Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
x : CofiniteTopology X
s : Set (CofiniteTopology X)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
a✝ : Nontrivial R


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k

d φ i j ≫ fstX φ j k hjk = -fstX φ i j hij ≫ F.d j k


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j (c.next j)

d φ i j ≫ fstX φ j (c.next j) hjk = -fstX φ i j hij ≫ F.d j (c.next j)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 f s

DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 g s


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ {q : α}, q ∣ p ^ n ↔ ∃ i, i ≤ n ∧ q ~ᵤ p ^ i

Context: q : α

q ∣ p ^ (n + 1) ↔ ∃ i, i ≤ n + 1 ∧ q ~ᵤ p ^ i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: n : ℕ

Context: q : α

Context: h : q ∣ p ^ (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: n : ℕ

Context: q : α

Context: h : q ∣ p * p ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: n : ℕ

Context: q : α

Context: h : p * q ∣ p * p ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: p : α

Context: hp : Prime p

Context: n : ℕ

Context: q : α

Context: h : q ∣ p * p ^ n

Context: hno : q ∣ p ^ n


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: μ : Measure V

Context: n : ℕ

Context: hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ

Context: h'f : AEStronglyMeasurable f μ

Integrable (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) μ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: μ : Measure V

Context: n : ℕ

Context: h'f : AEStronglyMeasurable f μ

∀ᵐ (a : V) ∂μ, ‖fourierPowSMulRight L f a n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖a‖ ^ n * ‖f a‖)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : SecondCountableTopology V

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace V

Context: inst✝ : BorelSpace V

Context: μ : Measure V

Context: n : ℕ

Context: h'f : AEStronglyMeasurable f μ

Context: v : V

‖fourierPowSMulRight L f v n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖v‖ ^ n * ‖f v‖)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source

Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y) (𝓝 ((↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) y))) ↔ Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))


Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y) (𝓝 (↑(f'.extend I') (g (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) y))))) ↔ Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))


∀ᶠ (z : E) in 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) z ∈ f'.source


∀ᶠ (a : M) in 𝓝[s] y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) a) ∈ f'.source


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
z : M
hz : z ∈ s ∩ f.source

(g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) z) ∈ f'.source


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
a : A
m : M
hm : m ∈ p


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R

(toMatrix₂' R) B * M = (toMatrix₂' R) (B.compl₂ (toLin' M))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: x : E

Context: v : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: x : E

Context: v : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: x : E

Context: v : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

‖x - ∑ i ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: x : E

Context: v : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

‖x‖ ^ 2 - (2 * re ⟪x, ∑ i ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i⟫_𝕜 - ‖∑ i ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i‖ ^ 2) = ‖x‖ ^ 2 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: x : E

Context: v : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

re ⟪x, x⟫_𝕜 - (2 * re (∑ i ∈ s, ⟪x, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i⟫_𝕜) - re (∑ x_1 ∈ s, ∑ i ∈ s, ⟪⟪v i, x⟫_𝕜 • v i, ⟪v x_1, x⟫_𝕜 • v x_1⟫_𝕜)) = re ⟪x, x⟫_𝕜 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: x : E

Context: v : ι → E

Context: s : Finset ι

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

re (∑ x_1 ∈ s, ⟪v x_1, x⟫_𝕜 * ⟪x, v x_1⟫_𝕜) = ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β

↑(chainTopCoeff (⇑α) β') = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n


↑(chainTopCoeff (⇑α) β') ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n


↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β')


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₁.RightHomologyData
h₁' : S₂.LeftHomologyData
h₂' : S₂.RightHomologyData

leftHomologyMap' φ h₁ h₁' ≫ leftRightHomologyComparison' h₁' h₂' = leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' φ h₂ h₂'


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)

positiveOrientation.volumeForm = AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α

UniformEquicontinuous F ↔ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)


UniformEquicontinuous F ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α i


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
b : α
hb : b ∈ P.parts
h : b = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ι → α
htriv : ¬∀ (i : ι), f i = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ι → α
htriv : ¬∀ (i : ι), f i = ⊥
i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : CommSemiring α

Context: s✝ : Multiset (Multiset α)

Context: a : Multiset α

Context: s : Multiset (Multiset α)

