Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε

∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, gauge s x_1 ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)


∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, gauge s (x + a) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
this : ε • s ∩ -(ε • s) ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
this : ε • s ∩ -(ε • s) ∈ 𝓝 0
y : E
hy : y ∈ ε • s ∩ -(ε • s)

gauge s (x + y) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g g' u


HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) ((starRingEnd 𝕜) g')) 1) u


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
h : W.Q ⋙ G₁ = W.Q ⋙ G₂

Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁ = Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂


(Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁).obj = (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂).obj


∀ (a b : LocQuiver W) (e : a ⟶ b), (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁).map e.toPath = eqToHom ⋯ ≫ (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂).map e.toPath ≫ eqToHom ⋯


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hab : a < b

Context: hcd : c < d


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: a c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: hcd : c < d

Context: b : α

Context: hab : a < a + b


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Semiring α

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: a c : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: b : α

Context: hab : a < a + b

Context: d : α

Context: hcd : c < c + d


Context:
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260730, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.260737, u_2} D
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
inst✝ : IsEmpty J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
this : IsInitial c.pt


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.260730, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.260737, u_2} D

Context: inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C

Context: inst✝ : IsEmpty J

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

Context: this : IsVanKampenColimit (asEmptyCocone c.pt)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.260730, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.260737, u_2} D

Context: inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C

Context: inst✝ : IsEmpty J

Context: F : J ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: hc : IsColimit c

IsVanKampenColimit (Cocone.whisker (equivalenceOfIsEmpty (Discrete PEmpty.{1}) J).functor c)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y x : E


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
hS₁ : IsClosed ↑S₁

Subtype.val ⁻¹' ↑S₁ = range ⇑(inclusion h)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
a : α
v' : Vector α n
h : v = a ::ᵥ v'


Context:
α : Sort u_1
r p✝ q✝ : α → Prop
P Q : (x : α) → p✝ x → Prop
b : Prop
inst✝ : Nonempty α
q : Prop
p : α → Prop

(∀ (x : α), q ∧ p x) ↔ q ∧ ∀ (x : α), p x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h₁ : a < b
h₂ : ¬IsMax b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α

(N.comapOn E f).Base B ↔ N.Basis' (f '' B) (f '' E) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ

range (n + 1) = insert 0 (map { toFun := fun i => i + 1, inj' := ⋯ } (range n))


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E


IsClosed ({a | a.1.re ≤ a.2.re} ∩ {a | a.1.im = a.2.im})


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
r : R
x : M ⊗[R] N
p : M
q : N

(liftAux f) (r • p ⊗ₜ[R] q) = r • (liftAux f) (p ⊗ₜ[R] q)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: R' : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Monoid R'

Context: R'' : Type u_3

Context: inst✝¹⁴ : Semiring R''

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: Q : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: T : Type u_9

Context: inst✝¹³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid S

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid T

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Module R P

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: inst✝³ : Module R S

Context: inst✝² : Module R T

Context: inst✝¹ : DistribMulAction R' M

Context: inst✝ : Module R'' M

Context: f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P

Context: r : R

Context: x p q : M ⊗[R] N

Context: ih1 : (liftAux f) (r • p) = r • (liftAux f) p

Context: ih2 : (liftAux f) (r • q) = r • (liftAux f) q

(liftAux f) (r • (p + q)) = r • (liftAux f) (p + q)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f


UniformContinuous fun x => f x.1 / f x.2


Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : OrderTopology X

Context: a b c : X

Context: s t : Set X

Context: hd : Disjoint s (closure t)

Context: ha : a ∈ s

Context: hd' : Disjoint (⇑ofDual ⁻¹' s) (closure (⇑ofDual ⁻¹' t))

Context: ha' : toDual a ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s

(s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≤] a


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f g : MvPolynomial σ R

degreeOf n (f + g) ≤ max (degreeOf n f) (degreeOf n g)


((f + g).support.sup fun m => m n) ≤ max (f.support.sup fun m => m n) (g.support.sup fun m => m n)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝¹ : P.RespectsIso
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence


Context:
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)


Context:
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X

ContinuousAt (fun x => ↑((fun x => ⋯.unit) x)⁻¹) x


Context: X : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(X, R)

Context: h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)

Context: x : X

Context: this : ContinuousAt Ring.inverse ↑⋯.unit


Context: X : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: f : C(X, R)

Context: h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)

Context: x : X


Context:
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
this : ContinuousAt Ring.inverse (f x)

ContinuousAt (fun x => Ring.inverse (f x)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a - b < c


Context:
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U

IsSelfAdjoint (U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)))))


IsSelfAdjoint ((U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))


IsSelfAdjoint ((adjoint (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DenselyOrdered α

Context: a b c : α

Context: h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a / ε ≤ b

Context: ε : α

Context: ε1 : ε < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
t : Set α
a b : α
inst✝ : Preorder α

IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) {a} ∧ IsLeast {a} a


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : ↥(Lp E 1 μ)


ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

(ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ hT) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
S : Set (Set α)
hs : S.Countable
hd : S.Pairwise (AEDisjoint μ)
h : ∀ s ∈ S, NullMeasurableSet s μ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Epi (cyclesMap φ)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.HomologyData

Context: h₂ : S₂.HomologyData

Context: A : C

Context: inst✝¹ : S₁.HasHomology

Context: inst✝ : S₂.HasHomology

Context: h : Epi (cyclesMap φ)

Context: this : Epi (S₁.homologyπ ≫ homologyMap φ)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : Fintype F

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : DecidableEq F

Context: ζ : R

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(Monoid.orderUnits F)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F : IntermediateField K L
E : IntermediateField K ↥F
x : ↥F
left✝ : x ∈ ↑E.toSubsemiring


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y

Tendsto f cofinite (cocompact Y) ↔ ∀ (K : Set Y), IsCompact K → (f ⁻¹' K).Finite


(∀ (i : Set Y), IsCompact i → ∀ᶠ (x : X) in cofinite, f x ∈ iᶜ) ↔ ∀ (K : Set Y), IsCompact K → (f ⁻¹' K).Finite


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
K : Set Y
x✝ : IsCompact K

(∀ᶠ (x : X) in cofinite, f x ∈ Kᶜ) ↔ (f ⁻¹' K).Finite


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Nontrivial R
h : 1 < Fintype.card n
j i : n
hij : j ≠ i
A : ↥(sl n R) := Eb R i j hij
B : ↥(sl n R) := Eb R j i ⋯
c : IsLieAbelian ↥(sl n R)
c' : ↑A * ↑B = ↑B * ↑A


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t : R
h' : s • x + t • y = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: s t : R

Context: h' : s • x + t • y = 0

Context: this : ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![s, t] i • ![x, y] i = 0 → ∀ i ∈ Finset.univ, ![s, t] i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y✝ x y : M

Context: h : LinearIndependent R ![x, y]

Context: s t : R

Context: h' : s • x + t • y = 0

Context: this : ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), ![s, t] i = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ

logDeriv (fun x => f x ^ n) x = ↑n * logDeriv f x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x

logDeriv (fun x => f x ^ 0) x = ↑0 * logDeriv f x


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : f x = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : f x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: p : ι → Set (Set Ω) := fun n => {t | MeasurableSet t}


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: h_gen_n : ∀ (n : ι), m n = generateFrom (p n)


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)

Context: p' : Set (Set Ω) := {t | MeasurableSet t}


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)

Context: hp'_pi : IsPiSystem p'


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)

Context: hp'_pi : IsPiSystem p'

Context: h_gen' : m' = generateFrom p'


Context: α : Type u_1

Context: Ω✝ : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω✝

Context: κ✝ : Kernel α Ω✝

Context: μ✝ : Measure α

Context: Ω : Type u_4

Context: m : ι → MeasurableSpace Ω

Context: m' m0 : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsMarkovKernel κ

Context: h_indep : ∀ (i : ι), Indep (m i) m' κ μ

Context: h_le : ∀ (i : ι), m i ≤ m0

Context: h_le' : m' ≤ m0

Context: hm : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) m

Context: hp : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)

Context: hp_supr_pi : IsPiSystem (⋃ n, p n)

Context: hp'_pi : IsPiSystem p'

Context: h_gen' : m' = generateFrom p'

Context: h_pi_system_indep : IndepSets (⋃ n, p n) p' κ μ


Context: S : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Module.Free ℤ S

Context: I J : Ideal S

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S

cardQuot (I * J) = cardQuot I * cardQuot J


Context: S : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : Module.Free ℤ S

Context: I J : Ideal S

Context: this : Infinite S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
p : Seminorm ℝ E
x : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: p : Seminorm ℝ E

Context: x : E

Context: hp : {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1} = ∅


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: p : Seminorm ℝ E

Context: x : E

Context: hp : {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1}.Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: p : Seminorm ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

r ∈ {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1} → p x ≤ r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: s t : Set E

Context: x✝ : E

Context: a : ℝ

Context: p : Seminorm ℝ E

Context: x : E

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ lowerBounds {r | 0 < r ∧ x ∈ r • p.ball 0 1}

