Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℕ
hx : ¬x = 0

‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
g : α → N
x : α

(x ∈ mulSupport fun x => (f x, g x)) ↔ x ∈ mulSupport f ∪ mulSupport g


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdf : ∀ x ∈ Iio a, DifferentiableAt ℝ f x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)

Context: hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0

Context: hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)

Context: hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ x ∈ Iio a, DifferentiableAt ℝ g x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: s : yoneda.obj X ⟶ A

Context: x : F.obj (op (CostructuredArrow.mk s))

op (CostructuredArrow.mk s) = op (CostructuredArrow.mk (mk s x).fst)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
x : α

x ∈ (r • s).core t ↔ x ∈ r.core (s.core t)


(∀ (y : γ) (x_1 : β), r x x_1 → s x_1 y → y ∈ t) ↔ ∀ (y : β), r x y → ∀ (y_1 : γ), s y y_1 → y_1 ∈ t


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

M = loopyOn E ↔ M.E = E ∧ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅


M.E = E → ((∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅) ↔ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I X R J : Set α

(∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅) ↔ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M

(contractLeft d) ((ι Q) x) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)


∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
this : IsAffine ↑U


f ''ᵁ U = Scheme.Hom.opensRange (U.ι ≫ f)


↑(f ''ᵁ U) = ↑(Scheme.Hom.opensRange (U.ι ≫ f))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝[s] x

↑(f.extend I).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) x


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ

(sheafHom (whiskerLeft G.op α)).app X = α.app X


yoneda.map ((sheafHom (whiskerLeft G.op α)).app X) = yoneda.map (α.app X)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U

(yoneda.map ((sheafHom (whiskerLeft G.op α)).app X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝


((sheafYonedaHom (whiskerLeft G.op α)).app X).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝


(let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = ((sheafYonedaHom (whiskerLeft G.op α)).app X).app U a✝


(pushforwardFamily (homOver (whiskerLeft G.op α) (unop U)) a✝).Compatible


(pushforwardFamily (homOver (whiskerLeft G.op α) (unop U)) a✝).IsAmalgamation (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : ℱ ⟶ ℱ'.val

Context: X : Dᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ unop X

Context: hf : (Sieve.coverByImage G (unop X)).arrows f

(ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map f.op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver (whiskerLeft G.op α) (unop U)) a✝ f hf


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: L : GrothendieckTopology E

Context: A : Type u_4

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_4} A

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : G.IsCoverDense K

Context: inst✝ : G.IsLocallyFull K

Context: ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A

Context: ℱ' : Sheaf K A

Context: α : ℱ ⟶ ℱ'.val

Context: X : Dᵒᵖ

Context: U : Aᵒᵖ

Context: a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U

Context: Y : D

Context: f : Y ⟶ unop X

(ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map ((Nonempty.some hf).lift ≫ (Nonempty.some hf).map).op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver (whiskerLeft G.op α) (unop U)) a✝ f hf


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsClosed s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsClosed s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3

IsEmpty (PProd α β) ↔ IsEmpty α ∨ IsEmpty β


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α
x : Perm α
x✝ : x ∈ ⊤


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: val✝ : Fintype α

Context: x : Perm α

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: h1 : (↑x.truncSwapFactors.out).prod = x

Context: h2 : ∀ g ∈ ↑x.truncSwapFactors.out, g.IsSwap


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: val✝ : Fintype α

Context: x : Perm α

Context: x✝ : x ∈ ⊤

Context: h1 : (↑x.truncSwapFactors.out).prod = x

(↑x.truncSwapFactors.out).prod ∈ Submonoid.closure {σ | σ.IsSwap}


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
hx : x ≠ 0
s : K[X]
hs : s ≠ 0

↑(x.num * s).natDegree - ↑(s * x.denom).natDegree = x.intDegree


x.num * s * x.denom = x.num * (s * x.denom)


Context: x : ℂ


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)

fromSubtype f p ≫ toSubtype f p = 𝟙 (⨁ Subtype.restrict p f)


Context: J : Type w

Context: K : Type u_1

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: f : J → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct f

Context: p : J → Prop

Context: j : Subtype p

(fromSubtype f p ≫ toSubtype f p) ≫ π (Subtype.restrict p f) j = 𝟙 (⨁ Subtype.restrict p f) ≫ π (Subtype.restrict p f) j


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
s t : Set α
l : Filter α

s ∩ t =ᶠ[l] s ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ s → x ∈ t


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
α : Type u_4
M : Type u_5
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : SMul α M
inst✝ : IsScalarTower α M M
c : Con M
a : α
w x : M
h : c w x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Fintype ι
f : E → 𝕜
inst✝¹ : MeasureSpace E
inst✝ : SigmaFinite volume

∫ (x : ι → E), ∏ i : ι, f (x i) = (∫ (x : E), f x) ^ card ι


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin (ones n).length
h : 0 < (ones n).blocksFun i

↑(((ones n).embedding i) ⟨0, h⟩) = ↑⟨↑i, ⋯⟩


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n : ℕ
hf : Adapted ℱ f
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
i j : ℕ
hij : i ≤ j

μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] martingalePart f ℱ μ i


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

Context: h_eq_sum : μ[martingalePart f ℱ μ j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i])


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] martingalePart f ℱ μ i


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

Context: h_ge : ∀ (k : ℕ), i ≤ k → μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] 0


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

Context: h_lt : ∀ k < i, μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] f (k + 1) - f k - μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

f 0 + ∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] (fun n => f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])) i


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

∑ k ∈ Finset.range j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ Finset.range i, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

∑ k ∈ Finset.range i, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) + ∑ k ∈ Finset.Ico i j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ Finset.range i, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i]) + 0


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j

∑ k ∈ Finset.Ico i j, (μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ i] - μ[μ[f (k + 1) - f k|↑ℱ k]|↑ℱ i]) =ᶠ[ae μ] 0


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: i j : ℕ

Context: hij : i ≤ j


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S

(p * X ^ 0).smeval x = p.smeval x * x ^ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
n : ℕ

(p * X ^ (n + 1)).smeval x = p.smeval x * x ^ (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
a : α
hh : Monotone h


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f


fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E

fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x = (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f)) x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ

LpAddConst p * (eLpNorm f p μ + eLpNorm g p μ) < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ : α

x✝ ∈ Ioo a b ∩ Iio c ↔ x✝ ∈ Ioo a (min b c)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: g : E → ℝ

Context: hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ f '' s → 0 ≤ g x

Context: hg_int : IntegrableOn g (f '' s) μ

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

(Measure.comap f (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: g : E → ℝ

Context: hg_int : IntegrableOn g (f '' s) μ

ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ) = ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: γ₂ : Type u_4

Context: δ : Type u_5

Context: ι : Sort y

Context: s✝ t✝ u✝ : Set α

Context: s : Set (Set α)

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: hs : t = TopologicalSpace.generateFrom s

Context: u : Set α

Context: hu : TopologicalSpace.IsOpen u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One M
s t : Set α
f g : α → M
a : α
l : Filter α
hf : f =ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
hs : s =ᶠ[l] t
x : α
hst : x ∈ s ↔ x ∈ t
hfg : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One M
s t : Set α
f g : α → M
a : α
l : Filter α
hf : f =ᶠ[l ⊓ 𝓟 s] g
hs : s =ᶠ[l] t
x : α
hst : x ∈ s ↔ x ∈ t
hfg : x ∈ s → f x = g x
hxs : x ∉ s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : α
s : Multiset α

∀ (a : List α), countP p (b ::ₘ Quot.mk Setoid.r a) = countP p (Quot.mk Setoid.r a) + if p b then 1 else 0


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s t u v : Finset α


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p' : Submodule R M
q✝ : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p q : Submodule R M
h : p ≤ q


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Fork f g
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : k ≫ s.ι = l ≫ s.ι
this : k ≫ s.ι ≫ f = l ≫ s.ι ≫ f


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (𝟙 M₀)).val = (𝟙 ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.obj M₀)).val


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

(toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (𝟙 M₀)).val = (toPresheaf R.val).map (𝟙 ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.obj M₀)).val


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: X✝ Y✝ Z✝ : PresheafOfModules R₀

Context: x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x✝ : Y✝ ⟶ Z✝

({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝)).val = ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝).val


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: X✝ Y✝ Z✝ : PresheafOfModules R₀

Context: x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝

Context: x✝ : Y✝ ⟶ Z✝

(toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝)).val = (toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝).val


Context:
p x : ℝ
hp : p ≠ 0


Context:
p x : ℝ
hp : p ≠ 0
hx : |x| ≤ |p| / 2


Context:
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2


Context:
p✝ : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |p / 2| ≤ p / 2


Context:
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2


Context:
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
hx₁ : -(p / 2) ≤ x
hx₂ : x ≤ p / 2


Context:
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
hx₁ : -(p / 2) ≤ x
hx₂ : x < p / 2


Context: s : List Char

go₂ s { byteIdx := 0 } { byteIdx := utf8Len s } = s


Context:
p : ℕ → Prop
h : p 0


Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝


Context:
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝
left✝ : Reaches f a b
b0 : f b = none


Context: σ : Type u_1

Context: f : σ → Option σ

Context: a b : σ

Context: h : b ∈ eval f a

Context: c : σ

Context: x✝ : Reaches₁ f b c

Context: bc : Reaches₁ f b c := x✝

Context: left✝ : Reaches f a b

Context: b0 : f b = none

Context: b' : σ

Context: h' : b' ∈ f b

Context: right✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: h : (ball x ε₁ ∩ closedBall y ε₂).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: h : (closedBall y ε₂ ∩ ball x ε₁).Nonempty


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x✝ : hs.Quotient
x y : α

y ∈ hs.proj ⁻¹' {Quotient.mk'' x} ↔ y ∈ s (hs.equivQuotient.symm (Quotient.mk'' x))


hs.proj y = Quotient.mk'' x ↔ hs.index y = hs.equivQuotient.symm (Quotient.mk'' x)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
x : PrimeSpectrum A
hx : x ∈ support A M

x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R A)) ⁻¹' support R M


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Module A M

Context: inst✝ : IsScalarTower R A M

Context: x : PrimeSpectrum A

Context: hx : ∃ m, ∀ (r : A), r • m = 0 → r ∈ x.asIdeal

∃ m, ∀ (r : R), r • m = 0 → (algebraMap R A) r ∈ x.asIdeal


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
b : FactorSet α
h : ⊤ ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
b : FactorSet α
h : ⊤ ≤ b
this : b = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: hf : Integrable f (κ a)

∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: hf : Integrable f (κ a)

∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: hf : Integrable f ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: B : ModuleFilterBasis R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalRing R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup M

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set M

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i

Context: hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)

Context: hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: B : ModuleFilterBasis R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalRing R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup M

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set M

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Tendsto (fun p => p.1 • p.2) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: B : ModuleFilterBasis R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalRing R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup M

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set M

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

∀ (m : M), Tendsto (fun a => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: B : ModuleFilterBasis R M

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalRing R

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup M

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set M

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

∀ (a : R), Tendsto (fun m => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)
hj' : e.r j' = none


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)
j : ι
hj : e.r j' = some j


Context:
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ

(pderiv i) ((map φ) f) = (map φ) ((pderiv i) f)


Context: R : Type u

Context: σ : Type v

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ : R →+* S

Context: f : MvPolynomial σ R

Context: i : σ

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: j : σ

Context: eq : (pderiv i) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv i) p)

(pderiv i) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv i) (p * X j))


Context: R : Type u

Context: σ : Type v

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ : R →+* S

Context: f p : MvPolynomial σ R

Context: j : σ

Context: eq : (pderiv j) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv j) p)

(pderiv j) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv j) (p * X j))


Context: R : Type u

Context: σ : Type v

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ : R →+* S

Context: f : MvPolynomial σ R

Context: i : σ

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: j : σ

Context: h : j ≠ i


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
a : δ

(image₂ f s t).sup g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

IsBlock G B ↔ ∀ {g : G} {b : X}, b ∈ B → b ∈ g • B → g • B ⊆ B


(∀ (g : G), (g • B ∩ B).Nonempty → g • B = B) ↔ ∀ {g : G} {b : X}, b ∈ B → b ∈ g • B → g • B ⊆ B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β


MeasurableSet (⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y})


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupNormClass F α β
f : F


Context:
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n✝ : ℕ
f : ℕ → Bool
n : ℕ

cantorFunctionAux c f (n + 1) = c * cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
M'✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n m A
N M' : Matrix m n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
a✝ : Nontrivial A
e : n ≃ m := indexEquivOfInv hMM' hM'M


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
j : Fin (n + 1)
h : j ≠ 0


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
h : k.succ ≠ 0


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0

divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R⟦X⟧

Context: hf : f ≠ 0

Context: hg : g ≠ 0

Context: df : ℕ := f.order.get ⋯

Context: dg : ℕ := g.order.get ⋯

Context: dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯

Context: hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯

Context: H_add_d : df + dg = dfg

Context: H : X ^ (f * g).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = f * g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R⟦X⟧

Context: hf : f ≠ 0

Context: hg : g ≠ 0

Context: df : ℕ := f.order.get ⋯

Context: dg : ℕ := g.order.get ⋯

Context: dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯

Context: hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯

Context: H_add_d : df + dg = dfg

Context: this : f * g = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R⟦X⟧

Context: hf : f ≠ 0

Context: hg : g ≠ 0

Context: df : ℕ := f.order.get ⋯

Context: dg : ℕ := g.order.get ⋯

Context: dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯

Context: hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯

Context: H_add_d : df + dg = dfg

Context: H : X ^ (X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R⟦X⟧

Context: hf : f ≠ 0

Context: hg : g ≠ 0

Context: df : ℕ := f.order.get ⋯

Context: dg : ℕ := g.order.get ⋯

Context: dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯

Context: hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯

Context: H_add_d : df + dg = dfg

X ^ dfg * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
h : A ∈ symplecticGroup l R


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
h : A * J l R * Aᵀ = J l R


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
hu : ↑u < 0
v : Ray R M


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ

(p.update n 0).support = p.support.erase n


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
q : S₂ → MvPolynomial σ R
p : MvPolynomial S₂ R

eval₂ f (fun t => eval₂ f g (q t)) p = (eval₂Hom f g) (eval₂ C q p)


eval₂ f (fun t => eval₂ f g (q t)) p = eval₂ ((eval₂Hom f g).comp C) (⇑(eval₂Hom f g) ∘ q) p


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι


Context:
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁷ : T2Space V

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁵ : BorelSpace V

Context: inst✝⁴ : Module ℝ V

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))

Context: A : V ≃L[ℝ] V'

Context: this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'

Context: this✝ : BorelSpace V'

Context: Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv

Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁷ : T2Space V

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁵ : BorelSpace V

Context: inst✝⁴ : Module ℝ V

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : V ≃L[ℝ] V'

Context: this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'

Context: this✝ : BorelSpace V'

Context: Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁷ : T2Space V

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁵ : BorelSpace V

Context: inst✝⁴ : Module ℝ V

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : V ≃L[ℝ] V'

Context: this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'

Context: this✝ : BorelSpace V'

Context: Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁷ : T2Space V

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁵ : BorelSpace V

Context: inst✝⁴ : Module ℝ V

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : V ≃L[ℝ] V'

Context: this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'

Context: this✝ : BorelSpace V'

Context: this : (Measure.map (⇑Aₘ) μ).IsAddHaarMeasure


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁷ : T2Space V

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁵ : BorelSpace V

Context: inst✝⁴ : Module ℝ V

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : V ≃L[ℝ] V'

Context: this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'

Context: this✝ : BorelSpace V'

Context: w : V →L[ℝ] ℝ

∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ = ((fun w => ∫ (v : V'), 𝐞 (-w v) • (f ∘ ⇑A.symm) v ∂Measure.map (⇑Aₘ) μ) ∘ Adual.toHomeomorph.toCocompactMap.toFun) w


Context: E : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E

Context: f : V → E

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace V

Context: inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V

Context: inst✝⁷ : T2Space V

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace V

Context: inst✝⁵ : BorelSpace V

Context: inst✝⁴ : Module ℝ V

Context: inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: A : V ≃L[ℝ] V'

Context: this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'

Context: this✝ : BorelSpace V'

Context: w : V →L[ℝ] ℝ

∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ = ∫ (x : V), 𝐞 (-(Adual.toHomeomorph.toCocompactMap.toFun w) (Aₘ x)) • (f ∘ ⇑A.symm) (Aₘ x) ∂μ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Reflexive r
x y : α


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B


Context: a b c d : Ordinal.{u}

d < a ⨳ (b ⨳ c) ↔ ∃ a' < a, ∃ b' < b, ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c') ≤ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c')


Context: a b c d : Ordinal.{u}

(∃ a' < b, ∃ b' < c, ∃ c' < a, toOrdinal (toNatOrdinal d + toNatOrdinal (a' ⨳ b' ⨳ a) + toNatOrdinal (a' ⨳ c ⨳ c') + toNatOrdinal (b ⨳ b' ⨳ c')) ≤ toOrdinal (toNatOrdinal (a' ⨳ c ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ b' ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ c ⨳ c') + toNatOrdinal (a' ⨳ b' ⨳ c'))) ↔ ∃ a' < a, ∃ b' < b, ∃ c' < c, toOrdinal (toNatOrdinal d + toNatOrdinal (b' ⨳ c ⨳ a') + toNatOrdinal (b ⨳ c' ⨳ a') + toNatOrdinal (b' ⨳ c' ⨳ a)) ≤ toOrdinal (toNatOrdinal (b ⨳ c ⨳ a') + toNatOrdinal (b' ⨳ c ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ c' ⨳ a) + toNatOrdinal (b' ⨳ c' ⨳ a'))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p

finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1 = Fintype.card ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y

↑((↑A).toPMap p).adjoint x = ↑((↑(adjoint A)).toPMap ⊤) y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y
v : ↥((↑A).toPMap p).domain

⟪↑((↑(adjoint A)).toPMap ⊤) y, ↑v⟫_𝕜 = ⟪↑x, ↑((↑A).toPMap p) v⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
s : Set β
hf : UniformCauchySeqOn f l s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α

∀ᶠ (m : ι × ι) in l ×ˢ l, ∀ x ∈ s, ((f * f') m.1 x, (f * f') m.2 x) ∈ u


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R

Finsupp.mapDomain Nat.cast ((monomial n) r).toFinsupp = C r * T ↑n


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ dist c p₁ = dist c p₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
b : α
bs : b ∈ s
a : α
as : a ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
ac : a ≤ c

variationOnFromTo f s c b ≤ variationOnFromTo f s a b


variationOnFromTo f s c b ≤ variationOnFromTo f s a c + variationOnFromTo f s c b


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α

Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α) = ↑(Nat.card α)


↑(Nat.card α) = Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q

∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, |g i| ^ q) ^ (1 / q)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: this : ↑(∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i * (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i ^ q) ^ (1 / q))


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: this : ∑ x ∈ s, |f x| * |g x| ≤ (∑ x ∈ s, |f x| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ x ∈ s, |g x| ^ q) ^ (1 / q)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ s


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)


(¬∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0) ↔ ∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: f : List α → β

Context: r : List α → Filter β

Context: h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])

Context: h_cons : ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: f : List α → β

Context: r : List α → Filter β

Context: h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])

Context: a : α

Context: l : List α


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β✝

Context: β : Type u_3

Context: f : List α → β

Context: r : List α → Filter β

Context: h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])

Context: a : α

Context: l : List α

Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M✝ : Type u_4
M : Type u
inst✝ : LeftCancelMonoid M
a b : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

edist (toL1 f hf) (toL1 g hg) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ


(if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup (f - g) μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a - g a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V₁
inst✝ : Module K V₁
p : Submodule K V

Module.rank K (V ⧸ p) + Module.rank K ↥p = Module.rank K V


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
n : ℕ

(PowerSeries.coeff R n) ↑(φ * ψ) = (PowerSeries.coeff R n) (↑φ * ↑ψ)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ M.E


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ M.E
h : M ↾ R = M


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ R
h : M ↾ R = M


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g : G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : NeZero μ
f : G → ℝ≥0∞
hf : Continuous f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α

s = ∅ ∨ s.encard = ⊤ ∨ ∃ a ∈ s, (s \ {a}).encard < s.encard


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a✝ b : α
s : Set α
x✝ : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hfin : s.Finite


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K


(∃ y ∈ Iic a, r * y = x) ↔ x ∈ Iic (r * a)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α

Nat.card ↑(s / t) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t


Nat.card ↑(s * t⁻¹) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t⁻¹


Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : DecidableEq p
M : p → Matrix n n R

(blockDiagonal M).trace = ∑ i : p, (M i).trace


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F

↑‖f‖₊ = ↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})


sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'


(f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

(monomial m) 1 = m.prod fun n e => X n ^ e


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ

(range f).restrict (extend f g g') = fun x => g (Exists.choose ⋯)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: ι✝¹ : Type

Context: fintype✝¹ : Fintype ι✝¹

Context: X✝¹ : ι✝¹ → C

Context: i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι

Context: ι✝ : Type

Context: fintype✝ : Fintype ι✝

Context: X✝ : ι✝ → C

Context: j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι

Context: f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝

((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E


Context:
S : Finset Λ'
q : Λ'
K : Finset Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
H₂ : trStmts₁ q ∪ K ⊆ S
H₃ : K ⊆ S → Supports K S


Context:
S : Finset Λ'
q : Λ'
K : Finset Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
H₃ : K ⊆ S → Supports K S
H₂ : trStmts₁ q ⊆ S ∧ K ⊆ S


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF

(e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a.add o).NF

((e.oadd n a).add o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF

(match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this : e.NF


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
ee : (e.cmp e').Compares e e'


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'

ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.eq
ee : e = e'

ω ^ e.repr * (↑↑n + ↑↑n') + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R
hxy : ¬x = y

Wbtw R x ((lineMap x y) r) y ↔ x = y ∨ r ∈ Set.Icc 0 1


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable (↥L) E
x : E
hx : x ∈ separableClosure F E


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: L : IntermediateField F E

Context: h : IsPurelyInseparable (↥L) E

Context: y : ↥L

Context: hx : (algebraMap (↥L) E) y ∈ separableClosure F E


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R

∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: mem : π ∈ v.asIdeal

Context: nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: mem : π ∈ v.asIdeal

Context: nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2

Context: hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: mem : π ∈ v.asIdeal

Context: nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2

Context: hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors)) = ofAdd (-1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: mem : π ∈ v.asIdeal

Context: nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2

Context: hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors) = -1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: mem : π ∈ v.asIdeal

Context: nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2

Context: hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

(Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors = 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: mem : Associates.mk v.asIdeal ≤ Associates.mk (Ideal.span {π})

Context: nmem : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ 2) ≤ Associates.mk (Ideal.span {π})

Context: hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: mem : 1 ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors

Context: hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

Context: π : R

Context: nmem : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors < 2

Context: hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C

φ.app P = F.map P.decompId_i ≫ φ.app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫ G.map P.decompId_p


φ.app P = F.map (P.decompId_i ≫ P.decompId_p) ≫ φ.app P


F.map (𝟙 P) ≫ φ.app P = F.map (P.decompId_i ≫ P.decompId_p) ≫ φ.app P


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


1 ∈ primitiveRoots 1 R ∧ ∀ x ∈ primitiveRoots 1 R, x = 1


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α

finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥F⟮α⟯ ↔ IsSeparable F α


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 π


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ closure (Ioo 0 π)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

frobeniusPolyAux p n = X (n + 1) - ∑ i ∈ range n, ∑ j ∈ range (p ^ (n - i)), (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))


Context:
l : List Char
s : String


Context: θ : ℝ


Context: θ : ℝ

θ ∈ Set.Ioc (-π) (-π + 2 * π) ↔ -π < θ ∧ θ ≤ π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop

(∃ s ∈ l, ∀ᶠ (x : α) in l', x ∈ s → p x) ↔ ∃ s ∈ l, ∃ t ∈ l', ∀ x ∈ t, x ∈ s → p x


(∃ s ∈ l, ∃ t ∈ l', ∀ x ∈ t, x ∈ s → p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l ⊓ l', p x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
eq : f '' s = f '' t


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ : ManyOneDegree

d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₁ → d₁ = d₂


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝¹ p✝ : Set ℕ

of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝ ≤ of p✝¹ → of p✝¹ = of p✝


Context:
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝¹ p✝ : Set ℕ
hp : of p✝¹ ≤ of p✝
hq : of p✝ ≤ of p✝¹


Context: n d nd : ℕ

(d, nd) ∈ map { toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } n.divisors ↔ (d, nd) ∈ n.divisorsAntidiagonal


Context: n d nd : ℕ

(d ∣ n ∧ n ≠ 0) ∧ n / d = nd ↔ d * nd = n ∧ n ≠ 0


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
x : V1


Context:
R L K : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ : IsTranscendenceBasis R v
inst✝ : Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
this : ℵ₀ ≤ #ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s✝ s : Set α
s_fin : s.Finite
s_mble : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
D : LieDerivation R L L
x : L


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝¹ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
a✝ : ℕ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n✝ : ℕ
a : G₀
n : ℕ
ha : a ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: s✝ t : Set E

Context: inst✝ : Subsingleton ι

Context: p : ι → E

Context: s : Set ι

Context: x : ι

Context: hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)

Context: this : ((convexHull 𝕜) (p '' s)).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
this : s.Nonempty


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Module R α
x : R
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i

blockDiagonal' (x • M) i✝ j✝ = (x • blockDiagonal' M) i✝ j✝


(if h : i✝.fst = j✝.fst then x • M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = x • if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ angle x y = π / 2


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : MulOneClass M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : AddZeroClass A

Context: t : Set A

Context: S : Submonoid M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : closure s = ⊤

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: one : p 1

Context: mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : MulOneClass M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : AddZeroClass A

Context: t : Set A

Context: S : Submonoid M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : closure s = ⊤

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: one : p 1

Context: this : ∀ x ∈ closure s, p x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
a m : α


Context:
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : AddCircle T


Context:
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : ℝ


Context:
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : ℝ

expMapCircle (x * (T⁻¹ * (2 * π))) = expMapCircle (2 * π / T * x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
h : a ≠ a'


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)

Context: hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

Context: hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))

Context: A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l = ⊥


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

UniformCauchySeqOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) l (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => (↑‖z - x‖)⁻¹ • (f n.1 z - f n.1 x) - (↑‖z - x‖)⁻¹ • (f n.2 z - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

Context: hfg' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

Context: hfg' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

Context: hfg' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → dist (0 (x, y).2) (f' (x, y).1.1 (x, y).2 - f' (x, y).1.2 (x, y).2) < ↑q ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

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Context: hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

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Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

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Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

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Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

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Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

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Context: q : ℚ

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Context: hqε : ↑q < ε

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Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

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Context: hn : a n

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Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: n : ι × ι

Context: hn : a n

Context: y : E

Context: hy : (fun e => Metric.ball x r e) y

‖(↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n.1 y - f n.1 x) - (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n.2 y - f n.2 x)‖ < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: n : ι × ι

Context: hn : a n

Context: y : E

Context: hy : (fun e => Metric.ball x r e) y

‖y - x‖⁻¹ * ‖f n.1 y - f n.1 x - (f n.2 y - f n.2 x)‖ < ε


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: n : ι × ι

Context: hn : a n

Context: y : E

Context: hy : (fun e => Metric.ball x r e) y

‖y - x‖⁻¹ * ‖f n.1 y - f n.1 x - (f n.2 y - f n.2 x)‖ ≤ ↑q


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: n : ι × ι

Context: hn : a n

Context: y : E

Context: hy : (fun e => Metric.ball x r e) y

Context: hyz' : ¬x = y


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: n : ι × ι

Context: hn : a n

Context: y : E

Context: hy : (fun e => Metric.ball x r e) y

Context: hyz' : ¬x = y

Context: hyz : 0 < ‖y - x‖


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: n : ι × ι

Context: hn : a n

Context: y : E

Context: hy : (fun e => Metric.ball x r e) y

Context: hyz' : ¬x = y

Context: hyz : 0 < ‖y - x‖

‖f n.1 y - f n.2 y - (f n.1 x - f n.2 x)‖ ≤ ↑q * ‖y - x‖


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → E → G

Context: g : E → G

Context: f' : ι → E → E →L[𝕜] G

Context: g' : E → E →L[𝕜] G

Context: x : E

Context: hl : l ≠ ⊥

Context: this✝ : l.NeBot

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: q : ℚ

Context: hqpos : 0 < q

Context: hqε : ↑q < ε

Context: a : ι × ι → Prop

Context: b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x

Context: c : E → Prop

Context: d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: n : ι × ι

Context: hn : a n

Context: y : E

Context: hy : (fun e => Metric.ball x r e) y

Context: hyz' : ¬x = y

Context: hyz : 0 < ‖y - x‖

Context: e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → ‖f' x.1 y - f' x.2 y‖ < ↑q ∧ HasFDerivAt (f x.1) (f' x.1 y) y ∧ HasFDerivAt (f x.2) (f' x.2 y) y


Context:
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
h : Function.Surjective ⇑f
x : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (Spec.map f) x)


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: h : Function.Surjective ⇑f

Context: x : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace

Context: this : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f).RespectsIso


Context: R S : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: h : Function.Surjective ⇑f

Context: x : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace

RingHom.toMorphismProperty (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f) (CommRingCat.ofHom (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) x).asIdeal x.asIdeal f ⋯))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G

(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (c • x))) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) = c • (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsEmpty ι

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = ‖1‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsEmpty ι

‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ ‖1‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁵ : Fintype ι

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι'

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: A : Type u_1

Context: inst✝² : NormedCommRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsEmpty ι

‖1‖ ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖


Context:
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this : NeZero e := { out := he }

Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : p.IsMaximal

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: he : e ≠ 0

Context: this✝ : NeZero e := { out := he }

Context: this : Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ 0)) = (e - 0) • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: inst✝² : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹ : p.IsMaximal

Context: inst✝ : P.IsPrime

Context: hP0 : P ≠ ⊥

Context: he : e ≠ 0

Context: this✝ : NeZero e := { out := he }

Context: this : Module.rank (R ⧸ p) ↥⊤ = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
hn : n > 0


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝² : FloorRing α

Context: z : ℤ

Context: a : α

Context: k : Type u_4

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField k

Context: inst✝ : FloorRing k

Context: b : k

Context: m : ℤ

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ↑n

Context: this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝² : FloorRing α

Context: z : ℤ

Context: a : α

Context: k : Type u_4

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField k

Context: inst✝ : FloorRing k

Context: b : k

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ↑n

Context: m₀ : ℕ


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝² : FloorRing α

Context: z : ℤ

Context: a : α

Context: k : Type u_4

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField k

Context: inst✝ : FloorRing k

Context: b : k

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ↑n

Context: m₀ : ℕ

fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedRing α

Context: inst✝² : FloorRing α

Context: z : ℤ

Context: a : α

Context: k : Type u_4

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField k

Context: inst✝ : FloorRing k

Context: b : k

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < ↑n

Context: m₀ : ℕ

Context: q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉

Context: m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