Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∑ x ∈ A ×ˢ B, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ∑ x ∈ A.product B, ↑(G.interedges x.1 x.2).card / (↑x.1.card * ↑x.2.card * (↑A.card * ↑B.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: this : ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50 ≤ (1 - ε ^ 5 / 50) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))

∀ i ∈ A ×ˢ B, ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ↑(G.interedges i.1 i.2).card / (↑i.1.card * ↑i.2.card * (↑A.card * ↑B.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

∀ (a b : Finset α), a ∈ A → b ∈ B → ↑(interedges G.Adj a b).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ↑(G.interedges a b).card / (↑a.card * ↑b.card * (↑A.card * ↑B.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card)) ≤ ↑(G.interedges x y).card / (↑x.card * ↑y.card * (↑A.card * ↑B.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 - ε ^ 5 / 50) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card) * (↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card))) ≤ ↑(G.interedges x y).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B

0 < ↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: U : Finset α

Context: hU✝ : U ∈ P.parts

Context: V : Finset α

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hU : U ∈ P.parts

Context: hV : V ∈ P.parts

Context: A B : Finset (Finset α)

Context: hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts

Context: hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

Context: x y : Finset α

Context: hx : x ∈ A

Context: hy : y ∈ B


Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra k K

Context: inst✝⁶ : Algebra k F

Context: inst✝⁵ : Algebra K F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower k K F

Context: inst✝³ : NumberField k

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsGalois k K

Context: inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K

Fintype.card (InfinitePlace K) = Fintype.card (InfinitePlace k) * finrank k K


Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra k K

Context: inst✝⁶ : Algebra k F

Context: inst✝⁵ : Algebra K F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower k K F

Context: inst✝³ : NumberField k

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsGalois k K


Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra k K

Context: inst✝⁶ : Algebra k F

Context: inst✝⁵ : Algebra K F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower k K F

Context: inst✝³ : NumberField k

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsGalois k K

∀ x ∈ Finset.univ, InfinitePlace.IsUnramifiedIn K x


Context: k : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁹ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Algebra k K

Context: inst✝⁶ : Algebra k F

Context: inst✝⁵ : Algebra K F

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower k K F

Context: inst✝³ : NumberField k

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : IsGalois k K

∀ (x : InfinitePlace k), InfinitePlace.IsUnramifiedIn K x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α


Context:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F


Context:
α : Type u_2
β : Type u_1
R : α → β → Bool
as : List α
bs : List β

takeWhile₂ R as bs = takeWhile₂TR R as bs


takeWhile₂ R as bs = takeWhile₂TR.go R as bs [] []


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 8 → β


f (castSucc 0) * f (castSucc 1) * f (castSucc 2) * f (castSucc 3) * f (castSucc 4) * f (castSucc 5) * f (castSucc 6) * f (last 7) = f 0 * f 1 * f 2 * f 3 * f 4 * f 5 * f 6 * f 7


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
ϕ : τ → α' → β
f : Filter τ
g : α → α'

ω f ϕ (g '' s) = ω f (fun t x => ϕ t (g x)) s


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
a : G
x : k[G]


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
a : G
x : k[G]
x✝ : G


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
a : G
x : k[G]
x✝ c : G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: inst✝ : ChartedSpace H M'

Context: IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'

Context: f : PartialHomeomorph M M'

Context: hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: inst✝ : ChartedSpace H M'

Context: IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'

Context: f : PartialHomeomorph M M'

∀ x ∈ f.source, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: inst✝ : ChartedSpace H M'

Context: IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'

Context: f : PartialHomeomorph M M'

Context: x : M

Context: hx : x ∈ f.source

Context: c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x

Context: c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)

Context: hxf : (contDiffGroupoid ⊤ I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)

Context: hex : ↑c x ∈ e.source

Context: s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source

∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I ⊤ (↑f) (f.source ∩ u)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: inst✝ : ChartedSpace H M'

Context: IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'

Context: f : PartialHomeomorph M M'

Context: x : M

Context: hx : x ∈ f.source

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hex : ↑c x ∈ e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: inst✝ : ChartedSpace H M'

Context: IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'

Context: f : PartialHomeomorph M M'

Context: x : M

Context: hx : x ∈ f.source

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hex : ↑c x ∈ e.source

Context: H₁ : ContMDiffOn I I ⊤ (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H' M'

Context: e✝ : PartialHomeomorph M H

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: inst✝ : ChartedSpace H M'

Context: IsM' : SmoothManifoldWithCorners I M'

Context: f : PartialHomeomorph M M'

Context: x : M

Context: hx : x ∈ f.source

Context: e : PartialHomeomorph H H

Context: he : e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I

Context: hex : ↑c x ∈ e.source

Context: H₂ : EqOn (↑f) (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CompleteLattice β
s : Finset α
f : α → β


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
f : F
s : Set R


map f (span s) ≤ Submodule.span S (⇑f '' s)


Context:
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
n : ℕ
h : G.Colorable n

G.chromaticNumber = ↑(sInf {n' | G.Colorable n'})


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: u : ι → ℝ

Context: hu : Summable u

Context: hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U

Context: hU : IsOpen U

Context: hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i

DifferentiableOn ℂ (fun w => ∑' (i : ι), F i w) U


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b✝ b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → β → α
b : β
h : ∀ (a : α), f a b = a
s : Set α


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

(o.oangle (x + r • y) y).sign = (o.oangle x y).sign


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
s : Set M
hs : s.Finite

(closure L).toFun ↑hs.toFinset = (closure L).toFun s


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.left S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁) ≫ γ.φH ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData S₂.homologyData.left


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) φ ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Subsemiring R
x : R × S

x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (RingHom.fst R S) s


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
hm : Injective m
f₁ f₂ : Filter α

Disjoint (map m f₁) (map m f₂) ↔ Disjoint f₁ f₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
S : Set (Set α)
p : α → Prop

(∀ x ∈ ⋃₀ S, p x) ↔ ∀ s ∈ S, ∀ x ∈ s, p x


Context:
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m₁ m₂ : ℕ
h : (m₁ + m₂) * n = m₁ * n + m₂ * n

repeat (m₁ + m₂) a = append (repeat m₁ a) (repeat m₂ a) ∘ cast h


∀ (x : Fin ((m₁ + m₂) * n)), repeat (m₁ + m₂) a x = (append (repeat m₁ a) (repeat m₂ a) ∘ cast h) x


∀ (x : Fin (m₁ * n + m₂ * n)), repeat (m₁ + m₂) a (cast ⋯ x) = (append (repeat m₁ a) (repeat m₂ a) ∘ cast h) (cast ⋯ x)


Context:
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.5921, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.5928, u_2} D
F F' : Discrete WalkingPair ⥤ C
α : F ⟶ F'

IsPullback (F.map { down := { down := ⋯ } }) (α.app { as := WalkingPair.left }) (α.app { as := { as := WalkingPair.left }.as }) (F'.map { down := { down := ⋯ } })


IsPullback (F.map { down := { down := ⋯ } }) (α.app { as := WalkingPair.right }) (α.app { as := { as := WalkingPair.right }.as }) (F'.map { down := { down := ⋯ } })


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x y : K

Context: h : y * (algebraMap A K) ↑(den A x) = (algebraMap A K) (num A x)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : x = y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
this : f =ᶠ[ae μ] fun x => ‖f x‖

ENNReal.ofReal (∫ (x : α), f x ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ


∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal ‖f x‖ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: inst✝² : H.IsCommutative

Context: inst✝¹ : H.FiniteIndex

Context: α✝¹ β : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.Normal

Context: hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index

Context: α✝ : H.QuotientDiff

Context: h : ↥H

Context: α : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: hα : h • Quotient.mk'' α = Quotient.mk'' α

h ^ H.index = diff (MonoidHom.id ↥H) (op ↑h⁻¹ • α) α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t✝ : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
f : E → F
x : E
s : Set E
t : Set F
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
h : MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
v : E
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g t (f x)

(fderivWithin 𝕜 g t (f x)) ((fderivWithin 𝕜 f s x) v) = (fderivWithin 𝕜 (g ∘ f) s x) v


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Fintype n

Context: P : Matrix n n 𝕜 → Prop

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: hdiag : ∀ (D : n → 𝕜), (diagonal D).det = M.det → P (diagonal D)

Context: htransvec : ∀ (t : TransvectionStruct n 𝕜), P t.toMatrix

Context: hmul : ∀ (A B : Matrix n n 𝕜), P A → P B → P (A * B)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: R : Type u₂

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field 𝕜

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : DecidableEq p

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : Fintype n

Context: P : Matrix n n 𝕜 → Prop

Context: M : Matrix n n 𝕜

Context: L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)

Context: D : n → 𝕜

Context: h : M = (List.map toMatrix L).prod * diagonal D * (List.map toMatrix L').prod


Context:
x✝ y z a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ

HasStrictDerivAt (fun x => a ^ x) (a ^ x * log a) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
hfg : IsBigOWith c l f g
hgk : g =o[l] k
hc : 0 < c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hfg : IsBigOWith c l f g

Context: hc : 0 < c

Context: hgk : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l g k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hfg : IsBigOWith c l f g

Context: hc : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : 0 < c'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: hfg : IsBigOWith c l f g

Context: hc : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : 0 < c'

Context: this : 0 < c' / c


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
l : AList fun _x => M
a : α

l.lookupFinsupp a = 0 ↔ a ∉ l ∨ 0 ∈ lookup a l


(lookup a l).getD 0 = 0 ↔ lookup a l = none ∨ 0 ∈ lookup a l


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hba : b ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hba : b ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hba : b ≤ a

Context: h : a < b + c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hba : b ≤ a

Context: h : a < b + (a - b)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R

(esymm σ R n).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support


(∑ t ∈ powersetCard n univ, (monomial (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1)) 1).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support


(∑ x ∈ powersetCard n univ, Finsupp.single (∑ i ∈ x, Finsupp.single i 1) 1).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support


∀ (i₁ i₂ : Finset σ), i₁ ≠ i₂ → Disjoint (Finsupp.single (∑ i ∈ i₁, Finsupp.single i 1) 1).support (Finsupp.single (∑ i ∈ i₂, Finsupp.single i 1) 1).support


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
s t : Finset σ
hst : s ≠ t

Disjoint (Finsupp.single (∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1) 1).support (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support


∀ ⦃a : σ →₀ ℕ⦄, a ∈ {∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1} → a ∉ (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support


∀ ⦃a : σ →₀ ℕ⦄, a ∈ {∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1} → a ∉ {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}


∀ ⦃a : σ →₀ ℕ⦄, a = ∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1 → ¬a = ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: τ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : Fintype τ

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Finset σ

Context: hst : s ≠ t

Context: h : ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1 = ∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1

Context: this : (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1).support = (∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1).support


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: τ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : Fintype τ

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Finset σ

Context: hst : s ≠ t

Context: this : (t.biUnion fun i => (Finsupp.single i 1).support) = s.biUnion fun i => (Finsupp.single i 1).support


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: τ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : Fintype τ

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Finset σ

Context: hst : s ≠ t

Context: this : (t.biUnion fun i => (Finsupp.single i 1).support) = (∑ i ∈ s, Finsupp.single i 1).support

∀ (i₁ i₂ : σ), i₁ ≠ i₂ → Disjoint (Finsupp.single i₁ 1).support (Finsupp.single i₂ 1).support


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: τ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝³ : Fintype σ

Context: inst✝² : Fintype τ

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : DecidableEq σ

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: s t : Finset σ

Context: hst : s ≠ t


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: X : C

Context: h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones

Context: s : Cocone F

Context: s_pt : C

Context: s_ι : F ⟶ (const J).obj s_pt

h.hom.app s_pt { down := (h.inv.app s_pt s_ι).down } = s_ι


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι

TendstoUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : β), edist (f x) (F n x) < ε


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: P : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)

Context: coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j

Context: x : { x // x ∈ s } → R

∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), y - x ⟨i, hi⟩ ∈ P i ^ e i


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: P : ι → Ideal R

Context: e : ι → ℕ

Context: prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)

Context: x : { x // x ∈ s } → R

Context: y : R

Context: hy : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = (Ideal.Quotient.mk (P ↑⟨i, hi⟩ ^ e ↑⟨i, hi⟩)) (x ⟨i, hi⟩)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b ≤ lift.{v, u} a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

f ∈ eval C '' {m | m < l} ↔ f ∈ ⇑(πs C o) '' (eval (π C fun x => ord I x < o) '' {m | m < l})


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

(∃ x < l, eval C x = f) ↔ ∃ a < l, (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) a) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

∀ (a : Products I), a < l ∧ eval C a = f ↔ a < l ∧ (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) a) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: m : Products I

m < l ∧ eval C m = f ↔ m < l ∧ (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) m) = f


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: m : Products I

m < l → (eval C m = f ↔ (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) m) = f)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: l : Products I

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hl : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: m : Products I

Context: hm : m < l

eval C m = f ↔ (πs C o) (eval (π C fun x => ord I x < o) m) = f


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f

Tendsto (seminormFromConst_seq c f c) atTop (𝓝 (f c))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: hseq : seminormFromConst_seq c f c = fun _n => f c


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
he : e ∈ I \ J

∃ f ∈ J \ I, M.Basis (insert f (I \ {e})) X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJX : M.Basis J X
he : e ∈ I \ J
y : α
hy : y ∈ J \ I
h : (M ↾ X).Base (insert y (I \ {e}))


Context: a : ℝ


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α


|if f x ∈ Set.Ioc (-A) A then f x else 0| ≤ |f x|


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
this : IsIso f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
this✝ : IsIso f
this : IsIso g


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X✝ Y : C
α : F ⟶ G
x✝ : IsIso α
X : C


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝¹ : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
inst✝ : CompactSpace ↑s

Dense ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝¹ : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
inst✝ : CompactSpace ↑s
h0' : 0 ∈ s


⇑toContinuousMapHom ⁻¹' ↑(RingHom.ker (ContinuousMap.evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0'⟩)) = Set.univ


Context:
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝¹ : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
inst✝ : CompactSpace ↑s
h0' : 0 ∈ s
f : C(↑s, 𝕜)₀

f ∈ ⇑toContinuousMapHom ⁻¹' ↑(RingHom.ker (ContinuousMap.evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0'⟩))


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x ^ 2 / y ^ 2 = -y ^ 2 / y ^ 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α

[].reverse.alternatingProd = [].alternatingProd ^ (-1) ^ ([].length + 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
l : List α

(a :: l).reverse.alternatingProd = (a :: l).alternatingProd ^ (-1) ^ ((a :: l).length + 1)


(l.alternatingProd ^ (-1) ^ l.length)⁻¹ * a ^ (-1) ^ l.length = (a / l.alternatingProd) ^ (-1) ^ l.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
m n : ℕ


MeasurePreserving (⇑measurableEquivPi) volume volume


volume = Measure.map (⇑measurableEquivPi.symm) volume


((Pi.basisFun ℝ (Fin 2)).map basisOneI.equivFun.toContinuousLinearEquiv.symm.toLinearEquiv).addHaar = volume


Context: z : ℂ

Tendsto (fun n => ↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))


Context: z : ℂ

Context: A : Tendsto (fun n => ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z)))


Context: z : ℂ

Context: this : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)


Context: z : ℂ

Context: A : Tendsto (fun n => (↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ((∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n)))) atTop (𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1))


Context: z : ℂ

Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))) atTop (𝓝 1)


Context: z : ℂ

Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)) atTop (𝓝 1)


Context: z : ℂ

Context: this✝ : 𝓝 (Complex.sin (↑π * z)) = 𝓝 (Complex.sin (↑π * z) * 1)

Context: this : ContinuousOn (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x)) (Icc 0 (π / 2))


