Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁

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Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: hf : IsCompactOperator ⇑f

Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0


Context: 𝕜₁ : Type u_1

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Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁

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Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂

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Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: this✝ : UniformSpace M₂ := TopologicalAddGroup.toUniformSpace M₂

Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: K : Set M₂

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0


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Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: K : Set M₂

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Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U


Context: 𝕜₁ : Type u_1

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Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: K : Set M₂

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U

Context: c : 𝕜₁

Context: hc : r < ‖c‖


Context: 𝕜₁ : Type u_1

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Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: K : Set M₂

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U

Context: c : 𝕜₁

Context: hc : r < ‖c‖

Context: hcnz : c ≠ 0


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: K : Set M₂

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U

Context: c : 𝕜₁

Context: hc : r < ‖c‖

Context: hcnz : c ≠ 0

σ₁₂ c⁻¹ • K ⊆ U


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup M₁

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₁ M₁

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup M₂

Context: inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: this : UniformAddGroup M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: K : Set M₂

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: hrU : ∀ (c : 𝕜₂), r ≤ ‖c‖ → K ⊆ c • U

Context: c : 𝕜₁

Context: hc : r < ‖c‖

Context: hcnz : c ≠ 0

K ⊆ σ₁₂ c • U


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u t s s' : Set α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
n : ℕ
h : p ∈ lifts f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
n : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS

∀ (n_1 : ℕ), (erase n p).coeff n_1 ∈ f.rangeS


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
n : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), p.coeff n ∈ f.rangeS
k : ℕ
hk : ¬k = n
i : R
hi : f i = p.coeff k


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


{x | EMetric.infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal δ}⁻¹ = {x | EMetric.infEdist x⁻¹ s ≤ ENNReal.ofReal δ}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g✝ : ι → α
g : β → α
f : ι → β


sSup (range (g ∘ f)) = sSup (range fun i => g (f i))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1

centroid k univ (s.face h₁).points = centroid k univ (s.face h₂).points ↔ fs₁ = fs₂


centroid k fs₁ s.points = centroid k fs₂ s.points ↔ fs₁ = fs₂


Context:
α✝ : Type u
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
x : α
n : ℕ

∑ i ∈ range n, x ^ i * x ^ (n - 1 - i) = ∑ i ∈ range n, x ^ (i + (n - 1 - i))


(range n).card • x ^ (n - 1) = ↑n * x ^ (n - 1)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M

IsCompl (⨆ n, ker (f ^ n)) (⨅ n, range (f ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsArtinian R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ b ≥ k, IsCompl (ker (f ^ b)) (range (f ^ b)) ∧ ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ b) ∧ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ b)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsArtinian R M

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: k : ℕ

Context: h₁ : IsCompl (ker (f ^ k)) (range (f ^ k))

Context: h₂ : ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ k)

Context: h₃ : ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ k)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S✝ : Submonoid M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
x : M


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
h : map f p ≠ 0

Multiset.map (⇑f) p.roots ≤ (map f p).roots


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
hF : ↑F.vars ⊆ s

∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) F


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
hF : ∃ x, (rename Subtype.val) x = F


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F


∀ (x : σ → R), (aeval (x ∘ Subtype.val)) F' = (aeval x) F


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F
x : σ → R

(aeval (x ∘ Subtype.val)) F' = (aeval x) F


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : Multipliable f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a b : R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0


Context:
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁

Context: f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁

productTriangle T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: Z : C

Context: f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z

Context: f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)

Context: hT' : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: Z : C

Context: f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z

Context: T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : (j : J) → T' ⟶ T j := fun j => completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j) ⋯

Context: φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ

Context: h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁

Context: h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂

Context: this✝ : IsIso φ'.hom₁

Context: this : IsIso φ'.hom₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: Z : C

Context: f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z

Context: T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁

Context: h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂

Context: this✝ : IsIso φ'.hom₁

Context: this : IsIso φ'.hom₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: Z : C

Context: f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z

Context: T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁

Context: h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂

Context: this✝ : IsIso φ'.hom₁

Context: this : IsIso φ'.hom₂

Context: A : C


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁷ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁶ : HasShift C ℤ

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: J : Type u_1

Context: T : J → Triangle C

Context: inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁

Context: inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂

Context: inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃

Context: Z : C

Context: f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z

Context: T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁

Context: h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂

Context: this✝ : IsIso φ'.hom₁

Context: this : IsIso φ'.hom₂

Context: A : C

Function.Surjective fun x => x ≫ φ'.hom₃


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
this : {x}ᶜ ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
this : {x}ᶜ ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : gauge s ⁻¹' {b | |b| < r} ⊆ {x}ᶜ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosDef
x : m → R
hx : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x : E


