Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

⨆ b, ↑(μ.toFun L') + ↑(μ.toFun ↑b) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: L' : Compacts G := { carrier := closure ↑L, isCompact' := ⋯ }

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: this : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }

∀ (i : { i // ↑i ⊆ ↑U' \ ↑L' }), ↑(μ.toFun L') + ↑(μ.toFun ↑i) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: M : Compacts G

Context: hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'

↑(μ.toFun L') + ↑(μ.toFun ↑⟨M, hM⟩) ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: M : Compacts G

Context: hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: M' : Compacts G := { carrier := closure ↑M, isCompact' := ⋯ }


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: M : Compacts G

Context: hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'

(fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M' ≤ μ.outerMeasure ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝¹ : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: M : Compacts G

Context: hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝² : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝¹ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: this✝ : Nonempty { M // ↑M ⊆ ↑U' \ closure ↑L }

Context: M : Compacts G

Context: hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: this : ↑(L' ⊔ M') ⊆ ↑U'


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝² : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝¹ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: M : Compacts G

Context: hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: this : ↑(L' ⊔ M') ⊆ ↑U'

(fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M' ≤ μ.innerContent { carrier := ↑U', is_open' := ⋯ }


Context: G : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝¹ : R1Space G

Context: S : MeasurableSpace G

Context: inst✝ : BorelSpace G

Context: U : Set G

Context: hU : U ∈ {s | IsOpen s}

Context: U' : Opens G

Context: this✝² : Nonempty { L // ↑L ⊆ ↑U' ∩ U }

Context: L : Compacts G

Context: hL : ↑L ⊆ ↑U' ∧ ↑L ⊆ U

Context: hL'U : ↑L' ⊆ U

Context: hL'U' : ↑L' ⊆ ↑U'

Context: this✝¹ : ↑U' \ U ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: M : Compacts G

Context: hM : ↑M ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: hM' : ↑M' ⊆ ↑U' \ ↑L'

Context: this : ↑(L' ⊔ M') ⊆ ↑U'

(fun s => ↑(μ.toFun s)) (L' ⊔ M') = (fun s => ↑(μ.toFun s)) L' + (fun s => ↑(μ.toFun s)) M'


Context: P : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : P.toProperty.RespectsIso

Context: H : ∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst_1 : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)

Context: Z X Y S : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine S

Context: inst✝ : IsAffine X

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : Z ⟶ Y

Context: g' : Z ⟶ X

Context: h : IsPullback g' f' f g

Context: hg : P g


Context: P : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝² : P.toProperty.RespectsIso

Context: Z X Y S : Scheme

Context: inst✝¹ : IsAffine S

Context: inst✝ : IsAffine X

Context: f : X ⟶ S

Context: g : Y ⟶ S

Context: f' : Z ⟶ Y

Context: g' : Z ⟶ X

Context: h : IsPullback g' f' f g

Context: hg : P g


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : 𝕜
x y : E

inner_ 𝕜 (r • x) y = (starRingEnd 𝕜) r * inner_ 𝕜 x y


↑(re r) * inner_ 𝕜 x y + ↑(im r) * (-I * inner_ 𝕜 x y) = (↑(re r) + ↑(im r) * -I) * inner_ 𝕜 x y


Context:
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
i : xr
xR : xr → PGame
j : (xR i).LeftMoves

((xR i).moveLeft j).Subsequent (mk xl xr xL xR)


Context:
F : Type w
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S
s : NonUnitalSubring R
x : R × S

x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ

degreeLT R n = Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range n))


degreeLT R n ≤ Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range n))


Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range n)) ≤ degreeLT R n


↑(range n) ⊆ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLT R n)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n k : ℕ
hk : k ∈ ↑(range n)

k ∈ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLT R n)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: X✝ Y✝ : (CostructuredArrow F.op (op d))ᵒᵖ

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

(unop X✝).hom.unop ≫ F.map f.unop.left.unop = (unop Y✝).hom.unop


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: d : D

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

((unop Y✝).hom ≫ 𝟙 (op d)).unop = (unop Y✝).hom.unop


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y x✝¹ : E
x✝ : x✝¹ ∈ s


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝² y x✝¹ : E
x✝ : x✝¹ ∈ s
x : E


Context: k n : ℕ

Pairwise (Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x x_1 => x < x_1) (antidiagonalTuple (k + 1) n)


Context: k n : ℕ

(∀ a ∈ antidiagonal n, Pairwise (fun a_2 b => Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a.1 a_2) (Fin.cons a.1 b)) (antidiagonalTuple k a.2)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ a ∈ antidiagonalTuple k a₁.2, ∀ a_2 ∈ antidiagonalTuple k a₂.2, Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a₁.1 a) (Fin.cons a₂.1 a_2)) (antidiagonal n)


Context: k n : ℕ

(∀ (a b : ℕ), a + b = n → Pairwise (fun a_2 b => Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a a_2) (Fin.cons a b)) (antidiagonalTuple k b)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ a ∈ antidiagonalTuple k a₁.2, ∀ a_2 ∈ antidiagonalTuple k a₂.2, Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun x x x_1 => x < x_1) (Fin.cons a₁.1 a) (Fin.cons a₂.1 a_2)) (antidiagonal n)


