Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this : Module.Free A C


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this✝ : Module.Free A C
this : IsNoetherian A C

FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L

Context: this✝¹ : Module.Free A C

Context: this✝ : IsNoetherian A C

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : CommRing A

Context: inst✝¹⁶ : Field K

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A K

Context: inst✝¹³ : IsFractionRing A K

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹² : Field L

Context: C : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : CommRing C

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : Algebra A L

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝⁷ : Algebra C L

Context: inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L

Context: inst✝⁵ : Algebra A C

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower A C L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝² : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L

Context: this✝¹ : Module.Free A C

Context: this✝ : IsNoetherian A C

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex A C) K L := Basis.localizationLocalization K A⁰ L (Module.Free.chooseBasis A C)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ

(fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hμν : ν ≪ μ

Context: x : α

Context: hx : rexp (llr μ ν x) = if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal

Context: hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x

rexp (llr μ ν x) = (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsCartesian f φ


Context:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsCartesian (p.map φ) φ


𝟙 a✝ ≫ φ = φ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β

HasProd f ((∏ b ∈ s, f b) * a) ↔ HasProd f (a * ∏ i ∈ s, f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
r : ℝ
hr : 0 < r
w : α
hw : r⁻¹ < ‖w‖

0 < ‖w⁻¹‖ ∧ ‖w⁻¹‖ < r


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P

AffineIndependent k p ↔ ¬Collinear k (Set.range p)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hq0 : 0 ≤ q
hq1 : q ≤ 1
a : α

↑‖(f + g) a‖₊ ≤ ((fun a => ↑‖f a‖₊) + fun a => ↑‖g a‖₊) a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∏ i : I, (1 - e i) = 0


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : α
xs : t β

foldlm f x xs = unop ((foldlM.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs))) x


unop ((foldlM.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs))) x = List.foldlM f x (toList xs)


Context:
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d

padicValRat p q = ↑((multiplicity (↑p) n).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) d).get ⋯)


Context:
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0


Context:
p✝ : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
n d : ℤ
hqz : q ≠ 0
qdf : q = n /. d
hd : d ≠ 0
c : ℤ
hc1 : n = c * q.num
hc2 : d = c * ↑q.den


↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) n).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) d).get ⋯)


↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) (c * q.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (c * ↑q.den)).get ⋯)


↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯ + (multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯ + (multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯)


↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - (↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯))


↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity p q.den).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - (↑((multiplicity (↑p) c).get ⋯) + ↑((multiplicity p q.den).get ⋯))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: t : Set α

Context: s : Finset ↑t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ ↑(map (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: t : Set α

Context: s : Finset ↑t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ map (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
a : α
h : a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
a : α
h✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : some a ∈ s.get? n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: H : LiftRel R s t

Context: a : α

Context: h✝ : a ∈ s

Context: n : ℕ

Context: h : some a ∈ Computation.map (fun x => Prod.fst <$> x) (s.drop n).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: H : LiftRel R s t

Context: a : α

Context: h✝ : a ∈ s

Context: n : ℕ

Context: s' : WSeq α

Context: sd : some (a, s') ∈ (s.drop n).destruct


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: R : α → β → Prop

Context: s : WSeq α

Context: t : WSeq β

Context: H : LiftRel R s t

Context: a : α

Context: h✝ : a ∈ s

Context: n : ℕ

Context: s' : WSeq α

Context: sd : some (a, s') ∈ (s.drop n).destruct

Context: b : β

Context: t' : WSeq β

Context: td : some (b, t') ∈ (t.drop n).destruct

Context: ab : R a b

Context: right✝ : LiftRel R s' t'


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
g : PolynomialModule R M
n : ℕ

((monomial i) r • g) n = if i ≤ n then r • g (n - i) else 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
n : ℕ

((monomial i) r • 0) n = if i ≤ n then r • 0 (n - i) else 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: S : Type u_3

Context: inst✝³ : CommSemiring S

Context: inst✝² : Algebra S R

Context: inst✝¹ : Module S M

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: i : ℕ

Context: r : R

Context: n : ℕ

Context: p q : PolynomialModule R M

Context: hp : ((monomial i) r • p) n = if i ≤ n then r • p (n - i) else 0

Context: hq : ((monomial i) r • q) n = if i ≤ n then r • q (n - i) else 0

((monomial i) r • (p + q)) n = if i ≤ n then r • (p + q) (n - i) else 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
r : R
n a✝ : ℕ
b✝ : M

((monomial i) r • (single R a✝) b✝) n = if i ≤ n then r • ((single R a✝) b✝) (n - i) else 0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : Group H

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MulAction H β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : Countable G

Context: h_meas : NullMeasurableSet s μ

Context: h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s

Context: h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ

Context: h_measure_univ_le : μ univ ≤ ∑' (g : G), μ (g • s)

