Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : CommMonoidWithZero M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝² : CommMonoidWithZero N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoidWithZero P

Context: f : S.LocalizationWithZeroMap N

Context: inst✝ : IsLeftCancelMulZero M

Context: h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsLeftRegular x

Context: g : M →* N := f.toMap

Context: a z w : N

Context: ha : a ≠ 0

Context: hazw : a * z = a * w

Context: b : M × ↥S

Context: hb : a * fl.toMap ↑b.2 = fl.toMap b.1

Context: x : M × ↥S

Context: hx : z * fl.toMap ↑x.2 = fl.toMap x.1

Context: y : M × ↥S

Context: hy : w * fl.toMap ↑y.2 = fl.toMap y.1

Context: b1ne0 : b.1 ≠ 0

Context: main : g (b.1 * (↑x.2 * y.1)) = g (b.1 * (↑y.2 * x.1))


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

(∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ n


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x y : α

Context: h : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: this : (∑ i ∈ range n, (x - y + y) ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) + y ^ n = (x - y + y) ^ n


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x y : α

Context: h : Commute x y

Context: n : ℕ

Context: this : (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) + y ^ n = x ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f g✝ : ι → α
g : ι' → α
h : ι → ι'
h1 : Surjective h
h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f g✝ : ι → α
g : ι' → α
h : ι → ι'
h1 : Surjective h
h2 : ∀ (x : ι), g (h x) = f x
x✝ : ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: hj : j₁.toSignedMeasure = j₂.toSignedMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S

Context: hS₃ : VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Sᶜ

Context: hS₄ : j₁.posPart S = 0

Context: hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₄ : j₁.posPart S = 0

Context: hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : VectorMeasure.restrict j₂.toSignedMeasure T ≤ VectorMeasure.restrict 0 T

Context: hT₃ : VectorMeasure.restrict 0 Tᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₂.toSignedMeasure Tᶜ

Context: hT₄ : j₂.posPart T = 0

Context: hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₄ : j₁.posPart S = 0

Context: hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₂ : VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure T ≤ VectorMeasure.restrict 0 T

Context: hT₃ : VectorMeasure.restrict 0 Tᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j₁.toSignedMeasure Tᶜ

Context: hT₄ : j₂.posPart T = 0

Context: hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₄ : j₁.posPart S = 0

Context: hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₄ : j₂.posPart T = 0

Context: hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0

Context: hST₁ : ↑j₁.toSignedMeasure (symmDiff Sᶜ Tᶜ) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₄ : j₁.posPart S = 0

Context: hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₄ : j₂.posPart T = 0

Context: hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₄ : j₁.posPart S = 0

Context: hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₄ : j₂.posPart T = 0

Context: hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

Context: hμ₁ : (j₁.posPart i).toReal = ↑j₁.toSignedMeasure (i ∩ Sᶜ)

Context: hμ₂ : (j₂.posPart i).toReal = ↑j₂.toSignedMeasure (i ∩ Tᶜ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: j₁ j₂ : JordanDecomposition α

Context: S : Set α

Context: hS₁ : MeasurableSet S

Context: hS₄ : j₁.posPart S = 0

Context: hS₅ : j₁.negPart Sᶜ = 0

Context: T : Set α

Context: hT₁ : MeasurableSet T

Context: hT₄ : j₂.posPart T = 0

Context: hT₅ : j₂.negPart Tᶜ = 0

Context: i : Set α

Context: hi : MeasurableSet i

↑j₁.toSignedMeasure (i ∩ Sᶜ) = ↑j₁.toSignedMeasure (i ∩ Tᶜ)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

fderiv 𝕜 (fun y => -f y) x = -fderiv 𝕜 f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScottHausdorff α
s : Set α

IsOpen s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → ∀ ⦃a : α⦄, IsLUB d a → a ∈ s → ∃ b ∈ d, Ici b ∩ d ⊆ s


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
P : k[X]
hP : P ≠ 0

Multiset.count X (normalizedFactors ↑P) = Multiset.count Polynomial.X (normalizedFactors P)


∀ (c : ℕ), c ≤ Multiset.count X (normalizedFactors ↑P) ↔ c ≤ Multiset.count Polynomial.X (normalizedFactors P)


∀ (c : ℕ), ↑c ≤ ↑(Multiset.count X (normalizedFactors ↑P)) ↔ ↑c ≤ ↑(Multiset.count Polynomial.X (normalizedFactors P))


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R

A ∈ center (SpecialLinearGroup n R) ↔ ∃ r, r ^ Fintype.card n = 1 ∧ (scalar n) r = ↑A


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
hn : IsEmpty n


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
i : n


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
i : n
h : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)


Context: n : Type u

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Fintype n

Context: R : Type v

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing S

Context: A : SpecialLinearGroup n R

Context: i : n

Context: x✝ : ∃ r, r ^ Fintype.card n = 1 ∧ (scalar n) r = ↑A

Context: r : R

Context: left✝ : r ^ Fintype.card n = 1

Context: hr : (scalar n) r = ↑A

Context: B : SpecialLinearGroup n R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
p : α → Prop

BoundedSpace (Subtype p) ↔ IsBounded {x | p x}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: v : E

Context: hf : Continuous f

Context: this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜

Context: this✝ : BorelSpace 𝕜

Context: g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)

Context: hg : Continuous (Function.uncurry g)

MeasurableSet {x | LineDifferentiableAt 𝕜 f x v}


Context:
F : Type u
K : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁵ : Ring F
inst✝¹⁴ : Ring K
inst✝¹³ : AddCommGroup A✝
inst✝¹² : Module F K
inst✝¹¹ : Module K A✝
inst✝¹⁰ : Module F A✝
inst✝⁹ : IsScalarTower F K A✝
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : StrongRankCondition K
inst✝⁶ : Module.Free F K
inst✝⁵ : Module.Free K A✝
A : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module K A
inst✝² : Module F A
inst✝¹ : IsScalarTower F K A
inst✝ : Module.Free K A

Module.rank F K * Module.rank K A = Module.rank F A


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A

⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆) = 2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) = 0


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) = 0


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) = 0


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (c * b)⁆)) = 0


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + (⁅L (a * a), L b⁆ + ⁅L (b * b), L a⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L (a * a), L c⁆ + ⁅L (c * c), L a⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + (⁅L (b * b), L c⁆ + ⁅L (c * c), L b⁆)) = 0


⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + (-⁅L b, L (a * a)⁆ + -⁅L a, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (-⁅L c, L (a * a)⁆ + -⁅L a, L (c * c)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + (-⁅L c, L (b * b)⁆ + -⁅L b, L (c * c)⁆)) = 0


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
U W : Submodule K V
h : IsCompl U W

finrank K ↥U + finrank K ↥W = finrank K V


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Set α

Context: t : Finset α

Context: h : s ∩ mulSupport f = ↑t ∩ mulSupport f

Context: x : α

Context: hxf : f x ≠ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α → M

Context: s : Set α

Context: t : Finset α

Context: x : α

Context: hxf : x ∈ mulSupport f


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R

I = span {x} * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI) ∧ ∀ z ∈ J, x * z ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
degree_g_lt : g.degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g


Context: R : Type u

Context: inst✝ : Ring R

Context: J : Type w

Context: f : J → ModuleCat R

Context: s : Cone (Discrete.functor f)

Context: m : s.pt ⟶ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.pt

Context: w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.π.app j = s.π.app j

Context: x : ↑s.pt


Context: R : Type u

Context: inst✝ : Ring R

Context: J : Type w

Context: f : J → ModuleCat R

Context: s : Cone (Discrete.functor f)

Context: x : ↑s.pt

Context: j : J


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hα : ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO

Context: hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO

Context: f : ℕ → Lex (α × β)

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)

Context: f : ℕ → Lex (α × β)

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: f : ℕ → Lex (α × β)

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: inst✝ : Preorder β

Context: s : Set (Lex (α × β))

Context: f : ℕ → Lex (α × β)

Context: hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s

eVariationOn f (s ∩ Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Icc a c)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
A : IsGreatest (s ∩ Icc a b) b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
A : IsGreatest (s ∩ Icc a b) b
B : IsLeast (s ∩ Icc b c) b


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)

↑((Opens.map (D.ι j).base).obj (⋯.functor.obj U)) = ↑((opensFunctor (D.f j i)).obj ((Opens.map (D.t j i).base).obj ((Opens.map (D.f i j).base).obj U)))


⇑(D.ι j).base ⁻¹' (⇑(D.ι i).base '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))


⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv) ⁻¹' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))


(⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv) ∘ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑(D.gluedIso (forget C)).inv ∘ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))


⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv ⁻¹' (⇑(D.gluedIso (forget C)).inv '' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U))) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))


⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))


Function.Injective (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv)


∀ o ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, o.Nonempty → (o ∩ {x | Irrational x}).Nonempty


∀ (o : Set ℝ) (x x_1 : ℚ), x < x_1 → o = Ioo ↑x ↑x_1 → o.Nonempty → (o ∩ {x | Irrational x}).Nonempty


Context:
a b : ℚ
hlt : a < b
a✝ : (Ioo ↑a ↑b).Nonempty

(Ioo ↑a ↑b ∩ {x | Irrational x}).Nonempty


({x | Irrational x} ∩ Ioo ↑a ↑b).Nonempty


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context:
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U V : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V ⟶ X

Context: f' : V ⟶ U

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f

Context: this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U V : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V ⟶ X

Context: f' : V ⟶ U

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U✝ V✝ : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U✝

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V✝ ⟶ X

Context: f' : V✝ ⟶ U✝

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f

Context: U V : Scheme

Context: f₁ : U ⟶ pullback f g

Context: f₂ : V ⟶ pullback f g

Context: hU : IsAffine U

Context: hV : IsAffine V

Context: hf₁ : IsOpenImmersion f₁

Context: hf₂ : IsOpenImmersion f₂

Q (pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U✝ V✝ : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U✝

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V✝ ⟶ X

Context: f' : V✝ ⟶ U✝

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f

Context: U V : Scheme

Context: f₁ : U ⟶ pullback f g

Context: f₂ : V ⟶ pullback f g

Context: hU : IsAffine U

Context: hV : IsAffine V

Context: hf₁ : IsOpenImmersion f₁

Context: hf₂ : IsOpenImmersion f₂

Q ((pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U✝ V✝ : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U✝

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V✝ ⟶ X

Context: f' : V✝ ⟶ U✝

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f

Context: U V : Scheme

Context: f₁ : U ⟶ pullback f g

Context: f₂ : V ⟶ pullback f g

Context: hU : IsAffine U

Context: hV : IsAffine V

Context: hf₁ : IsOpenImmersion f₁

Context: hf₂ : IsOpenImmersion f₂

Context: e_1✝ : pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯) = pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)

Context: e_2✝ : pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) = pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g)

(pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g) = pullback.snd (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U✝ V✝ : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U✝

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V✝ ⟶ X

Context: f' : V✝ ⟶ U✝

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f

Context: U V : Scheme

Context: f₁ : U ⟶ pullback f g

Context: f₂ : V ⟶ pullback f g

Context: hU : IsAffine U

Context: hV : IsAffine V

Context: hf₁ : IsOpenImmersion f₁

Context: hf₂ : IsOpenImmersion f₂

IsAffine (pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g))


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : HasAffineProperty P Q

Context: X Y U✝ V✝ : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : U✝ ⟶ Y

Context: inst✝¹ : IsAffine U✝

Context: inst✝ : IsOpenImmersion g

Context: iV : V✝ ⟶ X

Context: f' : V✝ ⟶ U✝

Context: h : IsPullback iV f' f g

Context: H : P.diagonal f

Context: U V : Scheme

Context: f₁ : U ⟶ pullback f g

Context: f₂ : V ⟶ pullback f g

Context: hU : IsAffine U

Context: hV : IsAffine V

Context: hf₁ : IsOpenImmersion f₁

Context: hf₂ : IsOpenImmersion f₂

IsOpenImmersion (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s

InjOn f (insert a s) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s


(InjOn f s ∧ InjOn f {a} ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ {a}, f x ≠ f y) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝ : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this : Finite G


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
h : Fintype.card ↥H = Fintype.card G


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : Fin (n + 1) → α
a : α

((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) (vecCons a f) (vecCons a f) ↔ r a (f 0) ∧ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R

Context: hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ

Context: x : σ → R


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ

Context: x : σ → R


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ

Context: x : σ → R

Context: φ : σ

f (X φ) = (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) (X φ)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜

HasSum f c ↔ HasSum (fun x => re (f x)) (re c) ∧ HasSum (fun x => im (f x)) (im c)


HasSum (fun x => re (f x)) (re c) ∧ HasSum (fun x => im (f x)) (im c) → HasSum f c


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
h₁ : HasSum (fun x => re (f x)) (re c)
h₂ : HasSum (fun x => im (f x)) (im c)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
r : R
x✝ : IsUnit (X - C r)
g : R[X]
_hfg : (X - C r) * g = 1
hgf : g * (X - C r) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n

↑(fill a (filterNe a m).fst (filterNe a m).snd) = ↑m


filter (fun x => a ≠ x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a) = ↑m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α

count b (filter (fun x => ¬a = x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a)) = count b ↑m


((if ¬a = b then count b ↑m else 0) + if b = a then count a ↑m else 0) = count b ↑m


((if ¬a = a then count a ↑m else 0) + if a = a then count a ↑m else 0) = count a ↑m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
h : a ≠ b


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : Fintype.card α < r


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : r ≤ Fintype.card α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr' : r ≤ Fintype.card α

Context: h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr' : r ≤ Fintype.card α

𝒜.card * (Fintype.card α).choose (r - 1) ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α).choose r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: r : ℕ

Context: hr : r ≠ 0

Context: hr' : r ≤ Fintype.card α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s : Finset α

Context: f : α → β →₀ M

(s.sum f).support ⊆ s.biUnion fun x => (f x).support


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s : Finset α

Context: f : α → β →₀ M

(s.sum f).support ⊆ s.sup fun x => (f x).support


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → β →₀ M

(∅.sum f).support ⊆ ∅.sup fun x => (f x).support


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → β →₀ M

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: ih : (s.sum f).support ⊆ s.sup fun x => (f x).support

((Finset.cons a s ha).sum f).support ⊆ (Finset.cons a s ha).sup fun x => (f x).support


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a b : M
h : ⊤ ≤ S.centralizer
x✝¹ : M
hx : x✝¹ ∈ S
x✝ : M


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ

c.sizeUpTo i ≤ (take i c.blocks).sum + (drop i c.blocks).sum


Context:
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℕ
s✝ : Set ℕ
f : ι → ℕ∞
s : Set ℕ∞


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K
this : 0 < Fintype.card K - 1


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: f g : (i : ι) → N i

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) = ⨆ i, mrange (ϕ i)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) ≤ ⨆ i, mrange (ϕ i)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: N : ι → Type u_3

Context: inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)

Context: ϕ : (i : ι) → N i →* M

Context: f g : (i : ι) → N i

⨆ i, mrange (ϕ i) ≤ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm)


Context: A B A' B' : CommRingCat

Context: f : A ⟶ B

Context: f' : A' ⟶ B'

Context: g : A ⟶ A'

Context: g' : B ⟶ B'

Context: fac : g ≫ f' = f ≫ g'

Context: b : ↑B

Context: this✝³ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f

Context: this✝² : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'

Context: this✝¹ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g

Context: this✝ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'

Context: this : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra


Context: A B A' B' : CommRingCat

Context: f : A ⟶ B

Context: f' : A' ⟶ B'

Context: g : A ⟶ A'

Context: g' : B ⟶ B'

Context: fac : g ≫ f' = f ≫ g'

Context: b : ↑B

Context: this✝⁴ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f

Context: this✝³ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'

Context: this✝² : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g

Context: this✝¹ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'

Context: this✝ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra

Context: this : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'


Context: A B A' B' : CommRingCat

Context: f : A ⟶ B

Context: f' : A' ⟶ B'

Context: g : A ⟶ A'

Context: g' : B ⟶ B'

Context: fac : g ≫ f' = f ≫ g'

Context: b : ↑B

Context: this✝⁵ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f

Context: this✝⁴ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'

Context: this✝³ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g

Context: this✝² : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'

Context: this✝¹ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra

Context: this✝ : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'

Context: this : IsScalarTower ↑A ↑B ↑B'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

eval 1 (cyclotomic n ℤ) = 1 ∨ eval 1 (cyclotomic n ℤ) = -1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ¬p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs

Context: this : Fact (Nat.Prime p)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ = ∑ i ∈ range n, X ^ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : eval 1 (∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ) = eval 1 (∑ i ∈ range n, X ^ i)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ range (padicValNat p n), eval 1 (cyclotomic (p ^ (x + 1)) ℤ)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Ring R

Context: n : ℕ

Context: hn' : n > 0

Context: hn : 1 < n

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: this✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)

∀ x ∈ range (padicValNat p n), ∀ y ∈ range (padicValNat p n), p ^ (x + 1) = p ^ (y + 1) → x = y


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x r y : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g

EventuallyConst f l ↔ EventuallyConst g l


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P

s ∥ ⊥ ↔ s = ⊥


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : s ∥ ⊥


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
h : ⊥ = map (↑(constVAdd k P v)) s


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a : ℕ

Context: b : ℤ

multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: a : ℕ

Context: b : ℤ

Context: h : b = ↑b.natAbs

multiplicity a b.natAbs = multiplicity ↑a ↑b.natAbs


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Ring α

Context: a : ℕ

Context: b : ℤ

Context: h : b = -↑b.natAbs

multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) (-↑b.natAbs)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝¹ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ

Context: L : E →SL[σ] F

Context: this : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G

Continuous { toFun := fun f => f.comp L, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝¹ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ

Context: L : E →SL[σ] F

Context: this✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G

Context: this : UniformAddGroup G


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝¹ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ

Context: L : E →SL[σ] F

Context: this : UniformAddGroup G

Continuous ((⇑(UniformOnFun.ofFun {S | Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S}) ∘ DFunLike.coe) ∘ { toFun := fun f => f.comp L, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃

Context: inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G

Context: inst✝¹ : RingHomSurjective σ

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ

Context: L : E →SL[σ] F

Context: this : UniformAddGroup G

Continuous ((fun f => (UniformOnFun.ofFun {S | Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S}) (f ∘ ⇑L)) ∘ DFunLike.coe)


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
f : Filter (OnePoint X)

f ≤ 𝓝 ∞ ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsCompact s → some '' sᶜ ∪ {∞} ∈ f


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnot : ¬x ^ p ^ n = 1
hfin : x ^ p ^ (n + 1) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ✝ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

Context: huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ✝ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ ⦃t : Set ℝ⦄, MeasurableSet t → (κ x) t = (ρ.condKernel x) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ✝ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) ∅ = (ρ.condKernel x) ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ✝ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ t ∈ ⋃ a, {Iic ↑a}, (κ x) t = (ρ.condKernel x) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ✝ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → (κ x) t = (ρ.condKernel x) t → (κ x) tᶜ = (ρ.condKernel x) tᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝³ : Nonempty Ω

Context: ρ✝ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝

Context: ρ : Measure (α × ℝ)

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ

Context: κ : Kernel α ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ

∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ (f : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (κ x) (f i) = (ρ.condKernel x) (f i)) → (κ x) (⋃ i, f i) = (ρ.condKernel x) (⋃ i, f i)


Context: a : ℤ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ

(constantCoeff σ R) (φ.invOfUnit u) = ↑u⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : αᵒᵈ

lt.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ lt.Compares b a


eq.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ eq.Compares b a


gt.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ gt.Compares b a


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ

((𝟙 (homology K a') ≫ ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').inv.app K)) ≫ 𝟙 ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K)).homology) ≫ 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K).homology a) = ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').inv.app K)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: f : α → α

Context: x y : ℕ → α

Context: hf : Monotone f

Context: h₀ : x 0 ≤ y 0

Context: n : ℕ

Context: ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n

Context: hn : 0 < n + 1

Context: hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)

Context: hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: f : α → α

Context: x y : ℕ → α

Context: hf : Monotone f

Context: h₀ : x 0 ≤ y 0

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n + 1


Context:
n : ℕ
h0 : n ≠ 0

IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n)) n


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r * ↑r.den‖ = ‖↑r.num‖


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1
this : ↑p ∣ r.num ∧ ↑p ∣ ↑r.den


Context:
m n a b c d : ℕ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [MOD m]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure β
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

((Kernel.sum fun n => const α (μ n)) x) s = ((const α (Measure.sum μ)) x) s


∑' (n : ι), ((const α (μ n)) x) s = ∑' (i : ι), (μ i) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop


Context: x y : ℝ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)


induced f inst✝¹ ≤ induced f (induced g inst✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear

G.edgeFinset.card = 3 * (G.cliqueFinset 3).card


G.edgeFinset.card ≤ 3 * (G.cliqueFinset 3).card


G.edgeFinset.card * 1 ≤ (G.cliqueFinset 3).card * 3


∀ a ∈ G.edgeFinset, 1 ≤ (bipartiteAbove (fun e s => e ∈ s.sym2) (G.cliqueFinset 3) a).card


∀ b ∈ G.cliqueFinset 3, (bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset b).card ≤ 3


∀ (b : Finset α) (x x_1 x_2 : α), G.Adj x x_1 → G.Adj x x_2 → G.Adj x_1 x_2 → b = {x, x_1, x_2} → (bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset b).card ≤ 3


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
a b c : α
hab : G.Adj a b
hac : G.Adj a c
hbc : G.Adj b c

(bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset {a, b, c}).card ≤ 3


bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset {a, b, c} ⊆ {s(a, b), s(a, c), s(b, c)}


∀ (x y : α), G.Adj x y → x = a ∨ x = b ∨ x = c → y = a ∨ y = b ∨ y = c → s(x, y) = s(a, b) ∨ s(x, y) = s(a, c) ∨ s(x, y) = s(b, c)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
h : n < L.length


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
h : L.length ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

a.re * b.imI + a.imI * b.re - -1 * a.imJ * b.imK + -1 * a.imK * b.imJ = a.re * b.imI + a.imI * b.re + a.imJ * b.imK - a.imK * b.imJ


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A

I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J

(fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) M


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}

Context: h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}

Context: h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)

(Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≠ ⊥


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)

(Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: h_fA : ¬IsField A

Context: I M : Ideal A

Context: h_nzM : M ≠ ⊥

Context: hA_nont : Nontrivial A

Context: h_topM : ¬M = ⊤

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: x : A

Context: hx : x ∉ M

Context: y : A

Context: hy : y ∉ M

Context: h_xy : x * y ∈ M

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)

¬((Multiset.map asIdeal Wx).prod = ⊥ ∨ (Multiset.map asIdeal Wy).prod = ⊥)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ

IsPrimePow n ↔ ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


(∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) ↔ ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


(∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) → ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k

∃ p_1 ≤ p ^ k, ∃ k_1 ≤ p ^ k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k_1 ∧ p_1 ^ k_1 = p ^ k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n


∑ n_1 ∈ p.support, (monomial (n_1 - n)) (↑(n_1.choose n) * p.coeff n_1) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
x : ℕ
hx : x ∈ p.support

(monomial (x - n)) (↑(x.choose n) * p.coeff x) = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
m : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
k : ℕ
hn : k + 1 ≠ 0


Context:
S : SSet
inst✝ : S.Quasicategory
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h0 : 0 < i
hn : i < Fin.last n
σ₀ : Λ[n, i] ⟶ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
t : Set β

kernImage f (f ⁻¹' t ∪ s) = t ∪ kernImage f s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α


Context:
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε

∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g✝ : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)

Context: g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm

Context: hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: hfε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: f✝ g✝ : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Finite ι

Context: hp_top : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: n : ℕ

Context: hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)

Context: g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm

Context: hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ

Context: s : Set α

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: i : ι


Context:
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

(F.mapComp (𝟙 a) f).inv = (F.mapId a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom ≫ F.map₂ (λ_ f).inv


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
I : Ideal ℤ
g : ↥I →ₗ[ℤ] A

∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A

∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {0}) →ₗ[ℤ] A

∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {0}), g' x = g ⟨x, mem⟩


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n ∈ Submodule.span ℤ {m}

(LinearMap.toSpanSingleton ℤ A (DivisibleBy.div gₘ m)) n = g ⟨n, hn⟩


Context:
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n • m ∈ Submodule.span ℤ {m}

(LinearMap.toSpanSingleton ℤ A (DivisibleBy.div gₘ m)) (n • m) = g ⟨n • m, hn⟩


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B I J X Y : Set α

Context: e : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hmax : ∀ ⦃J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → J ⊆ I

Context: hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B I J X Y : Set α

Context: e : α

Context: hI : M.Indep I

Context: hIX : I ⊆ X

Context: hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α

List.sym (n + 1) (map f (x :: xs)) = map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) (x :: xs))


map (fun p => f x ::ₛ p) (map (Sym.map f) (List.sym n (x :: xs))) ++ map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) xs) = map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) (x :: xs))


map ((fun p => f x ::ₛ p) ∘ Sym.map f) (List.sym n (x :: xs)) = map (Sym.map f ∘ fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs))


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
s : Sym α n

↑(((fun p => f x ::ₛ p) ∘ Sym.map f) s) = ↑((Sym.map f ∘ fun p => x ::ₛ p) s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
i : ι

(hv.equiv hv (Equiv.refl ι)) (v i) = (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 E) (v i)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a b✝ : α
b : ↑(Ici a)


⊥ ⋖ b ↔ a ⋖ ↑b


(range ⇑(OrderEmbedding.subtype fun c => a ≤ c)).OrdConnected


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulZeroClass α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x


(S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ S.descOpcycles k ⋯ = 0


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.83401, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.83405, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
X Y : C
m : M
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
X Y : C
m : M
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

(F.shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ F.shiftMap f a' a'' ha'' = (F.shift a).map ((shiftFunctor C n).map f) ≫ (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).inv.app Y) ≫ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app Y


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: U : Opens ↑↑(pullback (D.f i j) (D.f i k))

invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) = (D.t' k i j).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j)) (unop (op { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑(unop (op U)), is_open' := ⋯ })) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: e : invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = (D.t' k i j).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j)) (unop (op { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑(unop (op U)), is_open' := ⋯ }))


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: D : GlueData C

Context: i j k : D.J

Context: e : ∀ {Z : C} (h : (D.V (k, i)).presheaf.obj (op ((opensFunctor (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j))).obj { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ })) ⟶ Z), invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ h = (D.t' k i j).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.fst (D.f k i) (D.f k j)) { carrier := ⇑(D.t' k i j).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ } ≫ h

invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) = invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) U ≫ (D.t k i).c.app (op ((opensFunctor (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k))).obj U)) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ (D.V (k, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context: op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: o a b : Ordinal.{u}

Context: ha : a < nfp (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b) o

Context: hb : b < nfp (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b) o

op a b < nfp (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b) o


Context: o a b : Ordinal.{u}

Context: ha : ∃ n, a < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o

Context: hb : ∃ n, b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o

∃ n, op a b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o


Context: o a b : Ordinal.{u}

Context: m : ℕ

Context: hm : a < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[m] o

Context: n : ℕ

Context: hn : b < (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o


Context: o a b : Ordinal.{u}

Context: m : ℕ

Context: n : ℕ

Context: h : (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[m] o ≤ (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o


Context: o a b : Ordinal.{u}

Context: m : ℕ

Context: n : ℕ

Context: h : (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[n] o ≤ (fun o' => o'.blsub₂ o' fun a x b x => op a b)^[m] o


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s₁
h₂ : IsOpen s₂


Context:
α : Type u_1
s : Cycle α
l✝ l : List α

l✝ ∈ lists (Quotient.mk'' l) ↔ ↑l✝ = Quotient.mk'' l


Context:
α : Type u_1
s : Cycle α
l✝ l : List α

l✝ ∈ ↑l.cyclicPermutations ↔ ↑l✝ = Quotient.mk'' l


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ


∃ b, ∀ a ∈ ↑(increment hP G ε).parts, a.card = b ∨ a.card = b + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
A : Finset α
hA : A ∈ ↑(increment hP G ε).parts


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: A : Finset α

Context: hA : ∃ A_1, ∃ (hA : A_1 ∈ P.parts), A ∈ (chunk hP G ε hA).parts


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
A U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hA : A ∈ (chunk hP G ε hU).parts


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: x✝ : ∃ g, ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = g

Context: a b : G

Context: hab : (a, b) ∈ A ×ˢ B

Context: h : ∃! ab, ab ∈ A ×ˢ B ∧ ab.1 * ab.2 = (a, b).1 * (a, b).2

∃ a0 b0, a0 ∈ A ∧ b0 ∈ B ∧ UniqueMul A B a0 b0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Mul G

Context: inst✝ : Mul H

Context: A B : Finset G

Context: a0 b0 : G

Context: a b : G

Context: hab : (a, b) ∈ A ×ˢ B

Context: ha : (a, b).1 ∈ A

Context: hb : (a, b).2 ∈ B


Context:
α β : LinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget LinOrd).obj α


Context:
α β : LinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget LinOrd).obj β


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x y : R
I J : Ideal R

span {x} * I = span {y} * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zI = y * zJ) ∧ ∀ zJ ∈ J, ∃ zI ∈ I, x * zI = y * zJ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
S : Subgroupoid D
Sn : S.IsNormal
c : C


𝟙 (φ.obj c) ∈ S.arrows (φ.obj c) (φ.obj c)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
S : Subgroupoid D
Sn : S.IsNormal
c✝ d✝ : C
f : c✝ ⟶ d✝
γ : c✝ ⟶ c✝
hγ : γ ∈ (comap φ S).arrows c✝ c✝

Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f ∈ (comap φ S).arrows d✝ d✝


Groupoid.inv (φ.map f) ≫ φ.map γ ≫ φ.map f ∈ S.arrows (φ.obj d✝) (φ.obj d✝)


Context:
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k

(lineMap p₀ p₁) c -ᵥ p₁ = (1 - c) • (p₀ -ᵥ p₁)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℤ
h : y ∈ zpowers x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x : G
i k : ℤ
h : x ^ k ∈ zpowers x


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
t : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
μ : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s

(map f μ) s = (sum fun b => μ (f ⁻¹' {b}) • dirac b) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: s✝ : Set α

Context: a : α

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass β

Context: μ : Measure α

Context: f : α → β

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set β

Context: a✝ : MeasurableSet s

Context: this : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' {y})


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹² : Fintype ι

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι'

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : MultilinearMap 𝕜 E G

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: m : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: hi : ‖m i‖ = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: h : ∀ (x : S), ∃ r s, IsUnit (f s) ∧ f s * x = f r

Context: I : Ideal S

Context: hI : I ≠ ⊤

Context: x : S

Context: r s : R

Context: hr : IsUnit (f s)

Context: hr' : f s * x = f r


Context:
k m n : Nat
H : k.Coprime m


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℤ
x : G


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: β : ι → Type u_3

Context: γ : ι → Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)

Context: a : (i : ι) × α i

Context: b : (i : ι) × β i

(sigmaLift f a b).Nonempty ↔ ∃ (h : a.fst = b.fst), (f (h ▸ a.snd) b.snd).Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: β : ι → Type u_3

Context: γ : ι → Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: a : (i : ι) × α i

Context: b : (i : ι) × β i

(if h : a.fst = b.fst then map (Embedding.sigmaMk b.fst) (f (h ▸ a.snd) b.snd) else ∅) ≠ ∅ ↔ ∃ (h : a.fst = b.fst), f (⋯ ▸ a.snd) b.snd ≠ ∅


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
w✝ : ℤ


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: π : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)

Context: inst✝ : SeminormedGroup E

Context: f x : (i : ι) → π i

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
h : M.IsMatching
v : V
hv : v ∈ M.verts


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
x : S
h : x ∈ I


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
σ : Perm n
M : Matrix n n R

sign σ • detRowAlternating M = ↑↑(sign σ) * M.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁹ : TopologicalSemiring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring A

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSemiring R

Context: B : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring B

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: toAlgHom✝¹ : A →ₐ[R] B

Context: cont✝¹ : Continuous (↑↑toAlgHom✝¹.toRingHom).toFun

Context: toAlgHom✝ : A →ₐ[R] B

Context: cont✝ : Continuous (↑↑toAlgHom✝.toRingHom).toFun

↑{ toAlgHom := toAlgHom✝¹, cont := cont✝¹ } = ↑{ toAlgHom := toAlgHom✝, cont := cont✝ } ↔ toAlgHom✝¹ = toAlgHom✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
s : Set Y


closure (f ⁻¹' s) \ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' closure s \ f ⁻¹' s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
hs : s ⊆ f.source

MapsTo (↑(f.extend I)) s (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


↑I '' (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' s) ⊆ ↑I '' (↑f.symm ⁻¹' s)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝

M.Base (M.E \ B) ↔ B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B}


M.Base (M.E \ B) ↔ (∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
h : M.Base (M.E \ B)
I : Set α
hI : I ⊆ M.E
B' : Set α
x✝ : M.Base B' ∧ Disjoint I B'
hBI : B ⊆ I
hB' : M.Base B'
hIB' : Disjoint I B'


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B₁ B₂ : Set α

Context: hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝

Context: x✝ : (∃ B_1, M.Base B_1 ∧ Disjoint B B_1) ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hBB' : Disjoint B B'

Context: h : ∀ ⦃y : Set α⦄, y ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x ∧ Disjoint y x → B ⊆ y → B = y


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B₁ B₂ : Set α

Context: hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hBB' : Disjoint B B'


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
q : G.Walk w x

(p.concat h).append q = p.append (cons h q)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g : G ⧸ torsion G
hne : g ≠ 1
hfin : IsOfFinOrder g


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g : G
hne : ↑g ≠ 1
hfin : IsOfFinOrder ↑g


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g : G
hne : ↑g ≠ 1
hfin : IsOfFinOrder ↑g
m : ℕ
mpos : 0 < m
hm : ↑g ^ m = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g : G
hne : ↑g ≠ 1
hfin : IsOfFinOrder ↑g
m : ℕ
mpos : 0 < m
hm : ↑g ^ m = 1
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : (fun x => x ^ m) g ^ n = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop

Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ r < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
h : x ∈ closure s


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : Unique α
p : α → Prop
h : p default
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
s : Finset α
f : α → Finset β

t ∩ s.biUnion f = s.biUnion fun x => t ∩ f x


(s.biUnion fun x => f x ∩ t) = s.biUnion fun x => t ∩ f x


Context: a : ℕ

Context: IH : ∀ m < a, ∀ {b : ℕ} {flip : Bool} {ha0 : m > 0}, b % 2 = 1 → b > 1 → fastJacobiSymAux m b flip ha0 = if flip = true then -J(↑m | b) else J(↑m | b)

Context: b : ℕ

Context: flip : Bool

Context: ha0 : a > 0

Context: hb2 : b % 2 = 1

Context: hb1 : b > 1

Context: ha4 : ¬a % 4 = 0

Context: ha2 : ¬a % 2 = 0

Context: ha1 : ¬a = 1

Context: hba : ¬b % a = 0

fastJacobiSymAux (b % a) a (xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip) ⋯ = if flip = true then -J(↑a | b) else J(↑a | b)


Context: a : ℕ

Context: b : ℕ

Context: flip : Bool

Context: ha0 : a > 0

Context: hb2 : b % 2 = 1

Context: hb1 : b > 1

Context: ha4 : ¬a % 4 = 0

Context: ha2 : ¬a % 2 = 0

Context: ha1 : ¬a = 1

Context: hba : ¬b % a = 0

(if xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip = true then -J(↑(b % a) | a) else J(↑(b % a) | a)) = if flip = true then -J(↑a | b) else J(↑a | b)


Context: a : ℕ

Context: b : ℕ

Context: flip : Bool

Context: ha0 : a > 0

Context: hb2 : b % 2 = 1

Context: hb1 : b > 1

Context: ha4 : ¬a % 4 = 0

Context: ha2 : ¬a % 2 = 0

Context: ha1 : ¬a = 1

Context: hba : ¬b % a = 0

(if xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip = true then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = if flip = true then -J(↑a | b) else J(↑a | b)


Context: a : ℕ

Context: b : ℕ

Context: flip : Bool

Context: ha0 : a > 0

Context: hb2 : b % 2 = 1

Context: hb1 : b > 1

Context: ha4 : ¬a % 4 = 0

Context: ha2 : ¬a % 2 = 0

Context: ha1 : ¬a = 1

Context: hba : ¬b % a = 0

(if xor (decide (a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3)) flip = true then -J(↑b | a) else J(↑b | a)) = if flip = true then -if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a) else if a % 4 = 3 ∧ b % 4 = 3 then -J(↑b | a) else J(↑b | a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : α → PMF β
b : β

(p.bindOnSupport fun a x => f a) b = (p.bind f) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p✝ : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β

Context: p : PMF α

Context: f : α → PMF β

Context: b : β

Context: this : ∀ (a : α), (if p a = 0 then 0 else p a * (f a) b) = p a * (f a) b


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddGroup R
x y : HahnSeries Γ R
x✝ : Γ

(x - y).coeff x✝ = (x.coeff - y.coeff) x✝


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
hx : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ = 1
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ a = x ^ b
hlt : b < a


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
hx : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ = 1
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ (a - b) = 1 ∨ x ^ b = 0
hlt : b < a


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
hx : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ = 1
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ (a - b) = 1 ∨ x ^ b = 0
hlt : b < a
hp : x ^ b = 0


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ (a - b) = 1 ∨ x ^ b = 0
hlt : b < a
hp : x ^ b = 0
hx : ‖IsAlgClosed.lift.toRingHom x‖ = 1


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Field K✝
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField A✝
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
x : K
hxi : IsIntegral ℤ x
a b : ℕ
habne : a ≠ b
h : x ^ (a - b) = 1 ∨ x ^ b = 0
hlt : b < a
hp : x ^ b = 0
hx : 0 = 1


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α'
inst✝⁵ : One β
inst✝⁴ : One γ
inst✝³ : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝² : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont : Continuous g
f : α → γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : One γ
h : HasCompactMulSupport f
N : Set γ
hN : N ∈ 𝓝 1


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α'
inst✝⁵ : One β
inst✝⁴ : One γ
inst✝³ : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝² : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont : Continuous g
f : α → γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : One γ
h : HasCompactMulSupport f
N : Set γ
hN : N ∈ 𝓝 1
v : α
hv : v ∈ (mulTSupport f)ᶜ


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι

MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω = i}) ↔ MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω = i})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : Preorder ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ π : Ω → ι

Context: hτ : IsStoppingTime f τ

Context: s : Set Ω

Context: i : ι

Context: this : ∀ (j : ι), {ω | τ ω = i} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | τ ω = i} ∩ {_ω | i ≤ j}


Context: m : ℕ∞


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s✝ : Finmap β
s : AList β


Context:
α β : Type
n : ℕ
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
g : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n
dg : VectorAllP DiophFn g

VectorAllP DiophFn ((fun v => v none) :: fun i v => g i (v ∘ some))


(DiophFn fun v => v none) ∧ VectorAllP DiophFn fun i v => g i (v ∘ some)


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

{x} / closedBall y δ = closedBall (x / y) δ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y z : α
h : [x, y, z].Nodup

(swap x y * swap y z).support = {x, y, z}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f g : Perm α

Context: x y z : α

Context: h : ¬(x = y ∨ x = z ∨ False) ∧ ¬(y = z ∨ False)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f g : Perm α

Context: x y z : α

Context: h : (x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ ¬False) ∧ y ≠ z ∧ ¬False


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f g : Perm α

Context: x y z : α

(swap x y * swap y z).support ≤ {x, y, z}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f g : Perm α

Context: x y z : α

{x, y, z} ≤ (swap x y * swap y z).support


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
inst✝ : Invertible 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: x : α

Context: h' : 𝓝[<] x = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: x : α

Context: h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x✝ y : α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : OrderTopology α

Context: x : α

Context: h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥

Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: f g : Filter β

Context: p q : β → Prop

Context: u v : β → α

Context: h : ∀ (x : β), p x → q x

Context: a : α

Context: ha : a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → u x ≤ a}

∀ (x : β), (q x → u x ≤ a) → p x → u x ≤ a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α

a ⊓ sSup s ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id


∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ⊓ sSup s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
t : Finset α
ht1 : ↑t ⊆ s
ht2 : c ≤ t.sup id


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ


∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), (∃ a, φ.Realize v (Fin.snoc xs a)) ↔ ∃ a, ψ.Realize v (Fin.snoc xs a)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: r : α → β → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)

Context: this : DecidableEq β

Context: r' : α → Finset β := fun a => filter (fun b => r a b) univ

Context: h : ∀ (A : Finset α), filter (fun b => ∃ a ∈ A, r a b) univ = A.biUnion r'

Context: h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x

(∀ (A : Finset α), A.card ≤ (A.biUnion r').card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), f x ∈ r' x


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L


Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯


Context:
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: a b : GradedMonoid fun n => ⨂[R] (x : Fin n), M

Context: h : a.fst = b.fst

Context: h2 : (cast R M h) a.snd = b.snd


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: h : a.fst = b.fst

Context: h2 : (cast R M h) a.snd = b.snd

(reindex R (fun x => M) (Equiv.cast ⋯)) a.snd = b.snd


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: h : a.fst = b.fst

Context: h2 : (reindex R (fun x => M) (finCongr h)) a.snd = b.snd


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

Context: cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

Context: key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, cst t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (cst t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

Context: key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: f_mble : AEMeasurable f μ

Context: cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

Context: ω : α

ENNReal.ofReal (f ω) = ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1)


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
s : Finset α
t : Finset β
f : α → R
g : β → M

(∑ i ∈ s, f i) • ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i • g j


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial


Context:
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
o : Ordinal.{u_1}
h : G ≈ nim o