Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G H : SimpleGraph α

Context: m n✝ : ℕ

Context: s : Finset α

Context: n : ℕ

Context: f : ⊤ ↪g G

Context: v' : Fin n

Context: w' : Fin n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: x y z : ℝ

Context: hfs : HasConstantSpeedOnWith f (Icc x y) l

Context: hft : HasConstantSpeedOnWith f (Icc y z) l


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: x y z : ℝ

Context: xy : x ≤ y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l : ℝ≥0

Context: x y z : ℝ

Context: yx : y ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
inst✝ : OrderBot α


Context:
f : ℕ → ℝ≥0
hf : Summable f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α


_root_.Disjoint s t ∨ ¬_root_.Disjoint s t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : DenselyOrdered α


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
terminates : (of v).Terminates


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ : ℕ
terminates : (of v).Terminates
n : ℕ
v_eq_conv : v = (of v).convs n


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ : ℕ
terminates : (of v).Terminates
n : ℕ
v_eq_conv : v = (of v).convs n
q : ℚ
conv_eq_q : (of v).convs n = ↑q


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n✝ : ℕ
terminates : (of v).Terminates
n : ℕ
v_eq_conv : v = (of v).convs n
q : ℚ
conv_eq_q : (of v).convs n = ↑q
this : v = ↑q


Context:
x : PSet
a : ZFSet
h : a ∈ (mk x).toSet


Context:
x a✝ : PSet
h : ⟦a✝⟧ ∈ (mk x).toSet


Context:
w : uliftFunctor.{u, v}.EssSurj
α : Type (max u v)


Context:
w : uliftFunctor.{u, v}.EssSurj
α : Type (max u v)
a' : Type v
m : uliftFunctor.{u, v}.obj a' ≅ α


Context:
F : Type u_1
inst✝⁸ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
S : Set K
hprim : adjoin F S = ⊤

restrictScalars F (adjoin E S) = restrictScalars F ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
h₁ : m.size = m.buckets.size
h₂ : m.buckets.WF


m.buckets.size = Buckets.size ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩ ∧ Buckets.WF ⟨Array.map (AssocList.mapVal f) m.buckets.val, ⋯⟩


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : 𝒜 0
b : ⨁ (i : ι), ℬ i

(gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] b) = b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 0) a


↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ((lof R ι 𝒜 0) a) = (mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)).flip ((lof R ι 𝒜 0) a)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : 𝒜 0
b✝ : ⨁ (i : ι), ℬ i
i : ι
b : ℬ i

(gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i) b) = (lof R ι ℬ i) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 0) a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Context: hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

Tendsto (fun m => κ.densityProcess ν n a x (seq m)) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν✝ : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: x : γ

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Antitone seq

Context: hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅

Tendsto (fun m => κ.densityProcess ν n a x (seq m)) atTop (𝓝 (κ.densityProcess ν n a x ∅))


Context:
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → β
h : β → G γ
x : Multiset α

traverse h (map g x) = traverse (h ∘ g) x


∀ (a : List α), traverse h (map g ⟦a⟧) = traverse (h ∘ g) ⟦a⟧


Context:
F : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G : Type u_1 → Type u_1
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : CommApplicative G
α β γ : Type u_1
g : α → β
h : β → G γ
x : Multiset α
a✝ : List α

traverse h (map g ⟦a✝⟧) = traverse (h ∘ g) ⟦a✝⟧


Coe.coe <$> Traversable.traverse h (List.map g a✝) = Coe.coe <$> Traversable.traverse (h ∘ g) a✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
ha : Multipliable f


HasProd f (if (mulSupport fun b => f b).Finite then ∏ᶠ (b : β), f b else Exists.choose ⋯)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : b ≤ a

Context: hc : c ≤ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d✝ : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: h : b ≤ a

Context: hc : c ≤ 0

Context: d : α

Context: hcd : 0 = c + d


closure (range fun x => x * x) = nonneg ℤ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivAt I I' f x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: n : ℕ∞

Context: h : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f'

Context: h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot U f
e : S ≃ₐ[R] T
a : T

((h.ofEquiv e).aequiv h') a = (e.symm.trans (h.aequiv h')) a


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
v : M
x fx : CliffordAlgebra Q

((contractLeftAux Q d) v) ((ι Q) v * x, ((contractLeftAux Q d) v) (x, fx)) = Q v • fx


d v • ((ι Q) v * x) - (ι Q) v * (d v • x - (ι Q) v * fx) = Q v • fx


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w

t ∈ (p.append p').support.tail ↔ t ∈ p.support.tail ∨ t ∈ p'.support.tail


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(Measure.comap (⇑e.symm) μ) s = (Measure.map (⇑e) μ) s


∀ (s : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet (⇑e.symm '' s)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R

derivative (C a * X ^ 2) = C (a * 2) * X


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x

Context: this : Finsupp.total ι A R x = (aeval x).toLinearMap ∘ₗ Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X

Injective ⇑((aeval x).toLinearMap ∘ₗ Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x

Injective ⇑(Finsupp.total ι (MvPolynomial ι R) R X)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : CommRing A'

Context: inst✝³ : CommRing A''

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra R A'

Context: inst✝ : Algebra R A''

Context: a b : R

Context: hx : AlgebraicIndependent R x


Context:
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N
τ : ℍ

MDifferentiableAt 𝓘(ℂ, ℂ) 𝓘(ℂ, ℂ) (⇑(eisensteinSeries_SIF a k)) τ


DifferentiableAt ℂ (⇑(eisensteinSeries_SIF a k) ∘ ↑ofComplex) ↑τ


DifferentiableOn ℂ (⇑(eisensteinSeries_SIF a k) ∘ ↑ofComplex) {b | 0 < b.im}


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : SetLike σ M

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝ : Decomposition ℳ

Context: p : M → Prop

Context: h_zero : p 0

Context: h_homogeneous : ∀ {i : ι} (m : ↥(ℳ i)), p ↑m

Context: h_add : ∀ (m m' : M), p m → p m' → p (m + m')


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : SetLike σ M

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝ : Decomposition ℳ

Context: p : M → Prop

Context: h_zero : p 0

Context: ℳ' : ι → AddSubmonoid M := fun i => { carrier := ↑(ℳ i), add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : SetLike σ M

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝ : Decomposition ℳ

Context: p : M → Prop

Context: h_zero : p 0

Context: t : Decomposition ℳ'


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : SetLike σ M

Context: inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M

Context: ℳ : ι → σ

Context: inst✝ : Decomposition ℳ

Context: p : M → Prop

Context: h_zero : p 0

Context: t : Decomposition ℳ'

Context: mem : ∀ (m : M), m ∈ iSup ℳ'


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P : PresheafOfModules R₀

Context: F : SheafOfModules R

Context: g : P ⟶ (restrictScalars α).obj ((SheafOfModules.forget R).obj F)

(SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafificationHomEquiv α).symm g) = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)).symm g.hom


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P : PresheafOfModules R₀

Context: F : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P ⟶ F

(SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafificationHomEquiv α).symm ((sheafificationHomEquiv α) f)) = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)).symm ((sheafificationHomEquiv α) f).hom


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P : PresheafOfModules R₀

Context: F : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P ⟶ F

((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)) ((SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafificationHomEquiv α).symm ((sheafificationHomEquiv α) f))) = ((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)) (((sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj F)).symm ((sheafificationHomEquiv α) f).hom)


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P : PresheafOfModules R₀

Context: F : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P ⟶ F

(sheafificationAdjunction J AddCommGrp).unit.app P.presheaf ≫ (sheafToPresheaf J AddCommGrp).map ((SheafOfModules.toSheaf R).map f) = ((sheafificationHomEquiv α) f).hom


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

(⨍⁻ (x : α), f x ∂μ).toReal = ⨍ (x : α), (f x).toReal ∂μ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).hom ≫ snd X (Y ⊗ Z) ≫ snd Y Z = snd (X ⊗ Y) Z


Limits.BinaryFan.snd (product (product X Y).cone.pt Z).cone = snd (X ⊗ Y) Z


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂ p.1 p.2) (jacobiTheta₂_fderiv z τ) (z, τ)


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
T : ℝ
hT : 0 < T
hτ' : T < τ.im
S : ℝ
hz : |z.im| < S


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: V : Set (ℂ × ℂ) := {u | |u.im| < S} ×ˢ {v | T < v.im}


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V

Context: f : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2

Context: f' : ℤ → ℂ × ℂ → ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ := fun n p => jacobiTheta₂_term_fderiv n p.1 p.2


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V

Context: hf : ∀ (n : ℤ), ∀ p ∈ V, HasFDerivAt (f n) (f' n p) p


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V

Context: u : ℤ → ℝ := fun n => 3 * π * ↑|n| ^ 2 * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V

Context: hu : ∀ (n : ℤ), ∀ x ∈ V, ‖f' n x‖ ≤ u n


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V

Context: hu : ∀ (n : ℤ), ∀ x ∈ V, ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hu_sum : Summable u


Context: z τ : ℂ

Context: hτ : 0 < τ.im

Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: hτ' : T < τ.im

Context: S : ℝ

Context: hz : |z.im| < S

Context: hVo : IsOpen V

Context: hVmem : (z, τ) ∈ V

Context: hVp : IsPreconnected V

Context: hu : ∀ (n : ℤ), ∀ x ∈ V, ‖f' n x‖ ≤ u n

Context: hu_sum : Summable u

Context: hf_sum : Summable fun n => f n (z, τ)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'

(leftShiftAddEquiv K L n a n' hn') (-γ) = -γ.leftShift a n' hn'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b✝ c✝ d a b c : K


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : Filter α

Cauchy f ↔ f ≠ ⊥ ∧ ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, edist x y < ε


Cauchy f ↔ f.NeBot ∧ ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, edist x y < ε


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
h : (B x) y = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝ : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b c a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝ : α

Context: a✝ b c a : α


Context:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x : L
m : M
n : N

(hasBracketAux x) (m ⊗ₜ[R] n) = ⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] n + m ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R (s • t)


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ restrictScalars R (span S t)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: h_meas : NullMeasurableSet {x | 0 ≤ f x} μ

∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, ‖f x‖ ∂μ + ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, ‖f x‖ ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, ‖f x‖ ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ {x | 0 ≤ f x}


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, ‖f x‖ ∂μ = -∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, ‖f x‖ ∂μ = ∫ (a : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, -f a ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: x : X

Context: hx : x ∈ {x | 0 ≤ f x}ᶜ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

Context: x : X

Context: hx : ¬0 ≤ f x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ - ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}ᶜ, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ - ∫ (x : X) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: f : X → ℝ

Context: hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ - ∫ (x : X) in {a | ¬0 ≤ f a}, f x ∂μ = ∫ (x : X) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ - ∫ (x : X) in {x | f x < 0}, f x ∂μ


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n : ℕ

Context: hσ : Finite σ

Context: p : Polynomial (MvPolynomial σ R)

Context: hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n : ℕ

Context: hσ : Finite σ

Context: p : Polynomial (MvPolynomial σ R)

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n

Context: k : ℕ

Context: e : σ ≃ Fin k


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ✝ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n : ℕ

Context: hσ : Finite σ

Context: p : Polynomial (MvPolynomial σ R)

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n

Context: k : ℕ

Context: e : σ ≃ Fin k

Context: e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm

Context: F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e

Context: F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'

Context: φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ✝ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n : ℕ

Context: hσ : Finite σ

Context: p : Polynomial (MvPolynomial σ R)

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n

Context: k : ℕ

Context: e : σ ≃ Fin k

Context: hφ : φ.IsHomogeneous n


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ✝ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n : ℕ

Context: hσ : Finite σ

Context: p : Polynomial (MvPolynomial σ R)

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n

Context: k : ℕ

Context: e : σ ≃ Fin k

Context: hφ : φ.IsHomogeneous n

F (p.coeff i) = ((finSuccEquiv R k) φ).coeff i


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ✝ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n : ℕ

Context: hσ : Finite σ

Context: p : Polynomial (MvPolynomial σ R)

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n

Context: k : ℕ

Context: e : σ ≃ Fin k

Context: hφ : φ.IsHomogeneous n

(rename ⇑e) (p.coeff i) = ((finSuccEquiv R k) ((rename ⇑e') ((optionEquivLeft R σ).symm p))).coeff i


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ✝ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n : ℕ

Context: hσ : Finite σ

Context: p : Polynomial (MvPolynomial σ R)

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n

Context: k : ℕ

Context: e : σ ≃ Fin k

Context: hφ : φ.IsHomogeneous n

(rename ⇑e) (p.coeff i) = (Polynomial.map (rename ⇑e).toRingHom p).coeff i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.einfsep = ⊤


Context:
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝
S : α✝ → α✝ → Prop
hR : Pairwise R l
hS : Pairwise S l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s✝ t : Set α

