Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n + a = n'

Context: x : R

(leftShiftLinearEquiv R K L n a n' hn).symm (x • γ) = x • γ.leftUnshift n hn


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ : F ⟶ G
p : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
h'' : IsAdjoinRoot U f
z : S

((h.aequiv h').trans (h'.aequiv h'')) z = (h.aequiv h'') z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: x : β

Context: s : Set β

Context: h : LeftInvOn f g s

Context: hx : f (g x) = x

Context: hf : ContinuousWithinAt f (g '' s) (g x)

Context: hg : ContinuousWithinAt g s x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: x : β

Context: s : Set β

Context: h : LeftInvOn f g s

Context: hx : f (g x) = x

Context: hg : ContinuousWithinAt g s x


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h_ifs✝ : ¬y = 0
h_ifs : ¬x = 0

rexp (log (x * y) * z) = rexp (log x * z) * y ^ z


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h_ifs : ¬x = 0 ∧ ¬y = 0


Context: K : Type u

Context: inst✝² : CommRing K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: m : ℕ

Context: x : K

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: z : ℕ

Context: H : (⇑(frobenius K p))^[n + z] x = (⇑(frobenius K p))^[m + z] y


Context: K : Type u

Context: inst✝² : CommRing K

Context: p : ℕ

Context: inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP K p

Context: m : ℕ

Context: x : K

Context: n : ℕ

Context: y : K

Context: z : ℕ

mk K p (n + z + m, (⇑(frobenius K p))^[m + z] y) = mk K p (m + z + n, (⇑(frobenius K p))^[m + z] y)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x y
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * y = 1


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : s.Finite
x✝ : ∀ t ∈ ∅, IsOpen t


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Sort w

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: x : X

Context: s✝¹ s₁ s₂ t : Set X

Context: p p₁ p₂ : X → Prop

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set (Set X)

Context: hs : s.Finite

Context: a✝ : Set X

Context: s✝ : Set (Set X)

Context: x✝¹ : a✝ ∉ s✝

Context: x✝ : s✝.Finite

Context: ih : (∀ t ∈ s✝, IsOpen t) → IsOpen (⋂₀ s✝)

Context: h : ∀ t ∈ insert a✝ s✝, IsOpen t


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Sort w

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: x : X

Context: s✝¹ s₁ s₂ t : Set X

Context: p p₁ p₂ : X → Prop

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s : Set (Set X)

Context: hs : s.Finite

Context: a✝ : Set X

Context: s✝ : Set (Set X)

Context: x✝¹ : a✝ ∉ s✝

Context: x✝ : s✝.Finite

Context: h : IsOpen a✝ ∧ ∀ x ∈ s✝, IsOpen x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X

EquicontinuousOn F S ↔ ContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n


∀ (x : ℝ≥0∞), ContinuousAt (fun a => a ^ n * a) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
x : ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
x : ℝ≥0∞
H : x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
n : ℕ
IH : Continuous fun a => a ^ n
x : ℝ≥0∞
H : ¬x = 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s : Finset β
h : Fintype.card α ≤ s.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Finset β

Context: h : Fintype.card α ≤ Fintype.card { x // x ∈ s }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : Fintype α

Context: s : Finset β

Context: f : α ↪ { x // x ∈ s }


Context:
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Ici b = Ici (b + a)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

derivWithin (fun x => x⁻¹) s x = -(x ^ 2)⁻¹


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.41420, u_2} D
F G H : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H


∀ (X : Grothendieck F), (map (α ≫ β)).obj X = (map α ⋙ map β).obj X


autoParam (∀ (X Y : Grothendieck F) (f : X ⟶ Y), (map (α ≫ β)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (map α ⋙ map β).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.4635) (N : Type ?u.4634) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: y : α

Context: hya : a ≤ y

Context: hyb : y < b

Context: z : α

Context: hzc : c ≤ z

Context: hzd : z ≤ d

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ico (a * c) (b * d)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G


μ ≪ map (fun x => g * x) (map Inv.inv μ)


map (fun x => g * x) μ ≪ map (fun x => g * x) (map Inv.inv μ)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : ¬n = 0

nthRootsFinset n R = n.divisors.biUnion fun i => primitiveRoots i R


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
hf : Mono f

(P.hom ≫ T.map (Subobject.underlyingIso f.right).inv) ≫ T.map (Subobject.mk f.right).arrow = A.hom


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℤ


Context:
n : ℕ
σ : Perm (Fin n)


Context:
n : ℕ
σ : Perm (Fin n)

∀ (a : Fin n), a ∈ map (⇑σ) (finRange n) ↔ a ∈ finRange n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A

Context: A' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'

Context: B : Type u₃

Context: inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: U : C

Context: R : Presieve U

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: P' : Cᵒᵖ ⥤ A'

Context: s : A ⥤ B

Context: inst✝² : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, u₂} A

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s

Context: inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms

Context: this : ReflectsLimitsOfSize.{v₁, max u₁ v₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s := reflectsLimitsOfReflectsIsomorphisms


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
w✝ : ι
hf : f w✝ = sup f


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent

(CotangentSpace.map f) (P.cotangentComplex x) = P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) x)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker

(CotangentSpace.map f) (P.cotangentComplex (Cotangent.mk x)) = P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) (Cotangent.mk x))


Context:
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
j j' : J
f : j ⟶ j'

((Functor.const J).obj ↑F.sections).map f ≫ (fun j u => ↑u j) j' = (fun j u => ↑u j) j ≫ F.map f


Context: J : Type v

Context: inst✝ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ TypeMax

Context: j j' : J

Context: f : j ⟶ j'

Context: x : ((Functor.const J).obj ↑F.sections).obj j

(((Functor.const J).obj ↑F.sections).map f ≫ (fun j u => ↑u j) j') x = ((fun j u => ↑u j) j ≫ F.map f) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.mul ▷ P.X ▷ S.X) (((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ (R.X ⊗ R.X) P.X S.X).hom ≫ (α_ R.X R.X (P.X ⊗ S.X)).hom ≫ R.X ◁ R.X ◁ P.actRight ≫ (α_ R.X R.X P.X).inv) ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(tensorRight S.X).map (coequalizer.π ({ X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X R.X P.X).hom ≫ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.mul ▷ P.X ▷ S.X) (((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ (R.X ⊗ R.X) P.X S.X).hom ≫ (α_ R.X R.X (P.X ⊗ S.X)).hom ≫ R.X ◁ R.X ◁ P.actRight ≫ (α_ R.X R.X P.X).inv) ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = (tensorRight S.X).map (coequalizer.π ({ X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X R.X P.X).hom ≫ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.mul ▷ P.X ▷ S.X) (((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ (R.X ⊗ R.X) P.X S.X).hom ≫ (α_ R.X R.X (P.X ⊗ S.X)).hom ≫ R.X ◁ R.X ◁ P.actRight ≫ (α_ R.X R.X P.X).inv) ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = P.actLeft ▷ S.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = (α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft


Context:
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + utf8Len cs = p

utf8GetAux? (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs'.head?


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Balanced C
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
fmono : Mono f
fepi : Epi f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'

canonicalEquiv S P P = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)


(canonicalEquiv S P P).trans (canonicalEquiv S P P) = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)


canonicalEquiv S P P = (canonicalEquiv S P P).symm


Context:
ι : Type u_1
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
G : ι → Type u_4
inst✝² : Semigroup G₁
inst✝¹ : Semigroup G₂
inst✝ : (i : ι) → Semigroup (G i)
x y : (i : ι) → G i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: x : hat K

Context: γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x

Context: h : γ₀ ≠ 0

x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: x : hat K

Context: γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x

Context: h : γ₀ ≠ 0

Context: hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: hv : Valued K Γ₀

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: x : hat K

Context: γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x

Context: h : γ₀ ≠ 0

Context: hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x

(∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t) ↔ γ₀ < ↑γ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R

-(crossProduct v) w = (crossProduct w) v


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b c✝ : S
h : Commute a b
c : S


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)

∃ t, (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ (∀ (i : ι), μ (t i) = 0) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ t i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
i : ι

μ ((fun i => toMeasurable μ (s i ∩ ⋃ j ∈ {i}ᶜ, s j)) i) = 0


Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ (fun i => toMeasurable μ (s i ∩ ⋃ j ∈ {i}ᶜ, s j)) i)


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))

Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)

Context: hab' : b = 1 - a

Context: hst : 0 < a * s + b * t


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)

Context: hab' : b = 1 - a

Context: hst : 0 < a * s + b * t

Context: posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)

Context: hab' : b = 1 - a

Context: hst : 0 < a * s + b * t

Context: posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)

Context: hab' : b = 1 - a

Context: hst : 0 < a * s + b * t

Context: fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)

Context: hab' : b = 1 - a

Context: hst : 0 < a * s + b * t

Context: f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))


Context: s t a b : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: ht : 0 < t

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)

Context: hab' : b = 1 - a

Context: hst : 0 < a * s + b * t

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (a * s + b * t - 1) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, f a s a_1 * f b t a_1


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S

f.toMap x₁ * f.mk' x₂ y = f.mk' (x₁ * x₂) y


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V : FDRep k G
g h : G

V.character (h * g) = V.character (g * h)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α


Fintype.card { x // x ∈ m.toEnumFinset } = card m


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0

(fun k l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) k.2) ≠ 0


¬(fun k l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) k.2) = 0


¬∀ (a_1 : α × (K →+* ℂ)), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) a_1.2) = 0 a_1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: hs : ∀ (a_1 : α × (K →+* ℂ)), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) a_1.2) = 0 a_1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: hs : ∀ (a_1 : α) (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (a_1, b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: k' : α

Context: l : β

Context: hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: k' : α

Context: l : β

Context: b : K →+* ℂ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: k' : α

Context: l : β

Context: b : K →+* ℂ

Context: this : a k' l * (NumberField.house.newBasis K) b = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Fintype β

Context: a : Matrix α β (𝓞 K)

Context: ha : a ≠ 0

Context: k' : α

Context: l : β

Context: b : K →+* ℂ

Context: this : a k' l = 0 ∨ (NumberField.house.newBasis K) b = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑a ≤ ↑b


Context:
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑b ≤ ↑a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atTop


Context:
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

Disjoint s (map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s)


∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : BooleanAlgebra α

Context: s : Finset α

Context: hs : (↑s).Intersecting

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: hxc : x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : BooleanAlgebra α

Context: s : Finset α

Context: hs : (↑s).Intersecting

Context: x : α

Context: hx' : x ∈ s

Context: hx : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ s

Context: hxc : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

ContinuousOn (↑e.symm) (e.baseSet ×ˢ univ)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: e' : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x' : TotalSpace F E

Context: b : B

Context: y : E b

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E x)

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l✝ : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
b : β
hb : f =ᶠ[l] fun x => b


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : 1 ≤ -x


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1


Context:
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1
hx' : 0 < x + 1


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S

Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) = RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)


Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) ≤ RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)


RingHom.ker (aeval P.baseChange.val) ≤ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r

s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r

∅.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ ∅, r (f x) z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r
hne : s.Nonempty


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}

Context: o : Ordinal.{max u v}

(type r).blsub f ≤ o ↔ (lsub fun a => f (typein r a) ⋯) ≤ o


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r✝ : α✝ → α✝ → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsWellOrder α r

Context: o : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < type r), f i h < o) ↔ ∀ (i : α), f (typein r i) ⋯ < o


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
𝒢 : Filtration ι m
τ η : Ω → ι
i j : ι
s : Set Ω
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hτ_st : IsStoppingTime 𝒢 τ
hη_st : IsStoppingTime 𝒢 η
hτ : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω
hη : ∀ (ω : Ω), i ≤ η ω
hs : MeasurableSet s
n : ι

MeasurableSet {ω | s.piecewise τ η ω ≤ n}


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: 𝒢 : Filtration ι m

Context: τ η : Ω → ι

Context: i j : ι

Context: s : Set Ω

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hτ_st : IsStoppingTime 𝒢 τ

Context: hη_st : IsStoppingTime 𝒢 η

Context: hτ : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω

Context: hη : ∀ (ω : Ω), i ≤ η ω

Context: hs : MeasurableSet s

Context: n : ι

Context: this : {ω | s.piecewise τ η ω ≤ n} = s ∩ {ω | τ ω ≤ n} ∪ sᶜ ∩ {ω | η ω ≤ n}


Context:
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : minpoly K f ≠ 0


f.HasEigenvalue = (minpoly K f).rootSet K


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ✝ : K
h : minpoly K f ≠ 0
μ : K

f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ (minpoly K f).rootSet K


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hG : G.IsTuranMaximal r
hH : H.CliqueFree (r + 1)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: v : Π₀ (i : ι), β i

Context: f : (i : ι) → β i → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1

∏ i ∈ v.support, f i (v i) = ∏ i : ι, f i (v i)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: v : Π₀ (i : ι), β i

Context: f : (i : ι) → β i → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1

∀ x ∈ Finset.univ, x ∉ v.support → f x (v x) = 1


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: v : Π₀ (i : ι), β i

Context: f : (i : ι) → β i → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

Context: hi : i ∉ v.support


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: v : Π₀ (i : ι), β i

Context: f : (i : ι) → β i → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1

Context: i : ι

Context: a✝ : i ∈ Finset.univ

Context: hi : v i = 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)

(algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: this : Nontrivial R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: this✝ : Nontrivial R

Context: this : (minpoly R pb.gen).Monic


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Algebra K L

Context: inst✝¹ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: inst✝ : Algebra R F

Context: pb : PowerBasis R S

Context: this✝ : Nontrivial R

Context: this : (minpoly R pb.gen).Monic

((algebraMap R F) (-1) * -1) ^ (minpoly R pb.gen).natDegree * (Polynomial.map (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)).roots.prod = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod


Context:
a✝ b c a : ℕ
h : 0 < a


Context:
X : Scheme
U V : X.Opens
i : U = V

X.presheaf.map (eqToHom i).op = eqToHom ⋯


Context:
m : ℕ∞
n : ℕ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y ≠ x

(List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)).prod = 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y ≠ x

0 ∈ List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y ≠ x

∃ a ∈ factors C s x, (LocallyConstant.evalMonoidHom y) a = 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

Context: h : y ≠ x

Context: a : I

Context: ha : ↑y a ≠ ↑x a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)

Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ) l (𝓝 0)


Tendsto (fun x => ‖∫ (x : α) in s x, f x ∂μ‖) l (𝓝 0)


Tendsto (fun a => ↑‖∫ (x : α) in s a, f x ∂μ‖₊) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SemilatticeInf α

Context: inst✝⁵ : BoundedOrder α

Context: inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : BoundedOrder β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hs : a ∉ upperClosure ↑s

Context: ht : a ∈ upperClosure ↑t

(s ∪ t).truncatedInf a = t.truncatedInf a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α


Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + n), (m - ↑k)

0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + 1 + (n + 1)), (m - ↑k)


Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)


Context: m : ℤ

Context: n : ℕ


Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ


Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ

Context: hmk : m ≤ ↑k


Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ

Context: hmk : ↑k < m


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : α → Finset β
a✝ : β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hs : s.Finite

s ∩ mulSupport f = ↑hs.toFinset ∩ mulSupport f


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁶ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: g✝ : (i : ι) → G i →+ P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x

Context: G' : ι → Type v'

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j

Context: G'' : ι → Type v''

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)

Context: f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: e : (i : ι) → G i ≃+ G' i

Context: he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toAddMonoidHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)

Context: i : ι

Context: g : G' i

(congr e he).symm ((of G' f' i) g) = (of G f i) ((e i).symm g)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: hF : F.Final

Context: hFG : (F ⋙ G).Final

Context: s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv

Context: s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv

Context: s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv

Context: _i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: hF : F.Final

Context: hFG : (F ⋙ G).Final

Context: s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv

Context: s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv

Context: s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv

∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: hFG : (F ⋙ G).Final

Context: s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv

Context: s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv

Context: hF : ∀ (G : AsSmall D ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor))

Context: s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv

Context: s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv

Context: s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv

Context: hFG : ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 ((s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv

Context: s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv

Context: s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv

Context: H : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)

Context: hFG : IsIso (colimit.pre H ((s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))

IsIso (colimit.pre H (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv

Context: s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv

Context: s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv

Context: hFG : IsIso (colimit.pre ((s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor) ⋙ H) (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ≫ colimit.pre H (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R

CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (Algebra.linearMap R ↑A) (of R ↑A) ≫ mul' R ↑A = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (of R ↑A)).hom


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
A : AlgebraCat R
x : ↑(of R ↑A)

(((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑(of R ↑A)).compr₂ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (Algebra.linearMap R ↑A) (of R ↑A) ≫ mul' R ↑A)) 1) x = (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑(of R ↑A)).compr₂ (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (of R ↑A)).hom) 1) x


(mul' R ↑A) ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (Algebra.linearMap R ↑A) (of R ↑A)) (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑(of R ↑A)) 1) x)) = (CategoryTheory.MonoidalCategory.leftUnitor (of R ↑A)).hom (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑(of R ↑A)) 1) x)


(1, x).1 • LinearMap.id (1, x).2 = 1 • x


CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (of R ↑A) (Algebra.linearMap R ↑A) ≫ mul' R ↑A = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (of R ↑A)).hom


(((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (of R ↑A) (Algebra.linearMap R ↑A) ≫ mul' R ↑A)) x) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (of R ↑A)).hom) x) 1


(CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (of R ↑A) (Algebra.linearMap R ↑A) ≫ mul' R ↑A) (((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))) x) 1) = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (of R ↑A)).hom (((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))) x) 1)


(mul' R ↑A) ((CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (of R ↑A) (Algebra.linearMap R ↑A)) (((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))) x) 1)) = (CategoryTheory.MonoidalCategory.rightUnitor (of R ↑A)).hom (((TensorProduct.mk R ↑(of R ↑A) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))) x) 1)


(x, 1).2 • LinearMap.id (x, 1).1 = 1 • x


CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerRight (mul' R ↑A) (of R ↑A) ≫ mul' R ↑A = (CategoryTheory.MonoidalCategory.associator (of R ↑A) (of R ↑A) (of R ↑A)).hom ≫ CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft (of R ↑A) (mul' R ↑A) ≫ mul' R ↑A


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
s : Set G
hs : IsOpen s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹¹ : Semifield R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ : R → R

Context: a✝ : A

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : R → R

Context: n : ℤ

Context: a : Aˣ

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => x ^ n) '' spectrum R ↑a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p ↑a) _auto✝

cfc (fun x => f (x ^ n)) ↑a = cfc f ↑(a ^ n)


Context:
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsNat e n


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: y : I → Bool

Context: left✝¹ : y ∈ C1 C ho

Context: left✝ : Proj (fun x => ord I x < o) y ∈ C0 C ho

Proj (fun x => ord I x < o) y (term I ho) = false


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
b' : ℝ := b (min_bi b)

(Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n⌋₊ n).Nonempty


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < n
b' : ℝ := b (min_bi b)
hb_pos : 0 < b'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
f : α → β
l : Filter β

Tendsto f atTop l ↔ ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, f b ∈ s


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ

(obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ


∀ (A : Splitting.IndexSet Δ'), ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ
A : Splitting.IndexSet Δ'

((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ


Obj.Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ f.f (unop (A.pull θ).fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj (A.pull θ) = f.f (unop A.fst).len ≫ Obj.Termwise.mapMono K' (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj (A.pull θ)


Context:
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
x✝ : ↥(X.ρ.linHom Y.ρ).invariants

(fun f => ⟨f.hom, ⋯⟩) ({ toFun := fun f => { hom := ↑f, comm := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x✝) = x✝


↑((fun f => ⟨f.hom, ⋯⟩) ({ toFun := fun f => { hom := ↑f, comm := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x✝)) = ↑x✝


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E✝ : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E✝
X : C
E : PreOneHypercover X
F : C ⥤ D
x✝¹ x✝ : E.I₀
j : E.I₁ x✝¹ x✝

(fun x x_1 j => F.map (E.p₁ j)) x✝¹ x✝ j ≫ (fun i => F.map (E.f i)) x✝¹ = (fun x x_1 j => F.map (E.p₂ j)) x✝¹ x✝ j ≫ (fun i => F.map (E.f i)) x✝


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p q r : Submodule R M
h₁ : IsCompl q r
h₂ : q ≤ p

IsCompl (comap p.subtype q) (comap p.subtype r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a


Context:
α : Type u_1
r₁ r₂ : Setoid α
h : r₁.classes = r₂.classes
a b : α


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
h2 : NeZero 2


Context:
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
h2 : NeZero 2
z : k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g

∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a ∂μ


(fun a => (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a) = fun a => ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α

(⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a = ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a


⨆ a_1, ↑(eapprox f a_1) a + ↑(eapprox g a_1) a = ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a


∫⁻ (a : α), ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a ∂μ = ⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ + (eapprox g n).lintegral μ


⨆ n, ∫⁻ (a : α), (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a ∂μ = ⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ + (eapprox g n).lintegral μ


∀ (n : ℕ), Measurable (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n))


Monotone fun n => ↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)


(⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ) + ⨆ n, (eapprox g n).lintegral μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x✝ y z : α
t : Set α
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
r : ℝ≥0∞
hr : r < x


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
r : ℝ≥0
hr : ↑r < x


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w : InfinitePlace K

Context: a : 𝓞 K

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : ∀ ⦃z : InfinitePlace K⦄, z ≠ w → z ↑a < 1


Context: k : Type u_1

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : Field F

Context: inst✝ : NumberField K

Context: w : InfinitePlace K

Context: a : 𝓞 K

Context: ha : a ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = g ≫ h

Context: inst✝³ : HasCoequalizer f g

Context: inst✝² : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (parallelPair f g) G

Context: X' Y' : D

Context: f' g' : X' ⟶ Y'

Context: inst✝ : HasCoequalizer f' g'

Context: p : G.obj X ⟶ X'

Context: q : G.obj Y ⟶ Y'

Context: wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'

Context: wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'

G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (G.map f) (G.map g) f' g' p q wf wg) = q ≫ coequalizer.π f' g'


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens

f ⁻¹ᵁ U ≤ f ⁻¹ᵁ (Scheme.Hom.opensRange f ⊓ U)


(ΓIso f U).inv = Scheme.Hom.appLE f (Scheme.Hom.opensRange f ⊓ U) (f ⁻¹ᵁ U) ⋯


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E

Convex R s ↔ ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s


(∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s) → Convex R s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
ι : Type u_3
s : Multiset ι
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α

fold op (fold op b₀ (map b s)) (s.bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
ι : Type u_3
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α

fold op (fold op b₀ (map b 0)) (bind 0 t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: op : α → α → α

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha✝ : Std.Associative op

Context: ι : Type u_3

Context: t : ι → Multiset α

Context: b : ι → α

Context: b₀ : α

Context: a : ι

Context: ha : Multiset ι

Context: ih : fold op (fold op b₀ (map b ha)) (ha.bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) ha)

fold op (fold op b₀ (map b (a ::ₘ ha))) ((a ::ₘ ha).bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) (a ::ₘ ha))


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

(o.areaForm x) (o.rightAngleRotation y) = ⟪x, y⟫_ℝ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α

M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Finite o

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring α

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: e₁ : n ≃ o

Context: e₂ : l → o

Context: M : Matrix m n α

Context: val✝ : Fintype o

Context: A : Matrix m o α := M.submatrix id ⇑e₁.symm


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Finite o

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring α

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: e₁ : n ≃ o

Context: e₂ : l → o

Context: M : Matrix m n α

Context: val✝ : Fintype o

Context: this : M = A.submatrix id ⇑e₁


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : Finite o

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring α

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: e₁ : n ≃ o

Context: e₂ : l → o

Context: M : Matrix m n α

Context: val✝ : Fintype o

Context: this : M = A.submatrix id ⇑e₁

(A * 1).submatrix id e₂ = (A.submatrix id ⇑e₁).submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
r : R

derivative (eval₂ C q (C r)) = eval₂ C q (derivative (C r)) * derivative q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p q p₁ p₂ : R[X]

Context: ih₁ : derivative (eval₂ C q p₁) = eval₂ C q (derivative p₁) * derivative q

Context: ih₂ : derivative (eval₂ C q p₂) = eval₂ C q (derivative p₂) * derivative q

derivative (eval₂ C q (p₁ + p₂)) = eval₂ C q (derivative (p₁ + p₂)) * derivative q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p q : R[X]

Context: n : ℕ

Context: r : R

Context: ih : derivative (eval₂ C q (C r * X ^ n)) = eval₂ C q (derivative (C r * X ^ n)) * derivative q

derivative (eval₂ C q (C r * X ^ (n + 1))) = eval₂ C q (derivative (C r * X ^ (n + 1))) * derivative q


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv

(const abv (f.lim * g.lim) - f * g).LimZero


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f g : CauSeq β abv

Context: h : const abv (f.lim * g.lim) - f * g = (const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Ring β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f g : CauSeq β abv

((const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)).LimZero


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : CommGroup α

Context: s t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)

Context: C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset

∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : CommGroup α

Context: s t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: u : Finset α

Context: hu : u ∈ C

Context: hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : CommGroup α

Context: s t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: u : Finset α

Context: hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t

Context: hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : CommGroup α

Context: s t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: u : Finset α

Context: hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : CommGroup α

Context: s t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: u : Finset α

Context: hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: hau : a ∉ u

Context: H : ∃ b ∈ u, ¬Disjoint (a • t) (b • t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : CommGroup α

Context: s t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: u : Finset α

Context: hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: hau : a ∉ u

Context: H : ∃ b ∈ u, ∃ a_1, a⁻¹ • a_1 ∈ t ∧ b⁻¹ • a_1 ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : CommGroup α

Context: s t : Finset α

Context: ht : t.Nonempty

Context: u : Finset α

Context: hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: hau : a ∉ u

Context: b : α

Context: hb : b ∈ u

Context: c : α

Context: hc₁ : a⁻¹ • c ∈ t

Context: hc₂ : b⁻¹ • c ∈ t


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : { w // w ≠ w₀ }
r : NNReal
h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ ↑r


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: w : { w // w ≠ w₀ }

Context: r : NNReal

Context: h : ∀ b ∈ univ, ↑‖(logEmbedding K) x b‖₊ ≤ ↑r


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
x : R

(comap f (PrimeSpectrum.basicOpen x) (PrimeSpectrum.basicOpen (f x)) ⋯).comp (algebraMap R ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen x)))) = (IsLocalization.map (↑((structureSheaf S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen (f x))))) f ⋯).comp (algebraMap R ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen x))))


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a✝ : α

Context: b : β

Context: q✝ : ℚ

Context: a : α

Context: q : ℚ

↑q < inducedMap β γ (inducedMap α β a) ↔ ↑q < inducedMap α γ a


Context: a : UnitAddCircle

∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context:
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1

∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q

Context: this : F_int 1 ↑a =ᶠ[atTop] fun t => F_nat 1 a t + F_nat 1 (1 - a) t


Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ico 0 1

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: q : ℝ

Context: hq : 0 < q


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b : α

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ih : l.Nodup → ({a | a ∈ l}.Pairwise r ↔ Pairwise r l)

Context: hl : (a :: l).Nodup

{a_1 | a_1 ∈ a :: l}.Pairwise r ↔ Pairwise r (a :: l)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b : α

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: a : α

Context: l : List α

Context: hl : a ∉ l ∧ l.Nodup


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ b : α

Context: inst✝ : IsSymm α r

Context: a : α

Context: l : List α

Context: hl : a ∉ l ∧ l.Nodup

Context: this : ∀ b ∈ l, ¬a = b → r a b ↔ r a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : Module ℝ E✝

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: x y : E

Context: s : Set E

Context: h : [x-[ℝ]y] ⊆ s

Context: A : Continuous fun t => (1 - t) • x + t • y


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : Module ℝ E✝

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: x y : E

Context: s : Set E

Context: h : [x-[ℝ]y] ⊆ s

(fun t => (1 - t) • x + t • y) '' unitInterval ⊆ s


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E✝ : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup E✝

Context: inst✝⁸ : Module ℝ E✝

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace E✝

Context: inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E✝

Context: inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: x y : E

Context: s : Set E

Context: h : [x-[ℝ]y] ⊆ s

(fun t => (1 - t) • x + t • y) '' unitInterval = [x-[ℝ]y]


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ

eval n (ascPochhammer ℕ 0) = n.ascFactorial 0


Context:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n t : ℕ

eval n (ascPochhammer ℕ (t + 1)) = n.ascFactorial (t + 1)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: a b : G

Context: h : ¬Disjoint (doset a ↑H ↑K) (doset b ↑H ↑K)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: a b : G

Context: h : ¬Disjoint (doset b ↑H ↑K) (doset a ↑H ↑K)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : Mul α

Context: J : Subgroup G

Context: g : G

Context: H K : Subgroup G

Context: a b : G

Context: ha : a ∈ doset b ↑H ↑K


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: a : M

Context: s : Set M

Context: p : M → Prop

Context: hs : closure s = ⊤

Context: x : M

Context: H1 : p 1

Context: Hmul : ∀ (x y : M), y ∈ s → p x → p (x * y)

Context: this : x ∈ closure s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Ioo 0 1)


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L μ
hfg' : ConvolutionExists f g' L μ
x : G


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]

∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ (A : Fin n → Fq[X]), ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε

Context: A : Fin (n + 1) → Fq[X]

∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin (n + 1)), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: n : ℕ

Context: A : Fin (n + 1) → Fq[X]

Context: anti_archim' : ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ}, ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: n : ℕ

Context: A : Fin (n + 1) → Fq[X]

Context: t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)

Context: ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε

Context: j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)

Context: hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε

Context: exists_nonempty_j : ¬∃ j, (∃ i, t' i = j) ∧ ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε

Context: i : Fin n

Context: hi : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε


Context: Fq : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype Fq

Context: inst✝ : Field Fq

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: b : Fq[X]

Context: hb : b ≠ 0

Context: hbε : 0 < cardPowDegree b • ε

Context: n : ℕ

Context: A : Fin (n + 1) → Fq[X]

Context: i : Fin n

Context: this : False


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : mk f = ⊤


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N P : Matrix m m R


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : q.IsRoot k


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra 𝕜 A

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p

Context: hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra 𝕜 A

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p

Context: aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra 𝕜 A

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p

¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra 𝕜 A

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p

Context: hcomm : Commute ((aeval a) (C k - X)) ((aeval a) (-(q / (X - C k))))


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝² : Field 𝕜

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra 𝕜 A

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ a

Context: q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hn : Odd n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
hn : Odd 0


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
B : BilinMap R M N
N' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
Q : QuadraticMap R M N
x✝¹ x✝ : M

((f.compQuadraticMap' Q).polarBilin x✝¹) x✝ = ((compr₂ Q.polarBilin f) x✝¹) x✝


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : IsIntegral A x

(if hx : IsIntegral A x then ⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B) x x_1 = 0) hx else 0).Monic


(⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap A B) x x_1 = 0) hx).Monic


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P


Context:
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : FirstCountableTopology ℚ∞


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
f : F ⟶ G
g : G ⟶ K

ofHom (f ≫ g) = (ofHom f).comp (ofHom g) ⋯


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n R
k : n
this : Unique n


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
x✝ : Sym2 V
x y : V

Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ (G₁ ⊓ G₂).edgeSet ↔ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ G₁.edgeSet ∩ G₂.edgeSet


Context:
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))

Tendsto (fun a => s.sup' hne fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup' hne g))


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
s : Set α

Dense s ↔ ∀ o ∈ b, o.Nonempty → (o ∩ s).Nonempty


(∀ (x : α), ∀ o ∈ b, x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty) ↔ ∀ o ∈ b, o.Nonempty → (o ∩ s).Nonempty


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: C : Type uC

Context: D : Type uD

Context: E : Type uE

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Semiring A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : Semiring C

Context: inst✝⁶ : Algebra R C

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S A

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S C

Context: f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C

Context: ha : f.comp includeLeft = g.comp includeLeft

Context: hb : (AlgHom.restrictScalars R f).comp includeRight = (AlgHom.restrictScalars R g).comp includeRight


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: C : Type uC

Context: D : Type uD

Context: E : Type uE

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Semiring A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : Semiring C

Context: inst✝⁶ : Algebra R C

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S A

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S C

Context: f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: C : Type uC

Context: D : Type uD

Context: E : Type uE

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Semiring A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : Semiring C

Context: inst✝⁶ : Algebra R C

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S A

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S C

Context: f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C

Context: a : A

Context: b : B

((AlgebraTensorModule.curry f.toLinearMap) a) b = ((AlgebraTensorModule.curry g.toLinearMap) a) b


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: C : Type uC

Context: D : Type uD

Context: E : Type uE

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Semiring A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : Semiring C

Context: inst✝⁶ : Algebra R C

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S A

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S C

Context: f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C

Context: a : A

Context: b : B

Context: this : (f.comp includeLeft) a * ((AlgHom.restrictScalars R f).comp includeRight) b = (g.comp includeLeft) a * ((AlgHom.restrictScalars R g).comp includeRight) b


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: C : Type uC

Context: D : Type uD

Context: E : Type uE

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Semiring A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : Semiring C

Context: inst✝⁶ : Algebra R C

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra S A

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S C

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S C

Context: f g : A ⊗[R] B →ₐ[S] C

Context: a : A

Context: b : B

Context: this : f (a ⊗ₜ[R] 1) * f (1 ⊗ₜ[R] b) = g (a ⊗ₜ[R] 1) * g (1 ⊗ₜ[R] b)


Context:
m✝ n : ℤ
x✝ : Odd n
m : ℤ
hm : n = 2 * m + 1


Context:
m n : ℤ
h : n % 2 = 1


Context:
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w : List (Symbol T N)
hvw : r.Rewrites v w
p : List (Symbol T N)


Context: T : Type uT

Context: N : Type uN

Context: r : ContextFreeRule T N

Context: v w : List (Symbol T N)

Context: hvw : ∃ p q, v = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w = p ++ r.output ++ q

Context: p : List (Symbol T N)

∃ p_1 q, v ++ p = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w ++ p = p_1 ++ r.output ++ q


Context: T : Type uT

Context: N : Type uN

Context: r : ContextFreeRule T N

Context: v w p x y : List (Symbol T N)

Context: hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y


Context: T : Type uT

Context: N : Type uN

Context: r : ContextFreeRule T N

Context: v w p x y : List (Symbol T N)

v ++ p = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ (y ++ p) ∧ w ++ p = x ++ r.output ++ (y ++ p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f : ↥(simpleFunc G p μ)

0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑f ↔ 0 ≤ f


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
H : ¬↑n ≤ φ.order


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
H : φ.order < ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
H : φ.order < ↑n
this : φ.order.Dom


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ∀ i < n, (coeff R i) φ = 0
this : φ.order.Dom
H : φ.order.get this < n


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
d : D

L₂.map (𝟙 (R₁.obj d) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ 𝟙 (R₂.obj d)) ≫ adj₂.counit.app d = α.app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d


L₂.map (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ adj₂.counit.app d = α.app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L₁ L₂ : C ⥤ D

Context: R₁ R₂ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: d : D

Context: this : L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)).app d) ≫ adj₂.counit.app ((𝟭 D).obj d) = (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv).app (R₁.obj d) ≫ (𝟭 D).map (adj₁.counit.app d)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L₁ L₂ : C ⥤ D

Context: R₁ R₂ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: d : D

Context: this : L₂.map (adj₂.unit.app (R₁.obj d) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app d)) ≫ adj₂.counit.app d = (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ adj₁.counit.app d

(𝟙 (L₂.obj (R₁.obj d)) ≫ α.app (R₁.obj d) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj d))) ≫ adj₁.counit.app d = α.app (R₁.obj d) ≫ adj₁.counit.app d


Context: α β : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: f : ι → Cardinal.{w}

Context: f' : ι' → Cardinal.{w'}

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: hf' : BddAbove (range f')

Context: g : ι → ι'

Context: h : ∀ (i : ι), lift.{w', w} (f i) ≤ lift.{w, w'} (f' (g i))

lift.{w', w} (iSup f) ≤ lift.{w, w'} (iSup f')


Context: α β : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: f : ι → Cardinal.{w}

Context: f' : ι' → Cardinal.{w'}

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: hf' : BddAbove (range f')

Context: g : ι → ι'

⨆ i, lift.{w', w} (f i) ≤ ⨆ i, lift.{w, w'} (f' i)


Context:
n✝ m n : ℕ
j k : Fin n


Context:
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)

IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) (map f F)


Context:
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℝ
hc : c ∈ lowerBounds (range f)


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: x y : PiLp 2 β

edist x y = (∑ i : ι, edist (x i) (y i) ^ 2) ^ (1 / 2)


Context:
α : Type u
β : Type v
f : Perm α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
h : Set.MapsTo (⇑f) s s


Context:
α : Type u
β : Type v
f : Perm α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
h : Set.MapsTo (⇑f) s s
val✝ : Fintype ↑s


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R


Context: α β : Type u

Context: a : Cardinal.{u}

Context: h : lift.{v, u} (succ a) > succ (lift.{v, u} a)


Context: α β : Type u

Context: a : Cardinal.{u}

Context: h✝ : lift.{v, u} (succ a) > succ (lift.{v, u} a)

Context: b : Cardinal.{u}

Context: e : lift.{v, u} b = succ (lift.{v, u} a)

Context: h : b < succ a


Context: α β : Type u

Context: a : Cardinal.{u}

Context: b : Cardinal.{u}

Context: h : succ (lift.{v, u} a) ≤ lift.{v, u} a


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R[ℕ]
n : ℕ

{ toFinsupp := a ^ n } = npowRec n { toFinsupp := a }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x

Context: st : MapsTo f s t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I' (f x)).symm) (↑(extChartAt I' (f x)).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (↑(extChartAt I' (f x)) (f x))

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Context: st : MapsTo f s t

ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: st : MapsTo f s t

ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: st : MapsTo f s t

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

Context: e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)

Context: hg : ContinuousWithinAt g t (f x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))

Context: hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)

Context: this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)

ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: st : MapsTo f s t

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

Context: A : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x, f (↑e.symm y) ∈ t ∧ f (↑e.symm y) ∈ e'.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: st : MapsTo f s t

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

writtenInExtChartAt I I' x f ⁻¹' (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I') ∈ 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: e'✝ : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: t : Set M'

Context: g : M' → M''

Context: x : M

Context: st : MapsTo f s t

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I x

↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm =ᶠ[𝓝[↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑e x] (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) ∘ writtenInExtChartAt I I' x f