Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
d₁ d₂ : n → α
h : diagonal d₁ = diagonal d₂
i : n


Context:
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
p : Poly α
v : Option α → ℕ

{v | (p (v ∘ some)).natAbs = v none} v ↔ (p (v ∘ some) - ↑(v none)) * (p (v ∘ some) + ↑(v none)) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: κ : Kernel α β

Context: inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ

Context: η : Kernel (α × β) γ

Context: inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η

Context: a : α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E'

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E'

Context: f : β × γ → E

Context: s : Set β

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : IntegrableOn f (s ×ˢ univ) ((κ ⊗ₖ η) a)

∫ (z : β × γ) in s ×ˢ univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β) in s, ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0

∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β

sign (prodCongrRight σ) = ∏ k : α, sign (σ k)


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (x : α), x ∈ l


Context:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (x : α), x ∈ l
l_to_finset : l.toFinset = univ


(List.map (⇑sign ∘ fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod = (List.map (fun k => sign (σ k)) l).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : a ∈ l
w : 0 < l.length


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
z : ℂ

z ∈ spectrum ℂ ((gelfandTransform ℂ A) a) ↔ z ∈ spectrum ℂ a


z ∈ Set.range ⇑((gelfandTransform ℂ A) a) ↔ ∃ f, f a = z


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasFDerivAt f f' x
hy : y = f x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
x : E

cthickening ε (Metric.ball x δ) = Metric.closedBall x (ε + δ)


Context:
P : Type u_1
inst✝ : CompleteSemilatticeInf P
F✝ : PFilter P
x : P
F : (PFilter P)ᵒᵈ

(fun x => toDual (principal x)) x ≤ F ↔ x ≤ (fun F => sInf ↑(ofDual F)) F


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α

range (enumerateCountable h default) ⊆ insert default s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default : α
n : ℕ

enumerateCountable h default n ∈ insert default s


(match decode n with | some y => ↑y | none => default) ∈ insert default s


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

comap (fun x => (id x.1, id x.2)) (𝓤 α) = 𝓤 α


Context:
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
k j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k

M.mk F ⟨j₁, x⟩ * M.mk F ⟨j₂, y⟩ = M.mk F ⟨k, (F.map f) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map g) ⟨j₂, y⟩.snd⟩


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: k j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : k ⟶ s

Context: h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β

Context: h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = g ≫ β


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: k j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : k ⟶ s

∃ k_1 f_1 g_1, (F.map f_1) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g_1) ⟨k, (F.map f) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map g) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: k j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : k ⟶ s

(F.map α) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map β) ⟨k, (F.map f) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map g) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: k j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : k ⟶ s

(F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map β) ((F.map f) x * (F.map g) y)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: k j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : k ⟶ s

(F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂)) y) = (F.map β) ((F.map f) x) * (F.map β) ((F.map g) y)


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ MonCatMax

Context: inst✝ : IsFiltered J

Context: k j₁ : J

Context: x : ↑(F.obj j₁)

Context: f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ k

Context: j₂ : J

Context: y : ↑(F.obj j₂)

Context: g : ⟨j₂, y⟩.fst ⟶ k

Context: s : J

Context: α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s

Context: β : k ⟶ s

(F.map (IsFiltered.leftToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₁ j₂) ≫ F.map α) y = (F.map f ≫ F.map β) x * (F.map g ≫ F.map β) y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
this : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: this✝ : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base

Context: this : ∀ (x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat), IsIso (LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: 𝒜 : ℕ → Submodule R A

Context: inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

Context: f : A

Context: m : ℕ

Context: f_deg : f ∈ 𝒜 m

Context: hm : 0 < m

Context: this✝¹ : IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base

Context: this✝ : ∀ (x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat), IsIso (LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x)

Context: this : LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (toSpec 𝒜 f)


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasLimits C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)

Context: inst✝ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : OpenEmbedding ⇑f.base

Context: H : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f x)

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasLimits C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : OpenEmbedding ⇑f.base

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

∀ (x : ↥(⋯.functor.obj U)), IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑x).map (let_fun this := { val := f.c }; this).val)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasLimits C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : OpenEmbedding ⇑f.base

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: H : IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)

IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑⟨f.base y, ⋯⟩).map (let_fun this := { val := f.c }; this).val)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasLimits C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : OpenEmbedding ⇑f.base

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: H' : IsIso (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁶ : Category.{v, u} C

Context: inst✝⁵ : HasLimits C

Context: inst✝⁴ : HasColimits C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: X Y : SheafedSpace C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : OpenEmbedding ⇑f.base

Context: U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: y : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: hy : y ∈ ↑U

Context: this : IsIso (((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y) ≫ inv (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y))


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : 0 ≤ r


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : r ≤ 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
n : ℕ := card α
hn : n = card α
ha : 1 = card α
_h : card α ≤ 1
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
n : ℕ := card α
hn : n = card α
ha : 1 = card α
_h : card α ≤ 1
a b x : α
hx : ∀ (y : α), y = x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R

(∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommGroup R

Context: f g : ℕ → R

Context: f' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else f x, map_zero' := ⋯ }


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : AddCommGroup R

Context: f g : ℕ → R

Context: g' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else g x, map_zero' := ⋯ }


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: r : R

Context: h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: r : R


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: r : R

∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) (Ideal.span {r}) = ⊥


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: r : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J.IsMaximal

Submodule.map (Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) (Ideal.span {r}) = ⊥


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: r : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J.IsMaximal

∀ x ∈ ⇑(Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) '' {r}, x = 0


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: r : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J.IsMaximal

Context: w✝ : R

Context: h' : w✝ ∈ {r}

(Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) w✝ = 0


Context: R S : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: M : Submonoid R

Context: N : Submonoid S

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝³ : CommRing R'

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: f : R →+* S

Context: inst✝¹ : Algebra R R'

Context: inst✝ : Algebra S S'