Context: ih : (map sum s).prod = (map prod s.Sections).sum

(map sum (a ::ₘ s)).prod = (map prod (a ::ₘ s).Sections).sum


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: a : α

Context: l₁ l₂ r₁ r₂ : List α

Context: e' : l₂.append r₂ = l₁.append r₁

Context: ll : (a :: l₁).length ≤ (a :: l₂).length


Context: α : Type u_1

Context: a : α

Context: l₁ r₁ r₂ r₃ : List α

Context: e' : (l₁ ++ r₃).append r₂ = l₁.append r₁

Context: ll : (a :: l₁).length ≤ (a :: (l₁ ++ r₃)).length


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedHurwitzZetaOdd (-a) s = -completedHurwitzZetaOdd a s


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ


Context: o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}

max (aleph o₁) (aleph o₂) = aleph (max o₁ o₂)


Context:
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
h : aleph o₁ ≤ aleph o₂


Context:
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
h : aleph o₂ ≤ aleph o₁


Context:
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)

‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs


Context:
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
h : y < 1


‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ = y ^ n ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : w ∈ span 𝕜 {u}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : ∃ a, a • u = w


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
c : 𝕜


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo


Context:
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι

∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = (b.repr x) i


∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = (b.repr (∑ i : ι', (b'.repr x) i • b' i)) i


∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = ∑ k : ι', ((b'.repr x) k • b.repr (b' k)) i


Context:
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
j : ι'
x✝ : j ∈ Finset.univ

(b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = ((b'.repr x) j • b.repr (b' j)) i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)

∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)

∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteKernel κ

Context: E : Type u_4

Context: f : β × Ω → E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
s : Set α
f : α → β

Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 s) l₂ ↔ PTendsto (PFun.res f s) l₁ l₂


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : LinearMap.ker f = ⊥

LinearMap.range f = Submodule.map (↑↑(f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker)) (⊤.prod ⊥)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'

∑ x ∈ f.range, ‖(T (↑f ⁻¹' {x})) x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'
b : F'
x✝ : b ∈ f.range

‖(T (↑f ⁻¹' {b})) b‖ ≤ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
a : R


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
x : D

(adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.rightAdjointUniq adj3).hom.app x


(adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = ((adj1.rightAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom).app x


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q✝ R✝ : Prop
inst✝² : Decidable P
inst✝¹ : Decidable Q✝
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
Q : P → Prop
R : ¬P → Prop
inst✝ : Decidable P


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ

(s.bind f).bind g ~ʷ s.bind fun x => (f x).bind g


(map (map g) (map f s)).join.join ~ʷ (map (fun x => (map g (f x)).join) s).join


(map (map g ∘ f) s).join.join ~ʷ (map join (map (map g ∘ f) s)).join


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: K : ChainComplex C ℕ

Context: X : C

Context: φ : K.X 0 ⟶ X

Context: inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology K 0

Context: hφ✝ : K.d 1 0 ≫ φ = 0

Context: hφ : K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0 ≫ φ = 0

Context: α : HomologicalComplex.sc K 0 ⟶ ShortComplex.mk 0 0 ⋯ := { τ₁ := 0, τ₂ := φ, τ₃ := 0, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }

IsIso (HomologicalComplex.descOpcycles K φ ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) ⋯ hφ) ↔ (ShortComplex.mk (K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0) φ hφ).Exact ∧ Epi φ


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α

{I | M.Indep I} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})


{I | ∃ B, M.Base B ∧ I ⊆ B} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0

n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0


∀ b ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support, n ≤ b


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : m ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : ¬(ofSuppBddBelow f ⋯).coeff m = 0


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β

Context: C : ℝ

Context: f g : α →C₀ β


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: C : ℝ

Context: f✝ g : α →C₀ β

Context: f : α →ᵇ β

Context: hf : ClusterPt f (𝓟 (range toBCF))


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: C : ℝ

Context: f✝ g : α →C₀ β

Context: f : α →ᵇ β

Context: hf : ∀ U ∈ 𝓝 f, (U ∩ range toBCF).Nonempty


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F α β

Context: C : ℝ

Context: f✝ g : α →C₀ β

Context: f : α →ᵇ β

Context: this : Tendsto (⇑f) (cocompact α) (𝓝 0)


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'

((e₁.arrowCongr e₃) (g.comp f)) x✝ = (((e₂.arrowCongr e₃) g).comp ((e₁.arrowCongr e₂) f)) x✝


↑e₃ (g (f (↑e₁.symm x✝))) = ↑e₃ (g (↑e₂.symm (↑e₂ (f (↑e₁.symm x✝)))))


f (↑e₁.symm x✝) = ↑e₂.symm (↑e₂ (f (↑e₁.symm x✝)))


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: hf' : ∀ (i : ι) (x y : β₁ i), f i (x + y) = f i x + f i y

Context: g₁ g₂ : Π₀ (i : ι), β₁ i

Context: i✝ : ι

(mapRange f hf (g₁ + g₂)) i✝ = (mapRange f hf g₁ + mapRange f hf g₂) i✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace β
x y : β
h : y ∈ measurableAtom x
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hxs : x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: x y : β

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hxs : x ∈ s

Context: h : ∀ (i : Set β), x ∈ i → MeasurableSet i → y ∈ i


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
c₁✝ c₂✝ : BinaryCofan A B
hc₁✝ : IsColimit c₁✝
hc₂✝ : IsColimit c₂✝
c₁ c₂ : BinaryCofan A B
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
x✝ : Mono c₁.inl


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
inst✝ : Fintype J
i : J ≃ I

CompleteOrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun i => s.Gammaℝ / ↑|↑i + a| ^ s / 2 / s.Gammaℝ) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜

(iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDeriv n f x


(iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i => m i • 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ

Context: g : α →. σ

Context: h : α → ℕ × σ →. σ

Context: hf : Computable f

Context: hg : Partrec g

Context: hh : Partrec₂ h

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: e : decode n = Option.some a

Context: m : ℕ

Context: IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)

((Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m).bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ

Context: g : α →. σ

Context: h : α → ℕ × σ →. σ

Context: hf : Computable f

Context: hg : Partrec g

Context: hh : Partrec₂ h

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: e : decode n = Option.some a

Context: m : ℕ

((Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode y)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ

Context: g : α →. σ

Context: h : α → ℕ × σ →. σ

Context: hf : Computable f

Context: hg : Partrec g

Context: hh : Partrec₂ h

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: e : decode n = Option.some a

Context: m : ℕ

(fun y => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode y)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = fun y => Part.map encode (h a (m, y))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ

Context: g : α →. σ

Context: h : α → ℕ × σ →. σ

Context: hf : Computable f

Context: hg : Partrec g

Context: hh : Partrec₂ h

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: e : decode n = Option.some a

Context: m : ℕ

Context: s : σ

((↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode s)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = Part.map encode (h a (m, s))


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁

‖f v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
f : α → X

(∀ (ib : Set X), x ∈ ib ∧ IsOpen ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ ib) ↔ ∀ (U : Set X), x ∈ U → IsOpen U → ∃ N, ∀ (n : α), N ≤ n → f n ∈ U


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂

s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points = (univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: g : G

Context: q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)

Context: k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))

↑((toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)


Context: G : Type u

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: g : G

(g ^ if k = 0 then ↑(minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst)) else k.cast) * Quotient.out' (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'

Context: f : ι → α → δ'

Context: bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ

Context: f : ι → α → δ'

Context: h✝ : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ

Context: f : ι → α → δ'

Context: h✝ : Nonempty ι


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E E' : L.RightExtension F

Context: X : C

Context: h : E.IsPointwiseRightKanExtensionAt (L.obj X)

Context: inst✝¹ : L.Full

Context: inst✝ : L.Faithful


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A B : C
hB : B ∈ i.essImage
f : i.obj ((reflector i).obj A) ⟶ B

(unitCompPartialBijective A hB).symm f = (reflectorAdjunction i).unit.app A ≫ f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: f : I → Type u_4

Context: i' : I

Context: inst : ∀ (i : I), Nonempty (f i)

Context: inst✝ : Nontrivial (f i')

Context: this : DecidableEq ((i : I) → f i) := Classical.decEq ((i : I) → f i)


Context:
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.195705}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Injective f


lift.{u, v} #↑(range f) ≤ lift.{u, v} #β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : ℕ → Set α

Context: n : ℕ

Context: this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : ℕ → Set α

Context: n : ℕ

MeasurableSet (⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : ℕ → Set α

Context: n : ℕ

Context: v : Set α

Context: hv : v ∈ memPartition t n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : ℕ → Set α

Context: n : ℕ

Context: v : Set α

Context: hv : v ∈ memPartition t n

v ∩ t n ∈ {s | ∃ u ∈ memPartition t n, s = u ∩ t n ∨ s = u \ t n}


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support.card = 3


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t
inst✝ : Epi f
W : C
h k : t.pt ⟶ W
i : t.inr ≫ h = t.inr ≫ k


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)

ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: f✝ : ↥(Lp E 1 μ)

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

(ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ hT) f


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
t : Set β

((piecewise hs κ η) a) t = if a ∈ s then (κ a) t else (η a) t


(if a ∈ s then κ a else η a) t = if a ∈ s then (κ a) t else (η a) t


Context: x : WithBot ℕ


Context:
x : WithBot ℕ
h : 0 < x


Context: a b c : EReal


Context:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
a✝ : E

((fun σ => σ.restrictNormal' E) ((fun σ => (toAlgHom F E K₁).comp ↑σ) σ)) a✝ = σ a✝


(((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ).restrictNormal E) a✝ = σ a✝


(algebraMap E K₁) ((((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ).restrictNormal E) a✝) = (algebraMap E K₁) (σ a✝)


((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ) ((algebraMap E E) a✝) = (algebraMap E K₁) (σ a✝)


Context:
z w : ℂ
h : z = 0 → w.re = 0 → w = 0

abs (z ^ w) = abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)


Context:
w : ℂ
h : 0 = 0 → w.re = 0 → w = 0

abs (0 ^ w) = 0 ^ w.re / rexp (arg 0 * w.im)


Context:
w : ℂ
h : 0 = 0 → w.re = 0 → w = 0
hw : w.re = 0


Context:
w : ℂ
h : 0 = 0 → w.re = 0 → w = 0
hw : w.re ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)


∀ e ∈ (⋃ i, X i) \ ⋃ i, I i, M.Dep (insert e (⋃ i, I i))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)
e : α
he' : e ∉ ⋃ i, I i
i : ι
hes : e ∈ X i


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Type u_2
X I : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis (I i) (X i)
h_ind : M.Indep (⋃ i, I i)
e : α
he' : ∀ (x : ι), e ∉ I x
i : ι
hes : e ∈ X i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G✝ : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
G : Type u_9
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup G
f : ι → G
s : Finset ι
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α

M.Base B ↔ M.Indep B ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B' I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: x✝ : M.Indep B ∧ ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I

Context: h : M.Indep B

Context: h' : ∀ (I : Set α), M.Indep I → B ⊆ I → B = I


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B B'✝ I J D X : Set α

Context: e f : α

Context: h : M.Indep B

Context: B' : Set α

Context: hB' : M.Base B'

Context: hBB' : B ⊆ B'


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : Semiring S

Context: f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R

Context: f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁

Context: x✝ : S

((truncate n).comp (lift f f_compat)) x✝ = (f n) x✝


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
x✝ : R

x✝ ∈ M.nonUnitalSubsemiringClosure ↔ x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ M.nonUnitalSubsemiringClosure
H1 : NonUnitalSubsemiring R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R

Context: M : Subsemigroup R

Context: inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T

Context: x✝ : R

Context: hx : x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M

Context: s : R

Context: sM : s ∈ ↑M

Context: H1 : AddSubmonoid R

Context: H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}


Context:
n : ℕ
f : ℕ →. ℕ
g : Vector ℕ n → ℕ
hf : Partrec' fun v => f v.head
hg : Partrec' ↑g


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℕ


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop

(fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }) 1 = 1


∀ (x y : R), { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯ }.toFun y


(↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0


∀ (x y : R), (↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
i : ℤ


Context:
n : ℕ
c : CompositionAsSet n


Context: n : ℕ

Context: c : CompositionAsSet n

Context: this : take c.length c.blocks = c.blocks


Context: n : ℕ

Context: c : CompositionAsSet n


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)

Context: CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)

Context: PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)

Context: RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)

Context: F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)

Context: G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this : Primrec G₁


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this : Primrec G₁

Context: G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

G (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).1 (a, List.map ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a) (List.range n)).2 = some ((fun a n => F a (ofNat Code n)) a n)


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))).length = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

Context: pr : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpr : Primrec₂ pr

Context: co : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (n + 1 + 1 + 1 + 1) = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

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Context: c : α → Code

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Context: r : α → σ

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Context: hpr : Primrec₂ pr

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Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

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Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

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Context: hm : m < n + 4


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

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Context: hc : Primrec c

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Context: hz : Primrec z

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Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

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Context: hr : Primrec r

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Context: hco : Primrec₂ co

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Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

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Context: hpr : Primrec₂ pr

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Context: hpc : Primrec₂ pc

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Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: m2 : (unpair m).2 < n + 4


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

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Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

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Context: hpr : Primrec₂ pr

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Context: hco : Primrec₂ co

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Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: m2 : (unpair m).2 < n + 4

((Option.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[m]?).bind fun a_1 => (Option.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[(unpair m).1]?).bind fun a_2 => Option.map ((fun s₂ => bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code m, a_1) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂)) ∘ fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[(unpair m).2]?) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))


Context: α : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: inst✝¹ : Primcodable α

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: c : α → Code

Context: hc : Primrec c

Context: z : α → σ

Context: hz : Primrec z

Context: s : α → σ

Context: hs : Primrec s

Context: l : α → σ

Context: hl : Primrec l

Context: r : α → σ

Context: hr : Primrec r

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Context: hpr : Primrec₂ pr

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Context: hco : Primrec₂ co

Context: pc : α → Code × Code × σ × σ → σ

Context: hpc : Primrec₂ pc

Context: rf : α → Code × σ → σ

Context: hrf : Primrec₂ rf

Context: this✝ : Primrec G₁

Context: this : Primrec₂ G

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: m2 : (unpair m).2 < n + 4

(bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code n.div2.div2, F a (ofNat Code n.div2.div2)) else pc a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else pr a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2))) = F a (ofNat Code (n + 4))


Context: a b c : ℕ


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length


c.sizeUpTo i < c.sizeUpTo i + c.blocks[i]


Context: F : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra F K✝

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Field K₁

Context: inst✝⁸ : Field K₂

Context: inst✝⁷ : Field K₃

Context: inst✝⁶ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁵ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁴ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: K : Type u_6

Context: L : Type u_7

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Normal K L

Context: x y : L

Context: hy : IsAlgebraic K y

Context: h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0


Context: F : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra F K✝

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Field K₁

Context: inst✝⁸ : Field K₂

Context: inst✝⁷ : Field K₃

Context: inst✝⁶ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁵ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁴ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: K : Type u_6

Context: L : Type u_7

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Normal K L

Context: x y : L

Context: hy : IsAlgebraic K y

Context: hx : IsAlgebraic K x


Context: F : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra F K✝

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Field K₁

Context: inst✝⁸ : Field K₂

Context: inst✝⁷ : Field K₃

Context: inst✝⁶ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁵ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁴ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: K : Type u_6

Context: L : Type u_7

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Normal K L

Context: x y : L

Context: hy : IsAlgebraic K y

Context: hx : IsAlgebraic K x

Context: f : ↥K⟮x⟯ ≃ₐ[K] ↥K⟮y⟯ := algEquiv hx ⋯


Context: F : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field F

Context: inst✝¹² : Field K✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra F K✝

Context: K₁ : Type u_3

Context: K₂ : Type u_4

Context: K₃ : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Field K₁

Context: inst✝⁸ : Field K₂

Context: inst✝⁷ : Field K₃

Context: inst✝⁶ : Algebra F K₁

Context: inst✝⁵ : Algebra F K₂

Context: inst✝⁴ : Algebra F K₃

Context: ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂

Context: χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂

Context: ψ : K₂ →ₐ[F] K₃

Context: ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃

Context: K : Type u_6

Context: L : Type u_7

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Normal K L

Context: x y : L

Context: hy : IsAlgebraic K y

Context: hx : IsAlgebraic K x

Context: f : ↥K⟮x⟯ ≃ₐ[K] ↥K⟮y⟯ := algEquiv hx ⋯

Context: hxy : (f.liftNormal L) ((algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)) = y


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
g h : G


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

(descPochhammer ℤ n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
h : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : ∑' (i : α), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α

{x | ↑x ∈ s}.ncard = (s ∩ setOf P).ncard


s ∩ setOf P = (fun a => ↑a) '' {x | ↑x ∈ s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α
x : α

x ∈ s ∩ setOf P ↔ x ∈ (fun a => ↑a) '' {x | ↑x ∈ s}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

(Primrec₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Primrec₂ f


(Primrec₂ fun a n => (decode n).bind (some ∘ f a)) ↔ Primrec₂ f


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p


Injective ((↑p).restrict ⇑f) ↔ Surjective (Set.MapsTo.restrict (⇑f) (↑p) (↑p) h)


Injective ⇑(f.domRestrict p) ↔ Surjective ⇑(f.restrict h)


Context:
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

(∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x) → IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

(shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).hom.app X = (shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0

(X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor = map (AdjoinRoot.of f.factor) f


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
g : K[X]
hg : f = f.factor * g


(map (AdjoinRoot.of f.factor) f).IsRoot (AdjoinRoot.root f.factor)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C

(α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ ((α_ W X Y).inv ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom = (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).hom) ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α


(Finset.univ.sup fun b => Finset.univ.sup fun b_1 => ‖diagonal v b b_1‖₊) = Finset.univ.sup fun b => ‖v b‖₊


