Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω * Y ω‖₊ ∂μ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ * ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f g : Ω → ℝ≥0∞

Context: X✝ Y✝ : Ω → ℝ

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: X Y : Ω → β

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing β

Context: inst✝ : BorelSpace β

Context: hXY : IndepFun X Y μ

Context: h'XY : Integrable (X * Y) μ

Context: hX : AEStronglyMeasurable X μ

Context: hY : AEStronglyMeasurable Y μ

Context: h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0

Context: I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0

Context: H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤

Context: A : ⊤ * ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S


Context:
α β : Type u
s : Set Cardinal.{v}

lift.{u, v} (sInf s) = sInf (lift.{u, v} '' s)


Context: α β : Type u

lift.{u, v} (sInf ∅) = sInf (lift.{u, v} '' ∅)


Context:
α β : Type u
s : Set Cardinal.{v}
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x y : L

((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)


Context: R : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : LieRing L

Context: inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝¹⁴ : Module R M

Context: inst✝¹³ : LieRingModule L M

Context: inst✝¹² : LieModule R L M

Context: inst✝¹¹ : Module.Free R M

Context: inst✝¹⁰ : Module.Finite R M

Context: inst✝⁹ : Module.Free R L

Context: inst✝⁸ : Module.Finite R L

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁵ : Module K M

Context: inst✝⁴ : LieModule K L M

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K M

Context: inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L

Context: inst✝¹ : LinearWeights K L M

Context: inst✝ : IsTriangularizable K L M

Context: x y : L

Context: hxy : ∀ (χ : Weight K L M), MapsTo ⇑((toEnd K L M) x ∘ₗ (toEnd K L M) y) ↑(weightSpace M ⇑χ) ↑(weightSpace M ⇑χ)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y : Y
hy : y ∈ f ⁻¹' t
hy' : y ∈ V


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y✝ : Y
hy : y✝ ∈ f ⁻¹' t
hy' : y✝ ∈ V
y : Y
h₂ : y ∈ U
h₁ : f y ∈ t
y' : Y
h₃ : y' ∈ V
h₄ : f y' = f y


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y✝ : Y
hy : y✝ ∈ f ⁻¹' t
hy' : y✝ ∈ V
y : Y
h₂ : y ∈ U
h₁ : f y ∈ t
h₃ : y ∈ V
h₄ : f y = f y


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
g : Γ

(s.embDomain f).hsum.coeff g = s.hsum.coeff g


(∑ᶠ (i : β), if h : i ∈ Set.range ⇑f then (s (Classical.choose ⋯)).coeff g else 0) = ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff g


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v

(cons h p).IsCycle ↔ p.IsPath ∧ s(u, v) ∉ p.edges


(s(u, v) ∉ p.edges ∧ p.edges.Nodup) ∧ cons h p ≠ nil ∧ p.support.Nodup ↔ p.support.Nodup ∧ s(u, v) ∉ p.edges


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
this : p.support.Nodup → p.edges.Nodup


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
C : ℝ≥0

LipschitzOnWith C f s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : AddMonoid γ

Context: P : (α →ₛ γ) → Prop

Context: h_ind : ∀ (c : γ) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s), P (piecewise s hs (const α c) (const α 0))

Context: h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ γ⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P f → P g → P (f + g)

Context: f : α →ₛ γ

Context: s : Finset γ

Context: h : f.range \ {0} = s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ✝ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: γ : Type u_6

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : AddMonoid γ

Context: P : (α →ₛ γ) → Prop

Context: f : α →ₛ γ

Context: s : Finset γ

Context: h : range ↑f \ {0} = ↑s


Context: α : Type u

Context: C : List α → Sort u_1

Context: h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → α


Context: α : Type u

Context: C : List α → Sort u_1

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → α

Context: this : Function.RightInverse ⇑equivSigmaTuple.symm ⇑equivSigmaTuple


Context: α : Type u

Context: C : List α → Sort u_1

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → α

Context: this : Function.RightInverse (fun f => ofFn f.snd) fun l => ⟨l.length, l.get⟩


Context: α : Type u

Context: C : List α → Sort u_1

Context: n : ℕ

Context: f : Fin n → α

Context: this✝ : Function.RightInverse (fun f => ofFn f.snd) fun l => ⟨l.length, l.get⟩

Context: this : cast ⋯ (h ⟨(ofFn ⟨n, f⟩.snd).length, (ofFn ⟨n, f⟩.snd).get⟩.fst ⟨(ofFn ⟨n, f⟩.snd).length, (ofFn ⟨n, f⟩.snd).get⟩.snd) = h ⟨n, f⟩.fst ⟨n, f⟩.snd


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
x : M
hx : 0 < ‖↑x‖


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}

HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x + dt) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((γ ∘ fun x => x + dt) t)))


HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x + dt) t ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t + dt)))).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ))


HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) (fun x => x + dt) t (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ)


HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) t fun x => x + dt) (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ) (range ↑𝓘(ℝ, ℝ)) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) t) t)


HasFDerivAt (fun x => x + dt) (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ) t


Context: F : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation F Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O F

Context: hv : v.Integers O

Context: x : O

Context: hvx : v ((algebraMap O F) x) = 1


Context: F : Type u

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝³ : Field F

Context: v : Valuation F Γ₀

Context: O : Type w

Context: inst✝¹ : CommRing O

Context: inst✝ : Algebra O F

Context: hv : v.Integers O

Context: x : O

Context: hvx : v ((algebraMap O F) x) = 1


Context:
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
s : Set M

centralizer s.centralizer.centralizer = centralizer s


↑(centralizer s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer s)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
i : IsZero X


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
i : IsZero X
hf : f = 0


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsZero X
inst✝ : Epi 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R


Context:
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hs : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ

(fun x => s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1) x) =ᶠ[ae μ] pdf X ℙ μ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k : ℕ
kpos : 0 < k
x : ℕ

(f.ppow (k + 1)) x = ((f.ppow k).pmul f) x


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : I.pi t ⊆ eval i ⁻¹' s


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : eval i '' I.pi t ⊆ s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i
k : ℕ
hk : [n].len = [m].len + k + 1


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i
k : ℕ
hk : n = m + k + 1


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n'
v : n' → α
A : Fin m → n' → α
B : Matrix n' o' α
i : Fin m.succ
j : o'

∀ (i : Fin m), (of (vecCons v A) * B) i.succ j = of (vecCons (v ᵥ* B) (of.symm (of A * B))) i.succ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G.IsNClique n s
f : α ↪ β

(SimpleGraph.map f G).IsClique ↑(map f s)


(SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' ↑s)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
v : V

(s.weightedVSub (v +ᵥ p)) w = (s.weightedVSub p) w


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p m (ZMod p)

(zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x) = (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) ((zmodEquivTrunc p m).symm x)


(zmodEquivTrunc p n) ((zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x)) = (zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) ((zmodEquivTrunc p m).symm x))


(zmodEquivTrunc p n) ((zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x)) = (truncate hm) ((zmodEquivTrunc p m) ((zmodEquivTrunc p m).symm x))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)

Context: inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)

Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Subsingleton R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Nontrivial R


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: a✝ : Nontrivial S


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: a✝ : Nontrivial S

Context: this✝ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra

Context: this : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: a✝ : Nontrivial S

Context: this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra

Context: this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul

Context: this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: a✝ : Nontrivial S

Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: a✝ : Nontrivial S

Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(restrictScalars R (Algebra.adjoin ↥A ↑B))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: A B : Subalgebra R S

Context: inst✝³ : Module.Free R ↥A

Context: inst✝² : Module.Free R ↥B

Context: h✝ : Nontrivial R

Context: a✝ : Nontrivial S

Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(Algebra.adjoin R (↑A ∪ ↑B))


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α

(equivShrink α) (-x) = -(equivShrink α) x


(equivShrink α) (-x) = (equivShrink α).symm.symm (-(equivShrink α).symm ((equivShrink α) x))


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

((x • γ).leftShift a n' hn').v p q hpq = x • (γ.leftShift a n' hn').v p q hpq


Context:
n : ℕ
IH : n.multichoose 1 = n


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n


∀ (a : ZMod n), (castHom ⋯ R) a = 0 → a = 0


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
x : ZMod n


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
k : ℤ


↑n ∣ k → ↑n ∣ k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

∀ t ∈ range Ioi, MeasurableSet (g ⁻¹' t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: g : δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: a : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
h : W.IsInvertedBy L'


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: E✝ : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E

Context: L' : C ⥤ E

Context: eq : D ≌ E

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: e : L ⋙ eq.functor ≅ L'

Context: h : W.IsInvertedBy L'

Context: F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: E✝ : Type u_3

Context: inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E

Context: L' : C ⥤ E

Context: eq : D ≌ E

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: e : L ⋙ eq.functor ≅ L'

Context: h : W.IsInvertedBy L'

Context: F₂ : W.Localization ⥤ E := Construction.lift L' h

Context: e' : F₁ ⋙ eq.functor ≅ F₂ := liftNatIso W.Q W (L ⋙ eq.functor) L' (F₁ ⋙ eq.functor) F₂ e


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ

(α.hom.app (unop x✝)).op ≫ (α.inv.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))


(α.inv.app (unop x✝) ≫ α.hom.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))


(𝟙 (G.obj (unop x✝))).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))


(α.inv.app (unop x✝)).op ≫ (α.hom.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))


(α.hom.app (unop x✝) ≫ α.inv.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))


(𝟙 (F.obj (unop x✝))).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 ≤ p

Context: hp1 : p ≤ 1

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: p : ℝ

Context: a b : ℝ≥0∞

Context: hp : 0 ≤ p

Context: hp1 : p ≤ 1

Context: hp_pos : 0 < p

Context: h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ 1 ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹


Context:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : a + b ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : DecidableEq β
hf : Multipliable f
b : β

∏' (n : β), f n = f b * ∏' (n : β), if n = b then 1 else f n


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁸ : Category.{?u.62618, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.62622, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{?u.62626, u_3} E
inst✝⁵ : Category.{?u.62630, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift A
a : A
X : C

