Context:
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
b n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context:
a n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context:
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
x : ℝ
h : 0 < x


Context:
x : ℝ
h : 0 < x

arctan (√(1 - x ^ 2) / x) = π / 2 - arcsin x


Context:
x : ℝ
h : 0 < x

tan (π / 2 - arcsin x) = √(1 - x ^ 2) / x


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c

(ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).g' = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

∫⁻ (a : α), edist (f a) (0 a) ∂μ < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α), edist (g a) (0 a) ∂μ < ⊤


HasFiniteIntegral f μ ∧ HasFiniteIntegral g μ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
hp : p ∈ support R M


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: p : PrimeSpectrum R

Context: hp : p ∈ support R M

Context: m : M

Context: hm : (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G

(fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) K


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) (𝒜 ∩ ℬ)) = image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) 𝒜) ∩ image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) ℬ)


↑(filter (fun s => a ∈ s) 𝒜) ∪ ↑(filter (fun s => a ∈ s) ℬ) ⊆ {s | a ∈ s}


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R

⨆ i, basicOpen (f i) = ⊤ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤


⋃ i, ↑(basicOpen (f i)) = ↑⊤ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤


(zeroLocus (⋃ i, {f i}))ᶜ = Set.univ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤


zeroLocus (⋃ i, {f i}) = Set.univᶜ ↔ zeroLocus ↑(Ideal.span (Set.range f)) = ∅


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (z * x + y)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + z * x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α

IsCyclic α ↔ ∃ g, orderOf g = Nat.card α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
h : ∃ g, orderOf g = Nat.card α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
g : α
hg : orderOf g = Nat.card α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
g : α
hg : orderOf g = Nat.card α
val✝ : Fintype α


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t : ℝ
ht : 0 ≤ t
x : E


Context: A B : CommRingCat

Context: f : A ⟶ B

Context: M : ModuleCat ↑B

Context: D : M.Derivation f

Context: b : ↑B

Context: this✝ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f

Context: this : Module ↑A ↑M := Module.compHom (↑M) f

D.desc (CommRingCat.KaehlerDifferential.d b) = D.d b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
hf : IntegrableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

(l.node3L x m y r).dual = r.dual.node3R y m.dual x l.dual


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : M

Context: hn : 0 < n✝

Context: h : x < 1

Context: n : ℕ

Context: x✝ : Nat.succ 0 ≤ n

Context: ih : x ^ n < 1


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: n✝ : ℕ

Context: x : M

Context: hn : 0 < n✝

Context: h : x < 1

Context: n : ℕ

Context: x✝ : Nat.succ 0 ≤ n

Context: ih : x ^ n < 1


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
s : Set X
hs : IsCompact s
ι : Type u_3
t : Finset ι
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
ι : Type u_3
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ ∅, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ ∅, U i

∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ ∅, K i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x✝ y : X

Context: ι : Type u_3

Context: x : ι

Context: t : Finset ι

Context: hx : x ∉ t

Context: ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i

Context: s : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : ι → Set X

Context: hU : ∀ i ∈ insert x t, IsOpen (U i)

Context: hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ insert x t, U i

∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x✝ y : X

Context: ι : Type u_3

Context: x : ι

Context: t : Finset ι

Context: hx : x ∉ t

Context: s : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : ι → Set X

Context: hU : ∀ i ∈ insert x t, IsOpen (U i)

Context: hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x✝ y : X

Context: ι : Type u_3

Context: x : ι

Context: t : Finset ι

Context: hx : x ∉ t

Context: s : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : ι → Set X

Context: hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x

Context: hU : IsOpen (U x) ∧ ∀ x ∈ t, IsOpen (U x)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x✝ y : X

Context: ι : Type u_3

Context: x : ι

Context: t : Finset ι

Context: hx : x ∉ t

Context: s : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : ι → Set X

Context: hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x

Context: hU' : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x✝ y : X

Context: ι : Type u_3

Context: x : ι

Context: t : Finset ι

Context: hx : x ∉ t

Context: s : Set X

Context: hs : IsCompact s

Context: U : ι → Set X

Context: hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x

Context: hU' : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)

Context: K₁ K₂ : Set X

Context: h1K₁ : IsCompact K₁

Context: h1K₂ : IsCompact K₂

Context: h2K₁ : K₁ ⊆ U x

Context: h2K₂ : K₂ ⊆ ⋃ i ∈ fun i => i ∈ t.val, U i

Context: hK : s = K₁ ∪ K₂


Context:
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S S' S'' : D

Context: Y Y' Y'' : C

Context: T T' : C ⥤ D

Context: f f' : StructuredArrow S T

Context: g : f.right ⟶ f'.right

Context: w : autoParam (f.hom ≫ T.map g = f'.hom) _auto✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
S : Set ι

induced S.restrict topologicalSpace = ⨅ i ∈ S, induced (eval i) (T i)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
this : FiniteDimensional 𝕜 M


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : ¬⊥ < ker f


Context:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : IsUnit f


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α

(sSup s) (ωSup c) = ωSup (c.map (sSup s))


∀ (c_1 : β), (sSup s) (ωSup c) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map (sSup s)) ≤ c_1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α
z : β

(sSup s) (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map (sSup s)) ≤ z


(∀ f ∈ s, ∀ (n : ℕ), f (c n) ≤ z) ↔ ∀ (n : ℕ), ∀ f ∈ s, f (c n) ≤ z


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x ^ 2 - a * y ^ 2

↑p ∣ x ∧ ↑p ∣ y


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑(x ^ 2 - a * y ^ 2) = 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑x ^ 2 - ↑a * ↑y ^ 2 = 0


Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : CommSemigroup R
A : Matrix m n R
B : Matrix n m R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : β → γ
F : Filter α
G : Filter β

F ×ˢ map f G = map (Prod.map id f) (F ×ˢ G)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)

Measurable fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s

MeasurableSet ((fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: s : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hs : IsClosed s

Context: this : (fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s = {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: α : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E

Context: f : α → E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: s : Set (E →L[𝕜] F)

Context: hs : IsClosed s

MeasurableSet ({p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s})


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

(C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support = {k, m, n}


{k, m, n} ⊆ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support


Context:
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f ~[atTop] g
this : f = g + (f - g)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₃ n₁₂ n₂₃ n₁₂₃ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
z₃ : Cochain K L n₃
h₁₂ : n₁ + n₂ = n₁₂
h₂₃ : n₂ + n₃ = n₂₃
h₁₂₃ : n₁ + n₂ + n₃ = n₁₂₃

n₁ + n₂₃ = n₁₂₃


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₃ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
z₃ : Cochain K L n₃
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + n₃) = q

((z₁.comp z₂ ⋯).comp z₃ ⋯).v p q hpq = (z₁.comp (z₂.comp z₃ ⋯) ⋯).v p q hpq


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1


Context:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v : V


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : ↑F F.M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E

x ∈ K ⊓ Kᗮ → x ∈ ⊥


x ∈ K ∧ x ∈ Kᗮ → x ∈ ⊥


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂

exponent (M₁ × M₂) = GCDMonoid.lcm (exponent M₁) (exponent M₂)


exponent (M₁ × M₂) ∣ GCDMonoid.lcm (exponent M₁) (exponent M₂)


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
n : ℕ
hn : c = ↑n


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t

interior t ⊆ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' interior s


⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' interior t ⊆ interior s


Context:
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f

(∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0) ∨ (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasColimit (E ⋙ F)
k : K


(Cocone.whisker E (cocone F)).ι.app k = ι F (E.obj k)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α

IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → nndist x y ≤ C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j
i : ℕ
hi : i ≥ ia ⊔ ib


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: a b c : CauSeq α abs

Context: εa : α

Context: εa0 : εa > 0

Context: ia : ℕ

Context: ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j

Context: εb : α

Context: εb0 : εb > 0

Context: ib : ℕ

Context: hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ ia ⊔ ib

Context: this : min εa εb ≤ min (↑(c - a) i) (↑(c - b) i)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀
n : ℕ

inverse r ^ (n + 1) = inverse (r ^ (n + 1))


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
x : 𝕜


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
y : 𝕜


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α

f.Disjoint g ↔ _root_.Disjoint f.support g.support


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: k : 𝕜

Context: h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hk : k ≠ 0

Context: ku : Aˣ := (Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 k hk)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: k : 𝕜

Context: h : ‖a‖ < ‖1‖⁻¹ * ‖k‖

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hk : k ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedRing A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A

Context: inst✝ : CompleteSpace A

Context: a : A

Context: k : 𝕜

Context: h : ‖a‖ < ‖1‖⁻¹ * ‖k‖

Context: a✝ : Nontrivial A

Context: hk : k ≠ 0

Context: hku : ‖-a‖ < ‖↑ku⁻¹‖⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set α
t : Set β


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((traceForm R L M) ⁅y, x⁆) z


-((traceForm R L M) ⁅y, x⁆) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45702, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.45706, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h.left.IsPreservedBy F
inst✝ : h.right.IsPreservedBy F

(h.left.map F).π ≫ (F.mapIso h.iso).hom ≫ (h.right.map F).ι = (h.left.map F).i ≫ (h.right.map F).p


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Multiset α
a : α


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a✝ b c : S
hbc : Commute b c
a d : S


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M

⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = posFittingComp R L M


⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ posFittingComp R L M


IsNilpotent R L (M ⧸ posFittingComp R L M)


∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L

_root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: k : ℕ

(toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M

Context: x✝ : M ⧸ F

((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: x✝ : M ⧸ F

Context: hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: x✝ : M ⧸ F

Context: hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F

((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : IsNoetherian R M

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: x✝ : M ⧸ F

Context: hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F

Context: this : (((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) ∘ₗ ↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F)) m = (↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F) ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k) m


Context: K : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module K V

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: p : Submodule K V

Context: f : End K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Context: h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α

x.swap ∈ mulAntidiagonal hs ht a ↔ x ∈ mulAntidiagonal ht hs a


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: c : Cardinal.{u}

Context: hc : c.IsRegular

Context: hι : #ι < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord

Context: a : Ordinal.{u}


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : S
he : e ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem e


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e' : R
he₂ : IsIdempotentElem e'
he : f e' ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem (f e')

∃! e'_1, IsIdempotentElem e'_1 ∧ f e'_1 = f e'


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K

y ∈ closure K ↔ ∃ x ∈ K, Inseparable x y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : y ∈ closure K


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : ∀ x ∈ K, ¬Inseparable x y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : ∀ x ∈ K, ¬Inseparable x y
this : Disjoint (𝓝 y) (𝓝ˢ K)


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_zero : Zero.zero = Zero.zero


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_zero : Zero.zero = Zero.zero

Context: h_one' : MulOneClass.toOne = MulOneClass.toOne


Context: R : Type u

Context: inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R

Context: h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_zero : Zero.zero = Zero.zero

Context: h_one : One.one = One.one


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ✝ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: ρ : Measure α := μ.withDensity f

Context: this : IsFiniteMeasure ρ

Context: x : α

Context: hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))

Context: h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x

Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ✝ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: ρ : Measure α := μ.withDensity f

Context: this : IsFiniteMeasure ρ

Context: x : α

Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ((μ.withDensity f).rnDeriv μ x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ✝ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: ρ : Measure α := μ.withDensity f

Context: this : IsFiniteMeasure ρ

Context: x : α

(fun a => ρ a / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ✝ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

Context: ρ : Measure α := μ.withDensity f

Context: this : IsFiniteMeasure ρ

Context: x : α

Context: a : Set α

Context: ha : MeasurableSet a

ρ a / μ a = (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l

‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ = ‖p (k + l)‖₊


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ

(p ⊔ q).ball e r = p.ball e r ∩ q.ball e r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f g✝ : α →*o β
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }

∏ j ∈ s.attach.erase i, f ↑j = ∏ j ∈ s.erase ↑i, f j


∏ x ∈ map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) (s.attach.erase i), f x = ∏ j ∈ s.erase ((Embedding.subtype fun x => x ∈ s) i), f j


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

count p n = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }


(Fintype.card ↑fun x => x < n ∧ p x) = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.214930}
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C

M.comul ≫ M.comul ▷ M.X = M.comul ≫ M.X ◁ M.comul ≫ (α_ M.X M.X M.X).inv


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f


((kernelSubobjectIso f).hom ≫ kernel.ι f) ≫ f = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * y * z


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
hu : IsUnit y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
hu : IsUnit (y * z)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d

(changeLevel ⋯) χ = (changeLevel hd) ((changeLevel hm) χ)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : n ≠ 0
hs : n ≤ s.card

∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hn : 0 < n

Context: hs : n ≤ s.card

Context: this : (n - s.card % n) * (s.card / n) + s.card % n * (s.card / n + 1) = s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: m n a b : ℕ

Context: P : Finpartition s

Context: h : a * m + b * (m + 1) = s.card

Context: hn : 0 < n

Context: hs : n ≤ s.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂

a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁

a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
h' : a₁ < a₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
h' : b₂ < b₁


Context:
ι : Type u_1
l : List ℕ
k : ℕ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i✝ : ι
f g : ι → M₀
i : ι

(s ∩ t).indicator (fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * t.indicator g i


s.indicator (t.indicator fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * t.indicator g i


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: N₁ N₂ : L.Substructure M

Context: hN₁ : N₁.CG

Context: hN₂ : N₂.CG

Context: t₁ : Set M

Context: ht₁ : t₁.Countable ∧ (closure L).toFun t₁ = N₁

Context: t₂ : Set M

Context: ht₂ : t₂.Countable ∧ (closure L).toFun t₂ = N₂


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α

Context: hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α

Context: hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α

Context: hσ2 : (↑σ).IsCycle


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α

Context: hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α

Context: hσ2 : (↑σ).IsCycle

Context: hσ3 : (↑σ).support = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α

Context: hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α

Context: hσ2 : (↑σ).IsCycle

Context: hσ3 : (↑σ).support = ⊤

Context: hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: H : Subgroup (Perm α)

Context: d : DecidablePred fun x => x ∈ H

Context: τ : Perm α

Context: h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)

Context: h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H

Context: h2 : τ ∈ H

Context: h3 : τ.IsSwap

Context: σ : ↥H

Context: hσ : orderOf σ = Fintype.card α

Context: hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α

Context: hσ2 : (↑σ).IsCycle

Context: hσ3 : (↑σ).support = ⊤

Context: hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤

↑σ ∈ ↑H ∧ τ ∈ ↑H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤

ν (toMeasurable (μ + ν) t ∩ s) = ν (t ∩ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (ν + μ) t ≠ ⊤

ν (toMeasurable (ν + μ) t ∩ s) = ν (t ∩ s)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W

Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ Integrable f μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace V

Context: W : Type u_3

Context: inst✝¹² : AddCommGroup W

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 W

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : TopologicalRing 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : TopologicalSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2

Context: f : V → E

Context: w : W

Context: aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace V

Context: W : Type u_3

Context: inst✝¹² : AddCommGroup W

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 W

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : TopologicalRing 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : TopologicalSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2

Context: f : V → E

Context: w : W

Context: hf : Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ

Context: this : Integrable (fun v => e (-(L v) (-w)) • e (-(L v) w) • f v) μ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace V

Context: W : Type u_3

Context: inst✝¹² : AddCommGroup W

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 W

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜

Context: inst✝³ : TopologicalRing 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : TopologicalSpace W

Context: e : AddChar 𝕜 ↥𝕊

Context: μ : Measure V

Context: L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜

Context: he : Continuous ⇑e

Context: hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2

Context: f : V → E

Context: w : W

Context: this : Integrable (fun v => f v) μ


Context: m n k : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y
h : ¬edist x y = ⊤


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
f : F

HasDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
f : F

HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) univ x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re • 1 + x.imI • q.i + x.imJ • q.j + x.imK • q.k) * (y.re • 1 + y.imI • q.i + y.imJ • q.j + y.imK • q.k)


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • (q.i * q.i) + (x.imI * y.imJ) • (q.i * q.j) + (x.imI * y.imK) • (q.i * q.k)) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • (q.j * q.i) + (x.imJ * y.imJ) • (q.j * q.j) + (x.imJ * y.imK) • (q.j * q.k)) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • (q.k * q.i) + (x.imK * y.imJ) • (q.k * q.j) + (x.imK * y.imK) • (q.k * q.k))


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • c₁ • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK) • c₁ • q.j) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • -q.k + (x.imJ * y.imJ) • c₂ • 1 + (x.imJ * y.imK) • -c₂ • q.i) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • -c₁ • q.j + (x.imK * y.imJ) • c₂ • q.i + (x.imK * y.imK) • -((c₁ * c₂) • 1))


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((x.imK * y.imK * (c₁ * c₂)) • 1)


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * (x.imI * y.imI)) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * (x.imI * y.imK)) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * (x.imK * y.imI)) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * (x.imI * y.imI)) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * (x.imI * y.imK)) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * (x.imJ * y.imJ)) • 1 + -((c₂ * (x.imJ * y.imK)) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * (x.imK * y.imI)) • q.j) + (c₂ * (x.imK * y.imJ)) • q.i + -((c₂ * c₁ * x.imK * y.imK) • 1)


(x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)


(x.re * y.re) • 1 + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1) + (x.re * y.imI) • q.i + (x.imI * y.re) • q.i + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.imJ) • q.k + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imK * y.re) • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

(a ⊓ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ


aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ ≤ (a ⊓ b)ᶜᶜ


Context:
a b c d m n i : ℤ
h : 0 < i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v


(fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
A : Continuous fun t => x + t • v


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

¬(x ~ᵢ y) ↔ ∃ s, IsOpen s ∧ Xor' (x ∈ s) (y ∈ s)


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_3
inst✝ : NormedField 𝕜
v : 𝕜

(ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝³ : MeasurableSpace E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝ : NormedField 𝕜

Context: v : 𝕜

Context: this : ContinuousLinearMap.smulRight 1 v = v • 1


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : ↑S

EquicontinuousAt (S.restrict ∘ F) x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt F S ↑x₀


Context:
z : ℤ
hz : 0 ≤ z


Context:
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 1
hb : b % 2 = 1
hr : jacobiSymNat b a = r


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
x : A

↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x)) = ⇑Multiplicative.ofAdd '' ↑(AddSubgroup.zmultiples x)


⇑Multiplicative.ofAdd.symm '' ↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x)) = ↑(AddSubgroup.zmultiples x)


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ

(l₁ ++ l₂).rdrop (l₂.length + k) = l₁.rdrop k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
n : ℕ
hn : n < (permutations'Aux x s).length

(permutations'Aux x s).get ⟨n, hn⟩ = insertNth n x s


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.6272
L : Type ?u.6275
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
i : ℕ

(minpolyDiv R x).coeff i = (algebraMap R S) ((minpoly R x).coeff (i + 1)) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x


(minpolyDiv R x).coeff i = (minpolyDiv R x * (X - C x)).coeff (i + 1) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
r : ℝ
v : V
p₁ p₂ : P

dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ * dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ = ⟪v, v⟫_ℝ * r * r + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * r + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ


r * (r * ⟪v, v⟫_ℝ) + 2 * (r * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ) + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = ⟪v, v⟫_ℝ * r * r + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * r + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u

Context: n : Type u'

Context: α : Type v

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A✝ B✝ A B : Matrix n n α

Context: h : A * B = 1

Context: this✝ : Invertible B.det := B.detInvertibleOfLeftInverse A h

Context: this : Invertible B := B.invertibleOfDetInvertible


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ inst✝ : Semiring R

Context: x : α → R

Context: s : Finset α

Context: hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)

∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ inst✝ : Semiring R

Context: x : α → R

Context: hc : (↑∅).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)

∀ (n : ℕ), ∅.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ ∅.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ inst✝ : Semiring R

Context: x : α → R

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: ih : ∀ (hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)) (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

Context: hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)

∀ (n : ℕ), (insert a s).sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ inst✝ : Semiring R

Context: x : α → R

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: n : ℕ

(insert a s).sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ inst✝ : Semiring R

Context: x : α → R

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: n : ℕ

Context: ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ inst✝ : Semiring R

Context: x : α → R

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: n : ℕ

∑ i : Fin (n + 1), x a ^ ↑i * (∑ i ∈ s, x i) ^ (n - ↑i) * ↑(n.choose ↑i) = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ inst✝ : Semiring R

Context: x : α → R

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: ha : a ∉ s

Context: n : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝² : HasBinaryProduct X Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q

((γ₁ + γ₂).shift a).v p q hpq = (γ₁.shift a + γ₂.shift a).v p q hpq


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring 𝕜
A : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : TopologicalSemiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : ContinuousStar A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
f : X ≃ₜ Y
g : C(Y, A)

(ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.symm.toContinuousMap) ((ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.toContinuousMap) g) = g


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring 𝕜
A : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : TopologicalSemiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : ContinuousStar A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
f : X ≃ₜ Y
g : C(X, A)

(ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.toContinuousMap) ((ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.symm.toContinuousMap) g) = g


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L

∫ (a : α), f a / r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) / r


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
R : ℝ
z w : ℂ
hw : w ∈ ball z R

Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: R : ℝ

Context: z w : ℂ

Context: hw : w ∈ ball z R

Context: this : ∀ (θ : ℝ), circleMap z R θ - w ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph = g.graph
x : E


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedSemifield α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α


Context:
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ a b : α


Context:
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
δs : ℕ → ℝ
δs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δs n
δs_lim : Tendsto δs atTop (𝓝 0)

Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((thickenedIndicator ⋯ F) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ F))


Tendsto (fun n ω => (thickenedIndicator ⋯ F) ω) atTop (𝓝 (F.indicator fun x => 1))


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: δs : ℕ → ℝ

Context: δs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δs n

Context: δs_lim : Tendsto δs atTop (𝓝 0)

Context: key : Tendsto (fun n => ⇑(thickenedIndicator ⋯ F)) atTop (𝓝 ((closure F).indicator fun x => 1))


Context: n : ℕ


Context: q₁ q₂ : ℚ


Context: q₁ q₂ : ℚ

{ num := (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den) / ↑((q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den)), den := q₁.den * q₂.den / (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }.den ∣ q₁.den * q₂.den


Context: q₁ q₂ : ℚ

(q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den) ∣ q₁.den * q₂.den


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type v'
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

{ toFun := fun x => (↑I x.1, ↑I' x.2), invFun := fun x => (↑I.symm x.1, ↑I'.symm x.2), source := {x | x.1 ∈ I.source ∧ x.2 ∈ I'.source}, target := __src✝.target, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source = univ


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α


s.diag ∪ s.offDiag = filter (fun a => a.1 = a.2) (s ×ˢ s) ∪ filter (fun a => ¬a.1 = a.2) (s ×ˢ s)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α

Context: u v w : m → α

Context: x : α

Context: i : m

Context: this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * Pi.single i x j = 0


Context: k : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Field k

Context: K : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : NumberField K

Context: inst✝¹ : Algebra k K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic k K

Context: w : InfinitePlace k

Context: this : Algebra k ℂ := w.embedding.toAlgebra

(fun x => x.comap (algebraMap k K)) (mk IsAlgClosed.lift.toRingHom) = w


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a✝ b : α
n✝ : ℤ
a : α
n : ℤ


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)

IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s


(∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s


(∀ x ∈ s, ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ x i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s

(∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) → ∃ I u, (∀ a_2 ∈ I, IsOpen (u a_2) ∧ a a_2 ∈ u a_2) ∧ (↑I).pi u ⊆ s


(∃ I u, (∀ a_1 ∈ I, IsOpen (u a_1) ∧ a a_1 ∈ u a_1) ∧ (↑I).pi u ⊆ s) → ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38879, u_1} C
P : Karoubi C

P.p = { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }.p ≫ P.p ≫ P.p


Context:
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y

QuasiCompact f ↔ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


Context:
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G
hA : μ.outerMeasure A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0

∃ U, A ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure A + ↑ε


Context: G : Type w

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Content G

Context: inst✝ : R1Space G

Context: A : Set G

Context: hA : μ.outerMeasure A ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : ε ≠ 0

Context: U : Set G

Context: hU : IsOpen U

Context: h2U : A ⊆ U

Context: h3U : (inducedOuterMeasure (fun s₁ hs₁ => μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ }) ⋯ ⋯) U ≤ (inducedOuterMeasure (fun s₁ hs₁ => μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ }) ⋯ ⋯) A + ↑ε


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
m : OuterMeasure β
s : Set β

f '' (f ⁻¹' s) = Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s)


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)


⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, s.toSubmodule = x}, ↑p = ⋂ s ∈ S, ↑s


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜

⇑(equivIccQuot p a) ∘ Quotient.mk'' = fun x => Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩


(fun x => Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIcoMod ⋯ a x, ⋯⟩) = fun x => Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : 𝕜

Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIcoMod ⋯ a x, ⋯⟩ = Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : HasInitial C
P Q : C
f : P ⟶ Q


Context: α : Type u_1

Context: s₁ : Set α → Prop

Context: has_empty✝¹ : s₁ ∅

Context: has_compl✝¹ : ∀ {a : Set α}, s₁ a → s₁ aᶜ

Context: has_iUnion_nat✝¹ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₁ (f i)) → s₁ (⋃ i, f i)

Context: s₂ : Set α → Prop

Context: has_empty✝ : s₂ ∅

Context: has_compl✝ : ∀ {a : Set α}, s₂ a → s₂ aᶜ

Context: has_iUnion_nat✝ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₂ (f i)) → s₂ (⋃ i, f i)

Context: h : ∀ (s : Set α), { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ }.Has s ↔ { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }.Has s

{ Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ } = { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }


Context: α : Type u_1

Context: s₁ : Set α → Prop

Context: has_empty✝¹ : s₁ ∅

Context: s₂ : Set α → Prop

Context: has_empty✝ : s₂ ∅

Context: this : s₁ = s₂


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n

(toMatrix v₁ v₂) f i j = (v₂.repr (f (v₁ j))) i


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → (if b = j then 1 else 0) • v₁ b = 0


j ∉ Finset.univ → (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace H✝

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁸ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝⁷ : BorelSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: inst✝³ : MeasurableSpace H

Context: inst✝² : BorelSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TopologicalGroup H

Context: f : G →* H

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h_surj : Surjective ⇑f

Context: h_prop : Tendsto (⇑f) (cocompact G) (cocompact H)

Context: K : Set H

Context: hK : IsCompact K


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H✝ : Type u_3

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹¹ : MeasurableSpace H✝

Context: inst✝¹⁰ : Group G

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝⁸ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝⁷ : BorelSpace G

Context: inst✝⁶ : TopologicalGroup G

Context: H : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Group H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: inst✝³ : MeasurableSpace H

Context: inst✝² : BorelSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : TopologicalGroup H

Context: f : G →* H

Context: hf : Continuous ⇑f

Context: h_surj : Surjective ⇑f

Context: K : Set H

Context: hK : IsCompact K


Context:
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
r : R


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

BijOn (fun x => x + d) (Ioi a) (Ioi (a + d))


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d x✝ : M
h : x✝ ∈ Ioi (a + d)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a + d + c ∈ Ioi (a + d)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a < a + c


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a✝ b : α

Context: s✝ s : Set α

Context: h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a✝ b : α

Context: s✝ s : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

∀ (i : Finset α), ⨆ (_ : ↑i ⊆ s \ {a}), a ⊓ i.sup id = ⊥


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: f : ι → α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : IsCompactlyGenerated α

Context: a✝ b : α

Context: s✝ s : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ s

Context: t : Finset α


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
n m : ℤ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α


(∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s) ↔ ∃ u ∈ Ioi a, Ioc a u ⊆ s


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : M

Context: hab : a ≤ b

Context: k : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: x : M

Context: a b : M

Context: hab : a ≤ b

Context: k : ℕ


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s
d : Fintype ↑(insert a s)

Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1


Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑(insert a s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
b : β


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n

stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω - stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hab : a < b

Context: hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n

Context: this : N ≤ upperCrossingTime a b f N n ω


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
f : β → α
h : Inducing f
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β

Context: f : β → α

Context: h : Inducing f

Context: S : Set (Set β)

Context: hS : ∀ s ∈ S, ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = s


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β

Context: f : β → α

Context: h : Inducing f

Context: S : Set (Set β)

Context: U : (s : Set β) → s ∈ S → Set α

Context: hU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), IsOpen (U s a)

Context: htU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), f ⁻¹' U s a = s


Context: ι : Sort u_1

Context: κ : ι → Sort u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: s t : Set α

Context: a x y : α

Context: inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α

Context: inst✝ : AlexandrovDiscrete β

Context: f : β → α

Context: h : Inducing f

Context: S : Set (Set β)

Context: U : (s : Set β) → s ∈ S → Set α


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → 𝕜

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: hre : Measurable fun x => RCLike.re (f x)

Context: him : Measurable fun x => RCLike.im (f x)


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: f : α → 𝕜

Context: μ : MeasureTheory.Measure α

Context: x✝ : α

f x✝ = (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.re (f x)) x✝ + (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.im (f x)) x✝ * RCLike.I


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p

Context: j : J

φ j ≫ (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y').inv j = (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y).inv j ≫ mapBifunctorMapMap F p (𝟙 ((single₀ I).obj X)) φ j


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: j : J

φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.map (𝟙 ((single₀ I).obj X) 0)).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: j : J

φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.map (𝟙 ((single₀ I).obj X 0))).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: I : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Zero I

Context: inst✝⁴ : DecidableEq I

Context: inst✝³ : HasInitial C

Context: F : C ⥤ D ⥤ D

Context: X : C

Context: e : F.obj X ≅ 𝟭 D

Context: p : I × J → J

Context: hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j

Context: Y Y' : GradedObject J D

Context: φ : Y ⟶ Y'

Context: j : J

φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E


(⟪T (x + T x), x + T x⟫_𝕜 - ⟪T (x - T x), x - T x⟫_𝕜 - I * ⟪T (x + I • T x), x + I • T x⟫_𝕜 + I * ⟪T (x - I • T x), x - I • T x⟫_𝕜) / 4 = 0


Context:
a x✝ y✝ : ℂ
ha : a ≠ 0
x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
r : R → R → Prop
c : RingCon R
h : ∀ (x y : R), r x y → c x y


sInf {s | ∀ (x y : R), r x y → s x y} ≤ c


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R

(optionEquivRight R S₁) (X none) = C Polynomial.X


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ i < n, f i ∈ s

Context: f_inj : ∀ i < n, ∀ j < n, f i = f j → i = j

Context: hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: n : ℕ

Context: f : ℕ → α

Context: hf : ∀ i < n, f i ∈ s

Context: hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
N✝ : ℕ
N M : ℤ
hNM : N ∣ M


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Fintype α
f : α → E
hf : Integrable f μ

∫ (x : α), f x ∂μ = ∑ x : α, (μ {x}).toReal • f x


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: ps : Set P

Context: hnps : ps.Nonempty

Context: p : P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: hp : p ∉ s

Context: hu : ∃! cs, cs.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius

∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: hnps : ps.Nonempty

Context: p : P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: hp : p ∉ s

Context: this : Nonempty ↥s


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: hnps : ps.Nonempty

Context: p : P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: hp : p ∉ s

Context: this : Nonempty ↥s

Context: cc : P

Context: cr : ℝ

Context: hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }

Context: hcc : cc ∈ s

Context: hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr

Context: x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)

Context: y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: hnps : ps.Nonempty

Context: p : P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: hp : p ∉ s

Context: this : Nonempty ↥s

Context: cc : P

Context: cr : ℝ

Context: hcc : cc ∈ s

Context: hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr

Context: hy0 : y ≠ 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: hnps : ps.Nonempty

Context: p : P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: hp : p ∉ s

Context: this : Nonempty ↥s

Context: cc : P

Context: cr : ℝ

Context: hcc : cc ∈ s

Context: hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr

Context: hy0 : y ≠ 0

Context: ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)

Context: cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc

Context: cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: ps : Set P

Context: hnps : ps.Nonempty

Context: p : P

Context: hps : ps ⊆ ↑s

Context: hp : p ∉ s

Context: this : Nonempty ↥s

Context: cc : P

Context: cr : ℝ

Context: hcc : cc ∈ s

Context: hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr

Context: hy0 : y ≠ 0

Context: cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)

(fun cs₂ => cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius) { center := cc₂, radius := cr₂ } ∧ ∀ (y : Sphere P), (fun cs₂ => cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius) y → y = { center := cc₂, radius := cr₂ }


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_3}


∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → multiplicity 2 n ! < ↑n


Context: h2 : _root_.Prime 2


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) ≫ X.map (SimplexCategory.σ i) = 𝟙 (X.obj [n])


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false

HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul 0


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ
ε0 : ε > 0

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : ↑ε > 0

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ⊤)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c

Context: hcε : c < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c

Context: hcε : c < ε

Context: this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: this : ∀ (x : ι → ℝ), ∃ r, closedBall x ↑r ⊆ U (N x)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c

Context: hcε : c < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π

Context: x✝ : π.IsPartition

dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

‖∑ y ∈ Finset.image (fun J => N (π.tag J)) π.boxes, integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun x => N (π.tag x) = y)‖ ≤ ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

‖∑ y ∈ Finset.image (fun J => N (π.tag J)) π.boxes, integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun x => N (π.tag x) = y)‖ ≤ ↑c✝


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

∀ b ∈ Finset.image (fun J => N (π.tag J)) π.boxes, ‖integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun x => N (π.tag x) = b)‖ ≤ ↑(δ b)