Context: aedisjoint : Pairwise (AEDisjoint μ on fun g => g • s)


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : Group H

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MulAction H β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : Countable G

Context: h_meas : ∀ (g : G), NullMeasurableSet (g • s) μ


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : Group H

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MulAction H β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : Countable G

Context: h_meas' : NullMeasurableSet {a | ∃ g, g • a ∈ s} μ


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : Group H

Context: inst✝⁶ : MulAction G α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : MulAction H β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : Countable G


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
I : LieIdeal R L


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
r : R


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ


∫ (a : Ω) in s, -f j a ∂μ ≤ ∫ (a : Ω) in s, -f i a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : UniformSpace α
inst✝⁶ : Group α
inst✝⁵ : UniformGroup α
hom : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : Group β
inst✝² : UniformGroup β
inst✝¹ : FunLike hom α β
inst✝ : MonoidHomClass hom α β
f : hom
h : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : UniformSpace α

Context: inst✝⁶ : Group α

Context: inst✝⁵ : UniformGroup α

Context: hom : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace β

Context: inst✝³ : Group β

Context: inst✝² : UniformGroup β

Context: inst✝¹ : FunLike hom α β

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom α β

Context: f : hom

Context: h : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)

Context: this : ((fun x => x.2 / x.1) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) = fun x => f (x.2 / x.1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : UniformSpace α

Context: inst✝⁶ : Group α

Context: inst✝⁵ : UniformGroup α

Context: hom : Type u_3

Context: inst✝⁴ : UniformSpace β

Context: inst✝³ : Group β

Context: inst✝² : UniformGroup β

Context: inst✝¹ : FunLike hom α β

Context: inst✝ : MonoidHomClass hom α β

Context: f : hom

Context: h : Tendsto (⇑f) (𝓝 1) (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(t i) → β

Context: htf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩

Context: T : Set α

Context: hT : T ⊆ ⋃ i, t i

Context: htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

MeasurableSet (iUnionLift t f htf T hT ⁻¹' s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: t : ι → Set α

Context: f : (i : ι) → ↑(t i) → β

Context: T : Set α

Context: hT : T ⊆ ⋃ i, t i

Context: htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)

Context: hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

MeasurableSet (inclusion hT ⁻¹' ⋃ i, inclusion ⋯ '' (f i ⁻¹' s))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, IsHomogeneous 𝒜 I


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
ba : b ≤ a

variationOnFromTo f s a b = 0 ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Icc b a → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Icc b a → edist (f x) (f y) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E

finrank 𝕜 ↥K + finrank 𝕜 ↥Kᗮ = finrank 𝕜 E


finrank 𝕜 ↥K + finrank 𝕜 ↥Kᗮ = finrank 𝕜 ↥K + finrank 𝕜 ↥(Kᗮ ⊓ ⊤)


Context: n m k : ℕ

map (fun x => k + x) (Ico n m) = Ico (n + k) (m + k)


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x

Context: h : LiftPropAt P g x


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: e e' : PartialHomeomorph M H

Context: f f' : PartialHomeomorph M' H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: g g' : M → M'

Context: s t : Set M

Context: x : M

Context: Q : (H → H) → Set H → H → Prop

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: h : LiftPropWithinAt P g univ x


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K₀ : PositiveCompacts G


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K₀ : PositiveCompacts G
A : (interior (closure ↑K₀)).Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : Group G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : SecondCountableTopology G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: K₀ : PositiveCompacts G

Context: A : (interior (closure ↑K₀)).Nonempty

Context: this : μ = (μ (closure ↑K₀) / (haarMeasure K₀) (closure ↑K₀)) • haarMeasure K₀


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝ : Group G
a b : G

(fun b => b⁻¹ * a) ((fun b => a / b) b) = b


(fun b => a / b) ((fun b => b⁻¹ * a) b) = b


Context:
n : ℕ
hn : n ≤ 1
b : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S


(∀ (n : ℕ), (map f p).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), p.coeff n = coeff 0 n


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
a✝ : ℕ

(map f p).coeff a✝ = coeff 0 a✝ ↔ p.coeff a✝ = coeff 0 a✝


Context: α : Type u

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
h : Subsingleton M
x y : Submonoid M
i : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : ι → Submodule R M
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = Set.univ

⋃ i ∈ s, 0 +ᵥ ↑(p i).toAddSubgroup = Set.univ


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a✝ b✝ : G

(setoid ↑⊥.toSubmonoid ↑H).Rel a✝ b✝ ↔ (QuotientGroup.leftRel H).Rel a✝ b✝


(setoid ↑⊥.toSubmonoid ↑H).Rel a✝ b✝ ↔ (setoid ↑⊥ ↑H).Rel a✝ b✝


Context: n m l : ℕ


Context:
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m


Context:
n m l : ℕ
hmn : m ≤ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
c : 𝕜'


