Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
hs : IsOpen s

UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
n : ℕ∞
f : V →ᴬ[𝕜] W


ContDiff 𝕜 n (⇑f.contLinear + Function.const V (f 0))


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
t : Set ℝ
inst✝ : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty

∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ g.restrict s = f


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
t : Set ℝ
inst✝ : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), g y ∈ t
hgf : ⇑g ∘ Subtype.val = ⇑f


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this : SeparableSpace ↑s


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : SecondCountableTopology ↑s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: f : β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : Inducing f

Context: s : Set α

Context: hs : IsSeparable s

Context: this✝¹ : SeparableSpace ↑s

Context: this✝ : SecondCountableTopology ↑s

Context: this : Inducing (MapsTo.restrict f (f ⁻¹' s) s ⋯)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: s✝ : Set α

Context: f : β → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: hf : Inducing f

Context: s : Set α

Context: hs : IsSeparable s

Context: this✝² : SeparableSpace ↑s

Context: this✝¹ : SecondCountableTopology ↑s

Context: this✝ : Inducing (MapsTo.restrict f (f ⁻¹' s) s ⋯)

Context: this : SecondCountableTopology ↑(f ⁻¹' s)


Context:
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23801, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Finite β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : σ.IsCycle

Context: h2 : σ.support = ⊤

Context: x : α

Context: H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Finite β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : σ.IsCycle

Context: h2 : σ.support = ⊤

Context: x : α

Context: h3 : σ ∈ H


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Finite β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : σ.IsCycle

Context: h2 : σ.support = ⊤

Context: x : α

Context: h3 : σ ∈ H

Context: h4 : swap x (σ x) ∈ H


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Finite β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : σ.IsCycle

Context: h2 : σ.support = ⊤

Context: x : α

Context: h3 : σ ∈ H

Context: h4 : swap x (σ x) ∈ H

Context: step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H

Context: step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Finite β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : σ.IsCycle

Context: h2 : σ.support = ⊤

Context: x : α

Context: h3 : σ ∈ H

Context: h4 : swap x (σ x) ∈ H

Context: step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Finite β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : σ.IsCycle

Context: h2 : σ.support = ⊤

Context: x : α

Context: h3 : σ ∈ H

Context: h4 : swap x (σ x) ∈ H

Context: step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H

Context: step4 : ∀ (y z : α), swap y z ∈ H


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝² : Finite β

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: σ : Perm α

Context: h1 : σ.IsCycle

Context: h2 : σ.support = ⊤

Context: x : α

Context: h3 : σ ∈ H

Context: h4 : swap x (σ x) ∈ H

Context: step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H

Context: step4 : ∀ (y z : α), swap y z ∈ H

{σ | σ.IsSwap} ⊆ ↑(closure {σ, swap x (σ x)})


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁵
hD : generateFrom D = inst✝³
h2C : IsCountablySpanning C
h2D : IsCountablySpanning D

generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D) = Prod.instMeasurableSpace


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val

∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)

Context: ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)

Context: ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)

Context: sec : M ⧸ Submodule.span R s → M

Context: hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)

Context: sec : M ⧸ Submodule.span R s → M

Context: hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)

Context: sec : M ⧸ Submodule.span R s → M

Context: hst : Disjoint s (sec '' t)


Context: R : Type u_1

Context: M M₁ M₂ M₃ : Type u

Context: M' : Type v

Context: inst✝¹² : Ring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : Module R M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: inst✝³ : Module R M₃

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R

Context: inst✝ : StrongRankCondition R

Context: s : Set M

Context: t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)

Context: sec : M ⧸ Submodule.span R s → M

Context: hst : Disjoint s (sec '' t)

LinearIndependent (ι := ↑(s ∪ sec '' t)) R Subtype.val


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
c : ℕ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3

∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3

∃ g, ‖g‖ ≤ ‖0‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) 0 ≤ 2 / 3 * ‖0‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : f ≠ 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: h3 : 0 < 3

Context: h23 : 0 < 2 / 3

Context: hf : 0 < ‖f‖

Context: hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3

Context: hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: h3 : 0 < 3

Context: h23 : 0 < 2 / 3

Context: hf : 0 < ‖f‖

Context: hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3

Context: hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: h3 : 0 < 3

Context: h23 : 0 < 2 / 3

Context: hf : 0 < ‖f‖

Context: hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3

Context: hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : NormalSpace Y

Context: f : X →ᵇ ℝ

Context: e : C(X, Y)

Context: he : ClosedEmbedding ⇑e

Context: h3 : 0 < 3

Context: h23 : 0 < 2 / 3

Context: hf : 0 < ‖f‖

Context: hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3

Context: g : Y →ᵇ ℝ

Context: hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))

Context: hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))

Context: hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommMonoid α
hf : Periodic f c
x : α
m : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ

(rTensor ((monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) d = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜

DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤

‖(fun s => c • T s) s‖ ≤ ‖c‖ * C * (μ s).toReal


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
f : Filter α

map Subtype.val (comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α

a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹


Context:
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: y₀ : M'

mfderiv I' (I.prod I') (fun y => (x₀, y)) y₀ = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: y₀ : M'

(mfderiv I' I (fun x => x₀) y₀).prod (mfderiv I' I' id y₀) = ContinuousLinearMap.inr 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
s : σ
φ : MvPowerSeries σ R

X s ∣ φ ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), m s = 0 → (coeff R m) φ = 0


(∀ (m : σ →₀ ℕ), m s < 1 → (coeff R m) φ = 0) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), m s = 0 → (coeff R m) φ = 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
v : ι → E
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1

(affineCombination R s v) w ∈ (convexHull R) (Set.range v)


s.centerMass w v ∈ (convexHull R) (Set.range v)


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
n : ℕ
h✝ : Submodule.span R s ≤ degreeLE R ↑n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α' → α
a✝ : α'

(Finsupp.total α' M R (v ∘ f) ∘ₗ lsingle a✝) 1 = ((Finsupp.total α M R v ∘ₗ lmapDomain R R f) ∘ₗ lsingle a✝) 1


Context:
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t✝ : Finset ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: s t : Finset ℕ

Context: hst : { ofColex := s } < { ofColex := t }

(fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := s } < (fun s => ∑ k ∈ s.ofColex, n ^ k) { ofColex := t }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s✝ t✝ : Finset ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : 2 ≤ n

Context: s t : Finset ℕ

Context: hst : ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Finset ℕ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
s t : Finset ℕ
a : ℕ
hat : a ∈ t
has : a ∉ s
ha : ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a


∑ i ∈ { ofColex := s }.ofColex \ { ofColex := t }.ofColex, n ^ i < ∑ i ∈ { ofColex := t }.ofColex \ { ofColex := s }.ofColex, n ^ i


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
x : K

x ∈ ↑(sInf (toSubring '' S)) ↔ x ∈ ⋂ s ∈ S, ↑s


(∀ (i : Subring K), x ∈ ⋂ (_ : i ∈ toSubring '' S), ↑i) ↔ ∀ (i : Subfield K), x ∈ ⋂ (_ : i ∈ S), ↑i


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp (a + p) b = toIocDiv hp a b - 1


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α✝

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace β

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace γ

Context: K : ℝ≥0

Context: f✝ : α✝ → β

Context: x y : α✝

Context: r : ℝ≥0∞

Context: α : ι → Type u

Context: inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f g : (x : ι) → α x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: T : Type u_3

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : Algebra R T

Context: inst✝¹ : Algebra S T

Context: inst✝ : IsScalarTower R S T

Context: g : S →+* T

Context: f : R →+* S

Context: hf₂ : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks

Context: x : S ⊗[R] T

Context: J : Ideal T

Context: hJ : J.IsPrime

∃ t r a, r • t ∉ J ∧ 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : (S.map F).HasHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S

leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (S.homologyData.left.map F) = (leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).leftHomologyData (hl.map F)) ≫ F.map (leftHomologyMap' (𝟙 S) hl S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.homologyData.left)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hs : IsPreconnected s
hxs : x ∈ s
hsF : s ⊆ F


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: x : α

Context: F : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: hxs : x ∈ s

Context: hsF : s ⊆ F

Context: this : IsPreconnected (Subtype.val ⁻¹' s)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: x : α

Context: F : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: hxs : x ∈ s

Context: hsF : s ⊆ F

Context: h2xs : ⟨x, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: x : α

Context: F : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: hxs : x ∈ s

Context: hsF : s ⊆ F

Context: this✝ : IsPreconnected (Subtype.val ⁻¹' s)

Context: h2xs : ⟨x, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' s

Context: this : Subtype.val ⁻¹' s ⊆ connectedComponent ⟨x, ⋯⟩


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: x : α

Context: F : Set α

Context: hs : IsPreconnected s

Context: hxs : x ∈ s

Context: hsF : s ⊆ F

Context: h2xs : ⟨x, ⋯⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' s

s ⊆ Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, ⋯⟩


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
s : Set ι


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r✝ : R
f p : R[X]
r : R


∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → ((taylor r) ((monomial n) c)).natDegree = n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r✝ : R
f p : R[X]
r : R
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
c : R
c0 : c ≠ 0

((taylor r) ((monomial n) c)).natDegree = n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h : 1 < a
this : 0 < a
n : ℕ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ha : a ≤ 0

Context: hb : b ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b : B

Context: a : F

Context: i j : ι

{ proj := b, snd := a } ∈ (Z.localTrivAt b).source


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b : B

Context: a : F

Context: i j : ι

{ proj := b, snd := a }.proj ∈ Z.baseSet (Z.indexAt b)


Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)

Context: fst✝¹ : ι

Context: snd✝¹ : E fst✝¹

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : E fst✝

Context: h : dist ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ ⟨fst✝, snd✝⟩ < 1


Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)

Context: fst✝¹ : ι

Context: snd✝¹ : E fst✝¹

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : E fst✝

Context: h : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≠ ⟨fst✝, snd✝⟩.fst


Context: a b : ℤ

Context: b0 : ¬b = 0

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: c : n.natAbs.Coprime d

Context: e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }

↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.den ∣ b


Context:
a b : ℤ
b0 : ¬b = 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b


Context:
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0


Context:
p✝ q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
p q : ℚ≥0

(↑p).num * ↑(↑q).den ≤ (↑q).num * ↑(↑p).den ↔ p.num * q.den ≤ q.num * p.den


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 (g 0))


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R₁
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M₂ → M₃
hf : IsCompactOperator f
g : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
this : Tendsto (⇑g) (𝓝 0) (𝓝 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
h : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: x : E

Context: y : F

Context: H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0

Context: h : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain

Context: this : ↑(mkSpanSingleton' x y H) ⟨1 • x, ⋯⟩ = 1 • y


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ

IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ

Context: hγ : IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ

γ = (γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace E

Context: H : Type u_2

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℝ E H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: γ γ' : ℝ → M

Context: v : (x : M) → TangentSpace I x

Context: s s' : Set ℝ

Context: t₀ dt : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
h : Subsingleton α


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m✝ n✝ : A
I : Submodule R A
m : A
hm : m ∈ I
n : A
hn : n ∈ 1 / I


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m✝ n✝ : A
I : Submodule R A
m : A
hm : m ∈ I
n : A
hn : ∀ y ∈ I, n * y ∈ 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : R[M]

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = (of R M) (Multiplicative.ofAdd m)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: f g : R[M]

Context: ihf : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f

Context: ihg : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = g

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f + g


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: S : Set M

Context: hS : closure S = ⊤

Context: r : R

Context: f : R[M]

Context: ih : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = f

∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => of' R M ↑s) a = r • f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α


∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 = y → ∀ (y_1 : α), y_1 = x ∨ y_1 = y → x_1 ≠ y_1 → edist x y ≤ edist x_1 y_1 ∨ edist y x ≤ edist x_1 y_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
s : Set α

(∀ i ∈ 𝓝 1, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ {x | x.2⁻¹ * x.1 ∈ id i}}) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 1, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, y • U


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: inst✝¹ : IsFiltered (CostructuredArrow yoneda A)

Context: inst✝ : FinallySmall (CostructuredArrow yoneda A)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: h₁ : (factoring (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A)) ⋙ inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: h₂ : (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))).Final


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: c : Cocone (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A)) ⋙ CostructuredArrow.proj yoneda A ⋙ yoneda) := Cocone.whisker (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))) (Presheaf.tautologicalCocone A)

Context: hc : IsColimit c := (Functor.Final.isColimitWhiskerEquiv (inclusion (fromFinalModel (CostructuredArrow yoneda A))) (Presheaf.tautologicalCocone A)).symm (Presheaf.isColimitTautologicalCocone A)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: hq : Nonempty (FinalModel (CostructuredArrow yoneda A))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: L✝ : C ⥤ D

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{?u.65248, u_3} E

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: hW : W ≤ MorphismProperty.isomorphisms C

Context: inst✝ : L.IsEquivalence


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝² : Category.{u_5, u_2} D

Context: L✝ : C ⥤ D

Context: W✝ : MorphismProperty C

Context: E : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{?u.65248, u_3} E

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsEquivalence

Context: this : (𝟭 C).IsLocalization W


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J : ↥(Ideal R)⁰

mk0 I = mk0 J ↔ ∃ x y, ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0), Ideal.span {x} * ↑I = Ideal.span {y} * ↑J


(∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J) → ∃ x y, ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0), Ideal.span {x} * ↑I = Ideal.span {y} * ↑J


(∃ x y, ∃ (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0), Ideal.span {x} * ↑I = Ideal.span {y} * ↑J) → ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), spanSingleton R⁰ x * ↑↑I = ↑↑J


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2

W.add P Q = addZ P Q • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h : a ≤ succ b

Icc a (succ b) = insert (succ b) (Icc a b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
hf : Injective f
s : Finset α
a : α

↑(image f (s.erase a)) = ↑((image f s).erase (f a))


Context: a x z : ℂ


Context: x✝ y x : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: c : 𝕜


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: c : 𝕜

Context: hf : Memℓp f 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: c : 𝕜

Context: hf : Memℓp f ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Memℓp f p

Context: c : 𝕜

Context: hp : 0 < p.toReal


Context:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
y z : ℕ


Context:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
y z : ℕ
yz : y ≤ z


Context:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
y z : ℕ
zy : z ≤ y


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: B : LinearMap.BilinForm R M

Context: hB : ∀ (x : L) (m n : M), (B ⁅x, m⁆) n = -(B m) ⁅x, n⁆

Context: m₀ m₁ : M

Context: hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0

Context: hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: B : LinearMap.BilinForm R M

Context: m₀ m₁ : M

Context: hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0

Context: hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M

Context: hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: B : LinearMap.BilinForm R M

Context: m₀ m₁ : M

Context: hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0

Context: hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M

∀ (x : L), ∀ m ∈ posFittingCompOf R M x, (B m₀) m = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: B : LinearMap.BilinForm R M

Context: m₀ : M

Context: hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0

Context: x : L

Context: m₁ : M

Context: hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: B : LinearMap.BilinForm R M

Context: m₀ : M

Context: x : L

Context: m₁ : M

Context: hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x

Context: hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: B : LinearMap.BilinForm R M

Context: m₀ : M

Context: x : L

Context: m₁ : M

Context: hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x

Context: hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : (φ x ^ k) m₀ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : LieRingModule L M

Context: inst✝³ : LieModule R L M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module.Finite R M

Context: inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: B : LinearMap.BilinForm R M

Context: m₀ : M

Context: x : L

Context: hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0

Context: k : ℕ

Context: hk : (φ x ^ k) m₀ = 0

Context: m : M

Context: hm₁ : (φ x ^ k) m ∈ posFittingCompOf R M x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s


x * y ∣ z * (x * gcdA x y) + z * (y * gcdB x y)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h : Fintype.card n ≠ 1

Context: n✝ : ℕ

Context: h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1

Context: A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 2) • A


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h : Fintype.card n ≠ 1

Context: n✝ : ℕ

Context: h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1

A'.adjugate.adjugate = A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h : Fintype.card n ≠ 1

Context: n✝ : ℕ

Context: h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1

Context: h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h : Fintype.card n ≠ 1

Context: n✝ : ℕ

Context: h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1

Context: is_reg : IsSMulRegular (MvPolynomial (n × n) ℤ) A'.det


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h : Fintype.card n ≠ 1

Context: n✝ : ℕ

Context: h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1

(fun x => A'.det • x) A'.adjugate.adjugate = (fun x => A'.det • x) (A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A')


Context: m : Type u

Context: n : Type v

Context: α : Type w

Context: inst✝⁴ : DecidableEq n

Context: inst✝³ : Fintype n

Context: inst✝² : DecidableEq m

Context: inst✝¹ : Fintype m

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h : Fintype.card n ≠ 1

Context: n✝ : ℕ

Context: h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1

A'.det • A'.adjugate.adjugate = A'.det • A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
P₁ P₂ : D
f : P₁ ⟶ P₂

W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) f ↔ (MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G f


IsIso (G.map f) ↔ (MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A


{f a, f b}.prod = {f c, f d}.prod ↔ {a, b}.prod = {c, d}.prod


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : AddCommMonoid B

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s : Finset α

Context: f : (a : α) → a ∈ s → M

indicator s f = ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) (f ↑x ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : AddCommMonoid B

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s : Finset α

Context: f : (a : α) → a ∈ s → M

∑ x ∈ s.attach, single (↑x) ((indicator s f) ↑x) = ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) (f ↑x ⋯)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝³ : AddCommMonoid A

Context: inst✝² : AddCommMonoid B

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s✝ : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: s : Finset α

Context: f : (a : α) → a ∈ s → M

∀ x ∈ s, x ∉ (indicator s f).support → single x ((indicator s f) x) = 0


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯

IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: l : ℕ

Context: hl : ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) l


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: l : ℕ

LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ l = 0


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: l : ℕ

Context: x : M

Context: hx : x ∈ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k

↑((LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ l) ⟨x, hx⟩) = ↑(0 ⟨x, hx⟩)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t✝ s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : s.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝¹ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝ : (s + t).HaveLebesgueDecomposition μ

(s + t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t✝ s t : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : s.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: inst✝¹ : t.HaveLebesgueDecomposition μ

μ.withDensityᵥ ((s + t).rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A✝ A : C
i : ι
hi : i ≠ j

IsZero (((single C c j).obj A).homology i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: rk : α → ℕ

Context: s : Set α

Context: f0 : ℕ → α

Context: hf0 : IsBadSeq r s f0

Context: fs : (n : ℕ) → { f // IsBadSeq r s f ∧ IsMinBadSeq r rk s n f } := fun t => Nat.rec ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s 0 f0 hf0), ⋯⟩ (fun n fn => ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s (n + 1) ↑fn ⋯), ⋯⟩) t

Context: h : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → ↑(fs m) m = ↑(fs n) m

∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: rk : α → ℕ

Context: s : Set α

Context: f0 : ℕ → α

Context: hf0 : IsBadSeq r s f0

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

¬r ((fun n => ↑(fs n) n) m) ((fun n => ↑(fs n) n) n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r✝ r : α → α → Prop

Context: rk : α → ℕ

Context: s : Set α

Context: f0 : ℕ → α

Context: hf0 : IsBadSeq r s f0

Context: n : ℕ

Context: g : ℕ → α

Context: hg1 : ∀ m < n, (fun n => ↑(fs n) n) m = g m

Context: hg2 : rk (g n) < rk ((fun n => ↑(fs n) n) n)


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : Add G
inst✝¹ : AddZeroClass H
a : G
b : H
inst✝ : DistribSMul K H
c : K
f : G →+c[a, b] H
x : G


Context: X Y B : Profinite

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: Z : Profinite

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget Profinite).obj Z

Context: hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z

Context: hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z


Context: X Y B : Profinite

Context: f : X ⟶ B

Context: g : Y ⟶ B

Context: Z : Profinite

Context: a b : Z ⟶ pullback f g

Context: z : (forget Profinite).obj Z


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoMod hp (a - m • p) b = toIcoMod hp a b - m • p


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: 𝔸' : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u : Finset ι

Context: f : ι → 𝕜 → 𝔸'

Context: f' : ι → 𝔸'

Context: hf : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (f i) (f' i) x

HasStrictDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) x


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}


∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}


(fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1}) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1}


Context:
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n
m : ℕ
z : K
hz : i z = y ^ p ^ m


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : K
h : x ∈ RingHom.ker (f.comp i)


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : K
h : i x ∈ RingHom.ker f


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
h : I = ∅


Context:
n : ℕ
b : Multiset ℕ
hb₁ : ∀ {i : ℕ}, i ∈ b → 0 < i
hb₂ : b.sum = n

∃ a, ofComposition n a = { parts := b, parts_pos := hb₁, parts_sum := hb₂ }


Context:
n : ℕ
b : List ℕ
hb₁ : ∀ {i : ℕ}, i ∈ ⟦b⟧ → 0 < i
hb₂ : sum ⟦b⟧ = n

∃ a, ofComposition n a = { parts := ⟦b⟧, parts_pos := hb₁, parts_sum := hb₂ }


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
c : ℝ
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I

integralSum (c • f) vol π = c • integralSum f vol π


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α → Prop
f✝ : (a : α) → p✝ a → β
x✝ : Option α
p : α → Prop
f : α → β
x : Option α
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a

pmap (fun a x => f a) x H = Option.map f x


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 1


Context: X : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Y : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Context: h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)


Context: X : Type w

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Y : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace Y

Context: f : X → Y

Continuous (f ∘ fun x => match x with | ⟨⟨fst, i⟩, s⟩ => i s)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂) = ⊤


⊤ ≤ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂

x ∈ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
s t : List M
h : l = s ++ a :: t


Context:
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x = 0


Context:
b x : Ordinal.{u_1}
hx : ¬x = 0
hb : ¬1 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : QuasiSober α
inst✝ : IrreducibleSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
h' : ∀ x ∈ s, f x = 1


Context:
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T

w ∈ g.language ↔ g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] (List.map Symbol.terminal w)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

(descPochhammer ℤ n).smeval r = n.factorial • choose r n


(ascPochhammer ℤ n).smeval (r + (1 - ↑n).smeval r) = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
h : (1 - ↑n).smeval r = 1 - ↑n


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F

∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
hF : CompleteSpace F

∫ (x : E), f (0 • x) ∂μ = |(0 ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ


Context:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F
hR : R ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

s.encard ≤ 1 ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

(s.Nonempty → ∃ x, s = {x}) ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Nonempty → ∃ x, s = {x}
a b : α
has : a ∈ s
hbs : b ∈ s


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: c : ℝ

(normAtPlace w) (c • x) = |c| * (normAtPlace w) x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

Context: c : ℝ

(if hw : w.IsReal then ‖(c • x).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(c • x).2 ⟨w, ⋯⟩‖) = |c| * if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: n : ZMod 0


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2

legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p = q


Context:
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p ≠ q


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasEqualizer f g

Context: inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)

Context: Z : C

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = h ≫ g


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasEqualizer f g

Context: Z : C

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = h ≫ g

G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G = equalizer.lift (G.map h) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: f g : X ⟶ Y

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : HasEqualizer f g

Context: Z : C

Context: h : Z ⟶ X

Context: w : h ≫ f = h ≫ g

(G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G) ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g) = equalizer.lift (G.map h) ⋯ ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g)


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
r : R


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P

x ∈ inversion c R ⁻¹' sphere y (dist y c) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hy : y ≠ x

x ∈ inversion x R ⁻¹' sphere y (dist y x) ↔ x ∈ insert x ↑(perpBisector x (inversion x R y))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι


Context:
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂

(fun i => ((toMatrix b₁ b₁) id).toMvPolynomial i) = X


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'

lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')


lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R M')


lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)


Context:
x : PGame
h : 0 < x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
f : ι → Filter (Filter α)
x : Set α

x ∈ ⨆ x, (f x).join ↔ x ∈ (⨆ x, f x).join


Context:
x✝ x : ℝ
hx : |x| ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x


Context:
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x


Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ≤ π

Context: hx₀ : 0 ≤ x

Context: hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (-(2 / π ^ 2 * (↑2 * x ^ (2 - 1))) - -sin x) x


Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ≤ π

Context: hx₀ : 0 ≤ x

Context: hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x


Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ≤ π

Context: hx₀ : 0 ≤ x

Context: hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))


Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ≤ π

Context: hx₀ : 0 ≤ x

Context: hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x


Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ≤ π

Context: hx₀ : 0 ≤ x


Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ≤ π

Context: hx₀ : 0 ≤ x

Context: hx' : x ≤ π / 2


Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ≤ π

Context: hx₀ : 0 ≤ x

Context: hx' : π / 2 ≤ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α✝ : F✝ ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
j✝ : K

ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ pre F E₁ = ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α F) ≫ pre F E₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a✝ : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
a x : α
hx1 : |x| < 1

IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, a * x ^ n


Context:
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.length


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.reverse.length


Context:
p : Char → Bool
l m r : List Char
acc : List String

(if h : { data := l ++ m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } = true then let r := { data := l ++ m ++ r }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc; r.reverse else let_fun this := ⋯; if p ({ data := l ++ m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) = true then let i' := { data := l ++ m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }; { data := l ++ m ++ r }.splitAux p i' i' ({ data := l ++ m ++ r }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc) else { data := l ++ m ++ r }.splitAux p { byteIdx := utf8Len l } ({ data := l ++ m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) acc) = acc.reverse ++ List.map mk (List.splitOnP.go p r m.reverse)


(if r = [] then acc.reverse ++ [{ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }] else if p ({ data := l ++ (m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) = true then { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc) else { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p { byteIdx := utf8Len l } ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) acc) = acc.reverse ++ List.map mk (List.splitOnP.go p r m.reverse)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n R

LinearMap.range M.mulVecLin = span R (Set.range Mᵀ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α

Context: hac : a ≤ c

Context: hbd : b ≤ d

Context: this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
a : α


Context:
R : Type u
ι : Type w
s✝ : Finset ι
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → R
hs : 0 < s.card

(∏ i ∈ s, (X - C (f i))).coeff (s.card - 1) = -∑ i ∈ s, f i


Context:
R : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
A : Type u_1
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : M


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β

LipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y


(∀ (x y : α), ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)) ↔ ∀ (x y : α), ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α


(∃ t ∈ 𝓤 α, Prod.mk x ⁻¹' t ⊆ s) ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s✝ : Set E
a b m✝ : ℝ
x y : E
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)


Context:
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
g' : ↑(X.presheaf.stalk ↑x)
heq : (X.presheaf.germ x) f * g' = 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))

Context: heq : (X.presheaf.germ x) f * (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxV⟩) g = 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: hxW : ↑x ∈ W


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: hxW : ↑x ∈ W

Context: heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: hxW : ↑x ∈ W

Context: W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxW' : ↑x ∈ W'

Context: i₁ i₂ : W' ⟶ W

Context: heq' : (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.map i₂.op) 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: hxW : ↑x ∈ W

Context: W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxW' : ↑x ∈ W'

Context: i₁ i₂ : W' ⟶ W

IsUnit ((X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f)


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: hxW : ↑x ∈ W

Context: W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxW' : ↑x ∈ W'

Context: i₁ i₂ : W' ⟶ W

Context: heq' : (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f) * (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = 1


Context: X : RingedSpace

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: f : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: x : ↥U

Context: h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

Context: V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxV : ↑x ∈ V

Context: hxW : ↑x ∈ W

Context: W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hxW' : ↑x ∈ W'

Context: i₁ i₂ : W' ⟶ W

Context: heq' : (X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map ((U.infLERight V).op ≫ i₁.op)) g = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S : C ⥤ D

Context: T : D

Context: 𝒢 : Set C

Context: h𝒢 : IsSeparating 𝒢

Context: X Y : CostructuredArrow S T

Context: f g : X ⟶ Y

Context: hfg : ∀ G ∈ (proj S T).obj ⁻¹' 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g

Context: G : C

Context: hG : G ∈ 𝒢

Context: h : G ⟶ X.left


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hint : IntervalIntegrable f' volume a b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hint : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hab : a ≤ b


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: f✝ : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f f' : ℝ → E

Context: hcont : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hint : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hab : b ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β' → α' → δ

Context: g₁ : β → β'

Context: g₂ : α → α'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)

g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Set α

Context: t t' : Set β

Context: u u' : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c c' : γ

Context: d d' : δ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β' → α' → δ

Context: g₁ : β → β'

Context: g₂ : α → α'

g '' image2 (fun a b => f b a) t s = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a₁ a₂ : α
b : β
h₁ : b ∈ f a₁
h₂ : b ∈ f a₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a₁ a₂ : α
b : β
h₁ : a₁ ∈ f.symm b
h₂ : a₂ ∈ f.symm b


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
x y : X ⊕ Y


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : Odd (k + 1 + 1)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : x + 1 < 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : x + 1 = 0


Context:
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : 0 < x + 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : ↥K'


Context:
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
g : α → β
d : DiophFn f


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ a ∈ t, n ≤ (filter (fun x => f x = a) s).card


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: G : Type u_6

Context: k : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: f : α → β

Context: s : Finset α

Context: t : Finset β

Context: Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t

Context: n : ℕ

∑ a ∈ t, (filter (fun x => f x = a) s).card = s.card


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x' ⧏ x


Context:
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x' ⧏ x

x.insertLeft x' ≤ x ∧ x ≤ x.insertLeft x'


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: Rpos : 0 < R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: K : ℝ

Context: Rpos : 0 < R

Context: A : ∀ (x : α), ∃ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, μ (closedBall x (3 * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) * μ (closedBall x r)


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m = n✝
n : ℕ

n ∣ m ↔ n ∣ n✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α

Irreducible (Associates.mk a) ↔ Irreducible a


(¬IsUnit a ∧ ∀ (a_1 a_2 : α), a_1 * a_2 ~ᵤ a → IsUnit a_1 ∨ IsUnit a_2) ↔ ¬IsUnit a ∧ ∀ (a_1 b : α), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b


(∀ (a_1 a_2 : α), a_1 * a_2 ~ᵤ a → IsUnit a_1 ∨ IsUnit a_2) ↔ ∀ (a_1 b : α), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Cofix F α)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Cofix F α)
this : mk ∘ dest = _root_.id


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop


Context:
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n


Context:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E

F⟮α⟯ = ⊤ ↔ (minpoly F α).natDegree = finrank F E


F⟮α⟯ = ⊤ ↔ finrank F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥⊤


Context:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
h : F⟮α⟯ = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l l' : ℝ≥0

Context: hl' : l' ≠ 0

Context: φ : ℝ → ℝ

Context: φm : MonotoneOn φ s

Context: hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s l

Context: hf : HasConstantSpeedOnWith f (φ '' s) l'

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s

φ y = (fun y => ↑l / ↑l' * (y - x) + φ x) y


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l l' : ℝ≥0

Context: hl' : l' ≠ 0

Context: φ : ℝ → ℝ

Context: φm : MonotoneOn φ s

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l l' : ℝ≥0

Context: hl' : l' ≠ 0

Context: φ : ℝ → ℝ

Context: φm : MonotoneOn φ s

Context: hf : LocallyBoundedVariationOn f (φ '' s) ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ φ '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ φ '' s → variationOnFromTo f (φ '' s) x y = ↑l' * (y - x)

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: s : Set ℝ

Context: l l' : ℝ≥0

Context: hl' : l' ≠ 0

Context: φ : ℝ → ℝ

Context: φm : MonotoneOn φ s

Context: hfφ : LocallyBoundedVariationOn (f ∘ φ) s ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → variationOnFromTo (f ∘ φ) s x y = ↑l * (y - x)

Context: x : ℝ

Context: xs : x ∈ s

Context: y : ℝ

Context: ys : y ∈ s


Context:
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β fst✝¹
fst✝ : α
snd✝ : β fst✝

⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩ ↔ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst = ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ∧ HEq ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd ⟨fst✝, snd✝⟩.snd


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
g : S →+* T
f : R →+* S

Subring.map g f.range = (g.comp f).range


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ


Context: x a' : ℝ


Context:
m n : ℕ
a b : ℤ
c : ℕ


Context:
m : Type u → Type u
inst✝ : Monad m
α β : Type u
f : β → α → β
x✝ y✝ : FreeMonoid α

{ toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝


(op fun a => List.foldl f (List.foldl f a (FreeMonoid.toList x✝)) (FreeMonoid.toList y✝)) = (op fun a => List.foldl f a (FreeMonoid.toList x✝)) * op fun a => List.foldl f a (FreeMonoid.toList y✝)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
h : 0 = 1
a : M₀


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p q : Submodule R (CliffordAlgebra Q)

Submodule.map reverse (p * q) = Submodule.map reverse q * Submodule.map reverse p


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : LinearOrder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c : M

Context: h : a * b ≤ c ^ 2


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R

x ∈ imageOfDf f ↔ x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {f})ᶜ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R
hx : x ∈ imageOfDf f

{ asIdeal := Ideal.map C x.asIdeal, isPrime := ⋯ } ∈ (zeroLocus {f})ᶜ


(PrimeSpectrum.comap C) { asIdeal := Ideal.map C x.asIdeal, isPrime := ⋯ } = x


x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {f})ᶜ → x ∈ imageOfDf f


Context: x : ℝ


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β

y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (s ∩ ϕ t ⁻¹' n).Nonempty


(∀ i ∈ f, ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R


Context: α : Type u

Context: l✝ l' l : List α

Context: k : ℕ

Context: this : (l.rotate k).cyclicPermutations.length = (l.cyclicPermutations.rotate k).length

(l.rotate k).cyclicPermutations = l.cyclicPermutations.rotate k


Context: α : Type u

Context: l✝ l' l : List α

Context: k : ℕ

Context: n : ℕ

Context: hn : n < (l.rotate k).cyclicPermutations.length

Context: hn' : n < (l.cyclicPermutations.rotate k).length

(l.rotate k).cyclicPermutations.get ⟨n, hn⟩ = (l.cyclicPermutations.rotate k).get ⟨n, hn'⟩


Context: α : Type u

Context: l✝ l' l : List α

Context: k : ℕ

Context: n : ℕ

l.rotate ((↑⟨n, hn⟩ + k) % l.length) = l.cyclicPermutations.get ⟨(↑⟨n, hn'⟩ + k) % l.cyclicPermutations.length, ⋯⟩


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F✝ G✝ : ComposableArrows C n

Context: F G : ComposableArrows C 1

Context: left : F.left = G.left

Context: right : F.right = G.right

Context: w : F.hom = eqToHom left ≫ G.hom ≫ eqToHom ⋯

F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ (eqToIso right).hom = (eqToIso left).hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝³ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: K : Type w'

Context: inst✝² : SmallCategory K

Context: inst✝¹ : FinCategory K

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape K D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

J.toSheafify P ≫ (plusPlusIsoSheafify J D P).hom = toSheafify J P


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: K : Type w'

Context: inst✝² : SmallCategory K

Context: inst✝¹ : FinCategory K

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape K D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: e_1✝ : (P ⟶ sheafify J P) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj ((presheafToSheaf J D).obj P))

Context: e_3✝ : P = (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P

Context: e_4✝ : J.sheafify P = (plusPlusSheaf J D ⋙ sheafToPresheaf J D).obj P

J.toSheafify = (plusPlusAdjunction J D).unit.app


Context: C : Type u

Context: inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁶ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: K : Type w'

Context: inst✝² : SmallCategory K

Context: inst✝¹ : FinCategory K

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape K D

Context: P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: e_1✝ : (P✝ ⟶ sheafify J P✝) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P✝ ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj ((presheafToSheaf J D).obj P✝))

Context: e_3✝ : P✝ = (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P✝

Context: e_4✝ : J.sheafify P✝ = (plusPlusSheaf J D ⋙ sheafToPresheaf J D).obj P✝

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P) = (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ 𝟙 (J.sheafify P)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]

(map f p).coeff (map f p).natDegree = f (p.coeff p.natDegree)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

filter (fun x => a == x) l = replicate (count a l) a


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

Context: hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))

span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))))} = span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} = span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))}


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ * (x₂ - x₁) + y₁)) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: W✝ : Affine R

Context: f : R →+* S

Context: F : Type u

Context: inst✝ : Field F

Context: W : Affine F

Context: x₁ x₂ y₁ y₂ : F

Context: h₁ : W.Equation x₁ y₁

Context: h₂ : W.Equation x₂ y₂

Context: hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

Y - (C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (C (C x₂) - C (C x₁)) + C (C y₁)) + (C X - C (C x₂)) * -C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - (C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (C X - C (C x₁)) + C (C y₁))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

sinZeta (↑x) (2 * ↑k + 1) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

∑' (b : ℕ), ↑(Real.sin (2 * π * x * ↑b)) / ↑b ^ (2 * ↑k + 1) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))


Context:
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K

ker (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


⨅ i, comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i)) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Semifield K

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: w : m → K

Context: this : ∀ (i : m), ker (proj i ∘ₗ toLin' (diagonal w)) = comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i))


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Semifield K

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: w : m → K

⨅ i, ⨅ (_ : w i ≠ 0), ker (proj i) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Fintype n

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Semifield K

Context: inst✝ : DecidableEq m

Context: w : m → K

Context: this✝ : ∀ (i : m), ker (proj i ∘ₗ toLin' (diagonal w)) = comap (toLin' (diagonal w)) (ker (proj i))

Context: this : univ ⊆ {i | w i = 0} ∪ {i | w i = 0}ᶜ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
hq0 : 0 ≤ q


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
hq_neg : q < 0