Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: E : EqOn f g s

Context: x y : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: g : α → ℝ := fun y => ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x

Context: B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x => f ↑x + ↑K * dist y ↑x)

Context: E : EqOn f g s

Context: x y : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: E : EqOn f g s

Context: x y : α

Context: z : ↑s

g x - ↑K * dist x y ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f✝ : α → β

Context: f : α → ℝ

Context: s : Set α

Context: K : ℝ≥0

Context: hf : LipschitzOnWith K f s

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: E : EqOn f g s

Context: x y : α

Context: z : ↑s

g x ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z + ↑K * dist x y


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0


Context: x n : ℂ

(starRingEnd ℂ) x ^ n = if x.arg = π then x ^ n else (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)


Context: x n : ℂ

(if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp ((if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)) * n)) = if x.arg = π then if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * n) else if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n)


Context: this : Primrec' fun v => (fun a b => b - a) v.head v.tail.head


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R

Context: f g : X → R

Context: s : Set X

Context: hf : LocallyIntegrableOn f s μ

Context: hg : ContinuousOn g s

Context: hs : IsOpen s

LocallyIntegrableOn (fun x => g x * f x) s μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ g✝ : X → E

Context: μ : Measure X

Context: s✝ : Set X

Context: inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X

Context: A K : Set X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : T2Space X

Context: inst✝¹ : NormedRing R

Context: f g : X → R

Context: s : Set X

Context: hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ

Context: hg : ContinuousOn g s

Context: hs : IsOpen s

∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => g x * f x) k μ


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring Γ
σ : Type u_3
inst✝ : Finite σ
f g : HahnSeries (σ →₀ ℕ) R
n : σ →₀ ℕ

(MvPowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => f.coeff, invFun := fun f => { coeff := f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (f * g)) = (MvPowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => f.coeff, invFun := fun f => { coeff := f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => f.coeff, invFun := fun f => { coeff := f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun g)


(MvPowerSeries.coeff R n) (f * g).coeff = ∑ p ∈ antidiagonal n, (MvPowerSeries.coeff R p.1) f.coeff * (MvPowerSeries.coeff R p.2) g.coeff


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f : MvPolynomial σ R
d : ℕ

degreeOf n f ≤ d ↔ ∀ m ∈ f.support, m n ≤ d


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α✝

Context: ι✝ : Type u_5

Context: π : ι✝ → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)

Context: ι : Type u_7

Context: α : ι → Type u_8

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: I : Set ι

Context: hs : ∀ i ∈ I, Dense (s i)


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: I J : Finset ι

Context: hP : IsProjectiveMeasureFamily P

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)

Context: hT : MeasurableSet T

Context: h_eq : cylinder I S = cylinder J T

Context: hJI : J ⊆ I


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x : β

(corec' g x).dest = (TypeVec.id ::: Sum.elim _root_.id (corec' g)) <$$> g x


(TypeVec.id ::: corec (Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g)) <$$> Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g (Sum.inr x) = (TypeVec.id ::: Sum.elim _root_.id (corec' g)) <$$> g x


corec (Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g) = Sum.elim _root_.id (corec' g)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x : β
i : Cofix F α

corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: fun x => x) ∘ Sum.rec (fun val => (TypeVec.id ::: Sum.inl) <$$> val.dest) fun val => g val) (Sum.inl i) = i


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: (Cofix F α ⊕ β))
x i : β

corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: fun x => x) ∘ Sum.rec (fun val => (TypeVec.id ::: Sum.inl) <$$> val.dest) fun val => g val) (Sum.inr i) = corec (Sum.elim (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: Sum.inl) ∘ dest) g) (Sum.inr i)


Context:
x y : ℝ
h : x * y < 1

arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y))


Context:
x y : ℝ
h : x * y < 1

arctan (tan (arctan x + arctan y)) = arctan ((x + y) / (1 - x * y))


Context:
x y : ℝ
h : x * y < 1


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : (i : m) → Matrix (n' i) (n' i) 𝔸

exp 𝕂 (blockDiagonal' v) = blockDiagonal' (exp 𝕂 v)


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s


∀ (a : E), (∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) a v) → DifferentiableAt ℝ f a


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: C D : ℝ≥0

Context: f g : E → ℝ

Context: s✝ : Set E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hf : LipschitzWith C f

Context: s : Set E

Context: s_count : s.Countable

Context: s_dense : Dense s

Context: hs : sphere 0 1 ⊆ closure s

Context: x : E

Context: L : E →L[ℝ] ℝ

Context: hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset ι
f : ι → Finset α
a : α


Context:
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
z : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν'✝ ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h1 : μ ≪ ν
ν' : Measure α
s : Set α
hs : (ν + ν') s = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν'✝ ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
h1 : μ ≪ ν
ν' : Measure α
s : Set α
hs : ν s = 0 ∧ ν' s = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c : α


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →*₀ F
hsum : Summable fun x => ‖f x‖

HasProd (fun p => (1 - f ↑p)⁻¹) (∑' (n : ℕ), f n)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedField F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : ℕ →*₀ F

Context: hsum : Summable fun x => ‖f x‖

Context: H : (fun p => (1 - f ↑p)⁻¹) = fun p => ∑' (e : ℕ), f (↑p ^ e)


Context:
R✝ : Type u
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : ExpChar A p


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α

μ ⟂ₘ μ ↔ μ = 0


μ ⟂ₘ μ → μ = 0


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
hμs_compl : μ sᶜ = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y Y' Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y'
h' : Y' ⟶ Z

f ≫ g ≫ h ≫ e.unit.app Z = f' ≫ g' ≫ h' ≫ e.unit.app Z ↔ f ≫ g ≫ h = f' ≫ g' ≫ h'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.45519, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45523, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
cc : CokernelCofork S.f
hcc : IsColimit cc

Mono ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.45519, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45523, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
inst✝ : HasZeroObject C
cc : CokernelCofork S.f
hcc : IsColimit cc
this : S.HasHomology


Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)) ≅ Arrow.mk S.fromOpcycles


(hcc.coconePointUniqueUpToIso S.opcyclesIsCokernel).hom ≫ (Arrow.mk S.fromOpcycles).hom = (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).hom ≫ (Iso.refl (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).right).hom


Cofork.π cc ≫ (hcc.coconePointUniqueUpToIso S.opcyclesIsCokernel).hom ≫ (Arrow.mk S.fromOpcycles).hom = Cofork.π cc ≫ (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).hom ≫ (Iso.refl (Arrow.mk ((hcc.ofIsoColimit (Cofork.ext (Iso.refl cc.pt) ⋯)).desc (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯))).right).hom


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

cosh (3 * x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

cosh x * cosh (2 * x) + sinh x * sinh (2 * x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x


Context:
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

cosh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + sinh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x

Context: h2 : sinh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * cosh x * sinh x ^ 2


Context: x y : ℂ

Context: h1 : x + 2 * x = 3 * x

cosh x * (cosh x ^ 2 + (cosh x ^ 2 - 1)) + 2 * cosh x * (cosh x ^ 2 - 1) = 4 * cosh x ^ 3 - 3 * cosh x


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
s : Cocone (e.functor ⋙ F)
k : K

(((whiskering e.inverse ⋙ precompose (F.leftUnitor.inv ≫ whiskerRight e.counitIso.inv F ≫ (e.inverse.associator e.functor F).inv)) ⋙ whiskering e.functor).obj s).ι.app k ≫ (Iso.refl (((whiskering e.inverse ⋙ precompose (F.leftUnitor.inv ≫ whiskerRight e.counitIso.inv F ≫ (e.inverse.associator e.functor F).inv)) ⋙ whiskering e.functor).obj s).pt).hom = ((𝟭 (Cocone (e.functor ⋙ F))).obj s).ι.app k


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
h : edist x y = 0


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < Cardinal.univ.{u, v}


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: h : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}

Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}.cof


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S

Context: Se : #↑S = (type fun x x_1 => x < x_1).cof


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: h✝ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S

Context: h : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S

Context: h : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S

Context: a : Cardinal.{u}

Context: e : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S

Context: h : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S

Context: a : Cardinal.{u}

Context: e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S

Context: α : Type u

Context: e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S

Context: h : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S

Context: a : Cardinal.{u}

Context: e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S

Context: α : Type u

Context: e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S

Context: f : ULift.{u + 1, u} α ≃ ↑S


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: h✝¹ : Cardinal.lift.{max (u + 1) v, u} c < Cardinal.univ.{u, v}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S

Context: h✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S

Context: a : Cardinal.{u}

Context: e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S

Context: α : Type u

Context: e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S

Context: f✝ : ULift.{u + 1, u} α ≃ ↑S

Context: f : α ≃ ↑S

Context: g : α → Ordinal.{u} := fun a => ↑(f a)

Context: o : Ordinal.{u} := succ (sup g)

Context: b : Ordinal.{u}

Context: h : b ∈ S

Context: l : ¬(fun x x_1 => x < x_1) b o


Context: α✝ : Type u_1

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: c : Cardinal.{u}

Context: S : Set Ordinal.{u}

Context: H : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S

Context: h✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} c ≥ #↑S

Context: a : Cardinal.{u}

Context: e✝ : Cardinal.lift.{u + 1, u} a = #↑S

Context: α : Type u

Context: e : Cardinal.lift.{u + 1, u} ⟦α⟧ = #↑S

Context: f✝ : ULift.{u + 1, u} α ≃ ↑S

Context: f : α ≃ ↑S

Context: g : α → Ordinal.{u} := fun a => ↑(f a)

Context: o : Ordinal.{u} := succ (sup g)

Context: b : Ordinal.{u}

Context: h : b ∈ S

Context: l : ¬(fun x x_1 => x < x_1) b o


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: P X Y Z : C

Context: f : P ⟶ X

Context: g : P ⟶ Y

Context: inst✝² : HasBinaryProduct X Y

Context: inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)

Context: inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G

(iso G X Y).inv ≫ G.map prod.snd = prod.snd


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: P X Y Z : C

Context: f : P ⟶ X

Context: g : P ⟶ Y

Context: inst✝² : HasBinaryProduct X Y

Context: inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G

𝟙 (G.obj (X ⨯ Y)) ≫ G.map prod.snd = (iso G X Y).hom ≫ prod.snd


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R

Multiset.count i (C c * p).degrees ≤ Multiset.count i p.degrees


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
j : R
inst✝¹ : Invertible j
inst✝ : Invertible (j - 1728)


Context:
α : Type u_1
f : α → Char → α
init : α
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝

Substring.foldl f init x✝ = List.foldl f init x✝.toString.data


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)


Context:
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ

a✝ ∈ divisorsAntidiagonal 1 ↔ a✝ ∈ {(1, 1)}


Context: n : ℕ

eulerMascheroniSeq n < eulerMascheroniConstant


Context: n : ℕ

eulerMascheroniSeq n.succ ≤ eulerMascheroniConstant


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s

infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x)) = infDist x s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)


infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x)) ≤ infDist x s


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)

Context: hlt : infDist x s < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)

Context: z : α

Context: hzs : z ∈ s

Context: hz : dist x z < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)

Context: z : α

Context: hzs : z ∈ s

Context: hle : dist z x ≤ dist y x


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: h : y ∈ s ∩ closedBall x (dist y x)

Context: hlt✝ : infDist x s < infDist x (s ∩ closedBall x (dist y x))

Context: z : α

Context: hzs : z ∈ s

Context: hlt : dist y x < dist z x


Context:
α : Type u
lt : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel lt
a b : α

(cmpUsing lt a b = Ordering.lt) = lt a b


Context: n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

fderivWithin 𝕜 f₁ s x = fderivWithin 𝕜 f s x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
h : p ≠ 0


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁶ : Group G✝
inst✝⁵ : TopologicalGroup G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
n : G
hn : n ∈ N.topologicalClosure
g : G


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α

∑ x ∈ filter p l.toFinset, count x l = countP (fun b => decide (p b)) l


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: S : IntermediateField F K := separableClosure F K


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: h : Module.rank E ↥(adjoin E ↑S) ≤ Module.rank F ↥S


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: h : Module.rank E K ≤ Module.rank F ↥S


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁸ : Field F

Context: inst✝⁷ : Field E

Context: inst✝⁶ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Algebra F K

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : IsScalarTower F E K

Context: inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E

Context: inst✝ : Algebra.IsSeparable E K

Context: h : Module.rank E K ≤ Module.rank F ↥S

Context: ι : Set ↥S

Context: b : Basis (↑ι) F ↥S


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
ι : Sort u_4
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set α

((comap f) (⨆ i, m i)) s = (⨆ i, (comap f) (m i)) s


Context: u₁ u₂ : ℤˣ


Context:
α : Sort u_2
β : Sort u_3
P✝ : α → Sort w
e✝ : α ≃ β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
g : (b : β) → P (e.symm b)
b : β

∀ (hZa : e.symm (e (e.symm b)) = e.symm b), hZa ▸ g (e (e.symm b)) = g b


∀ (hZa : e.symm b = e.symm b), hZa ▸ g b = g b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l✝ : ℝ≥0
f : ℝ → E
s : Set ℝ
hs : s.Subsingleton
l : ℝ≥0
x : ℝ
hx hy : x ∈ s

eVariationOn f (s ∩ Icc x x) = ENNReal.ofReal (↑l * (x - x))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
s : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H α
inst✝ : SMulCommClass H G α
g : H

fundamentalInterior G (g • s) = g • fundamentalInterior G s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ↑d < dimH s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ∃ i, ∃ (_ : μH[↑i] s = ⊤), ↑d < ↑i


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d d' : ℝ≥0
hsd' : μH[↑d'] s = ⊤
hdd' : ↑d < ↑d'


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d d' : ℝ≥0
hsd' : μH[↑d'] s = ⊤
hdd' : d < d'


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : b < 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : C ⥤ D

Context: M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x

Context: hM : ∀ (x y : C) (f : x ⟶ y), M x ≫ F.map f = M y

Context: x : C

(liftStar F M hM).hom ≫ (lift F M hM).map (starInitial.to (incl.obj x)) = M x ≫ (inclLift F M hM).hom.app x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} D

Context: Z : D

Context: F : C ⥤ D

Context: M : (x : C) → Z ⟶ F.obj x

Context: x : C

(lift F M hM).map (starInitial.to (incl.obj x)) = M x


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: E : Type

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : AddCircle T → E

Context: n : ℤ

Context: a : ℝ

Context: this : ∀ (x : ℝ), (fourier (-n)) ↑x • f ↑x = (fun z => (fourier (-n)) z • f z) ↑x

fourierCoeff f n = (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fun z => (fourier (-n)) z • f z) ↑x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
inst✝ : CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K

∃ y, (∀ x ∈ K, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ) ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
inst✝ : CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K
z : H
hzK : z ∈ ↑K
infi : ‖b - z‖ = ⨅ w, ‖b - ↑w‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
inst✝ : CompleteSpace H
K : ConvexCone ℝ H
ne : (↑K).Nonempty
hc : IsClosed ↑K
b : H
disj : b ∉ K
z : H
hzK : z ∈ ↑K
infi : ‖b - z‖ = ⨅ w, ‖b - ↑w‖
hinner : ∀ w ∈ ↑K, ⟪b - z, w - z⟫_ℝ ≤ 0


(∀ x ∈ K, 0 ≤ ⟪x, z - b⟫_ℝ) ∧ ⟪z - b, b⟫_ℝ < 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q : R[X]

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: hp0 : p = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: p q : R[X]

Context: hp0 : ¬p = 0

Context: hq0 : q = 0


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: n : ℕ∞

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (g x ⋆[L, μ] f) (v x)) s


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: n : ℕ∞

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

s ⊆ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: f✝ f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup P

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 P

Context: μ : Measure G

Context: L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.IsNegInvariant

Context: L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F

Context: s : Set P

Context: n : ℕ∞

Context: v : P → G

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 n v s

Context: f : G → E

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hs : IsOpen s

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: x : P

Context: hx : x ∈ s

x ∈ (fun x => (_root_.id x, v x)) ⁻¹' s ×ˢ univ


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ

J ∈ π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition ↔ J ∈ π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryProduct G H

IsCoseparator (G ⨯ H) ↔ IsCoseparating {G, H}


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝¹ : HasZeroMorphisms C

Context: G H : C

Context: inst✝ : HasBinaryProduct G H

Context: h : IsCoseparator (G ⨯ H)

