Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsScott α

Context: s : Set α

Context: a : α

Context: h : IsUpperSet s

Context: h' : DirSupInacc s

Context: d : Set α

Context: d₁ : d.Nonempty

Context: x✝ : α

Context: d₃ : IsLUB d x✝

Context: ha : x✝ ∈ s

Context: b : α

Context: hbd : b ∈ d

Context: hbu : b ∈ s


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
v : π i

update (s.piecewise f g) i v = s.piecewise f (update g i v)


s.piecewise (update f i v) (update g i v) = s.piecewise f (update g i v)


Context:
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
v : π i
j : ι
hj : j ∈ s


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A : OrderBot α
hB : PartialOrder α
B : OrderBot α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderBot α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

↑a.val = a.valMinAbs + ↑(if a.val ≤ n / 2 then 0 else n)


Context:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

↑a.val = (if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n) + ↑(if a.val ≤ n / 2 then 0 else n)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j

X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ j) = X.map (SimplexCategory.δ (j.pred ⋯)) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc)


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ S
hg : g ∈ T


Context:
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
i : ι
x : ↥(A i)

((LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm ↑x) i = x


Context: J : Type v

Context: inst✝¹ : Category.{w, v} J

Context: F✝ : J ⥤ Type u

Context: inst✝ : HasColimit F✝

Context: α β : Type u

Context: f : α ⟶ β

Context: F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u

Context: c : Cone F

Context: hc : IsLimit c

Context: hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)

Context: a : F.obj (Opposite.op 0)

Context: n m : ℕ

Context: h : m ≤ n

F.map (Opposite.op { down := { down := h } }) ((fun x => match x with | Opposite.op n => CategoryTheory.Limits.Types.limitOfSurjectionsSurjective.preimage hF a n) (Opposite.op n)) = (fun x => match x with | Opposite.op n => CategoryTheory.Limits.Types.limitOfSurjectionsSurjective.preimage hF a n) (Opposite.op m)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddZeroClass δ

Context: inst✝ : Min δ

Context: C : Cost α β δ

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

Context: w : 0 < (suffixLevenshtein C (x :: xs) (y :: ys)).val.length

(suffixLevenshtein C (x :: xs) (y :: ys)).val[0] = match suffixLevenshtein C xs (y :: ys) with | ⟨dx, property⟩ => match suffixLevenshtein C (x :: xs) ys with | ⟨dy, property_1⟩ => match suffixLevenshtein C xs ys with | ⟨dxy, property_2⟩ => min (C.delete x + dx[0]) (min (C.insert y + dy[0]) (C.substitute x y + dxy[0]))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddZeroClass δ

Context: inst✝ : Min δ

Context: C : Cost α β δ

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

(impl C (x :: xs) y (suffixLevenshtein C (x :: xs) ys)).val[0] = match suffixLevenshtein C xs (y :: ys) with | ⟨dx, property⟩ => match suffixLevenshtein C (x :: xs) ys with | ⟨dy, property_1⟩ => match suffixLevenshtein C xs ys with | ⟨dxy, property_2⟩ => min (C.delete x + dx[0]) (min (C.insert y + dy[0]) (C.substitute x y + dxy[0]))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddZeroClass δ

Context: inst✝ : Min δ

Context: C : Cost α β δ

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

(impl C (x :: xs) y ⟨levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val, ⋯⟩).val[0] = min (C.delete x + (suffixLevenshtein C xs (y :: ys)).val[0]) (min (C.insert y + (levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val)[0]) (C.substitute x y + (suffixLevenshtein C xs ys).val[0]))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddZeroClass δ

Context: inst✝ : Min δ

Context: C : Cost α β δ

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

(match impl C xs y ⟨(suffixLevenshtein C xs ys).val, ?w'⟩ with | ⟨r, w⟩ => min (C.delete x + r[0]) (min (C.insert y + levenshtein C (x :: xs) ys) (C.substitute x y + (suffixLevenshtein C xs ys).val[0]))) = min (C.delete x + (suffixLevenshtein C xs (y :: ys)).val[0]) (min (C.insert y + (levenshtein C (x :: xs) ys :: (suffixLevenshtein C xs ys).val)[0]) (C.substitute x y + (suffixLevenshtein C xs ys).val[0]))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddZeroClass δ

Context: inst✝ : Min δ

Context: C : Cost α β δ

Context: x : α

Context: xs : List α

Context: y : β

Context: ys : List β

0 < (suffixLevenshtein C xs ys).val.length


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: S : Sieve (Opposite.unop Y) := Presheaf.imageSieve α ((R.val.map π) r) ⊓ Presheaf.imageSieve φ ((A.val.map π) m)

(A.val.map π) (smul α φ r m) = smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop Y)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop Y)

∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Opposite.unop Y), S.arrows f → (A.val.map f.op) ((A.val.map π) (smul α φ r m)) = (A.val.map f.op) (smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: S : Sieve (Opposite.unop Y✝) := Presheaf.imageSieve α ((R.val.map π) r) ⊓ Presheaf.imageSieve φ ((A.val.map π) m)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop Y✝)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop Y✝

Context: r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) ((R.val.map π) r)

Context: m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) ((A.val.map π) m)

(A.val.map f.op) ((A.val.map π) (smul α φ r m)) = (A.val.map f.op) (smul α φ ((R.val.map π) r) ((A.val.map π) m))


Context:
n : ℕ
x : ℝ

deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x = (-1) ^ n * (aeval x) (hermite n) * Real.exp (-(x ^ 2 / 2))


Context:
n : ℕ
x : ℝ

deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x = (-1) ^ n * ((aeval x) (hermite n) * Real.exp (-(x ^ 2 / 2)))


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ θ : L.BoundedFormula α n
h1 : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
h2 : T.SemanticallyEquivalent ψ θ
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
h1' : (φ ⇔ ψ).Realize v xs
h2' : (ψ ⇔ θ).Realize v xs


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ θ : L.BoundedFormula α n
h1 : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
h2 : T.SemanticallyEquivalent ψ θ
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M
h1' : φ.Realize v xs ↔ ψ.Realize v xs
h2' : ψ.Realize v xs ↔ θ.Realize v xs


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : H → α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) μ

Context: h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x a‖ ≤ bound a

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' x a) x

Context: this : NormedSpace ℝ H := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 H

HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' x₀ a ∂μ) x₀


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : H → α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_4

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: F : H → α → E

Context: x₀ : H

Context: bound : α → ℝ

Context: ε : ℝ

Context: F' : H → α → H →L[𝕜] E

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : Integrable (F x₀) μ

Context: bound_integrable : Integrable bound μ

Context: this✝ : NormedSpace ℝ H := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 H

Context: x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε

Context: diff_x₀ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (F' x₀ a) x₀

Context: this : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts ys l : List α

l ∈ (permutationsAux2 t ts [] ys fun x => [] ++ x).2 ↔ ∃ l₁ l₂, l₂ ≠ [] ∧ ys = l₁ ++ l₂ ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : IsCyclic α
inst✝ : Fintype α
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α

(filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
k n : ℕ
r : R

X ^ k * (monomial n) r = (monomial (n + k)) r


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
hK : Dense ↑K
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = 0
v : ↥K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

s.card * t.card ≤ (s ⊼ t).card * (s ⊻ t).card


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R

K.π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.ι (I.fstTo b) ≫ I.fst b


K.π.app (WalkingMulticospan.left (I.fstTo b)) ≫ I.multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.fst b) = K.ι (I.fstTo b) ≫ I.fst b


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

(φ₁ + φ₃).τ₁ = S₁.f ≫ (h.h₁ + h'.h₁) + (h.h₀ + h'.h₀) + (φ₂ + φ₄).τ₁


S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ + (S₁.f ≫ h'.h₁ + h'.h₀ + φ₄.τ₁) = S₁.f ≫ h.h₁ + S₁.f ≫ h'.h₁ + (h.h₀ + h'.h₀) + (φ₂.τ₁ + φ₄.τ₁)


(φ₁ + φ₃).τ₂ = S₁.g ≫ (h.h₂ + h'.h₂) + (h.h₁ + h'.h₁) ≫ S₂.f + (φ₂ + φ₄).τ₂


S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ + (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ + S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f + h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ + φ₄.τ₂)


(φ₁ + φ₃).τ₃ = h.h₃ + h'.h₃ + (h.h₂ + h'.h₂) ≫ S₂.g + (φ₂ + φ₄).τ₃


h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ + (h'.h₃ + h'.h₂ ≫ S₂.g + φ₄.τ₃) = h.h₃ + h'.h₃ + (h.h₂ ≫ S₂.g + h'.h₂ ≫ S₂.g) + (φ₂.τ₃ + φ₄.τ₃)


Context:
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ

(coeff R p (n + 1)) ((frobenius (Ring.Perfection R p) p) f) = (coeff R p n) f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X : C
f : StructuredArrow (L.obj X) L

(fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) f) = f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y

(fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) (StructuredArrow.mk f)) = StructuredArrow.mk f


StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) ((homEquiv W L L') f)) = StructuredArrow.mk f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X : C
f : StructuredArrow (L'.obj X) L'

(fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) f) = f


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L'.obj X ⟶ L'.obj Y

(fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) (StructuredArrow.mk f)) = StructuredArrow.mk f


StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') ((homEquiv W L' L) f)) = StructuredArrow.mk f


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P

I.den • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num


⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩ • ↑I = LinearMap.range (Algebra.linearMap R P) ⊓ I.den • ↑I


⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩ • ↑I ≤ LinearMap.range (Algebra.linearMap R P)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
a : P
ha : a ∈ ↑↑I

(DistribMulAction.toLinearMap R P (S.subtype ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩)) a ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R P)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P

(∀ {zI : P}, zI ∈ I → zI ∈ spanSingleton S x * J) ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂

ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂


DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ → (ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ ↔ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
p : n → n
H : ¬Bijective p

∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ x : n, M (σ x) (p x) * N (p x) x = 0


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
p : n → n
H : ¬Bijective p
i j : n
hpij : p i = p j
hij : i ≠ j


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f (a⁻¹ * b) = 1


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : (f a)⁻¹ * f b = 1


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α


Context:
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
u : (Associates α)ˣ


Context: θ : Angle


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = c • ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v


((⊤.induce {u, v} ⊔ H) ⊓ K).verts.Nonempty


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Z

Context: inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: x y z : X

Context: s : Set X

Context: f g : X → Y

Context: t : Set (SeparationQuotient X)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x y : R

x - y ∈ pNilradical R p ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = y ^ p ^ n


Context:
K : Type u
inst✝³ : Field K
L : Type u
inst✝² : Field L
f : K →+* L
a : L
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra S K[X]
p : S

eval f a ((algebraMap S (RatFunc K)) p) = Polynomial.eval₂ f a ((algebraMap S K[X]) p)


Context:
n : Nat
α : Sort u_1
f : Fin n → α → α
x : α

foldl n (fun x i => f i.rev x) x = foldr n f x


Context:
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
x : K


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : Fintype (Sym2 α)
inst✝ : Semiring R
a b : α
e : Sym2 α
h : G.Adj a b

(incMatrix R G * (incMatrix R G)ᵀ) a b = 1


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V

Context: hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: C : Set V' := this.extend ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: C : Set V' := this.extend ⋯

Context: BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: C : Set V' := this.extend ⋯

Context: BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯

Context: hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this

Context: Vinh : Inhabited V


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: C : Set V' := this.extend ⋯

Context: BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯

Context: Vinh : Inhabited V

Context: b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f)) ∘ₗ f) (hB b) = id (hB b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: C : Set V' := this.extend ⋯

Context: BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯

Context: Vinh : Inhabited V

Context: b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: C : Set V' := this.extend ⋯

Context: BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯

Context: Vinh : Inhabited V

Context: b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

Context: fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: V' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DivisionRing K

Context: inst✝³ : AddCommGroup V

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: inst✝ : Module K V'

Context: v : ι → V

Context: s t : Set V

Context: x y z : V

Context: f : V →ₗ[K] V'

Context: hf_inj : ker f = ⊥

Context: C : Set V' := this.extend ⋯

Context: BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯

Context: Vinh : Inhabited V

Context: b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

Context: fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩

((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f))) (f (hB b)) = hB b


Context:
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y


Context: X Y : SemiNormedGrp

Context: f : X ⟶ Y

Context: e_1✝ : (X ⟶ explicitCokernel f) = ((parallelPair f 0).obj WalkingParallelPair.zero ⟶ ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (cokernelCocone f).pt).obj WalkingParallelPair.one)

0 = (cokernelCocone f).ι.app WalkingParallelPair.zero


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} J

Context: X : J

Context: hX : IsInitial X

Context: F : J ⥤ C

Context: inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)

Context: i j : J

Context: f : i ⟶ j

F.map f ≫ inv (F.map (hX.to j)) = inv (F.map (hX.to i)) ≫ 𝟙 (F.obj X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀✝ : WithTop (Box ι)

Context: I J✝ : Box ι

Context: i✝ : ι

Context: G : Type u

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: I₀ : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : ℝ → Box (Fin n) → G

Context: fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G

Context: hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J

Context: J : Box (Fin (n + 1))

Context: hJ : ↑J ≤ ↑I₀

Context: j : Fin (n + 1)

Context: x : ℝ

x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) → Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) + Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) = (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J


Context: ι : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: n : ℕ

Context: N : Type u_3

Context: inst✝² : AddCommMonoid M

Context: inst✝¹ : AddCommMonoid N

Context: I₀✝ : WithTop (Box ι)

Context: I J✝ : Box ι

Context: i✝ : ι

Context: G : Type u

Context: inst✝ : AddCommGroup G

Context: I₀ : Box (Fin (n + 1))

Context: i : Fin (n + 1)

Context: f : ℝ → Box (Fin n) → G

Context: J : Box (Fin (n + 1))

Context: hJ : J ≤ I₀

Context: j : Fin (n + 1)

Context: x : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Inv G
inst✝⁶ : ContinuousInv G
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
ι : Type u_1
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₂
inst✝³ : T2Space G₂
inst✝² : Inv G₁
inst✝¹ : Inv G₂
inst✝ : ContinuousInv G₂

IsClosed {f | ∀ (x : G₁), f x⁻¹ = (f x)⁻¹}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Set.InjOn f ↑s


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.158486, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
ψ : S₂ ⟶ S₃

(φ₁ ≫ ψ).τ₁ = S₁.f ≫ h.h₁ ≫ ψ.τ₁ + h.h₀ ≫ ψ.τ₁ + (φ₂ ≫ ψ).τ₁


(φ₁ ≫ ψ).τ₂ = S₁.g ≫ h.h₂ ≫ ψ.τ₂ + (h.h₁ ≫ ψ.τ₁) ≫ S₃.f + (φ₂ ≫ ψ).τ₂


(φ₁ ≫ ψ).τ₃ = h.h₃ ≫ ψ.τ₃ + (h.h₂ ≫ ψ.τ₂) ≫ S₃.g + (φ₂ ≫ ψ).τ₃


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n k : ℕ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
v : Ray R M


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
v✝ : M
hv✝ : v✝ ≠ 0

-u • rayOfNeZero R v✝ hv✝ = -(u • rayOfNeZero R v✝ hv✝)


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t✝ : Set α✝

Context: f✝ : α✝ → β

Context: μa μa' : Measure α✝

Context: μb μb' : Measure β

Context: μc : Measure γ

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s t : Set α

Context: μ : Measure α

Context: g : G

Context: h_qmp : QuasiMeasurePreserving (fun x => g⁻¹ • x) μ μ

Context: h_ae_eq : s =ᵐ[μ] t


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : L
i : ℕ
a✝ : Nontrivial R

(MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = (charpoly (φ x)).coeff i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: x : (b : β) → π b

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 ≤ r

Context: p : (b : β) → π b

p ∈ closedBall x r ↔ p ∈ Set.univ.pi fun b => closedBall (x b) r


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
a b : 𝕜
x : E

Absorbs 𝕜 s {x} ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝[≠] 0, c • x ∈ s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x


∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + -c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x


(-c)⁻¹ • -∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
x : ι
hx : u x ≤ v x

(fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) x = (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c) x


(fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ) x = (fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal) x


Context: k : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
b x✝¹ : β
x✝ : x✝¹ ∈ s


Context:
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0


Context:
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1

HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x


Context:
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
h₁ : x < -1


Context:
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x


Context:
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂✝ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1


