Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S

(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₁ s₁) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₂ s₂) ↔ ∃ s, s • s₁ • m₂ = s • s₂ • m₁


(∃ u, u • s₂ • m₁ = u • s₁ • m₂) ↔ ∃ s, s • s₁ • m₂ = s • s₂ • m₁


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: t : Set R

Context: ht : span t = ⊤

Context: H : ∀ (g : ↑t), (map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I).FG


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: t : Set R

Context: ht : span t = ⊤


Context: R : Type u

Context: inst✝ : CommRing R

Context: I : Ideal R

Context: t : Set R

Context: ht : span t = ⊤

Context: k : (g : ↑t) → ↥I →ₗ[R] ↥(map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I) := fun g => Algebra.idealMap (Localization.Away ↑g) I


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s t : Set E
c c' : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

LipschitzWith (‖f'‖₊ + c) (s.restrict f)


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
k : αˣ
h : IsUnit A.det


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A

↑((selfAdjointPart ℝ) a) = 2⁻¹ • (a + star a)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y


Context:
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y
i : ℕ
hi : i < n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

Context: hf : ∀ {i : Ordinal.{u}} (h : i < o), f i h ≠ o.bsup f

Context: a : Ordinal.{max u v}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: r : α → α → Prop

Context: s : β → β → Prop

Context: t : γ → γ → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hf : ∀ {i : Ordinal.{u}} (h : i < o), f i h ≠ sup (o.familyOfBFamily f)

Context: a : Ordinal.{max u v}

a < sup (o.familyOfBFamily f) → succ a < sup (o.familyOfBFamily f)


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : ι → α

Context: p : Finset ι → Prop

Context: h0 : p ∅

Context: step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)

Context: s : Finset ι

Context: ihs : ∀ t ⊂ s, p t


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : ι → α

Context: p : Finset ι → Prop

Context: h0 : p ∅

Context: s : Finset ι

Context: ihs : ∀ t ⊂ s, p t

Context: hne : image f s = ∅


Context: F : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: κ : Type u_6

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: inst✝¹ : LinearOrder β

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f : ι → α

Context: p : Finset ι → Prop

Context: h0 : p ∅

Context: s : Finset ι

Context: ihs : ∀ t ⊂ s, p t

Context: hne : (image f s).Nonempty


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

(blimsup u f fun x => True) = limsup u f


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: r : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: p q : MvPolynomial σ R

Context: ι : Type u_3

Context: t : Finset ι

Context: φ : ι → MvPolynomial σ R

Context: inst✝ : DecidableEq σ

Context: h : Pairwise (Disjoint on fun i => (φ i).vars)

(∑ i ∈ t, φ i).vars = t.biUnion fun i => (φ i).vars


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x : t β
η : ApplicativeTransformation F G
f : α → F β
x✝ : t α

traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x✝ = ((fun {α} => η.app α) ∘ traverse f) x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : Associates α


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ


∀ (y : Fin n → M), (ιMulti R n) y ∈ ↑(⋀[R]^n M)


Context:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M


(List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(⋀[R]^n M)


(List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n


∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod


Context:
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: hx : ∀ (φ : K →+* ℂ), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)

Context: c : index K

↑(((stdBasis K).repr ((commMap K) x)) c) = (matrixToStdBasis K *ᵥ x ∘ ⇑(indexEquiv K)) c


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: x : (K →+* ℂ) → ℂ

Context: c : index K

↑(((stdBasis K).repr (fun w => (x (↑w).embedding).re, fun w => x (↑w).embedding)) c) = ∑ x_1 : { w // w.IsReal }, fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inl x_1) * x (↑x_1).embedding + ∑ x_1 : { w // w.IsComplex }, (fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inr (x_1, 0)) * x (↑x_1).embedding + fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inr (x_1, 1)) * x (ComplexEmbedding.conjugate (↑x_1).embedding))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: p r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTotal α r

Context: f : α → α → β

Context: hsymm : Symmetric p

Context: hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1

Context: hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c

Context: a b c : α

Context: pab : p a b

Context: pbc : p b c

Context: pac : p a c

Context: hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: p r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTotal α r

Context: f : α → α → β

Context: hsymm : Symmetric p

Context: a b c : α

Context: pab : p a b

Context: pbc : p b c

Context: pac : p a c

Context: rbc : r b c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: p r : α → α → Prop

Context: inst✝ : IsTotal α r

Context: f : α → α → β

Context: hsymm : Symmetric p

Context: a b c : α

Context: pab : p a b

Context: pbc : p b c

Context: pac : p a c

Context: rcb : r c b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
h : 0 < a • b
hb : 0 ≤ b


Context:
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty V
inst✝ : Nonempty W

(completeBipartiteGraph V W).chromaticNumber = 2


∀ (C : (completeBipartiteGraph V W).Coloring (Fin 2)), Surjective ⇑C


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ


∀ x_1 ∈ List.range (minimalPeriod f x), ∀ y ∈ List.range (minimalPeriod f x), f^[x_1] x = f^[y] x → x_1 = y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m : ℕ
hm : m ∈ List.range (minimalPeriod f x)
n : ℕ
hn : n ∈ List.range (minimalPeriod f x)
hmn : f^[m] x = f^[n] x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
n : ℕ
hn : n < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : Sub A

Context: inst✝⁴ : OrderedSub A

Context: inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝² : HasAntidiagonal A

Context: n m : A

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m

Context: inst✝ : Decidable (m ≤ n)

Context: this : (fun x => x.2 = m) ∘ Prod.swap = fun x => x.1 = m

filter (fun x => x.2 = m) (antidiagonal n) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Sub A

Context: inst✝⁴ : OrderedSub A

Context: inst✝² : HasAntidiagonal A

Context: n m : A

Context: inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m

Context: inst✝ : Decidable (m ≤ n)

map { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } (filter ((fun x => x.2 = m) ∘ ⇑{ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ }) (antidiagonal n)) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : Group α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : MulAction β α
H : Subgroup α
a : α
q : α ⧸ H

(Quotient.out' q)⁻¹ * a ^ minimalPeriod (fun x => a • x) q * Quotient.out' q ∈ H


Context:
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

(map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)


Context:
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
hq' : φ q ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : One β
s : ι → Set α
hs : Monotone s
f : α → β
a : α

(fun i => (s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ i, s i).mulIndicator f a


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f✝ : Y ⟶ X

Context: S R✝ : Sieve X

Context: f : Y ⟶ X

Context: g : Z ⟶ Y

Context: R : Sieve Z

Context: W : C

Context: h : W ⟶ X

Context: x✝ : (pushforward f (pushforward g R)).arrows h

Context: y : W ⟶ Y

Context: hy : y ≫ f = h

Context: z : W ⟶ Z

Context: hR : z ≫ g = y

Context: hz : R.arrows z


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y Z : C

Context: f✝ : Y ⟶ X

Context: S R✝ : Sieve X

Context: f : Y ⟶ X

Context: g : Z ⟶ Y

Context: R : Sieve Z

Context: W : C

Context: h : W ⟶ X

Context: y : W ⟶ Y

Context: hy : y ≫ f = h

Context: z : W ⟶ Z

Context: hR : z ≫ g = y

Context: hz : R.arrows z


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Subgroup G


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s t : Multiset α
hs : ∃ x ∈ s, x ≠ 0
ht : s = map (fun x => s.gcd * x) t


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s t : Multiset α
ht : s = map (fun x => s.gcd * x) t
hs : s.gcd = 0


Context: x : ℝ


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Opens α

(Closeds.compl ∘ ⇑ofDual) ((⇑toDual ∘ compl) s) = s


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : (Closeds α)ᵒᵈ

(⇑toDual ∘ compl) ((Closeds.compl ∘ ⇑ofDual) s) = s


Context: x y : ℂ

(exp' ((starRingEnd ℂ) x)).lim = (starRingEnd ℂ) (exp' x).lim


Context: x y : ℂ

(exp' ((starRingEnd ℂ) x)).lim = (cauSeqConj (exp' x)).lim


Context:
x y : ℂ
x✝ : ℕ

↑(exp' ((starRingEnd ℂ) x)) x✝ = ↑(cauSeqConj (exp' x)) x✝


Context:
x y : ℂ
x✝ : ℕ

∑ m ∈ range x✝, (starRingEnd ℂ) x ^ m / ↑m.factorial = (starRingEnd ℂ) (∑ m ∈ range x✝, x ^ m / ↑m.factorial)


Context:
x y : ℂ
x✝ : ℕ

∑ m ∈ range x✝, (starRingEnd ℂ) x ^ m / ↑m.factorial = ∑ x_1 ∈ range x✝, (starRingEnd ℂ) (x ^ x_1 / ↑x_1.factorial)


Context:
x y : ℂ
x✝¹ n : ℕ
x✝ : n ∈ range x✝¹

(starRingEnd ℂ) x ^ n / ↑n.factorial = (starRingEnd ℂ) (x ^ n / ↑n.factorial)


Context: x y : ℂ

cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

x ∈ interior s ↔ ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop


Context:
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < (-y).orderTop


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m - 1 = m0 * 2


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m - 1 = m0 * 2
n0 : ℤ
hn2 : n - 1 = n0 * 2


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m = m0 * 2 + 1
n0 : ℤ
hn2 : n = n0 * 2 + 1


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)

Context: h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h20 : 2 ≠ 0


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h20 : 2 ≠ 0

Context: h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h20 : 2 ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs

Context: hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h20 : 2 ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p