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

Complex.normSq ((o.kahler x) y) = ‖x‖ ^ 2 * ‖y‖ ^ 2


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Reflexive R
s✝ s t : WSeq α
h : s = t

Computation.LiftRel (LiftRelO R fun x x_1 => x = x_1) s.destruct s.destruct


Reflexive (LiftRelO R fun x x_1 => x = x_1)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ Y X : SimplicialObject C
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : α → β
hf : Measurable f
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(Measure.dirac (f a)) s = s.indicator 1 (f a)


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hy : y.Numeric
ihyx : IH1 y x
i : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves


y.moveLeft k < y.moveRight (toLeftMovesNeg.symm l)


Context: x : ℂ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: f : R →+* S

Context: n : ℕ := max p.natDegree (map f p).natDegree

derivative (map f p) = map f (derivative p)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: f : R →+* S

((map f p).sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)) = map f (p.sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: f : R →+* S

((map f p).sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)) = map f (∑ a ∈ range (n + 1), C (p.coeff a * ↑a) * X ^ (a - 1))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: f : R →+* S


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: f : R →+* S

∑ a ∈ range (n + 1), C ((map f p).coeff a * ↑a) * X ^ (a - 1) = map f (∑ a ∈ range (n + 1), C (p.coeff a * ↑a) * X ^ (a - 1))


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝¹ : NormalizationMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
a b : R
n : ℕ
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0

↑n ≤ multiplicity a b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b


a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Antitone f
hg : Antitone g
x y : α
h : x ≤ y
a : γ

a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) y → a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) x


∀ x_1 ∈ f y, a ∈ g y x_1 → ∃ a_3 ∈ f x, a ∈ g x a_3


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k

(lineMap p₀ p₁) (1 - c) = (lineMap p₁ p₀) c


(lineMap p₁ p₀) ((lineMap 1 0) (1 - c)) = (lineMap p₁ p₀) c


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A

Context: inst✝⁴ : CompactSpace A

Context: inst✝³ : ConnectedSpace A

Context: inst✝² : MeasurableSpace A

Context: inst✝¹ : BorelSpace A

Context: μ : Measure A

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: ξ : A

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: δ : ℝ

Context: hδ : μ univ ≤ (n + 1) • μ (closedBall 0 (δ / 2))

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: B : ↑(Icc 0 n) → Set A := fun j => closedBall (↑j • ξ) (δ / 2)

∃ j ∈ Icc 1 n, ‖j • ξ‖ ≤ δ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A

Context: inst✝⁴ : CompactSpace A

Context: inst✝³ : ConnectedSpace A

Context: inst✝² : MeasurableSpace A

Context: inst✝¹ : BorelSpace A

Context: μ : Measure A

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: ξ : A

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: δ : ℝ

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)

∃ j ∈ Icc 1 n, ‖j • ξ‖ ≤ δ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A

Context: inst✝⁴ : CompactSpace A

Context: inst✝³ : ConnectedSpace A

Context: inst✝² : MeasurableSpace A

Context: inst✝¹ : BorelSpace A

Context: μ : Measure A

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: ξ : A

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: δ : ℝ

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)

Context: h : Pairwise (Disjoint on B)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A

Context: inst✝⁴ : CompactSpace A

Context: inst✝³ : ConnectedSpace A

Context: inst✝² : MeasurableSpace A

Context: inst✝¹ : BorelSpace A

Context: μ : Measure A

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: ξ : A

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: δ : ℝ

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)

Context: h : Pairwise (Disjoint on B)

Context: h' : ⋃ j, B j = univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A

Context: inst✝⁴ : CompactSpace A

Context: inst✝³ : ConnectedSpace A

Context: inst✝² : MeasurableSpace A

Context: inst✝¹ : BorelSpace A

Context: μ : Measure A

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: ξ : A

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: δ : ℝ

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)

Context: h : Pairwise (Disjoint on B)

Context: h' : ⋃ j, B j = univ

Context: hδ : 0 ≤ δ / 2


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup A

Context: inst✝⁴ : CompactSpace A

Context: inst✝³ : ConnectedSpace A

Context: inst✝² : MeasurableSpace A

Context: inst✝¹ : BorelSpace A

Context: μ : Measure A

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: ξ : A

Context: n : ℕ

Context: hn : 0 < n

Context: δ : ℝ

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: hB : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), IsClosed (B j)

Context: h : Pairwise (Disjoint on B)

Context: h' : ⋃ j, B j = univ

Context: hδ : 0 ≤ δ / 2

Context: h'' : ∀ (j : ↑(Icc 0 n)), (B j).Nonempty


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c✝ c₁ c₂ : R

Context: c k : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f

(o.bsup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: H : o.bsup f = o.blsub f


