Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))

Context: h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩

Context: hh : α h ≠ 0

∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩

Context: hh : α h ≠ 0

Context: f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: hef✝ : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))

Context: h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩

Context: hh : α h ≠ 0

Context: f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'

Context: hef : ⁅⁅e, f⁆, e⁆ = 2 • e


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩

Context: hh : α h ≠ 0

Context: f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'

Context: hef : ⁅⁅e, f⁆, e⁆ = 2 • e

Context: contra : ⁅e, f⁆ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : CharZero K

Context: α : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: e : L

Context: heα : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: he₀ : e ≠ 0

Context: f' : L

Context: hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0

Context: h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩

Context: hh : α h ≠ 0

Context: f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'

Context: hef : ⁅⁅e, f⁆, e⁆ = 2 • e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f

ν.withDensity f = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν s : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hs : s ⟂ₘ ν

Context: hadd : μ = s + ν.withDensity (AEMeasurable.mk f hf)

ν.withDensity (AEMeasurable.mk f hf) = ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ≥0
x : α


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ≥0
x : α
key : nndist (f x) (0 x) ≤ nndist f 0


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ≥0
x : α
key : nndist (f x) 0 ≤ nndist f 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : n ∈ (derivative p).support
h1 : p.coeff (n + 1) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

(s₁.ndunion s₂).gcd = GCDMonoid.gcd s₁.gcd s₂.gcd


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
c : E


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β

(c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
x : β

(0 • x)⁻¹ = 0⁻¹ • x⁻¹


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
hc : c ≠ 0

(c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
hc : c ≠ 0

(c • 0)⁻¹ = c⁻¹ • 0⁻¹


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
hc : c ≠ 0
hx : x ≠ 0

(c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
h : f.symm b = none
x✝ : δ
a✝ : γ

a✝ ∈ (f.trans (single b c)) x✝ ↔ a✝ ∈ ⊥ x✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b


(a✝ ∈ (f x✝).bind fun x => if x = b then some c else none) ↔ a✝ ∈ none


∀ (x : β), f x✝ = some x → ¬(if x = b then some c else none) = some a✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r p q : α → α → Prop

Context: s : Set ι

Context: t : Set ι'

Context: f : ι → Set α

Context: h : ¬∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → ∀ t ≤ f i, t ≤ f j → t ≤ ⊥

∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: r p q : α → α → Prop

Context: s : Set ι

Context: t : Set ι'

Context: f : ι → Set α

Context: h : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s) (_ : x ≠ x_1), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ≤ f x) (_ : x_2 ≤ f x_1), ¬x_2 ≤ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t✝ : Set ι'
f : ι → Set α
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
h_ne : i ≠ j
t : Set α
hfi : t ≤ f i
hfj : t ≤ f j
ht : ¬t ≤ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t✝ : Set ι'
f : ι → Set α
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
h_ne : i ≠ j
t : Set α
hfi : t ≤ f i
hfj : t ≤ f j
ht : t.Nonempty


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
x : FractionRing A
hx : IsIntegral A x

∃ y, (algebraMap A (FractionRing A)) y = x


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'

CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g = ↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g


∀ (i : P.vars), (CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g) (P.cotangentSpaceBasis i)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
i : P.vars

(CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g) (P.cotangentSpaceBasis i)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : SeparatingDual R V
W : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
hf : Injective ⇑f

Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : SeparatingDual R V

Context: W : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup W

Context: inst✝¹ : Module R W

Context: inst✝ : FiniteDimensional R W

Context: f : W →ₗ[R] V

Context: hf : Injective ⇑f

Context: this : Injective (⇑(ContinuousLinearMap.coeLM R).flip ∘ ⇑f)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field R

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : SeparatingDual R V

Context: W : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup W

Context: inst✝¹ : Module R W

Context: inst✝ : FiniteDimensional R W

Context: f : W →ₗ[R] V

Context: hf : Injective ⇑f

Context: this : Injective ⇑((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip ∘ₗ f)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E


∀ (s : Set (IntermediateField F E)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → x ∈ ⨆ a, ↑a → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α x : E

Context: s : Set (IntermediateField F E)

Context: hne : s.Nonempty

Context: hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: hx : x ∈ ⨆ a, ↑a


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: S : Set E

Context: α x : E

Context: s : Set (IntermediateField F E)

Context: hne : s.Nonempty

Context: hx : x ∈ ⨆ a, ↑a

Context: this : Nonempty ↑s


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂✝ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F✝ : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ

Context: σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝

Context: σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝

Context: 𝕜 : Type u_11

Context: 𝕜₂ : Type u_12

Context: E : Type u_13

Context: F : Type u_14

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : E →SL[σ₁₂] F

Context: hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂✝ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F✝ : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ

Context: σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝

Context: σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝

Context: 𝕜 : Type u_11

Context: 𝕜₂ : Type u_12

Context: E : Type u_13

Context: F : Type u_14

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : E →SL[σ₁₂] F

‖f‖₊ ≤ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1)


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂✝ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E✝ : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F✝ : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ

Context: σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝

Context: σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝

Context: 𝕜 : Type u_11

Context: 𝕜₂ : Type u_12

Context: E : Type u_13

Context: F : Type u_14

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : E →SL[σ₁₂] F

sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) ≤ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃

φ.τ₁ ≫ (ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).f' = h.f'


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
d : D

L₂.map (α.app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)


L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((mateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f✝ : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
l : Filter Y
f : Y → (i : ι) → π i
x : (i : ι) → π i
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
i : ι
g : Y → π i
xi : π i
hg : Tendsto g l (𝓝 xi)
j : ι

Tendsto (fun i_1 => Function.update (f i_1) i (g i_1) j) l (𝓝 (Function.update x i xi j))


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : MulPosReflectLT α
b0 : 0 < b


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
pn : (ι →₀ R) ⊗[R] N
i : ι

((finsuppScalarLeft R N ι) pn) i = (TensorProduct.lid R N) ((rTensor N (Finsupp.lapply i)) pn)


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂


Context: α : Type u

Context: inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α

Context: a b c : α

min (a * b) c = min (min a c * min b c) c


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
inst✝ : Invertible A


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : NeZero ↑↑n

(aeval (zeta n A B)) (cyclotomic (↑n) A) = 0


Context:
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)


Context:
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type u_2
b : Basis ι K V


Context:
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V


Context:
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[Kᵐᵒᵖ] ι → Kᵐᵒᵖ


Module.rank Kᵐᵒᵖ (ι → Kᵐᵒᵖ) = #(ι → Kᵐᵒᵖ)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
tα : TopologicalSpace α
tβ : TopologicalSpace β
f : β → α

tβ = induced f tα ↔ ∀ (b : β), 𝓝 b = comap f (𝓝 (f b))


Context:
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a))


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

(fun _n => ↑‖a‖₊) = (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ∘ fun n => 2 ^ n


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: n : ℕ

↑‖a‖₊ = ((fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ∘ fun n => 2 ^ n) n


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : StarRing A

Context: inst✝ : CstarRing A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
x : L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x : D.glued

∃ i y, Multicoequalizer.π D.diagram i y = x


∃ i y, (Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y = x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x' : D.sigmaOpens

∃ i y, (Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y = D.π x'


∃ i y, (Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y = D.π ((colimit.isoColimitCocone (Types.coproductColimitCocone D.U)).inv ((colimit.isoColimitCocone (Types.coproductColimitCocone D.U)).hom x'))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x' : D.sigmaOpens
i : D.J
y : D.U i

∃ i_1 y_1, (Sigma.ι D.diagram.right i_1 ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y_1 = D.π ((colimit.isoColimitCocone (Types.coproductColimitCocone D.U)).inv ⟨i, y⟩)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(rootSpace H χ₁)
m : ↥(weightSpace M χ₂)

↑((rootSpaceWeightSpaceProduct R L H M χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] m)) = ⁅↑x, ↑m⁆


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0


↑(p.num * ↑q.den) / ↑(↑p.den * q.num) = ↑p.num * ↑q.den / (↑p.den * ↑q.num)


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α

dist (f x) (f y) = ↑(ratio f) * dist x y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α

s.tail.destruct = s.destruct >>= tail.aux


(fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct = s.destruct >>= tail.aux


(s.destruct >>= fun x => Pure.pure (Option.rec nil Prod.snd x) >>= destruct) = s.destruct >>= tail.aux


(fun x => Pure.pure (Option.rec nil Prod.snd x) >>= destruct) = tail.aux


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(∑ i ∈ Ico m n, x ^ i) * (1 - x) = x ^ m - x ^ n


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π✝ : ι → Type u_6

Context: κ : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)

Context: f✝ : X → (i : ι) → π✝ i

Context: n : ℕ

Context: π : Fin (n + 1) → Type u_8

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (π i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : Y → π i

Context: l : Filter Y

Context: x : π i

Context: hf : Tendsto f l (𝓝 x)

Context: g : Y → (j : Fin n) → π (i.succAbove j)

Context: y : (j : Fin n) → π (i.succAbove j)

Context: hg : Tendsto g l (𝓝 y)

Context: j : Fin (n + 1)

∀ (j : Fin n), Tendsto (fun i_1 => i.insertNth (f i_1) (g i_1) (i.succAbove j)) l (𝓝 (i.insertNth x y (i.succAbove j)))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV' : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V

|↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id)) - ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))| ≤ ε / 5


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_9, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁

Context: h₁ : Homotopy f₁ f₁'

Context: K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: f₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.Additive

Context: inst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝³ : DecidableEq J

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c

Context: inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c

Context: i₁ i₁' : I₁

Context: hi₁ : c₁.Rel i₁ i₁'

Context: i₂ i₂' : I₂

Context: hi₂ : c₂.Rel i₂ i₂'

Context: j : J

Context: hj : c₁.π c₂ c (i₁', i₂) = j

c₁.ε₁ c₂ c (i₁, i₂) • (F.map (h₁.hom i₁' i₁)).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj L₁).obj L₂).d₂ c i₁ i₂ j = -(((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).d₂ c i₁' i₂ (c.next j) ≫ hom₁ h₁ f₂ F c (c.next j) j


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_9, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁

Context: h₁ : Homotopy f₁ f₁'

Context: K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: f₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.Additive

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝³ : DecidableEq J

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c

Context: inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c

Context: i₁ i₁' : I₁

Context: hi₁ : c₁.Rel i₁ i₁'

Context: i₂ i₂' : I₂

Context: hi₂ : c₂.Rel i₂ i₂'

Context: j : J

Context: hj : c₁.π c₂ c (i₁', i₂) = j

Context: hj' : c₁.π c₂ c (i₁, i₂') = j


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.158173, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.158177, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.158177, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0

QuasiIso φ ↔ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ Mono φ.τ₂


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.158177, u_2} D
inst✝ : Abelian C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
w : φ.τ₂ ≫ S₂.g = 0


IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯) ↔ (mk φ.τ₂ S₂.g ⋯).Exact ∧ Mono φ.τ₂


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = t.encard


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]

(map f p).natDegree = p.natDegree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p.natDegree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree ≠ 0
h2 : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p.natDegree ≠ 0
h2 : p ≠ 0
h3 : p.degree ≠ ↑0


(f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0) ∨ (map f p).degree = ↑0 ∧ p.degree = ⊥ ∨ (map f p).degree = ⊥ ∧ p.degree = ↑0 ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0


map f p = 0 → p.degree = 0 → ¬f p.leadingCoeff = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
n : ℕ


Context: n : ℤ


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module R V

Context: inst✝¹ : AddTorsor V P

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: p₁ p₂ p : P

Context: h₁ : Sbtw R (t.points i₂) p₁ (t.points i₃)

Context: h₂ : Sbtw R (t.points i₁) p₂ (t.points i₃)

Context: h₁' : p ∈ affineSpan R {t.points i₁, p₁}

Context: h₂' : p ∈ affineSpan R {t.points i₂, p₂}

Context: this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}


Context: R : Type u_1

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Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

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Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

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Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

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Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

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Context: h₁i : ∃ x ∈ Set.Ioo 0 1, (lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) x = p₁

Context: h₂i : ∃ x ∈ Set.Ioo 0 1, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) x = p₂


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Sbtw R (t.points i₁) p ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁)


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Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

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Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

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Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

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Context: h₂' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {t.points i₂, (lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) r₂}

Sbtw R (t.points i₁) ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w) ((lineMap (t.points i₂) (t.points i₃)) r₁)


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Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

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Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

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Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

Context: h₁s : SignType.sign (w i₂) = SignType.sign (w i₃)


Context: R : Type u_1

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Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

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Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

Context: w : Fin (2 + 1) → R

Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

Context: h₂s : SignType.sign (w i₁) = SignType.sign (w i₃)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

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Context: inst✝³ : AddCommGroup V

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Context: inst✝¹ : AddTorsor V P

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

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Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

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Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

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Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

Context: h₁' : (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w ∈ affineSpan R {(Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁), (Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁)}

Sbtw R ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁)) ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) w) ((Finset.affineCombination R Finset.univ t.points) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁))


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

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Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

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Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: this : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1 := LinearOrderedRing.decidableLT

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: h3 : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

Context: w : Fin (2 + 1) → R

Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

Sbtw R (Finset.affineCombinationSingleWeights R i₁ i₁) (w i₁) (Finset.affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ r₁ i₁)


Context: R : Type u_1

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Context: P' : Type u_5

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Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

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Context: R : Type u_1

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Context: inst✝² : Module R V

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Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

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Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

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Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

Context: hs : ∀ (i : Fin 3), SignType.sign (w i) = SignType.sign (w i₃)

Context: hss : SignType.sign (∑ i : Fin (2 + 1), w i) = 1


Context: R : Type u_1

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Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

Context: w : Fin (2 + 1) → R

Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

Context: hs' : SignType.sign (∑ i : Fin 3, w i) = SignType.sign (w i₃)


Context: R : Type u_1

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Context: inst✝³ : AddCommGroup V

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Context: inst✝¹ : AddTorsor V P

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

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Context: hss : SignType.sign (w i₃) = 1


