Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: c d : ℝ≥0

Context: hcd : c < d

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: s' : Set α := s ∩ o

Context: h : ¬μ (s ∩ o) = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: c d : ℝ≥0

Context: hcd : c < d

Context: s : Set α

Context: hc : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ ↑c * μ a

Context: hd : ∀ x ∈ s, ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ↑d * μ a ≤ ρ a

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ s

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: s' : Set α := s ∩ o

Context: h : ¬μ (s ∩ o) = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₗ[R] M
n m : ℕ
w : n ≤ m
x : M
h : x ∈ (fun n => ker (f ^ n)) n


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
x : M
h : x ∈ (fun n => ker (f ^ n)) n
c : ℕ
w : n ≤ n + c


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
x : M
h : (f ^ n) x = 0
c : ℕ
w : n ≤ n + c


Context: v : PrimeMultiset


Context: v : PrimeMultiset

Coe.coe v.prod.factorMultiset = Coe.coe v


Context:
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes

↑(↑(List.map Coe.coe l)).prod.primeFactorsList = ↑(List.map Coe.coe l)


Context:
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes

↑(List.map Coe.coe l).prod.primeFactorsList = ↑(List.map Coe.coe l)


Context:
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes
l' : List ℕ := List.map Coe.coe l


Context:
v : PrimeMultiset
l : List Nat.Primes
l' : List ℕ := List.map Coe.coe l
this : ∀ p ∈ l', Nat.Prime p


Context:
n✝ : ℕ
i✝ : Fin (n✝ + 1).succ
i : Fin (n✝ + 1)

↑((finRotate (n✝ + 1).succ) i.succ) = ↑((decomposeFin.symm (1, finRotate (n✝ + 1))) i.succ)


(if i = Fin.last n✝ then 0 else ↑i.succ + 1) = ↑((swap 0 1) ((finRotate (n✝ + 1)) i).succ)


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m

SatisfiesM p x ↔ ∀ (s : ρ), SatisfiesM (fun x => p x.fst) (x s)


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x✝ : SatisfiesM p x
f : StateT ρ m { a // p a }
eq : Subtype.val <$> f = x

∃ f_1, ∀ (x : ρ), Subtype.val <$> f_1 x = (Subtype.val <$> f) x


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α ρ : Type u_1

Context: p : α → Prop

Context: x : StateT ρ m α

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: x✝ : ∃ f, ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> f x_1 = x x_1

Context: f : ρ → m { a // (fun x => p x.fst) a }

Context: h : ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> f x_1 = x x_1


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: p : F


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M

Context: φ : L[[α]].Sentence

((equivSentence.symm φ).Realize fun a => ↑(L.con a)) ↔ M ⊨ φ


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: φ : L[[α]].Sentence

(BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default ↔ M ⊨ φ


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: φ : L[[α]].Sentence

(BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default ↔ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) default) default


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: φ : L[[α]].Sentence

(BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default = (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) default) default


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V₁ : Type u_3

Context: V₁' : Type u_4

Context: V₂ : Type u_5

Context: V₃ : Type u_6

Context: V₄ : Type u_7

Context: P₁ : Type u_8

Context: P₁' : Type u_9

Context: P : Type u_10

Context: P₂ : Type u_11

Context: P₃ : Type u_12

Context: P₄ : Type u_13

Context: inst✝²⁴ : NormedField 𝕜

Context: inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P

Context: inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁

Context: inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'

Context: inst✝¹³ : MetricSpace P₁'

Context: inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'

Context: inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂

Context: inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂

Context: inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃

Context: inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃

Context: inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃

Context: inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄

Context: f : P →ᵃ[𝕜] P₂

Context: inhabited_h : Inhabited P

Context: this : ⇑f.linear = ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph

IsOpenMap (⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph) ↔ IsOpenMap ⇑f


Context: x : EReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Ordinal.{u_4}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
hb : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
h : s.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
t : Set α
a b x : α
h : ∅.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
t : Set α
a b x✝ x : α
h : {x}.Subsingleton


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

ContinuousOn f s ↔ ∀ (b : β), ContinuousOn (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : DiscreteTopology β

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set (α × β)

(∀ (a : α) (b : β), (a, b) ∈ s → ContinuousWithinAt (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s} a) ↔ ∀ (b : β), ∀ x ∈ {a | (a, b) ∈ s}, ContinuousWithinAt (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s} x


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
S✝ : Type v
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Algebra R✝ S✝
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]

p ∈ lifts (algebraMap R S) ↔ p ∈ (mapAlg R S).range


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞


Context: a x✝ z x : ℂ

Real.sin (if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π else Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π) = x.im / abs x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : X → ℝ≥0

Context: f_meas : Measurable f

Context: g : X → E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

(∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : X → ℝ≥0

Context: f_meas : Measurable f

Context: g : X → E

Context: hE : CompleteSpace E

∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄, MeasurableSet s → (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) s < ⊤ → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) (s.indicator fun x => c)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : X → ℝ≥0

Context: f_meas : Measurable f

Context: g : X → E

Context: hE : CompleteSpace E

∀ ⦃f_1 g : X → E⦄, Disjoint (support f_1) (support g) → Integrable f_1 (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) → Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) f_1 → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) g → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) (f_1 + g)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : X → ℝ≥0

Context: f_meas : Measurable f

Context: g : X → E

Context: hE : CompleteSpace E

IsClosed {f_1 | (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) ↑↑f_1}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : X → ℝ≥0

Context: f_meas : Measurable f

Context: g : X → E

Context: hE : CompleteSpace E

∀ ⦃f_1 g : X → E⦄, f_1 =ᶠ[ae (μ.withDensity fun x => ↑(f x))] g → Integrable f_1 (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) f_1 → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) g


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree


Context:
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
li : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

(∃ map, restrictScalars ℝ map = c • li.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • li.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE


Context:
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
a : ↥circle

(∃ map, restrictScalars ℝ map = c • (rotation a).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • (rotation a).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE


Context:
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
a : ↥circle

(∃ map, restrictScalars ℝ map = c • (conjLIE.trans (rotation a)).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • (conjLIE.trans (rotation a)).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
b : α
m n : ℕ
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
a : α


Context: s t : Set ℝ

(convexHull ℝ) (⇑equivRealProdLm ⁻¹' s ×ˢ t) = ⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) (s ×ˢ t)


Context: s t : Set ℝ

⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) (s ×ˢ t) = (convexHull ℝ) s ×ℂ (convexHull ℝ) t


Context: s t : Set ℝ

⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) s ×ˢ (convexHull ℝ) t = (convexHull ℝ) s ×ℂ (convexHull ℝ) t


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
x✝ : ℍ


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
P : Set X → Prop := fun x => True

∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1


Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: s t : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: ht : IsClosed t

Context: hd : Disjoint s t

Context: P : Set X → Prop := fun x => True

Context: c : Urysohns.CU P := { C := s, U := tᶜ, P_C := trivial, closed_C := hs, open_U := ⋯, subset := ⋯, hP := ⋯ }


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)

∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)

Context: hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)

Context: hp' : p ≠ 0

Context: H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p

Context: H₂ : (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)

Context: hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)

Context: hp' : p ≠ 0

Context: H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p

Context: hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: A B : ℝ≥0

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)

Context: hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)

Context: hp' : p ≠ 0

Context: H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p

Context: hB : B = (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

(adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα) (root (X ^ n - C a)) = α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α

l₁.diff (a :: l₂) = (l₁.erase a).diff l₂


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
h : SameRay R x y
ha : 0 ≤ a
hy : y = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : (⇑φ)^[2] = _root_.id
g : G


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : (⇑φ)^[2] = _root_.id
g : G
key : 1 * g * φ g = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : ι → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
inst✝ : Nonempty ι
t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M


(∀ (x : α), f x ≠ 0 → x ∈ s) ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)

Context: hz : z ∈ ball c R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hR₂ : 0 < R₂


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: hc : dslope f c z = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: hc : dslope f c z ≠ 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: hc : dslope f c z ≠ 0

Context: g : E →L[ℂ] ℂ

Context: hg : ‖g‖ = 1

Context: hgf : g (dslope f c z) = ↑‖dslope f c z‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: hc : dslope f c z ≠ 0

Context: g : E →L[ℂ] ℂ

Context: hg : ‖g‖ = 1

Context: hg' : ‖g‖₊ = 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: c z z₀ : ℂ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)

Context: hz : z ∈ ball c R₁

Context: hR₁ : 0 < R₁

Context: hR₂ : 0 < R₂

Context: hc : dslope f c z ≠ 0

Context: g : E →L[ℂ] ℂ

Context: hg : ‖g‖ = 1

Context: hg' : ‖g‖₊ = 1

Context: hg₀ : ‖g‖₊ ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
H : ∀ (n : ℕ), ↑n = 0 → n = 0
m : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), ↑m = ↑n → m = n
n : ℕ
h : ↑(m + 1) = ↑(n + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
H : ∀ (n : ℕ), ↑n = 0 → n = 0
m : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), ↑m = ↑n → m = n
n : ℕ
h : ↑m = ↑n


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
ha : a ∉ s
f : α → ℕ

multinomial (cons a s ha) f = (f a + ∑ i ∈ s, f i).choose (f a) * multinomial s f


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

(∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: this : -((∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1)) = -(x ^ n - 1)


Context: α : Type u

Context: inst✝ : Ring α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: this : (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
M : Submodule R Aᵐᵒᵖ

map (↑(opLinearEquiv R).symm) (M ^ n) = map (↑(opLinearEquiv R).symm) M ^ n


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
s : Set S

absNorm (span {r}) ∣ ((Algebra.norm ℤ) r).natAbs


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

s.toFinset.card = 1 ↔ Multiset.card s ≠ 0 ∧ ∃ a, s = Multiset.card s • {a}


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)

Context: hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)

Context: hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)

Context: hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)

Context: hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: x : E

Context: hf'gx : Integrable (fun y => (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume

Context: hfg'x : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume

Context: hfgx : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

Context: x : E


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f f' : E × ℝ → F

Context: g g' : E × ℝ → G

Context: B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W

∫ (x : E), -∫ (t : ℝ), (B (f' (x, t))) (g (x, t)) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ.prod volume


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
x : R


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Nontrivial R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Nontrivial R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: h✝ : Subsingleton R


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Nontrivial R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: h✝ : Nontrivial R


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Nontrivial R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: w✝ : Set M

Context: b : Basis (↑w✝) R M


Context: R : Type u

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: ι : Type w

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'

Context: inst✝³ : Module R M₁

Context: inst✝² : Nontrivial R

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: inst✝ : Module.Free R M

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: w✝ : Set M

Context: b : Basis (↑w✝) R M

Context: this : Infinite ↑w✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsClosed s₁
h₂ : IsClosed s₂


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s₁ᶜ
h₂ : IsOpen s₂ᶜ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: obj : Fin (n + 1) → C

Context: mapSucc : (i : Fin n) → obj i.castSucc ⟶ obj i.succ

Context: i : ℕ

Context: hi : autoParam (i < n) _auto✝

((mkOfObjOfMapSucc obj mapSucc).arrow i hi).hom = eqToHom ⋯ ≫ (mk₁ (mapSucc ⟨i, hi⟩)).hom ≫ eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
a x : α
b : M


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
hp : p ≠ 0


Context: n : ℕ

eulerMascheroniSeq n < eulerMascheroniSeq (n + 1)


Context: n : ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0

(∀ n > 0, ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0

∏ i ∈ n.divisors, f i = g n ↔ (∏ i ∈ n.divisors, if h : 0 < i then Units.mk0 (f i) ⋯ else 1) = if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1


(∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, (if h : 0 < x.2 then Units.mk0 (g x.2) ⋯ else 1) ^ μ x.1 = if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) ↔ ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n


Context:
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₄

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M₄

Context: a b : R

Context: h1 : IsWeaklyRegular M [a, b]

Context: h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → torsionBy R M b = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₄

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M₄

Context: a b : R

Context: h1 : IsSMulRegular M a ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b

IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₄

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M₄

Context: a b : R

Context: ha : IsSMulRegular M a

Context: hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: M₃ : Type u_5

Context: M₄ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₄

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M₄

Context: a b : R

Context: h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → IsSMulRegular M b

Context: ha : IsSMulRegular M a

Context: hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
h2 : IsSMulRegular M b


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0

∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I

Context: l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator

Context: h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: a b : R

Context: hab : a * b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator

a ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator ∨ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: a b : R

a ∉ (Submodule.span R {y}).annihilator → b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: a b : R

Context: ha : a ∉ (Submodule.span R {y}).annihilator


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: a b : R

Context: hab : (a * b) • y = 0

Context: ha : ¬a • y = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: a b : R

Context: hab : (a * b) • y = 0

Context: ha : ¬a • y = 0

Context: H₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≤ (Submodule.span R {a • y}).annihilator


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M'

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: H : IsNoetherianRing R

Context: x : M

Context: hx : x ≠ 0

Context: y : M

Context: a b : R

Context: hab : (a * b) • y = 0

Context: ha : ¬a • y = 0

Context: H₂ : (Submodule.span R {a • y}).annihilator ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R


∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP' : P'.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

Context: hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime

Context: hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

Context: hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ comap (algebraMap R S) P'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

Context: this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

⨅ I ∈ comap (algebraMap R S) '' {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}, I ≤ ⨅ a ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}, a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}

map (algebraMap R S) I ∈ {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: I✝ : Ideal R

Context: y : R

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Away y S

Context: H : IsJacobson R

Context: P' : Ideal S

Context: hP'✝ : P'.IsPrime

Context: I : Ideal R

comap (algebraMap R S) (map (algebraMap R S) I) = I


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

(corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s).tail = corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail


(s.head :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail).tail = corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝² : HasBinaryCoproduct X Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
S : Finset Λ
k : K
s : StAct k
q : Stmt₂

TM2.SupportsStmt S (stRun s q) ↔ TM2.SupportsStmt S q


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
x : n → 𝕜

(((toLinearMap₂' 𝕜) A) (star x)) x = 0 ↔ (toLin' A) x = 0


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α
s t : Set α

s⋆ ⊆ t ↔ s ⊆ t⋆


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E

indicatorConstLp p hs hμs c - indicatorConstLp p hs hμs c' = indicatorConstLp p hs hμs (c - c')


Memℒp.toLp ((s.indicator fun x => c) - s.indicator fun x => c') ⋯ = Memℒp.toLp (fun a => s.indicator (fun x => c) a - s.indicator (fun x => c') a) ⋯


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : D
f f' : X ⟶ Y

f ≫ e.counitInv.app Y = f' ≫ e.counitInv.app Y ↔ f = f'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝 x

↑(f.extend I).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)


t ∈ 𝓝 (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) x))


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite K L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x y : L

(LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α

supported M R (s ∪ t) = supported M R s ⊔ supported M R t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s1
hp2 : p2 ∈ s2

(s1 ⊔ s2).direction = s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}


(s1 ⊔ s2).direction ≤ s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}


s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} ≤ (s1 ⊔ s2).direction


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: p : α → Prop

Context: x : α

Context: H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ closedBall x R, p y

Context: y : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: δ ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s : Set α

Context: p : α → Prop

Context: x : α

Context: y : α

Context: R : ℝ

Context: hR : R ≥ dist y x

Context: h : ∀ z ∈ closedBall x R, p z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = gcd a b * ca


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = gcd a b * ca
cb : α
hb : b = gcd a b * cb


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = 0
cb : α
hb : b = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
x✝ : a = 0 ∧ b = 0
ha : a = 0
hb : b = 0


Context:
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : ℕ
x : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ

‖toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0

Context: H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) = ⊤)

∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: this : ↑(∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i * (fun i => (g i).toNNReal) i) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, (fun i => (g i).toNNReal) i ^ q) ^ (1 / q))


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: this : ∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal * ↑(g x).toNNReal ≤ (∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹ * (∑ x ∈ s, ↑(g x).toNNReal ^ q) ^ q⁻¹


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n


∀ b ∈ {n | G.Colorable n}, Nat.succ 0 ≤ b


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : ¬Nat.succ 0 ≤ m


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
i : ℕ
hi : i < m


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
i : ℕ
hi : i < m
h₁ : i < 0


Context: X : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : Zero X

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : TopologicalRing A

Context: φ ψ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A

Context: h : φ.realContinuousMapZeroOfNNReal = ψ.realContinuousMapZeroOfNNReal

Context: f : C(X, ℝ≥0)₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C
θ : ℝ
x✝ : θ ∈ Ι 0 (2 * π)

‖deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)‖ = |R| * ‖f (circleMap c R θ)‖


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G


HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))


(support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support (g ∘ ⇑(Homeomorph.subLeft x₀))


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ t : G
ht : g (x₀ - t) = 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Subsingleton M


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddAbove (range f)


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddAbove (range f)
i✝ : ι


Context:
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s = 0


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hu₂ : Tendsto n l atTop
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: hd : ∀ {ι' : Type ?u.7040} {l : Filter ι'} (w : ι' → AddCircle T) (δ : ι' → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι') in l, d ∈ closedBall (w j) (1 * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (s ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: I : ι → Set (AddCircle T) := fun j => closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: hd : Tendsto (fun j => μ (s ∩ I j) / μ (I j)) l (𝓝 1)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

∀ᶠ (j : ι) in l, μ (s ∩ I j) / μ (I j) = μ s / ENNReal.ofReal T


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: j : ι

Context: hj : 0 < n j

μ (s ∩ I j) / μ (I j) = μ s / ENNReal.ofReal T


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: j : ι

Context: hj : 0 < n j

Context: this : addOrderOf (u j) = n j


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: j : ι

Context: hj : 0 < n j

Context: this : addOrderOf (u j) = n j

Context: huj : IsOfFinAddOrder (u j)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: j : ι

Context: hj : 0 < n j

Context: this : addOrderOf (u j) = n j

Context: huj : IsOfFinAddOrder (u j)

Context: huj' : 1 ≤ ↑(n j)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: j : ι

Context: hj : 0 < n j

Context: this : addOrderOf (u j) = n j

Context: huj : IsOfFinAddOrder (u j)

Context: huj' : 1 ≤ ↑(n j)

Context: hI₀ : μ (I j) ≠ 0


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: j : ι

Context: hj : 0 < n j

Context: this : addOrderOf (u j) = n j

Context: huj : IsOfFinAddOrder (u j)

Context: huj' : 1 ≤ ↑(n j)

Context: hI₀ : μ (I j) ≠ 0

Context: hI₁ : μ (I j) ≠ ⊤


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: u : ι → AddCircle T

Context: μ : Measure (AddCircle T) := volume

Context: hs : NullMeasurableSet s μ

Context: hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᶠ[ae μ] s

Context: n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u

Context: hu₂ : Tendsto n l atTop

Context: hT₀ : 0 < T

Context: hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0

Context: h : μ s ≠ 0

Context: d : AddCircle T

Context: j : ι

Context: hj : 0 < n j

Context: this : addOrderOf (u j) = n j

Context: huj : IsOfFinAddOrder (u j)

Context: huj' : 1 ≤ ↑(n j)

Context: hI₀ : μ (I j) ≠ 0

Context: hI₁ : μ (I j) ≠ ⊤

Context: hI₂ : μ (I j) * ↑(n j) = ENNReal.ofReal T


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDomain A
I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDomain A
I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
y : K
hy : y ∈ ↑I


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
x : α


(comap (Prod.mk x) (𝓤 α)).HasBasis p fun i => ball x (s i)


Context:
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
n : ℕ


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : Finset ↑↑X.toPresheafedSpace := this.choose


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), ∃ y, x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f ↑y)).val.base


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 1
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p p' : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hT' : (T.restrict ⋯).IsSymmetric


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: hT' : (T.restrict ⋯).IsSymmetric

Context: this : Subsingleton ↥(⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x : α
xs : Fin n → α

cons x xs = append (cons x elim0) xs ∘ cast ⋯


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
x : α
xs : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

cons x xs i = (append (cons x elim0) xs ∘ cast ⋯) i


Context: P : TopCat → Prop

Context: inst✝ : HasExplicitPullbacks P

Context: hs : ∀ ⦃X Y : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ Y), EffectiveEpi f → Function.Surjective ⇑f

Context: X Y Z : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ Y

Context: π : Z ⟶ Y

Context: hπ : EffectiveEpi π

∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ π = h ≫ f


Context: P : TopCat → Prop

Context: inst✝ : HasExplicitPullbacks P

Context: X Y Z : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ Y

Context: π : Z ⟶ Y

Context: hπ : EffectiveEpi π


Context: P : TopCat → Prop

Context: inst✝ : HasExplicitPullbacks P

Context: X Y Z : CompHausLike P

Context: f : X ⟶ Y

Context: π : Z ⟶ Y

Context: hπ : EffectiveEpi π

Context: y : (forget (CompHausLike P)).obj X

Context: z : (forget (CompHausLike P)).obj Z

Context: hz : π z = f y


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
x✝ : G


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r

dimH (Metric.ball x r) = ↑(Fintype.card ι)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : IsEmpty ι


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
f₁ f₂ : M →ₛₗ[σ] M₁
h : ∀ (i : ι), f₁ (b i) = f₂ (b i)
x : M


f₁ (∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a) = f₂ (∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a)


Context: a : UnitAddCircle


Context: a' : ℝ


Context: a' : ℝ

ContinuousOn (fun x => ↑(cosKernel (↑a') x)) (Ioi 0)


Context: a' : ℝ

ContinuousOn (fun x => jacobiTheta₂ (↑a') (I * ↑x)) (Ioi 0)


Context:
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂ (↑a') (I * ↑x)) x


Context:
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
this : 0 < (I * ↑x).im


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : S' →ₐ[R] A

Context: h₁ : f.comp (toAlgHom R R' S') = g.comp (toAlgHom R R' S')

Context: h₂ : f.comp (toAlgHom R S S') = g.comp (toAlgHom R S S')

Context: x : S'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : S' →ₐ[R] A

Context: x : S'


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : S' →ₐ[R] A

Context: x : S'

∀ (m : R'), f ((toAlgHom R R' S').toLinearMap m) = g ((toAlgHom R R' S').toLinearMap m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : S' →ₐ[R] A

Context: x : S'

∀ (s : S) (n : S'), f n = g n → f (s • n) = g (s • n)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³² : AddCommMonoid N

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R

Context: inst✝³⁰ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁹ : Algebra R S

Context: inst✝²⁸ : Module R M

Context: inst✝²⁷ : Module R N

Context: inst✝²⁶ : Module S N

Context: inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid P

Context: inst✝²³ : Module R P

Context: inst✝²² : AddCommMonoid Q

Context: inst✝²¹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝²⁰ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹⁵ : Module R O

Context: inst✝¹⁴ : Module S O

Context: inst✝¹³ : Module T O

Context: inst✝¹² : IsScalarTower S T O

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁷ : Algebra R R'

Context: inst✝⁶ : Algebra S S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R' S'

Context: inst✝⁴ : Algebra R S'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝² : IsScalarTower R S S'

Context: H : IsPushout R S R' S'

Context: A : Type u_8

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : S' →ₐ[R] A

Context: x : S'

∀ (n₁ n₂ : S'), f n₁ = g n₁ → f n₂ = g n₂ → f (n₁ + n₂) = g (n₁ + n₂)


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X

∑ᶠ (i : ι), f.toPOUFun i x = 1 - ∏ᶠ (i : ι), (1 - (f i) x)


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set X
f : BumpCovering ι X s✝
x : X
s : Finset ι := ⋯.toFinset
hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s✝

Context: x : X

Context: s : Finset ι := ⋯.toFinset

Context: hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}

Context: A : (support fun i => f.toPOUFun i x) ⊆ ↑s


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s✝

Context: x : X

Context: s : Finset ι := ⋯.toFinset

Context: hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}

Context: B : (mulSupport fun i => 1 - (f i) x) ⊆ ↑s


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s✝

Context: x : X

Context: s : Finset ι := ⋯.toFinset

Context: hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}

Context: this : LinearOrder ι := linearOrderOfSTO WellOrderingRel


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s✝

Context: x : X

Context: s : Finset ι := ⋯.toFinset

Context: hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}

∑ i ∈ s, f.toPOUFun i x = ∑ i ∈ s, (f i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun x => x < i) s, (1 - (f j) x)


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s✝

Context: x : X

Context: s : Finset ι := ⋯.toFinset

Context: hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}

Context: i : ι

Context: x✝ : i ∈ s

f.toPOUFun i x = (f i) x * ∏ j ∈ Finset.filter (fun x => x < i) s, (1 - (f j) x)


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: s✝ : Set X

Context: f : BumpCovering ι X s✝

Context: x : X

Context: s : Finset ι := ⋯.toFinset

Context: hs : ↑s = {i | (f i) x ≠ 0}

Context: i : ι

Context: x✝¹ : i ∈ s

Context: j : ι

Context: x✝ : WellOrderingRel j i

Context: hj : (f j) x ≠ 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : D

(adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app (G.obj x) ≫ adj2.counit.app x = adj1.counit.app x


(adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app (G.obj x) ≫ adj2.counit.app x = (whiskerLeft G (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ adj2.counit).app x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
r : ℝ≥0∞
h0r : 0 < r
hrε : r < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
x : ℝ≥0
right✝ : ↑x < ε
h0r : 0 < ↑x
hrε : ↑x < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
x : ℝ≥0
right✝ : ↑x < ε
h0r : 0 < ↑x
hrε : ↑x < ε
ε' : ι → ℝ≥0
hp : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ≥0
hc : HasSum ε' c
hcr : c < x


Context:
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ p

∑ a ∈ s, w a * f a ≤ (∑ a ∈ s, w a) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ a ∈ s, w a * f a ^ p) ^ p⁻¹


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: α' : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: δ : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: E : Type u_8

Context: R : Type u_9

Context: ι : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : SMulZeroClass R M

Context: f : ι → X → M

Context: h✝ : LocallyFinite fun i => support (f i)

Context: s : ι → X → R

Context: i : ι

Context: x : X

Context: h : f i x = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra ℝ A
f g : ℂ →ₐ[ℝ] A
h : f I = g I
x y : ℝ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α

∀ (i : l) (j : m), (M * N)ᴴ i j = (Nᴴ * Mᴴ) i j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f

essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ


essSup g (Measure.map f μ) ≤ essSup (g ∘ f) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: γ : Type u_3

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: f : α → γ

Context: g : γ → β

Context: hf : MeasurableEmbedding f

Context: c : β

Context: h_le : ∀ᶠ (n : β) in map (g ∘ f) (ae μ), n ≤ c

∀ᶠ (n : β) in map g (ae (Measure.map f μ)), n ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
hf : MeasurableEmbedding f
c : β
h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ

(trace R S) ((trace S T) x) = (trace R T) x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ
val✝ : Fintype ι


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ
val✝¹ : Fintype ι
val✝ : Fintype κ


∑ i : ι, ((leftMulMatrix b) (∑ i : κ, ((leftMulMatrix c) x).diag i)).diag i = ∑ x_1 : ι, ∑ y : κ, ((leftMulMatrix (b.smulTower c)) x).diag (x_1, y)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x : T
this✝ : DecidableEq ι
this : DecidableEq κ
val✝¹ : Fintype ι
val✝ : Fintype κ
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

((leftMulMatrix b) (∑ i : κ, ((leftMulMatrix c) x).diag i)).diag i = ∑ y : κ, ((leftMulMatrix (b.smulTower c)) x).diag (i, y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α

¬μ (s ∪ t) = ⊤ ↔ ¬(μ s = ⊤ ∨ μ t = ⊤)


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
r : ℝ

Submartingale (fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)) ℱ μ


∀ (τ π : Ω → ℕ), IsStoppingTime ℱ τ → IsStoppingTime ℱ π → τ ≤ π → (∃ N, ∀ (x : Ω), π x ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue (fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)) τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue (fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)) π x ∂μ


Adapted ℱ fun i => stoppedValue f (leastGE f r i)


∀ (i : ℕ), Integrable (stoppedValue f (leastGE f r i)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ x
this : 0 < 1 - 2 / rexp 1


Context:
P✝ : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝² : Finite α
X : α → CompHausLike P✝
inst✝¹ : HasExplicitFiniteCoproduct X
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproducts P
a : α


OpenEmbedding (⇑(homeoOfIso ((colimit.isColimit (Discrete.functor X)).coconePointUniqueUpToIso (finiteCoproduct.isColimit X))) ∘ ⇑(Sigma.ι X a))


Context: P✝ : TopCat → Prop

Context: α : Type w

Context: inst✝² : Finite α

Context: X : α → CompHausLike P✝

Context: inst✝¹ : HasExplicitFiniteCoproduct X

Context: P : TopCat → Prop

Context: inst✝ : HasExplicitFiniteCoproducts P

Context: a : α

Context: e_2✝ : ↑(finiteCoproduct.cofan X).pt.toTop = (forget (CompHausLike P✝)).obj (finiteCoproduct X)

⇑(homeoOfIso ((colimit.isColimit (Discrete.functor X)).coconePointUniqueUpToIso (finiteCoproduct.isColimit X))) ∘ ⇑(Sigma.ι X a) = ⇑(finiteCoproduct.ι X a)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ

∀ {n : ℕ}, IsPrimitiveRoot μ n → m.Coprime n → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ m)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m n✝ : ℕ

IsPrimitiveRoot μ n✝ → Nat.Coprime 0 n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ 0)


∀ (x : ℕ), IsUnit x → IsPrimitiveRoot μ n✝ → x.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ x)


∀ (a p : ℕ), a ≠ 0 → Prime p → (IsPrimitiveRoot μ n✝ → a.Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ a)) → IsPrimitiveRoot μ n✝ → (p * a).Coprime n✝ → minpoly ℤ μ = minpoly ℤ (μ ^ (p * a))


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : factorization a = factorization b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b : α

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: h : normalizedFactors a = normalizedFactors b


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
hx : z ∣ x
hy : z ∣ y


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
hx : Ideal.span {x} ≤ Ideal.span {z}
hy : Ideal.span {y} ≤ Ideal.span {z}


Ideal.span {x} ≤ Ideal.span {z} ∧ Ideal.span {y} ≤ Ideal.span {z}


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Fintype R

Context: f g : R[X]

Context: hf2 : f.degree = 2

Context: hg2 : g.degree = 2

Context: hR : Fintype.card R % 2 = 1

Context: this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: this : ¬Disjoint (image (fun x => eval x f) univ) (image (fun x => eval x (-g)) univ)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Fintype R

Context: f g : R[X]

Context: hf2 : f.degree = 2

Context: hg2 : g.degree = 2

Context: hR : Fintype.card R % 2 = 1

Context: this : ¬∀ ⦃a : R⦄, (∃ a_1 ∈ univ, eval a_1 f = a) → ¬∃ a_2 ∈ univ, eval a_2 (-g) = a


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Fintype R

Context: f g : R[X]

Context: hf2 : f.degree = 2

Context: hg2 : g.degree = 2

Context: hR : Fintype.card R % 2 = 1

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: x a : R

Context: left✝¹ : a ∈ univ

Context: ha : eval a f = x

Context: b : R

Context: left✝ : b ∈ univ

Context: hb : eval b (-g) = x


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Fintype R

Context: f g : R[X]

Context: hf2 : f.degree = 2

Context: hg2 : g.degree = 2

Context: hR : Fintype.card R % 2 = 1

Context: hd : Disjoint (image (fun x => eval x f) univ) (image (fun x => eval x (-g)) univ)

¬Fintype.card R % 2 = f.natDegree * (image (fun x => eval x f) univ).card % 2


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Fintype R

Context: f g : R[X]

Context: hf2 : f.degree = 2

Context: hg2 : g.degree = 2

Context: hR : Fintype.card R % 2 = 1


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : Fintype R

Context: f g : R[X]

Context: hf2 : f.degree = 2

Context: hg2 : g.degree = 2

Context: hR : Fintype.card R % 2 = 1

f.natDegree * (image (fun x => eval x f) univ).card + (-g).natDegree * (image (fun x => eval x (-g)) univ).card = 2 * ((image (fun x => eval x f) univ).card + (image (fun x => eval x (-g)) univ).card)


Context:
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
a₁ a₂ z : ℂ
hz : z ≠ 0

z ^ a₁ * cexp (↑b₁ * z) = z ^ a₂ * cexp (↑b₁ * z) * z ^ (a₁ - a₂)


Context:
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
a₁ a₂ : ℂ

(fun z => z ^ a₂ * cexp (↑b₁ * z) * cexp (↑(b₂ - b₁) * z)) =ᶠ[l] fun z => z ^ a₂ * cexp (↑b₂ * z)


(fun z => z ^ a₂ * cexp (↑b₂ * z)) =ᶠ[l] fun z => z ^ a₂ * cexp (↑b₂ * z)


Context: z : ZFSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
y : β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : BEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ <+ l₂


eraseP (fun x => x == a) l₁ <+ eraseP (fun x => x == a) l₂


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hx : 0 < x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hx : 0 < x

Context: npos : 0 < ↑n - 1


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hx : 0 < x

Context: npos : 0 < ↑n - 1

Context: c : (f ↑n - f (↑n - 1)) / (↑n - (↑n - 1)) ≤ (f (↑n + x) - f ↑n) / (↑n + x - ↑n)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hx : 0 < x

Context: npos : 0 < ↑n - 1

Context: c : f ↑n - f (↑n - 1) ≤ (f (↑n + x) - f ↑n) / x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hn : 2 ≤ n

Context: hx : 0 < x

Context: npos : 0 < ↑n - 1

Context: this : f (↑n - 1) = f ↑n - log (↑n - 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ


∀ (x : W), AEStronglyMeasurable (fun a => e (-(L a) x) • f a) μ


∀ (x : W), ∀ᵐ (a : V) ∂μ, ‖e (-(L a) x) • f a‖ ≤ ?bound a


∀ᵐ (a : V) ∂μ, Continuous fun x => e (-(L a) x) • f a


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

(map W f).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)


f L * (f (W.addX x₁ x₂ L) - f x₁) + f y₁ = f (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁)


Context:
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ


Context:
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 = j2


Context:
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 < j2


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ

(nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: X✝ : SimplicialObject C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.Additive

Context: X : SimplicialObject C

Context: q n : ℕ

Context: eq : ((G.mapHomologicalComplex c).map (nullHomotopicMap' (hσ' q))).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hσ' q i j hij)).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: X✝ : SimplicialObject C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.Additive

Context: X : SimplicialObject C

Context: q n : ℕ

Context: eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: X✝ : SimplicialObject C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.Additive

Context: X : SimplicialObject C

Context: q n : ℕ

(nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: X✝ : SimplicialObject C

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝ : G.Additive

Context: X : SimplicialObject C

Context: q n : ℕ

Context: h : ((whiskering C D).obj G ⋙ alternatingFaceMapComplex D).obj X = (alternatingFaceMapComplex C ⋙ G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj X := Eq.symm (Functor.congr_obj (map_alternatingFaceMapComplex G) X)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
y : α

y ∈ EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ε) ↔ y ∈ ball x ε


ENNReal.ofReal (dist y x) < ENNReal.ofReal ε ↔ dist y x < ε


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i

update i f b = f - single i (f i) + single i b


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f
h' : ker f ≤ p


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)

↑e.symm ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑e x)] e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)


∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, ↑e x ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e x ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)


∀ a ∈ e.source, (a ∈ s → a ∈ f ⁻¹' t) → (↑e a ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e a ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t))