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: H : o.bsup f = o.blsub f

(o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card


Context: x y : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : Nontrivial R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: inst✝⁹ : Module.Free R M

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₁

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝ : Module.Free R M₂

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁

Context: f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂

Context: b₁ : Basis (ChooseBasisIndex R M₁) R M₁ := chooseBasis R M₁

Context: b₂ : Basis (ChooseBasisIndex R M₂) R M₂ := chooseBasis R M₂

Context: b : Basis (ChooseBasisIndex R M₁ ⊕ ChooseBasisIndex R M₂) R (M₁ × M₂) := b₁.prod b₂

(f₁.prodMap f₂).charpoly = f₁.charpoly * f₂.charpoly


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
f : R[X]
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
inst✝ : Algebra R T
hx' : (aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]

(liftHom x hx' h) (h.map z) = (aeval x) z


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p


Context:
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2


Context:
x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ 0
hx2 : 0 ≤ 3 * π / 2


Context:
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝² : List α
property✝ : val✝².length = n
val✝¹ : ℕ
isLt✝¹ : val✝¹ < n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n
h : ⟨val✝¹, isLt✝¹⟩ ≠ ⟨val✝, isLt✝⟩

(set ⟨val✝², property✝⟩ ⟨val✝¹, isLt✝¹⟩ a).get ⟨val✝, isLt✝⟩ = get ⟨val✝², property✝⟩ ⟨val✝, isLt✝⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.268023, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X : Cᵒᵖ

IsZero (Opposite.op ((shiftFunctor C (-1)).obj 0))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.268023, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X : Cᵒᵖ

𝟙 (Opposite.op ((shiftFunctor C (-1)).obj 0)) = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.268023, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X : Cᵒᵖ

(𝟙 ((shiftFunctor C (-1)).obj 0)).op = 0


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.length (cs.simple i * w⁻¹) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (w * cs.simple i) < cs.length w


cs.length (cs.simple i * w⁻¹)⁻¹ < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (w * cs.simple i) < cs.length w


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

(𝓝 ⊤).HasBasis (fun x => True) fun x => Ioi ↑x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : x < ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : x < ⊤
y : ℚ
hxy : x < ↑↑y


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ


Context:
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ

τ f < ↑⌊τ f⌋ + 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ

selfZPow x B (n + m) = selfZPow x B n * selfZPow x B m


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
hn : 0 ≤ n
hm : 0 ≤ m


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
hn : 0 ≤ n
hm : m < 0


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
hn : n < 0
hm : 0 ≤ m


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
n m : ℤ
hn : n < 0
hm : m < 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : IsInitial I
A : C
f g : A ⟶ I


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : IsInitial I
A : C
f g : A ⟶ I
this : IsIso f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
I : C
hI : IsInitial I
A : C
f g : A ⟶ I
this✝ : IsIso f
this : IsIso g


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
I J : Ideal R
inst✝ : J.IsPrime
e : I ≤ J


∃ m ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}, OrderDual.toDual J ≤ m ∧ ∀ z ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ p}, m ≤ z → z = m


∀ c ⊆ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub


OrderDual.toDual J ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: inst✝ : J.IsPrime

Context: e : I ≤ J

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hc : c ⊆ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}

Context: hc' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: J' : (Ideal R)ᵒᵈ

Context: hJ' : J' ∈ c

∃ ub ∈ {p | IsPrime p ∧ I ≤ OrderDual.ofDual p}, ∀ z ∈ c, z ≤ ub


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: inst✝ : J.IsPrime

Context: e : I ≤ J

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hc' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: J' : (Ideal R)ᵒᵈ

Context: hJ' : J' ∈ c

I ≤ OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (sInf c))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: I J : Ideal R

Context: inst✝ : J.IsPrime

Context: e : I ≤ J

Context: c : Set (Ideal R)

Context: hc' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: J' : (Ideal R)ᵒᵈ

Context: hJ' : J' ∈ c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F


foldl (fun x y => x * f y) (f 1) l = f (foldl (fun x x_1 => x * x_1) 1 l)


Context:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂
inst✝⁴ : UniformSpace M₂
inst✝³ : UniformAddGroup M₂
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : T2Space M₂
inst✝ : CompleteSpace M₂


closure {f | IsCompactOperator ⇑f} ⊆ {f | IsCompactOperator ⇑f}


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hu : u ∈ closure {f | IsCompactOperator ⇑f}


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hu : ∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ y ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}, y - u ∈ U


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

∀ U ∈ 𝓝 0, ∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

∃ t, t.Finite ∧ ⇑u '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ t, y +ᵥ U