Context: k n : ℕ

(∀ (a b : ℕ), a + b = n → Pairwise (fun a b => Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun i x x_1 => x < x_1) a b) (antidiagonalTuple k b)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ a ∈ antidiagonalTuple k a₁.2, ∀ a_2 ∈ antidiagonalTuple k a₂.2, a₁.1 < a₂.1 ∨ a₁.1 = a₂.1 ∧ Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun i x x_1 => x < x_1) a a_2) (antidiagonal n)


∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] (-(π / 2)), cos x ∈ Ioi 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
hab : a ≠ b


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support


((c.dropUntil u h).darts ++ (c.takeUntil u h).darts) ~r c.darts


((c.takeUntil u h).darts ++ (c.dropUntil u h).darts) ~r c.darts


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N

dualDistribInvOfBasis b c ∘ₗ dualDistrib R M N = LinearMap.id


∀ (i : ι × κ), (dualDistribInvOfBasis b c ∘ₗ dualDistrib R M N) ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) i) = LinearMap.id ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) i)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ

(dualDistribInvOfBasis b c ∘ₗ dualDistrib R M N) ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) (i, j)) = LinearMap.id ((b.dualBasis.tensorProduct c.dualBasis) (i, j))


∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, ((Finsupp.single x 1) i * (Finsupp.single x_1 1) j) • b.coord x ⊗ₜ[R] c.coord x_1 = b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j


((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single j 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j = b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j


∀ b_1 ∈ Finset.univ, b_1 ≠ j → ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single b_1 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord b_1 = 0


j ∉ Finset.univ → ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single j 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord j = 0


∀ b_1 ∈ Finset.univ, b_1 ≠ i → ∑ x : κ, ((Finsupp.single b_1 1) i * (Finsupp.single x 1) j) • b.coord b_1 ⊗ₜ[R] c.coord x = 0


i ∉ Finset.univ → ∑ x : κ, ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single x 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
i : α
h : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t : Set α
ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
s : Set α
hs : s ∈ generateSetAlgebra 𝒜


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ aeSeqSet hf p

Context: h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: x : α

Context: hx : x ∈ aeSeqSet hf p


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
inst✝¹ : Countable ι'
m : ι → Measure α
m' : ι' → Measure β
inst✝ : ∀ (n : ι'), SFinite (m' n)

(sum m).prod (sum m') = sum fun p => (m p.1).prod (m' p.2)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : IsDedekindDomain B
L : Ideal B
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
g : A ⧸ J →+* B ⧸ L
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g

(idealFactorsFunOfQuotHom hg).comp (idealFactorsFunOfQuotHom hf) = idealFactorsFunOfQuotHom ⋯


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : IsDedekindDomain B
L : Ideal B
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
g : A ⧸ J →+* B ⧸ L
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : { p // p ∣ I }

((idealFactorsFunOfQuotHom hg).comp (idealFactorsFunOfQuotHom hf)) x = (idealFactorsFunOfQuotHom ⋯) x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝³ : Mul β

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: l : Filter α

Context: f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β

Context: hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂

Context: hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
t : Set X
ht : IsSeparable t
hgt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t


Context:
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
t : Set X
ht : IsSeparable t
hgt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
this : SecondCountableTopology ↑t


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U


↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = s


∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection s).arrows f → F.map f.op ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = F.map f.op s


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection s).arrows i

F.map i.op ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = F.map i.op s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : CancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α

(∏ i ∈ t \ s, f i) * ∏ i ∈ s, f i = (∏ i ∈ s \ t, f i) * ∏ i ∈ t, f i


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R

Multiset.count i (p * C c).degrees ≤ Multiset.count i p.degrees


Context:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

(contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = 0


∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx


Context:
s : List Char
i p n : Nat

utf8GetAux s { byteIdx := i + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux s { byteIdx := i } { byteIdx := p }


Context:
s : List Char
i p n : Nat

∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := p } → utf8GetAux cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs (i + c) { byteIdx := p } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := p + n } then c else utf8GetAux cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := p + n }) = if i = { byteIdx := p } then c else utf8GetAux cs (i + c) { byteIdx := p }


Context: s : List Char

Context: i✝ p n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬{ byteIdx := i } = { byteIdx := p }

Context: ih : utf8GetAux cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }

(if { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } = { byteIdx := p + n } then c else utf8GetAux cs ({ byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } + c) { byteIdx := p + n }) = if { byteIdx := i } = { byteIdx := p } then c else utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }


Context: s : List Char

Context: i✝ p n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬i = p

(if i + n = p + n then c else utf8GetAux cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := p + n }) = if i = p then c else utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }


Context: s : List Char

Context: i✝ p n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬i = p

utf8GetAux cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }


Context: s : List Char

Context: i✝ p n : Nat

Context: c : Char

Context: cs : List Char

Context: i : Nat

Context: h : ¬i = p

utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

All p (match l, v, r with | a, x, node red b y (node red c z d) => node red (node black a x b) y (node black c z d) | a, x, node red (node red b y c) z d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | a, x, b => node black a x b) ↔ p v ∧ All p l ∧ All p r


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E

(minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, minpoly F x = X ^ q ^ n - C y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_3} A

Context: L : C ⥤ D

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddMonoid M

Context: inst✝⁵ : HasShift C M

Context: inst✝⁴ : HasShift D M

Context: inst✝³ : L.CommShift M

Context: inst✝² : G.ShiftSequence M

Context: F' : M → D ⥤ A

Context: e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful

Context: X : C

(F.isoShiftZero M).hom.app (L.obj X) = (e' 0).hom.app X ≫ (G.isoShiftZero M).hom.app X ≫ e.inv.app X


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
P' : Type u_5
inst✝² : CommRing P'
inst✝¹ : Algebra R P'
inst✝ : IsLocalization S P'
x : P

(canonicalEquiv S P P') (spanSingleton S x) = spanSingleton S ((IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) x)


∀ (x_1 : P'), x_1 ∈ (canonicalEquiv S P P') (spanSingleton S x) ↔ x_1 ∈ spanSingleton S ((IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) x)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)

IsIrreducible s ↔ (vanishingIdeal s).IsPrime


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}


Context: R : Type u_1


Context:
α β : Type u
α' β' : Type v
F : Type u → Type v → Type w
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
x : F α α'

(mapEquiv F (Equiv.refl α) (Equiv.refl α')) x = (Equiv.refl (F α α')) x


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]

∀ (a : R), map f ((C a).comp q) = (map f (C a)).comp (map f q)


∀ (p q_1 : R[X]), map f (p.comp q) = (map f p).comp (map f q) → map f (q_1.comp q) = (map f q_1).comp (map f q) → map f ((p + q_1).comp q) = (map f (p + q_1)).comp (map f q)


∀ (n : ℕ) (a : R), map f ((C a * X ^ n).comp q) = (map f (C a * X ^ n)).comp (map f q) → map f ((C a * X ^ (n + 1)).comp q) = (map f (C a * X ^ (n + 1))).comp (map f q)


Context:
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

addXYZ (map W' f) (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = ⇑f ∘ W'.addXYZ P Q


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b C : ℝ

Context: hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc 0 1)

Context: bound : ∀ x ∈ Ico 0 1, ‖derivWithin f (Icc 0 1) x‖ ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : AddMonoid M

Context: S : Finset R[M]

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

Context: this : DecidableEq M := Classical.decEq M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : AddMonoid M

Context: S : Finset R[M]

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

adjoin R (of' R M '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : AddMonoid M

Context: S : Finset R[M]

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

Context: this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M

Context: this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : AddMonoid M

Context: S : Finset R[M]

Context: hS : adjoin R ↑S = ⊤

adjoin R (of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

(J.isoToPlus P hP).inv = J.plusLift (𝟙 P) hP


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P

J.toPlus P ≫ (J.isoToPlus P hP).inv = 𝟙 P


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hP : Presheaf.IsSheaf J P


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : MDifferentiable I I' e

Context: e' : PartialHomeomorph M' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

(mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : MDifferentiable I I' e

Context: e' : PartialHomeomorph M' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

Context: this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : MDifferentiable I I' e

Context: e' : PartialHomeomorph M' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : MDifferentiable I I' e

Context: e' : PartialHomeomorph M' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

Context: this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)

Context: this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : MDifferentiable I I' e

Context: e' : PartialHomeomorph M' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv I I id x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : MDifferentiable I I' e

Context: e' : PartialHomeomorph M' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M M'

Context: he : MDifferentiable I I' e

Context: e' : PartialHomeomorph M' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

Context: this✝¹ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)

Context: this✝ : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

Context: this : e.source ∈ 𝓝 x


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n✝ : ℕ
hf : Involutive f
n : ℕ


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: t : ℕ

Context: ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t


Context: V : Type u_1

Context: G : SimpleGraph V

Context: e : Sym2 V

Context: inst✝¹ : Fintype V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: v : V

Context: t : ℕ

Context: this : G.degree v ≤ t


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r✝ s✝ : R
x y✝ : M
r s : R
y : M


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R

∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q, p = (rename f) q


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Finset σ
q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

∃ n f, ∃ (_ : Injective f), ∃ q_1, (rename Subtype.val) q = (rename f) q_1


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: s : Finset σ

Context: q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

Context: n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }

Context: e : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: s : Finset σ

Context: q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

Context: n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }

(rename Subtype.val) q = (rename (Subtype.val ∘ ⇑e.symm)) ((rename ⇑e) q)


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: s : Finset σ

Context: q : MvPolynomial { x // x ∈ s } R

Context: n : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }

(rename Subtype.val) q = (rename Subtype.val) ((rename (⇑e.symm ∘ ⇑e)) q)


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: h : ↑n < Module.rank R M

Context: t : Set M

Context: h₁ : range v ⊆ t

Context: h₂ : #↑t = Module.rank R M

Context: h₃ : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: h : ↑n < Module.rank R M

Context: t : Set M

Context: h₁ : range v ⊆ t

Context: h₂ : #↑t = Module.rank R M

Context: this : range v ≠ t


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: h : ↑n < Module.rank R M

Context: t : Set M

Context: h₁ : range v ⊆ t

Context: h₂ : #↑t = Module.rank R M

Context: this : range v ≠ t

Context: x : M

Context: hx : x ∈ t

Context: hx' : x ∉ range v


Context:
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i

cardQuot (P ^ (i + 1)) = cardQuot P ^ (i + 1)


Context:
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i
this : P ^ (i + 1) < P ^ i


↥(map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)) ≃ S ⧸ P


Context:
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i
this : P ^ (i + 1) < P ^ i
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i

Context: this : P ^ (i + 1) < P ^ i

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S

Context: hg : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), g c hc ∈ P ^ (i + 1)

Context: hf : ∀ (c : S) (hc : c ∈ P ^ i), a * f c hc + g c hc = c


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i

Context: this : P ^ (i + 1) < P ^ i

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S

Context: k : (c' : S ⧸ P ^ i.succ) → c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i) → S

Context: hk_mem : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), k c' hc' ∈ P ^ i

Context: hk_eq : ∀ (c' : S ⧸ P ^ i.succ) (hc' : c' ∈ map (mkQ (P ^ i.succ)) (P ^ i)), (mkQ (P ^ i.succ)) (k c' hc') = c'


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i

Context: this : P ^ (i + 1) < P ^ i

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S

Function.Injective fun c' => Quotient.mk'' (f (k ↑c' ⋯) ⋯)


Context: S : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : IsDomain S

Context: P : Ideal S

Context: P_prime : P.IsPrime

Context: hP : P ≠ ⊥

Context: inst✝ : IsDedekindDomain S

Context: i : ℕ

Context: ih : cardQuot (P ^ i) = cardQuot P ^ i

Context: this : P ^ (i + 1) < P ^ i

Context: a : S

Context: a_mem : a ∈ P ^ i

Context: a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)

Context: f g : (c : S) → c ∈ P ^ i → S

Function.Surjective fun c' => Quotient.mk'' (f (k ↑c' ⋯) ⋯)


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable f

StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂ν


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ' : Measure α

Context: ν ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : SFinite ν

Context: f : α × β → E

Context: hf : StronglyMeasurable (uncurry (Function.curry f))


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : CommRing α
A✝ B : Matrix n n α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
e₁ e₂ : n ≃ m


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : y ∈ EMetric.ball x r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : y ∈ EMetric.ball x r
this : ↑‖y - x‖₊ < r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r

Context: this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r

Context: this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) (x + (y - x)) (r - ↑‖y - x‖₊)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: h : y ∈ EMetric.ball x r

Context: this✝ : ↑‖y - x‖₊ < r

Context: this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) y (r - ↑‖y - x‖₊)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M

sSup ((fun x => lieSpan R L {x}) '' ↑N) = N


N ≤ sSup ((fun x => lieSpan R L {x}) '' ↑N)


↑N ≤ sSup {x | ∃ s, (∃ x ∈ N, lieSpan R L {x} = s) ∧ ↑s = x}


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N N'✝ : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: s : Set M

Context: m : M

Context: hm : m ∈ ↑N

Context: N' : Submodule R M

Context: hN' : ∀ p ∈ {x | ∃ s, (∃ x ∈ N, lieSpan R L {x} = s) ∧ ↑s = x}, p ≤ N'


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N'✝ : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M
hm : m ∈ ↑N
N' : Submodule R M
hN' : ∀ m ∈ N, ↑(lieSpan R L {m}) ≤ N'


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕂
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → 𝔸

exp 𝕂 (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, exp 𝕂 (f i)


(↑s).Pairwise fun i j => Commute (f i) (f j)


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
hI : I.IsPrime
x y : α
h : x ∈ I


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
hI : I.IsPrime
x y : α
h : y ∈ I


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
n : ℕ
x : α
s : Multiset α
y : α

count y (replicate n x ∩ s) = count y (replicate (min n (count x s)) x)


min (if y = x then n else 0) (count y s) = if y = x then min n (count x s) else 0


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasColimits C

Context: X Y Z : TopCat

Context: inst✝ : ConcreteCategory C

Context: F : Presheaf C X

Context: U V : Opens ↑X

Context: x : ↑X

Context: hxU : x ∈ U

Context: hxV : x ∈ V

Context: W : Opens ↑X

Context: hxW : x ∈ W

Context: iWU : W ⟶ U

Context: iWV : W ⟶ V

Context: sU : (forget C).obj (F.obj (op U))

Context: sV : (forget C).obj (F.obj (op V))

Context: ih : (F.map iWU.op) sU = (F.map iWV.op) sV

(F.germ ⟨x, hxU⟩) sU = (F.germ ⟨x, hxV⟩) sV


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x✝ : (F ⨿ G).obj a

(fun z => (binaryCoproductIso F G).inv.app a z) ((fun z => (binaryCoproductIso F G).hom.app a z) x✝) = x✝


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G : C ⥤ Type w
a : C
x✝ : F.obj a ⊕ G.obj a

(fun z => (binaryCoproductIso F G).hom.app a z) ((fun z => (binaryCoproductIso F G).inv.app a z) x✝) = x✝


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : Semiring R
r : R
n : ℕ

(ascPochhammer ℕ n).smeval r = eval r (ascPochhammer R n)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflection_perm = P₂.reflection_perm


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i : ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i : ι

((span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P₁.toLin.flip) (P₁.coroot i) = ((span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap ∘ₗ P₁.toLin.flip) (P₂.coroot i)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i : ι

(span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap (P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)) = (span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap (P₁.toLin.flip (P₂.coroot i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i : ι

(P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)) (P₁.root i) = 2


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i : ι

MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.toLin.flip (P₁.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i : ι

(P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)) (P₁.root i) = 2


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : _root_.Finite ι

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j : ι

Context: inst✝¹ : CharZero R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

Context: P₁ P₂ : RootPairing ι R M N

Context: he : P₁.toLin = P₂.toLin

Context: hr : P₁.root = P₂.root

Context: this : NoZeroSMulDivisors ℤ M

Context: i : ι

MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.toLin.flip (P₂.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} A

Context: L : C ⥤ D

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddMonoid M

Context: inst✝⁵ : HasShift C M

Context: inst✝⁴ : HasShift D M

Context: inst✝³ : L.CommShift M

Context: inst✝² : G.ShiftSequence M

Context: F' : M → D ⥤ A

Context: e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful

Context: n : M

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ (shiftFunctor C n).obj Y

Context: a a' : M

Context: h : n + a = a'

(F.shift a).map (L.map f ≫ (L.commShiftIso n).hom.app Y) ≫ (F.shiftIso n a a' h).hom.app (L.obj Y) = (e' a).hom.app X ≫ ((G.shift a).map f ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y) ≫ (e' a').inv.app Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} A

Context: L : C ⥤ D

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddMonoid M

Context: inst✝⁵ : HasShift C M

Context: inst✝⁴ : HasShift D M

Context: inst✝³ : L.CommShift M

Context: inst✝² : G.ShiftSequence M

Context: F' : M → D ⥤ A

Context: e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m

Context: n : M

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ (shiftFunctor C n).obj Y

Context: a a' : M

Context: h : n + a = a'

(F.shift a).map (L.map f) ≫ (F.shift a).map ((L.commShiftIso n).hom.app Y) ≫ (F.shift a).map ((L.commShiftIso n).inv.app Y) ≫ (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj Y) ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y = (e' a).hom.app X ≫ (G.shift a).map f ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} A

Context: L : C ⥤ D

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddMonoid M

Context: inst✝⁵ : HasShift C M

Context: inst✝⁴ : HasShift D M

Context: inst✝³ : L.CommShift M

Context: inst✝² : G.ShiftSequence M

Context: F' : M → D ⥤ A

Context: e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m

Context: n : M

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ (shiftFunctor C n).obj Y

Context: a a' : M

Context: h : n + a = a'

(F.shift a).map (L.map f) ≫ (F.shift a).map ((L.commShiftIso n).hom.app Y ≫ (L.commShiftIso n).inv.app Y) ≫ (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj Y) ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y = (e' a).hom.app X ≫ (G.shift a).map f ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_7, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} A

Context: L : C ⥤ D

Context: F : D ⥤ A

Context: G : C ⥤ A

Context: e : L ⋙ F ≅ G

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddMonoid M

Context: inst✝⁵ : HasShift C M

Context: inst✝⁴ : HasShift D M

Context: inst✝³ : L.CommShift M

Context: inst✝² : G.ShiftSequence M

Context: F' : M → D ⥤ A

Context: e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m

Context: n : M

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ (shiftFunctor C n).obj Y

Context: a a' : M

Context: h : n + a = a'

(F.shift a).map (L.map f) ≫ (e' a).hom.app ((shiftFunctor C n).obj Y) ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y = (e' a).hom.app X ≫ (G.shift a).map f ≫ (G.shiftIso n a a' h).hom.app Y ≫ (e' a').inv.app Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a a' : α
ha : a ≠ a'
b : M

erase a (f.update a' b) = (erase a f).update a' b


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
h0 : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
h0 : n ≠ 0

n.primeFactorsList.dedup.length = Ω n ↔ n.primeFactorsList.Nodup


Context:
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ

(logb (a / b) c)⁻¹ = (logb a c)⁻¹ - (logb b c)⁻¹


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

IsCoseparator G ↔ (preadditiveYoneda.obj G).Faithful


(preadditiveYoneda.obj G ⋙ forget AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveYoneda.obj G).Faithful


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Nonempty ι
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
x✝ : ι → M₂


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsReduced X

Context: H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: U : X.Opens

Context: hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsReduced X

Context: U : X.Opens

Context: hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace

Context: this : ∃ x y, x ≠ y


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsReduced X

Context: U : X.Opens

Context: hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace

Context: this✝ : ∃ x y, x ≠ y

Context: this : NoZeroDivisors ↑(X.presheaf.obj (op U))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: hf₂ : ∀ (n : ℕ), v.restrict (f n) ≤ w.restrict (f n)

v.restrict (⋃ n, f n) ≤ w.restrict (⋃ n, f n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: a : Set α

Context: ha₁ : MeasurableSet a

Context: ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: a : Set α

Context: ha₁ : MeasurableSet a

Context: ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n

Context: ha₃ : ⋃ n, a ∩ disjointed f n = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: a : Set α

Context: ha₁ : MeasurableSet a

Context: ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n

Context: ha₃ : ⋃ n, a ∩ disjointed f n = a

Context: ha₄ : Pairwise (Disjoint on fun n => a ∩ disjointed f n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: a : Set α

Context: ha₁ : MeasurableSet a

Context: ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n

Context: ha₃ : ⋃ n, a ∩ disjointed f n = a

∑' (i : ℕ), ↑v (a ∩ disjointed f i) ≤ ∑' (i : ℕ), ↑w (a ∩ disjointed f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M

Context: inst✝ : OrderClosedTopology M

Context: v w : VectorMeasure α M

Context: i j : Set α

Context: f : ℕ → Set α

Context: hf₁ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (f n)

Context: a : Set α

Context: ha₁ : MeasurableSet a

Context: ha₂ : a ⊆ ⋃ n, f n

Context: ha₃ : ⋃ n, a ∩ disjointed f n = a

∀ (i : ℕ), MeasurableSet (a ∩ disjointed f i)


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : CommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : SubmultiplicativeHomClass F α β
f : F
a b c : α


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ π.boxes.biUnion fun J => (πi J).boxes


Context:
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J : Box ι
hJ : ∃ a ∈ π, J ∈ πi a


Context:
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J J' : Box ι
hJ' : J' ∈ π
hJ : J ∈ πi J'


Context:
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J

(↑(π.boxes.biUnion fun J => (πi J).boxes)).Pairwise (Disjoint on Box.toSet)


∀ ⦃x : Box ι⦄, (∃ a ∈ π.boxes, x ∈ (πi a).boxes) → ∀ ⦃y : Box ι⦄, (∃ a ∈ π.boxes, y ∈ (πi a).boxes) → x ≠ y → (Disjoint on Box.toSet) x y


Context:
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J₁' J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₁' : J₁' ∈ (πi J₁).boxes
J₂' J₂ : Box ι
hJ₂ : J₂ ∈ π.boxes
hJ₂' : J₂' ∈ (πi J₂).boxes
Hne : J₁' ≠ J₂'


∀ ⦃a : ι → ℝ⦄, a ∈ ↑J₁' → a ∉ ↑J₂'


Context:
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J₁' J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₁' : J₁' ∈ (πi J₁).boxes
J₂' J₂ : Box ι
hJ₂ : J₂ ∈ π.boxes
hJ₂' : J₂' ∈ (πi J₂).boxes
Hne : J₁' ≠ J₂'
x : ι → ℝ
hx₁ : x ∈ ↑J₁'
hx₂ : x ∈ ↑J₂'


Context:
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
J₁' J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₁' : J₁' ∈ (πi J₁).boxes
J₂' : Box ι
Hne : J₁' ≠ J₂'
x : ι → ℝ
hx₁ : x ∈ ↑J₁'
hx₂ : x ∈ ↑J₂'
hJ₂ : J₁ ∈ π.boxes
hJ₂' : J₂' ∈ (πi J₁).boxes


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
y : α
h : ∃ y_1, r y y_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : ε > 0
j : ℕ
x✝ : j ≥ 0


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I

Context: this : ∀ (x : ↥M), IsUnit ((algebraMap R Q) ↑x)


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I

Context: this✝ : ∀ (x : ↥M), IsUnit ((algebraMap R Q) ↑x)

Context: this : Rₘ →ₐ[R] Q := let __src := IsLocalization.lift this✝; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I

↑((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp this) = ↑f


Context: R S Rₘ Sₘ : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹¹ : CommRing Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝⁷ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁶ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S Sₘ

Context: inst✝³ : IsLocalization M Rₘ

Context: Q : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing Q

Context: inst✝ : Algebra R Q

Context: I : Ideal Q

Context: e : I ^ 2 = ⊥

Context: f : Rₘ →ₐ[R] Q ⧸ I

(↑((Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp this)).comp (algebraMap R Rₘ) = (↑f).comp (algebraMap R Rₘ)


eval (1 / 4) (∑ i ∈ Finset.range 0, (monomial (3 - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(Nat.choose 3 i))) + _root_.bernoulli 0 * ↑(Nat.choose 3 0) * (1 / 4) ^ (3 - 0) + _root_.bernoulli 1 * ↑(Nat.choose 3 1) * (1 / 4) ^ (3 - 1) + _root_.bernoulli 2 * ↑(Nat.choose 3 2) * (1 / 4) ^ (3 - 2) + _root_.bernoulli 3 * ↑(Nat.choose 3 3) * (1 / 4) ^ (3 - 3) = 3 / 64


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α


(∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → f.SameCycle x y) → (Set.BijOn (⇑f⁻¹) s s ↔ Set.BijOn (⇑f) s s)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β

ContinuousWithinAt f s b ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F
a : F
ha : a ≠ 0

∃ b, (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * b) ≠ 0


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F
a : F
ha : a ≠ 0
this : Fact (Nat.Prime (ringChar F))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Finite F

Context: inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar F))

Context: htr : (∀ (n : F), ((Algebra.traceForm (ZMod (ringChar F)) F) a) n = 0) → a = 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Finite F

Context: inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar F))

Context: htr : (∀ (n : F), (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * n) = 0) → a = 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Finite F

Context: inst✝ : Algebra (ZMod (ringChar F)) F

Context: a : F

Context: ha : a ≠ 0

Context: this : Fact (Nat.Prime (ringChar F))

Context: hf : ∀ (b : F), (Algebra.trace (ZMod (ringChar F)) F) (a * b) = 0


Context:
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
x✝¹ x✝ : ↑(Iic a)

{ toFun := fun x => ⟨↑↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => ⟨(↑x).toNNReal, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝¹ ≤ { toFun := fun x => ⟨↑↑x, ⋯⟩, invFun := fun x => ⟨(↑x).toNNReal, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝ ↔ x✝¹ ≤ x✝


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯ ≫ fst (fst f' g') i₁ = lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯ ≫ fst (snd f' g') i₂


Context:
α : Type u_1
s✝ t : Set α
a : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : StarRing α
s : Set α
x✝ : α

x✝ ∈ s⁻¹⋆ ↔ x✝ ∈ s⋆⁻¹


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)

Presieve.IsSeparated J (F₁.val ⋙ forget D)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β


(infEdist x s).toReal ≤ (infEdist y s).toReal + (edist x y).toReal


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E

convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u ⊆ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)


∀ (x : E), (∃ a, (∃ a_1 ∈ s, ∃ b ∈ t, a ∈ segment 𝕜 a_1 b) ∧ ∃ b ∈ u, x ∈ segment 𝕜 a b) → ∃ a ∈ s, ∃ b, (∃ a ∈ t, ∃ b_1 ∈ u, b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ x ∈ segment 𝕜 a b


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s

IsCornerFree (Prod.map f f '' A) ↔ IsCornerFree A


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
this : Prod.map f f '' A ⊆ t ×ˢ t


(∀ ⦃x₁ : H⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃y₁ : H⦄, y₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : H⦄, x₂ ∈ t → ∀ ⦃y₂ : H⦄, y₂ ∈ t → IsCorner (Prod.map f f '' A) x₁ y₁ x₂ y₂ → x₁ = x₂) ↔ ∀ ⦃x₁ : G⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃y₁ : G⦄, y₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : G⦄, x₂ ∈ s → ∀ ⦃y₂ : G⦄, y₂ ∈ s → IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂ → x₁ = x₂


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
F✝ F'✝ : MonoFactorisation f✝
hF✝ : IsImage F✝
hF' : IsImage F'✝
f g : Arrow C
F : MonoFactorisation f.hom
hF : IsImage F
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq
F' : MonoFactorisation g.hom

(fun F' => hF.lift (F'.ofArrowIso (inv sq))) F' ≫ F'.m = (F.ofArrowIso sq).m


Context:
α : Type u
m n : ℕ
a : Fin m → α
b : Fin n → α

ofFn (Fin.append a b) = ofFn a ++ ofFn b


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryProduct X Y

(pullbackZeroZeroIso X Y).hom ≫ prod.snd = pullback.snd 0 0


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ

f ∈ SMul.smul n (s.piAntidiag m) ↔ f ∈ filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))


(∃ y ∈ s.piAntidiag m, n • y = f) ↔ f ∈ filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))


(∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ
hfsum : s.sum f = n * m
hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
this : ∀ (i : ι), n ∣ f i

∑ i ∈ s, f i / n = m ∧ (∀ (i : ι), (fun i => f i / n) i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ (n • fun i => f i / n) = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R P

Context: N : Submodule R M

Context: h : ∀ s ≤ N, s.FG

Context: s : Submodule R ↥N

Context: f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R P

Context: N : Submodule R M

Context: h : ∀ s ≤ N, s.FG

Context: s : Submodule R ↥N

Context: h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R P

Context: N : Submodule R M

Context: h : ∀ s ≤ N, s.FG

Context: s : Submodule R ↥N

Context: h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG

Context: h₂ : Submodule.map f ⊤ = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Semiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R P

Context: N : Submodule R M

Context: h : ∀ s ≤ N, s.FG

Context: s : Submodule R ↥N

Context: h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG

Context: h₂ : Submodule.map f ⊤ = ⊤

Context: h₃ : (Submodule.map ↑f ⊤).FG


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

Context: ho : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0

∀ (s : Finset ι) (g : ι → 𝕜), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α

AEDisjoint μ (⋃ i, s i) t ↔ ∀ (i : ι), AEDisjoint μ (s i) t


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤

0 < (f.nonlinearRightInverseOfSurjective hsurj).nnnorm


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: hn : lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N

upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

Context: h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω = lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω

b ≤ stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N (n + 1)) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: hab : a < b

b ≤ f (upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω) ω


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0

Antiperiodic (fun x => f (x * a)) (c / a)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y - x‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

(f + g) (a • x + b • y) ≤ a • (f + g) x + b • (f + g) y - a * b * (φ + ψ) ‖x - y‖


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
n m : ℕ
dvd : q ^ n ∣ p


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : 0 ≤ m
hn : 0 ≤ n


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
k : ℕ
hm : 0 ≤ ↑k


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
k : ℕ
hm : 0 ≤ ↑k
l : ℕ
hn : 0 ≤ ↑l


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂

S₁.φ₁ ≫ f.f₂.τ₁ = functorP.map f ≫ S₂.φ₁


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : (ζ ^ i) ^ l = 1


ζ ^ (↑i * ↑l * i.gcdA k) * (ζ ^ (↑k * i.gcdB k)) ^ l = 1


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)

Context: hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))

Context: mf : Module.Finite K L


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: ζ : L

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

Context: hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))

Context: mf : Module.Finite K L

Context: se : Algebra.IsSeparable K L


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ x : M

(∀ (i : ι), (b.coord i) x = 0) ↔ b.repr x = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
hn : ∀ m < n, p.coeff m = 0


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v
v : V
hv : G.minDegree = G.degree v


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : Set (Set α)

M.closure (⋃ X ∈ Xs, M.closure X) = M.closure (⋃₀ Xs)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n


∀ (i : α), ∀ᶠ (a : β) in atTop, f a ∈ Ici {i}


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
a : α
b : β
hb : a ∈ f b


Context:
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_4


Context: P : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder P

Context: C : Set (Set P)

Context: hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I

Context: hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C

Context: hNe : C.Nonempty


Context: P : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder P

Context: C : Set (Set P)

Context: hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I

Context: hNe : C.Nonempty


Context: P : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder P

Context: C : Set (Set P)

Context: hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I

Context: hNe : C.Nonempty

Context: I : Set P

Context: hI : I ∈ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α


Context: A : Type u'

Context: inst✝⁸ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝⁷ : ConcreteCategory A

Context: inst✝⁶ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A

Context: inst✝⁵ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A

Context: inst✝⁴ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A

Context: inst✝³ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)

Context: inst✝² : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)

Context: inst✝¹ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)

Context: inst✝ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A

Context: X Y : Condensed A

Context: f : X ⟶ Y

Epi f ↔ ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op S))), ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (op S')) x = (Y.val.map (op φ)) y


Context: A : Type u'

Context: inst✝⁸ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝⁷ : ConcreteCategory A

Context: X Y : Condensed A

Context: f : X ⟶ Y

(∀ (X_1 : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op X_1))), ∃ X' φ, ∃ (_ : EffectiveEpi φ), ∃ x, (f.val.app (op X')) x = (Y.val.map (op φ)) y) ↔ ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op S))), ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (op S')) x = (Y.val.map (op φ)) y


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : Closed A
inst✝ : Closed B
f : B ⟶ A
X : C

uncurry ((pre f).app X) = f ▷ (ihom A).obj X ≫ (ihom.ev A).app X


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s : Set F
x : 𝕜

deriv f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ deriv f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
u : R
i : Fin 3


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulAction (Perm α) β
i j : α
x : β


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
u : Set α
hsu : s ⊆ u
hdu : Disjoint sᶜ u
hmu : MeasurableSet u


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
hsu : s ⊆ s
hdu : Disjoint sᶜ s
hmu : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v✝ : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y z : R

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x : K

Context: h : x ≠ 0


Context:
a b : EReal
h₁ : b ≠ ⊥
h₂ : b ≠ ⊤
h₃ : b ≠ 0


Context:
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ

Complex.abs (eisensteinSeries a k z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k x z)


‖∑' (x : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x) z‖ ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), ‖eisSummand k x z‖


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ

(e.unitsSMul w).orientation = (∏ i : ι, w i)⁻¹ • e.orientation


SameRay R (e.unitsSMul w).det ((↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ * ∏ i : ι, ↑(w i)) • (e.unitsSMul w).det)


SameRay R (e.unitsSMul w).det (↑((∏ i : ι, w i)⁻¹ * ∏ i : ι, w i) • (e.unitsSMul w).det)


SameRay R (e.unitsSMul w).det (e.unitsSMul w).det


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E

interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
h✝ : Subsingleton ι


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
h✝ : Nontrivial ι


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
S : Submonoid G
g : G
g_in_s : g ∈ S


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
S : Submonoid G
g : G
g_in_s : g ∈ S
this : ⟨g, g_in_s⟩ ^ exponent ↥S = 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ

Tendsto f fi (𝓝 (Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)


(fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) = fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E

Context: A B : Set E

Context: x✝ x : E

Context: hx : x ∈ extremePoints 𝕜 ((convexHull 𝕜) A)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E

Context: A B : Set E

Context: x✝ x : E

Context: hx : x ∈ (convexHull 𝕜) A ∧ Convex 𝕜 ((convexHull 𝕜) A \ {x})


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommGroup E

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E

Context: A B : Set E

Context: x✝ x : E

Context: h : x ∉ A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'

(condexpL1CLM F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs hμs x) = (condexpInd F' hm μ s) x


(condexpL1CLM F' hm μ) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (condexpInd F' hm μ s) x


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
a : α

(uniformOfFintype α) a = (↑(Fintype.card α))⁻¹


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : Ring R'

Context: inst✝⁵ : AddZeroClass A

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup B

Context: inst✝³ : Add B

Context: inst✝² : OrderBot B

Context: D : A → B

Context: p q : R[A]

Context: hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2

Context: inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: s : R[A]

Context: hs : s.support.Nonempty

s.support.sup (WithBot.some ∘ D) = ↑(s.support.sup D)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)

toStalk R x ≫ stalkToFiberRingHom R x = algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)


toOpen R ⊤ ≫ openToLocalization R ⊤ ↑⟨x, True.intro⟩ ⋯ = algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.49739, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.49743, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.49747, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.49759, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
hf : W f

(homEquiv W L₁ L₂) (isoOfHom L₁ W f hf).inv = (isoOfHom L₂ W f hf).inv


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R


Context:
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ I
x : M
hx : x ∈ comap f S