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module R V

Context: inst✝¹ : AddTorsor V P

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

Context: w : Fin (2 + 1) → R

Context: hw : ∑ i : Fin (2 + 1), w i = 1

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Context: hs : ∀ (i : Fin 3), 0 < w i


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module R V

Context: inst✝¹ : AddTorsor V P

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

Context: w : Fin (2 + 1) → R

Context: hw : ∑ i ∈ {i₁, i₂, i₃}, w i = 1

Context: hss : SignType.sign (w i₃) = 1

Context: hs : ∀ (i : Fin 3), 0 < w i


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module R V

Context: inst✝¹ : AddTorsor V P

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

Context: w : Fin (2 + 1) → R

Context: hw : w i₁ + (w i₂ + w i₃) = 1

Context: hss : SignType.sign (w i₃) = 1

Context: hs : ∀ (i : Fin 3), 0 < w i


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module R V

Context: inst✝¹ : AddTorsor V P

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V

Context: t : Affine.Triangle R P

Context: i₁ i₂ i₃ : Fin 3

Context: h₁₂ : i₁ ≠ i₂

Context: h₁₃ : i₁ ≠ i₃

Context: h₂₃ : i₂ ≠ i₃

Context: hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}

Context: r₁ : R

Context: hr₁0 : 0 < r₁

Context: hr₁1 : r₁ < 1

Context: r₂ : R

Context: hr₂0 : 0 < r₂

Context: hr₂1 : r₂ < 1

Context: w : Fin (2 + 1) → R

Context: hw : w i₁ + ∑ x ∈ {i₂, i₃}, w x = 1

Context: hss : SignType.sign (w i₃) = 1

Context: hs : ∀ (i : Fin 3), 0 < w i


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝¹ f✝ : ℂ → E
hf✝ : Differentiable ℂ f✝
c z : ℂ
f : ℂ → ℂ
hf : Differentiable ℂ f

∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝¹ f✝ : ℂ → E
hf✝ : Differentiable ℂ f✝
c z : ℂ
f : ℂ → ℂ
hf : Differentiable ℂ f
n : ℕ

(↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower F K E
h : Normal F E
x : E

IsIntegral K x ∧ Splits (algebraMap K E) (minpoly K x)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Algebra K E

Context: inst✝ : IsScalarTower F K E

Context: h : Normal F E

Context: x : E

Context: hx : IsIntegral F x

Context: hhx : Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)


Context: F : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: inst✝¹ : Algebra K E

Context: inst✝ : IsScalarTower F K E

Context: h : Normal F E

Context: x : E

Context: hx : IsIntegral F x

Context: hhx : Splits ((algebraMap K E).comp (algebraMap F K)) (minpoly F x)


Context: α : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure α

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: f✝ : α → E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_int : ∫ (x : α), ⟪∫ (x : α), f x ∂μ, f x⟫_𝕜 ∂μ = 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
p : Prop


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hq : q.Monic
h : p.degree < q.degree


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
l' : List β
lp : List (α × β)
hl : map Prod.fst lp = l
hr : map Prod.snd lp = l'


Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: n : ℕ

Context: h : p = ↑n

Context: f : PiLp p β


Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : ι → Type u_5

Context: n : ℕ

Context: h : p = ↑n

Context: f : PiLp p β

Context: this : 0 < p.toReal


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : Semiring A

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁷ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝⁶ : SetLike σ A

Context: inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝⁴ : GradedRing 𝒜

Context: a : A

Context: n✝ i : ι

Context: inst✝³ : Sub ι

Context: inst✝² : OrderedSub ι

Context: inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: n : ι

Context: inst✝ : Decidable (i ≤ n)

Context: b : ↥(𝒜 i)

↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = if i ≤ n then ↑(((decompose 𝒜) a) (n - i)) * ↑b else 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: ca : Computation α

Context: cb : Computation β

Context: l : ∀ {a : α}, a ∈ ca → ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b

Context: right✝ : ∀ {b : β}, b ∈ cb → ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b

Context: a : α

Context: b : β

Context: ma : a ∈ ca

Context: mb : b ∈ cb

Context: b' : β

Context: mb' : b' ∈ cb

Context: ab' : R a b'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: ca : Computation α

Context: cb : Computation β

Context: a : α

Context: b : β

Context: ma : a ∈ ca

Context: mb : b ∈ cb

Context: b' : β

Context: mb' : b' ∈ cb

Context: ab' : R a b'


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : { f // ∀ (i : α), (f.2 i).isSome = true ↔ i ∈ f.1 }

((↑f).1.sigma fun i => ((↑f).2 i).toFinset).val.NodupKeys


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

∀ x ∈ ((↑f).1.sigma fun i => ((↑f).2 i).toFinset).val, ∀ y ∈ ((↑f).1.sigma fun i => ((↑f).2 i).toFinset).val, x.fst = y.fst → x = y


