Context:
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : Nonempty ((i : α) × (β i → γ) ↪ γ)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (i : α) × (β i → γ) ↪ γ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

S.leftRightHomologyComparison = S.leftHomologyIso.hom ≫ S.rightHomologyIso.inv


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
m : Multiset ι
hm : m.Nodup

{ val := m, nodup := hm }.prod f ≠ 0 → ({ val := m, nodup := hm }.prod f).roots = { val := m, nodup := hm }.val.bind fun i => (f i).roots


Context:
a : ℕ
l : List ℕ
x : Γ'
h : x ∈ trList (a :: l)


Context: a : ℕ

Context: l : List ℕ

Context: x : Γ'

Context: h : x ∈ trNat a ∨ x = Γ'.cons ∨ x ∈ trList l


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ


(List.filter (fun b => decide (p b)) (List.range n)).length = (filter p (range n)).card


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N

Injective ⇑f.rangeRestrict ↔ Injective ⇑f


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

MeasurableSet {a | (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0}


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y

Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 b) ↔ ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : FrechetUrysohnSpace X

Context: f : X → Y

Context: a : X

Context: b : Y

Context: h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)

∀ (ib : Set Y), b ∉ ib ∧ IsClosed ib → ∃ ia, (a ∉ ia ∧ IsClosed ia) ∧ ∀ x ∈ iaᶜ, f x ∈ ibᶜ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : FrechetUrysohnSpace X

Context: f : X → Y

Context: a : X

Context: b : Y

Context: s : Set Y

Context: hbs : b ∉ s

Context: hsc : IsClosed s

∃ ia, (a ∉ ia ∧ IsClosed ia) ∧ ∀ x ∈ iaᶜ, f x ∈ sᶜ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : FrechetUrysohnSpace X

Context: f : X → Y

Context: a : X

Context: b : Y

Context: s : Set Y

Context: hbs : b ∉ s

Context: hsc : IsClosed s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : FrechetUrysohnSpace X

Context: f : X → Y

Context: a : X

Context: b : Y

Context: s : Set Y

Context: hbs : b ∉ s

Context: hsc : IsClosed s

Context: u : ℕ → X

Context: hus : ∀ (n : ℕ), u n ∈ f ⁻¹' s

Context: hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t : Set α
S : Set (Set α)
hs : t ∈ S
h : s ∩ ⋃₀ S = ∅

s ∩ t ⊆ s ∩ ⋃₀ S


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x : E

(k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) ((fun x => k • x +ᵥ c) x) = x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
p : P

(fun x => k • x +ᵥ c) ((k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) p) = p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E

edist ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y) = ↑‖k‖₊ * edist x y


edist (k • x) (k • y) = ↑‖k‖₊ * edist x y


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g
m : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : ↑s A ≤ 0
hB₂ : ↑s B ≤ 0
hAB : ↑s (A ∪ B) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : ↑s A ≤ 0
hB₂ : ↑s B ≤ 0
hAB : ↑s A + ↑s B = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
s : Finset α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq β
y : β

(filter (fun x => f x = y) s).card ≠ 0 ↔ y ∈ image f s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β

¬MonotoneOn f s ∧ ¬AntitoneOn f s ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: h : ∀ o' < o, P I o'

Context: hho : o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C o


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: h : ∀ o' < o, P I o'

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C o

LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(⋃ e, smaller C ↑e)) => ↑p


Context:
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z


Context:
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₂ : 0 ≤ z
h₁ : x ≤ x


Context:
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
h₁' : x < y


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₁' : x < y
h₂ : 0 ≤ 0


Context:
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
h : 0 ≤ x
h₁ : x ≤ y
h₂ : 0 ≤ z
h₁' : x < y
h₂' : 0 < z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι → 𝕜
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)

(filter (fun l => !l.isEmpty) ([] :: L)).join = ([] :: L).join


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Context: hmf0 : map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f ≠ 0


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Algebra.adjoin K ↑(map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f).roots.toFinset = ⊤


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Context: hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0

Algebra.adjoin K ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset = ⊤


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) = ⊤


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Context: this : Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))


Context: F : Type u

Context: K✝¹ : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝³ : Field K✝¹

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: n✝ : ℕ

Context: K✝ : Type u

Context: inst✝ : Field K✝

Context: n : ℕ

Context: K : Type u

Context: x✝ : Field K

Context: f : K[X]

Context: hfn : f.natDegree = n.succ

Context: hndf : f.natDegree ≠ 0

Context: hfn0 : f ≠ 0

Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = ⊤


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V₁
inst✝¹² : Module k V₁
inst✝¹¹ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V₂
inst✝⁹ : Module k V₂
inst✝⁸ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝⁴ : AddCommGroup V₄
inst✝³ : Module k V₄
inst✝² : AffineSpace V₄ P₄
R' : Type u_10
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Module R' V₁
c p : P₁

(homothety c (-1)) p = (pointReflection R' c) p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : ψ ∘ φ = id
hφ : Tendsto φ f g
hψ : Tendsto ψ g f


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcst : μ[|s] t ≠ 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β

ContinuousAt f b ↔ Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝 b) (𝓤 α)


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

(↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋


Context:
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : Finite p a ∧ Finite p b

multiplicity p (a * b) = multiplicity p a + multiplicity p b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p a b : α

Context: hp : Prime p

Context: h : ¬(Finite p a ∧ Finite p b)


Context: m n : Nat


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
v : P
y : ↥S

(f.lift hg) (f.mk' x y) = v ↔ g x = g ↑y * v


g x * ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) y)⁻¹ = v ↔ g x = g ↑y * v


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R M
tR : IsTorsion R
f : M
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : n • 1 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s


∀ (x : ℕ), x ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s 0))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: hn : n ∈ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s 0))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
hn : n < ↑⊥ ∧ n ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: ih : Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s n) = n

Context: h₁ : ↑(ofNat s n) ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))

Context: h₂ : filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n))) = insert (↑(ofNat s n)) (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n)))

Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s (n + 1)) = n + 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : Set ℕ

Context: inst✝¹ : Infinite ↑s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: n : ℕ

Context: ih : (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))).card = n

(filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n)))).card = n + 1


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C

(↑(hC.diffFinset₀ hs hI)).PairwiseDisjoint id


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G

(forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map ((εToSingle₀ k G).f 0) ≫ ((HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)) (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app (Rep.trivial k G k)).f 0 = (forget₂ToModuleCatHomotopyEquiv k G).hom.f 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α


Context:
α β : Type
n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 0 → ℕ)
d : Dioph S
f : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) 0
x✝ : VectorAllP DiophFn f
v : α → ℕ

v ∘ (id ⊗ elim0) ∈ S ↔ (v ⊗ fun i => f i v) ∈ S


Context:
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 n.succ → ℕ)
d : Dioph S
f✝ : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n.succ
f : (α → ℕ) → ℕ
fl : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n

VectorAllP DiophFn (f :: fl) → Dioph {v | (v ⊗ fun i => (f :: fl) i v) ∈ S}


DiophFn f → VectorAllP DiophFn fl → Dioph {v | (v ⊗ fun i => (f :: fl) i v) ∈ S}


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N

AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f = ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ map I f ∘ₗ ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M)


AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f = ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ ofTensorProduct I N ∘ₗ AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α

x.2 ∈ s ∧ x.1 ∈ t ∧ x.2 * x.1 = a ↔ x ∈ t.mulAntidiagonal s a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocDiv hp a (b - m • p) = toIocDiv hp a b - m


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup E

Context: p : Seminorm 𝕝 E

Context: hp : ContinuousAt (⇑p) 0

Context: this : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : Module 𝕜 E

Context: inst✝² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup E

Context: p : Seminorm 𝕝 E

Context: hp : ContinuousAt (⇑p) 0

Context: this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E

Context: this : UniformAddGroup E


Context:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ

∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: Y : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : ParacompactSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)

Context: uc : ⋃ i, u i = univ

Context: this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ (fun r => ↑r) a


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: Y : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : ParacompactSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)

Context: uc : ⋃ i, u i = univ

Context: this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ (∀ (x : X), ∃ i, x ∈ t i) ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ i, t b ⊆ u i


