(∀ t ⊆ s, s ∩ (convexHull 𝕜) t ⊆ t) ↔ ∀ x ∈ s, x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
k : ℕ
a : α

map f (replicate k a) = replicate k (f a)


Context:
m n✝ n a : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
m n✝ n a : ℕ
inst✝ : NeZero n
ha : (↑a).valMinAbs = ↑a


Context: m n k : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G✝ : Type u_10
H : Type u_11
G : Type u_12
inst✝ : Group G
x : Gˣ


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ

UpperSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Ici y)


(∀ (y : γ), IsOpen (f ⁻¹' Iio y)) ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Ici y)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Fintype R
p n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hscv : Convex ℝ s
this : Nonempty ↑s
p : V
hp : p ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hscv : Convex ℝ s
this : Nonempty ↑s
p : V
hp : p ∈ s
p' : ↥(_root_.affineSpan ℝ s) := ⟨p, ⋯⟩


Convex ℝ (⇑(AffineIsometryEquiv.constVSub ℝ p').symm.toHomeomorph ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' s))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α

fold op b (a ::ₘ s) = op (fold op b s) a


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
I : Set (ι × α)

(Matroid.sum' M).Indep I ↔ ∀ (i : ι), (M i).Indep (Prod.mk i ⁻¹' I)


(∀ (i : ι), (M i).Indep (Sigma.mk i ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' I))) ↔ ∀ (i : ι), (M i).Indep (Prod.mk i ⁻¹' I)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
I : Set (ι × α)
a✝ : ι

Prod.mk a✝ ⁻¹' I = Sigma.mk a✝ ⁻¹' ((fun a => ⟨a.1, a.2⟩) '' I)


Context:
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : SMul M N
inst✝ : SMulCommClass M N N
x : M
y : N


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
σ : Type u
x✝ : Nonempty (Cardinal.{u} ↪ σ)
f : Cardinal.{u} → σ
hf : Injective f
g : σ → Cardinal.{u} := invFun f
x : σ
hx : g x = 2 ^ sum g
this : g x ≤ sum g


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasKernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : Mono g


Context:
α β : Type u
β' : Type v


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n m : ℕ
hn : 0 < n


m.gcd n * (addOrderOf ↑(p / ↑n) / (addOrderOf ↑(p / ↑n)).gcd m) = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha hb : a ∈ sᶜ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: t : ℝ

Context: ht : t ∈ ({t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty} ∪ {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: t : ℝ

Context: z : E := c + t • y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: t : ℝ

Context: z : E := c + t • y

Context: ht : [c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: t : ℝ

Context: z : E := c + t • y

Context: JA : JoinedIn sᶜ a z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: h : 1 < Module.rank ℝ E

Context: s : Set E

Context: hs : s.Countable

Context: this : Nontrivial E

Context: a : E

Context: ha : a ∈ sᶜ

Context: b : E

Context: hb : b ∈ sᶜ

Context: hab : a ≠ b

Context: c : E := 2⁻¹ • (a + b)

Context: x : E := 2⁻¹ • (b - a)

Context: Ia : c - x = a

Context: Ib : c + x = b

Context: x_ne_zero : x ≠ 0

Context: y : E

Context: hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]

Context: t : ℝ

Context: z : E := c + t • y

Context: JA : JoinedIn sᶜ a z

Context: JB : JoinedIn sᶜ b z


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hp : 1 ≤ p

eLpNorm (f - g) p μ ≤ eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ


Context:
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'✝
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
M' : Submodule R M

Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M' ≤ Module.rank R M


(⨆ ι, #↑↑ι) + ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R M


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'✝

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M' : Submodule R M

Context: this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'✝

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M' : Submodule R M

Context: this✝ : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'✝

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M' : Submodule R M


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'✝

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M' : Submodule R M

Context: x✝¹ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }

Context: s : Set (M ⧸ M')

Context: hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

Context: x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }

Context: t : Set ↥M'

Context: ht : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ t }) R Subtype.val

#↑↑⟨s, hs⟩ + #↑↑⟨t, ht⟩ ≤ Module.rank R M


Context: R S : Type u

Context: M : Type v

Context: M'✝ : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'✝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'✝

Context: inst✝¹ : Module R M₁

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: M' : Submodule R M

Context: s : Set (M ⧸ M')

Context: t : Set ↥M'

Context: f : M ⧸ M' → M

Context: hf : ∀ (b : M ⧸ M'), Submodule.Quotient.mk (f b) = b


Context:
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀✝ f₁✝ f₂ : C(X, Y)
S : Set X
f₀ f₁ g₀ g₁ : C(X, Y)
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
h₀ : f₀ = g₀
h₁ : f₁ = g₁
t : ↑I
x : X
hx : x ∈ S

{ toFun := fun x => (F.cast h₀ h₁).toFun (t, x), continuous_toFun := ⋯ } x = g₀ x


Context:
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
h : xs ⊆ ys


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ

(ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ


μ.withDensity ((ν₁ + ν₂).rnDeriv μ) = μ.withDensity (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ)


AEMeasurable (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ) μ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
r : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r : ℝ

Context: this : ((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) =O[𝓝[>] 0] ((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r : ℝ

Context: this : ∃ c, ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ c * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖

∃ c, ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ c * ‖x ^ r‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

Context: hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0, x ∈ Ioi 0 → ‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ ‖P.ε‖ * C * ‖x ^ r‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hC' : x ∈ Ioi 0 → ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖

Context: hx : 0 < x

‖P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀‖ ≤ ‖P.ε‖ * C * ‖x ^ r‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: h_nv2 : ↑(x ^ P.k) ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: h_nv2 : ↑(x ^ P.k) ≠ 0

Context: h_nv : P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: h_nv2 : ↑(x ^ P.k) ≠ 0

Context: h_nv : P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) ≠ 0

Context: hC' : ‖((fun x => P.g x - P.g₀) ∘ fun x => x⁻¹) x‖ ≤ C * ‖((fun x => x ^ (-(r + P.k))) ∘ fun x => x⁻¹) x‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: h_nv2 : ↑(x ^ P.k) ≠ 0

Context: h_nv : P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) ≠ 0

Context: hC' : ‖(P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k)) • P.f x - P.g₀‖ ≤ C * ‖(1 / x) ^ (-(r + P.k))‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: P : WeakFEPair E

Context: r C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: h_nv2 : ↑(x ^ P.k) ≠ 0

Context: h_nv : P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k) ≠ 0

Context: hC' : ‖P.f x - (P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k))⁻¹ • P.g₀‖ ≤ C * ‖(1 / x) ^ (-(r + P.k))‖ / ‖P.ε⁻¹ * ↑(x ^ P.k)‖


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c

∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..c, f x ∂μ


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
h : IsUnramified k w


∀ ⦃x : K ≃ₐ[k] K⦄, x ∈ Stab (mk w.embedding) → x ∈ ⊥


∀ (a : K ≃ₐ[k] K), ComplexEmbedding.IsConj w.embedding a → a = 1


Context:
α : Type u_1
n : ℕ


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
n : ℕ
hn : hf.toFinset.card ≤ n


(sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) hf.toFinset).length ≤ n


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
t : Set Ω


Context:
α : Type u_1
m n : Num

↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n


Context:
α : Type u_1
m n : Num

¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m v : E
h : v ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: a✝ b✝ a b c : α

mabs ((a ⊔ c) / (b ⊔ c)) * mabs ?m.25410 ≤ mabs (a / b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β

image2 f (⋂ i, ⋂ j, s i j) t ⊆ ⋂ i, ⋂ j, image2 f (s i j) t


∀ (x : α), (∀ (i : ι) (i_1 : κ i), x ∈ s i i_1) → ∀ y ∈ t, ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f x y ∈ image2 f (s i i_1) t


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m n : ℤ
z₁ : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q

(z₁.comp (ofHom (𝟙 G)) ⋯).v p q hpq = z₁.v p q hpq


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
ht : IsUpperSet t


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : ¬a = 0


C a⁻¹ * (C q.leadingCoeff⁻¹ * (p /ₘ (C a * (q * (C a⁻¹ * C q.leadingCoeff⁻¹))))) = C a⁻¹ * (C q.leadingCoeff⁻¹ * (p /ₘ (q * C q.leadingCoeff⁻¹)))


C a * (q * (C a⁻¹ * C q.leadingCoeff⁻¹)) = q * C q.leadingCoeff⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f g : α → M

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hst : Disjoint (s ∩ mulSupport f) (t ∩ mulSupport f)

Context: hs : (s ∩ mulSupport f).Finite

Context: ht : (t ∩ mulSupport f).Finite

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


Context:
I : MulticospanIndex (Type u)
c : Multifork I
hc : IsLimit c
s : I.sections
i : I.L


Context:
I : MulticospanIndex (Type u)
c : Multifork I
hc : IsLimit c
i : I.L
x : c.pt

c.ι i ((sectionsEquiv hc) ((sectionsEquiv hc).symm x)) = ((sectionsEquiv hc).symm x).val i


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WOppSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : LinearOrderedField R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : AddTorsor V P

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module R V'

Context: inst✝ : AddTorsor V' P'

Context: s : AffineSubspace R P

Context: x y z : P

Context: hy : y ∉ s

Context: p₁ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: p₂ : P

Context: hyz : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ z)

