Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

‖∑ J ∈ (π.filter fun x => N (π.tag x) = n).boxes, (μ ↑J).toReal • f (π.tag J)‖ ≤ ↑(δ n)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

Context: this : ∀ J ∈ π.filter fun J => N (π.tag J) = n, ‖(μ ↑J).toReal • f (π.tag J)‖ ≤ (μ ↑J).toReal * ↑n


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

∑ b ∈ (π.filter fun J => N (π.tag J) = n).boxes, (μ ↑b).toReal * ↑n ≤ ↑(δ n)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

(μ (π.filter fun J => N (π.tag J) = n).iUnion).toReal * ↑n ≤ ↑(δ n)


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

Context: m : ℝ≥0∞ := μ (π.filter fun J => N (π.tag J) = n).iUnion


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

Context: this : m < ↑(δ n) / ↑n


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

Context: m : ℝ≥0∞

Context: this : m < ↑(δ n) / ↑n


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: l : IntegrationParams

Context: I : Box ι

Context: f : (ι → ℝ) → E

Context: μ : Measure (ι → ℝ)

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hl : l.bRiemann = false

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ε

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: c✝ : ℝ≥0

Context: hδc : HasSum δ c✝

Context: hcε : c✝ < ε

Context: this✝ : Fact (μ ↑I < ⊤)

Context: hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0

Context: N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x => ⌈‖f x‖⌉₊

Context: N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0

Context: U : ℕ → Set (ι → ℝ)

Context: hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n

Context: hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)

Context: c : ℝ≥0

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: x✝ : π.IsPartition

Context: n : ℕ

Context: m : ℝ≥0

Context: this : ↑m < ↑(δ n) / ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞

⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊤), 𝓟 (Ioi a)


Context:
m : ℝ
hm : 1 < m
k : ℕ

Summable fun i => 1 / m ^ (i + (k + 1))!


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3951, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ

A.EqId ↔ (unop Δ).len ≤ (unop A.fst).len


(unop A.fst).len = (unop Δ).len ↔ (unop Δ).len ≤ (unop A.fst).len


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : N →* G
hf : Surjective ⇑f
x : N
hx : x ∈ (comap f H).normalizer


Context: G : Type u_1

Context: G' : Type u_2

Context: G'' : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : Group G'

Context: inst✝² : Group G''

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddGroup A

Context: N : Type u_5

Context: inst✝ : Group N

Context: f✝ : G →* N

Context: H : Subgroup G

Context: f : N →* G

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: x : N

Context: hx : ∀ (h : N), f h ∈ H ↔ f (x * h * x⁻¹) ∈ H

∀ (h : G), h ∈ H ↔ f x * h * (f x)⁻¹ ∈ H


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hr : r ≠ 0

LiouvilleWith p (↑r * x) ↔ LiouvilleWith p x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y : M
f✝ f : M →* P
g : P → M
hf : Function.RightInverse g ⇑f
x : (ker f).Quotient

(kerLift f) ((toQuotient ∘ g) ((kerLift f) x)) = (kerLift f) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

s.einfsep < ⊤ ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < ⊤


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' n' : M
f : m ⟶ m'
g : n ⟶ n'
X : C

(F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.obj n').map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n').app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (f ⊗ g)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M

Context: inst✝ : MonoidalCategory M

Context: F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)

Context: m n m' n' : M

Context: f : m ⟶ m'

Context: g : n ⟶ n'

Context: X : C

Context: this : ((F.map f ⊗ F.map g) ≫ F.μ m' n').app X = (F.μ m n ≫ F.map (f ⊗ g)).app X


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Multiset (ι →₀ M)

s.sum.support ⊆ (map Finsupp.support s).sup


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
a✝ : List (ι →₀ M)

(sum (Quot.mk Setoid.r a✝)).support ⊆ (map Finsupp.support (Quot.mk Setoid.r a✝)).sup


Context: b : Bool

Context: m n : ℕ

Context: IH : shiftLeft' b m n ≠ 0 → (shiftLeft' b m n).size = m.size + n

Context: h : shiftLeft' b m (n + 1) ≠ 0

(shiftLeft' b m (n + 1)).size = m.size + (n + 1)


Context: b : Bool

Context: m n : ℕ

Context: h : ¬bit b (shiftLeft' b m n) = 0

(bit b (shiftLeft' b m n)).size = m.size + (n + 1)


Context: b : Bool

Context: m n : ℕ

Context: h : ¬bit b (shiftLeft' b m n) = 0

(shiftLeft' b m n).size.succ = (m.size + n).succ


Context: m n : ℕ

Context: IH : shiftLeft' true m n ≠ 0 → (shiftLeft' true m n).size = m.size + n

Context: h : ¬bit true 0 = 0

Context: s0 : shiftLeft' true m n = 0

Context: this : shiftLeft' true m n + 1 = 1


Context: m n : ℕ

Context: h : ¬bit true 0 = 0

Context: s0 : shiftLeft' true m n = 0

Context: this : (m + 1) * 2 ^ n = 1


Context: n : ℕ

Context: h : ¬bit true 0 = 0

Context: IH : shiftLeft' true 0 n ≠ 0 → (shiftLeft' true 0 n).size = size 0 + n

Context: s0 : shiftLeft' true 0 n = 0

Context: this : (0 + 1) * 2 ^ n = 1


Context: n : ℕ

Context: h : ¬bit true 0 = 0

Context: s0 : shiftLeft' true 0 n = 0

Context: this : 2 ^ n = 1


Context: h : ¬bit true 0 = 0

Context: IH : shiftLeft' true 0 0 ≠ 0 → (shiftLeft' true 0 0).size = size 0 + 0

Context: s0 : shiftLeft' true 0 0 = 0

Context: this : 2 ^ 0 = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α

⋃ n, Ioc (a + n • p) (a + (n + 1) • p) = univ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

∃ i, b ∈ Ioc (a + i • p) (a + (i + 1) • p)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a < b - toIocDiv hp a b • p
hr : b - toIocDiv hp a b • p ≤ a + p


a + toIocDiv hp a b • p + p = a + p + toIocDiv hp a b • p


Context:
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R


(∀ (x y : R), x = y) ↔ ∀ (x y : R), x = y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs₀ : μ s ≠ 0
hs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ≥0∞


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: B : Set (Set α)

Context: empty_mem : ∅ ∈ B

Context: subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B

Context: union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B

Context: sUnion_univ : ⋃₀ B = univ

Context: x : α


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: B : Set (Set α)

Context: empty_mem : ∅ ∈ B

Context: sUnion_univ : ∀ (a : α), ∃ b ∈ B, a ∈ b

Context: x : α


Context: ι : Type u_1

Context: α✝ : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: B : Set (Set α)

Context: empty_mem : ∅ ∈ B

Context: sUnion_univ : ∀ (a : α), ∃ b ∈ B, a ∈ b

Context: x : α

Context: s : Set α

Context: hs : s ∈ B

Context: hxs : x ∈ s


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝ : (F ⋙ G).ReflectsIsomorphisms
A✝ B✝ : C
f : A✝ ⟶ B✝
x✝ : IsIso (F.map f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x : α

∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : LinearOrder β
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : y < x
u : ℕ → α
hu_mono : StrictMono u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

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Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

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ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u


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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: s : Set M

Context: hxs : x ∈ s

ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

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Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

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Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

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Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

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Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

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Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

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Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

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Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: s : Set M

Context: hxs : x ∈ s

Context: h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

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Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

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Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

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Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

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Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

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Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

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Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: s : Set M

Context: hxs : x ∈ s

Context: h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x

Context: v : Set E

Context: hmem : v ∈ 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))] ↑(extChartAt I x) x

Context: hsub : v ⊆ insert (↑(extChartAt I x) x) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))

Context: hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

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Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: s : Set M

Context: hxs : x ∈ s

Context: h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x

Context: v : Set E

Context: hxs' : ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: s : Set M

Context: hxs : x ∈ s

Context: h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x

Context: v : Set E

Context: hmem : v ∈ 𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x

Context: hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : IsDomain k
f : R →+* k
x : k
hp : p ≠ 0


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'

η.naturality (𝟙 a) ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (G.map (𝟙 a)) f).hom ≫ η.app a ◁ G.mapId a ▷ f = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom


(F.mapId a ▷ η.app a ≫ (λ_ (η.app a)).hom ≫ (ρ_ (η.app a)).inv) ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x a : M

Context: H : 1 ≤ a

Context: k : ℕ


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝² : Monoid M

Context: inst✝¹ : Preorder M

Context: x a : M

Context: H : 1 ≤ a

Context: k : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t✝ : ι✝ → α

Context: ht✝ : Independent t✝

Context: ι : Sort u_5

Context: a : α

Context: t : ι → ↑(Iic a)

Context: i : ι

Context: x : ↑(Iic a)

Context: ht : Disjoint ((Subtype.val ∘ t) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (Subtype.val ∘ t) j)

x ≤ t i → x ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j → x ≤ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι✝ : Type u_3

Context: ι' : Type u_4

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set α

Context: hs : SetIndependent s

Context: t✝ : ι✝ → α

Context: ht✝ : Independent t✝

Context: ι : Sort u_5

Context: a : α

Context: t : ι → ↑(Iic a)

Context: i : ι

Context: x : ↑(Iic a)

Context: ht : Disjoint ↑(t i) ↑(⨆ i_1, ⨆ (_ : i_1 ≠ i), t i_1)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.ball 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hP : ¬P = 0
hQ : ¬Q = 0

(fun x => eval x P / eval x Q) ~[atTop] fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hP : ¬P = 0
hQ : ¬Q = 0
x : 𝕜
hx : 0 < x

(fun x => P.leadingCoeff * x ^ P.natDegree / (Q.leadingCoeff * x ^ Q.natDegree)) x = (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0
this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * max ‖e‖ ‖0‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0
this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * ‖e‖


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝⁴ : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝³ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : G.IsContinuous J K

Context: F : Sheaf K A

Context: H : Sheaf J A

Context: f : (G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F ⟶ H

(G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).inv.app F) ≫ G.op.ran.map f.val ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj H).val = ((G.op.ranAdjunction A).homEquiv F.val H.val) f.val


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ

(fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hb : orderOf b = n * m
hab : a ∈ ball b δ


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}


(fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m * δ)


ball (b ^ m) (↑m * δ) = ball (b ^ m) (m • δ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hμ : IntegrableOn f s μ
hν : IntegrableOn f s ν


Integrable f (μ.restrict s + ν.restrict s)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α


abs (TypeVec.id <$$> repr x) = abs (repr x)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
x : α


Context:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : DirichletCharacter R 0


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : n → α

‖col ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖


(∑ x : n, ‖col ι v x default‖ ^ 2) ^ (1 / 2) = (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖ ^ 2) ^ (1 / 2)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

(toLin' (lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x


∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x c ≤ slope f x y


∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 x, x_1 ∈ Ioi x → (f x_1 - f x) / (x_1 - x) ≤ (f y - f x) / (y - x)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
t : ℝ
ht : t < y
ht' : x < t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
ht : MeasurableSet t


Context: p n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: t : ℕ

Context: ht : t ∈ Finset.image (fun x => p ^ x) (Finset.range (padicValNat p n + 1))


Context: p n : ℕ

Context: hn : n ≠ 0

Context: t : ℕ

Context: ht : ∃ a < padicValNat p n + 1, p ^ a = t


Context:
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n + 1


Context:
α : Type u_1
M : Type u
N : Type v
P : Type w
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
f : M →* N
g : M → Nˣ
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
g : N →* P
f : M →* N


Context:
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0


Context: p' : ℕ

Context: h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0

Context: k : ℤ

Context: w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1


Context: p' : ℕ

Context: h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0

Context: k : ℤ

Context: w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * 0 * ω ^ 2 ^ p' - 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : LinearOrder α

Context: a✝¹ b✝ : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b c a : α


Context:
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α

(Equiv.mulRight a ^ n) x✝ = (Equiv.mulRight (a ^ n)) x✝


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Star A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Star B
inst✝² : Semiring C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
x : A

(↑↑__src✝.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑__src✝.toRingHom).toFun x)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: I : Type w

Context: A B : I → C

Context: f : (i : I) → A i ⟶ B i

Context: S X Y Z : C

Context: πX : X ⟶ S

Context: πY : Y ⟶ S

Context: φ : X ⟶ Y

Context: inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C

Context: inst✝ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C

Context: hφ : φ ≫ πY = πX

Context: i : I

Context: t : A i ⟶ X

Context: b : B i ⟶ S

Context: w : t ≫ πX = f i ≫ b

Context: t' : A i ⟶ Y

Context: fac : t ≫ φ = t'


Context:
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
h : a ≤ ↑b


Context:
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
h : ↑a ≤ ↑b


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K


Context:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : finrank ℚ K ≤ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: h : succ (sup (typein fun x x_1 => x < x_1)) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) = succ o


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁵ : L.NeBot

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)

Context: h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁸ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁵ : L.NeBot

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: G : Set Ω

Context: G_open : IsOpen G


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIocDiv hp (a - m • p) b = toIocDiv hp a b + m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t

s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})


P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y) ↔ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x}))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y
x : α
hx : x ∈ s
hxs : P (s \ {x})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t✝ : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
t : Set α
ht : P t
hst : t ⊆ s
x : α
hxs : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NegZeroClass β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
M : Matroid α
e : α
X : Set α

M.closure (insert e (M.closure X)) = M.closure (insert e X)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R

(M.updateColumn j (u + v)).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det


(Mᵀ.updateRow j u).det + (Mᵀ.updateRow j v).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A

Context: h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: Q : QuadraticForm R M

Context: n : ℕ

Context: A✝ : Type u_3

Context: inst✝³ : Semiring A✝

Context: inst✝² : Algebra R A✝

Context: A : Type u_4

Context: inst✝¹ : Semiring A

Context: inst✝ : Algebra R A

Context: f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A

⟨f.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩ = ⟨g.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T✝ : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A'

Context: inst✝⁸ : Semiring B

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A'

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: p✝ q : R[X]

Context: x : A

Context: S : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: U : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Semiring S

Context: inst✝³ : CommSemiring T

Context: inst✝² : Semiring U

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra T U

Context: φ : R →+* T

Context: ψ : S →+* U

Context: h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)

Context: p : R[X]

Context: a : S

ψ ((aeval a) p) = (aeval (ψ a)) (map φ p)


Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T✝ : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a✝ b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹¹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : Semiring A

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A'

Context: inst✝⁸ : Semiring B

Context: inst✝⁷ : Algebra R A

Context: inst✝⁶ : Algebra R A'

Context: inst✝⁵ : Algebra R B

Context: p✝ q : R[X]

Context: x : A

Context: S : Type u_3

Context: T : Type u_4

Context: U : Type u_5

Context: inst✝⁴ : Semiring S

Context: inst✝³ : CommSemiring T

Context: inst✝² : Semiring U

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra T U

Context: φ : R →+* T

Context: ψ : S →+* U

Context: p : R[X]

Context: a : S

ψ ((aeval a) p) = eval (ψ a) (map (algebraMap T U) (map φ p))


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
a✝ : MeasurableSet s


Context:
z✝ : ℂ
n✝ : ℕ
z : ℂ
n : ℕ

Complex.sin (↑π * z) = ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))


Context:
z : ℂ
n✝ n : ℕ


Context:
z✝ : ℂ
n✝ : ℕ
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : F
hy : y ∈ B.polar s


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
i : ↑I

eval ↑i ⁻¹' s ↑i ∈ comap (eval ↑i) (f ↑i)


Tendsto (fun x => x ^ (1 / x)) atTop (𝓝 1)


Context: x✝ : ℝ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

(fun x => x + a) ⁻¹' Ico b c = Ico (b - a) (c - a)


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData

h.π ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom


Context: n m : ℕ

(nim ↑n + nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)


Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)

Context: m : ℕ


Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)


Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

(mex fun i => ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue) = ↑(n ^^^ m)


Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: i : (nim ↑n + nim ↑m).LeftMoves

((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue ≠ ↑(n ^^^ m)


Context: n : ℕ

Context: m : ℕ

Context: ou : Ordinal.{u}

Context: hu : ou < ↑(n ^^^ m)

∃ i, ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue = ou


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1

AffineIndependent k p ↔ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
this : Nonempty { i // p i }

(⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ a = ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h ⊔ a


Context: C : Type u_5

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: a b : A

Context: X : C

(add F s i a b).hom.app (F.obj X) = (i (a + b)).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ (i b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (s b).map ((i a).inv.app X)


Context: C : Type u_5

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: a b : A

Context: X : C

Context: h : whiskerLeft F (add F s i a b).hom = (i (a + b) ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a b) F ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (shiftFunctor C b) F ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (i b).symm ≪≫ ((shiftFunctor C a).associator F (s b)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (i a).symm (s b) ≪≫ F.associator (s a) (s b)).hom


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι✝ : Type u_4
s✝ : Finset ι✝
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
ι : Type u_6
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → V
hw : s.sum w = 0

(s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₂ : Seq α
a : α
ss : Seq α
h : a ∈ ss

∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = ss → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂


∀ (b : α) (s' : Seq α), (a = b ∨ ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = s' → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂) → ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = cons b s' → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
b✝ : α
l : List α
a : α
al✝ : a ∈ b✝ :: l
pa : p a = true
b : α
al : Mem a l
pb : ¬p b = true
c : α
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true
h₂ : p c = true
h₃ : l = l₁ ++ c :: l₂
h₄ : eraseP p l = l₁ ++ l₂


Context:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommSemiring R
inst✝²⁰ : CommSemiring S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R T
inst✝⁸ : Algebra S T
inst✝⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝⁶ : AddCommMonoid O
inst✝⁵ : Module R O
inst✝⁴ : Module S O
inst✝³ : Module T O
inst✝² : IsScalarTower S T O
inst✝¹ : IsScalarTower R S O
inst✝ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g


∀ (Q : Type (max v₁ u_5 u_4)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module T Q] [inst_3 : IsScalarTower R T Q] (g_1 : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = g_1


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: inst✝²² : Module R M

Context: inst✝²¹ : Module R N

Context: inst✝²⁰ : Module S N

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁷ : Module R P

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝

Context: inst✝¹⁵ : Module S Q✝

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring T

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: inst✝¹² : Algebra S T

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O

Context: inst✝⁹ : Module R O

Context: inst✝⁸ : Module S O

Context: inst✝⁷ : Module T O

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R T O

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : IsBaseChange S f

Context: g : N →ₗ[S] O

Context: hg : IsBaseChange T g

Context: Q : Type (max v₁ u_5 u_4)

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: inst✝¹ : Module T Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R T Q

Context: i : M →ₗ[R] Q

Context: this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: inst✝²² : Module R M

Context: inst✝²¹ : Module R N

Context: inst✝²⁰ : Module S N

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁷ : Module R P

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝

Context: inst✝¹⁵ : Module S Q✝

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring T

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: inst✝¹² : Algebra S T

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O

Context: inst✝⁹ : Module R O

Context: inst✝⁸ : Module S O

Context: inst✝⁷ : Module T O

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R T O

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : IsBaseChange S f

Context: g : N →ₗ[S] O

Context: hg : IsBaseChange T g

Context: Q : Type (max v₁ u_5 u_4)

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: inst✝¹ : Module T Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R T Q

Context: i : M →ₗ[R] Q

Context: this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)

Context: this : IsScalarTower S T Q


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: inst✝²² : Module R M

Context: inst✝²¹ : Module R N

Context: inst✝²⁰ : Module S N

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁷ : Module R P

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝

Context: inst✝¹⁵ : Module S Q✝

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring T

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: inst✝¹² : Algebra S T

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O

Context: inst✝⁹ : Module R O

Context: inst✝⁸ : Module S O

Context: inst✝⁷ : Module T O

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R T O

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : IsBaseChange S f

Context: g : N →ₗ[S] O

Context: hg : IsBaseChange T g

Context: Q : Type (max v₁ u_5 u_4)

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: inst✝¹ : Module T Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R T Q

Context: i : M →ₗ[R] Q

Context: this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)

Context: this✝ : IsScalarTower S T Q

Context: this : IsScalarTower R S Q


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: inst✝²² : Module R M

Context: inst✝²¹ : Module R N

Context: inst✝²⁰ : Module S N

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁷ : Module R P

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝

Context: inst✝¹⁵ : Module S Q✝

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring T

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: inst✝¹² : Algebra S T

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O

Context: inst✝⁹ : Module R O

Context: inst✝⁸ : Module S O

Context: inst✝⁷ : Module T O

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R T O

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : IsBaseChange S f

Context: g : N →ₗ[S] O

Context: hg : IsBaseChange T g

Context: Q : Type (max v₁ u_5 u_4)

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: inst✝¹ : Module T Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R T Q

Context: i : M →ₗ[R] Q

Context: this✝ : IsScalarTower S T Q

Context: this : IsScalarTower R S Q

∀ (y : O →ₗ[T] Q), (fun g' => ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i) y → y = hg.lift (hf.lift i)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: inst✝²² : Module R M

Context: inst✝²¹ : Module R N

Context: inst✝²⁰ : Module S N

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁷ : Module R P

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝

Context: inst✝¹⁵ : Module S Q✝

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring T

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: inst✝¹² : Algebra S T

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O

Context: inst✝⁹ : Module R O

Context: inst✝⁸ : Module S O

Context: inst✝⁷ : Module T O

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R T O

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : IsBaseChange S f

Context: g : N →ₗ[S] O

Context: hg : IsBaseChange T g

Context: Q : Type (max v₁ u_5 u_4)

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: inst✝¹ : Module T Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R T Q

Context: i : M →ₗ[R] Q

Context: this✝ : IsScalarTower S T Q

Context: this : IsScalarTower R S Q

Context: g' : O →ₗ[T] Q

Context: e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: inst✝²² : Module R M

Context: inst✝²¹ : Module R N

Context: inst✝²⁰ : Module S N

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁷ : Module R P

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝

Context: inst✝¹⁵ : Module S Q✝

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring T

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: inst✝¹² : Algebra S T

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O

Context: inst✝⁹ : Module R O

Context: inst✝⁸ : Module S O

Context: inst✝⁷ : Module T O

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R T O

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : IsBaseChange S f

Context: g : N →ₗ[S] O

Context: hg : IsBaseChange T g

Context: Q : Type (max v₁ u_5 u_4)

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: inst✝¹ : Module T Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R T Q

Context: i : M →ₗ[R] Q

Context: this✝ : IsScalarTower S T Q

Context: this : IsScalarTower R S Q

Context: g' : O →ₗ[T] Q

Context: e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i

↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R (↑S (hg.lift (hf.lift i)) ∘ₗ g) ∘ₗ f


Context: R : Type u_1

Context: M : Type v₁

Context: N : Type v₂

Context: S : Type v₃

Context: inst✝²⁷ : AddCommMonoid M

Context: inst✝²⁶ : AddCommMonoid N

Context: inst✝²⁵ : CommSemiring R

Context: inst✝²⁴ : CommSemiring S

Context: inst✝²³ : Algebra R S

Context: inst✝²² : Module R M

Context: inst✝²¹ : Module R N

Context: inst✝²⁰ : Module S N

Context: inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N

Context: f✝ : M →ₗ[R] N

Context: h : IsBaseChange S f✝

Context: P : Type u_2

Context: Q✝ : Type u_3

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P

Context: inst✝¹⁷ : Module R P

Context: inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝

Context: inst✝¹⁵ : Module S Q✝

Context: T : Type u_4

Context: O : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : CommSemiring T

Context: inst✝¹³ : Algebra R T

Context: inst✝¹² : Algebra S T

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O

Context: inst✝⁹ : Module R O

Context: inst✝⁸ : Module S O

Context: inst✝⁷ : Module T O

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower S T O

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R S O

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R T O

Context: f : M →ₗ[R] N

Context: hf : IsBaseChange S f

Context: g : N →ₗ[S] O

Context: hg : IsBaseChange T g

Context: Q : Type (max v₁ u_5 u_4)

Context: inst✝³ : AddCommMonoid Q

Context: inst✝² : Module R Q

Context: inst✝¹ : Module T Q

Context: inst✝ : IsScalarTower R T Q

Context: i : M →ₗ[R] Q

Context: this✝ : IsScalarTower S T Q

Context: this : IsScalarTower R S Q

Context: g' : O →ₗ[T] Q

Context: e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i

↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
h : IsEmpty α


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)

Context: hn : Nonempty α

Context: m : Cardinal.{max u v} := max (lift.{v, u} #α) ℵ₀

Order.succ 0 ≤ ⨆ a, m ^ lift.{u, v} #(β a)


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)

Context: hn : Nonempty α


Context: α : Type u

Context: β : α → Type v

Context: inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)

Context: a : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: a b : α

Context: P : α → Prop

Context: m : α

Context: h0 : P m

Context: h1 : ∀ (n : α), m ≤ n → P n → P (succ n)

Context: n : α

Context: hmn : m ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : SuccOrder α

Context: inst✝ : IsSuccArchimedean α

Context: a b : α

Context: P : α → Prop

Context: m : α

Context: h0 : P m

Context: n : ℕ

Context: hmn : m ≤ succ^[n] m


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B


of ↑(φ.symm b) = t⁻¹ * (t * of ↑(φ.symm b))


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p

volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_zero : ‖0‖ = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0

Context: nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0

Context: nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)

Context: nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

Context: x✝ : ι → ℂ

∑ i : ι, ‖x✝ i‖ ^ p < 1 ↔ (∑ i : ι, ‖x✝ i‖ ^ p) ^ (1 / p) < 1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

(π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι = ∫ (x : ι → ℂ), rexp (-((∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p)) ^ p)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: p✝ : ℝ

Context: hp✝ : 1 ≤ p✝

Context: p : ℝ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: h₁ : 0 < p

Context: this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

2 * ↑(card ι) / p + 1 = ↑(finrank ℝ (ι → ℂ)) / p + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
c0 : c ≠ 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : LinearIndependent R v

Context: i : R' → R

Context: j : M →+ M'

Context: hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Context: i : R' → R

Context: j : M →+ M'

Context: hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

∀ (s : Finset ι) (g : ι → R'), ∑ i ∈ s, g i • (⇑j ∘ v) i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: i : R' → R

Context: j : M →+ M'

Context: hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: S : Finset ι

Context: r' : ι → R'

Context: H : ∑ i ∈ S, r' i • (⇑j ∘ v) i = 0

Context: s : ι

Context: hs : s ∈ S


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M'✝ : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v : ι → M

Context: inst✝⁹ : Semiring R

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : Module R M'✝

Context: inst✝³ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x y : M

Context: R' : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: inst✝² : Semiring R'

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝ : Module R' M'

Context: i : R' → R

Context: j : M →+ M'

Context: hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0

Context: hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0

Context: S : Finset ι

Context: r' : ι → R'

Context: s : ι

Context: hs : s ∈ S

Context: H : j (∑ x ∈ S, i (r' x) • v x) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α


Context: x y : ℝ

↑(cos (x + y)) = ↑(cos x * cos y - sin x * sin y)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g

Context: this : Fact (Irreducible p)

Context: Kx : Type u := AdjoinRoot p


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g

Context: this✝ : Fact (Irreducible p)

Context: Kx : Type u := AdjoinRoot p

Context: this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g

Context: this✝ : Fact (Irreducible p)

Context: Kx : Type u := AdjoinRoot p

Context: key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g

Context: this✝ : Fact (Irreducible p)

Context: Kx : Type u := AdjoinRoot p

Context: key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g

Context: this✝ : Fact (Irreducible p)

Context: Kx : Type u := AdjoinRoot p

Context: key₂ : Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) = minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g

Context: this✝ : Fact (Irreducible p)

Context: Kx : Type u := AdjoinRoot p

Context: key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree


Context: F : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field F

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra F E

Context: α : E

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : Algebra F K

Context: f g : K[X]

Context: hfm : f.Monic

Context: hgm : g.Monic

Context: hf : Irreducible f

Context: hf' : f.natDegree ≠ 0

Context: hg' : g.natDegree ≠ 0

Context: H₁ : f.comp g ≠ 0

Context: H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

Context: p : K[X]

Context: hp₁ : Irreducible p

Context: hp₂ : p ∣ f.comp g

Context: this✝¹ : Fact (Irreducible p)

Context: Kx : Type u := AdjoinRoot p

Context: this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))

Context: this : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ * finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = finrank K Kx


Context:
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ : I
inst✝³ : DecidableEq I
inst✝² : (i : I) → One (f i)
inst✝¹ : (i : I) → One (g i)
inst✝ : (i : I) → One (h i)
f' : (i : I) → f i → g i
hf' : ∀ (i : I), f' i 1 = 1
i : I
x : f i
j : I

f' j (mulSingle i x j) = mulSingle i (f' i x) j


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty

∀ (C : G.ComponentCompl K), ∃ ck, ck.1 ∈ C ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2


Context:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K

∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: u : V


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: u : V

Context: unC : u ∉ ↑C


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: u : V

Context: unC : u ∉ ↑C

Context: p : G.Walk v u


Context: V : Type u

Context: G : SimpleGraph V

Context: K L L' M : Set V

Context: Gc : G.Preconnected

Context: hK : K.Nonempty

Context: v : V

Context: vnK : v ∉ K

Context: u : V

Context: unC : u ∉ ↑C

Context: p : G.Walk v u

Context: x y : V

Context: xy : G.Adj (x, y).1 (x, y).2

Context: xC : { toProd := (x, y), adj := xy }.toProd.1 ∈ ↑C

Context: ynC : { toProd := (x, y), adj := xy }.toProd.2 ∉ ↑C


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α

(s₁ ⋈ s₂).get (2 * n).succ.succ = s₁.get n.succ


(s₁.tail ⋈ s₂.tail).get (2 * n) = s₁.get n.succ


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x 0)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
hr : r ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R

Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋₊ / x) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : α → β → γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: l u : α → β → γ

Context: l₁ u₁ : β → γ → α

Context: l₂ u₂ : α → γ → β

Context: h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)

Context: h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddAbove s

Context: ht₀ : t.Nonempty

Context: ht₁ : BddAbove t

sSup (image2 l s t) = l (sSup s) (sSup t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : α → β → γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: l u : α → β → γ

Context: l₁ u₁ : β → γ → α

Context: l₂ u₂ : α → γ → β

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddAbove s

Context: ht₀ : t.Nonempty

Context: ht₁ : BddAbove t

Context: c : γ

sSup (image2 l s t) ≤ c ↔ l (sSup s) (sSup t) ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α

Context: inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β

Context: inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ

Context: f : α → β → γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: l u : α → β → γ

Context: l₁ u₁ : β → γ → α

Context: l₂ u₂ : α → γ → β

Context: hs₀ : s.Nonempty

Context: hs₁ : BddAbove s

Context: ht₀ : t.Nonempty

Context: ht₁ : BddAbove t

Context: c : γ

(∀ i₂ ∈ t, ∀ i₁ ∈ s, l i₁ i₂ ≤ c) ↔ ∀ b ∈ t, b ≤ u₂ (sSup s) c


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x✝ : R
a✝ : ↑X

((↑↑{ toFun := fun p => p.toContinuousMapOn X, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R R[X]) x✝)) a✝ = ((algebraMap R C(↑X, R)) x✝) a✝


Context: R : Type u

Context: inst✝ : EuclideanDomain R

Context: P : R → R → Prop

Context: a b : R

Context: H0 : ∀ (x : R), P 0 x

Context: H1 : ∀ (a b : R), a ≠ 0 → P (b % a) a → P a b

Context: a0 : a = 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

dist p₁ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₃


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : ∏ x ∈ s, f x ≠ 1


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R


Context:
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ x.powerset
z : ZFSet
hz : z ∈ y


Context:
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ⊆ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f g : N →ₗ[R] P

rTensor M (f - g) = rTensor M f - rTensor M g


(rTensorHom M) (f - g) = (rTensorHom M) f - (rTensorHom M) g


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: h : S.LeftHomologyData

Context: A : C

Context: hf : S.f = 0

Context: φ : (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt ⟶ h.K

Context: hφ : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯) ≫ φ = 𝟙 h.K


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
φ : (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt ⟶ h.K
hφ : h.π ≫ φ = 𝟙 h.K


Context: n k : ℕ

(hermite (n + 1)).coeff (k + 1) = (hermite n).coeff k - (↑k + 2) * (hermite n).coeff (k + 2)


Context: n k : ℕ

(hermite n).coeff k - (↑(k + 1) + 1) * (hermite n).coeff (k + 1 + 1) = (hermite n).coeff k - (↑k + 2) * (hermite n).coeff (k + 2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b = 0


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ
hf : Integrable I l (c • f) vol
hc : c ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
h : map f p = map f q
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℤ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : CompleteSpace β
f : α → β
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
x y : Completion α

∀ (a b : α), dist (Completion.extension f (↑α a)) (Completion.extension f (↑α b)) ≤ ↑K * dist (↑α a) (↑α b)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : ι → E
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'

Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ v) ↔ Orthonormal 𝕜 v


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset ι
t : Finset β
f : ι → Finset α
a✝ : α × β

a✝ ∈ interedges r (s.biUnion f) t ↔ a✝ ∈ s.biUnion fun a => interedges r (f a) t


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j : A

(shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯).hom = (shiftFunctorAdd C i j).hom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
B : ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) < 1


∀ n ≥ ⌊‖x‖⌋₊, ‖x ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!‖ ≤ ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) * ‖x ^ n / ↑n !‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
B : ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) < 1
n : ℕ
hn : n ≥ ⌊‖x‖⌋₊

‖x ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!‖ ≤ ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) * ‖x ^ n / ↑n !‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α


(toJordanDecomposition 0).toSignedMeasure = toSignedMeasure 0


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α


Context:
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g


Context:
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α


Context:
p : ℝ
hp : 1 < p


Context:
p : ℝ
hp : 1 < p

∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ici 0 → z ∈ Ici 0 → x < y → y < z → (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)


Context:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y


Context:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: h_eq : ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ≤ f (∑ i ∈ t, w i • p i)

∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : OrderedAddCommGroup β

Context: inst✝² : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 β

Context: inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β

Context: s : Set E

Context: f : E → β

Context: t : Finset ι

Context: w : ι → 𝕜

Context: p : ι → E

Context: v : 𝕜

Context: q : E

Context: hf : StrictConvexOn 𝕜 s f

Context: h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i

Context: h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1

Context: hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

Context: this : ∃ j ∈ t, ∃ k ∈ t, p j ≠ p k


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₁ x₂ x₃ : α

btw ↑x₁ ↑x₂ ↑x₃ ↔ toIcoMod ⋯ x₁ x₂ ≤ toIocMod ⋯ x₁ x₃


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y

(isoProd X Y).inv = lift prod.fst prod.snd


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
h' : e'.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a : α
h : s ∈ 𝓝 1


Context:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
Z₁ Z₂ : C

(f₁ ⊗ f₂) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ tensor_μ C (Y₁, Y₂) (Z₁, Z₂) = tensor_μ C (X₁, X₂) (Z₁, Z₂) ≫ (f₁ ▷ Z₁ ⊗ f₂ ▷ Z₂)


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Path v u
h : G.Adj u v
he : s(u, v) ∉ (↑p).edges


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ a : M
l : List M

(a :: l).prod = foldr (fun x x_1 => x * x_1) 1 (a :: l)