Context:
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

¬(s ∩ Icc x y).OrdConnected ↔ ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : ↑r ∈ resolventSet R ↑a


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a
hcomm : Commute (↑a) (r • ↑a⁻¹ - 1)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : R


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε

∃ N, ∀ i ≥ N, (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : PadicSeq p

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : PadicSeq p

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : PadicSeq p

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ N

Context: hge : ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : PadicSeq p

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ N

Context: hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : PadicSeq p

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ N

Context: hge : ε ≤ padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : PadicSeq p

Context: ε : ℚ

Context: hε : 0 < ε

Context: N : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ≥ N

ε > padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

0 ≤ a * b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i


(∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : Ring R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p : R[X]

Context: a : R

(fun h => Nat.find ⋯) = fun h => Nat.find ⋯


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : Ring R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: p : R[X]

Context: a : R

Context: x✝ : ¬p = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Associated (num A x⁻¹⁻¹) ↑(den A x⁻¹)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommRing P

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing A

Context: inst✝⁴ : IsDomain A

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A

Context: K : Type u_5

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra A K

Context: inst✝ : IsFractionRing A K

Context: x : K

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)


Context:
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
H : Type u_1
inst✝ : Monoid H
e : G →* H
e_inj : Function.Injective ⇑e
g : G


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re

ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, z)


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

Tendsto (fun x => ‖x.1 ^ x.2‖) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re / rexp (x.1.arg * x.2.im)) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re * rexp (-(x.1.arg * x.2.im))) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)


Context:
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝 (0, z)) ((fun x => ‖x‖) ∘ fun x => rexp (-(x.1.arg * x.2.im)))


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : s.OrdConnected


volume (frontier (↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s))) = 0


Context:
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Surjective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)


∀ (x : α₁) (b : β₂ (f₁ x)), ∃ a, Sigma.map f₁ f₂ a = ⟨f₁ x, b⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
g : β → γ
f : α → β
l : List α
n✝ : ℕ
a✝ : γ

a✝ ∈ ((map g ∘ map f) l)[n✝]? ↔ a✝ ∈ (map (g ∘ f) l)[n✝]?


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a✝ : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a c : List α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1


Context:
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt
h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt


Context: cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering

Context: inst✝¹ : TransCmp cmp✝

Context: x✝ : Sort ?u.2677

Context: cmp : x✝ → x✝ → Ordering

Context: inst✝ : TransCmp cmp

Context: x y z : x✝

Context: h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt

Context: h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt

Context: this : cmp z y ≠ Ordering.gt → cmp y x ≠ Ordering.gt → cmp z x ≠ Ordering.gt


Context: cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering

Context: inst✝¹ : TransCmp cmp✝

Context: x✝ : Sort ?u.2677

Context: cmp : x✝ → x✝ → Ordering

Context: inst✝ : TransCmp cmp

Context: x y z : x✝

Context: h₁ : ¬cmp x y = Ordering.lt

Context: h₂ : ¬cmp y z = Ordering.lt

Context: this : ¬cmp y z = Ordering.lt → ¬cmp x y = Ordering.lt → ¬cmp x z = Ordering.lt


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y y' : M

polar (⇑Q) x (y - y') = polar (⇑Q) x y - polar (⇑Q) x y'


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : Disjoint s t
hs : MeasurableSet s

μ.restrict (s ∪ t) = μ.restrict s + μ.restrict t


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝⁴ : Category.{u_15, u_5} C₁₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.187592, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝² : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q

Context: H : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃

Context: inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C

(insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id


Context: α : Type u_1

Context: C : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: hC : IsSetSemiring C

Context: hs : s ∈ C

Context: ht : t ∈ C

Context: h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id


Context: α : Type u_1

Context: C : Set (Set α)

Context: s t : Set α

Context: hC : IsSetSemiring C

Context: hs : s ∈ C

Context: ht : t ∈ C

Context: u : Set α

Context: hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ✝ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ✝

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f✝ f' : α → β → γ✝

Context: g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u✝ u' : Finset γ✝

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ✝

Context: γ : Type u_14

Context: u : Finset γ

Context: f : δ → γ → ε

Context: g : α → β → δ

Context: f₁ : α → γ → α'

Context: f₂ : β → γ → β'

Context: g' : α' → β' → ε

Context: h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)

image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑u) (image2 f₂ ↑t ↑u)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝² : SMul αᵐᵒᵖ β

Context: inst✝¹ : SMul β γ

Context: inst✝ : SMul α γ

Context: a : α

Context: s : Set β

Context: t : Set γ

Context: h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (op a • b) • c = b • a • c

Context: x✝ : γ


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝² : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: α : Type u_1

Context: x : α → Σˣ f

Context: i j : ι

Context: ij : i ≤ j

Context: h : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))

Context: a : α

(⇑(f i j ij) ∘ unify f x i h) a = unify f x j ⋯ a


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E

s / closedBall x δ = x⁻¹ • cthickening δ s


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = torsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q i})


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module R M

Context: s : Set R

Context: a : R

Context: ι : Type u_3

Context: p : ι → Ideal R

Context: S : Finset ι

Context: q : ι → R

Context: hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

(↑S).Pairwise fun i j => Ideal.span {q i} ⊔ Ideal.span {q j} = ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E

(convexHull 𝕜) s = ⋂ t, ⋂ (_ : s ⊆ t), ⋂ (_ : Convex 𝕜 t), t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g

frontier {b | f b ≤ g b} ⊆ {b | f b = g b}


{b | f b ≤ g b} ∩ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ ⊆ {b | f b = g b}


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
b : β
hb₁ : b ∈ {b | f b ≤ g b}
hb₂ : b ∈ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

CondIndepSet m' hm' s t μ ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a : α
b : αˣ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' d : 𝕜'

deriv (fun x => c x / d) x = deriv c x / d


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'

A₁ ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A₁


J.IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsSelfAdjoint A₁


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => x * c) ⁻¹' Ioc a b = Ico (b / c) (a / c)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ X

Context: inst✝ : HasContDiffBump E

Context: c✝ : E

Context: f✝ : ContDiffBump c✝

Context: x✝ : E

Context: n : ℕ∞

Context: c g : X → E

Context: s : Set X

Context: f : (x : X) → ContDiffBump (c x)

Context: x : X

Context: hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s x

Context: hr : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rIn) s x

Context: hR : ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => (f x).rOut) s x

Context: hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x

ContDiffWithinAt ℝ n (uncurry (someContDiffBumpBase E).toFun ∘ fun x => ((f x).rOut / (f x).rIn, (f x).rIn⁻¹ • (g x - c x))) s x


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ X

Context: inst✝ : HasContDiffBump E

Context: c✝ : E

Context: f✝ : ContDiffBump c✝

Context: x✝ : E

Context: n : ℕ∞

Context: c g : X → E

Context: s : Set X

Context: f : (x : X) → ContDiffBump (c x)

Context: x : X

Context: hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s x

Context: hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x

Ioi 1 ×ˢ univ ∈ 𝓝 ((f x).rOut / (f x).rIn, (f x).rIn⁻¹ • (g x - c x))


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ X

Context: inst✝ : HasContDiffBump E

Context: c✝ : E

Context: f✝ : ContDiffBump c✝

Context: x✝ : E

Context: n : ℕ∞

Context: c g : X → E

Context: s : Set X

Context: f : (x : X) → ContDiffBump (c x)

Context: x : X

Context: hc : ContDiffWithinAt ℝ n c s x

Context: hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x

ContDiffWithinAt ℝ n (fun x => ((f x).rOut / (f x).rIn, (f x).rIn⁻¹ • (g x - c x))) s x


Context:
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
hip : HasLiftingProperty i p


HasLiftingProperty (e.inv.left ≫ i ≫ e.hom.right) p


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''

CotangentSpace.map (g.comp f) = ↑S (CotangentSpace.map g) ∘ₗ CotangentSpace.map f


∀ (i : P.vars), (CotangentSpace.map (g.comp f)) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S (CotangentSpace.map g) ∘ₗ CotangentSpace.map f) (P.cotangentSpaceBasis i)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
i : P.vars

(CotangentSpace.map (g.comp f)) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S (CotangentSpace.map g) ∘ₗ CotangentSpace.map f) (P.cotangentSpaceBasis i)


1 ⊗ₜ[P''.Ring] (D R'' P''.Ring) ((aeval g.val) (f.val i)) = 1 ⊗ₜ[P''.Ring] (D R'' P''.Ring) (g.toAlgHom (f.val i))


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
x : n → R


star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x = star (star x) ⬝ᵥ M *ᵥ star x


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : Submodule R M
x : ↥p

map p.subtype (span R {x}) = span R {↑x}


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
g : G
K : Compacts G

prehaar (↑K₀) U (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = prehaar (↑K₀) U K


Context: X : Type w

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UCompactlyGeneratedSpace X

Context: Y : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a x : α

x ∈ mulSupport (s.mulIndicator f) ↔ x ∈ s ∩ mulSupport f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
a b : R
u : Rˣ
hu : ↑u = a + b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
a b : R
u : Rˣ
hu : ↑u⁻¹ * a + ↑u⁻¹ * b = 1


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : FinEnum α

(List.map (⇑equiv.symm) (List.finRange (card α))).Nodup


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M₁ i

f (update (c • m) i x) = c ^ (Fintype.card ι - 1) • f (update m i x)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁸ : CommSemiring R

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M₁ i

Context: this : f ((Finset.univ.erase i).piecewise (c • update m i x) (update m i x)) = (∏ _i ∈ Finset.univ.erase i, c) • f (update m i x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
s : Set α
r : α → α → Prop

(Pairwise fun x y => r ↑x ↑y) ↔ s.Pairwise r


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ

(expand 1) (X f) = (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) (X f)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)

↑(sInf S).toSubfield = ↑(sInf (toSubfield '' S))


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hbc : b ≤ c

filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a b


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R

coeff m (X s * p) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0


(if Finsupp.single s 1 ≤ m then 1 * coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommMonoid α
a : α


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f : X → ↑F X

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: x y : F.M

Context: H : ∀ (ps : Path F), iselect ps x = iselect ps y


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f : X → ↑F X

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: x y : F.M


Context:
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(bind₁ onePoly) (wittPolynomial p ℤ n) = 1


(bind₁ onePoly) (C (↑p ^ 0) * X 0 ^ p ^ (n - 0)) = 1


∀ b ∈ Finset.range (n + 1), b ≠ 0 → (bind₁ onePoly) (C (↑p ^ b) * X b ^ p ^ (n - b)) = 0


0 ∉ Finset.range (n + 1) → (bind₁ onePoly) (C (↑p ^ 0) * X 0 ^ p ^ (n - 0)) = 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : α✝ → Type u_2

Context: α : Type u_3


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

(β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X).hom = (ρ_ X).hom


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
g f' : R[X]
hf : (g * f').Separable


Context:
r : ℝ
hr : r < 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharP R n
I : Ideal R

CharP (R ⧸ I) n ↔ ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharP R n
I : Ideal R
x✝ : CharP (R ⧸ I) n
x : ℕ
hx : ↑x ∈ I


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : CommGroupWithZero G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousDiv G
b : G
hb : b ≠ 0
c : G
f : α → G
l : Filter α

Tendsto (fun x => f x / b) l (𝓝 (c / b)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Div G✝

Context: inst✝³ : ContinuousDiv G✝

Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : CommGroupWithZero G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : ContinuousDiv G

Context: b : G

Context: hb : b ≠ 0

Context: c : G

Context: f : α → G

Context: l : Filter α

Context: h : Tendsto (fun x => f x / b) l (𝓝 (c / b))


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y + ↑n ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∀ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∃ᶠ (x : α) in f, q x


Context:
n : ℕ
α : Type u
f : Fin n → α
r : α → α → Prop

Sorted r (ofFn f) ↔ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f


(∀ (i j : Fin (ofFn f).length), i < j → r (f (Fin.cast ⋯ i)) (f (Fin.cast ⋯ j))) ↔ ∀ ⦃a b : Fin n⦄, a < b → r (f a) (f b)


Context:
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b
hc : c' < c

a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < a ⨳ (b ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')


b ⨳ c ⨳ a' ♯ b' ⨳ c ⨳ a ♯ b ⨳ c' ⨳ a ♯ b' ⨳ c' ⨳ a' < b ⨳ c ⨳ a ♯ b' ⨳ c ⨳ a' ♯ b ⨳ c' ⨳ a' ♯ b' ⨳ c' ⨳ a


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I

∀ᶠ (t : Finset (ι × ℝ)) in atTop, π ⊓ splitMany I t = (splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I J : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: π : Prepartition I

Context: t : Finset (ι × ℝ)

Context: ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J

π ⊓ splitMany I t = (splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: π : Prepartition I

Context: t : Finset (ι × ℝ)

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ π

(splitMany I t).restrict J ≤ ((splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion).restrict J


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: I J✝ : Box ι

Context: i : ι

Context: x : ℝ

Context: inst✝ : Finite ι

Context: π : Prepartition I

Context: t : Finset (ι × ℝ)

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ (splitMany I t).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion


Context: G' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : AddGroup G'

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G'

Context: inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G'

Context: μ' : Measure G'

Context: Γ' : AddSubgroup G'

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')

Context: inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')

Context: 𝓕' : Set G'

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ K

Context: inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant

Context: f : G' → K

Context: f_ℒ_1 : Integrable f μ'

Context: g : G' ⧸ Γ' → K

Context: hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))

Context: g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')) ≠ ⊤

Context: F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))

Context: h𝓕 : IsAddFundamentalDomain (↥Γ'.op) 𝓕' μ'

Context: π : G' → G' ⧸ Γ' := mk

∫ (x : G'), g ↑x * f x ∂μ' = ∫ (x : G' ⧸ Γ'), g x * automorphize f x ∂Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')


Context: G' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : AddGroup G'

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G'

Context: inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G'

Context: μ' : Measure G'

Context: Γ' : AddSubgroup G'

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')

Context: inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')

Context: 𝓕' : Set G'

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ K

Context: inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant

Context: f : G' → K

Context: f_ℒ_1 : Integrable f μ'

Context: g : G' ⧸ Γ' → K

Context: π : G' → G' ⧸ Γ' := mk

Context: meas_π : Measurable π


Context: G' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : AddGroup G'

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G'

Context: inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G'

Context: μ' : Measure G'

Context: Γ' : AddSubgroup G'

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')

Context: inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')

Context: 𝓕' : Set G'

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ K

Context: inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant

Context: f : G' → K

Context: f_ℒ_1 : Integrable f μ'

Context: g : G' ⧸ Γ' → K

Context: π : G' → G' ⧸ Γ' := mk

Context: meas_π : Measurable π

Context: H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f


Context: G' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : AddGroup G'

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G'

Context: inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G'

Context: μ' : Measure G'

Context: Γ' : AddSubgroup G'

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')

Context: inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')

Context: 𝓕' : Set G'

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ K

Context: inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant

Context: f : G' → K

Context: f_ℒ_1 : Integrable f μ'

Context: g : G' ⧸ Γ' → K

Context: π : G' → G' ⧸ Γ' := mk

Context: meas_π : Measurable π

∫ (x : G'), g (π x) * f x ∂μ' = ∫ (x : G' ⧸ Γ'), automorphize (g ∘ π * f) x ∂Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕')


Context: G' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : AddGroup G'

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G'

Context: inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G'

Context: μ' : Measure G'

Context: Γ' : AddSubgroup G'

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')

Context: inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')

Context: 𝓕' : Set G'

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ K

Context: inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant

Context: f : G' → K

Context: f_ℒ_1 : Integrable f μ'

Context: g : G' ⧸ Γ' → K

Context: π : G' → G' ⧸ Γ' := mk

Context: meas_π : Measurable π

Context: H₁ : Integrable (g ∘ π * f) μ'


Context: G' : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : AddGroup G'

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace G'

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace G'

Context: inst✝⁷ : TopologicalAddGroup G'

Context: inst✝⁶ : BorelSpace G'

Context: μ' : Measure G'

Context: Γ' : AddSubgroup G'

Context: inst✝⁵ : Countable ↥Γ'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace (G' ⧸ Γ')

Context: inst✝³ : BorelSpace (G' ⧸ Γ')

Context: 𝓕' : Set G'

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : NormedField K

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ K

Context: inst✝ : μ'.IsAddRightInvariant

Context: f : G' → K

Context: f_ℒ_1 : Integrable f μ'

Context: g : G' ⧸ Γ' → K

Context: π : G' → G' ⧸ Γ' := mk

Context: meas_π : Measurable π

Context: H₁ : Integrable (g ∘ π * f) μ'

Context: H₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize (g ∘ π * f)) (Measure.map mk (μ'.restrict 𝓕'))


Context:
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0

n₁ /. ↑d₁ + n₂ /. ↑d₂ + n₃ /. ↑d₃ = n₁ /. ↑d₁ + (n₂ /. ↑d₂ + n₃ /. ↑d₃)


((n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁) * ↑d₃ + n₃ * (↑d₁ * ↑d₂)) /. (↑d₁ * ↑d₂ * ↑d₃) = (n₁ * (↑d₂ * ↑d₃) + (n₂ * ↑d₃ + n₃ * ↑d₂) * ↑d₁) /. (↑d₁ * (↑d₂ * ↑d₃))


(n₁ * (↑d₂ * ↑d₃) + (n₂ * ↑d₁ * ↑d₃ + n₃ * (↑d₁ * ↑d₂))) /. (↑d₁ * (↑d₂ * ↑d₃)) = (n₁ * (↑d₂ * ↑d₃) + (n₂ * ↑d₃ * ↑d₁ + n₃ * ↑d₂ * ↑d₁)) /. (↑d₁ * (↑d₂ * ↑d₃))


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
h : Disjoint s t

G.edgeDensity s t + Gᶜ.edgeDensity s t = 1


↑(G.interedges s t).card + ↑(Gᶜ.interedges s t).card = ↑s.card * ↑t.card


Context:
R : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
α : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : AddGroup α
inst✝⁵ : Monoid γ
inst✝⁴ : MulAction γ α
inst✝³ : SMul R γ
inst✝² : SMul R α
inst✝¹ : IsScalarTower R γ α
inst✝ : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α
r : R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → f i * g j + f j * g i ≤ f i * g i + f j * g j


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝ : W.FunctorsInverting D
τ : X✝ ⟶ Y✝

W.Q ⋙ (fun G => lift G.obj ⋯) X✝ = X✝.obj


Y✝.obj = W.Q ⋙ (fun G => lift G.obj ⋯) Y✝


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.FunctorsInverting D

𝟙 W.Q ◫ { obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map (𝟙 G) = 𝟙 W.Q ◫ 𝟙 ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.obj G)


eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 G ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 W.Q ◫ 𝟙 ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.obj G)


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.FunctorsInverting D
X : C

(eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 G ≫ eqToHom ⋯).app X = (𝟙 W.Q ◫ 𝟙 ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.obj G)).app X


(𝟙 G).app X = 𝟙 ((lift G.obj ⋯).obj (W.Q.obj X))


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝ Z✝ : W.FunctorsInverting D
τ₁ : X✝ ⟶ Y✝
τ₂ : Y✝ ⟶ Z✝
X : C

(𝟙 W.Q ◫ { obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map (τ₁ ≫ τ₂)).app X = (𝟙 W.Q ◫ ({ obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map τ₁ ≫ { obj := fun G => lift G.obj ⋯, map := fun {X Y} τ => natTransExtension (eqToHom ⋯ ≫ τ ≫ eqToHom ⋯) }.map τ₂)).app X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
hs : IsLowerSet s

Disjoint s ↑(upperClosure t) ↔ Disjoint s t


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : RCLike 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊


∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ * ↑‖x‖₊ ∂μ = (∫⁻ (a : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊ ∂μ) * ↑‖x‖₊


Measurable fun a => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a‖₊


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
r : k

ρ.asAlgebraHom (Finsupp.single g r) = r • ρ g


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : f ∘ₗ g = id


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : f ∘ₗ g = id
x : F

ContinuousAt (fun y => g (y - f x) + x) (f x)


Context:
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : F →ₗ[𝕜] E
hf : Function.Surjective ⇑f
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : f ∘ₗ g = id
x : F
y : E


Context:
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i


(∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x) ↔ ∃ y, f i y = x


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : LaxMonoidalFunctor V W
G : MonCat
g : ↑G


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: X₁ X₂ S : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ S

Context: f₂ : X₂ ⟶ S

Context: inst✝¹ : HasPullback f₁ f₂

Context: inst✝ : PreservesLimit (cospan f₁ f₂) (forget C)

Context: x : (forget C).obj (pullback f₁ f₂)

∃ x₁ x₂, ∃ (h : f₁ x₁ = f₂ x₂), x = pullbackMk f₁ f₂ x₁ x₂ h


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : ConcreteCategory C

Context: X₁ X₂ S : C

Context: f₁ : X₁ ⟶ S

Context: f₂ : X₂ ⟶ S

Context: inst✝¹ : HasPullback f₁ f₂

Context: x₁ : (forget C).obj X₁

Context: x₂ : (forget C).obj X₂

Context: h : f₁ (x₁, x₂).1 = f₂ (x₁, x₂).2

∃ x₁_1 x₂_1, ∃ (h_1 : f₁ x₁_1 = f₂ x₂_1), (pullbackEquiv f₁ f₂).symm ⟨(x₁, x₂), h⟩ = pullbackMk f₁ f₂ x₁_1 x₂_1 h_1


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0

Context: h : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r * ‖f n‖ ≤ ‖f (n + 1)‖


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0

Context: h : ∃ a, ∀ b ≥ a, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
r : ℝ
hr : 1 < r
hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖
N : ℕ
hNN₀ : N₀ ≤ N
hN : ‖f N‖ ≠ 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖

Context: N : ℕ

Context: hNN₀ : N₀ ≤ N

Context: hN : ‖f N‖ ≠ 0

Context: h' : Tendsto (fun n => f (n + N)) atTop (𝓝 0)

Tendsto ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => f (n + N)) atTop atTop


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖

Context: N : ℕ

Context: hNN₀ : N₀ ≤ N

Context: hN : ‖f N‖ ≠ 0

0 < ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => f (n + N)) 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: f : ℕ → α

Context: r : ℝ

Context: hr : 1 < r

Context: hf : ∀ (a : ℕ), ∃ b ≥ a, ‖f b‖ ≠ 0

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∀ b ≥ N₀, r * ‖f b‖ ≤ ‖f (b + 1)‖

Context: N : ℕ

Context: hNN₀ : N₀ ≤ N

Context: hN : ‖f N‖ ≠ 0

∀ (n : ℕ), r * ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => f (n + N)) n ≤ ((fun a => ‖a‖) ∘ fun n => f (n + N)) (n + 1)


Context:
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty β
f : β → α
hf : Continuous f
hlim : Tendsto f (cocompact β) atTop
inhabited_h : Inhabited β


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.438256, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: X Y : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)

Context: f : { as := X } ⟶ { as := Y }

∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles C


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.438256, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Preadditive C

Context: inst✝⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝³ : HasBinaryBiproducts C

Context: inst✝² : Preadditive D

Context: inst✝¹ : HasZeroObject D

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts D

Context: K L : CochainComplex C ℤ

Context: φ : K ⟶ L

Context: f : X ⟶ Y

∃ Z g h, Triangle.mk ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map f) g h ∈ distinguishedTriangles C


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: k2nl : 2 * n - k < n := lt_of_add_lt_add_right (let_fun this := Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (tsub_add_cancel_of_le k2n))) (Eq.mpr (id (congrArg (fun _a => _a < n + k) (two_mul n))) (add_lt_add_left kn n)); this)

↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n

xn a1 k % xn a1 n = xn a1 n - xn a1 (2 * n - k)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n

xn a1 k % xn a1 n = (xn a1 n - xn a1 (2 * n - k)) % xn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n

xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n - xn a1 (2 * n - k) + xn a1 (2 * n - k) [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n

xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ xn a1 n [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n

Context: t : xn a1 (2 * n - (2 * n - k)) + xn a1 (2 * n - k) ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: k : ℕ

Context: kn : k > n

Context: k2n : k ≤ 2 * n

Context: xle : xn a1 (2 * n - k) ≤ xn a1 n

Context: t : xn a1 k + xn a1 (2 * n - k) ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → ↑(xn a1 k % xn a1 n) = ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (2 * n - k))

Context: ij : i < n + 1

Context: j2n : n + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : n + 1 ≠ n

Context: ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ n + 1 = 2)

Context: o : n = n ∨ n < n

↑(xn a1 i % xn a1 n) < ↑(xn a1 (n + 1) % xn a1 n)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: ij : i < n + 1

Context: j2n : n + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : n + 1 ≠ n

Context: o : n = n ∨ n < n

↑(xn a1 i % xn a1 n) < ↑(xn a1 n) - ↑(xn a1 (n - 1))


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: ij : i < n + 1

Context: j2n : n + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : n + 1 ≠ n

Context: o : n = n ∨ n < n

xn a1 (n - 1) + xn a1 i % xn a1 n < xn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: ij : i < n + 1

Context: j2n : n + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : n + 1 ≠ n

Context: o : n = n ∨ n < n

Context: lin : i < n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: ij : i < n + 1

Context: j2n : n + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : n + 1 ≠ n

Context: o : n = n ∨ n < n

Context: ein : i = n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: o : j = n ∨ n < j

Context: jn : j > n

Context: lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n

↑(xn a1 j % xn a1 n) < ↑(xn a1 (j + 1) % xn a1 n)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: i n : ℕ

Context: npos : 0 < n

Context: j : ℕ

Context: ij : i < j + 1

Context: j2n : j + 1 ≤ 2 * n

Context: jnn : j + 1 ≠ n

Context: o : j = n ∨ n < j

Context: jn : j > n


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
hx : x ≠ 0

↑(o.rotation θ).toLinearEquiv = (Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos]


∀ (i : Fin 2), ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i) = ((Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos]) ((o.basisRightAngleRotation x hx) i)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x y : K

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: h : v (x - y) < min (↑γ * (v y * v y)) (v y)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x y : K

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x y : K

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)

Context: hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x y : K

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)

Context: hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ

Context: hyp2 : v (x - y) < v y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x y : K

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)

Context: hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ

Context: hyp2 : v (x - y) < v y

Context: key : v x = v y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x y : K

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)

Context: hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ

Context: hyp2 : v (x - y) < v y

Context: key : v x = v y

Context: x_ne : x ≠ 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x y : K

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: hyp1 : v (x - y) < ↑γ * (v y * v y)

Context: hyp1' : v (x - y) * (v y * v y)⁻¹ < ↑γ

Context: hyp2 : v (x - y) < v y

Context: key : v x = v y

Context: x_ne : x ≠ 0

Context: decomp : x⁻¹ - y⁻¹ = x⁻¹ * (y - x) * y⁻¹


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝² : DecidableEq α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : (x : α) → Decidable ¬p x

(filter p s).dens + (filter (fun a => ¬p a) s).dens = s.dens


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A


Context:
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0


Context: z : ℍ

Context: x : Fin 2 → ℤ

Context: hx : x ≠ 0

Context: H0 : max (x 0).natAbs (x 1).natAbs = (x 0).natAbs


Context: z : ℍ

Context: x : Fin 2 → ℤ

Context: hx : x ≠ 0

Context: H1 : max (x 0).natAbs (x 1).natAbs = (x 1).natAbs


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l l' : Filter α✝
α : Type u_17
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
f : α → E
g : α → F

f =O[atTop] g ↔ ∀ᶠ (n₀ : α) in atTop, ∃ c, ∀ n ≥ n₀, ‖f n‖ ≤ c * ‖g n‖


Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: P : Sort v

Context: p q : K[X]

Context: f : K[X] → K[X] → P

Context: f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1

Context: H' : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ≠ 0 → q' ≠ 0 → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'

Context: H : optParam (∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q') ⋯

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).liftOn f H = f p q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f✝ f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
f : Finset α → β

collapse 𝒜 a f s = (if s ∈ 𝒜 then f s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f (insert a s) else 0


∑ t ∈ if s ∈ 𝒜 then if insert a s ∈ 𝒜 then {s, insert a s} else {s} else if insert a s ∈ 𝒜 then {insert a s} else ∅, f t = (if s ∈ 𝒜 then f s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f (insert a s) else 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : AddGroup β
inst✝² : DistribMulAction α β
inst✝¹ : IsScalarTower α β β
inst✝ : SMulCommClass α β β
r : α
a : β

IsUnit (r • 1 - a) ↔ IsUnit (1 - r⁻¹ • a)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N

Context: hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx

Context: v : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: fx : N

((foldr'Aux Q f) v) (((foldr'Aux Q f) v) (x, fx)) = Q v • (x, fx)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: v : M

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: fx : N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G

condexpIndL1 hm μ (s ∪ t) x = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ t x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : μ (s ∪ t) ≠ ⊤


condexpIndL1Fin hm ⋯ hμst x = condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ ↔ f =ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: h_le : ∫ (a : α), f a ∂μ = ∫ (a : α), g a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r C : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

Context: hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: r C : ℝ

Context: hr : r < 1

Context: f : ℕ → α

Context: a : α

Context: ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ < a₂ ∨ b₁ ≤ b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0

↑(Fin.cast ⋯ (Fin.last (p.tail len_pos).length)).succ = ↑(Fin.last p.length)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n R
x✝¹ : m → R
x✝ : n

Mᵀ.mulVecLin x✝¹ x✝ = M.vecMulLinear x✝¹ x✝


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K

¬IsUnramified k w ↔ Nat.card ↥(Stab w) = 2


¬Nat.card ↥(Stab w) = 1 ↔ Nat.card ↥(Stab w) = 2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
s t : Subgroup α
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : α →* H
hf : Injective ⇑f


Context:
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s : ℕ → Set Ω


Context:
G✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace G✝
inst✝² : TopologicalGroup G✝
G : Type u_2
u : UniformSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniformGroup G


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c

Context: hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))

Context: hμ : ¬μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: this : (ae μ).NeBot


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: this : (ae μ).NeBot

Context: hc : 0 ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: this : (ae μ).NeBot

Context: hc : 0 ≤ c

Context: hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (x : α), ‖↑(fs n) x‖ ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hg : Integrable g μ

Context: c : ℝ

Context: hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c

Context: hμ : ¬μ = 0

Context: this✝ : (ae μ).NeBot

Context: hc : 0 ≤ c

Context: this : μ[f * μ[g|m]|m] = f * μ[g|m]


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g✝ : X ≅ Y
X✝ Y✝ : C
f g : X✝ ≅ Y✝
h : f.hom = g.hom


Context:
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
a : ↑(Y.presheaf.obj (op ⊤))


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
Z : C
f : M.X ⟶ Z

M.comul ≫ (f ⊗ M.counit) = f ≫ (ρ_ Z).inv


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
a b c d : WithBot α
x y : α
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : R
a : ⨂[R]^n M

(cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) a) = r • a


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Invertible 2

Context: Q : QuadraticMap R M R

Context: hB : Q.Anisotropic

Context: x : M

Context: hx : ∀ (y : M), ((associated' Q) x) y = 0


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
h : i ≠ j
c : R


Context:
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i < j


Context:
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i > j


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
a : A
r : R
ha : (aeval a) p = 0

(aeval ((algebraMap R A) r * a)) (p.scaleRoots r) = 0


∀ (s₁ s₂ : R), Commute ((algebraMap R A) s₁) ((algebraMap R A) s₂)


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

Continuous fun c i => if J i then c i else false


Context: I : Type u

Context: inst✝⁴ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: J K L : I → Prop

Context: inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)

Context: inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)

Context: inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)

∀ (i : I), Continuous fun a => if J i then a i else false


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω

(ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: ρ : Measure (α × Ω)

Context: inst✝² : IsFiniteMeasure ρ

Context: ρCond : Kernel α Ω

Context: inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass α

Context: x : α

Context: hx : ρ.fst {x} ≠ 0

Context: s : Set Ω

Context: this : (ρCond x) s = (comap (fun y => (x, y)) ((ρ.fst {x})⁻¹ • ρ)) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a₁ b₁ a₂ b₂ : CauSeq α abs
ha : a₁ ≈ a₂
hb : b₁ ≈ b₂
ε : α
ε0 : ε > 0
ai : ℕ
hai : ∀ j ≥ ai, |↑(a₁ - a₂) j| < ε
bi : ℕ
hbi : ∀ j ≥ bi, |↑(b₁ - b₂) j| < ε

∃ i, ∀ j ≥ i, |↑(a₁ ⊓ b₁ - a₂ ⊓ b₂) j| < ε


Context:
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p < i
hp : optParam (p ≠ last n) ⋯
hi : optParam (i ≠ 0) ⋯


Context: α β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.169944}

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

Context: H : ∀ (i : ι), f i < g i

Context: x✝ : sum f ≥ prod g

Context: F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)


Context: α β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.169944}

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

Context: H : ∀ (i : ι), f i < g i

Context: x✝ : sum f ≥ prod g

Context: this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))


Context: α β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.169944}

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

Context: H : ∀ (i : ι), f i < g i

Context: x✝ : sum f ≥ prod g

Context: G : (i : ι) × Quotient.out (f i) → (i : ι) → Quotient.out (g i) := invFun ⇑F


Context: α β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.169944}

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

Context: H : ∀ (i : ι), f i < g i

Context: x✝ : sum f ≥ prod g

Context: sG : Surjective G


Context: α β : Type u

Context: c : Cardinal.{?u.169944}

Context: ι : Type u_1

Context: f g : ι → Cardinal.{u_2}

Context: H : ∀ (i : ι), f i < g i

Context: x✝ : sum f ≥ prod g

Context: sG : Surjective G

Context: C : (i : ι) → Quotient.out (g i)

Context: hc : ∀ (i : ι) (a : Quotient.out (f i)), G ⟨i, a⟩ i ≠ C i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

Codisjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∉ s → a ∈ t


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π


x = 0 ∨ y = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = π


Context: V : Type u_1

Context: V' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'

Context: inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)

Context: o : Orientation ℝ V (Fin 2)

Context: x y : V

Context: h : o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π

Context: hx : ¬x = 0

Context: hy : ¬y = 0


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f₁ : ι → κ

Context: f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)

Context: h₁ : Injective f₁

Inducing (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), Inducing (f₂ i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℤ

f a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n


Context:
u✝ u : XgcdType
h : u.r = 0

(if x : u.r = 0 then u.finish else u.step.reduce.flip) = u.finish


Context:
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hl : (↑l.toFinset).Pairwise r
hn : l.Nodup


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hl : {a | a ∈ l}.Pairwise r
hn : l.Nodup


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite

∃ M' N', Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


∀ {a : M ⊗[R] N} {s : Set (M ⊗[R] N)}, a ∉ s → s.Finite → (∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))) → ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert a s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s✝ : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s✝.Finite

Context: a : M ⊗[R] N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: M' : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: hM' : M'.FG

Context: hN' : N'.FG

Context: h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))

∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert a s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s✝ : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s✝.Finite

Context: a : M ⊗[R] N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: M' : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: hM' : M'.FG

Context: hN' : N'.FG

∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert 0 s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s✝ : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s✝.Finite

Context: a : M ⊗[R] N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: M' : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: hM' : M'.FG

Context: hN' : N'.FG

Context: x : M

Context: y : N

∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x ⊗ₜ[R] y) s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M

Context: inst✝² : AddCommMonoid N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: M₁ M₂ : Submodule R M

Context: N₁ N₂ : Submodule R N

Context: s✝ : Set (M ⊗[R] N)

Context: hs : s✝.Finite

Context: a : M ⊗[R] N

Context: s : Set (M ⊗[R] N)

Context: M' : Submodule R M

Context: N' : Submodule R N

Context: hM' : M'.FG

Context: hN' : N'.FG

Context: x y : M ⊗[R] N

Context: hx : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert x s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))

Context: hy : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert y s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))

∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x + y) s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))


Context:
z : ℂ
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1

(C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree ≤ 3


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (X ^ 0 - C a)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (C (1 - a))


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)

s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α) ↔ ∃ t ∈ 𝓤 α, ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s


Context: α : Type u

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: t : Set (α × α)

Context: _h : t ∈ 𝓤 α

gen t ⊆ s ↔ ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: c : F

Context: h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C


𝟙_ C ◁ 𝟙 (𝟙_ C) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (ρ_ (𝟙_ C)).hom


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x


DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: h : ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: f' : E → E →L[𝕜] F

Context: h1 : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s

Context: h2 : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: f' : E → E →L[𝕜] F

Context: h1 : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
b : Basis m R S
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G S
inst✝¹ : SMulCommClass G R S
inst✝ : SMulCommClass G S S
g : G
x : S
i✝ j✝ : m

(leftMulMatrix (g • b)) x i✝ j✝ = (leftMulMatrix b) x i✝ j✝


Context:
D : GlueData
i₁ i₂ : D.J
x✝ : (fun x x => PUnit.{u + 1}) i₁ i₂

(fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂) i₁ i₂ x✝ ≫ D.ι i₁ = (fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁) i₁ i₂ x✝ ≫ D.ι i₂


Context: D : GlueData

{ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₀ ∈ zariskiTopology.sieves D.glued


Context: D : GlueData

Sieve.generate (Presieve.ofArrows D.openCover.obj D.openCover.map) ≤ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₀


Context: D : GlueData

Presieve.ofArrows D.openCover.obj D.openCover.map ≤ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₀.arrows


Context: D : GlueData

Context: i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀

Context: W : Scheme

Context: p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁

Context: p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂

Context: fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂

{ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂ ∈ zariskiTopology.sieves W


Context: D : GlueData

Context: W : Scheme

Context: T : Scheme

Context: g : T ⟶ W

Context: x✝ : ⊤.arrows g

({ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂).arrows g


Context: D : GlueData

Context: W : Scheme

Context: T : Scheme

Context: g : T ⟶ W

Context: x✝ : ⊤.arrows g

Context: φ : T ⟶ (D.vPullbackCone i₁ i₂).pt

Context: h₁ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).fst = g ≫ p₁

Context: h₂ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).snd = g ≫ p₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0

Context: j : ι

⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i, f j⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0

Context: j : ι

f j ∈ (span 𝕜 {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i})ᗮ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0

Context: j : ι

span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' Set.Iic j) ⟂ span 𝕜 {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0

Context: j : ι

∀ ⦃u : E⦄, u ∈ gramSchmidtNormed 𝕜 f '' Set.Iic j → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i} → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0

Context: j k : ι

Context: left✝ : k ∈ Set.Iic j

Context: hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0

⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0

Context: j k : ι

Context: left✝ : k ∈ Set.Iic j

Context: hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0

⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : LinearOrder ι

Context: inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι

Context: f✝ f : ι → E

Context: i : ι

Context: hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0

Context: j k : ι

Context: left✝ : k ∈ Set.Iic j

Context: hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0

Context: this : k ≠ i


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂


h.equiv (h.equiv.symm ((f x₁) x₂)) = h.equiv (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

hausdorffEdist s u ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u


(⨆ x ∈ s, infEdist x u) ⊔ ⨆ y ∈ u, infEdist y s ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u


(∀ i ∈ s, infEdist i u ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u) ∧ ∀ i ∈ u, infEdist i s ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).fst = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).fst


F.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).snd = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).snd


((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).inl ≫ F.map f.hom = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).inl


((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).inr ≫ F.map f.hom = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).inr


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 = ↑s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

Context: h₁ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

Context: h₂ : x ^ 2 ≤ ((∑ i ∈ s, (f i - (∑ j ∈ t, f j) / ↑t.card)) / ↑s.card) ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: ι : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : ι → ι → Prop

Context: inst✝ : DecidableRel r

Context: s t : Finset ι

Context: x : 𝕜

Context: hst : s ⊆ t

Context: f : ι → 𝕜

Context: d : 𝕜

Context: hx : 0 ≤ x

Context: ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2

Context: hscard : 0 < ↑s.card

Context: htcard : 0 < ↑t.card

((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2 + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card