Context: m0 n0 : ℤ

Context: hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1

Context: h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1

Context: h20 : 2 ≠ 0

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1


Context:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : f.rOut ≤ dist x c


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
H : n ≤ m


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
H : m ≤ n


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

(𝓝 0).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

Context: this : UniformAddGroup F


Context: 𝕜₁ : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁

Context: inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂

Context: σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : Module 𝕜₂ F

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace F

Context: inst✝ : TopologicalAddGroup F

Context: ι : Type u_5

Context: 𝔖 : Set (Set E)

Context: h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty

Context: p : ι → Prop

Context: b : ι → Set F

Context: h : (𝓝 0).HasBasis p b

Context: this : UniformAddGroup F

(Filter.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) 0))).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s t : Set E

IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t


Context:
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume


Context:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
i j : n

(toMatrixAlgEquiv v₁) f i j = (v₁.repr (f (v₁ j))) i


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true


Context:
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true
this : ↑n / ↑d < -1


Context:
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
hn : x - ↑n ∈ maximalIdeal ℤ_[p]


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x : ℤ_[p]

Context: m n : ℕ

Context: hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}

Context: hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}

Context: this : x - ↑↑m ∈ Ideal.span {↑p ^ 1} → x - ↑↑n ∈ Ideal.span {↑p ^ 1} → ↑↑m = ↑↑n


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x : ℤ_[p]

Context: m n : ℕ

Context: hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}

Context: hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}

Context: this : x - ↑↑m ∈ Ideal.span {↑p} → x - ↑↑n ∈ Ideal.span {↑p} → ↑↑m = ↑↑n


Context:
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : ↑↑m = ↑↑n


Context: p : ℕ

Context: hp_prime : Fact (Nat.Prime p)

Context: r : ℚ

Context: x : ℤ_[p]

Context: m n : ℕ

Context: hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}

Context: hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}

Context: this : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑m = (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑n


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1

a + b ≠ ⊤ ↔ a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤


Context: C : Type u

Context: D : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : ConcreteCategory C

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: inst✝¹ : ConcreteCategory D

Context: inst✝ : HasForget₂ C D

Context: X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: x : (forget D).obj ((forget₂ C D).obj X)

((forget₂ C D).map (f ≫ g)) x = ((forget₂ C D).map g) (((forget₂ C D).map f) x)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : 1 < ‖a‖


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : 1 < ‖a‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
r_ball : ball 0 r ⊆ s


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0


(∫ (x : α), f x ∂if a ∈ s then Measure.dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂


(List.filter p l₁).length = (List.filter p l₂).length


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞

∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure 0

∫⁻ (_x : α), ⨍⁻ (a : α), f a ∂0 ∂0 = ∫⁻ (x : α), f x ∂0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : CommMonoid N
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ+
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k : ℕ
m : ℕ+
inst✝ : ExpChar R p
ζ : Rˣ

ζ ^ (p ^ k * ↑m) = 1 ↔ ζ ∈ rootsOfUnity m R


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X

S ∈ (topologyOfClosureOperator J₁.closureOperator ⋯).sieves X ↔ S ∈ J₁.sieves X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s✝ t : Set α
h : Semiconj f fa fb
s : Set β
hb : InjOn fb s
hf : InjOn f (f ⁻¹' s)
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ f ⁻¹' s
H : fa x = fa y
this : f (fa x) = f (fa y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s✝ t : Set α
h : Semiconj f fa fb
s : Set β
hb : InjOn fb s
hf : InjOn f (f ⁻¹' s)
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ f ⁻¹' s
H : fa x = fa y
this : fb (f x) = fb (f y)


Context: C : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_4} D

Context: Φ : Quotient r ⥤ D

Context: H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → (functor r ⋙ Φ).map f₁ = (functor r ⋙ Φ).map f₂


Context: C : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_4} D

Context: Φ : Quotient r ⥤ D

∀ (X : Quotient r), Φ.obj X = (lift r (functor r ⋙ Φ) H).obj X


Context: C : Type u_3

Context: inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C

Context: r : HomRel C

Context: D : Type u_4

Context: inst✝ : Category.{u_2, u_4} D

Context: Φ : Quotient r ⥤ D

∀ (X Y : Quotient r) (f : X ⟶ Y), HEq (Φ.map f) ((lift r (functor r ⋙ Φ) H).map f)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
d : n → R


∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, diagonal d (σ i) i = ∏ i : n, d i


∀ b ∈ univ, b ≠ 1 → ↑↑(sign b) * ∏ i : n, diagonal d (b i) i = 0


1 ∉ univ → ↑↑(sign 1) * ∏ i : n, diagonal d (1 i) i = 0


↑↑(sign 1) * ∏ i : n, diagonal d (1 i) i = ∏ i : n, d i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
x : α

{x_1 | (ker f).Rel x_1 x} ∈ Set.range fun y => {x | f x = y}


∃ y, {x | f x = y} = {x_1 | (ker f).Rel x_1 x}


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ F < ⊤ → limsup (fun i => (μs i) F) L ≤ μ F + ↑ε


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_lim : Tendsto rs atTop (𝓝 0)

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)

Context: rs_lim : (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) ⁻¹' Iio (μ F + ↑ε) ∈ map rs atTop


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)

Context: rs_lim : ∃ a, ∀ b ≥ a, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)

Context: m : ℕ

Context: hm : ∀ b ≥ m, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)

Context: m : ℕ

Context: aux' : ∀ (i : ι), (μs i) F ≤ (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)

Context: m : ℕ

Context: aux : (fun i => (μs i) F) ≤ᶠ[L] fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)

Context: m : ℕ

limsup (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)) L ≤ μ F + ↑ε


Context: Ω✝ : Type u_1

Context: inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝

Context: inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝

Context: Ω : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: L : Filter ι

Context: inst✝⁴ : L.NeBot

Context: inst✝³ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω

Context: inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: μs : ι → Measure Ω

Context: F : Set Ω

Context: F_closed : IsClosed F

Context: rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex

Context: rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: μF_finite : μ F < ⊤

Context: nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)

Context: m : ℕ

μ (Metric.thickening (rs m) F) ≤ μ F + ↑ε


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α

{ ofColex := s \ t } < { ofColex := t \ s } ↔ { ofColex := s } < { ofColex := t }


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this : Unique ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this✝ : Unique ι
this : b default = 1 ∨ b default = -1


(const ι (b default) = fun x => 1) ∨ const ι (b default) = fun x => -1


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : HasCompactSupport f'


Context:
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l

Context: hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b

Context: Ha : a ∈ ↑(a :: l)

Context: Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: Ha : a ∈ ↑(a :: l)

Context: Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: Ha : a ∈ ↑(a :: l)

Context: Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)

(∀ a' ∈ l ++ [a], r a a') ∧ List.Pairwise r (l ++ [a])


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: Ha : a ∈ ↑(a :: l)

Context: Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)

Context: b : α

Context: hb : b ∈ l ++ [a]


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: s : Cycle α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: Ha : a ∈ ↑(a :: l)

Context: Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)

Context: b : α

Context: hb : b ∈ l

Context: c : α

Context: hc : c ∈ [a]


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: p : P

Context: h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤

affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s) = ⊤


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: p : P

(affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)).direction = ⊤.direction


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: p : P

Submodule.span k (range Subtype.val) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s))


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: p : P

range Subtype.val ⊆ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: p : P

Context: v' : { x // x ∈ s }

↑v' ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)


Context: k : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: P : Type u_3

Context: inst✝³ : Ring k

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module k V

Context: inst✝ : AffineSpace V P

Context: ι : Type u_4

Context: s : Set V

Context: p : P

Context: v' : { x // x ∈ s }

↑v' +ᵥ p ∈ {p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s ∧ (fun x => x -ᵥ p) (↑v' +ᵥ p) = ↑v'


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
x y✝ y : (i : ι) → α i

(y ∈ univ.pi fun i => Icc (x i) (y✝ i)) ↔ y ∈ Icc x y✝


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c

(Fork.ι c ≫ let c' := KernelFork.ofι (Fork.ι c) ⋯; let i' := isKernelCompMono i (section_ f) ⋯; let i'' := isLimitForkOfKernelFork i'; (splitMonoOfIdempotentOfIsLimitFork C ⋯ i'').retraction) = 𝟙 c.pt


section_ f ≫ (splitMonoOfIdempotentOfIsLimitFork C ⋯ (isLimitForkOfKernelFork (isKernelCompMono i (section_ f) ⋯))).retraction = 0


section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ι (kernelForkOfFork (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯))) ⋯) = 0


section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitEpi f

Context: c : KernelFork f

Context: i : IsLimit c

Context: this : Mono (Fork.ι c) := mono_of_isLimit_fork i


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsSplitEpi f

Context: c : KernelFork f

Context: i : IsLimit c

(section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯)) ≫ Fork.ι c = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: s : yoneda.obj X ⟶ A

Context: p : OverArrows (yonedaCollectionPresheafToA F) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β

f ×ˢ (g₁ ⊓ g₂) = f ×ˢ g₁ ⊓ f ×ˢ g₂


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: J : Type w

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ C

Context: c₁ : Fan F.obj

Context: c₂ : Fan fun f => F.obj f.fst.2

Context: s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt

Context: hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), s ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.1 } ≫ F.map f.snd

Context: ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), t ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.2 }

Context: i : Fork s t

Context: j₁ j₂ : J

Context: f : j₁ ⟶ j₂

𝟙 i.pt ≫ i.ι ≫ c₁.π.app { as := j₂ } = (i.ι ≫ c₁.π.app { as := j₁ }) ≫ F.map f


Context:
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpa : p ∈ a.primeFactorsList

(a * b).factorization p = a.factorization p


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WOppSide x y


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (c₁ * log x) (c₂ * log x)


Context:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b


∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (1 / 2 * log x) (1 * log x)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb₀ : 0 < b

Context: h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb₀ : 0 < b

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 1 < x

Context: hx : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → -log b < 1 / 2 * log y

∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (1 / 2 * log x) (1 * log x)


Context: f : ℝ → ℝ

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: hb₀ : 0 < b

Context: x : ℝ

Context: hx_pos : 1 < x

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x


Context:
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
x y : M₂

∑ i : n, ∑ j : n, (b.repr x) i • (b.repr y) j • M i j = ∑ i : n, ∑ j : n, (b.repr x) i * M i j * (b.repr y) j


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

∃ p ∈ P, Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) p ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: P : Ideal R[X]

Context: Pb : P ≠ ⊥

Context: hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: m : ↥P

Context: hm : m ≠ 0

Context: pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: P : Ideal R[X]

Context: Pb : P ≠ ⊥

Context: hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: m : ↥P

Context: hm : m ≠ 0

Function.Injective ⇑(mapRingHom (Quotient.mk (comap C P)))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: P : Ideal R[X]

Context: Pb : P ≠ ⊥

Context: hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: m : ↥P

Context: hm : m ≠ 0

RingHom.ker (Quotient.mk (comap C P)) = ⊥


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: I J : Ideal S

Context: P : Ideal R[X]

Context: Pb : P ≠ ⊥

Context: hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

Context: m : ↥P

Context: hm : m ≠ 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : BooleanAlgebra β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : β
b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n i : ℕ
h : i < (enumFrom n l).length


Context: m : ℕ


Context: f✝ f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)


Context: f✝ f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)


Context: f✝ f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

(-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)


Context: f✝ f : ℝ → ℝ

Context: hf✝ : GrowsPolynomially f

Context: b : ℝ

Context: hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

Context: c₁ : ℝ

Context: hc₁_mem : c₁ > 0

Context: c₂ : ℝ

Context: hc₂_mem : c₂ > 0

Context: x : ℝ

Context: u : ℝ

Context: hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
sq : Square C
F : C ⥤ D

F.map sq.f₁₂ ≫ F.map sq.f₂₄ = F.map sq.f₁₃ ≫ F.map sq.f₃₄


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' s' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s s'
hy : y = h x

HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
n : ℕ
f : α ≃ Fin n


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a


Context: n : ℕ


Context:
n : ℕ
this : 3 ≤ n + 3


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ

∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: p : Subspace ℝ E

Context: f : ↥p →L[ℝ] ℝ

Context: g : E →ₗ[ℝ] ℝ

Context: g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x

Context: g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: p : Subspace ℝ E

Context: f : ↥p →L[ℝ] ℝ

Context: g : E →ₗ[ℝ] ℝ

Context: g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖

Context: g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: p : Subspace ℝ E

Context: f : ↥p →L[ℝ] ℝ

Context: g : E →ₗ[ℝ] ℝ

Context: g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖

Context: g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯

Context: x : ↥p


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥p), g ↑x = f x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯
x : ↥p


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F

HasStrictFDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)

Context: inst✝ : S.HasHomology


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : S.HasHomology


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : Preadditive D

Context: S : ShortComplex C

Context: inst✝ : S.HasHomology

Context: this : IsSplitMono S.fromOpcycles


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: n : Type w

Context: inst✝¹ : DecidableEq n

Context: inst✝ : Fintype n

Context: p : (Matrix n n R)[X]

Context: i j : n

Context: k : ℕ

Context: t : p = matPolyEquiv (matPolyEquiv.symm p)

(matPolyEquiv.symm p i j).coeff k = (matPolyEquiv (matPolyEquiv.symm p)).coeff k i j


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AddTorsor V P
a b : P

(homothety a (1 / 2)) b = midpoint k a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s

Integrable (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) μ


AEMeasurable (fun a => ((condDistrib Y X μ) (X a)) s) μ


∫⁻ (x : α), ((condDistrib Y X μ) (X x)) s ∂μ ≠ ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
b : β
x y : α

b ∈ map f s(x, y) ↔ ∃ a ∈ s(x, y), f a = b


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s t : Set α
f : α → E
x : α

‖(s.indicator f - t.indicator f) x‖ = ‖(s ∆ t).indicator f x‖


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
hs : μH[d₂] s = 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
hs : μH[d₁] s = ⊤


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

(WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 5) ∧ WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + 2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)) ∧ (WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 4) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + if Even m then 2 * 3 else 0) ∧ WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + if Even m then 0 else 2 * 3


(2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 6)) = 2 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 2))) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3)) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 5)) ∧ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 6)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 1)) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3)) + 2 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)))) ∧ (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 4 + 1)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)) + 3 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 2))) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 4 + 1)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 1)) + 3 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3))) + 2 * if Even m then 0 else 6


((↑(2 * m + 6) ^ 2 - if Even (2 * m + 6) then 4 else 1) = 2 * (↑(m + 2) ^ 2 - if Even (m + 2) then 4 else 1) + (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + (↑(m + 5) ^ 2 - if Even (m + 5) then 4 else 1) ∧ (↑(2 * m + 6) ^ 2 - if Even (2 * m + 6) then 4 else 1) = (↑(m + 1) ^ 2 - if Even (m + 1) then 4 else 1) + (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + 2 * (↑(m + 4) ^ 2 - if Even (m + 4) then 4 else 1)) ∧ ((↑(2 * m + 4 + 1) ^ 2 - if Even (2 * m + 4 + 1) then 4 else 1) = (↑(m + 4) ^ 2 - if Even (m + 4) then 4 else 1) + 3 * (↑(m + 2) ^ 2 - if Even (m + 2) then 4 else 1) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ (↑(2 * m + 4 + 1) ^ 2 - if Even (2 * m + 4 + 1) then 4 else 1) = (↑(m + 1) ^ 2 - if Even (m + 1) then 4 else 1) + 3 * (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + 2 * if Even m then 0 else 6


((2 * ↑m + 6) ^ 2 - 4 = 2 * ((↑m + 2) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + ((↑m + 5) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) ∧ (2 * ↑m + 6) ^ 2 - 4 = ((↑m + 1) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 2 * ((↑m + 4) ^ 2 - if Even m then 4 else 1)) ∧ ((2 * ↑m + 4 + 1) ^ 2 - 1 = ((↑m + 4) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + 3 * ((↑m + 2) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ (2 * ↑m + 4 + 1) ^ 2 - 1 = ((↑m + 1) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 3 * ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 2 * if Even m then 0 else 6


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F

Context: e : f ≫ h = g ≫ i

Context: H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)

((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).pt ≅ H.cocone.pt


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F

Context: e : f ≫ h = g ≫ i

((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).ι.app WalkingCospan.left ≫ ?refine_1.hom = H.cocone.ι.app WalkingCospan.left


Context: C : Type u₁

Context: inst✝² : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: W X Y Z : C

Context: f : W ⟶ X

Context: g : W ⟶ Y

Context: h : X ⟶ Z

Context: i : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F

Context: e : f ≫ h = g ≫ i

((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).ι.app WalkingCospan.right ≫ ?refine_1.hom = H.cocone.ι.app WalkingCospan.right


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: g : α → E

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

Context: hfg : Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ

(μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal • g x) = (μ.withDensity f).withDensityᵥ g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: E : Type u_3

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: f : α → ℝ≥0∞

Context: g : α → E

Context: hf : AEMeasurable f μ

Context: hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

(μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal • g x) = μ.withDensityᵥ ((fun x => (f x).toNNReal) • g)


Context:
r : ℝ
n : ℕ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Finite
hs : ∀ i ∈ t, (s i).Finite
he : ∀ i ∉ t, s i = ∅


Context:
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Finite
hs : ∀ i ∈ t, (s i).Finite
he : ∀ i ∉ t, s i = ∅
i : ι
x : α
hx : x ∈ s i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β

(SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' s) ↔ G.IsClique s


(s.Subsingleton ∨ ∃ s_1, G.IsClique s_1 ∧ ⇑f '' s_1 = ⇑f '' s) ↔ G.IsClique s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
hs : s.Subsingleton


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
hs : s.Nontrivial


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ s


Context:
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ici a


Context:
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'

F.map (𝟙 X, g) ≫ F.map (f, 𝟙 Y') = F.map (f, g)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hv : Function.Injective v

Context: f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv

Orthonormal 𝕜 Subtype.val ↔ Orthonormal 𝕜 v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hv : Function.Injective v

Context: h : Orthonormal 𝕜 v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: v : ι → E

Context: hv : Function.Injective v

Context: h : Orthonormal 𝕜 v

Orthonormal 𝕜 (v ∘ ⇑(Equiv.ofInjective v hv).symm)


Context: x : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x : Fin n → ℕ

Context: f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x : Fin n → ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x✝ : Fin n → ℕ

Context: x : Fin n → ℕ

x ∈ ↑(sphere n d k) → x ∈ ⇑f ⁻¹' Metric.sphere 0 √↑k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d k N : ℕ

Context: x✝ : Fin n → ℕ

Context: x : Fin n → ℕ


Context:
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
x✝ : (forget TopCat).obj X

(f.toContinuousMap ≫ f.symm.toContinuousMap) x✝ = (𝟙 X) x✝


Context:
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
x✝ : (forget TopCat).obj Y

(f.symm.toContinuousMap ≫ f.toContinuousMap) x✝ = (𝟙 Y) x✝


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x

∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle Cᵒᵖ

T ∈ distinguishedTriangles C ↔ T.rotate ∈ distinguishedTriangles C


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle Cᵒᵖ

Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T.rotate)).rotate ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I₁ ≤ I
h₂ : I₂ ≤ I

⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆


comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I ⊓ I₁ = I₁
h₂ : I ⊓ I₂ = I₂


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
h : a ~ᵤ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M

Context: n : ℕ

Context: t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)

Context: v : β → M

Context: xs : Fin n → M

realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs) (constantsVarsEquivLeft t) = realize (Sum.elim v xs) t


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: n : ℕ

Context: t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)

Context: v : β → M

Context: xs : Fin n → M

realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc α β (Fin n)).symm) t.constantsToVars = realize (Sum.elim v xs) t


Context: L : Language

Context: L' : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁴ : L.Structure M

Context: inst✝³ : L.Structure N

Context: inst✝² : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝¹ : L[[α]].Structure M

Context: n : ℕ

Context: t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)

Context: v : β → M

Context: xs : Fin n → M

realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc α β (Fin n)).symm) t.constantsToVars = realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) (Sum.elim v xs)) t.constantsToVars


Context:
I : Type u
X : I → TopCat
x : (i : I) → ↑(π.obj (X i))

(Path.Homotopic.pi fun i => ⟦Path.refl (x i).as⟧) = 𝟙 ({ obj := fun g => { as := fun i => (g i).as }, map := fun {X_1 Y} p => Path.Homotopic.pi p }.obj x)


⟦Path.pi fun i => Path.refl (x i).as⟧ = 𝟙 { as := fun i => (x i).as }


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Even a
hb : Odd b


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
e : α
he : e ∈ I


Context: α : Type u_1

Context: M : Matroid α

Context: B I J X Y : Set α

Context: e✝ : α

Context: hI : M.Indep I

Context: e : α

Context: he : e ∈ {x | M.Basis I (insert x I)} \ I

Context: hu : M.Indep (insert e I)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ

μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
s : Set ℝ


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0


μH[1] ((fun x => ‖v‖ • x) '' (⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v)) '' s)) = ‖v‖₊ • μH[1] s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: inst✝⁹ : EMetricSpace X

Context: inst✝⁸ : EMetricSpace Y

Context: inst✝⁷ : MeasurableSpace X

Context: inst✝⁶ : BorelSpace X

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace Y

Context: inst✝⁴ : BorelSpace Y

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace E

Context: inst✝ : BorelSpace E

Context: v : E

Context: s : Set ℝ

Context: hv : v ≠ 0

Context: hn : ‖v‖ ≠ 0

Context: iso_smul : Isometry ⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this : Nonempty α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β


Context:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ

f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ s.sum ⇑f = n ∧ f.support ⊆ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E

(convexHull 𝕜) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t


(convexHull 𝕜) s ⊆ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t


⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t ⊆ (convexHull 𝕜) s


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: j k : N →* P

Context: h : ∀ (a : M), (j.comp f.toMap) a = (k.comp f.toMap) a


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : S.LocalizationMap N

Context: g : M →* P

Context: hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)

Context: j k : N →* P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
n : ℕ
h✝ : NeZero ↑n
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : ↑n = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: x✝ y : E✝

Context: s✝ t : Set E✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)

Context: w : E i

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E i

Context: hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i

Context: hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop

Context: hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)

(LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (univ.pi s) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: x✝ y : E✝

Context: s✝ t : Set E✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: w : E i

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E i

Context: this : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ∃ d', x j + d' ∈ s j ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: x✝ y : E✝

Context: s✝ t : Set E✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: w : E i

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E i

Context: d' : ℕ → (j : ι) → E j

Context: hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j

Context: hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: x✝¹ y : E✝

Context: s✝ t : Set E✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: w : E i

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E i

Context: d' : ℕ → (j : ι) → E j

Context: n : ℕ

Context: hn : x i + d n ∈ s i

Context: j : ι

Context: x✝ : j ∈ univ

(x + (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) n) j ∈ s j


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u_2

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: x✝ y : E✝

Context: s✝ t : Set E✝

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: E : ι → Type u_6

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: s : (i : ι) → Set (E i)

Context: x : (i : ι) → E i

Context: i : ι

Context: w : E i

Context: c : ℕ → 𝕜

Context: d : ℕ → E i

Context: d' : ℕ → (j : ι) → E j

Context: j : ι

Tendsto (fun i_1 => (c i_1 • (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) i_1) j) atTop (𝓝 ((LinearMap.single i) w j))


Context:
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
p : Path a b
f g : Hom b c
η' : Hom₂ f g

(preinclusion B).map { as := p } ◁ Quot.mk Rel η' ≫ (normalizeIso p g).hom = (normalizeIso p f).hom ≫ (preinclusion B).map₂ (eqToHom ⋯)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))

wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n


(∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) + remainder p n


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1))) + remainder p n


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) = remainder p n + (-(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1))))


(∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)))) = remainder p n + (-(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1))))))


Context: M : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul G α

Context: f : β → α

Context: l : Filter β

Context: a : α

Context: c : G

Context: h : Tendsto (fun x => c • f x) l (𝓝 (c • a))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y a b : R
h : a * x + b * y = 1


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring R
inst✝⁴ : FloorSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
f : α → R
n : R


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G


Context:
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → V

LinearIndependent K b ↔ Fintype.card ι ≤ Set.finrank K (range b)


Context:
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ last n


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R

C (f L) * (X - C (f x)) + C (f y) = Polynomial.map f (C L * (X - C x) + C y)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R✝ : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
R : ℝ

dist ((R / dist x c) ^ 2 • (x -ᵥ c) +ᵥ c) ((R / dist y c) ^ 2 • (y -ᵥ c) +ᵥ c) = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y


dist ((R / ‖x -ᵥ c‖) ^ 2 • (x -ᵥ c)) ((R / ‖y -ᵥ c‖) ^ 2 • (y -ᵥ c)) = R ^ 2 / (‖x -ᵥ c‖ * ‖y -ᵥ c‖) * dist x y


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι

univ.noncommProd (fun i => Pi.mulSingle i (x i)) ⋯ i = x i


univ.noncommProd (fun i_1 => (Pi.evalMonoidHom M i) ((MonoidHom.mulSingle M i_1) (x i_1))) ⋯ = x i


(↑univ).Pairwise fun a b => Commute ((fun i => (MonoidHom.mulSingle M i) (x i)) a) ((fun i => (MonoidHom.mulSingle M i) (x i)) b)


∀ x_1 ∈ insert i (univ.erase i), (Pi.evalMonoidHom M i) ((MonoidHom.mulSingle M x_1) (x x_1)) = ?h.convert_3 x_1


(insert i (univ.erase i)).noncommProd ?h.convert_3 ⋯ = x i


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R N₁

Context: inst✝³ : Module R N₂

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : PartialOrder P

Context: inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: Q₁ : QuadraticMap R M₁ P

Context: Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

(Q₁.prod Q₂).PosDef ↔ Q₁.PosDef ∧ Q₂.PosDef


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁶ : Module R M₁

Context: inst✝⁵ : Module R M₂

Context: inst✝⁴ : Module R N₁

Context: inst✝³ : Module R N₂

Context: inst✝² : Module R P

Context: inst✝¹ : PartialOrder P

Context: Q₁ : QuadraticMap R M₁ P

Context: Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) ∧ (Q₁.prod Q₂).Anisotropic ↔ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ Q₁.Anisotropic) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) ∧ Q₂.Anisotropic


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: a : ℝ

Context: ha : 1 < a

∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: a : ℝ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: hk : c k < a


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: a : ℝ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: hk : c k < a

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) (n + 1)) ≤ a * ↑((fun n => ⌊c k ^ n⌋₊) n)


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: a : ℝ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: hk : c k < a

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c k ^ n⌋₊


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: a : ℝ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: hk : c k < a

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c k ^ n⌋₊

Context: A : Tendsto (fun n => ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ / c k ^ (n + 1) * c k / (↑⌊c k ^ n⌋₊ / c k ^ n)) atTop (𝓝 (1 * c k / 1))


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: a : ℝ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: hk : c k < a

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c k ^ n⌋₊

Context: B : Tendsto (fun n => ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (c k))


Context: u : ℕ → ℝ

Context: l : ℝ

Context: hmono : Monotone u

Context: c : ℕ → ℝ

Context: cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k

Context: clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

Context: a : ℝ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

Context: hk : c k < a

Context: H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c k ^ n⌋₊

Context: n : ℕ

Context: hn : ↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊ < a


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

(PInfty ≫ QInfty).f n = HomologicalComplex.Hom.f 0 n


Context:
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsCyclic α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

sin (arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))) * (‖x‖ * ‖y‖) = √(⟪x, x⟫_ℝ * ⟪y, y⟫_ℝ - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ)


√((1 - ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) * (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))) * (‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖))) = √(‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) - ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

↑(lowerClosure (s * t)) = ↑(lowerClosure s * lowerClosure t)


Context:
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
a✝ b✝ : G ⧸ φ.ker
a b : G
h : φ a = φ b


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: D : Type uD

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: s✝ s₁ t u : Set E

Context: f : E → F →L[𝕜] G

Context: g : E → F

Context: s : Set E

Context: x : E

Context: N : ℕ∞

Context: n : ℕ

Context: hf : ContDiffOn 𝕜 N f s

Context: hg : ContDiffOn 𝕜 N g s

Context: hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

Context: hx : x ∈ s

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: B : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] F →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G).flip

‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) (g y)) s x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