Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: p q : ℝ

Context: hp0_lt : 0 < p

Context: hpq✝ : p ≤ q

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hq0_lt : 0 < q

Context: hpq_eq : ¬p = q

Context: hpq : p < q

Context: g : α → ℝ≥0∞ := fun x => 1

Context: r : ℝ := p * q / (q - p)

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] G''

Context: hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T' f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: G' : Type u_7

Context: G'' : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G''

Context: inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ G'

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] G''

Context: f : α →ₛ E

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: i : E

Context: x✝ : i ∈ f.range

(T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ (T' (↑f ⁻¹' {i})) i


Context:
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → β
b : β
as : List α

foldrIdx f b as = foldr (uncurry f) b as.enum


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree

(Finsupp.comapDomain Fin.val (h.modByMonicHom (h.root ^ ↑i)).toFinsupp ⋯) j = (Finsupp.single i 1) j


(X ^ ↑i).toFinsupp ↑j = (Finsupp.single i 1) j


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ ≤ ‖⟪x, y⟫_ℝ‖ * ‖⟪y, x⟫_ℝ‖


⟪y, x⟫_ℝ * ⟪y, x⟫_ℝ ≤ ‖⟪y, x⟫_ℝ * ⟪y, x⟫_ℝ‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N✝ : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N✝
inst✝³ : TopologicalSpace N✝
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N✝
N : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : TopologicalAddGroup N
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑(-w) s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N✝ : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N✝
inst✝³ : TopologicalSpace N✝
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N✝
N : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : TopologicalAddGroup N
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict {x | f x ≠ 0}, p x


(∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0 → p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≠ 0} → p x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : β → γ → α
a : α

(s.sup' hs fun b => t.sup' ht (f b)) ≤ a ↔ (t.sup' ht fun c => s.sup' hs fun b => f b c) ≤ a


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
x : List α

x ∈ M.accepts ↔ ∃ S ∈ M.accept, S ∈ M.evalFrom M.start x


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g) = g


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

∀ (x : ↑((extendScalars f).obj X)), (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) x = g x


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: z : ↑((extendScalars f).obj X)

(HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) z = g z


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

(HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) 0 = g 0


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: x : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))

Context: s : ↑X

(HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) (x ⊗ₜ[R] s) = g (x ⊗ₜ[R] s)


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: z1 z2 : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑X

Context: ih1 : (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) z1 = g z1

Context: ih2 : (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) z2 = g z2

(HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) (z1 + z2) = g (z1 + z2)


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g) = g


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

∀ (x : ↑X), (HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) x = g x


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: x : ↑X

(HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) x = g x


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: x : ↑X

({ toFun := fun s => HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯ } 1).toAddHom x = g x


Context: R✝ : Type u₁

Context: S✝ : Type u₂

Context: inst✝³ : CommRing R✝

Context: inst✝² : CommRing S✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: R : Type u₁

Context: S : Type u₂

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: X : ModuleCat R

Context: Y : ModuleCat S

Context: g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y

Context: m1 : Module R S := Module.compHom S f

Context: x : ↑X


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

((latticeBasis K).repr ((mixedEmbedding K) x)) i = ↑(((integralBasis K).repr x) i)


((Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ⟨(mixedEmbedding K) x, ⋯⟩) i = ((integralBasis K).repr x) i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f = ↑(integralBasis K).repr


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i✝ : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

(↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f) ((integralBasis K) i) = ↑(integralBasis K).repr ((integralBasis K) i)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : K

Context: i✝ : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

Context: this : f ((integralBasis K) i) = (Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β

range (map f) = {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
l : List β
hl : l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ : List α

Context: f : α → β

Context: a : β

Context: l : List β

Context: ihl : l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → l ∈ range (map f)

Context: hl : a :: l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ : List α

Context: f : α → β

Context: a : β

Context: l : List α

Context: ihl : map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → map f l ∈ range (map f)

Context: hl : a :: map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ : List α

Context: f : α → β

Context: l : List α

Context: a : α

Context: hl : f a :: map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ

Context: h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ

Context: this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Countable ι✝

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝⁶ : MetrizableSpace ι

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace ι

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι

Context: inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: m : MeasurableSpace α

Context: u : ι → α → β

Context: h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

Context: t_sf : ℕ → ι →ₛ ι

Context: n : ℕ

Measurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2))


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : SL(2, R)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k


p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⨆ μ, p ⊓ ⨆ i, (f.genEigenspace μ) i


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: p : Submodule K V

Context: f : End K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: m : V

Context: hm : m ∈ p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k


Context: I : Type u

Context: inst✝²⁵ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝²³ : MonoidalCategory C

Context: X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C

Context: inst✝²² : X₁.HasTensor X₂

Context: inst✝²¹ : X₂.HasTensor X₃

Context: inst✝²⁰ : X₃.HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃

Context: inst✝¹⁸ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)

Context: inst✝¹⁷ : (tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁶ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹⁵ : (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor X₄

Context: inst✝¹⁴ : (tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃)).HasTensor X₄

Context: inst✝¹³ : X₁.HasTensor (tensorObj (tensorObj X₂ X₃) X₄)

Context: inst✝¹² : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))

Context: inst✝¹¹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹⁰ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃

Context: inst✝⁹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃

Context: inst✝⁸ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (tensorObj X₂ X₃) X₄

Context: inst✝⁷ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (tensorObj X₂ X₃) X₄

Context: inst✝⁶ : X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄

Context: inst✝⁵ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: inst✝⁴ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄

Context: inst✝³ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄

Context: inst✝² : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝¹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (tensorObj X₃ X₄)

Context: inst✝ : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

tensorHom (associator X₁ X₂ X₃).hom (𝟙 X₄) ≫ (associator X₁ (tensorObj X₂ X₃) X₄).hom ≫ tensorHom (𝟙 X₁) (associator X₂ X₃ X₄).hom = (associator (tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).hom ≫ (associator X₁ X₂ (tensorObj X₃ X₄)).hom


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)


φ ≫ X.δ j.succ + (φ ≫ (Hσ q).f (n + 1)) ≫ X.δ j.succ = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬n < q


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬n < q
a : ℕ
ha : q + a = n


φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ ≫ X.δ j.succ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
haj : a < ↑j


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
q a m : ℕ
φ : Y ⟶ X _[m + 1 + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (m + 1 + 1)
hj₁ : m + 1 + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬m + 1 < q
ha : q + a = m + 1
hj₂ : ¬a = ↑j
haj : a < ↑j
ham : a ≤ m


φ ≫ X.δ j.succ = φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ j ≫ X.σ (⟨a, ⋯⟩.castLT ⋯)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ


G.map (𝟙 (X _[n])) = 𝟙 (((whiskering C D).obj G).obj X _[n])


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ p f : Perm α
h : p ∈ f.cycleFactorsFinset


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ p f : Perm α

Context: h : p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f✝ p f : Perm α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ p.support


Context: k : Type u_1

Context: P₁ : Type u_2

Context: P₂ : Type u_3

Context: P₃ : Type u_4

Context: P₄ : Type u_5

Context: V₁ : Type u_6

Context: V₂ : Type u_7

Context: V₃ : Type u_8

Context: V₄ : Type u_9

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝¹⁰ : Module k V₁

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V₁ P₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁷ : Module k V₂

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V₂ P₂

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₃

Context: inst✝⁴ : Module k V₃

Context: inst✝³ : AffineSpace V₃ P₃

Context: inst✝² : AddCommGroup V₄

Context: inst✝¹ : Module k V₄

Context: inst✝ : AffineSpace V₄ P₄

Context: e : P₁ ≃ P₂

Context: el : V₁ ≃ₗ[k] V₂

Context: h : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e (v +ᵥ p) = el v +ᵥ e p

Context: e' : P₁ ≃ P₂

Context: el' : V₁ ≃ₗ[k] V₂

Context: h' : ∀ (p : P₁) (v : V₁), e' (v +ᵥ p) = el' v +ᵥ e' p

Context: H : ↑{ toEquiv := e, linear := el, map_vadd' := h } = ↑{ toEquiv := e', linear := el', map_vadd' := h' }

{ toEquiv := e, linear := el, map_vadd' := h } = { toEquiv := e', linear := el', map_vadd' := h' }


Context: k : Type u_1

Context: P₁ : Type u_2

Context: P₂ : Type u_3

Context: P₃ : Type u_4

Context: P₄ : Type u_5

Context: V₁ : Type u_6

Context: V₂ : Type u_7

Context: V₃ : Type u_8

Context: V₄ : Type u_9

Context: inst✝¹² : Ring k

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝¹⁰ : Module k V₁

Context: inst✝⁹ : AffineSpace V₁ P₁

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝⁷ : Module k V₂

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V₂ P₂

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V₃

Context: inst✝⁴ : Module k V₃

Context: inst✝³ : AffineSpace V₃ P₃

Context: inst✝² : AddCommGroup V₄

Context: inst✝¹ : Module k V₄

Context: inst✝ : AffineSpace V₄ P₄

Context: e : P₁ ≃ P₂

Context: el : V₁ ≃ₗ[k] V₂

Context: e' : P₁ ≃ P₂

Context: el' : V₁ ≃ₗ[k] V₂

Context: H : e = e' ∧ el = el'


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsRingHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Ring γ
g : β → γ
hg : IsRingHom g
x y : α


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Ring γ
g : β → γ
hg : IsRingHom g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1

Context: H₂ : 1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ delta * r.size

Context: H₃ : 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1

Context: this : (r.dual.size = 0 → l.dual.size ≤ 1) → (1 ≤ r.dual.size → 1 ≤ l.dual.size → l.dual.size ≤ delta * r.dual.size) → 2 * r.dual.size ≤ 9 * l.dual.size + 5 ∨ r.dual.size ≤ 3 → Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: l : Ordnode α

Context: x : α

Context: r : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ l ↑x

Context: hr : Valid' (↑x) r o₂

Context: H₁ : r.size = 0 → l.size ≤ 1

Context: this : (r.size = 0 → l.size ≤ 1) → (1 ≤ r.size → 1 ≤ l.size → l.size ≤ delta * r.size) → 2 * r.size ≤ 9 * l.size + 5 ∨ r.size ≤ 3 → Valid' o₂ (r.dual.balanceL x l.dual) o₁


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : ℕ
f : R⟦X⟧
h : n < m

(coeff R n) ↑(trunc m f) = (coeff R n) f


Context:
X : Type u_1
a : FreeAbelianGroup X


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: D : I → Type u₂

Context: inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: f : (i : I) → A ⥤ C i

Context: i : I


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: D : I → Type u₂

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: f : (i : I) → A ⥤ C i

Context: i : I

autoParam (∀ (X Y : A) (f_1 : X ⟶ Y), (pi' f ⋙ Pi.eval C i).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (f i).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context: I : Type w₀

Context: J : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: D : I → Type u₂

Context: A : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} A

Context: f : (i : I) → A ⥤ C i

Context: i : I

∀ (X : A), (pi' f ⋙ Pi.eval C i).obj X = (f i).obj X


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n k : ℕ

yn a1 n ∣ xn a1 (n * k) * yn a1 n + yn a1 (n * k) * xn a1 n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : Option α → β

Injective f ↔ (Injective fun x => f (some x)) ∧ ∀ (x : α), ¬f (some x) = f none


((Injective fun x => f (some x)) ∧ ∀ (x : α), ¬f (some x) = f none) → Injective f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : Option α → β

Context: h_some : Injective fun x => f (some x)

Context: h_none : ∀ (x : α), ¬f (some x) = f none

Context: hab : f none = f none


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : Option α → β

Context: h_some : Injective fun x => f (some x)

Context: b : α

Context: hab : f none = f (some b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : Option α → β

Context: h_some : Injective fun x => f (some x)

Context: a : α

Context: hab : f (some a) = f none


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : Option α → β

Context: h_some : Injective fun x => f (some x)

Context: a b : α

Context: hab : f (some a) = f (some b)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
f : ι → α

Directed r f ↔ DirectedOn r (Set.range f)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

sublistsAux = fun a r => (Array.foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (toArray r) 0).toList


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r : List (List α)

sublistsAux a r = (Array.foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (toArray r) 0).toList


foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) [] r = (foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] (toArray r).data).toList


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: r : List (List α)

Context: this : foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) #[].toList r = (foldl (fun r l => (r.push l).push (a :: l)) #[] r).toList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r r' : ι → ι → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι r'
f : ι → Ordinal.{max u v}

(type r).bsup (bfamilyOfFamily' r f) = (type r').bsup (bfamilyOfFamily' r' f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: op : β → β → β

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha : Std.Associative op

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: op' : γ → γ → γ

Context: inst✝¹ : Std.Commutative op'

Context: inst✝ : Std.Associative op'

Context: m : β → γ

Context: hm : ∀ (x y : β), m (op x y) = op' (m x) (m y)

fold op' (m b) (fun x => m (f x)) s = m (fold op b f s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: op : β → β → β

Context: hc : Std.Commutative op

Context: ha : Std.Associative op

Context: f : α → β

Context: b : β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: op' : γ → γ → γ

Context: inst✝¹ : Std.Commutative op'

Context: inst✝ : Std.Associative op'

Context: m : β → γ

Multiset.fold op' (m b) (Multiset.map (fun x => m (f x)) s.val) = Multiset.fold op' (m b) (Multiset.map (m ∘ f) s.val)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
n : Num


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: t : Set R

Context: ht : Ideal.span t = ⊤

Context: H : ∀ (g : ↑t), (ker (Localization.awayMap f ↑g)).FG


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: t : Set R

Context: ht : Ideal.span t = ⊤

∀ (g : ↑t), (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) (ker f)).FG


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: t : Set R

Context: ht : Ideal.span t = ⊤

Context: g : ↑t

(Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) (ker f)).FG


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: t : Set R

Context: ht : Ideal.span t = ⊤

Context: g : ↑t

(ker (IsLocalization.map (Localization.Away (f ↑g)) f ⋯)).FG


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
q : Submodule R N
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] N
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ comap (f i) q
i : ι
x : Ms i ⧸ p i

(piQuotientLift p q f hf) (Pi.single i x) = ((p i).mapQ q (f i) ⋯) x


∑ x_1 : ι, ((p x_1).mapQ q (f x_1) ⋯) (Pi.single i x x_1) = ((p i).mapQ q (f i) ⋯) x


((p i).mapQ q (f i) ⋯) (Pi.single i x i) = ((p i).mapQ q (f i) ⋯) x


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → ((p b).mapQ q (f b) ⋯) (Pi.single i x b) = 0


i ∉ Finset.univ → ((p i).mapQ q (f i) ⋯) (Pi.single i x i) = 0


Context: x y : ℝ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f i - f (i + 1)|↑𝒢 i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
x : M

HasSum (fun b => e (f b)) (e x) ↔ HasSum f x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f f' : P ⟶ Q
g g' : Q ⟶ R
inst✝ : IsIso g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: k : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜

Context: s : Finset α

Context: h₁ : s ∈ ∂ (falling n 𝒜)

Context: h₂ : s ∈ 𝒜 # m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: k : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: h₂ : s ∈ 𝒜 # m

Context: h₁ : ∃ s_1, ((∃ t ∈ 𝒜, s_1 ⊆ t) ∧ s_1.card = n) ∧ ∃ a ∈ s_1, s_1.erase a = s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: k : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: right✝ : s.card = n

Context: t : Finset α

Context: ht : t ∈ 𝒜

Context: hst : s ⊆ t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: h₂ : s.erase a ∈ 𝒜 # m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: k : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s✝ : Finset α

Context: m n : ℕ

Context: s : Finset α

Context: right✝ : s.card = n

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: h₂ : s.erase a ∈ 𝒜 # m

Context: ht : s.erase a ∈ 𝒜

Context: hst : s ⊆ s.erase a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: i : ℕ

Context: h : i < xs.length

Context: h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j ≤ i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: p : α → Bool

Context: xs : List α

Context: i : ℕ

Context: h : i < xs.length

Context: f : findIdx p xs ≤ i


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A


Context:
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G R
inst✝¹ : SMulCommClass G R R
inst✝ : IsScalarTower G R R
x : G
y z : R
x✝ : IsCoprime (x • y) z
a b : R
h : a * x • y + b * z = 1


Context:
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G R
inst✝¹ : SMulCommClass G R R
inst✝ : IsScalarTower G R R
x : G
y z : R
x✝ : IsCoprime y z
a b : R
h : a * y + b * z = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
x : ℝ
hx : 50 / 19 ≤ x
this : 1.38 = 69 / 50


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this : J.IsPrime


∀ ⦃b : Ideal R⦄, b ∈ {p | p.IsPrime ∧ comap f I ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b (comap f J) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) (comap f J) b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this : J.IsPrime
K : Ideal R
hK : K.IsPrime
e₁ : comap f I ≤ K
e₂ : K ≤ comap f J


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J✝ : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I J : Ideal S
h : J ∈ I.minimalPrimes
this✝ : J.IsPrime
K : Ideal R
hK : K.IsPrime
e₁ : comap f I ≤ K
e₂ : K ≤ comap f J
this : RingHom.ker f ≤ K


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E

convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) = convexJoin 𝕜 t (convexJoin 𝕜 s u)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Zero X
inst✝⁵ : Zero Y
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : T1Space R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace α
s : Set β
f : α → β


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]

∃ q, (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q = p ∧ Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q p : R[X]

Context: he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * 0

Multiset.card p.roots + natDegree 0 = p.natDegree ∧ roots 0 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p✝ q✝ p q : R[X]

Context: hq : q ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G

Context: C : ℝ

Context: h : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖

Context: x : E


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
m : M

m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N


(∀ (b : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ b) → span R {m} ≤ b) ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : NoAtoms μ
b : ℝ

Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝 0) (𝓝 0)


Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[<] 0) (𝓝 0) ∧ Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[≥] 0) (𝓝 0)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A


2 * φ W.a₄ + φ W.a₁ * φ W.a₃ = φ (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
b : Rˣ
hb : χ ↑b ≠ 1


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q q' : ℤ
hpq : p + 0 = q

(ofHoms ψ).v p q hpq ≫ G.d q q' = ψ p ≫ G.d p q'


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q q' : ℤ
hpq✝ : p + 0 = q
hpq : p = q

(ofHoms ψ).v p q hpq✝ ≫ G.d q q' = ψ p ≫ G.d p q'


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q' : ℤ
hpq : p + 0 = p

(ofHoms ψ).v p p hpq ≫ G.d p q' = ψ p ≫ G.d p q'


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V

Context: x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)

(toBaseChange A Q) (reverse x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V

Context: this : ((AlgHom.op (toBaseChange A Q)).comp reverseOp) x = ((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V

unop (((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V

(TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A).symm ∘ₗ (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)).toLinearMap) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) (↑(toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V

(TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A).symm ∘ₗ ↑(opLinearEquiv A)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) (↑(toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V

(TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A ≪≫ₗ (opLinearEquiv A).symm)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: V : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Algebra R A

Context: inst✝³ : Module R V

Context: inst✝² : Module A V

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A V

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticForm R V

(TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(LinearEquiv.refl A A)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))

z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ z ∈ x.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

Context: z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

HomogeneousLocalization.mk z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ x.asIdeal


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace

HomogeneousLocalization.mk z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ ↑z.num ∈ FromSpec.carrier f_deg x


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Mono f ↔ Function.Injective ((forget C).map f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Mono ⇑((forget₂ C Ab).map f) ↔ Mono ((forget C).map f)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t x : Set α
f : ι → Filter α


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x


ContinuousWithinAt g s x ∧ ∃ g_1, g =ᶠ[𝓝[s] x] g_1 ∧ AnalyticAt 𝕜 g_1 x


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
eg : g =ᶠ[𝓝[s] x] f'


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
h : 1 = -1


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
h : -1 = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : α


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: hV : IsHilbertSum 𝕜 G V

Context: i : ι

Context: x : G i

hV.linearIsometryEquiv.symm (lp.single 2 i x) = (V i) x


Context:
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁶ : Field 𝕂
inst✝⁵ : Field 𝕂'
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂' 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
n : ℕ
x : 𝔸

((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (expSeries 𝕂' 𝔸 n) fun x_1 => x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f✝ f g : α → Option α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: H : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → f a_1 = g a_1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f✝ f g : α → Option α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: H₁ : f a = g a

Context: H₂ : ∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : b ∣ a + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Finset α

(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∪ ↑t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∩ ↑t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑t), f i


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I ((j : ι) → M j)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M

SameRay R x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]


SameRay R x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay R x (-y) ↔ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hmn : m ≤ n


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
hmn : m ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ → σ

Context: g : α → List σ → Option σ

Context: hg : Computable₂ g

Context: H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = Option.some (f a n)

Context: this : Computable₂ fun a n => List.map (f a) (List.range n)

Context: a : α × ℕ

(fun a b => (List.map (f (a, b).1) (List.range (a, b).2.succ)).get? (a, b).2) a.1 a.2 = Option.some (f a.1 a.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ → σ

Context: g : α → List σ → Option σ

Context: hg : Computable₂ g

Context: a : α × ℕ

Context: n : ℕ

Context: IH : Nat.rec (Option.some []) (fun y IH => (a, y, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, y, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, y, IH), b), b_1).2]) (g ((a, y, IH), b).1.1.1 ((a, y, IH), b).2)) n = Option.some ((fun a n => List.map (f a) (List.range n)) a.1 n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ b : α
a : α × α
h : a ∈ s.offDiag


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
y : G

(fderiv ℝ (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) x) y = ⟪f x, (fderiv ℝ g x) y⟫_𝕜 + ⟪(fderiv ℝ f x) y, g x⟫_𝕜


((fderivInnerCLM 𝕜 (f x, g x)).comp ((fderiv ℝ f x).prod (fderiv ℝ g x))) y = ⟪f x, (fderiv ℝ g x) y⟫_𝕜 + ⟪(fderiv ℝ f x) y, g x⟫_𝕜


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : F (α ::: Cofix F α)
h : mk x = mk y


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I : Ideal R


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: hgt : ∀ J > M, (fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) J

(fun I => ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I) M


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)

Context: h_Wx : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span R {x}

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)

Context: h_Wy : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span R {y}


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)

(Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≤ M


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)

(Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)

M * (M + span R {y}) + span R {x} * (M + span R {y}) ≤ M


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁵ : CommSemiring S

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsNoetherianRing R

Context: A : Type u

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : IsDomain A

Context: inst✝ : IsNoetherianRing A

Context: I M : Ideal R

Context: h_prM : ¬M.IsPrime

Context: htop : ¬M = ⊤

Context: lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span R {z}

Context: x : R

Context: hx : x ∉ M

Context: y : R

Context: hy : y ∉ M

Context: hxy : x * y ∈ M

Context: Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)

Context: Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)

span R {x} * M + span R {x} * span R {y} ≤ M


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx' : IsIntegral R x

minpoly R x = minpoly R (powerBasis' hx').gen


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: f : R[X]

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: x : S

Context: hx' : IsIntegral R x

Context: this : IsDomain (AdjoinRoot (minpoly R x))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: f : R[X]

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: x : S

Context: hx' : IsIntegral R x

Context: this✝ : IsDomain (AdjoinRoot (minpoly R x))

Context: this : NoZeroSMulDivisors R (AdjoinRoot (minpoly R x))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: f : R[X]

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: inst✝ : IsIntegrallyClosed R

Context: x : S

Context: hx' : IsIntegral R x


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : w ∈ closedBall z r


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
hw : dist z z ≤ r


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1


Context:
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1
hball : MapsTo e (ball 0 1) (ball z r)


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Ring α
i j i✝ j✝ : n

(Equiv.toPEquiv (Equiv.swap i j)).toMatrix i✝ j✝ = (1 - (single i i).toMatrix - (single j j).toMatrix + (single i j).toMatrix + (single j i).toMatrix) i✝ j✝


(if j✝ ∈ some (if i✝ = i then j else if i✝ = j then i else i✝) then 1 else 0) = ((((if i✝ = j✝ then 1 else 0) - if j✝ ∈ if i✝ = i then some i else none then 1 else 0) - if j✝ ∈ if i✝ = j then some j else none then 1 else 0) + if j✝ ∈ if i✝ = i then some j else none then 1 else 0) + if j✝ ∈ if i✝ = j then some i else none then 1 else 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a b c d : α
h : a * b ~ᵤ c * d
h₁ : a ~ᵤ c
ha : a ≠ 0
u : αˣ
hu : a * b * ↑u = c * d
v : αˣ
hv : c * ↑v = a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℕ
x y : E

inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
a b : Ordinal.{u}
a0 : a ≠ 0
h : b.IsLimit


(b.limitRecOn 1 (fun x IH => IH * a) fun b x => b.bsup) = b.bsup fun c x => c.limitRecOn 1 (fun x IH => IH * a) fun b x => b.bsup


Context:
m✝ n : ℕ
x✝ : Even n
m : ℕ
hm : n = m + m


Context:
m n : ℕ
h : n % 2 = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
r : ℝ
hr : 0 < r

⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace R
A : X → Matrix n l R
B : X → Matrix n m R
C : X → Matrix p l R
D : X → Matrix p m R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
hC : Continuous C
hD : Continuous D

∀ (i : n ⊕ p) (j : l ⊕ m), Continuous fun a => fromBlocks (A a) (B a) (C a) (D a) i j


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E


WeakDual.instTopologicalSpace = TopologicalSpace.induced (fun x' => toWeakDual x') WeakDual.instTopologicalSpace


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : ℝ
f : ℕ → ℕ
hm : 1 < m
fi : ∀ (i : ℕ), i ≤ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : ℝ
f : ℕ → ℕ
hm : 1 < m
fi : ∀ (i : ℕ), i ≤ f i
a : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


∀ (f : R[X]), f.natDegree < 1 → divX_hom f = 0


∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (divX_hom ((monomial n) c)).natDegree = n - 1


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : BoundarylessManifold I M

Context: hγ : IsIntegralCurve γ v

Context: hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }

Xor' (∃ T > 0, Periodic γ T) (Injective γ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ : ℝ

Context: x₀ : M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : BoundarylessManifold I M

Context: hγ : IsIntegralCurve γ v


Context:
d : Nat
nz : d ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder γ

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology γ

Context: h : IdentDistrib f g μ ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: f : α → γ

Context: g : β → γ

Context: inst✝² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology γ

Context: h : IdentDistrib f g μ ν

Context: I : ∀ (a : γ), μ {x | a < f x} = ν {x | a < g x}


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
M : Matroid α


∀ I ⊆ (M ↾ M.E).E, (M ↾ M.E).Indep I ↔ M.Indep I


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b : G₀
p : G₀ → Prop


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
F : Filter X

(map f F).lift' closure = map f (F.lift' closure)


F.lift' (closure ∘ image f) = F.lift' (image f ∘ closure)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
F : Filter X
s : Set X

(closure ∘ image f) s = (image f ∘ closure) s


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₁ : γ₁

inl c₁ ∈ sumLift₂ f g a b ↔ ∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁


(∃ a₁ b₁ c₁_1, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ inl c₁ = inl c₁_1 ∧ c₁_1 ∈ f a₁ b₁) ↔ ∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁


¬∃ a₂ b₂ c₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ inl c₁ = inr c₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂


Context:
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₁ : γ₁
w✝¹ : α₂
w✝ : β₂
c₂ : γ₂
left✝¹ : a = inr w✝¹
left✝ : b = inr w✝
h : inl c₁ = inr c₂
right✝ : c₂ ∈ g w✝¹ w✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
s : e.source = univ
t : e.target = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
s : e.source = univ
t : e.target = univ
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'
s : e.source = univ
t : e.target = univ
x : β


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
h_two : p ≠ 2
h_three : p ≠ 3


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
h_two : p ≠ 2
h_three : p ≠ 3
h : p < 5


Context:
n p : ℕ
h : p < 5


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ

(trunc (n + 1) 1).coeff m = Polynomial.coeff 1 m


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ

(if m < n + 1 then if m = 0 then 1 else 0 else 0) = if m = 0 then 1 else 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ
a : ℝ≥0

HasSum (fun n => f (n + k)) a ↔ HasSum f (a + ∑ i ∈ Finset.range k, f i)


Context:
α : Type u_1
f : ℕ → ℝ≥0
k : ℕ
a : ℝ≥0

HasSum (fun n => ↑(f n)) (↑a + ∑ i ∈ Finset.range k, ↑(f i)) ↔ HasSum f (a + ∑ i ∈ Finset.range k, f i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => -f y) s x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Semiring T
inst✝¹ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f : F
g : G
r : R


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ≠ last s


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ≠ last s
hi : ↑i < (s.length - 1).succ


(eraseLast s).toFun ↑↑i.castSucc = s.toFun i


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
this : 0 ≤ 2 * f (x, y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Monotone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: hgb : ∀ (n : ℕ), ‖∑ i ∈ Finset.range n, z i‖ ≤ b

CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i • z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Monotone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i • z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Monotone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

CauchySeq fun n => f n • ∑ i ∈ Finset.range n.succ, z i + -∑ x ∈ Finset.range n, (f (x + 1) + -f x) • ∑ i ∈ Finset.range (x + 1), z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Monotone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

CauchySeq fun n => -∑ x ∈ Finset.range n, (f (x + 1) + -f x) • ∑ i ∈ Finset.range (x + 1), z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Monotone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (f (x + 1) + -f x) • ∑ i ∈ Finset.range (x + 1), z i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Monotone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, b * |f (i + 1) - f i|


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: b : ℝ

Context: f : ℕ → ℝ

Context: z : ℕ → E

Context: hfa : Monotone f

Context: hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

Context: n : ℕ

‖(f (n + 1) + -f n) • (Finset.range (n + 1)).sum z‖ ≤ b * |f (n + 1) - f n|


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree < p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : (-q).degree < p.degree


