Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j x : n

v (i - x) * w (x - j) = v (i - j - (Equiv.subRight j) x) * w ((Equiv.subRight j) x)


Context: ι✝ : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ι : Type u_4

Context: S : Set ι

Context: hS : S.Countable

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α

Context: h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi

⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h


Context: ι✝ : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ι : Type u_4

Context: S : Set ι

Context: hS : S.Countable

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α


Context: ι✝ : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: l : Filter α

Context: inst✝ : CountableInterFilter l

Context: ι : Type u_4

Context: S : Set ι

Context: hS : S.Countable

Context: s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α

Context: this : Encodable ↑S


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (limitProcess f ℱ μ ω))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

sSup {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)} ≤ projectiveSeminorm


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

{p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}.Nonempty


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

∀ b ∈ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}, b ≤ projectiveSeminorm


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i

Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ

∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ

Context: νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ

Context: νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤

Context: νS : ν S ≠ ⊤


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ

Context: νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤

Context: νS : ν S ≠ ⊤

Context: this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ

Context: νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤

Context: νS : ν S ≠ ⊤

Context: i : ι

Context: hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

Context: h'i : i ∈ Ici i₀

∫ (x : X) in s i, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s✝ t : Set X

Context: μ ν✝ : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : SemilatticeSup ι

Context: s : ι → Set X

Context: hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: h_anti : Antitone s

Context: S : Set X := ⋂ i, s i

Context: hSm : MeasurableSet S

Context: hsub : ∀ (i : ι), S ⊆ s i

Context: hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: i₀ : ι

Context: hi₀ : IntegrableOn f (s i₀) μ

Context: νi₀ : ν (s i₀) ≠ ⊤

Context: νS : ν S ≠ ⊤

Context: i : ι

Context: h'i : i ∈ Ici i₀


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V

G'.deleteVerts (G'.verts ∩ s) = G'.deleteVerts s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsLowerModularLattice α
a b : α


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = (FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: fd_ne_zero : (algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) (Units.mk0 ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) fd_ne_zero) = (FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

↑(I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) (Units.mk0 ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) fd_ne_zero)) = ↑((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : Field L

Context: inst✝⁸ : DecidableEq L

Context: inst✝⁷ : Algebra R K

Context: inst✝⁶ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝³ : Algebra R L

Context: inst✝² : IsScalarTower R K L

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

spanSingleton R⁰ ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) * ↑I = ↑((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩)


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: inst✝¹ : NormalSpace X

Context: inst✝ : ParacompactSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: inst✝¹ : NormalSpace X

Context: inst✝ : ParacompactSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hsV : s ⊆ ⋃ i, V i

Context: hVf : LocallyFinite V

Context: hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: s : Set X

Context: f✝ : BumpCovering ι X s

Context: inst✝¹ : NormalSpace X

Context: inst✝ : ParacompactSpace X

Context: p : (X → ℝ) → Prop

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set X

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: V : ι → Set X

Context: hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)

Context: hsV : s ⊆ ⋃ i, V i

Context: hVf : LocallyFinite V

Context: hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i

Context: f : BumpCovering ι X s

Context: hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)

Context: hf : f.IsSubordinate V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b✝ a b : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P
l : L
q : P
hq : q ∉ l


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P
l : L
q : P
hq : q ∉ l
val✝ : Fintype P


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P
l : L
q : P
hq : q ∉ l
val✝¹ : Fintype P
val✝ : Fintype L


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g✝ : Filter α
s t : Set α
f g : Filter α


Context:
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R✝
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R✝ A
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f✝¹ : R✝ →+* S
f✝ : R✝ →+* B
f : R✝ →+* S
R : Type u_5
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : Algebra S B
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : B
r : R
hx : IsIntegral S x


(algebraMap R S) r • x ∈ Algebra.adjoin S {x}


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a b c : α


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : (fun h => h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: B : (fun x => (f'' w) v - (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0] fun x => 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
m : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ m → β a

f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ 0 → β a

f ∈ pi 0 t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ 0), f a h ∈ t a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: m : Multiset α

Context: ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a

Context: f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1

f ∈ (a ::ₘ m).pi t ↔ ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : α → Type u_2

Context: t : (a : α) → Multiset (β a)

Context: a : α

Context: m : Multiset α

Context: f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1

(∃ a_1 ∈ t a, ∃ a_2, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_2 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_1 a_2 = f) ↔ ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: S : Set (Set E) := {C | Convex 𝕜 C ∧ Disjoint C t}

