Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: L₂ : Type u_1

Context: M₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L₂ M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L₂ M₂

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: g : M →ₗ[R] M₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: inst✝ : LieModule.IsNilpotent R L M

Context: k : ℕ

Context: hk : ↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑⊥


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

1 ∈ Set.range fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x✝ : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Context: hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hf0 : Summable fun n => f n x₀

Context: x : E

Context: A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

HasFDerivAt (fun y => ∑' (n : α), f n y) (∑' (n : α), f' n x) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
inst✝ : AddGroup β
f g : α → β
l : Filter α
h : f - g =ᶠ[l] 0


Context:
n : ℕ
x : ↑I

∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n ↑k) x = 1


Context: n : ℕ

Context: x : ↑I

Context: this : ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial ℝ n ν = 1


Context: n : ℕ

Context: x : ↑I

Context: this : (Polynomial.aeval ↑x) (∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial ℝ n ν) = (Polynomial.aeval ↑x) 1


Context: n : ℕ

Context: x : ↑I

Context: this : ∑ x_1 : Fin (n + 1), Polynomial.eval (↑x) (bernsteinPolynomial ℝ n ↑x_1) = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead ≠ 0
h₂ : ¬0 < f.natDegree


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : (C (f.coeff 0)).eraseLead ≠ 0
h₂ : ¬0 < f.natDegree


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B.IsAdjointPair B' f' g'
x : M
x✝ : M₁


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ : α
H : DenseRange x
a b : α

dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) = dist a b


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ : α
H : DenseRange x
a b : α
e : ℝ
epos : 0 < e

dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x a) (embeddingOfSubset x b) + e


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n✝ : ℕ
C : ℝ
inst✝ : MetricSpace α
x : ℕ → α
a✝ b✝ : α
H : DenseRange x
a b : α
e : ℝ
epos : 0 < e
n : ℕ
hn : dist a (x n) < e / 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: n✝ : ℕ

Context: C✝ : ℝ

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: x : ℕ → α

Context: a✝ b✝ : α

Context: H : DenseRange x

Context: a b : α

Context: e : ℝ

Context: epos : 0 < e

Context: n : ℕ

Context: hn : dist a (x n) < e / 2

Context: C : dist b (x n) - dist a (x n) = ↑(embeddingOfSubset x b) n - ↑(embeddingOfSubset x a) n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: n✝ : ℕ

Context: C✝ : ℝ

Context: inst✝ : MetricSpace α

Context: x : ℕ → α

Context: a✝ b✝ : α

Context: H : DenseRange x

Context: a b : α

Context: e : ℝ

Context: epos : 0 < e

Context: n : ℕ

Context: hn : dist a (x n) < e / 2

Context: this : dist a b ≤ dist (embeddingOfSubset x b) (embeddingOfSubset x a) + e


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x₁ x₂ : M
x✝ : ∃ c, c • x₁ = c • x₂
c : ↥S
h : f (c • x₁) = f (c • x₂)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: x₁ x₂ : M

Context: x✝ : ∃ c, c • x₁ = c • x₂

Context: c : ↥S

Context: h : ((algebraMap R (Module.End R M')) ↑c) (f x₁) = ((algebraMap R (Module.End R M')) ↑c) (f x₂)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s✝ s₁ s₂ s : Set (Sym2 V)
x✝¹ x✝ : V

(G.deleteEdges s).Adj x✝¹ x✝ ↔ (G.deleteEdges (s ∩ G.edgeSet)).Adj x✝¹ x✝


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: A : C

Context: n i : ℤ

Context: f : A ⟶ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).X i

Context: j : ℤ

Context: hj : (up ℤ).next i = j

Context: hf : f ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K).d i j = 0

Context: i' : ℤ

Context: hi' : n + i = i'

Context: j' : ℤ

Context: hj' : (up ℤ).next i' = j'

(f ≫ (K.shiftFunctorObjXIso n i i' ⋯).hom) ≫ K.d i' j' = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: A : C

Context: n i : ℤ

Context: j : ℤ

Context: i' : ℤ

Context: hi' : n + i = i'

Context: j' : ℤ

Context: hj : i + 1 = j

Context: hj' : i' + 1 = j'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: A : C

Context: n i : ℤ

Context: j : ℤ

Context: hf : f ≫ (n.negOnePow • K.d (i + n) (j + n)) = 0

Context: hj : i + 1 = j

Context: hi' : n + i = i + n

Context: hj' : i + n + 1 = j + n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: A : C

Context: n i : ℤ

Context: j : ℤ

Context: hj : i + 1 = j

Context: hi' : n + i = i + n

Context: hj' : i + n + 1 = j + n

Context: hf : n.negOnePow • f ≫ K.d (i + n) (j + n) = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.121039, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: A : C

Context: n i : ℤ

Context: j : ℤ

Context: hj : i + 1 = j

Context: hi' : n + i = i + n

Context: hj' : i + n + 1 = j + n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: A : C

Context: n i : ℤ

Context: j : ℤ

Context: hj : (up ℤ).next i = j

Context: i' : ℤ

Context: hi' : n + i = i'

Context: j' : ℤ

Context: hj' : (up ℤ).next i' = j'

liftCycles ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) f j hj hf ≫ homologyπ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) i = liftCycles K (f ≫ (K.shiftFunctorObjXIso n i i' ⋯).hom) j' hj' ⋯ ≫ homologyπ K i' ≫ ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n i i' hi').inv.app K


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: A : C

Context: n i : ℤ

Context: j : ℤ

Context: hj : (up ℤ).next i = j

Context: i' : ℤ

Context: hi' : n + i = i'

Context: j' : ℤ

Context: hj' : (up ℤ).next i' = j'

(sc ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) i).liftCycles f ⋯ ≫ (sc ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj K) i).homologyπ = ((shiftFunctor C n ⋙ shortComplexFunctor C (up ℤ) i).obj K).liftCycles f ⋯ ≫ ((shiftFunctor C n ⋙ shortComplexFunctor C (up ℤ) i).obj K).homologyπ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E

Differentiable 𝕜 (⇑iso ∘ f) ↔ Differentiable 𝕜 f


DifferentiableOn 𝕜 (⇑iso ∘ f) univ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f univ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : ι → Set X

Context: hf : LocallyFinite f

Context: hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty

Context: this : ∀ (n : ℕ), {i | (f i ∩ compactCovering X n).Nonempty}.Finite


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : ι → Set X

Context: hf : LocallyFinite f

Context: hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ univ

i ∈ ⋃ i, {i_1 | (f i_1 ∩ compactCovering X i).Nonempty}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : ι → Set X

Context: hf : LocallyFinite f

Context: hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ univ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ f i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace X

Context: f : ι → Set X

Context: hf : LocallyFinite f

Context: hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ univ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ f i

Context: n : ℕ

Context: hn : x ∈ compactCovering X n


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
u : Set X
hu : IsOpen u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SFinite ν
s : Set α

∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal


(∫⁻ (a : α) in s, μ.rnDeriv ν a ∂ν).toReal = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal


∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict s, μ.rnDeriv ν x < ⊤


Context:
a b : ℝ
h : 0 < b

IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x)) (Ioi a) volume


Context: a b : ℝ

Context: h : 0 < b

Context: this : Tendsto (fun x => -rexp (-b * x) / b) atTop (𝓝 (-0 / b))


Context: a b : ℝ

Context: h : 0 < b

Context: x : ℝ

Context: x✝ : x ∈ Ici a

HasDerivAt (fun x => -rexp (-b * x) / b) (rexp (-b * x)) x


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂

∀ ⦃X Y : W.Localization⦄ (f : X ⟶ Y), F₁.map f ≫ NatTransExtension.app τ Y = NatTransExtension.app τ X ≫ F₂.map f


MorphismProperty.naturalityProperty (NatTransExtension.app τ) = ⊤


∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), MorphismProperty.naturalityProperty (NatTransExtension.app τ) (W.Q.map f)


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
X Y : C
f : X ⟶ Y

F₁.map (W.Q.map f) ≫ NatTransExtension.app τ (W.Q.obj Y) = NatTransExtension.app τ (W.Q.obj X) ≫ F₂.map (W.Q.map f)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V


‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c✝ : α
h : a ⩿ b
c : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
i : ι'
j : κ'
i' : ι
j' : κ

(toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (map f g) (i, j) (i', j') = kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) ((toMatrix bM bM') f) ((toMatrix bN bN') g) (i, j) (i', j')


(bN'.repr (g (bN j'))) j • (bM'.repr (f (bM i'))) i = (bM'.repr (f (bM i'))) i * (bN'.repr (g (bN j'))) j


Context: α : Sort u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: motive : α → Sort u_2

Context: intro : α

Context: a : Acc r intro

Context: t : (x : α) → (∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → r y x → motive y) → motive x


Context:
n b : ℕ
l1 l2 : List ℕ
h : l1.length = l2.length

ofDigits b l1 + ofDigits b l2 = ofDigits b (List.zipWith (fun x x_1 => x + x_1) l1 l2)


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s t : Set α

MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, l < u ∧ Ico l u = S} ≤ borel α


∀ t_1 ∈ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, l < u ∧ Ico l u = S}, MeasurableSet t_1


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s t : Set α
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α
a b : α


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)₀

{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun g


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Zero X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : φ ((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) = φ ((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Zero X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal = φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal

φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal = φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Zero X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - (φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal) = 0

φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal - (φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)) = 0


{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun (f + g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun f + { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯ }.toFun g


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Zero X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : φ ((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = φ ((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Zero X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal = φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal

φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal = φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Zero X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A

Context: f g : C(X, ℝ)₀

Context: this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal - (φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal) = 0

φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal - (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)) = 0


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
f : C(X, ℝ)₀

(fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal) (r • f) = (MonoidHom.id ℝ) r • (fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal) f


φ (r • f).toNNReal - φ (-(r • f)).toNNReal = r • (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal)


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ)₀

{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun (star f) = star ({ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(fun x => κ.density ν a x s) =ᶠ[ae (ν a)] Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ : Set ℕ
inst✝² : Infinite ↑s✝
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s✝
s : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑s

Nat.Subtype.toFunAux x = (Finset.filter (fun x => x ∈ s) (Finset.range ↑x)).card


(List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) (List.range ↑x)).length = (Finset.filter (fun x => x ∈ s) (Finset.range ↑x)).card


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
σ : Equiv.Perm (Fin n)

σ = sort f ↔ Monotone (f ∘ ⇑σ) ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (σ i) = f (σ j) → σ i < σ j


StrictMono ⇑(Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f)) ↔ Monotone (f ∘ ⇑σ) ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (σ i) = f (σ j) → σ i < σ j


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: f : Fin n → α

Context: σ : Equiv.Perm (Fin n)

Context: h : StrictMono ⇑(Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f))

Context: i j : Fin n

Context: hij : i < j

Context: hfij : f (σ i) = f (σ j)


Context: n : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: f : Fin n → α

Context: σ : Equiv.Perm (Fin n)

Context: h : Monotone (f ∘ ⇑σ) ∧ ∀ (i j : Fin n), i < j → f (σ i) = f (σ j) → σ i < σ j

Context: i j : Fin n

Context: hij : i < j

(Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f)) i < (Equiv.trans σ (graphEquiv₁ f)) j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

MDifferentiableWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context:
d n : ℕ
h : d < n


