Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).X₂ ↔ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).f = 0 ∧ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).g = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ (F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂ = 0


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj Z) ↔ (F.shift n).map g = 0 ∧ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0

Context: h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map f) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0

Context: h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ↔ (F.shift n).map g = 0

F.homologicalKernel.P Z ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: T T' : Triangle C

Context: hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles

Context: hT' : T' ∈ distinguishedTriangles

Context: φ : T ⟶ T'

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Y ⟶ Z

Context: h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

(∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ∧ Mono ((F.shift (n + 1)).map f)) ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)


Context:
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α

{ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝


unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝)) = unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝)


Context:
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝¹ y✝ : FreeMonoid α
x✝ : KleisliCat.mk m β

unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝¹ * y✝)) x✝ = unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝) x✝


Context:
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι✝ → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α✝
f✝ g : ι✝ → α✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommSemiring α
f : ι → α
n : ℕ

(∑ a : ι, f a) ^ n = ∑ p : Fin n → ι, ∏ i : Fin n, f (p i)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: x₀ : X

Context: K : Set Y

Context: hK : IsCompact K

Context: P : X → Y → Prop

Context: hP : ∀ y ∈ K, ∀ᶠ (z : X × Y) in 𝓝 (x₀, y), P z.1 z.2


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: x₀ : X

Context: K : Set Y

Context: hK : IsCompact K

Context: P : X → Y → Prop

Context: hP : ∀ᶠ (z : X × Y) in 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝ˢ K, P z.1 z.2


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁵ : Semifield K
inst✝⁴ : Semifield K₂
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
hs : vectorSpan k s ≤ s1.direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: s1 : AffineSubspace k P

Context: h : s ⊆ ↑s1

Context: p p1 : P

Context: hp1 : p1 ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ vectorSpan k s

Context: hp : p = v +ᵥ p1

Context: hp1s1 : p1 ∈ ↑s1

Context: hs : ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ vectorSpan k s → x ∈ s1.direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : Set P

Context: s1 : AffineSubspace k P

Context: h : s ⊆ ↑s1

Context: p p1 : P

Context: hp1 : p1 ∈ s

Context: v : V

Context: hv : v ∈ vectorSpan k s

Context: hp : p = v +ᵥ p1

Context: hp1s1 : p1 ∈ ↑s1


Context:
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ : ℍ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι

(l.toFilter I).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π}


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)

Context: inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)


Context: E : ℕ → Type u_1

∀ (u : ℕ → (n : ℕ) → E n), (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N) → ∃ x, Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: u : ℕ → (n : ℕ) → E n

Context: hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: u : ℕ → (n : ℕ) → E n

Context: i : ℕ

Tendsto (fun i_1 => u i_1 i) atTop (𝓝 (u i i))


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: u : ℕ → (n : ℕ) → E n

Context: i : ℕ

(fun x => u i i) =ᶠ[atTop] fun i_1 => u i_1 i


Context: E : ℕ → Type u_1

Context: u : ℕ → (n : ℕ) → E n

Context: i n : ℕ

Context: hn : n ∈ Ici i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a : α
b : G

f.update a b = f - single a (f a) + single a b


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
inst✝ : MonoCoprod C
c : BinaryCofan A B
hc : IsColimit c


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: A B : C

Context: inst✝ : MonoCoprod C

Context: c : BinaryCofan A B

Context: hc : IsColimit c

Context: hc' : IsColimit (BinaryCofan.mk c.inr c.inl)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι


(∃ a ∈ l.support, a.fst = i) ↔ ∃ x, x ∈ { support := l.support.preimage (Sigma.mk i) ⋯, toFun := fun a => l ⟨i, a⟩, mem_support_toFun := ⋯ }.support


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α

(s \ t).encard + (s ∩ t).encard = s.encard


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: x : A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c
a : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α

(⨆ i, ⨆ j, f i j) ⊓ a = ⨆ i, ⨆ j, f i j ⊓ a


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁴ : Ring k

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹² : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁷ : Module k V1

Context: inst✝⁶ : Module k V2

Context: inst✝⁵ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)

Context: h₂ : f 0 = g 0


Context: R : Type u_1

Context: k : Type u_2

Context: V1 : Type u_3

Context: P1 : Type u_4

Context: V2 : Type u_5

Context: P2 : Type u_6

Context: V3 : Type u_7

Context: P3 : Type u_8

Context: inst✝¹⁴ : Ring k

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup V1

Context: inst✝¹² : AffineSpace V1 P1

Context: inst✝¹¹ : AddCommGroup V2

Context: inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup V3

Context: inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3

Context: inst✝⁷ : Module k V1

Context: inst✝⁶ : Module k V2

Context: inst✝⁵ : Module k V3

Context: ι : Type u_9

Context: φv : ι → Type u_10

Context: φp : ι → Type u_11

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)

