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Context: hBu₀ : Bu₀ = ((B.comp ↑{ toLinearEquiv := isoE.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip.comp ↑{ toLinearEquiv := isoF.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).flip

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Context: gu : Du → Fu := ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD

Context: hgu✝ : gu = ⇑isoF.symm ∘ g ∘ ⇑isoD

Context: Bu_le : ‖Bu‖ ≤ ‖B‖

Context: su : Set Du := ⇑isoD ⁻¹' s

Context: hsu : UniqueDiffOn 𝕜 su

Context: xu : Du := isoD.symm x

Context: hxu : xu ∈ su

Context: xu_x : isoD xu = x

Context: hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu su

Context: hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu su

Context: this : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤ ‖Bu‖ * ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g s x‖


Context:
μ : YoungDiagram
i : ℕ


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
S : Set (Set X)
hS : S.Countable


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
W : Submodule K V
inst✝¹ : Module.Free K ↥W
inst✝ : Module.Finite K ↥W


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n✝ : ℕ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
hn : ∃ m, x ^ m = x ^ n

(finEquivPowers x hx).symm ⟨x ^ n, hn⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ

↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card


↑(B⁻¹ ^ m / B⁻¹ ^ n).card ≤ (↑(A * B⁻¹).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ

(e.trans e').toPartialEquiv.source = (e.toPartialEquiv.trans e'.toPartialEquiv).source


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hns : n ≤ s.ncard


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

((κ.singularPart η) a) univ = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: this : univ = κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ


Context:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape K C
G : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
j : J
k : K

colimit.ι (limit G) k ≫ (colimMap (limitIsoSwapCompLim G).hom ≫ colimitLimitToLimitColimit (uncurry.obj G) ≫ limMap (whiskerRight (currying.unitIso.inv.app G) colim)) ≫ limit.π (G ⋙ colim) j = colimit.ι (limit G) k ≫ colimMap (limit.π G j)


(limitObjIsoLimitCompEvaluation G k).hom ≫ limit.π (G.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (G.obj j) k = (limit.π G j).app k ≫ colimit.ι (G.obj j) k


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
α : Type
inst✝ : Finite α
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B

EffectiveEpi (Sigma.desc π) ↔ EffectiveEpiFamily X π


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)

Context: inhabited_h : Inhabited ι

∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated

Context: h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 l)

∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 (f_lim x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: f_lim : α → β := fun x => if h : x ∈ aeSeqSet hf p then Exists.choose ⋯ else ⋯.some

Context: hf_lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => aeSeq hf p n x) L (𝓝 (f_lim x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: h_ae_tendsto_f_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : BorelSpace β

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝² : Countable ι

Context: inst✝¹ : Nonempty ι

Context: μ : Measure α

Context: f : ι → α → β

Context: L : Filter ι

Context: inst✝ : L.IsCountablyGenerated

Context: hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ

Context: inhabited_h : Inhabited ι

Context: hL : L.NeBot

Context: h_f_lim_meas : Measurable f_lim


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: hf : IsNormal f

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: ha : a.IsLimit

Context: g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

Context: hg : a.IsFundamentalSequence o g

(f a).IsFundamentalSequence o fun b hb => f (g b hb)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: hf : IsNormal f

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: ha : a.IsLimit

Context: hg : a.IsFundamentalSequence o g


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
r : R

eval (f r) (eval (map f q) (map (mapRingHom f) p)) = f (eval r (eval q p))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝⁵ : PartialOrder α

Context: inst✝⁴ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝³ : Sub α

Context: inst✝² : OrderedSub α

Context: a✝ b✝ c✝ d : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a b c : α


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N

Projective R P ↔ ∃ s, Finsupp.total P P R id ∘ₗ s = LinearMap.id


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: h₁ : S₁.RightHomologyData

Context: h₂ : S₂.RightHomologyData

Context: γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ h₁ h₂

(rightHomologyMap' φ h₁ h₂).op = leftHomologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
h : EMetric.diam s ≠ ⊤
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s


(edist x y).toReal ≤ (EMetric.diam s).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport f).Infinite


Context:
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C

F.Initial ↔ ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)


F.Initial → ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)


((∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s') → ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
inst✝ : DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hf : (mulSupport f).Finite
hg : (mulSupport g).Finite

