Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: hs : Nonempty ↑e.source

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: c' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t

Context: this : Nonempty ↥t

Context: x : ↥t

e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this ∈ maximalAtlas (↥s) G


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: hs : Nonempty ↑e.source

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }

Context: t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }

Context: c' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t

Context: this : Nonempty ↥t

Context: x : ↥t

Context: hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this

Context: goal : PartialHomeomorph (↑e.source) H := e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H M

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝³ : ChartedSpace H M'

Context: inst✝² : ChartedSpace H M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: he : e ∈ atlas H M

Context: hs : Nonempty ↑e.source

Context: inst✝¹ : HasGroupoid M G

Context: inst✝ : ClosedUnderRestriction G

Context: c' : PartialHomeomorph (↥t) H

Context: hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t

Context: this✝ : Nonempty ↥t

Context: x : ↥t

Context: hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this✝

Context: goal : PartialHomeomorph (↑e.source) H := e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this✝

Context: this : goal ≈ e.subtypeRestr hs

e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this✝ ∈ maximalAtlas (↥s) G


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: G : Comonad C

Context: A B : G.Coalgebra

Context: h : A.A ≅ B.A

Context: w : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝


Context: C : Type u₁

Context: inst✝ : Category.{v₁, u₁} C

Context: G : Comonad C

Context: A B : G.Coalgebra

Context: h : A.A ≅ B.A


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
hn : 0 < n
r : R


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s k : Set α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x

Context: u : Set α

Context: u_mem : u ∈ 𝓝 x

Context: hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n

Context: A : 0 < μ (u ∩ s)

Context: B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s k : Set α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ s ≠ ⊤

Context: x : α

Context: hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x

Context: u : Set α

Context: u_mem : u ∈ 𝓝 x

Context: hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n

Context: A : 0 < μ (u ∩ μ.everywherePosSubset s)


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f✝ g✝ f g : Π₀ (a : α), N a
h : f = g


Context:
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α

IsUnit (fromBlocks A B 0 D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α

sum μ ⟂ₘ ν ↔ ∀ (i : ι), μ i ⟂ₘ ν


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
H : ∀ (i : ι), μ i ⟂ₘ ν


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : ι → Set α
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsν : ∀ (i : ι), ν (s i)ᶜ = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν✝
inst✝ : SFinite μ
ν : Measure β


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C

Nonempty (IsInitial X) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)


Nonempty (IsInitial (F.obj X)) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝¹ : PreGaloisCategory C

Context: F : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝ : FiberFunctor F

Context: X : C

Context: this✝ : PreservesFiniteColimits (forget FintypeCat)

Context: this : ReflectsColimit (empty FintypeCat) (forget FintypeCat)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A

(fromBlocks A B Bᴴ D).PosSemidef ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef


((D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian ∧ ∀ (x : m ⊕ n → 𝕜), 0 ≤ star x ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ x) ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
n : ℕ
ih : ‖a ^ n‖ ≤ ↑n * ‖a‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)

Tendsto (fun t => implicitFunction f f' hf hf' (g₁ t) (g₂ t)) l (𝓝 a)


Tendsto (fun t => (g₁ t, g₂ t)) l (𝓝 (↑(implicitToPartialHomeomorph f f' hf hf') a))


Tendsto (fun t => (g₁ t, g₂ t)) l (𝓝 (f a, 0))


Context:
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

IntegrableOn (fun t => t ^ a) (Ioi c) volume


Context: a : ℝ

Context: ha : a < -1

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x


Context: a : ℝ

Context: ha : a < -1

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ht : Tendsto (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1)))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
b c : α

gcd (0 * b) (0 * c) = normalize 0 * gcd b c


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop

(∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x / t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x


(∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x / t)) ↔ {x | p x} ∈ Filter.map (fun t_1 => t_1 / t) (ae μ)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
x x' : ↑↑X
h : x = x'

Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap α x'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b : β
hab : 0 ≤ 0 • b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
hab : 0 ≤ a • b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0


Context: P : PartENat → Prop

∀ (a : PartENat), P ⊤ → (∀ (n : ℕ), P ↑n) → P a


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedSpace 𝕜 β
inst✝¹ : NormedRing γ
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 γ
f g : α →ᵇ γ
x : α
c k : 𝕜
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g σ : Perm α


Context:
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop

{ toQuot := Quot.mk (Rel r) 0 } = RingQuot.zero r


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a < b * c


Context: α : Type u_1

Context: a b c d : α

Context: m n : ℕ

Context: h : a < c * b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s t : Set α
hs : #↑s < #α
ht : #↑t < #α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n✝ : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
X Y : Finset α
n : ℕ
hXY : 2 * n < (X ∪ Y).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n✝ : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
X Y : Finset α
n : ℕ
hXY : 2 * n < (X ∪ Y).card
h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: X Y : Finset α

Context: n : ℕ

Context: hXY : 2 * n < (X ∪ Y).card

Context: h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0

Context: h₂ : (X ∪ Y).card = X.card + (Y \ X).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: X Y : Finset α

