Context:
l : List ℕ
a m n : ℕ
x✝ : [].IsZeckendorfRep


Context:
l✝ : List ℕ
a✝ m n a : ℕ
l : List ℕ
hl hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

(map fib (a :: l)).sum.zeckendorf = a :: l


Context: l✝ : List ℕ

Context: a✝ m n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

Context: hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ List.Pairwise (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])


Context: l✝ : List ℕ

Context: a✝ m n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

Context: hl : ((∀ x ∈ l, x + 2 ≤ a) ∧ 2 ≤ a) ∧ Chain' (fun a b => b + 2 ≤ a) (l ++ [0])


Context: l✝ : List ℕ

Context: a✝ m n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

Context: ha : 0 < a


Context: l✝ : List ℕ

Context: a✝ m n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

Context: ha : 0 < a

(fib a + (map fib l).sum).greatestFib = a


Context: l✝ : List ℕ

Context: a✝ m n a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

Context: ha : 0 < a

a ≤ (map fib l).sum + (fib a + 1) ∧ ∀ ⦃n : ℕ⦄, a < n → n ≤ (map fib l).sum + (fib a + 1) → (map fib l).sum + fib a < fib n


Context: l✝ : List ℕ

Context: a✝ m n✝ a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: hl' : (a :: l).IsZeckendorfRep

Context: ha : 0 < a

Context: n : ℕ

Context: hn : a < n

Context: x✝ : n ≤ (map fib l).sum + (fib a + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

Inducing f ↔ ∀ (i : ι), Inducing ((U i).carrier.restrictPreimage f)


(∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))) ↔ ∀ (i : ι) (x : ↑(f ⁻¹' (U i).carrier)), 𝓝 x = comap Subtype.val (comap f (𝓝 ((f ∘ Subtype.val) x)))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖


‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a b : R


Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J

(pullbackCoverAffineRefinementObjIso f 𝒰 i).inv ≫ (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).map i = ((𝒰.obj i.fst).affineCover.pullbackCover (𝒰.pullbackHom f i.fst)).map i.snd ≫ (𝒰.pullbackCover f).map i.fst


Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

(pullbackSymmetry ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f)).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.snd (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ≫ pullback.snd (𝒰.map i.fst) f


Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: e_1✝ : (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ X) = (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ X)

(pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.snd (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.snd ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ≫ pullback.snd (𝒰.map i.fst) f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ↥(Lp E 1 μ)

integralCLM (f + g) = integralCLM f + integralCLM g


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ

(descPochhammer R (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer R (n + 1) - (↑n + 1) • (descPochhammer R n).comp (X - 1)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ

(descPochhammer ℤ (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer ℤ (n + 1) - (↑n + 1) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ

(descPochhammer ℤ (n + 1)).comp (X - 1) = X * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1) - (↑n + 1) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ

(X - 1 - ↑n) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1) = (X - (↑n + 1)) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
f : p → Part α
h : p
Dom✝ : Prop
get✝ : Dom✝ → α
h' : f h = { Dom := Dom✝, get := get✝ }

{ Dom := ∃ (h : p), (f h).Dom, get := fun ha => (f ⋯).get ⋯ } = { Dom := Dom✝, get := get✝ }


∀ (a : ∃ (h : p), (f h).Dom) (a' : Dom✝), HEq a a' → HEq (get✝ ⋯) (get✝ a')


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x y z : α
h : IsCompl x y
hle : a ≤ b ⊔ y


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
v : n → M₁


(∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v i)) (v j) = 0) ↔ ∀ (i j : n), i ≠ j → (B.flip (v i)) (v j) = 0


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I₁ : R₁ →+* R

Context: I₂ : R₂ →+* R

Context: I₁' : R₁ →+* R

Context: B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M

Context: v : n → M₁

Context: h : ∀ (i j : n), i ≠ j → (B.flip (v i)) (v j) = 0

Context: i j : n

Context: hij : i ≠ j


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I₁ : R₁ →+* R

Context: I₂ : R₂ →+* R

Context: I₁' : R₁ →+* R

Context: B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M

Context: v : n → M₁

Context: h : ∀ (i j : n), i ≠ j → (B (v j)) (v i) = 0

Context: i j : n

Context: hij : i ≠ j


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsArtinian R M


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : b = 0 → a = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: μ : Measure δ

Context: s : Set ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ

Context: g : ι → δ → α := fun i => if hi : i ∈ s then AEMeasurable.mk (f i) ⋯ else fun _b => sSup ∅

AEMeasurable (fun b => ⨆ i ∈ s, f i b) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: μ : Measure δ

Context: s : Set ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ

Context: this : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: μ : Measure δ

Context: s : Set ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ

Context: this : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)

(fun b => ⨆ i ∈ s, f i b) =ᶠ[ae μ] fun b => ⨆ i ∈ s, g i b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: μ : Measure δ

Context: s : Set ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ

Context: this✝ : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)

Context: this : ∀ i ∈ s, ∀ᵐ (b : δ) ∂μ, f i b = g i b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Type u_5

Context: μ : Measure δ

Context: s : Set ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hs : s.Countable

Context: hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ

Context: this✝ : ∀ i ∈ s, Measurable (g i)

Context: b : δ

Context: hb : ∀ i ∈ s, f i b = g i b


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: this : 1 + { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := 1 } = { re := ↑a, im := 1 } * (2 * ↑a)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g h : G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g h : G
key : φ (g * h) = φ g * φ h


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p✝ : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
p : ℕ
α : Type u_1
a : Fin m → α
b : Fin n → α
c : Fin p → α
i : Fin (m + n + p)

append (append a b) c i = (append a (append b c) ∘ cast ⋯) i


append (append a b) c i = append a (append b c) (cast ⋯ i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: Ul : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: Vl : 4 / 5 * ε ≤ ↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

ε ^ 4 / 3 ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card) * (9 / 4 ^ 2 * ε ^ 2)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: this : 0 < ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: this : 0 < ε

Context: UVl : 4 / 5 * ε * (4 / 5 * ε) ≤ ↑(star hP G ε hU V).card / 4 ^ P.parts.card * (↑(star hP G ε hV U).card / 4 ^ P.parts.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑(star hP G ε hU V).card * ↑(star hP G ε hV U).card / 16 ^ P.parts.card * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hε : 0 ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hε : 0 ≤ ε

Context: this : ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + ↑((star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U)).card / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card * (3 / 4 * ε) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i ^ 2) / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hε : 0 ≤ ε

3 / 4 * ε ≤ |(∑ i ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i) / ↑((star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U)).card - (∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i) / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card|


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: hUVne : U ≠ V

Context: hUV : ¬G.IsUniform ε U V

Context: hε : 0 ≤ ε

↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤ ((∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, (fun x => ↑(G.edgeDensity x.1 x.2)) i) / ↑((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts).card) ^ 2


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

(l.rotate n).reverse = l.reverse.rotate (l.length - n % l.length)


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

(l.rotate n).reverse.rotate n = l.reverse


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
hf : LipschitzOnWith K f s
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
h'u : range u ⊆ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: h'u : range u ⊆ s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N

Context: blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: h'u : range u ⊆ s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: h'u : range u ⊆ s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ((f ∘ u) n) ((f ∘ u) m) ≤ (fun n => ↑K * b n) N


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f✝ : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
f : ContDiffBump 0
x : E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ

powersetCard n.succ (insert x s) = powersetCard n.succ s ∪ image (insert x) (powersetCard n s)


powersetCard n.succ s ∪ filter (fun x => x.card = n.succ) (image (insert x) s.powerset) = powersetCard n.succ s ∪ image (insert x) (powersetCard n s)


filter (fun x => x.card = n.succ) (image (insert x) s.powerset) = image (insert x) (powersetCard n s)


image (insert x) (filter (fun a => (insert x a).card = n.succ) s.powerset) = image (insert x) (filter (fun x => x.card = n) s.powerset)


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
t : Finset α

t ∈ filter (fun a => (insert x a).card = n.succ) s.powerset ↔ t ∈ filter (fun x => x.card = n) s.powerset


t ⊆ s → ((insert x t).card = n.succ ↔ t.card = n)


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.21546
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
s : Finset α
h : x ∉ s
n : ℕ
t : Finset α
ht : t ⊆ s
this : x ∉ t


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p
hvx : preVal K v O hv p x = 0
hx0 : x ≠ 0


Context:
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : ModP K v O hv p
hvx : preVal K v O hv p x = 0
hx0 : v ↑p < 0


Context:
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0


Context:
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0

(norm x).natAbs ≤ (norm x).natAbs * (norm y).natAbs


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ

IndepFun f g μ ↔ Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ = (Measure.map f μ).prod (Measure.map g μ)


(∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t)) ↔ Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ = (Measure.map f μ).prod (Measure.map g μ)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ✝ : Type u_4

Context: κ : ι → Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: β' : Type u_7

Context: γ : Type u_8

Context: γ' : Type u_9

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f : Ω → β

Context: g : Ω → β'

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mβ' : MeasurableSpace β'

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: h₀ : ∀ {s : Set β} {t : Set β'}, MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t) = (Measure.map f μ) s * (Measure.map g μ) t ∧ μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = (Measure.map (fun ω => (f ω, g ω)) μ) (s ×ˢ t)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: w w₁ w₂ : ι → k

Context: p : ι → V

Context: hp : AffineIndependent k p

Context: hw : ∑ i ∈ s, w₁ i = ∑ i ∈ s, w₂ i

Context: hwp : ∑ i ∈ s, w₁ i • p i = ∑ i ∈ s, w₂ i • p i


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

IsClosedImmersion f ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => ClosedEmbedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f) f


Context:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

(ClosedEmbedding ⇑f.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)) ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => ClosedEmbedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f) f


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ x y : E


Context:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R✝
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : M → ι
m : M
r : R
x : M
hx : x ∈ (Finsupp.single m r).support


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re

Integrable (fun x => ↑x * cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re

HasFiniteIntegral (fun x => ↑x * cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: this : HasFiniteIntegral (fun x => x * rexp (-b.re * x ^ 2)) volume


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: this : HasFiniteIntegral (fun a => ‖a * rexp (-b.re * a ^ 2)‖) volume

HasFiniteIntegral (fun a => ‖↑a * cexp (-b * ↑a ^ 2)‖) volume


Context: b : ℂ

Context: hb : 0 < b.re

Context: x✝ : ℝ

‖↑x✝ * cexp (-b * ↑x✝ ^ 2)‖ = ‖x✝ * rexp (-b.re * x✝ ^ 2)‖


Context:
n a b : ℕ
h : n = a + b


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n✝ : ℕ
a : M
n : ℕ


Context:
n : ℕ
h : 0 < n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R = ∑ i ∈ range n, X ^ i


∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ = ∑ i ∈ range n, X ^ i


Context:
x : ℝ
hx0 : x < 0
hpx : -(π / 2) < x


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: E : ι → Type wE

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝⁷ : Fintype ι

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x✝¹ x✝ : α

dist x✝¹ x✝ ≤ ↑‖a‖₊⁻¹ * dist (x✝¹ * a) (x✝ * a)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K U V : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection U

Context: h : (orthogonalProjection U).comp V.subtypeL = 0

Context: u : E

Context: hu : u ∈ U

Context: v : E

Context: hv : v ∈ V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K U V : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection U

Context: u : E

Context: hu : u ∈ U

Context: v : E

Context: hv : v ∈ V


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K U V : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection U

Context: u : E

Context: hu : u ∈ U

Context: v : E

Context: hv : v ∈ V

Context: this : (orthogonalProjection U) v = 0


Context:
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁹ : SMul M X
inst✝⁸ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝⁷ : SMul N Y
inst✝⁶ : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝⁵ : SMul P Z
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F X Y
inst✝³ : MulOneClass X
inst✝² : SMul X Y
inst✝¹ : IsScalarTower M' X Y
inst✝ : MulActionHomClass F X X Y
f : F
m : M'
x : X


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞


Context:
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsLimit t.toCone
j : J
j' : Discrete J

t.ι j ≫ t.toCone.π.app j' = ht.lift (Fan.mk (f j) fun j' => if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0) ≫ t.toCone.π.app j'


t.ι j ≫ t.toCone.π.app j' = (Fan.mk (f j) fun j' => if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0).π.app j'


Context: b x✝ y x : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

T =O[atTop] fun n => (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'


∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop, ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖T n‖ ≤ c * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: h_smoothing_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y

Context: h_smoothing_gt_half : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 1 / 2 < 1 - ε ↑y

Context: h_asympBound_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → 0 < asympBound g a b y

Context: h_asympBound_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i y)

Context: h_asympBound_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < asympBound g a b y

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: h_smoothing_r_pos : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i y)

Context: bound1 : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), ↑(r i y) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i y)) ≤ b i ^ p a b * ↑y ^ p a b * (1 - ε ↑y)

Context: h_smoothingFn_floor : ∀ (y : ℕ), ⌊b' * ↑n₀⌋₊ ≤ y → 0 < 1 - ε ↑y

Context: h_sumTransform : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), c₁ * g ↑y ≤ sumTransform (p a b) g (r i y) y

Context: h_bi_le_r : ∀ (y : ℕ), n₀ ≤ y → ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑y ≤ ↑(r i y)

∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖T n‖ ≤ c * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: h_base_nonempty : (Ico ⌊b (min_bi b) / 2 * ↑n₀⌋₊ n₀).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: base_max : ℝ := (Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀).sup' h_base_nonempty fun n => T n / ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)

Context: C : ℝ := max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: hC : C = max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

‖T n‖ ≤ C * ‖(1 - ε ↑n) * asympBound g a b n‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: hC : C = max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

Context: h_base : ∀ n ∈ Ico ⌊b' * ↑n₀⌋₊ n₀, T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: hC : C = max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

Context: h_asympBound_pos' : 0 < asympBound g a b n

Context: h_one_sub_smoothingFn_pos' : 0 < 1 - ε ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

Context: hb_pos : 0 < b'

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁ : c₁ > 0

Context: n₀ : ℕ

Context: n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀

Context: n₀_pos : 0 < n₀

Context: C : ℝ := max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: hC : C = max (2 * c₁⁻¹) base_max

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ n₀

T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → ℂ

Context: c : E

Context: hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c

(∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c) ∨ f c = 0


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → ℂ

Context: c : E

Context: hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c

Context: h : ¬f c = 0


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → ℂ

Context: c : E

Context: hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c

Context: h : ¬f c = 0

Context: h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → ℂ

Context: c : E

Context: hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c

Context: h : ¬f c = 0

Context: h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0

Context: h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → ℂ

Context: c : E

Context: hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c

Context: h : ¬f c = 0

Context: h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0

Context: h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c

Context: h3 : IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F

Context: f : E → ℂ

Context: c : E

Context: hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c

Context: h : ¬f c = 0

Context: h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0

Context: h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c

Context: h3 : IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c

Context: h4 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f⁻¹ z


Context: K : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: g : GenContFract K

Context: s : Stream'.Seq (Pair K)

Context: inst✝ : Field K

Context: nth_partDen_ne_zero : ∀ {b : K}, g.partDens.get? n = some b → b ≠ 0

g.convs (n + 1) = (g.squashGCF n).convs n


Context: K : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: g : GenContFract K

Context: s : Stream'.Seq (Pair K)

Context: inst✝ : Field K

Context: terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context: K : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: g : GenContFract K

Context: s : Stream'.Seq (Pair K)

Context: inst✝ : Field K

Context: not_terminatedAt_n : ¬g.TerminatedAt n


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p x : P


Context: ψ θ : ℝ

↑θ = ↑ψ ↔ ∃ k, θ - ψ = 2 * π * ↑k


Context: ψ θ : ℝ

↑ψ = ↑θ ↔ ∃ k, θ - ψ = 2 * π * ↑k


Context: ψ θ : ℝ

-ψ + θ ∈ AddSubgroup.zmultiples (2 * π) ↔ ∃ k, θ - ψ = 2 * π * ↑k


Context:
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs

{ cauchy := ⟦a ⊓ b⟧ } = Real.inf { cauchy := ⟦a⟧ } { cauchy := ⟦b⟧ }


Context:
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs

{ cauchy := ⟦a ⊓ b⟧ } = match { cauchy := ⟦a⟧ }, { cauchy := ⟦b⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => { cauchy := Quotient.map₂ (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⋯ x y }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α

borel α = MeasurableSpace.generateFrom (range Iio)


borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom (range Iio)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1

a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a * b ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: hσ : (↑⟨σ, hσ✝⟩).support.card + 2 ≤ card α

Context: τ : Perm α

Context: hτ : τ ∈ alternatingGroup α

Context: hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: τ : Perm α

Context: hτ : τ ∈ alternatingGroup α

Context: hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩

Context: π : Perm α

Context: hπ : π * ↑⟨σ, hσ✝⟩ * π⁻¹ = ↑⟨τ, hτ⟩


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: τ : Perm α

Context: hτ : τ ∈ alternatingGroup α

Context: hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩

Context: π : Perm α

Context: hπ : π * σ * π⁻¹ = τ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: τ : Perm α

Context: hτ : τ ∈ alternatingGroup α

Context: hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩

Context: π : Perm α

Context: hπ : π * σ * π⁻¹ = τ

Context: h : sign π = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : Perm α

Context: hσ✝ : σ ∈ alternatingGroup α

Context: τ : Perm α

Context: hτ : τ ∈ alternatingGroup α

Context: hc : IsConj ↑⟨σ, hσ✝⟩ ↑⟨τ, hτ⟩

Context: π : Perm α

Context: hπ : π * σ * π⁻¹ = τ

Context: h : sign π = -1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hc : s.Countable
hs : s.Nonempty
f : ℕ → ↑s
hf : Surjective f


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: v : PicardLindelof E

Context: f : v.FunSpace

Context: this : Continuous ((fun x => (↑x, f.toFun x)) ∘ v.proj)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: v : PicardLindelof E

Context: f : v.FunSpace

Context: x : ℝ

((fun x => (↑x, f.toFun x)) ∘ v.proj) x ∈ Icc v.tMin v.tMax ×ˢ closedBall v.x₀ ↑v.R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : TopologicalSpace α
h : RestrictGenTopology 𝔖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : RestrictGenTopology 𝔖

Context: f : α →ᵤ[𝔖] β

Context: u : Filter (α →ᵤ[𝔖] β)

Context: x✝ : u.NeBot

Context: hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous ((toFun 𝔖) f)}

Context: huf : u ≤ 𝓝 f

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝔖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : RestrictGenTopology 𝔖

Context: f : α →ᵤ[𝔖] β

Context: u : Filter (α →ᵤ[𝔖] β)

Context: x✝ : u.NeBot

Context: huf : ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(toFun 𝔖) ∘ id) ((toFun 𝔖) f) u s

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ 𝔖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x✝ y✝ : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
v : EuclideanSpace 𝕜 ι


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set R

(closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
s : Set R
a : Subring Rᵐᵒᵖ

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 0)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * 0))


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n)) atTop (𝓝 (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * 0))


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun x => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖) atTop (𝓝 ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖)


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

Tendsto (fun x => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ x) atTop (𝓝 0)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R


∀ (x : R[X]), (leval r) x = (smeval.linearMap R r) x


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
x✝ : R[X]

(leval r) x✝ = (smeval.linearMap R r) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Ioi a = Iio (a / c)


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
φ ψ : ↑(characterSpace 𝕜 A)
h : RingHom.ker φ = RingHom.ker ψ
x : A


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁷ : CommRing 𝕜

Context: inst✝⁶ : NoZeroDivisors 𝕜

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝⁴ : ContinuousAdd 𝕜

Context: inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra 𝕜 A

Context: φ ψ : ↑(characterSpace 𝕜 A)

Context: h : RingHom.ker φ = RingHom.ker ψ

Context: x : A

Context: this : x - (algebraMap 𝕜 A) (ψ x) ∈ RingHom.ker φ


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ


Context:
a b c d m k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
k : ℕ
h1 : 0 < m * k
h2 : m * k < m


Context:
a b c d m k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h1 : 0 < m * 0
h2 : m * 0 < m


Context:
a b c d m k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
k : ℕ
h1 : 0 < m * k
h2 : m * k < m
hk : k > 0


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

(summand a b σ) v + (summand a b (swap i j • σ)) v = 0


Context:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
σ✝ : Perm.ModSumCongr ιa ιb
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

(summand a b (Quotient.mk'' σ)) v + (summand a b (swap i j • Quotient.mk'' σ)) v = 0


(Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v + (Perm.sign (swap i j • σ) • MultilinearMap.domDomCongr (swap i j • σ) ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0


(Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v + ((-1 * Perm.sign σ) • MultilinearMap.domDomCongr (swap i j * σ) ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0


(Perm.sign σ • (↑a fun i => v (σ (Sum.inl i))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i => v (σ (Sum.inr i))) + -(Perm.sign σ • (↑a fun i_1 => v ((swap i j) (σ (Sum.inl i_1)))) ⊗ₜ[R'] ↑b fun i_1 => v ((swap i j) (σ (Sum.inr i_1)))) = 0


Context:
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx1 : 0 ≤ x
hx2 : x ≤ 1
hz : 0 ≤ z


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : L

CompleteLattice.Independent fun χ => weightSpaceOf M χ x


CompleteLattice.Independent fun i => ↑(weightSpaceOf M i x)


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: w : ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → T ↑y), P.pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → T ↑y), P.pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)

Context: tU tV : (subsheafToTypes P).presheaf.stalk x

Context: h : stalkToFiber P x tU = stalkToFiber P x tV


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: Q : ∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), tU = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ tV = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ := ?refine_1


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), tU = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ tV = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: tV : (subsheafToTypes P).presheaf.stalk x

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: fU : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj U))) → T ↑x_1

Context: hU : P.pred fU

Context: h : stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩) = stalkToFiber P x tV

∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩ = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ tV = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hU : P.pred fU

Context: V : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: fV : (x_1 : ↥(unop ((OpenNhds.inclusion x).op.obj V))) → T ↑x_1

Context: hV : P.pred fV

Context: h : stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩) = stalkToFiber P x (colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) V ⟨fV, hV⟩)

∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) U ⟨fU, hU⟩ = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ (Type v)).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj (subsheafToTypes P).presheaf) V ⟨fV, hV⟩ = (subsheafToTypes P).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hU : P.pred fU

Context: V : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hV : P.pred fV

∃ W s, ∃ (hW : P.pred s), colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) U ⟨fU, hU⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩ ∧ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) V ⟨fV, hV⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨s, hW⟩


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hU : P.pred fU

Context: V : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hV : P.pred fV

Context: h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hU : P.pred fU

Context: V : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hV : P.pred fV

Context: h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩

Context: W : OpenNhds x

Context: iU : W ⟶ unop U

Context: iV : W ⟶ unop V

Context: w : ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hU : P.pred fU

Context: V : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hV : P.pred fV

Context: h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩

Context: W : OpenNhds x

Context: iU : W ⟶ unop U

Context: iV : W ⟶ unop V


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type v

Context: P : LocalPredicate T

Context: x : ↑X

Context: U : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hU : P.pred fU

Context: V : (OpenNhds x)ᵒᵖ

Context: hV : P.pred fV

Context: h : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩

Context: W : OpenNhds x

Context: iU : W ⟶ unop U

Context: iV : W ⟶ unop V

colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) U ⟨fU, hU⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨fun w => fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w), ⋯⟩ ∧ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate) V ⟨fV, hV⟩ = (subpresheafToTypes P.toPrelocalPredicate).germ ⟨x, ⋯⟩ ⟨fun w => fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w), ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ

∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf_int : Integrable f ρ
hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : α × Ω → F

Context: hf_int : (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst

Context: hf_ae : AEStronglyMeasurable f ρ


Context:
u : ℂ
hu : 0 < u.re


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddZeroClass G
f : k[G]
r : k
x a : G


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

(aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittZero p n) = 0


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
f : (m' → R) →ₗ[R] m → R

(toMatrix₂' R) (B.compl₂ f) = (toMatrix₂' R) B * toMatrix' f


(toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ id f) = (toMatrix₂' R) (B ∘ₗ id) * toMatrix' f


Context:
x : ℝ
h : 0 < x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: inst✝ : S.HasLeftHomology

Context: A : C

Context: f₁ f₂ : S.leftHomology ⟶ A

Context: h : S.leftHomologyπ ≫ f₁ = S.leftHomologyπ ≫ f₂


Context:
Γ : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Semiring R✝
α : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
s t : SummableFamily Γ R α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: n : ℤ

Context: H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: n : ℤ

Context: H_zero : H 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: n : ℤ

Context: H_zero : H 0

Context: H_one : H 1


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: n : ℤ

Context: H_zero : H 0

Context: H_one : H 1

Context: H_neg_one : H (-1)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: n : ℤ

Context: H_zero : H 0

Context: H_one : H 1

Context: H_neg_one : H (-1)

Context: H_add : ∀ {a b c : ℤ}, H a → H b → a + b = c → H c


Context:
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedHurwitzZetaEven a (1 - s) = completedCosZeta a s


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι

stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: τ σ : Ω → ι

Context: E : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: u : ι → Ω → E

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : AddCommMonoid E

Context: n : ι

Context: h_mem : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ Finset.Iio n


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: τ σ : Ω → ι

Context: E : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: u : ι → Ω → E

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : AddCommMonoid E

Context: n : ι

{a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) (Finset.Iio n), {ω | τ ω = i}.indicator (u i) = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α

𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂ ↔ l₁ ≤ l₂


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
h : 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
n : ℕ


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l✝ : ListBlank Γ
n : ℕ
l : List Γ


(map f (mk l)).nth n = f.f ((mk l).nth n)


(Option.map f.f (l.get? n)).iget = f.f (l.get? n).iget


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α


∀ {d : α}, d ≤ a → d ≤ min b c → d ≤ min (min a b) c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y

openSegment 𝕜 x y = Ioo (min x y) (max x y)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y
h : x < y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y
h : y < x


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: h : ∀ (g₁ g₂ : β → Prop), g₁ ∘ f = g₂ ∘ f → g₁ = g₂


Context: α : Sort u_1

Context: β : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f : α → β

Context: h : (fun y => ∃ x, f x = y) = fun x => True


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
c : C

adj₁.unit.app c ≫ 𝟙 (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj (L₁.obj c)))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) ≫ 𝟙 (R₂.obj (L₁.obj c)) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (α.app c)


adj₁.unit.app c ≫ adj₂.unit.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj (L₁.obj c)))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c)) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (α.app c)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: L₁ L₂ : C ⥤ D

Context: R₁ R₂ : D ⥤ C

Context: adj₁ : L₁ ⊣ R₁

Context: adj₂ : L₂ ⊣ R₂

Context: α : L₂ ⟶ L₁

Context: c : C

Context: this : (𝟭 C).map (adj₁.unit.app c) ≫ ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app ((𝟭 C).obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map ((L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv).app ((𝟭 C).obj c))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context: n m : ℕ


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y

abv ((Algebra.norm R) a) ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι


abv ((Algebra.norm R) (∑ i : ι, (bS.repr a) i • bS i)) ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι


abv ((LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (∑ i : ι, (bS.repr a) i • bS i))).det ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι


abv (∑ x : ι, (bS.repr a) x • (LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (bS x))).det ≤ (Fintype.card ι).factorial • (Fintype.card ι • ((Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯ * y)) ^ Fintype.card ι


Fintype.card ι • ((Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯ * y) = Finset.univ.card • y * ?convert_5


∀ (k i j : ι), abv ((LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (bS k)) i j) ≤ ?convert_5


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
x : J

lift F hc s ≫ (F.mapCone c).π.app x = s.π.app x


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ := modPart p r


↑p ∣ (⟨↑r, h⟩ - ↑(modPart p r)) * ↑r.den


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
a : (i : ι) → φ i
h : a ∈ ⨅ i, ker (proj i)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
a : (i : ι) → φ i
h : ∀ (i : ι), a i = 0


Context:
d : ℤ
x : ℤ√d


Context:
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ

y ∈ cylinder x n ↔ dist y x ≤ (1 / 2) ^ n


Context:
E : ℕ → Type u_1
y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ

y ∈ cylinder y n ↔ dist y y ≤ (1 / 2) ^ n


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hne : y ≠ x


(∀ i < n, y i = x i) ↔ n ≤ firstDiff y x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
this : S.HasHomology


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
this : S.HasHomology
eq : S.Exact


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
this : S.HasHomology
eq : S.iCycles ≫ S.pOpcycles = 0


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ n + 2 + n [MOD a - 1]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx : x ∈ F


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx✝ : x ∈ F
hx : ∃ y ∈ E, φ y = x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

Context: hf : TendstoUniformlyOn F f p s

Context: hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, EqOn (F n) (F' n) s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

Context: hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, F n.1 n.2 = F' n.1 n.2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

Context: hff' : {x | EqOn (F x) (F' x) s} ∈ p


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: F' : ι → α → β

Context: hff' : {x | ∀ ⦃x_1 : α⦄, x_1 ∈ s → F x x_1 = F' x x_1} ∈ p


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f g : α → β → β

Context: b : β

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: ih : (∀ (a : α), a ∈ tl → ∀ (b : β), f a b = g a b) → foldr f b tl = foldr g b tl

Context: H : ∀ (a : α), a ∈ hd :: tl → ∀ (b : β), f a b = g a b

foldr f b (hd :: tl) = foldr g b (hd :: tl)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f g : α → β → β

Context: b : β

Context: hd : α

Context: tl : List α

Context: H : (∀ (b : β), f hd b = g hd b) ∧ ∀ (x : α), x ∈ tl → ∀ (b : β), f x b = g x b


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N

𝓕 (⇑χ) k = gaussSum χ (stdAddChar.mulShift (-k))


∑ j : ZMod N, toCircle (-(j * k)) • χ j = gaussSum χ (stdAddChar.mulShift (-k))


Context:
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k j : ZMod N

toCircle (-(j * k)) • χ j = χ j * (stdAddChar.mulShift (-k)) j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤

(𝓝 x).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i


∑ i ∈ s, w i • f i ≤ ∑ i ∈ s, w i • s.sup' ⋯ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0


a < b * succ (sInf {o | a < b * succ o})


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α

(map f s).destruct = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct


Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ s, c1 = (map f s).destruct ∧ c2 = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct


∃ s_1, (map f s).destruct = (map f s_1).destruct ∧ Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s_1.destruct


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α

(map (fun x => a * x) s).gcd = normalize a * s.gcd


(map (fun x => a * x) 0).gcd = normalize a * gcd 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : NormalizedGCDMonoid α

Context: a : α

Context: s✝ : Multiset α

Context: b : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : (map (fun x => a * x) s).gcd = normalize a * s.gcd

(map (fun x => a * x) (b ::ₘ s)).gcd = normalize a * (b ::ₘ s).gcd


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

(i, j) ∈ (ofRowLens μ.rowLens ⋯).cells ↔ (i, j) ∈ μ.cells


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

(∃ (h : i < μ.colLen 0), j < μ.rowLens.get ⟨i, ⋯⟩) ↔ (i, j) ∈ μ


Context:
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π


Context:
β✝ : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
P : C
p : (b : β) → f b ⟶ P
b : β


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
a✝ : Nontrivial α

(a.factors ⊔ b.factors).prod * (a.factors ⊓ b.factors).prod = a * b


((a.factors ⊔ b.factors).prod * (a.factors ⊓ b.factors).prod).factors = (a * b).factors


Context: a : ℤ


Context:
a : ℤ
lt : a < 0


Context:
a : ℤ
gt : 0 < a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: x : FamilyOfElements P (generate R).arrows

Context: t : x.Compatible

(FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend = x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: t : x.SieveCompatible


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: t : x.SieveCompatible

Context: x✝¹ : C

Context: x✝ : x✝¹ ⟶ X

Context: h : (generate R).arrows x✝

(FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend x✝ h = x x✝ h


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: R : Presieve X

Context: t : x.SieveCompatible

Context: x✝¹ : C

Context: x✝ : x✝¹ ⟶ X

Context: h : (generate R).arrows x✝


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : M ≃L[R] M₂
h : ∃ e', ↑e' = ↑e


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : BorelSpace F
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F

Measure.map (⇑f) b.addHaar = (b.map f.toLinearEquiv).addHaar


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace F

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace F

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology F

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace F

Context: b : Basis ι ℝ E

Context: f : E ≃L[ℝ] F

Context: this : (Measure.map (⇑f) b.addHaar).IsAddHaarMeasure


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace F

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace F

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology F

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace F

Context: b : Basis ι ℝ E

Context: f : E ≃L[ℝ] F

b.addHaar (⇑f ⁻¹' _root_.parallelepiped (⇑f.toLinearEquiv ∘ ⇑b)) = 1


Context:
a r x : ℝ
hx : x < 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p✝ : ?m.47193
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u u
qc : q.IsCycle
hq : ∀ e ∈ q.edges, e ∈ H.edgeSet


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α
x : α

x ∈ mk ⁻¹' (mk '' s) ↔ x ∈ ⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s


(∃ x_1 ∈ s, x_1⁻¹ * x ∈ N) ↔ ∃ x_1 ∈ N, x * x_1 ∈ s


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hB : M.Base B


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hB : M.Basis B M.E


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)

((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : LinearWeights R L M

Context: χ : L → R

Context: x y : L

Context: d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)

Context: h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0

Context: h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)

Context: this : traceForm R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ) = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: inst✝⁶ : Module.Free R M

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : LinearWeights R L M

Context: χ : L → R

Context: x y : L

Context: d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)

Context: h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0

Context: h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)

Context: this : ((traceForm R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) y = (0 x) y


Context:
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1

∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1


Context:
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
hn₀ : n ≠ 0


Context:
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
hn₀ : n ≠ 0
hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0


Context: a : ℤ

Context: n : ℕ

Context: h : (List.map (fun n => J(a | n)) n.primeFactorsList).prod = -1

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0


Context: a : ℤ

Context: n : ℕ

Context: hn₀ : n ≠ 0

Context: hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hmem : p ∈ n.primeFactorsList

Context: hj : J(a | p) = -1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
a b : α


a ≤ ⊥ ∧ b ≤ ⊥ ↔ a = ⊥ ∧ b = ⊥


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0 ∧ ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ ↑π ↔ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]


LinearIndependent ℝ ![p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂] ↔ LinearIndependent ℝ ((fun i => ![p₁, p₂, p₃] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂, p₃] 1) ∘ ⇑(finSuccAboveEquiv 1))


(fun i => ![p₁, p₂, p₃] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂, p₃] 1) ∘ ⇑(finSuccAboveEquiv 1) = ![p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂]


Context:
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)

{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun g


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)

Context: this : φ ((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) = φ ((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)

Context: this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal = φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal

φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal = φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)

Context: this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - (φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal) = 0

φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal - (φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)) = 0


(↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)

Context: this : φ ((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = φ ((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)

Context: this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal = φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal

φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal = φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra ℝ A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)

Context: this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal - (φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal) = 0

φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal - (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)) = 0


Context:
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ

φ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal - φ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal = (algebraMap ℝ A) r


Context:
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
hr : r ≤ 0


Context:
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ)

(↑↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star f) = star ((↑↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun f)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α

(μ.restrict s).prod ν = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ univ)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
this : ν = ν.restrict univ


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve X
Y✝ : E
f✝ : Y✝ ⟶ (F ⋙ G).obj X

(functorPushforward (F ⋙ G) R).arrows f✝ ↔ (functorPushforward G (functorPushforward F R)).arrows f✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h✝ : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h✝ = g ≫ h✝

Context: inst✝³ : HasCoequalizer f g

Context: inst✝² : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (parallelPair f g) G

Context: X' Y' : D

Context: f' g' : X' ⟶ Y'

Context: inst✝ : HasCoequalizer f' g'

Context: p : G.obj X ⟶ X'

Context: q : G.obj Y ⟶ Y'

Context: wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'

Context: wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'

Context: Z' : D

Context: h : Y' ⟶ Z'

Context: wh : f' ≫ h = g' ≫ h

G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (G.map f) (G.map g) f' g' p q wf wg) ≫ coequalizer.desc h wh = q ≫ h


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h✝ : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h✝ = g ≫ h✝

Context: inst✝³ : HasCoequalizer f g

Context: X' Y' : D

Context: f' g' : X' ⟶ Y'

Context: inst✝ : HasCoequalizer f' g'

Context: p : G.obj X ⟶ X'

Context: q : G.obj Y ⟶ Y'

Context: wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'

Context: wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'

Context: Z' : D

Context: h : Y' ⟶ Z'

Context: wh : f' ≫ h = g' ≫ h

(q ≫ coequalizer.π f' g') ≫ coequalizer.desc h wh = q ≫ h


Function.Antiperiodic (fun x => cexp (x * I)) ↑π


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R

(coeff R m) ((monomial R n) a) = if m = n then a else 0


(LinearMap.stdBasis R (fun x => R) n) a m = if m = n then a else 0


Context: α : Sort u

Context: β : α → Sort v

Context: α' : Sort w

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq α'

Context: f✝ g : (a : α) → β a

Context: a : α

Context: b : β a

Context: f : (a : α) → β a

Context: a' : α

Context: v v' : β a'

Context: h : update f a' v = update f a' v'

Context: this : update f a' v a' = update f a' v' a'


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
ha : ⊥ < a
c : ι
t : Finset ι
hc : c ∉ t

((∀ b ∈ t, f b < a) → t.sup f < a) → (∀ b ∈ cons c t hc, f b < a) → (cons c t hc).sup f < a


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

↑(normSq (a + b)) = ↑(normSq a) + a * star b + b * star a + ↑(normSq b)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
x : ↥S


Context: m n : ℤ

bitwise (fun a b => a && !b) m n = m.ldiff n


Context: m n : ℕ

↑(Nat.bitwise (fun x y => x && !!y) m n) = ↑(m &&& n)


Context: m n : ℕ

Nat.bitwise (fun x y => !(!x && !y)) m n = m ||| n


Context: m n : ℕ

↑(Nat.bitwise (fun x y => !x && !!y) m n) = ↑(Nat.bitwise (fun a b => a && !b) n m)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β

∅ ∪ ⟦s₁⟧ = ⟦s₁⟧


⟦∅⟧ ∪ ⟦s₁⟧ = ⟦s₁⟧


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
x : α


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x : E
a b : ℝ

(restrictScalars ℝ (smulRight 1 x)) { re := a, im := b } = (reCLM.smulRight x + I • imCLM.smulRight x) { re := a, im := b }


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x y : Quotient s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < n

(fun x => f x ^ n) =o[l] fun x => g x ^ n