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

∀ (x : (a : α) × β a), x.fst ∈ (↑f).1 ∧ (↑f).2 x.fst = some x.snd → ∀ (y : (a : α) × β a), y.fst ∈ (↑f).1 ∧ (↑f).2 y.fst = some y.snd → x.fst = y.fst → x = y


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: i : α

Context: x : β i

Context: left✝¹ : ⟨i, x⟩.fst ∈ (↑f).1

Context: hx : (↑f).2 ⟨i, x⟩.fst = some ⟨i, x⟩.snd

Context: y : β i

Context: left✝ : ⟨i, y⟩.fst ∈ (↑f).1

Context: hy : (↑f).2 ⟨i, y⟩.fst = some ⟨i, y⟩.snd


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ

Tendsto (fun n => ((f ^ n) x - x) / ↑n) atTop (𝓝 (τ f))


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ

Tendsto (fun n => ((f ^ n) x - x) / ↑n) atTop (𝓝 (τ (↑(translate (Multiplicative.ofAdd x))⁻¹ * f * ↑(translate (Multiplicative.ofAdd x)))))


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ

((↑(translate (Multiplicative.ofAdd x))⁻¹ * f * ↑(translate (Multiplicative.ofAdd x))) ^ n) 0 / ↑n = ((f ^ n) x - x) / ↑n


Context:
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
g : NormedAddGroupHom H K
x : Completion G

(g.completion.comp f.completion) x = (g.comp f).completion x


Completion.map (⇑g ∘ ⇑f) x = Completion.map (⇑(g.comp f)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: t₁ t₂ : Finset α

Context: ht₁ : t₁ ∈ initSeg s

Context: ht₂ : { ofColex := t₂ } < { ofColex := t₁ } ∧ t₂.card = s.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: f : α → β

Context: 𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)

Context: s t u : Finset α

Context: a b : α

Context: r : ℕ

Context: inst✝ : Fintype α

Context: t₁ t₂ : Finset α

Context: ht₁ : s.card = t₁.card ∧ { ofColex := t₁ } ≤ { ofColex := s }


StrictConcaveOn ℝ (Ioi 1) fun x => √x * log x


ContinuousOn (fun x => √x * log x) (Ioi 1)


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
s : Set α
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
k : ℕ
ih : f^[k] ⁻¹' s =ᵐ[μ] s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: t : ι → Set α

Context: V : ι → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖

Context: hmono : Monotone t

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n

Context: hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V

(𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasAntitoneBasis fun n => UniformOnFun.gen 𝔖 (t n) (V n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: t : ι → Set α

Context: V : ι → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖

Context: hmono : Monotone t

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n

Context: hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V

Context: this : Nonempty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: t : ι → Set α

Context: V : ι → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖

Context: hmono : Monotone t

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n

Context: hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V

Context: this : Nonempty ι

∀ (i : ι × ι), True → ∃ i', True ∧ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i') (V i') ⊆ UniformOnFun.gen 𝔖 (t i.1) (V i.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι✝

Context: g : ι✝ → α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: t : ι → Set α

Context: V : ι → Set (β × β)

Context: ht : ∀ (n : ι), t n ∈ 𝔖

Context: hmono : Monotone t

Context: hex : ∀ s ∈ 𝔖, ∃ n, s ⊆ t n

Context: hb : (𝓤 β).HasAntitoneBasis V

Context: this : Nonempty ι

Antitone fun n => UniformOnFun.gen 𝔖 (t n) (V n)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
hf : Injective f


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f : σ → τ

Context: hf : Injective f

Context: this : ⇑(rename f) = Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f)


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f : σ → τ

Context: hf : Injective f

Injective (Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f))


Context:
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Module R (Additive ℤˣ)
u : ℤˣ
n : ℕ

Additive.toMul (↑n • Additive.ofMul u) = u ^ n


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
u : α


(∀ (a_1 : (P F).A) (f_1 : (P F).B a_1 → α), abs ⟨a_1, f_1⟩ = abs ⟨a, f⟩ → u ∈ f_1 '' univ) ↔ u ∈ f '' univ


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
h : IsUniform
α : Type u
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
u : α
h' : u ∈ f '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' → α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : ¬μ.HaveLebesgueDecomposition ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

HasFDerivAt f f' x ↔ (fun h => f (x + h) - f x - f' h) =o[𝓝 0] fun h => h


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ

(o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) y).sign = SignType.sign r₁ * (o.oangle x y).sign


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1322990) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R

Context: inst✝¹⁷ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁶ : StarRing R

Context: inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹⁴ : MetricSpace R

Context: inst✝¹³ : TopologicalRing R

Context: inst✝¹² : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁸ : StarRing A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁵ : Module R A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝³ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

0 ≤ cfcₙ (fun x => -f x) a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ -f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : RightInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) t
a : α
ha : a ∈ t

(g₂.extendDomain f) ((g₁.extendDomain f) ((Subtype.val ∘ ⇑f) a)) = (Subtype.val ∘ ⇑f) a


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

(n.floorRoot a).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

(if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌊/⌋ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n


Context:
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)

((a.factorization ⌊/⌋ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

Context: h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ (a.factorization ⌊/⌋ n).support


Context: a✝ b n✝ n a : ℕ

Context: h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)

Context: p : ℕ

Context: this : Prime p ∧ p ∣ a ∧ ¬a = 0


Context:
ι : Type u
f : ι → Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace

x ∈ ↑⊤ → x ∈ ↑(⨆ i, Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i))


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ : AffineSubspace k P
v : V

s₁ = map (↑(constVAdd k P (-v))) (map (↑(constVAdd k P v)) s₁)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M'✝
inst✝⁴ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommGroup M₁'
inst✝ : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
c : R
h : B.IsAdjointPair B₂' f₂ g₂
x : M
y : M'

(B₂' ((c • f₂) x)) y = (B x) ((c • g₂) y)


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i : Fin n
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α

append (cons a as) bs = cons a (append as bs) ∘ cast ⋯


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
i : Fin (n + 1 + m)

append (cons a as) bs i = (cons a (append as bs) ∘ cast ⋯) i


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
a : α
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
i : ℕ
isLt✝ : i < n + 1 + m

append (cons a as) bs ⟨i, isLt✝⟩ = (cons a (append as bs) ∘ cast ⋯) ⟨i, isLt✝⟩


(if h : i < n + 1 then cases a as ⟨i, ⋯⟩ else ⋯ ▸ bs (subNat (n + 1) ⟨i, ⋯⟩ ⋯)) = cases a (addCases as bs) ⟨i, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
a : R
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂

leftHomologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • leftHomologyMap' φ h₁ h₂


Context:
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
inst✝ : Infinite V


Context:
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
inst✝ : Infinite V
hc : ¬⊤.chromaticNumber = ⊤


Context:
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
inst✝ : Infinite V
hc : ∃ n, ⊤.Colorable n


Context:
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
inst✝ : Infinite V
n : ℕ
hn : ⊤.Coloring (Fin n)


Context: m n : ℕ


Context:
m n h✝ : ℕ
h : ack (m + 1) n = h✝.succ


Context:
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
j : J


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0

dist ((R / ‖x‖) ^ 2 • x) ((R / ‖y‖) ^ 2 • y) = √(‖(R / ‖x‖) ^ 2 • x - (R / ‖y‖) ^ 2 • y‖ ^ 2)


((R * R * ‖x‖ * (R * R * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) - ‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (2 * (R * R * (R * R * ⟪x, y⟫_ℝ)))) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)) + R * R * ‖y‖ * (R * R * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)))) * (‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)) = R * R * (R * R) * (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)))


√((R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) ^ 2 * ‖x - y‖ ^ 2) = R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖) * dist x y


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle y (y - x)).cos * ‖y - x‖ = ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n < m

MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅


∀ (x : α), x ∉ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))


Submodule.span k (insert (p -ᵥ p) ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))) = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))


Context:
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity n ℂ


Context:
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ^ ↑n = 1


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤

Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞

Context: α : Type u_4

Context: f : α → ℝ≥0

Context: hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤

Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), (fun i => ↑(f i)) ↑b) atTop (𝓝 0)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞

Context: α : Type u_4

Context: f : α → ℝ≥0

Context: x✝ : Finset α

∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), (fun i => ↑(f i)) ↑b = ↑(∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), f ↑b)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞

Context: α : Type u_4

Context: f : α → ℝ≥0

Context: x✝ : Finset α


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b : β
x : P (e.symm b)
b' : β

(Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b) x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b x b'


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b' : β
x : P (e.symm b')

(Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b') x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b' x b'


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b : β
x : P (e.symm b)
b' : β
h : b' ≠ b


Context: y : ℝ


Context: y : ℝ

Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ⊥ ∩ Iic ↑y) = Iic y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
hf : Surjective f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
s t : List α
hf : Injective f
h : s.Disjoint t


(pmap (fun a x => f a) s ⋯).Disjoint (pmap (fun a x => f a) t ⋯)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖⟨k, property✝⟩‖ = 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖⟨k, property✝⟩‖ = 1
hk : k ≠ 0


(⟨k, property✝⟩ * match ⟨k, property✝⟩ with | ⟨k, property⟩ => if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0


(⟨k, property✝⟩ * if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'

HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d) (d • c') s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'
z : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : γ → α → β
x : α → β
i : Option γ
y : α

i.elim x f y = i.elim (x y) fun j => f j y


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: a : Cardinal.{u}

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i

Context: h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a


Context: α : Type u

Context: ι : Type v

Context: a : Cardinal.{u}

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: f : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : ↥(Lp E p μ)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G

IsLocallySurjective J f ↔ IsLocallySurjective J (whiskerRight f (forget A))


Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A))) = ⊤ ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight (whiskerRight f (forget A)) (forget (Type w')))) = ⊤


Context:
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected


Context:
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected
x : ℝ≥0
hx : x ∈ t
y : ℝ≥0
hy : y ∈ t
z : ℝ≥0∞
hz : z ∈ Icc ↑x ↑y


Context:
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected
x : ℝ≥0
hx : x ∈ t
y : ℝ≥0
hy : y ∈ t
z : ℝ≥0
hz : ↑z ∈ Icc ↑x ↑y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1

IsPrimePow n ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p : R

Context: k n : ℕ

Context: hn : n ≠ 1

Context: h : ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hn : p ^ n.factorization p ≠ 1
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1

∃ p_1 k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k ∧ p_1 ^ k = p ^ n.factorization p


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
hn : n.factorization p ≤ 0


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddBelow (range f)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : a ∉ (head✝ :: l₁).keys

kerase a (head✝ :: l₁ ++ l₂) = head✝ :: l₁ ++ kerase a l₂


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : ¬a = head✝.fst ∧ a ∉ l₁.keys


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ


AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f : Ω → F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: h : AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)) (fun a => ∫ (y : Ω), f (id a, y).2 ∂(condDistrib id id μ) (id a)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: m mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f : Ω → F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: h : AEStronglyMeasurable' (m ⊓ mΩ) (fun a => ∫ (y : Ω), f (id a, y).2 ∂(condDistrib id id μ) (id a)) μ


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.Numeric


∀ (i : o.toPGame.LeftMoves), (o.toPGame.moveLeft i).Numeric


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : (σ a).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
h : k ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p : K[X]

(liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 0) = φ p / φ 0


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0


Context:
a : ℂ
r : ℝ

volume (Metric.ball a r) = ENNReal.ofReal r ^ 2 * ↑NNReal.pi


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
g : γ ↪ α
s : Finset γ

fold op b f (map g s) = fold op b (f ∘ ⇑g) s


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: inst✝ : Fintype S

Context: f : S → WithTop R


Context:
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
a b : L

(fun u => {x | x u}) (a ⊓ b) = (fun u => {x | x u}) a ⊓ (fun u => {x | x u}) b


Context:
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
S : Set L
x✝ : PT L

x✝ ∈ { toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun (sSup S) ↔ x✝ ∈ sSup ({ toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun '' S)


Context:
a b p q : ℝ≥0
h✝ : p.IsConjExponent q
h : 1 < p


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
n : ℕ
a : α
h : l₁.length = n


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
s : CommSq f g h i


Context:
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X

⟦H.evalAt x⟧ = eqToHom ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) ≫ eqToHom ⋯


HEq ⟦H.evalAt x⟧ ((π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))))


HEq ⟦H.evalAt x⟧ (Path.Homotopic.Quotient.mapFn ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) H.uliftMap)


∀ (t : ↑I), (H.evalAt x) t = ((fun q => q.map ⋯) (unitInterval.upath01.prod (Path.refl (fromTop x).as))) t


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m

(v ⬝ᵥ fun j => diagonal w j i) = v i * w i


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: u v w : m → α

Context: i : m

Context: this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w j i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: t : Set R

Context: ht : Ideal.span t = ⊤

Context: Mₚ : ↑t → Type u_1

Context: inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)

Context: inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)

Context: Rₚ : ↑t → Type u

Context: inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)

Context: inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)

Context: h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)

Context: inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)

Context: H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: t : Set R

Context: ht : ∃ s', ↑s' ⊆ t ∧ Ideal.span ↑s' = ⊤

Context: Mₚ : ↑t → Type u_1

Context: inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)

Context: Rₚ : ↑t → Type u

Context: inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)

Context: inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)

Context: f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: t : Set R

Context: Mₚ : ↑t → Type u_1

Context: inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)

Context: Rₚ : ↑t → Type u

Context: inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)

Context: inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)

Context: f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: t' : Finset R

Context: hc : ↑t' ⊆ t

Context: ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: t : Set R

Context: Mₚ : ↑t → Type u_1

Context: inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)

Context: Rₚ : ↑t → Type u

Context: inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)

Context: inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)

Context: f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: t' : Finset R

Context: hc : ↑t' ⊆ t

Context: ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤

Context: this : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ ⟨↑g, ⋯⟩)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type w

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: t : Set R

Context: Mₚ : ↑t → Type u_1

Context: inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)

Context: Rₚ : ↑t → Type u

Context: inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)

Context: inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)

Context: f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g

Context: H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)

Context: t' : Finset R

Context: hc : ↑t' ⊆ t

Context: ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤

Context: this✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ ⟨↑g, ⋯⟩)

Context: this : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) ((fun g => f ⟨↑g, ⋯⟩) g)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : Num


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α

G.IsNClique 3 {a, b, c} ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c


(((↑{c}).Pairwise G.Adj ∧ ∀ b_1 ∈ ↑{c}, b ≠ b_1 → G.Adj b b_1) ∧ ∀ b_1 ∈ insert b ↑{c}, a ≠ b_1 → G.Adj a b_1) ∧ {a, b, c}.card = 3 ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: a₁ a₂ a₃ : α

Context: b₁ b₂ b₃ : β

Context: p₁ p₁' : Path a₁ a₂

Context: p₂ p₂' : Path b₁ b₂

Context: q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂

Context: q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂

Context: r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃

Context: r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃

Context: c₁ c₂ : α × β

Context: p : Homotopic.Quotient (a₁, b₁) (a₂, b₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path (a₁, b₁) (a₂, b₂)

prod (projLeft ⟦a✝⟧) (projRight ⟦a✝⟧) = ⟦a✝⟧


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r✝ s : R
x✝ y✝ : M
x y : R
r : M


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve ((F ⋙ G).obj X)
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X

(functorPullback (F ⋙ G) R).arrows f✝ ↔ (functorPullback F (functorPullback G R)).arrows f✝


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p


Context:
α : Type u
l : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β
x : β
y : α

(x, y) ∈ Prod.swap ⁻¹' s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ t ×ˢ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x✝ y✝ z✝ : 𝕜

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hz : z✝ ∈ s

Context: hxy : x✝ < y✝

Context: hyz : y✝ < z✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x✝ y✝ z✝ : 𝕜

Context: hx : x✝ ∈ s

Context: hz : z✝ ∈ s

Context: hxy : x✝ < y✝

Context: hyz : y✝ < z✝

(f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) ≤ (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.Cotangent

((map (g.comp f)) x).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) x).val


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : ↥P.ker

((map (g.comp f)) (mk x)).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) (mk x)).val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f u : ℕ → α
n : ℕ

dist (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) (∑ k ∈ Finset.range n, u k) = ‖u n‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
n : ℕ

eval r (descPochhammer R n) = eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ η : Kernel α β

Context: h : ∀ (a : α) (f : β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (b : β), f b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f b ∂η a

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ η : Kernel α β

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h : ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂η a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h : (κ a) s = (η a) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3


Context: n : ℕ

(n + 0).descFactorial 0 = (n + 1).ascFactorial 0


Context: n k : ℕ

(n + k.succ).descFactorial k.succ = (n + 1).ascFactorial k.succ


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X

Equicontinuous (S.restrict ∘ F) ↔ EquicontinuousOn F S


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
x✝ : M →ₗ[A] M

LinearMap.det x✝ = (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝


(if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝ = (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ Y₁ Z₁ : ModuleCat R
X₂ Y₂ Z₂ : ModuleCat R
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂

tensorHom (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂) = tensorHom f₁ f₂ ≫ tensorHom g₁ g₂


(TensorProduct.mk R ↑X₁ ↑X₂).compr₂ (tensorHom (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂)) = (TensorProduct.mk R ↑X₁ ↑X₂).compr₂ (tensorHom f₁ f₂ ≫ tensorHom g₁ g₂)


Context:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
M✝ : ModuleCat R
M M' : ModuleCat R
g : M ⟶ M'
s : S
h : ↑(obj' f M)
t : S


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X)


Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ (N₂ ⋙ Γ₂).map ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).decompId_i ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans).app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).decompId_p


Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂.map (N₂.map (𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X))) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X) ≫ 𝟙 { X := ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, p := 𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, idem := ⋯ }


Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ 𝟙 (Γ₂.obj (N₂.obj ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X))) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X) ≫ 𝟙 { X := ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, p := 𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, idem := ⋯ }


Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ 𝟙 (Γ₂.obj (N₂.obj { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ })) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app X) ≫ 𝟙 { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }


Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app X) ≫ 𝟙 { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: SS : WSeq (WSeq (WSeq α))

Context: s1 s2 : WSeq α

Context: h : ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)

Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)) s1.destruct s2.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: SS : WSeq (WSeq (WSeq α))

Context: s1 s2 : WSeq α

∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (fun c1 c2 => ∃ s S SS, c1 = (s.append (S.append SS.join).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append (map join SS).join)).destruct) ca cb → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)) (fun c1 c2 => ∃ s S SS, c1 = (s.append (S.append SS.join).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append (map join SS).join)).destruct) ca.destruct cb.destruct


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : CommSemiring A'

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: p✝ q : R[X]

Context: x : A

Context: p : R[X]

Context: _hp : p ∈ ⊤

Context: S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}