Context: r : R

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J.IsMaximal

Context: h' : r ∈ {r}

(Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x : X


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

_root_.fderivWithin 𝕜 f s x = h.toContinuousLinearMap


_root_.fderiv 𝕜 f x = h.toContinuousLinearMap


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: s : Set β

Context: x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: hf : OpenEmbedding f

Context: s : Set β

Context: x : α


Context:
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

(baseChange W B).toAffine.polynomial = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomial


Context:
x y : ℝ
hx : 0 < x


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f
h✝ : IsEmpty β


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f
h✝ : Nonempty β


Context:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)


Context: α : Type

Context: n : ℕ

Context: β : Type

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ γ : Type

Context: s : σ

Context: f : α → β → σ × σ → (σ × σ) × γ

Context: h : ∀ (x : α) (y : β) (s : σ), let s' := (f x y (s, s)).1; s'.1 = s'.2


Context: α : Type

Context: n : ℕ

Context: β : Type

Context: xs : Vector α n

Context: ys : Vector β n

Context: σ γ : Type

Context: s : σ

Context: f : α → β → σ × σ → (σ × σ) × γ


Context:
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ

n ≤ Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m < n → ¬p m


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E


ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x {x | infEdist x E < ENNReal.ofReal δ}ᶜ


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ : ℝ

Context: s : Set α

Context: x✝ : α

Context: δ : ℝ

Context: E : Set α

Context: x : α

Context: x_in_E : x ∈ E

Context: y : α

Context: hy : y ∈ {x | infEdist x E < ENNReal.ofReal δ}ᶜ


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
y : α
hy : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist y E


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝⁵ : DivisionRing K

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup V

Context: inst✝³ : Module K V

Context: V₂ : Type v'

Context: inst✝² : AddCommGroup V₂

Context: inst✝¹ : Module K V₂

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: f : V →ₗ[K] V

Context: hinj : Injective ⇑f

Context: h : Module.rank K ↥(range f) = Module.rank K V


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f
h : finrank K ↥(range f) = finrank K V


Context:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Exponentiable A
A₁ A₂ A₃ : C
inst✝² : Exponentiable A₁
inst✝¹ : Exponentiable A₂
inst✝ : Exponentiable A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃


Context:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieRing L₂
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : Surjective ⇑f
h₂ : IsLieAbelian L₁
u v : L₁


Context:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
x y : k


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x x' : S

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) (x * x') = ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x' : S
f : A[X]

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f * x') = ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x'


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f g : A[X]

((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f * (aeval pb.gen) g) = ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) g)


Tendsto (fun x => x ^ (-1 / x)) atTop (𝓝 1)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α

Context: h' : ∀ (n : ℕ), n < max l₁.length l₂.length → l₁.get? n = l₂.get? n

Context: n : ℕ


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α

Context: n : ℕ

Context: hn : n < max l₁.length l₂.length


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α

Context: n : ℕ

Context: hn : n ≥ max l₁.length l₂.length


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x y a p : R
n : ℕ
hp : Prime p
hx : x * y = a * p ^ n

∃ i j b c, i + j = n ∧ a = b * c ∧ x = b * p ^ i ∧ y = c * p ^ j


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: p : R

Context: n : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: t u : Finset ℕ

Context: b c : R

Context: htus : t ∪ u = range n

Context: htu : Disjoint t u

Context: hx : (b * ∏ i ∈ t, p) * (c * ∏ i ∈ u, p) = b * c * p ^ n

∃ i j b_1 c_1, i + j = n ∧ b * c = b_1 * c_1 ∧ b * ∏ i ∈ t, p = b_1 * p ^ i ∧ c * ∏ i ∈ u, p = c_1 * p ^ j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(-j).toSignedMeasure i = ↑(-j.toSignedMeasure) i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
h0 : ∀ (x : E), g x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
h0 : ∀ (x : E), g x ≠ 0
hf : ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n g x

∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x / g x) x


Context:
n : ℕ
h1 : ble 2 n = true
h2 : 1 = n % 2


Context:
n : ℕ
h1 : ble 2 n = true
h2 : 1 = n % 2
p : ℕ
hp : 2 ≤ p
hpn : p ∣ n


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms

Context: inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))

Context: h : ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) s = (F.val.map (leSupr U i).op) t

Context: sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i))) := fun i => (F.val.map (leSupr U i).op) s


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: sf_compatible : IsCompatible F.val U sf


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : HasLimits C

Context: X : TopCat

Context: F : Sheaf C X

Context: ι : Type v

Context: U : ι → Opens ↑X

Context: sf_compatible : IsCompatible F.val U sf

Context: gl : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))

Context: gl_uniq : ∀ (y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))), (fun s => IsGluing F.val U sf s) y → y = gl


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ Y


Context:
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
a : b.toDual m = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : ℤ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℤ), f (i % ↑n) = f i
hn' : 0 < ↑n
x✝ : ∃ i, f (i % ↑n) = a
i : ℤ
hi : f (i % ↑n) = a
this : 0 ≤ i % ↑n

(i % ↑n).toNat < n ∧ f ↑(i % ↑n).toNat = a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : ℤ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℤ), f (i % ↑n) = f i
hn' : 0 < ↑n
x✝ : ∃ i < n, f ↑i = a
i : ℕ
hi : i < n
ha : f ↑i = a


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p : P

Context: hf this : FiniteDimensional k ↥s.direction

finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑s)) ≤ finrank k ↥s.direction + 1


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p : P

finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p : P

Context: hs : ↑s = ∅


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : DivisionRing k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: s : AffineSubspace k P

Context: p : P

Context: p₀ : P

Context: hp₀ : p₀ ∈ ↑s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: eq_bot_or_top : ∀ (I : Ideal R), I = ⊥ ∨ I = ⊤

Context: I J : Ideal S

spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: I J : Ideal S

spanNorm R (I * J) ≤ spanNorm R I * spanNorm R J


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: I J : Ideal S

Context: hI : spanNorm R I = ⊤


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsDomain S

Context: inst✝¹ : Module.Free R S

Context: inst✝ : Module.Finite R S

Context: I J : Ideal S

Context: hI : spanNorm R I = ⊤

Context: hJ : spanNorm R J = ⊤


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

(ChainComplex.of (fun n => X _[n]) (AlternatingFaceMapComplex.objD X) ⋯).d (n + 1) n = AlternatingFaceMapComplex.objD X n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α


⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k = f a


¬f a > ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: K : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: h : f a > ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: K : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: q : ℚ

Context: left✝ : 0 ≤ q

Context: lt_q : ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k < ↑(↑q).toNNReal

Context: q_lt : ↑(↑q).toNNReal < f a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: K : Type u_5

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: hf : Measurable f

Context: a : α

Context: q : ℚ

Context: left✝ : 0 ≤ q

Context: q_lt : ↑(↑q).toNNReal < f a

Context: this : ↑(↑q).toNNReal ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : ennrealRatEmbed k ≤ f a), ennrealRatEmbed k


Context:
x y a b : ℝ
n : ℕ
ha : a ≠ 0

(fun x => x ^ n / (a * rexp x + b)) ∘ log =ᶠ[atTop] fun x => log x ^ n / (a * x + b)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' Set.range basicOpen)


SetLike.coe '' Set.range basicOpen = Set.range fun r => ↑(basicOpen r)


Set.range (SetLike.coe ∘ basicOpen) = Set.range fun r => ↑(basicOpen r)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: x✝¹ : 0 ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: x✝ : IsClosed C

Context: hsC : contained C 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: C : Set (I → Bool)

Context: x✝ : IsClosed C

Context: hsC : contained C 0

Context: this : C ⊆ {fun x => false}


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C✝ : Set (I → Bool)

Context: C : Set (I → Bool)

Context: x✝ : IsClosed C

Context: hsC : contained C 0

Context: this : C = ∅ ∨ C = {fun x => false}


Context:
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ


Context:
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
o : Ordinal.{u}

enumOrd S o ∈ S ∩ Ici (o.blsub fun c x => enumOrd S c)


sInf (S ∩ Ici (o.blsub fun a x => enumOrd S a)) ∈ S ∩ Ici (o.blsub fun c x => enumOrd S c)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyCoatomic α
ha : (Set.Iic a).Infinite
hfin : {x | x ⋖ a}.Finite


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : PartialOrder α

Context: a : α

Context: inst✝ : IsStronglyCoatomic α

Context: ha : (Set.Iic a).Infinite

Context: hfin : {x | OrderDual.toDual a ⋖ OrderDual.toDual x}.Finite

∃ b, OrderDual.toDual a ⋖ OrderDual.toDual b ∧ (Set.Iic b).Infinite


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
hs' : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

expZeta a (1 - s) = (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * (cexp (↑π * I * s / 2) * hurwitzZeta a s + cexp (-↑π * I * s / 2) * hurwitzZeta (-a) s)


2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * ((cexp (↑π * s / 2 * I) + cexp (-(↑π * s / 2) * I)) / 2) * hurwitzZetaEven a s + I * (2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * ((cexp (-(↑π * s / 2) * I) - cexp (↑π * s / 2 * I)) * I / 2) * hurwitzZetaOdd a s) = (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * (cexp (↑π * I * s / 2) * (hurwitzZetaEven a s + hurwitzZetaOdd a s) + cexp (-↑π * I * s / 2) * (hurwitzZetaEven a s + -hurwitzZetaOdd a s))


Context:
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
hs' : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
x y z : ℂ

x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaEven a s - x * Complex.Gamma s * y * I ^ 2 * hurwitzZetaOdd a s + x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaEven a s + x * Complex.Gamma s * z * I ^ 2 * hurwitzZetaOdd a s = x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaEven a s + x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaOdd a s + (x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaEven a s - x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaOdd a s)


x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaEven a s - x * Complex.Gamma s * y * -1 * hurwitzZetaOdd a s + x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaEven a s + x * Complex.Gamma s * z * -1 * hurwitzZetaOdd a s = x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaEven a s + x * Complex.Gamma s * y * hurwitzZetaOdd a s + (x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaEven a s - x * Complex.Gamma s * z * hurwitzZetaOdd a s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
inst✝ : s.HaveLebesgueDecomposition μ

s.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s


s.singularPart μ + μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - s.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure


(s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + μ.withDensity (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ)).toSignedMeasure - (μ.withDensity (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ) + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = s.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - s.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure


AEMeasurable (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ) μ


∫⁻ (x : α), s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ x ∂μ ≠ ⊤


AEMeasurable (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ) μ


∫⁻ (x : α), s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ x ∂μ ≠ ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff ^ 0 ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : 1 ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ (n + 1) ≠ 0

(p ^ (n + 1)).degree = (n + 1) • p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ (n + 1) ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n✝ m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: h : p.leadingCoeff ^ (n + 1) ≠ 0

Context: h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

Context: h₂ : (p ^ n).leadingCoeff * p.leadingCoeff ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : CharZero α
n✝¹ n✝ : ℤ
h : decide (n✝¹ = n✝) = false


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : IsPushout f g inl inr
Z' X' Y' P' : C
f' : Z' ⟶ X'
g' : Z' ⟶ Y'
inl' : X' ⟶ P'
inr' : Y' ⟶ P'
e₁ : Z ≅ Z'
e₂ : X ≅ X'
e₃ : Y ≅ Y'
e₄ : P ≅ P'
commf : f ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ f'
commg : g ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ g'
comminl : inl ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ inl'
comminr : inr ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ inr'


Context: x : ℝ

Context: x_large : 512 ≤ x

Context: f : ℝ → ℝ := fun x => log x + √(2 * x) * log (2 * x) - log 4 / 3 * x


Context: x : ℝ

Context: x_large : 512 ≤ x

Context: hf' : ∀ (x : ℝ), 0 < x → 0 < x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3)