𝟙 ((shiftFunctor E 0).obj (G.obj ((F.functor a).obj X))) ≫ (G.commShiftIso 0).inv.app ((F.functor a).obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D 0).obj ((F.functor a).obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorZero E A).hom.app (G.obj ((F.functor a).obj X))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁸ : Category.{?u.62618, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.62622, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{?u.62626, u_3} E
inst✝⁵ : Category.{?u.62630, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

𝟙 ((shiftFunctor E (m + n)).obj (G.obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ (G.commShiftIso (m + n)).inv.app ((F.functor a'').obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D (m + n)).obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor E n).obj ((shiftFunctor E m).obj (G.obj ((F.functor a'').obj X)))) ≫ (shiftFunctor E n).map (𝟙 ((shiftFunctor E m).obj (G.obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ (G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor E n).obj (G.obj ((F.functor a').obj X))) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((F.functor a').obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D n).obj ((F.functor a').obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X)


(shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ (shiftFunctor E n).map ((G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctorAdd D m n).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X) = (shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ (shiftFunctor E n).map ((G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Semigroup α
x y z : α


Context:
α : Type u_1
a✝ : PosNum


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Preorder α
a : α
l : List α
h : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l
ha : a ∈ l


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: l✝ : List α

Context: inst✝¹ : Inhabited α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (l.head! :: l.tail)

Context: ha : a ∈ l.head! :: l.tail


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type w
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ

2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 0 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 0) - xz a1 0


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ

2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 1 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 1) - xz a1 1


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: y n : ℕ

Context: this : 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: y n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p
this : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p
this✝ : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
this : (p %ₘ (X - C a)).degree ≤ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : (p %ₘ (X - C a)).coeff 0 = eval a p
this✝ : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
this : (p %ₘ (X - C a)).degree ≤ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝² : Sub α

Context: inst✝¹ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

∀ (x y : A), (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
a₁ a₂ : A

(a₁ * a₂) ᵍ⊗ₜ[R] 1 = a₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 * a₂ ᵍ⊗ₜ[R] 1


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.99905, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : L.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : L.d j i ≫ k = 0
φ : K ⟶ L


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : L.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : L.d j i ≫ k = 0
φ : K ⟶ L

opcyclesMap φ i ≫ L.descOpcycles k j hj hk = K.descOpcycles (φ.f i ≫ k) j hj ⋯


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ

(Computation.pure none).bind (aux n) = Computation.pure none


Context: x y : ℕ∞

↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x : E
a b : 𝕜
h₀ : 0 ∈ s

Absorbs 𝕜 s t ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝 0, MapsTo (fun x => c • x) t s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
a b : 𝕜
h₀ : 0 ∈ s
x : E
a✝ : x ∈ t


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hab : a < b

Context: this : upcrossingsBefore a b f N = fun ω => ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hf : Adapted ℱ f

Context: hab : a < b

Measurable fun ω => ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

map (addRightEmbedding c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)


⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ico a b = Set.Ico (a + c) (b + c)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: v : M

Context: h : P.pairing i j = 0 ∧ P.pairing j i = 0

(P.reflection i * P.reflection j) v = (P.reflection j * P.reflection i) v


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: v : M

↑(P.reflection i) (↑(P.reflection j) v) = ↑(P.reflection j) (↑(P.reflection i) v)


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i j : ι

Context: v : M

v - (P.toLin v) (P.coroot i) • P.root i - (P.toLin v) (P.coroot j) • P.root j = v - (P.toLin v) (P.coroot j) • P.root j - (P.toLin v) (P.coroot i) • P.root i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s

s.einfsep = s.offDiag.toFinset.inf (uncurry edist)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s
x✝ : ℝ≥0∞

x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ s.offDiag.toFinset.inf (uncurry edist)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s (sinZeta (↑a) s)


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

LSeries.term (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

LSeries.term (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s 0 = ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑0)) / ↑0 ^ s


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ

((resolution k G).d (n + 1) n).hom = d k G (n + 1)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

Context: x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V

(((resolution k G).d (n + 1) n).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (d k G (n + 1) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

(((alternatingFaceMapComplex (Rep k G)).obj (classifyingSpaceUniversalCover G ⋙ (Rep.linearization k G).toFunctor)).d (n + 1) n).hom (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

(∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x).op).hom) (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

∑ c : Fin (n + 2), ((-1) ^ ↑c • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ c).op).hom) (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

∑ c : Fin (n + 2), ((-1) ^ ↑c • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ c).op).hom) (Finsupp.single x 1) = ∑ p : Fin ((Opposite.unop (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).len + 1), Finsupp.single (x ∘ p.succAbove) ((-1) ^ ↑p)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

Context: x✝¹ : Fin (n + 2)

Context: x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

((-1) ^ ↑x✝¹ • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

Context: x✝¹ : Fin (n + 2)

Context: x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

(-1) ^ ↑x✝¹ • (Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: n : ℕ

Context: x✝¹ : Fin (n + 2)

Context: x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

Finsupp.single (((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom x) ((-1) ^ ↑x✝¹) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)


Context:
α : Type u_1
f : Char → α → α
init : α
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝

Substring.foldr f init x✝ = List.foldr f init x✝.toString.data


Context: m n : ℕ

Context: α : Fin (n + 1) → Type u_1

Context: x✝ : α 0

Context: q : (i : Fin (n + 1)) → α i

Context: p✝ : (i : Fin n) → α i.succ

Context: i✝ : Fin n

Context: y : α i✝.succ

Context: z : α 0

Context: inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)

Context: i : Fin (n + 1)

Context: x : α i

Context: q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j

Context: hx : x ∈ Icc (q₁ i) (q₂ i)

Context: p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

p ∈ i.insertNth x ⁻¹' Icc q₁ q₂ ↔ p ∈ Icc (fun j => q₁ (i.succAbove j)) fun j => q₂ (i.succAbove j)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n✝ : ℕ

(coeff R n✝) (↑f).derivativeFun = (coeff R n✝) ↑(derivative f)


Context:
I : Type u
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ : I
α : Type u_4
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : Subsingleton I
inst✝ : One α
i : I
x : α
j : I


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b : ℝ
φ : ℝ → F →L[𝕜] E
hφ : IntervalIntegrable φ μ a b
v : F

(∫ (x : ℝ) in a..b, φ x ∂μ) v = ∫ (x : ℝ) in a..b, (φ x) v ∂μ


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X

IsBlock G B ↔ ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀


Context:
α : Type u_1
p : α → Option α
l : List α


Context:
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hyx : y < x
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hneven : Even n

padicValNat 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = padicValNat 2 (x + y) + padicValNat 2 (x - y) + padicValNat 2 n


↑(padicValNat 2 (x ^ n - y ^ n)) + ↑1 = ↑(padicValNat 2 (x + y)) + ↑(padicValNat 2 (x - y)) + ↑(padicValNat 2 n)


multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + ↑1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

o.bmex f < (succ #(Quotient.out o).α).ord


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: A : Tendsto (fun x => x + 1) atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: x y z : ℝ

Context: l : Filter α

Context: B : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, x + 1 ≤ rexp x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: F' : ι → Type u_7

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)

Context: φ : (i : ι) → E → F' i

Context: φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i

Context: Φ : E → (i : ι) → F' i

Context: Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i

Context: i : ι

Context: f : (i : ι) → F' i

HasStrictFDerivAt (fun f => f i) (proj i) f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X : PresheafedSpace C
x : ↑↑X

(stalkFunctor C x).map (𝟙 X).c ≫ stalkPushforward C (𝟙 ↑X) X.presheaf x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)


(stalkFunctor C x).map (𝟙 X).c ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id X.presheaf).hom = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)


(stalkFunctor C x).map ((𝟙 X).c ≫ (Pushforward.id X.presheaf).hom) = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X : PresheafedSpace C

Context: x : ↑↑X

Context: e_1✝ : (X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) = ((stalkFunctor C x).obj X.presheaf ⟶ (stalkFunctor C x).obj X.presheaf)

(𝟙 X).c ≫ (Pushforward.id X.presheaf).hom = 𝟙 X.presheaf


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X : PresheafedSpace C

Context: x : ↑↑X

Context: U✝ : Opens ↑↑X

((𝟙 X).c ≫ (Pushforward.id X.presheaf).hom).app (op U✝) = (𝟙 X.presheaf).app (op U✝)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : HasColimits C

Context: X : PresheafedSpace C

Context: x : ↑↑X

Context: U✝ : Opens ↑↑X

𝟙 (((pushforward C (𝟙 ↑X)).obj X.presheaf).obj (op U✝)) = (𝟙 X.presheaf).app (op U✝)


Context:
a : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a


Context:
a : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a

(fun a_1 => sup fun n => (fun x => a * x)^[n] a_1) 1 = sup fun n => a ^ ↑n


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: a b z : ℝ

Context: u v ua ub va vb : ι → ℝ

Context: inst✝¹ : FTCFilter a la la'

Context: inst✝ : FTCFilter b lb lb'

Context: hab : IntervalIntegrable f volume a b

Context: hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb' volume

Context: hf : Tendsto f (lb' ⊓ ae volume) (𝓝 c)

Context: hu : Tendsto u lt lb

Context: hv : Tendsto v lt lb

(fun t => ((∫ (x : ℝ) in a..v t, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x) - (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
x a k a' : α
h : a + k = a'


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
h : p.natDegree = 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
h : p.natDegree = 0
this : p = C (p.coeff 0)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
w✝¹ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFPowerSeriesWithinAt f w✝¹ s e
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hg : HasFPowerSeriesWithinAt g w✝ s e

AnalyticWithinAt 𝕜 (fun x => (f x, g x)) s e


Context: o₁ e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁

Context: o₂ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂

Context: h₁ : (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹).NF

Context: h₂ : (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝).NF

((e₁.cmp e₂).orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)


Context: o₁ e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁

Context: o₂ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂

Context: IHe : (e₁.cmp e₂).Compares e₁ e₂


Context: o₁ e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁

Context: o₂ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂

Context: IHe : match e₁.cmp e₂, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a


Context: o₁ e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁

Context: o₂ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂

(match Ordering.lt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → (Ordering.lt.orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)


Context: o₁ e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁

Context: o₂ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂

(match Ordering.eq, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → (Ordering.eq.orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)


Context: o₁ e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: h✝¹ : o₁ = e₁.oadd n₁ a₁

Context: o₂ e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: h✝ : o₂ = e₂.oadd n₂ a₂

(match Ordering.gt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → (Ordering.gt.orElse ((_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂).orElse (a₁.cmp a₂))).Compares (namedPattern o₁ (e₁.oadd n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (e₂.oadd n₂ a₂) h✝)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ {a}
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ {b}
hs : ↑{a}.card * ε ≤ ↑s'.card
ht : ↑{b}.card * ε ≤ ↑t'.card

|↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ {a}
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ {b}
hs : ε ≤ ↑s'.card
ht : ε ≤ ↑t'.card


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑t'.card
hs' : ∅ ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑∅.card

|↑(G.edgeDensity ∅ t') - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑t'.card
hs' : {a} ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑{a}.card

|↑(G.edgeDensity {a} t') - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
hs' : {a} ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑{a}.card
ht' : ∅ ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑∅.card

|↑(G.edgeDensity {a} ∅) - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
hε : 0 < ε
hs' : {a} ⊆ {a}
hs : ε ≤ ↑{a}.card
ht' : {b} ⊆ {b}
ht : ε ≤ ↑{b}.card

|↑(G.edgeDensity {a} {b}) - ↑(G.edgeDensity {a} {b})| < ε


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
as : Array α
bs : Array β
f : α → β → γ

(as.zipWith bs f).size = min as.size bs.size


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
h : o.Dom
f : α → Part β
b : β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
h : o.Dom
f : α → Part β
b : β
a : α
ha : a ∈ o
hb : b ∈ f a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 f s

DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y - g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 g s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalRing R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁵ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁴ : StarRing A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y

(noncommPiCoprod hcomm).range = ⨆ i, H i


Context:
m✝ n a✝ b✝ c✝ d a b c m : ℕ
hc : c ≠ 0

a * c ≡ b * c [MOD m * c] → a ≡ b [MOD m]


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : Path F

Context: a : F.A

Context: f : F.B a → F.M

Context: a' : F.A

Context: f' : F.B a' → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a', f'⟩)

Context: hh : IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a', f'⟩)

iselect ps (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (M.mk ⟨a', f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a', f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : Path F

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: hh : IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩)

iselect ps (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (M.mk ⟨a, f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → iselect ps (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (M.mk ⟨a, f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: a' : F.A

Context: i : F.B a'

Context: hh : IsPath (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)

iselect (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree (⟨a', i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)

iselect (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

(isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: h₁ : R (f i) (f' i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: h₁ : R (f i) (f' i)

Context: a₀ : F.A

Context: f₀ : F.B a₀ → F.M

Context: h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩

Context: a₁ : F.A

Context: f₁ : F.B a₁ → F.M

Context: h' : f' i = M.mk ⟨a₁, f₁⟩


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: h₁ : R (f i) (f' i)

Context: a₀ : F.A

Context: f₀ : F.B a₀ → F.M

Context: h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩

Context: a₁ : F.A

Context: f₁ : F.B a₁ → F.M

Context: h' : f' i = M.mk ⟨a₁, f₁⟩

(isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩)).head ∧ ∃ a f f', isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) = M.mk ⟨a, f⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩) = M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: a₀ : F.A

Context: f₀ : F.B a₀ → F.M

Context: h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩

Context: a₁ : F.A

Context: f₁ : F.B a₁ → F.M

Context: h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₁, f₁⟩)

Context: h' : f' i = M.mk ⟨a₁, f₁⟩


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: a₀ : F.A

Context: f₀ : F.B a₀ → F.M

Context: h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩

Context: f₁ : F.B a₀ → F.M

Context: h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)

Context: h' : f' i = M.mk ⟨a₀, f₁⟩

(isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)).head ∧ ∃ a f f', isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) = M.mk ⟨a, f⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₁⟩) = M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: R : F.M → F.M → Prop

Context: inst✝ : Inhabited F.M

Context: bisim : IsBisimulation R

Context: ps : List F.Idx

Context: a : F.A

Context: f f' : F.B a → F.M

Context: h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)

Context: i : F.B a

Context: a₀ : F.A

Context: f₀ : F.B a₀ → F.M

Context: h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩

Context: f₁ : F.B a₀ → F.M

Context: h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)

Context: h' : f' i = M.mk ⟨a₀, f₁⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

Context: inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

J.toSheafify (P ⋙ F) ≫ (J.sheafifyCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toSheafify P) F


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

J.toSheafify (P ⋙ F) = whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.sheafifyCompIso F P).hom


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ

GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
h : finrank K V = 1


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
s : span K {v} = ⊤


Context:
x✝ y : ℝ
x : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : Integrable f (μ ⊗ₘ κ)

∫ (x : α × β), f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫ (a : α), ∫ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ


∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫ (a : α), ∫ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f g : α → β
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, f a = g a
x : β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup F

Context: μ✝ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: p : ℝ

Context: f : α →ₛ F

Context: μ : Measure α

Context: h_map : (fun a => ↑‖↑f a‖₊ ^ p) = ↑(map (fun a => ↑‖a‖₊ ^ p) f)

eLpNorm' (↑f) p μ = (∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p)


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)


comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α


comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ comap (Prod.map f f) (comap (Prod.map g g) (𝓤 γ))


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U


∀ (a : ↑(X.presheaf.obj (op U))), (X.presheaf.germ x) a = 0 → a = 0


Context:
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = 0


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: x : ↥U

Context: y : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: x : ↥U

Context: y : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hW : ↑x ∈ W

Context: iU iV : W ⟶ U

Context: e : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iV.op) 0


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: x : ↥U

Context: y : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hW : ↑x ∈ W

Context: iU : W ⟶ U

Context: e : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iU.op) 0


Context: X : Scheme

Context: inst✝ : IsIntegral X

Context: U : X.Opens

Context: x : ↥U

Context: y : ↑(X.presheaf.obj (op U))

Context: W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hW : ↑x ∈ W

Context: iU : W ⟶ U

Context: this : Nonempty ↑↑(↑W).toPresheafedSpace


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α

(borelMarkovFromReal Ω η) a = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then Measure.comap (embeddingReal Ω) (η a) else Measure.comap (embeddingReal Ω) (Measure.dirac (Exists.choose ⋯))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C

(F.map (n.negOnePow • (shiftFunctor C n).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁)) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = (F.commShiftIso n).hom.app T.obj₃ ≫ (n.negOnePow • (shiftFunctor D n).map (F.map T.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁))


n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ F.map ((shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ (F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁)


n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ ((F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).inv.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).inv.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁)) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ (F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

setToSimpleFunc T (f + g) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) (x.1 + x.2)


∑ x ∈ (f.pair g).range, ((T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2


∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2 = setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) + setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))


Context:
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ : X

Context: t : Set X

Context: t_in : t ∈ 𝓝 x₀

Context: ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ : X

Context: t : Set X

Context: t_in : t ∈ 𝓝 x₀

{i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)} ⊆ {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ : X

Context: t : Set X

Context: t_in : t ∈ 𝓝 x₀

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}

i ∈ {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}


Context: ι : Type u

Context: X : Type v

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : SMulWithZero ℝ E

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace E

Context: inst✝ : ContinuousSMul ℝ E

Context: s✝ : Set X

Context: f : PartitionOfUnity ι X s✝

Context: s : Set X

Context: ρ : PartitionOfUnity ι X s

Context: x₀ : X

Context: t : Set X

Context: t_in : t ∈ 𝓝 x₀

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z : α
h₁ : x ⊓ z ≤ y ⊓ z
h₂ : x ⊔ z ≤ y ⊔ z


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ

supported R s = (rename Subtype.val).range


(aeval fun x => X ↑x).range = (aeval (X ∘ Subtype.val)).range


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : ↥I
m : ↥N

⁅↑x, ↑m⁆ ∈ ⁅I, N⁆


⁅↑x, ↑m⁆ ∈ lieSpan R L {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X

rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2


∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε

rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K1 K2 : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: f1 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f_test_function_K1 : (∀ x ∈ K1, 1 ≤ f1 x) ∧ Λ f1 < rieszContentAux Λ K1 + ε / 2


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K1 K2 : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: f1 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f2 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f_test_function_K2 : (∀ x ∈ K2, 1 ≤ f2 x) ∧ Λ f2 < rieszContentAux Λ K2 + ε / 2


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K1 K2 : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: f1 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f2 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f_test_function_union : ∀ x ∈ K1 ⊔ K2, 1 ≤ (f1 + f2) x


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K1 K2 : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: f1 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f2 : X →ᵇ ℝ≥0

Λ (f1 + f2) < rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K1 K2 : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: f1 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f2 : X →ᵇ ℝ≥0

Λ f1 + Λ f2 < rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε


Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0

Context: K1 K2 : Compacts X

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: f1 : X →ᵇ ℝ≥0

Context: f2 : X →ᵇ ℝ≥0

rieszContentAux Λ K1 + ε / 2 + (rieszContentAux Λ K2 + ε / 2) = rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
i : ι

(e.unitsSMul (Function.update 1 i (-1))).orientation = -e.orientation


(-1 * ∏ x ∈ Finset.univ \ {i}, 1 x)⁻¹ • e.orientation = -e.orientation


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (x * z + y)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + x * z)


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

hurwitzZetaOdd a s = (hurwitzZeta a s - hurwitzZeta (-a) s) / 2


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ

hurwitzZetaOdd a s = (hurwitzZetaEven a s + hurwitzZetaOdd a s - (hurwitzZetaEven a s + -hurwitzZetaOdd a s)) / 2


Context:
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card


(A * C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s

choose (r + s) k = ∑ ij ∈ antidiagonal k, choose r ij.1 * choose s ij.2


(fun x => k.factorial • x) (choose (r + s) k) = (fun x => k.factorial • x) (∑ ij ∈ antidiagonal k, choose r ij.1 * choose s ij.2)


k.factorial • choose (r + s) k = k.factorial • ∑ ij ∈ antidiagonal k, choose r ij.1 * choose s ij.2


∑ ij ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose ij.1) * ((descPochhammer ℤ ij.1).smeval r * (descPochhammer ℤ ij.2).smeval s) = ∑ x ∈ antidiagonal k, k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)


∀ x ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal k

↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)


↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = ↑(k.choose x.1) * ↑x.1.factorial * (choose r x.1 * x.2.factorial • choose s x.2)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V

v ∈ (mk' p direction).direction ↔ v ∈ direction


(∃ p1 ∈ mk' p direction, ∃ p2 ∈ mk' p direction, v = p1 -ᵥ p2) ↔ v ∈ direction


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
R' : Set α
M : Matroid α
h : R ⊆ R'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

Context: hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

HasStrictFDerivAt (implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a)) (LinearMap.ker f').subtypeL 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

0 = (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

(implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = ContinuousLinearMap.id 𝕜 ↥(LinearMap.ker f')


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: f : E → F

Context: f' : E →L[𝕜] F

Context: a : E

Context: hf : HasStrictFDerivAt f f' a

Context: hf' : range f' = ⊤

(implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

rtakeWhile p (l ++ [x]) = if p x = true then rtakeWhile p l ++ [x] else []


(match p x with | true => x :: takeWhile p l.reverse | false => []).reverse = if p x = true then (takeWhile p l.reverse).reverse ++ [x] else []


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: β : Sort u_1

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F G : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: H : D ⥤ E

Context: hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X

Context: hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : CommRing T

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K S

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: x : L

Context: hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

(algebraMap K F) ((Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).sum


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : CommRing T

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K S

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: x : L

Context: injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : CommRing S

Context: inst✝⁹ : CommRing T

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : Field L

Context: inst✝⁴ : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K S

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: x : L

Context: hx : IsIntegral K x


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
hX : M.Dep X
R : Set α
hXE : autoParam (X ⊆ (M ↾ R).E) _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: x y : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ a < 1, a * x ≤ y

Context: this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (1 * x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: x y : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ a < 1, a * x ≤ y

Context: this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)


Context:
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
h : k < (l.rotate n).length


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f✝) g✝

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰X : X.OpenCover

Context: 𝒰Y : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰X : X.OpenCover

Context: 𝒰Y : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

∀ (i : 𝒰X.J × 𝒰Y.J), pullback.map (𝒰X.map i.1 ≫ f) (𝒰Y.map i.2 ≫ g) f g (𝒰X.map i.1) (𝒰Y.map i.2) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun ij => pullback (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g)) i)).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰X f g).bind fun x => openCoverOfRight 𝒰Y (𝒰X.map x ≫ f) g).map ((Equiv.sigmaEquivProd 𝒰X.J 𝒰Y.J).symm i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰X : X.OpenCover

Context: 𝒰Y : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰X.J

Context: j : 𝒰Y.J

pullback.map (𝒰X.map (i, j).1 ≫ f) (𝒰Y.map (i, j).2 ≫ g) f g (𝒰X.map (i, j).1) (𝒰Y.map (i, j).2) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun ij => pullback (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g)) (i, j))).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰X f g).bind fun x => openCoverOfRight 𝒰Y (𝒰X.map x ≫ f) g).map ((Equiv.sigmaEquivProd 𝒰X.J 𝒰Y.J).symm (i, j))


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s : R


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.41001, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.41005, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.41009, u_3} E

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.41013, u_4} E'

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : HasShift E A

Context: inst✝ : HasShift E' A

Context: F G H : SingleFunctors C D A

Context: iso : (a : A) → F.functor a ≅ G.functor a

Context: comm : ∀ (n a a' : A) (ha' : n + a = a'), (F.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).hom = whiskerRight (iso a').hom (shiftFunctor D n) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom

Context: n a a' : A

Context: ha' : n + a = a'

(G.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).inv = whiskerRight (iso a').inv (shiftFunctor D n) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α

∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (s.lcm ∣ a ↔ ∀ b ∈ s, b ∣ a) → ((a_1 ::ₘ s).lcm ∣ a ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, b ∣ a)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν✝

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: C : Set (Set α)

Context: D : Set (Set β)

Context: hC : generateFrom C = inst✝⁶

Context: hD : generateFrom D = inst✝⁴

Context: h2C : IsPiSystem C

Context: h2D : IsPiSystem D

Context: h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C

Context: h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D

Context: μν : Measure (α × β)

Context: h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν✝

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: C : Set (Set α)

Context: D : Set (Set β)

Context: hC : generateFrom C = inst✝⁶

Context: hD : generateFrom D = inst✝⁴

Context: h2C : IsPiSystem C

Context: h2D : IsPiSystem D

Context: h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C

Context: h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D

Context: μν : Measure (α × β)

∀ s ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D, (μ.prod ν) s = μν s


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν✝

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: C : Set (Set α)

Context: D : Set (Set β)

Context: hC : generateFrom C = inst✝⁶

Context: hD : generateFrom D = inst✝⁴

Context: h2C : IsPiSystem C

Context: h2D : IsPiSystem D

Context: h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C

Context: h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D

Context: μν : Measure (α × β)

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ C

Context: t : Set β

Context: ht : t ∈ D

(μ.prod ν) ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t) = μν ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α'

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace β'

Context: inst✝² : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ' : Measure α

Context: ν✝ ν' : Measure β

Context: τ : Measure γ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : SFinite ν✝

Context: μ : Measure α

Context: ν : Measure β

Context: C : Set (Set α)

Context: D : Set (Set β)

Context: hC : generateFrom C = inst✝⁶

Context: hD : generateFrom D = inst✝⁴

Context: h2C : IsPiSystem C

Context: h2D : IsPiSystem D

Context: h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C

Context: h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D

Context: μν : Measure (α × β)

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ C

Context: t : Set β

Context: ht : t ∈ D

Context: this : SigmaFinite ν


Context: α : Type u

Context: n : α → Filter α

Context: ι : α → Sort u_1

Context: p : (a : α) → ι a → Prop

Context: s : (a : α) → ι a → Set α

Context: hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)

Context: hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i

Context: hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x

Context: a : α

Context: t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n


Context: α : Type u

Context: n : α → Filter α

Context: ι : α → Sort u_1

Context: p : (a : α) → ι a → Prop

Context: s : (a : α) → ι a → Set α

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset (α × β)

Context: f : α × β → M

Context: this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f

∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset (α × β)

Context: f : α × β → M

∏ i ∈ s, f i = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset (α × β)

Context: f : α × β → M

∏ i ∈ s, f i = ∏ᶠ (a : α), (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s).prod f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: N : Type u_6

Context: inst✝³ : CommMonoid M

Context: inst✝² : CommMonoid N

Context: f✝ g : α → M

Context: a b : α

Context: s✝ t : Set α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Finset (α × β)

Context: f : α × β → M


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2224, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: A : Type u₃

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ A

Context: g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : LieRing L

Context: inst✝² : LieAlgebra R L

Context: A : Type u₃

Context: inst✝¹ : Ring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ A


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

∑ J ∈ π₁.boxes, integral J l f vol = ∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol


Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₁) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))


Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₂) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α

TotallyDisconnectedSpace ↑s ↔ IsTotallyDisconnected s


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝² : MeasurableSpace V

Context: inst✝¹ : BorelSpace V

Context: inst✝ : SecondCountableTopology V

Context: μ : Measure V

Context: hf : Integrable f μ

Context: hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ

Context: w : W

fderiv ℝ (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)

Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤ ↔ M = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)

Context: H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)

Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) ⊤ ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)

maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M


Context: R : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : LocalRing R

Context: inst✝ : IsNoetherianRing R

Context: M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)

maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M ⊔ maximalIdeal R • maximalIdeal R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
this : ↑a.val - ↑n ≤ 0


↑(if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n).natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

CompleteSpace (SeparationQuotient α) ↔ CompleteSpace α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s


Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (interior ∘ ⇑K)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: F : C ⥤ Type w

Context: fst✝ : C

Context: snd✝¹ snd✝ : F.obj fst✝

Context: h₂ : F.map (eqToHom ⋯) ⟨fst✝, snd✝¹⟩.snd = ⟨fst✝, snd✝⟩.snd


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
fst✝ : C
snd✝¹ snd✝ : F.obj fst✝
h₂ : snd✝¹ = snd✝


Context:
a x✝ z x : ℂ
h : ¬x = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → M

equivFunOnFinite.symm f = ∑ a : α, single a (f a)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : AddCommMonoid M

Context: f : α → M

∑ a : α, single a ((equivFunOnFinite.symm f) a) = ∑ a : α, single a (f a)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p : MvPolynomial σ R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℤ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a✝ b✝ : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hlt₂ : 0 < b


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hlt₂ : 0 < b
this : 0 < a * b


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hlt₂ : 0 < b
this : 0 < 0


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hgt₂ : b < 0


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hgt₂ : b < 0
this : 0 > a * b


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hgt₂ : b < 0
this : 0 > 0


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
this : 0 > a * b


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
this : 0 > 0


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
this : 0 < a * b


Context:
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
this : 0 < 0


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ : R✝
R : Type u
σ : Type v
r : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype σ


Prime ((renameEquiv R (Fintype.equivFin σ)).toMulEquiv (C r)) ↔ Prime r


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

(shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftComm X i j).hom ≫ (shiftFunctor C i).map ((shiftFunctor C j).map f) ≫ (shiftComm Y j i).hom


(shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).map f ≫ (shiftFunctorComm C i j).hom.app Y ≫ (shiftComm Y i j).symm.hom


(shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) ≫ (shiftFunctorComm C i j).hom.app Y ≫ (shiftFunctorComm C i j).inv.app Y