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

x ∈ M.closure I ↔ M.Dep (insert x I) ∨ x ∈ I


Context: x y z : ZFSet


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N
i : ι

((finsuppLeft R M N ι) t) i = (rTensor N (Finsupp.lapply i)) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
h : f '' s ⊆ f '' t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
hs : s.IsWF
hsn : s.Nonempty
ht : t.IsWF
htn : t.Nonempty

⋯.min ⋯ = Min.min (hs.min hsn) (ht.min htn)


Min.min (hs.min hsn) (ht.min htn) ≤ ⋯.min ⋯


hs.min hsn ≤ ⋯.min ⋯ ∨ ht.min htn ≤ ⋯.min ⋯


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S x


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''

lift.{v', v''} (f ∘ₗ g).rank ≤ lift.{v'', v'} g.rank


lift.{v', v''} (Module.rank K ↥(Submodule.map f (range g))) ≤ lift.{v'', v'} (Module.rank K ↥(range g))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
f : unit R ⟶ M
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

(M.map f✝) ((fun X => (Hom.app f X) 1) X✝) = (fun X => (Hom.app f X) 1) Y✝


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
s : M.sections
X Y : Cᵒᵖ
p : X ⟶ Y
x : ↑(R.obj X)

1 (((unit R).map p) x) • ↑s Y = (M.map p) (1 x • ↑s X)


1 (((unit R).map p) x) • (M.presheaf ⋙ forget AddCommGrp).map p (↑s X) = (R.map p) (1 x) • (M.presheaf.map p) (↑s X)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
f : unit R ⟶ M
X : Cᵒᵖ

Hom.app ((fun s => Hom.mk' (fun X => (ringLmapEquivSelf ↑(R.obj X) ℤ ↑(M.obj X)).symm (↑s X)) ⋯) ((fun f => sectionsMk (fun X => (Hom.app f X) 1) ⋯) f)) X = Hom.app f X


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M : PresheafOfModules R
s : M.sections
X : Cᵒᵖ

↑((fun f => sectionsMk (fun X => (Hom.app f X) 1) ⋯) ((fun s => Hom.mk' (fun X => (ringLmapEquivSelf ↑(R.obj X) ℤ ↑(M.obj X)).symm (↑s X)) ⋯) s)) X = ↑s X


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
z : α × β
i : ℕ

(l₁.zip l₂).get? i = some z ↔ l₁.get? i = some z.1 ∧ l₂.get? i = some z.2


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
t : ↑I

(if ↑t ≤ 1 / 4 then 2 * ↑t else if ↑t ≤ 1 / 2 then ↑t + 1 / 4 else 1 / 2 * (↑t + 1)) ∈ I


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]

((toPadicInt p).comp (fromPadicInt p)) x = (RingHom.id ℤ_[p]) x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this : f.NeBot


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this✝ : f.NeBot
this : s ∈ f


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
s : Finset β
f : β → L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : Fin n → M

(iSup s f).Realize v v' ↔ ∃ b ∈ s, (f b).Realize v v'


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s✝ t : Set α
a : α
s : UpperSet α


Context: J K : Type v

Context: inst✝⁵ : SmallCategory J

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: G : J × K ⥤ C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape K C

Context: inst✝¹ : HasColimit G

Context: inst✝ : HasColimit (curry.obj G ⋙ colim)

Context: j : J

Context: k : K

colimit.ι G (j, k) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j


Context: J K : Type v

Context: inst✝⁵ : SmallCategory J

Context: inst✝⁴ : SmallCategory K

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: F : J ⥤ K ⥤ C

Context: G : J × K ⥤ C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape K C

Context: inst✝¹ : HasColimit G

Context: j : J

Context: k : K

(colimit.ι G (j, k) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv = (colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h₀ h₀' : x ≠ 0

⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ (↑‖y‖ / ↑‖x‖) • x = y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h₀ : x ≠ 0
h₀' : ¬↑‖x‖ = 0


Context: a b : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s) 1


Context: a b : UnitAddCircle

Context: this : ∀ (s : ℂ), completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - completedHurwitzZetaEven₀ b s - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / s


Context: a b : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun x => completedHurwitzZetaEven₀ a x - completedHurwitzZetaEven₀ b x - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / x) 1


Context: a b : UnitAddCircle

DifferentiableAt ℂ (fun x => completedHurwitzZetaEven₀ a x - completedHurwitzZetaEven₀ b x) 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3

Infinite (α × β) ↔ Infinite α ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ Infinite β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : Infinite (α × β)

Infinite α ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ Infinite β


Nonempty β ∧ Infinite α ∨ Nonempty α ∧ Infinite β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: H' : Infinite (α × β)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: H' : Infinite (α × β)

Context: a : α

Context: b : β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: H' : Infinite (α × β)

Context: a : α

Context: b : β

Context: this : Fintype α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: H' : Infinite (α × β)

Context: a : α

Context: b : β

Context: this✝ : Fintype α

Context: this : Fintype β


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
x : M × M₂


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

(MvPolynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p))) (frobeniusPoly p n) = X n ^ p


X n ^ p + C ((Int.castRingHom (ZMod p)) ↑p) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p))) (frobeniusPolyAux p n) = X n ^ p


Context: α : Type u_1

Context: β : List α → Sort u_2

Context: f : (a : α) → (l : List α) → β l → β (a :: l)

Context: b : β []

Context: l l' : List α

Context: hl : l ~ l'

Context: f_congr : ∀ {a : α} {l l' : List α} {b : β l} {b' : β l'}, l ~ l' → HEq b b' → HEq (f a l b) (f a l' b')

Context: f_swap : ∀ {a a' : α} {l : List α} {b : β l}, HEq (f a (a' :: l) (f a' l b)) (f a' (a :: l) (f a l b))


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
x y : M
h : b.toDual x = b.toDual y
i : ι


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.27008, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A' A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
α : A' ⟶ A


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A' A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
α : A' ⟶ A

α ≫ K.liftCycles k j hj hk = K.liftCycles (α ≫ k) j hj ⋯


Context:
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : ∀ (c : CharacterModule A), c a = 0


Context:
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : a ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]
h : ¬↑(padicNormE q) = ↑(padicNormE r)
this : padicNormE q ≠ padicNormE r

↑(padicNormE (q + r)) = max ↑(padicNormE q) ↑(padicNormE r)


Context:
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool


(if Even l.length then l.length else if (some b == l.head?) = true then l.length + 1 else l.length - 1) ≤ l.length + 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G

(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (x + y))) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) = (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) + (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ y)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))


Context: x y : ℂ

cosh (x + y) = cosh x * cosh y + sinh x * sinh y


Context: x y : ℂ

(cexp x + cexp (-x)) * (cexp y + cexp (-y)) + (cexp x - cexp (-x)) * (cexp y - cexp (-y)) = 2 * (cexp x * cexp y + cexp (-x) * cexp (-y))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
r : 𝕜
hx : x ≠ 0
hr : r ≠ 0
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hr' : ‖r‖ ≠ 0


‖r‖ * (‖x‖ * ‖x‖) / (‖x‖ * (‖r‖ * ‖x‖)) = 1


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
a : ι → M
b : ι₂ → M

PiTensorProduct.tmul (((tprod R) fun i => a i) ⊗ₜ[R] (tprod R) fun i => b i) = (tprod R) fun i => Sum.elim a b i


((((currySumEquiv R ι (⨂[R] (i : ι ⊕ ι₂), M) M ι₂) (tprod R)) fun i => a i) fun i => b i) = (tprod R) fun i => Sum.elim a b i


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : Unique α
f : α → E
x : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : Unique α
f : α → E

∫ (x : α), f default ∂μ = (μ univ).toReal • f default


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : NormalSpace α

Context: inst✝⁷ : R1Space α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : ↥(Lp E p μ)

f ∈ closure ↑(boundedContinuousFunction E p μ)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : NormalSpace α

Context: inst✝⁷ : R1Space α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

∃ y ∈ ↑(boundedContinuousFunction E p μ), y ∈ EMetric.closedBall f ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : NormalSpace α

Context: inst✝⁷ : R1Space α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: g : α →ᵇ E

Context: hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε

Context: g_mem : Memℒp (⇑g) p μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : NormalSpace α

Context: inst✝⁷ : R1Space α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : ↥(Lp E p μ)

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: hε : 0 < ε

Context: g : α →ᵇ E

Context: hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε

Context: g_mem : Memℒp (⇑g) p μ

Memℒp.toLp (⇑g) g_mem ∈ EMetric.closedBall f ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : ℕ → α → β

Context: hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ

Context: h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

∃ f_lim, StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : ℕ → α → β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: g : α → β

Context: left✝ : Measurable g

Context: hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : ℕ → α → β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: g : α → β

Context: left✝ : Measurable g

Context: Hg : AEStronglyMeasurable g μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : ℕ → α → β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: g : α → β

Context: left✝ : Measurable g

Context: Hg : AEStronglyMeasurable g μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g Hg x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝ : PseudoMetrizableSpace β

Context: f : ℕ → α → β

Context: this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β

Context: this✝ : BorelSpace β

Context: g : α → β

Context: left✝ : Measurable g

Context: Hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: h'x : g x = AEStronglyMeasurable.mk g Hg x

Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g Hg x))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C

((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 M


(∑ j : M.ι, (fun j_1 k => if h : j_1 = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 M


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

(∑ j : M.ι, (fun j_1 k => if h : j_1 = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 𝟙 M i j


(∑ j : M.ι, (fun j_1 k => if h : j_1 = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0


((fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → ((fun j k => if h : j = b then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : b = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0


i ∉ Finset.univ → ((fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0


((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i))


∀ (j : M.ι), ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i : M.ι

((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i


∀ (j : M.ι), biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i = biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i


biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i = biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i


((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0


((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit = (if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit


(if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = (if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G


1 ≤ ⨅ U, ⨅ (hU : IsOpen U), ⨅ (_ : ↑K₀ ⊆ U), (haarContent K₀).innerContent { carrier := U, is_open' := hU }


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : IsOpen U
hK₀ : ↑K₀ ⊆ U

1 ≤ (fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) K₀.toCompacts


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i

f ∈ cylinder s₁ S₁ ∩ cylinder s₂ S₂ ↔ f ∈ cylinder (s₁ ∪ s₂) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∩ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂)


(fun i => f ↑i) ∈ S₁ ∧ (fun i => f ↑i) ∈ S₂ ↔ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∧ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: s✝ t : Set α

Context: a b : α

Context: s : Finset α

Context: h : s.Nonempty


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: s✝ t : Set α

Context: a b : α

Context: s : Finset α

Context: h : s.Nonempty


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Nontrivial R

Context: inst✝² : LinearOrderedCommRing S

Context: n : Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: c : ι → R

Context: A : ι → Matrix n n R

Context: abv : AbsoluteValue R S

Context: x : S

Context: hx : ∀ (k : ι) (i j : n), abv (A k i j) ≤ x

Context: y : S

Context: hy : ∀ (k : ι), abv (c k) ≤ y

abv (∑ k ∈ s, c k • A k).det ≤ (Fintype.card n).factorial • (s.card • y * x) ^ Fintype.card n


Context:
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
h : ¬p ∣ n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i : ι
b : α


Context:
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
X Y : T
i : X ≅ Y
p : Arrow T
sq : mk i.hom ⟶ p


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K

(∏ n : σ, (1 - (X n - C (c n)) ^ (Fintype.card K - 1))).degrees ≤ ∑ s : σ, (Fintype.card K - 1) • {s}


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
c : σ → K
s : σ
x✝ : s ∈ Finset.univ

