ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ s * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ t)⁻¹ = ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ s * (μ t)⁻¹)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E

ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * μ s * ((ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ t)⁻¹) = ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ s * (μ t)⁻¹)


ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) ≠ 0 ∨ μ t ≠ ⊤


ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) ≠ ⊤ ∨ μ t ≠ 0


ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) * (ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E))⁻¹ * (μ s * (μ t)⁻¹) = μ s / μ t


Context: n : ℕ

harmonic n = ∑ i ∈ Finset.Icc 1 n, (↑i)⁻¹


Context: n : ℕ

∑ x ∈ Finset.Ico (0 + 1) (n + 1), (↑x)⁻¹ = ∑ i ∈ Finset.Icc 1 n, (↑i)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i (MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i)


MeasureTheory.SignedMeasure.ExistsOneDivLT s i (Nat.find ⋯)


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℤ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s✝ s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ

∫ (x : X) in {y | f y ≤ 0}, f x ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


∫ (x : X), {a | f a ≤ 0}.indicator f x ∂μ ≤ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Disjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

∀ x ∈ ker (f ^ n) ⊓ range (f ^ m), x = 0


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

Context: x : M

Context: hx : (f ^ m) x ∈ ↑(ker (f ^ n))


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : m ≥ n

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ker (f ^ (n + m))


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
x✝ : A ⊗[R] M
x : A
y : M

(basisAux A b) (a • x ⊗ₜ[R] y) = a • (basisAux A b) (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)

Continuous fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ


∀ (x : X × ℝ), ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ) x


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ : ℝ

ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ) (q, b₀)


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0

∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < min a₀ b₀


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < min a₀ b₀
b : ℝ
lt_b : max a₀ b₀ < b


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : max a₀ b₀ < b


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NoAtoms μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → ℝ → E

Context: a₀ : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: q : X

Context: b₀ ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : ℝ

Context: a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀

Context: b : ℝ

Context: lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

Context: this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

Context: M : ℝ

Context: hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NoAtoms μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → ℝ → E

Context: a₀ : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: q : X

Context: b₀ ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : ℝ

Context: a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀

Context: b : ℝ

Context: lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

Context: this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

Context: M : ℝ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ < 1

Context: h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b

Context: h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NoAtoms μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → ℝ → E

Context: a₀ : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: q : X

Context: b₀ ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : ℝ

Context: a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀

Context: b : ℝ

Context: lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

Context: this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

Context: M : ℝ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ < 1

Context: h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q

Context: hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NoAtoms μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → ℝ → E

Context: a₀ : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: q : X

Context: b₀ ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : ℝ

Context: a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀

Context: b : ℝ

Context: lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

Context: this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

Context: M : ℝ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ < 1

Context: h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q

Context: this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NoAtoms μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → ℝ → E

Context: a₀ : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: q : X

Context: b₀ ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : ℝ

Context: a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀

Context: b : ℝ

Context: lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

Context: this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

Context: M : ℝ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ < 1

Context: h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q

∀ a ∈ v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..a.2, f a.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f q t ∂μ) < ε


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NoAtoms μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → ℝ → E

Context: a₀ : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: q : X

Context: b₀ ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : ℝ

Context: a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀

Context: b : ℝ

Context: lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

Context: this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

Context: M : ℝ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ < 1

Context: h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q

Context: p : X

Context: s : ℝ

Context: hp : p ∈ v

Context: hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)

Context: hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ

‖∫ (t : ℝ) in a₀..s, f p t ∂μ - ∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f q t ∂μ‖ < ε


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: f✝ : ℝ → E

Context: inst✝¹ : NoAtoms μ

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → ℝ → E

Context: a₀ : ℝ

Context: hf : Continuous (Function.uncurry f)

Context: q : X

Context: b₀ ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: a : ℝ

Context: a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀

Context: b : ℝ

Context: lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

Context: this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

Context: M : ℝ

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : δ < 1

Context: h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b

Context: v : Set X

Context: v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q

Context: p : X

Context: s : ℝ

Context: hp : p ∈ v

Context: hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)

Context: J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x y✝ : E
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤

HasSum (fun n => (f.fpowerSeries x (n + 2)) fun x => y✝) (f (x + y✝) - ∑ i ∈ Finset.range 2, (f.fpowerSeries x i) fun x => y✝)


Context:
α : Type u_1
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)


Context:
α : Type u_1
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ℕ

(μ.trim hm) (spanningSets (μ.trim ⋯) i) < ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a : α
i : Fin 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
l : Finset ι
S : ι → Set α
x✝ : α

x✝ ∈ (fun f => ∏ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S ↔ x✝ ∈ ∏ i ∈ l, S i


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

derivWithin (fun y => f y + c) s x = derivWithin f s x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t A B : Set β
a : α
x : β

x ∈ a⁻¹ • A ↔ a • x ∈ A


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: _i : Valued R Γ₀


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: _i : Valued R Γ₀

Context: x : R

Context: hx : x ∈ ↑v.integer


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜

Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + x)) atTop (𝓝 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u
A : MeasurableSet (Subtype.val '' u)


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁷ : T2Space β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f : γ → β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : PolishSpace γ

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : BorelSpace γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f_cont : ContinuousOn f s

Context: f_inj : InjOn f s

Context: u : Set ↑s

Context: hu : MeasurableSet u

Context: A : MeasurableSet (Subtype.val '' u)

Context: B : MeasurableSet (f '' (Subtype.val '' u))


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P

((map e s₂).weightedVSubOfPoint p b) w = (s₂.weightedVSubOfPoint (p ∘ ⇑e) b) (w ∘ ⇑e)


∑ i ∈ map e s₂, w i • (p i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s₂, (w ∘ ⇑e) i • ((p ∘ ⇑e) i -ᵥ b)


Context:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb' : LinearIndependent S (⇑f' ∘ b)


Context:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb : ¬LinearIndependent K (⇑f ∘ b)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: hb : ∃ x x_1, ∃ (_ : ∑ i ∈ x, x_1 i • (⇑f ∘ b) i = 0), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ∈ x), ¬x_1 x_2 = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: hag : ∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger R (a * g i)

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: hgI : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: g'' : (i : ι) → i ∈ s → R

Context: hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i

Context: this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable

Context: g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: g'' : (i : ι) → i ∈ s → R

Context: hg' : ∀ i ∈ s, (algebraMap R K) (g' i) = a * g i


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: hgI✝ : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))

Context: g'' : (i : ι) → i ∈ s → R

Context: hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: g'' : (i : ι) → i ∈ s → R

Context: hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0

∑ i ∈ s, (fun i => (algebraMap R S) (g' i)) i • (⇑f' ∘ b) i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁷ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Field K

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K

Context: hRK : IsFractionRing R K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra S L

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing S L

Context: V : Type u_3

Context: V' : Type u_4

Context: V'' : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁹ : Module R V

Context: inst✝⁸ : Module K V

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K V

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V'

Context: inst✝⁵ : Module R V'

Context: inst✝⁴ : Module S V'

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S V'

Context: inst✝² : AddCommGroup V''

Context: inst✝¹ : Module R V''

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤

Context: f : V'' →ₗ[R] V

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: f' : V'' →ₗ[R] V'

Context: ι : Type u_6

Context: b : ι → V''

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: eq✝ : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0

Context: j' : ι

Context: hj's : j' ∈ s

Context: hj'g : ¬g j' = 0

Context: a : K

Context: j : ι

Context: hjs : j ∈ s

Context: g'' : (i : ι) → i ∈ s → R

Context: hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0

Context: eq : f (∑ i ∈ s, g' i • b i) = 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝⁶ : SMul M α
inst✝⁵ : SMul M β✝
inst✝⁴ : SMul N α
inst✝³ : SMul N β✝
a✝ : M
x : α × β✝
β : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid β
inst✝ : DistribMulAction M β
a : M
b : α


Context:
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x

arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π


Context:
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y


Context: x y : ℝ

Context: h : 1 < x * y

Context: hx : 0 < x

Context: hy : 0 < y

Context: k : arctan x⁻¹ + arctan y⁻¹ = arctan ((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))


Context: x y : ℝ

Context: h : 1 < x * y

Context: hx : 0 < x

Context: hy : 0 < y

Context: k : arctan (-((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))) + π = arctan x + arctan y


Context: x y : ℝ

Context: h : 1 < x * y

Context: hx : 0 < x

Context: hy : 0 < y


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hne : Even n ∧ ¬Odd n


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn✝ : n ≠ 0
hn : Odd n ∧ ¬Even n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop

(∃ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : X) in 𝓝 x', p x'') ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x


(¬∃ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : X) in 𝓝 x', p x'') ↔ ¬∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : ↥(lp E p)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: μ : Ordinal.{u}


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: μ o : Ordinal.{u}

Context: h : P I o

Context: ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: μ o : Ordinal.{u}

Context: h : P I o

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: μ o : Ordinal.{u}

Context: h : P I o

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: μ o : Ordinal.{u}

Context: h : P I o

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

LinearIndependent (ι := ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))) ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: μ o : Ordinal.{u}

Context: h : P I o

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

LinearIndependent (ι := ↑(MaxProducts C ho')) ℤ (⇑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho')) ⋯).g ∘ SumEval C ho' ∘ Sum.inr)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω

stoppedValue u τ y = (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) y


u (τ y) y = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s, u i y


Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s = {τ y}


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι

ω ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s ↔ ω ∈ {τ y}


ω ∈ s ∧ τ y = ω ↔ ω = τ y


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤


Context: n m : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty β
a b : α


Context:
n : ℕ
h : 0 + 2 ≤ n


Context:
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n


Context:
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n

(n.succ - (k + 1 + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)


Context:
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n

(n - (k + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)


Context:
μ : YoungDiagram
x : ℕ
hx : x ∈ μ.rowLens


Context: μ : YoungDiagram

Context: x : ℕ

Context: hx : ∃ a ∈ List.range (μ.colLen 0), μ.rowLen a = x


Context:
μ : YoungDiagram
i : ℕ
hi : i ∈ List.range (μ.colLen 0)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f

(isoRestrict f).inv ≫ f = Y.ofRestrict ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

b + m • p - (toIocDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ioc a (a + p)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsOpen s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X

Context: inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hmono : Monotone f

Context: x : X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hmono : Monotone f

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: h'U : μ U < ⊤


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hmono : Monotone f

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: h'U : μ U < ⊤

Context: a b : X

Context: xab : x ∈ Icc a b

Context: hab : Icc a b ∈ 𝓝 x

Context: abU : Icc a b ⊆ U


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: f g : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s : Set X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : OrderTopology E

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology E

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hmono : Monotone f

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: h'U : μ U < ⊤

Context: a b : X

Context: xab : x ∈ Icc a b

Context: hab : Icc a b ∈ 𝓝 x

Context: abU : Icc a b ⊆ U

Context: ab : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a✝ : α
d : ℕ
a : α
ha : a ∈ s
b : α

Pi.single a 1 b = -1 ∨ Pi.single a 1 b = 0 ∨ Pi.single a 1 b = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a✝ : α
d : ℕ
a : α
ha : a ∈ s


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β✝ : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: β : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: x y : PiLp 2 β

dist x y = √(∑ x_1 : ι, dist (x x_1) (y x_1) ^ 2)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hs : ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hs : s.gcd f = 0


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Z → X

Context: z : Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: he : proj z ∈ e.baseSet

Context: hf : ContinuousAt (f ∘ ↑e.symm) (↑e z)


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : Z → X

Context: z : Z

Context: e : Trivialization F proj

Context: he : proj z ∈ e.baseSet

Context: hf : ContinuousAt (f ∘ ↑e.symm) (↑e z)

Context: hez : z ∈ e.symm.target


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : ProperSpace E

Context: inst✝² : ProperSpace F

Context: f : 𝓕

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F

Context: ε : ℝ

Context: h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (cocompact F)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : ProperSpace E

Context: inst✝² : ProperSpace F

Context: f : 𝓕

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F

Context: ε : ℝ

Context: h : ∀ s ∈ cocompact F, ⇑f ⁻¹' s ∈ cocompact E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : ProperSpace E

Context: inst✝² : ProperSpace F

Context: f : 𝓕

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F

Context: ε : ℝ

Context: h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : ProperSpace E

Context: inst✝² : ProperSpace F

Context: f : 𝓕

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F

Context: ε : ℝ

Context: r : ℝ

Context: hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝓕 : Type u_4

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : ProperSpace E

Context: inst✝² : ProperSpace F

Context: f : 𝓕

Context: inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F

Context: inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F

Context: ε : ℝ

Context: r : ℝ


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j✝ : n
b : n → α
c✝ : m → α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : n
c : m → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n

(A.updateColumn j c).submatrix ⇑e ⇑f = (A.updateColumn (f (f.symm j)) fun i => c (e (e.symm i))).submatrix ⇑e ⇑f


Context:
a b m n✝ p✝ n p k : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n.factorization = single p k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

Context: hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

(f a, 0) ∈ (implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker).target


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α


∀ (x y : α × α), edist x.1 x.2 ≤ edist y.1 y.2 + 2 * edist x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y x' y' : α


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m : ℕ
n_dvd : 0 ∣ m


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m
hn : n ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y z w : α

{x, y} = {z, w} ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z


((x = z ∨ x = w) ∧ (y = z ∨ y = w)) ∧ (z = x ∨ z = y) ∧ (w = x ∨ w = y) ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}

Context: x : E

Context: xu : x ∈ closure u

Context: xU : x ∈ U

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: y : E

Context: yu : y ∈ u

Context: hxy : edist x y < r / 2

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}

Context: x : E

Context: xu : x ∈ closure u

Context: xU : x ∈ U

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: y : E

Context: yu : y ∈ u

Context: hxy : edist x y < r / 2

Context: has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}

Context: x : E

Context: xu : x ∈ closure u

Context: xU : x ∈ U

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: y : E

Context: yu : y ∈ u

Context: hxy : edist x y < r / 2

Context: M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}

Context: x : E

Context: xu : x ∈ closure u

Context: xU : x ∈ U

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: y : E

Context: yu : y ∈ u

Context: hxy : edist x y < r / 2

Context: M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}

Context: x : E

Context: xu : x ∈ closure u

Context: xU : x ∈ U

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: y : E

Context: yu : y ∈ u

Context: hxy : edist x y < r / 2

Context: M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)

Context: A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: U : Set E

Context: hf : AnalyticOn 𝕜 f U

Context: hU : IsPreconnected U

Context: z₀ : E

Context: h₀ : z₀ ∈ U

Context: hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0

Context: u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}

Context: x : E

Context: xu : x ∈ closure u

Context: xU : x ∈ U

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

Context: y : E

Context: yu : y ∈ u

Context: hxy : edist x y < r / 2

Context: M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x

Context: z : E

Context: hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)

Context: B : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B


Context:
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ

↑(gammaCDFReal a r) x = ∫ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDFReal a r x


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: x : ℝ

Context: this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: x : ℝ

(∫⁻ (a_1 : ℝ) in Iic x, gammaPDF a r a_1).toReal = ∫ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDFReal a r x


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: x : ℝ

0 ≤ᶠ[ae (ℙ.restrict (Iic x))] gammaPDFReal a r


Context: a r : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: hr : 0 < r

Context: x : ℝ

AEStronglyMeasurable (gammaPDFReal a r) (ℙ.restrict (Iic x))


Context:
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G

∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))


Context:
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
val✝ : Fintype G


Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Finite G

Context: val✝ : Fintype G

Context: n : ℕ

Context: ι : Type

Context: fι : Fintype ι

Context: p : ι → ℕ

Context: hp : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: f : G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)

LinearMap.range (mfderiv 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) Subtype.val v) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ


LinearMap.range (fderivWithin ℝ (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) v Subtype.val) (Set.range ↑𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n))) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ


LinearMap.range (fderivWithin ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (Set.range id) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ


LinearMap.range (fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

LinearMap.range (fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Context: this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

(Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = LinearMap.range ((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

LinearMap.range ((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

(Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = LinearMap.range (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtype


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

(Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = (Submodule.span ℝ {-↑v})ᗮ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)

Submodule.span ℝ {↑v} = Submodule.span ℝ {-↑v}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ F H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: v : ↑(sphere 0 1)


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: i : ι

Context: b : β i

Context: hb : b ≠ 0

Context: j : ι

Context: h : ¬i = j


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0

eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ = ↑‖c‖₊


↑‖c‖₊ ≤ eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c✝ : E

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: s✝ s : Set α

Context: c : G

Context: hμs : μ s ≠ 0

Context: h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c✝ : E

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: s✝ s : Set α

Context: c : G

Context: hμs : μ s ≠ 0

Context: h' : μ {a | ¬↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊ < ↑‖c‖₊} = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c✝ : E

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: s✝ s : Set α

Context: c : G

Context: hμs : μ s ≠ 0

Context: h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: c✝ : E

Context: f : α → E

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: s✝ s : Set α

Context: c : G

Context: hμs : μ s ≠ 0

Context: x : α

Context: hx_mem : x ∈ s

x ∈ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊}


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R
x : σ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
inst✝ : DecidableEq α

StrictMono f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s < f (insert a s)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

Context: meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊ ≤ ENNReal.ofReal (g b - g a)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

Context: H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

Context: f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0

Context: fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊

Context: fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤

Context: hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

Context: f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0

Context: fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊

Context: F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

Context: f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0

Context: fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊

Context: F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f

Context: intF : IntegrableOn F (Ioo a b) volume


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

Context: f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0

Context: fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊

Context: F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f

Context: intF : IntegrableOn F (Ioo a b) volume

Context: A : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F✝ : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝¹ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x

Context: hab : a < b

Context: f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0

Context: fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊

Context: F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f

Context: hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x)

Context: intF : IntegrableOn F (Ioo a b) volume

Context: B : ∫ (x : ℝ) in Ioo a b, F x ≤ g b - g a


Context:
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I X : Set (α ⊕ β)

(M.sum N).Basis I X ↔ M.Basis (Sum.inl ⁻¹' I) (Sum.inl ⁻¹' X) ∧ N.Basis (Sum.inr ⁻¹' I) (Sum.inr ⁻¹' X)


M.Basis ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' I)))) ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' X)))) ∧ N.Basis ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' I)))) ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun s => Sum.elim (fun x => ⟨false, x⟩) (fun x => ⟨true, x⟩) s) '' ((fun a => Sum.map (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) (⇑{ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm) a) '' X)))) ↔ M.Basis (Sum.inl ⁻¹' I) (Sum.inl ⁻¹' X) ∧ N.Basis (Sum.inr ⁻¹' I) (Sum.inr ⁻¹' X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α

∀ᵐ (b : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, b)) atTop (𝓝 1)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: a : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

Context: ha₂ : QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

∃ x, IsSelfAdjoint x ∧ QuasispectrumRestricts x ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ x * x = a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module ℝ A

Context: inst✝² : IsScalarTower ℝ A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A

Context: a : A

Context: ha₁ : IsSelfAdjoint a

QuasispectrumRestricts (cfcₙ Real.sqrt a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal ∧ cfcₙ Real.sqrt a * cfcₙ Real.sqrt a = a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x

HasStrictFDerivAt (fun x => f x - g x) (f' - g') x


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hfmono : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), |f (n + 1) ω - f n ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart f ℱ μ n ω) atTop atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: h₁ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atTop


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: h₂ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atBot


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: h₃ : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (μ[f (n + 1) - f n|↑ℱ n]) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω✝ : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hint : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: ω : Ω

Context: hω₁ : ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atTop

Context: hω₂ : ¬Tendsto (fun n => martingalePart f ℱ μ n ω) atTop atBot

Context: hω₃ : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (μ[f (n + 1) - f n|↑ℱ n]) ω

Context: hω₄ : ∀ (n : ℕ), f n ω ≤ f (n + 1) ω

Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart f ℱ μ n ω) atTop atTop


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : IsOpenMap f
hg : IsOpenMap g


∀ (x : X × Z), 𝓝 (f x.1, g x.2) ≤ map (fun p => (f p.1, g p.2)) (𝓝 x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
hf : IsOpenMap f
hg : IsOpenMap g
a : X
b : Z


𝓝 (f (a, b).1) ×ˢ 𝓝 (g (a, b).2) ≤ map f (𝓝 a) ×ˢ map g (𝓝 b)


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: i : ι

biprod.inr.f i ≫ biprod.snd.f i = 𝟙 (L.X i)


Context:
m✝ n✝ : ℕ
b : Bool
m n k : ℕ
h : k + 1 ≤ n + 1

shiftLeft' b m (n + 1 - (k + 1)) = shiftLeft' b m (n + 1) >>> (k + 1)


shiftLeft' b m (n - k) = bit b (shiftLeft' b m n) >>> 1 >>> k


shiftLeft' b m n >>> k = (bit b (shiftLeft' b m n) / 2) >>> k


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: sets_prop : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n) ∧ μ (sets n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ sets n, ‖f x‖ ≤ ↑n

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: sets_prop : (∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)) ∧ (∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤) ∧ ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_meas : ∀ (x : ℕ), MeasurableSet (sets x)

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

Context: h_norm : ∀ (x : ℕ), ∀ x_1 ∈ sets x, ‖f x_1‖ ≤ ↑x


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sets n → (μ[f * g|m]) x = f x * (μ[g|m]) x


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

Context: n : ℕ

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (sets n), (μ[f * g|m]) x = f x * (μ[g|m]) x


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

Context: n : ℕ

μ.restrict (sets n)[f * g|m] =ᶠ[ae (μ.restrict (sets n))] f * μ.restrict (sets n)[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

Context: n : ℕ

μ.restrict (sets n)[(sets n).indicator f * g|m] =ᶠ[ae (μ.restrict (sets n))] (sets n).indicator f * μ.restrict (sets n)[g|m]


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

Context: n : ℕ

Context: this : IsFiniteMeasure (μ.restrict (sets n))


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

Context: n : ℕ

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (sets n), ‖(sets n).indicator f x‖ ≤ ↑n


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → ℝ

Context: hf : StronglyMeasurable f

Context: hfg : Integrable (f * g) μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: sets : ℕ → Set α

Context: h_univ : ⋃ i, sets i = Set.univ

Context: h_finite : ∀ (x : ℕ), μ (sets x) < ⊤

Context: n : ℕ

Context: x : α


Context:
a x✝ y✝ : ℂ
x y : ℝ

angle (cexp (↑x * I)) (cexp (↑y * I)) = |toIocMod Real.two_pi_pos (-π) (x - y)|


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l : List α
h : l ≠ []
ainl : a ∈ l


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
c : Cone F
j✝ : J

(G.map (lift F c) ≫ post F G) ≫ π (F ⋙ G) j✝ = lift (F ⋙ G) (G.mapCone c) ≫ π (F ⋙ G) j✝


G.map (c.π.app j✝) = (G.mapCone c).π.app j✝


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
s_ae_univ : μ sᶜ = 0
t_ae_univ : ν tᶜ = 0


(μ.prod ν) (sᶜ ×ˢ univ) = 0 ∧ (μ.prod ν) (univ ×ˢ tᶜ) = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x - a) ⁻¹' Icc b c = Icc (b + a) (c + a)


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.235675}
x : α


(∃ x y, x ≠ y ∧ {x, y} = univ) ↔ ∃! y, y ≠ x


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι

TendstoUniformlyOn f 1 l s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, ‖f i x‖ < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞

ContinuousOn ((fun p => p.1 - p.2) ∘ fun x => (a, x)) {x | x ≠ ⊤}


MapsTo (fun y => (a, y)) {x | x ≠ ⊤} {p | p ≠ (⊤, ⊤)}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
h : ⊤ ∈ {x | x ≠ ⊤}


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)

(factors C s x).prod y = if y = x then 1 else 0


Context:
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
s : Set α
t : (a : α) → a ∈ s → Set β
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hs : #↑s < c

#↑(⋃ a, ⋃ (h : a ∈ s), t a h) < c ↔ ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), #↑(t a ha) < c


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K : Compacts G


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
q : R[X]
toFinsupp✝ : R[ℕ]

X * { toFinsupp := toFinsupp✝ } = { toFinsupp := toFinsupp✝ } * X


Finsupp.single 1 1 * toFinsupp✝ = toFinsupp✝ * Finsupp.single 1 1


Context:
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
q : R[X]
toFinsupp✝ : R[ℕ]
x✝ : ℕ

(Finsupp.single 1 1 * toFinsupp✝) x✝ = (toFinsupp✝ * Finsupp.single 1 1) x✝


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}

o.cof = sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}


∀ b ∈ {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}, o.cof ≤ b


o.cof ∈ {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₂
x : α

x ∈ insert a s₁ ∩ s₂ ↔ x ∈ insert a (s₁ ∩ s₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₂
x : α
this : x = a ∨ x ∈ s₂ ↔ x ∈ s₂


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} A
inst✝ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B

J.PreservesSheafification F ↔ ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), IsIso (G₂.map (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F))


J.PreservesSheafification F ↔ ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), J.W (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
h : s = t
x : α


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝ : MonoidalCategory V
A B : Action V G

((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).μIso A B).inv.app PUnit.unit = 𝟙 (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj (A ⊗ B)).obj PUnit.unit)


inv (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).μIso A B).app PUnit.unit).hom = 𝟙 (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj (A ⊗ B)).obj PUnit.unit)


(((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).μIso A B).app PUnit.unit).hom ≫ 𝟙 (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj (A ⊗ B)).obj PUnit.unit) = 𝟙 (((functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj A ⊗ (functorCategoryMonoidalEquivalence V G).obj B).obj PUnit.unit)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: n : ℕ

‖q.comp p n‖₊ * r ^ n ≤ ∑' (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α

Context: s : Set (WithTop α)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s : Set (WithTop α)

Context: hs : s = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: s : Set (WithTop α)

Context: hs : s.Nonempty


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
f g : HahnSeries ℕ R
n : ℕ

(PowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (f * g)) = (PowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun g)


∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ n, f.coeff ij.1 * g.coeff ij.2 = ∑ x ∈ antidiagonal n, f.coeff x.1 * g.coeff x.2


Context:
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N

((fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) 1) f = 1 f


Context:
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
g₁ g₂ : N →* P
f : M →* N

({ toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (g₁ * g₂)) f = ({ toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun g₁ * { toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun g₂) f


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ

a ∈ (p ^ k).divisors ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range (k + 1))


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ

(∃ j ≤ k, a = p ^ j) ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range (k + 1))


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
X : C


τ.app ((objEquiv W).invFun (W.Q.obj X)) = τ.app X


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2

evenOdd Q i * evenOdd Q j ≤ evenOdd Q (i + j)


Submodule.span R ((⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)) * ⋃ i, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i)) ≤ Submodule.span R (⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1))


(⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)) * ⋃ i, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i) ⊆ ⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)


∀ (i_1 : { n // ↑n = i }) (i_2 : { n // ↑n = j }), ∀ x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1), ∀ y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_2), x * y ∈ ⋃ i_3, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_3)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: xi yi : ℕ

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: hx : x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi, ⋯⟩)

Context: y : CliffordAlgebra Q

Context: hy : y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨yi, ⋯⟩)

x * y ∈ ⋃ i, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: xi yi : ℕ

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: y : CliffordAlgebra Q

x * y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi + yi, ⋯⟩)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: xi yi : ℕ

Context: x : CliffordAlgebra Q

Context: y : CliffordAlgebra Q

x * y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ xi * LinearMap.range (ι Q) ^ yi)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
g : α → γ
hg : LocallyLipschitz g
x : α
Kf : ℝ≥0
t₁ : Set α
h₁t : t₁ ∈ 𝓝 x
hfL : LipschitzOnWith Kf f t₁
Kg : ℝ≥0
t₂ : Set α
h₂t : t₂ ∈ 𝓝 x
hgL : LipschitzOnWith Kg g t₂

∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K (fun x => (f x, g x)) t


LipschitzOnWith (max Kf Kg) (fun x => (f x, g x)) (t₁ ∩ t₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x y : α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : Preorder ι

Context: G : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j

Context: M : Type u_4

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: i : ι

Context: m : M

Context: g : G i

(directLimitRight f M) (m ⊗ₜ[R] (of R ι G f i) g) = (of R ι (fun x => M ⊗[R] G x) (fun i j h => LinearMap.lTensor M (f i j h)) i) (m ⊗ₜ[R] g)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set α
hs : sᶜ.Finite
h : s.Finite


Context: m k : ℕ+


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ

(f ^ Int.negSucc n) x = x ∨ (f ^ Int.negSucc n) x = f x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x

∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s ∩ g • t, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • t ∩ s, f (g⁻¹ • x) ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.fst ∈ dom ∧ p i.fst i.snd) ∧ s i.fst i.snd ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

(∃ i ∈ dom, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, (⟨a, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd) ∧ s ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i✝ : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

Context: i : ι

i ∈ dom ∧ t ∈ l i → ∃ b, (⟨i, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd) ∧ s ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd ⊆ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι✝ : Sort u_4

Context: ι'✝ : Sort u_5

Context: l✝ l' : Filter α

Context: p✝ : ι✝ → Prop

Context: s✝ : ι✝ → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i✝ : ι✝

Context: p' : ι'✝ → Prop

Context: s' : ι'✝ → Set α

Context: i' : ι'✝

Context: ι : Type u_6

Context: ι' : ι → Type u_7

Context: dom : Set ι

Context: hdom : dom.Nonempty

Context: l : ι → Filter α

Context: s : (i : ι) → ι' i → Set α

Context: p : (i : ι) → ι' i → Prop

Context: h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom

Context: t : Set α

Context: i : ι

(∃ b, (⟨i, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd) ∧ s ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd ⊆ t) → i ∈ dom ∧ t ∈ l i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
H : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
G : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_9
inst✝ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G

range ↑(I.prod J) = range ↑I ×ˢ range ↑J


(I.prod J).target = I.target ×ˢ J.target


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
T : Set α
hx : x ∈ T
S : Set α

𝓝[S] x = comap (Prod.mk x) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (T ×ˢ S))


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s t : Set E

⋃ i₂ ∈ t, ⋃ i₁ ∈ s, segment 𝕜 i₁ i₂ = convexJoin 𝕜 t s


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
α : Type u_11
β : Type u_12
f : α → β
x : β


Context:
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.61156, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
a b c : M
f : ShiftedHom X Y a
g : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift M

F.map (f ≫ (shiftFunctor C a).map g ≫ (shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = (F.map f ≫ (F.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctor D a).map (F.map g ≫ (F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)


F.map f ≫ F.map ((shiftFunctor C a).map g) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = F.map f ≫ (F.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map (F.map g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)


F.map f ≫ F.map ((shiftFunctor C a).map g) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = F.map f ≫ (shiftFunctor C a ⋙ F).map g ≫ (F.commShiftIso a).hom.app ((shiftFunctor C b).obj Z) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f g : R[X]

(f * g).coeff (f.natDegree + g.natDegree) = f.coeff f.natDegree * g.coeff g.natDegree


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)

((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) = 𝟙 (⨁ f)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β
g g' : γ

ι f g' ≫ ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) ≫ π f g = ι f g' ≫ 𝟙 (⨁ f) ≫ π f g