n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂

((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝

((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝

(f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b✝ : α
inst✝ : LE α
a : α
b : WithBot α
h : b ≠ ⊥


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))

Context: s : γ → α

Context: t : Finset γ


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : γ → α

Context: t : Finset γ


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
γ : Type u_5
x : X
y : Y
f : Filter γ
mx : γ → X
my : γ → Y
hx : Tendsto mx f (𝓝 x)
hy : Tendsto my f (𝓝 y)

Tendsto (fun c => (mx c, my c)) f (𝓝 (x, y))


Tendsto (fun c => (mx c, my c)) f (𝓝 x ×ˢ 𝓝 y)


Context:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
m : M

m ∈ fixingSubgroup M s ↔ s ⊆ fixedBy α m


Context: E : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝² : HasGroupoid M (contDiffGroupoid 0 I)

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E


Context: E : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace E


Context: E : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: this : LocallyCompactSpace H


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G
N : Subgroup G
hN : N.Normal


⋃ a ∈ s, (fun x => a * x) '' ↑N = ⋃ a ∈ s, (fun x => x * a) '' ↑N


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : LinearIndependent F v

LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
l : Filter α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
b c : α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α

(b :: c :: l₁ ++ a :: l₂).getLast? = (a :: l₂).getLast?


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
htu : Disjoint t u

(condCount s) (t ∪ u) = (condCount s) t + (condCount s) u


Context: a : ℝ

frontier {z | a ≤ z.re} = {z | z.re = a}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Equiv.Perm α
f : α ↪ β
a : α


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
I : D
hI : Injective I
X Y : C
f : X ⟶ G.obj I
g : X ⟶ Y
inst✝ : Mono g


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms

Context: I : D

Context: hI : Injective I

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ G.obj I

Context: g : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono g

Context: w : F.obj Y ⟶ I

Context: h : F.map g ≫ w = F.map f ≫ adj.counit.app I


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms

Context: I : D

Context: hI : Injective I

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ G.obj I

Context: g : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono g

Context: w : F.obj Y ⟶ I


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{u_2, u_1} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms

Context: I : D

Context: hI : Injective I

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ G.obj I

Context: g : X ⟶ Y

Context: inst✝ : Mono g

Context: w : F.obj Y ⟶ I

adj.unit.app X ≫ G.map (F.map f ≫ adj.counit.app I) = f


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0


∑ a ∈ d.support, d a ≤ d.sum fun i c => c • 1 i


∑ a ∈ d.support, d a ≤ d.sum fun i c => c


Context:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w w' : InfinitePlace K

w' ∈ MulAction.orbit (K ≃ₐ[k] K) w ↔ w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)


w' ∈ MulAction.orbit (K ≃ₐ[k] K) w → w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w : InfinitePlace K
σ : K ≃ₐ[k] K

w.comap (algebraMap k K) = (σ • w).comap (algebraMap k K)


mk (w.embedding.comp (algebraMap k K)) = mk ((w.embedding.comp ↑σ.symm).comp (algebraMap k K))


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c d : α


Context:
b : ℕ
hb : 1 < b


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

{x} * closedBall y δ = closedBall (x * y) δ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
c : 𝕜
g : α → 𝕜
hc : c ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v : Fin 1 → E

(q.comp p 1) v = (q 1) fun _i => (p 1) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: v : Fin 1 → E

Context: this : {Composition.ones 1} = Finset.univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: v : Fin 1 → E

(q (Composition.ones 1).length) (p.applyComposition (Composition.ones 1) v) = (q 1) fun _i => (p 1) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: v : Fin 1 → E

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < (Composition.ones 1).length

Context: hi2 : i < 1

p.applyComposition (Composition.ones 1) v ⟨i, hi1⟩ = (p 1) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: v : Fin 1 → E

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < (Composition.ones 1).length

Context: hi2 : i < 1

((p 1) fun x => v (Fin.castLE ⋯ ⟨i, hi1⟩)) = (p 1) v


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0
ε : ℚ
hε : ε > 0


∀ j ≥ stationaryPoint hf, padicNorm p (↑f j) < ε


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
H : ↑f (stationaryPoint hf) = 0
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : n ≥ stationaryPoint hf


padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) < ε


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
F G : C ⥤ Dᵒᵖ
e : F ≅ G
X : C

(e.hom.app X).unop ≫ (e.inv.app X).unop = 𝟙 (Opposite.unop (G.obj X))


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ

Context: hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

Context: h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ

Context: hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

Context: h_right_f : ∫ (a : α), f a ^ p ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ

Context: hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

Context: h_right_g : ∫ (a : α), g a ^ q ∂μ = ∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: ν : Measure α

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: f g : α → ℝ

Context: hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

Context: hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a : α × α
x✝¹ : a ∈ ↑(s ×ˢ t)
b : α × α
x✝ : b ∈ ↑(s ×ˢ t)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A

(↑(Polynomial.aeval a)).comp hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin.toRingHom = ↑(aeval fun o => o.elim a x)


∀ (r : R), (Polynomial.aeval a) (hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (C r)) = (aeval fun o => o.elim a x) (C r)


∀ (i : Option ι), (Polynomial.aeval a) (hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (X i)) = (aeval fun o => o.elim a x) (X i)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf_inj : Disjoint (span R (range v)) (LinearMap.ker f)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) ≤ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥

Context: f : M →ₗ[R] M'

LinearMap.ker (Finsupp.total ι M' R (⇑f ∘ v)) = ⊥


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: this : Inhabited M


Context:
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
K₀ : PositiveCompacts G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ ↑K₀ = 1


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Fintype ι
b : Basis ι R M
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : Fintype M


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : IsPreirreducible s
u : Set X
hu : IsOpen u
v : Set X
hv : IsOpen v
x✝ : X
hxs✝ : x✝ ∈ s
hxu✝ : ⟨x✝, hxs✝⟩ ∈ val ⁻¹' u
y : X
hys : y ∈ s
hyv : ⟨y, hys⟩ ∈ val ⁻¹' v
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
hxv : x ∈ v

(univ ∩ (val ⁻¹' u ∩ val ⁻¹' v)).Nonempty


Context:
J : Type u₂
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Discrete J ⥤ C
x y : J
f : { as := x } ⟶ { as := y }

(({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).map f ≫ ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := y }).hom = ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom ≫ ((𝟭 (Discrete J ⥤ C)).obj F).map f


Context:
J : Type u₂
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Discrete J ⥤ C
x : J
f : { as := x } ⟶ { as := x }

(({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).map f ≫ ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom = ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom ≫ ((𝟭 (Discrete J ⥤ C)).obj F).map f


Context: n : ℕ

φ n = Nat.card ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m}


Context: n : ℕ

Context: e : ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m} ≃ { x // x ∈ filter n.Coprime (range n) } := { toFun := fun m => ⟨↑m, ⋯⟩, invFun := fun m => ⟨↑m, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F

a.toBasis.det ⇑b = 1 ∨ a.toBasis.det ⇑b = -1


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'

c ≤ f.rank ↔ ∃ s, lift.{v', v} #↑s = lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥(range f) →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id


Context:
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥(range f) →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id
fg : LeftInverse ⇑f.rangeRestrict ⇑g


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α

submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Finite o

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring α

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: e₁ : l → o

Context: e₂ : m ≃ o

Context: M : Matrix m n α

Context: val✝ : Fintype o

Context: A : Matrix o n α := M.submatrix (⇑e₂.symm) id


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Finite o

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring α

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: e₁ : l → o

Context: e₂ : m ≃ o

Context: M : Matrix m n α

Context: val✝ : Fintype o

Context: this : M = A.submatrix (⇑e₂) id


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: o : Type u_4

Context: m' : o → Type u_5

Context: n' : o → Type u_6

Context: R : Type u_7

Context: S : Type u_8

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: γ : Type u_9

Context: inst✝³ : Fintype m

Context: inst✝² : Finite o

Context: inst✝¹ : NonAssocSemiring α

Context: inst✝ : DecidableEq o

Context: e₁ : l → o

Context: e₂ : m ≃ o

Context: M : Matrix m n α

Context: val✝ : Fintype o

Context: this : M = A.submatrix (⇑e₂) id

(1 * A).submatrix e₁ id = (A.submatrix (⇑e₂) id).submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F


Tendsto eulerMascheroniSeq' atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)


Tendsto (fun n => eulerMascheroniSeq' n - eulerMascheroniSeq n) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun x => log (x + 1) - log x) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun x => log (1 + 1 / x)) atTop (𝓝 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = ⅟↑p ^ n * 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

∀ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: H : m ∈ range n

constantCoeff (C (↑p ^ m) * xInTermsOfW p R m ^ p ^ (n - m)) = 0


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: inst✝ : Invertible ↑p

Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: H : m < n


Context: C : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝² : HasZeroMorphisms C

Context: K L : CochainComplex C ℕ

Context: φ : K ⟶ L

Context: inst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0

Context: inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0

HomologicalComplex.homologyMap φ 0 ≫ L.isoHomologyπ₀.inv = K.isoHomologyπ₀.inv ≫ HomologicalComplex.cyclesMap φ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α
r : ¬q.length ≤ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : Multiset R

Context: l : List R

0 < prod (Quot.mk Setoid.r l) ↔ ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r l, 0 < x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m : Multiset R

Context: l : List R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β


Context: G : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : MulAction G α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: S : Set (Equiv.Perm α)

Context: hS : ∀ σ ∈ S, σ.IsSwap

Context: inst✝ : IsPretransitive (↥(closure S)) α


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction

s.SSameSide (v +ᵥ x) y ↔ s.SSameSide x y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) 1) = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : Finite α
s : { s // InfIrred s }
inst✝ : Fintype ↥↑s

infIrredUpperSet.symm s = (↑↑s).toFinset.inf id


Context:
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B


(HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.down ℕ) 0 A).hom ≫ f ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.down ℕ) 0 B).inv = f


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
z : M


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : 1 + y ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
X : Cᵒᵖ
x : F.obj X
property✝ : x ∈ G.obj X


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
X Y Z : Cᵒᵖ
i : X ⟶ Y
j : Y ⟶ Z
x : F.obj X
property✝ : x ∈ G.obj X


Context:
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M

#((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) = #((n : ℕ) × L.BoundedFormula Empty (n + 1))


((sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{u, max u v} #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))) = sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))


((sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) + sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))) = sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))


(sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) ≤ sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))


ℵ₀ ≤ sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
h : x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
h : y ≤ x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop

∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in l, x_1 ∈ Metric.closedBall x (r i)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
y : α

∀ᶠ (i : ι) in l, y ∈ Metric.closedBall x (r i)


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ

∀ {ifp_n : IntFractPair ℚ}, IntFractPair.stream q n = some ifp_n → ifp_n.fr.num ≤ (IntFractPair.of q).fr.num - ↑n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f s) s x


(((↑{ toLinearEquiv := (ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderivWithin 𝕜 (iteratedDerivWithin n f s) s x)) 1) (Fin.tail fun x => 1) = (fderivWithin 𝕜 (iteratedDerivWithin n f s) s x) 1


Context:
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc


δ j ≫ δ (i.castLT ⋯).castSucc = δ j ≫ δ i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : Function.Surjective ⇑f


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P

(s1 ⊓ s2).direction ≤ s1.direction ⊓ s2.direction


Submodule.span k (↑(s1 ⊓ s2) -ᵥ ↑(s1 ⊓ s2)) ≤ Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ⊓ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : ι → TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace β


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
f✝ : ℕ → α✝
a : α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
f : β → ℝ
hf : 0 ≤ f
s : α → Set β
hs : ∀ (i : β), ∃! j, i ∈ s j

Summable f ↔ (∀ (j : α), Summable fun i => f ↑i) ∧ Summable fun j => ∑' (i : ↑(s j)), f ↑i


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h : MeromorphicOn s⁻¹ U


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₁ : Type u_3

Context: D₂ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁

Context: inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂

Context: G : C₁ ⥤ C₂

Context: F : C₂ ⥤ C₁

Context: adj : G ⊣ F

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G

Context: hG : W.IsInvertedBy G

G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₁ : Type u_3

Context: D₂ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁

Context: inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂

Context: G : C₁ ⥤ C₂

Context: F : C₂ ⥤ C₁

Context: adj : G ⊣ F

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: hG : W.IsInvertedBy G

Context: this : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₁ : Type u_3

Context: D₂ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁

Context: inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂

Context: G : C₁ ⥤ C₂

Context: F : C₂ ⥤ C₁

Context: adj : G ⊣ F

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: hG : W.IsInvertedBy G

Context: this✝ : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)

Context: this : IsIso (whiskerRight adj.unit W.Q)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D₁ : Type u_3

Context: D₂ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁

Context: inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂

Context: G : C₁ ⥤ C₂

Context: F : C₂ ⥤ C₁

Context: adj : G ⊣ F

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: hG : W.IsInvertedBy G

Context: e : W.Localization ≌ C₂ := Equivalence.mk (lift G hG W.Q) (F ⋙ W.Q) (liftNatIso W.Q W W.Q (G ⋙ F ⋙ W.Q) (𝟭 W.Localization) (lift G hG W.Q ⋙ F ⋙ W.Q) (W.Q.leftUnitor.symm ≪≫ asIso (whiskerRight adj.unit W.Q))) (F.associator W.Q (lift G hG W.Q) ≪≫ isoWhiskerLeft F (fac G hG W.Q) ≪≫ asIso adj.counit)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: σ : α → Type u_4

Context: a✝ : α

Context: s✝ : Multiset α

Context: t✝ : (a : α) → Multiset (σ a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: IH : ∀ (t u : (a : α) → Multiset (σ a)), (s.sigma fun a => t a + u a) = s.sigma t + s.sigma u

Context: t u : (a : α) → Multiset (σ a)

((a ::ₘ s).sigma fun a => t a + u a) = (a ::ₘ s).sigma t + (a ::ₘ s).sigma u


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: σ : α → Type u_4

Context: a✝ : α

Context: s✝ : Multiset α

Context: t✝ : (a : α) → Multiset (σ a)

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: t u : (a : α) → Multiset (σ a)

map (Sigma.mk a) (t a + u a) + (s.sigma t + s.sigma u) = (a ::ₘ s).sigma t + (a ::ₘ s).sigma u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f

(e.extendDomain f.toEquivRange) b = f (e (⋯.invOfMemRange ⟨b, h⟩))


↑(f.toEquivRange (e (f.toEquivRange.symm ⟨b, ?h⟩))) = f (e (⋯.invOfMemRange ⟨b, h⟩))


Context:
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M

Context: φ : L.Formula α

M ⊨ equivSentence φ ↔ φ.Realize fun a => ↑(L.con a)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)


Context:
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hf : IntegrableOn f (↑I) μ

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g

Context: this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hf : IntegrableOn f (↑I) μ

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g

HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hf : IntegrableOn f (↑I) μ

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: hf : IntegrableOn f (↑I) μ

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : 0 < ε

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c

Context: hcε : c < ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c

Context: hcε : c < ε

Context: r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) + dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) + dist (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) + dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) + dist (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ (μ ↑I).toReal * ↑ε + ↑ε + ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) ≤ (μ ↑I).toReal * ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) ≤ ↑ε


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: I : Box ι

Context: l : IntegrationParams

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E

Context: this✝ : BorelSpace E

Context: g : (ι → ℝ) → E

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hgi : IntegrableOn g (↑I) μ

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: ε0' : 0 < ↑ε

Context: N₀ : ℕ

Context: Nx : (ι → ℝ) → ℕ

Context: hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π

Context: hπp : π.IsPartition

dist (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ↑ε


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
hY : IsZero X


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
hba : y * x ∈ H


Context:
step a s n : Nat
h : a ≤ s

map (fun x => x - a) (range' s n step) = range' (s - a) n step


Context:
step a s n : Nat
h : a ≤ s

map (fun x => x - a) (range' (a + (s - a)) n step) = range' (s - a) n step


Context:
step a s n : Nat
h : a ≤ s

((fun x => x - a) ∘ fun x => a + x) = id


Context:
step a s n : Nat
h : a ≤ s
x : Nat

((fun x => x - a) ∘ fun x => a + x) x = id x


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ⊤


∀ i ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s, IsCompact i → μ i = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k✝ : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ⊤
k : Set α
hk : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s
h'k : IsCompact k


Context: α : Type u_1

Context: r : Rel α α

Context: β : Type u_2

Context: s : Rel β β

Context: p : RelSeries r

Context: i : Fin p.length

Context: a : α

Context: prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a

Context: connect_next : r a (p.toFun i.succ)

Context: m : Fin (p.length + 1)

Context: x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc

Context: y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ


Context: α : Type u_1

Context: r : Rel α α

Context: β : Type u_2

Context: s : Rel β β

Context: p : RelSeries r

Context: i : Fin p.length

Context: a : α

Context: prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a

Context: connect_next : r a (p.toFun i.succ)

Context: m : Fin (p.length + 1)

Context: hm : ↑m < ↑i


Context: α : Type u_1

Context: r : Rel α α

Context: β : Type u_2

Context: s : Rel β β

Context: p : RelSeries r

Context: i : Fin p.length

Context: a : α

Context: prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a

Context: connect_next : r a (p.toFun i.succ)

Context: m : Fin (p.length + 1)

Context: hm : ↑m = ↑i


Context: α : Type u_1

Context: r : Rel α α

Context: β : Type u_2

Context: s : Rel β β

Context: p : RelSeries r

Context: i : Fin p.length

Context: a : α

Context: prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a

Context: connect_next : r a (p.toFun i.succ)

Context: m : Fin (p.length + 1)

Context: hm : ↑i < ↑m


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : B ⊆ M.E


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0


Context:
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ


Context:
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|


Context:
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m


Context:
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m


Context: ξ : ℝ

Context: hξ : Irrational ξ

Context: q : ℚ

Context: h : 0 < |ξ - ↑q|

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m

Context: m_pos : 0 < ↑m

Context: q' : ℚ

Context: hbd : |ξ - ↑q'| ≤ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den)

Context: hden : q'.den ≤ m


Context: ξ : ℝ

Context: hξ : Irrational ξ

Context: q : ℚ

Context: h : 0 < |ξ - ↑q|

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m

Context: m_pos : 0 < ↑m

Context: q' : ℚ

Context: hden : q'.den ≤ m

Context: den_pos : 0 < ↑q'.den


Context: ξ : ℝ

Context: hξ : Irrational ξ

Context: q : ℚ

Context: h : 0 < |ξ - ↑q|

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m

Context: m_pos : 0 < ↑m

Context: q' : ℚ

Context: hden : q'.den ≤ m

Context: den_pos : 0 < ↑q'.den

Context: md_pos : 0 < (↑m + 1) * ↑q'.den


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i
hx' : x ∉ ⊥


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F' : I.Filtration M

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : I ≠ ⊤

Context: x : R

Context: hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i

Context: hx' : x ∉ ⊥

Context: this : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤ ↔ ∃ r, ↑r • x = x


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i
hx' : x ∉ ⊥
this : x ∈ ⨅ i, I ^ i ↔ ∃ r, ↑r * x = x


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : IsDomain R
h : I ≠ ⊤
x : R
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i
hx' : x ∉ ⊥
this : x ∈ ⨅ i, I ^ i ↔ ∃ r, ↑r * x = x
r : ↥I
hr : ↑r * x = x


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F' : I.Filtration M

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: h : I ≠ ⊤

Context: x : R

Context: hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i

Context: hx' : x ∉ ⊥

Context: this✝ : x ∈ ⨅ i, I ^ i ↔ ∃ r, ↑r * x = x

Context: r : ↥I

Context: hr : ↑r * x = x

Context: this : ↑r = 1


Context: p i : ℕ


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ

a ^ n = 1 ↔ n = 0 ∨ a = 1 ∨ a = -1 ∧ Even n


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
h : derivative 0 = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f : R[X]
h : derivative f = 0
hf : f ≠ 0
f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree
m : ℕ := f.natDegree - 1
hm : m + 1 = f.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R

Context: f : R[X]

Context: h : derivative f = 0

Context: hf : f ≠ 0

Context: f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree

Context: m : ℕ := f.natDegree - 1

Context: hm : m + 1 = f.natDegree

Context: h2 : (derivative f).coeff m = f.coeff (m + 1) * (↑m + 1)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R

Context: f : R[X]

Context: h : ∀ (n : ℕ), (derivative f).coeff n = coeff 0 n

Context: hf : f ≠ 0

Context: f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree

Context: m : ℕ := f.natDegree - 1

Context: hm : m + 1 = f.natDegree


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R

Context: f : R[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree

Context: m : ℕ := f.natDegree - 1

Context: hm : m + 1 = f.natDegree

Context: h2 : m + 1 = 0 ∨ f.coeff (m + 1) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R

Context: f : R[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree

Context: m : ℕ := f.natDegree - 1

Context: hm : m + 1 = f.natDegree

Context: h2 : f.coeff (m + 1) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R

Context: f : R[X]

Context: hf : f ≠ 0

Context: f_nat_degree_pos : 0 < f.natDegree

Context: m : ℕ := f.natDegree - 1

Context: hm : m + 1 = f.natDegree

Context: h2 : f = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
inst✝¹ : Invertible ((ι Q) a)
inst✝ : Invertible (Q a)

⅟((ι Q) a) * (ι Q) b * (ι Q) a = (ι Q) ((⅟(Q a) * QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) • a - b)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t u v A B : Set E
x✝¹ : 𝕜
x✝ : ‖x✝¹‖ ≤ 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
x : K

x ∈ (fun a => ↑a) J⁻¹ → x ∈ (fun a => ↑a) I⁻¹


(∀ y ∈ J, x * y ∈ 1) → ∀ y ∈ I, x * y ∈ 1


Context: x y : ℂ

SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg


Context: y : ℂ

SameRay ℝ 0 y ↔ 0 = 0 ∨ y = 0 ∨ arg 0 = y.arg


Context:
x y : ℂ
hx : x ≠ 0


Context:
x : ℂ
hx : x ≠ 0

SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0 ∨ 0 = 0 ∨ x.arg = arg 0


Context:
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0


Context:
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

‖x‖ • y = ‖y‖ • x ↔ ↑(abs y) / ↑(abs x) * x = y


Context:
x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

↑(abs x) * y = ↑(abs y) * x ↔ ↑(abs y) * x = y * ↑(abs x)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁵ : W.IsCompatibleWithTriangulation

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: hT₁ : T₁ ∈ L.essImageDistTriang

Context: hT₂ : T₂ ∈ L.essImageDistTriang

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor D 1).map a = c ≫ T₂.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle D

Context: hT₁ : T₁ ∈ L.essImageDistTriang

Context: hT₂ : T₂ ∈ L.essImageDistTriang

Context: a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁

Context: b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂

Context: fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

∀ (T₁' T₂' : Triangle C), T₁' ∈ distinguishedTriangles → T₂' ∈ distinguishedTriangles → ∀ (a : L.obj T₁'.obj₁ ⟶ L.obj T₂'.obj₁) (b : L.obj T₁'.obj₂ ⟶ L.obj T₂'.obj₂), L.map T₁'.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂'.mor₁ → ∃ φ, φ.hom₁ = a ∧ φ.hom₂ = b


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: fac : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).f ≫ β.s = (MorphismProperty.RightFraction.mk α.s ⋯ T₂.mor₁).s ≫ β.f


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this : IsIso (L.map β.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: fac✝ : L.map T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ L.map T₂.mor₁

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: fac : (α.f ≫ β.f ≫ γ.s) ≫ σ = (T₁.mor₁ ≫ γ.f) ≫ σ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: fac : α.f ≫ β.f ≫ γ.s ≫ σ = T₁.mor₁ ≫ γ.f ≫ σ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: hT₃ : Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: T₃ : Triangle C := Triangle.mk (β.f ≫ γ.s ≫ σ) g h

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)

Context: ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃

Context: hψ₃ : W ψ₃

Context: hψ₁ : T₂.mor₂ ≫ ψ₃ = (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ≫ T₃.mor₂

Context: hψ₂ : T₂.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map α.s = ψ₃ ≫ T₃.mor₃


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝ : IsIso (L.map β.s)

Context: this : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)

Context: ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃

Context: hψ₃ : W ψ₃

Context: ψ : T₂ ⟶ T₃ := T₂.homMk T₃ α.s (β.s ≫ γ.s ≫ σ) ψ₃ ⋯ hψ₁ hψ₂


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝¹ : IsIso (L.map β.s)

Context: this✝ : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)

Context: ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃

Context: hψ₃ : W ψ₃

Context: this : IsIso (L.mapTriangle.map ψ)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝¹ : IsIso (L.map β.s)

Context: this✝ : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)

Context: ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃

Context: hψ₃ : W ψ₃

Context: this : IsIso (L.mapTriangle.map ψ)

(L.mapTriangle.map (completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₃ hT₁ hT₃ α.f (γ.f ≫ σ) ⋯) ≫ inv (L.mapTriangle.map ψ)).hom₁ = a


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_3, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: inst✝¹³ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹² : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : HasZeroObject C

Context: inst✝⁹ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : L.CommShift ℤ

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝⁶ : L.IsLocalization W

Context: inst✝⁴ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: inst✝² : HasZeroObject D

Context: inst✝ : L.Additive

Context: T₁ T₂ : Triangle C

Context: hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles

Context: hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles

Context: a : L.obj T₁.obj₁ ⟶ L.obj T₂.obj₁

Context: b : L.obj T₁.obj₂ ⟶ L.obj T₂.obj₂

Context: α : W.LeftFraction T₁.obj₁ T₂.obj₁

Context: hα : a = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction α.Y' T₂.obj₂

Context: hβ : T₂.mor₁ ≫ β.s = α.s ≫ β.f

Context: γ : W.LeftFraction T₁.obj₂ β.Y'

Context: hγ : b ≫ L.map β.s = γ.map L ⋯

Context: this✝¹ : IsIso (L.map β.s)

Context: this✝ : IsIso (L.map γ.s)

Context: Z₂ : C

Context: σ : γ.Y' ⟶ Z₂

Context: hσ : W σ

Context: Y₃ : C

Context: g : Z₂ ⟶ Y₃

Context: h : Y₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj α.Y'

Context: hT₃ : T₃ ∈ distinguishedTriangles

Context: hβγσ : W (β.s ≫ γ.s ≫ σ)

Context: ψ₃ : T₂.obj₃ ⟶ T₃.obj₃

Context: hψ₃ : W ψ₃

Context: this : IsIso (L.mapTriangle.map ψ)

(L.mapTriangle.map (completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₃ hT₁ hT₃ α.f (γ.f ≫ σ) ⋯) ≫ inv (L.mapTriangle.map ψ)).hom₂ = b


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁹ : T2Space β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝⁴ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology γ

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace γ

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: g : β → γ

Context: hg : Measurable g

Context: this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ

MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))}


Context: α✝ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: tβ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁹ : T2Space β

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: s : Set γ

Context: f✝ : γ → β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: l : Filter ι

Context: inst✝⁴ : l.IsCountablyGenerated

Context: inst✝³ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝² : SecondCountableTopology γ

Context: inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace γ

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace γ

Context: f : ι → β → γ

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: g : β → γ

Context: hg : Measurable g

MeasurableSet {x | Tendsto (fun b => dist (f b x) (g x)) l (𝓝 0)}


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f g✝ : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: h : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖f t‖ ≤ g t

Context: hbound : IntervalIntegrable g μ a b

‖∫ (t : ℝ) in a..b, f t ∂μ‖ ≤ |∫ (t : ℝ) in a..b, g t ∂μ|