Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f g

((𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).glueMorphisms (fun i => ((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map i)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i) s.fst (𝒰.map i ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj i)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i) ⋯) ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.fst


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: s : PullbackCone f g

Context: b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

(((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map b)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map b) s.fst (𝒰.map b ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj b)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι b) ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.fst


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝ : CharZero R
n m : ℕ
hnm : cyclotomic n R = cyclotomic m R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharZero R
m : ℕ
hnm : cyclotomic 0 R = cyclotomic m R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝ : CharZero R
n m : ℕ
hnm : cyclotomic n R = cyclotomic m R
hzero : n ≠ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ

abv (Perm.sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i) = ∏ i : n, abv (A (σ i) i)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x
x✝¹ : Perm n
x✝ : x✝¹ ∈ univ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x

∑ _σ : Perm n, x ^ Fintype.card n = (Fintype.card n).factorial • x ^ Fintype.card n


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

cosZeta a s = (expZeta a s + expZeta (-a) s) / 2


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

cosZeta a s = (cosZeta a s + I * sinZeta a s + (cosZeta a s + I * -sinZeta a s)) / 2


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (f x - f 1))


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

Tendsto (fun n => f x - f 1 - x * (log (↑n + 1) - log ↑n)) atTop (𝓝 (f x - f 1))


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, (fun n => f x - f 1 - x * (log (↑n + 1) - log ↑n)) b ≤ logGammaSeq x b


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hx' : x ≤ 1

∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, logGammaSeq x b ≤ f x - f 1


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct W Y
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: x : γ

Context: hx : κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1

Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝¹ : CountablyGenerated γ

Context: κ✝ : Kernel α (γ × β)

Context: ν : Kernel α γ

Context: κ : Kernel α (γ × β)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: n : ℕ

Context: a : α

Context: seq : ℕ → Set β

Context: hseq : Monotone seq

Context: hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

Context: x : γ

Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 (κ.densityProcess κ.fst n a x univ))


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y

(mkMetric' m) (s ∪ t) = (mkMetric' m) s + (mkMetric' m) t


(fun r => (mkMetric'.pre m r) (s ∪ t)) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun x => (mkMetric'.pre m x) s + (mkMetric'.pre m x) t


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y


∀ a ∈ Ioo 0 r, (mkMetric'.pre m a) (s ∪ t) = (mkMetric'.pre m a) s + (mkMetric'.pre m a) t


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r

(mkMetric'.pre m ε) (s ∪ t) = (mkMetric'.pre m ε) s + (mkMetric'.pre m ε) t


∀ (u : Set X), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → extend (fun s x => m s) u = ⊤


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r
u : Set X
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
y : X
hyt : y ∈ t
hyu : y ∈ u


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r
u : Set X
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
y : X
hyt : y ∈ t
hyu : y ∈ u
this : ε < diam u


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y✝ : α i.succ
z x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ
s : {i : Fin n.succ} → α i → α i → Prop

Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) s (cons x₀ x) (cons y₀ y) ↔ s x₀ y₀ ∨ x₀ = y₀ ∧ Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun i => s) x y


(((0 < 0 → cons x₀ x 0 = cons y₀ y 0) ∧ ∀ (i : Fin n), i.succ < 0 → cons x₀ x i.succ = cons y₀ y i.succ) ∧ s x₀ y₀ ∨ ∃ i, ((0 < i.succ → cons x₀ x 0 = cons y₀ y 0) ∧ ∀ (i_1 : Fin n), i_1.succ < i.succ → cons x₀ x i_1.succ = cons y₀ y i_1.succ) ∧ s (x i) (y i)) ↔ s x₀ y₀ ∨ x₀ = y₀ ∧ ∃ i, (∀ j < i, x j = y j) ∧ s (x i) (y i)


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hca : c ≤ a

filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SecondCountableTopology H
inst✝ : SigmaCompactSpace M


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace H

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology H

Context: inst✝ : SigmaCompactSpace M

Context: s : Set M

Context: hsc : s.Countable

Context: hsU : ⋃ x ∈ s, (chartAt H x).source = univ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P'

(canonicalEquiv S P P') ((canonicalEquiv S P' P) I) = I


(canonicalEquiv S P' P).symm ((canonicalEquiv S P' P) I) = I


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.320996

Context: Bₘ : Type ?u.320999

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Module.Free A B

Context: x : B

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.320996

Context: Bₘ : Type ?u.320999

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Module.Free A B

Context: x : B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: B : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : CommRing A