∏ᶠ (i : α), f i / g i = (∏ᶠ (i : α), f i) / ∏ᶠ (i : α), g i


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : x ∈ closedBall c f.rIn


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf1 : ¬IsUnit f
hf2 : ¬f = 0


Context:
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n m : ℕ
h : 0 < m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : SameRay R x (-x)
a✝ : Nontrivial M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : SameRay R x (-x)
a✝ : Nontrivial M
this : Nontrivial R


Context:
n✝ b n m r : ℕ
l : List ℕ
e : r + b * m = n
hr : r < b
h : b.digits m = l
b2 : 1 < b
m0 : 0 < m
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n


Context:
n✝ b n : ℕ
l : List ℕ
b2 : 1 < b
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n
h : b.digits (n / b) = l
m0 : 0 < n / b
hr : n % b < b
e : n % b + b * (n / b) = n


Context:
n✝ b n : ℕ
b2 : 1 < b
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n
m0 : 0 < n / b
hr : n % b < b
e : n % b + b * (n / b) = n


Context:
F : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module ℝ F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup E✝
inst✝³ : Module ℝ E✝
inst✝² : TopologicalSpace E✝
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
x : F
hx : x ∈ (↑E)ᶜ

(convexHull ℝ) (connectedComponentIn (↑E)ᶜ x) = univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: IH1 : ∀ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is), l ~ ts ++ t :: is

Context: IH2 : ∀ l ∈ is.permutationsAux [], l ~ is ++ []

Context: l : List α

Context: m : l ∈ (t :: ts).permutationsAux is


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l✝ l₁ l₂ : List α

Context: a t : α

Context: ts is : List α

Context: l : List α

Context: m : l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is :: is.permutationsAux [] ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra S L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing S L

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsNoetherian R S

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p

Context: f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p

∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = finrank K L


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra S L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing S L

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsNoetherian R S

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra S L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing S L

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsNoetherian R S

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: hp0 : p ≠ ⊥

Context: inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra S L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing S L

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsNoetherian R S

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: hp0 : p ≠ ⊥

∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset.attach, finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ e ↑P)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra S L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing S L

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsNoetherian R S

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: hp0 : p ≠ ⊥

finrank (R ⧸ p) ((P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }) → S ⧸ ↑P ^ e ↑P) = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁷ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: f✝ : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R S

Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝¹³ : Field K

Context: inst✝¹² : Field L

Context: inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R K

Context: inst✝⁹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝⁸ : Algebra S L

Context: inst✝⁷ : IsFractionRing S L

Context: inst✝⁶ : Algebra K L

Context: inst✝⁵ : Algebra R L

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R S L

Context: inst✝³ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝² : IsNoetherian R S

Context: inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L

Context: inst✝ : p.IsMaximal

Context: hp0 : p ≠ ⊥

finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ

normEDS b c d (2 * (↑m + 2) + 1) = normEDS b c d (↑m + 4) * normEDS b c d (↑m + 2) ^ 3 - normEDS b c d (↑m + 1) * normEDS b c d (↑m + 3) ^ 3


(preNormEDS' (b ^ 4) c d (2 * (m + 2) + 1) * if Even (2 * (m + 2) + 1) then b else 1) = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even (m + 4) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even (m + 2) then b else 1) ^ 3 - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even (m + 1) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even (m + 3) then b else 1) ^ 3


((preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) ^ 3 * if Even m then b ^ 4 else 1) - preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b ^ 4) * 1 = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even m then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even m then b else 1) ^ 3 - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even m then 1 else b) ^ 3


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
P : Prop
inst✝ : Decidable P
a : M

(a ^ if P then 1 else 0) = if P then a else 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
this : IsNoetherian R N


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: N : Type w

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁵ : Module R M

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup N

Context: inst✝³ : Module R N

Context: inst✝² : AddCommGroup P

Context: inst✝¹ : Module R P

Context: inst✝ : IsNoetherian R M

Context: i f : N →ₗ[R] M

Context: hi : Injective ⇑i

Context: hf : Surjective ⇑f

Context: this : IsNoetherian R N

Context: n : ℕ

Context: H : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → { toFun := fun n => f.iterateMapComap i n ⊥, monotone' := ⋯ } n = { toFun := fun n => f.iterateMapComap i n ⊥, monotone' := ⋯ } m


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a b c p : α
hc : c ≠ 0

a / c ≡ b / c [PMOD p] ↔ a ≡ b [PMOD p * c]


Context:
α β : Type u
m n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

Context: eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt))).obj X.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasFiniteProducts C

Context: inst✝ : HasPullbacks C

Context: X Y : Dial C

Context: e₁ : X.src ≅ Y.src

Context: e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt

(Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

(coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i) = coyoneda.map (colimit.ι F i).op


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → G

Context: f : α → G

Context: bound : ι → α → ℝ

Context: hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ

Context: h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a

Context: bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a

Context: bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)

HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → G

Context: f : α → G

Context: bound : ι → α → ℝ

Context: hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → G

Context: f : α → G

Context: bound : ι → α → ℝ

Context: hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → G

Context: f : α → G

Context: bound : ι → α → ℝ

Context: hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → G

Context: f : α → G

Context: bound : ι → α → ℝ

Tendsto (fun s => ∫ (a : α), ∑ i ∈ s, F i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → G

Context: f : α → G

Context: bound : ι → α → ℝ

∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ i ∈ n, F i a) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Countable ι

Context: F : ι → α → G

Context: f : α → G

Context: bound : ι → α → ℝ

∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖∑ i ∈ n, F i a‖ ≤ (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
i : Set α
hi : MeasurableSet i

↑(μ.toSignedMeasure - ν.toSignedMeasure) i = (μ i).toReal - (ν i).toReal


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
x : R


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
h : TendstoUniformlyOn F f l s
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l

TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: l : Filter ι

Context: h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (l ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)

Context: u : ℕ → ι

Context: hu : Tendsto u atTop l

Tendsto (fun q => (f q.2, F (u q.1) q.2)) (atTop ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ : P
v₁ v₂ v₃ : V


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R


Context:
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
hm : 1 < m
hn : 1 < n


IsGreatest {k | ¬∃ m_1 n_1, m_1 • m + n_1 • n = k} (m * n - m - n)


Context:
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
hm : 1 < m
hn : 1 < n
hmn : m + n ≤ m * n


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂


Context:
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂

x ∈ map (snd R M M₂) (fst R M M₂) → x ∈ ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
f₁ f₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂

((f₁ + f₂).compLinearMap g) x✝ = (f₁.compLinearMap g + f₂.compLinearMap g) x✝


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α

Disjoint a (⨆ i, ⨆ j, f i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint a (f i j)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
x✝ : BddAbove (l '' s)
x : β
hx : x ∈ upperBounds (l '' s)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: A : f ≤ᶠ[ae μ] g


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: f g : α → ℝ≥0∞

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hg : AEMeasurable g μ

Context: A : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: B : g ≤ᶠ[ae μ] f


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a : α
x : β
s : Set β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: r✝ C✝ : ℝ

Context: f : ℕ → α

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → α

Context: N : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hr₁ : r < 1

Context: h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n

Context: v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n

CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: r✝ C✝ : ℝ

Context: f : ℕ → α

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → α

Context: N : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hr₁ : r < 1

Context: h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n

Context: hC : 0 ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝ : SeminormedAddCommGroup α

Context: r✝ C✝ : ℝ

Context: f : ℕ → α

Context: C : ℝ

Context: u : ℕ → α

Context: N : ℕ

Context: r : ℝ

Context: hr₀ : 0 < r

Context: hr₁ : r < 1

Context: h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n

Context: hC : 0 ≤ C

Context: this : ∀ n ≥ N, u n = v n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: inst✝² : Countable ι

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: inst✝² : Countable ι

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set α

Context: left✝ : t ⊆ univ

Context: ht : MeasurableSet t

Context: htendsto : μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop (univ \ t)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : MetricSpace β

Context: μ : Measure α

Context: inst✝⁴ : SemilatticeSup ι

Context: inst✝³ : Nonempty ι

Context: inst✝² : Countable ι

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f : ι → α → β

Context: g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hg : StronglyMeasurable g

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: t : Set α

Context: left✝ : t ⊆ univ

Context: ht : MeasurableSet t

μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x✝ y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ I
x : L
hx : x ∈ ↑I
y : L
hy : y ∈ ↑I

((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y)


((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict ⋯)


Context: ι : Type u_1

Context: σ : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁸ : DecidableEq ι

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : SetLike σ R

Context: inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ R

Context: A : ι → σ

Context: inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι

Context: inst✝³ : SetLike.GradedMonoid A

Context: inst✝² : Sub ι

Context: inst✝¹ : OrderedSub ι

Context: inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: i : ι

Context: r : ↥(A i)

Context: r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

Context: n : ι

Context: h : i ≤ n

Context: x : ι


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: κ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: s : Subgroup E

Context: hg : a ∈ closure ↑s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

Context: u : ℕ → E

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n₀ : ℕ

Context: hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0

Context: z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)

Context: lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)

Context: mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: κ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: s : Subgroup E

Context: hg : a ∈ closure ↑s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

Context: u : ℕ → E

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n₀ : ℕ

Context: hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0

Context: z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)

Context: lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_extr : StrictMono φ

Context: hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: κ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: s : Subgroup E

Context: hg : a ∈ closure ↑s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

Context: u : ℕ → E

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n₀ : ℕ

Context: hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0

Context: z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)

Context: lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_extr : StrictMono φ

Context: w : ℕ → E := z ∘ φ


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: κ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: s : Subgroup E

Context: hg : a ∈ closure ↑s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

Context: u : ℕ → E

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n₀ : ℕ

Context: hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0

Context: z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)

Context: lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_extr : StrictMono φ

Context: w : ℕ → E := z ∘ φ

Context: hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)


Context: 𝓕 : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: κ : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: F : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: inst✝¹ : SeminormedCommGroup E

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup F

Context: a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E

Context: r r₁ r₂ : ℝ

Context: s : Subgroup E

Context: hg : a ∈ closure ↑s

Context: b : ℕ → ℝ

Context: b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

Context: u : ℕ → E

Context: u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s

Context: lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)

Context: n₀ : ℕ

Context: hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0

Context: z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)

Context: lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)

Context: φ : ℕ → ℕ

Context: φ_extr : StrictMono φ

Context: w : ℕ → E := z ∘ φ

Context: hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)

Context: v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

(s + 1).GammaIntegral = s * s.GammaIntegral


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re

Tendsto (s + 1).partialGamma atTop (𝓝 (s * s.GammaIntegral))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: this : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Tendsto (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) atTop (𝓝 (s * s.GammaIntegral))


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Tendsto (fun X => -↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) atTop (𝓝 0)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Tendsto (fun x => ‖-↑x ^ s * ↑(rexp (-x))‖) atTop (𝓝 0)


Context: s : ℂ

Context: hs : 0 < s.re

Context: this✝ : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma

Context: this : (fun e => ‖-↑e ^ s * ↑(rexp (-e))‖) =ᶠ[atTop] fun e => e ^ s.re * rexp (-1 * e)


Context: a n✝ n k : ℕ

Context: ih : (2 ^ k * n).bitIndices = map (fun x => x + k) n.bitIndices

(2 ^ (k + 1) * n).bitIndices = map (fun x => x + (k + 1)) n.bitIndices


Context: a n✝ n k : ℕ

map (fun x => x + (k + 1)) n.bitIndices = map (fun x => x + (1 + k)) n.bitIndices


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : CommRing S

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : Algebra R S

Context: inst✝² : Algebra S A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : IsScalarTower R S A

Context: hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)

Context: x : A

Context: A_alg : IsAlgebraic R x

Context: p : R[X]

Context: hp₁ : p ≠ 0

Context: hp₂ : (aeval x) p = 0


Context:
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
a : A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : FaithfulSMul A M
p : R[X]

p ∈ ⊤.annihilator ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)


(∀ (n : AEval R M a), p • n = 0) ↔ (aeval a) p = 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
r : R

Represents b ((_root_.algebraMap R (Matrix ι ι R)) r) ((_root_.algebraMap R (Module.End R M)) r)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring R
inst✝⁴ : FloorSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
f : α → R
n : R


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ

constantCoeff (wittStructureRat p Φ n) = 0


Context:
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj X

({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x


Context:
X✝ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : UCompactlyGeneratedSpace X✝
X Y : CompactlyGenerated
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget CompactlyGenerated).obj Y

({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']


iCondIndep m' hm' (fun x => MeasurableSpace.comap (f x) (m x)) μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']


∀ (i : ι), MeasurableSpace.comap (f i) (m i) ≤ mΩ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G

eLpNormEssSup (s.indicator f) μ ≤ eLpNormEssSup f μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G
x : α

(fun x => ↑‖s.indicator f x‖₊) x ≤ (fun x => ↑‖f x‖₊) x


s.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ≤ ‖f x‖₊


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
p q : X ⊕ Y
x : X
y : Y

Sum.dist p q = glueDist (fun x_1 => ⋯.some) (fun x => ⋯.some) 1 p q


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0

finrank K V = 1 ↔ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w


span K {v} = ⊤ ↔ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
x : α →₀ R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: g_intble' : ∀ (t : ℝ), 0 ≤ t → IntervalIntegrable g volume 0 t

∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: integrand_eq : ∀ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f ω), ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

∫⁻ (a : α), ∫⁻ (t : ℝ) in Ioc 0 (f a), ENNReal.ofReal (g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

∫⁻ (a : α), ∫⁻ (a_1 : ℝ), (Ioc 0 (f a)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) a_1 ∂volume ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

∫⁻ (y : ℝ), ∫⁻ (x : α), (Ioc 0 (f x)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) y ∂μ ∂volume = ∫⁻ (a : ℝ), (Ioi 0).indicator (fun t => μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)) a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

AEMeasurable (Function.uncurry fun a => (Ioc 0 (f a)).indicator fun t => ENNReal.ofReal (g t)) (μ.prod volume)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: aux₂ : (Function.uncurry fun x y => (Ioc 0 (f x)).indicator (fun t => ENNReal.ofReal (g t)) y) = {p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}.indicator fun p => ENNReal.ofReal (g p.2)

AEMeasurable ({p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}.indicator fun p => ENNReal.ofReal (g p.2)) (μ.prod volume)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: f : α → ℝ

Context: g : ℝ → ℝ

Context: s : Set α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SFinite μ

Context: f_nn : 0 ≤ f

Context: f_mble : Measurable f

Context: g_mble : Measurable g

Context: g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t

Context: mble₀ : MeasurableSet {p | p.2 ∈ Ioc 0 (f p.1)}


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝² : Denumerable α✝
inst✝¹ : Denumerable β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Denumerable α
e : β ≃ α
n : ℕ
this : Denumerable β := ofEquiv α e


Option.map (⇑e.symm) (decode n) = some (e.symm (ofNat α n))


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
h₁ : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
h₁ : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
x : E
hx : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : ι → Prop
f : Subtype p → α
hp : ∀ (i : ι), p i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
ι : α → Type u_12
t : (a : α) → ι a → Set (π a)
x✝ : (i : α) → π i

(x✝ ∈ ⋃ x, univ.pi fun a => t a (x a)) ↔ x✝ ∈ univ.pi fun a => ⋃ j, t a j


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (M * N) = comap (↑(opLinearEquiv R).symm) N * comap (↑(opLinearEquiv R).symm) M


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
I : SimpleGraph γ
x y : (α × β) × γ

(G □ (H □ I)).Adj ((Equiv.prodAssoc α β γ) x) ((Equiv.prodAssoc α β γ) y) ↔ (G □ H □ I).Adj x y


Context:
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G

mk H K a = mk H K b ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, b = h * a * k


Setoid.r a b ↔ ∃ h ∈ H, ∃ k ∈ K, b = h * a * k


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
i : ι


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
i : ι
this : S i ≤ iSup S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformInducing f

comap (fun x => ((⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)) = 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : comap (Prod.map f f) (𝓤 β) = 𝓤 γ


comap (Prod.map (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖))) (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)) = 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : 𝓤 γ = 𝓤 γ

𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ) = 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] γ)


UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace α β 𝔖) = uniformSpace α γ 𝔖


UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace α β 𝔖) = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (uniformSpace α β 𝔖)


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M

(a :: l).prod = foldl (fun x x_1 => x * x_1) (a * 1) l


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Add α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : LeftDistribClass α
a b : α


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
x✝ : Γ

((single 0) r * x).coeff x✝ = (r • x).coeff x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x : E
a b : 𝕜

Absorbs 𝕜 s t ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝[≠] 0, MapsTo (fun x => c • x) t s


(∀ᶠ (c : 𝕜) in Bornology.cobounded 𝕜, MapsTo (fun x => c⁻¹ • x) t s) ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in (Bornology.cobounded 𝕜)⁻¹, MapsTo (fun x => c • x) t s


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: h : Cardinal.lift.{w, v} (Module.rank F ↥(separableClosure F E)) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree (↥(separableClosure F E)) K) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F K)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁷ : Field F

Context: inst✝⁶ : Field E

Context: inst✝⁵ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Algebra F K

Context: inst✝² : Algebra E K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: this : IsPurelyInseparable (↥(separableClosure F E)) E


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

Context: this : OrderTopology α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: x : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: x a : α

Context: ha : a ∈ {x_1 | f x_1 < f x}

⨅ i ∈ {x_1 | x_1 < f x}, 𝓟 (f ⁻¹' {x | i < x}) ≤ 𝓟 {x | f a < f x}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝³ : Preorder α

Context: inst✝² : Preorder β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: f : α → β

Context: hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y

Context: this : OrderTopology α

Context: x a : α

Context: ha : a ∈ {x_1 | f x < f x_1}

⨅ i ∈ {x_1 | f x < x_1}, 𝓟 (f ⁻¹' {x | x < i}) ≤ 𝓟 {x | f x < f a}


Context:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
U : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ


(𝟙 X.presheaf).app U = 𝟙 (X.presheaf.obj U)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α

↑s = ∅ ↔ s = ⊤


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p a : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n

Context: a✝ : Nontrivial α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p a : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hph : p ^ n ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p a : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hph : p ^ n ≠ 0

Context: ha : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p a : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hph : p ^ n ≠ 0

Context: ha : a ≠ 0

∀ (p_1 : Associates α), Irreducible p_1 → p_1.count a.factors = p_1.count (p ^ p.count a.factors).factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p a : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hph : p ^ n ≠ 0

Context: ha : a ≠ 0

Context: eq_zero_of_ne : ∀ (q : Associates α), Irreducible q → q ≠ p → q.count a.factors = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p a : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hph : p ^ n ≠ 0

Context: ha : a ≠ 0

Context: q : Associates α

Context: hq : Irreducible q

q.count a.factors = q.count (p ^ p.count a.factors).factors


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α

Context: inst✝² : DecidableEq (Associates α)

Context: inst✝ : DecidableEq (Associates α)

Context: p a : Associates α

Context: hp : Irreducible p

Context: n : ℕ

Context: h : a ∣ p ^ n

Context: a✝ : Nontrivial α

Context: hph : p ^ n ≠ 0

Context: ha : a ≠ 0

Context: q : Associates α

Context: hq : Irreducible q

q.count a.factors = p.count a.factors * q.count p.factors


Context:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℤ
h : ↑p ∣ k ^ 2


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x✝ : F

x✝ ∈ B.polar s ↔ x✝ ∈ ⋂ x ∈ s, {y | ‖(B x) y‖ ≤ 1}


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N

dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c = LinearMap.id


∀ (i : ι × κ), (dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis i) = LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis i)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ

(dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j)) = LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))


∀ (i_1 : ι × κ), ((dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) i_1) = (LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) i_1)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ
i' : ι
j' : κ

((dualDistrib R M N ∘ₗ dualDistribInvOfBasis b c) ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) (i', j')) = (LinearMap.id ((b.tensorProduct c).dualBasis (i, j))) ((b.tensorProduct c) (i', j'))


∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, (Finsupp.single x_1 1) j * (Finsupp.single x 1) i * ((Finsupp.single i' 1) x * (Finsupp.single j' 1) x_1) = (Finsupp.single j' 1) j * (Finsupp.single i' 1) i


(Finsupp.single j 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) j) = (Finsupp.single j' 1) j * (Finsupp.single i' 1) i


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → (Finsupp.single b 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) b) = 0


j ∉ Finset.univ → (Finsupp.single j 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) j) = 0


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → ∑ x : κ, (Finsupp.single x 1) j * (Finsupp.single b 1) i * ((Finsupp.single i' 1) b * (Finsupp.single j' 1) x) = 0


i ∉ Finset.univ → ∑ x : κ, (Finsupp.single x 1) j * (Finsupp.single i 1) i * ((Finsupp.single i' 1) i * (Finsupp.single j' 1) x) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ i ∈ s, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)


Context:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ i ∈ s, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)
val✝ : Fintype ι


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: h : ∀ i ∈ Set.univ, x i ∈ (convexHull 𝕜) (t i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: h : ∀ (i : ι), ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i_1 : ι), z i_1 ∈ t i) ∧ ∑ i_1 : ι, w i_1 • z i_1 = x i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: κ : ι → Type

Context: x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: w : (i : ι) → κ i → 𝕜

Context: f : (i : ι) → κ i → E i

Context: hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1

Context: hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 = 1

Context: hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i

Context: hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1 : κ i, w i i_1 • f i i_1 = x i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: κ : ι → Type

Context: x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: w : (i : ι) → κ i → 𝕜

Context: f : (i : ι) → κ i → E i

∑ i : (i : ι) → κ i, (fun k => ∏ i : ι, w i (k i)) i = 1


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: κ : ι → Type

Context: x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: w : (i : ι) → κ i → 𝕜

Context: f : (i : ι) → κ i → E i

∑ i : (i : ι) → κ i, (fun k => ∏ i : ι, w i (k i)) i • (fun g i => f i (g i)) i = x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: κ : ι → Type

Context: x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: w : (i : ι) → κ i → 𝕜

Context: f : (i : ι) → κ i → E i

Context: i : ι

(∑ i : (i : ι) → κ i, (fun k => ∏ i : ι, w i (k i)) i • (fun g i => f i (g i)) i) i = x i


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: κ : ι → Type

Context: x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: w : (i : ι) → κ i → 𝕜

Context: f : (i : ι) → κ i → E i

Context: i : ι

∑ j : κ i, (∑ g : { g // g i = j }, ∏ k : ι, w k (↑g k)) • f i j = ∑ j : κ i, w i j • f i j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : LinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)

Context: s : Set ι

Context: t✝ : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: val✝ : Fintype ι

Context: t : (i : ι) → Set (E i)

Context: κ : ι → Type

Context: x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)

Context: w : (i : ι) → κ i → 𝕜

Context: f : (i : ι) → κ i → E i

Context: i : ι

Context: j : κ i

Context: a✝ : j ∈ Finset.univ

∑ g : { g // g i = j }, ∏ k : ι, w k (↑g k) = w i j


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hder : ∀ᶠ (y : G) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y

Context: hcont : ContinuousAt f' x


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hcont : ContinuousAt f' x

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hcont : ContinuousAt f' x

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: hε : ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x} ∩ f' ⁻¹' ball (f' x) c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hcont : ContinuousAt f' x

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: a b : G

Context: h : (a, b) ∈ ball (x, x) ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hcont : ContinuousAt f' x

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: a b : G

Context: h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hcont : ContinuousAt f' x

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: a b : G

Context: h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε

Context: hf' : ∀ x' ∈ ball x ε, ‖f' x' - f' x‖ ≤ c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hcont : ContinuousAt f' x

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: a b : G

Context: h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε

Context: this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝⁴ : RCLike 𝕜

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: H : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: f : G → H

Context: f' : G → G →L[𝕜] H

Context: x : G

Context: hcont : ContinuousAt f' x

Context: c : ℝ

Context: hc : 0 < c

Context: ε : ℝ

Context: ε0 : ε > 0

Context: a b : G

Context: h : a ∈ ball x ε ∧ b ∈ ball x ε

∀ x_1 ∈ ball x ε, HasFDerivWithinAt f (f' x_1) (ball x ε) x_1


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsIrreducible R L M


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsIrreducible R L M
aux : ⊥ ≠ ⊤


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsIrreducible R L M
aux : ∀ (x y : M), x = y


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
A : Type u_2
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P
X : C


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.97943
inst✝ : MulAction R X
s s' : ↥S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
a : α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
f : R →+* S

map f (dickson k a 0) = dickson k (f a) 0


map f (dickson k a 1) = dickson k (f a) 1


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
f : R →+* S
n : ℕ

map f (dickson k a (n + 2)) = dickson k (f a) (n + 2)


X * map f (dickson k a (n + 1)) - C (f a) * map f (dickson k a n) = X * dickson k (f a) (n + 1) - C (f a) * dickson k (f a) n


Context: n : ℕ


Context: n : ℕ

Fintype.card ↑(incl.obj (mk n)) = Finset.univ.card


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasPushouts C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : X ⟶ Z

Context: inst✝ : Mono f

Context: s : PushoutCocone f g

Context: hs : IsColimit s

Context: this : Mono ((colimit.cocone (span f g)).ι.app WalkingCospan.right)


Context:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
hf : Surjective ⇑f

Surjective ⇑(f.domRestrict S) ↔ S ⊔ LinearMap.ker f = ⊤