Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

Context: hc : ∀ (i : ι), p i → ContMDiff I' I n (f i)

Context: hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)

ContMDiff I' I n fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

ContMDiff I' I n fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x


Context: I : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : (i : I) → C i ⥤ D

Context: i : I

Context: X : C i

{ obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (𝟙 ⟨i, X⟩) = 𝟙 ({ obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.obj ⟨i, X⟩)


Context: I : Type w₁

Context: C : I → Type u₁

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : (i : I) → C i ⥤ D

Context: i : I

Context: X Y✝¹ : C i

Context: f : X ⟶ Y✝¹

Context: Y✝ : C i

Context: g : Y✝¹ ⟶ Y✝

{ obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f ≫ SigmaHom.mk g) = { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f) ≫ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk g)


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z✝ : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
z : α × β

z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p3 p2 p1 = π


Context:
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁

‖0 x✝‖ = 0 * ‖x✝‖


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∉ s


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: u : α

Context: h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ

Context: p : α → Prop


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: u : α

Context: p : α → Prop

(∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) → p u


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: u : α

Context: p : α → Prop

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f⟩

Context: h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)


Context: F : Type u → Type u

Context: q : QPF F

Context: α : Type u

Context: x : F α

Context: u : α

Context: p : α → Prop

Context: a : (P F).A

Context: f : (P F).B a → α

Context: xeq : x = abs ⟨a, f⟩

Context: h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)

Context: i : (P F).B a

Context: left✝ : i ∈ univ

Context: hi : f i = u


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤


Context:
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i j : ↑M
h : i ≠ j


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R


Context:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : A

‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖₊ = ‖x‖₊


Context:
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M

Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥t


Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → R

Context: p : Fin n → R[X]

Context: h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i

Context: h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic

(vandermonde v).det = (of fun i j => eval (v i) (p j)).det


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P

(intrinsicClosure 𝕜 s).Nonempty → s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
t : Set P
x : P
h : intrinsicClosure 𝕜 ∅ ≠ ∅


Context:
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : ℝ → α

Tendsto (fun x => f (rexp x)) atTop l ↔ Tendsto f atTop l


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r


(s.sup p).ball 0 (r / 2) ∈ p.basisSets ∧ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U


(s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Mul α

Context: inst✝⁴ : Preorder α

Context: inst✝³ : DecidableEq α

Context: inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le

Context: inst✝ : LocallyFiniteOrder α

Context: a b c d : α

↑(Icc a b * Icc c d) ⊆ ↑(Icc (a * c) (b * d))


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

StrictAnti fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p


StrictAnti (∑ c : α, fun p => a c * b c ^ p)


∀ x ∈ univ, StrictAnti fun p => a x * b x ^ p


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
x✝ : i ∈ univ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ

∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u


Context: K : Type u

Context: inst✝ : CommRing K

Context: P : Sort v

Context: x : RatFunc K

Context: f : K[X] → K[X] → P

Context: H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'

Context: p p' : K[X]

Context: q q' : ↥K[X]⁰

Context: h : (Localization.r K[X]⁰) (p, q) (p', q')

(fun p q => f p ↑q) p q = (fun p q => f p ↑q) p' q'


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I

(eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) a = 0


(eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0


eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0


(a.sum fun n a => eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) a)) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support

(fun n a => eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) a)) n (a.coeff n) = 0


eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) (a.coeff n)) = 0


(C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n) * X ^ n = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
m : ℕ

((C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n)).coeff m = coeff 0 m


(if m = 0 then (Quotient.mk I) (a.coeff n) else 0) = coeff 0 m


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α

a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ ↑s → a • b ∈ ↑s


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

spectrum R (cfc f a) = f '' spectrum R a


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp (p + a) b = toIcoDiv hp a b - 1


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l : List Γ

Context: i j : ℕ

Context: h : (l ++ List.replicate i default).length ≤ (l ++ List.replicate j default).length

BlankExtends (l ++ List.replicate i default) (l ++ List.replicate j default)


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝ : Inhabited Γ

Context: l : List Γ

Context: i j : ℕ

l ++ List.replicate j default = l ++ List.replicate i default ++ List.replicate (j - i) default


Context:
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : i ≤ j


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f f' : α → E
s : Set α
h : EqOn f f' s
x : α
xs : x ∈ s


Context:
s : String
p : Char → Bool

s.all p = true ↔ ∀ (c : Char), c ∈ s.data → p c = true


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i

update x i a ≤ update y i b ↔ a ≤ b ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ≤ y j


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h2 : 2 = 0


Context: α : Type u

Context: inst✝² : CommGroup α

Context: inst✝¹ : LT α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝¹ t✝ : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f✝ : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : LE β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : ↑s ≃o ↑t

Context: x : α

Context: hx : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝¹ t✝ : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f✝ : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : LE β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : ↑s ≃o ↑t

Context: x : α

Context: hx✝ : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

Context: hx : x ∈ Subtype.val '' minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝¹ t✝ : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f✝ : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : LE β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : ↑s ≃o ↑t

Context: x : { x // x ∈ s }

Context: h : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ

Context: hx : ↑x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

↑(f ⟨↑x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop

Context: s✝¹ t✝ : Set α

Context: a b x✝ : α

Context: f✝ : α → β

Context: r : α → α → Prop

Context: s✝ : β → β → Prop

Context: inst✝¹ : LE α

Context: inst✝ : LE β

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: f : ↑s ≃o ↑t

Context: x : { x // x ∈ s }


Context:
μ : YoungDiagram
j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop

(∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k l : α), k ≤ a → l ≤ a → p (k, l)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime p)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hm : Nat.card G = p ^ m


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hn : p ^ n ≤ p ^ m
hm : Nat.card G = p ^ m


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Ici a) μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A
hfsA : Set.SurjOn f ↑A ↑s


(image (invFunOn f ↑A) s).card ≤ mulRothNumber A


Context: m n : ℕ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: hI : range ↑I = univ


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: hI : range ↑I = univ

Context: H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: hI : range ↑I = univ

Context: H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)

Context: H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: hI : range ↑I = univ

Context: H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)

Context: H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c

∀ᶠ (a : E) in 𝓝 (↑e c), ‖f (↑e.symm a)‖ = ‖f c‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: hI : range ↑I = univ

Context: H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)

Context: H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c

Context: hd : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑e c), DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F

Context: H : Type u_3

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners ℂ E H

Context: inst✝⁴ : I.Boundaryless

Context: M : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace M

Context: inst✝² : CompactSpace M

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H M

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: f : M → F

Context: c : M

Context: hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

Context: e : PartialEquiv M E := extChartAt I c

Context: hI : range ↑I = univ

Context: H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)

Context: H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c

Context: x✝ : E


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hQz : Q z = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, (fun b => f a b) '' t ⊆ u


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹⁴ : CommRing R

Context: inst✝¹³ : CommRing S

Context: inst✝¹² : Algebra R S

Context: Rₘ : Type u_3

Context: Sₘ : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : CommRing Rₘ

Context: inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ

Context: inst✝⁸ : Algebra S Sₘ

Context: M : Submonoid R

Context: inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ

Context: inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

Context: inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ

Context: inst✝⁴ : Algebra R Sₘ

Context: inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ

Context: inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: b : Basis ι R S

Context: a : S

Context: i j : ι

(algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((leftMulMatrix b) a) i j = (leftMulMatrix (Basis.localizationLocalization Rₘ M Sₘ b)) ((algebraMap S Sₘ) a) i j


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : Mul M

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace N

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : ContinuousMul N

Context: inst✝¹ : T2Space N

Context: f : ι → Nˣ

Context: r₁ r₂ : N

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: h₁ : Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)

Context: h₂ : Tendsto (fun x => ↑(f x)⁻¹) l (𝓝 r₂)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace M

Context: inst✝⁶ : Mul M

Context: inst✝⁵ : ContinuousMul M

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace N

Context: inst✝³ : Monoid N

Context: inst✝² : ContinuousMul N

Context: inst✝¹ : T2Space N

Context: f : ι → Nˣ

Context: r₁ r₂ : N

Context: l : Filter ι

Context: inst✝ : l.NeBot

Context: h₁ : Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 r₁)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
t : α → Set β
s₁ s₂ : Set α

(⋃ x ∈ s₁, t x) \ ⋃ x ∈ s₂, t x ⊆ ⋃ x ∈ s₁ \ s₂, t x


s₁ ⊆ s₂ ∪ s₁ \ s₂


s₁ ⊆ s₂ ∪ s₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

(W.Φ ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 ∧ (W.Φ ↑n).coeff (n ^ 2) = 1


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: dm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).natDegree ≤ m + n := fun {m n} {p q} => natDegree_mul_le_of_le


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: cm : ∀ {m n : ℕ} {p q : R[X]}, p.natDegree ≤ m → q.natDegree ≤ n → (p * q).coeff (m + n) = p.coeff m * q.coeff n := fun {m n} {p q} => coeff_mul_of_natDegree_le


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: hd : (n + 1 + 1) ^ 2 = 1 + 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 2) + if Even (n + 1) then 0 else 3


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: hd' : (n + 1 + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expDegree (n + 3) + WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

Context: hc : 1 = (1 * WeierstrassCurve.expCoeff (n + 2) ^ 2 * if Even (n + 1) then 1 else 4) - WeierstrassCurve.expCoeff (n + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (n + 1) * if Even (n + 1) then 4 else 1


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: W : WeierstrassCurve R

Context: n : ℕ

((X * W.preΨ' (n + 1 + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 1 + 2) * W.preΨ' (n + 1) * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).natDegree ≤ (n + 1 + 1) ^ 2 ∧ ((X * W.preΨ' (n + 1 + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 1 + 2) * W.preΨ' (n + 1) * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).coeff ((n + 1 + 1) ^ 2) = 1


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : IsAtomic αᵒᵈ
b : α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : IsCoatomic α
b : αᵒᵈ


Context: T a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: f f' : ℝ → ℂ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x

Context: hf' : IntervalIntegrable f' volume a b

fourierCoeffOn hab f n = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - (↑b - ↑a) * fourierCoeffOn hab f' n)


Context: T a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: f f' : ℝ → ℂ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : IntervalIntegrable f' volume a b

fourierCoeffOn hab f n = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - ↑(b - a) * fourierCoeffOn hab f' n)


Context: T a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: f f' : ℝ → ℂ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hT : Fact (0 < b - a)


Context: T a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: f f' : ℝ → ℂ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hT : Fact (0 < b - a)

