≤ n

⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I N)) = ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I n))


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: N : ℕ := S.sup minN

Context: n : ℕ

Context: hn : N ≤ n

∀ (i : { f // f ∈ S }), Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I N)) = Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I n))


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: S : Finset R

Context: hS : Ideal.span ↑S = ⊤

Context: I : ℕ →o Submodule R R

Context: N : ℕ := S.sup minN

Context: n : ℕ

Context: hn : N ≤ n

Context: s : { f // f ∈ S }

Ideal.map (floc ↑s) (I (minN ↑s)) = Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑s)) (I n)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M

LieModule.IsNilpotent R L M ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤


(∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = ⊥) ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : x✝ * y✝ ∈ sInf s
hx : x✝ ∉ sInf s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I : Ideal α

Context: a b : α

Context: s : Set (Ideal α)

Context: hs : s.Nonempty

Context: hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime

Context: x✝ y✝ : α

Context: e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I

Context: hx : ¬∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ ∈ I


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I✝ : Ideal α

Context: a b : α

Context: s : Set (Ideal α)

Context: hs : s.Nonempty

Context: hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime

Context: x✝ y✝ : α

Context: I : Ideal α

Context: hI : I ∈ s

Context: hI' : x✝ ∉ I

Context: J : Ideal α

Context: hJ : J ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I✝ : Ideal α

Context: a b : α

Context: s : Set (Ideal α)

Context: hs : s.Nonempty

Context: hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime

Context: x✝ y✝ : α

Context: I : Ideal α

Context: hI : I ∈ s

Context: hI' : x✝ ∉ I

Context: J : Ideal α

Context: hJ : J ∈ s

Context: h : I ≤ J


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Semiring α

Context: I✝ : Ideal α

Context: a b : α

Context: s : Set (Ideal α)

Context: hs : s.Nonempty

Context: hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime

Context: x✝ y✝ : α

Context: I : Ideal α

Context: hI : I ∈ s

Context: hI' : x✝ ∉ I

Context: J : Ideal α

Context: hJ : J ∈ s

Context: h : J ≤ I


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
a : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α

M.closure (X ∪ M.closure Y) = M.closure (X ∪ Y)


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≤ y