Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hf : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε ≤ ‖f z - f z₀‖

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z

Context: h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z

Context: key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z

Context: h7 : ∀ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w = f z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z

Context: h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[≠] z, f w = f z


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z

Context: h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[≠] z, f w = f z

Context: h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z

Context: h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[≠] z, f w = f z

Context: h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)

Context: h9 : EqOn f (fun x => f z) (ball z₀ r)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: U : Set E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: g : E → ℂ

Context: z₀ w : ℂ

Context: ε r m : ℝ

Context: h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)

Context: hr : 0 < r

Context: hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀

Context: v : ℂ

Context: hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)

Context: h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)

Context: h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2

Context: z : ℂ

Context: hz1 : z ∈ ball z₀ r

Context: hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z

Context: h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[≠] z, f w = f z

Context: h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)

Context: h9 : EqOn f (fun x => f z) (ball z₀ r)

Context: h10 : f z = f z₀


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: a : Products I

Context: ha : Products.isGood C a

Context: b : Products I

Context: hb : Products.isGood C b

Context: h : Products.eval C a = Products.eval C b


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: a : Products I

Context: ha : Products.isGood C a

Context: b : Products I

Context: hb : Products.isGood C b

Context: h' : a < b


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: a : Products I

Context: ha hb : Products.isGood C a

Context: h : Products.eval C a = Products.eval C a


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: a : Products I

Context: ha : Products.isGood C a

Context: b : Products I

Context: hb : Products.isGood C b

Context: h' : b < a


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
m n : ℤ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X

T2Space X ↔ Pairwise fun x y => ∃ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ∈ 𝓝 y, Disjoint U V


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / (1 + x ^ 2) = arctan b - arctan a


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ
x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

ContinuousOn f s ↔ ∀ (a : α), ContinuousOn (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology α

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

(∀ (a : α) (b : β), (a, b) ∈ s → ContinuousWithinAt (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s} b) ↔ ∀ (a : α), ∀ x ∈ {b | (a, b) ∈ s}, ContinuousWithinAt (fun x => f (a, x)) {b | (a, b) ∈ s} x


Context:
x✝ x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x


Context:
x✝ x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x

MonotoneOn (fun x => cos x + x ^ 2 / 2) (Ici 0)


Context:
x✝¹ x✝ : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x✝
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r

(⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : IsEmpty ι


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι


Context: x : ℝ

deriv (fun x => √x * log x) x = (2 + log x) / (2 * √x)


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame

x₁.IsOption x → x₂.IsOption x → y' = -y ∨ y'.IsOption (-y) → P24 x₁ x₂ y'


x₁.IsOption x → x₂.IsOption x → -y' = y ∨ (-y').IsOption y → P24 x₁ x₂ (-y')


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: t : Fork f g

Context: lift : (s : Fork f g) → s.pt ⟶ t.pt

Context: fac : ∀ (s : Fork f g), lift s ≫ t.ι = s.ι

Context: uniq : ∀ (s : Fork f g) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ t.ι = s.ι → m = lift s

Context: s : Cone (parallelPair f g)

Context: j : WalkingParallelPair


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: t : Fork f g

Context: lift : (s : Fork f g) → s.pt ⟶ t.pt

Context: s : Cone (parallelPair f g)

Context: j : WalkingParallelPair

ι s ≫ (parallelPair f g).map left = s.π.app zero ≫ (parallelPair f g).map left


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
hi : i0 ≤ i
hj : i0 ≤ j


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
hi : i0 ≤ i
hj : j < i0


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
hi : i < i0
hj : i0 ≤ j


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i j : ι
h_le : toZ i0 i ≤ toZ i0 j
hi : i < i0
hj : j < i0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: r C : ℝ

Context: f : ℕ → α

Context: h : CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, f k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: r C : ℝ

Context: f : ℕ → α

Context: b : ℕ → ℝ

Context: left✝ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: key : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (∑ k ∈ Finset.range n, f k) (∑ k ∈ Finset.range m, f k) ≤ b N

Context: right✝ : Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: r C : ℝ

Context: f : ℕ → α

Context: b : ℕ → ℝ

Context: left✝ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: right✝ : Tendsto b atTop (𝓝 0)

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ 0)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B

a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsLindelof s

Context: p : Set X → Prop

Context: hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s

Context: hcountable_union : ∀ (S : Set (Set X)), S.Countable → (∀ s ∈ S, p s) → p (⋃₀ S)

Context: hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t

Context: f : Filter X := ofCountableUnion p hcountable_union ⋯


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: hs : IsLindelof s

Context: p : Set X → Prop

Context: hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t

Context: this : sᶜ ∈ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: f : ι → E

Context: hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0

Context: i : ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrder ι

Context: inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: f : ι → E

Context: i : ι

f i - ∑ i_1 ∈ Finset.Iio i, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i_1})) (f i)) = f i


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R

Context: s : Finset S

Context: f : S → WithTop R

trop (sInf (f '' ↑s)) = ∑ i ∈ s, trop (f i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: f : S → WithTop R

trop (sInf (f '' ↑∅)) = ∑ i ∈ ∅, trop (f i)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: s : Finset S

Context: f : S → WithTop R

Context: h : s.Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x✝ y✝ z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: hf : Inducing f

Context: h : StableUnderGeneralization (Set.range f)

Context: x y : X

Context: e : f y ⤳ f x

∃ a', (fun x x_1 => x ⤳ x_1) a' x ∧ f a' = f y


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: inst✝¹ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)

Context: inst✝ : ReflectsColimit (Functor.empty C) (forget C)

Context: X : C

Nonempty (IsInitial X) ↔ IsEmpty ((forget C).obj X)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
y : α
h : y ∈ ball x (ε / 2)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: x₁ x₂ : X

Context: y₁ y₂ : Y


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ

(integerNormalization M p).coeff i = coeffIntegerNormalization M p i


Context: V : Type u_1

Context: G G'✝ : SimpleGraph V

Context: M✝ M' : G.Subgraph

Context: v w : V

Context: G' : G.Subgraph

Context: M : G'.coe.Subgraph

Context: hM : M.IsMatching

Context: v✝ : V

Context: hv : v✝ ∈ (Subgraph.coeSubgraph M).verts


Context: V : Type u_1

Context: G G'✝ : SimpleGraph V

Context: M✝ M' : G.Subgraph

Context: v w✝ : V

Context: G' : G.Subgraph

Context: M : G'.coe.Subgraph

Context: hM : M.IsMatching

Context: v✝ : V

Context: w : ↑G'.verts

Context: hw : (fun w => M.Adj ⟨v✝, ⋯⟩ w) w ∧ ∀ (y : ↑G'.verts), (fun w => M.Adj ⟨v✝, ⋯⟩ w) y → y = w


Context: V : Type u_1

Context: G G'✝ : SimpleGraph V

Context: M✝ M' : G.Subgraph

Context: v w✝ : V

Context: G' : G.Subgraph

Context: M : G'.coe.Subgraph

Context: hM : M.IsMatching

Context: v✝ : V

Context: w : ↑G'.verts

(fun w => (Subgraph.coeSubgraph M).Adj v✝ w) ↑w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (Subgraph.coeSubgraph M).Adj v✝ w) y → y = ↑w


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type u

Context: ι : Type u

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj ((X.presheafToTypes T).obj (Opposite.op (U i)))

Context: hsf : (X.presheafToTypes T).IsCompatible U sf

∃! s, (X.presheafToTypes T).IsGluing U sf s


Context: X : TopCat

Context: T : ↑X → Type u

Context: ι : Type u

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: index : ↥(iSup U) → ι

Context: index_spec : ∀ (x : ↥(iSup U)), ↑x ∈ U (index x)


Context:
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K : ConvexBody V
h_symm : ∀ x ∈ K, -x ∈ K


Context:
V : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module ℝ V
K : ConvexBody V
h_symm : ∀ x ∈ K, -x ∈ K
x : V
hx : x ∈ ↑K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t✝ : Set α
inst✝ : BooleanAlgebra α
t : α
S : Set α


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι

(l.toFilteriUnion I ⊤).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.IsPartition}


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝

l₁.reverse.reverse <:+ l₂.reverse.reverse ↔ l₁ <:+ l₂


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal R
h : I.IsPrime
r₁ : R
s₁ : S
r₂ : R
s₂ : S
h₁ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).1 ∈ I
right✝ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).2 ∈ ⊤

(r₁, s₁) ∈ I.prod ⊤ ∨ (r₂, s₂) ∈ I.prod ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal R
h✝ : I.IsPrime
r₁ : R
s₁ : S
r₂ : R
s₂ : S
h₁ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).1 ∈ I
right✝ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).2 ∈ ⊤
h : (r₁, s₁).1 ∈ I


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' : Ideal S
I : Ideal R
h✝ : I.IsPrime
r₁ : R
s₁ : S
r₂ : R
s₂ : S
h₁ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).1 ∈ I
right✝ : ((r₁, s₁) * (r₂, s₂)).2 ∈ ⊤
h : (r₂, s₂).1 ∈ I


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β

ContinuousAt f b ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 b, dist (f x) (f b) < ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : H
hy : y ∈ f.target
hy' : ↑I y ∈ interior (range ↑I)


↑I.symm (↑I y) ∈ f.target ∧ ↑I y ∈ interior (range ↑I)


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
p : Fin (n + 1)
x : α p
f : (j : Fin (n + 1)) → α j
i : Fin n

p.removeNth (update f p x) i = p.removeNth f i


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y ≤ x
hz : z ≤ 0


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y ≤ x
hz : z ≤ 0
hz_zero : z ≠ 0


Context:
x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y ≤ x
hz : 0 ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: hl : l.Balanced

Context: hr : r.Balanced

Context: sl : l.Sized

Context: sr : r.Sized

Context: H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen s

∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ ∀ (x : M), 0 ≤ f x


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set M

Context: hs : IsOpen s

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: hf : f.IsSubordinate fun x => (chartAt H x).source


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set M

Context: hs : IsOpen s

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: A : ∀ (c : M), ∃ g, support g = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g ∧ range g ⊆ Icc 0 1


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set M

Context: hs : IsOpen s

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: g : M → H → ℝ

Context: g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s

Context: g_diff : ∀ (c : M), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) (g c)

Context: hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set M

Context: hs : IsOpen s

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: g : M → H → ℝ

Context: hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1

Context: h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace M

Context: inst✝ : T2Space M

Context: t : M → Set F

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set M

Context: hs : IsOpen s

Context: f : SmoothPartitionOfUnity M I M

Context: g : M → H → ℝ

Context: hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1

Context: h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x

Context: h''g : ∀ (c x : M), 0 ≤ (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R

star ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y

(∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 X)).J), Q (Scheme.Hom.app ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 X)).map i ≫ f) ⊤)) ↔ Q (Scheme.Hom.app f ⊤)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P


(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ + -1 • (p₃ -ᵥ p₂))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign


(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (1 • (p₁ -ᵥ p₂) + -1 • (p₃ -ᵥ p₂))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign


SignType.sign (-1) * (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => b ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R

↑(s ∩ t).card = ↑s.card + ↑t.card - ↑(s ∪ t).card


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.218597, u_1} C₁

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.218601, u_2} C₂

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.218605, u_3} C₃

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.218609, u_4} C₄

Context: inst✝³ : Category.{?u.218613, u_5} C₁₂

Context: inst✝² : Category.{?u.218617, u_6} C₂₃

Context: F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

Context: i₂₃ : ρ₂₃.I₂₃

Context: h₂₃ : ρ₂₃.p (i₂, i₃) = i₂₃


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: hf : ∀ (i : ι'), Continuous ⇑((q i).comp f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: this : TopologicalAddGroup F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: this : TopologicalAddGroup F

∀ (i : ι'), Tendsto (⇑(q i) ∘ ⇑f) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'

Context: inst✝² : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: this : TopologicalAddGroup F

Context: i : ι'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] F

HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) f' x ↔ HasFDerivAt f ((↑iso.symm).comp f') x


Context: n : ℕ

Context: h1 : fib (n + 1) = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, p.1.choose p.2

Context: h2 : fib (n.succ + 1) = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n.succ, p.1.choose p.2

fib (n.succ.succ + 1) = ∑ p ∈ Finset.antidiagonal n.succ.succ, p.1.choose p.2


Context: n : ℕ

∑ p ∈ Finset.antidiagonal n, p.1.choose p.2 + ∑ p ∈ Finset.cons (n + 1, 0) (Finset.map ((Function.Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := succ, inj' := succ_injective }) (Finset.antidiagonal n)) ⋯, p.1.choose p.2 = ∑ p ∈ Finset.cons (0, n + 2) (Finset.cons (n + 2, 0) (Finset.map ({ toFun := succ, inj' := succ_injective }.prodMap { toFun := succ, inj' := succ_injective }) (Finset.antidiagonal n)) ⋯) ⋯, p.1.choose p.2


Context:
R : Type u
S : Type v
a b✝ : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
b : R
hp : b * p.leadingCoeff = 1
a✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

∃ f, Continuous f ∧ eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧ (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ Memℒp f p μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: s u : Set α

Context: s_closed : IsClosed s

Context: u_open : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: η : ℝ≥0

Context: η_pos : 0 < η

Context: hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

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Context: ηpos : 0 < ↑η


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Context: hsu : s ⊆ u

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Context: V_open : IsOpen V

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Context: hV : μ (V \ s) < ↑η


Context: α : Type u_1

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Context: α : Type u_1

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Context: ηpos : 0 < ↑η

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Context: V_open : IsOpen V

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Context: hsv : s ⊆ v


Context: α : Type u_1

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Context: hsv : s ⊆ v

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Context: α : Type u_1

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Context: v : Set α := u ∩ V

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Context: hμv : μ v < ⊤

Context: g : C(α, ℝ)

Context: hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ

Context: hgs : EqOn (⇑g) 1 s

Context: hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

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Context: ηpos : 0 < ↑η

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Context: sV : V ⊇ s

Context: V_open : IsOpen V

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Context: hV : μ (V \ s) < ↑η

Context: v : Set α := u ∩ V

Context: hsv : s ⊆ v

Context: hμv : μ v < ⊤

Context: g : C(α, ℝ)

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Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

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Context: hV : μ (V \ s) < ↑η

Context: v : Set α := u ∩ V

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Context: hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1

Context: g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x

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Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

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Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

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Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: s u : Set α

Context: s_closed : IsClosed s

Context: u_open : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: η : ℝ≥0

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Context: ηpos : 0 < ↑η

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Context: sV : V ⊇ s

Context: V_open : IsOpen V

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Context: hV : μ (V \ s) < ↑η

Context: v : Set α := u ∩ V

Context: hsv : s ⊆ v

Context: hμv : μ v < ⊤

Context: g : C(α, ℝ)

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Context: hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1

Context: g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x

Context: gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖

Context: gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x => c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x => c) x‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: s u : Set α

Context: s_closed : IsClosed s

Context: u_open : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: η : ℝ≥0

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Context: ηpos : 0 < ↑η

Context: V : Set α

Context: sV : V ⊇ s

Context: V_open : IsOpen V

Context: h'V : μ V < ⊤

Context: hV : μ (V \ s) < ↑η

Context: v : Set α := u ∩ V

Context: hsv : s ⊆ v

Context: hμv : μ v < ⊤

Context: g : C(α, ℝ)

Context: hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ

Context: hgs : EqOn (⇑g) 1 s

Context: hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1

Context: g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x

Context: gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖

Context: gc_support : (Function.support fun x => g x • c) ⊆ v


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: s u : Set α

Context: s_closed : IsClosed s

Context: u_open : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

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Context: ηpos : 0 < ↑η

Context: V : Set α

Context: sV : V ⊇ s

Context: V_open : IsOpen V

Context: h'V : μ V < ⊤

Context: hV : μ (V \ s) < ↑η

Context: v : Set α := u ∩ V

Context: hsv : s ⊆ v

Context: hμv : μ v < ⊤

Context: g : C(α, ℝ)

Context: hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ

Context: hgs : EqOn (⇑g) 1 s

Context: hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1

Context: g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x

Context: gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖

Context: gc_mem : Memℒp (fun x => g x • c) p μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : NormalSpace α

Context: inst✝⁵ : R1Space α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : μ.OuterRegular

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: s u : Set α

Context: s_closed : IsClosed s

Context: u_open : IsOpen u

Context: hsu : s ⊆ u

Context: hs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : ε ≠ 0

Context: η : ℝ≥0

Context: η_pos : 0 < η

Context: ηpos : 0 < ↑η

Context: V : Set α

Context: sV : V ⊇ s

Context: V_open : IsOpen V

Context: h'V : μ V < ⊤

Context: hV : μ (V \ s) < ↑η

Context: v : Set α := u ∩ V

Context: hsv : s ⊆ v

Context: hμv : μ v < ⊤

Context: g : C(α, ℝ)

Context: hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ

Context: hgs : EqOn (⇑g) 1 s

Context: hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1

Context: g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x

Context: gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖

Context: gc_mem : Memℒp (fun x => g x • c) p μ

eLpNorm ((v \ s).indicator fun _x => c) p μ ≤ ε


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p


Context:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p


Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p < 1

Context: hp₀' : 0 < 1 / p

Context: hp₁' : 1 < 1 / p

Context: f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'


Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p < 1

Context: hp₀' : 0 < 1 / p

Context: hp₁' : 1 < 1 / p

Context: h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f


Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p < 1

Context: hp₀' : 0 < 1 / p

Context: hp₁' : 1 < 1 / p

Context: h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f

Context: h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p


Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p < 1

Context: hp₀' : 0 < 1 / p

Context: hp₁' : 1 < 1 / p

Context: h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f

Context: h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p

Context: x : ℝ≥0

Context: mx : x ∈ univ

Context: y : ℝ≥0

Context: my : y ∈ univ

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : ℝ≥0

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)


Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 < p

Context: hp₁ : p < 1

Context: hp₀' : 0 < 1 / p

Context: hp₁' : 1 < 1 / p

Context: h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f

Context: h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p

Context: x : ℝ≥0

Context: mx : x ∈ univ

Context: y : ℝ≥0

Context: my : y ∈ univ

Context: hxy : x ≠ y

Context: a b : ℝ≥0

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: i : ι

b.repr ((fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = lp.single 2 i 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: J : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ PresheafOfModules R

Context: inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))

Context: inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

Context: X : Cᵒᵖ

Hom.app (F.map f ≫ colimitCoconeιApp F j) X = Hom.app (colimitCoconeιApp F i) X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
t : Set β
x✝ : α × β

x✝ ∈ ↑(upperClosure (s ×ˢ t)) ↔ x✝ ∈ ↑(upperClosure s ×ˢ upperClosure t)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α

(ndinsert a s).gcd = GCDMonoid.gcd a s.gcd


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

IH24 x₁ x₂ y → IH24 (-x₂) (-x₁) y ∧ IH24 x₁ x₂ (-y)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

(∀ ⦃z : PGame⦄, (z.IsOption x₁ → P24 z x₂ y) ∧ (z.IsOption x₂ → P24 x₁ z y) ∧ (z.IsOption y → P24 x₁ x₂ z)) → (∀ ⦃z : PGame⦄, ((-z).IsOption x₂ → P24 z (-x₁) y) ∧ ((-z).IsOption x₁ → P24 (-x₂) z y) ∧ (z.IsOption y → P24 (-x₂) (-x₁) z)) ∧ ∀ ⦃z : PGame⦄, (z.IsOption x₁ → P24 z x₂ y) ∧ (z.IsOption x₂ → P24 x₁ z y) ∧ ((-z).IsOption y → P24 x₁ x₂ z)


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: h : ∀ ⦃z : PGame⦄, (z.IsOption x₁ → P24 z x₂ y) ∧ (z.IsOption x₂ → P24 x₁ z y) ∧ (z.IsOption y → P24 x₁ x₂ z)

Context: z : PGame


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: z : PGame


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LTCmp cmp


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
y : F
x : E
hx : x ∈ {0}


Context:
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimit (uncurry.obj F)
inst✝ : HasColimit (F ⋙ colim)
j : J
k : K

colimit.ι (uncurry.obj F) (j, k) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom = colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j


(colimit.ι (uncurry.obj F) (j, k) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv = (colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (z, τ)


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

ContinuousOn (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) V


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: u : ℤ → ℝ := fun n => 2 * π * ↑|n| * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hu : Summable u


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hu : Summable u

Context: n : ℤ

ContinuousOn (fun p => jacobiTheta₂'_term n p.1 p.2) V


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ'✝ : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hu : Summable u

Context: n : ℤ

Context: x✝¹ : ℂ × ℂ

Context: z' τ' : ℂ

Context: x✝ : (z', τ') ∈ V

Context: hz' : (z', τ').1 ∈ {u | |u.im| < S}

Context: hτ' : (z', τ').2 ∈ {v | T < v.im}

‖jacobiTheta₂'_term n (z', τ').1 (z', τ').2‖ ≤ u n


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
a b z : R


Context:
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₂
h₁ : q₁ ∈ stmts₁ q₂

some q₂ ∈ stmts M S → some q₁ ∈ stmts M S


∀ x ∈ S, q₂ ∈ stmts₁ (M x) → ∃ a ∈ S, q₁ ∈ stmts₁ (M a)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hfi : Integrable f μ

f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: H : ¬∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: H : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t ≠ 0 → μ tᶜ ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: ht' : μ t < ⊤

∫ (x : α) in t, f x ∂μ = ∫ (x : α) in t, const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

∫ (x : α) in t, f x ∂μ = (μ t).toReal • ⨍ (x : α), f x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h₀ : ¬μ t = 0

Context: h₀' : ¬μ tᶜ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h₀ : ¬μ t = 0

Context: h₀' : ¬μ tᶜ = 0

Context: this : ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t✝ : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: t : Set α

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h₀ : ¬μ t = 0

Context: h₀' : ¬μ tᶜ = 0

Context: this : ⨍ (x : α), f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

Context: Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x

(lift L ι G f g Hg).toHom.range = ⨆ i, (g i).toHom.range


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

⨆ i, Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom (of L ι G f i).toHom.range = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: P : Type u₁

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: g : (i : ι) → G i ↪[L] P

⨆ i, Substructure.map ((lift L ι G f g Hg).toHom.comp (of L ι G f i).toHom) ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤


Context:
z : ℤ
hz : normalize z = z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α
inst✝ : DecidableEq α
h : b ≠ 0

(f.update a b).support = insert a f.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
a : αˣ
hp : p ≠ 0
x : α
hx : ¬IsUnit x
hx' : p * ↑a = p * x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
a : αˣ
hp : p ≠ 0
hx : ¬IsUnit ↑a
hx' : p * ↑a = p * ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
t : Set α

t ∈ l ⊔ l' ↔ ∃ i, (p i.fst ∧ p' i.snd) ∧ s i.fst ∪ s' i.snd ⊆ t


(∃ x x_1, (p x ∧ s x ⊆ t) ∧ p' x_1 ∧ s' x_1 ⊆ t) ↔ ∃ a b, (p a ∧ p' b) ∧ s a ⊆ t ∧ s' b ⊆ t


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t K : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: l : Filter X

Context: this : ∀ (f : Filter X), f ⊓ l = comap (fun x => (x, x)) (f ×ˢ l)


Context:
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : Module α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : Module α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α
h : |a| = a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : Module α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
symmetric : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
a : α
h : |a| = -a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f : α → β
s : Set ι
μ : ι → Measure α
t : Set α
ht : MeasurableSet t

((sum fun i => μ ↑i) + sum fun i => μ ↑i) t = (sum μ) t


∑' (i : ↑s), (μ ↑i) t + ∑' (i : ↑sᶜ), (μ ↑i) t = ∑' (i : ι), (μ i) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → M
g : α → β

(mulSupport fun b => (filter (fun a => g a = b) s).prod f) ⊆ ↑(image g s)


(mulSupport fun b => (filter (fun a => g a = b) s).prod f) ⊆ g '' ↑s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a b✝ : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: f : α → M

Context: g : α → β

Context: b : β

Context: h : b ∈ mulSupport fun b => (filter (fun a => g a = b) s).prod f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: f✝ g✝ : α → M

Context: a b✝ : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset α

Context: f : α → M

Context: g : α → β

Context: b : β


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U.carrier = ⋃ i ∈ s, ↑↑i


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: H' : ∀ (i : ↑s), ∃ n, (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0


Context:
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : ↑Γ(X, U)
H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
s : Set ↑X.affineOpens
hs : s.Finite
e : U = ⨆ i, ↑↑i
h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U
i : ↑s

((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x |_ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)) ⋯ = 0


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: n : ↑s → ℕ

Context: hn : ∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x = 0


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: n : ↑s → ℕ

Context: this : Finite ↑s


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: n : ↑s → ℕ

Context: this : Finite ↑s

Context: val✝ : Fintype ↑s


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: n : ↑s → ℕ

Context: this : Finite ↑s

Context: val✝ : Fintype ↑s

∀ (i : ↑s), (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ Finset.univ.sup n * x) = 0


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: n : ↑s → ℕ

Context: this : Finite ↑s

Context: val✝ : Fintype ↑s

Context: i : ↑s

Context: hn : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i)) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n i * (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) x) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i)) * 0

(X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ Finset.univ.sup n * x) = 0


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: n : ↑s → ℕ

Context: this : Finite ↑s

Context: val✝ : Fintype ↑s

Context: i : ↑s

Context: hn : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i) * (f ^ n i * x)) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i)) * 0


Context: X✝ Y : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y

Context: Z X : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsCompact U.carrier

Context: x f : ↑Γ(X, U)

Context: H : (x |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

Context: s : Set ↑X.affineOpens

Context: hs : s.Finite

Context: e : U = ⨆ i, ↑↑i

Context: h₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ U

Context: n : ↑s → ℕ

Context: this : Finite ↑s

Context: val✝ : Fintype ↑s

Context: i : ↑s

Context: hn : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) (f ^ (Finset.univ.sup n - n i + n i) * x) = 0


Context:
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0


Context:
x y : ℤ[i]
hy : y ≠ 0
this : toComplex y ≠ 0

↑(norm (x % y)) = normSq (toComplex x - toComplex y * toComplex (x / y))


normSq (toComplex x - toComplex y * toComplex (x / y)) = normSq (toComplex y) * normSq (toComplex x / toComplex y - toComplex (x / y))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h : s.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
h : ∅.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h : s.Finite
hs : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context:
c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
h : n * a < n * b + n


Context:
c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
h : n * a < n * b.succ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u

DifferentiableWithinAtProp I I' f s x ↔ DifferentiableWithinAtProp I I' f (s ∩ u) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: u : Set H

Context: f : H → H'

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: u : Set H

Context: f : H → H'

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u) (↑I x) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: u : Set H

Context: f : H → H'

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: u : Set H

Context: f : H → H'

Context: u_open : IsOpen u

Context: xu : x ∈ u

Context: this✝ : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u

Context: this : u ∈ 𝓝 (↑I.symm (↑I x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hx : x ∈ e.source

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))

Context: this✝ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))

Context: this : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I

DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hx : x ∈ e.source

Context: this✝¹ : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))

Context: this✝ : ↑I (↑e x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I

Context: this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hx : x ∈ e.source

↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) ∘ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hx : x ∈ e.source

↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I] ↑I (↑e x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hx : x ∈ e.source

↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ (↑I.symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) ⊆ ↑I.symm ⁻¹' e.target ∩ range ↑I ∩ ↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f g : H → H'

Context: h : ∀ y ∈ s, f y = g y

Context: hx : f x = g x

Context: hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f g : H → H'

Context: h : ∀ y ∈ s, f y = g y

Context: hx : f x = g x

∀ x ∈ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I, (↑I' ∘ g ∘ ↑I.symm) x = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f g : H → H'

Context: h : ∀ y ∈ s, f y = g y

Context: hx : f x = g x

(↑I' ∘ g ∘ ↑I.symm) (↑I x) = (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'

Context: hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hx : f x ∈ e'.source

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)

Context: A : (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x) ∈ ↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I'

DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'

Context: hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hx : f x ∈ e'.source

Context: this : ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I') ((↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'

Context: hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hx : f x ∈ e'.source

↑I' ∘ (↑e' ∘ f) ∘ ↑I.symm = (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm) ∘ ↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M'

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: e' : PartialHomeomorph H' H'

Context: he' : e' ∈ contDiffGroupoid ⊤ I'

Context: hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source

Context: hx : f x ∈ e'.source

MapsTo (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ range ↑I')


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addLeftEmbedding c) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)


⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ioo a b = Set.Ioo (c + a) (c + b)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
x : α
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
y y' : γ

(fun y => (x, f y)) y = (fun y => (x, f y)) y' → y = y'


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
x : α
f : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

MeasurableSet ((fun y => (x, f y)) '' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s t : Set α
a : α
h : MeasurableSet {a}


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X

(ofArrows (fun x => Y) fun x => f) = singleton f


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f : Y✝ ⟶ X
Y : C

(ofArrows (fun x => Y✝) fun x => f) = singleton f


Context:
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
t : Set ι
ht : p t


∀ᶠ (n : MeasurableSpace Ω) in Filter.map s f, n ≤ ⨆ n ∈ tᶜ, s n


∀ᶠ (a : ι) in f, s a ≤ ⨆ n, ⨆ (_ : n ∉ t), s n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
hab : Semiconj fab ga gb
hbc : Semiconj fbc gb gc
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
hg : HasSum g a
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖₊ ≤ g i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
hg : HasSum (fun a => ↑(g a)) ↑a
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ ↑(g i)


Context:
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
x✝ y : R
n : ℕ
S : Type u_3
inst✝ : MonoidWithZero S
x : S
hx : IsNilpotent x
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s t : Set α

DirSupInacc s ↔ ∀ ⦃d : Set α⦄, d.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d → sSup d ∈ s → (d ∩ s).Nonempty


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σa : Perm α
σb : Perm β

sign (σa.sumCongr σb) = sign σa * sign σb


sign (σa.sumCongr 1) = sign σa ∧ sign (sumCongr 1 σb) = sign σb


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hodd : p ≠ 2

(Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0


‖c • ‖x‖⁻¹ • x‖ = c


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e

(α_ f g h).inv ▷ i ≫ (α_ (f ≫ g) h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).hom = (α_ f (g ≫ h) i).hom ≫ f ◁ (α_ g h i).hom


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f✝ : X → (i : ι) → π i
f : Y → (i : ι) → π i
g : (i : ι) → π i
u : Filter Y

Tendsto f u (𝓝 g) ↔ ∀ (x : ι), Tendsto (fun i => f i x) u (𝓝 (g x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a : α
l : List α
m : ℕ


(enumFrom (n + 1) l)[m]? = Option.map (fun a => (n + (m + 1), a)) l[m]?


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.199790
S'' : Type ?u.199793
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Ring

(aeval P'.val) (f.toAlgHom x) = (algebraMap S S') ((aeval P.val) x)


(AlgHom.restrictScalars R (aeval P'.val)).comp f.toAlgHom = (IsScalarTower.toAlgHom R S S').comp (aeval P.val)


∀ (i : P.vars), ((AlgHom.restrictScalars R (aeval P'.val)).comp f.toAlgHom) (X i) = ((IsScalarTower.toAlgHom R S S').comp (aeval P.val)) (X i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
s : ℕ → Set α
ω : α

ω ∈ limsup s atTop ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}


(∀ (i : ℕ), ∃ i_1 ≥ i, ω ∈ s i_1) ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.77057, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
n : ℕ

((alternatingFaceMapComplex C).map f ≫ (fun x => PInfty) Y).f n = ((fun x => PInfty) X ≫ (alternatingFaceMapComplex C).map f).f n


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r
U : Set α
hAU : U ⊇ toMeasurable μ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
u : V

u ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet v ↔ u ∈ {w}


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
a : 𝓞 K
h : ℚ⟮↑a⟯ = ⊤

(minpoly ℤ ↑a).natDegree ≤ rankOfDiscrBdd N


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field A

Context: inst✝ : CharZero A

Context: N : ℕ

Context: hK : |discr K| ≤ ↑N

Context: a : 𝓞 K

Context: h : (minpoly ℤ ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).natDegree = finrank ℚ K


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
α : Type u_1
l : List α

(ofFn (get ⟨l, ⋯⟩)).toList = toList ⟨l, ⋯⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : E ≃ₘ^n⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
hn : 1 ≤ n
s : Set E

UniqueDiffOn 𝕜 (⇑h '' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
p : α → Prop
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
p : α → Prop
h : (μ.restrict s) {a | ¬p a} = 0