Context:
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂✝ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x
h₂ : 1 < x


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h₁ : s₁ ∈ 𝓝ˢ t₁
h₂ : s₂ ∈ 𝓝ˢ t₂

s₁ ∪ s₂ ∈ 𝓝ˢ (t₁ ∪ t₂)


s₁ ∪ s₂ ∈ 𝓝ˢ t₁ ⊔ 𝓝ˢ t₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α

edist ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y


Context: z w : ℂ

(z / w).re = z.re * w.re / normSq w + z.im * w.im / normSq w


Context:
R : Type u_1
m n : ℕ
m0 : m ≠ 0
n0 : n ≠ 0


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤

closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) = H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: h : G

Context: hh : h ∈ H

h ∈ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: g : G

Context: hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))

Context: r : G

Context: hr : r ∈ R

Context: hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H

(fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S))


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: H : Subgroup G

Context: R S : Set G

Context: hR : R ∈ rightTransversals ↑H

Context: hR1 : 1 ∈ R

Context: hS : closure S = ⊤

Context: g : G

Context: r : G

Context: hr : r ∈ R

Context: hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ i : ι
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

x✝ ∈ (insert i s).pi t ↔ x✝ ∈ eval i ⁻¹' t i ∩ s.pi t


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop

(x • powers x hx).embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } = powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)


Context: Γ : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: hx : 0 < x.orderTop

∀ (a : ℕ), ((x • powers x hx).embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) a = (powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)) a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι
S : Type u_9
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : Algebra R₂ S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : IsScalarTower R₂ S M₂
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R₂ S
b : Basis ι S M₂
v : ι → ↥(span R₂ (Set.range ⇑b))
i✝ j✝ : ι

(algebraMap R₂ S).mapMatrix ((restrictScalars R₂ b).toMatrix v) i✝ j✝ = b.toMatrix (fun i => ↑(v i)) i✝ j✝


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l✝ l₁ l₂ l l' : List M
h : l.length = l'.length

l.prod * l'.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod


(zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod * (drop l'.length l).prod * (drop l.length l').prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R

Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset


Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots ⊆ p ^ n • f.roots


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
hbj : b ≠ j
M : Matrix n n α


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a✝ : α
x : β
a : α
s : Set α
x✝ : α

x✝ ∈ (op a • s)⁻¹ ↔ x✝ ∈ a⁻¹ • s⁻¹


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑∅


Context:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
h : s.Nonempty


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : CommGroup H
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
f : N →* P
x✝ : M


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

Context: h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x

ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => (∏ c ∈ t, f c) x) s x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
h₀ : 0 ≤ a ↔ 0 ≤ b


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
h₀ : 0 ≤ a ↔ 0 ≤ b
ha : a < 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
h₀ : 0 ≤ a ↔ 0 ≤ b
ha : 0 ≤ a


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C

f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ = 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < (μ univ).toReal


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < (μ univ).toReal
H : ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi : VectorMeasure.restrict s i ≤ VectorMeasure.restrict 0 i

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hj₁ : MeasurableSet j

(s.toMeasureOfLEZero i hi₁ hi) j = ↑⟨-↑s (i ∩ j), ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: i j : Set α

Context: hi₁ : MeasurableSet i

Context: hj₁ : MeasurableSet j


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ

Metric.closedBall 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)


∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ r₁ → ∀ (b : E), p b < r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
hb : p b < r₂


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
h : 1 = (ZMod.castHom ⋯ R) 1


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i : ι
hx : x ∈ ℳ i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
g : α → β
g_meas : Measurable g
hg : range g ⊆ s
fg : f =ᶠ[ae μ] g


codRestrict f s hfs =ᶠ[ae μ] codRestrict g s ⋯


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
g : α → β
g_meas : Measurable g
hg : range g ⊆ s
fg : f =ᶠ[ae μ] g
x : α
hx : f x = g x

codRestrict f s hfs x = codRestrict g s ⋯ x


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_bot : limsup u f = ⊥


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_bot : limsup v f = ⊥


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_top : limsup v f = ⊤


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥
u_nbot : ⊥ < limsup u f
v_nbot : ⊥ < limsup v f
v_ntop : limsup v f < ⊤


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

Context: limsup_v_real : ↑(limsup v f).toReal = limsup v f


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

∀ (z : ℝ), limsup u f + limsup v f < ↑z → limsup (u + v) f ≤ ↑z


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

Context: x : ℝ

Context: hx : limsup u f + limsup v f < ↑x


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

Context: x : ℝ

Context: hx : limsup u f + limsup v f < ↑x

Context: y : ℝ

Context: sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y

Context: y_lt_x : ↑y < ↑x


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

Context: x : ℝ

Context: hx : limsup u f + limsup v f < ↑x

Context: y : ℝ

Context: sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y

Context: y_lt_x : ↑y < ↑x

Context: key₁ : limsup u f < ↑y - limsup v f


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

Context: x : ℝ

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Context: y : ℝ

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Context: y_lt_x : ↑y < ↑x

Context: key₁ : limsup u f < ↑y - limsup v f

Context: key₂ : limsup v f < limsup v f + ↑x - ↑y


Context: α✝ : Type u_1

Context: inst✝ : TopologicalSpace α✝

Context: α : Type u_2

Context: f : Filter α

Context: u v : α → EReal

Context: a b : EReal

Context: h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤

Context: h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

Context: u_nbot : ⊥ < limsup u f

Context: v_nbot : ⊥ < limsup v f

Context: v_ntop : limsup v f < ⊤

Context: x : ℝ

Context: hx : limsup u f + limsup v f < ↑x

Context: y : ℝ

Context: sum_lt_y : limsup u f + limsup v f < ↑y

Context: y_lt_x : ↑y < ↑x

Context: key₁ : limsup u f < ↑y - limsup v f

↑y - limsup v f + (limsup v f + ↑x - ↑y) = ↑x


Context:
α : Type u_1
l₁ l₂ : Lists' α true
H : ∀ a ∈ l₁.toList, a ∈ l₂


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: G : ι → α → β

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

Context: h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u

∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, G n y) ∈ u


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x✝ : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: G : ι → α → β

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s

Context: hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s

Context: u : Set (β × β)

Context: hu : u ∈ 𝓤 β

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: t : Set α

Context: ht : t ∈ 𝓝[s] x

∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ s ∩ t, (f y, G n y) ∈ u


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F G : C ⥤ D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X

Context: naturality : autoParam (∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ (app Y).hom = (app X).hom ≫ G.map f) _auto✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

G.map f ≫ (fun X => (app X).inv) Y = (fun X => (app X).inv) X ≫ F.map f


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

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Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F G : C ⥤ D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : (fun f => (app X).inv ≫ f ≫ (app Y).inv) ((app X).hom ≫ G.map f) = (fun f => (app X).inv ≫ f ≫ (app Y).inv) (F.map f ≫ (app Y).hom)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: E : Type u₃

Context: inst✝ : Category.{v₃, u₃} E

Context: F G : C ⥤ D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: app : (X : C) → F.obj X ≅ G.obj X

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: h : G.map f ≫ (app Y).inv = (app X).inv ≫ F.map f


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Subsingleton β
f : α → β


Context: α✝ : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: α : Type u_5

Context: β : Type u_6

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace β

Context: inst✝ : Subsingleton β

Context: f : α → β

Context: f_sf : α →ₛ β := { toFun := f, measurableSet_fiber' := ⋯, finite_range' := ⋯ }


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Subsingleton β
f : α → β
x : β


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b✝ : β
a₁ a₂ b : α
h : rα a₁ a₂


Context: x y : ℝ≥0


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))

Context: h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k

Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝ : IsEmpty β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝ : Nonempty β


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝ : Nonempty β

Context: hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x => f x k) ⊥ (𝓝 (g k))

Context: h_bound : ∀ᶠ (n : α) in ⊥, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k

Tendsto (fun x => ∑' (k : β), f x k) ⊥ (𝓝 (∑' (k : β), g k))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑' (k : β), f x k) (∑' (k : β), g k) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑' (k : β), f x k) (∑' (k : β), g k) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3

Context: h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3

Context: h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3

Context: h2 : Tendsto (fun x => ∑ k ∈ T, f x k) 𝓕 (𝓝 (T.sum g))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3

Context: h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3

Context: h2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑ k ∈ T, f x k) (T.sum g) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h_bound✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: h_suma✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x => ‖f n x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3

Context: h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3

Context: n : α

Context: hn : dist (∑ k ∈ T, f n k) (T.sum g) < ε / 3

Context: h_suma : Summable fun x => ‖f n x‖

Context: h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k

dist (∑' (k : β), f n k) (∑' (k : β), g k) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3

Context: h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3

Context: n : α

Context: h_suma : Summable fun x => ‖f n x‖

Context: h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k

‖∑ x ∈ T, (f n x - g x) + ∑' (x : ↑(↑T)ᶜ), (f n ↑x - g ↑x)‖ < ε / 3 + (ε / 3 + ε / 3)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3

Context: h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3

Context: n : α

Context: h_suma : Summable fun x => ‖f n x‖

Context: h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: 𝓕 : Filter α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : CompleteSpace G

Context: f : α → β → G

Context: g : β → G

Context: bound : β → ℝ

Context: h_sum : Summable bound

Context: h✝¹ : Nonempty β

Context: h✝ : 𝓕.NeBot

Context: h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k

Context: h_sumg : Summable fun x => ‖g x‖

Context: ε : ℝ

Context: hε : ε > 0

Context: S : ℝ

Context: hS : HasSum bound S

Context: T : Finset β

Context: hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3

Context: h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3

Context: n : α

Context: h_suma : Summable fun x => ‖f n x‖

Context: h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k

‖∑' (x : ↑(↑T)ᶜ), (f n ↑x - g ↑x)‖ < ε / 3 + ε / 3


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p : R

Context: k n : ℕ

Context: h : n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n

Context: hn : n ≠ 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n p : R

Context: k : ℕ

Context: h : Nat.minFac 0 ^ (Nat.factorization 0) (Nat.minFac 0) = 0

Context: hn : 0 ≠ 1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n✝ p : R

Context: k n : ℕ

Context: hn : n ≠ 1

Context: hn' : n ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i✝ i : ι
hi : i0 ≤ i


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
hc : Convex ℝ s
hne : (interior s).Nonempty
hb : Bornology.IsBounded s

∃ h, ⇑h '' interior s = ball 0 1 ∧ ⇑h '' closure s = closedBall 0 1 ∧ ⇑h '' frontier s = sphere 0 1


Context:
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1

∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)


Context:
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V


Context:
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0


Context:
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0


Context:
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x


Context: p : ℕ

Context: inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing k✝

Context: k : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field k

Context: inst✝³ : IsAlgClosed k

Context: inst✝² : CharP k p

Context: V : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Isocrystal p k V

Context: h_dim : finrank K(p, k) V = 1

Context: this✝ : Nontrivial V

Context: x : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Φ(p, k) x ≠ 0

Context: a : K(p, k)

Context: ha : a ≠ 0

Context: hax : Φ(p, k) x = a • x

Context: b : K(p, k)

Context: hb : b ≠ 0

Context: m : ℤ

Context: hmb : (IsFractionRing.fieldEquivOfRingEquiv (frobeniusEquiv p k)) b * a = ↑p ^ m * b


Context:
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b


Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)


Context: p : ℕ

Context: inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing k✝

Context: k : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field k

Context: inst✝³ : IsAlgClosed k

Context: inst✝² : CharP k p

Context: V : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Isocrystal p k V

Context: h_dim : finrank K(p, k) V = 1

Context: this✝ : Nontrivial V

Context: x : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Φ(p, k) x ≠ 0

Context: a : K(p, k)

Context: ha : a ≠ 0

Context: hax : Φ(p, k) x = a • x

Context: b : K(p, k)

Context: hb : b ≠ 0

Context: m : ℤ

Context: hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b

Context: F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x

Context: F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯

Context: c : StandardOneDimIsocrystal p k m

Φ(p, k) ((LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) c) = (LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) (Φ(p, k) c)


Context: p : ℕ

Context: inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing k✝

Context: k : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field k

Context: inst✝³ : IsAlgClosed k

Context: inst✝² : CharP k p

Context: V : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Isocrystal p k V

Context: h_dim : finrank K(p, k) V = 1

Context: this✝ : Nontrivial V

Context: x : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Φ(p, k) x ≠ 0

Context: a : K(p, k)

Context: ha : a ≠ 0

Context: hax : Φ(p, k) x = a • x

Context: b : K(p, k)

Context: hb : b ≠ 0

Context: m : ℤ

Context: hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b

Context: c : StandardOneDimIsocrystal p k m


Context: p : ℕ

Context: inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)

Context: k✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing k✝

Context: k : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Field k

Context: inst✝³ : IsAlgClosed k

Context: inst✝² : CharP k p

Context: V : Type u_3

Context: inst✝¹ : AddCommGroup V

Context: inst✝ : Isocrystal p k V

Context: h_dim : finrank K(p, k) V = 1

Context: this✝ : Nontrivial V

Context: x : V

Context: hx : x ≠ 0

Context: this : Φ(p, k) x ≠ 0

Context: a : K(p, k)

Context: ha : a ≠ 0

Context: hax : Φ(p, k) x = a • x

Context: b : K(p, k)

Context: hb : b ≠ 0

Context: m : ℤ

Context: hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b

Context: c : StandardOneDimIsocrystal p k m

φ(p, k) b • φ(p, k) c • a • x = b • (↑p ^ m * φ(p, k) c) • x


Context:
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p

↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i) - ↑p * a ^ (p - 1)


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: hp : Odd p

Context: h1 : ∀ (i : ℕ), ↑p ^ 2 ∣ (a + ↑p * b) ^ i - (a ^ (i - 1) * (↑p * b) * ↑i + a ^ i)


Context: R : Type u_1

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : CommRing R

Context: a b x y : R

Context: p : ℕ

Context: hp : Odd p

Context: h1 : ∀ (i : ℕ), (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) ((a + ↑p * b) ^ i) = (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (a ^ (i - 1) * (↑p * b) * ↑i + a ^ i)

(Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i)) = (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (↑p * a ^ (p - 1))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder α

Context: s t : Set α

Context: z : α

Context: x y : ↑s

Context: h : [[s.ordConnectedProj x, s.ordConnectedProj y]] ⊆ s

s.ordConnectedProj x = s.ordConnectedProj y


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

(toLin' (lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M

B.SeparatingRight ↔ ∀ (y : M₂), B.flip y = 0 → y = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n

↑hA.eigenvectorUnitary *ᵥ Pi.single j 1 = (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
f : α →₀ M

(erase a f) a' = if a' = a then 0 else f a'


(if a' = a then 0 else f a') = if a' = a then 0 else f a'


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropAt P g x
hs : s ∈ 𝓝 x


Context:
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x y : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y


Context:
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x✝ y✝ : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y
x : X
hx : x ∈ s ∪ s'
y : X
hy : y ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
x : α

x ∈ support ↑f ↔ x ∈ ⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y}


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D

Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map h.hom ≫ (F.mapHomologicalComplex c).map h.inv) (𝟙 ((F.mapHomologicalComplex c).obj C))


Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map (h.hom ≫ h.inv)) ((F.mapHomologicalComplex c).map (𝟙 C))


Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map h.inv ≫ (F.mapHomologicalComplex c).map h.hom) (𝟙 ((F.mapHomologicalComplex c).obj D))


Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map (h.inv ≫ h.hom)) ((F.mapHomologicalComplex c).map (𝟙 D))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3

∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ↑b ! / ↑b ^ b ≤ 1 / ↑b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
hn : 0 < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ

↑k.succ ! / ↑k.succ ^ k.succ ≤ 1 / ↑k.succ


(∏ x ∈ Finset.range k, (↑x + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹) * (↑k + 1)⁻¹ ≤ (↑k + 1)⁻¹


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ
x : ℕ
hx : x < k


Context:
α : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β✝
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : UniformSpace δ
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
β : ι' → Type u_6
inst✝ : (j : ι') → UniformSpace (β j)
e : ι ≃ ι'
i : ι

UniformContinuous fun x => (Equiv.piCongrLeft β e).toFun x (e i)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : AddCommMonoid N'
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N'
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R P'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
e : N ≃ₗ[R] N'

Exact ⇑(↑e ∘ₗ f) ⇑(g ∘ₗ ↑e.symm) ↔ Exact ⇑f ⇑g


Submodule.map (↑e) (LinearMap.ker g) = Submodule.map (↑e) (LinearMap.range f) ↔ LinearMap.ker g = LinearMap.range f


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖k‖

‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖


Context: 𝕜 : Type u

Context: ι : Type v

Context: ι' : Type v'

Context: n : ℕ

Context: E : ι → Type wE

Context: E₁ : ι → Type wE₁

Context: E' : ι' → Type wE'

Context: Ei : Fin n.succ → Type wEi

Context: G : Type wG

Context: G' : Type wG'

Context: inst✝¹⁴ : Fintype ι

Context: inst✝¹³ : Fintype ι'

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)

Context: inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)

Context: inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)

Context: inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: σ : ι ≃ ι'

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'


Context: a : Ordinal.{u_1}

Context: H : ∀ ⦃b c : Ordinal.{u_1}⦄, b < a → c < a → b + c ≠ a


Context: a : Ordinal.{u_1}

Context: ha : ¬Principal (fun x x_1 => x + x_1) a


Context: b c : Ordinal.{u_1}

Context: H : ∀ ⦃b_1 c_1 : Ordinal.{u_1}⦄, b_1 < b + c → c_1 < b + c → b_1 + c_1 ≠ b + c

Context: ha : ¬Principal (fun x x_1 => x + x_1) (b + c)

Context: hb : b < b + c

Context: hc : c < b + c


Context:
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
C₁ : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝ : MonoidalCategory C₂

∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C₁ × C₂} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂), f ⊗ g = f ▷ X₂ ≫ Y₁ ◁ g


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

(S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₁ = S₁.f ≫ h₁ + h₀ + Hom.τ₁ 0


(S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₂ = S₁.g ≫ h₂ + h₁ ≫ S₂.f + Hom.τ₂ 0


h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h₂ = S₁.g ≫ h₂ + h₁ ≫ S₂.f


(S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₃ = h₃ + h₂ ≫ S₂.g + Hom.τ₃ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

(Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.natDegree = Multiset.card s


(Multiset.map (natDegree ∘ fun a => X - C a) s).sum = Multiset.card s


∀ f ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) s, f.Monic


Context:
z : ℂ
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
S : Set α := {x | f x < 0}

(μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
S : Set α := {x | f x < 0}
hS : MeasurableSet S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
h : f =ᶠ[ae μ] g
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)

a ≠ 0 → ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * a = ↑p ^ m * b


∀ (y : 𝕎 k × ↥(nonZeroDivisors (𝕎 k))), Localization.mk y.1 y.2 ≠ 0 → ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk y.1 y.2 = ↑p ^ m * b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a : FractionRing (𝕎 k)

Context: r q : 𝕎 k

Context: hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)

Context: hrq : Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0

∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m * b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a : FractionRing (𝕎 k)

Context: r q : 𝕎 k

Context: hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)

Context: hq0 : q ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a : FractionRing (𝕎 k)

Context: r q : 𝕎 k

Context: hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: hr0 : r ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a : FractionRing (𝕎 k)

Context: q : 𝕎 k

Context: hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)

Context: hq0 : q ≠ 0

Context: m : ℕ

Context: r' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hrq : Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0

Context: hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0

∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m_1, φ b * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m_1 * b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a : FractionRing (𝕎 k)

Context: m : ℕ

Context: r' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: q' : 𝕎 k

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)

Context: hq0 : ↑p ^ n * q' ≠ 0

Context: hrq : Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 ≠ 0

∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m_1, φ b * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 = ↑p ^ m_1 * b


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: k : Type u_1

Context: inst✝² : Field k

Context: inst✝¹ : CharP k p

Context: inst✝ : IsAlgClosed k

Context: a : FractionRing (𝕎 k)

Context: m : ℕ

Context: r' : 𝕎 k

Context: hr' : r'.coeff 0 ≠ 0

Context: hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0

Context: n : ℕ

Context: q' : 𝕎 k

Context: hq' : q'.coeff 0 ≠ 0

Context: hq0 : ↑p ^ n * q' ≠ 0

Context: b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G


Context:
p n✝ k n : ℕ
hn : n < p → n !.factorization p = 0
h : n + 1 < p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b⁻¹


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
hp : nil.IsCycle


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g a : α → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : α), a i ≠ ⊤
j : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g a : α → ℝ≥0∞
j : α
h : ⊤ ≤ a j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α

CountablySeparated ↑s ↔ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet s


HasCountableSeparatingOn (↑s) MeasurableSet univ ↔ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α

Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (thickening r A))


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂

Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : r₁ ≤ 0


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: A : Set α

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hr : r₁ < r₂

Context: h₁ : 0 ≤ r₁

Context: h : ENNReal.ofReal r₁ = ENNReal.ofReal r₂


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: A : Set α

Context: r₁ r₂ : ℝ

Context: hr : r₁ < r₂

Context: h₁ : 0 ≤ r₁

Context: h : (ENNReal.ofReal r₁).toReal = (ENNReal.ofReal r₂).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M

∏ i : Fin (a + b), f i = (∏ i : Fin a, f (castAdd b i)) * ∏ i : Fin b, f (natAdd a i)


∏ x : Fin a ⊕ Fin b, f (finSumFinEquiv.toFun x) = (∏ i : Fin a, f (castAdd b i)) * ∏ i : Fin b, f (natAdd a i)


∀ (x : Fin (a + b)), f x = f (finSumFinEquiv.toFun (finSumFinEquiv.symm x))


Context:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2


Context: z : ℍ

Context: c d : ℝ

Context: hd : 1 ≤ d ^ 2

Context: H1 : √(r1 z) ≤ √((c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2)


Context:
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (R i)
y : (i : ι) → R i
h : y ∈ s.pi t
i : ι
hi : i ∈ s


Context: K : Type u_1

Context: inst✝ : Field K

Context: w : InfinitePlace K

Context: hw : w.IsComplex

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : OneHom N P
x✝ : M


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S

f.toMap (x₁ * x₂) = f.toMap ↑(y₁ * y₂) * (f.toMap x₁ * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y₁)⁻¹ * (f.toMap x₂ * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y₂)⁻¹))


f.toMap x₁ * f.toMap x₂ * f.toMap ↑y₂ * f.toMap ↑y₁ = f.toMap ↑y₁ * f.toMap ↑y₂ * f.toMap x₁ * f.toMap x₂


Context:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
e : M ≃ₗ[R] M
f f' : M →ₗ[R] M
h : ∀ (x : M), f x = f' (e x)

Associated (LinearMap.det (f' ∘ₗ ↑e)) (LinearMap.det f')


Associated (LinearMap.det f' * LinearMap.det ↑e) (LinearMap.det f' * 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ i₁' : I₁
h : ¬c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x


μ {a | ¬⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} = 0


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: f : ι → α → β

Context: μ : Measure α

Context: p : α → (ι → β) → Prop

Context: inst✝¹ : CompleteLattice β

Context: inst✝ : Countable ι

Context: hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

Context: hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x

Context: h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {a | ⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a}


Context:
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p : Polynomial ↥(subfield M F)
x : ↥(subfield M F)


Context:
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p✝ p q : Polynomial ↥(subfield M F)
ihp : m • p = p
ihq : m • q = q


Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : Monoid M

Context: G : Type u

Context: inst✝³ : Group G

Context: F : Type v

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : MulSemiringAction M F

Context: inst✝ : MulSemiringAction G F

Context: m✝ m : M

Context: p : Polynomial ↥(subfield M F)

Context: n : ℕ

Context: x : ↥(subfield M F)

Context: x✝ : m • (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ n) = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ n

m • (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ (n + 1)) = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ (n + 1)


Context:
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ

(bit a m).land (bit b n) = bit (a && b) (m.land n)


Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hm : m ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hxr : x ^ n = ↑m

Context: hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0


Context: x : ℝ

Context: m : ℤ

Context: hm : m ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hxr : x ^ 0 = ↑m

Context: hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % 0 ≠ 0


Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hm : m ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hxr : x ^ n = ↑m

Context: hnpos : n > 0


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hm : m ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hnpos : n > 0

Context: y : ℤ

Context: hxr : ↑y ^ n = ↑m


Context: n : ℕ

Context: m : ℤ

Context: hm : m ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hnpos : n > 0

Context: y : ℤ

Context: hxr : y ^ n = m


Context: n p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hnpos : n > 0

Context: y : ℤ

Context: hm : y ^ n ≠ 0

Context: hv : (multiplicity (↑p) (y ^ n)).get ⋯ % n ≠ 0


Context: n p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hnpos : n > 0

Context: y : ℤ

Context: hm : y ^ n ≠ 0

Context: this : y ≠ 0


Context:
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnpos : n > 0
y : ℤ
hm : y ^ n ≠ 0
this : y ≠ 0
hv : 0 ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α


Context:
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜


Context:
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i✝¹ i✝ : n

‖U i✝¹ i✝‖ ≤ 1


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)

dist x y = √(dist x.1 y.1 ^ 2 + dist x.2 y.2 ^ 2)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
W : Subspace K V


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2

W.addY P Q / addZ P Q ^ 3 = W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X

T2Space (Quotient (MulAction.orbitRel G X))


IsClosed (diagonal (Quotient (MulAction.orbitRel G X)))


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'


Context:
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)


IsClosed (Prod.map π π ⁻¹' diagonal (Quotient R))


Prod.map π π ⁻¹' diagonal (Quotient R) = range fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M

(Matrix.det fun i j => ((e.unitsSMul w).repr (f j)) i) = ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ • Matrix.det fun i j => (e.repr (f j)) i


(Matrix.det fun i j => (w i)⁻¹ • (e.repr (f j)) i) = ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ • Matrix.det fun i j => (e.repr (f j)) i


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M

LinearIndependent R v ↔ ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ a

Context: h2 : a < b


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : AddCommSemigroup α

Context: inst✝⁴ : PartialOrder α

Context: inst✝³ : ExistsAddOfLE α

Context: inst✝¹ : Sub α

Context: inst✝ : OrderedSub α

Context: a b c d : α

Context: hc : AddLECancellable c

Context: h : c ≤ a

Context: h2 : a < b


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Ioi δ

Context: hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty

Context: E : Set α

cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Ioi δ

Context: E : Set α

cthickening δ E ⊆ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E


Context: ι : Sort u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ✝ ε : ℝ

Context: s✝ t : Set α

Context: x : α

Context: δ : ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: hsδ : s ⊆ Ioi δ

Context: E : Set α

⋂ ε ∈ s, cthickening ε E ⊆ cthickening δ E


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))

Context: s : β → α


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommMonoid M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: m✝ m' : M

Context: G : Type u_2

Context: inst✝³ : CommGroup G

Context: g g' : G

Context: inst✝² : T2Space M

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : Countable β

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: m : α → M

Context: m0 : m ⊥ = 1

Context: R : M → M → Prop

Context: s : β → α

Context: val✝ : Encodable β