Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
h : n ≤ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
h : m ≤ n


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Icc 0 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : s ∩ mulSupport f = t ∩ mulSupport f

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R

W.Equation ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Equation X Y


Context: p q r : ℕ+

Context: H : 1 < sumInv {p, q, r}

Context: S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}

Context: hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S


Context: p q r : ℕ+

Context: H : 1 < sumInv {p, q, r}

Context: hpqr : {p, q, r} = ↑S


Context: p q r : ℕ+

Context: H : 1 < sumInv ↑S

Context: hpqr : {p, q, r} = ↑S

(∃ q r, A' q r = ↑S) ∨ (∃ r, D' r = ↑S) ∨ E' 3 = ↑S ∨ E' 4 = ↑S ∨ E' 5 = ↑S


Context: p q r : ℕ+

Context: H : 1 < sumInv ↑S

Context: hpqr : {p, q, r} = ↑S


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
hG : G.Colorable n

G.chromaticNumber = ↑n ↔ ∀ (C : G.Coloring (Fin n)), Surjective ⇑C


Context:
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
x y : k

slope (fun t => -f t) x y = -slope f x y


Context:
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0


Context:
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
this : (m / m.gcd n).Coprime (m.gcd n)


Context:
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
h2 : Even l.length
b : Bool


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
x : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : IsSplitEpi f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this : Encodable ↑d


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this✝ : Encodable ↑d

Context: this : ∀ (x : ↑d), ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ g ↑x = ↑‖↑x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this : Encodable ↑d

Context: s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜

Context: hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this : Encodable ↑d

Context: s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜

Context: A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this : Encodable ↑d

Context: s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜

Context: hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this : Encodable ↑d

Context: s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜

Context: hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: t : Set E

Context: f : α → E

Context: h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

Context: d : Set E

Context: d_count : d.Countable

Context: hd : t ⊆ closure d

Context: this : Encodable ↑d

Context: s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜

Context: x : α

Context: hx : ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0

Context: h'x : f x ∈ t


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝

P.map g₁✝.op (x.sieveExtend f₁✝ h₁) = P.map g₂✝.op (x.sieveExtend f₂✝ h₂)


P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (g₂✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯)


(g₁✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose = (g₂✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: r : R

Context: A : (algebraMap R (MvPolynomial S₁ (MvPolynomial S₂ R))) r = C (C r)

Context: B : (algebraMap R (MvPolynomial (S₁ ⊕ S₂) R)) r = C r

__src✝.toFun ((algebraMap R (MvPolynomial (S₁ ⊕ S₂) R)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial S₁ (MvPolynomial S₂ R))) r


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hc : 0 < c
h : c < b


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hfc : ConcaveOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hb : a ≠ b

(cons a s ha).erase b = cons a (s.erase b) ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
a : G
n : ℕ


f (a ^ Int.negSucc n) = f a ^ Int.negSucc n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: h : ContinuousOn f s

Context: hs : IsOpen s

Context: hp : f ⁻¹' t ⊆ s

Context: ht : IsOpen t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: h : ContinuousOn f s

Context: hs : IsOpen s

Context: hp : f ⁻¹' t ⊆ s

Context: ht : IsOpen t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

1 < s.card ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b


(∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b) ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
a b : ℤ
h : ↑p ∣ a * b

↑p ∣ a ∨ ↑p ∣ b


Context:
n p : ℕ
hp : Prime p
a b : ℤ
h : p ∣ a.natAbs ∨ p ∣ b.natAbs

↑p ∣ a ∨ ↑p ∣ b


Context:
n p : ℕ
hp : _root_.Prime ↑p
h : p = 1


Context:
n p : ℕ
hp : _root_.Prime ↑p
a b : ℕ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
n : ℕ
hn : n < Nat.find h₂ + 1


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
hn : 0 < Nat.find h₂ + 1


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
n✝ : ℕ
hn : n✝ + 1 < Nat.find h₂ + 1


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
t : γ → Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

(vanishingIdeal (⋃ i, t i)).toIdeal = (⨅ i, vanishingIdeal (t i)).toIdeal


(⨅ i, vanishingIdeal (t i)).toIdeal = ⨅ i, (vanishingIdeal (t i)).toIdeal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : D
f : X ⟶ Y

F.map (F.inv.map f) = F.asEquivalence.counit.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.counitInv.app Y


F.map (F.inv.map f) = (F.asEquivalence.inverse ⋙ F.asEquivalence.functor).map f


Context:
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m n : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x

Context: hf' : Integrable f' volume

Context: hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)

Context: htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m n : E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hf' : Integrable f' volume

Context: hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)

Context: htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝² : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : BEqCmp cmp


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
w x y z : R

span {w, x} * span {y, z} = span {w * y, w * z, x * y, x * z}


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

∀ (i : 𝒰.J), pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰 g f).pushforwardIso (pullbackSymmetry g f).hom).map ((Equiv.refl 𝒰.J) i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i ≫ g) f g f (𝒰.map i) (𝟙 X) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ (pullbackSymmetry g f).hom


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : Quotient s
y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : Set α
a : α
t : Set α

t ∈ 𝒫 insert a s ↔ t ∈ 𝒫 s ∪ insert a '' 𝒫 s


t ⊆ insert a s ↔ t ⊆ s ∨ ∃ x ⊆ s, insert a x = t


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : NonUnitalSemiring B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : IsScalarTower R B B
x y z : A ⊗[R] B

(mul ((mul x) y)) z = (mul x) ((mul y) z)


(LinearMap.llcomp R (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B)) mul ∘ₗ mul = (((LinearMap.llcomp R (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B)) mul.flip ∘ₗ mul)).flip


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : Unitization 𝕜 A

(x.fst + 0, (lift (NonUnitalAlgHom.Lmul 𝕜 A)).toRingHom x) = (x.fst, (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd)


(x.fst, (lift (NonUnitalAlgHom.Lmul 𝕜 A)).toRingHom x) = (x.fst, (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0

spanSingleton R₁⁰ x * (spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A

Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)


(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier = (LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier


(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier ≤ (LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier


(LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier ≤ (Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier


Context:
n a : ℕ
a1 : a ≠ 1
j : ℕ
hp : Prime (a * j)


Context:
n a : ℕ
a1 : a ≠ 1
left✝ : Prime a
hp : Prime (a * 1)


Context:
n j : ℕ
left✝ : Prime j
a1 : 1 ≠ 1
hp : Prime (1 * j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
hvw : G.Adj v w
a : V
ha : a ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
b : V
hb : b ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts

(G.subgraphOfAdj hvw).coe.Reachable ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
hvw : G.Adj v w
a : V
ha✝ : a ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
b : V
hb✝ : b ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
ha : a = v ∨ a = w
hb : b = v ∨ b = w

(G.subgraphOfAdj hvw).coe.Reachable ⟨a, ha✝⟩ ⟨b, hb✝⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
x : α

x ∈ ↑f.extendDomain.support → x ∈ {x | P x}


(∃ a ∈ f.support, ↑a = x) → x ∈ {x | P x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
x : Subtype P


Context:
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)
t : Cardinal.{max u w}

lift.{u, w} (iSup f) ≤ t ↔ ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t


⨆ i, lift.{u, w} (f i) ≤ t ↔ ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
R : Type u_1
inst✝ : SMul R (FractionRing K[X])
c : R
toFractionRing✝ : FractionRing K[X]

(c • { toFractionRing := toFractionRing✝ }).toFractionRing = c • { toFractionRing := toFractionRing✝ }.toFractionRing


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: A B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : Semiring B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

Context: e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: A B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : Semiring B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

(f₁.comp ↑e).comp ↑e.symm = (f₂.comp ↑e).comp ↑e.symm


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: A B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : Semiring B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: A B : Type u

Context: inst✝⁶ : Semiring A

Context: inst✝⁵ : Algebra R A

Context: inst✝⁴ : Semiring B

Context: inst✝³ : Algebra R B

Context: inst✝² : FormallyUnramified R A

Context: e : A ≃ₐ[R] B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f₁ f₂ : B →ₐ[R] C

(Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (f₁.comp ↑e) = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (f₂.comp ↑e)


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v : V₁


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v w : V₁

(fun v => ⟨f v, ⋯⟩) (v + w) = (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) v + (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) w


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s

g⁻¹ j < g⁻¹ i → f j ≤ f i ↔ g i < g j → f j ≤ f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β
fst✝ : α
snd✝ : β

(fst✝¹, snd✝¹) ⩿ (fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹).1 ⩿ (fst✝, snd✝).1 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2 ∨ (fst✝¹, snd✝¹).2 ⩿ (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
hfx : (aeval a) f = 0
r : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.card ≤ n
hnt : n ≤ t.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α × β → M

mulSupport (curry f) = Prod.fst '' mulSupport f


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: n : ℕ

Context: IH : (⇑derivative)^[n] (p * q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k] q)

(⇑derivative)^[n + 1] (p * q) = ∑ k ∈ range (n + 1).succ, (n + 1).choose k • ((⇑derivative)^[n + 1 - k] p * (⇑derivative)^[k] q)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: ι : Type y

Context: A : Type z

Context: a b : R

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p q : R[X]

Context: n : ℕ

∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k + 1] p * (⇑derivative)^[k] q) + ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k.succ • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q) + 1 • ((⇑derivative)^[n + 1] p * (⇑derivative)^[0] q) + ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q)


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
f : MonoidAlgebra k G

((lift k G A) F) f = sum f fun a b => b • F a


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]

↑(padicNormE (q + r)) ≤ max ↑(padicNormE q) ↑(padicNormE r)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

(∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬I < M') ↔ IsArtinian R M


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : ZeroLEOneClass R

Context: inst✝¹ : NeZero 1

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: m n : ℤ


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R


Context: θ : Angle


Context: T : ℝ

Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / T * x)) T


Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / 0 * x)) 0


Context:
T : ℝ
hT : T ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0


GCDMonoid.gcd p q * r / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'

Context: x m : Fin 0 → G


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)

HasFTaylorSeriesUpToOn n Φ P' s ↔ ∀ (i : ι), HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun x => Φ x i) (fun x m => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap (P' x m)) s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: ι : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: F' : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: x✝¹ : E

Context: x✝ : ℕ

P' x✝¹ x✝ = ContinuousMultilinearMap.pi fun i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap (P' x✝¹ x✝)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n

↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: h : ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1

Context: hl : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n ≤ xn a1 n * xn a1 n

↑(xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = ↑1


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = ↑1


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C


∀ {c d : C}, S.disconnect.arrows c d ⊆ S.arrows c d


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompleteSpace (α × β)
h : Nonempty α
f✝ : Filter β
hf : Cauchy f✝
x a : α
b : β
hab : pure x ×ˢ f✝ ≤ 𝓝 (a, b)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
a c : R
b d : ↥M

mk a b - mk c d = mk (↑d * a - ↑b * c) (b * d)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ ↑n)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ n)


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ -[n+1])


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
n : ℕ
h : Irrational (x ^ (n + 1))⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : α

ρ.condKernel a = (const Unit ρ).condKernelUnitBorel ((), a)


((const Unit ρ).condKernelUnitBorel.comap (fun a => ((), a)) ⋯) a = (const Unit ρ).condKernelUnitBorel ((), a)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : a.fst ≠ x.fst


¬∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β

(s.biUnion t).Nonempty ↔ ∃ x ∈ s, (t x).Nonempty


(∃ x, ∃ a ∈ s, x ∈ t a) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ x_1, x_1 ∈ t x


(∃ y x, y ∈ s ∧ x ∈ t y) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ x_1, x_1 ∈ t x


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp : 1 ≤ p


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hp : 1 ≤ 1


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p


Context:
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hs' : ¬s = 0


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
h₁ : π₁.IsHenstock
h₂ : π₂.IsHenstock
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion


Context:
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
h₁ : π₁.IsHenstock
h₂ : π₂.IsHenstock
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ✝ : J ∈ π₁.disjUnion π₂ h
hJ : J ∈ π₁.boxes


Context:
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x : ι → ℝ
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Ioi 0)
h₁ : π₁.IsHenstock
h₂ : π₂.IsHenstock
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ✝ : J ∈ π₁.disjUnion π₂ h
hJ : J ∈ π₂.boxes


Context:
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E

convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u = convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)


convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) ⊆ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u


convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 u t) s ⊆ convexJoin 𝕜 u (convexJoin 𝕜 t s)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n✝ : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Context: n : ℕ

f x ≤ f 1 + x * log (↑n + 1) - x * log ↑n + logGammaSeq x n


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n✝ : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Context: n : ℕ

f (↑(n + 1) + x) ≤ f 1 + x * log (↑n + 1) - x * log ↑n + (x * log ↑n + log ↑n !)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n✝ : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Context: n : ℕ

f ↑(n + 1) + x * log ↑(n + 1) = f 1 + x * log (↑n + 1) - x * log ↑n + (x * log ↑n + log ↑n !)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n✝ : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Context: n : ℕ

f 1 + log ↑n ! + x * log (↑n + 1) = f 1 + x * log (↑n + 1) - x * log ↑n + (x * log ↑n + log ↑n !)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝² : Ring R

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : Ring R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y✝ z x y : R


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}

Context: x✝ : (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o

Context: h₁ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)

Context: h₂ : ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o.IsLimit

Context: a : Ordinal.{max u v}

(o.bsup fun x x_1 => f x) ≤ a ↔ ∀ b < o, f b ≤ a


Context:
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y

e.inv.val.base ≫ e.hom.val.base = 𝟙 ↑Y.toPresheafedSpace


Context:
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y

(e.inv ≫ e.hom).val.base = 𝟙 ↑Y.toPresheafedSpace


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁶ : MonoidWithZero M
inst✝⁵ : MonoidWithZero M'
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝³ : Ring R
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : FunLike F M M'
inst✝ : Finite R
a : R


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁶ : MonoidWithZero M
inst✝⁵ : MonoidWithZero M'
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝³ : Ring R
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : FunLike F M M'
inst✝ : Finite R
a : R
ha : a ∈ R⁰


Context: M₀ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: R : Type u_5

Context: R' : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: inst✝⁶ : MonoidWithZero M

Context: inst✝⁵ : MonoidWithZero M'

Context: inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁

Context: inst✝³ : Ring R

Context: inst✝² : CommRing R'

Context: inst✝¹ : FunLike F M M'

Context: inst✝ : Finite R

Context: a : R

Context: ha : a ∈ R⁰

Context: b c : R

Context: hbc : (fun x => x * a) b = (fun x => x * a) c


Context:
M₀ : Type u_1
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁶ : MonoidWithZero M
inst✝⁵ : MonoidWithZero M'
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝³ : Ring R
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : FunLike F M M'
inst✝ : Finite R
a : R
ha : a ∈ R⁰
b c : R
hbc : (b - c) * a = 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: c : n.natAbs.Coprime d

Context: hn : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }

Context: e : divNat a b = ⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩

↑⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: c : n.natAbs.Coprime d

Context: hn✝ : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }

Context: hn : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num

Context: e : divNat a b = ⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn✝⟩

↑⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn✝⟩ = ↑a / ↑b


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: c : (↑n).natAbs.Coprime d

Context: hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }

Context: e : divNat a b = ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩

↑⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩ = ↑a / ↑b


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: c : (↑n).natAbs.Coprime d

Context: hd : ↑d ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: c : (↑n).natAbs.Coprime d

Context: hd : ↑d ≠ 0

Context: hb' : b ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: c : (↑n).natAbs.Coprime d

Context: hd : ↑d ≠ 0

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hd' : d ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: c : (↑n).natAbs.Coprime d

Context: hd : ↑d ≠ 0

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hd' : d ≠ 0

Context: e : a * d = n * b


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionSemiring α

Context: q r : ℚ≥0

Context: a b : ℕ

Context: hb : ↑b ≠ 0

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: c : (↑n).natAbs.Coprime d

Context: hd : ↑d ≠ 0

Context: hb' : b ≠ 0

Context: hd' : d ≠ 0

Context: e : a * d = n * b

↑(num ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) / ↑(den ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) = ↑a / ↑b


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)


↑(d ⟨p, ⋯⟩) ≠ ⊥


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
b : Associates N
hb : b < ↑(d ⟨p, ⋯⟩)


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ


Context: R : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }

Context: a : A


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
i : ι
x : M


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ

(coeff R n) ((φ₁ + φ₂) * φ₃) = (coeff R n) (φ₁ * φ₃ + φ₂ * φ₃)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X


Context: r : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

fderiv 𝕜 (fun y => c + f y) x = fderiv 𝕜 f x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M


Context: x✝ : ℂ


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X

IsCoveringMap f ↔ IsCoveringMapOn f Set.univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: μ' : Measure α := ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)

μ.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: h₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv (ν.withDensity f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν

Context: this : SigmaFinite μ'


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν

Context: this : SigmaFinite μ'

Context: hμ' : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) =ᶠ[ae ν] fun x => (f x)⁻¹ * (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hf : AEMeasurable f ν

Context: hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ 0

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, f x ≠ ⊤

Context: h₂ : μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] μ'.rnDeriv ν

Context: this : SigmaFinite μ'

Context: x : α

Context: hx₁ : μ'.rnDeriv (ν.withDensity f) x = μ.rnDeriv (ν.withDensity f) x

Context: hx₂ : μ.rnDeriv ν x = μ'.rnDeriv ν x

Context: hx_eq : (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv (ν.withDensity f) x = (f x)⁻¹ * (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν x

μ.rnDeriv (ν.withDensity f) x = (f x)⁻¹ * μ.rnDeriv ν x


Context:
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
A : C
γ : A ⟶ S.homology

∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ S.g = 0), π ≫ γ = S.liftCycles z hz ≫ S.homologyπ


Context:
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
S S₁ S₂ : ShortComplex C
A : C
γ : A ⟶ S.homology
A' : C
π : A' ⟶ A
hπ : Epi π
z : A' ⟶ S.cycles
hz : π ≫ γ = z ≫ S.homologyπ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: x : I → Bool


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f g : α → β
h : Option.map f = Option.map g
x : α


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι✝ : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: ι : Type u_10

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: h : ∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p

Context: i : ι'

∃ s C, (q i).comp f ≤ C • s.sup fun x => p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕝 : Type u_3

Context: 𝕝₂ : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: ι✝ : Type u_8

Context: ι' : Type u_9

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂

Context: ι : Type u_10

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: i : ι'

∃ C, (q i).comp f ≤ C • {Classical.arbitrary ι}.sup fun x => p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: h'f : ∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

f =ᶠ[ae (μ.restrict (⋃ n, closure (compactCovering β n)))] 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: n : ℕ

∀ᵐ (x : β) ∂μ.restrict (closure (compactCovering β n)), f x = 0 x


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: n : ℕ

Integrable f (μ.restrict (closure (compactCovering β n)))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: β : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β

Context: inst✝² : BorelSpace β

Context: inst✝¹ : SigmaCompactSpace β

Context: inst✝ : R1Space β

Context: μ : Measure β

Context: f : β → E

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: n : ℕ

∀ (s : Set β), IsCompact s → ∫ (x : β) in s, f x ∂μ.restrict (closure (compactCovering β n)) = 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: inst✝ : TopologicalSpace β

Context: f : α → β

Context: hf : QuotientMap f

Context: h_fibers : ∀ (y : β), IsConnected (f ⁻¹' {y})

Context: a : α

f '' connectedComponent a = connectedComponent (f a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
a x : α
b : M


Context: n : ℕ

antidiagonal (n + 2) = (0, n + 2) ::ₘ (n + 2, 0) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ Nat.succ) (antidiagonal n)


Context: n : ℕ

(0, n + 1 + 1) ::ₘ ((n + 1).succ, id 0) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ id ∘ Prod.map id Nat.succ) (antidiagonal n) = (0, n + 2) ::ₘ (n + 2, 0) ::ₘ map (Prod.map Nat.succ Nat.succ) (antidiagonal n)


Context: x y : ℂ

cexp (x + y * I) = cexp x * (cos y + sin y * I)


Context:
α✝ : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α✝ → E
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α✝
α : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → G

∫ (x : ↑s), f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ


∫ (x : ↑s), f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = ∫ (x : α), f x ∂Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val μ)


Context:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
n : N
g : Dual R N
p : P
m : M

((dualTensorHom R N P) (g ⊗ₜ[R] p) ∘ₗ (dualTensorHom R M N) (f ⊗ₜ[R] n)) m = (g n • (dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)) m


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝² : DecidablePred p
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
t : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : M
hx : x ∈ S


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : M
hx : x ∈ S
this : x = ↑(IsUnit.unit ⋯)⁻¹⁻¹


↑(IsUnit.unit ⋯)⁻¹⁻¹ ∈ S.leftInv.leftInv


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
G : Type u_3
inst✝ : Group G
u v : UniformSpace G
hu : UniformGroup G
hv : UniformGroup G
h : 𝓝 1 = 𝓝 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ≥0∞

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

Context: hp_zero : ¬p = 0

eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f q μ * eLpNorm g r μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ≥0∞

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hq_ne_zero : q ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ≥0∞

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hq_ne_zero : q ≠ 0

Context: hr_ne_zero : r ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ≥0∞

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hq_ne_zero : q ≠ 0

Context: hr_ne_zero : r ≠ 0

Context: hq_top : ¬q = ⊤

Context: hr_top : ¬r = ⊤

Context: hpq : p < q


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ≥0∞

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hq_ne_zero : q ≠ 0

Context: hr_ne_zero : r ≠ 0

Context: hq_top : ¬q = ⊤

Context: hr_top : ¬r = ⊤

Context: hpq : p < q

eLpNorm' (fun x => b (f x) (g x)) p.toReal μ ≤ eLpNorm' f q.toReal μ * eLpNorm' g r.toReal μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: p q r : ℝ≥0∞

Context: hf : AEStronglyMeasurable f μ

Context: hg : AEStronglyMeasurable g μ

Context: b : E → F → G

Context: hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

Context: hp_zero : ¬p = 0

Context: hq_ne_zero : q ≠ 0

Context: hr_ne_zero : r ≠ 0

Context: hq_top : ¬q = ⊤

Context: hr_top : ¬r = ⊤

Context: hpq : p < q

1 / p.toReal = 1 / q.toReal + 1 / r.toReal


Context:
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0

μ.testAgainstNN f ≤ μ.testAgainstNN g + nndist f g * μ.mass


∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≤ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(g ω) + edist f g ∂↑μ


(fun a => ↑(f a)) ≤ fun a => ↑(g a) + edist f g


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f g : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: le_dist : ∀ (ω : Ω), dist (f ω) (g ω) ≤ ↑(nndist f g)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f g : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: ω : Ω

(fun a => ↑(f a)) ω ≤ (fun a => ↑(g a) + edist f g) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f g : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: ω : Ω

Context: le' : f ω ≤ g ω + nndist f g


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0

Context: inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞

Context: inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞

Context: inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Ω

Context: inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : FiniteMeasure Ω

Context: f g : Ω →ᵇ ℝ≥0

Context: ω : Ω

Context: le' : f ω ≤ g ω + nndist f g

Context: le : ↑(f ω) ≤ ↑(g ω) + ↑(nndist f g)


Context:
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n


Context:
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n
this : n.MinSqFacProp n.minSqFac


Context:
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n
this : n.MinSqFacProp (some d)


Context:
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n d : ℕ
h : n.minSqFac = some d
m : ℕ
m2 : 2 ≤ m
md : m * m ∣ n
this : n.MinSqFacProp (some d)
fd : m.minFac ∣ m


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y


aI * y' ∈ R₁⁰ ∧ ∀ b ∈ I / J, IsInteger R₁ ((aI * y') • b)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
b : K
hb : b ∈ I / J


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: ι₁ : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: σ : ι₁ ≃ ι₂

Context: m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι₂

Context: v : ι₂ → M₂

Context: i : ι₂

Context: a b : M₂

(fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i (a + b)) = (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i a) + (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i b)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: ι₁ : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: σ : ι₁ ≃ ι₂

Context: m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι₂

Context: v : ι₂ → M₂

Context: i : ι₂

Context: a b : M₂

Context: this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: ι₁ : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: σ : ι₁ ≃ ι₂

Context: m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι₂

Context: v : ι₂ → M₂

Context: i : ι₂

Context: a b : M₂

Context: this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq

(m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) (a + b) i_1) = (m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) a i_1) + m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) b i_1


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: ι₁ : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: σ : ι₁ ≃ ι₂

Context: m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι₂

Context: v : ι₂ → M₂

Context: i : ι₂

Context: a : R

Context: b : M₂

(fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i (a • b)) = a • (fun v => m fun i => v (σ i)) (update v i b)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: ι₁ : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: σ : ι₁ ≃ ι₂

Context: m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι₂

Context: v : ι₂ → M₂

Context: i : ι₂

Context: a : R

Context: b : M₂

Context: this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹¹ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R M₃

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: ι₁ : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: σ : ι₁ ≃ ι₂

Context: m : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃

Context: inst✝ : DecidableEq ι₂

Context: v : ι₂ → M₂

Context: i : ι₂

Context: a : R

Context: b : M₂

Context: this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq

(m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) (a • b) i_1) = a • m fun i_1 => update (v ∘ ⇑σ) (σ.symm i) b i_1


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hσ : IsStoppingTime ℱ σ

Context: hσ_le_τ : σ ≤ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: hτ_countable_range : (Set.range τ).Countable

Context: hσ_countable_range : (Set.range σ).Countable

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

stoppedValue f σ =ᶠ[ae μ] μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hσ : IsStoppingTime ℱ σ

Context: hσ_le_τ : σ ≤ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hσ : IsStoppingTime ℱ σ

Context: hσ_le_τ : σ ≤ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: this✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: this : μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] μ[μ[f n|hτ.measurableSpace]|hσ.measurableSpace]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hσ : IsStoppingTime ℱ σ

Context: hσ_le_τ : σ ≤ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: this✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

stoppedValue f σ =ᶠ[ae μ] μ[f n|hσ.measurableSpace]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁶ : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁵ : LinearOrder ι

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace ι

Context: inst✝³ : OrderTopology ι

Context: inst✝² : FirstCountableTopology ι

Context: ℱ : Filtration ι m

Context: inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: τ σ : Ω → ι

Context: f : ι → Ω → E

Context: i n : ι

Context: h : Martingale f ℱ μ

Context: hτ : IsStoppingTime ℱ τ

Context: hσ : IsStoppingTime ℱ σ

Context: hσ_le_τ : σ ≤ τ

Context: hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

Context: this✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E

‖a / b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖


Context:
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p q : A[X]

invFun R A (p + q) = invFun R A p + invFun R A q


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F.leftOp
hc : IsLimit c
s : Cocone F
j : J

((coconeOfConeLeftOp c).ι.app j ≫ (fun s => (hc.lift (coneLeftOpOfCocone s)).op) s).unop = (s.ι.app j).unop


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F.leftOp

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F

Context: m : (coconeOfConeLeftOp c).pt ⟶ s.pt

Context: w : ∀ (j : J), (coconeOfConeLeftOp c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

m = (fun s => (hc.lift (coneLeftOpOfCocone s)).op) s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} J

Context: F : J ⥤ Cᵒᵖ

Context: c : Cone F.leftOp

Context: hc : IsLimit c

Context: s : Cocone F

Context: m : (coconeOfConeLeftOp c).pt ⟶ s.pt

Context: j : Jᵒᵖ

(m.unop ≫ c.π.app j).op = (((fun s => (hc.lift (coneLeftOpOfCocone s)).op) s).unop ≫ c.π.app j).op


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
hs : s ⊆ f.source
hmaps : MapsTo g s f'.source

ContinuousOn (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) '' s) ↔ ContinuousOn g s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f'✝ : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
hs : s ⊆ f.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
x : M
hx : x ∈ s

ContinuousWithinAt (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) '' s) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt g s x


𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) x = 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C

e.functor.map (e.unit.app X) = e.counitInv.app (e.functor.obj X)


𝟙 (e.functor.obj X) = 𝟙 ((𝟭 D).obj (e.functor.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁷ : Module R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝³ : Module R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R B B

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R B B

Context: S : NonUnitalSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: h : K i ≤ iSup K

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ((inclusion h) x) = (f i) x


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁷ : Module R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝³ : Module R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R B B

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R B B

Context: S : NonUnitalSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: h : K i ≤ iSup K


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommGroup M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : L
φ₁ φ₂ : R
h : φ₁ ≠ φ₂

Disjoint (weightSpaceOf M φ₁ x) (weightSpaceOf M φ₂ x)


Disjoint ↑(weightSpaceOf M φ₁ x) ↑(weightSpaceOf M φ₂ x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

image (fun x => c + x) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

Context: this : f =ᶠ[ae μ] fun x => ↑(f x).toNNReal


Context: α : Type u_1

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

SigmaFinite (μ.withDensity fun x => ↑(f x).toNNReal)


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
d : Transversal φ


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)

Context: inst✝ : Group H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)

Context: d : Transversal φ

Context: x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: x✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i) := fun i => Classical.decEq (G i)

Context: a₁✝ a₂✝ : H

Context: h : ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(base φ)) a₁✝ = ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑(base φ)) a₂✝


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : HasLimit F

Context: x y : limit F

Context: w : ∀ (j : J), limit.π F j x = limit.π F j y


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : HasLimit F

Context: x y : limit F

(limitEquivSections F) x = (limitEquivSections F) y


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P

Context: h₁₂₄₅ : vectorSpan ℝ {p₁, p₂} = vectorSpan ℝ {p₄, p₅}

Context: h₃₂₆₅ : vectorSpan ℝ {p₃, p₂} = vectorSpan ℝ {p₆, p₅}

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝² : MetricSpace P

Context: inst✝¹ : NormedAddTorsor V P

Context: hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)

Context: inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)

Context: p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P

Context: h₁₂₄₅ : Submodule.span ℝ {p₁ -ᵥ p₂} = Submodule.span ℝ {p₄ -ᵥ p₅}

Context: h₃₂₆₅ : Submodule.span ℝ {p₃ -ᵥ p₂} = Submodule.span ℝ {p₆ -ᵥ p₅}

2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

G.map (F.map (f✝ ≫ g✝)) = G.map (F.map f✝) ≫ G.map (F.map g✝)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f✝ : ι →₀ α
f : ι →₀ Finset α


∏ i ∈ f.support, (f i).card = f.prod fun i => ↑(f i).card


Context:
R : Type uR
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x✝ : Dual R M₂

x✝ ∈ ker f.dualMap ↔ x✝ ∈ (range f).dualAnnihilator


(∀ (x : M₁), (f.dualMap x✝) x = 0 x) ↔ ∀ (i : M₁), x✝ (f i) = 0


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set Rᵐᵒᵖ

(closure s).unop = closure (MulOpposite.op ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring R
s : Set Rᵐᵒᵖ
a : Subsemiring R

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.unop ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.op ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
c : E

IntervalIntegrable (fun x => c) μ a b ↔ c = 0 ∨ μ (Ι a b) < ⊤


Context:
b : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ


p.ball x r = {x_1 | x_1 ∈ (fun z => -x + z) ⁻¹' univ ∧ (⇑p ∘ fun z => z + -x) x_1 < r}


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
y : E

y ∈ p.ball x r ↔ y ∈ {x_1 | x_1 ∈ (fun z => -x + z) ⁻¹' univ ∧ (⇑p ∘ fun z => z + -x) x_1 < r}


p (y + -x) < r ↔ y ∈ {x_1 | (⇑p ∘ fun z => z + -x) x_1 < r}


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : (M ↾ R).Dep X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x : α
l₁ l₂ : List α

x ∈ l₁ ∪ l₂ ↔ x ∈ l₁ ∨ x ∈ l₂


Context:
a b c : ℕ
h : a ≤ b
x : ℕ

x ∈ insert a (Icc (a + 1) b) ↔ x ∈ Icc a b


Context:
a b c : ℕ
h : a ≤ b
x : ℕ

x = a ∨ a + 1 ≤ x ∧ x ≤ b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: U✝ : TopCat

Context: X : Scheme

Context: f : U✝ ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : OpenEmbedding ⇑f

Context: U : (X.restrict h).Opens

(Hom.appIso (X.ofRestrict h) U).hom = (Iso.refl Γ(X, X.ofRestrict h ''ᵁ U)).hom


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e : Trivialization F proj

Context: x : Z

Context: ex : x ∈ e.source


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
l : List α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
h : a.prod = b.prod
this : a.prod.factors = b.prod.factors


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : FirstCountableTopology X

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : T2Space Z

Context: s : Set X

Context: t : Set Y

Context: f g : X → Y → Z

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, f x y = g x y

Context: hf₁ : ∀ (x : X), Continuous (f x)

Context: hf₂ : ∀ (y : Y), Continuous fun x => f x y

Context: hg₁ : ∀ (x : X), Continuous (g x)

Context: hg₂ : ∀ (y : Y), Continuous fun x => g x y

Context: this : closure s ⊆ ⋂ y ∈ closure t, {x | f x y = g x y}

∀ x ∈ closure s, ∀ y ∈ closure t, f x y = g x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
p q : Subgroup G
h : p.toSubmonoid = q.toSubmonoid


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
p q : Subgroup G
h : p.toSubmonoid = q.toSubmonoid
this : ↑p.toSubmonoid = ↑q.toSubmonoid


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
p q : Subgroup G
h : p.toSubmonoid = q.toSubmonoid
this : ↑p = ↑q


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b c : α
m n✝ : ℕ
hab : a ∣ b
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0


Context:
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
s : A → A → Prop
f : RingQuot s →ₐ[S] B

f = (liftAlgHom S) ⟨f.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩


(liftAlgHom S) ((liftAlgHom S).symm f) = (liftAlgHom S) ⟨f.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩


{ toFun := fun f' => preLiftAlgHom S ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun f' => preLiftAlgHom S ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm f) = { toFun := fun f' => preLiftAlgHom S ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f.comp (mkAlgHom S s), ⋯⟩


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Sort u_5

Context: f : α → β

Context: I : Injective f

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : partialInv f b = some a

Context: hpi : partialInv f b = if h : ∃ a, f a = b then some (Classical.choose h) else none

Context: h' : ∃ a, f a = b


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Sort u_5

Context: f : α → β

Context: I : Injective f

Context: a : α

Context: b : β

Context: h' : ∃ a, f a = b

Context: h : some (Classical.choose h') = some a


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Sort u_5

Context: f : α → β

Context: I : Injective f

Context: b : β

Context: h' : ∃ a, f a = b


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Sort u_5

Context: f : α → β

Context: I : Injective f

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : partialInv f b = some a

Context: h' : ¬∃ a, f a = b


Context: α✝ : Sort u_1

Context: β✝ : Sort u_2

Context: γ : Sort u_3

Context: f✝ : α✝ → β✝

Context: α : Type u_4

Context: β : Sort u_5

Context: f : α → β

Context: I : Injective f

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : none = some a

Context: h' : ¬∃ a, f a = b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin n) R
hv : ∑ j : Fin (n + 1), M j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)

(M.submatrix j₁.succAbove id).det = (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix j₂.succAbove id).det


∀ (j : Fin (n + 1)), (M.submatrix j.succAbove id).det = (↑↑j).negOnePow • (M.submatrix (Fin.succAbove 0) id).det


Context: p : ℝ × ℝ

↑Complex.polarCoord.symm p = ↑p.1 * (↑(Real.cos p.2) + ↑(Real.sin p.2) * I)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝³ : FunLike 𝓕 E F

Context: ι : Type u_11

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: M : ι → Type u_12

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (M i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: C : ℝ

Context: L : (i : ι) → E →L[𝕜] M i

Context: hL : ∀ (i : ι), ‖L i‖ ≤ C

Context: hC : 0 ≤ C


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝³ : FunLike 𝓕 E F

Context: ι : Type u_11

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: M : ι → Type u_12

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: C : ℝ

Context: L : (i : ι) → E →L[𝕜] M i

Context: hL : ∀ (i : ι), ‖L i‖ ≤ C

Context: hC : 0 ≤ C

Context: x : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ

Context: inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃

Context: inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝³ : FunLike 𝓕 E F

Context: ι : Type u_11

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: M : ι → Type u_12

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)

Context: C : ℝ

Context: L : (i : ι) → E →L[𝕜] M i

Context: hL : ∀ (i : ι), ‖L i‖ ≤ C

Context: hC : 0 ≤ C

Context: x : E

Context: i : ι


Context:
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
hab : a ≤ b


∀ (a b : Unitization ℂ A), 0 ≤ a → a ≤ b → ‖a‖ ≤ ‖b‖


Context:
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
ha✝ : autoParam (0 ≤ a✝) _auto✝
hab✝ : a✝ ≤ b✝
a b : Unitization ℂ A
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
hb_nonneg : 0 ≤ b
this : 0 ≤ a


Context:
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
ha✝ : autoParam (0 ≤ a✝) _auto✝
hab✝ : a✝ ≤ b✝
a b : Unitization ℂ A
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
hb_nonneg : 0 ≤ b
this : 0 ≤ a
h₂ : cfc id a ≤ cfc (fun x => ‖b‖) a


Context:
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
ha✝ : autoParam (0 ≤ a✝) _auto✝
hab✝ : a✝ ≤ b✝
a b : Unitization ℂ A
ha : 0 ≤ a
hab : a ≤ b
hb_nonneg : 0 ≤ b
this : 0 ≤ a
h₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, id x ≤ ‖b‖


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIcoDiv hp a (b - c) = toIcoDiv hp (a + c) b


b - c - toIcoDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ico a (a + p)


b - toIcoDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ico (a + c) (a + c + p)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
a : α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
ha : a ∈ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
a : α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
ha✝ : a ∈ x
ha : x = some a


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s✝ : Rel β β
s : RelSeries r
x : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : MonovaryOn f g ↑s

(∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i ≤ ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i


(∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i ≤ s.card • ∑ i ∈ s, f i * g i


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
h : (f i) x = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : ¬y ≤ 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
q : ℕ
hq : x⁻¹ < y⁻¹ ^ q


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInvOn g f s
F : Filter α
hF : F ≤ 𝓟 s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInvOn g f s
F : Filter α
hF : F ≤ 𝓟 s
this : g ∘ f =ᶠ[𝓟 s] id


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : Fact (μ A < ⊤)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : Fact (μ A < ⊤)
V : Set α
V_open : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V

∃ K ⊆ V, IsClosed K ∧ r < (μ.restrict A) K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : BorelSpace α

Context: inst✝ : μ.WeaklyRegular

Context: A : Set α

Context: h'A : μ A ≠ ⊤

Context: this✝ : Fact (μ A < ⊤)

Context: V : Set α

Context: V_open : IsOpen V

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < (μ.restrict A) V

Context: this : (μ.restrict A).InnerRegularWRT IsClosed fun s => MeasurableSet s