Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: A : C

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: hX : t.LE 0 X

Context: hY : t.GE 1 Y

Context: f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A

Context: g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: mem : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: A : C

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: hX : t.LE 0 X

Context: hY : t.GE 1 Y

Context: f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A

Context: g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: T : Triangle C := (Triangle.shiftFunctor C (-n₀)).obj (Triangle.mk f g h)

Context: e : ((shiftEquiv C n₀).functor ⋙ (shiftEquiv C n₀).inverse).obj A ≅ (𝟭 C).obj A := (shiftEquiv C n₀).unitIso.symm.app A

∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: t : TStructure C

Context: A : C

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h✝ : n₀ + 1 = n₁

Context: X Y : C

Context: hX : t.LE 0 X

Context: hY : t.GE 1 Y

Context: f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A

Context: g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y

Context: h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

Context: hT' : Triangle.mk (T.mor₁ ≫ e.hom) (e.inv ≫ T.mor₂) T.mor₃ ∈ distinguishedTriangles


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
hs : s.Finite


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X

Disjoint f (cocompact X) ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K


(fun n => ↑(Nat.fib n)) = fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5


Set.EqOn (fun n => ↑(Nat.fib n)) (fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5) ↑(Finset.range fibRec.order)


fibRec.IsSolution fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5


Context:
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget BoolAlg).obj α

((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget BoolAlg).obj β

((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

∃ α, F⟮α⟯ = ⊤


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
F_inf : IsEmpty (Fintype F)

∃ α, F⟮α⟯ = ⊤


Context:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
F_finite : Fintype F

∃ α, F⟮α⟯ = ⊤


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U


(∀ ⦃X_1 : Opens ↑X⦄, ∀ S ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves X_1, Nonempty (IsLimit (Functor.mapCone F S.arrows.cocone.op))) ↔ F.IsSheafOpensLeCover


Context:
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α


R a b → ((∀ (i : ℕ) (h : i < t.length), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i, ⋯⟩)) ↔ ∀ (n : ℕ) (h : n + 1 < t.length + 1), R ((b :: t).get ⟨n, ⋯⟩) (t.get ⟨n, ⋯⟩))


Context: α✝ : Type u

Context: β : Type u_1

Context: t : TopologicalSpace α✝

Context: B : Set (Set α✝)

Context: s✝ : Set α✝

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Countable ι

Context: α : ι → Type u_3

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)

Context: h : ∀ (i : ι), IsSeparable (s i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s✝ : Set α
inst✝¹ : Bornology α
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α

IsBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), IsBounded (s i)


Context:
k : ℕ
IH : multichoose 2 k = k + 1


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: inst✝² : DivisionSemiring α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : TopologicalSemiring α

Context: f g : ι → α

Context: a a₁ a₂ : α

Context: h : a₂ ≠ 0

Context: H : HasSum (fun i => f i * a₂) (a₁ * a₂)


Context:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁

Submodule.map f.linear (vectorSpan k s) = vectorSpan k (⇑f '' s)


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α
M : NFA α σ
start : Set σ

M.toεNFA.evalFrom start = M.evalFrom start


List.foldl M.toεNFA.stepSet start = List.foldl M.stepSet start


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ : σ

x✝ ∈ M.toεNFA.stepSet S s ↔ x✝ ∈ M.stepSet S s


(∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step i (some s))) ↔ ∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.step i s


∀ (a : σ), a ∈ S ∧ x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a (some s)) ↔ a ∈ S ∧ x✝ ∈ M.step a s


∀ a ∈ S, x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a (some s)) ↔ x✝ ∈ M.step a s


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ a✝¹ : σ
a✝ : a✝¹ ∈ S

x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a✝¹ (some s)) ↔ x✝ ∈ M.step a✝¹ s


x✝ ∈ M.toεNFA.step a✝¹ (some s) ↔ x✝ ∈ M.step a✝¹ s


Context:
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α : Type u_1
x : Multiset α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
C : Set (Set β)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : Y
hx : x ∈ range f

f (↑(toPartialHomeomorph f h).symm x) = x


Context:
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i✝ j✝ : n

(PEquiv.refl n).toMatrix i✝ j✝ = 1 i✝ j✝


Context:
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
h : IsNat (a₁ + b₁) 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0


∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ = lintegral μ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
hf_eq_zero : f =ᶠ[ae μ] 0


Context:
m n : ℕ
h : m ≤ n


Context:
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E


Context:
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E
x : E
hx : x ≠ 0
this : Injective fun k => k • x


Context:
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : SMul R α
x : R
a₀ a₁ a₂ : α

x • ![a₀, a₁, a₂] = ![x • a₀, x • a₁, x • a₂]


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
h : 1 < s.card

∃ i, 1 < (image (fun x => x i) s).card ∧ ∀ (ai : α i), filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s✝ t u : Finset α✝

Context: f : α✝ → β

Context: n : ℕ

Context: ι : Type u_4

Context: α : ι → Type u_5

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: s : Finset ((i : ι) → α i)

Context: h : ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ ∃ a_1, a a_1 ≠ b a_1

∃ i, (∃ a b, a ∈ image (fun x => x i) s ∧ b ∈ image (fun x => x i) s ∧ a ≠ b) ∧ ∀ (ai : α i), filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i
ai : α i


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne✝ : a1 i ≠ a2 i
ai : α i
hne : a2 i ≠ ai


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
F : Presheaf C X
U V : Opens ↑X
i : U ⟶ V
x : ↥U
inst✝ : ConcreteCategory C
s : (forget C).obj (F.obj (op V))

(F.germ x) ((F.map i.op) s) = (F.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) s


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ

Context: hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊

Context: ω : Ω

Context: hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊

Context: h'ω : (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n

Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊

Context: ω : Ω

(fun x => (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ x⌋₊ - ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun _x => 1


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : ℕ → Ω → ℝ

Context: hint : Integrable (X 0) ℙ

Context: hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

Context: c : ℝ

Context: c_one : 1 < c

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊

Context: ω : Ω

Context: L : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : α

Context: f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : α

Context: b : β

((pure a).bindOnSupport f) b = (f a ⋯) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : α

Context: b : β

(∑' (a_1 : α), (if a_1 = a then 1 else 0) * if h : (if a_1 = a then 1 else 0) = 0 then 0 else (f a_1 h) b) = (f a ⋯) b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: p : PMF α

Context: f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β

Context: a : α

Context: b : β

Context: a' : α

((if a' = a then 1 else 0) * if h : (if a' = a then 1 else 0) = 0 then 0 else (f a' h) b) = if a' = a then (f a ⋯) b else 0


Context: K₁ K₂ S : Finset Λ'

Supports (K₁ ∪ K₂) S ↔ Supports K₁ S ∧ Supports K₂ S


Context:
R : Type u
inst✝¹ : AddMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'

Presheaf.IsSheaf J (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).toPresheaf


Presieve.IsSheaf J (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).toPresheaf


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X


Context: a b c : Prop


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

X ◁ (λ_ Y).inv ≫ (α_ X (𝟙_ C) Y).inv = (ρ_ X).inv ▷ Y


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)

Context: hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)

dist a p * dist b p = dist c p * dist d p


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: q : P

Context: r : ℝ

Context: h' : ∀ p ∈ {a, b, c, d}, dist p q = r


Context: V : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: P : Type u_2

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: a b c d p : P

Context: h : Cospherical {a, b, c, d}

Context: q : P

Context: r : ℝ

Context: h' : ∀ p ∈ {a, b, c, d}, dist p q = r

Context: ha : dist a q = dist b q

Context: hb : dist b q = r

Context: hc : dist c q = dist d q

Context: hd : dist d q = r


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i

update f i '' Ioo a b = Ioo (update f i a) (update f i b)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℕ

normEDS b c d ↑n = preNormEDS' (b ^ 4) c d n * if Even n then b else 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : (i : ι) → κ i → Set α

f '' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f '' s i j


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝³ : AddCommMonoid E

Context: inst✝² : AddCommMonoid F

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: x : E

Context: y₁ y₂ : F

Context: a : 𝕜 × 𝕜

Context: ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
e : M ≃ₗ[R] M'
x✝¹ : BilinForm R M'
x✝ y✝ : M

(((congr e).symm x✝¹) x✝) y✝ = (((congr e.symm) x✝¹) x✝) y✝


(((congr e).symm x✝¹) x✝) y✝ = (x✝¹ (e x✝)) (e y✝)


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a


Context:
α : Type u_1
p q : α → Bool
n : Nat
l : List α


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝² : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝¹ : PreservesColimit F G
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
j✝ : J

colimit.ι (F ⋙ G) j✝ ≫ (preservesColimitIso G F).inv ≫ G.map (colimit.desc F t) = colimit.ι (F ⋙ G) j✝ ≫ colimit.desc (F ⋙ G) (G.mapCocone t)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁴ : CommRing R
inst✝²³ : CommRing S
inst✝²² : CommRing T
inst✝²¹ : Algebra R S
inst✝²⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : Field L
inst✝¹⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R L
inst✝¹³ : Algebra L F
inst✝¹² : Algebra R F
inst✝¹¹ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : CommRing B
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : CommRing C
inst✝⁶ : Algebra A C
E : Type z
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : Module.Finite K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : κ → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Fintype κ
e : κ ≃ (L →ₐ[K] E)

(traceMatrix K b).map ⇑(algebraMap K E) = embeddingsMatrixReindex K E b e * (embeddingsMatrixReindex K E b e)ᵀ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y

IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ Tendsto f (cocompact X) cofinite


(Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (y : Y), IsCompact (f ⁻¹' {y})) ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T1Space Y

Context: f_cont : Continuous f

Context: x✝ : IsClosedMap f

Context: H : ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X

Context: y : Y


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: W : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝² : TopologicalSpace Z

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace W

Context: f : X → Y

Context: g : Y → Z

Context: inst✝ : T1Space Y

Context: f_cont : Continuous f

Context: x✝ : IsClosedMap f

Context: y : Y

Context: K : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: hKy : Kᶜ ⊆ (f ⁻¹' {y})ᶜ


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

cs.IsRightDescent w i ↔ ¬cs.IsRightDescent (w * cs.simple i) i


cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w ↔ cs.length w = cs.length (w * cs.simple i) + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

blimsup s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}


⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite} = {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a x : α

x ∈ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite} ↔ x ∈ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a x : α

Context: h : x ∉ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}

x ∉ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set α

Context: 𝓕 : Filter ι

Context: a x : α

Context: hx : x ∈ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}

Context: t : Set α

Context: h : x ∉ t


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)

∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ι⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ i ∈ u, s i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)

Context: t : Set ℕ

Context: ht : t.Infinite

Context: h : ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)

Context: t : Set ℕ

Context: ht : t.Infinite

Context: u : Set ι

Context: hut : u ⊆ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) '' t

Context: hu : u.Finite

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ u

⋂ n ∈ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) ⁻¹' u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n) ⊆ s i


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: r : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Infinite ι

Context: s : ι → Set α

Context: hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

Context: hr₀ : r ≠ 0

Context: hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)

Context: t : Set ℕ

Context: ht : t.Infinite

Context: u : Set ι

Context: hu : u.Finite

Context: n : ℕ

Context: hi : (Infinite.natEmbedding ι) n ∈ u

⋂ n ∈ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) ⁻¹' u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n) ⊆ s ((Infinite.natEmbedding ι) n)


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V

-(o.rotation ↑(-π / 2)) x = (o.rotation ↑(π / 2)) x


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
χ : E →ₗ[R] F
hφ : ∀ (u : ↥p), φ u = χ ↑u
hψ : ∀ (u : ↥q), ψ u = χ ↑u
x : E


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup G

Context: inst✝³ : Module R G

Context: p q : Submodule R E

Context: S : Type u_5

Context: inst✝² : Semiring S

Context: M : Type u_6

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : Module S M

Context: m : Submodule S M

Context: h : IsCompl p q

Context: φ : ↥p →ₗ[R] F

Context: ψ : ↥q →ₗ[R] F

Context: χ : E →ₗ[R] F

Context: hφ : ∀ (u : ↥p), φ u = χ ↑u

Context: hψ : ∀ (u : ↥q), ψ u = χ ↑u

Context: w✝¹ : ↥p

Context: w✝ : ↥q

Context: right✝ : ∀ (r : ↥p) (s : ↥q), ↑r + ↑s = ↑w✝¹ + ↑w✝ → r = w✝¹ ∧ s = w✝

(ofIsCompl h φ ψ) (↑w✝¹ + ↑w✝) = χ (↑w✝¹ + ↑w✝)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

IsSeparator G ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op G)).Faithful


(preadditiveCoyoneda.obj (op G) ⋙ forget AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op G)).Faithful


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : ι → MeasurableSpace α

Context: S : Set ι

Context: pt : Finset ι

Context: hpt : ↑pt ⊆ S

Context: ft : ι → Set α

Context: ht_m : ∀ x ∈ pt, ft x ∈ (fun n => {s | MeasurableSet s}) x


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : ι → MeasurableSpace α

Context: S : Set ι

Context: pt : Finset ι

Context: hpt : ↑pt ⊆ S

Context: ft : ι → Set α

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ pt


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : ι → MeasurableSpace α

Context: S : Set ι

Context: pt : Finset ι

Context: hpt : ↑pt ⊆ S

Context: ft : ι → Set α

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ pt

Context: hi' : i ∈ S


Context:
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p ≤ i
hp : p ≠ 0
hi : optParam (i ≠ 0) ⋯


Context:
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V

f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) r) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) r) (f x)


∀ (g : G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) ((MonoidAlgebra.of k G) g)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) ((MonoidAlgebra.of k G) g)) (f x)


∀ (f_1 g : MonoidAlgebra k G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) f_1) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) f_1) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) g) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) g) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) (f_1 + g)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) (f_1 + g)) (f x)


∀ (r : k) (f_1 : MonoidAlgebra k G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) f_1) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) f_1) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) (r • f_1)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) (r • f_1)) (f x)


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: l' : List (Multiset α)

Context: H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l

l'.revzip = List.map (fun x => (x, ↑l - x)) l'


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: l' : List (Multiset α)

Context: this : Forall₂ (fun p s => p = (s, ↑l - s)) l'.revzip (List.map Prod.fst l'.revzip)


Context: α✝ : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: l : List α

Context: l' : List (Multiset α)

Forall₂ (fun a c => a = (c, ↑l - c)) l'.revzip l'


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s t : Seq α

(corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (cons a s, t)).destruct = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))


omap (corec fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (match (cons a s, t).1.destruct with | none => match (cons a s, t).2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a_1, s₁') => some (a_1, s₁', (cons a s, t).2)) = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))


(match match (cons a s).destruct with | none => match t.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', t) with | none => none | some (a, b) => some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) b)) = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ

|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)| = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: s : Finset α

Context: f g : α → β

Context: comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)

Context: comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)

Context: comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)

s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: f g : α → β

Context: comm_ff : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)

Context: comm_gg : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)

Context: comm_gf : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)

∅.noncommProd (f * g) ⋯ = ∅.noncommProd f comm_ff * ∅.noncommProd g comm_gg


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: f g : α → β

Context: x : α

Context: s : Finset α

Context: hnmem : x ∉ s

Context: ih : ∀ (comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)), s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg

Context: comm_ff : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)

Context: comm_gg : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)

Context: comm_gf : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)

(cons x s hnmem).noncommProd (f * g) ⋯ = (cons x s hnmem).noncommProd f comm_ff * (cons x s hnmem).noncommProd g comm_gg


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : Monoid γ

Context: inst✝ : FunLike F β γ

Context: f g : α → β

Context: x : α

Context: s : Finset α

Context: hnmem : x ∉ s

Context: y : α

Context: hy : y ∈ s


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) ≤ μ


μ.withDensity (f * fun x => (f x)⁻¹) ≤ μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx_top : ¬f x = ⊤
hx_zero : ¬f x = 0


Context: a b : Ordinal.{u}


Context:
a b : Ordinal.{u}
i : (a.toPGame + b.toPGame).LeftMoves

(a.toPGame + b.toPGame).moveLeft i ⧏ (a ♯ b).toPGame


Context:
a b : Ordinal.{u}
i : (a ♯ b).toPGame.LeftMoves

(a ♯ b).toPGame.moveLeft i ⧏ a.toPGame + b.toPGame


Context: N k : ℕ

(N.smoothNumbersUpTo k).card + (N.roughNumbersUpTo k).card = N


Context: N k : ℕ

(Finset.filter (fun x => x ∈ k.smoothNumbers ∨ x ≠ 0 ∧ x ∉ k.smoothNumbers) (Finset.range N.succ)).card = N


Context: N k : ℕ

(Finset.filter (fun x => x ≠ 0) (Finset.range N.succ)).card = N


Context: N k : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
m : MeasurableSpace α
hT : DominatedFinMeasAdditive 0 T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: A : Type uA

Context: B : Type uB

Context: M : Type uM

Context: N : Type uN

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring S

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : Semiring B

Context: inst✝⁸ : Algebra R S

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : AddCommMonoid N

Context: inst✝² : Module R N

Context: inst✝¹ : Algebra S A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: hA : FiniteType R A

Context: s : Finset A

Context: hS : adjoin R ↑s = ⊤

Context: b : A

Context: le : adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
q : ℚ
x : ℝ
hx : x ∈ {r | ↑q ≤ r}
t : Set ℝ
ht : t ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ t
p : ℚ
h₁ : x < ↑p
h₂ : ↑p < x + ε


Context: ι : Type u_1

Context: I J : Box ι

Context: x y l₁ u₁ : ι → ℝ

Context: h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i

Context: l₂ u₂ : ι → ℝ

Context: h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i

Context: h : ↑{ lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = ↑{ lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }

{ lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = { lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }


Context: ι : Type u_1

Context: I J : Box ι

Context: x y l₁ u₁ : ι → ℝ

Context: h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i

Context: l₂ u₂ : ι → ℝ

Context: h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i

Context: h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁


Context: ι : Type u_1

Context: I J : Box ι

Context: x y l₁ u₁ : ι → ℝ

Context: h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i

Context: l₂ u₂ : ι → ℝ

Context: h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
X : Subobject B
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ X

ofMkLEMk f g h₁ ≫ ofMkLE g X h₂ = ofMkLE f X ⋯


(underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atTop, p x


∀ᶠ (n : ℚ) in Filter.comap Rat.cast atTop, p ↑n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
H₁ : ‖x‖ ^ 2 ≤ ‖y‖ ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
H₁ : ‖x‖ ^ 2 ≤ ‖y‖ ^ 2
H₂ : re ⟪y, x⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝² : AddCommGroup E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: F : Finset (Set E)

Context: h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X

Context: h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
A : Matrix ι' ι R
B : Matrix κ' κ R

(toLin (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B) = TensorProduct.map ((toLin bM bM') A) ((toLin bN bN') B)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a✝ b c d : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: a : ℕ → ℝ

Context: n : ℕ

Context: hint : ∀ k < n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))

∑ k ∈ Finset.range n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a 0 ..a n, f x ∂μ


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: a✝ b c d : ℝ

Context: f g : ℝ → E

Context: μ : Measure ℝ

Context: a : ℕ → ℝ

Context: n : ℕ

∑ k ∈ Finset.Ico 0 n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a 0 ..a n, f x ∂μ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F


re ↑(normSq x) = re ⟪x, x⟫_𝕜 ∧ im ↑(normSq x) = im ⟪x, x⟫_𝕜


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℕ
n : ℕ

s.prod % n = (map (fun x => x % n) s).prod % n


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α

¬I.IsPrime ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I


(I = ⊤ ∨ ∃ x x_1, ∃ (_ : x * x_1 ∈ I), x ∉ I ∧ x_1 ∉ I) ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C

(shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n m h).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X)


𝟙 ((shiftFunctor C n).obj ((𝟭 C).obj X)) = 𝟙 ((𝟭 C).obj ((shiftFunctor C n).obj X))


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : Basis κ R ↥M

Context: n : Basis ι R ↥N

Context: H : Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))

Context: i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm

Context: i1 : ↥M ⊗[R] ↥N ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := TensorProduct.congr m.repr n.repr

Context: i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ ↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : Basis κ R ↥M

Context: n : Basis ι R ↥N

Context: this : i = Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: inst✝¹ : Semiring S

Context: inst✝ : Algebra R S

Context: M N : Submodule R S

Context: κ : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : Basis κ R ↥M

Context: n : Basis ι R ↥N

Context: H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N)


Context: x : ZFSet


Context: x : ZFSet

(∀ (z : ZFSet), z ∈ x ↔ z ∈ ∅) ↔ ∀ (y : ZFSet), y ∉ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set β

(M.mapEmbedding f).Indep I ↔ M.Indep (⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ range ⇑f


(∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀) ↔ M.Indep (⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ range ⇑f


(∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀) → M.Indep (⇑f ⁻¹' I) ∧ I ⊆ range ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set α
hI : M.Indep I

M.Indep (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) ∧ ⇑f '' I ⊆ range ⇑f


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : Even n

closure (range fun x => x ^ n) = nonneg ℚ


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : Even n

(range fun x => x ^ n) = ⇑NNRat.coeHom '' range fun x => x ^ n


Context:
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : Even n

nonneg ℚ = map NNRat.coeHom (closure (range fun x => x ^ n))


Context:
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace

x ∈ ↑(X.toRingedSpace.basicOpen 0) ↔ x ∈ ↑⊥


∀ (x_1 : x ∈ U), ¬IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) 0)


Context:
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace
hx : x ∈ U

¬IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) 0)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W✝ : WeierstrassCurve R
C✝ C C' : VariableChange R
W : WeierstrassCurve R


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

Context: hx : x ∈ convexBodyLT K f


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: hx : (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), Complex.abs (x.2 ⟨a, b⟩) < ↑(f a)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝¹³ : Category.{?u.101305, u_3} E
inst✝¹² : Category.{?u.101309, u_4} J
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ D
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
e : F₁ ≅ F₂
G G' : D ⥤ E
τ'' : G ⟶ G'
H : E ⥤ J
A : Type u_5
inst✝¹¹ : AddMonoid A
inst✝¹⁰ : HasShift C A
inst✝⁹ : HasShift D A
inst✝⁸ : HasShift E A
inst✝⁷ : HasShift J A
inst✝⁶ : F₁.CommShift A
inst✝⁵ : F₂.CommShift A
inst✝⁴ : F₃.CommShift A
inst✝³ : G.CommShift A
inst✝² : G'.CommShift A
inst✝¹ : H.CommShift A
inst✝ : CommShift τ A
a : A

(F₁.commShiftIso a).hom ≫ whiskerRight τ (shiftFunctor D a) = whiskerLeft (shiftFunctor C a) τ ≫ (F₂.commShiftIso a).hom


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: s : ℝ

Context: hs : b < s

∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: s : ℝ

Context: hs : b < s

Context: d : ℝ

Context: left✝ : d > 0

Context: hd' : IsBigOWith d (𝓝[>] 0) f fun x => x ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: s : ℝ

Context: hs : b < s

Context: d : ℝ

Context: left✝ : d > 0

Context: hd' : ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: s : ℝ

Context: hs : b < s

Context: d : ℝ

Context: left✝ : d > 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: s : ℝ

Context: hs : b < s

Context: d : ℝ

Context: left✝ : d > 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: b : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: s : ℝ

Context: hs : b < s

Context: d : ℝ

Context: left✝ : d > 0

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

HasFiniteIntegral (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (volume.restrict (Ioo 0 ε))


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
h : g.comp f = 0
x : M₂
hx : x ∈ range f
y : M
hy : f y = x


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u = a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : α → Set β


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁸ : OrderTopology α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : OrderTopology β

Context: inst✝⁴ : Nonempty γ

Context: inst✝³ : DenselyOrdered α

Context: a b : α

Context: δ : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder δ

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: inst✝ : OrderClosedTopology δ

Context: f : α → δ

Context: hf_c : Continuous f

Context: hf_i : Injective f

Context: H : ∀ {c d : α}, c < d → StrictMono f ∨ StrictAnti f


Context:
m✝ n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : i ≤ m.castSucc


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]

(p - q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, λ ^ 2 ∣ ↑u - ↑n


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, 3 ∣ ↑u - ↑n


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : ∃ n, 3 ∣ ↑u - ↑n
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta 3 ℚ K) ↑3


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : NumberField K

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: u : (𝓞 K)ˣ

Context: hcong : ∃ n, 3 ∣ ↑u - ↑n

Context: hζ : IsPrimitiveRoot (zeta 3 ℚ K) ↑3

Context: this : u ∈ [1, -1, ⋯.unit, -⋯.unit, ⋯.unit ^ 2, -⋯.unit ^ 2]


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c✝ d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f g : α✝ → ℝ≥0∞

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: A : Tendsto (fun n => ↑n * c) atTop (𝓝 (⊤ * c))


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: a b c✝ d : ℝ≥0∞

Context: r p q : ℝ≥0

Context: x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s : Set ℝ≥0∞

Context: f g : α✝ → ℝ≥0∞

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : Infinite α

Context: c : ℝ≥0∞

Context: hc : c ≠ 0

Context: B : ∀ (n : ℕ), ↑n * c ≤ ∑' (x : α), c


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle

(o.kahler x) ((o.rotation θ) y) = ↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y


↑θ.cos * (o.kahler x) y + ↑θ.sin * (I * (o.kahler x) y) = (↑θ.cos + ↑θ.sin * I) * (o.kahler x) y


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X : C

F.δ X (𝟙_ C) ≫ F.obj X ◁ F.η ≫ (ρ_ (F.obj X)).hom = F.map (ρ_ X).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

a • b ≤ 0 ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s t : Set X

Context: b : Set (Set X)

Context: hb : IsTopologicalBasis (range fun i => ↑i)

Context: U : Set X

Context: hUc : IsCompact U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hb' : b = range fun i => ↑i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: b : Set (Set X)

Context: U : Set X

Context: hUc : IsCompact U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hb' : b = range fun i => ↑i

Context: s : Set ↑b

Context: hs : s.Finite

Context: hU : U = ⋃ i ∈ s, ↑i


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : TopologicalSpace Y

Context: s✝ t : Set X

Context: b : Set (Set X)

Context: U : Set X

Context: hUc : IsCompact U

Context: hUo : IsOpen U

Context: hb' : b = range fun i => ↑i

Context: s : Set ↑b

Context: hs : s.Finite

Context: hU : U = ⋃ i ∈ s, ↑i

Context: this : Finite ↑s

Context: x✝ : Fintype ↑s := Fintype.ofFinite ↑s


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: hf'_mono : MonotoneOn (deriv f) (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D

Context: hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D

Context: hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y


Context: D : Set ℝ

Context: hD : Convex ℝ D

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f D

Context: hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)

Context: x y z : ℝ

Context: hx : x ∈ D

Context: hz : z ∈ D

Context: hxy : x < y

Context: hyz : y < z

Context: hxzD : Icc x z ⊆ D

Context: hxyD : Icc x y ⊆ D

Context: hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

Context: hyzD : Icc y z ⊆ D

Context: hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D

Context: a : ℝ

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y

Context: b : ℝ

Context: hb : deriv f b = (f z - f y) / (z - y)

Context: hyb : y < b

Context: hbz : b < z


Context:
α : Type u_1
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
u v : α → ℝ≥0∞

limsup (u * v) f ≤ limsup (fun x => limsup u f * v x) f


Context:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X X
α : SmallHom W X Y

(equiv W W.Q) ((mk W (𝟙 X)).comp α) = (equiv W W.Q) α


Context:
a b : Cardinal.{u_1}
hb : ℵ₀ ≤ b
ha : a ≤ b
ha' : a ≠ 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x✝ : M
hs : UniqueMDiffOn I s
x : M

UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s)


UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) '' (s ∩ (chartAt H x).source))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U V : Opens α
i : U ≤ V


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

(∀ (a b c : α), c ∈ [[a, b]] → f c ∈ [[f a, f b]]) → Monotone f ∨ Antitone f


¬Monotone f ∧ ¬Antitone f → ∃ a b, ∃ c ∈ [[a, b]], f c ∉ [[f a, f b]]


(∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) → ∃ a b, ∃ c ∈ [[a, b]], f c ∉ [[f a, f b]]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β

s ×ˢ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
c : β → α
h : range c ∈ f
W : Set β
W_in : W ∈ comap c f


Context:
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → ℝ
hnm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, |f x| ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f : α → ℝ

Context: hnm : m ≤ m0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: this : ∫ (x : α) in s, |(μ[f|m]) x| ∂μ = ∫ (x : α), |(μ[s.indicator f|m]) x| ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f : α → ℝ

Context: hnm : m ≤ m0

Context: hfint : Integrable f μ

∫ (x : α), |(μ[s.indicator f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α), s.indicator (fun x => |f x|) x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: f : α → ℝ

Context: hnm : m ≤ m0

Context: hfint : Integrable f μ

Context: x : α

(fun x => |s.indicator f x|) x = s.indicator (fun x => |f x|) x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: A : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommGroup A

Context: ϕ : ↥H →* A

Context: R S T : ↑(leftTransversals ↑H)

Context: inst✝ : H.FiniteIndex

Context: g : G

Context: x✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex

Context: x✝ : G ⧸ H

ϕ ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) x✝))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) x✝), ⋯⟩ = ϕ ⟨(↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x✝)))⁻¹ * ↑((MemLeftTransversals.toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x✝)), ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length

(p.smash q h).toFun (Fin.natAdd p.length i).castSucc = q.toFun i.castSucc


q.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).castSucc - p.length, ⋯⟩ = q.toFun i.castSucc


↑(Fin.natAdd p.length i).castSucc - p.length = ↑i


Context:
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
n : ℕ
i : α

count i (replicate n a) = (DFinsupp.single a n) i


Context:
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
inst✝² : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : MulAction α β
b : β
k : ℤ

(orbitZPowersEquiv a b).symm ↑k = ⟨a, ⋯⟩ ^ k • ⟨b, ⋯⟩


⟨a, ⋯⟩ ^ (k % ↑(minimalPeriod (fun x => a • x) b)) • ⟨b, ⋯⟩ = ⟨a, ⋯⟩ ^ k • ⟨b, ⋯⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
hF : IsOpen F


∀ x_1 ∈ connectedComponentIn F x, connectedComponentIn F x ∈ 𝓝 x_1


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
F : Set α
x : α
hF : IsOpen F
y : α
hy : y ∈ connectedComponentIn F x


Context:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
c : 𝕜


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

(adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm α = root (X ^ n - C a)


Context: K : Type u

Context: inst✝³ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: α : L

Context: hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

(adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα) ((adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα).symm α) = (adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα) (root (X ^ n - C a))


Context:
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
x z : R
hz : ¬z = 0
p : R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

(fun x => x * c) ⁻¹' Icc a b = Icc (a / c) (b / c)


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
x✝ : α × α
a : α
x : α × α

x ∈ (s ∩ t).offDiag ↔ x ∈ s.offDiag ∩ t.offDiag


(x.1 ∈ s ∧ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∧ x.1 ≠ x.2 ↔ (x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ x.1 ≠ x.2) ∧ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 ≠ x.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
inst✝² : HasZeroMorphisms E
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
X Y : C


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Semiring α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: hb : b < 0

Context: h : 1 < a


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: H : ∀ (a b : α), ∃ m, ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m

Context: a : α

Bounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) ↔ Bounded r s


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: a : α

Bounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) → Bounded r s


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s t : Set α

Context: a b : α

Context: hb : ∀ b_1 ∈ s ∩ {b | ¬r b a}, r b_1 b

Context: m : α

Context: hm : ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

((sheafIsoOfIso (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).symm).app (op U) ≪≫ limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).symm.hom.base).op.obj (op U)) ≪≫ Limits.lim.mapIso (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯)).inv ≫ (colimit.ι F j).c.app (op U) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

(((Limits.lim.mapIso (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯)).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).symm.hom.base).op.obj (op U))).inv) ≫ ((colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).mapIso (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).symm).symm.inv).obj (unop (op U)))) ≫ (Limits.colimit F).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (Limits.colimit F).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (colimit.ι F j).c.app (op U) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

((limMap (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))).inv) ≫ ((colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U)) ≫ (Limits.colimit F).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.base).obj ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))))) ≫ (Limits.colimit F).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (colimit.ι F j).c.app (op U) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

limMap (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))).inv ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U)) ≫ (colimit.ι F j).c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom.base).obj ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

limMap (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))).inv ≫ (colimit.ι F j ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).hom).c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U)) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

limMap (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (pushforwardDiagramToColimit F).leftOp (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U))).inv ≫ ({ cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }.cocone.ι.app j).c.app (op ((Opens.map (colimit.isoColimitCocone { cocone := colimitCocone F, isColimit := colimitCoconeIsColimit F }).inv.base).obj U)) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯) = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

Context: f : (componentwiseDiagram F U).obj (op j) ⟶ (F.obj j).presheaf.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F j).base).obj U)) := (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv.app (op j) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯)

limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j) ≫ f = limit.π (componentwiseDiagram F U) (op j)


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

f = 𝟙 ((componentwiseDiagram F U).obj (op j))


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

f = (F.obj j).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop (op j))).base).obj U)))


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

(F.obj j).presheaf.map (eqToIso ⋯).inv ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯) = (F.obj j).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop (op j))).base).obj U)))


Context: J : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat

Context: inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C

Context: F : J ⥤ PresheafedSpace C

Context: U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)

Context: j : J

(F.obj j).presheaf.map ((eqToIso ⋯).inv ≫ eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (colimit.ι F j).base).op.map (eqToHom ⋯)) = (F.obj j).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop (op j))).base).obj U)))


Context: n : ℕ


Context:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L

__src✝.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅__src✝.toFun x, __src✝.toFun y⁆


(mkAlgHom R L) (ιₜ ⁅x, y⁆ + ιₜ y * ιₜ x) = (mkAlgHom R L) (ιₜ x * ιₜ y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s


Context:
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)


∑ i ∈ range k, ∑ x ∈ powersetCard i univ, ∑ y : σ, f (x, y) = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)


Context:
s : Set ℕ
m : ℕ
hm : m ∈ s


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R

zeroLocus ↑I ⊆ zeroLocus ↑J ↔ J ≤ I.radical


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜

MeromorphicAt f x ↔ ∃ n g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : 𝕜 → E

Context: x : 𝕜

Context: x✝ : MeromorphicAt f x

Context: n : ℕ

Context: hn : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • f z) x


(∃ n g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z) → MeromorphicAt f x


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso fst
inst✝ : IsIso g
sq : CommSq fst snd f g
s : PullbackCone f g

(fun s => s.fst ≫ inv fst) s ≫ snd = s.snd


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: X : C

Context: h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones

Context: s : Cocone F

(colimitCocone h).extend (homOfCocone h s) = s


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: X : C

Context: s : Cocone F

(colimitCocone h).extend (homOfCocone h (coconeOfHom h (homOfCocone h s))) = coconeOfHom h (homOfCocone h s)


Context: J : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} J

Context: K : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K

Context: C : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} C

Context: F : J ⥤ C

Context: t : Cocone F

Context: X : C

Context: s : Cocone F

(colimitCocone h).extend (homOfCocone h s) = coconeOfHom h (homOfCocone h s)


Context:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]

map (frobenius R p) ((expand R p) f) = f ^ p


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹ : CommSemiring S

Context: p q : ℕ

Context: inst✝ : ExpChar R p

Context: f a b : R[X]

Context: ha : map (frobenius R p) ((expand R p) a) = a ^ p

Context: hb : map (frobenius R p) ((expand R p) b) = b ^ p

map (frobenius R p) ((expand R p) (a + b)) = (a + b) ^ p


Context:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
n : ℕ
a : R

map (frobenius R p) ((expand R p) ((monomial n) a)) = (monomial n) a ^ p


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t

∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (cthickening δ s) (cthickening δ t)


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s t : Set α

Context: x : α

Context: hst : Disjoint s t

Context: hs : IsCompact s

Context: ht : IsClosed t

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: h : Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)


Context: ψ θ : Angle

2 • ψ = 2 • θ ↔ ψ = θ ∨ ψ = θ + ↑π


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfM : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ < M
hf : ContinuousOn f (sphere z r)


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfM : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ < M
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
L : ℝ
hL1 : L < M
hL2 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ L


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝² : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝¹ y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: x : E

Context: x✝ : Fin k → E

((p.changeOriginSeries k).sum x) x✝ = ((p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x) x✝


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝² : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝¹ y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: x : E

Context: x✝ : Fin k → E

∀ b ∉ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k b) fun x_1 => x) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝² : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝¹ y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: x : E

Context: x✝ : Fin k → E

Context: m : ℕ

Context: hm : m ∉ Finset.range (n - k)

((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: x✝² : E

Context: r✝ r' : ℝ≥0∞

Context: n✝ m✝ : ℕ

Context: p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x✝¹ y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

Context: k : ℕ

Context: x : E

Context: x✝ : Fin k → E

Context: m : ℕ

Context: hm : n - k ≤ m


Context: l m✝ n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

Context: P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop

Forall P ↔ ∀ (x : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α), P x


Context: l m✝ n✝ : ℕ

Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m n : ℕ

(∀ (x : Fin n → α) (x_1 : Matrix (Fin m) (Fin n) α), P (of (vecCons x x_1))) ↔ ∀ (x : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α), P x


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y

Context: x y : P.M α

Context: r : R x y


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: r : R x y

∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: ay : P.A

Context: fy : P.B ay ⟹ α ::: P.M α

Context: h : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> ⟨ax, fx⟩ = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> ⟨ay, fy⟩

∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ay, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: ay : P.A

Context: fy : P.B ay ⟹ α ::: P.M α

Context: h : ⟨ax, (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx⟩ = ⟨ay, (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy⟩


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: h₁ : HEq ((TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx) ((TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy)

∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

⟨ax, fx⟩ = ⟨ax, splitFun (dropFun fx) (lastFun fx)⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨ax, splitFun (dropFun fx) (lastFun fy)⟩ ∧ ∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

⟨ax, fx⟩ = ⟨ax, fx⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨ax, fy⟩ ∧ ∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

Context: i : (P.B ax).last

Context: h₁ : Quot.mk R (fx Fin2.fz i) = Quot.mk R (fy Fin2.fz i)


Context: n : ℕ

Context: P : MvPFunctor.{u} (n + 1)

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: R : P.M α → P.M α → Prop

Context: h₀ : Equivalence R

Context: x y : P.M α

Context: ax : P.A

Context: fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α

Context: Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

Context: i : (P.B ax).last

Context: h₁ : EqvGen R (fx Fin2.fz i) (fy Fin2.fz i)


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
i : (P.B ax).last
h₁ : R (fx Fin2.fz i) (fy Fin2.fz i)


Context:
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M


(extChartAt I c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ⊆ (extChartAt I c).source


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

l.sublists' = foldr (fun a r => sublists'Aux a r r) [[]] l


(foldr (fun a arr => Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) arr arr 0) #[[]] l).toList = foldr (fun a r => (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r) (toArray r) 0).toList) [[]] l


foldr ?g₂ #[[]].toList l = foldr (fun a r => (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r) (toArray r) 0).toList) [[]] l


∀ (x : α) (y : Array (List α)), ?g₂ x y.toList = (Array.foldl (fun r l => r.push (x :: l)) y y 0).toList


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop

(∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, p x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection K
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
y : E

‖y - ↑((orthogonalProjection U) y)‖ = ⨅ x, ‖y - ↑x‖


∀ w ∈ U, ⟪y - ↑((orthogonalProjection U) y), w⟫_𝕜 = 0


Context:
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
y x : α
n : ℕ
hn : x < n • 1


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h : i ≤ j
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i
h : i ≤ i


Context:
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h✝ : i ≤ j
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i
h : i < j


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
x : (𝓞 K)ˣ
hr : 0 ≤ r
h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ r
w : InfinitePlace K

|Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))| ≤ ↑(Fintype.card (InfinitePlace K)) * r


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: r : ℝ

Context: x : (𝓞 K)ˣ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ r

Context: w : InfinitePlace K

Context: tool : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ ↑w.mult * x


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

(match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + (((match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 1) + 1 = (((match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 2


Context:
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂

(e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow (e₁.repr + b₂)


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: b₁ : Ordinal.{0}

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁

Context: e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: b₂ : Ordinal.{0}

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂

Context: IH : (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂).NFBelow (e₁.repr + e₂.repr)


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: b₁ : Ordinal.{0}

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁

Context: e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: b₂ : Ordinal.{0}

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂

Context: e0 : e₂ = 0

(e₁.oadd (n₁ * n₂) a₁).NFBelow (e₁.repr + b₂)


Context: e₁ : ONote

Context: n₁ : ℕ+

Context: a₁ : ONote

Context: b₁ : Ordinal.{0}

Context: h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁

Context: e₂ : ONote

Context: n₂ : ℕ+

Context: a₂ : ONote

Context: b₂ : Ordinal.{0}

Context: h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂

Context: e0 : ¬e₂ = 0

((e₁ + e₂).oadd n₂ (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂)).NFBelow (e₁.repr + b₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f

f = ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0 ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).symm


f ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) = ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Field R
f : R⟦X⟧
h : ¬(constantCoeff R) f = 0


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: p : ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν

∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν = n • X * (1 - X)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: k : ℕ

Context: m : k ∈ Finset.range (n + 1)

(n • X - ↑k) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n k = (↑(k * (k - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑k + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n k


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin n) → α i.castSucc
xₙ : α (last n)
s : (i : Fin n) → Finset (α i.castSucc)
sₙ : Finset (α (last n))

snoc x xₙ ∈ piFinset (snoc s sₙ) ↔ x ∈ piFinset s ∧ xₙ ∈ sₙ


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α


Prod.swap '' V ∈ (Prod.swap <$> 𝓤 α).sets


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : s ∈ 𝔖

map (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)) ≤ 𝓤 (↑s →ᵤ β)


⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) ≤ comap (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (↑s →ᵤ β))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : PartialOrder β
l : Filter α
f g : α → β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e : β → α

Context: h_e : UniformInducing e

Context: h_dense : DenseRange e

Context: f : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: d : Set (γ × γ)

Context: hd : d ∈ 𝓤 γ

Context: s : Set (γ × γ)

Context: hs : s ∈ 𝓤 γ

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s

Context: this : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β

Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e : β → α

Context: h_e : UniformInducing e

Context: h_dense : DenseRange e

Context: f : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: d : Set (γ × γ)

Context: hd : d ∈ 𝓤 γ

Context: s : Set (γ × γ)

Context: hs : s ∈ 𝓤 γ

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β

Context: this : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : t ∈ 𝓤 α

Context: ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s

Context: x✝ : α × α

Context: x₁ x₂ : α

Context: hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t

(x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝³ : UniformSpace α

Context: inst✝² : UniformSpace β

Context: inst✝¹ : UniformSpace γ

Context: e : β → α

Context: h_e : UniformInducing e

Context: h_dense : DenseRange e

Context: f : β → γ

Context: h_f : UniformContinuous f

Context: inst✝ : CompleteSpace γ

Context: d : Set (γ × γ)

Context: hd : d ∈ 𝓤 γ

Context: s : Set (γ × γ)

Context: hs : s ∈ 𝓤 γ

Context: hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

Context: this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β

Context: this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)

Context: t : Set (α × α)

Context: ht : t ∈ 𝓤 α

Context: x✝ : α × α

Context: x₁ x₂ : α

Context: hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t

Context: this : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)