Context: b n : ℕ


Context: b n : ℕ

b ≤ n ∧ 1 < b → log b (n / b) + 1 = 0 ↔ n < b ∨ b ≤ 1


Context:
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (algebraMap F K) f


Context: F : Type u

Context: inst✝² : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f : F[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: h : Splits (RingHom.id K) (map (algebraMap F K) f)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
x : L

_root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M 0)) x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0

∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
m : ℕ := (l - k) / (n + 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
m : ℕ := (l - k) / (n + 1)
this : (n + 1) * m = l - k


Context:
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b


Context:
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : ¬a = b


Context:
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : ¬a = b
f : X → ↑I
fc : f ∈ Continuous
fab : f a ≠ f b


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι' → α') → κ

IsMono C (l.reindex eη eα eι) ↔ IsMono (fun x => C (⇑eα ∘ x ∘ ⇑eι.symm)) l


(∃ c, ∀ (x : η' → α'), (C fun x_1 => eα (Sum.elim id (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eη) (l.idxFun (eι.symm x_1)))) = c) ↔ ∃ c, ∀ (x : η → α), C (⇑eα ∘ ↑l x ∘ ⇑eι.symm) = c


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: P Q : Fin 3 → F

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ : ModuleCat R
X₂ : ModuleCat R
X₃ : ModuleCat R
Y₁ : ModuleCat R
Y₂ : ModuleCat R
Y₃ : ModuleCat R
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃

tensorHom (tensorHom f₁ f₂) f₃ ≫ (associator Y₁ Y₂ Y₃).hom = (associator X₁ X₂ X₃).hom ≫ tensorHom f₁ (tensorHom f₂ f₃)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: f f' : ℕ → α → β

Context: g g' : α → β

Context: hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: f f' : ℕ → α → β

Context: g g' : α → β

Context: hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: hff'' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: f f' : ℕ → α → β

Context: g g' : α → β

Context: hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: x : α

Context: hff'x : ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x

Context: hgg'x : g x = g' x

Context: hfgx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g✝ : α → β

Context: f f' : ℕ → α → β

Context: g g' : α → β

Context: hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n

Context: hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'

Context: x : α

Context: hff'x : ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x

Context: hgg'x : g x = g' x

Tendsto (fun x_1 => f x_1 x) atTop (𝓝 (g' x))


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ


((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

Context: this : IsIso (((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).inv.app K).f n)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: D : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: n : ℤ

𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 0).obj K).X n) = (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
z : ℤ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivAt f f' x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : ‖a.c i‖ ≤ 2

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : ‖a.c i‖ ≤ 2

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : ‖a.c i‖ ≤ 2

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : ‖a.c i‖ ≤ 2

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: I : a.r i ≤ 2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : ‖a.c i‖ ≤ 2

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: I : a.r i ≤ 2

Context: J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : ‖a.c i‖ ≤ 2

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: I : a.r i ≤ 2

Context: J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1

Context: A : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖

Context: d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: a : SatelliteConfig E N τ

Context: lastc : a.c (last N) = 0

Context: lastr : a.r (last N) = 1

Context: hτ : 1 ≤ τ

Context: δ : ℝ

Context: hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4

Context: hδ2 : δ ≤ 1

Context: i j : Fin N.succ

Context: inej : i ≠ j

Context: hi : ‖a.c i‖ ≤ 2

Context: hj : 2 < ‖a.c j‖

Context: δnonneg : 0 ≤ δ

Context: D : 0 ≤ 1 - δ / 4

Context: hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1

Context: I : a.r i ≤ 2

Context: J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1

Context: A : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖

Context: d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j

Context: this : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - d‖ + (a.r j - 1)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E

Tendsto (fun s => s • P.Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-P.f₀))


Tendsto (fun s => s • P.Λ₀ s - s • (1 / s) • P.f₀ - s • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (0 • P.Λ₀ 0 - P.f₀ - 0))


Tendsto (fun s => s • P.Λ₀ s) (𝓝 0) (𝓝 (0 • P.Λ₀ 0))


Tendsto (fun s => s • (1 / s) • P.f₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 P.f₀)