Context: s : Finset β

Context: f : α → β → M

Context: h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite

∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s✝ t : Set α

Context: s : Finset β

Context: f : α → β → M

Context: hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s✝ t : Set α

Context: s : Finset β

Context: f : α → β → M

∏ y ∈ s, ∏ x ∈ ⋯.toFinset, f x y = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b✝ : α

Context: s✝ t : Set α

Context: s : Finset β

Context: f : α → β → M

Context: b : β

Context: hb : b ∈ s

(mulSupport fun x => f x b) ⊆ ↑⋯.toFinset


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a✝ b✝ : α

Context: s✝ t : Set α

Context: s : Finset β

Context: f : α → β → M

Context: b : β

Context: hb : b ∈ s

Context: a : α

Context: ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a✝ b✝ : α

Context: s✝ t : Set α

Context: s : Finset β

Context: f : α → β → M

Context: b : β

Context: hb : b ∈ s

Context: a : α

Context: ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b

∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑s), a ∈ mulSupport fun a => f a i


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
i j : ι

(B ((B.dualBasis hB b) i)) (b j) = if j = i then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
i j : ι
this : FiniteDimensional K V


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : x.1 ≤ y.1
h₂ : x.2 < y.2


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
w✝¹ : α
left✝¹ : w✝¹ ∈ ⇑m ⁻¹' s
w✝ : α
left✝ : w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' t

(fun x x_1 => x / x_1) w✝¹ w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' (s / t)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

(α_ X Y Z).inv ≫ prod.snd = prod.snd ≫ prod.snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Unique α
f g : α →₀ M
h : f default = g default
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ 0 + b ^ 0 + c ^ 0 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n = -c ^ n
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → SemilatticeInf (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
j : ι

update f i (a ⊓ b) j = (update f i a ⊓ update f i b) j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E

thickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.ball x (ε + δ)


Context:
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι

∫ (v : EuclideanSpace ℝ ι), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Context: this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

∫ (x : ι → ℝ), cexp (-b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

∫ (x : ι → ℝ), cexp (-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2) + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Context: y : ι → ℝ

-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm y‖ ^ 2) = -b * ∑ i : ι, ↑(y i) ^ 2


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι

Context: y : ι → ℝ

c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm y⟫_ℝ = ∑ i : ι, c * ↑(w i) * ↑(y i)


Context: b : ℂ

Context: V : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: hb : 0 < b.re

Context: c : ℂ

Context: w : EuclideanSpace ℝ ι


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: g : S →+* P

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top P)

Context: hUV : ∀ p ∈ V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ U

Context: hVW : ∀ p ∈ W, (PrimeSpectrum.comap g) p ∈ V

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))

Context: p : ↥(unop (op W))

↑((comap (g.comp f) U W ⋯) s) p = ↑(((comap g V W hVW).comp (comap f U V hUV)) s) p


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: S : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: P : Type u

Context: inst✝ : CommRing P

Context: f : R →+* S

Context: g : S →+* P

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)

Context: W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top P)

Context: p : ↥(unop (op W))

(Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (g.comp f) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((comap g V W hVW).comp (comap f U V hUV)) s) p


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.57383, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A A' : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : K.d j i ≫ k = 0
α : A ⟶ A'


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A A' : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : K.d j i ≫ k = 0
α : A ⟶ A'

K.descOpcycles k j hj hk ≫ α = K.descOpcycles (k ≫ α) j hj ⋯


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : AddCommMonoid B

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝¹ : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s✝ : Multiset M

Context: a✝ : α

Context: a : M

Context: s : Multiset M

Context: ih : single a✝ s.sum = (Multiset.map (single a✝) s).sum

single a✝ (a ::ₘ s).sum = (Multiset.map (single a✝) (a ::ₘ s)).sum


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: R : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: b : ι → M

Context: hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤

Context: x y : Module.End R M

Context: e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y

Context: m : M


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: R : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: b : ι → M

Context: x y : Module.End R M

Context: e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y

Context: m : ι → R

x (((Fintype.total R R) b) m) = y (((Fintype.total R R) b) m)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist t s < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist t s < r
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (-m) s) = -(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : ι → α
x : α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β

ContinuousWithinAt f s b ↔ Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → α
g✝ : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
f : α → α
g : β → β
fst✝ : α
snd✝ : β

∀ (c : ℕ), minimalPeriod (Prod.map f g) (fst✝, snd✝) ∣ c ↔ (minimalPeriod f (fst✝, snd✝).1).lcm (minimalPeriod g (fst✝, snd✝).2) ∣ c


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

(P.isoLeftDerivedObj F n).inv ≫ (F.leftDerived n).map f = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map φ ≫ (Q.isoLeftDerivedObj F n).inv


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : UniformSpace X

Context: inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ℕ → Set (X × X)

Context: hUo : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 X ∧ IsOpen (U i)

Context: hU : (𝓤 X).HasBasis (fun x => True) fun i => id (U i)


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : UniformSpace X

Context: inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ℕ → Set (X × X)

IsGδ (⋂ i, ⋂ (_ : True), ⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x (id (U i)))


Context: X✝ : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Sort u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X✝

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : UniformSpace X

Context: inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ℕ → Set (X × X)

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ∈ fun i => True

IsOpen (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x (id (U n)))


Context: F✝ : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : FunLike F✝ α β

Context: inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F✝ α β

Context: C : ℝ

Context: f✝ g : α →C₀ β

Context: ι : Type u_2

Context: F : ι → α →C₀ β

Context: f : α →C₀ β

Context: l : Filter ι

Tendsto F l (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i => ⇑(F i)) (⇑f) l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
n : ℕ

List.sym 1 xs = map (fun x => x ::ₛ Sym.nil) xs


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β, ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k


(∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s) i) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β, ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∉ periodicPts f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
p : β → Prop

(∀ y ∈ f.range, p y) ↔ ∀ (x : α), p (↑f x)


Context:
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b

multinomial {a, b} (Function.update (Function.update f a (f a).succ) b (f b).succ) = multinomial {a, b} (Function.update f a (f a).succ) + multinomial {a, b} (Function.update f b (f b).succ)


((f a).succ + (f b).succ).choose (f a).succ = ((f a).succ + if b = a then (f a).succ else f b).choose (f a).succ + (f a + (f b).succ).choose (f a)


((f a).succ + (f b).succ).choose (f a).succ = ((f a).succ + f b).choose (f a).succ + (f a + (f b).succ).choose (f a)


(f a + (f b).succ).choose (f a) + (f a + (f b).succ).choose (f a).succ = (f a + (f b).succ).choose (f a).succ + (f a + (f b).succ).choose (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β

range (const α) = {f | ∀ (x y : α), f x = f y}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
h : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
a : α


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
H1 : b ∣ a
H2 : a / b = c


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G

Finsupp.single g 1 * average k G = average k G


⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single (g * x) 1 = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single x 1


Context: k : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring k

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : Fintype G

Context: inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)

Context: g : G

Context: f : G → MonoidAlgebra k G := fun x => Finsupp.single x 1

⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f (g * x) = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d✝ : Derivation R A M
a : A
d : Derivation R A M
f : R[X]

(d.compAEval a) f = derivative f • (AEval.of R M a) (d a)


(d.compAEval a) f = ((mkDerivation R) ((AEval.of R M a) (d a))) f


d.compAEval a = (mkDerivation R) ((AEval.of R M a) (d a))


(d.compAEval a) X = ((mkDerivation R) ((AEval.of R M a) (d a))) X


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

finSepDegree F E = Cardinal.toNat (sepDegree F E)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : Algebra.IsAlgebraic (↥(separableClosure F E)) E


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: h : finSepDegree F E = finSepDegree F ↥(separableClosure F E) * finSepDegree (↥(separableClosure F E)) E


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic (↥(separableClosure F E)) E

Context: this : Algebra.IsSeparable F ↥(separableClosure F E)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic (↥(separableClosure F E)) E

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable F ↥(separableClosure F E)

Context: this : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J

D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.t i i


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i i = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v, u₁} C

Context: C' : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v, u₂} C'

Context: D : GlueData C

Context: i j : D.J

Context: eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i j = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'

A₁ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A₁


(-J).IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsSkewAdjoint A₁


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hs₀ : μ s ≠ 0
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ

⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
hs₀ : 0 < (μ s).toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
hs₀ : 0 < (μ s).toReal
ht₀ : 0 < (μ t).toReal


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: α β : Ext X Y n

Context: α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: α β : Ext X Y n

Context: β' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.snd).comp β ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: α β : Ext X Y n

Context: eq₁ : α + β = (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).comp (α' + β') ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: α β : Ext X Y n

Context: eq₂ : α' + β' = homEquiv.symm (α'.hom + β'.hom)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasExt C

Context: X Y Z T : C

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : HasDerivedCategory C

Context: α β : Ext X Y n

(mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).hom.comp α'.hom ⋯ + (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).hom.comp β'.hom ⋯ = α.hom + β.hom


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v

∀ᵐ (p : E) ∂μ, LineDifferentiableAt ℝ f p v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

∀ (p : E), ∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: p : E

∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: p : E

Context: this : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: p : E

Context: s : ℝ

Context: hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: p : E

Context: s : ℝ

Context: h's : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) (s + 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: p : E

Context: this✝ : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s

Context: s : ℝ

Context: this : DifferentiableAt ℝ (fun t => s + t) 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: p : E

Context: s : ℝ

DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + s • v + t • v)) 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: v : E

Context: p : E

Context: s : ℝ

Context: t : ℝ

f (p + s • v + t • v) = ((fun t => f (p + t • v)) ∘ HAdd.hAdd s) t


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e

Function.Surjective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {1 - e i}))


Pairwise fun i j => IsCoprime (Ideal.span {1 - e i}) (Ideal.span {1 - e j})


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
i j : I
hij : i ≠ j

IsCoprime (Ideal.span {1 - e i}) (Ideal.span {1 - e j})


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

(α_ (𝟙_ C) X Y).hom ≫ (λ_ (X ⊗ Y)).hom = (λ_ X).hom ⊗ 𝟙 Y


Context:
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
J : Ideal R
hJ : J ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
J : Ideal R
hJ : J ≠ ⊤
M : Ideal R
hM1 : M.IsMaximal
hM2 : J ≤ M


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DistribLattice α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a

Context: b c : α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DistribLattice α

Context: a b✝ c✝ : α

Context: b c : α

a ⊓ b ⊔ a ⊓ c = a → a ⊓ b = a ∨ a ⊓ c = a


Context:
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b ≤ c

Context: ha : 0 = ↑a


Context: α : Type u_1

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : MulZeroClass α

Context: inst✝ : PartialOrder α

Context: a : { x // 0 ≤ x }

Context: b c : α

Context: h : b ≤ c

Context: ha : 0 < ↑a


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasTerminal C
X : C
f : ⊤_ C ⟶ X


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
b : R
x : M

(fun x => f (Q x)) (b • x) = (b * b) • (fun x => f (Q x)) x


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid P

Context: inst✝ : Module R P

Context: f : N →ₗ[R] P

Context: Q : QuadraticMap R M N

Context: B : BilinMap R M N

Context: h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y

Context: x y : M

(fun x => f (Q x)) (x + y) = (fun x => f (Q x)) x + (fun x => f (Q x)) y + ((LinearMap.compr₂ B f) x) y


Context:
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T

(pullbackSpecIso R S T).hom ≫ Spec.map (ofHom includeLeftRingHom) = pullback.fst (Spec.map (ofHom (algebraMap R S))) (Spec.map (ofHom (algebraMap R T)))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N P : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

Context: g : N ⟶ P

Context: Q : Bimod Y Z

(whiskerRight (f ≫ g) Q).hom = (whiskerRight f Q ≫ whiskerRight g Q).hom


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M✝ : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: X Y Z : Mon_ C

Context: M N P : Bimod X Y

Context: f : M ⟶ N

Context: g : N ⟶ P

Context: Q : Bimod Y Z

coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight (f ≫ g) Q).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight f Q ≫ whiskerRight g Q).hom


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.592608

Context: Bₘ : Type ?u.592611

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.592608

Context: Bₘ : Type ?u.592611

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.592608

Context: Bₘ : Type ?u.592611

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

Context: this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³¹ : CommRing A

Context: inst✝³⁰ : CommRing B

Context: inst✝²⁹ : Algebra A B

Context: inst✝²⁸ : Field K

Context: inst✝²⁷ : Field L

Context: inst✝²⁶ : Algebra A K

Context: inst✝²⁵ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²⁴ : Algebra B L

Context: inst✝²³ : Algebra K L

Context: inst✝²² : Algebra A L

Context: inst✝²¹ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.592608

Context: Bₘ : Type ?u.592611

Context: inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹² : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

(algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) 0) = (algebraMap A (FractionRing A)) 0


Context:
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P✝ : Ideal S
P_prime✝ : P✝.IsPrime
hP✝ : P✝ ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
a b : S
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
ab_mem : a * b ∈ P ^ (i + 1)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P✝ : Ideal S

Context: P_prime✝ : P✝.IsPrime

Context: hP✝ : P✝ ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: i : ℕ

Context: a b : S

Context: a_not_mem : ¬P ^ i * P ∣ span {a}

Context: ab_mem : P ^ i * P ∣ span {a} * span {b}


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
φ : R[X] →ₐ[R] A
p : R[X]


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.card • b < ↑s.card

∃ y ∈ t, b < ↑(filter (fun x => f x = y) s).card


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.card • b < ∑ a ∈ s, 1

∃ y ∈ t, b < ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x : X


({ toFun := FreeAlgebra.liftAux R, invFun := fun F => ⇑F ∘ ι R, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } f) (Quot.mk (Rel R X) (Pre.of x)) = f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : x < 0
h_2 : y < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : x < 0
h_2 : ¬y < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : ¬x < 0
h_2 : y < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : ¬x < 0
h_2 : ¬y < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
h : ∀ (x : α), x ∈ xs → ¬p x = true
sep : α
hsep : p sep = true
as : List α

splitOnP p (xs ++ sep :: as) = xs :: splitOnP p as


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B

a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)


(auxEquiv R 𝒜 ℬ).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((auxEquiv R 𝒜 ℬ) (a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁))) ((auxEquiv R 𝒜 ℬ) (↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)


(of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) ↑b₁)) ((decompose 𝒜) ↑a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (DirectSum.of (fun i => ↥(ℬ i)) j₁) b₁)) ((DirectSum.of (fun i => ↥(𝒜 i)) i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun i => ↥(ℬ i)) j₁) b₁)) ((lof R ι (fun i => ↥(𝒜 i)) i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(of R 𝒜 ℬ) ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv.symm ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv.symm ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂)) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


(-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((decompose 𝒜).symm ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] (decompose ℬ).symm ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂)) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: a b : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: hfx : f x < f (a • x + b • y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid E

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f g : E → β

Context: hf : ConvexOn 𝕜 s f

Context: x y : E

Context: a b : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : b + a = 1

Context: hfx : f x < f (b • y + a • x)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type u

Context: hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete

Context: this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)

Context: this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)

Context: this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: F : J ⥤ Type u

Context: hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)

Context: hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)

Context: F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete

Context: this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)

Context: this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)

Context: u : (j : J) → ↑(F'.obj j)

Context: hu : u ∈ {u | ∀ {i j : J} (f : i ⟶ j), (F'.map f) (u i) = u j}


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty n
A : Matrix n n R


Context: m n k : ℕ


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I J K : Submodule R A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : ↥T†.domain

(if hT : Dense ↑T.domain then adjointAux hT else 0) y = (adjointAux hT) y


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this : Nontrivial R


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι
val✝ : Fintype ι


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
f : Ω → Ω'
c : ℝ≥0
ν : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω'
a✝ : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a x✝¹ x✝ : α


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g

CondIndepFun m' hm' f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ[(f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] fun ω => (μ[(f ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|m']) ω * (μ[(g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m']) ω


(∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ[(f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] fun ω => (μ[(f ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|m']) ω * (μ[(g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m']) ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

(bliminf u f fun x => True) = liminf u f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b✝ c d a b : K
h : b ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: f : E →L[𝕜] F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)

Context: f' : E →L[𝕜] ↥(range f) := f.codRestrict (range f) ⋯


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜

Context: f : E →L[𝕜] F

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)

Context: g : ↥(range f) →L[𝕜] E

Context: hg : f'.comp g = id 𝕜 ↥(range f)


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a : Args


∀ (x : Args), (∀ (y : Args), ArgsRel y x → y.Numeric → P124 y) → x.Numeric → P124 x


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: a✝ a : Args

Context: ih : ∀ (y : Args), ArgsRel y a → y.Numeric → P124 y

Context: ha : a.Numeric


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

Context: a✝ a : Args

Context: ha : a.Numeric

Context: ih : ∀ (a' : Args), ArgsRel a' a → P124 a'


Context: M✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Monoid M✝

Context: s✝ : Set M✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddMonoid A

Context: t✝ : Set A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ Closure (s ∪ t)

Context: L : List M

Context: HL1✝ : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∪ t

Context: HL2 : L.prod = x

Context: hd : M

Context: tl : List M

Context: ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∪ t) → ∃ y ∈ Closure s, ∃ z ∈ Closure t, y * z = tl.prod

Context: HL1 : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∪ t

Context: y : M

Context: hy : y ∈ Closure s

Context: z : M

Context: hz : z ∈ Closure t

Context: hyzx : y * z = tl.prod

Context: hs : hd ∈ s


Context: M✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Monoid M✝

Context: s✝ : Set M✝

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddMonoid A

Context: t✝ : Set A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ Closure (s ∪ t)

Context: L : List M

Context: HL1✝ : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∪ t

Context: HL2 : L.prod = x

Context: hd : M

Context: tl : List M

Context: HL1 : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∪ t

Context: y : M

Context: hy : y ∈ Closure s

Context: z : M

Context: hz : z ∈ Closure t

Context: hyzx : y * z = tl.prod

Context: ht : hd ∈ t


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

completedCosZeta₀ a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven₀ a s


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V

Fintype.card G.Dart = ∑ v : V, G.degree v


univ.card = ∑ x : V, (filter (fun d => d.toProd.1 = x) univ).card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

normalizedFactors (n + 1) = ↑(n + 1).primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

Multiset.Rel (fun x x_1 => x ~ᵤ x_1) (normalizedFactors (n + 1)) ↑(n + 1).primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

(normalizedFactors (n + 1)).prod ~ᵤ (↑(n + 1).primeFactorsList).prod


Context:
α : Type u_1
n : ℕ

∀ x ∈ ↑(n + 1).primeFactorsList, Irreducible x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X

Integrable f μ ↔ IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: x✝ : IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ

Context: s : Set X

Context: hsc : s ∈ cocompact X

Context: hs : IntegrableOn f s μ

Context: hloc : LocallyIntegrable f μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: s : Set X

Context: hsc : s ∈ cocompact X

Context: hs : IntegrableOn f s μ

Context: hloc : LocallyIntegrable f μ

Context: t : Set X

Context: htc : IsCompact t

Context: ht : sᶜ ⊆ t


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: s : Set X

Context: hsc : s ∈ cocompact X

Context: hs : IntegrableOn f s μ

Context: hloc : LocallyIntegrable f μ

Context: t : Set X

Context: htc : IsCompact t

Context: ht : sᶜ ⊆ t

IntegrableOn f sᶜ μ ∧ IntegrableOn f s μ


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : R
hn : n ∈ ⊥


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : R
hn : n = 0


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hy : SameRay R y z
hx : SameRay R 0 z


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hx₀ : x ≠ 0
hy : SameRay R 0 z


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hx : SameRay R x 0
hy : SameRay R y 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0
rx rz₁ : R
hrx : 0 < rx
hrz₁ : 0 < rz₁
Hx : rx • x = rz₁ • z


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0
rx rz₁ : R
hrx : 0 < rx
hrz₁ : 0 < rz₁
Hx : rx • x = rz₁ • z
ry rz₂ : R
hry : 0 < ry
hrz₂ : 0 < rz₂
Hy : ry • y = rz₂ • z


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

MapsTo (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), MapsTo (⇑(f ^ n)) s s


Context:
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

MapsTo (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), MapsTo (⇑f)^[n] s s


Context:
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0


Context:
n : ℕ
hn : Squarefree n

IsSquare (-1) ↔ ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3


Context: n : ℕ

Context: hn : Squarefree n

Context: H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3


Context: hn : Squarefree 0

Context: H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ 0 → q % 4 ≠ 3


Context: hn : Squarefree 1

Context: H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ 1 → q % 4 ≠ 3


Context: p n : ℕ

Context: hpp : Nat.Prime p

Context: ih : Squarefree n → (∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3) → IsSquare (-1)

Context: hn : Squarefree (p * n)

Context: H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ p * n → q % 4 ≠ 3


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

∑ i ∈ Ioo k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ∑ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹


∀ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), i ∉ Ioo k n → 0 ≤ (↑i ^ 2)⁻¹


∑ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹


(↑k.succ ^ 2)⁻¹ + ∑ k ∈ Ico (k.succ + 1) (max (k + 1) n).succ, (↑k ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹


(↑k.succ)⁻¹ - (↑(max k.succ n))⁻¹ ≤ (↑k + 1)⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
A : 1 ≤ ↑k + 1


Context:
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝¹ : ℝ
x✝ : 𝕜

{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id ℝ) x✝¹ • { toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun x✝


↑x✝¹ * ↑(RCLike.im x✝) * I = ↑x✝¹ * (↑(RCLike.im x✝) * I)