LinearIndependent K (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ ¬x = 0 ∧ (x ∈ span K (range (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl)) → x = 0) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: h : LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: y z : V

Context: h : LinearIndependent K v ∧ 0 ∉ span K (range v)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
h : s ⊆ e.source


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : IsCompl s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: x y : ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: e : (fromOpenSubsetsGlue U) x = (fromOpenSubsetsGlue U) y


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: y : ↑(ofOpenSubsets U).glued

Context: i : (ofOpenSubsets U).J

Context: x : ↑(of α)

Context: hx : x ∈ U i

Context: e : (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx⟩) = (fromOpenSubsetsGlue U) y


Context: D : GlueData

Context: α : Type u

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: J : Type u

Context: U : J → Opens α

Context: i : (ofOpenSubsets U).J

Context: x : ↑(of α)

Context: hx : x ∈ U i

Context: j : (ofOpenSubsets U).J

Context: y : ↑(of α)

Context: hy : y ∈ U j

Context: e : (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx⟩) = (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι j) ⟨y, hy⟩)

((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx⟩ = ((ofOpenSubsets U).ι j) ⟨y, hy⟩


Context:
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx : x ∈ U i
j : (ofOpenSubsets U).J
hy : x ∈ U j

((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx⟩ = ((ofOpenSubsets U).ι j) ⟨x, hy⟩


(ofOpenSubsets U).Rel ⟨i, ⟨x, hx⟩⟩ ⟨j, ⟨x, hy⟩⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : cofinite ≤ l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
h : cofinite ≤ l
s : ℕ → Set α
hs : l.HasAntitoneBasis s


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 1
t : L.Term (α ⊕ Fin l)

(R.boundedFormula₁ t).Realize v xs ↔ RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t]


(RelMap R fun i => realize (Sum.elim v xs) (![t] i)) = RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t]


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 1
t : L.Term (α ⊕ Fin l)
x✝ : Fin 1

realize (Sum.elim v xs) (![t] x✝) = ![realize (Sum.elim v xs) t] x✝


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
x : ℝ

schnirelmannDensity A < x ↔ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x


(¬∀ (n : ℕ), 0 < n → x ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → β

l (⨅ i, ⨅ (hi : p i), u (f i hi)) = ⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

filter (p ^ (n + 1)).Coprime (range (p ^ (n + 1))) = range (p ^ (n + 1)) \ image (fun x => x * p) (range (p ^ n))


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

filter (p ^ (n + 1)).Coprime (range (p ^ (n + 1))) = filter (fun x => x ∉ image (fun x => x * p) (range (p ^ n))) (range (p ^ (n + 1)))


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

∀ x ∈ range (p ^ (n + 1)), (p ^ (n + 1)).Coprime x ↔ x ∉ image (fun x => x * p) (range (p ^ n))


Context:
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ


Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: n : ℕ

Context: h1 : Function.Injective fun x => x * p

Context: h2 : image (fun x => x * p) (range (p ^ n)) ⊆ range (p ^ (n + 1))

(range (p ^ (n + 1)) \ image (fun x => x * p) (range (p ^ n))).card = p ^ n * (p - 1)


Context:
L : Language
M : Type u_1
s : Setoid M
ps : L.Prestructure s
n : ℕ
r : L.Relations n
x : Fin n → M


Quotient.lift (RelMap r) ⋯ (Quotient.finChoice fun i => ⟦x i⟧) ↔ RelMap r x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
f : β → α
x : α

x ∈ closure (range f) ↔ ∀ r > 0, ∃ y, dist x (f y) < r


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
x✝¹ x✝ : M

2 • ⅟2 • (Q (x✝¹ + x✝) - Q x✝¹ - Q x✝) = polar (⇑Q) x✝¹ x✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⋖ t


Context:
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)

Context: hp : Irreducible p

Context: x y : ↑(p.rootSet E)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: hp : Irreducible p

Context: x y : ↑(p.rootSet E)

Context: hx : p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly F ↑((rootsEquivRoots p E).symm x)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: hp : Irreducible p

Context: x y : ↑(p.rootSet E)

Context: hy : p * C p.leadingCoeff⁻¹ = minpoly F ↑((rootsEquivRoots p E).symm y)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: p q : F[X]

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: hp : Irreducible p

Context: x y : ↑(p.rootSet E)

Context: g : p.SplittingField ≃ₐ[F] p.SplittingField

Context: hg : (fun m => m • ↑((rootsEquivRoots p E).symm x)) g = ↑((rootsEquivRoots p E).symm y)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
n : ℕ
a : M
b : ↥S


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq σ
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

(∑ i ∈ s, f i).degrees ≤ s.sup fun i => (f i).degrees


((∑ i ∈ s, f i).support.sup fun s => toMultiset s) ≤ s.sup fun i => (f i).support.sup fun s => toMultiset s


Context: n : ℕ

((antidiagonal n).bind fun ni => map (fun x => Fin.cons ni.1 x) (antidiagonalTuple 1 ni.2)) = map (fun i => ![i.1, i.2]) (antidiagonal n)


Context: n : ℕ

((antidiagonal n).bind fun ni => [Fin.cons ni.1 ![ni.2]]) = map (fun i => ![i.1, i.2]) (antidiagonal n)


Context: n : ℕ

((antidiagonal n).bind fun ni => [Fin.cons ni.1 ![ni.2]]) = (antidiagonal n).bind fun x => [![x.1, x.2]]


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

normSq a = a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2


Context:
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1

(q - 1) ^ φ n < (eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)).natAbs


Context:
n : ℕ
hn' : 1 < n
hq : 0 ≠ 1

(0 - 1) ^ φ n < (eval (↑0) (cyclotomic n ℤ)).natAbs


Context:
n q : ℕ
hn' : 1 < n
hq : q ≠ 1
hq' : 1 < q


(↑q - 1) ^ φ n < ↑|eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)|


eval (↑q) (cyclotomic n ℝ) ≤ ↑|eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)|