(1 - (X s - C (c s)) ^ (Fintype.card K - 1)).degrees ≤ (Fintype.card K - 1) • {s}


degrees 1 ⊔ ((X s - C (c s)) ^ (Fintype.card K - 1)).degrees ≤ (Fintype.card K - 1) • {s}


((X s - C (c s)) ^ (Fintype.card K - 1)).degrees ≤ (Fintype.card K - 1) • {s}


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
hU : U ≤ f.opensRange


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i✝ : Fin n
i : Fin n.succ

i ∈ Ioi i✝.succ ↔ i ∈ map (succEmb n) (Ioi i✝)


i✝.succ < i ↔ ∃ a, i✝ < a ∧ (succEmb n) a = i


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
f : Option ι → Set X

LocallyFinite f ↔ LocallyFinite (f ∘ some)


LocallyFinite ((f ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ LocallyFinite ((f ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) ↔ LocallyFinite (f ∘ some)


LocallyFinite ((f ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ↔ LocallyFinite (f ∘ some)


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

Context: s1 : sin ((x + y) / 2 + (x - y) / 2) = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context: x y : ℂ

Context: s2 : sin ((x + y) / 2 - (x - y) / 2) = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context: x y : ℂ

Context: s1 : sin x = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) + cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context: x y : ℂ

Context: s2 : sin y = sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2) - cos ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2)


Context: d a : ℤ

Context: b c : ℤ√d

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : (↑a * b).re = (↑a * c).re ∧ (↑a * b).im = (↑a * c).im


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : DistribMulAction ℚ≥0 α
inst✝ : PosSMulMono ℚ≥0 α
q : ℚ≥0
a : α


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: X : C

Context: h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones

Context: Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: j : J

(h.hom.app Y { down := f }).app j = (h.hom.app X { down := 𝟙 X } ≫ (const J).map f).app j


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: j : J

Context: t : ((coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃}).map f ≫ h.hom.app Y) { down := 𝟙 X } = (h.hom.app X ≫ F.cocones.map f) { down := 𝟙 X }


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: j : J

Context: t : h.hom.app Y { down := 𝟙 X ≫ f } = F.cocones.map f (h.hom.app X { down := 𝟙 X })


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: j : J

Context: t : h.hom.app Y { down := f } = F.cocones.map f (h.hom.app X { down := 𝟙 X })


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t✝ : Cocone F

Context: X : C

Context: Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: j : J

(F.cocones.map f (h.hom.app X { down := 𝟙 X })).app j = (h.hom.app X { down := 𝟙 X } ≫ (const J).map f).app j


Context:
a b c d m✝ n✝ m n k i : ℤ
H : m % n = k % n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : r₁ ≤ 1
h₂ : r₂ ≤ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : r₁ ≤ 1
h₂ : 1 ≤ r₂


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : 1 ≤ r₁
h₂ : r₂ ≤ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
h₁ : 1 ≤ r₁
h₂ : 1 ≤ r₂


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p.content = 0


p.content * p.primPart.content = p.content * 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A


basicOpen 𝒜 f ⊓ basicOpen 𝒜 g ≤ basicOpen 𝒜 f


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Fintype α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b


Context:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Field K
a b : σ → K
h : a ≠ b
i : σ
hi : a i ≠ b i


∃ a_1 ∈ Finset.univ, 1 - (a a_1 - b a_1) ^ (Fintype.card K - 1) = 0


1 - (a i - b i) ^ (Fintype.card K - 1) = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁶ : CommRing R₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι'


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

Fintype.card { a // ¬a.IsDiag } = (Fintype.card α).choose 2


Fintype.card { a // ¬a.IsDiag } = (image Sym2.mk univ.offDiag).card


∀ (x : Sym2 α), x ∈ filter (fun a => ¬a.IsDiag) (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ ¬x.IsDiag


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α

x ∈ filter (fun a => ¬a.IsDiag) (image Sym2.mk (univ ×ˢ univ)) ↔ ¬x.IsDiag


(∃ a ∈ univ, Sym2.mk a = x) ∧ ¬x.IsDiag ↔ ¬x.IsDiag


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
x : Sym2 α
a : α × α
ha : Quot.mk (Rel α) a = x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation α

(HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => c) = c


IsBisimulation fun c₁ c₂ => (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => c₂) = c₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: c s' s : Computation α

Context: h : (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s) = s'

BisimO (fun c₁ c₂ => (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => c₂) = c₁) (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s).destruct s.destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: c s' s✝ : Computation α

Context: h : (HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s✝) = s'

Context: s : Computation α

(HOrElse.hOrElse (empty α).think fun x => s) = HOrElse.hOrElse (empty α) fun x => s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Closeds α
t : Set α
ht : IsAtom t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Closeds α
x : α
ht : IsAtom {x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α


⋃ a, {Iic ↑a} = Iic '' (Rat.cast '' univ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

x ∈ ⋃ a, {Iic ↑a} ↔ x ∈ Iic '' (Rat.cast '' univ)


Context:
J K : Type v
inst✝⁶ : SmallCategory J
inst✝⁵ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝³ : HasColimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (J × K) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (K × J) C
j : J
k : K

colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).inv ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).hom ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).hom ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom = colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j


(((colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).hom) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).hom) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).hom = colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x

IsRelPrime (x * y) (x * z) ↔ IsRelPrime y z


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set A

Context: h₁ : IsSubgroup s

Context: h₂ : ∀ n ∈ s, ∀ (g : Multiplicative A), g * n * g⁻¹ ∈ s


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q n : ℕ
hn : 0 < n
g g' : R[X]
H : (expand R n) g = (expand R n) g'
k : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J

(snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = factor (I ⊓ J) J ⋯


((snd (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I ⊓ J)) = (factor (I ⊓ J) J ⋯).comp (Quotient.mk (I ⊓ J))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {a | p a} μ

(∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a) ↔ μ {a | p a} = μ univ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace β'
F : ι → β' → α
k : κ
hk : UniformEquicontinuous F


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: X : Type u_3

Context: X' : Type u_4

Context: Y : Type u_5

Context: Z : Type u_6

Context: α : Type u_7

Context: α' : Type u_8

Context: β : Type u_9

Context: β' : Type u_10

Context: γ : Type u_11

Context: 𝓕 : Type u_12

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tZ : TopologicalSpace Z

Context: uα : UniformSpace α

Context: uβ : UniformSpace β

Context: uγ : UniformSpace γ

Context: u : κ → UniformSpace β'

Context: F : ι → β' → α

Context: k : κ

Context: hk : UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : p = 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M
y : N

(LinearMap.fst R M N) (x, y) = 0 ↔ (x, y) ∈ Set.range ⇑(LinearMap.inr R M N)


Context: x : ℂ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β
m : ι → OuterMeasure α
s : Set β

((map f) (⨆ i, m i)) s = (⨆ i, (map f) (m i)) s


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I J : Ideal A
HI : IsHomogeneous 𝒜 I
HJ : IsHomogeneous 𝒜 J


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I J : Ideal A
HI : ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
HJ : ∃ S, J = span (Subtype.val '' S)


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

span (Subtype.val '' s₁) ⊔ span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' (s₁ ∪ s₂))


span (Subtype.val '' s₁) ⊔ span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' s₁ ∪ Subtype.val '' s₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (μ + ν) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (μ + ν) s = (μ + ν) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
h : (ν + μ) t ≠ ⊤
h' : s ⊆ t
h'' : (ν + μ) s = (ν + μ) t


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
i : I

A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (liftedConeElement F) = (F.obj i).snd


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: A : C ⥤ Type w

Context: I : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I

Context: inst✝² : Small.{w, u₁} I

Context: F : I ⥤ A.Elements

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A

Context: i : I

Context: this : ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).inv ≫ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i)) (liftedConeElement' F) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i (liftedConeElement' F)


Context:
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₁' F₂ F₂' : J ⥤ C
f : F₁ ⟶ F₁'
g : F₂ ⟶ F₂'
j : J

(f ⊗ g).app j ≫ (snd F₁' F₂').app j = snd (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ g.app j


(snd F₁ F₂).app j ≫ g.app j = snd (F₁.obj j) (F₂.obj j) ≫ g.app j


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent

G'.connectedComponentMk (φ v) = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C ↔ G.connectedComponentMk v = C


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent
u : V

G'.connectedComponentMk (φ v) = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom (G.connectedComponentMk u) ↔ G.connectedComponentMk v = G.connectedComponentMk u


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Nontrivial R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : ι → M
s t : Set M
x y z : M
v : ι → M
inst✝ : Unique ι


(∀ (l : ι →₀ R), l default = 0 ∨ v default = 0 → l = 0) ↔ v default ≠ 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : Nontrivial R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: v✝ : ι → M

Context: s t : Set M

Context: x y z : M

Context: v : ι → M

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h : ∀ (l : ι →₀ R), l default = 0 ∨ v default = 0 → l = 0

Context: hv : v default = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : Nontrivial R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: v✝ : ι → M

Context: s t : Set M

Context: x y z : M

Context: v : ι → M

Context: inst✝ : Unique ι

Context: hv : v default = 0

Context: this : Finsupp.single default 1 = 0


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
h : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝ : CatCommSq Φ.functor L₁ L₂ G


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.54716, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasCokernel S.f

S.Exact ↔ Mono (cokernel.desc S.f S.g ⋯)


Mono S.fromOpcycles ↔ Mono (cokernel.desc S.f S.g ⋯)


Arrow.mk (cokernel.desc S.f S.g ⋯) ≅ Arrow.mk S.fromOpcycles


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x y : E

Context: s t✝ : Set E

Context: hs : StarConvex 𝕜 x s

Context: hy : x + y ∈ s

Context: t : 𝕜

Context: ht₀ : 0 ≤ t

Context: ht₁ : t ≤ 1

Context: h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x y : E

Context: s t✝ : Set E

Context: hs : StarConvex 𝕜 x s

Context: hy : x + y ∈ s

Context: t : 𝕜

Context: ht₀ : 0 ≤ t

Context: ht₁ : t ≤ 1


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n✝ : Type u_3

Context: p : Type u_4

Context: n' : m → Type u_5

Context: 𝔸 : Type u_6

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕂

Context: inst✝⁸ : Fintype m

Context: inst✝⁷ : DecidableEq m

Context: inst✝⁶ : Fintype n✝

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n✝

Context: inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)

Context: inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)

Context: inst✝² : NormedRing 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝔸

Context: n : ℕ

Context: A : Matrix m m 𝔸

Context: this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing

Context: this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing

Context: this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq β
ht : s.Nonempty
i : β


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : StarModule R B

Context: inst✝⁵ : FunLike F A B

Context: inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B

Context: inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B

Context: f✝ g✝ : F

Context: s : Set A

Context: inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B

Context: inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B

Context: inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R s)) B

Context: f g : F

Context: h : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), ↑x ∈ s → f x = g x


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : StarModule R B

Context: inst✝⁵ : FunLike F A B

Context: inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B

Context: inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B

Context: f✝ g✝ : F

Context: s : Set A

Context: inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B

Context: f g : F

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: x : A

Context: hx : x ∈ s


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : StarModule R B

Context: inst✝⁵ : FunLike F A B

Context: inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B

Context: inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B

Context: f✝ g✝ : F

Context: s : Set A

Context: inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B

Context: f g : F

Context: a : ↥(adjoin R s)

Context: r : R

(fun y => f y = g y) ((algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : StarModule R B

Context: inst✝⁵ : FunLike F A B

Context: inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B

Context: inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B

Context: f✝ g✝ : F

Context: s : Set A

Context: inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B

Context: f g : F

Context: a x y : ↥(adjoin R s)

Context: hx : (fun y => f y = g y) x

Context: hy : (fun y => f y = g y) y


Context: F : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : Semiring A

Context: inst✝¹² : Algebra R A

Context: inst✝¹¹ : StarRing A

Context: inst✝¹⁰ : StarModule R A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : StarModule R B

Context: inst✝⁵ : FunLike F A B

Context: inst✝⁴ : AlgHomClass F R A B

Context: inst✝³ : StarAlgHomClass F R A B

Context: f✝ g✝ : F

Context: s : Set A

Context: inst✝² : FunLike F (↥(adjoin R s)) B

Context: f g : F

Context: a x : ↥(adjoin R s)

Context: hx : (fun y => f y = g y) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq (Option α)
s : Finset (Option α)

map Embedding.some (eraseNone s) = s.erase none


Context:
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

x ∈ r • Ico a b ↔ x ∈ Ico (r • a) (r • b)


(∃ y, (a ≤ y ∧ y < b) ∧ r * y = x) ↔ r * a ≤ x ∧ x < r * b


Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : AddCommMonoid R
o : Type u_8
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
d : o → R


Context:
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
v : M

(LinearIndependent R fun n => (f ^ n) v) ↔ ∀ (p : R[X]), ((aeval f) p) v = 0 → p = 0


(∀ (l : ℕ →₀ R), (Finsupp.total ℕ M R fun n => (f ^ n) v) l = 0 → l = 0) ↔ ∀ (p : R[X]), ((aeval f) p) v = 0 → p = 0


(∀ (l : ℕ →₀ R), (l.sum fun i a => a • (f ^ i) v) = 0 → l = 0) ↔ ∀ (q : AddMonoidAlgebra R ℕ), ({ toFinsupp := q }.sum fun n b => b • (f ^ n) v) = 0 → q = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: hf'_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv f x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

(periodicOrbit f x).length = minimalPeriod f x


Context:
a : ℤ
b : ℕ
hb : Odd b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

s ∩ mulSupport f = ↑s.toFinset ∩ mulSupport f


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

(1 - s).Gammaℝ⁻¹ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h1 : s.Gammaℝ ≠ 0


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h1 : s.Gammaℝ ≠ 0
h2 : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
u : ℙ K V

u ∈ span S ↔ ∀ (W : Subspace K V), S ⊆ ↑W → u ∈ W


u ∈ span S ↔ ∀ (W : Subspace K V), span S ≤ W → u ∈ W


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
hε : 0 ≤ ε
δ : ℝ
s : Set α

cthickening ε (thickening δ s) ⊆ cthickening (ε + δ) s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
hε : 0 ≤ ε
δ : ℝ
s : Set α
hδ : δ ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
hε : 0 ≤ ε
δ : ℝ
s : Set α
hδ : 0 ≤ δ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
δ : ℝ
s : Set α
hδ : 0 ≤ δ
x : α

x ∈ cthickening ε (thickening δ s) → x ∈ cthickening (ε + δ) s


infEdist x (thickening δ s) ≤ ENNReal.ofReal ε → infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R₂

Context: inst✝⁹ : Semiring R₃

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹ : Module R₃ M₃

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: σ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: σ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃

Context: f' : M →ₗ[R] M

Context: p : Submodule R M

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ x ∈ p, f' x ∈ p

Context: h' : optParam (∀ x ∈ p, (f' ^ n) x ∈ p) ⋯

Context: x : ↥p

↑((f'.restrict h ^ n) x) = ↑(((f' ^ n).restrict h') x)


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: ι : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R₂

Context: inst✝⁹ : Semiring R₃

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Module R₂ M₂

Context: inst✝¹ : Module R₃ M₃

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: σ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: σ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃

Context: f' : M →ₗ[R] M

Context: p : Submodule R M

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ x ∈ p, f' x ∈ p

Context: x : ↥p

Context: this : Semiconj Subtype.val ⇑(f'.restrict h) ⇑f'


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'

PInfty.f (n + 1) ≫ { a := g.app (op [n + 1]) ≫ f.a, b := fun i => g.app (op [n]) ≫ f.b i }.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X'.δ i.rev.succ ≫ { a := g.app (op [n + 1]) ≫ f.a, b := fun i => g.app (op [n]) ≫ f.b i }.b i.rev = g.app (op [n + 1]) ≫ (PInfty.f (n + 1) ≫ f.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ f.b i.rev)


(P (n + 1)).f (n + 1) ≫ g.app (op [n + 1]) ≫ f.a + ∑ x : Fin (n + 1), (P ↑x).f (n + 1) ≫ X'.δ x.rev.succ ≫ g.app (op [n]) ≫ f.b x.rev = g.app (op [n + 1]) ≫ (P (n + 1)).f (n + 1) ≫ f.a + g.app (op [n + 1]) ≫ ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ f.b i.rev


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: g' : cokernel S.f ⟶ S.X₃ := cokernel.desc S.f S.g ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hg' : g' = cokernel.π γ ≫ cokernel.desc γ g' ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0

Context: e : cokernel γ ≅ Abelian.coimage S.g := (colimit.isColimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0)).coconePointUniqueUpToIso S.cokernelToAbelianCoimageIsCokernel


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0

Context: he : cokernel.π γ ≫ e.hom = S.cokernelToAbelianCoimage


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0

Context: fac : g' = cokernel.π γ ≫ e.hom ≫ Abelian.factorThruCoimage S.g


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wι : kernel.ι (cokernel.π γ) ≫ g' = 0

Context: hι : IsLimit (KernelFork.ofι (kernel.ι (cokernel.π γ)) wι)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

(fun h => exp 𝕂 (x + h) - exp 𝕂 x - (exp 𝕂 x • 1) h) =o[𝓝 0] fun h => h


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

(fun h => exp 𝕂 x * (exp 𝕂 (0 + h) - exp 𝕂 0 - (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) h)) =ᶠ[𝓝 0] fun h => exp 𝕂 (x + h) - exp 𝕂 x - exp 𝕂 x • (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) h


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: this : ∀ᶠ (h : 𝔸) in 𝓝 0, h ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: a✝ : 𝔸

Context: hh : a✝ ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

exp 𝕂 x * (exp 𝕂 (0 + a✝) - exp 𝕂 0 - (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) a✝) = exp 𝕂 (x + a✝) - exp 𝕂 x - exp 𝕂 x • (ContinuousLinearMap.id 𝕂 𝔸) a✝


Context: 𝕂 : Type u_1

Context: 𝔸 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕂

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔸

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸

Context: inst✝ : CharZero 𝕂

Context: x : 𝔸

Context: hpos : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius

Context: a✝ : 𝔸

exp 𝕂 x * (exp 𝕂 a✝ - 1 - a✝) = exp 𝕂 x * exp 𝕂 a✝ - exp 𝕂 x - exp 𝕂 x * a✝


Context:
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

Measurable fun ω => ((condexpKernel μ m) ω) s


Measurable fun ω => ((condDistrib id id μ) (id ω)) s


m ⊓ mΩ = MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: gp : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp

Context: gp_b_eq_b_n : gp.b = b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: gp : Pair K

Context: nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp

Context: gp_b_eq_b_n : gp.b = b

Context: this : ∃ z, gp.b = ↑z


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ : Set (Sym2 V)
s : Set (Sym2 ↑G'.verts)
v : V
hv : v ∈ G'.verts
w : V
hw : w ∈ G'.verts

(G'.coe.deleteEdges s).Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩ ↔ (G'.deleteEdges (Sym2.map Subtype.val '' s)).coe.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩


G'.Adj v w → (s(⟨v, hv⟩, ⟨w, hw⟩) ∉ s ↔ ∀ x ∈ s, ¬Sym2.map Subtype.val x = s(v, w))


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G

g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ g⁻¹ * h * g ∈ H


Context:
n : ℕ
h : 0 < n + 1


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
L₁ : ListBlank Γ'
L₂ : List (Γ k)
H₁ : L₁ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L

∃ S L', addBottom L' = L₁ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: L L₂ : List (Γ k)

Context: H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L

Context: c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

Context: h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))

Context: H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)

∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: L : List (Γ k)

Context: c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

Context: c₂ : Cfg₂

Context: h₂ : c₂ ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)

Context: H₂ : c₂.stk k ∈ TM2.eval M k L

∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = c₂.stk k


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: L : List (Γ k)

Context: c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ

Context: q✝ : Option Λ

Context: v✝ : σ

Context: S✝ : (k : K) → List (Γ k)

Context: L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse

Context: h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)

Context: H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L

Context: h₃ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))

∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: M : Λ → Stmt₂

Context: k : K

Context: L : List (Γ k)

Context: q✝ : Option Λ

Context: v✝ : σ

Context: S✝ : (k : K) → List (Γ k)

Context: L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

Context: h₁ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))

Context: H₁ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)

∃ S L'_1, addBottom L'_1 = { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L'_1 = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∑ x : α, a x * b x ^ Function.invFun (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) 1 = 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
f : ι → α
a : α

a ⊓ s.sup' hs f = s.sup' hs fun i => a ⊓ f i


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s

minpoly K ((algebraMap S L) s) = map (algebraMap R K) (minpoly R s)


Irreducible (map (algebraMap R K) (minpoly R s))


(Polynomial.aeval ((algebraMap S L) s)) (map (algebraMap R K) (minpoly R s)) = 0


(map (algebraMap R K) (minpoly R s)).Monic


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base = Set.univ


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), x ∈ ⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


a ⊓ c ≤ b ∧ b ≤ a ⊔ c → a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b → b = c


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v w : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hw : ∀ (i : ι), w i = v i ∨ w i = -v i


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : ℕ → β

Context: hA : Tendsto (fun n => EMetric.diam (A (res x n))) atTop (𝓝 0)

∃ n, ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : ℕ → β

Context: hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : ℕ → β

Context: n : ℕ

∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: y : α

Context: hy : y ∈ A (res x n)

Context: z : α

Context: hz : z ∈ A (res x n)


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: y : α

Context: hy : y ∈ A (res x n)

Context: z : α

Context: hz : z ∈ A (res x n)

EMetric.diam (A (res x n)) < ENNReal.ofReal ε


Context: β : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: A : List β → Set α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ε : ℝ

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: x : ℕ → β

Context: n : ℕ

Context: y : α

Context: hy : y ∈ A (res x n)

Context: z : α

Context: hz : z ∈ A (res x n)

ENNReal.ofReal (ε / 2) < ENNReal.ofReal ε


Context:
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
h : IsTerminal (colimit (F ⋙ yoneda))


Context:
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
h : IsTerminal (colimit (F ⋙ yoneda))
d : D

colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : t ∈ 𝓝 x

HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∩ t) x f' ↔ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: h : t ∈ 𝓝 x

↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P

Submonoid.closure (Set.range ⇑inl ∪ Set.range ⇑inr) = ⊤


Submonoid.closure (Set.range ⇑inl ∪ Set.range ⇑inr) = Submonoid.closure (Set.range ((⇑mk ∘ of) ∘ Sum.inl) ∪ Set.range ((⇑mk ∘ of) ∘ Sum.inr))


Context:
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

(sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).hom ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = ((presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val


toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ (sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).hom ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val


whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B).map (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U).hom).val ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val


whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U).hom ≫ (sheafificationAdjunction J B).unit.app ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val


whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = { app := fun x => 𝟙 (U.obj (F.val.obj (op t))), naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val