Context: fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i

Context: fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i

Context: f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2

Context: h₂ : f 0 = g 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α

TendstoLocallyUniformly F f p ↔ TendstoUniformly F f p


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
h : TendstoLocallyUniformly F f p
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (x : α), (f x, F n x) ∈ V


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformly F f p

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: U : α → Set α

Context: hU : ∀ (x : α), U x ∈ 𝓝 x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ U x, (f y, F n y) ∈ V


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformly F f p

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: U : α → Set α

Context: t : Finset ↑univ

Context: ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformly F f p

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: U : α → Set α

Context: t : Finset ↑univ

Context: ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x

Context: hU : ∀ (x : { x // x ∈ t }), ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ U ↑↑x, (f y, F n y) ∈ V


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformly F f p

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: U : α → Set α

Context: t : Finset ↑univ

Context: ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x

Context: hU : ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ (i : { x // x ∈ t }), ∀ y ∈ U ↑↑i, (f y, F x y) ∈ V


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformly F f p

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: U : α → Set α

Context: t : Finset ↑univ

Context: ht : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x

Context: i : ι

Context: hi : ∀ (i_1 : { x // x ∈ t }), ∀ y ∈ U ↑↑i_1, (f y, F i y) ∈ V

Context: x : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformly F f p

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: U : α → Set α

Context: t : Finset ↑univ

Context: i : ι

Context: x : α

Context: ht : x ∈ ⋃ x ∈ t, U ↑x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : CompactSpace α

Context: h : TendstoLocallyUniformly F f p

Context: V : Set (β × β)

Context: hV : V ∈ 𝓤 β

Context: U : α → Set α

Context: t : Finset ↑univ

Context: i : ι

Context: x : α

Context: ht : ∃ x_1, (∃ (x : x_1 ∈ univ), ⟨x_1, ⋯⟩ ∈ t) ∧ x ∈ U x_1


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Semiring B
hB : IsField B
e : A ≃* B
x y : A


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Semiring B
hB : IsField B
e : A ≃* B
a✝ : A
h : a✝ ≠ 0


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Semiring B
hB : IsField B
e : A ≃* B
a✝ : A
h : a✝ ≠ 0
a' : B
he : e a✝ * a' = 1


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
v : α → M
x : M

x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = x


Context:
L : Type u
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R L
μ : L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
g : L ≃ₐ[R] L

↑((autToPow R hμ) g) = ↑((ModularCyclotomicCharacter L ⋯) ↑g)


(↑((autToPow R hμ) g)).val = (↑((ModularCyclotomicCharacter L ⋯) ↑g)).val


μ ^ (↑((autToPow R hμ) g)).val = μ ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L ⋯) ↑g)).val


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
β : α → Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset ((a : α) × β a)
t : Finset α
x : (i : α) × β i

(x ∈ t.sigma fun a => s.preimage (Sigma.mk a) ⋯) ↔ x ∈ filter (fun a => a.fst ∈ t) s


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : Machine₀
S : Set Λ
ss : Supports M S
q : Λ
T : Tape Γ
c' : Cfg₀
h₁ : c' ∈ step M { q := q, Tape := T }
h₂ : { q := q, Tape := T }.q ∈ S


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: Λ : Type u_2

Context: inst✝ : Inhabited Λ

Context: M : Machine₀

Context: S : Set Λ

Context: ss : Supports M S

Context: q : Λ

Context: T : Tape Γ

Context: h₂ : { q := q, Tape := T }.q ∈ S

Context: q' : Λ

Context: a : Stmt₀

Context: h : M q T.head = some (q', a)

Context: h₁ : (match (q', a) with | (q', a) => { q := q', Tape := match a with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }) ∈ step M { q := q, Tape := T }

(match (q', a) with | (q', a) => { q := q', Tape := match a with | Stmt.move d => Tape.move d T | Stmt.write a => Tape.write a T }).q ∈ S


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁵ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → Submodule R M
H : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
x : R

(∀ x_1 ∈ ringCon '' Set.range I, x_1 x 0) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ I i


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a✝ : Subsingleton R

(∀ (f g : R[X]), f = g) ∧ ∀ (a b : R), a = b


Tendsto eulerMascheroniSeq atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)


Context: this : Tendsto eulerMascheroniSeq atTop (𝓝 (⨆ i, eulerMascheroniSeq i))


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : AddCommGroup N

Context: inst✝ : Module R N

Context: P : RootPairing ι R M N

Context: i✝ j✝ i j k : ι

Context: hk : P.root k = (P.reflection i) (P.root j)

P.coroot k = (P.coreflection i) (P.coroot j)


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ i j k : ι
hk : k = (P.reflection_perm i) j


Context:
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f


Set.range ⇑f.val.base = Set.range ⇑(Y.ofRestrict ⋯).val.base


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ

ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ ↔ Differentiable 𝕜 f₂ ∧ ContDiff 𝕜 (↑n) (deriv f₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring R
C : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_3} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : CategoryTheory.Linear R C
inst✝² : CategoryTheory.Linear R D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : Linear R F
X Y : C
r : Rˣ
f : X ⟶ Y


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x

HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x


Context:
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S


Context:
z x✝ y x r : ℝ
hx : 0 ≤ x


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
t : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
t : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : TopologicalSpace α
t't : t' ≤ t
t'_polish : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s


Context:
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_3
t : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : TopologicalSpace α
t't : t' ≤ t
t'_polish : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
A : AnalyticSet s


Context: ι : Type u_1

Context: I J J₁ J₂ : Box ι

Context: π✝ π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: π : Prepartition I


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s

Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α

LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ⊆ U, IsOpen V ∧ x ∈ V ∧ IsConnected V


(∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ IsConnected s) id) ↔ ∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ⊆ U, IsOpen V ∧ x ∈ V ∧ IsConnected V


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x✝ : α

(𝓝 x✝).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ x✝ ∈ s ∧ IsConnected s) id ↔ ∀ U ∈ 𝓝 x✝, ∃ V ⊆ U, IsOpen V ∧ x✝ ∈ V ∧ IsConnected V


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

(x * y).valuation = x.valuation + y.valuation


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h_norm : ‖x * y‖ = ‖x‖ * ‖y‖


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h_norm : ‖x * y‖ = ‖x‖ * ‖y‖
hp_ne_one : ↑p ≠ 1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x y : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h_norm : ‖x * y‖ = ‖x‖ * ‖y‖
hp_ne_one : ↑p ≠ 1
hp_pos : 0 < ↑p


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: x y : ℚ_[p]

Context: hx : x ≠ 0

Context: hy : y ≠ 0

Context: h_norm : (x * y).valuation = x.valuation + y.valuation

Context: hp_ne_one : ↑p ≠ 1

Context: hp_pos : 0 < ↑p


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b✝ c a b : α


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y


∀ (j : J) (x_1 : K.obj j), lc.ι.app j { down := x_1 } ∈ ∅ ↔ c.ι.app j x_1 ∈ descSet hc {x} ∩ descSet hc {y}


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
j : J
z : K.obj j

lc.ι.app j { down := z } ∈ ∅ ↔ c.ι.app j z ∈ descSet hc {x} ∩ descSet hc {y}


c.ι.app j z ∉ descSet hc {x} ∩ descSet hc {y}


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
j : J
z : K.obj j
hx : c.ι.app j z ∈ descSet hc {x}
hy : c.ι.app j z ∈ descSet hc {y}


Context:
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
x y : lc.pt
hn : x ≠ y
j : J
z : K.obj j
hx : lc.ι.app j { down := z } = x
hy : lc.ι.app j { down := z } = y


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin p.length

(if H : ↑i < p.length then p.toFun ⟨↑i, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑i - p.length, ⋯⟩) = p.toFun i.castSucc


Context:
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E''
c' : F''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E''
c' : F''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hc' : c' ≠ 0


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
s✝ : Finmap β
s : AList β

insert a b' (insert a b ⟦s⟧) = insert a b' ⟦s⟧


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y : α i.succ
z : α 0
j : Fin n


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : BaireSpace X

Context: S : Set α

Context: f : (x : α) → x ∈ S → Set X

Context: ho : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), IsGδ (f s H)

Context: hS : S.Countable

Context: hd : ∀ (s : α) (H : s ∈ S), Dense (f s H)


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : BaireSpace X

Context: S : Set α

Context: f : (x : α) → x ∈ S → Set X

Context: hS : S.Countable


Context: X : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: ι : Sort u_3

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : BaireSpace X

Context: S : Set α

Context: f : (x : α) → x ∈ S → Set X

Context: hS : S.Countable

Context: this : Countable ↑S


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
h : P.FG
e : M →* M'


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

whiskerRight (leftDerivedToHomotopyCategory (𝟙 F)) (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n) = 𝟙 (F.leftDerived n)


𝟙 (F.leftDerivedToHomotopyCategory ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n) = 𝟙 (F.leftDerived n)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F

((liftIsometry 𝕜 E' F) h).comp (mapL f) = (liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F