∃ C, Convex 𝕜 C ∧ Convex 𝕜 Cᶜ ∧ s ⊆ C ∧ t ⊆ Cᶜ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C

∀ c ∈ Cᶜ, ∃ a ∈ C, (segment 𝕜 c a ∩ t).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C

Context: c : E

Context: hc : c ∈ Cᶜ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C

Context: c : E

Context: hc : c ∈ Cᶜ

Context: h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C

Context: c : E

Context: hc : c ∈ Cᶜ

Context: h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅

Disjoint ((convexHull 𝕜) (insert c C)) t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C

Context: c : E

Context: hc : c ∈ Cᶜ

Context: h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅

Disjoint (⋃ y ∈ (convexHull 𝕜) C, segment 𝕜 c y) t


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t : Set E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: hst : Disjoint s t

Context: C : Set E

Context: hC : C ∈ S

Context: hsC : s ⊆ C

Context: hCmax : ∀ a ∈ S, C ⊆ a → a = C

Context: x : E

Context: hx : x ∈ Cᶜ

Context: y : E

Context: hy : y ∈ Cᶜ

Context: z : E

Context: hz : z ∈ segment 𝕜 x y

Context: hzC : z ∈ C

Context: c : E

Context: hc : c ∈ Cᶜ

Context: h : ∀ a ∈ C, segment 𝕜 c a ∩ t = ∅

Context: a : E

Context: ha : a ∈ (convexHull 𝕜) C


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: hf : S.W f

Context: n : ℤ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: hf : S.W f

Context: n : ℤ

S.W (n.negOnePow • (shiftFunctor C n).map f)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: S : Subcategory C

Context: X₁ X₂ : C

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: n : ℤ

Context: X₃ : C

Context: g : X₂ ⟶ X₃

Context: h : X₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁

Context: hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles

Context: mem : S.P X₃


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : IsSheaf J P

Context: I : Type u_1

Context: S : C

Context: X : I → C

Context: f : (i : I) → X i ⟶ S

Context: hf : ofArrows X f ∈ J.sieves S

Context: E : A

Context: x y : E ⟶ P.obj (op S)

Context: h : ∀ (i : I), x ≫ P.map (f i).op = y ≫ P.map (f i).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : IsSheaf J P

Context: I : Type u_1

Context: S : C

Context: X : I → C

Context: f : (i : I) → X i ⟶ S

Context: hf : ofArrows X f ∈ J.sieves S

Context: E : A

Context: x y : E ⟶ P.obj (op S)

∀ (I_1 : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨ofArrows X f, hf⟩), x ≫ P.map I_1.f.op = y ≫ P.map I_1.f.op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: A : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: hP : IsSheaf J P

Context: I : Type u_1

Context: S : C

Context: X : I → C

Context: f : (i : I) → X i ⟶ S

Context: hf : ofArrows X f ∈ J.sieves S

Context: E : A

Context: x y : E ⟶ P.obj (op S)

Context: Z Y : C

Context: i : I

Context: g : Z ⟶ X i

x ≫ P.map ((f i).op ≫ g.op) = y ≫ P.map ((f i).op ≫ g.op)


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

p * q = ∑ i ∈ p.support, q.sum fun j a => (monomial (i + j)) (p.coeff i * a)


(p * q).toFinsupp = (∑ i ∈ p.support, q.sum fun j a => (monomial (i + j)) (p.coeff i * a)).toFinsupp


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } * { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = (∑ i ∈ { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.support, { toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum fun j a => (monomial (i + j)) ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff i * a)).toFinsupp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α

stieltjesOfMeasurableRat (fun p => f p.2) ⋯ ((), a) = stieltjesOfMeasurableRat f hf a


{ toFun := IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux (toRatCDF fun p => f p.2) ((), a), mono' := ⋯, right_continuous' := ⋯ } = { toFun := IsMeasurableRatCDF.stieltjesFunctionAux (fun p => toRatCDF f p.2) ((), a), mono' := ⋯, right_continuous' := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α
x : ℝ
p : Unit × α

toRatCDF (fun p => f p.2) p = toRatCDF f p.2


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J (whiskerLeft H.op f)

Context: X : D

Context: a : (forget A).obj (G.obj (Opposite.op X))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ X⦄, (Sieve.coverByImage H X).arrows f_1 → Sieve.pullback f_1 (imageSieve f a) ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.pullback g (imageSieve f a) ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.pullback lift (Sieve.pullback map (imageSieve f a)) ∈ K.sieves Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.pullback map (imageSieve f a) ∈ K.sieves (H.obj Z)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

Context: hh : Sieve.functorPushforward H (imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a)) ∈ K.sieves (H.obj (Opposite.unop (Opposite.op Z)))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

Sieve.functorPushforward H (Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (imageSieve f a))) ∈ K.sieves (H.obj Z)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

imageSieve (whiskerLeft H.op f) ((forget A).map (G.map map.op) a) ≤ Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (imageSieve f a))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

Context: W : C

Context: q : W ⟶ Z

Context: x : (forget A).obj ((H.op ⋙ F).obj (Opposite.op W))

Context: h : ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op W)) x = ((H.op ⋙ G).map q.op) ((forget A).map (G.map map.op) a)

(Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (imageSieve f a))).arrows q


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_3} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: H : C ⥤ D

Context: F G : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: hH : CoverPreserving J K H

Context: inst✝¹ : H.IsCoverDense K

Context: X : D

Context: Y : D

Context: g : Y ⟶ X

Context: Z : C

Context: lift : Y ⟶ H.obj Z

Context: map : H.obj Z ⟶ X

Context: fac : lift ≫ map = g

Context: W : C

Context: q : W ⟶ Z


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: w x y z : V

Context: hwx : Submodule.span ℝ {w} = Submodule.span ℝ {x}

Context: hyz : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n✝ m✝ l n m : ℕ

filter (fun x => x = m) (range n) = if m < n then {m} else ∅


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C✝ C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h : ∀ (i : ι), f.f i = g.f i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C✝ C D : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h : ∀ (i : ι), f.f i = g.f i
x✝ : ι


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
v : ι → M


Context: b o✝ : Ordinal.{u}

Context: x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o ≠ 0

Context: IH : x ∈ CNF b (o % b ^ log b o) → 0 < x.2


Context: b o✝ : Ordinal.{u}

Context: x : Ordinal.{u} × Ordinal.{u}

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o ≠ 0

x ∈ (log b o, o / b ^ log b o) :: CNF b (o % b ^ log b o) → 0 < x.2


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: κ : Sort u_5

Context: f : κ → Ideal A

Context: h : ∀ (i : κ), ∃ S, f i = span (Subtype.val '' S)


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: κ : Sort u_5

Context: f : κ → Ideal A

Context: s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

Context: hs : ∀ (i : κ), f i = span (Subtype.val '' s i)

⨆ i, f i = span (Subtype.val '' ⋃ i, s i)


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: κ : Sort u_5

Context: f : κ → Ideal A

Context: s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

⨆ i, f i = ⨆ i, span (Subtype.val '' s i)


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Semiring A

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddMonoid ι

Context: inst✝² : SetLike σ A

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝ : GradedRing 𝒜

Context: κ : Sort u_5

Context: f : κ → Ideal A

Context: s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

(fun i => f i) = fun i => span (Subtype.val '' s i)


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
x : ℝ


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b

(∏ x ∈ Ico a b, f x) * f b = ∏ x ∈ Icc a b, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β

HasFiniteIntegral (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤


Context:
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
hf : Integrable f volume

Tendsto (fun c => ∫ (v : V), cexp (-↑c⁻¹ * ↑‖v‖ ^ 2) • f v) atTop (𝓝 (∫ (v : V), f v))


∀ᵐ (a : V), Tendsto (fun n => cexp (-↑n⁻¹ * ↑‖a‖ ^ 2) • f a) atTop (𝓝 (f a))


∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun a => cexp (-↑n⁻¹ * ↑‖a‖ ^ 2) • f a) volume


∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, ∀ᵐ (a : V), ‖cexp (-↑n⁻¹ * ↑‖a‖ ^ 2) • f a‖ ≤ ‖f a‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s (map f μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ f : α → β

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: s : Set β

Context: hs : NullMeasurableSet s ((liftLinear (OuterMeasure.map (AEMeasurable.mk f hf)) ⋯) μ)

((liftLinear (OuterMeasure.map (AEMeasurable.mk f hf)) ⋯) μ) s = μ (f ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: f✝ f : α → β

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: s : Set β

((OuterMeasure.map (AEMeasurable.mk f hf)) μ.toOuterMeasure) s = μ (AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬x = y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


c < a → c < b → ¬(a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b)


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝³ : TopologicalSpace M₂
inst✝² : TopologicalSpace M₃
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f : M₁ → M₂
g : M₂ → M₃
hg : Continuous g
K : Set M₂
hK : IsCompact K
hKf : f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'


Context:
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
y : ℝ
hy : y ∈ Ico 0 1

HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑y) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k y))


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ico 0 1

Context: B : C(𝕌, ℂ) := { toFun := ofReal' ∘ periodizedBernoulli k, continuous_toFun := ⋯ }


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ico 0 1

Context: step1 : ∀ (n : ℤ), fourierCoeff (⇑B) n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ico 0 1

Context: step2 : HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑B) i • (fourier i) ↑y) (B ↑y)


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ico 0 1

Context: step2 : HasSum (fun i => (-↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑i) ^ k) • (fourier i) ↑y) (B ↑y)


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ico 0 1

Context: n : ℤ

1 / ↑n ^ k * (fourier n) ↑y = -(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * (-↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k) • (fourier n) ↑y


Context: k : ℕ

Context: hk : 2 ≤ k

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc 0 1

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ Ico 0 1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass (NullMeasurableSpace α μ)

Context: s : Finset α


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p


Context:
b : ℕ
b_ge_two : 2 ≤ b
p : ℕ
p_prime : Prime p
p_gt_two : 2 < p
not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)
A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)
B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)
hi_A : 1 < A
hi_B : 1 < B
hi_AB : 1 < A * B
hi_b : 0 < b
hi_p : 1 ≤ p
hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1
hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)
hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)
p_odd : Odd p
AB_not_prime : ¬Prime (A * B)


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: AB_id : A * B = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₁ : (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₅ : 2 * p * (b ^ 2 - 1) ∣ (b ^ 2 - 1) * (A * B - 1)


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₆ : 2 * p ∣ A * B - 1


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₆ : 2 * p ∣ A * B - 1

Context: ha₇ : A * B ∣ b ^ (2 * p) - 1


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₇ : A * B ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: q : ℕ

Context: hq : A * B - 1 = 2 * p * q


Context: b : ℕ

Context: b_ge_two : 2 ≤ b

Context: p : ℕ

Context: p_prime : Prime p

Context: p_gt_two : 2 < p

Context: not_dvd : ¬p ∣ b * (b ^ 2 - 1)

Context: A : ℕ := (b ^ p - 1) / (b - 1)

Context: B : ℕ := (b ^ p + 1) / (b + 1)

Context: hi_A : 1 < A

Context: hi_B : 1 < B

Context: hi_AB : 1 < A * B

Context: hi_b : 0 < b

Context: hi_p : 1 ≤ p

Context: hi_bsquared : 0 < b ^ 2 - 1

Context: hi_bpowtwop : 1 ≤ b ^ (2 * p)

Context: hi_bpowpsubone : 1 ≤ b ^ (p - 1)

Context: p_odd : Odd p

Context: AB_not_prime : ¬Prime (A * B)

Context: hd : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: ha₂ : 2 ∣ b ^ p + b

Context: ha₃ : p ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₄ : b ^ 2 - 1 ∣ b ^ (p - 1) - 1

Context: ha₇ : A * B ∣ b ^ (2 * p) - 1

Context: q : ℕ

Context: hq : A * B - 1 = 2 * p * q

Context: ha₈ : b ^ (2 * p) - 1 ∣ b ^ (A * B - 1) - 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

evalEval x y (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) = 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝ : Coreflective j
X : D

(coreflectorAdjunction j).counit.app (j.obj ((coreflector j).obj X)) = j.map ((coreflector j).map ((coreflectorAdjunction j).counit.app X))


j.map ((coreflectorAdjunction j).unit.app ((coreflector j).obj X)) ≫ (coreflectorAdjunction j).counit.app (j.obj ((coreflector j).obj X)) = j.map ((coreflectorAdjunction j).unit.app ((coreflector j).obj X) ≫ (coreflector j).map ((coreflectorAdjunction j).counit.app X))


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
z : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + m = q
q₁ q₂ : ℤ
hq₁ : q₁ = q - 1
hq₂ : p + 1 = q₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module.Flat R M₂
rs : List R
h : IsWeaklyRegular M rs


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : r' < r

∃ C, ∀ y ∈ EMetric.ball x r', ∀ z ∈ EMetric.ball x r', ‖f y - f z - (p 1) fun x => y - z‖ ≤ C * max ‖y - x‖ ‖z - x‖ * ‖y - z‖


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : q = 0

padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : ¬q = 0
hr : r = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hnqp : padicNorm p q ≥ 0
hnrp : padicNorm p r ≥ 0
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqr : ¬q + r = 0

↑p ^ (-padicValRat p (q + r)) ≤ max (↑p ^ (-padicValRat p q)) (↑p ^ (-padicValRat p r))


↑p ^ (-padicValRat p (q + r)) ≤ ↑p ^ (-padicValRat p q) ∨ ↑p ^ (-padicValRat p (q + r)) ≤ ↑p ^ (-padicValRat p r)


↑p ^ (-padicValRat p (q + r)) ≤ ↑p ^ (-padicValRat p q)


-padicValRat p (q + r) ≤ -padicValRat p q


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m✝ n m : ℕ
hm : 0 < m
ha : a ^ m = 1


Context:
S : Type u
inst✝³ : Semiring S
T : Type v
inst✝² : Semiring T
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
n : ℕ
p : R[X]
inst✝ : Algebra R S
x : S

eval x ((ascPochhammer S n).comp (map (algebraMap R S) p)) = eval (eval₂ (algebraMap R S) x p) (ascPochhammer S n)


Context:
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m


∀ (h : (find P).Dom), n < (find P).get h


Context:
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
h₁ : (find P).Dom


Context:
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : ∀ m ≤ n, ¬P m
h₁ : (find P).Dom
h₂ : P (Nat.find h₁)


Context:
R : Type u
M : Type v
S : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
I : Ideal S
hI : IsPrincipal (comap f I)

I = Submodule.span S {f (IsPrincipal.generator (comap f I))}


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x


Context:
a b m✝ n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
pr : n < m

∏ p ∈ Finset.filter Prime (Finset.range m), p ^ padicValNat p n = n


∏ p ∈ Finset.filter Prime (Finset.range m), p ^ padicValNat p n = n.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1


(n.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = ∏ p ∈ Finset.filter Prime (Finset.range m), p ^ padicValNat p n


n.factorization.support ⊆ Finset.filter Prime (Finset.range m)


∀ x ∈ Finset.filter Prime (Finset.range m) \ n.factorization.support, x ^ padicValNat x n = 1


∀ x ∈ n.factorization.support, (fun x x_1 => x ^ x_1) x (n.factorization x) = x ^ padicValNat x n


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t α


Context: t : Type u → Type u

Context: inst✝⁵ : Traversable t

Context: inst✝⁴ : LawfulTraversable t

Context: F G : Type u → Type u

Context: inst✝³ : Applicative F

Context: inst✝² : LawfulApplicative F

Context: inst✝¹ : Applicative G

Context: inst✝ : LawfulApplicative G

Context: α β γ : Type u

Context: g : α → F β

Context: h : β → G γ

Context: f : β → γ

Context: x✝ : t β

Context: x : t α

Context: this : traverse pure x = pure (traverse pure x)


Context: x✝ y x : ℝ


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

∅ ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α

l₁ ⤳ l₂ ↔ l₁ ≤ l₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →L[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ closedBall 0 r, ‖f z‖ ≤ c


Context:
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x✝ y z : R
a✝ b c a : ℍ[R,c₁,c₂]
x : R
h : a = ↑x


Context:
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v x : ℤ

x ∈ filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ioc a b) ↔ x ∈ map { toFun := fun x => x + v, inj' := ⋯ } (filter (fun x => r ∣ x) (Ioc (a - v) (b - v)))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: y : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ

Context: x : ↑(C' C ho)

((Linear_CC' C hsC ho) ((πs C o) y)) x = 0 x


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x : ↑(C' C ho)

y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₁ C hsC ho x)) - y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₀ C ho x)) = 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x : ↑(C' C ho)

y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₁ C hsC ho x)) = y (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) (CC'₀ C ho x))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x : ↑(C' C ho)

Context: i : I

(if ord I i < o then SwapTrue o (↑x) i else false) = if ord I i < o then ↑x i else false


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: x : ↑(C' C ho)

Context: i : I


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n✝ : ℕ
hf : Involutive f
n : ℕ


Context:
x y✝ z : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x


Context:
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ x
hz' : y ∈ z


Context: f : ℕ → ℂ

Context: m : ℝ

Context: h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m

Context: s : ℝ

Context: hs : 1 < s


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P

Sbtw R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) (p -ᵥ z) ↔ Sbtw R x y z


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ

Context: h0✝ : 0 ≤ R

Context: f : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c R)

Context: hd : ∀ z ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: h0 : 0 < R


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x - y) x).cos = ‖x‖ / ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle x (x - y)).cos = ‖x‖ / ‖x - y‖


Context:
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{max u_1 u_2}
i : ι


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop

↑(⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = a ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ↑(f i)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
h✝ : IsEmpty ι


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
h✝ : Nonempty ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : γ), ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ s)


∫⁻ (x : γ) in univ, ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α →ₘ[μ] β


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

(o.oangle (x - r • y) y).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
x : X
s : Set X
hsx : s ∈ 𝓝 x
hsf : {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite

∃ t ∈ 𝓝 x, {i | ((fun i => closure (f i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: X : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f g : ι → Set X

Context: hf : LocallyFinite f

Context: x : X

Context: s : Set X

Context: hsx : s ∈ 𝓝 x

Context: hsf : {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ {i | ((fun i => closure (f i)) i ∩ interior s).Nonempty}


Context: r : ℝ


Context:
r : ℝ
hn : r < 0


Context:
r : ℝ
hp : 0 < r


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M ≃ₗ[A] M

LinearMap.det ↑f * LinearMap.det ↑f.symm = 1


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : G.IsUniform ε s t
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
ht : ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card
hs : ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card

|↑(G.edgeDensity t' s') - ↑(G.edgeDensity t s)| < ε


|↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < ε


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι

(b.repr ((b.prod b') (Sum.inr i✝)).1) i = (b.repr 0) i


(Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inl i) = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: hba : b ≤ a

Context: hdc : d ≤ c


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: hba : b ≤ a

Context: hdc : d ≤ c


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: inst✝ : (v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)

M.IsMatching ↔ ∀ v ∈ M.verts, M.degree v = 1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

(Q W).map s ≫ Qinv s hs = 𝟙 ((Q W).obj X)


LeftFractionRel (mk s s hs) (ofHom W (𝟙 ((Q W).obj X)))


Qinv s hs ≫ (Q W).map s = 𝟙 ((Q W).obj Y)


homMk (ofInv s hs) ≫ homMk (ofHom W s) = 𝟙 ((Q W).obj Y)


homMk ((ofInv s hs).comp₀ (ofHom W s) (ofHom W (𝟙 Y))) = 𝟙 ((Q W).obj Y)


LeftFractionRel ((ofInv s hs).comp₀ (ofHom W s) (ofHom W (𝟙 Y))) (ofHom W (𝟙 ((Q W).obj Y)))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
s : Finset α
inst✝ : Fintype ↑t


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'

Context: x : Fin 0 → G


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: this : ‖curry0 𝕜 G f.uncurry0‖ ≤ ‖f.uncurry0‖


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
s : R
r : Rˣ


Context:
T : ℝ
x : AddCircle T


Context: T z✝ : ℝ


Context: T z✝ : ℝ

Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑0 * ↑z✝ / ↑T) = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian


∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i) = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary).det


∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i) = (↑hA.eigenvectorUnitary * star ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues)).det


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a

∃ s, a ∈ s ∧ IsOpen s ∧ ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)


∃ s, (a ∈ s ∧ IsOpen s) ∧ ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)


∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : EMetricSpace β
a : β
r : ℝ≥0∞
x y : ↑(EMetric.ball a r)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
j : ℤ
a : α
a_in_fixedBy : a ∈ fixedBy α g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
hg : CPolynomialAt 𝕜 g x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (π i)

Context: x y x' y' : ι → ℝ

Context: hx : x ∈ Icc x' y'

Context: hy : y ∈ Icc x' y'


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: x y x' y' : ι → ℝ

Context: hx : x ∈ Icc x' y'

Context: hy : y ∈ Icc x' y'

Context: b : ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)

Context: a b : M

f a * f b + f b * f a = f (a + b) * f (a + b) - f a * f a - f b * f b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: a b : M

f a * f b + f b * f a = f a * f a + f b * f a + (f a * f b + f b * f b) - f a * f a - f b * f b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : M →ₗ[R] A

Context: a b : M

(algebraMap R A) (Q (a + b)) - (algebraMap R A) (Q a) - (algebraMap R A) (Q b) = (algebraMap R A) (Q (a + b) - Q a - Q b)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G


g⁻¹ • s ⊆ s ↔ s ⊆ g • s


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
f : F
s : Set M₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
n : ℕ
x : α


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s

∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, ⇑(homothety x δ) '' t ⊆ s


∀ y ∈ t, ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
y : Q
hy : y ∈ t

∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s


Context:
X : Type u_1
x : OnePoint X


Context: z : ℂ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ

0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: H : μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: H : (μ.restrict s) {x | f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ} = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: this : Fact (μ s < ⊤)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: this : Fact (μ s < ⊤)

0 < ∫ (x : α) in s, f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: this : Fact (μ s < ⊤)

0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: this : Fact (μ s < ⊤)

IntegrableOn (fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : μ s ≠ 0

Context: hμ₁ : μ s ≠ ⊤

Context: hf : IntegrableOn f s μ

Context: this : Fact (μ s < ⊤)

0 < μ ((support fun x => f x - ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ) ∩ s)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ : P

p₂ -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p₂ -ᵥ p₁)


Context: k : Type u₁

Context: G : Type u₂

Context: H : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: ι : Type ui

Context: inst✝¹ : CommSemiring k

Context: inst✝ : CommMonoid G

Context: s✝ : Finset ι

Context: a✝ : ι → G

Context: b : ι → k

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : ∏ i ∈ s, single (a✝ i) (b i) = single (∏ i ∈ s, a✝ i) (∏ i ∈ s, b i)

∏ i ∈ Finset.cons a s has, single (a✝ i) (b i) = single (∏ i ∈ Finset.cons a s has, a✝ i) (∏ i ∈ Finset.cons a s has, b i)


Context:
n m : ℕ
h : m ≤ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → α
n : ℕ
ih : preimage f^[n] = (preimage f)^[n]

preimage f^[n + 1] = (preimage f)^[n + 1]


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x : F

((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x = φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x))


∀ (v : F), ⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), v⟫_ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F

⟪((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ


(((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = ⟪φ (o.rightAngleRotation (φ.symm x)), y⟫_ℝ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points

Context: hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

∃ r, ∀ (t : Triangle ℝ P), Set.range t.points ⊆ s → Simplex.circumradius t = r


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t : Triangle ℝ P

∀ (t_1 : Triangle ℝ P), Set.range t_1.points ⊆ s → Simplex.circumradius t_1 = Simplex.circumradius t


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: t₂ : Triangle ℝ P

Context: ht₂ : Set.range t₂.points ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Context: ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s

Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: t₂ : Triangle ℝ P

Context: ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s

Context: c : P

Context: hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)

Context: h : ∀ p₁ ∈ Set.range t₂.points, dist p₁ c = Simplex.circumradius t


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: t₂ : Triangle ℝ P

Context: ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s

Context: c : P

Context: h : ∀ (i : Fin 3), dist (t₂.points i) c = Simplex.circumradius t


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: t₂ : Triangle ℝ P

Context: ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s

Context: c : P

Context: hs : Set.range t.points ⊆ s


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Set P

Context: t : Triangle ℝ P

Context: t₂ : Triangle ℝ P

Context: ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s

Context: c : P

Context: hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points)

Context: hs : Set.range t.points ⊆ s


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'

Context: h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H

Context: P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N

Context: this : Fact (Nat.Prime (Nat.card ↥N).minFac)


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Finite G

Context: N : Subgroup G

Context: inst✝ : N.Normal

Context: h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index

Context: P : Sylow (Nat.card ↥N).minFac ↥N


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
c : ℤ


Context:
x : ℂ
n : ℕ


Context:
X : Type u_3
Y : ?m.21441
A✝ : Type ?u.21450
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
inst✝ : PreconnectedSpace A
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
he : p ∘ g₁ = p ∘ g₂
a : A
ha : g₁ a = g₂ a
a' : A


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G

∀ (x y : k[G]ᵐᵒᵖ), __src✝.toFun (x * y) = __src✝.toFun x * __src✝.toFun y


∀ (x y : k[G]ᵐᵒᵖ), ↑__src✝ (x * y) = ↑__src✝ x * ↑__src✝ y


∀ (x y : k[G]ᵐᵒᵖ), __src✝ (x * y) = __src✝ x * __src✝ y


∀ (x y : k[G]ᵐᵒᵖ), __src✝.toAddMonoidHom (x * y) = __src✝.toAddMonoidHom x * __src✝.toAddMonoidHom y


AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom = (AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCommMonoid G
i₁ : G
r₁ : k
i₂ : G
r₂ : k

((((((AddMonoidHom.mul.compr₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂ = (((((((AddMonoidHom.mul.comp __src✝.toAddMonoidHom).compl₂ __src✝.toAddMonoidHom).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₁)) r₁).comp opAddEquiv.toAddMonoidHom).comp (singleAddHom i₂)) r₂


↑(opAddEquiv.symm.trans (mapRange.addEquiv opAddEquiv)) (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁) * opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) = ↑(opAddEquiv.symm.trans (mapRange.addEquiv opAddEquiv)) (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁)) * ↑(opAddEquiv.symm.trans (mapRange.addEquiv opAddEquiv)) (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))


(mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁) * opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂))) = (mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) * (mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)))


(mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) * unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) = (mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) * (mapRange.addEquiv opAddEquiv) (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)))


mapRange op ⋯ (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)) * unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) = mapRange op ⋯ (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₁ r₁))) * mapRange op ⋯ (unop (opAddEquiv (Finsupp.single i₂ r₂)))


Finsupp.single (i₂ + i₁) (op (r₂ * r₁)) = Finsupp.single i₁ (op r₁) * Finsupp.single i₂ (op r₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite α
this : Fintype α

Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ (k + 1)) ≤ ∑ k ∈ Ico 2 (2 ^ n + 1), f k


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommMonoid M

Context: f : ℕ → M

Context: u : ℕ → ℕ

Context: n x✝ : ℕ

Context: a✝ : x✝ ∈ range n


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
f : X → L
x : X


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N a b : ℕ
hab : revAtFun N a = revAtFun N b


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: as : Array α

Context: f : α → m β

Context: motive : Nat → Prop

Context: h0 : motive 0

Context: p : Fin as.size → β → Prop

Context: hs : ∀ (i : Fin as.size), motive ↑i → SatisfiesM (fun x => p i x ∧ motive (↑i + 1)) (f as[i])

SatisfiesM (fun arr => motive as.size ∧ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ arr[i]) (mapM f as)


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: as : Array α

Context: f : α → m β

Context: motive : Nat → Prop

Context: h0 : motive 0

Context: p : Fin as.size → β → Prop

SatisfiesM (fun arr => motive as.size ∧ ∃ eq, ∀ (i : Nat) (h : i < as.size), p ⟨i, h⟩ arr[i]) (foldlM (fun bs a => bs.push <$> f a) #[] as 0)


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: as : Array α

Context: f : α → m β

Context: motive : Nat → Prop

Context: h0 : motive 0

Context: p : Fin as.size → β → Prop

(fun i arr => motive i ∧ arr.size = i ∧ ∀ (i : Fin as.size) (h2 : ↑i < arr.size), p i arr[↑i]) 0 #[]


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: as : Array α

Context: f : α → m β

Context: motive : Nat → Prop

Context: h0 : motive 0

Context: p : Fin as.size → β → Prop

∀ (i : Fin as.size) (b : Array β), (fun i arr => motive i ∧ arr.size = i ∧ ∀ (i : Fin as.size) (h2 : ↑i < arr.size), p i arr[↑i]) (↑i) b → SatisfiesM ((fun i arr => motive i ∧ arr.size = i ∧ ∀ (i : Fin as.size) (h2 : ↑i < arr.size), p i arr[↑i]) (↑i + 1)) (b.push <$> f as[i])


Context:
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A : Matrix m n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R

A * B₁.fromColumns B₂ = (A * B₁).fromColumns (A * B₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: r : α → β → Prop

Context: p : γ → δ → Prop

Context: as₀ as₁ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : ∀ {bs : Multiset β}, Rel r (s + as₁) bs ↔ ∃ bs₀ bs₁, Rel r s bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁

Context: bs : Multiset β

Rel r (a ::ₘ s + as₁) bs ↔ ∃ bs₀ bs₁, Rel r (a ::ₘ s) bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: r : α → β → Prop

Context: p : γ → δ → Prop

Context: as₀ as₁ : Multiset α

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: bs : Multiset β

(∃ b bs', r a b ∧ (∃ bs₀ bs₁, Rel r s bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs' = bs₀ + bs₁) ∧ bs = b ::ₘ bs') ↔ ∃ bs₀ bs₁, (∃ b bs', r a b ∧ Rel r s bs' ∧ bs₀ = b ::ₘ bs') ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ bs = bs₀ + bs₁


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Mono f ↔ Function.Injective ⇑((forget₂ C Ab).map f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E


finrank F ↥⊤ = finrank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
s : Multiset (α → M)
hs : ∀ f ∈ s, AEStronglyMeasurable f μ

AEStronglyMeasurable (fun x => (Multiset.map (fun f => f x) s).prod) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
x : α

(l ⊔ pure x).HasBasis p fun i => s i ∪ {x}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
ht : t ∈ 𝓝 x

↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)


t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E

IsVonNBounded 𝕜 (s + s) ↔ IsVonNBounded 𝕜 s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsArtinian R M
h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

∀ᶠ (l : ℕ) in Filter.atTop, ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → lowerCentralSeries R L M n = lowerCentralSeries R L M m