Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t✝ u v : Set α

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : SuccOrder β

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean β

Context: s : β → Set α

Context: t : Set β

Context: ht : t.OrdConnected

Context: H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)

Context: i : β

Context: hi : i ∈ t

Context: j : β

Context: hj : j ∈ t

ReflTransGen (fun i j => (s i ∩ s j).Nonempty ∧ i ∈ t) i j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α

∫⁻ (a : α), f a ∂(μ + ν) = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), f a ∂ν


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ

dropWhile p (dropWhile p l) = dropWhile p l


∀ (hl : 0 < (dropWhile p l).length), ¬p ((dropWhile p l).get ⟨0, hl⟩) = true


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j✝ j : ι

(P.coreflection i) (P.coroot j) ∈ range ⇑P.coroot


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : Filter γ
f : γ → α
e : α ≃o β

Tendsto (fun x => e (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜

iteratedDerivWithin n f univ x = iteratedDeriv n f x


Context:
l : List Char
c : Char
r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l (c :: r) it


Context: l : List Char

Context: c : Char

Context: r : List Char

Context: h : ValidFor l (c :: r) { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }

ValidFor (c :: l) r { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }.next


Context: l : List Char

Context: c : Char

Context: r : List Char

ValidFor (c :: l) r { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } }


Context: l : List Char

Context: c : Char

Context: r : List Char

ValidFor (c :: l) r { s := { data := l.reverseAux (c :: r) }, i := { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } }


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: a : α

Measurable ((Function.uncurry fun a b => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a b) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b) * κ.rnDeriv η a b) ∘ fun b => (a, b))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : OpenEmbedding g


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I
x : L
hx : x ∈ I


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I
x : L
hx : x ∈ I
y : L


(trace R L) ((LieModule.toEnd R L L) y ∘ₗ (LieModule.toEnd R L L) x) = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : LinearIndependent R m
hn : LinearIndependent R n

LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total κ (↥M) R m)

Context: hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥N) R n)

Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm

Context: i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) := LinearMap.rTensor (ι →₀ R) (Finsupp.total κ (↥M) R m)

Context: i2 : ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.total ι (↥N) R n)

Context: i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1

Context: h2 : Function.Injective ⇑i2


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1

Context: h2 : Function.Injective ⇑i2

Context: h : Function.Injective ⇑i


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Ring S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: H : M.LinearDisjoint N

Context: inst✝ : Module.Flat R ↥M

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : κ → ↥M

Context: n : ι → ↥N

Context: h1 : Function.Injective ⇑i1

Context: h2 : Function.Injective ⇑i2

Context: h : Function.Injective ⇑i

Context: this : i = Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
f : E →ₗ[𝕜] β
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝⁸ : E
x✝⁷ : x✝⁸ ∈ s
x✝⁶ : E
x✝⁵ : x✝⁶ ∈ s
x✝⁴ x✝³ : 𝕜
x✝² : 0 ≤ x✝⁴
x✝¹ : 0 ≤ x✝³
x✝ : x✝⁴ + x✝³ = 1

f (x✝⁴ • x✝⁸ + x✝³ • x✝⁶) ≤ x✝⁴ • f x✝⁸ + x✝³ • f x✝⁶


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group H✝
H : Type u_6
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg : Subgroup G

Subgroup.map (↑f.symm) (Subgroup.map (↑f) sg) = sg


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ : Type u_5
inst✝¹ : Group H✝
H : Type u_6
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sh : Subgroup H

Subgroup.map (↑f) (Subgroup.map (↑f.symm) sh) = sh


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : Group G'

Context: inst✝³ : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : AddGroup A

Context: H✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Group H✝

Context: H : Type u_6

Context: inst✝ : Group H

Context: f : G ≃* H

Context: sg1 sg2 : Subgroup G

Context: h : { toFun := Subgroup.map ↑f, invFun := Subgroup.map ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg1 ≤ { toFun := Subgroup.map ↑f, invFun := Subgroup.map ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : OrderTopology γ

Context: f g : α → γ

Context: hf : LowerSemicontinuousAt f x

Context: hg : LowerSemicontinuousAt g x

Context: hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)

LowerSemicontinuousAt (fun z => f z + g z) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Preorder β

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : OrderTopology γ

Context: f g : α → γ

Context: hf : LowerSemicontinuousWithinAt f univ x

Context: hg : LowerSemicontinuousWithinAt g univ x

LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => f z + g z) univ x


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context:
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, (nim k).birthday = k


max (lsub fun i => ((mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveLeft i).birthday) (lsub fun i => ((mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight i).birthday) = o


max (lsub fun i => (nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday) (lsub fun i => (nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday) = o


(lsub fun i => (nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday) = o


Context:
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, (nim k).birthday = k
i : (Quotient.out o).α

(nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)).birthday = typein (fun x x_1 => x < x_1) i


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p : K[X]

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).denom = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∃ F, ContinuousAt F x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, ∃ F, ContinuousWithinAt F univ x ∧ ∀ y ∈ t, (f y, F y) ∈ u


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E


Context:
R : Type u
ι✝ : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
ι : Type u_2
s : Finset ι
I : ι → R
hI : (↑s).Pairwise (IsCoprime on I)
x : R