↑(((liftIsometry 𝕜 E' F) h).comp (mapL f)) = ↑((liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: h : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E' F

Context: x✝ : (i : ι) → E i

((↑(((liftIsometry 𝕜 E' F) h).comp (mapL f))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((↑((liftIsometry 𝕜 E F) (h.compContinuousLinearMap f))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝


Context:
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
x : α


Context:
α : Type u_1
c : Set (Set α)
H : ∀ (a : α), ∃! b, b ∈ c ∧ a ∈ b
x x✝ : α

(mkClasses c H).Rel x x✝ ↔ (mkClasses c H).Rel x✝ x


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V

v ∈ ↑s.direction ↔ v ∈ (fun x => p -ᵥ x) '' ↑s


(∃ x ∈ ↑s, x -ᵥ p = -v) ↔ ∃ x ∈ ↑s, p -ᵥ x = v


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)

Context: f : (a : α) → E a

Context: hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)

Context: f : (a : α) → E a

Context: C : ℝ

Context: hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: f : (a : α) → E a

Context: C : ℝ

Context: _i : Fact (1 ≤ ⊤)

Context: F : ι → ↥(lp E ⊤)

Context: hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)

Context: hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: ι : Type u_3

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: _i : Fact (1 ≤ p)

Context: F : ι → ↥(lp E p)

Context: hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)

Context: f : (a : α) → E a

Context: C : ℝ

Context: hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C

Context: hp : p < ⊤


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 1
hk : k ≠ 0
h : Squarefree (n ^ k)


Context:
s : Finset ℕ
m n p k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : 0 ≠ 1
h : Squarefree (0 ^ k)


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 1
hk : k ≠ 0
h : Squarefree (n ^ k)
h₁ : ¬k = 1


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 1
hk : k ≠ 0
h : Squarefree (n ^ k)
h₁ : ¬k = 1
this : 2 ≤ k


Context: m✝ n✝ a b c d n m : ℕ


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ


Context:
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ

(Squarefree n ∧ ∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) → Prime n


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
h : Squarefree (p ^ k)


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
h : Squarefree p ∧ k = 1


Context:
p b : ℝ
hp : 0 < p
hb : 0 < b


Context:
p b : ℝ
hp : 0 < p
hb : 0 < b

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, x ^ 0 * rexp (-b * x ^ p)


Context: n : ℕ


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)) ⋯

IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h)


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ k = 0


Context: K R : Type v

Context: V M : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Module K V

Context: f : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: x✝ : ↥((f.genEigenspace μ) k)

↑((LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ k) x✝) = ↑(0 x✝)


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : K[X]
q : ↥K[X]⁰

RatFunc.mk p ↑q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p q }


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2

∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

Context: hlo : (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

Context: hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

Context: hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

Context: n : ℕ

Context: hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖

Context: hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

Context: n : ℕ

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖

Context: i : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: T : ℕ → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: a b : α → ℝ

Context: r : α → ℕ → ℕ

Context: R : AkraBazziRecurrence T g a b r

Context: h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)

Context: h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)

Context: hc_pos : 0 < c

Context: h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2

Context: hc_lt_one : c < 1

Context: n : ℕ

Context: i : α

Context: hn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ : Finset α


Context:
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
n : ℕ


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
inst✝ : l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
ha' : f a ≤ g a
he : g ≤ᶠ[l] f


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
inst✝ : l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
ha' : f a ≤ g a
he : g ≤ᶠ[l] f


Context:
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
a : X
l : Filter X
ha : a ∈ s
inst✝ : l.NeBot
hl : l ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
ha' : f a ≤ g a
he : g ≤ᶠ[l] f
b : ↑s
h : s.restrict f b = s.restrict g b


Context:
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsRat (a ^ nb) num den


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
J J₂ : GrothendieckTopology C
X : C


Context:
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c : R

a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = a₁ + b₁ + (a₂ + b₂)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α

⌈a + b⌉₊ ≤ ⌈a⌉₊ + ⌈b⌉₊


a + b ≤ ↑⌈a⌉₊ + ↑⌈b⌉₊


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono (G.map f)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono (G.map f)
this : Mono (G.map f ≫ (α.app Y).inv)


F.map f = (α.app X).hom ≫ G.map f ≫ (α.app Y).inv


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
p : ℕ

p ∈ (m / m.gcd n).primeFactors ↔ p ∈ m.primeFactors \ n.primeFactors


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
p : ℕ
this : m / m.gcd n ≠ 0


Prime p ∧ m.gcd n * p ∣ m ↔ (Prime p ∧ p ∣ m) ∧ (Prime p → ¬p ∣ n)


Context: s : Finset ℕ

Context: m n p✝ : ℕ

Context: hm : Squarefree m

Context: hn : n ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: this : m / m.gcd n ≠ 0

Context: hp : (Prime p ∧ p ∣ m) ∧ (Prime p → ¬p ∣ n)


Context: s : Finset ℕ

Context: m n p✝ : ℕ

Context: hm : Squarefree m

Context: hn : n ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: this : m / m.gcd n ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hsf : support f ⊆ s

∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ


∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N

(inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) ((lTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N

(inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y


inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ


∀ (x : Q) (y : N), (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (x ⊗ₜ[R] y) = (range (lTensor Q f)).mkQ (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N

(inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (lTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)


Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] h (g q)) = Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] q)


n ⊗ₜ[R] (h (g q) - q) ∈ range (lTensor Q f)


Context:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P

⇑((liftLie R L M N P) f) = ⇑((lift R L M N P) ↑f)


↑((liftLie R L M N P) f) = (lift R L M N P) ↑f


Context:
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N

((AlgebraTensorModule.curry ↑((liftLie R L M N P) f)) m) n = ((AlgebraTensorModule.curry ((lift R L M N P) ↑f)) m) n


Context: n : ℤ

Context: help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 8 → χ₈' ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 ∨ m = 3 then 1 else -1

χ₈' ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1


Context: n : ℤ

χ₈' ↑(n % ↑8) = if n % 8 % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂

comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂) = QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂


(associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂)) = (associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂)


Context:
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₂ m₂' : M₂

((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂)))) 1) m₂)) 1) m₂' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂))) 1) m₂)) 1) m₂'


(((associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂))) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂') = (((associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂')


((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom R) Q₂) ↑(TensorProduct.lid R M₂) ↑(TensorProduct.lid R M₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂') = (((associated QuadraticMap.sq).tmul (associated Q₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂')


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
this : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : CategoryWithHomology C

Context: inst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization

Context: inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: φ : { as := K } ⟶ { as := L }

HomotopyCategory.quasiIso C c φ → IsIso (Qh.map φ)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : CategoryWithHomology C

Context: inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: φ : K ⟶ L

HomotopyCategory.quasiIso C c ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ) → IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: ι : Type u_2

Context: c : ComplexShape ι

Context: inst✝³ : Preadditive C

Context: inst✝² : CategoryWithHomology C

Context: inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C

Context: K L : HomologicalComplex C c

Context: φ : K ⟶ L

IsIso (Q.map φ) → IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i j : ι
w : c.Rel i j

f.prev j = (C₁.xPrevIso w).hom ≫ f.f i ≫ (C₂.xPrevIso w).inv


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
j : ι
w : c.Rel (c.prev j) j

f.prev j = (C₁.xPrevIso w).hom ≫ f.f (c.prev j) ≫ (C₂.xPrevIso w).inv


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁴ : Module R N

Context: P : Type u_4

Context: inst✝³ : AddCommGroup P

Context: inst✝² : Module R P

Context: T : Type u_5

Context: inst✝¹ : AddCommGroup T

Context: inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T

Context: f g : AdicCompletion I M → N

Context: h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M), f ((mk I M) a) = g ((mk I M) a)

Context: x : AdicCompletion I M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
S : Set (UpperSet α)


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h : LiftRel r s x y


Context: e : ℤˣ


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0


(∑ i ∈ range n, P ^ i).degree < (P ^ n).degree


((range n).sup fun b => (P ^ b).degree) < (P ^ n).degree


∀ b ∈ range n, (P ^ b).degree < (P ^ n).degree


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

∀ (x y : B), (fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b) (x + y) = (fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b) x + (fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b) y


∀ (m : R) (x : B), { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun x


∀ (x y : B), { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (x * y) = { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x * { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } y


(LinearMap.mul R B).compr₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } = (LinearMap.mul R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ∘ₗ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).compl₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₁ : ι

(LinearMap.mul R B).compr₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ∘ₗ (ℬ i₁).subtype = (LinearMap.mul R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ∘ₗ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).compl₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ∘ₗ (ℬ i₁).subtype


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₁ : ι
b₁ : ↥(ℬ i₁)
b₂ : B

1 ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂) = 1 ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * 1 ᵍ⊗ₜ[R] b₂


Context:
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g : ι → α
h : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s


Context:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : { j // j ≠ i } → ↑I

({ toFun := fun t => ⟨((↑p).comp (Cube.insertAt i).toContinuousMap).curry t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 0) t = const t


({ toFun := fun t => ⟨((↑p).comp (Cube.insertAt i).toContinuousMap).curry t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 1) t = const t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)

↑(finPiFinEquiv (Pi.single i j)) = ↑j * ∏ j : Fin ↑i, n (Fin.castLE ⋯ j)


∀ (x : Fin m), x ≠ i → ↑(Pi.single i j x) * ∏ j : Fin ↑x, n (Fin.castLE ⋯ j) = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)
x : Fin m
hx : x ≠ i

↑(Pi.single i j x) * ∏ j : Fin ↑x, n (Fin.castLE ⋯ j) = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι

Context: a b : ℝ

Context: f : ι → Ω → ℝ

Context: N : ι

Context: n m : ℕ

Context: ω : Ω

upperCrossingTime a b f N n ω ≤ lowerCrossingTime a b f N n ω


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
φ : α ≃ₜ β
s : Set β

(interior s).Nonempty ↔ (interior (⇑φ ⁻¹' s)).Nonempty


Context:
a : ℤ
ha : IsUnit a


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ι : Type u_7
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set E

IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, IsVonNBounded 𝕜 (s i)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ι : Type u_7
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set E
x✝ : Finite ↑I


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hb : AddLECancellable b

Context: hba : b ≤ a


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α✝

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α✝

Context: inst✝² : OrderTopology α✝

Context: l : Filter β

Context: f g : β → α✝

Context: α : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: h_nhds : ∀ (a : α), 𝓝 a = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r}

Context: a : α

Context: this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α := { topology_eq_generate_intervals := rfl }


Context:
q : ℝ
hq' : 1 < q


Context:
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f✝ : G ⟶ H
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
y : ↑N
m : ↑M

(cokernel.π f) (y + f m) = (cokernel.π f) y


Context:
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n
hdiff : m ≠ n


∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ m.divisors → x ∈ n.properDivisors


Context:
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n
hdiff : m ≠ n
x : ℕ
hx : x ∈ m.divisors


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Finset α
h : IsCompl s t
f : α → β

∏ x ∈ s.disjUnion t ⋯, f x = ∏ i : α, f i


Context:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V

‖fourierSMulRight L f v‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : Ring S

Context: f : R[X]

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: map✝¹ : R[X] →+* S

Context: map_surjective✝¹ : Function.Surjective ⇑map✝¹

Context: ker_map✝¹ : RingHom.ker map✝¹ = Ideal.span {f}

Context: algebraMap_eq✝¹ : algebraMap R S = map✝¹.comp C

Context: map✝ : R[X] →+* S

Context: map_surjective✝ : Function.Surjective ⇑map✝

Context: ker_map✝ : RingHom.ker map✝ = Ideal.span {f}

Context: algebraMap_eq✝ : algebraMap R S = map✝.comp C

Context: eq : ∀ (x : R[X]), { map := map✝¹, map_surjective := map_surjective✝¹, ker_map := ker_map✝¹, algebraMap_eq := algebraMap_eq✝¹ }.map x = { map := map✝, map_surjective := map_surjective✝, ker_map := ker_map✝, algebraMap_eq := algebraMap_eq✝ }.map x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝¹ : EffectiveEpi π

Context: inst✝ : HasPullback π π

Context: hP : Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (P.map π.op) ⋯))

Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝¹ : EffectiveEpi π

Context: inst✝ : HasPullback π π

Context: hP : ∀ (y : P.obj (op X)), P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).fst.op y = P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D

Context: inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

Context: X B : C

Context: π : X ⟶ B

Context: inst✝¹ : EffectiveEpi π

Context: inst✝ : HasPullback π π

∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P

(pointReflection x) y = (Equiv.symm (pointReflection x)) y


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: f✝ g✝ : Arrow C

Context: inst✝³ : HasImage f✝.hom

Context: inst✝² : HasImage g✝.hom

Context: sq✝ : f✝ ⟶ g✝

Context: f g : Arrow C

Context: inst✝¹ : HasImage f.hom

Context: inst✝ : HasImage g.hom

Context: sq : f ⟶ g

Context: map : image f.hom ⟶ image g.hom

Context: map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝

Context: map' : image f.hom ⟶ image g.hom

Context: map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: f✝ g✝ : Arrow C

Context: inst✝³ : HasImage f✝.hom

Context: inst✝² : HasImage g✝.hom

Context: sq✝ : f✝ ⟶ g✝

Context: f g : Arrow C

Context: inst✝¹ : HasImage f.hom

Context: inst✝ : HasImage g.hom

Context: sq : f ⟶ g

Context: map : image f.hom ⟶ image g.hom

Context: map' : image f.hom ⟶ image g.hom


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f : WithLp ⊤ (α × β)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : GroupWithZero K
inst✝ : Fintype K
a : K
h : ¬a = 0


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hxy : x < y


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x y : M

polar (⇑Q) x (a • y) = a • polar (⇑Q) x y


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
F : (i : α) → i ∈ s → β

{y | ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), F x hx = y}.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
F : (i : α) → i ∈ s → β
this : Finite ↑s


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
h : slope f a b = 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K

x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥


(∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R

(∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥


x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯


(∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯


(∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: x : (b : β) → π b

Context: r : ℝ

Context: h : 0 < r ∨ Nonempty β

sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: x : (b : β) → π b

Context: r : ℝ

Context: h : 0 < r ∨ Nonempty β

Context: hr : r < 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: x : (b : β) → π b

Context: h : 0 < 0 ∨ Nonempty β

sphere x 0 = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) 0) ∩ closedBall x 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: x : (b : β) → π b

Context: r : ℝ

Context: h : 0 < r ∨ Nonempty β

Context: hr : 0 < r


Context:
c d : ℝ≥0∞
r p q a b : ℝ≥0


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

(((kroneckerMapBilinear f) A) B).trace = (f A.trace) B.trace


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝ : Category.{u_6, u_3} C₃
W : MorphismProperty C₁
F : C₁ ⥤ C₂
G : C₂ ⥤ C₃

(W.map F).IsInvertedBy G ↔ W.IsInvertedBy (F ⋙ G)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α

U ∈ ⨅ i, s i ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ i ∈ I, V i ∧ U = ⋂ i, V i


(∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i) ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ x, V ↑x ∧ U = ⋂ i, V i


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: b' : Basis ι' R M'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: bi : M

Context: hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ

b.reindexFinsetRange ⟨bi, hbi⟩ = ↑⟨bi, hbi⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: R₂ : Type u_4

Context: K : Type u_5

Context: M : Type u_6

Context: M' : Type u_7

Context: M'' : Type u_8

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_9

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: b b₁ : Basis ι R M

Context: i✝ : ι

Context: c : R

Context: x : M

Context: b' : Basis ι' R M'

Context: e : ι ≃ ι'

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq M

Context: i : ι

Context: hbi : b i ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ

b.reindexFinsetRange ⟨b i, hbi⟩ = ↑⟨b i, hbi⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source

↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] (f.extend I).target ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s


↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


univ ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)


↑I.symm ⁻¹' f.target ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
this : (𝓝[<] a).NeBot


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ

minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1


(Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (X ^ orderOf σ - C 1) = 0


∀ (q : K[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0 → (X ^ orderOf σ - C 1).degree ≤ q.degree


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
a b x✝ : A

(mulRight R (a * b)) x✝ = (mulRight R b ∘ₗ mulRight R a) x✝


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X ⊕ Y → Z

IsOpenMap f ↔ (IsOpenMap fun a => f (inl a)) ∧ IsOpenMap fun b => f (inr b)


Context: h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1


Context: h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1

Summable fun b => -↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) b)


Context: h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1

Summable (-fun i => ↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) i))


Context:
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1
n : ℕ

{n | Nat.Prime n}.indicator (term (fun n => ↑(μ n)) 1) n = (-fun i => ↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) i)) n


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ

∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
hf_int_m : Integrable (↑f) (μ.trim hm)


∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ f.range, ((μ.trim hm) (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
hf_int_m : Integrable (↑f) (μ.trim hm)
x : F

μ (↑f ⁻¹' {x}) = (μ.trim hm) (↑f ⁻¹' {x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ : List α
f : β → α
b : β
l : List β

Pairwise R (map f (b :: l)) ↔ Pairwise (fun a b => R (f a) (f b)) (b :: l)


Context: r n : ℕ


Context:
r n : ℕ
b : r ≤ n


Context:
r n : ℕ
b : r > n


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s t : Set α

(s ∪ t).Infinite ↔ s.Infinite ∨ t.Infinite


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : Adhesive D

Context: H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g

Context: H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g

Context: inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F

Context: inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F

Context: inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hf : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : Adhesive D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hf : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : Adhesive D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hf : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsVanKampenColimit (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : Adhesive D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hf : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (diagramIsoSpan (span f g ⋙ F)).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : Adhesive D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hf : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i

IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk ((F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)).ι.app WalkingSpan.left) ((F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)).ι.app WalkingSpan.right) ⋯)


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁷ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C

Context: f✝ : W✝ ⟶ X✝

Context: g✝ : W✝ ⟶ Y✝

Context: h✝ : X✝ ⟶ Z✝

Context: i✝ : Y✝ ⟶ Z✝

Context: D : Type u''

Context: inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁴ : Adhesive D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: hf : Mono f

Context: H : IsPushout f g h i


Context:
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n i : ℕ


Context:
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g


Context: α✝ : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : Div G

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: f✝ g✝ : α → G

Context: μ : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E

Context: inst✝ : Countable E

Context: f g : α → E

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}


Context: α✝ : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : Div G

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: f✝ g✝ : α → G

Context: μ : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E

Context: inst✝ : Countable E

Context: f g : α → E

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

MeasurableSet (⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j})


Context: α✝ : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : Div G

Context: m✝ : MeasurableSpace α

Context: f✝ g✝ : α → G

Context: μ : Measure α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: E : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E

Context: inst✝ : Countable E

Context: f g : α → E

Context: hf : Measurable f

Context: hg : Measurable g

Context: j : E


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'

baseChange A ((b'.linearMap b) ij) = ((basis A b').linearMap (basis A b)) ij


∀ (i : ι'), (baseChange A ((b'.linearMap b) ij)) ((basis A b') i) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') i)


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
k : ι'

(baseChange A ((b'.linearMap b) ij)) ((basis A b') k) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') k)


1 ⊗ₜ[R] ((b'.linearMap b) ij) (b' k) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') k)


(1 ⊗ₜ[R] if ij.2 = k then b ij.1 else 0) = if ij.2 = k then 1 ⊗ₜ[R] b ij.1 else 0


Context:
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ

↑(gcdAux n.succ (pos a) b) = (↑(pos a)).gcd ↑b


↑(gcdAux n (b % pos a) (pos a)) = (↑a).gcd ↑b


(↑b % ↑(pos a)).gcd ↑(pos a) = (↑b % ↑a).gcd ↑a


Context:
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * ↑b < 2 ^ n.succ


Context: n : ℕ

Context: a : PosNum

Context: b : Num

Context: ab : pos a ≤ b

Context: h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2


Context: n : ℕ

Context: a : PosNum

Context: b : Num

Context: ab : pos a ≤ b

↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) * 2 ≤ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a)))


Context: n : ℕ

Context: a : PosNum

Context: b : Num

Context: ab : pos a ≤ b

↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) + ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) ≤ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) + ↑(pos a) * (↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a)))


Context: n : ℕ

Context: a : PosNum

Context: b : Num

Context: ab : pos a ≤ b


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''

CotangentSpace.map (Hom.id P) = LinearMap.id


∀ (i : P.vars), (CotangentSpace.map (Hom.id P)) (P.cotangentSpaceBasis i) = LinearMap.id (P.cotangentSpaceBasis i)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
i : P.vars

(CotangentSpace.map (Hom.id P)) (P.cotangentSpaceBasis i) = LinearMap.id (P.cotangentSpaceBasis i)


1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) ((Hom.id P).val i) = LinearMap.id (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) (X i))


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} #M
this : Inhabited M

((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable


Context:
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : Nonempty (↑s ↪ M)
this : Inhabited M


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: s : Set α

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : Nonempty M

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : M ⊨ T

Context: h : Nonempty (↑s ↪ M)

Context: this✝ : Inhabited M

Context: this : (constantsOn α).Structure M := constantsOn.structure (Function.extend Subtype.val (⇑h.some) default)


Context: L : Language

Context: T✝ : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' T : L.Theory

Context: s : Set α

Context: M : Type w'

Context: inst✝² : Nonempty M

Context: inst✝¹ : L.Structure M

Context: inst✝ : M ⊨ T

Context: h : Nonempty (↑s ↪ M)

Context: this✝¹ : Inhabited M

Context: this✝ : (constantsOn α).Structure M := constantsOn.structure (Function.extend Subtype.val (⇑h.some) default)

Context: this : M ⊨ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ

∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℕ


Context: xl xr : Type u

Context: x y : PGame

Context: L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves

Context: R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves

Context: hl : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ≈ y.moveLeft (L i)

Context: hr : ∀ (j : x.RightMoves), x.moveRight j ≈ y.moveRight (R j)


Context: xl xr : Type u

Context: x y : PGame

Context: L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves

Context: R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves

(∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j


Context: xl xr : Type u

Context: x y : PGame

Context: L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves

Context: R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves

(∀ (i : y.LeftMoves), (∃ i', y.moveLeft i ≤ x.moveLeft i') ∨ ∃ j, (y.moveLeft i).moveRight j ≤ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), (∃ i, y ≤ (x.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', y.moveRight j' ≤ x.moveRight j


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module (MvPolynomial σ R) A
D : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
a : R
f : MvPolynomial σ R
this : C a • D f = D (C a * f)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α

Context: hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁷ : BorelSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁴ : BorelSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : OrderTopology α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : δ → α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: A : C

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles