Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

(pushforwardFamily (homOver α (unop Y)) (f.unop ≫ x)).Compatible


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: x : ((coyoneda ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ A (Type ?u.72492)).obj ℱ).obj X).obj U

(pushforwardFamily (homOver α (unop Y)) (f.unop ≫ x)).IsAmalgamation (f.unop ≫ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: Y' : D

Context: f' : Y' ⟶ unop U

Context: hf' : (Sieve.coverByImage G (unop U)).arrows f'

Context: x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))

(f.unop ≫ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x) ≫ ℱ'.val.map f'.op = (((f.unop ≫ x) ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1)) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: Y' : D

Context: f' : Y' ⟶ unop U

Context: x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))

f.unop ≫ appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map f'.op = f.unop ≫ x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: Y' : D

Context: f' : Y' ⟶ unop U

Context: x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))

appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map f'.op = x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: Y' : D

Context: f' : Y' ⟶ unop U

Context: x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))

appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map ((Nonempty.some hf').lift ≫ (Nonempty.some hf').map).op = x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: Y' : D

Context: f' : Y' ⟶ unop U

Context: x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))

(appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').map.op) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op = ((x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1)) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').lift.op


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.69351, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.69358, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.69365, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{?u.72492, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val

Context: X Y : Aᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: U : Dᵒᵖ

Context: Y' : D

Context: f' : Y' ⟶ unop U

Context: x : unop X ⟶ ℱ.obj (op (unop U))

appHom (homOver α (unop X)) (unop U) x ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf').map.op = (x ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf').map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf').1)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : AsBoolAlg α

ofBoolAlg (a ∆ b) = ofBoolAlg a + ofBoolAlg b


ofBoolAlg ((a ⊔ b) \ (a ⊓ b)) = ofBoolAlg a + ofBoolAlg b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n : ℕ
h : IsPeriodicPt f n x
m : ℕ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ ψ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) ψ ≠ 0

ψ⁻¹ = φ ↔ φ * ψ = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α → β)
hc : ∀ f ∈ s, Continuous' f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: s : Set (α →o β)

Context: hc : ∀ f ∈ DFunLike.coe '' s, Continuous' f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: s : Set (α →o β)

Context: hc : ∀ ⦃x : α →o β⦄, x ∈ s → Continuous x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: s : Set (α →o β)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
x : (i : ι) → Ms i

((piQuotientLift p q f hf) fun i => Quotient.mk (x i)) = Quotient.mk (((lsum R Ms R) f) x)


(∑ d : ι, ((p d).mapQ q (f d) ⋯ ∘ₗ proj d) fun i => Quotient.mk (x i)) = ∑ x_1 : ι, q.mkQ ((f x_1 ∘ₗ proj x_1) x)


Context: n : ℕ

n.succ.primesBelow = if Prime n then insert n n.primesBelow else n.primesBelow


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
x : PrimeSpectrum R

x ∈ zeroLocus ↑(Ideal.span s) ↔ x ∈ zeroLocus s


Context: α : Type u_1

Context: M₀ : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: M₀' : Type u_4

Context: G₀' : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝ : GroupWithZero G₀

Context: a b c g h✝ x : G₀

Context: h : x ≠ 0

Context: y y' : G₀

Context: w : (fun y => y * x) y = (fun y => y * x) y'


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
h : F ∈ 𝓝 x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝ : LocallyConnectedSpace α

Context: F : Set α

Context: x : α

Context: h : ∃ i, (IsOpen i ∧ x ∈ i ∧ IsConnected i) ∧ id i ⊆ F


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
s : Set α
hsF : id s ⊆ F
h1s : IsOpen s
hxs : x ∈ s
h2s : IsConnected s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
x✝ : α
a✝ : β

a✝ ∈ f x✝ ↔ a✝ ∈ f x✝


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R

(α_ X Y Z).hom ≫ (X.braiding (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (X.braiding Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (X.braiding Z).hom


∀ (x : ↑X) (y : ↑Y) (z : ↑Z), ((α_ X Y Z).hom ≫ (X.braiding (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = ((X.braiding Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (X.braiding Z).hom) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X

Disjoint (cocompact X) f ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K


(∃ i, IsCompact i ∧ i ∈ f) ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : MeasurableNeg G

Context: inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: x₀ : G

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: hmg : AEStronglyMeasurable g μ

AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
s : Set α


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂


LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }


Context: x : PartENat


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

C (eval (C L * (X - C x) + C y) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = (Y - C (C L * (X - C x) + C y)) * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x) + C y)) + (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E

(𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y / x‖ < ε}


(𝓝 x).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => ball x ε


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u_1, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{u_2, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
W : D
h : F.obj Z ⟶ W

F.map (f ≫ g) ≫ h = F.map f ≫ F.map g ≫ h


Context:
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm


Context:
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : CauSeq β norm

Context: s : Set (β × β)

Context: hs : s ∈ uniformity β

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : CauSeq β norm

Context: s : Set (β × β)

Context: hs : s ∈ uniformity β

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, ‖↑f j - ↑f k‖ < ε


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : CauSeq β norm

Context: s : Set (β × β)

Context: hs : s ∈ uniformity β

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

↑f '' {n | n ≥ N} ∈ map (↑f) atTop ∧ (↑f '' {n | n ≥ N}) ×ˢ (↑f '' {n | n ≥ N}) ⊆ s