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : E →L[𝕜] E
x : E
c : 𝕜

T.reApplyInnerSelf (c • x) = ‖c‖ ^ 2 * T.reApplyInnerSelf x


Context:
a b c d m n : ℤ
this : 1 ≠ -1

∀ {m n : ℤ}, m.sign = n.sign → (m + n).sign = n.sign


Context:
a b c d m✝ n✝ : ℤ
this : 1 ≠ -1
m n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
σ τ : Type
inst✝³ : Finite τ
S : σ → C
inst✝² : HasBiproduct S
T : τ → C
inst✝¹ : HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
inst✝ : IsIso f

(∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0) → 𝟙 (S s) = 0


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
σ τ : Type
inst✝³ : Finite τ
S : σ → C
inst✝² : HasBiproduct S
T : τ → C
inst✝¹ : HasBiproduct T
s : σ
f : ⨁ S ⟶ ⨁ T
inst✝ : IsIso f
val✝ : Fintype τ


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: σ τ : Type

Context: inst✝³ : Finite τ

Context: S : σ → C

Context: inst✝² : HasBiproduct S

Context: T : τ → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct T

Context: s : σ

Context: f : ⨁ S ⟶ ⨁ T

Context: inst✝ : IsIso f

Context: val✝ : Fintype τ

Context: z : ∀ (t : τ), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: σ τ : Type

Context: inst✝³ : Finite τ

Context: S : σ → C

Context: inst✝² : HasBiproduct S

Context: T : τ → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct T

Context: s : σ

Context: f : ⨁ S ⟶ ⨁ T

Context: inst✝ : IsIso f

Context: val✝ : Fintype τ

Context: reassoced : ∀ {t : τ} {W : C} (h : T t ⟶ W), biproduct.ι S s ≫ f ≫ biproduct.π T t ≫ h = 0 ≫ h


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: σ τ : Type

Context: inst✝³ : Finite τ

Context: S : σ → C

Context: inst✝² : HasBiproduct S

Context: T : τ → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct T

Context: s : σ

Context: f : ⨁ S ⟶ ⨁ T

Context: inst✝ : IsIso f

Context: val✝ : Fintype τ

Context: x : S s ⟶ S s := biproduct.ι S s ≫ f ≫ inv f ≫ biproduct.π S s

Context: h₁ : x = 𝟙 (S s)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: σ τ : Type

Context: inst✝³ : Finite τ

Context: S : σ → C

Context: inst✝² : HasBiproduct S

Context: T : τ → C

Context: inst✝¹ : HasBiproduct T

Context: s : σ

Context: f : ⨁ S ⟶ ⨁ T

Context: inst✝ : IsIso f

Context: val✝ : Fintype τ

Context: h₁ : x = 𝟙 (S s)

Context: h₀ : x = 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

W.φ 4 = C X * C W.preΨ₄ ^ 2 * W.ψ₂ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 4 * C W.Ψ₃ + C W.Ψ₃ ^ 4


C X * (C W.preΨ₄ * W.ψ₂) ^ 2 - (C W.preΨ₄ * W.ψ₂ * W.ψ₂ ^ 3 - 1 * C W.Ψ₃ ^ 3) * C W.Ψ₃ = C X * C W.preΨ₄ ^ 2 * W.ψ₂ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 4 * C W.Ψ₃ + C W.Ψ₃ ^ 4


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
pm : p.natDegree ≤ m
qn : q.natDegree ≤ n

(p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n


(p.toFinsupp * q.toFinsupp) (m + n) = p.toFinsupp m * q.toFinsupp n


AddMonoidAlgebra.supDegree id p.toFinsupp ≤ id m


AddMonoidAlgebra.supDegree id q.toFinsupp ≤ id n


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.38840, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: l : List α

Context: comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)

Context: b : β

noncommFoldr f (↑l) comm b = List.foldr f b l


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: l : List α

Context: b : β

List.foldr (fun x => f ↑x) b (List.pmap Subtype.mk l ⋯) = List.foldr f b l


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: l : List α

Context: b : β

List.foldr f b (List.map Subtype.val (List.pmap Subtype.mk l ⋯)) = List.foldr f b l


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x y : α
s t : Seq α
h : cons x s = cons y t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
x y : α
s t : Seq α
h : cons x s = cons y t
n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u v : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: connected_fibers : ∀ (t : β), IsConnected (f ⁻¹' {t})

Context: hcl : ∀ (T : Set β), IsClosed T ↔ IsClosed (f ⁻¹' T)

Context: t : β

IsConnected (f ⁻¹' connectedComponent t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u v : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u v : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

IsPreconnected (f ⁻¹' connectedComponent t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u v : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: hT : IsClosed (f ⁻¹' connectedComponent t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u v : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

∀ (u v : Set α), IsClosed u → IsClosed v → f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: huv : f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∪ v

Context: uv_disj : Disjoint u v

Context: T₁ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ u}

Context: T₂ : Set β := {t' | t' ∈ connectedComponent t ∧ f ⁻¹' {t'} ⊆ v}

Context: fiber_decomp : ∀ t' ∈ connectedComponent t, f ⁻¹' {t'} ⊆ u ∨ f ⁻¹' {t'} ⊆ v

Context: T₁_u : f ⁻¹' T₁ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ u

Context: T₂_v : f ⁻¹' T₂ = f ⁻¹' connectedComponent t ∩ v

f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ u ∨ f ⁻¹' connectedComponent t ⊆ v


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: uv_disj : Disjoint u v

Context: hT₁ : IsClosed T₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: uv_disj : Disjoint u v

Context: hT₁ : IsClosed T₁

Context: hT₂ : IsClosed T₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: uv_disj : Disjoint u v

Context: hT₁ : IsClosed T₁

Context: hT₂ : IsClosed T₂

Context: T_decomp : connectedComponent t ⊆ T₁ ∪ T₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: uv_disj : Disjoint u v

Context: hT₁ : IsClosed T₁

Context: hT₂ : IsClosed T₂

Context: T_disjoint : Disjoint T₁ T₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: uv_disj : Disjoint u v

Context: hT₁ : IsClosed T₁

Context: hT₂ : IsClosed T₂

Context: T_disjoint : Disjoint T₁ T₂

Context: h : connectedComponent t ⊆ T₁


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t✝ u✝ v✝ : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: t : β

Context: hf : Surjective f

Context: u v : Set α

Context: hu : IsClosed u

Context: hv : IsClosed v

Context: uv_disj : Disjoint u v

Context: hT₁ : IsClosed T₁

Context: hT₂ : IsClosed T₂

Context: T_disjoint : Disjoint T₁ T₂

Context: h : connectedComponent t ⊆ T₂


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

C a * (monomial n) b = (monomial n) (a * b)


Context:
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝² : Quiver U
inst✝¹ : Quiver V
inst✝ : Quiver W
h : HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L

∀ {x y : L}, x ∈ __src✝.carrier → y ∈ __src✝.carrier → ⁅x, y⁆ ∈ __src✝.carrier


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0


∑ ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n), (m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0


∀ x_1 ∈ Finset.antidiagonal (m + n), (m + n).choose x_1.1 • ⁅((ad R L) x ^ x_1.1) y, ((ad R L) x ^ x_1.2) z⁆ = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n)

(m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n)
h : m ≤ ij.1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n)
h : n ≤ ij.2


Context: δ : Type u_1

Context: δ' : Type u_2

Context: π : δ → Type u_3

Context: inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)

Context: μ : (i : δ) → Measure (π i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq δ

Context: s t : Finset δ

Context: f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: x y : (i : δ) → π i

Context: i✝ : δ

Context: f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: i : δ

Context: hi : i ∈ s

∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s.erase i, fun x => ∫⁻ (xᵢ : π i), f (update x i xᵢ) ∂μ i ∂μ


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
i : ℕ

(p.update n a).coeff i = if i = n then a else p.coeff i


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a : α
s : Set α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t : Set β
a✝ a : α
s : Set α
ha : a ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: a a₁ a₂ b c : G

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : AddGroup A

Context: s : Set A

Context: zero_mem : 0 ∈ s

Context: sub_mem : ∀ {a b : A}, a ∈ s → b ∈ s → a - b ∈ s

Context: x y : A

Context: hx : x ∈ s

Context: hy : y ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁶ : FunLike F α β
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : OrderHomClass F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : a ≤ 0


Context: a x z✝ z : ℂ


Context: a x z✝ z : ℂ

(0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ z.im < 0) ↔ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re = 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 < z.re


Context:
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

Context: inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.138915 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄

Context: inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.144366 ⟶ X₂) true ≫ f₂)

Context: inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄

Context: inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄ = pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

(pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.fst f₃ f₄ = pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.fst f₃ f₄


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ Y₁

Context: f₂ : X₂ ⟶ Y₁

Context: f₃ : X₂ ⟶ Y₂

Context: f₄ : X₃ ⟶ Y₂

Context: inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄

pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.fst f₃ f₄ = pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂


Context: a b : ℕ

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : a.primeFactorsList <+~ b.primeFactorsList


Context: a : ℕ

Context: ha : a ≠ 0

Context: h : a.primeFactorsList <+~ primeFactorsList 0


Context: a b : ℕ

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b > 0


Context: b : ℕ

Context: hb : b > 0

Context: a : ℕ

Context: ha : a + 1 + 1 ≠ 0

Context: h : (a + 1 + 1).primeFactorsList <+~ b.primeFactorsList


Context: b : ℕ

Context: hb : b > 0

Context: a : ℕ

Context: ha : a + 1 + 1 ≠ 0

b = (a + 1 + 1) * (b.primeFactorsList.diff a.succ.succ.primeFactorsList).prod


Context: b : ℕ

Context: hb : b > 0

Context: a : ℕ

Context: ha : a + 1 + 1 ≠ 0

b = (a + 1 + 1).primeFactorsList.prod * (b.primeFactorsList.diff a.succ.succ.primeFactorsList).prod