Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

Context: n : ℕ

Context: l : ℕ

Context: hl : l ≥ n

Context: m : ℕ

lowerCentralSeries R L M l ≤ lowerCentralSeries R L M m


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → lowerCentralSeries R L M n = lowerCentralSeries R L M m

Context: l : ℕ

Context: hl : l ≥ n

Context: m : ℕ

Context: h : l ≤ m


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁷ : Module R M

Context: inst✝⁶ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁵ : LieModule R L M

Context: k : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: M₂ : Type w₁

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L M₂

Context: inst✝ : IsArtinian R M

Context: h_wf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

Context: n : ℕ

Context: l : ℕ

Context: hl : l ≥ n

Context: m : ℕ

Context: h : m < l


Context: a b c : Ordinal.{u}


Context:
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 0 = k


Context:
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 0 = k
x✝¹ : Ordinal.{u}
x✝ : x✝¹ < a

x✝¹ ♯ 0 = x✝¹


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX : tX ∈ tas
hY : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX✝ : tX ∈ tas
hY : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2
hX : Continuous id


Context:
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
tas : Set (TopologicalSpace X)
tbs : Set (TopologicalSpace Y)
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tc : TopologicalSpace Z
hX✝ : tX ∈ tas
hY✝ : tY ∈ tbs
hf : Continuous fun p => f p.1 p.2
hX : Continuous id
hY : Continuous id


Context: X✝ : Type u

Context: Y✝ : Type v

Context: Z✝ : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Z✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace W

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace ε

Context: inst✝ : TopologicalSpace ζ

Context: X : Type u_5

Context: Y : Type u_6

Context: Z : Type u_7

Context: f : X → Y → Z

Context: tas : Set (TopologicalSpace X)

Context: tbs : Set (TopologicalSpace Y)

Context: tX : TopologicalSpace X

Context: tY : TopologicalSpace Y

Context: tc : TopologicalSpace Z

Context: hX✝ : tX ∈ tas

Context: hY✝ : tY ∈ tbs

Context: hf : Continuous fun p => f p.1 p.2

Context: hX : Continuous id

Context: hY : Continuous id

Context: h_continuous_id : Continuous fun p => (id p.1, id p.2)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

LinearIndependent (ι := { x // x ∈ ofVectorSpaceIndex K V }) K Subtype.val


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
x : { x // x ∈ ofVectorSpaceIndex K V }


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a

∃ p, 0 < p ∧ F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)


Context:
a : ℝ
ha : 0 ≤ a


Context: a : ℝ

Context: ha : 0 ≤ a

Context: aux' : (fun t => ((1 - rexp (-π * t)) ^ 2)⁻¹) =O[atTop] fun x => 1


Context: ha : 0 ≤ 0


Context: a : ℝ

Context: ha : 0 ≤ a

Context: ha' : 0 < a


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
hη : 0 ∈ nthRootsFinset n R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a

Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a

Context: A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 (a + 0))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a

Context: A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace R

Context: inst✝² : LinearOrderedField R

Context: inst✝¹ : OrderTopology R

Context: inst✝ : FloorRing R

Context: a : R

Context: ha : 0 ≤ a

∀ᶠ (b : R) in atTop, ↑⌈a * b⌉₊ / b ≤ a + b⁻¹


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Category.{u_15, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_16, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_14, u_3} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝⁴ : Category.{u_13, u_5} C₁₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.204416, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝² : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q

Context: H : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃

Context: inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r

Context: j : J

Context: A : C₄

Context: f g : mapBifunctorMapObj G ρ₁₂.q (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂) X₃ j ⟶ A

Context: h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : r (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: C₄ : Type u_4

Context: C₁₂ : Type u_5

Context: C₂₃ : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Category.{u_15, u_1} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_16, u_2} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{u_14, u_3} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄

Context: inst✝⁴ : Category.{u_13, u_5} C₁₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.204416, u_6} C₂₃

Context: F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: j : J

Context: A : C₄

∀ (i : ↑(r ⁻¹' {j})), Cofan.inj (cofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ f = Cofan.inj (cofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j) i ≫ g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
f : α → β

ContinuousWithinAt f (Ioi a) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a : α
h : filter p [a] ≠ []
h' : p ([a].getLast ⋯) = true

(filter p [a]).getLast h = [a].getLast ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a : α
h : filter p [a] ≠ []
h' : p a = true


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Bool

Context: a b : α

Context: as : List α

Context: h : filter p (a :: b :: as) ≠ []

Context: h' : p ((a :: b :: as).getLast ⋯) = true

(filter p (a :: b :: as)).getLast h = (a :: b :: as).getLast ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
a b : α
as : List α
h : filter p (a :: b :: as) ≠ []
h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true

(filter p (a :: b :: as)).getLast h = (b :: as).getLast ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Bool

Context: a b : α

Context: as : List α

Context: h✝ : filter p (a :: b :: as) ≠ []

Context: h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true

Context: h : (if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)) ≠ []

(if p a = true then a :: filter p (b :: as) else filter p (b :: as)).getLast ⋯ = (b :: as).getLast ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Bool

