Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : MonoidalPreadditive C

Context: inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C

Context: J : Type

Context: inst✝ : Fintype J

Context: f : J → C

Context: X Y : C

Context: g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y

Context: j✝ : J

biproduct.ι f j✝ ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j✝ ▷ X ≫ h


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : L
n : ↥N
hx : x ∈ ⊥
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m

⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : L
n : ↥N
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x = 0
hn : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m

⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤

∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : R
i : ℕ

h.coeff ((algebraMap R S) x) i = Pi.single 0 x i


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r

∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: this : ∃ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] x, ‖x_1 - x‖⁻¹ * (‖f x_1‖ - ‖f x‖) < r


Context: E : Type u

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: f' : E

Context: s : Set ℝ

Context: x r : ℝ

Context: hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x

Context: hr : ‖f'‖ < r

Context: z : ℝ

Context: hxz : x < z

Context: hz : ‖z - x‖⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
h : NeZero ↑0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hp_one : 1 ≤ p

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: hf : Memℒp f p μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℝ

Context: hMpos : 0 < M

Context: hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : PosMulStrictMono α

Context: hab : a < b

Context: hcd : c < d


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : PosMulStrictMono α

Context: hab : a < b

Context: hcd : c < d

Context: this : MulPosStrictMono α


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: a b d : α

Context: inst✝ : PosMulStrictMono α

Context: hab : a < b

Context: this : MulPosStrictMono α

Context: hcd : 0 < d


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : PosMulStrictMono α

Context: hab : a < b

Context: hcd : c < d

Context: this : MulPosStrictMono α

Context: hc : 0 < c


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ✝ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure (E × ℝ)

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ

Context: hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ

Context: hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ

Context: hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)

Context: hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)

Context: ν : Measure E := addHaar

∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ✝ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure (E × ℝ)

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: ν : Measure E := addHaar

Context: A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ✝ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure (E × ℝ)

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: ν : Measure E := addHaar

Context: Hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (ν.prod volume)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ✝ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure (E × ℝ)

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: ν : Measure E := addHaar

Context: Hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (ν.prod volume)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ✝ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure (E × ℝ)

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: ν : Measure E := addHaar

Context: Hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (ν.prod volume)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ✝ : Measure E

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure (E × ℝ)

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: ν : Measure E := addHaar

∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ.addHaarScalarFactor (ν.prod volume) • ν.prod volume = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ.addHaarScalarFactor (ν.prod volume) • ν.prod volume


Context: x y : ℤ

(toComplex { re := x, im := y }).re = ↑x


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inl i) (inr ()) = 0


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

Context: this : listTransvecCol M = listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

((listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)).prod * (M * (listTransvecRow M).prod)) (inl i) (inr ()) = 0


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : DecidableEq p

Context: inst✝ : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0

Context: i : Fin r

(M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inr ()) ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s' : Fin n → R
f : (MvPolynomial (Fin n) R)[X]
i : ℕ

(Polynomial.map (eval s') f).coeff i = (eval s') (f.coeff i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : M' → M''

Context: hg : ContMDiff I' I'' n g

Context: hf : ContMDiff I I' n f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: g : M' → M''

Context: hg : ContMDiffOn I' I'' n g univ

Context: hf : ContMDiffOn I I' n f univ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt Subtype.val S x₀


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
i : ℕ
h : i ≠ n


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

(filter p s).prod * (filter (fun a => ¬p a) s).prod = s.prod


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
h : ∀ (i : n), A i j = 0


Context: n m : ℕ

Context: p : Fin (n + 1)

Context: i j : Fin n

Context: a : Fin (n + 2)

Context: b : Fin (n + 1)

Context: ha : a ≠ last (n + 1)

Context: hb : b ≠ last n

Context: hk : optParam (a.succAbove b ≠ last (n + 1)) ⋯

(a.castPred ha).succAbove (b.castPred hb) = (a.succAbove b).castPred hk


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite

∏ᶠ (i : α) (_ : i ≠ a), f i = ∏ i ∈ hf.toFinset.erase a, f i


∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (x ≠ a ↔ x ∈ hf.toFinset.erase a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
x : α
hx : f x ≠ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a < b


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x

Context: pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x

Context: hdim : pB.dim = ↑p ^ k * (↑p - 1)


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x

Context: hdim : 1 < pB.dim


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: h : hζ.toInteger = ↑↑p * x + ↑n

Context: hdim : 1 < pB.dim


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: this : pB.basis ⟨1, hdim⟩ = pB.gen ^ ↑⟨1, hdim⟩


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: this : pB.basis ⟨1, hdim⟩ = hζ.toInteger ^ ↑⟨1, hdim⟩


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: this : pB.gen = hζ.toInteger


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: h : (if ⟨1, hdim⟩ = ⟨1, hdim⟩ then 1 else 0) = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩

Context: this : pB.gen = hζ.toInteger


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: this : pB.gen = hζ.toInteger

Context: h : 1 = (pB.basis.repr (↑↑p * x)) ⟨1, hdim⟩ + (pB.basis.repr ↑n) ⟨1, hdim⟩


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: this : pB.gen = hζ.toInteger

Context: h : 1 = ↑↑p • (pB.basis.repr x) ⟨1, hdim⟩ + n • if ⟨0, ⋯⟩ = ⟨1, hdim⟩ then 1 else 0


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: n : ℤ

Context: x : 𝓞 K

Context: hdim : 1 < pB.dim

Context: this : pB.gen = hζ.toInteger

Context: h : 1 = ↑↑p * (pB.basis.repr x) ⟨1, hdim⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a✝ : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α

a⁻ᵐ / a⁺ᵐ = a⁻¹


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m
a : (ZMod m)ˣ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : B' → B

Context: x : B'


Context: B : Type u

Context: F : Type v

Context: E : B → Type w₁

Context: B' : Type w₂

Context: f✝ : B' → B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: f : B' → B

Context: x : B'

instTopologicalSpacePullback E f x ≤ induced (fun x_1 => Pullback.lift f { proj := x, snd := x_1 }) inst✝⁴


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
h : EqOn f id s


Context:
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)

x t.take.take * y t.take.drop * z t.drop = cast ⋯ (fun t => x t.take * (y t.drop.take * z t.drop.drop)) t


x t.assocRight.take * (y t.assocRight.drop.take * z t.assocRight.drop.drop) = (fun t => x (cast ⋯ t).take * (y (cast ⋯ t).drop.take * z (cast ⋯ t).drop.drop)) t


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)

Nat.casesAuxOn (motive := fun a => 0 = a → E [⋀^Fin 0]→ₗ[ℝ] ℝ) 0 (fun h => if hp : -rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ then AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1 else -AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) (fun n h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = n + 1)] o => (Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o).toBasis.det) ⋯ (-rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯)) ⋯ = -AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1


¬-rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯


¬rayOfNeZero ℝ (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯


¬SameRay ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin n)

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = 0)

Context: h : SameRay ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
r : ℝ≥0∞


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x r y : ℝ

y ∈ closedBall x r ↔ y ∈ Icc (x - r) (x + r)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∏ i ∈ s, f i = 1
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 1
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
i : ι
m : i ∈ s
i_ne : f i ≠ 1


Context: u v m n : ℤ


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: I : Type u

Context: f : I → Type v

Context: x✝ y : (i : I) → f i

Context: i✝ j : I

Context: α : Type u_3

Context: β : α → Type u_4

Context: γ : (a : α) → β a → Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (β a)

Context: inst✝ : (a : α) → (b : β a) → One (γ a b)

Context: i : (a : α) × β a

Context: x : γ i.fst i.snd

curry (Pi.mulSingle i x) = Pi.mulSingle i.fst (Pi.mulSingle i.snd x)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S


(p.sum fun e a => a * r ^ e) = p.sum (smul_pow r)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
h : Nonempty M
this : Fintype M

commProb M = 1 ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1


↑(card ↑{x | Commute x.1 x.2}) / ↑(card M) ^ 2 = 1 ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1


(∀ (x : M × M), x ∈ {x | Commute x.1 x.2}) ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

{ ofColex := {a} } ≤ { ofColex := s } ↔ ∃ x ∈ s, a ≤ x


(a ∉ s → ∃ b ∈ s, ¬b = a ∧ a ≤ b) ↔ ∃ x ∈ s, a ≤ x


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s : ℝ

(fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ s


((fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[atBot] fun x => |x| ^ s) ∧ (fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[atTop] fun x => |x| ^ s


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k


(fun x => k.factorial • x) (multichoose (-↑n) k) = (fun x => k.factorial • x) 0


k.factorial • multichoose (-↑n) k = k.factorial • 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
h : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A

(algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z * (ofBaseChangeAux A Q) 1 = (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
x✝ : List α

count a (dedup (Quot.mk Setoid.r x✝)) = if a ∈ Quot.mk Setoid.r x✝ then 1 else 0


List.count a x✝.dedup = if a ∈ x✝ then 1 else 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s

(∀ᵐ (x : E) ∂μ, L x ∈ s) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this : FiniteDimensional 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : AEMeasurable (⇑L) μ


(∀ᵐ (y : F) ∂map (⇑L) μ, s y) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
s : Set F
hs : MeasurableSet s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : AEMeasurable (⇑L) μ
c : ℝ≥0∞
c_pos : 0 < c
hc : map (⇑L) μ = c • ν


(∀ᵐ (y : F) ∂c • ν, s y) ↔ ∀ᵐ (y : F) ∂ν, y ∈ s


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: p✝ q✝ : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_3

Context: p : α → Sort u_4

Context: inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)

Context: q : (x : α) → p x → Prop

Context: w : α

Context: hp : p w

Context: hq : q w hp

Context: H : ∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = w


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: p✝ q✝ : α✝ → Prop

Context: α : Sort u_3

Context: p : α → Sort u_4

Context: inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)

Context: q : (x : α) → p x → Prop

Context: w : α

Context: hp : p w

Context: hq : q w hp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → β
s : α →₀ M
h : β → M → N
hf : Injective f

(mapDomain f s).prod h = s.prod fun a b => h (f a) b


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.40895, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.40899, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : ShortComplex C
φ : X✝ ⟶ Y✝

F.map φ.τ₁ ≫ F.map Y✝.f = F.map X✝.f ≫ F.map φ.τ₂


F.map φ.τ₂ ≫ F.map Y✝.g = F.map X✝.g ≫ F.map φ.τ₃


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
a : n
c : R
M : Matrix n n R

(M * transvection i j c) a j = M a j + c * M a i


Context: m n✝ n : ℤ


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Fintype ι
h : Basis ι R M


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁

Context: h₁ : Homotopy f₁ f₁'

Context: K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: f₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.Additive

Context: inst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝³ : DecidableEq J

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c

Context: inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c

Context: j j' : J

Context: h : ¬c.Rel j' j

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: h' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h' ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).totalDesc fun i₁ i₂ x => c₁.ε₁ c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) • (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X (c₁.prev i₁))).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c (c₁.prev i₁) i₂ j') = (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h' ≫ 0


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁

Context: h₁ : Homotopy f₁ f₁'

Context: K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: f₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.Additive

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝³ : DecidableEq J

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c

Context: inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c

Context: j j' : J

Context: h : ¬c.Rel j' j

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: h' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

c₁.ε₁ c₂ c (c₁.prev i₁, i₂) • (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X (c₁.prev i₁))).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctorOrZero L₂ F c (c₁.prev i₁) i₂ j' = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : (weight w) d ≠ n


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
d : σ →₀ ℕ
hd : (weight w) d ≠ n
aux : ¬coeff d φ ≠ 0


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ


Context: C : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: inst✝² : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)

Context: M N : SheafOfModules R

Context: I : Type u

Context: s : I → M.sections

Context: p : M ⟶ N

Context: x✝ : I

Context: X✝ : Cᵒᵖ

↑(N.freeHomEquiv (M.freeHomEquiv.symm s ≫ p) x✝) X✝ = ↑(N.freeHomEquiv (N.freeHomEquiv.symm fun i => sectionsMap p (s i)) x✝) X✝


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: image_insert : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, (∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s) → p 𝒜 → p (image (insert a) 𝒜)

Context: subfamily : ∀ (a : α) ⦃𝒜 : Finset (Finset α)⦄, p (filter (fun x => a ∉ x) 𝒜) → p (filter (fun x => a ∈ x) 𝒜) → p 𝒜


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a✝ : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: h𝒜₀ : p (nonMemberSubfamily a 𝒜)

Context: h𝒜₁ : p (memberSubfamily a 𝒜)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: 𝒜✝¹ ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: a✝ : α

Context: p : Finset (Finset α) → Prop

Context: 𝒜✝ : Finset (Finset α)

Context: empty : p ∅

Context: singleton_empty : p {∅}

Context: a : α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: h𝒜₀ : p (nonMemberSubfamily a 𝒜)

Context: h𝒜₁ : p (memberSubfamily a 𝒜)

p (image (insert a) (memberSubfamily a 𝒜))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hu : (p * q).IsPrimitive
hpm : p.natDegree = 0


Context:
α : Sort u_1
a✝ b : α
h : a✝ = b
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
hxz : x ≠ z

{x, y, z}.einfsep = edist x y ⊓ edist x z ⊓ edist y z


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ

Context: s : Set α

Context: hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s : Set α

Context: hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)

f '' s =ᶠ[ae μ] toMeasurable μ (f '' toMeasurable (comap f μ) s)


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s : Set α

Context: hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)

f '' s =ᶠ[ae μ] f '' toMeasurable (comap f μ) s


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s : Set α

Context: hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)

NullMeasurableSet (f '' toMeasurable (comap f μ) s) μ


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ : α → β✝

Context: β : Type u_8

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ : Measure β

Context: hfi : Injective f

Context: s : Set α

Context: hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)

Context: h : toMeasurable (comap f μ) s =ᶠ[ae (comap f μ)] s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq E
s : Set E

Orthonormal 𝕜 Subtype.val ↔ ∀ v ∈ s, ∀ w ∈ s, ⟪v, w⟫_𝕜 = if v = w then 1 else 0


(∀ (i j : { x // x ∈ s }), ⟪↑i, ↑j⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0) ↔ ∀ v ∈ s, ∀ w ∈ s, ⟪v, w⟫_𝕜 = if v = w then 1 else 0


Context:
X₁ : Type u₁
inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : NormalSpace X
s✝ : Set X
hs✝ : IsClosed s✝
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
Z : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TietzeExtension Z
ι : C(Y, Z)
r : C(Z, Y)
h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : NormalSpace X✝
s : Set X✝
hs : IsClosed s
f : C(↑s, Y)


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : NormalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: hs✝ : IsClosed s✝

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y✝ : Type v

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TietzeExtension Z

Context: ι : C(Y, Z)

Context: r : C(Z, Y)

Context: h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y

Context: X✝ : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝ : NormalSpace X✝

Context: s : Set X✝

Context: hs : IsClosed s

Context: f : C(↑s, Y)

Context: g : C(X✝, Z)

Context: hg : ContinuousMap.restrict s g = ι.comp f


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : NormalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: hs✝ : IsClosed s✝

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y✝ : Type v

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TietzeExtension Z

Context: ι : C(Y, Z)

Context: r : C(Z, Y)

Context: h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y

Context: X✝ : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝ : NormalSpace X✝

Context: s : Set X✝

Context: hs : IsClosed s

Context: f : C(↑s, Y)

Context: g : C(X✝, Z)


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : NormalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: hs✝ : IsClosed s✝

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y✝ : Type v

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TietzeExtension Z

Context: ι : C(Y, Z)

Context: r : C(Z, Y)

Context: h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y

Context: X✝ : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝ : NormalSpace X✝

Context: s : Set X✝

Context: hs : IsClosed s

Context: f : C(↑s, Y)

Context: g : C(X✝, Z)

Context: x : ↑s

Context: this : r.comp (ContinuousMap.restrict s g) = r.comp (ι.comp f)

(ContinuousMap.restrict s (r.comp g)) x = f x


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : NormalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: hs✝ : IsClosed s✝

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y✝ : Type v

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁵ : TietzeExtension Y✝

Context: Y : Type v

Context: Z : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝² : TietzeExtension Z

Context: ι : C(Y, Z)

Context: r : C(Z, Y)

Context: h : r.comp ι = ContinuousMap.id Y

Context: X✝ : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝ : NormalSpace X✝

Context: s : Set X✝

Context: hs : IsClosed s

Context: f : C(↑s, Y)

Context: g : C(X✝, Z)

Context: x : ↑s

Context: this : r.comp (ContinuousMap.restrict s g) = f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length

xs.formPerm (xs.get ⟨n, ⋯⟩) = xs.get ⟨n + 1, hn⟩


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
f g : Arrow C
inst✝⁵ : HasImage f.hom
inst✝⁴ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
inst✝³ : HasImageMap sq
h : Arrow C
inst✝² : HasImage h.hom
sq' : g ⟶ h
inst✝¹ : HasImageMap sq'
inst✝ : HasImageMap (sq ≫ sq')

HasImageMap.imageMap (sq ≫ sq') = imageMapComp sq sq'


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v v₁ : Valuation R Γ₀

Context: v₂ : Valuation R Γ'₀

Context: v₃ : Valuation R Γ''₀

Context: h : v₁.IsEquiv v₂

Context: r s : R


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s

vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p i) '' (p '' (s \ {i})))


Submodule.span k (insert (p i -ᵥ p i) ((fun x => x -ᵥ p i) '' (p '' (s \ {i})))) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p i) '' (p '' (s \ {i})))


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f

zariskiTopology = TopologicalSpace.induced (⇑(comap f)) zariskiTopology


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X✝ : C
p✝¹ : X✝ ⟶ X✝
idem✝¹ : p✝¹ ≫ p✝¹ = p✝¹
p✝ : X✝ ⟶ X✝
idem✝ : p✝ ≫ p✝ = p✝
h_p : p✝¹ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ p✝

{ X := X✝, p := p✝¹, idem := idem✝¹ } = { X := X✝, p := p✝, idem := idem✝ }


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₂}


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (β × β)
hV : SymmetricRel V
x y : β


Context:
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(f x) ∂μ = ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : Group N

Context: f : G →* N

Context: H K : Subgroup G

Context: hH : f.ker ≤ H

Context: hK : f.ker ≤ K

Context: hf : comap f (map f H) = comap f (map f K)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: i₁ i₁' : I₁

Context: h₁ : ¬c₁.Rel i₁ i₁'

Context: i₂ : I₂


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ i₂' : I₂

Context: h₂ : ¬c₂.Rel i₂ i₂'


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: i₁ i₁' i₁'' : I₁

Context: i₂ : I₂

(F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) ≫ (F.map (K₁.d i₁' i₁'')).app (K₂.X i₂) = 0


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ i₂' i₂'' : I₂

(F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') ≫ (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂' i₂'') = 0


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: i₁ i₁' : I₁

Context: i₂ i₂' : I₂

(F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (K₁.X i₁')).map (K₂.d i₂ i₂') = (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') ≫ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂')


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ K₂' : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: φ : K₂ ⟶ K₂'

Context: i₁✝ i₁'✝ : I₁

Context: i₂✝ : I₂

Context: a✝ : c₁.Rel i₁✝ i₁'✝

(F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂✝) ≫ (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂'.X i₂✝) = (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁'✝)).map (φ.f i₂✝)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ K₂' : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: φ : K₂ ⟶ K₂'

Context: i₁✝ : I₁

Context: i₂✝ i₂'✝ : I₂

Context: a✝ : c₂.Rel i₂✝ i₂'✝

(F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (K₂'.d i₂✝ i₂'✝) = (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (K₂.d i₂✝ i₂'✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂'✝)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: i✝¹ : I₁

Context: i✝ : I₂

(F.obj (K₁.X i✝¹)).map (𝟙 (K₂.X i✝)) = 𝟙 ((F.obj (K₁.X i✝¹)).obj (K₂.X i✝))


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁

Context: inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms D

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: X✝ Y✝ Z✝ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: g : Y✝ ⟶ Z✝

Context: i✝¹ : I₁

Context: i✝ : I₂

(F.obj (K₁.X i✝¹)).map (f.f i✝ ≫ g.f i✝) = (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (f.f i✝) ≫ (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (g.f i✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
M₀ : Type u_7
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (mulSupport f).Finite
a✝ : Nontrivial M₀


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂

Context: g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t

Context: h₁ : a ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t

Context: h₁ : a ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal

Context: h₂ : a ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t

Context: h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal

Context: h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t

Context: h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal

Context: h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal

Context: h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t

Context: h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal

Context: h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal

Context: h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: h₄ : a ∉ Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) p₂.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)

Context: x : S ⊗[R] T

Context: hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

Context: hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

Context: t : T

Context: r : R

Context: a : S

Context: ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

Context: e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t

Context: h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal

Context: h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal

Context: h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₁.asIdeal

Context: h₄ : a ∉ Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) p₁.asIdeal


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N
g : N → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
h : Wbtw R x y z
f : P →ᵃ[R] P'


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G

H ≠ ⊥ ↔ ∃ a, a ≠ 1


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: c : F

Context: h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + c) x


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' : V
p : G.Walk u' u'


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h : ∀ t ∈ s, IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
ht : t ∈ s

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h✝ : ∀ t ∈ s✝, IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
ht : t ∈ s✝
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t
h : IsIntegralCurveOn γ v s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})

Context: fmeas : Measurable f

Context: hf : Integrable f μ

Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: fmeas : Measurable f

Context: hf : Integrable f μ

∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: μ : Measure β

Context: fmeas : Measurable f

Context: hf : Integrable f μ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) = μ


μ.withDensity (f * fun x => (f x)⁻¹) = μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
x : α
hf_ne_zero : f x ≠ 0
hf_ne_top : f x ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable

μ.restrict (⋃₀ S) = ν.restrict (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, μ.restrict s = ν.restrict s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp a (p + b) = toIcoDiv hp a b + 1


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ

Context: inst✝ : Archimedean α

Context: a : α

Context: b : β

Context: q✝ : ℚ

Context: x✝ : ∃ q, b < ↑q ∧ ↑q < a

Context: q : ℚ

Context: hbq : b < ↑q

Context: hqa : ↑q < a


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n < firstDiff x y


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: x y : (n : ℕ) → E n

Context: n : ℕ

Context: hn : n < if h : x ≠ y then Nat.find ⋯ else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
s : Set α
hsl : s ∈ l
hs : s.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
a : α
hsl : {a} ∈ l
hs : {a}.Subsingleton


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p1 p2 : P1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base

f.c.app (op U) ≫ invApp f ((Opens.map f.base).obj U) = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


(f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))) = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.c.app (op U) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op


Context:
d : ℤ
n : ℤ√d


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S'✝ : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: S' : Solution hζ

Context: hS' : S'.multiplicity = S.Solution'_descent.multiplicity


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p x : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hnorm : normalize p = p

Context: n : ℕ

Context: hle : p ^ n ∣ x

Context: hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x

Context: this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)

Context: hx0 : ¬x = 0


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: inst✝² : NormalizationMonoid R

Context: inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd

Context: inst✝ : DecidableEq R

Context: p x : R

Context: hp : Irreducible p

Context: hnorm : normalize p = p

Context: n : ℕ

Context: hle : p ^ n ∣ x

Context: hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x

Context: hx0 : ¬x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜


IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i * i_1) = x i * x i_1})


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β

∏ x ∈ s, f x = (∏ x ∈ s \ {i}, f x) * f i


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C

tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ tensor_μ C (X₁ ⊗ Y₁, X₂ ⊗ Y₂) (Z₁, Z₂) ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ tensor_μ C (Y₁, Y₂) (Z₁, Z₂) ≫ tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁ ⊗ Z₁, Y₂ ⊗ Z₂)


((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ ((α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (β_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (α_ Z₁ (X₂ ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) Z₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv) ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ ((α_ Y₁ Y₂ (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ Y₁ ◁ (α_ Y₂ Z₁ Z₂).inv ≫ Y₁ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ Y₁ ◁ (α_ Z₁ Y₂ Z₂).hom ≫ (α_ Y₁ Z₁ (Y₂ ⊗ Z₂)).inv) ≫ (α_ X₁ X₂ ((Y₁ ⊗ Z₁) ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁) (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁)).hom ▷ (Y₂ ⊗ Z₂) ≫ X₁ ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Z₁) X₂ (Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ Z₁) (X₂ ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).inv


(α_ ((X₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ (α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ (X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ ((X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁) Z₂).inv ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ X₂ ⊗ Y₂) Z₁).inv ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ ((X₁ ⊗ Y₁) ⊗ X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ (Y₂ ⊗ Z₁) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ X₂ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ (Z₁ ⊗ Y₂) Z₂).inv ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ Z₁ Y₂).inv ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (β_ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ X₂ Y₂).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ (X₂ ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (Z₁ ⊗ (X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) Z₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ (α_ Y₁ Y₂ (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (α_ Y₂ Z₁ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ Y₂ Z₂).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ (α_ Y₁ Z₁ (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁) (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Z₁) Y₂ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Z₁).inv ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Z₁ ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (X₂ ⊗ Z₁) Y₂).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ ((X₂ ⊗ Z₁) ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (β_ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ ((Z₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) Z₂).inv ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (Z₁ ⊗ X₂) Y₂).inv ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ Z₁ X₂).inv ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ ((Y₁ ⊗ Z₁) ⊗ X₂) Y₂ Z₂).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Z₁) X₂ (Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ Z₁) (X₂ ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).inv


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: H : (of R ι G f i) x = 0

Context: this : Nonempty ι

Context: j : ι

Context: hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j

Context: hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0

Context: hx0 : ¬x = 0

i ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: H : (of R ι G f i) x = 0

Context: this : Nonempty ι

Context: j : ι

Context: hx0 : ¬x = 0

Context: hij : i ≤ j


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁷ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: H : (of R ι G f i) x = 0

Context: this : Nonempty ι

Context: j : ι

Context: hx0 : ¬x = 0

Context: hij : i ≤ j

Context: hxj : (totalize G f i j) x = 0


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

(smulAux' g z).im = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (denom g z)


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

(num g z).im * (denom g z).re / Complex.normSq (denom g z) - (num g z).re * (denom g z).im / Complex.normSq (denom g z) = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (denom g z)


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

↑↑g 0 0 * z.im * (↑↑g 1 0 * z.re + ↑↑g 1 1) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) - (↑↑g 0 0 * z.re + ↑↑g 0 1) * (↑↑g 1 0 * z.im) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1))


Context:
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

↑↑g 0 0 * z.im * (↑↑g 1 0 * z.re + ↑↑g 1 1) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) - (↑↑g 0 0 * z.re + ↑↑g 0 1) * (↑↑g 1 0 * z.im) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑↑g 0 0 * ↑↑g 1 1 - ↑↑g 0 1 * ↑↑g 1 0) * z.im / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1))


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
x : X

x ∈ s ↔ x ∈ (eraseLast s).snoc (last s) ⋯


x ∈ s ↔ ¬x = last s ∧ x ∈ s ∨ x = last s


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y Y' : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: f' : G.obj Y' ⟶ X

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Y

Context: b : W ⟶ Y'

Context: w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

liftAux hF α s f ≫ F.map a.op = liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y Y' : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: f' : G.obj Y' ⟶ X

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Y

Context: b : W ⟶ Y'

Context: w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

∀ (I : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩), (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map I.f.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map I.f.op


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y Y' : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: f' : G.obj Y' ⟶ X

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Y

Context: b : W ⟶ Y'

Context: w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

Context: T : C

Context: g : T ⟶ W

Context: hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g

(liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y Y' : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: f' : G.obj Y' ⟶ X

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Y

Context: b : W ⟶ Y'

Context: w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

Context: T : C

Context: g : T ⟶ W

Context: eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map (g ≫ a).op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (G.obj T)).op ≫ α.app (op T)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y Y' : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: f' : G.obj Y' ⟶ X

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Y

Context: b : W ⟶ Y'

Context: w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

Context: T : C

Context: g : T ⟶ W

Context: eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map (g ≫ b).op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (G.obj T)).op ≫ α.app (op T)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y Y' : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: f' : G.obj Y' ⟶ X

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Y

Context: b : W ⟶ Y'

Context: w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

Context: T : C

Context: g : T ⟶ W

Context: eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map (a.op ≫ g.op) = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)

Context: eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map (b.op ≫ g.op) = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: F : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hF : Presheaf.IsSheaf J F

Context: R : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: α : G.op ⋙ R ⟶ F

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Context: s : Multifork (S.index R)

Context: Y Y' : C

Context: f : G.obj Y ⟶ X

Context: f' : G.obj Y' ⟶ X

Context: W : C

Context: a : W ⟶ Y

Context: b : W ⟶ Y'

Context: w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

Context: T : C

Context: g : T ⟶ W

Context: eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map a.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)

Context: eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : Monotone h


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : Measure α


⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => ↑f a), g.lintegral μ = f.lintegral μ


∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).FiniteType → Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom.FiniteType


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X : J
tX : IsTerminal X
F : J ⥤ C
j j' : J
k : j ⟶ j'

F.map k ≫ F.map (tX.from j') = F.map (tX.from j) ≫ 𝟙 (F.obj X)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
x✝ : α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
a : R


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x✝¹ x✝ : MaximalSpectrum R

Context: asIdeal✝¹ : Ideal R

Context: IsMaximal✝¹ : asIdeal✝¹.IsMaximal

Context: asIdeal✝ : Ideal R

Context: IsMaximal✝ : asIdeal✝.IsMaximal

Context: h : { asIdeal := asIdeal✝¹, IsMaximal := IsMaximal✝¹ }.toPrimeSpectrum = { asIdeal := asIdeal✝, IsMaximal := IsMaximal✝ }.toPrimeSpectrum

{ asIdeal := asIdeal✝¹, IsMaximal := IsMaximal✝¹ } = { asIdeal := asIdeal✝, IsMaximal := IsMaximal✝ }


Context: f : ℂ → ℂ := fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)

HasDerivAt Gammaℂ (-(↑γ + log (2 * ↑π)) / ↑π) 1


Context: this : HasDerivAt (fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)) (-log (2 * ↑π) / ↑π) 1


Context: this✝ : HasDerivAt (fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)) (-log (2 * ↑π) / ↑π) 1

Context: this : HasDerivAt (fun y => 2 * (2 * ↑π) ^ (-y) * Gamma y) (-log (2 * ↑π) / ↑π * Gamma 1 + 2 * (2 * ↑π) ^ (-1) * -↑γ) 1


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
inst✝ : CommMonoid N
s t : Submonoid N

s ⊔ t = mrange (s.subtype.coprod t.subtype)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: x₁ x₂ : X

Context: y₁ y₂ : Y

((x₁, y₁) ~ᵢ (x₂, y₂)) ↔ (x₁ ~ᵢ x₂) ∧ (y₁ ~ᵢ y₂)


Context:
n m : ℕ
i : Fin (m * n)


Context:
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
H₁ : ↑i % n + 1 ≤ n


Context:
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
H₁ : ↑i % n + 1 ≤ n
H₂ : ↑i / n < m


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
halg : ¬Algebra.IsAlgebraic F E

finSepDegree F E * finInsepDegree F E = finrank F E


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G


map₂ (fun a b => x * a * (b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1) = 𝓝 x * 𝓝 y


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing T
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S

NonUnitalSubring.map g f.range = (g.comp f).range


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: hh₂ : DifferentiableWithinAt 𝕜' h₂ s' (h x)

Context: hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x

Context: hs : MapsTo h s s'

Context: hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

Context: hy : y = h x

derivWithin (h₂ ∘ h) s x = derivWithin h₂ s' (h x) * derivWithin h s x


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})
w : v x ∈ span R (v '' s)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f

μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))

Context: M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ

Context: I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: J2 : (μ' (f ⁻¹' {1})).toReal = ((μ'.haarScalarFactor μ • μ) (f ⁻¹' {1})).toReal


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: C : IsCompact (f ⁻¹' {1})


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝² : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: f : G → ℝ

Context: hf : Continuous f

Context: h'f : HasCompactSupport f

Context: u : ℕ → ℝ

Context: u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1

Context: u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

Context: J2 : μ' (f ⁻¹' {1}) = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) (f ⁻¹' {1})

Context: C : IsCompact (f ⁻¹' {1})


Context:
α✝ α : Type u
inst✝² : Monoid α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
h : a = b


Context:
f : ℕ → ℚ
H : IsCauSeq abs f
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ : ℚ
δ0 : 0 < δ
δε : ↑δ < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |f j - f i| < δ
j : ℕ
ij : j ≥ i


Context:
Q : Type u_1
inst✝ : Quandle Q
x : Q


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S✝
S T : Subalgebra R A

Algebra.IsIntegral R ↥(S ⊔ T) ↔ Algebra.IsIntegral R ↥S ∧ Algebra.IsIntegral R ↥T


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
l : List (Multiset α)

(sum ⟦l⟧).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ ⟦l⟧, b.Disjoint a


l.sum.Disjoint a ↔ ∀ b ∈ ↑l, b.Disjoint a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)


ker W.quotDualCoannihilatorToDual = ⊥ ∧ ker W.quotDualCoannihilatorToDual.flip = ⊥


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)
this : AddCommGroup ↥W := inferInstance


Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual ∧ Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual.flip


Context: K : Type u_1

Context: hK : NormedField K

Context: h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: Γ₀ : Type u_3

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: val : Valued L Γ₀

Context: hv : v.RankOne

Context: x y : L


Context: K : Type u_1

Context: hK : NormedField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: Γ₀ : Type u_3

Context: val : Valued L Γ₀

Context: hv : v.RankOne

Context: x y : L


Context:
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α


Context:
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
p : l ~ replicate n a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

(∑ a ∈ s, f a).toNNRat = ∑ a ∈ s, (f a).toNNRat


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℤ
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : MvPolynomial σ R

(algebraTensorAlgEquiv R A) (a ⊗ₜ[R] p) = a • (map (algebraMap R A)) p


(Algebra.ofId A (MvPolynomial σ A)) a * eval₂ (C.comp ↑(Algebra.ofId R A)) X p = C a * (map (algebraMap R A)) p


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α

0 < s.infsep ↔ 0 < s.einfsep ∧ s.einfsep < ⊤