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
i : n

(Finset.univ.sup fun b => ‖diagonal v i b‖₊) = ‖v i‖₊


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
i j : n
hj : j ∈ Finset.univ


‖v i‖₊ ≤ Finset.univ.sup fun b => ‖diagonal v i b‖₊


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

(C a * X ^ 2 + C b * X + C c).degree = 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ

rdropWhile p l = l ↔ ∀ (hl : l ≠ []), ¬p (l.getLast hl) = true


(∀ (hl : 0 < l.reverse.length), ¬p (l.reverse.get ⟨0, hl⟩) = true) ↔ ∀ (hl : l ≠ []), ¬p (l.get ⟨l.length - 1, ⋯⟩) = true


Context:
m n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
hIJ : I.encard < J.encard


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
hIJ : I.encard < J.encard
he : ∀ e ∈ J \ I, ¬M.Indep (insert e I)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
hIJ : I.encard < J.encard
he : ∀ e ∈ J \ I, ¬M.Indep (insert e I)
hb : M.Basis I (I ∪ J)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
hIJ : I.encard < J.encard
he : ∀ e ∈ J \ I, ¬M.Indep (insert e I)
hb : M.Basis I (I ∪ J)
J' : Set α
hJ' : M.Basis J' (I ∪ J)
hJJ' : J ⊆ J'


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
he : ∀ e ∈ J \ I, ¬M.Indep (insert e I)
hb : M.Basis I (I ∪ J)
J' : Set α
hIJ : J'.encard < J.encard
hJ' : M.Basis J' (I ∪ J)
hJJ' : J ⊆ J'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α

Inseparable x y ↔ ClusterPt (x, y) (𝓤 α)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
x y : α
h : ClusterPt (x, y) (𝓤 α)


∀ (i : Set (α × α)), (i ∈ 𝓤 α ∧ ∀ (a : α × α), ClusterPt a (𝓟 i) → a ∈ i) → (x, y) ∈ id i


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero R'
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : MulActionWithZero R M
inst✝ : Subsingleton R
x y : M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : ClosedEmbedding f
s : Set X
h : IsClosed (f '' s)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
H : IsDomain (R ⧸ I)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ : R
I : Ideal R
H : IsDomain (R ⧸ I)
x y : R
h : x * y ∈ I


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ ⊥.jacobson


Context:
p : ℕ
hp : Prime p


Context:
x : ℤ
x✝ : ∃ n, n * n = x
n : ℤ
hn : n * n = x


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrderBot (α i)

Context: b : (i : ι) → α i

(Iio b).card = ∏ i : ι, (Iic (b i)).card - 1


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
g x✝ : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
b : Bool

(bernoulli p h).support = {b | bif b then p ≠ 0 else p ≠ 1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
b✝ b : Bool

b ∈ (bernoulli p h).support ↔ b ∈ {b | bif b then p ≠ 0 else p ≠ 1}


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : ¬s = 1

(2 - s).Gammaℝ⁻¹ = s.Gammaℂ * sin (↑π * s / 2) * (s + 1).Gammaℝ⁻¹


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n


Context:
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
A : ℂ


Context:
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop

(∀ (x : α), p x (update f a b x)) ↔ p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → p x (f x)


(p a b ∧ ∀ (b_1 : α), b_1 ≠ a → p b_1 (update f a b b_1)) ↔ p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → p x (f x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝³ : CommRing P
inst✝² : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝¹ : Nontrivial P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I

(Algebra.linearMap R P) ↑((equivNum h_nz) x) = I.den • ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α

(s.product t).SupIndep f ↔ (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')


(s.product t).SupIndep f → (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')


(↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f → ((↑s).PairwiseDisjoint fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun i' => s.sup fun i => f (i, i')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
h : (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ ↑s
j : ι
hj : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
i' : ι'
hi' : i' ∈ t
j' : ι'
hj' : j' ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
h : (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f
i : ι'
hi : i ∈ ↑t
j : ι'
hj : j ∈ ↑t
hij : i ≠ j
i' : ι
hi' : i' ∈ s
j' : ι
hj' : j' ∈ s


Context: f g : ℝ → ℝ

Context: hfg : f =ᶠ[atTop] g

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)


Context: f g : ℝ → ℝ

Context: hfg : f =ᶠ[atTop] g

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)

Context: hx₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = g y

Context: hx₃ : f x = g x

∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)


Context: f g : ℝ → ℝ

Context: hfg : f =ᶠ[atTop] g

Context: hg : GrowsPolynomially g

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx₃ : f x = g x

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
this : ↑x ∈ Icc 0 1


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
g : Γ := ⋯.min ⋯


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
g : Γ := ⋯.min ⋯
hcxyne : (x + y).coeff g ≠ 0


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
g : Γ := ⋯.min ⋯
hcxyne : (x + y).coeff g ≠ 0
hxyx : (x + y).orderTop ≤ x.orderTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : CommSemiring β

Context: hf : SuperpolynomialDecay l k f

Context: z : ℕ

Context: s : Set β

Context: hs : IsOpen s

Context: hs0 : 0 ∈ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ (fun a => k a ^ (z + 1) * f a) ⁻¹' s

x ∈ (fun a => k a ^ z * (k * f) a) ⁻¹' s


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b * ↑a < c * ↑a


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b * ↑a < c * ↑a

Context: ha : 0 = ↑a


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b * ↑a < c * ↑a

Context: ha : 0 < ↑a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α

{x | x ∈ s ∧ p x} = {x | x ∈ s ∧ q x} ↔ ∀ x ∈ s, p x ↔ q x


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ

Measure.map (fun x => x * c) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ

Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Context:
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K

(M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K


Context:
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : IsEmpty n


Context:
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : Nonempty n


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧

trunc n (f * ↑(trunc n g)) = trunc n (f * g)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

(if hp : p = 0 then Eq.rec (motive := fun x x_1 => ↥(lp E x) → ℝ) (fun f => ↑⋯.toFinset.card) ⋯ f else if p = ⊤ then ⨆ i, ‖↑f i‖ else (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)) = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p ∧ p < ⊤

Context: f : ↥(lp E p)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: h : I ≤ N.idealizer

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ I

Context: inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N

Context: hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := fun m x_1 => N.lie_mem ((mem_idealizer N).mp (h hy) m)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: h : I ≤ N.idealizer

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ I

Context: inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: I : LieIdeal R L

Context: h : I ≤ N.idealizer

Context: x y : L

Context: hy : y ∈ I

Context: inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N

Context: n : ↥↑N


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f : R →+* S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
h' : FiniteType R A
s : Finset A
hs : adjoin R ↑s = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: C : ℝ≥0 := doublingConstant μ

Context: hμ : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (2 ^ n * ε)) ≤ ↑(C ^ n) * μ (closedBall x ε)

∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (closedBall x ε)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: C : ℝ≥0 := doublingConstant μ

Context: hK : K < 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MetricSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: C : ℝ≥0 := doublingConstant μ

Context: hK : 1 ≤ K


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: n : ℕ

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

Context: ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: n : ℕ

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

Context: this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PartialOrder A

Context: inst✝⁷ : NormedRing A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalRing A

Context: inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: n : ℕ

Context: a : A

Context: ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x

Context: this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0

Context: ha₂' : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)

Context: ha₂'' : ContinuousOn Real.log ((fun x => x ^ n) '' spectrum ℝ a)

cfc (fun x => Real.log (x ^ n)) a = n • cfc Real.log a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : eLpNorm f p μ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m✝ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι

Context: u : ι → Ω → β

Context: s : Set β

Context: n i : ι

Context: ω : Ω

Context: m k : ι

Context: hk₁ : k < hitting u s n m ω

Context: hk₂ : n ≤ k


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R

↑(basicOpen (f * g)) = ↑(basicOpen f ⊓ basicOpen g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
e : α ↪o β
x y : α


Context:
x y : ℝ
hxy : x < y

Icc x y ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x


Context:
x y : ℝ
hxy : x < y

Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x


Context:
x y : ℝ
hxy : x < y


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: hδ : δ > 0

∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ δ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : ↑δ > 0

∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : 0 < ↑δ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : 0 < ↑δ

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht : μ t ≤ ENNReal.ofReal ↑δ

Context: hunif : TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : 0 < ↑δ

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht : μ t ≤ ↑δ

Context: hunif : TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : 0 < ↑δ

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht : μ t ≤ ↑δ

Context: hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : 0 < ↑δ

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht : μ t ≤ ↑δ

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : 0 < ↑δ

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht : μ t ≤ ↑δ

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: δ : ℝ≥0

Context: hδ : 0 < ↑δ

Context: t : Set α

Context: left✝ : MeasurableSet t

Context: ht : μ t ≤ ↑δ

Context: N : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ N

Context: x : α

Context: hx : x ∈ tᶜ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ

c • closedBall x r = closedBall (c • x) (‖c‖ * r)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

Context: htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ

ENNReal.ofReal I < ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: l : Filter ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : l.NeBot

Context: inst✝ : l.IsCountablyGenerated

Context: φ : ι → Set α

Context: hφ : AECover μ l φ

Context: f : α → E

Context: I : ℝ

Context: hfm : AEStronglyMeasurable f μ


Context:
X : Type w
t : TopologicalSpace X
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I
P : Multiset (Ideal R) := factors I

DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors I))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I

Context: P : Multiset (Ideal R) := factors I

Context: prime_of_mem : ∀ p ∈ P.toFinset, Prime p


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I

Context: P : Multiset (Ideal R) := factors I

Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ (factors I).toFinset, i ^ Multiset.count i P)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: M : Type v

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ ⊥

Context: hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑I

Context: P : Multiset (Ideal R) := factors I

(↑(factors I).toFinset).Pairwise fun i j => (fun p => p ^ Multiset.count p P) i ⊔ (fun p => p ^ Multiset.count p P) j = ⊤


Context:
M : Type u_1
inst✝ : MulOneClass M
a b : M
h : 1 * a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : α ≃ β
e'✝ : β ≃ γ
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
f'' : PartialEquiv γ δ

(e.trans e').transPartialEquiv f'' = e.transPartialEquiv (e'.transPartialEquiv f'')


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: S : ι →o L.Substructure M

Context: i : ι

Context: x : ↥(S i)

(Equiv_iSup S).symm ((Substructure.inclusion ⋯) x) = (of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: S : ι →o L.Substructure M

Context: i : ι

Context: x : ↥(S i)

(Equiv_iSup S) ((Equiv_iSup S).symm ((Substructure.inclusion ⋯) x)) = (Equiv_iSup S) ((of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : L.Structure N

Context: S : ι →o L.Substructure M

Context: i : ι

Context: x : ↥(S i)

(Substructure.inclusion ⋯) x = (Equiv_iSup S) ((of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x)


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial τ R

Context: g : MvPolynomial τ R →ₐ[R] MvPolynomial υ R


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: υ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: x : υ → R

comap (g.comp f) x = (comap f ∘ comap g) x


Context:
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y

X.isoSpec.hom ≫ Spec.map (Hom.app f ⊤) = f ≫ Y.isoSpec.hom


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
e : o.pred = o
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e' : o = succ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : a = succ a
e' : o = succ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s


Context: a b : EReal


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle (x + y) y).sin = ‖x‖ / ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

((-o).oangle y (x + y)).sin = ‖x‖ / ‖x + y‖


((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖x‖ / ‖y + x‖


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R

f.IsMultiplicative ↔ f 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : MonoidWithZero R

Context: f : ArithmeticFunction R

Context: m n : ℕ

Context: h : m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

Context: hmn : m.Coprime n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : MonoidWithZero R

Context: f : ArithmeticFunction R

Context: n : ℕ

Context: h : 0 ≠ 0 → n ≠ 0 → Coprime 0 n → f (0 * n) = f 0 * f n

Context: hmn : Coprime 0 n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : MonoidWithZero R

Context: f : ArithmeticFunction R

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m.Coprime n

Context: hm : m ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : MonoidWithZero R

Context: f : ArithmeticFunction R

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≠ 0

Context: h : m ≠ 0 → 0 ≠ 0 → m.Coprime 0 → f (m * 0) = f m * f 0

Context: hmn : m.Coprime 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : MonoidWithZero R

Context: f : ArithmeticFunction R

Context: m n : ℕ

Context: hmn : m.Coprime n

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0


Context:
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
x : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : Mul α
x y : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIciTopology α

Context: f : β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: h0K : K.Nonempty

Context: hf : ContinuousOn f K

Context: y : α


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIciTopology α

Context: f : β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: h0K : K.Nonempty

Context: hf : ContinuousOn f K

Context: y : α

Context: h : ∀ x ∈ K, f x < y


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIciTopology α

Context: f : β → α

Context: K : Set β

Context: hK : IsCompact K

Context: h0K : K.Nonempty

Context: hf : ContinuousOn f K

Context: y : α

Context: h : ∀ x ∈ K, f x < y

Context: x : β

Context: hx : x ∈ K

Context: h2x : IsMaxOn f K x


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NormedDivisionRing α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : CompleteSpace α
a : α

a * Matrix.unitOf a = (algebraMap ℝ α) ↑‖a‖₊


(a * if a = 0 then 1 else ‖a‖ • a⁻¹) = (algebraMap ℝ α) ‖a‖