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: SV : Set M₁ × Set M₂ := (closedBall 0 1, -V)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: huv : v - u ∈ {f | ∀ x ∈ SV.1, f x ∈ SV.2}


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite

Context: hTv : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite

Context: hTv✝ : closure (⇑↑v '' closedBall 0 1) ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V

Context: hTv : ⇑v '' closedBall 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ T, y +ᵥ V


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite

Context: hTv : closedBall 0 1 ⊆ ⋃ i ∈ T, ⇑v ⁻¹' (i +ᵥ V)

closedBall 0 1 ⊆ ⋃ i ∈ T, ⇑u ⁻¹' (i +ᵥ U)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ closedBall 0 1

Context: hTv : x ∈ ⋃ i ∈ T, ⇑v ⁻¹' (i +ᵥ V)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ closedBall 0 1

Context: hTv : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ T), x ∈ ⇑v ⁻¹' (i +ᵥ V)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ closedBall 0 1

Context: t : M₂

Context: ht : t ∈ T

Context: htx : x ∈ ⇑v ⁻¹' (t +ᵥ V)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₁ M₁

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝⁴ : UniformSpace M₂

Context: inst✝³ : UniformAddGroup M₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: inst✝¹ : T2Space M₂

Context: inst✝ : CompleteSpace M₂

Context: u : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: U : Set M₂

Context: hU : U ∈ 𝓝 0

Context: V : Set M₂

Context: hV : V ∈ 𝓝 0

Context: hVU : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v + w ∈ U

Context: v : M₁ →SL[σ₁₂] M₂

Context: hv : v ∈ {f | IsCompactOperator ⇑f}

Context: T : Set M₂

Context: hT : T.Finite

Context: x : M₁

Context: hx : x ∈ closedBall 0 1

Context: t : M₂

Context: ht : t ∈ T

Context: htx : v x - t ∈ V


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
h : μ ≪ ν
s : Set α


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
h : μ ≪ ν
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
htν : (ν.restrict s) t = 0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
h : μ ≪ ν
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
htν : ν (t ∩ s) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: f : M → M'

Context: inst✝ : One M'

Context: x : M

Context: hx : x ∉ mulTSupport f

Context: n : ℕ∞

Context: s : Set M


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hS : S ∈ leftTransversals ↑H
g : G

((↑(toFun hS g))⁻¹ * g)⁻¹ = g⁻¹ * ↑(toFun hS g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : DecidableEq α
f : α × β →₀ M

f.curry.support ⊆ image Prod.fst f.support


f.curry.support ⊆ f.support.biUnion fun a => {a.1}


(f.support.biUnion fun a => (single a.1 (single a.2 (f a))).support) ⊆ f.support.biUnion fun a => {a.1}


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F G : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
μ : G ⟶ A
ε : F ⟶ G
hε : ε ≫ μ = η
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
u : F.obj (op X)
h : MakesOverArrow η s u

μ.app (op X) (ε.app (op X) u) = yonedaEquiv s


Context:
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α


(∀ (a : α), a ∈ l₁ → ¬a ∈ l₂) ↔ l₁.Disjoint l₂


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
val : α

replicate (n + 1) val = (replicate n val).snoc val


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
n : ℤ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
v : m → α
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
x✝ : o


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h : (↑x).1 = (↑y).1


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a : P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a)
h : (↑x).2 = (↑y).2


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Monoid N
a₁ a₂ : M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β

MeasurableSet (s ×ˢ t) ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
h : s ×ˢ t = ∅


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set α
t : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
f : α → E
g : G

∫ (x : α), f (g • x) ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
f : α → E
g : G
h : MeasurableEmbedding fun x => g • x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: g' : (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt ⟶ (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt := hp.desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: hg' : g' = 𝟙 (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯).pt


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: wι : 0 ≫ g' = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.88317, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.88321, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: s : S.Splitting

Context: wι : 0 ≫ g' = 0

Context: hι : IsLimit (KernelFork.ofι 0 wι)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R (Additive ℤˣ)
u : ℤˣ
z : ℤ

Additive.toMul (↑z • Additive.ofMul u) = u ^ z


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
f g : ↥(Lp E p μ)
s : Set X

↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)


∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x


∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x


∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x


∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = ↑↑g x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)) x → ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace X

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : ℝ≥0∞

Context: μ : Measure X

Context: f g : ↥(Lp E p μ)

Context: s : Set X

Context: x : X

Context: hx1 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(f + g) x

Context: hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = ↑↑g x

Context: hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x

Context: hx4 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x = (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) + ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑g ⋯)) x

Context: hx5 : ↑↑(f + g) x = (↑↑f + ↑↑g) x

↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(f + g) ⋯) x = ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ + Memℒp.toLp ↑↑g ⋯) x


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty


∀ b ∈ s • t, hs.min hsn • ht.min htn ≤ b


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hsn : s.Nonempty
htn : t.Nonempty
x : G
hx : x ∈ s
y : P
hy : y ∈ t

hs.min hsn • ht.min htn ≤ (fun x x_1 => x • x_1) x y


Context:
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E

(o.areaForm (φ x)) (φ y) = (o.areaForm x) y


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Fintype α

Context: i : α

Context: m : M


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i✝ : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Fintype α

Context: i : α

Context: m : M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g✝ : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P'
g : P ≃ₐ[R] P'


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : LE α
inst✝² : LE β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n d : ℕ
inst✝ : NeZero n
hd : d ∣ n
χ₂ : DirichletCharacter R d

∃! χ', (changeLevel hd) χ₂ = (changeLevel ⋯) χ'


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsSeparable s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: hs : IsSeparable s

Context: this : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

IsUnit ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)


∀ (x : ↥(X.basicOpen f)), IsUnit ((X.presheaf.germ x) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f))


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
hx : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

(X.presheaf.germ ⟨↑x, ⋯⟩) ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) = (X.presheaf.germ x) f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MulOneClass α

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α

Context: h : a ≤ a * b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s


Context: x✝ y z x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat
h : 0 < n


Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.replicate n AssocList.nil)) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nat


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V

finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V - finrank K ↥W


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁶ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝² : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝¹ : Module R M₂'

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB : B.Nondegenerate

Context: hB₀ : B.IsRefl

Context: W : Submodule K V

Context: this : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁶ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝² : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝¹ : Module R M₂'

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB : B.Nondegenerate

Context: hB₀ : B.IsRefl

Context: W : Submodule K V

Context: this : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : CommRing R₁

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁶ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝² : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝¹ : Module R M₂'

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: B : BilinForm K V

Context: hB : B.Nondegenerate

Context: hB₀ : B.IsRefl

Context: W : Submodule K V

Context: this✝ : finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V

Context: this : finrank K ↥W ≤ finrank K V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
t : α → Set β

⋃ x ∈ ⋃ i, s i, t x = ⋃ i, ⋃ x ∈ s i, t x


Context: Γ₀ : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: h : Nontrivial Γ₀ˣ

Context: f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r


Context: Γ₀ : Type u_1

Context: h : Nontrivial Γ₀ˣ

Context: f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: s : ℝ≥0 := ⟨r, ⋯⟩


Context: Γ₀ : Type u_1

Context: h : Nontrivial Γ₀ˣ

Context: f : Γ₀ →*₀ ℝ≥0

Context: hf : StrictMono ⇑f

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: s : ℝ≥0 := ⟨r, ⋯⟩

Context: hs : 0 < s


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DivisionRing k

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module k V

Context: inst✝² : AffineSpace V P

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p : ι → P

Context: hi : AffineIndependent k p

Context: sp : AffineSubspace k P

Context: inst✝ : FiniteDimensional k ↥sp.direction

Context: hle : affineSpan k (Set.range p) ≤ sp

Context: hc : Fintype.card ι = finrank k ↥sp.direction + 1


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


φ W.a₁ ^ 2 * φ W.a₆ + 4 * φ W.a₂ * φ W.a₆ - φ W.a₁ * φ W.a₃ * φ W.a₄ + φ W.a₂ * φ W.a₃ ^ 2 - φ W.a₄ ^ 2 = φ (W.a₁ ^ 2 * W.a₆ + 4 * W.a₂ * W.a₆ - W.a₁ * W.a₃ * W.a₄ + W.a₂ * W.a₃ ^ 2 - W.a₄ ^ 2)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset (ι →₀ M)

(s.sum id).support ⊆ s.sup Finsupp.support


Context:
α : Type u_1
m n : Num

n.cmp m = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt


Context:
α : Type u_1
m n : Num

(m.cmp n).swap = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hQz : Q z ≠ 0

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3

W'.dblU P ^ 2 - W'.a₁ * W'.dblU P * P z * (W'.negY P - W'.negY P) - W'.a₂ * P z ^ 2 * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 2 - 2 * P x * (W'.negY P - W'.negY P) ^ 2 = W'.dblU P ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : Convex 𝕜 s
z : E


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: hw : ⊤ ≤ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: hgm : S.g m ∈ span R (range (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: hgm : ∃ c, (c.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: hm : (cm.sum fun i a => a • (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr) i) = S.g m

Context: m' : ↑S.X₂ := cm.sum fun j a => a • u (Sum.inr j)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: hsub : m - m' ∈ LinearMap.range S.f


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: hnm : S.f n = m - m'


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: hnm : S.f n = m - m'

Context: hn : n ∈ span R (range v)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: hnm : S.f n = m - m'

Context: hn : ∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = n


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: hnm : S.f n = m - m'

Context: cn : ι →₀ R

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hnm : (cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) = m - m'

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n

(cn.sum fun a b => S.f (b • v a)) + m' ∈ span R (range u)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n

(cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) + m' ∈ span R (range u)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n

Context: hn' : (cn.sum fun a b => b • S.f (v a)) = cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n

(cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)) + m' ∈ span R (range u)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n

(cn.sum fun a b => b • u (Sum.inl a)) ∈ span R (range u)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝ : Ring R

Context: S : ShortComplex (ModuleCat R)

Context: hS : S.Exact

Context: hS' : S.ShortExact

Context: v : ι → ↑S.X₁

Context: β : Type u_4

Context: u : ι ⊕ β → ↑S.X₂

Context: huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

Context: hv : ⊤ ≤ span R (range v)

Context: m : ↑S.X₂

Context: a✝ : m ∈ ⊤

Context: cm : β →₀ R

Context: n : ↑S.X₁

Context: cn : ι →₀ R

Context: hn : (cn.sum fun i a => a • v i) = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
a✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
a✝ : Nontrivial α
C' : α
hC' : C' < C


Context:
α : Type u_1
x : α
xs : List α
y : α
inst✝ : BEq α

indexesOf y (x :: xs) = bif x == y then 0 :: map (fun x => x + 1) (indexesOf y xs) else map (fun x => x + 1) (indexesOf y xs)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
p : ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f p μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞

eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G

eLpNorm (s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / ENNReal.toReal 0)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hp : ⊤ ≠ 0

eLpNorm (s.indicator fun x => c) ⊤ μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / ⊤.toReal)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : p ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : p ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ

∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)


∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: n : ℕ

Context: f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k

Context: hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ (a : Multiset (Fin 2)) (b : Multiset ℕ), a ×ˢ b = a.product b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: n : ℕ

Context: f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k := fun x y => f₀ fun a => Subtype.casesOn a fun a ha => Function.uncurry ![x, y] (a.1, ⟨a.2, ⋯⟩)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: inst✝ : CharP k p

Context: n : ℕ

∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
h : p ≠ 0

(normalizeScaleRoots p).coeff (normalizeScaleRoots p).natDegree = 1


(normalizeScaleRoots p).coeff p.natDegree = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
x : β
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x✝ : G


Context:
n m : ℕ
p i : Fin n

p.predAbove (p.castSucc.succAbove i) = i


Context:
n m : ℕ
p i : Fin n
h : p ≤ i


Context:
n m : ℕ
p i : Fin n
h : i < p


Context:
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
f : Option α ↪ β

∀ (x : Option α), ((fun f => f.fst.optionElim ↑f.snd ⋯) ((fun f => ⟨coeWithTop.trans f, ⟨f none, ⋯⟩⟩) f)) x = f x


Context:
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
f : Option α ↪ β
val✝ : α


Context:
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
x✝ : (f : α ↪ β) × ↑(range ⇑f)ᶜ
f : α ↪ β
y : β
hy : y ∈ (range ⇑f)ᶜ

(fun f => ⟨coeWithTop.trans f, ⟨f none, ⋯⟩⟩) ((fun f => f.fst.optionElim ↑f.snd ⋯) ⟨f, ⟨y, hy⟩⟩) = ⟨f, ⟨y, hy⟩⟩


Context:
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
x✝¹ : (f : α ↪ β) × ↑(range ⇑f)ᶜ
f : α ↪ β
y : β
hy : y ∈ (range ⇑f)ᶜ
x✝ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
hs : s ∈ {s | a ∈ s}
t : Finset α
ht : t ∈ {s | a ∈ s}
h : s.erase a = (fun s => s.erase a) t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
f'' : γ ≃ δ

(e.trans e').transEquiv f'' = e.trans (e'.transEquiv f'')


Context:
p a b : ℕ
hpb : p ∈ b.primeFactorsList
ha : a ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
c : E
h : IsCompact (closedBall c r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
a x : α


Context:
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

vecCons x u (i + i + 1) = vecAlt1 ⋯ (vecAppend ⋯ (vecCons x u) (vecCons x u)) i


vecCons x u (i + i + 1) = (vecCons x u ∘ fun n_1 => n_1 + n_1 + 1) i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

ContinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ (t : Set β), IsOpen t → f x ∈ t → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ f ⁻¹' t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α

∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b) = ∏' (b : β), m (s b)


∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b) = ∏' (y : ℕ), extend encode (fun b => m (s b)) 1 y


Context:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
n : ℕ

m (⨆ b ∈ decode₂ β n, s b) = extend encode (fun b => m (s b)) 1 n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
b : β
t : Set γ
f : β × γ → α

∏' (x : ↑({b} ×ˢ t)), f ↑x = ∏' (c : ↑t), f (b, ↑c)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p

‖fderiv ℝ (fun x => ‖x‖ ^ p) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1)


‖p‖ * ‖‖x‖ ^ (p - 2)‖ * ‖(innerSL ℝ) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
a✝ : α

a✝ ∈ s ⊼ tᶜˢ ↔ a✝ ∈ s \\ t


(∃ a ∈ s, ∃ b, bᶜ ∈ t ∧ a ⊓ b = a✝) ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊓ bᶜ = a✝


Context: m e : Nat

Rat.ofScientific m false e = if false = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)


Context: m e : Nat

Rat.ofScientific m true e = if true = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
hf : IsOpenMap (f ∘ ⇑h)


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r b c


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

‖x‖ / (o.oangle (x - y) x).cos = ‖x - y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

‖x‖ / ((-o).oangle x (x - y)).cos = ‖x - y‖


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
h : (cyclotomic n R).roots = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
ζ : R
hζ : ζ ∈ (cyclotomic n R).roots


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n


Context: R : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }

Context: a : A

Context: ad : A[ε]

(lift fe) (a • ad) = (↑fe).1 a * (lift fe) ad


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
hf' : Nat.Prime (orderOf f)
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : n < orderOf f


Context:
μ : YoungDiagram
i j : ℕ


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit ↑u


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
i : ι


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0


Context:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
g : G

(V ⊗ W).character g = (V.character * W.character) g


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : IsScalarTower R A A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : StarRing C
inst✝ : StarModule R C
φ : A →⋆ₙₐ[R] C
r✝ : R
a✝ : A

(↑↑(lift φ.toNonUnitalAlgHom).toRingHom).toFun (star (inl r✝ + ↑a✝)) = star ((↑↑(lift φ.toNonUnitalAlgHom).toRingHom).toFun (inl r✝ + ↑a✝))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝³ : Countable ↥Γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞

Context: g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))

essSup g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) = essSup (fun x => g ↑x) μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝³ : Countable ↥Γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞

Context: hπ : Measurable QuotientGroup.mk


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝³ : Countable ↥Γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞

Context: hπ : Measurable QuotientGroup.mk

essSup (g ∘ QuotientGroup.mk) (μ.restrict 𝓕) = essSup (fun x => g ↑x) μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝³ : Countable ↥Γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞

Context: hπ : Measurable QuotientGroup.mk

∀ (γ : ↥Γ.op) (x : G), (g ∘ QuotientGroup.mk) (γ • x) = (g ∘ QuotientGroup.mk) x


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: Γ : Subgroup G

Context: 𝓕 : Set G

Context: h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ

Context: inst✝³ : Countable ↥Γ

Context: inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)

Context: inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

Context: g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞

Context: hπ : Measurable QuotientGroup.mk

Context: γ : Gᵐᵒᵖ

Context: hγ : γ ∈ Γ.op

Context: x : G


Context: i j : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: p s : Submodule R A

Context: h1 : 1 ∈ s

Context: hmul : ∀ (x y : A), x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s

Context: r : R

(algebraMap R A) r ∈ { carrier := ↑s, mul_mem' := hmul, one_mem' := h1, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: p s : Submodule R A

Context: h1 : 1 ∈ s

Context: r : R

r • 1 ∈ { carrier := ↑s, mul_mem' := hmul, one_mem' := h1, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
hp : 1 ≤ 1


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h'p : 1 < p


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : IsEmpty α


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : Nonempty α


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : FiniteMeasure Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω


∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ.toFiniteMeasure.normalize s = μ s


Context:
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : FiniteMeasure Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s


μ.toFiniteMeasure.mass⁻¹ * μ.toFiniteMeasure s = μ s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
u : Rˣ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → β

(∏ x ∈ s, if p x then f x else g x) = (∏ x ∈ filter p s, f x) * ∏ x ∈ filter (fun x => ¬p x) s, g x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ∈ [[a₂, b₂]]
h₂ : b₁ ∈ [[a₂, b₂]]


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₂ ⊓ b₂ ≤ a₁ ∧ a₁ ≤ a₂ ⊔ b₂
h₂ : a₂ ⊓ b₂ ≤ b₁ ∧ b₁ ≤ a₂ ⊔ b₂


Context:
a x✝ z x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 ≤ x.im

x.arg = Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α β : A₁ ⟶ A₂

F.map (α.f + β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f + β.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂

F.map (n • α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (n • α.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α : A₁ ⟶ A₂


F.map (α.f - β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f - β.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂

F.map (r • α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (r • α.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ c✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
x✝ : A₁ ⟶ A₂

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Algebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
x✝ : A₁ ⟶ A₂

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Algebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂

↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f