Context: β : Type v

Context: inst✝ : NormedField β

Context: f : CauSeq β norm

Context: s : Set (β × β)

Context: hs : s ∈ uniformity β

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: N : ℕ

(∃ a, ∀ b ≥ a, b ∈ ↑f ⁻¹' (↑f '' {n | n ≥ N})) ∧ (↑f '' {n | n ≥ N}) ×ˢ (↑f '' {n | n ≥ N}) ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype K

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Fintype V

Context: b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K V } K V := IsNoetherian.finsetBasis K V

Fintype.card V = q ^ FiniteDimensional.finrank K V


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocDiv hp a (m • p + b) = m + toIocDiv hp a b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : Nat.gcd 0 y.natAbs = 1


Context:
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1


Context:
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1
hy : y = ↑y.natAbs


Context:
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1
hy : y = -↑y.natAbs


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
h : m % n = m


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
B : Type u_2
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
a : A
h : IsAlgebraic R a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
ha : (aeval a) p = 0


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : (pi Q).Anisotropic


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

Context: h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, (Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

ContMDiff I I' n f ↔ Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

(ContinuousOn f univ ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (univ ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ↔ Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
p : α → Prop

(∀ x ∈ insert a s, p x) ↔ p a ∧ ∀ x ∈ s, p x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTop α

Context: h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTop α

Context: x : α

Context: hx : x < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTop α

Context: x : α

Context: hx : x < ⊤

Context: this : ∃ y ∈ Ico x ⊤, x ≤ y ∧ ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTop α

Context: x : α

Context: hx : x < ⊤

Context: y : α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hy : y < ⊤

Context: hy' : ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : OrderTop α

Context: x : α

Context: hx : x < ⊤

Context: y : α

Context: hxy : x ≤ y

Context: hy : y < ⊤

Context: hy' : ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y

Context: z : α

Context: hyz : y < z

Context: hz : z < ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R

(map g) ((bind₂ f) φ) = (bind₂ ((map g).comp f)) φ


eval₂ ((map g).comp f) (⇑(map g) ∘ X) φ = eval₂ ((map g).comp f) X φ


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R
x✝ : σ


Context:
α✝ β✝ : Type u
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
α : Type u
β : Type (max u v)

#β ≤ lift.{v, u} #α → ∃ a', lift.{v, u} a' = #β


Nonempty (β ↪ α) → ∃ a', lift.{max u v, u} a' = lift.{max u v, max u v} #β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Preorder M

Context: inst✝⁶ : Add M

Context: inst✝⁵ : Sub M

Context: inst✝⁴ : OrderedSub M

Context: inst✝³ : PartialOrder N

Context: inst✝² : Add N

Context: inst✝¹ : Sub N

Context: inst✝ : OrderedSub N

Context: e : M ≃o N

Context: h_add : ∀ (a b : M), e (a + b) = e a + e b

Context: a b : M

Context: e_add : M ≃+ N := { toEquiv := e.toEquiv, map_add' := h_add }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Preorder M

Context: inst✝⁶ : Add M

Context: inst✝⁵ : Sub M

Context: inst✝⁴ : OrderedSub M

Context: inst✝³ : PartialOrder N

Context: inst✝² : Add N

Context: inst✝¹ : Sub N

Context: inst✝ : OrderedSub N

Context: e : M ≃o N

Context: a b : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Preorder M

Context: inst✝⁶ : Add M

Context: inst✝⁵ : Sub M

Context: inst✝⁴ : OrderedSub M

Context: inst✝³ : PartialOrder N

Context: inst✝² : Add N

Context: inst✝¹ : Sub N

Context: inst✝ : OrderedSub N

Context: e : M ≃o N

Context: a b : M

e (e.symm (e a) - e.symm (e b)) ≤ e (e.symm (e a - e b))


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a₁ : P.mp.A

Context: f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α

Context: a' : P.A

Context: f' : (P.B a').drop ⟹ α

Context: f₁' : (P.B a').last → P.M α

Context: ff : P.B a' ⟹ α ::: P.M α

Context: ef : splitFun f' f₁' = ff

Context: e₁ : dest P ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a', ff⟩

Context: he₁' : ↑P.last P.last.M := PFunctor.M.dest a₁

Context: a₁' : P.last.A

Context: g₁' : P.last.B a₁' → P.last.M

Context: e₁' : he₁' = ⟨a₁', g₁'⟩

∃ g₁', ∃ (e₁' : PFunctor.M.dest a₁ = ⟨a', g₁'⟩), f' = pathDestLeft P e₁' f₁ ∧ f₁' = fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a₁ : P.mp.A

Context: f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α

Context: a' : P.A

Context: f' : (P.B a').drop ⟹ α

Context: f₁' : (P.B a').last → P.M α

Context: ff : P.B a' ⟹ α ::: P.M α

Context: ef : splitFun f' f₁' = ff

Context: a₁' : P.last.A

Context: g₁' : P.last.B a₁' → P.last.M

Context: e₁' : he₁' = ⟨a₁', g₁'⟩

Context: e₁ : dest' P e₁' f₁ = ⟨a', ff⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: a₁ : P.mp.A

Context: f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α

Context: a' : P.A

Context: f' : (P.B a').drop ⟹ α

Context: f₁' : (P.B a').last → P.M α

Context: g₁' : P.last.B a' → P.last.M

Context: e₁' : he₁' = ⟨a', g₁'⟩

Context: ef : splitFun f' f₁' = splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ

append (l₁ ++ l₂) l₃ = append l₁ (append l₂ l₃)


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ
l : List Γ

append (l₁ ++ l₂) ⟦l⟧ = append l₁ (append l₂ ⟦l⟧)


append (l₁ ++ l₂) (mk l) = append l₁ (append l₂ (mk l))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
i : α


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: hJ : J ∈ π


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁✝ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: hJ : J ∈ π

Context: J₁ : Box ι

Context: h₁ : J₁ ∈ (πi J).boxes


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: hJ : J ∈ π

((π.biUnion πi).restrict J).iUnion ⊆ (πi J).iUnion


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
g : γ → β
s : Finset γ


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

S.toCycles ≫ S.moduleCatCyclesIso.hom = S.moduleCatToCycles


S.f = S.moduleCatToCycles ≫ (LinearMap.ker S.g).subtype


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
l : Filter α
x : ℝ≥0
f : ℝ≥0∞ → α

Tendsto f (𝓝 ↑x) l ↔ Tendsto (f ∘ ofNNReal) (𝓝 x) l


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p.Monic
u : R[X]ˣ
hq : (p * ↑u).Monic


Context:
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a✝ b a : α
h : destutter' R a l = a :: l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : sᶜ ∉ f

∃ x ∈ s, sᶜ ∉ 𝓝 x ⊓ f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : (f ⊓ 𝓟 s).NeBot


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
v : n → α


(diagonal fun m => star (v m)) = diagonal (star v)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A

(A.ofPrime P).valuation ↑x = 1 ↔ x ∈ P.primeCompl


(A.ofPrime P).valuation ↑x = 1 ↔ (A.ofPrime P).valuation ↑((algebraMap ↥A ↥(A.ofPrime P)) x) = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ⟦f⟧ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝³ : CommRing O

Context: inst✝² : Algebra O R

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x y : O

Context: h : x ∣ y

Context: z : O

Context: hz : y = x * z

v ((algebraMap O R) y) ≤ v ((algebraMap O R) x)


Context: R : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝³ : CommRing O

Context: inst✝² : Algebra O R

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O R

Context: hv : v.Integers O

Context: x y : O

Context: h : x ∣ y

Context: z : O

Context: hz : y = x * z

v ((algebraMap O R) x) * v ((algebraMap O R) z) ≤ v ((algebraMap O R) x) * 1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

Context: g : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₁) ℤ

Context: hg : g ∈ range (π C fun x => ord I x < o₁)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

∃ x ∈ range (π C fun x => ord I x < o₂), (πs C o₂) x = (πs C o₁) g


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u}

Context: h : o₁ ≤ o₂

(πs' C h) g ∈ range (π C fun x => ord I x < o₂) ∧ (πs C o₂) ((πs' C h) g) = (πs C o₁) g


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M

Module.annihilator R (M ⧸ N) = N.colon ⊤


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring k

Context: inst✝ : AddMonoid G

Context: p : k[G] → Prop

Context: f : k[G]

Context: hM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))

Context: hadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)

Context: hsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring k

Context: inst✝ : AddMonoid G

Context: p : k[G] → Prop

Context: f : k[G]


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring k

Context: inst✝ : AddMonoid G

Context: p : k[G] → Prop

Context: f : k[G]

Context: g : G

Context: r : k


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Final

Context: inst✝ : IsFilteredOrEmpty C

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

Context: P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂

Context: h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))

Nonempty (P (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Final

Context: inst✝ : IsFilteredOrEmpty C

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₁ → P j₂


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : F.Final

Context: inst✝ : IsFilteredOrEmpty C

Context: X Y : D

Context: f g : X ⟶ Y

∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₂ → P j₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁶ : Category.{w', u₃} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A A' B B' : C

Context: inst✝⁵ : HasBinaryProduct A B

Context: inst✝⁴ : HasBinaryProduct A' B'

Context: inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)

Context: inst✝² : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))

Context: inst✝ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)

Context: f : A ⟶ A'

Context: g : B ⟶ B'

F.map (prod.map f g) ≫ prodComparison F A' B' = prodComparison F A B ≫ prod.map (F.map f) (F.map g)


Context:
α : Type u
n : ℕ
h : n ≤ [].length


Context:
α : Type u
l : List α
h : 0 ≤ l.length


Context:
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length


Context:
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
hnl : n ≤ l.length


Context:
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
hnl : n ≤ l.length
hnl' : n ≤ (l ++ [a]).length


drop n l ++ [a] ++ take n l = drop n l ++ a :: take n l


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))

p ∈ x.lifts ↔ (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b₁ b₂ x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z

(Walk.boxProdRight G a (cons' x y z h w)).ofBoxProdRight = cons' x y z h w


cons ⋯ (Walk.boxProdRight G a w).ofBoxProdRight = cons' x y z h w


G.Adj (a, x).2 ((G.boxProdRight G a).toHom y).2 ∧ (a, x).1 = ((G.boxProdRight G a).toHom y).1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: w' : e.inverse ⋙ F ≅ G := (isoWhiskerLeft e.inverse w).symm ≪≫ e.invFunIdAssoc G

Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) = 𝟙 s.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

∀ (j : J), (Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) ≫ P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t)) ≫ s.π.app j = 𝟙 s.pt ≫ s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

(Q.lift ((Cones.postcompose (whiskerLeft e.inverse w.inv ≫ (e.invFunIdAssoc G).hom)).obj (Cone.whisker e.inverse s)) ≫ P.lift ((Cones.postcompose w.hom).obj (Cone.whisker e.functor t))) ≫ s.π.app j = 𝟙 s.pt ≫ s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ G.map (e.counit.app (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app j = s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ (e.functor ⋙ G).map (e.unitInv.app j) ≫ w.hom.app j = s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

Context: l : w.hom.app j = w.hom.app ((𝟭 J).obj j)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

Context: j : J

s.π.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.inv.app (e.inverse.obj (e.functor.obj j)) ≫ w.hom.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫ F.map (e.unitInv.app j) = s.π.app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s) = 𝟙 t.pt


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F✝ : J ⥤ C

Context: t✝ : Cone F✝

Context: F : J ⥤ C

Context: s : Cone F

Context: G : K ⥤ C

Context: t : Cone G

Context: P : IsLimit s

Context: Q : IsLimit t

Context: e : J ≌ K

Context: w : e.functor ⋙ G ≅ F

∀ (j : K), (P.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e w).functor.obj t) ≫ Q.lift ((Cones.equivalenceOfReindexing e.symm w').functor.obj s)) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r C : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r C : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ

Context: this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r C : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s✝ : Set α✝
t✝ : Set β
α : Type u_2
s : Set α
t : Set ↑s

𝓟 t = comap Subtype.val (𝓟 (Subtype.val '' t))


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
i : ℕ

(p.append q).getVert i = if i < p.length then p.getVert i else q.getVert (i - p.length)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
t : Finset α
b : β
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x
y : β


Context:
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0

divNat n₁ d₁ = divNat n₂ d₂ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁


↑(divNat n₁ d₁) = ↑(divNat n₂ d₂) ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁


↑n₁ * ↑d₂ = ↑n₂ * ↑d₁ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: F : Polynomial ℤ_[p]

Context: a : ℤ_[p]

Context: hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2

Context: ha : ¬Polynomial.eval a F = 0

∃ z, Polynomial.eval z F = 0 ∧ ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧ ‖Polynomial.eval z (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧ ∀ (z' : ℤ_[p]), Polynomial.eval z' F = 0 → ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ → z' = z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A✝
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝ : AddMonoidWithOne A


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: A✝ : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoidWithOne B

Context: inst✝² : FunLike F ℕ A✝

Context: inst✝¹ : AddMonoidWithOne A✝

Context: A : Type u_6

Context: inst✝ : AddMonoidWithOne A

Context: f : ℕ →+ A := { toFun := fun n => n • 1, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F
this : ExpChar E p


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F
this✝ : ExpChar E p
this : PerfectRing F p


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : ι → ℕ
x : ℕ

(∏ i : ι, s i).Coprime x ↔ ∀ (i : ι), (s i).Coprime x


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
ρ α✝ : Type u_1
p : α✝ → Prop
x : ReaderT ρ m α✝
inst✝ : Monad m
a : ReaderT ρ m { a // p a }

Subtype.val <$> a = x ↔ ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> a x_1 = x x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r
h : r (f.toRelEmbedding f.top) f.top


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r
h : r f.top f.top


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : HeytingAlgebra α
inst✝² : HeytingAlgebra β
inst✝¹ : HeytingAlgebra γ
inst✝ : HeytingAlgebra δ
f f₁ f₂ : HeytingHom α β
g g₁ g₂ : HeytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G ∗ H →* K

f.range = (f.comp inl).range ⊔ (f.comp inr).range


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

‖x⋆ * x‖ = ‖x⋆‖ * ‖x‖


Context:
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime

(ofPNatMultiset v h).toPNatMultiset.prod = v.prod


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
h✝ : Subsingleton E


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
h✝ : Nontrivial E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s

iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => c) s x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: a✝ b✝ c d : ℝ

Context: μ✝ ν : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))

IntervalIntegrable (fun t => ‖f t‖) μ a b ↔ IntervalIntegrable f μ a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: a✝ b✝ c d : ℝ

Context: μ✝ ν : Measure ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: a b : ℝ

Integrable (fun t => ‖f t‖) (μ.restrict (Ι a b)) ↔ Integrable f (μ.restrict (Ι a b))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : StrictMonoOn f (Iic a)
h₂ : StrictMonoOn f (Ici a)


Context:
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

commProb (G ⧸ H) ≤ commProb G * ↑(Nat.card ↥H)


Nat.card (ConjClasses (G ⧸ H)) ≤ Nat.card (ConjClasses G)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Bornology α


Context: x y : ℝ


Context: x y : ℝ

↑(cosh (2 * x)) = ↑(cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M

(mk' S x₁ y₁ + mk' S x₂ y₂) * (algebraMap R S) ↑(y₁ * y₂) = (algebraMap R S) (x₁ * ↑y₂ + x₂ * ↑y₁)


(algebraMap R S) (↑y₁ * ↑(y₁ * y₂) * x₂) + (algebraMap R S) (↑(y₁ * y₂) * x₁) * (algebraMap R S) ↑y₂ = (algebraMap R S) (x₁ * ↑y₂ + x₂ * ↑y₁) * (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂


(algebraMap R S) ↑y₁ * ((algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂) * (algebraMap R S) x₂ + (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ * (algebraMap R S) x₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ = ((algebraMap R S) x₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ + (algebraMap R S) x₂ * (algebraMap R S) ↑y₁) * (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂


Context: s : ℂ

LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) s ↔ 1 < s.re


Context:
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) s


Context:
s : ℂ
n : ℕ
x✝ : n ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f✝ f' : α → β → γ

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a✝ a' : α

Context: b✝ b' : β

Context: c✝ c' : γ

Context: d d' : δ

Context: f : α → δ → ε

Context: g : β → γ → δ

Context: f₁ : α → β → β'

Context: f₂ : α → γ → γ'

Context: g' : β' → γ' → ε

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: b : β

Context: hb : b ∈ t

Context: c : γ

Context: hc : c ∈ u

g' (f₁ a b) (f₂ a c) ∈ image2 g' (image2 f₁ s t) (image2 f₂ s u)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic


Context:
S : Set Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}

enumOrd S o = sInf (S ∩ {b | ∀ c < o, enumOrd S c < b})


Context:
S : Set Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}

sInf (S ∩ Ici (o.blsub fun a x => enumOrd S a)) = sInf (S ∩ {b | ∀ c < o, enumOrd S c < b})


Context:
S : Set Ordinal.{u}
o x✝ : Ordinal.{u}

x✝ ∈ Ici (o.blsub fun a x => enumOrd S a) ↔ x✝ ∈ {b | ∀ c < o, enumOrd S c < b}


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
r : S


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : y ∈ p.ball 0 (r - p x)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : p y < r - p x


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X


Injective (((image fun t => t.carrier) ∘ Finset.toSet) ∘ finsetClopens X)


Injective fun x => match x with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: toSetoid✝¹ : Setoid X

Context: isOpen_setOf_rel✝¹ : ∀ (x : X), IsOpen (setOf (toSetoid✝¹.Rel x))

Context: toSetoid✝ : Setoid X

Context: isOpen_setOf_rel✝ : ∀ (x : X), IsOpen (setOf (toSetoid✝.Rel x))

Context: h : (fun x => match x with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes) { toSetoid := toSetoid✝¹, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel✝¹ } = (fun x => match x with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes) { toSetoid := toSetoid✝, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel✝ }


Context: α : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: S : DiscreteQuotient X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: toSetoid✝¹ : Setoid X

Context: toSetoid✝ : Setoid X


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : Stream' (Option α)
al : f.IsSeq


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

a₂ ≤ a₁ ∧ b₂ ≤ b₁ → a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C

((α_ (X₁ ⊗ X₂) X₃ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Y₃)).hom ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂) Y₃).inv ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (β_ X₃ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ▷ Y₃ ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Y₂) X₃ Y₃).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).inv) ≫ ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv) ▷ (X₃ ⊗ Y₃) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom = ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫ ((α_ X₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₁ ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (X₂ ⊗ X₃) Y₁).hom ▷ (Y₂ ⊗ Y₃) ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (X₂ ⊗ X₃) (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ ((X₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₂ ⊗ Y₃)).inv) ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ ((α_ X₂ X₃ (Y₂ ⊗ Y₃)).hom ≫ X₂ ◁ (α_ X₃ Y₂ Y₃).inv ≫ X₂ ◁ (β_ X₃ Y₂).hom ▷ Y₃ ≫ X₂ ◁ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom ≫ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)

∀ ⦃Y : Type u⦄ ⦃f : Y ⟶ α⦄, discretePresieve α f → S.map f.op (typesGlue S hs α (eval S α s)) = S.map f.op s


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)

Context: β : Type u

Context: f : β ⟶ α

Context: hf : discretePresieve α f

S.map f.op (typesGlue S hs α (eval S α s)) = S.map f.op s


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)

Context: β : Type u

Context: f : β ⟶ α

Context: hf : discretePresieve α f

S.map (↾fun x => PUnit.unit).op (eval S α s (f (Classical.choose hf))) = S.map f.op s


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)

Context: β : Type u

Context: f : β ⟶ α

Context: hf : discretePresieve α f

S.map ((↾fun x => f (Classical.choose hf)).op ≫ (↾fun x => PUnit.unit).op) s = S.map f.op s


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)

Context: β : Type u

Context: f : β ⟶ α

Context: hf : discretePresieve α f

S.map ((↾fun x => PUnit.unit) ≫ ↾fun x => f (Classical.choose hf)).op s = S.map f.op s


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)

Context: β : Type u

Context: f : β ⟶ α

Context: hf : discretePresieve α f

((↾fun x => PUnit.unit) ≫ ↾fun x => f (Classical.choose hf)) = f


Context: S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u

Context: α : Type u

Context: s : S.obj (op α)

Context: β : Type u

Context: f : β ⟶ α

Context: hf : discretePresieve α f

Context: x : β

((↾fun x => PUnit.unit) ≫ ↾fun x => f (Classical.choose hf)) x = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : measureUnivNNReal μ ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f

Context: g : α → M

(∏ᶠ (b : β), if h : b ∈ range f then g (Classical.choose h) else 1) = ∏ᶠ (a : α), g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: g : α → M

∏ᶠ (b : β) (h : b ∈ range f), g (Classical.choose h) = ∏ᶠ (a : α), g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: g : α → M

∀ (a : α), (if h' : f a ∈ range f then g (Classical.choose h') else 1) = g a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a✝ b : α

Context: s t : Set α

Context: f : α → β

Context: hf : Injective f

Context: g : α → M

Context: a : α

(if h' : f a ∈ range f then g (Classical.choose h') else 1) = g a


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0

Measure.map (fun x => x * a) volume = ofReal |a⁻¹| • volume


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₂ p₃ p₁).cos = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β

Subtype.val '' minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ = minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


∀ ⦃a a' : { x // x ∈ s }⦄, a ∈ univ → a' ∈ univ → (a ≤ a' ↔ ↑a ≤ ↑a')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
a✝² a'✝ : { x // x ∈ s }
a✝¹ : a✝² ∈ univ
a✝ : a'✝ ∈ univ

a✝² ≤ a'✝ ↔ ↑a✝² ≤ ↑a'✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
h : {x | eval x p = eval x q}.Infinite


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: t : (i : ι) → Set (G i)

Context: ht : ∀ (i : ι), t i ∈ rightTransversals ↑(φ i).range ∧ 1 ∈ t i


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: t : (i : ι) → Set (G i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α

insert a (s ∩ t) = insert a s ∩ insert a t


Context: A✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedRing A✝

Context: inst✝⁶ : StarRing A✝

Context: inst✝⁵ : CstarRing A✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace A✝

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝

Context: inst✝² : StarModule ℂ A✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra ℝ A

Context: a : A

Context: ha : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

SpectrumRestricts (r • a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal


Context:
A✝ : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A✝
inst✝⁶ : StarRing A✝
inst✝⁵ : CstarRing A✝
inst✝⁴ : CompleteSpace A✝
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝² : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
a : A
ha : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
C : P → Prop
r : P
hr : r ∈ I * J
hm : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, C (i * j)
ha : ∀ (x y : P), C x → C y → C (x + y)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
C : P → Prop
r : P
hm : ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, C (i * j)
ha : ∀ (x y : P), C x → C y → C (x + y)
hr : r ∈ ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P


y = (pointReflection R (midpoint R x y)) x


Context:
V : Type v
inst✝² : Category.{w, v} V
inst✝¹ : MonoidalCategory V
C✝ : Type u₁
inst✝ : EnrichedCategory V C✝
C : Type u₁
𝒞 : EnrichedCategory (Type v) C
D : Type u₂
𝒟 : EnrichedCategory (Type v) D
F : C ⥤ D
X : C

(eId (Type v) X ≫ (fun X Y f => F.map f) X X) PUnit.unit = eId (Type v) ((fun X => F.obj X) X) PUnit.unit


Context:
V : Type v
inst✝² : Category.{w, v} V
inst✝¹ : MonoidalCategory V
C✝ : Type u₁
inst✝ : EnrichedCategory V C✝
C : Type u₁
𝒞 : EnrichedCategory (Type v) C
D : Type u₂
𝒟 : EnrichedCategory (Type v) D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : EnrichedCategory.Hom X Y
g : EnrichedCategory.Hom Y Z

(eComp (Type v) X Y Z ≫ (fun X Y f => F.map f) X Z) (f, g) = (((fun X Y f => F.map f) X Y ⊗ (fun X Y f => F.map f) Y Z) ≫ eComp (Type v) ((fun X => F.obj X) X) ((fun X => F.obj X) Y) ((fun X => F.obj X) Z)) (f, g)


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
f : Derivation R A ↥I


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
f : Derivation R A ↥I
x y : A

{ toFun := fun x => ↑(f x) + (algebraMap A B) x, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => ↑(f x) + (algebraMap A B) x, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => ↑(f x) + (algebraMap A B) x, map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
f : Derivation R A ↥I
x y : A
this : ↑(f x) * ↑(f y) = 0


(algebraMap A B) x * ↑(f y) + (algebraMap A B) y * ↑(f x) + (algebraMap A B) x * (algebraMap A B) y = 0 + (algebraMap A B) x * ↑(f y) + (↑(f x) * (algebraMap A B) y + (algebraMap A B) x * (algebraMap A B) y)


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
f : Derivation R A ↥I
r : R

(↑↑{ toFun := fun x => ↑(f x) + (algebraMap A B) x, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P

b.coords x ᵥ* (b.toMatrix ⇑b₂)⁻¹ = b₂.coords x


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂)


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂).det


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι


(if H : i ∈ s then (x + y) ⟨i, H⟩ else 0) = (if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0) + if H : i ∈ s then y ⟨i, H⟩ else 0


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
m₁ : M i
m₂ : M j
w : Word M

⟨i, m₁⟩ ∈ (of m₂ • w).toList ↔ ⟨i, m₁⟩ ∈ w.toList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
u : αˣ
h : a * b * ↑u = 1


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β

IsLUB s p ↔ IsLUB (Prod.fst '' s) p.1 ∧ IsLUB (Prod.snd '' s) p.2


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
H : IsLUB s p
a : α
ha : a ∈ upperBounds (Prod.fst '' s)


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (α × β)
p : α × β
H : IsLUB s p
a : β
ha : a ∈ upperBounds (Prod.snd '' s)


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (α × β)

Context: p : α × β

Context: H : IsLUB (Prod.fst '' s) p.1 ∧ IsLUB (Prod.snd '' s) p.2


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (α × β)

Context: p : α × β


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b r r' s t s' t' : R
p : EuclideanDomain.P a b (r, s, t)
p' : EuclideanDomain.P a b (r', s', t')

EuclideanDomain.P a b (xgcdAux r s t r' s' t')


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

g b - g a ≤ (∫ (y : ℝ) in a..b, φ y) + ε


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: G' : ℝ → EReal

Context: f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x

Context: G'cont : LowerSemicontinuous G'

Context: G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))

Context: G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤

Context: hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: G' : ℝ → EReal

Context: f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x

Context: G'cont : LowerSemicontinuous G'

Context: s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: G' : ℝ → EReal

Context: f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x

Context: G'cont : LowerSemicontinuous G'

Context: s_closed : IsClosed s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: this : Tendsto (fun r => μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: r : ℝ

μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t) = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: r : ℝ

μ (toMeasurable μ s ∩ ({x} + r • t)) = μ (s ∩ ({x} + r • t))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: r : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁵ : BorelSpace E

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: s✝ s : Set E

Context: x : E

Context: t : Set E

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h't : μ t ≠ 0

Context: h''t : μ t ≠ ⊤

Context: r : ℝ

MeasurableSet ((fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • t))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n

TendstoUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0

∀ᶠ (n : Finset α) in atTop, ∀ x ∈ s, dist (∑' (n : α), f n x) (∑ n ∈ n, f n x) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s

dist (∑' (n : α), f n x) (∑ n ∈ t, f n x) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
t : Finset α
ht : ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a < ε
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖


∑' (i : ↑fun x => x ∈ t → False), ‖f (↑i) x‖ ≤ ∑' (a : { x // x ∉ t }), u ↑a


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (↑r - x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β
s u : Set α
t v : Set β
a : α
b : β
hu : u ∈ 𝓝[s] a
hv : v ∈ 𝓝[t] b


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix n n 𝕜

∃ L L' D, M = (List.map toMatrix L).prod * diagonal D * (List.map toMatrix L').prod


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D : n → 𝕜

Context: h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D : n → 𝕜

M = (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L.reverse)).prod * diagonal D * (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L'.reverse)).prod


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field 𝕜

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : DecidableEq p

Context: inst✝² : CommRing R

Context: r : ℕ

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : Fintype p

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D : n → 𝕜

M = (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod * (List.map toMatrix L).prod * M * ((List.map toMatrix L').prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L'.reverse).prod)


Context:
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ

g.TerminatedAt n ↔ g.partNums.get? n = none


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < f' x
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf_nonneg : ∀ (n : α), 0 ≤ f n
hf : Summable f

ENNReal.ofReal (∑' (n : α), f n) = ∑' (n : α), ENNReal.ofReal (f n)


Context:
P : Type u_1
inst✝ : LE P
I✝ J s t : Ideal P
x y : P
I : Ideal P
p : P
nmem : p ∉ I
hp : ↑I = univ


Context:
P : Type u_1
inst✝ : LE P
I✝ J s t : Ideal P
x y : P
I : Ideal P
p : P
nmem : p ∉ I
hp : ↑I = univ
this : p ∈ univ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : a ≠ 0


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ η : Kernel α β
μ : Measure β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

dirac () ⊗ₘ Kernel.const Unit μ = map (Prod.mk ()) μ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : Cochain F G n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
g₁ : β → δ
g₂ : γ → δ
h : g₁ ∘ f₁ = g₂ ∘ f₂
a : α

Option.map g₁ (Option.map f₁ (some a)) = Option.map g₂ (Option.map f₂ (some a))


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hpq : p.degree ≤ q.degree
hp : p ≠ 0


Context:
a : EReal
h : 0 < a
h' : a ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R

(toMatrix₂ b₁ b₂) B * M = (toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ ((toLin b₂' b₂) M))


Context: α : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OuterMeasureClass F α

Context: μ✝ : F

Context: s✝ t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: μ : F

Context: s : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: h0 : Tendsto (fun k => μ ((⋃ n, s n) \ s k)) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OuterMeasureClass F α

Context: μ✝ : F

Context: s✝ t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: μ : F

Context: s : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot


Context: α : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OuterMeasureClass F α

Context: μ✝ : F

Context: s✝ t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: μ : F

Context: s : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: S : Set α := ⋃ n, s n

Context: h0 : Tendsto (fun k => μ (S \ s k)) l (𝓝 0)

Context: M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)


Context: α : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OuterMeasureClass F α

Context: μ✝ : F

Context: s✝ t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: μ : F

Context: s : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: S : Set α := ⋃ n, s n

Context: M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)

Context: A : ∀ (k : ι), μ S ≤ M + μ (S \ s k)


Context: α : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OuterMeasureClass F α

Context: μ✝ : F

Context: s✝ t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: μ : F

Context: s : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: S : Set α := ⋃ n, s n

Context: M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)

Context: A : ∀ (k : ι), μ S ≤ M + μ (S \ s k)

Context: B : Tendsto (fun k => M + μ (S \ s k)) l (𝓝 M)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: n : M

Context: X : C

Context: this : (ρ_ (F.obj n)).hom.app X = (F.obj n ◁ F.ε ≫ F.μ n (𝟙_ M) ≫ F.map (ρ_ n).hom).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: n : M

Context: X : C

Context: this : 𝟙 ((F.obj n).obj X) = F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

I⁻¹ ≤ J ↔ J⁻¹ ≤ I


Context:
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace

(TopCat.sigmaCofan fun x => (f x).toTopCat).inj i ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := TopCat.sigmaCofan fun x => (f x).toTopCat, isColimit := TopCat.sigmaCofanIsColimit fun x => (f x).toTopCat }).inv ≫ (PreservesCoproduct.iso Scheme.forgetToTop f).symm.hom = Scheme.forgetToTop.map (Sigma.ι f i)


colimit.ι (Discrete.functor fun x => (f x).toTopCat) { as := i } ≫ (PreservesCoproduct.iso Scheme.forgetToTop f).symm.hom = Scheme.forgetToTop.map (Sigma.ι f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)

(Seq.seq (some fun x => ofNat α v₁ :: x) fun x => decodeList v₂) = some (ofNat α v₁ :: ofNat (List α) v₂)


Context:
m n : ℕ
i : Fin n

(finSuccEquiv' (Fin.last n)) i.castSucc = some i


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
f : F
hf : (algebraMap F E) f = x


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι

(b.toDual (b i)) (b j) = if i = j then 1 else 0


(if j = i then 1 else 0) = if i = j then 1 else 0


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α

(∀ ⦃c : α⦄, a < c → ¬c < b) ↔ Ioo a b = ∅


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
heq : EqOn f₁ f₂ s
t : Set β
x : α
hx : x ∈ s

x ∈ f₁ ⁻¹' t ↔ x ∈ f₂ ⁻¹' t


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β

Tendsto f x (𝓝 a) ↔ (∀ a' < a, ∀ᶠ (b : β) in x, a' < f b) ∧ ∀ a' > a, ∀ᶠ (b : β) in x, f b < a'


((∀ i ∈ Iio a, ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Ioi i) ∧ ∀ i ∈ Ioi a, ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Iio i) ↔ (∀ a' < a, ∀ᶠ (b : β) in x, a' < f b) ∧ ∀ a' > a, ∀ᶠ (b : β) in x, f b < a'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
inst✝ : Fintype ι
m : M


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i j : ι
p : Pair M i
m : M j

⟨j, m⟩ ∈ (rcons p).toList ↔ ⟨j, m⟩ ∈ p.tail.toList ∨ m ≠ 1 ∧ ∃ (h : i = j), m = h ▸ p.head


⟨j, m⟩ ∈ (if h : p.head = 1 then p.tail else { toList := ⟨i, p.head⟩ :: p.tail.toList, ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }).toList ↔ ⟨j, m⟩ ∈ p.tail.toList ∨ ¬m = 1 ∧ ∃ (h : i = j), m = h ▸ p.head


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
H : x < y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
hy : x ≠ x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
H : y < x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 ≤ c
hac : a ≤ c
hd : 0 < d
hbd : d ≤ b


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1
h' : b ≤ a


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1
h' : a < b


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : ℕ
s : ι → ℕ

x.Coprime (∏ i : ι, s i) ↔ ∀ (i : ι), x.Coprime (s i)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X Y : C
inst✝ : HasImage 0


lift (monoFactorisationZero X Y) ≫ (monoFactorisationZero X Y).m = 0


Context:
a b m n✝ p✝ p d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hpd : ¬p ∣ d


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hs : MeasurableSet s
t' : Set β
ht' : MeasurableSet t'

∫⁻ (a : α) in X ⁻¹' t', ((condDistrib Y X μ) (X a)) s ∂μ = μ (X ⁻¹' t' ∩ Y ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : Summable f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : Summable fun a => ↑(f a)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (α.app X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : Z✝ ⟶ F
eq : g ≫ α = h ≫ α
X : C


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: hts : s ⊆ t

Context: h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0

Context: haux : StronglyMeasurable f

Context: h'aux : IntegrableOn f t μ

Context: k : Set X := f ⁻¹' {0}

∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: hts : s ⊆ t

Context: haux : StronglyMeasurable f

Context: h'aux : IntegrableOn f t μ

Context: k : Set X := f ⁻¹' {0}

Context: hk : MeasurableSet k


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: n : ℕ

Context: a : R

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: h : a = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a✝ b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q r : R[X]

Context: n : ℕ

Context: a : R

Context: h : a = 0


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K

σ ∈ Stab (mk φ) ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ


φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ ComplexEmbedding.conjugate (φ.comp ↑σ.symm) = φ ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ


φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ star φ = φ.comp ↑σ.symm ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ.symm


Context:
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
H : φ.comp ↑σ.symm = φ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
h : optParam (LocalRing S) ⋯
x : R

x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (LocalRing.maximalIdeal S) ↔ x ∈ I


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.89621

Context: D : Type u_5

Context: D' : Type ?u.89627

Context: H : Type u_2

Context: H' : Type ?u.89633

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.89641, ?u.89621} C'

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_5} D

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.89649, ?u.89627} D'

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} H

Context: inst✝² : Category.{?u.89657, ?u.89633} H'

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : F.HasRightDerivedFunctor W


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hPy : P y - W.negY P ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hP : W.Equation P

Context: hQ : W.Equation Q

Context: hPz : P z ≠ 0

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hPy : P y - W.negY P ≠ 0

Context: hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2

Context: hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)