(x ∈ s.inf fun i => span {I i}) ↔ x ∈ span {∏ i ∈ s, I i}


Context:
N : ℕ
s : Finset ℕ
h : N.primesBelow ≤ s
n : ℕ
hn : n ∈ (factoredNumbers s)ᶜ \ {0}


Context: N : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: h : N.primesBelow ≤ s

Context: n : ℕ

Context: hn : (¬n = 0 → ∃ x ∈ n.primeFactorsList, x ∉ s) ∧ ¬n = 0


Context: N : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: h : N.primesBelow ≤ s

Context: n : ℕ


Context: N : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: h : N.primesBelow ≤ s

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ

Context: hp₁ : p ∈ n.primeFactorsList

Context: hp₂ : p ∉ s


Context: N : ℕ

Context: s : Finset ℕ

Context: h : N.primesBelow ≤ s

Context: n : ℕ

Context: p : ℕ

Context: hp₁ : p ∈ n.primeFactorsList

Context: hp₂ : p ∉ s

Context: this : N ≤ p


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b : α
f : β → α
l : List β

Chain' R (map f l) ↔ Chain' (fun a b => R (f a) (f b)) l


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
W : MorphismProperty C
F : C ⥤ D

W.IsInvertedBy F ↔ W.map F ≤ isomorphisms D


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a : α
s : Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α
ha : a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t✝ s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t

∃ x' ∈ s, ∃ y' ∈ t, dist x y ≤ dist x' y'


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t✝ s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t
x' : E
hx' : x' ∈ s
Hx' : dist x y ≤ dist x' y


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t✝ s t : Set E
x y : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
hy : y ∈ (convexHull ℝ) t
x' : E
hx' : x' ∈ s
Hx' : dist x y ≤ dist x' y
y' : E
hy' : y' ∈ t
Hy' : dist y x' ≤ dist y' x'


Context: x y : ℂ


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝ : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

P f ↔ ∀ (U : ↑Y.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE f (↑U) (↑V) e)


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0


↑(↑q.num / ↑q.den).num / ↑(↑q.num / ↑q.den).den = ↑q.num / ↑q.den


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
hn : (↑↑q.num / ↑↑q.den).num = ↑q.num


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
hn : (↑↑q.num / ↑↑q.den).num = ↑q.num
hd : ↑(↑↑q.num / ↑↑q.den).den = ↑q.den


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
q : ℚ≥0
hn : (↑q.num / ↑q.den).num = ↑q.num
hd : (↑q.num / ↑q.den).den = q.den


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q p : Submodule R M

p ≠ ⊥ ↔ ∃ x ∈ p, x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: κ : ι → Sort u_6

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : (i : ι) → κ i → Interval α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : t ∈ P.parts
ht' : a ∈ t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u✝ : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : t ∈ P.parts
ht' : a ∈ t
u : Finset α
hu : u ∈ P.parts
hu' : a ∈ u


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
σ : K[n√a] ≃ₐ[K] K[n√a]
this : Fact (Irreducible (X ^ n - C a))

↑((autAdjoinRootXPowSubCEquiv hζ hn H).symm σ) • root (X ^ n - C a) = σ (root (X ^ n - C a))


(if a = 0 then 1 else σ (root (X ^ n - C a)) / root (X ^ n - C a)) * root (X ^ n - C a) = σ (root (X ^ n - C a))


(if root (X ^ n - C a) = 0 then 1 else σ (root (X ^ n - C a)) / root (X ^ n - C a)) * root (X ^ n - C a) = σ (root (X ^ n - C a))


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b ab : ℤ
h : a + b = ab
n : ℤ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ

((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module ℝ M
φ : ι → X → M

∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ • φ i x₀ = ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x₀ • φ i x₀


(support fun i => (ρ i) x₀ • φ i x₀) ⊆ ↑(ρ.finsupport x₀)


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀✝ x₀ : X

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module ℝ M

Context: φ : ι → X → M

Context: this : (fun i => (ρ i) x₀ • φ i x₀) = (fun i => (ρ i) x₀) • fun i => φ i x₀


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace E

Context: inst✝² : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀✝ x₀ : X

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module ℝ M

Context: φ : ι → X → M

((support fun i => (ρ i) x₀) ∩ support fun i => φ i x₀) ⊆ support fun i => (ρ i) x₀


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype m
i : n
j : m
c : α
x : m → α
i' : n

(∑ x_1 : m, if i = i' ∧ j = x_1 then c * x x_1 else 0) = Function.update 0 i (c * x j) i'


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype m
i : n
j : m
c : α
x : m → α

(∑ x_1 : m, if i = i ∧ j = x_1 then c * x x_1 else 0) = Function.update 0 i (c * x j) i


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype m
i : n
j : m
c : α
x : m → α
i' : n
h : i ≠ i'


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
r : α
M : Matrix n n α

Commute ((scalar n) r) M ↔ r • M = MulOpposite.op r • M


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∈ 𝒜


s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s.erase a ∉ 𝒜 ∧ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
hs : s ∈ 𝒜
h : s.erase a ∉ 𝒜


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ

(a * b).factorization q = (a.factorization + b.factorization) q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
η : Type u_5
ε : Type u_6
e : PartialEquiv α β
f : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv δ η
f' : PartialEquiv η ε

(e.prod e').trans (f.prod f') = (e.trans f).prod (e'.trans f')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
η : Type u_5
ε : Type u_6
e : PartialEquiv α β
f : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv δ η
f' : PartialEquiv η ε
x : α
y : δ

(x ∈ e.source ∧ y ∈ e'.source) ∧ ↑e x ∈ f.source ∧ ↑e' y ∈ f'.source ↔ (x ∈ e.source ∧ ↑e x ∈ f.source) ∧ y ∈ e'.source ∧ ↑e' y ∈ f'.source


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E
c : Fin (n + 1) → ℂ
R : Fin (n + 1) → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R

(∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (x : ℂ) in C(c 0, R 0), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ Fin.succ, R ∘ Fin.succ), f (Fin.cons x y)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P'
x : P

x ∈ (canonicalEquiv S P P').symm I ↔ x ∈ (canonicalEquiv S P' P) I


(∃ x_1 ∈ I, ↑(let __src := ringEquivOfRingEquiv P P' (RingEquiv.refl R) ⋯; { toEquiv := __src.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }).symm x_1 = x) ↔ ∃ y ∈ I, (IsLocalization.map P (RingHom.id R) ⋯) y = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α
this : Multipliable (f ∘ Subtype.val)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α

mulSupport f = s ↔ (∀ x ∈ s, f x ≠ 1) ∧ ∀ x ∉ s, f x = 1


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
F : Filter β
x : α

x ∈ ⋂₀ (comap f F).sets ↔ x ∈ ⋂ U ∈ F, f ⁻¹' U


(∀ (A : Set α), ∀ B ∈ F, f ⁻¹' B ⊆ A → x ∈ A) ↔ ∀ B ∈ F, f x ∈ B


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
x y : E


∀ x ∈ {x | CPolynomialAt 𝕜 f x}, {x | CPolynomialAt 𝕜 f x} ∈ 𝓝 x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝¹ : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: x✝ y x : E

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : NonAssocRing R
v : V
vec : V → R

(lapMatrix R G *ᵥ vec) v = ↑(G.degree v) * vec v - ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
n : ℕ

(ghostComponent (n + 1)) x.verschiebungFun = ↑p * (ghostComponent n) x


∑ i ∈ Finset.range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.verschiebungFun.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) = ↑p * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n - i)


∀ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑p ^ (x_1 + 1) * x.verschiebungFun.coeff (x_1 + 1) ^ p ^ (n + 1 - (x_1 + 1)) = ↑p * (↑p ^ x_1 * x.coeff x_1 ^ p ^ (n - x_1))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R
n i : ℕ

↑p ^ (i + 1) * x.verschiebungFun.coeff (i + 1) ^ p ^ (n + 1 - (i + 1)) = ↑p * (↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n - i))


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
U : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p U
s : Set α
x : α

x ∈ ⋂ i, ⋂ (_ : p i), ⋃ x ∈ s, ball x (U i) ↔ x ∈ closure s


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
a : AdjoinRoot (minpoly R x)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2

Context: hr : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)

Context: hc : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p.toLin (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')

Context: hk : root k = sα β

Context: sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')

Context: sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)

coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: hl : coroot l = (preReflection (coroot i) (p.toLin (root i))) (coroot j)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: hkl : (p.toLin.flip (coroot l)) (root k) = 2


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip (coroot l)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: _i : NoZeroSMulDivisors ℤ M


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: _i : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: this : InjOn (⇑(span R (range ⇑root)).subtype.dualMap) (range (⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: _i : NoZeroSMulDivisors ℤ M

(span R (range ⇑root)).subtype.dualMap ((⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot) k) = (span R (range ⇑root)).subtype.dualMap ((⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot) l)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: _i : NoZeroSMulDivisors ℤ M

MapsTo (⇑(preReflection (root k) ((⇑p.toLin.flip ∘ ⇑coroot) l))) (range ⇑root) (range ⇑root)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: p : PerfectPairing R M N

Context: root : ι ↪ M

Context: coroot : ι ↪ N

Context: i j k : ι

Context: α : M := root i

Context: β : M := root j

Context: α' : N := coroot i

Context: β' : N := coroot j

Context: hk : root k = sα β

Context: hk₀ : root k ≠ 0

Context: l : ι

Context: _i : NoZeroSMulDivisors ℤ M

MapsTo (⇑(sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα)) (range ⇑root) (range ⇑root)


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddCommGroup β
f g : α → β
hf : IsAddGroupHom f
hg : IsAddGroupHom g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≠ ⊤

(∑' (a : α), f a).toReal = ∑' (a : α), (f a).toReal


Context: α : Type

Context: n : ℕ

Context: xs : Vector α n

Context: β σ₁ γ σ₂ : Type

Context: ys : Vector β n

Context: f₁ : α → β → σ₁ → σ₁ × γ

Context: f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ

Context: s₁ : σ₁

Context: s₂ : σ₂

Context: R : σ₁ → σ₂ → Prop

Context: h₀ : R s₁ s₂

Context: hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α) (b : β), R s q → R (f₁ a b s).1 (f₂ a b q).1 ∧ (f₁ a b s).2 = (f₂ a b q).2

(mapAccumr₂ f₁ xs ys s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ xs ys s₂).2


Context: C✝ : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C✝

Context: D✝ : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D✝

Context: J : Type w

Context: C : J → Type u

Context: D : J → Type u'

Context: inst✝¹ : (j : J) → Category.{v, u} (C j)

Context: inst✝ : (j : J) → Category.{v', u'} (D j)

Context: W : (j : J) → MorphismProperty (C j)

Context: F : (j : J) → C j ⥤ D j

Context: hF : ∀ (j : J), (W j).IsInvertedBy (F j)

Context: X✝ Y✝ : (j : J) → C j

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : MorphismProperty.pi W f


Context: C✝ : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C✝

Context: D✝ : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D✝

Context: J : Type w

Context: C : J → Type u

Context: D : J → Type u'

Context: W : (j : J) → MorphismProperty (C j)

Context: F : (j : J) → C j ⥤ D j

Context: X✝ Y✝ : (j : J) → C j

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: hf : MorphismProperty.pi W f

∀ (i : J), IsIso ((Functor.pi F).map f i)


Context:
u : XgcdType
wp x y zp ap bp : ℕ

{ wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.wp + { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.zp + { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.wp * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.zp = { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.x * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.y ↔ { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.w * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.z = ({ wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.x * { wp := wp, x := x, y := y, zp := zp, ap := ap, bp := bp }.y).succPNat


Context:
u : XgcdType
wp x y zp ap bp : ℕ
h : wp + zp + wp * zp = x * y


Context:
u : XgcdType
wp x y zp ap bp : ℕ
h : (wp + 1) * (zp + 1) = x * y + 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
e : α ↪ γ
f : γ → β


(Multiset.map ((fun x => f x) ∘ ⇑e) s.val).prod = ∏ x ∈ s, f (e x)


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0
l : Fin m

append u v (castAdd n l) = (v ∘ cast ⋯) (castAdd n l)


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
u : Fin m → α
v : Fin n → α
hu : m = 0
r : Fin n

append u v (natAdd m r) = (v ∘ cast ⋯) (natAdd m r)


Context: C : Type ?u.31337

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.31341, ?u.31337} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hg₁ : S₁.g = 0

Context: hf₂ : S₂.f = 0

Context: hg₂ : S₂.g = 0


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0
hg₂ : S₂.g = 0

QuasiIso φ ↔ IsIso (S₁.descOpcycles φ.τ₂ ⋯)


Context: C : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hg₁ : S₁.g = 0

Context: hf₂ : S₂.f = 0

Context: hg₂ : S₂.g = 0

Context: H : RightHomologyMapData φ (RightHomologyData.ofIsColimitCokernelCofork S₁ hg₁ (CokernelCofork.ofπ S₁.pOpcycles ⋯) S₁.opcyclesIsCokernel) (RightHomologyData.ofZeros S₂ hf₂ hg₂) := { φQ := S₁.descOpcycles φ.τ₂ ⋯, φH := S₁.descOpcycles φ.τ₂ ⋯, commp := ⋯, commg' := ⋯, commι := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

s.einfsep ≠ ⊤ ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
X Y : Set α
hX : X ⊆ S
hY : Y ⊆ S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
X Y : Set α
hX : X ⊆ S
hY : Y ⊆ S
h : sSup X ≤ sSup Y
a : α
ha : a ∈ X


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SupSet α
inst✝ : Inhabited ↑s
t : Set ↑s
h' : t.Nonempty
h'' : BddAbove t
h : sSup (Subtype.val '' t) ∈ s


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
x : Localization I.primeCompl

IsNilpotent x ↔ x ∈ nonunits (Localization I.primeCompl)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
h : R ≃+* P

IsLocalization (nonZeroDivisors R) S ↔ IsLocalization (nonZeroDivisors P) S


nonZeroDivisors P = Submonoid.map h.toMonoidHom (nonZeroDivisors R)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
h : R ≃+* P
x : P

x ∈ nonZeroDivisors P ↔ x ∈ Submonoid.map h.toMonoidHom (nonZeroDivisors R)


x ∈ nonZeroDivisors P ↔ x ∈ Submonoid.comap h.toMulEquiv.symm.toMonoidHom (nonZeroDivisors R)


x ∈ nonZeroDivisors P ↔ (↑h).symm x ∈ nonZeroDivisors R


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
n : α →₀ ℕ
f : (α →₀ ℕ) → (α →₀ ℕ) → M

∀ (i : (α →₀ ℕ) × (α →₀ ℕ)), i ∈ antidiagonal n ↔ (Equiv.prodComm (α →₀ ℕ) (α →₀ ℕ)) i ∈ antidiagonal n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeInf γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
hab : a < b


Context:
ι : Type u_2
α✝ : ι → Type ?u.29822
α : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)


∃ i i_1, ∃ (_ : MeasurableSet i_1), ∅ = cylinder i i_1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S

evalEval (C X) Y (baseChange W R[X][Y]).toAffine.polynomial = W.polynomial


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : α → R

(Finsupp.total α M R v) ((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x) = ((Fintype.total R S) v) x


((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x).support ⊆ Finset.univ


∀ x_1 ∈ Finset.univ, x_1 ∉ ((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x).support → (fun i => ⇑((fun i => LinearMap.id.smulRight (v i)) i)) x_1 (((linearEquivFunOnFinite R R α).symm x) x_1) = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: q : ℚ

Context: n : ℕ

Context: s : Stream'.Seq (Pair K)

Context: gcf_v_eq : of ↑q = { h := ↑⌊↑q⌋, s := s }

{ h := ↑(of q).h, s := Stream'.Seq.map (Pair.map Rat.cast) (of q).s } = { h := ↑⌊↑q⌋, s := s }


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β✝ : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β✝
β : Type u_4
inst✝ : UniformSpace β
f : β → (i : ι) → α i

UniformContinuous f ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuous fun x => f x i


Context:
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x


Context:
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx_nonneg : 0 ≤ x
h_rpow_nonneg : 0 ≤ x ^ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hg : Monotone g

⋂₀ {s | s ∈ f.lift g} = ⋂ s ∈ f, ⋂₀ {t | t ∈ g s}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v}

Context: a : Ordinal.{max u v}

a < o.blsub f ↔ ∃ i, ∃ (hi : i < o), a ≤ f i hi


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α✝

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : MetricSpace γ

Context: α : Type u

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: H : ∀ ε > 0, ∃ β x F, ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α✝

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : MetricSpace γ

Context: α : Type u

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

∃ s, s.Countable ∧ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α✝

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : MetricSpace γ

Context: α : Type u

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: β : Type u_3

Context: fβ : Encodable β

Context: F : α → β

Context: hF : ∀ (x y : α), F x = F y → dist x y ≤ ε

Context: Finv : ↑(range F) → α := rangeSplitting F


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α✝

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : MetricSpace γ

Context: α : Type u

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: β : Type u_3

Context: fβ : Encodable β

Context: F : α → β

Context: x : α


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α✝

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : MetricSpace γ

Context: α : Type u

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: β : Type u_3

Context: fβ : Encodable β

Context: F : α → β

Context: x : α

Context: x' : α := Finv ⟨F x, ⋯⟩


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α✝

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : MetricSpace γ

Context: α : Type u

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: β : Type u_3

Context: fβ : Encodable β

Context: F : α → β

Context: x : α

Context: x' : α := Finv ⟨F x, ⋯⟩

Context: this : F x' = F x


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
r : R

‖inl r‖₊ = ‖r‖₊


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
S : Set G
hS : S ∈ 𝓝 1


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c : α
h : IsUnit b
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
m : M

update (update v i m) j m i = update (update v i m) j m j


Context:
s : Finset ℕ
m : ℕ
hm : m ≠ 0
hp : m.primeFactors ⊆ s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hnm : n ≤ m

(∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)) → ReflTransGen r n m


(∀ i ∈ Ico n n, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n


∀ (n_1 : α), n ≤ n_1 → ((∀ i ∈ Ico n n_1, r i (succ i)) → ReflTransGen r n n_1) → (∀ i ∈ Ico n (succ n_1), r i (succ i)) → ReflTransGen r n (succ n_1)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
h : s.Countable
inhabited_h : Inhabited α


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)

Context: f : Π₀ (i : ι), α i

(Iic f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card


Context:
R✝ : Type u
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : StarMul R
r : R
inst✝¹ : Invertible r
inst✝ : Invertible (star r)


Context: R✝ : Type u

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid R

Context: inst✝² : StarMul R

Context: r : R

Context: inst✝¹ : Invertible r

Context: inst✝ : Invertible (star r)

Context: this : star ⅟r = star ⅟r * (star r * ⅟(star r))


Context: R✝ : Type u

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid R

Context: inst✝² : StarMul R

Context: r : R

Context: inst✝¹ : Invertible r

Context: inst✝ : Invertible (star r)

star ⅟r * star r * ⅟(star r) = ⅟(star r)


Context: R✝ : Type u

Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid R

Context: inst✝² : StarMul R

Context: r : R

Context: inst✝¹ : Invertible r

Context: inst✝ : Invertible (star r)

Context: this✝ : star ⅟r = star ⅟r * (star r * ⅟(star r))

Context: this : star ⅟r * star r = star 1


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
i j : n
i_ne_j : i ≠ j
hij : ∀ (k : n), M k i = M k j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
ha : a < mex f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4}
a : Ordinal.{max u_4 u_5}
ha : a < mex f
ha' : ∀ (i : ι), f i ≠ a


Context:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree

(powerBasisAux hx) i = AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d

(∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0) ↔ ¬IsSquare d


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d

(∃ x y, x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1 ∧ y ≠ 0) → ¬IsSquare d


Context:
x y : ℤ
hy : y ≠ 0
a : ℤ
h₀ : 0 < a * a
hxy : x ^ 2 - a * a * y ^ 2 = 1


Context:
x y : ℤ
hy : y ≠ 0
a : ℤ
h₀ : 0 < a * a
hxy : (x + a * y) * (x - a * y) = 1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X

(Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U)) = op U


inv (invApp f U) = f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)


𝟙 (X.presheaf.obj (op U)) = invApp f U ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)


𝟙 (X.presheaf.obj (op U)) = (X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)))) ≫ f.c.app (op ((opensFunctor f).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_3
L : Type ?u.74540
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : IsScalarTower R K S
inst✝ : IsFractionRing R K

map (algebraMap R S) (minpoly R x) /ₘ (X - C x) = map (algebraMap K S) (minpoly K x) /ₘ (X - C x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a b : α
l : List α
x✝ : a :: b :: l ≠ []

‖(a :: b :: l).prod‖ ≤ (map norm (a :: b :: l)).prod


‖a * (b :: l).prod‖ ≤ ‖a‖ * (map norm (b :: l)).prod


‖(b :: l).prod‖ ≤ (map norm (b :: l)).prod


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hF : IsClosed F


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R

finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 0 ↔ IsField R


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : ∀ x ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc 0 1) x

Context: bound : ∀ x ∈ Ico 0 1, ‖f' x‖ ≤ C


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hP : P.IsEquipartition
hε : 0 ≤ ε

↑((P.sparsePairs G ε).biUnion fun x => match x with | (U, V) => G.interedges U V).card ≤ 4 * ε * ↑A.card ^ 2


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ

↑(exponentialCDFReal r) x = if 0 ≤ x then 1 - rexp (-(r * x)) else 0


Context:
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ

0 ≤ if 0 ≤ x then 1 - rexp (-(r * x)) else 0


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
s : R
x y : A


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α

AEMeasurable f (μ + ν) ↔ AEMeasurable f μ ∧ AEMeasurable f ν


AEMeasurable f (bif true then μ else ν) ∧ AEMeasurable f (bif false then μ else ν) ↔ AEMeasurable f μ ∧ AEMeasurable f ν


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r r' : X
s s' : ↥S
rb sb : R
h : sb * ↑s = rb * ↑s'
h' : sb * ↑s ∈ S

r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sb • r + rb • r') /ₒ ⟨sb * ↑s, h'⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f x)

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

mfderivWithin I I'' (g ∘ f) s x = (mfderivWithin I' I'' g u (f x)).comp (mfderivWithin I I' f s x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Context: h : s ⊆ f ⁻¹' u

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x ((mfderivWithin I' I'' g u (f x)).comp (mfderivWithin I I' f s x))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPoly p n) = frobeniusPolyRat p n


X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)


∀ (n : ℕ), (∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)) → X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, X m ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p m) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ m)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) ((X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

X n ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p n) = ((bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (X n) - ∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C (⅟↑p ^ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

Context: h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

Context: h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1

(∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C (⅟↑p ^ n) - (∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n + 1 - x)) * C (⅟↑p ^ n) = C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (∑ i ∈ range n, ∑ j ∈ range (p ^ (n - i)), (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

Context: h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1

∑ x ∈ range n, (C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n + 1 - x) * C (⅟↑p ^ n)) = ∑ x ∈ range n, ∑ i ∈ range (p ^ (n - x)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X x ^ p) ^ (p ^ (n - x) - (i + 1)) * frobeniusPolyAux p x ^ (i + 1) * C ↑((p ^ (n - x)).choose (i + 1) / p ^ (n - x - v p ⟨i + 1, ⋯⟩) * p ^ (i - v p ⟨i + 1, ⋯⟩)))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

Context: h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1

∀ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n + 1 - x) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i ∈ range (p ^ (n - x)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X x ^ p) ^ (p ^ (n - x) - (i + 1)) * frobeniusPolyAux p x ^ (i + 1) * C ↑((p ^ (n - x)).choose (i + 1) / p ^ (n - x - v p ⟨i + 1, ⋯⟩) * p ^ (i - v p ⟨i + 1, ⋯⟩)))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

Context: h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ range n

C (↑p ^ i) * (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ i) ^ p ^ (n - i) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n + 1 - i) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (i_1 + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩) * p ^ (i_1 - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩)))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: n : ℕ

Context: h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n

C (↑p ^ i) * (X i ^ p + C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ p ^ (n - i) * C (⅟↑p ^ n) - C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n + 1 - i) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (i_1 + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩) * p ^ (i_1 - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩)))


∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C (↑p ^ i) * ((C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ (i_1 + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1))) * C (⅟↑p ^ n) = ∑ i_1 ∈ range (p ^ (n - i)), C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (i_1 + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (i_1 + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (i_1 + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩) * p ^ (i_1 - v p ⟨i_1 + 1, ⋯⟩)))


∀ x ∈ range (p ^ (n - i)), C (↑p ^ i) * ((C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ (x + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (x + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (x + 1))) * C (⅟↑p ^ n) = C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (x + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (x + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (x + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨x + 1, ⋯⟩) * p ^ (x - v p ⟨x + 1, ⋯⟩)))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j ∈ range (p ^ (n - i))

C (↑p ^ i) * ((C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i)) ^ (j + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1))) * C (⅟↑p ^ n) = C ↑p * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)))


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
h1 : ↑p ^ n * ⅟↑p ^ n = 1
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < p ^ (n - i)


C ↑p ^ i * (C ↑p ^ (j + 1) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1))) * C ⅟↑p ^ n = C ↑p * ((X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))))


(X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * C ↑p ^ (j + 1)) * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * C ↑p ^ i * C ⅟↑p ^ n = (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) * C ↑p


(X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * (C ↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (C ↑p ^ i * C ⅟↑p ^ n)))) = (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * ((MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (frobeniusPolyAux p i) ^ (j + 1) * (C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) * C ↑p))


C ↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (C ↑p ^ i * C ⅟↑p ^ n)) = C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) * C ↑p


C ↑p ^ (j + 1) * (C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (C ↑p ^ i * C ⅟↑p ^ n)) = C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))) * C ↑p


C (↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (↑p ^ i * ⅟↑p ^ n))) = C ((Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)) * ↑p)


↑p ^ (j + 1) * (↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * (↑p ^ i * ⅟↑p ^ n)) = (Int.castRingHom ℚ) ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)) * ↑p


↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1)) * ↑p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * ↑p * ↑p ^ n = ↑p ^ j * ↑p * ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) * p ^ i) * ↑p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩)


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
x : R

x ∈ quasispectrum R a ↔ x = 0 ∨ x ∈ spectrum R a


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝ : FunLike F α β
e : α ≃ β
s : Set α

(fun s => ⇑e.symm '' s) ((fun s => ⇑e '' s) s) = s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝ : FunLike F α β
e : α ≃ β
s : Set β

(fun s => ⇑e '' s) ((fun s => ⇑e.symm '' s) s) = s


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: inst✝ : FunLike F α β

Context: e : α ≃ β

Context: a✝ b✝ : Set α

Context: h : { toFun := fun s => ⇑e '' s, invFun := fun s => ⇑e.symm '' s, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a✝ ≤ { toFun := fun s => ⇑e '' s, invFun := fun s => ⇑e.symm '' s, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b✝


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: w : TwoSquare Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) := TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv

Context: this : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)

IsConnected ((TwoSquare.mk Φ.functor (Φ.functor ⋙ L) L (𝟭 D) (Φ.functor ⋙ L).rightUnitor.inv).CostructuredArrowDownwards y)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

∀ (X : w.CostructuredArrowDownwards y), ∃ Y, Zigzag X ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: X : w.CostructuredArrowDownwards y

∃ Y, Zigzag X ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : (Φ.functor ⋙ L).obj c ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ w.app c ≫ (𝟭 D).map x = y

∃ Y, Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac) ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac✝ : L.map g ≫ 𝟙 (L.obj (Φ.functor.obj c)) ≫ x = y

Context: fac : L.map g ≫ x = y

∃ Y, Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac✝) ((fromRightResolution Φ L y).obj Y)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ x = y

Context: ρ : Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g) := Classical.arbitrary (Φ.arrow.RightResolution (Arrow.mk g))


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ x = y

Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac✝) ((fromRightResolution Φ L y).obj (RightResolution.mk ρ.w.left ⋯))


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: this✝ : Nonempty (w.CostructuredArrowDownwards y)

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ x = y

Context: this : Zigzag ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk (𝟙 (Φ.functor.obj c)) ⋯)) ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk ρ.w.right ⋯))


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ x = y

Zigzag (TwoSquare.CostructuredArrowDownwards.mk w y c g x fac✝) ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk (𝟙 (Φ.functor.obj c)) ⋯))


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Category.{u_4, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence

Context: inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative

Context: inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions

Context: inst✝² : W₂.ContainsIdentities

Context: D : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} D

Context: L : C₂ ⥤ D

Context: inst✝ : L.IsLocalization W₂

Context: X₂ : C₂

Context: X₃ : D

Context: y : L.obj X₂ ⟶ X₃

Context: c : C₁

Context: g : X₂ ⟶ Φ.functor.obj c

Context: x : L.obj (Φ.functor.obj c) ⟶ X₃

Context: fac : L.map g ≫ x = y

Zigzag ((fromRightResolution Φ L x ⋙ w.costructuredArrowDownwardsPrecomp x y g fac).obj (RightResolution.mk ρ.w.right ⋯)) ((fromRightResolution Φ L y).obj (RightResolution.mk ρ.w.left ⋯))


Context:
x : ℝ
h : x ∈ Ioo (-1) 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b c a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f g : C(α, β)

Context: ι : Type u_5

Context: S : ι → Set α

Context: φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)

Context: hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩

Context: hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x

Context: A : Set (Set α)

Context: F : (s : Set α) → s ∈ A → C(↑s, β)

Context: hF : ∀ (s : Set α) (hs : s ∈ A) (t : Set α) (ht : t ∈ A) (x : α) (hxi : x ∈ s) (hxj : x ∈ t), (F s hs) ⟨x, hxi⟩ = (F t ht) ⟨x, hxj⟩

Context: hA : ∀ (x : α), ∃ i ∈ A, i ∈ 𝓝 x

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ A

Context: x : ↑s

Context: x' : ↑↑⟨s, hs⟩ := x

(let S := Subtype.val; let F_1 := fun i => F ↑i ⋯; liftCover S F_1 ⋯ ⋯) ↑x = (F s hs) x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s

∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s u : Set P

Context: hu : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: h : AffineIndependent ℝ Subtype.val

Context: q : P

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u

Context: t : Set P

Context: ht₁ : s ⊆ t

Context: ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p

Context: ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤

Context: f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s u : Set P

Context: hu : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: h : AffineIndependent ℝ Subtype.val

Context: q : P

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u

Context: t : Set P

Context: ht₁ : s ⊆ t

Context: ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p

Context: ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤

Context: hf : ∀ (y : P), f y ∈ u


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s u : Set P

Context: hu : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: h : AffineIndependent ℝ Subtype.val

Context: q : P

Context: hq : q ∈ s

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

Context: hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u

Context: t : Set P

Context: ht₁ : s ⊆ t

Context: ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p

Context: ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤

Context: hf : ∀ (y : P), f y ∈ u

Context: hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c x a b : α


Context: i : ℤ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Mul α
s t u : Set α
a : α


image2 (fun a b => SMul.smul (op b) a) t s = image2 (fun x x_1 => x * x_1) t s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i

Context: r : R

((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = r • x


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

(gradedMul R 𝒜 ℬ).flip ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = DistribMulAction.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: i✝¹ : ι

Context: x✝¹ : 𝒜 i✝¹

Context: i✝ : ι

Context: x✝ : ℬ i✝

((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝)) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = r • (lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: i✝¹ : ι

Context: x✝¹ : 𝒜 i✝¹

Context: i✝ : ι

Context: x✝ : ℬ i✝

(-1) ^ (i✝ * 0) • ((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ * (lof R ι 𝒜 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun r)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ i✝) x✝ * 1) = r • (lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: i✝¹ : ι

Context: x✝¹ : 𝒜 i✝¹

Context: i✝ : ι

Context: x✝ : ℬ i✝

((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ * (lof R ι 𝒜 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun r)) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ i✝) x✝ * 1) = (r • (lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝


Context: R : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring ι

Context: inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)

Context: inst✝⁹ : DecidableEq ι

Context: 𝒜 : ι → Type u_5

Context: ℬ : ι → Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)

Context: inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜

Context: inst✝² : DirectSum.GRing ℬ

Context: inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜

Context: inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ

Context: r : R

Context: i✝¹ : ι

Context: x✝¹ : 𝒜 i✝¹

Context: i✝ : ι

Context: x✝ : ℬ i✝

((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ * (lof R ι 𝒜 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun r)) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝ = ((lof R ι 𝒜 i✝¹) x✝¹ * (algebraMap R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) r) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i✝) x✝


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u✝ v✝ ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

Context: inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'

Context: inst✝ : FTCFilter a l l'

Context: hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' volume

Context: hf : Tendsto f (l' ⊓ ae volume) (𝓝 c)

Context: u v : ι → ℝ

Context: hu : Tendsto u lt l

Context: hv : Tendsto v lt l

(fun t => (∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x) - (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁶ : DecidableEq α

Context: inst✝⁵ : DecidableEq β

Context: inst✝⁴ : SemilatticeInf α

Context: inst✝³ : SemilatticeInf β

Context: inst✝² : FunLike F α β

Context: inst✝¹ : InfHomClass F α β

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α

Context: a✝ b c : α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

filter (fun x => a ≤ x) (s ⊼ t) = filter (fun x => a ≤ x) s ⊼ filter (fun x => a ≤ x) t


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ


Context:
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : c ≠ 0
heq : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 4


Context:
α : Sort u
β β' : Sort v
h' : α → β = β'


Context:
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E

Set.range toContinuousMap = {f | f 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y}


{f | f 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y} ⊆ Set.range toContinuousMap


Context: F : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : Monoid A

Context: inst✝⁹ : Monoid B

Context: inst✝⁸ : Monoid C

Context: inst✝⁷ : Monoid D

Context: inst✝⁶ : CommGroup E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace C

Context: inst✝² : TopologicalSpace D

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalGroup E

Context: f : C(A, B)

Context: h1 : f 1 = 1

Context: hmul : ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


generateFrom (range fun a => Ioi ↑a) = generateFrom (range fun a => Iic ↑a)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0
n : ℕ
u : Rˣ
hnu : generator s * ↑u = ϖ ^ n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0
n : ℕ
u : Rˣ
hnu : generator s * ↑u = ϖ ^ n
this : span {generator s} = s


Associated (generator s) (generator s * ↑u)


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ
hqa : q ∈ a.primeFactorsList
hqb : q ∈ b.primeFactorsList


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: s : Finset S

Context: f : S → Tropical (WithTop R)

untrop (∑ i ∈ s, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑s)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: f : S → Tropical (WithTop R)

untrop (∑ i ∈ ∅, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑∅)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: s : Finset S

Context: f : S → Tropical (WithTop R)

Context: h : s.Nonempty


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat

residueFieldMap (f ≫ g) x = residueFieldMap g (f.val.base x) ≫ residueFieldMap f x


LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap (f ≫ g) x) = LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f x)


LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Hom.stalkMap f x) = LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f x)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: U : Opens ↑X✝.toTopCat

Context: X Y : LocallyRingedSpace

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : LocallyRingedSpace

Context: g : Y ⟶ Z

Context: x : ↑X.toTopCat

Context: this : IsLocalRingHom (Hom.stalkMap g (f.val.base x))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝[s] x

DifferentiableWithinAt 𝕜 f (s ∩ t) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc < i


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc ≥ i


Context: u : XgcdType


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] y = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥

Context: a : α

Context: xa : x < a

Context: ay : a < y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝³ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

(J.plusMap 0).app x✝ = NatTrans.app 0 x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝³ : Category.{max v u, w} D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: P Q : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x✝ : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop x✝))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ (J.plusMap 0).app x✝ = colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ NatTrans.app 0 x✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s

Disjoint l (𝓝ˢ s) ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint l (𝓝 x)


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : b ≤ a


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono g
h : f ≫ g = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono g
h✝ : f ≫ g = 0
h : f = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α

(⨆ i, f i) ⊓ ⨆ j, g j = ⨆ i, f i.1 ⊓ g i.2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: hf : _root_.Embedding f

Context: s : Set α

Context: x : α


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R
val✝ : Fintype Mˣ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Module A M✝
κ : Type u_6
inst✝³ : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝² : Field 𝕜
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 M = 0
f : M →ₗ[𝕜] M