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α

Context: a b : α


Context:
a : ℤ
b : ℕ
ha2 : a % 2 = 0
hb2 : b % 2 = 1


Context:
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0


(if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(a | b) else J(a | b)) = (if b % 8 = 1 ∨ b % 8 = 7 then 1 else -1) * J(a | b)


Context:
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0
this : b % 8 < 8


Context: x : ℂ


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ

(image₂ f s t).sup g = t.sup fun y => s.sup fun x => g (f x y)


(t.sup fun i' => s.sup fun i => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = t.sup fun y => s.sup fun x => g (f x y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁸ : Nonempty ι

Context: inst✝⁷ : Nonempty ι'

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜 E ι'

Context: t : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p

Context: hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id

Context: hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁸ : Nonempty ι

Context: inst✝⁷ : Nonempty ι'

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜 E ι'

Context: t : TopologicalSpace E

Context: hp : WithSeminorms p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁸ : Nonempty ι

Context: inst✝⁷ : Nonempty ι'

Context: inst✝⁶ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E ι

Context: q : SeminormFamily 𝕜 E ι'


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod

Context: hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, Measurable f_1


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)

Context: hl : Measurable f ∧ ∀ x ∈ l, Measurable x


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → M

Context: l : List (α → M)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: M : IntermediateField F K := adjoin F S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E S

Context: E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange

Context: j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: M : IntermediateField F K := adjoin F S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E S

Context: hi : M ≤ restrictScalars F L


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: M : IntermediateField F K := adjoin F S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E S

Context: hi : M ≤ restrictScalars F L

Context: i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi

Context: this✝ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra

Context: this : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: M : IntermediateField F K := adjoin F S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E S

Context: hi : M ≤ restrictScalars F L

Context: this✝¹ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra

Context: this✝ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul

Context: this : IsScalarTower F ↥M ↥L


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: M : IntermediateField F K := adjoin F S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E S

Context: hi : M ≤ restrictScalars F L

Context: this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra

Context: this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul

Context: this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L

Context: this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: M : IntermediateField F K := adjoin F S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E S

Context: hi : M ≤ restrictScalars F L

Context: this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra

Context: this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul

Context: this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L

Context: this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L

Context: h : Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: S : Set K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: M : IntermediateField F K := adjoin F S

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M

Context: L : IntermediateField E K := adjoin E S

Context: hi : M ≤ restrictScalars F L

Context: this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra

Context: this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul

Context: this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L

Context: this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L

Context: h : Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: h : M ≤ N

Context: h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M

Context: y : ↥N

Context: m : R

Context: hm : m * ↑y ∈ M

Context: this : IsUnit ((algebraMap R S) ↑⟨m * ↑y, hm⟩)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: h : M ≤ N

Context: h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M

Context: y : ↥N

Context: m : R

Context: hm : m * ↑y ∈ M

Context: this : IsUnit ((algebraMap R S) m * (algebraMap R S) ↑y)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
z : S

∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M✝ : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : CommSemiring P

Context: N✝ : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝² : CommSemiring T

Context: inst✝¹ : Algebra R T

Context: M N : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: h : M ≤ N

Context: h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M

Context: z : S

Context: y : R

Context: s : ↥M

Context: e : z * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R

(algebraMap R S) x✝¹ = (algebraMap R S) x✝ → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝


(∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝) → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
d : l.Nodup
s₁ : l₁ <+ l
s₂ : l₂ <+ l
h : l₁ ~ l₂


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι


Context: a b : Rat


Context:
n : ℕ
a b : Fin n

(uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1


Context: x : ℂ


Context:
x : ℂ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x) = ∫ (x : ℝ) in d + a..d + b, f x


Context:
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι

aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp3 : p % 4 = 3
hpi : ¬Irreducible ↑p
a b : ℕ
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = p


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
h : MeasurableEmbedding fun x => x⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : DecidableEq α
a : ℕ × ℕ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddAbove s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ ↑(lowerClosure s)

Context: hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddAbove s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: g : ℕ → ι → ℝ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n

Context: this : BoundedGENhdsClass ℝ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddAbove s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: g : ℕ → ι → ℝ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n

Context: this : BoundedGENhdsClass ℝ

Context: a : ι → ℝ

Context: ha : a ∈ lowerBounds (range f)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Finite ι