Context: x : ℝ

Context: x_large : 512 ≤ x

Context: hf : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f x = log (x * (2 * x) ^ √(2 * x) / 4 ^ (x / 3))


Context: x : ℝ

Context: x_large : 512 ≤ x

Context: h5 : 0 < x


Context: x : ℝ

Context: x_large : 512 ≤ x

Context: h5 : 0 < x

Context: h : ConcaveOn ℝ (Set.Ioi 0.5) f


Context: x : ℝ

Context: x_large : 512 ≤ x

Context: h5 : 0 < x

Context: h : ConcaveOn ℝ (Set.Ioi 0.5) f

∃ x1 x2, 0.5 < x1 ∧ x1 < x2 ∧ x2 ≤ x ∧ 0 ≤ f x1 ∧ f x2 ≤ 0


Context:
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 < 0

HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : p.1 < 0

Context: this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : p.1 < 0

HasStrictFDerivAt (fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : p.1 < 0

Context: e_7✝ : normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup

Context: he✝ : NormedField.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'

(p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ = rexp (log p.1 * p.2) • -sin (p.2 * π) • π • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + cos (p.2 * π) • rexp (log p.1 * p.2) • (log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + p.2 • p.1⁻¹ • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ)


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : p.1 < 0

(p.2 * (p.1 ^ p.2 / p.1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ = (rexp (log p.1 * p.2) * -sin (p.2 * π) * π + p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * p.2 * p.1⁻¹) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ


Context: x y z : ℝ

Context: p : ℝ × ℝ

Context: hp : p.1 < 0

(p.1 ^ p.2 * log p.1 - rexp (log p.1 * p.2) * sin (p.2 * π) * π) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + (p.2 * (p.1 ^ p.2 * p.1⁻¹)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ = (rexp (log p.1 * p.2) * -sin (p.2 * π) * π + p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * p.2 * p.1⁻¹) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

Complex.abs ((o.kahler x) y) = ‖x‖ * ‖y‖


Complex.normSq ((o.kahler x) y) = (‖x‖ * ‖y‖) ^ 2


0 ≤ ‖x‖ * ‖y‖


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g g' : G
hg : g ≠ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : ContinuousNeg β
l : Filter α
f : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f


Context:
α : Type u
l : List α
n : ℕ


Context: n : ℤ


Context:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α


Context:
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
h : 1 < b


Context: α✝ : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ : Measure α✝

Context: p q : Set α✝ → Prop

Context: U✝ : Set α✝

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: pa qa : Set α → Prop

Context: H : μ.InnerRegularWRT pa qa

Context: f : α → β

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: pb qb : Set β → Prop

Context: hAB : ∀ (U : Set β), qb U → qa (f ⁻¹' U)

Context: hAB' : ∀ (K : Set α), pa K → pb (f '' K)

Context: hB₂ : ∀ (U : Set β), qb U → MeasurableSet U

Context: U : Set β

Context: hU : qb U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < (map f μ) U


Context: α✝ : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ : Measure α✝

Context: p q : Set α✝ → Prop

Context: U✝ : Set α✝

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: pa qa : Set α → Prop

Context: H : μ.InnerRegularWRT pa qa

Context: f : α → β

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: pb qb : Set β → Prop

Context: U : Set β

Context: hU : qb U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ (f ⁻¹' U)


Context: α✝ : Type u_1

Context: m : MeasurableSpace α✝

Context: μ✝ : Measure α✝

Context: p q : Set α✝ → Prop

Context: U✝ : Set α✝

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : MeasurableSpace β

Context: μ : Measure α

Context: pa qa : Set α → Prop

Context: H : μ.InnerRegularWRT pa qa

Context: f : α → β

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: pb qb : Set β → Prop

Context: U : Set β

Context: hU : qb U

Context: r : ℝ≥0∞

Context: hr : r < μ (f ⁻¹' U)

Context: K : Set α

Context: hKU : K ⊆ f ⁻¹' U

Context: hKc : pa K

Context: hK : r < μ K


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent✝ : Path α
v✝ : α
r✝ x✝ : RBNode α

RBNode.Ordered cmp ((left c✝ parent✝ v✝ r✝).fill x✝) ↔ Ordered cmp (left c✝ parent✝ v✝ r✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (RootOrdered cmp (left c✝ parent✝ v✝ r✝)) x✝


Ordered cmp parent✝ ∧ (All (fun x => cmpLT cmp x v✝) x✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp v✝ x) r✝ ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ RBNode.Ordered cmp r✝) ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) r✝ ↔ (Ordered cmp parent✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp v✝ x) r✝ ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) r✝ ∧ RBNode.Ordered cmp r✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp x v✝) x✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝


Context:
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
l✝ : RBNode α
v✝ : α
parent✝ : Path α
x✝ : RBNode α

RBNode.Ordered cmp ((right c✝ l✝ v✝ parent✝).fill x✝) ↔ Ordered cmp (right c✝ l✝ v✝ parent✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (RootOrdered cmp (right c✝ l✝ v✝ parent✝)) x✝


Ordered cmp parent✝ ∧ (All (fun x => cmpLT cmp x v✝) l✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp v✝ x) x✝ ∧ RBNode.Ordered cmp l✝ ∧ RBNode.Ordered cmp x✝) ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) l✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝ ↔ (Ordered cmp parent✝ ∧ All (fun x => cmpLT cmp x v✝) l✝ ∧ RootOrdered cmp parent✝ v✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) l✝ ∧ RBNode.Ordered cmp l✝) ∧ RBNode.Ordered cmp x✝ ∧ All (cmpLT cmp v✝) x✝ ∧ All (RootOrdered cmp parent✝) x✝


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
T : TopologicalSpace α
f : β → α
a : β
s : Set β


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E


Context:
n : ℕ
i j : Fin n.succ
h : j < i


Context: a✝¹ a✝ : ℕ

↑a✝¹ + ↑a✝ = 3 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 3 ∨ ↑a✝¹ = 1 ∧ ↑a✝ = 2 ∨ ↑a✝¹ = 2 ∧ ↑a✝ = 1 ∨ ↑a✝¹ = 3 ∧ ↑a✝ = 0


Context:
M : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing M
a : M
ha : a ∈ center M
x✝ : M


Context:
M : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing M
a : M
ha : a ∈ center M
x✝¹ x✝ : M


Context:
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2


Context:
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4


Context:
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
_m1 : (unpair m).1 < n + 4


Context:
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
_m1 : (unpair m).1 < n + 4
_m2 : (unpair m).2 < n + 4


Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: _m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: _m2 : (unpair m).2 < n + 4

Context: IH : (ofNatCode m).encodeCode = m

Context: IH1 : (ofNatCode (unpair m).1).encodeCode = (unpair m).1

Context: IH2 : (ofNatCode (unpair m).2).encodeCode = (unpair m).2


Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: _m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: _m2 : (unpair m).2 < n + 4

Context: IH : (ofNatCode m).encodeCode = m

(ofNatCode (n + 4)).encodeCode = bit n.bodd (bit n.div2.bodd n.div2.div2) + 4


Context: n : ℕ

Context: m : ℕ := n.div2.div2

Context: hm : m < n + 4

Context: _m1 : (unpair m).1 < n + 4

Context: _m2 : (unpair m).2 < n + 4

Context: IH : (ofNatCode m).encodeCode = m

(match n.bodd, n.div2.bodd with | false, false => (ofNatCode (unpair n.div2.div2).1).pair (ofNatCode (unpair n.div2.div2).2) | false, true => (ofNatCode (unpair n.div2.div2).1).comp (ofNatCode (unpair n.div2.div2).2) | true, false => (ofNatCode (unpair n.div2.div2).1).prec (ofNatCode (unpair n.div2.div2).2) | true, true => (ofNatCode n.div2.div2).rfind').encodeCode = bit n.bodd (bit n.div2.bodd n.div2.div2) + 4


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: h : infEdist x s + hausdorffEdist s t < ⊤

infEdist x t ≤ infEdist x s + hausdorffEdist s t + ↑ε


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0

Context: this : infEdist x s < infEdist x s + ↑ε / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y✝ : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: dxy : edist x y < infEdist x s + ↑ε / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y✝ : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0

Context: this✝ : infEdist x s < infEdist x s + ↑ε / 2

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: dxy : edist x y < infEdist x s + ↑ε / 2

Context: this : hausdorffEdist s t < hausdorffEdist s t + ↑ε / 2


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: x y✝ : α

Context: s t u : Set α

Context: Φ : α → β

Context: ε : ℝ≥0

Context: εpos : 0 < ε

Context: ε0 : ↑ε / 2 ≠ 0

Context: y : α

Context: ys : y ∈ s

Context: dxy : edist x y < infEdist x s + ↑ε / 2

Context: z : α

Context: zt : z ∈ t

Context: dyz : edist y z < hausdorffEdist s t + ↑ε / 2


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
s : Finset α
t : Finset β
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β


Context:
α : Type u
c d : Cardinal.{u}
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: hf : Irreducible (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))

Irreducible (Ideal.map (algebraMap R S) I)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Context: mem_norm_factors : normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) ∈ normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

∃ y, normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R S) I) = {y}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

∃ y, Multiset.map (fun f => ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {y}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Multiset.map (fun f => ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm f)) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩)}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

∃ a, (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {a} ∧ ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm a) = ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

(normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩} ∧ ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩) = ↑((normalizedFactorsMapEquivNormalizedFactorsMinPolyMk hI hI' hx hx').symm ⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

(normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = {⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

Multiset.map (fun a => ↑a) (normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))).attach = Multiset.map (fun a => ↑a) {⟨normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)), mem_norm_factors⟩}


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Algebra R S

Context: x : S

Context: I : Ideal R

Context: inst✝³ : IsDomain R

Context: inst✝² : IsIntegrallyClosed R

Context: inst✝¹ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S

Context: hI : I.IsMaximal

Context: hI' : I ≠ ⊥

Context: hx' : _root_.IsIntegral R x

normalizedFactors (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x)) = {normalize (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R x))}


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
h : IsPrimePow n

∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k : ℕ
h : IsPrimePow 0

∃ p, Nat.Prime p ∧ 0 / p ^ (Nat.factorization 0) p = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
h : IsPrimePow n
hn0 : n ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k✝ n : ℕ

Context: h : IsPrimePow n

Context: hn0 : n ≠ 0

Context: p k : ℕ

Context: hk0 : 0 < k

Context: h1 : n.factorization = Finsupp.single p k


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k✝ n : ℕ

Context: h : IsPrimePow n

Context: hn0 : n ≠ 0

Context: p k : ℕ

Context: hk0 : 0 < k

Context: pp : ¬Nat.Prime p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k✝ n : ℕ

Context: h : IsPrimePow n

Context: hn0 : n ≠ 0

Context: p k : ℕ

Context: hk0 : 0 < k

Context: pp : Nat.Prime p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k✝ n : ℕ

Context: h : IsPrimePow n

Context: hn0 : n ≠ 0

Context: p k : ℕ

Context: hk0 : 0 < k

Context: pp : Nat.Prime p

Context: q : ℕ

(n / p ^ n.factorization p).factorization q = (Nat.factorization 1) q


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p✝ : R

Context: k✝ n : ℕ

Context: h : IsPrimePow n

Context: hn0 : n ≠ 0

Context: p k : ℕ

Context: hk0 : 0 < k

Context: pp : Nat.Prime p

Context: q : ℕ

(Finsupp.erase p (Finsupp.single p k)) q = (Nat.factorization 1) q


Context: x y : ℝ


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E

‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hpos₁ : 0 < ε₁

Context: hpos₂ : 0 < ε₂

Context: h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁

Context: h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂

Context: HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hpos₁ : 0 < ε₁

Context: hpos₂ : 0 < ε₂

Context: HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: π : Prepartition I

Context: hπU : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion

Context: hπc₁ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁

Context: hπc₂ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hpos₁ : 0 < ε₁

Context: hpos₂ : 0 < ε₂

Context: HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: π : Prepartition I

Context: hπU : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion

Context: r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun x => min (h.convergenceR ε₁ c₁ x) (h.convergenceR ε₂ c₂ x)

Context: πr : TaggedPrepartition I := π.toSubordinate r


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hpos₁ : 0 < ε₁

Context: hpos₂ : 0 < ε₂

Context: HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: π : Prepartition I

Context: hπU : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion

Context: H₁ : dist (integralSum f vol (π₁.unionComplToSubordinate π hπU r)) (integral I l f vol) ≤ ε₁


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hpos₁ : 0 < ε₁

Context: hpos₂ : 0 < ε₂

Context: HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: π : Prepartition I

Context: hπU✝ : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion

Context: hπU : π.iUnion = ↑I \ π₂.iUnion

Context: H₁ : dist (integralSum f vol (π₁.unionComplToSubordinate π hπU✝ r)) (integral I l f vol) ≤ ε₁


Context: ι : Type u

Context: E : Type v

Context: F : Type w

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: I J : Box ι

Context: π✝ : TaggedPrepartition I

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: l : IntegrationParams

Context: f g : (ι → ℝ) → E

Context: vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F

Context: y y' : F

Context: c c₁ c₂ : ℝ≥0

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ

Context: π₁ π₂ : TaggedPrepartition I

Context: h : Integrable I l f vol

Context: hpos₁ : 0 < ε₁

Context: hpos₂ : 0 < ε₂

Context: HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

Context: π : Prepartition I

Context: hπU✝ : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion

Context: hπU : π.iUnion = ↑I \ π₂.iUnion

Context: H₂ : dist (integralSum f vol (π₂.unionComplToSubordinate π hπU r)) (integral I l f vol) ≤ ε₂


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι

(∀ i ∈ s, 1 ≤ f i) → (∏ i ∈ s, f i = 1 ↔ ∀ i ∈ s, f i = 1)


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b


lift.{max v w, w} #ι ≤ lift.{max v w, w} ↑(finrank R M)


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
v : Vector α n
i j : Fin n
a : α
h✝ : ¬i = j


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
hs : IsPreconnected (⇑h '' s)


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PullbackCone f f
hc : IsLimit c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
β' : Type u_4
f : β ↪ γ
g : α ↪ β
f' : α ↪ β'
g' : β' ↪ γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
z : ℝ≥0


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y

(biprod.isoCoprod X Y).hom = biprod.desc coprod.inl coprod.inr


Context:
x : ℝ
h : x < 0


Context: x : ℝ

Context: h : x < 0

Context: this : arctan (-x)⁻¹ = π / 2 - arctan (-x)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: x y : M

Context: c : ↥S

Context: h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: x y : M

Context: c : ↥S

Context: u : Nˣ

Context: hu : ↑u = f.toMap ↑c


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
u : Nˣ
h : ↑u * f.toMap x = ↑u * f.toMap y
hu : ↑u = f.toMap ↑c


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.snd (𝒰.map x) f) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x))) f).hom ≫ pullback.snd (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) (forgetToTop.map f))


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

x ∈ {y | ∃ x_1, (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) x_1 = (forgetToTop.map f) y}


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X W : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : W ⟶ X

Context: x : ↑↑W.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso forgetToTop (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x))) f).hom


Context: b : ℕ

Context: z : ℤ

Context: hz : z ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p 1) b.primeFactorsList ⋯


Context: b : ℕ

Context: z : ℤ

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ b.primeFactorsList

Context: he : legendreSym p 1 = z


Context: b : ℕ

Context: z : ℤ

Context: p : ℕ

Context: hp : p ∈ b.primeFactorsList

Context: he : legendreSym p 1 = z

Context: this : Fact (Nat.Prime p) := { out := prime_of_mem_primeFactorsList hp }


Context:
α : Type u_1
m n : PosNum


Context: α : Type u_1

Context: m n : PosNum

Context: this : Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)


Context:
α : Type u_1
m n : PosNum

Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m) → (m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ


(∃ c, IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f' g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
f : α → β
a : α
h : 𝓝[<] a = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝¹ : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: hva : Disjoint v a

Context: hua : u ≤ a


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.12556, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i i' : I₂
w : ¬c₂.Rel i i'
j : I₁

((fun i i' => { f := fun j => (K.X j).d i i', comm' := ⋯ }) i i').f j = Hom.f 0 j


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part (β → γ)
g : α →𝒄 Part β
x✝ : α
a✝ : γ

(a✝ ∈ Seq.seq (f x✝) fun x => g x✝) ↔ a✝ ∈ (f.bind (flip (_root_.flip map g))) x✝


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α

(𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α ∧ IsClosed V) id


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t


⋂ V ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}, V ○ w ○ V ⊆ w ○ w ○ w


⋂ (_ : ?intro.intro.intro.i ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}), ?intro.intro.intro.i ○ w ○ ?intro.intro.intro.i ⊆ w ○ w ○ w


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ


Context:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: proof : Dioph ({v | const (Fin2 4 → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ({v | v &1 ≤ v &3} ∩ (((fun v => v &2 = const (Fin2 4 → ℕ) 1 v) ∩ fun v => v &3 = const (Fin2 4 → ℕ) 0 v) ∪ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ (fun v => v &7 * v &7 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &8 * v &8 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &4 * v &4 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &3 * v &3 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &1 * v &1 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ((fun v => v &0 ≡ const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]) ∩ ((fun v => v &0 ≡ v &5 [MOD v &4]) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 0 v < v &3} ∩ ((fun v => v &8 * v &8 ∣ v &3) ∩ ((fun v => v &2 ≡ v &7 [MOD v &4]) ∩ fun v => v &1 ≡ v &6 [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]))))))))}}}}})))


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: this : Dioph {v | 1 < v &0 ∧ v &1 ≤ v &3 ∧ (v &2 = 1 ∧ v &3 = 0 ∨ ∃ u w s t b, v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - 1) * v &3 * v &3 = 1 ∧ u * u - (v &0 * v &0 - 1) * w * w = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * v &3] ∧ b ≡ v &0 [MOD u] ∧ 0 < w ∧ v &3 * v &3 ∣ w ∧ s ≡ v &2 [MOD u] ∧ t ≡ v &1 [MOD 4 * v &3])}


Context:
M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f g : A →ₑ+[φ] B
h : ↑f = ↑g
a : A


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B C : Matrix n n R
hC : C.det = 1
hA : A = C * B


Context: ι : Type uι

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: u : E i →L[𝕜] E' i

update (fun j => ↑(f j)) i ↑u = fun j => ↑(update f i u j)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝¹⁰ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: i : ι

Context: u : E i →L[𝕜] E' i

↑u = ↑(update f i u i) ∧ ∀ (x : ι), x ≠ i → ↑(f x) = ↑(update f i u x)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
n : ℕ


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid F

Context: c : F → M → M

Context: h1 : c 1 = id

Context: hmul : ∀ (f g : F), c (f * g) = c f ∘ c g

Context: f : F


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid F

Context: c : F → M → M

Context: h1 : c 1 = id

Context: f : F


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝ : Monoid F

Context: c : F → M → M

Context: h1 : c 1 = id

Context: f : F

Context: n : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R


Context:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) s) atBot (𝓝 0)


Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0


Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 (ρ (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑i)))


Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑(-r))) atTop (𝓝 (ρ (⋂ r, s ×ˢ Iic ↑(-r))))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ∈ Iic ↑(-r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ≤ -↑r


Context: z : ℂ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R

Context: this : MeasurableSpace Ω := ⨆ n, ↑ℱ n

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ.trim ⋯, ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: this : MeasurableSpace Ω := ⨆ n, ↑ℱ n

μ {a | ¬∃ c, Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 c)} = 0


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ω : Ω

Context: R : ℝ≥0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : Submartingale f ℱ μ

Context: this : MeasurableSpace Ω := ⨆ n, ↑ℱ n

MeasurableSet {a | ¬∃ c, Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 c)}


Context: n : ℕ

(n + 0 - 1).descFactorial 0 = n.ascFactorial 0


Context: n k : ℕ

(n + k.succ - 1).descFactorial k.succ = n.ascFactorial k.succ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: a n' : ℤ

Context: γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n + a = n'

Context: m m' : ℤ

Context: hm' : m + a = m'

δ n m (γ.leftUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' γ).leftUnshift m hm'


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' n : ℤ
hn : n + a = n'
m m' : ℤ
hm' : m + a = m'
γ' : Cochain K L n

δ n m (((leftShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ').leftUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' ((leftShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ')).leftUnshift m hm'


δ n m ((γ'.leftShift a n' hn).leftUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' (γ'.leftShift a n' hn)).leftUnshift m hm'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.16886, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.16890, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.16894, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.16898, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.16894, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.16898, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

(F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X = (shiftFunctorAdd' D m n mn hnm).hom.app ((F.functor a'').obj X) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app X


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
h : finrank ℚ K = 1


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α


Context:
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x

limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f


Context:
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g


Context:
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g
hg_mono : StrictMono g


Context: α : Type u_1

Context: f : Filter α

Context: u : α → ℝ≥0∞

Context: a : ℝ≥0∞

Context: ha_top : a ≠ ⊤

Context: ha_zero : ¬a = 0

Context: g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x

Context: hg_bij : Function.Bijective g

Context: hg_mono : StrictMono g

Context: g_iso : ℝ≥0∞ ≃o ℝ≥0∞ := StrictMono.orderIsoOfSurjective g hg_mono ⋯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
y : α
ys : List α
f : List α → β

(permutationsAux2 t ts r (y :: ys) f).2 = f (t :: y :: ys ++ ts) :: (permutationsAux2 t ts r ys fun x => f (y :: x)).2


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
hn : n ≠ 0

Tendsto (fun x => x ^ (-↑n)) atTop (𝓝 0)


Context:
m✝ n a b c d m : ℕ
h : a ≡ b [MOD m * n]


Context:
m✝ n a b c d m : ℕ
h : ↑(m * n) ∣ ↑b - ↑a

↑n ∣ ↑b - ↑a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal


(∫⁻ (a : α) in s, μ.rnDeriv ν a ∂ν).toReal = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal


∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict s, μ.rnDeriv ν x < ⊤


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace α✝

Context: ι✝ : Type u_5

Context: π : ι✝ → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)

Context: ι : Type u_7

Context: α : ι → Type u_8

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)

Context: I : Set ι

Context: s : (i : ι) → Set (α i)

Context: x : (i : ι) → α i

x ∈ closure (I.pi s) ↔ ∀ i ∈ I, x i ∈ closure (s i)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.44478, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
i✝ : ι

((opFunctor V c).map ((opUnitIso V c).hom.app X) ≫ (opCounitIso V c).hom.app ((opFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((opFunctor V c).obj X)).f i✝


(Iso.refl ((unop X).op.unopSymm.X i✝)).hom.op ≫ (Iso.refl (((opInverse V c ⋙ opFunctor V c).obj ((opFunctor V c).obj X)).X i✝)).hom = (𝟙 ((opFunctor V c).obj X)).f i✝


Context: F : Type v'

Context: R' : Type u'

Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: C : Type w'

Context: inst✝¹⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝¹⁵ : StarRing R

Context: inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A

Context: inst✝¹³ : StarRing A

Context: inst✝¹² : Module R A

Context: inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁹ : StarModule R A

Context: inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B

Context: inst✝⁷ : StarRing B

Context: inst✝⁶ : Module R B

Context: inst✝⁵ : IsScalarTower R B B

Context: inst✝⁴ : SMulCommClass R B B

Context: inst✝³ : StarModule R B

Context: inst✝² : FunLike F A B

Context: inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

Context: inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

Context: s : Set A

(adjoin R s).toSubmodule = Submodule.span R ↑(Subsemigroup.closure (s ∪ star s))


Context:
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R


Context: f : ℂ → ℂ

Context: c z : ℂ

Context: R R₁ R₂ : ℝ

Context: hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)

Context: h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)

Context: hc : f c = c

Context: hz : z ∈ ball c R

Context: this : dist (f z) (f c) ≤ R / R * dist z c


Context:
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R
this : dist (f z) c ≤ R / R * dist z c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α


(∃ c, IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f' g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

‖x + y‖ = √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁵ : NonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : NonAssocSemiring β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NonAssocSemiring γ
inst✝ : Preorder γ
f g : α ≃+*o β
h : f.toOrderRingHom = g.toOrderRingHom


Context: u : ℤˣ


Context:
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y

SimplyConnectedSpace Y ↔ PathConnectedSpace Y ∧ ∀ {x y : Y} (p₁ p₂ : Path x y), p₁.Homotopic p₂


Context:
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
a✝¹ a✝ : Y

(∀ (p₁ p₂ : Path a✝¹ a✝), p₁.Homotopic p₂) ↔ Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient a✝¹ a✝)


(∀ (p₁ p₂ : Path a✝¹ a✝), p₁.Homotopic p₂) ↔ ∀ (x y : Path a✝¹ a✝), (Path.Homotopic.setoid a✝¹ a✝).Rel x y


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

All P (l.rotateL x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α

All P (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P (node size✝ l✝ x✝ r✝)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
hf : ∀ (i : Y), f i ∈ range b


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
f' : Y → ι
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = f i


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
f' : Y → ι
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = f i
this : b ∘ f' = f


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i


Context:
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t✝ : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i
t : Finset Y
ht : U ⊆ ⋃ i ∈ t, (b ∘ f') i


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
b : τ →₀ ℕ

b ∈ ((rename f) p).support → (b.sum fun x e => e) ≤ p.totalDegree


Context:
α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
hr : r.Balanced c n

(l.balance2 v r).reverse.reverse = node black l v r


Context:
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

(gaussianReal μ v) s = ∫⁻ (x : ℝ) in s, gaussianPDF μ v x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n✝ n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
x : α
ι : Type u_2
f g : ι → ℝ
s : Finset ι
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i

∑ i ∈ s, √(f i) * √(g i) ≤ √(∑ i ∈ s, f i) * √(∑ i ∈ s, g i)


Context:
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (a : α), a ∈ l
a : α
b : β

(List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (prodCongrRight σ) (a, b)


a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)


Context: α✝ : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α✝

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : α → Perm β

Context: a : α

Context: b : β

Context: a' : α

Context: l : List α

Context: ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)

Context: hl : (a' :: l).Nodup

a ∈ a' :: l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) (a' :: l)).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) (a' :: l)).prod (a, b) = (a, b)


Context: α✝ : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α✝

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : α → Perm β

Context: a : α

Context: b : β

Context: a' : α

Context: l : List α

Context: hl : (a' :: l).Nodup

a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) ((List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b)) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) ((List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b)) = (a, b)


Context: α✝ : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α✝

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : α → Perm β

Context: a : α

Context: b : β

Context: a' : α

Context: l : List α

Context: hl : (a' :: l).Nodup

Context: mem_l : a ∈ l

Context: prod_eq : (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b)

a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, (σ a) b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, (σ a) b) = (a, b)


Context: α✝ : Type u

Context: inst✝² : DecidableEq α✝

Context: β : Type v

Context: inst✝¹ : Fintype α✝

Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: σ : α → Perm β

Context: a : α

Context: b : β

Context: a' : α

Context: l : List α

Context: hl : (a' :: l).Nodup

Context: not_mem_l : a ∉ l

Context: prod_eq : (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)

a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, b)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K

LinearMap.range (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


LinearMap.range (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i, ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


⨆ i, Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i)) = ⨆ i, ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


(fun i => Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i))) = fun i => ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
i : m

Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i)) = ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: a b c d : R

Context: n m : ℕ

Context: inst✝ : Semiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: ι : Type u_1

Context: hq : q.Monic

Context: this : DecidableEq R := Classical.decEq R

Context: hp : ¬p = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ

Context: hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

Context: hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifTight f p μ

Context: hg : UnifTight g p μ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny

(∀ (i : ℕ), HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal) ∨ ∀ (i : ℕ), HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


HomogeneousLocalization.mk { deg := m * nx, num := ⟨(proj 𝒜 nx) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ nx, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal ∨ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * ny, num := ⟨(proj 𝒜 ny) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ ny, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


∀ (b : ℕ), b ≠ ny → HomogeneousLocalization.mk { deg := m * b, num := ⟨(proj 𝒜 b) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ b, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


∀ (b : ℕ), b ≠ nx → HomogeneousLocalization.mk { deg := m * b, num := ⟨(proj 𝒜 b) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ b, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Nontrivial M
h : ⊤ = Ideal.ofList [] • ⊤


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Nontrivial M
h : Subsingleton (Submodule R M)


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent

G.connectedComponentMk (φ.symm v') = C ↔ G'.connectedComponentMk v' = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent
u : V

G.connectedComponentMk (φ.symm v') = G.connectedComponentMk u ↔ G'.connectedComponentMk v' = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom (G.connectedComponentMk u)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s ∩ r.dom


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s ∧ x ∈ {x | ∃ y, r x y}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : β
rxy : r x y


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hf : (s ∩ mulSupport f).Finite
hg : (s ∩ mulSupport g).Finite

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i * g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i