Context: a b : α

Context: as : List α

Context: h✝ : filter p (a :: b :: as) ≠ []

Context: h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true

Context: ha : p a = true


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Bool

Context: a b : α

Context: as : List α

Context: h✝ : filter p (a :: b :: as) ≠ []

Context: h' : p ((b :: as).getLast ⋯) = true

Context: ha : p a = false


Context: x y : ℂ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hg : f =ᶠ[𝓝 x] g
r₁ : ℝ≥0∞
h₁ : HasFPowerSeriesOnBall f p x r₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: hg : f =ᶠ[𝓝 x] g

Context: r₁ : ℝ≥0∞

Context: h₁ : HasFPowerSeriesOnBall f p x r₁

Context: r₂ : ℝ≥0∞

Context: h₂pos : r₂ > 0

Context: h₂ : EMetric.ball x r₂ ⊆ {x | (fun x => f x = g x) x}


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ

x ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), x = p ^ j


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ

(∃ x_1 ≤ k, x = p ^ x_1 ∧ x < p ^ k) ↔ ∃ j < k, x = p ^ j


Context:
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ

∀ (a : ℕ), a ≤ k ∧ x = p ^ a ∧ x < p ^ k ↔ a < k ∧ x = p ^ a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α →ₘ[μ] β
_f : α → β
hfm : AEStronglyMeasurable _f μ
hfi : (mk _f hfm).Integrable

MeasureTheory.Integrable ((fun x => c • x) ∘ ↑⟨_f, hfm⟩) μ


Context:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
v : Fin2 2 → ℕ

v &0 = v &1 ↔ (Poly.proj &0 - Poly.proj &1) v = 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α

(restrict s) (⨅ i ∈ I, m i) = ⨅ i ∈ I, (restrict s) (m i)


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α
this : Nonempty ↑I


(restrict s) (⨅ i, m ↑i) = ⨅ i, (restrict s) (m ↑i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
h : l₁.length < l₂.length
l : List α
p : l ~ l₁
s : l <+ l₂


l.length < l₂.length → ∃ a, a :: l <+~ l₂


Context:
α : Type u_1
l₂ l : List α
s : l <+ l₂


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β

UniformContinuousOn f univ ↔ UniformContinuous f


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'

Context: f : ι → α → δ'

Context: bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, BddAbove (range fun i => f i y)

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousAt (f i) x

LowerSemicontinuousAt (fun x' => ⨆ i, f i x') x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ

Context: f : ι → α → δ'

Context: h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) univ x

LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') univ x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder β

Context: f✝ g : α → β

Context: x : α

Context: s t : Set α

Context: y z : β

Context: ι : Sort u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ

Context: f : ι → α → δ'

Context: bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[univ] x, BddAbove (range fun i => f i y)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 3 = sin b - sin a - (sin b ^ 3 - sin a ^ 3) / 3


Context: a b : ℝ

Context: n : ℕ

Context: this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 0 * cos x ^ (2 * 1 + 1) = ∫ (u : ℝ) in sin a..sin b, u ^ 0 * (1 - u ^ 2) ^ 1


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R


IsCompact (Set.range ⇑(comap (algebraMap R (Localization (Submonoid.powers f)))))


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
x : L

x ∈ dual A K I ↔ ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) x) a ∈ (algebraMap A K).range


x ∈ ⟨(↑I)ᵛ, ⋯⟩ ↔ ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) x) a ∈ (algebraMap A K).range


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
y : β
hy : y ∈ t₁ ∩ t₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
x₂ : α
hx₂ : x₂ ∈ s₂
heq : f x₂ = f x₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
hx₂ : x₁ ∈ s₂
heq : f x₁ = f x₁


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s : Set ι

Context: inst✝ : DecidableEq { x // x ∈ s }

Context: e : α ≃ ↑s

Context: m : α → (i : ι) → M₁ i

Context: a : α

Context: z : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ↑s

update m a z (e.symm i) ↑i = update (fun j => m (e.symm j) ↑j) (e a) (z ↑(e a)) i


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s : Set ι

Context: inst✝ : DecidableEq { x // x ∈ s }

Context: e : α ≃ ↑s

Context: m : α → (i : ι) → M₁ i

Context: z : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ↑s

update m (e.symm i) z (e.symm i) ↑i = update (fun j => m (e.symm j) ↑j) (e (e.symm i)) (z ↑(e (e.symm i))) i


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝⁴ : Module R M₂

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: M₁' : ι → Type u_1

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)

Context: α : Type u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s : Set ι

Context: inst✝ : DecidableEq { x // x ∈ s }

Context: e : α ≃ ↑s

Context: m : α → (i : ι) → M₁ i

Context: a : α

Context: z : (i : ι) → M₁ i

Context: i : ↑s

Context: hne : a ≠ e.symm i


Context:
m n : ℕ
x y : ZMod n


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h : MeromorphicOn (-f) U


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]
x : R


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p✝ p q : R[X]
ihp : (aeval h.root) p = h.map p
ihq : (aeval h.root) q = h.map q


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R[X]

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: h : IsAdjoinRoot S f

Context: p : R[X]

Context: n : ℕ

Context: x : R

Context: x✝ : (aeval h.root) (C x * X ^ n) = h.map (C x * X ^ n)

(aeval h.root) (C x * X ^ (n + 1)) = h.map (C x * X ^ (n + 1))


Context:
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → M
i✝ j✝ : ι

e.toMatrix v i✝ j✝ = (LinearMap.toMatrix e e) ((e.constr ℕ) v) i✝ j✝


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

a • f x + b • f y + (a • g x + b • g y) = a • (f x + g x) + b • (f y + g y)


Context:
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.11305, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

(F.map f ⊗ (F.closedIhom.obj G).map f) ≫ (ihom.ev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.ev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ G.map f


(F.map f ⊗ (ihom (F.obj X)).map (G.map f) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (G.obj Y)) ≫ (ihom.ev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.ev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ G.map f


(F.map f ▷ (ihom (F.obj X)).obj (G.obj X) ≫ F.obj Y ◁ ((ihom (F.obj X)).map (G.map f) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (G.obj Y))) ≫ (ihom.ev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.ev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ G.map f


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E


Context: a x z✝ z : ℂ


Context: m k : ℕ+

(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).2 = if ↑m % ↑k = 0 then ↑m / ↑k - 1 else ↑m / ↑k


Context:
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α₀ α₁ α₂ : Type u₀
β : Type u₁
f : α₀ → α₁
f' : α₁ → α₂
x : F α₀ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
f : α → γ
g : β → δ
c : γ
d : δ
r : α → β → Prop
f₁ : α → γ
g₁ : β → δ
f₂ : γ → ε
g₂ : δ → ζ
a : ε
b : ζ

Relation.Map (Relation.Map r f₁ g₁) f₂ g₂ a b ↔ Relation.Map r (f₂ ∘ f₁) (g₂ ∘ g₁) a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
f : α → γ
g : β → δ
c : γ
d : δ
r : α → β → Prop
f₁ : α → γ
g₁ : β → δ
f₂ : γ → ε
g₂ : δ → ζ
a✝ : ε
b✝ : ζ
a : α
b : β

(∃ b_1 a_1, (r a b ∧ f₁ a = b_1 ∧ g₁ b = a_1) ∧ f₂ b_1 = a✝ ∧ g₂ a_1 = b✝) → r a b ∧ f₂ (f₁ a) = a✝ ∧ g₂ (g₁ b) = b✝


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
u : (PreQuasiregular R)ˣ

(↑u).val + (↑u⁻¹).val + (↑u⁻¹).val * (↑u).val = 0


Context:
α : Type u_1
t : Set α
p : Set α → Prop

(∀ (s : Set ↑t), p (val '' s)) ↔ ∀ s ⊆ t, p s


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R

(A.updateColumn j fun k => ∑ i : n, c i • A k i).det = c j • A.det


(Aᵀ.updateRow j fun k => ∑ i : n, c i • A k i).det = c j • Aᵀ.det


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
x✝ : n

∑ i : n, c i • A x✝ i = (∑ k : n, c k • Aᵀ k) x✝


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a * b = 1


Context:
a c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a * ⊤ = 1


Context: x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y₁ y₂ y₃ y'✝ x₁ x₂ y' : PGame

Context: h₁ : x₁.IsOption x

Context: h₂ : x₂.IsOption x

Context: ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y') → P124 a

ArgsRel (Args.P24 x₁ x₂ y') (Args.P1 x y')


Context: x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame

Context: ih : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P1 x y) → P124 a

Context: x₁ x₂ y' : PGame

Context: h₁ : x₁.IsOption x

Context: h₂ : x₂.IsOption x

Context: hy : y'.IsOption y

ArgsRel (Args.P24 x₁ x₂ y') (Args.P1 x y)


Context: x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame

Context: x₁ x₂ y' : PGame

Context: h₁ : x₁.IsOption x

Context: h₂ : x₂.IsOption x

Context: hy : y'.IsOption y

TransGen (CutExpand IsOption) (Args.P24 x₁ x₂ y').toMultiset {x, y'}


Context:
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(X₁, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : X₁), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t

∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f


Context: X₁ : Type u₁

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁

Context: X : Type u

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : NormalSpace X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: e : X₁ → X

Context: he : ClosedEmbedding e

Context: Y✝ : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝¹ : TietzeExtension Y✝

Context: Y : Type v

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: f : C(X₁, Y)

Context: t : Set Y

Context: hf : ∀ (x : X₁), f x ∈ t

Context: ht : TietzeExtension ↑t

Context: g : C(X, ↑t)

Context: hg : g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := Set.codRestrict (⇑f) t hf, continuous_toFun := ⋯ }


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p q : X → Prop
hp : IsOpen {x | p x}
hq : IsClosed {x | q x}


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: h : f =O[atTop] fun n => ↑n ^ (x + 1 - 1)


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f


Context: f : ℕ → ℂ

Context: x : ℝ

Context: H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f

Context: y : ℝ

Context: hy₁ : ↑x + 1 < ↑y

Context: hy₂ : ↑y < abscissaOfAbsConv f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α

a ∈ ⨆ i, ⨆ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ∈ f i j


Context:
β : Type u_1
α : Type u_2
R : β → β → Prop
l : List α
f : α → List β

Pairwise R (l.bind f) ↔ (∀ (a : α), a ∈ l → Pairwise R (f a)) ∧ Pairwise (fun a₁ a₂ => ∀ (x : β), x ∈ f a₁ → ∀ (y : β), y ∈ f a₂ → R x y) l


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: B✝ : PowerBasis S A

Context: hB✝ : IsIntegral R B✝.gen

Context: B B' : PowerBasis K S

Context: P : R[X]

Context: h : (aeval B.gen) P = B'.gen

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: hmin : minpoly K B.gen = Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R B.gen)

Context: i : Fin B.dim

Context: j : Fin B'.dim

IsIntegral R (B.basis.toMatrix (⇑B'.basis) i j)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: B✝ : PowerBasis S A

Context: hB✝ : IsIntegral R B✝.gen

Context: B B' : PowerBasis K S

Context: P : R[X]

Context: h : (aeval B.gen) P = B'.gen

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: i : Fin B.dim

Context: j : Fin B'.dim

IsIntegral R ((B.basis.repr ((fun i => B'.gen ^ ↑i) j)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: B✝ : PowerBasis S A

Context: hB✝ : IsIntegral R B✝.gen

Context: B B' : PowerBasis K S

Context: P : R[X]

Context: h : (aeval B.gen) P = B'.gen

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: i✝ : Fin B.dim

Context: j : Fin B'.dim

Context: i : Fin B.dim


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: B✝ : PowerBasis S A

Context: hB✝ : IsIntegral R B✝.gen

Context: B B' : PowerBasis K S

Context: P : R[X]

Context: h : (aeval B.gen) P = B'.gen

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: i✝ : Fin B.dim

Context: j : Fin B'.dim

Context: i : Fin B.dim

IsIntegral R (∑ k ∈ Finset.range (P.natDegree + 1), (B.basis.repr (P.coeff k • B.gen ^ k)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: B✝ : PowerBasis S A

Context: hB✝ : IsIntegral R B✝.gen

Context: B B' : PowerBasis K S

Context: P : R[X]

Context: h : (aeval B.gen) P = B'.gen

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: i✝ : Fin B.dim

Context: j : Fin B'.dim

Context: i : Fin B.dim

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ∈ Finset.range (P.natDegree + 1)

IsIntegral R ((B.basis.repr (P.coeff n • B.gen ^ n)) i)


Context: K : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : Field K

Context: inst✝⁹ : CommRing S

Context: inst✝⁸ : Algebra K S

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra R K

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R K S

Context: A : Type u_4

Context: inst✝³ : CommRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: B✝ : PowerBasis S A

Context: hB✝ : IsIntegral R B✝.gen

Context: B B' : PowerBasis K S

Context: P : R[X]

Context: h : (aeval B.gen) P = B'.gen

Context: hB : IsIntegral R B.gen

Context: i✝ : Fin B.dim

Context: j : Fin B'.dim

Context: i : Fin B.dim

Context: n : ℕ

Context: x✝ : n ∈ Finset.range (P.natDegree + 1)

IsIntegral R ((P.coeff n • B.basis.repr (B.gen ^ n)) i)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange


∀ (f g : Arrow C), (f ≅ g) → P f.hom → P g.hom


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
f g : Arrow C
e : f ≅ g


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝¹ v✝¹ w x y u v : V
n : ℕ
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
u✝ v✝ w✝ : V
x✝¹ : G.Adj u✝ v✝
x✝ : G.Walk v✝ w✝

((cons x✝¹ x✝).tail ⋯).getVert n = (cons x✝¹ x✝).getVert (n + 1)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J

biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j ≫ (rightDistributor f X).inv = biproduct.ι f j ▷ X


Context:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
inst✝ : CompactSpace ↑s

↑(RingHom.ker (evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩)) = closure ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})


↑(RingHom.ker (evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩)) = closure ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ∩ ↑(RingHom.ker (evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩))


closure ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) = Set.univ


closure ↑(polynomialFunctions s).starClosure = Set.univ


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
G : K ⥤ C
inst✝ : HasColimit G
e : J ≌ K
w : e.functor ⋙ G ≅ F
j : J

colimit.ι F j ≫ (isoOfEquivalence e w).hom = F.map (e.unit.app j) ≫ w.inv.app ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j) ≫ colimit.ι G (e.functor.obj ((e.functor ⋙ e.inverse).obj j))


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : Finite ↑s
ht : Finite ↑t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAtFilter g₁ g₁' (h x) L'
hh : HasDerivAtFilter h h' x L
hy : y = h x
hL : Tendsto h L L'

HasDerivAtFilter (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x L


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.114300
inst✝ : MulAction R X
p r : R
s : ↥S


Context: C : Type ?u.28028

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.28032, ?u.28028} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hf₁ : S₁.f = 0

Context: hg₁ : S₁.g = 0

Context: hf₂ : S₂.f = 0


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
hg₁ : S₁.g = 0
hf₂ : S₂.f = 0

QuasiIso φ ↔ IsIso (S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯)


Context: C : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C

Context: inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C

Context: S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C

Context: inst✝³ : S₁.HasHomology

Context: inst✝² : S₂.HasHomology

Context: inst✝¹ : S₃.HasHomology

Context: inst✝ : S₄.HasHomology

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hf₁ : S₁.f = 0

Context: hg₁ : S₁.g = 0

Context: hf₂ : S₂.f = 0

Context: H : LeftHomologyMapData φ (LeftHomologyData.ofZeros S₁ hf₁ hg₁) (LeftHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₂ hf₂ (KernelFork.ofι S₂.iCycles ⋯) S₂.cyclesIsKernel) := { φK := S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯, φH := S₂.liftCycles φ.τ₂ ⋯, commi := ⋯, commf' := ⋯, commπ := ⋯ }


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
this : d * a.y ^ 2 = d * b.y ^ 2


Context: x✝ y x : ℝ

√x⁻¹ = (√x)⁻¹


Context: n✝ n : ℕ

↑n ≡ (List.map (fun n => ↑n) (digits 10 n)).alternatingSum [ZMOD 11]


Context: n✝ n : ℕ

Context: t : ↑n ≡ ofDigits (-1) (digits 10 n) [ZMOD ↑11]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
b : β
hf : Multipliable (update f b 1)
n : β

f n = (if n = b then f n else 1) * update f b 1 n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
b : β
hf : Multipliable (update f b 1)

(∏' (x : β), if x = b then f x else 1) = if b = b then f b else 1


(if b = b then f b else 1) * ∏' (x : β), update f b 1 x = f b * ∏' (x : β), if x = b then 1 else f x


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ κ a ⟂ₘ η a


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a + (κ.singularPart η) a ⟂ₘ η a


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a + (κ.singularPart η) a ⟂ₘ η a


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h : (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a ⟂ₘ η a ∧ (κ.singularPart η) a ⟂ₘ η a


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a ⟂ₘ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: hp : p ≠ 0

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(lp E p)

‖c • f‖ = ‖c‖ * ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: hp : p ≠ 0

Context: f : ↥(lp E p)

‖0 • f‖ = ‖0‖ * ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: hp : p ≠ 0

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hc : c ≠ 0

‖c • f‖ = ‖c‖ * ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: hp : p ≠ 0

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hc : c ≠ 0

‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c • f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: hp : p ≠ 0

Context: c : 𝕜

Context: f : ↥(lp E p)

Context: hc : c ≠ 0

Context: this : ‖c‖ * ‖c⁻¹ • c • f‖ ≤ ‖c‖ * (‖c⁻¹‖ * ‖c • f‖)

‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c • f‖


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
h𝒜₁ : 𝒜.Nonempty
h𝒜₀ : ∅ ∉ 𝒜


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

∃ u, ContDiff ℝ ⊤ u ∧ (∀ (x : E), u x ∈ Icc 0 1) ∧ support u = ball 0 1 ∧ ∀ (x : E), u (-x) = u x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen (ball 0 1)


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Infinite R
p q : R[X]
ext : ∀ (r : R), eval r p = eval r q


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Infinite R
p q : R[X]
ext : ∀ (r : R), eval r p = eval r q
x : R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M

ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑(e.extend I).symm) (↑I '' e.target)


↑I '' e.target ⊆ ↑(I.restr e.target).symm ⁻¹' e.target


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : (minpoly K f).IsRoot μ


Context:
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : (minpoly K f).IsRoot μ
p : K[X]
hp : minpoly K f = (X - C μ) * p


Context: K : Type v

Context: V : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : (minpoly K f).IsRoot μ

Context: p : K[X]

Context: hp : minpoly K f = (X - C μ) * p

Context: con : LinearMap.ker (f - (algebraMap K (End K V)) μ) = ⊥


Context: K : Type v

Context: V : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : (minpoly K f).IsRoot μ

Context: p : K[X]

Context: hp : minpoly K f = (X - C μ) * p

Context: u : (V →ₗ[K] V)ˣ

Context: hu : ↑u = f - (algebraMap K (End K V)) μ


Context: K : Type v

Context: V : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : (minpoly K f).IsRoot μ

Context: p : K[X]

Context: hp : minpoly K f = (X - C μ) * p

Context: u : (V →ₗ[K] V)ˣ

Context: p_ne_0 : p ≠ 0


Context: K : Type v

Context: V : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : (minpoly K f).IsRoot μ

Context: p : K[X]

Context: hp : minpoly K f = (X - C μ) * p

Context: u : (V →ₗ[K] V)ˣ

Context: p_ne_0 : p ≠ 0

Context: this : (aeval f) p = 0


Context: K : Type v

Context: V : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : (minpoly K f).IsRoot μ

Context: p : K[X]

Context: hp : minpoly K f = (X - C μ) * p

Context: u : (V →ₗ[K] V)ˣ

Context: p_ne_0 : p ≠ 0

Context: this : (aeval f) p = 0

Context: h_deg : (minpoly K f).degree ≤ p.degree


Context: K : Type v

Context: V : Type w

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : End K V

Context: μ : K

Context: h : (minpoly K f).IsRoot μ

Context: p : K[X]

Context: hp : minpoly K f = (X - C μ) * p

Context: u : (V →ₗ[K] V)ˣ

Context: p_ne_0 : p ≠ 0

Context: this : (aeval f) p = 0

Context: h_deg : 1 + ↑p.natDegree ≤ ↑p.natDegree


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
x✝ : Ω →ᵇ ℝ≥0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Nonsingular x y ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄) ≠ 0 ∨ 2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
h : HasStrongEpiMonoFactorisations C
X Y : D
f : X ⟶ Y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.IsEquivalence

Context: h : HasStrongEpiMonoFactorisations C

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: em : StrongEpiMonoFactorisation (F.inv.map f) := ⋯.some


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.IsEquivalence

Context: h : HasStrongEpiMonoFactorisations C

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this : Mono (F.map em.m ≫ F.asEquivalence.counitIso.hom.app Y)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : F.IsEquivalence

Context: h : HasStrongEpiMonoFactorisations C

Context: X Y : D

Context: f : X ⟶ Y

Context: this✝ : Mono (F.map em.m ≫ F.asEquivalence.counitIso.hom.app Y)

Context: this : StrongEpi (F.asEquivalence.counitIso.inv.app X ≫ F.map em.e)


Context: p : ℝ × ℝ

HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])) p


Context: p : ℝ × ℝ

HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) ((cos p.2 • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (-p.1 * sin p.2) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ).prod (sin p.2 • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 * cos p.2) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)) p


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : p ≠ 0

∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f


Context:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : Nat.Prime p


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: hp : Nat.Prime p

Context: N : ℕ

Context: ih : ∀ m < N, ∀ {f : F[X]}, Irreducible f → f.natDegree = m → ∃ n g, g.Separable ∧ (expand F (p ^ n)) g = f

Context: f : F[X]

Context: hf : Irreducible f

Context: hn : f.natDegree = N


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: hp : Nat.Prime p

Context: N : ℕ

Context: f : F[X]

Context: hf : Irreducible f

Context: hn : f.natDegree = N

Context: h : f.Separable


Context: F : Type u

Context: inst✝¹ : Field F

Context: K : Type v

Context: inst✝ : Field K

Context: p : ℕ

Context: HF : CharP F p

Context: hp : Nat.Prime p

Context: N : ℕ

Context: f : F[X]

Context: hf : Irreducible f

Context: hn : f.natDegree = N

Context: h1 : ¬f.Separable

Context: g : F[X]

Context: hg : Irreducible g

Context: hgf : (expand F p) g = f


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M


Context:
α : Type u
i l p : Nat
a : Array α
h : a.size ≤ l


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E

(convexHull R) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), (convexHull R) ↑t


(convexHull R) s ⊆ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), (convexHull R) ↑t


⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), (convexHull R) ↑t ⊆ (convexHull R) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MulOneClass α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: ha hb : 1 ≤ 1


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)

(fun x_1 x_2 => x_1 * x_2) ⟦p⟧ ⟦q⟧ = ⟦transAt i q p⟧


(fun x_1 x_2 => x_1 * x_2) ⟦p⟧ ⟦q⟧ = ⟦fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.trans (toLoop (Classical.arbitrary N) q) (toLoop (Classical.arbitrary N) p))⟧


(loopHomeo (Classical.arbitrary N)).symm (Path.trans ((loopHomeo (Classical.arbitrary N)).toEquiv q) ((loopHomeo (Classical.arbitrary N)).toEquiv p)) ≈ fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.trans (toLoop (Classical.arbitrary N) q) (toLoop (Classical.arbitrary N) p))


Context:
m n : ℕ
hc : m.Coprime n
hm : IsSquare (-1)
hn : IsSquare (-1)
this : IsSquare (-1)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoMod hp (a - p) b = toIcoMod hp a b - p


Context: k m n : Nat

k.Coprime (m * n) ↔ k.Coprime m ∧ k.Coprime n


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₁₂ : Type u_3

Context: C₂₃ : Type u_4

Context: C₃ : Type u_5

Context: C₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁

Context: inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄

Context: inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p

Context: inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q

Context: inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q

Context: H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃

Context: H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₁₂ : Type u_3

Context: C₂₃ : Type u_4

Context: C₃ : Type u_5

Context: C₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁

Context: inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄

Context: inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

Context: this : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₁₂ : Type u_3

Context: C₂₃ : Type u_4

Context: C₃ : Type u_5

Context: C₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁

Context: inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄

Context: inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

Context: this✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r

Context: this : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₁₂ : Type u_3

Context: C₂₃ : Type u_4

Context: C₃ : Type u_5

Context: C₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁

Context: inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄

Context: inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorComp₁₂MapObjIso F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃).inv j ≫ mapMap ((((mapTrifunctorMapNatTrans associator.hom I₁ I₂ I₃).app X₁).app X₂).app X₃) r j ≫ (mapBifunctorComp₂₃MapObjIso F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₁₂ : Type u_3

Context: C₂₃ : Type u_4

Context: C₃ : Type u_5

Context: C₄ : Type u_6

Context: inst✝⁹ : Category.{u_15, u_1} C₁

Context: inst✝⁸ : Category.{u_14, u_2} C₂

Context: inst✝⁷ : Category.{u_12, u_5} C₃

Context: inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄

Context: inst✝⁵ : Category.{u_13, u_3} C₁₂

Context: inst✝⁴ : Category.{u_17, u_4} C₂₃

Context: F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂

Context: G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄

Context: F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄

Context: G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃

Context: I₁ : Type u_7

Context: I₂ : Type u_8

Context: I₃ : Type u_9

Context: J : Type u_10

Context: r : I₁ × I₂ × I₃ → J

Context: ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r

Context: ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r

Context: X₁ : GradedObject I₁ C₁

Context: X₂ : GradedObject I₂ C₂

Context: X₃ : GradedObject I₃ C₃

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: i₃ : I₃

Context: j : J

Context: h : r (i₁, i₂, i₃) = j

((associator.hom.app (X₁ (i₁, i₂, i₃).1)).app (X₂ (i₁, i₂, i₃).2.1)).app (X₃ (i₁, i₂, i₃).2.2) ≫ (((mapTrifunctorObj (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) X₁ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).ιMapObj r (i₁, i₂, i₃) j h ≫ (mapBifunctorComp₂₃MapObjIso F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).hom j = ((associator.hom.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ

ucs k N = ⊤ ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N


lcs k ⊤ ≤ N ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Coplanar k s


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
n : ℕ
φ : k⟦X⟧

(coeff k n) φ⁻¹ = if n = 0 then ((constantCoeff k) φ)⁻¹ else -((constantCoeff k) φ)⁻¹ * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff k x.1) φ * (coeff k x.2) φ⁻¹ else 0


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: i₀ : ι

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) → β n

Context: t : Set γ := ⋂ n, {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: i₀ : ι

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) → β n

Context: t_closed : IsClosed t


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: i₀ : ι

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) → β n

Context: t_closed : IsClosed t

Context: this : PolishSpace ↑t


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: i₀ : ι

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) → β n

Context: t_closed : IsClosed t

Context: this : PolishSpace ↑t

Context: F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: i₀ : ι

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) → β n

Context: t_closed : IsClosed t

Context: this : PolishSpace ↑t

Context: F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)

Context: F_cont : Continuous F


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: inst✝ : T2Space α

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)

Context: i₀ : ι

Context: β : ι → Type

Context: hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)

Context: h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)

Context: f : (n : ι) → β n → α

Context: f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)

Context: f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n

Context: γ : Type u_2 := (n : ι) → β n

Context: t_closed : IsClosed t

Context: this : PolishSpace ↑t

Context: F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)

Context: F_cont : Continuous F

Context: F_range : range F = ⋂ n, s n


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: β : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: s✝ : Finset β

Context: f : β → Holor α ds

Context: this : DecidableEq β := Classical.decEq β

Context: x : β

Context: s : Finset β

Context: h_x_notin_s : x ∉ s

Context: ih : (∀ x ∈ s, CPRankMax n (f x)) → CPRankMax (s.card * n) (∑ x ∈ s, f x)

Context: h_cprank : ∀ x_1 ∈ insert x s, CPRankMax n (f x_1)

CPRankMax ((insert x s).card * n) (∑ x ∈ insert x s, f x)


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: β : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: s✝ : Finset β

Context: f : β → Holor α ds

Context: x : β

Context: s : Finset β

Context: h_x_notin_s : x ∉ s

CPRankMax ((s.card + 1) * n) (f x + ∑ x ∈ s, f x)


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: β : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: s✝ : Finset β

Context: f : β → Holor α ds

Context: x : β

Context: s : Finset β

Context: h_x_notin_s : x ∉ s

CPRankMax (s.card * n + 1 * n) (f x + ∑ x ∈ s, f x)


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: β : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: s✝ : Finset β

Context: f : β → Holor α ds

Context: x : β

Context: s : Finset β

Context: h_x_notin_s : x ∉ s

CPRankMax (n + s.card * n) (f x + ∑ x ∈ s, f x)


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : Ring α

Context: β : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: s✝ : Finset β

Context: f : β → Holor α ds

Context: x : β

Context: s : Finset β

Context: h_x_notin_s : x ∉ s

Context: ih' : CPRankMax (s.card * n) (∑ x ∈ s, f x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → α → α
hcomm : Commutative f
hassoc : Associative f
a b c : α
l : List α

foldl f a (b :: c :: l) = f b (foldl f a (c :: l))


foldl f (f (f a b) c) l = f b (foldl f (f a c) l)


foldl f (f (f a c) b) l = foldl f (f a c) (b :: l)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hS₀ : S ∈ Algebra.adjoin K {(ad K L) x}
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : Module.End K L
hN : _root_.IsNilpotent N
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: h_der : ∀ (y z : L) (α β : ↥H → K), y ∈ rootSpace H α → z ∈ rootSpace H β → S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅S y, z⁆ + ⁅y, S z⁆


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: y : L

Context: hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: y : L

Context: hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'

Context: hy' : ∀ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: y : L

Context: hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'

Context: hy' : y ∈ H


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: inst✝¹ : IsKilling K L

Context: inst✝ : PerfectField K

Context: x : L

Context: hx : x ∈ H

Context: N S : Module.End K L

Context: hS : S.IsSemisimple

Context: hSN : (ad K L) x = N + S

Context: hS₀ : Commute ((ad K L) x) S

Context: x' : ↥H := ⟨x, hx⟩

Context: y : L

Context: hy' : y ∈ H

Context: hy : S = (ad K L) y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Context: h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

BddAbove {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: s : Finset E

Context: hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

s.card ∈ {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

(((toLinearMap₂' ℝ) (lapMatrix ℝ G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j


(∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j) ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j


(∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j) → ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁴ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝ : CompleteSpace 𝕜

Context: h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1

Context: f : ℕ → E

Context: hf : (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b a : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)

U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)


X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)


X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))


X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((𝟙 (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))) r)


(Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv = 𝟙 (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x

ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
hx : f x ∈ e.source


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
hx : f x ∈ e.source
h' : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[univ] x


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
S T : Submodule R M
hS : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑S
hT : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑T


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
S T : Submodule R M
hS : S ≤ eqLocus f g
hT : T ≤ eqLocus f g


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R

a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b


0 ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = 0 ∧ c' * b' = b


∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b


∀ (a p : R), a ≠ 0 → Prime p → (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) → p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ a b : α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsTerminal X


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s

Disjoint l (𝓝ˢ s) ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint l (𝓝 x)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
h : 0 ∈ S
a b : N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
x : α

(∃ i, l.get? i = some (some x)) ↔ ∃ i, l.reduceOption.get? i = some x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set α


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
hI' : M.Basis I (X ∩ Y)


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
hI' : M.Basis I (X ∩ Y)
hJ' : M.Basis J (X ∩ Y)


Context:
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

-(a • (-f) x + b • (-f) y - a * b * φ ‖x - y‖) ≤ -(-f) (a • x + b • y)


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β✝
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β✝
β : Type u_5
f : α → β
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U : Opens X
hU : Nonempty ↥U
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target

↑e.symm y = (Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y


↑e ((Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y) = y


(Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y ∈ e.source


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝ : ChartedSpace H'' M''

Context: f f₀ f₁ : M → M'

Context: x : M

Context: s t : Set M

Context: g : M' → M''

Context: u : Set M'

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)

Context: g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))

Context: h : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f s x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S✝
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S✝

Context: S : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : CommRing T

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsFractionRing R T

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors R

Context: this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S✝

Context: S : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : CommRing T

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsFractionRing R T

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors R

Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R) ≤ nonZeroDivisors S


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommRing S✝

Context: S : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommRing S

Context: inst✝⁶ : CommRing T

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsFractionRing R T

Context: hM : M ≤ nonZeroDivisors R

∀ (x : ↥(nonZeroDivisors S)), ∃ m, m * ↑x ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

|edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)


edgeDensity r s₁ t₁ - edgeDensity r s₂ t₂ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)


edgeDensity (fun x y => ¬r x y) s₂ t₂ - edgeDensity (fun x y => ¬r x y) s₁ t₁ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)


Context: ι : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: A : ι → Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)

Context: x y : (i : ι) → A i

(mul ((tprod R) x)) ((tprod R) y) = (tprod R) (x * y)


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝


Context:
α : Type u
L L₁✝ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝
L₁ : List (α × Bool)
hx : Red [(x✝¹, true)] L₁
hy : Red [(x✝, true)] L₁


Context:
α : Type u
L L₁✝ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝
L₁ : List (α × Bool)
hx : L₁ = [(x✝¹, true)]
hy : L₁ = [(x✝, true)]


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))

Context: hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a

Context: hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a

Context: f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)

Context: F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)

Context: hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)

Context: hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: a : α

Context: ha : Tendsto (fun i => f' i a) atTop (𝓝 (F' a))

Context: ha_mono : Monotone fun i => f i a

Context: ha_bound : ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a

Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: a : α

Context: ha_mono : Monotone fun i => f i a

Context: ha_bound : ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a

Context: h1 : (fun i => f i a) = fun i => (f' i a).toReal + f 0 a

Context: h2 : F a = (F' a).toReal + f 0 a

Tendsto (fun i => (f' i a).toReal + f 0 a) atTop (𝓝 ((F' a).toReal + f 0 a))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF_int : Integrable F μ

Context: a : α

Context: ha_mono : Monotone fun i => f i a

Context: ha_bound : ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a

Context: h2 : F a = (F' a).toReal + f 0 a

Tendsto (fun i => (f' i a).toReal) atTop (𝓝 (F' a).toReal)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys