Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton

Context: tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableRel H.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

∀ ⦃H : SimpleGraph α⦄ [inst : DecidableRel H.Adj], H ≤ G → H.CliqueFree 3 → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H✝ : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝⁴ : Fintype α

Context: inst✝³ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝² : DecidableRel H✝.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: H : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel H.Adj

Context: hG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: G H✝ : SimpleGraph α

Context: ε δ : 𝕜

Context: n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: inst✝⁴ : Fintype α

Context: inst✝³ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝² : DecidableRel H✝.Adj

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: tris : Finset (Finset α)

Context: htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3

Context: H : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel H.Adj

Context: hG : H ≤ G

Context: hH : H.CliqueFree 3

ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑(G.edgeFinset.card - H.edgeFinset.card)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)


¬o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : (o.oangle x y).sign = -1

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0

Context: hxy : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : ¬0 ≤ (↑(InnerProductGeometry.angle x y)).sign

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : s.topologicalClosure = ⊤

(Subalgebra.map (↑f) s).topologicalClosure = ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : ↑s.topologicalClosure = ↑⊤

↑(Subalgebra.map (↑f) s).topologicalClosure = ↑⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : Dense ↑s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y Z : Subobject B
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ Z


underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = underlying.map ⋯.hom


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: A : ∀ (i : ι), ∃ t, IsSeparable t ∧ f ⁻¹' t ∈ ae (μ i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t : ι → Set β

Context: t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)

Context: ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t : ι → Set β

Context: t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)

Context: ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)

∀ (b : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ b, ∃ i, f x ∈ t i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t : ι → Set β

Context: t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)

Context: ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)

Context: i : ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : ι → Measure α

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: t : ι → Set β

Context: t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)

Context: ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)

Context: i : ι

Context: x : α

Context: hx : x ∈ f ⁻¹' t i


Context:
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : 0 < c
d : ℕ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
this : PolishSpace ↑s


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f a = f (a + p)
hc : ContinuousOn f (Icc a (a + p))


Continuous (Quot.lift ((Icc a (a + p)).restrict f) ⋯ ∘ ⇑(equivIccQuot p a))


Continuous (Quot.lift ((Icc a (a + p)).restrict f) ⋯)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A 0)) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry 0) 1) x✝


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

∫⁻ (x : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖x‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)

∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} < ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)

Context: h_int : ∀ (t : ℝ), 0 < t → μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} = μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)

∫⁻ (x : ℝ) in Ioi 0, μ (Metric.closedBall 0 (x ^ (-r⁻¹) - 1)) ∂volume < ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)

Context: f : ℝ → ℝ≥0∞ := fun t => μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))

Context: mB : ℝ≥0∞ := μ (Metric.ball 0 1)

lintegral (volume.restrict (Ioi 0)) f < ⊤


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: r : ℝ

Context: hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

Context: hr : 0 < r

Context: h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)

Context: mB : ℝ≥0∞ := μ (Metric.ball 0 1)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocRing A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing B

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing C

Context: inst✝² : Module R A

Context: inst✝¹ : Module R B

Context: inst✝ : Module R C

Context: S T : NonUnitalSubalgebra R A

Context: h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring

Context: x : A


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤

Context: y : L


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: y : L

Context: hy : y ∈ ⊤


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: x : L

Context: y : L

Context: hy : ∃ y_1, (∃ a, a • x = y_1) ∧ ∃ z ∈ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule, y_1 + z = y


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: h_int_eq : ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ = ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

(fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)) =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (g x) / ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hfg : f =ᶠ[ae μ] g

Context: x : α

Context: hx : f x = g x

ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) = ENNReal.ofReal (rexp (g x) / ∫ (x : α), rexp (g x) ∂μ)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A


1 - ∑ k ∈ range 3, ↑(Nat.choose 3 k) / (↑3 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 0


Context:
c : Char
cs : List Char

{ data := c :: cs }.extract 0 { data := c :: cs }.endPos = { data := c :: cs }


Context:
c : Char
cs : List Char

{ data := extract.go₁ (c :: cs) 0 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } } = { data := c :: cs }


Context:
c : Char
cs : List Char

extract.go₁ (c :: cs) 0 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = c :: cs


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0

(p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P

Function.Surjective ⇑(lTensor M f) ↔ Function.Surjective ⇑(rTensor M f)


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0

Context: x : ℤ

Context: hx : x ∈ {a, b, c}


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0

Context: x : ℤ

Context: hx : x = a ∨ x = b ∨ x = c


Context: a b c : ℤ

Context: ha : a ≠ 0

Context: h3a : 3 ∣ a

Context: Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1

Context: HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0

Context: x : ℤ

Context: hx : x = a ∨ x = b ∨ x = c

Context: h3b : 3 ∣ b


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹³ : Module R L

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : Fintype ιM

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: b✝ : Basis ι R L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: x : L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ↑(finrank R M) ≤ #R

Context: b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L

Context: bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M

Context: n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹³ : Module R L

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : Fintype ιM

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: b✝ : Basis ι R L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: x : L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ↑(finrank R M) ≤ #R

Context: aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹³ : Module R L

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : Fintype ιM

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: b✝ : Basis ι R L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: x✝ : L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ↑(finrank R M) ≤ #R

Context: x : ChooseBasisIndex R L → R

Context: hx : (eval x) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹³ : Module R L

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : Fintype ιM

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: b✝ : Basis ι R L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: x✝ : L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ↑(finrank R M) ≤ #R

Context: x : ChooseBasisIndex R L → R

Context: c : ChooseBasisIndex R L →₀ R := Finsupp.equivFunOnFinite.symm x


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: n✝ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: ι' : Type u_6

Context: ιM : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : CommRing R

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup L

Context: inst✝¹³ : Module R L

Context: inst✝¹² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹¹ : Module R M

Context: φ : L →ₗ[R] Module.End R M

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι'

Context: inst✝⁸ : Fintype ιM

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι'

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: b✝ : Basis ι R L

Context: inst✝³ : Module.Finite R L

Context: inst✝² : Module.Free R L

Context: inst✝¹ : Nontrivial R

Context: x✝ : L

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : ↑(finrank R M) ≤ #R

Context: x : ChooseBasisIndex R L → R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b x : α


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : β → α

Context: hf : QuasiMeasurePreserving f ν μ

Context: e : G → H

Context: he : Bijective e

Context: hef : ∀ (g : G), Semiconj f (fun x => e g • x) fun x => g • x

Context: x : β

Context: x✝ : ∃ g, g • f x ∈ s

Context: g : G

Context: hg : g • f x ∈ s


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : β → α

Context: hf : QuasiMeasurePreserving f ν μ

Context: a b : H

Context: hab : a ≠ b

Context: e : G ≃ H

Context: this : (e.symm a⁻¹)⁻¹ ≠ (e.symm b⁻¹)⁻¹

(AEDisjoint ν on fun g => g • f ⁻¹' s) a b


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : β → α

Context: hf : QuasiMeasurePreserving f ν μ

Context: a b : H

Context: hab : a ≠ b

Context: e : G ≃ H

Context: this✝ : (e.symm a⁻¹)⁻¹ ≠ (e.symm b⁻¹)⁻¹

Context: this : AEDisjoint ν (f ⁻¹' (fun g => g • s) (e.symm a⁻¹)⁻¹) (f ⁻¹' (fun g => g • s) (e.symm b⁻¹)⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MulAction H β

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: h : IsFundamentalDomain G s μ

Context: f : β → α

Context: hf : QuasiMeasurePreserving f ν μ

Context: a b : H

Context: hab : a ≠ b

Context: e : G ≃ H

Context: hef : ∀ (g : G) (x : β), f (e g • x) = g • f x

Context: this✝ : (e.symm a⁻¹)⁻¹ ≠ (e.symm b⁻¹)⁻¹


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
s : Set (α → β → Prop)
a : α
b : β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
n : ℤ

l.sum % n = (map (fun x => x % n) l).sum % n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
x✝ : s ∈ ⊥


Context: X✝ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝

Context: X : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: s : (i : ι) → Set (X i)

(∀ (i : ι), IsCompact (s i)) → IsCompact {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}


Context: X✝ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝

Context: X : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (X i)

(∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (X i)), s i ∈ ↑f → ∃ x ∈ s i, ↑f ≤ 𝓝 x) → ∀ (f : Ultrafilter ((i : ι) → X i)), {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f → ∃ x ∈ {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}, ∀ (i : ι), Tendsto (eval i) (↑f) (𝓝 (x i))


Context: X✝ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝

Context: X : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (X i)

Context: h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (X i)), s i ∈ ↑f → ∃ x ∈ s i, ↑f ≤ 𝓝 x

Context: f : Ultrafilter ((i : ι) → X i)

Context: hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f

∃ x ∈ {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}, ∀ (i : ι), Tendsto (eval i) (↑f) (𝓝 (x i))


Context: X✝ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝

Context: X : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (X i)

Context: f : Ultrafilter ((i : ι) → X i)

Context: hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f

Context: this : ∀ (i : ι), ∃ x ∈ s i, Tendsto (eval i) (↑f) (𝓝 x)


Context: X✝ : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X✝

Context: X : ι → Type u_2

Context: s : (i : ι) → Set (X i)

Context: f : Ultrafilter ((i : ι) → X i)

Context: hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f

Context: x : (i : ι) → X i

Context: hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i ∧ Tendsto (eval i) (↑f) (𝓝 (x i))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R


∀ (a : R), (algebraMap R S) a = 0 → a = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
a : R
ha : (algebraMap R S) a = 0


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
h_ss : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
ht : t ∈ C
hJt : ∀ s ∈ I, s ⊆ t


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
x : α × β

x ∈ interedges r s₂ t₂ → x ∈ interedges r s₁ t₁


x.1 ∈ s₂ ∧ x.2 ∈ t₂ ∧ r x.1 x.2 → x.1 ∈ s₁ ∧ x.2 ∈ t₁ ∧ r x.1 x.2


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V

w ∈ G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v ↔ w ∈ {v}ᶜ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : ∀ {a b : V}, G.Adj a b → a ≠ b


Context: n₁ n₂ : ℤ

(n₁ - n₂).negOnePow = n₁.negOnePow * n₂.negOnePow


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: r : α → β → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → Fintype ↑(Rel.image r {a})

Context: r' : α → Finset β := fun a => (Rel.image r {a}).toFinset

(∀ (A : Finset α), A.card ≤ card ↑(Rel.image r ↑A)) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), r x (f x)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: r : α → β → Prop

Context: h : ∀ (A : Finset α), card ↑(Rel.image r ↑A) = (A.biUnion r').card


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: r : α → β → Prop

Context: h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: r : α → β → Prop

(∀ (A : Finset α), A.card ≤ (A.biUnion r').card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), f x ∈ r' x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : s ∈ f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
hs : s ∈ f
n : ℕ


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y

⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: f g : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)

Context: Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: f g : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: f g : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)

Context: Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y

Context: x y z t : X ⊕ Y

Context: f g : GromovHausdorff.Cb X Y

Context: cg : ℝ

Context: hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)

Context: cf : ℝ

Context: hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)

Context: Z : ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y) + dist f g


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0

quadraticCharFun F a = if a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1


(if IsSquare a then 1 else -1) = if a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1


Context:
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)

(coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* R
r : R
s : S
hr : eval₂ f r p = 0


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0

(∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ≥0∞

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: hp_not_neg : ¬p < 0

Context: h_top_iff_rpow_top : ∀ i ∈ s, w i * z i = ⊤ ↔ w i * z i ^ p = ⊤


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ≥0∞

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: hp_not_neg : ¬p < 0

(∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p = ⊤ → ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p = ⊤


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: w z : ι → ℝ≥0∞

Context: hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hp_nonneg : 0 ≤ p

Context: hp_not_neg : ¬p < 0

(∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≠ ⊤ → ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p ≠ ⊤ → ((∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p).toNNReal


Context:
f g : 𝓢(ℝ, ℂ)
hfg : 𝓕 ⇑f = ⇑g
x : ℝ

∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), g ↑n * (fourier n) ↑x


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b


Context:
α β : Type u
b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b


Context:
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set β)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β

Continuous f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f ⁻¹' s)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsCompact K


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsCompact (K ∩ range f)


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ

n < Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m ≤ n → ¬p m


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M
hne : N.E ≠ M.E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : 0 < s.infsep


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : ¬s.Nontrivial


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : s.Subsingleton


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsUnit (X ^ 0 - 1)


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableAt 𝕜 f x


fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f univ x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
b : ℕ
hb : b ≤ 1
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => x ≫ f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ X

Context: hg : g ≫ f = 𝟙 Y


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
t : Set E
ot : IsOpen t
xt : x ∈ t
st : t ∩ s ⊆ {x}


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
t : Set E
ot : IsOpen t
xt : x ∈ t
st : t ∩ s ⊆ {x}
r : ℝ
r0 : r > 0
rt : Metric.ball x r ⊆ t


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ
this : ¬single s 1 ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
n : ℕ
a : α
h : Even n


Context:
α : Type u
b : Ultrafilter α


Context:
α : Type u
b : Ultrafilter α

comap pure (⨅ s ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 s) ≤ ↑b


Context:
α : Type u
b : Ultrafilter α

⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i) ≤ ↑b


Context:
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ ↑b

s ∈ ⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i)


⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i) ≤ 𝓟 s


⨅ (_ : {u | s ∈ u} ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}), 𝓟 (pure ⁻¹' {u | s ∈ u}) ≤ 𝓟 s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a₁ b₁ a₂ b₂ : CauSeq α abs
ha : a₁ ≈ a₂
hb : b₁ ≈ b₂
ε : α
ε0 : ε > 0
ai : ℕ
hai : ∀ j ≥ ai, |↑(a₁ - a₂) j| < ε
bi : ℕ
hbi : ∀ j ≥ bi, |↑(b₁ - b₂) j| < ε

∃ i, ∀ j ≥ i, |↑(a₁ ⊔ b₁ - a₂ ⊔ b₂) j| < ε


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
h : ∀ (x : α), p x → q x
x : α
l : List α


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b c d a : K
h : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E

(reflection Kᗮ) x✝ = ((reflection K).trans (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜)) x✝


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
d : ℝ≥0∞

d ≤ infEdist x s ↔ ∀ y ∈ s, d ≤ edist x y


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
g' : G → G → E' := fun x q => g q


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g'✝ : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : Continuous g

Context: g' : G → G → E' := fun x q => g q

Context: this : ContinuousOn (↿g') (univ ×ˢ univ)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

u ∈ (s ∩ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊼ t.powerset


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∩ t


(∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∩ b = u) → u ⊆ s ∩ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Semiquot α
h : t.IsPure
st : s ≤ t


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)

Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ))


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l φ


(fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Iic b)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b

∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ.restrict (Iic b) = ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ


∫ (x : ℝ) in φ i ∩ Iic b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) b, f x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x

HasStrictDerivAt (fun y => f y + g y) (f' + g') x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C

Context: iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁

Context: iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂

Context: iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃

Context: comm₁ : autoParam (A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁) _auto✝

Context: comm₂ : autoParam (A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂) _auto✝

Context: comm₃ : autoParam (A.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃) _auto✝


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C

Context: iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁

Context: iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂

Context: iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasShift C ℤ

Context: T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C

Context: iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁

Context: iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂

Context: iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃

B.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.inv = iso₃.inv ≫ A.mor₃


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α : ↥H → K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α : ↥H → K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α : ↥H → K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: y : L


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α : ↥H → K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: y : L

Context: hy : y ∈ ⨆ β, rootSpace H β


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K


∃ p, x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))


Context: a : UnitAddCircle

Context: h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-if a = 0 then 1 else 0))


Context: a : UnitAddCircle

Context: this : (-if a = 0 then 1 else 0) = if a = 0 then -1 else 0


Context: a : UnitAddCircle

Context: h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

((fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) ∘ fun s => s / 2) s = s * completedHurwitzZetaEven a s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜

Context: g : X → E

Context: hg : IntegrableOn g K μ

Context: f : X → 𝕜

Context: hf : ContinuousOn f K

Context: hK : IsCompact K


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: g : X → E

Context: hg : IntegrableOn g K μ

Context: f : X → 𝕜

Context: hf : ContinuousOn f K

Context: hK : IsCompact K

Integrable (fun a => ‖f a • g a‖) (μ.restrict K)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: g : X → E

Context: hg : IntegrableOn g K μ

Context: f : X → 𝕜

Context: hf : ContinuousOn f K

Context: hK : IsCompact K

AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (μ.restrict K)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h : xs <+ ys
n : ℕ

List.sym (n + 1) [] <+ List.sym (n + 1) []


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ ys : List α
h✝ : xs✝ <+ ys
xs : List α
n : ℕ
l₂✝ : List α
a : α
h : xs <+ l₂✝

List.sym (n + 1) xs <+ List.sym (n + 1) (a :: l₂✝)


[] ++ List.sym (n + 1) xs <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝)) ++ List.sym (n + 1) l₂✝


List.sym (n + 1) xs <+ List.sym (n + 1) l₂✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h✝ : xs <+ ys
n : ℕ
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
h : l₁✝ <+ l₂✝

List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₁✝)) ++ List.sym (n + 1) l₁✝ <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝)) ++ List.sym (n + 1) l₂✝


List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₁✝)) <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝))


List.sym (n + 1) l₁✝ <+ List.sym (n + 1) l₂✝


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S

((map S f g) h) (mk' f x s) = mk' g (h x) s


(LocalizedModule.lift S (g ∘ₗ h) ⋯) ((iso S f).symm (mk' f x s)) = mk' g (h x) s


Context:
s : Set Surreal
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
a : α
l : List β
L : List (List β)

foldl f a (l :: L).join = foldl (foldl f) a (l :: L)


Context: n : Nat

iota (n + 1) = (range' 1 (n + 1)).reverse


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


(starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 = 0 ↔ ⟪y, x⟫_𝕜 = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this : p.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))

Context: hM : M.IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: hM : M.IsMaximal

comap f (comap (algebraMap S (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))) M) = p


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: hM : M.IsMaximal

comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M) = p


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: hM : M.IsMaximal

comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M) ≤ p


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: hM : M.IsMaximal

Context: x : R

Context: hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: hM : M.IsMaximal

Context: x : R

Context: h : x ∉ p


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: hM : M.IsMaximal

Context: x : R

Context: h : x ∉ p

IsUnit ((IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) ((algebraMap R (Localization p.primeCompl)) x))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p : Ideal R

Context: H : p ∈ minimalPrimes R

Context: this✝ : p.IsPrime

Context: hM : M.IsMaximal

Context: x : R

Context: h : x ∉ p

IsUnit ((algebraMap R (Localization p.primeCompl)) x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hst : μ s = μ t
x : F

(weightedSMul μ s) x = (weightedSMul μ t) x


Context:
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f

∀ᵐ (x : ℝ), HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : Monotone f

Context: x : ℝ

Context: hx : HasDerivAt (↑hf.stieltjesFunction) (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x

Context: h'x : ¬¬ContinuousAt f x

HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : Monotone f

Context: x : ℝ

Context: h'x : ¬¬ContinuousAt f x

Context: A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : Monotone f

Context: x : ℝ

Context: hx : Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)

Context: h'x : ¬¬ContinuousAt f x

Context: A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : Monotone f

Context: x : ℝ

Context: h'x : ¬¬ContinuousAt f x

Context: A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x

Context: L1 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)

Context: L2 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : Monotone f

Context: x : ℝ

Context: h'x : ¬¬ContinuousAt f x

Context: A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x

Tendsto (fun b => (f b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (f b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)


Context:
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X


Context:
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (⋃ i, s i) = ⊤


Context:
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : ⨆ i, dimH (s i) < ↑d


Context:
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : ⨆ i, dimH (s i) < ↑d
this : ∀ (i : ι), μH[↑d] (s i) = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ' : F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ

Context: h0 : Λ' ≠ 0

Context: hΛ' : LinearMap.range (f'.prod φ') ≤ LinearMap.ker Λ'


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ' : F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ

Context: h0 : Λ' ≠ 0

Context: e : ((F →ₗ[ℝ] ℝ) × ℝ) ≃ₗ[ℝ] F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ := (LinearEquiv.refl ℝ (F →ₗ[ℝ] ℝ)).prod (LinearMap.ringLmapEquivSelf ℝ ℝ ℝ).symm ≪≫ₗ LinearMap.coprodEquiv ℝ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ : F →ₗ[ℝ] ℝ

Context: Λ₀ : ℝ

Context: h0 : e (Λ, Λ₀) ≠ 0

Context: hΛ' : LinearMap.range (f'.prod φ') ≤ LinearMap.ker (e (Λ, Λ₀))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ : F →ₗ[ℝ] ℝ

Context: Λ₀ : ℝ

Context: h0 : e (Λ, Λ₀) ≠ 0

Context: x : E


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: φ : E → ℝ

Context: x₀ : E

Context: f' : E →L[ℝ] F

Context: φ' : E →L[ℝ] ℝ

Context: hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀

Context: hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀

Context: Λ : F →ₗ[ℝ] ℝ

Context: Λ₀ : ℝ

Context: h0 : e (Λ, Λ₀) ≠ 0

Context: x : E

Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = (e (Λ, Λ₀) ∘ₗ ↑(f'.prod φ')) x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData

h₁.π ≫ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ ≫ h₂.ι = h₁.i ≫ h₂.p


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

Context: h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h₂ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝

Context: h₃ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h₄ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝

limsup (fun a => max (u a) (v a)) f = max (limsup u f) (limsup v f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

Context: bddmax : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => u a ⊔ v a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

Context: cobddmax : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => max (u a) (v a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

limsup (fun a => max (u a) (v a)) f ≤ max (limsup u f) (limsup v f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: u v : α → β

max (limsup u f) (limsup v f) ≤ limsup (fun a => max (u a) (v a)) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iio b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ici b) μ

∫ (x : ℝ) in Iio b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ici b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ


Context:
x y z✝ : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
z : ℝ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β

∀ {a b : Opens α}, { toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b


∀ {a b : Opens α}, ↑({ toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a) ⊆ ↑({ toFun := ⇑(comap f.symm.toContinuousMap), invFun := ⇑(comap f.toContinuousMap), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b) ↔ ↑a ⊆ ↑b


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)

Context: h : spectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)

Context: s : S

Context: hs : s ∈ quasispectrum S a


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: s : S

Context: hs : s = 0 ∨ s ∈ spectrum S a


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

0 < countP p l ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a = true


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x z : M

Context: v : E

Context: h : z ∈ (extChartAt I x).source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x z : M

Context: v : E

Context: h : z ∈ (extChartAt I x).source

z ∈ (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: H' : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝³ : ChartedSpace H' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x z : M

Context: v : E

Context: h : z ∈ (extChartAt I x).source


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0


p.degree + q.degree = q.degree + p.degree


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.632038

Context: Bₘ : Type ?u.632041

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.632038

Context: Bₘ : Type ?u.632041

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.632038

Context: Bₘ : Type ?u.632041

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.632038

Context: Bₘ : Type ?u.632041

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: x : B

(algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) 0 ↔ (algebraMap B (FractionRing B)) x = (algebraMap B (FractionRing B)) 0


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hs : IsClosed ∅

Context: hx : x ∉ ∅


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hne : s.Nonempty


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hne : s.Nonempty

Context: A : 0 < infDist x s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hne : s.Nonempty

Context: A : 0 < infDist x s

Context: n : ℕ

Context: hn : (1 / 2) ^ n < infDist x s


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: s : Set ((n : ℕ) → E n)

Context: hs : IsClosed s

Context: x : (n : ℕ) → E n

Context: hx : x ∉ s

Context: hne : s.Nonempty

Context: A : 0 < infDist x s

Context: n : ℕ

Context: hn : (1 / 2) ^ n < infDist x s

Context: y : (n : ℕ) → E n

Context: ys : y ∈ s

Context: hy : y ∈ cylinder x n


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
x✝ : IsCoprime 0 x
a b : R
H : a * 0 + b * x = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsUnit x
b : R
hb : b * x = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
r : R
n✝ : ℕ

(coeff S n✝) ((map f) ((C R) r)) = (coeff S n✝) ((C S) (f r))


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
w : F
hw : w ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
w : F
hw : w ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)
ht : IsCompact {x | x ∈ s ∧ f x = w}


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
f : E →ᴬ[ℝ] F
hs : IsCompact s
w : F
hw : w ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)
ht : IsCompact {x | x ∈ s ∧ f x = w}
ht₀ : {x | x ∈ s ∧ f x = w}.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: f : E →ᴬ[ℝ] F

Context: hs : IsCompact s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hw : f x ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)

Context: ht : IsCompact {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}

Context: ht₀ : {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x}.Nonempty

Context: hyt : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 = f x} → x ∈ openSegment ℝ x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: f : E →ᴬ[ℝ] F

Context: hs : IsCompact s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hw : f x ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: z : E

Context: hz : z ∈ s

Context: hxyz : x ∈ openSegment ℝ y z


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: f : E →ᴬ[ℝ] F

Context: hs : IsCompact s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hw : f x ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: z : E

Context: hz : z ∈ s

Context: hxyz : x ∈ openSegment ℝ y z

Context: this : (fun a => f a) '' openSegment ℝ y z = openSegment ℝ (f y) (f z)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : Module ℝ E

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : T2Space E

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E

Context: inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E

Context: s : Set E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module ℝ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : T1Space F

Context: f : E →ᴬ[ℝ] F

Context: hs : IsCompact s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: hw : f x ∈ extremePoints ℝ (⇑f '' s)

Context: y : E

Context: hy : y ∈ s

Context: z : E

Context: hz : z ∈ s

Context: hxyz : x ∈ openSegment ℝ y z

Context: this✝ : (fun a => f a) '' openSegment ℝ y z = openSegment ℝ (f y) (f z)

Context: this : f y = f x ∧ f z = f x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
c : R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤

implicitFunction f f' hf hf' (f a) 0 = a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
this : CompleteSpace F


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.250723, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 3

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a : A
n : ℕ


(mul R A).flip a ^ n = (mul R A).flip (a ^ n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n
this : 1 ≤ n / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
h : 2 ≤ n
this : 1 ≤ n / 2
m : ℕ
e : n / 2 = m.succ


(match (n.bodd, n / 2) with | (false, m) => Option.map Sum.inl (decode m) | (fst, m) => Option.map Sum.inr (decode m)) = none


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞


Context:
w x y z✝ z : ℝ
h : 0 ≤ z
h0 : 0 = z


Context:
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : (find p).isSome = true


Context:
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∃ a, find p = some a


Context:
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : find p = some i


Context:
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝¹ : DecidablePred p
x✝ : ∃ i, p i
i : ℕ
hin : i < n + 1
hi : p ⟨i, hin⟩

(Option.rec (if p (last n) then some (last n) else none) (fun val => some (val.castLT ⋯)) (find fun i => p (i.castLT ⋯))).isSome = true


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: x✝¹ : DecidablePred p

Context: x✝ : ∃ i, p i

Context: i : ℕ

Context: hin : i < n + 1

Context: hi : p ⟨i, hin⟩

Context: h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = none

(Option.rec (if p (last n) then some (last n) else none) (fun val => some (val.castLT ⋯)) none).isSome = true


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: x✝¹ : DecidablePred p

Context: x✝ : ∃ i, p i

Context: i : ℕ

Context: hin : i < n + 1

Context: hi : p ⟨i, hin⟩

Context: j : Fin n

Context: h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = some j

(Option.rec (if p (last n) then some (last n) else none) (fun val => some (val.castLT ⋯)) (some j)).isSome = true


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A

homogeneousCore' 𝒜 I = sSup {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I}


IsLUB {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} (homogeneousCore' 𝒜 I)


IsGreatest {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} (homogeneousCore' 𝒜 I)


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal


{J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} = toIdeal '' {a | a.toIdeal ≤ I}


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal
x : Ideal A

x ∈ {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ J ≤ I} ↔ x ∈ toIdeal '' {a | a.toIdeal ≤ I}


IsHomogeneous 𝒜 x ∧ x ≤ I ↔ ∃ x_1 ∈ {a | a.toIdeal ≤ I}, x_1.toIdeal = x


(∃ x_1 ∈ {a | a.toIdeal ≤ I}, x_1.toIdeal = x) → IsHomogeneous 𝒜 x ∧ x ≤ I


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
coe_mono : Monotone toIdeal
x : HomogeneousIdeal 𝒜
hx : x ∈ {a | a.toIdeal ≤ I}

IsHomogeneous 𝒜 x.toIdeal ∧ x.toIdeal ≤ I


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : r < 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 < r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
x : E

x ∈ balancedCore 𝕜 s ↔ ∃ t, Balanced 𝕜 t ∧ t ⊆ s ∧ x ∈ t


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f g✝ : ι → Set X

Context: g : X → Y

Context: hf : LocallyFinite f

Context: hc : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ closure (f i), ContinuousWithinAt g (f i) x

Context: x : X


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f g✝ : ι → Set X

Context: g : X → Y

Context: hf : LocallyFinite f

Context: x : X

∀ (i : ι), Tendsto g (𝓝[f i] x) (𝓝 (g x))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

b - toIcoMod hp a b = toIcoDiv hp a b • p


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: S₁ : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: S₂ : Type u_5

Context: M✝ : Type u_6

Context: M₁ : Type u_7

Context: M₂ : Type u_8

Context: M₁' : Type u_9

Context: M₂' : Type u_10

Context: N₂ : Type u_11

Context: n : Type u_12

Context: m : Type u_13

Context: n' : Type u_14

Context: m' : Type u_15

Context: ι : Type u_16

Context: inst✝⁴ : CommRing R₁

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝² : Module R₁ M₁

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁

Context: M : Matrix ι ι R₁

Context: h : M.Nondegenerate

Context: x : ι → R₁

Context: hx : ∀ (y : ι → R₁), (((Matrix.toLinearMap₂' R₁) M) x) y = 0

Context: y : ι → R₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] ∅


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h✝ : β → G γ
f : β → γ
x : t β
g : α → F β
h : β → G γ
x✝ : t α

traverse (Comp.mk ∘ map h ∘ g) x✝ = (Comp.mk ∘ map (traverse h) ∘ traverse g) x✝


Context:
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+


Context:
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)

(RingEquiv.refl L) ↑↑t = ↑(↑t ^ ZMod.val 1)


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n : ℕ+

Context: t : ↥(rootsOfUnity n L)

Context: this : 1 ≤ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L)


Context: K✝ : Type uK

Context: inst✝⁸ : Field K✝

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁶ : Module K✝ V₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁴ : Module K✝ V₂

Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥W

Context: e1 : ↥W ≃ₗ[K] Dual K V ⧸ dualAnnihilator W := (Free.chooseBasis K ↥W).toDualEquiv ≪≫ₗ W.quotAnnihilatorEquiv.symm

(dualAnnihilator W).dualAnnihilator = map (Dual.eval K V) W


Context: K✝ : Type uK

Context: inst✝⁸ : Field K✝

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁶ : Module K✝ V₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁴ : Module K✝ V₂

Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥W

Context: this : FiniteDimensional K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)


Context: K✝ : Type uK

Context: inst✝⁸ : Field K✝

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁶ : Module K✝ V₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁴ : Module K✝ V₂

Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥W

Context: e2 : (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W) ≃ₗ[K] ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator := (Free.chooseBasis K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)).toDualEquiv ≪≫ₗ (dualAnnihilator W).dualQuotEquivDualAnnihilator


Context: K✝ : Type uK

Context: inst✝⁸ : Field K✝

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁶ : Module K✝ V₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁴ : Module K✝ V₂

Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥W

Context: this✝ : FiniteDimensional K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W)

Context: this : FiniteDimensional K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator


Context: K✝ : Type uK

Context: inst✝⁸ : Field K✝

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁶ : Module K✝ V₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁴ : Module K✝ V₂

Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥W

finrank K ↥(map (Dual.eval K V) W) = finrank K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator


Context: K✝ : Type uK

Context: inst✝⁸ : Field K✝

Context: V₁ : Type uV₁

Context: V₂ : Type uV₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝⁶ : Module K✝ V₁

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁴ : Module K✝ V₂

Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K ↥W

finrank K (Dual K V ⧸ dualAnnihilator W) = finrank K ↥(dualAnnihilator W).dualAnnihilator


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: this : upcrossings a b f ω < ⊤ ↔ ∃ k, upcrossings a b f ω ≤ ↑k

upcrossings a b f ω < ⊤ ↔ ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k