↑|eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)| = |(algebraMap ℤ ℝ) (eval (↑q) (cyclotomic n ℤ))|


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
N : Matrix m m' R

M * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * N = (toMatrix₂ b₁' b₂') (B.compl₁₂ ((toLin b₁' b₁) Mᵀ) ((toLin b₂' b₂) N))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
h : f.Disjoint g


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
h : f.Disjoint g
a : α

a ∈ f.support ∪ g.support → a ∈ (f * g).support


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p✝ : R[X]
x : S
p : R[X]
n✝ : ℕ

(p.leadingCoeff • normalizeScaleRoots p).coeff n✝ = (p.scaleRoots p.leadingCoeff).coeff n✝


(if ¬p.coeff n✝ = 0 then if n✝ = p.natDegree then p.leadingCoeff • 1 else p.leadingCoeff • (p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - n✝)) else 0) = p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - n✝)


(if p.coeff n✝ = 0 then 0 else if n✝ = p.natDegree then p.leadingCoeff else p.leadingCoeff * (p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - n✝))) = p.coeff n✝ * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - n✝)


Context:
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b : β a✝
P : ⦃a : α⦄ → β a → Prop
f : (a : α) → β a
a' : α
v : β a'
a : α

P (update f a' v a) ↔ a = a' ∧ P v ∨ a ≠ a' ∧ P (f a)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
K : Type
w✝¹ : Field K
w✝ : CharP K p
H : Infinite K


map (ZMod.castHom ⋯ K) (dickson 1 1 p) = map (ZMod.castHom ⋯ K) (X ^ p)


dickson 1 ((ZMod.castHom ⋯ K) 1) p = X ^ p


{x | eval x (dickson 1 ((ZMod.castHom ⋯ K) 1) p) = eval x (X ^ p)}.Infinite


{x | ∃ y, x = y + y⁻¹ ∧ y ≠ 0} ⊆ {x | eval x (dickson 1 ((ZMod.castHom ⋯ K) 1) p) = eval x (X ^ p)}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝² : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝¹ : p ∣ a
x : α
hx : a = p * x
hn0 : 0 < n
x✝ : p ^ (n - 1 + 1) ∣ x
y : α
hy : x = p ^ (n - 1 + 1) * y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝² : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝¹ : p ∣ a
x : α
hx : a = p * x
hn0 : 0 < n
x✝ : p ^ (n - 1 + 1) ∣ x
y : α
hy : x = p ^ n * y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝¹ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this✝ : p ∣ a * b
x✝ : p ∣ a
x : α
hx : a = p * x
hn0 : 0 < n
hpx : ¬p ^ (n - 1 + 1) ∣ x
this : 1 ≤ n + m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝² : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝¹ : p ∣ b
x : α
hx : b = p * x
hm0 : 0 < m
x✝ : p ^ (m - 1 + 1) ∣ x
y : α
hy : x = p ^ (m - 1 + 1) * y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝² : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝¹ : p ∣ b
x : α
hx : b = p * x
hm0 : 0 < m
x✝ : p ^ (m - 1 + 1) ∣ x
y : α
hy : x = p ^ m * y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b : α
n m : ℕ
ha : ¬p ^ (n + 1) ∣ a
hb : ¬p ^ (m + 1) ∣ b
x✝¹ : p ^ (n + m + 1) ∣ a * b
s : α
hs : a * b = p ^ (n + m + 1) * s
this : p ∣ a * b
x✝ : p ∣ b
x : α
hx : b = p * x
hm0 : 0 < m
hpx : ¬p ^ (m - 1 + 1) ∣ x


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x b a y : X
ha : x ⊓ y = a
hxy : x ≠ y
hxb : IsMaximal x b
hyb : IsMaximal y b


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x b a y : X
ha : x ⊓ y = a
hxy : x ≠ y
hxb : IsMaximal x b
hyb : IsMaximal y b
hb : x ⊔ y = b


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hxy : x ≠ y
hxb : IsMaximal x (x ⊔ y)
hyb : IsMaximal y (x ⊔ y)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered Cᵒᵖ
inst✝¹ : HasColimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsSeparating 𝒢


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered Cᵒᵖ
inst✝¹ : HasColimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
this : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢.op


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : WellPowered Cᵒᵖ
inst✝¹ : HasColimits C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
this✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢.op
this : HasInitial Cᵒᵖ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommGroup α
hf : Periodic f c
x : α
m : ℤ


Context: T : ℝ

Continuous { toFun := Angle.expMapCircle, invFun := fun x => ↑(↑x).arg, left_inv := Angle.arg_expMapCircle, right_inv := expMapCircle_arg }.invFun


Context: T : ℝ

∀ (x : ↥circle), ContinuousAt { toFun := Angle.expMapCircle, invFun := fun x => ↑(↑x).arg, left_inv := Angle.arg_expMapCircle, right_inv := expMapCircle_arg }.invFun x


Context:
T : ℝ
x : ↥circle

ContinuousAt { toFun := Angle.expMapCircle, invFun := fun x => ↑(↑x).arg, left_inv := Angle.arg_expMapCircle, right_inv := expMapCircle_arg }.invFun x


Context: S : ShortComplex Ab


Context: S : ShortComplex Ab

AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g ↔ AddMonoidHom.ker S.g = AddMonoidHom.range S.f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set δ

Context: t : (i : δ) → Set (π i)

Context: hs : s.Countable

Context: ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t✝ u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: s : Set δ

Context: t : (i : δ) → Set (π i)

Context: hs : s.Countable

Context: ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: z : E

Context: s : Set E

Context: inst✝² : NormedCommRing B

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: σ : Type u_5

Context: f : E → σ → B

Context: hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z

Context: p : MvPolynomial σ A

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: z : E

Context: s : Set E

Context: inst✝² : NormedCommRing B

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: σ : Type u_5

Context: f : E → σ → B

Context: p : MvPolynomial σ A

Context: k : A

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C k)) z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: z : E

Context: s : Set E

Context: inst✝² : NormedCommRing B

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: σ : Type u_5

Context: f : E → σ → B

Context: p✝ p q : MvPolynomial σ A

Context: hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z

Context: hq : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) q) z

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (p + q)) z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CommSemiring A

Context: z : E

Context: s : Set E

Context: inst✝² : NormedCommRing B

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B

Context: inst✝ : Algebra A B

Context: σ : Type u_5

Context: f : E → σ → B

Context: p✝ p : MvPolynomial σ A

Context: i : σ

AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (p * X i)) z


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.ball x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.ball x₂ r₂

(fun x x_1 => x + x_1) y₁ y₂ ∈ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)


Context:
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n


Context: p n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: h : p ∣ n

Context: h1 : φ (p.gcd n) * φ (p * n) = φ p * φ n * p.gcd n


Context:
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
h1 : φ p * φ (p * n) = φ p * (φ n * p)


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: r : ↑⋯.choose

Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map ⟨x, r⟩).val.base = ⇑(X.affineCover.map x).val.base '' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: r : ↑⋯.choose

⇑(X.affineCover.map ⟨x, r⟩.fst).val.base '' Set.range ⇑(((fun x => affineBasisCoverOfAffine ⋯.choose) ⟨x, r⟩.fst).map ⟨x, r⟩.snd).val.base = ⇑(X.affineCover.map x).val.base '' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: r : ↑⋯.choose

Set.range ⇑(((fun x => affineBasisCoverOfAffine ⋯.choose) ⟨x, r⟩.fst).map ⟨x, r⟩.snd).val.base = (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : P f

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: inst✝² : HasRingHomProperty P Q

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : P f

Context: inst✝¹ : IsAffine X

Context: inst✝ : IsAffine Y


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
c c' : Chain α
f : α →o β
g : β →o γ
w : α
h : w ∈ c


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), x * a = y ↔ a = z


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint f


Context:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
s : ℝ

(fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2)) =o[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ s


(fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2)) = fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2 + 0 * ↑x)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α

Tendsto (fun δ => (cthickening δ E).mulIndicator f) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))


∀ (x : α), Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α

Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α

(s ⊻ t)ᶜˢ = sᶜˢ ⊼ tᶜˢ


image compl (s ⊻ t) = image compl s ⊼ image compl t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁵ : GroupWithZero G₀
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₀
inst✝³ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝² : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
a : α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₀ : ∀ (x : α), g x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G

↑↑((condexpInd G hm μ s) c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp 1 ⋯ hμs c)


↑↑((condexpInd G hm μ s) c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c


↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμs c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c


(fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1)) a • c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c


(fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) a • c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝² : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : G

Context: x : α

Context: hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) x = s.indicator (fun x => 1) x

(fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) a • c) x = s.indicator (fun x => c) x


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : IsPell { re := ↑x, im := ↑y }


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α

s ∈ falling k 𝒜 ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k


(∃ v ∈ 𝒜, s ⊆ v ∧ s.card = k) ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

‖f‖ ^ p.toReal = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

(∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal * p.toReal) = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : ↥(lp E p)

Context: i : α


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i

(addEquiv fun i => (f i).trans (f₂ i)) = (addEquiv f).trans (addEquiv f₂)


∀ (i : ι), (fun i x => (f₂ i) x) i 0 = 0


∀ (i : ι), ((fun i x => (f₂ i) x) i ∘ (fun i x => (f i) x) i) 0 = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x y : ↥(RingHom.ker (algebraMap A B))

(fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) (x + y) = (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) x + (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) y


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
r : A
x : ↥(RingHom.ker (algebraMap A B))

{ toFun := fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id A) r • { toFun := fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x, map_add' := ⋯ }.toFun x


Context:
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap


Context: α : Type u

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Fintype α

Context: l : List (Perm α)

Context: hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap

Context: h₁ : List.map (⇑sign) l = List.replicate l.length (-1)


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup Gˣ
x : Gˣ


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
this : (p : Prop) → Decidable p
h : ¬a = 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x = y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x < y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: a_mem : a ∈ Ioo x y

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: C : ℝ

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: y : ℝ

Context: hy : y ∈ D

Context: hxy : x ≤ y

Context: hxy' : x < y

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: a_mem : a ∈ Ioo x y

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: this : C ≤ (f y - f x) / (y - x)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.29264, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q

((inl φ).comp (snd φ) ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂

ω f₁ (fun t x => ϕ (m t) x) s ⊆ ω f₂ ϕ s


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
u : Set τ
hu : u ∈ f₂

closure (image2 (fun t x => ϕ (m t) x) (m ⁻¹' u) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)


closure (image2 ϕ (m '' (m ⁻¹' u)) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : ¬Gᶜ.Adj v w

Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - ℓ)


((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - ℓ)


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : v ≠ w → G.Adj v w


Context:
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : v ≠ w → G.Adj v w
h2' : G.Adj v w


((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ).card = n - (2 * k - ℓ)


Context:
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : l ≠ []

l.cyclicPermutations = (zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) l.tails l.inits).dropLast


Context:
α : Type u
l l' : List α
hd : α
tl : List α
h : hd :: tl ≠ []

(hd :: tl).cyclicPermutations = (zipWith (fun x x_1 => x ++ x_1) (hd :: tl).tails (hd :: tl).inits).dropLast


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R

W.Nonsingular 0 0 ↔ W.a₆ = 0 ∧ (W.a₃ ≠ 0 ∨ W.a₄ ≠ 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂ρ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: ρ : Measure (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: t : Set Ω

Context: ht : MeasurableSet t

∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫⁻ (b : β) in Set.univ, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'

⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ ≤ comap f ⁅J₁, J₂⁆


map f ⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ ≤ ⁅J₁, J₂⁆


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)


Context: m n a b c d : ℤ


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

deriv (fun x => x * log x) x = log x + 1


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0

deriv (fun x => x) x * log x + x * deriv log x = log x + 1


Context:
x : ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R

toLaurent (Polynomial.C r * X ^ n) = C r * T ↑n


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a

∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: a : ℝ

Context: ha : 0 < a

Context: this : EqOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (fun t => ↑a ^ (1 - s) • (fun u => ↑u ^ (s - 1) • f u) (a * t)) (Ioi 0)


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
di : DenseInducing i
b : β
s : Set β
hs : s ∈ 𝓝 b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
di : DenseInducing i
b : β
s : Set β
hs : s ∈ 𝓝 b
a : α
ha : i a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
f : β → Set α
inst✝ : (w : β) → Fintype ↑(f w)
v : α

v ∈ (⋃ x, f x).toFinset ↔ v ∈ Finset.univ.biUnion fun x => (f x).toFinset


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
x : R

(C (X - C x)).natDegree < W.polynomial.natDegree


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

mfderivWithin I I' f s x = fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup E
S : Set α
K : ℝ

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict S, ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (S ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : BEq α

Context: inst✝ : Hashable α

Context: rank : α → Nat

Context: l : List (α × β)

Context: i : Nat

Context: hl₁ : ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α], List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l

Context: hl₂ : ∀ (x : α × β), x ∈ l → rank x.fst = i

Context: target : Buckets α β

Context: ht₁ : target.WF

Context: ht₂ : ∀ (bucket : AssocList α β), bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => rank k ≤ i ∧ ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α] (x : α × β), x ∈ l → ¬(x.fst == k) = true) bucket

(List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target l).WF ∧ ∀ (bucket : AssocList α β), bucket ∈ (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target l).val.data → AssocList.All (fun k x => rank k ≤ i) bucket


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
θ : ℂ
n : ℤ

eval (cos θ) (U ℂ n) * sin θ = sin ((↑n + 1) * θ)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
x✝ : Sym2 V
x y : V

Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ (G₁ \ G₂).edgeSet ↔ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ G₁.edgeSet \ G₂.edgeSet


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < c → c < b → a ≠ ⊤


Context:
n✝ m n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)

(p.predAbove i).rev = p.rev.predAbove i.rev


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)

integral (μ + ν) f = integral μ f + integral ν f


setToSimpleFunc (weightedSMul (μ + ν)) f = setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f + setToSimpleFunc (weightedSMul ν) f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : (μ + ν) s < ⊤

weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : μ s ≠ ⊤ ∧ ν s ≠ ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
a✝ a : α
ha : a ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs ys : List α

List.filter p l₁ <:+: List.filter p (xs ++ l₁ ++ ys)


List.filter p l₁ <:+: List.filter p xs ++ List.filter p l₁ ++ List.filter p ys


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: H : T ∈ distinguishedTriangles

T.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: H : T ∈ distinguishedTriangles

Context: H₂ : T.rotate.rotate ∈ distinguishedTriangles


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t✝ s : Set α
hs : s.Nonempty
t : Set β
a : β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: a : δ

Context: inst✝ : DecidableEq δ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s t u : Set α

Context: π : δ → Type u_6

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: a : δ

Context: inst✝ : DecidableEq δ

∀ (a_1 : δ), Measurable fun x => update x.1 a x.2 a_1


Context:
a b✝ : ℤ
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
k : ℕ

liminf (f ∘ fun x => x + k) atTop = liminf f atTop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]


↑l.formPerm.support = {x | l.formPerm x ≠ x}


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤


Context:
a c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤


Context:
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0


Context:
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0
n2 : 2 ≤ n


Nat.minFacProp n (if 2 ∣ n then 2 else n.minFacAux 3)


Context:
z : ℂ
hz : z = 0


Context:
z : ℂ
hz : ¬z = 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

ClusterPt x (𝓟 s) ↔ ∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝² : Traversable t
inst✝¹ : LawfulTraversable t
inst✝ : Monoid γ
f : α → β
g : β → γ
xs : t α

foldMap g (f <$> xs) = foldMap (g ∘ f) xs


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p * q ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

(∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t) ↔ 2 * s.card = Fintype.card α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
inst✝ : Nontrivial α
l m : Subspace η α ι
hlm : ↑l = ↑m
i : ι


Context: η✝ : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: κ✝ : Type u_4

Context: η : Type u_5

Context: α : Type u_6

Context: ι : Type u_7

Context: κ : Type u_8

Context: l✝ : Subspace η α ι

Context: x : η → α

Context: i✝ : ι

Context: a : α

Context: e : η

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: l m : Subspace η α ι

Context: i : ι

Context: hlm : ∀ (a : η → α) (a_1 : ι), ↑l a a_1 = ↑m a a_1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
x : L
m : M
n : N

⁅x, (f m) n⁆ = (f ⁅x, m⁆) n + (f m) ⁅x, n⁆


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂ : o ≠ 2


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂ : o ≠ 2
ho₁ : o < 2


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂✝ : o ≠ 2
ho₂ : o > 2


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f

f.natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, f = X ^ q ^ n - C y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2

¬IsPredLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ pred b = a


¬IsSuccLimit (toDual a) ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ pred b = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α

(μ + ν).toENNRealVectorMeasure = μ.toENNRealVectorMeasure + ν.toENNRealVectorMeasure


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(μ + ν).toENNRealVectorMeasure i = ↑(μ.toENNRealVectorMeasure + ν.toENNRealVectorMeasure) i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
g : β → γ
hg : g 0 = 0
f : α →ₛ β
s : Set α
x : α
hs : MeasurableSet s

↑(map g (f.restrict s)) x = ↑((map g f).restrict s) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
g : β → γ
hg : g 0 = 0
f : α →ₛ β
s : Set α
x : α
hs : ¬MeasurableSet s


Context: q a b c : ℚ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i

((map fun i => LinearMap.id).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = (LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : HasConstantSpeedOnWith f s l
x y : ℝ
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) = ⊥


map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) ≤ ⊥


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M

x ∈ map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) → x ∈ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }

map (fun j => f ↑j) (s.attach.erase x) = map f (s.erase ↑x)


map (fun x => (f ∘ val) x) (s.attach.erase x) = map f (s.erase ↑x)


Context:
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
inst✝ : Decidable (a = 0)

(p.update n a).support = if a = 0 then p.support.erase n else insert n p.support


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : IsEmpty ι


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : Nonempty ι


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Ring k

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: V₂ : Type u_5

Context: P₂ : Type u_6

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module k V₂

Context: inst✝ : AffineSpace V₂ P₂

Context: p : ι → P

Context: f : P →ᵃ[k] P₂

Context: hf : Injective ⇑f

Context: i : ι

Context: hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Ring k

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: V₂ : Type u_5

Context: P₂ : Type u_6

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module k V₂

Context: inst✝ : AffineSpace V₂ P₂

Context: p : ι → P

Context: f : P →ᵃ[k] P₂

Context: hf : Injective ⇑f

Context: i : ι

LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Ring k

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: inst✝³ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: V₂ : Type u_5

Context: P₂ : Type u_6

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module k V₂

Context: inst✝ : AffineSpace V₂ P₂

Context: p : ι → P

Context: f : P →ᵃ[k] P₂

Context: hf : Injective ⇑f

Context: i : ι

Context: hf' : LinearMap.ker f.linear = ⊥


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1

∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i-[𝕜]i_1]


Context: ι : Sort u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t u : Set E

Context: x✝ y : E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: x₁ : E

Context: hx₁ : x₁ ∈ s

Context: y₁ : E

Context: hy₁ : y₁ ∈ t

Context: a₁ b₁ : 𝕜

Context: ha₁ : 0 ≤ a₁

Context: hb₁ : 0 ≤ b₁

Context: hab₁ : a₁ + b₁ = 1

Context: x₂ : E

Context: hx₂ : x₂ ∈ s

Context: y₂ : E

Context: hy₂ : y₂ ∈ t

Context: a₂ b₂ : 𝕜

Context: ha₂ : 0 ≤ a₂

Context: hb₂ : 0 ≤ b₂

Context: hab₂ : a₂ + b₂ = 1

Context: p q : 𝕜

Context: hp : 0 ≤ p

Context: hq : 0 ≤ q

Context: hpq : p + q = 1

Context: x : E

Context: hxs : x ∈ s

Context: hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂


Context: ι : Sort u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s t u : Set E

Context: x✝ y✝ : E

Context: hs : Convex 𝕜 s

Context: ht : Convex 𝕜 t

Context: x₁ : E

Context: hx₁ : x₁ ∈ s

Context: y₁ : E

Context: hy₁ : y₁ ∈ t

Context: a₁ b₁ : 𝕜

Context: ha₁ : 0 ≤ a₁

Context: hb₁ : 0 ≤ b₁

Context: hab₁ : a₁ + b₁ = 1

Context: x₂ : E

Context: hx₂ : x₂ ∈ s

Context: y₂ : E

Context: hy₂ : y₂ ∈ t

Context: a₂ b₂ : 𝕜

Context: ha₂ : 0 ≤ a₂

Context: hb₂ : 0 ≤ b₂

Context: hab₂ : a₂ + b₂ = 1

Context: p q : 𝕜

Context: hp : 0 ≤ p

Context: hq : 0 ≤ q

Context: hpq : p + q = 1

Context: x : E

Context: hxs : x ∈ s

Context: y : E

Context: hyt : y ∈ t

Context: hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0

∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x


Context:
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

‖a‖ ∈ spectrum ℝ a ∨ -‖a‖ ∈ spectrum ℝ a


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : StarModule ℂ A

Context: inst✝² : PartialOrder A

Context: inst✝¹ : StarOrderedRing A

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

Context: ha' : SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedRing A

Context: inst✝⁷ : StarRing A

Context: inst✝⁶ : CstarRing A

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝³ : StarModule ℂ A

Context: inst✝² : PartialOrder A

Context: inst✝¹ : StarOrderedRing A

Context: inst✝ : Nontrivial A

Context: a : A

Context: ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a ∨ -(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I


Context:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
x : A
hx : x ∈ I


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w✝ : V

Context: h : M.IsMatching

Context: v✝ : V

Context: hv : v✝ ∈ M.verts

Context: w : V

Context: hvw : M.Adj v✝ w

Context: hw : ∀ (y : V), (fun w => M.Adj v✝ w) y → y = w

∃! w, (M.induce (M.verts ∩ (G.connectedComponentMk v✝).supp)).Adj v✝ w


Context: V : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph V

Context: M M' : G.Subgraph

Context: v w✝ : V

Context: h : M.IsMatching

Context: v✝ : V

Context: hv : v✝ ∈ M.verts

Context: w : V

Context: hvw : M.Adj v✝ w

(fun w => (M.induce (M.verts ∩ (G.connectedComponentMk v✝).supp)).Adj v✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (M.induce (M.verts ∩ (G.connectedComponentMk v✝).supp)).Adj v✝ w) y → y = w


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝
Z : C × C

__src✝.map f ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C Y✝ Z = tensor_μ C X✝ Z ≫ __src✝.map (f ▷ Z)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X✝ Y✝ Z : C × C
f : X✝ ⟶ Y✝

__src✝.obj Z ◁ __src✝.map f ≫ tensor_μ C Z Y✝ = tensor_μ C Z X✝ ≫ __src✝.map (Z ◁ f)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X Y Z : C × C

tensor_μ C X Y ▷ __src✝.obj Z ≫ tensor_μ C (X ⊗ Y) Z ≫ __src✝.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (__src✝.obj X) (__src✝.obj Y) (__src✝.obj Z)).hom ≫ __src✝.obj X ◁ tensor_μ C Y Z ≫ tensor_μ C X (Y ⊗ Z)


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
x✝ : C × C
X₁ X₂ : C

(λ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ __src✝.obj (X₁, X₂) ≫ tensor_μ C (𝟙_ (C × C)) (X₁, X₂) ≫ __src✝.map (λ_ (X₁, X₂)).hom


(ρ_ (__src✝.obj (X₁, X₂))).hom = __src✝.obj (X₁, X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ tensor_μ C (X₁, X₂) (𝟙_ (C × C)) ≫ __src✝.map (ρ_ (X₁, X₂)).hom


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : 1 ≤ b


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesLimit F G
inst✝³ : HasLimit F
inst✝² : PreservesLimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J D
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝

(lim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesLimitIso G F) Y✝).hom = ((fun F => preservesLimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ lim).map f


∀ (j : J), ((lim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesLimitIso G F) Y✝).hom) ≫ limit.π (((whiskeringRight J C D).obj G).obj Y✝) j = (((fun F => preservesLimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ lim).map f) ≫ limit.π (((whiskeringRight J C D).obj G).obj Y✝) j


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesLimit F G
inst✝³ : HasLimit F
inst✝² : PreservesLimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J D
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

(G.map (limMap f) ≫ (preservesLimitIso G Y✝).hom) ≫ limit.π (Y✝ ⋙ G) j = ((preservesLimitIso G X✝).hom ≫ limMap (whiskerRight f G)) ≫ limit.π (Y✝ ⋙ G) j


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T

IsLocalizedModule M (toKerIsLocalization S Q g ⋯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : CommSemiring P

Context: inst✝⁴ : CommSemiring Q

Context: M : Submonoid R

Context: T : Submonoid P

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra P Q

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization T Q

Context: g : R →+* P

Context: hT : Submonoid.map g M = T

Context: e : ↥(Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) ≃ₛₗ[id S] ↥(ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) := LinearEquiv.ofEq (Ideal.map (algebraMap R S) (ker g)) (ker (IsLocalization.map Q g ⋯)) ⋯


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S

Context: inst✝⁵ : CommSemiring P

Context: inst✝⁴ : CommSemiring Q

Context: M : Submonoid R

Context: T : Submonoid P

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra P Q

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization T Q

Context: g : R →+* P

Context: hT : Submonoid.map g M = T

IsLocalizedModule M (↑(LinearEquiv.restrictScalars R e) ∘ₗ Algebra.idealMap S (ker g))


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M✝ : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: M : Submonoid S

Context: inst✝ : IsLocalization M S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: A : Subalgebra R S

Context: hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A

Context: hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid

Context: hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s

Context: g : S →ₐ[R] S' := IsScalarTower.toAlgHom R S S'

Context: y : ↥M := commonDenomOfFinset M s


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M✝ : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: M : Submonoid S

Context: inst✝ : IsLocalization M S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: A : Subalgebra R S

Context: hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A

Context: hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid

Context: y : ↥M := commonDenomOfFinset M s

Context: hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑g '' ↑(finsetIntegerMultiple M s)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M✝ : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: M : Submonoid S

Context: inst✝ : IsLocalization M S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: A : Subalgebra R S

Context: hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A

Context: hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid

Context: y : ↥M := commonDenomOfFinset M s

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ n_1 ≥ n, ↑y ^ n_1 • (algebraMap S S') x ∈ Subalgebra.map g A


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M✝ : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: M : Submonoid S

Context: inst✝ : IsLocalization M S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: A : Subalgebra R S

Context: hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A

Context: hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid

Context: y : ↥M := commonDenomOfFinset M s

Context: n : ℕ

Context: x' : S

Context: hx' : x' ∈ ↑A.toSubsemiring

Context: hx'' : ↑g x' = ↑y ^ n • (algebraMap S S') x


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M✝ : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: M : Submonoid S

Context: inst✝ : IsLocalization M S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: A : Subalgebra R S

Context: hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A

Context: hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid

Context: y : ↥M := commonDenomOfFinset M s

Context: n : ℕ

Context: x' : S

Context: hx' : x' ∈ ↑A.toSubsemiring

Context: hx'' : ↑g x' = (algebraMap S S') (↑y ^ n * x)


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : CommRing S

Context: M✝ : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R'

Context: inst✝⁶ : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R S S'

Context: M : Submonoid S

Context: inst✝ : IsLocalization M S'

Context: x : S

Context: s : Finset S'

Context: A : Subalgebra R S

Context: hA₁ : ↑(finsetIntegerMultiple M s) ⊆ ↑A

Context: hA₂ : M ≤ A.toSubmonoid

Context: y : ↥M := commonDenomOfFinset M s

Context: n : ℕ

Context: x' : S

Context: hx' : x' ∈ ↑A.toSubsemiring

Context: a : ↥M

Context: ha₂ : ↑a * x' = ↑a * (↑y ^ n * x)


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

LieModule.IsNilpotent R (↥(toEnd R L M).range) M


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range

Context: h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y

Context: s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y

Context: hs : s.Nonempty


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y

Context: hs : s.Nonempty

Context: _i5 : IsNoetherian R ↥L'


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y

Context: hs : s.Nonempty

Context: _i5 : IsNoetherian R ↥L'

Context: K : LieSubalgebra R ↥L'

Context: hK₁ : K ∈ s

Context: hK₂ : ∀ x ∈ s, ¬x > K


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝³ : Module R M✝

Context: inst✝² : LieRingModule L M✝

Context: inst✝¹ : LieModule R L M✝

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: M : Type u_1

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L M

Context: _i4 : LieModule R L M

Context: h : ∀ (y : ↥L'), _root_.IsNilpotent ↑y

Context: hs : s.Nonempty

Context: _i5 : IsNoetherian R ↥L'

Context: K : LieSubalgebra R ↥L'

Context: hK₁ : K ∈ s

Context: hK₂ : ∀ x ∈ s, ¬x > K

Context: hK₃ : K = ⊤


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : E ≃ₗᵢ[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι

(fun i => EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single i 1)) = fun i => EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single i 1)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : E ≃ₗᵢ[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
x✝ : ι

EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single x✝ 1) = EquivLike.coe e.symm (EuclideanSpace.single x✝ 1)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0

(deriv fun z => z ^ p * (1 + ε z)) =Θ[atTop] fun z => z ^ (p - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c.IsLimit


Context: x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame

Context: i : x₂.LeftMoves

Context: h : IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂

Context: hl : x₁ ≤ x₂.moveLeft i


Context: i : x₂.LeftMoves

Context: h : IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂

Context: hl✝ : x₁ ≤ x₂.moveLeft i

Context: hl : x₁ < x₂.moveLeft i


Context: i : x₂.LeftMoves

Context: h : IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂

Context: hl : x₁ ≤ x₂.moveLeft i

Context: he : x₁ ≈ x₂.moveLeft i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hmo : q.Monic
a✝ : Nontrivial R


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

Context: i : ℕ

eLpNorm (stoppedValue f (leastGE f r i)) 1 μ ≤ 2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: i : ℕ

0 ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f (leastGE f r i) x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: i : ℕ

0 ≤ ∫ (x : Ω) in Set.univ, stoppedValue f (leastGE f r i) x ∂μ


Context: Ω : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: r : ℝ

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: hf0 : f 0 = 0

Context: i : ℕ

0 ≤ ∫ (ω : Ω) in Set.univ, stoppedValue f (leastGE f r 0) ω ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

map f (cons a ⟨s, al⟩) = cons (f a) (map f ⟨s, al⟩)


↑(map f (cons a ⟨s, al⟩)) = ↑(cons (f a) (map f ⟨s, al⟩))


Stream'.map (Option.map f) (some a :: s) = some (f a) :: Stream'.map (Option.map f) s


Option.map f (some a) :: Stream'.map (Option.map f) s = some (f a) :: Stream'.map (Option.map f) s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝² : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝¹ : PerfectRing R p
inst✝ : DecidableEq R

Finset.image (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots.toFinset = f.roots.toFinset


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
i j : ι
hij : i ≠ j
x : ↥(A i)

((LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm ↑x) j = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: f : E → F

Context: s : Set E

Context: x v : E

Context: f' : F

Context: c : 𝕜

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x (c • v)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
h₀ : a ∈ s
h₁ : IsOpen s
h₂ : t ∩ s = u ∩ s


Context:
d : ℤ
a : ℤ√d

a.re ^ 2 - d * a.im ^ 2 = 1 ↔ a ∈ unitary (ℤ√d)


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsNormalSubgroup s
a b : G
hab : a * b ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b.IsLimit
H : ∀ b' < b, a * b' ≤ c


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n + j) [MOD xn a1 n]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a b✝ x b : α


Context:
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
Hnext : ∀ (n : ℕ), Surjective next

Surjective (leRecOn hnm fun {k} => next)


Context: u v : PrimeMultiset

(coePNatMonoidHom (u + v)).prod = u.prod * v.prod


Context: u v : PrimeMultiset

(coePNatMonoidHom u + coePNatMonoidHom v).prod = u.prod * v.prod


Context: n : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]

Context: z : DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h)

Context: i : ι

Context: x : G i

Context: h : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = z

Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (C x) = C z


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: q₁ q₂ : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]

Context: x✝¹ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₁

Context: x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₂

Context: i₁ : ι

Context: p₁ : (G i₁)[X]

Context: ih₁ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ = q₁

Context: i₂ : ι

Context: p₂ : (G i₂)[X]

Context: ih₂ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂ = q₂

Context: i : ι

Context: h1 : i₁ ≤ i

Context: h2 : i₂ ≤ i

Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (Polynomial.map (f' i₁ i h1) p₁ + Polynomial.map (f' i₂ i h2) p₂) = q₁ + q₂


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: i₁ : ι

Context: p₁ : (G i₁)[X]

Context: i₂ : ι

Context: p₂ : (G i₂)[X]

Context: i : ι

Context: h1 : i₁ ≤ i

Context: h2 : i₂ ≤ i

Polynomial.map ((of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i).comp (f' i₁ i h1)) p₁ + Polynomial.map ((of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i).comp (f' i₂ i h2)) p₂ = Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ + Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂


Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = C z * X ^ n

Context: i : ι

Context: x : G i

Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (C x * X ^ (n + 1)) = C z * X ^ (n + 1)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s
B : interior (frontier s) ⊆ interior s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s
B : interior (frontier s) ⊆ interior s
C : interior (frontier s) ⊆ frontier s


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Sort w

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: x : X

Context: s s₁ s₂ t : Set X

Context: p p₁ p₂ : X → Prop

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: h : IsClosed s

Context: A : frontier s = s \ interior s

Context: B : interior (frontier s) ⊆ interior s

Context: C : interior (frontier s) ⊆ frontier s

Context: this : interior (frontier s) ⊆ interior s ∩ (s \ interior s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝³ : TopologicalSpace β

Context: inst✝² : CommSemiring β

Context: inst✝¹ : ContinuousAdd β

Context: inst✝ : ContinuousMul β

Context: hf : SuperpolynomialDecay l k f

Context: p✝ p q : β[X]

Context: hp : SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) p * f x

Context: hq : SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) q * f x

SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) (p + q) * f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : CommSemiring β
inst✝¹ : ContinuousAdd β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
p : β[X]
n : ℕ
c : β

SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) ((monomial n) c) * f x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ m n : ℕ
hmn : m ≤ n


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n m k : ℕ
hmn : m ≤ m + k

x ^ (m + k) = x ^ m ↔ m + k ≡ m [MOD orderOf x]


k ≡ 0 [MOD orderOf x] ↔ m + k ≡ m [MOD orderOf x]


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]

derivative (p.comp q) = derivative q * (derivative p).comp q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: q p✝ q✝ : R[X]

Context: a✝¹ : derivative (p✝.comp q) = derivative q * (derivative p✝).comp q

Context: a✝ : derivative (q✝.comp q) = derivative q * (derivative q✝).comp q

derivative ((p✝ + q✝).comp q) = derivative q * (derivative (p✝ + q✝)).comp q


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n✝ : ℕ
a✝ : R

derivative (((monomial n✝) a✝).comp q) = derivative q * (derivative ((monomial n✝) a✝)).comp q


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³⁰ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁷ : Algebra R S

Context: inst✝²⁶ : Module R M

Context: inst✝²⁵ : Module R N

Context: inst✝²⁴ : Module S N

Context: inst✝²³ : IsScalarTower R S N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: h✝ : IsBaseChange S f

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²² : AddCommMonoid P

Context: inst✝²¹ : Module R P

Context: inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹⁹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁶ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹³ : Module R O

Context: inst✝¹² : Module S O

Context: inst✝¹¹ : Module T O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R' S'

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R S S'

Context: h : IsPushout R S R' S'

Context: x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra

Context: e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' := let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv; { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³⁰ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁷ : Algebra R S

Context: inst✝²⁶ : Module R M

Context: inst✝²⁵ : Module R N

Context: inst✝²⁴ : Module S N

Context: inst✝²³ : IsScalarTower R S N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: h✝ : IsBaseChange S f

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²² : AddCommMonoid P

Context: inst✝²¹ : Module R P

Context: inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹⁹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁶ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹³ : Module R O

Context: inst✝¹² : Module S O

Context: inst✝¹¹ : Module T O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R' S'

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R S S'

Context: h : IsPushout R S R' S'

Context: this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝³¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³⁰ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝²⁷ : Algebra R S

Context: inst✝²⁶ : Module R M

Context: inst✝²⁵ : Module R N

Context: inst✝²⁴ : Module S N

Context: inst✝²³ : IsScalarTower R S N

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: h✝ : IsBaseChange S f

Context: P : Type u_2

Context: Q : Type u_3

Context: inst✝²² : AddCommMonoid P

Context: inst✝²¹ : Module R P

Context: inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝¹⁹ : Module S Q

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁸ : CommSemiring T

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R T

Context: inst✝¹⁶ : Algebra S T

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O

Context: inst✝¹³ : Module R O

Context: inst✝¹² : Module S O

Context: inst✝¹¹ : Module T O

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R T O

Context: R' : Type u_6

Context: S' : Type u_7

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring S'

Context: inst✝⁵ : Algebra R R'

Context: inst✝⁴ : Algebra S S'

Context: inst✝³ : Algebra R' S'

Context: inst✝² : Algebra R S'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝ : IsScalarTower R S S'

Context: h : IsPushout R S R' S'

IsBaseChange R' (↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f g₁ g₂ : R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

Context: hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl

Context: hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl

const R f g₁ U hu₁ * const R g₁ g₂ U hu₂ = const R f g₂ U hu₂


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f g₁ g₂ : R

Context: U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝ } ^ n).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp ^ n


Context:
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b x y z x' y' : S
ha : SemiconjBy a y z
hb : SemiconjBy b x y


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α

(⋂ i, ⋂ j, s i j) ∪ t = ⋂ i, ⋂ j, s i j ∪ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

a ∈ upperClosure ↑(s ⊻ t) ↔ a ∈ upperClosure ↑s ∧ a ∈ upperClosure ↑t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : α → β
hf : Surjective f
o : ∀ {a b : α}, r a b ↔ s (f a) (f b)
a✝ b✝ : β
h : s a✝ b✝


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: hf : LipschitzWith K f

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N

Context: blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: hf : LipschitzWith K f

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f : α → β

Context: x y : α

Context: r : ℝ

Context: hf : LipschitzWith K f

Context: u : ℕ → α

Context: hu : CauchySeq u

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n

Context: blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ((f ∘ u) n) ((f ∘ u) m) ≤ (fun n => ↑K * b n) N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
w : α
hw : w < a


Context:
x z : ℝ
h : ↑x + ⊤ ≤ ↑x + ↑z


Context:
x y z : ℝ
h : ↑x + ↑y ≤ ↑x + ↑z


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j

f (update (update v j (v i)) i (v j)) + f v = 0


f (update (update v j (v i)) i (v j)) + f v = f (update (update v i (v i + v j)) j (v i + v j))


Context:
m n : ℤ
k : ℕ

(m.ldiff n).testBit k = (m.testBit k && !n.testBit k)