Context: X Y : C

Context: u v : X ⟶ Y

Context: huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : Y ⟶ G_1), u ≫ h = v ≫ h


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryProduct G H
h : IsCoseparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : Y ⟶ G ⨯ H), u ≫ h = v ≫ h
Z : C
hZ : Z ∈ {G, H}
g : Y ⟶ Z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m

↑(finFunctionFinEquiv (Pi.single i j)) = ↑j * m ^ ↑i


∀ (x : Fin n), x ≠ i → ↑(Pi.single i j x) * m ^ ↑x = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m
x : Fin n
hx : x ≠ i


Context:
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι → α) → κ
hl : IsMono C l

IsMono (fun x => C (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eι)) (l.reindex eη eα eι)


IsMono (fun x => C (⇑eα.symm ∘ ⇑eα ∘ x)) l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hμf : μ {x | f x = ⊤} ≠ 0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
x_pos : 0 < x


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r

∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r


∀ (x_1 : ℝ), ‖x_1 - x‖⁻¹ * ‖f x_1 - f x‖ < r → ‖x_1 - x‖⁻¹ * (‖f x_1‖ - ‖f x‖) < r


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
z : ℝ
hz : ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r


0 ≤ ‖z - x‖⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
t : ℚ

(⨅ r, if ↑r < 0 then 0 else 1) = if t < 0 then 0 else 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: t : ℚ

Context: h_bdd : BddBelow (range fun r => if ↑r < 0 then 0 else 1)


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
g : G
p q : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α
h : f'' =o[𝓟 s] g'
x : α
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f'' x = 0


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X✝ Y✝ : (prodComonad X).Coalgebra
f : X✝ ⟶ Y✝

f.f ≫ ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) Y✝).hom = ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) X✝).hom


X✝.a ≫ (prodComonad X).map f.f ≫ prod.fst = ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) X✝).hom


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂

cyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -cyclesMap' φ h₁ h₂


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ

rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ ↔ n ∈ Finset.Icc (-↑(chainBotCoeff (⇑α) β)) ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b : α


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M

(dualProd R M) ((((⟨⅟2, ⋯⟩ • { toFun := polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) Q ∘ₗ LinearMap.fst R M M + (⟨⅟2, ⋯⟩ • { toFun := polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) Q ∘ₗ LinearMap.snd R M M).prod (LinearMap.fst R M M - LinearMap.snd R M M)).toFun x) = (prod Q (-Q)) x


⟨⅟2, ⋯⟩ • polar (⇑Q) x.1 (x.1 - x.2) + ⟨⅟2, ⋯⟩ • polar (⇑Q) x.2 (x.1 - x.2) = Q x.1 + -Q x.2


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } + { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff n + { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n


(toFinsupp✝¹ + toFinsupp✝) n = toFinsupp✝¹ n + toFinsupp✝ n


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α✝ : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
α : Type u_12
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMul Mᵐᵒᵖ α
inst✝ : IsCentralScalar M α
a : α
X✝ : M

MulOpposite.unop (MulOpposite.op X✝) • a = MulOpposite.op X✝ • a


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝²⁵ : CommRing R

Context: inst✝²⁴ : CommRing S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: P : Generators R S

Context: R' : Type ?u.248221

Context: S' : Type ?u.248224

Context: inst✝²² : CommRing R'

Context: inst✝²¹ : CommRing S'

Context: inst✝²⁰ : Algebra R' S'

Context: P' : Generators R' S'

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R R'

Context: inst✝¹⁸ : Algebra S S'

Context: inst✝¹⁷ : Algebra R S'

Context: inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'

Context: inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'

Context: R'' : Type ?u.250655

Context: S'' : Type ?u.250658

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R''

Context: inst✝¹³ : CommRing S''

Context: inst✝¹² : Algebra R'' S''

Context: P'' : Generators R'' S''

Context: inst✝¹¹ : Algebra R R''

Context: inst✝¹⁰ : Algebra S S''

Context: inst✝⁹ : Algebra R S''

Context: inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''

Context: inst✝⁶ : Algebra R' R''

Context: inst✝⁵ : Algebra S' S''

Context: inst✝⁴ : Algebra R' S''

Context: inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''

Context: inst✝² : IsScalarTower R' S' S''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''

Context: inst✝ : IsScalarTower S S' S''

Context: f : { f // ∀ (x : P.Ring), (aeval P'.val) (f x) = (algebraMap S S') ((aeval P.val) x) }

Context: i : P.vars

(aeval P'.val) ((fun i => ↑f (X i)) i) = (algebraMap S S') (P.val i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁶ inst✝⁵ : Group α

Context: inst✝⁴ : MulAction α β

Context: x : β

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : Fintype β

Context: inst✝¹ : Fintype (Quotient (orbitRel α β))

Context: inst✝ : (b : β) → Fintype ↥(stabilizer α b)

Context: φ : Quotient (orbitRel α β) → β

Context: hφ : LeftInverse Quotient.mk'' φ

Fintype.card β = ∑ ω : Quotient (orbitRel α β), Fintype.card α / Fintype.card ↥(stabilizer α (φ ω))


Context: S : ShortComplex Ab

S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂


Context: S : ShortComplex Ab

Function.Surjective ⇑S.abToCycles ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ

supSum {s} = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hs : s ≠ univ

Context: this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hs : s ≠ univ

1 = ∑ x : Finset α, (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup x).card) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hs : s ≠ univ

∑ j ∈ range (s.card + 1), ∑ t ∈ powersetCard j s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = ∑ i ∈ range (s.card + 1), ↑(s.card.choose i) * (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑i) * ↑((card α).choose i))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hs : s ≠ univ

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ∈ range (s.card + 1)

∑ t ∈ powersetCard n s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = ↑(s.card.choose n) * (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Fintype α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hs : s ≠ univ

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ∈ range (s.card + 1)

∑ t ∈ powersetCard n s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = s.card.choose n • ((↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)))


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
i : IsZero Y


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
i : IsZero Y
hf : f = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsZero Y
inst✝ : Mono 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
F : ExteriorAlgebra R M →ₗ[R] N


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop

principalSeg.top = type fun x x_1 => x < x_1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
k : ℕ
hy : Squarefree y
hp : Prime p
h : p ^ (k + 1) ∣ x * y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
k : ℕ
hy : Squarefree y
hp : Prime p
h : p ^ (k + 1) ∣ y * x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z

(∀ (x : Set Y), IsOpen xᶜ ↔ IsOpen (f ⁻¹' xᶜ)) ↔ ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)


Context: a b c : Prop


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im


Context:
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im

-Real.arccos ((-x).re / abs (-x)) = Real.arccos (x.re / abs x) - π


Context:
α : Type u_1
t : Ordnode α


Context:
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
S : (L.sum L.skolem₁).Substructure M


∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → ↥(LHom.sumInl.substructureReduct S)) (a : M), φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) ↑b)


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: inst✝¹ : Nonempty M

Context: inst✝ : L.Structure M

Context: S : (L.sum L.skolem₁).Substructure M

Context: n : ℕ

Context: φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)

Context: x : Fin n → ↥(LHom.sumInl.substructureReduct S)

Context: a : M

Context: h : φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) a)

Context: φ' : (L.sum L.skolem₁).Functions n := LHom.sumInr.onFunction φ

∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) ↑b)


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Finite ι₂
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι₂
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
b₁ : Basis ι R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
i✝ : ι₂
j✝ : ι

(toMatrix (basis A b₁) (basis A b₂)) (baseChange A f) i✝ j✝ = ((toMatrix b₁ b₂) f).map (⇑(algebraMap R A)) i✝ j✝


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι

stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|hτ.measurableSpace]


stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] f i


∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, x ∈ {ω | τ ω = i} → stoppedValue f τ x = f i x


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
x : Ω
hx : x ∈ {ω | τ ω = i}


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
x : Ω
hx : τ x = i


Context:
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : OrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosMono α β
a : α
ha : 0 ≤ a


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsRegular x


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsRegular x
this : IsLeftCancelMulZero N


Context:
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q

∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ q * rexp (-‖x‖ ^ p) = 2 * π / p * Real.Gamma ((q + 2) / p)


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, p n'


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
e f : C ⟶ D
h : Homotopy e f
g : D ⟶ E
i j : ι
w : ¬c.Rel j i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
e f : C ⟶ D
h : Homotopy e f
g : D ⟶ E
i : ι

(e ≫ g).f i = (((dNext i) fun i j => h.hom i j ≫ g.f j) + (prevD i) fun i j => h.hom i j ≫ g.f j) + (f ≫ g).f i


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c a b : α


(Icc a b).card - 1 - 1 = (Icc a b).card - 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E

Integrable g (μ.withDensity f) ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ


Integrable (fun x => (f x).toNNReal • g x) μ ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0 → p x


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α

x ∈ {x | f x ≠ 0} ∩ {a | ¬p a} ↔ x ∈ {a | ¬(f a ≠ 0 → p a)}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂

Context: h : K₁ ≤ K₂

Context: n : ℕ

Context: h_dim : finrank 𝕜 ↥K₁ + n = finrank 𝕜 ↥K₂


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂

Context: h : K₁ ≤ K₂

Context: n : ℕ

finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₁ + n


Context: n : ℕ

(hermite (n + 1)).coeff 0 = -(hermite n).coeff 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : ↥(Lp β 1 μ)

ENNReal.ofReal ‖f‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ


∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ ≠ ⊤


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: x y z : E

Context: hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) {x, y}) f

Context: hz : z ∈ (convexHull 𝕜) {x, y}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
a b n : ℕ

(b - 1) * ∑ i ∈ range n.succ, a / b ^ i = ∑ i ∈ range n, a / b ^ (i + 1) * b + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
a b n : ℕ

∑ i ∈ range n, a / b ^ (i + 1) * b + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n) ≤ ∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
a b n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1
this : z.im < z.im / normSq ↑z


z.im / normSq (denom (↑S) z) = z.im / normSq ↑z


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
inhabited_h : Inhabited ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

HasEigenvector (↑T) (↑(⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hx₀' : 0 < ‖x₀‖

Context: hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hx₀' : 0 < ‖x₀‖

Context: hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖

IsMinOn T.rayleighQuotient (sphere 0 ‖x₀‖) x₀


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : NFA α σ
M : DFA α σ
x : List α


(∃ S ∈ M.toNFA.accept, S ∈ {M.evalFrom M.start x}) ↔ x ∈ M.accepts


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ

Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)) = ⋀[R]^n M


⋀[R]^n M ≤ Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n))


↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)))


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
u : ExteriorAlgebra R M
hu : u ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))

Context: hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n

(List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ Set.range ⇑(ιMulti R n)


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))

((ιMulti R n) fun i => ιInv ↑(f i)) = (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))

(List.ofFn fun i => (ι R) (ιInv ↑(f i))).prod = (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))

Context: i : Fin n


Context: R : Type u1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))

Context: i : Fin n

Context: v : M

Context: hv : (ι R) v = ↑(f i)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid α
x y : α


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ


Context:
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ

(if a = true then 1 else 0) = 0 ↔ (!a) = true


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ

⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (b - a)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
h : a ≤ b


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
h : b < a


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)

Fintype.card G.Dart = 2 * G.edgeFinset.card


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0

2 • o.oangle x (r • y) = 2 • o.oangle x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b d : α
x : WithBot α


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hcf : ContinuousOn f (Ico a b)

Context: hcg : ContinuousOn g (Ico a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : f a = 0

Context: hga : g a = 0

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)

Context: hcf : ContinuousOn f (Ico a b)

Context: hcg : ContinuousOn g (Ico a b)

Context: hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : f a = 0

Context: hga : g a = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : Basis κ R ↥M

Context: n : Basis ι R ↥N

Context: H : LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : Basis κ R ↥M

Context: n : Basis ι R ↥N

Context: H : Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
F : Set α
hFA : F ⊆ A
hFc : IsClosed F
hF : μ A < μ F + ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
h : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤

Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ⊤)) (𝓝 (⊤ - ⊤))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤

Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ↑b)) (𝓝 (⊤ - ↑b))


∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, ↑b), ↑x < a.1 - a.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b✝ c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: b : ℝ≥0

Context: x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤

Context: x : ℝ≥0

Context: y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞

Context: hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b✝ c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: b : ℝ≥0

Context: x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤

Context: x : ℝ≥0

Context: y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤

Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 (↑a - ⊤))


Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 0)


∀ᶠ (x : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (↑a, ⊤), x.1 - x.2 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤

Tendsto (fun a => a.1 - a.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a - b))


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α

(s ∪ t).card = s.card + t.card ↔ _root_.Disjoint s t


(s ∪ t).card = (s ∪ t).card + (s ∩ t).card ↔ _root_.Disjoint s t


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: hτ : ∀ (i : ι), MeasurableSet {ω | τ ω = i}

Context: i : ι

MeasurableSet (⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ i), {ω | τ ω = k})


Context: Ω : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝¹ : Preorder ι

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : Filtration ι m

Context: τ : Ω → ι

Context: i k : ι

Context: hk : k ∈ fun k => Preorder.toLE.1 k i


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3


Context:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s t : Set α

Context: x : α

ContinuousWithinAt f (s ∪ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt f t x


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal
h : comap f H = ⊥


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal
h : comap f H = ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
x b : β
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : Fintype ↑(orbit α b)
inst✝ : Fintype ↥(stabilizer α b)

Fintype.card ↑(orbit α b) * Fintype.card ↥(stabilizer α b) = Fintype.card α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hxf : x ∈ f.source


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
this : Finite ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
b : α
inst✝ : NoMinOrder α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Finset P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I✝ J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: I : Finset P

Context: s : R

Context: hs1 : s ∈ S

Context: hs : ∀ a ∈ I, IsInteger R (↑⟨s, hs1⟩ • a)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Submonoid R

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing P

Context: inst✝⁴ : Algebra R P

Context: loc : IsLocalization S P

Context: P' : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing P'

Context: inst✝² : Algebra R P'

Context: loc' : IsLocalization S P'

Context: P'' : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing P''

Context: inst✝ : Algebra R P''

Context: loc'' : IsLocalization S P''

Context: I✝ J : FractionalIdeal S P

Context: g : P →ₐ[R] P'

Context: I : Finset P

Context: s : R

Context: hs1 : s ∈ S


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

normalClosure {⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩} ≤ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

{⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩} ⊆ ↑(normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩})


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: h : ⟨finRotate 5, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}


Context:
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r : ℝ


Context:
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r r₂ : ℝ
hr₂ : ¬y < ↑r₂


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0

f.valuation = g.valuation ↔ f.norm = g.norm


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Mul M
c d : Con M

{ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c ≤ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d ↔ c ≤ d


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Mul M
c d : Con M

(∀ {x y : Mᵐᵒᵖ}, ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c) x y → ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d) x y) ↔ ∀ {x y : M}, c x y → d x y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, eval x f = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, eval x f = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: s : Finset R

Context: degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card

Context: eval_f : ∀ x ∈ s, ∑ i : Fin s.card, (degreeLTEquiv R s.card) ⟨f, degree_f_lt⟩ i * x ^ ↑i = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: f g : R[X]

Context: s : Finset R

Context: degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card

(degreeLTEquiv R s.card) ⟨f, degree_f_lt⟩ = 0


Context:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R

∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module S N

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝² : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: w : Module.Free.ChooseBasisIndex (FractionRing R) (LocalizedModule R⁰ M) → M

Context: hw : LinearIndependent R w


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module S N

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝² : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: hw : LinearIndependent R w


Context: R : Type u

Context: S : Type u'

Context: M : Type v

Context: N : Type v'

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module R N

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Module S N

Context: inst✝³ : IsScalarTower R S N

Context: p : Submonoid R

Context: inst✝² : IsLocalization p S

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: inst✝¹ : IsLocalizedModule p f

Context: hp : p ≤ R⁰

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: hw : LinearIndependent R w

lift.{max u v, v} #↑(Set.range w) = lift.{max u v, v} (Module.rank R M)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, b = succ a
c : Ordinal.{u_4}
e : b = succ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, b = succ a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ

Integrable (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) (ν a)


Memℒp (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a)


eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) < ⊤


eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: q : ℚ

Context: t : β

Context: hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)

Context: h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q

Context: h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α × β → ℚ → ℝ

Context: hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν

Context: inst✝ : IsFiniteKernel ν

Context: a : α

Context: q : ℚ

Context: t : β

Context: h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q

Context: h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X

J₁.close (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f (J₁.close S)


J₁.close (Sieve.pullback f S) ≤ Sieve.pullback f (J₁.close S)


Sieve.pullback f (J₁.close S) ≤ J₁.close (Sieve.pullback f S)


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : Flat R M
e : N ≃ₗ[R] M
h : ↑e.symm ∘ₗ ↑e = LinearMap.id


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
c : E

StrictConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : minpoly A x ∣ p ^ n


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : (Polynomial.aeval x) (p ^ n) = 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : (Polynomial.aeval x) p ^ n = 0


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : ℕ → ℕ

Context: h1 : Monotone f

Context: B : ℕ

Context: h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B

Context: h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : ℕ → ℕ

Context: h1 : Monotone f

Context: B : ℕ

Context: h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B

Context: key : ∃ n ≤ B, f n = f (n + 1)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : ℕ → ℕ

Context: h1 : Monotone f

Context: B : ℕ

Context: h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B

Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≤ B

Context: hn2 : f n = f (n + 1)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : ℕ → ℕ

Context: h1 : Monotone f

Context: B : ℕ

Context: h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B

Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≤ B

Context: hn2 : f n = f (n + 1)

Context: key : ∀ (k : ℕ), f (n + k) = f (n + k + 1) ∧ f (n + k) = f n


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: f : ℕ → ℕ

Context: h1 : Monotone f

Context: B : ℕ

Context: h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B

Context: n : ℕ

Context: hn1 : n ≤ B

Context: hn2 : f n = f (n + 1)

Context: key : ∀ (k : ℕ), n ≤ k → f k = f n


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
hA : Balanced 𝕜 A
ha : 1 ≤ ‖a‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
hA : Balanced 𝕜 A
ha : ‖1‖ ≤ ‖a‖


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂ ↔ (∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ s.pi t₁ = ∅


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂


(s.pi t₁).Nonempty → ∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
hne : (s.pi t₁).Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃

∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₂ p₃ p₁


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖

∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₂ p₃ p₁


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p : α →o β


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p : γ →o δ


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p q : α →o β

{ toFun := fun p => (↑g).comp (p.comp ↑f.symm), invFun := fun p => (↑g.symm).comp (p.comp ↑f), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } p ≤ { toFun := fun p => (↑g).comp (p.comp ↑f.symm), invFun := fun p => (↑g.symm).comp (p.comp ↑f), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } q ↔ p ≤ q


(∀ (x : γ), p (f.symm x) ≤ q (f.symm x)) ↔ ∀ (x : α), p x ≤ q x


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(deriv fun x => 1 - ε x) =ᶠ[atTop] -deriv ε


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x

deriv (fun x => 1 - ε x) x = (-deriv ε) x


-deriv ε =ᶠ[atTop] fun x => x⁻¹ / log x ^ 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
μ : Measure β
a : α
s : Set β

∫ (x : β) in s, f x ∂(const α μ) a = ∫ (x : β) in s, f x ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: s : Set V

Context: u : V

Context: hu : u ∈ s

Context: patches : ∀ {v : V}, v ∈ s → ∃ s' ⊆ s, ∃ (hu' : u ∈ s') (hv' : v ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨u, hu'⟩ ⟨v, hv'⟩


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: s : Set V

Context: u : V

Context: hu : u ∈ s

∃ v, ∀ (w : ↑s), (induce s G).Reachable v w


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: s : Set V

Context: u : V

Context: hu : u ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ s

Context: sv : Set V

Context: svs : sv ⊆ s

Context: hu' : u ∈ sv

Context: hv' : v ∈ sv

Context: uv : (induce sv G).Reachable ⟨u, hu'⟩ ⟨v, hv'⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E

⟪l.sum fun i a => a • v i, x⟫_𝕜 = l.sum fun i a => (starRingEnd 𝕜) a • ⟪v i, x⟫_𝕜


(l.sum fun i a => (starRingEnd 𝕜) a • ⟪v i, x⟫_𝕜) = ∑ i ∈ l.support, ⟪l i • v i, x⟫_𝕜


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
ii : o
ix : n' ii
ji : o
jx : m' ji

(blockDiagonal' M)ᵀ ⟨ii, ix⟩ ⟨ji, jx⟩ = blockDiagonal' (fun k => (M k)ᵀ) ⟨ii, ix⟩ ⟨ji, jx⟩


(if h : ji = ii then M ji jx (cast ⋯ ix) else 0) = if h : ii = ji then M ii (cast ⋯ jx) ix else 0


Context:
a : PartENat
ha : a.Dom
b : ℕ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ G✝ : C ⥤ D
F G : Cᵒᵖ ⥤ Dᵒᵖ
α : F.unop ⟶ G.unop
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y

(G.map f ≫ (fun X => (α.app (unop X)).op) Y).unop = ((fun X => (α.app (unop X)).op) X ≫ F.map f).unop


Context: a b m n p : ℕ


Context: a b m n p : ℕ

∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, (if b.factorization i ≤ a.factorization i then i ^ (a.lcm b).factorization i else 1) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ

constantCoeff (wittStructureInt p Φ n) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: h : constantCoeff Φ = 0

Context: n : ℕ

Context: inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: h : constantCoeff Φ = 0

Context: n : ℕ

(Int.castRingHom ℚ) (constantCoeff (wittStructureInt p Φ n)) = (Int.castRingHom ℚ) 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: h : constantCoeff Φ = 0

Context: n : ℕ

constantCoeff ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = 0


Context:
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c

a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') ≤ a ⨳ (b ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')


b ⨳ c ⨳ a' ♯ b' ⨳ c ⨳ a ♯ b ⨳ c' ⨳ a ♯ b' ⨳ c' ⨳ a' ≤ b ⨳ c ⨳ a ♯ b' ⨳ c ⨳ a' ♯ b ⨳ c' ⨳ a' ♯ b' ⨳ c' ⨳ a


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (testAgainstNN 0 f))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0

Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (testAgainstNN 0 f))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: γ : Type u_3

Context: F : Filter γ

Context: μs : γ → FiniteMeasure Ω

Context: f : Ω →ᵇ ℝ≥0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: s s' : Set ℝ

Context: hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y

Context: hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hs' : s' ∈ 𝓝[s] y

Context: hy : y ∈ s'

Context: h : s' ⊆ s

Context: k : ℕ

Context: hk : ContDiffOn ℝ (↑k) f s → DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s y → HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s

Context: hf' : DifferentiableWithinAt ℝ (iteratedDerivWithin (k + 1) f s) s y

HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f (k + 1) s t x) (((↑(k + 1)!)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1 + 1) f s y) s' y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: s s' : Set ℝ

Context: hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y

Context: hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hs' : s' ∈ 𝓝[s] y

Context: hy : y ∈ s'

Context: h : s' ⊆ s

Context: k : ℕ

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s

HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t) (((↑(k + 0).succ !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 0).succ) • iteratedDerivWithin ((k + 0).succ + 0).succ f s y) s' y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: s s' : Set ℝ

Context: hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y

Context: hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hs' : s' ∈ 𝓝[s] y

Context: hy : y ∈ s'

Context: h : s' ⊆ s

Context: k : ℕ

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s

HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x + (((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - t) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s t) ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y) s' y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: s s' : Set ℝ

Context: hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y

Context: hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hs' : s' ∈ 𝓝[s] y

Context: hy : y ∈ s'

Context: h : s' ⊆ s

Context: k : ℕ

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s

Context: coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: s s' : Set ℝ

Context: hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y

Context: hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hs' : s' ∈ 𝓝[s] y

Context: hy : y ∈ s'

Context: h : s' ⊆ s

Context: k : ℕ

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s

Context: coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ

Context: hdiff : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin k f s) s'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: s s' : Set ℝ

Context: hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y

Context: hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hs' : s' ∈ 𝓝[s] y

Context: hy : y ∈ s'

Context: h : s' ⊆ s

Context: k : ℕ

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s

Context: coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ

Context: hk : HasDerivWithinAt (fun t => taylorWithinEval f k s t x) (((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y) s' y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: x y : ℝ

Context: s s' : Set ℝ

Context: hs'_unique : UniqueDiffWithinAt ℝ s' y

Context: hs_unique : UniqueDiffOn ℝ s

Context: hs' : s' ∈ 𝓝[s] y

Context: hy : y ∈ s'

Context: h : s' ⊆ s

Context: k : ℕ

Context: hf : ContDiffOn ℝ (↑(k + 1)) f s

Context: coe_lt_succ : ↑k < ↑k.succ

(((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k.succ) • iteratedDerivWithin k.succ.succ f s y = ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y + ((((↑k + 1) * ↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ (k + 1)) • iteratedDerivWithin (k + 2) f s y - ((↑k !)⁻¹ * (x - y) ^ k) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s y)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : ι → α
a : α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k✝ : ℕ

Context: f✝ : R[X]

Context: k : ℕ

Context: ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ

(((k + 1)! • hasseDeriv (k + 1)) f).coeff n = ((⇑derivative)^[k + 1] f).coeff n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k✝ : ℕ

Context: f✝ : R[X]

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ

(((k + 1)! • hasseDeriv (k + 1)) f).coeff n = (derivative ((k ! • hasseDeriv k) f)).coeff n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k✝ : ℕ

Context: f✝ : R[X]

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: k✝ : ℕ

Context: f✝ : R[X]

Context: k : ℕ

Context: f : R[X]

Context: n : ℕ

Context: this : n + k + 1 = n + (k + 1)


Context:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j

K.homologyι i ≫ K.opcyclesToCycles i j = 0


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
φ : R⟦X⟧

(coeff R 1) (φ ^ n) = ↑n * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (n - 1)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ : R⟦X⟧

(coeff R 1) (φ ^ 0) = ↑0 * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (0 - 1)


Context:
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
hn : n > 0


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

l.rotate' (l.length * (n + 1)) = (l.rotate' (l.length * n)).rotate' (l.rotate' (l.length * n)).length


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ

(l.rotate' (l.length * n)).rotate' (l.rotate' (l.length * n)).length = l


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty

∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K V : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: t : Finset G

Context: ht : K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s)) t = (μ.restrict (f ⁻¹' s)) t


μ (t ∩ AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s) = μ (t ∩ f ⁻¹' s)


t ∩ AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] t ∩ f ⁻¹' s


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p✝ p₀✝ p₁ p₂ p₀ p : P

InnerProductGeometry.angle (p₀ -ᵥ p₀) (p -ᵥ p₀) = π / 2


InnerProductGeometry.angle 0 (p -ᵥ p₀) = π / 2


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
B : D • ball 0 1 = ball 0 D


Context:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
B : D • ball 0 1 = ball 0 D
C : D ^ finrank ℝ E ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
x✝ : β

Pi.mulSingle b a x✝ = if x✝ = b then a else 1


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
hm : m ∈ p.support \ q.support


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
hm : ¬coeff m p = 0 ∧ coeff m q = 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.133484, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hs : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hf : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G