Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

L1.integralCLM ↑f = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

Ico (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Ico b₁ b₂)


Ico (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Ico b₁ b₂))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝³ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝³ : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)

Context: a p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: f : E' → F'

Context: f' : E' →L[𝕂] F'

Context: x : E'

Context: hf : ContDiffAt 𝕂 n f x

Context: hf' : HasFDerivAt f f' x

Context: hn : 1 ≤ n

Context: u : Set E'

Context: H : u ∈ 𝓝[insert x univ] x

Context: p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'

Context: hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: f : E' → F'

Context: f' : E' →L[𝕂] F'

Context: x : E'

Context: hf : ContDiffAt 𝕂 n f x

Context: hf' : HasFDerivAt f f' x

Context: hn : 1 ≤ n

Context: u : Set E'

Context: hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u

Context: H : u ∈ 𝓝 x


Context: n : ℕ∞

Context: 𝕂 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕂

Context: E' : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'

Context: F' : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'

Context: f : E' → F'

Context: f' : E' →L[𝕂] F'

Context: x : E'

Context: hf : ContDiffAt 𝕂 n f x

Context: hf' : HasFDerivAt f f' x

Context: hn : 1 ≤ n

Context: u : Set E'

Context: hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u

Context: H : u ∈ 𝓝 x

Context: this : HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F') (p x 1)) x


Context:
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
S : Set E
E' : Type u_3
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
x : E'

x ∈ Subfield.map (↑f) (Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ S)) ↔ x ∈ Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E') ∪ ⇑f '' S)


x ∈ Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E') ∪ ⇑↑f '' S) ↔ x ∈ Subfield.closure (Set.range ⇑(algebraMap F E') ∪ ⇑f '' S)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : G.LocalInvariantProp G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : ↥V → M'
x : ↥U

LiftPropAt P f (inclusion hUV x) ↔ LiftPropAt P (f ∘ inclusion hUV) x


ContinuousWithinAt f univ (inclusion hUV x) ∧ P (↑(chartAt H' (f (inclusion hUV x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H (inclusion hUV x)).symm) (↑(chartAt H (inclusion hUV x)).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x)) ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ inclusion hUV) univ x ∧ P (↑(chartAt H' ((f ∘ inclusion hUV) x)) ∘ (f ∘ inclusion hUV) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)

eLpNorm (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) 1 μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : ↥(Lp E 2 μ)

Context: h : ∀ (x : α), ‖⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜‖ ≤ ‖‖↑↑f x‖ ^ 2 + ‖↑↑g x‖ ^ 2‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : ↥(Lp E 2 μ)

AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : ↥(Lp E 2 μ)

AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑g a‖ ^ 2) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : ↥(Lp E 2 μ)

eLpNorm (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) 1 μ + eLpNorm (fun a => ‖↑↑g a‖ ^ 2) 1 μ < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : ↥(Lp E 2 μ)

eLpNorm (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) 1 μ < ⊤ ∧ eLpNorm (fun a => ‖↑↑g a‖ ^ 2) 1 μ < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ box n d


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : ∀ (i : Fin n), x i < d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x : Fin n → ℕ

Context: hx : ∀ (i : Fin n), x i < d

Context: this : ∀ (i : Fin n), x i ^ 2 ≤ (d - 1) ^ 2


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
st : s ⊆ t
f' : E →L[𝕜] F
hf' : HasFDerivWithinAt f f' t x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S


∃ σ, ∀ (s : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ


∀ (s : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑∅, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑∅


∀ (s : S), ∃ a, IsUnit ((algebraMap R S) a) ∧ ∃ y, (algebraMap R S) y = s * (algebraMap R S) a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
s : S

∃ a, IsUnit ((algebraMap R S) a) ∧ ∃ y, (algebraMap R S) y = s * (algebraMap R S) a


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: inst✝⁵ : CommRing T

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : Algebra R T

Context: inst✝² : Algebra S T

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S T

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: s : S

Context: x : R

Context: t : ↥M

Context: e : s * (algebraMap R S) ↑(x, t).2 = (algebraMap R S) (x, t).1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hfg : IsPeriodicPt (f ∘ g) n x
hg : IsPeriodicPt g n x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hfg : IsFixedPt (f^[n] ∘ g^[n]) x
hg : IsPeriodicPt g n x


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : Unique α
inst✝ : Fintype α
f : α → β


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.268667

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: inst✝² : Finite R M

Context: inst✝¹ : Finite R N

Context: inst✝ : Free R N

Context: hf : Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor k f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.268667

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: inst✝² : Finite R M

Context: inst✝¹ : Finite R N

Context: inst✝ : Free R N

Context: this : FinitePresentation R P


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.268667

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: inst✝² : Finite R M

Context: inst✝¹ : Finite R N

Context: inst✝ : Free R N

Context: this : FinitePresentation R P

Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor P (Submodule.subtype 𝔪))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type ?u.268667

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : CommRing S

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R S

Context: inst✝⁹ : LocalRing R

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup P

Context: inst✝³ : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: inst✝² : Finite R M

