Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0

Set.range ⇑(basisSingleton ι h v hv) = {v}


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

a + b - ↑⌊a + b⌋ - (a - ↑⌊a⌋) - (b - ↑⌊b⌋) = ↑(⌊a⌋ + ⌊b⌋ - ⌊a + b⌋)


a + b + -↑⌊a + b⌋ + (↑⌊a⌋ + -a) + (↑⌊b⌋ + -b) = ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋ + -↑⌊a + b⌋


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → β → γ
a : Option α
b : Option β
c✝ : Option γ
c : γ

c ∈ map₂ f a b ↔ ∃ a' b', a' ∈ a ∧ b' ∈ b ∧ f a' b' = c


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : p a = true


countP (fun a_1 => decide ((a_1 == a) = true ∧ p a_1 = true)) l = countP (fun x => x == a) l


(fun a_1 => decide ((a_1 == a) = true ∧ p a_1 = true)) = fun x => x == a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
p : α → Bool
a : α
l : List α
h : p a = true
b : α

decide ((b == a) = true ∧ p b = true) = (b == a)


decide (b = a) = true ∧ p b = true ↔ b = a


Context:
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
a : M
X : C

(F.shiftIso 0 a a ⋯).inv.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorZero C M).inv.app X)


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)

(g • z).im = z.im / Complex.normSq (denom (↑g) z)


Context: x : ℝ

Context: h : |x| < 1

Context: term : ℕ → ℝ := fun n => -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)

Context: h_term_eq_goal : (term ∘ fun x => 2 * x) = fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)


Context: x : ℝ

Context: h : |x| < 1


Context: x : ℝ

Context: h : |x| < 1

∀ x ∉ Set.range fun x => 2 * x, term x = 0


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: this : (liftAddHom (singleAddHom β)) f = (AddMonoidHom.id (Π₀ (i : ι), β i)) f


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: this : (f.sum fun x => ⇑(singleAddHom β x)) = (AddMonoidHom.id (Π₀ (i : ι), β i)) f


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context:
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : a ≠ 0

padicValInt p (a * ↑p) = padicValInt p a + 1


padicValInt p a + padicValInt p ↑p = padicValInt p a + 1


Context:
α : Type u_1
l r : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a

x ∈ update f i '' Icc a b ↔ x ∈ Icc (update f i a) (update f i b)


x ∈ update f i '' Icc a b ↔ x ∈ univ.pi fun i_1 => Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r✝ : R
e✝ : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
i : σ
e : ℕ
r : R
he : e ≠ 0
hr : r ≠ 0

((monomial (Finsupp.single i e)) r).vars = {i}


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃

(mappingConeCompTriangleh f g).mor₂ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (mappingConeCompTriangle f g).mor₁)


(mappingConeCompTriangleh f g).mor₂ ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (HomotopyCategory.isoOfHomotopyEquiv (mappingConeCompHomotopyEquiv f g)).inv = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (mappingConeCompTriangle f g).mor₁) ≫ (HomotopyCategory.isoOfHomotopyEquiv (mappingConeCompHomotopyEquiv f g)).inv


(HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (map (f ≫ g) g f (𝟙 X₃) ⋯) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).inv = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (inr (map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)) ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mappingConeCompHomotopyEquiv f g).inv


Context:
x y : ℝ
h : rexp x = 0


Context:
x y : ℝ
h : ↑(cexp ↑x).re = ↑0


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ

⇑h ⁻¹' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h.symm x) r


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
hind : H.index = s.card


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
s : Finset ι
H : Subgroup G
g : ι → G
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑H = Set.univ
hind : H.index = s.card
this : Fintype (G ⧸ H)


(Function.Surjective fun x => ↑(g ↑x)) ∧ Fintype.card { x // x ∈ s } = Fintype.card (G ⧸ H)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer (J.plusObj P))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

IsIso (S.toMultiequalizer (J.plusObj P))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

IsIso ((forget D).map (S.toMultiequalizer (J.plusObj P)))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝⁵ : ConcreteCategory D

Context: inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : C

Context: S : J.Cover X

Function.Bijective ((forget D).map (S.toMultiequalizer (J.plusObj P)))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: r R : ℝ

Context: h0 : 0 < r

Context: hle : r ≤ R

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c R \ closedBall c r) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: A : Set ℂ := closedBall c R \ ball c r

Context: hc : ContinuousOn f A

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ • f z


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: hle : rexp a ≤ R

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c R \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: A : Set ℂ := closedBall c R \ ball c (rexp a)

Context: hc : ContinuousOn f A

(∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, rexp a), (z - c)⁻¹ • f z


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : rexp a ≤ rexp b

Context: hd : ∀ z ∈ (ball c (rexp b) \ closedBall c (rexp a)) \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: A : Set ℂ := closedBall c (rexp b) \ ball c (rexp a)

Context: hc : ContinuousOn f A

(∮ (z : ℂ) in C(c, rexp b), (z - c)⁻¹ • f z) = ∮ (z : ℂ) in C(c, rexp a), (z - c)⁻¹ • f z


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: hc : ContinuousOn f A


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: hc : ContinuousOn f A

∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp b) θ) = ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, I • f (circleMap c (rexp a) θ)


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: hc : ContinuousOn f A

Context: R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]

Context: g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: hc : ContinuousOn f A

Context: R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]

Context: g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x

Context: hdg : Differentiable ℂ g


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: hc : ContinuousOn f A

Context: R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]

Context: g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x

Context: hdg : Differentiable ℂ g

Context: hs : (g ⁻¹' s).Countable


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: hc : ContinuousOn f A

Context: R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]

Context: g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x

Context: hdg : Differentiable ℂ g

Context: hs : (g ⁻¹' s).Countable

Context: h_maps : MapsTo g R A


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]

Context: g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x

Context: hdg : Differentiable ℂ g

Context: hs : (g ⁻¹' s).Countable

Context: h_maps : MapsTo g R A

Context: hc : ContinuousOn (f ∘ g) R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: a : ℝ

Context: h0 : 0 < rexp a

Context: b : ℝ

Context: hle : a ≤ b

Context: R : Set ℂ := [[a, b]] ×ℂ [[0, 2 * π]]

Context: g : ℂ → ℂ := fun x => c + cexp x

Context: hdg : Differentiable ℂ g

Context: hs : (g ⁻¹' s).Countable

Context: h_maps : MapsTo g R A

Context: hc : ContinuousOn (f ∘ g) R

Context: hd : ∀ z ∈ Ioo (min a b) (max a b) ×ℂ Ioo (min 0 (2 * π)) (max 0 (2 * π)) \ g ⁻¹' s, DifferentiableAt ℂ (f ∘ g) z


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
C0 : 0 ≤ C


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2

stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1)) = Wallis.W n


Context:
n : ℕ
hn : n ≠ 0
this : 4 = 2 * 2


Context:
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

count p (n + 1) = count (fun k => p (k + 1)) n + if p 0 then 1 else 0


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι

(basis A b).repr.symm (Finsupp.single i a) = a ⊗ₜ[R] b.repr.symm (Finsupp.single i 1)


(basisAux A b).invFun (Finsupp.single i a) = a ⊗ₜ[R] b.repr.symm (Finsupp.single i 1)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : ℝ ≃ᵐ ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : 0 ≤ᶠ[ae volume] g

Context: hg_int : Integrable g volume

(Measure.map (⇑f.symm) (volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f✝ : E → E

Context: f'✝ : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: f : ℝ ≃ᵐ ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f' : ℝ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: hg : 0 ≤ᶠ[ae volume] g

Context: hg_int : Integrable g volume

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x)).det| * g (f x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))


Context:
R S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FormallyUnramified R S
inst✝ : EssFiniteType R S
x : M

(TensorProduct.AlgebraTensorModule.lift (↑R (lsmul S S M).toLinearMap.flip).flip ∘ₗ sec R S M) x = LinearMap.id x


(_root_.TensorProduct.lift (↑R (↑R (lsmul S S M).toLinearMap.flip).flip)) ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.map LinearMap.id ((lsmul R R M).toLinearMap.flip x)) (elem R S)) = x


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α

∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in t ∩ g⁻¹ • s, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g⁻¹ • (g • t ∩ s), f x ∂μ


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
i : (Quotient.out o).α


typein (fun x x_1 => x < x_1) i < type fun x x_1 => x < x_1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α


Context: d x y : ℤ

{ re := x, im := y } * star { re := x, im := y } = ↑x * ↑x - ↑d * ↑y * ↑y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a✝ : α
b : β
x : α ⊕ β
a : α
left✝ : a ∈ s
ha : inl a = inr b


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : Ring A

Context: inst✝¹⁰ : PartialOrder A

Context: inst✝⁹ : StarRing A

Context: inst✝⁸ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra ℝ A

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℝ A

Context: inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint

Context: inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x

Context: inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

Context: ha : 0 ≤ a

cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯


Context: A : Type u_1

Context: inst✝¹² : TopologicalSpace A

Context: inst✝¹¹ : Ring A

Context: inst✝¹⁰ : PartialOrder A

Context: inst✝⁹ : StarRing A

Context: inst✝⁸ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁷ : Algebra ℝ A

Context: inst✝⁶ : TopologicalRing A

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar A

Context: inst✝⁴ : StarModule ℝ A

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A

Context: a : A

Context: ha : 0 ≤ a

Context: this : CompactSpace ↑(σ ℝ a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x : α

(∀ t ∈ l, x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i


(∀ (t : Set α) (x_1 : ι), p x_1 → s x_1 ⊆ t → x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.26109, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.26113, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C

(F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X = (shiftFunctorZero D A).hom.app ((F.functor a).obj X)


(isoWhiskerLeft (F.functor a) (shiftFunctorZero D A)).hom.app X = (shiftFunctorZero D A).hom.app ((F.functor a).obj X)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ γ₃ : OneCochain G U
α β : ZeroCochain G U
h₁₂ : OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
h₂₃ : OneCohomologyRelation γ₂ γ₃ β
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j

(G.map a.op) (β i * α i) * γ₁.ev i j a b = γ₃.ev i j a b * (G.map b.op) (β j * α j)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ε =o[atTop] fun x => 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, (fun n => 0 < 1 + ε n) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: x : ℝ

Context: a✝ : ‖ε x‖ ≤ 1 / 2 * ‖1‖

Context: hx' : 1 < x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: x : ℝ

Context: a✝ : ‖ε x‖ ≤ 1 / 2 * ‖1‖

Context: hx' : 1 < x

Context: this : 0 < log x


Context:
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
i : ι


Context:
α β : Type u
β' : Type v

#(α ≃ β') = 0 ↔ lift.{v, u} #α ≠ lift.{u, v} #β'


Context:
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
a : R
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂

cyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • cyclesMap' φ h₁ h₂


Context: a✝¹ a✝ : ℕ

↑a✝¹ + ↑a✝ = 1 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 1 ∨ ↑a✝¹ = 1 ∧ ↑a✝ = 0


Context:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
f' : E →L[ℝ] F
h : HasFDerivAt f f' x

ConformalAt f x ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (u v : E), ⟪f' u, f' v⟫_ℝ = c * ⟪u, v⟫_ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f✝ : CauSeq β abv

Context: hf✝ : ¬f✝.LimZero

Context: hl : f✝.lim ≠ 0

Context: g f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f✝ : CauSeq β abv

Context: hf✝ : ¬f✝.LimZero

Context: hl : f✝.lim ≠ 0

Context: g f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f✝ : CauSeq β abv

Context: hf✝ : ¬f✝.LimZero

Context: hl : f✝.lim ≠ 0

Context: g f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f✝ : CauSeq β abv

Context: hf✝ : ¬f✝.LimZero

Context: hl : f✝.lim ≠ 0

Context: g f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f✝ : CauSeq β abv

Context: hf✝ : ¬f✝.LimZero

Context: hl : f✝.lim ≠ 0

Context: g f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f✝ : CauSeq β abv

Context: hf✝ : ¬f✝.LimZero

Context: hl : f✝.lim ≠ 0

Context: g f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: hl : f.lim ≠ 0

Context: h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero

(f.inv hf - const abv f.lim⁻¹ - (const abv f.lim - f) * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹)).LimZero


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrderedField α

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Field β

Context: abv : β → α

Context: inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv

Context: inst✝ : IsComplete β abv

Context: f : CauSeq β abv

Context: hf : ¬f.LimZero

Context: hl : f.lim ≠ 0

(f.inv hf - const abv f.lim * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹) - (const abv f.lim⁻¹ - f * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹))).LimZero


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : β ≃o γ
y : γ

IsLUB {x | (⇑e ∘ f) x ≤ y} ((g ∘ ⇑e.symm) y)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: f : Arrow C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom

Context: S : SplitEpi f.hom

Context: n : ℕ

(s f S n ≫ WidePullback.base fun x => f.hom) = WidePullback.base fun x => f.hom


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)

z.GammaSeq n * (1 - z).GammaSeq n = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) * ↑n ! ^ 2 / ((∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (z + ↑j)) * ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (1 - z + ↑j)) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n

Context: this : ∀ (j : ℕ), (z + ↑(j + 1)) * (1 - z + ↑j) = ↑((j + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z

(η_ Y Y' ≫ f ▷ Y') ▷ Y ≫ (α_ Z Y' Y).hom ≫ Z ◁ ε_ Y Y' ≫ (ρ_ Z).hom = η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (f ▷ (Y' ⊗ Y) ≫ Z ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ 𝟙 Z


η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (f ▷ (Y' ⊗ Y) ≫ Z ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ 𝟙 Z = (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f


η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (Y ◁ ε_ Y Y' ≫ f ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z = (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f


(η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f = (λ_ Y).hom ≫ f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
ha : 0 ≤ a


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
α : Sort u_2


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup N
x✝ : N


Context:
α : Type u_1
c₀ : RBColor
n₀ : Nat
c : RBColor
n : Nat
t : RBNode α
path : Path α
hp : Path.Balanced c₀ n₀ path c n
ht : RedRed (c = red) t n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

(Finset.Ioo s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s) - 2


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M✝ : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R


∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), e.toRingHom.Finite


Context:
R✝ S✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
inst✝ : CommRing S✝
e✝ : R✝ ≃+* S✝


Context:
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
m n : ℤ

(fun z => z ^ m * cexp (↑b₁ * z)) =o[l] fun z => z ^ n * cexp (↑b₂ * z)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E

Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x))


(fun x => ↑(f x)) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
x : α
hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x


Integrable (fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x) μ ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ


(fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑(f x) • g x


↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x = ↑(f x) • g x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β

(SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P

intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' ∅) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 ∅


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace Q

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

Context: s : Set P

Context: hs : s.Nonempty

Context: this : Nonempty ↑s

Context: f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace Q

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor W Q

Context: φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

Context: s : Set P

Context: hs : s.Nonempty

Context: this✝ : Nonempty ↑s

Context: this : ⇑φ.toAffineMap ∘ Subtype.val ∘ ⇑f.symm = Subtype.val


Context:
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j

(equivShrink (Quot F)) (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨i, xi⟩) = (equivShrink (Quot F)) (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, xj⟩) ↔ FilteredColimit.Rel F ⟨i, xi⟩ ⟨j, xj⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
p : α → Prop
x : α
hx : ¬p x
this : Fintype α


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤


Context:
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
hz : 0 ≤ z


Context:
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℝ
hz : 0 ≤ ↑z


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0

padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0

Context: hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0

Context: hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0

Context: hp' : _root_.Prime ↑p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0

Context: hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0

Context: hp' : _root_.Prime ↑p

↑((multiplicity (↑p) (q.num * r.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (↑q.den * ↑r.den)).get ⋯) = padicValRat p q + padicValRat p r


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0

Context: hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0

Context: hp' : _root_.Prime ↑p

↑((multiplicity (↑p) (q.num * r.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (↑q.den * ↑r.den)).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + (↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯))


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: q r : ℚ

Context: hq : q ≠ 0

Context: hr : r ≠ 0

Context: hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0

Context: hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0

Context: hp' : _root_.Prime ↑p

↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) + ↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - (↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯)) = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + (↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s : Finset ι
f : ι → α
a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: h : 𝔖.Nonempty

Context: h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set (β × β)

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p s

(𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: s✝ s' : Set α

Context: x : α

Context: p✝ : Filter ι

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: 𝔖 : Set (Set α)

Context: h : 𝔖.Nonempty

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set (β × β)

Context: hb : (𝓤 β).HasBasis p s

(⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: a : M

Context: s : Set M

Context: p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: mul_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯

Context: x : M

Context: h : x ∈ closure s

Context: m : Mᵐᵒᵖ

Context: hm : m ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: a : M

Context: s : Set M

Context: p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop

Context: one : p 1 ⋯

Context: x : M

Context: h : x ∈ closure s

{ unop' := x } ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6221, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6225, u_3} D'

Context: W : MorphismProperty C

Context: X : C

Context: P : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop

Context: hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (W.Q.obj X)))

Context: hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ W.Q.map f))

Context: hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))

Context: g : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q

Context: X₀ : Paths (LocQuiver W) := { obj := X }


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: D' : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹ : Category.{?u.6221, u_2} D

Context: inst✝ : Category.{?u.6225, u_3} D'

Context: W : MorphismProperty C

Context: X : C

Context: g : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q

∀ ⦃Y₀ : Paths (LocQuiver W)⦄ (f : X₀ ⟶ Y₀), P (StructuredArrow.mk ((Quotient.functor (relations W)).map f))


Context: l r : List Char

{ s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } } = { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s

Lagrange.basis s v i = C (nodalWeight s v i) * (nodal s v / (X - C (v i)))


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
M : Matrix m n α
i : m
j : n


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re = a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s

(fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(Y ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|MeasurableSpace.comap X mβ]


Integrable ((Y ⁻¹' s).indicator fun ω => 1) μ


∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → IntegrableOn (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) s_1 μ


∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (((condDistrib Y X μ) (X x)) s).toReal ∂μ = ∫ (x : α) in s_1, (Y ⁻¹' s).indicator (fun ω => 1) x ∂μ


AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap X mβ) (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hf : StrictMono f

{ ofColex := image f s } ≤ { ofColex := image f t } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMap f

Context: e₁ e₂ : E

Context: he : f e₁ = f e₂

Context: hne : e₁ ≠ e₂

Context: left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})

Context: t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f

Context: he₁ : f e₁ ∈ t.baseSet

Context: he₂ : f e₂ ∈ t.baseSet

∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ e₁ ∈ s₁ ∧ e₂ ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMap f

Context: e₁ e₂ : E

Context: he : f e₁ = f e₂

Context: hne : e₁ ≠ e₂

Context: t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f

Context: he₁ : e₁ ∈ t.source

Context: he₂ : e₂ ∈ t.source


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMap f

Context: e₁ e₂ : E

Context: he : f e₁ = f e₂

Context: hne : e₁ ≠ e₂

Context: t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f

Context: he₁ : e₁ ∈ t.source

Context: he₂ : e₂ ∈ t.source

IsOpen (t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2})


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMap f

Context: e₁ e₂ : E

Context: he : f e₁ = f e₂

Context: hne : e₁ ≠ e₂

Context: t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f

Context: he₁ : e₁ ∈ t.source

Context: he₂ : e₂ ∈ t.source

IsOpen (t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2})


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMap f

Context: e₁ e₂ : E

Context: he : f e₁ = f e₂

Context: hne : e₁ ≠ e₂

Context: t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f

Context: he₁ : e₁ ∈ t.source

Context: he₂ : e₂ ∈ t.source

Context: x : E

Context: h₁ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2}

Context: h₂ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2}

↑t.toPartialHomeomorph e₁ = ↑t.toPartialHomeomorph e₂


Context: E : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : E → X

Context: s : Set X

Context: hf : IsCoveringMap f

Context: e₁ e₂ : E

Context: he : f e₁ = f e₂

Context: hne : e₁ ≠ e₂

Context: t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f

Context: he₁ : e₁ ∈ t.source

Context: he₂ : e₂ ∈ t.source

Context: x : E

(↑t.toPartialHomeomorph e₁).1 = (↑t.toPartialHomeomorph e₂).1


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ

∑ w : { w // w ≠ w₀ }, (logEmbedding K) x w = -↑w₀.mult * Real.log (w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: h : Real.log (∏ w : InfinitePlace K, w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ w.mult) = Real.log ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)|


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: h : ∑ i : InfinitePlace K, Real.log (i ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ i.mult) = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: h : Real.log (∏ w : InfinitePlace K, w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ w.mult) = 0

∀ x_1 ∈ univ, x_1 ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ x_1.mult ≠ 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.207600, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber φ

Context: K : CochainComplex C ℤ

Context: α : Cocycle K F 1

Context: β : Cochain K G 0

Context: eq : δ 0 1 β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0

Cochain.ofHom (lift φ α β eq) = liftCochain φ (↑α) β ⋯


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
x✝ : s ≤ t ∧ a ∈ t
l : s ≤ t
m : a ∈ t
h : a ∉ s


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ


Context:
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ¬c.Rel (c.prev j) j
k : ι
hk' : c.Rel k j


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M

‖S.normedMk m‖ = sInf ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑S.normedMk.ker)


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J

((leftDistributor X f ⊗ asIso (𝟙 Y)) ≪≫ rightDistributor (fun j => X ⊗ f j) Y).hom ≫ biproduct.π (fun j => (X ⊗ f j) ⊗ Y) j✝ = (α_ X (⨁ f) Y ≪≫ (asIso (𝟙 X) ⊗ rightDistributor f Y) ≪≫ (leftDistributor X fun j => f j ⊗ Y) ≪≫ biproduct.mapIso fun j => (α_ X (f j) Y).symm).hom ≫ biproduct.π (fun j => (X ⊗ f j) ⊗ Y) j✝


∑ x : J, (X ◁ biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ ▷ Y = ∑ x : J, (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x ▷ Y ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ Y) x) ≫ X ◁ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝ ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv


∑ x : J, ((𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ ⊗ 𝟙 Y) = ∑ x : J, (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ Y) x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv


(∑ x : J, if h : x = j✝ then (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ≫ eqToHom ⋯ ⊗ 𝟙 Y else (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ≫ 0 ⊗ 𝟙 Y) = ∑ x : J, if h : x = j✝ then (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv else (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ 0) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
κ : Kernel Unit β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (Unit × β)
hs : MeasurableSet s

(dirac () ⊗ₘ κ) s = (map (Prod.mk ()) (κ ())) s


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsVanKampenColimit c₁

Context: t₂ : IsVanKampenColimit c₂

Context: inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c) ↔ ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsVanKampenColimit c₁

Context: t₂ : IsVanKampenColimit c₂

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Nonempty (IsColimit c) → ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsVanKampenColimit c₁

Context: t₂ : IsVanKampenColimit c₂

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: Hc : IsColimit c

Context: j : Fin (n + 1)

IsPullback (c.ι.app { as := j }) (α.app { as := j }) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app { as := j })


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsVanKampenColimit c₁

Context: t₂ : IsVanKampenColimit c₂

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: Hc : IsColimit c

Context: j : Fin (n + 1)

Context: t₂' : ∀ (j : Discrete WalkingPair), IsPullback ((BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ })).ι.app j) ((mapPair (α.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => α.app { as := b.succ } ≫ c₁.inj b)).app j) i (c₂.ι.app j)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsVanKampenColimit c₁

Context: t₂ : IsVanKampenColimit c₂

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: Hc : IsColimit c

Context: j : Fin (n + 1)

mapPair (α.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => α.app { as := b.succ } ≫ c₁.inj b) ≫ c₂.ι = (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ })).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map i


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁵ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K

Context: D : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D

Context: n : ℕ

Context: f : Fin (n + 1) → C

Context: c₁ : Cofan fun i => f i.succ

Context: c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt

Context: t₁ : IsVanKampenColimit c₁

Context: t₂ : IsVanKampenColimit c₂

Context: inst✝ : HasFiniteCoproducts C

Context: F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C

Context: c : Cocone F

Context: α : F ⟶ Discrete.functor f

Context: i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt

Context: hα : NatTrans.Equifibered α

Context: Hc : IsColimit c

Context: j : Fin (n + 1)

IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ }))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
h : p.natDegree = q.natDegree
n : ℕ

(r ^ (p.natDegree - (p + q).natDegree) • (p + q).scaleRoots r).coeff n = (p.scaleRoots r + q.scaleRoots r).coeff n


(p.coeff n + q.coeff n) * r ^ ((p + q).natDegree - n) * r ^ (p.natDegree - (p + q).natDegree) = (p.coeff n + q.coeff n) * r ^ (p.natDegree - n)


(p.coeff n + q.coeff n) * r ^ ((p + q).natDegree - n + (p.natDegree - (p + q).natDegree)) = (p.coeff n + q.coeff n) * r ^ (p.natDegree - n)


Context:
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0


Context:
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : 511 < n


Context:
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : n ≤ 511


Context:
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0

n < 521 → ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ R.mul ▷ P.X) (R.X ◁ ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ R.X (R.X ⊗ R.X) P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X R.X).inv ▷ P.X ≫ R.mul ▷ R.X ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(tensorLeft R.X).map (coequalizer.π ({ X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X R.X P.X).hom ≫ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ R.mul ▷ P.X) (R.X ◁ ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ R.X (R.X ⊗ R.X) P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X R.X).inv ▷ P.X ≫ R.mul ▷ R.X ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = (tensorLeft R.X).map (coequalizer.π ({ X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ P.X) ((α_ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X R.X P.X).hom ≫ { X := R.X, actLeft := R.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := R.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ P.actLeft)) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

R.X ◁ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft R.X) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (R.X ◁ R.mul ▷ P.X) (R.X ◁ ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ((α_ R.X (R.X ⊗ R.X) P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X R.X).inv ▷ P.X ≫ R.mul ▷ R.X ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

((α_ R.X R.X P.X).inv ≫ R.mul ▷ P.X) ≫ P.actLeft = R.X ◁ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(α_ R.X R.X P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft ≫ P.actLeft = R.X ◁ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

(α_ R.X R.X P.X).inv ≫ (α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft ≫ P.actLeft = R.X ◁ P.actLeft ≫ P.actLeft


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f


seminormFromConst_seq c f 1 =ᶠ[atTop] fun x => 1


∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → seminormFromConst_seq c f 1 b = 1


Context:
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ U

Hom.appLE (f ≫ g) U V e = Hom.app g U ≫ Hom.appLE f (g ⁻¹ᵁ U) V e


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
h : 1 ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]

∑ x ∈ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree), p.coeff x.1 * q.coeff x.2 = p.coeff p.natDegree * q.coeff q.natDegree


∀ b ∈ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree), b ≠ (p.natDegree, q.natDegree) → p.coeff b.1 * q.coeff b.2 = 0


(p.natDegree, q.natDegree) ∉ antidiagonal (p.natDegree + q.natDegree) → p.coeff (p.natDegree, q.natDegree).1 * q.coeff (p.natDegree, q.natDegree).2 = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α β
f : β → γ
g : β → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set δ
hs : MeasurableSet s

((κ.map (fun x => (f x, g x)) ⋯).snd x) s = ((κ.map g hg) x) s


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ : α → ℝ
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ
s : Set α

(μ.tilted f) s = ∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (rexp (f a) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ∂μ


Context:
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

(monomial (s + Finsupp.single n e)) a = (monomial s) a * X n ^ e


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝² : UniformSpace α

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: inst✝ : UniformSpace γ

Context: f : α → β

Context: hf : UniformContinuous f

Context: g : SeparationQuotient α → SeparationQuotient β

Context: comm : mk ∘ f = g ∘ mk

Context: x✝ : SeparationQuotient α

Context: a : α

map f (Quot.mk Setoid.r a) = g (Quot.mk Setoid.r a)


Context:
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
r : α → α → Prop
s : Set α


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq N
inst✝² : Zero N
inst✝¹ : DecidableEq M
inst✝ : Zero M
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
x : α

x ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) → x ∈ f.neLocus g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = 0
i : ι


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ degree 1


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : (minpoly A x).degree ≤ 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : 0 < (minpoly A x).degree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
m : ℕ → Measure α
hv : ∀ (n : ℕ), (m n) t ≠ ⊤
hμ : μ = sum m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t✝ s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: m : ℕ → Measure α

Context: hv : ∀ (n : ℕ), (m n) t ≠ ⊤

Context: hμ : μ = sum m

Context: A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s✝ t✝ s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: t : Set α

Context: m : ℕ → Measure α

Context: hv : ∀ (n : ℕ), (m n) t ≠ ⊤

Context: hμ : μ = sum m

μ ((if h : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t then h.choose else if h' : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t_1 ∩ u) = μ (t ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose) ∩ s) = μ (t ∩ s)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)

HasStrictFDerivAt (fun f => f i) (proj i) f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: h : HasStrictFDerivAt (fun f i' => f i') id' f → ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

Context: h' : (proj i).comp id' = proj i

HasStrictFDerivAt (fun f i' => f i') id' f


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f : R[X]


(∀ (i : ℕ), f ∈ ⨅ (_ : i ≥ n), LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ f.degree < ↑n


(∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ f.degree < ↑n


(∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ f.support.sup WithBot.some < ↑n


(∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ b ∈ f.support, ↑b < ↑n


(∀ i ≥ n, f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), n ≤ b → f.coeff b = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
S : Set (Set α)
f : α → β


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M


Context:
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0


Context:
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0

ContinuousAt ((fun a => a ^ y) ∘ ofNNReal) x


Context:
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0

(fun a => a ^ y) ∘ ofNNReal = ofNNReal ∘ fun z => z ^ y


Context:
y : ℝ
h : 0 < y
x✝ x : ℝ≥0

((fun a => a ^ y) ∘ ofNNReal) x = (ofNNReal ∘ fun z => z ^ y) x


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Disjoint (sSup s) a ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → Disjoint b a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
c d : α
cd : c ≠ d
ac : ¬a = c

swap a b * swap c d ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b : α

Context: ab : a ≠ b

Context: c d : α

Context: cd : c ≠ d

Context: ac : ¬a = c

Context: h' : swap a b * swap c d = swap a b * swap a c * (swap c a * swap c d)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: a b : α

Context: ab : a ≠ b

Context: c d : α

Context: cd : c ≠ d

Context: ac : ¬a = c

swap a b * swap a c * (swap c a * swap c d) ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: V : Submodule K M := φ.maxGenEigenspace 0

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

finrank K ↥V = (charpoly φ).natTrailingDegree


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: ψ : ↥V × ↥W →ₗ[K] ↥V × ↥W := F.prodMap G

Context: e : (↥V × ↥W) ≃ₗ[K] M := V.prodEquivOfIsCompl W hVW

Context: bV : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V) K ↥V := chooseBasis K ↥V

Context: bW : Basis (ChooseBasisIndex K ↥W) K ↥W := chooseBasis K ↥W

Context: b : Basis (ChooseBasisIndex K ↥V ⊕ ChooseBasisIndex K ↥W) K (↥V × ↥W) := bV.prod bW


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

finrank K ↥V = F.charpoly.natTrailingDegree + G.charpoly.natTrailingDegree


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

Context: hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

Context: hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0

F.charpoly.natTrailingDegree = finrank K ↥V


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

Context: hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0

∀ (a : M) (b : ∃ k, (φ ^ k) a = 0), ∃ n, (restrict φ hφV ^ n) ⟨a, ⋯⟩ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

Context: hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hx : (φ ^ n) x = 0

∃ n_1, (restrict φ hφV ^ n_1) ⟨x, ⋯⟩ = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

Context: hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hx : (φ ^ n) x = 0


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

Context: hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: hx : (φ ^ n) x = 0

↑((restrict φ hφV ^ n) ⟨x, ⋯⟩) = (φ ^ n) x


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module.Finite R M

Context: inst✝² : Module.Free R M

Context: inst✝¹ : Module K M

Context: inst✝ : Module.Finite K M

Context: φ : Module.End K M

Context: hV : V = ⨆ n, ker (φ ^ n)

Context: W : Submodule K M := ⨅ n, range (φ ^ n)

Context: hVW : IsCompl V W

Context: hφV : ∀ x ∈ V, φ x ∈ V

Context: hφW : ∀ x ∈ W, φ x ∈ W

Context: F : ↥V →ₗ[K] ↥V := restrict φ hφV

Context: G : ↥W →ₗ[K] ↥W := restrict φ hφW

Context: hψ : ψ = e.symm.conj φ

Context: hG : G.charpoly.natTrailingDegree = 0

Context: x : M

Context: n : ℕ

Context: h' : x ∈ φ.maxGenEigenspace 0

↑((restrict φ hφV ^ n) ⟨x, h'⟩) = (φ ^ n) x


Context:
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0


Context:
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : ι → Submodule R M
t : Submodule R N

map₂ f (⨆ i, s i) t = ⨆ i, map₂ f (s i) t


map₂ f (⨆ i, span R ↑(s i)) (span R ↑t) = ⨆ i, map₂ f (span R ↑(s i)) (span R ↑t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
hZ : IsClosed Z


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ a ∈ s, f a ≠ ⊤

(∑ a ∈ s, f a).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'


Context:
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c : P1
r₁ r₂ : k

homothety c (r₁ + r₂) = r₁ • (id k P1 -ᵥ const k P1 c) +ᵥ homothety c r₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
v : ExteriorAlgebra R M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
r : R

(liftAlternating (ιMulti R)) ((algebraMap R (CliffordAlgebra 0)) r) = (algebraMap R (CliffordAlgebra 0)) r


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
x y : CliffordAlgebra 0
hx : (liftAlternating (ιMulti R)) x = x
hy : (liftAlternating (ιMulti R)) y = y

(liftAlternating (ιMulti R)) (x + y) = x + y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
x : CliffordAlgebra 0
m : M
hx : (liftAlternating (ιMulti R)) x = x

(liftAlternating (ιMulti R)) ((CliffordAlgebra.ι 0) m * x) = (CliffordAlgebra.ι 0) m * x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (α i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (α i)

Context: x : (i : ι) → α i

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

(Measure.pi μ) (Metric.closedBall x r) = ∏ i : ι, (μ i) (Metric.closedBall (x i) r)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedLinearOrderedField 𝕜
α : Type u_2
u v : α → 𝕜
l : Filter α
huv : u =O[l] v
hu : Tendsto (fun x => ‖u x‖) l atTop


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NormedLinearOrderedField 𝕜
α : Type u_2
u v : α → 𝕜
l : Filter α
huv : u =O[l] v
hu : Tendsto (fun x => ‖u x‖) l atTop
c : ℝ
hc : c > 0
hcuv : IsBigOWith c l u v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: α : Type u_2

Context: u v : α → 𝕜

Context: l : Filter α

Context: huv : u =O[l] v

Context: hu : Tendsto (fun x => ‖u x‖) l atTop

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: hcuv : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖u x‖ ≤ c * ‖v x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: α : Type u_2

Context: u v : α → 𝕜

Context: l : Filter α

Context: huv : u =O[l] v

Context: hu : Tendsto (fun x => ‖u x‖) l atTop

Context: c : ℝ

Context: hc : c > 0

Context: x✝ : α


Context: x y : ℂ

((starRingEnd ℂ) x).cot = (starRingEnd ℂ) x.cot


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α

sSup {a | CompleteLattice.IsCompactElement a} = ⊤


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
x : α

x ∈ {a | CompleteLattice.IsCompactElement a} ↔ x ∈ {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ ⊤}


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

x ⧏ y ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x ⧏ (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j ⧏ y.moveRight j'


Context:
xl xr : Type u
x y : PGame

((∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y) ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x ⧏ (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j ⧏ y.moveRight j'


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
v : Option ι → V

LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K (v ∘ some) ∧ v none ∉ span K (range (v ∘ some))


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : D ⥤ C

Context: inst✝ : ∀ (A : C), HasInitial (StructuredArrow A G)

Context: A : C

Context: B : D

Context: f : A ⟶ G.obj B

Context: B' : StructuredArrow A G := StructuredArrow.mk f

(fun g => (⊥_ StructuredArrow A G).hom ≫ G.map g) ((fun f => (initial.to (StructuredArrow.mk f)).right) f) = f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
Kf Kg : ℝ≥0
f : β → γ
g : α → β
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
x y : α

↑Kf * (↑Kg * edist x y) = ↑(Kf * Kg) * edist x y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α

x < y ↔ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
h : TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y


Context:
n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

Context: hP : ∀ ⦃s t : Finset α⦄, P t → s ⊆ t → P s

s ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

P s → ((∀ ⦃y : Finset α⦄, P y → s ⊆ y → s = y) ↔ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s))


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: P : Finset α → Prop

Context: s : Finset α

Context: x✝ : P s

Context: h : ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)

Context: t : Finset α

Context: ht : P t

Context: hst : s ⊆ t

Context: x : α

Context: hxt : x ∈ t


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0


Context:
θ ψ : Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : Fintype m

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M.det = ∏ a ∈ t, (M.toSquareBlock b a).det

M.det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : Fintype m

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: h✝ : IsEmpty m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : Fintype m

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: h✝ : Nonempty m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : Fintype m

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: h✝ : Nonempty m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : Fintype m

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: h✝ : Nonempty m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

(M.toSquareBlockProp fun i => b i = k).det * (M.toSquareBlockProp fun i => ¬b i = k).det = ∏ a ∈ image b univ, (M.toSquareBlock b a).det


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n : Type u_4

Context: o : Type u_5

Context: m' : α → Type u_6

Context: n' : α → Type u_7

Context: R : Type v

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : DecidableEq n

Context: inst✝⁴ : Fintype n

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: m : Type u_3

Context: M : Matrix m m R

Context: b : m → α

Context: inst✝¹ : DecidableEq m

Context: inst✝ : Fintype m

Context: hM : M.BlockTriangular b

Context: h✝ : Nonempty m

Context: k : α := (image b univ).max' ⋯

∀ (i : m), b i = k → ∀ (j : m), ¬b j = k → M i j = 0


Context:
k k₂ : ℕ
c : Code
n x : ℕ
hl : k + 1 ≤ k₂ + 1
h : x ∈ evaln (k + 1) c n


Context:
k k₂ : ℕ
c : Code
n x : ℕ
hl : k + 1 ≤ k₂ + 1
h : x ∈ evaln (k + 1) c n
hl' : k ≤ k₂


Context: k k₂ : ℕ

Context: c : Code

Context: n x : ℕ

Context: hl : k + 1 ≤ k₂ + 1

Context: h : x ∈ evaln (k + 1) c n

Context: hl' : k ≤ k₂

Context: this : ∀ {k k₂ n x : ℕ} {o₁ o₂ : Option ℕ}, k ≤ k₂ → (x ∈ o₁ → x ∈ o₂) → (x ∈ do guard (n ≤ k) o₁) → x ∈ do guard (n ≤ k₂) o₂


Context: k k₂ : ℕ

Context: c : Code

Context: n x : ℕ

Context: hl : k + 1 ≤ k₂ + 1

Context: hl' : k ≤ k₂

Context: h : evaln (k + 1) c n = some x


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : ClosedIicTopology α

Context: f : β → α

Context: hf : Continuous f

Context: x₀ : β

Context: h : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β, f x₀ ≤ f x

∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 univ, f x₀ ≤ f x


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
x : E

(if x ∈ s then ((μ s)⁻¹ • 1) x else 0) = if x ∈ s then (μ s)⁻¹ else 0


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B c : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: h : 0 ≤ c

convexBodySumFun (c • x) ≤ c * convexBodySumFun x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B c : ℝ

Context: h : 0 ≤ c


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v w : Fin n → R
i j : Fin n

(vandermonde v * (vandermonde w)ᵀ) i j = ∑ k : Fin n, (v i * w j) ^ ↑k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hinj : Injective f
z z' : Sym2 α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hinj : Injective f
z z' : Sym2 α
x y x' y' : α

map f s(x, y) = map f s(x', y') → s(x, y) = s(x', y')


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} V

Context: inst✝³ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: W : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} W

Context: inst✝¹ : Preadditive W

Context: G : V ⥤ W

Context: inst✝ : G.Additive

Context: hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

Context: n : ι

((G.mapHomologicalComplex c).map (nullHomotopicMap' hom)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hom i j hij)).f n


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} V

Context: inst✝³ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: W : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_2} W

Context: inst✝¹ : Preadditive W

Context: G : V ⥤ W

Context: inst✝ : G.Additive

Context: n : ι

(nullHomotopicMap fun i j => G.map (dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hom i j hij)).f n


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w

↑(p.append p').support = ↑p.support + ↑p'.support - {v}


↑p.support + ↑p'.support.tail = ↑p.support + ↑p'.support - {v}


{u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail = {u} + ↑p.support.tail + ({v} + ↑p'.support.tail) - {v}


{u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail = {u} + ↑p.support.tail + (↑p'.support.tail + {v}) - {v}


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
g : 𝕜 → E
a b : 𝕜
H : a = b → DifferentiableAt 𝕜 g a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
g : 𝕜 → E
b : 𝕜
H : b = b → DifferentiableAt 𝕜 g b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →L[𝕜] F
g : 𝕜 → E
a b : 𝕜
H : a = b → DifferentiableAt 𝕜 g a
hne : b ≠ a


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hl₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hl₂.IsPreservedBy F
γ : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

F.map (leftHomologyMap' φ hl₁ hl₂) = leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hl₁.map F) (hl₂.map F)


Context:
α✝ : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
α : Type u_2
x✝ : UniformSpace α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c

(fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
h✝ : 0 = c


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
hab : a ≤ b
hc : 0 ≤ c
h✝ : 0 < c


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Set.InjOn e ↑s
hest : Set.MapsTo e ↑s ↑t
h' : ∀ i ∈ t, i ∉ e '' ↑s → g i = 1
h : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: b : ℂ

Context: hl : b.re = 0 → b ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0

(∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → b.re = 0 → b = 0) ↔ b.re = 0 → b ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: b : ℂ

(∃ᶠ (x : α) in l, f x = 0) → b.re = 0 → b = 0 ↔ b.re = 0 → b ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0


Context:
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : 0 ≤ y


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.105022
inst✝ : MulAction R X
r : R
s t : ↥S


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type w
s : Finset ι
f : ι → Set α


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Type w
f : ι → Set α