Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

LieSubmodule.map f (weightSpace M χ) ≤ weightSpace M₂ χ


weightSpace M χ ≤ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)


Context:
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ

m ∈ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)


∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: M₂ : Type u_5

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: χ : L → R

Context: f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

Context: m : M

Context: hm : m ∈ weightSpace M χ

Context: x : L

Context: this : ((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ ((toEnd R L M) x - χ x • 1)

∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ x • 1) ^ k) (f m) = 0


Context: K : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: L : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : LieRing L

Context: inst✝⁹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: M₂ : Type u_5

Context: inst✝³ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝² : Module R M₂

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M₂

Context: inst✝ : LieModule R L M₂

Context: χ : L → R

Context: f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

Context: m : M

Context: hm : m ∈ weightSpace M χ

Context: x : L

Context: k : ℕ

Context: h : (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x y z : E
hx : x ≠ z
hy : y ≠ z
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : OrderedSemiring 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: s : Set E

Context: x y z : E

Context: hx : x ≠ z

Context: hy : y ≠ z

Context: hz : z ∈ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y))


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
β : Type v
f : α ⊕ β → Ordinal.{max (max u v) w}

sup f = max (sup fun a => f (Sum.inl a)) (sup fun b => f (Sum.inr b))


∀ (i : α ⊕ β), f i ≤ max (sup fun a => f (Sum.inl a)) (sup fun b => f (Sum.inr b))


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
a : R


Context:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hf : Integrable f volume


Integrable (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) volume


Integrable (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + (1 / (2 * ‖w‖ ^ 2)) • w)) volume


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ

∀ (l : ListBlank Γ), cons l.head l.tail = l


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ

∀ (a : List Γ), cons (head (Quotient.mk'' a)) (tail (Quotient.mk'' a)) = Quotient.mk'' a


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ

BlankExtends l (head (Quotient.mk'' l) :: l.tail)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E


Balanced 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.1400, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B


(kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯).unop ≫ cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯ = 𝟙 (Opposite.unop (kernel f.op))


((cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯).op ≫ kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯).unop = (𝟙 (kernel f.op)).unop


((cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯).op ≫ kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯) ≫ equalizer.ι f.op 0 = 𝟙 (kernel f.op) ≫ equalizer.ι f.op 0


coequalizer.π f 0 ≫ cokernel.desc f (kernel.ι f.op).unop ⋯ ≫ (kernel.lift f.op (cokernel.π f).op ⋯).unop = coequalizer.π f 0 ≫ 𝟙 (cokernel f)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.97646, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂


φ₂.τ₁ = -S₁.f ≫ h.h₁ + -h.h₀ + (S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁)


φ₂.τ₂ = S₁.g ≫ (-h.h₂) + (-h.h₁) ≫ S₂.f + φ₁.τ₂


φ₂.τ₂ = -S₁.g ≫ h.h₂ + -h.h₁ ≫ S₂.f + (S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂)


φ₂.τ₃ = -h.h₃ + -h.h₂ ≫ S₂.g + (h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing α
m : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing α
m : ℕ


Context:
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Sort u_5

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : Filter α

Context: g : Filter β

Context: la : Filter α

Context: lb : Filter β

Context: p : α → β → Prop

Context: h✝ : ∃ᶠ (x : α) in la, ∃ᶠ (y : β) in lb, p x y

Context: h : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, ¬(fun xy => p xy.1 xy.2) x

∀ᶠ (x : α) in la, ¬(fun x => ∃ᶠ (y : β) in lb, p x y) x


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
ι : Type u_1
S : ι → L[[α]].Theory
x✝ : T.CompleteType α

x✝ ∈ ⋂ i, {p | S i ⊆ ↑p} ↔ x✝ ∈ {p | ⋃ i, S i ⊆ ↑p}


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
f : ℂ → E
h : DifferentiableAt ℂ f z
hf' : deriv f z ≠ 0


IsConformalMap (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f z))


Context: L : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing L

Context: inst✝ : IsDomain L

Context: n✝ n : ℕ+

Context: hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n

Context: g : L ≃+* L

Context: c : ZMod ↑n

Context: hc : ∀ t ∈ rootsOfUnity n L, g ↑t = ↑t ^ c.val

c = (ZMod.ringEquivCongr hn) (toFun n g)


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

∃ t ∈ 𝓤 α, IsOpen t ∧ SymmetricRel t ∧ t ○ t ⊆ s


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
ht₁ : t ∈ 𝓤 α
ht₂ : t ○ t ⊆ s


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
ht₁ : t ∈ 𝓤 α
ht₂ : t ○ t ⊆ s
u : Set (α × α)
hu₄ : u ⊆ t
hu₁ : u ∈ 𝓤 α
hu₂ : IsOpen u
hu₃ : SymmetricRel u


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E

Context: hu : Filter.Tendsto u Filter.atTop (nhds x)

Context: hTu : Filter.Tendsto (⇑T ∘ u) Filter.atTop (nhds y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E

Context: hlhs : ∀ (k : ℕ), ⟪T (u k) - T x, y - T x⟫_𝕜 = ⟪u k - x, T (y - T x)⟫_𝕜


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E

Filter.Tendsto (fun t => ⟪(⇑T ∘ u) t - T x, y - T x⟫_𝕜) Filter.atTop (nhds 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E

Filter.Tendsto (fun t => ⟪u t - x, T (y - T x)⟫_𝕜) Filter.atTop (nhds 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E

Filter.Tendsto (fun t => ⟪u t - x, T (y - T x)⟫_𝕜) Filter.atTop (nhds ⟪0, T (y - T x)⟫_𝕜)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E

