Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f g : α → M

Context: a b : α

Context: s t : Set α

Context: hf : (mulSupport (s.mulIndicator f)).Finite

Context: hg : (mulSupport (s.mulIndicator g)).Finite


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
h : l₂.length ≤ l₁.length


Context:
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 0
hb : b % 2 = 1
hc : a / 4 = c
hr : jacobiSymNat c b = r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a : R
ha : a ≠ 0
p q : R⟦X⟧
h : (rescale a) p = (rescale a) q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : R⟦X⟧

Context: h : ∀ (n : ℕ), (coeff R n) ((rescale a) p) = (coeff R n) ((rescale a) q)

∀ (n : ℕ), (coeff R n) p = (coeff R n) q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : R⟦X⟧

Context: n : ℕ

Context: h : (coeff R n) ((rescale a) p) = (coeff R n) ((rescale a) q)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : R⟦X⟧

Context: n : ℕ

Context: h : (coeff R n) p = (coeff R n) q ∨ a ^ n = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : R⟦X⟧

Context: n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: a : R

Context: ha : a ≠ 0

Context: p q : R⟦X⟧

Context: n : ℕ

Context: h' : a ^ n = 0


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝⁵ : DistribLattice α✝
inst✝⁴ : OrderBot α✝
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : DecidablePred SupIrred
α : Type u
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DistribLattice α


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
inst✝ : (j : Fin (n + 1)) → One (α j)
i : Fin (n + 1)
x : α i

x = Pi.mulSingle i x i ∧ 1 = fun i_1 => Pi.mulSingle i x (i.succAbove i_1)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

∃ t, ↑t ⊆ s ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : μ s ≤ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : IsEmpty α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (a.c j) (a.r j)

Context: hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: A : s = ⋃ i, s ∩ v i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: A : s = ⋃ i, s ∩ v i

Context: S : ∑ _i : Fin N, μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, μ (s ∩ v i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: A : s = ⋃ i, s ∩ v i

Context: i : Fin N

Context: hi : μ s / ↑N ≤ μ (s ∩ v i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: A : s = ⋃ i, s ∩ v i

Context: i : Fin N

Context: hi : μ s / (↑N + 1) < μ (s ∩ v i)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: A : s = ⋃ i, s ∩ v i

Context: i : Fin N

Context: hi : μ s / (↑N + 1) < μ (s ∩ v i)

Context: B : μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: N : ℕ

Context: τ : ℝ

Context: hτ : 1 < τ

Context: hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)

Context: s : Set α

Context: r : α → ℝ

Context: rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x

Context: rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1

Context: hμs : 0 < μ s

Context: h✝ : Nonempty α

Context: Npos : N ≠ 0

Context: o : Set α

Context: so : s ⊆ o

Context: omeas : MeasurableSet o

Context: μo : μ o = μ s

Context: u : Fin N → Set ↑s

Context: A : s = ⋃ i, s ∩ v i

Context: i : Fin N

Context: hi : μ s / (↑N + 1) < μ (s ∩ v i)

Context: w : Finset ↑(u i)

Context: hw : μ s / (↑N + 1) < ∑ x ∈ w, μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β

Measure.map (⇑e) μ = ν ↔ Measure.map (⇑e.symm) ν = μ


Context:
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
γ : SL(2, ℤ)
z : ℍ

(eisensteinSeries a k ∣[k] γ) z = eisensteinSeries (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)) k z


denom (↑γ) z ^ k * ∑' (x : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x ᵥ* ↑γ) z = denom (↑γ) z ^ k * ∑' (x : ↑(gammaSet N (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)))), eisSummand k (↑x) z


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: N : Type w

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: h : lift.{w, v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, w} (Module.rank R N)

Context: h' : Module.rank R N < ℵ₀


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)


Context:
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k


Context:
k n : ℕ
hk : n.gcd k < k
hk' : ↑k ≠ 0


Context: k n : ℕ

Context: hk : n.gcd k < k

Context: hk' : ↑k ≠ 0

Context: key : (fun m => (m % ↑k).toNat) ↑(n.gcd k) = (fun m => (m % ↑k).toNat) (↑n * n.gcdA k + ↑k * n.gcdB k)


Context: k n : ℕ

Context: hk : n.gcd k < k

Context: hk' : ↑k ≠ 0

Context: key : (↑(n.gcd k) % ↑k).toNat = ((↑n * n.gcdA k + ↑k * n.gcdB k) % ↑k).toNat


Context: k n : ℕ

Context: hk : n.gcd k < k

Context: hk' : ↑k ≠ 0

Context: key : n.gcd k = (↑n * n.gcdA k % ↑k).toNat


Context: k n : ℕ

Context: hk : n.gcd k < k

Context: hk' : ↑k ≠ 0

Int.ofNat (n * (n.gcdA k % ↑k).toNat % k) = Int.ofNat (↑n * n.gcdA k % ↑k).toNat


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hf : HasDerivAt f f' x

HasDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hf : HasDerivWithinAt f f' univ x

HasDerivWithinAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) univ x


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: hx : x ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: hy : y ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)

0 * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)

0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: p₁ p₂ : R

Context: ihp₁ : p₁ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: ihp₂ : p₂ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

p₁ * q + p₂ * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f✝ : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝¹ : R

Context: h : x✝¹ ∈ closure s

Context: x✝ y : R

Context: hx✝ : x✝ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: q : R

Context: hq : q ∈ ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: x : R

Context: hx : x * q ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: f : -x * q = -(x * q)

-(x * q) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

x * 0 ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: q₁ q₂ : R

Context: ihq₁ : x * q₁ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: ihq₂ : x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

x * q₁ + x * q₂ ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S

Context: g : S →ₙ+* T

Context: f✝ : R →ₙ+* S

Context: s : Set R

Context: x✝ : R

Context: h : x✝ ∈ closure s

Context: x y : R

Context: z : R

Context: hz : x * z ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)

Context: f : x * -z = -(x * z)

-(x * z) ∈ AddSubgroup.closure ↑(Subsemigroup.closure s)


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
m : ℕ

WittVector.ghostFun (x ^ m) = WittVector.ghostFun x ^ m


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
inst✝ : CharZero R
x✝² x✝¹ : ℕ
x✝ : ↑x✝² = ↑x✝¹

f ↑x✝² = f ↑x✝¹


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : BorelSpace E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f u g


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : BorelSpace E

Context: u : Filter ι

Context: inst✝¹ : u.NeBot

Context: inst✝ : u.IsCountablyGenerated

Context: f : ι → α → E

Context: g : α → E

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_tendsto : TendstoInMeasure μ f u g

Context: ns : ℕ → ι

Context: hns : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = -1


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.leftOp
j : Jᵒᵖ

((coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s).op = (s.ι.app j).op


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F.leftOp

Context: m : (coconeLeftOpOfCone c).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F.leftOp

Context: m : (coconeLeftOpOfCone c).pt ⟶ s.pt

Context: j : J

(m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsSeparable s


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
f : X → E
hf_meas : StronglyMeasurable f
s : Set X
hs : MeasurableSet s

∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ.trim hm


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 1) = cons (n + 1, 0) (map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯


Context: n : ℕ

(antidiagonal (n + 1)).val = (cons (n + 1, 0) (map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯).val


Context: n : ℕ

(antidiagonal (n + 1)).val = (n + 1, 0) ::ₘ Multiset.map (⇑((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })) (antidiagonal n).val


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
b : n
c : R
M : Matrix n n R

(transvection i j c * M) i b = M i b + c * M j b


Context:
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
a : M₀

Associates.mk a ∈ (Associates M₀)⁰ ↔ a ∈ M₀⁰


(¬∀ (x : Associates M₀), x * Associates.mk a = 0 → x = 0) ↔ ¬∀ (x : M₀), x * a = 0 → x = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y

∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: α : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hα : f = α.fst.map L ⋯

Context: hα' : f' = α.snd.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction X Y

Context: hβ : f'' = β.map L ⋯

Context: γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'

Context: hγ : (RightFraction.mk α.s ⋯ β.s).f ≫ γ.s = (RightFraction.mk α.s ⋯ β.s).s ≫ γ.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: α : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hα : f = α.fst.map L ⋯

Context: hα' : f' = α.snd.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction X Y

Context: hβ : f'' = β.map L ⋯

Context: γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'

Context: hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f

Context: ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: α : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hα : f = α.fst.map L ⋯

Context: hα' : f' = α.snd.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction X Y

Context: hβ : f'' = β.map L ⋯

Context: γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'

Context: hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f

Context: this : IsIso (L.map β.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: α : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hα : f = α.fst.map L ⋯

Context: hα' : f' = α.snd.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction X Y

Context: hβ : f'' = β.map L ⋯

Context: γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'

Context: hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y : C

Context: f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: α : W.LeftFraction₂ X Y

Context: hα : f = α.fst.map L ⋯

Context: hα' : f' = α.snd.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction X Y

Context: hβ : f'' = β.map L ⋯

Context: γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'

Context: hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f

Context: this✝¹ : IsIso (L.map β.s)

Context: this✝ : IsIso (L.map γ.s)

Context: this : IsIso (L.map (β.s ≫ γ.s))


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s


⇑h '' s = h.toHomeomorph.toPartialHomeomorph.target ∩ ↑h.toHomeomorph.toPartialHomeomorph.symm ⁻¹' s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
n : ℕ


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : r * x ∣ r * y
z : R'
h✝ : r * y = r * x * z


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x ∣ y
z : R'
h : y = x * z


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace G
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
d : α

(fun o => o.getD d) '' range l.get? = insert d {x | x ∈ l}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
ht : t.Nonempty


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Compatible P π x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w

Context: X✝ Y : C

Context: S : Sieve X✝

Context: R : Presieve X✝

Context: B : C

Context: I : Type u_1

Context: X : I → C

Context: π : (i : I) → X i ⟶ B

Context: x : (i : I) → P.obj (op (X i))

Context: hx : Compatible P π x

Context: i : {Z : C} → (g : Z ⟶ B) → ofArrows X π g → I

Context: h : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ B) (hg : ofArrows X π g), X (i g hg) = Z

Context: h' : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ B) (hg : ofArrows X π g), g = eqToHom ⋯ ≫ π (i g hg)


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

∑ k ∈ range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1


∑ x ∈ range n, (↑(n.choose x) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x - ↑(n.choose (n - x)) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x) = 0


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)

(liftHom (X ^ n - C a) (↑↑η • root (X ^ n - C a)) ⋯) (root (X ^ n - C a)) = ↑↑η • root (X ^ n - C a)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hs : ∀ a ∈ i, IsClosed (s a)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

(λ_ (X ⊗ Y)).hom = (α_ (𝟙_ C) X Y).inv ≫ ((λ_ X).hom ⊗ 𝟙 Y)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
a : α


Context:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Injective X


IsZero ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) (n + 1)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (InjectiveResolution.self X).cocomplex))


((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (InjectiveResolution.self X).cocomplex).ExactAt (n + 1)


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ


ord ∘ aleph = enumOrd {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}


StrictMono (ord ∘ aleph) ∧ range (ord ∘ aleph) = {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}


range (ord ∘ aleph) = {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}


(∀ (a : Ordinal.{u_1}), (ord ∘ aleph) a ∈ {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}) ∧ ∀ b ∈ {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}, ∃ a, (ord ∘ aleph) a = b


Context: a : Ordinal.{u_1}

((ord ∘ aleph) a).card.ord = (ord ∘ aleph) a


Context: a : Ordinal.{u_1}


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.withDensity f) s = 0


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ {a | ¬s.indicator f a = 0 a} = 0


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0
hμs : μ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 0} = 0


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0

Context: hμs : μ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 0} = 0

Context: hle : s ⊆ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 0} ∪ {a | f a = 0}


Context:
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

(s + 1).GammaSeq n / s = ↑n / (↑n + 1 + s) * s.GammaSeq n


Context:
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

↑n ^ (s + 1) * ↑n ! / ((∏ x ∈ Finset.range n, (s + 1 + ↑x)) * (s + 1 + ↑n) * s) = ↑n / (↑n + 1 + s) * s.GammaSeq n


Context:
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

↑n ^ (s + 1) * ↑n ! / ((∏ x ∈ Finset.range n, (s + 1 + ↑x)) * (s + 1 + ↑n) * s) = ↑n * ↑n ^ s * ↑n ! / ((∏ k ∈ Finset.range n, (s + ↑(k + 1))) * (↑n + 1 + s) * s)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : r' < r

(fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r

(fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : ↑0 < r

(fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑0)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r' < r

Context: hr'0 : 0 < r'

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r' < r

Context: hr'0 : 0 < r'

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r' < r

Context: hr'0 : 0 < r'

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 < C

Context: L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))

Context: hL : ∀ y ∈ EMetric.ball (x, x) ↑r', ‖f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2‖ ≤ L y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r' < r

Context: hr'0 : 0 < r'

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 < C

L =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: r' : ℝ≥0

Context: hr : ↑r' < r

Context: hr'0 : 0 < r'

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 < C


Context: x y : ℝ


Context: p' : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
f : α → β
g : α → γ

(range fun x => (f x, g x)) ⊆ range f ×ˢ range g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: a : α

Context: b : β

Context: f : α → β

Context: g : α → γ

Context: this : (fun x => (f x, g x)) = Prod.map f g ∘ fun x => (x, x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: a : α

Context: b : β

Context: f : α → β

Context: g : α → γ

range (Prod.map f g ∘ fun x => (x, x)) ⊆ range (Prod.map f g)


Context:
n b m : ℕ
hm : m ≠ 0

(b + 2) ^ ((b + 2).digits m).length ≤ (b + 2) * m


Context:
n b m : ℕ
hm : m ≠ 0
this : (b + 2).digits m ≠ []


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, 0 < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : ∀ x ∈ interior D, 0 < deriv f x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: this : DifferentiableOn ℝ f (interior D)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c : C
cS : c ∈ S.objs
x : c ⟶ c
hx : x ∈ S.vertexSubgroup cS
y : c ⟶ c


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α


↑⌊a + b⌋ - 1 ≤ ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
i : ℕ
k : R

(taylor r) ((monomial i) k) = C k * (X + C r) ^ i


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↑(commutatorSet G)


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G

Nat.card ↑(commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↑(⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G))


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: B : Set (Set α)

Context: empty_mem : ∅ ∈ B

Context: subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B

Context: union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B

Context: singleton_mem : ∀ (x : α), {x} ∈ B

comk (fun x => x ∈ B) empty_mem subset_mem union_mem ≤ cofinite


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0

setToSimpleFunc T (map g f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable (↑f) μ
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

∑ x ∈ Finset.image g f.range, (T (↑(map g f) ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: b : G

Context: hb : b ∈ f.range

(T (↑(map g f) ⁻¹' {g b})) (g b) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g b) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

Context: h_left_eq : (T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) = (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

Context: h_left_eq' : (T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range))) (g (↑f a)) = (T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

(T (⋃ y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

(∑ i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, T (↑f ⁻¹' {i})) (g (↑f a)) = ∑ x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

∀ i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, μ (↑f ⁻¹' {i}) ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: T : Set α → F →L[ℝ] F'

Context: h_add : FinMeasAdditive μ T

Context: f : α →ₛ G

Context: hf : Integrable (↑f) μ

Context: g : G → F

Context: hg : g 0 = 0

Context: T_empty : T ∅ = 0

Context: a : α

Context: hb : ↑f a ∈ f.range

Context: h0 : ¬g (↑f a) = 0

∀ i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, ∀ j ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, i ≠ j → Disjoint (↑f ⁻¹' {i}) (↑f ⁻¹' {j})


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P

affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ps)) = affineSpan k (insert p ps)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
l : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
inst✝ : Inhabited α
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
hxi : x ∈ I


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
hyi : y ∈ I.radical


Context: N k n : ℕ

n ∈ N.smoothNumbersUpTo k ↔ n ≤ N ∧ n ∈ k.smoothNumbers


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD U]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD U]


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: U U₁ U₂ : Submodule R M

Context: x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M

Context: N : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: V V₁ V₂ : Submodule R N

Context: hxy₁ : Submodule.Quotient.mk x₁ = Submodule.Quotient.mk y₁

Context: hxy₂ : Submodule.Quotient.mk x₂ = Submodule.Quotient.mk y₂

Submodule.Quotient.mk (x₁ + x₂) = Submodule.Quotient.mk (y₁ + y₂)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
t : Finset ι
hs : ∀ i ∈ t, s i ≠ 0
pp : (↑t).Pairwise (Coprime on s)

↑(chineseRemainderOfFinset a s t hs pp) < ∏ i ∈ t, s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x y : α


Context:
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e ϕ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
ψ χ : A₁ ≃ₐ[R] A₁
a✝ : A₂

({ toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (ψ * χ)) a✝ = ({ toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ψ * { toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun χ) a✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: x y : E

Context: hx : ‖x‖ = 1

Context: hy : ‖y‖ = 1

Context: hne : x ≠ y


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

(𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

(𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0)


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

∀ i ∈ p.addGroupFilterBasis, ∃ i', 0 < i' ∧ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i' ⊆ id i


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU : U ∈ p.basisSets

∃ i', 0 < i' ∧ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i' ⊆ id U


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU✝ : U ∈ p.basisSets

Context: s : Finset (Fin 1)

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hU : U = (s.sup p).ball 0 r


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU✝ : U ∈ p.basisSets

Context: s : Finset (Fin 1)

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hU : U = (s.sup p).ball 0 r

Context: h : ¬s.Nonempty

(normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r ⊆ (s.sup p).ball 0 r


Context: 𝕜✝ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: 𝕜 : Type u_10

Context: E : Type u_11

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: U : Set E

Context: hU✝ : U ∈ p.basisSets

Context: s : Finset (Fin 1)

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: hU : U = (s.sup p).ball 0 r

Context: h : ¬s.Nonempty


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: hF : Fact (finrank ℝ F = 2)

Context: φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

Context: x y : F

Context: this : ⇑φ.symm ∘ ![x, y] = ![φ.symm x, φ.symm y]

(((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = (o.areaForm (φ.symm x)) (φ.symm y)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.ShortExact

Function.Surjective ⇑((forget₂ C Ab).map S.g)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory C

Context: inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive

Context: inst✝ : HasZeroObject C

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : S.ShortExact


Context:
α : Type u
lt : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel lt
inst✝ : IsStrictOrder α lt
a b : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y

Context: H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b

Context: x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: a : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: a : α

(⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) ≤ (⨅ i ∈ Iio (f a), 𝓟 (f ⁻¹' Ioi i)) ⊓ ⨅ i ∈ Ioi (f a), 𝓟 (f ⁻¹' Iio i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : b ∈ Iio (f a)

⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b) ≤ 𝓟 (f ⁻¹' Ioi b)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : b ∈ Ioi (f a)

⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) ≤ 𝓟 (f ⁻¹' Iio b)


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : NonUnitalSubalgebra R A


Context:
a✝ b c : Ordinal.{u}
h : b ≤ c
a : Ordinal.{u}


Context:
a✝ b c : Ordinal.{u}
h✝ : b ≤ c
a : Ordinal.{u}
h : b < c


Context:
a✝ b a : Ordinal.{u}
h : b ≤ b


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

(∃ ι, Nonempty ι ∧ ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a) ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a


Context: a b : Cardinal.{u_1}


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : Grp
A : Action V (MonCat.of ↑G)
g : ↑G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

(x, y) ∈ s ×ˢ {b} ↔ (x, y) ∈ (fun a => (a, b)) '' s


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : xᶜ = y


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G

HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[precompR G L, μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hf : LocallyIntegrable f μ
x₀ : G
hcg : HasCompactSupport 0
hg : ContDiff 𝕜 1 0

HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] 0) ((f ⋆[precompR G L, μ] fderiv 𝕜 0) x₀) x₀


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L

HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[L', μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: hK' : IsCompact K'


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: hK' : IsCompact K'

∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ 1, ‖(L' (f a)) (fderiv 𝕜 g (x - a))‖ ≤ ?m.1390320 a


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: hK' : IsCompact K'

∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ 1, HasFDerivAt (fun x => (L (f a)) (g (x - a))) ((L' (f a)) (fderiv 𝕜 g (x - a))) x


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : SFinite μ

Context: inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: hcg : HasCompactSupport g

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiff 𝕜 1 g

Context: x₀ : G

Context: fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G

Context: this : ProperSpace G

Context: hK' : IsCompact K'

Integrable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ : CompleteSublattice α

Context: L : CompleteSublattice β

Context: s : Set α

Context: hs : s ⊆ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier

sSup s ∈ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : CompleteLattice α

Context: inst✝ : CompleteLattice β

Context: f : CompleteLatticeHom α β

Context: L✝ : CompleteSublattice α

Context: L : CompleteSublattice β

Context: s : Set α

sInf s ∈ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

HasSum (fun i => ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) (b.repr.symm f)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

(fun i => ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = fun b_1 => b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) b_1)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

Context: i : ι

↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i = b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

Context: i : ι

b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

Context: i : ι

Context: this : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

Context: i : ι

Context: this✝ : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance

Context: this : lp.single 2 i (↑f i * 1) = ↑f i • lp.single 2 i 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

Context: i : ι

Context: this : lp.single 2 i (↑f i) = ↑f i • lp.single 2 i 1


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: b : HilbertBasis ι 𝕜 E

Context: f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

Context: i : ι

lp.single 2 i (↑f i) = b.repr (b.repr.symm ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))


Context: a b c : Ordinal.{u}

Context: f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}

Context: hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

(a ♯ b).blsub f = max (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯)


Context: a b c : Ordinal.{u}

∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < a ♯ b), f i h < max (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯)


Context: a b c : Ordinal.{u}

(a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) ≤ (a ♯ b).blsub f


Context: a b c : Ordinal.{u}

(b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯) ≤ (a ♯ b).blsub f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α

∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s

AnalyticWithinOn 𝕜 f s ↔ AnalyticOn 𝕜 f s


AnalyticWithinOn 𝕜 f s → AnalyticOn 𝕜 f s


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s
r : ℝ
r0 : r > 0
rs : Metric.ball x r ⊆ s


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: H : Type u_6

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: hs : IsOpen s

Context: hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s

Context: x : E

Context: m : x ∈ s

Context: r : ℝ

Context: r0 : r > 0

Context: rs : Metric.ball x r ⊆ s

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: t : ℝ≥0∞

Context: fp : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x t


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'

((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).X.map θ ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ' = (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ


∀ (A : Splitting.IndexSet Δ), ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).X.map θ ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ' = ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ (Γ₀.obj K[X]).map θ ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ' = ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ


Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K[X] (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ PInfty.f (unop (A.pull θ).fst).len ≫ X.map (A.pull θ).e.op = PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ


PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map (image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ X.map (A.pull θ).e.op = PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op ≫ X.map θ


PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map ((image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ (A.pull θ).e.op) = PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map (A.e.op ≫ θ)


(image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ (A.pull θ).e.op = A.e.op ≫ θ


((A.pull θ).e ≫ image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op = A.e.op ≫ θ


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

{ app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } = ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).p ≫ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).p


∀ (n : ℕ), (Γ₀.splitting K[X]).φ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } n = (Γ₀.splitting K[X]).φ (((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).p ≫ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).p) n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

((Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ (Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) = (Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).cofan (op [n])).inj A) ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ 𝟙 (X _[n])


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y

((N₁ ⋙ Γ₂).map f ≫ (fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) Y).f = ((fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) X ≫ (toKaroubi (SimplicialObject C)).map f).f


∀ (n : ℕ), (Γ₀.splitting K[X]).φ ((N₁ ⋙ Γ₂).map f ≫ (fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) Y).f n = (Γ₀.splitting K[X]).φ ((fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) X ≫ (toKaroubi (SimplicialObject C)).map f).f n


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
n : ℕ

((Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => (PInfty.f (unop A.fst).len ≫ f.app A.fst) ≫ ((Γ₀.splitting K[Y]).cofan (op [n])).inj A) ≫ (Γ₀.splitting K[Y]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ Y.map A.e.op) = (Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ f.app (op [n])


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P

(perpBisector p₁ p₂).direction = (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ


LinearMap.ker ((innerₛₗ ℝ) (p₂ -ᵥ p₁)) = (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P
x : V

x ∈ LinearMap.ker ((innerₛₗ ℝ) (p₂ -ᵥ p₁)) ↔ x ∈ (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0

(deriv fun z => z ^ p * (1 - ε z)) =Θ[atTop] fun z => z ^ (p - 1)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : αᵐᵒᵖ

x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a⁻¹ * b = unop x


(x • s ∩ t).Nonempty ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a⁻¹ * b = unop x


Context:
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
f : β → γ
x : F (α → β)
y : F α

(f <$> Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq ((fun x => f ∘ x) <$> x) fun x => y


(Seq.seq (pure f) fun x_1 => Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun x => f ∘ x) fun x_1 => x) fun x => y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
h : r ≺i t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, x⟫_𝕜‖ ≤ re ⟪x, x⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
y : F

‖⟪0, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, 0⟫_𝕜‖ ≤ re ⟪0, 0⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
hx : x ≠ 0


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x y : E


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, x⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, x'⟩.snd

colimitMulAux F ⟨j₁, x⟩ ⟨j₂, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₃, x'⟩ ⟨j₂, y⟩


Context:
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: x' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s

Context: h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β

Context: h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ

Context: h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β