Context: z : ℂ

(fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)) = fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(cos x) ^ n * Complex.cos (2 * z * ↑x)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)


Context: z : ℂ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : α

x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a * b⁻¹ = x


(x • s ∩ t).Nonempty ↔ ∃ a b, (a ∈ t ∧ b ∈ s) ∧ a * b⁻¹ = x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P ≃ᵃ[R] P'


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List (α × β)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I X : Set α
h : M✶.RkPos
hB : M.Base M.E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

∫⁻ (a : α), ⨆ n, ↑(eapprox f n) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), ↑(eapprox f n) a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ

∫⁻ (a : α), ↑(eapprox f n) a ∂μ = (eapprox f n).lintegral μ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = h ≫ g

Context: inst✝² : HasEqualizer f g

Context: inst✝¹ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)

Context: inst✝ : PreservesLimit (parallelPair f g) G

(iso G f g).inv ≫ G.map (equalizer.ι f g) = equalizer.ι (G.map f) (G.map g)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = h ≫ g

Context: inst✝² : HasEqualizer f g

𝟙 (G.obj (equalizer f g)) ≫ G.map (equalizer.ι f g) = (iso G f g).hom ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
h : p.degree < q.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
h : p.degree < q.degree
hq : q ≠ 0


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
T : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : Set α
a : α

s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: τ : Type u_4

Context: T : TopologicalSpace α

Context: F : Realizer α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: this : s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ b, a ∈ F.F.f b ∧ F.F.f b ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
f : α → β
x : β

(x ∈ s.biUnion fun a => {f a}) ↔ x ∈ image f s


Context:
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : k ≠ 0
h : ¬k = 1


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : DivInvMonoid G

Context: inst✝¹ : Preorder G

Context: inst✝ : CovariantClass G G (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : G

Context: H : 1 ≤ x

Context: n : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : DivInvMonoid G

Context: inst✝¹ : Preorder G

Context: x : G

Context: H : 1 ≤ x

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x

DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
R'' : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R''
φ : AddChar R R'
f : R' →* R''
hφ : φ.IsPrimitive
hf : Function.Injective ⇑f
a : R
ha : a ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle


(∀ (x_1 : α), (if f.SameCycle x x_1 then f x_1 else x_1) = x_1) ↔ f x = x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
h : f x = x
y : α

(if f.SameCycle x y then f y else y) = y


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
x : ℂ
h₁ : DifferentiableAt ℂ f x
h₂ : f x ∈ slitPlane


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℂ → ℂ

Context: x : ℂ

Context: h₁ : DifferentiableAt ℂ f x

Context: h₂ : f x ∈ slitPlane

Context: A : deriv (fun t => log (f t)) x = deriv f x / f x


Context:
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r

polar 𝕜 (closedBall 0 r) = closedBall 0 r⁻¹


polar 𝕜 (closedBall 0 r) ⊆ closedBall 0 r⁻¹


Context:
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)


Context:
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)
z : E
x✝ : z ∈ ball 0 r

‖x' z‖ ≤ r⁻¹ * ‖z‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : dist (ξ ^ k) 0 < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : ‖ξ‖ ^ k < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : ‖ξ‖ ^ k < 1 ^ k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ (t ∩ t') ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s ×ˢ t'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E


Context:
p : ℝ × ℝ
hp_fst : p.1 < 0

(fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)


Context:
p : ℝ × ℝ
hp_fst : p.1 < 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E

HasFDerivWithinAt f f' (s \ {y}) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l

∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ l → a ≠ b → R a b


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: r : ℝ

Context: hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasDerivAt (f n) (f' n y) y

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: r : ℝ

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n y)) y


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: r : ℝ

Context: hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓟 (Metric.ball x r))

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)


Context: ι : Type u_1

Context: l : Filter ι

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f : ι → 𝕜 → G

Context: g : 𝕜 → G

Context: f' : ι → 𝕜 → G

Context: g' : 𝕜 → G

Context: x : 𝕜

Context: r : ℝ

Context: hf'✝ : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓟 (Metric.ball x r))

Context: hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

Context: hf' : UniformCauchySeqOn (fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l (Metric.ball x r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0

(r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ


μ.withDensity ((r • ν).rnDeriv μ) = μ.withDensity (r • ν.rnDeriv μ)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Subsingleton α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
h : a * b = c ^ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc : c ∣ a * b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : b * a = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h : b * a = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h : b * a = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
hb' : b = d₂ ^ k * b'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : GCDMonoid α

Context: a b c : α

Context: hab : IsUnit (gcd b a)

Context: k : ℕ

Context: h✝ : Nontrivial α

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: hk : k > 0

Context: hc✝ : c ∣ a * b

Context: d₁ d₂ : α

Context: hd₁ : d₁ ∣ a

Context: hd₂ : d₂ ∣ b

Context: hc : c = d₂ * d₁

Context: h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0

Context: a' : α

Context: ha' : a = d₁ ^ k * a'

Context: h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0

Context: b' : α

Context: h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k

Context: hb' : b = d₂ ^ k * b'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : GCDMonoid α

Context: a b c : α

Context: hab : IsUnit (gcd b a)

Context: k : ℕ

Context: h✝ : Nontrivial α

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: hk : k > 0

Context: hc✝ : c ∣ a * b

Context: d₁ d₂ : α

Context: hd₁ : d₁ ∣ a

Context: hd₂ : d₂ ∣ b

Context: hc : c = d₂ * d₁

Context: h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0

Context: a' : α

Context: ha' : a = d₁ ^ k * a'

Context: h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0

Context: b' : α

Context: hb' : b = d₂ ^ k * b'

Context: h' : a' * b' = 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : GCDMonoid α

Context: a b c : α

Context: hab : IsUnit (gcd b a)

Context: k : ℕ

Context: h✝ : Nontrivial α

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb : ¬b = 0

Context: hk : k > 0

Context: hc✝ : c ∣ a * b

Context: d₁ d₂ : α

Context: hd₁ : d₁ ∣ a

Context: hd₂ : d₂ ∣ b

Context: hc : c = d₂ * d₁

Context: h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0

Context: a' : α

Context: ha' : a = d₁ ^ k * a'

Context: h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0

Context: b' : α

Context: hb' : b = d₂ ^ k * b'

Context: h' : a' * b' = 1

d₁ ^ k * ↑(Units.mkOfMulEqOne a' b' h') = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α

(toFinsupp {a}) a✝ = (Finsupp.single a 1) a✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s


infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ


infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : ℝ≥0∞
h : edist x z < r

infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r

infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
hr : 0 < ↑r - δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ


ENNReal.ofReal (↑r - δ) + ENNReal.ofReal δ ≤ ↑r


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C

(singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ (singleObjHomologySelfIso c j A).inv = ((single C c j).obj A).homologyπ j


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε

∑ i ∈ P.nonUniforms G ε, ↑i.1.card * ↑i.2.card < ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2


∀ x ∈ P.nonUniforms G ε, ↑x.1.card * ↑x.2.card ≤ ↑(A.card / P.parts.card + 1) ^ 2


↑(P.parts.card * (P.parts.card - 1)) * ε * ↑(A.card / P.parts.card + 1) ^ 2 < ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

(x✝ ∈ univ.pi fun i => if i ∈ s then t i else univ) ↔ x✝ ∈ s.pi t


(∀ i ∈ univ, x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ ∀ i ∈ s, x✝ i ∈ t i


∀ (a : ι), (a ∈ univ → x✝ a ∈ if a ∈ s then t a else univ) ↔ a ∈ s → x✝ a ∈ t a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite

s.encard < t.encard ↔ (s \ t).encard < (t \ s).encard


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

IsLimit (ShortComplex.π₁.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

IsLimit (ShortComplex.π₂.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

IsLimit (ShortComplex.π₃.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

IsColimit (ShortComplex.π₁.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

IsColimit (ShortComplex.π₂.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

IsColimit (ShortComplex.π₃.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).Exact


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: this : Epi S.g


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).Exact


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Context: this : Mono S.f


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Epi ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).g


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: c : ComplexShape ι

Context: hS : S.ShortExact

Context: i j : ι

Context: hij : c.Rel i j

Mono ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).f


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittAdd p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) + X (1, 0))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

∀ V' ∈ 𝓝 (φ x), IsClosed V' → φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

Context: V' : Set Y

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)

Context: V'_closed : IsClosed V'


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

Context: V' : Set Y

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V : Set X

Context: V_in : V ∈ 𝓝 x

Context: V_op : IsOpen V

Context: hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

Context: V' : Set Y

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V : Set X

Context: V_in : V ∈ 𝓝 x

Context: V_op : IsOpen V

Context: hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'

Context: y : X

Context: hyV : y ∈ V

Context: hyB : y ∈ B


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

Context: V' : Set Y

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V : Set X

Context: V_in : V ∈ 𝓝 x

Context: V_op : IsOpen V

Context: hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'

Context: y : X

Context: hyV : y ∈ V

Context: hyB : y ∈ B

Context: this : (𝓝[A] y).NeBot


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

Context: V' : Set Y

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V : Set X

Context: V_in : V ∈ 𝓝 x

Context: V_op : IsOpen V

Context: hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'

Context: y : X

Context: hyV : y ∈ V

Context: hyB : y ∈ B

Context: this : (𝓝[A] y).NeBot

Context: limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

Context: V' : Set Y

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V : Set X

Context: V_in : V ∈ 𝓝 x

Context: V_op : IsOpen V

Context: hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'

Context: y : X

Context: hyV : y ∈ V

Context: hyB : y ∈ B

Context: this : (𝓝[A] y).NeBot

Context: limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))

Context: hVy : V ∈ 𝓝 y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : RegularSpace Y

Context: f : X → Y

Context: A B : Set X

Context: hB : B ⊆ closure A

Context: φ : X → Y := extendFrom A f

Context: x : X

Context: x_in : x ∈ B

Context: V' : Set Y

Context: V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)

Context: V'_closed : IsClosed V'

Context: V : Set X

Context: V_in : V ∈ 𝓝 x

Context: V_op : IsOpen V

Context: hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'

Context: y : X

Context: hyV : y ∈ V

Context: hyB : y ∈ B

Context: this✝ : (𝓝[A] y).NeBot

Context: limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))

Context: hVy : V ∈ 𝓝 y

Context: this : V ∩ A ∈ 𝓝[A] y


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ 1 = (b ^ (1 + 1) - a ^ (1 + 1)) / (↑1 + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
x : E
y : E'


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V

LinearIndependent K (Fin.snoc v x) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


Context:
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y✝ : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
y : α
ys : Fin m → α

append xs (cons y ys) = append (snoc xs y) ys ∘ cast ⋯


append xs (cons y ys) = (append xs (cons y ys) ∘ cast ⋯) ∘ cast ⋯


Context:
m✝ n✝ a b c d m n : ℕ
hm1 : m % 2 = 1
hn1 : n % 2 = 1
hm0 : 0 < m
hn0 : 0 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
ha : μ {a} ≠ ⊤
hb : μ {b} ≠ ⊤

IntegrableOn f (Icc a b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioo a b) μ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hl₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hl₂.IsPreservedBy F
γ : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

F.map (cyclesMap' φ hl₁ hl₂) = cyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hl₁.map F) (hl₂.map F)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v✝ : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hv : v ∈ {v | v.maxPowDividing I ≠ 1}

Context: h_zero : ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v✝ : HeightOneSpectrum R

Context: I : Ideal R

Context: hI : I ≠ 0

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: hv : v ∈ {v | v.maxPowDividing I ≠ 1}

Context: hv' : v.maxPowDividing I = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β


Context:
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕂
inst✝³ : Ring 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α

_root_.Disjoint (s.erase a) t ↔ _root_.Disjoint s (t.erase a)


