Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0


q = 0 → p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0


↑p.natDegree + ↑q.natDegree ≤ (p * q).degree


(p * q).coeff (p.natDegree + q.natDegree) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: map_unit : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)

Context: j k : M' →ₗ[R] M''

Context: h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommSemiring A

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Module A M'

Context: inst✝⁵ : IsLocalization S A

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: g : M →ₗ[R] M''

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: j k : M' →ₗ[R] M''

Context: h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a


Context:
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ

p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∨ p ∈ b.primeFactorsList


Context:
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ

Prime p ∧ p ∣ a * b ↔ Prime p ∧ (p ∣ a ∨ p ∣ b)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
ν : Measure β
μ : Measure α
e : α ≃ᵐ β

Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ) ≪ μ


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

μ.testAgainstNN f = μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f


(μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure).testAgainstNN f = μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L

(trace R ↥↑(weightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) = finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ x


_root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)


_root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ

lightToProfinite.map (S.proj n) = (lightToProfinite.obj S).asLimitCone.π.app ((sequentialFunctor (DiscreteQuotient ↑(lightToProfinite.obj S).toTop)).obj (Opposite.op n))


Context:
S : LightProfinite
n : ℕ

S.proj n = (Profinite.asLimitCone (CompHausLike.of (fun X => TotallyDisconnectedSpace ↑X) ↑S.toTop)).π.app ((sequentialFunctor (DiscreteQuotient ↑S.toTop)).obj (Opposite.op n))


Context: S : LightProfinite

Context: n : ℕ

Context: c : Cone (S.diagram ⋙ lightToProfinite) := S.toLightDiagram.cone

Context: hc : IsLimit c := S.toLightDiagram.isLimit


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
s : Set α

MeasurePreserving f (μa.restrict s) (μb.restrict (f '' s))


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : α → ℝ≥0

Context: int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: fs : α →ₛ ℝ≥0

Context: fs_le_f : ∀ (x : α), ↑fs x ≤ f x

Context: int_fs : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : α → ℝ≥0

Context: int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: fs : α →ₛ ℝ≥0

Context: fs_le_f : ∀ (x : α), ↑fs x ≤ f x

Context: int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : α → ℝ≥0

Context: int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: fs : α →ₛ ℝ≥0

Context: fs_le_f : ∀ (x : α), ↑fs x ≤ f x

Context: g : α → ℝ≥0

Context: g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ ↑fs x

Context: gcont : UpperSemicontinuous g

Context: gint : ∫⁻ (x : α), ↑(↑fs x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: f : α → ℝ≥0

Context: int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≠ ⊤

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: fs : α →ₛ ℝ≥0

Context: fs_le_f : ∀ (x : α), ↑fs x ≤ f x

Context: g : α → ℝ≥0

Context: g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ ↑fs x

Context: gcont : UpperSemicontinuous g

∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasTerminal C
ι : Type w
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Finite ι
X : C
j : ι

(limitIsoPi ι X).hom ≫ Pi.π (fun x => X) j = WidePullback.π (fun x => terminal.from X) j


Context:
n n✝ : ℕ
h : n✝ + 1 ∈ n.divisors


Context:
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : SMul M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
x : M
y : N


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N

(trace R (M ⊗[R] N)) (TensorProduct.map f g) = (trace R M) f * (trace R N) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: g : N →ₗ[R] N

Context: h : (((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))) f) g = (((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)) f) g


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁰ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁸ : Module R N

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup P

Context: inst✝⁶ : Module R P

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Module.Free R M

Context: inst✝⁴ : Module.Finite R M

Context: inst✝³ : Module.Free R N

Context: inst✝² : Module.Finite R N

Context: inst✝¹ : Module.Free R P

Context: inst✝ : Module.Finite R P

Context: f : M →ₗ[R] M

Context: g : N →ₗ[R] N

Context: h : (trace R (M ⊗[R] N)) (TensorProduct.map f g) = (trace R M) f * (trace R N) g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ


μ.withDensityᵥ ((-s).rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ (-s.rnDeriv μ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
h : ∀ a ∈ s, p (f a)
b : β
hb : b ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
h : ∀ a ∈ s, p (f a)
a : α
ha : a ∈ s
hb : f a ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
b : β
s : Set β
x✝ : MeasurableSet s


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
n : ℕ
hl : ∀ p ∈ t, p.natDegree ≤ n

t.prod.coeff (Multiset.card t * n) = (Multiset.map (fun p => p.coeff n) t).prod


Context:
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
n : ℕ
a✝ : List R[X]
hl : ∀ p ∈ ⟦a✝⟧, p.natDegree ≤ n

(prod ⟦a✝⟧).coeff (Multiset.card ⟦a✝⟧ * n) = (Multiset.map (fun p => p.coeff n) ⟦a✝⟧).prod


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
x✝ : S
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra S L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R S L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S L
x : S
y : L

y ∈ coeSubmodule L (conductor R x) ↔ ∀ (z : S), y * (algebraMap S L) z ∈ adjoin R {(algebraMap S L) x}


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
x✝ : S
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra S L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R S L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S L
x : S
y : L
h✝ : Subsingleton L


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
x✝ : S
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra S L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R S L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S L
x : S
y : L
h✝ : Nontrivial L


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsEmpty α

Context: β : α → Type u_5

Context: m : (a : α) → MeasurableSpace (β a)

Context: μ : (a : α) → Measure (β a)

Context: x : optParam ((a : α) → β a) fun a => isEmptyElim a

Context: this : ∀ (a : α), SigmaFinite (μ a)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsEmpty α

Context: β : α → Type u_5

Context: m : (a : α) → MeasurableSpace (β a)

Context: μ : (a : α) → Measure (β a)

Context: this : ∀ (a : α), SigmaFinite (μ a)

Context: s : (i : α) → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : α), MeasurableSet (s i)

(dirac x) (univ.pi s) = ∏ i : α, (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : IsEmpty α

Context: β : α → Type u_5

Context: m : (a : α) → MeasurableSpace (β a)

Context: μ : (a : α) → Measure (β a)

Context: this : ∀ (a : α), SigmaFinite (μ a)

Context: s : (i : α) → Set (β i)

Context: x✝ : ∀ (i : α), MeasurableSet (s i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
Z : C


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
v : OrthonormalBasis (Fin n) ℝ E


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

Context: h : (b.repr v) default ≠ 0 := mt basisUnique_repr_eq_zero_iff.mp hv

∀ (x y : V), (fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default)) (x + y) = (fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default)) x + (fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default)) y


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

∀ (m : K) (x : V), { toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id K) m • { toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯ }.toFun x


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

Context: w : V

(fun f => f default • v) ({ toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun w) = w


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

Context: w : V

b.repr ((fun f => f default • v) ({ toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun w)) = b.repr w


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

Context: w : V

Equiv.finsuppUnique (b.repr ((fun f => f default • v) ({ toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun w))) = Equiv.finsuppUnique (b.repr w)


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

Context: w : V

(RingHom.id K) ((b.repr w) default / (b.repr v) default) * (b.repr v) default = (b.repr w) default


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

Context: f : ι →₀ K

({ toFun := fun w => Finsupp.single default ((b.repr w) default / (b.repr v) default), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f => f default • v) f)) default = f default


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Unique ι

Context: h✝ : finrank K V = 1

Context: v : V

Context: hv : v ≠ 0

Context: b : Basis ι K V := basisUnique ι h✝

Context: f : ι →₀ K

f default * (b.repr v) default / (b.repr v) default = f default


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X

LocallyIntegrableOn f univ μ ↔ LocallyIntegrable f μ


(∀ (x : X), IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ) ↔ LocallyIntegrable f μ


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ENNReal.ofReal a.toReal = a


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: b : β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: f_mble : NullMeasurable f (μ.restrict s)

Context: hs : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] fun x => b

Context: t : Set β

Context: t_mble : MeasurableSet t

Context: ht : b ∉ t


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: b : β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: t_mble : MeasurableSet t

Context: ht : b ∉ t


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: b : β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : μ ({a | ¬f a = b} ∩ sᶜ) = 0

Context: t : Set β

Context: t_mble : MeasurableSet t

Context: ht : b ∉ t


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β✝

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t✝ : Set α

Context: β : Type u_7

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: b : β

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: hs : (μ.restrict sᶜ) {a | ¬f a = b} = 0

Context: t : Set β

Context: t_mble : MeasurableSet t

Context: ht : b ∉ t

NullMeasurableSet {a | ¬f a = b} (μ.restrict sᶜ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν


evariance g ν = ∫⁻ (x : β), ↑‖g x - ∫ (x : α), f x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂ν


evariance g ν = ∫⁻ (x : β), ↑‖g x - ∫ (x : β), g x ∂ν‖₊ ^ 2 ∂ν


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
hY : IsZero Y


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V

G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃e : Sym2 V⦄, e ∈ G.edgeSet → G.IsBridge e


Context: α✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace M

Context: inst✝ : MeasurableMul₂ M

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → M

Context: l✝ : Multiset (α → M)

Context: l : List (α → M)

Context: hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, AEMeasurable f μ

AEMeasurable (prod (Quot.mk Setoid.r l)) μ


Context:
M✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace M✝
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : MeasurableMul₂ M
μ ν : Measure M
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν

map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ν) = map (fun x => x.1 * x.2) (ν.prod μ)


map ((fun x => x.1 * x.2) ∘ Prod.swap) (ν.prod μ) = map (fun x => x.1 * x.2) (ν.prod μ)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J

X ◁ biproduct.ι f j ≫ (leftDistributor X f).hom = biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I I' : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
hI' : I' ≠ 0

count K v (I * I') = count K v I + count K v I'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: ha_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a}) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0

Context: a' : R

Context: J' : Ideal R

Context: ha' : a' ≠ 0

Context: haJ' : I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a')⁻¹ * ↑J'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0

Context: a' : R

Context: J' : Ideal R

Context: ha' : a' ≠ 0

Context: ha'_ne_zero : Associates.mk (Ideal.span {a'}) ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0

Context: a' : R

Context: J' : Ideal R

Context: ha' : a' ≠ 0

Context: hJ'_ne_zero : Associates.mk J' ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0

Context: a' : R

Context: J' : Ideal R

Context: ha' : a' ≠ 0

Context: hJ'_ne_zero : Associates.mk J' ≠ 0

Context: h_prod : I * I' = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (a * a'))⁻¹ * ↑(J * J')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra R K

Context: inst✝¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝ : IsDedekindDomain R

Context: v : HeightOneSpectrum R

Context: I I' : FractionalIdeal R⁰ K

Context: hI : I ≠ 0

Context: hI' : I' ≠ 0

Context: a : R

Context: J : Ideal R

Context: ha : a ≠ 0

Context: hJ_ne_zero : Associates.mk J ≠ 0

Context: a' : R

Context: J' : Ideal R

Context: ha' : a' ≠ 0

Context: hJ'_ne_zero : Associates.mk J' ≠ 0

↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors + (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J').factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors + (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a'})).factors) = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a})).factors) + (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J').factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {a'})).factors))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
q : Stmt₂
ss : Supports M S


∀ x ∈ S, q ∈ stmts₁ (M x) → SupportsStmt S q


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0
x✝ : E


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: L : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ F, Continuous F ∧ ∀ (y : α), (f y, F y) ∈ u

∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ F, ContinuousOn F univ ∧ ∀ y ∈ univ, (f y, F y) ∈ u


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
a : Cardinal.{u + 1}
e : lift.{v, u + 1} a = c
h' : a < #Ordinal.{u}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
a : Cardinal.{u + 1}
e : lift.{v, u + 1} a = c
h' : a < univ.{u, u + 1}


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: c : Cardinal.{max (u + 1) v}

Context: h : c < univ.{u, v}

Context: c' : Cardinal.{u}

Context: e : lift.{v, u + 1} (lift.{u + 1, u} c') = c

Context: h' : lift.{u + 1, u} c' < univ.{u, u + 1}


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: g' g φ : ℝ → ℝ

Context: a b : ℝ

Context: hab : a ≤ b

Context: hcont : ContinuousOn g (Icc a b)

Context: φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume

Context: hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, φ x ≤ g' x

-∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (y : ℝ) in a..b, (-φ) y


Context:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type u_1
inst✝ : DecidableEq β
l : List α
f : α → β
x : α


countP (fun x_1 => x_1 == x) l ≤ countP ((fun x_1 => x_1 == f x) ∘ f) l


Context:
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ
x✝ : α


(∀ k ≤ n, f k ≤ x✝) ↔ ∀ i ∈ Set.Iic n, f i ≤ x✝


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ


Context: x a' : ℝ


Context:
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : Ideal.PrimePair P


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
k n : ℕ
h : k + 1 < n + 1


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝⁵ : IsTrans α r

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: f✝ : γ → α

Context: inst✝³ : Finite β

Context: inst✝² : Nonempty α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: f : β → α


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: inst✝⁵ : IsTrans α r

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: f✝ : γ → α

Context: inst✝³ : Finite β

Context: inst✝² : Nonempty α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: f : β → α

Context: M : α

Context: hM : ∀ (i : β), f i ≤ M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
hd : AEDisjoint μ s t


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: x y : F

Context: h : ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q.Monic


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : Module R A

Context: inst✝⁹ : Star A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : Star B

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C

Context: inst✝⁴ : Module R C

Context: inst✝³ : Star C

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: φ : F

Context: x✝ : B

x✝ ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range φ) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝¹⁰ : Module R A

Context: inst✝⁹ : Star A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝⁷ : Module R B

Context: inst✝⁶ : Star B

Context: inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C

Context: inst✝⁴ : Module R C

Context: inst✝³ : Star C

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: φ : F

Context: x✝ : B


Context:
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

{ cauchy := a } = { cauchy := b } ↔ { cauchy := a }.cauchy = { cauchy := b }.cauchy


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
a : α
l : List α
a₁ a₂ : α

op ((a :: l) <*> a₁) a₂ = op a₁ (foldr (fun x x_1 => op x x_1) a₂ (a :: l))


op a₁ (op (l <*> a) a₂) = op a₁ (op a (foldr (fun x x_1 => op x x_1) a₂ l))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

(fun x => c * x) ⁻¹' Icc a b = Icc (b / c) (a / c)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p : Prop
u v : V
h : G.Reachable u v
hp : G.Path u v → p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
i : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P

Context: hν : IsProjectiveLimit ν P


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P

Context: hν : IsProjectiveLimit ν P

Context: this : IsFiniteMeasure μ


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P

Context: hν : IsProjectiveLimit ν P

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set ((i : ι) → α i)

Context: hs : s ∈ measurableCylinders α


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: μ ν : Measure ((i : ι) → α i)

Context: hμ : IsProjectiveLimit μ P

Context: hν : IsProjectiveLimit ν P

Context: this : IsFiniteMeasure μ

Context: I : Finset ι

Context: S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)

Context: hS : MeasurableSet S

Context: hs : cylinder I S ∈ measurableCylinders α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G

p.radius ≤ (f.compFormalMultilinearSeries p).radius


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius

↑r ≤ (f.compFormalMultilinearSeries p).radius


(fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => 1


(fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n


IsBigOWith ‖f‖ atTop (fun n => ‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖) fun n => ‖p n‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : F →L[𝕜] G
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
n : ℕ

‖‖f.compFormalMultilinearSeries p n‖‖ ≤ ‖f‖ * ‖‖p n‖‖


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s₁ s₂ : Stream' α
x✝ : a ∈ s₂
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s₂.get n)


Context:
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
x : M
N : Submodule R M := ⨅ i, I ^ i • ⊤


Context: R M : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: I : Ideal R

Context: F F' : I.Filtration M

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: x : M

Context: N : Submodule R M := ⨅ i, I ^ i • ⊤

Context: hN : ∀ (k : ℕ), (I.stableFiltration ⊤ ⊓ I.trivialFiltration N).N k = N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ≃r s
y : Set β

minimals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' minimals s y


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
F : Type u_9
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
σ : R →+* R
inst✝ : RingHomSurjective σ
ι : Sort u_10
f : M →ₛₗ[σ] M
p : ι → Submodule R M
hf : ∀ (i : ι), ∀ v ∈ p i, f v ∈ p i
this : ∀ (i : ι), map f (p i) ≤ p i


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : α.inv ≫ f = g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: f₁ f₂ : α → E'

Context: h : IsBigOWith c l f₁ f₂

Context: hc : c < 1

Context: x : α

Context: hx : x ∈ {x | (fun x => ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖) x}

x ∈ {x | (fun x => ‖f₂ x‖ ≤ 1 / (1 - c) * ‖f₂ x - f₁ x‖) x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
hx : ‖f₁ x‖ ≤ c * ‖f₂ x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y : Ordinal.{u_4}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
x : E
hx : x ∈ s

p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)


p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (p x 0).uncurry0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: ht : IsOpen t

Context: h't : IsPreconnected t

Context: hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y

Context: hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n

Context: hy₀ : y₀ ∈ t

Context: hg0 : Summable fun x => g x y₀

Context: hy : y ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: ht : IsOpen t

Context: h't : IsPreconnected t

Context: hy₀ : y₀ ∈ t

Context: hg0 : Summable fun x => g x y₀

Context: hy : y ∈ t

Context: hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hu : Summable u

Context: ht : IsOpen t

Context: h't : IsPreconnected t

Context: hy₀ : y₀ ∈ t

Context: hg0 : Summable fun x => g x y₀

Context: hy : y ∈ t

∀ (n : α), ∀ x ∈ t, ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n x)‖ ≤ u n


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r))


∀ u ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r), IsOpen u


∀ (a : ProjectiveSpectrum 𝒜) (u : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen 𝒜 r), a ∈ v ∧ v ⊆ u


Context:
α : Type u_1
t : Ordnode α
h : t.dual.Sized


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x : F


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : separableClosure E K = ⊥

IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F E K) (separableClosure F E) = separableClosure F K


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : separableClosure E K = ⊥
x : K
hx : x ∈ separableClosure F K

x ∈ IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F E K) (separableClosure F E)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Field E

Context: inst✝⁴ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : Algebra E K

Context: inst✝ : IsScalarTower F E K

Context: h : separableClosure E K = ⊥

Context: y : E

Context: hx : (algebraMap E K) y ∈ separableClosure F K

(algebraMap E K) y ∈ IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F E K) (separableClosure F E)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Countable ι'
f : ι' → Set X
hf : ∀ (i : ι'), IsOpen (f i)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0

num A r ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff 0


(p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff 0 = (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff 0 * num A r ^ 0


∀ (j : ℕ), j ≠ 0 → num A r ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ 0

num A r ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s

(μ.prod ν) s = (∫⁻ (y : β), ↑μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂↑ν).toNNReal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: p q : Submodule R E

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : Semiring S

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module S M

Context: m : Submodule S M

Context: f : { f // IsIdempotentElem f ∧ range f = p }

Context: x : E


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: p q : Submodule R E

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : Semiring S

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module S M

Context: m : Submodule S M

Context: x : E


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: p q : Submodule R E

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : Semiring S

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module S M

Context: m : Submodule S M

Context: x✝ : ↥p

Context: x : E

Context: hx : x ∈ p

↑((codRestrict p ↑f ⋯) ↑⟨x, hx⟩) = ↑⟨x, hx⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: p q : Submodule R E

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : Semiring S

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module S M

Context: m : Submodule S M

Context: x✝ : ↥p

Context: x : E

Context: hx : ↑f x ∈ p

↑((codRestrict p ↑f ⋯) ↑⟨↑f x, hx⟩) = ↑⟨↑f x, hx⟩


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : { f // ∀ (x : ↥p), f ↑x = x }
x : E

(p.subtype ∘ₗ ↑f * p.subtype ∘ₗ ↑f) x = (p.subtype ∘ₗ ↑f) x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: ha₁ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

Context: ha₂ : SpectrumRestricts (-a) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

Context: a✝ : Nontrivial A


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
ha₂ : ∀ x ∈ σ ℝ (-a), 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
ha₁ : ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
a✝ : Nontrivial A
ha₂ : ∀ (x : ℝ), -x ∈ σ ℝ a → 0 ≤ x
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
this : 0 ≤ x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hs₀ : μ s ≠ 0
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤

⨍⁻ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ≥0∞ (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ)


μ s / (μ s + μ t) + μ t / (μ s + μ t) = 1


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: e : ↑(F.obj Y) ≃ { p // F.map i p.1 = F.map j p.2 } := fiberPullbackEquiv F i j

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩

Context: hn : IsInitial Y → False


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩

Context: hn : IsInitial Y → False

Context: this : IsIso u


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩

Context: hn : IsInitial Y → False

Context: this✝ : IsIso u

Context: this : IsIso v


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩

Context: hn : IsInitial Y → False

Context: this✝ : IsIso u

Context: this : IsIso v

F.map ((asIso u).symm ≪≫ asIso v).hom a = b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩

Context: hn : IsInitial Y → False

Context: this✝ : IsIso u

Context: this : IsIso v

Context: hu : G.map u y = a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩

Context: hn : IsInitial Y → False

Context: this✝ : IsIso u

Context: this : IsIso v

Context: hu : G.map u y = a

Context: hv : G.map v y = b


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝⁵ : GaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝⁴ : FiberFunctor F

Context: X A B : C

Context: inst✝³ : IsConnected A

Context: inst✝² : IsConnected B

Context: a : ↑(F.obj A)

Context: b : ↑(F.obj B)

Context: i : A ⟶ X

Context: j : B ⟶ X

Context: h : F.map i a = F.map j b

Context: inst✝¹ : Mono i

Context: inst✝ : Mono j

Context: Y : C := pullback i j

Context: u : Y ⟶ A := pullback.fst i j

Context: v : Y ⟶ B := pullback.snd i j

Context: G : C ⥤ Type w := F ⋙ FintypeCat.incl

Context: y : ↑(F.obj Y) := e.symm ⟨(a, b), h⟩

Context: hn : IsInitial Y → False

Context: this✝ : IsIso u

Context: this : IsIso v

Context: hu : G.map u y = a

Context: hv : G.map v y = b

(F.map u ≫ F.map ((asIso u).symm ≪≫ asIso v).hom) y = F.map v y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
k : ℕ

card { s // s.card = k } = (card α).choose k


Context:
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
n✝ : ℕ
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ

(↑(finSuccEquiv R n).symm).comp (Polynomial.C.comp C) = C


Context:
R✝ : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
n✝ : ℕ
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : R

((↑(finSuccEquiv R n).symm).comp (Polynomial.C.comp C)) x = C x


↑(finSuccEquiv R n).symm ((Polynomial.C.comp C) x) = C x


(Polynomial.C.comp C) x = (finSuccEquiv R n) (C x)


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hab : a < b

(b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (fun ω => (f N ω - a)⁺) x ∂μ


(b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ = (b - a - 0) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore 0 (b - a) (f - fun x x => a)⁺ N x) ∂μ


(b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N x) ∂μ = (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore 0 (b - a) (f - fun x x => a)⁺ N x) ∂μ


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type w
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
r : Rˣ
g : Y ⟶ Z


Context:
n k : ℕ
hk : k ≤ n


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : ↥H → K

Context: x y : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: hy : y ∈ rootSpace H β

Context: hαβ : α + β ≠ 0

Context: σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ => α + (β + γ)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : ↥H → K

Context: x y : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: hy : y ∈ rootSpace H β

Context: hαβ : α + β ≠ 0

Context: hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : ↥H → K

Context: x y : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: hy : y ∈ rootSpace H β

Context: hαβ : α + β ≠ 0

Context: hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ

Context: f : Module.End K L := (ad K L) x ∘ₗ (ad K L) y


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : LieAlgebra K L

Context: inst✝² : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : ↥H → K

Context: x y : L

Context: hx : x ∈ rootSpace H α

Context: hy : y ∈ rootSpace H β

Context: hαβ : α + β ≠ 0

Context: hσ : ∀ (γ : ↥H → K), σ γ ≠ γ

Context: hf : ∀ (γ : ↥H → K), MapsTo ⇑f ↑(rootSpace H γ) ↑(rootSpace H (σ γ))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
x : α
h₁ : ↑(⌈x⌉ - 1) < x


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
k : ℕ
r : ℝ
hr : 0 < r

Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-r * ↑n)


Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-r) ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

(image Subtype.val s.attach).val = s.val


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g : G
S : Set G
hS : closure S = ⊤

center G = ⨅ g ∈ S, centralizer ↑(zpowers g)


Context:
α : Type u_1
f g : α → ℝ
s : Set α


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])

Context: Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume

Context: e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm

(((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑w.im * I)) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑z.re + ↑y * I) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (↑x + ↑y * I)) 1 - (f' (↑x + ↑y * I)) I


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he : ∀ (x y : ℝ), ↑x + ↑y * I = e (x, y)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun p => (f' (e p)).comp ↑e

(((∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, z.im))) - ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (e (x, w.im))) + I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (w.re, y))) - I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (e (z.re, y)) = ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, I • (f' (e (x, y))) 1 - (f' (e (x, y))) I


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: hF' : ∀ (p : ℝ × ℝ), (-(I • F' p)) (1, 0) + (F' p) (0, 1) = -(I • (f' (e p)) 1 - (f' (e p)) I)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])

Context: Hi : IntegrableOn (fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s

Context: hR : ⇑e ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s

Context: htc : ContinuousOn F R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s

Context: htc : ContinuousOn F R

Context: htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s

Context: htc : ContinuousOn F R

IntegrableOn (fun x => ((fun p => -(I • F' p)) x) (1, 0) + (F' x) (0, 1)) ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℂ → E

Context: f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E

Context: z w : ℂ

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: Hi : IntegrableOn ((fun z => I • (f' z) 1 - (f' z) I) ∘ ⇑measurableEquivRealProd.symm) (⇑measurableEquivRealProd.symm ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])) volume

Context: he₁ : e (1, 0) = 1

Context: he₂ : e (0, 1) = I

Context: he : ℝ → ℝ → True

Context: F : ℝ × ℝ → E := f ∘ ⇑e

Context: t : Set (ℝ × ℝ) := ⇑e ⁻¹' s

Context: htc : ContinuousOn F R


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated

Tendsto f k l ↔ ∀ (x : ℕ → α), Tendsto x atTop k → Tendsto (f ∘ x) atTop l


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β

Context: k : Filter α

Context: l : Filter β

Context: inst✝ : k.IsCountablyGenerated

Context: H : ∀ (x : ℕ → α), Tendsto x atTop k → Tendsto (f ∘ x) atTop l

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ l


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k

∃ x, Tendsto x atTop k ∧ ¬Tendsto (f ∘ x) atTop l


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot
x : ℕ → α
hx : Tendsto x atTop (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β

Context: k : Filter α

Context: l : Filter β

Context: inst✝ : k.IsCountablyGenerated

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ l

Context: H : s ∉ map f k

Context: this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot

Context: x : ℕ → α

Context: hx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β

Context: k : Filter α

Context: l : Filter β

Context: inst✝ : k.IsCountablyGenerated

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ l

Context: H : s ∉ map f k

Context: this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot

Context: x : ℕ → α

Context: h : Tendsto (f ∘ x) atTop l


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f : α → β

Context: k : Filter α

Context: l : Filter β

Context: inst✝ : k.IsCountablyGenerated

Context: s : Set β

Context: hs : s ∈ l

Context: H : s ∉ map f k

Context: this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot

Context: x : ℕ → α

Context: h : Tendsto (f ∘ x) atTop l

Context: N : ℕ

Context: hnmem : x N ∈ f ⁻¹' sᶜ

Context: hmem : (f ∘ x) N ∈ s


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j

(interpolate s v) r = (interpolate (s.erase j) v) r * basisDivisor (v i) (v j) + (interpolate (s.erase i) v) r * basisDivisor (v j) (v i)


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E

x ∈ adjoin F S ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s


(∃ a a_1, (MvPolynomial.aeval Subtype.val) a / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) a_1 = x) ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G : OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
Γ : Modification η θ
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : G.obj b ⟶ a'

F.map f ◁ Γ.app b ▷ g ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) g).inv ≫ θ.naturality f ▷ g = (α_ (F.map f) (η.app b) g).inv ≫ η.naturality f ▷ g ≫ Γ.app a ▷ G.map f ▷ g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Lattice α

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a : α

Context: ha : 1 ≤ a ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Lattice α

Context: inst✝³ : Group α

Context: a : α

Context: ha : 1 ≤ a ^ 2


Context:
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
m₁ m₂ : M

(((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ((CliffordAlgebra.ι Q) m₂))) ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁)).1 = (f.bilin m₁) m₂


(((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₁) (((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₂) (1, 0))).1 = (f.bilin m₁) m₂


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1

∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n
hkm : k < m


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n
hkm : m ≤ k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G

(fun x => x * a) ((fun x => x * c) j) = (fun x => x * b) ((fun x => x * a) j)


Context:
q a b c : ℚ
n : ℤ


Context: F : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation F Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O F

Context: hv : v.Integers O

Context: x y : O

Context: h : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)

Context: hy : (algebraMap O F) y ≠ 0

v (((algebraMap O F) y)⁻¹ * (algebraMap O F) x) ≤ 1


Context: F : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: v : Valuation F Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O F

Context: hv : v.Integers O

Context: x y : O

Context: hy : (algebraMap O F) y ≠ 0

v ((algebraMap O F) y)⁻¹ * v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)⁻¹ * v ((algebraMap O F) y)


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G

IsTorsionFree G ↔ CommGroup.torsion G = ⊥


(∀ (g : G), g ≠ 1 → ¬IsOfFinOrder g) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ CommGroup.torsion G → x ∈ ⊥


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
x : α
s✝ : Set γ
a✝ : MeasurableSet s✝


Context: x y : ℝ


Context:
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j

t.ι.app i xi = t.ι.app j xj ↔ ∃ k f g, F.map f xi = F.map g xj


t.ι.app i xi = t.ι.app j xj ↔ (colimitCocone F).ι.app i xi = (colimitCocone F).ι.app j xj


(ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app i xi) = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app j xj) ↔ (colimitCocone F).ι.app i xi = (colimitCocone F).ι.app j xj


Context: J : Type v

Context: inst✝² : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ Type u

Context: inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: t : Cocone F

Context: ht : IsColimit t

Context: i j : J

Context: xi : F.obj i

Context: xj : F.obj j

Context: e_1✝ : ((Functor.const J).obj (colimitCocone F).pt).obj i = (colimitCocone F).pt

(colimitCocone F).ι.app i xi = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app i xi)


Context: J : Type v

Context: inst✝² : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ Type u

Context: inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J

Context: inst✝ : HasColimit F

Context: t : Cocone F

Context: ht : IsColimit t

Context: i j : J

Context: xi : F.obj i

Context: xj : F.obj j

(colimitCocone F).ι.app j xj = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app j xj)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁴ : OrderTop α

Context: inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : SemilatticeSup β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s

e (s.truncatedSup a) = (map e.toEmbedding s).truncatedSup (e a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁴ : OrderTop α

Context: inst✝² : SemilatticeSup β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

(if h : a ∈ lowerClosure ↑s then (filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ (⇑e ∘ id) else ⊤) = if h : a ∈ lowerClosure ↑s then (filter (fun b => e a ≤ b) (map e.toEmbedding s)).sup' ⋯ id else ⊤


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁴ : OrderTop α

Context: inst✝² : SemilatticeSup β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ lowerClosure ↑s

(filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ (⇑e ∘ id) = (filter (fun b => e a ≤ b) (map e.toEmbedding s)).sup' ⋯ id


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁴ : OrderTop α

Context: inst✝² : SemilatticeSup β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ lowerClosure ↑s

((filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ fun x => e x) = (map e.toEmbedding (filter (fun x => a ≤ x) s)).sup' ⋯ fun x => x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SemilatticeSup α

Context: inst✝⁴ : OrderTop α

Context: inst✝² : SemilatticeSup β

Context: inst✝¹ : BoundedOrder β

Context: s✝ t : Finset α

Context: a✝ b : α

Context: e : α ≃o β

Context: s : Finset α

Context: a : α

Context: h : a ∈ lowerClosure ↑s

((filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ fun x => e x) = (filter (fun x => a ≤ x) s).sup' ⋯ ((fun x => x) ∘ ⇑e.toEmbedding)


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: m : Set (Measure α)

Context: h : ∀ μ' ∈ m, μ ≤ μ'

Context: this : μ.toOuterMeasure ≤ sInf (toOuterMeasure '' m)

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace β

Context: inst✝ : MeasurableSpace γ

Context: μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ s' t : Set α

Context: m : Set (Measure α)

Context: h : ∀ μ' ∈ m, μ ≤ μ'

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s


Context:
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
v : α → β
i j : α
hv : v i = v j
k : α
hi : ¬k = i
hj : ¬k = j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤

(r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν✝ ν μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν

Context: inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r ≠ ⊤

Context: h : (r.toNNReal • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r.toNNReal • ν.rnDeriv μ


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g

Continuous' fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x


Continuous' fun x => do let x_1 ← f x x_1 <$> g x


∀ (x : β → γ), Continuous' fun g_1 => x <$> g g_1


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g
x✝ : β → γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∉ s


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝⁶ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i

Context: hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0

Context: g : Π₀ (i : ι), β₁ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
inst✝ : CompleteLattice γ
e : α ≃o γ

e (blimsup u f p) = blimsup (⇑e ∘ u) f p


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
a : 𝕜

DifferentiableAt 𝕜 f (-a) ↔ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L : Filter 𝕜

Context: a : 𝕜

Context: H : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L : Filter 𝕜

Context: a : 𝕜


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f f₀ f₁ g : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: L : Filter 𝕜

Context: a : 𝕜

Context: x✝ : 𝕜


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a b : Ordinal.{max u v}

(∃ i, nfpFamily f a ≤ f i b) ↔ nfpFamily f a ≤ b


Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a b : Ordinal.{max u v}

(¬∃ i, nfpFamily f a ≤ f i b) ↔ ¬nfpFamily f a ≤ b


Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

Context: a b : Ordinal.{max u v}

(∀ (i : ι), f i b < nfpFamily f a) ↔ b < nfpFamily f a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ map f s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ s.bind (pure ∘ f)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ s.bind (pure ∘ f)
a : α
as : a ∈ s
fb : b ∈ (pure ∘ f) a


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R

(convexHull R) (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0) = stdSimplex R ι


(Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0) ⊆ stdSimplex R ι


stdSimplex R ι ⊆ (convexHull R) (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι
m : M

(finsuppScalarRight R M ι).symm (Finsupp.single i m) = m ⊗ₜ[R] Finsupp.single i 1


Context:
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : L.OrderedStructure M
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin n)
v : α → M
xs : Fin n → M

(t₁.lt t₂).Realize v xs ↔ realize (Sum.elim v xs) t₁ < realize (Sum.elim v xs) t₂


Context: G : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: N : Type u_3

Context: α : Sort u_4

Context: β : Sort u_5

Context: ι : Sort u_6

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: this : (mulSupport fun x => (fun x => 1) x.down) ⊆ ↑∅


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0


(-1) ^ (n % 2) * bernoulli' n = bernoulli' n


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0
h : n % 2 = 0


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0
h : n % 2 = 1


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
S : L.ElementarySubstructure M
T : L.Theory

↥S ⊨ T ↔ M ⊨ T


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂


Context:
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂
he' : -x₁ ≈ -x₂


∀ (i : (x₁ * y).LeftMoves), ⟦(x₁ * y).moveLeft i⟧ < ⟦x₂ * y⟧


∀ (j : (x₂ * y).RightMoves), ⟦x₁ * y⟧ < ⟦(x₂ * y).moveRight j⟧


Context:
f : ℂ → ℂ
g : ℝ → ℝ
g' s : ℝ
hf : DifferentiableAt ℂ f ↑s
hg : HasDerivAt g g' s
hfg : ∀ (s : ℝ), f ↑s = ↑(g s)


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t : Finset α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m) }

Context: x y : TensorAlgebra R M

Context: m✝ : M

((TensorAlgebra.lift R) ↑f) ((TensorAlgebra.ι R) m✝ * (TensorAlgebra.ι R) m✝) = ((TensorAlgebra.lift R) ↑f) ((algebraMap R (TensorAlgebra R M)) (Q m✝))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
m : M

(F.toLinearMap ∘ₗ ι Q) m * (F.toLinearMap ∘ₗ ι Q) m = (algebraMap R A) (Q m)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: x : M

↑((fun F => ⟨F.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩) ((fun f => (RingQuot.liftAlgHom R) ⟨(TensorAlgebra.lift R) ↑f, ⋯⟩) f)) x = ↑f x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
x : M

((((fun f => (RingQuot.liftAlgHom R) ⟨(TensorAlgebra.lift R) ↑f, ⋯⟩) ((fun F => ⟨F.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩) F)).comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q))).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) x = ((F.comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q))).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) x


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n k : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s✝ s₁ s₂ t : Set α

Context: β : Type u_6

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure β

Context: C : β → Set α → Prop

Context: s : Set (Set α)

Context: m : MeasurableSpace α

Context: h_eq : m = generateFrom s

Context: h_inter : IsPiSystem s

Context: h_empty : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, C x ∅

Context: h_basic : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ t ∈ s, C x t

Context: h_compl : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → C x t → C x tᶜ

Context: h_union : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), C x (f i)) → C x (⋃ i, f i)

∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ ⦃t : Set α⦄, MeasurableSet t → C x t


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < ω ^ b


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y

IsIso f ↔ Function.Bijective ((forget C).map f)


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree


(mk g) (∑ i_1 : Fin g.natDegree, (monomial ↑i_1) (Function.update 0 i 1 i_1)) = root g ^ ↑i


(mk g) ((monomial ↑i) (Function.update 0 i 1 i)) = root g ^ ↑i


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → (monomial ↑b) (Function.update 0 i 1 b) = 0


i ∉ Finset.univ → (monomial ↑i) (Function.update 0 i 1 i) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E

⟪x, l.sum fun i a => a • v i⟫_𝕜 = l.sum fun i a => a • ⟪x, v i⟫_𝕜


(l.sum fun i a => a • ⟪x, v i⟫_𝕜) = ∑ i ∈ l.support, ⟪x, l i • v i⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.withDensity f).rnDeriv ν


((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f + (μ.singularPart ν).withDensity f).rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: this : SigmaFinite ((μ.singularPart ν).withDensity f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: this✝ : SigmaFinite ((μ.singularPart ν).withDensity f)

Context: this : SigmaFinite ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f)


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
M : Matrix m n α
i : l
j : n

(f.toMatrix * M) i j = Option.casesOn (f i) 0 fun fi => M fi j


∑ j_1 : m, (if j_1 ∈ f i then 1 else 0) * M j_1 j = Option.rec 0 (fun val => M val j) (f i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α


(∀ b ∈ Multiset.map f s.val, b ∣ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a


(∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → b ∣ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f

(map f s).SSameSide (f x) (f y) ↔ s.SSameSide x y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
s : Set (GrothendieckTopology C)


∀ {x y : GrothendieckTopology C}, x.sieves ≤ y.sieves ↔ x ≤ y


Context:
α✝ β α : Type u
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset α), s.card ≤ n


Context:
α✝ β α : Type u
n : ℕ
H : ↑n < #α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal

(fun x => ↑‖s.indicator (fun x => c) x‖₊ ^ p.toReal) = fun x => s.indicator (fun x => ↑‖c‖₊ ^ p.toReal) x


(∫⁻ (x : α), s.indicator (fun x => ↑‖c‖₊ ^ p.toReal) x ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)