Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R R' S'

Context: T : Finset S

Context: hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤

Context: y : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ ↑M

Context: H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

Context: f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯

Context: this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R R' S'

Context: fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯

Context: T : Finset S

Context: hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤

Context: y : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ ↑M

Context: hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)

IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = IsLocalization.mk' R' 1 ⟨r, hr⟩ • (algebraMap S S') y


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R R' S'

Context: T : Finset S

Context: hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤

Context: y : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ ↑M

IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = (algebraMap R' S') (IsLocalization.mk' R' 1 ⟨r, hr⟩) * (algebraMap S S') y


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R'✝ S'✝ : Type u

Context: inst✝¹¹ : CommRing R'✝

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S'✝

Context: f✝ : R✝ →+* S✝

Context: inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝

Context: inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝

Context: R S : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: M : Submonoid R

Context: R' S' : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: inst✝³ : Algebra R R'

Context: inst✝² : Algebra S S'

Context: inst✝¹ : IsLocalization M R'

Context: hf : f.FiniteType

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R R' S'

Context: T : Finset S

Context: hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤

Context: y : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ ↑M

IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = IsLocalization.mk' S' (f 1) ⟨f ↑⟨r, hr⟩, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : Subsingleton G


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0

Context: hlc : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p q : R[X]

Context: hq : q.Monic

Context: h : q.degree ≤ p.degree

Context: a✝ : Nontrivial R

Context: hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0

Context: hmod : (p %ₘ q).degree < (q * (p /ₘ q)).degree


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.IsLeftInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsLeftDescent w i


Context:
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M


closure ↑s = Set.univ ↔ ↑s.topologicalClosure = ↑⊤


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: v : ι → E

Context: hv : Orthonormal 𝕜 v

Context: hsp : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure

⨆ i, LinearMap.range (LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯).toLinearMap = span 𝕜 (Set.range v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β

Integrable f Measure.count ↔ Summable fun x => ‖f x‖


(Summable fun x => ‖f x‖) → AEStronglyMeasurable f Measure.count


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
this✝ : MeasurableSpace β := borel β
this : BorelSpace β


∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.count, f x ∈ t


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)

Context: M N P : SheafOfModules R

Context: σ : M.GeneratingSections

Context: p : M ⟶ N

Context: inst✝ : Epi p

Epi (N.freeHomEquiv.symm fun i => sectionsMap p (σ.s i))


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: inst✝³ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: M N P : SheafOfModules R

Context: σ : M.GeneratingSections

Context: p : M ⟶ N

Context: inst✝ : Epi p


Context: a x z✝ z : ℂ


Context:
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

(fun x => rexp (-b * x ^ p)) =o[atTop] fun x => rexp (-x)


Context:
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

Tendsto (fun x => -x - -b * x ^ p) atTop atTop


Context:
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

Tendsto (fun x => x * (b * x ^ (p - 1) + -1)) atTop atTop


Context:
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

Tendsto (fun x => b * x ^ (p - 1) + -1) atTop atTop


Context:
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

Tendsto (fun x => b * x ^ (p - 1)) atTop atTop


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: N O : Submodule R M

Context: b : Basis ι R ↥O

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N

Context: inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal

Context: hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: N O : Submodule R M

Context: b : Basis ι R ↥O

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: N O : Submodule R M

Context: b : Basis ι R ↥O

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: N O : Submodule R M

Context: b : Basis ι R ↥O

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

Context: i : ι


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: N O : Submodule R M

Context: b : Basis ι R ↥O

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬⊥ < ψ.submoduleImage N

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

Context: i : ι


Context: R : Type u

Context: M : Type v

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: ι : Type u_1

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: N O : Submodule R M

Context: b : Basis ι R ↥O

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: x : M

Context: hx : x ∈ N

Context: i : ι

(b.repr ⟨x, ⋯⟩) i ∈ (Finsupp.lapply i ∘ₗ ↑b.repr).submoduleImage N


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
hM : M.IsMatching
hM' : M'.IsMatching
hd : Disjoint M.support M'.support
v : V
hv : v ∈ (M ⊔ M').verts


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v✝ w : V

Context: hM : M.IsMatching

Context: hM' : M'.IsMatching

Context: hd : Disjoint M.support M'.support

Context: v : V

Context: hv : v ∈ (M ⊔ M').verts

Context: aux : ∀ {N N' : G.Subgraph}, N.IsMatching → Disjoint N.support N'.support → v ∈ N.verts → ∃! w, (N ⊔ N').Adj v w


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommSemiring R₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : CommRing R₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₃
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_13
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
x y : M₂'

((((toBilin b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y = (((toBilin c) (Pᵀ * M * Q)) x) y


((((toLinearMap₂ b b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y = ((((toLinearMap₂ b b) M).compl₁₂ ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

(fun t => log t • f t) =O[atTop] fun x => x ^ (-b)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: ι₂ : Sort u_6

Context: κ : ι → Sort u_7

Context: κ₁ : ι → Sort u_8

Context: κ₂ : ι → Sort u_9

Context: κ' : ι' → Sort u_10

Context: p : ι' → Prop

Context: q : ι → ι' → Prop

Context: s : (x : ι) → (y : ι') → p y ∧ q x y → Set α

⋃ x, ⋃ y, ⋃ (h : p y ∧ q x y), s x y h = ⋃ y, ⋃ (hy : p y), ⋃ x, ⋃ (hx : q x y), s x y ⋯


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ g x

∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hf : IntervalIntegrable f μ a b

Context: hg : IntervalIntegrable g μ a b

Context: h : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ g x

Context: H : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x := fun x hx => h x (Ioc_subset_Icc_self hx)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: M'' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: r : R

Context: h : Function.Injective ⇑(DistribMulAction.toLinearMap R M r)

IsSMulRegular (M ⧸ N) r ↔ r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: M'' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M''

Context: inst✝ : Module R M''

Context: I : Ideal R

Context: N : Submodule R M

Context: r : R

map ((LinearMap.lsmul R M) r) ⊤ ⊓ N ≤ map ((LinearMap.lsmul R M) r) N ↔ r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: R : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: b : ι → M

Context: hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: A : Matrix ι ι R

Context: f : Module.End R M

Context: h : (PiToModule.fromMatrix R b) A = (PiToModule.fromEnd R b) f

Context: r : R

(PiToModule.fromMatrix R b) (r • A) = (PiToModule.fromEnd R b) (r • f)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
m : Multiset α
f f' : α → Multiset β
hf : ∀ a ∈ m, HEq (f a) (f' a)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
m : Multiset α
f f' : α → Multiset β
hf : ∀ a ∈ m, f a = f' a


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F E ℝ
inst✝³ : Group E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : GroupSeminorm E
x y : ℝ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w : R[X]
hzw : h.map w = z


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w : R[X]
hzw : f ∣ h.repr z - w


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w y : R[X]
hy : h.repr z - w = f * y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : BijOn f E N.E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B✝ I : Set α
h : BijOn f E N.E
B : Set α
hB : B ⊆ (N.comapOn E f)✶.E

(N.comapOn E f)✶.Base B ↔ (N✶.comapOn E f).Base B


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
u v : Fin 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
hκ : κ.Invariant μ


Context:
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Nonempty ι'

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: c : Cardinal.{v}

Context: this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Nonempty ι'

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: c : Cardinal.{v}


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Nonempty ι'

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: c : Cardinal.{v}

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Nonempty ι'

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: c : Cardinal.{v}

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)

Context: hs : ⨆ i, f i < ℵ₀


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Nonempty ι'

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: c : Cardinal.{v}

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)

Context: hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i


Context: ι : Type u

Context: ι' : Type w

Context: f : ι → Cardinal.{v}

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : Nonempty ι'

Context: hf : BddAbove (range f)

Context: c : Cardinal.{v}

Context: bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)

Context: hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i

⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i + c ∧ c ≤ ⨆ i, f i + c


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : G
ha : x✝¹ ∈ A
hb : x✝ ∈ B
k : x✝¹ ≠ a0 ∨ x✝ ≠ b0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : G
ha : x✝¹ ∈ A
hb : x✝ ∈ B
k : x✝¹ * x✝ = a0 * b0


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ

EMetric.diam (Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : b ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a < b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪x, v⟫_𝕜 = ⟪y, v⟫_𝕜


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Add R

Context: inst✝ : BoundedAdd R

Context: f g : X → R

Context: f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C

Context: g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C

∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Add R

Context: inst✝ : BoundedAdd R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f + Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f + Set.range g → dist x y ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Add R

Context: inst✝ : BoundedAdd R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C


Context: R : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace R

Context: inst✝¹ : Add R

Context: inst✝ : BoundedAdd R

Context: f g : X → R

Context: C : ℝ

Context: x y : X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 1

∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : MulOneClass M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: s : Set M

Context: hs : s ∈ 𝓝 1

Context: this : (fun a => a.1 * a.2) ⁻¹' s ∈ 𝓝 (1, 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f ≤ partialSups g


⨆ n, (partialSups f) n ≤ ⨆ n, (partialSups g) n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
inst✝ : Unique α
l : α →₀ R
v : α → M

(Finsupp.total α M R v) l = l default • v default


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
i : V

(adjMatrix α G * adjMatrix α G) i i = ↑(G.degree i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : Monoid α


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : Monoid α
x y : αˣ

{ toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun y


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ✝ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R

Context: n : ℕ

Context: hφ : φ.IsHomogeneous n

Context: i j : ℕ

Context: h : i + j = n

Context: d : Fin N →₀ ℕ

Context: hd : coeff d (((finSuccEquiv R N) φ).coeff i) ≠ 0


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0
h' : (weight 1) (cons i d) = i + j


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0
h' : (d.sum fun x e => e) = j


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s

∫ (x : α) in s, (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


∫ (x : α) in s, ↑↑(condexpL1 hm μ f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hK : IsCompact K
hμK : μ A < μ K + ε


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝⁸ : Semiring A

Context: inst✝⁷ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝⁵ : SetLike σ A

Context: inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ A

Context: 𝒜 : ι → σ

Context: inst✝³ : GradedRing 𝒜

Context: b : A

Context: n i : ι

Context: inst✝² : Sub ι

Context: inst✝¹ : OrderedSub ι

Context: inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : i ≤ n

Context: a : ↥(𝒜 i)

↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) n) = ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) (n - i))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F✝ : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F✝

Context: A B : C

Context: inst✝¹ : IsGalois A

Context: inst✝ : IsGalois B

Context: f : A ⟶ B

Context: σ : Aut B

Context: F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C

Context: a : ↑(F.obj A)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F✝ : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F✝

Context: A B : C

Context: inst✝¹ : IsGalois A

Context: inst✝ : IsGalois B

Context: f : A ⟶ B

Context: σ : Aut B

Context: a a' : ↑(F.obj A)

Context: ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F✝ : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F✝

Context: A B : C

Context: inst✝¹ : IsGalois A

Context: inst✝ : IsGalois B

Context: f : A ⟶ B

Context: σ : Aut B

Context: a a' : ↑(F.obj A)

Context: τ : Aut A

Context: hτ : F.map τ.hom a = a'


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F✝ : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F✝

Context: A B : C

Context: inst✝¹ : IsGalois A

Context: inst✝ : IsGalois B

Context: f : A ⟶ B

Context: σ : Aut B

Context: a a' : ↑(F.obj A)

Context: τ : Aut A

Context: hτ : F.map τ.hom a = a'

(fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f τ) = (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) σ


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
hf : ContinuousAt f x


Context:
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
hf : ContinuousWithinAt f univ x


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S✝ : Set (Set α)
f : ι → Set α
S : Set (Set α)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X

Context: inst✝ : Mono u

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X

Context: x : ↑(F.obj X)

F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdProj u x) a = x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F

Context: X A : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: inst✝ : Mono u

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: x : ↑(F.obj X)

F.map (Pi.π (fun x => X) x) (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X) = x


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁ : a < ω ^ b
h₂ : ω ^ b ≤ c


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G X

Context: inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝⁸ : BaireSpace X

Context: inst✝⁷ : T2Space X

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝⁵ : IsPretransitive G X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : BaireSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : ContinuousMul H

Context: f : G →* H

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h'f : Continuous ⇑f

Context: A : MulAction G H := MulAction.compHom H f


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G X

Context: inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝⁸ : BaireSpace X

Context: inst✝⁷ : T2Space X

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝⁵ : IsPretransitive G X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : BaireSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : ContinuousMul H

Context: f : G →* H

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h'f : Continuous ⇑f

Context: this : ContinuousSMul G H


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G X

Context: inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝⁸ : BaireSpace X

Context: inst✝⁷ : T2Space X

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝⁵ : IsPretransitive G X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : BaireSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : ContinuousMul H

Context: f : G →* H

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h'f : Continuous ⇑f

Context: this✝ : ContinuousSMul G H

Context: this : IsPretransitive G H


Context: G : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹² : Group G

Context: inst✝¹¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹⁰ : MulAction G X

Context: inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G

Context: inst✝⁸ : BaireSpace X

Context: inst✝⁷ : T2Space X

Context: inst✝⁶ : ContinuousSMul G X

Context: inst✝⁵ : IsPretransitive G X

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : BaireSpace H

Context: inst✝¹ : T2Space H

Context: inst✝ : ContinuousMul H

Context: f : G →* H

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h'f : Continuous ⇑f

Context: this✝¹ : ContinuousSMul G H

Context: this✝ : IsPretransitive G H

Context: this : ⇑f = fun g => g • 1


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : δ < 1
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

|↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : δ < 1
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs : ∅ ⊆ s₁
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑∅.card

|↑(edgeDensity r ∅ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht : ∅ ⊆ t₁
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑∅.card

|↑(edgeDensity r s₂ ∅) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : α → β → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : Finset β

Context: a : α

Context: b : β

Context: δ : 𝕜

Context: hs : s₂ ⊆ s₁

Context: ht : t₂ ⊆ t₁

Context: hδ₀ : 0 ≤ δ

Context: hδ₁ : 0 < 1 - δ

Context: hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card

Context: ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

Context: hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Context: hs₂' : s₂.Nonempty

Context: ht₂' : t₂.Nonempty

Context: hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

↑|edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : α → β → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : Finset β

Context: a : α

Context: b : β

Context: δ : 𝕜

Context: hs : s₂ ⊆ s₁

Context: ht : t₂ ⊆ t₁

Context: hδ₀ : 0 ≤ δ

Context: hδ₁ : 0 < 1 - δ

Context: hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card

Context: ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

Context: hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Context: hs₂' : s₂.Nonempty

Context: ht₂' : t₂.Nonempty

↑(1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : α → β → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : Finset β

Context: a : α

Context: b : β

Context: δ : 𝕜

Context: hs : s₂ ⊆ s₁

Context: ht : t₂ ⊆ t₁

Context: hδ₀ : 0 ≤ δ

Context: hδ₁ : 0 < 1 - δ

Context: hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card

Context: ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

Context: hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Context: hs₂' : s₂.Nonempty

Context: ht₂' : t₂.Nonempty

1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : α → β → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : Finset β

Context: a : α

Context: b : β

Context: δ : 𝕜

Context: hs : s₂ ⊆ s₁

Context: ht : t₂ ⊆ t₁

Context: hδ₀ : 0 ≤ δ

Context: hδ₁ : 0 < 1 - δ

Context: hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card

Context: ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

Context: hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Context: hs₂' : s₂.Nonempty

Context: ht₂' : t₂.Nonempty

Context: h₁ : s₁.Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: κ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜

Context: r : α → β → Prop

Context: inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)

Context: s s₁ s₂ : Finset α

Context: t t₁ t₂ : Finset β

Context: a : α

Context: b : β

Context: δ : 𝕜

Context: hs : s₂ ⊆ s₁

Context: ht : t₂ ⊆ t₁

Context: hδ₀ : 0 ≤ δ

Context: hδ₁ : 0 < 1 - δ

Context: hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card

Context: ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

Context: hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Context: hs₂' : s₂.Nonempty

Context: ht₂' : t₂.Nonempty

Context: h₁ : s₁.Nonempty

Context: h₂ : t₁.Nonempty


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies

Context: inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies

Context: inst✝³ : F.EffectivelyEnough

Context: inst✝² : Precoherent D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: B₁ B₂ : C

Context: f : B₂ ⟶ B₁

Context: α : Type

Context: x✝¹ : Finite α

Context: X₁ : α → C

Context: π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁

Context: x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁

∃ β, ∃ (_ : Finite β), ∃ X₂ π₂, EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧ ∃ i ι, ∀ (b : β), ι b ≫ π₁ (i b) = π₂ b ≫ f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.EffectivelyEnough

Context: inst✝² : Precoherent D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: B₁ B₂ : C

Context: f : B₂ ⟶ B₁

Context: α : Type

Context: x✝¹ : Finite α

Context: X₁ : α → C

Context: π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁

Context: x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁

Context: β : Type

Context: w✝ : Finite β

Context: Y₂ : β → D

Context: τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂

Context: H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂

Context: i : β → α

Context: ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))

Context: hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.EffectivelyEnough

Context: inst✝² : Precoherent D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: B₁ B₂ : C

Context: f : B₂ ⟶ B₁

Context: α : Type

Context: x✝¹ : Finite α

Context: X₁ : α → C

Context: π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁

Context: x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁

Context: β : Type

Context: w✝ : Finite β

Context: Y₂ : β → D

Context: τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂

Context: H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂

Context: i : β → α

Context: ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))

EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj ⋯.some.p) fun a => F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ a) ≫ τ₂ a))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝³ : F.EffectivelyEnough

Context: inst✝² : Precoherent D

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: B₁ B₂ : C

Context: f : B₂ ⟶ B₁

Context: α : Type

Context: x✝¹ : Finite α

Context: X₁ : α → C

Context: π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁

Context: x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁

Context: β : Type

Context: w✝ : Finite β

Context: Y₂ : β → D

Context: τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂

Context: H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂

Context: i : β → α

Context: ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))

∀ (b : β), (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ ι b)) b ≫ π₁ (i b) = (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ τ₂ b)) b ≫ f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G

(t \ s).mulIndicator f = t.mulIndicator f / s.mulIndicator f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'

¬Disjoint l l' ↔ ¬∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Nonempty (G ≃g turanGraph (Fintype.card V) r)


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

∀ {a b : V}, (turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: a b : V

(turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: a b : V

↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: a b : V

Context: this : h.finpartition.part ↑⟨a, ⋯⟩ = h.finpartition.part ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: a b : V

Context: this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: a b : V

↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: a b : V

Context: c : r ≤ Fintype.card V


Context: V : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype V

Context: inst✝¹ : DecidableEq V

Context: G : SimpleGraph V

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: n r : ℕ

Context: s t u : V

Context: h✝ h : G.IsTuranMaximal r

Context: zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card

Context: a b : V

Context: c : Fintype.card V < r


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

LiouvilleWith p (↑r + x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α

a✝ ∈ f.support \ {x, y} → a✝ ∈ (swap x y * f).support


¬f a✝ = a✝ → ¬(a✝ = x ∨ a✝ = y) → ¬(swap x y) (f a✝) = a✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
ha : f a✝ ≠ a✝
hx : a✝ ≠ x
hy : a✝ ≠ y
H : (swap x y) (f a✝) = a✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
ha : f a✝ ≠ a✝
hx : a✝ ≠ x
hy : a✝ ≠ y
H : f a✝ = a✝


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v✝ : Vector α n
v : Vector α 1


scanl f b (v.head ::ᵥ v.tail) = b ::ᵥ f b (v.head ::ᵥ v.tail).head ::ᵥ nil


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X : Set α
M : Matroid α
B : Set α
h : B ⊆ M.E


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
v : V

Sbtw R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) (v +ᵥ z) ↔ Sbtw R x y z


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
p q : Submodule R Aᵐᵒᵖ

{ toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (p + q) = { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun p + { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun q


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α

f.SameCycle x y → (g * f * g⁻¹).SameCycle (g x) (g y)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_Lp : Memℒp f 1 μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_Lp : Memℒp f 1 μ

Context: f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_Lp : Memℒp f 1 μ

Context: hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_Lp : Memℒp f 1 μ

Context: hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f_Lp) s μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf_Lp : Memℒp f 1 μ

Context: hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp

∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f_Lp x ∂μ = 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a₁ a₂ : H
x✝¹ : a₁ ∈ f '' s
x✝ : a₂ ∈ f '' s
b₁ : G
hb₁ : b₁ ∈ s
eq₁ : f b₁ = a₁
b₂ : G
hb₂ : b₂ ∈ s
eq₂ : f b₂ = a₂


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a : H
x✝ : a ∈ f '' s
b : G
hb : b ∈ s
Eq : f b = a


Context:
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d


↑a / ↑b ≤ ↑c / ↑d ∧ ¬↑c / ↑d ≤ ↑a / ↑b ↔ a * d ≤ c * b ∧ ¬c * b ≤ a * d


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝² : OpensMeasurableSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
f : 𝕜 → F


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A B X X' Y Y' Z : C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : Exponentiable A

Context: I : C

Context: t : IsInitial I

Context: f : A ⟶ I

Context: this : Mono (prod.lift (𝟙 A) f ≫ (zeroMul t).hom)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this : Mono f


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this✝ : Mono f
this : IsSplitEpi f


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
x : R
h : optParam (LocalRing S) ⋯

(algebraMap R S) x ∉ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∉ I


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card


(A / C).card * B.card ≤ ((A / B) ×ˢ (B / C)).card * 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
x : α
hx : x ∈ A / C

B.card ≤ (bipartiteAbove (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) ((A / B) ×ˢ (B / C)) x).card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommGroup α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

Context: x : α × α

Context: x✝ : x ∈ (A / B) ×ˢ (B / C)

Context: a✝ b✝ : α

Context: hu : a✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x

Context: hv : b✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p s

EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U


(∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α ib}) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁


(∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁) → ∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
h' : ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
s : Set β
sl₂ : s ∈ l₂


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ✝
r : R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s

BijOn (⇑(swap a b)) s (insert b (s \ {a}))


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Set α
ha : a ∈ s
x : α
hb : x ∉ s
hx : x ∈ insert x (s \ {a})


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})
hxb : x ≠ b


Context:
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hxb : x ≠ b
hx : x ∈ s ∧ ¬x = a


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
ha'b : ⊥ ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨⊥, ha'b⟩


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
f : M →ₗ[R] N
h : SameRay R x y
hx : x = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
f : M →ₗ[R] N
h : SameRay R x y
hy : y = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid N

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝⁵ : DecidableEq ι

Context: x y z : M

Context: S : Type u_5

Context: inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S

Context: inst✝³ : Algebra S R

Context: inst✝² : Module S M

Context: inst✝¹ : SMulPosMono S R

Context: inst✝ : IsScalarTower S R M

Context: a : S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: h✝ : SameRay R x y

Context: x✝ : ∃ r₁ r₂, 0 < r₁ ∧ 0 < r₂ ∧ r₁ • x = r₂ • y

Context: r₁ r₂ : R

Context: hr₁ : 0 < r₁

Context: hr₂ : 0 < r₂

Context: h : r₁ • x = r₂ • y


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
hn : ¬n ∉ p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
hn✝ : ¬n ∉ p.degree
hn : p.degree = Option.some n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: r : R

Context: hr : v.intValuationDef r = ↑(ofAdd (-1))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: r : R

v.valuation ((algebraMap R K) r) = ↑(ofAdd (-1))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : IsDedekindDomain R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: r : R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeInf γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsGLB s b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α


∀ (x : Finset α), (∀ x_1 ∈ ↑s, x_1 ∈ x) → ∀ ⦃x_1 : α⦄, x_1 ∈ s → x_1 ∈ x


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α
n : ℕ


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p q : Submodule R M
x : M

x ∈ p ⊔ q ↔ x ∈ range (p.subtype.coprod q.subtype)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
f : α → β
g : α → Multiset β

∀ (a : α) (s : Multiset α), (s.bind fun a => f a ::ₘ g a) = map f s + s.bind g → ((a ::ₘ s).bind fun a => f a ::ₘ g a) = map f (a ::ₘ s) + (a ::ₘ s).bind g


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G H : D ⥤ E
α : G ⟶ H
X Y : C
f : X ⟶ Y

(F ⋙ G).map f ≫ (fun X => α.app (F.obj X)) Y = (fun X => α.app (F.obj X)) X ≫ (F ⋙ H).map f


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
V D : Set α
Vct : V.Countable
Dperf : Perfect D
VD : C = V ∪ D


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
t : IsSeparatedFor P R

(∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) → IsSheafFor P R


(∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) → IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f

factorThruImageSubobject f ≫ (imageSubobject f).arrow = f


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
x : α
h : x ∈ s

map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x : α
h : x ∈ 0

map f (erase 0 x) = (map f 0).erase (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: x y : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : x ∈ s → map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)

Context: h : x ∈ y ::ₘ s

map f ((y ::ₘ s).erase x) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: y : α

Context: s : Multiset α

Context: ih : y ∈ s → map f (s.erase y) = (map f s).erase (f y)

Context: h : y ∈ y ::ₘ s

map f ((y ::ₘ s).erase y) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f y)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: x y : α

Context: s : Multiset α

Context: h : x ∈ y ::ₘ s

Context: hxy : y ≠ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: x y : α

Context: s : Multiset α

Context: hxy : y ≠ x

Context: h : x ∈ s


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
n : σ →₀ ℕ
a : R

(map σ f) ((monomial R n) a) = (monomial S n) (f a)


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

x ⧏ y ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

((¬∀ (i : y.LeftMoves), y.moveLeft i ⧏ x) ∨ ¬∀ (j : x.RightMoves), y ⧏ x.moveRight j) ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y


Context:
s r : ℝ
hs : s < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1

x ∈ {x | (fun x => ((fun x => log x ^ r) ∘ fun x => x⁻¹) x = (fun x => |log x| ^ r) x) x}


Context:
s r : ℝ
hs : s < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0

((fun x => x ^ (-s)) ∘ fun x => x⁻¹) x = (fun x => x ^ s) x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h1 : a < 0
h2 : -1 < a
this : 1 / a < 1 / -1


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Finset α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K✝ H K : Subgroup G
h : H ≤ K
val✝ : G
property✝ : val✝ ∈ H

↑((inclusion h) ⟨val✝, property✝⟩) = ↑⟨val✝, property✝⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α

filter p s = filter q s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → (p a ↔ q a)


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α →ᵇ β
g : C(γ, α)


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module 𝕜₁ M₁

Context: inst✝¹ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: hf : IsCompactOperator ⇑f

Context: S : Set M₁

Context: hS : IsVonNBounded 𝕜₁ S

Context: K : Set M₂

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: hrS : ∀ (c : 𝕜₁), r ≤ ‖c‖ → S ⊆ c • ⇑f ⁻¹' K

Context: c : 𝕜₁

Context: hc : r < ‖c‖

Context: this : c ≠ 0 := ne_zero_of_norm_ne_zero (Ne.symm (LT.lt.ne (LT.lt.trans hr hc)))

⇑f '' S ⊆ σ₁₂ c • K


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜₂

Context: σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : Module 𝕜₁ M₁

Context: inst✝¹ : Module 𝕜₂ M₂

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂

Context: f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂

Context: hf : IsCompactOperator ⇑f

Context: S : Set M₁

Context: hS : IsVonNBounded 𝕜₁ S

Context: K : Set M₂

Context: hK : IsCompact K

Context: hKf : ⇑f ⁻¹' K ∈ 𝓝 0

Context: r : ℝ

Context: hr : r > 0

Context: c : 𝕜₁

Context: hc : r < ‖c‖

S ⊆ c • ⇑f ⁻¹' K


Context:
f g : ℍ → ℂ
hf : IsBoundedAtImInfty f
hg : IsBoundedAtImInfty g


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

(W.map f).Ψ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.Ψ n)


(C ((mapRingHom f) (W.preΨ n)) * if Even n then (mapRingHom (mapRingHom f)) W.ψ₂ else 1) = (mapRingHom (mapRingHom f)) (C (W.preΨ n) * if Even n then W.ψ₂ else 1)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}


sInf {a | ∃ ι_1 f_1, lsub f_1 = lsub f ∧ #ι_1 = a} ≤ #ι


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t = t
hts : μ (t ∩ s) = 0


Context:
b m n : ℕ
h : m ≠ 0 ∨ 1 < b ∧ n ≠ 0
hbn : ¬(1 < b ∧ n ≠ 0)

log b n = m ↔ b ^ m ≤ n ∧ n < b ^ (m + 1)


Context:
b m n : ℕ
h : m ≠ 0 ∨ 1 < b ∧ n ≠ 0
hbn : ¬(1 < b ∧ n ≠ 0)
hm : m ≠ 0


Context:
b m n : ℕ
h : m ≠ 0 ∨ 1 < b ∧ n ≠ 0
hbn : b ≤ 1 ∨ n = 0
hm : m ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset ℕ
n : ℕ

∀ {a b : ℕ}, { toFun := fun n => { ofColex := equivBitIndices n }, invFun := fun s => equivBitIndices.symm s.ofColex, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun n => { ofColex := equivBitIndices n }, invFun := fun s => equivBitIndices.symm s.ofColex, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b


Context:
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i j : J


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
hf : IsField R
x : R
hx : x ≠ 0


∀ (y₁ y₂ : R), x * y₁ = 1 → x * y₂ = 1 → y₁ = y₂


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℕ
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℕ
a : α
ha : a ≤ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℕ
a : α
ha : 1 ≤ a


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hg : ∀ {x : β}, g x = 1 ↔ x = 1

HasCompactMulSupport (g ∘ f) ↔ HasCompactMulSupport f


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

Context: h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < N

upperCrossingTime a b f M (n + 1) ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

Context: this : lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

upperCrossingTime a b f M (n + 1) ω = upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω = hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) M ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

∃ j ∈ Set.Icc (lowerCrossingTime a b f N n ω) N, f j ω ∈ Set.Ici b


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

Context: h : ∃ j ∈ Set.Ico (lowerCrossingTime a b f N n ω) N, f j ω ∈ Set.Ici b


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: M : ℕ

Context: hNM : N ≤ M

Context: h : hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTime a b f N n ω) N ω < N


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (addBottom L) = L


ListBlank.cons L.head (ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)) = L


ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail) = L.tail


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: L L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))

ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L') = L'


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq K

Context: Γ : K → Type u_2

Context: Λ : Type u_3

Context: inst✝¹ : Inhabited Λ

Context: σ : Type u_4

Context: inst✝ : Inhabited σ

Context: l : List ((k : K) → Option (Γ k))

ListBlank.map { f := Prod.snd, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.mk l)) = ListBlank.mk l


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Monoid N

Context: inst✝ : Monoid P

Context: l✝¹ l₁ l₂ : List M

Context: a✝ : M

Context: l✝ : List ι

Context: r : M → N → Prop

Context: f : ι → M

Context: g : ι → N

Context: h₁ : r 1 1

Context: h₂ : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : M⦄ ⦃b : N⦄, r a b → r (f i * a) (g i * b)

Context: a : ι

Context: l : List ι

Context: hl : r (map f l).prod (map g l).prod

r (map f (a :: l)).prod (map g (a :: l)).prod


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι✝ : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: hK : IsCompact K

Context: hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hcover : K ⊆ ⋃ i, U i

Context: this : ∀ x ∈ K, ∃ i, ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x (V ○ V) ⊆ U i


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι✝ : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: hK : IsCompact K

Context: hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hcover : K ⊆ ⋃ i, U i

Context: ind : (x : α) → x ∈ K → ι

Context: W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)

Context: hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α

Context: hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι✝ : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: hK : IsCompact K

Context: hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hcover : K ⊆ ⋃ i, U i

Context: ind : (x : α) → x ∈ K → ι

Context: W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)

Context: hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α

Context: t : Finset ↑K

Context: ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι✝ : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: hK : IsCompact K

Context: hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hcover : K ⊆ ⋃ i, U i

Context: ind : (x : α) → x ∈ K → ι

Context: W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)

Context: hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α

Context: t : Finset ↑K

Context: ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ K


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι✝ : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: K : Set α

Context: ι : Sort u_2

Context: U : ι → Set α

Context: hK : IsCompact K

Context: hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

Context: hcover : K ⊆ ⋃ i, U i

Context: ind : (x : α) → x ∈ K → ι

Context: W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)

Context: hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α

Context: t : Finset ↑K

Context: ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)

Context: x : α

Context: hx : x ∈ K

Context: y : ↑K

Context: hyt : y ∈ t

Context: hxy : x ∈ ball (↑y) (W ↑y ⋯)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t✝ : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)
x : E
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
he : t ∩ sᶜ = ∅


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t✝ : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)
x : E
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
he : t ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : AddCommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b c : α


Context:
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n

N.mulMap M = M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
n : ↥N
m : ↥M

(N.mulMap M) (n ⊗ₜ[R] m) = (M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)) (n ⊗ₜ[R] m)


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

leftHomologyMap φ = leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁ ≫ γ.φH ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData


leftHomologyMap φ = leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hN : μ N = 0

Context: this : 0 < μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hN : μ N = 0

Context: this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t N : Set α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hμ : μ ≠ 0

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hN : μ N = 0

Context: x : α

Context: hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}

Context: hxN : x ∉ N


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
x : P'

x ∈ (canonicalEquiv S P P') I ↔ ∃ y ∈ I, (IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) y = x


(∃ x_1 ∈ I, ↑(let __src := ringEquivOfRingEquiv P P' (RingEquiv.refl R) ⋯; { toEquiv := __src.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }) x_1 = x) ↔ ∃ y ∈ I, (IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) y = x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s✝ t✝ : Set α
x✝ y z : α
s t : Set α
x : α

(s ∩ t).ordConnectedComponent x = s.ordConnectedComponent x ∩ t.ordConnectedComponent x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tG : IsTorsion G


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tG : IsTorsion G
x : G
hx : x ≠ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0

Tendsto (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) atTop (𝓝 (∑ x : α, 0))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ

Tendsto (fun p => a i * b i ^ p) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun p => a i * b i ^ p) atTop (𝓝 (a i * 0))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ
this : 0 < b i


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y

↑(XYIdeal W x (C y)) * (↑(XYIdeal W x (C (W.negY x y))) * (↑(XIdeal W x))⁻¹) = 1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
i : ι


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
b : δ a
s : Finset α
hs : a ∉ s
e₁ e₂ : (a : α) → a ∈ s → δ a
eq : cons s a b e₁ = cons s a b e₂
e : α
h : e ∈ a ::ₘ s.val


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₁ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Finite ι

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₂

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)

Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₁ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Finite ι

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₂

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)

Context: val✝ : Fintype ι


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₁ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Finite ι

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₂

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : ∀ [inst : (i : Fin (Fintype.card ι)) → AddCommGroup (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_1 : (i : Fin (Fintype.card ι)) → Module R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_2 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Finite R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_3 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Free R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))], Module.Free R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₂ : Type u_3

Context: M₁ : ι → Type u_4

Context: inst✝⁹ : Finite ι

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁶ : Module R M₂

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M₂

Context: inst✝⁴ : Module.Free R M₂

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: l : Module.Free R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)

Context: r : Module.Finite R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)

Context: e : MultilinearMap R M₁ M₂ ≃ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i)) M₂


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]

∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i) = ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), C (p.coeff i) * X ^ i


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E


p x m = iteratedFDerivWithin 𝕜 m f univ x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s' : Finset β


(∀ ⦃x : β⦄, (∃ a ∈ s, x ∈ t a) → x ∈ s') ↔ ∀ x ∈ s, ∀ ⦃x_1 : β⦄, x_1 ∈ t x → x_1 ∈ s'


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasProducts C

Context: X : TopCat

Context: F : Presheaf C X

Context: ι : Type v'

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: c d : Cone (SheafConditionEqualizerProducts.diagram F U)

Context: f : c ⟶ d


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

All P (l.node3L x m y r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P m ∧ P y ∧ All P r


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
i : ι
x : ↥(ℳ i)

(decompose ℳ) ↑x = (of (fun i => ↥(ℳ i)) i) x


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * y


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: E' : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : E → E'

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: f' : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') (f x)

HasMFDerivWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s x f' ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Ioi a)
l : Filter β

Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℕ
a : α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α

mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s) = mulRothNumber s


mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s) ≤ mulRothNumber s


mulRothNumber s ≤ mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s)


Context:
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ


Context: χ : DirichletCharacter ℂ 0


Context:
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
χ : DirichletCharacter ℂ 0
hn : 1 ≠ 0


Context:
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : n ≠ 1


Context:
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : n ≠ 1
this : ¬IsUnit ↑n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α

s ∈ memberSubfamily a 𝒜 ∪ nonMemberSubfamily a 𝒜 ↔ s ∈ image (fun s => s.erase a) 𝒜


insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s ∨ s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s ↔ ∃ a_1 ∈ 𝒜, a_1.erase a = s


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K (-n₂)
z₃ : Cochain K L n₂
h₁₂ : n₁ + -n₂ = n₁₂


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
β : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ⟂ₘ ν


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖ = ‖iteratedDerivWithin n f s x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ ν : Measure α


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

WithBot.some '' (WithTop.some '' Iic x) = Ioc ⊥ ↑x


Context:
α : Type u
a : α
l : List α
x✝ : α
n : ℕ

x✝ ∈ (a :: l).rotate (n + 1) ↔ x✝ ∈ a :: l


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ


Context: z : ℍ


Context: z : ℍ

mk ((↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 0 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 0 1))) / (↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 1 0)) * ↑z + ↑((algebraMap ℤ ℝ) (↑↑ModularGroup.S 1 1)))) ⋯ = mk (-↑z)⁻¹ ⋯


Context: n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
inst✝ : T2Space R
s : Set X


IsClosed ↑{ carrier := ⋂ i ∈ sᶜ, {x | x i = 0}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: g : α → ℝ≥0∞ := fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)

(μ.tilted f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ≠ ⊤


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
f_surj : Surjective f
ℱ : Filter Y
z : Z
h : MapClusterPt z ℱ g


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
f_surj : Surjective f
ℱ : Filter Y
z : Z
h : MapClusterPt z (comap f ℱ) (g ∘ f)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hgf : IsProperMap (g ∘ f)

Context: f_surj : Surjective f

Context: ℱ : Filter Y

Context: x : X

Context: hx : ClusterPt x (comap f ℱ)

Context: h : MapClusterPt ((g ∘ f) x) (comap f ℱ) (g ∘ f)

∃ x_1, g x_1 = (g ∘ f) x ∧ ClusterPt x_1 ℱ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: hf : Continuous f

Context: hg : Continuous g

Context: hgf : IsProperMap (g ∘ f)

Context: f_surj : Surjective f

Context: ℱ : Filter Y

Context: x : X

Context: hx : ClusterPt x (comap f ℱ)

∃ x_1, g x_1 = (g ∘ f) x ∧ ClusterPt x_1 (map f (comap f ℱ))


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
I✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
I : Type u_2
c : R
x✝ : I

(↑↑{ toFun := fun h => ⇑f ∘ h, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (I → A)) c) x✝ = (algebraMap R (I → B)) c x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a