Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : OrderTopology 𝕜

Context: p : 𝕜

Context: hp : Fact (0 < p)

Context: a✝ : 𝕜

Context: inst✝² : Archimedean 𝕜

Context: x : AddCircle p

Context: hx : x ≠ ↑a✝

Context: inst✝ : DenselyOrdered 𝕜

Context: a b : 𝕜

Context: hb1 : a - p < b

Context: hb2 : b < a


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.11266
L : Type ?u.11269
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
e : minpolyDiv R x = 0


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.11266

Context: L : Type ?u.11269

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: e : minpolyDiv R x = 0

Context: this : minpolyDiv R x * (X - C x) = map (algebraMap R S) (minpoly R x)


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.11266

Context: L : Type ?u.11269

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: inst✝ : Nontrivial S

Context: e : minpolyDiv R x = 0

Context: this : 0 = map (algebraMap R S) (minpoly R x)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G

index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ index K V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index K V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

s.card ∈ Finset.card '' {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

∃ x ∈ {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s ∈ {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

(fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

(fun h => g * h) '' ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V ⊆ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

Context: g₁ g₂ : G

Context: hg₂ : g₂ ∈ s

Context: hg₁ : g₁ ∈ (fun h => (fun h => g₂ * h) ⁻¹' V) hg₂

(fun h => g * h) g₁ ∈ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: g : G

Context: s : Finset G

Context: h2s : s.card = index K V

Context: g₁ g₂ : G

Context: hg₂ : g₂ ∈ s

Context: hg₁ : g₂ * g₁ ∈ V


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : Comonad C
X Y x✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ x✝

U.ε.app X ≫ f ≫ g = U.δ.app X ≫ U.map (U.ε.app X ≫ f) ≫ U.ε.app Y ≫ g


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: this : (f y - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (y - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz✝ : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxz : 0 < z - x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz✝ : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha✝ : 0 < a

Context: hb : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxz : 0 < z - x

Context: ha : (z - y) / (z - x) = a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField 𝕜

Context: s : Set 𝕜

Context: f : 𝕜 → 𝕜

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: x : 𝕜

Context: hx : x ∈ s

Context: z : 𝕜

Context: hz : z ∈ s

Context: hxz✝ : x < z

Context: a b : 𝕜

Context: ha✝ : 0 < a

Context: hb✝ : 0 < b

Context: hab : a + b = 1

Context: y : 𝕜 := a * x + b * z

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxz : 0 < z - x

Context: ha : (z - y) / (z - x) = a

Context: hb : (y - x) / (z - x) = b


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hf : IsLocalHomeomorph f

IsTopologicalBasis {U | ∃ V, IsOpen V ∧ ∃ s, f ∘ ⇑s = Subtype.val ∧ Set.range ⇑s = U}


∀ u ∈ {U | ∃ V, IsOpen V ∧ ∃ s, f ∘ ⇑s = Subtype.val ∧ Set.range ⇑s = U}, IsOpen u


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
hf : IsLocalHomeomorph f
x : X
U : Set X
hx : x ∈ U
hU : IsOpen U

∃ v ∈ {U | ∃ V, IsOpen V ∧ ∃ s, f ∘ ⇑s = Subtype.val ∧ Set.range ⇑s = U}, x ∈ v ∧ v ⊆ U


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
n : ℕ

ENNReal.ofReal (p ^ n) = ENNReal.ofReal p ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

Context: t : Set (β × γ) := toMeasurable ((κ ⊗ₖ η) a) s

∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

Context: this : ∀ (b : β), (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ≤ (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

Context: ht : MeasurableSet t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h2t : ((κ ⊗ₖ η) a) t ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h2t : ((κ ⊗ₖ η) a) t ≠ ⊤

Context: ht_lt_top : ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t) < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: γ : Type u_4

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set (β × γ)

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: a✝ a : α

Context: h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s ≠ ⊤

Context: ht : MeasurableSet t

Context: h2t : ((κ ⊗ₖ η) a) t ≠ ⊤

Context: b : β

Context: hb : (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' t) < ⊤


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : P ⟶ Q
x : FamilyOfElements P R
h : x.Compatible
Z₁ Z₂ W : C
g₁ : W ⟶ Z₁
g₂ : W ⟶ Z₂
f₁ : Z₁ ⟶ X
f₂ : Z₂ ⟶ X
h₁ : R f₁
h₂ : R f₂
eq : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

Q.map g₁.op (f.app (op Z₁) (x f₁ h₁)) = Q.map g₂.op (f.app (op Z₂) (x f₂ h₂))


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α✝
inst✝² : Fintype α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α

card ↑(derangements α) = numDerangements (card α)


card ↑(derangements (Fin (card α))) = numDerangements (card α)


Context:
V W : SemiNormedGrp
i : V ≅ W
h1 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.hom
h2 : NormedAddGroupHom.NormNoninc i.inv
v : ↑V


Context:
b m n : ℕ
h₁ : b ^ m ≤ n
h₂ : n < b ^ (m + 1)


Context:
b n : ℕ
h₁ : b ^ 0 ≤ n
h₂ : n < b ^ (0 + 1)


Context:
b m n : ℕ
h₁ : b ^ m ≤ n
h₂ : n < b ^ (m + 1)
hm : m ≠ 0


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < r i n


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < r i x


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
hf : Function.Injective ⇑f


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
hx : x ∈ comap f ⊥


Context:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
hx : f x = f 0


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: hf : Differentiable ℂ f

Context: hb : Bornology.IsBounded (range f)

Context: z w : E

Context: g : ℂ → F := f ∘ fun t => t • (w - z) + z


Context: E : Type u

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ F

Context: f : E → F

Context: hf : Differentiable ℂ f

Context: hb : Bornology.IsBounded (range f)

Context: z w : E


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: f : M 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M i.succ) M₂

Context: m : M 0

Context: x : (i : Fin n) → M i.succ


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: m : M 0

Context: x : (i : Fin n) → M i.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
f : β → α
b : β
hf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 1


Context:
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
l : List ι
f : ι → ℝ
hl : ∀ i ∈ l, 0 ≤ f i
r : ℝ

(List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map f l).prod ^ r


(List.map (fun x => f x ^ r) l).prod = (List.map ((fun x => x ^ r) ∘ f) l).prod


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
c : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
l : List α
hl : ∀ x ∈ ⟦l⟧, 1 ≤ x


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddZeroClass G
f : k[G]

f ∈ Submodule.span k (⇑(of k G) '' ↑f.support)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'


Nat.card ↥f.range = Nat.card ↑(Set.range ⇑f)


Context:
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : AddGroup A
inst✝¹ : Ring R
α : Type u_3
inst✝ : Group α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y x' y' : α
l l' : List α
hd : (x :: y :: l).Nodup
hd' : (x' :: y' :: l').Nodup


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: x✝ x y x' y' : α

Context: l l' : List α

Context: hd : (x :: y :: l).Nodup

Context: hd' : (x' :: y' :: l').Nodup

Context: h : (x :: y :: l).formPerm = (x' :: y' :: l').formPerm


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: x✝ x y x' y' : α

Context: l l' : List α

Context: hd : (x :: y :: l).Nodup

Context: hd' : (x' :: y' :: l').Nodup

Context: h : ∀ (x_1 : α), (x :: y :: l).formPerm x_1 = (x' :: y' :: l').formPerm x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: x✝ x y x' y' : α

Context: l l' : List α

Context: hd : (x :: y :: l).Nodup

Context: hd' : (x' :: y' :: l').Nodup

Context: hx : x' ∈ x :: y :: l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: x✝ x y x' y' : α

Context: l l' : List α

Context: hd : (x :: y :: l).Nodup

Context: hd' : (x' :: y' :: l').Nodup

Context: hx : x' ∈ x :: y :: l

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (x :: y :: l).length

Context: hx' : (x :: y :: l).get ⟨n, hn⟩ = x'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: x✝ x y x' y' : α

Context: l l' : List α

Context: hd : (x :: y :: l).Nodup

Context: hd' : (x' :: y' :: l').Nodup

Context: hx : x' ∈ x :: y :: l

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (x :: y :: l).length

Context: hx' : (x :: y :: l).get ⟨n, hn⟩ = x'

Context: hl : (x :: y :: l).length = (x' :: y' :: l').length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l✝ : List α

Context: x✝ x y x' y' : α

Context: l l' : List α

Context: hd : (x :: y :: l).Nodup

Context: hd' : (x' :: y' :: l').Nodup

Context: hx : x' ∈ x :: y :: l

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (x :: y :: l).length

Context: hx' : (x :: y :: l).get ⟨n, hn⟩ = x'

((x :: y :: l).rotate n).length = (x' :: y' :: l').length


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S


Context:
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : β → m γ
f : α → β


(x >>= fun x => pure (f x) >>= g) = x >>= g ∘ f


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


↑↑(condexpL1 hm μ (c • f)) =ᶠ[ae μ] c • μ[f|m]


↑↑(c • condexpL1 hm μ f) =ᶠ[ae μ] c • μ[f|m]


∀ᵐ (x : α) ∂μ, (μ[f|m]) x = ↑↑(condexpL1 hm μ f) x → ↑↑(c • condexpL1 hm μ f) x = (c • μ[f|m]) x


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g : α → F'

Context: s : Set α

Context: c : 𝕜

Context: f : α → F'

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: x : α

Context: hx1 : ↑↑(c • condexpL1 hm μ f) x = (c • ↑↑(condexpL1 hm μ f)) x

Context: hx2 : (μ[f|m]) x = ↑↑(condexpL1 hm μ f) x

↑↑(c • condexpL1 hm μ f) x = (c • μ[f|m]) x


Context: m n a b c d : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : TopologicalSpace γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝ : SecondCountableTopology γ
g : β → γ
hg : Measurable g
f : α →ₘ[μ] β


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
j : Fin n


(if h : j.castSucc < i then ⋯ ▸ p ((i.succAbove j).castPred ⋯) else ⋯ ▸ p ((i.succAbove j).pred ⋯)) = p j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
u v : α → β
l : Filter α
inst✝ : OrderTopology β
huv : u ~[l] v
hu : Tendsto u l atBot


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderTopology G
l : Filter α
f✝ g f : α → G

Tendsto f l (𝓝 0) ↔ Tendsto (abs ∘ f) l (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderTopology G
l : Filter α
f✝ g f : α → G
h : Tendsto (abs ∘ f) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G

Context: inst✝ : OrderTopology G

Context: l : Filter α

Context: f✝ g f : α → G

Context: h : Tendsto (abs ∘ f) l (𝓝 0)

Context: this : Tendsto (fun a => -|f a|) l (𝓝 0)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f


∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0) → ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
x : PrimeSpectrum R
m : M
hm : ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0


Context:
R : Type u_1
l : ℕ
hl : Squarefree l


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
m n : ℤ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
m : ℤ


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
m : ℤ
n : ℕ
ihn : a ^ (m + ↑n) = a ^ m * a ^ ↑n


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
m : ℤ
n : ℕ
ihn : a ^ (m + -↑n) = a ^ m * a ^ (-↑n)


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
F : A → C ⥤ C
zero : F 0 ≅ 𝟭 C
add : (n m : A) → F (n + m) ≅ F n ⋙ F m
m₁ m₂ m₃ : A
X : C

(F (m₁ + m₂ + m₃)).obj X = (F (m₁ + (m₂ + m₃))).obj X


Context: C : Type u

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : AddMonoid A

Context: F : A → C ⥤ C

Context: zero : F 0 ≅ 𝟭 C

Context: add : (n m : A) → F (n + m) ≅ F n ⋙ F m

Context: assoc_hom_app : autoParam (∀ (m₁ m₂ m₃ : A) (X : C), (add (m₁ + m₂) m₃).hom.app X ≫ (F m₃).map ((add m₁ m₂).hom.app X) = eqToHom ⋯ ≫ (add m₁ (m₂ + m₃)).hom.app X ≫ (add m₂ m₃).hom.app ((F m₁).obj X)) _auto✝

Context: n : A

Context: X : C


Context: C : Type u

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : AddMonoid A

Context: F : A → C ⥤ C

Context: zero : F 0 ≅ 𝟭 C

Context: add : (n m : A) → F (n + m) ≅ F n ⋙ F m

Context: zero_add_hom_app : autoParam (∀ (n : A) (X : C), (add 0 n).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (F n).map (zero.inv.app X)) _auto✝

Context: n : A

Context: X : C


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x✝ x : List α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α

f =O[𝓟 s] g ↔ ∃ c, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C

F.map (λ_ X).hom = inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X ≫ (λ_ (F.obj X)).hom


F.map (λ_ X).hom = inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X ≫ F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom


F.map (λ_ X).hom = inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ (𝟙 (F.obj (𝟙_ C) ⊗ F.obj X) ≫ F.μ (𝟙_ C) X) ≫ F.map (λ_ X).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

(conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A))) = (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) (prodComparisonNatIso F A).inv


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: conjeq : (mateEquiv (exp.adjunction A) (exp.adjunction (F.obj A))) ((mateEquiv h h) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))) = (conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

({ toFun := fun α => whiskerLeft (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)) h.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft F α) F ≫ whiskerRight h.counit (prod.functor.obj A ⋙ F), invFun := fun β => whiskerRight h.unit (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ L) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L β) L ≫ whiskerLeft (L ⋙ prod.functor.obj A) h.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (prodComparisonNatTrans L (F.obj A) ≫ whiskerLeft L (prod.functor.map (h.counit.app A)))).app B = (prodComparisonNatIso F A).inv.app B


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B)) ≫ F.map (prod.map (h.counit.app A) (𝟙 (L.obj (F.obj B)))) ≫ F.map (prod.map (𝟙 A) (h.counit.app B)) = inv (prodComparison F A B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (h.counit.app A) (𝟙 (L.obj (F.obj B))) ≫ prod.map (𝟙 A) (h.counit.app B)) = inv (prodComparison F A B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (h.counit.app A) (h.counit.app B)) = inv (prodComparison F A B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

(h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (h.counit.app A) (h.counit.app B))) ≫ prodComparison F A B = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ F.map (prodComparison L (F.obj A) (F.obj B)) ≫ prodComparison F (L.obj (F.obj A)) (L.obj (F.obj B)) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ prodComparison (L ⋙ F) (F.obj A) (F.obj B) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

(h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ prodComparison (L ⋙ F) (F.obj A) (F.obj B)) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u'} D

Context: inst✝⁴ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝³ : HasFiniteProducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: L : D ⥤ C

Context: inst✝² : CartesianClosed C

Context: inst✝¹ : CartesianClosed D

Context: h : L ⊣ F

Context: A : C

Context: B : C

Context: ηlemma : h.unit.app (F.obj A ⨯ F.obj B) ≫ prod.lift ((L ⋙ F).map prod.fst) ((L ⋙ F).map prod.snd) = prod.map (h.unit.app (F.obj A)) (h.unit.app (F.obj B))

prod.map (h.unit.app (F.obj A)) (h.unit.app (F.obj B)) ≫ prod.map (F.map (h.counit.app A)) (F.map (h.counit.app B)) = 𝟙 (F.obj A ⨯ F.obj B)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
h : f = i.hom ≫ 𝟙 0 ≫ i.inv ≫ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : HasFiniteIntegral f μ
hν : HasFiniteIntegral f ν


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
hν : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ⊤

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ + ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂ν < ⊤


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X

EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : UniformCauchySeqOn F p s
h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'
u : Set ((β × β') × β × β')
hu : u ∈ 𝓤 (β × β')

∀ᶠ (m : (ι × ι') × ι × ι') in (p ×ˢ p') ×ˢ p ×ˢ p', ∀ x ∈ s ×ˢ s', ((fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) m.1 x, (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) m.2 x) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : UniformCauchySeqOn F p s

Context: h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'

Context: u : Set ((β × β') × β × β')

Context: hu : ∃ t₁ ∈ 𝓤 β, ∃ t₂ ∈ 𝓤 β', t₁ ×ˢ t₂ ⊆ (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : UniformCauchySeqOn F p s

Context: h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'

Context: u : Set ((β × β') × β × β')

Context: v : Set (β × β)

Context: hv : v ∈ 𝓤 β

Context: w : Set (β' × β')

Context: hw : w ∈ 𝓤 β'

Context: hvw : v ×ˢ w ⊆ (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : UniformCauchySeqOn F p s

Context: h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'

Context: u : Set ((β × β') × β × β')

Context: v : Set (β × β)

Context: hv : v ∈ 𝓤 β

Context: w : Set (β' × β')

Context: hw : w ∈ 𝓤 β'

∀ᶠ (m : (ι × ι') × ι × ι') in (p ×ˢ p') ×ˢ p ×ˢ p', ∀ (a : α) (b : α'), a ∈ s → b ∈ s' → ((F m.1.1 a, F' m.1.2 b), F m.2.1 a, F' m.2.2 b) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : UniformCauchySeqOn F p s

Context: h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'

Context: u : Set ((β × β') × β × β')

Context: v : Set (β × β)

Context: hv : v ∈ 𝓤 β

Context: w : Set (β' × β')

Context: hw : w ∈ 𝓤 β'

Context: hvw : (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) '' v ×ˢ w ⊆ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : UniformCauchySeqOn F p s

Context: h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'

Context: u : Set ((β × β') × β × β')

Context: v : Set (β × β)

Context: hv : v ∈ 𝓤 β

Context: w : Set (β' × β')

Context: hw : w ∈ 𝓤 β'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s'✝ : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p'✝ : Filter α

Context: g : ι → α

Context: ι' : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: inst✝ : UniformSpace β'

Context: F' : ι' → α' → β'

Context: p' : Filter ι'

Context: s' : Set α'

Context: h : UniformCauchySeqOn F p s

Context: h' : UniformCauchySeqOn F' p' s'

Context: u : Set ((β × β') × β × β')

Context: v : Set (β × β)

Context: hv : v ∈ 𝓤 β

Context: w : Set (β' × β')

Context: hw : w ∈ 𝓤 β'

Context: x : (ι × ι') × ι × ι'

Context: hx : (∀ x_1 ∈ s, (F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.1 x_1, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2 x_1) ∈ v) ∧ ∀ x_1 ∈ s', (F' ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.1 x_1, F' ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2 x_1) ∈ w

Context: a : α

Context: b : α'

Context: ha : a ∈ s

Context: hb : b ∈ s'


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α


Context:
num : ℕ
den : ℤ
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : β → α

Multipliable f ↔ CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b


Context:
N✝ N : ℕ
γ : SL(2, ℤ)

γ ∈ Gamma N ↔ ↑(↑γ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑γ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 1) = 1


Context:
N✝ N : ℕ
γ : SL(2, ℤ)

(SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ = 1 ↔ ↑(↑γ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑γ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑γ 1 1) = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ s} ∂ν a = (κ a) s


∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ ∅} ∂ν a = (κ a) ∅


∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ t} ∂ν a = (κ a) t


∀ (t : Set (β × ℝ)), MeasurableSet t → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ t} ∂ν a = (κ a) t → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ tᶜ} ∂ν a = (κ a) tᶜ


∀ (f_1 : ℕ → Set (β × ℝ)), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ f_1 i} ∂ν a = (κ a) (f_1 i)) → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ ⋃ i, f_1 i} ∂ν a = (κ a) (⋃ i, f_1 i)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c g h✝ x : G₀
h : a * b = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K

MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : NonAssocRing R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R M


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R ↥⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y


(∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x


(∃ r, 0 < r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x


Context:
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i


(compHom (smulAddMonoidHom A M)).comp (mulHom A) = ((compHom flipHom) ((compHom (smulAddMonoidHom A M).flip).comp (smulAddMonoidHom A M))).flip


Context:
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
ai : ιA
ax : A ai
bi : ιA
bx : A bi
ci : ιB
cx : M ci

(((((((compHom (smulAddMonoidHom A M)).comp (mulHom A)).comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of M ci)) cx = (((((((compHom flipHom) ((compHom (smulAddMonoidHom A M).flip).comp (smulAddMonoidHom A M))).flip.comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of M ci)) cx


((smulAddMonoidHom A M) (((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx))) ((of M ci) cx) = ((smulAddMonoidHom A M) ((of A ai) ax)) (((smulAddMonoidHom A M) ((of A bi) bx)) ((of M ci) cx))


(of M (ai + bi +ᵥ ci)) (GSMul.smul (GMul.mul ax bx) cx) = (of M (ai +ᵥ (bi +ᵥ ci))) (GSMul.smul ax (GSMul.smul bx cx))


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (ofFn f).length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
g : α → β → ℝ≥0
hg : Measurable (Function.uncurry g)

∫ (b : β), f b ∂(κ.withDensity fun a b => ↑(g a b)) a = ∫ (b : β), g a b • f b ∂κ a


Measurable (Function.uncurry fun a b => ↑(g a b))


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidablePred SupIrred
a b : α

(if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) (a ⊓ b) = (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) a ∩ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) b


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝ : V₁


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: c : Cardinal.{u}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : o.card < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord

Context: a : Ordinal.{u}


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Set α
x a : α
x✝ : x ∈ op a • s
b : α
hb : b ∈ s
Eq : (fun x => op a • x) b = x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ s

∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: F : ι → β → α

Context: f : β → α

Context: p : Filter ι

Context: s : Set β

Context: u : Set (α × α)

Context: hu : u ∈ 𝓤 α

Context: x : β

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: εpos : ε > 0

Context: t : Set β

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

Context: Ht : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
h : ScottContinuous f
u : Set β
hu : IsOpen u


Context:
xl xr : Type u
L R : List PGame

-ofLists L R = ofLists (List.map (fun x => -x) R) (List.map (fun x => -x) L)


Context:
xl xr : Type u
L R : List PGame

(HEq (fun j => -R[↑j.down]) fun i => -R[↑i.down]) ∧ HEq (fun i => -L[↑i.down]) fun j => -L[↑j.down]


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.val.obj (op X)

(appHom i.hom X ≫ appHom i.inv X) x = 𝟙 (ℱ.val.obj (op X)) x


∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op ((appHom i.hom X ≫ appHom i.inv X) x) = ℱ.val.map f.op (𝟙 (ℱ.val.obj (op X)) x)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ'.val.obj (op X)

(appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x = 𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x


∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ'.val.map f.op ((appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x) = ℱ'.val.map f.op (𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x)


Context: a b c x : ℕ


Context:
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane


Context:
m n✝ n : ℕ
nz : NeZero n
a : ZMod n
na : NeZero a


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r

‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r

‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r

Context: hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r

Context: hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r

ContinuousOn (fun ζ => (ζ - z)⁻¹ • f ζ) (sphere z r)


Context: E : Type u

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type v

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℂ → F

Context: z w : ℂ

Context: r : ℝ := dist w z

Context: hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)

Context: hw : w ∈ closedBall z r

Context: hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

Context: hr : 0 < r

Context: hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r

∀ z_1 ∈ sphere z r, ‖(z_1 - z)⁻¹ • f z_1‖ ≤ ‖f z‖ / r


Context:
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.Finite
hg : g.Finite


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x

LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ LiftPropWithinAt P g s x


↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ t) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α


b - ⌊(b - a) / p⌋ • p ∈ Set.Ico a (a + p)


0 ≤ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p ∧ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p < p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s✝ t : Set H
x : H
s : Set H

(insert x s).innerDualCone = {x}.innerDualCone ⊓ s.innerDualCone


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : R
s : ↥S


Context:
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)


Context:
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)
N₁ : a.NF
r₁ : o₁.repr = a.repr + ↑m


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι ≃ κ
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G

x ∈ g • ⇑(mk' N) ⁻¹' U ↔ x ∈ ⇑(mk' N) ⁻¹' U


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F

(endEquivAutGalois F) (g ≫ f) = (endEquivAutGalois F) g * (endEquivAutGalois F) f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F

(fun f => F.map f.hom A.pt) ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) (g ≫ f))) = (fun f => F.map f.hom A.pt) ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g * (endEquivAutGalois F) f))


(g.app A.obj ≫ f.app A.obj) A.pt = F.map (((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) f)).hom ≫ ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt


f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom (f.app A.obj A.pt)


f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = (f.app A.obj ≫ F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree


p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : CharZero F

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hp : p.degree ≠ 0

Context: α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : CharZero F

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hp : p.degree ≠ 0

Context: hα : IsIntegral F α


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : CharZero F

Context: p_irr : Irreducible p

Context: p_deg : Nat.Prime p.natDegree

Context: hp : p.degree ≠ 0

Context: hα : IsIntegral F α

finrank F p.SplittingField = p.natDegree * finrank (↥F⟮α⟯) p.SplittingField


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

DifferentiableAt 𝕜 (dslope f a) b ↔ DifferentiableAt 𝕜 f b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : CharP R p

Context: x y : R

Context: h : Commute x y

Context: r : R

Context: hr : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t✝ : Set α
l : List α
a : α
s : Set α
t : Set β
n m : ℕ

s.chainHeight + ↑n ≤ t.chainHeight + ↑m ↔ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : LT β

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: l : List α

Context: a : α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: n m : ℕ

Context: H : ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m


Context: G✝ : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : Group G✝

Context: inst✝¹ : Fintype G✝

Context: x : G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_6

Context: inst✝ : Group G

Context: h : (Nat.card G).Coprime n

Context: g : G

Context: key : g ^ ↑((Nat.card G).gcd n) = g ^ (↑(Nat.card G) * (Nat.card G).gcdA n + ↑n * (Nat.card G).gcdB n)

(fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) ((fun g => g ^ n) g) = g


Context: G✝ : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : Group G✝

Context: inst✝¹ : Fintype G✝

Context: x : G✝

Context: n : ℕ

Context: G : Type u_6

Context: inst✝ : Group G

Context: h : (Nat.card G).Coprime n

Context: g : G

(fun g => g ^ n) ((fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) g) = g


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≠ ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω

Context: inst✝ : BorelSpace Ω

Context: μ ν : FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑ν ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β


∀ (c : α × β), ωSup (c₀.zip c₁) ≤ c ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
z₁ : α
z₂ : β

ωSup (c₀.zip c₁) ≤ (z₁, z₂) ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ (z₁, z₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G✝ : Type u_6
H✝ : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : CommGroup H✝
G : Type u_9
H : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulOneClass H
inst✝¹ : FunLike F G H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
h : ∀ (a : G), f a = 1 → a = 1
x y : G
hxy : f x = f y


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

(C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree = 3


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M


⋂ p_1 ∈ Set.range fun i => p i, ↑p_1 = ⋂ i, ↑(p i)


Context: k : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : x < 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : 0 ≤ x


Context:
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ


f^[n] a ≤ (fun a => sup fun n => f^[n] a) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι
hi : i ∈ Finset.image g s
hit : i ∉ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι
hi : ∃ a ∈ s, g a = i
hit : i ∉ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι
hjt : j ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι'
hj : j ∈ s
hjt : g j ∈ t


Context:
x y z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
h : y - ↑n ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : SMul 𝕜 E
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ι : Sort u_7
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set E

IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), IsVonNBounded 𝕜 (s i)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
s : Set β

map Subtype.val (comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N✝

Context: inst✝⁷ : Module R N✝

Context: inst✝⁶ : Small.{v, u} R

Context: flat : Flat R M

Context: N N' N'' : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N'

Context: inst✝³ : AddCommGroup N''

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: inst✝ : Module R N''

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: g : N' →ₗ[R] N''

Context: exact : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ

Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N✝

Context: inst✝⁷ : Module R N✝

Context: inst✝⁶ : Small.{v, u} R

Context: flat : Flat R M

Context: N N' N'' : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N'

Context: inst✝³ : AddCommGroup N''

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: inst✝ : Module R N''

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: g : N' →ₗ[R] N''

Context: exact : Function.Exact ⇑f ⇑g

Context: ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: N✝ : Type w

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N✝

Context: inst✝⁷ : Module R N✝

Context: inst✝⁶ : Small.{v, u} R

Context: flat : Flat R M

Context: N N' N'' : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N'

Context: inst✝³ : AddCommGroup N''

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Module R N'

Context: inst✝ : Module R N''

Context: f : N →ₗ[R] N'

Context: g : N' →ₗ[R] N''

Context: exact : Function.Exact ⇑f ⇑g

Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M π)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0


f.toLinearEquiv = (o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv


↑f.toLinearEquiv = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv


∀ (i : Fin 2), ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i) = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i)


↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩) = ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩)


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V

Context: hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv

Context: this✝ : Nontrivial V

Context: x : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : o.oangle (o.rightAngleRotation x) (f (o.rightAngleRotation x)) = o.oangle x (f x)


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : InvolutiveInv G
inst✝¹ : MeasurableInv G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
A : Set G


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R


Context:
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ 0
h' : optParam (i.rev ≠ last n) ⋯


Context:
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
a b : ℕ


Context:
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
a b : ℕ

Polynomial.eval (↑(a - (2 - 1))) (ascPochhammer S 2) = ↑a * (↑a - 1)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R


Continuous fun x => (circleMap z R x - w)⁻¹


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

(N₁Γ₀.app K).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom


((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (Γ₀NondegComplexIso K)).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂), x₂ ≫ S.L₀.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
x₁ : A₁ ⟶ S.L₀.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S.v₀₁.τ₁ = y₁


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι


∀ (b : ι), l b ≠ 0 → b ≠ i → (ε i) (l b • e b) = 0


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Sort u

Context: β : α → Sort v

Context: f : (a : α) → β a

Context: β' : α → Sort v

Context: f' : (a : α) → β' a

Context: h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')

Context: this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Sort u

Context: β : α → Sort v

Context: f : (a : α) → β a

Context: β' : α → Sort v

Context: f' : (a : α) → β' a

Context: this✝ : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)

Context: this : β = β'


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Sort u

Context: β : α → Sort v

Context: f f' : (a : α) → β a

Context: this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Sort u

Context: β : α → Sort v

Context: f f' : (a : α) → β a

Context: this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)

Context: a : α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

(colimMap (J.diagramPullback P f) ≫ colimit.pre (J.diagram P Y) (J.pullback f).op) ((colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

(colimit.ι (J.diagram P Y) ((J.pullback f).op.obj (op S))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x) = (Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

(Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

(Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = x.pullback f


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

Context: i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow

↑((Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))) i = ↑(x.pullback f) i


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

(Multiequalizer.ι ((S.pullback f).index P) i) ((Multiequalizer.lift ((S.pullback f).index P) (multiequalizer (S.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (S.index P) (Cover.Arrow.base I)) ⋯) ((Meq.equiv P S).symm x)) = ↑x { Y := i.Y, f := i.f ≫ f, hf := ⋯ }


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: Y X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: S : J.Cover X

Context: x : Meq P S

Context: f : Y ⟶ X

↑x i.base = ↑x { Y := i.Y, f := i.f ≫ f, hf := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DenselyOrdered α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
h0 : p ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤

eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: n : ℤ

((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.f ≫ (mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv).f n = (-mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: n : ℤ

Context: h : (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (n + 1))).f ≫ (σ (n + 1)).r = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (n + 1))).X₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: n : ℤ

Context: h : S.f.f (n + 1) ≫ (σ (n + 1)).r = 𝟙 (S.X₁.X (n + 1))

S.f.f (n + 1) ≫ (S.g.f (n + 1) ≫ (mappingCone.inl (homOfDegreewiseSplit S σ)).v (n + 1) n ⋯ - (σ (n + 1)).r ≫ 𝟙 (S.X₁.X (n + 1)) ≫ (mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n) = -(mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n


Context:
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b

∫ (x : ℝ) in Ioi a, g (b * x) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Ioi (b * a), g x


Context:
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)


∫ (x : ℝ), (Ioi a).indicator (fun x => g (b * x)) x ∂volume = ∫ (x : ℝ), (Ioi (b * a)).indicator g (b * x)


Context:
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)
x : ℝ

(Ioi a).indicator (fun x => g (b * x)) x = (Ioi (b * a)).indicator g (b * x)


(Ioi a).indicator (fun x => g (b * x)) x = (Ioi a).indicator (g ∘ HMul.hMul b) x


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
hvw : G.Adj v w

(G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u = (if u = v then {w} else ∅) ∪ if u = w then {v} else ∅


Context:
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank K (V →ₗ[K] K)


lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)

ProgMeasurable f fun i a => ∏ c ∈ s, U c i a


(fun i a => ∏ c ∈ s, U c i a) = ∏ c ∈ s, U c


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)
i : ι
a : Ω


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E

‖⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜‖ ≤ 1 * ‖x‖ * ‖y‖


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant


QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ.inv.inv μ.inv.inv


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

(map (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ)).Monic


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
δ : Type u_3
inst✝ : CommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n

∏ k ∈ Ico m n, f k = (∏ k ∈ range n, f k) / ∏ k ∈ range m, f k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M →+ N
a b : α →₀ M

mapRange ⇑f ⋯ (a + b) = mapRange ⇑f ⋯ a + mapRange ⇑f ⋯ b


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
x✝ : r ∈ ⊤


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
U : Set E

IsOpen U ↔ ∀ x ∈ U, ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Semigroup α
s : Set α
a b : α


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

Context: hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

Context: H : Associated fx.prod x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

Context: H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x

Associates.mk x = Associates.mk (ϖ ^ Multiset.card fx)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

(Multiset.map Associates.mk fx).prod = (Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk ϖ)).prod


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

Multiset.map Associates.mk fx = Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk ϖ)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

Multiset.card (Multiset.map Associates.mk fx) = Multiset.card fx ∧ ∀ b ∈ Multiset.map Associates.mk fx, b = Associates.mk ϖ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

∀ (b : Associates R), ∀ x ∈ fx, Associates.mk x = b → b = Associates.mk ϖ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : DiscreteValuationRing R

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: ϖ : R

Context: hirr : Irreducible ϖ

Context: this : WfDvdMonoid R

Context: fx : Multiset R

Context: x✝ : R

Context: a✝ : x✝ ∈ fx


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : y ≤ x ⊔ z


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : (x ⊔ z) ⊓ y = y


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hs✝ : S.FG
s : Finset A
hs : Algebra.adjoin R ↑s = S

Algebra.adjoin R ↑(Finset.image (⇑f) s) = Subalgebra.map f S


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : n < m


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

Tendsto (fun x => rexp (f x)) l (𝓝 0) ↔ Tendsto f l atBot


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : SMul S R

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: p✝ q : Submodule R M

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : SMul S R

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: p✝ q : Submodule R M

Context: ι : Type u_4

Context: s : Finset ι

Context: p : ι → Submodule R M


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : Semiring S

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : SMul S R

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: p✝ q : Submodule R M

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ : Finset ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : i ∉ s

Context: ih : ↑(s.inf p) = ⋂ i ∈ s, ↑(p i)

↑((insert i s).inf p) = ⋂ i_1 ∈ insert i s, ↑(p i_1)


Context:
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M

Context: y : M

Context: hy : y ∈ S


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M

Context: hx : ∀ m ∈ S.centralizer.centralizer, m * x = x * m

Context: y : M

Context: hy : y ∈ S


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ


(∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g'


Context:
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A✝ : Matrix n n α
b✝ : n → α
A : Matrix m m α
e : n ≃ m
b : n → α
i : n

(A.submatrix ⇑e ⇑e).cramer b i = (A.cramer (b ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e) i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
n : ℕ


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd

(x ^ n).snd = n •> (x.snd <• x.fst ^ n.pred)


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : IsDomain R✝
p✝ q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : R[X]
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
hf : Function.Injective f
heval : ∀ (i : ι), eval (f i) p = 0
hcard : p.natDegree < Fintype.card ι


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : ¬p = 0

rootMultiplicity 0 p = p.natTrailingDegree


rootMultiplicity 0 p ≤ p.natTrailingDegree


p.natTrailingDegree ≤ rootMultiplicity 0 p


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
h : ∀ a ∈ s, t₁ a ⊆ t₂ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : α → Finset β

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: h : ∀ a ∈ s, t₁ a ⊆ t₂ a

Context: this : ∀ (b : β), ∀ a ∈ s, b ∈ t₁ a → ∃ a ∈ s, b ∈ t₂ a


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c
x : Associates α
hx : x ∈ p + factors c