Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
this : CharZero L


Context:
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
this✝ : CharZero L
this : Module.Finite K L


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(cosKernel (↑a) t)


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑t))


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : ∀ (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)) (jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑t))


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') = i₁₂

K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂ h'


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (x * ↑c) = f.toMap (y * ↑c)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ b : P

∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (∑ i ∈ s, w i) • (p₂ -ᵥ b)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

T0Space α ↔ Pairwise fun x y => ∃ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∉ r


Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : NonUnitalCommSemiring R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
C : Matrix p m R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

(Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.roots = s


Context:
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
γ : Type v₃
inst✝² : DecidableEq P.A
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Inhabited β
x : ↑P α
f : α → β
i : P.Idx
h : i.fst = x.fst


(P.map f x).snd (cast ⋯ i.snd) = f (x.snd (cast ⋯ i.snd))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ

(⇑derivative)^[k] (X ^ n) = ↑(n.descFactorial k) • X ^ (n - k)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : IsSupClosedCompact α


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: h : IsSupClosedCompact α

Context: a : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: h : IsSupClosedCompact α


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
f : ι → α
g : ι' → α

∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: h : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → b < ⊤ → a ≤ b + ↑ε


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : b < a


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
h : b < a
r : ℝ≥0
hr0 : 0 < r
hr : b + ↑r < a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: self : Buckets α β

Context: i : USize

Context: d d' : AssocList α β

Context: h : i.toNat < self.val.size

Context: h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size

(self.update i d h).update i d' h' = self.update i d' h


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: self : Buckets α β

Context: i : USize

Context: d d' : AssocList α β

Context: h : i.toNat < self.val.size

⟨(self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d).set ⟨i.toNat, h'⟩ d', ⋯⟩ = ⟨self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d', ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: self : Buckets α β

Context: i : USize

Context: d d' : AssocList α β

Context: h : i.toNat < self.val.size

(self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d).set ⟨i.toNat, h'⟩ d' = self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d'


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
F G : C ⥤ Dᵒᵖ
e : F ≅ G
X : C

(e.inv.app X).unop ≫ (e.hom.app X).unop = 𝟙 (Opposite.unop (F.obj X))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P

sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0 → Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}


¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} → ¬sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B' I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: hB : M.Indep B

Context: hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)

Context: hnb : ¬M.Base B


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B'✝ I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: hB : M.Indep B

Context: hnb : ¬M.Base B

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B'✝ I J D X : Set α

Context: e✝ f : α

Context: hB : M.Indep B

Context: hnb : ¬M.Base B

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: e : α

Context: he : e ∈ B' \ B

Context: h : M.Indep (insert e B)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i

a ∈ interior (I.pi s) ↔ a ∈ I.pi fun i => interior (s i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring A

Context: A₂ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂

Context: inst✝⁵ : Semiring A₂

Context: inst✝⁴ : Algebra R A₂

Context: inst✝³ : TopologicalSemiring A₂

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace 𝕜

Context: s✝ : Set C(α, 𝕜)

Context: f✝ : ↑s✝

Context: x✝ : α

Context: inst✝¹ : Field 𝕜

Context: inst✝ : TopologicalRing 𝕜

Context: s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)

Context: h : s.SeparatesPoints

Context: v : α → 𝕜

Context: x y : α

Context: n : ¬x = y

Context: f : C(α, 𝕜)

Context: hf : f ∈ ↑s

Context: hxy : (fun f => ⇑f) f x ≠ (fun f => ⇑f) f y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring A

Context: A₂ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂

Context: inst✝⁵ : Semiring A₂

Context: inst✝⁴ : Algebra R A₂

Context: inst✝³ : TopologicalSemiring A₂

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace 𝕜

Context: s✝ : Set C(α, 𝕜)

Context: f✝ : ↑s✝

Context: x✝ : α

Context: inst✝¹ : Field 𝕜

Context: inst✝ : TopologicalRing 𝕜

Context: s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)

Context: h : s.SeparatesPoints

Context: v : α → 𝕜

Context: x y : α

Context: n : ¬x = y

Context: f : C(α, 𝕜)

Context: hf : f ∈ ↑s

Context: hxy : f x - f y ≠ 0

Context: a : 𝕜 := v x

Context: b : 𝕜 := v y

Context: f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace α

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring A

Context: A₂ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂

Context: inst✝⁵ : Semiring A₂

Context: inst✝⁴ : Algebra R A₂

Context: inst✝³ : TopologicalSemiring A₂

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace 𝕜

Context: s✝ : Set C(α, 𝕜)

Context: f✝ : ↑s✝

Context: x✝ : α

Context: inst✝¹ : Field 𝕜

Context: inst✝ : TopologicalRing 𝕜

Context: s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)

Context: h : s.SeparatesPoints

Context: v : α → 𝕜

Context: x y : α

Context: n : ¬x = y

Context: f : C(α, 𝕜)

Context: hf : f ∈ ↑s

Context: hxy : f x - f y ≠ 0

Context: a : 𝕜 := v x

Context: b : 𝕜 := v y


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂


Context:
p : ℕ
w : 1 < p
p' : ℕ := p - 2

LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)


Context:
p : ℕ
w : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2


Context:
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2


¬Nat.Prime (mersenne p) → ¬LucasLehmerTest p


Context:
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)


Context:
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2


Context: p : ℕ

Context: w✝ : 1 < p

Context: p' : ℕ := p - 2

Context: z : p = p' + 2

Context: w : 1 < p' + 2

Context: a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))

Context: t : LucasLehmerTest (p' + 2)

Context: h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2

Context: h₂ : (mersenne (p' + 2)).minFac ^ 2 ≤ mersenne (p' + 2)


Context: p : ℕ

Context: w✝ : 1 < p

Context: p' : ℕ := p - 2

Context: z : p = p' + 2

Context: w : 1 < p' + 2

Context: a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))

Context: t : LucasLehmerTest (p' + 2)

Context: h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2

Context: h : 2 ^ (p' + 2) < mersenne (p' + 2)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s t : Set A

Context: hst : s ⊆ t

Context: hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: u : Set A

Context: huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: left✝ : s ⊆ u

Context: hut : u ⊆ t

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u

∃ u, AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s t : Set A

Context: hst : s ⊆ t

Context: hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: u : Set A

Context: left✝ : s ⊆ u

Context: hut : u ⊆ t

Context: hsu : s ⊆ u

∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x✝ : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: s t : Set A

Context: hst : s ⊆ t

Context: hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: u : Set A

Context: left✝ : s ⊆ u

Context: hut : u ⊆ t

Context: hsu : s ⊆ u

Context: x : Set A

Context: hxai : AlgebraicIndependent R Subtype.val

Context: huv : u ⊆ x

Context: hxt : x ⊆ t


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : IsFiltered C

Context: O : Finset C

Context: H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))

Context: J : Type w

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : FinCategory J

Context: F : J ⥤ C


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : C
h : ∀ (A : C) (f : I ⟶ A), IsIso f
I' A : C
f : I' ⟶ A
hI' : IsTerminal I'
this : IsIso (hI'.from I ≫ f)

(inv (hI'.from I ≫ f) ≫ hI'.from I) ≫ f = 𝟙 A


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s

HasConstantSpeedOnWith (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s) 1


∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ variationOnFromTo f s a '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ variationOnFromTo f s a '' s → x ≤ y → eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑1 * (y - x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: s✝ : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: c : α

Context: cs : c ∈ s

Context: h : variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c

eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc (variationOnFromTo f s a b) (variationOnFromTo f s a c)) = ENNReal.ofReal (↑1 * (variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: s✝ : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: c : α

Context: cs : c ∈ s

Context: cb : c ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: s✝ : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: c : α

Context: cs : c ∈ s

Context: bc : b ≤ c


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R


Context: a b k m n p : ℕ

p ∈ n.primeFactors ↔ p ∈ n.primeFactorsList


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : Semiring S

Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: I : ι → Ideal R

Context: hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)

Context: x : (i : ι) → R ⧸ I i

∃ r, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r = x i


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : Semiring S

Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: I : ι → Ideal R

Context: y : R ⧸ ⨅ i, I i

∃ r, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r = (quotientInfToPiQuotient I) y i


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : Semiring S

Context: ι✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : Finite ι

Context: I : ι → Ideal R

Context: r : R

∃ r_1, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r_1 = (quotientInfToPiQuotient I) ((Quotient.mk (⨅ i, I i)) r) i


Context:
μ ν : YoungDiagram
h_le : μ.transpose ≤ ν
c : ℕ × ℕ
hc : c ∈ μ.cells


Context:
α✝ : Type u_1
dflt : α✝
acc : Array α✝
n✝ : Nat

takeDTR.go dflt (n✝ + 1) [] acc = acc.data ++ takeD (n✝ + 1) [] dflt


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M

toDirectSum ((tprod R M n) x) = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)


(List.ofFn (⇑toDirectSum ∘ fun i => (ι R) (x i))).prod = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)


(List.ofFn fun x_1 => (DirectSum.of (fun n => ⨂[R]^n M) 1) ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1)).prod = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)


(DirectSum.of (fun n => ⨂[R]^n M) ((List.finRange n).dProdIndex fun x => 1)) ((List.finRange n).dProd (fun x => 1) fun x_1 => (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1) = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)


GradedMonoid.mk ((List.finRange n).dProdIndex fun x => 1) ((List.finRange n).dProd (fun x => 1) fun x_1 => (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1) = GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)


(List.map (fun a => GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 => x a)) (List.finRange n)).prod = GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)


Context:
p n k : ℕ
hp : Prime p

p ∣ (p ^ n).choose k ↔ k ≠ 0 ∧ k ≠ p ^ n


Context:
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]⟧


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)

Context: u v : Set ((i : ι) → π i)

Context: uo : IsOpen u

Context: vo : IsOpen v

Context: hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v

Context: f : (i : ι) → π i

Context: hfs : f ∈ univ.pi s

Context: hfu : f ∈ u

Context: g : (i : ι) → π i

Context: hgs : g ∈ univ.pi s

Context: hgv : g ∈ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ : Set α

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)

Context: u v : Set ((i : ι) → π i)

Context: uo : IsOpen u

Context: vo : IsOpen v

Context: hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v

Context: f : (i : ι) → π i

Context: hfs : f ∈ univ.pi s

Context: hfu : f ∈ u

Context: g : (i : ι) → π i

Context: hgs : g ∈ univ.pi s

Context: hgv : g ∈ v

Context: I : Finset ι

Context: hI : I.piecewise f g ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ : Set α

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)

Context: u v : Set ((i : ι) → π i)

Context: uo : IsOpen u

Context: vo : IsOpen v

Context: hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v

Context: f : (i : ι) → π i

Context: hfs : f ∈ univ.pi s

Context: hfu : f ∈ u

Context: g : (i : ι) → π i

Context: hgs : g ∈ univ.pi s

Context: hgv : g ∈ v

Context: hI : ∅.piecewise f g ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u✝ v✝ : Set α

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)

Context: u v : Set ((i : ι) → π i)

Context: uo : IsOpen u

Context: vo : IsOpen v

Context: hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v

Context: f : (i : ι) → π i

Context: hfs : f ∈ univ.pi s

Context: hfu : f ∈ u

Context: g : (i : ι) → π i

Context: hgs : g ∈ univ.pi s

Context: hgv : g ∈ v

Context: i : ι

Context: I : Finset ι

Context: a✝ : i ∉ I

Context: ihI : I.piecewise f g ∈ u → (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty

Context: hI : (insert i I).piecewise f g ∈ u


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
easy : ¬↑P G < ε
ε_top : ¬ε = ⊤


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_top : ¬ε = ⊤

Context: easy : ε ≤ ↑P G

Context: aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_top : ¬ε = ⊤

Context: easy : ε ≤ ↑P G

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: hQ : Q ∈ (fun Q => ↑Q G) ⁻¹' {x | ↑P G - ε < x}


Context: ι : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω

Context: inst✝² : SeparableSpace Ω

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: P : ProbabilityMeasure Ω

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: ε_top : ¬ε = ⊤

Context: easy : ε ≤ ↑P G

Context: Q : ProbabilityMeasure Ω

Context: hQ : ↑P G - ε < ↑Q G


Context:
α : Type u_1
x : α
xs : List α
y : α
inst✝ : BEq α

findIdx (fun x => x == y) (x :: xs) = bif x == y then 0 else findIdx (fun x => x == y) xs + 1


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α

(⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
this : Nonempty ↑I


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc

Context: x : Ei (last n)

‖f‖ * ∏ i : Fin (n + 1), ‖snoc m x i‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖) * ‖x‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G

Context: m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc

Context: x : Ei (last n)

‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖snoc m x i.castSucc‖) * ‖snoc m x (last n)‖) = (‖f‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖) * ‖x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E

A = adjoint B ↔ ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: ι₁ : Type u_5

Context: ι₂ : Type u_6

Context: b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E

Context: b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: h : ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: ι₁ : Type u_5

Context: ι₂ : Type u_6

Context: b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E

Context: b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F

Context: A : E →ₗ[𝕜] F

Context: B : F →ₗ[𝕜] E

Context: i₁ : ι₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : IsEmpty α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
h : (μ.prod ν) s = 0

(fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
h : (μ.prod ν) s = 0
t : Set (α × β)
hst : s ⊆ t
mt : MeasurableSet t
ht : (μ.prod ν) t = 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set (α × β)

Context: h : (μ.prod ν) s = 0

Context: t : Set (α × β)

Context: hst : s ⊆ t

Context: mt : MeasurableSet t

Context: ht : (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' t)) =ᶠ[ae μ] 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: s : Set (α × β)

Context: h : (μ.prod ν) s = 0

Context: t : Set (α × β)

Context: hst : s ⊆ t

Context: mt : MeasurableSet t

(fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) ≤ᶠ[ae μ] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: E : Set α

Context: s : Set ℝ

Context: hs₀ : s ⊆ Ioi 0

Context: hs : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → (s ∩ Ioc 0 ε).Nonempty


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: E : Set α

Context: s : Set ℝ

Context: hs₀ : s ⊆ Ioi 0

cthickening 0 E = ⋂ δ ∈ s, thickening δ E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive

Irreducible p ↔ Irreducible (map (algebraMap R K) p)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hi : Irreducible p
a b : K[X]
hab : map (algebraMap R K) p = a * b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = ↑⟨c, c0⟩ • a


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: d : R

Context: d0 : d ∈ R⁰

Context: hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = ↑⟨d, d0⟩ • b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ∈ R⁰

Context: hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ a) = C ((algebraMap R K) c) * a

Context: d : R

Context: d0 : d ∈ R⁰

Context: hd : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ b) = C ((algebraMap R K) d) * b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : c * d ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : ¬C (c * d) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : ¬C (c * d) = 0

Context: h1 : C c * C d * p = integerNormalization R⁰ a * integerNormalization R⁰ b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : ¬C (c * d) = 0

Context: u : Rˣ

Context: hu : c * d * ↑u = (integerNormalization R⁰ a).content * (integerNormalization R⁰ b).content


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : ¬C (c * d) = 0

Context: u : Rˣ

Context: h1 : C (c * d) * (C ↑u * (integerNormalization R⁰ b).primPart * (integerNormalization R⁰ a).primPart) = C (c * d) * p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : ¬C (c * d) = 0

Context: u : Rˣ

Context: h0 : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : ¬C (c * d) = 0

Context: u : Rˣ

Context: h0 : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

Context: h : IsUnit (C ↑u * (integerNormalization R⁰ b).primPart)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra R K

Context: inst✝² : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

Context: p : R[X]

Context: hp : p.IsPrimitive

Context: hi : Irreducible p

Context: a b : K[X]

Context: hab : map (algebraMap R K) p = a * b

Context: c : R

Context: c0 : c ≠ 0

Context: d : R

Context: d0 : d ≠ 0

Context: hcd0 : ¬C (c * d) = 0

Context: u : Rˣ

Context: h0 : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

Context: h : IsUnit (integerNormalization R⁰ a).primPart


Context:
l : Filter ℂ
hre : Tendsto re l atTop
r : ℝ
hr : im =O[l] fun z => z.re ^ r
n : ℕ
z : ℂ
hz : 0 ≤ z.re

(fun z => (z.re ^ r) ^ n) z = (fun z => z.re ^ (r * ↑n)) z


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

Filter.comap (Prod.map mk mk) (map (Prod.map mk mk) (𝓤 α)) = 𝓤 α


Filter.comap (Prod.map mk mk) (map (Prod.map mk mk) (𝓤 α)) ≤ 𝓤 α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen U

∃ i ∈ 𝓤 α, Prod.map mk mk ⁻¹' (Prod.map mk mk '' id i) ⊆ id U


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen U

Context: x✝¹ : α × α

Context: x₁ x₂ : α

Context: x✝ : (x₁, x₂) ∈ Prod.map mk mk ⁻¹' (Prod.map mk mk '' id U)

Context: y₁ y₂ : α

Context: hyU : (y₁, y₂) ∈ id U

Context: hxy : Prod.map mk mk (y₁, y₂) = Prod.map mk mk (x₁, x₂)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α ∧ IsOpen U

Context: x✝¹ : α × α

Context: x₁ x₂ : α

Context: y₁ y₂ : α

Context: hyU : (y₁, y₂) ∈ id U

Context: hxy : Inseparable y₁ x₁ ∧ Inseparable y₂ x₂


Context:
n : ℕ
c : CompositionAsSet n


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
j : ι

((fromMatrix R b) A) (Pi.single j 1) = ∑ i : ι, A i j • b i


∑ i : ι, (fun i => A i j * 1) i • b i = ∑ i : ι, A i j • b i


Context: x y : ℝ

sinh (3 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x


Context: x y : ℝ

↑(sinh (3 * x)) = ↑(4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X

∃ γ t, ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
this : IsPathConnected univ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → X
this : IsPathConnected univ
γ : Path (p 0) (p ↑n)
t : Fin (n + 1) → ↑I
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), γ (t i) = p i


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)

o.rightAngleRotation.symm = o.rightAngleRotation.trans (LinearIsometryEquiv.neg ℝ)


(LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯).symm = (LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯).trans (LinearIsometryEquiv.neg ℝ)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

ContDiffOn 𝕜 n f t ↔ ∀ (i : ι), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x i) t


(∀ (i : ι), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t) ↔ ∀ (i : ι), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x i) t


Context:
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B

(((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅

Context: ι✝ : Type u

Context: U : ι✝ → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊆ ⋃ i, U i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: ι✝ : Type u

Context: U : ι✝ → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: ι✝ : Type u

Context: U : ι✝ → Set X

Context: hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)

Context: hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥

Context: t : Finset ι✝

Context: ht : s ∩ ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ = ∅


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s f : R
g : ↥(Submonoid.powers s)

(toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen s)) f = (toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen s)) ↑g * const R f (↑g) (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯


const R f 1 (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯ = const R (↑g) 1 (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯ * const R f (↑g) (PrimeSpectrum.basicOpen s) ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y✝ x y : α

Context: h : x ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y x : α

Context: h : x ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y✝ x y : α

Context: h : x ≤ y

Context: hxy : x < y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Zero R
f : ArithmeticFunction R
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

Function.Surjective ⇑(Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S))


Context:
n m✝ m : ℕ
a b : Fin n

(fun x => x.addNat m) a = (fun x => x.addNat m) b → a = b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
a b : 𝓞 K
H : a ^ 3 + b ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3
coprime : IsCoprime a b
ha : ¬λ ∣ a
hb : ¬λ ∣ b
hab : λ ^ 2 ∣ a + b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Fintype ↑(G ⊔ edge s t).edgeSet

Context: hn : ¬G.Adj s t

Context: h : s ≠ t

Context: this : DecidableEq V := Classical.decEq V

(G ⊔ edge s t).edgeFinset = cons s(s, t) G.edgeFinset ⋯


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Fintype ↑(G ⊔ edge s t).edgeSet

Context: hn : ¬G.Adj s t

Context: h : s ≠ t

(edge s t).edgeFinset ∪ G.edgeFinset = {s(s, t)} ∪ G.edgeFinset


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: s t : V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : Fintype ↑(G ⊔ edge s t).edgeSet

Context: hn : ¬G.Adj s t

Context: h : s ≠ t

{s(s, t)}.toFinset ∪ G.edgeSet.toFinset = {s(s, t)} ∪ G.edgeSet.toFinset


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: HB : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

chartAt (ModelProd HB F) x = (trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: HB : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace HB

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

(trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB (↑(trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph x).1).prod (PartialHomeomorph.refl F) = (trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
g : B ⟶ op X
hg : Mono g
i : A ≅ B
hf : Mono (i.hom ≫ g)

(fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) A (i.hom ≫ g) hf = (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) B g hg


?refine_1.hom ≫ kernel.ι g.unop = kernel.ι (i.hom ≫ g).unop


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g

Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) ⋯ (Subobject.mk f) ≤ Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) ⋯ (Subobject.mk g)


Subobject.mk (kernel.ι f.unop) ≤ Subobject.mk (kernel.ι g.unop)


kernel.lift g.unop (kernel.ι f.unop) ?refine_1 ≫ kernel.ι g.unop = kernel.ι f.unop


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: hmo : f.Monic

Context: hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})

Context: i : ℕ

Context: hi : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i

∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ i


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: hmo : f.Monic

Context: i : ℕ

Context: k : ℕ

Context: hk : i = (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + k


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: hmo : f.Monic

Context: i : ℕ

Context: k : ℕ

∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree * x ^ k


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: 𝓟 : Ideal R

Context: f : R[X]

Context: hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: p : R

Context: x : S

Context: hx : (aeval x) f = 0

Context: hmo : f.Monic

Context: i : ℕ

Context: k : ℕ

Context: y : S

Context: hy : y ∈ adjoin R {x}

Context: H : (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: inst✝ : IsPreconnected J

Context: α : Type u₂

Context: F : J → α

Context: h : ∀ (j₁ j₂ : J), (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂

Context: j j' : J


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0


↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = (C r).primPart


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬C (normalize r) = 0


C (normalize r) * ↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = C (normalize r) * (C r).primPart


C (normalize r) * ↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = C r


C r * C ↑(normUnit r) * C ↑(normUnit r)⁻¹ = C r


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K

finrank ℤ (Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)) = rank K


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s t : NonemptyInterval α
a : α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝¹ : EMetricSpace X

Context: inst✝ : EMetricSpace Y

Context: C K r : ℝ≥0

Context: f : X → Y

Context: s✝ t : Set X

Context: hf : AntilipschitzWith K f

Context: s : Set Y

Context: this✝³ : MeasurableSpace X := borel X

Context: this✝² : BorelSpace X

Context: this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y

Context: this✝ : BorelSpace Y

Context: d : ℝ≥0

Context: hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤

Context: this : μH[↑d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s = ⊤


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : μH[↑d] s ≠ ⊤


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
T : Triangle (CochainComplex C ℤ)
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

(homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ ((quotient C (up ℤ)).mapTriangle.obj T) n₀ n₁ h = (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app T.obj₃ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app T.obj₁


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : y < 1


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
h : Finsupp.single i 1 = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: hx : x ∈ convexBodySum K B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: hx : x ∈ convexBodySum K B


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : DistribMulAction R X

Context: r : X

Context: s : ↥S

Context: r' : X

Context: s' : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'

Context: ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : DistribMulAction R X

Context: r : X

Context: s : ↥S

Context: r' : X

Context: s' : ↥S

Context: ra : R

Context: sa : ↥S

Context: ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'

(ra • r' + sa • r) /ₒ (sa * s) = (ra • r' + ↑sa • r) /ₒ ⟨ra * ↑s', ⋯⟩


Context:
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p

∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹


∑ i ∈ s, w i * f i = ∑ i ∈ s, w i ^ (1 - p⁻¹) * (w i ^ p⁻¹ * f i)


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

(hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv = desc b.inl b.inr


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
j : Discrete WalkingPair

(inl ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inl ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j


(inr ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inr ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j


inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }


inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }


inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }


inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w : ReducedWord G A B

Context: g : G

Context: hg : of g = ReducedWord.prod φ w

Context: w' : ReducedWord G A B := let __src := ReducedWord.empty G A B; { head := g, toList := __src.toList, chain := ⋯ }


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: w : ReducedWord G A B

Context: g : G

Context: hg : of g = ReducedWord.prod φ w

Context: this : ReducedWord.prod φ w = ReducedWord.prod φ w'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
f : ι → ι'
hf : Injective f
m : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

(sum (Function.extend f m 0)) s = (sum m) s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M


Context: n m l : ℕ


Context: n m l a : ℕ


Context:
n m l a : ℕ
a✝ : n ≤ a
h₂ : a < m
h₃ : m ≤ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : α → β

Context: s : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

map f (think ⟨s, al⟩) = (map f ⟨s, al⟩).think


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : α → β

Context: s : Stream' (Option α)

↑(map f (think ⟨s, al⟩)) = ↑(map f ⟨s, al⟩).think


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : α → β

Context: s : Stream' (Option α)

Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) (Stream'.cons none s) = Stream'.cons none (Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

f ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ f : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hμt : μ t ≠ ⊤

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: t : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⇑(toSpec 𝒜 f).val.base ⁻¹' ↑(sbo HomogeneousLocalization.mk t) = ↑((Opens.comap { toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }) (pbo ↑t.num))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

⇑(toSpec 𝒜 f).val.base = ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.toFun f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

(Computable₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Computable₂ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
x✝¹ : α
x✝ : ℕ

Option.map (f x✝¹) (decode x✝) = (decode x✝).bind (Option.some ∘ f x✝¹)


Context:
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y


Context:
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ x
hw' : y ∈ w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(condDistrib Y X μ) x‖) (Measure.map X μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x‖) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x < y


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : Chain r s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, r a b
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq β
i : β → γ
j : γ → β
h : Function.LeftInverse j i
a : β


Context:
α : Type u
l : List ℕ
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : InfSet α
inst✝¹ : InfSet β
inst✝ : sInfHomClass F α β
f : F
g : ι → α


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ : 𝕜
u✝ v✝ u v : Finset α
ε : 𝕜

(u, v) ∈ P.sparsePairs G ε ↔ u ∈ P.parts ∧ v ∈ P.parts ∧ u ≠ v ∧ ↑(G.edgeDensity u v) < ε


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R A

(map₂ (LinearMap.mul R A) M N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid


⨆ i, (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid


Context:
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1


Context:
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1

Tendsto (fun x => rexp (log b * x)) atBot atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hle : s.encard ≤ t.encard


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i


QuasiIso ((let_fun this := e.inv.left; this) ≫ φ) ↔ QuasiIso (φ' ≫ let_fun this := e.inv.right; this)


QuasiIso ((Arrow.mk φ').hom ≫ e.inv.right) ↔ QuasiIso (φ' ≫ let_fun this := e.inv.right; this)


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

term (f ⍟ g) s n = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ

term (f ⍟ g) s 0 = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {0})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g


Context:
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x✝ : α

x✝ ∈ {x | f x = g x} ↔ x✝ ∈ {x | (f - g) x = 0}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hab : ReflTransGen r a b
hbc : TransGen r b c


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

(∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsArtinian R M


(∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ WellFounded fun x x_1 => x < x_1


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E

restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T) = adjoin F (S ∪ T)


↑(restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T)) = ↑(adjoin F (S ∪ T))


↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) = ↑(adjoin F (S ∪ T))


Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))


Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)


Context:
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α


Context:
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x y : α


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

Context: hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ

Context: hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ

(f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (max 0 (max Bf Bg) * Complex.abs z ^ max cf cg)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: a : ℝ

Context: f g : ℂ → E

Context: l : Filter ℂ

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf < a

Context: Bf : ℝ

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg < a

Context: Bg : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
hq0 : a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : Finite ι
f : (i : ι) → α i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g

Context: h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)

Context: h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: μ : Measure α

Context: P : (α → E) → Prop

Context: f : α → E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hp_ne_top : 0 ≠ ⊤

Context: h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g

Context: hf : Memℒp f 0 μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hp_pos : p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hp_pos : p ≠ 0

∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hp_pos : p ≠ 0

∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p μ → ∃ g, eLpNorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ δ ∧ P g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : α → E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: P : (α → E) → Prop

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: hp_pos : p ≠ 0

∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p μ → ∃ g, eLpNorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g) → (∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑g) p μ → ∃ g_1, eLpNorm (↑g - g_1) p μ ≤ δ ∧ P g_1) → ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑(f + g)) p μ → ∃ g_1, eLpNorm (↑(f + g) - g_1) p μ ≤ δ ∧ P g_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β


Context:
n : ℕ
b : Bool


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α

⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = (μ s).toReal⁻¹ • ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
z : R
f : (i : ι) → s i


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
z : R
f : (i : ι) → s i
this : z = z • 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M

weightedHomogeneousSubmodule R w m * weightedHomogeneousSubmodule R w n ≤ weightedHomogeneousSubmodule R w (m + n)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s t : Set E
x : E
hs : s ⊆ t
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFPowerSeriesWithinAt f p t x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N

range (liftBaseChange A l) = Submodule.span A ↑(range l)


range (liftBaseChange A l) ≤ Submodule.span A ↑(range l)


Submodule.span A ↑(range l) ≤ range (liftBaseChange A l)


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

padicValNat p (p * (n / p))! = padicValNat p n !


Context:
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

padicValNat p (p * (n / p))! = padicValNat p (p * (n / p) + n % p)!


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
n : ℕ
hf : f.IsCycleOn ↑{a}
ha : a ∈ {a}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ
hs : s.Nontrivial


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Zero α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddGroup n
i j : n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddZeroClass α
h : Periodic f c


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X

op U = (Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U))


invApp f U ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) = X.presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M

LinearMap.range ((Fintype.total R S) v) = span R (Set.range v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Inhabited α
l✝ : List α
a : α
l : List α

(a :: l).dedup.headI = if (a :: l).headI ∈ (a :: l).tail then (a :: l).tail.dedup.headI else (a :: l).headI


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s : Set α

Context: f✝ : ι → α

Context: a✝ : α

Context: f : ι → α

Context: a : α

Context: h : a < ⨆ i, f i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s : Set α

Context: f✝ : ι → α

Context: a✝ : α

Context: f : ι → α

Context: a : α

Context: h : ∀ (i : ι), f i ≤ a


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
a : α


sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C} = sInf {C | ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
a : α
x✝ : ℝ

x✝ ∈ {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C} ↔ x✝ ∈ {C | ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X


∀ (a : X) (u : Set X), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
hxU : x ∈ U
U_op : IsOpen U

∃ v ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U, x ∈ v ∧ v ⊆ U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
hxU : x ∈ U
U_op : IsOpen U
this : U ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
U : Set X
hxU : x ∈ U
U_op : IsOpen U
this : U ∈ 𝓝 x
V : Set X
hVU : V ⊆ U
hxV : x ∈ V
hV : IsClopen V


(V ∈ fun U => IsClosed U ∧ IsOpen U) ∧ x ∈ V ∧ V ⊆ U


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree < p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : (-q).degree < p.degree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A

Context: w : f.toLinearMap ∘ₗ ι R = g.toLinearMap ∘ₗ ι R


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
w : (lift R).symm f = (lift R).symm g


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : α → Prop
inst✝ : DecidablePred q
s : Multiset α

filter p (filter q s) = filter q (filter p s)


Context:
b n : ℕ
h : 1 < b
hn : b ≤ n

(if h : b ≤ n ∧ 1 < b then log b (n / b) + 1 else 0) = log b (n / b) + 1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: h e f : L

Context: m : M

Context: μ : R

Context: t : IsSl2Triple h e f

Context: P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ

Context: inst✝³ : IsNoetherian R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: h e f : L

Context: m : M

Context: μ : R

Context: t : IsSl2Triple h e f

Context: P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ

Context: inst✝³ : IsNoetherian R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: contra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α

⋃ i, Iio (f i) = univ ↔ ¬BddAbove (range f)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : AtPrime 𝒜 𝔭


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : AtPrime 𝒜 𝔭
h1 : IsUnit (val f)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : AtPrime 𝒜 𝔭
b : at 𝔭.primeCompl
eq0 : val f * b = 1
eq1 : b * val f = 1


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
b : at 𝔭.primeCompl
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
eq0 : (mk f).val * b = 1
eq1 : b * (mk f).val = 1


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: 𝔭 : Ideal A

Context: inst✝ : 𝔭.IsPrime

Context: f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl

Context: b : A

Context: s : ↥𝔭.primeCompl

Context: eq0 : (mk f).val * IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s = 1

Context: eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: 𝔭 : Ideal A

Context: inst✝ : 𝔭.IsPrime

Context: f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl

Context: b : A

Context: s : ↥𝔭.primeCompl

Context: eq0 : ∃ c, ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * ↑(⟨↑f.den, ⋯⟩ * s)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: 𝔭 : Ideal A

Context: inst✝ : 𝔭.IsPrime

Context: f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl

Context: b : A

Context: s : ↥𝔭.primeCompl

Context: c : ↥𝔭.primeCompl

Context: hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: 𝔭 : Ideal A

Context: inst✝ : 𝔭.IsPrime

Context: f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl

Context: b : A

Context: s : ↥𝔭.primeCompl

Context: c : ↥𝔭.primeCompl

Context: this : ↑f.num ∉ 𝔭


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: 𝔭 : Ideal A

Context: inst✝ : 𝔭.IsPrime

Context: f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl

Context: b : A

Context: s : ↥𝔭.primeCompl

Context: c : ↥𝔭.primeCompl

Context: this : ↑f.num ∉ 𝔭

mk f * Quotient.mk'' { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this } = 1


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: 𝒜 : ι → Submodule R A

Context: inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜

Context: x : Submonoid A

Context: 𝔭 : Ideal A

Context: inst✝ : 𝔭.IsPrime

Context: f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl

Context: b : A

Context: s : ↥𝔭.primeCompl

Context: c : ↥𝔭.primeCompl

Context: this : ↑f.num ∉ 𝔭

Localization.mk ↑(f * { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this }).num ⟨↑(f * { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this }).den, ⋯⟩ = val 1


Context:
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
e : explicitCokernel f ⟶ Z
he : explicitCokernelπ f ≫ e = g


∀ (j : WalkingParallelPair), (cokernelCocone f).ι.app j ≫ e = (Cofork.ofπ g ⋯).ι.app j


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Group G

Context: A : Rep k G

Context: f : ofMulAction k G (Fin (n + 1) → G) ⟶ A

Context: x : Fin n → G

f.hom ((diagonalSucc k G n).inv.hom (Finsupp.single 1 1 ⊗ₜ[k] Finsupp.single x 1)) = f.hom (Finsupp.single (Fin.partialProd x) 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: Y : Ω → F

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)

IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: Y : Ω → F

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: this : HasPDF X ℙ μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: Y : Ω → F

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: this✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: this : HasPDF Y ℙ ν


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: Y : Ω → F

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: this✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: this : HasPDF Y ℙ ν

Context: h₀ : (map X ℙ).prod (map Y ℙ) = (μ.prod ν).withDensity fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: ℙ : Measure Ω

Context: μ : Measure E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace F

Context: ν : Measure F

Context: X : Ω → E

Context: Y : Ω → F

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: this✝ : HasPDF X ℙ μ

Context: this : HasPDF Y ℙ ν

AEMeasurable (fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2) (μ.prod ν)


Context: ss : List String

(join ss).data = (List.map data ss).join


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
h : f ≠ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ g f : Perm α

Context: h : ∀ (a b : α), f a = a ∨ f b = b ∨ a = b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
a : α
h : f (f a) = f a ∨ f a = a ∨ f a = a


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

(F.mapComp f (𝟙 b)).inv = F.map f ◁ (F.mapId b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom ≫ F.map₂ (ρ_ f).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
h : j ≠ i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
x✝ : ι


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R

(vandermonde v).det ≠ 0 ↔ ∀ ⦃a₁ a₂ : Fin n⦄, v a₁ = v a₂ → a₁ = a₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : s.card = Fintype.card α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
h : MeromorphicAt f⁻¹ x


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
F : PointedMap Γ Γ'
f : Γ → Γ
f' : Γ' → Γ'
H : ∀ (x : Γ), F.f (f x) = f' (F.f x)
n : ℕ
L : ListBlank Γ

map F (modifyNth f n L) = modifyNth f' n (map F L)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k₁ k₂ : ℕ
hk : k₁ ≤ k₂

(TruncatedWittVector.truncate hk).comp ((zmodEquivTrunc p k₂).toRingHom.comp (PadicInt.toZModPow k₂)) = (zmodEquivTrunc p k₁).toRingHom.comp (PadicInt.toZModPow k₁)


Context:
f : ℕ → ℂ
n : ℕ


Context:
f : ℕ → ℂ
n : ℕ

(if n = 1 then f n else 0) = if n = 1 then f 1 else 0


Context:
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝ : (a : α) → L.Structure (M a)
β : Type u_3
x : β → (a : α) → M a
t : L.Term β

Term.realize (fun i => Quotient.mk' (x i)) t = Quotient.mk' fun a => Term.realize (fun i => x i a) t


(fun a => Term.realize (fun i => x i a) t) = Term.realize x t


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s

IsOpen {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f s

Context: z : E

Context: hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}

Filter.Eventually (IsMaxOn (norm ∘ f) s) (𝓝 z)


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: z : E

Context: hd : ∀ᶠ (w : E) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ f w


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : V
p : P

z +ᵥ p ∈ affineSegment R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) ↔ z ∈ affineSegment R x y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
h : map f I = ⊤


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
x y : S

x * y ∈ map f I → x ∈ map f I ∨ y ∈ map f I


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g
this : Mono h.g'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g
this✝ : Mono h.g'
this : Epi h.g'


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P

intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s