Context: n : ℕ

Context: hXY : n + n < X.card + (Y \ X).card

Context: h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: X Y : Finset α

Context: n : ℕ

Context: hXY : n + n < X.card + (Y \ X).card

Context: h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0

Context: h : n < X.card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s t u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: X Y : Finset α

Context: n : ℕ

Context: hXY : n + n < X.card + (Y \ X).card

Context: h₁ : (X ∩ (Y \ X)).card = 0

Context: h : n < (Y \ X).card


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s✝ : Finset α

Context: H : s✝.Nonempty

Context: x : α

Context: s t : Finset α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → (∀ z ∈ s, z ∉ Set.Ioo x y) → ∃ z ∈ t, x < z ∧ z < y


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s✝ : Finset α

Context: H : s✝.Nonempty

Context: x : α

Context: s t : Finset α

Context: h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∈ t, x < z ∧ z < y


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s✝ : Finset α

Context: H : s✝.Nonempty

Context: x : α

Context: s t : Finset α

Context: f : α → WithTop α := fun x => (filter (fun y => x < y) t).min


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s✝ : Finset α

Context: H : s✝.Nonempty

Context: x : α

Context: s t : Finset α

Context: f_mono : StrictMonoOn f ↑s


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝³ : IsDomain R₁
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : K ≃ₐ[R₁] K'


Context:
α : Type u
m : ℕ
a : Fin m → α
n : ℕ

ofFn (Fin.repeat n a) = (replicate n (ofFn a)).join


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l : List α
h : Sorted r (a :: b :: l)

insertionSort r (a :: b :: l) = a :: b :: l


Context:
x y : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
l : List α

(map f (a :: l)).sublists' = map (map f) (a :: l).sublists'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: e✝ : α ≃ β

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: e : α ≃ β

Context: inst✝¹ : Semiring β

Context: inst✝ : Algebra R β

Context: r : R

Context: semiring✝ : Semiring α := e.semiring

Context: algebra✝ : Algebra R α := Equiv.algebra R e

(algebraMap R α) r = e.symm ((algebraMap R β) r)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: e✝ : α ≃ β

Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: e : α ≃ β

Context: inst✝¹ : Semiring β

Context: inst✝ : Algebra R β

Context: r : R

Context: semiring✝ : Semiring α := e.semiring


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, DifferentiableAt ℝ g x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (deriv f x) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)

Context: hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (deriv g x) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ t.card = s.card + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t ⊆ t✝

(t✝ \ t).card = 1 ↔ t✝.card = t.card + 1


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
r : R
hr : r ∈ I.leadingCoeffNth m


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: I : Ideal R[X]

Context: m n : ℕ

Context: H : m ≤ n

Context: r : R

Context: hr : ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑m ∧ p.leadingCoeff = r

∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = r


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
m n : ℕ
H : m ≤ n
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hpdeg : p.degree ≤ ↑m

∃ p_1 ∈ I, p_1.degree ≤ ↑n ∧ p_1.leadingCoeff = p.leadingCoeff


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S ⊗[R] N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

f (x * c ^ n) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m


f (x * c ^ m * c ^ (n - m)) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hc_pos : 0 < f c


f (x * c ^ m) * f (c ^ (n - m)) / f c ^ n ≤ f (x * c ^ m) / f c ^ m


Context:
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
s : Set α
h : ∀ (t : τ), ϕ.toFun t '' s ⊆ s
t : τ
x✝ : α
hx : x✝ ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l F : Filter α
s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β' → α' → δ

Context: g₁ : β → β'

Context: g₂ : α → α'

Context: h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)

image g (image₂ f s t) = image₂ f' (image g₁ t) (image g₂ s)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: ζ : Type u_11

Context: ζ' : Type u_12

Context: ν : Type u_13

Context: inst✝⁷ : DecidableEq α'

Context: inst✝⁶ : DecidableEq β'

Context: inst✝⁵ : DecidableEq γ

Context: inst✝⁴ : DecidableEq γ'

Context: inst✝³ : DecidableEq δ

Context: inst✝² : DecidableEq δ'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ε

Context: inst✝ : DecidableEq ε'

Context: f f'✝ : α → β → γ

Context: g✝ g' : α → β → γ → δ

Context: s s' : Finset α

Context: t t' : Finset β

Context: u u' : Finset γ

Context: a a' : α

Context: b b' : β

Context: c : γ

Context: g : γ → δ

Context: f' : β' → α' → δ

Context: g₁ : β → β'

Context: g₂ : α → α'

image g (image₂ (fun a b => f b a) t s) = image₂ f' (image g₁ t) (image g₂ s)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : Semifield R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => (f x)⁻¹) a = Ring.inverse (cfc f a)


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
x✝ : R ⧸ I
r : R

(quotientMap I ↑f.symm ⋯) ((↑↑__src✝).toFun (Quot.mk Setoid.r r)) = Quot.mk Setoid.r r


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
x✝ : S ⧸ J
s : S

(↑↑__src✝).toFun ((quotientMap I ↑f.symm ⋯) (Quot.mk Setoid.r s)) = Quot.mk Setoid.r s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

∀ᶠ (m : (ι × ι) × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p', (F m.1.1 m.2, F m.1.2 m.2) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : ∀ {a b : β}, (a, b) ∈ t → (b, a) ∈ t

Context: htmem : t ○ t ⊆ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × α × α) in (p ×ˢ p) ×ˢ p' ×ˢ p', (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).1.2) ∈ t ∧ (f ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2, F ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.1 ((x.1.1, x.2.1), x.1.2, x.2.2).2.2) ∈ t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

∀ (a b : ι) (b_1 : α), (f b_1, F a b_1) ∈ t → (f b_1, F b b_1) ∈ t → (F a b_1, F b b_1) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: hF : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htmem : t ○ t ⊆ u

Context: n1 n2 : ι

Context: x : α

Context: hl : (f x, F n1 x) ∈ t

Context: hr : (f x, F n2 x) ∈ t


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b✝ c a b : α


Context:
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m

smul α φ (r + r') m = smul α φ r m + smul α φ r' m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ (r + r') m) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r' m)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r

Context: r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: hr₀' : (α.app (Opposite.op Y)) r₀' = (R.val.map f.op) r'

Context: m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m

(A.val.map f.op) (smul α φ (r + r') m) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r' m)


Context: K : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing K

Context: Γ₀ : Type u_4

Context: Γ'₀ : Type u_5

Context: Γ''₀ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v✝ : Valuation R Γ₀

Context: x✝ y z : R

Context: v : Valuation K Γ₀

Context: x : K

Context: h : x ≠ 0


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝ : M


Context:
x y : ℝ
h : x ≤ 0


Context:
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0


Context:
x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0


Context:
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
b0 : b ≠ 0


Context:
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
b0 : b ≠ 0
hb : 1 < b


Context:
x : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
b0 : 1 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
l : Filter γ
u : γ → α
a : α

(∀ᶠ (x : β) in map (fun x => e (u x)) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (e a)) ↔ ∀ᶠ (x : α) in map u l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι


Context:
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f


∀ (x : ProbabilityMeasure Ω), ContinuousAt (fun ν => ν.map ⋯) x


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
A B : StructuredArrow S T
f : A ⟶ B


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: S S' S'' : D

Context: Y Y' Y'' : C

Context: T T' : C ⥤ D

Context: A B : StructuredArrow S T

Context: f : A ⟶ B

Context: this : (Functor.fromPUnit S).map f.left ≫ B.hom = A.hom ≫ T.map f.right


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq N
inst✝² : DecidableEq M
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
F : N → M
F0 : F 0 = 0
hF : Function.Injective F
a✝ : α

a✝ ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) ↔ a✝ ∈ f.neLocus g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset (α × β)
f : α × β → M

∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : (a, b) ∈ s), f (a, b)


Context:
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), g i * h ≤ a


Context: n : ℕ


Context: a x✝ z x : ℂ

((starRingEnd ℂ) x).arg = if x.arg = π then π else -x.arg


Context: a x✝ z x : ℂ

(if 0 ≤ x.re then -Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ -x.im then Real.arcsin (x.im / abs x) + π else Real.arcsin (x.im / abs x) - π) = if x.re < 0 ∧ x.im = 0 then π else -if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then -Real.arcsin (x.im / abs x) + π else -Real.arcsin (x.im / abs x) - π


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re < 0
hi : x.im < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re < 0
hi : x.im = 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re < 0
hi : 0 < x.im


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re = 0
hi : x.im < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re = 0
hi : x.im = 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : x.re = 0
hi : 0 < x.im


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : 0 < x.re
hi : x.im < 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : 0 < x.re
hi : x.im = 0


Context:
a x✝ z x : ℂ
hr : 0 < x.re
hi : 0 < x.im


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R

(X ^ p ^ n - C y).roots = p ^ n • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : IsDomain R

Context: p n : ℕ

Context: inst✝¹ : ExpChar R p

Context: f : R[X]

Context: inst✝ : PerfectRing R p

Context: y : R

Context: H : ((expand R (p ^ n)) (X - C y)).roots = p ^ n • Multiset.map (⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm) (X - C y).roots


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : LieRing L
inst✝¹³ : LieAlgebra R L
inst✝¹² : LieRing L'
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L'
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : LieRingModule L M'
inst✝³ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
M'' : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup M''
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : LieRingModule L M''
g : M' →ₗ⁅R,L⁆ M''

↑(map (g.comp f) N) = ↑(map g (map f N))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : Subsingleton M

Context: hI : I.IsPrime

Context: x : M

Context: hx : I = (Submodule.span R {x}).annihilator


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: I J : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: M' : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: f : M →ₗ[R] M'

Context: inst✝ : Subsingleton M

Context: hI : I.IsPrime

Context: x : M


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0


Context:
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char

(if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then { byteIdx := utf8Len l } else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }


(if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then { byteIdx := utf8Len l } else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l })) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }


Context: p : Char → Bool

Context: l : List Char

Context: c : Char

Context: m r : List Char

Context: h1 : { data := l ++ (c :: m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l } = (c :: m ++ r).headD default


Context: p : Char → Bool

Context: l : List Char

Context: c : Char

Context: m r : List Char

Context: h2 : { data := l ++ c :: (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size }


Context: p : Char → Bool

Context: l : List Char

Context: c : Char

Context: m r : List Char

Context: h1 : { data := l ++ c :: (m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l } = c


Context: p : Char → Bool

Context: l : List Char

Context: c : Char

Context: m r : List Char

(if p c = true then { byteIdx := utf8Len l } else { data := l ++ c :: (m ++ r) }.findAux p { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match !p c with | true => c :: List.takeWhile (fun x => !p x) m | false => []) }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : α
h : a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : α
h : a < b
c : α
ha : inl a < inl c
hb : inl c < inl b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : α
h : a < b
c : β
ha : inl a < inr c
hb : inr c < inl b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : β
h : a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : β
h : a < b
c : α
ha : inr a < inl c
hb : inl c < inr b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : DenselyOrdered (α ⊕ β)
a b : β
h : a < b
c : β
ha : inr a < inr c
hb : inr c < inr b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a : R[X]


p.scaleRoots r ∣ p.scaleRoots r * a.scaleRoots r


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f


↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset ⊆ ↑⊥


Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F K L

Context: f : K[X]

Context: inst✝ : IsSplittingField K L f

Context: h : Splits (RingHom.id K) f

Context: y : L

Context: hy : y ∈ ↑(Multiset.map (⇑(algebraMap K L)) f.roots).toFinset


Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : Field L

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra F L

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F K L

Context: f : K[X]

Context: inst✝ : IsSplittingField K L f

Context: h : Splits (RingHom.id K) f

Context: y : L

Context: hy : ∃ a ∈ f.roots.toFinset, (algebraMap K L) a = y


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : Splits (RingHom.id K) f
y : L
x : K
hxy : (algebraMap K L) x = y


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥

Splits ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).trans (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm).toRingHom f


Splits ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm.toRingHom.comp (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).toRingHom) f


Context:
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ


∀ (τ_1 π : Ω → ℕ), IsStoppingTime 𝒢 τ_1 → IsStoppingTime 𝒢 π → τ_1 ≤ π → (∃ N, ∀ (x : Ω), π x ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue (stoppedProcess f τ) τ_1 x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue (stoppedProcess f τ) π x ∂μ


∀ (i : ℕ), Integrable (stoppedProcess f τ i) μ


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
m : L
hm : m ∈ s


∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → m ∈ K


Context:
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f


Context:
d₁ d₂ : Nat
n₁ n₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

mkRat n₁ d₁ = mkRat n₂ d₂ ↔ n₁ * ↑d₂ = n₂ * ↑d₁


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι

aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : a < 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: b c : K

Context: h : ∀ (x : K), 0 ≤ 0 * x * x + b * x + c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField K

Context: a b c : K

Context: ha : 0 < a


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)

Context: as bs cs : (i : ι) → X i

Context: i : ι

Context: paths : (i : ι) → Homotopic.Quotient (as i) (bs i)


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: as bs cs : (i : ι) → X i

Context: i : ι

Context: a✝ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)

proj i (pi fun i => ⟦a✝ i⟧) = (fun i => ⟦a✝ i⟧) i


Context: ι : Type u_1

Context: X : ι → Type u_2

Context: as bs cs : (i : ι) → X i

Context: i : ι

Context: a✝ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)

⟦(Path.pi a✝).map ⋯⟧ = (fun i => ⟦a✝ i⟧) i


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P


Context: X✝ : Scheme

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Context: hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace

f.val.base (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace) = genericPoint ↑↑Y.toPresheafedSpace


Context: X✝ : Scheme

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

IsGenericPoint (f.val.base (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace)) ⊤


Context: X✝ : Scheme

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f


Context: X✝ : Scheme

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

Set.univ ≤ closure (⇑f.val.base '' Set.univ)


Context: X✝ : Scheme

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

⇑f.val.base '' Set.univ = Set.univ ∩ Set.range ⇑f.val.base


Context: X✝ : Scheme

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: H : IsOpenImmersion f

(Set.univ ∩ Set.range ⇑f.val.base).Nonempty


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
B₂ : BilinForm R₂ (n → R₂)

((BilinForm.toMatrixAux fun j => (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) B₂).toBilin'Aux = B₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s✝ : Set X
B : Set (Set X)
hB : IsTopologicalBasis B
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: motive : HNNExtension G A B φ → Prop

Context: x : HNNExtension G A B φ

Context: of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)

Context: t : motive HNNExtension.t

Context: mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)

Context: inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹

Context: S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: motive : HNNExtension G A B φ → Prop

Context: x : HNNExtension G A B φ

Context: t : motive HNNExtension.t

Context: f : HNNExtension G A B φ →* ↥S := lift (HNNExtension.of.codRestrict S of) ⟨HNNExtension.t, t⟩ ⋯


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: motive : HNNExtension G A B φ → Prop

Context: x : HNNExtension G A B φ

Context: t : motive HNNExtension.t

Context: hf : S.subtype.comp f = MonoidHom.id (HNNExtension G A B φ)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝¹ : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝ : Monoid M

Context: motive : HNNExtension G A B φ → Prop

Context: x : HNNExtension G A B φ

Context: t : motive HNNExtension.t


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)

Context: μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)

Context: inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm

MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i)) (Measure.pi μ) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j)))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

MeasurePreserving (⇑e) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j))) (Measure.pi μ)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)

Context: x✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), MeasurableSet (s i)

(Measure.map (⇑e) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j)))) (univ.pi s) = ∏ i : Fin (n + 1), (μ i) (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)

((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j))) (⇑e ⁻¹' univ.pi s) = ((μ i).prod (Measure.pi fun i_1 => μ (i.succAbove i_1))) (s i ×ˢ univ.pi fun i_1 => s (i.succAbove i_1))


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α✝ : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)

Context: m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)

Context: μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)

Context: inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)

Context: inst✝¹ : Fintype ι'

Context: n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u

Context: μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)

Context: x : α i

Context: f : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

(x, f) ∈ ⇑e ⁻¹' univ.pi s ↔ (x, f) ∈ s i ×ˢ univ.pi fun i_1 => s (i.succAbove i_1)


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : ¬x = y
hyz' : ¬y = z
hxz' : ¬x = z


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0


cardPowDegree (x - z) ≤ max (cardPowDegree (x - y)) (cardPowDegree (y - z))


↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ max (↑(Fintype.card Fq) ^ (x - y).natDegree) (↑(Fintype.card Fq) ^ (y - z).natDegree)


Context:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)


↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - y).natDegree ∨ ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ ↑(Fintype.card Fq) ^ (y - z).natDegree


(x - z).natDegree ≤ (x - y).natDegree ∨ (x - z).natDegree ≤ (y - z).natDegree


(x - z).degree ≤ max (x - y).degree (y - z).degree


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace γ

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C

Context: c : Continuous fun x => dist (f x) (g x)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : PseudoMetricSpace β

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace γ

Context: f g : α →ᵇ β

Context: x✝ : α

Context: C : ℝ

Context: inst✝¹ : Nonempty α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C

Context: x : α

Context: le : IsMaxOn (fun x => dist (f x) (g x)) univ x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b

Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

(⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝² : CompleteSpace F

Context: μ : Measure α

Context: s : Set E

Context: t : Set α

Context: f : α → E

Context: g : E → ℝ

Context: C : ℝ

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : NeZero μ

Context: hg : ConvexOn ℝ s g

Context: hgc : ContinuousOn g s

Context: hsc : IsClosed s

Context: hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s

Context: hfi : Integrable f μ

Context: hgi : Integrable (g ∘ f) μ

Context: ht_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (f x, g (f x)) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℤ


Context: R : Type u

Context: R' : Type u'

Context: M M₁ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: inst✝⁸ : Ring R'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M₁

Context: inst✝¹ : Module R' M'

Context: inst✝ : Module R' M₁

Context: i : ZeroHom R R'

Context: j : M →+ M₁

Context: hi : Surjective ⇑i

Context: hj : Injective ⇑j

Context: hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
p : v x ∉ span R (v '' ↑f.support)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: x : ι

Context: f : ι →₀ R

Context: h : x ∉ ↑f.support

Context: p : (Finsupp.total ι M R v) f ∉ span R (v '' ↑f.support)

Context: w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: x : ι

Context: f : ι →₀ R

Context: h : x ∉ ↑f.support

Context: p : (Finsupp.total ι M R v) f ∉ Submodule.map (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.supported R R ↑f.support)

Context: w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M''

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: x : ι

Context: f : ι →₀ R

Context: h : x ∉ ↑f.support

Context: w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x

Context: p : ∀ x ∈ Finsupp.supported R R ↑f.support, ¬(Finsupp.total ι M R v) x = (Finsupp.total ι M R v) f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α

(p.filter s h) a = s.indicator (⇑p) a * (∑' (a' : α), s.indicator (⇑p) a')⁻¹


Context:
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]

IsCoprime p q ↔ ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0


Context: k : Type u

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed K

Context: inst✝ : Algebra k K

Context: p q : k[X]

Context: h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0


Context: k : Type u

Context: inst✝³ : Field k

Context: K : Type v

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : IsAlgClosed K

Context: inst✝ : Algebra k K

Context: p q : k[X]

Context: x : k[X]

Context: hu : x ∈ nonunits k[X]

Context: h0 : x ≠ 0

x ∣ p → ¬x ∣ q


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
hs : s ⊂ {a}
b : α
hb : b ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : DecidableEq β

Context: f✝ g : α → β

Context: s✝¹ : Finset α

Context: t✝ : Finset β

Context: a✝ : α

Context: b c : β

Context: inst✝ : DecidableEq γ

Context: f : α → β

Context: s✝ : Finset α

Context: t : β → Finset γ

Context: this : DecidableEq α

Context: a : α

Context: s : Finset α

Context: x✝ : a ∉ s

Context: ih : (image f s).biUnion t = s.biUnion fun a => t (f a)

(image f (insert a s)).biUnion t = (insert a s).biUnion fun a => t (f a)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: j : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : Coreflective j

Context: A : D

Context: inst✝ : IsSplitEpi ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)

Context: ε : coreflector j ⋙ j ⟶ 𝟭 D := (coreflectorAdjunction j).counit


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: j : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : Coreflective j

Context: A : D

Context: this : IsIso (ε.app (j.obj ((coreflector j).obj A)))


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: j : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : Coreflective j

Context: A : D

Context: this✝ : IsIso (ε.app (j.obj ((coreflector j).obj A)))

Context: this : Mono (ε.app A)


Context: C : Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: E : Type u₃

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D

Context: inst✝² : Category.{v₃, u₃} E

Context: i : D ⥤ C

Context: j : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : Coreflective j

Context: A : D

Context: this✝¹ : IsIso (ε.app (j.obj ((coreflector j).obj A)))

Context: this✝ : Mono (ε.app A)

Context: this : IsIso (ε.app A)


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A * B = 1
g : A * C = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : TopologicalSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : A →A[R] A

↑f = AlgHom.id R A ↔ f = ContinuousAlgHom.id R A


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hf : Injective2 f

image2 f (s ∩ s') t = image2 f s t ∩ image2 f s' t


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]

(quotQuotEquivComm I f) ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)) = (Ideal.Quotient.mk (span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f})) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)


Context: x y : ℝ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi'✝ : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
hi' : e.r i' = none


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' : ι'
hi' : ∀ (i : ι), e.f i ≠ i'
i : ι
hi : e.r i' = some i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
p : β → Bool
l : List α
f : α → List β

countP p (l.bind f) = (map (countP p ∘ f) l).sum


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: r ε δ : ℝ

Context: h : ε ≤ δ

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : E → F

Context: K : Set (E →L[𝕜] F)

Context: L : E →L[𝕜] F

Context: r ε δ : ℝ

Context: h : ε ≤ δ

Context: x : E

Context: r' : ℝ

Context: r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ ball x r'

Context: z : E

Context: hz : z ∈ ball x r'


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

Context: l : E →ₗ.[R] F

Context: hl : l ∈ c

Context: x : ↥l.domain


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: l : E →ₗ.[R] F

Context: hl : l ∈ c

Context: x : ↥l.domain

↑x = ↑⟨↑x, ⋯⟩


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
x : L

x ∈ LieModule.ker R L M ↔ ∀ (m : M), ⁅x, m⁆ = 0


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
inst✝ : Nontrivial R
i : σ


Context:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
f₁ f₂ : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

((curry (map (f₁ + f₂) g)) x✝¹) x✝ = ((curry (map f₁ g + map f₂ g)) x✝¹) x✝


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))

Context: ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: a' h' : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f) → R

Context: iDh' : (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)) → PrimeSpectrum.basicOpen (h' x) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f

Context: hxDh' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), ↑x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)

Context: s_eq' : ∀ (x : ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)), const R (a' x) (h' x) (PrimeSpectrum.basicOpen (h' x)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh' x).op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: ht_cover' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h' i))


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: ht_cover' : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h' i)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f

Context: ht_cover : PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)

Context: ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j

Context: s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i, ↑(⨆ (_ : i ∈ t), PrimeSpectrum.basicOpen (h i))


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: hn : f ^ n ∈ Ideal.span (h '' ↑t)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: hn : f ^ n * f ∈ Ideal.span (h '' ↑t)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: hn : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑t, (Finsupp.total ι R R h) l = f ^ (n + 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : (Finsupp.total ι R R h) b = f ^ (n + 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i • h i = f ^ (n + 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

(toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) (∑ i ∈ t, b i * a i) ⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) = s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i, PrimeSpectrum.basicOpen (h ↑i)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

∀ (i : tt), ((structureSheaf R).val.map (iDh ↑i).op) (const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯) = ((structureSheaf R).val.map (iDh ↑i).op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) (const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯) = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ?h.h.mk.hv = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

∀ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h i), f ^ (n + 1) ∈ x.asIdeal.primeCompl


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

(∑ i ∈ t, b i * a i) * h i = a i * f ^ (n + 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

∀ x ∈ t, b x * a x * h i = a i * (b x * h x)


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R

Context: t : Finset ι

Context: a h : ι → R

Context: n : ℕ

Context: b : ι →₀ R

Context: b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t

Context: hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

Context: tt : Type u := ↑↑t

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ ↑t

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ t


Context: R : Type u_1

Context: R₂ : Type u_2

Context: R₃ : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: S₃ : Type u_5

Context: inst✝³³ : Semiring R

Context: inst✝³² : Semiring R₂

Context: inst✝³¹ : Semiring R₃

Context: inst✝³⁰ : Monoid S

Context: inst✝²⁹ : Monoid S₃

Context: M : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace M

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : Module R M

Context: M₂ : Type u_7

Context: inst✝²⁵ : TopologicalSpace M₂

Context: inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝²³ : Module R₂ M₂

Context: M₃ : Type u_8

Context: inst✝²² : TopologicalSpace M₃

Context: inst✝²¹ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝²⁰ : Module R₃ M₃

Context: N₂ : Type u_9

Context: inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N₂

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝¹⁷ : Module R N₂

Context: N₃ : Type u_10

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N₃

Context: inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₃

Context: inst✝¹⁴ : Module R N₃

Context: inst✝¹³ : DistribMulAction S₃ M₃

Context: inst✝¹² : SMulCommClass R₃ S₃ M₃

Context: inst✝¹¹ : ContinuousConstSMul S₃ M₃

Context: inst✝¹⁰ : DistribMulAction S N₃

Context: inst✝⁹ : SMulCommClass R S N₃

Context: inst✝⁸ : ContinuousConstSMul S N₃

Context: σ₁₂ : R →+* R₂

Context: σ₂₃ : R₂ →+* R₃

Context: σ₁₃ : R →+* R₃

Context: inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃

Context: inst✝⁶ : DistribMulAction S₃ M₂

Context: inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S₃ M₂

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R₂ S₃ M₂

Context: inst✝³ : DistribMulAction S N₂

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul S N₂

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R S N₂

Context: inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul N₂ N₃ S R

Context: hₗ : N₂ →L[R] N₃

Context: c : S

Context: fₗ : M →L[R] N₂

Context: x : M

(hₗ.comp (c • fₗ)) x = (c • hₗ.comp fₗ) x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) atTop (𝓝 0)


Tendsto (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) atTop (𝓝 0)


Context: n : Nat

list (n + 1) = 0 :: List.map succ (list n)


Context: n : Nat

(list (n + 1)).length = (0 :: List.map succ (list n)).length


Context: n : Nat

∀ (n_1 : Nat) (h₁ : n_1 < (list (n + 1)).length) (h₂ : n_1 < (0 :: List.map succ (list n)).length), (list (n + 1)).get ⟨n_1, h₁⟩ = (0 :: List.map succ (list n)).get ⟨n_1, h₂⟩


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
r : R

max p.totalDegree (C r).totalDegree = p.totalDegree


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j✝ k : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j : J

Context: Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j : J

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: s₀ s₁ : ↑F.sections

Context: h : (fun s => ↑s j) s₀ = (fun s => ↑s j) s₁

Context: k : J


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j : J

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: s₀ s₁ : ↑F.sections

Context: k m : J

Context: mi : m ⟶ i

Context: mk : m ⟶ k

Context: h✝ : True


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j : J

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: s₀ s₁ : ↑F.sections

Context: h : ↑s₀ j = ↑s₁ j

Context: k m : J

Context: mi : m ⟶ i

Context: mk : m ⟶ k

Context: h✝ : True


Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u} J

Context: F : J ⥤ Type v

Context: i✝ j✝ k✝ : J

Context: s : Set (F.obj i✝)

Context: inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

Context: j : J

Context: i : J

Context: f : i ⟶ j

Context: s₀ s₁ : ↑F.sections

Context: k m : J

Context: mi : m ⟶ i

Context: h : F.map (mi ≫ f) (↑s₀ m) = F.map (mi ≫ f) (↑s₁ m)

Context: mk : m ⟶ k

Context: h✝ : True


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_10, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.40310, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.40314, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.40318, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.40330, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
G : D₁ ⥤ D₂
e : L₁ ⋙ G ≅ L₂
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

(homEquiv W L₁ L₂) f = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y


Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)

Context: s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}

Context: U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}


Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)

Context: hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)


Context: ι : Type u_1

Context: E : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)

Context: hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

Context: hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
c : E
f : ContDiffBump c


Context:
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

sinh (dist z w / 2) = dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im))


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Indep (I ∪ J)

M.closure (I ∩ J) = M.closure I ∩ M.closure J


⋂ i, M.closure (bif i then I else J) = ⋂ b, bif b then M.closure I else M.closure J


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

hausdorffDist s t = 0 ↔ closure s = closure t


Context:
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : Fintype ι✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ F✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ F✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace F✝
inst✝⁶ : BorelSpace F✝
ι : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

(x, y) ∈ (s ∪ s') ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∪ s' ×ˢ t


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f g : α → F'

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ

Context: hg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ


Context: α : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: F' : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s✝ : Set α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f g : α → F'

Context: hf : Integrable f μ

Context: hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s < ⊤

∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m]) x ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α
a : α


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence

T ⊨ᵇ φ ↔ ∃ T0, ↑T0 ⊆ T ∧ ↑T0 ⊨ᵇ φ


¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable ↔ ∃ T0, ↑T0 ⊆ T ∧ ¬(↑T0 ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable


(∀ (T0 : Finset L.Sentence), ↑T0 ⊆ T ∪ {Formula.not φ} → IsSatisfiable ↑T0) ↔ ¬∃ T0, ↑T0 ⊆ T ∧ ¬(↑T0 ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u v : s i →ₗ[R] t i
x : (i : ι) → s i

((map (update f i (u + v))).compMultilinearMap (tprod R)) x = ((map (update f i u) + map (update f i v)).compMultilinearMap (tprod R)) x


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'

F.map f ≫ (adj.homEquiv (G.obj Y) Y').symm (G.map g) = (adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g


f ≫ G.map g = (adj.homEquiv X Y') ((adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g)


Context:
x y : ℝ
hx : x ≠ 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M✝

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M✝

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M✝

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: v : ι → M

Context: li : LinearIndependent R v

Context: c d : R

Context: i j : ι

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : c • v i = d • v j

Context: l : ι →₀ R := Finsupp.single i c - Finsupp.single j d


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M✝

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M✝

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M✝

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: v : ι → M

Context: li : LinearIndependent R v

Context: c d : R

Context: i j : ι

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : c • v i = d • v j

Context: h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M✝

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M✝

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M✝

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: v : ι → M

Context: li : LinearIndependent R v

Context: c d : R

Context: i j : ι

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : c • v i = d • v j

Context: h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M✝

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M✝

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M✝

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: v : ι → M

Context: li : LinearIndependent R v

Context: c d : R

Context: i j : ι

Context: hc : c ≠ 0

Context: h : c • v i = d • v j

Context: h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: H : i = j

Context: right✝ : c = d


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M✝ : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M✝

Context: inst✝⁸ : Ring R

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M'

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M''

Context: inst✝⁴ : Module R M✝

Context: inst✝³ : Module R M'

Context: inst✝² : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M✝

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: v : ι → M

Context: li : LinearIndependent R v

Context: c d : R

Context: i j : ι

Context: hc✝ : c ≠ 0

Context: h : c • v i = d • v j

Context: h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

Context: hc : c = 0

Context: right✝ : d = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ

↑((toSubring 1 T ⋯).coeff i) = ↑(coeff 1 i)


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
p : α → Prop

(∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : ↑s) ∂Measure.comap Subtype.val μ, p ↑x


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: s t : Set ((i : ι) × G i)

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t

Context: hxs : x.IsSupported s

Context: j k : ι

Context: hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j

Context: hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Context: hst : s ⊆ t

(f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) x)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: s t : Set ((i : ι) × G i)

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t

Context: hxs : x.IsSupported s

Context: j k : ι

Context: hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j

Context: hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Context: hst : s ⊆ t

(f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) 1)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) 1)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: s t : Set ((i : ι) × G i)

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t

Context: hxs : x.IsSupported s

Context: j k : ι

Context: hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j

Context: hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Context: hst : s ⊆ t

(f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (-1))) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) (-1))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: s t : Set ((i : ι) × G i)

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t

Context: hxs : x.IsSupported s

Context: j k : ι

Context: hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j

Context: hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Context: hst : s ⊆ t

∀ z ∈ FreeCommRing.of '' s, ∀ (n : FreeCommRing ((i : ι) × G i)), (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) n)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) n) → (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (z * n))) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) (z * n))


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j

Context: f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j

Context: x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)

Context: s t : Set ((i : ι) × G i)

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t

Context: hxs : x.IsSupported s

Context: j k : ι

Context: hj : ∀ z ∈ s, z.fst ≤ j

Context: hk : ∀ z ∈ t, z.fst ≤ k

Context: hjk : j ≤ k

Context: hst : s ⊆ t

∀ {x y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)}, (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) x) → (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) y)) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) y) → (f' j k hjk) ((lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x + y))) = (lift fun ix => (f' (↑ix).fst k ⋯) (↑ix).snd) ((restriction t) (x + y))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}


Context:
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0

0 ≤ n₁ /. ↑d₁ → 0 ≤ n₂ /. ↑d₂ → 0 ≤ n₁ /. ↑d₁ + n₂ /. ↑d₂


Context:
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁


Context:
a b c p q : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
d₁0 : 0 < ↑d₁
d₂0 : 0 < ↑d₂


0 ≤ n₁ → 0 ≤ n₂ → 0 ≤ n₁ * ↑d₂ + n₂ * ↑d₁


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P

∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (affineCombination k s p₁) w -ᵥ (affineCombination k s p₂) w


∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ (Classical.choice ⋯)) w - (s.weightedVSubOfPoint p₂ (Classical.choice ⋯)) w


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
a : E
h : Convex 𝕜 (a +ᵥ s)


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

(addOppositeEquiv.symm x).orderTop = (AddOpposite.unop x).orderTop


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite


Context:
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Infinite

StrictMono (Subtype.val ∘ ⇑(Subtype.orderIsoOfNat (setOf p)))


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g✝ : P →ₐ[R] P'
g : P ≃ₐ[R] P'


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0


Context:
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0

¬Summable fun b => jacobiTheta₂_term b z τ


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v)


G'.degree v ≤ Fintype.card ↑(G.neighborSet v)


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s✝ s : Finset α

s ∈ 𝒜 # k ∪ ∂ (falling (k + 1) 𝒜) ↔ s ∈ falling k 𝒜


(s ∈ 𝒜 ∧ s.card = k ∨ ∃ s_1, ((∃ t ∈ 𝒜, s_1 ⊆ t) ∧ s_1.card = k + 1) ∧ ∃ a ∈ s_1, s_1.erase a = s) ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedRing R
a : R
ha : a < 0


Context: G : Type u

Context: inst✝² : Groupoid G

Context: inst✝¹ : IsFreeGroupoid G

Context: T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))

Context: inst✝ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)

Context: a : G

Context: p : Path (root (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)) a


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E

|o.volumeForm v| ≤ ∏ i : Fin (n + 1), ‖v i‖


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
v : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: this : finrank ℝ E = Fintype.card (Fin n.succ)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: n : ℕ

Context: _i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

Context: v : Fin (n + 1) → E

Context: this✝ : FiniteDimensional ℝ E

Context: b : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := gramSchmidtOrthonormalBasis this v