Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra.FinitePresentation R A

Context: f : A →ₐ[R] S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: t : Finset A

Context: ht : Ideal.span ↑t = ⊤

Context: g : ↑↑t


Context:
K : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : IsAlgClosed A
x : K

(range fun φ => φ x) = (minpoly ℚ x).rootSet A


(range fun φ => φ x) = range fun ψ => ψ x


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤


∀ (z : ℝ), ⊥ < ↑z → limsup (u + v) f ≤ ↑z


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x : ℝ


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤


⊥ < ↑x - ↑y + ↑y → limsup (u + v) f ≤ ↑x - ↑y + ↑y


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f = ⊥
h' : limsup v f ≠ ⊤
x y : ℝ
hy : limsup v f < ↑y
right✝ : ↑y < ⊤
a✝ : ⊥ < ↑x - ↑y + ↑y


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ R)

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: hcoe : ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p ∈ Ideal.comap C I


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ R)

Context: p : MvPolynomial σ R

∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p) ∈ I


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ R)

Context: p : MvPolynomial σ R

∀ m ∈ p.support, (monomial m) (coeff m p) ∈ I


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal (MvPolynomial σ R)

Context: p : MvPolynomial σ R

Context: m : σ →₀ ℕ

Context: a✝ : m ∈ p.support


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: g : α → β

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: hg : EqOn f g s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

Context: h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u

∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (g y, F n y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g✝ : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: g : α → β

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: hg : EqOn f g s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ s ∩ t, (g y, F n y) ∈ u


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.314058, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 4

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯

Context: app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯

Context: app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

Context: w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯

Context: w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖) p μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x

HasStrictFDerivAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x
z : E


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
n : ℕ
fι : Fin n → ι
fA : (a : Fin n) → A (fι a)

(List.ofFn fun a => (of A (fι a)) (fA a)).prod = (of A ((List.finRange n).dProdIndex fι)) ((List.finRange n).dProd fι fA)


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s : Multiset α

CutExpand r s' s ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t


(∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a) ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s t : Multiset α
a : α

(∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t


(∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x

Context: hn : 1 ≤ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x

Context: hn : 1 ≤ n

MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x

Context: hn : 1 ≤ n

ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

(μ ⊗ₘ κ) (s ×ˢ t) = ∫⁻ (a : α) in s, (κ a) t ∂μ


∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) ∂μ = ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun a => (κ a) t) a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α

(κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) = s.indicator (fun a => (κ a) t) a


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R


(J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det * 1


(J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : (A * J l R * Aᵀ).det = (J l R).det


Context: l : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq l

Context: inst✝¹ : Fintype l

Context: inst✝ : CommRing R

Context: A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R

Context: hA : A.det * (J l R).det * A.det = (J l R).det


Context: l : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq l

Context: inst✝¹ : Fintype l

Context: inst✝ : CommRing R

Context: A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R

Context: hA : (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det


Context: x : ℂ


Context: x : ℂ

(if 1 = 0 then if x = 0 then 1 else 0 else cexp (log 1 * x)) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : IsBigOWith c l f g


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j = 𝟙 (pullback (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

(t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

(t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k)


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val


Context:
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val
hlt : ↑(↑a).val < ↑n


Context:
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ s t : Set α

IsSeparable (s ∪ t) ↔ IsSeparable s ∧ IsSeparable t


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
f : X → L
a b : lib R X
h : Rel R X a b


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x✝¹ x✝ : Fin (n + 1)
h : x✝¹.succAbove = x✝.succAbove


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s : Finset ι
f : ι → Set α

(⋃ i ∈ s, f i).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E

gaugeRescale s t (c • x) = c • gaugeRescale s t x


(c * gauge s x / (c * gauge t x) * c) • x = (c * (gauge s x / gauge t x)) • x


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
h_bdd : Bornology.IsBounded (range f)


Context:
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
h_bdd : Bornology.IsBounded (range f)
c' : F
hc' : f = const E c'


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
x : 𝕜

HasStrictDerivAt (fun x => (aeval x) q) ((aeval x) (derivative q)) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop


(∀ (x y : Quot r), x = y) ↔ ∀ (i i_1 : α), ⊤ ≤ EqvGen r i i_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a : α

(∀ (y : Quot r), mk r a = y) ↔ ∀ (i : α), ⊤ ≤ EqvGen r a i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a b : α


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ


Convex ℝ (⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ)


Context: n k : ℕ


Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

Context: U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace

Context: x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))

(((sheafedSpaceMap (f ≫ g)).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) (sheafedSpaceObj T).presheaf).app (op U✝)) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝


Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

(comap (f ≫ g) (unop (op U✝)) ((TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝))) ⋯ ≫ (sheafedSpaceObj T).presheaf.map ((𝟙 (TopologicalSpace.Opens.map (sheafedSpaceMap (f ≫ g)).base).op).app (op U✝))) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝


Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

((comap g ?w.w.V ((TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝))) ?w.w.hVW).comp (comap f (unop (op U✝)) ?w.w.V ?w.w.hUV)) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝


Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T


Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

∀ p ∈ ?w.w.V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ unop (op U✝)


Context: R S T : CommRingCat

Context: f : R ⟶ S

Context: g : S ⟶ T

∀ p ∈ (TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝)), (PrimeSpectrum.comap g) p ∈ ?w.w.V


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
h : Fintype.card n = 0
M : Matrix n n R


Context:
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
h : IsEmpty n
M : Matrix n n R


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
val✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)


Context:
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0


Context: α : Type u_1

Context: M₀ : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: M₀' : Type u_4

Context: G₀' : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀

Context: inst✝⁶ : GroupWithZero G₀

Context: inst✝⁵ : Nontrivial M₀

Context: inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'

Context: inst✝³ : FunLike F G₀ M₀

Context: inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀

Context: inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'

Context: f✝ : F

Context: a : G₀

Context: inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'

Context: f g : F'

Context: h : f a = g a


Context: α : Type u_1

Context: M₀ : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: M₀' : Type u_4

Context: G₀' : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀

Context: inst✝⁶ : GroupWithZero G₀

Context: inst✝⁵ : Nontrivial M₀

Context: inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'

Context: inst✝³ : FunLike F G₀ M₀

Context: inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀

Context: inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'

Context: f✝ : F

Context: f g : F'

Context: h : f 0 = g 0


Context: α : Type u_1

Context: M₀ : Type u_2

Context: G₀ : Type u_3

Context: M₀' : Type u_4

Context: G₀' : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀

Context: inst✝⁶ : GroupWithZero G₀

Context: inst✝⁵ : Nontrivial M₀

Context: inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'

Context: inst✝³ : FunLike F G₀ M₀

Context: inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀

Context: inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'

Context: f✝ : F

Context: a : G₀

Context: f g : F'

Context: h : f a = g a

Context: ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
a : α

↑‖f a + g a‖₊ ≤ ↑‖f a‖₊ + ↑‖g a‖₊


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)

⇑(h.collectedBasis v) = fun a => ↑((v a.fst) a.snd)


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i

(h.collectedBasis v) a = ↑((v a.fst) a.snd)


(toModule R ι M fun i => (A i).subtype) ((DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr).symm (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)


(toModule R ι M fun i => (A i).subtype) ((DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr.symm) (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)


(toModule R ι M fun i => (A i).subtype) (DFinsupp.mapRange (fun i x => (v i).repr.symm x) ⋯ (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)


((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (A i).subtype) (DFinsupp.single a.fst ((v a.fst) a.snd)) = ↑((v a.fst) a.snd)


(A a.fst).subtype ((v a.fst) a.snd) = ↑((v a.fst) a.snd)


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r r' : R
eq1 : r • y = r' • y

(extendIdealTo i f h y) r = (extendIdealTo i f h y) r'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidablePred fun l => l ≠ []
L : List (List α)

(filter (fun l => decide (l ≠ [])) L).join = L.join


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : TotallyBounded s

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: r : Set (α × α)

Context: hr : r ∈ 𝓤 α

Context: rs : ∀ {a b : α}, (a, b) ∈ r → (b, a) ∈ r

Context: rU : r ○ r ⊆ U


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : TotallyBounded s

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: r : Set (α × α)

Context: hr : r ∈ 𝓤 α

Context: rU : r ○ r ⊆ U

Context: k : Set α

Context: fk : k.Finite

Context: ks : s ⊆ ⋃ y ∈ k, {x | (x, y) ∈ r}

Context: u : Set α := k ∩ {y | ∃ x ∈ s, (x, y) ∈ r}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: uniformSpace : UniformSpace α

Context: s : Set α

Context: hs : TotallyBounded s

Context: U : Set (α × α)

Context: hU : U ∈ 𝓤 α

Context: r : Set (α × α)

Context: hr : r ∈ 𝓤 α

Context: rU : r ○ r ⊆ U

Context: k : Set α

Context: fk : k.Finite

Context: ks : s ⊆ ⋃ y ∈ k, {x | (x, y) ∈ r}

Context: f : ↑u → α

Context: hfs : ∀ (x : ↑u), f x ∈ s

Context: hfr : ∀ (x : ↑u), (f x, ↑x) ∈ r


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ

(s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g


IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = (s.bind f).bind g ∧ c₂ = s.bind fun x => (f x).bind g


((s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g) ∨ ∃ s_1, (s.bind f).bind g = (s_1.bind f).bind g ∧ (s.bind fun x => (f x).bind g) = s_1.bind fun x => (f x).bind g


Context:
p : Prop
as ps as₁ : List Prop

as = as₁.reverseAux ps → (mk as).implies p ps as₁.length → p


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A S
inst✝³ : IsScalarTower R A S
inst✝² : IsIntegralClosure A R S
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Nontrivial R
I : Ideal A


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U : Opens α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: r : ℝ≥0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ

Context: hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r

Context: hr : ¬r = 0

Context: hμ this : IsFiniteMeasure μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: r : ℝ≥0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r

Context: hr : ¬r = 0

Context: hμ this : IsFiniteMeasure μ

Context: hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: r : ℝ≥0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r

Context: hr : ¬r = 0

Context: hμ this : IsFiniteMeasure μ

(∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal 1 ∂μ) ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: r : ℝ≥0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r

Context: hr : ¬r = 0

Context: hμ this : IsFiniteMeasure μ

∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal + ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: r : ℝ≥0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r

Context: hr : ¬r = 0

Context: hμ this : IsFiniteMeasure μ

∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ + ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: r : ℝ≥0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r

Context: hr : ¬r = 0

Context: hμ this : IsFiniteMeasure μ

Integrable (fun a => ↑(-f a).toNNReal) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b c d a : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
x : X

𝓝 x ≤ 𝓝ˢ s ↔ x ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a : α
b : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p

(fun x => ↑↑x) ((fun b => ⟨⋯.lift b, ⋯⟩) b) = b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α

(fun x => ↑↑x) ((fun b => ⟨⋯.lift b, ⋯⟩) ↑z✝) = ↑z✝


-toIocDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
c : ι → R


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
k n : ℕ

(C x * X ^ k).coeff n = if n = k then x else 0


(if k = n then x else 0) = if n = k then x else 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b a₁ b₁ a₂ b₂ : α
h : a₁ < b₁

Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F

DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: H : DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s)

Context: y : F

Context: hy : y ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: y : F

Context: hy : y ∈ s

DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s✝ t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : F → G

Context: s : Set F

Context: y : F

Context: hy : y ∈ s


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ


Finsupp.single i 1 = Finsupp.single j 1 ↔ i = j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
h_ne_bot : ∀ (i : ι), t i ≠ ⊥


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.87228, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + -1 = j
hik : k + -1 = i

homotopyCofiber.inlX φ i j ⋯ ≫ homotopyCofiber.d φ j i = φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i - F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯


-F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯ + φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i = φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i - F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : ModuleCat R
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat R
Z : ModuleCat R

whiskerRight (associator W X Y).hom Z ≫ (associator W (tensorObj X Y) Z).hom ≫ whiskerLeft W (associator X Y Z).hom = (associator (tensorObj W X) Y Z).hom ≫ (associator W X (tensorObj Y Z)).hom


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
r : β
hx : (x, r).1 ∈ s
hr : f (x, r).1 ≤ (x, r).2
y : E
t : β
hy : (y, t).1 ∈ s
ht : f (y, t).1 ≤ (y, t).2
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

a • (x, r) + b • (y, t) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 ≤ p.2}


Context:
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
A : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra k A
inst✝ : AddMonoid G
x✝ : A[G]

(mapDomainAlgHom k A (AddMonoidHom.id G)) x✝ = (AlgHom.id k A[G]) x✝


Context:
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
r : α → α → Prop
s : Set α


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K

(algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom = x


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

(algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) (q / gcd p q) ≠ 0


(algebraMap K[X] (RatFunc K)) (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹) ≠ 0


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
δ' : Type u_2
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : UniformSpace δ
inst✝ : UniformSpace δ'
f : α × β → γ

UniformContinuous₂ (curry f) ↔ UniformContinuous f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
f : α →₀ M


(∃ a_1, f a_1 ≠ 0 ∧ { toFun := fun a => (a, f a), inj' := ⋯ } a_1 = (a, m)) ↔ f a = m ∧ m ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E


∀ x ∈ {L | Injective ⇑L}, ∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 x, y ∈ {L | Injective ⇑L}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}

∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, y ∈ {L | Injective ⇑L}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}
K : ℝ≥0
K_pos : K > 0
H : AntilipschitzWith K ⇑↑φ₀


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: φ₀ : E →L[𝕜] F

Context: hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}

Context: K : ℝ≥0

Context: K_pos : K > 0

Context: H : AntilipschitzWith K ⇑↑φ₀

Context: this : ∀ᶠ (φ : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, ‖φ - φ₀‖₊ < K⁻¹


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: φ₀ : E →L[𝕜] F

Context: hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}

Context: K : ℝ≥0

Context: K_pos : K > 0

Context: H : AntilipschitzWith K ⇑↑φ₀

Context: φ : E →L[𝕜] F

Context: hφ : ‖φ - φ₀‖₊ < K⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ

‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: n : ℕ

Context: this : edist y₀ (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x) ≤ edist y₀ (f x) + edist y₀ (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: q : ℝ

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : β → E

Context: hf : Measurable f

Context: s : Set E

Context: y₀ : E

Context: h₀ : y₀ ∈ s

Context: inst✝ : SeparableSpace ↑s

Context: x : β

Context: n : ℕ

Context: this : ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - y₀‖₊ ≤ ↑‖f x - y₀‖₊ + ↑‖f x - y₀‖₊


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: inst✝ : Fintype (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E)

Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) = Fintype.card (K →ₐ[F] E) * finrank K ↥K⟮x⟯


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

Context: h2 : minpoly K x ∣ Polynomial.map (algebraMap F K) p


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

Context: key_equiv : (↥(IntermediateField.restrictScalars F K⟮x⟯) →ₐ[F] E) ≃ (f : K →ₐ[F] E) × (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) := let_fun this := algHomEquivSigma; this


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

Context: this : (f : K →ₐ[F] E) → Fintype (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

∑ i : K →ₐ[F] E, Fintype.card (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) = Fintype.card (K →ₐ[F] E) * (minpoly K x).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

∀ x_1 ∈ Finset.univ, Fintype.card (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) = (minpoly K x).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

Context: f : K →ₐ[F] E

Context: a✝ : f ∈ Finset.univ

Fintype.card (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) = (minpoly K x).natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

Context: f : K →ₐ[F] E

Context: a✝ : f ∈ Finset.univ

Fintype.card (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E) = Fintype.card (↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

Context: f : K →ₐ[F] E

Context: a✝ : f ∈ Finset.univ


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: p : F[X]

Context: hFE : FiniteDimensional F E

Context: sp : Polynomial.IsSplittingField F E p

Context: hp : p.Separable

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra K E

Context: inst✝² : IsScalarTower F K E

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p.aroots E

Context: inst✝¹ : Fintype (K →ₐ[F] E)

Context: h : IsIntegral K x

Context: h1 : p ≠ 0

Context: f : K →ₐ[F] E

Context: a✝ : f ∈ Finset.univ

Polynomial.Splits (algebraMap K E) (minpoly K x)


Context:
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hnb : log p (n + k) < b

multiplicity p ((n + k).choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Ico 1 b)).card


Context: p n k b : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hnb : log p (n + k) < b

Context: h₁ : multiplicity p ((n + k).choose k) + multiplicity p (k ! * n !) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + n % p ^ i) (Ico 1 b)).card + multiplicity p (k ! * n !)


Context: p n k b : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: hnb : log p (n + k) < b


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf_int : Integrable f μ

Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ


Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : Disjoint t t'

Disjoint (interedges r s t) (interedges r s t')


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ t'

∀ ⦃a : α × β⦄, a ∈ interedges r s t → a ∉ interedges r s t'


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ t'
a✝ : α × β
hx : a✝ ∈ interedges r s t
hy : a✝ ∈ interedges r s t'


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t t' : Finset β
ht : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ t'
a✝ : α × β
hx : a✝.1 ∈ s ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2
hy : a✝.1 ∈ s ∧ a✝.2 ∈ t' ∧ r a✝.1 a✝.2


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsNilpotent x
hx' : nilpotencyClass x = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hx' : nilpotencyClass x = 0
hx : x ^ nilpotencyClass x = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : MonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
hx' : nilpotencyClass x = 0
hx : 1 = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
h : PreconnectedSpace ↑s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]


IsOpen (⋃ i, {x | f.coeff i ∉ x.asIdeal})


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
l : List (Perm α)
hn : l.Nodup

σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l, f.IsCycle) ∧ List.Pairwise Disjoint l ∧ l.prod = σ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f σ : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hn : l.Nodup

Context: l' : List (Perm α)

Context: hp' : l'.prod = σ

Context: hc' : ∀ g ∈ l', g.IsCycle

Context: hd' : List.Pairwise Disjoint l'

Context: hl : Trunc.mk ⟨l', ⋯⟩ = σ.truncCycleFactors


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f σ : Perm α

Context: l : List (Perm α)

Context: hn : l.Nodup

Context: l' : List (Perm α)

Context: hp' : l'.prod = σ

Context: hc' : ∀ g ∈ l', g.IsCycle

Context: hd' : List.Pairwise Disjoint l'

Context: ht : σ.cycleFactorsFinset = l'.toFinset


Context:
q : ℚ
num : ℤ
den : ℕ
hd : den ≠ 0
hdn : num.natAbs.Coprime den
n : ℕ


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: S : Set X

Context: hS : IsClosed S

Context: hne : S.Nonempty

Context: opens : Set (Set X) := {U | Sᶜ ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ Uᶜ.Nonempty}

Context: U : Set X

Context: h : ∀ a ∈ opens, U ⊆ a → a = U

Context: Uc : Sᶜ ⊆ U

Context: Uo : IsOpen U

Context: Ucne : Uᶜ.Nonempty

∃ V ⊆ S, V.Nonempty ∧ IsClosed V ∧ ∀ V' ⊆ V, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = V


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: S : Set X

Context: hS : IsClosed S

Context: hne : S.Nonempty

Context: U : Set X

Context: h : ∀ a ∈ opens, U ⊆ a → a = U

Context: Uc : Sᶜ ⊆ U

Context: Uo : IsOpen U

Context: Ucne : Uᶜ.Nonempty

∀ V' ⊆ Uᶜ, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = Uᶜ


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : CompactSpace X

Context: S : Set X

Context: hS : IsClosed S

Context: hne : S.Nonempty

Context: U : Set X

Context: h : ∀ a ∈ opens, U ⊆ a → a = U

Context: Uc : Sᶜ ⊆ U

Context: Uo : IsOpen U

Context: Ucne : Uᶜ.Nonempty

Context: V' : Set X

Context: V'sub : V' ⊆ Uᶜ

Context: V'ne : V'.Nonempty

Context: V'cls : IsClosed V'

Context: this : V'ᶜ = U


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

n ≤ l.length → l.rotate n = drop n l ++ take n l


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

n ≤ l.length → l.rotate' n = drop n l ++ take n l


Context:
α : Type u
b : Ultrafilter α


Context:
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → α
a : α
bs : List β

foldlIdx f a bs = foldl (fun a p => f p.1 a p.2) a bs.enum


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atTop l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'

Context: fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'

Context: fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0

Context: fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'

Context: fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0

Context: fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹

Context: hdnf : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (f ∘ Inv.inv) (f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'

Context: fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0

Context: fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹

Context: hdng : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (g ∘ Inv.inv) (g' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'

Context: fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0

Context: fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹

Context: this : Tendsto (fun x => (f ∘ Inv.inv) x / (g ∘ Inv.inv) x) (𝓝[>] 0) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'

Context: fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0

Context: fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹

Context: this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Inv.inv) x / (g ∘ Inv.inv) x) (𝓝[>] 0) l

Context: this : Tendsto ((fun x => (f ∘ Inv.inv) x / (g ∘ Inv.inv) x) ∘ fun r => r⁻¹) atTop l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0

Context: hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)

Context: a' : ℝ

Context: haa' : a < a'

Context: ha' : 0 < a'

Context: fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0

Context: fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹

Context: this : Tendsto (fun x => (fun x => f x⁻¹ / g x⁻¹) ((fun r => r⁻¹) x)) atTop l


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Tendsto (verticalIntegral b c) atTop (𝓝 0)


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Tendsto (fun x => ‖verticalIntegral b c x‖) atTop (𝓝 0)


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Tendsto (fun T => b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2) atTop atTop


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Tendsto (fun x => b.re * x ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * x) atTop atTop


Context:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

Tendsto (fun x => (b.re * x - 2 * |b.im| * |c|) * x) atTop atTop


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
V : Opens ↑U
x : ↑U
hx : x ∈ V

X.presheaf.germ ⟨f x, ⋯⟩ ≫ (X.restrictStalkIso h x).inv = (X.restrict h).presheaf.germ ⟨x, hx⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
a : α
inst✝ : Invertible a

⅟a ≤ 0 ↔ a ≤ 0


Context:
X : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z


(ᘁf ≫ g) = (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ ≫ ((ᘁf) ⊗ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom


(λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁZ ≫ (ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom = (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ ≫ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom


(((((λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁZ) ≫ (ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ) ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom) ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z) ≫ (ρ_ ᘁX).hom = (((((λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ) ≫ ((((((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY) ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY) ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom) ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y) ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g) ▷ ᘁZ) ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom) ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z) ≫ (ρ_ ᘁX).hom


((λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁZ) ≫ (ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ = ((λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ) ≫ ((((((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY) ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY) ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom) ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y) ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g) ▷ ᘁZ


(λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁZ ≫ (ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ = (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ ≫ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g) ▷ ᘁZ


(λ_ ᘁZ).inv ≫ (η_ (ᘁX) X ≫ ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g) ▷ ᘁZ = (λ_ ᘁZ).inv ≫ (η_ (ᘁY) Y ≫ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g)) ▷ ᘁZ


η_ (ᘁY) Y ≫ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom ⊗ g) = η_ (ᘁX) X ≫ ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
ε_pos : 0 < ε

∃ C₀ C₁, (Perfect C₀ ∧ C₀.Nonempty ∧ C₀ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₀ ≤ ε) ∧ (Perfect C₁ ∧ C₁.Nonempty ∧ C₁ ⊆ C ∧ EMetric.diam C₁ ≤ ε) ∧ Disjoint C₀ C₁


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
ε_pos : 0 < ε
D₀ D₁ : Set α
perf0 : Perfect D₀
non0 : D₀.Nonempty
sub0 : D₀ ⊆ C
hdisj : Disjoint D₀ D₁
perf1 : Perfect D₁
non1 : D₁.Nonempty
sub1 : D₁ ⊆ C


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
ε_pos : 0 < ε
D₀ D₁ : Set α
perf0 : Perfect D₀
sub0 : D₀ ⊆ C
hdisj : Disjoint D₀ D₁
perf1 : Perfect D₁
sub1 : D₁ ⊆ C
x₀ : α
hx₀ : x₀ ∈ D₀
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ D₁


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: D₀ D₁ : Set α

Context: perf0 : Perfect D₀

Context: sub0 : D₀ ⊆ C

Context: hdisj : Disjoint D₀ D₁

Context: perf1 : Perfect D₁

Context: sub1 : D₁ ⊆ C

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ D₀

Context: x₁ : α

Context: hx₁ : x₁ ∈ D₁

Context: perf0' : Perfect (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀))

Context: non0' : (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)).Nonempty

Context: sub0' : closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀) ⊆ D₀

Context: diam0 : EMetric.diam (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: D₀ D₁ : Set α

Context: perf0 : Perfect D₀

Context: sub0 : D₀ ⊆ C

Context: hdisj : Disjoint D₀ D₁

Context: perf1 : Perfect D₁

Context: sub1 : D₁ ⊆ C

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ D₀

Context: x₁ : α

Context: hx₁ : x₁ ∈ D₁

Context: perf1' : Perfect (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁))

Context: non1' : (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁)).Nonempty

Context: sub1' : closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁) ⊆ D₁

Context: diam1 : EMetric.diam (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁)) ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: C : Set α

Context: hC : Perfect C

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hnonempty : C.Nonempty

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: D₀ D₁ : Set α

Context: perf0 : Perfect D₀

Context: sub0 : D₀ ⊆ C

Context: hdisj : Disjoint D₀ D₁

Context: perf1 : Perfect D₁

Context: sub1 : D₁ ⊆ C

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ D₀

Context: x₁ : α

Context: hx₁ : x₁ ∈ D₁

Disjoint (closure (EMetric.ball x₀ (ε / 2) ∩ D₀)) (closure (EMetric.ball x₁ (ε / 2) ∩ D₁))


Context:
α : Type u
c d : Cardinal.{u}
β : Type v
e : α ≃ β


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsPath
h : u ∈ p.support

(?m.20759.append (p.dropUntil u h)).IsPath


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
a b : Π₀ (i : ι), α i
h : a ≤ b


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
a b : Π₀ (i : ι), α i
h : a ≤ b
hne : ¬toLex a = toLex b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
hba : x < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
hba : b ≤ x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: ha : ¬(p a ∧ ContinuousOn f (σₙ R a) ∧ f 0 = 0)


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.29373, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx : k = x ≫ K.d i' i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞

ContDiff 𝕜 n f ↔ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → Continuous (iteratedDeriv m f)) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → Differentiable 𝕜 (iteratedDeriv m f)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M


⋂ s ∈ range fun i => p i, ↑s = ⋂ i, ↑(p i)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : NeZero 2
a : R


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ

ball x r = ball y r ∨ Disjoint (ball x r) (ball y r)


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (ball x r ∩ ball y r).Nonempty


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (ball x r ∩ ball y r).Nonempty
h₁ : ball x r = ball h.some r


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (ball x r ∩ ball y r).Nonempty
h₁ : ball x r = ball h.some r
h₂ : ball y r = ball h.some r


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedRing 𝔹

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Summable (norm ∘ fun n => (↑n !)⁻¹ • x ^ n)


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: 𝔹 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedRing 𝔹

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹

Context: x : 𝔸

Summable (norm ∘ fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
b : ℝ


∀ (i j : ℝ), 0 < i → i ≤ j → Icc (b - i) (b + i) ⊆ Icc (b - j) (b + j)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivAt c c' x
hx : c x ≠ 0

HasDerivAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hx : c x ≠ 0

HasDerivWithinAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) univ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → Ordinal.{max u v}

(type r).bsup (bfamilyOfFamily' r f) = sup f


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c

∑ i ∈ filter (fun x => j < ↑⌊c ^ x⌋₊) (range N), 1 / ↑⌊c ^ i⌋₊ ^ 2 ≤ c ^ 5 * (c - 1)⁻¹ ^ 3 / j ^ 2


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c


Context:
N : ℕ
j : ℝ
hj : 0 < j
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
A : 0 < 1 - c⁻¹


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.25858, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

addY (map W' f) (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = f (W'.addY P Q)


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B✝ A B C : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
h : B * A⁻¹ = C


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B✝ A B C : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
h : B = C * A


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → α
x : α
h : f x = x
n✝ n : ℕ
ihn : f^[n] x = x


Context:
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
e : α ≃ β
f₁ f₂ : α → α

e.conj (f₁ ∘ f₂) = e.conj f₁ ∘ e.conj f₂


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u v : Set E

convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) (convexJoin 𝕜 u v) = convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s u) (convexJoin 𝕜 t v)


Context:
a b c : ℤ
h : Minimal a b c


Context:
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
hab : ¬a.gcd b = 1


Context:
a b c : ℤ
h : Minimal a b c
hab : ¬a.gcd b = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpa : p ∣ a.natAbs
hpb : p ∣ b.natAbs


Context:
b c : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpb : p ∣ b.natAbs
a1 : ℤ
h : Minimal (↑p * a1) b c
hab : ¬(↑p * a1).gcd b = 1
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs


Context:
c : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) c
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1


Context:
c : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a1 : ℤ
hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs
b1 : ℤ
hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs
h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) c
hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1
hpc : ↑p ^ 2 ∣ c


Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: a1 : ℤ

Context: hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs

Context: b1 : ℤ

Context: hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs

Context: hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1

Context: c1 : ℤ

Context: h : Minimal (↑p * a1) (↑p * b1) (↑p ^ 2 * c1)


Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: a1 : ℤ

Context: hpa : p ∣ (↑p * a1).natAbs

Context: b1 : ℤ

Context: hpb : p ∣ (↑p * b1).natAbs

Context: hab : ¬(↑p * a1).gcd (↑p * b1) = 1

Context: c1 : ℤ

Context: hf : Fermat42 a1 b1 c1


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C

(shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃ ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a₁ a₂) (shiftFunctor C a₃) ≪≫ (shiftFunctor C a₁).associator (shiftFunctor C a₂) (shiftFunctor C a₃)).hom.app X = (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯ ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a₁) (shiftFunctorAdd C a₂ a₃)).hom.app X


Context: n : ℕ

IsReduced (ZMod n) ↔ Squarefree n ∨ n = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α

(M.restrictSubtype M.E)✶ = M✶.restrictSubtype M.E


BijOn Subtype.val (M.E ↓∩ (M ↾ M.E).E) (M ↾ M.E).E


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ t✝ : Multiset α

Context: a : α

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: s : Multiset α

Context: t : Multiset β

Context: hs : s.Nodup

Context: ht : t.Nodup

Context: i : (a : α) → a ∈ s → β

Context: hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t

Context: i_inj : ∀ (a₁ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (a₂ : α) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂

Context: i_surj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), i a ha = b

Context: h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)

Context: this : t = map (fun x => i ↑x ⋯) s.attach


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x : α

Context: ι : Type u_2

Context: l : Filter ι

Context: w : ι → α

Context: δ : ι → ℝ

Context: δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)

Context: xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)

Tendsto (fun j => closedBall (w j) (δ j)) l ((vitaliFamily μ K).filterAt x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x : α

Context: ι : Type u_2

Context: l : Filter ι

Context: w : ι → α

Context: δ : ι → ℝ

Context: δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)

∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ∈ (vitaliFamily μ K).setsAt x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: x : α

Context: ι : Type u_2

Context: l : Filter ι

Context: w : ι → α

Context: δ : ι → ℝ

Context: δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Ici 0)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxF : x ∈ ⋂ i, F i
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hxF : ∀ (i : ι), x ∈ F i

(∀ (i : ι), x₁ ∈ F i) ∧ ∀ (i : ι), x₂ ∈ F i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hxF : ∀ (i : ι), x ∈ F i
h : ∀ (i : ι), x₁ ∈ F i ∧ x₂ ∈ F i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
s : List α
hs : s ∈ L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α

(↑s).EquitableOn f ↔ ∀ a ∈ s, (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1


(∃ b, ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1) ↔ ∀ a ∈ s, (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
x : α
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : f x ≠ b + 1


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t✝ : Set X

Context: ι : Type v

Context: hs : IsLindelof s

Context: t : ι → Set X

Context: htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)

Context: hst : ∀ (u : Set ι), u.Countable ∧ (s ∩ ⋂ i ∈ u, t i).Nonempty


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
u : Set ι
left✝ : u.Countable
husub : s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅


Context: n k : ℕ


Context:
n k : ℕ
this : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)


Context:
n k : ℕ
this✝ : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)
this : n + 1 + k < n + 1 + (k + 1)


(n + 1).multichoose k + n.multichoose (k + 1) = (n + k).choose k + (n + k).choose k.succ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
hK : IsLimit K
T : C
f g : T ⟶ K.pt
h : ∀ (a : I.L), f ≫ K.ι a = g ≫ K.ι a


∀ (j : WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo), f ≫ K.π.app j = g ≫ K.π.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
l : List α
f : α → β

image (fun i => f l[↑i]) univ = (List.map f l).toFinset


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b x : α
h : IsAtom a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
h : a.factors = b.factors
this : a.factors.prod = b.factors.prod


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : x ∈ Subring.closure u


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : CommRing T

Context: g : S →+* T

Context: u : Set S

Context: x : S

Context: hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1

∀ (S_1 : Subring T), ⇑g '' u ⊆ ↑S_1 → g x ∈ S_1


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : CommRing T

Context: g : S →+* T

Context: u : Set S

Context: x : S

Context: T₁ : Subring T

Context: h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
n : ℕ
f : Fin n → GradedMonoid A

(List.ofFn f).prod = mk ((List.finRange n).dProdIndex fun i => (f i).fst) ((List.finRange n).dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
x : ↑(ofVectorSpaceIndex K V)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)

Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: hG : Primrec₂ G


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: hG : Primrec₂ G

Context: F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: hG : Primrec₂ G

Context: hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: hG : Primrec₂ G

∀ (a : α) (n : ℕ), F a n = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (List.take n (f a)), List.drop n (f a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: hG : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ (l : List β) (x : σ), (G a)^[n] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take n l), List.drop n l)

Context: l : List β

Context: x : σ

(G a)^[n + 1] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take (n + 1) l), List.drop (n + 1) l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → List β

Context: g : α → σ

Context: h : α → σ × β → σ

Context: hf : Primrec f

Context: hg : Primrec g

Context: hh : Primrec₂ h

Context: this : Primcodable (List β) := prim H

Context: hG : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: l : List β

Context: x : σ

(G a)^[n] (G a (x, l)) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take (n + 1) l), List.drop (n + 1) l)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : s ∈ 𝓝[t] a


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => -x) '' spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
p : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in cofinite, p x) ↔ {x | p x}.Infinite


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: point✝¹ : PointClass F

Context: a✝¹ : Fin 3 → F

Context: hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝¹)

Context: point✝ : PointClass F

Context: a✝ : Fin 3 → F

Context: hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)

(mk hP + mk hQ).toAffineLift = (mk hP).toAffineLift + (mk hQ).toAffineLift


Context:
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ


Context:
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ
zn : 0 < 1 - ‖z‖


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume

∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)

Context: B : HasIntegral I IntegrationParams.GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (fun y => f y i) (Box.Icc I)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: n : ℕ

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x✝ : i ∈ Finset.univ

BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume = (∫ (x : Fin n → ℝ) in ↑(I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in ↑(I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I
hy : y ∈ I


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U

Context: hU : IsOpen U

TendstoLocallyUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ U


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

∀ K ⊆ U, IsCompact K → TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hU : IsOpen U

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f ⊥ U

Context: hF : ∀ᶠ (n : ι) in ⊥, DifferentiableOn ℂ (F n) U

∀ K ⊆ U, IsCompact K → TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (deriv f) ⊥ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: hne : φ.NeBot


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: hne : φ.NeBot

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hK : IsCompact K

TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: hne : φ.NeBot

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: hK4 : cthickening δ K ⊆ U

Context: h : TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z✝ : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: hne : φ.NeBot

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ > 0

Context: hK4 : cthickening δ K ⊆ U

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ K


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : HasCompactSupport f'


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0


Context: a x✝ z x : ℂ

x⁻¹.arg = if x.arg = π then π else -x.arg


Context: a x✝ z x : ℂ

(↑(normSq x)⁻¹ * (starRingEnd ℂ) x).arg = ((starRingEnd ℂ) x).arg


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a ≡ b [PMOD n • p]
m : ℤ
hm : b - a = m • n • p


Context: α : Type u_1

Context: β : α → Type u_2

Context: f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)

Context: x : α

Context: h' : ¬∃ i, (Fix.approx f i x).Dom

(assert (∃ i, (Fix.approx f i x).Dom) fun h => ⋯.fix (fixAux f) Upto.zero x) = none


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

ContDiffAt 𝕜 ⊤ f x ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x


Context:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : CompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
s : Set G
_hs : MeasurableSet s


Context: g : SL(2, ℤ)

Context: z : ℍ

Context: this : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule

Context: π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0

Context: π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1

Context: f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1

Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop