Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : Monoid α✝
inst✝¹ : Monoid β
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
x✝ : IsConj a b
c : αˣ
hc : SemiconjBy (↑c) a b


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : Monoid α✝
inst✝¹ : Monoid β
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
x✝ : IsConj a b
c : αˣ
hc : a = b


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
𝕜✝ : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β✝
f✝ g : α → β✝
𝕜 : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 β
f : α → β
c : β
f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'

AEStronglyMeasurable' m (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) μ


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
𝕜✝ : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β✝
f✝ g : α → β✝
𝕜 : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 β
f : α → β
c : β
f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
x : α
hx : f x = f' x

(fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) x = (fun x => ⟪c, f' x⟫_𝕜) x


Context: n : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
x : F


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y : C
h : IsInitial X
c : BinaryCofan X Y


Nonempty (IsColimit c) ↔ Nonempty (IsColimit (mk c.inr c.inl))


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ

homogeneousSubmodule σ R n = supported R R {d | d.degree = n}


homogeneousSubmodule σ R n = supported R R {d | (weight 1) d = n}


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : Fintype σ
g : R →+* S₁
X : σ → S₁
f : MvPolynomial σ R

eval₂ g X f = ∑ d ∈ f.support, g (coeff d f) * ∏ i : σ, X i ^ d i


∑ d ∈ f.support, g (coeff d f) * ∏ i ∈ d.support, X i ^ d i = ∑ x ∈ f.support, g (coeff x f) * x.prod fun a b => X a ^ b


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : Tendsto ε l (𝓝[≠] 0)
S : Set E


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : Over P
hf : f.hom = 0

biprod.fst ≫ f.hom = biprod.snd ≫ (Over.mk 0).hom


Context:
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
s : σ'
x : List α

((reindex g) M).evalFrom s x = g (M.evalFrom (g.symm s) x)


Context:
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
n : ℕ
hn1 : n ≠ 0
hn2 : f ↑n ≠ 1
P : Set ℕ := {m | 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1}

∃ p, (0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1) ∧ ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m


Context:
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
n : ℕ
hn1 : n ≠ 0
hn2 : f ↑n ≠ 1
P : Set ℕ := {m | 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1}
hP : P.Nonempty


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : X ⟶ Y

F₁.map f = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map f ≫ eqToHom ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y

F₁.map (Hom.mk f) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map (Hom.mk f) ≫ eqToHom ⋯


F₁.map ((Q W).map f.f) ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map ((Q W).map f.f) ≫ F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯


(eqToHom ⋯ ≫ (Q W ⋙ F₂).map f.f ≫ eqToHom ⋯) ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map ((Q W).map f.f) ≫ F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯


eqToHom ⋯ ≫ (Q W ⋙ F₂).map f.f ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯ ≫ F₂.map ((Q W).map f.f) ≫ F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯


eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = F₂.map (Qinv f.s ⋯) ≫ eqToHom ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)


F₂.map ((Q W).map f.s) ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯


(eqToHom ⋯ ≫ (Q W ⋙ F₁).map f.s ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯


(eqToHom ⋯ ≫ F₁.map ((Q W).map f.s) ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (Qinv f.s ⋯) = eqToHom ⋯


eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (𝟙 ((Q W).obj Y)) = eqToHom ⋯


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν

(fun x => ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal) =ᶠ[ae ν] fun x => (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: x : α

Context: hx : (μ.tilted f).rnDeriv ν x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x

((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: x : α

(ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal


Context: α : Type u_1

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: hfν : AEMeasurable f ν

Context: x : α

0 ≤ rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ ∨ (μ.rnDeriv ν x).toReal = 0


Context:
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f i (n / i)


∏ x ∈ n.divisors, f ({ toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } x).1 ({ toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } x).2 = ∏ i ∈ n.divisors, f i (n / i)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

Set.uIcc a b = Set.Icc a b ∪ Set.Icc b a


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x).target = ((extChartAt IB x.proj).target ∩ ↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ univ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: B' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: E : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: EB : Type u_7

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB

Context: HB : Type u_8

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace HB

Context: IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB

Context: E' : B → Type u_9

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)

Context: EM : Type u_10

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM

Context: HM : Type u_11

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace HM

Context: IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³ : ChartedSpace HM M

Context: Is : SmoothManifoldWithCorners IM M

Context: n : ℕ∞

Context: inst✝² : TopologicalSpace B

Context: inst✝¹ : ChartedSpace HB B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: x : TotalSpace F E

((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).target ∩ ↑((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet ×ˢ univ = (extChartAt IB x.proj).target ×ˢ univ ∩ (↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ univ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hpos : 0 < r
hr : ∀ (x : E), x ≠ 1 → r ≤ ‖x‖
x y : E
hne : x ≠ y


Context:
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f g : R[X]
I : Ideal R

(quotEquivQuotMap f I).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

{ ofColex := s } ≤ { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)


(∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ s → ¬a_1 = a → a ∉ s ∧ a_1 ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b✝ b : α
x✝ : b ∈ s

¬b = a → a ∉ s ∧ b ≤ a ↔ b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)


Context:
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j✝ : Fin n✝
n : ℕ
j : Fin n


Context: n✝ m : ℕ

Context: p : Fin (n✝ + 1)

Context: i j✝ : Fin n✝

Context: n : ℕ

Context: j : Fin n

Context: this : (succ 0).succAbove j.succ = (succAbove 0 j).succ


Context: n n✝ : ℕ

Context: a✝ : Fin2 n✝

Context: i_ih : ∀ {α : TypeVec.{u_1} n✝} {x y : α a✝}, ofRepeat (α.repeatEq a✝ (prod.mk a✝ x y)) ↔ x = y

Context: α : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)

Context: x y : α a✝.fs

ofRepeat (α.repeatEq a✝.fs (prod.mk a✝.fs x y)) ↔ x = y


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x


Context:
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ

F.submodule = Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ↔ ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)


(∀ (i : ℕ), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i) ⊆ ↑(Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)))) ↔ ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)


Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ≤ Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i))


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

x ≤ 0 ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0) ∧ ∀ (j : RightMoves 0), x ⧏ moveRight 0 j) ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Sort x

Context: κ : ι → Sort u_1

Context: a a₁ a₂ : α

Context: b b₁ b₂ : β

Context: inst✝² : CompleteLattice α

Context: inst✝¹ : CompleteLattice β

Context: inst✝ : CompleteLattice γ

Context: f : α → β → γ

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: l u : α → β → γ

Context: l₁ u₁ : β → γ → α

Context: l₂ u₂ : α → γ → β

Context: h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (l₁ b) (swap u b)

Context: h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l₂ a) (u a)

sInf (image2 u s t) = u (sInf s) (sInf t)


Context: F : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : CommSemiring F

Context: inst✝¹ : Semiring E

Context: inst✝ : Algebra F E

Context: b : F →ₗ[F] E

Context: hb : Function.Injective ⇑b

Context: x y : F

Context: e : (algebraMap F E) x = (algebraMap F E) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
h : b ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝ : Fintype ι
f : ι → 𝕜

f ∈ stdSimplex 𝕜 ι ↔ f ∈ (⋂ x, {f | 0 ≤ f x}) ∩ {f | ∑ x : ι, f x = 1}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g ≈ h


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M✝ : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝ : Module R M✝

Context: inst : IsNoetherianRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯

Context: hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth

Context: N : ℕ

Context: HN : I.leadingCoeffNth N = M

Context: s : Finset R[X]

Context: hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N

Context: k : ℕ

Context: h : N < k

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I.leadingCoeffNth k

Context: hxm : x ∉ M

Context: this : IsNoetherian R R


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M✝ : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝ : Module R M✝

Context: inst : IsNoetherianRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth

Context: N : ℕ

Context: HN : I.leadingCoeffNth N = M

Context: s : Finset R[X]

Context: k : ℕ

Context: h : N < k

Context: x : R

Context: hx : x ∈ I.leadingCoeffNth k

Context: hxm : x ∉ M

Context: this : IsNoetherian R R

I.leadingCoeffNth k ∈ Set.range I.leadingCoeffNth


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M✝ : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝ : Module R M✝

Context: inst : IsNoetherianRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth

Context: N : ℕ

Context: HN : I.leadingCoeffNth N = M

Context: s : Finset R[X]

Context: hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M

Context: hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s

Context: this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ I

Context: k : ℕ

Context: hn : p.natDegree = k


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M✝ : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝ : Module R M✝

Context: inst : IsNoetherianRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth

Context: N : ℕ

Context: HN : I.leadingCoeffNth N = M

Context: s : Finset R[X]

Context: k : ℕ

Context: ih : ∀ m < k, ∀ ⦃p : R[X]⦄, p ∈ I → p.natDegree = m → p ∈ Ideal.span ↑s

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ I

Context: hn : p.natDegree = k


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M✝ : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝ : Module R M✝

Context: inst : IsNoetherianRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth

Context: N : ℕ

Context: HN : I.leadingCoeffNth N = M

Context: s : Finset R[X]

Context: k : ℕ

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ I

Context: hn : p.natDegree = k

Context: h : k ≤ N


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: σ : Type v

Context: M✝ : Type w

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝ : Module R M✝

Context: inst : IsNoetherianRing R

Context: I : Ideal R[X]

Context: hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth

Context: N : ℕ

Context: HN : I.leadingCoeffNth N = M

Context: s : Finset R[X]

Context: k : ℕ

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ I

Context: hn : p.natDegree = k

Context: h : N < k


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y✝ z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : UpperSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y

UpperSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c a : α
u : αˣ


Context:
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s✝ t✝ : Set X
x y : X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : Set X
t : ι → Set X

IsMetricSeparated s (⋃ i ∈ I, t i) ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated s (t i)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i : ι

(f₁ + f₂).f i = (dNext i) (h₁.hom + h₂.hom) + (prevD i) (h₁.hom + h₂.hom) + (g₁ + g₂).f i


(dNext i) h₁.hom + (prevD i) h₁.hom + g₁.f i + ((dNext i) h₂.hom + (prevD i) h₂.hom + g₂.f i) = (dNext i) h₁.hom + (dNext i) h₂.hom + ((prevD i) h₁.hom + (prevD i) h₂.hom) + (g₁.f i + g₂.f i)


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: p f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n

s ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x✝ x₀ : E

Context: c : F

Context: m✝ n : ℕ∞

Context: hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s

Context: x : E

Context: hx : x ∈ s

Context: m : ℕ

Context: hm : ↑m ≤ n


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : ConjAct G

Commensurable (g • H) H ↔ Commensurable H (g⁻¹ • H)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ

integral I l (fun x => c • f x) vol = c • integral I l f vol


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F

integral I l (fun x => 0 • f x) vol = 0 • integral I l f vol


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ
hc : c ≠ 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F✝ : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F✝

Context: A B : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: inst✝ : IsGalois B

Context: f : A ⟶ B

Context: σ τ : Aut A

Context: F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C

Context: a : ↑(F.obj A)

autMap f (σ * τ) = autMap f σ * autMap f τ


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C

Context: inst✝³ : GaloisCategory C

Context: F✝ : C ⥤ FintypeCat

Context: inst✝² : FiberFunctor F✝

Context: A B : C

Context: inst✝¹ : IsConnected A

Context: inst✝ : IsGalois B

Context: f : A ⟶ B

Context: σ τ : Aut A

Context: a : ↑(F.obj A)

(fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f (σ * τ)) = (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f σ * autMap f τ)


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε
V : Set G
hV1 : V ∈ 𝓝 1
hVkU : V * k ⊆ U


Context:
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε
V : Set G
hV1 : V ∈ 𝓝 1
hVkU : V * k ⊆ U
g : G
hg : g ∈ V


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : a < b


Context:
b : EReal
h : b ≤ 0
a a' : EReal
h' : a ≤ a'


Context:
b : EReal
h : b ≤ 0
a a' : EReal
h' : a ≤ a'
this : 0 ≤ -b


Context: x y a b : ℝ


Context:
x y b : ℝ
a : CauSeq ℚ abs


Context:
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs


Context: R : Type u_1

Context: M✝ : Type u_2

Context: inst✝¹⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝¹⁷ : Module R M✝

Context: R₁ : Type u_3

Context: M₁ : Type u_4

Context: inst✝¹⁶ : CommRing R₁

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁

Context: R₂ : Type u_5

Context: M₂ : Type u_6

Context: inst✝¹³ : CommSemiring R₂

Context: inst✝¹² : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹¹ : Module R₂ M₂

Context: R₃ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: inst✝¹⁰ : CommRing R₃

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₃

Context: inst✝⁸ : Module R₃ M₃

Context: V : Type u_9

Context: K : Type u_10

Context: inst✝⁷ : Field K

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁵ : Module K V

Context: B : BilinForm R M✝

Context: B₁ : BilinForm R₁ M₁

Context: B₂ : BilinForm R₂ M₂

Context: A : Type u_11

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : IsDomain A

Context: inst✝² : Module A M₃

Context: B₃ : BilinForm A M₃

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: M : Matrix ι ι R₃

Context: h : M.Nondegenerate

Context: x : ι → R₃

Context: hx : ∀ (n : ι → R₃), ((Matrix.toBilin' M) x) n = 0

Context: y : ι → R₃


Context:
n : ℕ
h : 0 < n


Context:
n : ℕ
h : 0 < n

∑ i ∈ n.properDivisors, i = n ↔ ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n = n + n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α


Context:
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω


Context:
n : ℕ
h : ↑n < ω


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length

(l.rotate n)[m]? = l[(m + n) % l.length]?


(drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : m < (drop (n % l.length) l).length


Context:
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : (drop (n % l.length) l).length ≤ m


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E


{α} ⊆ ↑⊥ ↔ α ∈ ⊥


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : Lattice γ
inst✝ : Lattice δ
g : LatticeHom β γ
f₁ f₂ : LatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ+


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁

Context: inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂

Context: inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃

Context: I : Type u_4

Context: J : Type u_5

Context: K : Type u_6

Context: p : I × J → K

Context: X : GradedObject I C₁

Context: Y : GradedObject J C₂

Context: A : C₃

Context: k : K

Context: inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p

Context: f : (i : I) → (j : J) → p (i, j) = k → ((F.obj (X i)).obj (Y j) ⟶ A)

Context: i : I

Context: j : J

Context: hij : p (i, j) = k

ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ mapBifunctorMapObjDesc f = f i j hij


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c x a b : α


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
t : Set α
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
ht : t.Countable
f : α → Set X
hc : ∀ i ∈ t, IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
this : Countable ↑t


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
t : Set α
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
ht : t.Countable
f : α → Set X
this : Countable ↑t
hc : ∀ (x : ↑t), IsClosed (f ↑x)
hU : s ⊆ ⋃ x, f ↑x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : LinearOrder Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : OrderTopology Y

Context: f : X → Y

Context: a b : X

Context: l : Y

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfI : f a = f b


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : LinearOrder Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : OrderTopology Y

Context: f : X → Y

Context: a b : X

Context: l : Y

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfI : f a = f b

Context: ne : (Icc a b).Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : LinearOrder Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : OrderTopology Y

Context: f : X → Y

Context: a b : X

Context: l : Y

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfI : f a = f b

Context: ne : (Icc a b).Nonempty

Context: c : X

Context: cmem : c ∈ Icc a b

Context: cle : ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝⁵ : DenselyOrdered X

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace X

Context: inst✝³ : OrderTopology X

Context: inst✝² : LinearOrder Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : OrderTopology Y

Context: f : X → Y

Context: a b : X

Context: l : Y

Context: hab : a < b

Context: hfc : ContinuousOn f (Icc a b)

Context: hfI : f a = f b

Context: ne : (Icc a b).Nonempty

Context: c : X

Context: cmem : c ∈ Icc a b

Context: cle : ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x

Context: C : X

Context: Cmem : C ∈ Icc a b

Context: Cge : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ f C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
M M' : Ideal α
hM : M.IsMaximal
hM' : M'.IsMaximal
hne : M ≠ M'


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
M M' : Ideal α
hM : M.IsMaximal
hM' : M'.IsMaximal
h : M ⊔ M' ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p

x ∈ pNilradical R p ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp✝ : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
hp : p = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp✝ : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
hp : p = 1


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'

IndepFun f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t)


Context:
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
F : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : FunLike F M M₁
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₁
inst✝³ : Module (ZMod n) M
inst✝² : Module (ZMod n) M₁
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubgroupClass S M
x : M
K : S
hx : x ∈ K
c : ZMod n


Context:
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
l : List α
init : β

forIn l init f = ForInStep.run <$> ForInStep.bindList f l (ForInStep.yield init)


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_1

Context: inst✝¹ : Monad m

Context: inst✝ : LawfulMonad m

Context: f : α → β → m (ForInStep β)

Context: head✝ : α

Context: tail✝ : List α

Context: tail_ih✝ : ∀ (init : β), forIn tail✝ init f = ForInStep.run <$> ForInStep.bindList f tail✝ (ForInStep.yield init)

Context: init : β

(do let x ← f head✝ init match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => do let a ← ForInStep.bindList f tail✝ (ForInStep.yield b) pure a.run) = do let x ← f head✝ init let a ← ForInStep.bindList f tail✝ x pure a.run


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R

verschiebung (frobenius x) = frobenius (verschiebung x)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a : R
n✝ : ℕ
H : -1 ≤ a
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a : R
n✝ : ℕ
H : -1 ≤ a
n : ℕ
this : -2 ≤ a - 1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

(∀ (n : ℕ∞), ContDiff 𝕜 n f) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
h : t₁ ~ t₂


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)

Context: this : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f

Context: this : LieModule R L M := compLieHom M f


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f

Context: this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f

Context: surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id

Context: this : LieModule.IsNilpotent R L M


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id

Context: this : LieModule.IsNilpotent R L M

∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, LinearMap.id m⁆ = LinearMap.id ⁅x, m⁆


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id

Context: this : LieModule.IsNilpotent R L M

Context: x✝ : L

Context: m✝ : M

⁅f x✝, LinearMap.id m✝⁆ = LinearMap.id ⁅x✝, m✝⁆


Context: R : Type u₁

Context: L : Type u₂

Context: L₂ : Type u₃

Context: M✝ : Type u₄

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : LieRing L

Context: inst✝⁶ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁵ : LieRing L₂

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝³ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝² : Module R M✝

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M✝

Context: inst✝ : LieModule R L M✝

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: h : LieAlgebra.IsEngelian R L

Context: M : Type u₄

Context: _i1 : AddCommGroup M

Context: _i2 : Module R M

Context: _i3 : LieRingModule L₂ M

Context: _i4 : LieModule R L₂ M

Context: surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id

Context: this : LieModule.IsNilpotent R L M

Context: x✝ : L

Context: m✝ : M

⁅f x✝, m✝⁆ = ⁅x✝, m✝⁆


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1


cons m ls h1 h2 = rcons (let __src := { head := 1, tail := ls, fstIdx_ne := ?m.192609 }; { head := m * { head := 1, tail := ls, fstIdx_ne := ?m.192609 }.head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ })


Context:
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
r : ℝ≥0

HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J₁.sieves X


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J₁.sieves X


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J₁.sieves X

Context: this : J₂.IsClosed ⊤


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J₁.sieves X

Context: this : J₂.IsClosed ⊤

∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → (Functor.closedSieves J₂).map f.op ⟨J₂.close S, ⋯⟩ = (Functor.closedSieves J₂).map f.op ⟨⊤, this⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J₁.sieves X

Context: this : J₂.IsClosed ⊤

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f

Sieve.pullback f (J₂.close S) = Sieve.pullback f ⊤


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ J₁.sieves X

Context: this : J₂.IsClosed ⊤

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hfs : ∀ b ∈ t, InjOn (fun x => f x b) s
hft : ∀ a ∈ s, InjOn (f a) t

(image2 f s t).Finite ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅


¬(s.Infinite ∧ t.Nonempty ∨ t.Infinite ∧ s.Nonempty) ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅


(s.Finite ∨ t = ∅) ∧ (t.Finite ∨ s = ∅) ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
s : Finset ι
m : ι → Multiset α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝³ : EquivLike F α β
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
e : M ≃* N
f : N →* P

(fun f => f.comp ↑e.symm) (f.comp ↑e) = f


Context:
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c


Context:
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h✝ : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c
h : c ∈ f₁


Context:
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h✝ : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c
h : c ∈ f₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : Mul α

Context: i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α

Context: ha : MulLECancellable a


Context:
α : Type u_1
l : List α
s : Multiset α

∀ (a : List α), ⟦a⟧ ∈ powersetAux l ↔ ⟦a⟧ ≤ ↑l


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

∃ M ε, 0 < M ∧ 0 < ε ∧ {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

Context: H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))

{z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hzl : z ∈ {z | 1 - ε < z.re}

Context: hzr : z ∈ stolzCone s


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hzl : (1 - z).re < ε

Context: hzr : z ∈ stolzCone s


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hzl : (1 - z).re < ε

Context: hzr : |z.im| < s * (1 - z).re


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hzl : (1 - z).re < ε

Context: hzr : |z.im| < s * (1 - z).re

Context: H : √((1 - z).re ^ 2 + z.im ^ 2) < M * (1 - √((1 - (1 - z).re) ^ 2 + z.im ^ 2))


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: hM : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

Context: z : ℂ

Context: hzl : (1 - z).re < ε

Context: hzr : |z.im| < s * (1 - z).re

Context: h : z.im ^ 2 = (1 - z).im ^ 2


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
H : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
h : z.im ^ 2 = (1 - z).im ^ 2


Context:
α : Type u_1
l✝ : List α
p q : α → Bool
l : List α

(filter p l).length < l.length ↔ ∃ x, x ∈ l ∧ ¬p x = true


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
fst✝ : α
snd✝ : β

(l₁.zip l₂)[i]? = some (fst✝, snd✝) ↔ l₁[i]? = some (fst✝, snd✝).1 ∧ l₂[i]? = some (fst✝, snd✝).2


(∃ x y, l₁[i]? = some x ∧ l₂[i]? = some y ∧ (x, y) = (fst✝, snd✝)) ↔ l₁[i]? = some (fst✝, snd✝).1 ∧ l₂[i]? = some (fst✝, snd✝).2


Context:
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Countable ι


MeasurableSet (univ.pi fun i => Ioc (I.lower i) (I.upper i))


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
inst✝ : Fintype ι✝
f : ι✝ → R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E

(convexHull R) (Set.range ⇑b) = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}


{x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x} = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: h : Finite a b

↑((multiplicity a b).get h) ≤ multiplicity a b


Context:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0
c : R


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)
h2 : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Ico m m, r i (succ i)
h2 : ∀ i ∈ Ico m m, r (succ i) i


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)
h2 : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
hmn : m ≠ n


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8680, u_1} A
inst✝ : Abelian A
X✝ X : SimplicialObject A
n : ℕ

(fun n => (NormalizedMooreComplex.objX X n).factorThru (PInfty.f n) ⋯) (n + 1) ≫ NormalizedMooreComplex.objD X n = AlternatingFaceMapComplex.objD X n ≫ (fun n => (NormalizedMooreComplex.objX X n).factorThru (PInfty.f n) ⋯) n


PInfty.f (n + 1) ≫ ((alternatingFaceMapComplex A).obj X).d (n + 1) n = ((alternatingFaceMapComplex A).obj X).d (n + 1) n ≫ PInfty.f n


Context: x : ℝ


Context: x : ℝ

Context: this : Real.sin x ^ 2 + Real.cos x ^ 2 = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

MeasurableSet {x | Integrable (f x) (κ x)}


MeasurableSet {x | HasFiniteIntegral (f x) (κ x)}


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : (y, z) ∈ ker (f.coprod g)


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0
this : f y ∈ range f ⊓ range g


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0
this : f y = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x ≤ y

Context: this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x ≤ y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] x = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x ≤ y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : Monotone f

Context: x y : α

Context: h : x ≤ y

Context: this : OrderTopology α

Context: h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥

Context: A : (𝓝[<] x).NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a

Context: h₂ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h₁


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ε : Type u_5

Context: ι : Type u_6

Context: f : α →. β ⊕ α

Context: a : α

Context: b : β

Context: h : b ∈ f.fix a

Context: h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a

Context: h₂ : b ∈ Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => (fun y p => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) y ⋯) a' ⋯


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
N : Submodule R M


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ

((expand R p) f).coeff (p * n) = f.coeff n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context:
b : Bool
n : ℕ
h : bit b n ≠ 0

binaryRec 0 (fun x x => succ) (bit b n).div2 + 1 = (binaryRec 0 (fun x x => succ) n).succ


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 1 < s


Context:
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 1 < s
hv : ∀ x ∈ uIcc (↑n) (↑n + 1), 0 < x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N

IsLocalization (Submonoid.comap (algebraMap R S) N) T


Submonoid.comap (algebraMap R S) N = localizationLocalizationSubmodule M N


N ⊔ Submonoid.map (algebraMap R S) M = N


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N
x : R
hx : x ∈ ↑M


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
h : μ.HasTemperateGrowth

Integrable (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower)) μ


Context:
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

(α_ f (𝟙 b) g).inv ≫ (ρ_ f).hom ▷ g = f ◁ (λ_ g).hom


Context:
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f g : a ⟶ b
β : f ⟶ g
h : G.obj b ⟶ a'

F.map₂ β ▷ η.app b ▷ h ≫ η.naturality g ▷ h = η.naturality f ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) h).hom ≫ η.app a ◁ G.map₂ β ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map g) h).inv


Context:
α β : Type u
n : ℕ


Context:
α β : Type u
n : ℕ

↑(Fintype.card (ULift.{u, 0} (Fin (n + 1)))) = ↑(Fintype.card (Option (ULift.{u, 0} (Fin n))))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β

Context: inst✝¹ : ExistsAddOfLE β

Context: 𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)

Context: a : α

Context: f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β

Context: s t u : Finset α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: h₁ : 0 ≤ f₁

Context: h₂ : 0 ≤ f₂

Context: h₃ : 0 ≤ f₃

Context: h₄ : 0 ≤ f₄

Context: h : ∀ (s t : Finset α), f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)

Context: 𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

(∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

(fun x => -x⁻¹ / log x ^ 2) = fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹


(fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹) =o[atTop] fun x => (x * 1)⁻¹


(fun x => x * 1) =o[atTop] fun x => -x * log x ^ 2


∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, x * 1 = 0 → -x * log x ^ 2 = 0


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
x y : F
hxy : x ≠ y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Injective f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: ceq : c = ∅


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: cne : c.Nonempty


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: cne : c.Nonempty

Context: hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: cne : c.Nonempty

Context: P : (x : ↥(sSup (domain '' c))) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: cne : c.Nonempty

Context: f : ↥(sSup (domain '' c)) → F := fun x => ↑↑↑(P x) ⟨↑x, ⋯⟩


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : Module R E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module R F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝¹ : AddCommGroup G

Context: inst✝ : Module R G

Context: c : Set (E →ₗ.[R] F)

Context: cne : c.Nonempty

Context: f_eq : ∀ (p : ↑c) (x : ↥(sSup (domain '' c))) (y : ↥(↑p).domain), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y


Context:
α : Type u_1
b : Bool
l : Lists' α b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
μ : Measure α

integral μ f = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (weightedSMul μ (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P


Submonoid.map e (closure ↑(s.preimage ⇑e ⋯)) = Submonoid.map e P


closure (⇑e '' (⇑e ⁻¹' ↑s)) = closure ↑s


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
h : x ≠ 1
n : ℕ

∑ i ∈ range n, x ^ i = (x ^ n - 1) / (x - 1)


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
h : x ≠ 1
n : ℕ
this : x - 1 ≠ 0


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬p₃ = p₂


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
h : ∀ x ∈ s, x = 1


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
l : List α
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
n : ℕ
x : Fin n → 𝔸

∀ i ∈ Finset.univ, (List.map x (List.take (↑i) (List.finRange n))).prod • (proj ((List.finRange n).get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ (List.finRange n))).prod = (List.map x (List.take (↑((finCongr ⋯) i)) (List.finRange n))).prod • (proj ((finCongr ⋯) i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑((finCongr ⋯) i)).succ (List.finRange n))).prod


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K✝ : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β
hf : LocallyLipschitzOn t f
h : s ⊆ t
x : α
hx : x ∈ s
K : ℝ≥0
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝[t] x
hfu : LipschitzOnWith K f u

∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝ : F.Full
α : F ≅ F'
X Y : C
f : F'.obj X ⟶ F'.obj Y

F'.map (F.preimage ((α.app X).hom ≫ f ≫ (α.app Y).inv)) = f


Context:
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
i : Fin (1 + 1)

(binomial p h 1) i = (map (fun x => bif x then 1 else 0) (bernoulli p h)) i


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: h : minkowskiBound K 1 ≤ volume (convexBodySum K B)

∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: w✝ : K

Context: h_mem : w✝ ∈ ↑1

Context: h_nz : w✝ ≠ 0

Context: h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) w✝| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: f : InfinitePlace K → ℝ≥0

Context: I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ

Context: B : ℝ

Context: a : 𝓞 K

Context: h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1

Context: h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0

Context: h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : (ofModule M).asModule

(RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) (((ofModule M).asAlgebraHom r) ((ofModule M).asModuleEquiv m)) = r • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) ((ofModule M).asModuleEquiv m)


Context:
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P


Context:
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P
F : PFilter P := ⋯.toPFilter


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
g : G
x✝² : Module.Dual k V
x✝¹ : W
x✝ : V

(((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (dualTensorHom k V W ∘ₗ TensorProduct.map (ρV.dual g) (ρW g))) x✝²) x✝¹) x✝ = (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((ρV.linHom ρW) g ∘ₗ dualTensorHom k V W)) x✝²) x✝¹) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x x' y y' : P

midpoint R x y = midpoint R x' y' ↔ x -ᵥ x' = y' -ᵥ y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
h : a * b ∈ H


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
h : a * b ∈ H
this : a⁻¹ * (a * b) * a⁻¹⁻¹ ∈ H


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y

e.IsImage s t ↔ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t


Context: n : ℕ

n.smoothNumbers = factoredNumbers (Finset.range n)


Context:
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : g ≤ 1
he : e ≤ 1
_b : β


Context:
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : 0 < x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : Differentiable 𝕜 fun y => c + f y


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane

HasDerivAt (fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z) ((-z) ^ n * (1 + z)⁻¹) z


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane

(-z) ^ n * (1 + z)⁻¹ = (1 + z)⁻¹ - ∑ j ∈ Finset.range n, (-1) ^ j * z ^ j


Context:
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
hz' : -z ≠ 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f (a, b) ∂κ a


Measurable (uncurry fun a b => f (a, b))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ : Kernel α β

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: a : α

Context: inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsSFiniteKernel η

Context: f : α × β → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: this : (uncurry fun a b => f (a, b)) = f


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : x.1 < y.1
h₂ : x.2 ≤ y.2


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R

(map W f).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ W.Equation x y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
l : List α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖))


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
n : ℕ
hn : x ^ n = 0


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R✝ J : Set α
h : I ⊆ E
R : Set α

uniqueBaseOn I E ↾ R = uniqueBaseOn (I ∩ R) R


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

h₁.π ≫ (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫ ((S₂.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.right S₂.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData h₂) ≫ h₂.ι = h₁.i ≫ φ.τ₂ ≫ h₂.p


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n

n.centralBinom = ∏ p ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

∏ p ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p = ∏ p ∈ Finset.range (2 * n + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Finset.range (2 * n / 3 + 1) ⊆ Finset.range (2 * n + 1)


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

∀ x ∈ Finset.range (2 * n + 1), x ∉ Finset.range (2 * n / 3 + 1) → x ^ n.centralBinom.factorization x = 1


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: x : ℕ

Context: hx : x ∈ Finset.range (2 * n + 1)

Context: h2x : x ∉ Finset.range (2 * n / 3 + 1)


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: x : ℕ

Context: hx : x ≤ 2 * n

Context: h2x : ¬x ≤ 2 * n / 3


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: x : ℕ

Context: hx : x ≤ 2 * n

Context: h2x : 2 * n < 3 * x


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: x : ℕ

Context: hx : x ≤ 2 * n

Context: h2x : 2 * n < 3 * x

Context: no_prime : ¬(Nat.Prime x ∧ n < x ∧ x ≤ 2 * n)


Context: n : ℕ

Context: n_large : 2 < n

Context: x : ℕ

Context: hx : x ≤ 2 * n

Context: h2x : 2 * n < 3 * x

Context: no_prime : x ≤ 2 * n → ¬Nat.Prime x ∨ x ≤ n


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hn : (↑P).normalizer.Normal


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: ih : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n

Context: h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0

(p ^ n.succ).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n.succ


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0

Context: h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0

Context: h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

Context: h₂ : p.leadingCoeff * (p ^ n).leadingCoeff ≠ 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f


Context:
n m k : ℕ
h : m ∈ n.smoothNumbers
h' : k ∣ m


Context: n m k : ℕ

Context: h' : k ∣ m

Context: h : m ∈ factoredNumbers (Finset.range n)


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝ : HasGroupoid M G

Context: s U V : Opens M

Context: hUV : U ≤ V

Context: x : ↥U

Context: e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x

↑(chartAt H (inclusion hUV x)).symm =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x))] inclusion hUV ∘ ↑(chartAt H x).symm


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: G : StructureGroupoid H

Context: inst✝ : HasGroupoid M G

Context: s U V : Opens M

Context: hUV : U ≤ V

Context: x : ↥U

Context: heUx_nhds : (e.subtypeRestr ⋯).target ∈ 𝓝 (↑e ↑x)


Context:
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
m n : ℤ

x ^ m = x ^ n ↔ m ≡ n [ZMOD ↑(orderOf x)]


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * z = 1


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y

∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ a ^ y


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ

∀ (a : ℝ), max b 0 ^ (1 / y) ≤ a → b ≤ a ^ y


Context:
y : ℝ
hy : 0 < y
b x : ℝ
hx : max b 0 ^ (1 / y) ≤ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'

(fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: h₁ : k₁ =O[l] k₂

Context: h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g'

∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: h₁ : k₁ =O[l] k₂

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹⁷ : Norm E

Context: inst✝¹⁶ : Norm F

Context: inst✝¹⁵ : Norm G

Context: inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁸ : SeminormedRing R

Context: inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝⁶ : SeminormedRing R'

Context: inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: inst✝³ : Module R E'

Context: inst✝² : BoundedSMul R E'

Context: inst✝¹ : Module 𝕜' F'

Context: inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'

Context: k₁ : α → R

Context: k₂ : α → 𝕜'

Context: h₁ : k₁ =O[l] k₂

Context: c : ℝ

Context: cpos : 0 < c

Context: c' : ℝ

Context: c'pos : c' > 0

Context: hc' : IsBigOWith c' l k₁ k₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(p - 1) * padicValNat p n ! = n - (p.digits n).sum


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(p - 1) * ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (log p n).succ.succ, n / p ^ i = n - (p.digits n).sum


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

(p - 1) * ∑ i ∈ Finset.Ico (0 + 1) (log p n).succ.succ, n / p ^ i = n - (p.digits n).sum


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a : ZNum


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
b : ZNum


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Module.Free A B
inst✝ : Module.Finite A B
a : A
x : B

∃ r, (norm A) (1 + a • x) = 1 + (trace A B) x * a + r * a ^ 2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : Finset ι

Context: f : ι → Set α

Context: a : ι

Context: s : Finset ι

Context: ha : a ∉ s

Context: hs : (s.sup f).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r

((cons a s ha).sup f).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ cons a s ha, (f i).PartiallyWellOrderedOn r


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree

σ ((aeval a) p) = (fun x => eval x p) '' σ a


Context:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ ((aeval a) p)

Context: hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ ((aeval a) p)

Context: h_ne : C k - p ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ ((aeval a) p)

Context: h_ne : C k - p ≠ 0

Context: lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ ((aeval a) p)

Context: h_ne : C k - p ≠ 0

Context: lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0

Context: lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: hk : k ∈ σ ((aeval a) p)

Context: h_ne : C k - p ≠ 0

Context: lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0

Context: p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: hk : ¬(IsUnit (↑ₐ (C k - p).leadingCoeff) ∧ IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod))

Context: h_ne : C k - p ≠ 0

Context: lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: h_ne : C k - p ≠ 0

Context: lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0

Context: hk : ∃ k_1 ∈ σ a, eval k_1 (C k - p) = 0


Context: 𝕜 : Type u

Context: A : Type v

Context: inst✝³ : Field 𝕜

Context: inst✝² : Ring A

Context: inst✝¹ : Algebra 𝕜 A

Context: inst✝ : IsAlgClosed 𝕜

Context: a : A

Context: p : 𝕜[X]

Context: hdeg : 0 < p.degree

Context: k : 𝕜

Context: h_ne : C k - p ≠ 0

Context: lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0

Context: r : 𝕜

Context: r_mem : r ∈ σ a

Context: r_ev : eval r (C k - p) = 0


Context:
p : ℕ
inst✝¹⁰ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CharP R p
P : Type u₃
inst✝⁷ : CommSemiring P
inst✝⁶ : CharP P p
inst✝⁵ : PerfectRing P p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
Q : Type u₄
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : CharP Q p
inst✝ : PerfectRing Q p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p

(Perfection.coeff S p 0) ((map p ⋯ ⋯ φ) f) = (Perfection.coeff S p 0) ((Perfection.map p φ) f)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace X

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁵ : Countable ι

Context: μ : Measure X

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : BorelSpace X

Context: inst✝¹ : MetrizableSpace X

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: f : C(X, E)

Context: s : ι → Compacts X

Context: hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal

Context: hs : ⋃ i, ↑(s i) = univ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k i : n

(toMatrixAlgEquiv v₁.reindexRange) f ⟨v₁ k, ⋯⟩ ⟨v₁ i, ⋯⟩ = (toMatrixAlgEquiv v₁) f k i


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α


Context: a0 a' : ONote

Context: N0 : a0.NF

Context: Na' : a'.NF

Context: m : ℕ

Context: d : ω ∣ a'.repr

Context: e0 : a0.repr ≠ 0

Context: h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr

Context: n : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr

(k ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑k * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑k


Context: a0 a' : ONote

Context: N0 : a0.NF

Context: Na' : a'.NF

Context: m : ℕ

Context: d : ω ∣ a'.repr

Context: e0 : a0.repr ≠ 0

Context: h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr

Context: n : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: No : (a0.oadd n a').NF


Context: a0 a' : ONote

Context: N0 : a0.NF

Context: Na' : a'.NF

Context: m : ℕ

Context: d : ω ∣ a'.repr

Context: e0 : a0.repr ≠ 0

Context: h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr

Context: n : ℕ+

Context: No : (a0.oadd n a').NF

Context: k : ℕ

Context: R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr

Context: R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr

Context: ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr

Context: α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr

Context: IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k

Context: RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R

(k + 1 ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑(k + 1)) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)


Context: a0 a' : ONote

Context: N0 : a0.NF

Context: Na' : a'.NF

Context: m : ℕ

Context: d : ω ∣ a'.repr

Context: e0 : a0.repr ≠ 0

Context: h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr

Context: n : ℕ+

Context: No : (a0.oadd n a').NF

Context: k : ℕ

Context: ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr

Context: α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr

Context: RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R

Context: α0 : 0 < α'


Context: a0 a' : ONote

Context: N0 : a0.NF

Context: Na' : a'.NF

Context: m : ℕ

Context: d : ω ∣ a'.repr

Context: e0 : a0.repr ≠ 0

Context: h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr

Context: n : ℕ+

Context: No : (a0.oadd n a').NF

Context: k : ℕ

Context: ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr

Context: α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr

Context: RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R

Context: α0 : 0 < α'

Context: ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k


Context: a0 a' : ONote

Context: N0 : a0.NF

Context: Na' : a'.NF

Context: m : ℕ

Context: d : ω ∣ a'.repr

Context: e0 : a0.repr ≠ 0

Context: h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr

Context: n : ℕ+

Context: No : (a0.oadd n a').NF

Context: k : ℕ

Context: ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr

Context: α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr

Context: RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R

Context: α0 : 0 < α'

Context: ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k

Context: Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)

(ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)


Context: a0 a' : ONote

Context: N0 : a0.NF

Context: Na' : a'.NF

Context: m : ℕ

Context: d : ω ∣ a'.repr

Context: e0 : a0.repr ≠ 0

Context: h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr

Context: n : ℕ+

Context: No : (a0.oadd n a').NF

Context: k : ℕ

Context: ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr

Context: α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr

Context: RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R

Context: α0 : 0 < α'

Context: ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k

Context: Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Set X
ht : t.Countable
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hssubt : s ⊆ ⋃ x ∈ t, {x}


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Set X
ht : t.Countable
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hssubt : s ⊆ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α


Context: R : Type u_1

Context: inst✝³ : Semiring R

Context: S : Submonoid R

Context: inst✝² : OreSet S

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid X

Context: inst✝ : Module R X

Context: n : ℕ

Context: x : OreLocalization S X

Context: inst : Module ℕ (OreLocalization S X) := instModuleOfIsScalarTower


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t


Context: H : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: H' : Type u_3

Context: M' : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁴ : ChartedSpace H M

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝² : TopologicalSpace M'

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: G : StructureGroupoid H

Context: G' : StructureGroupoid H'

Context: P : (H → H') → Set H → H → Prop

Context: s✝ t✝ u : Set H

Context: x✝ : H

Context: hG : G.LocalInvariantProp G' P

Context: s t : Set H

Context: x : H

Context: f : H → H'

Context: hu : s =ᶠ[𝓝 x] t

Context: o : Set H

Context: host : o ⊆ {x | (fun x => x ∈ s ↔ x ∈ t) x}

Context: ho : IsOpen o

Context: hxo : x ∈ o


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
o : Set H
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : s ∩ o = t ∩ o


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : G.Adj v w
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (G.subgraphOfAdj h).verts


Context:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : G.Adj v w
v✝ : V
hv : v✝ = v ∨ v✝ = w


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : FractionRing K[X]
h : { toFractionRing := p } ≠ 0

{ toFractionRing := p } * { toFractionRing := p }⁻¹ = 1


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : FractionRing K[X]
h : { toFractionRing := p } ≠ 0
this : p ≠ 0


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Scheme

Context: i j : ι

Context: h : i ≠ j

Context: U : (∐ f).Opens

Context: hU : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i)

Context: hU' : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f j)

Context: x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace

Context: hx : (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑U

Context: y : ↑↑(f j).toPresheafedSpace

Context: hy : (Sigma.ι f j).val.base y = (Sigma.ι f i).val.base x


Context: ι : Type u

Context: f : ι → Scheme

Context: i : ι

Context: U : (∐ f).Opens

Context: x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace

Context: hx : (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑U

Context: h : i ≠ i

Context: hU' : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i)

Context: hy : (Sigma.ι f i).val.base x = (Sigma.ι f i).val.base x


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M


x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x✝ : M
hx : x✝ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
x y : M
i : ι
hi : x ∈ S i
j : ι
hj : y ∈ S j
k : ι
hki : S i ≤ S k
hkj : S j ≤ S k


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
l : List α

filterMap f l = l.bind fun a => (f a).toList


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : α → Option β

Context: a : α

Context: l : List α

Context: ih : filterMap f l = l.bind fun a => (f a).toList

(match f a with | none => filterMap f l | some b => b :: filterMap f l) = (f a).toList ++ l.bind fun a => (f a).toList


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.63038, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : KernelFork S₁.g
hc₁ : IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : KernelFork S₂.g
hc₂ : IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm : Fork.ι c₁ ≫ φ.τ₂ = f ≫ Fork.ι c₂

φ.τ₂ ≫ (RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₂ hf₂ c₂ hc₂).g' = (RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₁ hf₁ c₁ hc₁).g' ≫ φ.τ₃