Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 * ↑t.card + ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, f i ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

Context: h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2

Context: h₃ : ↑s.card * x ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, (fun i => f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card) i ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 * ↑t.card + ∑ i ∈ t, (fun i => f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card) i ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, f i ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 * ↑t.card + ∑ x ∈ t, ((f x * ↑t.card - ∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, f i ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 * ↑t.card + ∑ x ∈ t, (f x * ↑t.card - ∑ i ∈ t, f i) ^ 2 / ↑t.card ^ 2 ≤ ∑ i ∈ t, f i ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

(∑ i ∈ t, f i) ^ 2 * ↑t.card + ∑ i ∈ t, (f i * ↑t.card - ∑ i ∈ t, f i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) * ↑t.card ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

(∑ i ∈ t, f i) ^ 2 * ↑t.card + ((∑ i ∈ t, f i ^ 2) * ↑t.card ^ 2 - 2 * ((∑ i ∈ t, f i) * ↑t.card) * ∑ i ∈ t, f i + ↑t.card * (∑ i ∈ t, f i) ^ 2) ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) * ↑t.card ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s : Set α

MeasurableSet s ↔ ∀ (t : Set α), P t → (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t ∩ s) + (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t \ s) ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s : Set α

(∀ (t : Set α), (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t ∩ s) + (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t \ s) ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t) ↔ ∀ (t : Set α), P t → (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t ∩ s) + (inducedOuterMeasure m P0 m0) (t \ s) ≤ (inducedOuterMeasure m P0 m0) t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: this : SmoothManifoldWithCorners 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ↑(sphere 0 1)

ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ Subtype.val


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Continuous Subtype.val ∧ ∀ (x : { x // x ∈ sphere 0 1 }) (y : E), ContDiffOn ℝ ⊤ (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, E) y) ∘ Subtype.val ∘ ↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).symm) ((extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).symm ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, E) y).source))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this : LocallyCompactSpace H


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M


Context: ι : Type uι

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type uH

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type uM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: inst✝¹ : T2Space M

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s : Set M

Context: hs : IsClosed s

Context: U : ι → Set M

Context: ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hU : s ⊆ ⋃ i, U i

Context: this✝¹ : LocallyCompactSpace H

Context: this✝ : LocallyCompactSpace M

Context: this : ∃ f, (∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U


∀ (s t : Set M), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M
hmn : m ≤ n

(liftAt 1 m φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ fun i => if ↑i < m then i.castSucc else i.succ)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: hκη : κ ≤ η

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: hκη : κ ≤ η

Context: a : α

Context: x : γ

Context: hx_le_one : (∂κ a/∂η a) x ≤ 1 x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ

Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) (ν a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Context: this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

Integrable (fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal) (ν a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

AEMeasurable (fun b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)) (ν a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν

Context: a : α

Context: x : ℝ

∫⁻ (x_1 : β), ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x_1)) x) ∂ν a ≠ ⊤


Context:
m n i h : ℕ
a✝ : Nat.le 1 h


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set α


(∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∃ z ∈ s, r x z ∧ r y z) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ a_1 ∈ s, ∃ a_2, r a a_2 ∧ a_2 ∈ s ∧ r a_1 a_2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f✝ : β → γ
g : γ → α
μ : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
x : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

(((const γ μ).map f hf) x) s = ((const γ (Measure.map f μ)) x) s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : Mul M✝
inst✝³ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
h : a ⤳ b
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : Mul M✝
inst✝³ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
h : a ⤳ b
n x✝ : ℕ
ihn : (a ^ x✝) ⤳ (b ^ x✝)


Context:
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : FinallySmall J
i : J

∃ j ∈ Set.range (fromFinalModel J).obj, Nonempty (i ⟶ j)


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: inst✝ : FinallySmall J

Context: i : J

Context: f : StructuredArrow i (fromFinalModel J)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Ici y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Ici y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

nndist (y₁ i) (y i) ≤ nndist (y₂ i) (y i)


(y₁ i - y i).toNNReal ≤ (y₂ i - y i).toNNReal


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.61456, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
n : ℤ
X : Cᵒᵖ

((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X)) ≫ 𝟙 (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj (Opposite.op ((shiftFunctor C n).obj (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X))))))) ≫ ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).map (((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ ((shiftFunctor C n).map (𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X)).unop).op)).unop = 𝟙 (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X))


(shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X)) ≫ ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op).unop = 𝟙 (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X))


(shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C (-n)).obj (Opposite.unop X)) ≫ (shiftFunctor C (-n)).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)) = 𝟙 ((𝟭 C).obj ((shiftFunctor C (-n)).obj (Opposite.unop X)))


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : f.natDegree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : (⊤.prod I).IsPrime


(map (↑RingEquiv.prodComm) (⊤.prod I)).IsPrime


Context: x✝ y✝ z x y : ℝ


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
hl : ⋃ i ∈ s, f i ∈ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
hl : ∃ i ∈ s, f i ∈ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
i : ι
his : i ∈ s
hi : f i ∈ l


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
i : ι
his : i ∈ s
hi : f i ∈ l
x : X
hxi : x ∈ f i
hlx : ↑l ≤ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

Context: ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

Context: ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1

Context: this : t'.OrdConnected


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

Context: ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1

Context: this : t'.OrdConnected

Context: hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

Context: ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1

Context: this : t'.OrdConnected

Context: hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'

Context: G : Y →ᵇ ℝ

Context: hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'

Context: hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

Context: ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1

Context: this : t'.OrdConnected

Context: hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'

Context: G : Y →ᵇ ℝ

Context: hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'

Context: hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F

Context: g : C(Y, ℝ) := { toFun := ⇑h.symm ∘ Set.codRestrict (⇑G) (Ioo (-1) 1) ⋯, continuous_toFun := ⋯ }


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : C(X, ℝ)

Context: t : Set ℝ

Context: e : X → Y

Context: hs : t.OrdConnected

Context: hf : ∀ (x : X), f x ∈ t

Context: hne : t.Nonempty

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

Context: t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

Context: ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1

Context: this : t'.OrdConnected

Context: hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'

Context: G : Y →ᵇ ℝ

Context: hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'

Context: hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F

Context: hgG : ∀ {y : Y} {a : ℝ}, g y = a ↔ G y = ↑(h a)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C

e.counitInv.app (e.functor.obj X) ≫ e.functor.map (e.unitInv.app X) = 𝟙 (e.functor.obj X)


(e.functor.mapIso (e.unitIso.app X) ≪≫ e.counitIso.app (e.functor.obj X)).hom = (Iso.refl (e.functor.obj ((𝟭 C).obj X))).hom


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Zero R
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : SMulWithZero R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
g : α → M
hc : c ≠ 0
x : α


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: L' : Type w₁

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹ : LieRing L'

Context: inst✝ : LieAlgebra R L'

Context: I✝ J : LieIdeal R L

Context: f : L' →ₗ⁅R⁆ L

Context: I : LieIdeal R L

Context: s₁ : Set ℕ := {k | derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥}

Context: s₂ : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}

Context: k : ℕ

k ∈ s₁ ↔ k ∈ s₂


Context: x y : ℂ


Context: x y : ℂ

(∃ k, x = ↑k * ↑π * 2 + y) ↔ ∃ k, y = ↑k * ↑π * 2 + x


Context:
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0


¬{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x}.Nonempty


{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x} = ∅


Context: x✝ : ℝ

x✝ ∈ {x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x} ↔ x✝ ∈ ∅


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X✝ Y✝ : (coprodMonad X).Algebra
f : X✝ ⟶ Y✝

((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) X✝).hom ≫ f.f = ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) Y✝).hom


coprod.inl ≫ (coprodMonad X).map f.f ≫ Y✝.a = ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) Y✝).hom


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M

(LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ LinearMap.ker (Finsupp.totalOn M M R id s) = ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
i✝ j✝ : ι
hi : p i✝
hj : p j✝


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α


Context: C : Type u_1

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: J : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Preadditive C

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c

Context: inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c

Context: inst✝² : K.HasTotal c

Context: inst✝¹ : K.flip.HasTotal c

Context: inst✝ : DecidableEq J

Context: j j' : J

(K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₂ c j j' = K.flip.D₁ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b x y x' y' : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c

(splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ (isColimitCoforkOfCokernelCofork (isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯))).section_ ≫ retraction f = 0


i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (cokernelCoforkOfCofork (Cofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯))) ⋯) ≫ retraction f = 0


i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c

Context: this : Epi (Cofork.π c) := epi_of_isColimit_cofork i


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c

Cofork.π c ≫ i.desc (Cofork.ofπ (Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (𝟙 Y - retraction f ≫ f) ⋯)) ⋯) ≫ retraction f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitMono f

Context: c : CokernelCofork f

Context: i : IsColimit c


(let c' := CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) ⋯; let i' := isCokernelEpiComp i (retraction f) ⋯; let i'' := isColimitCoforkOfCokernelCofork i'; (splitEpiOfIdempotentOfIsColimitCofork C ⋯ i'').section_) ≫ Cofork.π c = 𝟙 c.pt


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞

∫⁻ (b : β), g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂η a


(∫⁻ (b : β), g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂η a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
r : R
n : ℕ

(coeff R n) ((C R) r).derivativeFun = (coeff R n) 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℕ → ℕ → α

⨆ n, f (unpair n).1 (unpair n).2 = ⨆ i, ⨆ j, f i j


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x


Context:
M : Type u_1
inst✝²⁹ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²⁸ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²⁷ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²⁶ : AddMonoid A
inst✝²⁵ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝²⁴ : AddMonoid B
inst✝²³ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝²² : AddMonoid B₁
inst✝²¹ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝²⁰ : AddMonoid C
inst✝¹⁹ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹⁸ : AddGroup A'
inst✝¹⁷ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹⁶ : AddGroup B'
inst✝¹⁵ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝¹⁴ : FunLike F A B
R : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : MulSemiringAction M R
R' : Type u_12
inst✝¹¹ : Ring R'
inst✝¹⁰ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_13
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_14
inst✝⁷ : Ring S'
inst✝⁶ : MulSemiringAction N S'
T : Type u_15
inst✝⁵ : Semiring T
inst✝⁴ : MulSemiringAction P T
M' : Type ?u.130188
N' : Type u_16
inst✝³ : AddMonoid M'
inst✝² : DistribMulAction R M'
inst✝¹ : AddMonoid N'
inst✝ : DistribMulAction S N'
σ : R →* S
f g : R →ₑ+[σ] N'
h : f 1 = g 1
x : R


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
y : ↥S

f.toMap ↑y * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y)⁻¹ = 1


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
c₁ : Basis n' R M₁
c₂ : Basis m' R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R

(b₁.toMatrix ⇑c₁)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * b₂.toMatrix ⇑c₂ = (toMatrix₂ c₁ c₂) B


((toMatrix c₁ b₁) id)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix c₂ b₂) id = (toMatrix₂ c₁ c₂) B


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
x✝ : M


Context:
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
h : IsClosed ↑A
f g : ↥A


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝¹ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
inst✝ : Finite ι
h_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι
h_ne : i ≠ j


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: g : α → Set ℝ := fun x => f x ∩ Ioo 0 (R x)

∃ t r, t.Countable ∧ t ⊆ s ∧ (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧ μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: v : Set (α × ℝ)

Context: v_count : v.Countable

Context: vs : ∀ p ∈ v, p.1 ∈ s

Context: vg : ∀ p ∈ v, p.2 ∈ g p.1

Context: μv : μ (s \ ⋃ p ∈ v, closedBall p.1 p.2) = 0

Context: v_disj : v.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: r : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: v_count : (graphOn r t).Countable

Context: vs : ∀ p ∈ graphOn r t, p.1 ∈ s

Context: vg : ∀ p ∈ graphOn r t, p.2 ∈ g p.1

Context: μv : μ (s \ ⋃ p ∈ graphOn r t, closedBall p.1 p.2) = 0

Context: v_disj : (graphOn r t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: r : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: v_count : (graphOn r t).Countable

Context: vs : ∀ p ∈ graphOn r t, p.1 ∈ s

Context: vg : ∀ p ∈ graphOn r t, p.2 ∈ g p.1

Context: hinj : InjOn (fun x => (x, r x)) t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: β : Type u

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f : α → Set ℝ

Context: s : Set α

Context: R : α → ℝ

Context: hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x

Context: r : α → ℝ

Context: t : Set α

Context: v_count : ((fun x => (x, r x)) '' t).Countable

Context: hinj : InjOn (fun x => (x, r x)) t

Context: vs : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ s

Context: vg : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → r x ∈ g x

Context: μv : μ (s \ ⋃ y ∈ t, closedBall y (r y)) = 0

Context: v_disj : t.PairwiseDisjoint ((fun p => closedBall p.1 p.2) ∘ fun x => (x, r x))


Context:
α : Type u
β : Type v
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤


∀ (n : ↑↑S), (∏ i ∈ S, ↑⋯.choose) • ↑n = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: hM : Module.IsTorsion R M

Context: S : Finset M

Context: hS : span R ↑S = ⊤

Context: n : ↑↑S

Context: this : DecidableEq M := Classical.decEq M


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : D
Y : C
f f' : X ⟶ G.obj Y

f ≫ α.inv.app Y = f' ≫ α.inv.app Y ↔ f = f'


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s

ContinuousOn (fun p => (f p.1, (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' p.1 f) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I p.1) p.1)) p.2)) (Prod.fst ⁻¹' s)


ContinuousOn (fun p => (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I p.1)) p.2) (Prod.fst ⁻¹' s)


ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I '' s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : H := ↑I.symm 0

Context: y : H' := ↑I'.symm 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : H := ↑I.symm 0

Context: y : H' := ↑I'.symm 0

Context: A : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : H := ↑I.symm 0

Context: y : H' := ↑I'.symm 0

Context: A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)

ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : H := ↑I.symm 0

Context: y : H' := ↑I'.symm 0

UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝²³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝²⁰ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: F : Type u_8

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_9

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G N

Context: Js : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_11

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_12

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_13

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'

Context: J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_14

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_15

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n : ℕ∞

Context: f : H → H'

Context: s : Set H

Context: hn : 1 ≤ n

Context: hs : UniqueMDiffOn I s

Context: x : H := ↑I.symm 0

Context: y : H' := ↑I'.symm 0

↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I = (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B


∀ (g : ↥H), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B
g : G
property✝ : g ∈ H

⟨g, property✝⟩ • B = B ∨ Disjoint (⟨g, property✝⟩ • B) B


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ

findGreatest P k = 0 ↔ ∀ ⦃n : ℕ⦄, 0 < n → n ≤ k → ¬P n


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: r : R

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget (ModuleCat R)) x y

colimitSMulAux F r x = colimitSMulAux F r y


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: r : R

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: r : R

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: k : J

Context: f : x.fst ⟶ k

Context: g : y.fst ⟶ k

Context: hfg : (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map f x.snd = (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map g y.snd


Context: R : Type u

Context: inst✝² : Ring R

Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: F : J ⥤ ModuleCatMax R

Context: r : R

Context: x y : (j : J) × ↑(F.obj j)

Context: k : J

Context: f : x.fst ⟶ k

Context: g : y.fst ⟶ k

(F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯ = μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i

(μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯) i = μ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
m : ℝ≥0
hm : ↑m = μ i

(μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯) i = ↑m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t

Disjoint s.toFinset t.toFinset ↔ Disjoint s t


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x

Context: Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x

HasIntegral I GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (Pi.single i 1) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x✝ : i ∈ Finset.univ

HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1) i) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: I : Box (Fin (n + 1))

Context: i✝ : Fin (n + 1)

Context: f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E

Context: s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)

Context: hs : s.Countable

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x✝ : i ∈ Finset.univ

Context: Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp (f' x)) (Box.Icc I) x

Context: Hs : ∀ x ∈ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousWithinAt (fun y => f y i) (Box.Icc I) x


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l


∀ a_1 ∈ l, (if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none) = Option.guard (fun s => a = s.fst) a_1


∀ (a_1 b : Sigma β), b ∈ Option.guard (fun s => a = s.fst) a_1 → a_1 = b


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
n : G
hn : n ∈ H
g : G


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


re z < 0 ∧ im z = 0 ↔ ∃ x < 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z


Context:
step s m n : Nat
h : range' s m step <+ range' s n step


Context:
step s m n : Nat
h : m ≤ n


Context:
step s m n : Nat
h : m ≤ n

range' s m step <+ range' s m step ++ range' (s + step * m) (n - m) step


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1

eval (x + y) (dickson 1 1 0) = x ^ 0 + y ^ 0


eval (x + y) (dickson 1 1 1) = x ^ 1 + y ^ 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁶ : NormedField 𝕜
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²³ : PseudoMetricSpace P
inst✝²² : NormedAddTorsor V P
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁸ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁵ : MetricSpace P₁'
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹¹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝¹⁰ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝³ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝² : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : NormedSpace ℝ V
x y : P

dist ((pointReflection ℝ x) y) y = 2 * dist x y


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : α → R
s✝ s : Finset α
f : α → R
n : ℕ

(∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * ∏ i ∈ s, f i ^ k i


(∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ x ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s x) * s.noncommProd (fun i => f i ^ x i) ⋯


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
v : ι → M

(alternatization m) v = ∑ σ : Perm ι, Perm.sign σ • (domDomCongr σ m) v


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesColimit F G
c₁ c₂ : Cocone F
t : IsColimit c₁

∀ (j : J), (G.mapCocone c₁).ι.app j ≫ G.map (t.desc c₂) = (G.mapCocone c₂).ι.app j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α

OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) (t ∩ s) + OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) (t \ s) ≤ OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) t


∀ ⦃x : Measure α⦄, x ∈ m → ∀ (i : Set α), t ⊆ i → MeasurableSet i → (⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ x i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
μ : Measure α
hμ : μ ∈ m
u : Set α
htu : t ⊆ u
_hu : MeasurableSet u

(⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ μ u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: m : Set (Measure α)

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ∈ m

Context: u : Set α

Context: htu : t ⊆ u

Context: _hu : MeasurableSet u

Context: hm : ∀ {s t : Set α}, s ⊆ t → OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) s ≤ μ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: m : Set (Measure α)

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: hμ : μ ∈ m

Context: u : Set α

Context: htu : t ⊆ u

Context: _hu : MeasurableSet u

(⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ μ (u ∩ s) + μ (u \ s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
x✝ : f.SameCycle x y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E✝

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E✝

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E✝

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: E : Type u_10

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕝 E

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: q : ι → Seminorm 𝕝₂ F

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: hf : ∀ (i : ι), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • normSeminorm 𝕝 E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E✝ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup E✝

Context: inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E✝

Context: inst✝¹³ : NormedField 𝕝

Context: inst✝¹² : Module 𝕝 E✝

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂

Context: inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂

Context: inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂

Context: inst✝⁴ : Nonempty ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι'

Context: E : Type u_10

Context: inst✝² : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕝 E

Context: inst✝ : TopologicalSpace F

Context: q : ι → Seminorm 𝕝₂ F

Context: hq : WithSeminorms q

Context: f : E →ₛₗ[τ₁₂] F

Context: hf : IsBounded (fun x => normSeminorm 𝕝 E) q f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this : Mono S.f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this✝ : Mono S.f
this : Epi S.g


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this✝¹ : Mono S.f
this✝ : Epi S.g
this : Mono (F.map S.f)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this✝² : Mono S.f
this✝¹ : Epi S.g
this✝ : Mono (F.map S.f)
this : Epi (F.map S.g)


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

deriv^[2] (fun x => -(x * log x)) x = -x⁻¹


Context: x : ℝ

Context: hx : x ≠ 0

Context: h : deriv^[2] (fun x => x * log x) x = x⁻¹


Context: x : ℝ

Context: hx : x ≠ 0

Context: h : deriv (deriv fun x => x * log x) x = x⁻¹

-deriv (deriv fun y => y * log y) x = -x⁻¹


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : Add α
inst✝¹ : DivisionMonoid β
inst✝ : HasDistribNeg β
hf : Antiperiodic f c
hg : Antiperiodic g c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a < 0
hb : 0 < b


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))

Context: s₁ s₂ : α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s₁ s₂ : α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s₁ s₂ : α

m s₁ * m s₂ = ∏' (b : Bool), m (bif b then s₁ else s₂)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)

Context: n : ℕ

↑((sum I M ∘ₗ sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) n = ↑(LinearMap.id ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

↑((sum I M) ((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f))) n = Submodule.Quotient.mk (↑f n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

↑((sum I M) (∑ i : ι, (DirectSum.of (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) i))) n = Submodule.Quotient.mk (↑f n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

∑ x : ι, Submodule.Quotient.mk ((lof R ι M x) ((component R ι M x) (↑f n))) = Submodule.Quotient.mk (↑f n)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁰ : Module R M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup T

Context: inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: M : ι → Type u_7

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: n : ℕ

(I ^ n • ⊤).mkQ (∑ x : ι, (lof R ι M x) ((component R ι M x) (↑f n))) = (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)


Context:
α β : BoolRing
e : ↑α ≃+* ↑β
x✝ : (forget BoolRing).obj α


Context:
α β : BoolRing
e : ↑α ≃+* ↑β
x✝ : (forget BoolRing).obj β


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
p : R[ℕ]

(C a * { toFinsupp := p }).coeff n = a * { toFinsupp := p }.coeff n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'

(fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁✝ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
c₁ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l k₁ k₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁✝ : k₁ =O[l] k₂
h₂✝ : f' =O[l] g'
c₁ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l k₁ k₂
c₂ : ℝ
h₂ : IsBigOWith c₂ l f' g'


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x y : G
n✝ : ℕ
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ

(powersEquivPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩


(finCongr h) ⟨n % orderOf x, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf y, ⋯⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Ring

(f.sub g) (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x) = Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝ : EffectiveEpi π

Context: c : PullbackCone π π

Context: hc : IsLimit c

Context: this : HasPullback π π

Context: hP : Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)

Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (P.map π.op) ⋯))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝ : EffectiveEpi π

Context: c : PullbackCone π π

Context: hc : IsLimit c

Context: this : HasPullback π π

∀ (y : P.obj (op X)), P.map c.fst.op y = P.map c.snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝ : EffectiveEpi π

Context: c : PullbackCone π π

Context: hc : IsLimit c

Context: this : HasPullback π π

Context: hP : ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝ : EffectiveEpi π

Context: c : PullbackCone π π

Context: hc : IsLimit c

Context: this : HasPullback π π

Context: b : P.obj (op X)

Context: hb : P.map c.fst.op b = P.map c.snd.op b

Context: h₁ : ((pullbackIsPullback π π).conePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ c.fst = pullback.fst π π


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D

Context: inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝ : EffectiveEpi π

Context: c : PullbackCone π π

Context: hc : IsLimit c

Context: this : HasPullback π π

Context: b : P.obj (op X)

Context: hb' : P.map (pullback.fst π π).op b = P.map (pullback.snd π π).op b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)


m ∣ a.val + b.val - (a.val + b.val) % n✝.succ


Context: R : Type u_1

Context: M₁ : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R M₂

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q₁ : QuadraticForm R M₁

Context: Q₂ : QuadraticForm R M₂

Context: Qₙ : QuadraticForm R N

Context: f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ

Context: f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ

Context: hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)

Context: m₁ : CliffordAlgebra Q₁

Context: m₂ : CliffordAlgebra Q₂

Context: i₁ i₂ : ZMod 2

Context: hm₁ : m₁ ∈ evenOdd Q₁ i₁

Context: hm₂ : m₂ ∈ evenOdd Q₂ i₂

(map f₁) m₁ * (map f₂) m₂ = (-1) ^ (i₂ * i₁) • ((map f₂) m₂ * (map f₁) m₁)


Context: R : Type u1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q Q' Q'' : QuadraticForm R M

Context: B B' : BilinForm R M

Context: h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q

Context: h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'

Context: m : M


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : α

Context: t : Ordnode α

Context: h : t.Valid


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : α

Context: t : Ordnode α

Context: h : t.Valid


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
c : R

(⇑derivative)^[n] ((X - C c) ^ n) = ↑n.factorial


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
p : P

affineSpan ℝ {p, s.points i} = s.altitude i ↔ p ≠ s.points i ∧ p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ p -ᵥ s.points i ∈ (affineSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i))).directionᗮ


vectorSpan ℝ {p, s.points i} = (s.altitude i).direction ↔ p ≠ s.points i ∧ p -ᵥ s.points i ∈ vectorSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ p -ᵥ s.points i ∈ (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S✝ : Submonoid M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)

sSup S = ringConGen (sSup (DFunLike.coe '' S))


(ringConGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y) = ringConGen (⨆ a ∈ S, ⇑a)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
x y : R


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M

map N.incl (lowerCentralSeries R L (↥↑N) k) = lcs k N


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp (a - p) b = toIocMod hp a b - p


Context:
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
y : α

y ∈ cthickening δ {x} ↔ y ∈ closedBall x δ


Context:
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.33453
s✝ t✝ : Finset α
β : Type u_2
f : α ↪ β
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β

t ∈ powersetCard n (map f s) ↔ t ∈ map (mapEmbedding f).toEmbedding (powersetCard n s)


t ⊆ map f s ∧ t.card = n ↔ ∃ a, (a ⊆ s ∧ a.card = n) ∧ (mapEmbedding f).toEmbedding a = t


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂

x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃

Context: x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂

Context: x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁

Context: h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃

Context: h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂

Context: H : pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁

x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃

Context: x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂

Context: x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁

Context: h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃

Context: h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂

Context: H : x₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁

x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃

Context: x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂

Context: x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁

Context: h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃

Context: h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂

(pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : SnakeInput C

Context: A : C

Context: x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃

Context: x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂

Context: x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁

Context: h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃

Context: h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(condDistrib Y X μ) x) (Measure.map X μ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝⁴ : Nonempty Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure μ

Context: X : α → β

Context: Y : α → Ω

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: s : Set Ω

Context: t : Set β

Context: f : β × Ω → F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: hY : AEMeasurable Y μ

AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x : Fin n → ℕ

Context: hN : 2 ≤ N

Context: this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x : Fin n → ℕ

Context: hN : 2 ≤ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α

∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst


∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ((P.equivSigmaParts.trans ((Equiv.refl { x // x ∈ P.parts }).sigmaCongr fun t => (↑t).equivFin)) a).fst = ((P.equivSigmaParts.trans ((Equiv.refl { x // x ∈ P.parts }).sigmaCongr fun t => (↑t).equivFin)) b).fst


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G


∀ (a : G), ∀ i ∈ toFilterBasis, a ∈ (fun y => a * y) '' id i


∀ (a : G), ∀ i ∈ toFilterBasis, ∀ᶠ (x : G) in map (fun y => a * y) toFilterBasis.filter, (fun y => a * y) '' id i ∈ map (fun y => x * y) toFilterBasis.filter


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : SMulCommClass R M M
p : SubMulAction R M
n : ℕ


Context: x y : ℂ


Context: ι : Sort u_1

Context: M : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set (Subsemigroup M)

Context: hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : M


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
h : √x < y


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
h : √x < y
hy : 0 < y


Context:
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a✝ a : ℕ

↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) ≡ ↑((n / p ^ a.succ).choose (k / p ^ a.succ)) * ↑(∏ i ∈ range a.succ, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]


↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) ≡ ↑((n / p ^ a.succ).choose (k / p ^ a.succ)) * ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) * ↑(∏ x ∈ range a, (n / p ^ x % p).choose (k / p ^ x % p)) [ZMOD ↑p]


↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) ≡ ↑((n / p ^ a.succ).choose (k / p ^ a.succ)) * ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) [ZMOD ↑p]


↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) * ↑((n / p ^ a / p).choose (k / p ^ a / p)) ≡ ↑((n / p ^ a.succ).choose (k / p ^ a.succ)) * ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) [ZMOD ↑p]


↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) * ↑((n / (p * p ^ a)).choose (k / (p * p ^ a))) ≡ ↑((n / p ^ a % p).choose (k / p ^ a % p)) * ↑((n / (p * p ^ a)).choose (k / (p * p ^ a))) [ZMOD ↑p]


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
x : K


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0

∀ (x y : K), { toFun := ⇑re, invFun := ofReal, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑re, invFun := ofReal, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑re, invFun := ofReal, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y


Context:
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
p q : List (Symbol T N)

r.Rewrites (p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q) (p ++ r.output ++ q)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C : ℝ

BddAbove (range fun y => ⨅ x, f (inl x, inr y) + C)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y✝ z t : X ⊕ Y
f : GromovHausdorff.Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Cf ∈ upperBounds (range ⇑f)
y : Y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f✝ g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)

Context: f : X → Y → Z

Context: hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d

Continuous (uncurry (lift₂ f hf)) ↔ Continuous (uncurry f)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
x y : n → α
x✝ : m

(A *ᵥ (x - y)) x✝ = (A *ᵥ x - A *ᵥ y) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
H : s ≤ᶠ[ae μ] t


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
c : Cone F
j j' : J
f : j ⟶ j'


((const J).obj c.pt).map f ≫ c.π.app j' = c.π.app j'


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
Y : C
P : Subobject Y


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹¹ : EMetricSpace X
inst✝¹⁰ : EMetricSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : BorelSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
x y : P


(algebraMap ℝ≥0 ℝ≥0∞) (nndist x y) = edist x y


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ
hε : ε > 0


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : ↑ε > 0


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t


Context:
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
f : C(X, 𝕜)
hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}
ht : IsClosed t
htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}

Context: ht : IsClosed t

Context: htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ

Context: g' : C(X, ℝ≥0)

Context: hI' : (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g' ∈ I

Context: hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x

∃ g, (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g ∈ I ∧ (∀ (x : X), g x ≤ 1) ∧ Set.EqOn (⇑g) 1 t


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}

Context: ht : IsClosed t

Context: htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ

Context: g' : C(X, ℝ≥0)

Context: hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c > 0

Context: hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}

Context: ht : IsClosed t

Context: htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ

Context: g' : C(X, ℝ≥0)

Context: hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c > 0

Context: hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y

Context: g : C(X, ℝ≥0)

Context: hg : ∀ (x : X), (g * g') x ≤ 1

Context: hgc : Set.EqOn (⇑(g * g')) 1 {x | c ≤ g' x}


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}

Context: ht : IsClosed t

Context: htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ

Context: g' : C(X, ℝ≥0)

Context: hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c > 0

Context: hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y

Context: g : C(X, ℝ≥0)

Context: hg : ∀ (x : X), (g * g') x ≤ 1

(↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp (g * g') ∈ I


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}

Context: ht : IsClosed t

Context: htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ

Context: g' : C(X, ℝ≥0)

Context: hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c > 0

Context: hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y

Context: g : C(X, ℝ≥0)

Context: hg : ∀ (x : X), (g * g') x ≤ 1

(↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp (g * g') = (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g * (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g'


Context: X : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : CompactSpace X

Context: inst✝ : T2Space X

Context: I : Ideal C(X, 𝕜)

Context: f : C(X, 𝕜)

Context: hf : f ∈ idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)

Context: ε : ℝ≥0

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set X := {x | ε / 2 ≤ ‖f x‖₊}

Context: ht : IsClosed t

Context: htI : Disjoint t (setOfIdeal I)ᶜ

Context: g' : C(X, ℝ≥0)

Context: hgt' : ∀ x ∈ t, 0 < g' x

Context: c : ℝ≥0

Context: hc : c > 0

Context: hgc' : ∀ y ∈ t, c ≤ g' y

Context: g : C(X, ℝ≥0)

Context: hg : ∀ (x : X), (g * g') x ≤ 1

Context: a✝ : X

((↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp (g * g')) a✝ = ((↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g * (↑(algebraMapCLM ℝ≥0 𝕜)).comp g') a✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : E → E'

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: f' : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') (f x)

HasMFDerivAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x f' ↔ HasFDerivAt f f' x