Context: s t : Set (ι → ℝ)

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: hs : IsClosed s

Context: hs' : BddAbove s

Context: val✝ : Fintype ι

Context: f : ℕ → ι → ℝ

Context: x : ι → ℝ

Context: g : ℕ → ι → ℝ

Context: hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s

Context: hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n

Context: this : BoundedGENhdsClass ℝ

Context: a : ι → ℝ

Context: ha : a ∈ lowerBounds (range f)

Context: b : ι → ℝ

Context: hb : b ∈ closure (s ∩ Ici a)

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: hφ : StrictMono φ

Context: hbf : Filter.Tendsto (g ∘ φ) Filter.atTop (nhds b)


Context:
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace M
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M β
inst✝⁵ : MeasurableSMul M β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure α
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : MeasurableSMul G β
c : G
h : AEMeasurable (fun x => c • f x) μ


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : S ≤ S ⊔ T


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
a : α

Measurable ((fun p => κ.density ν p.1 p.2 s) ∘ fun x => (a, x))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0

z • ψ = z • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝ : R

z • Quotient.mk'' a✝ = z • θ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R

z • Quotient.mk'' a✝¹ = z • Quotient.mk'' a✝ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝¹ = Quotient.mk'' a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: p : R

Context: z : ℤ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ a✝ : R

Context: Zp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p

Context: this : Quotient.mk'' = mk

z • ↑a✝¹ = z • ↑a✝ ↔ ∃ k, ↑a✝¹ = ↑a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing R

Context: inst✝ : CharZero R

Context: p : R

Context: z : ℤ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ a✝ : R

Context: this : Quotient.mk'' = mk

z • (a✝¹ - a✝) ∈ Zp ↔ ∃ k, a✝¹ - a✝ - ↑k • (p / ↑z) ∈ Zp


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g : ι → α
inst✝ : DivisionSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, (f i).Monic

(∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hx : x ∈ F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s

∑ t ∈ s, weightedVSubVSubWeights k i j t = 0


∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i x - ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k j x = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f p.proj)

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s p.proj

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: hps : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

(mfderivWithin I I'' (g ∘ f) s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)) ((mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: p : TangentBundle I M

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: hps : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

((mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)).comp (mfderivWithin I I' f s p.proj)) p.snd = (mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)) ((mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht : 1 < t


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b + 1
f : ℕ → M

∏ k ∈ Icc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Icc a b, f k) * f (b + 1)


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K

card (InfinitePlace K) = (Finset.filter (IsUnramifiedIn K) Finset.univ).card * finrank k K + (Finset.filter (IsUnramifiedIn K) Finset.univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : SemilatticeInf α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasPushouts C
W X Y Z : C
f✝ : X ⟶ Y
g✝ : X ⟶ Z
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g₁ : X ⟶ W
inst✝¹ : Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
inst✝ : Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : W ⟶ Y
hf : g₁ ≫ f' = f
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
i : ℕ
hp : 1 ≤ p.natDegree

(normalizeScaleRoots p).coeff i * p.leadingCoeff ^ i = p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)


(if p.coeff i = 0 then 0 else if i = p.natDegree then p.leadingCoeff ^ i else p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - i) * p.leadingCoeff ^ i) = p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup X

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring M

Context: inst✝¹ : Module M X

Context: inst✝ : FaithfulSMul M X

Context: P Q : M

Context: h₁ : IsLprojection X P

Context: h₂ : IsLprojection X Q

Context: PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R


Context: X : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup X

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : Ring M

Context: inst✝¹ : Module M X

Context: inst✝ : FaithfulSMul M X

Context: P Q : M

Context: h₁ : IsLprojection X P

Context: h₂ : IsLprojection X Q

Context: QP_eq_QPQ : Q * P = Q * P * Q


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: x : ↥U

∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: s₀ : (forget C).obj ((stalkFunctor C ↑x).obj F.val)

Context: hs₀ : ((stalkFunctor C ↑x).map f.val) s₀ = (G.presheaf.germ x) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: V₁ : Opens ↑X

Context: hxV₁ : ↑x ∈ V₁

Context: s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))

Context: hs₁ : (F.presheaf.germ ⟨↑x, hxV₁⟩) s₁ = s₀


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: V₁ : Opens ↑X

Context: hxV₁ : ↑x ∈ V₁

Context: hs₁ : (germ G.val ⟨↑x, hxV₁⟩) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.germ x) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: V₁ : Opens ↑X

Context: hxV₁ : ↑x ∈ V₁

Context: V₂ : Opens ↑X

Context: hxV₂ : ↑x ∈ V₂

Context: iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁

Context: iV₂U : V₂ ⟶ U

Context: heq : (G.presheaf.map iV₂V₁.op) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.map iV₂U.op) t


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)

Context: inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: F G : Sheaf C X

Context: f : F ⟶ G

Context: U : Opens ↑X

Context: t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: V₁ : Opens ↑X

Context: hxV₁ : ↑x ∈ V₁

Context: V₂ : Opens ↑X

Context: hxV₂ : ↑x ∈ V₂

Context: iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁

Context: iV₂U : V₂ ⟶ U

(f.val.app (op V₂)) ((F.val.map iV₂V₁.op) s₁) = (G.val.map iV₂U.op) t


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ


Context:
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
g : α → F := Exists.choose hf


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: g : α → F := Exists.choose hf

Context: hg : StronglyMeasurable (Exists.choose hf)

Context: hfg : ↑↑f =ᶠ[ae μ] Exists.choose hf


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: g : α → F := Exists.choose hf

Context: hfg : ↑↑f =ᶠ[ae μ] Exists.choose hf


Context: α : Type u_1

Context: E' : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : CompleteSpace E'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: ι : Type u_6

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: f : ↥(Lp F p μ)

Context: hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ

Context: hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ

Context: g : α → F := Exists.choose hf

Context: hfg : ↑↑f =ᶠ[ae μ] Exists.choose hf

Context: h_eLpNorm_fg : eLpNorm g p (μ.trim hm) = eLpNorm (↑↑f) p μ


Context: m✝ n m : ℕ


Context:
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x

x ∈ ⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}


Context:
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 1 / (↑n + 1) < p - 2


Context:
x p : ℝ
hp : p > 2
hxp : LiouvilleWith p x
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p


∀ (y : ℝ), LiouvilleWith p y → y ∈ Ico 0 1 → ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |y - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))


Context:
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1

∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))


Context: p : ℝ

Context: hp : p > 2

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p

Context: x : ℝ

Context: hxp : LiouvilleWith p x

Context: hx01 : x ∈ Ico 0 1

Context: b : ℕ

Context: hb : 1 ≤ b

Context: a : ℤ

Context: hlt : |x - ↑a / ↑b| < ↑b ^ (-(2 + 1 / (↑n + 1)))

∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑(n + 1))


Context: p : ℝ

Context: hp : p > 2

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p

Context: x : ℝ

Context: hxp : LiouvilleWith p x

Context: hx01 : x ∈ Ico 0 1

Context: b : ℕ

Context: hb : 1 ≤ b

Context: a : ℤ

Context: hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n.succ)


Context: p : ℝ

Context: hp : p > 2

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p

Context: x : ℝ

Context: hxp : LiouvilleWith p x

Context: hx01 : x ∈ Ico 0 1

Context: b : ℕ

Context: hb : 1 ≤ b

Context: a : ℤ


Context: p : ℝ

Context: hp : p > 2

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p

Context: x : ℝ

Context: hxp : LiouvilleWith p x

Context: hx01 : x ∈ Ico 0 1

Context: b : ℕ

Context: a : ℤ

Context: hb : 1 ≤ ↑b


Context: p : ℝ

Context: hp : p > 2

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p

Context: x : ℝ

Context: hxp : LiouvilleWith p x

Context: hx01 : x ∈ Ico 0 1

Context: b : ℕ

Context: a : ℤ

Context: hb : 1 ≤ ↑b

Context: hb0 : 0 < ↑b


Context:
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b


Context:
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : ReflectsLimit (cospan h i) F

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)


Context:
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

‖log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε


Context:
ε : ℝ
hε : 0 < ε

‖log ↑0‖ ≤ ↑0 ^ ε / ε


Context:
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : n > 0

‖log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε


Context:
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : n > 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
S : ι → Set X
hc : s.Countable
hcomp : ∀ i ∈ s, IsSigmaCompact (S i)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
S : ι → Set X
hc : s.Countable
hcomp : ∀ i ∈ s, IsSigmaCompact (S i)
this : Countable ↑s


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: disc : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x y : X

Context: h : ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Q.proj y


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: disc : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x y : X

∀ (i : { s // IsClopen s ∧ y ∈ s }), x ∈ ↑i


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝¹ : T2Space X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: disc : TotallyDisconnectedSpace X

Context: x y : X

Context: U : Set X

Context: hU1 : IsClopen U

Context: hU2 : y ∈ U


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context: a b : Prop

Context: l : List Prop

Context: h_chain : Chain (fun x x_1 => x → x_1) a (b :: l)

Context: h_last : l.getLastD b → a


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P : PresheafOfModules R₀

Context: F : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P ⟶ F

((sheafificationHomEquiv α) f).hom = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map f)


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P : PresheafOfModules R₀

Context: F : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P ⟶ F

CategoryTheory.toSheafify J P.presheaf ≫ f.val.hom = (sheafificationAdjunction J AddCommGrp).unit.app P.presheaf ≫ (sheafToPresheaf J AddCommGrp).map ((SheafOfModules.toSheaf R).map f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
P : α → Prop

(∀ x ∈ Ι a b, P x) ↔ (∀ x ∈ Ioc a b, P x) ∧ ∀ x ∈ Ioc b a, P x


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁵ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι

μ[f|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f|↑ℱ i]


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁵ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
t : Set Ω

MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty

↑(index (↑K) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index ↑K ↑K₀)


index (↑K) U ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) U


Context:
a b✝ c d m n : ℤ
C : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
H0 : C b
Hs : (k : ℤ) → b ≤ k → C k → C (k + 1)
Hp : (k : ℤ) → k ≤ b → C k → C (k - 1)

HEq H0 (match b - b with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n)


cast ?m.13083 H0 = match 0 with | ofNat n => inductionOn'.pos b H0 Hs n | -[n+1] => inductionOn'.neg b H0 Hp n


Context:
N : ℕ
s : ℝ
hs : 1 < s


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
F' : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike F' R S
inst✝ : RingEquivClass F' R S
f : F'


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
p₁ : Submodule R M
p₂ : Submodule R M₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α
a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t S U : Set X
hU' : IsOpen U
h₁ : U ⊆ S
h₂ : S ⊆ t
z : X
hz : z ∈ U
ht : IsIrreducible t
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ S
hx'✝ : x✝ ∈ u
y : X
hy : y ∈ S
hy' : y ∈ v
x : X
hx' : x ∈ U ∧ x ∈ u ∧ x ∈ v


Context:
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
i j : ι

(comul ∘ₗ lapply i) ∘ₗ lsingle j = (TensorProduct.map (lapply i) (lapply i) ∘ₗ comul) ∘ₗ lsingle j


(comul ∘ₗ lapply i) ∘ₗ lsingle j = TensorProduct.map (lapply i ∘ₗ lsingle j) (lapply i ∘ₗ lsingle j) ∘ₗ comul


Context:
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
i : ι

(comul ∘ₗ lapply i) ∘ₗ lsingle i = TensorProduct.map (lapply i ∘ₗ lsingle i) (lapply i ∘ₗ lsingle i) ∘ₗ comul


Context:
R : Type u
ι : Type v
A : Type w
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Coalgebra R A
i j : ι
hij : i ≠ j


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
u : ↥circle
v : E

‖u • v‖ = ‖v‖


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V

e ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ e ∈ G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s


∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s


∀ (x y : V), (if x = t then if y = t then False else G.Adj s y else if y = t then G.Adj x s else G.Adj x y) ↔ G.Adj x y ∧ ¬(G.Adj x y ∧ (t = x ∨ t = y)) ∨ s(x, y) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : y✝ = t

False ↔ G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t

G.Adj s y✝ ↔ G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : y✝ = t

G.Adj x✝ s ↔ G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s


Context:
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
hn : ¬G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t

G.Adj x✝ y✝ ↔ G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : EquivLike F α β

Context: inst✝⁴ : LE α

Context: inst✝³ : OrderTop α

Context: inst✝² : PartialOrder β

Context: inst✝¹ : OrderTop β

Context: inst✝ : OrderIsoClass F α β

Context: f : F

Context: a : α

Context: this : TopHomClass F α β := OrderIsoClass.toTopHomClass


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I

(∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) x) → IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

(KernelFork.ofι (HomologicalComplex.iCycles (inhomogeneousCochains A) 0) ⋯).mapOfIsLimit ⋯.fIsKernel (dZeroArrowIso A).hom ≫ A.ρ.invariants.subtype = iCocycles A 0 ≫ ↑(zeroCochainsLequiv A)


Context: R : Type u_1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

homologyMap (F.mapShortComplex.map φ) ≫ (S₂.homologyData.right.map F).homologyIso.hom ≫ F.map S₂.homologyData.right.homologyIso.inv = ((S₁.homologyData.right.map F).homologyIso.hom ≫ F.map S₁.homologyData.right.homologyIso.inv) ≫ F.map (homologyMap φ)


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
inst✝ : IsDomain α
h : ⊥ = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
inst✝ : IsDomain α
x✝ y✝ : α
h : x✝ * y✝ ∈ ⊥


Context:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

{ str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
i : Δ' ⟶ Δ
inst✝ : Mono i
hi : Isδ₀ i

(if h : Δ = Δ' then eqToHom ⋯ else if h : Isδ₀ i then K.d Δ.len Δ'.len else 0) = K.d Δ.len Δ'.len


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ'' : SimplexCategory
i : Δ ⟶ Δ
inst✝ : Mono i
hi : Isδ₀ i


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y.left
Z : Over X
f : Z ⟶ Y

((overEquiv Y).symm S).arrows f ↔ S.arrows f.left


Context: p q r : ℕ+

Context: hs : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) [p, q, r]

Context: x✝ : [p, q, r].length = 3

Context: H : 1 < sumInv ↑[p, q, r]

Context: hqr : q ≤ r

Context: hpq : p ≤ q


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
hq : q ∈ affineSpan k (range ⇑b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: w : ι → k

Context: hw : ∑ i : ι, w i = 1

Context: hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)

∑ i : ι, (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = 1


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: k : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: inst✝² : Ring k

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: s : Finset ι

Context: i j : ι

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: w : ι → k

Context: hw : ∑ i : ι, w i = 1

Context: x✝ : ι

Context: a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

(b.coord x✝) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = w x✝


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x : Gˣ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0
h₁ : q.natDegree ≤ p.natDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β

Tendsto { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (cocompact α) (cocompact β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K

IsCompact ({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }.toFun ⁻¹' K)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f


∀ (s : Set X), IsClosed s → IsClosed (⇑f.symm ⁻¹' s)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
C : Set X
hC : IsClosed C


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X ≃ Y
hf : Continuous ⇑f
C : Set X
hC : IsClosed C
hC' : IsClosed (⇑f '' C)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

leftHomologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁴ : SeminormedGroup E
inst✝³ : SeminormedGroup F
inst✝² : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : T0Space E
a : E


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α

borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
x : L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L

(algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x


(algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (∑ σ : L ≃ₐ[K] L, σ x)


(algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) = ∑ x_1 : L ≃ₐ[K] L, (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (x_1 x)


(algebraMap L (AlgebraicClosure L)) ((algebraMap K L) ((Algebra.trace K L) x)) = ∑ x : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L, ?a.f✝ x


(L →ₐ[K] AlgebraicClosure L) → AlgebraicClosure L


∀ (x_1 : L →ₐ[K] AlgebraicClosure L), ?a.f✝ x_1 = (algebraMap L (AlgebraicClosure L)) (((Normal.algHomEquivAut K (AlgebraicClosure L) L) x_1) x)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0

∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Subsingleton R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = 0 x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = 0 x
x : α
hx : x ∈ s → f x = 0 x


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)

Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: x : S

Context: hx : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)

∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: x : S

Context: Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: x : S

Context: hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)

Context: hx : x ∈ P ^ i

Context: Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i

∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx✝⟩


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: x : S

Context: hx : x ∈ P ^ i

Context: Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: x : S

Context: hx : x ∈ P ^ i

Context: Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i

Context: this : DecidableEq (Ideal S) := Classical.decEq (Ideal S)


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: hP : P.IsPrime

Context: i : ℕ

Context: hi : i < e

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: val✝ : S ⧸ P ^ e

Context: x : S

Context: hx : x ∈ P ^ i

Context: Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i

x ∈ P ^ min (Multiset.count P (normalizedFactors (span {a}))) (i + 1)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
x : { x // x ∈ s }


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R

(laurentAux r) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) ((taylor r) p)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone


∀ (j : Discrete WalkingPair), t.inr ≫ t.toCone.π.app j = (BinaryFan.mk 0 (𝟙 Y)).π.app j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

map (g ∘ f) ⟨s, al⟩ = map g (map f ⟨s, al⟩)


↑(map (g ∘ f) ⟨s, al⟩) = ↑(map g (map f ⟨s, al⟩))


Option.map (g ∘ f) = Option.map g ∘ Option.map f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

(↑m).coeff n = ↑(if n = 0 then m else 0)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)

Context: h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

Context: h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in ⊥, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in ⊥, b < u n)

Context: h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⊥ u) _auto✝

Context: h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) ⊥ u) _auto✝


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: hbot : f.NeBot


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: hbot : f.NeBot

Context: hlt : liminf u f < limsup u f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: hbot : f.NeBot

Context: hlt : liminf u f < limsup u f

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: la : liminf u f < a

Context: au : a < limsup u f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: hbot : f.NeBot

Context: hlt : liminf u f < limsup u f

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: la : liminf u f < a

Context: au : a < limsup u f

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: ab : a < b

Context: bu : b < limsup u f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: hbot : f.NeBot

Context: hlt : liminf u f < limsup u f

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: la : liminf u f < a

Context: au : a < limsup u f

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: ab : a < b

Context: bu : b < limsup u f

Context: A : ∃ᶠ (n : β) in f, u n < a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: f : Filter β

Context: u : β → α

Context: s : Set α

Context: hs : Dense s

Context: hbot : f.NeBot

Context: hlt : liminf u f < limsup u f

Context: a : α

Context: as : a ∈ s

Context: la : liminf u f < a

Context: au : a < limsup u f

Context: b : α

Context: bs : b ∈ s

Context: ab : a < b

Context: bu : b < limsup u f

Context: A : ∃ᶠ (n : β) in f, u n < a

Context: B : ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f : α → β
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : y ∈ ⋃ i, s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : ∃ i, y ∈ s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Group G✝

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: f : α → G✝

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : CommGroup G

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
α : Type u_2
f : OnePoint X → α
l : Filter α

Tendsto f (pure ∞) l ∧ Tendsto (f ∘ some) (coclosedCompact X) l ↔ ∀ s ∈ l, f ∞ ∈ s ∧ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ MapsTo (f ∘ some) tᶜ s


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y✝ : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
x₁ x₂ y : E
r : ℝ

x₁ - x₂ ∈ p.ball y r ↔ x₁ ∈ p.ball (x₂ + y) r


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆

Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ Collinear ℝ {p₄, p₅, p₆}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α

a ∈ filter (fun a => ¬p a) s ↔ a ∈ s \ filter p s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (-f))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (-baseChange A f)) 1) x✝


Context:
G : Type u_1
inst✝⁵ : Group G
H : Subgroup G
inst✝⁴ : H.Normal
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝³ : Group G₁
inst✝² : Group G₂
inst✝¹ : Group.IsNilpotent G₁
inst✝ : Group.IsNilpotent G₂

Group.nilpotencyClass (G₁ × G₂) = max (Group.nilpotencyClass G₁) (Group.nilpotencyClass G₂)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁵ : Group G
H : Subgroup G
inst✝⁴ : H.Normal
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝³ : Group G₁
inst✝² : Group G₂
inst✝¹ : Group.IsNilpotent G₁
inst✝ : Group.IsNilpotent G₂
k : ℕ

Group.nilpotencyClass (G₁ × G₂) ≤ k ↔ max (Group.nilpotencyClass G₁) (Group.nilpotencyClass G₂) ≤ k


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) = powHalf n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
g : α → ℝ
h : (fun x => ‖f' x‖) =ᶠ[l] g
x : α
hx : (fun x => ‖f' x‖) x = g x

(fun x => ‖f' x‖) x = (fun x => ‖g x‖) x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ

WithTop.map (⇑ofDual) s.min = (image (⇑ofDual) s).max


WithTop.map (⇑ofDual) s.min = s.sup (WithBot.some ∘ ⇑ofDual)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b

Disjoint (Finset.filter IsPrimePow a.divisors) (Finset.filter IsPrimePow b.divisors)


∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 ∣ a → a ≠ 0 → IsPrimePow a_1 → a_1 ∣ b → b ≠ 0 → ¬IsPrimePow a_1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
n : ℕ
han : n ∣ a
_ha : a ≠ 0
hn : IsPrimePow n
hbn : n ∣ b
_hb : b ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c


(⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)).Nonempty


Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun i => closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s)


∀ (i : ↑f.sets), (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s)).Nonempty


∀ (i : ↑f.sets), IsCompact (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s))


∀ (i : ↑f.sets), IsClosed (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Subgroup G
hx : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: E : Set α

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδ_pos : 0 < δ

Context: hδε : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : (μ.restrict E) s ≤ ENNReal.ofReal δ

eLpNorm (s.indicator (f i)) p (μ.restrict E) ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: E : Set α

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδ_pos : 0 < δ

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ (toMeasurable μ (s ∩ E)) ≤ ENNReal.ofReal δ


Context:
m n : ℕ
h : m.Coprime n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x

Context: m : ℝ

Context: hf' : ∀ x ∈ s, f' x ≠ m


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: m : ℝ

Context: hf' : (∃ x ∈ s, m ≤ f' x) ∧ ∃ x ∈ s, f' x ≤ m


Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : Convex ℝ s

Context: m b : ℝ

Context: hb : b ∈ s

Context: hmb : m ≤ f' b

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ s

Context: hma : f' a ≤ m


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
L'' : Filter E
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L''
hL : Tendsto f L'' L'

HasFDerivAtFilter (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x L''


HSMul.hSMul h₂' = (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x✝² : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: 𝕜' : Type u_1

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F

Context: inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F

Context: s' t' : Set 𝕜'

Context: h : 𝕜 → 𝕜'

Context: h₁ : 𝕜 → 𝕜

Context: h₂ : 𝕜' → 𝕜'

Context: h' h₂' : 𝕜'

Context: h₁' : 𝕜

Context: g₁ : 𝕜' → F

Context: g₁' : F

Context: L' : Filter 𝕜'

Context: y : 𝕜'

Context: f : E → 𝕜'

Context: f' : E →L[𝕜] 𝕜'

Context: x✝¹ : E

Context: L'' : Filter E

Context: hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (f x✝¹) L'

Context: hf : HasFDerivAtFilter f f' x✝¹ L''

Context: hL : Tendsto f L'' L'

Context: x : E →L[𝕜] 𝕜'

Context: x✝ : E

(h₂' • x) x✝ = ((ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp x) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s✝ t s : Set α

∏ᶠ (j : ↑s), f ↑j = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context:
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M

span R (Set.range ⇑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b)) = LinearMap.range f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set β
hs : s ∈ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set β
hs : s ∈ 0
a : β


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = 0

Context: inst✝⁵ : HasCokernel f

Context: inst✝⁴ : HasCokernel (G.map f)

Context: inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f 0) G

Context: X' Y' : C

Context: g : X' ⟶ Y'

Context: inst✝² : HasCokernel g

Context: inst✝¹ : HasCokernel (G.map g)

Context: inst✝ : PreservesColimit (parallelPair g 0) G

Context: p : X ⟶ X'

Context: q : Y ⟶ Y'

Context: hpq : f ≫ q = p ≫ g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ Z

Context: w : f ≫ h = 0

Context: inst✝⁵ : HasCokernel f

Context: inst✝⁴ : HasCokernel (G.map f)

Context: X' Y' : C

Context: g : X' ⟶ Y'

Context: inst✝² : HasCokernel g

Context: inst✝¹ : HasCokernel (G.map g)

Context: p : X ⟶ X'

Context: q : Y ⟶ Y'

Context: hpq : f ≫ q = p ≫ g

(PreservesCokernel.iso G f).hom ≫ cokernel.map (G.map f) (G.map g) (G.map p) (G.map q) ⋯ = G.map (cokernel.map f g p q hpq) ≫ (PreservesCokernel.iso G g).hom


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁷ : Ring K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V'
inst✝ : Nontrivial K


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b c d : α

↑(Ico a b * Ioc c d) ⊆ ↑(Ioo (a * c) (b * d))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α

sign σ = (Multiset.map (fun n => -(-1) ^ n) σ.cycleType).prod


Context:
z w : ℂ
h₁ : 0 ≤ (z, w).1.re ∨ (z, w).1.im ≠ 0
h₂ : 0 < (z, w).2.re

ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (z, w)


Context: z w : ℂ

Context: h₁ : (0 < (z, w).1.re ∨ (z, w).1.im ≠ 0) ∨ (z, w).1 = 0

Context: h₂ : 0 < (z, w).2.re


Context:
z w : ℂ
h₂ : 0 < (z, w).2.re
h₁ : 0 < (z, w).1.re ∨ (z, w).1.im ≠ 0


Context:
w : ℂ
h₂ : 0 < (0, w).2.re

ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, w)


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B

Derivation R A ↥I ≃ { f // (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f = IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I) }


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I

(Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (liftOfDerivationToSquareZero I hI d) = IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I)


Function.LeftInverse (fun f => derivationToSquareZeroOfLift I hI ↑f ⋯) fun d => ⟨liftOfDerivationToSquareZero I hI d, ⋯⟩


Function.RightInverse (fun f => derivationToSquareZeroOfLift I hI ↑f ⋯) fun d => ⟨liftOfDerivationToSquareZero I hI d, ⋯⟩