Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0

∑ a ∈ s.erase i, f (update v i (g a • v a)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x

∀ x ∈ s.erase i, f (update v i (g x • v x)) = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s.erase i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝²⁰ : Semiring R

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁸ : Module R M✝

Context: N✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝

Context: inst✝¹⁶ : Module R N✝

Context: P : Type u_4

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁴ : Module R P

Context: M' : Type u_5

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹² : Module R M'

Context: N' : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup N'

Context: inst✝¹⁰ : Module R N'

Context: ι : Type u_7

Context: ι' : Type u_8

Context: ι'' : Type u_9

Context: M₂ : Type u_10

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: M₃ : Type u_11

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝

Context: g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'

Context: v✝ : ι → M✝

Context: v' : ι → M'

Context: K : Type u_12

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: M : Type u_13

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module K M

Context: N : Type u_14

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module K N

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N

Context: f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N

Context: v : ι → M

Context: h✝ : ¬LinearIndependent K v

Context: s : Finset ι

Context: g : ι → K

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s

Context: hz : g i ≠ 0

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ s.erase i

Context: hij : j ≠ i

Context: right✝ : j ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → α
g : α → β

Measurable g ↔ Measurable g ∧ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → g ∘ f ⁻¹' s = g ⁻¹' s


(∀ ⦃t : Set β⦄, MeasurableSet t → MeasurableSet (g ⁻¹' t)) ↔ ∀ (x : Set β), MeasurableSet x → MeasurableSet (g ⁻¹' x) ∧ g ∘ f ⁻¹' x = g ⁻¹' x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
c : 𝕜
hc : 0 ≤ c
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

c • (a • f x + b • f y) = a • c • f x + b • c • f y


Context: α : Sort u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: motive : (a : α) → Acc r a → Sort u_2

Context: intro : (x : α) → (h : ∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → (a : r y x) → motive y ⋯) → motive x ⋯

Context: a : α

Context: t : Acc r a


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
ψ : (⨁ (i : ι), β i) →+ γ
f : ⨁ (i : ι), β i

ψ = toAddMonoid fun i => ψ.comp (of β i)


∀ (x : ι), ψ.comp (DFinsupp.singleAddHom (fun i => β i) x) = (toAddMonoid fun i => ψ.comp (of β i)).comp (DFinsupp.singleAddHom (fun i => β i) x)


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
s : Set α
h : MapsTo f s s
n : ℕ

(restrict f s s h)^[n] = restrict f^[n] s s ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
s : Set α
h : MapsTo f s s
n : ℕ
x : ↑s

(restrict f s s h)^[n] x = restrict f^[n] s s ⋯ x


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x y = 0


Context:
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x x = 0


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x y = 0
h : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
hb : 0 ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ

i ∈ p.vars ↔ ∃ d ∈ p.support, i ∈ d.support


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y : α

Context: Φ : α → β

Context: r : ℝ

Context: h : x ∈ s

Context: H : hausdorffDist s t < r

Context: fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

Context: r0 : 0 < r

Context: this : hausdorffEdist s t < ENNReal.ofReal r


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y✝ : α

Context: Φ : α → β

Context: r : ℝ

Context: h : x ∈ s

Context: H : hausdorffDist s t < r

Context: fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

Context: r0 : 0 < r

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: yr : edist x y < ENNReal.ofReal r


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: s t u : Set α

Context: x y✝ : α

Context: Φ : α → β

Context: r : ℝ

Context: h : x ∈ s

Context: H : hausdorffDist s t < r

Context: fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

Context: r0 : 0 < r

Context: y : α

Context: hy : y ∈ t

Context: yr : dist x y < r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜

iteratedFDeriv 𝕜 n f = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F) ∘ iteratedDeriv n f


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
ht : (s.pi t).Nonempty
i : ι


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: ι : Type u_7

Context: s : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: g : Γ₀

Context: hg : g ≠ 0

Context: hf : ∀ i ∈ s, v (f i) < g


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: ι : Type u_7

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: g : Γ₀

Context: hg : g ≠ 0

Context: hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g

Context: hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) < g


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: ι : Type u_7

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → R

Context: g : Γ₀

Context: hg : g ≠ 0

Context: hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: has : a ∉ s

Context: hf : v (f a) < g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) < g


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E

(setToFun μ T hT fun x_1 => x) = (T Set.univ) x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: x : E