Tendsto (fun s => s • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 0)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Monoid G

¬IsTorsionFree G ↔ ∃ g, g ≠ 1 ∧ IsOfFinOrder g


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
s : Set R

coeSubmodule S (Ideal.span s) = Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' s)


Submodule.span R (⇑(Algebra.linearMap R S) '' s) = Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : c ≠ 0

Context: hab : a * c ≤ b * c


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝ : Fintype ι


∀ (a : E), (∀ (i : ι), (b.repr a) i ∈ Set.Ico 0 1) → ∀ (i : ι), (b.repr a) i ∈ Set.Icc 0 1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
m : M
x : ↥I
n : ↥N
h : ⁅↑x, ↑n⁆ = m


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
m : M
x : ↥I
n : ↥N
h : 0 = m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ n

dickson k a n = X * dickson k a (n - 1) - C a * dickson k a (n - 2)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ 2 + n

dickson k a (2 + n) = X * dickson k a (2 + n - 1) - C a * dickson k a (2 + n - 2)


dickson k a (n + 2) = X * dickson k a (n + 2 - 1) - C a * dickson k a (n + 2 - 2)


Context:
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hgcd : a.gcd b = 1

↑a * a.gcdA b + ↑b * a.gcdB b ≡ 1 [ZMOD ↑b]


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: s : Set E

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : support u ⊆ s

Context: p : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h2p : p < ↑(finrank ℝ E)

Context: hs : Bornology.IsBounded s

eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfLeConst F μ s p p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: E : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁶ : BorelSpace E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

Context: u : E → F

Context: s : Set E

Context: hu : ContDiff ℝ 1 u

Context: h2u : support u ⊆ s

Context: p : ℝ≥0

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h2p : p < ↑(finrank ℝ E)

Context: hs : Bornology.IsBounded s


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : K

(normAtPlace w) ((mixedEmbedding K) x) = w x


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

((fun x => rexp (f x)) =O[l] fun x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

∫ (x : α), (preCDF ρ r x).toReal ∂ρ.fst = ((ρ.IicSnd ↑r) univ).toReal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Preorder α
t : OrderTopology α
s : Set α

IsOpen s ↔ GenerateOpen {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a} s


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X

∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤


∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K : ℕ

Context: A : Tendsto (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) atTop (𝓝 (∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j}))

∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K : ℕ

(fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) ≤ᶠ[atTop] fun x => ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K : ℕ

Context: N : ℕ

Context: hN : N ∈ Set.Ici K

∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)


Context:
p : ℕ
hp : 1 < p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n

Context: h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n

IsSFiniteKernel (Kernel.sum fun n => κ.withDensity (fs n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n

∀ (n : ℕ), Measurable (Function.uncurry (fs n))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: b : β

fs n a b ≤ ↑((fun x x_1 => x + x_1) (↑n) 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α β

Context: f : α → β → ℝ≥0∞

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : Measurable (Function.uncurry f)

Context: hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: b : β


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : MvPolynomial σ R


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
h : Tendsto f l atTop

Tendsto (fun x => r⁻¹ * (r * f x)) l atTop


Context:
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l

range' n (m - n) ++ range' m (l - m) = range' n (l - n)


Context:
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l

range' m (l - m) = range' (n + 1 * (m - n)) (l - m)


Context:
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Distrib R
a b x y : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y


Context:
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : t' α

Equiv.traverse eqv (Comp.mk ∘ map f ∘ g) x = Comp.mk (Equiv.traverse eqv f <$> Equiv.traverse eqv g x)


Comp.mk ((fun x => ⇑(eqv γ) <$> x) <$> traverse f <$> traverse g ((eqv α).symm x)) = Comp.mk (Equiv.traverse eqv f <$> Equiv.traverse eqv g x)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedGroup E
inst✝³ : SeminormedGroup F
inst✝² : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
u : α → E

CauchySeq u ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : α), N ≤ m → ∀ (n : α), N ≤ n → ‖u m / u n‖ < ε


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
x : α
hx : orderOf x = Fintype.card α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝ : Monoid M
c : Con M
f : M → M
hf : ∀ (x : M), c (f x * x) 1
x y : M
h : c x y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝ : Monoid M
c : Con M
f : M → M
x y : M
hf : ∀ (x : M), ↑(f x) * ↑x = 1
h : ↑x = ↑y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝ : Monoid M
c : Con M
f : M → M
x y : M
hf : ∀ (x : M), ↑(f x) * ↑x = 1
h : ↑x = ↑y
hf' : ∀ (x : M), ↑x * ↑(f x) = 1


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: c : Con M

Context: f : M → M

Context: x y : M

Context: hf : ∀ (x : M), ↑(f x) * ↑x = 1

Context: h : ↑x = ↑y

Context: hf' : ∀ (x : M), ↑x * ↑(f x) = 1

Context: this : { val := ↑x, inv := ↑(f x), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = { val := ↑y, inv := ↑(f y), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ

s.EquitableOn f ↔ ∃ b, ∀ a ∈ s, f a = b ∨ f a = b + 1


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h_odd : Odd n

Context: hlt : 1 < n

Context: B : ℚ⟦X⟧ := PowerSeries.mk fun n => bernoulli' n / ↑n !

(B - evalNegHom B) * (exp ℚ - 1) = X * (exp ℚ - 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h_odd : Odd n

Context: hlt : 1 < n

Context: h : B * (exp ℚ - 1) = X * exp ℚ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing A

Context: inst✝ : Algebra ℚ A

Context: n : ℕ

Context: h_odd : Odd n

Context: hlt : 1 < n

Context: h : B * (exp ℚ - 1) = X * exp ℚ

evalNegHom (B * (exp ℚ - 1)) * exp ℚ = evalNegHom (X * exp ℚ) * exp ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d < b


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
K : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : LipschitzOnWith K f s
d : ℝ
hd : 0 ≤ d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : Bool → α


Context:
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j : J

{ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (𝟙 j) = 𝟙 ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)


(opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (𝟙 j)) = (opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) (𝟙 ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j))


Context:
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j : J
U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ

((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (𝟙 j))).app U = ((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j)) (𝟙 ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j))).app U


Context:
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃

{ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (f ≫ g) = { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map f ≫ { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map g


(opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (f ≫ g)) = (opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map f ≫ { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map g)


Context:
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ

((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map (f ≫ g))).app U = ((opEquiv ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₁) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.obj j₃)) ({ obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map f ≫ { obj := fun j => op ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j)).obj (F.obj j).presheaf), map := fun {j j'} f => ((pushforward C (colimit.ι (F ⋙ forget C) j')).map (F.map f).c ≫ (Pushforward.comp ((F ⋙ forget C).map f) (colimit.ι (F ⋙ forget C) j') (F.obj j).presheaf).inv ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom).op }.map g)).app U


(F.map (f ≫ g)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₁).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map (f ≫ g)).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U = ((F.map g).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₂).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map g).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₂).presheaf).hom.app U) ≫ (F.map f).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))) ≫ 𝟙 ((F.obj j₁).presheaf.obj (op ((Opens.map (F.map f).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))))) ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U


Context: J : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: j₁ j₂ j₃ : J

Context: f : j₁ ⟶ j₂

Context: g : j₂ ⟶ j₃

Context: U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ

Context: this : op ((Opens.map (F.map g).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) = op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₂)).obj (unop U))


Context: J : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: j₁ j₂ j₃ : J

Context: f : j₁ ⟶ j₂

Context: g : j₂ ⟶ j₃

Context: U : (Opens ↑(colimit (F ⋙ forget C)))ᵒᵖ

(F.map g).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ (F.map f).c.app (op ((Opens.map (F.map g).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U)))) ≫ (F.obj j₁).presheaf.map (eqToHom ⋯) = (F.map g).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U))) ≫ (F.map f).c.app (op ((Opens.map (F.map g).base).obj ((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forget C) j₃)).obj (unop U)))) ≫ (F.obj j₁).presheaf.map ((Opens.map (F.map f).base).map (eqToHom ⋯)).op ≫ (F.obj j₁).presheaf.map (eqToHom ⋯)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : RCLike 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)

⟪(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f, (ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g⟫_𝕜 = ∫ (x : α), (starRingEnd 𝕜) (f x) * g x ∂μ


(fun a => ⟪↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a, ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a⟫_𝕜) =ᶠ[ae μ] fun a => (starRingEnd 𝕜) (f a) * g a


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: f g : C(α, 𝕜)

Context: hf_ae : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᶠ[ae μ] ⇑f


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: f g : C(α, 𝕜)

Context: hg_ae : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᶠ[ae μ] ⇑g


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: f g : C(α, 𝕜)

Context: a✝ : α

Context: hf : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = f a✝

Context: hg : ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = g a✝

⟪↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝, ↑↑((ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) (f a✝) * g a✝


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
r : R
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R
ha : a ∈ I


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
f : (i : ι) → γ i → β i
x : (i : ι) → γ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

(hammingNorm fun i => f i (x i)) ≤ hammingNorm x


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
hf : Injective ⇑f
H K : Subgroup G


Context:
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F✝ F : Sheaf J A

((constantCommuteCompose J U).app (F.val.obj (op t))).hom ≫ (constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F) = (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)


(presheafToSheaf J B).map ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F) = (presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F)


((presheafToSheaf J B).map ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F) = (((presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app F)


(presheafToSheaf J B).map ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val = ((presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝² : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

Context: this : (compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t)) ≫ { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } = (constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝² : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

(presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val = (presheafToSheaf J B).map ((compConstIso Cᵒᵖ U).hom.app (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝² : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

(presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val = (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

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Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

((presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val).val = ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))).val


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

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Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

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Context: U : A ⥤ B

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Context: F✝ F : Sheaf J A

toSheafify J ((const Cᵒᵖ ⋙ (whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj U).obj (F.val.obj (op t))) ≫ ((presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => (F.val ⋙ U).map (ht.from (unop Y)).op, naturality := ⋯ } ≫ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ ⋙ (whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj U).obj (F.val.obj (op t))) ≫ ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t))) ≫ (sheafCompose J U).map ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val))).val


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

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Context: t : C

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Context: U : A ⥤ B

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Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B).map { app := fun Y => U.map (F.val.map (ht.from (unop Y)).op), naturality := ⋯ }).val ≫ ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app F.val).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).val ≫ whiskerRight ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val U


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

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Context: t : C

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Context: B : Type u_3

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Context: U : A ⥤ B

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Context: F✝ F : Sheaf J A

{ app := fun Y => U.map (F.val.map (ht.from (unop Y)).op), naturality := ⋯ } ≫ whiskerRight (toSheafify J F.val) U = whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ whiskerRight ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val U


Context: C : Type u_1

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Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

Context: x✝ : Cᵒᵖ

({ app := fun Y => U.map (F.val.map (ht.from (unop Y)).op), naturality := ⋯ } ≫ whiskerRight (toSheafify J F.val) U).app x✝ = (whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ whiskerRight ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val U).app x✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

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Context: B : Type u_3

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Context: U : A ⥤ B

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Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

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Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

Context: x✝ : Cᵒᵖ

U.map (F.val.map (ht.from (unop x✝)).op ≫ (toSheafify J F.val).app x✝) = U.map ((toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝ ≫ ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝)


Context: C : Type u_1

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Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A

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Context: inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝² : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

Context: x✝ : Cᵒᵖ

F.val.map (ht.from (unop x✝)).op ≫ (toSheafify J F.val).app x✝ = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝ ≫ ((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝² : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

Context: x✝ : Cᵒᵖ

(toSheafify J F.val).app (op t) ≫ (sheafify J F.val).map (ht.from (unop x✝)).op = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝ ≫ ((presheafToSheaf J A).map { app := fun x => F.val.map (ht.from (unop x)).op, naturality := ⋯ }).val.app x✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A

Context: inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full

Context: t : C

Context: ht : IsTerminal t

Context: B : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B

Context: U : A ⥤ B

Context: inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A

Context: inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B

Context: inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful

Context: inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full

Context: inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful

Context: inst✝² : (constantSheaf J B).Full

Context: inst✝¹ : J.PreservesSheafification U

Context: inst✝ : J.HasSheafCompose U

Context: F✝ F : Sheaf J A

Context: x✝ : Cᵒᵖ

(toSheafify J F.val).app (op t) ≫ (sheafify J F.val).map (ht.from (unop x✝)).op = ({ app := fun x => F.val.map (ht.from (unop x)).op, naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J F.val).app x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν

μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) =ᶠ[ae μ] μ.rnDeriv ν


μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) =ᶠ[ae μ] μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ) + ν.singularPart μ)


μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)) =ᶠ[ae (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ))] μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ) + ν.singularPart μ)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, sin x * cos x = (sin b ^ 2 - sin a ^ 2) / 2


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: w : σ → M

Context: n : M

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: x : ⨁ (i : M), ↥(weightedHomogeneousSubmodule R w i)

(coeLinearMap fun i => weightedHomogeneousSubmodule R w i) x = ∑ᶠ (m : M), ↑(x m)


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
κ : Type u_1
h : ι ≃ κ
f : ⨁ (i : ι), β i
k : κ


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : Φ.Finite

Context: hΦ₂ : span R Φ = ⊤

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: u : M ≃ₗ[R] M := reflection hg₁ * reflection hf₁


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : Φ.Finite

Context: hΦ₂ : span R Φ = ⊤

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: hu : ↑u = LinearMap.id + LinearMap.smulRight (f - g) x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : Φ.Finite

Context: hΦ₂ : span R Φ = ⊤

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ

Context: hu : ∀ (n : ℕ), ↑(u ^ n) = LinearMap.id + ↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: x✝ : M

Context: f✝ : Dual R M

Context: y : M

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: Φ : Set M

Context: hΦ₁ : Φ.Finite

Context: hΦ₂ : span R Φ = ⊤

Context: f g : Dual R M

Context: hf₁ : f x = 2

Context: hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ

Context: hg₁ : g x = 2

Context: hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : K[X]

factors (span {p}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K

factors (span {0}) = Multiset.map (fun q => span {q}) (factors 0)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : K[X]
hp : p ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : IsDedekindDomain A

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: p : K[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: this : ∀ q ∈ Multiset.map (fun q => span {q}) (factors p), Prime q


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
x : ↥S.leftInv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β

image2 f s (⋃ i, ⋃ j, t i j) = ⋃ i, ⋃ j, image2 f s (t i j)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s✝ : Set α

Context: f : ι → α

Context: a✝ : α

Context: s : ι → α

Context: a : α

Context: h : BddAbove (range s)

a ≤ iSup s ↔ ∀ (b : α), (∀ (i : ι), s i ≤ b) → a ≤ b


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f : C(X, Y)

𝓝 f = ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), ⨅ U, ⨅ (_ : IsOpen U), ⨅ (_ : MapsTo (⇑f) K U), 𝓟 {g | MapsTo (⇑g) K U}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → List β
p : α → β → Bool
hf : Primrec f
hp : Primrec₂ p
a : α

List.foldr (fun b s => bif p a b then 0 else s + 1) 0 (f a) = List.findIdx (p a) (f a)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f : R[X]

Context: h : (∃ x, C x = f) ∨ 0 < f.natDegree ∧ f.coeff (f.natDegree - 1) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
h : f.coeff (f.natDegree - 1) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α


Context: i : ℤ


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℕ
ha : x - ↑a ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
hb : x - ↑b ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context:
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_3
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
a : α₁
b : β₁

((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm.trans (sigmaCongrRight e)) (a, b) = ((prodCongrRight e).trans (sigmaEquivProd α₁ β₂).symm) (a, b)


⟨((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).fst, (e ((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).fst) ((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).snd⟩ = (sigmaEquivProd α₁ β₂).symm (a, (e a) b)


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
hf : Function.Surjective ⇑f
h : affineSpan k s = ⊤


Context:
α β : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{u_2}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t

(Ioc s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: m1 : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ : Measure α

Context: s : Set β

Context: t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: m1 : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ : Measure α

Context: s : Set β

Context: htm : MeasurableSet t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: m1 : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ : Measure α

Context: s : Set β

Context: htm : MeasurableSet t

Context: hst : s ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: m1 : MeasurableSpace β

Context: f : α → β

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: μ : Measure α

Context: s : Set β

Context: htm : MeasurableSet t

Context: hst : s ⊆ t

Context: hft : f ⁻¹' t = toMeasurable μ (f ⁻¹' s)


Context:
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
a : R
hzero : p + q ≠ 0

min (rootMultiplicity a p) (rootMultiplicity a q) ≤ rootMultiplicity a (p + q)


(X - C a) ^ min (rootMultiplicity a p) (rootMultiplicity a q) ∣ p + q


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

filtrationOfSet hsm = natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯


(fun i => MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) = fun i => MeasurableSpace.generateFrom {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
i : ι

MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t} = MeasurableSpace.generateFrom {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}


∀ t ∈ {t | ∃ j ≤ i, s j = t}, MeasurableSet t


∀ t ∈ {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}, MeasurableSet t


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : AddCommGroup G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : μ.IsNegInvariant
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : LocallyIntegrable g μ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y : Subobject B
f : underlying.obj X ⟶ underlying.obj Y
w : f ≫ Y.arrow = X.arrow


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M

Context: k : ℕ


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : LieRing L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N✝ : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M

Context: k : ℕ

LieSubmodule.map (LieSubmodule.Quotient.mk' N) (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: d : Dir

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: i : ℕ

Context: IH : ∀ (T : Tape Bool), stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] T)

Context: T : Tape Bool

stepAux ((Stmt.move d)^[i + 1] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i + 1] T)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: d : Dir

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: i : ℕ

Context: T : Tape Bool

stepAux ((Stmt.move d ∘ (Stmt.move d)^[i]) q) v T = stepAux q v (((Tape.move d)^[i] ∘ Tape.move d) T)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝² : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: n : ℕ

Context: enc : Γ → Vector Bool n

Context: dec : Vector Bool n → Γ

Context: d : Dir

Context: q : Stmt Bool Λ' σ

Context: v : σ

Context: i : ℕ

Context: T : Tape Bool

stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v (Tape.move d T) = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] (Tape.move d T))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: a✝ b✝ : R

Context: s : S

Context: inst✝¹ : Monoid R

Context: inst✝ : MulAction R M

Context: a b : M

Context: ab : (fun x => 1 • x) a = (fun x => 1 • x) b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : 1 • a = 1 • b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : a = b


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: hv₀ : 0 < ↑v

Context: hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: hv₀ : 0 < ↑v

Context: hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hv₁ : 0 < 2 * v - 1


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))

Context: hv₀ : 0 < ↑v

Context: hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hv₁ : 0 < 2 * v - 1


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: hv₀ : 0 < ↑v

Context: hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hv₁ : 0 < 2 * v - 1

Context: hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: hv₀ : 0 < ↑v

Context: hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hv₁ : 0 < 2 * v - 1

Context: hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v


Context: ξ : ℝ

Context: u v : ℤ

Context: hv : 2 ≤ v

Context: hcop : IsCoprime u v

Context: left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u

Context: hv₀ : 0 < ↑v

Context: hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1

Context: hv₁ : 0 < 2 * v - 1

Context: hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v

Context: hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v

Context: huv_cop : IsCoprime (u - ⌊ξ⌋ * v) v


Context: a b m n✝ p✝ p n : ℕ

Context: hn : (Finset.filter (fun e => p ∣ e + 1) (Finset.range n)).card = n / p

(Finset.filter (fun e => p ∣ e + 1) (Finset.range (n + 1))).card = (n + 1) / p


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q = 0

norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q = 0
this : const (padicNorm p) q ≈ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : ¬q = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : ¬q = 0
this : ¬const (padicNorm p) q ≈ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C

(X ⊗ Y).one ≫ (β_ X.X Y.X).hom = (Y ⊗ X).one


(ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (Y.one ⊗ X.one) = Y.one ⊗ X.one


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x✝ : α
y : β
h : e.IsImage s t
x : α
hx : x ∈ e.source


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0


p = 0 → p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0