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
h : y -ᵥ p₂ = 0


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ z)
h : y = p₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: hr : Valid' (↑x) (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂

Context: H1 : ¬l.size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 1

Context: H2 : delta * l.size < (Ordnode.node rs rl rx rr).size

Context: H3 : 2 * (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ (Ordnode.node rs rl rx rr).size ≤ 3

Valid' o₁ (l.rotateL x (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Context: H3 : 2 * (rl.size + rr.size + 1) ≤ 9 * l.size + 5 ∨ rl.size + rr.size + 1 ≤ 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Context: H3 : 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3 ∨ rl.size + rr.size ≤ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Context: H3_0 : l.size = 0 → rl.size + rr.size ≤ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Context: H3p : l.size > 0 → 2 * (rl.size + rr.size) ≤ 9 * l.size + 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Context: ablem : ∀ {a b : ℕ}, 1 ≤ a → a + b ≤ 2 → b ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Context: hlp : l.size > 0 → ¬rl.size + rr.size ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: H2 : delta * l.size ≤ rl.size + rr.size

Valid' o₁ (if rl.size < ratio * rr.size then l.node3L x rl rx rr else l.node4L x rl rx rr) o₂


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R

(((toLinearMap₂' R) (lapMatrix R G)) x) x = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2


(∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2


((∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) + ∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2


((∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) + ∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj j i then x i * x i - x i * x j else 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2


((∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 else 0) + ∑ y : V, ∑ x_1 : V, if G.Adj y x_1 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x y else 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2


(∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 + (x x_2 * x x_2 - x x_2 * x x_1) else 0 + 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
N : Submodule R M
hs : N.FG
t : Set M
ht : t.Finite ∧ span R t = N


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n ≠ 0


Context:
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
inst✝ : LawfulApplicative F
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : Option α

(fun {α} => η.app α) (Option.traverse f x) = Option.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x


Context: z w : ℂ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f

Module.rank R M = Module.rank R M₁ + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


I * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, x⟫_𝕜) / 2 = ↑0


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
A : Set G

(Measure.map (fun h => g * h) μ) A = μ A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
s : Finset ℕ

map Fin.valEmbedding (Finset.fin n s) = filter (fun x => x < n) s


Context: x n m : ℕ


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (1 / x)


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

∀ (g : G.ConnectedComponent → ℝ), ∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = 0 → ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: g : G.ConnectedComponent → ℝ

Context: h0 : ∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = 0


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: g : G.ConnectedComponent → ℝ

Context: h0 : ↑(∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i) = ↑0


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: g : G.ConnectedComponent → ℝ

Context: h : ↑(∑ c : G.ConnectedComponent, g c • G.lapMatrix_ker_basis_aux c) = fun i => g (G.connectedComponentMk i)


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: g : G.ConnectedComponent → ℝ

Context: h0 : (fun i => g (G.connectedComponentMk i)) = ↑0

Context: c : G.ConnectedComponent


Context: V : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype V

Context: inst✝² : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: g : G.ConnectedComponent → ℝ

Context: c : G.ConnectedComponent

Context: i : V

Context: h' : G.connectedComponentMk i = c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂
e : Ico a₁ b₁ = Ico a₂ b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

Context: h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂

Context: e : Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ∧ Ico a₂ b₂ ⊆ Ico a₁ b₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

Context: h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂

(a₁ ≤ a₂ ∧ a₂ ≤ a₁) ∧ b₁ ≤ b₂ ∧ b₂ ≤ b₁


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a⁻¹ * b = c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b = a * c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : γ → β
hg : Injective g
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : Machine₀


Context:
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → CompHaus
B : CompHaus
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget CompHaus).obj (X a)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
a b : Γ
L R : ListBlank Γ

write b (mk' L (ListBlank.cons a R)) = mk' L (ListBlank.cons b R)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup T
inst✝³ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
j : ι
x : AdicCompletion I (M j)

(sum I M) ((DirectSum.of (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) x) = (map I (lof R ι M j)) x


(sum I M) ((lof R ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) x) = (map I (lof R ι M j)) x


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i j : Fin (toList s).length
h : i < j

(List.ofFn s.toFun).get i < (List.ofFn s.toFun).get j


s.toFun (Fin.cast ⋯ i) < s.toFun (Fin.cast ⋯ j)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x

Context: f : A →ₐ[R] A'

Context: hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))

Context: this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x

Context: f : A →ₐ[R] A'

Context: hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))

Context: h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x✝ : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x✝

Context: f : A →ₐ[R] A'

Context: hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x✝))

Context: this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)

Context: h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range

Context: x y : MvPolynomial ι R

Context: hxy : (f.comp (aeval x✝)) x = (f.comp (aeval x✝)) y


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x✝ : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x✝

Context: f : A →ₐ[R] A'

Context: hf_inj : InjOn ⇑f ↑(aeval Subtype.val).range

Context: x y : MvPolynomial ι R


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)

μ[f|m] = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0


(if h : SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0


(if h : Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ

teichmullerFun p (x * y) = teichmullerFun p x * teichmullerFun p y


ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) = ghostMap (teichmullerFun p x * teichmullerFun p y)


ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) = ghostMap (teichmullerFun p x) * ghostMap (teichmullerFun p y)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
n : ℕ

ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) n = (ghostMap (teichmullerFun p x) * ghostMap (teichmullerFun p y)) n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: a✝ b : R

Context: s : S

Context: inst✝³ : SMul R M

Context: inst✝² : SMul R S

Context: inst✝¹ : SMul S M

Context: inst✝ : IsScalarTower R S M

Context: a : R

Context: ab : IsSMulRegular M (a • s)

Context: c d : M

Context: cd : ((fun m => a • m) ∘ fun x => s • x) c = ((fun m => a • m) ∘ fun x => s • x) d


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b : R
s : S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
c d : M
cd : a • s • c = a • s • d


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b : R
s : S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
c d : M
cd : (a • s) • c = (a • s) • d


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t

Context: g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

(fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1} * ENNReal.ofReal (g a)) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1} * ENNReal.ofReal (g a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: t : ℝ

Context: ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}

μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α

a ≤ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ≤ f i j


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

LieSubmodule.map f (posFittingComp R L M) ≤ posFittingComp R L M₂


⨆ i, LieSubmodule.map f (posFittingCompOf R M i) ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M₂ x


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : m ∈ posFittingCompOf R M y

m ∈ LieSubmodule.comap f (posFittingCompOf R M₂ y)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: M₂ : Type u_5

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: χ : L → R

Context: f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

Context: y : L

Context: m : M

Context: hm : ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M) y ^ k) n = m


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: M₂ : Type u_5

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: χ : L → R

Context: f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

Context: y : L

Context: m : M

∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M₂) y ^ k) n = f m


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: M₂ : Type u_5

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: χ : L → R

Context: f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

Context: y : L

Context: m : M

Context: k : ℕ

Context: n : M

Context: hn : ((toEnd R L M) y ^ k) n = m


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : Module.Finite R L

Context: D : LieDerivation R L L

Context: hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule

Context: x : L

(ad R L) (D x) ∈ Submodule.map (ad R L).range.subtype (LinearMap.ker (killingForm R ↥(ad R L).range))


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : Module.Finite R L

Context: D : LieDerivation R L L

Context: x : L

(ad R L) (D x) ∈ Submodule.map (ad R L).range.subtype (LinearMap.ker ((killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (ad R L).range.toSubmodule))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g✝ : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℤ

Context: hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z

Context: hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z

Context: h_le : n ≤ m

Context: g : 𝕜 → E

Context: hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀

Context: left✝ : g z₀ ≠ 0

Context: hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z

Context: j : 𝕜 → E

Context: hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀

Context: hj_ne : j z₀ ≠ 0

Context: hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g✝ : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℤ

Context: h_le : n ≤ m

Context: g : 𝕜 → E

Context: hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀

Context: left✝ : g z₀ ≠ 0

Context: j : 𝕜 → E

Context: hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀

Context: hj_ne : m ≠ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g✝ : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℤ

Context: h_le : n ≤ m

Context: g : 𝕜 → E

Context: hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀

Context: left✝ : g z₀ ≠ 0

Context: j : 𝕜 → E

Context: hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀

Context: hj_ne : m ≠ n

Context: this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g✝ : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℤ

Context: h_le : n ≤ m

Context: g : 𝕜 → E

Context: hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀

Context: left✝ : g z₀ ≠ 0

Context: j : 𝕜 → E

Context: hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀

Context: hj_ne : m ≠ n

Context: this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g✝ : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℤ

Context: h_le : n ≤ m

Context: g : 𝕜 → E

Context: hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀

Context: left✝ : g z₀ ≠ 0

Context: j : 𝕜 → E

Context: hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀

Context: hj_ne : m ≠ n

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ (m - n) • g z) z₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: s : E

Context: p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E

Context: f g✝ : 𝕜 → E

Context: n✝ : ℕ

Context: z z₀ : 𝕜

Context: m n : ℤ

Context: h_le : n ≤ m

Context: g : 𝕜 → E

Context: hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀

Context: left✝ : g z₀ ≠ 0

Context: j : 𝕜 → E

Context: hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀

Context: hj_ne : m ≠ n

AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ (m - n).toNat • g z) z₀


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume

Context: h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

Context: f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A

Context: a b : ℝ

Context: a' b' : A

Context: u v u' v' : ℝ → A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x

Context: hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x

Context: h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

Context: htendsto : Tendsto f atTop (𝓝 b')


Context:
T : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} T
X✝¹ : T
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : T
F : T ⥤ D
X✝ Y✝ : Under X
f : X✝ ⟶ Y✝

((fun Y => mk (F.map Y.hom)) X✝).hom ≫ F.map f.right = ((fun Y => mk (F.map Y.hom)) Y✝).hom


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G


Context: m n : ℤ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'

(adj.homEquiv X Y').symm (f ≫ G.map g) = (adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g


f ≫ G.map g = (adj.homEquiv X Y') ((adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ S : Set G
s : G
hs : s ∈ S⁻¹


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hle : q ≤ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hle : q ≤ p

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

Context: hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p


Context: p q x y : ℝ

Context: r : ℚ

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : LiouvilleWith p x

Context: hle : q ≤ p

Context: C : ℝ

Context: hC₀ : 0 < C

∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ q


Context: n m : ℕ

m ∈ n.smoothNumbers ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p < n


Context:
R✝ : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
inst✝²⁶ : NonUnitalRing A✝¹
inst✝²⁵ : Module R✝ A✝¹
inst✝²⁴ : IsScalarTower R✝ A✝¹ A✝¹
inst✝²³ : SMulCommClass R✝ A✝¹ A✝¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : Field S
inst✝²⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁹ : Module R A✝
inst✝¹⁸ : Module S A✝
inst✝¹⁷ : IsScalarTower S A✝ A✝
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S A✝ A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R S
a✝ : A✝
f✝ : S → R
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A✝
h : QuasispectrumRestricts a✝ f✝
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
inst✝¹³ : Semifield R₁
inst✝¹² : Field R₂
inst✝¹¹ : Field R₃
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : Module R₁ A
inst✝⁸ : Module R₂ A
inst✝⁷ : Module R₃ A
inst✝⁶ : Algebra R₁ R₂
inst✝⁵ : Algebra R₂ R₃
inst✝⁴ : Algebra R₁ R₃
inst✝³ : IsScalarTower R₁ R₂ R₃
inst✝² : IsScalarTower R₂ R₃ A
inst✝¹ : IsScalarTower R₃ A A
inst✝ : SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g

Function.LeftInverse e ⇑(algebraMap R₁ R₃)


⇑(algebraMap R₁ R₃) = ⇑(algebraMap R₂ R₃) ∘ ⇑(algebraMap R₁ R₂)


Set.RightInvOn e (⇑(algebraMap R₁ R₃)) (quasispectrum R₃ a)


Context:
a : EReal
h : a < 0
h' : a ≠ ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (Set R)

zeroLocus (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus s'


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝ : Coreflective j
A : D
h : A ∈ j.essImage

IsIso ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiffOn 𝕜 n c s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
u : F
m : Fin i → E

(iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun y => (c y) u) s x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i c s x) m) u


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A

f ∈ vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
a : R

(lift i x hx h) ((algebraMap R S) a) = i a


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
hs : IsSubgroup s
x y : G
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.Results a n
this : s.Terminates


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
x : α

Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).pair (hg.approx n)) n) x) atTop (𝓝 ((fun x => (f x, g x)) x))


Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).pair (hg.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (f x) ×ˢ 𝓝 (g x))


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: hI : IsHomogeneous 𝒜 I

I.radical = InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: hI : IsHomogeneous 𝒜 I

InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} = InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: hI : IsHomogeneous 𝒜 I

InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: I : Ideal A

Context: hI : IsHomogeneous 𝒜 I

InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ F.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ F.obj Y

f ≫ g ≫ α.hom.app Y = f' ≫ g' ≫ α.hom.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: fp : Finpartition univ := h.finpartition


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: hn : ¬fp.IsEquipartition


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: hn : ∃ a ∈ fp.parts, ∃ b ∈ fp.parts, b.card + 1 < a.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: large_eq : fp.part w = large


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: large_eq : fp.part w = large

Context: small_eq : fp.part v = small


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: large_eq : fp.part w = large

Context: small_eq : fp.part v = small

Context: ha : G.Adj v w


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: large_eq : fp.part w = large

Context: small_eq : fp.part v = small

Context: ha : G.Adj v w

G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (Fintype.card V - small.card) - (Fintype.card V - large.card) - 1


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h : G.IsTuranMaximal r

Context: large : Finset V

Context: hl : large ∈ fp.parts

Context: small : Finset V

Context: hs : small ∈ fp.parts

Context: ineq : small.card + 1 < large.card

Context: w : V

Context: hw : w ∈ large

Context: v : V

Context: hv : v ∈ small

Context: cf : G.CliqueFree (r + 1)

Context: large_eq : fp.part w = large

Context: small_eq : fp.part v = small

Context: ha : G.Adj v w

Context: this : large.card ≤ Fintype.card V


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
d : D


Context:
α : Type u
n : ℕ

finRange n.succ = (map Fin.castSucc (finRange n)).concat (Fin.last n)


Context:
α : Type u
n : ℕ

map Fin.val (finRange n.succ) = map Fin.val ((map Fin.castSucc (finRange n)).concat (Fin.last n))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.support.card ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞

r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ


⨆ i, r * ⨆ (_ : ↑i ≤ fun a => f a), i.lintegral μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : α →ₛ ℝ≥0∞

r * ⨆ (_ : ↑s ≤ fun a => f a), s.lintegral μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ


(↑s ≤ fun a => f a) → r * s.lintegral μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hs : ↑s ≤ fun a => f a

r * s.lintegral μ ≤ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ


(const α r * s).lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => r * f a), g.lintegral μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hs : ↑s ≤ fun a => f a
x : α

↑(const α r * s) x ≤ (fun a => r * f a) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: ι : Type ui

Context: inst✝¹ : CommSemiring k

Context: inst✝ : AddCommMonoid G

Context: s✝ : Finset ι

Context: a✝ : ι → G

Context: b : ι → k

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : ∏ i ∈ s, single (a✝ i) (b i) = single (∑ i ∈ s, a✝ i) (∏ i ∈ s, b i)

∏ i ∈ Finset.cons a s has, single (a✝ i) (b i) = single (∑ i ∈ Finset.cons a s has, a✝ i) (∏ i ∈ Finset.cons a s has, b i)


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
i : ι
this : f i ≤ g i

Nonempty (Quotient.out (f i) ↪ Quotient.out (g ((Embedding.refl ι) i)))


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
a : α
x✝ : Set α
hx✝ : x✝ ∈ Set.range toSet
s : Finset α
t : Set α
ht : t ∈ Set.Icc x✝ ↑s


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
p : R[X]
hp : p ∈ degreeLT R n
x : R

eval x p = ∑ i : Fin n, (degreeLTEquiv R n) ⟨p, hp⟩ i * x ^ ↑i


(p.sum fun e a => a * x ^ e) = ∑ i : Fin n, (degreeLTEquiv R n) ⟨p, hp⟩ i * x ^ ↑i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤


‖T s + T' s‖ ≤ C * (μ s).toReal + C' * (μ s).toReal


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 0
hy : y % 2 = 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 0
hy : y % 2 = 1


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 1
hy : y % 2 = 0


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hx : x % 2 = 1
hy : y % 2 = 1


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
I_le_J : I ≤ J

homogeneousHull 𝒜 I ≤ homogeneousHull 𝒜 J


{r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ⊆ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set β

(M.map f hf).Base B ↔ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀


((M.map f hf).Indep B ∧ ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → B ⊆ I → B = I) ↔ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = f '' B₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : M.Base B

(M.map f hf).Indep (f '' B) ∧ ∀ (I : Set β), (M.map f hf).Indep I → f '' B ⊆ I → f '' B = I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : M.Base B
I : Set β
hI : (M.map f hf).Indep I
hBI : f '' B ⊆ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : M.Base B
I : Set β
hI : (M.map f hf).Indep I
hBI : f '' B ⊆ I
I₀ : Set α
hI₀ : M.Indep I₀
hbij : BijOn f I₀ I


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
M : Matroid α
f : α → β
hf : InjOn f M.E
B : Set α
hB : M.Base B
I : Set β
hI : (M.map f hf).Indep I
I₀ : Set α
hBI : B ⊆ I₀
hI₀ : M.Indep I₀
hbij : BijOn f I₀ I


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group N✝
f✝ : G →* N✝
N : Type u_6
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Injective ⇑f
h : H.normalizer ≤ f.range

comap f H.normalizer = (comap f H).normalizer


map f (comap f H.normalizer) = map f (comap f H).normalizer


H.normalizer = map f (comap f H).normalizer


H.normalizer ≤ map f (comap f H).normalizer


map f (comap f H).normalizer ≤ H.normalizer


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

Context: φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)

Context: A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))

Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w) atTop (𝓝 (f v))


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

Context: B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

(fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) =ᶠ[atTop] fun c => ∫ (w : V), ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: w : V

((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: w : V

↑((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w = ((↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)) • f w


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: w : V


Context: V : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁴ : BorelSpace V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf : Integrable f volume

Context: v : V

Context: h'f : ContinuousAt f v

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: w : V

↑((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V) * ↑(π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2)) * cexp ↑(-π ^ 2 * ‖c ^ (1 / 2) • (v - w)‖ ^ 2) = (↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ box n
hn : n = 0


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ✝ : Type u_1
δ : Type u_2
γ : α ⊕ β → Sort u_3
p : ((ab : α ⊕ β) → γ ab) → Prop

(∃ fab, p fab) ↔ ∃ fa fb, p fun t => rec fa fb t


(¬∀ (fa : (val : α) → γ (inl val)) (fb : (val : β) → γ (inr val)), ¬p fun t => rec fa fb t) ↔ ∃ fa fb, p fun t => rec fa fb t


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun n => 2 * ↑n * Real.sin (2 * π * a * ↑n) * rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) (sinKernel (↑a) t)


Context:
a t : ℝ
ht : 0 < t

HasSum (fun x => ↑(2 * ↑x * Real.sin (2 * π * a * ↑x) * rexp (-π * ↑x ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) (↑(sinKernel (↑a) t) + -I * ↑0 * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) * ↑(rexp (-π * ↑0 ^ 2 * t)))


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: this : HasSum (fun n => -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: n : ℕ

↑(2 * ↑n * Real.sin (2 * π * a * ↑n) * rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = -I * ↑↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + -I * ↑(-↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: n : ℕ


Context: a t : ℝ

Context: ht : 0 < t

Context: n : ℕ

I * ↑n * cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) - I * ↑n * cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I) = I * ↑n * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) - I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
s : Set (X ⊕ Y)

IsClosed s ↔ IsClosed (inl ⁻¹' s) ∧ IsClosed (inr ⁻¹' s)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Subsemiring S
x : R × S

x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (RingHom.snd R S) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
_l : List α

Nodup (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, count a (Quot.mk Setoid.r _l) = 1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M

IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, LieSubmodule.lcs k N = ⊥


(∃ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = ⊥) ↔ ∃ k, LieSubmodule.lcs k N = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
k : ℕ

lowerCentralSeries R L (↥↑N) k = ⊥ ↔ LieSubmodule.lcs k N = ⊥


Context: x y : ℝ

↑(cos (2 * x)) = ↑(cos x ^ 2 - sin x ^ 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0

Tendsto ENNReal.toNNReal (𝓝 ↑a) (𝓝 (↑a).toNNReal)


Tendsto (ENNReal.toNNReal ∘ ofNNReal) (𝓝 a) (𝓝 (↑a).toNNReal)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ

NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Icc (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)


NullMeasurableSet (fun p => f p.1 ≤ p.2) (μ.prod volume)


NullMeasurableSet (fun p => p.2 ≤ g p.1) (μ.prod volume)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : R[X]

Context: a : A

Context: h : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun x => X - C x) p.roots).prod)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : R[X]

Context: a : A

Context: h : ¬IsUnit (List.map (⇑(aeval a)) (Multiset.map (fun x => X - C x) p.roots).toList).prod


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : R[X]

Context: a : A

Context: h : ¬∀ m ∈ List.map (⇑(aeval a)) (Multiset.map (fun x => X - C x) p.roots).toList, IsUnit m


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : R[X]

Context: a : A

Context: h : ∃ a_1 ∈ p.roots, ¬IsUnit (a - ↑ₐ a_1)


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
r : R
r_mem : r ∈ p.roots
r_nu : ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R

Context: inst✝¹² : StarRing R

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : StarRing A

Context: inst✝⁹ : Module R A

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁶ : StarModule R A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁴ : StarRing B

Context: inst✝³ : Module R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R B B

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝ : StarModule R B

Context: s : Set A

Context: this : ∀ (t : Set A), NonUnitalAlgebra.adjoin R (star t) ≤ star (NonUnitalAlgebra.adjoin R t)

star (NonUnitalAlgebra.adjoin R s) ≤ NonUnitalAlgebra.adjoin R (star s)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: h : ∀ (i : ι) (x : M i), f (Pi.mulSingle i x) = g (Pi.mulSingle i x)


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: val✝ : Fintype ι


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : (i : ι) → M i


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝⁵ : Monoid β

Context: inst✝⁴ : Monoid γ

Context: inst✝³ : FunLike F β γ

Context: M : ι → Type u_6

Context: inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → M i) →* γ

Context: val✝ : Fintype ι

Context: x : (i : ι) → M i

univ.noncommProd (fun i => f (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯ = univ.noncommProd (fun i => g (Pi.mulSingle i (x i))) ⋯


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.232884}


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hf : IsLimit f
c' : Cofan Z

(hc.desc c').op ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom = hf.lift c'.op


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hf : IsLimit f
c' : Cofan Z
x✝ : Discrete α
j : α

(c.ι.app { as := j } ≫ (hc.desc c').op.unop).op = (c.ι.app { as := j } ≫ (hf.lift c'.op ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).inv).unop).op


(c'.ι.app { as := j }).op = hf.lift (Fan.mk (op c'.pt) fun a => (c'.inj a).op) ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).inv ≫ (c.ι.app { as := j }).op


(c'.ι.app { as := j }).op = (Fan.mk (op c'.pt) fun a => (c'.inj a).op).π.app { as := j }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
ht : IsCompact t
hf : Disjoint f (cocompact X)

f ×ˢ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (univ ×ˢ t)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X
ht : IsCompact t
hf : Disjoint f (cocompact X)
K : Set X
hKf : K ∈ f
hK : IsCompact K

f ×ˢ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (univ ×ˢ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
x : E

x ∈ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) f.graph ↔ x ∈ f.domain


(∃ x_1, ∃ (h : x ∈ f.domain), ↑f ⟨x, ⋯⟩ = x_1) ↔ x ∈ f.domain


Context:
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L

∃ m, ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑(t ^ m)


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P
inst✝⁷ : Module R✝ P
f : M✝ →ₗ[R✝] P
R : Type u_4
S : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
X : Finset M


span R ↑X = restrictScalars R (span S ↑X)


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (↑n - x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
h : x ∈ s


infEdist x t ≤ (⨆ x ∈ s, infEdist x t) ⊔ ⨆ y ∈ t, infEdist y s


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

(∃ X, Associated (X ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S)) ∧ (∃ Y, Associated (Y ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)) ∧ ∃ Z, Associated (Z ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h₁ : IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: h₂ : Associated (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: T : 𝓞 K

Context: h₃ : Associated (T ^ 3) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf✝ hf : IsGroupHom f
a b : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤

adjoin R (⇑(of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤


⇑(of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support = ⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P✝ Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
P : Cubic R

(fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }) ((fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩) P) = P


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }

(fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩) ((fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }) f) = f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
n : ℕ

{ a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }.toPoly.coeff (4 + n) = (↑f).coeff (4 + n)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
n : ℕ
h3 : 3 < 4 + n


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
r : ↑Γ(X, U)

f ''ᵁ X.basicOpen r = Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: U : X.Opens

Context: r : ↑Γ(X, U)

Context: e : f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r) = X.basicOpen ((Hom.app f (f ''ᵁ U)) ((Hom.appIso f U).inv r))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: U : X.Opens

Context: r : ↑Γ(X, U)

Context: e : f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r) = X.basicOpen r


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: U : X.Opens

Context: r : ↑Γ(X, U)

Context: e : f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen ((Hom.appIso f U).inv r) = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U ⊓ X.basicOpen r


Context: μ ν : YoungDiagram


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n] ⟶ Δ'
hθ : ¬Mono θ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Preadditive C

Context: X : SimplicialObject C

Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n] ⟶ Δ'

Context: hθ : ¬Function.Injective ⇑(SimplexCategory.Hom.toOrderHom θ)


Context:
C✝ : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C✝
inst✝⁹ : MonoidalCategory C✝
inst✝⁸ : BraidedCategory C✝
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁶ : MonoidalCategory D
inst✝⁵ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : MonoidalCategory E
inst✝² : BraidedCategory E
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
i : SymmetricCategory C


Context:
C✝ : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C✝
inst✝⁹ : MonoidalCategory C✝
inst✝⁸ : BraidedCategory C✝
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁶ : MonoidalCategory D
inst✝⁵ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : MonoidalCategory E
inst✝² : BraidedCategory E
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
i : SymmetricCategory C
X Y : C


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_5
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : DivisionRing S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
z : ℤ
x : M


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_5
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : DivisionRing S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : M
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁵ : HasOrthogonalProjection K
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
p : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection p
x : E'

↑((orthogonalProjection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) p)) x) = f ↑((orthogonalProjection p) (f.symm x))


Context: f : StieltjesFunction


Context:
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ


Context:
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ

⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ f.outer s


Context:
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤

⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (t i) + ↑ε


Context:
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε


⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (t i) + ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i)


⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), f.outer t ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))


Context: f : StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: t : ℕ → Set ℝ

Context: ht : s ⊆ ⋃ i, t i

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε

Context: g : ℕ → Set ℝ

Context: hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ofReal ↑(ε' i)


Context: f : StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: t : ℕ → Set ℝ

Context: ht : s ⊆ ⋃ i, t i

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤

Context: ε' : ℕ → ℝ≥0

Context: ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i

Context: hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε

Context: g : ℕ → Set ℝ

Context: hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)