Context: inst✝²⁹ : CommRing B

Context: inst✝²⁸ : Algebra A B

Context: inst✝²⁷ : Field K

Context: inst✝²⁶ : Field L

Context: inst✝²⁵ : Algebra A K

Context: inst✝²⁴ : IsFractionRing A K

Context: inst✝²³ : Algebra B L

Context: inst✝²² : Algebra K L

Context: inst✝²¹ : Algebra A L

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L

Context: Aₘ : Type ?u.320996

Context: Bₘ : Type ?u.320999

Context: inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ

Context: inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ

Context: inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ

Context: inst✝¹³ : Algebra A Aₘ

Context: inst✝¹² : Algebra B Bₘ

Context: inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ

Context: inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ

Context: M : Submonoid A

Context: inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ

Context: inst✝⁶ : IsDomain A

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDomain B

Context: inst✝³ : IsIntegrallyClosed B

Context: inst✝² : Module.Finite A B

Context: inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝ : Module.Free A B

Context: x : B

(algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) ((trace A B) x)


Context:
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t

SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: ht : ‖a‖₊ ≤ t

Context: this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t

SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t

SpectrumRestricts ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ⇑Complex.reCLM


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : NormedRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : CstarRing A

Context: inst✝² : CompleteSpace A

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A

Context: inst✝ : StarModule ℂ A

Context: a : A

Context: t : ℝ≥0

Context: ha : IsSelfAdjoint a

Context: ht : ↑‖a‖₊ ≤ ↑t


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
a : α
ha : a ∈ s


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ


∀ (N : ℕ), n < N → (trunc (n + 1) f).coeff N = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n N✝ : ℕ
a✝ : n < N✝


(if N✝ < n + 1 then (coeff R N✝) f else 0) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
d : ℕ

selfZPow x B (-↑d) = mk' B 1 (Submonoid.pow x d)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : Cᵒᵖ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n


n ^ Multiset.card (Multiset.map f s.val) ≤ n ^ s.card


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : HasDistribNeg R
a x y : R
h : SemiconjBy a x y


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q a b : MvPolynomial σ R

(a - b).totalDegree = (a + -b).totalDegree


max a.totalDegree (-b).totalDegree = max a.totalDegree b.totalDegree


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
T : Set (Set X)
To : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tct : T.Countable
hd : Dense (⋂₀ T)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β

(M.mapSetEmbedding f).Indep I ↔ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀


(M.Indep ↑(⇑f ⁻¹' I) ∧ ∃ t, ⇑f '' t = I) ↔ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I

M.Indep ↑(⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) ∧ ∃ t, ⇑f '' t = ⇑f '' I


Context: n : ℕ


Context:
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2


Context:
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Fermat42.Minimal a0 b0 c0
h2 : a0 % 2 = 1
hp : 0 < c0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)


tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (tensor_μ C (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ▷ M.X ⊗ N.mul ▷ N.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)


tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X) (M.X, N.X) ≫ ((α_ M.X M.X M.X).hom ⊗ (α_ N.X N.X N.X).hom) ≫ (M.X ◁ M.mul ⊗ N.X ◁ N.mul) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)


(((α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X)) ≫ (M.X ◁ M.mul ⊗ N.X ◁ N.mul)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)


(α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ ((M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α

s.chainHeight = ⊤ ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : LT β

Context: s t : Set α

Context: l : List α

Context: a : α

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : s.chainHeight ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : s.chainHeight ≠ ⊤
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : b = a

(l₂.erase a).diff ((b :: l₁).erase a) <+ l₂.diff (b :: l₁)


(l₂.erase a).diff l₁ <+ (l₂.erase a).diff l₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a


((l₂.erase b).erase a).diff (l₁.erase a) <+ (l₂.erase b).diff l₁


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
h' : (b :: l₁).erase b <+ l₂.erase b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
h' : l₁ <+ l₂.erase b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsUpperSet s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atTop
hg : Tendsto g G atTop


Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atTop ×ˢ atTop)


Context:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hm : AEStronglyMeasurable X ℙ
hX : ¬Memℒp X 2 ℙ


0 ≤ᶠ[ae ℙ] fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2


AEStronglyMeasurable (fun ω => (X ω - ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

(W.map f).ψ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n)


normEDS ((mapRingHom (mapRingHom f)) W.ψ₂) (C ((mapRingHom f) W.Ψ₃)) (C ((mapRingHom f) W.preΨ₄)) n = normEDS ((mapRingHom (mapRingHom f)) W.ψ₂) ((mapRingHom (mapRingHom f)) (C W.Ψ₃)) ((mapRingHom (mapRingHom f)) (C W.preΨ₄)) n


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
x : m → 𝕜
y : n → 𝕜
inst✝ : Invertible D
hD : D.IsHermitian

star (x ⊕ᵥ y) ᵥ* fromBlocks A B Bᴴ D ⬝ᵥ (x ⊕ᵥ y) = star ((D⁻¹ * Bᴴ) *ᵥ x + y) ᵥ* D ⬝ᵥ ((D⁻¹ * Bᴴ) *ᵥ x + y) + star x ᵥ* (A - B * D⁻¹ * Bᴴ) ⬝ᵥ x


star x ᵥ* A ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* D ⬝ᵥ y) = star x ᵥ* (B * (D⁻¹ * Bᴴ)) ⬝ᵥ x + star y ᵥ* Bᴴ ⬝ᵥ x + (star x ᵥ* B ⬝ᵥ y + star y ᵥ* D ⬝ᵥ y) + (star x ᵥ* A ⬝ᵥ x - star x ᵥ* (B * (D⁻¹ * Bᴴ)) ⬝ᵥ x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: f : α → β

Context: g : γ → α

Context: Cf : ContinuousAt f (⨆ i, g i)

Context: Mf : Monotone f

Context: H : BddAbove (range g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁴ : OrderTopology α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : OrderClosedTopology β

Context: inst✝ : Nonempty γ

Context: f : α → β

Context: g : γ → α

Context: Cf : ContinuousAt f (⨆ i, g i)

Context: Mf : Monotone f

Context: H : BddAbove (range g)

sSup (range (f ∘ fun i => g i)) = sSup (range fun i => f (g i))


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : DecidableEq p
inst✝⁶ : DecidableEq q
inst✝⁵ : DecidableEq l
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : Fintype q
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : Invertible 2


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, μ.densityToFinite x < ⊤


∀ᵐ (x : α) ∂μ.toFinite.restrict s, μ.densityToFinite x < ⊤


∫⁻ (x : α) in s, μ.densityToFinite x ∂μ.toFinite ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ 0
hp1 : 0 ≤ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp : 0 < p


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : Basis ι ℝ E

parallelepiped ⇑b = {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Icc 0 1}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : p ≠ 0

weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : ∃ a, ↑a = weightedTotalDegree' w p


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p


weightedTotalDegree' w p ≤ ↑(weightedTotalDegree w p)


↑(weightedTotalDegree w p) ≤ weightedTotalDegree' w p


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: g₁ g₂ : StoneCech α → β

Context: h₁ : Continuous g₁

Context: h₂ : Continuous g₂

Context: h : g₁ ∘ stoneCechUnit = g₂ ∘ stoneCechUnit


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: β : Type v

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : T2Space β

Context: inst✝ : CompactSpace β

Context: g : α → β

Context: hg : Continuous g

Context: g₁ g₂ : StoneCech α → β

Context: h₁ : Continuous g₁

Context: h₂ : Continuous g₂


Context:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
h : 0 ≤ r


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (ofFn f).length


Context:
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : ¬i < (ofFn f).length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : BEq α
a : α
l : AssocList α β

find? a l = Option.map (fun x => x.snd) (findEntry? a l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : BEq α

Context: a key✝ : α

Context: value✝ : β

Context: tail✝ : AssocList α β

Context: tail_ih✝ : find? a tail✝ = Option.map (fun x => x.snd) (findEntry? a tail✝)

(match key✝ == a with | true => some value✝ | false => find? a tail✝) = Option.map (fun x => x.snd) (match key✝ == a with | true => some (key✝, value✝) | false => List.find? (fun x => x.fst == a) tail✝.toList)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
Z : D
g g' : F.obj X ⟶ Z

α.inv.app X ≫ g = α.inv.app X ≫ g' ↔ g = g'


Context: n : Nat


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u

DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : t ∩ insert x s ⊆ u


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : insert x s ∩ t ⊆ u


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t✝ u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Context: hn : 1 ≤ n

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u

Context: t : Set E

Context: t_open : IsOpen t

Context: xt : x ∈ t

Context: tu : insert x s ∩ t ⊆ u

Context: this : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s ∩ t) x


Context:
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroDivisors A

Context: x : A

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommSemiring R

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : NoZeroDivisors A

Context: x : A

Context: hx : x ≠ 0

Context: this✝ : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }

Context: this : IsDomain A := NoZeroDivisors.to_isDomain A


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A

(shiftFunctorComm C a 0).hom.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)


Context:
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: q : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: R : Type u₂

Context: inst✝⁷ : DecidableEq n

Context: inst✝⁶ : DecidableEq p

Context: inst✝⁵ : DecidableEq q

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Fintype p

Context: inst✝¹ : Fintype q

Context: inst✝ : Fintype l

Context: h : (PD l R)ᵀ * JD l R = fromBlocks 1 1 1 (-1)


Context: n : Type u_1

Context: p : Type u_2

Context: q : Type u_3

Context: l : Type u_4

Context: R : Type u₂

Context: inst✝⁷ : DecidableEq n

Context: inst✝⁶ : DecidableEq p

Context: inst✝⁵ : DecidableEq q

Context: inst✝⁴ : DecidableEq l

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : Fintype p

Context: inst✝¹ : Fintype q

Context: inst✝ : Fintype l


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α

[a].alternatingProd = a * [].alternatingProd⁻¹


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a b : α
l : List α

(a :: b :: l).alternatingProd = a * (b :: l).alternatingProd⁻¹


Context: n : ℕ

↑n.succ • bernoulli n = (monomial n) ↑n.succ - ∑ k ∈ range n, ↑((n + 1).choose k) • bernoulli k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

s ∈ ae (Measure.map f μ) ↔ f ⁻¹' s ∈ ae μ


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α

Context: a b c d : α


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ

Measure.map (fun ω => X ω * c) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Measure.map (fun ω => c * X ω) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M

trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis b).symm


Context:
n m k l : ℕ
h : n + m = k + l


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hpzero : p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hμ : ¬μ univ = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hμ : ¬μ univ = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: hCpos : 0 < C

Context: hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f✝ : ℕ → α → β

Context: g : α → β

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: f : ι → α → β

Context: hpzero : p ≠ 0

Context: hμ : ¬μ univ = 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: C : ℝ≥0

Context: hCpos : 0 < C

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)

eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context:
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0


Context:
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
this : 0 < r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: s : Set (β × Ω)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : β), (κ.condKernel (a, x)) {y | (x, y) ∈ s} ∂κ.fst a = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: Ω : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝² : Nonempty Ω

Context: κ : Kernel α (β × Ω)

Context: inst✝ : IsFiniteKernel κ

Context: f : β × Ω → ℝ≥0∞

Context: a : α

Context: s : Set (β × Ω)

Context: hs : MeasurableSet s

∫⁻ (x : β), (κ.condKernel (a, x)) {y | (x, y) ∈ s} ∂κ.fst a = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) s


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s✝ s : ι → Set Ω
μ : Measure Ω

iIndepSet s μ ↔ ∀ (s' : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s', MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s', f i) = ∏ i ∈ s', μ (f i)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w

∃ x q, ∃ (h' : G.Adj x w), cons h p = q.concat h'


Context:
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: P : Finpartition univ

Context: u : Finset α

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d

z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.floor ↔ ↑z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }


z ≤ n / ↑d ↔ ↑z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
h' : ↑0 < ↑d


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
s : σ
a : R
n : ℕ

C a * X s ^ n = (monomial (Finsupp.single s n)) a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂


Context:
α : Type u
a : ℕ
l : List ℕ

(a :: l).ranges.join = range (Nat.sum (a :: l))


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
e : ↑s ≃ ↑t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N n : ℕ

Context: ih : ∀ {x : Fin n → ℕ} ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂

Context: x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}

Context: x₂ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}

Context: h : (map d) x₁ = (map d) x₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N n : ℕ

Context: ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂

Context: x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: x₂ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: h : (map d) x₁ = (map d) x₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N n : ℕ

Context: x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: x₂ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: h : (map d) x₁ = (map d) x₂

Context: i : Fin (n + 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N n : ℕ

Context: x✝ x₁ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: x₂ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: h : (map d) x₁ = (map d) x₂

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k N n : ℕ

Context: x✝¹ x₁ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: x₂ : Fin (n + 1) → ℕ

Context: h : (map d) x₁ = (map d) x₂

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x✝ : Fin n


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

(∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)) ↔ ∀ (i : 𝒰.J) (i_1 : ↑Y.affineOpens), P ((𝒰.map i ≫ f) ∣_ ↑i_1)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

(∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)) ↔ ∀ (b : ↑Y.affineOpens) (a : 𝒰.J), P ((𝒰.map a ≫ f) ∣_ ↑b)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: U : ↑Y.affineOpens

P (f ∣_ ↑U) ↔ ∀ (a : 𝒰.J), P ((𝒰.map a ≫ f) ∣_ ↑U)


Context: P : MorphismProperty Scheme

Context: Q : AffineTargetMorphismProperty

Context: inst✝ : HasAffineProperty P Q

Context: X✝ Y✝ : Scheme

Context: f✝ : X✝ ⟶ Y✝

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: U : ↑Y.affineOpens

Q (f ∣_ ↑U) ↔ ∀ (a : 𝒰.J), Q (𝒰.map a ∣_ f ⁻¹ᵁ ↑U ≫ f ∣_ ↑U)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y


(factorThruImage f ≫ (imageIsoImage f).inv) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0 = (factorThruImage f ≫ kernel.lift (cokernel.π f) (Limits.image.ι f) ⋯) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0


Context:
q : ℚ
n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R

(f - (algebraMap R (End R M)) μ).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple


∀ (p : Submodule R M), p ≤ Submodule.comap (f - (algebraMap R (End R M)) μ) p ↔ p ≤ Submodule.comap f p


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: p : Submodule R M

Context: h : p ≤ Submodule.comap (f - (algebraMap R (End R M)) μ) p

Context: x : M

Context: hx : x ∈ p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass M₀
a✝ b✝ a b : M₀
h : a ≠ 0 → b = 0
ha : a = 0


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass M₀
a✝ b✝ a b : M₀
h : a ≠ 0 → b = 0
ha : ¬a = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : R := Classical.choose hR

Context: spec : Irreducible (Classical.choose hR) ∧ ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (Classical.choose hR ^ n) x := Classical.choose_spec hR