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: K L : ChainComplex C ℕ

Context: φ : K ⟶ L

Context: inst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0

Context: inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0

K.isoHomologyι₀.inv ≫ HomologicalComplex.homologyMap φ 0 = HomologicalComplex.opcyclesMap φ 0 ≫ L.isoHomologyι₀.inv


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: f : ℕ → M

Context: h : ∀ (n : ℕ), f n ≡ f (n + 1) [SMOD I ^ n • ⊤]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_3

Context: f : (i : ι) → E i → 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume

Context: e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm

∫ (x : (i : ι) → E i), ∏ i : ι, f i (x i) = ∏ i : ι, ∫ (x : E i), f i x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: E : ι → Type u_3

Context: f : (i : ι) → E i → 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume

∫ (x : (b : Fin (card ι)) → E (e b)), ∏ i : ι, f i ((MeasurableEquiv.piCongrLeft E e) x i) = ∏ i : ι, ∫ (x : E i), f i x


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : Associates α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.trim hm)

∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s

Context: hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s

Context: hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤

Context: h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s

Context: hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤

Context: h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s

Context: h_eq_forall : (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s

Context: hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤

Context: h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s

Context: h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s

Context: hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤

Context: h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s

Context: h_left : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: f : ↥(Lp F' 1 μ)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s

Context: hS_finite : ∀ (i : ℕ), μ (S i ∩ s) < ⊤

Context: h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s

Context: h_left : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ))


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h' : Commute x y
h : x ≠ y
n : ℕ

∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ n) / (x - y)


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h' : Commute x y
h : x ≠ y
n : ℕ
this : x - y ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜

Context: EM : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace HM M

Context: x : M

Context: f : ↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x)

f ∈ nonunits ↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) ↔ f ∈ ↑(RingHom.ker (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x))


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜

Context: EM : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: M : Type u

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace HM M

Context: x : M

IsUnit f ↔ f ∉ ↑(RingHom.ker (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x))


Context:
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
x : ℂ
f' : E
h : HasDerivAt f f' x

HasFDerivAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜

Tendsto (fun x => eval x P) atTop atTop ↔ 0 < P.degree ∧ 0 ≤ P.leadingCoeff


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: h : Tendsto (fun x => eval x P) atTop atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: this : Tendsto (fun x => P.leadingCoeff * x ^ P.natDegree) atTop atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: this : 0 < P.degree ∧ 0 < P.leadingCoeff


Context: x : ℂ


Context: x : ℂ

HasStrictDerivAt cos (-(cexp (-x * I) - cexp (x * I)) * I * 2⁻¹) x


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : X.Opens
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this : IsAffine ↑U

∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: x : ↥V

Context: h : ↑x ∈ U

Context: this : IsAffine ↑U

Context: r : ↑Γ(↑U, ⊤)

Context: h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((↑U).basicOpen r)

Context: h₂ : ↑((↑U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (Opens.inclusion U)).obj V)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: x : ↥V

Context: h : ↑x ∈ U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: r : ↑Γ(↑U, ⊤)

Context: h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((↑U).basicOpen r)

Context: this : U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: x : ↥V

Context: h : ↑x ∈ U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: r : ↑Γ(↑U, ⊤)

Context: h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((↑U).basicOpen r)

X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r) ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: V : X.Opens

Context: x : ↥V

Context: h : ↑x ∈ U

Context: this✝ : IsAffine ↑U

Context: r : ↑Γ(↑U, ⊤)

Context: h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((↑U).basicOpen r)

U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r ≤ V ∧ ↑x ∈ U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ

(e.trans e').source = e.source ∩ ↑e ⁻¹' (e.target ∩ e'.source)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t✝ : Finset α
a b : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hG : G.CliqueFreeOn s m
t : Finset α
hts : ↑t ⊆ s
ht : G.IsNClique n t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t✝ : Finset α
a b : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hG : G.CliqueFreeOn s m
t : Finset α
hts : ↑t ⊆ s
ht : G.IsNClique n t
u : Finset α
hut : u ⊆ t
hu : u.card = m


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h₁ : ∀ (Z : C), Nonempty (X ⟶ Z)

Context: h₂ : ∀ ⦃Z : C⦄ (i j : X ⟶ Z), Zigzag (mk i) (mk j)

Context: Z : C

Context: this✝ : Nonempty (CostructuredArrow (parallelPair f g) Z)

Context: this : ∀ (x : CostructuredArrow (parallelPair f g) Z), Zigzag x (mk ⋯.some)

IsConnected (CostructuredArrow (parallelPair f g) Z)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁸ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁶ : Category.{v'', u''} D

Context: X Y : C

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : FinitaryExtensive D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteCoproducts C

Context: inst✝³ : HasPullbacks C

Context: inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

Context: this✝ : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: this : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1

Tendsto (fun a => ↑(r ^ a)) atTop (𝓝 ↑0)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: x : PiLp 2 β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: ifp_succ_n : IntFractPair K

Context: stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n

(match (IntFractPair.of v, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).s.get? n = some { a := 1, b := ↑ifp_succ_n.b }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β

s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : s ×ˢ t = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty


s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s = s₁ ∧ t = t₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : ¬(s = ∅ ∨ t = ∅)


Context: R✝ : Type u

Context: R'✝ : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁸ : Ring R✝

Context: inst✝¹⁷ : Ring R'✝

Context: inst✝¹⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : Module R✝ M

Context: inst✝¹² : Module R✝ M'

Context: inst✝¹¹ : Module R✝ M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R'✝ M'

Context: inst✝⁹ : Module R'✝ M₁

Context: R : Type w

Context: S : Type v

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : Ring S

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: R' : Type w'

Context: S'✝ : Type v'

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : Ring S'✝

Context: inst✝³ : Algebra R' S'✝

Context: S' : Type v

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : Ring S'

Context: inst✝ : Algebra R' S'

Context: i : R ≃+* R'

Context: j : S ≃+* S'

Context: hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝¹ : SemilatticeSup F
inst✝ : Nonempty F
hp : WithSeminorms p
u : F → E
y₀ : E

Tendsto u atTop (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x₀, ∀ (x : F), x₀ ≤ x → (p i) (u x - y₀) < ε


(∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in atTop, (p i) (u x - y₀) < ε) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x₀, ∀ (x : F), x₀ ≤ x → (p i) (u x - y₀) < ε


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: h : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0

t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: h : (Multiset.map leadingCoeff 0).prod ≠ 0

(prod 0).leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff 0).prod


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod

Context: h : (Multiset.map leadingCoeff (a ::ₘ t)).prod ≠ 0

(a ::ₘ t).prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff (a ::ₘ t)).prod


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

Context: h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0

(a * t.prod).leadingCoeff = a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff = a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod


Context: R : Type u

Context: ι : Type w

Context: s : Finset ι

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : ι → R[X]

Context: t✝ : Multiset R[X]

Context: a : R[X]

Context: t : Multiset R[X]

a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff ≠ 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: l : List I

Context: a : I

Context: hla : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: l)

eval C ⟨a :: l, hla⟩ = e C a * eval C ⟨l, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: inst✝² : One M

Context: inst✝¹ : One N

Context: inst✝ : One P

Context: f g : α → M

Context: x✝ : mulSupport f = mulSupport g ∧ ∀ x ∈ mulSupport f, f x = g x

Context: h₁ : mulSupport f = mulSupport g

Context: h₂ : ∀ x ∈ mulSupport f, f x = g x

Context: x : α


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i

(blockDiagonal' M).map f i✝ j✝ = blockDiagonal' (fun k => (M k).map f) i✝ j✝


f (if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = if h : i✝.fst = j✝.fst then f (M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd)) else 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C

(A ⊗ B).comul = (A.comul ⊗ B.comul) ≫ tensor_μ C (A.X, A.X) (B.X, B.X)


(A.comul ⊗ B.comul) ≫ (tensor_μ Cᵒᵖ (op A.X, op B.X) (op A.X, op B.X)).unop = (A.comul ⊗ B.comul) ≫ tensor_μ C (A.X, A.X) (B.X, B.X)


(α_ (op A.X) (op B.X) (op A.X ⊗ op B.X)).hom ≫ op A.X ◁ (α_ (op B.X) (op A.X) (op B.X)).inv ≫ op A.X ◁ (β_ (op B.X) (op A.X)).hom ▷ op B.X ≫ op A.X ◁ (α_ (op A.X) (op B.X) (op B.X)).hom ≫ (α_ (op A.X) (op A.X) (op B.X ⊗ op B.X)).inv = op ((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv)


((α_ (op A.X) (op B.X) (op A.X ⊗ op B.X)).hom ≫ op A.X ◁ (α_ (op B.X) (op A.X) (op B.X)).inv ≫ op A.X ◁ (β_ (op B.X) (op A.X)).hom ▷ op B.X ≫ op A.X ◁ (α_ (op A.X) (op B.X) (op B.X)).hom ≫ (α_ (op A.X) (op A.X) (op B.X ⊗ op B.X)).inv).unop = Quiver.Hom.unop (op ((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv))


((((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv) ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X) ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom) ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv = (α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a < b ∧ b < c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


(∃ a b c, (a ≤ b ∧ b ≤ c) ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) ↔ ∃ a b c, (a < b ∧ b < c) ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hz : P z = Q z
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
u : Rˣ
hz : (fun m => m • Q) u z = Q z


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
u : Rˣ
hz : (fun m => m • Q) u z = 1 * Q z


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α

a ∈ ↑(upperClosure (s ⊻ t)) ↔ a ∈ ↑(upperClosure s ⊔ upperClosure t)


(∃ a_1, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = a_1) ∧ a_1 ≤ a) ↔ (∃ a_1 ∈ s, a_1 ≤ a) ∧ ∃ a_1 ∈ t, a_1 ≤ a


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ

(Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes).card ≤ (Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : ι → ℝ

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: h : π.IsHenstock

Context: x : ι → ℝ

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes

J ∈ Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes


Context:
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes ∧ π.tag J = x


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, image (fun b => f a b) t ⊆ u


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F

∫ (x : E), f ‖x‖ ∂μ = ∫ (x : ↑{0}ᶜ), f ‖↑x‖ ∂Measure.comap Subtype.val μ


((μ.toSphere univ).toReal • ∫ (x : ↑(Ioi 0)), f ↑x ∂(Measure.comap Subtype.val volume).withDensity fun r => ↑(↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal) = dim E • (μ (ball 0 1)).toReal • ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, y ^ (dim E - 1) • f y


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

(x ^ (dim E - 1)).toNNReal • f x = x ^ (dim E - 1) • f x


Measurable fun r => (↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
h✝ : LiftRel R s1 s2
s : WSeq β
t : WSeq α
h : LiftRel R t s

Computation.LiftRel (LiftRelO (swap R) (swap (LiftRel R))) s.destruct t.destruct


Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct s.destruct


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
a : R
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
i✝ : m
j✝ : l


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: f : β → E

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: fmeas : Measurable f

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})

Context: hf : eLpNorm f p μ < ⊤

Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: f : β → E

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: fmeas : Measurable f

Context: hf : eLpNorm f p μ < ⊤

∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: f : β → E

Context: hp_ne_top : p ≠ ⊤

Context: μ : Measure β

Context: fmeas : Measurable f

Context: hf : eLpNorm f p μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : ι → Measure α
s : Finset ι

Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ↔ ∀ i ∈ s, Integrable f (μ i)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

(W.ΨSq n).coeff (n.natAbs ^ 2 - 1) = ↑n ^ 2


Context:
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
x : ℝ

((fun r => r⁻¹) ∘ fun x => rexp x / x ^ n) x = x ^ n * rexp (-x)


Context:
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α

∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = m.trim s


∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R

trunc (C r * T n) = if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0


(toFinsuppIso R) (trunc (C r * T n)) = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)


(toFinsuppIso R) ((toFinsuppIso R).symm.toAddMonoidHom ((comapDomain.addMonoidHom ⋯) (Finsupp.single n r))) = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)


comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)


comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0).toFinsupp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Decidable (a = a')

(single a b) a' = if a = a' then b else 0


Context:
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ

m ∈ factoredNumbers (insert N s) ↔ m ∈ factoredNumbers s


Context:
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers (insert N s)
p : ℕ
hp : p ∈ m.primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ

(fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b / a) r


(fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b * a⁻¹) r


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p = C (p.coeff 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Continuous (⋯.extend fun p => (inner' p.1) p.2)


Context: θ : ℂ


Context: θ : ℂ

(∃ k, 2 * θ = ↑k * ↑π) ↔ ∃ k, ↑k * ↑π / 2 = θ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : s ~> a
h2 : f a ~> b
b' : β
bB : b' ∈ s.bind f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : s ~> a
h2 : f a ~> b
b' : β
bB : b' ∈ s.bind f
a' : α
a's : a' ∈ s
ba' : b' ∈ f a'


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : StarMul α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
s t : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n k : ℕ

(ascPochhammer ℕ k).smeval ↑n = ↑((ascPochhammer ℕ k).smeval n)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β

Context: x : P.M α

Context: h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x

g <$$> dest P x = dest P (dropFun g <$$> x)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β

Context: x : P.M α

g <$$> dest P x = (dropFun g ::: fun x => dropFun g <$$> x) <$$> dest P x


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β

Context: x : P.M α

g = (dropFun g ::: fun x => dropFun g <$$> x)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α β : TypeVec.{u} n

Context: g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β

Context: x : P.M α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝¹ : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
c : F
x : E
L : Filter E
x✝ : E


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s


Context: x✝ y x : ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms V

Context: X₀ X₁ X₂ : V

Context: d₀ : X₁ ⟶ X₀

Context: d₁ : X₂ ⟶ X₁

Context: s : d₁ ≫ d₀ = 0

Context: succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0

(if 1 = 0 + 1 then 𝟙 X₁ ≫ d₀ else 0) = d₀


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

Context: p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as

(π.map f).map ⟦p'⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) ⟦p'⟧) ≫ hcast ⋯


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

∀ (t : ↑I), f (p' t) = H.uliftMap (((Path.refl { down := 0 }).prod p') t)


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

∀ (t : ↑I), f (p' t) = H.uliftMap ((fun t => ((Path.refl { down := 0 }) t, p' t)) t)


Context: X Y : TopCat

Context: f g : C(↑X, ↑Y)

Context: H : f.Homotopy g

Context: x₀ x₁ : ↑X

Context: p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁

∀ (t : ↑I), f (p' t) = H (((Path.refl { down := 0 }) t).down, p' t)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: n✝ : ℕ

Context: S✝ : ComposableArrows C n✝

Context: n : ℕ

Context: S : ComposableArrows C (n + 2)

Context: h₁ : S.δlast.Exact

Context: h₂ : (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: n✝ : ℕ

Context: S✝ : ComposableArrows C n✝

Context: n : ℕ

Context: S : ComposableArrows C (n + 2)

Context: h₁ : S.δlast.Exact

S.δlast.Exact ∧ (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Infinite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Finite
s : Finset α
hst : ↑s ⊆ t
hsn : (↑s).ncard ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ
s : Finset α
hsn : (↑s).ncard ≤ n
t : Finset α
hnt : n ≤ (↑t).ncard
hst : ↑s ⊆ ↑t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ
s : Finset α
hsn : (↑s).ncard ≤ n
t : Finset α
hnt : n ≤ (↑t).ncard
hst : ↑s ⊆ ↑t
u : Finset α
hsu : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hu : u.card = n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5

map ι (LinearEquiv.refl R M) = Equiv.refl (Orientation R M ι)


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0

∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : μ.innerContent U ≤ ↑ε


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: U : Opens G

Context: hU : μ.innerContent U ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h'ε : ↑ε ≠ 0

Context: h : ↑ε < μ.innerContent U

Context: h₂ : μ.innerContent U - ↑ε < μ.innerContent U


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: U : Opens G

Context: hU : μ.innerContent U ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h'ε : ↑ε ≠ 0

Context: h : ↑ε < μ.innerContent U

Context: h₂ : μ.innerContent U - ↑ε < ⨆ K, ⨆ (_ : ↑K ⊆ ↑U), (fun s => ↑(μ.toFun s)) K


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: U : Opens G

Context: hU : μ.innerContent U ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h'ε : ↑ε ≠ 0

Context: h : ↑ε < μ.innerContent U

Context: h₂ : ∃ i, ∃ (_ : ↑i ⊆ ↑U), μ.innerContent U - ↑ε < ↑(μ.toFun i)


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: U✝ : Opens G

Context: hU : μ.innerContent U✝ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h'ε : ↑ε ≠ 0

Context: h : ↑ε < μ.innerContent U✝

Context: U : Compacts G

Context: h1U : ↑U ⊆ ↑U✝

Context: h2U : μ.innerContent U✝ - ↑ε < ↑(μ.toFun U)

μ.innerContent U✝ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) U + ↑ε


Context: G : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: U✝ : Opens G

Context: hU : μ.innerContent U✝ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: h'ε : ↑ε ≠ 0

Context: h : ↑ε < μ.innerContent U✝

Context: U : Compacts G

Context: h1U : ↑U ⊆ ↑U✝

μ.innerContent U✝ - ↑ε ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) U


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData

homologyMap' φ₁ h₁ h₂ = homologyMap' φ₂ h₁ h₂


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α

Iic (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⨅ i, ⨅ j, Iic (f i j)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddAction G α
g : G
a : α
h : G

h ∈ stabilizer G (g +ᵥ a) ↔ h ∈ AddSubgroup.map (AddEquiv.toAddMonoidHom (AddAut.conj g)) (stabilizer G a)


Context:
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ

Module.rank K (↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} →₀ K) = #↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1}


#↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} = #↑{s | ∀ (n : σ), s n < Fintype.card K}


Context:
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
f : σ →₀ ℕ

f ∈ {s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} ↔ Finsupp.equivFunOnFinite f ∈ {s | ∀ (n : σ), s n < Fintype.card K}


Context:
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
f : σ →₀ ℕ
n : σ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t✝ : Set α
f✝ g : α → M
a : α
s : Set α
f : α → M
t : Set M
ht : 1 ∉ t


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: hP₂ : ∀ (X Y S : C) (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)

Context: X Y Y' S : C

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : Y' ⟶ Y

Context: g' : Y' ⟶ X

Context: sq : IsPullback f' g' g f

Context: hg : P g


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: P : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: inst✝ : P.RespectsIso

Context: X Y Y' S : C

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : Y' ⟶ Y

Context: g' : Y' ⟶ X

Context: sq : IsPullback f' g' g f

Context: hg : P g

Context: e : Y' ≅ pullback f g := ⋯.isoPullback


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q✝ : MvPolynomial σ R
f q : R →+* S₁
r : R
hr : ∀ (r' : R), q r' = 0 ↔ r ∣ r'
φ : MvPolynomial σ R


(∀ (i : σ →₀ ℕ), r ∣ coeff i φ) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m ((map q) φ) = coeff m 0


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X


Tendsto some (coclosedCompact X) (map some (coclosedCompact X) ⊔ pure ∞)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])

Context: Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, DifferentiableAt ℂ f x

(((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) = 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.withDensity (s.indicator f)) t = ((μ.restrict s).withDensity f) t


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁

‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖

‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0

‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x : V₁
C : ℝ
_Cpos : 0 < C
hC : ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h : ¬‖x‖ = 0
hlt : 0 < ‖x‖

‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S N
f : M → N
s : S
x y : M


Context:
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝¹ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
F✝ G : MvPolynomial σ R
n✝ : ℕ
inst✝ : Infinite R
F : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
n : ℕ

seqTendstoAeSeq hfg n < seqTendstoAeSeq hfg (n + 1)


seqTendstoAeSeq hfg n < max (seqTendstoAeSeqAux hfg (n + 1)) (seqTendstoAeSeq hfg n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a✝ b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑(filter (fun x => compress u v x ∉ s) s)

Context: b : α

Context: hb : b ∈ ↑(filter (fun x => compress u v x ∉ s) s)

Context: hab : compress u v a = compress u v b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a✝ b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s ∧ compress u v a ∉ s

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s ∧ compress u v b ∉ s

Context: hab : compress u v a = compress u v b


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (s ∩ u)

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set M

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)

Context: this : LiftPropWithinAt P g (s ∩ u) x


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x✝ : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: x : M

Context: hx : x ∈ s

Context: u : Set M

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: hu : LiftPropOn P g (s ∩ u)

Context: this : LiftPropWithinAt P g (s ∩ u) x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : (S.map F).HasHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

(((S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.map F).rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.homologyData.right.map F)) ≫ F.map (rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right S.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData S.homologyData.right ≫ S.homologyData.iso.inv) = (((S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.map F).rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F)) ≫ F.map (rightHomologyMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData S.homologyData.right ≫ S.homologyData.iso.inv)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: v : VectorMeasure α M

Context: f✝ : ℕ → Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)

Context: hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

Context: val✝ : Encodable β

Context: g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b

Context: hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: v : VectorMeasure α M

Context: f✝ : ℕ → Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)

Context: hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

Context: val✝ : Encodable β

Context: hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: v : VectorMeasure α M

Context: f✝ : ℕ → Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)

Context: hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

Context: val✝ : Encodable β

Context: hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)

Context: hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: v : VectorMeasure α M

Context: f✝ : ℕ → Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)

Context: hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

Context: val✝ : Encodable β

Context: hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)

Context: hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)

Context: this : ↑v (⋃ i, g i) = ∑' (i : ℕ), ↑v (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: v : VectorMeasure α M

Context: f✝ : ℕ → Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)

Context: hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

Context: val✝ : Encodable β

Context: hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)

Context: hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)

Context: this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: v : VectorMeasure α M

Context: f✝ : ℕ → Set α

Context: inst✝ : Countable β

Context: f : β → Set α

Context: hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)

Context: hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

Context: val✝ : Encodable β

Context: hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)

Context: hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)

Context: hg₃ : (fun i => ↑v (f i)) = fun i => ↑v (g (Encodable.encode i))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ

LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)


(∀ (y : γ), IsOpen (f ⁻¹' Ioi y)) ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z X' Y' : C
e : X ≅ X'
e' : Y ≅ Y'

HasSmallLocalizedHom W X Y ↔ HasSmallLocalizedHom W X' Y'


Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) ↔ Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X' ⟶ W.Q.obj Y')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α


(s ∪ t).encard ≤ (s ∪ t).encard + (s ∩ t).encard


Context: q : ℚ


Context: q : ℚ

↑q.num < ↑q.num + (1 - fract q) * ↑q.den


Context:
q : ℚ
this : 0 < 1 - fract q


Context:
r n : ℕ
h : r < n / 2


Context:
r n : ℕ
h : r < n / 2

n.choose r * (n - r) ≤ n.choose (r + 1) * (n - r)


Context:
r n : ℕ
h : r < n / 2

n.choose (r + 1) * (r + 1) ≤ n.choose (r + 1) * (n - r)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
fs : Set (Filter α)

(∃ᶠ (x : α) in sSup fs, p x) ↔ ∃ f ∈ fs, ∃ᶠ (x : α) in f, p x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : ℤ

a ≤ ⌊↑n⌋ ↔ a ≤ ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : n → R

(toLinearMapRight' M) ({ toFun := ⇑(toLinearMapRight' M'), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : m → R

(toLinearMapRight' M') ((toLinearMapRight' M) x) = x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hf' : LocallyIntegrable f' μ

Context: h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ

Context: this : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, (f - f') x = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝³ : MeasurableSpace M

Context: inst✝² : BorelSpace M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: f f' : M → F

Context: μ : Measure M

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hf' : LocallyIntegrable f' μ

Context: this : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, (f - f') x = 0

Context: x : M

Context: hx : (f - f') x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t

∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : SeminormedRing α✝

Context: α : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedCommRing α

Context: inst✝ : NormOneClass α

Context: f : ι → α

Context: val✝ : Multiset ι

Context: l : List ι

Context: hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

‖∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, f i‖ ≤ ∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, ‖f i‖


Context: m n✝ a n : ℕ


Context: s : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤

(r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ ⊤

Context: h : (r.toNNReal • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r.toNNReal • ν.rnDeriv μ


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)

AEEqFun.mk (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) ⋯ ∈ Lp 𝕜 1 μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


a ⊔ b ≤ (a \ b ⊔ b \ a ⊔ a) ⊓ (a \ b ⊔ b \ a ⊔ b)


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β

∀ (a : α), ((fun a => q (e a)) a ∧ ∀ (y : α), (fun a => q (e a)) y → y = a) ↔ (fun b => q b) (e a) ∧ ∀ (y : β), (fun b => q b) y → y = e a


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G

QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ μ


QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ.inv.inv μ.inv.inv


Context:
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α


∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
h : X ⟶ Z
k : Y ⟶ Z
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
comm : f ≫ h = g ≫ k
inst✝² : PreservesColimit (span f g) G
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)

G.map (pushout.inl f g) ≫ (iso G f g).inv = pushout.inl (G.map f) (G.map g)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a

∃ b, a ≤ b ∧ Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Icc a b ⊆ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
ha : IsMax a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
ha : ∃ b, a < b


Context:
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i

f ∈ TProd.mk (i :: l) ⁻¹' Set.tprod (i :: l) t ↔ f ∈ {i_1 | i_1 ∈ i :: l}.pi t


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j : ι

Context: l✝ : List ι

Context: f✝ : (i : ι) → α i

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: t : (i : ι) → Set (α i)

Context: f : (i : ι) → α i

Context: h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j : ι

Context: l✝ : List ι

Context: f✝ : (i : ι) → α i

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: t : (i : ι) → Set (α i)

Context: f : (i : ι) → α i

f i ∈ t i ∧ TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i_1 ∈ {i_2 | i_2 ∈ i :: l}, f i_1 ∈ t i_1


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j : ι

Context: l✝ : List ι

Context: f✝ : (i : ι) → α i

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: t : (i : ι) → Set (α i)

Context: f : (i : ι) → α i

f i ∈ t i ∧ TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ (i_1 : ι), i_1 = i ∨ i_1 ∈ l → f i_1 ∈ t i_1


Context: ι : Type u

Context: α : ι → Type v

Context: i✝ j : ι

Context: l✝ : List ι

Context: f✝ : (i : ι) → α i

Context: i : ι

Context: l : List ι

Context: t : (i : ι) → Set (α i)

Context: f : (i : ι) → α i

f i ∈ t i → (TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ a ∈ l, f a ∈ t a)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X

AccPt x (𝓟 C) ↔ ClusterPt x (𝓟 (C \ {x}))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁

Context: e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂

Context: comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁

Context: e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂

Context: h : ∃ e', e'.hom.hom₁ = (Arrow.isoMk e₁ e₂ ⋯).hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = (Arrow.isoMk e₁ e₂ ⋯).hom.right


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

Context: hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)

↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

Context: h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: i : α

Context: n : ℕ

q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m : ℕ
hm : FermatLastTheoremWith α m
a b c : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
k : ℕ


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: p : Type u_4

Context: n' : m → Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁸ : Fintype m

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)

Context: inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)

Context: inst✝² : NormedRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: A : Matrix m m 𝔸

Context: this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing

Context: this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing

Context: this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : CommGroup H
f : G →* H
g h : M →* G
x✝ : M

(f.comp (g / h)) x✝ = (f.comp g / f.comp h) x✝