Filter.Tendsto (fun t => u t - x) Filter.atTop (nhds 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: E' : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E'

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: u : ℕ → E

Context: x y : E

Filter.Tendsto (fun t => u t - x) Filter.atTop (nhds (x - x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : SubtractionMonoid β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
hf : Cauchy f
adhs : ClusterPt x f
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
hf : Cauchy f
adhs : ClusterPt x f
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set α
t_mem : t ∈ f
ht : t ×ˢ t ⊆ s


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : finSepDegree F E = 1


∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : finSepDegree F E = 1
x : E
hsep : IsSeparable F x


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hdeg : finSepDegree F E = 1
x : E
hsep : IsSeparable F x
this : Algebra.IsAlgebraic (↥F⟮x⟯) E


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: hdeg : finSepDegree F E = 1

Context: x : E

Context: hsep : IsSeparable F x

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic (↥F⟮x⟯) E

Context: this : finSepDegree F ↥F⟮x⟯ * finSepDegree (↥F⟮x⟯) E = finSepDegree F E


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: hdeg : finSepDegree F E = 1

Context: x : E

Context: hsep : IsSeparable F x

Context: this✝ : Algebra.IsAlgebraic (↥F⟮x⟯) E

Context: this : F⟮x⟯ = ⊥ ∧ finSepDegree (↥F⟮x⟯) E = 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
h : IsNilpotent y


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid A

Context: inst✝³ : AddCommMonoid B

Context: inst✝² : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid M

Context: inst✝ : CommMonoid N

Context: f1 f2 : α →₀ M

Context: g1 g2 : α → M → N

Context: h1 : f1.support ⊆ f2.support

Context: h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)


Context:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)

⨆ n, ↑(partitionFiltration ht) n = generateFrom (Set.range t)


⨆ n, ↑(partitionFiltration ht) n = ⨆ i, generateFrom (memPartition t i)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α ↪ β

(M.mapEmbedding f).Basis (⇑f '' I) (⇑f '' X)


Context: θ : Angle


Context:
θ : Angle
h : θ.toReal < 0


Context:
θ : Angle
h : θ.toReal = 0


Context:
θ : Angle
h : 0 < θ.toReal


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: this : CanLift β (↑s) (f ∘ Subtype.val) fun y => y ∈ f '' s := { prf := fun y x => match x with | Exists.intro x ⟨hxt, hy⟩ => Exists.intro ⟨x, hxt⟩ hy }

Context: t : Finset ↑s

∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ image f s' = image (f ∘ Subtype.val) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: s : Set α

Context: f : α → β

Context: t : Finset ↑s

image f (map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) t) = image (f ∘ Subtype.val) t


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι

vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p ↑i -ᵥ p i₀)


Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p i₀) '' (p '' (univ \ {i₀}))) = Submodule.span k (range fun i => p ↑i -ᵥ p i₀)


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V

v ∈ (fun x => x -ᵥ p i₀) '' (p '' (univ \ {i₀})) ↔ v ∈ range fun i => p ↑i -ᵥ p i₀


(∃ x, (∃ x_1, (x_1 ∈ univ ∧ ¬x_1 = i₀) ∧ p x_1 = x) ∧ x -ᵥ p i₀ = v) ↔ ∃ a, ∃ (_ : a ≠ i₀), p a -ᵥ p i₀ = v


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''

G.Connected ↔ ∃ v, ∀ (w : V), G.Reachable v w


G.Preconnected ∧ Nonempty V ↔ ∃ v, ∀ (w : V), G.Reachable v w


Context: G : Type u_1

Context: hG : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: e : ((p : { x // x ∈ (Nat.card G).primeFactors }) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule) ⊆ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w₂

Context: M : Type w

Context: M' : Type w₁

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : LieRing L'

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: J : LieIdeal R L'

Context: x : L'

Context: y : L

Context: hy₁ : y ∈ ↑(lieIdealSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule

Context: hy₂ : ↑f y = x

↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w₂

Context: M : Type w

Context: M' : Type w₁

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : LieRing L'

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: J : LieIdeal R L'

Context: x : L'

Context: y : L

Context: hy₁ : ∃ y_1 ∈ I, ∃ z ∈ f.ker, y_1 + z = y

Context: hy₂ : ↑f y = x


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y

↑f (z₁ + z₂) ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)


f z₁ ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x x✝ : E


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.20056, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.20063, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.20070, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
a : M
f : ShiftedHom X Y a


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.20063, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.20070, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0
a : M
f : ShiftedHom X Y a


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℕ

(W.map f).preΨ' n = Polynomial.map f (W.preΨ' n)


preNormEDS' ((mapRingHom f) W.Ψ₂Sq ^ 2) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n = preNormEDS' ((mapRingHom f) (W.Ψ₂Sq ^ 2)) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n


Context:
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x : X
h : 0 < s.length


(x ∈ range fun i => s.toFun ⟨↑i, ⋯⟩) ↔ x ≠ last s ∧ x ∈ range s.toFun


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H✝ : s✝.Nonempty
x a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty

IsLeast (↑(insert a s)) (min (s.min' H) a)


IsLeast (insert a ↑s) (min a (s.min' H))


Context:
α : Type u_1
I : Type ?u.59101
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsRelPrime x y


Context:
R✝ : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
M✝ : Type v
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq κ
inst✝³ : Fintype κ
b : Basis ι R✝ M✝
c : Basis κ R✝ M✝
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : Module.End R M


(trace R M) (g * f) - (trace R M) (g * f) = 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : NoZeroDivisors R
ζ : R
h : IsPrimitiveRoot ζ 2


Context:
s : Finset ℕ
m n : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers s
hn : n ∈ factoredNumbers s


Context:
s : Finset ℕ
m n : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers s
hn : n ∈ factoredNumbers s
hm' : m.primeFactors ⊆ s


Context:
s : Finset ℕ
m n : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers s
hn : n ∈ factoredNumbers s
hm' : m.primeFactors ⊆ s
hn' : n.primeFactors ⊆ s


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts


t.card ≤ (∑ i ∈ P.parts, i.card) / P.parts.card + 1


Context:
ι : Type u_1
m✝ : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype m✝
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype p
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : DecidableEq p
m : p → Type u_8
inst✝ : (i : p) → Fintype (m i)
M : (i : p) → Matrix (m i) (m i) R

(blockDiagonal' M).trace = ∑ i : p, (M i).trace


Context:
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
n : ℤ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) (μ.restrict s)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

AEMeasurable (fun x => |(f' x).det|) (μ.restrict s)


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: f : E → E

Context: f' : E → E →L[ℝ] E

Context: inst✝² : MeasurableSpace E

Context: inst✝¹ : BorelSpace E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: hs : MeasurableSet s

AEMeasurable (fun x => (f' x).det) (μ.restrict s)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semifield R
inst✝ : StarRing R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : e.BoundaryGE i

(if hij : c.Rel i j then if hi : e.BoundaryGE i then (truncGE'.XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else (truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else 0) = (K.truncGE'XIsoOpcycles e hi' hi).hom ≫ K.fromOpcycles i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv


(truncGE'.XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv = (K.truncGE'XIsoOpcycles e hi' hi).hom ≫ K.fromOpcycles i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α


Context:
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : A

r • resolvent a ↑r = resolvent (r⁻¹ • a) 1


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
l : List α
e : (a :: l).length = n.succ
i : ℕ
h : i < n

(tail ⟨a :: l, e⟩).get ⟨i, h⟩ = get ⟨a :: l, e⟩ ⟨i, h⟩.succ


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : ι → α

∏ j : κ, ∏ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∏ i : ι, f i


∏ j : κ, ∏ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∏ j : κ, ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f i


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : ι → α
j : κ

∏ i : { i // g i = j }, f ↑i = ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : f₁ =O[l] g
h₂ : f₂ =O[l] g


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) ≡ Nat.card (G ⧸ H) [MOD p]


Nat.card ↑(MulAction.fixedPoints (↥H) (G ⧸ H)) ≡ Nat.card (G ⧸ H) [MOD p]


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : V ↪ W
G : SimpleGraph W

SimpleGraph.map f (SimpleGraph.comap (⇑f) G) ≤ G


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x ≤ y


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x ≤ y
this : (Ico x y).card < (Icc x y).card


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
h : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x y : α
hys : y ∈ s
hy : infEdist x s = edist x y


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: q : ℚ

Context: n : ℕ

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ

Context: stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n

Context: stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: q : ℚ

Context: n : ℕ

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ

Context: ifp_n' : IntFractPair ℚ

Context: stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'

Context: ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0

Context: IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: q : ℚ

Context: n : ℕ

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ

Context: ifp_n' : IntFractPair ℚ

Context: ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0

Context: this : ifp_n = ifp_n'


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: q : ℚ

Context: n : ℕ

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ

Context: stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n

Context: ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n

(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: q : ℚ

Context: n : ℕ

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ

Context: ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr

Context: ifp_n_fract_lt_one : ifp_n.fr < 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: q : ℚ

Context: n : ℕ

Context: ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ

Context: ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0

Context: zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr

Context: ifp_n_fract_lt_one : ifp_n.fr < 1

Context: this : 0 < ifp_n.fr


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : SpecialLinearGroup n R


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ P.parts.sup id


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)

⋂ V ∈ 𝓤 α, V ○ t ○ V = ⋂ V ∈ 𝓤 α, V ○ (t ○ V)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: i : E ≃L[𝕜] F

Context: h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i

Context: h0 : p 0 = 0

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → F

(p.comp (p.rightInv i) n) v = (id 𝕜 F n) v


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hf : HasDerivWithinAt f f' s x

HasDerivWithinAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) s x


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: v✝ : Valuation R Γ₀

Context: J : Ideal R

Context: v : Valuation (R ⧸ J) Γ₀

J ≤ (comap (Ideal.Quotient.mk J) v).supp


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: v✝ : Valuation R Γ₀

Context: J : Ideal R

Context: v : Valuation (R ⧸ J) Γ₀

Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) J ≤ v.supp


Context:
o e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (e.oadd n a, m)


Context:
o e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (e.oadd n a, m)
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.repr = (e.oadd n a).repr + ↑m


Context:
o e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (e.oadd n a, m)
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.repr = (e.oadd n a).repr + ↑m
e0 : e.repr ≠ 0
d : ω ∣ a.repr


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DistribLattice α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α

Context: h : (fun b => [[b, a]]) b = (fun b => [[b, a]]) c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : DistribLattice α

Context: a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α

Context: h : ∀ (x : α), x ∈ (fun b => [[b, a]]) b ↔ x ∈ (fun b => [[b, a]]) c


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.75332
inst✝ : MulAction R X
r₁ r₂ : R
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂

r₁ /ₒ s₁ * (r₂ /ₒ s₂) = r' * r₂ /ₒ (s' * s₁)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : 0 ≤ f'
x : ℝ


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0
inst✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Subsingleton M
inst✝ : Nontrivial R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
hc : t.ncard < s.ncard
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: hc : t.ncard < s.ncard

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: h' : ¬∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s t✝ : Set α

Context: f✝ : α → β

Context: t : Set β

Context: hc : t.ncard < s.ncard

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t

Context: ht : autoParam t.Finite _auto✝

Context: h' : ∀ x ∈ s, ∀ x_1 ∈ s, f x = f x_1 → x = x_1


Context:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid M

Context: head✝ : M

Context: tail✝ : List M

Context: tail_ih✝ : (∀ x ∈ tail✝, 1 ≤ x) → ∀ x ∈ tail✝, x ≤ tail✝.prod

Context: hl₁ : ∀ x ∈ head✝ :: tail✝, 1 ≤ x

∀ x ∈ head✝ :: tail✝, x ≤ (head✝ :: tail✝).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid M

Context: head✝ : M

Context: tail✝ : List M

Context: hl₁ : 1 ≤ head✝ ∧ ∀ x ∈ tail✝, 1 ≤ x

head✝ ≤ head✝ * tail✝.prod ∧ ∀ x ∈ tail✝, x ≤ head✝ * tail✝.prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: P : Type u_5

Context: M₀ : Type u_6

Context: G : Type u_7

Context: R : Type u_8

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid M

Context: head✝ : M

Context: tail✝ : List M

Context: hl₁ : 1 ≤ head✝ ∧ ∀ x ∈ tail✝, 1 ≤ x


Context:
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α

(f.NeBot ∧ ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s) ↔ f.NeBot ∧ ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t

InvOn (invFunOn f s) f (invFunOn f s '' t) t


LeftInvOn (invFunOn f s) f (invFunOn f s '' t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
y : β
hy : y ∈ t

invFunOn f s (f (invFunOn f s y)) = invFunOn f s y


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
i j : ι
hjk : c.Rel j i

inlX φ i j hjk ≫ (desc φ α hα).f j = hα.hom i j


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hjk : c.Rel j (c.next j)

inlX φ (c.next j) j hjk ≫ (desc φ α hα).f j = hα.hom (c.next j) j


(inlX φ (c.next j) j hjk ≫ if hj : c.Rel j (c.next j) then fstX φ j (c.next j) hj ≫ hα.hom (c.next j) j + sndX φ j ≫ α.f j else sndX φ j ≫ α.f j) = hα.hom (c.next j) j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
j : ℕ

f j ((ComplexShape.down ℕ).prev j) ≫ Q.d ((ComplexShape.down ℕ).prev j) j = f j (j + 1) ≫ Q.d (j + 1) j


Context: ι : Type u_1

Context: V : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} V

Context: inst✝ : Preadditive V

Context: c : ComplexShape ι

Context: C D E : HomologicalComplex V c

Context: f✝ g : C ⟶ D

Context: h k : D ⟶ E

Context: i : ι

Context: P Q : ChainComplex V ℕ

Context: f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

Context: j : ℕ

Context: this : (ComplexShape.down ℕ).prev j = j + 1


Context:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
s : Set G
hs : MeasurableSet s

((haarContent K₀).measure ↑K₀)⁻¹ * (haarContent K₀).measure s = (haarContent K₀).outerMeasure s / (haarContent K₀).measure ↑K₀


Context:
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : PartialOrder R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : StarOrderedRing R
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : PartialOrder A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : StarModule R A
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : a < b
hc : 0 < c


Context:
R : Type u
A : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : PartialOrder R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : StarOrderedRing R
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : PartialOrder A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : StarModule R A
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
c : R
hab : 0 < b - a
hc : 0 < c


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
r : R


Context:
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q r : ℚ≥0

↑(q + r) = ↑(divNat (q.num * r.den + r.num * q.den) (q.den * r.den))


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)

Context: hVortho : OrthogonalFamily 𝕜 G V

Context: hVtotal : ⊤ ≤ (⨆ i, LinearMap.range (V i).toLinearMap).topologicalClosure


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: cplt : CompleteSpace E

Context: G : ι → Type u_4

Context: V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E

Context: F : ι → Submodule 𝕜 E

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)

Context: hVortho : OrthogonalFamily 𝕜 G V


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
a : X


∀ (g : G), g • orbit (↥N) a = orbit (↥N) a ∨ Disjoint (g • orbit (↥N) a) (orbit (↥N) a)


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
a : X
g : G

g • orbit (↥N) a = orbit (↥N) a ∨ Disjoint (g • orbit (↥N) a) (orbit (↥N) a)


orbit (↥N) (g • a) = orbit (↥N) a ∨ Disjoint (orbit (↥N) (g • a)) (orbit (↥N) a)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n


Context: r s : ℝ


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
x : α

f ((ofInjective f hf).symm ⟨f x, ⋯⟩) = f (rangeSplitting f ⟨f x, ⋯⟩)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α

M.Base B ↔ M.Indep B ∧ M.closure B = M.E


M.Indep B → (B ⊆ M.E ∧ M.E ⊆ M.closure B ↔ M.closure B = M.E)


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

All P (l.rotateR x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r


All P r.dual ∧ P x ∧ All P l.dual ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r


Context:
l r : Type u
L : l → PGame
R : r → PGame
x✝ : (mk l r L R).Impartial

(mk l r L R).grundyValue = mex fun i => ((mk l r L R).moveRight i).grundyValue


(mex fun i => ((-mk l r L R).moveLeft i).grundyValue) = mex fun i => ((mk l r L R).moveRight i).grundyValue


Context:
l r : Type u
L : l → PGame
R : r → PGame
x✝ : (mk l r L R).Impartial
i : (-mk l r L R).LeftMoves
this : (R i).Impartial

((-mk l r L R).moveLeft i).grundyValue = ((mk l r L R).moveRight i).grundyValue


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder γ
inst✝ : BoundedOrder δ
g : BoundedOrderHom β γ
f₁ f₂ : BoundedOrderHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.209062, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 2

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

Context: w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯

Context: w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯

g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯


Context: C : Type u_1

Context: inst✝ : Category.{?u.209062, u_1} C

Context: n m : ℕ

Context: F G : ComposableArrows C n

Context: f g : ComposableArrows C 2

Context: app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯

Context: app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯

Context: app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯

g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set V

(G'.deleteVerts s).deleteVerts s' = G'.deleteVerts (s ∪ s')


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

(o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L'
h₂ : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L' k = ⊥


Context: q : ℚ≥0


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : 0 < q.degree
hq0 : q ≠ 0


(p /ₘ (q * C q.leadingCoeff⁻¹)).degree < p.degree


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁

Context: h₁ : Homotopy f₁ f₁'

Context: K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: f₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.Additive

Context: inst✝⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝³ : DecidableEq J

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c

Context: inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

(((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (mapBifunctorMap f₁ f₂ F c).f j = (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ ((K₁.mapBifunctor K₂ F c).d j (c.next j) ≫ hom₁ h₁ f₂ F c (c.next j) j + hom₁ h₁ f₂ F c j (c.prev j) ≫ (L₁.mapBifunctor L₂ F c).d (c.prev j) j + (mapBifunctorMap f₁' f₂ F c).f j)


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: D : Type u_3

Context: I₁ : Type u_4

Context: I₂ : Type u_5

Context: J : Type u_6

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_8, u_1} C₁

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_9, u_2} C₂

Context: inst✝⁹ : Category.{u_7, u_3} D

Context: inst✝⁸ : Preadditive C₁

Context: inst✝⁷ : Preadditive C₂

Context: inst✝⁶ : Preadditive D

Context: c₁ : ComplexShape I₁

Context: c₂ : ComplexShape I₂

Context: K₁ L₁ : HomologicalComplex C₁ c₁

Context: f₁ f₁' : K₁ ⟶ L₁

Context: h₁ : Homotopy f₁ f₁'

Context: K₂ L₂ : HomologicalComplex C₂ c₂

Context: f₂ : K₂ ⟶ L₂

Context: F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D

Context: inst✝⁵ : F.Additive

Context: c : ComplexShape J

Context: inst✝³ : DecidableEq J

Context: inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c

Context: inst✝¹ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F c

Context: inst✝ : L₁.HasMapBifunctor L₂ F c

Context: j : J

Context: i₁ : I₁

Context: i₂ : I₂

Context: h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

(F.map (K₁.d i₁ (c₁.next i₁))).app (K₂.X i₂) ≫ (F.map (h₁.hom (c₁.next i₁) i₁)).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctor L₂ F c i₁ i₂ j h + (F.map (h₁.hom i₁ (c₁.prev i₁))).app (K₂.X i₂) ≫ (F.map (L₁.d (c₁.prev i₁) i₁)).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (L₁.X i₁)).map (f₂.f i₂) ≫ L₁.ιMapBifunctor L₂ F c i₁ i₂ j h = (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).d₁ c i₁ i₂ (c.next j) ≫ hom₁ h₁ f₂ F c (c.next j) j + (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).d₂ c i₁ i₂ (c.next j) ≫ hom₁ h₁ f₂ F c (c.next j) j + ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ hom₁ h₁ f₂ F c j (c.prev j) ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj L₁).obj L₂).D₁ c (c.prev j) j + (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj K₁).obj K₂).ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ hom₁ h₁ f₂ F c j (c.prev j) ≫ (((F.mapBifunctorHomologicalComplex c₁ c₂).obj L₁).obj L₂).D₂ c (c.prev j) j)


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom = h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hj✝ : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: t : Set H

Context: f : H → H'

Context: hts : s ∈ 𝓝[t] x

Context: h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: t : Set H

Context: f : H → H'

Context: hts : s ∈ 𝓝[t] x

Context: h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x

↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑I x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝³⁴ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝³² : ChartedSpace H M

Context: inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝²² : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝²¹ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''

Context: F : Type u_11

Context: inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_12

Context: inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G

Context: J : ModelWithCorners 𝕜 F G

Context: N : Type u_13

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N

Context: inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N

Context: inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N

Context: F' : Type u_14

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'

Context: G' : Type u_15

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'

Context: J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'

Context: N' : Type u_16

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'

Context: inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'

Context: F₁ : Type u_17

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: F₂ : Type u_18

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: F₃ : Type u_19

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃

Context: F₄ : Type u_20

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f✝ f₁ : M → M'

Context: s✝ s₁ t✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: m n✝ n : ℕ∞

Context: s : Set H

Context: x : H

Context: t : Set H

Context: f : H → H'

Context: hts : s ∈ 𝓝[t] x

Context: h : ContDiffWithinAtProp I I' n f s x

↑I.symm ⁻¹' s ∈ 𝓝[↑I.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I] ↑I x


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: s✝ : Finset β

Context: H✝ : s✝.Nonempty

Context: f✝ : β → α

Context: inst✝ : SemilatticeSup γ

Context: s : Finset β

Context: H : s.Nonempty

Context: f : β → α

Context: g : α → γ

Context: g_sup : ∀ (x y : α), g (x ⊔ y) = g x ⊔ g y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε

∃ i, ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ i, abv (f j - f k) < ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Nontrivial ι
i : ι


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroupWithOne α
m : ℤ
x✝ : ℕ
ih : ∀ (n : ℤ), ↑(↑x✝ * n) = ↑x✝ • ↑n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroupWithOne α
m : ℤ
x✝ : ℕ
ih : ∀ (n : ℤ), ↑(-↑x✝ * n) = -↑x✝ • ↑n


Context:
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hpq : q.degree ≤ p.degree
hq : ¬q = 0

(p / q).leadingCoeff = p.leadingCoeff / q.leadingCoeff


(q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree ≤ p.degree


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop

Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ 0 < r


Context: n : PosNum

(if (match Num.pos n with | Num.zero => [] | Num.pos n => encodePosNum n) = [] then Num.zero else ↑(decodePosNum (match Num.pos n with | Num.zero => [] | Num.pos n => encodePosNum n))) = Num.pos n


Context: n : PosNum

(if (match Num.pos n with | Num.zero => [] | Num.pos n => encodePosNum n) = [] then Num.zero else ↑n) = Num.pos n


Context: n : PosNum

(if (match Num.pos n with | Num.zero => [] | Num.pos n => encodePosNum n) = [] then Num.zero else Num.pos n) = Num.pos n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
r : R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ M, ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: htendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun M => {x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hmeas : ∀ (M : ℕ), AEStronglyMeasurable ({x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: hbound : HasFiniteIntegral (fun x => ‖f x‖) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: this : Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: this : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℕ

Context: hM : ∀ n ≥ M, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a - 0‖ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℕ

Context: hM : ∀ n ≥ M, ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖{x | ↑n ≤ ‖f x‖₊}.indicator f a‖ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℕ

∫⁻ (x : α), ↑‖{x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℕ

Context: x✝ : α

↑‖{x | ↑M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x✝‖₊ = ENNReal.ofReal ‖{x | ↑M ≤ ‖f x‖₊}.indicator f x✝‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : α → β

Context: hf : Memℒp f 1 μ

Context: hmeas✝ : StronglyMeasurable f

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: M : ℕ

Context: x✝ : α

↑‖{x | ↑M ≤ ‖f x‖}.indicator f x✝‖₊ = ↑⟨‖{x | ↑M ≤ ‖f x‖₊}.indicator f x✝‖, ⋯⟩


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a : α
h : ScottContinuous f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a✝ : α
h : ScottContinuous f
a b : α
hab : a ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero

(if h : f.LimZero then 0 else f.inv h) = f.inv hf


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: hc : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: f : Y ⟶ X

Context: hS : S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X

Sieve.pullback f S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: X Y : C

Context: S : Sieve X

Context: f : Y ⟶ X

Context: hS : (c X) S = ⊤


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : S ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) X

Context: R : Sieve X

Context: hR : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ (fun X => {S | (c X) S = ⊤}) Y


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : (c X) S = ⊤

Context: R : Sieve X


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : (c X) S = ⊤

Context: R : Sieve X

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → ((c X) R).arrows f


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: J₁ J₂ : GrothendieckTopology C

Context: c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)

Context: X : C

Context: S : Sieve X

Context: hS : (c X) S = ⊤

Context: R : Sieve X

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hf : S.arrows f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
n : ℕ

Fintype.card (Vector α n) = Fintype.card α ^ n


Fintype.card (Fin n → α) = Fintype.card α ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G

↑↑((condexpInd G hm μ ∅) x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(0 x)


↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ ⋯ x) =ᶠ[ae μ] ↑↑(0 x)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp a (-b) = p - toIcoMod hp (-a) b


-b - -(toIcoDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIcoDiv hp (-a) b • p)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
hₘ : ∃ m, p (m + n)
hₙ : ∃ n, p n
hn : n ≤ Nat.find hₙ


Context:
a b c d m✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
hₘ : ∃ m, p (m + n)
hₙ : ∃ n, p n
hn : n ≤ Nat.find hₙ
m : ℕ
hm : m < Nat.find hₘ + n
hpm : p m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: N : Type u_7

Context: P : Type u_8

Context: G : Type u_9

Context: H : Type u_10

Context: R : Type u_11

Context: S : Type u_12

Context: inst✝¹ : Zero M

Context: inst✝ : AddCommMonoid N

Context: f : α → β

Context: l : β →₀ M

Context: g : β → M → N

Context: hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support

∑ x ∈ l.support.preimage f ⋯, g (f x) ({ support := l.support.preimage f ⋯, toFun := fun a => l (f a), mem_support_toFun := ⋯ } x) = ∑ a ∈ l.support, g a (l a)


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x


∀ (x : ↥H), _root_.IsNilpotent ((ad R ↥H) x)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x

Context: x : ↥H

Context: K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n)) m ≤ (fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n)) n


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x

Context: x : ↥H

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x

Context: x : ↥H

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m

Context: y : ↥H


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : ↥H

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m

Context: y : ↥H

Context: h : ↑y ∈ engel R ↑x


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : ↥H

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m

Context: y : ↥H

Context: h : ∃ n, ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : ↥H

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m

Context: y : ↥H

Context: m : ℕ

Context: hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : ↥H

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m

Context: y : ↥H

Context: m : ℕ

Context: hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0

Context: hmn : m ≤ n


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: inst✝² : LieRingModule L M

Context: inst✝¹ : LieModule R L M

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: x : ↥H

Context: n : ℕ

Context: hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m

Context: y : ↥H

Context: m : ℕ

Context: hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0

Context: hmn : n ≤ m


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R

Context: inst✝¹⁴ : StarRing R

Context: inst✝¹³ : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹² : MetricSpace R

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝¹⁰ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.815889) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁷ : Ring A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : PartialOrder A

Context: inst✝⁴ : StarOrderedRing A

Context: inst✝³ : Algebra R A

Context: inst✝² : StarModule R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: inst✝ : NonnegSpectrumClass R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: h : ∀ x ∈ spectrum R a, 1 ≤ f x

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ


∀ (n_1 : ℕ), (init n (init n x)).coeff n_1 = (init n x).coeff n_1


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n i : ℕ

(init n (init n x)).coeff i = (init n x).coeff i


(if i < n then if i < n then x.coeff i else 0 else 0) = if i < n then x.coeff i else 0


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0


∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)


{0}ᶜ ⊆ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ∈ {0}ᶜ

y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}


Context:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0


Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : UniformSpace K

Context: inst✝ : CompletableTopField K

Context: x : hat K

Context: h : x ≠ 0

Context: y : hat K

Context: y_ne : y ≠ 0

Context: this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : UniformSpace K

Context: inst✝ : CompletableTopField K

Context: x : hat K

Context: h : x ≠ 0

Context: y : hat K

Context: y_ne : y ≠ 0

Cauchy (map (fun y => ↑K y) (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : UniformSpace K

Context: inst✝ : CompletableTopField K

Context: x : hat K

Context: h : x ≠ 0

Context: y : hat K

Context: y_ne : y ≠ 0

Cauchy (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : UniformSpace K

Context: inst✝ : CompletableTopField K

Context: x : hat K

Context: h : x ≠ 0

Context: y : hat K

Context: y_ne : y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : M

Context: inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a : M

Context: n m : ℕ

Context: ha : 1 < a

Context: h : n < m


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: x : M

Context: a : M

Context: n : ℕ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: h : n < n.succ + k


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: x : M

Context: a : M

Context: n : ℕ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c - f y) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x


Context: σ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝ : Ring R

Context: φ : MvPowerSeries σ R

Context: u : Rˣ

Context: h : (constantCoeff σ R) φ = ↑u

Context: n : σ →₀ ℕ

Context: this : DecidableEq (σ →₀ ℕ) := Classical.decEq (σ →₀ ℕ)

Context: H : n = 0

(coeff R 0) (φ * φ.invOfUnit u) = (coeff R 0) 1


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
H : p.toList x = [y]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g

IndepFun f g μ ↔ ∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)


(∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)) → IndepFun f g μ


(∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)) → ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: β : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mβ' : MeasurableSpace β'

Context: f : Ω → β

Context: g : Ω → β'

Context: hfm : Measurable f

Context: hgm : Measurable g

Context: h : ∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)

Context: A : Set β

Context: hA : MeasurableSet A

Context: B : Set β'

Context: hB : MeasurableSet B

μ (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = μ (f ⁻¹' A) * μ (g ⁻¹' B)


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: β : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mβ' : MeasurableSpace β'

Context: f : Ω → β

Context: g : Ω → β'

Context: hfm : Measurable f

Context: hgm : Measurable g

Context: A : Set β

Context: hA : MeasurableSet A

Context: B : Set β'

Context: hB : MeasurableSet B

Context: h : integral μ (A.indicator 1 ∘ f * B.indicator 1 ∘ g) = integral μ (A.indicator 1 ∘ f) * integral μ (B.indicator 1 ∘ g)


Context: Ω : Type u_1

Context: mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: β : Type u_2

Context: β' : Type u_3

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mβ' : MeasurableSpace β'

Context: f : Ω → β

Context: g : Ω → β'

Context: hfm : Measurable f

Context: hgm : Measurable g

Context: A : Set β

Context: hA : MeasurableSet A

Context: B : Set β'

Context: hB : MeasurableSet B


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
f : α → β
hf : ∀ (a : α), ‖f a‖₊ = ‖a‖₊


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = s


∀ (n : ℕ), IsCompact ((fun n => f '' K n) n)


Context:
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Subsingleton

∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → x = y


Context:
α : Type u_1
l : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r l)

∀ ⦃x : α⦄, x ∈ Quot.mk Setoid.r l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ Quot.mk Setoid.r l → x = y


Context:
α : Type u_1
l : List α
h : l = [] ∨ ∃ a, l = [a]


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

Context: hl : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|

(let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re / 1; this) =ᶠ[l] let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re; this


Context: α : Type u_1

Context: l : Filter α

Context: f g : α → ℂ

(fun x => abs (f x) ^ (g x).re) =ᶠ[l] fun x => abs (f x) ^ (g x).re


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hx : s ∈ 𝓝 x


Context:
α : Type u
f g : MonoOver α
t : f ⟶ g
x : (𝟭 (Type u)).obj f.obj.left

f.obj.hom x ∈ (fun f => Set.range f.obj.hom) g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ (x - y + y) y


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a : H
n : ℤ


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

(p.concat h).darts = p.darts.concat { toProd := (v, w), adj := h }


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H
y : G
hy : y ∈ H


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α

⋂ x, ⋂ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∩ ⋂ x, ⋂ (h : p x), s x ⋯


Context: p : ℝ


Context:
p : ℝ
hp : 0 ≤ p


Context:
p : ℝ
hp : p < 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

∫ (x : α), g (f x) ∂μ ≤ g (∫ (x : α), f x ∂μ)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hs : s ∈ K.faces


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β

⇑e ⁻¹' Ioo a b = Ioo (e.symm a) (e.symm b)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: σ : ι → Type u_7

Context: τ : κ → Type u_8

Context: inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)

Context: inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: f₁ : ι → κ

Context: f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)

(∀ (i : ι), Continuous fun a => Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, a⟩) ↔ ∀ (i : ι), Continuous (f₂ i)


Context:
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
y : α × β
g : M


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

(o.oangle x (x + y)).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
e : α ≃ β
f : Filter β

map (⇑e) (map (⇑e.symm) f) = map (⇑e) (comap (⇑e) f)


Context:
α β : Type u
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
x : M × N

x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MonoidHom.fst M N) s


Context:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
this : Nat.choose 4 2 = 6


1 - ∑ k ∈ range 4, ↑(Nat.choose 4 k) / (↑4 - ↑k + 1) * bernoulli' k = -1 / 30


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: s : β → Set α

Context: S : Set β

Context: h : DirectedOn (s ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S

Context: ne : S.Nonempty

Context: t : Set α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: s : β → Set α

Context: S : Set β

Context: ne : S.Nonempty

Context: t : Set α

DirectedOn ((fun i => 𝓟 (s i)) ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: s : β → Set α

Context: S : Set β

Context: h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∘ Subtype.val)

Context: ne : S.Nonempty

Context: t : Set α

Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) ((fun i => 𝓟 (s i)) ∘ Subtype.val)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Sort u_4

Context: ι' : Sort u_5

Context: l l' : Filter α

Context: p : ι → Prop

Context: s✝ : ι → Set α

Context: t✝ : Set α

Context: i : ι

Context: p' : ι' → Prop

Context: s' : ι' → Set α

Context: i' : ι'

Context: s : β → Set α

Context: S : Set β

Context: ne : S.Nonempty

Context: t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : α → β
h : Injective f
b : β
w : b ∉ Set.range f


Context:
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t

↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card ≤ ↑s.card * ε


Context:
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
hε : ε ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: hst : G.IsUniform ε s t

Context: hε : ε ≤ 1

Context: h : ↑s.card * ε < ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: hst : G.IsUniform ε s t

Context: hε : ε ≤ 1

Context: this : |↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) - ↑(G.edgeDensity s t)| < ε


Context: α : Type u_1

Context: G G' : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: s t u : Finset α

Context: dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)

Context: hst : G.IsUniform ε s t

Context: hε : ε ≤ 1

Context: this : ↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) - ↑(G.edgeDensity s t) < ε ∧ ↑(G.edgeDensity s t) - ↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) < ε


Context:
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : AddMonoid G
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : k[G] →ₐ[k] A
f : MonoidAlgebra k G

F f = sum f fun a b => b • F (single a 1)


Context: n : ℕ


Context:
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝² : FloorRing K
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
k : K
x✝ : ?m.166713

(?m.166719.repr ↑(floor (Basis.singleton ι K) k)) x✝ = (?m.166719.repr ↑⌊k⌋) x✝


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
w : ∀ (X Y : C), Zero.zero = Zero.zero


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
I J : HasZeroMorphisms C
w : ∀ (X Y : C), Zero.zero = Zero.zero
this : zero = zero


Context:
α : Type u_1
p q : α → Prop
t : RBNode α

All (fun a => p a ∧ q a) t ↔ All p t ∧ All q t


Context:
n : ℕ
a b : Fin n


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
v : m → α

‖A *ᵥ v‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖v‖₊


‖col (Fin 1) (A *ᵥ v)‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖col (Fin 1) v‖₊


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ioc a (a + p)


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ioc a (a + p)
this : (equivIoc p a) ↑x = ⟨x, hx⟩


(Ioc a (a + p)).restrict f ⟨x, hx⟩ = f x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : A ⟶ S.X₂
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f


S.liftCycles k ⋯ ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜


HasDerivAtFilter (⇑f.linear + fun x => f 0) (f.linear 1) x L


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G H : C ⥤ D
α : G ⟶ H
F : D ⥤ E
X Y : C
f : X ⟶ Y

(G ⋙ F).map f ≫ (fun X => F.map (α.app X)) Y = (fun X => F.map (α.app X)) X ≫ (H ⋙ F).map f


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
x : M
i : ι
a : α i
hx : x ∈ A i

((h.collectedBasis v).repr x) ⟨i, a⟩ = ((v i).repr ⟨x, hx⟩) a


((sigmaFinsuppLequivDFinsupp R).symm (DFinsupp.mapRange (fun i => ⇑(v i).repr) ⋯ (↑(LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm x))) ⟨i, a⟩ = ((v i).repr ⟨x, hx⟩) a


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num ∣ p


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: L₂ : Type u_1

Context: M₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L₂ M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L₂ M₂

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: g : M →ₗ[R] M₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆

Context: inst✝ : LieModule.IsNilpotent R L M

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: M : Type w

Context: inst✝¹³ : CommRing R

Context: inst✝¹² : LieRing L

Context: inst✝¹¹ : LieAlgebra R L

Context: inst✝¹⁰ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁹ : Module R M

Context: inst✝⁸ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁷ : LieModule R L M

Context: k✝ : ℕ

Context: N : LieSubmodule R L M

Context: L₂ : Type u_1

Context: M₂ : Type u_2

Context: inst✝⁶ : LieRing L₂

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : LieRingModule L₂ M₂

Context: inst✝¹ : LieModule R L₂ M₂

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L₂

Context: g : M →ₗ[R] M₂

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: hg : Surjective ⇑g

Context: inst✝ : LieModule.IsNilpotent R L M

Context: k : ℕ

Context: hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