1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x * f x = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x * f' x))


Context: T a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: f f' : ℝ → ℂ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hT : Fact (0 < b - a)

1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f x * (fourier (-n)) ↑x = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))


Context: T a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: f f' : ℝ → ℂ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hT : Fact (0 < b - a)

Context: this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)


Context: T a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: f f' : ℝ → ℂ

Context: n : ℤ

Context: hn : n ≠ 0

Context: hf : ContinuousOn f [[a, b]]

Context: hf' : IntervalIntegrable f' volume a b

Context: hT : Fact (0 < b - a)

Context: s2 : ↑b = ↑a


Context:
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s


Context:
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0


Context:
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ k.primeFactorsList


Context:
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : Prime p ∧ p ∣ k


Context: l r : List Char

{ data := l ++ r }.offsetOfPos { byteIdx := utf8Len l } = l.length


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : r ≤ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : 0 < r


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝² : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ i j

Context: i' : ι

Context: j' : α i'

(single i (single j x)).sigmaUncurry ⟨i', j'⟩ = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ i j

Context: i' : ι

Context: j' : α i'

((single i (single j x)) i') j' = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ i j

Context: j' : α i

((single i (single j x)) i) j' = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i, j'⟩


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: κ : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: δ : (i : ι) → α i → Type v

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

Context: i : ι

Context: j : α i

Context: x : δ i j

Context: i' : ι

Context: j' : α i'

Context: hi : i ≠ i'


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d


Context:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))


PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = 𝟙 (X _[n]) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))


𝟙 (X _[n]) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0
this : CharZero R


Context:
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0
this : CharZero R
val✝ : Fintype R


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: e' : PartialHomeomorph M' H'

Context: f f₁ : M → M'

Context: s s₁ t : Set M

Context: x : M

Context: m n : ℕ∞

Context: c : M'

Context: inst✝ : One M'


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R 2
x : R


Context: a b c : Ordinal.{u}


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
p : γ → Prop
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : (a :: l₁).length = (b :: l₂).length

Forall p (zipWith f (a :: l₁) (b :: l₂)) ↔ Forall₂ (fun x y => p (f x y)) (a :: l₁) (b :: l₂)


Context:
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
p : γ → Prop
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : l₁.length = l₂.length


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f
n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : HomologyMapData φ h₁ h₂

h.left.φH ≫ h₂.iso.hom = h₁.iso.hom ≫ h.right.φH


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
j : J


(G.mapCone (cone F)).π.app j = G.map (π F j)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α

(sum m) t = (sum m) (t ∩ s) + (sum m) (t \ s)


Context: p q : ℚ


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
a✝ : R[X]


(a✝.sum fun e a => a * r ^ e) = a✝.sum (smul_pow r)


Context:
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
j : ℤ
g : G
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : α
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
w : Set α
w_nhds : w ∈ 𝓝 x
hw : IntegrableOn f w μ

∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, IntegrableOn f a μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : α
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
w : Set α
w_nhds : w ∈ 𝓝 x
hw : IntegrableOn f w μ
a : Set α
ha : a ⊆ w


Context:
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h₂ : r.blt b' = true
h : ↑r + m = a


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: inst✝ : IsSemisimpleRing R

Context: this✝ : Module R S := Module.compHom S f

Context: this : RingHomSurjective f

Context: e : S →ₛₗ[f] S := let __src := AddMonoidHom.id S; { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: S : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: inst✝⁵ : Ring S

Context: M : Type u_4

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: m : Submodule R M

Context: N : Type u_5

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: f : R →+* S

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: inst✝ : IsSemisimpleRing R

Context: this : RingHomSurjective f


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : IsClosed s
hs : s.Nonempty


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ

(minpolyDiv R x).coeff i ∈ Algebra.adjoin R {x}


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.69654

Context: L : Type ?u.69657

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x✝ : S

Context: hx : IsIntegral R x✝

Context: x : S

Context: i : ℕ

Context: H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.69654

Context: L : Type ?u.69657

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x✝ : S

Context: hx : IsIntegral R x✝

Context: x : S

Context: i : ℕ

Context: this : ∀ (j : ℕ), (minpolyDiv R x).coeff (i + j) ∉ Algebra.adjoin R {x}


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.69654

Context: L : Type ?u.69657

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x✝ : S

Context: hx : IsIntegral R x✝

Context: x : S

Context: i : ℕ

(minpolyDiv R x).coeff (i + ((minpolyDiv R x).natDegree + 1)) ∈ Algebra.adjoin R {x}


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.69654

Context: L : Type ?u.69657

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x✝ : S

Context: hx : IsIntegral R x✝

Context: x : S

Context: i : ℕ


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.69654

Context: L : Type ?u.69657

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra K L

Context: x✝ : S

Context: hx : IsIntegral R x✝

Context: x : S

Context: i : ℕ

(minpolyDiv R x).natDegree < i + ((minpolyDiv R x).natDegree + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R


Context:
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : β → γ
g : α →𝒄 Part β
x✝ : α

f <$> g x✝ = (g.bind (const (pure ∘ f))) x✝


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: A B : Subgroup G

Context: φ : ↥A ≃* ↥B

Context: H : Type u_2

Context: inst✝² : Group H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝¹ : Monoid M

Context: d : TransversalPair G A B

Context: inst✝ : DecidableEq G

Context: g : G

Context: u : ℤˣ

Context: w : NormalWord d

Context: h1 : w.head ∈ d.set u

Context: h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'

ReducedWord.prod φ (cons g u w h1 h2).toReducedWord = of g * (t ^ ↑u * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v

⇑(v.toOrthonormalBasis hv) = ⇑(v.toOrthonormalBasis hv).toBasis


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ s


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K


re z ≤ 0 ∧ im z = 0 ↔ ∃ x ≤ 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z


Context:
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : (ofSpanSingleton a) ⟨a, ⋯⟩ = 0


Context: R : Type uR

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type uA

Context: inst✝² : AddCommGroup A

Context: A' : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup A'

Context: B : Type uB

Context: inst✝ : AddCommGroup B

Context: a : A

Context: h : ∃ n, n • 1 = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹


Context: R : Type uR

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type uA

Context: inst✝² : AddCommGroup A

Context: A' : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup A'

Context: B : Type uB

Context: inst✝ : AddCommGroup B

Context: a : A

Context: n : ℤ

Context: hn : (n • 1).den = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den


Context: R : Type uR

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type uA

Context: inst✝² : AddCommGroup A

Context: A' : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup A'

Context: B : Type uB

Context: inst✝ : AddCommGroup B

Context: a : A

Context: n : ℤ

Context: hn : 1 = if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a


Context: R : Type uR

Context: inst✝³ : CommRing R

Context: A : Type uA

Context: inst✝² : AddCommGroup A

Context: A' : Type u_1

Context: inst✝¹ : AddCommGroup A'

Context: B : Type uB

Context: inst✝ : AddCommGroup B

Context: a : A

Context: n : ℤ

Context: hn : 1 = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den

0 < if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Group G✝

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: f : α → G✝

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)

Context: hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

Context: hright : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)

Context: x₀ : G

map (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) = 𝓝 1


Context: G✝ : Type w

Context: H : Type x

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝

Context: inst✝⁴ : Group G✝

Context: inst✝³ : TopologicalGroup G✝

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: f : α → G✝

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: G : Type u

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : TopologicalSpace G

Context: x₀ : G

map ((fun x => x * x₀⁻¹) ∘ fun x => x * x₀) (𝓝 1) = 𝓝 1


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n


Context:
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
this : n ≠ 0


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

ContinuousOn (↑(hf.toPartialEquiv hc).symm) (f '' s)


Continuous ((f '' s).restrict ↑(hf.toPartialEquiv hc).symm)


MapsTo (hf.toPartialEquiv hc).invFun (hf.toPartialEquiv hc).target s


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Nontrivial A
pb : PowerBasis A S


Context: a b : ℕ

↑a ⋖ ↑b ↔ a ⋖ b


Context: a b : ℕ


Context:
r θ : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : θ ∈ Ioo (-π) π


Context:
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : 0 ∈ Ioo (-π) π


Context:
r θ : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
hθ : θ ∈ Ioo (-π) π
h'θ : θ ≠ 0


Context: x y : ℝ

Context: hxy : (x, y) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}

(fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) (x, y) ∈ Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π


Context: x y : ℝ

0 < x ^ 2 + y ^ 2 ∧ (0 ≤ (Complex.equivRealProd.symm (x, y)).re ∨ (Complex.equivRealProd.symm (x, y)).im ≠ 0)


(fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) ((fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) (r, θ)) = (r, θ)


√((r * cos θ) ^ 2 + (r * sin θ) ^ 2) = r ∧ (Complex.equivRealProd.symm (r * cos θ, r * sin θ)).arg = θ


Context: x y : ℝ

Context: a✝ : (x, y) ∈ {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}

(fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2)) ((fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg)) (x, y)) = (x, y)


Context: x y : ℝ

Context: A : √(x ^ 2 + y ^ 2) = Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I)


Context: x y : ℝ

Context: Z : ↑(Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I)) * (Complex.cos ↑(↑x + ↑y * Complex.I).arg + Complex.sin ↑(↑x + ↑y * Complex.I).arg * Complex.I) = ↑x + ↑y * Complex.I


Context: x y : ℝ

Context: Z : ↑(Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I) * cos (↑x + ↑y * Complex.I).arg) + ↑(Complex.abs (↑x + ↑y * Complex.I) * sin (↑x + ↑y * Complex.I).arg) * Complex.I = ↑x + ↑y * Complex.I


ContinuousOn ↑{ toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ } { toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source


ContinuousOn (fun x => (Complex.equivRealProd.symm x).arg) { toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source


Context: A : MapsTo (⇑Complex.equivRealProd.symm) ({q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}) Complex.slitPlane


Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ Complex.slitPlane

ContinuousWithinAt Complex.arg Complex.slitPlane z


ContinuousOn ⇑Complex.equivRealProd.symm { toFun := fun q => (√(q.1 ^ 2 + q.2 ^ 2), (Complex.equivRealProd.symm q).arg), invFun := fun p => (p.1 * cos p.2, p.1 * sin p.2), source := {q | 0 < q.1} ∪ {q | q.2 ≠ 0}, target := Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E

EMetric.diam ((convexHull ℝ) s) = EMetric.diam s


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
y : E
hy : y ∈ (convexHull ℝ) s


Context:
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
y : E
hy : y ∈ (convexHull ℝ) s
x' : E
hx' : x' ∈ s
y' : E
hy' : y' ∈ s
H : dist x y ≤ dist x' y'


ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ EMetric.diam s


ENNReal.ofReal (dist x' y') ≤ EMetric.diam s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G✝ : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
G : Type u_9
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup G
f : ι → G
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing P
inst✝⁶ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
K : Type u_3
K' : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field K'
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I✝ J : FractionalIdeal R⁰ K
h : K →ₐ[R] K'
I : Ideal R


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → α → β
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: f : Perm (Fin n)

Context: a₁ a₂ : Fin n

Context: ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ ↑(finPairsLT n)

Context: b₁ b₂ : Fin n

Context: hb : ⟨b₁, b₂⟩ ∈ ↑(finPairsLT n)

Context: h : (if f a₂ < f a₁ then ⟨f a₁, f a₂⟩ else ⟨f a₂, f a₁⟩) = if f b₂ < f b₁ then ⟨f b₁, f b₂⟩ else ⟨f b₂, f b₁⟩

⟨a₁, a₂⟩ = ⟨b₁, b₂⟩


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: f : Perm (Fin n)

Context: a₁ a₂ : Fin n

Context: ha : ⟨a₁, a₂⟩.snd < ⟨a₁, a₂⟩.fst

Context: b₁ b₂ : Fin n

Context: hb : ⟨b₁, b₂⟩.snd < ⟨b₁, b₂⟩.fst

⟨a₁, a₂⟩ = ⟨b₁, b₂⟩


Context: α : Type u

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: β : Type v

Context: n : ℕ

Context: f : Perm (Fin n)

Context: a₁ a₂ : Fin n

Context: ha : ⟨a₁, a₂⟩.snd < ⟨a₁, a₂⟩.fst

Context: b₁ b₂ : Fin n

Context: hb : ⟨b₁, b₂⟩.snd < ⟨b₁, b₂⟩.fst

Context: this : ¬b₁ < b₂

⟨a₁, a₂⟩ = ⟨b₁, b₂⟩


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
a₁ a₂ b₁ b₂ : Fin n
ha : b₁ < b₂
hb : b₂ < b₁
this : b₂ ≤ b₁
h✝¹ : f b₁ < f b₂
h✝ : f b₁ ≤ f b₂
h : a₁ = b₂ ∧ a₂ = b₁


Context:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
a₁ a₂ b₁ b₂ : Fin n
ha : b₁ < b₂
hb : b₂ < b₁
this : b₂ ≤ b₁
h✝¹ : f b₂ ≤ f b₁
h✝ : f b₂ < f b₁
h : a₂ = b₁ ∧ a₁ = b₂


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
x✝ : l₁.reverse <:+ l₂.reverse
r : List α✝
e : r ++ l₁.reverse = l₂.reverse


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
x✝ : l₁ <+: l₂
r : List α✝
e : l₁ ++ r = l₂


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : G

((leftRegular G ⊗ X).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) = (fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g x₁ : G
x₂ : X.V

((leftRegular G ⊗ X).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) (x₁, x₂) = ((fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g) (x₁, x₂)


(((leftRegular G ⊗ X).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) (x₁, x₂)).2 = (((fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g) (x₁, x₂)).2


(X.ρ (g * x₁)⁻¹ * X.ρ g) x₂ = X.ρ (x₁, x₂).1⁻¹ (x₁, x₂).2


((leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) = (fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ X).ρ g


((leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) (x₁, x₂) = ((fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ X).ρ g) (x₁, x₂)


(((leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).ρ g ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) (x₁, x₂)).2 = (((fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) ≫ (leftRegular G ⊗ X).ρ g) (x₁, x₂)).2


((((leftRegular G).ρ g ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }.ρ g) ≫ fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) (x₁, x₂)).2 = (((fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2)) ≫ ((leftRegular G).ρ g ⊗ X.ρ g)) (x₁, x₂)).2


X.ρ ((leftRegular G).ρ g x₁) x₂ = X.ρ g (X.ρ x₁ x₂)


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)

({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ }).hom = (𝟙 (leftRegular G ⊗ X)).hom


Context:
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
G : Type u
inst✝ : Group G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
x : (leftRegular G ⊗ X).V

({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ }).hom x = (𝟙 (leftRegular G ⊗ X)).hom x


(({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ }).hom x).2 = ((𝟙 (leftRegular G ⊗ X)).hom x).2


({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ }).hom = (𝟙 (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 })).hom


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝¹ : LargeCategory V

Context: G✝ : MonCat

Context: G : Type u

Context: inst✝ : Group G

Context: X : Action (Type u) (MonCat.of G)

Context: x : (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 }).V

({ hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1 g.2), comm := ⋯ } ≫ { hom := fun g => (g.1, X.ρ g.1⁻¹ g.2), comm := ⋯ }).hom x = (𝟙 (leftRegular G ⊗ { V := X.V, ρ := 1 })).hom x


Context: V : Type (u + 1)

Context: inst✝¹ : LargeCategory V

Context: G✝ : MonCat

Context: G : Type u

Context: inst✝ : Group G

Context: X : Action (Type u) (MonCat.of G)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A

toSubmodule S * toSubmodule S = toSubmodule S


toSubmodule S * toSubmodule S ≤ toSubmodule S


toSubmodule S ≤ toSubmodule S * toSubmodule S


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s t : Set α

Context: hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ∅ ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: T : ℕ → Set α

Context: hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable

Context: hsT : ∀ (n : ℕ), s ⊆ ⋃ x ∈ T n, closedBall x (↑n)⁻¹

Context: f : ℝ≥0∞ → α → α

Context: hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s

Context: hf : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), closedBall x r ∩ s ⊆ closedBall (f r x) (r * 2)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: T : ℕ → Set α

Context: hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable

Context: f : ℝ≥0∞ → α → α

Context: hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y z : α

Context: ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: T : ℕ → Set α

Context: hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable

Context: f : ℝ≥0∞ → α → α

Context: hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

∃ y ∈ ⋃ n, f (↑n)⁻¹ '' T n, edist x y < ε


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y z : α

Context: ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: T : ℕ → Set α

Context: hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable

Context: f : ℝ≥0∞ → α → α

Context: hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : (↑n)⁻¹ < ε / 2


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t s : Set α

Context: x₀ : α

Context: hx₀ : x₀ ∈ s

Context: T : ℕ → Set α

Context: hTc : ∀ (n : ℕ), (T n).Countable

Context: f : ℝ≥0∞ → α → α

Context: hfs : ∀ (r : ℝ≥0∞) (x : α), f r x ∈ s

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε > 0

Context: n : ℕ

Context: hn : (↑n)⁻¹ < ε / 2

Context: y : α

Context: hyn : y ∈ T n

Context: hyx : x ∈ closedBall y (↑n)⁻¹


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0

∫ (x : X) in s ∪ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht : IntegrableOn f t μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht : IntegrableOn f t μ

Context: H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝² : MeasurableSpace X

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f g : X → E

Context: s t : Set X

Context: μ ν : Measure X

Context: l l' : Filter X

Context: ht : IntegrableOn f t μ

Context: H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ

Context: f' : X → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯


Context:
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : orderOf a ^ 2 ∣ n

a • approxOrderOf A n δ = approxOrderOf A n δ


⋃ i, ⋃ (_ : orderOf i = n), ball (a * i) δ = ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = n), ball x δ


Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup A

Context: a : A

Context: m n : ℕ

Context: δ : ℝ

Context: hn : 0 < n

Context: han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n


Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup A

Context: a : A

Context: m n : ℕ

Context: δ : ℝ

Context: hn : 0 < n

Context: f : ↑{b | orderOf b = n} → ↑{b | orderOf b = n} := fun b => ⟨a * ↑b, ⋯⟩


Context: A : Type u_1

Context: inst✝ : SeminormedCommGroup A

Context: a : A

Context: m n : ℕ

Context: δ : ℝ

Context: hn : 0 < n

Context: hf : Surjective f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K : Set γ
hK : IsCompact K
μ : Measure γ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq M

(f.update a b).support ⊆ insert a f.support


(if b = 0 then f.support.erase a else insert a f.support) ⊆ insert a f.support


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)


IsLocalization (Submonoid.powers f) ↑Γ(Spec Γ(X, U), PrimeSpectrum.basicOpen f)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

Context: e_1✝ : ↑Γ(Spec Γ(X, U), PrimeSpectrum.basicOpen f) = ↑((structureSheaf ↑Γ(X, U)).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))

Context: he✝ : CommRing.toCommSemiring = CommRing.toCommSemiring

(asIso (hU.basicOpenSectionsToAffine f)).commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (unop (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

CommRingCat.ofHom (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ≫ CommRingCat.ofHom (hU.basicOpenSectionsToAffine f) = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (unop (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ hU.basicOpenSectionsToAffine f = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (PrimeSpectrum.basicOpen f)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ hU.fromSpec.val.c.app (op (X.basicOpen f)) ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (PrimeSpectrum.basicOpen f)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map ((Opens.map hU.fromSpec.val.base).map (homOfLE ⋯).op.unop).op ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (PrimeSpectrum.basicOpen f)


Context: X Y : Scheme

Context: U : X.Opens

Context: hU : IsAffineOpen U

Context: f : ↑Γ(X, U)

(Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map hU.fromSpec.val.base).map (homOfLE ⋯).op.unop ≫ eqToHom ⋯).op = StructureSheaf.toOpen (↑Γ(X, U)) (PrimeSpectrum.basicOpen f)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: f : E → F

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: i : ℕ

Context: this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑{ toLinearEquiv := g.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f✝ f₁ : E → F

Context: g✝ : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: b : E × F → G

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G

Context: f : E → F

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: i : ℕ

‖(↑{ toLinearEquiv := g.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖


Context:
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
ih : n.bits.length = n.size


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
a : G


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F


(starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 + (starRingEnd 𝕜) ⟪z, x⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪x, z⟫_𝕜


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l : List α

sublistsLen (n + 1) (a :: l) <+ (a :: l).sublists'


sublistsLen (n + 1) l ++ map (cons a) (sublistsLen n l) <+ l.sublists' ++ map (cons a) l.sublists'


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a✝ b✝ : α
hn : 0 ≤ n
a b : α
hab : a ≤ b


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C
n : ℕ

HomologicalComplex.ExactAt (ofCocomplex Z) (n + 1)


(HomologicalComplex.sc' (ofCocomplex Z) n (n + 1) (n + 1 + 1)).Exact


(ShortComplex.mk ((CochainComplex.of (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).X₁) (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).f) ⋯).d n (n + 1)) ((CochainComplex.of (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).X₁) (fun n => (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).f) ⋯).d (n + 1) (n + 1 + 1)) ⋯).Exact


(ShortComplex.mk (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) n).f (CochainComplex.mkAux (under Z) (syzygies (Injective.ι Z)) (syzygies (d (Injective.ι Z))) (d (Injective.ι Z)) (d (d (Injective.ι Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.g, ⟨d S.g, ⋯⟩⟩) (n + 1)).f ⋯).Exact


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α

(s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_7
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → α

(∅.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (∅.pi t).sup fun g => ∅.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: ih : (s.inf fun i => (t i).sup (f i)) = (s.pi t).sup fun g => s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)

((insert i s).inf fun i => (t i).sup (f i)) = ((insert i s).pi t).sup fun g => (insert i s).attach.inf fun i_1 => f (↑i_1) (g ↑i_1 ⋯)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

((t i ×ˢ s.pi t).sup fun i_1 => f i i_1.1 ⊓ s.attach.inf fun i_2 => f (↑i_2) (i_1.2 ↑i_2 ⋯)) = ((insert i s).pi t).sup fun g => (insert ⟨i, ⋯⟩ (image (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach)).inf fun i_1 => f (↑i_1) (g ↑i_1 ⋯)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: c : α

((t i ×ˢ s.pi t).sup fun i_1 => f i i_1.1 ⊓ s.attach.inf fun i_2 => f (↑i_2) (i_1.2 ↑i_2 ⋯)) ≤ c ↔ (((insert i s).pi t).sup fun g => (insert ⟨i, ⋯⟩ (image (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach)).inf fun i_1 => f (↑i_1) (g ↑i_1 ⋯)) ≤ c


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: c : α

(∀ (a : κ i) (b : (a : ι) → a ∈ s → κ a), a ∈ t i → (∀ (a : ι) (h : a ∈ s), b a h ∈ t a) → (f i a ⊓ s.attach.inf fun i => f (↑i) (b ↑i ⋯)) ≤ c) ↔ ∀ (b : (a : ι) → a ∈ insert i s → κ a), (∀ (a : ι) (h : a ∈ insert i s), b a h ∈ t a) → f i (b i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) (b ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: c : α

Context: h : ∀ (b : (a : ι) → a ∈ insert i s → κ a), (∀ (a : ι) (h : a ∈ insert i s), b a h ∈ t a) → f i (b i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) (b ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c

Context: a : κ i

Context: g : (a : ι) → a ∈ s → κ a

Context: ha : a ∈ t i

Context: hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a

(f i a ⊓ s.attach.inf fun i => f (↑i) (g ↑i ⋯)) ≤ c


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: c : α

Context: a : κ i

Context: g : (a : ι) → a ∈ s → κ a

Context: ha : a ∈ t i

Context: hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a

Context: aux : ∀ (j : { x // x ∈ s }), ↑j ≠ i


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: c : α

Context: a : κ i

Context: g : (a : ι) → a ∈ s → κ a

Context: ha : a ∈ t i

Context: hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a

Context: aux : ∀ (j : { x // x ∈ s }), ↑j ≠ i

Context: this : f i ((fun j hj => if hji : j = i then cast ⋯ a else g j ⋯) i ⋯) ⊓ s.attach.inf ((fun i_1 => f (↑i_1) ((fun j hj => if hji : j = i then cast ⋯ a else g j ⋯) ↑i_1 ⋯)) ∘ fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ≤ c


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: c : α

Context: a : κ i

Context: g : (a : ι) → a ∈ s → κ a

Context: ha : a ∈ t i

Context: hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a

Context: aux : ∀ (j : { x // x ∈ s }), ↑j ≠ i

Context: j : ι

Context: hj : j ∈ insert i s

(fun j hj => if hji : j = i then cast ⋯ a else g j ⋯) j hj ∈ t j


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ✝ : Type u_6

Context: inst✝² : DistribLattice α

Context: inst✝¹ : BoundedOrder α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: κ : ι → Type u_7

Context: t : (i : ι) → Finset (κ i)

Context: f : (i : ι) → κ i → α

Context: i : ι

Context: s : Finset ι

Context: hi : i ∉ s

Context: c : α

Context: a : κ i

Context: g : (a : ι) → a ∈ s → κ a

Context: ha : a ∈ t i

Context: hg : ∀ (a : ι) (h : a ∈ s), g a h ∈ t a

Context: aux : ∀ (j : { x // x ∈ s }), ↑j ≠ i

Context: j : ι

Context: hj✝ : j ∈ insert i s

Context: hj : j = i ∨ j ∈ s

(fun j hj => if hji : j = i then cast ⋯ a else g j ⋯) j hj✝ ∈ t j


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ

volume (Metric.closedBall x ε) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T


Context:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: ε : ℝ

Context: hT' : |T| = T

Context: I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)

Context: h₁ : ε < T / 2 → Metric.closedBall 0 ε ∩ I = Metric.closedBall 0 ε


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: ε : ℝ

Context: hT' : |T| = T

Context: I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)

Context: h₂ : QuotientAddGroup.mk ⁻¹' Metric.closedBall 0 ε ∩ I = if ε < T / 2 then Metric.closedBall 0 ε else I


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: x : AddCircle T

Context: ε : ℝ

Context: hT' : |T| = T

Context: I : Set ℝ := Ioc (-(T / 2)) (T / 2)

volume (if ε < T / 2 then Metric.closedBall 0 ε else I) = ENNReal.ofReal (min T (2 * ε))


Context: θ : Angle

-θ ≠ θ ↔ θ ≠ 0 ∧ θ ≠ ↑π


Context: z τ : ℂ

(Summable fun x => jacobiTheta₂_term x z τ) ↔ 0 < τ.im


Context:
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

Summable fun x => jacobiTheta₂_term x z τ


Context: z τ : ℂ

Context: h : Summable fun x => jacobiTheta₂_term x z τ


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
l : List α


Context:
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
l : List α
p : Pairwise R l


Context:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G₁ ⋙ G₂) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₁.counit ((H₁ ⋙ H₂) ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit ((G₁ ⋙ G₂) ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H₁ ⋙ H₂) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (whiskerLeft G₁ β ≫ whiskerRight α H₂)).app b = (whiskerRight ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G₁) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H₁ ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H₁) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α) G₂ ≫ whiskerLeft H₁ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₂ ⋙ G₂) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₂ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₂.counit (H₂ ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₂.unit (G₂ ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₂ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₂ ⋙ H₂) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } β)).app b


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = G₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) ≫ adj₃.unit.app (G₂.obj (R₂.obj (H₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = ((adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (L₃.map ((G₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ G₂.map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))))) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = ((adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (L₃.map (G₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (L₃.map (G₂.map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))))) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ (L₂ ⋙ H₂).map ((adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj (L₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (𝟭 D).map (H₁.map (adj₁.counit.app b))))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj (L₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (𝟭 D).map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))


adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (R₃.map (H₂.map (𝟙 (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : G

g ^ n = g ^ (n % exponent G + exponent G * (n / exponent G))


Context:
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : G

g ^ (n % exponent G + exponent G * (n / exponent G)) = g ^ (n % exponent G)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : ZeroHom N P
f₂ : ZeroHom M N


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(rootSpace H χ₁)
y : ↥(rootSpace H χ₂)

↑((rootSpaceProduct R L H χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] y)) = ⁅↑x, ↑y⁆


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a₁ b₁ a₂ b₂ : α

[a₁, b₁].Perm [a₂, b₂] → a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ a₁ = b₂ ∧ b₁ = a₂


a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ ¬a₁ = a₂ ∧ b₁ = a₂ ∧ b₂ = a₁ → a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ a₁ = b₂ ∧ b₁ = a₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a₁ b₁ a₂ b₂ : α
h₁ : a₁ = b₂
h₂ : b₁ = a₂


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ ↪ τ
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ

coeff (embDomain f d) ((rename ⇑f) φ) = coeff d φ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
h : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval h.gen) p = 0


Context:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s

(∃ i, p i ∧ (f '' s i).Subsingleton) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s i, f x = f y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s✝ t : Set α
x✝ y z : α
s : Set α
x : αᵒᵈ

(x ∈ range fun x => ⋯.some) ↔ x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' range fun x => ⋯.some


(∃ a, ∃ (h : a ∈ s), ⋯.some = x) ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∈ s), ⋯.some = ofDual x


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C

((fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) ≫ fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) = 𝟙 (Cone F)


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
X : Cone F

((fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) ≫ fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) X = 𝟙 (Cone F) X


((fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) ≫ fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) = 𝟙 ((X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X)


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
X : (X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X

((fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) ≫ fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) X = 𝟙 ((X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X) X


Context: z w : ℂ


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: U : Ultrafilter M

Context: U_idem : U * U = U

Context: s₀ : Set M

Context: sU : s₀ ∈ U

Context: exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: U : Ultrafilter M

Context: U_idem : U * U = U

Context: s₀ : Set M

Context: sU : s₀ ∈ U

Context: elem : { s // s ∈ U } → M := fun p => ⋯.some


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: U : Ultrafilter M

Context: U_idem : U * U = U

Context: s₀ : Set M

Context: sU : s₀ ∈ U

Context: succ : { s // s ∈ U } → { s // s ∈ U } := fun p => ⟨↑p ∩ {m | elem p * m ∈ ↑p}, ⋯⟩


Context: M : Type u_1

Context: inst✝ : Semigroup M

Context: U : Ultrafilter M

Context: U_idem : U * U = U

Context: s₀ : Set M

Context: sU : s₀ ∈ U

FP (Stream'.corec elem succ ⟨s₀, sU⟩) ⊆ s₀


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f.f
U : C

inv f.f ▷ U ≫ (X.snd.β U).hom = (Y.snd.β U).hom ≫ U ◁ inv f.f


Context:
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y z : α
f : x ⟶ z
g : y ⟶ z

limit (cospan f g) = Finset.univ.inf (cospan f g).obj


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, u (k + 1) < c * u k


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0
hch : ↑(ringChar R) = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0
hch : ↑(ringChar R) = 0
hp : Nat.Prime p


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap ∈ Lp E p μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x‖ ≤ ‖f‖


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : α →ᵇ E

Context: x : α

Context: a✝ : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x

‖↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x‖ ≤ ‖f‖


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''

∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C cofinite f g''


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite