Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

Context: boxes : Finset (WithBot (Box ι))

Context: le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I

Context: pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint

Context: H : ∀ J ∈ π, ∃ J' ∈ boxes, ↑J ≤ J'

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ π

Context: J' : WithBot (Box ι)

Context: J'mem : J' ∈ boxes

Context: hle : ↑J ≤ J'

∃ I' ∈ ofWithBot boxes le_of_mem pairwise_disjoint, J ≤ I'


Context: ι : Type u_1

Context: I J✝ J₁ J₂ : Box ι

Context: π π₁ π₂ : Prepartition I

Context: x : ι → ℝ

Context: boxes : Finset (WithBot (Box ι))

Context: le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I

Context: H : ∀ J ∈ π, ∃ J' ∈ boxes, ↑J ≤ J'

Context: J : Box ι

Context: hJ : J ∈ π

Context: J' : Box ι

Context: J'mem : ↑J' ∈ boxes

Context: hle : ↑J ≤ ↑J'


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: β : Type u_10

Context: inst✝⁵ : DivisionSemiring α

Context: inst✝⁴ : NeZero 2

Context: inst✝³ : Lattice β

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module α β

Context: inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x y : β


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β✝ : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: M : Type u_7

Context: N : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: β : Type u_10

Context: inst✝⁵ : DivisionSemiring α

Context: inst✝⁴ : NeZero 2

Context: inst✝³ : Lattice β

Context: inst✝² : AddCommGroup β

Context: inst✝¹ : Module α β

Context: x y : β

Context: this : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
t : Set α
a : α
s : Set α

t ∈ 𝓝[s] a ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ a ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ t


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
q : Submodule R₂ M₂
h : q ≤ range f


Context:
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K

IsUnramified k w ↔ Nat.card ↥(Stab w) = 1


Context:
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ a

padicValNat p (a / b) = padicValNat p a - padicValNat p b


Context:
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ 0

padicValNat p (0 / b) = padicValNat p 0 - padicValNat p b


Context:
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ a
ha : a ≠ 0


Context:
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
ha : b * k ≠ 0

padicValNat p (b * k / b) = padicValNat p (b * k) - padicValNat p b


Context:
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
ha : b * k ≠ 0
hb : b ≠ 0
hk : k ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: X : C

Context: f : yoneda.obj X ⟶ P

yonedaEquiv (f ≫ presheafHom φ P) = (G.map f).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: X : C

Context: x : P.obj (Opposite.op X)

yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm x ≫ presheafHom φ P) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: X : C

Context: x : P.obj (Opposite.op X)

yonedaEquiv ({ pt := { obj := fun X => (G.obj P).obj (F.op.obj X), map := fun {X Y} f => (G.obj P).map (F.op.map f), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }, ι := { app := fun x => coconeApp φ (Opposite.unop x), naturality := ⋯ } }.ι.app (Opposite.op (P.elementsMk (Opposite.op X) x))) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: ℰ : Type u₂

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ

Context: A✝ A : C ⥤ ℰ

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X✝ : C

Context: G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁

Context: X : C

Context: x : P.obj (Opposite.op X)

yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm ((G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (F.op.obj (Opposite.op X)) ((φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X))))))) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
inst✝ : DecidableEq α
hi : Std.IdempotentOp op
s✝ : Multiset α
b a : α
s : Multiset α
IH : fold op b s.dedup = fold op b s
h : a ∈ s


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : SMulZeroClass R α
r : R
i : m
j : n
a : α
i✝ : m
j✝ : n

(r • fun i' j' => if i = i' ∧ j = j' then a else 0) i✝ j✝ = if i = i✝ ∧ j = j✝ then r • a else 0


Context:
n m : ℕ
a b c : Fin n


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P✝ : Sylow p G
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
N : Subgroup G
P Q : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
hQ : ↑Q ≤ N
h : P.subtype hP = Q.subtype hQ


Context: p : ℕ

Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹ : Group G

Context: P✝ : Sylow p G

Context: K : Type u_2

Context: inst✝ : Group K

Context: ϕ : K →* G

Context: N : Subgroup G

Context: P Q : Sylow p G

Context: hP : ↑P ≤ N

Context: hQ : ↑Q ≤ N

Context: h : ∀ (x : ↥N), x ∈ P.subtype hP ↔ x ∈ Q.subtype hQ


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n

minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))


Context:
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ 0
hdiv : ¬p ∣ 0


Context:
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: hpos : n > 0

Context: this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: hpos : n > 0

(Polynomial.aeval μ) ((expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))) = 0


Context: n : ℕ

Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : CommRing K

Context: μ : K

Context: h : IsPrimitiveRoot μ n

Context: inst✝¹ : IsDomain K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: p : ℕ

Context: hdiv : ¬p ∣ n

Context: hpos : n > 0

(Polynomial.aeval (μ ^ p)) (minpoly ℤ (μ ^ p)) = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: s : Set (Set α)

Context: hs : ∀ t ∈ s, Continuous' fun x => x ∈ t


Context: α : Type u

Context: inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α

Context: s : Set (Set α)

Context: x✝ : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
hs : s.Finite


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
hs : s.Finite
h : ∀ (a : α), a ∈ s


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S

(W.map f).Ψ₂Sq = Polynomial.map f W.Ψ₂Sq


C 4 * X ^ 3 + C (f W.b₂) * X ^ 2 + C (2 * f W.b₄) * X + C (f W.b₆) = Polynomial.map f (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

WithSeminorms fun i => (Finset.Iic i).sup p


Seminorm.IsBounded p (fun i => (Finset.Iic i).sup p) LinearMap.id


Seminorm.IsBounded (fun i => (Finset.Iic i).sup p) p LinearMap.id


Context:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A

(Ideal.Quotient.mk I) ((liftOfDerivationToSquareZero I hI d) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x


(Ideal.Quotient.mk I) ((algebraMap A B) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x


Context: cs cs' : List Char

{ data := cs ++ cs' }.atEnd { byteIdx := utf8Len cs } = true ↔ cs' = []


Context: cs cs' : List Char

{ data := cs ++ cs' }.endPos ≤ { byteIdx := utf8Len cs } ↔ cs' = []


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeInf α
b c : α
inst✝ : OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : InfPrime ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α → β
s : Set α
a : α
b : β


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂

x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
a₁ : α₁
ha₁ : a₁ ∈ s₁
hx₁ : f₁ a₁ = x.1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
a₁ : α₁
ha₁ : a₁ ∈ s₁
hx₁ : f₁ a₁ = x.1
a₂ : α₂
ha₂ : a₂ ∈ s₂
hx₂ : f₂ a₂ = x.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: f : α → β

Context: t : α

Context: ts is : List α

Context: IH1 : map (map f) (ts.permutationsAux (t :: is)) = (map f ts).permutationsAux (map f (t :: is))

Context: IH2 : map (map f) (is.permutationsAux []) = (map f is).permutationsAux []

map (map f) ((t :: ts).permutationsAux is) = (map f (t :: ts)).permutationsAux (map f is)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r ↑hu.unit⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
a' : α
b' : β

(a', b') ∈ (G □ H).neighborSet x ↔ (a', b') ∈ G.neighborSet x.1 ×ˢ {x.2} ∪ {x.1} ×ˢ H.neighborSet x.2


G.Adj x.1 a' ∧ x.2 = b' ∨ H.Adj x.2 b' ∧ x.1 = a' ↔ G.Adj x.1 a' ∧ b' = x.2 ∨ a' = x.1 ∧ H.Adj x.2 b'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g

∑ i : ι, f (σ i) • g i < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary (f ∘ ⇑σ) g


Context:
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, y⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, y'⟩.snd

colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩


Context:
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s

Context: h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β

Context: h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ

Context: h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s

∃ k f g, (F.map f) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s

(F.map α) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd = (F.map γ) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s

(F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s

(F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x) * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s

(F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) y'


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: j₁ : J

Context: y : ↑(F.obj j₁)

Context: j₂ : J

Context: x : ↑(F.obj j₂)

Context: j₃ : J

Context: y' : ↑(F.obj j₃)

Context: l : J

Context: f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l

Context: g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l

Context: hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s

Context: β : l ⟶ s

Context: γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s

(F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map f ≫ F.map β) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map g ≫ F.map β) y'


Context:
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsLieAbelian L
ψ : Module.Dual R L
x y : L


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t✝ ⊆ t

(t \ t✝).card = 1 ↔ t.card = t✝.card + 1


Context:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'

(toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ l r) i j = ((toMatrix' l)ᵀ * (toMatrix₂' R) B * toMatrix' r) i j


(B (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1)) = ∑ x : m, ∑ i_1 : n, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) i_1 i * (B ((stdBasis R (fun x => R) i_1) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j


(B (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j


(((Pi.basisFun R n).repr (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))).sum fun i xi => ((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => xi •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j


(∑ i_1 : n, ((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => ((Pi.basisFun R n).repr (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i_1 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i_1)) ((Pi.basisFun R m) j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j


∀ (i : n), (((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => 0 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) = 0


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ k, orderOf x = p ^ k
k : ℕ
hk : orderOf x = p ^ k


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ m, x ^ p ^ m = 1
w✝ : ℕ
hm : x ^ p ^ w✝ = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ m, x ^ p ^ m = 1
w✝ : ℕ
hm : x ^ p ^ w✝ = 1
k : ℕ
left✝ : k ≤ w✝
hk : orderOf x = p ^ k


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m


(toSpec 𝒜 f).val.base = (projIsoSpecTopComponent f_deg hm).hom


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: n : ℕ

Context: X₁ X₂ : Cᵒᵖ

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: g : Y₁ ⟶ Y₂

Context: α : ↑(((fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n) X₁).obj Y₁)

(AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ g).postcomp (Opposite.unop X₂) ⋯)) α = (AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ g).postcomp (Opposite.unop X₁) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯)) α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: n : ℕ

Context: X₁ X₂ : Cᵒᵖ

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: Y₁ Y₂ : C

Context: g : Y₁ ⟶ Y₂


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: n : ℕ

Context: X₁ X₂ X₃ : Cᵒᵖ

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: f' : X₂ ⟶ X₃

Context: Y : C

Context: α : ↑(({ obj := fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n, map := fun {X₁ X₂} f => { app := fun Y => AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯), naturality := ⋯ } }.obj X₁).obj Y)

(Ext.mk₀ (f'.unop ≫ f.unop)).comp α ⋯ = (AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f'.unop).comp α ⋯) ⋯)) α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: n : ℕ

Context: X₁ X₂ X₃ : Cᵒᵖ

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: f' : X₂ ⟶ X₃

Context: Y : C

((Ext.mk₀ f'.unop).comp (Ext.mk₀ f.unop) ⋯).comp α ⋯ = (AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f'.unop).comp α ⋯) ⋯)) α


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : HasExt C

Context: n : ℕ

Context: X₁ X₂ X₃ : Cᵒᵖ

Context: f : X₁ ⟶ X₂

Context: f' : X₂ ⟶ X₃

Context: Y : C


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
g : β → γ
s : Set γ

↑(map g f) ⁻¹' s = ↑f ⁻¹' ↑(Finset.filter (fun b => g b ∈ s) f.range)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

x ∈ (p ⊔ p').toAddSubmonoid ↔ x ∈ p.toAddSubmonoid ⊔ p'.toAddSubmonoid


(∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ p.toAddSubmonoid, ∃ z ∈ p'.toAddSubmonoid, y + z = x


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

IsClosed s ↔ ∀ {o : Ordinal.{u}}, o ≠ 0 → ∀ (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) → o.bsup f ∈ s


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

(∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s) ↔ ∀ {o : Ordinal.{u}}, o ≠ 0 → ∀ (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) → o.bsup f ∈ s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: H : ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o ≠ 0

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s

∀ (i : (Quotient.out o).α), o.familyOfBFamily f i ∈ s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: H : ∀ {o : Ordinal.{u}}, o ≠ 0 → ∀ (f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}), (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) → o.bsup f ∈ s

Context: ι : Type u

Context: hι : Nonempty ι

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : ∀ (i : ι), f i ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

toIocDiv hp (a - c) b = toIocDiv hp a (b + c)


Context:
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G


Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } ≤ Nat.card { p // Commute p.1 p.2 }


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hs : IsCompact (f '' s)
F : Filter X
F_ne_bot : F.NeBot
F_le : F ≤ 𝓟 s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hs : IsCompact (f '' s)
F : Filter X
F_ne_bot : F.NeBot
F_le : F ≤ 𝓟 s
x : X
x_in : x ∈ s
hx : ClusterPt (f x) (map f F)


Context:
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t s : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: h₁ : ((-s).toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: s✝ t s : SignedMeasure α

Context: μ : Measure α

Context: h₂ : ((-s).toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝³ : Semiring R₁
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
x : R₁


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E × F → G

IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1 * p.2


IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun p => p.1 • p.2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α

(G.cliqueFinset n).card ≤ (Fintype.card α).choose n


(G.cliqueFinset n).card ≤ (powersetCard n univ).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s✝ s : Finset α

s ∈ G.cliqueFinset n → s ∈ powersetCard n univ


Context:
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
U A : Matrix m m 𝔸
hy : IsUnit U
u : (Matrix m m 𝔸)ˣ
hu : ↑u = U

exp 𝕂 ((↑u)⁻¹ * A * ↑u) = (↑u)⁻¹ * exp 𝕂 A * ↑u


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ

∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K N : ℕ

Context: hKN : K ≤ N

Context: ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ

Context: this : IsProbabilityMeasure ρ

Context: A : ∑ j ∈ range K, ∫ (x : ℝ) in ↑j..↑N, 1 ∂ρ ≤ (∫ (a : Ω), X a) + 1


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasureSpace Ω

Context: inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ

Context: X : Ω → ℝ

Context: hint : Integrable X ℙ

Context: hnonneg : 0 ≤ X

Context: K N : ℕ

Context: hKN : K ≤ N

Context: ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ

Context: this : IsProbabilityMeasure ρ

Context: B : ∀ (a b : ℝ), ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc a b} = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in Set.Ioc a b, 1 ∂ρ)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n : ℕ

Context: M : Fin n.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝¹⁰ : Semiring R

Context: inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : Module R M₃

Context: inst✝ : Module R M'

Context: f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂

Context: f : MultilinearMap R M M₂

Context: m : (i : Fin n) → M i.castSucc

Context: x y : M (last n)

f (snoc m (x + y)) = f (snoc m x) + f (snoc m y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
a ε : α
hε : 0 < ε


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

toIocMod hp a b = a + p - Int.fract ((a + p - b) / p) * p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
x : β
h_cont : Continuous f
hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)
r : Set (β × β)
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
s : Set α
hs : IsCompact s
hst : sᶜ ⊆ f ⁻¹' {y | (x, y) ∈ t}


symmetrizeRel {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ symmetrizeRel r} ⊆ {x | (f x.1, f x.2) ∈ r}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: f : α → β

Context: x : β

Context: h_cont : Continuous f

Context: hx : Tendsto f (cocompact α) (𝓝 x)

Context: r : Set (β × β)

Context: hr : r ∈ 𝓤 β

Context: t : Set (β × β)

Context: ht : t ∈ 𝓤 β

Context: htsymm : SymmetricRel t

Context: htr : t ○ t ⊆ r

Context: s : Set α

Context: hs : IsCompact s

Context: hst : sᶜ ⊆ f ⁻¹' {y | (x, y) ∈ t}

Context: b₁ b₂ : α

Context: h : (b₁, b₂) ∈ symmetrizeRel {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ symmetrizeRel r}

Context: h₁ : b₁ ∉ s

Context: h₂ : b₂ ∉ s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
this : PolishSpace ↑s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n a : ℕ
h1 : f n < f a
h2 : f a < f (n + 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a✝ : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β
a : α × β

a ∈ interedges r s (t.biUnion f) ↔ a ∈ t.biUnion fun b => interedges r s (f b)


a.1 ∈ s ∧ (∃ a_1 ∈ t, a.2 ∈ f a_1) ∧ r a.1 a.2 ↔ ∃ a_1 ∈ t, a.1 ∈ s ∧ a.2 ∈ f a_1 ∧ r a.1 a.2


Context: x : PartENat

0 < ⊤ ↔ 1 ≤ ⊤


Context:
x : PartENat
n : ℕ


Context:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
x y : M


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: φ : M ↪ₑ[L] N

Context: x y : M

Context: h : ((var 0).equal (var 1)).Realize (⇑φ ∘ fun i => if i = 0 then x else y) ↔ ((var 0).equal (var 1)).Realize fun i => if i = 0 then x else y


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: φ : M ↪ₑ[L] N

Context: x y : M

Context: h : Term.realize (⇑φ ∘ fun i => if i = 0 then x else y) (var 0) = Term.realize (⇑φ ∘ fun i => if i = 0 then x else y) (var 1) ↔ Term.realize (fun i => if i = 0 then x else y) (var 0) = Term.realize (fun i => if i = 0 then x else y) (var 1)


Context: L : Language

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: Q : Type u_4

Context: inst✝³ : L.Structure M

Context: inst✝² : L.Structure N

Context: inst✝¹ : L.Structure P

Context: inst✝ : L.Structure Q

Context: φ : M ↪ₑ[L] N

Context: x y : M

Context: h : φ x = φ (if 2 = 1 then x else y) ↔ x = if 2 = 1 then x else y


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m

(bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

(map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

(bind₁ fun i => (expand p) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: key : (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: key : (expand p) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)) = (expand p) ((bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: key : (bind₁ fun i => (expand p) ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i)) (W_ ℚ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

(bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

∀ i ∈ (W_ ℚ n).vars, i ∈ (W_ ℚ n).vars → (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i ∈ (W_ ℚ n).vars

(expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))


Context: p : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: idx : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: Φ : MvPolynomial idx ℤ

Context: n : ℕ

Context: i : ℕ

Context: hi : i < n + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
x : α

x ∈ s ∩ mulSupport f ↔ x ∈ t ∩ mulSupport f


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
a : R

a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ a ∈ primitiveRoots n R


a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ IsPrimitiveRoot a n


a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ (cyclotomic n R).IsRoot a


Context:
f : ℝ → ℝ
c x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ Set.Ioo 0 1

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (x✝¹ * x) x, (fun x => c) u ∈ Set.Icc (1 * (fun x => c) x) (1 * (fun x => c) x)


Context:
f : ℝ → ℝ
c x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ Set.Ioo 0 1
x : ℝ

∀ u ∈ Set.Icc (x✝¹ * x) x, c ∈ Set.Icc (1 * c) (1 * c)


Context:
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1

abs (cexp x - 1 - x) = abs (cexp x - ∑ m ∈ range 2, x ^ m / ↑m.factorial)


Context:
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : α


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β

(map f) (⨅ i, (comap f) (m i)) = ⨅ i, (map f) ((comap f) (m i))


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β

(⨅ i, (map f) ((comap f) (m i))) s ≤ ((map f) (⨅ i, (comap f) (m i))) s


∀ (i : ℕ → Set α), f ⁻¹' s ⊆ iUnion i → ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' t n)) ≤ ∑' (n : ℕ), ⨅ i_2, (m i_2) (f '' i n)


Context:
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t


∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' (fun n => f '' t n ∪ (range f)ᶜ) n)) ≤ ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' t n)


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
L R : ListBlank Γ

map f (mk' L R) = mk' (ListBlank.map f L) (ListBlank.map f R)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
a : α

f a = funMulInvSnorm f p μ a * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E

Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : IsEmpty ι


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

∀ ε > 0, ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: a : E

Context: ha : a ∈ ⨆ i, U i

Context: hay : dist y a < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: a : E

Context: ha : a ∈ ⨆ i, U i

Context: hay : ‖y - a‖ < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: a : E

Context: ha : a ∈ ⨆ i, U i

Context: hay : ‖y - a‖ < ε

Context: I : ι

Context: hI : a ∈ U I


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: a : E

Context: ha : a ∈ ⨆ i, U i

Context: hay : ‖y - a‖ < ε

Context: I : ι

Context: hI : a ∈ U I

Context: i : ι

Context: hi : I ≤ i

‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: a : E

Context: ha : a ∈ ⨆ i, U i

Context: hay : ‖y - a‖ < ε

Context: I : ι

Context: hI : a ∈ U I

Context: i : ι

Context: hi : I ≤ i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: K : Submodule 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup ι

Context: U : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)

Context: hU : Monotone U

Context: x : E

Context: h✝ : Nonempty ι

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: a : E

Context: ha : a ∈ ⨆ i, U i

Context: hay : ‖y - a‖ < ε

Context: I : ι

Context: hI : a ∈ U I

Context: i : ι

Context: hi : I ≤ i

⨅ x, ‖y - ↑x‖ ≤ ‖y - ↑⟨a, ⋯⟩‖


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℤ

IsUnit (A ^ z).det ↔ IsUnit A.det ∨ z = 0


Context:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M

IsUnit (A ^ 0).det ↔ IsUnit A.det ∨ 0 = 0


Context: n' : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq n'

Context: inst✝¹ : Fintype n'

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: A : M

Context: z : ℕ

Context: a✝ : IsUnit (A ^ ↑z).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z = 0

IsUnit (A ^ (↑z + 1)).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z + 1 = 0


Context: n' : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq n'

Context: inst✝¹ : Fintype n'

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing R

Context: A : M

Context: z : ℕ

Context: a✝ : IsUnit (A ^ (-↑z)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z = 0

IsUnit (A ^ (-↑z - 1)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z - 1 = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S

fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b + LocalizedModule.mk a' b') = fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b) + fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a' b')


↑⋯.unit⁻¹ (f (b' • a + b • a')) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a) + ↑⋯.unit⁻¹ (f a')


f (b' • a) + f (b • a') = ↑⋯.unit⁻¹ (f (↑(b * b') • a)) + ↑⋯.unit⁻¹ (↑(b * b') • f a')


f (b' • a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f (↑(b * b') • a))


f (b • a') = ↑⋯.unit⁻¹ (↑(b * b') • f a')


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β

Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[>] a) l


Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν

∫⁻ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν


Context:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x


Context:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)


Context:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V


Context:
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y✝ : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V
y : X
hy : y ∈ K \ f ⁻¹' V


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Continuous fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

∀ (x : X), ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x₀


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: U_cpct : IsCompact U

Context: U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: U_cpct : IsCompact U

Context: U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀

Context: M : ℝ

Context: hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: U_cpct : IsCompact U

Context: U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀

Context: M : ℝ

∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (f x) (μ.restrict s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: U_cpct : IsCompact U

Context: U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀

Context: M : ℝ

∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : Y) ∂μ.restrict s, ‖f x a‖ ≤ ?intro.intro.intro.bound a


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: U_cpct : IsCompact U

Context: U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀

Context: M : ℝ

Integrable ?intro.intro.intro.bound (μ.restrict s)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: U_cpct : IsCompact U

Context: U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀

Context: M : ℝ

∀ᵐ (a : Y) ∂μ.restrict s, ContinuousAt (fun x => f x a) x₀


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹³ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y

Context: μ : Measure Y

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝⁴ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝³ : LocallyCompactSpace X

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Y

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : X → Y → E

Context: hf : Continuous (uncurry f)

Context: s : Set Y

Context: hs : IsCompact s

Context: x₀ : X

Context: U : Set X

Context: U_cpct : IsCompact U

Context: U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀

Context: M : ℝ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y R₁ R₂ : Set α
M : Matroid α
hR : R₂ ⊆ R₁

M ↾ R₁ ↾ R₂ = M ↾ R₂


∀ I ⊆ (M ↾ R₁ ↾ R₂).E, (M ↾ R₁ ↾ R₂).Indep I ↔ (M ↾ R₂).Indep I


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw : ∑ i ∈ t, w i = 1


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R

(coeff R n) ((C σ R) a * φ) = a * (coeff R n) φ


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
j : α

(if j + 1 = j + 1 then 𝟙 (X (j + 1)) ≫ d j else 0) = d j


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : Zero M

Context: inst✝¹ : Zero M'

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: a : α

Context: g : α → M → N

Context: h₀ : ∀ (b : α), f b ≠ 0 → b ≠ a → g b (f b) = 1

Context: h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : Zero M

Context: inst✝¹ : Zero M'

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: a : α

Context: g : α → M → N

Context: h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1

Context: b : α

Context: hb₁ : b ∈ f.support

Context: hb₂ : b ≠ a


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid B

Context: inst✝³ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g✝ : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝² : Zero M

Context: inst✝¹ : Zero M'

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f : α →₀ M

Context: a : α

Context: g : α → M → N

Context: h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1

Context: h : a ∉ f.support


Context:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IsGalois F E

IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup = K


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)

Context: K : IntermediateField F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: h : IsGalois F E

Context: K_le : K ≤ IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup


Context: F : Type u_1

Context: inst✝³ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : Field E

Context: inst✝¹ : Algebra F E

Context: H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)

Context: K : IntermediateField F E

Context: inst✝ : FiniteDimensional F E

Context: h : IsGalois F E

finrank (↥K) E = finrank (↥(IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup)) E


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
h : s =ᶠ[ae μ] t

⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ

⨆ x, dist (f x) (g x) = ↑(⨆ x, nndist (f x) (g x))


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.OrdConnected

Context: hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x


Context: a b : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.OrdConnected

∀ x ∈ f' '' s, ∀ y ∈ f' '' s, x < y → Ioo x y ⊆ f' '' s


Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.OrdConnected

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ s

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ s

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b


Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.OrdConnected

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ s

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ s

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab : a ≤ b


Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: f f' : ℝ → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hs : s.OrdConnected

Context: a : ℝ

Context: ha : a ∈ s

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ s

Context: m : ℝ

Context: hma : f' a < m

Context: hmb : m < f' b

Context: hab : b ≤ a


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β

image2 f ↑s ↑t = image2 (fun a b => f b a) ↑t ↑s


Context:
α : Type u
l l' : List α


Context:
R✝ : Type u
S✝ : Type v
A✝ : Type w
B : Type u₁
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hRS : ⊤.FG
hSA : ⊤.FG
s : Finset S
hs : adjoin R ↑s = ⊤
t : Finset A
ht : adjoin S ↑t = ⊤

adjoin R ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S A)) s ∪ t) = ⊤


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ

exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), orderOf g ∣ n


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
H : a < b


Context:
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

alternatingFaceMapComplex C ⋙ F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) = (SimplicialObject.whiskering C D).obj F ⋙ alternatingFaceMapComplex D


autoParam (∀ (X Y : SimplicialObject C) (f : X ⟶ Y), (alternatingFaceMapComplex C ⋙ F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map f = eqToHom ⋯ ≫ ((SimplicialObject.whiskering C D).obj F ⋙ alternatingFaceMapComplex D).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


∀ (X : SimplicialObject C), (alternatingFaceMapComplex C ⋙ F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj X = ((SimplicialObject.whiskering C D).obj F ⋙ alternatingFaceMapComplex D).obj X


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s

eLpNormEssSup (s.indicator f) μ = eLpNormEssSup f (μ.restrict s)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionRing α

Context: p q : ℚ

Context: a b : ℤ

Context: b0 : ↑b ≠ 0

Context: b0' : b ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: c : n.natAbs.Coprime d

Context: e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }

↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: inst✝ : DivisionRing α

Context: p q : ℚ

Context: a b : ℤ

Context: b0 : ↑b ≠ 0

Context: b0' : b ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: h : d ≠ 0

Context: c : n.natAbs.Coprime d

Context: d0 : ↑d ≠ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
this : ↑(a * ↑d) = ↑(n * b)


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
this : ↑a * ↑d = ↑n * ↑b


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : StarModule R A
inst✝⁵ : TopologicalSemiring A
inst✝⁴ : ContinuousStar A
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : StarRing B
s : Subalgebra R A

(star s).topologicalClosure = star s.topologicalClosure


∀ (t : Subalgebra R A), (star t).topologicalClosure ≤ star t.topologicalClosure


Context:
n m : ℕ
hnm : n < m

filter (fun x => decide (x < n + 1)) (Ico n m) = [n]


Context:
n m : ℕ
hnm : n < m
r : min m (n + 1) = n + 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}


x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ↔ (x ::ₘ y ::ₘ {z}).Nodup


x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ↔ ¬(x = y ∨ x = z) ∧ ¬y = z ∧ {z}.Nodup


x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z ↔ ¬(x = y ∨ x = z) ∧ ¬y = z ∧ True


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h : μ K ≠ 0
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
h : μ U = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : (interior U).Nonempty
h : μ U = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: μ : Measure G

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalGroup G

Context: inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

Context: K : Set G

Context: hK : IsCompact K

Context: U : Set G

Context: hU : IsOpen U

Context: hne : (interior U).Nonempty

Context: h : μ U = 0

Context: t : Finset G

Context: hKt : K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' U


Context:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

{ str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }


(if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + (utf8Len m₂ + c.utf8Size)) } then { byteIdx := utf8Len m₁ } else { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ })).byteIdx - utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }


{ byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }


¬({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ }).byteIdx = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + (utf8Len m₂ + c.utf8Size)) }.byteIdx


Context: l m₁ : List Char

Context: c : Char

Context: m₂ r : List Char

Context: this : { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) } = { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size }


Context: l m₁ : List Char

Context: c : Char

Context: m₂ r : List Char

Context: this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }

{ byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }


Context: l m₁ : List Char

Context: c : Char

Context: m₂ r : List Char

{ byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Epi f
qbar : Pseudoelement Q
q : Over Q

𝟙 (pullback f q.hom) ≫ ((fun g => app f g) (Over.mk (pullback.fst f q.hom))).hom = pullback.snd f q.hom ≫ q.hom


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x) = -x


∀ (v : E), ⟪v, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪v, -x⟫_ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⟪y, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪y, -x⟫_ℝ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E

Context: inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)

Context: o : Orientation ℝ E (Fin 2)

Context: x y : E

Context: this : ⟪o.rightAngleRotationAux₁ y, o.rightAngleRotationAux₁ x⟫_ℝ = ⟪y, x⟫_ℝ


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Subsingleton α


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α


(X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)


(X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)


Context: n : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h✝ : Nontrivial α

Context: h : (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.natDegree = Fintype.card n


Context: n : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: inst✝² : DecidableEq n

Context: inst✝¹ : Fintype n

Context: inst✝ : CommRing α

Context: A : Matrix n n α

Context: h✝ : Nontrivial α

Context: h : (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.natDegree < Fintype.card n


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∫ (x : ℝ) in a..b, cos x = sin b - sin a


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ sin x


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A

_root_.IsAlgebraic (↥(adjoin R (range x))) a


¬AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a✝ b : R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hx : IsTranscendenceBasis R x

Context: a : A

Context: ai : AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x

Context: h₁ : range x ⊆ range fun o => o.elim a x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: A' : Type u_6

Context: A'' : Type u_7

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_8

Context: x : ι → A

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : CommRing A

Context: inst✝⁵ : CommRing A'

Context: inst✝⁴ : CommRing A''

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : Algebra R A'

Context: inst✝¹ : Algebra R A''

Context: a✝ b : R

Context: inst✝ : Nontrivial R

Context: hx : IsTranscendenceBasis R x

Context: a : A

Context: h₂ : range x ≠ range fun o => o.elim a x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid R
inst✝³ : Pow R ℕ
inst✝² : BinomialRing R
inst✝¹ : MulOneClass R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.116938

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)

Context: i : ι₁

Context: x : M₁ i

Context: y : M₂'

(directSumLeft R M₁ M₂') ((lof R ι₁ M₁ i) x ⊗ₜ[R] y) = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.116938

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: i : ι₁

Context: x : M₁ i

Context: y : M₂'

((toModule R ι₁ (M₂' →ₗ[R] ⨁ (i : ι₁), M₁ i ⊗[R] M₂') fun i => (mk R (M₁ i) M₂').compr₂ (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i)) ((lof R ι₁ M₁ i) x)) y = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring R

Context: S : Type ?u.116938

Context: inst✝¹³ : Semiring S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: ι₁ : Type v₁

Context: ι₂ : Type v₂

Context: inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁

Context: inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂

Context: M₁ : ι₁ → Type w₁

Context: M₁' : Type w₁'

Context: M₂ : ι₂ → Type w₂

Context: M₂' : Type w₂'

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'

Context: inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)

Context: inst✝⁴ : Module R M₁'

Context: inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)

Context: inst✝² : Module R M₂'

Context: inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)

Context: i : ι₁

Context: x : M₁ i

Context: y : M₂'

(((mk R (M₁ i) M₂').compr₂ (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i)) x) y = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

(Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

(colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

(Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x = (Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

(Meq.equiv P ⊤) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (Meq.equiv P ⊤) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: i : ⊤.Arrow

↑((Meq.equiv P ⊤) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) i = ↑((Meq.equiv P ⊤) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))) i


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝³ : ConcreteCategory D

Context: inst✝² : PreservesLimits (forget D)

Context: X : C

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: x : (forget D).obj (P.obj (op X))

Context: i : ⊤.Arrow


Context:
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

(equiv W W.Q) ((mk W f).comp (mk W g)) = (equiv W W.Q) (mk W (f ≫ g))


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19181, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.19185, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

(F.map (f ≫ g).base).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)


Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: A : Type w

Context: inst✝¹⁰ : Ring F

Context: inst✝⁹ : Ring K

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup A

Context: inst✝⁷ : Module F K

Context: inst✝⁶ : Module K A

Context: inst✝⁵ : Module F A

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower F K A

Context: inst✝³ : StrongRankCondition F

Context: inst✝² : StrongRankCondition K

Context: inst✝¹ : Module.Free F K

Context: inst✝ : Module.Free K A

Context: b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex F K) F K := Module.Free.chooseBasis F K

Context: c : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K A) K A := Module.Free.chooseBasis K A

lift.{w, v} (Module.rank F K) * lift.{v, w} (Module.rank K A) = lift.{v, w} (Module.rank F A)


Context:
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l

Dioph {v | List.Forall (fun S => v ∈ S) l}


∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl


Context: α β γ : Type u

Context: S✝ S' S : Set (α → ℕ)

Context: l : List (Set (α → ℕ))

Context: IH : List.Forall Dioph l → ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl

Context: d : List.Forall Dioph (S :: l)

∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) (S :: l) ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl


Context: α β γ : Type u

Context: S✝ S' S : Set (α → ℕ)

Context: l : List (Set (α → ℕ))

Context: d : Dioph S ∧ List.Forall Dioph l


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M ≃ₗ[A] M

LinearMap.det ↑f.symm * LinearMap.det ↑f = 1


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g


underlying.obj f ⟶ underlying.obj (sInf s)


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s


Tendsto (fun n => a⁻¹ n • (fun x => a x • y) n) atTop (𝓝 y)


(fun x => y) =ᶠ[atTop] fun n => a⁻¹ n • (fun x => a x • y) n


Context:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s
n : ℕ
hn : 0 < a n


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite β
f : α → β
hf : Injective f


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n


Context:
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s k : Set α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : μ.InnerRegular

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x

Context: u : Set α

Context: u_mem : u ∈ 𝓝 x

Context: hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n

Context: A : 0 < μ (u ∩ s)

Context: B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: s k : Set α

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α

Context: inst✝ : μ.InnerRegular

Context: hs : MeasurableSet s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s

Context: n : Set α

Context: hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x

Context: u : Set α

Context: u_mem : u ∈ 𝓝 x

Context: hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n

Context: A : 0 < μ (u ∩ μ.everywherePosSubset s)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
I : Ideal S

⇑(comap f) '' zeroLocus ↑I = zeroLocus ↑(Ideal.comap f I)


∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ x_1, I ≤ x_1.asIdeal ∧ (comap f) x_1 = x) ↔ Ideal.comap f I ≤ x.asIdeal


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
f : α → β
hinj : Injective f
hf : IsClosedMap f
hsf : s ⊆ range f
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
f : α → β
hinj : Injective f
hf : IsClosedMap f
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty
hsf : f '' (f ⁻¹' s) = s


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.68862, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X : SimplicialObject A
n : ℕ

(id (ChainComplex.ofHom (fun n => underlying.obj (NormalizedMooreComplex.objX X n)) (NormalizedMooreComplex.objD X) ⋯ (fun n => X _[n]) (AlternatingFaceMapComplex.objD X) ⋯ (fun n => (NormalizedMooreComplex.objX X n).arrow) ⋯)).f n = (NormalizedMooreComplex.objX X n).arrow


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α✝

Context: x✝ y✝ : α✝

Context: inst✝² : DecidableEq α✝

Context: inst✝¹ : Fintype α✝

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: hfx : f x ≠ x

Context: hffx : f (f x) = x

Context: y z : α

Context: hz : f z ≠ z ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle z y

Context: i : ℤ

Context: hi : (f ^ i) z = x

Context: hyx : ¬y = x

Context: hfyx : ¬y = f x


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: f✝ g : Perm α✝

Context: x✝ y✝ : α✝

Context: inst✝² : DecidableEq α✝

Context: inst✝¹ : Fintype α✝

Context: α : Type u_4

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : Perm α

Context: hf : f.IsCycle

Context: x : α

Context: hfx : f x ≠ x

Context: hffx : f (f x) = x

Context: y z : α

Context: i : ℤ

Context: hi : (f ^ i) z = x

Context: hyx : ¬y = x

Context: hfyx : ¬y = f x