Context: inst✝¹ : Finite R N

Context: inst✝ : Free R N

Context: this : FinitePresentation R P

Function.Injective ⇑(LinearMap.lTensor P (Submodule.subtype 𝔪))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D
F G : C ⥤ D
τ : F ⟶ G
S : ShortComplex C
inst✝⁶ : S.HasHomology
inst✝⁵ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝² : G.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S
inst✝ : G.PreservesRightHomologyOf S

τ.app S.homology = (S.mapHomologyIso F).inv ≫ ShortComplex.homologyMap (S.mapNatTrans τ) ≫ (S.mapHomologyIso G).hom


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r

G.degree s = (filter (G.Adj s) univ).card


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
a✝ : V

a✝ ∈ filter (fun x => ¬G.Adj s x) univ ↔ a✝ ∈ h.finpartition.part s


a✝ ∈ univ ∧ ¬G.Adj s a✝ ↔ a✝ ∈ h.finpartition.part s


Context:
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
k : ℕ
μ : K
hx : f.HasEigenvalue μ
hk : 0 < k


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f (σ i) • g i ↔ ¬Antivary (f ∘ ⇑σ) g


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
hμ : μ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
H : ∀ (i : ι), μ (U i) ≤ 0


Context:
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝²⁰ : Ring k
inst✝¹⁹ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : Module k V₁
inst✝¹⁷ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁵ : Module k V₂
inst✝¹⁴ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝¹³ : AddCommGroup V₃
inst✝¹² : Module k V₃
inst✝¹¹ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V₄
inst✝⁹ : Module k V₄
inst✝⁸ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝⁷ : TopologicalSpace P₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid P₁
inst✝⁵ : Module k P₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₂
inst✝³ : AddCommMonoid P₂
inst✝² : Module k P₂
inst✝¹ : TopologicalSpace P₃
inst✝ : TopologicalSpace P₄
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[≠] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[≠] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[≠] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hff' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (f' x) x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: hgg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (g' x) x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (g' x) x

Context: hg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, g' x ≠ 0) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, g' x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l

Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a


Context:
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω

Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ))


Tendsto (toFiniteMeasure ∘ μs) F (𝓝 μ.toFiniteMeasure) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ))


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : x ∈ Ioc (-(π / 2)) (π / 2)


Context: a✝ x✝ y✝ a x y : ℂ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ a : α


(∀ b ∈ Multiset.map f s.val, b ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a


(∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → b ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h₂ : IsZero T.obj₂

Context: h₃ : IsZero T.obj₃


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h₂ : IsZero T.obj₂

Context: h₃ : IsZero T.obj₃


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α

Ico a b ∩ Ico c d = Ico (max a c) (min b d)


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens

Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: W : (↑V).Opens

Context: e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: W : (↑V).Opens

Context: this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: W : (↑V).Opens

Context: this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W

Context: e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: W : (↑V).Opens

Context: this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W

Context: e₃ : Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: W : (↑V).Opens

Context: this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W

Context: e₃ : Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W ≫ X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op

Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: W : (↑V).Opens

Context: this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W

Context: e₃ : Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W = X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op) ≫ X.presheaf.map (inv ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v, u₁} C

Context: X : Scheme

Context: U✝ U V : X.Opens

Context: i : U ⟶ V

Context: W : (↑V).Opens

Context: this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W

X.presheaf.map (((homOfLE ⋯).op ≫ ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op) ≫ inv ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : ℕ × α
l : List α
h : x ∈ l.enum


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 2 = 1


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
h₂ : p % 8 < 8


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: N : E → ℝ

Context: N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x

Context: N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y

Context: hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: N : E → ℝ

Context: hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

Context: s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: N : E → ℝ

Context: hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

Context: f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: N : E → ℝ

Context: hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

Context: hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: N : E → ℝ

Context: hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

Context: hf'_dense : ∀ (y : E × ℝ), ∃ x, ↑x + y ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: N : E → ℝ

Context: hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

Context: g : E × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ

Context: g_eq : ∀ (x : ↥f'.domain), g ↑x = ↑f' x

Context: g_nonneg : ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module ℝ E

Context: f : E →ₗ.[ℝ] ℝ

Context: N : E → ℝ

Context: hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

Context: g : E × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ

Context: g_nonneg : ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x

Context: g_eq : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ℝ), g (↑x, y) = y - ↑f x


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

F.map (rightHomologyMap φ) ≫ (S₂.mapRightHomologyIso F).inv = (S₁.mapRightHomologyIso F).inv ≫ rightHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosSemidef
x : m → R


Context:
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂


Context:
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂
h₁ : a₁ < b

b * b + a₁ < if a₂ < b then b * b + a₂ else a₂ * a₂ + (a₂ + b)


Context:
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂
h₁ : ¬a₁ < b

a₁ * a₁ + (a₁ + b) < if a₂ < b then b * b + a₂ else a₂ * a₂ + (a₂ + b)


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
g f : K[X]
hf0 : g * f ≠ 0
hf : Splits i (g * f)


Context:
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
x✝ : P

x✝ ∈ v +ᵥ ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤


Context: z : ℂ


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i

X.map (SimplexCategory.σ j.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ j).op


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
s : Multiset α
inst✝ : Std.Commutative op
a : α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
inst✝ : Std.Commutative op
a : α
a✝ : List α

noncommFold op ⟦a✝⟧ ⋯ a = fold op a ⟦a✝⟧


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

Gamma s = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

(↑s).GammaIntegral.re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

(∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1)).re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

(∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ↑(s - 1)).re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ↑(s - 1) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ (↑s - 1) = Complex.exp (-↑x) * ↑(x ^ (s - 1))


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ (↑s - 1) = Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ ↑(s - 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀

(∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z) ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: i : ι

Context: H : IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

f i (sup (List.foldr f a)) = sup (List.foldr f a)


Context: ι : Type u

Context: i : ι

Context: H : IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

sup (f i ∘ List.foldr f a) = sup (List.foldr f a)


Context: ι : Type u

Context: i : ι

Context: H : IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: l : List ι

(f i ∘ List.foldr f a) l ≤ sup (List.foldr f a)


Context: ι : Type u

Context: i : ι

Context: H : IsNormal (f i)

Context: a : Ordinal.{max u v}

Context: l : List ι

List.foldr f a l ≤ sup (f i ∘ List.foldr f a)


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a


Context:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

∏ i ∈ range (n + 2), f i (n + 1 - i) ^ (n + 1).choose i = (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommMonoid M✝

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : ℕ → ℕ → M

Context: n : ℕ

Context: A : (∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose (i + 1)) * f 0 (n + 1) = ∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i


Context: R✝ : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommMonoid M✝

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring R

Context: M : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid M

Context: f : ℕ → ℕ → M

Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
s : Set β
hf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) s
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n

ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: IH1 : (ts.permutationsAux (t :: is)).length + (t :: is).length ! = (ts.length + (t :: is).length)!

Context: IH2✝ : (is.permutationsAux []).length + [].length ! = (is.length + [].length)!

Context: IH2 : (is.permutationsAux []).length + 1 = is.length !

((t :: ts).permutationsAux is).length + is.length ! = ((t :: ts).length + is.length)!


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: IH1 : (ts.permutationsAux (t :: is)).length + is.length ! * is.length.succ = (ts.length + is.length)! * (ts.length + is.length).succ


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
ψ : Dual R M₂


∀ (w : M₁), f w = 0 → (f.dualMap ψ) w = 0


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
ψ : Dual R M₂
x : M₁
hx : f x = 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix n m α
h : IsUnit A.det


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜

(⨆ i, ⨆ j, s i j).toIdeal = ⨆ i, ⨆ j, (s i j).toIdeal


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ

∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : u n ≤ x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

Context: n : ℕ

Context: h : x < u n

Context: exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N

Context: N : ℕ := Nat.find exists_N

Context: hN : N ≤ n ∧ x < u N

Context: w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)

Context: ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s

Context: hw : Monotone w


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

Context: n : ℕ

Context: h : x < u n

Context: exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N

Context: N : ℕ := Nat.find exists_N

Context: hN : N ≤ n ∧ x < u N

Context: ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s

Context: hw : Monotone w


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

Context: n : ℕ

Context: h : x < u n

Context: exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N

Context: N : ℕ := Nat.find exists_N

Context: hN : N ≤ n ∧ x < u N

Context: ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s

Context: hw : Monotone w

∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range (n + 1), edist (f (w (j + 1))) (f (w j))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

Context: n : ℕ

Context: h : x < u n

Context: exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N

Context: N : ℕ := Nat.find exists_N

Context: hN : N ≤ n ∧ x < u N

Context: ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s

Context: hw : Monotone w

Context: Npos : 0 = N


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: u : ℕ → α

Context: hu : Monotone u

Context: us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

Context: n : ℕ

Context: h : x < u n

Context: exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N

Context: N : ℕ := Nat.find exists_N

Context: hN : N ≤ n ∧ x < u N

Context: ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s

Context: hw : Monotone w

Context: Npos : 0 < N


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Trivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: y : E b

(Trivialization.linearMapAt R e b) y = if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
h₁ : ‖x‖ * ‖y‖ ≠ 0


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C

L.map (h.unit.app X) ≫ L.map (h.unit.app (R.obj (L.obj X))) = L.map (h.unit.app X) ≫ L.map (R.map (L.map (h.unit.app X)))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

L.map (h.unit.app X✝) ≫ L.map (R.map (L.map f)) = L.map f ≫ L.map (h.unit.app Y✝)


L.map (h.unit.app X✝ ≫ R.map (L.map f)) = L.map f ≫ L.map (h.unit.app Y✝)


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Invertible 2


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (x + ↑m) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
f g : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f
hg : Partrec g

∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((h a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)


Context:
g : ℕ →. ℕ
hg : Partrec g
cf : Code
hf : Partrec cf.eval

∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ g a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (g a).Dom)


Context:
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval

∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ cg.eval a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (cg.eval a).Dom)


Context: cf : Code

Context: hf : Partrec cf.eval

Context: cg : Code

Context: hg : Partrec cg.eval

Context: this : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n


Context: cf : Code

Context: hf : Partrec cf.eval

Context: cg : Code

Context: hg : Partrec cg.eval

Context: this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n

(∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n) ∧ ((rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom ↔ (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom)


Context: cf : Code

Context: hf : Partrec cf.eval

Context: cg : Code

Context: hg : Partrec cg.eval

Context: n : ℕ

(cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom → (rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom


Context: cf : Code

Context: hf : Partrec cf.eval

Context: cg : Code

Context: hg : Partrec cg.eval

Context: n : ℕ

Context: h : (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom

(rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom


Context: cf : Code

Context: hf : Partrec cf.eval

Context: cg : Code

Context: hg : Partrec cg.eval

Context: n : ℕ

Context: h : (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom

∃ n_1 a, a ∈ HOrElse.hOrElse (Code.evaln n_1 cf n) fun x => Code.evaln n_1 cg n


Context: cf : Code

Context: hf : Partrec cf.eval

Context: cg : Code

Context: hg : Partrec cg.eval

Context: n : ℕ

Context: h : (∃ y k, Code.evaln k cf n = Option.some y) ∨ ∃ y k, Code.evaln k cg n = Option.some y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α

(bind (a, s) f).bind g = bind (a, s) fun x => (f x).bind g


(join (map g (f a), Seq.map (map g) (Seq.map f s))).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (fun x => (map g (f x)).join) s)


(join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (fun x => (map g (f x)).join) s)


(join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (join ∘ map g ∘ f) s)


(join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map join (Seq.map (map g ∘ f) s))


Context:
α : Type u_1
l : List α


Context:
α : Type u_1
l : List α

List.map ofList l.sublists ~ powersetAux' l


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 < a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 = a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : a < 0


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E

dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂


comap re (comap Real.exp (𝓝 0)) = comap re atBot


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) ⊥ ≤ μ E


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L

1 - μ E ≤ liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

Context: this : 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace Ω

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: μ : Measure Ω

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: E : Set Ω

Context: E_mble : MeasurableSet E

Context: h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E

Context: hne : L.NeBot

Context: meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E

1 - μ E ≤ 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
a✝ : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h₁ : P 0

Context: h₂ : ∀ (x : α), IsUnit x → P x

Context: h₃ : ∀ (a p : α), a ≠ 0 → Prime p → P a → P (p * a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: P : α → Prop

Context: a : α

Context: h₁ : P 0

Context: h₂ : ∀ (x : α), IsUnit x → P x

Context: h₃ : ∀ (a p : α), a ≠ 0 → Irreducible p → P a → P (p * a)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
f : F
hf : Injective ⇑f
s t : Finset α

map { toFun := ⇑f, inj' := hf } (s ⊼ t) = map { toFun := ⇑f, inj' := hf } s ⊼ map { toFun := ⇑f, inj' := hf } t


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x

Submodule.span K₁ {x} ⊓ (Submodule.span K₁ {x}).orthogonalBilin B = ⊥


Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : Module K V

Context: inst✝⁴ : Field K₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K₁ V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: J : K →+* K

Context: J₁ J₁' : K₁ →+* K

Context: B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂

Context: x : V₁

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: y : V₁

Context: h : y ∈ Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : Module K V

Context: inst✝⁴ : Field K₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup V₁

Context: inst✝² : Module K₁ V₁

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V₂

Context: inst✝ : Module K V₂

Context: J : K →+* K

Context: J₁ J₁' : K₁ →+* K

Context: B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂

Context: x : V₁

Context: hx : ¬B.IsOrtho x x

Context: μ : V₁ → K₁

Context: h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : B.IsOrtho x (∑ i ∈ {x}, μ i • i)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : B.IsOrtho x (μ x • x)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : J₁' (μ x) • (B x) x = 0


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⋂ f ∈ s, (↑(X.toRingedSpace.basicOpen f))ᶜ


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

Context: this : ∀ i ∈ s, (X.toRingedSpace.basicOpen i).carrierᶜ = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' (basicOpen i).carrierᶜ


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⋂ i ∈ s, ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' (basicOpen i).carrierᶜ


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' ⋂ i ∈ s, zeroLocus {i}


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus (⋃ i ∈ s, {i})


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Subsingleton R


Context:
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Nontrivial R


(¬∃ I, ⊥ < I ∧ I < ⊤) ↔ ¬¬IsSimpleOrder (Ideal R)


(∀ (I : Ideal R), ⊥ < I → ¬I < ⊤) ↔ IsSimpleOrder (Ideal R)


(∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤) ↔ IsSimpleOrder (Ideal R)


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: H K L : Subgroup G

Context: f : G' →* G

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: this✝ : Setoid G := QuotientGroup.leftRel H

Context: this : Setoid G' := QuotientGroup.leftRel (comap f H)

Context: key : ∀ (x y : G'), Setoid.r x y ↔ Setoid.r (f x) (f y)


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: H K L : Subgroup G

Context: f : G' →* G

Context: hf : Function.Surjective ⇑f


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Group G'

Context: H K L : Subgroup G

Context: f : G' →* G

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Function.Surjective (Quotient.map' ⇑f ⋯)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'

LiftPropWithinAt P f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)


ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'
hf : ContinuousWithinAt f s x

↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] (chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R

Continuous (circleTransformDeriv R z w f)


Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹ • circleTransform R z w f θ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
x_ne_zero : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

fderivWithin 𝕜 (fun x => x⁻¹) s x = smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)


fderiv 𝕜 (fun x => x⁻¹) x = smulRight 1 (-(x ^ 2)⁻¹)


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

((HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 1 2 3 isoTwoCocycles.proof_2 isoTwoCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(twoCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(threeCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH2 A).moduleCatCyclesIso.hom) ≫ ModuleCat.ofHom (twoCocycles A).subtype = iCocycles A 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)


(HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 1 2 3 isoTwoCocycles.proof_2 isoTwoCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(twoCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(threeCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH2 A).moduleCatCyclesIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (twoCocycles A).subtype = iCocycles A 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)


(HomologicalComplex.cyclesIsoSc' (inhomogeneousCochains A) 1 2 3 isoTwoCocycles.proof_2 isoTwoCocycles.proof_3).hom ≫ cyclesMap { τ₁ := ↑(oneCochainsLequiv A), τ₂ := ↑(twoCochainsLequiv A), τ₃ := ↑(threeCochainsLequiv A), comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ≫ (shortComplexH2 A).iCycles = iCocycles A 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F

Context: U U' : Set B

Context: hU : IsOpen U

Context: hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U

Context: h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U

Context: hU' : IsOpen U'

Context: hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'

Context: h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'

({ toFun := fun x => (x.1, (φ x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ x.1).symm x.2), source := U ×ˢ univ, target := U ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ } ≫ₕ { toFun := fun x => (x.1, (φ' x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ' x.1).symm x.2), source := U' ×ˢ univ, target := U' ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ }).source = (U ∩ U') ×ˢ univ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

(N₁Γ₀.inv.app K).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom.f.f n


((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom.f.f n


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism

map f ⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ = ⁅f.idealRange ⊓ J₁, f.idealRange ⊓ J₂⁆


⁅f.idealRange ⊓ J₁, f.idealRange ⊓ J₂⁆ ≤ f.idealRange


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : TruncatedWittVector p n R
h : x.out = y.out
i : Fin n


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: x y : TruncatedWittVector p n R

Context: h : ∀ (n_1 : ℕ), x.out.coeff n_1 = y.out.coeff n_1

Context: i : Fin n


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hc : ∀ (i : ι), IsClosed (f i)
x : X


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: N : Type w

Context: X : Type x

Context: Y : Type y

Context: inst✝⁴ : UniformSpace X

Context: inst✝³ : UniformSpace Y

Context: inst✝² : SMul M X

Context: inst✝¹ : SMul M Y

Context: inst✝ : UniformContinuousConstSMul M Y

Context: f : X → Y

Context: hf : UniformInducing f

Context: hsmul : ∀ (c : M) (x : X), f (c • x) = c • f x

Context: c : M


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : NormedAddGroupHom G H

Context: K : AddSubgroup H

Context: C ε : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hε : 0 < ε

Context: hyp : f.SurjectiveOnWith K C

Context: h : H

Context: h_in : h ∈ K.topologicalClosure

Context: hyp_h : ¬h = 0

Context: b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C

Context: b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : NormedAddGroupHom G H

Context: K : AddSubgroup H

Context: C ε : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hε : 0 < ε

Context: hyp : f.SurjectiveOnWith K C

Context: h : H

Context: h_in : h ∈ K.topologicalClosure

Context: hyp_h : ¬h = 0

Context: b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i

Context: v : ℕ → H

Context: lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)

Context: v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K

Context: hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0

Context: hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : NormedAddGroupHom G H

Context: K : AddSubgroup H

Context: C ε : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hε : 0 < ε

Context: hyp : f.SurjectiveOnWith K C

Context: h : H

Context: h_in : h ∈ K.topologicalClosure

Context: hyp_h : ¬h = 0

Context: b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i

Context: v : ℕ → H

Context: v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K

Context: hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0

Context: hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n

Context: u : ℕ → G

Context: hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n

Context: hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖

Context: s : ℕ → G := fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), u k

Context: this : CauchySeq s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : CompleteSpace G

Context: H : Type u_2

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup H

Context: f : NormedAddGroupHom G H

Context: K : AddSubgroup H

Context: C ε : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hε : 0 < ε

Context: hyp : f.SurjectiveOnWith K C

Context: h : H

Context: h_in : h ∈ K.topologicalClosure

Context: hyp_h : ¬h = 0

Context: b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i

Context: v : ℕ → H

Context: v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K

Context: hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0

Context: hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n

Context: u : ℕ → G

Context: hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n

Context: hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖

Context: this : CauchySeq s

Context: g : G

Context: hg : Tendsto s atTop (𝓝 g)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
A B : Set (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
f : (i : ι) → κ i → Set (Finset α)

Sized r (⋃ i, ⋃ j, f i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Sized r (f i j)


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : Ei 0 →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => Ei i.succ) G

Context: m : Ei 0

Context: x : (i : Fin n) → Ei i.succ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m m R
B : Matrix n n R

(kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B).det = A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m


(A.map fun a => ((Algebra.lmul ℕ R).toLinearMap a) 1).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => ((Algebra.lmul ℕ R).toLinearMap 1) b).det ^ Fintype.card m = A.det ^ Fintype.card n * B.det ^ Fintype.card m


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1

∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R


(map (Int.castRingHom ℚ)) (wittNeg p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (-X (0, 0))


Context: p q : ℤ[X]

p.IsUnitTrinomial ↔ (p * p.mirror).coeff (((p * p.mirror).natDegree + (p * p.mirror).natTrailingDegree) / 2) = 3


Context: p q : ℤ[X]

p.IsUnitTrinomial ↔ (p.sum fun n x => x ^ 2) = 3


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
Q : AffineSubspace k P


↑Q ≠ ∅ ↔ Q ≠ ⊥


Context:
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N

𝟭 (SingleObj M) = e.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.symm.toMonoidHom.toFunctor


(MonoidHom.id M).toFunctor = (e.symm.toMonoidHom.comp e.toMonoidHom).toFunctor


e.symm.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.toMonoidHom.toFunctor = 𝟭 (SingleObj N)


(e.toMonoidHom.comp e.symm.toMonoidHom).toFunctor = (MonoidHom.id N).toFunctor


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
e : σ →₀ ℕ
r : R
n : N
d : σ →₀ ℕ

(scalarRTensor ((monomial e) r ⊗ₜ[R] n)) d = if e = d then r • n else 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a : H


Context:
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α ι
i : ι
a x : α
C : (ι → α) → κ

Subspace.IsMono C l.toSubspaceUnit ↔ IsMono C l


(∃ c, ∀ (x : Unit → α), (C fun i => (l.idxFun i).getD (x ())) = c) ↔ ∃ c, ∀ (x : α), (C fun i => (l.idxFun i).getD x) = c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, g x = g y → x = y

fold op b f (image g s) = fold op b (f ∘ g) s


Context: u v : PrimeMultiset


Context: u v : PrimeMultiset

Context: h : u.prod.factorMultiset ≤ v ↔ u.prod ∣ v.prod := PNat.factorMultiset_le_iff'


Context:
u v : PrimeMultiset
h : u ≤ v ↔ u.prod ∣ v.prod


Context:
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝³ : K.HasHomology j
inst✝² : L.HasHomology j
inst✝¹ : (K.sc' i j k).HasHomology
inst✝ : (L.sc' i j k).HasHomology

QuasiIsoAt f j ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor' C c i j k).map f)


ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C c j).map f) ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor' C c i j k).map f)


Context:
α : Type u
β : Type v
f g : α → α
h : Commute f g
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: f✝ f g : R[X]

Context: fg : f.leadingCoeff * g.leadingCoeff ≠ 0

reflect (f * g).natDegree (f * g) = reflect f.natDegree f * reflect g.natDegree g


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n + a = n'

Context: x : Rˣ

(x • γ).leftUnshift n hn = x • γ.leftUnshift n hn


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), g * h j ≤ a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'


f.symm (a • f x' + b • f y') < a • x' + b • y'


a • f x' + b • f y' < f (a • x' + b • y')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ ν : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ

(μ + ν) ⊗ₘ κ = μ ⊗ₘ κ + ν ⊗ₘ κ


(Kernel.const Unit μ ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ + Kernel.const Unit ν ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ) () = μ ⊗ₘ κ + ν ⊗ₘ κ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R

IsWeightedHomogeneous w ((weightedHomogeneousComponent w n) φ) n


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s t : Multiset α
h : s ≤ t


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

F.map (homologyMap φ) ≫ (S₂.mapHomologyIso F).inv = (S₁.mapHomologyIso F).inv ≫ homologyMap (F.mapShortComplex.map φ)


Context:
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
i : ℕ
x : X i
hx : ⟨i, x⟩.fst ≤ 0
j : ℕ
y : X j
hy : ⟨j, y⟩.fst ≤ 0

inductiveLimitDist f ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨i, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨j, y⟩.snd)


Context:
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
j : ℕ
y : X j
hy : ⟨j, y⟩.fst ≤ 0
x : X 0
hx : ⟨0, x⟩.fst ≤ 0

inductiveLimitDist f ⟨0, x⟩ ⟨j, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨0, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨j, y⟩.snd)


Context:
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
x : X 0
hx : ⟨0, x⟩.fst ≤ 0
y : X 0
hy : ⟨0, y⟩.fst ≤ 0

inductiveLimitDist f ⟨0, x⟩ ⟨0, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨0, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨0, y⟩.snd)


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : (c :: l).NodupKeys

{ entries := c :: l, nodupKeys := h } = insert c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := ⋯ }


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasReflexiveCoequalizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
rf : r ≫ f = 𝟙 B
rg : r ≫ g = 𝟙 B


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: A✝ B✝ : C

Context: f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝ : HasReflexiveCoequalizers C

Context: A B : C

Context: f g : A ⟶ B

Context: r : B ⟶ A

Context: rf : r ≫ f = 𝟙 B

Context: rg : r ≫ g = 𝟙 B

Context: this : IsReflexivePair f g := IsReflexivePair.mk' r rf rg


Context:
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E

‖∫ (x : X), f x ∂μ‖ ≤ (μ Set.univ).toReal * ‖f‖


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

(monomial (Finsupp.single n e + s)) a = X n ^ e * (monomial s) a


Context: x : ℝ*

x⁻¹⁻¹.Infinitesimal ∧ x⁻¹⁻¹ < 0 ↔ x.Infinitesimal ∧ x < 0


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)

edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
hp : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ (α × β)

edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

(fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] Nat.cast


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

(fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) = fun n => ∑ i ∈ range n, ((∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) - ∫ (a : Ω), X 0 a)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: n : ℕ

(∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a = ∑ i ∈ range n, ((∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) - ∫ (a : Ω), X 0 a)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: n : ℕ

∫ (a : Ω), ∑ c ∈ range n, truncation (X c) (↑c) a = ∑ x ∈ range n, ∫ (a : Ω), truncation (X x) (↑x) a


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: n i : ℕ

Context: x✝ : i ∈ range n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g : ↥(simpleFunc G p μ)

↑↑↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑g ↔ f ≤ g


Context:
n : ℤ
g : SL(2, ℤ)
j : Fin 2


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι

MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet s


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R

(optionEquivRight R S₁) (C r) = C (Polynomial.C r)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} A
G : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj : G ⊣ sheafToPresheaf J A
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂


LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A).obj) f ↔ IsIso (G.map f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s : Set β
t : Set γ
hf : Surjective f
hg : SurjOn g s t


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
c : 𝕜

mellin (fun t => c • f t) s = c • mellin f s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: κ : ι✝ → Sort w'

Context: inst✝² : Frame α

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f g : ι → α

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: κ : ι✝ → Sort w'

Context: inst✝² : Frame α

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f g : ι → α

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: κ : ι✝ → Sort w'

Context: inst✝² : Frame α

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f g : ι → α

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: i : ι × ι


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι✝ : Sort w

Context: κ : ι✝ → Sort w'

Context: inst✝² : Frame α

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: f g : ι → α

Context: hf : Monotone f

Context: hg : Monotone g

Context: i : ι × ι

Context: j : ι

Context: h₁ : i.1 ≤ j

Context: h₂ : i.2 ≤ j


Context: x : ℝ*

x.InfiniteNeg ↔ x⁻¹.Infinitesimal ∧ x⁻¹ < 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Fintype J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
T : C
g : (j : J) → f j ⟶ T
j : J

ι f j ≫ desc g = ι f j ≫ ∑ j : J, π f j ≫ g j


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α

IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: μ : Measure δ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: μ : Measure δ

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

(fun b => ⨆ i, f i b) =ᶠ[ae μ] fun b => ⨆ i, AEMeasurable.mk (f i) ⋯ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ

(e.trans (PartialEquiv.refl β)).source = e.source


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

Context: ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

(ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 2

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : R₁.Exact

Context: hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)

Context: h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)

Context: h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

Mono (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).g


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M

CompleteLattice.IsCompactElement (lieSpan R L {m})


∀ (s : Set (LieSubmodule R L M)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → lieSpan R L {m} ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, lieSpan R L {m} ≤ x


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: s✝ : Set M

Context: m : M

Context: s : Set (LieSubmodule R L M)

Context: hne : s.Nonempty

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: hsup : lieSpan R L {m} ≤ sSup s


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: s✝ : Set M

Context: m : M

Context: s : Set (LieSubmodule R L M)

Context: hne : s.Nonempty

Context: hsup : m ∈ ↑(sSup s)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: s✝ : Set M

Context: m : M

Context: s : Set (LieSubmodule R L M)

Context: hsup : m ∈ ↑(sSup s)

Context: hne : Nonempty ↑s


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: s✝ : Set M

Context: m : M

Context: s : Set (LieSubmodule R L M)

Context: hsup : m ∈ ↑(sSup s)

Context: hne : Nonempty ↑s

Context: this : ↑(⨆ x, ↑↑x) = ⋃ i, ↑↑↑i


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: N N' : LieSubmodule R L M

Context: I J : LieIdeal R L

Context: s✝ : Set M

Context: m : M

Context: s : Set (LieSubmodule R L M)

Context: hsup : m ∈ ↑(sSup s)

Context: hne : Nonempty ↑s

Context: this : ↑(⨆ i, ↑i) = ⋃ i ∈ s, ↑i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s✝ : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → α

Context: hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y

Context: s : Set (SeparationQuotient X)

Context: l : Filter α

Tendsto (lift f hf) (𝓝[s] mk x) l ↔ Tendsto f (𝓝[mk ⁻¹' s] x) l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁸ : BorelSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: inst✝⁵ : BorelSpace γ

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ

Context: inst✝ : SecondCountableTopology δ

Context: g : β → γ → δ

Context: hg : Measurable (uncurry g)

Context: f₁ : α →ₘ[μ] β

Context: f₂ : α →ₘ[μ] γ

↑(comp₂Measurable g hg f₁ f₂) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace γ

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁸ : BorelSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: inst✝⁵ : BorelSpace γ

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ

Context: inst✝ : SecondCountableTopology δ

Context: g : β → γ → δ

Context: hg : Measurable (uncurry g)

Context: f₁ : α →ₘ[μ] β

Context: f₂ : α →ₘ[μ] γ

↑(mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.re = w.re


Context:
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
x : t' α


Context: a b m n✝ p : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: zero : P 0

Context: one : P 1

Context: prime : ∀ (p : ℕ), Prime p → P p

Context: composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)

Context: n : ℕ


Context: a b m n✝ p : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: zero : P 0

Context: one : P 1

Context: prime : ∀ (p : ℕ), Prime p → P p

Context: n : ℕ


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite


{b | b ⊆ a} = ↑(Finset.map Finset.coeEmb.toEmbedding h.toFinset.powerset)


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite
s : Set α

s ∈ {b | b ⊆ a} ↔ s ∈ ↑(Finset.map Finset.coeEmb.toEmbedding h.toFinset.powerset)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
m : M

‖inr m‖₊ = ‖m‖₊


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset β
h : s.Nonempty
f : β → α


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: x : Lifts F E K

Context: s : E

Context: h1 : IsIntegral (↥x.carrier) s

Context: h2 : Splits x.emb.toRingHom (minpoly (↥x.carrier) s)

Context: I2 : (minpoly (↥x.carrier) s).degree ≠ 0

Context: this✝ : Algebra (↥x.carrier) K := x.emb.toAlgebra

Context: carrier : IntermediateField F E := restrictScalars F (↥x.carrier)⟮s⟯

Context: this : Algebra ↥x.carrier ↥carrier := (↥x.carrier)⟮s⟯.algebra

rootOfSplits x.emb.toRingHom h2 I2 ∈ (minpoly (↥x.carrier) s).aroots K


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: S : Set E

Context: x : Lifts F E K

Context: s : E

Context: h1 : IsIntegral (↥x.carrier) s

(aeval (rootOfSplits x.emb.toRingHom h2 I2)) (minpoly (↥x.carrier) s) = 0


Context: x✝ y z x : ℝ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n✝ n : ℕ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), f a * μ {a}


∑' (i : α), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ {i} • dirac i = ∑' (a : α), f a * μ {a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α

∫⁻ (a : α), f a ∂μ {a} • dirac a = f a * μ {a}


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)

∏ x ∈ eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'


(if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hfi : ¬Integrable f μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ ν✝ : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν

⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ((μ univ).toReal / ((μ univ).toReal + (ν univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂μ + ((ν univ).toReal / ((μ univ).toReal + (ν univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂ν


⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) = (μ univ + ν univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃

(ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).f' = φ.τ₁ ≫ h.f'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
ha : MeasurableSet {a}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : SMul α β
s s₁ s₂ t u : Finset β
a : α
b x : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set 𝕜
hs : 0 ∉ s
r : ℝ
c : 𝕜
hc : c ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set 𝕜
hs : 0 ∉ s
r : ℝ
x✝ : E

x✝ ∈ ⋃ c ∈ s, sphere 0 (‖c‖ * r) ↔ x✝ ∈ (fun x => ‖x‖) ⁻¹' ((fun x => ‖x‖ * r) '' s)


Context:
n m m' : ℕ
h : n ^^^ m = n ^^^ m'


Context: cs₁ cs₂ : List Char

utf8Len (cs₁ ++ cs₂) = utf8Len cs₁ + utf8Len cs₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
h : Monotone (notBelow y)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
h : Monotone (notBelow y)
c : Chain α
z : Prop

{ toFun := fun x => x ∈ notBelow y, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map { toFun := fun x => x ∈ notBelow y, monotone' := h }) ≤ z


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ → σ

Context: g : α → List σ → Option σ

Context: hg : Primrec₂ g

Context: H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n)

Context: this : Primrec₂ fun a n => List.map (f a) (List.range n)

Context: a : α

Context: n : ℕ

(List.map (f (a, n).1) (List.range (a, n).2.succ)).get? (a, n).2 = some (f a n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝³ : Primcodable α

Context: inst✝² : Primcodable β

Context: inst✝¹ : Primcodable γ

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: f : α → ℕ → σ

Context: g : α → List σ → Option σ

Context: hg : Primrec₂ g

Context: a : α

Context: n : ℕ

Context: IH : Nat.rec (some []) (fun n IH => (a, n, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, n, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, n, IH), b), b_1).2]) (g ((a, n, IH), b).1.1 ((a, n, IH), b).2)) n = some (List.map (f a) (List.range n))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r : Rel α β
s : Rel β γ
x : γ
z : α