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ Associated f.prod x


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: p : R := Classical.choose hR

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

(∀ b ∈ Multiset.replicate (Classical.choose ⋯) p, Prime b) ∧ Associated (Multiset.replicate (Classical.choose ⋯) p).prod x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t a : α

Context: ts : List α

Context: ih : permutations'Aux t ts = (permutationsAux2 t [] [ts ++ [t]] ts id).2

permutations'Aux t (a :: ts) = (permutationsAux2 t [] [a :: ts ++ [t]] (a :: ts) id).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t a : α

Context: ts : List α

map (cons a) (permutationsAux2 t [] [ts ++ [t]] ts id).2 = (permutationsAux2 t [] [a :: (ts ++ [t])] ts fun x => a :: x).2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t a : α

Context: ts : List α

map (cons a) ((permutationsAux2 t [] [] ts id).2 ++ [ts ++ [t]]) = (permutationsAux2 t [] [] ts fun x => a :: x).2 ++ [a :: (ts ++ [t])]


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x

Context: hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)

Context: hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)

Context: h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

∀ᶠ (x : ι) in l, dist (∫ (x_1 : α) in s, φ x x_1 • g x_1 ∂μ) 0 < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε

Context: δpos : 0 < δ

Context: δone : δ < 1


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δone : δ < 1

∀ᶠ (i : ι) in l, ‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δone : δ < 1

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δone : δ < 1

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ

Context: i : ι

Context: hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ

Context: h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ

Context: hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x

Context: h''i : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ

‖∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δone : δ < 1

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ

Context: i : ι

Context: hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x

Context: I : IntegrableOn (φ i) t μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: hm : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: inst✝³ : BorelSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: g : α → E

Context: l : Filter ι

Context: x₀ : α

Context: s t : Set α

Context: φ : ι → α → ℝ

Context: a : E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: hs : MeasurableSet s

Context: ht : MeasurableSet t

Context: hts : t ⊆ s

Context: h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀

Context: hmg : IntegrableOn g s μ

Context: hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Context: ε : ℝ

Context: εpos : ε > 0

Context: δ : ℝ

Context: δpos : 0 < δ

Context: δone : δ < 1

Context: u : Set α

Context: u_open : IsOpen u

Context: x₀u : x₀ ∈ u

Context: ut : s ∩ u ⊆ t

Context: hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ

Context: i : ι

Context: hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x

Context: I : IntegrableOn (φ i) t μ

Context: B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ 2 * δ

Context: C : ‖∫ (x : α) in s \ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a b : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: hf : ¬AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b))

¬AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
f : R[T;T⁻¹]
m : ℤ
a : R


AddMonoidAlgebra.single (n + (0 + m)) (1 * (a * 1)) = AddMonoidAlgebra.single (0 + m + n) (a * 1 * 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
hab : (a \ b).Dom


(a.bind fun y => map (fun x => y \ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ \ b.get ⋯


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f✝ : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E →SL[σ] F

Context: hsurj : LinearMap.range f = ⊤

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: fsymm : F → E

Context: h : ∀ (y : F), f (fsymm y) = y ∧ ‖fsymm y‖ ≤ C * ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f✝ : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E →SL[σ] F

Context: hsurj : LinearMap.range f = ⊤

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: fsymm : F → E

0 < { toFun := fsymm, nnnorm := ⟨C, ⋯⟩, bound' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.nnnorm


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: Es : ℕ → Set X

Context: Es_mble : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (Es i)

Context: Es_disj : Pairwise fun n m => Disjoint (Es n) (Es m)

Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: Es : ℕ → Set X

Context: decr : Antitone fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: Es : ℕ → Set X

Context: nothing : ⋂ n, ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i = ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: Es : ℕ → Set X

Context: key : Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 (μ (⋂ n, ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i)))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: X : Type u_5

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace X

Context: μ : Measure X

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: Es : ℕ → Set X

Context: key : Tendsto (⇑μ ∘ fun n => ⋃ i, ⋃ (_ : i ≥ n), Es i) atTop (𝓝 0)


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
q : Stmt₁
ss : Supports M S


∀ x ∈ S, q ∈ stmts₁ (M x) → SupportsStmt S q


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝ : Star α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α

(fromBlocks A B C D)ᴴ = fromBlocks Aᴴ Cᴴ Bᴴ Dᴴ


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : Center C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : Center C
U : C

f.f ▷ Y.fst ▷ U ≫ ((X₂.tensorObj Y).snd.β U).hom = ((X₁.tensorObj Y).snd.β U).hom ≫ U ◁ f.f ▷ Y.fst


f.f ▷ Y.fst ▷ U ≫ (α_ X₂.fst Y.fst U).hom ≫ X₂.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X₂.fst U Y.fst).inv ≫ (X₂.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X₂.fst Y.fst).hom = ((α_ X₁.fst Y.fst U).hom ≫ X₁.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X₁.fst U Y.fst).inv ≫ (X₁.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X₁.fst Y.fst).hom) ≫ U ◁ f.f ▷ Y.fst


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
s : Set β

((κ.withDensity f) a) s = ∫⁻ (b : β) in s, f a b ∂κ a


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, A i j


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, A i j
h✝ : IsEmpty n


Context:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, A i j
h✝ : Nonempty n


Context: a b : ℕ+


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)

∏ k ∈ range n, (1 - μ ^ (k + 1)) = ↑n + 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: μ : R

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)

Context: this : X ^ (n + 1) - C 1 = ∏ i ∈ range (n + 1), (X - C (μ ^ i * 1))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: μ : R

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)

Context: this : (∏ k ∈ range n, (X - C (μ ^ (k + 1) * 1))) * (X - C 1) = (∑ i ∈ range (n + 1), X ^ i) * (X - 1)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: μ : R

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)

Context: this : ∏ k ∈ range n, (X - C (μ ^ (k + 1) * 1)) = ∑ i ∈ range (n + 1), X ^ i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: n : ℕ

Context: μ : R

Context: hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)

Context: this : eval 1 (∏ k ∈ range n, (X - C (μ ^ (k + 1) * 1))) = eval 1 (∑ i ∈ range (n + 1), X ^ i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G

↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y)


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y)


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs y)


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x + condexpIndSMul hm hs hμs y) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
a : α

(↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y)) a = (fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1) a


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂

K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ 0


Context: m n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c

Context: h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b

b ≡ a [PMOD p] ∨ c ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ c [PMOD p]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: h : ¬b ≡ a [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a b c : α

Context: n : ℤ

Context: h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIcoMod hp a b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : 𝕜


Context: m n a b c d : ℕ


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b

(a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList


Context:
b : ℕ
hab : Coprime 0 b

(0 * b).primeFactorsList ~ primeFactorsList 0 ++ b.primeFactorsList


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a > 0


Context:
a : ℕ
ha : a > 0
hab : a.Coprime 0

(a * 0).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ primeFactorsList 0


Context:
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a > 0
hb : b > 0


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: hθ : ¬Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom θ)

∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1

∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: x y : Fin (n + 2)

Context: h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y

Context: h₂ : x < y

∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: x y : Fin (n + 2)

Context: h₂ : x < y


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: x y : Fin (n + 2)

Context: h₂ : x < y

(Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc = (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: x y : Fin (n + 2)

Context: h₂ : x < y

(Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc ≤ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ


Context: n : ℕ

Context: Δ' : SimplexCategory

Context: θ : [n + 1] ⟶ Δ'

Context: x y : Fin (n + 2)

Context: h₂ : x < y

(Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ ≤ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc


Context:
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype ι✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
inst✝ : Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
inst✝ : Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)
this : ∀ (i : ↑s), Finite ↑(t ↑i)


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℤ
x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℤ
x : ℝ≥0
hx : x ≠ 0


Context:
L : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : TopologicalSpace L
inst✝ : ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))

Tendsto (fun a => (partialSups fun x => f x a) n) l (𝓝 ((partialSups g) n))


Context: k : ℕ

Context: m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card

Context: N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2

Context: hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2

Context: S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p

1 / 2 ≤ ∑ p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p


Context: k : ℕ

Context: m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card

Context: N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2

Context: hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2


Context: k : ℕ

Context: m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card

Context: N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2

Context: hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2

2 * ↑N₀ ≤ ↑m * ↑(2 * N₀).sqrt + 2 * ↑N₀ * S


Context: k : ℕ

Context: m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card

Context: N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2

Context: hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2

↑((2 * N₀).roughNumbersUpTo k).card ≤ 2 * ↑N₀ * S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
a b : α
h : s(a, b) ∈ xs.sym2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
a b : α
h : s(b, a) ∈ xs.sym2


Context:
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
k : ι
z : E k

dist ⟨i, x⟩ ⟨k, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨k, z⟩


Context:
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
z : E i

dist ⟨i, x⟩ ⟨i, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨i, z⟩


Context:
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
k : ι
z : E k
hik : i ≠ k


Context: m n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d

Context: ha : ¬a = 0

p.count a.factors = 0 ∨ p.count a.factors = p.count (a * b).factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: hz : p.count a.factors = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb0 : p.count b.factors = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: a b : Associates α

Context: hb : b ≠ 0

Context: p : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: ha : ¬a = 0

Context: hb0 : p.count b.factors = 0

p.count a.factors = p.count (a * b).factors


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝⁶ : CommRing T

Context: p : T[X]

Context: S : Type u_1

Context: S' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Algebra T S

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: inst✝¹ : IsDomain S'

Context: inst✝ : Algebra T S'

Context: hp : map (algebraMap T S') p = 0 → map (algebraMap T S) p = 0

Context: f : S →ₐ[T] S'

Context: x : S

Context: hx : x ∈ p.rootSet S


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝⁶ : CommRing T

Context: p : T[X]

Context: S : Type u_1

Context: S' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Algebra T S

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: inst✝¹ : IsDomain S'

Context: inst✝ : Algebra T S'

Context: f : S →ₐ[T] S'

Context: x : S

Context: hx : map (algebraMap T S) p ≠ 0 ∧ (aeval x) p = 0

map (algebraMap T S') p ≠ 0 ∧ (aeval (f x)) p = 0


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: p✝ q : R[X]

Context: inst✝⁶ : CommRing T

Context: p : T[X]

Context: S : Type u_1

Context: S' : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : IsDomain S

Context: inst✝³ : Algebra T S

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: inst✝¹ : IsDomain S'

Context: inst✝ : Algebra T S'

Context: f : S →ₐ[T] S'

Context: x : S


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

Real.cos (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖x‖


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h'f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤

∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
p✝ q✝ : R[X]
hq✝ : q✝ ≠ 0

(laurent 0) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝


angle x (x - y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖)


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u : ι → UniformSpace γ

uniformSpace α γ 𝔖 = ⨅ i, uniformSpace α γ 𝔖


⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ) = ⨅ i, ⨅ s ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ)


⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ) = ⨅ j, ⨅ i, ⨅ (_ : j ∈ 𝔖), UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ j.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑j) γ)


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
a : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x y : α


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)

‖hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f'‖ ≤ ↑c * ‖f - f'‖


∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') x‖ ≤ ↑c * ‖↑↑(f - f') x‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: hg : LipschitzWith c g

Context: g0 : g 0 = 0

Context: f f' : ↥(Lp E p μ)

Context: a : α

Context: ha1 : ↑↑(hg.compLp g0 f) a = (g ∘ ↑↑f) a

Context: ha2 : ↑↑(hg.compLp g0 f') a = (g ∘ ↑↑f') a

Context: ha3 : ↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a = (↑↑(hg.compLp g0 f) - ↑↑(hg.compLp g0 f')) a

Context: ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a

‖↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a‖ ≤ ↑c * ‖↑↑(f - f') a‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: g : E → F

Context: c : ℝ≥0

Context: hg : LipschitzWith c g

Context: g0 : g 0 = 0

Context: f f' : ↥(Lp E p μ)

Context: a : α

Context: ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a

dist (g (↑↑f a)) (g (↑↑f' a)) ≤ ↑c * dist (↑↑f a) (↑↑f' a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2


Context:
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ

HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: c : HasDerivAt (fun x => -(Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z))) (-(-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z) / (2 * z))) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z)) (Complex.sin (↑x * (2 * z))) x


Context: z : ℂ

Context: n : ℕ

Context: hz : z ≠ 0

Context: x : ℝ

Context: c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (2 * z * ↑x) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l


(eraseP (fun x => a == x) l).length = l.length.pred


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv

Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

(Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v)) s' = (gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)) s'


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', |c⁻¹| * gaussianPDFReal μ v (e x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x)


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', |c⁻¹| * (|c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x)


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

Context: x : ℝ

|c⁻¹| * (|c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x) = gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x


Context: μ : ℝ

Context: v : ℝ≥0

Context: c : ℝ

Context: hv : ¬v = 0

Context: hc : ¬c = 0

Context: s' : Set ℝ

Context: hs' : MeasurableSet s'

Context: x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p

volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0

Context: nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: this : pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: this : { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } = ↑(2 * a) * { re := ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(yn a1 (n + 1)) }


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: this : { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } = { re := ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1)) }


Context: a b c d m✝ n✝¹ k✝ : ℕ

Context: p q P✝ Q : ℕ → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred P✝

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred P

Context: m n k : ℕ

Context: hmk : m.le k

Context: ih : findGreatest P m ≤ findGreatest P k

findGreatest P m ≤ findGreatest P k.succ


Context: a b c d m✝ n✝¹ k✝ : ℕ

Context: p q P✝ Q : ℕ → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred P✝

Context: n✝ : ℕ

Context: P : ℕ → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred P

Context: m n k : ℕ

Context: hmk : m.le k

findGreatest P m ≤ if P (k + 1) then k + 1 else findGreatest P k


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R

K.π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b


K.π.app (WalkingMulticospan.left (I.sndTo b)) ≫ I.multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.snd b) = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f μ


z₀ = ∫ (t : G), ((lsmul ℝ ℝ) (f t)) z₀ ∂μ


(‖lsmul ℝ ℝ‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε ≤ ε


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
hne : y ≠ x
h : Wbtw R x y x


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
hne : y ≠ x
h : y = x


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]
hp : (map f p).Monic


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'
y : α
hy : y ∈ s
hlt : y < x


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.get n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
c : β
z : ℕ

Tendsto (fun a => k a ^ z * (fun n => f n * c) a) l (𝓝 0)


Context:
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

((∃ h, a = c) ∨ ∃ h, b = c) ↔ P ∧ a = c ∨ ¬P ∧ b = c


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: s : Finset ι

Context: hp : ↑s.card * p ≤ 1

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: x : (i : ι) → A i

∫⁻ (t : A i), f (update x i t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (update x i t) ^ p ∂μ i ≤ ((∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ i_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{i_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) ^ p) x


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: s : Finset ι

Context: hp : ↑s.card * p ≤ 1

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: x : (i : ι) → A i

∫⁻ (t : A i), f (update x i t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (update x i t) ^ p ∂μ i ≤ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ x_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{x_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) x ^ p


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: s : Finset ι

Context: hp : ↑s.card * p ≤ 1

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: x : (i : ι) → A i

Context: X : A i → (a : ι) → A a := update x i

∫⁻ (t : A i), f (X t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t) ^ p ∂μ i ≤ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ x_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{x_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) x ^ p


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: s : Finset ι

Context: hp : ↑s.card * p ≤ 1

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: x : (i : ι) → A i

Context: X : A i → (a : ι) → A a := update x i

Context: hF₁ : ∀ {j : ι}, Measurable fun t => (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: A : ι → Type u_2

Context: μ : (i : ι) → Measure (A i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: p : ℝ

Context: hp₀ : 0 ≤ p

Context: s : Finset ι

Context: hp : ↑s.card * p ≤ 1

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ s

Context: f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: x : (i : ι) → A i

Context: X : A i → (a : ι) → A a := update x i

Context: hF₀ : Measurable fun t => f (X t)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: s : Set ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: hp : ∀ i ∈ s, IsSemisimpleModule R ↥(p i)

Context: hp' : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Ring R

Context: inst✝⁴ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: s : Set ι

Context: p : ι → Submodule R M

Context: hp' : ⨆ i ∈ s, p i = ⊤

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ s


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
Xs : Set (Set α)
hne : Xs.Nonempty
h : ∀ X ∈ Xs, M.Basis I X


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
Xs : Set (Set α)
hne : Xs.Nonempty
h : ∀ X ∈ Xs, M.Basis I X
this : Nonempty ↑Xs


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
i j : K
f : i ⟶ j

(colimit F).map f ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F j).hom = (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F i).hom ≫ colimMap (whiskerLeft F ((evaluation K C).map f))


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f : P.Hom Q


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x y z : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
h : s ⊆ t

intrinsicClosure 𝕜 s ⊆ intrinsicClosure 𝕜 t


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ : P
h : s ⊆ t
x : ↥(affineSpan 𝕜 s)
hx : x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)

x ∈ Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 t


Set.inclusion ⋯ x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' t)


Subtype.val ⁻¹' s ⊆ Set.inclusion ⋯ ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' t)


Context:
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
x : CliffordAlgebra Q
x_property : x ∈ even Q
val✝ : CliffordAlgebra Q
property✝ : val✝ ∈ even Q

(aux f) (⟨x, x_property⟩ * ⟨val✝, property✝⟩) = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩


(((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ↑⟨val✝, property✝⟩)) ↑⟨x, x_property⟩).1 = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩


(((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) val✝)) x).1 = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M

polar (⇑Q) x (a • y) = a • polar (⇑Q) x y


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : Module K V

Context: s : Set V

Context: inst✝¹ : Nonempty ↑s

Context: inst✝ : Fintype ↑s

Context: lin_ind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val

Context: card_eq : s.toFinset.card = finrank K V

⇑(basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind ⋯) = Subtype.val


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
this : y ∈ Ici x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
this : y = x


Context: R : Type u_7

Context: S : Type ?u.148131

Context: inst✝²¹ : CommRing R

Context: inst✝²⁰ : CommRing S

Context: inst✝¹⁹ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁸ : LocalRing R

Context: M : Type ?u.148593

Context: N : Type ?u.148596

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁶ : AddCommGroup N

Context: inst✝¹⁵ : Module R M

Context: inst✝¹⁴ : Module R N

Context: P : Type ?u.149736

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup P

Context: inst✝¹² : Module R P

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: g : N →ₗ[R] P

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: h : Exact ⇑f ⇑g

Context: M₁ : Type u_1

Context: M₂ : Type u_2

Context: M₃ : Type u_3

Context: N₁ : Type u_4

Context: N₂ : Type u_5

Context: N₃ : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : Module R M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁶ : Module R M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N₁

Context: inst✝⁴ : Module R N₁

Context: inst✝³ : AddCommGroup N₂

Context: inst✝² : Module R N₂

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N₃

Context: inst✝ : Module R N₃

Context: f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂

Context: f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃

Context: g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂

Context: g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃

Context: hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂

Context: hfsurj : Surjective ⇑f₂

Context: hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂

Context: hgsurj : Surjective ⇑g₂

Context: hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)

Context: hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)