Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ ⟨i, j⟩.fst ⟨i, j⟩.snd

Context: i' : ι

Context: j' : α i'

Context: hi : i ≠ i'


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent

Context: x : ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))

Context: a✝ : x ∈ ⊤

x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range G.lapMatrix_ker_basis_aux)


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: a✝ : x ∈ ⊤

∃ c, ∑ i : G.ConnectedComponent, c i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = x


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: a✝ : x ∈ ⊤

∑ i : G.ConnectedComponent, Quot.lift ↑x ⋯ i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = x


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: a✝ : x ∈ ⊤

Context: j : V

↑(∑ i : G.ConnectedComponent, Quot.lift ↑x ⋯ i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i) j = ↑x j


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: a✝ : x ∈ ⊤

Context: j : V

Quot.lift ↑x ⋯ (G.connectedComponentMk j) = ↑x j


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
a : A

rootMultiplicity a p ≤ rootMultiplicity (f a) (map f p)


(X - C (f a)) ^ rootMultiplicity a p ∣ map f p


(X - C (f a)) ^ rootMultiplicity a p ∣ (mapRingHom f) ((X - C a) ^ rootMultiplicity a p)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
α : ↥H → K
hαx : α x = 0
hx : x ∈ corootSpace α


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
hαx : 0 x = 0
hx : x ∈ corootSpace 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
α : ↥H → K
hαx : α x = 0
hx : x ∈ corootSpace α
hα : α ≠ 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
x : ↥H
α : ↥H → K
hαx : α x = 0
hα : α ≠ 0
hx : x ∈ ⨅ β, Weight.ker


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → E
hfg : f =ᶠ[ae μ] g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : rexp 1 ≤ x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : rexp 1 ≤ x
this : 1 < x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α

f.IsCycle ↔ ∃ s, s.Nontrivial ∧ f.IsCycleOn s ∧ ∀ ⦃x : α⦄, ¬IsFixedPt (⇑f) x → x ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycle


(∃ s, s.Nontrivial ∧ f.IsCycleOn s ∧ ∀ ⦃x : α⦄, ¬IsFixedPt (⇑f) x → x ∈ s) → f.IsCycle


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
this : NeZero p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s s' : Set β
h : s ⊆ s'


(fun n => κ.densityProcess ν n a x s) ≤ᶠ[atTop] fun n => κ.densityProcess ν n a x s'


IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s


IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s'


Context:
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤

‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ = ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: V : Type u_5

Context: W : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace V

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace W

Context: inst✝⁶ : BorelSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)

Context: f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E

Context: m : (i : ι) → M i

Context: w : W

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hf : Integrable f μ

(fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ f w) m = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) m) w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: V : Type u_5

Context: W : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace V

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace W

Context: inst✝⁶ : BorelSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)

Context: f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E

Context: m : (i : ι) → M i

Context: w : W

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hf : Integrable f μ

∫ (x : V), (e (-(L.toLinearMap₂ x) w) • f x) m ∂μ = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) m) w


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: V : Type u_5

Context: W : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹⁰ : BorelSpace V

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace W

Context: inst✝⁶ : BorelSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)

Context: f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E

Context: m : (i : ι) → M i

Context: w : W

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hf : Integrable f μ

Integrable (fun v => e (-(L.toLinearMap₂ v) w) • f v) μ


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (completedCosZeta (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
aux : ↑|0| ^ s = 0


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: aux : ↑|0| ^ s = 0

Context: hint : HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: aux : ↑|0| ^ s = 0

Context: hint : HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: aux : ↑|0| ^ s = 0

Context: n : ℕ

(if n = 0 then 0 else s.Gammaℝ * ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) = s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥


(∃ n H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥) ↔ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: I J : Ideal R

Context: N P : Submodule R M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ I • N

Context: p : (x : M) → x ∈ I • N → Prop

Context: smul : ∀ (r : R) (hr : r ∈ I) (n : M) (hn : n ∈ N), p (r • n) ⋯

Context: add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ I • N) (y : M) (hy : y ∈ I • N), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: M' : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: I J : Ideal R

Context: N P : Submodule R M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ I • N

Context: p : (x : M) → x ∈ I • N → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0

(fun _x => c) =o[l] g ↔ Tendsto (fun x => ‖g x‖) l atTop


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ

drop (take i (map length L)).sum L.join = (drop i L).join


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r
h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r

Context: h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty

Context: hs : 𝒜.sup' h𝒜₀ toColex ∈ ofColex ⁻¹' ↑𝒜


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r

Context: h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty

𝒜 = initSeg (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t✝ u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r

Context: h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty

Context: t : Finset α

t ∈ 𝒜 ↔ t ∈ initSeg (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t✝ u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h𝒜 : IsInitSeg 𝒜 r

Context: h𝒜₀ : 𝒜.Nonempty

Context: t : Finset α

t ∈ 𝒜 ↔ (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex.card = t.card ∧ { ofColex := t } ≤ { ofColex := (𝒜.sup' h𝒜₀ toColex).ofColex }


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

-(Complex.I * (Complex.I * (o.kahler x) y)) = (o.kahler x) y


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ≥0

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ↑I

∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ↑I


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ
hc : c < 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c : ℝ

Context: hc : c < 1

Context: h₁ : Tendsto (fun x => 1 - ε x) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c : ℝ

Context: hc : c < 1

Context: h₁ : (∀ a' < 1, ∀ᶠ (b : ℝ) in atTop, a' < 1 - ε b) ∧ ∀ a' > 1, ∀ᶠ (b : ℝ) in atTop, 1 - ε b < a'


(o.kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler y) x)


↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • Complex.I = (starRingEnd ℂ) (↑⟪y, x⟫_ℝ + (o.areaForm y) x • Complex.I)


↑⟪y, x⟫_ℝ + -(o.areaForm y) x • Complex.I = (starRingEnd ℂ) (↑⟪y, x⟫_ℝ + (o.areaForm y) x • Complex.I)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
h : IsUnit z


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
h : IsUnit z
w : ℤ_[p]
eq : 1 = z * w


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
h : IsUnit z
w : ℤ_[p]
eq : 1 = z * w
this : ‖z‖ * ‖w‖ ≤ ‖z‖ * 1


Context:
a x z : ℂ
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t✝ u : Finset α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: t : Finset β

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ i < n, f i ∈ s

Context: f_inj : ∀ i < n, ∀ j < n, f i = f j → i = j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν


∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x ≠ 0 → 0 < μ.rnDeriv ν x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀✝ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: z₀ : E

Context: hg : AnalyticAt ℂ g z₀

Context: ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z

Context: gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z

(∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀✝ w : ℂ

Context: ε r✝ m : ℝ

Context: z₀ : E

Context: hg : AnalyticAt ℂ g z₀

Context: gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B

cs.rightInvSeq ω.reverse = (cs.leftInvSeq ω).reverse


Context: p : ℝ[X]

p.roots.toFinset.card ≤ ((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1


Context:
p : ℝ[X]
hp' : derivative p = 0


Context:
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0


Context:
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0


Context: p : ℝ[X]

Context: hp' : derivative p ≠ 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ p.roots.toFinset

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ p.roots.toFinset

Context: hxy : x < y

Context: hxy' : ∀ z ∈ p.roots.toFinset, z ∉ Set.Ioo x y

∃ z ∈ (derivative p).roots.toFinset, x < z ∧ z < y


Context: p : ℝ[X]

Context: hp' : derivative p ≠ 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : p.IsRoot x

Context: y : ℝ

Context: hy : p.IsRoot y

Context: hxy : x < y


Context: p : ℝ[X]

Context: hp' : derivative p ≠ 0

Context: hp : p ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: hx : p.IsRoot x

Context: y : ℝ

Context: hy : p.IsRoot y

Context: hxy : x < y

Context: z : ℝ

Context: hz1 : z ∈ Set.Ioo x y

Context: hz2 : deriv (fun x => eval x p) z = 0


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f : MvPolynomial σ R
d : ℕ
h : 0 < d

degreeOf n f < d ↔ ∀ m ∈ f.support, m n < d


Context:
L : Language
L' : Language
M✝ : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M✝
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
M : Type w
inst✝ : L[[α]].Structure M
s : Set α

M ⊨ L.distinctConstantsTheory s ↔ Set.InjOn (fun i => ↑(L.con i)) s


(∀ (φ : L[[α]].Sentence) (x x_1 : α), (x, x_1) ∈ s ×ˢ s ∩ (Set.diagonal α)ᶜ → ((L.con x).term.equal (L.con x_1).term).not = φ → M ⊨ φ) ↔ Set.InjOn (fun i => ↑(L.con i)) s


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M


(algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (QuadraticMap.polar ⇑(Q' Q) (0, 1) ((LinearMap.inl R M R) m)) = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: X : I₁ ⊕ I₂ → C

Context: c : Cofan X

Context: c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)

Context: c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)

Context: hc : IsColimit c

Context: hc₁ : IsColimit c₁

Context: hc₂ : IsColimit c₂

Context: inst✝ : MonoCoprod C

Context: inl : c₁.pt ⟶ c.pt

Context: hinl : ∀ (i₁ : I₁), c₁.inj i₁ ≫ inl = c.inj (Sum.inl i₁)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: X : I₁ ⊕ I₂ → C

Context: c : Cofan X

Context: c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)

Context: c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)

Context: hc : IsColimit c

Context: hc₁ : IsColimit c₁

Context: hc₂ : IsColimit c₂

Context: inst✝ : MonoCoprod C

Context: inl : c₁.pt ⟶ c.pt

inl = (binaryCofanSum c c₁ c₂ hc₁ hc₂).inl


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: hfin : Finite a b

Context: hdiv : a ∣ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: hfin : Finite a b

Context: hdiv : a ∣ b

Context: h : (multiplicity a b).get hfin = 0


Context:
n x y : ℕ
hc : x.Coprime y
h : ↑n = ↑x ^ 2 + ↑y ^ 2


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsSolvable R L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : t ∈ 𝓝[s] a


Context: d x y : ℤ

IsPell { re := x, im := y } ↔ IsPell (star { re := x, im := y })


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : Cᵒᵖ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

IsPreirreducible s ↔ ∀ (z₁ z₂ : Set X), IsClosed z₁ → IsClosed z₂ → s ⊆ z₁ ∪ z₂ → s ⊆ z₁ ∨ s ⊆ z₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t z₁ z₂ : Set X

IsOpen z₁ᶜ → IsOpen z₂ᶜ → (s ∩ z₁ᶜ).Nonempty → (s ∩ z₂ᶜ).Nonempty → (s ∩ (z₁ᶜ ∩ z₂ᶜ)).Nonempty ↔ IsClosed z₁ → IsClosed z₂ → s ⊆ z₁ ∪ z₂ → s ⊆ z₁ ∨ s ⊆ z₂


IsClosed z₁ → IsClosed z₂ → ¬s ⊆ z₁ → ¬s ⊆ z₂ → ¬s ⊆ z₁ ∪ z₂ ↔ IsClosed z₁ → IsClosed z₂ → s ⊆ z₁ ∪ z₂ → s ⊆ z₁ ∨ s ⊆ z₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t z₁ z₂ : Set X
x✝¹ : IsClosed z₁
x✝ : IsClosed z₂

¬s ⊆ z₁ → ¬s ⊆ z₂ → ¬s ⊆ z₁ ∪ z₂ ↔ s ⊆ z₁ ∪ z₂ → s ⊆ z₁ ∨ s ⊆ z₂


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
A : MeasurableEmbedding fun x => x + d

∫ (x : ℝ) in a..b, f (x + d) = ∫ (x : ℝ) in a + d..b + d, f x ∂Measure.map (fun x => x + d) volume


∫ (x : ℝ) in a + d..b + d, f x ∂Measure.map (fun x => x + d) volume = ∫ (x : ℝ) in a + d..b + d, f x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: hl : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (coequalizer.π u v) hw)

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f

Context: reassoced : ∀ {W_1 : C} (h : coequalizer u v ⟶ W_1), w ≫ coequalizer.π u v ≫ h = 0 ≫ h


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f

Context: hwf : w ≫ f = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f

Context: hwf : w ≫ f = 0

Context: n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt

Context: hn : n ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 ⋯) = w


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f

Context: hwf : w ≫ f = 0

Context: n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt

Context: hn : 0 = w


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f

Context: hwf : w ≫ f = 0

Context: n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt

Context: hn : 0 = w

Context: this : IsIso (coequalizer.π u v)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝² : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝¹ : HasCokernels C

Context: inst✝ : NormalEpiCategory C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: l : IsLimit (KernelFork.ofι 0 ⋯)

Context: Z✝ : C

Context: u v : Z✝ ⟶ X

Context: huv : u ≫ f = v ≫ f

Context: W : C

Context: w : W ⟶ X

Context: hw : w ≫ coequalizer.π u v = 0

Context: m : coequalizer u v ⟶ Y

Context: hm : coequalizer.π u v ≫ m = f

Context: hwf : w ≫ f = 0

Context: n : W ⟶ (KernelFork.ofι 0 ⋯).pt

Context: hn : 0 = w

Context: this : IsIso (coequalizer.π u v)

u ≫ coequalizer.π u v = v ≫ coequalizer.π u v


Context: a x✝ z x : ℂ


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range

(cons g w hmw hgr).prod = (of i) g * w.prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c

Context: lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a

Context: le_antisymm✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: A_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: A_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b

Context: A_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a

Context: A_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b

Context: B_min B_max : α → α → α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: B_decidableEq : DecidableEq α

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c

Context: lt_iff_le_not_le✝ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a

Context: le_antisymm✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b → b ≤ a → a = b

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: B_decidableLE : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: B_decidableLT : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: B_min_def : ∀ (a b : α), min a b = if a ≤ b then a else b

Context: B_max_def : ∀ (a b : α), max a b = if a ≤ b then b else a

Context: B_compare_canonical : ∀ (a b : α), compare a b = compareOfLessAndEq a b

mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ B_decidableLE B_decidableEq B_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_min B_max : α → α → α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: B_decidableEq : DecidableEq α

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE B_decidableEq B_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_min B_max : α → α → α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq B_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_min B_max : α → α → α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

mk le_total✝¹ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT A_min_def A_max_def A_compare_canonical = mk le_total✝ A_decidableLE A_decidableEq A_decidableLT B_min_def B_max_def B_compare_canonical


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_min B_max : α → α → α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: this : A_min = B_min


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_max : α → α → α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_max : α → α → α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: this : A_max = B_max


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: A B : LinearOrder α

Context: A_le A_lt : α → α → Prop

Context: le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: A_min A_max : α → α → α

Context: A_compare : α → α → Ordering

Context: le_total✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: A_decidableEq : DecidableEq α

Context: B_compare : α → α → Ordering

Context: le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a

Context: le_total✝ : ∀ (a b : α), a ≤ b ∨ b ≤ a

Context: this : A_compare = B_compare


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α

a ∈ (filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts).biUnion id ↔ a ∈ t


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
ha : a ∈ t

∃ a_1 ∈ filter (fun u => u ⊆ t ∧ u.Nonempty) (atomise s F).parts, a ∈ id a_1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u✝ : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
ha : a ∈ t
u : Finset α
hu : u ∈ (atomise s F).parts
hau : a ∈ u


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s t u✝ : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
inst✝ : Fintype α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
ha : a ∈ t
u : Finset α
hu : u ∈ (atomise s F).parts
hau : a ∈ u
b : α
hb : b ∈ u


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t u : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: F : Finset (Finset α)

Context: ht : t ∈ F

Context: hts : t ⊆ s

Context: a : α

Context: ha : a ∈ t

Context: b : α

Context: Q : Finset (Finset α)

Context: _hQ : Q ⊆ F

Context: hu : filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ i ∈ u) s ∈ (atomise s F).parts

Context: hau : a ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ i ∈ u) s

Context: hb : b ∈ filter (fun i => ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ i ∈ u) s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t u : Finset α

Context: P : Finpartition s

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: F : Finset (Finset α)

Context: ht : t ∈ F

Context: hts : t ⊆ s

Context: a : α

Context: ha : a ∈ t

Context: b : α

Context: Q : Finset (Finset α)

Context: _hQ : Q ⊆ F

Context: hau : a ∈ s ∧ ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ a ∈ u

Context: hb : b ∈ s ∧ ∀ u ∈ F, u ∈ Q ↔ b ∈ u


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ : Set α
h : s₂ ⊆ s₁
x : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ f x}


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : μ s = ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hs : NullMeasurableSet s μ
hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
hμ₁ : μ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: hfg : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: hfg' : ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g x).toReal}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

0 < (μ.restrict s) {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: this : 0 < (μ.restrict s) ({a | ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g a).toReal} \ {x | g x = ⊤})


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

{a | ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g a).toReal} \ {x | g x = ⊤} ⊆ {a | ⨍⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≤ f a}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: x : α

Context: hfx : ⨍ (a : α) in s, (g a).toReal ∂μ ≤ (g x).toReal

Context: hx : x ∉ {x | g x = ⊤}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: x : α

Context: hfx : ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ ≤ g x

Context: hx : x ∉ {x | g x = ⊤}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: g : α → ℝ≥0∞

Context: hint : ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ ≠ ⊤

Context: hg : Measurable g

Context: hgf : g ≤ f

Context: x : α

Context: hx : x ∉ {x | g x = ⊤}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
h : f x = 2
m : M

(preReflection ((preReflection x f) y) ((preReflection f ((Dual.eval R M) x)) g)) m = (preReflection x f ∘ₗ preReflection y g ∘ₗ preReflection x f) m


m - (g m • y - (f m * g x) • y - ((g m * f y) • x - (f m * (g x * f y)) • x)) = m - f m • x - (g m • y - (g m * f y) • x) - (f m • x - (f m • x + f m • x) - ((f m * g x) • y - (f m * (g x * f y)) • x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : ℕ → β

Context: g : CauSeq β abv

Context: h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε / 2 / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑g k - ↑g j) < ε / 2

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : ℕ → β

Context: g : CauSeq β abv

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: h₁ : abv (f i - ↑g i) < ε / 2 / 2

Context: h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : ℕ → β

Context: g : CauSeq β abv

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: h₁ : abv (↑g i - f i) < ε / 2 / 2

Context: h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : ℕ → β

Context: g : CauSeq β abv

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: h₁ : abv (↑g i - f i) < ε / 2 / 2

Context: h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2

Context: this : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField α

Context: inst✝¹ : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝ : IsAbsoluteValue abv

Context: f : ℕ → β

Context: g : CauSeq β abv

Context: ε : α

Context: ε0 : ε > 0

Context: i : ℕ

Context: j : ℕ

Context: ij : j ≥ i

Context: h₁ : abv (↑g i - f i) < ε / 2 / 2

Context: h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2

Context: this✝ : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2

Context: this : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i) + (↑g j - ↑g i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2 + ε / 2


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k d : ℕ+
ζ : Mˣ
h : ζ ∈ rootsOfUnity k M