Context:
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddCommMonoidWithOne R


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y

DiscreteTopology X ↔ IsLocallyInjective fun x => y


(∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x) ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: A : Type ?u.17551

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: y : Y

Context: x : X

Context: x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: inj : Set.InjOn (fun x => y) U


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: A : Type ?u.17551

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: y : Y

Context: x : X

Context: U : Set X

Context: hU : U ∈ 𝓝 x

Context: inj : Set.InjOn (fun x => y) U

Context: x' : X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: A : Type ?u.17551

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace A

Context: y : Y

Context: U : Set X

Context: inj : Set.InjOn (fun x => y) U

Context: x' : X

Context: x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x', Set.InjOn (fun x => y) U

Context: hU : U ∈ 𝓝 x'


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊


∀ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, a ≤ ‖f‖₊


Context:
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊

∃ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, ub < a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r

Context: hg : HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r

Context: N : ℕ

Context: hN : max n m ≤ N


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source


Context:
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (x * g) = -f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
s : Finset ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
a : ι → ι → 𝕜

∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, a i j • ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, a k k


Context: x : ℝ

Context: hx : Irrational x

Context: n : ℕ

Context: ε : ℝ

Context: H : ∀ k ≤ n, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑k)

Context: r : ℚ

Context: hr : r.den ≤ n


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T

(fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)


Context:
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ

(fourier (-n)) ↑z✝ = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) ↑z✝)


Context:
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ

↑(⋯.lift (-n • ↑z✝)) = (starRingEnd ℂ) ↑(⋯.lift (n • ↑z✝))


Context:
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ

↑(⋯.lift ↑(-n • z✝)) = (starRingEnd ℂ) ↑(⋯.lift ↑(n • z✝))


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
hv : HasDerivWithinAt v v' s x

HasDerivWithinAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) s x


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

Context: h₁ : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 * (2 * cos (π / 3) + 2) = 0


Context: x : ℝ

Context: h : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 = 0


Context: x : ℝ

Context: h : 2 * cos (π / 3) + 2 = 0


Context: q✝ q r : ℚ

q * r = mkRat (q.num * r.num) (q.den * r.den)


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
a : α
b✝ : β
g : β → α
hf : Injective f
hg : RightInverse g f
b : β


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i j : ι
h : j ≠ i


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
a b r : ℝ≥0∞
hr₀ : r ≠ 0
hr₁ : r ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
h : 1 < a


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: h₁ : e₁.cmp e₁ = Ordering.eq

Context: h₂ : _root_.cmp ↑n₁ ↑n₂ = Ordering.eq

Context: h : Ordering.eq.orElse (Ordering.eq.orElse (a₁.cmp a₁)) = Ordering.eq


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: h₁ : e₁.cmp e₁ = Ordering.eq

Context: h₂ : ¬↑n₁ < ↑n₂ ∧ ¬↑n₂ < ↑n₁


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: h₁ : e₁.cmp e₁ = Ordering.eq

Context: h₂ : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ ¬↑n₁ < ↑n₁


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ : AddChar A M

Context: f : A →+ B

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: ψ χ : AddChar B M

Context: h : (fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) ψ = (fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) χ


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : AddMonoid B

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: inst✝ : Monoid N

Context: ψ✝ : AddChar A M

Context: f : A →+ B

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: ψ χ : AddChar B M

Context: h : ⇑((fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) ψ) = ⇑((fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) χ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I

|(latticeBasis K).det (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)| = ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

(latticeBasis K).det (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e) = (algebraMap ℚ ℝ) ((integralBasis K).det (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

((latticeBasis K).toMatrix (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)).det = ((algebraMap ℚ ℝ).mapMatrix ((integralBasis K).toMatrix (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e))).det


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: i j : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

(latticeBasis K).toMatrix (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e) i j = (algebraMap ℚ ℝ).mapMatrix ((integralBasis K).toMatrix (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)) i j


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: i j : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

((latticeBasis K).repr ((mixedEmbedding K) ((basisOfFractionalIdeal K I) (e j)))) i = (algebraMap ℚ ℝ) (((integralBasis K).repr ((basisOfFractionalIdeal K I) (e j))) i)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0

x⁻¹ = (aeval x) p.divX / ((aeval x) p - (algebraMap K L) (p.coeff 0))


(aeval x) p = (aeval x) p.divX * x + (algebraMap K L) (p.coeff 0)


(aeval x) (p.divX * X + C (p.coeff 0)) = (aeval x) p.divX * x + (algebraMap K L) (p.coeff 0)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p q : S
h : Commute p q
h₁ : IsIdempotentElem p
h₂ : IsIdempotentElem q


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α✝
s t : Set α✝
a : α✝
m n✝ : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : AddMonoid α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: N O : Submodule R M

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N

Context: inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal

Context: y : M

Context: yN : y ∈ N

Context: ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: ψ : ↥O →ₗ[R] R

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})

generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: N O : Submodule R M

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: y : M

Context: yN : y ∈ N

Context: ψ : ↥O →ₗ[R] R

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: d_dvd_left : d ∣ a


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: N O : Submodule R M

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: y : M

Context: yN : y ∈ N

Context: ψ : ↥O →ₗ[R] R

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: d_dvd_left : d ∣ a

Context: d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: N O : Submodule R M

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: y : M

Context: yN : y ∈ N

Context: ψ : ↥O →ₗ[R] R

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: d_dvd_left : d ∣ a

Context: d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩

span R {generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})} = span R {generator (ϕ.submoduleImage N)}


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : IsDomain R

Context: inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: b : ι → M

Context: N O : Submodule R M

Context: hNO : N ≤ O

Context: ϕ : ↥O →ₗ[R] R

Context: y : M

Context: yN : y ∈ N

Context: ψ : ↥O →ₗ[R] R

Context: a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Context: d_dvd_left : d ∣ a

Context: d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩

generator (ϕ.submoduleImage N) ∈ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s t : Set A

Context: h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG

Context: h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG

(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))).FG


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s t : Set A

Context: p : Set A

Context: hp : p.Finite

Context: hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s t : Set A

Context: p : Set A

Context: hp : p.Finite

Context: q : Set A

Context: hq : q.Finite

Context: hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s t : Set A

Context: p : Set A

Context: hp : p.Finite

Context: q : Set A

Context: hq : q.Finite

span R (p * q) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : CommSemiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: s t : Set A

Context: p : Set A

Context: hp : p.Finite

Context: q : Set A

Context: hq : q.Finite

Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)) ≤ span R (p * q)


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ


(fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) =ᵐ[μ] fun x => ⟪mk f hf x, mk g hg x⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
x : α
hxg : g x = mk g hg x
hxf : f x = mk f hf x

(fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) x = (fun x => ⟪mk f hf x, mk g hg x⟫_𝕜) x


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M

ucs 1 ⊥ = LieModule.maxTrivSubmodule R L M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

p.applyComposition (Composition.ones n) = fun v i => (p 1) fun x => v (Fin.castLE ⋯ i)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
i : Fin (Composition.ones n).length

p.applyComposition (Composition.ones n) v i = (p 1) fun x => v (Fin.castLE ⋯ i)


∀ (i_1 : ℕ) (him : i_1 < (Composition.ones n).blocksFun i), i_1 < 1 → (v ∘ ⇑((Composition.ones n).embedding i)) ⟨i_1, him⟩ = v (Fin.castLE ⋯ i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup F

Context: inst✝¹² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F

Context: inst✝⁹ : Module 𝕜 G

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace E

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E

Context: inst✝³ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F

Context: inst✝¹ : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: i : Fin (Composition.ones n).length

Context: hjn : 0 < (Composition.ones n).blocksFun i

Context: hj1 : 0 < 1

((Composition.ones n).embedding i) ⟨0, hjn⟩ = Fin.castLE ⋯ i


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup G
f : α → α
g : α → G
n : ℕ
x : α

birkhoffSum f g n (f x) - birkhoffSum f g n x = g (f^[n] x) - g x


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
n : ℕ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: E' : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.117, u_1} C

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.121, u_2} D

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.125, u_3} E

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.129, u_4} E'

Context: A : Type u_5

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift D A

Context: inst✝¹ : HasShift E A

Context: inst✝ : HasShift E' A

Context: functor : A → C ⥤ D

Context: shiftIso : (n a a' : A) → n + a = a' → (functor a' ⋙ shiftFunctor D n ≅ functor a)

Context: shiftIso_zero : ∀ (a : A), shiftIso 0 a a ⋯ = isoWhiskerLeft (functor a) (shiftFunctorZero D A)

Context: n m a a' a'' : A

Context: ha' : n + a = a'

Context: ha'' : m + a' = a''


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a x : α

x ∈ (insert a s).erase a ↔ x ∈ s.erase a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : T2Space β

Context: fs : ℕ → α →ₛ β

Context: hT_lt_top : ∀ (n : ℕ), μ (support ↑(fs n)) < ⊤

Context: h_approx : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))

Context: T : ℕ → Set α := fun n => support ↑(fs n)

∃ t, MeasurableSet t ∧ (∀ x ∈ tᶜ, f x = 0) ∧ SigmaFinite (μ.restrict t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : T2Space β

Context: fs : ℕ → α →ₛ β

Context: hT_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (T n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f g : α → β

Context: inst✝² : Zero β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : T2Space β

Context: fs : ℕ → α →ₛ β

Context: t : Set α := ⋃ n, T n


Context:
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
x : Quotient G α
a b : ↑x.orbit

⟦a⟧ = ⟦b⟧ ↔ ⟦↑a⟧ = ⟦↑b⟧


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
k : ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k✝ l k : ℕ+
ζ : Mˣ


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : ∀ a ∈ l, ∀ b ∈ l, a ≠ b → r a b


Context:
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a✝ b✝ : α
l : List α
r : α → α → Prop
hl : l.Nodup
h : ∀ a ∈ l, ∀ b ∈ l, a ≠ b → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)

Context: f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}

Context: t_closed : IsClosed t


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}

Context: t_closed : IsClosed t

Context: t_comp : IsCompact t


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}

Context: t_closed : IsClosed t

Context: t_comp : IsCompact t

Context: st : s ⊆ t


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}

Context: t_closed : IsClosed t

Context: t_comp : IsCompact t

Context: st : s ⊆ t

Context: A : ν (t \ s) ≤ μ' (t \ s)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}

Context: t_closed : IsClosed t

Context: t_comp : IsCompact t

Context: st : s ⊆ t

Context: A : ν (t \ s) ≤ μ' (t \ s)

Context: B : μ' t = ν t


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}

Context: t_closed : IsClosed t

Context: t_comp : IsCompact t

Context: st : s ⊆ t

Context: A : μ' t - ν s ≤ μ' t - μ' s

Context: B : μ' t = ν t


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'

Context: inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : IsCompact (closure s)

Context: f : G → ℝ

Context: f_cont : Continuous f

Context: t : Set G := f ⁻¹' {1}

Context: t_closed : IsClosed t

Context: t_comp : IsCompact t

Context: st : s ⊆ t

Context: A : ν t - ν s ≤ μ' (t \ s)

Context: B : μ' t = ν t


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot
B : ℕ → Set α
h : f.HasAntitoneBasis B


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot
B : ℕ → Set α
h : f.HasAntitoneBasis B
x : ℕ → α
hx : ∀ (n : ℕ), x n ∈ B n


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ ENNReal.toReal 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ ⊤.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : (i : α) → E i

Context: hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal

Context: hp : 0 < p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α

Context: inst✝³ : PartialOrder α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : ZeroLEOneClass α

Context: inst✝ : CharZero α

Context: m n : ℕ

↑n ≤ 1 ↔ n ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α


¬IsUnit b → ((∀ (a_2 b_1 : α), ↑a * b = a_2 * b_1 → IsUnit a_2 ∨ IsUnit b_1) ↔ ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.42681, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
e f : ℤ
hf : -1 + e = f
γ : Cochain G K e
he : 0 + e = e


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.212142}
n : ℕ


(∃ t, ↑t = univ ∧ t.card = n) ↔ ∃ h, Fintype.card α = n


Context:
l m r : List Char
it₁ it₂ : Iterator
h₁ : ValidFor l (m ++ r) it₁
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r it₂


Context: l m r : List Char

Context: it₂ : Iterator

Context: h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r it₂

Context: h₁ : ValidFor l (m ++ r) { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }

{ s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.extract it₂ = { data := m }


Context: l m r : List Char

Context: h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r { s := { data := (m.reverse ++ l).reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len (m.reverse ++ l) } }

{ s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.extract { s := { data := (m.reverse ++ l).reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len (m.reverse ++ l) } } = { data := m }


Context: l m r : List Char

{ data := l.reverse ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len m + utf8Len l } = { data := m }


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D

Context: inst✝⁷ : Category.{?u.20890, u_3} E

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ E

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: inst✝⁶ : AddMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : HasShift C A

Context: inst✝³ : HasShift D A

Context: inst✝² : HasShift E A

Context: inst✝¹ : HasShift C B

Context: inst✝ : HasShift D B

Context: a b : A

Context: e₁ : shiftFunctor C a ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D a

Context: e₂ : shiftFunctor C b ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D b

Context: X : C

(isoAdd e₁ e₂).hom.app X = F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ e₂.hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map (e₁.hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X)


Context:
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c x✝¹ x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]

{ toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ * x✝) = { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝


{ toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ + x✝) = { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ + { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝


Context:
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
x✝ : R

{ toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝) = (algebraMap R ℍ[R,c₂,c₁]) x✝


Context:
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M


Context: M : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module ℤ M

Context: inst✝ : Finite ℤ M

Context: hM : IsTorsion ℤ M

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}


Context: M : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module ℤ M

Context: inst✝ : Finite ℤ M

Context: hM : IsTorsion ℤ M

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: this : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs


Context: M : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module ℤ M

Context: inst✝ : Finite ℤ M

Context: hM : IsTorsion ℤ M

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: this✝ : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs

Context: this : ∀ (i : ι), _root_.Finite (ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})


Context: M : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup M

Context: inst✝¹ : Module ℤ M

Context: inst✝ : Finite ℤ M

Context: hM : IsTorsion ℤ M

Context: ι : Type

Context: w✝ : Fintype ι

Context: p : ι → ℤ

Context: h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)

Context: e : ι → ℕ

Context: this✝¹ : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs

Context: this✝ : ∀ (i : ι), _root_.Finite (ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})

Context: this : _root_.Finite (⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'

f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) → f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)


(∃ a, ((a.sum fun x x => x) = n ∧ a.support ⊆ s) ∧ (mapRange.addEquiv e).toEmbedding a = f) → (f.sum fun x x => x) = e n ∧ f.support ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
g : ι →₀ μ
hsum : (g.sum fun x x => x) = n
hsupp : g.support ⊆ s

(((mapRange.addEquiv e).toEmbedding g).sum fun x x => x) = e n ∧ ((mapRange.addEquiv e).toEmbedding g).support ⊆ s


((mapRange ⇑e ⋯ g).sum fun x x => x) = e n ∧ (mapRange ⇑e ⋯ g).support ⊆ s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0

(↑p ^ n * c).valuation = ↑n + c.valuation


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ‖↑p ^ n * c‖ = ‖↑p ^ n‖ * ‖c‖


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ‖↑p ^ n * c‖ = ‖↑p ^ n‖ * ‖c‖
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : c ≠ 0

Context: this : ↑p ^ (-(↑p ^ n * c).valuation) = ↑p ^ (-(↑n + c.valuation))

Context: aux : ↑p ^ n * c ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : c ≠ 0

Context: aux : ↑p ^ n * c ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℕ

Context: c : ℤ_[p]

Context: hc : c ≠ 0

Context: this : ↑p ^ (-(↑p ^ n * c).valuation) = ↑p ^ (-↑n) * ↑p ^ (-c.valuation)

Context: aux : ↑p ^ n * c ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
this : Infinite ↑s


Context: θ : Angle


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α

‖a ^ n‖₊ ≤ ‖n‖₊ * ‖a‖₊


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

(W.baseChange B).φ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).φ n)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: s : Set α

Context: B : Set (Set α)

Context: empty_mem : ∅ ∈ B

Context: subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B

Context: union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B

Context: sUnion_univ : ∀ (x : α), {x} ∈ B


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x

P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : 1 < x


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
hx : 0 < 1

P.f_modif (1 / 1) = (P.ε * ↑(1 ^ P.k)) • P.g_modif 1


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν✝ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
μ ν : Measure α

eLpNorm f 1 (μ + ν) = eLpNorm f 1 μ + eLpNorm f 1 ν


∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂(μ + ν) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

ContMDiffWithinAt (I.prod J) I n Prod.fst s p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

ContinuousWithinAt Prod.fst s p ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.1).source)) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

Context: y : E × F

Context: hy : y ∈ (extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.1).source)

(↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) y = y.1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: s : Set (M × N)

Context: p : M × N

(↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p) = (↑(extChartAt (I.prod J) p) p).1


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0

MellinConvergent (fun t => f (t ^ a)) s ↔ MellinConvergent f (s / ↑a)


MellinConvergent (fun t => f (t ^ a)) s ↔ IntegrableOn (fun x => x ^ (a - 1) • ↑(x ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (x ^ a)) (Ioi 0) volume


IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => x ^ (a - 1) • ↑(x ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (x ^ a)) (Ioi 0) volume


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0


Context:
a : ℕ
h : a % 2 = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: s : Set (ι → ℝ)

Context: x y : ι → ℝ

Context: δ : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty ι


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
h : IsUnit ((toMatrix v v') f).det
x : M

((toLin v' v) ((toMatrix v v') f)⁻¹) (f x) = ((toLin v v) (((toMatrix v v') f)⁻¹ * (toMatrix v v') f)) x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
h : IsUnit ((toMatrix v v') f).det
x : M'

f (((toLin v' v) ((toMatrix v v') f)⁻¹) x) = ((toLin v' v') ((toMatrix v v') f * ((toMatrix v v') f)⁻¹)) x


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : NumberField L

Context: f : K ≃ₐ[ℚ] L

Context: f₀ : 𝓞 K ≃ₗ[ℤ] 𝓞 L := (AlgEquiv.restrictScalars ℤ f).mapIntegralClosure.toLinearEquiv


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : NumberField L

Context: f : K ≃ₐ[ℚ] L

Algebra.discr ℚ (⇑f ∘ ⇑(integralBasis K)) = ↑(Algebra.discr ℤ ⇑((RingOfIntegers.basis K).map f₀))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : NumberField L

Context: f : K ≃ₐ[ℚ] L

Algebra.discr ℚ (⇑f ∘ ⇑(integralBasis K)) = (algebraMap ℤ ℚ) (Algebra.discr ℤ ⇑((RingOfIntegers.basis K).map f₀))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : NumberField L

Context: f : K ≃ₐ[ℚ] L

Algebra.discr ℚ (⇑f ∘ ⇑(integralBasis K)) = Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ L ((RingOfIntegers.basis K).map f₀))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : NumberField L

Context: f : K ≃ₐ[ℚ] L

Context: x✝ : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

(⇑f ∘ ⇑(integralBasis K)) x✝ = (Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ L ((RingOfIntegers.basis K).map f₀)) x✝


Context: K : Type u_1

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : NumberField K

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹ : Field L

Context: inst✝ : NumberField L

Context: f : K ≃ₐ[ℚ] L

f ((algebraMap (𝓞 K) K) ((RingOfIntegers.basis K) x✝)) = (algebraMap (𝓞 L) L) (f₀ ((RingOfIntegers.basis K) x✝))


Context:
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : ¬f.IsClosable


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p
this : Finite α


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h✝ : Nat.card α ∣ p
this : Finite α
h : Nat.card α = 1


Context:
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h✝ : Nat.card α ∣ p
this : Finite α
h : Nat.card α = p


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f✝ f : ι →₀ μ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R
p : R[X][Y]

eval y (map (evalRingHom x) p) = evalEval x y p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
a b : List α

Forall₂ (fun x x_1 => x = x_1) a b = (a = b)


Context:
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
x y : R✝
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
n : ℕ
hn : f ^ n = 0


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
f : F
x : A
p : R[X]


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝¹ q✝ : R[X]
x✝ : A
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
f : F
x : A
p✝ p q : R[X]
hp : (aeval (f x)) p = f ((aeval x) p)
hq : (aeval (f x)) q = f ((aeval x) q)

(aeval (f x)) (p + q) = f ((aeval x) (p + q))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f g✝ : β → α

Context: a b : α

Context: s : Finset β

Context: g : γ → α

Context: e : ↑(mulSupport f) ≃ ↑(mulSupport g)

Context: he : ∀ (x : ↑(mulSupport f)), g ↑(e x) = f ↑x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: f g✝ : β → α

Context: a b : α

Context: s : Finset β

Context: g : γ → α

Context: e : ↑(mulSupport f) ≃ ↑(mulSupport g)

Context: this : (g ∘ Subtype.val) ∘ ⇑e = f ∘ Subtype.val


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
x : L
hx : x ∈ (algebraMap K L).fieldRange


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ

(o.oangle x (r₁ • x + r₂ • y)).sign = SignType.sign r₂ * (o.oangle x y).sign


(o.oangle x (-r₁ • x + (r₁ • x + r₂ • y))).sign = SignType.sign r₂ * (o.oangle x y).sign


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R✝
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ≥0 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : ContinuousSMul ℝ≥0 𝕜

Tendsto (⇑(algebraMap ℝ≥0 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: t : TopologicalSpace β

Context: f✝ f : α → β

Context: s : Set α

Context: this : TopologicalSpace α := induced f t

IsClosed s ↔ ∀ (a : α), f a ∈ closure (f '' s) → a ∈ s


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι'
i : ι'
j✝ : ι

(toMatrix b b') id i j✝ = b'.toMatrix (⇑b) i j✝


Context:
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius

∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h : ↑r < p.radius

Context: this : ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: r : ℝ≥0

Context: h : ↑r < p.radius

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ Ioo 0 1

Context: C : ℝ

Context: hC : C > 0

Context: H : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a b : E

⟪a, b⟫_ℝ ^ 2 + (o.areaForm a) b ^ 2 = ‖a‖ ^ 2 * ‖b‖ ^ 2


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x


Context: α : Type u

Context: t : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : α → Set α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x

Context: this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x


Context: α : Type u

Context: t✝ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : α → Set α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x

Context: t : Set ↑s

Context: htc : t.Countable

Context: htU : ⋃ x ∈ t, Subtype.val ⁻¹' f ↑x = univ


Context: α : Type u

Context: t✝ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : α → Set α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x

Context: t : Set ↑s

Context: htc : t.Countable

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s


Context: α : Type u

Context: t✝ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : SecondCountableTopology α

Context: f : α → Set α

Context: s : Set α

Context: hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x

Context: t : Set ↑s

Context: htc : t.Countable

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: htU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ ⋃ i ∈ t, f ↑i


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k

Context: s : Set α := limsup S atTop

Context: hs : s = limsup S atTop


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k

Context: s : Set α := limsup S atTop

Context: hs : s = limsup S atTop

Context: hμs : μ s = 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k

Context: s : Set α := limsup S atTop

Context: hs : s = limsup S atTop

Context: hμs : μ s = 0

Context: h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k

Context: s : Set α := limsup S atTop

Context: hs : s = limsup S atTop

Context: hμs : μ s = 0

StrictMono ns ∧ μ {a | ¬Tendsto (fun i => f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} = 0


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k

Context: s : Set α := limsup S atTop

Context: hs : s = limsup S atTop

Context: hμs : μ s = 0

Context: x : α

x ∈ {a | ¬Tendsto (fun i => f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} → x ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : MetricSpace E

Context: f : ℕ → α → E

Context: g : α → E

Context: hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g

Context: hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k

Context: s : Set α := limsup S atTop

Context: hs : s = limsup S atTop

Context: hμs : μ s = 0

Context: x : α

x ∉ s → Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, (1 + x ^ 2)⁻¹ = arctan b - arctan a


Context: a b c d d' : List Γ'

update (elim a b c d) stack d' = elim a b c d'


Context:
a b c d d' : List Γ'
x : K'

update (elim a b c d) stack d' x = elim a b c d' x


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: g : α → ↑P α

Context: f : α → P.M

Context: hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)

Context: x : α


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: g : α → ↑P α

Context: f : α → P.M

Context: x : α

∀ (x : α), (fun x => True) x → ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: g : α → ↑P α

Context: f : α → P.M

Context: x : α

Context: a✝ : True

Context: a : P.A

Context: f' : P.B a → α

Context: gxeq : g x = ⟨a, f'⟩

∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: g : α → ↑P α

Context: f : α → P.M

Context: x : α

Context: a✝ : True

Context: a : P.A

Context: f' : P.B a → α

Context: gxeq : g x = ⟨a, f'⟩

Context: h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: g : α → ↑P α

Context: f : α → P.M

Context: x : α

Context: a✝ : True

Context: a : P.A

Context: f' : P.B a → α

Context: gxeq : g x = ⟨a, f'⟩

Context: h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩

Context: h₁ : (M.corec g x).dest = ⟨a, M.corec g ∘ f'⟩


Context: F : PFunctor.{u}

Context: X : Type u_1

Context: f✝ : X → ↑F X

Context: P : PFunctor.{u}

Context: α : Type u_2

Context: g : α → ↑P α

Context: f : α → P.M

Context: x : α

Context: a✝ : True

Context: a : P.A

Context: f' : P.B a → α

Context: gxeq : g x = ⟨a, f'⟩

Context: h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩

Context: i : P.B a

∃ x', (fun x => True) x' ∧ (f ∘ f') i = f x' ∧ (M.corec g ∘ f') i = M.corec g x'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y

add' W (neg' W (α.map L ⋯)) (α.map L ⋯) = L.map 0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
this : IsIso (L.map α.s)


(LeftFraction₂.mk (-α.f) α.f α.s ⋯).add.map L ⋯ = L.map 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

Polynomial.derivative (bernsteinPolynomial R n 0) = -↑n * bernsteinPolynomial R (n - 1) 0


Context:
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommRing R✝

Context: I✝ : Ideal R✝

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M✝

Context: N : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup N

Context: inst✝⁵ : Module R✝ N

Context: R : Type u

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: M : Type u

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : IsNoetherianRing R

Context: inst✝ : Module.Finite R M

Context: x : M

Context: h : (of I M) x = (ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M) (1 ⊗ₜ[R] x)

(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M).symm ((of I M) x) = 1 ⊗ₜ[R] x


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B


∀ (g g' : H), g • ⇑j '' B = g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (g • ⇑j '' B) (g' • ⇑j '' B)


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G

φ g • ⇑j '' B = φ g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (φ g • ⇑j '' B) (φ g' • ⇑j '' B)


⇑j '' (g • B) = ⇑j '' (g' • B) ∨ Disjoint (⇑j '' (g • B)) (⇑j '' (g' • B))


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
h : g • B = g' • B


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
h : Disjoint (g • B) (g' • B)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a✝ b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: x : Set α

Context: hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))

Context: a : α

Context: ha : a ∈ minimals r x

Context: a' : α

Context: h' : a' ∈ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝ t : Set α

Context: a✝ b x✝ : α

Context: f : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: x : Set α

Context: a : α

Context: ha : a ∈ minimals r x

Context: a' : α

Context: h' : a' ∈ x


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ F

Context: this : Fact (finrank ℝ F = finrank ℝ F)

Context: o : Orientation ℝ F (Fin (finrank ℝ F)) := (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.orientation


Context: ι : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Fintype ι

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: inst✝² : FiniteDimensional ℝ F

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace F

Context: inst✝ : BorelSpace F

Context: b : OrthonormalBasis ι ℝ F

Context: this : Fact (finrank ℝ F = finrank ℝ F)

o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c

inversion c R '' ↑(perpBisector c y) = sphere (inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c}


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
m : Set (Measure α)
hm : m.Nonempty
ht : MeasurableSet t
s : Set α
hs : MeasurableSet s

((sInf m).restrict t) s = (sInf ((fun μ => μ.restrict t) '' m)) s


Context:
ι : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
I : Box ι
x : E

(BoxAdditiveMap.volume I) x = (∏ j : ι, (I.upper j - I.lower j)) • x


volume.toBoxAdditive I • x = (∏ j : ι, (I.upper j - I.lower j)) • x


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

rightHomologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B✝ : Type u_2
a✝ b : R✝
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Semiring B✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ B✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p : R[X]
f : A →ₐ[R] B
a : A

f (eval₂ (algebraMap R A) a p) = eval₂ (algebraMap R B) (f a) p


f (∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * a ^ n) = ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R B) (p.coeff n) * f a ^ n


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G

W.ρ g = (isoToLinearEquiv i).conj (V.ρ g)


W.ρ g = ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).inv ≫ V.ρ g ≫ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom


((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom ≫ W.ρ g = V.ρ g ≫ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom


StrictConvexOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x * log x


∀ x ∈ interior (Set.Ici 0), 0 < deriv^[2] (fun x => x * log x) x


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Set.Ici 0)


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
s t : Set 𝕜
ha : a ∈ s
hsu : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a
hf : HasDerivWithinAt f 0 t (g a)
hst : MapsTo g s t
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] a] id
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s a


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: F : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: E : Type w

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F

Context: f' f₀' f₁' g' : F

Context: x : 𝕜

Context: s✝ t✝ : Set 𝕜

Context: L L₁ L₂ : Filter 𝕜

Context: f g : 𝕜 → 𝕜

Context: a : 𝕜

Context: s t : Set 𝕜

Context: ha : a ∈ s

Context: hsu : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a

Context: hf : HasDerivWithinAt f 0 t (g a)

Context: hst : MapsTo g s t

Context: hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] a] id

Context: hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s a

Context: this : HasDerivWithinAt id (0 * derivWithin g s a) s a


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : F → β
g : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑g ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

f (g (a • x + b • y)) = f (a • g x + b • g y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α

a ∈ s ∆ t ↔ a ∈ s ∧ a ∉ t ∨ a ∈ t ∧ a ∉ s


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : X → Z

Context: x : X

Context: e : Trivialization F proj

Context: hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x

Context: he : proj (f x) ∈ e.baseSet

Context: hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : X → Z

Context: x : X

Context: e : Trivialization F proj

Context: hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x

Context: he : proj (f x) ∈ e.baseSet

Context: hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x

ContinuousAt (↑e.toPartialHomeomorph ∘ f) x


Context: ι : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: Z : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace B

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F

Context: proj : Z → B

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: e✝ : Trivialization F proj

Context: x✝ : Z

Context: X : Type u_6

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f : X → Z

Context: x : X

Context: e : Trivialization F proj

Context: hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x

Context: he : proj (f x) ∈ e.baseSet

Context: hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
hs : IsClosed ∅
h : ∅ ⊆ ball x r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r
r' : ℝ
hyr' : dist y x < r'
hrr' : r' < r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s μb


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s (map f μa)


Context:
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

(𝓝[s] x).NeBot ↔ ∀ ⦃t : Set X⦄, t ∈ 𝓝 x → (t ∩ s).Nonempty


(∀ ⦃s_1 : Set X⦄, s_1 ∈ 𝓝 x → ∀ ⦃s' : Set X⦄, s' ∈ 𝓟 s → (s_1 ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ ⦃t : Set X⦄, t ∈ 𝓝 x → (t ∩ s).Nonempty


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F✝ G F' G' : C ⥤ D
α : F✝ ⟶ G
β✝ : F' ⟶ G'
F : C ⥤ D
β : F' ⟶ G'
X Y : C
f : X ⟶ Y

(tensorObj F F').map f ≫ (fun X => F.obj X ◁ β.app X) Y = (fun X => F.obj X ◁ β.app X) X ≫ (tensorObj F G').map f


(tensorObj F F').map f ≫ (𝟙 (F.obj Y) ⊗ β.app Y) = (𝟙 (F.obj X) ⊗ β.app X) ≫ (tensorObj F G').map f


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : Finset n
hj : j ∉ s
c : n → R
a : R

(M.updateRow j (a • M j + ∑ k ∈ s, c k • M k)).det = a • M.det


Context: m x✝ : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
r : R
N n✝ : ℕ

(reflect N (C r * f)).coeff n✝ = (C r * reflect N f).coeff n✝


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: hp₁ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter β

Context: t : β → Set α

Context: ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)

Context: hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)

Tendsto (fun b => indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) l (𝓝 (indicatorConstLp p hs hμs c))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: hp₁ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter β

Context: t : β → Set α

Context: ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)

Context: hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤

Context: hp : p ≠ ⊤

Tendsto (fun b => dist (indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) (indicatorConstLp p hs hμs c)) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: hp₁ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter β

Context: t : β → Set α

Context: ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)

Context: hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: hp₀ : p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: hp₁ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter β

Context: t : β → Set α

Context: ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)

Context: hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: hp₀ : p ≠ 0

Tendsto (fun b => ‖c‖ * (μ (t b ∆ s)).toReal ^ (1 / p.toReal)) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup G

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : E

Context: hp₁ : Fact (1 ≤ p)

Context: β : Type u_5

Context: l : Filter β

Context: t : β → Set α

Context: ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)

Context: hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤

Context: hp : p ≠ ⊤

Context: hp₀ : p ≠ 0

0 = ‖c‖ * ENNReal.toReal 0 ^ (1 / p.toReal)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ

ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ↑a)


∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 + a.2


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: a r : ℝ

Context: x✝ : EReal × EReal

Context: h : ↑(r - (a - 1)) < x✝.1 ∧ ↑(a - 1) < x✝.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
q : ℚ

ennrealRatEmbed (Encodable.encode q) = ↑(↑q).toNNReal


ENNReal.ofReal ↑((some q).getD 0) = ↑(↑q).toNNReal


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V
h : Exists.choose ⋯ ∈ P.parts


Context:
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.42595, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.42599, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.42603, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.42611, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.42615, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y


Context:
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n

∃ P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' n K ∧ P.degree = (cyclotomic' n K).degree ∧ P.Monic


cyclotomic' n K ∈ lifts (Int.castRingHom K)


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: ζ : K

Context: ihk : ∀ m < 0, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ 0

cyclotomic' 0 K ∈ lifts (Int.castRingHom K)


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic

Context: Bint : B ∈ lifts (Int.castRingHom K)


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic

Context: Bint : ∃ q, map (Int.castRingHom K) q = B ∧ q.degree = B.degree ∧ q.Monic


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic

Context: B₁ : ℤ[X]

Context: hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B

Context: left✝ : B₁.degree = B.degree

Context: hB₁mo : B₁.Monic

Context: Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁

Context: huniq : 0 + B * cyclotomic' k K = X ^ k - 1 ∧ degree 0 < B.degree


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic

Context: B₁ : ℤ[X]

Context: hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B

Context: left✝ : B₁.degree = B.degree

Context: hB₁mo : B₁.Monic

Context: Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁

Context: huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic

Context: B₁ : ℤ[X]

Context: hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B

Context: left✝ : B₁.degree = B.degree

Context: hB₁mo : B₁.Monic

Context: Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁

∃ x, (mapRingHom (Int.castRingHom K)) x = cyclotomic' k K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic

Context: B₁ : ℤ[X]

Context: hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B

Context: left✝ : B₁.degree = B.degree

Context: hB₁mo : B₁.Monic

Context: Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁

(mapRingHom (Int.castRingHom K)) Q₁ = cyclotomic' k K


Context: K✝ : Type u_1

Context: inst✝² : Field K✝

Context: K : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing K

Context: inst✝ : IsDomain K

Context: k : ℕ

Context: ζ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: hpos : k > 0

Context: Bmo : B.Monic

Context: B₁ : ℤ[X]

Context: hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B

Context: left✝ : B₁.degree = B.degree

Context: hB₁mo : B₁.Monic

Context: Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁

map (Int.castRingHom K) (X ^ k - 1) /ₘ B = (X ^ k - 1) /ₘ B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k✝ r k : ℕ


Context:
p a b n : ℕ
ha : Nat.Prime a
hb : b ≠ 0

n ≤ padicValNat a b ↔ replicate n a <+~ b.primeFactorsList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r r' : ι → ι → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι r'
f : ι → Ordinal.{max u v}

(type r).blsub (bfamilyOfFamily' r f) = (type r').blsub (bfamilyOfFamily' r' f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a✝ b✝ a b : α


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N✝ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N✝
inst✝¹ : Module R N✝
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
N : Submodule R M


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: e : C ≌ D

Context: X Y : C

Context: f f' : X ⟶ e.inverse.obj (e.functor.obj Y)

f ≫ e.unitInv.app Y = f' ≫ e.unitInv.app Y ↔ f = f'


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y + 1 ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : a ≤ b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: h : b ≤ a


Context:
α β : Type u
m n : ℕ


Context:
α β : Type u
m n : ℕ

↑m ≤ ↑n ∧ ¬↑n ≤ ↑m ↔ ¬n ≤ m


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'

(insert a' b' (insert a b s)).entries ~ (insert a b (insert a' b' s)).entries


⟨a', b'⟩ :: kerase a' (⟨a, b⟩ :: kerase a s.entries) ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a (⟨a', b'⟩ :: kerase a' s.entries)


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
hn : n ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α


(∃ b ∈ s, ↑a < (WithBot.some ∘ f) b) ↔ ∃ b ∈ s, a < f b