Context: this : (fun x_1 => x) = Set.univ.indicator fun x_1 => x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f g : α → E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: x : E

setToFun μ T hT (Set.univ.indicator fun x_1 => x) = (T Set.univ) x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
x✝¹ : ℕ
x✝ : R
n✝ : ℕ

x✝¹.choose k • x✝ = ↑(x✝¹.choose k) * x✝


Context: x y : ℂ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α →ₘ[μ] β
h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : PosMulStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: ha : a < 0

Context: h : b < 1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.59971, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.59975, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map (f ≫ g) = Hom.comp ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map f) ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map g)


{ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => Hom.mk (ofHom W f) }.map (f ≫ g) = Hom.mk ((ofHom W f).comp₀ (ofHom W g) (ofHom W g))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)


finrank ℝ ↥((vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = 1


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 1)

Context: i : Fin (n + 2)

Context: h : finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i))) + finrank ℝ ↥((vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (Set.range s.points))


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 1)

Context: i : Fin (n + 2)

Context: hc : (univ.erase i).card = n + 1


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: n : ℕ

Context: s : Simplex ℝ P (n + 1)

Context: i : Fin (n + 2)

Context: hc : (univ.erase i).card = n + 1

finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) = finrank ℝ ↥(vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i))) + 1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : R[X]

((toFunBilinear R A) a) p = p.sum fun n r => (monomial n) (a * (algebraMap R A) r)


∑ x ∈ p.support, a • ((algebraMap R A[X]) (p.coeff x) * X ^ x) = ∑ x ∈ p.support, (monomial x) (a * (algebraMap R A) (p.coeff x))


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : R[X]
i : ℕ

a • ((algebraMap R A[X]) (p.coeff i) * X ^ i) = (monomial i) (a * (algebraMap R A) (p.coeff i))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : CliffordAlgebra 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i j : l ⊕ m


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a

f ◁ θ.naturality (𝟙 a) ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapId a = f ◁ G.mapId a ▷ θ.app a ≫ f ◁ (λ_ (θ.app a)).hom ≫ f ◁ (ρ_ (θ.app a)).inv


Context:
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α


Context:
R : Type u_1
n : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: this : ∑ m ∈ range (n + 1), 1 ^ m * 1 ^ (n - m) * ↑(n.choose m) = (1 + 1) ^ n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : D
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖


‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) univ x‖ ≤ ‖B‖ * ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w + 1 ∨ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: lt : cs.length (w * cs.simple i) < cs.length w


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: w : W

Context: i : B

Context: gt : cs.length (w * cs.simple i) > cs.length w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f (n + m) x
hm : IsPeriodicPt f n x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f (m + n) x
hm : IsPeriodicPt f n x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)


Context: X Y : Scheme

Context: f : X.Hom Y

Context: U : Y.Opens

Context: V : X.Opens

Context: e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

Context: P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α
h : ∀ (a : α), ∃ a', f a < f a'


∀ (n : β), f a₀ ≤ n → (∃ a, n < f a) → ∃ a, succ n < f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Nonempty α
inst✝³ : Preorder β
f : α → β
inst✝² : NoMaxOrder α
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
hf : StrictMono f
m : β
hm : m ∈ upperBounds (range f)
hm' : ∀ (a : α), f a ≤ m
a₀ : α
h : ∀ (a : α), ∃ a', f a < f a'
b : β
a✝ : f a₀ ≤ b
a : α
hba : b < f a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : FunLike F ℕ R
inst✝ : RingHomClass F ℕ R
f g : F


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h₁ : g' =ᶠ[𝓝 x] g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s

Measurable fun b => ∫⁻ (a : β) in s, f a b ∂κ b


Measurable fun b => ∫⁻ (a : β), f a b ∂(κ.restrict hs) b


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
Δ₁ Δ₂ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ₁
p : Δ₁ ⟶ Δ₂
inst✝ : Epi p.unop

(s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ X.map p = s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map (A.epiComp p).e.op


s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map (A.e.op ≫ p) = s.ι (unop A.fst).len ≫ X.map (A.epiComp p).e.op


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
t' t : Set β
ht : t ∈ f
sub : m ⁻¹' t ⊆ m ⁻¹' t'


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact

Context: hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

∀ ⦃A : C⦄ (y : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯), ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ y = x ≫ app' φ 1 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝¹ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝² : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝¹ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝ : Epi π₃

Context: g₀ : A₃ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁

Context: h₅ : π₃ ≫ (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝² : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝¹ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝ : Epi π₃

Context: g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0

Context: h₅ : π₃ ≫ (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ φ.app 1) = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝² : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝¹ : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝ : Epi π₃

Context: g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0

Context: h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝³ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝² : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝¹ : Epi π₃

Context: g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0

Context: A₄ : C

Context: π₄ : A₄ ⟶ A₃

Context: w✝ : Epi π₄

Context: f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯

Context: h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝³ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝² : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝¹ : Epi π₃

Context: g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0

Context: A₄ : C

Context: π₄ : A₄ ⟶ A₃

Context: w✝ : Epi π₄

Context: f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯

Context: h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯

(π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁) ≫ g₁ = (π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ + f₀ ≫ R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) ≫ app' φ 1 ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝³ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝² : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝¹ : Epi π₃

Context: g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0

Context: A₄ : C

Context: π₄ : A₄ ⟶ A₃

Context: w✝ : Epi π₄

Context: f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯

Context: h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯

π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ = π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ + (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: R₁ R₂ : ComposableArrows C 3

Context: φ : R₁ ⟶ R₂

Context: hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)

Context: h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)

Context: h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)

Context: A : C

Context: g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯

Context: A₁ : C

Context: π₁ : A₁ ⟶ A

Context: w✝³ : Epi π₁

Context: f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯

Context: h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

Context: A₂ : C

Context: π₂ : A₂ ⟶ A₁

Context: w✝² : Epi π₂

Context: f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1

Context: h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

Context: A₃ : C

Context: π₃ : A₃ ⟶ A₂

Context: w✝¹ : Epi π₃

Context: g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0

Context: A₄ : C

Context: π₄ : A₄ ⟶ A₃

Context: w✝ : Epi π₄

Context: f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯

Context: h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯

π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ = π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 + (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B X R J : Set α
hX : X ⊆ E


(loopyOn E).Indep ∅ ∧ ∅ ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), (loopyOn E).Indep J → ∅ ⊆ J → J ⊆ X → ∅ = J


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
h : a • b₁ ≤ a • b₂
ha : a < 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
h : -a • b₂ ≤ -a • b₁
ha : a < 0


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Submartingale f ℱ μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b✝ : α
n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ
b : α
hb : b ∈ Sym.replicate n a


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: f : Equiv.Perm α

Context: h✝ : f ∈ permsOfList (a :: l)

Context: x : α

Context: h : f ∈ l.bind fun b => List.map (fun f => Equiv.swap a b * f) (permsOfList l)

Context: hx : f x ≠ x

Context: y : α

Context: hy : y ∈ l

Context: hy' : f ∈ List.map (fun f => Equiv.swap a y * f) (permsOfList l)

Context: g : Equiv.Perm α

Context: hg₁ : g ∈ permsOfList l

Context: hg₂ : Equiv.swap a y * g = f

Context: hxa : ¬x = a

Context: hxy : ¬x = y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: f : Equiv.Perm α

Context: h✝ : f ∈ permsOfList (a :: l)

Context: x : α

Context: hx : f x ≠ x

Context: y : α

Context: hy : y ∈ l

Context: g : Equiv.Perm α

Context: hg₁ : g ∈ permsOfList l

Context: hg₂ : Equiv.swap a y * g = f

Context: hxa : ¬x = a

Context: hxy : ¬x = y

(if f x = a then y else if f x = y then a else f x) ≠ x


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n

edist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f i) (f (i + 1))


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l : List α
s : Stream' α


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: k n : ℕ

Context: φ : R⟦X⟧

Context: h₁ : ∀ (i : ℕ), Function.const ℕ φ i = φ

(coeff R n) (φ ^ k) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) φ


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: k n : ℕ

Context: φ : R⟦X⟧

Context: h₂ : ∀ (i : ℕ), ∏ j ∈ range i, Function.const ℕ φ j = φ ^ i


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: k n : ℕ

Context: φ : R⟦X⟧

(coeff R n) (∏ j ∈ range k, Function.const ℕ (Function.const ℕ φ k) j) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) (Function.const ℕ φ k)


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ✝ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : DiscreteMeasurableSpace α
X : Ω → α
hX : Measurable X
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
E : Set Ω
hE : MeasurableSet E

(∑ x : α, μ (X ⁻¹' {x}) • μ[|X ⁻¹' {x}]) E = μ E


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D


∀ (j : CostructuredArrow L Y), (E.coconeAt Y).ι.app j ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app j ≫ f₂.right.app Y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y

(E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₂.right.app Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E : L.LeftExtension F

Context: E' : ?m.37693

Context: h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension

Context: G : L.LeftExtension F

Context: f₁ f₂ : E ⟶ G

Context: Y : D

Context: X : CostructuredArrow L Y

Context: eq₁ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₁.right).app X.left = G.hom.app X.left


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E : L.LeftExtension F

Context: E' : ?m.37693

Context: h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension

Context: G : L.LeftExtension F

Context: f₁ f₂ : E ⟶ G

Context: Y : D

Context: X : CostructuredArrow L Y

Context: eq₂ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₂.right).app X.left = G.hom.app X.left


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E : L.LeftExtension F

Context: E' : ?m.37693

Context: h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension

Context: G : L.LeftExtension F

Context: f₁ f₂ : E ⟶ G

Context: Y : D

Context: X : CostructuredArrow L Y

Context: eq₁ : E.hom.app X.left ≫ f₁.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left

Context: eq₂ : E.hom.app X.left ≫ f₂.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left

(E.hom.app X.left ≫ E.right.map X.hom) ≫ f₁.right.app Y = (E.hom.app X.left ≫ E.right.map X.hom) ≫ f₂.right.app Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{u_6, u_3} H

Context: L : C ⥤ D

Context: F : C ⥤ H

Context: E : L.LeftExtension F

Context: E' : ?m.37693

Context: h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension

Context: G : L.LeftExtension F

Context: f₁ f₂ : E ⟶ G

Context: Y : D

Context: X : CostructuredArrow L Y

E.hom.app X.left ≫ f₁.right.app (L.obj X.left) ≫ G.right.map X.hom = E.hom.app X.left ≫ f₂.right.app (L.obj X.left) ≫ G.right.map X.hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x

∃ t, t.Countable ∧ (∀ x ∈ t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htsub : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x


(∀ x ∈ Subtype.val '' t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ Subtype.val '' t, U x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

(fun x => c * x) ⁻¹' Ico a b = Ico (a / c) (b / c)


Context:
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s


Context:
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : Countable ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s

Context: h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)

Context: x y : ↥L

Context: hxy : x ≠ y

Context: h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : Countable ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s

Context: h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)

Context: x y : ↥L

Context: hxy : x ≠ y

Context: v : E

Context: hv : v ∈ 2⁻¹ • s

Context: w : E

Context: hw : w ∈ 2⁻¹ • s

Context: hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : Countable ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s

Context: h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)

Context: x y : ↥L

Context: hxy : x ≠ y

Context: v : E

Context: hv : v ∈ 2⁻¹ • s

Context: w : E

Context: hw : w ∈ 2⁻¹ • s


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : Countable ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s

Context: h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)

Context: x y : ↥L

Context: hxy : x ≠ y

Context: v : E

Context: hv : 2 • v ∈ s

Context: w : E

Context: hw : 2 • w ∈ s


Context: E : Type u_1

Context: L✝ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace E

Context: μ : Measure E

Context: F s : Set E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : BorelSpace E

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: L : AddSubgroup E

Context: inst✝ : Countable ↥L

Context: fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ

Context: h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s

Context: h_conv : Convex ℝ s

Context: h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s

Context: h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)

Context: x y : ↥L

Context: hxy : x ≠ y

Context: v : E

Context: hv : 2 • v ∈ s

Context: w : E

Context: hw : 2 • w ∈ s

Context: hvw : w - v = ↑(x - y)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E

Context: inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ

Context: inst✝¹⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹³ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹² : HasZeroObject E

Context: inst✝¹¹ : Preadditive C

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive D

Context: inst✝⁹ : Preadditive E

Context: inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: inst✝³ : Pretriangulated E

Context: inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated

Context: inst✝¹ : F.IsTriangulated

Context: inst✝ : F.mapArrow.EssSurj

Context: T : Triangle D

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E

Context: inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ

Context: G : D ⥤ E

Context: inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ

Context: inst✝¹⁴ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹³ : HasZeroObject D

Context: inst✝¹² : HasZeroObject E

Context: inst✝¹¹ : Preadditive C

Context: inst✝¹⁰ : Preadditive D

Context: inst✝⁹ : Preadditive E

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated C

Context: inst✝⁴ : Pretriangulated D

Context: inst✝³ : Pretriangulated E

Context: inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated

Context: inst✝¹ : F.IsTriangulated

Context: inst✝ : F.mapArrow.EssSurj

Context: T : Triangle D

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: T' : Triangle C

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: e : F.mapTriangle.obj T' ≅ T


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : LieModule R L M

Context: χ : Weight R L M

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: hk : (((toEnd R L M) x).genEigenspace (χ x)) k ≠ ⊥


Context:
c : Char
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos

ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c } { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c } = ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ } { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }


Context: c : Char

Context: cs₁✝ cs₂✝ : List Char

Context: i₁✝ i₂✝ : Pos

Context: cs₁ cs₂ : List Char

Context: i₁ i₂ : Pos

Context: a✝³ : { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.hasNext = true

Context: a✝² : { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.hasNext = true

Context: a✝¹ : { data := cs₁ }.get i₁ = { data := cs₂ }.get i₂

Context: a✝ : ltb { s := { data := c :: { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.i + c } { s := { data := c :: { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.i + c } = ltb { s := { data := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.i } { s := { data := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.i }

(if { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr = { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr then ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.next { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.next else decide ({ s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr < { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr)) = if { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr = { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr then ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next else decide ({ s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr < { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr)


Context: c : Char

Context: cs₁✝ cs₂✝ : List Char

Context: i₁✝ i₂✝ : Pos

Context: cs₁ cs₂ : List Char

Context: i₁ i₂ : Pos

Context: a✝² : { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.hasNext = true

Context: a✝¹ : { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.hasNext = true

Context: a✝ : ¬{ data := cs₁ }.get i₁ = { data := cs₂ }.get i₂


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
x✝² x✝¹ x✝ : ℤ

id (x✝² + x✝¹) * id (x✝² - x✝¹) * id x✝ ^ 2 = id (x✝² + x✝) * id (x✝² - x✝) * id x✝¹ ^ 2 - id (x✝¹ + x✝) * id (x✝¹ - x✝) * id x✝² ^ 2


(x✝² + x✝¹) * (x✝² - x✝¹) * x✝ ^ 2 = (x✝² + x✝) * (x✝² - x✝) * x✝¹ ^ 2 - (x✝¹ + x✝) * (x✝¹ - x✝) * x✝² ^ 2


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

(vec ᵥ* adjMatrix α G) v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u


(vec ⬝ᵥ fun i => adjMatrix α G i v) = vec ⬝ᵥ adjMatrix α G v


(fun i => adjMatrix α G i v) = adjMatrix α G v


Context:
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
x : V


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝¹ : List α
property✝ : val✝¹.length = n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n

(set ⟨val✝¹, property✝⟩ ⟨val✝, isLt✝⟩ a).get ⟨val✝, isLt✝⟩ = a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n

((vandermonde v)ᵀ * vandermonde v) i j = ∑ k : Fin n, v k ^ (↑i + ↑j)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : l
r : o → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
i' : l
j : o

(A.submatrix ⇑e ⇑f).updateRow i r i' j = (A.updateRow (e i) fun j => r (f.symm j)).submatrix (⇑e) (⇑f) i' j


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ
a : G
ha : a ∈ S
b : G
hb : b ∈ S


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.fst f g).op


(pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.fst f g).op.unop


(pullbackIsoUnopPushout f g).hom ≫ (pushout.inl f.op g.op).unop = pullback.fst f g


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x < 1


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x y z : R

Context: h : v x < v 1


Context:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R

QuasispectrumRestricts a f ↔ SpectrumRestricts a f


Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)

Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: h' : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)

Context: x : S

Context: hx : x ∈ spectrum S a ∪ {0}


Context: R✝ : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝

Context: inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝

Context: inst✝⁸ : Module R✝ A✝

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝

Context: inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Semifield R

Context: inst✝⁴ : Semifield S

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra S A

Context: a : A

Context: f : S → R

Context: x : S

Context: hx : x = 0 ∨ x ∈ spectrum S a


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0

∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε


Context: A : Set ℕ

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hA : schnirelmannDensity A = 0

Context: h : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ε ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n


Context:
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
h : ε ≤ schnirelmannDensity A


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

(S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.rightHomologyData.map F) = (S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData)


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I

(eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) a = 0


(eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) (∑ v ∈ a.support, (monomial v) (coeff v a)) = 0


∑ x ∈ a.support, eval₂ (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X ((monomial x) (coeff x a)) = 0


Context:
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support

eval₂ (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X ((monomial n) (coeff n a)) = 0


(C ((Ideal.Quotient.mk I) (coeff n a)) * n.prod fun n e => X n ^ e) = 0


C ((Ideal.Quotient.mk I) (coeff n a)) = 0


Context:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S


Context:
α : Type u_1
p : PosNum


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y z : P
x : V


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α


Context:
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

(insert x s).einfsep ≤ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y


∀ i ∈ s, x ≠ i → (insert x s).einfsep ≤ edist x i


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0

Metric.ball 0 r₁ • p.closedBall 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)


∀ (a : 𝕜), ‖a‖ < r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂


Context:
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0


Context: hS : ∀ x ∈ ∅, x ≤ 0


Context:
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0
y : ℝ
hy : y ∈ S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : Injective m
h : m '' s ∈ map m f


Context: R : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: inst✝ : Nontrivial α

Context: x : α

Context: xs : List α


Context:
a : EReal
h : 0 ≤ a


Context:
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g


Context: X : Type u_1

Context: Y : Sort u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)

Context: g : A → X

Context: cont : Continuous g

Context: inj : Function.Injective g

IsClosed (Function.pullbackDiagonal (f ∘ g))


Context: X : Type u_1

Context: Y : Sort u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: f : X → Y

Context: g : A → X

Context: cont : Continuous g

Context: inj : Function.Injective g

IsClosed (Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)


Context:
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : β

(⇑(foldlM.ofFreeMonoid f) ∘ FreeMonoid.of) x = (foldlM.mk ∘ flip f) x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0

Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
hI : ¬span {f} = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R

Context: inst✝⁹ : IsDomain R

Context: inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : IsDomain S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing F

Context: inst✝³ : Algebra F R

Context: inst✝² : Algebra F S

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F R S

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: b : Basis ι R S

Context: f : S

Context: hf : f ≠ 0

Context: hI : ¬span {f} = ⊥

Context: b' : Basis ι R S := ringBasis b (span {f}) hI


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: pos : 0 < p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: pos : 0 < p

Context: H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: pos : 0 < p

Context: this : ↑((∑ i ∈ s, ((fun i => (f i).toNNReal) i + (fun i => (g i).toNNReal) i) ^ p) ^ (1 / p)) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, (fun i => (g i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p))


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0∞

Context: p q : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: pos : 0 < p

Context: this : (∑ x ∈ s, (↑(f x).toNNReal + ↑(g x).toNNReal) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x ∈ s, ↑(g x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp (a + p) b = toIcoDiv hp a b - 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a x : α

Context: s t : List α

Context: h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a x : α

Context: s t : List α

insertNth s.length x s = insertNth s.length x t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a x : α

Context: s t : List α

Context: hl : s.length = t.length


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a x : α

Context: s t : List α

Context: hl : s.length = t.length

(permutations'Aux x s).get ⟨s.length, ⋯⟩ = (permutations'Aux x t).get ⟨s.length, ⋯⟩


Context:
f g : ℕ → ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
s : ℂ
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C

Injective.ι Z ≫ (ofCocomplex Z).d 0 1 = 0


Context: u✝ : Lean.Level

Context: arg : Q(Type u✝)

Context: sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)

Context: u : Lean.Level

Context: α : Q(Type u)

Context: sα : Q(CommSemiring «$α»)

Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R✝

Context: a✝ a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : DivisionRing R

Context: a : R

Context: inv✝ : Invertible ↑d

Context: e : a = ↑n * ⅟↑d


Context:
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)

Context: M : HomologicalComplex C c

Context: α : M ⟶ K

Context: β : M ⟶ L

Context: i : ι

(biprod.lift α β).f i ≫ biprod.snd.f i = β.f i


Context:
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α

foldr n (fun i x => f x i.rev) x = foldl n f x


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: a : Cardinal.{u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

Context: h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a

Context: c : Cardinal.{u}

Context: e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card

Context: α : Type u

Context: β : Type (max u v)

Context: s : β → β → Prop

Context: x✝ : IsWellOrder β s

Context: e' : Cardinal.lift.{v, u} #α = (type s).card


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
e' : Nonempty (α ≃ β)


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: a : Cardinal.{u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

Context: h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a

Context: c : Cardinal.{u}

Context: e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card

Context: α : Type u

Context: β : Type (max u v)

Context: s : β → β → Prop

Context: x✝ : IsWellOrder β s

Context: f : α ≃ β

Context: g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s

Context: this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)

Context: this : lift.{max u v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = lift.{max u v, max u v} (type s)


Context: α✝ : Type u

Context: β✝ : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: r : α✝ → α✝ → Prop

Context: s✝ : β✝ → β✝ → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: a : Cardinal.{u}

Context: b : Ordinal.{max u v}

Context: h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a

Context: c : Cardinal.{u}

Context: e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card

Context: α : Type u

Context: β : Type (max u v)

Context: s : β → β → Prop

Context: x✝ : IsWellOrder β s

Context: f : α ≃ β

Context: g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s

Context: this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)

Context: this : lift.{v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = type s


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module A M'
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x✝³ : AddCommMonoid Q
x✝² : Module R Q
x✝¹ : Module A Q
x✝ : IsScalarTower R A Q
g : M →ₗ[R] Q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: S : Submonoid R

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : CommRing A

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R A

Context: inst✝⁹ : IsLocalization S A

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : Module A M

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R A M

Context: M' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module A M'

Context: inst✝¹ : IsScalarTower R A M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : IsLocalizedModule S f

Context: Q : Type (max u_3 u_4 u_2)

Context: x✝³ : AddCommMonoid Q

Context: x✝² : Module R Q

Context: x✝¹ : Module A Q

Context: x✝ : IsScalarTower R A Q

Context: ℓ : M' →ₗ[R] Q

Context: h₂ : ∀ (y : M' →ₗ[R] Q), (fun l => l ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f) y → y = ℓ


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.102334, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L

K.liftCycles k j hj hk ≫ cyclesMap φ i = L.liftCycles (k ≫ φ.f i) j hj ⋯


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

IntervalIntegrable (fun x => g x * f x) μ a b


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntegrableOn f (Ι a b) μ
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

IntegrableOn (fun x => g x * f x) (Ι a b) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝¹ : NormalizationMonoid α

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: x : α

Context: n : ℕ

Context: ih : normalizedFactors (x ^ n) = n • normalizedFactors x

Context: h0 : ¬x = 0

normalizedFactors (x ^ (n + 1)) = (n + 1) • normalizedFactors x


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'

UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), UniformEquicontinuous F


UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ↔ ∀ (k : κ), UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)


Context: θ : Angle


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α

sSup s ⊓ sSup t = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, p.1 ⊓ p.2


Context:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B

∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f : Ω → β

Context: g : Ω → β'

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mβ' : MeasurableSpace β'

Context: f' : Ω → β

Context: g' : Ω → β'

Context: hfg : IndepFun f g κ μ

Context: hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'

Context: hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'

Context: A : Set β

Context: hA : MeasurableSet A

Context: B : Set β'

Context: hB : MeasurableSet B

Context: a : α

Context: hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'

Context: hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'

Context: hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)

(κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f : Ω → β

Context: g : Ω → β'

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mβ' : MeasurableSpace β'

Context: f' : Ω → β

Context: g' : Ω → β'

Context: hfg : IndepFun f g κ μ

Context: hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'

Context: hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'

Context: A : Set β

Context: hA : MeasurableSet A

Context: B : Set β'

Context: hB : MeasurableSet B

Context: a : α

Context: hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'

Context: hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'

Context: h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A


Context: α : Type u_1

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: β' : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: γ' : Type u_7

Context: _mα : MeasurableSpace α

Context: _mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: κ : Kernel α Ω

Context: μ : Measure α

Context: f : Ω → β

Context: g : Ω → β'

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mβ' : MeasurableSpace β'

Context: f' : Ω → β

Context: g' : Ω → β'

Context: hfg : IndepFun f g κ μ

Context: hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'

Context: hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'

Context: A : Set β

Context: hA : MeasurableSet A

Context: B : Set β'

Context: hB : MeasurableSet B

Context: a : α

Context: hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'

Context: hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'

Context: h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A

Context: h2 : g ⁻¹' B =ᶠ[ae (κ a)] g' ⁻¹' B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤


(fun i => ⋃ (_ : i ∈ s), f i) = fun i => ⋃ (_ : i ∈ hs.toFinset), f i


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup N
h : H ≤ f.range


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : Rˣ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ha : a < 1


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

Context: ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

Context: ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f) = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)) - SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

Integrable (↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: F' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F'

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

Integrable (↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))) μ


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: X : I₁ ⊕ I₂ → C

Context: c : Cofan X

Context: c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)

Context: c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)

Context: hc : IsColimit c

Context: hc₁ : IsColimit c₁

Context: hc₂ : IsColimit c₂

Context: inst✝ : MonoCoprod C

Context: inr : c₂.pt ⟶ c.pt

Context: hinr : ∀ (i₂ : I₂), c₂.inj i₂ ≫ inr = c.inj (Sum.inr i₂)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C

Context: I₁ : Type u_2

Context: I₂ : Type u_3

Context: X : I₁ ⊕ I₂ → C

Context: c : Cofan X

Context: c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)

Context: c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)

Context: hc : IsColimit c

Context: hc₁ : IsColimit c₁

Context: hc₂ : IsColimit c₂

Context: inst✝ : MonoCoprod C

Context: inr : c₂.pt ⟶ c.pt

inr = (binaryCofanSum c c₁ c₂ hc₁ hc₂).inr


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α
h : 0 < (scanl f b l).length


Context:
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)

Context: inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂

Context: inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π

Context: inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃

Context: inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π

Context: inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃

Context: inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃

Context: inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π

Context: triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃

(mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom = mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom = mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom) j = ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)) j


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

(G.map (e₁.inv.app (X₁ i₁))).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).inv)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂)) X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom j ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom j = (G.map (e₁.inv.app (X₁ i₁))).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).inv)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom i₁)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

(G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂)) X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom j ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom j = (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom i₁)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map (ιMapBifunctorMapObj F₂ τ.ρ₂₃.p ((single₀ I₂).obj X₂) X₃ 0 i₃ i₃ ⋯) ≫ (G.map (𝟙 X₁ i₁)).app (mapBifunctorMapObj F₂ τ.ρ₂₃.p ((single₀ I₂).obj X₂) X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G τ.ρ₂₃.q X₁ X₃ i₁ i₃ j ⋯ = (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom i₁)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map (ιMapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃ 0 i₃ i₃ ⋯) ≫ (G.map (𝟙 (X₁ i₁))).app ((((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).mapObj τ.p₂₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j ⋯ = (G.map (ιMapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) i₁ 0 i₁ ⋯)).app (X₃ i₃) ≫ (G.map ((mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom i₁)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((F₂.map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom).app (X₃ i₃) ≫ e₂.hom.app (X₃ i₃)) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j ⋯ = (G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom ≫ e₁.hom.app (X₁ i₁))).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

((((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((F₂.map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom).app (X₃ i₃))) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map (e₂.hom.app (X₃ i₃))) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j ⋯ = (((G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom)).app (X₃ i₃) ≫ ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app X₂).app (X₃ i₃)) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map (e₂.hom.app (X₃ i₃))) ≫ ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D : Type u_4

Context: I₁ : Type u_5

Context: I₂ : Type u_6

Context: I₃ : Type u_7

Context: J : Type u_8

Context: inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂

Context: inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃

Context: inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D

Context: inst✝¹¹ : Zero I₂

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂

Context: inst✝⁹ : HasInitial C₂

Context: F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁

Context: F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃

Context: G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D

Context: X₂ : C₂

Context: e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁

Context: e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: π : I₁ × I₃ → J

Context: τ : TriangleIndexData r π

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₃ : I₃

Context: hj : π (i₁, i₃) = j

(G.map ((F₁.obj (X₁ i₁)).map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom)).app (X₃ i₃) ≫ ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app X₂).app (X₃ i₃) = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app ((single₀ I₂).obj X₂ 0)).app (X₃ i₃) ≫ (G.obj (X₁ i₁)).map ((F₂.map (singleObjApplyIso 0 X₂).hom).app (X₃ i₃))


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
x : V

x ∈ (range (domRestrict B W)).dualCoannihilator ↔ x ∈ B.orthogonal W


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁸ : Module R M

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing R₁

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁵ : Module R₁ M₁

Context: V : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: B✝ : BilinForm R M

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: M₂' : Type u_7

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝ : Module R M₂'

Context: B : BilinForm K V

Context: W : Subspace K V

Context: x : V

Context: hx : x ∈ (range (domRestrict B W)).dualCoannihilator