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) ((fourier (-n)) ↑x) x


(fun y => ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) = fun x => (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)


(fourier (-n)) ↑x = -2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t

Context: hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t) ∨ StrictAntiOn f (Icc s t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t

Context: this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t

Context: this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False

Context: hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t

Context: this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False

Context: hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)

Context: hsx : s ≤ x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t

Context: this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False

Context: hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)

Context: hsx : s ≤ x

Context: hyt : y ≤ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t

Context: hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)

Context: hsx : s ≤ x

Context: hyt : y ≤ t

Context: this : Icc x y ⊆ Icc s t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a✝ b✝ : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: a b : α

Context: hab : a < b

Context: hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)

Context: x y : α

Context: hxy : x < y

Context: s : α := min a x

Context: t : α := max b y

Context: hsa : s ≤ a

Context: hbt : b ≤ t

Context: hst : s ≤ t

Context: hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)

Context: hsx : s ≤ x

Context: hyt : y ≤ t

Context: this : StrictMonoOn f (Icc x y)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{?u.42329, u_1} C₁

Context: inst✝² : Category.{?u.42333, u_2} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.42337, u_3} C₃

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃

Context: I : Type u_4

Context: J : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: p : I × J → K

Context: inst✝ : ∀ (X : GradedObject I C₁) (Y : GradedObject J C₂), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p

Context: X₁ X₂ : GradedObject I C₁

Context: φ : X₁ ⟶ X₂

Context: Y₁ Y₂ : GradedObject J C₂

Context: ψ : Y₁ ⟶ Y₂

mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₁)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₁).map ψ) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₂)) p = mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₁)) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map ψ) p


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
hc : c ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
i : ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCore 𝕜 s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∃ t, Balanced 𝕜 t ∧ t ⊆ s ∧ y ∈ t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t✝ : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
t : Set E
ht1 : Balanced 𝕜 t
ht2 : t ⊆ s
hy : y ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g

IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ ∅, IsBigOWith (C i) l (A i) g

IsBigOWith (∑ i ∈ ∅, C i) l (fun x => ∑ i ∈ ∅, A i x) g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: A : ι → α → E'

Context: C : ι → ℝ

Context: s✝ : Finset ι

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: is : i ∉ s

Context: IH : (∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g) → IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g

Context: h : ∀ i_1 ∈ insert i s, IsBigOWith (C i_1) l (A i_1) g

IsBigOWith (∑ i ∈ insert i s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ insert i s, A i x) g


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α

￢￢a ⊔ ∂ a = a


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: x : AdicCompletion I M

Context: a : ℕ → M

Context: ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n


Context:
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝ : μ.IsHaarMeasure

Context: hG : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }

Context: g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝ : μ.IsHaarMeasure

Context: hG : LocallyCompactSpace G

Context: g : G → ℝ

Context: g_cont : Continuous g

Context: int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Yint : Integrable (Y 0) ℙ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Yint : Integrable (Y 0) ℙ

Context: C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Yint : Integrable (Y 0) ℙ

Context: ω : Ω

Context: h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω

Context: h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))

Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Yint : Integrable (Y 0) ℙ

Context: ω : Ω

Context: h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω

Context: this : ∫ (a : Ω), X 0 a = ∫ (a : Ω), Y 0 a


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Yint : Integrable (Y 0) ℙ

Context: ω : Ω

Context: h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω

Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Yint : Integrable (Y 0) ℙ

Context: ω : Ω

Context: h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω

Context: n : ℕ

(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω = (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: X : ℕ → Ω → E

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ

Context: Yint : Integrable (Y 0) ℙ

Context: ω : Ω

Context: h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω

Context: n i : ℕ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c✝ : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: 𝕜₂' : Type u_11

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'

Context: F' : Type u_12

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'

Context: σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂

Context: σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'

Context: σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''

Context: inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'

Context: inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'

Context: inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃

Context: inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃

Context: inst✝² : RingHomIsometric σ₂'

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''

Context: inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'

Context: c : E →L[𝕜] 𝕜

Context: f : Fₗ