Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v a : V
ha : a ∈ (G.singletonSubgraph v).verts
b : V
hb : b ∈ (G.singletonSubgraph v).verts

(G.singletonSubgraph v).coe.Reachable ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v a : V
ha✝ : a ∈ (G.singletonSubgraph v).verts
b : V
hb✝ : b ∈ (G.singletonSubgraph v).verts
ha : a = v
hb : b = v

(G.singletonSubgraph v).coe.Reachable ⟨a, ha✝⟩ ⟨b, hb✝⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g₁
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g₂

IsBigOWith (c₁ * c₂) l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: c₁ c₂ : ℝ

Context: h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖

Context: h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖

∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x * f₂ x‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ x * g₂ x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: c₁ c₂ : ℝ

Context: a✝ : α

Context: hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖

Context: hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖

‖f₁ a✝ * f₂ a✝‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: c₁ c₂ : ℝ

Context: a✝ : α

Context: hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖

Context: hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖

‖f₁ a✝‖ * ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → R

Context: g₁ g₂ : α → 𝕜

Context: c₁ c₂ : ℝ

Context: a✝ : α

Context: hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖

Context: hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖

c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖ = c₁ * ‖g₁ a✝‖ * (c₂ * ‖g₂ a✝‖)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: as : List I

Context: ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)

Context: c : Products I →₀ ℤ

Context: hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}

(c.sum fun a_1 b => e (π C fun x => x ∈ s) a * b • Products.eval (π C fun x => x ∈ s) a_1) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: as : List I

Context: c : Products I →₀ ℤ

Context: hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}

∀ (c_1 : Products I), c c_1 ≠ 0 → e (π C fun x => x ∈ s) a * c c_1 • Products.eval (π C fun x => x ∈ s) c_1 ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: as : List I

Context: c : Products I →₀ ℤ

Context: hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}

Context: m : Products I

Context: hm : c m ≠ 0

Context: hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)

c m • (e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m) ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: as : List I

Context: c : Products I →₀ ℤ

Context: hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}

Context: m : Products I

Context: hm : c m ≠ 0

e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m ∈ Submodule.span ℤ (Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: as : List I

Context: c : Products I →₀ ℤ

Context: hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}

Context: m : Products I

Context: hm : c m ≠ 0

e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m ∈ Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as}


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: as : List I

Context: c : Products I →₀ ℤ

Context: hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}

Context: m : Products I

Context: hm : c m ≠ 0

Context: hmas : ↑m ≤ as


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: a : I

Context: as : List I

Context: c : Products I →₀ ℤ

Context: hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}

Context: m : Products I

Context: hm : c m ≠ 0

Context: hmas : ↑m ≤ as

Products.eval (π C fun x => x ∈ s) ⟨a :: ↑m, ⋯⟩ = e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N

NormalizerCondition G ↔ ∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤


∀ (a : Subgroup G), a < ⊤ → a < a.normalizer ↔ a.normalizer = a → a = ⊤


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G

H < ⊤ → H < H.normalizer ↔ H.normalizer = H → H = ⊤


¬H = ⊤ → ¬H = H.normalizer ↔ H.normalizer = H → H = ⊤


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

term (f ⍟ g) s n = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ

term (f ⍟ g) s 0 = ∑ p ∈ divisorsAntidiagonal 0, term f s p.1 * term g s p.2


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

∑ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 * g i.2 / ↑n ^ s = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal

f p.1 * g p.2 / ↑n ^ s = term f s p.1 * term g s p.2


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
hp₁ : p.1 ≠ 0
hp₂ : p.2 ≠ 0


Context:
n : ℕ
c✝ c : Composition n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: f : α → β → β

Context: H : LeftCommutative f

Context: x : β

Context: q : α → Prop

Context: p : β → Prop

Context: s : Multiset α

Context: hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f a b)

Context: px : p x

Context: q_s : ∀ a ∈ s, q a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel β γ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set δ
a✝ : MeasurableSet s

(((κ.map g hg).comap f hf) x) s = (((κ.comap f hf).map g hg) x) s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : MulPosStrictMono α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

a * b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hne : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w

(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - μ


(G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)


Context:
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
hI : M.Basis I X
R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : X ⊆ (M ↾ R).E


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ


IsClosed (convexBodySum K B) ∧ Bornology.IsBounded (convexBodySum K B)


convexBodySum K B = convexBodySumFun ⁻¹' Set.Icc 0 B


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x✝ : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

x✝ ∈ convexBodySum K B ↔ x✝ ∈ convexBodySumFun ⁻¹' Set.Icc 0 B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α

x ∈ Ico a b ∪ Ico c d ↔ x ∈ Ico (min a c) (max b d)


a ≤ x ∧ x < b ∨ c ≤ x ∧ x < d ↔ (a ≤ x ∨ c ≤ x) ∧ (x < b ∨ x < d)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) ≤ f x * f y
h_one : f 1 ≤ 1


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F

Context: inst✝ : ProperSpace E

Context: f : E → F

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : ProperSpace E

Context: f : E → F

Tendsto (fun x => ‖f x‖) (cocompact E) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : ProperSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 0


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : ProperSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s ∈ 𝓝 0

∃ r, (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : ProperSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set ℝ

Context: hs : ∃ ε > 0, Metric.ball 0 ε ⊆ s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : ProperSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set ℝ

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: hs : Metric.ball 0 ε ⊆ s

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: 𝓕 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : ProperSpace E

Context: f : E → F

Context: s : Set ℝ

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: hs : Metric.ball 0 ε ⊆ s

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε

(Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : 1 ≤ n


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
π : Ω → ℕ
r : ℝ
n : ℕ
hπn : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ n
ω : Ω

f (leastGE f r (π ω) ω) ω = f (min (π ω) (leastGE f r n ω)) ω


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n m : ℕ
c : R
hm : m ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
c : R
m : ℕ
hm : m.succ ≠ 0

↑n ∣ eval c ((⇑derivative)^[m.succ] (f ^ n))


↑n ∣ ↑n * eval c ((⇑derivative)^[m] (f ^ (n - 1) * derivative f))


Context:
u : ℤˣ
n : ℕ


Context:
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)

Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: k : ℕ

Context: hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: k : ℕ

Context: hk : 0 < k


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: k : ℕ

Context: hk : 0 < k

Context: hc : (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) = fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: k : ℕ

Context: hk : 0 < k

Odd (filter (fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v) univ).card


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: k : ℕ

Context: hk : 0 < k

Odd ((filter (fun w => Odd (G.degree w)) univ).card - 1)


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: h : Odd (G.degree v)

Context: k : ℕ

Context: hk : 0 < k

v ∈ filter (fun w => Odd (G.degree w)) univ


Context: x : ℂ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : lowerCrossingTime a b f N n ω ≠ N

stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω ≤ a


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: h : lowerCrossingTime a b f N n ω ≠ N

Context: j : ℕ

Context: hj₁ : j ∈ Set.Icc (upperCrossingTime a b f N n ω) (lowerCrossingTime a b f N n ω)

Context: hj₂ : f j ω ∈ Set.Iic a


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.323542, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 4

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
L : List (List α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
x : α

x ∈ insert a (insert a s) ↔ x ∈ insert a s


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

M.Basis I X ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I ∧ I ⊆ X}


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
this : f.NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
this✝ : f.NeBot
this : g.NeBot


Context:
α : Sort u_1
x y z : α
h : x = y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : Pow R ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
hx : 0 < sInf s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : Pow R ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
hx : 0 < sInf s
contra : ¬s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R


f (MulOpposite.op x • 1) = g (MulOpposite.op x • 1)


σ (MulOpposite.op x) • f 1 = g (MulOpposite.op x • 1)


σ (MulOpposite.op x) • g 1 = g (MulOpposite.op x • 1)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P


Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
P' : Ideal S
hP' : P' ∈ normalizedFactors (map f p)
P'_eq : Associated P P'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²³ : Semifield R

Context: inst✝²² : StarRing R

Context: inst✝²¹ : MetricSpace R

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁹ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁸ : Semifield S

Context: inst✝¹⁷ : StarRing S

Context: inst✝¹⁶ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹⁴ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : Ring A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra S A

Context: inst✝⁹ : ContinuousFunctionalCalculus S q

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁵ : StarModule R S

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝³ : CompleteSpace R

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : C(S, R)

Context: halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)

Context: a : A

Context: hpa : p a

Context: hqa : q a

Context: h : SpectrumRestricts a ⇑f

Context: inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²³ : Semifield R

Context: inst✝²² : StarRing R

Context: inst✝²¹ : MetricSpace R

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁹ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁸ : Semifield S

Context: inst✝¹⁷ : StarRing S

Context: inst✝¹⁶ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹⁴ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : Ring A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra S A

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁵ : StarModule R S

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝³ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: a : A

Context: hpa : p a

Context: hqa : q a

Context: h : SpectrumRestricts a ⇑f

Context: inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: p q : A → Prop

Context: inst✝²³ : Semifield R

Context: inst✝²² : StarRing R

Context: inst✝²¹ : MetricSpace R

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁹ : ContinuousStar R

Context: inst✝¹⁸ : Semifield S

Context: inst✝¹⁷ : StarRing S

Context: inst✝¹⁶ : MetricSpace S

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S

Context: inst✝¹⁴ : ContinuousStar S

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹² : Ring A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra S A

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R S A

Context: inst✝⁵ : StarModule R S

Context: inst✝⁴ : ContinuousSMul R S

Context: inst✝³ : CompleteSpace R

Context: f : C(S, R)

Context: a : A

Context: hpa : p a

Context: hqa : q a

Context: h : SpectrumRestricts a ⇑f

Context: inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)

(starAlgHom (cfcHom hqa) h) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
u : α → Set α
hxu : ∀ x ∈ s, u x ∈ 𝓝[s] x
hu₀ : ∀ x ∈ s, μ (u x) = 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞

Context: inst✝² : OuterMeasureClass F α

Context: μ : F

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: s : Set α

Context: u : α → Set α

Context: hxu : ∀ x ∈ s, u x ∈ 𝓝[s] x

Context: hu₀ : ∀ x ∈ s, μ (u x) = 0

Context: t : Set α

Context: ht : t ⊆ s ∧ t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, u x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
u : α → Set α
hxu : ∀ x ∈ s, u x ∈ 𝓝[s] x
hu₀ : ∀ x ∈ s, μ (u x) = 0
t : Set α
ts : t ⊆ s
t_count : t.Countable
ht : s ⊆ ⋃ x ∈ t, u x


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
W : Projective R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.230017}
f : α → β
s : Set β
h : s ⊆ range f


lift.{u, u} #↑s ≤ lift.{u, u} #↑(f ⁻¹' s)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e✝ : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
inst✝¹ : CommSemiring S₂
inst✝ : CommSemiring S₃
e : S₁ ≃+* S₂
f : S₂ ≃+* S₃
p : MvPolynomial σ S₁

((mapEquiv σ e).trans (mapEquiv σ f)) p = (mapEquiv σ (e.trans f)) p


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

Context: ihn : ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)

∑ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ (u (n + 1) - u n) • f (u n)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ k ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f k ≤ f (u n)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

Context: hu : Monotone u

Context: n : ℕ

(u (n + 1) - u n) • f (u n) = ∑ i ∈ Ico (u n) (u (n + 1)), f (u n)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a✝ b✝ c✝ : α
f : α → β
a b c : α
H : b ∈ Ico a c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c : α


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => (↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2) (hurwitzZetaOdd (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

(↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2 = ↑(SignType.sign (↑↑n + a)) / ↑|↑↑n + a| ^ s / 2 + ↑(SignType.sign (↑(-(↑n + 1)) + a)) / ↑|↑(-(↑n + 1)) + a| ^ s / 2


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 + -(↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s / 2) = ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 + ↑(SignType.sign (-(↑n + 1) + a)) / ↑|-(↑n + 1) + a| ^ s / 2


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
this : -(↑n + 1) + a = -(↑n + 1 - a)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
n : ℕ
x : E

‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => 0) x‖ ≤ 0 * (1 + ‖x‖) ^ 0


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s✝ : Finmap β
h : a ≠ a'
s : AList β

insert a' b' (insert a b ⟦s⟧) = insert a b (insert a' b' ⟦s⟧)


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i : Fin (n + 1)
x : β
p : Fin n → β

∀ (x_1 : Fin n), i.insertNth x p (i.succAbove x_1) = p x_1


Context:
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : IsReflexive K V₂

(ker B).dualAnnihilator = range (B.dualMap ∘ₗ ↑(evalEquiv K V₂))


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : R → R


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : Finite ι'

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: hC : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)

MeasurableSpace.pi = generateFrom (univ.pi '' univ.pi C)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : Finite ι'

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: val✝ : Encodable ι


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : Finite ι'

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: val✝ : Encodable ι

MeasurableSpace.pi ≤ generateFrom (univ.pi '' univ.pi C)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : Finite ι'

Context: C : (i : ι) → Set (Set (α i))

Context: val✝ : Encodable ι

generateFrom (univ.pi '' univ.pi C) ≤ MeasurableSpace.pi


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0

∑' (a : α), ↑(f a) ≠ ⊤ ↔ Summable fun a => ↑(f a)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

TendstoInMeasure μ (fun i => AEStronglyMeasurable.mk (f i) ⋯) atTop (AEStronglyMeasurable.mk g hg)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g hg x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: hf_eq_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: x : α

Context: hxf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x

Context: hxg : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x

Context: hxfg : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g hg x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: x : α

Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Set ℝ
x : ℝ

x ∈ closure s ↔ ∀ ε > 0, ∃ y ∈ s, |y - x| < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n p k : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hk : ¬IsPeriodicPt f (p ^ k) x
hk1 : IsPeriodicPt f (p ^ (k + 1)) x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: f : J → C

Context: inst✝⁶ : HasProduct f

Context: D : Type t

Context: inst✝⁵ : Category.{r, t} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : PreservesLimit (Discrete.functor f) F

Context: inst✝² : HasProduct fun j => F.obj (f j)

Context: inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan (forget D)

Context: inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) (forget D)

Context: x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))

Context: h : ∀ (i : J), (F.map (Pi.π f i)) x = (F.map (Pi.π f i)) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: f : J → C

Context: inst✝⁶ : HasProduct f

Context: D : Type t

Context: inst✝⁵ : Category.{r, t} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))

(PreservesProduct.iso F f).hom x = (PreservesProduct.iso F f).hom y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: f : J → C

Context: inst✝⁶ : HasProduct f

Context: D : Type t

Context: inst✝⁵ : Category.{r, t} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))

∀ (j : Discrete J), (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) j) ((piComparison F f) x) = (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) j) ((piComparison F f) y)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: f : J → C

Context: inst✝⁶ : HasProduct f

Context: D : Type t

Context: inst✝⁵ : Category.{r, t} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))

Context: j : J

((forget D).map (piComparison F f) ≫ (forget D).map (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) { as := j })) x = ((forget D).map (piComparison F f) ≫ (forget D).map (limit.π (Discrete.functor fun b => F.obj (f b)) { as := j })) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: f : J → C

Context: inst✝⁶ : HasProduct f

Context: D : Type t

Context: inst✝⁵ : Category.{r, t} D

Context: inst✝⁴ : ConcreteCategory D

Context: F : C ⥤ D

Context: x y : (forget D).obj (F.obj (∏ᶜ f))

Context: j : J

(forget D).map (F.map (Pi.π f j)) x = (forget D).map (F.map (Pi.π f j)) y


Context:
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
x✝ : β

x✝ ∈ image f s.toFinset ↔ x✝ ∈ (Multiset.map f s).toFinset


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M

∃ ι x x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (p i ^ e i)


Fintype { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }


∀ (i : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }), Irreducible (IsPrincipal.generator ↑i)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E

i x ∈ perfectClosure F K ↔ x ∈ perfectClosure F E


(∃ n, i x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F K).range) ↔ ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: i : E →ₐ[F] K

Context: x : E

Context: x✝ : ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range

Context: n : ℕ

Context: y : F

Context: h : (algebraMap F E) y = x ^ ringExpChar F ^ n

(algebraMap F K) y = i x ^ ringExpChar F ^ n


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
F G : ImageMap sq


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
a₁ a₂ : G
b₁ b₂ : k

single a₁ b₁ * single a₂ b₂ = single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)


(sum (single a₁ b₁) fun a₁ b₁ => sum (single a₂ b₂) fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) = single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)


Context: z : ℂ


Context: z : ℂ

HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun i => ((-z * I) ^ i / ↑i ! - (z * I) ^ i / ↑i !) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum ((fun i => ((-z * I) ^ i / ↑i ! - (z * I) ^ i / ↑i !) * I / 2) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)


Context: z : ℂ

Context: this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)


Context: z : ℂ

Context: k : ℕ


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ __spread✝⁻⁰.carrier


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : Module.Finite R L

Context: x : L

Context: D : LieDerivation R L L

Context: hD : D ∈ __spread✝⁻⁰.carrier

Context: this : (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : Module.Finite R L

Context: x : L

Context: D : LieDerivation R L L

Context: hD : D ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule

⁅x, D⁆ ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝³ : Field R

Context: inst✝² : LieRing L

Context: inst✝¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝ : Module.Finite R L

Context: x : L

Context: D : LieDerivation R L L

⁅(ad R L) x, D⁆ ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens

Scheme.Hom.app f V = (Scheme.Hom.appIso g V).inv ≫ Scheme.Hom.app (f ≫ g) (g ''ᵁ V) ≫ Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑k = ↑j

j.contractNth op g k = op (g k.castSucc) (g k.succ)


Context:
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
this : ¬↑k < ↑j


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

((fun x => 1) =O[l] fun x => rexp (f x)) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]


(algebraMap R A) x.re + (algebraMap R A) y.re + (x.imI • q.i + y.imI • q.i) + (x.imJ • q.j + y.imJ • q.j) + (x.imK • q.k + y.imK • q.k) = (algebraMap R A) x.re + x.imI • q.i + x.imJ • q.j + x.imK • q.k + ((algebraMap R A) y.re + y.imI • q.i + y.imJ • q.j + y.imK • q.k)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : ↥(lp E p)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hp : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: P : (α → ℝ≥0∞) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → P (s.indicator fun x => c)

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → P f → P g → P (f + g)

Context: h_iSup : ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), P (f n)) → P fun x => ⨆ n, f n x

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: P : (α → ℝ≥0∞) → Prop

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp : Pair K

Context: ppredA predA : K

Context: succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp

Context: nth_num_eq : g.nums n = ppredA

Context: succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predA

g.nums (n + 2) = gp.b * predA + gp.a * ppredA


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp : Pair K

Context: predA : K

Context: ppredConts : Pair K

Context: nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts

Context: nth_num_eq : g.nums n = ppredConts.a

g.nums (n + 2) = gp.b * predA + gp.a * ppredConts.a


Context: K : Type u_1

Context: g : GenContFract K

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DivisionRing K

Context: gp : Pair K

Context: ppredConts : Pair K

Context: nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts

Context: nth_num_eq : g.nums n = ppredConts.a

Context: predConts : Pair K

Context: succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = predConts

Context: succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predConts.a

g.nums (n + 2) = gp.b * predConts.a + gp.a * ppredConts.a


Context:
c : Code
n x : ℕ

x ∈ c.eval n ↔ x ∈ rfindOpt fun k => evaln k c n


Context:
c : Code
n x : ℕ

∀ {a m n_1 : ℕ}, m ≤ n_1 → a ∈ evaln m c n → a ∈ evaln n_1 c n


Context:
c : Code
n✝ x a m n : ℕ
hl : m ≤ n


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C
F : X.Hom Y
G : Y.Hom Z

(Subobject.pullback π(π₁, π(π₁, prod.map F.f (𝟙 Z.tgt) ≫ G.F) ≫ F.F)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (F.f ≫ G.f) (𝟙 Z.tgt))).obj Z.rel


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : InitialMonoClass C
I X : C
hI : IsInitial I
f : I ⟶ X


Context: L : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace L

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf L

Context: inst✝ : ContinuousInf L

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → X → L

Context: t : Set X

Context: x : X

Context: hne : s.Nonempty

Context: hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Y' : C
p : Y = Y'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Y'
h : f = g ≫ eqToHom ⋯


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: x : O

Context: hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0

preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x) = v ((algebraMap O K) x)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: x : O

Context: r : O

Context: hr : r * ↑p = (Quotient.mk'' x).out' - x


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: x : O

Context: r : O

¬v ((algebraMap O K) x) ≤ v ((algebraMap O K) (Quotient.out' ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x)) - (algebraMap O K) x)


Context: K : Type u₁

Context: inst✝² : Field K

Context: v : Valuation K ℝ≥0

Context: O : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O K

Context: hv : v.Integers O

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

Context: x : O

Context: r : O


Context: x y z : ℝ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: hX : ¬Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ


Context:
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
x : E
hx : x ∈ s

⇑L '' (convexHull ℝ) (connectedComponentIn s x) = univ


Context: x✝ y x : ℝ≥0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f

Set.range ⇑(pullback.fst f g ≫ f).val.base = Set.range ⇑f.val.base ∩ Set.range ⇑g.val.base


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α

s ⊂ t ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∉ s), cons a s h ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a✝ b : α
h : s ⊂ t
a : α
hs : a ∈ t
ht : a ∉ s


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
z : α


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
z : α
H : ∀ x ∈ s, x = z


Context:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re

L (fun n => χ ↑n) s * L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(μ n)) s = 1


Context:
b x y : Ordinal.{u_1}
xy : x ≤ y
hx : x = 0


Context:
b x y : Ordinal.{u_1}
xy : x ≤ y
hx : ¬x = 0
hb : ¬1 < b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsOpen s


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
e : α ^ n = a

nthRoots n a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range n)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ α a : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 0
e : α ^ 0 = a

nthRoots 0 a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range 0)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
e : α ^ n = a
hn : n > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C

(mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g) = mapAlgEquiv (f.trans g)


∀ (a : A[X]), ((mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g)) a = (mapAlgEquiv (f.trans g)) a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
x : A[X]

((mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g)) x = (mapAlgEquiv (f.trans g)) x


map ((↑g).comp ↑f) x = map (↑(f.trans g)) x


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty

(⨅ i, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)


⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ range fun i => m i, μ (t n) = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'

l ≤ l' ↔ ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: p : Set X → Prop

Context: he : p ∅

Context: hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s

Context: hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)

Context: hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t

Context: f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: p : Set X → Prop

Context: he : p ∅

Context: hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t

Context: f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯

Context: this : sᶜ ∈ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

Context: x : F

Context: hx : x ∈ f '' s

Context: y : F

Context: hy : y ∈ f '' s

Context: A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc

Context: Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z

‖↑A.symm x - ↑A.symm y - ↑f'.symm (x - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖x - y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

Context: y : F

Context: hy : y ∈ f '' s

Context: Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z

Context: x' : E

Context: x's : x' ∈ s

Context: hx : f x' ∈ f '' s

‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm y - ↑f'.symm (f x' - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

Context: Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z

Context: x' : E

Context: x's : x' ∈ s

Context: hx : f x' ∈ f '' s

Context: y' : E

Context: y's : y' ∈ s

Context: hy : f y' ∈ f '' s

‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm (f y') - ↑f'.symm (f x' - f y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - f y'‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E → F

Context: f' : E ≃L[𝕜] F

Context: s : Set E

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c

Context: hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

Context: Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z

Context: x' : E

Context: x's : x' ∈ s

Context: hx : f x' ∈ f '' s

Context: y' : E

Context: y's : y' ∈ s

Context: hy : f y' ∈ f '' s

‖x' - y' - ↑f'.symm (↑A x' - ↑A y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖↑A x' - ↑A y'‖


Context: x : ℝ≥0∞


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K


Context:
w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ≥0


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: x y : ι → ℝ

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: r : ℝ

Context: h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: x y : ι → ℝ

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: r : ℝ

(Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i)


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: x y : ι → ℝ

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: r : ℝ

Context: i : ι

↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: x y : ι → ℝ

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: r : ℝ

Context: i : ι

Context: this : 0 < r


Context: ι : Type u_1

Context: I✝ J✝ : Box ι

Context: x y : ι → ℝ

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: I J : Box ι

Context: r : ℝ

Context: i : ι

Context: this : 0 < r

Context: hn0 : Real.nnabs r ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff

Context: h : p.natDegree ≤ q.natDegree

Context: hq : 0 < q.natDegree

Context: hp : ¬p = 0

(p.cancelLeads q).natDegree < q.natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: h : p.natDegree ≤ q.natDegree

Context: hq : 0 < q.natDegree

Context: hp : ¬p = 0

(C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree < q.natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: h : p.natDegree ≤ q.natDegree

Context: hq : 0 < q.natDegree

Context: hp : ¬p = 0

Context: h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: h : p.natDegree ≤ q.natDegree

Context: hq : 0 < q.natDegree

Context: hp : ¬p = 0

(C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≤ q.natDegree


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: h : p.natDegree ≤ q.natDegree

Context: hq : 0 < q.natDegree

Context: hp : ¬p = 0

(C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≠ q.natDegree


Context: ι : Type uι

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: c : 𝕜

Context: u : E i →L[𝕜] E' i

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

(mapL (update f i (c • u))) x = (c • mapL (update f i u)) x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0

W.Nonsingular ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t : Finset ι

∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t : Finset ι

∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → (∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (s.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ s.powerset, f (s.piecewise m m')) → ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f ((insert a s).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert a s).powerset, f (s.piecewise m m')


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')

Context: m' : (i : ι) → M₁ i

f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: m' : (i : ι) → M₁ i

Context: A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: m' : (i : ι) → M₁ i

Context: B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'

Context: m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)

Context: C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: m' : (i : ι) → M₁ i

∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m') + ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f (t.piecewise m m') + ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: m' : (i : ι) → M₁ i

∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: t✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: t : Finset ι

Context: hit : i ∉ t

Context: m' : (i : ι) → M₁ i

Context: s : Finset ι

Context: hs : s ∈ t.powerset

f (s.piecewise m m'') = f ((insert i s).piecewise m m')


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
M : Matrix n n α
v : n → α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: u : α → β

Context: b : β

Context: h : b < liminf u f

Context: hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: f : Filter α

Context: u : α → β

Context: b : β

Context: h : b < liminf u f

Context: c : β

Context: hc : c ∈ {c | ∀ᶠ (n : α) in f, c ≤ u n}

Context: hbc : b < c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

∫⁻ (x : α), preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) univ


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : ¬Integrable f μ

∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hf : ContinuousOn f s

Context: hs : IsCompact s

Context: h's : MeasurableSet s

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
x : α
h : ∃ y, r x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}


∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s

∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, x ∈ v ∧ v ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
v : Set α
xv : x ∈ v
hv : IsOpen v
μv : μ v < ⊤


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2


(∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F✝ : C ⥤ C'

Context: H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝

Context: inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝

Context: F : C ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F

Context: inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F

Context: x : F.obj D.glued

Context: e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F✝ : C ⥤ C'

Context: inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: F : C ⥤ Type v

Context: x : F.obj D.glued

Context: i : (D.mapGlueData F).J

Context: y : (D.mapGlueData F).U i

Context: eq : (D.mapGlueData F).ι i y = e.hom x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F✝ : C ⥤ C'

Context: inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: F : C ⥤ Type v

Context: x : F.obj D.glued

Context: i : (D.mapGlueData F).J

Context: y : (D.mapGlueData F).U i

Context: eq : ((D.mapGlueData F).ι i ≫ e.inv) y = (e.hom ≫ e.inv) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: F✝ : C ⥤ C'

Context: inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram

Context: F : C ⥤ Type v

Context: x : F.obj D.glued

Context: i : (D.mapGlueData F).J

Context: y : (D.mapGlueData F).U i

Context: eq : F.map (D.ι i) y = 𝟙 (F.obj D.glued) x


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))

Context: x y : X


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: x y : X

d x y ≤ ⨅ i, 2 * (zipWith d (x :: i) (i ++ [y])).sum


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: x y : X

Context: l : List X

d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: n : ℕ

Context: ihn : ∀ m < n, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hn : l.length = n


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: ihn : ∀ m < l.length, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum

Context: L : List ℝ≥0 := zipWith d (x :: l) (l ++ [y])

Context: hL_len : L.length = l.length + 1


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hL_len : L.length = l.length + 1

Context: hd₀ : d x y = 0


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hL_len : L.length = l.length + 1

Context: hd₀ : d x y ≠ 0


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hL_len : L.length = l.length + 1

Context: hd₀ : d x y ≠ 0

Context: s : Set ℕ := {m | 2 * (take m L).sum ≤ L.sum}

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hsne : s.Nonempty

∃ z z', d x z ≤ L.sum ∧ d z z' ≤ L.sum ∧ d z' y ≤ L.sum


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hL_len : L.length = l.length + 1

Context: hd₀ : d x y ≠ 0

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hsne : s.Nonempty

Context: M : ℕ

Context: hMl : M ≤ l.length

Context: hMs : IsGreatest s M


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hL_len : L.length = l.length + 1

Context: hd₀ : d x y ≠ 0

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hsne : s.Nonempty

Context: M : ℕ

Context: hMl : M ≤ l.length

Context: hMs : IsGreatest s M

Context: hM_lt : M < L.length


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hL_len : L.length = l.length + 1

Context: hd₀ : d x y ≠ 0

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hsne : s.Nonempty

Context: M : ℕ

Context: hMl : M ≤ l.length

Context: hMs : IsGreatest s M

Context: hM_lt : M < L.length

Context: hM_ltx : M < (x :: l).length


Context: X : Type u_1

Context: d : X → X → ℝ≥0

Context: dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0

Context: dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x

Context: this : IsTrans X fun x y => d x y = 0

Context: x y : X

Context: l : List X

Context: hL_len : L.length = l.length + 1

Context: hd₀ : d x y ≠ 0

Context: hs₀ : 0 ∈ s

Context: hsne : s.Nonempty

Context: M : ℕ

Context: hMl : M ≤ l.length

Context: hMs : IsGreatest s M

Context: hM_lt : M < L.length

Context: hM_ltx : M < (x :: l).length

Context: hM_lty : M < (l ++ [y]).length


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : OrderTopology γ

Context: inst✝ : ContinuousAdd γ

Context: f : ι → α → γ

Context: a : Finset ι

Context: ha : ∀ i ∈ a, UpperSemicontinuousAt (f i) x

UpperSemicontinuousAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : OrderTopology γ

Context: inst✝ : ContinuousAdd γ

Context: f : ι → α → γ

Context: a : Finset ι

Context: ha : ∀ i ∈ a, UpperSemicontinuousWithinAt (f i) univ x

UpperSemicontinuousWithinAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) univ x


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
ham : m = 0 → a = true
hbn : n = 0 → b = true

(if bit a m = 0 then if f false true = true then bit b n else 0 else if bit b n = 0 then if f true false = true then bit a m else 0 else let n' := bit a m / 2; let m' := bit b n / 2; let b₁ := bit a m % 2 = 1; let b₂ := bit b n % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = bit (f a b) (bitwise f m n)


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
ham : bit a m ≠ 0
hbn : bit b n ≠ 0


(if f a b = true then bitwise f m n + bitwise f m n + 1 else bitwise f m n + bitwise f m n) = bit (f a b) (bitwise f m n)


(if f a b = true then bitwise f m n + bitwise f m n + 1 else bitwise f m n + bitwise f m n) = (if f a b = true then fun x => x + x + 1 else fun x => x + x) (bitwise f m n)


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S


map (f.comp (Int.castRingHom R)) (cyclotomic n ℤ) = map (Int.castRingHom S) (cyclotomic n ℤ)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K

Context: h : ∀ (j₁ j₂ : J), ∃ l, List.Chain Zag j₁ l ∧ (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂


Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K


Context: J : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} K

Context: j₁ j₂ : J

Context: l : List J

Context: hl₁ : List.Chain Zag j₁ l

Context: hl₂ : (j₁ :: l).getLast ⋯ = j₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nontrivial

∃ t a, ∃ (ha : a ∉ t), ∃ b, ∃ (hb : b ∉ t) (hab : ¬a = b), cons a (cons b t hb) ⋯ = s


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z a b : α
c : ↑(Ioo (a ⊓ b) a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z a b : α
c : ↑(Ioo b (a ⊔ b))


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
i : X ≅ Y
e : ↑(F.obj X) ≃ ↑(F.obj Y)

Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a x✝¹ x✝ : α


Context:
a b c d m n : ℤ
ha : 0 < a
hab : a ∣ c - b


Context:
L : Language
K : Set (Bundled L.Structure)
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
N✝ : Type w
inst✝ : L.Structure N✝
h : L.IsUltrahomogeneous M
N P Q : Bundled L.Structure
NP : ↑N ↪[L] ↑P
NQ : ↑N ↪[L] ↑Q
Nfg : Structure.FG L ↑N
Pfg : Structure.FG L ↑P
PM : ↑P ↪[L] M
Qfg : Structure.FG L ↑Q
QM : ↑Q ↪[L] M

∃ Q_1 NQ_1 PQ, Q_1 ∈ L.age M ∧ NQ_1.comp NP = PQ.comp NQ


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: hg : (QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding = g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: s : L.Substructure M := (g.toHom.comp PM.toHom).range ⊔ QM.toHom.range


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

((Substructure.inclusion ⋯).comp (g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding).comp NP = ((Substructure.inclusion ⋯).comp QM.equivRange.toEmbedding).comp NQ


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

(((Substructure.inclusion ⋯).comp (g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding).comp NP) n = (((Substructure.inclusion ⋯).comp QM.equivRange.toEmbedding).comp NQ) n


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

↑((((Substructure.inclusion ⋯).comp (g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding).comp NP) n) = ↑((((Substructure.inclusion ⋯).comp QM.equivRange.toEmbedding).comp NQ) n)


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

Context: hgn : ((QM.comp NQ).comp (PM.comp NP).equivRange.symm.toEmbedding) ((PM.comp NP).equivRange n) = (g.toEmbedding.comp (PM.comp NP).toHom.range.subtype) ((PM.comp NP).equivRange n)


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

Context: hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

Context: hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))

↑((Substructure.inclusion ⋯) ((g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding (NP n))) = ↑((Substructure.inclusion ⋯) (QM.equivRange (NQ n)))


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

Context: hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))

↑(Set.inclusion ⋯ ((g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding (NP n))) = ↑(Set.inclusion ⋯ (QM.equivRange (NQ n)))


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

Context: hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))

↑((g.toEmbedding.comp PM).equivRange.toEmbedding (NP n)) = g (PM (NP n))


Context: L : Language

Context: K : Set (Bundled L.Structure)

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝ : L.Structure N✝

Context: h : L.IsUltrahomogeneous M

Context: N P Q : Bundled L.Structure

Context: NP : ↑N ↪[L] ↑P

Context: NQ : ↑N ↪[L] ↑Q

Context: Nfg : Structure.FG L ↑N

Context: Pfg : Structure.FG L ↑P

Context: PM : ↑P ↪[L] M

Context: Qfg : Structure.FG L ↑Q

Context: QM : ↑Q ↪[L] M

Context: g : M ≃[L] M

Context: n : ↑N

Context: hgn : QM (NQ n) = g (PM (NP n))

(g.toEmbedding.comp PM) (NP n) = g (PM (NP n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α

Context: a✝ b✝ : α

Context: P : Finset α → Finset α → Prop

Context: symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a

Context: empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅

Context: singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}

Context: union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c

Context: a b : Finset α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α

Context: a✝ b✝ : α

Context: P : Finset α → Finset α → Prop

Context: empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅

Context: singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}

Context: a b : Finset α

Context: x : α

Context: s : Finset α

Context: _xs : x ∉ s

Context: hi : P a s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α

Context: a✝¹ b✝ : α

Context: P : Finset α → Finset α → Prop

Context: empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅

Context: singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}

Context: a✝ b : Finset α

Context: x : α

Context: s : Finset α

Context: _xs : x ∉ s

Context: hi✝ : P a✝ s

Context: a : α

Context: t : Finset α

Context: _ta : a ∉ t

Context: hi : P {x} t


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

(g ⊗ f.hom) ≫ (h ⊗ f.inv) = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : X → E

Context: g : X → 𝕜

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: hg : ContinuousOn g s

LocallyIntegrableOn (fun x => g x • f x) s μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝³ : T2Space X

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : X → E

Context: g : X → 𝕜

Context: s : Set X

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ

Context: hg : ContinuousOn g s

∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => g x • f x) k μ


Context:
Y : Scheme
U : Y.OpenCover

zariskiTopology.sieves Y (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map))


Context: Y : Scheme

Context: U : Y.OpenCover

Context: V : Y.OpenCover := { J := ↑↑Y.toPresheafedSpace, obj := fun y => U.obj (U.f y), map := fun y => U.map (U.f y), f := id, covers := ⋯, IsOpen := ⋯ }


Context: Y : Scheme

Context: U : Y.OpenCover

Presieve.ofArrows V.obj V.map ≤ (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map)).arrows


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
q : R[X]
n : ℕ

(map f (contract p q)).coeff n = (contract p (map f q)).coeff n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s


univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1} ∨ univ.{v, u + 1} ≤ univ.{u, v + 1}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : CommSemiring R

IsRadical y ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical


(∀ (n : ℕ) (x : R), x ^ n ∈ Ideal.span {y} → x ∈ Ideal.span {y}) ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical


Context:
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R


(fun x => Nat.factorial 0 • x) (multichoose r 0) = (fun x => Nat.factorial 0 • x) (r ^ 0)


Nat.factorial 0 • multichoose r 0 = Nat.factorial 0 • r ^ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

sᶜ ∈ coclosedCompact X ↔ IsCompact (closure s)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.Nonempty

∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ interior s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
x✝ : a ∣ 1 ∧ b ∣ 1
c : α
hc : 1 = a * c
d : α
hd : 1 = b * d

lcm ↑(Units.mkOfMulEqOne a c ⋯) ↑(Units.mkOfMulEqOne b d ⋯) = 1


Context: n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y

prod.lift a b - prod.lift c d = prod.lift (a - c) (b - d)


prod.lift (prod.lift a b) (prod.lift c d) ≫ σ = prod.lift (prod.lift a c ≫ σ) (prod.lift b d ≫ σ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : s ⊆ invFunOn f s '' (f '' s)
x : α
hx' : x ∈ s
hx : invFunOn f s (f x) ∈ s

invFunOn f s (f (invFunOn f s (f x))) = invFunOn f s (f x)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
e : β → α
a : α

(∀ (i : ℕ), True → ∃ y ∈ range e, y ∈ ball a (1 / (↑i + 1))) ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ k, dist a (e k) < 1 / (↑n + 1)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S